Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝¹ t : Set α✝

Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : Preorder ι'

Context: inst✝² : Nonempty ι'

Context: inst✝ : Order.Frame α

Context: s✝ : Set ι

Context: f : ι → ι' → α

Context: a : ι

Context: s : Set ι

Context: a✝ : a ∉ s

Context: h✝ : s.Finite

Context: ihs : (∀ i ∈ s, Monotone (f i)) → ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j

Context: hf : ∀ i ∈ insert a s, Monotone (f i)

⨆ j, ⨅ i ∈ insert a s, f i j = ⨅ i ∈ insert a s, ⨆ j, f i j


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedRing α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : NormedCommRing α

Context: f : ι → α

Context: val✝ : Multiset ι

Context: l : List ι

Context: hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

Context: hs : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }.Nonempty

Context: this : List.map f l ≠ []

‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ

(m.sum fun i c => c • w i) = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ

(∀ x ∈ m.support, m x • w x = 0) ↔ ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ

∀ (a : σ), a ∈ m.support → m a • w a = 0 ↔ m a = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: x : σ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b✝ : ↥s
a b : α

{ toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t m : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set α

f '' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f '' s i j


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

LeftCosetEquivalence (↑K) g ↑(hSK.equiv g).1


LeftCosetEquivalence (↑K) g (g * (↑(hSK.equiv g).2)⁻¹)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ


((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Countable


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0

(∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ zmultiples p


(∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0


(∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, ↑z * (k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹) = ↑z * r


(∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, (z * k_1 + ↑↑k) • p = z • r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ

∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m


∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E

x ∈ ⊤ᗮ ↔ x ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑(na * nb) = ↑(↑k * nc)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

Context: h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

Context: h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

Context: h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

Context: h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * nb = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

↑nc * ↑k * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n


Context: a b : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
m : OuterMeasure α


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
a✝ : A
hx : a✝ ∈ __src✝.carrier


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n

∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this✝ : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
this : c.length - 1 + 1 = c.length


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows

Context: t₁ : x₁.Compatible

Context: t₂ : x₂.Compatible

Context: h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: t₁ : x₁.Compatible

Context: t₂ : x₂.Compatible

(FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁).sieveExtend = (FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂).sieveExtend


Context:
f : ℕ → ℂ
c s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
i x✝¹ : α
x✝ : HEq i x✝¹

HEq (f i) (Function.const α (f default) x✝¹)


HEq (f default) (Function.const α (f default) x✝¹)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: a : Localization.Away ↑r

Context: e' : (Localization.awayMap f ↑r) a = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x

∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: e' : (Localization.awayMap f ↑r) (IsLocalization.mk' (Localization.Away ↑r) b ⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: e' : IsLocalization.mk' (Localization.Away (f ↑r)) (f b) ⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩ = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: n' : ℕ

Context: e'' : ↑⟨(fun x => f ↑r ^ x) n', ⋯⟩ * (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = ↑⟨(fun x => f ↑r ^ x) n', ⋯⟩ * f b


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: n' : ℕ

Context: e'' : f ↑r ^ n' * (x * f (↑r ^ n)) = f ↑r ^ n' * f b


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: e : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑s

Context: b : R

Context: n : ℕ

Context: n' : ℕ

Context: e'' : f (↑r ^ (n' + n)) * x = f (↑r ^ n' * b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m : ℕ
h : Fin n = Fin m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
h : Fin n = Fin n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hco : (orderOf x).Coprime (orderOf y)


minimalPeriod ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) 1 = orderOf x * orderOf y


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

cos x * cos (2 * x) - sin x * sin (2 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

Context: h2 : 4 * cos x ^ 3 = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * cos x ^ 2


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * (1 - sin x ^ 2) - 3 * cos x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0

Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b))


a ≠ 0 ∨ b⁻¹ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: no_factors : ∀ {d : R}, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
φ : R⟦X⟧

(trunc n φ).coeff m = if m < n then (coeff R m) φ else 0


Context: q q' : Λ'

q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q


Context: q' : Λ'

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k₁✝ k₂✝ : K'

Context: q : Λ'

Context: q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)


Context: q' : Λ'

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k✝ : K'

Context: q : Λ'

q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)


Context: q' q : Λ'

q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.copy (trStmts₁ q)


Context: q' : Λ'

Context: k✝ : K'

Context: s✝ : Option Γ' → Option Γ'

Context: q : Λ'

q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)


Context: q' : Λ'

Context: q : Option Γ' → Λ'

Context: q_ih : ∀ (a : Option Γ'), q' ∈ trStmts₁ (q a) → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ (q a)

(q' ∈ Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s)) → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s))


Context: q' q : Λ'

(q' = unrev q → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q) (trStmts₁ q) ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q)))


Context: q' q₁ q₂ : Λ'

Context: q₁_ih : q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₁

Context: q₂_ih : q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₂

(q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' = unrev q₂ → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q₂) (trStmts₁ q₂) ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬Pairwise (Disjoint on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h✝ : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
i : ι
_hi : i ∈ univ
j : ι
_hj : j ∈ univ
h : i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f g : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M

(fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) (f + g) = (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) f + (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) g


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
c : S
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M

{ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id S) c • { toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun f


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
i : ι
x : φ i

((fun f i => f ∘ₗ single i) ({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) i) x = (f i) x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
x : (i : ι) → φ i

({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f i => f ∘ₗ single i) f)) x = f x


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hn : n > 0


cyclotomic n ℤ ∣ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i ℤ


Context:
K : Option Γ' → Finset Λ'
S : Finset Λ'

Supports (Finset.univ.biUnion K) S ↔ ∀ (a : Option Γ'), Supports (K a) S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : ∀ ε > 0, b - ε ≤ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : a < b


Context:
r : ℕ
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
h : 0 < r

r.xgcdAux s t r' s' t' = (r' % r).xgcdAux (s' - ↑r' / ↑r * s) (t' - ↑r' / ↑r * t) r s t


Context:
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
r : ℕ
h : 0 < r.succ

r.succ.xgcdAux s t r' s' t' = (r' % r.succ).xgcdAux (s' - ↑r' / ↑r.succ * s) (t' - ↑r' / ↑r.succ * t) r.succ s t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l

Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: l : List α

Context: H : Pairwise R l

Context: this : Pairwise (Lex (swap fun b a => R a b)) l.reverse.sublists'


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

edist x (efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤


Context: l r : List Char

{ s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.Valid


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₂


Injective ⇑B.flip ↔ Injective ⇑B.dualMap


Context: n d : ℤ


Context: n d : ℤ

Context: this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1


Context:
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs

Real.lt { cauchy := ⟦f⟧ } { cauchy := ⟦g⟧ } ↔ f < g


Context:
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs

(match { cauchy := ⟦f⟧ }, { cauchy := ⟦g⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => Quotient.liftOn₂ x y (fun x x_1 => x < x_1) Real.definition.proof_1✝) ↔ f < g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

(λ_ (X ⊗ Y)).inv = ((λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y) ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).hom


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set β
f : β → α

DirectedOn r (f '' s) ↔ DirectedOn (f ⁻¹'o r) s


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (x / ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x


Context: R : Type u

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : AddGroup n
v : n → α

(circulant v).IsSymm ↔ ∀ (i : n), v (-i) = v i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''

Context: h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1 hT'') f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT''


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT'') f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P


∀ (a : R), a • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) a = x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
x' : R


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
x : AddCircle T

HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • (fourier i) x) (f x)


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E

AnalyticOn ℂ f univ ↔ Differentiable ℂ f


AnalyticOn ℂ f univ ↔ DifferentiableOn ℂ f univ


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X

(∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = ∫ (x : X), ↑(f x) ∂μ


(∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : X), ENNReal.ofReal ↑(f a) ∂μ).toReal


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddZeroClass α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
p : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
x✝ : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
b : R
v : α →₀ M

(fun f => ⇑f) (filter p (b • v)) = (fun f => ⇑f) (b • filter p v)


{x | p x}.indicator (b • ⇑v) = b • {x | p x}.indicator ⇑v


Context:
M : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace X

instTopologicalSpaceUnits = TopologicalSpace.induced val inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝²


TopologicalSpace.induced (Prod.fst ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced ((unop ∘ Prod.snd) ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² = TopologicalSpace.induced val inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝²


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
l : List α


List.map ofList (sublistsLen n l) <+~ List.map ofList l.sublists'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: ha : a ∉ lowerClosure ↑s ⊓ lowerClosure ↑t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m✝ : N

m✝ ∈ LieSubmodule.map f ⊤ ↔ m✝ ∈ f.range


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_1

Context: m : Basis ι R ↥M

Context: H : LinearMap.ker (mulLeftMap N ⇑m) = ⊥

Context: this : AddCommGroup (ι →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: n : ℕ

multiplicity a b = ↑n ↔ a ^ n ∣ b ∧ ¬a ^ (n + 1) ∣ b


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R


finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range B.mulVecLin)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : M → Prop

Context: h : x ∈ span R s

Context: zero : p 0

Context: add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)

Context: smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : M → Prop

Context: h : x ∈ AddSubmonoid.closure (univ • s)

Context: zero : p 0


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Mul R

Context: inst✝ : BoundedMul R

Context: f g : X → R

Context: f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C

Context: g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Mul R

Context: inst✝ : BoundedMul R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ range f * range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ range f * range g → dist x y ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Mul R

Context: inst✝ : BoundedMul R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Mul R

Context: inst✝ : BoundedMul R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: x y : X


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z
h : i (b z) = f (a z)


b z = (Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ⟨f (a z), ⋯⟩


(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯) (b z) = (Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯) ((Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ⟨f (a z), ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
f : ι → ι'
hf : Surjective f
g : ι' → α

(range fun x => g (f x)) = range fun y => g y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S

f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context:
n m : ℕ
h : n = m


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
n : ℕ

(map T.subtype (p.toSubring T hp)).coeff n = p.coeff n


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: D : Cocone F

Context: i j : J

Context: x : (forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (forget C).obj (F.obj j)

Context: E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D

Context: k : J

Context: f : i ⟶ k

Context: g : j ⟶ k

Context: hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: D : Cocone F

Context: i j : J

Context: x : (forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (forget C).obj (F.obj j)

Context: k : J

Context: f : i ⟶ k

Context: g : j ⟶ k

Context: h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: D : Cocone F

Context: i j : J

Context: x : (forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (forget C).obj (F.obj j)

Context: k : J

Context: f : i ⟶ k

Context: g : j ⟶ k

Context: h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: D : Cocone F

Context: i j : J

Context: x : (forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (forget C).obj (F.obj j)

Context: k : J

Context: f : i ⟶ k

Context: g : j ⟶ k


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
f : K ⟶ L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'

Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (map ret s).join.destruct s.destruct


∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (∃ s, ca = (map ret s).join.destruct ∧ cb = s.destruct) → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map ret s).join.destruct ∧ c2 = s.destruct) ca.destruct cb.destruct


∃ s_1, (map ret s).join.destruct = (map ret s_1).join.destruct ∧ s.destruct = s_1.destruct


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]

(if (map f p).natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff ((map f p).natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))


(if p.natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff (p.natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))


Context: p x : ℝ


Context: p x y : ℝ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s✝ : ι → Set Ω
s t : Set Ω
μ : Measure Ω

IndepSet s t μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
n : ℤ

∀ (x : AddCircle T), (fourier (-n)) x = (fourier (-n)) x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f
this : Disjoint ⊤ (ker f)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s₁ ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α

((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) z = x * y * z


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n✝¹ : ℕ
a : α
g : α → α
hg : LeftInverse g f
n✝ n : ℕ
ihn : LeftInverse g^[n] f^[n]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f g : α → Option β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : (∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x) → filterMap f l = filterMap g l

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x

(match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f g : α → Option β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x

(match f a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α

∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t : Multiset α

Context: IH : ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t

Context: s : Multiset α

filter p (s - a ::ₘ t) = filter p s - filter p (a ::ₘ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t : Multiset α

Context: s : Multiset α

filter p (s.erase a) - filter p t = filter p s - filter p (a ::ₘ t)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N

IsLocalDiffeomorph I J n f ↔ ∀ (x : M), IsLocalDiffeomorphAt I J n f x


Context: x y : ℂ

(cexp x).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im


Context: x y : ℂ

(cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep

Context: x : (i : β) → π i

Context: hx : x ∈ univ.pi s

Context: y : (i : β) → π i

Context: hy : y ∈ univ.pi s

Context: hxy : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep

Context: x : (i : β) → π i

Context: hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i

Context: y : (i : β) → π i

Context: hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i

Context: hxy : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep

Context: x : (i : β) → π i

Context: hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i

Context: y : (i : β) → π i

Context: hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i

Context: hxy : x ≠ y

Context: i : β

Context: hi : x i ≠ y i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M


∀ (x : PrimeSpectrum R), ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, ¬r = 0 ∧ ¬m = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
x : CliffordAlgebra Q


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]

supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g


supDegree D (f + -g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D (-g)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

𝓝ˢ (s ∩ t) = 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t


𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t)


⨆ x ∈ s, ⨆ x_2 ∈ t, 𝓝 x ⊓ 𝓝 x_2 ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t

𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
hyt : x ∈ t

𝓝 x ⊓ 𝓝 x ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t
hne : x ≠ y

𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype V
h : M.IsPerfectMatching


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m l : ℕ


Context:
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

(if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then let_fun this := ⋯; Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l } else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }


(if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then let_fun this := ⋯; Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }


(if p c = true then Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }


Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len (List.takeWhile p m) + c.utf8Size) }


Context: n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f | f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) = f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f | f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

IsClosed ((((((⋂ x, ⋂ y, {f | f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) = f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f | f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)})


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : (𝓝[≠] x).NeBot
y : X


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
y : X
inst✝ : (𝓝[≠] y).NeBot


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : (𝓝[≠] x).NeBot
y : X
hne : y ≠ x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 E)) 𝕜 E


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: b : OrthonormalBasis { x // x ∈ Classical.choose ⋯ } 𝕜 E := Classical.choose ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

OrthonormalBasis (Fin (Fintype.card { x // x ∈ Classical.choose ⋯ })) 𝕜 E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) < t
ht : 0 < t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
ht : 0 < t
hF : ∀ i ∈ ∅, padicNorm p (F i) < t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) < t
ht : 0 < t
hs : s.Nonempty


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
hf : Injective fun a => f a b

image₂ f (s₁ ∩ s₂) {b} = image₂ f s₁ {b} ∩ image₂ f s₂ {b}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β
b : β

∏ x ∈ s, update f i b x = b * ∏ x ∈ s \ {i}, f x


(∏ x ∈ s ∩ {i}, b) * ∏ x ∈ s \ {i}, f x = b * ∏ x ∈ s \ {i}, f x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]

I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Quotient.mk (map C I)) f) = Polynomial.map (Quotient.mk I) f


Context: a b n : ℕ


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B : Matrix n m R

A₁.fromRows A₂ * B = (A₁ * B).fromRows (A₂ * B)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A

f ∈ twoCocycles A ↔ ∀ (g h j : G), f (g * h, j) + f (g, h) = (A.ρ g) (f (h, j)) + f (g, h * j)


Context:
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


∀ a' < a, ∀ b' < 0, a' ⨳ 0 ♯ a ⨳ b' < 0 ♯ a' ⨳ b'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : β
h : a⁻¹ • x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : β
h : x = a • y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G

HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm

Context: B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm

Context: B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm

HasFDerivWithinAt ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) ((f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm) s (iso x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: f' : F →L[𝕜] G

Context: A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm

Context: B : f' = (f'.comp ↑iso).comp ↑iso.symm

Context: y : F

Context: hy : y ∈ s


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r
h₁ : u.r < u.bp + 1


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
h₀ : u.r - 1 + 1 = u.r
h₁ : u.r - 1 + 1 < u.bp + 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ

NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioc (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
hx : x ∉ Ioo y x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
hx : x ∉ Ioo y x
ht : (Ioo y x).Nonempty


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁷ : LinearOrder β

Context: inst✝⁶ : OrderTopology α✝

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : FirstCountableTopology α

Context: x y : α

Context: hy : y < x

Context: hx : x ∉ Ioo y x

Context: ht : (Ioo y x).Nonempty

Context: u : ℕ → α

Context: hu : StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → F

Context: f_lim : α → F

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

eLpNorm f_lim ⊤ μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) ⊤ μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → F

Context: f_lim : α → F

essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) ⊤ μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → F

Context: f_lim : α → F

essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ ≤ liminf (fun n => essSup (fun x => ↑‖f n x‖₊) μ) atTop


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ inst✝⁴ : Group α

Context: inst✝³ : MulAction α β

Context: x : β

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : (a : α) → Fintype ↑(fixedBy β a)

Context: inst✝ : Fintype (Quotient (orbitRel α β))

∑ a : α, Fintype.card ↑(fixedBy β a) = Fintype.card (Quotient (orbitRel α β)) * Fintype.card α


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f g : R[X] →+* S

Context: h₁ : ∀ (a : R), f (C a) = g (C a)

Context: h₂ : f X = g X

Context: f' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom

Context: hf' : f' = f.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom

Context: g' : AddMonoidAlgebra R ℕ →+* S := g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom

Context: hg' : g' = g.comp (toFinsuppIso R).symm.toRingHom

Context: A : f' = g'


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f g : R[X] →+* S

Context: h₁ : ∀ (a : R), f (C a) = g (C a)

Context: h₂ : f X = g X

Context: A : f' = g'

Context: B : f = f'.comp ↑(toFinsuppIso R)


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f g : R[X] →+* S

Context: h₁ : ∀ (a : R), f (C a) = g (C a)

Context: h₂ : f X = g X

Context: A : f' = g'

Context: B : f = f'.comp ↑(toFinsuppIso R)

Context: C' : g = g'.comp ↑(toFinsuppIso R)


Context:
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).Finite

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra

Context: this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra

Context: this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))

Context: this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), ⊤.FG


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))

Context: s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Submodule.span (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤

Context: sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Submodule.span R ↑(s.attach.biUnion sf) = ⊤


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

∀ (r : ↑↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : ⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ((algebraMap R S) ↑⟨↑r ^ n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n


Context:
m n n✝ : ℕ
a : ZMod (n✝ + 1)


Context:
m n n✝ : ℕ
a : ZMod (n✝ + 1)

n✝ + 1 ∣ 2 * a.val ↔ a = 0 ∨ 2 * a.val = n✝ + 1


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : TopCat
X : LocallyRingedSpace
f : U ⟶ X.toTopCat
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑↑(X.restrict h).toPresheafedSpace

LocalRing ↑((X.restrict h).presheaf.stalk x)


↑(X.presheaf.stalk (f x)) ≃+* ↑((X.restrict h).presheaf.stalk x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: h_eq : f (∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ ∑ i ∈ t, w i • f (p i)

∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: this : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing α
inst✝⁶ : CommRing β
inst✝⁵ : Algebra R α
inst✝⁴ : Algebra R β
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

(kroneckerMap (tmul R) A B).det = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)


(A.map fun a => ((mk R α β) a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => ((mk R α β) 1) b).det ^ Fintype.card m = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)


(A.map fun a => includeLeft a).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => includeRight b).det ^ Fintype.card m = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)


includeLeft A.det ^ Fintype.card n * includeRight B.det ^ Fintype.card m = (A.det ^ Fintype.card n) ⊗ₜ[R] (B.det ^ Fintype.card m)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ

ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ↑a)


∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ↑a), a.1 + a.2 < ↑x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a r : ℝ

Context: x✝ : EReal × EReal

Context: h : x✝.1 < ↑(r - (a + 1)) ∧ x✝.2 < ↑(a + 1)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.100731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
n : ℤ

(mappingCone φ).d (n - 1) n ≫ (snd φ).v n n ⋯ = (↑(fst φ)).v (n - 1) n ⋯ ≫ φ.f n + (snd φ).v (n - 1) (n - 1) ⋯ ≫ G.d (n - 1) n


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ a₁ : R

Context: a₂ : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z : N

f.toMap (f.sec z).1 * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) (f.sec z).2)⁻¹ = z


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f g : Perm α

Context: h : f.cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f g : Perm α

f.cycleFactorsFinset.noncommProd id ⋯ = g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : Set α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C

Context: h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : Set α → ℝ≥0∞

Context: hS_mono : Monotone S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : Set α → ℝ≥0∞

Context: hS_mono : Monotone S

Context: hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : Set α → ℝ≥0∞

Context: hS_mono : Monotone S

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
a : M
x✝ : IsUnit (↑u * a)
v : Mˣ
hv : ↑v = ↑u * a


Context:
α : Type u
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
a : M
x✝ : IsUnit (↑u * a)
v : Mˣ
hv : ↑v = ↑u * a
this : IsUnit (↑u⁻¹ * (↑u * a))


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ

∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm