Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q✝ : ℝ≥0
q : ℝ≥0∞
hpq : 0 ≤ q

0 = 0 ∧ q = 0 ∨ 0 = 0 ∧ q = ⊤ ∨ 0 = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ 0 = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < ENNReal.toReal 0 ∧ q = ⊤ ∨ 0 < ENNReal.toReal 0 ∧ 0 < q.toReal ∧ ENNReal.toReal 0 ≤ q.toReal


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p

p = 0 ∧ q = 0 ∨ p = 0 ∧ q = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : 0 < p
hpq : p ≤ ⊤

p = 0 ∧ ⊤ = 0 ∨ p = 0 ∧ ⊤ = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < ⊤.toReal ∨ p = ⊤ ∧ ⊤ = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ ⊤ = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < ⊤.toReal ∧ p.toReal ≤ ⊤.toReal


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤


0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
hq' : 0 < q


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤
hq' : 0 < q
hp' : p < ⊤


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

‖log (1 - z)⁻¹ - z‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

log (1 - z)⁻¹ - z = log (1 - z)⁻¹ + logTaylor (1 + 1) (-z)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring P
inst✝⁷ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝⁵ : Algebra P Q
inst✝⁴ : IsLocalization T Q
A : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring A
U : Submonoid A
W : Type u_6
inst✝² : CommSemiring W
inst✝¹ : Algebra A W
inst✝ : IsLocalization U W
l : P →+* A
hl : T ≤ Submonoid.comap l U
x : S

(map W l hl) ((map Q g hy) x) = (map W (l.comp g) ⋯) x


(map W l hl) ((map Q g hy) x) = ((map W l hl).comp (map Q g hy)) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α

t ∈ (rcomap r (rcomap s l)).sets ↔ t ∈ (rcomap (r.comp s) l).sets


(∃ x, (∃ x_1 ∈ l, s.core x_1 ⊆ x) ∧ r.core x ⊆ t) ↔ ∃ x ∈ l, r.core (s.core x) ⊆ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t✝ : Set α
t : Set γ
tsets : t ∈ l
ht : r.core (s.core t) ⊆ t✝

∃ x, (∃ x_1 ∈ l, s.core x_1 ⊆ x) ∧ r.core x ⊆ t✝


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this : toAddCommGroup = toAddCommGroup


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: this✝ : toAddCommGroup = toAddCommGroup

Context: this : toAddGroupWithOne = toAddGroupWithOne


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

IsNormal f ↔ StrictMono f ∧ Continuous f


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
h : IsNormal f


StrictMono f ∧ Continuous f → IsNormal f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k

affineCombinationLineMapWeights i j c j = c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U V : Set X
hU : IsPathConnected U
hV : IsPathConnected V
x : X
xU : x ∈ U
xV : x ∈ V


∀ {y : X}, y ∈ U ∪ V → JoinedIn (U ∪ V) x y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p'✝ : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
p' : Submodule R (M ⧸ p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α

UnifTight f p μ ↔ ∀ ⦃ε : ℝ≥0∞⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε


UnifTight f p μ ↔ (∀ (r : ℝ≥0), 0 < r → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑r) ∧ (0 < ⊤ → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ⊤)


0 < ⊤ → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ⊤


∃ s, μ s ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
x : E


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ
hg : Integrable (fun x => rexp (g x)) μ

(μ.tilted f).tilted g = (μ.tilted g).tilted f


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α = 0


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : (s.sup p).ball 0 r ∈ p.basisSets


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
k : Type u_1
A : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Semiring k
s : Set G
x : MonoidAlgebra k G

x ∈ Ideal.span (⇑(of k G) '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'


Context: k : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Monoid G

Context: inst✝ : Semiring k

Context: s : Set G

Context: x : MonoidAlgebra k G

Context: RHS : Ideal (MonoidAlgebra k G) := { carrier := {p | ∀ m ∈ p.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


UnifTight f p μ ↔ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: i : ι


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝
s t : Set α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
g : α → β
g_mble : NullMeasurable g μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β✝

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s t : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: g : α → β

Context: g_mble : NullMeasurable g μ

Context: level_sets_disjoint : Pairwise (Disjoint on fun t => {a | g a = t})


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal

∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hIM : I ≤ M

Context: hM : M.IsMaximal

Context: Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hIM : I ≤ M

Context: hM : M.IsMaximal

Context: Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z

Context: hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I

Context: hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hIM : I ≤ M

Context: hM : M.IsMaximal

Context: Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: w✝ : Ideal A

Context: hPZ' : w✝ ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z

Context: hPM : w✝ ≤ M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hIM : I ≤ M

Context: hM : M.IsMaximal

Context: Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: P : PrimeSpectrum A

Context: hPZ : P ∈ Z

Context: hPZ' : P.asIdeal ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z

Context: hPM : P.asIdeal ≤ M


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop


Tendsto (fun x => f x * (g x)⁻¹) l (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hab : a < b

Context: hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hf_i : InjOn f (Ioo a b)

StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hab : a < b

Context: hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hf_i : InjOn f (Ioo a b)

Context: this : Inhabited ↑(Ioo a b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hab : a < b

Context: hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hf_i : InjOn f (Ioo a b)

Context: this : Inhabited ↑(Ioo a b)

Context: g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hab : a < b

Context: hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hf_i : InjOn f (Ioo a b)

Context: this✝ : Inhabited ↑(Ioo a b)

Context: this : StrictMono g ∨ StrictAnti g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
this : SecondCountableTopology α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod

Context: hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod

Context: hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.14976
s t : Finset α
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x - 1


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x + 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) (f x) < r


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : OfNat α 2
inst✝ : Invertible 2
a b : αˢʸᵐ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β

p ∈ (s ×ˢ t)ᶜ ↔ p ∈ sᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ tᶜ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

Context: this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

Context: h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

ε • (μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}).toReal ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≠ ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

0 ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x✝ x : α × α


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

S ∈ leftTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q


(∀ (g : G), ∃! s, ↑↑s = ↑g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : U ≤ (Opens.map f).obj V

((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

TendstoUniformly F f l ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformly (fun n => F (u n)) f atTop


TendstoUniformlyOn F f l univ ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h₂ : t ∩ s = u ∩ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i


⨆ i, (fun t => ∑ a ∈ t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

((Finset.erase b m).erase (m.1, m.2 - 1)).card + 2 = Finset.card b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

(Finset.erase b m).card - 1 + 2 = Finset.card b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

Finset.card b - 1 - 1 + 2 = Finset.card b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β

(mulSupport fun x => ∏ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋃ i ∈ s, mulSupport (f i)


∀ (x : α), (∀ x_1 ∈ s, f x_1 x = 1) → ∏ i ∈ s, f i x = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b < f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b > f a


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l

IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) κ μ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Nontrivial L


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}


∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n k ℓ μ : ℕ

Context: h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

Context: hn : 0 < n

Context: this : DecidableEq V := Classical.decEq V


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n k ℓ μ : ℕ

Context: h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

Context: hn : Nonempty V


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n k ℓ μ : ℕ

Context: h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

Context: v : V


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n k ℓ μ : ℕ

Context: h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

Context: v : V

∀ a ∈ G.neighborFinset v, (bipartiteAbove G.Adj (Gᶜ.neighborFinset v) a).card = k - ℓ - 1


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n k ℓ μ : ℕ

Context: h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

Context: v : V

∀ b ∈ Gᶜ.neighborFinset v, (bipartiteBelow G.Adj (G.neighborFinset v) b).card = μ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : ∃ n, lowerCentralSeries H n = ⊥


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥


Subgroup.map f (lowerCentralSeries G n) = ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j

x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨j, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨j, b⟩.snd)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
b : β i

x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨i, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨i, b⟩.snd)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j
h : i ≠ j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: h : t ∈ 𝓝[s] x

ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R


Context:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B

(single V c j ⋙ eval V c j).map f ≫ (singleObjXSelf c j B).hom = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ (𝟭 V).map f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: y : A × ↥M

Context: hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: y : A × ↥M

Context: this : z * w * (algebraMap A S) ↑y.2 * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1 * (algebraMap A S) y.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: y : A × ↥M

Context: this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: y : A × ↥M

Context: this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)

Context: H : x.1 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Q

Context: g : R →+* P

Context: inst✝⁴ : Algebra P Q

Context: A : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors A

Context: z w : S

Context: h : z * w = 0

Context: x : A × ↥M

Context: y : A × ↥M

Context: this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)

Context: H : y.1 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂

oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (oreDenom r₁ s₂ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Monoid R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹ : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction R X

Context: r₁ : R

Context: r₂ : X

Context: s₁ s₂ u : ↥S

Context: v : R

Context: huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂

Context: h₀ : ↑(oreDenom r₁ s₂) * r₁ = oreNum r₁ s₂ * ↑s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u

v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)


v • r₂ /ₒ (u * s₁) = v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁)


∃ u_1 v_1, u_1 • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑u_1 * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)


∃ v_1, (s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)


(s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = ↑s₄ * r₃ * ↑(u * s₁)


(↑s₄ * ↑s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑s₄ * ↑s₃ * (↑u₀ * ↑s₁) = ↑s₄ * r₃ * (↑u * ↑s₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β


∏ i : α, ↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = ∏ i : α, (P i - N i + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α

↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = P i - N i + 1


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : β
p : Fin n → β


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G →* G'
K : Subgroup G


Nat.card ↥(map f K) = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n✝ : ℤ

Context: n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n✝ : ℤ

Context: n : ℕ

Context: this : -↑n < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ : List α
h : l₁ ~ l₂

l₁ ∪ t₁ ~ l₂ ∪ t₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝⁶ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory A

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝³ : (forget A).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝² : J.HasSheafCompose (forget A)

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q

J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f


Context:
b c : EReal
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0


Context:
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a


Context:
a c : EReal
ha : 0 ≤ a
a_pos : 0 < a
hb : 0 ≤ 0


Context:
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b


Context:
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
c_neg : c < 0


Context:
a b : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b


Context:
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
c_pos : 0 < c


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ

Submodule.comap reverse (p ^ n) = Submodule.comap reverse p ^ n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s


∀ {a b : G}, a ∈ f ⁻¹' s → b ∈ f ⁻¹' s → a * b ∈ f ⁻¹' s


∀ n ∈ f ⁻¹' s, ∀ (g : G), g * n * g⁻¹ ∈ f ⁻¹' s


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b

F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = ((α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ η.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (η.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv) ≫ Γ.app a ▷ ι.app a ▷ H.map f


F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = (α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ Γ.app a ▷ (G.map f ≫ ι.app b) ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: n : ℕ


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: n : ℕ

Context: hvf : valAux K v O hv p f = 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: n : ℕ

Context: hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n = 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: n : ℕ

Context: hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}

o.pred = o ↔ ∀ (a : Ordinal.{u_4}), o ≠ succ a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W

(F.mapBiprod X Y).hom ≫ desc (F.map f) (F.map g) = F.map (desc f g)


Context: m : ℕ

Context: f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k

HasSum (fun k => f (k + 1)) (Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)))


Context: m : ℕ

HasSum f (Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)) + ∑ i ∈ range 1, f i)


Context: m : ℕ


Context: m : ℕ

Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)) + ∑ i ∈ range 1, f i = (↑(m + 1) + 1 / 2) * Real.log (1 + (↑m + 1)⁻¹)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : AnalyticAt 𝕜 g (f x)
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hy : f x = y


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
h : (x ◃ y) ◃ x = (x ◃ y) ◃ x ◃ 1


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: b : β a

Context: entries✝ : Multiset (Sigma β)

Context: l : List (Sigma β)

Context: hl : Multiset.NodupKeys (Quot.mk Setoid.r l)

b ∈ lookup a { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl } ↔ ⟨a, b⟩ ∈ { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl }.entries


Context:
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S


(∀ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ ∀ b ∈ S, ∃ a, enumOrd S a = b


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
x✝ : ι

x✝ ∈ ↑(ρ.finsupport x₀) ↔ x✝ ∈ support fun i => (ρ i) x₀


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
x : R

toMatrix' ((algebraMap R (Module.End R (n → R))) x) = (scalar n) x


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of

Subgroup.closure (Set.range cs.simple) = ⊤


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)

MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) = MeasurableSpace.pi


MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) ≤ MeasurableSpace.pi


MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop

(∃ y ∈ e.target, p y) ↔ ∃ x ∈ e.source, p (↑e x)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Free K V
inst✝ : Finite K V


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n✝ l : ℕ

Context: φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l

Context: θ : L.BoundedFormula α l.succ

Context: v✝ : α → M

Context: xs✝ : Fin l → M

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M

Context: n : ℕ

Context: φ : L[[α]].BoundedFormula β n

Context: v : β → M

Context: xs : Fin n → M

(constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ↔ φ.Realize v xs


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n✝¹ l : ℕ

Context: φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l

Context: θ : L.BoundedFormula α l.succ

Context: v✝ : α → M

Context: xs✝¹ : Fin l → M

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: n✝ : ℕ

Context: φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝

Context: v : β → M

Context: xs✝ : Fin n✝ → M

Context: n : ℕ

Context: R : L[[α]].Relations n

Context: xs : Fin n → M

RelMap (((fun x => Equiv.sumEmpty (L.Relations x) ((constantsOn α).Relations x)) n) R) xs = RelMap R xs


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n✝¹ l : ℕ

Context: φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l

Context: θ : L.BoundedFormula α l.succ

Context: v✝ : α → M

Context: xs✝¹ : Fin l → M

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: n✝ : ℕ

Context: φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝

Context: v : β → M

Context: xs✝ : Fin n✝ → M

Context: n : ℕ

Context: R : L[[α]].Relations n

Context: xs : Fin n → M

RelMap ((L.lhomWithConstants α).onRelation ((Equiv.sumEmpty (L.Relations n) ((constantsOn α).Relations n)) R)) xs = RelMap R xs


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G


Context:
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : SFinite ν✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : SFinite μ✝

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: X : Type u_8

Context: Y : Type u_9

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: h'f : HasCompactSupport (uncurry f)

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)

∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : SFinite ν✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : SFinite μ✝

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: X : Type u_8

Context: Y : Type u_9

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: h'f : HasCompactSupport (uncurry f)

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: this : Fact (μ U < ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : SFinite ν✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : SFinite μ✝

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: X : Type u_8

Context: Y : Type u_9

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: h'f : HasCompactSupport (uncurry f)

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: this : Fact (μ U < ⊤)

Context: V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : SFinite ν✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : SFinite μ✝

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: X : Type u_8

Context: Y : Type u_9

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: h'f : HasCompactSupport (uncurry f)

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: this✝ : Fact (μ U < ⊤)

Context: this : Fact (ν V < ⊤)


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

countP p (filter q l) = countP (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] fun z => deriv ε z


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, v} #↑s


Injective (Subtype.coind (fun x => f ↑x) ⋯)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

A.one ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom


(A.one ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (α_ A.X A.X M.X).hom ≫ A.X ◁ (f.hom ▷ M.X ≫ M.act) ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (α_ A.X A.X M.X).hom ≫ (f.hom ▷ (A.X ⊗ M.X) ≫ B.X ◁ (f.hom ▷ M.X ≫ M.act)) ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ B.X ◁ M.act ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ (α_ B.X B.X M.X).inv ≫ B.mul ▷ M.X ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ (((α_ B.X A.X M.X).inv ≫ (B.X ◁ f.hom) ▷ M.X) ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ ((B.X ◁ f.hom) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = ((A.X ◁ f.hom ≫ f.hom ▷ B.X) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act


A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (A.mul ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝

(f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = A.X ◁ g.hom ≫ f.hom ▷ Y✝.X ≫ Y✝.act


(f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = (f.hom ▷ X✝.X ≫ B.X ◁ g.hom) ≫ Y✝.act


(f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act ≫ g.hom


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
xi : β i


i = i ∧ HEq xi 0 ∨ xi = 0 ∧ 0 = 0 ↔ xi = 0


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hst : s ⊆ t

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hst : s ⊆ t

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa

MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb ↔ MeasurePreserving g μa μb


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
hg : MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
val✝ : Fintype V


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
x' : G

∫ (x : G), f (x' / x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


∫ (x : G), f (x' * x⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ

∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : IsFiniteMeasure μ

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ g ≤ ↑n ∧ ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : IsFiniteMeasure μ

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

Context: hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ

Context: φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφle : φ ≤ f

Context: s : Set α

∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : IsFiniteMeasure μ

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

Context: hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n

Context: φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφle : φ ≤ f

Context: s : Set α

⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : IsFiniteMeasure μ

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

Context: hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n

Context: φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφle : φ ≤ f

Context: s : Set α

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

(SimpleFunc.map ofNNReal ψ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : IsFiniteMeasure μ

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

Context: hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n

Context: φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφle : φ ≤ f

Context: s : Set α

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (x : α), ↑ψ x ≤ ↑n


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
y : R


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
a : α
l₁ l₂ : List α

Pairwise R (l₁ ++ ([a] ++ l₂)) ↔ Pairwise R ([a] ++ l₁ ++ l₂)


(Pairwise (fun {x y} => R x y) ([a] ++ l₁) ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l₁ ++ [a] → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b) ↔ Pairwise R ([a] ++ l₁) ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ [a] ++ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i xy.1, (u ∘ Subtype.val) i xy.2) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

∀ (a : β × β), (∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i a.1, (u ∘ Subtype.val) i a.2) ∈ V) → a ∈ S ×ˢ S → ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i a.1, (u ∘ Subtype.val) i a.2) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x y : β

Context: hxy : ∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) i (x, y).2) ∈ V

Context: hxS : (x, y).1 ∈ S

Context: hyS : (x, y).2 ∈ S

∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) i (x, y).2) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x y : β

Context: hxy : ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).2) ∈ V

Context: hxS : (x, y).1 ∈ S

Context: hyS : (x, y).2 ∈ S

∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).1, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ (x, y).2) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x y : β

Context: hxS : (x, y).1 ∈ S

Context: hyS : (x, y).2 ∈ S

Context: hxy : A ⊆ (fun f => (u f x, u f y)) ⁻¹' V


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: S : Set β

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x y : β

Context: hxS : (x, y).1 ∈ S

Context: hyS : (x, y).2 ∈ S


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hsA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ s → x ∈ A₁ ×ˢ A₂

Context: htA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ t → x ∈ A₁ ×ˢ A₂

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

Context: h : s.prod = t.prod

(map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

Context: h : s.prod = t.prod

Context: hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂

Context: htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

Context: h : (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod

(map (fun x => f₁ x.1) s).prod = (map (fun x => f₁ x.1) t).prod ∧ (map (fun x => f₂ x.2) s).prod = (map (fun x => f₂ x.2) t).prod


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanHom n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanHom n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

(map f₁ (map Prod.fst s)).prod = (map f₁ (map Prod.fst t)).prod ∧ (map f₂ (map Prod.snd s)).prod = (map f₂ (map Prod.snd t)).prod


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.dblXYZ P = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X

(idealOfSet 𝕜 ↑s).IsMaximal ↔ IsCoatom s


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsCoatom I


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Opens X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r✝ : X
s✝ : ↥S


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MulAction G α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : Countable G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝² : MeasurableSMul G α

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ μ' : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MulAction G α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : Countable G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝² : MeasurableSMul G α

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ μ' : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M
m : M

m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


(∀ (b : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → closure {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Subsemigroup M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a✝ b c a : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: s : Set α

Context: x✝ : ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}

Context: x y z : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hyz : x ≠ z

Context: hxz : y ≠ z

Context: hs : s = {x, y, z}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q) = eLpNormEssSup f μ


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K

re (x * (starRingEnd K) x) = ‖x * (starRingEnd K) x‖


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : LocallyConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
h : OpenEmbedding f


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : LocallyConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
h : OpenEmbedding f
x : β

(𝓝 x).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ f x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ range f) x) ((fun x s => f ⁻¹' s) x)


(Filter.comap f (𝓝 (f x))).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ f x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ range f) x) ((fun x s => f ⁻¹' s) x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: f : α → E

Context: hf : ∀ (c : E), (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] 0

Context: s : ℕ → E := denseSeq E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: f : α → E

Context: s : ℕ → E := denseSeq E

Context: hs : DenseRange s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: f : α → E

Context: s : ℕ → E := denseSeq E

Context: hs : DenseRange s

Context: hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: f : α → E

Context: s : ℕ → E := denseSeq E

Context: hs : DenseRange s

Context: x : α

Context: hx : ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: f : α → E

Context: s : ℕ → E := denseSeq E

Context: hs : DenseRange s

Context: x : α

Context: hx : ∀ (n : ℕ), ⟪s n, f x⟫_𝕜 = 0

Context: h_closed : IsClosed {c | ⟪c, f x⟫_𝕜 = 0}


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p /ₘ q = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p /ₘ q = 0
this : p %ₘ q + q * (p /ₘ q) = p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p.degree < q.degree


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n ∈ ⊥


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n = 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∀ (i : LeftMoves 0), moveLeft 0 i ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j) ↔ ∀ (j : x.RightMoves), 0 ⧏ x.moveRight j


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ

dist ↑z ↑(w.center r) = √(2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
p : t₁ ~ t₂
a : α
x✝ : a ∈ l


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

(cs.leftInvSeq ω).prod = (cs.wordProd ω)⁻¹


(List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse)).prod = cs.wordProd ω


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: this : List.map (fun x => x⁻¹) (cs.rightInvSeq ω.reverse) = cs.rightInvSeq ω.reverse


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

(cs.rightInvSeq ω.reverse).prod = cs.wordProd ω


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

(cs.rightInvSeq ω.reverse).prod = cs.wordProd ω.reverse.reverse


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

(cs.rightInvSeq ω.reverse).prod = (cs.wordProd ω.reverse)⁻¹


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
hf : Function.Injective ⇑f

OrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ OrthogonalIdempotents e


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a c : α
n✝ n : ℤ


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
h : r.sign = 0


Context:
r : ℝ
h : r.sign = 0
hn : r < 0


Context: h : sign 0 = 0


Context:
r : ℝ
h : r.sign = 0
hp : 0 < r


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ

(coeff R n) (φ.invOfUnit u) = if n = 0 then ↑u⁻¹ else -↑u⁻¹ * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (φ.invOfUnit u) else 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
n : ℕ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : m ≃ n

x ∘ ⇑e ⬝ᵥ y ∘ ⇑e = x ⬝ᵥ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : β → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hfr : HasSum f r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : β → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), g b ≤ f b
hfr : HasSum f r
b : β


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ

(Measure.map (fun x => x * a) volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s


(ofReal |a⁻¹| • volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ

(∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (m * n)


(∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (∑ _i ∈ Finset.range n, m)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι✝ : Type u_4
s✝ : Finset ι✝
w✝ w₁ w₂ : ι✝ → k
p✝ : ι✝ → V
ι : Type u_5
p : ι → V
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0

((s.weightedVSub p) w = 0 → ∀ i ∈ s, w i = 0) ↔ ∑ e ∈ s, w e • p e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M

(GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)


(DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) (1 + 1)) (GradedMonoid.GMul.mul ⟨(ι Q) m, ⋯⟩ ⟨(ι Q) m, ⋯⟩) = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun (Q m))


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)

Context: hf''_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x

DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior (interior D))


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

∀ x ∈ interior (interior D), 0 ≤ deriv (deriv f) x


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : HasContDiffBump E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝³ : μ.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : CompleteSpace X
z : X


Context:
N✝ : ℕ
N : ℕ+
A : SL(2, ℤ)
hA : A ∈ Gamma ↑N


Context: N✝ : ℕ

Context: N : ℕ+

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: hA : ↑(↑A 0 0) = 1 ∧ ↑(↑A 0 1) = 0 ∧ ↑(↑A 1 0) = 0 ∧ ↑(↑A 1 1) = 1


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
p : X → Prop

(∀ᶠ (x : X) in residual X, p x) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x


(∃ t, (∀ x ∈ t, p x) ∧ IsGδ t ∧ Dense t) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
α : Sort u_13
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : α → M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤

Context: T : Finset ι

Context: hT : T ⊆ S

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ S

Context: hiT : i ∉ T

Disjoint ((fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i) (T.sup fun i => torsionBySet R M ↑(p i))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: T : Finset ι

Context: hT : T ⊆ S

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ S

Context: hiT : i ∉ T

(fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: T : Finset ι

Context: hT : T ⊆ S

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ S

Context: hiT : i ∉ T

Context: this : torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i) ⊓ OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i))) = torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i))) ⊓ torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: T : Finset ι

Context: hT : T ⊆ S

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ S

Context: hiT : i ∉ T

Context: this : torsionBySet R M ↑(p i ⊔ ⨅ i ∈ T, p i) = torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i)

torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: T : Finset ι

Context: hT : T ⊆ S

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ S

Context: hiT : i ∉ T


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w✝ : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: w : ∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in 𝓝 f, x ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w✝ : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w✝ : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: g : C(X, ℝ)

Context: H : g ∈ Metric.ball f ε

Context: m : g ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w✝ : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: g : C(X, ℝ)

Context: H : ‖g - f‖ < ε

Context: m : g ∈ ↑A.toSubsemiring


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : 𝕜
v : E
T : E →ₗ[𝕜] E
h : v ∈ eigenspace T μ


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: this : A * (A.adjugate * A.adjugate.adjugate) = A * A.det ^ (Fintype.card n - 1) • 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X
P : X → Prop

(∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
x : β

x ∈ s.biUnion f ∩ t ↔ x ∈ s.biUnion fun x => f x ∩ t


(∃ a ∈ s, x ∈ f a) ∧ x ∈ t ↔ ∃ a ∈ s, x ∈ f a ∧ x ∈ t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: h : x.Compatible

Context: Z₁ Z₂ W : D

Context: g₁ : W ⟶ Z₁

Context: g₂ : W ⟶ Z₂

Context: X₁ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Z

Context: h₁ : Z₁ ⟶ G.obj X₁

Context: hf₁ : T f₁

Context: H₁ : Presieve.functorPushforward G T (h₁ ≫ G.map f₁)

Context: X₂ : C

Context: f₂ : X₂ ⟶ Z

Context: h₂ : Z₂ ⟶ G.obj X₂

Context: hf₂ : T f₂

Context: H₂ : Presieve.functorPushforward G T (h₂ ≫ G.map f₂)

Context: eq : g₁ ≫ h₁ ≫ G.map f₁ = g₂ ≫ h₂ ≫ G.map f₂

ℱ.val.map (g₁ ≫ h₁).op (x f₁ hf₁) = ℱ.val.map (g₂ ≫ h₂).op (x f₂ hf₂)