Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

∀ x ∈ Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1, ∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

Context: this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)

∃ (hx : 0 ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨0, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

∀ (x y : S ⊗[R] S), (∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → (∃ (hx : y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → ∃ (hx : x + y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x + y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

∀ (a : S) (x : S ⊗[R] S), (∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → ∃ (hx : a • x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨a • x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β

⇑e ⁻¹' Ico a b = Ico (e.symm a) (e.symm b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t s : Set α
h : (⇑ofDual ⁻¹' s).OrdConnected


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A

(baseChange W B).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.negAddY x₁ x₂ y₁ L)


(baseChange W B).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.negAddY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ

(X - C t) ^ n ∣ p ↔ X ^ n ∣ p.comp (X + C t)


X ^ n = (algEquivAevalXAddC t) ((X - C t) ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
g : α → β
H : ∀ x ∈ s, f x = g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: this : ∀ x ∈ Ioo a b, ∃ c ∈ Ioo a x, f x * g' c = g x * f' c


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x

Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[Ioo a b] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x

Tendsto ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) (𝓝[Ioo a b] a) l


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ
x✝ : Nat.Prime k
kx : k ∣ xn a1 n
ky : k ∣ yn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

Context: x✝ : Nat.Prime k

Context: kx : k ∣ xn a1 n

Context: ky : k ∣ yn a1 n

Context: p : xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n = 1 := pell_eq a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

Context: x✝ : Nat.Prime k

Context: kx : k ∣ xn a1 n

Context: ky : k ∣ yn a1 n

k ∣ xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n


Context: a b c d b' : List Γ'

update (elim a b c d) rev b' = elim a b' c d


Context:
a b c d b' : List Γ'
x : K'

update (elim a b c d) rev b' x = elim a b' c d x


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#(α ↪ β') = 0 ↔ lift.{u, v} #β' < lift.{v, u} #α


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t

𝓝ˢ s = 𝓝ˢ (s ∩ t ∪ s ∩ tᶜ)


𝓝ˢ (s ∩ t ∪ s ∩ tᶜ) = 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓝ˢ (s ∩ tᶜ)


𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓝ˢ tᶜ = 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LT α
a : WithBot α
b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X✝ Y Z : C
fst : P ⟶ X✝
snd : P ⟶ Y
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C

((zeroProdIso X).symm ≪≫ (pullbackZeroZeroIso 0 X).symm).hom ≫ pullback.fst 0 0 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ η : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => κ n + η n) a) s = ((Kernel.sum κ + Kernel.sum η) a) s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
h : A ⊆ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f

UniformContinuous (⇑ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑toFun)


uniformSpace α γ ≤ UniformSpace.comap (⇑ofFun ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑toFun) (uniformSpace α β)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s✝ t : Set α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β

d ≤ (f '' s).einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≠ f y → d ≤ edist (f x) (f y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → Set α

⋃ i, f i = univ ↔ ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ f i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq ι

Fintype.card { g // f ∘ ⇑g = f } = ∏ i : ι, (Fintype.card { a // f a = i })!


∏ a : ι, Nat.card (Perm { a_1 // f a_1 = a }) = ∏ i : ι, (Fintype.card { a // f a = i })!


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq ι
x✝ : Perm α

f ∘ ⇑x✝ = f ↔ mk x✝ ∈ stabilizer (Perm α)ᵈᵐᵃ f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R

Associates.mk (Ideal.span {r}) ≠ 0 ↔ r ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : TopologicalSemiring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s : Set R

Context: φ ψ : C(↑s, R) →ₐ[R] A

Context: h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

polynomialFunctions s ≤ AlgHom.equalizer φ ψ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : TopologicalSemiring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s : Set R

Context: φ ψ : C(↑s, R) →ₐ[R] A

Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X} ≤ AlgHom.equalizer φ ψ


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Kˣ

↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1 * ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict R⁰) ⋯) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2)⁻¹


↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1 * (↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict R⁰) ⋯) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2))⁻¹


↑(v.valuationOfNeZeroToFun x) = (if ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1 = 0 then 0 else ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).1})).factors)))) * (if (SubmonoidClass.subtype R⁰) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2 = 0 then 0 else ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {(SubmonoidClass.subtype R⁰) ((IsLocalization.toLocalizationMap R⁰ K).sec ↑x).2})).factors))))⁻¹


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)

∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν


∫⁻ (z : β × α), f z.swap ∂ν.prod μ = ∫⁻ (y : β), ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ {x | gauge s x < 1}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ {x | gauge s x < 1}
y : E
hys : y ∈ s
hxy : x ∈ openSegment ℝ 0 y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C


(λ_ X.fst).hom ≫ (λ_ X).inv.f = 𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X).fst


(𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X)).f = 𝟙 (𝟙_ (Center C) ⊗ X).fst


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
f : ι →₀ ↥I

(Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.mapRange Subtype.val ⋯ f) = f.sum fun i x => ↑x • v i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
x y : R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝ : SeqCompactSpace X
f_cont : SeqContinuous f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
f : α → E
hf : Integrable f (μ.restrict ↑s)

∫ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x ∈ s, (μ {x}).toReal • f x


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i k : ι
hk : i < k

Indep (generateFrom {s k}) (generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) κ μ


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
δ : Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : AddCommMonoid γ
inst✝ : AddCommMonoid δ
g : γ →+ δ
f : (i : ι) → β i →+ γ
a : ι

liftAddHom.symm (g.comp (liftAddHom f)) a = g.comp (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
fi : Filter ι
f : ι → ℝ≥0
x : ℝ≥0

Tendsto (fun n => ((fun i => ↑(f i)) n).toReal) fi (𝓝 (↑x).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ↑(f i)) fi (𝓝 ↑x)


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α

map f <$> traverse g x = traverse (map f ∘ g) x


traverse (pure ∘ f) <$> traverse g x = traverse (map f ∘ g) x


traverse (Comp.mk ∘ map (pure ∘ f) ∘ g) x = traverse (map f ∘ g) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α

Disjoint a (b ⊔ c) ↔ Disjoint a b ∧ Disjoint a c


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
hp0 : ¬p = 0

Irreducible (p * C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ Irreducible p


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j < i


Context: α✝ : Type u_1

Context: p : α✝ → Prop

Context: l : RBNode α✝

Context: v : α✝

Context: r : RBNode α✝

Context: hl : All p l

Context: hv : p v

Context: hr : All p r

Context: l✝ : RBNode α✝

Context: x✝ : ∀ (a : RBNode α✝) (x : α✝) (b : RBNode α✝), ¬l = node red a x b

All p (match r with | node black a y b => l.balance2 v (node red a y b) | node red (node black a y b) z c => node red (node black l v a) y (b.balance2 z c.setRed) | r => node red l v r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b


Context:
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
e : Perm (Fin n)

sign (decomposeFin.symm (p, e)) = (if p = 0 then 1 else -1) * sign e


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : x ∉ range as


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : x ∉ range as
this : ⨅ i, as i = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_lt : ∀ (i : ι), x < as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
obs : ⨅ i, as i ∉ range as
this : ⨅ i, as i = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}


Context:
S✝ : Type u
inst✝¹ : Semiring S✝
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
k : S

eval k (ascPochhammer S (n + 1)) = eval k (ascPochhammer S n) * (k + ↑n)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - 1 ≠ 0


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
x : Y
h : x ∈ e.target

ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β

2 < card α ↔ ∃ a b c, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : AEDisjoint μ s t
x : α
hx : x ∈ s \ toMeasurable μ (s ∩ t)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
h : N ≤ N'
x y : ↥↑N

(inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝕜


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: p : Type u_5

Context: q : Type u_6

Context: m' : o → Type u_7

Context: n' : o → Type u_8

Context: p' : o → Type u_9

Context: R : Type u_10

Context: S : Type u_11

Context: α : Type u_12

Context: β : Type u_13

Context: A B : Matrix (n ⊕ o) (l ⊕ m) α

Context: x✝ : A.toBlocks₁₁ = B.toBlocks₁₁ ∧ A.toBlocks₁₂ = B.toBlocks₁₂ ∧ A.toBlocks₂₁ = B.toBlocks₂₁ ∧ A.toBlocks₂₂ = B.toBlocks₂₂

Context: h₁₁ : A.toBlocks₁₁ = B.toBlocks₁₁

Context: h₁₂ : A.toBlocks₁₂ = B.toBlocks₁₂

Context: h₂₁ : A.toBlocks₂₁ = B.toBlocks₂₁

Context: h₂₂ : A.toBlocks₂₂ = B.toBlocks₂₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n

(if MeasurableSet ∅ then ↑v ∅ else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i

(if MeasurableSet i then ↑v i else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
m n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
hf₁' : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet (f k)

HasSum (fun i => if MeasurableSet (f i) then ↑v (f i) else 0) (if MeasurableSet (⋃ i, f i) then ↑v (⋃ i, f i) else 0)


(fun i => if MeasurableSet (f i) then ↑v (f i) else 0) = fun i => ↑v (f i)


(if MeasurableSet (⋃ i, f i) then ↑v (⋃ i, f i) else 0) = ↑v (⋃ i, f i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'

e.toMatrix (update v j x) i' k = (e.toMatrix v).updateColumn j (⇑(e.repr x)) i' k


(e.repr (update v j x k)) i' = if k = j then (e.repr x) i' else (e.repr (v k)) i'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hx : (x, x') ∈ f.graph
hy : (y, y') ∈ f.graph
hxy : x = y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y✝ : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x y : E

Context: x' y' : F

Context: hx : ∃ y, ↑y = (x, x').1 ∧ ↑f y = (x, x').2

Context: hy : ∃ y_1, ↑y_1 = (y, y').1 ∧ ↑f y_1 = (y, y').2

Context: hxy : x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
hxy : x = y
x'' : ↥f.domain
hx1 : ↑x'' = x
hx2 : ↑f x'' = x'
y'' : ↥f.domain
hy1 : ↑y'' = y
hy2 : ↑f y'' = y'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x y : E
x' y' : F
x'' : ↥f.domain
hx1 : ↑x'' = x
hx2 : ↑f x'' = x'
y'' : ↥f.domain
hxy : x'' = y''
hy1 : ↑y'' = y
hy2 : ↑f y'' = y'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)

I = (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)


∀ (x : R × S), x ∈ I ↔ x ∈ (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
r : R
s : S

(r, s) ∈ I ↔ (r, s) ∈ (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)


(r, s) ∈ I ↔ (∃ x ∈ I, (RingHom.fst R S) x = r) ∧ ∃ x ∈ I, (RingHom.snd R S) x = s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)
r : R
s' : S
h₁ : (r, s') ∈ I
r' : R
s : S
h₂ : (r', s) ∈ I

((RingHom.fst R S) (r, s'), (RingHom.snd R S) (r', s)) ∈ I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(Ico f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R

(associator M (of R R) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitor N).hom = tensorHom (rightUnitor M).hom (𝟙 N)


∀ (x : ↑M) (y : ↑(of R R)) (z : ↑N), ((associator M (of R R) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitor N).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (tensorHom (rightUnitor M).hom (𝟙 N)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
x : ↑M
z : ↑N
y : R

x ⊗ₜ[R] (leftUnitor N).hom (y ⊗ₜ[R] z) = (rightUnitor M).hom (x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S


single y (z * x) + single x (z * y) - single (x * y) z ∈ kerTotal R S


z • (single y x + single x y - single (x * y) 1) ∈ kerTotal R S


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x v₁ v₂ : M
hx : x ≠ 0
h : SameRay R x 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
I : (Submodule R A)ˣ
this : 1 ∈ ↑I * ↑I⁻¹
T T' : Finset A
hT : ↑T ⊆ ↑↑I
hT' : ↑T' ⊆ ↑↑I⁻¹
one_mem : 1 ∈ span R (↑T * ↑T')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: hf : LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) f s x

Context: le : m ≤ n

LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' m) f s x


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
t : F.obj X

yonedaEquiv.symm (F.map f t) = yoneda.map f.unop ≫ yonedaEquiv.symm t


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
u : yoneda.obj (unop X) ⟶ F

yonedaEquiv.symm (F.map f (yonedaEquiv u)) = yoneda.map f.unop ≫ yonedaEquiv.symm (yonedaEquiv u)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => 1 / (↑n + ↑a) ^ s) (hurwitzZeta (↑a) s)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y


↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, ⋯⟩ = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
a✝ : β

a✝ ∈ filter (fun y => y ∈ image f s) t ↔ a✝ ∈ image f s


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x : β
xs : t α

foldrm f x xs = (foldrM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs)) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : (swap x y).support = {x, y}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
h : (swap x x).support = {x, x}


Context: α : Sort u_1


Context:
α : Sort u_1
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : OrderTop α
s✝¹ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : OrderTop β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfTopHomClass F α β
f : F
s✝ : Finset ι
g : ι → α
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
h : f (s.inf g) = s.inf (⇑f ∘ g)

f ((cons i s x✝).inf g) = (cons i s x✝).inf (⇑f ∘ g)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

(inv ((linearization k G).μ X Y)).hom = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm


inv ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y)) = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm


(Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y) ≫ ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm = 𝟙 ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).obj (MonoidalCategory.tensorObj ((linearization k G).obj X) ((linearization k G).obj Y)))


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c p : P1


Context: a b : ℝ

Context: nb : ℕ

Context: num : ℤ

Context: den : ℕ

Context: pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)

Context: pe' : IsRat (a ^ Int.negOfNat nb) num den


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ⊓ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid


PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid.members


{ property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs)) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source ∧ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target


AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f - g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f - baseChange A g)) 1) x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : ∑ x : ι, f x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : f default = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: U V : Submodule 𝕜 E

Context: h : Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: U V : Submodule 𝕜 E

Context: hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 E), Submodule.comap f.toLinearIsometry (Submodule.map f p) = p


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m 1) = f m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R
inst✝ : CommSemiring R
x y : R

IsNilpotent x ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J


(∀ p ∈ {J | J.IsPrime}, x ∈ p) ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin n → α → σ
hf : ∀ (i : Fin n), Primrec (f i)

Primrec fun a => (Vector.ofFn fun i => f i a).toList


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: inst✝¹ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: M₀ : Type u_7

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M₀

Context: n : ℕ

Context: ζ : M₀

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: α : M₀

Context: hα : α ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ ↑(range n)

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ ↑(range n)

Context: e : (fun x => ζ ^ x * α) i = (fun x => ζ ^ x * α) j


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
p : P
hp : p ∈ ↑s1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
p : P
hp : p ∈ ↑s1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1


s1.direction ≤ s2.direction ∧ ∃ x ∈ s2.direction, x ∉ s1.direction


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
hm : p2 -ᵥ p ∈ s1.direction


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
hm : p2 ∈ s1


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

Context: ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

Context: inst✝⁶ : S₁.HasHomology

Context: inst✝⁵ : S₂.HasHomology

Context: inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology

Context: inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology

Context: inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁

Context: inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

Context: γ : RightHomologyMapData φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData

QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

Context: ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

Context: inst✝⁶ : S₁.HasHomology

Context: inst✝⁵ : S₂.HasHomology

Context: inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁

Context: inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)

IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
x✝ : L ∈ K

IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a : (_ : Fin n) × Fin n


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞

x ∈ Ioo 0 ⊤ ↔ x ∈ ⋃ n, Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))


0 < x ∧ x < ⊤ ↔ ∃ i, y ^ i ≤ x ∧ x < y ^ (i + 1)


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

#((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n) ≤ max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)


lift.{max (max u' v) u, max (max u' v) u} #(List BoundedFormula.encoding.Γ) ≤ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))


lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)) ∧ ℵ₀ ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))


lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))


lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{v, max u u'} (ℵ₀ + (lift.{u, u'} #α + lift.{u', u} #((i : ℕ) × L.Functions i))) + lift.{max u u', v} (lift.{0, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + lift.{v, 0} ℵ₀)) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))


ℵ₀ + (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max (max u' v) (max u u') v, u} #((i : ℕ) × L.Functions i)) + (lift.{max (max u u') v, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + ℵ₀) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max u' (max u u') v, max u v} L.card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : ¬Measurable (Function.uncurry f)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W X Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W X T
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y T
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Z T
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
γ : SmallHom W Z T


(equiv W W.Q) ((α.comp β).comp γ) = (equiv W W.Q) (α.comp (β.comp γ))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

dist x z ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

Context: p : Z

dist x z ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

Context: p : Z

dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

Context: p q : Z

dist x z ≤ dist z (Φ q) + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

Context: p q : Z

dist x z ≤ dist (Φ q) z + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

(mapL fun i => (g i).comp (f i)) = (mapL g).comp (mapL f)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

↑(mapL fun i => (g i).comp (f i)) = ↑((mapL g).comp (mapL f))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x✝ : (i : ι) → E i

((↑(mapL fun i => (g i).comp (f i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((↑((mapL g).comp (mapL f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s


Context: f g : CircleDeg1Lift

Tendsto (fun n => (f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 (τ f))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


∫⁻ (b : β), (η (x, b)) {c | b ∈ s} ∂κ x = (κ x) s


Context:
a b c d✝ m n : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℤ


Context:
a b c d✝ m n : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℤ
this : b ∣ d * a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : AddMonoid G
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : Multiplicative G →* A
f : MonoidAlgebra k G

((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F (Multiplicative.ofAdd a)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitMono S.f


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
hab : a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ (t ∪ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s ×ˢ t'


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Module K M

Context: f g : End K M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: comm : Commute f g

Context: hf : f.IsSemisimple

Context: hg : g.IsSemisimple

Context: a : End K M

Context: ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}

Context: S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Module K M

Context: f g : End K M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: comm : Commute f g

Context: hf : f.IsSemisimple

Context: hg : g.IsSemisimple

Context: a : End K M

Context: ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}

Context: this : Finite K R


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Module K M

Context: f g : End K M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: comm : Commute f g

Context: hf : f.IsSemisimple

Context: hg : g.IsSemisimple

Context: a : End K M

Context: ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}

Context: this✝ : Finite K R

Context: this : Finite R S


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)

Context: this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

Context: ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

Context: x : K

(φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι

∃ J, (∀ (n : ℕ), Box.Icc (J n) ⊆ Box.Ioo I) ∧ Tendsto (lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower) ∧ Tendsto (upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: I : Box ι

Context: a b : ι → ℕ → ℝ

Context: ha_anti : ∀ (i : ι), StrictAnti (a i)

Context: hb_mono : ∀ (i : ι), StrictMono (b i)

Context: ha_mem : ∀ (i : ι) (k : ℕ), a i k ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)

Context: hb_mem : ∀ (i : ι) (l : ℕ), b i l ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)

Context: hab : ∀ (i : ι) (k l : ℕ), a i k < b i l

Context: ha_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (a i) atTop (𝓝 (I.lower i))

Context: hb_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (b i) atTop (𝓝 (I.upper i))


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
r : R
n : ℕ
hn : -r ≤ ↑n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup M

Context: hmul : Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)

Context: hmulleft : ∀ (m : M), Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: hmulright : ∀ (a : R), Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}

Context: hxmem : x ∈ sSup c


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}

Context: hxmem : x ∈ sSup c

Context: J : Submodule R R

Context: hJc : J ∈ c

Context: hxJ : x ∈ J


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hs : c ⊆ nonPrincipals R

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}

Context: hxmem : x ∈ sSup c

Context: J : Submodule R R

Context: hJc : J ∈ c

Context: hxJ : x ∈ J

Context: hsSupJ : sSup c = J


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}

Context: hxmem : x ∈ sSup c

Context: J : Submodule R R

Context: hJc : J ∈ c

Context: hxJ : x ∈ J

Context: hsSupJ : sSup c = J

Context: hs : J ∈ nonPrincipals R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : Set (Ideal R)

Context: K : Ideal R

Context: hKmem : K ∈ c

Context: x : R

Context: hx : sSup c = Submodule.span R {x}

Context: hxmem : x ∈ sSup c

Context: J : Submodule R R

Context: hJc : J ∈ c

Context: hxJ : x ∈ J

Context: hsSupJ : sSup c = J

Context: hs : ¬(Submodule.span R {x}).IsPrincipal


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y


∀ (x : C(X, Y) × X) (i : Set Y), x.1 x.2 ∈ i ∧ IsOpen i → ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 x, x.1 x.2 ∈ i


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U

∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 (f, x), x.1 x.2 ∈ U


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U
K : Set X
hxK : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
hKU : MapsTo (⇑f) K U


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
x : AdicCompletion I M

(map I g ∘ₗ map I f) x = (map I (g ∘ₗ f)) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
x✝ : X

x✝ ∈ closure K ↔ x✝ ∈ ⋃ x ∈ K, {y | Inseparable x y}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : TotallyBounded s

Context: hf : UniformContinuous f

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α

Context: c : Set α

Context: hfc : c.Finite

Context: hct : s ⊆ ⋃ y ∈ c, {x | (x, y) ∈ {p | (f p.1, f p.2) ∈ t}}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : TotallyBounded s

Context: hf : UniformContinuous f

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α

Context: c : Set α

Context: hfc : c.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : ∀ x ∈ s, ∃ i ∈ c, (f x, f i) ∈ t


Context:
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t

lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDerivWithin 𝕜 f t x v


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
x y : (i : ι) → β i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hs : NullMeasurableSet s (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯)

(((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s = μ (f '' s)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

S.W f ↔ ∃ Z g h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : OrderedRing α

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))


∀ (a : β), Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt a) (𝓝 (s.indicator 1 a)) → Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall a r) / μ (closedBall a r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 a))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α

Context: inst✝⁵ : MetricSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β

Context: μ : Measure β

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : β

Context: hx : Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))

Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y

(W.Q ⋙ lift G hG).map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a✝ : α
b✝ : β
s : Multiset α
t : Multiset β
a : α
b : β

(a, b) ∈ s.product t ↔ (a, b).1 ∈ s ∧ (a, b).2 ∈ t


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: v : ℝ → E → E

Context: tMin t₀ tMax : ℝ

Context: x₀ : E

Context: C R : ℝ

Context: L : ℝ≥0

Context: hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C

∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: v : ℝ → E → E

Context: tMin t₀ tMax : ℝ

Context: x₀ : E

Context: R : ℝ

Context: L C : ℝ≥0

Context: hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R ↑C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: v : ℝ → E → E

Context: tMin tMax : ℝ

Context: x₀ : E

Context: R : ℝ

Context: L C : ℝ≥0

Context: t₀ : { x // x ∈ Icc tMin tMax }

Context: hpl : IsPicardLindelof v tMin (↑t₀) tMax x₀ L R ↑C

∃ f, f ↑t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

dist (f.toFun t) v.x₀ = dist (f.toFun t) (f.toFun v.t₀)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α

s.seq (t.seq u) = (((fun x x_1 => x ∘ x_1) '' s).seq t).seq u


image2 (fun f a => f a) s (image2 (fun f a => f a) t u) = image2 (fun f a => f a) (image2 (fun x x_1 => x ∘ x_1) s t) u


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E

covolume L μ = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (Zspan.fundamentalDomain b₀)).toReal


|b₀.det ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E
x✝ : ι

(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι

filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag = filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag


∀ ⦃a : ι × ι⦄, a ∈ s.offDiag → (a.1 < a.2 ↔ a.1 ≤ a.2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι
a✝¹ : i ∈ s
a✝ : j ∈ s
h : i ≠ j


Context: a b : Bool


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ

(whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X = α.app X


yoneda.map ((whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X) = yoneda.map (α.app X)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

(yoneda.map ((whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

((sheafYonedaHom α).app (G.op.obj X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

(let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = ((sheafYonedaHom α).app (G.op.obj X)).app U a✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

(pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).Compatible


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

(pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).IsAmalgamation (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

Context: hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

(ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map f.op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

(ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map ((Nonempty.some hf).lift ≫ (Nonempty.some hf).map).op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

((a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).lift.op = (sheafOver ℱ' (unop U)).val.map (Nonempty.some hf).lift.op ((a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

(a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = (a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

a✝ ≫ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X : Cᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ G.obj (unop X)

Context: this : { val := ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)), cond := ⋯ }.val.map (Nonempty.some hf).map.op ((whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (unop X)) (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))))) = (whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (Nonempty.some hf).obj) ((ℱ ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))).map (Nonempty.some hf).map.op (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε

gauge s (x + y) < gauge s x + gauge s y + ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a✝ : ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: absorbs : Absorbent ℝ s

Context: y : E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: ha' : a < gauge s ((fun x => a • x) x) + ε / 2

gauge s ((fun x => a • x) x + y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s y + ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a✝ : ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: absorbs : Absorbent ℝ s

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hb' : b < gauge s ((fun x => b • x) y) + ε / 2

gauge s ((fun x => a • x) x + (fun x => b • x) y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s ((fun x => b • x) y) + ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty

ofDual (s.min' hs) = (image (⇑ofDual) s).max' ⋯


↑(ofDual (s.min' hs)) = ↑((image (⇑ofDual) s).max' ⋯)


s.sup (WithBot.some ∘ fun x => ofDual x) = s.sup ((WithBot.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑ofDual)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hac : AddLECancellable (a - c)

Context: h : c ≤ a


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : c ≤ b

Context: h2 : a - c < b - c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c d : α

Context: h : c ≤ a

Context: h2 : a - c < a - c


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s1
hq2 : hn.some ∈ ↑s2


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l

indefiniteDiagonal (Unit ⊕ l) l R = (reindexLieEquiv (Equiv.sumAssoc Unit l l).symm) (fromBlocks 1 0 0 (indefiniteDiagonal l l R))


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x

(Quotient.mk'' y1 * Quotient.mk'' y2).val = val (Quotient.mk'' y1) * val (Quotient.mk'' y2)


Localization.mk ↑(y1 * y2).num ⟨↑(y1 * y2).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑y1.num * ↑y2.num) (⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ⟨↑y2.den, ⋯⟩)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hc : AddLECancellable c

Context: hba : b ≤ a

Context: hca : c ≤ a


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b₁ : ℬ j₁
a₂ : 𝒜 i₂
b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i

((gradedMul R 𝒜 ℬ) (a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] b₂) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


((curry (map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (↑(TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ∘ₗ LinearMap.rTensor (⨁ (i : ι), ℬ i) ↑(gradedComm R ℬ 𝒜) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ)).symm) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc R (DirectSum ι 𝒜) (DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)))) (a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] b₂) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


(map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i))) ((TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm (a₁ ⊗ₜ[R] (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((gradedComm R ℬ 𝒜) ((lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


(map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i))) ((TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm (a₁ ⊗ₜ[R] (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) (((-1) ^ (i₂ * j₁) • (lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁) ⊗ₜ[R] b₂))) = (-1) ^ (i₂ * j₁) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


(map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i))) ((TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm (a₁ ⊗ₜ[R] (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((↑↑((-1) ^ (i₂ * j₁)) • (lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁) ⊗ₜ[R] b₂))) = ↑↑((-1) ^ (i₂ * j₁)) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


↑↑((-1) ^ (i₂ * j₁)) • (map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i))) ((TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)).symm (a₁ ⊗ₜ[R] (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) (((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁) ⊗ₜ[R] b₂))) = ↑↑((-1) ^ (i₂ * j₁)) • (a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * b₂)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₁ C₂ : Set X

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: h : C₁ ∪ C₂ = univ

Context: f : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: g : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : X

Context: hx : x ∈ C₁

(piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = f ⟨x, hx⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₁ C₂ : Set X

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: h : C₁ ∪ C₂ = univ

Context: f : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: g : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : X

Context: hx : x ∈ C₁

(if hi : x ∈ C₁ then f ⟨x, hi⟩ else g ⟨x, ⋯⟩) = f ⟨x, hx⟩


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
b : R
hb : b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S

∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M

∀ x ∈ ↑S, ∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * x ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * 0 ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


∀ (x y : R), (∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * x ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → (∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * y ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → ∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * (x + y) ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2


Context:
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
hp2 : p ∣ Int.natAbs 2


Context:
m : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
hpp : p ∣ (m ^ 2).natAbs


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Finite M
G : Type u_2
inst✝ : Group G

commProb G = ↑(Nat.card (ConjClasses G)) / ↑(Nat.card G)


↑(Nat.card (ConjClasses G)) * ↑(Nat.card G) / (↑(Nat.card G) * ↑(Nat.card G)) = ↑(Nat.card (ConjClasses G)) / ↑(Nat.card G)


Context:
R : Type ?u.47046
S : Type ?u.47049
M : Type ?u.47052
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
x : ↥(B.dualSubmodule N)
r : R
m : ↥N

(algebraMap R S) ({ toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • m)) = (algebraMap R S) ((RingHom.id R) r • { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯ }.toFun m)


Context:
R : Type ?u.47046
S : Type ?u.47049
M : Type ?u.47052
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
r : R
x : ↥(B.dualSubmodule N)
y : ↥N

(algebraMap R S) (({ toFun := fun x => { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) y) = (algebraMap R S) (((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => { toFun := B.dualSubmoduleParing x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) y)