Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y

frontier (s ×ˢ t) = closure s ×ˢ frontier t ∪ frontier s ×ˢ closure t


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p q : α → Prop
a : Subtype p
b : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid M

Context: L L' : List M

Context: h : L.length = L'.length

Context: h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid M

Context: L L' : List M

Context: h : L.length = L'.length

Context: i : ℕ

Context: h₁ : i < L.length

Context: h₂ : i < L'.length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid M

Context: L L' : List M

Context: h : L.length = L'.length

Context: i : ℕ

Context: h₁ : i < L.length

Context: h₂ : i < L'.length

Context: this : (take (i + 1) L).prod = (take (i + 1) L').prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid M

Context: L L' : List M

Context: h : L.length = L'.length

Context: i : ℕ

Context: h₁ : i < L.length

Context: h₂ : i < L'.length

Context: this : (take i L').prod * L[i] = (take i L').prod * L'[i]


Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Group H

Context: M : Type x

Context: inst✝² : Monoid M

Context: I : Type w

Context: inst✝¹ : Group I

Context: f : G →* H

Context: inst✝ : f.range.Normal

Context: g : H →* I

Context: h : (mk' f.range).comp g.ker.subtype = 1

Context: x : H

Context: hx : x ∈ g.ker


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ

∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hr : r < ⨆ n, μ (s ∩ B n)
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hr : r < ⨆ n, μ (s ∩ B n)
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ B n)


Context: X : Scheme


Context: X : Scheme

⋃ i, ↑↑i = ↑⊤


Context: X : Scheme

IsTopologicalBasis (Set.range fun i => ↑↑i)


Context: X : Scheme

IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' X.affineOpens)


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R

(C a * X).toFinsupp = Finsupp.single 1 a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: x : α


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε

‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε


∀ (x : E), r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < r / 2 → ‖(L₁ - L₂) x‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r ≤ 2 * ‖c‖ * ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
hI : ¬I = 0


∀ (x : L), x ∈ I ↔ ∃ x', (algebraMap K L) x' = x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f

RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)


Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (LinearMap.ker f.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

(leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData S₂.homologyData.left


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'

P.p.app j ≫ P.X.map φ = ((fun j => { X := P.X.obj j, p := P.p.app j, idem := ⋯ }) j).p ≫ (P.p.app j ≫ P.X.map φ) ≫ ((fun j => { X := P.X.obj j, p := P.p.app j, idem := ⋯ }) j').p


P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : (P.p ≫ P.p).app j = P.p.app j


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : P.p.app j ≫ P.p.app j = P.p.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, f x * μ {x}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ

∏ x ∈ range (n + 1), f x = (∏ x ∈ range n, f x) * f n


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α

∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ i : ι, f (g i)


∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ j : κ, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
j : κ

∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
a : Pseudoelement P
a' : Over P


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
m₁ m₂ m₁₂ : ℤ
h₁₂ : n₁₂ + 1 = m₁₂
h₁ : n₁ + 1 = m₁
h₂ : n₂ + 1 = m₂


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q

(δ (n₁ + n₂) (n₁ + n₂ + 1) (z₁.comp z₂ ⋯)).v p q hpq = (z₁.comp (δ n₂ (n₂ + 1) z₂) ⋯).v p q hpq + n₂.negOnePow • ((δ n₁ (n₁ + 1) z₁).comp z₂ ⋯).v p q hpq


(z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯) ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₁ + n₂ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ (z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₂ + 1).negOnePow • G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + n₂.negOnePow • (z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) + (n₁ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯


z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -(n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + (n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ

μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊔ hg.approx n) n)) < ⊤


μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
a b : γ
x✝¹ : a ∈ f '' s
x✝ : b ∈ f '' s
x : M
hx : x ∈ s ∧ f x = a
y : M
hy : y ∈ s ∧ f y = b


Context:
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : SetLike B M✝
inst✝¹ : SubmonoidClass B M✝
S✝ : B
s : Submonoid M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

Set.range (s.reindex e).points = Set.range s.points


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : StarRing α


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2

Context: hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')

Context: hk : root k = sα β

Context: sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')

Context: sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)

coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

(p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')) (root k) = 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootSystem ι R M N

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hsp : span R (range ⇑root) = ⊤

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a b • p + toIcoMod hp a b = b


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s

s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ r a b


s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ s a b


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(⊤.toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) (((J.diagram P X).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

∀ (t : (S.index P).L), (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: i : (S.index P).L

(Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: i : (S.index P).L

(P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) x = ↑(Meq.mk S x) i


Context: z : ℤ


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = x \ y ⊓ (x ⊓ y)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : z ⊓ (x ⊓ y) = x \ y ⊓ (x ⊓ y)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X : C


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ

(ComplexShape.down ℕ).prev (n + 1) = n + 2


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ

Disjoint {x | ∃ k, beattySeq r k = x} {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}


∀ ⦃a : ℤ⦄, a ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} → a ∉ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : beattySeq r k = j
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r.IsConjExponent s

Context: j✝ k✝ j k : ℤ

Context: h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r

Context: m : ℤ

Context: h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s

Context: h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m

Context: h₄ : ↑k + ↑m < (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + 1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + ↑1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : j < k + m
h₄ : k + m ≤ j


Context: m k : ℕ+

Context: h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k


Context: m k : ℕ+

Context: this : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)


Context: m k : ℕ+

Context: this✝ : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)

Context: this : ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 + ↑k * (k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k)


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ

_root_.Disjoint (range a) (map (addLeftEmbedding a) (range b))


∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬a + x = a_1


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h : ∀ (i : n), 0 ≤ hA.eigenvalues i


(↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary).PosSemidef


∀ (i : n), 0 ≤ (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤

⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: h : S = ∅


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: h : S.Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: h : S.Nonempty

⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) ≤ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: h : S.Nonempty

torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a b : E

‖((mul 𝕜 E) a⋆) b‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖ * ‖b‖


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: f_lim : α → E

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

eLpNorm' f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: f_lim : α → E

(∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ) ^ (1 / p) ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: f_lim : α → E

∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: f_lim : α → E

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: f_lim : α → E

Context: h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: f_lim : α → E

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop


Context:
α : Type u
l l' : List α


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Iio a)) (𝓟 (Ioi a⁻¹))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x✝ x : A


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b a : α
f : β → α


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hg_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm) s (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hfg_mk_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk f hfm x ∂μ.trim hm = ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk g hgm x ∂μ.trim hm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: f : M → M'

Context: hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: f : M → M'

Context: hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)

Context: this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: f : M → M'

Context: hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)

ContMDiff I I' n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: f : M → M'

Context: hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b x✝ : α


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x✝² : G

Context: x✝¹ : InClosure s x✝²

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x✝²

Context: x : G

Context: hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse

Context: y : G

Context: hy1 : y ∈ L.reverse

Context: hy2 : y⁻¹ = x

y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x✝² : G

Context: x✝¹ : InClosure s x✝²

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x✝²

Context: x : G

Context: hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse

Context: y : G

Context: hy1 : y ∈ L.reverse

Context: hy2 : y⁻¹ = x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x : G

Context: x✝¹ : InClosure s x

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : G

Context: tl : List G

Context: ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹

(List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x y : G

Context: x✝³ : InClosure s x

Context: x✝² : InClosure s y

Context: x✝¹ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = y

Context: L1 : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L1.prod = x

Context: L2 : List G

Context: HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL4 : L2.prod = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2

Infinite (α ⊕ β) ↔ Infinite α ∨ Infinite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
H : Infinite (α ⊕ β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β
this : Fintype α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α

ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R

r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')


(∃ y ∈ vanishingIdeal t, ∃ z ∈ vanishingIdeal t', y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asIdeal


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : f ∈ vanishingIdeal t
g : R
hg : g ∈ vanishingIdeal t'
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal
g : R
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asIdeal
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsInternal V

Context: hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: w : PiLp 2 fun i => ↥(V i)

(hV.isometryL2OfOrthogonalFamily hV').symm w = ∑ i : ι, ↑(w i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset ι
f : ι → α

Independent (f ∘ Subtype.val) ↔ s.SupIndep f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List α
i : Fin L.length


Context:
n : ℕ
i : ZMod n


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s : Set X

μ ≤ pre m r ↔ ∀ (s : Set X), diam s ≤ r → μ s ≤ m s


Context:
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0

ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)


Context:
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ 0 ≠ 0

ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (0, y)


Context:
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : x < 0


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this : FiniteDimensional K L


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L

Context: hn : 0 < n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: hn : 0 < n

Context: this : NeZero n


Context: R : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f i : N →ₗ[R] M

Context: K : Submodule R N

Context: m : ℕ

Context: heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hi : Injective ⇑i

Context: n : ℕ

f.iterateMapComap i n K = f.iterateMapComap i (n + 1) K


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑↑N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]

∀ (n : ℕ), (X * p.divX + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : ¬Summable f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M

of' R M m ∈ span R (of' R M '' S) ↔ m ∈ S


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R (of' R M '' S)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : ↑{m} ⊆ S


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Icc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a


Context:
p n r b : ℕ
hp : Prime p
hbn : log p n < b

p ^ r ∣ n ! ↔ r ≤ ∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

n₁ /. d₁ + n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ + n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)


Context: q : Λ'

Context: c : List Γ'

Context: x : Γ'

Context: b : List Γ'

Context: IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }

Context: s : Option Γ'

Context: a d : List Γ'

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a (x :: b) c d } { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }


Context: q : Λ'

Context: c : List Γ'

Context: x : Γ'

Context: b : List Γ'

Context: s : Option Γ'

Context: a d : List Γ'

TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr q.copy) s (elim a (x :: b) c d)) { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }


Context: q : Λ'

Context: c : List Γ'

Context: x : Γ'

Context: b : List Γ'

Context: s : Option Γ'

Context: a d : List Γ'

TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some q.copy, var := some x, stk := elim ((some x).iget :: a) b c ((some x).iget :: d) } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux (x :: a)) [] c (b.reverseAux (x :: d)) }


Context:
n : ℤ
hn : n % 4 = 1


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)
l : d * (w * w) < c * (z * z)
zw : d * (y * y) ≤ c * (x * x)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: ι : Type w

Context: X : ι → C

Context: f : (j : ι) → X j ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasWidePullback B X f

Context: inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)

Context: x y : (forget C).obj (widePullback B X f)

Context: h₀ : (base f) x = (base f) y

Context: h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: ι : Type w

Context: X : ι → C

Context: f : (j : ι) → X j ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasWidePullback B X f

Context: h₀ : (base f) x = (base f) y

Context: h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

∀ (j : WidePullbackShape ι), (limit.π (wideCospan B X f) j) x = (limit.π (wideCospan B X f) j) y


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : One γ
f : α → β
x✝ : β


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

F.map₂ (λ_ f).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ (fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f


(λ_ (F.map f)).hom = ((fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f) ≫ (F.map₂Iso (λ_ f)).hom


F.map₂ (ρ_ f).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)


(ρ_ (F.map f)).hom = (F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)) ≫ (F.map₂Iso (ρ_ f)).hom


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


{ a := 1, b := -W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 - W.a₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + W.a₂, c := 2 * x₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (W.a₁ * x₁ - 2 * y₁ - W.a₃) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + (-W.a₁ * y₁ + W.a₄), d := -x₁ ^ 2 * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (2 * x₁ * y₁ + W.a₃ * x₁) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ - (y₁ ^ 2 + W.a₃ * y₁ - W.a₆) } = { a := 1, b := -(x₁ + x₂ + W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)), c := x₁ * x₂ + x₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) + x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂), d := -(x₁ * x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) }


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: f' : F

Context: x₀ : 𝕜

Context: hf : HasDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s t : Interval α
a b : α


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: ha : a ∉ s

(insert a s).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β


Context: a b : ℚ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P

Context: g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P

Context: H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)

Context: z : M ⊗[R] N


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P

Context: g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P

Context: z x y : M ⊗[R] N

Context: ihx : g x = h x

Context: ihy : g y = h y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p : ℤ


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n

a • approxOrderOf A n δ ⊆ approxOrderOf A (orderOf a * n) δ


⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ ⊆ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
b : A
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ

c ∈ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ


∃ i, orderOf i = orderOf a * n ∧ c ∈ ball i δ


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
b : A
han : (orderOf a).Coprime (orderOf b)
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α


Context:
a b m n✝ p✝ p k n : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b : β
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α

GameAdd rα s(fst✝¹, snd✝¹) s(fst✝, snd✝) ↔ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹) (fst✝, snd✝) ∨ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹).swap (fst✝, snd✝)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i n)


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b (r i x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜

HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • p.coeff n) (f z)


(∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔ ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25254, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c

((hc.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ Fork.ι c = 0 ≫ Fork.ι c


(hc.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ Fork.ι c = 0 ≫ Fork.ι c


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
j : ι
inst✝ : Decidable (i = j)

(b.repr (b i)) j = if i = j then 1 else 0


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y

Context: hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y

Context: hg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : ∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: u : ℝ

Context: hau : u ∈ Ioi a

Context: hu : Ioo a u ⊆ s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.19515, u_1} D
P : MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
hf' : P f'
e : Arrow.mk f' ≅ Arrow.mk f


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Semiring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b.natDegree ≤ d

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree

Context: f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff ↑j


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Semiring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b.natDegree ≤ d

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Semiring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b.natDegree ≤ d

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Semiring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b.natDegree ≤ d

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hbj : ¬b.degree ≤ ↑j


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Semiring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b.natDegree ≤ d

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hbj : ↑j < b.degree


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i

(∫⁻ (y : (i : { x // x ∈ ∅ }) → π ↑i), f (updateFinset x ∅ y) ∂Measure.dirac fun a => isEmptyElim a) = f x


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i

Measurable fun a => f (updateFinset x ∅ a)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g

(μ.map ⋯).prod (ν.map ⋯) = (μ.prod ν).map ⋯


↑((μ.map ⋯).prod (ν.map ⋯)) = ↑((μ.prod ν).map ⋯)


(Measure.map f ↑μ).prod (Measure.map g ↑ν) = Measure.map (Prod.map f g) ((↑μ).prod ↑ν)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → a ≠ b


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.28154, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

(fun i => (f.f i).unop) i ≫ X✝.unopSymm.d i j = Y✝.unopSymm.d i j ≫ (fun i => (f.f i).unop) j


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s ∈ atTop
x : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
x : α
hs : Ici x ⊆ s


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
L : List α
h' : ∀ (a : α), a ∈ L → p a


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b + 1

↑(Fintype.card ↑(Set.Icc a b)) = b + 1 - a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f
H : IsArtinianRing R


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x < x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : N → N'

Context: r : Set N

Context: y : N

Context: fst✝ : M

Context: snd✝ : N

Context: hf : ContMDiffAt I I' n f (fst✝, snd✝).1

Context: hg : ContMDiffAt J J' n g (fst✝, snd✝).2

ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (fst✝, snd✝)


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : MulActionWithZero G₀ α
inst✝³ : MeasurableSpace G₀
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSMul G₀ α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : MulActionWithZero G₀ α
inst✝³ : MeasurableSpace G₀
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSMul G₀ α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : MulActionWithZero G₀ α
inst✝³ : MeasurableSpace G₀
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSMul G₀ α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : IntegrableOn f s μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f

ENNReal.ofReal (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α) in s, ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C

(BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X 𝒯.cone.pt Y).hom ≫ (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ BinaryFan.snd (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone)) = (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ BinaryFan.fst (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X 𝒯.cone.pt Y).hom ≫ (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone.pt).cone ≫ BinaryFan.snd (ℬ 𝒯.cone.pt Y).cone))) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j = (ℬ X Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ BinaryFan.fst (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X 𝒯.cone.pt).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y)) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ f p ↔ ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpTo (↑n) f p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)

(μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: hμ'ν : μ' ≪ ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: hμ'ν : μ' ≪ ν

Context: h : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ'.rnDeriv ν x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: hμ'ν : μ' ≪ ν

Context: h1 : μ'.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: hμ'ν : μ' ≪ ν

Context: h1 : μ'.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν

Context: h2 : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: hμ'ν : μ' ≪ ν

Context: h1 : μ'.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν

Context: x : α

Context: hx : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν x = f x * μ'.rnDeriv ν x

Context: hx1 : μ'.rnDeriv ν x = μ.rnDeriv ν x

Context: hx2 : (μ'.withDensity f).rnDeriv ν x = (μ.withDensity f).rnDeriv ν x

(μ.withDensity f).rnDeriv ν x = f x * μ.rnDeriv ν x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
h : y * x ∈ I


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
h : y * x ∈ I
y' : α
hy' : y' * y = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y
h : y * x ∈ I
y' : α
hy' : y' * y = 1
this : y' * (y * x) ∈ I


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : IsSeparable F x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : (minpoly F (e.symm x)).Separable


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re

HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re + a.re

Context: this : HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) (s + a) (1 / (s + a))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re + a.re

Context: this : MellinConvergent ((Ioc 0 1).indicator fun a_1 => ↑a_1 ^ a) s ∧ mellin ((Ioc 0 1).indicator fun a_1 => ↑a_1 ^ a) s = 1 / (s + a)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a : ⨂[R]^na M

Context: b : ⨂[R]^nb M

Context: c : ⨂[R]^nc M

Context: mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c) = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a : ⨂[R]^na M

Context: b : ⨂[R]^nb M

Context: c : ⨂[R]^nc M

Context: e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a : ⨂[R]^na M

Context: b : ⨂[R]^nb M

Context: c : ⨂[R]^nc M

Context: lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb

Context: lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)

Context: rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip

Context: rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a : ⨂[R]^na M

Context: b : ⨂[R]^nb M

Context: c : ⨂[R]^nc M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a✝ : ⨂[R]^na M

Context: b✝ : ⨂[R]^nb M

Context: c✝ : ⨂[R]^nc M

Context: a : Fin na → M

Context: b : Fin nb → M

Context: c : Fin nc → M

(((((lhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c = (((((rhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a✝ : ⨂[R]^na M

Context: b✝ : ⨂[R]^nb M

Context: c✝ : ⨂[R]^nc M

Context: a : Fin na → M

Context: b : Fin nb → M

Context: c : Fin nc → M

(tprod R) (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) = (tprod R) (Fin.append a (Fin.append b c))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a✝ : ⨂[R]^na M

Context: b✝ : ⨂[R]^nb M

Context: c✝ : ⨂[R]^nc M

Context: a : Fin na → M

Context: b : Fin nb → M

Context: c : Fin nc → M

Context: j : Fin (na + (nb + nc))

(Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a✝ : ⨂[R]^na M

Context: b✝ : ⨂[R]^nb M

Context: c✝ : ⨂[R]^nc M

Context: a : Fin na → M

Context: b : Fin nb → M

Context: c : Fin nc → M

Context: j : Fin (na + (nb + nc))

((Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: na nb nc : ℕ

Context: a✝ : ⨂[R]^na M

Context: b✝ : ⨂[R]^nb M

Context: c✝ : ⨂[R]^nc M

Context: a : Fin na → M

Context: b : Fin nb → M

Context: c : Fin nc → M

Context: j : Fin (na + (nb + nc))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
S : Submonoid M


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a

(algebraMap S T) x ∈ span R (⇑(algebraMap S T) '' a)


∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a✝ : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Fintype α
f : α → β
a : α
this : Unique α


Context:
n : ℕ
this : ∃ x < n + 1, (n + 1).gcd x = 1


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : TruncatedWittVector p m (ZMod p)

((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate hm)) x✝ = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))).comp (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom) x✝


Context:
F : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : TopologicalSpace F
s t : Set F
hs : AmpleSet s
ht : AmpleSet t
x : F
hx : x ∈ s ∪ t

(convexHull ℝ) (connectedComponentIn (s ∪ t) x) = univ


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us


t₁ ≤ generateFrom (SetLike.coe '' Us) ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α

s.singularPart μ ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ ⟂ₘ μ


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧ (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
this : card s.powerset = 2 ^ card s


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Sort u_3

Context: x y : α

Context: dist : α → α → ℝ

Context: dist_self : ∀ (x : α), dist x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : α), dist x y = dist y x

Context: dist_triangle : ∀ (x y z : α), dist x z ≤ dist x y + dist y z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e

∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: e : X → Y

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hg : ‖g‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖

∃ g_1, ‖g_1‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖ ∧ ⇑g_1 ∘ e = ⇑(g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ })


Context:
ι : Type u_1
k : ℕ
m : Multiset ℕ


Context:
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ

k.Coprime (Multiset.prod ⟦a✝⟧) ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, k.Coprime n


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = ↑(PositiveCompacts.piIcc01 ι)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = uIcc (fun i => 0) fun i => 1


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι


Context: V : Type u

Context: inst✝ : Quiver V

Context: X✝¹ Y✝ X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)

Context: X✝ Z : Quiver.Symmetrify V

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: XW : X✝¹ ⟶ Paths.of.obj X✝

Context: WY : Paths.of.obj X✝ ⟶ Y✝

Context: this : Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse WY ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ Quiver.Path.reverse XW) (Quiver.Path.reverse WY ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ Quiver.Path.reverse XW)

Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse (XW ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ WY)) (Quiver.Path.reverse (XW ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ WY))


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α✝

Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : Preorder ι'

Context: inst✝² : Nonempty ι'

Context: inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Order.Frame α

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Finite

Context: f : ι → ι' → α

Context: hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)

⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α✝

Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : Preorder ι'

Context: inst✝² : Nonempty ι'

Context: inst✝ : Order.Frame α

Context: s : Set ι

Context: f : ι → ι' → α

Context: hf : ∀ i ∈ ∅, Monotone (f i)

⨆ j, ⨅ i ∈ ∅, f i j = ⨅ i ∈ ∅, ⨆ j, f i j