Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u

Context: y : α

Context: hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u

Context: y : α

Context: hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u

Context: y : α

Context: hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)

Context: n : ℕ

∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, u x_1 ∈ A (x n :: res x n)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
x : M
y : M'


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
x : α
v : Fin n → α
w : Fin n.succ → α

vecCons x v ⬝ᵥ w = x * vecHead w + v ⬝ᵥ vecTail w


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
h : t ⊆ s
x : α


(∃ x_1 ∈ {x | ↑x ∈ t}, ↑x_1 = x) ↔ x ∈ t


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : Filter X✝
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X✝
x : X✝
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace (X × X)


sSup (range (𝓝 ∘ fun x => (x, x))) = ⨆ x, 𝓝 (x, x)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
t : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (∅ + t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 ∅ ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s : Set E
hs : s.Nonempty

IsVonNBounded 𝕜 (s + ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
f : α → β → β
l₁ l₂ : List α
lcomm : LeftCommutative f
p : l₁ ~ l₂
b : β


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι' : Sort u_1
inst✝ : Inv G
ts' : ι' → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousInv G


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
l₁ l₂ : List α

(l₁ ++ a :: l₂).Nodup ↔ (a :: (l₁ ++ l₂)).Nodup


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : (𝓞 K)ˣ

ζ ∈ rootsOfUnity (torsionOrder K) (𝓞 K) ↔ ζ ∈ torsion K


ζ ^ ↑(torsionOrder K) = 1 ↔ ζ ∈ CommGroup.torsion (𝓞 K)ˣ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C

(∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) ↔ ∃ y z, ↑y * ↑z = x


Context: r : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S


h.map ({ toFun := fun x => h.repr x %ₘ f, map_add' := ⋯ } x) = x


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

p.reverse.darts = (List.map Dart.symm p.darts).reverse


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : HasProd (fun n => f (n + k)) m


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomSurjective τ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p

range (codRestrict p f hf) = comap p.subtype (range f)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R[X]
n : ℕ
h : (f ^ (n + 2)).Separable

IsUnit f ∨ f.Separable ∧ n + 2 = 1 ∨ n + 2 = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R[X]
n : ℕ
h : (f ^ n * f * f).Separable


Context:
a b c d m n : ℤ
hb : 0 < b


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: p : Set J

Context: j₀ : J

Context: h0 : j₀ ∈ p

Context: h1 : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → (j₁ ∈ p ↔ j₂ ∈ p)

Context: j : J


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: p : Set J

Context: j₀ : J

Context: h0 : j₀ ∈ p

Context: j : J

Context: aux : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → { down := j₁ ∈ p } = { down := j₂ ∈ p } := fun j₁ j₂ f => congrArg ULift.up (Iff.eq (h1 f))


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: p : Set J

Context: j₀ : J

Context: h0 : j₀ ∈ p

Context: j : J

Context: i : (j ∈ p) = (j₀ ∈ p)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
hp : p ≠ ⊤
x y : WithLp p (α × β)

dist x y = (dist x.1 y.1 ^ p.toReal + dist x.2 y.2 ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x ≠ (y :: l).getLast ⋯


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)


W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0) ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y - (-y - W.a₁ * x - W.a₃) ≠ 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

f (t.centerMass w p) ≤ t.centerMass w (f ∘ p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hmem' : ∀ i ∈ t, (p i, (f ∘ p) i) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P : R[X]

Context: this : ∀ (i : ℕ), (C r + X * P).coeff (i + 1) = P.coeff i

IsUnit (C r + X * P) ↔ IsUnit r ∧ IsNilpotent P


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P : R[X]

(IsUnit ((C r + X * P).coeff 0) ∧ ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)) ↔ IsUnit r ∧ IsNilpotent P


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y z w : ℤ

Context: h1 : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0

Context: h2 : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y z w : ℤ

Context: h1✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.re + ↑d * { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.im = 0

Context: h1 : x * z = -(↑d * y * w)


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y z w : ℤ

Context: h2✝ : { re := x, im := y }.re * { re := z, im := w }.im + { re := x, im := y }.im * { re := z, im := w }.re = 0

Context: h1 : x * z = -(↑d * y * w)

Context: h2 : x * w = -(y * z)


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y z w : ℤ

Context: h1 : x * z = -(↑d * y * w)

Context: h2 : x * w = -(y * z)

Context: fin : x * x = ↑d * y * y → { re := x, im := y } = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕝 : Type u_3
R : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : CommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
l : Filter α
f : α → WeakBilin B
x : WeakBilin B
hB : Function.Injective ⇑B

Tendsto f l (𝓝 x) ↔ ∀ (y : F), Tendsto (fun i => (B (f i)) y) l (𝓝 ((B x) y))


Tendsto ((fun x y => (B x) y) ∘ f) l (𝓝 fun y => (B x) y) ↔ Tendsto (fun i => ⇑(B (f i))) l (𝓝 ⇑(B x))


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : SuccOrder α

⊥ = generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a : α

Context: h_singleton_eq_inter : {a} = Iic a ∩ Ici a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
m : M

((RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) m * ((RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) m = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (Q m)


(RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ((TensorAlgebra.ι R) m) * (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q)).toLinearMap ((TensorAlgebra.ι R) m) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (Q m)


(algebraMap R (RingQuot (Rel Q))) (Q m) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (Q m)


Context:
K : Type u_1
inst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁷ : HasSolidNorm K
inst✝⁶ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace K E
inst✝³ : FiniteDimensional K E
inst✝² : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice K L


Context:
K : Type u_1
inst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁷ : HasSolidNorm K
inst✝⁶ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace K E
inst✝³ : FiniteDimensional K E
inst✝² : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice K L
this : Module.Finite ℤ ↥L


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁸ : AddMonoid M

Context: inst✝⁷ : HasShift C M

Context: inst✝⁶ : HasShift D M

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : L.IsLocalization W

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a : M

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: n a' : M

Context: h : a + n = a'

((L.commShiftIso a').app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (f.shift n a' h)) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map (((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f)) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁸ : AddMonoid M

Context: inst✝⁷ : HasShift C M

Context: inst✝⁶ : HasShift D M

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : L.IsLocalization W

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a : M

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: n a' : M

Context: h : a + n = a'

((L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) ≫ (L.commShiftIso a').inv.app Y) ≫ ((L.commShiftIso a').app Y).hom = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁸ : AddMonoid M

Context: inst✝⁷ : HasShift C M

Context: inst✝⁶ : HasShift D M

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : L.IsLocalization W

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a : M

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: n a' : M

Context: h : a + n = a'

(L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)

Context: f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)

Context: f_succ : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → f n (m + 1) = f n m ∩ e (m + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)

Context: le_d_f : ∀ (n m : ℕ), m ≤ n → γ - 2 * (1 / 2) ^ m + (1 / 2) ^ n ≤ d (f m n)

Context: s : Set α := ⋃ m, ⋂ n, f m n

Context: γ_le_d_s : γ ≤ d s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: e : ℕ → Set α

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)

Context: s : Set α := ⋃ m, ⋂ n, f m n

Context: γ_le_d_s : γ ≤ d s

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 1
this : p.coeff 1 ≠ 0


(C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).IsRoot (-(p.coeff 0 / p.coeff 1))


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∉ s

(Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩


(Set.sumDiffSubset h) ((Set.sumDiffSubset h).symm x) = (Set.sumDiffSubset h) (Sum.inr ⟨↑x, ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r
h : s.length ≠ 0
rid : s.toFun 0 = s.toFun 1


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (deriv f) volume
x : ℝ

𝓕 (deriv f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) • 𝓕 f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (deriv f) volume

Context: x : ℝ

Context: I : Integrable (fun x => fderiv ℝ f x) volume

𝓕 (deriv f) x = (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (deriv f) volume

Context: x : ℝ

Context: this : 𝓕 (deriv f) x = (𝓕 (fderiv ℝ f) x) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (deriv f) volume

Context: x : ℝ

(fourierSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) x) 1 = (2 * ↑π * Complex.I * ↑x) • 𝓕 f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
a✝ : ι


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂

K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
l₁ l₂ : Filter α

(diagonal α)ᶜ ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ Disjoint l₁ l₂


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a

Context: b : β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: s : ι → Set α := fun i => toMeasurable (μ i) {x | f x ≠ mk f ⋯ x}


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0

Context: hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0

Context: hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)

Context: hs : ∀ (i : ι), ∀ x ∉ s i, f x = mk f ⋯ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0

Context: hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)

Context: g : α → β := (⋂ i, s i).piecewise (const α default) f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0

Context: hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace δ

Context: f g✝ : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ i)

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0

Context: hsm : MeasurableSet (⋂ i, s i)

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₂ - a₂ = m • p

(∃ b, b₁ + b₂ - (a₁ + a₂) = (Equiv.symm (Equiv.addRight m)).symm b • p) ↔ a₁ ≡ b₁ [PMOD p]


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
u : α → γ
hu : UniformInducing u

UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformEquicontinuousOn ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → β → α

Context: S : Set β

Context: u : α → γ

Context: hu : UniformInducing u

Context: this : UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → β → α

Context: S : Set β

Context: u : α → γ

Context: hu : UniformInducing u

UniformContinuousOn ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) S


Context:
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L

Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : ↥K →ₐ[F] L), σ.fieldRange ≤ K


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)

ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ico a b)


∀ x ∈ Ico a b, ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Primrec (f i)

Primrec fun a => List.ofFn fun i => f i a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')

setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : m
r : n → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n

(A.updateRow i r).submatrix ⇑e ⇑f = (A.updateRow (e (e.symm i)) fun j => r (f (f.symm j))).submatrix ⇑e ⇑f


Context:
n p : ℕ
hpos : n ≠ 0
h : ∀ {d : ℕ}, Prime d → d ∣ n → d = p
k : ℕ := n.primeFactorsList.length


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y z : V
h : angle x y = π


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x z : V
left✝ : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
h : angle x (r • x) = π


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₁ ⟶ X₀

Context: d₁ : X₂ ⟶ X₁

Context: s : d₁ ≫ d₀ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0

Context: succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0

(if 1 = 0 + 1 then 𝟙 X₁ ≫ d₀ else 0) = d₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsAntisymm α r

x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y


x ∈ s → ((∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r x b → r b x) ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsAntisymm α r
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → r x y → x = y
y : α
hys : y ∈ s
hxy : r x y


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

F.δ X X' ≫ (F.map f ⊗ F.map g) = F.map (f ⊗ g) ≫ F.δ Y Y'


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context: x : ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ

addRothNumber (Ico a b) = rothNumberNat (b - a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : b ≤ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : a ≤ b


Ico a b = map (addLeftEmbedding a) (range (b - a))


Ico a b = image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 (b - a))


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝⁶ : CompleteSpace A
B : Type u_3
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing B
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 B
inst✝³ : CompleteSpace B
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 B B
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 B B
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : B


IsCompact (σ ((WithLp.unitizationAlgEquiv 𝕜).symm ↑a))


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : Associated (c ^ k) (a * b)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : Associated (c ^ k) (a * b)
u : Rˣ
hu : a * b * ↑u = c ^ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
f : r ↪r s
h : y ⊆ ⇑f '' x

x ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s y = maximals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: f : X → ℝ

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → E

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K

Context: this : (K.indicator fun x => f x • g x) = fun x => f x • g x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: f : X → ℝ

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → E

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K

Integrable (fun a => K.indicator f a • g a) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: f : X → ℝ

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → E

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = -⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ


Context: m n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulWithZero α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α

0 ∈ s • t ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty


0 ∈ ↑s ∧ (↑t).Nonempty ∨ 0 ∈ ↑t ∧ (↑s).Nonempty ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConcaveOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : -(((-f) z - (-f) y) / (z - y)) ≤ -(((-f) y - (-f) x) / (y - x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConcaveOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

(pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
n k : ℕ

n.descFactorial (k + 1) = ∏ i ∈ range (k + 1), (n - i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : Add β
inst✝ : ContinuousAdd β
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
h_g'_meas : StronglyMeasurable g'
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (Set β)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Zero M

Context: l : List M

Context: inst✝⁴ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : AddZeroClass R

Context: l₁ l₂ : List R

Context: inst✝² : DecidablePred fun x => (l₁ ++ l₂).getD x 0 ≠ 0

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => l₁.getD x 0 ≠ 0

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => l₂.getD x 0 ≠ 0

Context: n : ℕ

(l₁ ++ l₂).toFinsupp n = (l₁.toFinsupp + Finsupp.embDomain (addLeftEmbedding l₁.length) l₂.toFinsupp) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Zero M

Context: l : List M

Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : AddZeroClass R

Context: l₁ l₂ : List R

Context: n : ℕ

(l₁ ++ l₂).getD n 0 = l₁.getD n 0 + (Finsupp.embDomain (addLeftEmbedding l₁.length) l₂.toFinsupp) n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
x : β
y₁ y₂ : α ⧸ stabilizer α x
g₁ g₂ : α
H : g₁ • x = g₂ • x


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: ncs : CauSeq ℤ_[p] norm

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ncs_der_val : ∀ (n : ℕ), ‖Polynomial.eval (↑ncs n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑ncs i) (Polynomial.derivative F)‖) atTop (𝓝 ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: ncs : CauSeq ℤ_[p] norm

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: x✝ : ℕ

‖Polynomial.eval (↑ncs x✝) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g

∃ ns, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : MetricSpace E

Context: f✝ : ℕ → α → E

Context: g✝ : α → E

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f u g

Context: ms : ℕ → ι

Context: hms : TendstoInMeasure μ (fun n => f (ms n)) atTop g


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : MetricSpace E

Context: f✝ : ℕ → α → E

Context: g✝ : α → E

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f u g

Context: ms : ℕ → ι

Context: ns : ℕ → ℕ

Context: hns : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ms (ns i)) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
x : R
x_ne_zero : x ≠ 0
hx : (algebraMap R K) x ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
x : R
hx : (algebraMap R K) x ∈ I
map_eq_zero : map h I = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
hab : (a % b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y % x) b).get ⋯ = a.get ⋯ % b.get ⋯


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
l : Multiset R

l.sum * l.sum = (Multiset.map (fun x => x * x) l).sum


Context:
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n


Context:
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
this : 0 < p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
w : ι' → ↑S.X₃
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range w)
hE : Epi S.g

⊤ ≤ span R (range (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w)))


Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v


⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
a b k : ℤ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
z : R


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i✝ : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: i : δ

Context: α : Type u_1 := { x // x ∈ {i} }

Context: e : π ↑default ≃ᵐ ((i_1 : α) → π ↑i_1) := (MeasurableEquiv.piUnique fun j => π ↑j).symm

Context: x : (i : δ) → π i

(∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I

(Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule).Nondegenerate


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I

IsCompl (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I


Context: a b n : ℕ


Context: a b : ℕ


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ≠ 0

(Associates.mk a).factors = ↑(factors' a)


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X

T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U, IsOpen U ∧ Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

(expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R * cyclotomic n R


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hdiv : ¬p ∣ 0

(expand R p) (cyclotomic 0 R) = cyclotomic (0 * p) R * cyclotomic 0 R


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hnpos : n > 0


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hnpos : n > 0
this : NeZero n


(expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic (n * p) ℤ * cyclotomic n ℤ


cyclotomic (n * p) ℤ * cyclotomic n ℤ ∣ (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)


((expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)).natDegree ≤ (cyclotomic (n * p) ℤ * cyclotomic n ℤ).natDegree


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ' : QuasiIsoAt φ' i
hφφ' : QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ' : IsIso (homologyMap φ' i)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ') i)


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L M K' L' : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

Context: φ' : L ⟶ M

Context: i : ι

Context: inst✝² : K.HasHomology i

Context: inst✝¹ : L.HasHomology i

Context: inst✝ : M.HasHomology i

Context: hφ' : IsIso (homologyMap φ' i)

Context: hφφ' : IsIso (homologyMap φ i ≫ homologyMap φ' i)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : Nonempty ι

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: m : ι → A

‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) m‖ ≤ 1 * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: m : ι → A


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a✝ b a : α
hb : b ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

(toDual 𝕜 F).symm (fderiv 𝕜 f₁ x) = (toDual 𝕜 F).symm (fderiv 𝕜 f x)


Context:
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs[i]? = xs[j]?


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]

eval (map f q) (map (mapRingHom f) p) = map f (eval q p)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X

Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows = Presieve.functorPushforward F R


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X
Y : D


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
x y : α
hy : y ≠ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
x : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → Set X
ho : ∀ (i : α), IsOpen (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → Set X
ho : ∀ (i : α), IsOpen (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ
h : ∀ (i : α), IsOpen (f i ∩ s)


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
a : A

({ app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => L₆.map (γ.app X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => δ.app (L₃.obj X), naturality := ⋯ }).app (G₁.obj X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => K₂.map (({ app := fun X => L₄.map (α.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }).app X), naturality := ⋯ }).app a = ({ app := fun X_1 => L₆.map (({ app := fun X_2 => γ.app (G₁.obj X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => H₂.map (α.app X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => ({ app := fun X => δ.app (H₁.obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => K₂.map (β.app X), naturality := ⋯ }).app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }).app a


L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ K₂.map (L₄.map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a)) = L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ L₆.map (H₂.map (α.app a)) ≫ δ.app (H₁.obj (L₁.obj a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a))


L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ K₂.map (L₄.map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a)) = L₆.map (γ.app (G₁.obj a)) ≫ (δ.app (L₃.obj (G₁.obj a)) ≫ (L₄ ⋙ K₂).map (α.app a)) ≫ K₂.map (β.app (L₁.obj a))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (affineCombination k s p₁) w -ᵥ p₂


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ


Context:
α β : Type u
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s


Context:
α β : Type u
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s

Small.{max u v, (max u v) + 1} ↑(f '' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y✝ : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y

Context: hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: y : 𝕜


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K

Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ ↔ Memℒp f p μ


Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ → Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : RCLike K

Context: f : α → K

Context: hre : Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ

Context: him : Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : RCLike K

Context: f : α → K

f = (fun x => ↑(RCLike.re (f x))) + fun x => RCLike.I * ↑(RCLike.im (f x))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : RCLike K

Context: f : α → K

Context: x : α

f x = ((fun x => ↑(RCLike.re (f x))) + fun x => RCLike.I * ↑(RCLike.im (f x))) x


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y


∀ {y : Y}, y ∈ f '' F → JoinedIn (f '' F) (f x) y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
y : X
y_in : y ∈ F


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: f_lim : α → E

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

eLpNorm f_lim 0 μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) 0 μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: hp0 : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm' f_lim p.toReal μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p.toReal μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: hp_pos : 0 < p.toReal


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x) = ∫ (x : ℝ) in d - b..d - a, f x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : m ≤ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
n✝ : ℕ
hmn✝ : m ≤ n✝
ih : s ^ m ⊆ s ^ n✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
x : R
hx : Squarefree x
y : R
hy : x ∣ y ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
y a b : R
ha : a ∣ y
hb : b ∣ y
hx : Squarefree (a * b)
hy : a * b ∣ y ^ 2


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a b x✝ y✝ : A

Context: k : 𝕜

Context: k_neq : k ∉ {0}

Context: k_mem : ↑(Units.mk0 k k_neq) ∈ σ (x✝ * y✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j


↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ↑v (s ∩ i) else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } j = ↑v (j ∩ i)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃

(sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)


(sc • sa • r₁ + (sc • ra • r₂ + rc • r₃)) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)


r₁ /ₒ s₁ + (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁) + rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁))) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ∈ closure {x}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ⤳ x


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L : List ℕ

Context: hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)

(map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L : List ℕ

Context: hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)

Context: haL : ∀ b ∈ L, a < b

Context: hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L : List ℕ

Context: hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L

Context: haL : ∀ b ∈ L, a + 1 ≤ b


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L₀ : List ℕ

Context: hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀

Context: hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)

Context: hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)

Context: haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b

Context: x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length

Context: hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)

(map (fun i => 2 ^ i) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)).sum.bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L₀ : List ℕ

Context: hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀

(2 ^ a + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L₀ : List ℕ

Context: hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀

(2 ^ a * 1 + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀


Context: a✝ n a : ℕ

Context: L₀ : List ℕ

Context: hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀

map (fun x => x + a) (0 :: map (fun x => x + 1) L₀) = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
h : ⊤ ⊔ radical α = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤
w : ∃ a_1, IsCoatom a_1 ∧ a ≤ a_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (range fun x => f ↑x)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isRight = true


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : β
h₁ : LiftRel r s (inr w✝) y
h₂ : (inr w✝).isRight = true

∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d


Context: α : Type u

Context: α' : Type w

Context: β : Type v

Context: β' : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: δ : Type u_2

Context: r : α → γ → Prop

Context: s : β → δ → Prop

Context: y : γ ⊕ δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: d : δ

Context: w✝ : β

Context: h₂ : (inr w✝).isRight = true

Context: h₁ : ∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d


Context:
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s : Heap α

((tail? le s).getD nil).realSize = s.realSize - 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
x✝ : ι → α
x : α

f (⨆ i, x✝ i) ≤ f x ↔ ⨆ i, f (x✝ i) ≤ f x


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
hp : Nat.Prime p


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
hp : p = 0


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₃₂ : p₃ = p₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ : Measure α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β
hc : c ≠ 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂

finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V


finrank K (V ⧸ ker f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m p q : ℤ
hpq : p + 2 = q

(δ 1 2 (Cochain.diff K)).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

IsTorsionBySet R M s ↔ IsTorsionBySet R M ↑(Ideal.span s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ


{a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a ≤ g a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f g : α → β

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x

Context: hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x

{a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a ≤ g a} x


Context:
b : Bool
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

∀ᶠ (z : 𝕜) in cobounded 𝕜, IsUnit (resolvent a z)


∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Set.Ioi i → IsUnit (resolvent a x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A

∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal


∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal


((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a


Context:
R : Type u1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : IsCentralScalar R M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ N
inst✝ : IsCentralScalar R N
f : M →ₗ[R] N

toTrivSqZeroExt.comp (map f) = (TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt


(toTrivSqZeroExt.comp (map f)).toLinearMap ∘ₗ ι R = ((TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt).toLinearMap ∘ₗ ι R


∀ (x : M), ((toTrivSqZeroExt.comp (map f)).toLinearMap ∘ₗ ι R) x = (((TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt).toLinearMap ∘ₗ ι R) x


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
x : ↑(X ⨯ Y)

(X.prodIsoProd Y).hom x = (prod.fst x, prod.snd x)


((X.prodIsoProd Y).hom x).1 = (prod.fst x, prod.snd x).1


((X.prodIsoProd Y).hom x).2 = (prod.fst x, prod.snd x).2


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F

Context: L : F →SL[τ] G

Context: this : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Continuous { toFun := fun f => L.comp f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F

Context: L : F →SL[τ] G

Context: this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Context: this : UniformAddGroup G


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F

Context: L : F →SL[τ] G

Context: this✝¹ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Context: this✝ : UniformAddGroup G

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F

Context: L : F →SL[τ] G

Context: this✝² : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Context: this✝¹ : UniformAddGroup G

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F

Context: L : F →SL[τ] G

Context: this✝¹ : UniformAddGroup G

Context: this : UniformAddGroup F

Continuous ((⇑(UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) ∘ DFunLike.coe) ∘ { toFun := fun f => L.comp f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M

(s.mulIndicator fun a => f a * g a) = fun a => s.mulIndicator f a * s.mulIndicator g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α

s.mulIndicator (fun a => f a * g a) x✝ = s.mulIndicator f x✝ * s.mulIndicator g x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : x✝ ∉ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : ℝ → F

IntegrableOn g (f '' s) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |f' x| • g (f x)) s volume


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
x : α p
f : (j : Fin (n + 1)) → α j

p.insertNth x (p.removeNth f) = update f p x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : ChartedSpace H A
inst✝³ : TopologicalSpace A'
inst✝² : ChartedSpace H' A'
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ChartedSpace H R
x : M


∀ (t : N), ∃ U f, ∃ (_ : (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate M N ⋯).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : ChartedSpace H A
inst✝³ : TopologicalSpace A'
inst✝² : ChartedSpace H' A'
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ChartedSpace H R
x : M
n : N

∃ U f, ∃ (_ : (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate M N ⋯).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = n


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: f : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L R : ListBlank Γ

stepAux (read dec f) v (trTape' enc0 L R) = stepAux (f R.head) v (trTape' enc0 L R)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: f : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L R : ListBlank Γ

∀ (f : Vector Bool n → Stmt Bool Λ' σ), stepAux (readAux n f) v (trTape' enc0 L R) = stepAux (f (enc R.head)) v (trTape' enc0 (ListBlank.cons R.head L) R.tail)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: f : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: R : ListBlank Γ

∀ (f : Vector Bool n → Stmt Bool Λ' σ), stepAux (readAux n f) v (trTape' enc0 L (ListBlank.cons a R)) = stepAux (f (enc (ListBlank.cons a R).head)) v (trTape' enc0 (ListBlank.cons (ListBlank.cons a R).head L) (ListBlank.cons a R).tail)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: f : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: R : ListBlank Γ

∀ (f : Vector Bool n → Stmt Bool Λ' σ), stepAux (readAux n f) v (Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc a).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))) = stepAux (f (enc a)) v (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: f : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: R : ListBlank Γ

∀ (i : ℕ) (f : Vector Bool i → Stmt Bool Λ' σ) (L' R' : ListBlank Bool) (l₁ l₂ : List Bool) (h : l₂.length = i), stepAux (readAux i f) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂ R')) = stepAux (f ⟨l₂, h⟩) v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k

affineCombinationLineMapWeights i j c i = 1 - c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

a ∈ [[b, c]] ↔ b ≤ a ∧ a ≤ c ∨ c ≤ a ∧ a ≤ b


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (F.map f ≫ coconeMorphism F j') x


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid N

Context: C : CoprodI M → Prop

Context: m : CoprodI M

Context: one : C 1

Context: mul : ∀ {i : ι} (m : M i) (x : CoprodI M), C x → C (of m * x)


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝¹ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r✝ : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r✝ x y → f x = f y
x : RingQuot r✝
a✝ b✝ : R
r : Rel r✝ a✝ b✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y

(↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0