Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Vector α n
x : α

scanl f b (x ::ᵥ v) = b ::ᵥ scanl f (f b x) v


⟨b :: List.scanl f (f b x) ↑v, ⋯⟩ = b ::ᵥ ⟨List.scanl f (f b x) v.toList, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

nndist f g ≤ r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

(fun z => resolvent (z⁻¹ • a) 1) =O[cobounded 𝕜] fun x => 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: h : (fun z => resolvent (z⁻¹ • a) 1) =O[cobounded 𝕜] fun x => 1

resolvent a =ᶠ[cobounded 𝕜] fun z => z⁻¹ • resolvent (z⁻¹ • a) 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ {0}ᶜ

resolvent a z = z⁻¹ • resolvent (z⁻¹ • a) 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: z : 𝕜ˣ

Context: hz : ↑z ∈ {0}ᶜ

resolvent a ↑z = (↑z)⁻¹ • resolvent ((↑z)⁻¹ • a) 1


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: g : G

Context: x : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule

((ofModule ρ.asModule) g) x = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x))))


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: g : G

(RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) (((ofModule ρ.asModule) g) x) = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)))))


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: g : G

(RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (MonoidAlgebra.single g 1 • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)) = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)))))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))

Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T) ∈ K.sieves (G.obj X)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX

Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)) ∈ K.sieves Y


∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.coverByImage G Y).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves Y_1


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
W : D
Z : C
iWZ : W ⟶ G.obj Z
iZY : G.obj Z ⟶ Y

Sieve.pullback (iWZ ≫ iZY) (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves W


Sieve.pullback iWZ (Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)))) ∈ K.sieves W


Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))) ∈ K.sieves (G.obj Z)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
Z : C
iZY : G.obj Z ⟶ Y


Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve (iZY ≫ iYX)) ≤ Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.9321, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.9373, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
X : C
T : ↑(K.sieves (G.obj X))
Y : D
iYX : Y ⟶ G.obj X
hiYX : (↑T).arrows iYX
Z : C
iZY : G.obj Z ⟶ Y
W : D
V : C
iVZ : V ⟶ Z
iWV : W ⟶ G.obj V
iVX : V ⟶ X
e : G.map iVX = G.map iVZ ≫ iZY ≫ iYX

(Sieve.pullback iZY (Sieve.pullback iYX (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)))).arrows (iWV ≫ G.map iVZ)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : abs ⟨a, f⟩ = x
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)


Subtype.val <$> abs ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x


abs ((P F).map Subtype.val ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.im|))

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z.re

Context: hzb : z.re ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z.re

Context: hzb : z.re ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z.re

Context: hzb : z.re ≤ b

Context: H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z.re

Context: hzb : z.re ≤ b

∃ c < π / (b - a), ∃ B, (fun z => f (z * -I)) =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z✝.re

Context: hzb : z✝.re ≤ b

Context: z : ℂ

Context: hz : z.im = a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z✝.re

Context: hzb : z✝.re ≤ b

Context: z : ℂ

Context: hz : z.im = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
f✝ : R →ₙ+* S
g : R →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S × T
x : R

(((fst S T).comp f).prod ((snd S T).comp f)) x = f x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (total.map ((shiftFunctor₂ C y).map f) (up ℤ)).f n ≫ (L.totalShift₂Iso y).hom.f n = ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f n ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

(((shiftFunctor₂ C y).map f).f i₁).f i₂ ≫ ((i₁ * y).negOnePow • (L.shiftFunctor₂XXIso i₁ i₂ y (i₂ + y) ⋯).hom ≫ L.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (L.total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) = ((i₁ * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₂XXIso i₁ i₂ y (i₂ + y) ⋯).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

(f.f i₁).f (i₂ + y) ≫ ((i₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((L.X i₁).X (i₂ + y)) ≫ L.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((L.total (up ℤ)).X (n + y))) = ((i₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X i₁).X (i₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) i₁ (i₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y))) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + y)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι

(update i f b) j = (single i b + erase i f) j


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i

(update i f b) i = (single i b + erase i f) i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
h : i ≠ j


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l : List ι

Context: f : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: is : List ι

Context: hl : (i :: is).Nodup

Context: v w : TProd α (i :: is)

Context: hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l : List ι

Context: f : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: is : List ι

Context: hl : (i :: is).Nodup

Context: v w : TProd α (i :: is)


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j✝ : ι

Context: l : List ι

Context: f : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: is : List ι

Context: hl : (i :: is).Nodup

Context: v w : TProd α (i :: is)

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ is


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝

Context: i : ι

({ f := fun i => (f i).hom, comm' := hf } ≫ { f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ }).f i = (𝟙 C₁).f i


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: i : ι

({ f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ } ≫ { f := fun i => (f i).hom, comm' := hf }).f i = (𝟙 C₂).f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
f : α → 𝕜
g : α → R
h : IsBigOWith c l (f ^ n) (g ^ n)
hn : n ≠ 0
hc : c ≤ c' ^ n
hc' : 0 ≤ c'
x : α
hx : ‖(f ^ n) x‖ ≤ c' ^ n * ‖(g ^ n) x‖


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
r : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → ε' → ε

Context: g' : β → γ → ε'

Context: h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)

Context: x✝ : Set ε

image2 f (image2 g s t) u ⊆ x✝ ↔ image2 f' s (image2 g' t u) ⊆ x✝


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
s t : Set V
sconn : (H.induce s).Connected
tconn : (H.induce t).Connected
sintert : (s ⊓ t).Nonempty


H.induce s ⊔ H.induce t ≤ H.induce (s ∪ t)


(H.induce s ⊔ H.induce t).verts = (H.induce (s ∪ t)).verts


Context:
y z : ℝ
n : ℕ
hy : 0 < y
hx : 0 ≤ 0
h : log 0 < z * log y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : ∀ ⦃Z : C⦄ (f g : Z ⟶ A), f = g
inst✝ : HasBinaryProduct A A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

0 < (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: simple : ∀ (i : B), p (cs.simple i)

Context: one : p 1

Context: mul : ∀ (w w' : W), p w → p w' → p (w * w')


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: simple : ∀ (i : B), p (cs.simple i)

Context: one : p 1

Context: this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : ¬G.Reachable u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
h_glb : IsGLB (↑(Finset.Ioc i j)) i


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
h_glb : IsGLB (↑(Finset.Ioc i j)) i
hi_mem : i ∈ Finset.Ioc i j


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : LocallyFiniteOrder ι
i : ι
hi : succFn i ≤ i
j : ι
x✝ : i ≤ j
hij_lt : i < j
h_succFn_eq : succFn i = i
h_glb : IsGLB (↑(Finset.Ioc i j)) i
hi_mem : i < i ∧ i ≤ j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

Context: this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
g : M
r : R

r ∈ (span R {g}).annihilator ↔ r • g = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
a : G
l : List G
hl : (a :: l).prod = 1
n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : Group G

Context: a : G

Context: l : List G

Context: hl : (a :: l).prod = 1

Context: n : ℕ

Context: this : n % (a :: l).length ≤ (a :: l).length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : Group G

Context: a : G

Context: l : List G

Context: n : ℕ

Context: hl : (take (n % (a :: l).length) (a :: l) ++ drop (n % (a :: l).length) (a :: l)).prod = 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X


IsClosed (⋂ i, {x | (¬∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, i x) ∨ ∃ᶠ (x : X) in f, i x})


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
p : X → Prop

IsOpen fun x => (𝓝 x).sets {x | (fun x => p x) x}


IsOpen fun x => f.sets {x | (fun x => ¬(fun x => p x) x) x}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: φ : α → β

Context: hφ : AEMeasurable φ μ

Context: f : β → G

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.map φ μ)

Context: g : β → G := AEStronglyMeasurable.mk f hfm

Measure.map φ μ = Measure.map (AEMeasurable.mk φ hφ) μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m i : ℤ
z : Cochain F G 0
hz : z ∈ cocycle F G 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m i : ℤ
z : Cochain F G 0
hz : δ 0 1 z = 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hyo : y % 2 = 1
hzpos : 0 < z
h0 : ¬x = 0
v : ℚ := ↑x / ↑z
w : ℚ := ↑y / ↑z
hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1
hvz : v ≠ 0
hw1 : w ≠ -1
hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: hp : (v, w) ∈ {p | p.1 ^ 2 + p.2 ^ 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1}

Context: q : ℚ := (circleEquivGen hQ).symm ⟨(v, w), hp⟩


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: ht4 : v = 2 * q / (1 + q ^ 2) ∧ w = (1 - q ^ 2) / (1 + q ^ 2)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hx1 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → (1 - (j / k) ^ 2) / (1 + (j / k) ^ 2) = (k ^ 2 - j ^ 2) / (k ^ 2 + j ^ 2)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hw2 : w = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hx2 : ∀ {j k : ℚ}, k ≠ 0 → k ^ 2 + j ^ 2 ≠ 0 → 2 * (j / k) / (1 + (j / k) ^ 2) = 2 * k * j / (k ^ 2 + j ^ 2)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hv2 : v = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1

Context: hmncp : m.gcd n = 1


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1

Context: hmncp : m.gcd n = 1

Context: hm2 : m % 2 = 0

Context: hn2 : n % 2 = 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1

Context: hmncp : m.gcd n = 1

Context: hm2 : m % 2 = 0

Context: hn2 : n % 2 = 1


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1

Context: hmncp : m.gcd n = 1

Context: hm2 : m % 2 = 1

Context: hn2 : n % 2 = 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hyo : y % 2 = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h0 : ¬x = 0

Context: v : ℚ := ↑x / ↑z

Context: w : ℚ := ↑y / ↑z

Context: hq : v ^ 2 + w ^ 2 = 1

Context: hvz : v ≠ 0

Context: hw1 : w ≠ -1

Context: hQ : ∀ (x : ℚ), 1 + x ^ 2 ≠ 0

Context: m : ℤ := ↑q.den

Context: n : ℤ := q.num

Context: hm0 : m ≠ 0

Context: hq2 : q = ↑n / ↑m

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hm2n20 : ↑m ^ 2 + ↑n ^ 2 ≠ 0

Context: hnmcp : n.gcd m = 1

Context: hmncp : m.gcd n = 1

Context: hm2 : m % 2 = 1

Context: hn2 : n % 2 = 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: h : Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: p : 0 < finrank (↥(IntermediateField.fixedField ⊤)) E


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s

∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0

Context: htm : ∀ {n : ℕ}, NullMeasurableSet (t n) μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0

Context: T : Set α := t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n

Context: hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0

Context: hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n

Context: hμT : μ T ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0

Context: hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n

Context: hμT : μ T ≠ 0

Context: hTm : NullMeasurableSet T μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0

Context: hT : T = t N \ ⋃ n, ⋃ (_ : n > N), t n

Context: hμT : μ T ≠ 0

Context: hTm : NullMeasurableSet T μ

Context: x : α

Context: hxt : x ∈ T

Context: m : ℕ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: hmt : f^[m] x ∈ T


Context: a : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: ht : ContinuousWithinAt f t x

Context: h : ContinuousWithinAt f (s \ t) x


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hxc : Complex.abs ↑x ≤ 1

|rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ × β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : γ × β), g c ∂κ.swapRight a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.swap ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: P : α → Prop

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

All P (l.balanceL x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

{γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)

Context: H : (⇑S.subtype ⁻¹' (((fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (p.1⁻¹, p.2)) '' K ×ˢ L)ᶜ)ᶜ.Finite


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)

Context: H : (Subtype.val ⁻¹' ((fun a => a.1⁻¹ * a.2) '' K ×ˢ L)).Finite


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)

(⇑S.equivOp ⁻¹' {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}).Finite


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)

Context: x : ↥S

x ∈ ⇑S.equivOp ⁻¹' {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅} ↔ x ∈ Subtype.val ⁻¹' ((fun a => a.1⁻¹ * a.2) '' K ×ˢ L)


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: S✝ : Subgroup G

Context: inst✝¹ : S✝.Normal

Context: inst✝ : IsClosed ↑S✝

Context: S : Subgroup G

Context: K L : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hL : IsCompact L

Context: this : Continuous fun p => (p.1⁻¹, p.2)

Context: x : ↥S

S.equivOp x • K ∩ L ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a, b) ∈ K ×ˢ L ∧ a⁻¹ * b = ↑x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p q : Seminorm 𝕝 E
hq : Continuous ⇑q
hpq : p ≤ q
r : ℝ
hr : r > 0


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : b < a
hc : c < a
H : a ≤ b + c


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : b < a
hc : c < a
H : a ≤ b + c
hab : a - b = a


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : b < a
hc : c < a
H : a ≤ c
hab : a - b = a


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i

Context: w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v

Context: hw₂ : w ∈ f


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i

Context: w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v

Context: hw₂ : w ∈ f

Context: hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i

Context: w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v

Context: hw₂ : w ∈ f

Context: hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ

Context: hw₄ : kᶜ ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i

Context: w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v

Context: hw₂ : w ∈ f

Context: hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ

Context: hw₄ : kᶜ ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ

Context: hnc : nᶜ ⊆ k \ n ∪ kᶜ


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen (j u)

Context: hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u

Context: g : Set (Set τ)

Context: hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f

Context: hg₂ : g.Finite

Context: hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i

Context: w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v

Context: hw₂ : w ∈ f

Context: hw₃ : k \ n ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ

Context: hw₄ : kᶜ ⊆ (closure (image2 ϕ w s))ᶜ

Context: hnc : nᶜ ⊆ k \ n ∪ kᶜ

Context: hw : closure (image2 ϕ w s) ⊆ n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ (P n).f n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K

(∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜) ↔ (adjoint u).comp u = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: u : H →L[𝕜] K

Context: h : ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜

Context: x : H


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : (adjoint u).comp u = 1


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ

coeff d (rTensorAlgHom (p ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n


coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * ((IsScalarTower.toAlgHom R (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))).comp Algebra.TensorProduct.includeRight) n) = coeff d p ⊗ₜ[R] n


coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * (algebraMap (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))) (1 ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n


1 ⊗ₜ[R] n * coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p) = coeff d p ⊗ₜ[R] n


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

Context: g : S →+* 𝕎 R

Context: k₁✝ k₂✝ : ℕ

Context: h : k₁✝ ≤ k₂✝

(TruncatedWittVector.truncate h).comp ((fun k => (truncate k).comp g) k₂✝) = (fun k => (truncate k).comp g) k₁✝


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f✝ : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f✝ k₂) = f✝ k₁

Context: hf : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

(fun g => ⟨fun k => (truncate k).comp g, ⋯⟩) ((fun f => lift ↑f ⋯) ⟨f, hf⟩) = ⟨f, hf⟩


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime x y


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime 0 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A

(shiftFunctorZero (OppositeShift C A) A).hom.app X = ((shiftFunctorZero C A).inv.app (Opposite.unop X)).op


𝟙 ((shiftFunctor (OppositeShift C A) 0).obj X) = 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C 0).obj (Opposite.unop X)))


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β


(∀ s ∈ l₂, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂


(∀ s ∈ l₂.sets, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' S : Submodule R M

Nat.card M = Nat.card ↥S * Nat.card (M ⧸ S)


Context: m n : ZNum


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
s : Set R
x : R
hx : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

fderivWithin 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹


fderiv 𝕜 Inv.inv x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs


x ∉ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0

∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 ↔ Even n ∧ x + 1 < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: s : Set α

ContinuousWithinAt f (insert x s) x ↔ ContinuousWithinAt f s x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α

(E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ E.charPoly.IsRoot q


(E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ eval₂ (RingHom.id α) q ((monomial E.order) 1 - ∑ i : Fin E.order, (monomial ↑i) (E.coeffs i)) = 0


(E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ q ^ E.order - ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * q ^ ↑x = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_3

Context: f : (i : ι) → E i → 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume

Context: hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume

Context: e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm

Integrable (fun x => ∏ i : ι, f i (x i)) volume


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_3

Context: f : (i : ι) → E i → 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume

Context: hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume

Integrable (fun x => ∏ x_1 : Fin (card ι), f (e x_1) (x x_1)) volume


Context:
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : 0 ≤ t

Context: h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

(μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : 0 ≤ t

rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : 0 ≤ t

rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: m n : M

Context: h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M

Context: h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M

Context: H : h₁.hom ▷ m ≫ (λ_ m).hom = (α_ m n m).hom ≫ m ◁ h₂.hom ≫ (ρ_ m).hom

Context: X : C

(F.obj m).map ((unitOfTensorIsoUnit F m n h₁).inv.app X) ≫ (F.μ n m).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.map h₂.hom).app ((F.obj m).obj X) ≫ F.εIso.inv.app ((F.obj m).obj X) = 𝟙 ((F.obj m).obj X)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: m n : M

Context: h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M

Context: h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M

Context: X : C

(F.map (λ_ m).inv).app X ≫ (F.map (h₁.inv ▷ m)).app X ≫ (F.map (α_ m n m).hom).app X ≫ (F.map (m ◁ h₂.hom)).app X ≫ (F.map (ρ_ m).hom).app X = 𝟙 ((F.obj m).obj X)


Context:
x : ℤ
r : ℝ


Context:
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hi : HasFiniteIntegral (fun x => f x - y₀) μ

Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: v : α → β

Context: l : β → γ

Context: u : γ → β

Context: gc : GaloisConnection l u

Context: hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝

Context: hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

l (limsup v f) ≤ limsup (fun x => l (v x)) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: v : α → β

Context: l : β → γ

Context: u : γ → β

Context: gc : GaloisConnection l u

Context: c : γ

Context: hc : ∀ᶠ (n : γ) in map (fun x => l (v x)) f, n ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: v : α → β

Context: l : β → γ

Context: u : γ → β

Context: gc : GaloisConnection l u

Context: c : γ

Context: hc : ∀ᶠ (a : α) in f, l (v a) ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: v : α → β

Context: l : β → γ

Context: u : γ → β

Context: gc : GaloisConnection l u

Context: c : γ

Context: hc : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≤ u c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β

l (⨆ i, ⨆ (hi : p i), u (f i hi)) = ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G


((haarContent K₀).measure ↑K₀)⁻¹ * (haarContent K₀).measure ↑K₀ = 1


(haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀) ≠ 0


(haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)


0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0

0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
a✝¹ : α
a✝ : 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
h2 : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹

↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
h : ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
a✝¹ : α
a✝ : ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
h2 : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹

0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j

X.map (SimplexCategory.δ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ j).op


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬f.Separable


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: f : F[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: h : Splits (RingHom.id F) f

Context: hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: f : F[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: h : Splits (RingHom.id F) f

Context: x : F

Context: hx : eval₂ (RingHom.id F) x (GCDMonoid.gcd f (derivative f)) = 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: f : F[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: h : Splits (RingHom.id F) f

Context: x : F


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0

p.radius - ↑‖x‖₊ ≤ (p.changeOrigin x).radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑r < p.radius - ↑‖x‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius


Summable fun n => ‖p.changeOrigin x n‖₊ * r ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r : ℝ≥0

Context: _h0 : 0 < r

Context: hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius

Context: hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius

Context: this : ∀ (k : ℕ), ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r : ℝ≥0

Context: _h0 : 0 < r

Context: hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius

Context: hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius

Summable fun b => (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (b + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ₁ : Type u_5

Context: δ₂ : Type u_6

Context: φ₁ : δ₁ → α

Context: φ₂ : δ₂ → α

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁)

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂)

Context: h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖

Context: h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖

Context: h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁

Context: h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂

Context: h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂

Context: ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁

Context: ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂

Context: this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)

uniformSpace α β 𝔖 = UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ₁ : Type u_5

Context: δ₂ : Type u_6

Context: φ₁ : δ₁ → α

Context: φ₂ : δ₂ → α

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁)

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂)

uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ₁ : Type u_5

Context: δ₂ : Type u_6

Context: φ₁ : δ₁ → α

Context: φ₂ : δ₂ → α

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁)

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂)

uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ₁ : Type u_5

Context: δ₂ : Type u_6

Context: φ₁ : δ₁ → α

Context: φ₂ : δ₂ → α

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁)

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂)

Context: S : Set α

Context: hS : S ∈ 𝔖

UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = 0
hnR : ↑n ≤ #R


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hnR : ↑n ≤ #R
h : F ≠ 0


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : Fin k → R
hr : (eval r) F ≠ 0


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : σ → R
hr : (eval (r ∘ f)) F ≠ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Injective f
m : ι → OuterMeasure α

(map f) (⨅ i, m i) = (restrict (range f)) (⨅ i, (map f) (m i))


(map f) (⨅ i, m i) = (map f) ((comap f) (⨅ i, (map f) (m i)))


Context:
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpb : p ∈ b.primeFactorsList

(a * b).factorization p = b.factorization p


(b * a).factorization p = b.factorization p


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i


∀ (r_1 : R) (f : (i : ι) → s i), (liftAux φ) (r • tprodCoeff R r_1 f) = r • (liftAux φ) (tprodCoeff R r_1 f)


∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x → (liftAux φ) (r • y) = r • (liftAux φ) y → (liftAux φ) (r • (x + y)) = r • (liftAux φ) (x + y)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ≅ Z


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b / c


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b ≤ a * c


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)

Context: g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p

Context: hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ : R[X]

Context: p : ℕ

Context: n : R

Context: x✝ : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : Irreducible b


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : maximalIdeal R = span {a}
hb : maximalIdeal R = span {b}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert x s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x


Context:
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0


Context:
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
hN3 : Nat.card G ≠ 0


Context:
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
hN3 : Nat.card G ≠ 0
this : Fintype G


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R

x✝ ∈ Submodule.toAddSubgroup (a • S) ↔ x✝ ∈ a • Submodule.toAddSubgroup S


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G

(hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (orderOf g).gcdB n


(hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (Nat.card ↥(Subgroup.zpowers g)).gcdB n


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0

Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
b' : αᵒᵈ
hb' : b' < toDual a

∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A

(baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Nonsingular x y


(baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ (baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p q : PMF α
h : p.toMeasure = q.toMeasure
x : α


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r s : R
rs : (single a) r = (single a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
h' : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
hne : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : α → β

Context: hs : s.Finite

Context: hne : Nonempty α

Context: h : (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard = s.encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : α → β

Context: hs : s.Finite

Context: hne : Nonempty α


Context: b : ℝ


Context:
b : ℝ
hb : b ≤ 0


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ

↑(rexp (-b * x ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x ^ 2)


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : HNNExtension G A B φ
w : NormalWord d

ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type x

Context: inst✝ : Monoid M

Context: φ : G →* H

Context: a✝ b✝ : G ⧸ φ.ker

Context: a b : G

Context: h : φ.rangeRestrict a = φ.rangeRestrict b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: K' : PositiveCompacts (G ⧸ Γ) := PositiveCompacts.map QuotientGroup.mk ⋯ ⋯ K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: i : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: finiteCovol : covolume (↥Γ.op) G ν ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: finiteCovol : covolume (↥Γ.op) G ν ≠ ⊤

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : ν s ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : ν s ≠ ⊤

(ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ↑K' ∩ s) • haarMeasure K').IsHaarMeasure


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : ν s ≠ ⊤

ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ↑K' ∩ s) ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : SigmaFinite ν

Context: inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: K : PositiveCompacts G

Context: this : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : ν s ≠ ⊤

ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ↑K' ∩ s) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P


∀ z ∈ I, (algebraMap R P) ↑I.den * z ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal S P
z✝ : P
h : z✝ ∈ I


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₁
αβ : α ≫ β = 𝟙 R₁

(conjugateEquiv adj₂ adj₁).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = 𝟙 L₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.126128, u_3} E

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: inst✝ : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f

EqualizerCondition F ↔ Presheaf.IsSheaf (Coverage.toGrothendieck C (regularCoverage C)) F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.126128, u_3} E

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝¹ : Preregular C

EqualizerCondition F ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ (regularCoverage C).covering X, Nonempty (IsLimit (F.mapCone (Sieve.generate R).arrows.cocone.op))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α →ₛ ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ

∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ

∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0

Context: a✝ : Disjoint (support ↑f₁) (support ↑f₂)

Context: h₁ : ∀ {L : ℝ≥0∞}, L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ

Context: h₂ : ∀ {L : ℝ≥0∞}, L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ

∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)

Context: h : κ → ι

Context: hh : Function.Injective h

Context: r : γ

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i✝ : κ

(comapDomain h hh (r • f)) i✝ = (r • comapDomain h hh f) i✝


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : angle x (x - y) = angle y (y - x)
hpi : angle x y ≠ π


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hpi : angle x y ≠ π

Context: h : ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) = ⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)


Context: o a : ONote

Context: h : o.fundamentalSequence = Sum.inl (some a)

o.fastGrowing = fun i => a.fastGrowing^[i] i


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : Prop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝⁶ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝⁵ : DecidableRel c.Rel

Context: inst✝⁴ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)

Context: inst✝³ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))

Context: φ₀ φ₁ : F ⟶ G

Context: h : Homotopy φ₀ φ₁

Context: hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (F.X i) (F.X i)

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 F) (-𝟙 F))

Context: D : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} D

Context: H : HomologicalComplex C c ⥤ D

Context: hH : (homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H


Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ
h : n.greatestFib = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : ¬P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v

W'.add (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.add P Q


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : ¬P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q