∀ ⦃a_1 : γ⦄ {s : Finset γ}, a_1 ∉ s → (↑(s.sup f) a = s.sup fun c => ↑(f c) a) → ↑((insert a_1 s).sup f) a = (insert a_1 s).sup fun c => ↑(f c) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : γ → α →ₛ β

Context: s✝ : Finset γ

Context: a✝¹ : α

Context: a : γ

Context: s : Finset γ

Context: a✝ : a ∉ s

Context: ih : ↑(s.sup f) a✝¹ = s.sup fun c => ↑(f c) a✝¹

↑((insert a s).sup f) a✝¹ = (insert a s).sup fun c => ↑(f c) a✝¹


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E

Measure.map id (ProbabilityTheory.cond μ s) = ProbabilityTheory.cond μ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
t : Set X
l : List ι

(∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, ContinuousOn (f i) t) → ContinuousOn (fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) (Quot.mk Setoid.r l)).prod) t


Context:
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
w : Set M
hw : w.Finite
s : span R w = ⊤
ι : Type w
b : Basis ι R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x✝ : Interval α

↑(⊥ ⊓ x✝) = ↑⊥ ∩ ↑x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: x✝ : Interval α

↑⊥ = ↑⊥ ∩ ↑x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: s : NonemptyInterval α

↑(↑s ⊓ ⊥) = ↑↑s ∩ ↑⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: s : NonemptyInterval α

↑⊥ = ↑↑s ∩ ↑⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: s t : NonemptyInterval α

↑(↑s ⊓ ↑t) = ↑↑s ∩ ↑↑t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: s t : NonemptyInterval α

↑(if h : s.toProd.1 ≤ t.toProd.2 ∧ t.toProd.1 ≤ s.toProd.2 then ↑{ toProd := (s.toProd.1 ⊔ t.toProd.1, s.toProd.2 ⊓ t.toProd.2), fst_le_snd := ⋯ } else ⊥) = Icc (s.toProd.1 ⊔ t.toProd.1) (s.toProd.2 ⊓ t.toProd.2)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0

1 < rootMultiplicity t p ↔ p.IsRoot t ∧ (derivative p).IsRoot t


(∀ m ≤ 1, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t) ↔ p.IsRoot t ∧ (derivative p).IsRoot t


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ


Context: α✝ α : Type u

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b c : α

Context: bc : swap (fun x x_1 => x * x_1) a b ≤ swap (fun x x_1 => x * x_1) a c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
t : Set α
f g : Filter ↑t
h : Injective (m ∘ Subtype.val)

map m (map Subtype.val f ⊓ map Subtype.val g) = map m (map Subtype.val f) ⊓ map m (map Subtype.val g)


Context: x y : ℂ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix m n R
i : m

(M.map ⇑f).toMvPolynomial i = (MvPolynomial.map f) (M.toMvPolynomial i)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : T ⟶ T'
f' : T' ⟶ T''
h : CostructuredArrow S T

(map (f ≫ f')).obj h = (map f').obj ((map f).obj h)


(map (f ≫ f')).obj (mk h.hom) = (map f').obj ((map f).obj (mk h.hom))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀


Context:
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : IsPGroup p G


Context:
G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : IsPGroup p G
val✝ : Fintype G


Context:
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_epi : Epi f


Context: x y : SimplexCategory

Context: f : x ⟶ y

Context: hyp_f_epi : Epi f

Context: f_surj : Function.Surjective (Hom.toOrderHom f).toFun


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M

(TensorAlgebra.ι R) m ∈ LinearMap.range (TensorAlgebra.ι R) ^ 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).tan * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : Perm (Subtype p)

Context: h : f.IsSwap

Context: x : α

Context: hx : p x

Context: y : α

Context: hy : p y

Context: hxy : ⟨x, hx⟩ ≠ ⟨y, hy⟩ ∧ f = swap ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Perm (Subtype p)
h : f.IsSwap
x : α
hx : p x
y : α
hy : p y
hxy : ¬x = y ∧ f = swap ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : Perm (Subtype p)

Context: h : f.IsSwap

Context: x : α

Context: hx : p x

Context: y : α

Context: hy : p y


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
V : Set Gᵐᵒᵖ
hV : V ∈ 𝓝 (op 1)
hV' : op '' K * V ⊆ op '' U


Context:
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) s x


HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) ((f x)⁻¹ * f') s x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α

μ.restrict (⋃ i, s i) = ν.restrict (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)

μ.restrict (⋃ i, s i) = ν.restrict (⋃ i, s i)


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: D : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun t => ⋃ i ∈ t, s i

(μ.restrict (⋃ i, s i)) t = (ν.restrict (⋃ i, s i)) t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i)) t = (ν.restrict (⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i)) t


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1

StrictConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩
hxy' : x' ≠ y'


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ici 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : ℝ≥0 := ⟨x, hx⟩
y' : ℝ≥0 := ⟨y, hy⟩
a' : ℝ≥0 := ⟨a, ⋯⟩
b' : ℝ≥0 := ⟨b, ⋯⟩
hxy' : x' ≠ y'
hab' : a' + b' = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Surjective ⇑f
S : Subalgebra R B


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')

l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
fst_eq✝ : a :: l₁' = l₁
snd_eq✝ : b :: l₂' = l₂


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: a b : α

Context: l l₁' l₂' : List α

Context: e : l.split = (l₁', l₂')

Context: h : (a :: b :: l).split = (a :: l₁', b :: l₂')

(a :: l₁').length < (a :: b :: l).length ∧ (b :: l₂').length < (a :: b :: l).length


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: a b : α

Context: l l₁' l₂' : List α

Context: e : l.split = (l₁', l₂')

Context: h₁ : l₁'.length ≤ l.length

Context: h₂ : l₂'.length ≤ l.length


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m

((toMatrix v₁ v₂) f *ᵥ ⇑(v₁.repr x)) i = (v₂.repr (f x)) i


(v₂.repr (f (v₁.equivFun.symm ⇑(v₁.repr x)))) i = (v₂.repr (f x)) i


Context: z : ℂ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Submartingale f ℱ μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hμs_ne_zero : μ s ≠ 0


Context:
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ

τ ↑f⁻¹ + τ ↑f = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hM : M.E = E

(M.restrictSubtype E)✶ = M✶.restrictSubtype E


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''

∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).darts


x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts


Context:
α : Sort u
β : Sort v


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

Context: left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat

Context: h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b

Context: h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b

Context: left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat

Context: left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat

Context: h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)

Context: right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)


Context: a b : ℕ+

Context: h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b

Context: h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ.addHaarScalarFactor volume • volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Tendsto (fun w => μ.addHaarScalarFactor volume • ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Tendsto (fun w => μ.addHaarScalarFactor volume • ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 (μ.addHaarScalarFactor volume • 0))


Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: this : (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v) = (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Tendsto ((fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

f a * ∏ x ∈ Ioc a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a
this : a = b


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ

init n (x * y) = init n (init n x * init n y)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₁
l : List Γ

Part.map (fun c => c.Tape.right₀) (trCfg M <$> eval (TM1.step M) { l := some default, var := default, Tape := Tape.mk₁ l }) = TM1.eval M l


Part.map ((fun c => c.Tape.right₀) ∘ trCfg M) (eval (TM1.step M) { l := some default, var := default, Tape := Tape.mk₁ l }) = Part.map (fun c => c.Tape.right₀) (eval (TM1.step M) (TM1.init l))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

Inducing f ↔ (∀ (i : ι), Inducing (f ∘ Sigma.mk i)) ∧ ∀ (i : ι), ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

Context: h : Inducing f

Context: i : ι

∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

((∀ (i : ι), Inducing (f ∘ Sigma.mk i)) ∧ ∀ (i : ι), ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i) → Inducing f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree ≤ 0
n : ℕ

p.coeff (n + 1) = (C (p.coeff 0)).coeff (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.1 ∈ dom ∧ p i.1 i.2) ∧ s i.1 i.2 ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

(∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, ((a, b).1 ∈ dom ∧ p (a, b).1 (a, b).2) ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

Context: i : ι

i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

Context: i : ι

(∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : p.coeff i = 0


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1

↑u⁻¹ = 1 * ↑u⁻¹


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c

Context: fs_lim : Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ E))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: fs_lim' : ∀ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))


Context:
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)


Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))


Context:
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
h : a ^ 2 / 2 = a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)


Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α

Context: a b : α


Context:
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : p ∣ n.natAbs ^ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ

Prod.instMeasurableSpace ≤ borel (α × β)


MeasurableSpace.comap Prod.fst (borel α) ≤ borel (α × β)


MeasurableSpace.comap Prod.snd (borel β) ≤ borel (α × β)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

IsNormalClosure F K ↥(normalClosure F K L)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

(∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥(normalClosure F K L)) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

(⨆ f, f.fieldRange).val.toRingHom x ∈ ⇑(⨆ f, f.fieldRange).val.toRingHom '' ↑(⨆ f, f.fieldRange)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

↑x ∈ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (⨆ f, f.fieldRange)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

↑x ∈ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: f : K →ₐ[F] L

f.fieldRange ≤ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: f : K →ₐ[F] L

f.fieldRange ≤ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (f.codRestrict (⨆ f, f.fieldRange).toSubalgebra ⋯).fieldRange


Context: U : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Quiver U

Context: inst✝³ : Quiver V

Context: inst✝² : Quiver W

Context: V' : Type u_4

Context: inst✝¹ : Quiver V'

Context: inst✝ : HasReverse V'

Context: Φ : Symmetrify V ⥤q V'

Context: hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)


Context: U : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Quiver U

Context: inst✝³ : Quiver V

Context: inst✝² : Quiver W

Context: V' : Type u_4

Context: inst✝¹ : Quiver V'

Context: inst✝ : HasReverse V'

Context: Φ : Symmetrify V ⥤q V'

∀ (X : Symmetrify V), Φ.obj X = (lift (of ⋙q Φ)).obj X


Context: U : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Quiver U

Context: inst✝³ : Quiver V

Context: inst✝² : Quiver W

Context: V' : Type u_4

Context: inst✝¹ : Quiver V'

Context: inst✝ : HasReverse V'

Context: Φ : Symmetrify V ⥤q V'

∀ (X Y : Symmetrify V) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ((lift (of ⋙q Φ)).map f))


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V'
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'

((map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).oangle x y = o.oangle (f.symm x) (f.symm y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range

∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
val✝ : Fintype I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Finite I

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: e : I → S

Context: he : OrthogonalIdempotents e

Context: he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range

Context: val✝ : Fintype I

Context: e' : Fin (Fintype.card I) → R

Context: h₁ : OrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e ∘ ⇑(Fintype.equivFin I).symm.toEmbedding


Context:
a x✝ y : ℂ
x : ℝ

angle (cexp (↑x * I)) 1 = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) x|


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
hp : p ≠ 0


Context:
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n

⇑(natLERec f' m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a


Context:
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k

⇑(natLERec f' m (m + k) h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
ha : p / q ∈ closure S
r : F
hr : r ∈ Ring.closure S
s : F
hs : s ∈ Ring.closure S
hb : r / s ∈ closure S
hq0 : ¬q = 0
hs0 : ¬s = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S


Context:
a b k m n p : ℕ
hk : k ≠ 0
hp : Prime p


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E

x✝ ∈ (fun x => a • x) ⁻¹' p.ball y r ↔ x✝ ∈ p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)


Context:
μ : YoungDiagram
i : ℕ
h : i < μ.rowLens.length


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter γ
m : α → β
n : β → γ
inj₀ : Injective n
large₀ : range n ∈ f
inj₁ : Injective m
large₁ : range m ∈ f.comap inj₀ large₀
inj₂ : optParam (Injective (n ∘ m)) ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: s : Cycle α

Context: hn : s.Nodup

Context: hs : (↑⟨s, hn⟩).formPerm ⋯ = f

Context: hs' : ∀ (y : { s // s.Nodup }), (fun s => (↑s).formPerm ⋯ = f) y → y = ⟨s, hn⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: b✝ : ClassGroup R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: b✝ : ClassGroup R

mk0 ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩ = Quot.mk Setoid.r I


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
inst✝ : g.NeBot


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
a b : R
h : a * (x * y) + b * z = 1


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ

(hom f g ≫ inv f g).f n = (𝟙 (mappingCone g)).f n


Context:
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ


Context:
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ

(if a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g

IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x + f₂ x) g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → E'

Context: g₁ g₂ : α → F'

Context: h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖

Context: h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖

∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ (c₁ + c₂) * ‖g x‖


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
hμU : μ U ≠ ⊤
x : α
g : G
hg : g • x ∈ U


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: g : α → M

Context: h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite

f (∏ᶠ (x : α), g x) = ∏ᶠ (x : α), f (g x)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: g : α → M

mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ ↑h.toFinset


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: g : α → M

mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ mulSupport (g ∘ PLift.down)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

zeroLocus {f} ⊆ zeroLocus {g} ↔ g ∈ (Ideal.span {f}).radical


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b

Context: hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

∀ (s : Multiset α), s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

0 ≠ ∅ → (∀ a ∈ 0, p a) → f (prod 0) ≤ (map f 0).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

∀ (a : α) (s : Multiset α), (s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → a ::ₘ s ≠ ∅ → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x

Context: hp_sup : p s.prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x

Context: hp_sup : p s.prod

Context: hp_a : p a


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α


Context:
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ


Context:
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaEven₀ a (1 - s) = completedCosZeta₀ a s


Context:
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 = 0

∃ u v, (fun x => g • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x


Context:
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0

∃ u v, (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x


(fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x


Context:
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im

↑(⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)


↑a * z * ↑a + ↑b * ↑a = ↑b * ↑a + ↑a * ↑a * z


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
b a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R


Context:
q✝ q : ℚ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : a ∈ (b :: l).head?


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : b = a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
h : x ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂


Context:
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x


Context:
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
hx : x ≠ 0


Context:
z x y p : ℝ
h : 0 ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * 0 ^ (p - 1)) 0


Context:
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p


Context:
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p

ContinuousAt (fun x => p * x ^ (p - 1)) 0


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: f g : PiLp p β


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f g : PiLp 0 β


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f g : PiLp ⊤ β


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f g : PiLp p β

Context: h : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: p q : Submodule ℝ E

Context: hpq : IsCompl p q

Context: hpc : {0}ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∀ y ∈ {0}ᶜ, JoinedIn {0}ᶜ x y

(↑q)ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ (↑q)ᶜ, ∀ y ∈ (↑q)ᶜ, JoinedIn (↑q)ᶜ x y


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian


∀ (a : Sym2 V), List.count a p.edges ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → E → F

Context: A' : ι → E →L[𝕜] F

Context: h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAtFilter (A i) (A' i) x L

HasFDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → E → F

Context: A' : ι → E →L[𝕜] F

Context: h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x

(fun x' => ∑ i ∈ u, A i x' - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → E → F

Context: A' : ι → E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

∑ i ∈ u, A i x✝ - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝ - x) = ∑ i ∈ u, (A i x✝ - A i x - (A' i) (x✝ - x))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ evenOdd Q 1


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β

map Prod.swap ((a :: l₁).zip (b :: l₂)) = (b :: l₂).zip (a :: l₁)


Context:
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ (toMeasurable μ s)ᶜ
hxs : x ∈ s


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k ≤ N


Context:
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q)

(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) x = (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : {a, b}.prod = {c, d}.prod


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G

N.ρ g = ((forget V G).mapIso f).conj (M.ρ g)


((forget V G).mapIso f).hom ≫ N.ρ g = M.ρ g ≫ ((forget V G).mapIso f).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

Integrable (fun t => f (g / t)) μ ↔ Integrable f μ


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
x✝ : G


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
b : ℝ
hb : b + τ f ≤ f b


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set ι
hs : s.Countable
t : ι → Set X
this : Encodable ↑s

dimH (⋃ i ∈ s, t i) = ⨆ i ∈ s, dimH (t i)


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α

M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : NoAtoms μ
a : α


Context: x y : ℂ


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c d a b : α


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: r✝ : ℝ

Context: hr : 0 < r✝

Context: hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 (-0))


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: r✝ : ℝ

Context: hr : 0 < r✝

Context: hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 0)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝ : M × ↥S
m : M
s : ↥S


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S

Context: m1 : M

Context: s1 : ↥S

Context: m2 : M

Context: s2 : ↥S

Context: x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)

Context: m3 : M

Context: s3 : ↥S

Context: x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)

Context: u1 : ↥S

Context: hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1

Context: u2 : ↥S

Context: hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S

Context: m1 : M

Context: s1 : ↥S

Context: m2 : M

Context: s2 : ↥S

Context: x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)

Context: m3 : M

Context: s3 : ↥S

Context: x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)

Context: u1 : ↥S

Context: u2 : ↥S


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S

Context: m1 : M

Context: s1 : ↥S

Context: m2 : M

Context: s2 : ↥S

Context: x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)

Context: m3 : M

Context: s3 : ↥S

Context: x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)

Context: u1 : ↥S

Context: u2 : ↥S

Context: hu1' : (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1) = (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1)

Context: hu2' : (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1) = (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S

Context: m1 : M

Context: s1 : ↥S

Context: m2 : M

Context: s2 : ↥S

Context: x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)

Context: m3 : M

Context: s3 : ↥S

Context: x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)

Context: u1 : ↥S

Context: u2 : ↥S

Context: hu1' : (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2 = (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1

Context: hu2' : (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3 = (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2


Context:
n : ℕ
hn : n % 4 = 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f

(affineCombination k s.attach f) (w ∘ f) = (affineCombination k (image f univ) id) w


∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: inst✝ : DecidableEq P

Context: s : Finset P

Context: w : P → k

Context: f : { x // x ∈ s } → P

Context: hf : Function.Injective f

Context: g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: inst✝ : DecidableEq P

Context: s : Finset P

Context: w : P → k

Context: f : { x // x ∈ s } → P

Context: hf : Function.Injective f

Context: g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: inst✝ : DecidableEq P

Context: s : Finset P

Context: w : P → k

Context: f : { x // x ∈ s } → P

Context: hf : Function.Injective f

Context: hgf : g₁ = g₂ ∘ f


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: inst✝ : DecidableEq P

Context: s : Finset P

Context: w : P → k

Context: f : { x // x ∈ s } → P

Context: hf : Function.Injective f

Context: hgf : g₁ = g₂ ∘ f

univ.sum (g₂ ∘ f) = ∑ x : { x // x ∈ s }, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: inst✝ : DecidableEq P

Context: s : Finset P

Context: w : P → k

Context: f : { x // x ∈ s } → P

Context: hf : Function.Injective f

Context: hgf : g₁ = g₂ ∘ f

∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest

Context: x✝ y✝ : Cofix F α

Context: a✝ : r x✝ y✝

LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x✝.dest y✝.dest


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x✝ y✝ : Cofix F α

Context: a✝ : r x✝ y✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: c : C

Context: hc : c ∈ S.objs

Context: d : C

Context: hd : d ∈ S.objs

Context: f : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩

Context: hf : f ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩

Context: g : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩

Context: hg : g ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩

Context: hfg : (fun f => S.hom.map f) ⟨f, hf⟩ = (fun f => S.hom.map f) ⟨g, hg⟩


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Ring B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: x : B

Context: inst✝ : Nontrivial B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Ring B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: x : B

Context: inst✝ : Nontrivial B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: eq_one : minpoly A x = 1


Context:
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame

¬Quot.mk Setoid.r x ≤ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ⧏ Quot.mk Setoid.r x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
x : α


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

QuasiIso φ ↔ IsIso (rightHomologyMap' φ h₁ h₂)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : Y ≅ X
g g' : Y ⟶ Z


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]

∃ b, ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i


∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ

(algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i


(algebraMap R S) (if hi : i ∈ p.support then Classical.choose ⋯ else 0) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

∀ j ≥ 1, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ 1

padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ 1

Context: this : Fact (1 < p ^ j)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: a₂ : P.mp.A

Context: f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α

Context: r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩

⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: a₂ : P.mp.A

Context: f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α

Context: r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩

Context: this : a₁ = a₂

⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ f₂ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₁, f₂⟩

Context: i : Fin2 n

Context: p : P.mp.B a₁ i


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: a₁ : P.mp.A

Context: i✝ : Fin2 n

Context: x : P.last.M

Context: a : P.A

Context: f : P.last.B a → P.last.M

Context: h' : x.dest = ⟨a, f⟩

Context: i : Fin2 n

Context: c : P.drop.B a i

Context: f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α

Context: r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩

Context: e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩

Context: e₁ : dest P ⟨x, f₁⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩⟩

Context: e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩

Context: e₃ : pathDestLeft P e₁' f₁ = pathDestLeft P e₂' f₂

Context: e₂ : dest P ⟨x, f₂⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩⟩

Context: h'' : ∀ (i : (P.B a).last), R ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩) i) ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩) i)

f₁ i (Path.root x a f h' i c) = f₂ i (Path.root x a f h' i c)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: a₁ : P.mp.A

Context: i✝ : Fin2 n

Context: x : P.last.M

Context: a : P.A

Context: f : P.last.B a → P.last.M

Context: h' : x.dest = ⟨a, f⟩

Context: i : P.last.B a

Context: c : Fin2 n

Context: p : Path P (f i) c

Context: IH : ∀ (f₁ f₂ : P.mp.B (f i) ⟹ α), R ⟨f i, f₁⟩ ⟨f i, f₂⟩ → f₁ c p = f₂ c p

Context: f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α

Context: r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩

Context: e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩

Context: e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩

f₁ c (Path.child x a f h' i c p) = f₂ c (Path.child x a f h' i c p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι✝

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: ι : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι✝

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: ι : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
y : α
hy : y ∈ s \ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
y : α
hy : y ∈ s ∧ y ∉ t


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : 0 < finrank R M


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : ¬Finite R M


Context:
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CommRing α

Context: x y : α

Context: n : ℕ

Context: h : Odd n

Context: h₁ : (∑ i ∈ range n, x ^ i * (-y) ^ (n - 1 - i)) * (x - -y) = x ^ n - (-y) ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CommRing α

Context: x y : α

Context: n : ℕ

Context: h : Odd n

Context: h₁ : (∑ i ∈ range n, x ^ i * (-y) ^ (n - 1 - i)) * (x + y) = x ^ n + y ^ n


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
g' : G


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a

Context: uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g

Context: p : α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: hpi : Irreducible p

Context: a b : α

Context: x✝ : p ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a * b = p * x

Context: hab0 : ¬a * b = 0

Context: hx0 : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hpi : Irreducible p

Context: a b : α

Context: x✝ : p ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a * b = p * x

Context: hab0 : ¬a * b = 0

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: ha0 : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hpi : Irreducible p

Context: a b : α

Context: x✝ : p ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a * b = p * x

Context: hab0 : ¬a * b = 0

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hpi : Irreducible p

Context: a b : α

Context: x✝ : p ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a * b = p * x

Context: hab0 : ¬a * b = 0

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: fx : Multiset α

Context: hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ fx.prod ~ᵤ x

Context: fa : Multiset α

Context: hfa : (∀ b ∈ fa, Irreducible b) ∧ fa.prod ~ᵤ a

Context: fb : Multiset α

Context: hfb : (∀ b ∈ fb, Irreducible b) ∧ fb.prod ~ᵤ b

Context: h : Multiset.Rel Associated (p ::ₘ fx) (fa + fb)


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1
this : Fact (1 < n)


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l.prod ≠ 1


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V


cos (angle x y) = cos (π / 2) ↔ angle x y = π / 2


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)


¬(SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

∑ᶠ (m : M), (weightedHomogeneousComponent w m) φ = φ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α

s.sup f ⊓ t.sup g = (s ×ˢ t).sup fun i => f i.1 ⊓ g i.2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0

count K v ↑J = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)


↑J = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑J


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b x : α
l : List α
h : Chain' R (x :: l)
y : α
hy : y ∈ l.head?


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b x : α
l : List α
y : α
h : Chain' R (x :: y :: l.tail)
hy : y ∈ l.head?


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


(∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C) → ∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioc a₁ a₂)


Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioc a₁ a₂))


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex ℝ P n

Context: h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A

Function.Bijective ⇑(gelfandTransform ℂ A)


Function.Surjective ⇑(gelfandTransform ℂ A)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: rng : StarSubalgebra ℂ C(↑(characterSpace ℂ A), ℂ) := { toSubalgebra := (gelfandTransform ℂ A).range, star_mem' := ⋯ }


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: h : rng.topologicalClosure = rng


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: h : rng.topologicalClosure = rng

Context: x✝¹ x✝ : ↑(characterSpace ℂ A)

x✝¹ ≠ x✝ → ∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑rng.toSubalgebra, f x✝¹ ≠ f x✝


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: h : rng.topologicalClosure = rng

Context: x✝¹ x✝ : ↑(characterSpace ℂ A)

(∀ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑rng.toSubalgebra, f x✝¹ = f x✝) → x✝¹ = x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α
this : (a : Prop) → Decidable a

(a ∉ s → ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ ∀ z ∈ F.F.f b, z ∉ s) ↔ (∀ (b : F.σ), a ∈ F.F.f b → ∃ z, z ∈ F.F.f b ∩ s) → a ∈ s


(¬∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ ∀ z ∈ F.F.f b, z ∉ s) → a ∈ s ↔ (∀ (b : F.σ), a ∈ F.F.f b → ∃ z, z ∈ F.F.f b ∩ s) → a ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis' I X
hIJ : I ⊆ J
hJ : M.Indep J


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : FunLike F G H

Context: a : G

Context: b : H

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : Archimedean G

Context: inst✝² : AddGroup H

Context: inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b

Context: f : F

Context: R : H → H → Prop

Context: inst✝ : IsTrans H R

Context: hR : CovariantClass H H (fun x y => y + x) R

Context: ha : 0 < a

Context: l : G

Context: hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)

Context: x y : G

Context: hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : FunLike F G H

Context: a : G

Context: b : H

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : Archimedean G

Context: inst✝² : AddGroup H

Context: inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b

Context: f : F

Context: R : H → H → Prop

Context: inst✝ : IsTrans H R

Context: ha : 0 < a

Context: l : G

Context: x y : G

Context: hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y

Context: hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
X : MonoOver (⊤_ C)
Z : C
f g : Z ⟶ X.obj.left


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n ≠ 0

minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n


Context:
σ : Type u
R : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
inst✝ : DecidableEq σ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ

p ∈ restrictDegree σ R n ↔ ∀ (i : σ), Multiset.count i p.degrees ≤ n


(∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n) ↔ ∀ (i : σ), ∀ b ∈ p.support, b i ≤ n


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
n : M₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


∀ (m : R) (x : ↥(snd R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hx : (x, y) ∈ snd R M M₂

(fun n => ⟨(0, n), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hx⟩) = ⟨(x, y), hx⟩


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hx✝ : (x, y) ∈ snd R M M₂
hx : x = 0

(fun n => ⟨(0, n), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hx✝⟩) = ⟨(x, y), hx✝⟩


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂

(x, y) ∈ map (inr R M M₂) q ↔ (x, y) ∈ ⊥.prod q


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0

p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: Z B : C

Context: π : Z ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasPullback π π

Context: inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G

Context: a : C(↑(G.obj Z), X)

Context: ha : ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.fst π π)) = ⇑a ∘ ⇑(G.map (pullback.snd π π))

Context: x y : ↑(G.obj Z)

Context: hxy : (G.map π) x = (G.map π) y

Context: xy : ↑(G.obj (pullback π π)) := (PreservesPullback.iso G π π).inv ((TopCat.pullbackIsoProdSubtype (G.map π) (G.map π)).inv ⟨(x, y), hxy⟩)

Context: ha' : a ((G.map (pullback.fst π π)) xy) = a ((G.map (pullback.snd π π)) xy)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: Z B : C

Context: π : Z ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasPullback π π

Context: inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G

Context: a : C(↑(G.obj Z), X)

Context: x y : ↑(G.obj Z)

Context: hxy : (G.map π) x = (G.map π) y

Context: h₁ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.fst π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.fst (G.map π) (G.map π)) y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: Z B : C

Context: π : Z ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasPullback π π

Context: inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G

Context: a : C(↑(G.obj Z), X)

Context: x y : ↑(G.obj Z)

Context: hxy : (G.map π) x = (G.map π) y

Context: h₂ : ∀ (y : ↑(pullback (G.map π) (G.map π))), (G.map (pullback.snd π π)) ((PreservesPullback.iso G π π).inv y) = (pullback.snd (G.map π) (G.map π)) y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: Z B : C

Context: π : Z ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasPullback π π

Context: inst✝ : PreservesLimit (cospan π π) G

Context: a : C(↑(G.obj Z), X)

Context: x y : ↑(G.obj Z)

Context: hxy : (G.map π) x = (G.map π) y

Context: ha' : a (↑⟨(x, y), hxy⟩).1 = a (↑⟨(x, y), hxy⟩).2


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α

recF g x = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' x))


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ

(fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) =ᶠ[ae (ν a)] fun b => f (a, b) q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a✝ : α
q : ℚ
a : β
ha : IsRatStieltjesPoint f (a✝, a)

↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a✝, a)) ↑q = f (a✝, a) q


Context: n : ℕ

n.smoothNumbers = factoredNumbers n.primesBelow


Context: n : ℕ

factoredNumbers (Finset.range n) = factoredNumbers n.primesBelow


Context: n m : ℕ

Context: hm : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)


Context: n m : ℕ

Context: hm : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ Finset.range n

∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ n.primesBelow


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
x : A

x ∈ Submodule.span R ↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) ↔ x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
c : C

adj₁.unit.app c ≫ α.app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c)


adj₁.unit.app c ≫ ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c)


Context: n : ℕ


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

nndist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * Real.nnabs z.im


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: s : Multiset α

Context: p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

Context: p_one : p 1

Context: p_s : ∀ a ∈ s, p a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: s : Multiset α

Context: p_one : p 1

Context: p_s : ∀ a ∈ s, p a


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
J : Type
inst✝³ : Fintype J
f✝ : J → C
inst✝² : HasBiproduct f✝
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
P : C
x : (j : J) → P ⟶ f j
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
j✝ : K

(lift x ≫ matrix m) ≫ π g j✝ = (lift fun k => ∑ j : J, x j ≫ m j k) ≫ π g j✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P

Context: n : ℕ

Context: hf0 : ¬f = 0

(map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: n : ℕ

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: h : ↑n < f.degree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: n : ℕ

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: h : ↑n = f.degree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: n : ℕ

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: h : f.degree < ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
l₁ : List α
l₂ : List β
d₁ : Nodup ⟦l₁⟧
d₂ : Nodup ⟦l₂⟧


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι✝

Context: inst✝¹ : Fintype ι✝

Context: e✝ : Basis ι✝ R M

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Finite ι

Context: e : Basis ι R M

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: h : f ⇑e = 0

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: P : Subgroup G

Context: hP : IsPGroup p ↥P

Context: c : Set (Subgroup G)

Context: hc1 : c ⊆ {Q | IsPGroup p ↥Q}

Context: hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: Q : Subgroup G

Context: hQ : Q ∈ c

Context: x✝ : ↥{ carrier := ⋃ R, ↑↑R, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }

Context: g : G

Context: S : ↑c

Context: hg : g ∈ (fun R => ↑↑R) S


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: P : Subgroup G

Context: hP : IsPGroup p ↥P

Context: c : Set (Subgroup G)

Context: hc1 : c ⊆ {Q | IsPGroup p ↥Q}

Context: hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: Q : Subgroup G

Context: hQ : Q ∈ c

Context: g : G

Context: S : ↑c

Context: hg : g ∈ (fun R => ↑↑R) S

Context: k : ℕ

Context: hk : ⟨g, hg⟩ ^ p ^ k = 1


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : x ∈ ⨅ i, f i


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : ∀ (i : κ), x ∈ f i

∀ (i_1 : κ), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ f i_1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : P ⊗[R] Q


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s


Context: x y : ℂ

cexp x = cexp y ↔ ∃ n, x = y + ↑n * (2 * ↑π * I)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X : C
inst✝ : Simple X


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q

eLpNorm' f q μ ≤ eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: q : ℝ

Context: hq_pos : 0 < q

Context: h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: q : ℝ

Context: hq_pos : 0 < q

(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ 1 * μ Set.univ ^ (1 / q)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: q : ℝ

Context: hq_pos : 0 < q

(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ (q * q⁻¹) * μ Set.univ ^ (1 / q)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: q : ℝ

Context: hq_pos : 0 < q

(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ q⁻¹ ≤ (eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ) ^ q⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: q : ℝ

Context: hq_pos : 0 < q

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

σ 𝕜 (↑(cfcHom ⋯) (((↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))).comp ContinuousMapZero.toContinuousMapHom) f)) = Set.range ⇑f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

σ 𝕜 ((cfcHom ⋯) ((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f))) = Set.range ⇑f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

Set.range ⇑((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f)) = Set.range ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

Context: I' J' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'

Context: hJ : ↑J = ↑J'

mk I = mk J ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I' J' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'

Context: hJ : ↑J = ↑J'

(∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J) ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M