Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : μ' s ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ

Context: st : s ⊆ t

Context: mu'_t : μ' t = μ' s

Context: mu_t : μ t = μ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : μ' s ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ

Context: B : ∀ (s : Set G), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ' s < ⊤ → μ' s = (c • μ) s

Context: t : Set G := toMeasurable μ' s ∩ toMeasurable μ s

Context: st : s ⊆ t

Context: mu'_t : μ' t = μ' s

Context: mu_t : μ t = μ s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
θ : ℂ
n : ℤ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A

(shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (shiftFunctorComm C n 0).inv.app X


𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C n).obj X)) = (shiftFunctor C n).map (𝟙 ((𝟭 C).obj X))


𝟙 ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctor C n).map (𝟙 X)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
hs : s.Nonempty


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e : σ ≃ τ

(rename ⇑e) (esymm σ R n) = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, X (e i)


∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, X (e i) = ∑ t ∈ powersetCard n (Finset.map e.toEmbedding univ), ∏ i ∈ t, X i


∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, X (e i) = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ (mapEmbedding e.toEmbedding) x, X i


∑ t ∈ powersetCard n (Finset.map e.toEmbedding univ), ∏ i ∈ t, X i = ∑ t ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ t, X i


Context:
n m : ℕ
a b : Fin n


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
s : Set M
x : M

x ∈ I • span R s ↔ x ∈ span R (⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ s, {a • b})


x ∈ span R (⋃ s_1 ∈ ↑I, ⋃ t ∈ s, {s_1 • t}) ↔ x ∈ span R (⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ s, {a • b})


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι

(h.basis.dualBasis i) (h.basis j) = (ε i) (h.basis j)


Context: x : ℝ


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdnf : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdng : ∀ x ∈ -Ioo a b, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdnf : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdng : ∀ x ∈ Ioo (-b) (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) (𝓝[>] (-b)) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) (𝓝[>] (-b)) l

Context: this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) ∘ Neg.neg) (𝓝[<] b) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x => (fun x => f (-x) / g (-x)) (-x)) (𝓝[<] b) l


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite = μ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

(Measure.sum fun n => μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) = μ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

(Measure.sum fun n => μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) = Measure.sum (sFiniteSeq μ)


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet s✝

(μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) s✝ = (sFiniteSeq μ n) s✝


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet s✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

StableUnderGeneralization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

StableUnderGeneralization s → ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

(∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = sᶜ) → ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s


Context:
α✝ : Type u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
t : RBNode α✝
v : α✝
h : Ordered cmp t

Ordered cmp (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
b : α
x✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.get n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f✝ f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)

Context: g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))

Context: f : M → M'

Context: s : Set M

Context: x : M

MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f✝ f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: f : M → M'

Context: s : Set M

Context: x : M

ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f✝ f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)

Context: f : M → M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f' : E →L[𝕜] E'

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f✝ f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: f : M → M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f' : E →L[𝕜] E'

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

Integrable (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ


HasFiniteIntegral (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ < ⊤


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = (μ.prod ν) s


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ


(fun a => ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun a => ν (Prod.mk a ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
x : α
hx : ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤

ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal = ν (Prod.mk x ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
x : α
hx : ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup N

Context: inst✝¹² : Module R N

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup P

Context: inst✝¹⁰ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁹ : Module.Free R M

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁷ : Module.Free R N

Context: inst✝⁶ : Module.Finite R N

Context: inst✝⁵ : Module.Free R P

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R P

Context: inst✝³ : Module.Free R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: A : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M

Context: b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) A (A ⊗[R] M) := Algebra.TensorProduct.basis A b

(trace A (A ⊗[R] M)) (baseChange A f) = ↑(algebraMap R A) ((trace R M) f)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

¬LinearIndependent R v ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0


(¬∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0) ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop

(∀ y ∈ e.target, p y) ↔ ∀ x ∈ e.source, p (↑e x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
m : M
s : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (r • m) s) = r • (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
b₁ : Set (Set β)
hb₁c : b₁.Countable
b₂ : Set (Set β)
hb₂c : b₂.Countable


Context:
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
x y : ↑(Iic a)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.414921, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
s t : Finset α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

Finset.subtype p s = univ ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → a ∈ s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
x✝ : α


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

(uniformity R).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | v (p.2 - p.1) < ↑γ}


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

(Filter.comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | v (p.2 - p.1) < ↑γ}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: v w : F

Context: h : ‖v‖ = ‖w‖

Context: R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: v w : F

Context: h : ‖v‖ = ‖w‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: v w : F

Context: h : ‖v‖ = ‖w‖

Context: h₁ : R (v - w) = -(v - w)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: v w : F

Context: h : ‖v‖ = ‖w‖

Context: h₁ : R (v - w) = -(v - w)

Context: h₂ : R (v + w) = v + w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

Context: pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj

ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

Context: u : ι → Set E

Context: hux : ∀ (i : ι), u i ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: p : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)

Context: hp : ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => Φ x i) (p i) (u i)


Context:
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}


Context:
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

x✝.next { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β
this : (map (⇑f) μ).OuterRegular


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: f : α ≃ₜ β

Context: this✝ : (map (⇑f) μ).OuterRegular

Context: this : IsFiniteMeasureOnCompacts (map (⇑f) μ)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

R.one ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (λ_ (X P Q)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ R.one ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (λ_ (X P Q)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ R.one ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(R.one ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

R.one ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(((α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (λ_ (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc

X.map (SimplexCategory.σ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
i : m
i' : α
j : m
j' : α
h : (j, j').2 < (i, i').2


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M'
inst✝ : FG M
f : M →* M'
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α

f a * ∏ x ∈ Iio a, f x = ∏ x ∈ Iic a, f x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Integrable (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

HasFiniteIntegral (fun a => ‖cexp (-b * (↑a + ↑c * I) ^ 2)‖) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

HasFiniteIntegral (fun a => rexp (c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)) * rexp (-(b.re * (a - b.im * c / b.re) ^ 2))) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Integrable (fun x => rexp (-(b.re * x ^ 2))) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Integrable (fun x => rexp (-b.re * x ^ 2)) volume


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α

(frontier s).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ s ≠ univ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C


(ρ_ X.fst).hom ≫ (ρ_ X).inv.f = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C)).fst


(𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C))).f = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C)).fst


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k

(lineMap p₀ p₁) c₁ = (lineMap p₀ p₁) c₂ ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

‖g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ = ‖g‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

‖g‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

Context: this : g = (g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

‖(g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β

(Measure.comap f μ) (f ⁻¹' s) = μ (s ∩ range f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i✝ j✝ : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hj : MeasurableSet j

Context: hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ

Context: hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i✝ j✝ : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hj : MeasurableSet j

Context: hi' : (∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑0 j ≤ ↑s j) ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j

Context: hj' : (∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ j → ↑0 j_1 ≤ ↑s j_1) ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i✝ j✝ : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hj : MeasurableSet j

Context: hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i✝ j✝ : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hj : MeasurableSet j

Context: hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i✝ j✝ : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hj : MeasurableSet j


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

(eval (π C J) l) (Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) = (eval C l) x


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

(if ∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true then 1 else 0) = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

(∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

∀ (a : I), (a ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) a = true) = (a ∈ ↑l → ↑x a = true)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

Context: i : I

(i ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (i ∈ ↑l → ↑x i = true)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

Context: i : I

i ∈ ↑l → (↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (↑x i = true)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E

x ∈ K₁ ⊔ K₁ᗮ ⊓ K₂ ↔ x ∈ K₂


(∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x
hvm : x - ↑v ∈ K₁ᗮ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
e : a - b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
c : Ordinal.{u_4}
e : a - b = succ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
l : (a - b).IsLimit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝ snd✝ : α

Sym2.mk (fst✝, snd✝).swap = s(fst✝, snd✝)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic

p = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i


C (p.coeff p.natDegree) * X ^ p.natDegree + ∑ x ∈ range p.natDegree, C (p.coeff x) * X ^ x = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h1 : (f ^ n).IsCycle

Context: h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support

Context: key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support

Context: x : α

Context: hx1 : (f ^ n) x ≠ x

Context: hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support

Context: x : α

Context: hx1 : (f ^ n) x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : f y ≠ y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support

Context: x : α

Context: hx1 : (f ^ n) x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : f y ≠ y

Context: i : ℤ

Context: h✝ : ((f ^ n) ^ i) x = y


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : a < 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y

Context: hf : ContinuousAt f x

Context: hg : ContinuousAt g x

Context: y : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: y : ℝ

Context: f_diff : ∀ (y_1 : ℝ), y_1 ≠ y → HasDerivAt f (g y_1) y_1

Context: hf : ContinuousAt f y

Context: hg : ContinuousAt g y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hf : ContinuousAt f x

Context: hg : ContinuousAt g x

Context: y : ℝ

Context: hne : y ≠ x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.gcd = s.gcd
h : a ∈ s

fold GCDMonoid.gcd 0 s = GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 s)


GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a)) = GCDMonoid.gcd (normalize a) (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a))


Context: l mr lm r : List Char

Context: e : lm ++ r = { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.str.data

Context: h : { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.startPos ≤ { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.stopPos

∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }


Context:
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm

∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }


Context: l mr lm r : List Char

Context: e : lm ++ r = l ++ mr

Context: h : utf8Len l ≤ utf8Len lm

Context: this : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r


Context:
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm
h : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ


Context: B : Type u

Context: inst✝ : Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ a

Context: η : 𝟙 a ≅ f ≫ g

Context: ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b

Context: h : leftZigzag η.hom ε.hom = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv

rightZigzag η.hom ε.hom = (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv


Context: B : Type u

Context: inst✝ : Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ a

Context: η : 𝟙 a ≅ f ≫ g

Context: ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b

(rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ rightZigzag η.hom ε.hom = (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι


filter (fun x => i ≠ x) f = filter (fun x => x ≠ i) f


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: hI : I.IsMaximal

Context: h : (idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)).IsMaximal


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: hI : I.IsMaximal

Context: x : X

Context: hx : opensOfIdeal I = (Closeds.singleton x).compl


Context: m n : ℕ+

(m.lcm n).factorMultiset = m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset


Context: m n : ℕ+

(m.lcm n).factorMultiset ≤ m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset


Context: m n : ℕ+

m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset ≤ (m.lcm n).factorMultiset


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

ContinuousOn (↑(f.extend I)) (f.extend I).source


ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) (f.extend I).source


ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) f.source


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ


Context:
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid N

Context: C : CoprodI M → Prop

Context: m : CoprodI M

Context: h_one : C 1

Context: h_of : ∀ (i : ι) (m : M i), C (of m)

Context: h_mul : ∀ (x y : CoprodI M), C x → C y → C (x * y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup

(map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs)) ++ List.sym (n + 1) xs).Nodup


(map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))).Disjoint (List.sym (n + 1) xs)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h2x : x ∉ tsupport f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h2x : f =ᶠ[nhds x] 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
e : M ≃ₗ[R] M₂
x✝ : M₂

(e.conj LinearMap.id) x✝ = LinearMap.id x✝


Context:
n : ℕ
h : IsUnit ↑n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), (N i).FG


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), (N i).FG
val✝ : Fintype (PLift ι)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α β : 𝟭 C ⟶ 𝟭 C
X : C


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α

⨆ (_ : t.Nonempty), sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty

⨆ (_ : ∅.Nonempty), sInfGen m ∅ = ⨅ μ ∈ m, μ ∅


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
ht : t.Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup K

Context: j : NormedAddGroupHom K H

Context: hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖

f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup K

Context: j : NormedAddGroupHom K H

Context: hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N✝ : ℕ
τ✝ : ℝ
a✝ : SatelliteConfig E N✝ τ✝
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* α ≃o α

Context: h : α → α

Context: H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)

Context: g : G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* α ≃o α

Context: h : α → α

Context: g : G

Context: y : α

IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* α ≃o α

Context: h : α → α

Context: g : G

Context: y : α

Context: this : IsLUB (⇑(f₁ g) '' range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ((f₁ g) (h y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* α ≃o α

Context: h : α → α

Context: g : G

Context: y : α

Context: this : IsLUB (range ((⇑(f₁ g) ∘ fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ∘ ⇑(Equiv.mulRight g))) ((f₁ g) (h y))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.123089, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂

(inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂


Context:
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀

FinitaryExtensive C ↔ IsVanKampenColimit c₀


Context:
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : IsVanKampenColimit c₀


∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → IsVanKampenColimit c


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝³ : Category.{v'', u''} D

Context: X Y : C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: T : C

Context: HT : IsTerminal T

Context: c₀ : BinaryCofan T T

Context: hc₀ : IsColimit c₀

Context: H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)

∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝³ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: T : C

Context: HT : IsTerminal T

Context: c₀ : BinaryCofan T T

Context: hc₀ : IsColimit c₀

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

Context: X' Y' : C

Context: c' : BinaryCofan X' Y'

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αY : Y' ⟶ Y

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f

Context: hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f

Context: d : c.pt ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c₀.pt).obj { as := WalkingPair.left }

Context: hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl

Context: hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr

Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝³ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: T : C

Context: HT : IsTerminal T

Context: c₀ : BinaryCofan T T

Context: hc₀ : IsColimit c₀

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

Context: X' Y' : C

Context: c' : BinaryCofan X' Y'

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αY : Y' ⟶ Y

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f

Context: hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f

Context: hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl

Context: hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr

IsPullback c'.inl (αX ≫ HT.from X) (f ≫ d) c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr (αY ≫ HT.from Y) (f ≫ d) c₀.inr ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝³ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: T : C

Context: HT : IsTerminal T

Context: c₀ : BinaryCofan T T

Context: hc₀ : IsColimit c₀

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

Context: X' Y' : C

Context: c' : BinaryCofan X' Y'

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αY : Y' ⟶ Y

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f

Context: hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f

Context: hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl

Context: hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr

Context: hl : IsPullback c.inl (HT.from X) d c₀.inl

Context: hr : IsPullback c.inr (HT.from Y) d c₀.inr


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k
hkb : k ≤ ↑b


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ


AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id ω)) μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x

connectedComponentIn F x = connectedComponentIn F y


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x
hx : x ∈ F


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x y : α

Context: F : Set α

Context: hx : x ∈ F

Context: h : y ∈ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩

Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x : α

Context: F : Set α

Context: hx : x ∈ F

Context: y : α

Context: hy : y ∈ F

Context: h2y : ⟨y, hy⟩ ∈ connectedComponent ⟨x, hx⟩

Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F ↑⟨y, hy⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : s ⊆ A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree (f '' ↑s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : AList β


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.leftHomologyπ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β
F : Filter α
G : Filter γ

map f F ×ˢ G = map (Prod.map f id) (F ×ˢ G)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.64473, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Mono S.f

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Mono S.f

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Mono (S.map (eval C c i)).f

(ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Mono S.f

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Mono (S.map (eval C c i)).f

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Mono S.f

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Mono (S.map (eval C c i)).f

IsLimit (KernelFork.ofι (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).f ⋯)


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L

HasTrivialRadical R L ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥


(∀ (I : LieIdeal R L), IsSolvable R ↥↑I → I = ⊥) ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)

(map e.flip.symm p).dualAnnihilator = map e p.dualCoannihilator


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)
this : IsReflexive R N


Context:
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊤
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊥


Context:
a✝¹ a✝ : ℝ
h1 : ↑a✝¹ ≠ ⊥ ∨ ↑a✝ ≠ ⊤
h2 : ↑a✝¹ ≠ ⊤ ∨ ↑a✝ ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
l : List α

powersetCard (n + 1) (a ::ₘ ⟦l⟧) = powersetCard (n + 1) ⟦l⟧ + map (cons a) (powersetCard n ⟦l⟧)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ

dist (next^[n] f₁) (next^[n] f₂) ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

(↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂ ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R

(iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)).symm x) = (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p m).symm ((iterateFrobeniusEquiv R p n).symm x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae ν) f


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x ≤ x + ↑m
n : ℕ


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F✝ : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasColimit F✝

Context: α β : Type u

Context: f : α ⟶ β

Context: F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u

Context: c : Cone F

Context: hc✝ : IsLimit c

Context: hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)

Context: hc : IsLimit c

Context: hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)

Context: i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)

Context: this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)

Function.Surjective (i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0))


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F✝ : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasColimit F✝

Context: α β : Type u

Context: f : α ⟶ β

Context: F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u

Context: c : Cone F

Context: hc✝ : IsLimit c

Context: hc : IsLimit c

Function.Surjective ((limitCone F).π.app (Opposite.op 0))


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F✝ : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasColimit F✝

Context: α β : Type u

Context: f : α ⟶ β

Context: F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u

Context: c : Cone F

Context: hc✝ : IsLimit c

Context: hc : IsLimit c


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x

HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasStrictDerivAt c c' x

Context: hu : HasStrictDerivAt u u' x

Context: this : HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0

Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0

Tendsto (fun a => ∑' (a_1 : { x // x ∉ a }), ↑(f ↑a_1)) atTop (𝓝 0)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
x y : R

IsCoprime (span {x}) (span {y}) ↔ IsCoprime x y


(∃ a b, y ∣ b ∧ a * x + b = 1) ↔ IsCoprime x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'

condexpL1 hm μ (c • f) = c • condexpL1 hm μ f


∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), (condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • (condexpInd F' hm μ s) x


Context: θ : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤

IntegrableOn (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal) s ν


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : a ^ 2 = 0
hb : b ^ 2 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
b : R
hb : b ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 b
h' : 0 ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : 0 ^ 2 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
ha hb : 0 ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 0
h' : 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 0


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y₁ y₂ : Filter β

Tendsto f x (y₁ ⊓ y₂) ↔ Tendsto f x y₁ ∧ Tendsto f x y₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context:
L : Language
L' : Language


Context: n : ℕ+

↑(PrimeMultiset.ofNatList (↑n).primeFactorsList ⋯).prod = ↑n


Context: n : ℕ+


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j a : α


Context:
x y : ℝ
h : 0 < y


Differentiable ℂ fun s => (↑π ^ (-s / 2))⁻¹ * (Gamma (s / 2))⁻¹


Context: s : ℂ

DifferentiableAt ℂ (fun s => ↑π ^ (-s / 2)) s


Differentiable ℂ fun s => (Gamma (s / 2))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: p q : MvPolynomial σ R

∀ (p : MvPolynomial σ R), (∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0) → p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → σ

Context: hf : Function.Injective f

Context: p : MvPolynomial (Fin n) R

Context: h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → σ

Context: hf : Function.Injective f

Context: p : MvPolynomial (Fin n) R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → σ

Context: hf : Function.Injective f

Context: p : MvPolynomial (Fin n) R

Context: x : Fin n → R


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


S.a + hζ.toInteger * S.b = S.a + S.b + λ * S.b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
r : Set α
hrs : r ⊆ ↑s
hr : Set.BijOn P.part r ↑P.parts


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
r : Finset α
hrs : ↑r ⊆ ↑s
hr : Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
d : ℕ
x y : Fin n → ℕ
h : x ≤ y

∑ i : Fin n, x i * d ^ ↑i ≤ ∑ i : Fin n, y i * d ^ ↑i


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f g : (a : α) → β a
a : α
b : β a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤


∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → upperCentralSeries G n = ⊤


Context:
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}

sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < 1, a' ⨳ 1 ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'} = a


Context:
a✝ b✝ c d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}

b ∈ {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} ↔ b ∈ Set.Ici a


Context:
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a


Context:
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set (β × γ)

κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), (κ.seq n).compProdFun η a s


Context: q a b c : ℚ


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev

IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: hM : IsNilpotent M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: p : R[X] := M.charpolyRev

Context: hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)

Context: this : IsNilpotent (p /ₘ X)

Context: aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: hM : IsNilpotent M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: p : R[X] := M.charpolyRev

Context: hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)

Context: this : IsNilpotent (p /ₘ X)

IsNilpotent (M.charpolyRev - reflect M.charpoly.natDegree (X ^ Fintype.card n))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop

blimsup u f p = limsup u (f ⊓ 𝓟 {x | p x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
hln' : (permsOfList l).Nodup


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: hl : (a :: l).Nodup

Context: hl' : l.Nodup

Context: hln' : (permsOfList l).Nodup

Context: hmeml : ∀ {f : Equiv.Perm α}, f ∈ permsOfList l → f a = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: hl : (a :: l).Nodup

Context: hl' : l.Nodup

Context: hln' : (permsOfList l).Nodup

(permsOfList l).Nodup ∧ ((∀ x ∈ l, (List.map (fun f => Equiv.swap a x * f) (permsOfList l)).Nodup) ∧ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → (List.map (fun f => Equiv.swap a (l.get i) * f) (permsOfList l)).Disjoint (List.map (fun f => Equiv.swap a (l.get j) * f) (permsOfList l))) ∧ (permsOfList l).Disjoint (l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l))


Context: x y : ℝ

Context: h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∃ l, y = (2 * ↑l + 1) * π / 2

tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ

↑(f.pair g) =ᶠ[ae μ] fun x => (↑f x, ↑g x)


↑(mk (fun x => (↑f x, ↑g x)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun x => (↑f x, ↑g x)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedSinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(-↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s + (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(Int.sign 0) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

(s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / ↑n ^ s / 2


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

(s + 1).Gammaℝ * ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s = ((s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + (s + 1).Gammaℝ * -I * -↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)) / 2 / ↑n ^ s


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

(cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I = -I * 1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + -I * -1 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * -↑n)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

I * (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) = I * (cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) - cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n))


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c₁ c₂ : 𝕜

dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂) = dist c₁ c₂ * dist p₁ p₂


dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂) = dist c₁ c₂ * dist p₂ p₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

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