Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
a : ↑(f ⁻¹' s)

𝓝 a = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑a)))


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

Setoid.r s t ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t


t ∈ (Finpartition.ofSetoid h.setoid).part s ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: fp : Finpartition univ := h.finpartition


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R

x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : NonUnitalSubsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : NonUnitalSubsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

Context: y : R

Context: hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: H : NonUnitalSubsemiring R

Context: J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

Context: y : R

Context: z : R

Context: hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M

mapRange ⇑f.symm ⋯ (mapRange ⇑f ⋯ x) = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N

mapRange ⇑f ⋯ (mapRange ⇑f.symm ⋯ x) = x


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⟦x.mulOption y i j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y


⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft j⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
i : ι


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ t : Set α
p : α → Prop
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
htc : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict tᶜ, p x

(μ.restrict t) {x | ¬p x} + (μ.restrict tᶜ) {x | ¬p x} = 0


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I : Box ι

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℝ

Context: y : ι → ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: h : x ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)

Context: h' : optParam (∀ (j : ι), I.lower j < update I.upper i x j) ⋯

I.splitLower i x = ↑{ lower := I.lower, upper := update I.upper i x, lower_lt_upper := h' }


Context:
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : PosDef Q


Context: n : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)

Context: hQ : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap ((LinearMap.toMatrix₂' ℝ).invFun ((↑(LinearMap.toMatrix₂' ℝ)).toFun ((associatedHom ℝ) Q)))).PosDef


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasInitial C
P : C

desc (initial.to P) (𝟙 P) ≫ inr = 𝟙 ((⊥_ C) ⨿ P)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
f : Y ⟶ Z

X ◁ f ≫ (X.braiding Z).hom = (X.braiding Y).hom ≫ f ▷ X


(𝟙 X ⊗ f) ≫ (X.braiding Z).hom = (X.braiding Y).hom ≫ f ▷ X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝² : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝¹ : PreservesColimit F (forget C)

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: D : Cocone F

Context: i j : J

Context: hD : IsColimit D

Context: x : (forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (forget C).obj (F.obj j)

Context: h : (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y

Context: E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D

Context: hE : IsColimit E := isColimitOfPreserves (forget C) hD


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h : ContDiff ℝ 1 f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ₁ ≪ ν
h2 : μ₂ ≪ ν'
s : Set α
hs : (ν + ν') s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ₁ ≪ ν
h2 : μ₂ ≪ ν'
s : Set α
hs : ν s = 0 ∧ ν' s = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ↑n fun y => fderiv 𝕜 f y


Context: n : ℕ


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
b : ℤ
hb : a * n = a * m * b


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
b : ℤ
hb : n = m * b


Context:
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h : Commute (r i, sr j).1 (r i, sr j).2

(fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(r i, sr j), h⟩) = ⟨(r i, sr j), h⟩


Context:
n : ℕ
hn : Odd n
u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯
hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0
i j : ZMod n
h : Commute (sr i, r j).1 (sr i, r j).2

(fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(sr i, r j), h⟩) = ⟨(sr i, r j), h⟩


Context: n : ℕ

Context: hn : Odd n

Context: u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯

Context: hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0

Context: i j : ZMod n

Context: h✝ : Commute (sr i, sr j).1 (sr i, sr j).2

Context: h : j - i = i - j

(fun x => match x with | Sum.inl i => ⟨(sr i, r 0), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inl j) => ⟨(r 0, sr j), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl k)) => ⟨(sr (↑u⁻¹ * k), sr (↑u⁻¹ * k)), ⋯⟩ | Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j))) => ⟨(r i, r j), ⋯⟩) ((fun x => match x with | ⟨(sr i, r a), property⟩ => Sum.inl i | ⟨(r a, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inl j) | ⟨(sr i, sr j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inl (i + j))) | ⟨(r i, r j), property⟩ => Sum.inr (Sum.inr (Sum.inr (i, j)))) ⟨(sr i, sr j), h✝⟩) = ⟨(sr i, sr j), h✝⟩


Context: n : ℕ

Context: hn : Odd n

Context: u : (ZMod n)ˣ := ZMod.unitOfCoprime 2 ⋯

Context: hu : ∀ (a : ZMod n), a + a = 0 ↔ a = 0

Context: i j : ZMod n

Context: h : i = j


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: i : ι

Context: h : optParam (b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ) ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: i : ι

↑(((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨b i, h⟩) = b i


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
L : Type v
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
n : ℕ
hn : (LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n = 0


Context:
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)


Context:
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
this : ⊤ ≤ LinearMap.ker (α - β)


Context:
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
M : ModuleCat ↑B
α β : KaehlerDifferential f ⟶ M
h : ∀ (b : ↑B), α (d b) = β (d b)
this : α - β = 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : InvolutiveInv G
inst✝ : ContinuousInv G
s : Set G
hs : IsCompact s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), StableUnderSpecialization (f '' closure {x})


Context: s t : Set ℝ

interior (s ×ℂ t) = interior s ×ℂ interior t


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α


Context: a b c : ℕ


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M

M ⊨ Language.order.noTopOrderSentence ↔ NoTopOrder M


(∀ (a : M), ∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0) ↔ NoTopOrder M


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
h : NoTopOrder M
a : M

∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝¹ : CountablyGenerated α
left✝ : SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ inst✝¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


(κ a) (Prod.snd ⁻¹' s) = (κ a) {p | p.2 ∈ s}


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Tendsto (fun n => eLpNorm (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a) p ℙ) atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ

Context: hmeas : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: havg : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hℒp : Memℒp (X 0) p ℙ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

UnifIntegrable (fun n ω => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, X i ω) p ℙ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s t : ↥S

(r₁ * ↑s /ₒ t) • (r₂ /ₒ s) = r₁ • r₂ /ₒ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Infinite


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f✝ : α → β
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
f : F
hf : InjOn (⇑f) (s * s)
h : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
habc : f a * f c = f b * f b


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

‖z‖ ≤ ↑(NNReal.sqrt 2) * ‖equivRealProdLm z‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c a b : G


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → β
h : β → G γ
x✝ : t α

traverse (h ∘ g) x✝ = (traverse h ∘ map g) x✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a b : α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: j : ι

(single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a b : α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

(single i (a - b)) i = (single i a - single i b) i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a b : α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: j : ι

Context: h : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α ≃ β
x : α →₀ M
a : β


(mapDomain (⇑f) x) (f (f.symm a)) = x (f.symm a)


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ℕ → ι
p : ι → Prop
l : Filter ι
h_tendsto : Tendsto x atTop l
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)

∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ℕ → ι
p : ι → Prop
l : Filter ι
h_tendsto : Tendsto x atTop l
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
ns : ℕ → ℕ
hge : ∀ (a : ℕ), ns a ≥ a
hns : ∀ (a : ℕ), p (x (ns a))


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
hpq : p ≤ q
x : ↥(comap q.subtype p)

(fun x => ⟨⟨↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ({ toFun := fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
hpq : p ≤ q
x : ↥p

{ toFun := fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun x => ⟨⟨↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) x) = x


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
c₁✝ c₂✝ r x y z : R
a✝ b c : ℍ[R,c₁✝,c₂✝]
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

c > fold min b f s ↔ b < c ∨ ∃ x ∈ s, f x < c


∀ {x y z : β}, x > min y z ↔ x > y ∨ x > z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B c : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

convexBodySumFun (c • x) = |c| * convexBodySumFun x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: p : Sort u

Context: f : M → ↥S → p

Context: H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d

Context: a : M

Context: b : ↥S

((monoidOf S).mk' a b).liftOn f H = f a b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl (Φ p)) (Sum.inr (Ψ p)) = ε


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: p : Z

Context: this : ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0


Context:
α : Type u_1
l : List α
x : α


Context:
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹


instTopologicalSpaceUnits = TopologicalSpace.induced val inst✝


∀ (x : Mˣ), ContinuousAt (fun u => ↑u⁻¹) x


Context:
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 ((fun u => ↑u⁻¹) u)


Context:
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 (f ↑u)

(fun u => f ↑u) ⁻¹' s ∈ comap val (𝓝 ↑u)


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: inst✝ : FiniteDimensional K M

Context: hf : f.IsSemisimple

Context: p : K[X]

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}

Context: this✝ : Finite K R

Context: this : IsReduced R

(aeval ((aeval f) p)) (minpoly K ((Ideal.Quotient.mkₐ K (Ideal.span {minpoly K f})) p)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : NonUnitalRing R

Context: inst✝¹ : PartialOrder R

Context: inst✝ : StarRing R

Context: h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y

Context: h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ ∃ s, x = star s * s

Context: this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

∀ (x y : R), x ≤ y ↔ ∃ s, y = x + star s * s


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : (∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ) * ⊤ < ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
t : R
n : ℤ


(if 0 = n then t else 0) = if n = 0 then t else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: p : β → β → Prop

Context: a b : α

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (a b : α), r a b → TransGen p (f a) (f b)

Context: hab : TransGen r a b


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop


sSup (Subtype.val '' range fun i => f i) = ⨆ i, ↑(f i)


Context:
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r


Context: m n : ℕ


Context: a b : ℤ


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context: α : Type u_1

Context: l r : Ordnode α

Context: H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

(∃ l', Raised l' r.dual.size ∧ BalancedSz l' l.dual.size) ∨ ∃ r', Raised l.dual.size r' ∧ BalancedSz r.dual.size r'


Context: α : Type u_1

Context: l r : Ordnode α

(∃ l', Raised l' r.size ∧ BalancedSz l' l.size) ∨ ∃ r', Raised l.size r' ∧ BalancedSz r.size r'


Context:
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit G
inst✝ : HasLimit (curry.obj G ⋙ lim)
j : J
k : K

(limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G (j, k) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k


(limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G (j, k) = (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
m : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ

(⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n] = ⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x)))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x y : S
hy : y ∈ ↑(conductor R x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂(condexpKernel μ m) ω) μ


Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol

Tendsto (fun π => (integralSum f vol π.1, integralSum f vol π.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}) (𝓤 F)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2


∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: hU : (π₁, π₂) ∈ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}

Context: h₁ : (π₁, π₂).1 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}

Context: h₂ : (π₁, π₂).2 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}

(integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

(integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε / 2 + ε / 2}


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l r : List α✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
x : M


(∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

∀ (u : ℕ → E), CauchySeq u → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: hf₂ : Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖

Context: v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: a : E

Context: ha : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) atTop (𝓝 a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: a : E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: a : E

Context: ha : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0)) atTop (𝓝 a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: a : E

Context: h₁ : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0) + u (f 0)) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
x y : α

(x, y) ∈ closure s ↔ (x, y) ∈ ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ s ○ V


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
t : Submonoid N


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Finite ι₂
inst✝² : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
A : Type u_6
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

toMvPolynomial (basis A b₁) (basis A b₂) (baseChange A f) i = (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
x✝³ x✝² : C
x✝¹ x✝ : x✝³ ⟶ x✝²


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f
this : Countable ↑u


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hab : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume

Context: hf : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 c)

Context: hu : Tendsto u lt la

Context: hv : Tendsto v lt la

(fun t => ((∫ (x : ℝ) in v t..b, f x) - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x) + (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) (expZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

(fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) = fun b => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

(Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) + Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) / ↑n ^ s = Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s + I * (Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
v : V₁


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
v₁ v₂ : V₁

↑((fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) (v₁ + v₂)) = ↑((fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v₁ + (fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v₂)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ

∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v‖ ≤ C * ‖v‖


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
C : ℝ
_C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖φ x‖ ≤ C * ‖x‖


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → (fun i => ↑(f i)) n ≤ (fun i => ↑(f i)) m

(Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * (fun i => ↑(f i)) (u k)) ↔ Summable fun i => ↑(f i)


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

(Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k))


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: f : ℕ → ℝ≥0

(Summable fun k => ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v

CompleteLattice.Independent fun i => span R {v i}


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι

Disjoint (span R {v i}) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j})


span R {v i} ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j} ≤ ⊥


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: m : M

Context: hm : m ∈ span R {v i} ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), span R {v j}


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: m : M

Context: hm : (∃ a, a • v i = m) ∧ m ∈ ⨆ x, span R {v ↑x}


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: m : M

Context: hm : (∃ a, a • v i = m) ∧ m ∈ span R (range fun x => v ↑x)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: r : R

Context: hm : r • v i ∈ span R (range fun x => v ↑x)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: r : R


Context: R : Type u

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L : Ideal R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I : ι → R

Context: hI : ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime (I i) (I j)


Context: R : Type u

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L : Ideal R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I : ι → R

(↑Finset.univ).Pairwise (IsCoprime on I)


Context:
α✝ : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt

Context: e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ Nonempty (IsColimit (Cocone.whisker e.inverse c'))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

(whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom) ≫ c.ι = (Cocone.whisker e.inverse c').ι ≫ (Functor.const K).map f


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.119287, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.119294, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

∀ (j : K), IsPullback ((Cocone.whisker e.inverse c').ι.app j) ((whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom).app j) f (c.ι.app j)


Context:
a x z : ℂ
θ : Real.Angle


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hx : f x ∈ s


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root


∀ (P₁ P₂ : RootSystem ι R M N), P₁.toLin = P₂.toLin → P₁.root = P₂.root → range ⇑P₁.coroot ⊆ range ⇑P₂.coroot


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι


P₁.toLin.flip (P₂.coroot i) = P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)


(P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)) (P₁.root i) = 2


MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)


(P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)) (P₁.root i) = 2


MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : G → CoeSort.coe A
g : G × G


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : G → CoeSort.coe A
g : G × G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
t : Set α
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν

Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s) = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict t)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (r • f)) s = (r • μ.withDensity f) s


∫⁻ (a : α) in s, (r • f) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, r * f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
l : Filter α
P : Set α → Prop

l.HasBasis (fun s => s ∈ l ∧ P s) id ↔ ∀ t ∈ l, ∃ r ∈ l, P r ∧ r ⊆ t


(∀ (t : Set α), t ∈ l ↔ ∃ i ∈ l, P i ∧ i ⊆ t) ↔ ∀ t ∈ l, ∃ r ∈ l, P r ∧ r ⊆ t


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

(pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫ pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) = (gluing 𝒰 f g).ι i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]

p ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]

∀ (a : R), C a ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]

∀ (p q : R[X]), p ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → q ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → p + q ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]

∀ (n : ℕ) (a : R), C a * X ^ n ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) → C a * X ^ (n + 1) ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
o : Set X
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : o ∩ s ⊆ t


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b : G
h : a * b = 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Finmap β

x.Disjoint (y ∪ z) ↔ x.Disjoint y ∧ x.Disjoint z


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤


Context:
x : ℝ
p : ℤ[X]
hx : Irrational x
p_nonzero : p ≠ 0
x_is_root : (aeval x) p = 0


Context:
x : ℝ
p : ℤ[X]
hx : Irrational x
p_nonzero : p ≠ 0
x_is_root : (aeval x) p = 0
rid : ¬1 < p.natDegree


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: a b : ℤ

Context: p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0

Context: x_is_root : (aeval x) (C a * X + C b) = 0

Context: rid : ¬1 < (C a * X + C b).natDegree


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: a b : ℤ

Context: p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: a b : ℤ

Context: p_nonzero : C a * X + C b ≠ 0

Context: this : ↑a * x = -↑b


Context:
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt f r


Context:
r : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt f r
g : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq g).IsSt r


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : ℕ

eval (↑a + ↑b) (descPochhammer ℤ b) = ↑((a + 1).ascFactorial b)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
m : ℕ

truncateFun n (x ^ m) = truncateFun n x ^ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Measurable (s.piecewise f fun x => f default)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

∀ (s_1 : Set β), IsOpen s_1 → MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' s_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: t : Set β

Context: ht : IsOpen t

MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: t : Set β

Context: ht : IsOpen t

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: hu : f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: t : Set β

Context: ht : IsOpen t

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: hu : f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

MeasurableSet (u ∩ s ∪ (fun x => f default) ⁻¹' t \ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hf0 : Summable fun x => f x x₀

Context: hx : x ∈ s

Context: this : DecidableEq α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀

Context: hx : x ∈ s

Context: this : DecidableEq α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: this : DecidableEq α

Context: A : UniformCauchySeqOn (fun t x => ∑ i ∈ t, f' i x) atTop s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y✝ : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: this : DecidableEq α

Context: t : Finset α

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

HasFDerivAt ((fun t x => ∑ i ∈ t, f i x) t) (∑ i ∈ t, f' i y) y


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q R : Karoubi C
g : Q.Hom R
f : P.Hom Q


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M

(trace R M) (f * (g * h)) = (trace R M) (h * (f * g))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.8873, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
j : J

F.map (e.hom j) ≫ F.map (e.inv j) = 𝟙 (F.obj (X j))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ

Tendsto (fun x => |x| ^ s * rexp (-a * x ^ 2)) (cocompact ℝ) (𝓝 0)


Tendsto (fun x => |x| ^ s * rexp (-a * |x| ^ 2)) (cocompact ℝ) (𝓝 0)


Tendsto (fun y => y ^ s * rexp (-a * y ^ 2)) atTop (𝓝 0)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M →[L] N


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S

restrictScalars F (extendScalars h) = restrictScalars F (adjoin (↥K) S)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hbf : x ∈ support (f • g)
hf : g x = 0


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}

ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)


Context: α β : Type u

Context: a b : Cardinal.{u_1}

Context: h : ¬a * b < ℵ₀ ↔ ¬(a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀) := Iff.not mul_lt_aleph0_iff


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

Context: h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0

count K v (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v) = exps v


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v = { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ }.prod fun x x_1 => ↑x.asIdeal ^ x_1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

∏ i ∈ Finite.toFinset h_exps, ↑i.asIdeal ^ exps i = ∏ a ∈ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ }.support, ↑a.asIdeal ^ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ } a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

(mulSupport fun v => ↑v.asIdeal ^ exps v) ⊆ ↑(Finite.toFinset h_exps)


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun b => a * rexp (-π * (↑b + a ^ 2) * t)) (a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ [x-[𝕜]y]
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z

(fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x : α


Context: a b : Rat

{ num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯


Context:
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0


Context:
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0
H2 : b.num.natAbs.gcd a.den ≠ 0


normalize (a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den) * ↑(a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) (a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den) * (a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) ⋯ = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M


∃ x, LinearIndependent R fun i => Fin.cons x v ((finRotate (n + 1)) i)


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
x : M
hx : LinearIndependent R (Fin.cons x v)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix l m α
D : Matrix l n α
inst✝ : Invertible A

fromBlocks A B C D = fromBlocks 1 0 (C * ⅟A) 1 * fromBlocks A 0 0 (D - C * ⅟A * B) * fromBlocks 1 (⅟A * B) 0 1


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: f : α × β → δ → m (ForInStep δ)

Context: key✝ : α

Context: value✝ : β

Context: tail✝ : AssocList α β

Context: tail_ih✝ : ∀ (init : δ), tail✝.forIn init f = List.forIn.loop f tail✝.toList init

Context: init : δ

(fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: f : α × β → δ → m (ForInStep δ)

Context: key✝ : α

Context: value✝ : β

Context: tail✝ : AssocList α β

Context: init : δ

Context: a : ForInStep δ

(match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
u : ∀ m ∈ h :: t, IsUnit m


Context:
α : Type u
c : α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
x : M
hx : x ∈ s


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R

comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) = id


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R

comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = id x


Context: x y : ℝ*

Context: r s : ℝ

Context: hxr : x.IsSt r

Context: hys : y.IsSt s

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)


Context: y : ℝ*

Context: r s : ℝ

Context: hys : y.IsSt s

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ

Context: x : ℕ → ℝ

Context: hxr : (ofSeq x).IsSt r


Context: r s : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ

Context: x : ℕ → ℝ

Context: hxr : (ofSeq x).IsSt r

Context: y : ℕ → ℝ

Context: hys : (ofSeq y).IsSt s

IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) (ofSeq y)) (f r s)


Context: r s : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ

Context: x : ℕ → ℝ

Context: hxr : Tendsto x (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)

Context: y : ℕ → ℝ

Context: hys : Tendsto y (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 ≤ a
this : 1 / a ≤ 1 / -1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: f : α → β

Context: v₁ v₂ : β →₀ M

Context: hv₁ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₁.support)

Context: hv₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₂.support)

Context: hv₁₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(v₁ + v₂).support)

Context: a✝ : α

(comapDomain f (v₁ + v₂) hv₁₂) a✝ = (comapDomain f v₁ hv₁ + comapDomain f v₂ hv₂) a✝


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : List Γ

map f (mk₂ L R) = mk₂ (List.map f.f L) (List.map f.f R)


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a

(ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = (ringEquivCongr ⋯) x


(ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = ((ringEquivCongr hab).trans (ringEquivCongr hbc)) x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s • m) s) = f m


Context:
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
inst✝ : IsIso η


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a

iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
htm : MeasurableSet t
ht : ∀ (i : ι), (f i) t = (f i) s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

(x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃ op y = op x ◃ op y

(x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m : Multiset α
hms : ∀ a ∈ m, a ∈ s


∑ x ∈ Finset.filter (fun x => count x m ≠ 0) s, count x m = ∑ a ∈ m.toFinset, count a m


Context:
m n✝ n : ℕ
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context:
α : Type u_1
s✝ : HeapNode α
n : Nat
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α

(toHeap.go (node a c s) n res).realSize = (node a c s).realSize + res.realSize


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A T : C
hT : IsTerminal T
inst✝ : Mono (hT.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0

(↑(Ideal.span {x}))⁻¹ * ↑(Ideal.span {x}) = 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Star α

Mᴴ.updateRow j (star c) = (M.updateColumn j c)ᴴ


((M.map star).updateColumn j (star c))ᵀ = ((M.map star).updateColumn j (star ∘ c))ᵀ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α ds
h : x.CPRankMax1
h' : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.10354
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
g : γ → α
s : Set β

MapsTo f (range g) s ↔ MapsTo (f ∘ g) univ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
c : 𝕜
f : α → 𝕜
hc : c ≠ 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1

Context: J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})

Context: h : J = ⊤


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1

Context: h : J = ⊤

Context: hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1

Context: h : J = ⊤

Context: this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: I : (FractionalIdeal S A)ˣ

Context: v : A

Context: hv : v ∈ ↑I⁻¹

Context: hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1

Context: h : J = ⊤

Context: this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}

Context: w : A

Context: hw : w ∈ ↑↑I

Context: hvw : w * v = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
h : ∀ (g : α), g • ↑s = op g • ↑s
a : α
ha : a ∈ s
g : α


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)


∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc (-A) A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ


∫ (y : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator id y ^ n ∂Measure.map f μ = ∫ (x : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator (fun x => x ^ n) x ∂Measure.map f μ


AEStronglyMeasurable (fun z => (Set.Ioc (-A) A).indicator id z ^ n) (Measure.map f μ)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E

IsLeast {C | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊} ‖f‖₊


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z


Context:
α β : Type u
n : ℕ

↑n + ℵ₀ = ℵ₀


Context:
x✝ y z a x : ℝ
ha : a < 0

HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * log a - rexp (log a * x) * sin (x * π) * π) x


Context:
n : ℕ
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin n) → p i) → τ
args : (i : Fin n) → p i


Context:
α : Type u_1
xs : LazyList α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β

∀ (p q : β × β), dist (p.1 * p.2) (q.1 * q.2) ≤ ↑(LipschitzMul.C β) * dist p q


LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p => p.1 * p.2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : IsNoetherianRing R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context:
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hg : g ≠ 0

(idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) = (idealX K).intValuation f / (idealX K).intValuation g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

(𝟭 C).map f✝ ≫ (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) Y✝ = (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝


(adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X✝) (F.obj Y✝)) (F.map ((𝟭 C).map f✝) ≫ 𝟙 (F.obj Y✝)) = (adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X✝) (F.obj Y✝)) (𝟙 (F.obj X✝) ≫ F.map f✝)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : D
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

(G ⋙ F).map f✝ ≫ (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) Y✝ = (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) X✝ ≫ (𝟭 D).map f✝


(adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (G.map f✝ ≫ 𝟙 (G.obj Y✝)) = (adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (𝟙 (G.obj X✝) ≫ G.map ((𝟭 D).map f✝))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y

(adj.homEquiv X Y) f = { app := fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)), naturality := ⋯ }.app X ≫ G.map f


(adj.homEquiv X Y) f = (adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X) Y) (𝟙 (F.obj X) ≫ f)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : X ⟶ G.obj Y

(adj.homEquiv X Y).symm f = F.map f ≫ { app := fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y)), naturality := ⋯ }.app Y


(adj.homEquiv X Y).symm f = (adj.homEquiv X ((𝟭 D).obj Y)).symm (f ≫ 𝟙 (G.obj Y))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
h : ∀ (a b : α), b ∈ f a → a = b
l : List α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ

((lcoeff R n ∘ₗ taylor r) ∘ₗ monomial i) 1 = ((leval r ∘ₗ hasseDeriv n) ∘ₗ monomial i) 1


∑ x ∈ Finset.range (i + 1), (lcoeff R n) (X ^ x * C r ^ (i - x) * ↑(i.choose x)) = ↑(i.choose n) * r ^ (i - n)


(if n < i + 1 then r ^ (i - n) * ↑(i.choose n) else 0) = r ^ (i - n) * ↑(i.choose n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ
h : i + 1 ≤ n


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y'

Context: i : LocallyConnectedSpace Y

Context: h : X ≃ₜ Y

Context: this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ h x ∈ s ∧ IsConnected s) fun x => ⇑h.symm '' x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y'

Context: i : LocallyConnectedSpace Y

Context: h : X ≃ₜ Y

Context: x✝¹ : X

Context: x✝ : Set Y

Context: hs : IsOpen x✝ ∧ h x✝¹ ∈ x✝ ∧ IsConnected x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F

Continuous fun a => y (((toWOT 𝕜 E F) a) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj (J.plusObj P))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y) → x = y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))

(∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y) → x = y


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
hf : Inducing f


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
h : ¬M.Base I


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
h : ¬M.Base I
e : α
heBI : e ∈ B \ I
he : M.Indep (insert e I)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

toIcoMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p


(c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIcoMod hp a b = c


(c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIcoMod hp a b = c


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n✝ n : ℤ
hc : b - n • p ∈ Set.Ico a (a + p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)

Context: hfm : Monotone f

Context: k : ℕ

l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfm : Monotone f

Context: k : ℕ

Context: ha : Antitone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i


Context:
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

Tendsto log (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (↑(Real.log (abs z)) - ↑π * I))


Context:
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

𝓝 (↑(Real.log (abs z)) - ↑π * I) = 𝓝 ((ofReal' ∘ fun x => Real.log (abs x)) z + ↑(-π) * I)


Context:
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

convexBodySumFun x = ∑ w : { w // w.IsReal }, ‖x.1 w‖ + 2 * ∑ w : { w // w.IsComplex }, ‖x.2 w‖


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

∑ x_1 ∈ Finset.subtype IsReal Finset.univ, ↑(↑x_1).mult * (normAtPlace ↑x_1) x + ∑ x_1 ∈ Finset.subtype (fun x => x.IsComplex) Finset.univ, ↑(↑x_1).mult * (normAtPlace ↑x_1) x = ∑ x_1 ∈ Finset.subtype IsReal Finset.univ, ‖x.1 x_1‖ + ∑ i ∈ Finset.subtype IsComplex Finset.univ, 2 * ‖x.2 i‖


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Monotone f
hg : Monotone g

Monotone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Iio a).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G✝ : Type u_4
inst✝¹² : Mul G✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H G✝
inst✝⁹ : SmoothMul I G✝
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M
g✝ h✝ : G✝
G : Type u_8
inst✝³ : Semigroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ChartedSpace H G
inst✝ : SmoothMul I G
g h x✝ : G

(𝑳 I (g * h)) x✝ = ((𝑳 I g).comp (𝑳 I h)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Periodic f c
a : γ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: f : ι → α

Context: hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ V₀

Context: x y : ι

Context: h : f x ≠ f y


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2

Context: h₁ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: h₀ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => ‖w‖ ^ 2

Context: h₂ : ContDiff ℝ ⊤ fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 1 - b
hab : 1 - b + b = 1


Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n✝ : ℕ
n : ℤ
ha : a ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y