Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u

{ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)


⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑(𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)) ∘ FreeAlgebra.ι R


FreeAlgebra.ι R ∘ 𝟙 X = ⇑(𝟙 (mk (FreeAlgebra R X))) ∘ FreeAlgebra.ι R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (f✝ ≫ g✝) = { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝


⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (f✝ ≫ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝) ∘ FreeAlgebra.ι R


FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝) = ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝

(FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = (⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝


(FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = ((⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝


FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = ((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) (((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝)) (FreeAlgebra.ι R x✝))


FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝) (f✝ x✝)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁴ : Semifield R

Context: inst✝²³ : StarRing R

Context: inst✝²² : MetricSpace R

Context: inst✝²¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁹ : Field S

Context: inst✝¹⁸ : StarRing S

Context: inst✝¹⁷ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁵ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : Module S A

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Module R A

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁴ : StarModule R S

Context: inst✝³ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝² : CompleteSpace R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: h0 : p 0

Context: h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(σₙ S a)

Context: a : A

Context: ha : p a

∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), σₙ R (φ f) = range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ R a), R)₀), p (φ f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁴ : Semifield R

Context: inst✝²³ : StarRing R

Context: inst✝²² : MetricSpace R

Context: inst✝²¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁹ : Field S

Context: inst✝¹⁸ : StarRing S

Context: inst✝¹⁷ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁵ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : Module S A

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Module R A

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁴ : StarModule R S

Context: inst✝³ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝² : CompleteSpace R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁴ : Semifield R

Context: inst✝²³ : StarRing R

Context: inst✝²² : MetricSpace R

Context: inst✝²¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁹ : Field S

Context: inst✝¹⁸ : StarRing S

Context: inst✝¹⁷ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁵ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : Module S A

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Module R A

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁴ : StarModule R S

Context: inst✝³ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝² : CompleteSpace R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁴ : Semifield R

Context: inst✝²³ : StarRing R

Context: inst✝²² : MetricSpace R

Context: inst✝²¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁹ : Field S

Context: inst✝¹⁸ : StarRing S

Context: inst✝¹⁷ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁵ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : Module S A

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Module R A

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁴ : StarModule R S

Context: inst✝³ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝² : CompleteSpace R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

∀ (f_1 : C(↑(σₙ R a), R)₀), σₙ R ((nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) f_1) = range ⇑f_1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁴ : Semifield R

Context: inst✝²³ : StarRing R

Context: inst✝²² : MetricSpace R

Context: inst✝²¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁹ : Field S

Context: inst✝¹⁸ : StarRing S

Context: inst✝¹⁷ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁵ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : Module S A

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Module R A

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁴ : StarModule R S

Context: inst✝³ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝² : CompleteSpace R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

∀ (f_1 : C(↑(σₙ R a), R)₀), p ((nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom ⋯) ⋯) f_1)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace X

t₁ = t₂ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s ↔ IsClosed s


(∀ (x : Set X), IsOpen xᶜ ↔ IsOpen xᶜ) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s ↔ IsClosed s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ n

(weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
X Y : C
inst✝ : Projective Y
n : ℕ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
V : Set (α × α)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

Context: m : Finset (Associates M)

Context: hm : ∀ r ∈ m, r ≤ q


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K

(M ^ Fintype.card K).charpoly = M.charpoly


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : Nonempty n


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : IsEmpty n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x

Context: n : N


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set (Subfield K)
x : K

x ∈ (sInf s).toSubring ↔ x ∈ ⨅ t ∈ s, t.toSubring


(∀ p ∈ s, x ∈ p) ↔ x ∈ ⨅ t ∈ s, t.toSubring


(∀ p ∈ s, x ∈ p) ↔ ∀ p ∈ Set.range fun t => ⨅ (_ : t ∈ s), t.toSubring, x ∈ p


Context:
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
A : Type u_4
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra k A
inst✝² : AddMonoid G₁
inst✝¹ : AddMonoid G₂
inst✝ : AddMonoid G₃
f : G₁ →+ G₂
g : G₂ →+ G₃
x✝ : A[G₁]

(mapDomainAlgHom k A (g.comp f)) x✝ = ((mapDomainAlgHom k A g).comp (mapDomainAlgHom k A f)) x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E

x +ᵥ r • closedBall 0 1 = closedBall x r


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L

φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ E.hom.app G.right


φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ (((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.left ≫ E'.hom).app G.right


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X

PerfectSpace X ↔ ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
s : β → Set α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ ≤ ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ


∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂sum fun i => μ.restrict (s i)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k : ℕ
m : ℕ+
inst✝ : ExpChar R p
ζ : Rˣ

ζ ∈ rootsOfUnity (⟨p, ⋯⟩ ^ k * m) R ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k l : ℕ

Context: s : Finset (Fin (k + l))

Context: hs : s.card = l

Context: hkl : n ≤ k + l


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s → U ⊆ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ((1 / 2) ^ e)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (1 / 2) ^ n < R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : PartialOrder M
v w : VectorMeasure α M
j : Set α
a✝ : MeasurableSet j


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: γ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)

Context: a✝ : (i : ι) × α i

Context: b✝ : (i : ι) × β i

Context: h : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄ ⦃b : β i⦄, f a b ⊆ g a b

Context: a : (i : ι) × α i

Context: b : (i : ι) × β i

Context: x : Sigma γ

Context: hx : x ∈ sigmaLift f a b


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: γ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: a✝ : (i : ι) × α i

Context: b✝ : (i : ι) × β i

Context: a : (i : ι) × α i

Context: b : (i : ι) × β i

Context: x : Sigma γ

Context: hx : ∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)

∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ g (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

‖f - g‖ = (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ).toReal


(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(f - g) a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ).toReal


∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(f - g) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ


(fun a => ↑‖↑↑(f - g) a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝

↑‖↑↑(f - g) a✝‖₊ = ↑‖↑↑f a✝ - ↑↑g a✝‖₊


Context:
a b : ℤ
h : a < b

↑(Fintype.card ↑(Set.Ioo a b)) = b - a - 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n✝ : ℕ
z : ℤ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom M = T
x : R
y : ↥M

(ringEquivOfRingEquiv S Q j H) (mk' S x y) = mk' Q (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a b : R
H : (C R) a = (C R) b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: a b : R

Context: H : (C R) a = (C R) b

Context: this : (coeff R 0) ((C R) a) = (coeff R 0) ((C R) b)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

blockDiagonal' (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal' M + blockDiagonal' N) i✝ j✝


(if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) + N i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) + if h : i✝.fst = j✝.fst then N i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i k : ι
inst✝ : K.HasHomology i
h : K.d i (c.next i) = 0


Context:
f✝ f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f


Context:
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)
x : ℝ

f.measure (Ici x) = ofReal (l - leftLim (↑f) x)


Tendsto (fun x_1 => f.measure (Ico x x_1)) atTop (𝓝 (ofReal (l - leftLim (↑f) x)))


Tendsto (fun x_1 => ofReal (leftLim (↑f) x_1 - leftLim (↑f) x)) atTop (𝓝 (ofReal (l - leftLim (↑f) x)))


Context: f : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)

Context: x : ℝ

Context: h_le1 : ∀ (x : ℝ), ↑f (x - 1) ≤ leftLim (↑f) x


Context: f : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)

Context: x : ℝ

Context: h_le2 : ∀ (x : ℝ), leftLim (↑f) x ≤ ↑f x


Context: f : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)

Context: x : ℝ


Context: f : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hf : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 l)

Context: x : ℝ

∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a - 1


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: ha : a < 0

Context: h : 1 < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0
mem₀ : f 0 ∈ closure (f '' Ioi 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
K : ConvexCone ℝ H
hc : IsClosed ↑K
x : H
hx : x ∈ ↑K
f : ℝ → H := fun x_1 => x_1 • x
fI : f '' Ioi 0 ⊆ ↑K
clf : closure (f '' Ioi 0) ⊆ ↑K
fc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0) 0
mem₀ : f 0 ∈ closure (f '' Ioi 0)
f₀ : f 0 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∑' (n : ↑t), f ↑n ∈ Metric.ball 0 ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ‖∑' (n : ↑t), f ↑n‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : N.primesBelow ≤ s

‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : N.primesBelow ≤ s

Context: this : ‖∑' (n : ↑((factoredNumbers s)ᶜ \ {0})), f ↑n‖ < ε


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


Context: l r : List Char

Context: h : ValidFor l r { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }

{ s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.remainingToString = { data := r }


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: h : b < a

Context: hc : c < 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d✝ : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: h : b < a

Context: hc : c < 0

Context: d : α

Context: hcd : 0 = c + d


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v y < v x


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v y < v x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t✝ : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: g' : G → G'

Context: g : F → G

Context: t : Set F

Context: u : Set G

Context: hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: h2g : MapsTo g t u

Context: h2f : MapsTo f s t

Context: hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

Context: hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)

Context: hg' : DifferentiableWithinAt 𝕜 g' u (g (f x))

fderivWithin 𝕜 (g' ∘ g ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 g' u (g (f x))).comp ((fderivWithin 𝕜 g t (f x)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x))


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ

((expand R p) f).coeff n = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0


(f.sum fun e a => C a * (X ^ p) ^ e).coeff n = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0


(∑ x ∈ f.support, if p * x = n then f.coeff x else 0) = if p ∣ n then f.coeff (n / p) else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f ∧ MeasurableSpace.comap f inst✝¹ = inst✝² ∧ MeasurableSet (range f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖x‖ / (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

(dNext k₁) hom + (prevD k₁) hom = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁ + hom k₁ k₂ ≫ D.d k₂ k₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : Fact (1 < n)


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i j : n

(diagonal v).adjugate i j = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i j


((diagonal v).updateColumn j (Pi.single i 1)).det = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i j


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i : n

((diagonal v).updateColumn i (Pi.single i 1)).det = diagonal (fun i => ∏ j ∈ univ.erase i, v j) i i


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
v : n → α
i j : n
hij : i ≠ j


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν

(fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν


Measurable fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x) ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν


∫⁻ (a : β), (map f μ).rnDeriv (map f ν) a ∂map f (ν.restrict s) = μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
hs_eq : s = f ⁻¹' (f '' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
hs_eq : s = f ⁻¹' (f '' s)
this : SigmaFinite (map f ν)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

triangleRemovalBound ε * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3 < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x : α
l : List α
h : (x :: l).Nodup
n : ℕ

((x :: l).formPerm ^ n) x = (x :: l).get ⟨n % (x :: l).length, ⋯⟩


Context:
m n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }

(finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯


Context:
m n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }

some ((finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (f + single a b)

Context: s : Finset α

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: s✝ : Finset α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: ih : ∀ (f : α →₀ M), f.support = s → p f

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = cons a s has


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: s✝ : Finset α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = cons a s has


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f

s.card ≤ (s.biUnion f).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card


(filter (fun a => ¬f a = ∅) s).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card ≤ (s.biUnion f).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)

Context: h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval β h = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval β h = 0

Context: h_splits : Splits ιEE' h


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval β h = 0

Context: h_splits : Splits ιEE' h

Context: h_roots : ∀ x ∈ (Polynomial.map ιEE' h).roots, x = ιEE' β


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: c : F

Context: γ : E := α + c • β

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval β h = 0

Context: h_splits : Splits ιEE' h

Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = h


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K

∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p / ↑(p - 1)! < 1


∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ

Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: n : ℕ

μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n] =ᶠ[ae μ] μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: n : ℕ

Context: x : Ω

Context: hxeq : (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x

(μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ ((colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j


((colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : PartialOrder α✝

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : BooleanAlgebra α

Context: inst✝ : IsAtomic α

Context: x y : α

Context: h : ∀ (a : α), IsAtom a → (a ≤ x ↔ a ≤ y)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one))


((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)


(((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ ((M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)


((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)


((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)


(λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)


(λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)


((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0

map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose = ⋯.choose


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
i : ℕ

(map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose).coeff i = ⋯.choose.coeff i


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ ⊥.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S

mk' f (m₁ + m₂) s = mk' f m₁ s + mk' f m₂ s


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
s t : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α

TotallyBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

∃ t, t.Finite ∧ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: t : ι → Set α

Context: htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite

Context: ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: t : ι → Set α

Context: htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite

⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ ⋃ i, t i, {x | (x, y) ∈ U}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: t : ι → Set α

Context: htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite

⋃ i, s i ⊆ ⋃ i, ⋃ x ∈ t i, {x_1 | (x_1, x) ∈ U}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α →ₘ[μ] E


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2

⟨(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩), ⋯⟩ = ⟨List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩), ⋯⟩


(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)


(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if i < j then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : i < j then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTopology α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : eval₂ f s p = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: f : R →+* S

Context: hinj : Function.Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: f : R →+* S

Context: hinj : Function.Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : p.content ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: f : R →+* S

Context: hinj : Function.Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : f p.content ≠ f 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: f : R →+* S

Context: hinj : Function.Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : f p.content ≠ 0


Context:
z : ℂ
n✝ n : ℕ


Context:
z : ℂ
n✝ n : ℕ

(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n


Context: z : ℂ

Context: n✝ n : ℕ

Context: L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)


Context: z : ℂ

Context: n✝ n : ℕ

Context: R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π


Context: z : ℂ

Context: n✝ n : ℕ


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
h : p.1 = q.1


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p.1 + p.2 = n
hq : q.1 + q.2 = n
h : p.1 = q.1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x : L
x✝ : ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)

↑(((toEnd R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) x✝) = ↑(((shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)) x✝)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
N : ι
hN : b < u N


Context: a b P Q : Prop


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf✝ : ContractingWith K f

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: n : ℕ

Context: hf : ContractingWith K f^[n]

Context: x : α := fixedPoint f^[n] hf

Context: hx : f^[n] x = x

Context: this : dist (f^[n] x) (f^[n] (f x)) ≤ ↑K * dist x (f x)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x)


dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) → IsFixedPt f x


¬IsFixedPt f x → ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : ¬IsFixedPt f x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this✝ : ¬IsFixedPt f x
this : 0 < dist x (f x)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R

p ∈ support R A ↔ p ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(RingHom.ker (algebraMap R A))


(∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0) ↔ RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
x✝ : ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
x : R
hx : x ∈ RingHom.ker (algebraMap R A)
m : A
hm : ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
hx' : x ∉ p.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: p✝ : PrimeSpectrum R

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: p : PrimeSpectrum R

Context: H : RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal

Context: r : R

Context: hr : r ∉ p.asIdeal

Context: e : r • 1 = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
a' : α
ha' : a' ≥ a
ha'' : b' ≤ u a'


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

x ∈ range (inl R M M₂) ↔ x ∈ ker (snd R M M₂)


(∃ y, (inl R M M₂) y = x) ↔ (snd R M M₂) x = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α

(∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) a < ε


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero R
inst✝ : StarMul R
U₁ U₂ : ↥(unitary R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
f : α → β
hf : Continuous f


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K

x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ x✝ ∈ A


x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ A.valuation x✝ ≤ 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M' : Matroid α
h : M ≤r M'
h' : M' ≤r M


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι

a • f.f i = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i


a • ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i) = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i


a • (C.dFrom i ≫ h.hom (c.next i) i + h.hom i (c.prev i) ≫ D.dTo i + g.f i) = C.dFrom i ≫ (a • h.hom (c.next i) i) + (a • h.hom i (c.prev i)) ≫ D.dTo i + a • g.f i


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)


∀ a ∈ I, ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I

((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range


IsIntegral A (((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a)


IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap ((algebraMap B L) b)) a)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E

ContDiffOn ℝ ⊤ (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}


ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) x)) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}


ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 1 - ((innerSL ℝ) v) x) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}


∀ x ∈ {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}, 1 - ((innerSL ℝ) v) x ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ

|↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0


Splits (algebraMap F (X ^ n - C x).SplittingField) (X ^ n - 1)


IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F (X ^ n - 1).SplittingField) (X ^ n - C x)).Gal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
inst✝ : BooleanAlgebra α
S : Set α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f volume

HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, f (x + ↑n)) (∫ (x : ℝ), f x)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Independent p

Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

LinearMap.ker ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) = ⊥


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

∀ (m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0 → m = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: i : ι

((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i m) = ↑(-m i)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) = 𝟙 (((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj (mappingCone φ)).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = 𝟙 (H.obj ((mappingCone φ).X n))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = H.map (𝟙 ((mappingCone φ).X n))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n = 𝟙 ((mappingCone φ).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) ≫ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

(aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p 0) = 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

(fderivWithin 𝕜 f₁ s x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b c x : R
h : a * x * x + b * x + c = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
a : α
b : β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → Submodule R M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ⨆ i, p i

Context: this : span R {m} ≤ ⨆ i, p i → ∃ s, span R {m} ≤ ⨆ i ∈ s, p i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → Submodule R M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ⨆ i, p i

Context: this : m ∈ ⨆ i, p i → ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ p : P

midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p) + ⅟2 • (p₂ -ᵥ p)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'

A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ J.IsAdjointPair J₂ A₁ A₁


(∃ y, ((toLinearMap₂' R) J).IsPairSelfAdjoint ((toLinearMap₂' R) J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁) ↔ J.IsAdjointPair J₂ A₁ A₁


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ

Measure.map (fun x => y + x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ

Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ

(fun x => ‖cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)‖) =o[atTop] fun x => x ^ s


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s x : ℝ

‖cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)‖ = rexp (a.re * x ^ 2 + b.re * x)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y✝ : E
h : IsLocalMin f a
hf : HasFDerivAt f f' a
y : E


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h : ¬Fintype.card n = 0
mon : (∏ i : n, (X - C (M i i))).Monic


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

Context: mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).Monic


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

Context: mon : (∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly + M.charpoly).leadingCoeff = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly).degree < M.charpoly.degree


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(∏ i : n, (X - C (M i i)) - M.charpoly).degree < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(-(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)))).degree < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
f : α → β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
s : Set α
x : F

(weightedSMul μ s) (c • x) = c • (weightedSMul μ s) x


Context: a b c : Ordinal.{u_1}

Context: ba : b + a = a

Context: l : c.IsLimit

Context: IH : ∀ c' < c, (a + b) * succ c' = a * succ c' + b

Context: c' : Ordinal.{u_1}

Context: h : c' < c


Context: a b c : Ordinal.{u_1}

Context: ba : b + a = a

Context: l : c.IsLimit

Context: c' : Ordinal.{u_1}

Context: h : c' < c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R


x ∈ (skewAdjoint R).carrier ↔ star x = -x


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

IsIso (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

∀ (S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ) (f : S ⟶ T), IsIso ((J.diagram P (unop X)).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : S ⟶ T


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : S ⟶ T

Context: this : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: ho : lift.{v, u} o.card < c


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖


‖y‖ * ‖y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpaceable E

Context: y z : E

Context: h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context:
α : Type u
β : Type v
a : α
l : List α

(a :: l).eraseIdx 0 = a :: l ↔ (a :: l).length ≤ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
s : Set Z
h : MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
s : Set Z
h : MeasurableSet (f ⁻¹' s)
τ : TopologicalSpace Z
left✝¹ : SecondCountableTopology Z
left✝ : T4Space Z
right✝ : OpensMeasurableSpace Z


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_subset : B ⊆ (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ)ᶜ ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

1 - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: Tc_mble : MeasurableSet (thickening ε.toReal B)ᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: h : μ (thickening ε.toReal B)ᶜ ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: h : 1 - μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: almost : 1 - μ (thickening ε.toReal B) + μ (thickening ε.toReal B) ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + ε + μ (thickening ε.toReal B)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: almost : 1 ≤ ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + (ε + μ (thickening ε.toReal B))


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) + (ε + μ (thickening ε.toReal B)) - ν (thickening ε.toReal (thickening ε.toReal B)ᶜ) ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Continuous g
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
x : α
hx : f x = mk f hf x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : IsCoprime x z


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime y x
H2 : IsCoprime z x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y✝ : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x : E

Context: y : F

Context: h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ 𝓒 u v s

Context: ha : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: ha : a ∉ s


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂


¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
hb : b₁ < b₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: n : ℕ

Context: this : (L.op.mapComposableArrows n).EssSurj


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: n : ℕ

Context: this✝ : (L.op.mapComposableArrows n).EssSurj

Context: this : (L.mapComposableArrows n ⋙ (opEquivalence D n).functor.rightOp).EssSurj


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

Context: I : Set ((i : ι) × α i)

Context: hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → (Matroid.sigma M).Indep J


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

Context: I : Set ((i : ι) × α i)

Context: hI : ∀ J ⊆ I, J.Finite → ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' J)

∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

Context: I : Set ((i : ι) × α i)

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

Context: I : Set ((i : ι) × α i)

Context: i : ι

∀ J ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' I, J.Finite → (M i).Indep J


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

Context: I : Set ((i : ι) × α i)

Context: i : ι

Context: J : Set (α i)

Context: hJI : J ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' I

Context: hJ : J.Finite


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Monoid S
inst✝³² : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid M
inst✝²⁹ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁶ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₃
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝²³ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace N₂
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁰ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁷ : Module R N₃
inst✝¹⁶ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹⁵ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹⁴ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S N₃
inst✝¹² : SMulCommClass R S N₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁹ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁷ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝⁶ : DistribMulAction S N₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R S N₂
inst✝³ : SMulCommClass R₂ R₂ M₂
inst✝² : SMulCommClass R₃ R₃ M₃
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul R₃ M₃
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
c : R₂
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M

(h.comp (c • f)) x = (σ₂₃ c • h.comp f) x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
S : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid S
inst✝ : DistribMulAction S M
x y : M
a : S
hx : a • x = 0
b : S
hy : b • y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.lcm = s.lcm
h : a ∈ s

fold GCDMonoid.lcm 1 s = GCDMonoid.lcm a (fold GCDMonoid.lcm 1 s)


GCDMonoid.lcm a (fold GCDMonoid.lcm 1 (s.erase a)) = GCDMonoid.lcm (normalize a) (fold GCDMonoid.lcm 1 (s.erase a))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Subalgebra.map (↑(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm) (adjoin K {α}) = Subalgebra.map ↑(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts = ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts.sup id = ⊥
b : α
hb : b ∈ P.parts


Context:
n : ℕ
hn : n % 4 = 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∉ lowerClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a