Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ₁ : Type u_1

Context: δ₂ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ₂

Context: φ₁ : C(δ₁, α)

Context: φ₂ : C(δ₂, α)

Context: h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁

Context: h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂

Context: h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}

UniformSpace.comap ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ ⇑φ₁) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformOnFun.uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ ⇑φ₂) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformOnFun.uniformSpace δ₂ β 𝔗₂) = UniformSpace.comap (toUniformOnFunIsCompact ∘ fun x => x.comp φ₁) (UniformOnFun.uniformSpace δ₁ β {K | IsCompact K}) ⊓ UniformSpace.comap (toUniformOnFunIsCompact ∘ fun x => x.comp φ₂) (UniformOnFun.uniformSpace δ₂ β {K | IsCompact K})


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
h : a ∉ s

(insert a b s).entries = ⟨a, b⟩ :: s.entries


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0


InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)) < π / 2


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j

xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h : j ≤ 2 * n

Context: jn : n ≤ j

Context: this : 2 * n - j + j ≤ n + j

Context: t : xn a1 (2 * n - (2 * n - j)) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x2n_sub_lem a1 (Nat.le_of_add_le_add_right this)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: this : ∀ x ∈ s • t, ∃ g ∈ s, g⁻¹ • x ∈ t


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: f : β → α

Context: hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: f : β → α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ closure (s • t)


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: f : β → α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ closure (s • t)

Context: u : Ultrafilter β

Context: hust : s • t ∈ u

Context: hux : ↑u ≤ 𝓝 x


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: f : β → α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ closure (s • t)

Context: u : Ultrafilter β

Context: hust : s • t ∈ u

Context: hux : ↑u ≤ 𝓝 x

Context: this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: f : β → α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ closure (s • t)

Context: u : Ultrafilter β

Context: hust : s • t ∈ u

Context: hux : ↑u ≤ 𝓝 x

Context: this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s

Context: g : α

Context: hg : g ∈ s

Context: hug : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓝 g


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Ici x) = Ico ↑x ⊤


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m✝ : M

m✝ ∈ (N₁ ⊓ N₂).normalizer ↔ m✝ ∈ N₁.normalizer ⊓ N₂.normalizer


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α

∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ


⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ = ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a

φ.lintegral μ ≤ ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f

IsPathConnected F ↔ IsPathConnected (f '' F)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : IsPathConnected (f '' F)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)

F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F

Context: γ : Path (f x) (f y)

Context: hγ : ∀ (t : ↑I), γ t ∈ f '' F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F

Context: γ : Path (f x) (f y)

Context: γ' : ↑I → X

Context: hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F

Context: hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F

Context: γ : Path (f x) (f y)

Context: γ' : ↑I → X

Context: hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F

Context: hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t

Context: key₁ : Inseparable x (γ' 0)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F

Context: γ : Path (f x) (f y)

Context: γ' : ↑I → X

Context: hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F

Context: hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t

Context: key₁ : Inseparable x (γ' 0)

Context: key₂ : Inseparable (γ' 1) y


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M


Context:
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid α
s : Finset ι
p : Sym2 ι → α

∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ i ∈ filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag, p s(i.1, i.2)


∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ i ∈ filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s(i.1, i.2)


∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ x ∈ Finset.subtype (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s((↑x).1, (↑x).2)


∀ (i : { p // p.1 ≤ p.2 }), i ∈ Finset.subtype (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag ↔ Sym2.sortEquiv.symm i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2


∀ i ∈ Finset.subtype (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag, p s((↑i).1, (↑i).2) = p (Sym2.sortEquiv.symm i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
nd : l.Nodup
h : ∀ (x : α), x ∈ l
i : Fin l.length

(fun a => ⟨indexOf a l, ⋯⟩) ((fun i => l.get i) i) = i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val

Context: x : E

Context: m : ∃ w, (∀ y ∈ t, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t, w y = 1 ∧ t.centerMass w id = x

∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ x ∈ t, g x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i

Context: hg : 0 < g i₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i

Context: hg : 0 < g i₀

Context: hi₀ : i₀ ∈ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i

Context: hg : 0 < g i₀

Context: hi₀ : i₀ ∈ t

Context: k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i

Context: hg : 0 < g i₀

Context: hi₀ : i₀ ∈ t

Context: hk : k i₀ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : DecidableEq E

Context: t : Finset E

Context: f : E → 𝕜

Context: fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y

Context: fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1

Context: g : E → 𝕜

Context: gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0

Context: gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0

Context: gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i

Context: i₀ : E

Context: mem : i₀ ∈ s

Context: w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i

Context: hg : 0 < g i₀

Context: hi₀ : i₀ ∈ t

Context: hk : k i₀ = 0

Context: ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: G : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: η : F ⟶ G

Context: p : YonedaCollection F X

op (CostructuredArrow.mk p.fst) = op (CostructuredArrow.mk (map₁ η p).fst)


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

Context: f : ℂ × ℂ → ℂ := fun p => 2 * ↑π * I * ↑n * p.1 + ↑π * I * ↑n ^ 2 * p.2

HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2) (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (z, τ)


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

HasFDerivAt f ((2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) (z, τ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a < b

Context: fa fb : E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)

Context: F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a < b

Context: fa fb : E

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)

Context: Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a < b

Context: fa fb : E

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)

Context: hcont : ContinuousOn F (Icc a b)


Context:
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Z ≅ Y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Field R

Context: p q : R[X]

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: ϕ : R →+* k

Context: f g : R[X]

Context: α : k

Context: hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Field R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: ϕ : R →+* k

Context: f g : R[X]

Context: α : k

Context: p : R[X]

Context: hp : f = EuclideanDomain.gcd f g * p


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ

(image₂ f s t).sup g = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)


(s.sup fun i => t.sup fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)


Context:
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : abs z < R


Context:
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : z ∈ ball 0 R


Context:
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

deriv Gamma (↑n + 1) = ↑n ! * (-γ + ↑(harmonic n))


Context:
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)


Context:
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)


Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma

Context: hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8


Context:
α : Type u
f : Filter α
s✝ t s : Set α


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite

Context: s : Finset ι := hN.toFinset

Context: κ : ι → Type u_3 := fun i => Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)

Context: b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N ↑i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite

Context: s : Finset ι := hN.toFinset

Context: h : IsInternal fun i => N ↑i


Context:
ξ : ℝ
u v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v


Context: v✝ : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v✝

Context: v : ℕ

Context: ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n

Context: ξ : ℝ

Context: u : ℤ

Context: h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v


Context: v✝ : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v✝

Context: v : ℕ

Context: ξ : ℝ

Context: u : ℤ

Context: h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v

Context: ht : v < 1


Context: v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: ξ : ℝ

Context: u : ℤ

Context: ih : ∀ m < 1, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n

Context: h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑1


Context: v✝ : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v✝

Context: v : ℕ

Context: ξ : ℝ

Context: u : ℤ

Context: h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v

Context: ht : 1 < v


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type w'

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: Q : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: h : M ≃[L] N

Context: f g : N ≃[L] P

Context: hfg : (fun f => f.comp h) f = (fun f => f.comp h) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α

IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ ↔ IntegrableAtFilter f l μ


IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ → IntegrableAtFilter f l μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ l
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hf : IntegrableOn f (t ∩ u) μ


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: g : G

Context: q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)

Context: k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))

↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

Context: this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra

IsLocalization M S ↔ IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S → IsLocalization M S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

Context: H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

M = Submonoid.map h.symm.toMonoidHom (Submonoid.map h.toMonoidHom M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

inst✝¹ = ((algebraMap P S).comp h.symm.symm.toRingHom).toAlgebra


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

inst✝¹ = ((algebraMap R S).comp (h.symm.toRingHom.comp h.symm.symm.toRingHom)).toAlgebra


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

∀ (r : R), (algebraMap R S) r = (algebraMap R S) r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: h : R ≃+* P

Context: r : R


Context:
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s


Context:
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s


Context:
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t


Context:
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t
this : Countable ↑t


Context: u : ℤˣ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Set C
c : C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: f : α → (i : ι) → E' i

f =o[l] g' ↔ ∀ (i : ι), (fun x => f x i) =o[l] g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: f : α → (i : ι) → E' i

(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (i : ι), IsBigOWith c l (fun x => f x i) g') ↔ ∀ (i : ι) ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f x i) g'


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < cos x


Context:
n : Nat
α✝ : Type u_1
a : α✝
p : α✝ → Bool

findIdx? p (replicate n a) = if 0 < n ∧ p a = true then some 0 else none


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : (C 0).degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0
h : degree 0 = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : p.degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α

(∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x) ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C

(𝟙 P).f = (P.decompId_i ≫ P.decompId_p).f


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t μ


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hvb : v < b
hw : w < b ^ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range f

f ((Set.range f).restrict (invFun f) ⟨b, h⟩) = f (hf.invOfMemRange ⟨b, h⟩)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₁
h : q₁ ∈ stmts₁ q₂
hs : SupportsStmt S q₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι✝ : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)

Context: ht : Pairwise fun i j => EqOn (g i) (g j) (t i ∩ t j)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: g' : (i : ι) → ↑(t i) → β := fun i => g i ∘ Subtype.val

Context: ht' : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), g' i ⟨x, hxi⟩ = g' j ⟨x, hxj⟩

∃ f, Measurable f ∧ ∀ (n : ι), EqOn f (g n) (t n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι✝ : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: f : ↑(⋃ i, t i) → β := iUnionLift t g' ht' (⋃ i, t i) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι✝ : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: t_meas : ∀ (n : ι), MeasurableSet (t n)

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (n : ι), Measurable (g n)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hfm : Measurable f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : dist x y ≤ K * r

Context: rpos : 0 < r

Context: R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)

closedBall y r ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : dist x y ≤ K * r

Context: rpos : 0 < r

(∃ r_1, closedBall y r ⊆ closedBall x r_1 ∧ μ (closedBall x (3 * r_1)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall y r)) ∨ ¬closedBall y r ⊆ closedBall x (scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3) / 4)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : dist x y ≤ K * r

Context: rpos : 0 < r

Context: H : closedBall y r ⊆ closedBall x (R / 4)

∃ r_1, closedBall y r ⊆ closedBall x r_1 ∧ μ (closedBall x (3 * r_1)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall y r)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : dist x y ≤ K * r

Context: rpos : 0 < r

Context: hr : r ≤ R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : dist x y ≤ K * r

Context: rpos : 0 < r

Context: hr : R < r


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Type u_1
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α

TotallyBounded (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, TotallyBounded (s i)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Type u_1
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α
this : Finite ↑I


Context:
K : Type ?u.613136
L : Type ?u.613139
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
v w : n → R


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x✝ : Fin n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α

(b :: l).erase a = eraseP (fun x => a == x) (b :: l)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α

scanl f b (a :: l) = [b] ++ scanl f (f b a) l


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
F : ι → α × β

BddAbove (range F) ↔ BddAbove (range (Prod.fst ∘ F)) ∧ BddAbove (range (Prod.snd ∘ F))


Context: m n✝ a✝ b✝ c d a b n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsLeftRegular (a * b)

Function.Injective ((fun x => a * x) ∘ fun x => b * x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α

count a s = card (filter (fun x => a = x) s)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 (ZMod p)


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Nontrivial R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: Φ : κ → Finset ι := fun k => (b.repr (v k)).support


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Nontrivial R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: w₁ : #ι ≤ #↑(range Φ)


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Nontrivial R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: w₁ : #ι ≤ #↑(range Φ)

Context: w₂ : lift.{w', w} #↑(range Φ) ≤ lift.{w, w'} #κ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: toOneHom✝¹ : OneHom M N

Context: map_mul'✝¹ : ∀ (x y : M), toOneHom✝¹.toFun (x * y) = toOneHom✝¹.toFun x * toOneHom✝¹.toFun y

Context: map_units'✝¹ : ∀ (y : ↥S), IsUnit ((↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun ↑y)

Context: surj'✝¹ : ∀ (z : N), ∃ x, z * (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun ↑x.2 = (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun x.1

Context: exists_of_eq✝¹ : ∀ (x y : M), (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun x = (↑{ toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹ }).toFun y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: toOneHom✝ : OneHom M N

Context: map_mul'✝ : ∀ (x y : M), toOneHom✝.toFun (x * y) = toOneHom✝.toFun x * toOneHom✝.toFun y

Context: map_units'✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit ((↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun ↑y)

Context: surj'✝ : ∀ (z : N), ∃ x, z * (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun ↑x.2 = (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun x.1

Context: exists_of_eq✝ : ∀ (x y : M), (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun x = (↑{ toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝ }).toFun y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: h : ∀ (x : M), { toOneHom := toOneHom✝¹, map_mul' := map_mul'✝¹, map_units' := map_units'✝¹, surj' := surj'✝¹, exists_of_eq := exists_of_eq✝¹ }.toMap x = { toOneHom := toOneHom✝, map_mul' := map_mul'✝, map_units' := map_units'✝, surj' := surj'✝, exists_of_eq := exists_of_eq✝ }.toMap x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : ClosedEmbedding g

ClosedEmbedding (g ∘ f) ↔ ClosedEmbedding f


Context: x y : ℝ

sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h_init : x ≤ f x

lfpApprox f x (succ #α).ord ∈ fixedPoints ⇑f


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_init : x ≤ f x

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h_a : a < (succ #α).ord

Context: b : Ordinal.{u}

Context: h_b : b < (succ #α).ord

Context: h_nab : a ≠ b

Context: h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b


Context:
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι


dirac ((EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm 0) = dirac 0


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝

Context: this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: h0C : C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * (↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝¹ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝¹

Context: this✝ : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

Context: this : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑(‖↑e.symm‖₊ ^ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

Context: this : ↑c * ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * ↑(c ^ p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

Context: hc : 0 < c

Context: h3c : ↑c ≠ 0

Context: hC : C * c ^ p = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p

Context: v : (ι → ℝ) → F := u ∘ ⇑e.symm

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

↑c * ∫⁻ (a : E), ↑‖u a‖₊ ^ p ∂Measure.map (⇑e.symm) volume ≤ ↑C * ↑(c ^ p) * (∫⁻ (a : E), ↑‖fderiv ℝ u a‖₊ ∂Measure.map (⇑e.symm) volume) ^ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
h : ∃ d, g' = g + d


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
r : ℚ


‖↑↑r‖ = |↑r|


Context: b : ℝ

IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume ↔ 0 < b


Context: b : ℝ

Context: h : IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume


Context: b : ℝ

Context: hb : b ≤ 0


Context: b : ℝ

Context: hb : b ≤ 0

Context: this : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioi 0, 1 ≤ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑‖rexp (-b * x ^ 2)‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : β → ℝ≥0∞
g : α ≃ᵐ β
hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

∫⁻ (a : β), f a ∂ν = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
n : ℕ


‖↑n + 1‖ ≤ ↑n * ‖1‖ + ‖1‖


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: s✝ t r : Set α

Context: s : ι → Set α

Context: h : Pairwise (Disjoint on s)

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s i

Context: j : ι

Context: hx' : (fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ∈ s j

⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ = ⟨j, ⟨(fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩, hx'⟩⟩


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: s✝ t r : Set α

Context: s : ι → Set α

Context: h : Pairwise (Disjoint on s)

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s i

Context: hx' : (fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ∈ s i

⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ = ⟨i, ⟨(fun x => ↑x.snd) ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩, hx'⟩⟩


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (f + g) i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

∀ (a : Ω), (μ[f j|↑ℱ i]) a ≤ f i a → (μ[g j|↑ℱ i]) a ≤ g i a → (μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a ≤ (f + g) i a


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: a✝² : Ω

Context: a✝¹ : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝² ≤ f i a✝²

Context: a✝ : (μ[g j|↑ℱ i]) a✝² ≤ g i a✝²

(μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a✝² ≤ (f + g) i a✝²


Context:
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
R : Type u_1
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : SMulWithZero R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R ℝ≥0∞
inst✝ : DecidableEq R
c : R


(if c • 1 = 0 then 0 else ⊤) = if c = 0 then 0 else ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: h : f =ᶠ[𝓝[s] x] g

Context: hx : f x = g x

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt g s x


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
x : { x // x ∈ (minpoly F α).aroots K }

(aeval ↑x) (minpoly F (adjoin.powerBasis h).gen) = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C

toGrothendieck C K = sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J}


toGrothendieck C K ≤ sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J}


sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J} ≤ toGrothendieck C K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y

stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.121835 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.127286 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq P
inst✝ : DecidableEq V
s : Finset P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k ↑s = Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x => x -ᵥ p) (s.erase p))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

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Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc b a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc b a

Context: t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc b a

Context: t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc b a

Context: this : HasDerivWithinAt f e (Icc b a) a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i

Context: i j : Fin n

of (fun i j => eval (v i) (p j)) i j = (vandermonde v * of fun i j => (p j).coeff ↑i) i j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: i j : Fin n

((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ j_1 : Fin n, vandermonde v i j_1 * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) j_1 j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: i j : Fin n

((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: i j : Fin n

Context: this : (p j).support ⊆ range n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: i j : Fin n

Context: this : (p j).support ⊆ range n

∑ i_1 : Fin n, (RingHom.id R) ((p j).coeff ↑i_1) * v i ^ ↑i_1 = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: i j : Fin n

Context: this : (p j).support ⊆ range n

Context: k : Fin n

(RingHom.id R) ((p j).coeff ↑k) * v i ^ ↑k = v i ^ ↑k * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) k j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β

(s ×ˢ t).Nontrivial ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty ∧ (s.Nontrivial ∨ t.Nontrivial)


1 < s.card * t.card ↔ 0 < s.card ∧ 0 < t.card ∧ (1 < s.card ∨ 1 < t.card)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)

Context: nonempty : s.Nonempty

Context: base : ∀ x ∈ s, p (f x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → 0 ≤ f x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
a : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α

Tendsto m f (𝓝 ⊤) ↔ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
hfi : IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ

Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: hfi : IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ

Context: hfi' : ∫⁻ (x : X) in ⋃ n, s n, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤

Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hfi' : (μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊) S < ⊤

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i : ι

Context: hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
S : Set (Set α)
hSo : ∀ t ∈ S, IsOpen t
hSc : S.Countable


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : n < p.natDegree
H : p = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: inst✝² : One M

Context: inst✝¹ : One N

Context: inst✝ : One P

Context: g : M → N

Context: f : α → M

Context: hg : ∀ {x : M}, x ∈ range f → (g x = 1 ↔ x = 1)

Context: x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ

(r • s).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • s.rnDeriv μ


μ.withDensityᵥ ((r • s).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (r • s.rnDeriv μ)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n

dist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, dist (f i) (f (i + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: I B X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I

Context: indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)

Context: indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I

Context: subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E

∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)


Context: α : Type u_1

Context: I B X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: h : ¬∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I : Set α

Context: e : α

Context: hIe : ¬Indep (insert e I)

Context: h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)

Context: J : Set α

Context: hJss : J ⊆ insert e I

Context: hJfin : J.Finite


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hImax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}

Context: hBmax : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | Indep I}


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hImax : ∃ x, Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x

Context: hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ¬∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: hexI₀ : ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)