Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: w : ι' → ↑S.X₃

Context: hw : LinearIndependent R w

LinearIndependent R (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: w : ι' → ↑S.X₃

Context: hw : LinearIndependent R w

LinearIndependent R (⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: w : ι' → ↑S.X₃

Context: hw : LinearIndependent R w

Context: x✝ : ι'

(⇑S.g ∘ Function.invFun ⇑S.g ∘ w) x✝ = w x✝


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R

(homogeneousComponent n) φ = ∑ d ∈ Finset.filter (fun d => d.degree = n) φ.support, (monomial d) (coeff d φ)


(homogeneousComponent n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun d => (weight 1) d = n) φ.support, (monomial x) (coeff x φ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

s ∈ {Icc (sInf s) (sSup s), Ico (sInf s) (sSup s), Ioc (sInf s) (sSup s), Ioo (sInf s) (sSup s), Ici (sInf s), Ioi (sInf s), Iic (sSup s), Iio (sSup s), univ, ∅}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: hs : IsPreconnected ∅

∅ ∈ {Icc (sInf ∅) (sSup ∅), Ico (sInf ∅) (sSup ∅), Ioc (sInf ∅) (sSup ∅), Ioo (sInf ∅) (sSup ∅), Ici (sInf ∅), Ioi (sInf ∅), Iic (sSup ∅), Iio (sSup ∅), univ, ∅}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: hne : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
h : ‖t‖ < 1


Context: n : ℕ

Context: x a₁ b₁ : ℝ

Context: m : ℕ

Context: e₁ : n + 1 = m

Context: a₂ b₂ : ℝ

Context: e : |1 + x / ↑m * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑m * b₂

Context: h : |rexp x - expNear m x a₂| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂

|rexp x - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁


Context: n : ℕ

Context: x a₁ b₁ : ℝ

Context: m : ℕ

Context: e₁ : n + 1 = m

Context: a₂ b₂ : ℝ

|x| ^ m / ↑m.factorial * b₂ + |expNear m x a₂ - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁


Context: n : ℕ

Context: x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ

Context: e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂

Context: h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂

|x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |expNear (n + 1) x a₂ - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁


Context: n : ℕ

Context: x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ

|x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |x ^ n / ↑n.factorial| * |1 + x / (↑n + 1) * a₂ - a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁


Context: n : ℕ

Context: x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

((trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)).toPartialEquiv ≫ (IB.prod 𝓘(𝕜, F)).toPartialEquiv = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ ((chartAt HB x.proj).toPartialEquiv ≫ IB.toPartialEquiv).prod (PartialEquiv.refl F)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

(trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (chartAt HB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F) ≫ IB.prod (PartialEquiv.refl F) = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ ((chartAt HB x.proj).toPartialEquiv ≫ IB.toPartialEquiv).prod (PartialEquiv.refl F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C

(coimageImageComparison α).app X = (coimageObjIso α X).hom ≫ coimageImageComparison (α.app X) ≫ (imageObjIso α X).inv


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g


Context: n : ℕ

(filter (fun p => Prime p) (range n)).card = count Prime n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Icc (a - max b c) (a - min b c) = Icc (min (a - b) (a - c)) (max (a - b) (a - c))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl₁ : l < 1

Context: hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0

Context: h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl₁ : l < 1

Context: hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : l < r

Context: hr₁ : r < 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl₁ : l < 1

Context: hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : l < r

Context: hr₁ : r < 1

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f (n + 1)‖ ≤ r * ‖f n‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl₁ : l < 1

Context: hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : l < r

Context: hr₁ : r < 1

Context: a✝¹ : ℕ

Context: a✝ : ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖ ≤ r

Context: h₁ : f a✝¹ ≠ 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132102, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y : C
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : C
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω

μ = μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure


∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s

μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: h_open : ∀ u ∈ s, IsOpen u

Context: h_nhds : ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ s, a ∈ v ∧ v ⊆ u

Context: a : α

∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → ∃ i', (i' ∈ s ∧ a ∈ i') ∧ id i' ⊆ i


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ≥0
A : Matrix m n α

‖A‖₊ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ ≤ r


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : 0⁻¹ * a = c


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : vectorSpan k s = ⊤
x : P
hx : x ∈ s


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260798, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃


Context: m n : Nat


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

(Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ (∀ (i : ι), Nonempty (α i)) ∧ ∃ d, (f d).NeBot


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s s₁ t u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiff 𝕜 N g

Context: hf : ContDiff 𝕜 N f

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : E

Context: C D : ℝ

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv 𝕜 i g (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (g ∘ f) x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s s₁ t u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiff 𝕜 N g

Context: hf : ContDiff 𝕜 N f

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : E

Context: C D : ℝ

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g univ (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) univ x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X


(∀ ⦃s : Set X⦄, s ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ F → (s ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ s ∈ F, ∀ t ∈ 𝓝 x, (t ∩ s).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a✝ : M

Context: p : M → Prop

Context: hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)

Context: unit : p 1

Context: a : M

Context: l : List M

Context: ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod

Context: base : ∀ x ∈ a :: l, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a✝ : M

Context: p : M → Prop

Context: unit : p 1

Context: a : M

Context: l : List M

Context: ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod

Context: base : ∀ x ∈ a :: l, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a✝ : M

Context: p : M → Prop

Context: unit : p 1

Context: a : M

Context: l : List M

Context: ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod

Context: base : p a ∧ ∀ a ∈ l, p a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_3
L✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : CommRing L✝
inst✝⁹ : Nontrivial L✝
inst✝⁸ : Algebra R L✝
inst✝⁷ : Algebra S L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L✝
inst✝³ : IsIntegrallyClosed R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : IsScalarTower R K S
s : S
hs : IsIntegral R s
L : Type u_2 := FractionRing S

minpoly K s = map (algebraMap R K) (minpoly R s)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
φ : MvPolynomial σ R

(bind₁ g) ((bind₁ f) φ) = (bind₁ fun i => (bind₁ g) (f i)) φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
φ : G →* H
ψ : M →* G
x✝ : M


Context:
a b c d m n e : ℤ
he : b = a * e
f : ℤ
hf : d = c * f


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : PushoutI φ →* K
i : ι

((fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).1 i).comp (φ i) = (fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).2


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K

∀ (i : ι), ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) = x✝.comp (of i)


((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (base φ) = x✝.comp (base φ)


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)

Context: inst✝ : Monoid H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }

Context: fst✝ : (i : ι) → G i →* K

Context: snd✝ : H →* K

Context: property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2

(fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) = ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : R

x ∈ localizationLocalizationSubmodule M N ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z


(∃ y ∈ N, ∃ z ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) M, y * z = (algebraMap R S) x) ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z


Context:
n m : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
hj : j ≠ last n


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
inhabited_h : Inhabited P


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X Y : Ω → E
hXY : X =ᶠ[ae ℙ] Y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : 0 < G.dist u v


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : 0 < sInf (Set.range Walk.length)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝ˢ K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
hVU : closure V ⊆ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ

(C x * X).coeff n = if n = 1 then x else 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.PosDef
inst✝ : Invertible D

(fromBlocks A B Bᴴ D).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).PosSemidef


(fromBlocks D Bᴴ B A).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).PosSemidef


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r✝ : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
i : ι
r : Set α

↑(Sigma.mk i ⁻¹' (⇑(sigmaSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α

⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = μ s


⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) (toMeasurable μ s)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V

Context: w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
a b : α

‖a * b‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖b‖₊


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: r : R

Context: h_spec : spectrum R a ⊆ {r}

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
s : Set ↑Γ(X, ⊤)

⇑X.isoSpec.hom.val.base '' X.zeroLocus s = PrimeSpectrum.zeroLocus s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E

fderiv 𝕜 f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : Forall₂ R l₁.reverse l₂.reverse


Forall₂ R l₁.reverse.reverse l₂.reverse.reverse


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜

z ∈ ↑(basicOpen 𝒜 f) ↔ z ∈ ↑(⨆ i, basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f))


f ∉ z.asHomogeneousIdeal ↔ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E

((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ x ∈ p


((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ (p.prodEquivOfIsCompl q h) ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x) ∈ p


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
lm : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := (↑fr).extendTo𝕜'
h : ¬lm x = 0

‖lm x‖ ≤ ‖fr‖ * ‖x‖


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b c : α
l₁ l₂ : List α

Chain R a (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain R c l₂


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: U : (Matrix m m 𝔸)ˣ

Context: A : Matrix m m 𝔸

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra

exp 𝕂 (↑U * A * ↑U⁻¹) = ↑U * exp 𝕂 A * ↑U⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R

nonPrincipals R = ∅ ↔ IsPrincipalIdealRing R


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y


Context:
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList


Context:
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0


Context:
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ l₂ : List α

(l₁ ++ l₂).Nodup ↔ l₁.Nodup ∧ l₂.Nodup ∧ l₁.Disjoint l₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : a ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ ∅, IsCompressed (u.erase x) (∅.erase y) 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u a✝ : Finset α

Context: r : ℕ

Context: a : α

Context: ha : a ∈ u


Context: m n✝ n : ℕ


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Ring R

Context: a₁ a₂ : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
r : α → α → Prop

(∃ t ∈ la, t ×ˢ t ⊆ {x | (fun x => r x.1 x.2) x}) ↔ ∃ t ∈ la, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, r x y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

map (Embedding.subtype p) (Icc a b) = Icc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Icc ↑a ↑b)) = Icc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Icc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : ↑a ≤ x ∧ x ≤ ↑b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

((κ ⊗ₖ η) a) s = ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s


((κ ⊗ₖ η) a) s = ∑' (n : ℕ) (n_1 : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq n_1) a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0


Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0) ↔ Tendsto u l (𝓝 c)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

F.map (leftHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapLeftHomologyIso F).inv = (S₁.mapLeftHomologyIso F).inv ≫ leftHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α


(∃ p, #↑p = c) ↔ ∃ s_1, #↑(Subtype.val '' s_1) = c


∀ (a : Set ↑s), #↑a = c ↔ #↑(Subtype.val '' a) = c


Context:
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
t : Set ↑s


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i : ι
a✝ x : α
l : Line (η → α) ι
a : η → α
ie : ι × η

↑l.toSubspace a ie = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) a ie.1 ie.2


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

map (f.coprod g) (p.prod q) = map f p ⊔ map g q


map (f.coprod g) (p.prod q) ≤ map f p ⊔ map g q


p ≤ comap f (map (f.coprod g) (p.prod q))


q ≤ comap g (map (f.coprod g) (p.prod q))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
f : Dual R N
x : N


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: f : Dual R N

Context: x : N

Context: h : p.toDualLeft (p.toDualLeft.symm f) = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
f : Dual R N
x : N
h : p (p.toDualLeft.symm f) = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
i : ℕ
m : M

(comp p) ((single R i) m) = p ^ i • (single R 0) m


(eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) ((single R i) m)) = p ^ i • (single R 0) m


p ^ i • (lsingle R 0) m = p ^ i • (single R 0) m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

(map (fun x => count x l) l.dedup).sum = l.length


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: A_subset : A ⊆ ball 0 ρ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: A_subset : A ⊆ ball 0 ρ

Context: I : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: A_subset : A ⊆ ball 0 ρ

Context: J : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: A_subset : A ⊆ ball 0 ρ

Context: K : ↑s.card ≤ 5 ^ finrank ℝ E


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1

Wbtw R ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) ((lineMap w z) t₁) z


(lineMap ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) z) ((t₁ - t₂ * t₁) / (1 - t₂ * t₁)) = (lineMap w z) t₁


((t₁ - t₂ * t₁ - (t₁ - t₂ * t₁) * (t₂ * t₁)) / (1 - t₂ * t₁) + t₂ * t₁) • (z -ᵥ w) = t₁ • (z -ᵥ w)


(((t₁ - t₂ * t₁) * 1 - (t₁ - t₂ * t₁) * (t₂ * t₁)) / (1 - t₂ * t₁) + t₂ * t₁) • (z -ᵥ w) = t₁ • (z -ᵥ w)


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ a
h : ¬c = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addLeftEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)


⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (c + a) (c + b)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p

Ideal.comap i (pNilradical L p) = pNilradical K p


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : x ∈ Ideal.comap i (pNilradical L p)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : x ∈ pNilradical K p


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
h : ∃ n, x ^ p ^ n = 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤


Context: m n k : ℕ


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Ring α
n₁ n₂ : ℤ
a₁ a₂ : α
inst✝¹ : Invertible a₁
inst✝ : Invertible a₂

↑n₁ * ⅟a₁ = ↑n₂ * ⅟a₂ ↔ ↑n₁ * a₂ = ↑n₂ * a₁


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E

‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖u / v‖


‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v / u‖


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: ι : Type u_4

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic K ↥(t i)

Context: x : L

Context: hx : x ∈ ⨆ i, t i


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: ι : Type u_4

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: x : L

Context: hx✝ : x ∈ ⨆ i, t i

Context: s : Finset ((i : ι) × ↥(t i))

Context: hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, K⟮↑i.snd⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: ι : Type u_4

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: x : L

Context: hx✝ : x ∈ ⨆ i, t i

Context: s : Finset ((i : ι) × ↥(t i))

Context: hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, K⟮↑i.snd⟯

Context: this : ∀ (i : (i : ι) × ↥(t i)), FiniteDimensional K ↥K⟮↑i.snd⟯


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n✝ : ℕ
a b c : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : Zero γ
c : α
f : β → γ
x : β

(x ∈ support fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • support f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ : Measure α
κ : Kernel α β
h : ¬SFinite μ


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactSpace (X × Y)


Continuous (Function.uncurry fun x y => x.curry y)


Continuous (Function.uncurry fun x y => (Function.uncurry (fun x y => x.curry y) x) y)


Continuous ((Function.uncurry fun x y => (Function.uncurry (fun x y => x.curry y) x) y) ∘ ⇑(Homeomorph.prodAssoc C(X × Y, Z) X Y).symm)


Context: n' : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n'

Context: inst✝¹ : Fintype n'

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : M

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m

Context: m : ℕ


Context: n' : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n'

Context: inst✝¹ : Fintype n'

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: h : A⁻¹ * A = 1

Context: h' : A * A⁻¹ = 1


Context: n' : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n'

Context: inst✝¹ : Fintype n'

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: h : A⁻¹ = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
x y : α
n : ℕ
f : α →+* β

f (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = ∑ i ∈ range n, f x ^ i * f y ^ (n - 1 - i)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < c.ord


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < c.ord


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hl : (monomial n) s ∈ lifts f
hzero : ¬s = 0

∃ q, map f q = (monomial n) s ∧ q.degree = ((monomial n) s).degree


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hl : (monomial n) s ∈ Set.range (map f)
hzero : ¬s = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hzero : ¬s = 0
q : R[X]
hq : map f q = (monomial n) s


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

map f ((monomial n) (q.coeff n)) = (monomial n) s ∧ ((monomial n) (q.coeff n)).degree = ((monomial n) s).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

((monomial n) (q.coeff n)).degree = ((monomial n) s).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

Context: hqzero : q.coeff n ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

Context: hqzero : q.coeff n ≠ 0

(C (q.coeff n) * X ^ n).degree = ((monomial n) s).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

Context: hqzero : q.coeff n ≠ 0

(C (q.coeff n) * X ^ n).degree = (C s * X ^ n).degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂

(fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₁ : f₁ =O[l] g₁

Context: h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₁ : f₁ =O[l] g₁

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₁ : f₁ =O[l] g₁

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : c' > 0

Context: hc' : IsBigOWith c' l f₁ g₁


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f✝ f : R[X]


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α


∀ (a : α), (completion 0 ⋯) (↑α a) = 0 (↑α a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N

Context: hp_top : ¬p = ⊤

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: hp1 : 1 ≤ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: hp1 : 1 ≤ p.toReal

Context: h_cau' : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p.toReal μ < B N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = ⋃₀ S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f

Context: fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f

Context: fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f

Context: fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S

Context: x : α

Context: t : Set α

Context: tT : t ∈ range f

Context: xt : x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f

Context: fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: tT : f n ∈ range f

Context: xt : x ∈ f n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
k l m n : α
u v : M
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

single k u + single l v = single m u + single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R


op (star (x / y)) = op (star x / star y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
hy : IsFixedPt f y


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
not_terminatedAt_n : ¬g.TerminatedAt n


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorizationLCMLeft b * a.factorizationLCMRight b = a.lcm b


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

((a.lcm b).factorization.prod fun a_1 b_1 => (if b.factorization a_1 ≤ a.factorization a_1 then a_1 ^ b_1 else 1) * if b.factorization a_1 ≤ a.factorization a_1 then 1 else a_1 ^ b_1) = (a.lcm b).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

(starRingEnd K) (↑(re z) + ↑(im z) * I) = ↑(re z) - ↑(im z) * I


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : b * a ∈ I ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p m : Associates α
hp : Prime p
hle : m ≤ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m : Associates α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
hle : m ≤ Associates.mk p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
m : α
hle : Associates.mk m ≤ Associates.mk p

Associates.mk m = 1 ∨ Associates.mk m = Associates.mk p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

LipschitzWith K f ↔ ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun a => ↑(f a) i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

LipschitzOnWith K f Set.univ ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) Set.univ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

(shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C (-n)).obj X)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) ≤ max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))


padicNorm p (↑(f + g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?v2 ?v3))) ≤ max (padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3)))) (padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg)))))


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
g : G


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: h' : s' ⊆ s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s'

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

∃ t ∈ 𝓝[s'] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context:
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ

i ∈ Ico 1 ((multiplicity m n).get ⋯ + 1) ↔ i ∈ filter (fun i => m ^ i ∣ n) (Ico 1 b)


1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n ↔ (1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n) ∧ i < b


Context:
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ
h : 1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n


Context:
n b : ℕ
hn : 0 < n
i m : ℕ
hm : m + 1 ≠ 1
hb : log (m + 1) n < b
h : 1 ≤ i ∧ (m + 1) ^ i ∣ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x y : α
hy : y ≠ x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : Nontrivial R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Module R M

Context: inst✝¹¹ : Module.Free R M

Context: inst✝¹⁰ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M₁

Context: inst✝⁷ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝² : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R M

Context: A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f

Context: b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M

Context: ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M

Context: A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f

Context: e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'

Context: φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e

Context: φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')

Context: φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')

Context: φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e

Context: P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'

Context: Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b

((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : Nontrivial R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Module R M

Context: inst✝¹¹ : Module.Free R M

Context: inst✝¹⁰ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M₁

Context: inst✝⁷ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝² : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R M

Context: A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f

Context: ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M

Context: hPQ : C.mapMatrix (φ₁ P) * C.mapMatrix (φ₃ Q) = 1


Context: c : Cardinal.{u}


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α

Context: h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α

Context: h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n

Context: μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0

Context: B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
hm : m ≤ monotonicSequenceLimitIndex a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
hm : monotonicSequenceLimitIndex a < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(simpleFunc E p μ)

‖f‖ = (eLpNorm (↑(toSimpleFunc f)) p μ).toReal


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0

∑ i ∈ range n, x ^ i = 0 ↔ x = -1 ∧ Even n


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n
hx : x = -1 ∨ x ≠ -1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t

Context: F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t

MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume

Context: h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))

Context: h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t

Context: h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume

Context: h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume

Context: h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

Context: v : ℝ

Context: hv0 : 0 < v

Context: hv1 : v < s.re - b

Context: hv2 : v < a - s.re

Context: h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume

Context: h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume

Context: main : Integrable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F n a) (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F' s a) s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: N : ℕ

Context: h_tendsto_1 : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: N : ℕ

Context: h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: N : ℕ

Context: h_add : f_lim = f_lim - f N + f N


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: N : ℕ

Context: h_add : f_lim = f_lim - f N + f N

eLpNorm (f_lim - f N) p μ + eLpNorm (f N) p μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: N : ℕ

Context: h_add : f_lim = f_lim - f N + f N

eLpNorm (f_lim - f N) p μ < ⊤ ∧ eLpNorm (f N) p μ < ⊤


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Trident f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: m M N n : ℕ

Context: f : Fin n → ℕ

Context: hi : ⟨n, f⟩ ∈ compPartialSumSource m M N

Context: j : Fin ⟨n, f⟩.fst


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs

Context: hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2

Context: h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2

Context: h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2

Context: h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2

Context: h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2

Context: h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2

Context: hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2

Context: h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2

Context: h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2

Context: hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs

Context: hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
f : G →* N
x : G

Subgroup.map f (Subgroup.zpowers x) = Subgroup.zpowers (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α

Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊔ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∪ toMultiset g)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B : ι → Submodule R M

Context: hB✝ hB : SubmodulesBasis B

Context: this : TopologicalSpace M := hB.topology

Context: U : Set M

Context: hU : U ∈ 𝓝 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B : ι → Submodule R M

Context: hB✝ hB : SubmodulesBasis B

Context: U : Set M

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: i : ι

Context: hi : ↑(B i) ⊆ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLinearOrder α
f : ι → α


Context:
S : Finset Λ'
k : Cont'
H : contSupp k ⊆ S


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u


Context:
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B

IsClosed ↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: w✝ : ℝ≥0

Context: left✝ : 0 < w✝

Context: antilipschitz : AntilipschitzWith w✝ ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p = b


Context:
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ


Context:
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)


Context:
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
a b : ZMod p
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

Measurable ((fun x => ∫⁻ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x) ∘ Prod.mk a)


Context:
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
h : m < n

foldl.loop n f x m = foldl.loop n f (f x ⟨m, h⟩) (m + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α

edist ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C


(h.add n 0).inv.app X = h.zero.hom.app ((h.F n).obj X) ≫ eqToHom ⋯


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
w : (kernelSubobject f).Factors h


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0


↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p
H : StrictMono fun x => ↑p ^ x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
p : X → Prop

(∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ t, p x


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
he : x₁ ≈ x₃
h₁ : P2 x₁ x₃ y₁
h₃ : P2 x₁ x₃ y₃
h3 : P3 x₁ x₂ y₂ y₃


⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₁ * y₃⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₃⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g.Monic

Context: hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: this : map (algebraMap K g.SplittingField) g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R g.SplittingField)) g.SplittingField)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g.Monic

Context: hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: a : g.SplittingField

Context: ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g.Monic

Context: hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: a : g.SplittingField

a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) (map (algebraMap R K) f)).roots


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g.Monic

Context: hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: a : g.SplittingField

map (algebraMap K g.SplittingField) g ∣ map (algebraMap K g.SplittingField) (map (algebraMap R K) f)


Context:
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f


Context:
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f
B : ℝ
hB : IsLUB (range f) B


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

AccPt x (𝓟 C) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝

((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).Exact


∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂


Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ✝ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ✝ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
δ : α → Type u_7
inst✝¹ : (i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ≤ g₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ≤ g₂ i


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

HasFDerivWithinAt f f' t y ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y


(∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ((proj i).comp ((↑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜)).comp f')) t y) ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝

((fun t => t.whisker h) X✝).unit ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = ((fun t => t.whisker h) Y✝).unit


(h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ Y✝.unit ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv


(h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ (X✝.unit ≫ η.right ▷ f) ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Nontrivial α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ℤ → M

Context: hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) m

Context: hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'

Context: hi₂ : Injective Int.negSucc

Context: this : IsCompl (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ

(bind₁ (xInTermsOfW p R)) (W_ R k) = X k


∑ x ∈ range (k + 1), (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (k - x)) = X k


∑ x ∈ range (k + 1), C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k


X k - ∑ i ∈ range k, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (k - i) + ∑ x ∈ range k, C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'

x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x


(∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x) → ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x


(∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x) → ∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R

(Function.Surjective fun v => v ᵥ* A) ↔ ∃ B, B * A = 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Finite n

Context: A : Matrix m n R

Context: val✝ : Fintype n

Context: h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A

Context: rows : n → m → R

Context: hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Finite n

Context: A : Matrix m n R

Context: val✝ : Fintype n

Context: h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A

Context: rows : n → m → R

Context: i j : n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Finite n

Context: A : Matrix m n R

Context: val✝ : Fintype n

Context: h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A

Context: rows : n → m → R

Context: i j : n

(of rows i ᵥ* A) j = (fun v => v ᵥ* A) (rows i) j


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup N
x : G × N

x ∈ ⊤.prod H ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd G N) H


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)