Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
this : X ^ (n + 1) ∈ degreeLE R ↑n


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n
this : 1 = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: HU : ∀ (u : ℕ → α), (∀ (N m n : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → (u m, u n) ∈ U N) → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U' : ℕ → Set (α × α)

Context: hU' : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ i, U' i ⊆ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U' : ℕ → Set (α × α)

Context: Hmem : ∀ (n : ℕ), U n ∩ U' n ∈ 𝓤 α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U' : ℕ → Set (α × α)

Context: Hmem : ∀ (n : ℕ), U n ∩ U' n ∈ 𝓤 α

Context: f✝ : Filter α

Context: hf : Cauchy f✝

Context: N m n : ℕ

Context: hm : N ≤ m

Context: hn : N ≤ n

(SequentiallyComplete.seq hf Hmem m, SequentiallyComplete.seq hf Hmem n) ∈ U N


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U' : ℕ → Set (α × α)

Context: Hmem : ∀ (n : ℕ), U n ∩ U' n ∈ 𝓤 α

Context: f✝ : Filter α

Context: hf : Cauchy f✝

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : 𝕜
hx : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α' → β → δ

Context: g' : α → α'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b

image2 f' (g' '' s) ((fun b => b) '' t) = image2 f' (g' '' s) t


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
h : finrank ℚ K = 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : finrank ℚ K = 1

Context: this : NrRealPlaces K + 2 * NrComplexPlaces K = finrank ℚ K


Context:
k : ℕ
hk : 1 < k


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁵ : Module k V1

Context: inst✝⁴ : Module k V2

Context: inst✝³ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: inst✝ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁵ : Module k V1

Context: inst✝⁴ : Module k V2

Context: inst✝³ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x✝ y : M
a b : R
h : a + b = 1
x : M


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

Y ^ 2 + C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C (map W f).toAffine.a₂ * X ^ 2 + C (map W f).toAffine.a₄ * X + C (map W f).toAffine.a₆) = Polynomial.map (mapRingHom f) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜₁ : Type u_7
𝕜₂ : Type u_8
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
σ_iso : Isometry ⇑σ
this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0
hf₀ : Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: 𝕜₁ : Type u_7

Context: 𝕜₂ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁

Context: inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ

Context: s : Set E

Context: f : E →SL[σ] F

Context: σ_iso : Isometry ⇑σ

Context: this : map (⇑σ) (𝓝 0) = 𝓝 0

Context: hf₀ : Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: hs : Tendsto (fun x => x • s) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets

Tendsto ((fun x => x • ⇑f '' s) ∘ ⇑σ) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
f : α → ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ


Context:
X Y Z : Type u
f g : X ⟶ Y
π : Y ⟶ Z
e : f ≫ π = g ≫ π
h : IsColimit (Cofork.ofπ π e)
U : Set Y
H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U


Context: X Y Z : Type u

Context: f g : X ⟶ Y

Context: π : Y ⟶ Z

Context: e : f ≫ π = g ≫ π

Context: h : IsColimit (Cofork.ofπ π e)

Context: U : Set Y

Context: H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U

Context: lem : ∀ (x y : Y), CoequalizerRel f g x y → (x ∈ U ↔ y ∈ U)


Context: X Y Z : Type u

Context: f g : X ⟶ Y

Context: π : Y ⟶ Z

Context: e : f ≫ π = g ≫ π

Context: h : IsColimit (Cofork.ofπ π e)

Context: U : Set Y

Context: H : f ⁻¹' U = g ⁻¹' U

Context: eqv : _root_.Equivalence fun x y => x ∈ U ↔ y ∈ U


Context: a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r

TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n y) (fun y => f (x + y)) atTop (Metric.ball 0 ↑r')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r', dist (f (x + x_1)) (p.partialSum n x_1) < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 (C * 0))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : C * a ^ n < ε

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

W'.addY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.addY P Q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α

(insert a s).sym2 = image (fun b => s(a, b)) (insert a s) ∪ s.sym2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s


Context: z : ℂ

HasSum (fun n => z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (cosh z)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ι

sᶜ.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] sᶜ.indicator (f n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hx : f n x = g n x

sᶜ.indicator (g n) x = sᶜ.indicator (f n) x


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: P : (Fin n → α) → Prop

Context: hf : P f

Context: h : ∀ (σ : Equiv.Perm (Fin n)) (i j : Fin n), i < j → (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i → P (f ∘ ⇑σ) → P (f ∘ ⇑σ ∘ ⇑(Equiv.swap i j))

Context: this : Preorder (Equiv.Perm (Fin n)) := Preorder.lift fun σ => toLex (f ∘ ⇑σ)

Context: σ : Fin n ≃ Fin n

Context: hσ : (fun σ => f ∘ ⇑σ) σ ≠ (fun σ => f ∘ ⇑σ) (sort f)

Context: hfσ : P ((fun σ => f ∘ ⇑σ) σ)


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: P : (Fin n → α) → Prop

Context: hf : P f

Context: σ : Fin n ≃ Fin n

Context: hfσ : P ((fun σ => f ∘ ⇑σ) σ)

Context: i j : Fin n

Context: hij₁ : i < j

Context: hij₂ : (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]

derivative ((expand R p) f) = (expand R p) (derivative f) * (↑p * X ^ (p - 1))


deriv arcsin = fun x => 1 / √(1 - x ^ 2)


Context: x : ℝ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N

z = w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ ↔ z * f ↑y = w


Context:
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.96057, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.96057, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
y : (n : ℕ) → E n

y ∈ ⋃ k, cylinder (update x n k) (n + 1) ↔ y ∈ cylinder x n


(∃ i, ∀ i_1 < n + 1, y i_1 = update x n i i_1) ↔ ∀ i < n, y i = x i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.16313, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n

Context: app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ⟶ G.obj i

Context: w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ app ⟨i + 1, ⋯⟩ = app ⟨i, ⋯⟩ ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi

∀ ⦃X Y : Fin (n + 1)⦄ (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ app Y = app X ≫ G.map f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.16313, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n

∀ (k i j : ℕ) (hj : i + k = j) (hj' : j ≤ n), F.map' i j ⋯ hj' ≫ app ⟨j, ⋯⟩ = app ⟨i, ⋯⟩ ≫ G.map' i j ⋯ hj'


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ

i ∈ p.restriction.support ↔ i ∈ p.support


p.restriction.coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0


p.restriction.coeff i = 0 ↔ ↑(p.restriction.coeff i) = 0


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N

f.toEmbedding.comp f.symm.toEmbedding = Embedding.refl L N


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a
d : EReal
hd : limsup v f < d
hdb : d < b


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

Injective R (CharacterModule M) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)


(∀ ⦃X Y : Type v⦄ [inst : AddCommGroup X] [inst_1 : AddCommGroup Y] [inst_2 : Module R X] [inst_3 : Module R Y] (f : X →ₗ[R] Y), Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ h, ∀ (x : X) (x_1 : M), (h (f x)) x_1 = (g x) x_1) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → ∀ (b : N →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ a, ∀ (x : N) (x_1 : M), (((lcomp R (CharacterModule M) L) a) x) x_1 = (b x) x_1


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ


(fun x => ?m.78773.factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + 1)) = (fun x => ?m.78773.factorial • x) 0


?m.78773.factorial • multichoose (-↑n) (n + 1) = ?m.78773.factorial • 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
hn : 1 < n.natAbs
h : ↑n ≠ 0


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ : E
v : ↑(sphere 0 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s

{ ofColex := insert a s } < { ofColex := insert b s } ↔ a < b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
inst✝⁹ : Module R M'✝
inst✝⁸ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
a : α
ht : a ∈ t
hs : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a b✝ c : α
inst✝ : NoMinOrder α
b : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
h : f.degree ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : IsUnit x
h : (C x).degree ≠ 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M


Context:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok

eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) = do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)


Context:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg

x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ x ∈ do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)


x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context: x y : EReal


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
hx : x ∈ conjugatesOfSet s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x y : G
ihx : x ∈ N
ihy : y ∈ N


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
ihx : x ∈ N


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f : Perm α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size

m.size = ((m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val AssocList.nil ⋯).update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size


m.size = (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size


Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β → β

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: k : α

Context: h : m.size = m.buckets.size

Context: w✝¹ w✝ : List (AssocList α β)

Context: h₁ : m.buckets.val.data = w✝¹ ++ m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val] :: w✝

Context: left✝ : w✝¹.length = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat

Context: eq : (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = w✝¹ ++ AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝

Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (w✝¹ ++ AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝))


Context:
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
i : ℕ
h : i < n + 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, (⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f n⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: n x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Iio n

(⟪gramSchmidt 𝕜 f x✝, f n⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 f x✝‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 f x✝ = ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f x✝})) (f n))


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝ : SeminormedRing R
f : α →ᵇ R


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝ : SeminormedRing R
f : α →ᵇ R
n : ℕ


Context: x : ℝ

(∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x) ↔ Liouville x


Context:
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n : ℕ

∃ a b, 1 < b ∧ x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context:
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n b : ℕ
hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-↑n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1 < ↑(dValue N)


2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹


log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) ≤ log ↑N / ↑(nValue N)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
hB : B < 0
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : p.natDegree ≠ 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
z : K
hz : z ∈ (map f p).roots


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : ConcreteCategory D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: φ : F₁ ⟶ F₂

Context: ψ : F₂ ⟶ F₃

Context: hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x y : (forget D).obj (F₁.obj X)

Context: h : (φ.app X) x = (φ.app X) y


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : ConcreteCategory D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: φ : F₁ ⟶ F₂

Context: ψ : F₂ ⟶ F₃

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x y : (forget D).obj (F₁.obj X)

Context: h : (φ.app X) x = (φ.app X) y


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : ConcreteCategory D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: φ : F₁ ⟶ F₂

Context: ψ : F₂ ⟶ F₃

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x y : (forget D).obj (F₁.obj X)

Context: h : (φ.app X) x = (φ.app X) y

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ unop X

(equalizerSieve x y).arrows f ↔ ⊤.arrows f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : ConcreteCategory D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: φ : F₁ ⟶ F₂

Context: ψ : F₂ ⟶ F₃

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x y : (forget D).obj (F₁.obj X)

Context: h : (φ.app X) x = (φ.app X) y

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ unop X


Context:
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0

↑(q * r) = ↑(divNat (q.num * r.num) (q.den * r.den))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

QuasiMeasurePreserving Prod.fst (μ.prod ν) μ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h2s : μ s = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x x✝ : R

eval₂ (evalRingHom x) x✝ = evalEval x x✝


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K

∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|


∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = Complex.abs (∏ σ : K →ₐ[ℚ] ℂ, σ x)


↑|(Algebra.norm ℚ) x| = Complex.abs ((algebraMap ℚ ℂ) ((Algebra.norm ℚ) x))


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
a : α

(∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball a i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε


Context:
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m


Context:
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousAt (f k) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets

∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' U


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0

∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r


(s.sup p).ball 0 r ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r


Context: x : ℝ

WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ↑↑x = Ioi x


Context: x : ℝ

WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ↑↑x) = Ioi x


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d✝ : α
l l' : List α
d : α
n : ℕ
h : n < l.length


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 1) ⋯

(algebraMap A B) (mk' A 1 h) = (algebraMap A B) 1


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F

(((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).kahler x) y = (o.kahler (φ.symm x)) (φ.symm y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β

(N.comap f).Dep I ↔ N.Dep (f '' I) ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I


(N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ↔ ¬N.Indep (f '' I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I

(N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁹ : Field Fq

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: Fqt : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field Fqt

Context: inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt

Context: inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: inst✝³ : Algebra Fqt F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F

Context: inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F

Context: e : RatFunc Fq ≃ₐ[Fq[X]] Fqt := IsLocalization.algEquiv Fq[X]⁰ (RatFunc Fq) Fqt

FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁹ : Field Fq

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: Fqt : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field Fqt

Context: inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt

Context: inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: inst✝³ : Algebra Fqt F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F

Context: this : ∀ (c : RatFunc Fq) (x : F), e c • x = c • x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)

(fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨sb * ra + sa * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: wa : ∀ (x : ↥Va), a ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: wb : ∀ (x : ↥Vb), b ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)

Localization.mk (sb * ra + sa * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (sb * ra + sa * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ γ₁✝ γ₂✝ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ₁ γ₂ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

(rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (γ₁ + γ₂) = γ₁.rightUnshift n hn + γ₂.rightUnshift n hn


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

s ∈ coclosedLindelof X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsLindelof t ∧ tᶜ ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ

↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C ∈ A.powerset.erase ∅

Context: hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

↑(B ^ m / B ^ n).card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

↑((B ^ m / B ^ n).card * C.card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

↑((B ^ m * C).card * (C * B ^ n).card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

↑(B ^ m * C).card * ↑(C * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

↑(C * B ^ m).card * ↑(C * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

(↑(C * B).card / ↑C.card) ^ m * ↑C.card * ((↑(C * B).card / ↑C.card) ^ n * ↑C.card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B✝ C✝ : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: B : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅

Context: C : Finset α

Context: hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A

(↑(C * B).card / ↑C.card) ^ (m + n) * ↑C.card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p k : R[X]
h : p * k ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α

x✝ ∈ Ioo a b ∩ Ioi c ↔ x✝ ∈ Ioo (max a c) b


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
r : R

↑((e.toRingEquiv.subsemiringMap S.toSubsemiring).toFun ((algebraMap R ↥S) r)) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)


e.toRingEquiv ↑((algebraMap R ↥S) r) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ρ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ¬IsSFiniteKernel ρCond


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝ y : G✝
n m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G


(∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1) ↔ ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = ↑n.natAbs


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = -↑n.natAbs


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hw : w ∈ M.verts
ha : M.Adj v w


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : N₂ ≤ f.range


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
x✝ : α

x✝ ∈ Iic (⨅ i, f i) ↔ x✝ ∈ ⋂ i, Iic (f i)


Context:
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
S : PointedCone ℝ E
y : E

y ∈ S.dual ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ S → 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y
c : ℝ


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : Dual R M ⊗[R] N

(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm ((dualTensorHom R M N) x) = x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂

(fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F

Context: inst✝ : Mono (F.map f)

Context: this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F

Context: inst✝ : Mono (F.map f)

Context: this : IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) ⋯)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ


∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp2 : p = 2


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp_odd : p % 2 = 1


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: h : isGood (π C J) l

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: h : isGood (π C J) l

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬J i


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: h : isGood (π C J) l

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬J i

eval (π C J) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C J) '' {m | m < l})


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: h : isGood (π C J) l

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬J i

Context: w✝ : I → Bool

Context: left✝ : w✝ ∈ C

(eval (π C J) l) ⟨Proj J w✝, ⋯⟩ = 0 ⟨Proj J w✝, ⋯⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: h✝ : isGood (π C J) l

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬J i

Context: w✝ : I → Bool

Context: left✝ : w✝ ∈ C

Context: h : ∀ i ∈ ↑l, ↑⟨Proj J w✝, ⋯⟩ i = true


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L

Context: f : L →ₐ[K] L

Context: b : L

Context: p : K[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: he : (aeval b) p = 0

Context: f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L

Context: f : L →ₐ[K] L

Context: b : L

Context: p : K[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: he : (aeval b) p = 0

Context: this : Function.Surjective f'


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L

Context: f : L →ₐ[K] L

Context: b : L

Context: p : K[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: he : (aeval b) p = 0

Context: this : Function.Surjective f'

Context: a : ↑(p.rootSet L)

Context: ha : f' a = ⟨b, ⋯⟩


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

K.pOpcycles i ≫ K.opcyclesToCycles i j = K.toCycles i j


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : Cocone G
j : J

ι F j ≫ colimMap α ≫ desc G c = ι F j ≫ desc F ((Cocones.precompose α).obj c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Icc a b)

Context: a b : α

Context: hab : ¬a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a b : α

Context: hab : ¬a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
y : W.CoordinateRing
hy : (map W f) y = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p q : R[X]

Context: hy : (map W f) (p • 1 + q • (mk W) Y) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p q : R[X]

Context: hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p q : R[X]

Context: hp : Polynomial.map f p = 0

Context: hq : Polynomial.map f q = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p q : R[X]

Context: hp : p = 0

Context: hq : q = 0


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ

A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det


∑ j_1 : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑j_1) * Aᵀ j j_1 * (Aᵀ.submatrix j.succAbove j_1.succAbove).det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

(-1) ^ (↑j + ↑i) * Aᵀ j i * (Aᵀ.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set Y
hu : IsOpen u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s

∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hg_eq : ∀ x ∈ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = ↑(hf.approx n) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hg_zero : ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
y : E

⟪0, y⟫_𝕜 = ↑‖0‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • 0 = ↑‖0‖ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ : x ≠ 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E

ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪(fderiv ℝ f x) u, (fderiv ℝ f x) v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ


Context:
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
n : ℕ


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i j : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Context: hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i j : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i✝ j✝ : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: hij : i ≠ j


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
p : R[X]


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : M < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b + ↑d - (↑a + ↑c)

↑n ∣ ↑d - ↑c


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)

↑n ∣ ↑d - ↑c


↑d - ↑c = ↑b - ↑a + (↑d - ↑c) - (↑b - ↑a)


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
l : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
n : α
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x ≤ n


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → Field (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: p : Ring.DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: H : (Ring.DirectLimit.of G f i) x ≠ 0

(Ring.DirectLimit.of G f i) x * (Ring.DirectLimit.of G f i) x⁻¹ = 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x


Context:
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x

Context: ι : Type uM

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M t

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ

Context: g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x

Context: ι : Type uM

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M t

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

⟨fun x => ∑ᶠ (i : ι), (g i) x, ⋯⟩ x = 0 x


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x

Context: ι : Type uM

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M t

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x

Context: ι : Type uM

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M t

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
b : β
hb : b ∈ t
h : p b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
h : p (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
h : p (f a)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: S : Submonoid R✝

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: K✝ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field K✝

Context: inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝

Context: inst✝⁴ : IsDomain R₁

Context: R : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

Context: h : J = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : J = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α

Nat.rec (↑g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h (a, y, i).1 (f (a, y, i).1).pred) (f a) = Nat.casesOn (f a) (Part.some (g a)) (h a)


Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (f a - 1)) (f a) = Nat.rec (Part.some (g a)) (fun n n_ih => h a n) (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ

((Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n) = h a n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ

Context: g : α → σ

Context: h : α → ℕ →. σ

Context: hf : Computable f

Context: hg : Computable g

Context: hh : Partrec₂ h

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: b : σ

Context: H : b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
b : σ
H : b ∈ h a n

b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
inst✝ : DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: ht : t.Countable

Context: hd : DirectedOn ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) on s) t

Context: this : Encodable ↑t


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V : FDRep k G

V.character 1 = ↑(finrank k (CoeSort.coe V))


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this : Algebra.IsAlgebraic F E


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: hfin : FiniteDimensional F ↥(⨆ i, ↑i)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: hfin : FiniteDimensional F ↥(⨆ i, ↑i)

Context: htop : ⨆ K, ↑K = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: hfin : FiniteDimensional F ↥⊤

Context: htop : ⨆ K, ↑K = ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M

(ofEven Q) ((toEven Q) ((ι Q) m)) = (ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩


(ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)


(ofEven Q) ⟨e0 Q * (v Q) m, ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)


((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0) = (ι Q) m


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b C : ℝ

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ C

∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b C : ℝ

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) x) (Icc a b) x


Context:
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatInfCat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatInfCat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop

(∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (x : α) in f, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : β) in g, pb y) ∧ ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
ω : Ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : v ∈ T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v✝ : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: v : β → ℤ

Context: hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'

Context: mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v✝ : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: v : β → ℤ

Context: hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v✝ : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: v : β → ℤ

Context: hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'

Context: i : α

Context: j : β

Context: a✝ : j ∈ univ

Context: hsign : 0 ≤ A i j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v✝ : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: v : β → ℤ

Context: hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'

Context: i : α

Context: j : β

Context: a✝ : j ∈ univ

Context: hsign : A i j ≤ 0


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => if x ≤ 0 then 0 else Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | ¬x ≤ 0}) (𝓝 0)


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | 0 < x}) (𝓝 0)


Context: p : ℝ[X]

Context: this : Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: p : ℝ[X]

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ {x | 0 < x}

x ∈ {x | (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹ = (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) x) x}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

iteratedDeriv (n + 1) f = iteratedDeriv n (deriv f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M'
g : α → N
hf : Injective f
x : α
hx : x ∈ mulSupport g


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
a : M
ha : a ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length

l.formPerm (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l.get ⟨1, hl⟩


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type x

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f g : α → β

Context: a : α

Context: l : Filter α

Context: h : IsMinFilter f l a ∨ IsMaxFilter f l a

Context: heq : f =ᶠ[l] g

Context: hfga : f a = g a


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
M' : Submodule R M

Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' = Module.rank R M


lift.{max u v, v} (Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M') = lift.{max u v, v} (Module.rank R M)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.outer (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'


Context: f : StieltjesFunction

Context: a b : ℝ

Context: s : ℕ → Set ℝ

Context: hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤

Context: δ : ℝ≥0 := ε / 2

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ

Context: a' : ℝ

Context: ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ

Context: aa' : a < a'

Context: this : ∀ (i : ℕ), ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)


Context: f : StieltjesFunction

Context: a b : ℝ

Context: s : ℕ → Set ℝ

Context: hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤

Context: δ : ℝ≥0 := ε / 2

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ

Context: a' : ℝ

Context: ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ

Context: aa' : a < a'

Context: g : ℕ → ℝ × ℝ

Context: hg : ∀ (i : ℕ), s i ⊆ Ioo (g i).1 (g i).2 ∧ ofReal (↑f (g i).2 - ↑f (g i).1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)


Context: f : StieltjesFunction

Context: a b : ℝ

Context: s : ℕ → Set ℝ

Context: hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤

Context: δ : ℝ≥0 := ε / 2

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ

Context: a' : ℝ

Context: ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ

Context: aa' : a < a'

Context: g : ℕ → ℝ × ℝ

Context: I_subset : Icc a' b ⊆ ⋃ i, Ioo (g i).1 (g i).2


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
P : Type v
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : Module R P
R₀ : Type ?u.49012
M : Type u_1
N : Type ?u.52304
inst✝⁸ : CommRing R₀
inst✝⁷ : Algebra R₀ R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R₀ M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R₀ R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R₀ N
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
P : Type v
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : Module R P
R₀ : Type ?u.49012
M : Type u_1
N : Type ?u.52304
inst✝⁸ : CommRing R₀
inst✝⁷ : Algebra R₀ R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R₀ M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R₀ R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R₀ N
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id
g : M →ₗ[R] P →₀ R
hg : Finsupp.total P P R id ∘ₗ g = s


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
P : Type v
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : Module R P
R₀ : Type ?u.49012
M : Type u_1
N : Type ?u.52304
inst✝⁸ : CommRing R₀
inst✝⁷ : Algebra R₀ R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R₀ M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R₀ R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R₀ N
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id
g : M →ₗ[R] P →₀ R
hg : Finsupp.total P P R id ∘ₗ g = s
x : P

(Finsupp.total P P R id) ((g ∘ₗ i) x) = x


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit a


Context:
b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit 0


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit a
ha : a ≠ 0


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : 1 = a * t


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : a = 1 ∧ t = 1


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (y : Cardinal.{u}), a ∣ y
ha : a ≠ 0
t : Cardinal.{u}
ht : a * t = 1


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x y : G


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : ι → α → β

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hunif : UnifIntegrable f p μ

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : ι → α → β

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: hunif : UnifIntegrable f p μ

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C

Context: i : ι


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : Type u_3
m : β → (i : ι) → α i
l : Filter β

Tendsto m l (pi f) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => m x i) l (f i)


(∀ (i : ι), Tendsto (eval i ∘ m) l (f i)) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => m x i) l (f i)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I : Ideal R

Context: h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

x ∈ RingHom.ker (algebraMap R (Localization.AtPrime P))


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I : Ideal R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

∃ y ∈ I, (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) y = (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R ⇑b) l = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝¹ : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p : R[X]

Context: n✝ n : ℕ

Context: ih : derivative (p ^ (n + 1)) = C (↑n + 1) * p ^ n * derivative p

derivative (p ^ (n.succ + 1)) = C (↑n.succ + 1) * p ^ n.succ * derivative p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝¹ : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p : R[X]

Context: n✝ n : ℕ

(C ↑n * p ^ n * p + p ^ n * p) * derivative p + p ^ n * p * derivative p = C (↑n.succ + 1) * p ^ n * p * derivative p


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L

x ∈ (ad R L).ker ↔ x ∈ LieAlgebra.center R L


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0

Context: this : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₂

((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₂) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: j : J

((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₂) ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₂) j = 0 ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₂) j


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ

↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F

f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =O[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)


(∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b₁ b₂ : α
s₁ s₂ : Multiset α

fold op (op b₁ b₂) (s₁ + 0) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: op : α → α → α

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: b₁ b₂ : α

Context: s₁ s₂ : Multiset α

Context: a : α

Context: b : Multiset α

Context: h : fold op (op b₁ b₂) (s₁ + b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ b)

fold op (op b₁ b₂) (s₁ + a ::ₘ b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ (a ::ₘ b))


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ lpMeasSubgroup F m p μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

Context: hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))