Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : H × E

Context: q : TM

p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).target ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : H × E

Context: q : TM

p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).prod (PartialEquiv.refl E)).symm p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : H × E

Context: q : TM

p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G

b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a


b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β

(insert b s).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f


↑((insert b s).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
a b : α
xs : List α

s(a, b) ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ a ∈ ⟦xs⟧ ∧ b ∈ ⟦xs⟧


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ

θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}


θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ↑‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
hθ : 0 < θ

‖↑‖r‖‖ = ‖r‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]


q ^ (n - 1) ∣ C ↑n * q ^ (n - 1) * derivative q * r + q ^ n * derivative r


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
a : α✝
x✝ : l₁ <:+: l₂
L₁ L₂ : List α✝
h : L₁ ++ l₁ ++ L₂ = l₂


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i


(mulHom A).flip One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)


∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A).flip One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

((mulHom A).flip ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)


(of A (i + 0)) (GradedMonoid.GMul.mul xi GradedMonoid.GOne.one) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

(Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = ∏ a ∈ p.roots.toFinset, (X - C a) ^ rootMultiplicity a p


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: lawful : LawfulMvFunctor F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: ι ι' : Type u

Context: R : ι' → ι' → Prop

Context: x : F (α ::: ι)

Context: f g : ι → ι'

Context: hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)

Context: h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩

Context: b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h

Context: c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id

subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h) = ((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: lawful : LawfulMvFunctor F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: ι ι' : Type u

Context: R : ι' → ι' → Prop

Context: x : F (α ::: ι)

Context: f g : ι → ι'

Context: hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)

dropFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = dropFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: lawful : LawfulMvFunctor F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: ι ι' : Type u

Context: R : ι' → ι' → Prop

Context: x : F (α ::: ι)

Context: f g : ι → ι'

Context: hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)

lastFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = lastFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: lawful : LawfulMvFunctor F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: ι ι' : Type u

Context: R : ι' → ι' → Prop

Context: x : F (α ::: ι)

Context: f g : ι → ι'

Context: hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)

Subtype.val ∘ lastFun c ∘ h = Prod.map f g ∘ lastFun prod.diag


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)


⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' (⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ) = Set.univ


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g '' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g '' s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

opcyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ - opcyclesMap' φ' h₁ h₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰

Context: hf : Function.Injective ⇑φ

Context: x y : FractionRing R[X]

Context: h : (map φ hφ) { toFractionRing := x } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }

{ toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰

Context: hf : Function.Injective ⇑φ

Context: y : FractionRing R[X]

Context: y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰

Context: h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }

{ toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = { toFractionRing := y }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰

Context: hf : Function.Injective ⇑φ

Context: y✝¹ y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰

Context: h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }

{ toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v

Odd p.length ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)


¬(c u = true ↔ c v = true) ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
x✝ : f < f
h : f < f := x✝


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

(rightShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0


Context:
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3


Context:
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
hn : r.sign = -1


Context:
r : ℝ
hz : r.sign = 0


Context:
r : ℝ
hp : r.sign = 1


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Dist α
inst✝ : Dist β
f g : WithLp 0 (α × β)

dist f g = (if dist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if dist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v


∀ (l : ι →₀ 𝕜), (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0 → l = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: l : ι →₀ 𝕜

Context: hl : (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0

Context: i : ι

Context: key : ⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = ⟪v i, 0⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E

(reflection (Submodule.span 𝕜 {u})) v = 2 • (⟪u, v⟫_𝕜 / ↑‖u‖ ^ 2) • u - v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε


Context: x : ℂ

log ((starRingEnd ℂ) x) = if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)


Context: x : ℂ

↑(Real.log (abs x)) + ↑(if x.arg = π then π else -x.arg) * I = if x.arg = π then ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * I else ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * (starRingEnd ℂ) I


Context:
x : ℂ
hx : ¬x.arg = π

↑(Real.log (abs x)) + ↑(-x.arg) * I = ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * (starRingEnd ℂ) I


comap (fun x => ↑|x|) atTop = comap (Int.cast ∘ abs) atTop


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)

Context: hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

Context: hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

Context: hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z₁ • (f' ∘ γ) y


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

f (z₀ + z₁) - f z₀ = (f ∘ γ) 1 - (f ∘ γ) 0


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t✝ : Set α
μ : F
s t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }

Context: hcard : s.card ≤ t.card

Context: ha : a ∈ s

Context: ht : t.Nonempty

Context: m : α := t.min' ht

{ ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: ha : a ∈ s

Context: hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := s }

Context: hcard : s.card ≤ s.card

Context: ht : s.Nonempty

Context: m : α := s.min' ht

{ ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase m }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: hcard : s.card ≤ t.card

Context: ha : a ∈ s

Context: ht : t.Nonempty

Context: m : α := t.min' ht

Context: h' : s ≠ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: hcard : s.card ≤ t.card

Context: ha : a ∈ s

Context: ht : t.Nonempty

Context: m : α := t.min' ht

Context: h' : s ≠ t

Context: hst : { ofColex := s } < { ofColex := t }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: hcard : s.card ≤ t.card

Context: ha : a ∈ s

Context: ht : t.Nonempty

Context: m : α := t.min' ht

Context: h' : s ≠ t

Context: hst : ∃ w ∈ t, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hwt : m ∈ t
hws : m ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, m < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
hAs : A.Definable L s
hAB : A ⊆ B


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
hAs : ∅.Definable (L[[↑A]]) s
hAB : A ⊆ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : x ⩿ y
hab : ¬(x.1 = y.1 ∨ x.2 = y.2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : x ⩿ y
hab : x.1 ≠ y.1 ∧ x.2 ≠ y.2


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : 0 < q

ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u

ν.IsEverywherePos s ↔ μ.IsEverywherePos s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: H : ν.IsEverywherePos s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: H : ν.IsEverywherePos s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝 x

Context: h't : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Subsingleton ↥S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Subsingleton ↥S
y : M
hy : y ∈ S


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n] i0)
m : ℕ := (toZ i0 (succ^[n] i0)).toNat


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n] i0)
m : ℕ := (toZ i0 (succ^[n] i0)).toNat
h_eq : succ^[m] i0 = succ^[n] i0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMax (succ^[n] i0)
m : ℕ := (toZ i0 (succ^[n] i0)).toNat
h_eq : succ^[m] i0 = succ^[n] i0
hmn : ¬m = n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: p : Set α → Prop

Context: h : l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s) id

Context: V : Set α

Context: hV : V ∈ l

l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ p s ∧ s ⊆ V) id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : ι → Set β
hι : Nonempty ι
x : α × β


(x.1 ∈ s ∧ ∀ (i : ι), x.2 ∈ t i) ↔ ∀ (i : ι), x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t i


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J


OpenEmbedding ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv)


OpenEmbedding (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i))


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
z : Sym2 α

z ∈ m.toFinset.sym2 ↔ z ∈ m.sym2.toFinset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
z : Sym2 α
x y : α

s(x, y) ∈ m.toFinset.sym2 ↔ s(x, y) ∈ m.sym2.toFinset


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P_max : P.IsMaximal
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

∃ Q, Q.IsMaximal ∧ comap (algebraMap R S) Q = P


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
P_max : P.IsMaximal
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
Q : Ideal S
Q_prime : Q.IsPrime
hQ : comap (algebraMap R S) Q = P


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : X → Y

Context: hs : IsCompact s

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: l : Filter Y

Context: lne : l.NeBot

Context: ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)

Context: this✝¹ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)

Context: this✝ : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot

Context: this : Tendsto f (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)) (𝓝 (f x) ⊓ l)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi (Karoubi C)
f : P ⟶ Q


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Submodule k V
x : V

x ∈ s.toAffineSubspace.direction ↔ x ∈ s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y : P
h₂ : Wbtw R w x y
h₁ : Wbtw R w y x
h : y ≠ x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : ι × α → Prop

(∀ᶠ (x : ι × α) in f ×ˢ 𝓝 x₀, p x) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)


(∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i).swap) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {i : ι}, pa i → ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → p (i, x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
X Y Z : D
r : R
f : Y ⟶ Z


inv (F.μ X Y) ≫ F.obj X ◁ F.map (r • f) ≫ F.μ X Z = F.map (r • X ◁ f)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
C : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_2} C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : Linear R C
inst✝¹⁰ : MonoidalCategory C
inst✝⁹ : MonoidalPreadditive C
inst✝⁸ : MonoidalLinear R C
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : Linear R D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : MonoidalPreadditive D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Functor.Linear R F.toFunctor
r : R
X Y : D
f : X ⟶ Y
Z : D


inv (F.μ X Z) ≫ F.map (r • f) ▷ F.obj Z ≫ F.μ Y Z = F.map (r • f ▷ Z)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b✝ : β
c : γ
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
l : Filter α


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
a : (i : ι) → π i


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n m : ℕ

Context: a : K

Context: hm : Irreducible (X ^ m - C a)

Context: hn : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = X ^ m - C a → Irreducible (X ^ n - C (AdjoinSimple.gen K x))


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n m : ℕ

Context: a : K

Context: hm : Irreducible (X ^ m - C a)

Context: hm' : m ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : x = gcd x y * z


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ≅ Z


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g


∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g


∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ HasCompactSupport f → Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p μ ∧ HasCompactSupport (f + g)


∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ HasCompactSupport f → AEStronglyMeasurable f μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

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Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

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Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

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Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

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Context: μ : Measure α

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Context: hp : p ≠ ⊤

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Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

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Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

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Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

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Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

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Context: hε : ε ≠ 0

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Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

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Context: μs : μ (t \ s) < ↑η


Context: α : Type u_1

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Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

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Context: ηpos : 0 < η

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Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤


Context: α : Type u_1

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Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

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Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

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Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

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Context: s : Set α

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Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

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Context: μ : Measure α

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Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

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Context: hp : p ≠ ⊤

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Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

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Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

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Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ

Context: _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_support : Function.support f ⊆ interior k

Context: f_mem : Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ

Context: I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ

Context: x : α

Context: hx : x ∉ k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Function.support f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0

(1 + sin x ^ 2 / cos x ^ 2)⁻¹ = cos x ^ 2


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: M : HomologicalComplex C c

Context: α : M ⟶ K

Context: β : M ⟶ L

Context: i : ι

(biprod.lift α β).f i ≫ biprod.fst.f i = α.f i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

WidePullback.lift (WidePullback.base fun x => f.hom) (fun i => if x : i = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.pred x)) ⋯ ≫ WidePullback.π (fun x => f.hom) 0 = (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

(if h : True then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (Fin.pred 0 ⋯)) = (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
g : Y → Z
x : X
f' : X →L[ℝ] Y
hf₁ : HasFDerivAt f f' x
cf : IsConformalMap f'
g' : Y →L[ℝ] Z
hg₁ : HasFDerivAt g g' (f x)
cg : IsConformalMap g'


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L

(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e : L
he₀ : e ≠ 0
he : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
f : L
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f ≠ 0


⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o


Context:
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖

o.oangle y x = ↑π - 2 • o.oangle (y - x) y


o.oangle y x = ↑π - (o.oangle (y - x) y + o.oangle (y - x) y)


o.oangle y x = ↑π - (o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y)


o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = ↑π


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0


o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (x - y) + o.oangle (y - x) y = o.oangle (-y) (-x) + o.oangle x (-(y - x)) + o.oangle (y - x) (- -y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b : β
a x : α
y : β

(x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ map { toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } t


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : Ring k
inst✝² : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝ : DecidableEq ι
l m : ι

(b.coords (b₂ l) ᵥ* b₂.toMatrix ⇑b) m = 1 l m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
inst✝ : ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E

Metric.closedBall a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a - b) (ε + δ)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E

Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ (toMeasurable μ s) ↔ Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ s


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s t : Set (α → M)
hs : A.Definable L s
ht : A.Definable L t


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι
hi : smithCoeffs b I hI i = 0


(fun a => ↑a) ((selfBasis b I hI) i) = (fun a => ↑a) 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a₁ a₂ a₃ : ℝ
h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃

∫ (x : ℝ) in a₁..a₃, {x | x ≤ a₂}.indicator f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a₁..a₂, f x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b c d : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a₁ a₂ a₃ : ℝ

Context: h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃

Context: this : {x | x ≤ a₂} ∩ Ioc a₁ a₃ = Ioc a₁ a₂


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b c d : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a₁ a₂ a₃ : ℝ

Context: h : a₂ ∈ Icc a₁ a₃


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : S

a ∈ p.rootSet S ↔ p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ

Context: h : -1 < r ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]

Context: h' : -1 < (↑r).re ∨ ↑r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ

Context: h : -1 < r ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ ↑r = (↑b ^ (↑r + 1) - ↑a ^ (↑r + 1)) / (↑r + 1)


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r

↑(filter (fun x => r ∣ x) (Ioc a b)).card = max (⌊↑b / ↑r⌋ - ⌊↑a / ↑r⌋) 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c p : P1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ
m : ℕ
hm : b - a ≤ m • δ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ
m : ℕ
hm : b - a ≤ m • δ
n : ℕ
hn : n ≥ m


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V

lift.{u, v} #V = lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this : Nontrivial K


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this : Nontrivial K
s : Type v
hs : Basis s K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V
this✝ : Nontrivial K
s : Type v
hs : Basis s K V
this : Finite s


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: inst✝⁴ : StrongRankCondition K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: inst✝¹ : Module.Free K V

Context: inst✝ : Module.Finite K V

Context: this✝¹ : Nontrivial K

Context: s : Type v

Context: hs : Basis s K V

Context: this✝ : Finite s

Context: this : lift.{max u v, v} #V = lift.{v, max u v} #(s →₀ K)


Context:
α : Type u
β : Type v
f✝ : α → α
m✝ n✝ : ℕ
a : α
f : α → α
m n : ℕ


Context:
m : ℕ
h : 0 < m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
s : Finset β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
s : Finset β
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
I : Ideal S
T : Type u_3
inst✝ : CommRing T
f : R →+* T

map f (spanNorm R I) = span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)


span ((fun x => f ((Algebra.norm R) x)) '' ↑I) = span (⇑f ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x : R
hx : x ∈ I


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : Countable G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

((pullbackRestrictIsoRestrict f U).inv ≫ pullback.snd f U.ι) ≫ U.ι = (f ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

evalEval x y W.negPolynomial = W.negY x y


evalEval x y (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = -y - (W.a₁ * x + W.a₃)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ

Context: h : Partrec fun a => Part.map Option.some (f a)

Context: n : ℕ

(do let n ← (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Part.map Option.some (f a)) a) ↑n.ppred) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CompatibleRing R

Context: p : FreeCommRing α

Context: v : α → R

Context: x✝ : CompatibleRing (FreeCommRing α) := compatibleRingOfRing (FreeCommRing α)

Term.realize v (Classical.choose ⋯) = (FreeCommRing.lift v) p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CompatibleRing R

Context: p : FreeCommRing α

Context: v : α → R

Term.realize v (Classical.choose ⋯) = (FreeCommRing.lift v) (Term.realize FreeCommRing.of (Classical.choose ⋯))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : UniformCauchySeqOn F p s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β → γ
as✝ : List α
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h : (a :: as).length ≤ (b :: bs).length

map₂Left f (a :: as) (b :: bs) = zipWith (fun a b => f a (some b)) (a :: as) (b :: bs)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β → γ
as✝ : List α
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h : as.length ≤ bs.length


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent G


∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤


∀ (G : Type u_1) [inst : Group G] [inst_1 : Subsingleton G] (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤


∀ (G : Type u_1) [inst : Group G] [inst_1 : Group.IsNilpotent G], (∀ (H : Subgroup (G ⧸ center G)), H.normalizer = H → H = ⊤) → ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
j : J

lift g ≫ π f j = (∑ j : J, g j ≫ ι f j) ≫ π f j


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι

TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε


(∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ univ, dist (f x) (F n x) < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), dist (f x) (F n x) < ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ¬∃ i, a ≤ f i


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬a ≤ f i


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
a : α
ha : IsAtom a
f : ι → α
h : a ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬a ≤ f i
ha'' : Disjoint a (⨆ i, f i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Order.Frame α
f : ι → α
ha : IsAtom ⊥
h : ⊥ ≤ ⨆ i, f i
ha' : ∀ (i : ι), ¬⊥ ≤ f i
ha'' : Disjoint ⊥ (⨆ i, f i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

(∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (m : ι × ι) in p ×ˢ p, ∀ x ∈ s, (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ 𝓟 s, (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

(∀ᶠ (m : ι × ι) in p ×ˢ p, ∀ x ∈ s, (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u) ↔ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ 𝓟 s, (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: α : Type u_2

Context: f : M × ↥S → M × ↥S → α

Context: wd : ∀ (p q p' q' : M × ↥S), p ≈ p' → q ≈ q' → f p q = f p' q'

Context: m m' : M

Context: s s' : ↥S

(mk m s).liftOn₂ (mk m' s') f wd = f (m, s) (m', s')


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖


Real.cos (angle x (x - y)) = Real.cos (angle y (y - x))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : b < 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b

Context: q : ℚ

Context: hq : 0 < q

Context: hbq : b < ↑q ^ 2

Context: hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b

Context: q : ℚ

Context: hq : 0 < q

Context: hbq : b < ↑(q ^ 2)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b

Context: q : ℚ

Context: hq : 0 < q

Context: hbq : b < ↑(q ^ 2)

Context: hqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b

Context: q : ℚ

Context: hq : 0 < q

Context: hbq : b < ↑(q ^ 2)

Context: q' : ℚ

Context: hq' : ↑q < ↑q'

Context: hqa' : ↑q' < a


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : p a = true


Context:
α β : Type u
n : ℕ
c : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r s : R
rs : C r = C s


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: r s : R

Context: rs : ∀ (a : Γ), (C r).coeff a = (C s).coeff a


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: r s : R

Context: h : (C r).coeff 0 = (C s).coeff 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → P f → P g → P (f + g)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → P f → P g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f 1 μ → Memℒp g 1 μ → P f → P g → P (f + g)

Context: h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f 1 μ → P f → P g


Context:
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n + 1 = n'
h1 : a * a + b * b = a'
h2 : b * (2 * a + b) = b'


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n

cosZeta a (1 - s) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * hurwitzZetaEven a s


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n

Context: this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n

completedHurwitzZetaEven a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ)


Context:
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : x ≤ y


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x y : R

Context: hxy : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p

∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f y = f x + p


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

Context: hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f (x + p) = f x + p_1


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

Context: hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)


Context:
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ range fun s => star s * s

f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context:
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)

f 0 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

Context: hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)

Context: x✝ : R

Context: hx✝ : x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

Context: y✝ : R

Context: hy✝ : y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

Context: a✝¹ : f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

Context: a✝ : f y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

f (x✝ + y✝) ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M

sSup {m | IsSimpleModule R ↥m ∧ m ≤ N} = N


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
cf : ∀ (i : ℕ), C (f.coeff i) ∈ I

Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)} ≤ I


Ideal.span {g | ∃ i, C (f.coeff i) = g} ≤ I


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ


(multiplicity ↑a ↑b).Dom ↔ (multiplicity a b).Dom


∀ (h₁ : (multiplicity ↑a ↑b).Dom) (h₂ : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity ↑a ↑b).get h₁ = (multiplicity a b).get h₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0


DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s


DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
d : ℤ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: inst✝² : LieModule K L M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : IsTriangularizable K L M

Context: h_dim : finrank K M = n


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L

Context: n : ℕ

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: inst✝² : LieModule K L M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : IsTriangularizable K L M

Context: h_dim : finrank K M = n

Context: h' : ∀ (a : L), ∃ φ, weightSpaceOf M φ a = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L

Context: n : ℕ

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: inst✝² : LieModule K L M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : IsTriangularizable K L M

Context: h_dim : finrank K M = n

Context: y : L

Context: hy : ¬∃ φ, weightSpaceOf M φ y = ⊤


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ closure s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'

(⨆ i ∈ s, f i) ⊓ ⨆ j ∈ t, g j = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, f p.1 ⊓ g p.2


⨆ i, f ↑i.1 ⊓ g ↑i.2 = ⨆ x, f (↑x).1 ⊓ g (↑x).2


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
a : Γ

map f (cons a l) = cons (f.f a) (map f l)


cons (map f (cons a l)).head (map f (cons a l)).tail = cons (f.f a) (map f l)


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
hx : 0 < x


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a✝ b z : M
a : z ∈ center M
g : M


Context:
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝² : FunLike F R S✝
inst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) = kerTotal R S


LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) ≤ kerTotal R S


kerTotal R S ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

nth p (count p n) = sInf {i | p i ∧ n ≤ i}


{x | p x ∧ ∀ k < count p n, nth p k < x} = {i | p i ∧ n ≤ i}


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n
hn : nth p (count p a) < a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h✝ : Nontrivial R

Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M))


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this✝ : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n
this : Nontrivial G


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)

Context: h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)

Context: b : β

noncommFoldr f (a ::ₘ s) h b = f a (noncommFoldr f s h' b)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: a : α

Context: b : β

Context: a✝ : List α

Context: h : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)

Context: h' : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)

noncommFoldr f (a ::ₘ ⟦a✝⟧) h b = f a (noncommFoldr f ⟦a✝⟧ h' b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k

↑i < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: S : Set (Set E)

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S

Context: hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: S : Set (Set E)

Context: hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

‖↑p‖ = (↑p)⁻¹


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

‖↑p‖ = (↑↑p)⁻¹


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

‖↑↑p‖ = (↑↑p)⁻¹


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : R
x y : L
m : M
hy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)
hm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)


⁅y, m⁆ ∈ LinearMap.range (↑(toModuleHom R L M) ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(L, χ₁, x) 𝕎(M, χ₂, x))


∃ y_1, (toModuleHom R L M) ((TensorProduct.map 𝕎(L, χ₁, x).subtype 𝕎(M, χ₂, x).subtype) y_1) = ⁅y, m⁆


(toModuleHom R L M) ((TensorProduct.map 𝕎(L, χ₁, x).subtype 𝕎(M, χ₂, x).subtype) (⟨y, hy⟩ ⊗ₜ[R] ⟨m, hm⟩)) = ⁅y, m⁆


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : 3 = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
h : IsNoetherian R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : ↥I

x ∈ LinearMap.ker I.toCotangent ↔ ↑x ∈ I ^ 2


x ∈ LinearMap.ker I.toCotangent ↔ ↑x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp0 : ¬p = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
i : n
j : m

(toMatrix₂ b₁ b₂) B i j = (B (b₁ i)) (b₂ j)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x

deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ


volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) ≠ ⊤


2 ^ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) ≠ ⊤


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)

IsAtom f ↔ ∃ i, IsAtom (f i) ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G

fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x = (↑iso).comp (fderiv 𝕜 f x)


fderivWithin 𝕜 (⇑iso ∘ f) univ x = (↑iso).comp (fderivWithin 𝕜 f univ x)


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph

H.Connected ↔ H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: g_meas : ∀ t > x, AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x t))

Context: this : Nonempty α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop

Context: Ioi_eq_iUnion : Ioi x = ⋃ n, Ioc x (u n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop

∀ (i : ℕ), AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x (u i)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop

Context: n : ℕ

AEMeasurable g (μ.restrict (Ioc x (u n)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β✝

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: x : α

Context: g : α → β

Context: this : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu_tendsto : Tendsto u atTop atTop

Context: n : ℕ

Context: h : u n ≤ x


Context:
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ


Context:
V : Type
G : SimpleGraph V
e : ↑G.end
K : (Finset V)ᵒᵖ
L : Finset V
h : Opposite.unop K ⊆ L


Context: V : Type

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : ↑G.end

Context: K : (Finset V)ᵒᵖ

Context: L : Finset V

Context: h : Opposite.unop K ⊆ Opposite.unop (Opposite.op L)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
h_mem : default ∈ s
n : ℕ


enumerateCountable h default n ∈ range (enumerateCountable h default)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp p (α × β)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp 0 (α × β)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp ⊤ (α × β)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : WithLp p (α × β)
h : 0 < p.toReal


Context:
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

mkRat n₁ d₁ + mkRat n₂ d₂ = mkRat (n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) (d₁ * d₂)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

iCondIndepSet m' hm' s μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : SurjOn f s s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : SurjOn f s s
this : Finite ↑s


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₃ ⟶ L₂
d : D

(𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₂.obj d)) ≫ β.app (R₂.obj d) ≫ 𝟙 (L₂.obj (R₂.obj d))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d) = 𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (𝟙 (L₃.obj (R₁.obj d)) ≫ (β.app (R₁.obj d) ≫ α.app (R₁.obj d)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₃.obj d)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: d : D

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: d : D

Context: vcompd : ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))).app d = (rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))).app d