Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → E'

Context: s : Set E

∀ (a : E), a ∈ s → ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s a ↔ a ∈ s → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s a


Context:
z y x : ℝ
n : ℕ

(fun x => cexp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n


Context: z y x : ℝ

(fun x => cexp x - ∑ i ∈ Finset.range 0, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ 0


Context:
z y x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
n : ℕ

μ (support ↑((fun n => -hf.approx n) n)) < ⊤


μ (support fun x => -↑(hf.approx n) x) < ⊤


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
n m : ℕ

((a :: l).rotate' (n + 1)).rotate' m = (a :: l).rotate' (n + 1 + m)


Context:
n b : ℕ
hb : 2 ≤ b
hn : 0 < n


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E

Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x))) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Tendsto (fun e => ‖‖e - x‖⁻¹ • (f e - f x - f' (e - x)) - 0‖) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
x' : E

‖‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x)) - 0‖ = ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f n ∧ ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ

Context: g' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun t => Nat.rec (motive := fun x => α → ℝ≥0∞) (g 0) (fun n I x => max (g (n + 1) x) (I x)) t


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x

Context: I' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x

Context: Int_eq : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), g' n x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ

Context: this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => g' i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: gmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: gf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: M : ∀ (n : ℕ), Measurable (g' n)

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : α), g n x ≤ g' n x

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun i => g' i x) atTop (𝓝 (F x))

Context: h'x : ∀ (n : ℕ), g' n x ≤ f n x

Context: h''x : ∀ (i : ℕ), f i x ≤ F x

Tendsto (fun i => f i x) atTop (𝓝 (F x))


Context: s n step : Nat


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → ℝ
p : ι → P
h₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
h₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

dist ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₁) ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₂) * dist ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₁) ((Finset.affineCombination ℝ s p) w₂) = (-∑ i₁ ∈ s, ∑ i₂ ∈ s, (w₁ - w₂) i₁ * (w₁ - w₂) i₂ * (dist (p i₁) (p i₂) * dist (p i₁) (p i₂))) / 2


RCLike.re ⟪(s.weightedVSub p) (w₁ - w₂), (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s, ∑ i₂ ∈ s, (w₁ - w₂) i₁ * (w₁ - w₂) i₂ * (dist (p i₁) (p i₂) * dist (p i₁) (p i₂))) / 2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → ℝ
p : ι → P
h₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
h₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : b ≤ 1
ho : o ≠ 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 0 ≤ 1


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 1 ≤ 1


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A


2⁻¹ • -I • (I • a - star (I • a)) = 2⁻¹ • (a + star a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f✝ : α → E
a✝ : α
h : s ⊆ t
f : α → E
a : α


s.indicator (fun a => ‖f a‖) a ≤ t.indicator (fun a => ‖f a‖) a


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x

((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w

Context: g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w

Context: g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x

Context: this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w

Context: g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x

Context: this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)

Context: l u : ℝ

Context: hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u

Context: hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w

Context: g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x

Context: this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)

Context: l u : ℝ

Context: hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioo l u \ g ⁻¹' s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LT α
s t : Set α

univ.IsWF ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E

AnalyticWithinAt 𝕜 f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ AnalyticAt 𝕜 g x


(∃ p, ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ HasFPowerSeriesAt g p x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[s] x] g ∧ ∃ p, HasFPowerSeriesAt g p x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝 a) l


Context: a b : Int


Context: a b : Int

↑(a * b) = normalize ((↑a).num * (↑b).num) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯


Context:
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + utf8Len cs = p

utf8GetAux (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.headD default


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

‖∑ i ∈ s₁, (V i) (f i) - ∑ i ∈ s₂, (V i) (f i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

‖∑ x ∈ s₁ \ s₂, (V x) (f x) + ∑ x ∈ s₂ \ s₁, -(V x) (f x)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖f i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖f i‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

Context: F : (i : ι) → G i := fun i => if i ∈ s₁ then f i else -f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

Context: hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

Context: hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i

Context: hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

Context: hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i

Context: hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i

Context: hF : ∀ (i : ι), ‖F i‖ = ‖f i‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F✝

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → G i

Context: s₁ s₂ : Finset ι

Context: hF₁ : ∀ i ∈ s₁ \ s₂, F i = f i

Context: hF₂ : ∀ i ∈ s₂ \ s₁, F i = -f i

Context: hF : ∀ (i : ι), ‖F i‖ = ‖f i‖

Context: this : ‖∑ i ∈ s₁ \ s₂, (V i) (F i) + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, (V i) (F i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s₁ \ s₂, ‖F i‖ ^ 2 + ∑ i ∈ s₂ \ s₁, ‖F i‖ ^ 2


Context: x✝ y x : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x

Context: g : E → F

∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: g : E → F

Context: this : ↑f '' f.source = f.target


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: g : E → F

Context: this : ↑f '' f.source = f.target

∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: g : E → F

Context: this : ↑f '' f.source = f.target

∀ x ∈ f.source, HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: g : E → F

Context: this : ↑f '' f.source = f.target

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f.source

HasFDerivWithinAt (↑f) (f' x) f.source x


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝¹ b✝ a b c a✝ : α

a✝ ∈ filter (fun x => x < c) (Ioo a b) ↔ a✝ ∈ Ioo a (min b c)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PartialOrder ι✝
τ✝ : Ω → ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
ι : Type u_4
inst✝ : LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PartialOrder ι✝
τ✝ : Ω → ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
ι : Type u_4
inst✝ : LinearOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
s : AddSubgroup V
v : ↥s

‖↑v‖ ≤ 1 * ‖v‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : α →ₛ G'

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: hgi : Integrable (↑g) μ

Context: hfg : f ≤ g

setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ G'

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: hgi : Integrable (↑g) μ

Context: hfg : f ≤ g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ G'

Context: hfi : Integrable (↑f) μ

Context: hgi : Integrable (↑g) μ

Context: hfg : f ≤ g

Context: x : α


Context:
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y

Tendsto (fun x => c * x ^ y) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
n : ℕ
c✝ c : Composition n


Context:
n : ℕ
c✝ c : Composition n

(¬∀ i ∈ c.blocks, i = 1) ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i


Context:
n : ℕ
c✝ c : Composition n
this : ∀ j ∈ c.blocks, j = 1 ↔ j ≤ 1


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : IntegrableOn f K μ

Context: g : X → E

Context: hg : ContinuousOn g K

Context: hK : IsCompact K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : IntegrableOn f K μ

Context: g : X → E

Context: hg : ContinuousOn g K

Context: hK : IsCompact K

Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : IntegrableOn f K μ

Context: g : X → E

Context: hg : ContinuousOn g K

Context: hK : IsCompact K

AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)


Context:
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : jacobiSymNat ab b = r


jacobiSym (↑a % ↑b) b = jacobiSym (↑(a % b)) b


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ


Context:
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2


Context:
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : μ.rowLen i1 < μ.rowLen i2


Context:
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : (i2, μ.rowLen i1) ∈ μ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a : α

∀ {b : ConjClasses α}, a ∈ b.carrier ↔ ConjClasses.mk a = b


∀ (a_1 : α), a ∈ (ConjClasses.mk a_1).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk a_1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α

a ∈ (ConjClasses.mk b).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk b


Context: a : ℝ

interior {z | a ≤ z.im} = {z | a < z.im}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0


¬eval ν.succ (ascPochhammer ℕ (n - ν)) = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
x y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
hx : x ∈ zpowers y
a : α
hs : y • a = a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
a : α
hs : y • a = a
k : ℤ
hx : y ^ k ∈ zpowers y


Context:
a b c d m n : ℤ
p : ℤ → Prop
i : ℤ
hz : p 0
hp : ∀ (i : ℕ), p ↑i → p (↑i + 1)
hn : ∀ (i : ℕ), p (-↑i) → p (-↑i - 1)


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.6722
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsSeparatedMap f ↔ ∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)


Tendsto (Prod.mk a ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

fderivWithin 𝕜 (fun y => c + f y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(spectrum S a)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (spectrum S a)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

W.Φ 4 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)


X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - (W.preΨ₄ * 1 ^ 3 * W.Ψ₂Sq ^ 2 - 1 * W.Ψ₃ ^ 3 * 1) * W.Ψ₃ * 1 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι

((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1


((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ S, A ↓∩ B = x}


A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂ x ∈ S, A ↓∩ x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p✝ a → β✝
x✝ : Option α✝
α : Type u_5
β γ : Type u_6
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
g : β → Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a

pmap f x H >>= g = x.pbind fun a h => g (f a ⋯)


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable


Context:
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

∃ q r₁ r₂, r₁.degree < g₁.degree ∧ r₂.degree < g₂.degree ∧ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑q + ↑r₁ / ↑g₁ + ↑r₂ / ↑g₂


↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂


Context:
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0


Context:
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0


Context: R : Type

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: K : Type

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R[X] K

Context: inst✝ : IsFractionRing R[X] K

Context: f g₁ g₂ : R[X]

Context: hg₁ : g₁.Monic

Context: hg₂ : g₂.Monic

Context: c d : R[X]

Context: hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

Context: hg₁' : ↑g₁ ≠ 0

Context: hg₂' : ↑g₂ ≠ 0

Context: hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c


Context: R : Type

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: K : Type

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R[X] K

Context: inst✝ : IsFractionRing R[X] K

Context: f g₁ g₂ : R[X]

Context: hg₁ : g₁.Monic

Context: hg₂ : g₂.Monic

Context: c d : R[X]

Context: hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

Context: hg₁' : ↑g₁ ≠ 0

Context: hg₂' : ↑g₂ ≠ 0

Context: hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d


Context: R : Type

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: K : Type

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R[X] K

Context: inst✝ : IsFractionRing R[X] K

Context: f g₁ g₂ : R[X]

Context: hg₁ : g₁.Monic

Context: hg₂ : g₂.Monic

Context: c d : R[X]

Context: hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

Context: hg₁' : ↑g₁ ≠ 0

Context: hg₂' : ↑g₂ ≠ 0

f = ((f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) * g₁ + f * d %ₘ g₁) * g₂ + f * c %ₘ g₂ * g₁


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α
h : f.IsThreeCycle


Context:
f✝ g f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re

∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: f : ι → α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: k : Set X

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: kt : k ⊆ tᶜ

Context: P : Set X → Prop := IsCompact

Context: c : Urysohns.CU P := { C := k, U := tᶜ, P_C := k_comp, closed_C := k_closed, open_U := ⋯, subset := kt, hP := ⋯ }


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E

restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

s ×ˢ t = ⋃ a ∈ s, (fun b => (a, b)) '' t


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

(sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g

sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z

Context: X S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: Y : Scheme

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Context: hX : IsAffine Y


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z

Context: X S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: Y : Scheme

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : Q (Scheme.Hom.app g ⊤)

Context: hX : IsAffine Y


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hb : b < b'
h₀✝ : 0 ≤ r
h₁ : r ≤ 1
h₀ : 0 < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E

‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖⟪v, f x⟫_𝕜‖ ≤ ‖v‖ * ‖f x‖


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : LinearOrder R

Context: g : α → R

Context: F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}

{t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}.Countable


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : LinearOrder R

Context: g : α → R

{t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}} ⊆ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : LinearOrder R

Context: g : α → R

Context: t : R

Context: ht : t ∈ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}

t ∈ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : LinearOrder R

Context: g : α → R

Context: t : R

Context: this : μ {a | t < g a} < μ {a | t ≤ g a}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : CommRing T

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K S

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: pb : PowerBasis K S

Context: hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K pb.gen)

(algebraMap K F) ((Algebra.trace K S) pb.gen) = ((minpoly K pb.gen).aroots F).sum


Context:
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

(coeff R p (n + 1)) (f ^ p) = (coeff R p n) f


(coeff R p (n + 1)) f ^ p = (coeff R p n) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: n : ℕ

Context: f : α → Fin n

Context: this : Primcodable { a // id a < n } := Primcodable.subtype ⋯


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

upcrossingsBefore a b f N ω < upcrossingsBefore a b f (N₂ + 1) ω


(upcrossingsBefore a b f N ω).succ ∈ {n | upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) n ω < N₂ + 1}


∃ j ∈ Set.Ico (lowerCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω) (N₂ + 1), f j ω ∈ Set.Ici b


lowerCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N₂


∃ j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω) N₂, f j ω ∈ Set.Iic a


upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : M → ι
i : ι
a : R[M]

a ∈ gradeBy R f i ↔ ↑a.support ⊆ f ⁻¹' {i}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
x✝ : 𝕜

(fderivWithin 𝕜 f univ x✝) 1 = (fderiv 𝕜 f x✝) 1


Context:
R : Type u_1
S : Type ?u.132402
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.132867
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.134007
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι k (k ⊗[R] M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i


Submodule.span k (Set.range (⇑((mk R k M) 1) ∘ f)) = Submodule.span k (Set.range ⇑b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(r • j).toSignedMeasure i = ↑(r • j.toSignedMeasure) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0

∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hgf : g ≤ f

Context: hg_meas : Measurable g

Context: hgsupp : μ (support g) < ⊤

Context: hgε : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ε < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hgf : g ≤ f

Context: hg_meas : Measurable g

Context: hgsupp : μ (support g) < ⊤


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

appLE f U V e ≫ (appIso f V).inv = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Y.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ∀ (a : α) (s : Set γ), MeasurableSet s → ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

v +ᵥ p₁ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

(∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x) + ∫ (x : ℝ) in ε..Int.fract (t / T) * T + ⌊t / T⌋ • T, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
β : Type u_3
f : ι → α → β
t : ι → Set β
ht : IndexedPartition t
hf : ∀ (i : ι), BijOn (f i) (s i) (t i)
g : α → β := hs.piecewise f
hg : g = hs.piecewise f
hg_bij : ∀ (i : ι), BijOn g (s i) (t i)
hg_inj : InjOn g (⋃ i, s i)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : IsFreeGroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : Generators G → H

∃! F, ∀ (a : Generators G), F (of a) = f a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

derivWithin (fun x => (aeval x) q) s x = (aeval x) (derivative q)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • t)).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: t' : Set E

Context: t'_meas : MeasurableSet t'

Context: t't : t' ⊆ t

Context: t'pos : 0 < μ t'

Context: t'top : μ t' < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: t' : Set E

Context: t'_meas : MeasurableSet t'

Context: t't : t' ⊆ t

Context: t'pos : 0 < μ t'

Context: t'top : μ t' < ⊤

∀ (a : ℝ), 0 < μ (s ∩ ({x} + a • t')) / μ ({x} + a • t') → (s ∩ ({x} + a • t)).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: t' : Set E

Context: t'_meas : MeasurableSet t'

Context: t't : t' ⊆ t

Context: t'pos : 0 < μ t'

Context: t'top : μ t' < ⊤

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • t')


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: t' : Set E

Context: t'_meas : MeasurableSet t'

Context: t't : t' ⊆ t

Context: t'pos : 0 < μ t'

Context: t'top : μ t' < ⊤

Context: r : ℝ

Context: this : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: t' : Set E

Context: t'_meas : MeasurableSet t'

Context: t't : t' ⊆ t

Context: t'pos : 0 < μ t'

Context: t'top : μ t' < ⊤

Context: r : ℝ

Context: this✝ : μ (s ∩ ({x} + r • t')) ≠ 0

Context: this : (s ∩ ({x} + r • t')).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset γ
f : γ → α

∀ (a : γ) (s : Multiset γ), (∀ {t : Multiset β}, Rel r (map f s) t ↔ Rel (fun a b => r (f a) b) s t) → ∀ {t : Multiset β}, Rel r (map f (a ::ₘ s)) t ↔ Rel (fun a b => r (f a) b) (a ::ₘ s) t


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction

s.WSameSide x (v +ᵥ y) ↔ s.WSameSide x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L

HasFDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L


Context:
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T

↑((m + n) • x).toCircle = (fourier m) x * (fourier n) x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y

F.map (lift f g) ≫ (F.mapBiprod X Y).hom = lift (F.map f) (F.map g)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
g : Z ⟶ Y.left


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ : P

midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p₂ = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

(coeff R (d + n)) (p * X ^ n) = (coeff R d) p


∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → (coeff R b.1) p * (coeff R b.2) (X ^ n) = 0


(d, n) ∉ antidiagonal (d + n) → (coeff R (d, n).1) p * (coeff R (d, n).2) (X ^ n) = 0


Context:
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: w✝ : ℝ≥0

Context: left✝ : 0 < w✝

Context: antilipschitz : AntilipschitzWith w✝ ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y
this : (s - s') • x + (t - t') • y = 0


Context:
x : PGame
h : x ⧏ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : n ≤ k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : n ≤ k

(p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : n ≤ k

∀ x_1 ∈ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k x_1) fun x_2 => x) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : n ≤ k

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ Finset.range (n - k)

((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : n ≤ k

Context: m : ℕ

Context: hm : m < n - k


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → 𝕜
c : E

∫ (x : ℝ) in a..b, f x • c ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) • c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.126940, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
n' : ℤ
hn' : n + 1 = n'

δ n n' ((↑(fst φ)).comp α ⋯ + (snd φ).comp β ⋯) = (↑(fst φ)).comp (δ m n α + n'.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯


(↑(fst φ)).comp (δ m n α) ⋯ + ((snd φ).comp (δ n n' β) ⋯ + -(n.negOnePow • (↑(fst φ)).comp ((Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯)) = (↑(fst φ)).comp (δ m n α) ⋯ + -(n.negOnePow • (↑(fst φ)).comp ((Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯) + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : Monic 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : Monic 0

Context: this : Subsingleton R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: h : ¬Monic 0

(if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2

∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : DifferentiableAt 𝕜 f x

Context: δ : ℝ := ε / 2 / 2

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : DifferentiableAt 𝕜 f x

Context: δ : ℝ := ε / 2 / 2

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : DifferentiableAt 𝕜 f x

Context: δ : ℝ := ε / 2 / 2

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 R

Context: this : r ∈ Ioc (r / 2) r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : DifferentiableAt 𝕜 f x

Context: δ : ℝ := ε / 2 / 2

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 R

Context: this : r ∈ Ioc (r / 2) r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ ball x r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ ball x r

‖f z - f y - (fderiv 𝕜 f x) (z - y)‖ < ε * r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
h0 : ¬∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
h0 : ¬∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ = 0
htop : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 f x

DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 g x


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : a * 1 ≤ a * a


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d : ManyOneDegree


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝ : Set ℕ


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p✝ : R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: Q : A[X]

Context: p : A

Context: x z : B

Context: hp : p ≠ 0

Context: hz : (aeval x) Q = p • z

Context: f : ℕ → A

Context: hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p✝ : R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: Q : A[X]

Context: p : A

Context: x z : B

Context: hp : p ≠ 0

Context: hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), Q.coeff ↑i • x ^ ↑i = p • z

Context: f : ℕ → A


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p✝ : R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: Q : A[X]

Context: p : A

Context: x z : B

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → A

Context: hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), p • f ↑i • x ^ ↑i = p • z


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p✝ : R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: Q : A[X]

Context: p : A

Context: x z : B

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → A

Context: hz : p • ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 = p • z


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p✝ : R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: Q : A[X]

Context: p : A

Context: x z : B

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → A

∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 ∈ adjoin A {x}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R

(vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde v).det


(vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde fun i => v i + -a).det


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NoZeroDivisors α
s : Set α
a : α
ha : a ≠ 0
hs : ThreeGPFree (a • s)
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
h : b * d = c * c


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R

(C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆).natDegree ≤ 3


Context:
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

∫ (x : X) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ∑ i : ι, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
x✝ : ι


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
x : R
f : R →+* S
h : f p.leadingCoeff ≠ 0
n✝ : ℕ

(map f (p.scaleRoots x)).coeff n✝ = ((map f p).scaleRoots (f x)).coeff n✝


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set ι


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set ι


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: h₁ : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

Context: h₂ : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)

Context: x : S

Context: hx : x ∈ quasispectrum S a


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: hx : 0 ∈ quasispectrum S a


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: x : S

Context: hx✝ : x ∈ quasispectrum S a

Context: hx : x ∈ spectrum S a


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I

∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

(fun x => x * ↑n) (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x) = (fun x => x * ↑n) (↑x * (1 - ↑x) / ↑n)


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

(fun x => x * ↑n) ((fun x => x * ↑n) (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x)) = (fun x => x * ↑n) ((fun x => x * ↑n) (↑x * (1 - ↑x) / ↑n))


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

(∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x) * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n * ↑n * ↑n


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) / ↑n * ↑n * ↑n


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

∑ i : Fin (n + 1), (↑x - ↑↑i / ↑n) ^ 2 * (bernstein n ↑i) x * ↑n * ↑n = ↑x * (1 - ↑x) * ↑n


Context: n : ℕ

Context: h : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

Context: h' : ↑n ≠ 0

Context: this : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • Polynomial.X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial ℝ n ν = n • Polynomial.X * (1 - Polynomial.X)


Context: n : ℕ

Context: h : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

Context: h' : ↑n ≠ 0

Context: this : (Polynomial.aeval ↑x) (∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • Polynomial.X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial ℝ n ν) = (Polynomial.aeval ↑x) (n • Polynomial.X * (1 - Polynomial.X))


Context: n : ℕ

Context: h : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

Context: h' : ↑n ≠ 0

Context: this : ∑ x_1 : Fin (n + 1), (↑n * ↑x - ↑↑x_1) ^ 2 * Polynomial.eval (↑x) (bernsteinPolynomial ℝ n ↑x_1) = ↑n * ↑x * (1 - ↑x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

(IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ IsBigOWith c l f g'


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Continuous ((fun φ => φ f) ∘ toWeakDualBCNN)


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card

nth p n = (hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, hn⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

2 * ENNReal.ofReal (ε / 2) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

-W'.dblU P * (W'.dblU P ^ 2 - P x * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2) + W'.negY P * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 3 = (-W'.dblU P) ^ 3


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ

Tendsto (fun x => cexp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x => (f x).re) l atBot


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ

Tendsto (re ∘ f) l atBot ↔ Tendsto (fun x => (f x).re) l atBot


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a : ℕ
x : ZMod a


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : ContinuousWithinAt f s x

{y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y} ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: h : ContinuousWithinAt f s x

f ∘ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ⊆ {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y}


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

IsNoetherian K V ↔ (Basis.ofVectorSpaceIndex K V).Finite


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
inst✝ : CompleteSpace γ


UniformContinuous ((pkg.prod pkg').extend (uncurry f))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0

↑(Ideal.span {x}) / ↑(Ideal.span {x}) = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (preimage f)
x x' : α
hx : f x = f x'


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (preimage f)
x x' : α
hx : f x = f x'
s : Set β
hs : f ⁻¹' s = {x}


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (preimage f)
x x' : α
hx : f x = f x'
s : Set β
hs : f ⁻¹' s = {x}
this : x ∈ {x}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂

finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁
this : ProperSpace ↥K₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂

Context: h : K₁ ≤ K₂

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁

Context: this : ProperSpace ↥K₁

Context: hd : finrank 𝕜 ↥(K₁ ⊔ K₁ᗮ ⊓ K₂) + finrank 𝕜 ↥(K₁ ⊓ (K₁ᗮ ⊓ K₂)) = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂

Context: h : K₁ ≤ K₂

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁

Context: this : ProperSpace ↥K₁

Context: hd : finrank 𝕜 ↥K₂ + 0 = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂

Context: h : K₁ ≤ K₂

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₁

Context: this : ProperSpace ↥K₁

Context: hd : finrank 𝕜 ↥K₂ = finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : PartialOrder γ
inst✝ : OrderTop γ


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
hb : ℵ₀ ≤ b
ha : a ≤ b


Context: a✝ b✝ c p q : ℚ

Context: a b : ℤ

Context: hb : 0 < b

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hnd : n.natAbs.Coprime d

Context: hab : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := hnd }

0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := hnd } ↔ 0 ≤ a


Context:
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
hb : 0 < b
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hnd : n.natAbs.Coprime d
hab : a * ↑d = n * b


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype k
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq k
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
a : m
b : n
c : k
M : Matrix k l α

(single a b).toMatrix * ((single b c).toMatrix * M) = (single a c).toMatrix * M


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
inst✝ : CompleteSpace E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: w✝² : ℝ≥0

Context: w✝¹ w✝ : ℝ

Context: hpl : IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ w✝² w✝¹ w✝


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: w✝² : ℝ≥0

Context: w✝¹ w✝ : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = x₀

Context: hf2 : ∀ t ∈ Icc (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivWithinAt f (v (f t)) (Icc (t₀ - ε) (t₀ + ε)) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t : Set α

EqOn (s.piecewise f f') g t ↔ EqOn f g (t ∩ s) ∧ EqOn f' g (t ∩ sᶜ)


(∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → s.piecewise f f' x = g x) ↔ ∀ (x : α), (x ∈ t ∩ s → f x = g x) ∧ (x ∈ t ∩ sᶜ → f' x = g x)