Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f

∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)


∫ (x : α), ((Set.Ioc 0 A).indicator id ∘ f) x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ


∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc 0 A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ^ n ∂Measure.map f μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
hA : 0 ≤ A


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h'f : 0 ≤ f
M : MeasurableSet (Set.Ioc 0 A)
M' : MeasurableSet (Set.Ioc A 0)
hA : A < 0


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x

(x / y).toNNReal = x.toNNReal / y.toNNReal


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup L
inst✝¹⁴ : Module R L
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ιM
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι'
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : Nontrivial R
x : L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : One N
inst✝² : One P
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq M
f : α → M
x : α
y : M

mulSupport (update f x y) = if y = 1 then mulSupport f \ {x} else insert x (mulSupport f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

ClusterPt x F ↔ pure x ≤ F.lift' closure


Context:
T : ℝ
x : AddCircle T


Context:
T : ℝ
x : AddCircle T
this : (fourier 0) x = ↑(toCircle 0)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S✝ : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S✝
S T : Ideal R
H : S ≤ T
x : R

((factor S T H).comp (mk S)) x = (mk T) x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : LinearOrderedRing R
v : n → R

(∀ i ∈ Finset.univ, v i * v i = 0) ↔ v = 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: finj : Function.Injective f'

Context: hft : Fintype ↑t

Context: hft' : Fintype ↑s

Context: f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: finj : Function.Injective f'

Context: hft : Fintype ↑t

Context: hft' : Fintype ↑s

Context: x✝ : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: finj : Function.Injective f'

Context: hft : Fintype ↑t

Context: hft' : Fintype ↑s

∀ (a : α) (ha : a ∈ s.toFinset), f'' a ha ∈ t.toFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: finj : Function.Injective f'

Context: hft : Fintype ↑t

Context: hft' : Fintype ↑s

∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s.toFinset) (ha₂ : a₂ ∈ s.toFinset), f'' a₁ ha₁ = f'' a₂ ha₂ → a₁ = a₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: finj : Function.Injective f'

Context: hft : Fintype ↑t

Context: hft' : Fintype ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
i₀ : β

⨆ i, f i = f i₀ ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≠ i₀), f i


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α

(corecF g x).dest = (P F).map (corecF g) (repr (g x))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: h_le : F ≤ E

Context: h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: h_le : F ≤ E


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: h_le : F ≤ E

Context: h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: h_le : F ≤ E

Context: h2 : finrank K ↥E * finrank (↥E) L = finrank K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: h_le : F ≤ E

Context: h3 : 0 < finrank (↥E) L


Context:
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s : Multiset R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s✝ : Multiset R
a : R
s : Multiset R
hs : (∀ a ∈ s, 0 ≤ a) → 0 ≤ s.prod
ih : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, 0 ≤ a_1


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

IsNormalClosure F K L ↔ (∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K L = ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
h : ¬Integrable φ μ

∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
h : ¬Integrable φ μ
this : ¬Integrable (fun x => L (φ x)) μ


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
hζ : ζ ^ n = 1
a : ℕ


Context:
R : Type u_1
n k : ℕ

∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)


Context:
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k ≤ n


Context:
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k > n


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
s : Finset ℕ

∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Iic b) → β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : (aeval x) q = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs' : μ s = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : Computation α → Computation α → Prop

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: s₁ s₂ : Computation α

Context: r : R s₁ s₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: s₁ s₂ : Computation α

Context: r : R s₁ s₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: s₁ s₂ : Computation α

Context: r : R s₁ s₂

Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : padicNorm p q = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q : ℚ

Context: h : (if q = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p q)) = 0

Context: hq : ¬q = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0


Context:
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X

(maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ : Set α

Context: P : Set α → Prop

Context: X : Set α

Context: n : ℕ

Context: hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n

Context: I : Set α

Context: hI : P I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ : Set α

Context: P : Set α → Prop

Context: X : Set α

Context: n : ℕ

Context: hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n

Context: I : Set α

Context: hI : P I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: Y : Set α

Context: hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ : Set α

Context: P : Set α → Prop

Context: X : Set α

Context: n : ℕ

Context: hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n

Context: I : Set α

Context: hI : P I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: Y : Set α

Context: hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: J : Set α

Context: x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: hYJ : Y ⊆ J

Context: hJ : P J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ : Set α

Context: P : Set α → Prop

Context: X : Set α

Context: n : ℕ

Context: hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n

Context: I : Set α

Context: hI : P I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: Y : Set α

Context: hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: J : Set α

Context: x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: hYJ : Y ⊆ J

Context: hJ : P J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X

Context: hJfin : J.Finite


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U

orthogonalProjection U = adjoint U.subtypeL


∀ (x : E) (y : ↥U), ⟪(orthogonalProjection U) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL y⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
x : E
u : ↥U

⟪(orthogonalProjection U) x, u⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL u⟫_𝕜


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : (X + C r).natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : 1 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ


Context:
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ


Context:
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c


Context:
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c


Context:
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c
hi : i ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E

Context: Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F

Context: Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G

Context: isoE : Eu ≃L[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃L[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

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Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

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Context: x x₀ : E

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Context: m n : ℕ∞

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Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: X : Type u_2

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Context: x x₀ : E

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Context: m n : ℕ∞

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Context: g : F → G

Context: f : E → F

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Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

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Context: isoE : Eu ≃L[𝕜] E

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Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

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Context: f : E → F

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Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

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Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

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Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: isoE : Eu ≃L[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃L[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: isoE : Eu ≃L[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃L[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: this : gu ∘ fu = (⇑isoG.symm ∘ g ∘ f) ∘ ⇑isoE


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: x✝¹ x✝ : RatFunc K

Context: toFractionRing✝¹ toFractionRing✝ : FractionRing K[X]

{ toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: x✝¹ x✝ : RatFunc K

{ toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0

Context: v : V

Context: n : f v ≠ 0 v


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0

Context: v : V

Context: n : f v ≠ 0 v

Context: z : W


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0

Context: v : V

Context: n : f v ≠ 0 v

Context: c : K


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivWithinAt f f' s x


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
f : α → α
a : α

map (fun x => f^[x] a) (range n) = iterate f a n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)

Context: s : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ : ℕ

disjointed f (n✝ + 1) = f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ i : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Injective (pseudoApply f)
a : Pseudoelement P
ha : pseudoApply f a = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Injective (pseudoApply f)
a : Pseudoelement P
ha : pseudoApply f a = pseudoApply f 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1

∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
W : Set G
W_mem : W ∈ 𝓝 1
W_closed : IsClosed W
hW : W ⊆ V


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R


∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i


∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, Mᵀ (x i) i = ↑↑(sign x⁻¹) * ∏ i : n, M (x⁻¹ i) i


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n

↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ↑↑(sign σ⁻¹) * ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i


↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i


∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i


∀ (x : n), Mᵀ (σ x) x = M (σ⁻¹ (σ x)) (σ x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
x x' : X
y : Y
hne : x' ≠ x

ContinuousAt (update f x y) x' ↔ ContinuousAt f x'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
h : xs.Nodup


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

A.X.map f ≫ A.counit.app Y✝ = A.counit.app X✝


A.counit.app X✝ ≫ 𝟙 (𝟙_ D) = A.counit.app X✝


A.X.map f ≫ A.comul.app Y✝ = A.comul.app X✝ ≫ (A.X.map f ⊗ A.X.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, p j = ∑ i ∈ t, w i • p i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary f (g ∘ ⇑σ)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s : AList β

(insert a b' (insert a b s)).entries = (insert a b' s).entries


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

(({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (𝟙 F)).app P).f = ((𝟙 ({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.obj F)).app P).f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C

(({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (φ ≫ φ')).app P).f = (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ ≫ { obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ').app P).f


(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E

Context: F G H : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: φ' : G ⟶ H

Context: P : Karoubi C

Context: h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E

Context: F G H : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: φ' : G ⟶ H

Context: P : Karoubi C

Context: h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E

Context: F G H : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: φ' : G ⟶ H

Context: P : Karoubi C

Context: h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f

Context: h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E

Context: F G H : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: φ' : G ⟶ H

Context: P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E

Context: F G H : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: φ' : G ⟶ H

Context: P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: K : ℝ

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s


Context:
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0

(log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s


Context:
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0


Context:
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0


Context:
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0


Context:
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
h4 : 2 ^ (s - 1) ≠ 0


log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + (s - 1) * log 2 - log √π = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - (log 2 + log √π)) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α
hsf : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
a : α
hsf : s.Finite
hs : 1 < hsf.toFinset.card


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K

D f K ⊆ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K

x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: this : ∀ (e : ℕ), ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)

Context: this : CauchySeq L0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)

Context: this : CauchySeq L0

Context: f' : F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)

Context: this : CauchySeq L0

Context: f' : F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)

Context: this✝ : CauchySeq L0

Context: f' : F

Context: f'K : f' ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: this : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K✝ K : Set F

Context: hK : IsComplete K

Context: P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D f K

Context: n : ℕ → ℕ

Context: L : ℕ → ℕ → ℕ → F

Context: L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)

Context: this✝ : CauchySeq L0

Context: f' : F

Context: f'K : derivWithin f (Ici x) x ∈ K

Context: hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')

Context: this : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∃ i, x ≤ moveLeft 0 i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0) ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Module.Finite R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : SMulCommClass R S N
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : StrongRankCondition S
inst✝ : Module.Free S N

finrank S (M →ₗ[R] N) = finrank R M * finrank S N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁

↑p₁.natDegree - ↑q₁.natDegree = ↑p₂.natDegree - ↑q₂.natDegree


↑p₁.natDegree + ↑q₂.natDegree = ↑p₂.natDegree + ↑q₁.natDegree


p₁.natDegree + q₂.natDegree = p₂.natDegree + q₁.natDegree


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : a ≠ 0


Context: a b m n✝ p✝ n p : ℕ

count p n.primeFactorsList = n.factorization p


Context: a b m n p✝ p : ℕ

count p (primeFactorsList 0) = (factorization 0) p


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p


count p n.primeFactorsList = padicValNat p n


count p n.primeFactorsList ≤ padicValNat p n


padicValNat p n ≤ count p n.primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c

(variationOnFromTo f s a - f) b ≤ (variationOnFromTo f s a - f) c


f c - f b ≤ variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)

a.Disjoint i.sum ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint b


Context:
x y : ZFSet
x✝¹ x✝ : PSet
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet

PSet.mk β B ∈ (PSet.mk α A).powerset ↔ ⟦PSet.mk β B⟧ ⊆ ⟦PSet.mk α A⟧


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

b - toIocMod hp a b = toIocDiv hp a b • p


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n


Context:
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ


Context:
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : 0 < μ (closedBall x r)


Context:
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : r ≤ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
x : A
r : R
y : A

x * (algebraMap R A) r * y = x * y * (algebraMap R A) r


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R


(map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).degree = ↑n.totient


(Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ).leadingCoeff ≠ 0


LinearEquiv.det conjAe.toLinearEquiv = -1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M

↑(M.rTensorOne' (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y)) = ↑(y • m)


(M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = y • ↑m


(M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = ↑m * (algebraMap R S) y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y


Context:
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ


Context: T : ℝ

Context: inst✝ : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: this : ∀ (x : AddCircle T), ‖(fourier n) x‖ = 1


Context: T : ℝ

Context: inst✝ : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : ι → R


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
a b : α
h : a ≠ b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: k n : ℕ

Context: f : 𝓢(ℝ, F)

Context: M : ℝ

Context: hMp : 0 ≤ M

Context: hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: k n : ℕ

Context: f : 𝓢(ℝ, F)

Context: M : ℝ

Context: hMp : 0 ≤ M

∀ (x : ℝ), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ M


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)

(∀ x ∈ s, f x ∈ t) ↔ s ⊆ t.preimage f hf


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized


Context:
p : ℕ
z : ℤ
h : ¬↑p ∣ z

(if h : p ≠ 1 ∧ 0 < z.natAbs then (multiplicity p z.natAbs).get ⋯ else 0) = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23384, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
s : σ
x : List α'

(comap f M).evalFrom s x = M.evalFrom s (List.map f x)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

iCondIndep m' hm' m μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']


(∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ {s | MeasurableSet s}) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']


∀ (i : ι), ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0

p * b ~ᵤ (p ::ₘ normalizedFactors b).prod


Context:
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

PseudoMetricSpace.toUniformSpace = ⊥ ↔ ∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α

setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0

(cons h p).getVert n = p.getVert (n - 1)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
i : ℕ
hi : i.succ = n


(cons h p).getVert i.succ = p.getVert (i.succ - 1)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: this : IsFilteredOrEmpty C


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: this : IsFilteredOrEmpty C

Context: d : D

Context: c : C

Context: s s' : d ⟶ F.obj c


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: this : IsFilteredOrEmpty C

Context: d : D

Context: c : C

Context: s s' : d ⟶ F.obj c

Context: c₀ : C

Context: f : IsFiltered.coeq s s' ⟶ F.obj c₀

s ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f)) = s' ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : Set (Set α)
t : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u

∀ {a b : α ⊕ γ}, Sum.LiftRel s u ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Sum.LiftRel r t a b


Context:
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F

topologicalSpace B F = induced (⇑(TotalSpace.toProd B F)) instTopologicalSpaceProd


topologicalSpace B F = induced (Prod.fst ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: s : ι → Set α

Context: H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)


Context:
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π

x ^ (starRingEnd ℂ) n = (starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) x ^ n)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x

HasDerivWithinAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) s x


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)

μ' s * lintegral ν' g = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: x : G

Context: hx : ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
x : FractionRing A
hx : x ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
P : Ideal A
P_ne : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
M : Ideal A
hM : P < M
P'_ne : ↑P ≠ 0
M'_ne : ↑M ≠ 0
x : FractionRing A
hx : x ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)
le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: hx : (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ((↑M)⁻¹ * ↑P)

(algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ (fun a => ↑a) ↑P


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: z : A

Context: hzM : z ∈ M

Context: hzp : z ∉ P


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: z : A

Context: hzM : z ∈ M

Context: hzp : z ∉ P

Context: zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) z * (algebraMap A (FractionRing A)) y ∈ ↑M * ((↑M)⁻¹ * ↑P)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: z : A

Context: hzM : z ∈ M

Context: hzp : z ∉ P

Context: zy_mem : (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y) ∈ ↑P


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: z : A

Context: hzM : z ∈ M

Context: hzp : z ∉ P

Context: zy : A

Context: hzy : zy ∈ P

Context: zy_eq : (algebraMap A (FractionRing A)) zy = (algebraMap A (FractionRing A)) (z * y)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomainInv A

Context: P : Ideal A

Context: P_ne : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: M : Ideal A

Context: hM : P < M

Context: P'_ne : ↑P ≠ 0

Context: M'_ne : ↑M ≠ 0

Context: le_one : (↑M)⁻¹ * ↑P ≤ 1

Context: y : A

Context: _hy : y ∈ ⊤

Context: z : A

Context: hzM : z ∈ M

Context: hzp : z ∉ P

Context: zy : A

Context: hzy : z * y ∈ P


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : SeparableSpace R
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : IsSeparable s


IsSeparable (⋃ n, (fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2) '' {f | ∀ (i : Fin n), (f i).2 ∈ s})


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : SeparableSpace R
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : IsSeparable s
n : ℕ

IsSeparable {f | ∀ (i : Fin n), (f i).2 ∈ s}


Continuous fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2


Context:
α : Type u_1
m n✝ a n : ℕ
hn : Odd n
hm : 2 ∣ n


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hs : ⋃₀ S = univ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

rightHomologyMap φ = rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁ ≫ γ.φH ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData


rightHomologyMap φ = rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z✝ : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y ≤ ε₂ - ε₁
z : α
zx : z ∈ ball x ε₁


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → LightProfinite
a : α
x y : (forget LightProfinite).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
i : σ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0

μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂

μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂
le23 : μ s₂ ≤ μ s₃

μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁✝ s₂✝ t s₁ s₂ s₃ : Set α
h12 : s₁ ⊆ s₂
h23 : s₂ ⊆ s₃
h_nulldiff : μ (s₃ \ s₁) = 0
le12 : μ s₁ ≤ μ s₂
le23 : μ s₂ ≤ μ s₃
key : μ s₃ ≤ μ s₁

μ s₁ = μ s₂ ∧ μ s₂ = μ s₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁


p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₁p₃ : ¬p₁ = p₃
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 1 → i ∈ s


Context:
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0

(p.rootSet ℂ).toFinset.card = (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

Context: inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

(p.rootSet ℂ).toFinset.card = (Finset.image (⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)) (p.rootSet ℝ).toFinset).card + (Finset.image (fun a => ↑a) ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support).card


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

Context: a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset

Context: b : Finset ℂ := Finset.image (⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)) (p.rootSet ℝ).toFinset

Context: c : Finset ℂ := Finset.image (fun a => ↑a) ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

Context: a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset

Context: ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

Context: a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset

Context: ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0

Context: hb : ∀ (z : ℂ), z ∈ b ↔ (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0


Context: p : ℚ[X]

Context: hp : ¬p = 0

Context: a : Finset ℂ := (p.rootSet ℂ).toFinset

Context: ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0

Context: hc0 : ∀ (w : ↑(p.rootSet ℂ)), ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))) w = w ↔ (↑w).im = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp a (b + p) = toIocDiv hp a b + 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Comon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

Context: f_counit : autoParam (f.hom ≫ N.counit = M.counit) _auto✝

Context: f_comul : autoParam (f.hom ≫ N.comul = M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) _auto✝

f.inv ≫ M.comul = N.comul ≫ (f.inv ⊗ f.inv)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Comon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

f.hom ≫ f.inv ≫ M.comul = f.hom ≫ N.comul ≫ (f.inv ⊗ f.inv)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Comon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

f.hom ≫ f.inv ≫ M.comul = (M.comul ≫ (f.hom ⊗ f.hom)) ≫ (f.inv ⊗ f.inv)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

{x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

{x | ∃ a ∈ s.val, f a = x}.Pairwise Commute


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : ℕ → Submodule R M

Context: h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups f) n) (f (n + 1))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : ℕ → Submodule R M

Context: n : ℕ

Context: w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups f) n = (partialSups f) m


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ

↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x✝ : E
x : 𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: x : E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: h : ∀ (x_1 : 𝕜), ‖(toSpanSingleton 𝕜 x) x_1‖ ≤ N * ‖x_1‖


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α

μ ≤ boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s


∀ (a : Set α), μ a ≤ ⨆ (_ : a.Nonempty), m a ↔ μ a ≤ m a


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
s : Set α

μ s ≤ ⨆ (_ : s.Nonempty), m s ↔ μ s ≤ m s


Context: θ : Angle


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'

f ⊗ g ⊗ h = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').hom


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x

Context: n : N

Context: r : R

((foldl Q f hf) n) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = r • n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
f : Filter α
fct : CountableInterFilter f
hf : g ⊆ f.sets


Context: x : ℂ


Context:
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0


cexp (log w / I * I) ^ 2 - 2 * x * cexp (log w / I * I) + 1 = 0


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

Fintype.card ↑s = Fintype.card α ↔ s = Set.univ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb

Tendsto f la lb ↔ ∀ (ib : ι'), pb ib → ∃ ia, pa ia ∧ ∀ x ∈ sa ia, f x ∈ sb ib


Context: this : (cexp ⁻¹' {0})ᶜ = Set.univ


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G

∑ᶠ (x : ConjClasses G), x.carrier.ncard = Nat.card G


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
f g : α → δ

f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ i, s i))] g ↔ ∀ (i : ι), f =ᶠ[ae (μ.restrict (s i))] g


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : Subsingleton α
e : Perm α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : IsEmpty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

liminf s cofinite = {x | {n | x ∉ s n}.Finite}


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
y : α

y ∈ Set.range (vecCons x u) ↔ y ∈ {x} ∪ Set.range u


Context:
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0


count {i | ↑ε ≤ (ofNNReal ∘ a) i} ≤ ↑c / ↑ε


∑' (i : α), (ofNNReal ∘ a) i = ↑(∑' (i : α), a i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : ℤ
n : ℕ


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯

f a * (s.erase a).noncommProd f comm' = s.noncommProd f comm


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1

Context: H_add : ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: z : HahnModule Γ' R V

Context: h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u

Context: a : Γ'

((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: z : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: z : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff + y.coeff) ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • z) + (of R).symm (y • z)).coeff a


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: z : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) = ((of R).symm (x • z)).coeff a + ((of R).symm (y • z)).coeff a


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: z : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 + ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, y.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l


Context:
α : Type u_1
a : α
w✝¹ w✝ : List α
h : a ∈ w✝¹ ++ a :: w✝


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R


Context: x : ℝ

sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)


Context:
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})


Context:
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty


sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) ≤ min (fract x) (1 - fract x)


min (fract x) (1 - fract x) ≤ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
hf : Primrec f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
hf : Primrec f
n : ℕ

(encode (Option.map f (decode n))).pred = encode (Option.map (fun a => (f a).get ⋯) (decode n))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
x : R

(((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))) x = ((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)) x


(Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)) (C ((Quotient.mk (comap C P)) x)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯) ((Quotient.mk P) (C x))


Context:
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

#((p : R[X]) × { x // x ∈ p.aroots L }) = sum fun p => #↑{x | x ∈ p.aroots L}


#((p : R[X]) × { x // x ∈ p.aroots L }) = #((i : R[X]) × ↑{x | x ∈ i.aroots L})


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : Semiring S

Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : ι → Ideal R

Context: hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)

Context: x : ι → R


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : Semiring S

Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : ι → Ideal R

Context: x : ι → R

Context: y : R

Context: hy : ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) y = (Quotient.mk (I i)) (x i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']


(∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s} → t2 ∈ {t} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : MulZeroOneClass α
inst✝¹ : Nontrivial α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
inst✝ : DecidableEq α
i j : V


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).sin * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R

{ toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f g : Filter α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: l : Filter α

Context: u v : α → β

Context: hu : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u

Context: hv : v ≤ᶠ[l] u

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l v


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f g : Filter α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: l : Filter α

Context: u v : α → β

Context: hv : v ≤ᶠ[l] u

∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in map u l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → ∀ᶠ (x : β) in map v l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n)) ⊆ n.divisors.erase 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p 0)) ⊆ (divisors 0).erase 1


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0


Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hn : n ≠ 0

Context: t : ℕ

Context: ht : t ∈ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n))


Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hn : n ≠ 0

Context: t : ℕ

Context: ht : ∃ a < padicValNat p n, p ^ (a + 1) = t


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : f ≤ᶠ[l] h
hg : g ≤ᶠ[l] h


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β

comap f (cobounded β) ≤ cobounded α ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, IsBounded s → IsBounded (f '' s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t✝ : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s
t : Set β
ht : t ∈ cobounded β
hts : f ⁻¹' t ⊆ sᶜ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t✝ : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s
t : Set β
ht : t ∈ cobounded β
hts : s ⊆ f ⁻¹' tᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1


x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Icc 0 1


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : ‖f z‖ = ‖z‖


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : √(normSq (f z)) = √(normSq z)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b n : ℕ


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ : List α
f : α → List β

(l₁.bind f).Nodup ↔ (∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁


(Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ (l : List β) (x : α), f x = l → x ∈ l₁ → l.Nodup) ↔ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0

quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hab : a * b ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F

Continuous fun φ => ∫ (x : X), L (↑↑φ x) ∂μ


Continuous fun x => ∫ (x_1 : X), ↑↑(L.compLp x) x_1 ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
i : ℕ
h : i < l.enum.length


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : ι → UniformSpace β

Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f g : M₁ →ₗ[R] M₂

(fun i => ((toMatrix b₁ b₂) (f + g)).toMvPolynomial i) = (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial i) + fun i => ((toMatrix b₁ b₂) g).toMvPolynomial i


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i})


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g

(μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f_int : IntegrableOn f s μ

Context: g_int : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g

Context: h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f_int : IntegrableOn f s μ

Context: g_int : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g

(fun y => ENNReal.ofReal ((g - f) y)) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun a => ↑(g a - f a).toNNReal


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0

W.negAddY P Q = ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (W.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2) + P y * Q z ^ 3 * addZ P Q ^ 3) / (P z * Q z) ^ 3


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a

image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = Ico 0 a


Context:
a b n : ℤ
h : 0 ≤ 0

image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = Ico 0 0


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ

i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ Ico 0 a


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ

(∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i) ↔ 0 ≤ i ∧ i < a


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a


Context:
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain (α →𝒄 β)
c' : Chain α

(ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') = ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono)))


∀ (c_1 : β), (ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') ≤ c_1 ↔ ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono))) ≤ c_1


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
n : ι

(nullHomotopicMap hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap fun i j => hom i j ≫ g.f j).f n


(C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n + hom n (c.prev n) ≫ D.dTo n) ≫ g.f n = C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n ≫ g.f n + (hom n (c.prev n) ≫ g.f (c.prev n)) ≫ E.dTo n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α

map (map f) ts.permutations = (map f ts).permutations


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H


Subsingleton (Quot fun x y => x⁻¹ * y ∈ ⊤)


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

‖x * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖


‖x⋆⋆ * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Subsingleton M


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Nontrivial M


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

(rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A

Context: inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B

Context: F✝ : A ⥤ B

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D

Context: inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory E

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget E)

Context: inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

(sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P = { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv }