Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E

infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
hδ : δ ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
hδ : 0 < δ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I

M.Basis I (insert e I) ↔ M.Dep (insert e I) ∨ e ∈ I


e ∉ I → ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ↔ ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ∨ e ∈ I


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

(n + 1).ascFactorial n * n ! ≤ (n + n) ^ n * n !


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → Option β

Context: s' s t : Finset α

Context: f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'

∀ (x : β), x ∈ ↑(filterMap f s f_inj) ↔ x ∈ {b | ∃ a ∈ s, f a = some b}


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f

IsPreconnected (f '' s) ↔ IsPreconnected s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
u v : Set α
hu' : IsOpen u
hv' : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : α
hys : y ∈ s
hyv : y ∈ v


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
v : Set α
hv' : IsOpen v
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
hyv : y ∈ v
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ v
hxu : x ∈ f ⁻¹' u


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ f ⁻¹' v


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
z : α
hzs : z ∈ s
hzuv : f z ∈ u ∩ v


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : s ⊆ t

μ (toMeasurable (μ.restrict t) s ∩ t) = (μ.restrict t) s


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₁ : σ₁

(∀ ⦃a₂ : σ₂⦄, (fun a b => tr a = b) a₁ a₂ → match f₁ a₁ with | some b₁ => ∃ b₂, (fun a b => tr a = b) b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ a₂ b₂ | none => f₂ a₂ = none) ↔ FRespects f₂ tr (tr a₁) (f₁ a₁)


Context: s n : Nat

range' s n = map (fun x => s + x) (range n)


Context: s n : Nat


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι

StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => u (t i ω) ω) (↑p.1) p.2


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝³ : MeasurableSpace ι

Context: t : ι → Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : BorelSpace ι

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: ht : ProgMeasurable f t

Context: ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i

Context: i : ι

Context: this : (fun p => u (t (↑p.1) p.2) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝³ : MeasurableSpace ι

Context: t : ι → Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : BorelSpace ι

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: ht : ProgMeasurable f t

Context: ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i

Context: i : ι

StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2))


Context:
x : ℝ
h : Irrational x


Context:
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b

multiplicity p (n.choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card


Context:
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n


Context: x✝ y✝ x y : ℝ


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) '' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)


Context: m n : ℕ

Context: this : ∀ (r : ℕ), eulerMascheroniSeq r < eulerMascheroniSeq' r

eulerMascheroniSeq m < eulerMascheroniSeq' n


Context: m n : ℕ

eulerMascheroniSeq (max m n) < eulerMascheroniSeq' n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = dist p₁ p₂ ^ 2 / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝² : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝¹ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)

Context: h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝² : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝¹ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e


Context:
a b c : ℤ
hdvd : ¬3 ∣ a * b * c


Context:
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A

IsHomogeneous 𝒜 I ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)


I = (homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
h : Commute a b


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹³ : Semiring R

Context: inst✝¹² : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₃

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: P : ι → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred P

Context: inst✝ : DecidableEq { a // ¬P a }

Context: x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i

Context: z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i

Context: i : { a // ¬P a }

Context: c : M₁ ↑i

(fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else update z i c ⟨j, h⟩) = update (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩) (↑i) c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r

r • ‖y - x‖⁻¹ • (y - x) + x ∈ sphere x r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0


Context: z : 𝔻


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
this : PolishSpace ↑s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: inst✝ : Nontrivial A


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: this : 1 = (algebraMap R A) 1


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A

‖φ a‖₊ ≤ ‖a‖₊


∀ (s : A), IsSelfAdjoint s → ‖φ s‖₊ ≤ ‖s‖₊


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a s : A
hs : IsSelfAdjoint s

‖φ s‖₊ ≤ ‖s‖₊


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x✝ y : G
n : ℕ
x : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x✝ y : G
n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

(sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) = sum fun p => (sFiniteSeq ν p.1).prod (sFiniteSeq μ p.2)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: i : ℕ × ℕ

map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1)) = (sFiniteSeq ν i.1).prod (sFiniteSeq μ i.2)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: i : ℕ × ℕ

∀ (s : Set β) (t : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet t → (map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: i : ℕ × ℕ

Context: s : Set β

Context: t : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

(map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t


Context:
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n /. ↑d ≠ 0


Context:
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : ¬n = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k : ℕ
hk : 0 < k
a b : ℕ
x✝ : b ≥ 1

a / k ≤ b ↔ a ≤ (fun b => b * k + (k - 1)) b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k : ℕ
hk : 0 < k
b : ℕ
x✝ : b ≥ 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a✝ : f ∈ ⊤

∃ c, (c.sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a✝ : f ∈ ⊤

((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a✝ : f ∈ ⊤

Context: x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

(LocallyConstant.evalₗ ℤ x) ((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a✝ : f ∈ ⊤

Context: x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

(if (Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x = 0 then 0 else ↑((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x) x) = f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : HasMFDerivAt I I' f x f'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : HasMFDerivAt I I' f x f'

ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
l : Filter X

(𝓝 (f x) ⊓ map f l).NeBot ↔ (𝓝 x ⊓ l).NeBot


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : (of f) p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

Context: h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ

Context: N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType

Context: hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ

Context: N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType

Context: N : Bundled L[[M]].Structure

Context: hN : #↑N = κ

Context: NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType

Context: N : Bundled L[[M]].Structure

Context: hN : #↑N = κ

Context: NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0

Context: this : L.Structure ↑N := (L.lhomWithConstants M).reduct ↑N


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType

Context: N : Bundled L[[M]].Structure

Context: hN : #↑N = κ

Context: NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0

Context: h : ↑N ⊨ L.elementaryDiagram M


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R

M.det = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ

s.EquitableOn f ↔ ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1


s.EquitableOn f → ∃ b, ∀ a ∈ s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℕ

∅.EquitableOn f → ∃ b, ∀ a ∈ ∅, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
hs : s.EquitableOn f
w : α
hw : w ∈ s
hwx : f w < f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
x : α
hx : x ∈ s
hs : s.EquitableOn f
w : α
hw : w ∈ s
hwx : f w < f x
y : α
hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ∀ (a : α), e a ∈ t ↔ a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace δ
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : TopologicalLattice β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β

↑(f ⊔ -f) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑f x ⊔ -↑f x


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace δ
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : TopologicalLattice β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β
x : α
hx_sup : ↑(f ⊔ -f) x = ↑f x ⊔ ↑(-f) x
hx_neg : ↑(-f) x = (-↑f) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q

F.d p' p ≫ (ofHom φ).v p q hpq = F.d p' q ≫ φ.f q


Context:
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =O[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp = p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

AddMonoidAlgebra.supDegree id (toFinsupp 0) = natDegree 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
h : p ≠ 0


↑(AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp) = ↑p.natDegree


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

All P (l.node4L x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LT α
x : α

⊥ < ↑x ↔ ↑x ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

SurjOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), SurjOn (⇑(f ^ n)) s s


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

SurjOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), SurjOn (⇑f)^[n] s s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound ε ≤ Fintype.card G

Context: A : Finset (G × G)

Context: hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: hA : IsCornerFree ↑A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : ⌊(triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹⌋₊ < Fintype.card G

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : NoAccidental (Corners.triangleIndices A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : 1 < triangleRemovalBound (ε / 9) * 27 * ↑(Fintype.card G)

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : (triangleRemovalBound (ε / 9) * 27)⁻¹ < ↑(Fintype.card G)

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: A : Finset (G × G)

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: hε₁ : ε ≤ 1

triangleRemovalBound (ε / 9) * 27 * ↑(Fintype.card G) * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ 1 * ↑(Fintype.card G) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → E

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → E

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context: s : ℂ

Context: n : ℕ

Context: h1 : -s.re < ↑n

Context: u : ∀ (k : ℕ), GammaAux (⌊1 - s.re⌋₊ + k) s = Gamma s


Context: s : ℂ

Context: n : ℕ

Context: h1 : -s.re < ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs.Disjoint ys
a : α
hx : a ∈ xs
hy : a ∈ ys.dedup


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
hf : ¬f = 0
i : ℕ

i ∈ f.integralNormalization.support ↔ i ∈ f.support


i ∈ f.support → i ∈ f.integralNormalization.support


f.coeff i ≠ 0 → (if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)) ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h✝ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true

Context: h : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 < ⅟↑da


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 < ⅟↑da

Context: hb : 0 < ⅟↑db


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h✝¹ : decide (num✝¹ * ↑db < num✝ * ↑da) = true

Context: h✝ : (fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) < (fun x => ↑x) (num✝ * ↑da)

Context: ha : 0 < ⅟↑da

Context: hb : 0 < ⅟↑db

Context: h : ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝¹ * ↑db) * ⅟↑da) < ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝ * ↑da) * ⅟↑da)


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 < ⅟↑da

Context: hb : 0 < ⅟↑db

Context: h : ↑(num✝¹ * ↑db) * ⅟↑db * ⅟↑da < ⅟↑db * ((fun x => ↑x) (num✝ * ↑da) * ⅟↑da)


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 < ⅟↑da

Context: hb : 0 < ⅟↑db

Context: h : ↑num✝¹ * ⅟↑da < ⅟↑db * ↑num✝


Context:
x y : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hy₂ : y ≤ π
hxy : x < y


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥


LieIdeal.map f (lowerCentralSeries R L L k) = ⊥


LieIdeal.map f (lowerCentralSeries R L L k) ≤ lowerCentralSeries R L' L' k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s

P.IsEquipartition ↔ ∀ a ∈ P.parts, a.card = s.card / P.parts.card ∨ a.card = s.card / P.parts.card + 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hx : ¬IsIntegral K x


¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : CommRing T

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: x : L

Context: hx : ∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
f : α → β

⊥ ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae 0), n ≤ a}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
p q : E × β
hp : p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2
hq : q.1 ∈ s ∧ f q.1 ≤ q.2
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • p + b • q ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 < p.2}


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
B : Set (ι × α)

(Matroid.sum' M).Base B ↔ ∀ (i : ι), (M i).Base (Prod.mk i ⁻¹' B)


(∀ (i : ι), (M i).Base (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' B))) ↔ ∀ (i : ι), (M i).Base (Prod.mk i ⁻¹' B)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
B : Set (ι × α)
a✝ : ι

Prod.mk a✝ ⁻¹' B = Sigma.mk a✝ ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' B)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ r < 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: a : G

Context: a_min : a ∈ lowerBounds {g | g ∈ H ∧ 0 < g}

Context: a_in : a ∈ H

Context: a_pos : 0 < a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: a : G

Context: a_in : a ∈ H

Context: a_pos : 0 < a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: a : G

Context: a_in : a ∈ H

Context: a_pos : 0 < a

Context: g : G

Context: g_in : g ∈ H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: a : G

Context: a_in : a ∈ H

Context: a_pos : 0 < a

Context: g : G

Context: g_in : g ∈ H

Context: k : ℤ

Context: right✝ : ∀ (y : ℤ), (fun k => 0 ≤ g - k • a ∧ g - k • a < a) y → y = k

Context: nonneg : 0 ≤ g - k • a

Context: lt : g - k • a < a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: a : G

Context: a_in : a ∈ H

Context: a_pos : 0 < a

Context: g : G

Context: g_in : g ∈ H

Context: k : ℤ

Context: nonneg : 0 ≤ g - k • a

Context: lt : g - k • a < a

Context: h_zero : g - k • a = 0


Context: e : ℤˣ


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R

k (eval₂ f g p) = eval₂ (k.comp f) (⇑k ∘ g) p


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W

cs.IsLeftInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsRightInversion w t


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M''
inst✝⁸ : Module R M✝
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁵ : CommSemiring K
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L


LinearIndependent L (⇑(ltoFun K M L) ∘ AlgHom.toLinearMap)


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


Context:
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α

LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id


(∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 x, IsPreconnected V ∧ V ⊆ U) ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⟪x, y⟫_𝕜 = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4


↑((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4) + ↑((‖x - I • y‖ * ‖x - I • y‖ - ‖x + I • y‖ * ‖x + I • y‖) / 4) * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4


(↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖) / 4 + (↑‖x - I • y‖ * ↑‖x - I • y‖ - ↑‖x + I • y‖ * ↑‖x + I • y‖) / 4 * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α

p.toOuterMeasure (s ∩ p.support) = p.toOuterMeasure s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : PreservesFiniteProducts s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryExtensive C

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts s

Context: hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F)

Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s))


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ (S ⊔ star S).carrier


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: a : A

Context: ha : a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))

star a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: a : A

a ∈ Algebra.adjoin R (star (↑(star S) ⊔ ↑S))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q

(inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q

(inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) y = (range (rTensor Q f)).mkQ y


inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ


∀ (x : N) (y : Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (rTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q

(inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (rTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)


Submodule.Quotient.mk (h (g n) ⊗ₜ[R] q) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)


(h (g n) - n) ⊗ₜ[R] q ∈ range (rTensor Q f)


Context:
r p : ℝ≥0
h : r ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

w.IsComplex ↔ ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


w.IsComplex → ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝ : Field F

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hφ : ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h0 : ¬0 = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h0 : ¬0 = 1

Context: this : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

(eval P) W.polynomial / P z ^ 6 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomial


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i

ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
x : (i : ι) → α i

(x ∈ s.pi fun i => t i ∩ t₁ i) ↔ x ∈ s.pi t ∩ s.pi t₁


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

FormallyEtale R A ↔ FormallyUnramified R A ∧ FormallySmooth R A


(∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Bijective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ↔ (∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ∧ ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : M ⊨ T
h' : M ⊨ T'


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T, M ⊨ φ
h' : ∀ φ ∈ T', M ⊨ φ

∀ (φ : L.Sentence), φ ∈ T ∨ φ ∈ T' → M ⊨ φ


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
hs : MeasurableSet s

(μ.restrict (⋃ i, spanningSets μ i)) s = μ s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f

image2 f s (t ∩ t') = image2 f s t ∩ image2 f s t'


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 0 < k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

t.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - t.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph W
e : V ≃ W

SimpleGraph.map e.symm.toEmbedding G = SimpleGraph.comap (⇑e.toEmbedding) G


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f

∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: y : F

∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

∃ x, dist (f x) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: y : F

Context: hy : y ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b

Context: m : Multiset R[A]

m.prod.support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) m).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: a✝ : List R[A]

(Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r a✝)).support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) (Quot.mk Setoid.r a✝)).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: a✝ : List R[A]

a✝.prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) a✝).sum


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type v₁

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : FinCategory J

Context: K✝ : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat F

Context: c✝ : Cone K✝

Context: hc✝ : IsLimit c✝

Context: s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)

Context: K : J ⥤ C

Context: c : Cone K

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cone (K ⋙ F)

Context: f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt

Context: h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j

Context: h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j

Context: α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }

Context: α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }

Context: c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)

Context: c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)

Context: c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)

Context: g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left

Context: g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type v₁

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : FinCategory J

Context: K✝ : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat F

Context: c✝ : Cone K✝

Context: hc✝ : IsLimit c✝

Context: s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)

Context: K : J ⥤ C

Context: c : Cone K

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cone (K ⋙ F)

Context: f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt

Context: this : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type v₁

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : FinCategory J

Context: K✝ : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat F

Context: c✝ : Cone K✝

Context: hc✝ : IsLimit c✝

Context: s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)

Context: K : J ⥤ C

Context: c : Cone K

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cone (K ⋙ F)

Context: f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt

Context: this✝ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j

Context: this : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type v₁

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : FinCategory J

Context: K✝ : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat F

Context: c✝ : Cone K✝

Context: hc✝ : IsLimit c✝

Context: s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)

Context: K : J ⥤ C

Context: c : Cone K

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cone (K ⋙ F)

Context: f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt

Context: this✝¹ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j

Context: this✝ : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right

Context: this : g₁.right = g₂.right


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)
hs' : ↑e.symm '' t ⊆ e.source


IsOpen (↑e.toPartialEquiv '' (↑e.symm '' t))


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y z : X
r✝ s : ℝ
x : X
r : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α


[a].reverse ++ l.reverse = a :: l.reverse


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
x : α
n : ℕ
f : α →+* β

f (∑ i ∈ range n, x ^ i) = ∑ i ∈ range n, f x ^ i


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
x : ℝ
h : HasSum (fun x => ↑(f x)) ↑x


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P

(pointReflection x) y -ᵥ y = 2 • (x -ᵥ y)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : NonAssocSemiring β
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i : m
j : o
f : α →+* β

f ((M * N) i j) = (M.map ⇑f * N.map ⇑f) i j


Context:
b : ℝ
hb : 1 < b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.natDegree < p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.natDegree < p.natDegree
hc : ¬q = 0


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ¬Acc r a


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ∀ (b : α), ¬Acc r b → ¬r b a


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ∀ (b : α), ¬Acc r b → ¬r b a
b : α
hr : r b a


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r✝
a : α
r : α → α → Prop
h : ∀ (b : α), ¬Acc r b → ¬r b a
b : α
hr : r b a
hb : ¬Acc r b


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup γ
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α


∀ (x : α), (lift (g ∘ f)) (of x) = (lift g) ((map f) (of x))


∀ (x : α), (lift (g ∘ f)) (of x) = (lift g) ((map f) (of x)) → (lift (g ∘ f)) (-of x) = (lift g) ((map f) (-of x))


∀ (x y : FreeAbelianGroup α), (lift (g ∘ f)) x = (lift g) ((map f) x) → (lift (g ∘ f)) y = (lift g) ((map f) y) → (lift (g ∘ f)) (x + y) = (lift g) ((map f) (x + y))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

Context: x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }
_hx : x ∈ (filter p s).attach


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

Context: _hx : x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
hs : s.Countable
this : Countable ↑s

(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h).Countable ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), (t a ha).Countable


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
hs : IsOpen s
hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ i, 0 < i ∧ closedBall x i ⊆ s

∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ s

∃ i, 0 < i ∧ closedBall (f x) i ⊆ f '' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: hc : c < f'symm.nnnorm⁻¹

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ s

closedBall (f x) ((↑f'symm.nnnorm⁻¹ - ↑c) * ε) ⊆ f '' s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
P : AddSubgroup H


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - C a).Gal

Context: b : (X ^ n - C a).SplittingField

Context: hb : b ∈ (X ^ n - C a).rootSet (X ^ n - C a).SplittingField


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - C a).Gal

Context: b : (X ^ n - C a).SplittingField

Context: hb : b ^ n = (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - C a).Gal

Context: b : (X ^ n - C a).SplittingField

Context: hb' : b ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - C a).Gal

Context: b : (X ^ n - C a).SplittingField

Context: hb' : b ≠ 0

Context: key : ∀ (σ : (X ^ n - C a).Gal), ∃ c, σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)

Context: ha : ¬a = 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - C a ≠ 0

Context: hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - C a).Gal

Context: b : (X ^ n - C a).SplittingField

Context: hb' : b ≠ 0

Context: c : F

Context: hc : σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c

Context: d : F

Context: hd : τ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
h : G.CliqueFree n
s t : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : α

Context: h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n

Context: φ : Fin n ↪ α

Context: hφ : ∀ {a b : Fin n}, (G.replaceVertex s t).Adj (φ a) (φ b) ↔ ⊤.Adj a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : α

Context: h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n

Context: φ : Fin n ↪ α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p : α

Context: h0 : p ≠ 0

Context: hu : ¬IsUnit p

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: h0 : p ≠ 0

Context: hu : ¬IsUnit p

Context: n : ℕ


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.comap f (gaussianReal μ v)) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.comap f (ℙ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]


(p.sum fun e a => C ((algebraMap R S) a) * X ^ e) = p.sum fun e a => (⇑C ∘ ⇑(algebraMap R S)) a * X ^ e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c₁ c₂ b₁ : R

Context: b₂ : ℕ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L


_root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)

automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x


∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β

automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)


Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a +ᵥ b)) • f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : AddGroup α

Context: inst✝ : AddAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : AddGroup α

Context: inst✝ : AddAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: H₁ : ∀ (a : α), π (a +ᵥ b) = π b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : AddGroup α

Context: inst✝ : AddAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: H₁ : ∀ (a : α), π (a +ᵥ b) = π b

∑' (a : α), g (π b) • f (a +ᵥ b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)


Context: n : ℕ

∀ {p : ℕ}, p ∈ n.primeFactorsList → Prime p


Context:
α : Type u
l✝ l'✝ l l' : List α

l.cyclicPermutations ~r l'.cyclicPermutations ↔ l ~r l'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

↑μ.ennrealToMeasure.toENNRealVectorMeasure s = ↑μ s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P

dist ((pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2 • (x -ᵥ y)‖


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ h₁' : S.LeftHomologyData
h₂ h₂' : S.RightHomologyData

leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) h₂' h₂


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1

ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤


spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, (⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i))) * ε⁻¹


spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹


spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨅ i, ↑‖a ^ (i + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(i + (N + 1))) * ε⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ

spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(n + (N + 1))) * ε⁻¹


spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹


Context:
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
f : ↥(oneCocycles A)
g h : G


Context: a✝ b✝ c : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing α

Context: a : α

Context: b : ℤ

Context: nb ne : ℕ

Context: pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)

Context: pe' : IsInt (a ^ nb)⁻¹ (Int.negOfNat ne)


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
x✝ : G


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hI : (M ↾ R).Indep I


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range

∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Subsingleton S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e' : Fin (n + 1) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e' : Fin (n + 1) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e

Context: i : Fin (n + 1)

(⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) i = e i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e' : Fin (n + 1) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e

Context: i : Fin (n + 1)

Context: this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e' : Fin (n + 1) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e

(⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm none) = e ((finSuccEquiv n).symm none)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: h✝¹ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e' : Fin (n + 1) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e

Context: i : Fin n

(⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm (some i)) = e ((finSuccEquiv n).symm (some i))


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)

Context: h : s.Countable

Context: this : Countable ↑s


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: h : s.Countable

Context: this : Countable ↑s

lift.{?u.25480, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ ℵ₀


Context:
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
base : ∃ n, ∀ m > n, P m
step : ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P m) → P n
n : ℕ


∀ (n : ℕ), (fun n => ∀ m ≥ n, P m) (n + 1) → (fun n => ∀ m ≥ n, P m) n


¬BddAbove {x | (fun n => ∀ m ≥ n, P m) x}


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : Bornology.IsBounded s
hy : y ∈ s


(edist x y).toReal ≤ (infEdist x s).toReal + (EMetric.diam s).toReal


Context: x : ℝ

HasDerivAt (fun x => ↑(𝐞 x)) (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 x)) x


Context:
x : ℝ
h1 : ∀ (y : ℝ), ↑(𝐞 y) = (fourier 1) ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E

∫ (b : β), g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫ (b : β), g b ∂κ a else ∫ (b : β), g b ∂η a


(∫ (b : β), g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫ (b : β), g b ∂κ a else ∫ (b : β), g b ∂η a


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℕ

(W.baseChange B).preΨ' n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ' n)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α

∫⁻ (x : α) in s, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | g x < f x}, f x ∂μ


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hX : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (P x ^ n)