Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

Context: h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

Context: this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: μ : S

Context: n : ℕ+

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : S ≃ₐ[R] S

h.choose % orderOf μ ≡ h.choose [MOD orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity]


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


∀ (X_1 : Over X), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map f ⋙ map g).obj X_1


autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map f ⋙ map g).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v

W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s

variationOnFromTo f s a b = variationOnFromTo f s a c ↔ variationOnFromTo f s b c = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β
k✝ : ℕ
a✝ : k✝ < n


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : Function.Injective ⇑f
hf₂ : f.IsIntegral


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
x : E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

((ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = 𝟙 P.X


(ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ P.actRight = 𝟙 P.X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥

⨆ n, ↑(approx i f n) a = ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
n : ℕ

↑(approx i f n) a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
k : ℕ
hk : i k ≤ f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
u : αˣ
hu : a * ↑u = b
x✝ : IsUnit a
v : αˣ
hv : ↑v = a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ


∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = f (p.coeff n)


∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = ∑ x ∈ p.support, f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n x : ℕ
_hx : x ∈ p.support

((C.comp f) (p.coeff x) * X ^ x).coeff n = f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)


(if n = x then f (p.coeff x) else 0) = f (if n = x then p.coeff x else 0)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
f : ι → M₀
hn : n ≠ 0
x✝ : ι

(x✝ ∈ support fun a => f a ^ n) ↔ x✝ ∈ support f


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 2 ≤ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

Context: hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

Context: hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : z ∈ Ico x y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

Context: hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : z ∈ Ico x y

Context: zt : z ∈ tᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

Context: hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : z ∈ Ico x y

Context: zt : z ∈ tᶜ

Context: this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b x y : α

Context: s t : Set α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

Context: hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : z ∈ Ico x y

Context: zt : z ∈ tᶜ

Context: this✝ : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z

Context: this : Ioc z y ⊆ s ∪ t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
h : IsPredLimit (pred a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
h : IsPredLimit (pred a)
H : ¬IsMin a


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K

Context: μ : K

Context: hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ

∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K

Context: μ : K

Context: h✝ : IsEmpty n


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K

Context: μ : K

Context: h✝ : Nonempty n


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts' : ι → TopologicalSpace E
h' : ∀ (i : ι), LocallyConvexSpace 𝕜 E


∀ t ∈ range fun i => ts' i, LocallyConvexSpace 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hst : MapsTo f s t
hy : y = f x


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x✝ : A

x✝ ∈ LinearMap.range (toAlgHom R (↥S) A) ↔ x✝ ∈ toSubmodule S


(∃ y, (algebraMap (↥S) A) y = x✝) ↔ ∃ y, (toSubmodule S).subtype y = x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h1 : c ≤ a

Context: h2 : c ≤ b


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

IsPurelyInseparable F E ↔ perfectClosure F E = ⊤


(∀ (x : E), ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range) ↔ perfectClosure F E = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n : ℕ

l.enum[n]? = Option.map (fun a => (n, a)) l[n]?


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced

l.size + r.size + 1 = r.dual.size + l.dual.size + 1


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : List α


FreeMonoid.toList (List.traverse (Const.mk' ∘ FreeMonoid.of) xs) = xs


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Continuous fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ


∀ (x : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) g


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)


(fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) ≤ ?m.114467


Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

Context: this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s

(map (fun x => x * g) μ) s = 0 → μ s = 0


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
y z : M
hyz : SameRay R y z
hxy : SameRay R 0 y
hy : y = 0 → 0 = 0 ∨ z = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y : M
hxy : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hyz : SameRay R y 0
hy : y = 0 → x = 0 ∨ 0 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x z : M
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hxy : SameRay R x 0
hyz : SameRay R 0 z
hy : 0 = 0 → x = 0 ∨ z = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α


μ (if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s then h.choose else if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) = μ s


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s

((ofSet s hs).trans e).source = (e.restr s).source


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x : M ⊗[R] N

Context: h : ∀ (m₁ m₂ : M) (n₁ n₂ : N), ∃ m n, m₁ ⊗ₜ[R] n₁ + m₂ ⊗ₜ[R] n₂ = m ⊗ₜ[R] n


Context:
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 r

HasSum (fun n => (p n) fun x => z) (f (x + y + z - y))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y

(algebraMap A B) (mk' A (x * y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx * mk' A y hy)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hX : Memℒp X 2 μ

Context: this : eLpNorm (X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ ^ 2 < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hX : Memℒp X 2 μ

Context: this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖(X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) x‖₊ ^ ENNReal.toReal 2 ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal 2)) ^ 2 < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hX : Memℒp X 2 μ

Context: this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ) ^ 2⁻¹) ^ 2 < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hX : Memℒp X 2 μ

Context: this : ∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = Lp.boundedContinuousFunction E p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

↑(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ) = Set.range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (closedBall x r)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x
r : ℝ
hr : closedBall x r ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : IsHomogeneous 𝒜 I
HJ : IsHomogeneous 𝒜 J


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

∃ S, span (Subtype.val '' s₁) * span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)


∃ S, span (Subtype.val '' s₁ * Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0

I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1


spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
generator_I_eq_zero : generator ↑I = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)


∀ ⦃x : Finset α⦄, (𝓓 a 𝒜).Shatters x → 𝒜.Shatters x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e₁₂ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
e₂₃ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃
x : CliffordAlgebra Q₁

((equivOfIsometry e₁₂).trans (equivOfIsometry e₂₃)) x = (equivOfIsometry (e₁₂.trans e₂₃)) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p : α → β → Prop

(∀ a ∈ s, ∀ (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, p a b


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e

map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i)) = Measure.pi μ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

(map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i))) (univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

(Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

Context: s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

Context: this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

∀ (i : ι'), i ∈ Finset.univ ↔ e.symm i ∈ Finset.univ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

∀ i ∈ Finset.univ, (μ i) (s i) = (μ (e (e.symm i))) (s' (e.symm i))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: hι' : Fintype ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι') → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι') → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

Context: i : ι'

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: e : ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root α, (rootSystem H).root β]

(rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: e : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root α ≠ (rootSystem H).root β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: e : ∃ x, x • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: u : K

Context: hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: u : K

Context: h : ↑β = -↑α


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: u : K

Context: h : ↑β = ↑α


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas

Context: this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas

Context: u : Set (B × F)

Context: hu1 : IsOpen u

Context: hu2 : ↑e'.symm ⁻¹' e.source ∩ e'.target = u ∩ e'.target


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas

Context: u : Set (B × F)

Context: hu1 : IsOpen u


Context:
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N


Context:
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤


Context:
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P


(↑n)⁻¹ * (↑n * g) ∈ N ⊔ (map N.subtype ↑P).normalizer


Context: p✝ : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)

Context: P : Sylow p ↥N

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

Context: n : ↥N

Context: hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P


Context: p✝ : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)

Context: P : Sylow p ↥N

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

Context: n : ↥N

Context: this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))


Context: p✝ : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)

Context: P : Sylow p ↥N

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

Context: n : ↥N

Context: x : G

(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) x ∈ map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) (map N.subtype ↑P) ↔ ↑n * g * x * (↑n * g)⁻¹ ∈ map N.subtype ↑P


Context: p✝ : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)

Context: P : Sylow p ↥N

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

Context: n : ↥N

Context: x : G

(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) x ∈ map ((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))).comp N.subtype) ↑P ↔ ↑n * g * x * (↑n * g)⁻¹ ∈ map (N.subtype.comp ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g)))) ↑P


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x

∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
d : ℝ
d_pos : 0 < d
hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: d : ℝ

Context: d_pos : 0 < d

Context: hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s

Context: c : ContDiffBump (toEuclidean x) := { rIn := d / 2, rOut := d, rIn_pos := ⋯, rIn_lt_rOut := ⋯ }


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: d : ℝ

Context: d_pos : 0 < d

Context: hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s

Context: f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: d : ℝ

Context: d_pos : 0 < d

Context: hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s

Context: f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean

Context: f_supp : support f ⊆ Euclidean.ball x d


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: d : ℝ

Context: d_pos : 0 < d

Context: hd : Euclidean.closedBall x d ⊆ s

Context: f : E → ℝ := ↑c ∘ ⇑toEuclidean

Context: f_supp : support f ⊆ Euclidean.ball x d

Context: f_tsupp : tsupport f ⊆ Euclidean.closedBall x d


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
q p : R[X]
hp : (q * q * p).Separable


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p✝ q✝ : ℕ

Context: q p : R[X]

Context: hp : (q * q * p).Separable

Context: this : IsCoprime (q * (q * p)) (q * (derivative q * p + derivative q * p + q * derivative p))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N

(finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


(finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] 0) = Finsupp.sum 0 fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


∀ (f g : ι →₀ N), ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] f) = f.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] g) = g.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] (f + g)) = (f + g).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


∀ (a : ι) (b : N), (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b) = (Finsupp.single a b).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α

(∃ n_1, f (Fin.cast ⋯ n_1) = a) ↔ ∃ y, f y = a


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r


∀ (i : ℕ) (h : i < x.toList.length - 1), r (x.toList.get ⟨i, ⋯⟩) (x.toList.get ⟨i + 1, ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r
i : ℕ
h : i < x.toList.length - 1

r (x.toList.get ⟨i, ⋯⟩) (x.toList.get ⟨i + 1, ⋯⟩)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
a : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: ha : ¬IsUnit a

Context: hb : IsUnit b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : ¬IsUnit a

Context: hb : IsUnit b


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

(p.comp q).smeval x = p.smeval (q.smeval x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x = fderiv 𝕜 f x


mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f Set.univ x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: ζ : (𝓞 K)ˣ := x * (∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x)) i)⁻¹

∃! ζe, x = ↑ζe.1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ζe.2 i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: h_tors : ζ ∈ torsion K


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : _root_.Disjoint s t

(s.disjUnion t h).dens = s.dens + t.dens


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : 0 ⤳ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
x✝ : α × α
a₁ a₂ : α

(a₁, a₂) ∈ ((preimage fun x => (pureCauchy x.1, pureCauchy x.2)) ∘ gen) s ↔ (a₁, a₂) ∈ id s


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L


(∀ y ∈ H, ⁅y, x⁆ ∈ H) ↔ ∀ y ∈ H, ⁅x, y⁆ ∈ H


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hy : y ∈ H


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t s : Finset β
h : s.Nonempty


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x : M


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformly f' g' l

Context: hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: x : E

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l

Context: x : E

Context: hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x✝ : Set α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g

Context: m : M

Context: s : ↥S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g

Context: m : M

Context: s : ↥S


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : ¬Prime p


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hnk : n < k


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n


∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1) → k % p ^ x + (n - k) % p ^ x < p ^ x


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hi : 1 ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)


Context:
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi✝ : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
hi : 1 < i


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H

Context: inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasLeftKanExtension F

Context: G : D ⥤ H

L.lanUnit.app (L ⋙ G) ≫ whiskerLeft L ((L.lanAdjunction H).counit.app G) = 𝟙 (L ⋙ G)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Ring α
I : Ideal α
a b x x✝ : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree


IsUnit (p.coeff 0) → ∃ x, ¬x = 0 ∧ ¬p.coeff x = 0


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p.coeff p.natDegree = 0


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x : V


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x < g x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x = g x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : g x < f x


Context: x y : ℝ


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x : PiLp 2 β


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: x : PiLp 2 β


Context:
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a


sInf (S ∩ {b_1 | ∀ c < succ b, enumOrd S c < b_1}) ≤ a


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

∫ (x : Ω), rexp (t * X x) * rexp (t * Y x) ∂μ = (∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ) * ∫ (x : Ω), rexp (t * Y x) ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α


Context:
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf

∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
y : Y
hy : y ∈ (f.symm.trans gf).source


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

Scheme.Γ.map (f ∣_ U).op = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Scheme.Hom.app f (U.ι ''ᵁ ⊤) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = Scheme.Hom.app f (⋯.functor.obj ⊤) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ (eqToHom ⋯).op)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : SMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hfx : f x ≤ f (a • x + b • y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝² : SMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : b + a = 1

Context: hfx : f x ≤ f (b • y + a • x)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M

⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ weightSpace M 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'

Set.MapsTo (⇑f) (p.rootSet S) (p.rootSet S')


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') p = 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') 0 = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : Opens ↑↑Y

Context: hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

Context: this : U = ⋯.functor.obj ((Opens.map f.base).obj U)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α


Context: m n k : ℕ


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]

(p + q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: h' : ∀ (x : Cofix F), r x x

Context: h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest

Context: x✝ : Cofix F

Context: x : (P F).M

Context: y✝ : Cofix F

Context: y : (P F).M

Context: rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)

Context: r' : (P F).M → (P F).M → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: h' : ∀ (x : Cofix F), r x x

Context: x✝ : Cofix F

Context: x : (P F).M

Context: y✝ : Cofix F

Context: y : (P F).M

Context: this : IsPrecongr r'


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α

(M.disjointSum N h).Base B ↔ M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Iio a).Nonempty


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A

f₁ = f₂ ↔ S.leftHomologyπ ≫ f₁ = S.leftHomologyπ ≫ f₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)

∃ n, σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)


card σ.cycleType = card σ.cycleType - 1 + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp (a - m • p) b = toIocMod hp a b - m • p


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsCoatomic α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsAtomic α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : IsPeriodicPt f m x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsFixedPt (f^[n] ∘ f^[m]) x
hm : IsPeriodicPt f m x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
x✝ : α

x✝ ∈ ↑(f.neLocus g) ↔ x✝ ∈ {x | f x ≠ g x}


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a z : ℂ
hz : z ≠ 0

(fun z => abs z ^ a.re) z = (fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts


4 ^ P.parts.card * (Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card) ≤ u.card


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : x + ↑m ≤ f x
n : ℕ


Context:
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

3 * (eval P) W.polynomial = P 0 * (eval P) W.polynomialX + P 1 * (eval P) W.polynomialY + P 2 * (eval P) W.polynomialZ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v

e ∈ G.incidenceSet (G.otherVertexOfIncident h)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J

Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilteriUnion I ⊤) (l.toFilteriUnion J (Prepartition.single J I h))


∀ (i : ℝ≥0), Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I i ⊤) (⨆ c, l.toFilterDistortioniUnion J c (Prepartition.single J I h))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h

Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I c ⊤) (⨆ c, l.toFilterDistortioniUnion J c π₀)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Filter.map (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I c ⊤) ≤ l.toFilterDistortioniUnion J (max c π₀.compl.distortion) π₀


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hr : l.RCond r

∃ ia, l.RCond ia ∧ ∀ x ∈ {π | l.MemBaseSet I c ia π ∧ π.iUnion = ⊤.iUnion}, (embedBox I J h) x ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hr : l.RCond r

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : π ∈ {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ⊤.iUnion}

(embedBox I J h) π ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hr : l.RCond r

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hr : l.RCond r

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : l.bDistortion = true

∃ π', π'.iUnion = ↑J \ ((embedBox I J h) π).iUnion ∧ π'.distortion ≤ max c π₀.compl.distortion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: h : I ≤ J

Context: c : ℝ≥0

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hr : l.RCond r

Context: π : TaggedPrepartition I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

ContMDiffWithinAt (I.prod J) J n Prod.snd s p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source)) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

Context: y : E × F

Context: hy : y ∈ (extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source)

(↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) y = y.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

(↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) = (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : ℕ → Set (β × γ)

Context: hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

Context: hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

κ.compProdFun η a (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : ℕ → Set (β × γ)

Context: hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

Context: h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : ℕ → Set (β × γ)

Context: hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

Context: h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}

∫⁻ (b : β), (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i}) ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : ℕ → Set (β × γ)

Context: hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

∑' (i : ℕ), ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) {c | (a_1, c) ∈ f i} ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : ℕ → Set (β × γ)

Context: hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}) (κ a)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: hx : (minpoly A x).degree = 1

Context: h : IsIntegral A x

Context: key : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: hx : (minpoly A x).degree = 1

Context: h : IsIntegral A x

Context: key : x = (algebraMap A B) (-(minpoly A x).coeff 0)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

z ≤ ⌊-a⌋ ↔ z ≤ -⌈a⌉


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U

∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: U : Set α

Context: hU : IsOpen U

Context: a : ℝ≥0∞

Context: a_pos : 0 < a

Context: a_lt_one : a < 1

Context: F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: U : Set α

Context: hU : IsOpen U

Context: a : ℝ≥0∞

Context: a_pos : 0 < a

Context: a_lt_one : a < 1

Context: F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: U : Set α

Context: hU : IsOpen U

Context: a : ℝ≥0∞

Context: a_pos : 0 < a

Context: a_lt_one : a < 1

Context: F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

Context: x : α

Context: hx : x ∈ F m


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: U : Set α

Context: hU : IsOpen U

Context: a : ℝ≥0∞

Context: a_pos : 0 < a

Context: a_lt_one : a < 1

Context: F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

Context: x : α

Context: hx : a ^ m ≤ infEdist x Uᶜ


Context: f : ℍ → ℂ

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ im ⁻¹' Set.Ici ia, f x ∈ Metric.closedBall 0 ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε


Context: f : ℍ → ℂ

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ im ⁻¹' Set.Ici ia, ‖f x‖ ≤ ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: l : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: l : ℕ

Context: h : m ≤ l


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: l : ℕ

Context: h : l < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
i : ℕ
hi : i ≥ ib ⊔ ic


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: a b c : CauSeq α abs

Context: εb : α

Context: εb0 : εb > 0

Context: ib : ℕ

Context: hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j

Context: εc : α

Context: εc0 : εc > 0

Context: ic : ℕ

Context: hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ ib ⊔ ic

Context: this : min εb εc ≤ min (↑(b - a) i) (↑(c - a) i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜✝ : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E✝
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜✝
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α✝ → E✝
g : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Tendsto v l (𝓝 y)


Context: i j k : ℤ

(i * j).gcd (i * k) = i.natAbs * j.gcd k


Context: i j k : ℤ

(i.natAbs * j.natAbs).gcd (i.natAbs * k.natAbs) = i.natAbs * j.natAbs.gcd k.natAbs


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: s : Set E✝

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: this : closedBall 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' closedBall x r


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℕ
x : α


Context: m n : ℕ

(fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)


Context: m : ℕ

(fib m).gcd (fib (0 + m)) = (fib m).gcd (fib 0)


Context:
m n : ℕ
h : n > 0


Context:
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n


Context:
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n

(fib m).gcd (fib (n.pred + 1 + m)) = (fib m).gcd (fib (n.pred + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Ici a)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃

comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) = (Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃


(associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) = (associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃

(((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂'' = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂''


(((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = (((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')


((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₁).tmul ((associated Q₂).tmul (associated Q₃))) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = ((((associated Q₁).tmul (associated Q₂)).tmul (associated Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')