Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: _wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree

Context: ih : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)

(p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).1 else 0) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)

(if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (z * y + x) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α


(Multiset.card ↑s = n ∧ ∀ b ∈ ↑s, b = a) ↔ ∀ b ∈ s, b = a


Context:
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u

Small.{v, u} α ↔ lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}


Small.{v, u} α ↔ ∃ c', lift.{v + 1, u} #α = lift.{max u (v + 1), v} c'


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → τ
p : MvPolynomial σ R

(map f) ((rename g) p) = (rename g) ((map f) p)


Context: x y : ℝ

sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y


Context: x y : ℝ

↑(sinh (x + y)) = ↑(sinh x * cosh y + cosh x * sinh y)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b

Context: h' : a < b - c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a + c

Context: h' : a < a + c - c


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C✝ C : ℝ

Context: hC : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ range ⇑f ∪ range ⇑g → ∀ ⦃y : β⦄, y ∈ range ⇑f ∪ range ⇑g → dist x y ≤ C


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop

(∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atBot, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atBot, ∃ b, ∀ a ≤ a₀, r a b


(∃ x y, ∀ b ≤ x, r b y) ↔ ∃ a, ∀ b ≤ a, ∃ b_1, ∀ a ≤ b, r a b_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ioc b₁ b₂)


Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ioc b₁ b₂))


Context:
p : ℝ
hp : 0 < p
x : ℝ

‖↑x‖ = p * |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))|


Context:
p : ℝ
hp : 0 < p
x : ℝ

‖↑x‖ = |p| * |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))|


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this : LocallyCompactSpace H


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: U : M → Set M

Context: fs : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: hs : IsClosed s

Context: hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M

Context: hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: U : M → Set M

Context: fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: hs : IsClosed s

Context: hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M

Context: ι : Type uM

Context: c : ι → M

Context: f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)

Context: hf : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)

Context: hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: U : M → Set M

Context: fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: hs : IsClosed s

Context: hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M

Context: ι : Type uM

Context: c : ι → M

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)

Context: hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s

Context: hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: U : M → Set M

Context: fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: hs : IsClosed s

Context: hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M

Context: ι : Type uM

Context: c : ι → M

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)

Context: hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s

Context: V : ι → Set M

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)

Context: hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: U : M → Set M

Context: fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: hs : IsClosed s

Context: hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M

Context: ι : Type uM

Context: c : ι → M

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)

Context: hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s

Context: V : ι → Set M

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)

Context: hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)

Context: r : ι → ℝ

Context: hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut

Context: hr : ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: hf : IntegrableOn f t μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: hf : IntegrableOn f t μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : (μ.restrict t) s < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α

s.Disjoint (t + u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u


t.Disjoint s ∧ u.Disjoint s ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

{p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: S : L[[α]].Theory

Context: h : {p | S ⊆ ↑p} = ⋂₀ ((fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S)


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: S : L[[α]].Theory

(∀ s ∈ (fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S, s = Set.univ) ↔ ∀ φ ∈ S, {p | φ ∈ p} = Set.univ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuousOn f s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuous (s.restrict f)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
h0 : 0 < k

ζ ∈ primitiveRoots k R ↔ IsPrimitiveRoot ζ k


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace H

Context: PG₁ PG₂ : Pregroupoid H

Context: h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace H

Context: PG₁ PG₂ : Pregroupoid H

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ PG₁.groupoid


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace H

Context: PG₁ PG₂ : Pregroupoid H

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : PG₁.property (↑e) e.source ∧ PG₁.property (↑e.symm) e.target

PG₂.property (↑e) e.source ∧ PG₂.property (↑e.symm) e.target


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x


SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α

upperBounds (insert a s) = Ici a ∩ upperBounds s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure

(fun i => (HilbertBasis.mk hv hsp).repr.symm (lp.single 2 i 1)) = v


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l l' : List α
h✝ : l <+~ l'
xs : List α
hp : xs ~ l
h : xs <+ l'


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α


(iterate f a).head :: (iterate f a).tail = a :: iterate f (f a)


(iterate f a).head :: iterate f (f a) = a :: iterate f (f a)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
s t : Set α
a b : α

b ∈ doset a s t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, b = x * a * y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: a✝ : α

Context: b : β

Context: s✝¹ : Multiset α

Context: t✝ : Multiset β

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: IH : ∀ (t u : Multiset β), s ×ˢ (t + u) = s ×ˢ t + s ×ˢ u

Context: t u : Multiset β

(a ::ₘ s) ×ˢ (t + u) = (a ::ₘ s) ×ˢ t + (a ::ₘ s) ×ˢ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: a✝ : α

Context: b : β

Context: s✝¹ : Multiset α

Context: t✝ : Multiset β

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: t u : Multiset β

map (Prod.mk a) (t + u) + (s ×ˢ t + s ×ˢ u) = (a ::ₘ s) ×ˢ t + (a ::ₘ s) ×ˢ u


Context:
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
z : ℤ√d


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(g ⊗ f) ≫ (h ⊗ inv f) = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C

(λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K K'') (f ≫ f') ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K K'' L = ((λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L) ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L


(λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ SSet ⊗ sHom K'' L)).inv ≫ (α_ (𝟙_ SSet) (𝟙_ SSet) (sHom K'' L)).inv ≫ ((homEquiv K K') f ⊗ (homEquiv K' K'') f') ▷ sHom K'' L ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K K') (EnrichedCategory.Hom K' K'') (EnrichedCategory.Hom K'' L)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom K K' ◁ eComp SSet K' K'' L ≫ eComp SSet K K' L = (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L


Context: x y : ZFSet

Context: H : {x} = {y}

Context: this : ⋃₀ {x} = ⋃₀ {y} := congr_arg sUnion H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
p : β
hp : p ∈ Icc (f a) (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f a ∈ Icc (f a) (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f b ∈ Icc (f a) (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
p : β
hp : p ∈ Icc (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


utf8Len l = utf8Len l + utf8Len r ↔ r = []


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : LinearIndependent R b
hc : LinearIndependent S c

LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module S A

Context: inst✝¹ : Module R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: ι : Type v₁

Context: b : ι → S

Context: ι' : Type w₁

Context: c : ι' → A

Context: hb : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • b i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Context: hc : ∀ (s : Finset ι') (g : ι' → S), ∑ i ∈ s, g i • c i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module S A

Context: inst✝¹ : Module R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: ι : Type v₁

Context: b : ι → S

Context: ι' : Type w₁

Context: c : ι' → A

∀ (s : Finset (ι × ι')) (g : ι × ι' → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • b i.1 • c i.2 = 0 → ∀ (i : ι × ι'), g i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α
this : s = [] ↔ s <+: []


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ l₃ : List α

Context: a✝ b : α

Context: m n : ℕ

Context: s✝ : List α

Context: a : α

Context: t : List α

Context: o : s✝ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝

Context: s r : List α

Context: hr : r ∈ t.inits

Context: hs : a :: r = s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ l₃ : List α

Context: a✝ b : α

Context: m n : ℕ

Context: s✝¹ : List α

Context: a : α

Context: t : List α

Context: o : s✝¹ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝¹

Context: s✝ r : List α

Context: hr : r ∈ t.inits

Context: hs : a :: r = s✝

Context: s : List α

Context: ht : r ++ s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b✝ : α
m n : ℕ
s✝ : List α
a : α
t : List α
mi : s✝ <+: a :: t
b : α
s r : List α
hr : b :: s ++ r = a :: t
ba : b = a
st : s ++ r = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (F ∩ B n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_dense : DenseRange f
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s

Context: ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure s ×ˢ closure t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: this : Submodule.span 𝕜 (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 s x ∪ ⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y) ≤ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: this : ∀ ⦃x_1 : E × F⦄, x_1 ∈ (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)).prod (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) → x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P : PointClass F

Context: a✝ : Fin 3 → F

Context: hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)

W.NonsingularLift (W.negMap (Quot.mk Setoid.r a✝))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.closedBall a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : l.length = 0


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : ¬l.length = 0


l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: N : Bundled L.Structure

Context: hNκ : #↑N = κ

Context: NM : Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M)


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: N : Bundled L.Structure

Context: hNκ : #↑N = κ

Context: MN : Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ι : Sort u_4
p : α → ι → Prop
hp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i
i : ι


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C

Context: x✝ : ℝ

Context: hx✝ : x✝ ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x✝ ≤ y

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: hx✝ : x✝ ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x✝ ≤ y

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, -C ≤ deriv (fun y => -f y) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop

Context: H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)

Context: p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop

Context: f : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h0 : p fun x => ∅

Context: step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop

Context: p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop

Context: f : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h0 : p fun x => ∅

Context: val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop

Context: p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop

Context: h0 : p fun x => ∅

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : (i : ι) → Finset (α i)

Context: ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop

Context: p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop

Context: h0 : p fun x => ∅

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : (i : ι) → Finset (α i)

Context: he : univ.sigma f = ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop

Context: p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop

Context: h0 : p fun x => ∅

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : (i : ι) → Finset (α i)

Context: hne : (univ.sigma f).Nonempty


Context: t : ℝ

Tendsto (fun x => (1 + t / x) ^ x) atTop (𝓝 (rexp t))


Context: t : ℝ

(rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) =ᶠ[atTop] fun x => (1 + t / x) ^ x


Context:
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1


Context: t : ℝ

Context: h₁ : 1 / 2 < 1

Context: h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)


Context: t : ℝ

Context: h₁ : 1 / 2 < 1

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x

(rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) x = (fun x => (1 + t / x) ^ x) x


Context: t : ℝ

Context: h₁ : 1 / 2 < 1

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x

Context: hx' : 0 < 1 + t / x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]

x ∈ RingHom.ker (toZModPow n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


(toZModPow n) x = 0 ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : f.Disjoint g
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).preΨ n = Polynomial.map f (W.preΨ n)


preNormEDS ((mapRingHom f) W.Ψ₂Sq ^ 2) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n = preNormEDS ((mapRingHom f) (W.Ψ₂Sq ^ 2)) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n


Context: q : ℚ


Context: q : ℚ

(q.num.natAbs * q.num.natAbs).Coprime (q.den * q.den)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E

p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)


p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (p x 0).uncurry0


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a : ℤ
x✝ : a ∈ Iic 0
b : ℤ
hb : b ∈ Iic 0
hab : a < b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T✝ : Type ?u.93774
inst✝⁵ : CommRing T✝
inst✝⁴ : Algebra R T✝
inst✝³ : Algebra S T✝
inst✝² : IsScalarTower R S T✝
T : Type ?u.94985
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S
x : T ⊗[R] S

∃ a, (aeval fun x => 1 ⊗ₜ[R] P.val x) a = x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: h_one : f 1 = 1

Context: h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → M


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: h_one : f 1 = 1

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → M

(Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: h_one : f 1 = 1

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → M

(Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A✝ A B : ValuationSubring K

Context: h : A.principalUnitGroup = B.principalUnitGroup


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: h : γ₁ < γ₂

Iio γ₂ ∈ 𝓝 γ₁


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i ∧ MeasurableSet (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i)


Classical.choose ⋯ ⊆ i ∧ MeasurableSet (Classical.choose ⋯) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (Classical.choose ⋯)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'

LinearMap.range ((b.constr S) f) = span R (range f)


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x


(fun x => diracProba x) (diracProbaInverse μ) = (fun x => diracProba x) x


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
x : Set E


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y

Context: hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y

Context: hg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : ∃ l ∈ Iio a, Ioo l a ⊆ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l✝ : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: l : ℝ

Context: hal : l ∈ Iio a

Context: hl : Ioo l a ⊆ s

Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X : C

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) G

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X : C

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D

Context: this : HasColimit (Functor.empty D)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α

l.toFinset = l'.toFinset ↔ l.dedup ~ l'.dedup


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
h : torsion' R M S = ⊤
x : M


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : Dense s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
ι : Type u_2
π : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : ℕ → (i : ι) → π i
n : ℕ
i : ι

(partialSups f) n i = (partialSups fun x => f x i) n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: P : Ideal R

Context: hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P

Context: hPnonzero : P ≠ ⊥

Context: hPnot_top : P ≠ ⊤

Context: mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: P : Ideal R

Context: hPnonzero : P ≠ ⊥

Context: hPnot_top : P ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: P : Ideal R

Context: hPnonzero : P ≠ ⊥

Context: hPnot_top : P ≠ ⊤

Context: M : Ideal R

Context: hM : (fun I => I.IsMaximal) M


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
h : x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ pure a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : φ₀.map L ⋯ = φ.map L ⋯

Context: hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : LeftFractionRel φ₀ φ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: Y' : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Y'

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: Y' : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Y'

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: Y' : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Y'

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction X Y

Context: Y' : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Y'

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map φ₀.s ≫ L.map t₁ = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)


Context:
n : ℕ
s : ℂ
hs : s.re ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : TopologicalSpace K
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
a✝ : α
f : α → β
a : α
h1 : IsLocalMin f a
h2 : ∀ᶠ (z : α) in 𝓝 a, 0 < f z


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A : Set X

Context: hA : Dense A

Context: hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A : Set X

Context: hA : Dense A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p✝ : α → Prop
f : (a : α) → p✝ a → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
H₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p✝ a
H₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p✝ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: inst✝ : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: p1 p2 p3 : P

Context: h21 : p2 ≠ p1

Context: h32 : p3 ≠ p2

Context: h13 : p1 ≠ p3

∡ p1 p2 p3 + ∡ p2 p3 p1 + ∡ p3 p1 p2 = ↑π


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

(F.mapId a).hom ▷ F.map f = (F.mapComp (𝟙 a) f).inv ≫ F.map₂ (λ_ f).hom ≫ (λ_ (F.map f)).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E


Context: a b c d a' : List Γ'

update (elim a b c d) main a' = elim a' b c d


Context:
a b c d a' : List Γ'
x : K'

update (elim a b c d) main a' x = elim a' b c d x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g✝ f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g✝ f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: x✝ : μ i < ⊤

∫ (x : α) in i, f x ∂μ = ∫ (x : α) in i, g x ∂μ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ ((Equiv.pointReflection p₂) p₁) ↔ ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V

finrank K V ≤ 1 ↔ ∃ v, ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring C
inst✝⁵ : CommSemiring D
inst✝⁴ : CommSemiring E
inst✝³ : Algebra C D
inst✝² : Algebra C E
inst✝¹ : Algebra D E
inst✝ : IsScalarTower C D E
S : Set E

Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D S) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) S)


Set.range ⇑(algebraMap D E) = Set.range ⇑(algebraMap (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ


⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : β →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f a

f₀.lintegral (Measure.map g μ) ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : α →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f (g a)

f₀.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B X : Set α
M : Matroid α
h : M✶.RkPos


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)

(reverse (Quot.mk Setoid.r a✝)).formPerm ⋯ = (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h)⁻¹


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f B \ {e})
hfe : f ≠ e


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hfe : f ≠ e


Context:
cf cg : Code
a k : ℕ

(cf.prec cg).eval (Nat.pair a k.succ) = do let ih ← (cf.prec cg).eval (Nat.pair a k) cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair k ih))


Context:
cf cg : Code
a k : ℕ

Nat.rec (cf.eval (a, k.succ).1) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair (a, k.succ).1 (Nat.pair y i))) (a, k.succ).2 = (unpaired (fun a n => Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) (Nat.pair a k)).bind fun ih => cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair k ih))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: x₀ : E

Context: this : ‖x₀‖ ^ 0 * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

⌈-a⌉ ≤ z ↔ -⌊a⌋ ≤ z


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: g₁ g₂ : PreStoneCech α → β

Context: h₁ : Continuous g₁

Context: h₂ : Continuous g₂

Context: h : g₁ ∘ preStoneCechUnit = g₂ ∘ preStoneCechUnit


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: g₁ g₂ : PreStoneCech α → β

Context: h₁ : Continuous g₁

Context: h₂ : Continuous g₂


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : LinearOrder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : R →* M


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)


Context:
α✝ : Type u_1
a : α✝
l : List α✝
p : α✝ → Bool
al : a ∈ l
pa : p a = true


Context: α✝ : Type u_1

Context: a : α✝

Context: l : List α✝

Context: p : α✝ → Bool

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α✝

Context: l₁ l₂ : List α✝

Context: left✝¹ : ∀ (b : α✝), b ∈ l₁ → ¬p b = true

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂


Context: α✝ : Type u_1

Context: a : α✝

Context: l : List α✝

Context: p : α✝ → Bool

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α✝

Context: l₁ l₂ : List α✝

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂


Context: α✝ : Type u_1

Context: a : α✝

Context: l : List α✝

Context: p : α✝ → Bool

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α✝

Context: l₁ l₂ : List α✝

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: e₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: e₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂

l₁.length + l₂.length = l₁.length + (l₂.length + 1) - 1


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context: a b : ℕ+


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Integrable (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) (ν a)


Memℒp (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a)


Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s


eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) < ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ

MellinConvergent (fun t => ↑t ^ a • f t) s ↔ MellinConvergent f (s + a)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Finite

s.einfsep = ⋯.toFinset.inf (uncurry edist)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Finite
x✝ : ℝ≥0∞

x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ ⋯.toFinset.inf (uncurry edist)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hg : HasDerivAtFilter g g' x L

HasDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k s : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x

∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' (t ∩ s))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s✝ t : Set α

Context: r : ℝ

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: k s : Set β

Context: f : β → α

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x

Context: this : Disjoint (𝓝ˢ k ⊓ 𝓟 s) (comap f (cobounded α))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: r : ℝ

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: k s : Set β

Context: f : β → α

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x

Context: U : Set β

Context: hUo : IsOpen U

Context: hkU : k ⊆ U

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ cobounded α

Context: hd : Disjoint (U ∩ s) (f ⁻¹' id t)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
s s₁ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
p'' : Filter ι
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
hp : p'' ≤ p
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: p'' : Filter ι

Context: hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: hp : p'' ≤ p

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p'' ×ˢ p'') ×ˢ p', (F x.1.1 x.2, F x.1.2 x.2) ∈ u


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ

f.support.card = n ↔ ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i


f.support.card = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i


Context:
n : ℕ
l : List ℕ
b : ℕ
hl : ∀ x ∈ l, x < b + 1 + 1

ofDigits (b + 1 + 1) l < (b + 1 + 1) ^ l.length


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : G → Prop

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1

Context: mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : G → Prop

Context: x : G

Context: hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
h : ¬gcd x y = 0

∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
h : ¬gcd x y = 0
x' : α
ex : x = gcd x y * x'


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
h : ¬gcd x y = 0
x' : α
ex : x = gcd x y * x'
y' : α
ey : y = gcd x y * y'


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x + g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
π : α → Sort u_4

IsEmpty ((a : α) → π a) ↔ ∃ a, IsEmpty (π a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: y : E

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum (0 + y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: y : E

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum y)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: f : List α → β

Context: b : Filter β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: this : 𝓝 (a :: l) = Filter.map (fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l)

Tendsto f (𝓝 (a :: l)) b ↔ Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) b


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: f : List α → β

Context: b : Filter β

Context: a : α

Context: l : List α

Tendsto (f ∘ fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) b ↔ Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) b


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X Y : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ mk f

X.ofLE Y h₁ ≫ Y.ofLEMk f h₂ = X.ofLEMk f ⋯


underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso f).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso f).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ⋃ i, s i = univ

μ = ν ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜

‖Aᴴ * A‖ = ‖A‖ * ‖A‖


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context: u v m n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
m n : ℤ

(f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ m ≡ n [ZMOD ↑s.card]


Context: n m k : ℕ


Context:
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y

Spec.map (Hom.app f ⊤) ≫ Y.isoSpec.inv = X.isoSpec.inv ≫ f


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α × β


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p1 p2 p3 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

Context: hp2 : p2 ∈ s

dist p1 p3 = dist p2 p3 ↔ dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p1 p2 p3 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

Context: hp2 : p2 ∈ s

dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) + dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) + dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p3 ↑((orthogonalProjection s) p3) ↔ dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p3) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p3)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J

Disjoint (⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)) (⨆ i ∈ J, range (stdBasis R φ i))


Disjoint (⨅ i ∈ Iᶜ, ker (proj i)) (⨅ i ∈ Jᶜ, ker (proj i))


∀ ⦃x : (i : ι) → φ i⦄, ((∀ i ∈ Iᶜ, x i = 0) ∧ ∀ i ∈ Jᶜ, x i = 0) → ∀ (a : ι), x a = 0 a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝² : CommRing Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
h : IsField Aₘ
this : Field Aₘ := h.toField


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝² : CommRing Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
h : IsField Aₘ
this : Field Aₘ := h.toField
x : A
x_mem : x ∈ P
x_ne : x ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: f : β → Filter α

Context: s : Set β

Context: h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s

Context: ne : s.Nonempty

Context: t : Set α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: f : β → Filter α

Context: s : Set β

Context: ne : s.Nonempty

Context: t : Set α

Context: this : Nonempty ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V

s.secondInter p (-v) = s.secondInter p v


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f g : P →ᴬ[R] Q
h : ↑f = ↑g
a : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α

0 < ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f ∩ s)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : P

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f : AdicCauchySequence I M

Context: k : ℕ

Context: h : ∀ n ≥ k, ∃ m ≥ n, ∃ l ≥ n, ↑f m ∈ I ^ l • ⊤

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n + k

Context: l : ℕ

Context: hnl : l ≥ n + k

Context: hl : ↑f m ∈ I ^ l • ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f : AdicCauchySequence I M

Context: k : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n + k

Context: l : ℕ

Context: hnl : l ≥ n + k

Context: hl : ↑f m ∈ I ^ l • ⊤


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: v : F

{ toFun := fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (e.symm b v) = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
p : α × β → Prop
h : ∀ᵐ (x : α × β) ∂μ ⊗ₘ κ, p x

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, p (a, b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
h_sup : sSup s = ⊥
hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
h_sup : ∀ a ∈ s, a = ⊥
hne : s.Nonempty


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Sup α
inst✝⁶ : Bot α
inst✝⁵ : Sup β
inst✝⁴ : Bot β
inst✝³ : Sup γ
inst✝² : Bot γ
inst✝¹ : Sup δ
inst✝ : Bot δ
g : SupBotHom β γ
f₁ f₂ : SupBotHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
N₂ : LieSubmodule R L M₂
I J : LieIdeal R L


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
N₂ : LieSubmodule R L M₂
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x

⁅↑y, ↑z⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆


Context: z : ↥circle


Context: i j : ℕ


Context:
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
hl : 0 = l.length


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
hl : 0 < l.length


Context:
R : Type u_1
S : Type ?u.48975
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N✝ : Type ?u.49440
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N✝
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
P : Type ?u.50580
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
N : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : SubringClass S R
s : S
n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0

rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1


Context: n✝ n : ℕ


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
g : G


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: U : Filter (α × α)

Context: z : β

Context: D : α → α → β

Context: H : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ U ↔ ∃ ε > z, ∀ {a b : α}, D a b < ε → (a, b) ∈ s

Context: s : Set (α × α)

s ∈ U ↔ ∃ i > z, {p | D p.1 p.2 < i} ⊆ s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂

Context: x y : M'

(f fun i => Sum.elim (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl).symm i)) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂

Context: x y : M'

((((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : { x // x ∈ ↑(adjoin R s) }
a : A
ha : a ∈ s


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : { x // x ∈ ↑(adjoin R s) }
r : R

(algebraMap R ↥(adjoin R s)) r ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A
x : { x // x ∈ ↑(adjoin R s) }
x✝¹ x✝ : ↥(adjoin R s)

x✝¹ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝¹ + x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s)


x✝¹ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s) → x✝¹ * x✝ ∈ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: h : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: huv : ∀ (p q : β), MeasurableSet (u p q) ∧ MeasurableSet (v p q) ∧ {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)

Context: u' : β → Set α := fun p => ⋂ q ∈ s ∩ Ioi p, u p q


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: f' : α → β := fun x => ⨅ i, (u' ↑i).piecewise (fun x => ↑i) (fun x => ⊤) x


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: f'_meas : Measurable f'


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: f'_meas : Measurable f'

Context: t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: s : Set β

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: f : α → β

Context: this : Encodable ↑s

Context: u v : β → β → Set α

Context: f'_meas : Measurable f'

Context: t : Set α := ⋃ p, ⋃ q, u' ↑p ∩ v ↑p ↑q

Context: μt : μ t ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f g : A[ε] →ₐ[R] B

Context: hinl : f.comp (inlAlgHom R A A) = g.comp (inlAlgHom R A A)

Context: hinr : f.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε) = g.toLinearMap ∘ₗ ↑R (LinearMap.toSpanSingleton A A[ε] ε)

Context: a : A


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ

derivative ((monomial n) a) = (monomial (n - 1)) (a * ↑n)


Context:
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ

Turing.eval step (stepNormal c Cont.halt v) = Cfg.halt <$> c.eval v


Context:
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ

(do let v ← c.eval v Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v)) = do let a ← c.eval v pure (Cfg.halt a)


Context:
c : Code
h : c.Ok
v : List ℕ

(fun v => Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v)) = fun a => pure (Cfg.halt a)


Context:
c : Code
h : c.Ok
v✝ v : List ℕ

Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v) = pure (Cfg.halt v)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
h : CompTriple φ ψ χ
x : M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: x₁ x₂ : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

Context: h : (toSpec 𝒜 f) x₁ = (toSpec 𝒜 f) x₂

Context: this : FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x₁) = FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x₂)


Context:
α : Type u_1
M✝ M : Matroid α
hE : M.E.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs : s ∈ 𝓤 α

∃ a, closure (e '' {a' | (a, a') ∈ s}) ∈ 𝓝 b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U


closure (e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U)) ∈ 𝓝 b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)
y : β
hy : y ∈ UniformSpace.ball (e a) U

y ∈ closure (e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)
y : β
hy : y ∈ UniformSpace.ball (e a) U
V : Set β
hV : V ∈ 𝓝 y

(V ∩ e '' UniformSpace.ball a (Prod.map e e ⁻¹' U)).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
e : α → β
b : β
he₁ : UniformInducing e
he₂ : DenseInducing e
hs✝ : s ∈ 𝓤 α
U : Set (β × β)
hs : Prod.map e e ⁻¹' U ⊆ s
hU : U ∈ 𝓤 β
hUo : IsOpen U
hsymm : SymmetricRel U
a : α
ha : e a ∈ UniformSpace.ball b U
ho : IsOpen (UniformSpace.ball (e a) U)
y : β
hy : y ∈ UniformSpace.ball (e a) U
V : Set β
hV : V ∈ 𝓝 y
x : α
hxV : e x ∈ V
hxU : e x ∈ UniformSpace.ball (e a) U


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V


(G.incidenceFinset v).card = Fintype.card ↑(G.incidenceSet v)


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → p.Separable → ∃ x, eval x p = 0

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ map (RingHom.id k) p


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p

Context: hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p

Context: hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹

Context: hsep' : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Separable


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p

Context: hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹

Context: hirr' : Irreducible q


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p

Context: hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹

Context: hirr' : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)


Context: k : Type u

Context: inst✝¹ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : k[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: hdvd : q ∣ p

Context: hlc : IsUnit q.leadingCoeff⁻¹

Context: x : k

Context: hx : eval x (q * C q.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : NonarchAddGroupSeminorm E
x y : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
h : Inducing (g ∘ f)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x✝ y✝ x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h : ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2

Context: hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖

Context: hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)