Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
h₁ : ↑n.succ ≠ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
h₁ : ↑n.succ ≠ 1
h₂ : ↑n.succ ≠ 0
h₃ : ↑n.factorial * ↑n ≠ 0
h₄ : ↑n.succ - 1 = ↑n

(↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)

Cofix.corec (g ∘ f) x₀ = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x₀)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: X Y : Type u

Context: x₀ : X

Context: f : X → Y

Context: g : Y → F (α ::: X)

Context: R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

Context: a b : Cofix F α

Context: x : X

Context: Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x

Context: Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: X Y : Type u

Context: x₀ : X

Context: f : X → Y

Context: g : Y → F (α ::: X)

Context: a b : Cofix F α

Context: x : X

Context: Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (g ∘ f)) <$$> g (f x)) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g)) <$$> (TypeVec.id ::: f) <$$> g (f x))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: X Y : Type u

Context: x₀ : X

Context: f : X → Y

Context: g : Y → F (α ::: X)

Context: a b : Cofix F α

Context: x : X

Context: Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (g ∘ f)) <$$> g (f x)) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) ∘ f) <$$> g (f x))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: X Y : Type u

Context: x₀ : X

Context: f : X → Y

Context: g : Y → F (α ::: X)

Context: a b : Cofix F α

Context: x : X

Context: Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x

∀ (x : X), R (Cofix.corec (g ∘ f) x) ((Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) ∘ f) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N

Associated (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e'))


∀ (x : M), (f ∘ₗ ↑e) x = (f ∘ₗ ↑e') ((e ≪≫ₗ e'.symm) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N
x : M

(f ∘ₗ ↑e) x = (f ∘ₗ ↑e') ((e ≪≫ₗ e'.symm) x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι

(algebraMap R S) (((restrictScalars R b).repr m) i) = (b.repr ↑m) i


Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr = (↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i x✝ : ι

(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr) ((restrictScalars R b) x✝) = ((↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))) ((restrictScalars R b) x✝)


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)


eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) p (μ.restrict s) ≤ eLpNorm (↑↑f) p μ


eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) p (μ.restrict s) = eLpNorm (↑↑f) p (μ.restrict s)


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : 0 < l.cyclicPermutations.length


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x : A

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((algebraMap A S) x) = (algebraMap A S') x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: ht : t ∈ 𝓝 x

MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x


Context: y : ℝ

Tendsto (fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 0)


Context: y : ℝ

Context: this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))


Context: y : ℝ

Tendsto (rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 (1 + 0))


Context: y : ℝ

(fun x => 1 + y / x) =ᶠ[atTop] rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x


Context: y : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx₀ : 0 < x

Context: hxy : -y < x

1 + y / x = (rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: hx1 : ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = (c • ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) x

Context: hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x

Context: hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x

Context: hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x

↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x


Context: k n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y = 𝟙 (pullback (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)))


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R

↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) = 2


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) ≠ 2


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
S✝ T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : Submodule R S
y : S
hx : x ∈ nonZeroDivisors S

(∃ a ∈ ↑p, (DistribMulAction.toLinearMap R S x) a = x * y) ↔ y ∈ p


Context:
t : ℝ
ht : |t| ≤ 1
x : ℝ


Context:
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionSemiring R
q : ℚ≥0
f : R[X]


Context: z w : ℂ

cos z = w ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0


Context: z w : ℂ

cos z - w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0


Context: z w : ℂ


Context: z w : ℂ

cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1


Context:
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)


Context: a✝ b✝ c d m n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: P : ℕ → ℕ → Prop

Context: ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)

Context: hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)

Context: hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)

Context: a b : ℕ

Context: h : a + 1 < b + 1


Context: a✝ b✝ c d m n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: P : ℕ → ℕ → Prop

Context: ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)

Context: hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)

Context: a b : ℕ

Context: h : a + 1 < b + 1


Context: a✝ b✝ c d m n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: P : ℕ → ℕ → Prop

Context: ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)

Context: hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)

Context: a b : ℕ

Context: h : a + 1 < b + 1

Context: x✝ : a + (b + 1) < a + 1 + (b + 1)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : Mul R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : ExistsAddOfLE R
S : R
pS : isSumSq S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
hA : A.IsHermitian


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.222391, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology

opcyclesMap φ ≫ S.descOpcycles k hk = S₁.descOpcycles (φ.τ₂ ≫ k) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: a : α

ContinuousWithinAt f {a}ᶜ a ↔ ContinuousAt f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: c d : β

Context: h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d

Context: this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)

Context: hab : Finite a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: c d : β

Context: h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d

Context: hab : Finite a b

↑((multiplicity a b).get ⋯) ≤ multiplicity c d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: c d : β

Context: h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d

Context: hab : ¬Finite a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: c d : β

Context: h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d

Context: this✝ : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)

Context: hab : ¬Finite a b

Context: this : ∀ (n : ℕ), c ^ n ∣ d


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α

Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)


Tendsto ((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Finite ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : MulAction A M
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
r : R
x : M


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i j : ι
w : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i : ι

(e ≫ f).f i = (((dNext i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (prevD i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (e ≫ g).f i


Context: α : Type u_1

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n

Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) (Nat.bit b n) = ↑(Nat.bit b n)


Context: α : Type u_1

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

(bif b then Num.bit1 else Num.bit0) ↑n = ↑(Nat.bit b n)


Context: α : Type u_1

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

(bif false then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝

(formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = next (Quot.mk Setoid.r a✝) h x hx


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
x : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R

(p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (eval r q)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hy : IsFixedPt f y


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context:
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M

Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)


Context:
κ✝ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M
κ : Type uM
b : Basis κ R M


Context: a : Rat


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
hi : Std.IdempotentOp op

fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op

fold op b f (image g ∅) = fold op b (f ∘ g) ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: op : β → β → β

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : γ → α

Context: hi : Std.IdempotentOp op

Context: x : γ

Context: xs : Finset γ

Context: hx : x ∉ xs

Context: ih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f ∘ g) xs

fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f ∘ g) (cons x xs hx)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'

⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ = ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆


⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ ≤ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆


⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ

eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: H : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : α → H

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp1 : p ≠ 0

Context: hp2 : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: H : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : α → H

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp1 : p ≠ 0

Context: hp2 : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

(∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: H : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : α → H

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp1 : p ≠ 0

Context: hp2 : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

(∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: H : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : α → H

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp1 : p ≠ 0

Context: hp2 : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: H : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : α → H

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp1 : p ≠ 0

Context: hp2 : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ


Context: a b c x : ℕ


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E

(algebraMap E K₃) (((ψ.restrictNormal E).comp (ϕ.restrictNormal E)) x✝) = (algebraMap E K₃) (((ψ.comp ϕ).restrictNormal E) x✝)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S


K.toSubalgebra = (adjoin F S).toSubalgebra


Algebra.adjoin F S = (adjoin F S).toSubalgebra


∀ x ∈ Algebra.adjoin F S, x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
x : E

x ∈ Algebra.adjoin F S → x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Iic a = Ici (a / c)


Context:
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

op (⋯.functor.obj (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U)))))) = (Opens.map (D.f i k).base).op.obj (op (⋯.functor.obj U))


op { carrier := ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ } = op { carrier := ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ }


⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ } = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }


invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

Context: this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i j).c.app U = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i k).c.app U ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

Context: this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

(D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = ((D.f i j).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

(D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (D.f i j).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 U) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

(D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).op.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).op.map (eqToHom ⋯)) ≫ eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

(D.V (i, k)).presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).op.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).op.map (eqToHom ⋯)) ≫ eqToHom ⋯) = 𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i k).base).obj (D.V (i, k)).presheaf).obj (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

𝟙 ((D.V (i, k)).presheaf.obj (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))))) = 𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i k).base).obj (D.V (i, k)).presheaf).obj (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : E → F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hg : HasFTaylorSeriesUpToOn n g q s

HasFTaylorSeriesUpToOn n (f + g) (p + q) s


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: k n : ℕ

Context: f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G

Context: C : ℝ

Context: H : ∀ (m : Fin n → G), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : Fin n, ‖m i‖

Context: v : Fin k → G

‖(f.restr s hk z) v‖ ≤ C * ‖z‖ ^ (n - k) * ∏ i : Fin k, ‖v i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: k n : ℕ

Context: f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G

Context: C : ℝ

Context: v : Fin k → G

‖(f.restr s hk z) v‖ ≤ C * ((∏ i : Fin k, ‖v i‖) * ‖z‖ ^ (n - k))


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: k n : ℕ

Context: f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G

Context: C : ℝ

Context: v : Fin k → G

(∏ i : Fin k, ‖v i‖) * ‖z‖ ^ (n - k) = ∏ i : Fin n, ‖if h : i ∈ s then v ((s.orderIsoOfFin hk).symm ⟨i, h⟩) else z‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: k n : ℕ

Context: f : MultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G

Context: C : ℝ

Context: v : Fin k → G

(∏ i : { x // x ∈ s }, ‖v ((s.orderIsoOfFin hk).symm i)‖) * ‖z‖ ^ (n - k) = (∏ a : { a // a ∈ s }, ‖v ((s.orderIsoOfFin hk).symm ⟨↑a, ⋯⟩)‖) * ‖z‖ ^ (n - k)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I✝ J : Box ι
i : ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
g : M →+ N
I : Box ι
hI : ↑I ≤ I₀
π : Prepartition I
hπ : π.IsPartition

∑ Ji ∈ π.boxes, (⇑g ∘ ⇑f) Ji = (⇑g ∘ ⇑f) I


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (riemannZeta s))


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n))


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a

(f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: h0 : μ t ≠ 0

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ht : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: h0 : μ (toMeasurable μ t) ≠ 0

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: h0' : ¬μ (toMeasurable μ t)ᶜ = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M

(p.toDualRight.symm.dualMap (p.toDualLeft x)) f = ((Dual.eval R M) x) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t : Set α
a✝ a : α
s : Set α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero N
n : N
i : ι
a : η i
j : ι
b : η j
h : ¬i = j

((sigmaFinsuppEquivDFinsupp (single ⟨i, a⟩ n)) j) b = ((DFinsupp.single ⟨i, a⟩.fst (single ⟨i, a⟩.snd n)) j) b


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero N
n : N
i : ι
a : η i
j : ι
b : η j
h : ¬i = j
H : ⟨i, a⟩ ≠ ⟨j, b⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α

IsClosed s ↔ IsLowerSet s ∧ DirSupClosed s


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f g : ℕ → ℕ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop

∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), ((u ∘ f ∘ φ) n, (u ∘ g ∘ φ) n) ∈ V n


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
f g : ℕ → ℕ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → V

LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (Fin.init v) ∧ v (Fin.last n) ∉ span K (range (Fin.init v))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x


Context:
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f


Context: τ : ℍ

jacobiTheta ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = jacobiTheta ↑τ


Context: τ : ℍ


Context: τ : ℍ

Context: this : ModularGroup.T ^ 2 = ModularGroup.T ^ 2


Context: τ : ℍ

↑↑2 + ↑τ = 2 + ↑τ


Context: b n : ℕ


Context:
b n : ℕ
hb : b ≤ 1


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β

eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
t : γ


(ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q

Context: z : Q


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: y : P

Context: s : M

Context: hs : s ∈ ↑S


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: s : M

Context: hs : s ∈ ↑S

Context: x : M

∃ a, (f.map ⋯ k) a = k.mk' (g x) ⟨g s, ⋯⟩


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: s : M

Context: hs : s ∈ ↑S

Context: x : M

(f.map ⋯ k) (f.mk' x ⟨s, hs⟩) = k.mk' (g x) ⟨g s, ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Infinite α

Context: K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Infinite α


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
S : Set ι
s : ι → Set α
hc : S.Countable
hs : ⋃ i ∈ S, s i = univ

μ = ν ↔ ∀ i ∈ S, μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E

Tendsto (fun c => c • (f (x + c⁻¹ • v) - f x)) atTop (𝓝 (f' v))


∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ ‖a‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hF : IsClosed F
h : F =ᶠ[ae μ] univ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
a b : G

(fun a => single a 1) (a * b) = (fun a => single a 1) a * (fun a => single a 1) b


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃

(ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).g' ≫ φ.τ₃ = h.g'


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
x✝ : ↑(P.obj X)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)

∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: C : ClassGroup (𝓞 K)

Context: J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ∈ ↑↑J

Context: h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: C : ClassGroup (𝓞 K)

Context: J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ∈ ↑↑J

Context: I₀ : Ideal (𝓞 K)

Context: hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: C : ClassGroup (𝓞 K)

Context: J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ∈ ↑↑J

Context: I₀ : Ideal (𝓞 K)

Context: hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀

Context: this : I₀ ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: C : ClassGroup (𝓞 K)

Context: J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ∈ ↑↑J

Context: I₀ : Ideal (𝓞 K)

Context: hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀

Context: this : I₀ ≠ 0

Context: I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ := ⟨I₀, ⋯⟩


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0

(W.preΨ n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: h : IsCoprime (X ^ n - 1) (C ↑n * X ^ (n - 1))

Context: hn' : ↑n = 0


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn' : ↑n = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s : Multiset ι
f : ι → R[X]

derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

derivative (Multiset.map f (i ::ₘ s)).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) (i ::ₘ s)).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

(Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

(Multiset.map (HMul.hMul (f i)) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s)).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

(Multiset.map (fun x => f i * ((Multiset.map f (s.erase x)).prod * derivative (f x))) s).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

f i * ((Multiset.map f (s.erase j)).prod * derivative (f j)) = (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase j)).prod * derivative (f j)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

(Multiset.map f (i ::ₘ s.erase j)).prod * derivative (f j) = (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase j)).prod * derivative (f j)


Context:
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
s : Set ↑Γ(X, U)

X.zeroLocus s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(nilradical ↑Γ(X, U))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α

s.card * t.card ≤ (s \\ t).card * (t \\ s).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: s t : Finset α

Context: this : ∀ (s t : Finset α), map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } (s \\ t) = map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } s \\ map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ⊆ t \ s
hs₁fin : s₁.Finite
hs₁card : s₁.ncard = k - s.ncard


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : IsCompact s

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s

Context: H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : IsCompact s

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: M : LipschitzWith 1 Subtype.val


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : IsCompact s

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: M : LipschitzWith 1 Subtype.val

Context: F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : IsCompact s

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: M : LipschitzWith 1 Subtype.val


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : IsCompact s

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: M : LipschitzWith 1 Subtype.val

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : f ∈ A


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T25Space X
x y : X
h : x ≠ y

∃ u, x ∈ u ∧ IsOpen u ∧ ∃ v, y ∈ v ∧ IsOpen v ∧ Disjoint (closure u) (closure v)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

dist (mk { re := 0, im := z.im } ⋯) (mk { re := 0, im := w.im } ⋯) ≤ dist z w


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

2 * arsinh (dist ↑(mk { re := 0, im := z.im } ⋯) ↑(mk { re := 0, im := w.im } ⋯) / (2 * √((mk { re := 0, im := z.im } ⋯).im * (mk { re := 0, im := w.im } ⋯).im))) ≤ 2 * arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

2 * arsinh (dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } / (2 * √(z.im * w.im))) ≤ 2 * arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } ≤ dist ↑z ↑w


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ = √(re ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ

∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α) (t r : ℝ), t ∈ Ioc 0 K → r ≤ R → μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ

Context: Rpos : R ∈ Ioi 0

Context: hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ

Context: Rpos : R ∈ Ioi 0

Context: x : α

Context: t r : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioc 0 K

Context: hr : r ≤ R

μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ

Context: Rpos : R ∈ Ioi 0

Context: x : α

Context: t r : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioc 0 K

Context: hr : r ≤ R

Context: rneg : r < 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ

Context: Rpos : R ∈ Ioi 0

Context: x : α

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioc 0 K

Context: hr : 0 ≤ R

μ (closedBall x (t * 0)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ

Context: Rpos : R ∈ Ioi 0

Context: x : α

Context: t r : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioc 0 K

Context: hr : r ≤ R

Context: rpos : 0 < r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_bot : f a = ⊥
x : α
p : β


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : N
n : M

(((TensorProduct.mk R N M).compr₂ (rTensor M (g ∘ₗ f))) m) n = (((TensorProduct.mk R N M).compr₂ (rTensor M g ∘ₗ rTensor M f)) m) n


Context:
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : x < 0

arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π


Context:
x y : ℝ
h : 1 < -x * -y
hx : x < 0


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < -x * -y

Context: hx : x < 0

Context: k : arctan (-x) + arctan (-y) = arctan ((-x + -y) / (1 - -x * -y)) + π


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < -x * -y

Context: hx : x < 0

Context: k : -(arctan (-x) + arctan (-y)) = -(arctan (-((x + y) / (1 - x * y))) + π)


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < -x * -y

Context: hx : x < 0

Context: k : arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) - π


Context:
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
h : k + 2 ≤ n


Context:
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
h : k + 2 ≤ n

(n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

fderivWithin 𝕜 (fun y => -f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x


¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: n : ℕ

Context: hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm

Context: hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: n : ℕ

Context: hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm

Context: hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

Context: hδ : eLpNorm (s.indicator (g (hn.some i))) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: n : ℕ

Context: hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm

Context: hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

Context: hδ : eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ


({Finsupp.single s 1}.sup fun s => s.sum fun x e => e) = 1


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedField k
abv : R → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
h : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → R
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop

Tendsto (fun x => abv (eval (z x) p)) l atTop


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (uIcc (f i) (g i)).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(uIcc f g).card = ∏ i ∈ (f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support, (uIcc (f i) (g i)).card


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} E
G : D ⥤ E


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C

∀ {F G : C ⥤ D}, (F ≅ G) → P.map F = P.map G


∀ {F G : C ⥤ D}, (F ≅ G) → P.map F ≤ P.map G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a : α

∀ᵐ (x : β) ∂ρ.fst a, κ (a, x) = ρ.condKernel (a, x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a✝ : α

Context: a : β

Context: h1 : ρ.condKernel (a✝, a) = (ρ a✝).condKernel a

Context: h2 : κ (a✝, a) = (ρ a✝).condKernel a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P

AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃] ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}


¬Collinear k (Set.range ![p₁, p₂, p₃]) ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ

AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) s).prod) μ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: i : G'

Context: hi : i ∈ f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: i : G'

Context: hi : i ∈ f.range

Context: h0 : ¬i = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: i : G'

Context: hi : i ∈ Set.range ↑f

Context: h0 : ¬i = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: i : G'

Context: hi : i ∈ Set.range ↑f

Context: h0 : ¬i = 0

Context: y : α

Context: hy : ↑f y = i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis R S
y : S
a✝ : Nontrivial S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis R S
y : S
a✝ : Nontrivial S
f : R[X]
left✝ : f.natDegree < pb.dim
hf : y = (aeval pb.gen) f


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
y : E
hy : y ∈ interior t

∃ e, ⇑e '' interior s = interior t ∧ ⇑e '' closure s = closure t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : T1Space E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ t✝ s t : Set E

Context: hsc : Convex ℝ s

Context: hsb : IsVonNBounded ℝ s

Context: hst : Convex ℝ t

Context: htb : IsVonNBounded ℝ t

Context: x : E

Context: hx : x ∈ interior s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ interior t

Context: h : E ≃ₜ E := gaugeRescaleHomeomorph (-x +ᵥ s) (-y +ᵥ t) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f : ↥(Lp E p μ)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

eval₂ f g (p + q) = eval₂ f g p + eval₂ f g q


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'

HasStrictFDerivAt (fun y => c y * d) (d • c') x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ → ℕ → α
h : Primrec (Nat.unpaired f)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
n : ℕ
Y : ComposableArrows D n


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
n : ℕ
Y : ComposableArrows D n
this : L.EssSurj


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
S : Set L
inst✝ : Finite ↑S
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: S : Set L

Context: inst✝ : Finite ↑S

Context: hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x

Context: this : ∀ (x : ↑S), FiniteDimensional K ↥K⟮↑x⟯


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: b✝ b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: b✝ b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: b✝ b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0

∃ m v, LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) ∧ m ≠ 0


LinearIndependent R (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩)


∀ (g : Fin 1 → R), ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0 → ∀ (i : Fin 1), g i = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: b✝ b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: g : Fin 1 → R

Context: sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0

Context: val✝ : ℕ

Context: hi : val✝ < 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: b✝ b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: g : Fin 1 → R

Context: val✝ : ℕ

Context: hi : val✝ < 1

Context: sum_eq : g 0 • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) 0 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α

Nat.card ↑(s ∪ t) ≤ Nat.card ↑s + Nat.card ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
h : Finite ↑(s ∪ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
h : Infinite ↑(s ∪ t)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

IsCompl s.direction (mk' p s.directionᗮ).direction


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

w.IsReal ↔ ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


w.IsReal → ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ComplexEmbedding.IsReal φ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s


Context:
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε ≠ 0
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδ : ∑' (i : ℕ), δ i < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε ≠ 0

Context: δ : ℕ → ℝ≥0∞

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: hδ : ∑' (i : ℕ), δ i < ε

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, (∀ (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ + δ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
h' : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E) ∧ IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s

DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
x : E
hx : x ∈ s

ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: f' : E → E →L[𝕜] F

Context: hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x

Context: hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

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Context: 𝕜 : Type u

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Context: E : Type uE

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Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

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Context: o : Set E

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Context: y : E

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Context: 𝕜 : Type u

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Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

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Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

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Context: n : ℕ

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Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set E

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Context: hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x

Context: o : Set E

Context: o_open : IsOpen o

Context: xo : x ∈ o

Context: ho : s ∩ o ⊆ u

Context: this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x

Context: this : s ∩ o ∈ 𝓝[s] x

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s ∩ o

Context: A : fderivWithin 𝕜 f (s ∩ o) y = f' y


Context:
G✝ : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : α
h : a ∈ t
ht : IsOpen t
hs : s ∈ 𝓝 (π a)

π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι

b.dualBasis.toDual ∘ₗ b.toDual = Dual.eval R M


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι

((b.dualBasis.toDual ∘ₗ b.toDual) (b i)) (b.dualBasis j) = ((Dual.eval R M) (b i)) (b.dualBasis j)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F


Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ

(mk φ).embedding = φ ∨ (mk φ).embedding = ComplexEmbedding.conjugate φ


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α
i : Fin (n.succ - 1)


Context:
c : Code
v : List ℕ

eval (TM2.step tr) (init c v) = halt <$> c.eval v


Context: c : Code

Context: v : List ℕ

Context: i : Cfg'

Context: h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i

Context: h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i