Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra F K

Context: inst✝⁹ : Algebra F E

Context: inst✝⁸ : Algebra K E

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower F K E

Context: A₁ : Type u_4

Context: B₁ : Type u_5

Context: A₂ : Type u_6

Context: B₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field A₁

Context: inst✝⁵ : Field B₁

Context: inst✝⁴ : Field A₂

Context: inst✝³ : Field B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁

Context: this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra F K

Context: inst✝⁹ : Algebra F E

Context: inst✝⁸ : Algebra K E

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower F K E

Context: A₁ : Type u_4

Context: B₁ : Type u_5

Context: A₂ : Type u_6

Context: B₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field A₁

Context: inst✝⁵ : Field B₁

Context: inst✝⁴ : Field A₂

Context: inst✝³ : Field B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁

Context: this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

Context: e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra F K

Context: inst✝⁹ : Algebra F E

Context: inst✝⁸ : Algebra K E

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower F K E

Context: A₁ : Type u_4

Context: B₁ : Type u_5

Context: A₂ : Type u_6

Context: B₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field A₁

Context: inst✝⁵ : Field B₁

Context: inst✝⁴ : Field A₂

Context: inst✝³ : Field B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁

Context: this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

Context: this : Algebra.IsSeparable A₂ B₁


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosMono α γ
b : β
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 ≤ f b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

toIcoMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ico a (a + p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

(𝓝 0).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformAddGroup F

(Filter.comap toUniformOnFun (𝓝 (toUniformOnFun 0))).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformAddGroup F

DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {s | IsVonNBounded 𝕜 s}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s

∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : ∃ i, ↑i ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ∧ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
t : Finset E
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
ht₃ : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: t : Finset E

Context: ht₁ : ↑t ⊆ s

Context: ht₂ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val

Context: ht₃ : ∃ w, (∀ y ∈ t, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t, w y = 1 ∧ t.centerMass w id = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t


Pairwise (AEDisjoint μ on fun b => bif b then s else t)


∀ (i : Bool), NullMeasurableSet (bif i then s else t) μ


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - (cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k : ℕ
x y : α
hx : x ∈ take k l
hy : y ∈ drop k l


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k : ℕ
x : α
hx : x ∈ take k l
iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l
ix : ℕ
hix : ix < (take k l).length
hx : (take k l)[ix] ∈ take k l


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
h : Sorted r l
k iy : ℕ
hiy : iy < (drop k l).length
hy : (drop k l)[iy] ∈ drop k l
ix : ℕ
hix✝ : ix < (take k l).length
hix : ix < min k l.length
hx : (take k l)[ix] ∈ take k l


Context:
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddAbove s


sSup s = ↑((Classical.choose h2).greatestOfBdd ⋯ h1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
n : Fin 2

(CoordinateRing.basis W) n = (AdjoinRoot.powerBasis' ⋯).gen ^ ↑n


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
p : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)

StronglyMeasurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: this : Continuous (Function.uncurry g)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
h : a = b * c


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0

0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂)


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
d₂0 : 0 < ↑d₂


0 ≤ n₁ → 0 ≤ n₂ → 0 ≤ n₁ * n₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M


Context:
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha_pos : a ≠ 0

Context: hb_pos : b ≠ 0

Context: dfac : ℕ →₀ ℕ := a.factorization ⊓ b.factorization

Context: d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1

(a.gcd b).factorization = a.factorization ⊓ b.factorization


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha_pos : a ≠ 0

Context: hb_pos : b ≠ 0

Context: d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1

Context: dfac_prime : ∀ p ∈ dfac.support, Prime p


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha_pos : a ≠ 0

Context: hb_pos : b ≠ 0

Context: d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1

Context: h1 : d.factorization = dfac


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha_pos : a ≠ 0

Context: hb_pos : b ≠ 0

Context: d : ℕ := dfac.prod fun x x_1 => x ^ x_1

Context: h1 : d.factorization = dfac

Context: hd_pos : d ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hr : ¬r = 0

padicNorm p (q / r) * padicNorm p r = padicNorm p q


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K

0 ≤ ↑q ↔ 0 ≤ q


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)

finrank K ↥W + finrank K ↥(dualCoannihilator W) = finrank K V


finrank K ↥W + finrank K ↥(dualAnnihilator W) = finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K (Module.Dual K V)

Context: equiv : (Module.Dual K V ⧸ W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W) := W.quotEquivAnnihilator


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K (Module.Dual K V)

Context: eq : finrank K (Module.Dual K V ⧸ W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
X Y : C


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} D

Context: I J : HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: this : Zero.zero ≫ Zero.zero = Zero.zero


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} D

Context: I J : HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: that : Zero.zero ≫ Zero.zero = Zero.zero


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum
h : m = n


Context: α : Type u_1

Context: m n : PosNum

Context: h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n

Context: d : ℕ

Context: IH : ∀ m < d, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card

(filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: IH : ∀ m < 0, m ∣ Fintype.card α → 0 < (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card → (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = φ m

Context: hd : 0 ∣ Fintype.card α

Context: hpos : 0 < (filter (fun a => orderOf a = 0) univ).card

(filter (fun a => orderOf a = 0) univ).card = φ 0


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hd0 : d ≠ 0


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hd0 : d ≠ 0

Context: a : α

Context: ha' : a ∈ filter (fun a => orderOf a = d) univ


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hd0 : d ≠ 0

Context: a : α

Context: ha : orderOf a = d


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hd0 : d ≠ 0

Context: a : α

Context: ha : orderOf a = d

Context: h1 : ∑ m ∈ d.properDivisors, (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = ∑ m ∈ d.properDivisors, φ m


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: hd0 : d ≠ 0

Context: a : α

Context: ha : orderOf a = d

Context: h2 : ∑ m ∈ d.divisors, (filter (fun a => orderOf a = m) univ).card = ∑ m ∈ d.divisors, φ m


Context: m n k : ℕ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ

k ∈ (m i j).support → k ∈ (matPolyEquiv m).support


k ∉ (matPolyEquiv m).support → k ∉ (m i j).support


(matPolyEquiv m).coeff k = 0 → (m i j).coeff k = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
i j : n
k : ℕ
hk : (matPolyEquiv m).coeff k = 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : HasSum f a
b : α


Context:
f✝ f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially (-f)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs_m : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ

μ.restrict s[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] μ[f|m]


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

s.indicator (μ.restrict s[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

s.indicator (μ.restrict s[f|m]) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m]


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → IntegrableOn (s.indicator (μ.restrict s[f|m])) s_1 μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, s.indicator (μ.restrict s[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, s.indicator f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

AEStronglyMeasurable' m (s.indicator (μ.restrict s[f|m])) μ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x
hlt : ∃ c ∈ Icc a b, f c < g c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x


(volume.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g✝ : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x

Context: hlt : (volume.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g✝ : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x

Context: h_eq : f =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc a b))] g


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g✝ : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hle : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x

Context: h_eq : f =ᶠ[ae (volume.restrict (Icc a b))] g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
S : Set (Set E)
hS : ∀ s ∈ S, StarConvex 𝕜 x s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b + a) (c + a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X


Context: s : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x

HasStrictDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
c : R
h : c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X

pathComponentIn x univ = pathComponent x


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf✝ hf : IsGroupHom f
a : α


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀

x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft M₀) ↔ x ∈ {x | x ≠ 0}


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : ∀ (a : M₀), x = 0 → a = 0


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : x = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X : C

Triangle.mk 0 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X : C

Triangle.mk 0 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) ≅ (Triangle.mk 0 (𝟙 ((shiftFunctor C 1).obj X)) 0).invRotate


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x y : α

(𝓝 (x, y)).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel s) fun s => ball x s ×ˢ ball y s


(𝓝 x ×ˢ 𝓝 y).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel s) fun s => ball x s ×ˢ ball y s


∀ {i j : Set (α × α)}, i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i → j ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel j → ∃ k, (k ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel k) ∧ ball x k ⊆ ball x i ∧ ball y k ⊆ ball y j


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x y : α
U V : Set (α × α)
U_in : U ∈ 𝓤 α
U_symm : SymmetricRel U
V_in : V ∈ 𝓤 α
V_symm : SymmetricRel V

∃ k, (k ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel k) ∧ ball x k ⊆ ball x U ∧ ball y k ⊆ ball y V


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
v : Option α → M
f : Option α →₀ R

(Finsupp.total (Option α) M R v) f = f none • v none + (Finsupp.total α M R (v ∘ Option.some)) f.some


(f none • v none + f.some.sum fun a r => r • v (Option.some a)) = f none • v none + f.some.sum fun i a => a • (v ∘ Option.some) i


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℤ

a ^ (n % ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b)) • b = a ^ n • b


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝ : B
f : B →ₐ[A] B'
hf : Injective ⇑f
x : B


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝¹ : B
f : B →ₐ[A] B'
hf : Injective ⇑f
x : B
x✝ : IsIntegral A x

⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B') (f x) x_1 = 0) ⋯ = ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) x✝


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ℕ → R
g : ℕ → M
m n : ℕ
hmn : m < n

∑ i ∈ Ico m n, f i • g i = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

f m • g m + ∑ k ∈ Ico (m + 1) n, f k • g k = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

f m • g m + ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

f m • g m + (∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h₄ : ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

f m • g m + (f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: this : ∀ (i : ℕ), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i - f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = -((f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

f m • g m + (f (n - 1) • (range n).sum g - (f m • ∑ x ∈ range m, g x + f m • g m) + -∑ x ∈ Ico m (n - 1), ((f (x + 1) - f x) • ∑ x ∈ range x, g x + (f (x + 1) - f x) • g x)) = f (n - 1) • ∑ x ∈ range n, g x - f m • ∑ x ∈ range m, g x - ∑ x ∈ Ico m (n - 1), ((f (x + 1) - f x) • ∑ x ∈ range x, g x + (f (x + 1) - f x) • g x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(coclosedCompact X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) compl


(⨅ s, ⨅ (_ : IsClosed s ∧ IsCompact s), 𝓟 sᶜ).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) compl


∀ (i : Set X), IsClosed i ∧ IsCompact i → ∀ (j : Set X), IsClosed j ∧ IsCompact j → ∃ k, (IsClosed k ∧ IsCompact k) ∧ kᶜ ⊆ iᶜ ∧ kᶜ ⊆ jᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s : Set X
hs₁ : IsClosed s
hs₂ : IsCompact s
t : Set X
ht₁ : IsClosed t
ht₂ : IsCompact t

∃ k, (IsClosed k ∧ IsCompact k) ∧ kᶜ ⊆ sᶜ ∧ kᶜ ⊆ tᶜ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

X ^ n - 1 = ∏ ζ ∈ nthRootsFinset n R, (X - C ζ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sum (sFiniteSeq μ))

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint (sum (sFiniteSeq μ)) on As)

{i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)}.Countable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: obs : {i | 0 < (sum (sFiniteSeq μ)) (As i)} ⊆ ⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

(⋃ n, {i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}).Countable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: n : ℕ

{i | 0 < (sFiniteSeq μ n) (As i)}.Countable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: n : ℕ

∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) (sFiniteSeq μ n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: n : ℕ

Pairwise (AEDisjoint (sFiniteSeq μ n) on As)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: As : ι → Set α

Context: n : ℕ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0

angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m n : ℕ
a : α

replicate (m + n) a = replicate m a ++ replicate n a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
inst✝² : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝ : StrongRankCondition R

Module.rank R ↑S.X₂ = Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
inst✝² : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Module.Free R ↑S.X₂


Nonempty (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₂ ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₁ ⊕ Module.Free.ChooseBasisIndex R ↑S.X₃)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

x ∈ comap i (separableClosure F K) ↔ x ∈ separableClosure F E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α

(s.append t).destruct = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)


Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: c1 c2 : Computation (Option (α × WSeq α))

Context: s t : WSeq α

Context: h : c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)) c1.destruct c2.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: s t : WSeq α

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)) (s.append t).destruct.destruct (s.destruct.bind (destruct_append.aux t)).destruct


Context: a b c : EReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : s.Nodup → (∀ a ∈ s, (t a).Nodup) → (s.pi t).Nodup

Context: hs : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup

Context: has : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup

Context: has : a ∉ s

Context: hs : s.Nodup


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup

Context: has : a ∉ s

Context: hs : s.Nodup

(∀ a_1 ∈ t a, (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Nodup) ∧ Pairwise (fun a_1 b => (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))) (t a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup

Context: has : a ∉ s

Context: hs : s.Nodup

Pairwise (fun a_1 b => (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))) (t a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: s✝ : Multiset α

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs✝ : (a ::ₘ s).Nodup

Context: ht : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, (t a_1).Nodup

Context: has : a ∉ s

Context: hs : s.Nodup

∀ a_1 ∈ t a, ∀ b ∈ t a, a_1 ≠ b → (Multiset.map (Pi.cons s a a_1) (s.pi t)).Disjoint (Multiset.map (Pi.cons s a b) (s.pi t))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ

GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 - ε z)) x‖


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
h : ∀ (j : n), b j = A j i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: 𝕜₁ : Type u_4

Context: 𝕜₂ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : Nonempty κ

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : UniformSpace E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace F

Context: inst✝⁴ : UniformAddGroup E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E

Context: 𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ

Context: hq : WithSeminorms q

Context: H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))

UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ 𝓕)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: 𝕜₁ : Type u_4

Context: 𝕜₂ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : Nonempty κ

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : UniformSpace E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace F

Context: inst✝⁴ : UniformAddGroup E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E

Context: 𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ

Context: hq : WithSeminorms q

∀ (i : κ), BddAbove (range fun k => (q i).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k)))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: 𝕜₁ : Type u_4

Context: 𝕜₂ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : Nonempty κ

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : UniformSpace E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace F

Context: inst✝⁴ : UniformAddGroup E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E

Context: 𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ

Context: hq : WithSeminorms q

Context: k : κ

BddAbove (range fun k_1 => (q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)) ∧ Continuous (⨆ k_1, ⇑((q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: 𝕜₁ : Type u_4

Context: 𝕜₂ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : Nonempty κ

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : UniformSpace E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace F

Context: inst✝⁴ : UniformAddGroup E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E

Context: 𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ

Context: hq : WithSeminorms q

Context: k : κ

Context: this : BddAbove (range fun i => (q k).comp ↑(𝓕 i))


Context: s : ℂ


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]

(quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) p)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Algebra (ZMod p) K
f : K[X]


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p
this : CharP K p := hp


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ ↑⟨n, npos⟩


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this✝ : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ n
this : Fact (Nat.Prime p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
x : α
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : star x = -x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E

inner_ 𝕜 (↑(-1) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(-1) * inner_ 𝕜 x y


4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = -4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = 4⁻¹ * -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖
h₄ : ‖I • -x - y‖ = ‖I • x + y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
x✝ : α

x✝ ∈ Ici (⨆ i, f i) ↔ x✝ ∈ ⋂ i, Ici (f i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : One M'

Context: n : ℕ∞

Context: U : Opens M

Context: f : ↥U → M'

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: diff : ContMDiff I I' n f

Context: x : M

ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : One M'

Context: n : ℕ∞

Context: U : Opens M

Context: f : ↥U → M'

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: diff : ContMDiff I I' n f

Context: x✝ x : M

Context: h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : One M'

Context: n : ℕ∞

Context: U : Opens M

Context: f : ↥U → M'

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: diff : ContMDiff I I' n f

Context: x✝ : M

Context: x : ↥U

Context: h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)

ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) ↑x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : One M'

Context: n : ℕ∞

Context: U : Opens M

Context: f : ↥U → M'

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: diff : ContMDiff I I' n f

Context: x✝ : M

Context: x : ↥U

ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1 ∘ Subtype.val) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : One M'

Context: n : ℕ∞

Context: U : Opens M

Context: f : ↥U → M'

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: diff : ContMDiff I I' n f

Context: x✝ : M

Context: x : ↥U


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this : Nontrivial α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : orderOf g ∈ (p ^ 2).divisors


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : ∃ a < 3, p ^ a = orderOf g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
g : Filter α
s : Set β

s ∈ f.seq g ↔ ∃ u ∈ f, ∃ t ∈ g, u.seq t ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
r : β → γ → Prop
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ

LiftRel r f g ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, r (↑f a) (↑g a)


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace

Context: a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))

Context: ha : IsUnit ((localizationToStalk (↑S) p) ((Localization.localRingHom (Ideal.comap f p.asIdeal) p.asIdeal f ⋯) ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)))


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: ha : IsUnit ((Localization.localRingHom (Ideal.comap f p.asIdeal) p.asIdeal f ⋯) ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a))


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: ha : IsUnit ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: e_1✝ : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p)) = ↑((structureSheaf ↑R).presheaf.stalk ((PrimeSpectrum.comap f) p))

a = (stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).inv ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v

(Walk.map f p).edges = List.map (Sym2.map ⇑f) p.edges


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f g : β × γ → E

Context: F : E → E'

Context: hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: a✝ : β

Context: h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))

Context: h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))

F (∫ (y : γ), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) + ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p

⟨z, hz⟩ ∈ ker (B.restrict p) ↔ ⟨z, hz⟩ ∈ Submodule.comap p.subtype (ker B)


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝² : p ^ k ∣ a
x✝¹ : p ^ l ∣ b
x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a✝ p : α

Context: hp : Prime p

Context: a b : α

Context: k l : ℕ

Context: x✝² : p ^ k ∣ a

Context: x✝¹ : p ^ l ∣ b

Context: x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a = p ^ k * x

Context: y : α

Context: hy : b = p ^ l * y

Context: z : α

Context: hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z

Context: h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)

Context: hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a✝ p : α

Context: hp : Prime p

Context: a b : α

Context: k l : ℕ

Context: x✝³ : p ^ k ∣ a

Context: x✝² : p ^ l ∣ b

Context: x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a = p ^ k * x

Context: y : α

Context: hy : b = p ^ l * y

Context: z : α

Context: hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z

Context: hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0

Context: hpd : p ∣ x * y

Context: x✝ : p ∣ x

Context: d : α

Context: hd : x = p * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a✝ p : α

Context: hp : Prime p

Context: a b : α

Context: k l : ℕ

Context: x✝³ : p ^ k ∣ a

Context: x✝² : p ^ l ∣ b

Context: x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a = p ^ k * x

Context: y : α

Context: hy : b = p ^ l * y

Context: z : α

Context: hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z

Context: hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0

Context: hpd : p ∣ x * y

Context: x✝ : p ∣ y

Context: d : α

Context: hd : y = p * d


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular ![Q 0, Q 1, 0]
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W✝ : Projective R

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Projective F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P 2 = 0

Context: hQz : Q 2 = 0

Context: hP : 0 = P 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬P 0 = 0 ∨ ¬P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 = W.a₂ * P 0 ^ 2)

Context: hQ : 0 = Q 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬Q 0 = 0 ∨ ¬Q 1 ^ 2 + W.a₁ * Q 0 * Q 1 = W.a₂ * Q 0 ^ 2)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
hP : ¬P 1 = 0
hQ : ¬Q 1 = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

multinomial {a, b} f = (f a + f b).choose (f a)


Context: k : Type u

Context: inst✝⁷ : Field k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁶ : Fintype G

Context: inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: V : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: A : Type u := MonoidAlgebra k G

Context: this✝ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)

Context: this : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)


Context: k : Type u

Context: inst✝⁷ : Field k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁶ : Fintype G

Context: inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: V : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: A : Type u := MonoidAlgebra k G

Context: this✝¹ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)

Context: this✝ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)

Context: this : IsScalarTower k A W


Context: k : Type u

Context: inst✝⁷ : Field k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁶ : Fintype G

Context: inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: V : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: A : Type u := MonoidAlgebra k G

Context: this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)

Context: this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)

Context: this✝ : IsScalarTower k A W

Context: this : IsScalarTower k A V


Context: k : Type u

Context: inst✝⁷ : Field k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁶ : Fintype G

Context: inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: V : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: A : Type u := MonoidAlgebra k G

Context: this✝ : IsScalarTower k A W

Context: this : IsScalarTower k A V

Context: φ : W →ₗ[k] V

Context: hφ : φ ∘ₗ ↑k f = LinearMap.id


Context: k : Type u

Context: inst✝⁷ : Field k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁶ : Fintype G

Context: inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: V : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: A : Type u := MonoidAlgebra k G

Context: this✝ : IsScalarTower k A W

Context: this : IsScalarTower k A V

Context: φ : W →ₗ[k] V

Context: hφ : φ ∘ₗ ↑k f = LinearMap.id

∀ (x : V), (LinearMap.equivariantProjection G φ ∘ₗ f) x = LinearMap.id x


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B
h : Fintype ↑S


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S

∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S
A : Type u
B : Type v

∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension ∅ A B], Module.Finite A B


Context: n✝ : ℕ+

Context: S✝ T : Set ℕ+

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: h₁ : Finite ↑S✝

Context: h : Fintype ↑S✝

Context: n : ℕ+

Context: S : Set ℕ+

Context: x✝¹ : n ∉ S

Context: x✝ : S.Finite

Context: H : ∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B

Context: A : Type u

Context: B : Type v

∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension (insert n S) A B], Module.Finite A B


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < univ.{u, u + 1}.ord


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{u + 1}

Context: h : c < univ.{u, u + 1}

Context: this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{u + 1}

Context: h : c < univ.{u, u + 1}

Context: this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: this : c.ord.card = c


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{u + 1}

Context: h : c < univ.{u, u + 1}

Context: this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: this : lift.{u + 1, u} o.card = c


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ x y : V

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk v w

Context: h : u ∈ p.support

Context: this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ x y : V

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk v w

Context: h : u ∈ p.support

Context: this : (p.dropUntil u h).length + (p.takeUntil u h).length = p.length


Context:
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n


Context:
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n

filter Nat.Prime (range (n + 1 + 1)) = filter Nat.Prime (range (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊

‖f‖₊ ≤ c * ‖g‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

(eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

Context: this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁷ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K

Context: inst✝¹ : Algebra ℚ K

Context: inst✝ : Module.Finite ℚ K

Context: x : K

absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁷ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : Algebra ℚ K

Context: inst✝ : Module.Finite ℚ K

Context: x : K

Context: this : IsDomain K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁷ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : Algebra ℚ K

Context: inst✝ : Module.Finite ℚ K

Context: x : K

Context: this : IsDomain K

Context: d : ↥R⁰

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁷ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : Algebra ℚ K

Context: inst✝ : Module.Finite ℚ K

Context: x : K

Context: this : IsDomain K

Context: d : ↥R⁰

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x

↑(Ideal.absNorm (Ideal.span {r})) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑d| = |(Algebra.norm ℚ) x|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁷ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : Algebra ℚ K

Context: inst✝ : Module.Finite ℚ K

Context: x : K

Context: this : IsDomain K

Context: d : ↥R⁰

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x

d • ↑(spanSingleton R⁰ x) = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (Ideal.span {r})


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: S' : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : CommSemiring S'

Context: inst✝² : Algebra S' R

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower S S' R

Context: I✝ I : Ideal R

Context: x : R ⧸ I ^ 2

Context: hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: S' : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : CommSemiring S'

Context: inst✝² : Algebra S' R

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower S S' R

Context: I✝ I : Ideal R

Context: x : R ⧸ I ^ 2

∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: S' : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : CommSemiring S'

Context: inst✝² : Algebra S' R

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower S S' R

Context: I✝ I : Ideal R

Context: x : R ⧸ I ^ 2

∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

{ cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

{ cauchy := a } + -{ cauchy := b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ

μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hmn : m > n

Context: hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hmn : m > n

Context: x : α

Context: left✝ : x ∈ s

Context: hxn : x ∈ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}

Context: hxm : f^[m] x ∈ s


Context:
α : Sort u_1
p✝ q r : Prop
inst✝¹ : Decidable p✝
inst✝ : Decidable q
a b c : α
f : Prop → Prop
x✝ : ∃ p, f p
p : Prop
h : f p


Context:
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
hy : y ≠ 0


Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: y : ℕ

Context: ih : ∀ m < y, ∀ {x : ℕ}, m ≠ 0 → (b ^ x ≤ m ↔ x ≤ log b m)

Context: x : ℕ

Context: hy : y ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ₂ h₁ h₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
hc : 0 < c


Context: n : ℕ

φ * ↑(Nat.fib (n + 1)) + ↑(Nat.fib n) = φ ^ (n + 1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂


Context: z : ℍ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : IsEmpty ι


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s

∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hnm : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n
π : ℕ → ↑(Icc m n) := projIcc m n hmn
v : ℕ → α := fun i => u ↑(π i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hp_ne_zero : ¬p = 0
hp_ne_top : ¬p = ⊤

∃ M, eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

Context: hM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

eLpNorm ({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

(∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

(∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε ^ (p.toReal * (1 / p.toReal))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

Context: x : α

↑‖{x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ^ p.toReal = ↑‖{x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

Context: x : α

↑({x | M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ^ p.toReal) = ↑({x | M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊}.indicator (fun a => ‖‖f a‖ ^ p.toReal‖₊) x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hp_ne_zero : ¬p = 0

Context: hp_ne_top : ¬p = ⊤

Context: M : ℝ

Context: hM' : 0 ≤ M

Context: x : α

Context: hiff : M ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ M ≤ ↑‖‖f x‖ ^ p.toReal‖₊


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : R
x✝ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) ((rescale (a * b)) x✝) = (coeff R n✝) (((rescale b).comp (rescale a)) x✝)


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ≤ s

countP p (s - t) = countP p s - countP p t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝¹ : LinearOrder X
inst✝ : CompactIccSpace X

IntegrableOn f (Iic a) μ ↔ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: a : X

Context: inst✝¹ : LinearOrder X

Context: inst✝ : CompactIccSpace X

Context: x✝ : IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ

Context: s : Set X

Context: hsl : s ∈ atBot

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: a : X

Context: inst✝¹ : LinearOrder X

Context: inst✝ : CompactIccSpace X

Context: s : Set X

Context: hsl : s ∈ atBot

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ

Context: this : Nonempty X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: a : X

Context: inst✝¹ : LinearOrder X

Context: inst✝ : CompactIccSpace X

Context: s : Set X

Context: hsl : s ∈ atBot

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: h : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ

Context: this : Nonempty X

Context: a' : X

Context: ha' : ∀ b ≤ a', b ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hGε : ε ^ 5 / 50 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: this : ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

2 * ↑(G.edgeDensity U V) * (ε ^ 5 / 50) ≤ ε ^ 5 / 25


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

ε ^ 5 * 25⁻¹ * ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 * 25⁻¹


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)