Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hs : MeasurableSet s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)

Context: m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace

Context: s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_meas_fst : ∀ (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)), Measurable fun x => ↑(↑x).1

StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable (s.restrict fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable (sᶜ.restrict fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)

Context: v : Fin (n + 1) → R

(det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (n + 1), ∏ j ∈ Ioi i, (v j - v i)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → R

∀ (i j : Fin n.succ), of (fun i j => v i ^ ↑j) i j = of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) i j + vecCons 0 1 i * of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v i.succ ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) 0 j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → R

(det fun i j => ∑ k ∈ range (↑j + 1), v i.succ ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v i.succ ^ ↑j


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α

μ ≤ boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → μ s ≤ m s


∀ (a : Set α), μ a ≤ m a ↔ a.Nonempty → μ a ≤ m a


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : StronglyMeasurable f
h : StronglyMeasurable (f * g)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ dist p₁ c = dist p₂ c


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G
h : ¬Odd (Nat.card G)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G
h : 2 ∣ Fintype.card G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
this : Fintype G
h : 2 ∣ Fintype.card G
g : G
hg : orderOf g = 2


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
f : α → E'
g : α → 𝕜
l : Filter α
h : f =o[l] g

Tendsto (fun x => (g x)⁻¹ • f x) l (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: x : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X true

Context: y : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X false

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν = (n * (n - 1)) • X ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1

Context: pderiv_true_y : (pderiv true) y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α

{x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}.WellFoundedOn DevosMulRel


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
n : ℕ

({x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty} ∩ (fun x => (x.1 * x.2).card) ⁻¹' {n}).WellFoundedOn ((fun x x_1 => x > x_1) on fun x => x.1.card + x.2.card)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x

HasStrictDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x


Context:
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
hc : 1 < A✝.card * B✝.card

∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: hc : 1 < A✝.card * B✝.card

Context: f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: p1 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ

Context: h1 : p1 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝

Context: p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ

Context: h2 : p2 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝

Context: hne : p1 ≠ p2

Context: hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2

Context: hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ

Context: hne : p1 ≠ p2

Context: h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝

Context: h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

∃ p1, (p1.1 ∈ A✝ ∧ p1.2 ∈ B✝) ∧ ∃ p2, (p2.1 ∈ A✝ ∧ p2.2 ∈ B✝) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ

Context: hne : p1 ≠ p2

Context: h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝

Context: h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : MapsTo f s t
ht : t.Finite


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : α → β

Context: hs : s.Infinite

Context: hf : MapsTo f s t

Context: ht : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → f x ≠ f y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set ι)

UniformSpace.comap (⋃₀ 𝔖).restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ S ∈ 𝔖, UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s

‖f'‖ ≤ ↑C * ‖v‖


∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ x ∈ S, f x = 0
x : M ⧸ S

‖(lift S f.toAddMonoidHom hf) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β

(l.bind f).length = Nat.sum (map (length ∘ f) l)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

↑(C.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ') = (E.variableChange C).Δ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α

s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ζ : R
i : ℕ
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hi : i ∈ Nat.divisors 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ζ : R

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ n.divisors

Context: h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

Context: hn : n > 0

Context: this : eval ζ (X ^ n - 1) = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ζ : R

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ n.divisors

Context: h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

Context: hn : n > 0

Context: this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ζ : R

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ n.divisors

Context: h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

Context: hn : n > 0

1 = 1 + eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ζ : R

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ n.divisors

Context: h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

Context: hn : n > 0

eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: ζ : R

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ n.divisors

Context: h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

Context: hn : n > 0

cyclotomic i R ∣ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: j : J

(h.hom.app (op Y) { down := f }).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: j : J

Context: t : ((yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃}).map f.op ≫ h.hom.app (op Y)) { down := 𝟙 X } = (h.hom.app (op X) ≫ F.cones.map f.op) { down := 𝟙 X }


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: j : J

Context: t : h.hom.app (op Y) { down := f ≫ 𝟙 X } = F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: j : J

Context: t : h.hom.app (op Y) { down := f } = F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: j : J

(F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a

Context: hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})

Context: hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})

Continuous fun a => if p a then f a else g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})

ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid M
hST : S ≤ T
Q : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝ : CommMonoid A
l : M →* A
hl : ∀ (w : ↥T), IsUnit (l ↑w)
x : M

((k.lift hl).comp (f.lift ⋯)) (f.toMap x) = l x


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

ContDiffAt 𝕜 n f y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y


(∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x✝ : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
x : ActionCategory G X


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
X✝ Y✝ Z✝ : ActionCategory G X
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (f ≫ g) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map f ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map g


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
X✝ : ActionCategory G X
z : X
γ₁ : G
f : X✝ ⟶ ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩

{ obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (f ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map f ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ : G
y : X
γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), y⟩

{ obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩

{ obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q


gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a q.content


gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd q.coeff)


∀ x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ, a ∣ p.coeff x - q.coeff x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a : R

Context: p q : R[X]

Context: x : ℕ

Context: a✝ : x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ

Context: w : R[X]

Context: hw : p - q = C a * w


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a : R

Context: p q : R[X]

Context: x : ℕ

Context: w : R[X]

Context: hw : p - q = C a * w


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

Context: h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

(μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : K

x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
ha : ρ.fst {a} ≠ 0


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x

Context: T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p

∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p), p x


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p

(∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u), p x) ∧ ∀ i ∈ A, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ T i), p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α


(∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬x = a → x ∈ t) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ≠ a → x ∈ s → x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r✝ p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
r : α → α → Prop
s : Set (Set α)
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

(⋃₀ s).Pairwise r ↔ ∀ a ∈ s, a.Pairwise r


Context:
α : Type u_1
s t : Multiset α
n : ℕ
h : s.Nodup
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s✝ t : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a n : α
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m : Multiset α

Context: f : { x // x ∈ m } → β

Context: g : α → β

Context: hfg : ∀ (x : { x // x ∈ m }), f x = g ↑x

∏ x : { x // x ∈ m }, f x = ∏ x ∈ m.toFinset, g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: ho : m ∈ foldl (argAux r) o (tl ++ [a])


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: ho : m ∈ Option.casesOn (foldl (argAux r) o tl) (some a) fun c => if r a c then some a else some c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: ho : (Option.casesOn (some c) (some a) fun c => if r a c then some a else some c) = some m

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: ho : (if r a c then some a else some c) = some m

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c

Context: hac : r a c

Context: h : b ∈ tl


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c

Context: hac : r a c

Context: h : b ∈ [a]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c

Context: hac : ¬r a c

Context: h : b ∈ tl


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: b : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c

Context: hac : ¬r a c

Context: h : b ∈ [a]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
hs : s.Nontrivial

s.infsep = s.offDiag.toFinset.inf' ⋯ (uncurry dist)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

f x ≤ liminf f (𝓝[s] x) → LowerSemicontinuousWithinAt f s x


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n
this : τ (f ^ n) = ↑m


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
h : (f ^ n) x = x + ↑m
hn : 0 < n
this : τ f * ↑n = ↑m


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u

((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom = (α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom


(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)


(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom))


∀ (a : X), (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X

(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x


((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


∀ (a : Y), ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y

((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y


(((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1


∀ (a : Z), (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z

(((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z


((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1 = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1


∀ (a : X ⊗ Y ⊗ Z), (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1) a = (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂ ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫ (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle z) 1) a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
a : X ⊗ Y ⊗ Z

(Finsupp.mapDomain (α_ X Y Z).hom ((finsuppTensorFinsupp' R (X ⊗ Y) Z) ((finsuppTensorFinsupp' R X Y) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single y 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1))) a = ((finsuppTensorFinsupp' R X (Y ⊗ Z)) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] (finsuppTensorFinsupp' R Y Z) (Finsupp.single y 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1))) a


(Finsupp.single (x, y, z) 1) a = (Finsupp.single (x, y, z) 1) a


Context:
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β

(m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f


Context:
a b m n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β

(gcd 0 n).primeFactors.prod f * (0 * n).primeFactors.prod f = (primeFactors 0).prod f * n.primeFactors.prod f


Context:
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0


Context:
a b m✝ n p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0

(m.gcd 0).primeFactors.prod f * (m * 0).primeFactors.prod f = m.primeFactors.prod f * (primeFactors 0).prod f


Context:
a b m✝ n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
m n : ℕ
f : ℕ → β
hm₀ : m ≠ 0
hn₀ : n ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' Ici 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' Ici 0


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b

J(a | b) = (List.map (⇑χ) (List.map Nat.cast b.primeFactorsList)).prod


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b

(List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯).prod = (List.pmap (fun a x => (⇑χ ∘ Nat.cast) a) b.primeFactorsList ⋯).prod


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b

List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ = List.pmap (fun a x => (⇑χ ∘ Nat.cast) a) b.primeFactorsList ⋯


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b

∀ a_1 ∈ b.primeFactorsList, ∀ (h₁ : Nat.Prime a_1), Nat.Prime a_1 → legendreSym a_1 a = (⇑χ ∘ Nat.cast) a_1


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
φ : ι' → ι

UniformSpace.comap (fun g i' => g (φ i')) (uniformSpace fun i' => α (φ i')) = ⨅ i', UniformSpace.comap (eval (φ i')) (U (φ i'))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Iic a)
l : Filter β

Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot


Context: m n : ℤ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
x : FreeMonoid (G ⊕ H)

(coprodCon G H) (ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (toList x)).reverse * x) 1


mk (ofList (List.map (Sum.map Inv.inv Inv.inv) (toList x)).reverse) * mk x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b

Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a < d
h₂ : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d < c
h₁ : a < c
h₂ : d < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
hcd : c ≤ d
h₁ : b < d
h₂ : c < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
hcd : d < c
h₁ : b < c
h₂ : d < a


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A

discr A (b ᵥ* P.map ⇑(algebraMap A B)) = P.det ^ 2 * discr A b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
x : α
xs : x ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
x : α
xt : x ∈ t


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
this : 1⁻¹ * x ∈ H


Context:
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ

∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ r

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ r

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: this : ε / r ≤ ‖r⁻¹ • x - r⁻¹ • y‖ → ‖r⁻¹ • x + r⁻¹ • y‖ ≤ 2 - δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: this : ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s

𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ ∅
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ ∅

𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ ∅.card * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ (insert a s).card * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

(Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

(Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

Context: h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

Context: h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

(Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

2 ^ s.card * (Finset.memberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.memberSubfamily a ℬ).card + 2 ^ s.card * (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card = 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context: n : ℕ

logTaylor (n + 1) = logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n


Context:
n : ℕ
x✝ : ℂ

logTaylor (n + 1) x✝ = (logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) x✝


Context:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

{ str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


(if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ }


{ byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


{ byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

Context: this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

Context: this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }

{ byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) }).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

{ byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


Context: x y : ℂ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
f : ι → α
g : κ → α

s.sup' hs f ⊓ t.sup' ht g = (s ×ˢ t).sup' ⋯ fun i => f i.1 ⊓ g i.2


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α

0 ≤ a⁻¹ ↔ 0 ≤ a


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
x : 𝕎 R
i : Fin n

TruncatedWittVector.coeff i (truncateFun n x) = x.coeff ↑i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bot α
inst✝² : Bot β
inst✝¹ : Bot γ
inst✝ : Bot δ
g : BotHom β γ
f₁ f₂ : BotHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

(shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.25860, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a b c : M
h : b + a = c
ha : a = 0
hb : b = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
c : M
h : 0 + 0 = c

(mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ c ⋯ (f ≫ g)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : 0 + 0 = 0

(mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ 0 ⋯ (f ≫ g)


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∏ a ∈ s, f a).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M


∀ (x : A ⊗[R] M), x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M

x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M

a ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


a • 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


1 ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
hτ' : 0 < (-1 / τ).im


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: hτ' : 0 < (-1 / τ).im

Context: hj : HasDerivAt (fun w => jacobiTheta₂ (w / τ) (-1 / τ)) (1 / τ * jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ)) z


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

mellin (fun t => f t⁻¹) s = mellin f (-s)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

‖f‖ ^ p.toReal - ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: hF : ∀ i ∉ s, F i = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: hF : ∀ i ∉ s, F i = 0

Context: hF' : ∀ i ∈ s, F i = ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: hF : ∀ i ∉ s, F i = 0

Context: hF' : ∀ i ∈ s, F i = ‖↑f i‖ ^ p.toReal

Context: this : HasSum F (∑ i ∈ s, F i)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
ie : IsEmpty α

((LHom.id L).sumElim (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)).comp (L.lhomWithConstants α) = LHom.id L


(L.lhomWithConstants α).comp ((LHom.id L).sumElim (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)) = LHom.id (L[[α]])


LHom.sumInl.sumElim (LHom.sumInl.comp (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)) = LHom.id (L[[α]])


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
r : R


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v

ContfracLegendre.Ass (fract ξ)⁻¹ v (u - ⌊ξ⌋ * v)


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : F

HasStrictFDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ 2) (2 • (innerSL ℝ) x) x


HasStrictFDerivAt (fun x => re ⟪x, x⟫_ℝ) (2 • (innerSL ℝ) x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : G → E

Context: f' g' : G →L[ℝ] E

Context: s : Set G

Context: x✝ : G

Context: n : ℕ∞

Context: x : F

Context: e_7✝ : normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup

Context: he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'

2 • (innerSL ℝ) x = (fderivInnerCLM ℝ (id x, id x)).comp ((ContinuousLinearMap.id ℝ F).prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : G → E

Context: f' g' : G →L[ℝ] E

Context: s : Set G

Context: x✝ : G

Context: n : ℕ∞

Context: x : F

Context: y : F

(2 • (innerSL ℝ) x) y = ((fderivInnerCLM ℝ (id x, id x)).comp ((ContinuousLinearMap.id ℝ F).prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x : α

Context: s : Set (Set α)

Context: hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x

s ∈ map (fun r => closedBall x r) (𝓝[>] 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x : α

Context: s : Set (Set α)

(fun r => closedBall x r) ⁻¹' s ∈ 𝓝[>] 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x : α

Context: s : Set (Set α)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x : α

Context: s : Set (Set α)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: this : Ioc 0 ε ∈ 𝓝[>] 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x : α

Context: s : Set (Set α)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: this : Ioc 0 ε ∈ 𝓝[>] 0

Context: a✝ : ℝ

Context: hr : a✝ ∈ Ioc 0 ε


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift.{max uE' uF uP, uG} G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG

Context: this✝ : BorelSpace eG

Context: eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift.{max uG uF uP, uE'} E'

Context: eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift.{max uG uE' uP, uF} F

Context: eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift.{max uG uE' uF, uP} P

Context: isoG : eG ≃L[𝕜] G

Context: isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'

Context: isoF : eF ≃L[𝕜] F

Context: isoP : eP ≃L[𝕜] P

Context: ef : eG → E := f ∘ ⇑isoG

Context: eμ : Measure eG := Measure.map (⇑isoG.symm) μ

Context: eg : eP → eG → eE' := fun ep ex => isoE'.symm (g (isoP ep) (isoG ex))

Context: eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF := (↑(isoE'.arrowCongr isoF).symm).comp L

Context: R : eP × eG → eF := fun q => (ef ⋆[eL, eμ] eg q.1) q.2

Context: R_contdiff : ContDiffOn 𝕜 n R ((⇑isoP ⁻¹' s) ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace eG := borel eG

Context: this✝ : BorelSpace eG

Context: isoG : eG ≃L[𝕜] G

Context: isoE' : eE' ≃L[𝕜] E'

Context: isoF : eF ≃L[𝕜] F

Context: isoP : eP ≃L[𝕜] P

Context: ef : eG → E := f ∘ ⇑isoG

Context: A : ContDiffOn 𝕜 n (⇑isoF ∘ R ∘ ⇑(isoP.prod isoG).symm) (s ×ˢ univ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M

(GradedAlgebra.ι R M) m * (GradedAlgebra.ι R M) m = 0


(DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) (1 + 1)) (GradedMonoid.GMul.mul ⟨(ι R) m, ⋯⟩ ⟨(ι R) m, ⋯⟩) = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀

r ∉ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F (forget C)
D : Cocone F
hD : IsColimit D
x : (forget C).obj D.pt


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F (forget C)
D : Cocone F
hD : IsColimit D
a : (j : J) × (forget C).obj (F.obj j)

∃ j y, (D.ι.app j) y = (fun a => (D.ι.app a.fst) a.snd) a


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U)


Context: D : GlueData

Context: i j : D.J

Context: U : Set ↑(D.U i)

Context: this : ⇑(D.f j i) ⁻¹' (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)) = ⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U


Context: D : GlueData

Context: i j : D.J

Context: U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ∩ Set.range ⇑(D.f j i)


Context: D : GlueData

Context: i j : D.J

Context: U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ∩ Set.range ⇑(D.f j i) = ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U)


Context: D : GlueData

Context: i j : D.J

Context: U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ⊆ Set.range ⇑(D.f j i)


Context: D : GlueData

Context: i j : D.J

Context: U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) ⊆ ⇑(D.ι j) ⁻¹' Set.range ⇑(D.ι i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K

D f K ⊆ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K

x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: this : ∀ (e : ℕ), ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e => L e (n e) (n e)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: this : CauchySeq L0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: this : CauchySeq L0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: this : CauchySeq L0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: this✝ : CauchySeq L0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: this : HasFDerivAt f f' x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F

Context: this✝ : CauchySeq L0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: f'K : fderiv 𝕜 f x ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: this : HasFDerivAt f f' x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : EssFiniteType R S
f g : S →ₐ[R] T
H : ∀ s ∈ finset R S, f s = g s


f.comp (algebraMap (↥(subalgebra R S)) S) = g.comp (algebraMap (↥(subalgebra R S)) S)


f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S) = g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S)


Set.EqOn ⇑(f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S)) ⇑(g.comp (IsScalarTower.toAlgHom R (↥(subalgebra R S)) S)) {x | ↑x ∈ finset R S}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : Computation α
a : α
h1 : a ∈ s
h2 : a ∈ t
a' : α
ma : a' ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
inst✝ : (j : Fin (n + 1)) → Group (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

i.insertNth x p / i.insertNth y p = Pi.mulSingle i (x / y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: f : F →SL[σ₂₃] G

Context: g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F

‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖ = ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: f : F →SL[σ₂₃] G

Context: g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F

Context: h✝ : Subsingleton F'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: f : F →SL[σ₂₃] G

Context: g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F

Context: h✝ : Nontrivial F'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: f : F →SL[σ₂₃] G

Context: g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F

Context: h✝ : Nontrivial F'

‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖ ≤ ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: f : F →SL[σ₂₃] G

Context: g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F

Context: h✝ : Nontrivial F'

‖f‖ ≤ ‖f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, (fs i) ω ≤ c

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂↑μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))

Tendsto (fun i => μ.testAgainstNN (fs i)) L (𝓝 (μ.testAgainstNN f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs i) ω) ∂↑μ) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (f * g)) s = ((μ.withDensity f).withDensity g) s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
h : ∀ (x : α), x ∈ xs → ¬p x = true


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : IsRadical (z * z * w)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : z * z * w ∣ z * w


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z * z * w ≠ 0
h : z * (z * w) ∣ 1 * (z * w)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d z w : R
h0 : z ≠ 0 ∧ z * w ≠ 0
h : z * (z * w) ∣ 1 * (z * w)


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
φ : V ⥤q C


∀ (X : V), (of ⋙q (lift φ).toPrefunctor).obj X = φ.obj X


∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of ⋙q (lift φ).toPrefunctor).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
hs : s.Nodup


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
x : E

x ∈ parallelepiped v ↔ ∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι, t i • v i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys ≤ levenshtein C xs (y :: ys)


Context:
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x✝ : M
K : S
f : F
c : ZMod n
x : M


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α

{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index x

Context: x_le_y : x ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: h : ∀ (x : Ordinal.{u}), ∃ x_1, p.c x_1 ∉ p.iUnionUpTo x ∧ p.R x ≤ p.τ * p.r x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: A : p.c (p.index y) ∉ p.iUnionUpTo y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: A : ∀ x < y, p.c (p.index y) ∉ ball (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: A : p.c (p.index y) ∉ ball (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x y : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index y

Context: x_le_y : x ≤ y

Context: H : x < y

Context: A : p.r (p.index y) ≤ 0


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B

cs.wordProd (braidWord M i i') = cs.wordProd (braidWord M i' i)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

Context: this : cs.wordProd (alternatingWord i i' (M.M i i')) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - M.M i i'))


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

Context: this : cs.wordProd (alternatingWord i i' (M.M i i')) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i'))


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

Context: this : cs.wordProd (alternatingWord i i' (M.M i i')) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i' i))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing R
a : R


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, N i


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, N i


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, N i

Context: i : ι

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N i

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) x


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, N i

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) 0


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx : x✝ ∈ ⨆ i, N i

Context: x y : M

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) x → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) y → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, N i), C x hx) (x + y)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ