Context: C : Type u_2

Context: D : Type ?u.77901

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C

Context: inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D

Context: K L : Coverage C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: h : (∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, IsSheafFor P R) ∧ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ L.covering X, IsSheafFor P R


Context: C : Type u_2

Context: D : Type ?u.77901

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C

Context: inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D

Context: K L : Coverage C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

∀ {X : C}, ∀ R ∈ (K ⊔ L).covering X, IsSheafFor P R


Context: N k : ℕ

↑(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ↑N * ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p


Context: N k : ℕ

↑(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ x ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, ↑N / ↑x


Context:
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ

(coeff R d) (f ^ n) = ∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
i : ℕ

∀ (h1 : i + (a :: l).length < ((a :: l).reverseAux r).length) (h2 : i < r.length), ((a :: l).reverseAux r).get ⟨i + (a :: l).length, h1⟩ = r.get ⟨i, h2⟩


∀ (h1 : i + 1 + l.length < ((a :: l).reverseAux r).length) (h2 : i < r.length), ((a :: l).reverseAux r).get ⟨i + 1 + l.length, h1⟩ = r.get ⟨i, h2⟩


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ


(fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν

F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context:
α : Type u
a : α
inst✝⁴ : Group α
H : Type u_1
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : FunLike F H G
inst✝ : MonoidHomClass F H G
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
x : H
hx : ∀ (x_1 : H), x_1 ∈ zpowers x
n : ℤ

f ((fun x_1 => x ^ x_1) n) ∈ zpowers (f x)


Context: x y : ℂ


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K✝ : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra A B

Context: inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : Algebra K✝ L

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: hodd : Odd ↑n

Context: hz : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑n) = (Algebra.norm K) 1


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
hz : (Algebra.norm K) ζ ^ ↑n = 1 ^ ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : List α
h : t ⊆ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s' → ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x i) s'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f

map f I = map f J ↔ I ⊔ RingHom.ker f = J ⊔ RingHom.ker f


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Semiring T
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g✝ : G
f : S →+* R
g : T →+* S


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: U : Set B

Context: hU : e.source = U ×ˢ univ

Context: h : ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)

∃ Φ U, ∃ (hU₀ : IsOpen U) (hΦ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x)) U) (h2Φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph Φ hU₀ ⋯ ⋯)


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A

x ∈ S ↔ x ∈ ⊤


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α

t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → IsOpen {b}


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E

∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α

∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

projectiveSeminormAux (p + q) ≤ projectiveSeminormAux p + projectiveSeminormAux q


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

(List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (p + q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

(List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p) ++ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

(List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p)).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R) = LinearMap.id


↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) = LinearMap.id


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E

∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, circleTransform R z w f θ = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(z, R), (z - w)⁻¹ • f z


∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (2 * ↑π * I)⁻¹ • ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I)) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I))


Context:
u : XgcdType
a b : ℕ+


Context:
u : XgcdType
a b : ℕ+
this : 0 < ↑a


Context:
u : XgcdType
a b : ℕ+
this✝ : 0 < ↑a
this : 0 < ↑b


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
s : Set E

∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ ≤ (map X ℙ) s


(withDensity μ (pdf X ℙ μ)) s ≤ (map X ℙ) s


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_13, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_15, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_16, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.292327, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{u_14, u_6} C₂₃

Context: F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q

Context: H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃

Context: F₁₂ : ?m.294682

Context: G : ?m.294685

Context: ρ₁₂ : ?m.294688

Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r

Context: j : J

Context: A : C₄

Context: f g : mapBifunctorMapObj F ρ₂₃.q X₁ (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃) j ⟶ A

Context: h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_13, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_15, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_16, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.292327, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{u_14, u_6} C₂₃

Context: F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: F₁₂ : ?m.294682

Context: G : ?m.294685

Context: ρ₁₂ : ?m.294688

Context: j : J

Context: A : C₄

∀ (i : ↑(r ⁻¹' {j})), Cofan.inj (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ f = Cofan.inj (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ g


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m

⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m) = ⇑(S.proj n)


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m

⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m) = ⇑(S.proj m ≫ S.diagram.map (Opposite.op (homOfLE h)))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Fintype R
p : ℕ
hn : card R = p
hR : ∀ i < p, ↑i = 0 → i = 0
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Fintype R
p : ℕ
hn : card R = p
hR : ∀ i < p, ↑i = 0 → i = 0
n : ℕ
H : ↑p = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
g : Z ⟶ X

pullbackArrows f (singleton g) = singleton (pullback.snd g f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
g : Z ⟶ X
W : C


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J

(rightDistributor f X).inv ≫ biproduct.π f j ▷ X = biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C

{ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F)


∀ (j : J), { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) ≫ limit.π F j = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F) ≫ limit.π F j


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ C
j : J

{ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (𝟙 F) ≫ limit.π F j = 𝟙 ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.obj F) ≫ limit.π F j


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) = { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β


∀ (j : J), { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) ≫ limit.π Z✝ j = ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β) ≫ limit.π Z✝ j


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝
j : J

{ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) ≫ limit.π Z✝ j = ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β) ≫ limit.π Z✝ j


((Cones.postcompose (α ≫ β)).obj (limit.cone X✝)).π.app j = (limit.cone X✝).π.app j ≫ α.app j ≫ β.app j


Context:
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
hc : c ≠ 0
hf : LSeriesSummable (c • f) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : MapsTo (⇑g) s t
a : α
ha : a ∈ s

(g.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a) ∈ Subtype.val ∘ ⇑f '' t


Context: m k : ℕ


Context: m n k : ℕ

m.psub (n + 1) = some k ↔ k + (n + 1) = m


Context: m n k : ℕ

(∃ a, m.psub n = some a ∧ a.ppred = some k) ↔ k + (n + 1) = m


Context: m n k : ℕ

(∃ a, a + n = m ∧ k.succ = a) ↔ k + (n + 1) = m


Context:
cmp✝ : ?m.4485 → ?m.4485 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.4483
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y = Ordering.gt
h₂ : cmp y z = Ordering.gt


Context:
cmp✝ : ?m.4485 → ?m.4485 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.4483
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp y x = Ordering.lt
h₂ : cmp z y = Ordering.lt


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a✝ b✝ : α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (succ a)
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a✝ b : α
p : α → Prop
hsucc : ∀ (a : α), p a ↔ p (succ a)
a : α
n : ℕ
h : a ≤ succ^[n] a


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α

TotallyBounded s ↔ ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ 𝓟 s → Cauchy ↑f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: H : ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ 𝓟 s → Cauchy ↑f

∀ (f : Filter α), f.NeBot → f ≤ 𝓟 s → ∃ c ≤ f, Cauchy c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : f ≤ 𝓟 s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N

Context: n : ℕ

Context: f_norm_diff : ℕ → α → ℝ := fun i x => ‖f (i + 1) x - f i x‖

eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hgf_norm_diff : ∀ (n : ℕ), (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f_norm_diff i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

eLpNorm' (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f_norm_diff i) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ i ∈ Finset.range (n + 1), eLpNorm' (fun x => ‖(f (i + 1) - f i) x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ x ∈ Finset.range (n + 1), eLpNorm' (f (x + 1) - f x) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∀ i ∈ Finset.range (n + 1), eLpNorm' (f (i + 1) - f i) p μ ≤ B i


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: c : ℂ

Context: R C : ℝ

Context: f : ℂ → F

Context: hR : 0 < R

Context: hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)

Context: hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

Context: this : ∀ z ∈ sphere c R, ‖(z - c) ^ (-2) • f z‖ ≤ C / (R * R)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

Context: H : Finset (TopCat.FiniteDiagramArrow G)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

Context: this : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

IsClosed (⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst})


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

∀ i ∈ fun i => i ∈ H.val, IsClosed {u | (F.map i.snd.snd.snd.snd) (u i.fst) = u i.snd.fst}


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

Context: this✝ : partialSections F H = ⋂ f ∈ H, {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}

Context: f : TopCat.FiniteDiagramArrow G

Context: a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val

Context: this : T2Space ((forget TopCat).obj (F.obj f.snd.fst))

IsClosed {u | (F.map f.snd.snd.snd.snd) (u f.fst) = u f.snd.fst}


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

Context: f : TopCat.FiniteDiagramArrow G

Context: a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val

Continuous fun y => (F.map f.snd.snd.snd.snd) (y f.fst)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)

Context: G : Finset J

Context: f : TopCat.FiniteDiagramArrow G

Context: a✝ : f ∈ fun i => i ∈ H.val


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : BorelSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure α

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ ε > 0, ∃ f, AEMeasurable f μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f x) (g x) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : BorelSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure α

Context: g : α → β

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : BorelSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure α

Context: g : α → β

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: f : ℕ → α → β

Context: Hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, dist (f n x) (g x) ≤ u n


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : BorelSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure α

Context: g : α → β

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: f : ℕ → α → β

Context: this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t u : Set M

Context: hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val

Context: hsu : s ⊆ u

Context: htu : t ⊆ u

Context: hst : span R s ≤ span R t


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t u : Set M

Context: hsu : s ⊆ u

Context: htu : t ⊆ u

Context: hst : span R s ≤ span R t

Context: this : s ∪ t = t


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ s

(Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inl ⟨x, hx⟩


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m

lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : Injective ⇑j

⨆ i, lift.{v', v} #↑↑i ≤ ⨆ i, lift.{v, v'} #↑↑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
x✝ : α

(s.sup' H f) x✝ = s.sup' H (fun i => ⇑(f i)) x✝


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x - ↑q)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: w✝¹ : Ordinal.{u}

Context: w✝ : w✝¹ < o

Context: hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: w✝¹ : Ordinal.{u}

Context: w✝ : w✝¹ < o

Context: hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v : V
x : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

s.dedup = t.dedup ↔ ∀ (a : α), a ∈ s ↔ a ∈ t


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J✝ : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
F₁ : C ⥤ D
F₂ : D ⥤ E
F₁₂ : C ⥤ E
e : F₁ ⋙ F₂ ≅ F₁₂
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
inst✝¹ : F₁.IsContinuous J K
inst✝ : F₂.IsContinuous K L


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J✝ : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
F₁ : C ⥤ D
F₂ : D ⥤ E
F₁₂ : C ⥤ E
e : F₁ ⋙ F₂ ≅ F₁₂
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
inst✝¹ : F₁.IsContinuous J K
inst✝ : F₂.IsContinuous K L
this : (F₁ ⋙ F₂).IsContinuous J L


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b x y : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)


HasDerivWithinAt (fun x => v.x₀ + ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t


HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

Context: this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)

Context: this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (f.vComp ↑t) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

Context: this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)

Context: this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

Context: this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)

(fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) =ᶠ[𝓝[Icc v.tMin v.tMax] ↑t] fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

Context: this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)

Context: a✝ : ℝ

Context: ht' : a✝ ∈ Icc v.tMin v.tMax

∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj a✝), f.vComp τ = ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..a✝, f.vComp τ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E

BddAbove (range p) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)


(∀ (a : E), BddAbove (range fun i => (DFunLike.coe ∘ p) i a)) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x‖ / ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : Module R F

Context: inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝² : (x : B) → Module R (E x)

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet

(coordChangeL R e e' b).symm = coordChangeL R e' e b


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : Module R F

Context: inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝² : (x : B) → Module R (E x)

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet

(coordChangeL R e e' b).symm.toLinearEquiv = (coordChangeL R e' e b).toLinearEquiv


Context:
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
h : ∀ (s : Set α), s ∈ f ↔ s ∈ g


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


(fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f


Context:
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsNat (a ^ nb) ne


Context: x y z : ℝ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t : Set F
x : E
y : F
hx : x ∈ (convexHull R) s
hy : y ∈ (convexHull R) t


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: y : F

Context: hx : ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x

Context: hy : ∃ ι x w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = y

∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y
h_sum : ∑ i : ι × κ, w i.1 * v i.2 = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬(volume s = 0 ∨ volume s = ⊤)

Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ


HasFiniteIntegral (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume


∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ((volume s)⁻¹ • 1) x ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1

∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hcs : IsCompact s

Context: huX : IsUniform X s ℙ volume

Context: hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤

Context: this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1

Context: this : ∀ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x = s.indicator (fun x => ↑‖x‖₊ * ind x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hcs : IsCompact s

Context: huX : IsUniform X s ℙ volume

Context: hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤

Context: this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1

∫⁻ (x : ℝ) in s, ↑‖x‖₊ * (volume s)⁻¹ ∂volume ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hcs : IsCompact s

Context: huX : IsUniform X s ℙ volume

Context: hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤

Context: this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1

(∫⁻ (a : ℝ) in s, ↑‖a‖₊ ∂volume) * (volume s)⁻¹ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a

Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : ∃ (h : (f a).Dom), b ∈ match e : (f a).get h with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a' ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b ∈ Part.some b✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : (f a).Dom

Context: a'✝ : α

Context: heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inr a'✝

Context: h₃ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a'✝ ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

∃ (h : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a), b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) i = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℤ

Context: ha : ↑a ≠ 0

Context: x y : ZMod p

Context: hy : y ≠ 0

Context: hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0 * y⁻¹ ^ 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℤ

Context: ha : ↑a ≠ 0

Context: x y : ZMod p

Context: hy : y ≠ 0

Context: hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x * y⁻¹ * (x * y⁻¹) = ↑a


Context:
f : [0] ⟶ [0]
x✝ : Fin ([0].len + 1)

(Hom.toOrderHom f) x✝ = (Hom.toOrderHom (𝟙 [0])) x✝


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring k

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: P₂ : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module k V₂

Context: inst✝ : AffineSpace V₂ P₂

Context: s : Set P

Context: e : P ≃ᵃ[k] P₂

Context: this : ⇑e ∘ Subtype.val = Subtype.val ∘ ⇑((↑e).image s)

AffineIndependent k Subtype.val ↔ AffineIndependent k Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: C : Word M → Prop

Context: h_empty : C empty

Context: h_smul : ∀ (i : ι) (m : M i) (w : Word M), C w → C (of m • w)

Context: w : Word M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

(κ.withDensity fun a x => ↑(f a x) * g a x) a = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a


((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x) * g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a


Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(f a x) * g a x)


(κ a).withDensity ((fun x => ↑(f a x)) * fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a


(((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x)).withDensity fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{?u.91944, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.91948, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{?u.91952, u_3} E
inst✝⁶ : Category.{?u.91956, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G' : E ⥤ E'
inst✝¹ : G.CommShift A
inst✝ : G'.CommShift A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C

((((F.postcomp G).postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom ≫ ((fun a => (F.functor a).associator G G') a).hom).app X = (whiskerRight ((fun a => (F.functor a).associator G G') a').hom (shiftFunctor E' n) ≫ ((F.postcomp (G ⋙ G')).shiftIso n a a' ha').hom).app X


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.2006, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q

(inl φ).v p q hpq ≫ (triangle φ).mor₃.f q = -(K.shiftFunctorObjXIso 1 q p ⋯).inv


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A✝ : Type u_2
inst✝² : AddGroup A✝
N : Type u_3
inst✝¹ : Group N
A : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne A
a : A

a ∈ (castAddHom A).range ↔ a ∈ AddSubgroup.zmultiples 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f

∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Monoid γ✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α

Context: f : β → α

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝³ : Group γ

Context: inst✝² : DistribMulAction γ α

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: g : γ

Context: hf : ¬Summable f

Context: mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Monoid γ✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α

Context: f : β → α

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝³ : Group γ

Context: inst✝² : DistribMulAction γ α

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: g : γ

Context: hf : ¬Summable f


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : EDist α
inst✝ : EDist β
x y : WithLp p (α × β)
x' : α × β
f g : WithLp 0 (α × β)

edist f g = (if edist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if edist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1


Context: b x : Bool

Context: l : List Bool

Context: hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)

Context: h2 : Even (x :: l).length


Context: b x : Bool

Context: l : List Bool

Context: h2 : l.length % 2 = 1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)

Context: ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

∀ (x : CliffordAlgebra Q), P (reverse x)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: x : CliffordAlgebra Q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: r : R

P (reverse ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : P (reverse x)

Context: hy : P (reverse y)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : P (reverse x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
n : ℕ
p : n + 1 < (h :: t).length

(h :: take (n + 1) t).prod = (h :: take n t).prod * t[n]


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M

(liftAt 1 n φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ castSucc)


φ.Realize v (xs ∘ fun i => if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = φ.Realize v (xs ∘ castSucc)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
i : Fin n

(if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = i.castSucc


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Fintype R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
a : R
x✝ : a ∈ image (fun x => eval x p) univ

filter (fun x => eval x p = a) univ = (p - C a).roots.toFinset


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a

image2 f (↑s ∩ ↑t) (↑s ∪ ↑t) ⊆ image2 f ↑s ↑t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
hS : J.Covers S f
hR : J.Covers R f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: f : Filter α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: H : ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f → s ∈ g

Context: hf : s ∉ f

Context: g : Filter ↑sᶜ := comap Subtype.val f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: f : Filter α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: hf : s ∉ f

Context: g : Filter ↑sᶜ := comap Subtype.val f

Context: this : g.NeBot


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}

∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: f : ↑B → ι

Context: hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: f : ↑B → ι

Context: hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)

Context: this : Countable ↑B


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: f : ↑B → ι

Context: hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)

Context: this : Countable ↑B

∀ t' ∈ range fun i => s i, t' ⊆ ⋃ i ∈ range f, s i


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: f : ↑B → ι

Context: hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)

Context: this : Countable ↑B

Context: i : ι

Context: x : α

Context: xs : x ∈ (fun i => s i) i


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)

Context: f : ↑B → ι

Context: hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)

Context: this : Countable ↑B

Context: i : ι

Context: x : α

Context: xs : x ∈ (fun i => s i) i

Context: b : Set α

Context: hb : b ∈ countableBasis α

Context: xb : x ∈ b

Context: bs : b ⊆ (fun i => s i) i


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative (f * g))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g : R[X]

Context: h : (f * g).Separable

Context: this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C


∀ (X Y : C) (n : ℤ), Small.{w, w} ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
s : List α
p : α → Bool
a✝ : α

a✝ ∈ (filter p s).toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter (fun x => p x = true) s.toFinset


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
this : (C a).degree < (X ^ n).degree


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K

(algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1
this : (aeval x) (minpoly k x) = 0


Context: k✝ : Type u

Context: inst✝⁵ : Field k✝

Context: k : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: inst✝³ : Ring K

Context: inst✝² : IsDomain K

Context: hk : IsAlgClosed k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral k K

Context: x : K

Context: hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1

Context: h : (minpoly k x).degree = 1

Context: this : x = -(algebraMap k K) ((minpoly k x).coeff 0)


Context:
x : PartENat
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : H = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: U : Set 𝕜

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hg : AnalyticOn 𝕜 g U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z

Context: hfg' : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (f - g) z = 0


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

(N₁Γ₀.app K).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom


((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
hg : G ≠ ⊥


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
hg : ∃ a, a ≠ 1


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Ring K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: a : ↥G

Context: ha : a ≠ 1

Context: a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a

Context: h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Ring K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: a : ↥G

Context: ha : a ≠ 1

Context: h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ

Context: h_sum_map : ∑ x ∈ map a_mul_emb univ, ↑↑x = ∑ x : ↥G, ↑↑(a_mul_emb x)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Ring K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: a : ↥G

Context: ha : a ≠ 1

Context: h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ

Context: h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Ring K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: a : ↥G

Context: ha : a ≠ 1

Context: h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ

Context: hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Ring K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: a : ↥G

Context: h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ

Context: hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0

Context: ha : ↑↑a - 1 = 0


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0

ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : MeasureSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X ℙ

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c ≠ 0

Context: A : ↑c ≠ 0

Context: B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : MeasureSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X ℙ

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c ≠ 0

Context: A : ↑c ≠ 0

ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {x | ↑c ≤ ↑‖(X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) x‖₊}


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : MeasureSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X ℙ

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c ≠ 0

Context: A : ↑c ≠ 0

evariance X ℙ / ↑c ^ 2 = (↑c)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 2 * eLpNorm (X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ ^ ENNReal.toReal 2


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt ≤ n.sqrt.succ.succ.mul (n.sqrt + 1)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → α

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Context: x : X

Context: y : Y

Context: s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)

Context: l : Filter α

Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝[s] (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → α

Context: x : X

Context: y : Y

Context: l : Filter α

Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y) ⊓ 𝓟 (Prod.map mk mk ⁻¹' s))) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

0 < volume ((Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0)


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

Finset.card (moveLeft b m) / 2 < Finset.card b / 2


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h1 : n ≠ 1
h2 : Odd n
h0 : n ≠ 0

reciprocalFactors n = n % 4 * n :: reciprocalFactors (n / 4 + 1)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)

Context: h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
x✝ : Box ι

x✝ ∈ π ∧ x ∈ x✝ ↔ ∃ (_ : x✝ ∈ π), x ∈ ↑x✝


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

(fun x => a + x) '' Ioo b c = Ioo (a + b) (a + c)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : NeZero μ

Context: t : Set β

Context: h : NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν)

NullMeasurableSet (?m.120828 ×ˢ t) (?m.120825.prod ν)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: this : NumberField K

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) (↑↑p ^ ↑p ^ s)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat

(piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).inv


(piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ TopCat

Context: Y : Type w'

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: α : Type

Context: X : α → TopCat

Context: a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: x✝ : α

Context: a✝ : ↑(X x✝)

(((piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom) a✝¹ x✝) a✝ = (((yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv) a✝¹ x✝) a✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ TopCat

Context: Y : Type w'

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: α : Type

Context: X : α → TopCat

Context: x✝ : α

Context: a✝ : ↑(X x✝)

a✝¹ ((Sigma.ι X x✝ ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) a✝) = a✝¹ (((TopCat.sigmaIsoSigma X).inv ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) ⟨x✝, a✝⟩)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ

((opRingEquiv R) (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support = (unop (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: hs : IsNilpotent s


Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: hs : IsNilpotent s

∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0


Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: hs : IsNilpotent s

Context: x : ↥U

(X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0


Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: hs : IsNilpotent s

Context: x : ↥U


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p✝ q✝ : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: p : ι → Prop

Context: q : ι' → Prop

Context: hp : ∃ i, p i

Context: hq : ∃ j, q j

Context: f : ι → ℝ≥0∞

Context: g : ι' → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a

(⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + ⨆ j, ⨆ (_ : q j), g j ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p✝ q✝ : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: p : ι → Prop

Context: q : ι' → Prop

Context: hp : ∃ i, p i

Context: hq : ∃ j, q j

Context: f : ι → ℝ≥0∞

Context: g : ι' → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α

LinearMap.range (Finsupp.totalOn α M R v s) = ⊤


span R (v '' s) ≤ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p

ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
this : Mono (f ≫ i.hom)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι A B
f : ι ≃ ι'


Context:
n a : ℕ
h : a < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x y : K_hat R K

Context: hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite

Context: hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite

{x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x y : K_hat R K

Context: h_subset : {v | (x + y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤

Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤

Context: A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤

Context: B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤


Context:
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: m : ℤ

((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: m : ℤ

Context: hn : 0 < n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: m : ℤ

Context: hn : 0 < n

(autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) • α = ζ ^ m • α


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α✝
s t : Multiset α✝
f✝ g : α✝ → Multiset β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → Multiset β
S : Multiset α
x : α
hx : x ∈ S


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

(∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Set R), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f) ↔ ∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Finset R), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set a), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset a), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α

Preperfect C ↔ ∀ x ∈ C, ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S✝ : Sieve X

Context: R✝ : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: R S : Sieve X

Context: hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows

Context: hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows

Context: hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows

Context: this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S✝ : Sieve X

Context: R✝ : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: R S : Sieve X

Context: hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows

Presieve.IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S✝ : Sieve X

Context: R✝ : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: R S : Sieve X

Context: hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows

∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S)).arrows


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

∀ j ≥ n, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) ≤ ↑p ^ (-↑n)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

↑(nthHom f (r * s) j - nthHom f r j * nthHom f s j) = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r s : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ n

((f j) r * (f j) s).cast - ((f j) r).cast * ((f j) s).cast = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

G.map f ≫ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (F.closedIhom.obj (F ⊗ G)).map f


(ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app ((F ⊗ G).obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)


(ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (F.obj X ⊗ G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)


(ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (CategoryTheory.inv (F.map f) ▷ G.obj X ≫ F.map f ▷ G.obj X ≫ F.obj Y ◁ G.map f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E

HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

HasFDerivWithinAt f f' (insert x s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: val✝ : Fintype ι


Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, ∀ {ι : Type u} {t : ι → Finset α} [inst : Finite ι], (∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) → ∀ (val : Fintype ι), Fintype.card ι = m → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: val✝ : Fintype ι

Context: hn : Fintype.card ι = n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f

comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = 𝓤 α


comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = comap ((fun x => (g x.1, g x.2)) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 γ)


Context:
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : ContinuousSMul M X
N : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : Monoid N
f : N →* M
hf : Continuous ⇑f
x✝ : MulAction N X := compHom X f


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context:
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f false


Context:
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f true


Context:
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f false


Context:
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f true


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a

b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ < b₂


Context:
r p q a b x✝¹ : ℝ≥0
ac : ↑a < ↑x✝¹
x✝ : ℝ≥0
bd : ↑b < ↑x✝

↑a + ↑b < ↑x✝¹ + ↑x✝


Context:
r p q a b x✝¹ x✝ : ℝ≥0
ac : a < x✝¹
bd : b < x✝


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤
h_f_coe : f = fun n => ↑(f n).toNNReal


Tendsto (fun n => (f n).toNNReal) cofinite (𝓝 0)