Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x✝ y : α

Context: m n✝ : ℕ

Context: r : α → α → Prop

Context: f : α → α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ periodicPts f

Context: n : ℕ

r (f^[n % minimalPeriod f x] x) (f^[(n % minimalPeriod f x).succ] x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 1
a✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

a • s ⊆ t ↔ s ⊆ a⁻¹ • t


↑(a • s) ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ ↑(a⁻¹ • t)


a • ↑s ⊆ ↑t ↔ ↑s ⊆ a⁻¹ • ↑t


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: n : ℕ

Context: r : R

((toZModPow n).comp (lift f_compat)) r = (f n) r


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: n : ℕ

Context: r : R

(lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ

i ∈ p.support → i ∈ (p.scaleRoots s).support


p.coeff i ≠ 0 → p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: s : R

Context: hs : s ∈ nonZeroDivisors R

Context: i : ℕ

Context: p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0

Context: ps_zero : p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: s : R

Context: hs : s ∈ nonZeroDivisors R

Context: i : ℕ

Context: p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0

Context: this : p.coeff i = 0


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L

((lift R) f) ((mkAlgHom R L) (ιₜ x)) = f x


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K

((algebraMap K (K_hat R K)) k).IsFiniteAdele


{x | (algebraMap K (K_hat R K)) k x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: k : K

Context: n d : R

Context: hd : d ∈ nonZeroDivisors R

Context: hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: k : K

Context: n d : R

Context: hd : d ∈ nonZeroDivisors R

Context: hd' : d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: k : K

Context: n d : R

Context: hd : d ∈ nonZeroDivisors R

Context: hd' : d ≠ 0

{v | v.valuation ((algebraMap R K) d) < 1}.Finite


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0
k : ℚ
hk : a.norm = padicNorm p k
hk' : k ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q

Context: this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: hP0 : ¬P = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: hspan0 : span {x} ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: hspan0 : span {x} ≠ ⊥

Context: span_le : span {x} ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: hspan0 : span {x} ≠ ⊥

Context: span_le : span {x} ≤ P

normalizedFactors (span {x}) ≤ normalizedFactors P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: x : R

Context: x_mem : x ∈ P

Context: hxP2 : x ∉ P ^ 2

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: hspan0 : span {x} ≠ ⊥

Context: span_le : span {x} ≤ P

∀ (a : Ideal R), Multiset.count a (normalizedFactors (span {x})) ≤ if a = P then 1 else 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P


(∃ p2_1 ∈ s, p -ᵥ p2 = p -ᵥ p2_1) ↔ p2 ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: n m : ℕ

Context: h : n ≤ m

Context: x : M

Context: x✝ : x ∈ (fun n => LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id)) m

Context: y : M

Context: hy : r ^ m • y = x


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

HasSum (fun i => fourierCoeff (↑↑f) i • fourierLp 2 i) f


HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • fourierLp 2 i) f


HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • (fun i => fourierBasis.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }

(↑((optionSubtype x).symm e)).symm ↑b = some (e.symm b)


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun i => ↑(f i)

tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i)


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : ‖t‖ < 1
this : Summable fun n => t ^ n

∑ i ∈ range n, t ^ i + ∑' (i : ℕ), t ^ (i + n) = ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * inverse (1 - t)


∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ∑' (i : ℕ), t ^ i = ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ↑(Units.oneSub t ht)⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup

take (n + 1) (b :: l) = List.filter (fun a => elem a (take (n + 1) (b :: l))) (b :: l)


b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = b :: List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l


List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l


∀ x ∈ l, elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
x : α
hx : x ∈ l

elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
x : α
hx : x ∈ l
this : x ≠ b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasLimit (parallelPair f 0)
w : kernel.ι f = 0
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
h : g ≫ f = 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S


3 * X ^ 4 + C (f W.b₂) * X ^ 3 + 3 * C (f W.b₄) * X ^ 2 + 3 * C (f W.b₆) * X + C (f W.b₈) = Polynomial.map f (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈)


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1

Context: yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d

Context: t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ := le_antisymm yx xy


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1

Context: yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d

Context: t : (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d

Context: yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1

Context: t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1) := le_antisymm xy yx


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d

Context: yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1

Context: t : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t

(G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)) \ {s(t, t)}


(G.replaceVertex s t).edgeFinset = ((G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}).toFinset


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

opcyclesMap φ i ≫ L.opcyclesToCycles i j = K.opcyclesToCycles i j ≫ cyclesMap φ j


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : ¬D a ≤ supDegree D p


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : p a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a

sInf {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} = limsup v f


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a

Context: b : β

b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} ↔ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map v f, n ≤ a}


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this : (f - 0).LimZero


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
h1 : (f + g).norm = g.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
h1 : (f + g).norm = g.norm
h2 : f.norm = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this : (g - 0).LimZero


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm
h2 : g.norm = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hfg : ¬f + g ≈ 0

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfgne : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) = max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hfg : ¬f + g ≈ 0

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfgne✝¹ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: hfgne✝ : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg))))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hfg : ¬f + g ≈ 0

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfgne✝ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hfg : ¬f + g ≈ 0

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3


Context:
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y

Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})))


Context:
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y

Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X)


Context:
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y

∀ (i : (S : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op S)), Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨i, a⟩


Context:
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)

Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨⟨S, x⟩, a⟩


Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)


Context: X Y : LightCondSet

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : LightProfinite

Context: x : X.val.obj (Opposite.op S)

Context: this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)


Context: X Y : LightCondSet

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : LightProfinite

Context: x : X.val.obj (Opposite.op S)

Continuous fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z

(equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : SmallHom W X Y

Context: β : SmallHom W Y Z

Context: this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : SmallHom W X Y

Context: β : SmallHom W Y Z

Context: this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y

Context: this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: β : SmallHom W Y Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

(equiv W L) (comp ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) β) = (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ≫ (equiv W L) β


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

Context: β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z

(equiv W L) (comp ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)) = (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ≫ (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

Context: β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z

(homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

Context: β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z

(homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

Context: β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z

(homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) α ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) β)) = (homEquiv W W.Q L) α ≫ (homEquiv W W.Q L) β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α

∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ∣ s.gcd ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ b) → (a ∣ (a_1 ::ₘ s).gcd ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ∣ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: hσ : σ x = y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)

Context: hd : Summable d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hd : Summable d

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → edist (f n) (f N) < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: N n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hN : dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: N n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hN : ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k < ε ∧ ∑ x ∈ Finset.range N, d x - (∑ k ∈ Finset.range N, d k + ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: N n : ℕ

Context: hn : N ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α


s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜 → s.erase a ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h : s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜

s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = (b - a).toNat


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

𝓝[I.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i) ⊓ ⨅ (_ : i ∈ I), 𝓟 (s i))


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: P : Generators R S

Context: R' : Type u'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'

Context: inst✝⁹ : Algebra R' S'

Context: P' : Generators R' S'

Context: inst✝⁸ : Algebra R R'

Context: inst✝⁷ : Algebra S S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S'

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'

Context: T : Type uT

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f g : P.Hom P'

Context: x y : P.Ring

Context: this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra

f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈ P'.ker ^ 2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: P : Generators R S

Context: R' : Type u'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'

Context: inst✝⁹ : Algebra R' S'

Context: P' : Generators R' S'

Context: inst✝⁸ : Algebra R R'

Context: inst✝⁷ : Algebra S S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S'

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'

Context: T : Type uT

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f g : P.Hom P'

Context: x y : P.Ring

Context: this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra

Context: this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: P : Generators R S

Context: R' : Type u'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'

Context: inst✝⁹ : Algebra R' S'

Context: P' : Generators R' S'

Context: inst✝⁸ : Algebra R R'

Context: inst✝⁷ : Algebra S S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S'

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'

Context: T : Type uT

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f g : P.Hom P'

Context: x y : P.Ring

f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) = (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: P : Generators R S

Context: R' : Type u'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'

Context: inst✝⁹ : Algebra R' S'

Context: P' : Generators R' S'

Context: inst✝⁸ : Algebra R R'

Context: inst✝⁷ : Algebra S S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S'

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'

Context: T : Type uT

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f g : P.Hom P'

Context: x y : P.Ring

f.toAlgHom x * f.toAlgHom y - g.toAlgHom x * g.toAlgHom y - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) = (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G

Context: X : Cᵒᵖ

(whiskerLeft (J.plusObj P) η ≫ (J.plusCompIso G P).hom).app X = ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerLeft P η)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

∀ (j : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ), (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ (whiskerLeft (J.plusObj P) η ≫ (J.plusCompIso G P).hom).app X = (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerLeft P η)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ η.app (colimit (J.diagram P (unop X))) ≫ (J.plusCompIso G P).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerLeft P η) (unop X))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

(η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K

spanFinset R₁ s f = 0 ↔ ∀ j ∈ s, f j = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α


IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' (↑(upperClosure {a}) ∩ ↑(lowerClosure {a})))


IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' Iic a)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: hx : x.SieveCompatible

Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: hx : x.SieveCompatible

Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: hx : x.SieveCompatible

Nonempty ((X_1 : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)) → Unique (X_1 ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: hx : x.SieveCompatible

(∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t


Context: n k m : ℕ


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A
m : M


Context: α : Type u_1

Context: N : α → Type u_2

Context: inst✝⁵ : DecidableEq α

Context: M : α → Type u_3

Context: P : α → Type u_4

Context: inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)

Context: inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)

Context: inst✝² : (a : α) → Zero (P a)

Context: inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)

Context: inst✝ : (a : α) → DecidableEq (M a)

Context: f g : Π₀ (a : α), N a

Context: F : (a : α) → N a → M a

Context: F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0

Context: hF : ∀ (a : α), Function.Injective (F a)

Context: a : α

a ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) ↔ a ∈ f.neLocus g


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: x : 𝕜

Context: hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)

Context: hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)

f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: x : 𝕜

Context: this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s✝ : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: x : 𝕜

Context: this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0

Context: s : E

Context: hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x

Context: hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s✝ : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: x : 𝕜

Context: this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0

Context: s : E

Context: hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s✝ : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: x : 𝕜

Context: this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0

Context: s : E

Context: hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x

Context: hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff (n + p.order)) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
a✝ : α
ha : ↑↑0 a✝ = 0 a✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι

e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i = (↑e.det).toLinearMap v i


∀ (i_1 : ι), (e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) i_1) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) i_1)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι

(e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) k) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) k)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
k : ι

e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord k) (v k) = ↑e.det (update v k (v k))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι
hik : k ≠ i

e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v k) = ↑e.det (update v i (v k))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y
hxc : x < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y
hcx : c ≤ x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A

↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) y)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A

↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ tl x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool

∃ L₅, Step ([] ++ tl.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)) L₅ ∧ Step ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: tl ++ x✝⁴) L₅


∃ L₅, Step ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: tl ++ x✝⁴) L₅ ∧ Step ([] ++ tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁴)) L₅


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x3 : α

Context: b3 : Bool

Context: tl x✝⁵ : List (α × Bool)

Context: x4 : α

Context: b4 : Bool

Context: tl2 x✝⁴ : List (α × Bool)

Context: x✝³ : α

Context: x✝² : Bool

Context: x✝¹ : α

Context: x✝ : Bool

Context: H : (x3, b3) :: tl ++ (x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵ = (x4, b4) :: tl2 ++ (x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴

Context: H1 : (x3, b3) = (x4, b4)

Context: H2 : tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵) = tl2.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)

Context: L₅ : List (α × Bool)

Context: H3 : Step (tl ++ x✝⁵) L₅

Context: H4 : Step (tl2 ++ x✝⁴) L₅


Context: N k m : ℕ

m ∈ N.roughNumbersUpTo k ↔ m ∈ (N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p => Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)


Context: N k m : ℕ

(m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ∃ x ≤ m, Prime x ∧ x ∣ m ∧ k ≤ x) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m


Context: N k m : ℕ

(∃ x, m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < x ∧ Prime x ∧ x ∣ m ∧ ¬x < k) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m


Context: N k m p : ℕ

m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m


Context: N k m p : ℕ

Context: H₁ : m ≠ 0 → p ∣ m → m < N.succ → p < N.succ


Context: N k m p : ℕ

Context: H₂ : m ≠ 0 → p ∣ m → ¬m < p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ (a b : α), f₁ a * f₂ b ≤ f₃ (a ⊓ b) * f₄ (a ⊔ b)

(∑ a : α, f₁ a) * ∑ a : α, f₂ a ≤ (∑ a : α, f₃ a) * ∑ a : α, f₄ a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S

mk' f m₁ s₁ - mk' f m₂ s₂ = mk' f (s₂ • m₁ - s₁ • m₂) (s₁ * s₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : (↑f'symm.nnnorm)⁻¹ ≤ ↑c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

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Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)

Context: hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b


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Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)


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Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: y : F

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Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: ε : ℝ

Context: b : E

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Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε

Context: D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

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Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

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Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u

Context: x : E

Context: hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u

Context: x : E

Context: hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: xmem : x ∈ closedBall b ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u

Context: x : E

Context: hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: xmem : x ∈ closedBall b ε

Context: hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u

Context: x : E

Context: hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: xmem : x ∈ closedBall b ε

Context: T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: ε : ℝ

Context: b : E

Context: ε0 : 0 ≤ ε

Context: hε : closedBall b ε ⊆ s

Context: y : F

Context: hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹

Context: If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm

Context: Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1

Context: Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0

Context: u : ℕ → E := fun n => g^[n] b

Context: hu : u = fun n => g^[n] b

Context: usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)

Context: this : CauchySeq u

Context: x : E

Context: hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: xmem : x ∈ closedBall b ε

Context: T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))

Context: T2 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hmn : 0 ≤ n


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hm : m > 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: m : ℕ

Context: hm : m > 0

Context: k : ℕ

Context: hmn : m ≤ m + k

Context: h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R)


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: m : ℕ

Context: hm : m > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)

Context: hmn : m ≤ m + (k + 1)

Context: h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + (k + 1))) R)


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: m : ℕ

Context: hm : m > 0

Context: k : ℕ

Context: hmn : m ≤ m + (k + 1)

Context: this : m + k ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: m : ℕ

Context: hm : m > 0

Context: k : ℕ

Context: hmn : m ≤ m + (k + 1)

Context: h : Irreducible ((expand R p) (cyclotomic (p ^ (m + k)) R))

Context: this : m + k ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t

eVariationOn (f ∘ g) s ≤ ↑C * eVariationOn g s


∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist ((f ∘ g) (↑i.2 (i_1 + 1))) ((f ∘ g) (↑i.2 i_1)) ≤ ↑C * eVariationOn g s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ ↑C * eVariationOn g s


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
x✝ : A × A
a b : A

(a, b) ∈ map (Equiv.prodComm A A).toEmbedding (antidiagonal n) ↔ (a, b) ∈ antidiagonal n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i

Context: P : Finpartition a

Context: Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).SupIndep id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

(↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)).PairwiseDisjoint id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: P✝ : Finpartition a✝

Context: P : Finpartition a✝

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)

Context: h : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: P✝ : Finpartition a✝

Context: P : Finpartition a✝

Context: a : α

Context: ha : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, a ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts

Context: b : α

Context: hb : ∃ a ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a ⋯).parts

Context: h : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: P✝ : Finpartition a✝

Context: P : Finpartition a✝

Context: a b : α

Context: h : a ≠ b

Context: A : α

Context: hA : A ∈ P.parts

Context: ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts

Context: B : α

Context: hB : B ∈ P.parts

Context: hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: P✝ : Finpartition a✝

Context: P : Finpartition a✝

Context: a b : α

Context: h : a ≠ b

Context: A : α

Context: hA : A ∈ P.parts

Context: ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts

Context: hB : A ∈ P.parts

Context: hb : b ∈ (Q ↑⟨A, hB⟩ ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: P✝ : Finpartition a✝

Context: P : Finpartition a✝

Context: a b : α

Context: h : a ≠ b

Context: A : α

Context: hA : A ∈ P.parts

Context: ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts

Context: B : α

Context: hB : B ∈ P.parts

Context: hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts

Context: hAB : A ≠ B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).sup id = a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

(P.parts.attach.sup fun x => (Q ↑x ⋯).parts.sup id) = a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

Context: h : ⊥ ∈ P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

Context: h : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, ⊥ ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P✝ : Finpartition a

Context: P : Finpartition a

Context: A : α

Context: hA : A ∈ P.parts

Context: h : ⊥ ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α

Nat.card α = Nat.card (α ⧸ s) * Nat.card ↥s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
h : affineSpan k (range p) = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
h : affineSpan k (range p) = ⊤
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ
a : α
haf : 0 a ≤ f a
hag : 0 a ≤ g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α

(insert x s).einfsep = (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep


(⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep ≤ (insert x s).einfsep


∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 ∈ s → ∀ (y : α), y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist x_1 y ∨ s.einfsep ≤ edist x_1 y


Context: m n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hJ : J ∈ π
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ πi J

(π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi J).tag J'


(π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi (π.biUnionIndex (fun J => (πi J).toPrepartition) J')).tag J'


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots = p ^ n • f.roots


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S


Context:
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)

QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s


Context:
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
hε : |p| / 2 ≤ ε


Context:
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
hε : ε < |p| / 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ ^ 2 = re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: A : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: h : ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num


Context:
n m : ℕ
h : optParam (¬last (n + 1) = 0) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

x ∈ thickening (ε + δ) s → x ∈ thickening ε (thickening δ s)


(∃ z ∈ s, dist x z < ε + δ) → ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε + δ

∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε
y : E
hxy : dist x y < ε
hyz : dist y z < δ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0


Context:
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

(W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: hc : (↑n + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 4 else 1


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

((W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).natDegree ≤ 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) ∧ (W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).coeff (2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ

Nat.rec [] (fun n IH => IH ++ [n]) n = List.range n


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Inv G

Context: inst✝⁵ : ContinuousInv G

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : FunLike F α β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : MonoidHomClass F α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousInv β

Context: f : F

Context: _tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Inv G

Context: inst✝⁵ : ContinuousInv G

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : FunLike F α β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : MonoidHomClass F α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousInv β

Context: f : F


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun x => (fderivWithin 𝕜 f s x) y) s


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β

A ∈ orthogonalGroup n β ↔ A * star A = 1


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : A * star A = 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

Sbtw R x y z ↔ z ≠ y ∧ x ∈ ⇑(lineMap z y) '' Set.Ioi 1


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂

∀ (g₁ : F[X]), g₁.Separable → (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f → ∀ (g₂ : F[X]), g₂.Separable → (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f → n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : ∃ c, n₂ = n₁ + c
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ (n₁ + k))) g₂ = f


Context:
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ k)) g₂ = g₁


Context: F✝ : Type u

Context: inst✝¹ : Field F✝

Context: p✝ : ℕ

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : 0 < p

Context: n₁ : ℕ

Context: g₂ : F[X]

Context: hg₂ : g₂.Separable

Context: k : ℕ

Context: hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable

Context: hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂))

Context: hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂) ≠ 0

n₁ = n₁ + k ∧ (expand F (p ^ k)) g₂ = g₂


Context: F✝ : Type u

Context: inst✝¹ : Field F✝

Context: p✝ : ℕ

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : 0 < p

Context: n₁ : ℕ

Context: g₂ : F[X]

Context: hg₂ : g₂.Separable

Context: k : ℕ

Context: hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable

Context: h : IsUnit g₂


Context: F✝ : Type u

Context: inst✝¹ : Field F✝

Context: p✝ : ℕ

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : 0 < p

Context: n₁ : ℕ

Context: g₂ : F[X]

Context: hg₂ : g₂.Separable

Context: hg₁ : ((expand F (p ^ 0)) g₂).Separable

Context: hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂))

Context: hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂) ≠ 0

n₁ = n₁ + 0 ∧ (expand F (p ^ 0)) g₂ = g₂


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime

(Multiset.map f s).prod ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h✝ : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
x✝ : ι

(b.repr (fract b (fract b m))) x✝ = (b.repr (fract b m)) x✝


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
u v : ↑(sphere 0 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Type u_9
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : MulAction S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
r : S
x : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: hf : liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤

Context: hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => |x i|

∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l x ∨ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l x


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
x : ℤ

x ∈ LinearMap.ker (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A a) ↔ x ∈ Ideal.span {↑(addOrderOf a)}


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

((F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app P.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.inv) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map ((projectiveResolutions C).map f) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app Q.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv


(F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app P.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app Q.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true

ComputablePred fun a => ¬(fun a => f a = true) a


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X X
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y X
f : Y ⟶ X
hf : W f

(equiv W W.Q) ((mkInv f hf).comp (mk W f)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 X))


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
k : ℕ

a ^ (Nat.mul 2 k).add 1 = a ^ k * a ^ k * a


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Finmap β

(x ∪ y).Disjoint z ↔ x.Disjoint z ∧ y.Disjoint z


Context:
n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1)
a : ZMod (n✝ + 1)


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : U ⟂ V

Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

∀ u ∈ Submodule.comap f U, ∀ v ∈ Submodule.comap f V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0


∀ (u : E), f u ∈ U → ∀ (v : E), f v ∈ V → ⟪f u, f v⟫_𝕜 = 0


Tendsto (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) atTop (𝓝 (2 + 0)⁻¹)


Context:
n : ℕ
hn : n ≥ 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → ℝ

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K

Context: this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → ℝ

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K

Integrable (fun a => g a • K.indicator f a) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: g : X → ℝ

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: K : Set X := tsupport g

Context: hK : IsCompact K


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'


↑h.unit (↑h.unit⁻¹ (x • m')) = ↑h.unit m'


Context:
m n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1 + 1)
k : Fin (n✝ + 1 + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n

∑ m ∈ range (j - n), 1 / ↑(m + n).factorial ≤ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹


∑ x ∈ range (j - n), (↑(x + n).factorial)⁻¹ ≤ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (j - n)

↑n.factorial * ↑n.succ ^ i✝ ≤ ↑(i✝ + n).factorial


n.factorial * n.succ ^ i✝ ≤ (n + i✝).factorial


∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹ = (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m


(↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)