Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c✝ : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: c : E →L[𝕜] 𝕜

Context: f : Fₗ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c✝ : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: c : E →L[𝕜] 𝕜

Context: f : Fₗ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => x * c) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (b / c) (a / c)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
hl : l.NeBot


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0

IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

comp₂ g hg f₁ f₂ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯


mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) ⋯ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α


(∀ b ∈ Multiset.map f s.val, a ∣ b) ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b


(∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → a ∣ b) ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ f b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i

Context: i j k : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hhead : k ≠ i

Context: hlast : k ≠ j

Context: heq1 : (lift f) w.prod = 1


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j k : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hhead : k ≠ i

Context: hlast : k ≠ j

Context: heq1 : (lift f) w.prod = 1

Context: this : X k ⊆ X i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j k : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hhead : k ≠ i

Context: hlast : k ≠ j

Context: heq1 : (lift f) w.prod = 1

Context: this : X k ⊆ X i

Context: x : α

Context: hx : x ∈ X k


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y z x : M
inst✝ : Nontrivial R


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: z₁ z₂ : Cochain F G n

Context: h : ∀ (p q : ℤ) (hpq : p + n = q), z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: z₁ z₂ : Cochain F G n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n = q

z₁ { p := p, q := q, hpq := hpq } = z₂ { p := p, q := q, hpq := hpq }


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
t : G
p : G → Prop

(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t * x)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x


(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (t * x)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun h => t * h) (ae μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
S : StarSubalgebra R A


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

edist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ edist a₁ b₁ + edist a₂ b₂


↑(nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) ≤ ↑(nndist a₁ b₁) + ↑(nndist a₂ b₂)


nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜

(p n) y = (∏ i : Fin n, y i) • p.coeff n


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
x✝ : Fin n


Context:
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

|(fun n => (↑f n).im) j - (fun n => (↑f n).im) i| < ε


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: h : Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (X ^ n - X - 1))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

∀ (j : StructuredArrow (op i.Y) G.op), (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

(lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

Context: eq : lift hF hR s ≫ R.map (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom ≫ α.app (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).right = liftAux hF α s (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom.unop


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

Context: eq : lift hF hR s ≫ R.map (i.f.op ≫ j.hom) ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

(lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

Context: eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f) = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
ht : 0 ≤ t
hF : ∀ i ∈ ∅, padicNorm p (F i) ≤ t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


(y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α

Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s ≤ f (insert a s)


Context:
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'

UniformCauchySeqOnFilter (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l l'


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε

∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

∀ (x : (ι × ι) × 𝕜), dist (0 x.2) (f' x.1.1 x.2 - f' x.1.2 x.2) < q → dist (0 x.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x.1.1 x.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x.1.2 x.2)) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < q

dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) ≤ q


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)‖ ≤ q


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

∀ (x : 𝕜), ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) x‖ ≤ q * ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

Context: z : 𝕜

‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) z‖ ≤ q * ‖z‖


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

Context: z : 𝕜

‖z • f' n.1.1 n.2 - z • f' n.1.2 n.2‖ ≤ q * ‖z‖


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l' : Filter 𝕜

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : q < ε

Context: n : (ι × ι) × 𝕜

Context: hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

Context: z : 𝕜


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
h : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
h₁ : Tendsto f₁ l atTop
b : β


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

(F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: this : (λ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.ε ▷ F.obj n ≫ F.μ (𝟙_ M) n ≫ F.map (λ_ n).hom).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))

Context: a✝ : x.Compatible


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: a✝ : x.Compatible

(fun t => x.IsAmalgamation t) (x (𝟙 X) ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: a✝ : x.Compatible

∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = x (𝟙 X) ⋯


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: q : ℚ_[p]

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε

(q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: q : ℚ_[p]

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: N : ℕ

Context: heq : q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: q : ℚ_[p]

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: N : ℕ

Context: hne' : ¬q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_1

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p✝ : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i✝ : Fin n

Context: y : α i✝.succ

Context: z : α 0

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : α i

Context: q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j

Context: hx : x ∉ Icc (q₁ i) (q₂ i)

Context: p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : σ.Disjoint τ

(σ * τ).cycleType = σ.cycleType + τ.cycleType


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ

rothNumberNat (M + N) ≤ rothNumberNat M + rothNumberNat N


addRothNumber (range (M + N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (range N)


addRothNumber (range M ∪ map (addLeftEmbedding M) (range N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (map (addLeftEmbedding M) (range N))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
g : Perm α
hn2 : Fintype.card α < n + 2
hng : n ∈ g.cycleType


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle

Context: hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2

Context: hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle

Context: g'1 : g' ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle

Context: g'1 : g' ≠ 1

c.support.card + 2 ≤ (c * g').support.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle

Context: g'1 : g' ≠ 1

c.support.card + 2 ≤ c.support.card + g'.support.card


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0

rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type v

Module.rank R (ι →₀ M) = #ι * Module.rank R M


Context:
z : ℂ
x : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ

n ∈ (derivative p).support ↔ n + 1 ∈ p.support


¬p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) = 0 ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0


¬(n + 1 = 0 ∨ p.coeff (n + 1) = 0) ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0


Context:
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C
W X Y Z : C

(α_ (EnrichedCategory.Hom W X) (EnrichedCategory.Hom X Y) (EnrichedCategory.Hom Y Z)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom W X ◁ eComp V X Y Z ≫ eComp V W X Z = eComp V W X Y ▷ EnrichedCategory.Hom Y Z ≫ eComp V W Y Z


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
this : r ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : (Ideal.span {r}).IsPrime
this : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b₁ < a • b₂
ha : a ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : -a • b₂ < -a • b₁
ha : a ≤ 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction
p : P
hp : p ∈ ↑s1 ∩ ↑s2
q : P


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
t₁ t₂ : Finset β
hf : Injective (f a)

image₂ f {a} (t₁ ∩ t₂) = image₂ f {a} t₁ ∩ image₂ f {a} t₂


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ

(x * (single 0) r).coeff a = x.coeff a * r


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : P


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g

(monoidHomOfForallMemZpowers hg hg') g = g'


Classical.choose ⋯ ≡ 1 [ZMOD ↑(orderOf g')]


Classical.choose ⋯ ≡ 1 [ZMOD ↑(orderOf g)]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
I : Set β
hc : I.Countable
s : β → Set α
this : Encodable ↑I

μ (⋃ b ∈ I, toMeasurable μ (s b)) = μ (⋃ b ∈ I, s b)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hfi : Integrable f μ
hfm : Measurable f
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ

Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set E

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hfm : Measurable f

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ

Context: hfi' : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set E

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hfm : Measurable f

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: h₀i : Integrable (fun x => y₀) μ

Tendsto (fun n => if h : True then if hf : Integrable (fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => ↑(approxOn f hfm s y₀ h₀ n) x) hf) else 0 else 0) atTop (𝓝 (if h : True then if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0 else 0))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

HasFPowerSeriesAt (dslope f z₀) p.fslope z₀


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1
hp0 : p.coeff 0 = f z₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1

Context: hp0 : p.coeff 0 = f z₀

Context: hp : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))

∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff (n + 1)) (dslope f z₀ (z₀ + z))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hpd : deriv f z₀ = p.coeff 1

Context: hp0 : p.coeff 0 = f z₀

Context: x : 𝕜

Context: hx : HasSum (fun n => x ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + x))

HasSum (fun n => x ^ n • p.coeff (n + 1)) (dslope f z₀ (z₀ + x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ l₃ : List α

l₁.diff (l₂ ++ l₃) = (l₁.diff l₂).diff l₃


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: g0 : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g0 : ∀ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) < g0 x

Context: g0_cont : LowerSemicontinuous g0

Context: g0_int : ∫⁻ (x : α), g0 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(AEMeasurable.mk f fmeas x) ∂μ + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: g0 : α → ℝ≥0∞

Context: g0_cont : LowerSemicontinuous g0

Context: s : Set α

Context: hs : {x | (fun x => f x = AEMeasurable.mk f fmeas x) x}ᶜ ⊆ s

Context: smeas : MeasurableSet s

Context: μs : μ s = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: g0 : α → ℝ≥0∞

Context: g0_cont : LowerSemicontinuous g0

Context: s : Set α

Context: smeas : MeasurableSet s

Context: μs : μ s = 0

Context: g1 : α → ℝ≥0∞

Context: le_g1 : ∀ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ≤ g1 x

Context: g1_cont : LowerSemicontinuous g1

Context: g1_int : ∫⁻ (x : α), g1 x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), s.indicator (fun _x => ⊤) x ∂μ + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: g0 : α → ℝ≥0∞

Context: g0_cont : LowerSemicontinuous g0

Context: s : Set α

Context: smeas : MeasurableSet s

Context: μs : μ s = 0

Context: g1 : α → ℝ≥0∞

Context: g1_cont : LowerSemicontinuous g1

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: g0 : α → ℝ≥0∞

Context: g0_cont : LowerSemicontinuous g0

Context: s : Set α

Context: smeas : MeasurableSet s

Context: μs : μ s = 0

Context: g1 : α → ℝ≥0∞

Context: g1_cont : LowerSemicontinuous g1

∫⁻ (x : α), (fun x => g0 x + g1 x) x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A

p ∈ annIdeal 𝕜 a ↔ ∃ s, p = s • annIdealGenerator 𝕜 a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p s

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε


Context:
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞

eLpNorm (f - g) p μ ≤ LpAddConst p * (eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

(tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).hom ⊗ M.mul)) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ M.mul


(tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).hom ⊗ 𝟙 (M.X ⊗ M.X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ M.mul)) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


(tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (M.X ⊗ M.X) ≫ 𝟙_ C ◁ M.mul) ≫ (λ_ M.X).hom = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


tensor_μ C (𝟙_ C, M.X) (𝟙_ C, M.X) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (M.X ⊗ M.X) ≫ (λ_ (M.X ⊗ M.X)).hom ≫ M.mul = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ M.mul = ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
x : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : Inhabited α
l₁ l₂ : List α


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L

map I₁.incl (comap I₁.incl I₂) = I₁ ⊓ I₂


map I₁.incl (comap I₁.incl I₂) = I₁.incl.idealRange ⊓ I₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

↑(f.extend I).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ range ↑I = ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t


Context: n : ℕ

eulerMascheroniConstant < eulerMascheroniSeq' n


Context: n : ℕ

eulerMascheroniConstant ≤ eulerMascheroniSeq' n.succ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype m
e₁ e₂ : m ≃ n
A : Matrix m m R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ∣ f i


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n > 0


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s✝ : Finset ι
f : ι → ℕ
n : ℕ
hf : ∀ i ∈ s✝, n ∣ f i
hn : n > 0
s : ι
hs : s ∈ s✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s


∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀_u : x₀ ∈ u


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥

ramificationIdx f p P = Multiset.count P (normalizedFactors (map f p))


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P


¬Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) + 1 ≤ Multiset.count P (normalizedFactors (map f p))


Context:
X : Type u_1
x : X

(toFreeAbelianGroup.comp (singleAddHom x)) 1 = ((smulAddHom ℤ (FreeAbelianGroup X)).flip (of x)) 1


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
c : ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

(c • μ).testAgainstNN f = c • μ.testAgainstNN f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


a ≤ d ⇨ c ∧ b ≤ d ⇨ c ↔ d ≤ a ⇨ c ∧ d ≤ b ⇨ c


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Bool

Context: f g : α →. σ

Context: hc : Computable c

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: cf : Code

Context: ef : cf.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)

Context: cg : Code

Context: eg : cg.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (g a)

Context: a : α

(((bif c a then cf else cg).eval (encode a)).bind fun b => ↑(decode (a, b).2)) = bif c a then f a else g a


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↥U

hU.fromSpec.val.base (hU.primeIdealOf x) = ↑x


(Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι).val.base (((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base x) = ↑x


(((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι).val.base x = ↑x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M

(((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) ((ι R) m) 0) 0 = (f 1) ![m]


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero

rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: x_ne0 : x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: h e f : L

Context: isSl2 : IsSl2Triple h e f

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

Context: prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α β)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

∃ x, ∃ (_ : x ∈ rootSpace H (n • -⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))), ¬x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x
hne : f x ≠ g x

DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

c ≥ fold min b f s ↔ b ≤ c ∨ ∃ x ∈ s, f x ≤ c


∀ {x y z : β}, x ≥ min y z ↔ x ≥ y ∨ x ≥ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
this : Countable ↑S


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (adjoin R t)


span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) = span R (↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t))


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
z : A

z ∈ ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) ↔ z ∈ ↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t)


∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FinitePresentation → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FinitePresentation


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s

∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
hs : IsOpen ∅

∃ f, support f = ∅ ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: δc : HasSum δ c

Context: c_lt : c < 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: δc : HasSum δ c

Context: c_lt : c < 1

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ r, 0 < r ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: δc : HasSum δ c

Context: c_lt : c < 1

Context: r : ℕ → ℝ

Context: rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n

Context: hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

Context: g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: δc : HasSum δ c

Context: c_lt : c < 1

Context: r : ℕ → ℝ

Context: rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n

Context: S : ∀ (x : E), Summable fun n => (r n • g n) x


Context:
a b : ℝ
h : ↑a < ↑b

∃ x, ↑a < ↑↑x ∧ ↑↑x < ↑b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : 0 < r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : r ≤ 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

(esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}


((powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}


(fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
x✝ : Finset σ

(Finsupp.single (∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1) 1).support = {∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1}


Context:
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b

∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: len_pos : 0 < ENNReal.ofReal (b - a)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: r : ℝ

Context: r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b

Context: hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: r : ℝ

Context: r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b

μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s

nodal (s.erase i) v = nodal s v / (X - C (v i))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × G)
hU : U ∈ 𝓝 1
V W : OpenSubgroup G
h : ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤


t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}


0 ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}


∀ (x : M) (y : N), x ⊗ₜ[R] y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}


∀ (x y : M ⊗[R] N), x ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → x + y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H✝ : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L

Context: α β : Weight K (↥H✝) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: k : K

Context: h : ⇑β = k • ⇑α

Context: h✝ : Nontrivial L

Context: H : β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H✝ : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L

Context: α β : Weight K (↥H✝) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: k : K

Context: h : ⇑β = k • ⇑α

Context: h✝ : Nontrivial L

Context: H : (k • ⇑α) (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H✝ : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L

Context: α β : Weight K (↥H✝) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: k : K

Context: h : ⇑β = k • ⇑α

Context: h✝ : Nontrivial L

Context: H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H✝ : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L

Context: α β : Weight K (↥H✝) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: k : K

Context: h : ⇑β = k • ⇑α

Context: h✝ : Nontrivial L

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β = n + n


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H✝ : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L

Context: α β : Weight K (↥H✝) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: k : K

Context: h : ⇑β = k • ⇑α

Context: h✝ : Nontrivial L

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β = 2 * n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h✝ : (g - f).LimZero ∨ (-(g - f)).Pos
h : (-(g - f)).Pos


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: β₂ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f✝ g s t : ι → α

Context: a b : α

Context: ι₁ : Sort u_9

Context: ι₂ : Sort u_10

Context: κ₁ : ι₁ → Sort u_11

Context: κ₂ : ι₂ → Sort u_12

Context: f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α

⨅ i₁, ⨅ j₁, ⨅ i₂, ⨅ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨅ i₂, ⨅ j₂, ⨅ i₁, ⨅ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

UpperSemicontinuousOn f univ ↔ UpperSemicontinuous f


Context:
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π


Context:
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝ + 2 • ψ = ↑π


Context:
x✝¹ x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝¹ + 2 • ↑x✝ = ↑π


Context: x✝¹ x✝ : ℝ

Context: h : ∃ k, 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k


Context:
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k


Context:
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹


Real.tan (π / 2 - x✝¹ + ↑k * π) = Real.tan (π / 2 - x✝¹)


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
b : Basis PUnit.{u + 1} R M


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a


Function.Injective fun n => let_fun this := Nat.recOn n (mk b he.elim') fun x ih => mk a fun x => ih; this


Context:
G : Type u_1
M : Type u
one₁ : M
mul₁ : M → M → M
one_mul₁ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₁ : ∀ (a : M), a * 1 = a
one₂ : M
one_mul₂ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₂ : ∀ (a : M), a * 1 = a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K


map (Int.castRingHom ℚ) (minpoly ℤ μ) = minpoly ℚ μ


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₀ : ι

Context: hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l

Context: hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀

Context: h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

(nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n


Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (cyclotomic n ℤ))


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop


↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ

∫ (x : α), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f = integral μ f


Context:
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑↑⟨p, hp⟩ ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : 1 ≤ 1 / 2


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D


((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (a : E), u (D⁻¹ • a) ∂μ = 1


(D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : Type ?u.20146

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X

Context: a : typeToPartialFun.obj X✝

((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) X✝).hom ≫ typeToPointed.map f).toFun (some a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : Type ?u.20146

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : typeToPartialFun.obj X✝

((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (Part.some (f a)).toOption


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0

(p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s
hl : ∀ (n : ℕ), IsLindelof (K n)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X

DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ x ∈ S, 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i
h : i ≠ i'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hab : a ≤ b

Context: hfab : f a ≤ f b

Context: hf_c : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf_i : InjOn f (Icc a b)

Context: this : CompleteLinearOrder ↑(Icc a b) := Icc.completeLinearOrder hab

Context: g : ↑(Icc a b) → δ := (Icc a b).restrict f

Context: hgab : g ⊥ ≤ g ⊤


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

(PushoutCocone.unop (colimit.cocone (span f.op g.op))).π.app WalkingCospan.right = (pushout.inr f.op g.op).unop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
B : Set β

(M.mapEquiv f).Base B ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)


(∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X✝ : PresheafedSpace CommRingCat

Context: Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace

Context: H : IsOpenImmersion f✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X✝ : PresheafedSpace CommRingCat

Context: Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace

Context: H : IsOpenImmersion f✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

(toScheme Y f.val).toLocallyRingedSpace = X.toLocallyRingedSpace


Context:
α✝ : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Monoid α✝
inst✝⁶ : DistribMulAction α✝ M
inst✝⁵ : SMulCommClass α✝ R M
α : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Module α R
inst✝² : Module α M
inst✝¹ : SMulCommClass α R M
inst✝ : IsScalarTower α R M
a : α
S : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ ↑S

(DistribMulAction.toLinearMap R M a) x ∈ S


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
R L K : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ hv : IsTranscendenceBasis R v

max #↥(Algebra.adjoin R (Set.range v)) ℵ₀ = max #(MvPolynomial ι R) ℵ₀


max (max (max #R #ι) ℵ₀) ℵ₀ = max (max #R #ι) ℵ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hxy : x ≠ y

{x, y}.infsep ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal


(edist x y ⊓ edist y x).toReal ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal


Context:
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op V ⟶ op V'

f.appLE U V e ≫ X.presheaf.map i = f.appLE U V' ⋯


f.app U ≫ X.presheaf.map ((homOfLE e).op ≫ i) = f.appLE U V' ⋯


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arctan (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) ((divBy s) (mk m t)) = mk m t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span (Set.range fun x => C r * X () - 1) = (Generators.localizationAway r).ker


Ideal.span {C r * X () - 1} = (Generators.localizationAway r).ker


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
hkj : k ≠ j


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: i j k : n

Context: M : Matrix n n α

Context: hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M

Context: hkj : k ≠ j

Context: this : (stdBasisMatrix i j 1 * M) i k = (M * stdBasisMatrix i j 1) i k


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X E : Set α

Context: Base : Set α → Prop

Context: base_exchange : ExchangeProperty Base

Context: subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E

Context: B : Set α

Context: h : Base B ∧ B.Finite


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X E : Set α

Context: Base : Set α → Prop

Context: base_exchange : ExchangeProperty Base

Context: B : Set α

Context: hB : Base B

Context: hfin : B.Finite

∀ X ⊆ E, ExistsMaximalSubsetProperty (fun x => ∃ B, Base B ∧ x ⊆ B) X


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X✝ E : Set α

Context: Base : Set α → Prop

Context: base_exchange : ExchangeProperty Base

Context: B : Set α

Context: hB : Base B

Context: hfin : B.Finite

Context: X : Set α

Context: x✝¹ : X ⊆ E

Context: Y : Set α

Context: x✝ : ∃ B, Base B ∧ Y ⊆ B

Context: B' : Set α

Context: hB' : Base B'

Context: hYB' : Y ⊆ B'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : β), g c ∂κ.fst a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 ∂κ a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
p : α → Prop
hp : ∀ {a b : α}, p (a ⊔ b) ↔ p a ∧ p b
n : ℕ

p ((partialSups f) (n + 1)) ↔ ∀ k ≤ n + 1, p (f k)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i

Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f a i


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ x - ↑a
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ ↑a - x
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℤ
ha : ↑p ^ n ∣ ↑a - x
hb : ↑p ^ n ∣ x - ↑b
this : ↑p ^ n ∣ ↑a - x + (x - ↑b)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : separableClosure F E = ⊥
x : E
hs : IsSeparable F x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

∃ c, b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c ∧ ¬a ∣ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: c : α

Context: hc : b = a ^ (multiplicity a b).get hfin * c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: c : α

Context: k : α

Context: hk : c = a * k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: c k : α

Context: hc : b = a ^ ((multiplicity a b).get hfin + 1) * k

Context: hk : c = a * k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: c k : α

Context: hk : c = a * k

Context: h₁ : a ^ ((multiplicity a b).get hfin + 1) ∣ b


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)₀

φ.realContinuousMapZeroOfNNReal ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f) = φ f


φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal - φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal = φ f


φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal = φ f


φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f).toNNReal = φ 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

¬∃ M, M.IsMaximal ∧ Submodule.colon J (span {x}) ≤ M


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P

Context: a : R

Context: ha : a ∈ J

Context: s : R

Context: hs : s ∈ P.primeCompl

Context: eq : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) x * (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 = (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P

Context: a : R

Context: ha : a ∈ J

Context: s : R

Context: hs : s ∈ P.primeCompl

Context: eq : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P

Context: a : R

Context: ha : a ∈ J

Context: s : R

Context: hs : s ∈ P.primeCompl

Context: eq✝ : (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0

Context: m : R

Context: hm : m ∈ P.primeCompl

Context: eq : ↑⟨m, hm⟩ * (x * ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).2 - ↑(⟨a, ha⟩, ⟨s, hs⟩).1) = 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P

Context: a : R

Context: ha : a ∈ J

Context: s : R

Context: hs : s ∈ P.primeCompl

Context: m : R

Context: hm : m ∈ P.primeCompl