Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: i₁ : ι₁

Context: m₁ : M₁ i₁

Context: i₂ : ι₂

Context: m₂ : M₂ i₂

(TensorProduct.directSum R S M₁ M₂).symm ((lof S (ι₁ × ι₂) (fun i => M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2) (i₁, i₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) = (lof S ι₁ M₁ i₁) m₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i₂) m₂


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hg : Measurable g
a : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => (κ.seq n).comap g hg) a) s = ((κ.comap g hg) a) s


∑' (i : ℕ), (((κ.seq i).comap g hg) a) s = ∑' (i : ℕ), ((κ.seq i) (g a)) s


Context:
x : ℂ
n : ℕ
h₀ : n ≠ 0
hlt : -(π / ↑n) < x.arg
hle : x.arg ≤ π / ↑n


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : C ⥤ CommMon_ D
X : C

((β_ __src✝.X __src✝.X).hom ≫ __src✝.mul).app X = __src✝.mul.app X


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
R S T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
q : G ⧸ H
x✝ : q ∈ univ

⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ * ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ = ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) q), ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
p p' : α → Bool
hp : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x = p' x


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p p' : α → Bool
hp : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x = p' x


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r + s) - (nthHomSeq f_compat r + nthHomSeq f_compat s)) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

∀ j ≥ n, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r + s) - (nthHomSeq f_compat r + nthHomSeq f_compat s)) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

padicNorm p (↑(nthHom f (r + s) j) - (↑(nthHom f r j) + ↑(nthHom f s j))) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

padicNorm p (↑(nthHom f (r + s) j) - (↑(nthHom f r j) + ↑(nthHom f s j))) ≤ ↑p ^ (-↑n)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

↑(nthHom f (r + s) j - (nthHom f r j + nthHom f s j)) = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

((f j) r + (f j) s).cast - (((f j) r).cast + ((f j) s).cast) = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

((f j) r).cast + ((f j) s).cast - (((f j) r).cast + ((f j) s).cast) = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0

Context: hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0

(algebraMap S L) (d • a) = (algebraMap S L) (b * mk' S ↑c ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0

(algebraMap R L) d * (algebraMap S L) a = (algebraMap S L) b * ((algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α
s : Set α
hs : s ⊆ S
hs' : a = sSup s


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x1 : α

Context: b1 : Bool

Context: x2 : α

Context: b2 : Bool

Context: H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)

Context: H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)

Context: this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄✝ : List (α × Bool)

Context: x1 : α

Context: b1 : Bool

Context: x2 : α

Context: b2 : Bool

Context: H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)

Context: L₄ : List (α × Bool)

Context: eq : (x1, b1) :: L₁ = [] ++ L₄

Context: h₁ : Red [] [(x2, b2)]

Context: h₂ : Red L₄ L₂


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃✝ L₄✝ : List (α × Bool)

Context: x1 : α

Context: b1 : Bool

Context: x2 : α

Context: b2 : Bool

Context: H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)

Context: p : α × Bool

Context: L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: eq : (x1, b1) :: L₁ = p :: L₃ ++ L₄

Context: h₁ : Red (p :: L₃) [(x2, b2)]

Context: h₂ : Red L₄ L₂


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


(r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)


AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)


AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)


∫⁻ (x : α), ν.rnDeriv (r • μ) x ∂r • μ ≠ ⊤


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13153, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
f g : Arrow C
e : f ≅ g


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))


(∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))


(∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B ∩ B ≠ ∅ → g • B = B


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

Context: hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

inst✝⁸ = MeasurableSpace.generateFrom ?convert_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)


Context:
α : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommGroupWithZero G₀
inst✝ : DecidableEq G₀
a : G₀
h0 : a ≠ 0


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (zipWith f l l').length


∃ x y, l[i]? = some x ∧ l'[i]? = some y ∧ f x y = f l[i] l'[i]


Context:
x y : ℝ
hx : x < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
f g : α → List β
h : ∀ a ∈ l, f a ~ g a

Forall₂ (fun x x_1 => x ~ x_1) (List.map f l) (List.map g l)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
g : α → β
f : α → α
a : α


Context:
α : Type u_1
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = none
i : Nat

match xs.get? i with | some a => ¬p a = true | none => true = true


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α

𝓝 a = (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)


⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}}, 𝓟 s = (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja

update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ja, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ja jb


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
jb : β ia

update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ia, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ia jb


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja
ha : ia ≠ ja


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

f.support ∩ g.support = ∅ ↔ f.support ⊓ g.support = ⊥


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasWideEqualizers C

Context: T : C

Context: hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)

Context: endos : Type v := T ⟶ T

Context: i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id

Context: this : Nonempty endos


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasWideEqualizers C

Context: T : C

Context: hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)

Context: endos : Type v := T ⟶ T

Context: this✝ : Nonempty endos

Context: this : (X : C) → Unique (wideEqualizer id ⟶ X)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))


R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X))) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))


R.map (L.map (h.unit.app X)) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))


R.map (L.map (h.unit.app X) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
a b c : A
h : a + b = c
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
X : C

PredicateShift (PredicateShift P b) a X ↔ PredicateShift P c X


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b✝ c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : WithBot ℕ
b : ℕ
hp : p.degree ≤ a


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G

image₂ (fun x x_1 => x * x_1) {a} f.support ⊆ image (fun x => a * x) f.support


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β

∏ i : Fin n, c i = ∏ i ∈ range n, if h : i < n then c ⟨i, h⟩ else 1


∀ x ∈ univ, c x = if h : ↑x < n then c ⟨↑x, h⟩ else 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
i : ℕ
hi : i < n
a✝ : ⟨i, hi⟩ ∈ univ

c ⟨i, hi⟩ = if h : ↑⟨i, hi⟩ < n then c ⟨↑⟨i, hi⟩, h⟩ else 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
this : ‖f‖ ≤ ‖snd 𝕜 E F‖ * max ‖0‖ ‖f‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
this : ‖f‖ ≤ ‖snd 𝕜 E F‖ * ‖f‖


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N


(if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x) ≤ N + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: e : ℕ → α

Context: x : α

Context: N : ℕ

Context: ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N

Context: h✝ : ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: e : ℕ → α

Context: x : α

Context: N : ℕ

Context: ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N

Context: h✝ : ¬∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOn F f p s
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' s'

TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (s ×ˢ s')


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: f' : α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)

Context: h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' p' (𝓟 s')

TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (𝓟 (s ×ˢ s'))


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

Context: h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

¬((IsUnit (a - ↑ₐ z) ∧ IsUnit b) ∧ IsUnit (↑ₐ (exp 𝕜 z)))


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1

multinomial (insert a s) f = (s.sum f).succ * multinomial s f


(∑ i ∈ insert a s, f i)! / ∏ i ∈ insert a s, (f i)! = (s.sum f).succ * ((∑ i ∈ s, f i)! / ∏ i ∈ s, (f i)!)


(∑ x ∈ s, f x + 1) * (∑ x ∈ s, f x)! / (1! * ∏ x ∈ s, (f x)!) = (s.sum f).succ * ((∑ i ∈ s, f i)! / ∏ i ∈ s, (f i)!)


(∑ x ∈ s, f x + 1) * (∑ x ∈ s, f x)! / ∏ x ∈ s, (f x)! = (s.sum f).succ * ((∑ x ∈ s, f x)! / ∏ x ∈ s, (f x)!)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
f : ↑I → ↑I
hfcont : Continuous f
hf₀ : f 0 = 0
hf₁ : f 1 = 1
this : range f = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ


∀ (m : ℕ), n ≤ m → (trunc n f).coeff m = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n m✝ : ℕ
a✝ : n ≤ m✝


(if m✝ < n then (coeff R m✝) f else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α

edist x y ≤ ↑(ratio f)⁻¹ * edist (f x) (f y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
hr : ratio f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head

{ length := p.length + q.length, toFun := fun i => if H : ↑i < p.length then p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑i - p.length, ⋯⟩, step := ⋯ }.toFun 0 = p.toFun 0


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
H : p.length = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set β → Prop

Context: s : Set β

Context: h' : HasCountableSeparatingOn β p s

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s

Context: hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ∈ s

Context: h : ∀ (U : Set β), p U → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ U ↔ g x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set β → Prop

Context: s : Set β

Context: h' : HasCountableSeparatingOn β p s

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s

Context: hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ∈ s

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSp : ∀ s ∈ S, p s

Context: hS : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set β → Prop

Context: s : Set β

Context: h' : HasCountableSeparatingOn β p s

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ s

Context: hg : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ∈ s

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSp : ∀ s ∈ S, p s

Context: H : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ s ∈ S, f x ∈ s ↔ g x ∈ s


Context:
x✝ y x : ℝ
n : ℕ
ih : log (x ^ n) = ↑n * log x


Context:
x y : ℝ
n : ℕ
ih : log (0 ^ n) = ↑n * log 0


Context:
x✝ y x : ℝ
n : ℕ
ih : log (x ^ n) = ↑n * log x
hx : x ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ' μ ν : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
hG : LocallyCompactSpace G

μ'.haarScalarFactor ν = μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ' μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ' μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: Z : ∫ (x : G), g x ∂μ' = ∫ (x : G), g x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ' μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: Z : μ'.haarScalarFactor ν • ∫ (x : G), g x ∂ν = (μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν) • ∫ (x : G), g x ∂ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ' μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂ν

Context: Z : ↑(μ'.haarScalarFactor ν) * ∫ (x : G), g x ∂ν = ↑(μ'.haarScalarFactor μ * μ.haarScalarFactor ν) * ∫ (x : G), g x ∂ν


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = (r₂ /ₒ s₂) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)


((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = (sa • r₂ /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁

((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S


((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ ⟨↑sb * ra * ↑s₃, hs₃rasb⟩) • (r₁ /ₒ s₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃


((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁

Context: hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))

((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rb • r₁ /ₒ (sb * (sa * s₂)) + rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁

((sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = (sc • rb • r₁ + 1 • rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁

((sc * sb) • (sa • r₂ + ra • r₃) /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (sc • rb • r₁ + 1 • rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁

((↑sc * ↑sb * (↑sa * r₂) + ↑sc * ↑sb * (ra * r₃)) /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁

((↑sc * rb + rc) * ↑s₁ /ₒ (sc * sb * (sa * s₂))) • (r₁ /ₒ s₁) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : R

Context: s₂ : ↥S

Context: r₃ : R

Context: s₃ : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃

Context: rb : R

Context: sb : ↥S

Context: hb : ↑sb * (↑sa * r₂) = rb * ↑s₁

Context: hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S

Context: ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃

Context: rc : R

Context: sc : ↥S

Context: hc : ↑sc * (↑sb * ra * r₃) = rc * ↑s₁

(↑sc * rb + rc) • r₁ /ₒ (sc * sb * (sa * s₂)) = (↑sc • rb • r₁ + rc • r₁) /ₒ (sc * (sb * (sa * s₂)))


Context:
K✝ : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K✝
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
s✝¹ : Set K✝
K : Type u
inst✝ : Field K
s✝ : Subfield K
s : Set K
x : K

x ∈ closure s ↔ ∃ y ∈ Subring.closure s, ∃ z ∈ Subring.closure s, y / z = x


x ∈ Subfield.commClosure s ↔ ∃ y ∈ Subring.closure s, ∃ z ∈ Subring.closure s, y / z = x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
h : A.IsHermitian
k : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y
obs_x : min t x ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x y : ℝ≥0∞
x_le_y : x ≤ y
obs_x : min t x ≠ ⊤
obs_y : min t y ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))

LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho)) → LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho)) ℤ (⇑(Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Products.eval C ↑l)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho)) → LinearIndependent ℤ fun (l : ↑(MaxProducts C ho)) => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: h : LinearIndependent ℤ (eval (C' C ho))

Context: f : ↑(MaxProducts C ho) → ↑(GoodProducts (C' C ho)) := MaxToGood C hC hsC ho h₁

LinearIndependent ℤ fun (l : ↑(MaxProducts C ho)) => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: hf : Function.Injective f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: hf : Function.Injective f

Context: hh : (fun l => Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail) = eval (C' C ho) ∘ f

LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho)) ℤ (eval (C' C ho) ∘ f)


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.52420
L : Type ?u.52423
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
y : S
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0

eval y (minpolyDiv R x) = if x = y then (aeval x) (derivative (minpoly R x)) else 0


eval₂ ((RingHom.id S).comp (algebraMap R S)) y (minpoly R x) = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
a : E

‖a ^ n‖₊ ≤ ↑n * ‖a‖₊


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional (↥F) L

Context: h_le : F ≤ E

Context: h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field L'

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K L'

Context: S F E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional (↥F) L

Context: h_le : F ≤ E

Context: l : L

Context: hl : l ∈ E


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring P
x : R
inst✝¹⁶ : Away x S
g : R →+* P
Q : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring Q
inst✝¹⁴ : Algebra P Q
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : Algebra R A
B : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra R B
Aₚ : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing Aₚ
inst✝⁸ : Algebra A Aₚ
inst✝⁷ : Algebra R Aₚ
inst✝⁶ : IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing Bₚ
inst✝⁴ : Algebra B Bₚ
inst✝³ : Algebra R Bₚ
inst✝² : IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
inst✝¹ : Away a Aₚ
inst✝ : Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f

IsLocalization (Submonoid.map f.toRingHom (Submonoid.powers a)) Bₚ


IsLocalization (Submonoid.powers (f a)) Bₚ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
n : ℤ
hn : (f ^ n) x = y


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν


∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t = ν t → μ tᶜ = ν tᶜ


∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i) = ν (f i)) → μ (⋃ i, f i) = ν (⋃ i, f i)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → FiniteMeasure Ω
ν : FiniteMeasure Ω
lim : Tendsto νs L (𝓝 ν)
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f

Tendsto (fun i => (νs i).map f) L (𝓝 (ν.map f))


Context: Ω : Type u_1

Context: Ω' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'

Context: inst✝ : BorelSpace Ω'

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: νs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: ν : FiniteMeasure Ω

Context: lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(νs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν))

Context: f : Ω → Ω'

Context: f_cont : Continuous f

∀ (f_1 : Ω' →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑((νs i).map f)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑(ν.map f)))


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
p : R[X]
k : ℕ

(⇑derivative)^[k] (C a * p) = C a * (⇑derivative)^[k] p


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M

(trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] M

Context: h : (((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)) g) f = (((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)) g) f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] M

Context: h : (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)


Context:
α β : Type u
m n : ℕ

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B ∧ I ⊆ B


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X

∃ t, f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: y : X

Context: hyU : y ∈ U

f.toPOUFun i y = (⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))) y


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: y : X

Context: hyU : y ∈ U

f.toPOUFun i y = (f i) y * ∏ c ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f c) y


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: y : X

Context: hyU : y ∈ U

∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) y ≠ 0 → j ∈ hf.toFinset


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: y : X

Context: hyU : y ∈ U

Context: j : ι

Context: a✝ : WellOrderingRel j i

Context: hj : (f j) y ≠ 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
h : S = ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Antitone f
n a : ℕ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ K₂ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s

Context: hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t

EMetric.diam (image2 f s t) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ K₂ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ∀ x_1 ∈ s, ∀ y_1 ∈ t, edist (f x y) (f x_1 y_1) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ K₂ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: a₁ : α

Context: ha₁ : a₁ ∈ s

Context: b₁ : β

Context: hb₁ : b₁ ∈ t

Context: a₂ : α

Context: ha₂ : a₂ ∈ s

Context: b₂ : β

Context: hb₂ : b₂ ∈ t

edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ K₂ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: a₁ : α

Context: ha₁ : a₁ ∈ s

Context: b₁ : β

Context: hb₁ : b₁ ∈ t

Context: a₂ : α

Context: ha₂ : a₂ ∈ s

Context: b₂ : β

Context: hb₂ : b₂ ∈ t

edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
h : T.IsFinitelySatisfiable


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
this✝ : DecidableEq α
this : DecidableEq β

∀ (g : (a : α) → a ∈ s → α), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a * f (g a ha) = 1) → (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 1 → g a ha ≠ a) → ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∏ x ∈ s, f x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))

Context: E : A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows

Context: hx : x.Compatible

Context: T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩

Context: hh : IsLimit (T.multifork P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: E : A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: hx : x.Compatible

Context: T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩

Context: hh : IsLimit (T.multifork P)

Context: K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: E : A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: hx : x.Compatible

Context: T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩

Context: hh : IsLimit (T.multifork P)

(fun t => x.IsAmalgamation t) (hh.lift K) ∧ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = hh.lift K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : t.Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ

(zipWith f l₁ l₂).get? i = (Option.map f (l₁.get? i)).bind fun g => Option.map g (l₂.get? i)


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: x y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace

Context: h : 𝒰.fromGlued.val.base x = 𝒰.fromGlued.val.base y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace

Context: h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

Context: y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace

Context: h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base y)

(𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

Context: h : ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) x = ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

Context: h : (𝒰.gluedCover.ι i ≫ 𝒰.fromGlued).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j ≫ 𝒰.fromGlued).val.base y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

Context: h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

Context: e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

∃ x_1, (𝒰.gluedCover.f ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst).val.base x_1 = ⟨i, x⟩.snd ∧ (𝒰.gluedCover.t ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst ≫ 𝒰.gluedCover.f ⟨j, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst).val.base x_1 = ⟨j, y⟩.snd


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.gluedCover.J

Context: j : 𝒰.gluedCover.J

(𝒰.gluedCover.f ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨i, x⟩.snd ∧ (𝒰.gluedCover.t ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst ≫ 𝒰.gluedCover.f ⟨j, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨j, y⟩.snd


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
hy : y ∈ span K {coroot α}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: x y : ↥H

Context: hx : x ∈ Weight.ker

Context: hy : y ∈ span K {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = ↑x}


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

(X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff 0 = B.det


∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff 0 = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, B (σ i) i


∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff 0 = sign x • ∏ i : n, B (x i) i


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

(sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0 = sign g • ∏ i : n, B (g i) i


∏ i : n, B (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0


∏ i : n, B (g i) i = ∏ i : n, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0


∀ x ∈ Finset.univ, B (g x) x = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x) x).coeff 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Finset ℕ

Context: n✝ n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: a₁✝ a₂✝ : Finset ℕ

Context: h : (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₁✝ = (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₂✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
pb : PowerBasis R S

(norm R) pb.gen = (-1) ^ pb.dim * (minpoly R pb.gen).coeff 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K

(match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).s.get? 0 = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })


Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) ((IntFractPair.stream v).tail.get 0) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })


(match IntFractPair.stream v (Nat.succ 0) with | some x => some { a := 1, b := ↑x.b } | none => none) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2

(∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (n : A), ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2


(∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2


∑' (c : (n : A) × { x // x ∈ antidiagonal n }), f (sigmaAntidiagonalEquivProd c).1 * g (sigmaAntidiagonalEquivProd c).2 = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : X ≃ₜ Y
e'✝ : Y ≃ₜ Z
e : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
f'' : PartialHomeomorph Z Z'

(e.trans e').transPartialHomeomorph f'' = e.transPartialHomeomorph (e'.transPartialHomeomorph f'')


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hf : ∀ i ∈ t, i ∉ s → 1 ≤ f i


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

Context: J : Set α

Context: hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X

∀ (J_1 : Set α), M.Indep J_1 → J ⊆ J_1 → J_1 ⊆ X → J = J_1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton (Submodule R M)


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β

(HasLimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom ≫ π f (ε b) = π (f ∘ ⇑ε) b


limit.π (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)) { as := ε.symm (ε b) } ≫ (Discrete.functor f).map ((Discrete.equivalence ε).counit.app { as := ε b }) = π (f ∘ ⇑ε) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Continuous fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


∀ (x : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))

ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) g


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)


(fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) ≤ ?m.51003


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))

Context: this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))

Tendsto (fun i => ENNReal.ofReal ‖i - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: P Q : PresheafOfModules R

Context: T : PresheafOfModules R

Context: hom✝¹ : P.presheaf ⟶ Q.presheaf

Context: map_smul✝¹ : ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(P.presheaf.obj X)), (hom✝¹.app X) (r • x) = r • (hom✝¹.app X) x

Context: hom✝ : P.presheaf ⟶ Q.presheaf

Context: map_smul✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(P.presheaf.obj X)), (hom✝.app X) (r • x) = r • (hom✝.app X) x

Context: w : ∀ (X : Cᵒᵖ), { hom := hom✝¹, map_smul := map_smul✝¹ }.app X = { hom := hom✝, map_smul := map_smul✝ }.app X

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x : ↑(P.presheaf.obj X)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
U : Set (CofiniteTopology X)


(∃ t ⊆ U, IsOpen t ∧ x ∈ t) ↔ U ∈ pure x ⊔ cofinite


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M

CG L M ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear


∀ ⦃x y : β⦄, (SimpleGraph.map f G).Adj x y → ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ x ∈ s ∧ y ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b

∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ f a ∈ s ∧ f b ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b
s : Finset α
hs : G.IsNClique 3 s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)

Context: X : (a : α✝) → Part (β a)

Context: hX : f X ≤ X


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : (a : α✝) → Part (β a)

Context: hX : f X ≤ X


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : (a : α✝) → Part (β a)

Context: hX : f X ≤ X

∀ (i : ℕ), { toFun := approx ⇑f, monotone' := ⋯ } i ≤ X


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
x : R

((quotientMap I f H).comp (Quotient.mk J)) x = ((Quotient.mk I).comp f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: a : M

Context: b : ↥S

Context: a' : M

Context: b' : ↥S

Context: eq1 : (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a b) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a' b')

LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: a : M

Context: b : ↥S

Context: a' : M

Context: b' : ↥S

Context: eq1 : ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a')


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑b • f a' = ↑b' • f a


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

v +ᵥ p₂ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h✝ : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q
h : Y →ₗ[R] Q
H : h ∘ₗ i = f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: C : (⨁ (i : ι), M i) → Prop

Context: x : ⨁ (i : ι), M i

Context: H_zero : C 0

Context: H_basic : ∀ (i : ι) (x : M i), C ((lof R ι M i) x)

Context: H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), M i), C x → C y → C (x + y)


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)


Context: n : ℕ

image Prod.snd n.divisorsAntidiagonal = n.divisors


Context: n : ℕ

image (Prod.snd ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisorsAntidiagonal = n.divisors


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N'✝ : LieSubmodule R L M'
hf : Function.Injective ⇑f
N N' : LieSubmodule R L M
h : map f N = map f N'


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = seminormFromConst' hf1 hc hpm c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

seminormFromConst' hf1 hc hpm (c * x) = f c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Tendsto (seminormFromConst_seq c f (c * x)) atTop (𝓝 (f c * seminormFromConst' hf1 hc hpm x))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: hterm : seminormFromConst_seq c f (c * x) = fun n => f c * seminormFromConst_seq c f x (n + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b + a) (c + a)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E

(convexHull R) s = {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}


s ⊆ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}


Convex R {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}


{x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x} ⊆ (convexHull R) s


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ F

integral μ f = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
a : α
h : IsLUB (Set.range ⇑c) a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: c : Chain α

Context: a : α

Context: h : (∀ (a_1 : ℕ), c a_1 ≤ a) ∧ ∀ ⦃a_1 : α⦄, (∀ (a : ℕ), c a ≤ a_1) → a ≤ a_1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x y : K

Context: h : x * (algebraMap A K) ↑(den A y) = (algebraMap A K) (num A y)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x = y


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M₃
g : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] Fin n → M₃
x y : M
z : M₂

((fun m => (f m).vecCons (g m)) (x + y)) z = ((fun m => (f m).vecCons (g m)) x + (fun m => (f m).vecCons (g m)) y) z


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M₃
g : M →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] Fin n → M₃
r : R
x : M
z : M₂

({ toFun := fun m => (f m).vecCons (g m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) z = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (f m).vecCons (g m), map_add' := ⋯ }.toFun x) z


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B

∃ a, b ≡ (algebraMap A B) a [SMOD Ideal.span {pb.gen}]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Subsingleton B


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B
h✝ : Nontrivial B


b ≡ (algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩) [SMOD Ideal.span {pb.gen}]


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: pb : PowerBasis A B

Context: b : B

Context: h✝ : Nontrivial B

Context: H : ∑ i : Fin pb.dim, (pb.basis.repr b) i • pb.basis i = b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: pb : PowerBasis A B

Context: b : B

Context: h✝ : Nontrivial B

Context: H : (pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x = b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: pb : PowerBasis A B

Context: b : B

Context: h✝ : Nontrivial B

Submodule.Quotient.mk b = Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: pb : PowerBasis A B

Context: b : B

Context: h✝ : Nontrivial B

Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩ + ∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) = Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: pb : PowerBasis A B

Context: b : B

Context: h✝ : Nontrivial B

Submodule.Quotient.mk ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩ • pb.basis ⟨0, ⋯⟩) + Submodule.Quotient.mk (∑ x ∈ univ.erase ⟨0, ⋯⟩, (pb.basis.repr b) x • pb.basis x) = Submodule.Quotient.mk ((algebraMap A B) ((pb.basis.repr b) ⟨0, ⋯⟩)) + Submodule.Quotient.mk 0


Context:
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : OrderedCommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderClosedTopology α
f✝ g : ι → α
a a₁ a₂ : α
κ : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommGroup γ
inst✝³ : UniformSpace γ
inst✝² : UniformGroup γ
inst✝¹ : OrderClosedTopology γ
inst✝ : CompleteSpace γ
f : κ → γ
β : Set κ
h : ∀ (a : κ), 1 ≤ f a
hf : Multipliable f


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

denom (x * y) z = (↑(↑↑x 1 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 1 1)) * denom y z


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

denom (x * y) z = ↑(↑↑x 1 0) * num y z + ↑(↑↑x 1 1) * denom y z


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ


Context: s m n step : Nat

range' s (m + 1) step ++ range' (s + step * (m + 1)) n step = range' s (n + (m + 1)) step


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤

closure ((fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (R * S)) = ⊤


map H.subtype ⊤ ≤ closure ((fun x => H.subtype ⟨x * (↑(toFun hR x))⁻¹, ⋯⟩) '' (R * S))


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ✝ ψ : L.Formula α
v✝ : α → M
φ : L.Formula α
g : α → β
v : β → M

(relabel g φ).Realize v ↔ φ.Realize (v ∘ g)


BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim v (default ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Sum.inl ∘ g) (default ∘ natAdd 0) = BoundedFormula.Realize φ (v ∘ g) default


Context:
w x y z r : ℝ
l : List ℝ≥0

(List.map (fun x => x ^ r) (List.map toReal l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r


Context: w x y z r : ℝ

Context: l : List ℝ≥0

Context: this : ↑(List.map (fun x => x ^ r) l).prod = ↑(l.prod ^ r)


Context: w x y z r : ℝ

Context: l : List ℝ≥0

Context: this : (List.map toReal (List.map (fun x => x ^ r) l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r


Context: w x y z r : ℝ

Context: l : List ℝ≥0

Context: this : (List.map (toReal ∘ fun x => x ^ r) l).prod = (List.map toReal l).prod ^ r

(List.map ((fun x => x ^ r) ∘ toReal) l).prod = (List.map toReal l).prod ^ r


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: o : IsPell { re := ↑a, im := 1 } := isPell_one a1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z

pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f = Y.ofRestrict ⋯ ≫ g


(pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f).base = (Y.ofRestrict ⋯ ≫ g).base


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
U : (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ

((pullbackConeOfLeftFst f g ≫ f).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) (Y.restrict ⋯).presheaf).app U = (Y.ofRestrict ⋯ ≫ g).c.app U


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: hg : ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hα : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hα : Nonempty α

Context: hι : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hα : Nonempty α

Context: hι : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hα : Nonempty α

Context: hι : Nonempty ι

Context: p : δ → (ι → α) → Prop := fun x f' => IsLUB {a | ∃ i, f' i = a} (g x)

Context: g_seq : δ → α := (aeSeqSet hf p).piecewise g fun x => hα.some

Context: hg_seq : ∀ (b : δ), IsLUB {a | ∃ i, aeSeq hf p i b = a} (g_seq b)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x y : V

y ∈ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) ↔ y ∈ ker (B.toLinHomAux₁ x)


(∀ (n : V), (∃ a, a • x = n) → B.IsOrtho n y) ↔ (B.toLinHomAux₁ x) y = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a * b < c * d

Context: hc : 0 < c

Context: hh : c ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a * b < c * d

Context: hc : 0 < c

Context: hh : c ≤ a

Context: ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a * b < c * d

Context: hc : 0 < c

Context: ha : a ≠ 0

Context: hh : a⁻¹ ≤ c⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a * b < c * d

Context: hc : 0 < c

Context: ha : a ≠ 0

Context: hh : a⁻¹ ≤ c⁻¹

Context: this : a⁻¹ * (a * b) < c⁻¹ * (c * d)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀

Context: Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀

Context: Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁

Context: w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀

Context: Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁

Context: pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀

Context: Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁

Context: pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Splits (algebraMap F K) p

Fintype.card ↑(p.rootSet K) = p.natDegree


(p.aroots K).toFinset.card = p.natDegree


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcyc : IsCyclotomicExtension {p} K L

Context: h : p ≠ 2

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p ^ (0 + 1)) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: n : ℕ

(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
h : IsUnit L.prod


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit (m :: L).prod


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit m ∧ IsUnit L.prod