Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


(fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ

degreeOf j (((finSuccEquiv R n) p).coeff i) ≤ degreeOf j.succ p


∀ b ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support, b j ≤ p.support.sup fun m => m j.succ


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: j : Fin n

Context: i : ℕ

Context: m : Fin n →₀ ℕ

Context: hm : m ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: j : Fin n

Context: i : ℕ

Context: m : Fin n →₀ ℕ

(cons i m) j.succ ≤ p.support.sup fun m => m j.succ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
this : Epi (f ≫ e.hom.right)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α
x✝¹ : α
x✝ : Multiset α
h : x✝.ndunion t ≤ u ↔ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u

(x✝¹ ::ₘ x✝).ndunion t ≤ u ↔ x✝¹ ::ₘ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u


Context: n : ℕ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : BooleanAlgebra α
inst✝² : BooleanAlgebra β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a, f a = b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m✝ m : Multiset α

Context: this : map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m✝ m : Multiset α

Context: this : map Prod.fst (Finset.map m.coeEmbedding Finset.univ).val = m


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))

Context: h'x : t.indicator 1 x = 1

Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)

Context: h'x : t.indicator 1 x = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: x : α

Context: h'x : t.indicator 1 x = 1

(fun a => μ (t ∩ a) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => μ (s ∩ a) / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable μ s

Context: x : α

Context: h'x : t.indicator 1 x = 1

Context: a✝ : Set α

Context: ha : MeasurableSet a✝


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeriesHasSum (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s (expZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s n = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s 0 = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑0 ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p (x + ↑r)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: this : Multiset.card (map (algebraMap F f.SplittingField) f).roots ≤ (map (algebraMap F f.SplittingField) f).natDegree


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: this : Multiset.card (f.aroots f.SplittingField) ≤ f.natDegree


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic

∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Subsingleton R


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hp : p.Monic

Context: hR : Nontrivial R

Context: H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hp : p.Monic

Context: hR : Nontrivial R

Context: h0 : ¬erase p.natDegree p = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hp : p.Monic

Context: hR : Nontrivial R

Context: h0 : ¬erase p.natDegree p = 0

Context: q : R[X]

Context: hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hp : p.Monic

Context: hR : Nontrivial R

Context: h0 : ¬erase p.natDegree p = 0

Context: q : R[X]

Context: p_neq_0 : p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hp : p.Monic

Context: hR : Nontrivial R

Context: h0 : ¬erase p.natDegree p = 0

Context: q : R[X]

Context: p_neq_0 : p ≠ 0

Context: hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
i' : m
j' : n

stdBasisMatrix i j 1 i' j' = vecMulVec (fun i' => if i = i' then 1 else 0) (fun j' => if j = j' then 1 else 0) i' j'


(if i = i' ∧ j = j' then 1 else 0) = if j = j' then if i = i' then 1 else 0 else 0


(if j = j' ∧ i = i' then 1 else 0) = if j = j' then if i = i' then 1 else 0 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: f : ι → κ

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ Set.range f

Context: s : Finset κ

Context: hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)

Context: g : κ → β

∏ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∏ x ∈ filter (fun x => x ∈ Set.range f) s, g x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{max (u + 1) v}
h : o < Ordinal.univ.{u, v}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{max (u + 1) v}

Context: h : o < Ordinal.univ.{u, v}

Context: this : ∃ a, lift.principalSeg.toRelEmbedding a = o


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o✝ : Ordinal.{max (u + 1) v}

Context: h : o✝ < Ordinal.univ.{u, v}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h' : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = o✝


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o✝ : Ordinal.{max (u + 1) v}

Context: h : o✝ < Ordinal.univ.{u, v}

Context: o : Ordinal.{u}

lift.{max (u + 1) v, u} o.card < univ.{u, v}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
x : Finset α × Finset α
hx : x = (s, t)

min (minOrder α) ↑(s.card + t.card - 1) ≤ ↑(s * t).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
x : Finset α × Finset α
hx : x.1 = s ∧ x.2 = t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y x : Finset α × Finset α
hs : x.1.Nonempty
ht : x.2.Nonempty

min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card


∀ y ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, (∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z y → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : (s, t).1.Nonempty

Context: ht : (s, t).2.Nonempty

Context: ih : ∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z (s, t) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z

min (minOrder α) ↑((s, t).1.card + (s, t).2.card - 1) ≤ ↑((s, t).1 * (s, t).2).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1

minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hts : t.card < s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: a : α

Context: hs : {a}.Nonempty

Context: ih : ∀ (a_1 b : Finset α), a_1.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a_1, b) ({a}, t) → minOrder α ≤ ↑(a_1 * b).card ∨ a_1.card + b.card ≤ (a_1 * b).card + 1

Context: hst : {a}.card ≤ t.card

minOrder α ≤ ↑({a} * t).card ∨ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : op g • s = s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : op g • s ≠ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: hgt : Disjoint t (g⁻¹ • t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty

Context: hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card ≤ (mulETransformLeft g (s, t)).1.card + (mulETransformLeft g (s, t)).2.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty

Context: hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card < (mulETransformRight g (s, t)).1.card + (mulETransformRight g (s, t)).2.card


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)

∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w✝ : K

Context: h_mem : w✝ ∈ ↑1

Context: h_nz : w✝ ≠ 0

Context: h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w w✝ < ↑(f w)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q


Context:
w x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w a✝ : V

a✝ ∈ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) ↔ a✝ ∈ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})


a✝ ∉ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) ↔ a✝ ∉ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

Context: hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: x₀ : G


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2 = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → α
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S
fb' : ‖f‖ ≤ ↑1


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤

⨆ i, ↑‖g i‖₊ < ⊤


UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ g)


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
x✝ : Fin 1
x : E

BddAbove (range fun i => (normSeminorm 𝕜₂ F) ((g i) x))


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
eq : #α = #β


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]

(D R R[X]) P = derivative P • (D R R[X]) X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Ici a) → β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ f g : ι →₀ α

Context: h : f ≤ g

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ f.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g✝ f g : ι →₀ α

Context: h : f ≤ g

Context: a : ι

Context: ha : 0 < f a


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a✝ b✝ c d a b : α


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.X₃.X i

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0

Context: x₂ : A ⟶ S.X₂.X i

Context: hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃

Context: x₁ : A ⟶ S.X₁.X j

Context: hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.X₃.X i

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0

Context: x₂ : A ⟶ S.X₂.X i

Context: hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃

Context: x₁ : A ⟶ S.X₁.X j

Context: hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

Context: this : Mono S.f


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.X₃.X i

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0

Context: x₂ : A ⟶ S.X₂.X i

Context: hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃

Context: x₁ : A ⟶ S.X₁.X j

Context: hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

S.X₃.liftCycles x₃ j ⋯ hx₃ ≫ S.X₃.homologyπ i ≫ hS.δ i j hij = S.X₁.liftCycles x₁ k hk ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α

a \ limsup u f = liminf (fun b => a \ u b) f


(a \ limsup u f)ᶜ = (liminf (fun b => a \ u b) f)ᶜ


Context: c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X

M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: I B X : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hBX : M.Basis (B ∩ X) X

Context: e : α

Context: he : e ∈ (M.E \ X) \ (M.E \ B ∩ (M.E \ X))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B


∀ (B_1 : Set α), M.Base B_1 → (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B_1).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: I B X : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hBX : M.Basis (B ∩ X) X

Context: e : α

Context: he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hem : ¬(insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B').Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
hi : M.Indep (insert f (B ∩ X))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ

((hasseDeriv k ∘ₗ hasseDeriv l) ∘ₗ monomial i) 1 = (((k + l).choose k • hasseDeriv (k + l)) ∘ₗ monomial i) 1


(monomial (i - (k + l))) (↑((i - l).choose k) * ↑(i.choose l)) = (monomial (i - (k + l))) ((k + l).choose k • ↑(i.choose (k + l)))


(monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) (↑((k + l).choose k) * ↑(i.choose (k + l)))


(monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i

(i - l).choose k * i.choose l = (k + l).choose k * i.choose (k + l)


↑((i - l).choose k * i.choose l) = ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
h1 : l ≤ i
h2 : k ≤ i - l
h3 : k ≤ k + l


↑((i - l).choose k) * ↑(i.choose l) = ↑((k + l).choose k) * ↑(i.choose (k + l))


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hM : 0 ∉ M
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : Rₘ


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
r m : R
hm : m ∈ M

∃ a, (algebraMap R Rₘ) a = mk' Rₘ r ⟨m, hm⟩


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing Rₘ
M : Submonoid R
hR : IsField R
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
this : Field R := hR.toField
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
r m : R
hm : m ∈ M
n : R
hn : m * n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ

sSup (image2 f s t) = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f a b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k✝ : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ W, IsOpen W ∧ 1 ∈ W ∧ ∀ g ∈ W * W, μ (g • k \ k) < u n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n

Context: V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

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Context: hk : IsCompact k

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Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

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Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0

Context: C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0

Context: C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0

Context: H : ¬x ∈ k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0

Context: C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0

Context: H : ¬x ∈ k

Context: this : k ∩ ((z * x⁻¹) • k)ᶜ ∈ 𝓝[k] z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y

Context: B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0

Context: C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0

Context: H : ¬x ∈ k

Context: this✝ : k ∩ ((z * x⁻¹) • k)ᶜ ∈ 𝓝[k] z

Context: this : 0 < μ (k \ (z * x⁻¹) • k)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

fderivWithin 𝕜 (fun y => f y - c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)

(∃ i, ((x ∈ i.1 ∧ IsOpen i.1) ∧ y ∈ i.2 ∧ IsOpen i.2) ∧ i.1 ×ˢ i.2 ⊆ s) ↔ ∃ u v, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ IsOpen v ∧ y ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S
H : b₁ * ↑a₂ = a₁ * ↑b₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
U : R
hU : U ∈ unitary R


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = C (f.coeff 0)


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = C (f.coeff 0)
hf2 : f.coeff 0 = 0


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero F
f : F[X]
hf : Irreducible f
hf1 : f = 0
hf2 : f.coeff 0 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup

{ val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = 1 ↔ ∃ a, { val := val✝, nodup := nodup✝ } = {a}


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F

Integrable I l f vol ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε


(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ib}) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝ : CompleteSpace F
ε : ℝ
x✝ : 0 < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε


((∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (a b : TaggedPrepartition I) (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) a → a.IsPartition → ∀ (x : ℝ≥0), l.MemBaseSet I x (r x) b → b.IsPartition → dist (integralSum f vol a) (integralSum f vol b) ≤ ε) ↔ (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, ‖f' x - A‖₊ ≤ δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

∀ (a : E), Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall a r) / μ (closedBall a r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1) → a ∈ s → ‖f' a - A‖₊ ≤ δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: hx : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: xs : x ∈ s

‖f' x - A‖₊ ≤ δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

‖(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: r : ℝ

Context: y : E

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε

Context: rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ

Context: rpos : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: r : ℝ

Context: y : E

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε

Context: rpos : 0 < r

Context: a : E

Context: az : a ∈ closedBall z ε

Context: ya : y = x + r • a


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: r : ℝ

Context: y : E

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε

Context: rpos : 0 < r

Context: a : E

Context: az : a ∈ closedBall z ε

Context: ya : y = x + r • a

Context: norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: δ : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: z : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: ρ : ℝ

Context: ρpos : ρ > 0

Context: r : ℝ

Context: y : E

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε

Context: rpos : 0 < r

Context: a : E

Context: az : a ∈ closedBall z ε

Context: ya : y = x + r • a

Context: norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε

Context: I : r * ‖(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z


∀ (x : C(X, Y) × C(Y, Z)) (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set Z), IsOpen U → MapsTo (⇑(x.2.comp x.1)) K U → ∀ᶠ (a : C(X, Y) × C(Y, Z)) in 𝓝 x, MapsTo (⇑(a.2.comp a.1)) K U


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo (⇑g ∘ ⇑f) K U

∀ᶠ (a : C(X, Y) × C(Y, Z)) in 𝓝 (f, g), MapsTo (⇑(a.2.comp a.1)) K U


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo (⇑g ∘ ⇑f) K U
L : Set Y
hKL : L ∈ 𝓝ˢ (⇑f '' K)
hLc : IsCompact L
hLU : MapsTo (⇑g) L U


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair Y Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo (⇑g ∘ ⇑f) K U
L : Set Y
hKL : MapsTo (⇑f) K (interior L)
hLc : IsCompact L
hLU : MapsTo (⇑g) L U


Context: z τ : ℂ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z + 1) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : X - C a ∣ p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : p.IsRoot a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: y : M'

Context: hy : f x ∈ (chartAt H' y).source

ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset (Option α)
p : Option α → Prop

(∀ a ∈ eraseNone s, p (some a)) ↔ ∀ (a : α), some a ∈ s → p (some a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < 1 - ε ↑n


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
u : ℤˣ
w : NormalWord d


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanIso n B C g
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n

(map (g ∘ f) s).prod = (map (g ∘ f) t).prod ↔ s.prod = t.prod


(map g (map f s)).prod = (map g (map f t)).prod ↔ s.prod = t.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
δ : Type u_6
f : α → γ
g : β → δ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
d : Filter δ
hf : Tendsto f a c
hg : Tendsto g b d

Tendsto (Prod.map f g) (a ×ˢ b) (c ×ˢ d)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R


Context:
V : Type u
inst✝ : Quiver V
a✝¹ b✝¹ c✝ d a b c x✝ : V
p : Path a b
q : Path b c
b✝ : V
r : Path c b✝
a✝ : b✝ ⟶ x✝

(p.comp q).comp (r.cons a✝) = p.comp (q.comp (r.cons a✝))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0∞
g : β → γ


HasSum (fun b => ∑' (b_1 : ↑(g ⁻¹' {b})), f ↑b_1) (∑' (i : β), f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: g : β → γ

Context: equiv : (y : γ) × { x // g x = y } ≃ β := Equiv.sigmaFiberEquiv g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: g : β → γ

∀ (b : γ), HasSum (fun c => (f ∘ ⇑equiv) ⟨b, c⟩) (∑' (b_1 : ↑(g ⁻¹' {b})), f ↑b_1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : FinEnum α
β : α → Type u_2
inst✝ : (a : α) → FinEnum (β a)
f : (a : α) → β a


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
a : ℤ
K : CochainComplex C ℤ

(shiftShortComplexFunctorIso C 0 a a ⋯).hom.app K = (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)

-C ↑h.unit⁻¹ * (X - C a) + C ↑h.unit⁻¹ * (X - C b) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β

(∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)) ↔ SuperpolynomialDecay l (fun a => |k a|) fun a => |f a|


Context:
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X


∀ (x : X), ContinuousAt (fun x => diracProba x) x


Context:
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
x : X
f : X →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba i)) (𝓝 x) (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba x)))


Context:
X : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
x : X
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_mble : Measurable fun X_1 => ↑(f X_1)


Tendsto (fun i => ↑(f i)) (𝓝 x) (𝓝 ↑(f x))


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
y_neg : y < 0


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
y_pos : 0 < y


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A : C

Context: f g : tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃ j ⟶ A

Context: H : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃

Context: h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A : C

Context: H : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃

∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : r₁₂₃ (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: p'✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜' n f s x

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

Context: u : Set E

Context: u_mem : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F

Context: hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p' u

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι ι' : Type u

Context: r : ι → ι → Prop

Context: r' : ι' → ι' → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι r

Context: inst✝ : IsWellOrder ι' r'

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : type r = o

Context: ho' : type r' = o

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

lsub (familyOfBFamily' r ho f) = lsub (familyOfBFamily' r' ho' f)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set (α × β)

sᶜ ∈ cofinite.coprod cofinite ↔ sᶜ ∈ cofinite


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ

a.natAbs ≤ b.natAbs ↔ ↑a.natAbs ≤ ↑b.natAbs


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : Set ι
t : ι → Set α
hc : s.Countable
this : Encodable ↑s

μ.restrict (⋃ i ∈ s, t i) = ν.restrict (⋃ i ∈ s, t i) ↔ ∀ i ∈ s, μ.restrict (t i) = ν.restrict (t i)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
hg : g.SurjectiveOnStalks
hf : f.SurjectiveOnStalks
I : Ideal T
hI : I.IsPrime

Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (g.comp f) I) I (g.comp f) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: hg : g.SurjectiveOnStalks

Context: hf : f.SurjectiveOnStalks

Context: I : Ideal T

Context: hI : I.IsPrime

Context: this : Function.Surjective (⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap g I) I g ⋯) ∘ ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f (Ideal.comap g I)) (Ideal.comap g I) f ⋯))


Context:
M G : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Group G
x y : SingleObj G
f : x ⟶ y


f ≫ f⁻¹ = 𝟙 x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M

∏ p ∈ antidiagonal (n + 1), f p = f (n + 1, 0) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1, p.2 + 1)


f (0, n + 1).swap * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.swap.1 + 1, p.swap.2).swap = f (n + 1, 0) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1, p.2 + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : HasFiniteIntegral f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

c * ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)
I X : Set ((i : ι) × α i)

(Matroid.sigma M).Basis I X ↔ ∀ (i : ι), (M i).Basis (Sigma.mk i ⁻¹' I) (Sigma.mk i ⁻¹' X)


(∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)) → ((I ⊆ X ∧ (∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ∧ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E) ↔ (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)

Context: hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)

Context: x✝ : I ⊆ X ∧ (∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ∧ X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E

Context: hIX : I ⊆ X

Context: h : ∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y

Context: h' : X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E

Context: i : ι

Context: I₀ : Set (α i)

Context: hI₀ : (M i).Indep I₀

Context: hI₀X : I₀ ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' X

Context: hII₀ : Sigma.mk i ⁻¹' I ⊆ I₀


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)

Context: hIX : I ⊆ X

Context: h' : X ⊆ univ.sigma fun i => (M i).E


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)

Context: x✝ : (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E

Context: hIX : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X

Context: h' : ∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y

Context: h'' : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)

∀ ⦃y : Set ((i : ι) × α i)⦄, (∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' y)) → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
m : ℤ
hle : y ^ m ≤ x⁻¹
hlt : x⁻¹ < y ^ (m + 1)
hyp : 0 < y


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
i : Fin n
x : TruncatedWittVector p m R

coeff i ((truncate hm) x) = coeff (Fin.castLE hm i) x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
i : Fin n
y : 𝕎 R

coeff i ((truncate hm) ((WittVector.truncate m) y)) = coeff (Fin.castLE hm i) ((WittVector.truncate m) y)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X

(𝓝 ∞).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) fun s => some '' sᶜ ∪ {∞}


(map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsCompact s) fun s => some '' sᶜ ∪ {∞}


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

Context: halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L

Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

Context: h : (adjoin E ↑L.toSubalgebra).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

Context: this : Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra) ≤ Module.rank F ↥L.toSubalgebra


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
t s : Set M
h : t ⊆ s

(LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) → LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x


Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id)) → Disjoint (Finsupp.supported R R t) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id))


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℕ


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α

↑(Rel.interedges G.Adj (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε)


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: this : UniqueFactorizationMonoid R := HasUnitMulPowIrreducibleFactorization.toUniqueFactorizationMonoid hR


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: i : IsIso (frobeniusMorphism F h A)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: i : IsIso (frobeniusMorphism F h A)

IsIso ((conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (frobeniusMorphism F h A))


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
k : Fin n


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
X Y X' Y' : C
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
f : X ≅ Y
g : X' ≅ Y'

(f.hom ⊗ g.hom) ≫ (f.inv ⊗ g.inv) = 𝟙 (X ⊗ X')


(f.inv ⊗ g.inv) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = 𝟙 (Y ⊗ Y')


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

QuasiSeparated x✝ ↔ MorphismProperty.diagonal (@QuasiCompact) x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y Z : C

Context: g h : X ⟶ ((⨁ f) ⊗ Y) ⊗ Z

Context: w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y ▷ Z = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y ▷ Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y Z : C

Context: g h : X ⟶ ((⨁ f) ⊗ Y) ⊗ Z

g ≫ (α_ (⨁ f) Y Z).hom = h ≫ (α_ (⨁ f) Y Z).hom


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
P : R[X]
a : A

eval a (map (algebraMap R A) P) = (aeval a) P


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P

MonoidHom.mrange inl ⊔ MonoidHom.mrange inr = ⊤


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : AddGroup β
f : ℤ →+ β
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: E : LinearRecurrence α

Context: u : ℕ → α

Context: init : Fin E.order → α

Context: h : E.IsSolution u

Context: heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n

Context: n : ℕ

Context: h' : ¬n < E.order

u n = ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * E.mkSol init (n - E.order + ↑x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: E : LinearRecurrence α

Context: u : ℕ → α

Context: init : Fin E.order → α

Context: h : E.IsSolution u

Context: n : ℕ

Context: h' : ¬n < E.order

∑ i : Fin E.order, E.coeffs i * u (n - E.order + ↑i) = ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * E.mkSol init (n - E.order + E.order - E.order + ↑x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
hsc : count s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
hsc : count s = 0
hs : s.Finite


Context:
x : EReal
h : 0 < x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : Φ.Finite

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ

Context: hyΦ : y ∈ Φ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: this : ¬Injective f'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: this : x ≠ y


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: this : x ≠ y

Context: n m : ℕ

Context: hnm : f' n = f' m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hyΦ : y ∈ Φ

Context: hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

Context: this : x ≠ y

Context: n m : ℕ

Context: hnm : 2 * ↑n = 2 * ↑m ∨ x = y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
b : E


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

ν₁ + μ = ν₂ + μ ↔ ν₁ = ν₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : R

eval x (derivative p) = p.sum fun n a => a * ↑n * x ^ (n - 1)


Context:
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hp : optParam (p ≠ 0) ⋯
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m
b : α
hb1 : b ∈ replicate n a
hb2 : flip r x b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
hi : N.Indep (f '' I)


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det

(A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det


(fun x => A * B * x) (A * B).adjugate = (fun x => A * B * x) (B.adjugate * A.adjugate)


A * B * (A * B).adjugate = A * B * (B.adjugate * A.adjugate)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : One β
f : α → β
h₀ : f 0 = 0
h₁ : f 1 = 1
i✝ j✝ : n


f (if i✝ = j✝ then 1 else 0) = if i✝ = j✝ then 1 else 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: δ K ε a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r

Context: ha : f a ≤ δ

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε

Context: H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

f x ≤ (fun ε' => gronwallBound δ K ε' (x - a)) ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: δ K ε a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: ha : f a ≤ δ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: δ K ε a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: ha : f a ≤ δ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

ContinuousWithinAt (fun y => gronwallBound δ K y (x - a)) (Ioi ε) ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : 0 < a • b
ha : 0 ≤ a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius