Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv

Context: e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

e.comp (algebraMap R R') = (IsLocalization.Away.map R' S' f r).comp (algebraMap R R')


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: x : R

(IsLocalization.map S' (id S) ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away r) (id R) ⋯) ((algebraMap R R') x))) = (IsLocalization.map S' f ⋯) ((algebraMap R R') x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
tx : Set X
ty : Set Y

s ∈ 𝓝[tx ×ˢ ty] (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝[tx] x, ∃ v ∈ 𝓝[ty] y, u ×ˢ v ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ

(map f μ).toOuterMeasure = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure).trim


∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (map f μ).toOuterMeasure s = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure) s


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : ¬p x = true


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p q : Submodule R M

Context: x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p

Context: x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q

Context: f : Bool → Submodule R M := fun t => Bool.rec q p t


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p q : Submodule R M

Context: x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p

Context: x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q

IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ Set.univ, f i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ : ι →₀ α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: f g : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f1 f2 : ι →₀ α

f1.support \ f2.support ⊆ (f1 - f2).support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : Fintype β
f : β → α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R

(M.updateColumn j (s • u)).det = s * (M.updateColumn j u).det


s * (Mᵀ.updateRow j u).det = s * (M.updateColumn j u).det


Context: x✝ y z x : ℝ


UnivLE.{u, v} ↔ univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}


(¬∀ (α : Type u), Small.{v, u} α) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}


(¬∀ (α : Type u), lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}


Context:
r : ℝ
hr : r < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1

x ∈ {x | (fun x => (fun x => -|log x| ^ 1) x = log x) x}


Context:
α : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace M
fst✝ : R
snd✝ : M

𝓝 (fst✝, snd✝) = (𝓝 (fst (fst✝, snd✝))).prod (𝓝 (snd (fst✝, snd✝)))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s : Set A
hfs : s.Finite
his : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
x✝ : ∀ x ∈ ∅, IsIntegral R x
x : A

x ∈ span R ↑{1} ↔ x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R ∅)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: s✝ : Set A

Context: hfs : s✝.Finite

Context: his✝ : ∀ x ∈ s✝, IsIntegral R x

Context: a : A

Context: s : Set A

Context: x✝¹ : a ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: ih : (∀ x ∈ s, IsIntegral R x) → (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG

Context: his : ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral R x

(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R (insert a s))).FG


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: s✝ : Set A

Context: hfs : s✝.Finite

Context: his✝ : ∀ x ∈ s✝, IsIntegral R x

Context: a : A

Context: s : Set A

Context: x✝¹ : a ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: his : ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral R x

(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {a})).FG


Context: n : ℕ


Context: k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
n✝ : ℕ
s t : Finset α
n : ℕ
m : Sym α n

m ∈ (s ∩ t).sym n ↔ m ∈ s.sym n ∩ t.sym n


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq

∀ (x y : M₁ (σ.symm i)), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i y)


∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) y)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
x y : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))

(⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) y)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq

∀ (x : M₁ (σ.symm i)), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i x)


∀ (x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))

(⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq

∀ (x y : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ i))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: x y : M₁ (σ.symm (σ i))

(⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

∀ (x : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

∀ (x : M₁ (σ.symm (σ i))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M₁ (σ.symm (σ i))

(⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f₁ f₂ : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)

((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (f₁ + f₂)) x✝ = ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₁ + (fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₂) x✝


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
c : S
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)

({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f)) x✝ = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι) → M₁ i

((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) x✝ = f x✝


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Semiring S

Context: inst✝¹ : Module S M₂

Context: inst✝ : SMulCommClass R S M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)

({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x✝ = f x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset α

Context: h : mulSupport f ⊆ ↑s

Context: A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset α

Context: h : mulSupport f ⊆ ↑s

Context: this : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑(Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset α

Context: h : mulSupport f ⊆ ↑s

∏ i ∈ Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s, f i.down = ∏ i ∈ s, f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset α

Context: h : mulSupport f ⊆ ↑s

∏ x ∈ s, f (Equiv.plift.symm x).down = ∏ i ∈ s, f i


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : PredOrder ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi_min : ¬IsMin i


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝ : PredOrder ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hi_min : ¬IsMin i

Context: this : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iic (pred i)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝ : PredOrder ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hi_min : ¬IsMin i


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
c : PE
a b : k

slope (fun x => f x +ᵥ c) a b = slope f a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : Setoid α
h : ∀ (x y : α), r x y → s.Rel x y


sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, r x y → s.Rel x y} ≤ s


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₂ : a₂ ∈ l.keys
b₁ : β a₁
l₁ l₂ : List (Sigma β)
a₁_nin_l₁ : a₁ ∉ l₁.keys
x✝ : a₂ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
ha₁ : a₁ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
h' : a₂ ∈ l₁.keys

kerase a₂ (l₁ ++ l₂) = kerase a₁ (kerase a₂ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂))


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₂ : a₂ ∈ l.keys
b₁ : β a₁
l₁ l₂ : List (Sigma β)
a₁_nin_l₁ : a₁ ∉ l₁.keys
x✝ : a₂ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
ha₁ : a₁ ∈ (l₁ ++ ⟨a₁, b₁⟩ :: l₂).keys
h' : a₂ ∉ l₁.keys


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₁ : a₁ ∈ l.keys
ha₂ : a₂ ∉ l.keys

kerase a₂ (kerase a₁ l) = kerase a₁ (kerase a₂ l)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a₁ a₂ : α
l : List (Sigma β)
h : ¬a₁ = a₂
ha₁ : a₁ ∉ l.keys


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop


Context:
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
P : (Fin n.succ → α) → Prop


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
f : α → β
hf : IsMonoidHom f
γ : Type u_1
inst✝ : MulOneClass γ
g : β → γ
hg : IsMonoidHom g


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat

x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l[i]? = some x


(∃ i, i ≠ k ∧ ∃ x_1, l[i]? = some x) ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l[i]? = some x


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k i : Nat

(∃ x_1, l[i]? = some x) ↔ l[i]? = some x


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ LipschitzWith 1 f


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n := fun x => if x ∈ s then x else ⋯.some


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R

Context: h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x) = (ghostComponent n) (g x)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (g x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (ψ n)

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n : ℕ

∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

(bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

∀ (x : ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

(MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

Context: h : (ghostComponent k) (f (mk p fun i => { down := x i })) = (ghostComponent k) (g (mk p fun i => { down := x i }))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

Context: h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k)) = ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x i })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: U : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f₁'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound ε ≤ Fintype.card G

Context: A : Finset G

Context: hAε : ε * ↑(Fintype.card G) ≤ ↑A.card

Context: hA : ThreeAPFree ↑A


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
x : R


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length

(l.rotate n).get? m = l.get? ((m + n) % l.length)


some l[(m + n) % l.length] = l[(m + n) % l.length]?


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Cotangent

((map f - map g) x).val = ((f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex) x).val


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

((map f - map g) (mk x)).val = ((f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex) (mk x)).val


(mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val = P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)


P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val = P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x))


↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val) = ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)))


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R

(contractRight (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = (contractRight a) d * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: f : PE ≃ᵢ PF

Context: x y : PE

Context: e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv

Context: hx : e x = x

Context: hy : e y = y

f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: f : PE ≃ᵢ PF

Context: x y : PE

Context: hx : e x = x

Context: hy : e y = y

Context: hm : e (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ x y


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: f : PE ≃ᵢ PF

Context: x y : PE

Context: hx : e x = x

Context: hy : e y = y

Context: hm : (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv (f.symm ((pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv (f (midpoint ℝ x y)))) = midpoint ℝ x y


Context:
ι : Sort uι
R✝ : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
A✝ : Type v
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
S✝ T : Set A✝
M N P Q : Submodule R✝ A✝
m n : A✝
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : Module R A
S S' : Set A
x : A
hx : x ∈ span R (S * S')

∃ T T', ↑T ⊆ S ∧ ↑T' ⊆ S' ∧ x ∈ span R (↑T * ↑T')


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

(∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ (∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

(¬∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ ¬((∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

(∀ (m : ℕ), m < n + 1 → ¬p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m) ∧ ¬p n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology

h.opcyclesIso.inv ≫ S.descOpcycles k hk = h.descQ k hk


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p4 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) = π


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E


(Filter.map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 0)).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E
sr : Finset ι × ℝ

(sr.1.sup p).ball x sr.2 = (fun x_1 => x + x_1) '' (sr.1.sup p).ball 0 sr.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: hp : WithSeminorms p

Context: x : E

Context: this✝ : TopologicalAddGroup E

Context: sr : Finset ι × ℝ

Context: this : (sr.1.sup p).ball (x +ᵥ 0) sr.2 = x +ᵥ (sr.1.sup p).ball 0 sr.2


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn : 0 < n
ha : a ≠ 0


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
ha : a ≠ 0
hn : 0 < Nat.succ 0


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn✝ : 0 < n
ha : a ≠ 0
hn : Nat.succ 0 < n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

ContinuousWithinAt f s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ (ContinuousWithinAt (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀) ∧ ContinuousWithinAt (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

ContinuousWithinAt f s x₀ → (ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

ContMDiffWithinAt IM (𝓘(𝕜, EB).prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

Context: h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet

(Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x = (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: x₀ : M

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x₀

(Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x₀ = ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x₀).proj


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
a b : M
h : a * b = 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0
m : ℕ
hm : y ^ m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : β → α
hi : Function.Injective i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun a => ↑(f a)
i : β → α
hi : Function.Injective i


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
h : IndepSets (s n) s' κ μ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ

derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥


derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: I : LieIdeal R L

Context: k : ℕ

Context: s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: I : LieIdeal R L

Context: k : ℕ

Context: hs : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s

Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀, s ≤ span K {v₀}


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
this : Nontrivial K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α

IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Iio a ⊆ s


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} D

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: h : (A : C) → i ⋙ exp A ⋙ reflector i ⋙ i ≅ i ⋙ exp A


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} D

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed C

Context: inst✝ : Reflective i

∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝ : K.Normal


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
x : (i : ι) → α i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝ : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }

Context: this : IsTrans ι (Function.swap r)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝¹ : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }

Context: this✝ : IsTrans ι (Function.swap r)

Context: this : IsIrrefl ι (Function.swap r)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝² : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }

Context: this✝¹ : IsTrans ι (Function.swap r)

Context: this✝ : IsIrrefl ι (Function.swap r)

Context: this : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝¹ : IsTrans ι (Function.swap r)

Context: this✝ : IsIrrefl ι (Function.swap r)

Context: this : Fintype ι

Context: i : ι

Context: a : α i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝¹ : IsTrans ι (Function.swap r)

Context: this✝ : IsIrrefl ι (Function.swap r)

Context: this : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: s : Injective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ b ≥ n, Codisjoint (LinearMap.ker (f ^ b)) (LinearMap.range (f ^ b))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: s : Injective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: hn : Codisjoint (LinearMap.ker (f ^ (n + 1))) (LinearMap.range (f ^ (n + 1)))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : Surjective ⇑(f ^ (n + 1))


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
h : IsCyclic G
_inst : Fintype G := Fintype.ofFinite G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0
hr : HasSum f r


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A

(∀ x ∈ S, _root_.IsAlgebraic R x) ↔ Algebra.IsAlgebraic R ↥S


(∀ (x : ↥S), _root_.IsAlgebraic R ↑x) ↔ ∀ (x : ↥S), _root_.IsAlgebraic R x


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]
h : Function.Injective ⇑S.val


(aeval ↑x) p = 0 ↔ S.val ((aeval x) p) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
h : a ∈ t


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source

LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context:
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' + 1 = b
hc : c' * (c' * a) = c


Int.ofNat a ^ b' * Int.ofNat a ^ b' * -Int.ofNat a = -Int.ofNat (a.pow b' * (a.pow b' * a))


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
x✝² : x ∈ s
y : E
x✝¹ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

(IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ IsBigOWith c l f g'


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l l' : Filter α✝
α : Type u_17
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
f : α → G
g : α → G'

f =O[atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖f n‖ ≤ ‖g n‖


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.areaForm (o.rightAngleRotation x)) y = -⟪x, y⟫_ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s✝ : Set α

Context: f : ι → α

Context: a✝ : α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : a < sSup s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ : Set α

Context: f : ι → α

Context: a✝ : α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : ∀ b ∈ s, b ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
hp : Prime (Classical.choose ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: u : Set E

Context: u_sep : IsSeparable u

Context: hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: u : Set E

Context: u_sep : IsSeparable u

Context: hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u

Context: c : Dual ℝ E

(fun x => c (f x)) =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: u : Set E

Context: u_sep : IsSeparable u

Context: hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u

Context: c : Dual ℝ E

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (fun x => c (f x)) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: u : Set E

Context: u_sep : IsSeparable u

Context: hu : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ u

Context: c : Dual ℝ E

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, c (f x) ∂μ = 0


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: h : ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) p = 0 ∧ (aeval z) p.mirror = 0)


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror

Context: hq'' : 0 < q.natDegree


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror

Context: hq'' : 0 < q.degree


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror

Context: hq'' : 0 < (map (algebraMap ℤ ℂ) q).degree


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror

Context: z : ℂ

Context: hz : (map (algebraMap ℤ ℂ) q).IsRoot z


Context: p : ℤ[X]

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: q : ℤ[X]

Context: hq : q ∣ p

Context: hq' : q ∣ p.mirror

Context: z : ℂ

Context: hz : (aeval z) q = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (s.sup' hs m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (a : α) in f, F i a ≤ m i

∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup' hs fun i => F i a) ≤ s.sup' hs m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ i ∈ s, F i x ≤ m i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

Context: a : α

Context: h : ∀ i ∈ s, F i a ≤ m i

(s.sup' hs fun i => F i a) ≤ s.sup' hs m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: m : ι → β

Context: a : α

Context: h : ∀ i ∈ s, F i a ≤ m i


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ

∫ (x : X), (const X c - f) x ∂μ = (μ Set.univ).toReal • c - ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
h✝ : IsEmpty ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
hι : Countable ι
s : ι → Set X
hcomp : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Preorder ι
l : Filter α
s : ι → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s
t : Set α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: z : M

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: z : M

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: z : M

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: fst✝ : E

Context: snd✝ : F

Context: hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph

Context: h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: z : M

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: fst✝ : E

Context: snd✝ : F

Context: hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2

Context: h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd

∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2


↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2


↑y = (fst✝, z • snd✝).1 ∧ ↑(z • f) y = (fst✝, z • snd✝).2


Context:
m n✝ n : ℕ
x✝ : ℤ

x✝ ∈ (Int.castAddHom (ZMod n)).ker ↔ x✝ ∈ AddSubgroup.zmultiples ↑n


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F


Context:
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁


(n₁.natAbs * n₂.natAbs).Coprime (d₁ * d₂)


{ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ } * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ } = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }


normalize ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.num * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.num) ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.den * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.den) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }


normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s

compress u v a ∈ s ∧ compress u v (compress u v a) ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

(p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂

A₁.str ≫ F.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ A₂.str


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂

A₁.str ≫ F.map (n • α.f) = (n • α.f) ≫ A₂.str


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α : A₁ ⟶ A₂


A₁.str ≫ F.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ A₂.str


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂

A₁.str ≫ F.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ A₂.str


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Coalgebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Coalgebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0
g : ι' → ℝ≥0
a : ℝ≥0
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ f i + g j


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x ≤ y ∧ Disjoint x z


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F


(f.closure.domRestrict f.domain).closure = f.closure


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain

Context: y : ↥f.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: y : ↥f.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

Context: z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: y : ↥f.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

Context: z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩

Context: hyz : ↑y = ↑z


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: y : ↥f.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

Context: z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩

Context: hyz : ↑y = ↑z

↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f.closure z


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: i : ι


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: i : ι

(∀ (i_1 : (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : x ∣ y ∧ ¬y ∣ x
d : α
hd : y = x * d
hyx : ¬y ∣ x
x✝ : d ∣ 1
e : α
he : 1 = d * e


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : DvdNotUnit x y
hx0 : x ≠ 0
d : α
hdu : ¬IsUnit d
hdx : y = x * d
x✝ : y ∣ x
e : α
he : x = y * e


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K


Function.Injective A.mulVec ↔ Function.Injective fun v => v ᵥ* Aᵀ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : a ∈ closure s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : (𝓟 s ⊓ 𝓝 a).NeBot


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E

insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y)) = [x-[𝕜]y]


[x-[𝕜]y] ⊆ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • x + b • y ∈ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
ha' : 0 < a


Context:
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0

↑(divNat q.num q.den) = mkRat (↑q).num (↑q).den


Context:
n : ℕ
hn : Odd n

Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } = n * (n + 3)


Context:
n : ℕ
hn : Odd n
hn' : NeZero n


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)

Context: j : β

Context: k : α

biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ (fun z => biproduct.matrix fun j k => if h : f j = g k then z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) ((fun z i j k => eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z ↑k ↑j ≫ eqToHom ⋯) z) ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j = biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: j : β

Context: k : α

(if h : f k = g j then (eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z k j ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: z : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (End (s i))

Context: j : β

Context: k : α

Context: w : j ∈ g ⁻¹' {f k}

(fun z i j k => eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z ↑k ↑j ≫ eqToHom ⋯) ((fun z => biproduct.matrix fun j k => if h : f j = g k then z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) z) (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩ = z (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: j : β

Context: k : α

Context: w : j ∈ g ⁻¹' {f k}

(if h : f k = g j then z (f k) ⟨j, ⋯⟩ ⟨k, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) ≫ eqToHom ⋯ = z (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
h : ∀ (i : I), f ∘ₐ ι R A i = maps
i : I
a : A i

(((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a


Context: I : Type u

Context: inst✝⁵ : DecidableEq I

Context: i✝ : I

Context: R : Type v

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: A : I → Type w

Context: inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)

Context: inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)

Context: B : Type w'

Context: inst✝¹ : Semiring B

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B

Context: f : FreeProduct R A →ₐ[R] B

Context: i : I

Context: a : A i

Context: h : ∀ (i : I) (x : A i), (f ∘ₐ ι R A i) x = maps x


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
a : A i
h : (f ∘ₐ ι R A i) a = maps a


Context:
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝


Context:
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : -a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : 0 ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : n ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

∀ s ∈ cocompact F, f ⁻¹' s ∈ cocompact E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: s : Set F

Context: hs : s ∈ cocompact F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: s : Set F

Context: hs : s ∈ cocompact F

Context: ε : ℝ

Context: hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: s : Set F

Context: hs : s ∈ cocompact F

Context: ε : ℝ

Context: hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: s : Set F

Context: hs : s ∈ cocompact F

Context: ε : ℝ

Context: hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: s : Set F

Context: hs : s ∈ cocompact F

Context: ε : ℝ

Context: hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

Context: x : E

Context: hx : r < ‖x‖


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
iso : e.inverse ≅ G
X : C

e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ iso.hom.app (e.functor.obj X)) ≫ e.functor.map (iso.inv.app (e.functor.obj X)) ≫ e.counitIso.hom.app (e.functor.obj X) = 𝟙 (e.functor.obj X)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h✝ : IsInternal N

Context: κ : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)

Context: s : Finset ι

Context: h : IsInternal fun i => N ↑i

Context: b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))

Context: hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥

Context: i : { x // x ∈ s }

Context: k : κ ↑i

((toMatrix (h.collectedBasis b) (h.collectedBasis b)) f).diag ⟨i, k⟩ = 0 ⟨i, k⟩


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h✝ : IsInternal N

Context: κ : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)

Context: s : Finset ι

Context: h : IsInternal fun i => N ↑i

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥

Context: i : { x // x ∈ s }

Context: k : κ ↑i

((h.collectedBasis b).repr (f ↑((b i) k))) ⟨i, k⟩ = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → Subalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: T : Subalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: hx : ↑x ∈ T

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x