Context:
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
ι : Type u_14
α : ι → Type u_15
β : ι → Type u_16
γ : ι → Type u_17
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
f : (i : ι) → α i → β i → γ i
s : (i : ι) → Finset (α i)
t : (i : ι) → Finset (β i)
a✝ : (a : ι) → γ a

(a✝ ∈ piFinset fun i => image₂ (f i) (s i) (t i)) ↔ a✝ ∈ image₂ (fun a b i => f i (a i) (b i)) (piFinset s) (piFinset t)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Preorder β

Context: inst✝⁵ : Preorder γ

Context: inst✝⁴ : Preorder δ

Context: inst✝³ : MulZeroOneClass α

Context: inst✝² : MulZeroOneClass β

Context: inst✝¹ : MulZeroOneClass γ

Context: inst✝ : MulZeroOneClass δ

Context: f✝ g✝ f g : α →*₀o β

Context: h : f.toMonoidWithZeroHom = g.toMonoidWithZeroHom


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G

DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: this : DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
s : Multiset α
l : List α

(a ::ₘ ⟦l⟧).antidiagonal = map (Prod.map id (cons a)) (antidiagonal ⟦l⟧) + map (Prod.map (cons a) id) (antidiagonal ⟦l⟧)


(powersetAux' l ++ List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip ((List.map (cons a) (powersetAux' l)).reverse ++ (powersetAux' l).reverse) ~ List.map (fun x => Prod.map id (cons a) x) ((powersetAux' l).zip (powersetAux' l).reverse) ++ List.map (fun x => Prod.map (cons a) id x) ((powersetAux' l).zip (powersetAux' l).reverse)


(powersetAux' l).zip (List.map (cons a) (powersetAux' l)).reverse ++ (List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip (powersetAux' l).reverse = (List.map id (powersetAux' l)).zip (List.map (cons a) (powersetAux' l).reverse) ++ (List.map (cons a) (powersetAux' l)).zip (List.map id (powersetAux' l).reverse)


(powersetAux' l).length = (List.map (cons a) (powersetAux' l)).reverse.length


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.109587
inst✝ : MulAction R X
r₁ r₂ : R
s t : ↥S


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv = Scheme.Hom.app f U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) i) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2 + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i j : ℕ
ji : j ≥ max n i
k : ℕ
hk : j - max n i = k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i j : ℕ
ji : j ≥ max n i
k : ℕ
hk : j = k + max n i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: i k' : ℕ

Context: hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k

abv (∑ i ∈ range (k' + 1 + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + 1 + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: i k' : ℕ

abv (f (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), f x - ∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), a x - ∑ x ∈ range (max n i), a x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: i k' : ℕ

abv (f (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x)) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: i k' : ℕ

abv (f (k' + max n i)) + abv (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: i k' : ℕ

Context: hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i + -∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k + -∑ k ∈ range (max n i), a k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n

(ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (↑ζ + f) p) n = ∑ d ∈ n.divisors, f d


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

(Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ p ∣ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : Nontrivial α

(Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ Associates.mk p ≤ Associates.mk a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: h : Associates.mk p ≤ Associates.mk a

(Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: h : 1 ≤ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B

(∃ y, (algebraMap A B) y = x) → IsIntegral R x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
y : A


Context: x : PGame

x.birthday = 0 ↔ IsEmpty x.LeftMoves ∧ IsEmpty x.RightMoves


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
b : E
hb : b ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
habc : a + c = b + b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : IsClosed s

Context: hs₁ : StrictConvex 𝕜 s

Context: a : E

Context: ha : a ∈ frontier s

Context: c : E

Context: hc : c ∈ frontier s

Context: hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s

Context: habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : IsClosed s

Context: hs₁ : StrictConvex 𝕜 s

Context: a : E

Context: ha : a ∈ frontier s

Context: c : E

Context: hc : c ∈ frontier s

Context: this : a = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful


(preadditiveCoyonedaObj (op G) ⋙ forget₂ (ModuleCat (End (op G))) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))

Context: h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))

Context: Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx

Context: h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy

Context: hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: B : J.Cover X := S.bind W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: B : J.Cover X := S.bind W

Context: ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S Sx : J.Cover X

Context: x : Meq P Sx

Context: Sy : J.Cover X

Context: y : Meq P Sy

Context: W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: B : J.Cover X := S.bind W

Context: ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯

Context: ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

(e.trans e').source = ↑e.symm '' (e.target ∩ e'.source)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: g_cont : Continuous g


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_surj : Surjective g


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_surj : Surjective g

Context: s_closed : IsClosed s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MetricSpace α

Context: inst✝² : CompleteSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: I0 : 0 < 1 / 2

Context: I1 : 1 / 2 < 1

Context: u : ℕ → α

Context: hu : DenseRange u

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_surj : Surjective g

Context: s_closed : IsClosed s

Context: f : (ℕ → ℕ) → ↑s

Context: f_surj : Surjective f

Context: f_cont : Continuous f


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ

map X ℙ = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f


μ.withDensity (pdf X ℙ μ) = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α✝

Context: α : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : f.NeBot

Context: b : β


HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)


Context: this : HasDerivAt Gamma ↑(-√π * (γ + 2 * Real.log 2)) ↑(1 / 2)


Context:
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
h : (l :: L).any isEmpty = true


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: h : l.isEmpty = true ∨ L.any isEmpty = true


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum


-↑(Num.casesOn p.pred' 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
e : p.pred' = Num.zero
ep : p = Num.zero.succ'

-↑(Num.casesOn Num.zero 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p a : PosNum
e : p.pred' = Num.pos a
ep : p = (Num.pos a).succ'

-↑(Num.casesOn (Num.pos a) 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C

ψ ≠ 1 ↔ ψ 1 ≠ 1


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n
ha₁ : a = a.val • 1


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Group M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
g : M
hg : g ∈ S


Context:
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ


Context:
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'


Context:
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this : Epi (σ i ≫ θ')


Context:
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this✝ : Epi (σ i ≫ θ')
this : Epi θ'


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hq : q.natDegree ≠ 0

Context: P : F[X] → Prop := fun r => Splits (algebraMap F (r.comp q).SplittingField) r

Context: key1 : ∀ {r : F[X]}, Irreducible r → P r

Context: key2 : ∀ {p₁ p₂ : F[X]}, P p₁ → P p₂ → P (p₁ * p₂)

Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S

((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R


(aeval h.gen) ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = 0


∀ (q : R[X]), q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree → q = 0 ∨ (aeval h.gen) q ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: n : Type v

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: N : Type w

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: h : PowerBasis R S

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: q : R[X]

Context: hq : q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree

Context: h0 : ¬q = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ↑h.dim
h0 : ¬q = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h0 : ¬q = 0
hq : (aeval h.gen) q = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ℕ
ω : Ω

ω ∈ {ω | (τ + π) ω ≤ i} ↔ ω ∈ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ i), {ω | π ω = k} ∩ {ω | τ ω + k ≤ i}


τ ω + π ω ≤ i ↔ ∃ i_1 ≤ i, π ω = i_1 ∧ τ ω + i_1 ≤ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}

#↑{o' | o' < o} = Cardinal.lift.{u + 1, u} o.card


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : CompleteLattice β
inst✝¹ : CompleteLattice γ
inst✝ : CompleteLattice δ
g : CompleteLatticeHom β γ
f₁ f₂ : CompleteLatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
hX : ¬Nonempty X


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E

HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ (fun t => f (x + t • v) - f x - t • f') =o[𝓝 0] fun t => t


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N

IsNilpotent (reflect N P) ↔ IsNilpotent P


(∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)) ↔ ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P✝ P : R[X]

Context: N : ℕ

Context: hN : P.natDegree ≤ N

Context: h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ N


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P✝ P : R[X]

Context: N : ℕ

Context: hN : P.natDegree ≤ N

Context: i : ℕ

Context: hi : N < i


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : i ≤ N


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : N < i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α

s.WellFoundedOn r ↔ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f✝ : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f✝ : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : s.WellFoundedOn r

WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f✝ : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : s.WellFoundedOn r

∀ (s_1 : Set α), s_1.Nonempty → ∃ m ∈ s_1, ∀ x ∈ s_1, ¬(r x m ∧ x ∈ s ∧ m ∈ s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A B : Set E

Context: X : Finset E

Context: x w : E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

Context: hCB : {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ⊆ B

Context: hw : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

∃ l_1, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} = {x | x ∈ A ∩ B ∧ ∀ y ∈ A ∩ B, l_1 y ≤ l_1 x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ


d n.succ = (partialSups d) n.succ \ (partialSups d) n


Disjoint ((partialSups d) n) (d (n + 1))


∀ m ≤ n, Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: f d : ℕ → α

Context: hdisj : Pairwise (Disjoint on d)

Context: hsups : partialSups d = partialSups f

Context: n m : ℕ

Context: ih : m ≤ n → Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)

Context: hm : m + 1 ≤ n

Disjoint ((partialSups d) (m + 1)) (d n.succ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: f d : ℕ → α

Context: hdisj : Pairwise (Disjoint on d)

Context: hsups : partialSups d = partialSups f

Context: n m : ℕ

Context: hm : m + 1 ≤ n

Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ) ∧ Disjoint (d (m + 1)) (d n.succ)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: this : Cardinal.lift.{u, v} (sepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{v, u} (sepDegree F F)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
hα' : weightSpace M α ≠ ⊥
e : (chainTop α β).IsZero


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.unop

Context: m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt

Context: w : ∀ (j : J), m ≫ (coneUnopOfCocone c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.unop

Context: m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt

Context: j : Jᵒᵖ

(c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s).op).unop


Context:
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat

Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y) ≫ Hom.stalkMap e.inv y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯


Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 Y) y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M

(((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) ((ι R) m * x) 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0


(((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) (((LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) m) f)) x 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F


Context:
α : Type u
x : Tree α


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: x : PGame := PGame.mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd

BddBelow (Set.range fun i => mk (g i) ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: i : ι

(∀ (i_1 : x.LeftMoves), x.moveLeft i_1 ⧏ g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))) ∧ ∀ (j : (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).RightMoves), x ⧏ (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveRight j


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

E.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = E


{ toWeierstrassCurve := E.toWeierstrassCurve, Δ' := WeierstrassCurve.VariableChange.id.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } = E


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 ≤ a
m n : ℤ
h : m ≤ n


Context:
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.43539
L : Type ?u.43542
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : IsDomain T
inst✝ : DecidableEq T
x : S
σ₁ σ₂ : S →ₐ[R] T

eval₂ (↑σ₁) (σ₂ x) (minpolyDiv R x) = if σ₁ x = σ₂ x then σ₁ ((aeval x) (derivative (minpoly R x))) else 0


eval₂ ((↑σ₁).comp (algebraMap R S)) (σ₂ x) (minpoly R x) = 0


Context:
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α✝ : ι → Type u_4
β✝ : ι → Type u_5
γ : ι → Type u_6
x y : (i : ι) → α✝ i
i : ι
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
inst✝ : SMul M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β

extend f (r • g) (r • e) = r • extend f g e


Context:
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α✝ : ι → Type u_4
β✝ : ι → Type u_5
γ : ι → Type u_6
x✝ y : (i : ι) → α✝ i
i : ι
M : Type u_7
α : Type u_8
β : Type u_9
inst✝ : SMul M β
r : M
f : ι → α
g : ι → β
e : α → β
x : α

extend f (r • g) (r • e) x = (r • extend f g e) x


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
p : α → ι → Prop
hic : #ι < c

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p x i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i


⋂ i, {x | p x i} ∈ l ↔ ∀ (i : ι), {x | p x i} ∈ l


Context: C : Type uC

Context: inst✝² : Category.{uC', uC} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹ : Category.{uD', uD} D

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : W.IsInvertedBy G

Context: P : MorphismProperty W.Localization

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)

Context: hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)


Context: C : Type uC

Context: inst✝² : Category.{uC', uC} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹ : Category.{uD', uD} D

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : W.IsInvertedBy G

Context: P : MorphismProperty W.Localization

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: X Y : W.Localization

Context: f : X ⟶ Y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: hz_re : 0 ≤ re 0

Context: hz_im : 0 ≤ im 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: hzne : z ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: ζ : ℂ

Context: hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)

Context: hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re

Context: hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im

Context: hzne : cexp ζ ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: ζ : ℂ

Context: hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)

Context: hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re

Context: hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im

Context: hzne : cexp ζ ≠ 0

Context: H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: ζ : ℂ

Context: hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)

Context: hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re

Context: hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im

Context: hzne : cexp ζ ≠ 0

∃ c < π / (π / 2 - 0), ∃ B, (f ∘ cexp) =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: ζ : ℂ

Context: hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)

Context: hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re

Context: hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im

Context: hzne : cexp ζ ≠ 0

∀ (z : ℂ), z.im = 0 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: ζ : ℂ

Context: hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)

Context: hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re

Context: hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im

Context: hzne : cexp ζ ≠ 0

∀ (z : ℂ), z.im = π / 2 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

f.eraseLead + C f.leadingCoeff * X ^ f.natDegree = f


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

(starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

∀ x ∈ Set.range ⇑(canonicalEmbedding K), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

(starRingEnd ℂ) (0 φ) = 0 (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hx✝ : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

Context: x✝¹ x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: hx : (starRingEnd ℂ) (x✝¹ φ) = x✝¹ (ComplexEmbedding.conjugate φ)

Context: hy : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)

(starRingEnd ℂ) ((x✝¹ + x✝) φ) = (x✝¹ + x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

Context: a : ℝ

Context: x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: hx : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)

(starRingEnd ℂ) ((a • x✝) φ) = (a • x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: smul : ∀ (a : R) (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x hx → p (a • x) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ span R s


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ span R s


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Bijective ⇑f'
n : ℕ


Context: x y z : ℝ


Context:
α : Sort u
β : Sort v
f x✝¹ x✝ : α ≃ β
h : x✝¹.toEmbedding = x✝.toEmbedding


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((η ∘ₖ κ) a) s = ((κ ⊗ₖ prodMkLeft α η).snd a) s


∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ((prodMkLeft α η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ {p | p.2 ∈ s}} ∂κ a


Context:
G✝ : PGame
inst✝¹ : G✝.Impartial
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ

Context: a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: x : ↥(unop U)

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: m : ↑x ∈ V

Context: i : V ⟶ unop U

Context: j : ℕ

Context: r : A

Context: r_mem : r ∈ 𝒜 j

Context: s : A

Context: s_mem : s ∈ 𝒜 j

Context: nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: hy : ∀ (x : ↥V), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨r, r_mem⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }

∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: x : ↥(unop U)

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: m : ↑x ∈ V

Context: i : V ⟶ unop U

Context: j : ℕ

Context: r : A

Context: r_mem : r ∈ 𝒜 j

Context: s : A

Context: s_mem : s ∈ 𝒜 j

Context: y : ↥V

(fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨-r, ⋯⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: x : ↥(unop U)

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: m : ↑x ∈ V

Context: i : V ⟶ unop U

Context: j : ℕ

Context: r : A

Context: r_mem : r ∈ 𝒜 j

Context: s : A

Context: s_mem : s ∈ 𝒜 j

Context: y : ↥V

Context: hy : ∀ (x : ↥V), val (a ⟨↑x, ⋯⟩) = Localization.mk r ⟨s, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α

‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
h : ‖x ⊔ y - 0 ⊔ 0‖ ≤ ‖x - 0‖ + ‖y - 0‖

‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α

Chain R a (l₁ ++ b :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ Chain R b l₂


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : a < 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : a < 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : a < 0

∃ t, (∀ y ∈ t, -1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(x * y).intDegree = x.intDegree + y.intDegree


↑(x * y).num.natDegree + (↑x.denom.natDegree + ↑y.denom.natDegree) = ↑x.num.natDegree + ↑y.num.natDegree + ↑(x * y).denom.natDegree


(x * y).num.natDegree + (x.denom.natDegree + y.denom.natDegree) = x.num.natDegree + y.num.natDegree + (x * y).denom.natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLinearOrder α
f : ι → α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : IsPreconnected U
x : α
hx : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: U : Set α

Context: hu : U.Nontrivial

Context: h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty

Context: x : α

Context: hx : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: U : Set α

Context: hu : U.Nontrivial

Context: x : α

Context: hx : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: U : Set α

Context: hu : U.Nontrivial

Context: x : α

Context: hx : x ∈ U

Context: h : (U ∩ ({x} ∩ closure (U \ {x}))).Nonempty


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
w : Finset E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ w } ℝ E
_hw : ⇑b = Subtype.val


(b.toBasis.map f.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv).addHaar = (b.map f).toBasis.addHaar


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ({ toFun := (spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }.comp ?f')


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

∀ (x : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } x = ↑(?f' x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hv : ↑v.asIdeal ≠ 0

Context: h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hv : ↑v.asIdeal ≠ 0

Context: hv_irred : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a

Context: h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a

Context: a b : α

Context: hab : [a, b] <+ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ
t : Set α
ht₁ : MeasurableSet t
ht₂ : t =ᶠ[ae μ] s


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (x - ↑m) ↔ LiouvilleWith p x


Context: f : Bool → Bool → Bool

bitwise f = binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0) fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)


Context:
f : Bool → Bool → Bool
x y : ℕ

bitwise f x y = binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0) (fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)) x y


Context:
p : Char → Bool
s : String

(s.dropWhile p).data = List.dropWhile p s.data


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ₁ ψ₂ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
hψ₁ : B.IsAdjointPair B ψ₁ φ
hψ₂ : B.IsAdjointPair B ψ₂ φ
v w : M₁

((B.compLeft ψ₁) v) w = ((B.compLeft ψ₂) v) w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set ↑s
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : ↑s) in t, f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in Subtype.val '' t, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

∀ (x : α), x ∈ Ioc a b \ Ioi c ↔ x ∈ Ioc a (min b c)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F

∀ (x : F (Fix F)), (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)

(mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)


mk <$> rec (Functor.map mk) <$> x = x → mk (mk <$> rec (Functor.map mk) <$> x) = mk x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
r p : ℝ
hp : 0 ≤ p


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: el : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).equivFin

Context: es : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).equivFin

∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: es : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)

Context: es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)

Context: f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) t) < s.card % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: p : Finset α

Context: property✝ : p ∈ P.parts

(↑⟨p, property✝⟩).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) ⟨p, property✝⟩) < s.card % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: p : Finset α

Context: property✝ : p ∈ P.parts

p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(finSumFinEquiv (Sum.map (⇑el) (⇑es) ((Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm ⟨p, property✝⟩))) < s.card % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid

Context: compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B

∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: H₁ : ∀ (Q₁ Q₂ : DiscreteQuotient X), Q₁ ≤ Q₂ → Q₁.proj ⁻¹' {Qs Q₁} ⊆ Q₂.proj ⁻¹' {Qs Q₂}


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ ⋂ Q, Q.proj ⁻¹' {Qs Q}


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)

Context: n : ℕ

Context: hn : upperCentralSeries (G ⧸ center G) n = ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)

Context: n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f (x ^ n)) a = cfc f (a ^ n)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F

eLpNorm f p μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: α : Type u_2

Context: f : M × ↥S → α

Context: wd : ∀ (p p' : M × ↥S), p ≈ p' → f p = f p'

Context: m : M

Context: s : ↥S


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℤ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℤ

Context: hf : GrowsPolynomially f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0

↑J⁻¹ = IsLocalization.coeSubmodule K ⊤ / ↑J


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ s t : Multiset α
i : α

(toDFinsupp (s ∩ t)) i = (toDFinsupp s ⊓ toDFinsupp t) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ

move Dir.left (mk' L R) = mk' L.tail (ListBlank.cons L.head R)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]


IsClosed {b | b ∈ closure (Set.range Int.cast)}


∀ (a : ℕ), ↑a ∈ closure (Set.range Int.cast)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s

Context: this : ν s ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s

Context: this : ν s ≠ ⊤

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: hf : f ⁻¹' {1} ⊆ s

Context: νf : r < ν (f ⁻¹' {1})


Context:
α : Type u_1
a : PosNum


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (x + ↑n) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop


∀ (a : α) (s : Multiset α), ((∀ x ∈ s, r x x) → Rel r s s) → (∀ x ∈ a ::ₘ s, r x x) → Rel r (a ::ₘ s) (a ::ₘ s)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T

∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x : T

Context: y : S

Context: s : ↥N

Context: eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x : T

Context: y : S

Context: s : ↥N

Context: z : R

Context: t : ↥M

Context: eq₂ : y * (algebraMap R S) ↑(z, t).2 = (algebraMap R S) (z, t).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x : T

Context: y : S

Context: s : ↥N

Context: z : R

Context: t : ↥M

Context: z' : R

Context: t' : ↥M

Context: eq₃ : ↑s * (algebraMap R S) ↑(z', t').2 = (algebraMap R S) (z', t').1


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n

Context: h₁ : (mk₀ biprod.inl).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inl).comp β ⋯

Context: h₂ : (mk₀ biprod.inr).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inr).comp β ⋯

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n

Context: h₂ : ((mk₀ biprod.inr).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inr).comp β ⋯).hom

Context: h₁ : ((mk₀ biprod.inl).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inl).comp β ⋯).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n

Context: h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom

Context: h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n

BinaryCofan.inl ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ α.hom = BinaryCofan.inl ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ β.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n

BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ α.hom = BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ β.hom


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: n : ℕ

Context: l : List α

Context: h : l.Nodup

Context: this : Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) l.sublists'


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f

(imageMonoIsoSource f).hom ≫ f = image.ι f


(imageMonoIsoSource f).hom ≫ (imageMonoIsoSource f).inv ≫ image.ι f = image.ι f


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
H : ∀ (a : α), a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))


∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s t : Set γ
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ

HomologicalComplex.ExactAt (ofComplex Z) (n + 1)


(HomologicalComplex.sc' (ofComplex Z) (n + 1 + 1) (n + 1) n).Exact


(ShortComplex.mk ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1 + 1) (n + 1)) ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1) n) ⋯).Exact


(ShortComplex.mk (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) (n + 1)).g (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g ⋯).Exact


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: H : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁

Context: hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁

∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' ↑s')), ↑r • x ∈ M'


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑s'


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑s'

↑⟨(fun x => x ^ N) r, ⋯⟩ • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩) • ↑⟨r, hr⟩ ^ n₁ ⟨r, hr⟩ • x


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝ : Module R M'✝

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: x : M

Context: s' : Finset R

Context: hs₁ : ↑s' ⊆ s

Context: hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ

Context: N : ℕ := s'.attach.sup n₁

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑s'

r ^ N • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩ + n₁ ⟨r, hr⟩) • x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: A : C

Context: hg : S.g = 0

Context: φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt

Context: hφ : φ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι h.ι ⋯) = 𝟙 h.Q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
hφ : φ ≫ h.ι = 𝟙 h.Q


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ p : ℕ
hn : Squarefree 0


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n
hn' : n ≠ 0


Context: s : Finset ℕ

Context: m n✝ p✝ n p : ℕ

Context: hn : ∀ (x : ℕ), multiplicity x n ≤ 1 ∨ IsUnit x

Context: hn' : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t✝ : ι → α
a b : α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β


sSup (g ∘ f '' t) = sSup ((fun b => g (f b)) '' t)


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : f x ∈ lowerBounds (range f)


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : ∀ (i : β), f x ≤ f i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
hf : f =ᶠ[ae μ] 0


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ closedBall b r


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ ≤ r


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y : α

colimit (pair x y) = Finset.univ.sup (pair x y).obj


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊

Context: ht : t ∈ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: ht : ∃ a b c, (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a b ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a c ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj b c ∧ t = {a, b, c}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: X' : Finset α

Context: hX' : X' ∈ P.parts

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ X'

Context: zZ : z ∈ Z

Context: nXZ : X' ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) X' Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity X' Z)

Context: Y' : Finset α

Context: hY' : Y' ∈ P.parts

Context: Z' : Finset α

Context: hZ' : Z' ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y'

Context: zZ' : z ∈ Z'

Context: nYZ : Y' ≠ Z'

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: Y' : Finset α

Context: hY' : Y' ∈ P.parts

Context: Z' : Finset α

Context: hZ' : Z' ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y'

Context: zZ' : z ∈ Z'

Context: nYZ : Y' ≠ Z'

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: Z' : Finset α

Context: hZ' : Z' ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z'

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: nYZ : Y ≠ Z'

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z'

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z')