Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)

Context: b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v

∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

∀ i ∈ Finset.univ, |⟪b i, v i⟫_ℝ| ≤ ‖v i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: i : Fin n.succ

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: F : Presheaf C X

Context: x : ↑X

Context: t : (forget C).obj (F.stalk x)

∃ U, ∃ (m : x ∈ U), ∃ s, (F.germ ⟨x, m⟩) s = t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf C X

Context: x : ↑X

Context: t : (forget C).obj (F.stalk x)

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: s : (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F ⋙ forget C).obj U

Context: e : ((forget C).mapCocone (colimit.cocone (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F))).ι.app U s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t✝ : Finset α
b : β
t : Finset β

pimage f s ⊆ t ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ f x, y ∈ t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

IsOpenMap f ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap fun a => f ⟨i, a⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y

Context: this : ∀ (x y : P.M α), EqvGen R x y → x = y


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y

∀ (x y : P.M α), EqvGen R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk (EqvGen R)) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk (EqvGen R)) <$$> dest P y


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁵ : IsKilling R L

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R L

Context: inst✝³ : Module.Free R L

Context: inst✝² : IsNoetherian R L

Context: inst✝¹ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

Context: h : Codisjoint (rootSpace H 0) (LieModule.posFittingComp R (↥H) L)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁵ : IsKilling R L

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R L

Context: inst✝³ : Module.Free R L

Context: inst✝² : IsNoetherian R L

Context: inst✝¹ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

Context: h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁵ : IsKilling R L

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R L

Context: inst✝³ : Module.Free R L

Context: inst✝² : IsNoetherian R L

Context: inst✝¹ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

∀ m₀ ∈ H, ∀ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L, ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁵ : IsKilling R L

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R L

Context: inst✝³ : Module.Free R L

Context: inst✝² : IsNoetherian R L

Context: inst✝¹ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

Context: m₀ : L

Context: h₀ : m₀ ∈ H

Context: m₁ : L

Context: h₁ : m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates ↥R⁰

↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (x * y)) = ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) * ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂


∀ (i : ℕ), ν₁.restrict (spanningSets μ i) = ν₂.restrict (spanningSets μ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ + ν₁ = μ + ν₂
i : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(ν₁.restrict (spanningSets μ i)) s = (ν₂.restrict (spanningSets μ i)) s


μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₁.restrict (spanningSets μ i)) s = μ (s ∩ spanningSets μ i) + (ν₂.restrict (spanningSets μ i)) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν₁ ν₂ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: i : ℕ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : ∀ (s : Set α), μ s + ν₁ s = μ s + ν₂ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m✝ : ↥N
i : Fin n
m : ↥N

(snf.bM.coord (snf.f i) ∘ₗ N.subtype) m = (snf.a i • snf.bN.coord i) m


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
f g : ℕ → R
n : ℕ

((fun x => χ ↑x) * f ⍟ ((fun x => χ ↑x) * g)) n = ((fun x => χ ↑x) * (f ⍟ g)) n


∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, χ ↑x.1 * f x.1 * (χ ↑x.2 * g x.2) = ∑ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, χ ↑n * (f i.1 * g i.2)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
m : α → β
a : α
inj : Injective m
large : range m ∈ pure (m a)


Context:
x : ℂ
h : x.arg ≠ π

log ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (log x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T
p : T[X]
g : ℕ → T → R[X]
x : S

eval₂ f x (p.sum g) = p.sum fun n a => eval₂ f x (g n a)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T✝ : Type w

Context: ι : Type y

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝² : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: x✝ : S

Context: inst✝ : Semiring T✝

Context: p : T✝[X]

Context: g : ℕ → T✝ → R[X]

Context: x : S

Context: T : R[X] →+ S := { toFun := eval₂ f x, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T✝ : Type w

Context: ι : Type y

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝² : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: x✝ : S

Context: inst✝ : Semiring T✝

Context: p : T✝[X]

Context: g : ℕ → T✝ → R[X]

Context: x : S

Context: A : ∀ (y : R[X]), eval₂ f x y = T y

T (p.sum g) = p.sum fun n a => T (g n a)


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd) = ⊤


∀ (x : ExteriorAlgebra R M), x ∈ Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : ExteriorAlgebra R M

x ∈ Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r

s.WellFoundedOn fun a b => r a b ∧ ¬r b a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsPreorder α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsPreorder α r

Context: this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsPreorder α r

Context: this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯

∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsPreorder α r

Context: this : Preorder α := Preorder.mk ⋯ ⋯ ⋯

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: m n : ℕ

Context: hlt : m < n

Context: hle : f m ≤ f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul α

Context: i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: ha : MulLECancellable a

Context: b c : α

Context: h : (fun x => x * a) b = (fun x => x * a) c


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => (fourier n) ↑y) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier n) ↑x) x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑y / ↑T)) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T)) x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T)) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T)) ↑x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => cexp (2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T)) (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑x / ↑T) * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)) ↑x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T) (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T) ↑x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

(fun y => 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T) = fun x => x * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.318794, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q

ENNReal.ofReal (p + q) = ENNReal.ofReal p + ENNReal.ofReal q


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K ≠ ⊤


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α

edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = edist x₁ x₂


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen t


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
s : Multiset α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0

(∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ↑x < map f ⊤) ↔ StrictMono f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G

(condexpInd G hm μ (s ∪ t)) x = (⇑(condexpInd G hm μ s) + ⇑(condexpInd G hm μ t)) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(condDistrib Y X μ) x) (Measure.map X μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst


Context: q r : ℚ

Context: s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)

(q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num

Context: c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

↑q.den * ↑r.den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) = c * ((↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den)


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den ∨ c = 0


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

¬c = 0 → ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q.num /. ↑q.den + r.num /. ↑r.den = s


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q + r = s


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q + r = s

↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * s.num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q + r = s

s.num * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q + r = s

s = ↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle (x - y) y).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β


⇑f ⁻¹' Ici b = Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
a : α
ha : a ∈ Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g

∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ ≤ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ


⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f), ∫⁻ (a : β), g_1 a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
i : β → ℝ≥0∞
hi : Measurable i
h'i : i ≤ f

∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ (_ : i ∘ g ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), (i ∘ g) a ∂μ


Context:
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α

(f x) (ωSup c✝) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x


ωSup (c✝.map ↑(f x)) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t

Disjoint (↑(upperClosure s)) t ↔ Disjoint s t


Disjoint s t → Disjoint (↑(upperClosure s)) t


(∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t) → ∀ ⦃a : α⦄, ∀ x ∈ s, x ≤ a → a ∉ t


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCancelCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq (ι → μ)
hi : i ∉ s
n : μ

(insert i s).piAntidiag n = (antidiagonal n).biUnion fun p => image (fun f j => f j + if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r x : R


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
this : ∀ (i : ι), (l i).NeBot


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : C
f : Y₁ ⟶ Y₂


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ : V → E

Context: inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: μ : Measure V

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierSMulRight L f v) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ : V → E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: μ : Measure V

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ : V → E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: μ : Measure V

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: aux0 : Continuous fun p => p.1.smulRight p.2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ : V → E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: μ : Measure V

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: aux1 : AEStronglyMeasurable (fun v => (L v, f v)) μ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal


∀ {a : F[X]} {s_1 : Multiset F[X]}, a ∈ s → s_1 ⊆ s → IsSolvable s_1.prod.Gal → IsSolvable (insert a s_1).prod.Gal


Context:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V


‖(f.comp g) 0‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖ ∧ ‖(f.comp g).contLinear‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Icc a b) μ


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
i : X ≅ Y
j : Y ≅ Z

(F.mapIso (i ≪≫ j)).hom = (F.mapIso i ≪≫ F.mapIso j).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : Y ⟶ H


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
H : C
h : Y ⟶ H
hG : IsCoseparator H
hfg : ∀ (h : Y ⟶ H), f ≫ h = g ≫ h
hH : H ∈ {H}


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A : OrderTop α
hB : PartialOrder α
B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

(∃ y, (algebraMap (↥(adjoin ℤ {ζ})) K) y = x) → IsIntegral ℤ x


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: H : Algebra.discr ℚ ⇑B.basis • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: u : ℤˣ

Context: n : ℕ

Context: hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: u : ℤˣ

Context: n : ℕ

Context: H : (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: u : ℤˣ

Context: n : ℕ

Context: H : u.inv • (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: u : ℤˣ

Context: n : ℕ

Context: H : (algebraMap ℚ K) ↑↑p ^ n * x ∈ adjoin ℤ {B.gen}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
s : Set α

Tendsto f atTop (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K L : S
h : ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L


Context: R : Type uR

Context: S✝ : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝

Context: inst✝¹⁶ : Semiring K

Context: inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K

Context: inst✝¹³ : CommSemiring F✝

Context: inst✝¹² : Algebra F✝ K

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K

Context: L✝ : Subalgebra F✝ K

Context: F : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: L : Type u_6

Context: L' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring F

Context: inst✝⁹ : CommSemiring L

Context: inst✝⁸ : CommSemiring L'

Context: inst✝⁷ : Semiring E

Context: inst✝⁶ : Algebra F L

Context: inst✝⁵ : Algebra L E

Context: inst✝⁴ : Algebra F L'

Context: inst✝³ : Algebra L' E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i

Context: S : Set E

Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S) = Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)


Context: R : Type uR

Context: S✝ : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝

Context: inst✝¹⁶ : Semiring K

Context: inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K

Context: inst✝¹³ : CommSemiring F✝

Context: inst✝¹² : Algebra F✝ K

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K

Context: L✝ : Subalgebra F✝ K

Context: F : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: L : Type u_6

Context: L' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring F

Context: inst✝⁹ : CommSemiring L

Context: inst✝⁸ : CommSemiring L'

Context: inst✝⁷ : Semiring E

Context: inst✝⁶ : Algebra F L

Context: inst✝⁵ : Algebra L E

Context: inst✝⁴ : Algebra F L'

Context: inst✝³ : Algebra L' E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: S : Set E

(Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S)).toSubsemiring = (Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubsemiring


Context: R : Type uR

Context: S✝ : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝

Context: inst✝¹⁶ : Semiring K

Context: inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K

Context: inst✝¹³ : CommSemiring F✝

Context: inst✝¹² : Algebra F✝ K

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K

Context: L✝ : Subalgebra F✝ K

Context: F : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: L : Type u_6

Context: L' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring F

Context: inst✝⁹ : CommSemiring L

Context: inst✝⁸ : CommSemiring L'

Context: inst✝⁷ : Semiring E

Context: inst✝⁶ : Algebra F L

Context: inst✝⁵ : Algebra L E

Context: inst✝⁴ : Algebra F L'

Context: inst✝³ : Algebra L' E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: S : Set E

closure (Set.range ⇑(algebraMap L E) ∪ S) = closure (Set.range ⇑(algebraMap L' E) ∪ S)


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P✝
inst✝¹³ : AddCommMonoid P'
inst✝¹² : Module R✝ M✝
inst✝¹¹ : Module R✝ M'
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
inst✝⁹ : Module R✝ N'
inst✝⁸ : Module R✝ P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P'
f : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
Q : Submodule R N


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝

Context: S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2

Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (flatten c1).destruct (flatten c2).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (c1 >>= destruct) (c2 >>= destruct)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

∀ {a : WSeq α} {b : WSeq β}, LiftRel R a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R S) a.destruct b.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: a : WSeq α

Context: b : WSeq β

Context: ab : LiftRel R a b

Computation.LiftRel (LiftRelO R S) a.destruct b.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: a : WSeq α

Context: b : WSeq β

Context: ab : LiftRel R a b

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R S a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: a✝ : WSeq α

Context: b✝ : WSeq β

Context: ab : LiftRel R a✝ b✝

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R S a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : S s t

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: a✝ : WSeq α

Context: b✝ : WSeq β

Context: ab : LiftRel R a✝ b✝

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → S s t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: c1✝ : Computation (WSeq α)

Context: c2✝ : Computation (WSeq β)

Context: h✝² : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: h✝¹ : S s✝ t✝

Context: c1 : Computation (WSeq α)

Context: c2 : Computation (WSeq β)

Context: h✝ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2

Context: a✝ : WSeq α

Context: b✝ : WSeq β

Context: ab : LiftRel R a✝ b✝

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

(rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') (-γ) = -γ.rightShift a n' hn'


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

inst✝⁴ = MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b

M.det = ∏ k : α, (M.toSquareBlock b k).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ
this : IsEmpty { i // b i = a }


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝³ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝² : Algebra (ZMod p✝) K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
hcard : q = p ^ n
x : K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PolishSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : ClosedEmbedding f

Context: this✝ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β

Context: this : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PolishSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : ClosedEmbedding f

Context: this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β

Context: this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯

Context: this : SecondCountableTopology α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PolishSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : ClosedEmbedding f

Context: this✝² : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β

Context: this✝¹ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯

Context: this✝ : SecondCountableTopology α

Context: this : CompleteSpace α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c a✝ : α

a✝ ∈ s ○ t ↔ a✝ ∈ t ○ s


(∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = a✝) ↔ ∃ a ∈ t, ∃ b ∈ s, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = a✝


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g✝ : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

Context: g : D ⟶ E

Context: n : ι

(nullHomotopicMap' hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g✝ : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: g : D ⟶ E

Context: n : ι

(nullHomotopicMap fun i j => (dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0) ≫ g.f j).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n


Context: α₁ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α₁

Context: a✝ : α₁

Context: e✝ e : Perm β₁

Context: a a' : α₁

Context: b : β₁

Context: h : (prodExtendRight a e) (a', b) ≠ (a', b)


Context:
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α₁
a✝ : α₁
e✝ e : Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : a' ≠ a


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: r s : R

Context: x y : (i : ι) → A i

r • (tprod R) x * s • (tprod R) y = (r * s) • (tprod R) (x * y)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N


(toProd x).1 = ((MonoidHom.fst M N).comp toProd) x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : inverse x * y = z


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : y = x * z


Context:
n : ℕ
c : ℝ

(iteratedDeriv n fun s => rexp (c * s)) = fun s => c ^ n * rexp (c * s)


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: h : a ∉ s

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hfg : (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨f, hf⟩ = (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨g, hg⟩


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: h : a ∉ s

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hfg : (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨f, hf✝⟩ = (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨g, hg✝⟩

Context: hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s

Context: hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: h : a ∉ s

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s

Context: hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s

Context: hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: h : a ∉ s

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s

Context: hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s

Context: x : ι


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: s : Finset ι

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s

Context: hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s

Context: x : ι

Context: h : x ∉ s

Context: hfg : ∀ (x_1 : ι), (f.update x p.1) x_1 = (g.update x p.1) x_1


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid μ

Context: inst✝² : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝¹ : DecidableEq μ

Context: s✝ : Finset ι

Context: n✝ : μ

Context: f✝ : ι →₀ μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: h : a ∉ s

Context: n : μ

Context: p : μ × μ

Context: f : ι →₀ μ

Context: hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: g : ι →₀ μ

Context: hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2

Context: hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s

Context: hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s

Context: x : ι

Context: hx : x ≠ a


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ

f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).biUnion fun p => map { toFun := fun f => (↑f).update a p.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag p.2).attach


(∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2) ↔ ∃ a_1 ∈ antidiagonal n, f ∈ map { toFun := fun f => (↑f).update a a_1.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag a_1.2).attach


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: b : β

Context: hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h : b < limsup u f


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: b : β

Context: h : ¬∃ᶠ (x : α) in f, b < u x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i x => F i ↑x) (f ∘ Subtype.val) p


(∀ (x : { a // a ∈ s }), Tendsto ((fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ∘ Prod.map id Subtype.val) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)) ↔ ∀ (x : ↑s), Tendsto (fun y => ((f ∘ Subtype.val) y.2, F y.1 ↑y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
x : α
hx1 : g x = g' x
hx2 : f x = f' x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: this : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: this✝ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S

Context: this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)

Context: p' : Ideal (Localization.AtPrime p)

Context: hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'

Context: hp'0 : p' ≠ ⊥

Context: hp'p : p'.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S

Context: this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ

Context: p' : Ideal (Localization.AtPrime p)

Context: hp'0 : p' ≠ ⊥

Context: hp'p : p'.IsPrime

Context: this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: p' : Ideal (Localization.AtPrime p)

Context: hp'0 : p' ≠ ⊥

Context: hp'p : p'.IsPrime

comap (algebraMap (Localization.AtPrime p) Sₚ) P ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: p' : Ideal (Localization.AtPrime p)

Context: hp'0 : p' ≠ ⊥

Context: hp'p : p'.IsPrime

(comap (algebraMap (Localization.AtPrime p) Sₚ) P).IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: p' : Ideal (Localization.AtPrime p)

Context: hp'0 : p' ≠ ⊥

Context: hp'p : p'.IsPrime


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0


X ^ f.order.get ⋯ * ↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = f


X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf = f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s : Set α

Context: ε r : ℝ≥0∞

Context: h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤

Context: A : Set α

Context: hA : μ A ≠ ⊤

(μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s : Set α

Context: ε r : ℝ≥0∞

Context: A : Set α

Context: hA : μ A ≠ ⊤

Context: this : Fact (μ A < ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∑ x ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∀ i ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card / (↑i.1.card * ↑i.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

↑(interedges G.Adj x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

↑(interedges G.Adj x y).card ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

0 < ↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : a ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I : Submodule R₁ K
hI : I ≤ ↑0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
I : Submodule R₁ K
hI : I = ⊥


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in {y | 0 ≤ f y}, f x ∂μ


∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), {a | 0 ≤ f a}.indicator f x ∂μ


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
f₁ : X₁ ⟶ X₂
f₂ : X₂ ⟶ X₃
g₁ : Y₁ ⟶ Y₂
g₂ : Y₂ ⟶ Y₃
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₃.HasTensor Y₃

(mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (f₁ ≫ f₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map (g₁ ≫ g₂)) fun x => x.1 + x.2) = (mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₁).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₂).map g₁) fun x => x.1 + x.2) ≫ mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₂).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map g₂) fun x => x.1 + x.2


(mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (f₁ ≫ f₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map (g₁ ≫ g₂)) fun x => x.1 + x.2) = mapMap ((((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₁).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₂).map g₁) ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₂).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map g₂) fun x => x.1 + x.2


((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (f₁ ≫ f₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map (g₁ ≫ g₂) = (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₁).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₂).map g₁) ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map f₂).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₃).map g₂


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context: ι✝ : Type u'

Context: ι'✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι✝ → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: s : Set ι

Context: f : ι → ι'

Context: g : ι' → M

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => g (f ↑x)

Context: a✝ : Nontrivial R

LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => g ↑x


Context: ι✝ : Type u'

Context: ι'✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι✝ → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: s : Set ι

Context: f : ι → ι'

Context: g : ι' → M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: this : InjOn f s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf : Function.Surjective ⇑(range f).subtype.dualMap

range f.dualMap = (ker f).dualAnnihilator


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: rr_surj : Function.Surjective ⇑f.rangeRestrict


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: this : range f.rangeRestrict.dualMap = (ker f.rangeRestrict).dualAnnihilator


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

∀ {s t : WSeq α}, s ~ʷ t → s.head ~ t.head


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

∀ {s t : WSeq α}, s ~ʷ t → ∀ {o : Option α}, o ∈ s.head → o ∈ t.head


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
o : Option α
ho : o ∈ s.head


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
o : Option α
ho : o ∈ s.head
ds : Option (α × WSeq α)
dsm : ds ∈ s.destruct
dse : Prod.fst <$> ds = o


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s t : WSeq α

Context: h : s ~ʷ t

Context: o : Option α

Context: ho : o ∈ s.head

Context: ds : Option (α × WSeq α)

Context: dsm : ds ∈ s.destruct

Context: dse : Prod.fst <$> ds = o

Context: l : ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, a ∈ s.destruct → ∃ b, b ∈ t.destruct ∧ BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b

Context: r : ∀ {b : Option (α × WSeq α)}, b ∈ t.destruct → ∃ a, a ∈ s.destruct ∧ BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : ℤ

(↑a).coeff n = ↑(if n = 0 then a else 0)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: f : op U ⟶ op V

Context: this✝ : IsAffine (X.restrictFunctor.obj U).left

Context: this : IsAffine ↑V

Spec.map (X.presheaf.map f) ≫ hU.fromSpec = hV.fromSpec


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: f : op U ⟶ op V

Context: this : IsAffine ↑V

Spec.map (X.presheaf.map f) ≫ hU.fromSpec = Spec.map (X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) ≫ (X.restrictFunctor.obj (unop (op U))).left.isoSpec.inv ≫ (unop (op U)).ι


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: f : op U ⟶ op V

Context: this : IsAffine ↑V

Spec.map (X.presheaf.map ((eqToHom ⋯).op ≫ f)) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι = Spec.map (X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) ≫ (X.restrictFunctor.obj (unop (op U))).left.isoSpec.inv ≫ (unop (op U)).ι


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: q : ℚ

Context: hb : q ∈ {t | ↑t < a * a}

↑q ≤ inducedMap α β a * inducedMap α β a


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q✝ : ℚ

Context: ha : 0 < a

Context: q : ℚ

Context: hb : q ∈ {t | ↑t < a * a}

Context: q' : ℚ

Context: hq' : 0 < q'

Context: hqq' : ↑q < ↑q' ^ 2

Context: hqa : ↑q' ^ 2 < a * a


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x < 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
s : S
p q : R[X]


Context: n m : ℕ


Context: n : ℕ


Context:
n m : ℕ
hm : m ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
a : α✝
l m : List α✝


Context:
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)


Context:
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
y : ZMod p
h : -1 = y * y


Context:
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
y : ZMod p
h : y ^ 2 = -1 ^ 2


Context:
p n : ℕ
hpp : Prime p
hp : p ∣ n
hs : IsSquare (-1)
y : ZMod p
h : y ^ 2 = -1 ^ 2
this : Fact (Prime p)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : Module 𝕝 E

Context: ι : Sort u_13

Context: inst✝² : UniformSpace E

Context: inst✝¹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: p' : ι → Prop

Context: s : ι → Set E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: hb : (𝓝 0).HasBasis p' s

Context: h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0

Context: h₂ : ∀ (i : ι), p' i → ∃ r > 0, p.ball 0 r ⊆ s i


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : Module 𝕝 E

Context: ι : Sort u_13

Context: inst✝² : UniformSpace E

Context: inst✝¹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: p' : ι → Prop

Context: s : ι → Set E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: hb : (𝓝 0).HasBasis p' s

Context: h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context:
x y z✝ : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z : ZFSet
hz : z ∈ x ∩ y
w : ZFSet
hw : w ∈ z


Context:
x y z✝ : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z : ZFSet
hz : z ∈ x ∧ z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ z


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: i1 : ι

Context: n1 : A

Context: hn1 : n1 ∈ 𝒜 i1

Context: d1 : A

Context: hd1 : d1 ∈ 𝒜 i1

Context: h1 : ↑⟨d1, hd1⟩ ∈ x

Context: i2 : ι

Context: n2 : A

Context: hn2 : n2 ∈ 𝒜 i2

Context: d2 : A

Context: hd2 : d2 ∈ 𝒜 i2

Context: h2 : ↑⟨d2, hd2⟩ ∈ x

Context: hdeg : { deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.deg = { deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.deg

Context: hnum : ↑{ deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.num = ↑{ deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.num

Context: hden : ↑{ deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 }.den = ↑{ deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }.den

{ deg := i1, num := ⟨n1, hn1⟩, den := ⟨d1, hd1⟩, den_mem := h1 } = { deg := i2, num := ⟨n2, hn2⟩, den := ⟨d2, hd2⟩, den_mem := h2 }


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
i1 : ι
n1 : A
hn1 : n1 ∈ 𝒜 i1
d1 : A
hd1 : d1 ∈ 𝒜 i1
h1 : ↑⟨d1, hd1⟩ ∈ x
i2 : ι
n2 : A
hn2 : n2 ∈ 𝒜 i2
d2 : A
hd2 : d2 ∈ 𝒜 i2
h2 : ↑⟨d2, hd2⟩ ∈ x
hdeg : i1 = i2
hnum : n1 = n2
hden : d1 = d2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E

⟪u, (orthogonalProjection K) v⟫_𝕜 = ⟪↑u, v⟫_𝕜


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ n

xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h : j ≤ n

Context: h1 : xz a1 n ∣ ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 (n - j) + xz a1 j


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h : j ≤ n

xn a1 n * xn a1 (n - j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n - j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.im = w.im


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s

Context: Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s


Context:
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))

Tendsto ((partialSups f) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))


Tendsto ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ g))


∀ i ∈ Finset.range (n + 1), Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c : α

(fun x => a * x) '' Icc b c = Icc (a * b) (a * c)


Context: u : ℤˣ


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f


∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ' < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

(s ∩ t).card = s.card + t.card - (s ∪ t).card


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup M

Context: inst✝ : OrderBot M

Context: w : σ → M

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hp : weightedTotalDegree w p = ⊥

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : coeff d p ≠ 0

Context: h : weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup M

Context: inst✝ : OrderBot M

Context: w : σ → M

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hp : weightedTotalDegree w p = ⊥

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : coeff d p ≠ 0

Context: h : (p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑⊥


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup M

Context: inst✝ : OrderBot M

Context: w : σ → M

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hp : weightedTotalDegree w p = ⊥

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : coeff d p ≠ 0

↑((weight w) d) ≤ p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b✝ x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≠ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
n : ℤ
hb : (f ^ n) a ∈ s
hba : (f ^ n) a ≠ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h : ¬LinearIndependent K v


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: h : (∑ x ∈ s, if i = x then g x • v x else g x • v x) = 0

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

Context: h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x