Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

Context: this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g (x - a))) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

Integrable (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * ⨆ i, ‖g i‖) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousAt (fun x => (L (f a)) (g (x - a))) x₀


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
g✝ : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n' m : ℕ

Context: s : Sym α n

Context: a b : α

Context: m₁ m₂ : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)

Context: h : ↑m₁.snd = ↑m₂.snd


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯


(LeftFraction₂.mk α.f 0 α.s ⋯).add.map L ⋯ = α.map L ⋯


L.map 0 = (LeftFraction₂.mk α.f 0 α.s ⋯).snd.map L ⋯


(LeftFraction.mk (α.f + 0) α.s ⋯).map L ⋯ = α.map L ⋯


Context:
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ lim)
j : J
k : K

(limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫ limit.π (uncurry.obj F) (j, k) = limit.π (F ⋙ lim) j ≫ limit.π (F.obj j) k


(limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ (limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫ limit.π (uncurry.obj F) (j, k) = (limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ limit.π (F ⋙ lim) j ≫ limit.π (F.obj j) k


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0

Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (map f p).roots


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)

(∀ a ∈ p, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → p.prod = q.prod → p = q


∀ (s : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod = q.prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s = q


∀ (s s_1 : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1, Irreducible a) → (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1 = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p q : Multiset (Associates α)

Context: s t : Multiset α

Context: hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a

Context: ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a

Context: eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod

Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p q : Multiset (Associates α)

Context: s t : Multiset α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p q : Multiset (Associates α)

Context: s t : Multiset α

Context: eq' : Quot.mk Setoid.r = Associates.mk


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
y : R[X]

(Y - C y).natDegree < W.polynomial.natDegree


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ

∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)


∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑p.succ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

Context: f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n + 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

Context: hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

Context: hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0

Context: h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

Context: hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0

Context: h2 : f 1 + ↑n ^ p.succ = 1 / 2 * ↑n ^ p.succ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

Context: hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0

Context: this : ∑ i ∈ range p, bernoulli (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2) = ∑ i ∈ range p, bernoulli' (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t

IsTopologicalBasis ((fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t)


∀ u ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, IsOpen u


∀ (a : α ⊕ β) (u : Set (α ⊕ β)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
p q : ℤ
hpq : p + 0 = q


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
q : ℤ
hpq : q + 0 = q


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t

⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a) ≤ ⨅ a ∈ t, ker (lapply a)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s

comap (lsingle a₁) (⨅ a ∈ t, ker (lapply a)) = ⊤


∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ⊤ → ∀ i ∈ t, (lapply i ∘ₗ lsingle a₁) x = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
this : a₁ ≠ a₂


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hn : 2 < n


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hn : 2 < n
this : NumberField K


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
f : R⟦X⟧
inst✝ : Invertible f


Context:
x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : A
p : R[X]

(aeval ((algebraMap A B) x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)


Tendsto (fun n => ↑(harmonic n) - log ↑n) atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)


eulerMascheroniSeq' =ᶠ[atTop] fun n => ↑(harmonic n) - log ↑n


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0

eulerMascheroniSeq' n = ↑(harmonic n) - log ↑n


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f

∀ {g : α → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * s.indicator fun x => c) a ∂μ


∀ ⦃f_1 g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (a : α), f_1 a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * f_1) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), (f_1 + g) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * (f_1 + g)) a ∂μ


∀ ⦃f_1 : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f_1 n)) → Monotone f_1 → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f_1 n a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * f_1 n) a ∂μ) → ∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, f_1 n x) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * fun x => ⨆ n, f_1 n x) a ∂μ


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_5
E : α → Sort u_4

IsEmpty (PSigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)


Context: g : SL(2, ℤ)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source

(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e x)


(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (b : Y) in map (↑e) (𝓝[s] x), p b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData

leftRightHomologyComparison' h.left h.right = h.iso.hom


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsAtomistic αᵒᵈ
b : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsCoatomistic α
b : αᵒᵈ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree

(h.basis.repr x) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i


(Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom x).toFinsupp ⋯) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : y ∈ ⋂ i, f '' s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : ∀ (i : ι), ∃ x ∈ s i, f x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ ⋃ j, s j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a⁻¹ * b = 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq m
a : α

MulOpposite.op a • 1 = diagonal fun x => a


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.74494, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ

objD X n = (AlternatingFaceMapComplex.objD ((cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj (op X)) n).unop


∑ i : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑i • X.δ i = ∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • (((cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj (op X)).δ x).unop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'

Context: f : α → E

Context: hc0 : ¬c = 0

setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hc0 : ¬c = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hc0 : ¬c = 0

μ = c⁻¹ • c • μ


Context:
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀


Context:
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀
f : α ≃ ULift.{u, 0} ℕ


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

(↑t).Pairwise (IsCoprime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : QuasiMeasurePreserving f μa μb


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

(bind₁ verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n) = if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1)


∀ (x : ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n)) = (MvPolynomial.eval x) (if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1))


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix m n α
h : IsUnit A.det


Context:
a : EReal
h₁ : a ≠ ⊥
h₂ : a ≠ ⊤
h₃ : a ≠ 0


Context:
a : EReal
h₁ : a ≠ ⊥
h₂ : a ≠ ⊤
h₃ : ↑a.toReal ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a b : α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ A₃ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝² : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝¹ : Mono g
h : A₃ ⟶ B
inst✝ : Mono h
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ mk h

ofMkLEMk f g h₁ ≫ ofMkLEMk g h h₂ = ofMkLEMk f h ⋯


(underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso h).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso h).hom


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

comap f₁ q ⊓ comap f₂ q ≤ comap (f₁ + f₂) q


∀ ⦃x : M⦄, x ∈ comap f₁ q ⊓ comap f₂ q → x ∈ comap (f₁ + f₂) q


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f₁ f₂ : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
m : M
h : f₁ m ∈ q ∧ f₂ m ∈ q


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
n : ℕ
hn : 1 ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t

ρ s ≤ ↑t * (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: A : ρ (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {0})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: B : ρ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' {⊤})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: C : ∀ (n : ℤ), ρ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1))) ≤ (t • ν) (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m < n

Disjoint (disjointed f m) (disjointed f n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
m n✝ : ℕ
h : m < n✝ + 1

Disjoint (disjointed f m) (disjointed f (n✝ + 1))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p b : P

(s.weightedVSubOfPoint (fun x => p) b) w = (∑ i ∈ s, w i) • (p -ᵥ b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : Fintype.card α < 2 * orderOf σ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
hn : Odd n

commProb (DihedralGroup n) = (↑n + 3) / (4 * ↑n)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X

∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2
hac : a < c
hcb : c < b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: hd : Disjoint (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c) (⇑g ⁻¹' {b})


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dg0 : EqOn (⇑dg) (Function.const Y 0) (range e ∪ ⇑g ⁻¹' Iic c)

Context: dgb : EqOn (⇑dg) (Function.const Y (b - c)) (⇑g ⁻¹' {b})

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x

Context: y : Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x

Context: y : Y

Context: hyb : (g - dg) y < b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x

Context: y : Y

Context: hyb : (g - dg) y < b

Context: xu : X

Context: hyxu : (g - dg) y < f xu

Context: right✝ : f xu ≤ b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x

Context: y : Y

Context: hyb : (g - dg) y < b

Context: xu : X

Context: hyxu : (g - dg) y < f xu

Context: right✝ : f xu ≤ b

Context: hc : c < g y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormalSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: inhabited_h : Inhabited X

Context: a : ℝ

Context: ha : IsGLB (range ⇑f) a

Context: b : ℝ

Context: hb : IsLUB (range ⇑f) b

Context: hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: hlt : a < b

Context: c : ℝ := (a + b) / 2

Context: hac : a < c

Context: hcb : c < b

Context: hsub : c - a = b - c

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: xl : Y → X

Context: hxl : ∀ (y : Y), f (xl y) ≤ g y

Context: hgb : ∀ (y : Y), g y ≤ b

Context: hb' : ¬∃ x, f x = b

Context: dg : Y →ᵇ ℝ

Context: dgmem : ∀ (x : Y), dg x ∈ Icc 0 (b - c)

Context: hgf : ∀ (x : X), (g - dg) (e x) = f x

Context: y : Y

Context: hyb : (g - dg) y < b

Context: xu : X

Context: hyxu : (g - dg) y < f xu

Context: right✝ : f xu ≤ b

Context: hc : g y ≤ c


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
m n : ℕ+
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : ι → Set α
x : β


(∃ x_1 x_2, x_1 ∈ s x_2 ∧ f x_1 = x) ↔ ∃ i, ∃ x_1 ∈ s i, f x_1 = x


Context: n m b : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝² : Nonempty β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : β → α
a : α

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ioi ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, dist (u n) a < ε


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A✝ B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A✝
A X : C
inst✝ : Exponentiable A

curry (𝟙 (A ⨯ (𝟭 C).obj X)) = (exp.coev A).app X


(exp.coev A).app ((𝟭 C).obj X) ≫ 𝟙 (A ⟹ A ⨯ (𝟭 C).obj X) = (exp.coev A).app X


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : Dial C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂

π(prod.map π₁ π₁ ≫ π(π₁, prod.map f₁.f (𝟙 Z₁.tgt) ≫ g₁.F) ≫ f₁.F, prod.map π₂ π₂ ≫ π(π₁, prod.map f₂.f (𝟙 Z₂.tgt) ≫ g₂.F) ≫ f₂.F) = π(π(π₁ ≫ π₁, prod.map (π₁ ≫ f₁.f) π₁ ≫ g₁.F) ≫ f₁.F, π(π₁ ≫ π₂, prod.map (π₂ ≫ f₂.f) π₂ ≫ g₂.F) ≫ f₂.F)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
T : C
hT : IsTerminal T
F : Sheaf J D

(constantSheafAdj J D hT).counit.app F = (presheafToSheaf J D).map ((constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app F


((constantSheafAdj J D hT).counit.app F).val = ((presheafToSheaf J D).map ((constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app F).val


toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (((sheafSections J D).obj (op T)).obj F)) ≫ ((constantSheafAdj J D hT).counit.app F).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (((sheafSections J D).obj (op T)).obj F)) ≫ ((presheafToSheaf J D).map ((constantPresheafAdj D hT).counit.app F.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app F).val


toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op T))) ≫ 𝟙 ((presheafToSheaf J D).obj ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op T)))).val ≫ sheafifyLift J { app := fun x => F.val.map (hT.from (unop x)).op, naturality := ⋯ } ⋯ = { app := fun x => F.val.map (hT.from (unop x)).op, naturality := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y

(leftDualIso p p).hom = (Iso.refl X).hom


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : NoMinOrder α
b : α
h : IsPredLimit (pred b)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y

XYIdeal W x (C (W.negY x y)) * XYIdeal W x (C y) = XIdeal W x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

Context: Y_rw : (Y - C (C y)) * (Y - C (C (W.negY x y))) - C (X - C x) * (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y) = W.polynomial * 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

span {(mk W) (C (X - C x))} * span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y)), (mk W) (Y - C (C (W.negY x y))), (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y)} = XIdeal W x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y)), (mk W) (Y - C (C (W.negY x y))), (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y)} = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

Ideal.map (mk W) (span {C (X - C x), Y - C (C y), Y - C (C (W.negY x y)), C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y}) = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

Ideal.map (mk W) (span {C (X - C x), Y - C (C y), Y - C (C (W.negY x y)), C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y}) = Ideal.map (mk W) ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

span {C (X - C x), Y - C (C y), Y - C (C (W.negY x y)), C (X ^ 2 + C (x + W.a₂) * X + C (x ^ 2 + W.a₂ * x + W.a₄)) - C (C W.a₁) * Y} = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

Context: hx : W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x y : F

Context: h : W.Nonsingular x y

Context: hy : 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
n : ℕ


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)

Context: F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk

Context: this : F = Discrete.functor F'


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

Context: t₁' : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

Context: j : Fin n

(α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) ≫ c₂.inr = c.ι.app { as := j.succ } ≫ i


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

(Discrete.natTrans fun i => α.app { as := i.as.succ }) ≫ c₁.ι = (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯).ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin n))).map (pullback.fst c₂.inr i)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

∀ (j : Discrete (Fin n)), IsPullback ((Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯).ι.app j) ((Discrete.natTrans fun i => α.app { as := i.as.succ }).app j) (pullback.fst c₂.inr i) (c₁.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

Context: H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

Context: t₂' : Nonempty (IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

mapPair (α.app { as := 0 }) (pullback.fst c₂.inr i) ≫ c₂.ι = (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map i


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F = Discrete.functor F'

∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)).ι.app j) ((mapPair (α.app { as := 0 }) (pullback.fst c₂.inr i)).app j) i (c₂.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F' : Fin (n + 1) → C

Context: c : Cocone (Discrete.functor F')

Context: α : Discrete.functor F' ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i))

Context: j : Fin (n + 1)

Fin.cases (c.ι.app { as := 0 }) (fun i_1 => pullback.lift (α.app { as := i_1.succ } ≫ c₁.inj i_1) (c.ι.app { as := i_1.succ }) ⋯ ≫ pullback.snd c₂.inr i) { as := j }.as ≫ 𝟙 c.pt = c.ι.app { as := j }


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: F' : Fin (n + 1) → C

Context: c : Cocone (Discrete.functor F')

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : Fin (n + 1)

Fin.cases (c.ι.app { as := 0 }) (fun i => c.ι.app { as := i.succ }) j = c.ι.app { as := j }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }

Context: this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ α
hn : n ≠ 0
m : ℤ

n • b - n • a = m • n • p ↔ b - a = m • p


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: x : CliffordAlgebra Q

(changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: r : R

(changeForm h') ((changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = (changeForm ⋯) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : (changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x

Context: hy : (changeForm h') ((changeForm h) y) = (changeForm ⋯) y

(changeForm h') ((changeForm h) (x + y)) = (changeForm ⋯) (x + y)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (changeForm h') ((changeForm h) m) = (changeForm ⋯) m

(changeForm h') ((changeForm h) ((ι Q) x * m)) = (changeForm ⋯) ((ι Q) x * m)


Context:
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (move₂ p k₁ k₂ q), var := s, stk := S } { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }


TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr (Λ'.push k₁ id (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q))) o (update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)))) { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }


TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) (bif o.isSome then { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev))) k₁ (o.iget :: update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) k₁) } else { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) }) { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ ((match (motive := Option Γ' → (List Γ' → List Γ') → (Γ' → List Γ' → List Γ') → List Γ' → List Γ') o, id, List.cons with | some x, x_1, f => f x | none, y, x => y) L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
a : A
M : Matrix n n A

invFun R A n (a • M) = a ⊗ₜ[R] 1 * invFun R A n M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s

DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hg : DifferentiableOn 𝕜 g s

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

finsuppTensorFinsuppRid R R ι κ = finsuppTensorFinsupp' R ι κ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
hf : MonotoneOn f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: sz : Nat

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: buckets : Buckets α β

Context: H : buckets.WF

Context: x✝³ : AssocList α β

Context: x✝² : x✝³ ∈ (Buckets.mk (buckets.val.size * 2) ⋯).val.data

Context: x✝¹ : α × β

Context: x✝ : x✝¹ ∈ x✝³.toList

(fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat < 0) x✝¹.fst x✝¹.snd


Context:
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1

(fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)


Context:
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

map reverse l.inits = l.reverse.tails.reverse


map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse = l.reverse.tails.reverse


Context: n k : ℕ

n.choose (k + 1) * (k + 1) = n.choose k * (n - k)


Context: n k : ℕ

Context: e : (n + 1) * n.choose k = n.choose (k + 1) * (k + 1) + n.choose k * (k + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
h : ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k


(-mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) = mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)


(mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun j => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) j)) fun i => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)) = mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : CommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : SubmultiplicativeHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ

‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x


‖(map (algebraMap ℚ A) (minpoly ℚ x)).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

Context: h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B

Context: i : ℕ

Context: hx : IsIntegral ℚ x

Context: z : A

Context: hz : z ∈ (map (algebraMap ℚ A) (minpoly ℚ x)).roots


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x + y) y).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖


((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y‖ / ‖y + x‖


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
hbx : 0 < b.x
hby : 0 < b.y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
x✝ : E

x✝ ∈ extremePoints 𝕜 B → x✝ ∈ extremePoints 𝕜 A


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X

Nontrivial (OreLocalization S R) ↔ 0 ∉ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r


Context: m n : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
this : Fintype ↑s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A

↑(basicOpen 𝒜 (f * g)) = ↑(basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
d₁ d₂ : n → α
h : ∀ (i : n), d₁ i = d₂ i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : eLpNorm' f q μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → E

Context: hq0 : 0 ≤ q

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l ≫ (IsPullback.cone h).fst = 𝟙 X
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : (IsPullback.cone h).snd = a


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z✝ : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: h : IsKernelPair f a b

Context: inst✝ : IsIso a

Context: l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt

Context: h₁ : l = inv a

Context: h₂ : (IsPullback.cone h).snd = a

Context: Z : C

Context: l' : Z ⟶ (IsPullback.cone h).pt

Context: e : (l' ≫ (IsPullback.cone h).fst) ≫ f = (l' ≫ (IsPullback.cone h).snd) ≫ f

l' ≫ (IsPullback.cone h).fst = l' ≫ (IsPullback.cone h).snd


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0

(∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: q : ℕ


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: hq_le : q ≤ 1


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: hq1 : 1 < q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : DivisionSemiring α
h : Periodic f c
a : α


Context:
R : Type u_1
n k : ℕ

(pow (k + 1)) n = if k + 1 = 0 ∧ n = 0 then 0 else n ^ (k + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset β
f : α → β
hf : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn✝ : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }
hn : 2 ≤ l.attach.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f✝ : I → Type v
x y : (i : I) → f✝ i
i j : I
η : Type v
R : Type w
s : ι → η
inst✝ : MulOneClass R
f g : ι → R

{ toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun g


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

Y - (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = -Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f a p : K[X]

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Prime p

Context: ih : Splits (RingHom.id K) a → Splits i a

Context: hfi : Splits (RingHom.id K) (p * a)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
x : E
y : F

Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∀ x ∈ t, s ∈ 𝓝 x


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) w n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f) w n


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

(∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, IsBigOWith c l f g') ↔ ∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a✝ : α
hs : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hb : a ∈ s
habc : a * c = a * a


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Finset M
s : span R ↑w = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν

↑(nndist (∫ (x : α), f x ∂μ) (∫ (x : α), f x ∂(μ + ν))) ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν


↑‖∫ (x : α), f x ∂ν‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection S

‖x‖ ^ 2 = ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ ^ 2


‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ * ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ = ‖(orthogonalProjection S) x‖ * ‖(orthogonalProjection S) x‖ + ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖ * ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

(S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).obj S₁.X).d i j ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = ((S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ K[S₁.X].d i j ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j]))) ≫ Φ.f j


(S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).obj S₁.X).d i j ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = (S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ K[S₁.X].d i j ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j


((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j


∀ (A : Splitting.IndexSet (op [j])), (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝¹⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : Semiring R₁

Context: inst✝¹⁷ : Semiring S₁

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R₂

Context: inst✝¹⁵ : Semiring S₂

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹¹ : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁹ : Module R N₂

Context: inst✝⁸ : Module S₁ N₂

Context: inst✝⁷ : Module S₂ N₂

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂

Context: σ₁ : R₁ →+* S₁

Context: σ₂ : R₂ →+* S₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂

toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ ((toMatrix₂Aux R (fun i => (stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f) = f


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝¹⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : Semiring R₁

Context: inst✝¹⁷ : Semiring S₁

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R₂

Context: inst✝¹⁵ : Semiring S₂

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹¹ : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁹ : Module R N₂

Context: inst✝⁸ : Module S₁ N₂

Context: inst✝⁷ : Module S₂ N₂

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂

Context: σ₁ : R₁ →+* S₁

Context: σ₂ : R₂ →+* S₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: i : n

Context: j : m

((toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ ((toMatrix₂Aux R (fun i => (stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f)) ((Pi.basisFun R₁ n) i)) ((Pi.basisFun R₂ m) j) = (f ((Pi.basisFun R₁ n) i)) ((Pi.basisFun R₂ m) j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Icc a b
y : α
hy : y ∈ Icc a b
hxy : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), κ.compProdFun (η.seq n) a s


∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ∑' (n : ℕ), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => ((η.seq i) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) (κ a)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: x : A

x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (∅ ∪ star ∅) ↔ x = 0


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F


(ofPowerSeries ℤ F) ((PowerSeries.C F) r) = HahnSeries.C r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement {g} S
x : G
x✝ : x ∈ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: x : G

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: z : G

Context: h : IsComplement {z} S

Context: y : G

Context: property✝ : y ∈ S

Context: hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (⟨z, ⋯⟩, ⟨y, property✝⟩) = z * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b c x✝¹ : R
x✝ : c ∣ 0
H : c ∣ x✝¹


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a✝ b✝ c a b : R

Context: x✝ : a ≠ 0

Context: IH : c ∣ b % a → c ∣ a → c ∣ gcd (b % a) a

Context: ca : c ∣ a

Context: cb : c ∣ b


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a✝ b✝ c a b : R

Context: x✝ : a ≠ 0

Context: ca : c ∣ a

Context: cb : c ∣ b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)

Context: h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)


Context:
α : Type u_1
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
h : (ENNReal.ofReal a).toReal = a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
h : fract a = b

0 ≤ fract a ∧ fract a < 1 ∧ ∃ z, a - fract a = ↑z


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
h₀ : 0 ≤ b
h₁ : b < 1
z : ℤ
hz : a - b = ↑z


Context:
x y a : ℝ
ha : 0 < a

AntitoneOn (fun x => log x / x ^ a) {x | rexp (1 / a) ≤ x}


Context:
x y a : ℝ
ha : 0 < a

∀ ⦃a_1 : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ a_1 → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ b → a_1 ≤ b → log b / b ^ a ≤ log a_1 / a_1 ^ a


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y


log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log (x ^ 1) / x ^ a


log (y ^ a) / y ^ a ≤ log (x ^ a) / x ^ a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))


Context: m n : ℤ


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !(x || !y)) m n = Nat.bitwise (fun a b => a && !b) n m


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !(!x || y)) m n = Nat.bitwise (fun a b => a && !b) m n


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !(!x || !y)) m n = m &&& n


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : F ⟶ (const J).obj X
j j' : Jᵒᵖ
f : j ⟶ j'

(F.op ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => τ.app (unop j)) j) = (fun j => τ.app (unop j)) j'


Context:
n r : ℕ
hr : r ≤ n / 2


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n


Context:
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor [] r it


ValidFor [] r { s := { data := r }, i := 0 }


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : EMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
h : f x = f y


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
t✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
t' : TopologicalSpace β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
t : TopologicalSpace α
U : Set β


(∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ ⇑e.symm ⁻¹' t_1 = U) ↔ IsOpen (⇑e ⁻¹' U)


Context:
p : ℝ[X]
hp : Irreducible p


Context:
p : ℝ[X]
hp : Irreducible p
z : ℂ
hz : (aeval z) p = 0


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : α → F'

Context: this : Module ℝ (α → F') := Pi.module α (fun x => F') ℝ


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
Y X : C
c : Cocone (pair X Y)
hc : IsColimit c


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)
this : P = ⊤


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

(f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0


(f =o[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =o[l] f'


(f =o[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =o[l] f'


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite


∏ᶠ (i : α), g (∏ᶠ (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)


(mulSupport fun j => ∏ᶠ (_ : j ∈ s), f j).Finite


Context:
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: hP : IsLocalAtTarget P

Context: X Y U✝ V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: ι : Sort u_1

Context: U : ι → Y.Opens

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)

Context: i : ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackCover f).J

P ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackHom f i)


Context:
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι

P ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackHom f ⟨U i, ⋯⟩)


P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).map ⟨U i, ⋯⟩))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s


∏ m_1 ∈ m.toFinset, m_1 ^ count m_1 m = ∏ i ∈ s, i ^ count i m


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m.toFinset


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ

(toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n


(toMultiset 0).prod = prod 0 fun a n => a ^ n


∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → ((toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n) → (toMultiset (single a b + f)).prod = (single a b + f).prod fun a n => a ^ n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hnp : 0 < p.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hnp : 0 < p.natDegree

Context: this : q.natDegree = (p ^ (q.natDegree + 1) * r).natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: hp : 0 < p.degree

Context: hmp : p.Monic

Context: hq : q ≠ 0

Context: zn0 : 0 ≠ 1

Context: x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: hnp : 0 < p.natDegree

Context: this : q.natDegree = q.natDegree * p.natDegree + (1 * p.natDegree + r.natDegree)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

map (Embedding.subtype p) univ = filter p univ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ

(p * (X + ↑n)).comp q = p.comp q * (q + ↑n)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t