Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: feq : f x = y - 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y

Context: this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)

Context: L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))

Context: L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))

Context: feq : f x = y


Context:
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g

LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x / g x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z < ε + δ

Context: y : E

Context: hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z < ε + δ

Context: y : E

dist x z / (ε + δ) * δ < δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z / (ε + δ) < 1

Context: y : E


Context:
a : Ordinal.{u_1}
ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
b : Ordinal.{u_1}

Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a ^ b)


Context:
b : Ordinal.{u_1}
ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) 0

Principal (fun x x_1 => x + x_1) (0 ^ b)


Context: b c : Ordinal.{u_1}

Context: ha : Principal (fun x x_1 => x + x_1) (ω ^ c)

Principal (fun x x_1 => x + x_1) ((ω ^ c) ^ b)


Context:
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π


Context:
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
ht : θ.toReal < 0


Context:
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
ht : θ.toReal = 0


Context:
θ : Angle
h : θ ≠ ↑π
ht : 0 < θ.toReal


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
hχ : χ.IsPrimitive

𝓕 (⇑χ) k = χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ stdAddChar


Context:
x : ℝ
n : ℕ

cos (π / 2 ^ (n + 1 + 1)) = sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) / 2


Context:
x : ℝ
n : ℕ
A : 1 < 2 ^ (n + 1)


Context:
x : ℝ
n : ℕ
A : 1 < 2 ^ (n + 1)
B : π / 2 ^ (n + 1) < π


Context:
x : ℝ
n : ℕ
A : 1 < 2 ^ (n + 1)
B : π / 2 ^ (n + 1) < π
C : 0 < π / 2 ^ (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y✝ z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x

Context: hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x

Context: hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)

Context: y : γ

Context: hy : y < (fun z => f z + g z) x

∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y✝ z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x

Context: hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x

Context: y : γ

Context: hy : y < (fun z => f z + g z) x

Context: u v : Set γ

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : f x ∈ u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xv : g x ∈ v

Context: h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.1 + p.2}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

MDifferentiable 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

(shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: st : s ⊆ t

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.proj

(mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I I' f t p.proj) p.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤

Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
h : 𝟙 S.leftHomologyData.H = 0


Context: n d : Int


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f


⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: a✝ : β

Context: hx : a✝ ∈ ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u) s)


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: a✝ : β

Context: hx : ∀ (i : ↑f.sets), a✝ ∈ closure (image2 ϕ (↑i) s)


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : AdjoinRoot g


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
p✝ : R[X]

(mk g) ((modByMonicHom hg) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ


∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, f x.1 * ↑ζ x.2 = ∑ i ∈ x.divisors, f i


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : f = n.factorization


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ

μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑(μ.withDensityᵥ f) i = ↑((μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: uas : Set (UniformSpace α)

Context: ubs : Set (UniformSpace β)

Context: ua : UniformSpace α

Context: ub : UniformSpace β

Context: uc : UniformSpace γ

Context: ha : ua ∈ uas

Context: hb : ub ∈ ubs

Context: hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2

Context: x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: uas : Set (UniformSpace α)

Context: ubs : Set (UniformSpace β)

Context: ua : UniformSpace α

Context: ub : UniformSpace β

Context: uc : UniformSpace γ

Context: ha✝ : ua ∈ uas

Context: hb : ub ∈ ubs

Context: ha : UniformContinuous id


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: uas : Set (UniformSpace α)

Context: ubs : Set (UniformSpace β)

Context: ua : UniformSpace α

Context: ub : UniformSpace β

Context: uc : UniformSpace γ

Context: ha✝ : ua ∈ uas

Context: hb✝ : ub ∈ ubs

Context: ha : UniformContinuous id

Context: hb : UniformContinuous id


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: uas : Set (UniformSpace α)

Context: ubs : Set (UniformSpace β)

Context: ua : UniformSpace α

Context: ub : UniformSpace β

Context: uc : UniformSpace γ

Context: ha✝ : ua ∈ uas

Context: hb✝ : ub ∈ ubs

Context: ha : UniformContinuous id

Context: hb : UniformContinuous id

Context: h_unif_cont_id : UniformContinuous (Prod.map id id)


Context:
K : Type ?u.611342
L : Type ?u.611345
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
X : { p // p ∣ J }

(idealFactorsFunOfQuotHom ⋯) X = OrderHom.id X


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

dblXYZ (map W' f) (⇑f ∘ P) = ⇑f ∘ W'.dblXYZ P


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

↑((skewAdjoint.negISMul ∘ₗ skewAdjointPart ℝ) a) = -I • 2⁻¹ • (a - star a)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
is_prime : S.IsPrime
ne_bot : S ≠ ⊥
x✝¹ x✝ : R

generator S ∣ x✝¹ * x✝ → generator S ∣ x✝¹ ∨ generator S ∣ x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.42576, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n

Context: app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ≅ G.obj i

Context: w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).hom = (app ⟨i, ⋯⟩).hom ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

G.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).inv = (app ⟨i, ⋯⟩).inv ≫ F.map' i (i + 1) ⋯ hi


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.206122, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)

((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) = ((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G

(((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 = ((((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1


((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (((ofMulAction k G G).ρ g) (Finsupp.single y 1)) = (A.ρ g) (((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (Finsupp.single y 1))


((Finsupp.single (g • y) 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x) = (A.ρ g) ((Finsupp.single y 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
n : ℤ

l.prod % n = (map (fun x => x % n) l).prod % n


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : IsAlgClosed K

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V), finrank K V = m → ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

Context: V : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: h_dim : finrank K V = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


∀ (c : E) ⦃s : Set (β × γ)⦄, MeasurableSet s → ((κ ⊗ₖ η) a) s < ⊤ → ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x => c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x => c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


IsClosed {f | ∫ (z : β × γ), ↑↑f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a}


∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, f =ᶠ[ae ((κ ⊗ₖ η) a)] g → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

(map W f).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((toAffine W).addY x₁ x₂ y₁ L)


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: s : Set (β × β)

Context: hs : s ∈ 𝓤 β

Context: x : β × β

Context: h : x ∈ Prod.map Sum.inr Sum.inr ⁻¹' (range (Prod.map Sum.inl Sum.inl) ∪ Prod.map Sum.inr Sum.inr '' s)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N

k.toMap (g ↑(f.sec z).2) * (f.map hy k) z = k.toMap (g (f.sec z).1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a

Context: uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g

Context: a✝³ : α

Context: a✝² : a✝³ ≠ 0

Context: x✝ : Multiset α

Context: a✝¹ : α

Context: a✝ : a✝¹ ∈ x✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R

r ∈ N.colon (span R {x}) ↔ ∀ (a : R), r • a • x ∈ N


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : Monic 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : 0 ≠ 0
hq : 0 = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ

(mvPolynomialBasis R σ).repr ((D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)) = Finsupp.single i 1


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))

Context: h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α

Context: h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x

Context: a : Set α

∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α

Context: h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x

Context: a : Set α

f =ᶠ[ae (μ.restrict a)] AEMeasurable.mk f hf


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
a : Over P

Quot.mk (PseudoEqual P) a = 0 ↔ a.hom = 0


Quot.mk (PseudoEqual P) a = 0 ↔ a ≈ Over.mk 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
m : P.ker.Cotangent


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
x : ↥P.ker


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G

(liftNC ↑f ⇑g) (c • φ) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) φ


(liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c) = (AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k

(((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b


(((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (G →₀ k)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b


(liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a (c * b)) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a b)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N

f.symm.toEmbedding.comp f.toEmbedding = Embedding.refl L M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C

(X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom


(X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = (α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom


X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ ((α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom ≫ (α_ U Y.fst X.fst).inv) ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b
this : a = b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g

∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f


EffectiveEpi (F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f')))


F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g = F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
t : ↑I


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: this : (a.toBasis.toMatrix ⇑b).det * star (a.toBasis.toMatrix ⇑b).det = 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: this : ↑‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: this : ‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t

t.centerMass (fun j => if i = j then 1 else 0) z = z i


∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = z i


(∑ i_1 ∈ t, if i = i_1 then 1 else 0) = 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
x : X

x ∈ closure s ↔ x ∈ f ⁻¹' closure (f '' s)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ α
hn : z ≠ 0
m : ℤ

z • b - z • a = m • z • p ↔ b - a = m • p


Context:
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : SecondCountableTopology ℚ∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁴ : Norm E

Context: inst✝¹³ : Norm F

Context: inst✝¹² : Norm G

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁵ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝³ : SeminormedRing R'

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: d : E''

Context: c : F''

Context: this : ¬Tendsto (Function.const α ‖c‖) l atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁴ : Norm E

Context: inst✝¹³ : Norm F

Context: inst✝¹² : Norm G

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁵ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝³ : SeminormedRing R'

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: d : E''

Context: c : F''

Tendsto (norm ∘ fun _x => c) l atTop → d = 0


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: x : ↑(spectrum ℝ A)


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ spectrum ℝ A


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: i : n

Context: hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = diagonal fun x => 0

Context: i : n

Context: hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: hf : ↑hA.cfcAux f = 0

Context: i : n

Context: hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A

Context: this : ∀ (i : n), (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) i = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α

⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'

p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁' = (p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁')


(p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁') ≤ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'


∀ (a : M) (b : M'), a ∈ p ⊔ p' → b ∈ q₁ ⊔ q₁' → (a, b) ∈ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
xx : M
yy : M'
hxx : xx ∈ p ⊔ p'
hyy : yy ∈ q₁ ⊔ q₁'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
yy : M'
hyy : yy ∈ q₁ ⊔ q₁'
x : M
hx : x ∈ p
x' : M
hx' : x' ∈ p'
hxx : x + x' ∈ p ⊔ p'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'
x : M
hx : x ∈ p
x' : M
hx' : x' ∈ p'
hxx : x + x' ∈ p ⊔ p'
y : M'
hy : y ∈ q₁
y' : M'
hy' : y' ∈ q₁'
hyy : y + y' ∈ q₁ ⊔ q₁'

(x + x', y + y') ∈ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: n : ℕ

Context: a : Composition n

Context: b : (i : Fin a.length) → Composition (a.blocksFun i)

Context: a' : Composition n

Context: b' : (i : Fin a'.length) → Composition (a'.blocksFun i)

Context: H : (ofFn fun i => (b i).blocks) = ofFn fun i => (b' i).blocks


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: n : ℕ

Context: a : Composition n

Context: a' : Composition n

Context: h : a = a'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'

HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod) (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) l).sum x


∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod = (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) l).sum


∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod = (List.map (fun i => (List.map x (l.erase i)).prod • proj i) (List.map l.get (List.finRange l.length))).sum


∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod = ∑ x_1 : Fin l.length, ((List.map x (List.take (↑x_1) l)).prod * (List.map x (List.drop (↑x_1 + 1) l)).prod) • proj (l.get x_1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
k : ZMod N

𝓕 Φ k = ∑ j : ZMod N, toCircle (-(j * k)) • Φ j


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
z : A

∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ z * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M

∃ a b, IsUnit (gcd a b) ∧ mk' A x ⟨y, hy⟩ * (algebraMap R A) b = (algebraMap R A) a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : GCDMonoid R
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M A
x y : R
hy : y ∈ M
x' y' : R
hx' : x = gcd x y * x'
hy' : y = gcd x y * y'
hu : IsUnit (gcd x' y')


mk' A x ⟨y, hy⟩ * (algebraMap R A) y' = (algebraMap R A) x'


mk' A (y' * x) ⟨y, hy⟩ = (algebraMap R A) x'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
x✝ : Fin 0 → E


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
r : R₁
x : A ⧸ ker f


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R₁ B
f : A →ₐ[R₁] B
r : R₁
a : A

f.kerLift (r • (Quotient.mkₐ R₁ (ker f)) a) = r • f.kerLift ((Quotient.mkₐ R₁ (ker f)) a)


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit P

IsUnit (P.coeff 0) ∧ ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit P
Q : R[X]
hQ : P * Q = 1


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

o.oangle y z + o.oangle x y = o.oangle x z


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Invertible 2
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → α
s t : Set β

⨆ x ∈ s ∪ t, f x = (⨆ x ∈ s, f x) ⊔ ⨆ x ∈ t, f x


Context:
α : Type u_1
x : LazyList α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: hs : Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))

Context: hu : Acc (DFinsupp.Lex r s) (erase i x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n

‖q.compAlongComposition p c‖₊ ≤ ‖q c.length‖₊ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖₊


↑‖q.compAlongComposition p c‖₊ ≤ ↑(‖q c.length‖₊ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖₊)


‖q.compAlongComposition p c‖ ≤ ‖q c.length‖ * ∏ x : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun x)‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ioi b = Ioi (b + a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R S : α → β → Prop

Context: P : γ → δ → Prop

Context: Rₐ : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: b✝ : β

Context: l₁✝ : List α

Context: l₂✝ : List β

Context: h₁ : R a✝ b✝

Context: h₂ : Forall₂ R l₁✝ l₂✝

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : (x, y) ∈ (a✝ :: l₁✝).zip (b✝ :: l₂✝)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R S : α → β → Prop

Context: P : γ → δ → Prop

Context: Rₐ : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: b✝ : β

Context: l₁✝ : List α

Context: l₂✝ : List β

Context: h₁ : R a✝ b✝

Context: h₂ : Forall₂ R l₁✝ l₂✝

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : (x, y) = (a✝, b✝) ∨ (x, y) ∈ zipWith Prod.mk l₁✝ l₂✝


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u✝ v✝ w : V
hconn : G.Connected
u v : V


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u✝ v✝ w : V
hconn : G.Connected
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.length = G.dist u v


Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i


(∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i ≤ f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β

Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε


(∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ univ ∧ dist (f x) b < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) b < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E

‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: this : ‖x₀‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ

(x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * y ^ z


Context: x y : ℝ≥0∞

(x * y) ^ 0 = if (x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0) ∧ 0 < 0 then ⊤ else x ^ 0 * y ^ 0


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z ≠ 0


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y


Context:
y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : 0 ≤ y

(0 * y) ^ z = if (0 = 0 ∧ y = ⊤ ∨ 0 = ⊤ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else 0 ^ z * y ^ z


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hx0 : x ≠ 0
hxy : x ≤ 0

(x * 0) ^ z = if (x = 0 ∧ 0 = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ 0 = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else x ^ z * 0 ^ z


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0
hy0 : y ≠ 0


Context:
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
x✝¹ : ℝ≥0
hx0 : ↑x✝¹ ≠ 0
x✝ : ℝ≥0
hy0 : ↑x✝ ≠ 0
hxy : ↑x✝¹ ≤ ↑x✝

(↑x✝¹ * ↑x✝) ^ z = if (↑x✝¹ = 0 ∧ ↑x✝ = ⊤ ∨ ↑x✝¹ = ⊤ ∧ ↑x✝ = 0) ∧ z < 0 then ⊤ else ↑x✝¹ ^ z * ↑x✝ ^ z


Context:
z : ℝ
x✝¹ x✝ : ℝ≥0
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hx0 : ¬x✝¹ = 0
hy0 : ¬x✝ = 0
hxy : x✝¹ ≤ x✝


↑(x✝¹ ^ z * x✝ ^ z) = ↑x✝¹ ^ z * ↑x✝ ^ z


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)

⟨x, hx⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)
y : P
hy : y ∈ A

⟨y, ⋯⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)
c : k
u : P
hu : u ∈ affineSpan k A
v : P
hv : v ∈ affineSpan k A
w : P
hw : w ∈ affineSpan k A

⟨u, hu⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨v, hv⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨w, hw⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨c • (u -ᵥ v) +ᵥ w, ⋯⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : s.Nonempty
a : α
as : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormOneClass R
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g

IsBigOWith (c ^ 0) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

count a (s ∩ t) = min (count a s) (count a t)


count a (s - t) + count a (s ∩ t) = count a (s - t) + min (count a s) (count a t)


Context:
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0

∀ᵐ (x_1 : ℝ), x_1 ∈ Iio x → gammaPDF a r x_1 = 0


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Fix F α


∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = mk x


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)

(TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk (mk x).dest = mk x


(TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk ((TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x) = mk x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x✝ : Fix F α

Context: x : F (α ::: Fix F α)

Context: h : (TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x

mk ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x) = mk x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: pprime : Nat.Prime p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' i₁'' : I₁
i₂ : I₂

(K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ (K.d i₁' i₁'').f i₂ = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

Icc (update f i (a ⊓ b)) (update f i (a ⊔ b)) = uIcc (update f i a) (update f i b)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F

iteratedDerivWithin n (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n f s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

iteratedDerivWithin n.succ (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n.succ f s x


iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => c + f z) s) s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x


Set.EqOn (derivWithin (fun z => c + f z) s) (derivWithin f s) s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s

derivWithin (fun z => c + f z) s y = derivWithin f s y


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel R

Context: b✝ b : α

Context: l : List α

Context: hb : ∀ {a : α}, Chain R a l → destutter' R a l = a :: l

Context: a : α

Context: h : Chain R a (b :: l)


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel R

Context: b✝ b : α

Context: l : List α

Context: a : α

Context: h✝ : Chain R a (b :: l)

Context: h : R a b

Context: hc : Chain R b l


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝

b • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)


b • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E

Context: hb : b.toBasis.orientation ≠ o

Context: e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E

Context: hb : b.toBasis.orientation ≠ o

Nat.casesAuxOn (motive := fun a => n + 1 = a → E [⋀^Fin (n + 1)]→ₗ[ℝ] ℝ) (n + 1) (fun h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = 0)] o => ⋯.by_cases (fun x => AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) fun x => -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) ⋯ o) (fun n_1 h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n_1 + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ o) ⋯ = -b.toBasis.det


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E

Context: hb : b.toBasis.orientation ≠ o


Context:
x : ℝ
h₁ : -π < x
h₂ : x ≤ π


Context: f : ℂ → ℂ := fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)


∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] 1, DifferentiableAt ℂ f z


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
α : Type u_1
l m r : List Char
f : α → Char → α
init : α

Substring.foldl f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldl f init m


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

(tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.mul ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom)) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul


(tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (𝟙 (M.X ⊗ M.X) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom) ≫ (M.mul ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


(tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ M.mul ▷ 𝟙_ C) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (M.X ⊗ M.X)).hom ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α

infEdist x s ≤ infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : ∃ y, infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ ∧ edist x y < r - ENNReal.ofReal δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
hy : infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ
hxy : edist x y < r - ENNReal.ofReal δ


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : 1 < finrank R M


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
L'' : Language
e'✝ : L' ≃ᴸ L''
e✝ e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''

(e.invLHom.comp e'.invLHom).comp (e'.toLHom.comp e.toLHom) = LHom.id L


(e'.toLHom.comp e.toLHom).comp (e.invLHom.comp e'.invLHom) = LHom.id L''


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
b : B
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

((curry (map (b • f) g)) x✝¹) x✝ = ((curry (b • map f g)) x✝¹) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

(a.lcm b).factorization = a.factorization ⊔ b.factorization


a.factorization + b.factorization = a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization


Context:
a✝¹ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

(a.factorization + b.factorization) a✝ = (a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization) a✝


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0

∃ y, y * y - b * y + c = 0 ∧ x + y = b ∧ x * y = c


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
this : c = x * (b - x)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1

Context: of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯

Context: self : motive (n + 1) ⋯

leRec (motive := fun {n_1} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n_1 → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n_1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n_1 ⋯ → motive n mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) ⋯ of_succ self = of_succ n ⋯ self


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i


f ≫ (XIso φ i hi).hom = g ≫ (XIso φ i hi).hom


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

(fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α

[s ∈ 𝓝[<] b, s ∈ 𝓝[Ico a b] b, s ∈ 𝓝[Ioo a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioo l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioo l b ⊆ s].TFAE


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

Context: g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

Context: hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

(condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : (μ.trim hm) s < ⊤), (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 (μ.trim hm)) (hg : Memℒp g 1 (μ.trim hm)), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp g hg) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)

IsClosed {f | (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) f}


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k

peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)


(aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) - x.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) - y.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)


(aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) - y.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) - x.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot

(𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iic


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)
c : α
hc : a < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
m : α → β
f : Filter α

Tendsto m f atTop ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, b ≤ m a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: d : Dᵒᵖ


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f


(F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = ι f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ


Context:
R M : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
h : IsTrivialRelation f x


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ last n
x : { x // x ≠ p }

(finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x


some ((finSuccAboveEquiv p).symm x) = some ((p.castLT ⋯).predAbove ↑x)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)
x : α
hx : x ∈ s


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace

Context: fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf

Context: h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x

Context: U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: x : ↥((Opens.map f).obj (unop (op U)))

(X.presheaf.germ x) ((fc.app (op U)) s) = (X.presheaf.germ x) ((gc.app (op U)) s)


Context:
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝² : Applicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : σ ⊕ α

Sum.traverse (Comp.mk ∘ (fun x => f <$> x) ∘ g) x = Comp.mk (Sum.traverse f <$> Sum.traverse g x)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝² : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: this : (↑(P.subtype ⋯)).normalizer.Normal → (↑(P.subtype ⋯)).Normal


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝² : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: this : True → (↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer = ⊤


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝² : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Subgroup.map (↑P).normalizer.normalizer.subtype ((↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer) = (↑P).normalizer


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: E✝ : EllipticCurve R

Context: C✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R

Context: E : EllipticCurve R

E.variableChange (C.comp C') = (E.variableChange C').variableChange C


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: E✝ : EllipticCurve R

Context: E : EllipticCurve R

{ toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := (C.comp C').u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } = { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := C.u⁻¹ ^ 12 * (C'.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ'), coe_Δ' := ⋯ }


Context:
xl xr : Type u
xR : xr → PGame
i : xl
xL : xl → PGame
j : (xL i).LeftMoves

((xL i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: t : Set ↑s

Context: c : ↑s

Context: hct : c ∈ t

Context: B : ↑s

Context: hB : B ∈ lowerBounds t


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: t : Set ↑s

Context: c : ↑s

Context: hct : c ∈ t

Context: B : ↑s

Context: hB : B ∈ lowerBounds t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β


Context:
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α


Context: ι : Type uι

Context: E✝ : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: H✝ : Type uH

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝

Context: I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝

Context: M✝ : Type uM

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: s : Set M

Context: f : BumpCovering ι M s

Context: hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)

Context: i : ι

LocallyFinite fun i => mulSupport ((fun x => 1) - ⇑(f i))


Context: ι : Type uι

Context: E✝ : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: H✝ : Type uH

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝

Context: I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝

Context: M✝ : Type uM

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: s : Set M

Context: f : BumpCovering ι M s

Context: hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p

(reindexEquiv e { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }).toMatrix a b = (reindexAlgEquiv R R e) { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }.toMatrix a b


(1 + stdBasisMatrix (e t_i) (e t_j) c✝) a b = (1 + stdBasisMatrix t_i t_j c✝) (e.symm a) (e.symm b)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f g h i : α → β

(∏ a ∈ s, f a * g a) * ∏ a ∈ s, h a * i a = (∏ a ∈ s, f a * h a) * ∏ a ∈ s, g a * i a


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)

Context: i : ι

Context: y : π i


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: y : π i

Context: H : ∀ (b : ι), ‖single i y b‖₊ = single i ‖y‖₊ b


Context: K : Subfield ℂ

Context: ψ : ↥K →+* ℂ

Context: hc : UniformContinuous ⇑ψ

Context: this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk

Context: this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring

(↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype


Context: K : Subfield ℂ

Context: ψ : ↥K →+* ℂ

Context: hc : UniformContinuous ⇑ψ

Context: ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)


Context: K : Subfield ℂ

Context: ψ : ↥K →+* ℂ

Context: hc : UniformContinuous ⇑ψ

Context: ui : UniformInducing ι


Context: K : Subfield ℂ

Context: ψ : ↥K →+* ℂ

Context: hc : UniformContinuous ⇑ψ

Context: ui : UniformInducing ι

Context: di : DenseInducing ι := UniformInducing.denseInducing ui ?refine_1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology

f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι


Context: z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

o.brange f = range (o.familyOfBFamily f)


Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: a : A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p

Context: q : Submodule R[X] (AEval R M a)

Context: m : M

Context: hm : m ∈ (comapSubmodule R M a) q

m ∈ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) ((comapSubmodule R M a) q)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop

(∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β

Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y ↔ Tendsto f x₁ y ∧ Tendsto f x₂ y


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
x y z : P


Context:
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric

x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s

(∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
this : BijOn f A (f '' A)


Context: α : Type u

Context: C : FreeRing α → Prop

Context: z : FreeRing α

Context: hn1 : C (-1)

Context: hb : ∀ (b : α), C (of b)

Context: ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)

Context: hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)

Context: hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)

Context: h1 : C 1

Context: m✝ : FreeMonoid α

Context: a : α

Context: m : List α

Context: ih : C (FreeAbelianGroup.of m)

FreeAbelianGroup.of (a :: m) = of a * FreeAbelianGroup.of m


Context: α : Type u

Context: C : FreeRing α → Prop

Context: z : FreeRing α

Context: hn1 : C (-1)

Context: hb : ∀ (b : α), C (of b)

Context: hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)

Context: h1 : C 1

Context: m✝ : FreeMonoid α

Context: a : α

Context: m : List α

Context: ih : C (FreeAbelianGroup.of m)

FreeAbelianGroup.of (a :: m) = FreeAbelianGroup.of (FreeMonoid.of a * m)


Context: x y : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(transitionMap I M hmn) ((fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) n) = (fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) m


Submodule.Quotient.mk (↑f n) = Submodule.Quotient.mk (↑f m)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ((⇑↑(cfcHom ⋯) ∘ ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))) ∘ ⇑ContinuousMapZero.toContinuousMapHom)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: e : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜) ≃ₜ C(↑(σ 𝕜 ↑a), 𝕜) := let __src := Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯); { toEquiv := __src.toEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ


(map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition volume ∧ map X ℙ ≪ volume ↔ map X ℙ ≪ volume