Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: x : H

Context: U : Set H

Context: memU : x ∈ U

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: xs : x ∈ interior s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u_open_in_s : IsOpen u


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: U : Set H

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s

Context: u_open_in_s : IsOpen u

Context: x : { x // x ∈ s }

Context: memU : ↑x ∈ U

Context: xs : ↑x ∈ interior s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: U : Set H

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u_open_in_s : IsOpen u

Context: x : { x // x ∈ s }

Context: memU : ↑x ∈ U

Context: xs : ↑x ∈ interior s

Context: this : CompactSpace ↑s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: U : Set H

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u_open_in_s : IsOpen u

Context: x : { x // x ∈ s }

Context: memU : ↑x ∈ U

Context: xs : ↑x ∈ interior s

Context: this : CompactSpace ↑s

Context: V : Set ↑s

Context: VisClopen : IsClopen V

Context: Vx : x ∈ V

Context: V_sub : V ⊆ u


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: U : Set H

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u_open_in_s : IsOpen u

Context: x : { x // x ∈ s }

Context: memU : ↑x ∈ U

Context: xs : ↑x ∈ interior s

Context: this : CompactSpace ↑s

Context: V : Set ↑s

Context: VisClopen : IsClopen V

Context: Vx : x ∈ V

Context: V_sub : V ⊆ u

Context: VisClopen' : IsClopen (Subtype.val '' V)


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c

Context: inst✝⁴ : K.HasTotal c

Context: inst✝³ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝² : DecidableEq J

Context: inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c

Context: inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.flip.totalFlipIso c).hom.f j = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).symm.hom.f j


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝⁴ : K.HasTotal c

Context: inst✝³ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝² : DecidableEq J

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝⁴ : K.HasTotal c

Context: inst✝³ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝² : DecidableEq J

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α
hs : IsClopen s
h : ¬(s = ∅ ∨ s = univ)
h2 : sᶜ = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R


(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((1, 0).1 * (1, 0).1) + c₂ * ((1, 0).2 * (1, 0).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₁


(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((0, 1).1 * (0, 1).1) + c₂ * ((0, 1).2 * (0, 1).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₂


(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) ((Q c₁ c₂) ((0, 1) + (1, 0)) - (Q c₁ c₂) (0, 1) - (Q c₁ c₂) (1, 0)) = 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

c ⊔ d = ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y


c ⊔ d = sInf {s | ∀ (x y : R), c x y ∨ d x y → s x y}


{x | c ≤ x ∧ d ≤ x} = {s | ∀ (x y : R), c x y ∨ d x y → s x y}


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

(sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).toProperty.RespectsIso


∀ {X Y Z : Scheme} (e : X ≅ Y) (f : Y ⟶ Z) [inst : IsAffine Z], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)


∀ {X Y Z : Scheme} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y) [h : IsAffine Y], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≤ ↑I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I J : Ideal R₁
hJ : ↑J ≤ ↑I


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
f : Y → Z

(Inducing fun x' => (x, f x')) ↔ Inducing f


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hr : r ∈ ↑(Ideal.span s)
hn : n ∈ N


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r : R'
h : r ∈ s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N
x✝ : R'
hx✝ : x✝ ∈ span R' s
y✝ : R'
hy✝ : y✝ ∈ span R' s
ihr : x✝ • n ∈ s • N
ihs : y✝ • n ∈ s • N


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r r' : R'
hr : r' ∈ span R' s
hr' : r' • n ∈ s • N


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R

f ((algebraMap R A) r * a) = (algebraMap R B) r * f a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V

(interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val


(interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Finset V
hts : ↑t ⊆ s
b : AffineBasis ↑↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: c : ℂ

Context: hc : s ∈ 𝓝 c

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})

Context: ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹

Context: F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) s


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: c : ℂ

Context: hc : s ∈ 𝓝 c

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})

Context: F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

DifferentiableOn ℂ F (s \ {c}) ∧ ContinuousAt F c


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: c : ℂ

Context: hc : s ∈ 𝓝 c

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})

Context: F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: c : ℂ

Context: hc : s ∈ 𝓝 c

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})

Context: F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

Context: H : Tendsto (fun x => (x - c)⁻¹⁻¹ • (f x - f c)) (𝓝[≠] c) (𝓝 0)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: c : ℂ

Context: hc : s ∈ 𝓝 c

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})

Context: F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

Context: H' : Tendsto (fun z => (z - c) • f c) (𝓝[≠] c) (𝓝 (F c))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
this : (↑f x, ↑x) ∈ f.inverse.graph


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: y : ↥f.inverse.domain

Context: x : ↥f.domain

Context: hxy : ↑f x = ↑y

Context: this : ∃ (x_1 : ↑f x ∈ f.inverse.domain), ↑f.inverse ⟨↑f x, ⋯⟩ = ↑x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
y : ↥f.inverse.domain
x : ↥f.domain
hxy : ↑f x = ↑y
hx : ↑f x ∈ f.inverse.domain
h : ↑f.inverse ⟨↑f x, ⋯⟩ = ↑x


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N

Context: this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N

Context: h4 : ∀ (K : Subgroup G), K ⊔ N = ⊤ → K = ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N

Context: h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N

∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N

Context: h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N

Context: h5 : Nat.card (G ⧸ K) < Nat.card G

∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: inst✝ : K.Normal

Context: hK : K ≤ N

Context: h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N

Context: h5 : Nat.card (G ⧸ K) < Nat.card G

Context: h6 : (Nat.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index

∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
a : α


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
F : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
e : m ≃ n
h : (A.submatrix ⇑e ⇑e).IsHermitian


Context:
n k : ℕ
h : MinFacHelper n k


Context:
n k : ℕ
h : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac


Context:
k : ℕ
h : MinFacHelper 0 k
this : 2 < minFac 0


Context:
n k : ℕ
h✝ : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac
h : n > 0


Context:
k : ℕ
h✝ : MinFacHelper (succ 0) k
this : 2 < (succ 0).minFac
h : succ 0 > 0


Context:
n k : ℕ
h✝¹ : MinFacHelper n k
this : 2 < n.minFac
h✝ : n > 0
h : succ 0 < n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 3


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h✝ : Fintype.card R ≤ 3
h : Fintype.card R < 3


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h✝ : Fintype.card R ≤ 3
h : Fintype.card R = 3


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.33376, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.33380, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
s : Set α


Context:
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤


Context:
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x ≤ y


Context:
y : PartENat
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m ≤ y


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m ≤ ⊤


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m ≤ ↑n


Context: s m n : Nat

range' s m ++ range' (s + m) n = range' s (n + m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasColimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasColimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
j : J

ι ((F ⋙ G) ⋙ H) j ≫ post (F ⋙ G) H ≫ H.map (post F G) = ι ((F ⋙ G) ⋙ H) j ≫ post F (G ⋙ H)


H.map (G.map (ι F j)) = ι ((F ⋙ G) ⋙ H) j ≫ post F (G ⋙ H)


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasColimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasColimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
j : J
this : HasColimit (F ⋙ G ⋙ H)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P

∃ t ⊆ s, affineSpan k t = affineSpan k s ∧ AffineIndependent k Subtype.val


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4

∃ t ⊆ ∅, affineSpan k t = affineSpan k ∅ ∧ AffineIndependent k Subtype.val


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: b : Set V

Context: hb₁ : b ⊆ ⇑(Equiv.vaddConst p).symm '' s

Context: hb₂ : Submodule.span k b = Submodule.span k (⇑(Equiv.vaddConst p).symm '' s)

Context: hb₃ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) k Subtype.val


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: b : Set V

Context: hb₀ : ∀ v ∈ b, v ≠ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: b : Set V

Context: hb₃ : AffineIndependent k fun p_1 => ↑p_1

Context: hb₀ : ∀ v ∈ b, v ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

Context: A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] (R * 0))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

Context: B : Tendsto (fun r => R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

∀ a ∈ Ioi 0, ((fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) ∘ fun r => R * r) a = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

Context: r : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

Context: r : ℝ

Context: T : (R * r) • t' = r • t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 R

Context: t' : Set E := R⁻¹ • t

Context: ht' : t' = R⁻¹ • t

Context: u' : Set E := R⁻¹ • u

Context: hu' : u' = R⁻¹ • u

Context: r : ℝ

Context: T : (R * r) • t' = r • t

Context: U : (R * r) • u' = r • u


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp (a + m • p) b = toIocMod hp a b + m • p


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a


Filter.map (⇑(equivIoc p a) ∘ QuotientAddGroup.mk) (𝓝 z✝) ≤ 𝓝 ((equivIoc p a) ↑z✝)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r

⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : I.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hc' : ⊤.compl.distortion ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

⨅ i ∈ f, sSup (u '' id i) = ⨅ s ∈ f, ⨆ a ∈ s, u a


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
p : α ⟹ repeat n Prop
f : β ⟹ Subtype_ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂


Context:
m n : ℤ
k : ℕ

(m.land n).testBit k = (m.testBit k && n.testBit k)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
φ : R⟦X⟧
u : Rˣ

(constantCoeff R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

Set.range ⇑(comap (algebraMap R S)) = ↑(basicOpen r)


{p | Disjoint ↑(Submonoid.powers r) ↑p.asIdeal} = ↑(basicOpen r)


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
x : PrimeSpectrum R

x ∈ {p | Disjoint ↑(Submonoid.powers r) ↑p.asIdeal} ↔ x ∈ ↑(basicOpen r)


↑(Submonoid.powers r) ⊓ ↑x.asIdeal ≤ ⊥ ↔ r ∉ x.asIdeal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular
U : Set α
hU : IsOpen U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U
K : Set α
KU : K ⊆ U
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
n : ℤ
x : α

x ∈ {x | (p ^ n) x ≠ x} → x ∈ {x | p x ≠ x}


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
n : ℤ
x : α


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
n : ℤ
x : α
hx : ¬(p ^ n) x = x
H : p x = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LT α


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l✝ : ℕ

Context: ζ : M

Context: hk : 0 < k

Context: h1 : ζ ^ k = 1

Context: h : ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1

Context: l : ℕ

Context: hl : ζ ^ l = 1


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l✝ : ℕ

Context: ζ : M

Context: hk : 0 < k

Context: h1 : ζ ^ k = 1

Context: l : ℕ

Context: hl : ζ ^ l = 1


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l✝ : ℕ

Context: ζ : M

Context: hk : 0 < k

Context: h1 : ζ ^ k = 1

Context: l : ℕ

Context: hl : ζ ^ l = 1

Context: h' : k.gcd l < k


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
x : Matrix m n α
i : m
j : n

(∑ i : m, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (x i j)) i j = x i j


∑ c : m, (∑ j : n, stdBasisMatrix c j (x c j)) i j = x i j


∀ (x_1 : m), x_1 ≠ i → (∑ j : n, stdBasisMatrix x_1 j (x x_1 j)) i j = 0


(∑ j : n, stdBasisMatrix i j (x i j)) i j = x i j


Context: a x : ℝ

↑(oddKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F

{ toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (zero + zero) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₂ y₂ : F
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂

{ toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (zero + some h₂) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₂)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁

{ toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁ + zero) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁) + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun zero


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
x₂ y₂ : F
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂

{ toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁ + some h₂) = { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₁) + { toFun := toClassFun, map_zero' := ⋯ }.toFun (some h₂)


(match some h₁ + some h₂ with | zero => 0 | some h => Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h))) = Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h₁)) + Additive.ofMul (ClassGroup.mk (CoordinateRing.XYIdeal' h₂))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' f : ℝ → E

Context: hderiv : deriv f = f'

Context: hdiff : ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ f x

Context: hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' f : ℝ → E

Context: hderiv : deriv f = f'

Context: hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
x✝ : ℝ≥0∞

x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ ⨅ d, uncurry edist ↑d


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G

∫ (x : α), f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hG : CompleteSpace G

∫ (x : α), f x ∂⊤ • μ = ⊤.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤


setToFun (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) ⋯ f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hc : c ≠ ⊤

Context: hdfma : DominatedFinMeasAdditive μ (weightedSMul (c • μ)) c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hc : c ≠ ⊤

Context: hdfma_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hc : c ≠ ⊤

setToFun μ (weightedSMul (c • μ)) hdfma f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0

∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (Padic.lim f - ↑f i) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ i ≥ N2, padicNormE (mk (Padic.lim' f) - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) < ε / 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ max N N2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ max N N2

padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i) + (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i)) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ max N N2

padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ max N N2

padicNormE (Padic.lim f - ↑(↑(Padic.lim' f) i)) + padicNormE (↑(↑(Padic.lim' f) i) - ↑f i) < ε / 2 + ε / 2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
hx : x ∈ nonunits R
h₁ : x ∈ Metric.ball 1 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : ι → ℝ≥0
hf_sum : Summable fun a => f a ^ p
hg_sum : Summable fun a => g a ^ q

(Summable fun a => f a * g a) ∧ ∑' (a : ι), f a * g a ≤ (∑' (a : ι), f a ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (a : ι), g a ^ q) ^ (1 / q)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : Prop
q : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p ∧ q x) ↔ p ∧ ∃ᶠ (x : α) in f, q x


Context: n : ℕ

Context: this : π < (√(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 + 1 / (2 ^ n) ^ 3 / 4) * 2 ^ (n + 2)

π < 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n


Context: n : ℕ


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G
h' : -G < -0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G
h' : G < 0


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞


(fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) = ball c f.rOut


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E

x ∈ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) ↔ x ∈ ball c f.rOut


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

‖term f s n‖ = if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ

‖term f s 0‖ = if 0 = 0 then 0 else ‖f 0‖ / ↑0 ^ s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' < a
h : s = ∅


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
a : R

∃ q, p = (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * q ∧ ¬X - C a ∣ q


Context:
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M
hs : IsCoatom s


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

index ((fun h => g * h) '' K) V = index K V


index K V ≤ index ((fun h => g * h) '' K) V


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : G


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
a : α
s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b


s ∈ ⋃ i ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ b}, (𝓟 i).sets ↔ ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s


DirectedOn (𝓟 ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {s | a ∈ s ∧ s ∈ b}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : β → Measure α

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → Measurable fun b => (f b) s

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

borel ℝ≥0∞ ≤ MeasurableSpace.map (fun μ => μ s) (MeasurableSpace.map f inst✝)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : β → Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

borel ℝ≥0∞ ≤ MeasurableSpace.map ((fun μ => μ s) ∘ f) inst✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts

t.card = s.card / P.parts.card ↔ t.card ≠ s.card / P.parts.card + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: ht : t ∈ P.parts

Context: a : t.card = s.card / P.parts.card ∨ t.card = s.card / P.parts.card + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: ht : t ∈ P.parts

Context: b : ¬(t.card = s.card / P.parts.card ∧ t.card = s.card / P.parts.card + 1)


Context:
i j : ℕ
h : i < j


Context:
i j : ℕ
h : i ≥ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Prop
x : Subtype p

Nontrivial (Subtype p) ↔ ∃ y x_1, y ≠ ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l l₁ l₂ : IntegrationParams

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)

Context: hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition

Context: hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l l₁ l₂ : IntegrationParams

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)

Context: hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition

Context: hD : l.bDistortion = true


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l l₁ l₂ : IntegrationParams

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)

Context: hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition

Context: hD : l.bDistortion = true

∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.biUnionTagged πi).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
f : α →₀ M


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R

#(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Subsingleton R


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty σ


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nonempty σ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : 1 < p


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂


∀ (g : G), g • (B₁ ∩ B₂) = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • (B₁ ∩ B₂)) (B₁ ∩ B₂)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G

g • (B₁ ∩ B₂) = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • (B₁ ∩ B₂)) (B₁ ∩ B₂)


g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : g • B₁ = B₁


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : Disjoint (g • B₁) B₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
z : Sym2 α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c x : α


(a ≤ x ∧ b ≤ x) ∧ c ≤ x ↔ a ≤ x ∧ b ≤ x ∧ c ≤ x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h_ne : A ≠ 0


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
this : PolishSpace ↑(range Nat.cast)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ∞

Context: x✝ : (i : ι) → E i

Context: n : ℕ

Context: x : (i : ι) → E i

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (⇑f) x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ∞

Context: x✝ : (i : ι) → E i

Context: n : ℕ

Context: x : (i : ι) → E i

‖f.iteratedFDeriv n x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
inst✝ : (i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
j : ι

((single i (x i)).piecewise (erase i x) {i}) j = x j


(if j ∈ {i} then (single i (x i)) j else (erase i x) j) = x j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0

a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α

ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a


(ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) → ThreeGPFree (insert a s)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoid α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: hs : ThreeGPFree s

Context: ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b

Context: ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a

Context: b : α

Context: hb : b ∈ insert a s

Context: c : α

Context: hc : c ∈ insert a s

Context: d : α

Context: hd : d ∈ insert a s

Context: h : b * d = c * c


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoid α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: hs : ThreeGPFree s

Context: b : α

Context: hb : b = a ∨ b ∈ s

Context: c : α

Context: hc : c = a ∨ c ∈ s

Context: d : α

Context: hd : d = a ∨ d ∈ s

Context: h : b * d = c * c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)

(S.append T).join = S.join.append T.join


IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)


∃ s S_1 T_1, (S.append T).join = s.append (S_1.append T_1).join ∧ S.join.append T.join = s.append (S_1.join.append T_1.join)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0


⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
hb : b ≤ 1

⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
hb : 1 < b

⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α →ₘ[μ] β
H : f.toGerm = g.toGerm


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p

∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hlt : q < p

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hlt : q < p

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hlt : q < p

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hlt✝ : q < p

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hnC : C < ↑n ^ (p - q)

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hlt✝ : q < p

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hnC : C < ↑n ^ (p - q)

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

Context: hn : 0 < ↑n


Context:
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α

Function.Surjective (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s))


Set.range (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s)) = Set.univ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hb : b ≤ 0

Context: h : a ≤ 1


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : m ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k

m ∈ ⨆ k, ((t • f).genEigenspace (t * μ)) k


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
k : ℕ
hk : ((f - μ • 1) ^ k) m = 0


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
i : ℤ
g : G
a : α


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ

stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)


{a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n i : ℕ


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E


Context: F : Type u

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E✝

Context: inst✝⁵ : Algebra F E✝

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: E : Type v

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hfd : FiniteDimensional F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: h : (fun K => finSepDegree F ↥K = finrank F ↥K) L

(fun K => finSepDegree F ↥K = finrank F ↥K) (restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)


Context: F : Type u

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E✝

Context: inst✝⁵ : Algebra F E✝

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: E : Type v

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hfd : FiniteDimensional F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: h : finSepDegree F ↥L = finrank F ↥L

Context: M : IntermediateField (↥L) E := (↥L)⟮x⟯

Context: heq : finSepDegree F ↥L * finSepDegree ↥L ↥M = finrank F ↥L * finrank ↥L ↥M

Context: this : Algebra.IsAlgebraic ↥L ↥M

finSepDegree F ↥(restrictScalars F M) = finrank F ↥(restrictScalars F M)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

S ∈ rightTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T


(∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g) ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.316755
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : T1Space G
hf : Multipliable f


Context:
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0


a⁻¹ * a⁻¹⁻¹ = 1


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Context: hL : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Fintype.card (E →ₐ[F] AlgebraicClosure L) = finrank F E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
x : X
t : Set X
htx : t ∈ 𝓝 x
htf : {i | (f i ∩ t).Nonempty}.Finite

∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((f ∘ g) i ∩ t).Nonempty}.Finite


InjOn g (g ⁻¹' {i | (f i ∩ t).Nonempty})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
H : p ∣ a ^ n.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
hbdiv : p ∣ b ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: x : α

Context: hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * (p * x) ^ n

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x

Context: hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: x : α

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x

Context: hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n

Context: y : α

Context: hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: x : α

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x

Context: hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n

Context: y : α

Context: this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: x : α

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x

Context: hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n

Context: y : α

Context: this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y

Context: hdvdx : p ∣ x ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: y z : α

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * (p * z)

Context: hbdiv : p ∣ (p * (p * z)) ^ n

Context: hy : a ^ n.succ * (p * (p * z)) ^ n = p ^ n.succ * y

Context: this : a ^ n.succ * (p * z) ^ n = p * y

Context: hdvdx : p ∣ (p * z) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: y z : α

Context: hb : ¬p ^ 2 ∣ p * (p * z)

Context: hbdiv : p ∣ (p * (p * z)) ^ n

Context: this : a ^ n.succ * (p * z) ^ n = p * y

Context: hdvdx : p ∣ (p * z) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: this : ∀ (p : ℕ → Prop) {r : ℕ → ℝ}, Tendsto r atTop (𝓝[>] 0) → blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p

Context: r' : ℕ → ℝ := fun i => if 0 < r i then r i else 1 / (↑i + 1)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

Context: h₀ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (r i) (s i) = cthickening (r' i) (s i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

Context: h₁ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ 0 < r i → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (M * r' i) (s i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

Context: h₂ : ∀ (i : ℕ), p i ∧ r i ≤ 0 → cthickening (M * r i) (s i) = cthickening (r i) (s i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

Context: hp : p = fun i => p i ∧ 0 < r i ∨ p i ∧ r i ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

((blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ⊔ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0) =ᶠ[ae μ] (blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ⊔ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

((blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ∪ blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0) =ᶠ[ae μ] (blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ 0 < r i) ∪ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : Tendsto r' atTop (𝓝[>] 0)

((blimsup (fun x => cthickening (M * r' x) (s x)) atTop fun x => p x ∧ 0 < r x) ∪ blimsup (fun x => cthickening (r x) (s x)) atTop fun x => p x ∧ r x ≤ 0) =ᶠ[ae μ] (blimsup (fun x => cthickening (r' x) (s x)) atTop fun x => p x ∧ 0 < r x) ∪ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop fun i => p i ∧ r i ≤ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: hn : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N

lowerCrossingTime a b f N n ω < upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : lowerCrossingTime a b f N n ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω

stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω ≤ a


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → F
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ N, f n z) c


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → F
c : E
h : ∀ n ∈ ∅, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ ∅, f n z) c


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H

Context: 𝕝 : Type u_7

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: f : α → E → F

Context: c : E

Context: a : α

Context: B : Finset α

Context: aB : a ∉ B

Context: hB : (∀ n ∈ B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c) → AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ B, f n z) c

Context: h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∑ n ∈ insert a B, f n z) c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
a b : α

(a, b) ∈ s ×ˢ s ↔ (a, b) ∈ (range s.card).disjiUnion (fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s) ⋯


a ∈ s ∧ b ∈ s ↔ ∃ a_1 < s.card, ∃ a_2 ∈ s, a_2 = a ∧ (⇑f)^[a_1] a_2 = b


Context: f✝ : Bool → Bool → Bool

Context: C : ℕ → Sort u_1

Context: z : C 0

Context: f : (b : Bool) → (n : ℕ) → C n → C (bit b n)

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

binaryRec z f n = ⋯ ▸ f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2)


Context: f✝ : Bool → Bool → Bool

Context: C : ℕ → Sort u_1

Context: z : C 0

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

binaryRec z f n = cast ⋯ (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))


Context: f✝ : Bool → Bool → Bool

Context: C : ℕ → Sort u_1

Context: z : C 0

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

(if n0 : n = 0 then ⋯.mpr z else ⋯.mpr (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))) = cast ⋯ (f n.bodd n.div2 (binaryRec z f n.div2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g

∫⁻ (y : β) in s, f y ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (x : α) in g ⁻¹' s, f (g x) ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp0 : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp0 : IsUnit p.leadingCoeff


Context: n m : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} n

Context: Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m

Context: α✝ β : TypeVec.{u} m

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop

Context: x : ↑P α

Context: a : P.A

Context: f : P.B a ⟹ α

Context: xeq : x = ⟨a, f⟩

Context: pf : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), p (f i j)


Context: n m : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} n

Context: Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m

Context: α✝ β : TypeVec.{u} m

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop

Context: x : ↑P α

Context: a : P.A

Context: f : P.B a ⟹ α

Context: xeq : x = ⟨a, f⟩

(fun i => Subtype.val) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨f i j, ⋯⟩⟩ = x


Context:
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α n.succ → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α n.succ
fv : f v


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)

Context: s : Set ι

Context: s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K

Context: s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: s : Set ι


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: s : Set ι

Context: this : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, Continuous (eval x ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: s : Set ι

Context: cls_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: s : Set ι

Context: cls_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ closure s, F i x ∈ Q


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hbd : Commute b d
hbc : Commute b⁻¹ c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

f.reverse.natDegree = f.natDegree - f.natTrailingDegree


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
h : x ∈ span R s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

IsTorsionBySet R M {a} ↔ IsTorsionBy R M a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : IsTorsionBy R M a
x : M


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonAssocSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: x : ⨂[R] (i : ι), A i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: t : Set β

Context: inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑t

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: inst✝ : MeasurableSpace.CountablyGenerated ↑∅

Context: hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: t : Set β

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: hft : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty


Context: k : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: R₁ : Type u_10

Context: inst✝⁴ : Semiring R₁

Context: σ : R →+* R₁

Context: σ' : R₁ →+* R

Context: inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝² : RingHomInvPair σ' σ

Context: M₁ : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝ : Module R₁ M₁

Context: f : M → ι → R

Context: hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y

Context: hsmul : ∀ (c : R) (x : M), f (c • x) = c • f x

Context: f_eq : ∀ (i : ι), f (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)

Context: x : M

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: R₁ : Type u_10

Context: inst✝⁴ : Semiring R₁

Context: σ : R →+* R₁

Context: σ' : R₁ →+* R

Context: inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝² : RingHomInvPair σ' σ

Context: M₁ : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝ : Module R₁ M₁

Context: f : M → ι → R

Context: x : M

Context: i : ι

Context: f_i : M →ₗ[R] R := { toFun := fun x => f x i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x✝ : M

Context: R₁ : Type u_10

Context: inst✝⁴ : Semiring R₁

Context: σ : R →+* R₁

Context: σ' : R₁ →+* R

Context: inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝² : RingHomInvPair σ' σ

Context: M₁ : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝ : Module R₁ M₁

Context: f : M → ι → R

Context: x : M

Context: i : ι

Context: this : Finsupp.lapply i ∘ₗ ↑b.repr = f_i


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: n : ℕ

Context: hle : map f p ≤ P ^ n

Context: hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)

Context: Q : ℕ → Prop := fun m => ∀ (k : ℕ), map f p ≤ P ^ k → k ≤ m


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: n : ℕ

Context: hle : map f p ≤ P ^ n

Context: hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)

Context: this : Q n


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: n : ℕ

Context: hle : map f p ≤ P ^ n

Context: hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)

Context: this : Q n

Context: h : Nat.find ⋯ < n


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: n : ℕ

Context: hle : map f p ≤ P ^ n

Context: hgt : ¬map f p ≤ P ^ (n + 1)

Context: this : Q n

Context: h : Nat.find ⋯ < n

Context: this' : Q (Nat.find ⋯)


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a : Ordinal.{u}

x ≤ sSup ({x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x})


x ∈ {x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype α
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulCommClass R S M
v : α → M
inst✝ : DecidableEq α
i : α
r : R

((Fintype.total R S) v) (Pi.single i r) = r • v i


(∑ x : α, if x = i then r • v x else 0) = r • v i


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
γ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

F.map (rightHomologyMap' φ hr₁ hr₂) = rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t

∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
ht : Convex ℝ t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsOpen ∅
disj : Disjoint ∅ t

∃ f u, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
ht : Convex ℝ ∅
disj : Disjoint s ∅

∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ ∅, u ≤ f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this : 0 ∈ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝ : 0 ∈ C
this : Convex ℝ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝¹ : 0 ∈ C
this✝ : Convex ℝ C
this : x₀ ∉ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝¹ : 0 ∈ C
this✝ : Convex ℝ C
this : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1
forall_le : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≤ f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1
forall_le : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≤ f b
b : E
hb : b ∈ t


Context: x y z : PGame


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x

HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₀ f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v


(fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f₁ (x + t • v)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α

⋃ n, Icc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: p : Fix F → Prop

Context: h : ∀ (x : F (Fix F)), Liftp p x → p (mk x)

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

Context: ih : ∀ (a : (P F).B a), p (Quot.mk Setoid.r (f a))


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: p : Fix F → Prop

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: p : Fix F → Prop

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

∃ a_1 f_1, abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a_1), p (f_1 i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : ℝ

∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

HasIntegral I l (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y)


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: this : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ U


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U