Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ

↑(∫ (x : X), re (f x) ∂μ) + ↑(∫ (x : X), im (f x) ∂μ) * I = ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x✝ x y z : C

z ∈ closure {x, y} ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z


(∃ y_1 ∈ closure {x}, ∃ z_1 ∈ closure {y}, y_1 * z_1 = z) ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : Nat.succ 1 ≤ finrank ℚ K


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
I B X : Set α
M : IndepMatroid α

∀ ⦃I : Set α⦄, M.Indep I ↔ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B


Context:
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
M : IndepMatroid α
I : Set α
h : M.Indep I

∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: I : Set α

Context: h : M.Indep I

Context: B : Set α

Context: hB : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ M.E}


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: I : Set α

Context: h : M.Indep I

Context: B : Set α

Context: hB : (M.Indep B ∧ I ⊆ B ∧ B ⊆ M.E) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → I ⊆ y → y ⊆ M.E → B ⊆ y → B = y

∃ B, (M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y) ∧ I ⊆ B


∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B : Set α

Context: hB₁ : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ ∅ ⊆ Y ∧ Y ⊆ M.E} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B

Context: hB : M.Indep B


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: hnotmax : B \ {e} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}

∃ b ∈ B' \ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert b (B \ {e}))


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B' \ (B \ {e})

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)

Context: hfB' : f ∉ B


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)

Context: hfB' : f ∉ B

Context: hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {e}))


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)

Context: hfB' : f ∉ B

Context: x : α

Context: hxB : x ∈ B \ insert f (B \ {e})

Context: hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {e})))


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: e : α

Context: he : e ∈ B \ B'

Context: f : α

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = e)

Context: hfB' : f ∉ B

Context: x : α

Context: hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = e)


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: f : α

Context: hfB' : f ∉ B

Context: x : α

Context: he : x ∈ B \ B'

Context: hnotmax : B \ {x} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)

Context: hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {x}))

Context: hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {x})))

Context: hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X : Set α

Context: M : IndepMatroid α

Context: B B' : Set α

Context: hB : B ∈ {I | M.Indep I}

Context: hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}

Context: f : α

Context: hfB' : f ∉ B

Context: x : α

Context: he : x ∈ B \ B'

Context: hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))

Context: hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)

Context: hind : M.Indep (insert f B)

Context: hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

(pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : Sub α

Context: inst✝⁴ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Sub α

Context: inst✝⁴ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Sub α

Context: inst✝⁴ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b : α

Context: h : b ≤ a


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
i : Fin2 n
x : F α
x✝ : α i

x✝ ∈ supp x i ↔ x✝ ∈ {u | ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' univ}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

map (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) (𝓤 (α →ᵤ β)) ≤ 𝓤 β


∀ i' ∈ 𝓤 β, ∃ i ∈ 𝓤 β, UniformFun.gen α β i ⊆ (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) ⁻¹' id i'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Set α
hs : s.Nonempty


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.92128, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

φ ≫ 𝟙 L = 𝟙 K ≫ φ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ

(map φ φ (𝟙 K) (𝟙 L) ⋯).f n = (𝟙 (mappingCone φ)).f n


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19205, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19205, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.Rel x✝³ x✝²

(fun i j => (X.d j i).op) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).op) x✝³ x✝² = 0


Context:
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e : Pretrivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: x : B × F

Context: hx : x ∈ e.target

Context: this : proj (↑e.symm x) = (↑e (↑e.symm x)).1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: c : ℝ≥0∞

Context: c_pos : 0 < c

Context: hc : map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
k : ℕ
h₀ : k + k ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: p : Z

Context: h : proj p ∈ e₁.baseSet

e₁.coordChange e₂ (proj p) (↑e₁ p).2 = (↑e₂ p).2


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a - b ≤ a / 2


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ≤ b * 2


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

s.einfsep = ⊤ ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter Y
hs : IsCompact s
hf : Disjoint f (cocompact Y)

𝓝ˢ s ×ˢ f ≤ 𝓝ˢ (s ×ˢ univ)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter Y
hs : IsCompact s
hf : Disjoint f (cocompact Y)
K : Set Y
hKf : K ∈ f
hK : IsCompact K

𝓝ˢ s ×ˢ f ≤ 𝓝ˢ (s ×ˢ univ)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o


Context: z : ℤ


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ

f ∈ Trunc.lift (fun e => map { toFun := fun f i => if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal s.card n)) ⋯ (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card

f ∈ Trunc.lift (fun e => map { toFun := fun f i => if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal s.card n)) ⋯ (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s


(∃ a, ∑ i : Fin s.card, a i = n ∧ (fun i => if hi : i ∈ s then a (e ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.43135, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : ∀ (X : C), Projective X

IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
gp_n : Pair K
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

∃ ifp, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp ∧ ↑ifp.b = gp_n.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: gp_n : Pair K

Context: s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: ifp : IntFractPair K

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp

Context: gp_n_eq : { a := 1, b := ↑ifp.b } = gp_n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp : IntFractPair K

Context: s_nth_eq : (of v).s.get? n = some { a := 1, b := ↑ifp.b }

∃ ifp_1, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_1 ∧ ↑ifp_1.b = { a := 1, b := ↑ifp.b }.b


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_3
f : ι → OuterMeasure α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂


μ.toFiniteMeasure s₁ ≤ μ.toFiniteMeasure s₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{?u.155546}

Context: f : (a : Ordinal.{?u.155546}) → a < o → α

Context: i : Ordinal.{?u.155546}

Context: hi : i < o


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x


P (↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x


↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

b ∈ filter p (s.biUnion f) ↔ b ∈ s.biUnion fun a => filter p (f a)


(∃ a ∈ s, b ∈ f a) ∧ p b ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a ∧ p b


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R[A]

∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R[A]

∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map ((fun f => f.support.inf degt) ∘ fun i => f i) s.val).sum


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: x : Filter β

Context: hu : ∃ u, a < u

Context: hl : ∃ l, l < a

Context: h : ∀ (l u : α), l < a → a < u → ∀ᶠ (b : β) in x, l < f b ∧ f b < u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: x : Filter β

Context: hu : ∃ u, a < u

Context: hl : ∃ l, l < a

∀ i < a, ∀ (i_2 : α), a < i_2 → ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioo i i_2


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s' s : ↥S
m : M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t


(∀ (n : ℕ), (s.get? n).Terminates) ↔ ∀ (n : ℕ), (t.get? n).Terminates


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
X : StructuredArrow S T


Context:
a b : ℝ
n✝ : ℕ
n : ℤ
h : -1 < ↑n ∨ ↑n ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]


Context:
n m : ℕ
a : Fin 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M × N


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
n✝¹ n✝ : ℕ

((taylor 0 ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝ = ((LinearMap.id ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) ((d⁄dX R) X) = (coeff R n✝) 1


(if n✝ + 1 = 1 then ↑n✝ + 1 else 0) = if n✝ = 0 then 1 else 0


(if n✝ = 0 then ↑n✝ + 1 else 0) = if n✝ = 0 then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ


univ = Finset.cons (last n) (map castSuccEmb univ) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖


‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ + ‖x - z‖ * ‖x - z‖)


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G

∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure G

Context: f✝ : G → E

Context: g✝ : G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MeasurableMul G

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: g : G

Context: h_mul : MeasurableEmbedding fun x => x * g


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
x✝ : α
h : x✝ ∣ x * y
hz : x✝ ∣ z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
a b : α
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
h : a * b ∣ x * y
hz : a * b ∣ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)

∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: hz : z ∈ ball c R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] R₁, ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁

Context: hr₀ : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁

Context: hr₀ : 0 < r

∀ z ∈ frontier (ball c r), ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hz : dist z c < R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁

Context: hr₀ : 0 < r


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V

x ∈ (span S).carrier ↔ x ∈ (sInf {W | S ⊆ ↑W}).carrier


(∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → x ∈ W) ↔ x ∈ sInf {W | S ⊆ ↑W}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
c p : ℝ
n : ℕ∞
m : ℕ
hf : ContDiffAt ℝ (↑m) f x
h : ↑m ≤ p


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : E → ℝ

Context: f' g' : E →L[ℝ] ℝ

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: c p : ℝ

Context: n : ℕ∞

Context: m : ℕ

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ (↑m) f Set.univ x

Context: h : ↑m ≤ p

ContDiffWithinAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) Set.univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: hm : m ≤ m0

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: hm : m ≤ m0

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: hm : m ≤ m0

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: hf_ind : StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)

Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K_compact : IsCompact K


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K_compact : IsCompact K

∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K_compact : IsCompact K

∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K_compact : IsCompact K

Integrable (K.indicator fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K_compact : IsCompact K

∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty

toDual (s.min' hs) = (image (⇑toDual) s).max' ⋯


↑(toDual (s.min' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).max' ⋯)


s.sup (WithBot.some ∘ fun x => toDual x) = s.sup ((WithBot.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
f : WithLp 0 (α × β)

‖f‖ = (if ‖f.1‖ = 0 then 0 else 1) + if ‖f.2‖ = 0 then 0 else 1


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k

mapDomain (actionDiagonalSucc G n).inv.hom ((lcongr (Equiv.refl (G × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k)) ((finsuppTensorFinsupp k k k k G (Fin n → G)) (single g a ⊗ₜ[k] single f b))) = single (g • partialProd f) (a * b)


single (g • partialProd f) ((TensorProduct.lid k k) (a ⊗ₜ[k] b)) = single (g • partialProd f) (a * b)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A

F.map (strInv h ≫ A.str) ≫ A.str = A.str ≫ strInv h ≫ A.str


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
n : ℕ


(cons l.head l.tail).nth (n + 1) = l.tail.nth n


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

nndist (y₂ i) (y i) ≤ nndist (y₁ i) (y i)


(y i - y₂ i).toNNReal ≤ (y i - y₁ i).toNNReal


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝


π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F) ≫ f.F = π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ g.F) ≫ f.F


(π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F)) ≫ f.F = π(π₁, (prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F)) ≫ g.F) ≫ f.F


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

normalizedFactors (x * y) = normalizedFactors x + normalizedFactors y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y)) = Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y) = Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Multiset.Rel Setoid.r (normalizedFactors x + normalizedFactors y) (normalizedFactors (x * y))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

∀ x_1 ∈ normalizedFactors x + normalizedFactors y, Irreducible x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

∀ x_1 ∈ normalizedFactors (x * y), Irreducible x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x y : α

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

(normalizedFactors x + normalizedFactors y).prod ~ᵤ (normalizedFactors (x * y)).prod


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

(f * g) x = sum g fun a b => (f * single a b) x


(sum g fun a b => (f * single a b) x) = sum g fun a b => f (x * a⁻¹) * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
x : αs i

(comapDomain (Sigma.mk i) l ⋯) x = l ⟨i, x⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : s.Countable


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: f : β → Set α

Context: hf : Pairwise (Disjoint on f)

Context: s : Set α

Context: h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s

Context: hs : Countable ↑s

Context: F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s

Context: hF : ∀ (t : { t // (f t).Nonempty }), ↑(F t) ∈ f ↑t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: f : β → Set α

Context: hf : Pairwise (Disjoint on f)

Context: s : Set α

Context: h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s

Context: hs : Countable ↑s

Context: F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s

Context: A : Injective F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : α → Prop

Context: s : Finset { x // p x }

Context: a : α

Context: h : a ∈ map (Embedding.subtype fun x => p x) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : α → Prop

Context: s : Finset { x // p x }

Context: x : { x // p x }

Context: left✝ : x ∈ s

Context: h : (Embedding.subtype fun x => p x) x ∈ map (Embedding.subtype fun x => p x) s


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
x : β


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
τ : Type u_2
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ R

(eval (⇑(eval g) ∘ f)) p = (eval g) (eval₂ C f p)


(eval (⇑(eval g) ∘ f)) p = eval₂ ((eval g).comp C) (⇑(eval g) ∘ f) p


(eval₂Hom (RingHom.id R) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id R) g) ∘ f)) p = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id R) g).comp C) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id R) g) ∘ f) p


eval₂ (RingHom.id R) (eval₂ (RingHom.id R) g ∘ f) p = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id R) g).comp C) (eval₂ (RingHom.id R) g ∘ f) p


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X Y Z : C

inv (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ inv (F.μ X Y) ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = F.map (α_ X Y Z).hom ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)


(α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)


(α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = (((α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z))) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C

(λ_ (F.obj X)).inv = F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X


(λ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)


(F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)


F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ (𝟙 (F.obj (𝟙_ C ⊗ X)) ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X)) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)


(ρ_ (F.obj X)).inv = F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε


(ρ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)


(F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) ≫ F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)


F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ (𝟙 (F.obj (X ⊗ 𝟙_ C)) ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C))) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)


Context: m n : ℕ+


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : ¬p i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

C (W.addPolynomial x y L) - (Y - C (linePolynomial x y L)) * (W.negPolynomial - C (linePolynomial x y L)) = W.polynomial * 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
h0 : 0 < sSupNormIm f 0
h1 : 0 < sSupNormIm f 1

interpStrip f z = ↑(sSupNormIm f 0) ^ (1 - z) * ↑(sSupNormIm f 1) ^ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

(⋃ i, ⋃ j, s i j) ∩ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ∩ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a x : α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
a x : α
s t : Set α
hst : s ≤ t
h2t : t ≤ insert x s


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: f : β → α

Context: g : γ → α

Context: h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', g x = ∏ b ∈ v', f b

map (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop ≤ map (fun s => ∏ x ∈ s, g x) atTop


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → μ (g '' t) ≤ (ENNReal.ofReal |A.det| + ↑ε) * μ t

μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R

Context: hp0 : ¬p.toReal = 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp0 : ¬p.toReal = 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp0 : ¬p.toReal = 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ↑R


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp0 : ¬p.toReal = 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

sSup {a | ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, a ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f b a‖₊ ^ p.toReal ∂μ} ≤ ↑R ^ p.toReal


Context:
u : XgcdType
hr : u.r = 0


Context:
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u


Context:
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : ↑u.b * u.q = ↑u.a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

Context: d : ℝ

Context: hd' : IsBigOWith d atTop f fun x => x ^ (-a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

Context: d : ℝ

Context: hd' : ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

Context: d e : ℝ

Context: he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

Context: d e : ℝ

Context: he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖

Context: he' : 0 < max e 1


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ n : ℕ

f n - ∑ i ∈ Finset.range n, μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i] = f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
hs : μ s ≠ ⊤


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
j k : Jᵒᵖ
f : j ⟶ k

(Opens.map (F.map f.unop).base).op.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) = op ((Opens.map (colimit.ι F (unop k)).base).obj U)


(Opens.map (F.map f.unop).base).op.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) = op ((Opens.map ((F.map f.unop).base ≫ (colimit.ι F (unop j)).base)).obj U)


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
i j k : Jᵒᵖ
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k

(F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


(F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (F.map f.unop).base).obj ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U))) ≫ ((pushforward C (F.map g.unop).base).obj (F.obj (unop k)).presheaf).map (eqToHom ⋯) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
x y : α


Context:
m n : ℕ∞
hm : m ≠ ⊤


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : D ⥤ C
Z : D
T : Presieve (F.obj Z)
x : FamilyOfElements P T
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : D
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
f₁ : Z₁ ⟶ Z
f₂ : Z₂ ⟶ Z
h₁ : Presieve.functorPullback F T f₁
h₂ : Presieve.functorPullback F T f₂
eq : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

(F.op ⋙ P).map g₁.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₁ h₁) = (F.op ⋙ P).map g₂.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₂ h₂)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: ha : a < b

(if h : ∃ y, a < y then ⋯.min {y | a < y} h else a) ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: ha : a < b


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A

g ((liftOfSurjective f g hg hg') x) = f x


(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (f x)


(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f) x


(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x)


(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x))) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C

(((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app P = F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p


F.map P.decompId_i ≫ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ G.map P.decompId_p = F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p


(((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = τ.app P.X


(((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).map (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ)).app P.X


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f : Polynomial ↥(subfield G F)

Context: hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0

Context: this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype

Context: h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f : Polynomial ↥(subfield G F)

∏ g : G ⧸ stabilizer G x, (Polynomial.X - Polynomial.C (ofQuotientStabilizer G x g)) ∣ Polynomial.map (subfield G F).subtype f


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f : Polynomial ↥(subfield G F)

Context: y : G ⧸ stabilizer G x

Context: g : G

Polynomial.X - Polynomial.C (ofQuotientStabilizer G x ↑g) ∣ Polynomial.map (subfield G F).subtype f


Context: r n : ℕ


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

∀ (x_1 : ℕ), (∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, -x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |-x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

∃ m, -x ≠ ↑m / ↑n ∧ |-x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n

n.choose k • choose r n = choose r k * choose (r - ↑k) (n - k)


(fun x => n.factorial • x) (n.choose k • choose r n) = (fun x => n.factorial • x) (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))


n.factorial • n.choose k • choose r n = n.factorial • (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))


n.choose k • (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.choose k • ((descPochhammer ℤ k).smeval r * (descPochhammer ℤ (n - k)).smeval (r - ↑k))


n.choose k • (descPochhammer ℤ (n - k + k)).smeval r = n.choose k • ((descPochhammer ℤ k).smeval r * (descPochhammer ℤ (n - k)).smeval (r - ↑k))


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y

p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * x ^ (n - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
S : Set α
c : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E

(t.centerMass w fun i => c • z i) = c • t.centerMass w z


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F

Context: i : D.J

(fun i j => F.map (D.t i j)) i i = 𝟙 ((fun i => F.obj (D.V i)) (i, i))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: i j k : D.J

(fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => F.map (D.f i j)) j k) ((fun i j => F.map (D.f i j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k) ≫ (fun i j => F.map (D.t i j)) i j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: i j k : D.J

(fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) j k i ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) k i j = 𝟙 (pullback ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k))


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
h : I = ⊤


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : ¬b ∣ a + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁴ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a✝ b a : α

{b}.truncatedInf a = if b ≤ a then b else ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁴ : BoundedOrder α

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a✝ b a : α

(if h : b ≤ a then (filter (fun x => x ≤ a) {b}).inf' ⋯ fun x => x else ⊥) = if b ≤ a then b else ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι

derivative (nodal s v) = ∑ i ∈ s, nodal (s.erase i) v


derivative (nodal ∅ v) = ∑ i ∈ ∅, nodal (∅.erase i) v


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: v : ι → R

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: IH : derivative (nodal t v) = ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v

derivative (nodal (insert i t) v) = ∑ i_1 ∈ insert i t, nodal ((insert i t).erase i_1) v


Context: a b : ℝ

frontier {z | a ≤ z.re ∧ b ≤ z.im} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ b ≤ z.im}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : n • w s = 0


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : ¬w s = 0 → n = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M


(‖x.1‖ ^ ENNReal.toReal 1 + ‖x.2‖ ^ ENNReal.toReal 1) ^ (1 / ENNReal.toReal 1) = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
hw : w ≠ 0
h : y + z = w


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x a : M

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x a : M

Context: ha : 1 < a

Context: l : ℕ

Context: hk : l.succ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : α
hp : Irreducible p
k : ℕ

normalizedFactors (p ^ k) = Multiset.replicate k (normalize p)


Context: z : ℂ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: κ : Type u_8

Context: inst✝² : AddCommMonoid R

Context: inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: u : κ → α → R

Context: s : Finset κ

Context: aux : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≥ x_1

(∀ k ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u k)) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

(∀ (i : ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackCover f).J), Q ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackHom f i)) ↔ Q f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
l : List α

Chain' R ([a] ++ l) ↔ Chain' R [a] ∧ Chain' R l ∧ ∀ (x : α), x ∈ [a].getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l.head? → R x y


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α

Chain' R (a :: b :: l₁ ++ l₂) ↔ Chain' R (a :: b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y


(R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P

p -ᵥ z ∈ affineSegment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)

∃ u n, discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α


Context:
m n k : ℕ
h : k < n

↑((finRotate (n + 1)) ⟨k, ⋯⟩) = ↑⟨k + 1, ⋯⟩


Context:
m n k : ℕ
h : k < n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a : α

Context: f : Filter α

Context: x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a : α

Context: f : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
b : β


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G

∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

Context: A : ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

Context: A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

Context: B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

Context: B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: H : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ

Context: c_nonneg : 0 ≤ c

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_comp : HasCompactSupport f

Context: ν : Measure G := μ.inv

((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ = ⟨c, c_nonneg⟩ • ∫ (x : G), f x ∂μ


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: hf : Embedding ⇑f

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f

Context: esto : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑Y := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑(pullback.snd f g) ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context:
m : ℕ
n : ℕ∞


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

IsOpen s ↔ ∀ o ∈ s, o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
ho : o ∈ s

s ∈ 𝓝 o ↔ o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 ≤ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H H'

Context: x : M'

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (extChartAt I x).target

Context: this : ChartedSpace H M' := ChartedSpace.comp H H' M'

writtenInExtChartAt I I (↑(chartAt H' x) x) (↑(chartAt H' x).symm) y = y


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂

inr c₂ ∈ sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂


(∃ a₂ b₂ c₂_1, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inr c₂ = inr c₂_1 ∧ c₂_1 ∈ g a₂ b₂) ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂


¬∃ a₁ b₁ c₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ inr c₂ = inl c₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂✝ : γ₂
w✝¹ : α₁
w✝ : β₁
c₂ : γ₁
left✝¹ : a = inl w✝¹
left✝ : b = inl w✝
h : inr c₂✝ = inl c₂
right✝ : c₂ ∈ f w✝¹ w✝


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: H : x ∈ I • N

Context: smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)

Context: add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: H : x ∈ I • N

Context: smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)

Context: H0 : p 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: H : x ∈ I • N

Context: smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)

Context: H0 : p 0

∀ (i : ↥I), ∀ x ∈ map ((LinearMap.lsmul R M) ↑i) N, p x


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α

lt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ lt.Compares b a


eq.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ eq.Compares b a


gt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ gt.Compares b a


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0

Real.sin (angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x + y‖


‖y‖ ≤ ‖x + y‖


‖y‖ * ‖y‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖


Context: A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))


Context: B : volume ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) = 0


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f


Context:
x y : ℤ
hc : x.gcd y ≠ 0


Context:
x y : ℤ
hc : x = 0 ∧ y = 0


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α

IsStronglyCoatomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α


IsStronglyAtomic αᵒᵈᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
r : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : PosNum


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)

M.closure (⋂ i, Is i) = ⋂ i, M.closure (Is i)


⋂ i, M.closure (Is i) = ⋂ J ∈ range Is, M.closure J


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G : Comonad C

Context: M N : Monad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝

Context: f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝

Context: X : C

N.μ.app X ≫ f.inv.app X = (N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G : Comonad C

Context: M N : Monad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: X : C

(N.μ.app X ≫ f.inv.app X) ≫ f.hom.app X = ((N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X) ≫ f.hom.app X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G : Comonad C

Context: M N : Monad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: X : C

N.μ.app X = N.map (𝟙 (N.obj X)) ≫ N.μ.app X


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n k : ℕ
c : R

(⇑derivative)^[k] ((X - C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X - C c) ^ (n - k)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β

UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α

y ∈ closedBall x ε ↔ y ∈ ⋂ δ, ⋂ (_ : δ > ε), ball x δ


(∀ ⦃c : ℝ⦄, ε < c → dist y x < c) ↔ ∀ i > ε, y ∈ ball x i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : OrderedRing α

Context: inst✝⁵ : OrderedRing β

Context: inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrder β

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: n : ℕ

(box (n + 1)).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : OrderedRing α

Context: inst✝⁵ : OrderedRing β

Context: inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrder β

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: n : ℕ

(Icc (-↑n.succ).1 (↑n.succ).1).card * (Icc (-↑n.succ).2 (↑n.succ).2).card - (Icc (-↑n).1 (↑n).1).card * (Icc (-↑n).2 (↑n).2).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
this : 0 < ↑q₂


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : q₁ < q₂
this : 0 < q₂


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : q₁ < q₂
this : 0 < q₂
q : ℚ
hq : 0 < q
hq₁ : q₁ < q ^ n
hq₂ : q ^ n < q₂


Context: w : List ℕ

Context: hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w

Context: i : Fin w.length


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
a : ℚ
f : R[X]


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: α β : Type u

Context: f : α → β

Context: a : (ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α

((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).map f ≫ joinM) a = (joinM ≫ (ofTypeFunctor m).map f) a


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: α : Type u

Context: a : (ofTypeFunctor m).obj ((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α)

((ofTypeFunctor m).map ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app ((ofTypeFunctor m).obj α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: α : Type u

Context: a : (𝟭 (Type u)).obj ((ofTypeFunctor m).obj α)

({ app := @pure m Applicative.toPure, naturality := ⋯ }.app ((ofTypeFunctor m).obj α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = 𝟙 ((𝟭 (Type u)).obj ((ofTypeFunctor m).obj α)) a


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: α : Type u

Context: a : (ofTypeFunctor m).obj ((𝟭 (Type u)).obj α)

((ofTypeFunctor m).map ({ app := @pure m Applicative.toPure, naturality := ⋯ }.app α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = 𝟙 ((ofTypeFunctor m).obj ((𝟭 (Type u)).obj α)) a


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
P : Subobject X
Q : MonoOver X

mk (arrow (Quotient.mk'' Q)) = Quotient.mk'' Q


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
P : Subobject X
Q : MonoOver X
e : (Quotient.mk'' Q).out' ≅ Q


Context: x : ℤ[i]


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯

Context: mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯

Context: n : ℕ

Context: n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx

Context: x : A


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: n : ℕ

Context: x : A


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: n : ℕ

Context: x : A

Context: hx : x ∈ M * M ^ n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero


¬(chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

weightSpace L ((chainTopCoeff (⇑α) β - (chainLength α β).succ) • ⇑α + ⇑β) = ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

weightSpace L (-((chainLength α β).succ • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: a₁✝ a₂✝ : G

Context: h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑of) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑of) a₂✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsGLB (range f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂

S₂.f ≫ e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁ = 𝟙 S₂.X₁


(e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂) ≫ S₂.g = 𝟙 S₂.X₃


(e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: s : S₁.Splitting

Context: e : S₁ ≅ S₂

Context: eq : e.inv.τ₂ ≫ (s.r ≫ S₁.f + S₁.g ≫ s.s) ≫ e.hom.τ₂ = e.inv.τ₂ ≫ 𝟙 S₁.X₂ ≫ e.hom.τ₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: s : S₁.Splitting

Context: e : S₁ ≅ S₂

Context: eq : e.inv.τ₂ ≫ (s.r ≫ S₁.f + S₁.g ≫ s.s) ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
G : Type u_6
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : MonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α


(Multiset.map (⇑g ∘ f) s.val).prod = (Multiset.map (fun x => g (f x)) s.val).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Finite α
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsIrrefl α r


Context:
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s

Measurable fun y => μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' ((fun z => (1, z.1 * z.2)) ⁻¹' univ ×ˢ s))


MeasurableSet ((fun z => (1, z.1 * z.2)) ⁻¹' univ ×ˢ s)


Context:
F : Type u_1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
x : ℂ
A : SL(2, ℤ)

IsBoundedAtImInfty (⇑(SlashInvariantForm.const x) ∣[0] A)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N' : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : MulOneClass M

Context: inst✝³ : MulOneClass N

Context: inst✝² : MulOneClass M'

Context: inst✝¹ : MulOneClass N'

Context: inst✝ : MulOneClass P

Context: C : M ∗ N → Prop

Context: m : M ∗ N

Context: one : C 1

Context: inl_mul : ∀ (m : M) (x : M ∗ N), C x → C (inl m * x)

Context: inr_mul : ∀ (n : N) (x : M ∗ N), C x → C (inr n * x)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N' : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : MulOneClass M

Context: inst✝³ : MulOneClass N

Context: inst✝² : MulOneClass M'

Context: inst✝¹ : MulOneClass N'

Context: inst✝ : MulOneClass P

Context: C : M ∗ N → Prop

Context: one : C 1

Context: x : FreeMonoid (M ⊕ N)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k


(l.rotate ↑k).formPerm.toList (l.get k) ~r l


(l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨(l.length - ↑k % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ~r l


(l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨0, ⋯⟩) ~r l


Context: α : Type u_1

Context: sel : Set α → Option α

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s

Context: h₁ : enumerate sel s n₁ = some a

Context: h₂ : enumerate sel s n₂ = some a