Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hs : Convex ℝ s

Context: f : E → G

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f' x‖₊ < K

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hε : ball x ε ∩ s ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hs : Convex ℝ s

Context: f : E → G

Context: hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f' x‖₊ < K

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hε : s ∩ ball x ε ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hs : Convex ℝ s

Context: f : E → G

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f' x‖₊ < K

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0


Context:
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ := Fintype.card σ

(-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ antidiagonal k, (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d b a c : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

(addOppositeEquiv.symm x).leadingCoeff = AddOpposite.op (AddOpposite.unop x).leadingCoeff


AddOpposite.unop (addOppositeEquiv.symm x).leadingCoeff = AddOpposite.unop (AddOpposite.op (AddOpposite.unop x).leadingCoeff)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧

(coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ


∑ p ∈ antidiagonal (single () n), (MvPowerSeries.coeff R p.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ


∑ x ∈ antidiagonal n, (MvPowerSeries.coeff R (({ toFun := single (), inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single (), inj' := ⋯ }) x).1) φ * (MvPowerSeries.coeff R (({ toFun := single (), inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single (), inj' := ⋯ }) x).2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ

(↑(integerLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
h✝ : 0 ≤ r


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N


∃ y_1 ∈ (extensionOfMax i f).domain, ∃ z ∈ Submodule.span R {?y}, y_1 + z = y


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R

r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a


r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
hr : IsUnit r

¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • ↑a))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b + 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : IsQuasiregular ↑a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : NonUnitalRing A

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝ : SMulCommClass R A A

Context: a : A

Context: ha : ∃ y, y + ↑a + ↑a * y = 0 ∧ ↑a + y + y * ↑a = 0

∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a y : A
hy₁ : ↑y + ↑a + ↑a * ↑y = 0
hy₂ : ↑a + ↑y + ↑y * ↑a = 0


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

(((𝓤 α).lift' gen).lift' fun s => s ○ s) = (𝓤 α).lift' fun s => gen s ○ gen s


((𝓤 α).lift' fun s => gen (s ○ s)) = ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s).lift' gen


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι

μ[f|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f|↑ℱ i]


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
t : Set Ω

MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α

CompleteLattice.IsCompactElement s ↔ IsCompact ↑s


(∀ (ι : Type u_2) (s_1 : ι → Opens α), s ≤ iSup s_1 → ∃ t, s ≤ t.sup s_1) ↔ ∀ {ι : Type u_2} (U : ι → Set α), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → ↑s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, ↑s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)


Context: X✝ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U


Context: X✝ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U

Context: this : s ∩ U = s


Context:
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n


Context:
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : IsUnit m ∨ IsUnit n


Context:
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : m = 1 ∨ n = 1


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
m : ℕ
hn : p = m * 1
this : m = 1 ∨ 1 = 1


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

DifferentiableAt ℂ (completedCosZeta a) s


s / 2 ≠ ↑(hurwitzEvenFEPair a).symm.k ∨ (hurwitzEvenFEPair a).symm.g₀ = 0


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
x : β
hxs : x ∈ s
hx : f x ∈ lowerBounds (f '' s)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1


∀ (l : (i : ι) × M i), l = ⟨i, m⟩ ∨ l ∈ w.toList → l.snd ≠ 1


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_mble : Measurable f
ν₁ ν₂ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω'
s_mble : MeasurableSet s

↑((ν₁ + ν₂).map f) s = ↑(ν₁.map f + ν₂.map f) s


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
ht : ∀ (x : β), x ∈ t

signAux3 ((e.symm.trans f).trans e) ht = f.signAux3 hs


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧


signAux2 t ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 s f


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧
n : ℕ
e' : β ≃ Fin n


signAux ((e'.symm.trans ((e.symm.trans f).trans e)).trans e') = signAux (((e.trans e').symm.trans f).trans (e.trans e'))


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring R'
f g : R⟦X⟧
f' g' : R'⟦X⟧
S : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Module R S
r : R
x : S⟦X⟧
x✝ : ℤ

((ofPowerSeries ℤ S) (r • x)).coeff x✝ = (r • (ofPowerSeries ℤ S) x).coeff x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition

(filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = P.parts.card - s.card % P.parts.card


(filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card + (filter (fun a => ¬a.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card - s.card % P.parts.card


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R
e₁ e₂ : n ≃ m


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α

(∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, dist (f x) 1 < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(shortComplexOfDistTriangle ((shiftFunctor (Triangle C) n₀).obj T) ⋯).map F ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β

ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝 b) (𝓤 α)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m₂]


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

AEStronglyMeasurable' m₂ (μ[s.indicator f|m]) μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a✝ : μ t < ⊤

∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a✝ : μ t < ⊤

Context: this : ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a✝ : μ t < ⊤

Context: hst_m : MeasurableSet (s ∩ t)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
inst✝ : SecondCountableTopology α
ρ : Measure α
hρ : ρ ≪ μ

s ⊆ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) ∪ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p


ρ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) + ρ (⋃ p ∈ h.index, h.covering p) = ∑' (p : ↑h.index), ρ (h.covering ↑p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

map (Embedding.subtype p) (Ioo a b) = Ioo ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioo ↑a ↑b)) = Ioo ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ioo ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : ↑a < x ∧ x < ↑b


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

Context: sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

(cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ⋯) ({ toFun := (σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ?f')


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })))₀


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x = ↑(?f' x)


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝² : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)

Context: inst✝ : RightRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝² : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: inst✝ : RightRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
y : β


IsLUB (⇑fa '' {a | g (fa a) ≤ fb y}) (fa (g' y))


Context: θ : Angle


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: t : TopologicalSpace α

Context: h : t ≤ ⨆ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.coinduced Subtype.val inferInstance

Context: u : Set α

Context: hu : ∀ s ∈ 𝔖, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' u)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

NoncompactSpace (X × Y) ↔ NoncompactSpace X ∧ Nonempty Y ∨ Nonempty X ∧ NoncompactSpace Y


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T

RingHom.ker ((↑↑e).comp h.map) = Ideal.span {f}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
x✝ : R

(algebraMap R T) x✝ = (((↑↑e).comp h.map).comp C) x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)


∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)
this : Nontrivial 𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝² : Archimedean 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : 0 < p

Context: a x : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: this : Nontrivial 𝕜

Context: h : ∃ l u, toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u ∧ Ioo l u ⊆ s

∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)


∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ ∀ x ∈ Ioo l u_1, x ∈ u) ∧ ∀ (x_1 : 𝕜), x_1 ∈ u ∧ x_1 ∈ Ici x → x_1 ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
y : 𝕜

(l < y - d ∧ y - d < a + p ∧ y - d < u) ∧ y ∈ Ici x → y ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

closure s ⊆ s ↔ ∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s

y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst


¬∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)


Context: n : ℕ


Context: n✝ n : ℕ


Context:
n✝ n p : ℕ
hi : n.succ ≤ p
hp : Prime p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}

Context: s : Finset ↑Spec

Context: H : ∀ I ∈ range fun x => x.inf Subtype.val, ¬I < (fun x => x.inf Subtype.val) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}

Context: s : Finset ↑Spec

Context: p : ↑Spec


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s

f a * ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x


Context: f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

∃ a, f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)


Context:
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩


Context:
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)


Context: f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

Context: this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1


Context: f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

Context: h₁ : f.trans (rotation a).symm = LinearIsometryEquiv.refl ℝ ℂ


Context: f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

Context: h₂ : f.trans (rotation a).symm = conjLIE


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ↥(twoCocycles A)

Context: g : G

Context: this : (A.ρ 1) (↑f (1, g)) + ↑f (1, 1 * g) = ↑f (1 * 1, g) + ↑f (1, 1)


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α

#↑t ≤ ↑n ↔ ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n


Context: α✝ β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.216946}

Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: t : Set α

Context: H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n


Context: α✝ β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.216946}

Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: t : Set α

Context: s : Finset ↑t


Context: α✝ β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.216946}

Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: t : Set α

Context: s : Finset ↑t

Context: u : Finset α := Finset.image Subtype.val s


Context: α✝ β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.216946}

Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: t : Set α

Context: s : Finset ↑t

Context: this : u.card = s.card


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ

(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r


(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁


Surjective (⇑B.flip.dualMap ∘ ⇑(evalEquiv K V₁).toEquiv) ↔ Surjective ⇑B


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl

Context: this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl

Context: this : PreservesLimitsOfSize.{?u.108151, ?u.108150, v'', v, u'', u} Gr

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl

Context: this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

Context: this : ⋯.IsVanKampen


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

Context: this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)

IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (span f g) (asIso adj.counit) ≪≫ (span f g).rightUnitor).hom).obj (PushoutCocone.mk h i ⋯))


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsColimit (Gl.mapCocone ((Cocones.precompose (spanCompIso Gr f g).hom).obj (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)))


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: inst✝⁷ : HasPullbacks D

Context: inst✝⁶ : Adhesive C

Context: inst✝⁵ : HasPullbacks C

Context: inst✝⁴ : HasPushouts C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: W X Y Z : D

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (span f g) (asIso adj.counit) ≪≫ (span f g).rightUnitor).hom).obj (PushoutCocone.mk h i ⋯))


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2

⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id + (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id) = mul R R


(mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id = mul R R


Context:
x y : ℂ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n✝ : ℕ

(PowerSeries.coeff R n✝) (powerSeriesPart 0) = (PowerSeries.coeff R n✝) 0


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : ℕ → Set G
hU : ∀ (i : ℕ), IsOpen (U i)

μ.innerContent { carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Set G

Context: hU : ∀ (i : ℕ), IsOpen (U i)

Context: this : μ.innerContent (⨆ i, { carrier := U i, is_open' := ⋯ }) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Sort x
γ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddBelow (range f)
hg : Monotone g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : Group α
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
x : β
h : a • x = 0


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
hpd3 : p ∣ m * n / (p ^ k * p ^ l)


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
hpd3 : p ∣ m * n / (p ^ k * p ^ l)
hpd4 : p ∣ m / p ^ k * (n / p ^ l)


Context:
n✝ p : ℕ
p_prime : Prime p
m n k l : ℕ
hpm : p ^ k ∣ m
hpn : p ^ l ∣ n
hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n
hpd : p ^ (k + l) * p ∣ m * n
hpd2 : p ∣ m * n / p ^ (k + l)
hpd3 : p ∣ m * n / (p ^ k * p ^ l)
hpd4 : p ∣ m / p ^ k * (n / p ^ l)
hpd5 : p ∣ m / p ^ k ∨ p ∣ n / p ^ l


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2047, u_1} D
W W' : MorphismProperty C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2047, u_1} D
W W' : MorphismProperty C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 1 ≤ x


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ center G
y : G


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmX : Measurable X


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X

AEMeasurable (g ∘ X) ℙ ∧ (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν ∧ map g (map X ℙ) ≪ ν


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X

Context: s : Set F

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : ν s = 0

(map g (μ.withDensity (pdf X ℙ μ))) s = 0


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X

Context: s : Set F

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : ν s = 0

∫⁻ (a : E) in g ⁻¹' s, pdf X ℙ μ a ∂μ = 0


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X

Context: s : Set F

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : ν s = 0

Context: this : (map g μ) s = 0


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E✝

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω✝

Context: ℙ✝ : Measure Ω✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace F✝

Context: ν✝ : Measure F✝

Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: inst✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: hX : AEMeasurable X ℙ

Context: g : E → F

Context: hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν

Context: hmX : Measurable X

Context: s : Set F

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : ν s = 0

Context: this : μ (g ⁻¹' s) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0


GCDMonoid.gcd p q * r / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow d F)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

(F.map f.unop.right).op ≫ (unop Y✝).hom.op = (unop X✝).hom.op


(𝟙 d ≫ (unop X✝).hom).op = (unop X✝).hom.op


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain R a l
hb : b ∈ l


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l)
hb : b ∈ l


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
A : W ≃ₗᵢ[ℝ] V
f : V → E
w : W


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : Presheaf C X
𝒢 : Presheaf C Y
H₂ : (pushforward C H₁.hom).obj ℱ ⟶ 𝒢
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ

U = (Opens.map H₁.hom).op.obj (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))


(((presheafEquivOfIso C H₁).toAdjunction.homEquiv ℱ 𝒢) H₂).app U = ℱ.map (eqToHom ⋯) ≫ H₂.app (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))


ℱ.map ((Opens.mapMapIso H₁).symm.op.unit.app U ≫ ((Opens.map H₁.hom).map ((Opens.mapMapIso H₁).symm.op.counitInv.app (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))).unop).op ≫ (Opens.mapMapIso H₁).symm.op.unitInv.app (op ((Opens.map H₁.hom).obj ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U))))) ≫ H₂.app (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U))) = ℱ.map (eqToHom ⋯) ≫ H₂.app (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U)))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α

Associated (gcd (b * a) (c * a)) (gcd b c * a)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K

comap (a • f) p = ⨅ (_ : a ≠ 0), comap f p


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L

HasDerivAtFilter (fun x => -f x) (-f') x L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → E
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ

∑' (g : G), ∫ (x : α) in t ∩ g⁻¹ • s, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g⁻¹ • (g • t ∩ s), f x ∂μ


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: inst✝ : ⊥.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥⊥).Coprime ⊥.index

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬⊥.IsComplement' H


Context:
α : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
inst✝ : Unique α
β : α → Sort u_1
f : (i : α) → β i
i : α

uniqueElim ((fun f => f default) f) i = f i


Context:
α : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
inst✝ : Unique α
β : α → Sort u_1
f : (i : α) → β i

uniqueElim ((fun f => f default) f) default = f default


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
h : ¬Module.Finite R M


Module.rank R M = 0 ∨ ¬Module.Finite R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α

image Sym2.mk s.diag ∪ image Sym2.mk s.offDiag = s.sym2


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Nontrivial R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : StrongRankCondition R


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s : Set α
t✝ t : Set β


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
N : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℕ → G

Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ac : a < c
bd : b < d


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ac : a < c
bd : b < d
a' : ℝ≥0
aa' : a < ↑a'
a'c : ↑a' < c


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
bd : b < d
a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
bd : b < d
a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'
b' : ℝ≥0
bb' : b < ↑b'
b'd : ↑b' < d


Context:
c d : ℝ≥0∞
r p q a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
aa' : ↑a < ↑a'
b' : ℝ≥0
b'd : ↑b' < d
b : ℝ≥0
bd : ↑b < d
bb' : ↑b < ↑b'


Context:
c d : ℝ≥0∞
r p q a' : ℝ≥0
a'c : ↑a' < c
a : ℝ≥0
ac : ↑a < c
b' : ℝ≥0
b'd : ↑b' < d
b : ℝ≥0
bd : ↑b < d
aa' : a < a'
bb' : b < b'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b
ha : 0 ≤ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a < b
h' : 0 < b
ha : a < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle


Fintype.card ↥(Subgroup.zpowers f) = Fintype.card { x // x ∈ f.support }


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ω : Ω

Context: hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊

(fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ω : Ω

Context: A : Tendsto (fun n => ⌊c ^ n⌋₊) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ω : Ω

(fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) + ((fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) ∘ fun n => ⌊c ^ n⌋₊) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
x y : ↑((restrictScalars f).obj Y)


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y


(f r • g y) 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)


(f r • g y).toFun 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)


(g y).toFun (f r) = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α

Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (γ i)
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : (i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
x : (i : ι) → β i
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : ↑(Ico 0 1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
s : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑sᶜ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E

x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ ∀ x₁ ∈ A, ∀ x₂ ∈ A, x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
x₁ : E
h₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
h₂ : x₂ ∈ A

x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x ↔ x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h

F.map₂ (f ◁ η) = (F'.mapCompIso f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ (F'.mapCompIso f h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝

F.map₂ (η ▷ h) = (F'.mapCompIso f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ (F'.mapCompIso g✝ h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝

F.map₂ (α_ f g h).hom = (F'.mapCompIso (f ≫ g) h).hom ≫ (F'.mapCompIso f g).hom ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapCompIso g h).inv ≫ (F'.mapCompIso f (g ≫ h)).inv


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n

(fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n

Context: a : Set α

Context: ha : a ⊆ u n

Context: h'a : MeasurableSet a

(∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n

Context: a : Set α

Context: ha : a ⊆ u n

Context: h'a : MeasurableSet a

∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n

Context: a : Set α

Context: ha : a ⊆ u n

Context: h'a : MeasurableSet a

Context: y : α

Context: hy : y ∈ a

↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ = ↑‖f y - f x‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ

Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)

Nat.card { u // addOrderOf u = 0 } = Nat.totient 0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : n > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: hf : f ∈ maximalAtlas I M

Context: hf' : f' ∈ maximalAtlas I M

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source

ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (range ↑I) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: hf : f ∈ maximalAtlas I M

Context: hf' : f' ∈ maximalAtlas I M

Context: x : E

((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source

↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source ∈ 𝓝[range ↑I] x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
z : H
hz : z ∈ (f'.symm ≫ₕ f).source

↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑I z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁷ : SemilatticeSup β
inst✝⁶ : OrderBot β
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : ℕ → β
f : γ → β
g : α → γ
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
hg : Measurable g

↑(approx i (f ∘ g) n) a = ↑(approx i f n) (g a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K H : Subgroup G


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0

Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ZMod p

Context: hap : a ≠ 0

Context: he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ZMod p

Context: hap : a ≠ 0

Context: hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ZMod p

Context: hap : a ≠ 0

Context: hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ZMod p

Context: hap : a ≠ 0

Context: hmem : ∀ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * ↑x).valMinAbs.natAbs ∈ Ico 1 (p / 2).succ


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ZMod p

Context: hap : a ≠ 0

Context: hsurj : ∀ b ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ∃ x, ∃ (_ : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ), (a * ↑x).valMinAbs.natAbs = b


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α

(if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊔ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∪ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b


Context:
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop

(∃ x x_1, r x) ↔ (∃ x x_1, r x) ∨ ∃ x x_1, r x


(∃ x, (p x ∨ q x) ∧ r x) ↔ (∃ x, p x ∧ r x) ∨ ∃ x, q x ∧ r x


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Nonempty V

Context: t : ℕ

Context: ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Nonempty V

Context: t : ℕ

Context: ht₂ : t ∈ image (fun v => G.degree v) univ


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Nonempty V

Context: t : ℕ

Context: ht₂ : ∃ a, True ∧ G.degree a = t


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ

(fun p => p.1 * ↑n + ↑↑p.2) ((fun a => (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))) a) = a


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n

(fun a => (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))) ((fun p => p.1 * ↑n + ↑↑p.2) (q, ⟨r, hrn⟩)) = (q, ⟨r, hrn⟩)


(q * ↑n + ↑r) / ↑n = q ∧ ↑↑((q * ↑n + ↑r).natMod ↑n) = r


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_7

Context: inst✝ : Finite I

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_6

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on l)

Context: h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)

∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_7

Context: inst✝ : Finite I

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_6

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: hd✝ : Pairwise (Disjoint on l)

Context: t : I → Set α

Context: htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i

Context: hd : Pairwise (Disjoint on t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_7

Context: inst✝ : Finite I

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_6

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: hd✝ : Pairwise (Disjoint on l)

Context: t : I → Set α

Context: htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i

Context: hd : Pairwise (Disjoint on t)

Context: ind : (i : I) → ι i

Context: hp : ∀ (i : I), p i (ind i)

Context: ht : ∀ (i : I), s i (ind i) ⊆ t i


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommMonoid α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousOn f s → ((∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm) (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))) ↔ ∀ (y : M'), ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧ ∀ (x : M), E' → ContDiffOn 𝕜 n (↑𝓘(𝕜, E').toPartialEquiv ∘ (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm) (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source)))


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X


Continuous (_root_.toContinuousMap ∘ toNNReal)


Continuous (ContinuousMap.toNNReal ∘ _root_.toContinuousMap)


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

(if ↑x.val * 2 ≤ ↑n then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
f : BumpCovering ι X s
hf : f.IsSubordinate V


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I X : Set α

(M.disjointSum N h).Basis I X ↔ M.Basis (I ∩ M.E) (X ∩ M.E) ∧ N.Basis (I ∩ N.E) (X ∩ N.E) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ M.E ∪ N.E


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ

map (fun x => x.1 * x.2) ((μ + ν).prod ρ) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ) + map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod ρ)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹² : EMetricSpace X
inst✝¹¹ : EMetricSpace Y
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

μH[d] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x => c • x) '' (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).symm '' s))) = ‖c‖₊ ^ d • μH[d] s


Context: P : TopCat → Prop

Context: X Y B : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: inst✝ : HasExplicitPullback f g

Context: Z : CompHausLike P

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget (CompHausLike P)).obj Z

Context: hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z

Context: hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z


Context: P : TopCat → Prop

Context: X Y B : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: inst✝ : HasExplicitPullback f g

Context: Z : CompHausLike P

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget (CompHausLike P)).obj Z


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
hs : s.Infinite


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
b : Bool


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

(F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((injectiveResolutions C).map f) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map J.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)


(F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)


(F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: f f' : StructuredArrow S T

Context: g : f.right ≅ f'.right

Context: w : autoParam (f.hom ≫ T.map g.hom = f'.hom) _auto✝

(Functor.fromPUnit S).map (eqToIso ⋯).hom ≫ f'.hom = f.hom ≫ T.map g.hom


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: k : (x + y).RightMoves

Context: P : (x + y).RightMoves → Prop

Context: hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inl j))

Context: hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inr j))


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: k : (x + y).RightMoves

Context: P : (x + y).RightMoves → Prop

P (toRightMovesAdd (toRightMovesAdd.symm k))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
a✝ : α

a✝ ∈ (σ * τ * σ⁻¹).support ↔ a✝ ∈ map (Equiv.toEmbedding σ) τ.support


Context:
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j

((↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1).Coprime ((↑j + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1)


Context:
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
hja : ↑j < Nat.supOfSeq a


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
v : ι → E

|(e.adjustToOrientation x).toBasis.det v| = |e.toBasis.det v|


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.testAgainstNN (f₁ + f₂) = μ.testAgainstNN f₁ + μ.testAgainstNN f₂


∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) + ↑(f₂ ω) ∂↑μ = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) ∂↑μ + ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₂ ω) ∂↑μ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
N : Matrix n o R
i : m

(M * N).toMvPolynomial i = (bind₁ N.toMvPolynomial) (M.toMvPolynomial i)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
hα : IsIntegral F α

F⟮α⟯.toSubalgebra = Algebra.adjoin F {α}


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hα : IsIntegral F x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥

p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ I ≤ p


p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ p ∣ I


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hz : z ∈ s
m : Fin 2 → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s z) m = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)


(((iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (fun y => fderivWithin 𝕜 (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s y) s z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L

FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L