Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f g : α → β

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c

Context: hp : ¬p = 0

eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f g : α → β

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c

Context: hp : ¬p = 0

Context: this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f g : α → β

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c

Context: hp : ¬p = 0


Context:
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char

(if { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = 0 then 0 else utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size }) = { byteIdx := utf8Len cs }


Context:
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char

utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len cs }


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f x = g y
z : α


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f = g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β

MapsTo f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), MapsTo f s (t i j)


Context: p q : ℤ[X]

p.IsUnitTrinomial ↔ p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)


Context: p q : ℤ[X]

Context: hp : p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: hp : (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)

(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hz : z ≠ 0

Context: hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hz : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff n)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : IsUnit ((x + y * if k = m then 1 else 0) + z * if k = n then 1 else 0)

Context: hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)

Context: hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)

Context: hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)

Context: hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)

Context: hz : IsUnit (x * 0 + y * 0 + z)


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hz : IsUnit z

Context: hx : IsUnit x

Context: hy : IsUnit y


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α

ae (μ.restrict (s ∪ t)) = ae (μ.restrict s) ⊔ ae (μ.restrict t)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T T' : Triangle C

Context: φ : T ⟶ T'

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsIso φ.hom₁

Context: h₃ : IsIso φ.hom₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T T' : Triangle C

Context: φ : T ⟶ T'

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsIso φ.hom₁

Context: h₃ : IsIso φ.hom₃

Context: this : Mono φ.hom₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T T' : Triangle C

Context: φ : T ⟶ T'

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsIso φ.hom₁

Context: h₃ : IsIso φ.hom₃

Context: this : Mono φ.hom₂

Context: A : C


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℂ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : RCLike 𝕜

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : RCLike 𝕜

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f p μ

AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α


Context:
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : CstarRing A

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : PartialOrder A

Context: inst✝ : StarOrderedRing A

Context: a : A

Context: this : star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖star a * a‖


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

p.natDegree ≤ n ↔ ∀ (N : ℕ), n < N → p.coeff N = 0


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1
hcon : exponent G ≤ m


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t


Context:
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context: hp : 1 ≤ 1


Context:
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
x : ℕ
r : ℝ

closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊


Context:
x : ℕ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
x : ℕ
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L

∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: m : ℤ

Context: hm : ∀ (g_1 : ↥(rootsOfUnity n L)), ((↑g).restrictRootsOfUnity n).toMonoidHom g_1 = g_1 ^ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: f : CauSeq α abs

Context: h : ¬f.LimZero

Context: K : α

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: f : CauSeq α abs

Context: h✝ : ¬f.LimZero

Context: K : α

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|

Context: i : ℕ

Context: h : 0 ≤ ↑f i

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: this : K ≤ |↑f j|

Context: h₁ : K ≤ |↑f i|

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: f : CauSeq α abs

Context: h✝ : ¬f.LimZero

Context: K : α

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|

Context: i : ℕ

Context: h : ↑f i ≤ 0

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: this : K ≤ |↑f j|

Context: h₁ : K ≤ |↑f i|

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop

(∃ x, p x (update f a b x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)


¬(¬p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → ¬p x (f x)) ↔ p a b ∨ ∃ x, x ≠ a ∧ p x (f x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: this : ∀ x ∈ s, ∃ R > 0, ball x R ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)

Context: μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0

Context: t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: this : ∀ x ∈ s', ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1, closedBall x r1 ⊆ v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: S : Fin N → Set ↑s'

Context: S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)

Context: hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: S : Fin N → Set ↑s'

Context: S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: S : Fin N → Set ↑s'

Context: r : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: S : Fin N → Set ↑s'

Context: r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms E
F₁ F₂ : C ⥤ D
inst✝ : F₁.PreservesZeroMorphisms
e : F₁ ≅ F₂
X Y : C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: b : Basis ι 𝕜 F

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: b : Basis ι 𝕜 F

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: x : E


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : Semiring S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
f g : S →ₐ[R] S'
h : f pb.gen = g pb.gen
x : S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : Semiring S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
f✝ g : S →ₐ[R] S'
h : f✝ pb.gen = g pb.gen
f : R[X]

f✝ ((aeval pb.gen) f) = g ((aeval pb.gen) f)


Context: k : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.10918, u_1} E
X✝¹ Y✝¹ : C
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
hF✝ hF : F.FullyFaithful
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso (F.map f)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Type u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: hS : iUnion S = univ

Context: t : Set β

liftCover S f hf hS ⁻¹' t = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Type u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hS : iUnion S = univ

Context: t : Set β

(iUnionLift S f hf univ ⋯ ∘ fun a => ⟨a, ⋯⟩) ⁻¹' t = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Type u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hS : iUnion S = univ

Context: t : Set β

(fun a => ⟨a, ⋯⟩) ⁻¹' (inclusion ⋯ ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' t)) = ⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' t)


Context: z : ℂ

Context: h : ((∀ (k : ℤ), ↑z.re ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), ↑z.im * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, ↑z.re = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, ↑z.im * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2

tan z = (tan ↑z.re + tanh ↑z.im * I) / (1 - tan ↑z.re * tanh ↑z.im * I)


Context: z : ℂ


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: s : Set ι

Context: f : Π₀ (i : ι), β i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Set ι

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

(∀ (x : ι), ¬f x = 0 → x ∈ s) ↔ ∀ i ∉ s, f i = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
ha : IsAntichain r s
hp : s.PartiallyWellOrderedOn r
hi : s.Infinite


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : IsAntichain r s

Context: hp : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: hi : s.Infinite

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h : r ↑((Infinite.natEmbedding s hi) m) ↑((Infinite.natEmbedding s hi) n)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
q : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq V
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
v w : V


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : t ⊆ s


Context:
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ExtremallyDisconnected X
e : X ≃ₜ Y
U : Set Y
hU : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a

Associates.mk p ∈ (Associates.mk a).factors


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x✝ : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)

Context: hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)

Context: h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ N

Context: x : E

iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)
h : ¬a.val ≤ n.succ / 2

a.valMinAbs * 2 = ↑(n + 1) ↔ 2 * a.val = n + 1


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : Preorder β
u : β → α
h : CauchySeq u


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0


I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: R₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : IsDomain R₁

Context: inst✝⁵ : Algebra R₁ K

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K

Context: I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: K' : Type u_5

Context: inst✝³ : Field K'

Context: inst✝² : Algebra R₁ K'

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: inst✝ : (↑I).IsPrincipal

Context: h : I ≠ 0

Context: hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1


Context:
a b : ℝ
h : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A C
e : B ≃ₐ[A] C
x : B


(LinearMap.trace A C) ((lmul A C) (e x)) = (LinearMap.trace A C) (e.toLinearEquiv.conj ((lmul A B) x))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A C
e : B ≃ₐ[A] C
x : B
x✝ : C

((lmul A C) (e x)) x✝ = (e.toLinearEquiv.conj ((lmul A B) x)) x✝


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)

c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂ = 0


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α β γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β

Context: sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: F2 : Functor F

Context: p2 : {α : Type u} → α → F α

Context: s2 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β

Context: sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: L1 : LawfulApplicative F

Context: L2 : LawfulApplicative F

Context: H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x

Context: H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α β γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: F2 : Functor F

Context: L1 : LawfulApplicative F

Context: L2 : LawfulApplicative F


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α β γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: F2 : Functor F

Context: toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F

Context: seqLeft_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y

Context: seqRight_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y

Context: pure_seq1 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x

Context: seq_pure✝¹ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g

Context: seq_assoc✝¹ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x

Context: toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F

Context: seqLeft_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y

Context: seqRight_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y

Context: pure_seq2 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x

Context: seq_pure✝ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g

Context: seq_assoc✝ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α β γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β

Context: sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F

Context: H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x

Context: H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x

Context: toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α✝ β✝ γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F

Context: seqLeft_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y

Context: seqRight_eq1 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y

Context: pure_seq1 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x

Context: seq_pure✝¹ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g

Context: seq_assoc✝¹ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x

Context: toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F

Context: seqLeft_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqLeft.seqLeft x fun x => y) = Seq.seq (const β <$> x) fun x => y

Context: seqRight_eq2 : ∀ {α β : Type u} (x : F α) (y : F β), (SeqRight.seqRight x fun x => y) = Seq.seq (const α id <$> x) fun x => y

Context: pure_seq2 : ∀ {α β : Type u} (g : α → β) (x : F α), (Seq.seq (pure g) fun x_1 => x) = g <$> x

Context: seq_pure✝ : ∀ {α β : Type u} (g : F (α → β)) (x : α), (Seq.seq g fun x_1 => pure x) = (fun h => h x) <$> g

Context: seq_assoc✝ : ∀ {α β γ : Type u} (x : F α) (g : F (α → β)) (h : F (β → γ)), (Seq.seq h fun x_1 => Seq.seq g fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (comp <$> h) fun x => g) fun x_1 => x

Context: α β : Type u

Context: x : F α

Context: y : Unit → F β


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: inst✝¹ : Applicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative F✝

Context: α✝ β✝ γ σ : Type u

Context: F : Type u → Type u_1

Context: F1 : Functor F

Context: p1 : {α : Type u} → α → F α

Context: s1 : {α β : Type u} → F (α → β) → (Unit → F α) → F β

Context: sl1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr1 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: sl2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F α

Context: sr2 : {α β : Type u} → F α → (Unit → F β) → F β

Context: toLawfulFunctor✝¹ : LawfulFunctor F

Context: H1 : ∀ {α : Type u} (x : α), pure x = pure x

Context: H2 : ∀ {α β : Type u} (f : F (α → β)) (x : F α), (Seq.seq f fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x

Context: toLawfulFunctor✝ : LawfulFunctor F

Context: α β : Type u

Context: x : F α

Context: y : Unit → F β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
S : Type v
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
p : S[X]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: h : (s.pi t).Nonempty

MeasurableSet (s.pi t) ↔ ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝¹ l✝ : List α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hp : l.reverse = l → l.Palindrome

Context: hr : (x :: (l ++ [y])).reverse = x :: (l ++ [y])


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝¹ l✝ : List α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hp : l.reverse = l → l.Palindrome

Context: hr : [y].reverse ++ l.reverse ++ [x] = x :: (l ++ [y])


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝¹ l✝ : List α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hp : l.reverse = l → l.Palindrome


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝¹ l✝ : List α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hp : l.reverse = l → l.Palindrome

Context: this : l.Palindrome


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι

(b.coord i) (b j) = if i = j then 1 else 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I✝ J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)

Context: I : Ideal R

Context: h : IsUnit ↑I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I✝ J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: I : Ideal R

Context: h : IsUnit ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Monotone f


Context:
U : Type u_1
inst✝⁵ : Quiver U
V : Type u_2
inst✝⁴ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.19860
inst✝³ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝² : HasInvolutiveReverse U
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse V
inst✝ : φ.MapReverse
u : U

Bijective (φ.costar u) ↔ Bijective (φ.star u)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : a ≤ 0

Context: h : 1 ≤ b


Context:
x p : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hx0 : x ≠ 0

ENNReal.ofReal x ^ p = ENNReal.ofReal (x ^ p)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → ℝ → E

Context: bound : ι → ℝ → ℝ

Context: hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ‖F n t‖ ≤ bound n t

Context: bound_summable : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → Summable fun n => bound n t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ι), bound n t) μ a b

Context: h_lim : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasSum (fun n => F n t) (f t)

HasSum (fun n => ∫ (t : ℝ) in a..b, F n t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, f t ∂μ)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → ℝ → E

Context: bound : ι → ℝ → ℝ

Context: h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F n x‖ ≤ bound n x

Context: bound_summable : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), Summable fun n => bound n x

Context: bound_integrable : IntegrableOn (fun t => ∑' (n : ι), bound n t) (Ι a b) μ

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasSum (fun n => F n x) (f x)

HasSum (fun n => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F n t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, f t ∂μ)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Nonempty
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β

(map f) (⨅ i ∈ I, (comap f) (m i)) = ⨅ i ∈ I, (map f) ((comap f) (m i))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Nonempty
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
this : Nonempty ↑I


(map f) (⨅ i, (comap f) (m ↑i)) = ⨅ i, (map f) ((comap f) (m ↑i))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℕ


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame

Context: h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂

Context: hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂

Context: hl : x₁ < x₂


Context: hl : x₁ < x₂

Context: i : x₂.LeftMoves

Context: hi : x₁ ≤ x₂.moveLeft i


Context: hl : x₁ < x₂

Context: i : x₁.RightMoves

Context: hi : x₁.moveRight i ≤ x₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Injective g
x : α

(g '' s).mulIndicator f (g x) = s.mulIndicator (f ∘ g) x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ : ℕ
n : R
hn✝ : IsPrimePow n
k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : R
k' : ℕ
hp : Prime p
hk' : 0 < k'
hn : p ^ k' = n


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
r✝ n r k : ℕ

(k + 1) * eval (k + 1 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (k + 1 + r) * eval (k + 1) (ascPochhammer ℕ r)


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivWithinAt f f' s x

HasFDerivWithinAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') s x


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

vecCons x u (i + i) = vecAlt0 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i


vecCons x u (i + i) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1) i


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π

∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

Context: this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

MeasurableSet {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
x✝ x : ℝ
h : cos x ≠ 0

HasDerivAt (fun y => tan y - y) (1 / cos x ^ 2 - 1) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α

(x :: xs).formPerm (x :: xs)[xs.length] = x


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ↑s.card

∃ y ∈ t, b ≤ ↑(filter (fun x => f x = y) s).card


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ∑ a ∈ s, 1

∃ y ∈ t, b ≤ ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ


∀ x_1 ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {x}), 0 ≤ x_1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x y : ℝ
z1 : ℂ
left✝ : z1 ∈ re ⁻¹' {x}
hz2 : (norm ∘ f) z1 = y


typesGrothendieckTopology = Sheaf.canonicalTopology (Type u)


typesGrothendieckTopology ∈ Sheaf.finestTopologySingle '' Set.range yoneda.obj


(Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves = typesGrothendieckTopology.sieves


Context: α : Type u

(Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α = typesGrothendieckTopology.sieves α


Context:
α : Type u
S : Sieve α

S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α ↔ S ∈ typesGrothendieckTopology.sieves α


Context: α : Type u

Context: S : Sieve α

Context: hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α

Context: x : α


Context: α : Type u

Context: S : Sieve α

Context: x : α

Context: hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x


Context: α : Type u

Context: S : Sieve α

Context: x : α

Context: hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x

Context: this : (fun x => { down := true }) = fun x => { down := false }


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : Rˣ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ ν : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤


(↑w →₀ R) →ₗ[R] ι →₀ R


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α

∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : a ∣ b * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : f a ∣ f b * f c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂


(↑f).symm a₁ ∣ b ∧ (↑f).symm a₂ ∣ c ∧ a = (↑f).symm a₁ * (↑f).symm a₂


f ((↑f).symm a₁) ∣ f b ∧ f ((↑f).symm a₂) ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
h : ¬s = ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : a = a * c * d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : c = 1 ∧ d = 1 ∨ a = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α


x ∈ ↑(powersetAux l).revzip ↔ x.1 + x.2 = ↑l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
this : DecidableEq α
x₁ x₂ : Multiset α
h : (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 = ↑l


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

(initsCore [s.head] s.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail


([s.head] :: initsCore ([s.head] ++ [s.tail.head]) s.tail.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(evenOdd Q i')

∀ (m : M), (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'

((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) ↑⟨x', hx'⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩


((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) x' = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α

(modifyNth f n l).get? n = f <$> l.get? n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x

Tendsto f (l ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)


l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Sort w

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: x : X

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set X

Context: p p₁ p₂ : X → Prop

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : α → X

Context: l : Filter α

Context: s : Set α

Context: h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)

Context: h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)

Context: this : l ≤ comap f (𝓝 x) ∧ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l m : L


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R

x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : Subsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : Subsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

Context: y : R

Context: hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : Subsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

Context: y : R

Context: z : R

Context: hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t t₀ : Triangle ℝ P

Context: ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)

Context: ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points

Context: ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)

s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t t₀ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Context: h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂

Context: h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t t₀ : Triangle ℝ P

Context: hs : Set.range t.points = Set.range t₀.points


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)

Context: H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a

Context: ha : IsPredLimit a

PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: ha : IsPredLimit a

(H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
i : α
hi : i ∈ s


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α

nndist (f x) (f y) = ratio f * nndist x y


Context: n : Nat

(list n).reverse = List.map rev (list n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y → Z
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
u : Set Z
hf : Continuous (uncurry f)
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ closure t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b ∈ u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x

HasDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x

HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((η ∘ₖ κ) a) s = ∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a


Context: ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ

Context: h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)

↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.drop = ↑(drop ⟨is, h⟩)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

evalEval x y (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) = W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β

∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹¹ : AddMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : HasShift C M

Context: inst✝⁹ : HasShift D M

Context: inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M

Context: inst✝⁷ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y

Context: inst✝⁶ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z

Context: inst✝⁵ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X T

Context: inst✝⁴ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z

Context: inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y T

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z T

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M T T

Context: α : SmallShiftedHom W X Y a₁

Context: β : SmallShiftedHom W Y Z a₂

Context: γ : SmallShiftedHom W Z T a₃

Context: h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂

Context: h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃

Context: h : a₃ + a₂ + a₁ = a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹¹ : AddMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : HasShift C M

Context: inst✝⁹ : HasShift D M

Context: inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M

Context: α : SmallShiftedHom W X Y a₁

Context: β : SmallShiftedHom W Y Z a₂

Context: γ : SmallShiftedHom W Z T a₃

Context: h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂

Context: h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃

Context: h : a₃ + a₂ + a₁ = a

(α.comp β h₁₂).comp γ ⋯ = α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹¹ : AddMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : HasShift C M

Context: inst✝⁹ : HasShift D M

Context: inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M

Context: α : SmallShiftedHom W X Y a₁

Context: β : SmallShiftedHom W Y Z a₂

Context: γ : SmallShiftedHom W Z T a₃

Context: h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂

Context: h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃

Context: h : a₃ + a₂ + a₁ = a

(equiv W W.Q) ((α.comp β h₁₂).comp γ ⋯) = (equiv W W.Q) (α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: h : QuotientMap f

Context: s : Set β

Context: hs : IsOpen s

ContinuousOn g s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: h : QuotientMap f

Context: s : Set β

Context: hs : IsOpen s

Continuous (s.restrict g ∘ s.restrictPreimage f) ↔ Continuous ((f ⁻¹' s).restrict (g ∘ f))


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 T) ψ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 S) ψ


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
φ✝ : R✝⟦X⟧
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order

(coeff R n) (φ * (1 - ψ)) = (coeff R n) φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s : Finset α

↑s = ∅ ↔ s = ∅


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ

Context: this : DecidableEq K


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

∀ x ∈ f.support, ∑ x_1 : σ → K, coeff x f * ∏ i : σ, x_1 i ^ x i = 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

∑ x : σ → K, coeff d f * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

∀ (a : { j // j ≠ i } → K), ∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = a }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

Context: e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm

∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = x₀ }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

∀ (a : K), ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

Context: a : K

Context: e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i

∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this✝ : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

Context: a : K

Context: this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this✝ : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

Context: a : K


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype K

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: this✝ : DecidableEq K

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ f.support

Context: i : σ

Context: hi : d i < q - 1

Context: x₀ : { j // j ≠ i } → K

Context: a : K

Context: j : σ

Context: hj : j ≠ i


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : EMetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α


b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) ⋯ ↔ Setoid.r a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: s✝ t u : Finset α

Context: P : Finpartition s✝

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: s : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: b : α

Context: H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1

b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: s✝ t u : Finset α

Context: P : Finpartition s✝

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: s : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: b : α

Context: this : choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: s✝ t u : Finset α

Context: P : Finpartition s✝

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: s : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: b : α

Context: this : (∃ a_1, filter (Setoid.r a_1) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H) ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: s✝ t u : Finset α

Context: P : Finpartition s✝

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: s : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: b : α

Context: this : a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H

Context: w✝ : α

Context: hc : filter (Setoid.r w✝) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: s✝ t u : Finset α

Context: P : Finpartition s✝

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: s : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: b : α

Context: w✝ : α

Context: this : Setoid.r w✝ a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ


∀ i ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}, ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a ≤ comap φ i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : M ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : ¬G.CliqueFree n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : Nonempty (⊤ ↪g G)


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
x : α

(stoneCechExtend hg ∘ stoneCechUnit) x = g x


preStoneCechExtend hg (preStoneCechUnit x) = g x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : T
ik jk : m × n

(leftMulMatrix (b.smulTower c)) x ik jk = (leftMulMatrix b) ((leftMulMatrix c) x ik.2 jk.2) ik.1 jk.1


Context: o : Ordinal.{u_1}

let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)


Context: o : Ordinal.{u_1}

let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0


∀ (a : ℕ) (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha ∈ primitiveRoots k R


∀ (a₁ : ℕ) (ha₁ : a₁ ∈ filter k.Coprime (range k)) (a₂ : ℕ) (ha₂ : a₂ ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a₁ ha₁ = (fun i x => ζ ^ i) a₂ ha₂ → a₁ = a₂


∀ b ∈ primitiveRoots k R, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha = b


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r

(∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
h : ∀ (a : α), ∃! b, r a b

∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: f : α → α

Context: hr : Symmetric fun x x_1 => f x = x_1

Context: h : ∀ (a : α), ∃! b, (fun x x_1 => f x = x_1) a b

∃ f_1, Involutive f_1 ∧ (fun x x_1 => f x = x_1) = fun x x_1 => f_1 x = x_1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
k : ℤ
hn : 2 * k + 1 ≠ 0


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)

i.succ.succAbove 1 = (i.succAbove 0).succ


i.succ.succAbove (succ 0) = (i.succAbove 0).succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m


∀ i_1 ∈ Finset.univ, ((monomial (Finsupp.single i_1 1)) (M i i_1)).IsHomogeneous 1


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
j : n

((monomial (Finsupp.single j 1)) (M i j)).IsHomogeneous 1


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico 0 p


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k


(filter p (range n)).card ≤ (filter q (range n)).card


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M

m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace 0 ↔ m ∈ ⊤


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0


Context: a x✝ z x : ℂ

(-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G → A
hf : IsOneCocycle f


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsScottHausdorff α

Context: s : Set α

Context: h : IsOpen s

Context: d : Set α

Context: hd₁ : d.Nonempty

Context: hd₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d

Context: a : α

Context: hda : IsLUB d a

Context: hd₃ : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsScottHausdorff α

Context: s : Set α

Context: h : IsOpen s

Context: d : Set α

Context: hd₁ : d.Nonempty

Context: a : α

Context: hda : IsLUB d a

Context: hd₃ : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbd : b ∈ d

Context: hb : Ici b ∩ d ⊆ s


Context:
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω

nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c) = a ^ ω * succ b


nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c) ≤ a ^ ω * succ b


a ^ ω * succ b ≤ nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v✝ w v : V
p : G.Walk v v
hp✝ : p.IsCycle
hp : p.IsTrail
hp' : p ≠ nil
support_nodup✝ : p.support.tail.Nodup


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b c d : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝² : Semiring R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
p q : R✝[X]
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g : G
hg : g ∈ closure S


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g✝ : G
hg✝ : g✝ ∈ closure S
g g' : G
hg : (fixedBy α g)ᶜ.Finite
hg' : (fixedBy α g')ᶜ.Finite

(fixedBy α (g * g'))ᶜ ⊆ (fixedBy α g)ᶜ ∪ (fixedBy α g')ᶜ


Context: a b c d m n i : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U

(𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}


(Filter.comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E


(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: bI : Basis ι ℤ ↥I

Context: e : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b.equiv bI (Equiv.refl ι)

(b.det (Subtype.val ∘ ⇑bI)).natAbs = absNorm I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
K K' : ℝ≥0
f : α → β
g : β → γ
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0


Context:
α : Type ?u.2288
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b) ∨ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b).swap


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
c n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : smulg c a = a'


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S

x ∈ span {y} ⊔ I ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x


(∃ y_1 ∈ span {y}, ∃ z ∈ I, y_1 + z = x) ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i

(y ∈ univ.pi fun i => Iic (x i)) ↔ y ∈ Iic x


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


↑(-(o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q.toReal μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal


Context:
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι


(univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i)) =ᶠ[ae volume] Box.Icc I


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S

x • (mk m s + mk n t) = x • mk m s + x • mk n t


x • mk (t • m + s • n) (s * t) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))


IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 • mk (t • m + s • n) (s * t) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))


mk (((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n)) ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t)) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
t_hij : i✝ ≠ j✝
c✝ : R

{ i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.toMatrix * { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.inv.toMatrix = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)

sSup S = EqvGen.Setoid fun x y => ∃ r ∈ S, r.Rel x y


sSup S = sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}


upperBounds S = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}


{x | ∀ ⦃a : Setoid α⦄, a ∈ S → ∀ {x_1 y : α}, a.Rel x_1 y → x.Rel x_1 y} = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, ∀ x_1 ∈ S, x_1.Rel x y → s.Rel x y}


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
L : Matrix m n α
M : Matrix n o α
inst✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
i✝ : m
j✝ : o

(L * M).map (⇑f) i✝ j✝ = (L.map ⇑f * M.map ⇑f) i✝ j✝


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

T0Space α ↔ ∀ (x y : α), (∀ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∈ r) → x = y


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U

Context: hU : IsOpen U

Context: hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i

Context: hz : z ∈ U

Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hU : IsOpen U

Context: hz : z ∈ U

Context: hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hU : IsOpen U

Context: hz : z ∈ U

(fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) = fun i => (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) i z


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hU : IsOpen U

Context: hz : z ∈ U

Context: s : Finset ι

∑ b ∈ s, deriv (F b) z = (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) s z


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α

AEMeasurable (g ∘ f) μ ↔ AEMeasurable f μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
H : AEMeasurable (g ∘ f) μ


AEMeasurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : ε ≤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊