Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: X Y : C

Context: z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: Z₄ : C

Context: t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄

Context: t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄

Context: hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂

Context: hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂

Context: ht : W (z₁.s ≫ t₁)

Context: Z₅ : C

Context: u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅

Context: u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅

Context: hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃

Context: hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃

Context: hu : W (z₂.s ≫ u₂)

Context: Y'✝ : C

Context: v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝

Context: v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝

Context: hv₅ : W v₅

Context: fac : (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).f ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).s = (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).s ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : (u₂ ≫ v₅) ≫ w = (t₂ ≫ v₄) ≫ w


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : u₂ ≫ v₅ ≫ w = t₂ ≫ v₄ ≫ w


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


(if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: x : (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: hst : Disjoint s t

Context: y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i

Context: z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i

Context: e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst

Context: i : ι

updateFinset (updateFinset x s y) t z i = updateFinset x (s ∪ t) ((piFinsetUnion π hst) (y, z)) i


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: x : (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: hst : Disjoint s t

Context: y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i

Context: z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hit : i ∈ t

z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: x : (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: hst : Disjoint s t

Context: y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i

Context: z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hit : i ∉ t

y ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: x : (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: hst : Disjoint s t

Context: y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i

Context: z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i

Context: i : ι

Context: his : i ∉ s

Context: hit : i ∈ t


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R


(∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, id i ⊆ U) ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g

pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst = s.fst


(pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).base = s.fst.base


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ

((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.fst.c.app x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]

P ∈ R[X]⁰ ↔ ∀ (a : R), a • P = 0 → a = 0


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
a✝ : Nontrivial R


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x

deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : M' →ₗ[R] M'
v : ι → M'
i : ι

((b.constr S) (⇑f ∘ v)) (b i) = (f ∘ₗ (b.constr S) v) (b i)


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K : Subgroup G
M✝ : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M✝
M : Type u_8
inst✝ : Monoid M
f : G →* M
x : G


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(limitRightOpIsoOpColimit F).hom ≫ (colimit.ι F (op i)).op = limit.π F.rightOp i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')

setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')

μ ≤ 1 • (μ + μ')


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (μ + μ')

μ + 0 ≤ μ + μ'


Context:
p : ℝ[X]
x : ℝ

HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x


Context:
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0


Context: p : ℝ[X]

HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0


Context:
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p' : Submodule R ↥p


Context:
x✝ : Iterator
h : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true


Context:
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝


Context:
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) x✝


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂

A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)

Context: e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Submodule.map (↑e₁) (LinearMap.range A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

LinearMap.range (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin = (toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

∀ (i : n), (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

(↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

Context: aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

Context: aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) ((Pi.basisFun R n) i) = v₂ (e i)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

Context: aux₁ : A.mulVecLin ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

Context: aux₁ : A.mulVecLin (Pi.single i 1) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j

Context: aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) (Pi.single i 1) = v₂ (e i)


Context: M✝ : Type u_1

Context: N✝ : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: δ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: N : Type u_12

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : SMul M N

Context: H : ∀ (x : M) (y : N), y * x • 1 = x • y

Context: x : M

Context: y z : N


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsStrictOrder α r

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Set α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: hs : (s.sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r

((cons a s ha).sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).WellFoundedOn r


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

(𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen s) fun x => x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝¹ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
x✝ : Set X

x✝ ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen x✝ ↔ x ∈ x✝ ∧ IsOpen x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
h : A.Subsingleton


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
h : ∅.Subsingleton


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
h : {x}.Subsingleton


Context: x✝ y✝ x y : ℂ

cos (x + y * I) = cos x * cosh y - sin x * sinh y * I


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.unitaryGroup ι 𝕜


star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b = 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι

(star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b) i j = 1 i j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : Fintype ι
x hx : ι → α

edist ((Equiv.funUnique ι α).toFun x) ((Equiv.funUnique ι α).toFun hx) = edist x hx


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
this : f.support = g.support


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
s : Finset ι
f : ι → ℝ
h : ∀ x ∈ s, 0 ≤ f x


Context:
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
f : ι → ℝ
h : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ f x


Context: x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ

Context: ι : Type u_1

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 ≤ a

Context: f : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: ihs : (∀ x ∈ s, 0 ≤ f x) → a ^ ∑ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ s, a ^ f x

Context: h : ∀ x ∈ cons i s hi, 0 ≤ f x

a ^ ∑ x ∈ cons i s hi, f x = ∏ x ∈ cons i s hi, a ^ f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝¹ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t✝ t : Finset β
hc : t.card < s.card
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t


Context:
α β γ : Type u
F : Type → Type v
inst✝ : Alternative F
h : Decidable True


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h₁ : b ≤ a

Context: h₂ : c ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)


∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card → (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card → 𝒜.card ≤ 𝒜.shatterer.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card

Context: ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card

Context: ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

(memberSubfamily a 𝒜).card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ 𝒜.shatterer.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

(memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card ≤ 𝒜.shatterer.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∪ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer ∪ ℬ).card ≤ 𝒜.shatterer.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Disjoint ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∪ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer) ℬ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

(memberSubfamily a 𝒜).shatterer ⊆ 𝒜.shatterer


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

Wbtw R x y z ↔ z = y ∨ x ∈ ⇑(lineMap z y) '' Set.Ici 1


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι

generateFrom (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) = generateFrom {t | ∃ k ∈ S, s k = t}


∀ t ∈ piiUnionInter (fun k => {s k}) S, MeasurableSet t


{t | ∃ k ∈ S, s k = t} ⊆ piiUnionInter (fun k => {s k}) S


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context:
z : ℂ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P

(∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w) ↔ ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs fun i => p ↑i) w


(∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 -ᵥ Classical.choice ⋯ = (fs.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w) ↔ ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 -ᵥ Classical.choice ⋯ = (fs.weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) (Classical.choice ⋯)) w


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M

MulAction.orbitRel R ↥p = Setoid.comap Subtype.val (MulAction.orbitRel R M)


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
x y : ↥p

(MulAction.orbitRel R ↥p).Rel x y ↔ (Setoid.comap Subtype.val (MulAction.orbitRel R M)).Rel x y


(MulAction.orbitRel R ↥p).Rel x y ↔ (MulAction.orbitRel R M).Rel ↑x ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
x : ℝ

Measurable fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: x : ℝ

Context: this : (fun a => ↑(hf.stieltjesFunction a) x) = fun a => ⨅ r, f a ↑r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} A
F₁ F₂ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂

J.W ((sheafToPresheaf J A).map φ) ↔ IsIso φ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n : ℤ
x a k a' : α
h : a + k = a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g✝ : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint f
g : ι → ι
hg : f ∘ g ≤ f
a : ι
ha : a ∈ s
b : ι
hb : b ∈ s
h : g a ≠ g b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Countable α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ✝
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝¹ : EMetricSpace γ
inst✝ : EMetricSpace β
f : γ → β

UniformEmbedding f ↔ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : γ}, edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε) ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : γ}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: hz : z ∈ re ⁻¹' {0, 1}

‖F f ε z‖ ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ re ⁻¹' {0, 1}

(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re) * ‖f z‖ ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
m : α × β → γ
f : Filter α
g : Filter β

map m (f ×ˢ g) = (map (fun a b => m (a, b)) f).seq g


∀ (s : Set γ), (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ m ⁻¹' s) ↔ ∃ t ∈ g, ∃ x ∈ f, ∀ x_1 ∈ x, ∀ y ∈ t, m (x_1, y) ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
s : Finset α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : Module 𝕜 E


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s

r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, r₂ • v +ᵥ p₁}


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
h₂ : r₂ ≠ 0

(r₃ / r₂) • (r₂ • v +ᵥ p₁ -ᵥ p₁) = r₃ • v


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x ≤ y
hz : z ≤ 0
this : 0 < y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s

DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ (e.inverse.map (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ (e.inverse.map (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))) ≫ e.unitIso.hom.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitIso.inv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app (e.inverse.obj Y) ≫ (((e.unit.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitIso.inv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


((((e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitIso.inv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counitInv.app (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ (((e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).hom ≫ (e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (((𝟙 (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.toPrefunctor.1 (e.functor.obj (e.inverse.obj Y))))) ≫ (e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.unit.1 (e.inverse.obj Y)) ≫ (((e.inverse.mapIso (e.counitIso.app (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))).inv ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ (((e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map ((e.inverse ⋙ e.functor).map (e.functor.toPrefunctor.2 (e.unit.1 (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj Y)))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ ((e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ (𝟭 C).map (e.inverse.map (e.functor.toPrefunctor.2 (e.unit.1 (e.inverse.obj Y))))) ≫ e.inverse.map (e.functor.map (e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ 𝟙 ((e.functor ⋙ e.inverse).obj ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ e.inverse.map (e.counitIso.inv.app (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ (e.functor ⋙ e.inverse).map (e.inverse.toPrefunctor.2 (e.counit.app Y)) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


e.unit.app ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)) ≫ 𝟙 (e.inverse.obj (e.functor.obj ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y)))) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.toPrefunctor.1 Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


𝟙 ((𝟭 C).obj ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


Context:
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
n✝ : ℕ

(coeff A' n✝) ((map f) (cos A)) = (coeff A' n✝) (cos A')


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c✝ d a b c : G₀


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.45682, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.45686, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45690, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.45694, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.45698, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.45702, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
e : F ≅ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃

((e.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((e.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = 𝟙 (((F.obj (X₁ i₁)).obj (X₂ i₂)).obj (X₃ i₃))


((e.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((e.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = 𝟙 (((F'.obj (X₁ i₁)).obj (X₂ i₂)).obj (X₃ i₃))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Bot α
a b : WithTop α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
U_op : IsOpen U


PathConnectedSpace ↑U ↔ ConnectedSpace ↑U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
U_op : IsOpen U
this : LocPathConnectedSpace ↑U


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : Embedding ⇑f
H₂ : Embedding ⇑g

Embedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : Embedding ⇑f

Context: H₂ : Embedding ⇑g

Context: e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : Embedding ⇑f

Context: H₂ : Embedding ⇑g

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : Embedding ⇑f

Context: H₂ : Embedding ⇑g

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝⁵ : Fintype α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
inst✝² : DecidableRel H.Adj
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
e : α ≃ β
n : ℕ

(SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = ⇑{ toFun := map e.toEmbedding, inj' := ⋯ } '' G.cliqueSet n


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)

Context: hf : Measurable f


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Countable ↑b


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this✝ : Countable ↑b

Context: this : ∀ (s : ↑b), IsClopenable (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Countable ↑b

Context: T : ↑b → TopologicalSpace α

Context: Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t

Context: Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α

Context: h✝ : ∀ (s : ↑b), IsClosed (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)

Context: Topen : ∀ (s : ↑b), IsOpen (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Countable ↑b

Context: T : ↑b → TopologicalSpace α

Context: Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t

Context: Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α

Context: t' : TopologicalSpace α

Context: t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i

Context: t't : t' ≤ t

Context: t'_polish : PolishSpace α


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this✝ : Countable ↑b

Context: T : ↑b → TopologicalSpace α

Context: Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t

Context: Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α

Context: t' : TopologicalSpace α

Context: t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i

Context: t't : t' ≤ t

Context: t'_polish : PolishSpace α

Context: this : Continuous (rangeFactorization f)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: h : ∀ (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' → α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f '' univ ⊆ f' '' univ

Context: p : α → Prop


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

(∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) ↔ ∀ u ∈ supp x, p u


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

Context: h' : ∀ u ∈ supp x, p u

∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

Context: h' : ∀ u ∈ supp x, p u


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

Context: h' : ∀ u ∈ supp x, p u

Context: i : (P F).B a


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

Context: h' : ∀ u ∈ supp x, p u

Context: i : (P F).B a

∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a → α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f i ∈ f_1 '' univ


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : α → Prop

Context: h' : ∀ u ∈ supp x, p u

Context: i : (P F).B a

Context: a' : (P F).A

Context: f' : (P F).B a' → α

Context: xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S T : Set F
hT : IsSubfield T
H : S ⊆ T
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaEven a 1))


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17460, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.17464, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ≌ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ≌ C₄
h : CatCommSq T.functor L R B.functor
X : C₁


(B.symm.unitIso.hom.app (R.obj (T.symm.inverse.obj X)) ≫ B.symm.inverse.map (B.inverse.map (R.map (T.counitIso.inv.app (T.symm.inverse.obj X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.symm.inverse.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.symm.inverse.obj X)))) ≫ B.symm.inverse.map (L.map (T.symm.counitIso.hom.app X))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.hom.app X)) = (T.functor ⋙ R).map (T.unitIso.hom.app X) ≫ iso'.hom.app ((T.functor ⋙ T.inverse).obj X)


(B.counitIso.inv.app (R.obj (T.functor.obj X)) ≫ B.functor.map (B.inverse.map (R.map (T.counitIso.inv.app (T.functor.obj X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X)))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.inv.app X))) ≫ B.functor.map (L.map (T.unitIso.hom.app X)) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))


B.counitIso.inv.app (R.obj (T.functor.obj X)) ≫ B.functor.map (B.inverse.map (R.map (T.functor.map (T.unit.app X))) ≫ B.inverse.map ((iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ B.unitIso.inv.app (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X))) ≫ 𝟙 (L.obj (T.inverse.obj (T.functor.obj X)))) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))


R.map (T.functor.map (T.unit.app X)) ≫ (iso T.functor L R B.functor).hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X)) = R.map (T.functor.map (T.unitIso.hom.app X)) ≫ iso'.hom.app (T.inverse.obj (T.functor.obj X))


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α


Context:
n : ℕ
r : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iSup g)

Context: Af : Antitone f

Context: bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iSup g)

Context: Af : Antitone f

sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup P

Context: inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: x : P

Context: I J K s t : Ideal P

Context: hx : x ∉ I

Context: h : I = I ⊔ principal x


Context:
ι : Type u_1
κ✝¹ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
κ✝ : Type u_6
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β

(↑s).PairwiseDisjoint t → (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f = fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

X P Q ◁ T.mul ≫ actRight P Q = (α_ (X P Q) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(tensorRight (T.X ⊗ T.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ X P Q ◁ T.mul ≫ actRight P Q = (tensorRight (T.X ⊗ T.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ (X P Q) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.mul ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

((P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(((α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.mul) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ▷ T.X) ≫ actRight P Q ▷ T.X) ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ ((α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b✝ : β

Context: q : ℚ

Context: b : β


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x : X

Context: P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

Context: hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f

Context: h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

Context: hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ A


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

Context: hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ A

∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

Context: hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ A

Context: y : X

Context: hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

Context: hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f

Context: x : X

Context: hx : x ∈ A

Context: y : X


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P

dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P

dist b c * dist b d ≤ dist b b * dist c d + dist b c * dist b d


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ c

dist c c * dist b d ≤ dist c b * dist c d + dist b c * dist c d


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ d
hc : c ≠ d

dist d c * dist b d ≤ dist d b * dist c d + dist b c * dist d d


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P

Context: r R : ℝ

Context: a b c d : P

Context: hb : b ≠ a

Context: hc : c ≠ a

Context: hd : d ≠ a

Context: H : dist (inversion a 1 b) (inversion a 1 d) ≤ dist (inversion a 1 b) (inversion a 1 c) + dist (inversion a 1 c) (inversion a 1 d)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P

Context: r R : ℝ

Context: a b c d : P

Context: hb : b ≠ a

Context: hc : c ≠ a

Context: hd : d ≠ a

Context: H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P

Context: r R : ℝ

Context: a b c d : P

Context: hb : 0 < dist b a

Context: hc : 0 < dist c a

Context: hd : 0 < dist d a


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P

Context: r R : ℝ

Context: a b c d : P

Context: hb : 0 < dist b a

Context: hc : 0 < dist c a

Context: hd : 0 < dist d a

dist a c * dist b d / (dist b a * (dist c a * dist d a)) ≤ (dist a b * dist c d + dist b c * dist a d) / (dist b a * (dist c a * dist d a))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

volume (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X

EquicontinuousAt F x ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : Real.Angle


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

↑(↑r * (↑(↑θ).cos + ↑(↑θ).sin * I)).arg = ↑θ


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

∃ k, (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑k


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

(↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
n✝ p : ℕ
hp : Prime p
h2 : p ≠ 2
n : ℕ
hn : p = 2 * n + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : (p * r).natDegree < p.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p r✝ : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: r : R[X]

Context: h0 : p * r ≠ 0

Context: hl : p.natDegree + r.natDegree < p.natDegree


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : FaithfulSMul G α

Context: inst✝ : FaithfulSMul M α

Context: g h : G

Context: ne_one : g ≠ 1

Context: disjoint : Disjoint (fixedBy α g)ᶜ (h • (fixedBy α g)ᶜ)


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : FaithfulSMul G α

Context: inst✝ : FaithfulSMul M α

Context: g h : G

Context: comm : Commute g h


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hlead : f.eraseLead ≠ 0
hnext : f.nextCoeff = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : f.natDegree < 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : R[X]

Context: hnext : f.nextCoeff = 0

Context: hlead : (∃ x, C x = f) ∨ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∃ b, C a * X + C b = f


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest

Context: r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y

∀ (x y : Cofix F), r' x y → Quot.mk r' <$> x.dest = Quot.mk r' <$> y.dest


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ

μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ ⋃ b, spanningSets μ b) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ

∀ (i : ℕ), μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ i) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: n : ℕ

μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: n : ℕ

Context: h_meas_n : MeasurableSet (S n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → E

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: n : ℕ

Context: h_meas_n : MeasurableSet (S n)

Context: hμn : μ (S n) < ⊤


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ tᶜ = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0


Real.sin (angle x y) * -Real.cos (angle x y) + Real.cos (angle x y) * Real.sin (angle x y) = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)) ↔ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: h : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))

Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Set.range (Products.eval C) ⊆ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
E : Set β


((loopyOn E).comap f).E = f ⁻¹' E ∧ ∀ X ⊆ ((loopyOn E).comap f).E, ((loopyOn E).comap f).Indep X → X = ∅


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1

∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0


f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: hm : f.Monic

Context: h : f.natSepDegree = 1

Context: p : F[X]

Context: hM : p.Monic

Context: hI : Irreducible p

Context: hf✝ : p ∣ f

Context: hD : p.natSepDegree = 1

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range

Context: hp : p = X ^ q ^ n - C y

Context: hF : multiplicity.Finite p f

Context: hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0

Context: c : F[X]

Context: hf : f = p ^ (multiplicity p f).get hF * c

Context: H : ¬p ∣ c


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: hm : f.Monic

Context: p : F[X]

Context: hM : p.Monic

Context: hI : Irreducible p

Context: hf✝ : p ∣ f

Context: hD : p.natSepDegree = 1

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range

Context: hp : p = X ^ q ^ n - C y

Context: hF : multiplicity.Finite p f

Context: hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0

Context: c : F[X]

Context: h : c.natDegree = 0

Context: H : ¬p ∣ c


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike K
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module K E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ K E
r : ℝ
x : E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : Integrable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : Integrable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : Integrable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}

Context: hxN : x ∉ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a : α
d₁ : s.Nodup
d₂ : t.Nodup


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
ι' : Sort u_7
inst✝ : CompleteLattice α
s : ι' → α


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : SemilatticeSup α

Context: s : Finset β

Context: H : s.Nonempty

Context: f : β → α

Context: p : α → Prop

Context: hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)

Context: hs : ∀ b ∈ s, p (f b)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : SemilatticeSup α

Context: s : Finset β

Context: H : s.Nonempty

Context: f : β → α

Context: p : α → Prop

Context: hs : ∀ b ∈ s, p (f b)

WithBot.recBotCoe True p (s.sup (WithBot.some ∘ f))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : SemilatticeSup α

Context: s : Finset β

Context: H : s.Nonempty

Context: f : β → α

Context: p : α → Prop

Context: hs : ∀ b ∈ s, p (f b)

Context: a₁ : WithBot α

Context: h₁ : WithBot.recBotCoe True p a₁

Context: a₂ : WithBot α

Context: h₂ : WithBot.recBotCoe True p a₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Iic b = Iic (b + a)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀


EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α

s ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒜 → s ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l : List α

(a :: l).alternatingProd = a / l.alternatingProd


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)

OfScientific.ofScientific (↑n✝¹) false ↑n✝ = ↑x✝


↑(Rat.ofScientific (OfNat.ofNat ↑n✝¹) false (OfNat.ofNat ↑n✝)) = ↑x✝


↑(↑(OfNat.ofNat n✝¹) * 10 ^ OfNat.ofNat n✝) = ↑n✝¹ * 10 ^ n✝


Context:
x : Cardinal.{u_1}
hx : x ≤ ℵ₀


Context: x y z : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω


Context: x y : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : SetLike σ R

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)

Context: r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

↑((r * r') n) = ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : SetLike σ R

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A

Context: r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

∑ i ∈ DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r', ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (i.1 + i.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (r i.1) (r' i.2))) n) = ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp : minpoly R s ∣ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))

map (Sigma.mk a) (comap (g a) l) = comap (Sigma.map f g) (map (Sigma.mk (f a)) l)


(comap (Sigma.map f g) (map (Sigma.mk (f a)) l)).HasBasis (fun s => s ∈ l) fun i => Sigma.mk a '' (g a ⁻¹' id i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))
x✝ : Set (π' (f a))

Sigma.mk a '' (g a ⁻¹' id x✝) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f a) '' id x✝)


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set Gᵐᵒᵖ

(closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {K | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set Gᵐᵒᵖ
a : Subgroup G

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {K | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: p : α → Prop

Context: hswap : ∀ {a b : α}, p a → p b → f a b * f b a = 1

Context: hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a → p b → p c → f a c = f a b * f b c

Context: a b c : α

Context: pa : p a

Context: pb : p b

Context: pc : p c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: p : α → Prop

Context: a b c : α

Context: pa : p a

Context: pb : p b

Context: pc : p c

∀ {a b : α}, p a ∧ p b → f a b * f b a = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: p : α → Prop

Context: a b c : α

Context: pa : p a

Context: pb : p b

Context: pc : p c

∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a ∧ p b → p b ∧ p c → p a ∧ p c → f a c = f a b * f b c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: p : α → Prop

Context: a b c : α

Context: pa : p a

Context: pb : p b

Context: pc : p c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

(swap 0 1).signAux = ∏ x ∈ {⟨1, 0⟩}, if (swap 0 1) x.fst ≤ (swap 0 1) x.snd then -1 else 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a : (_ : Fin (n + 2)) × Fin (n + 2)
ha₁ : a ∈ finPairsLT (n + 2)
ha₂ : a ∉ {⟨1, 0⟩}

(if (swap 0 1) a.fst ≤ (swap 0 1) a.snd then -1 else 1) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₁ : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}

(if (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.fst ≤ (swap 0 1) ⟨a₁, a₂⟩.snd then -1 else 1) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁


(if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨0, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < 0

(if (swap 0 1) 0 ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
H : 0 < a₁


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ : Fin (n + 2)
H : 0 < a₁
ha₂ : ⟨a₁, 0⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : 0 < a₁

(if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) 0 then -1 else 1) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
H : 0 < a₁
H' : 0 < a₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r

(insert a s).PartiallyWellOrderedOn r ↔ s.PartiallyWellOrderedOn r


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G✝

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T

Context: h : x✝.Compatible

Context: hF₁ : CompatiblePreserving K F

Context: hF₂ : CoverPreserving J K F

Context: G : SheafOfTypes K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: x : FamilyOfElements (F.op ⋙ G.val) S.arrows

Context: hx : x.Compatible


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G✝

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T

Context: h : x✝.Compatible

Context: hF₁ : CompatiblePreserving K F

Context: hF₂ : CoverPreserving J K F

Context: G : SheafOfTypes K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: hx : x.Compatible


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G✝

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ.val) T

Context: h : x✝.Compatible

Context: hF₁ : CompatiblePreserving K F

Context: hF₂ : CoverPreserving J K F

Context: G : SheafOfTypes K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: hx : x.Compatible

∀ (y₁ y₂ : (F.op ⋙ G.val).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂


Context: α : Type u

castFreeCommRing = Functor.map fun l => ↑l


Context:
α : Type u
x : FreeRing α


Context:
α : Type u
x : FreeRing α

(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (fun l => ↑l) <$> x


Context:
α : Type u
x : FreeRing α

(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (FreeAbelianGroup.lift ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l)) x


Context:
α : Type u
x : FreeRing α

↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (FreeAbelianGroup.lift ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l)) x


Context:
α : Type u
x : FreeRing α

∀ (x : FreeMonoid α), ↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) (FreeAbelianGroup.of x) = ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l) x


Context:
α : Type u
x : FreeRing α
L : FreeMonoid α

↑(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) (FreeAbelianGroup.of L) = ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l) L


(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of) L = (fun x => FreeAbelianGroup.of ↑x) L


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C

(F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.μ m n').app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (m ◁ g)).app X


(F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.μ m n').app X = (F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n').map ((F.map (𝟙 m)).app X) ≫ (F.μ m n').app X


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
x : α × β
h₁ : x ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
h₂ : x ∈ map (Prod.mk a₂) l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
b₁ : β
left✝ : b₁ ∈ l₂
h₁ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
h₂ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₂) l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ : α
b₁ : β
left✝ : b₁ ∈ l₂
h₁ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
n : a₁ ≠ a₁
h₂ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
mb₂ : b₁ ∈ l₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : a ≠ 0
hab : a ∣ b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
hab : a ∣ b