Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

Context: IH : ((e₁.oadd n₁ a₁).mul a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * a₂.repr


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

(Mul.mul (e₁.oadd n₁ a₁) (e₂.oadd n₂ a₂)).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * (e₂.oadd n₂ a₂).repr


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

Context: ao : a₁.repr + ω ^ e₁.repr * ↑↑n₁ = ω ^ e₁.repr * ↑↑n₁


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hμ : f.HasGenEigenvalue μ k
contra : f.eigenspace μ = ⊥


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: hμ : f.HasGenEigenvalue μ k

Context: contra : Function.Injective ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ)

Function.Injective ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) μ) ^ k)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: hμ : f.HasGenEigenvalue μ k

Function.Injective (⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ))^[k]


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
j : ι

update f i (a ⊔ b) j = (update f i a ⊔ update f i b) j


Context:
ι✝ : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
f : ι → M
hf : LinearIndependent R f
a✝ : Nontrivial R

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ range f }) R Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞

μ (t \ s) ≤ ε ↔ μ t ≤ μ s + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = re ⟪x, x⟫_𝕜 + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜


re (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = re ⟪x, x⟫_𝕜 + (re ⟪x, y⟫_𝕜 + re ⟪x, y⟫_𝕜) + re ⟪y, y⟫_𝕜


Context: z : ℍ

Context: c d : ℝ

Context: hd : 1 ≤ d ^ 2

Context: H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2

Context: H2 : (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 = (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2


Context: z : ℍ

Context: c d : ℝ

Context: hd : 1 ≤ d ^ 2


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → R[X]
n : ℕ

(List.map f l).sum.coeff n = (List.map (fun a => (f a).coeff n) l).sum


Context:
α : Type u_1
g : Set (Set α)

generateFrom (generatePiSystem g) = generateFrom g


Context:
α : Type u_1
g : Set (Set α)

∀ t ∈ generatePiSystem g, MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
g : Set (Set α)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ

Summable fun l => ‖p.changeOriginSeries k l‖₊ * r ^ l


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k n : ℕ

‖p.changeOriginSeries k n‖₊ * r ^ n ≤ ∑' (y : { s // s.card = n }), ‖p (k + ⟨n, y⟩.fst)‖₊ * r ^ ⟨n, y⟩.fst


‖p.changeOriginSeries k n‖₊ * r ^ n ≤ (∑' (x : { s // s.card = n }), ‖p (k + n)‖₊) * r ^ n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X : C

F.δ (𝟙_ C) X ≫ F.η ▷ F.obj X ≫ (λ_ (F.obj X)).hom = F.map (λ_ X).hom


Context: m n a b c d : ℤ


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R

(expand p).comp (bind₁ f) = bind₁ fun i => (expand p) (f i)


∀ (i : σ), ((expand p).comp (bind₁ f)) (X i) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) (X i)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
i : σ

((expand p).comp (bind₁ f)) (X i) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) (X i)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

Context: h : e.toBasis.orientation = f.toBasis.orientation


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

Context: this : 0 < e.toBasis.det ⇑f


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer


N.toSubmodule ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : L

Context: h : engel R x ≤ H

Context: N : LieSubalgebra R L := H.normalizer

Context: aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H

Context: aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N

Context: dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : L

Context: h : engel R x ≤ H

Context: N : LieSubalgebra R L := H.normalizer

Context: aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H

Context: aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ b ≥ k, Codisjoint (LinearMap.ker (dx ^ b)) (LinearMap.range (dx ^ b))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : L

Context: h : engel R x ≤ H

Context: N : LieSubalgebra R L := H.normalizer

Context: aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H

Context: aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N

Context: k : ℕ

Context: hk : Codisjoint (LinearMap.ker (dx ^ (k + 1))) (LinearMap.range (dx ^ (k + 1)))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsArtinian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : L

Context: h : engel R x ≤ H

Context: N : LieSubalgebra R L := H.normalizer

Context: aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H

Context: aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N

Context: k : ℕ

⊤ ≤ Submodule.comap N.subtype ((engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : Fintype Kˣ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → B
p : MvPolynomial σ R

(aeval x) ((map (algebraMap R A)) p) = (aeval x) p


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
inst✝ : Countable ι
p : α → ι → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p x i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{?u.5749, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K✝ : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: G : C ⥤ D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: h✝ : ∀ (B : D), ∃ X f, Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B

Context: B : D

Context: X : C

Context: f : G.obj X ⟶ B

Context: h : Sieve.generate (Presieve.singleton f) ∈ K.sieves B


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{?u.5749, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K✝ : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: G : C ⥤ D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: B : D

Context: X : C

Context: f : G.obj X ⟶ B

Sieve.generate (Presieve.singleton f) ≤ Sieve.coverByImage G B


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)

Context: add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)

Context: mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)

Context: x✝ : ↥(adjoin R s)

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: x✝ : ↥(adjoin R s)

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
h : MeasurableSet {a | p a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
h : Measurable p


Context:
c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a < c.ord
hb : b < c.ord


Context:
c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a.card < c
hb : b.card < c


Context: p : ℕ

Nat.rec 0 (fun y IH => (unpair p).1 + IH) (unpair p).2 = (unpair p).1 * (unpair p).2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : α → E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : α → E
hf : Summable f


∀ {N : ℕ} {g : α → Fin N → ℝ}, Summable g → Summable fun x => ‖g x‖


Context:
α : Type u_1
N : ℕ
g : α → Fin N → ℝ
hg : Summable g


Context: α : Type u_1

Context: N : ℕ

Context: g : α → Fin N → ℝ

Context: hg : Summable g

Context: this : ∀ (i : Fin N), Summable fun x => ‖g x i‖


Context: α : Type u_1

Context: N : ℕ

Context: g : α → Fin N → ℝ

Context: hg : Summable g

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: N : ℕ

Context: g : α → Fin N → ℝ

Context: hg : Summable g

Context: x : α

∀ (i : Fin N), ‖g x i‖ ≤ ∑ i : Fin N, ‖g x i‖


Context: s : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ

[∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =o[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo (-R) R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, f =O[atTop] fun x => a ^ x, ∃ a < R, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < R) ∧ ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |f n| ≤ C * a ^ n, ∃ a < R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n, ∃ a ∈ Set.Ioo 0 R, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |f n| ≤ a ^ n].TFAE


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
A : Set.Ico 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
R : ℝ
A : Set.Ico 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R
B : Set.Ioo 0 R ⊆ Set.Ioo (-R) R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: l : Filter β

Context: h : Tendsto f l (𝓝[s] a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: l : Filter β

Context: h : ∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → (∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ i) ∧ ∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ s


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0
a1 : 1 = a


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : ¬b = 0
a0 : ¬a = 0
a1 : 1 < a


Context:
α : Type u_1
p : PosNum

castNum <$> ofZNum' (ZNum.pos p) = (↑p).toNat'


Context:
α : Type u_1
p : PosNum

castNum <$> ofZNum' (ZNum.pos p) = (↑↑p).toNat'


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
Hs : IsConnected s
Ht : IsConnected t
x : α
hx : x ∈ s ∩ t


Context:
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o : Ordinal.{u_1}


∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ k < j, enumOrd (range f) k = f k) → enumOrd (range f) j = f j


Context:
S : Set Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
hf : StrictMono f
o a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k


sInf (range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}) = f a


Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}

Context: hf : StrictMono f

Context: o a : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k

Context: Hfa : f a ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}


Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}

Context: hf : StrictMono f

Context: o a : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k

∀ b ∈ range f ∩ {b | ∀ c < a, enumOrd (range f) c < b}, f a ≤ b


Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}

Context: hf : StrictMono f

Context: o a : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k

Context: c : Ordinal.{u_1}

Context: hc : ∀ b < a, enumOrd (range f) b < f c


Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}

Context: hf : StrictMono f

Context: o a : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ k < a, enumOrd (range f) k = f k

Context: c : Ordinal.{u_1}

Context: hc : c < a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V✝ : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV✝ : OrthogonalFamily 𝕜 G V✝

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: hf : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖

Context: m : ℤ


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: m : ℤ

Context: e : C(ℝ, ℂ) := (fourier (-m)).comp { toFun := QuotientAddGroup.mk, continuous_toFun := ⋯ }


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: m : ℤ

Context: neK : ∀ (K : Compacts ℝ) (g : C(ℝ, ℂ)), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (e * g)‖ = ‖ContinuousMap.restrict (↑K) g‖


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: m : ℤ

Context: eadd : ∀ (n : ℤ), e.comp (ContinuousMap.addRight ↑n) = e


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
hb : b = 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1
h✝ : NeZero b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α

(Associates.mk a).factors.prod = Associates.mk a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

(Associates.mk 0).factors.prod = Associates.mk 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : a ≠ 0


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : U₂ ⋙ R₁ ⟶ R₂ ⋙ U₁

(mateEquiv adj₁ adj₂).symm ((mateEquiv adj₄ adj₃).symm α) = (conjugateEquiv (adj₁.comp adj₄) (adj₃.comp adj₂)).symm α


(mateEquiv adj₄ adj₃) ((mateEquiv adj₁ adj₂) ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm ((mateEquiv adj₄ adj₃).symm α))) = α


Context: x : ↑I


Context:
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α β : Type u_1
h : α → β

Functor.map h ∘ Coe.coe = Coe.coe ∘ Functor.map h


Context:
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α β : Type u_1
h : α → β
x✝ : List α

(Functor.map h ∘ Coe.coe) x✝ = (Coe.coe ∘ Functor.map h) x✝


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N


(toProd x).2 = ((MonoidHom.snd M N).comp toProd) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
ht : t.Finite
hst : s ⊆ t
hts : t.encard ≤ s.encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: ht : t.Finite

Context: hst : s ⊆ t

Context: hts : (t \ s).encard + s.encard ≤ 0 + s.encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: ht : t.Finite

Context: hst : s ⊆ t

Context: hdiff : (t \ s).encard ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: ht : t.Finite

Context: hst : s ⊆ t

Context: hdiff : t ⊆ s


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β

sign (prodCongrLeft σ) = ∏ k : α, sign (σ k)


∀ (x : β × α), (prodComm β α) ((prodCongrLeft σ) x) = (prodCongrRight σ) ((prodComm β α) x)


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : K[X]
hx : x = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I

(colimitHomIsoLimitYoneda F A).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i) = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A


(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom.app A ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (F.op ⋙ coyoneda) A).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i) = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A


(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom.app A ≫ (limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A


((coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀

Context: hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

¬LinearIndependent ℝ (Option.elim' φ' f')


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: val✝ : Fintype ι


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: val✝ : Fintype ι

¬∀ (g : Option ι → ℝ), ∑ i : Option ι, g i • Option.elim' φ' f' i = 0 → ∀ (i : Option ι), g i = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: val✝ : Fintype ι

∃ g, ∑ i : Option ι, g i • Option.elim' φ' f' i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: val✝ : Fintype ι

Context: Λ : ι → ℝ

Context: Λ₀ : ℝ

Context: hΛ : (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: hΛf : ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
x : X
hS : RestrictGenTopology S

IsClosed t ↔ ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
x y : ↑{b | r b ↑a} ⊕ PUnit.{u + 1}

Sum.Lex (Subrel r {b | r b ↑a}) EmptyRelation x y → r (?intro.intro.intro.refine_1 x) (?intro.intro.intro.refine_1 y)


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
z : (type r).cof = 1
S : Set α
hl : Unbounded r S
e : #↑S = 1
a : ↑S
x : α

∃ a_1, (RelEmbedding.ofMonotone ?intro.intro.intro.refine_1 ⋯) a_1 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
a a✝ : α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: u : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hu : MonotoneOn u [[a, b]]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: u : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hu : MonotoneOn u [[a, b]]


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)

integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖


Continuous fun x => ‖Lp.posPart x‖ - ‖Lp.negPart x‖


∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc ℝ 1 μ) }), (fun f => integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖) ↑a


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

IntervalIntegrable (fun x => f x * g x) μ a b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

IntegrableOn (fun x => f x * g x) (Ι a b) μ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : Module R M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₑ+[↑σ] M₂
h : ↑f = ↑g
m : M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜


HasStrictDerivAt (⇑f.linear + fun x => f 0) (f.linear 1) x


Context:
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : SMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u


IsCompact ((fun x => x.1 • x.2) '' k ×ˢ u)


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
c : R
x : M
y : F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₂ : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

0 < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

Context: i j : ι

Context: hij : ¬c.Rel j i

(dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: i j : ι

Context: hij : ¬c.Rel j i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y : ι → Filter β

Tendsto f x (⨅ i, y i) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f x (y i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

(∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

(∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

∀ (a : ℕ), a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
a : ℕ
x✝ : a > 0
x : ℕ × ℕ
_hx : x ∈ a.divisorsAntidiagonal


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Injective ⇑(f' ^ n)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Injective (⇑(f' ^ n.pred) ∘ ⇑f')


Context: n m : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: ν : Measure α

Context: hν : IsFiniteMeasure ν

Context: hμν : μ ≪ ν


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: ν : Measure α

Context: hν : IsFiniteMeasure ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: t : Set (α × ℝ)

Context: t_count : t.Countable

Context: ts : ∀ p ∈ t, p.1 ∈ s

Context: tr : ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1

Context: tν : ν (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0

Context: tdisj : t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context: a : UnitAddCircle


Context: a : ℝ


Context: a : ℝ

ContinuousOn (fun x => ↑(sinKernel (↑a) x)) (Ioi 0)


Context: a : ℝ

ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)) (Ioi 0)


Context:
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x


Context: a x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

Context: h : ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (↑a, I * ↑x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R⟦X⟧ˣ


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Submodule R M
n : N

map₂ f s (span R {n}) = map (f.flip n) s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one a) = a


(cast R M ⋯) (mulEquiv ((tprod R) Fin.elim0 ⊗ₜ[R] a)) = a


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.139799

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: x : M₁'

Context: i : ι₂

Context: y : M₂ i

(directSumRight R M₁' M₂) (x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.139799

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: x : M₁'

Context: i : ι₂

Context: y : M₂ i

(DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((directSumLeft R M₂ M₁') ((lof R ι₂ M₂ i) y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.139799

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: x : M₁'

Context: i : ι₂

Context: y : M₂ i

(DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((lof R ι₂ (fun i => M₂ i ⊗[R] M₁') i) (y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: a b : α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b

Context: x✝ : WithBot α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: a b : α


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α


Context: p : ℝ[X]

∑ x ∈ p.roots.toFinset, (Multiset.count x p.roots - 1 + 1) = ∑ x ∈ p.roots.toFinset, (rootMultiplicity x p - 1) + p.roots.toFinset.card


Context: p : ℝ[X]

∑ x ∈ p.roots.toFinset, rootMultiplicity x (derivative p) + (((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1) ≤ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1)


Context: p : ℝ[X]

∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1) ≤ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1)


Context: p : ℝ[X]

∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, 1 ≤ ∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots


Context: p : ℝ[X]

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset

0 < Multiset.count x (derivative p).roots


Context: p : ℝ[X]

Context: x : ℝ


Context: p : ℝ[X]

∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1) = Multiset.card (derivative p).roots + 1


Context: p : ℝ[X]

∀ x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset, x ∉ (derivative p).roots.toFinset → Multiset.count x (derivative p).roots = 0


Context: p : ℝ[X]

Context: x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset

Context: hx₂ : x ∉ (derivative p).roots.toFinset

Multiset.count x (derivative p).roots = 0


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R

Context: i : Injective ⇑f

Context: P : (β →₀ R) ≃ₗ[R] β → R := Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R β

Context: Q : (α → R) ≃ₗ[R] α →₀ R := (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0

∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ s : Set α

Context: hs : ∀ d ∈ 𝓤 α, ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ d}

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₁ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ s


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf : IsMulHom f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 f y


ContDiffOn 𝕜 ⊤ f univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f univ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f univ y) univ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : K

x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ↑↑I


x ∈ LinearMap.range (↑ℤ (↑↑I).subtype) ↔ x ∈ ↑↑I


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ


essSup (AEMeasurable.mk g hg ∘ f) μ = essSup (g ∘ f) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteLattice β

Context: γ : Type u_3

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : γ → β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g (f x) = AEMeasurable.mk g hg (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteLattice β

Context: γ : Type u_3

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : γ → β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: h_eq : (fun x => g (f x)) =ᶠ[ae μ] fun x => AEMeasurable.mk g hg (f x)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: this : IsSeparable (closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

range f ⊆ closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: x : α

f x ∈ closure (⋃ n, range ↑(hf.approx n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: x : α

∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ↑(hf.approx x_1) x ∈ ⋃ n, range ↑(hf.approx n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: x : α

Context: n : ℕ

↑(hf.approx n) x ∈ ⋃ n, range ↑(hf.approx n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: x : α

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S

(oreDenom (↑s₁) s₂ • r₁ + oreNum (↑s₁) s₂ • r₂) /ₒ (oreDenom (↑s₁) s₂ * s₁) = (sb • r₁ + rb • r₂) /ₒ ⟨sb * ↑s₁, h⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddMonoid X

Context: inst✝ : DistribMulAction R X

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : X

Context: s₂ : ↥S

Context: rb sb : R

Context: hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂

Context: h : sb * ↑s₁ ∈ S

Context: ha : ↑(oreDenom (↑s₁) s₂) * ↑s₁ = oreNum (↑s₁) s₂ * ↑s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂

(sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) = (sb • r₁ + rb • r₂) /ₒ ⟨sb * ↑s₁, h⟩


∃ u v, u • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑u * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂
sd : ↥S
hd : ↑sd * (↑sc * rb) = ↑sd * (rc * ra)


∃ v, (sd * sc) • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑(sd * sc) * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)


(sd * sc) • (sb • r₁ + rb • r₂) = (↑sd * rc) • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑(sd * sc) * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = ↑sd * rc * ↑(sa * s₁)


(↑sd * ↑sc * sb) • r₁ + (↑sd * ↑sc * rb) • r₂ = (↑sd * rc * ↑sa) • r₁ + (↑sd * rc * ra) • r₂ ∧ ↑sd * ↑sc * (sb * ↑s₁) = ↑sd * rc * (↑sa * ↑s₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
w : α
hw : a < w


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : CommSemiring A'
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R A'
inst✝³ : Algebra R B
p✝ q✝ : R[X]
x : A
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
inst✝ : Algebra S T
p q : S[X]
h₁ : p ∣ q
a : T
h₂ : (aeval a) p = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A'

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A'

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: x : A

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : CommSemiring T

Context: inst✝ : Algebra S T

Context: p q : S[X]

Context: h₁ : p ∣ q

Context: a : T

Context: h₂ : eval a (map (algebraMap S T) p) = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: η : Type u_8

Context: ιs : η → Type u_9

Context: f : (j : η) → ιs j → M

Context: hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)

Context: hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))

Context: a✝ : Nontrivial R

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ range fun ji => f ji.fst ji.snd }) R Subtype.val


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: η : Type u_8

Context: ιs : η → Type u_9

Context: f : (j : η) → ιs j → M

Context: a✝ : Nontrivial R

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ⋃ a, range fun b => f ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd }) R Subtype.val


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
α : Type u_3
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : DistribMulAction α R
inst✝¹ : IsScalarTower α R R
inst✝ : SMulCommClass α R R
c : α
A : Matrix n n R

(c • A).det = c ^ Fintype.card n • A.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
val✝ : Infinite ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
val✝¹ : Infinite ι
val✝ : Denumerable ι


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
l✝ : List M
a : M
l : List ι


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: T : (i : ι) → Set (Set (X i))

Context: cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)

IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = (↑F).pi U}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
s : Set X
h : IsOpen (f '' s)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ

(f ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else f.natSepDegree


(n • f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card = if n = 0 then 0 else (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
h : ¬n = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{v}

Ordinal.lift.{u, v} c.ord = (lift.{u, v} c).ord


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{v}
a : Ordinal.{max v u}
ha : a < Ordinal.lift.{u, v} c.ord


(lift.{u, v} c).ord ≤ Ordinal.lift.{u, v} c.ord


Context: n : ℤ

Context: help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 4 → χ₄ ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 then 1 else -1

χ₄ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1


Context: n : ℤ

χ₄ ↑(n % ↑4) = if n % 4 % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
hg : Embedding ⇑g
H : Set.range ⇑f ⊆ Set.range ⇑g


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: hg : Embedding ⇑g

Context: H : Set.range ⇑f ⊆ Set.range ⇑g

Context: esto : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑X := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑(pullback.fst f g) ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: F : DirectLimit G f →ₗ[R] P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) j) ((f i j hij) x) = ((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: F : DirectLimit G f →ₗ[R] P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

F ((of R ι G f i) x) = ((fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: F : DirectLimit G f →ₗ[R] P

Context: x : DirectLimit G f

F x = (lift R ι G f (fun i => F ∘ₗ of R ι G f i) ⋯) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: F : DirectLimit G f →ₗ[R] P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: F : DirectLimit G f →ₗ[R] P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
ν : Measure β
f : α ≃ᵐ β
μ : Measure α
s : Set β

s ∈ Filter.map (⇑f) (ae μ) ↔ s ∈ ae (Measure.map (⇑f) μ)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
χ : MulChar R R'

χ.ringHomComp f = ringHomComp 1 f ↔ χ = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : x ∉ closure s


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ

Measure.map (fun ω => y + X ω) ℙ = gaussianReal (μ + y) v


Measure.map (fun ω => X ω + y) ℙ = gaussianReal (μ + y) v


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex ℝ P n

Context: h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex ℝ P n

Context: hs : s₁.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s₂.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex ℝ P n

Context: hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s₂.points i) s₁.circumcenter = s₁.circumradius


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a b : R

Context: this : EuclideanDomain.P a b (xgcdAux a 1 0 b 0 1)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hx : x ∈ closure {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: n : ℕ

Context: x : G

∀ x ∈ {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}, x ∈ lowerCentralSeries G n


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: y z : G

Context: hz : z ∈ lowerCentralSeries G n

Context: a : G

Context: ha : z * a * z⁻¹ * a⁻¹ = y


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: y z : G

Context: hz : z ∈ lowerCentralSeries G n

Context: a : G

Context: ha : z * a * z⁻¹ * a⁻¹ = y

z * (a * z⁻¹ * a⁻¹) ∈ lowerCentralSeries G n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i✝ i : ℕ
f : E → F

iteratedFDeriv 𝕜 i (-f) x = -iteratedFDeriv 𝕜 i f x


iteratedFDerivWithin 𝕜 i (-f) univ x = -iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι → Finset α

f ∈ s.finsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i


(∃ a ∈ s.pi t, { toFun := indicator s, inj' := ⋯ } a = f) → f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i


(f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i) → ∃ a ∈ s.pi t, { toFun := indicator s, inj' := ⋯ } a = f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
m : Fin (n + 1) →₀ ℕ

m ∈ Finset.image (cons i) (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support ↔ m ∈ Finset.filter (fun m => m 0 = i) f.support


(∃ a ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support, cons i a = m) ↔ coeff m f ≠ 0 ∧ m 0 = i


(∃ x, ¬coeff (cons i x) f = 0 ∧ cons i x = m) ↔ coeff m f ≠ 0 ∧ m 0 = i


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: f : p.obj a ⟶ p.obj b

Context: h : CommSq (p.map φ) (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯) f


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: h : CommSq (p.map φ) (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯) (p.map φ)


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : Ring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h₁ : toSemiring = toSemiring
h₂ : toNonAssocRing = toNonAssocRing


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : Ring R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h₁ : toSemiring = toSemiring

Context: h₂ : toNonAssocRing = toNonAssocRing

Context: h₃ : AddGroup.toSubNegMonoid = AddGroup.toSubNegMonoid


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α

Context: ha : a < 0


Context: x y : EReal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: degree_f_lt : f.degree < ↑s.card

Context: degree_g_lt : g.degree < ↑s.card

Context: eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: degree_f_lt : f.degree < ↑s.card

Context: degree_g_lt : g.degree < ↑s.card


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card

Context: degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: this : (p : Submodule R M) → DecidableEq (M ⧸ p)

lift.{u, v} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) + lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)) = lift.{v, u} (Module.rank R M)


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n : A

Context: C : (r : A) → r ∈ M * N → Prop

Context: mem_mul_mem : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (n : A) (hn : n ∈ N), C (m * n) ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ M * N) (y : A) (hy : y ∈ M * N), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯

Context: r : A

Context: hr : r ∈ M * N


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n : A

Context: C : (r : A) → r ∈ M * N → Prop

Context: r : A

Context: hr : r ∈ M * N


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}

a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀ → a * b < ℵ₀


Context:
x : ℚ
x✝ : ∃ q, q * q = x
n : ℚ
hn : n * n = x


Context:
x : ℕ
h : ↑x = ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S

(aeval x) p = ∑ i ∈ range n, p.coeff i • x ^ i


(aeval x) p = ∑ x_1 ∈ range n, (algebraMap R S) (p.coeff x_1) * x ^ x_1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

Disjoint (⨆ i, ⨆ j, f i j) a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint (f i j) a


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
c : K[X]ˣ


LinearMap.ker ((aeval f) (C ((↑c).coeff 0))) = ⊥


LinearMap.ker ((algebraMap K (End K V)) ((↑c).coeff 0)) = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ

‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ⊤.FG


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S.FG


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0

Function.Surjective ⇑(toSpanSingleton R M m)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : T0Space E
a : E


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝⁴ : SeminormedGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedGroup F

Context: inst✝² : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : T0Space E

Context: a : E

Context: this : NormedGroup E := let __src := inst✝⁴; NormedGroup.mk ⋯


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ + hurwitzZetaOdd a s) 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s✝¹ t : Set α
p q : α → Prop
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
a✝ : Set α
s✝ : Set (Set α)
x✝¹ : a✝ ∉ s✝
x✝ : s✝.Finite
his : ⋃₀ s✝ ∈ f ↔ ∃ t ∈ s✝, t ∈ f

⋃₀ insert a✝ s✝ ∈ f ↔ ∃ t ∈ insert a✝ s✝, t ∈ f


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context: x : ℝ≥0∞


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: x : ι → α

Context: f : Filter α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: hxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f

∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (ms : ℕ → ℕ), ¬Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
x : ι → α
f : Filter α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
hxy : ¬Tendsto x l f
s : Set α
hs : s ∈ f
hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s
y : ℕ → ι
hy_tendsto : Tendsto y atTop l
hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: x : ι → α

Context: f : Filter α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: hxy : ¬Tendsto x l f

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ f

Context: hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s

Context: y : ℕ → ι

Context: hy_tendsto : Tendsto y atTop l

Context: hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s

Context: ms : ℕ → ℕ

Context: hms_tendsto : Tendsto (fun n => x (y (ms n))) atTop f


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: x : ι → α

Context: f : Filter α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: hxy : ¬Tendsto x l f

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ f

Context: hfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, x n ∉ s

Context: y : ℕ → ι

Context: hy_tendsto : Tendsto y atTop l

Context: hy_freq : ∀ (n : ℕ), x (y n) ∉ s

Context: ms : ℕ → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : x (y (ms n)) ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


x ∉ s → y ∉ s → ((y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
a✝ : x ∉ s
hy : y ∉ s

(y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: R : Type u_12

Context: R' : Type u_13

Context: 𝕜 : Type u_14

Context: 𝕜' : Type u_15

Context: inst✝¹² : Norm E

Context: inst✝¹¹ : Norm F

Context: inst✝¹⁰ : Norm G

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : SeminormedRing R

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedField 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: l l' : Filter α

Context: f : α → 𝕜

Context: g : α → 𝕜'

Context: h : (fun x => (f x)⁻¹) =Θ[l] fun x => (g x)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
i j : Fin 2

(basisOneI.repr (![1, I] i)) j = (Finsupp.single i 1) j


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

∃ g, ↑g 1 = cd ∧ ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }

Context: g : { g // ↑g 1 = cd }

Context: hg : ∀ (a : { g // ↑g 1 = cd }), |(↑g • z).re| ≤ |(↑a • z).re|


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }

Context: g : { g // ↑g 1 = cd }


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: this : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }

Context: g : { g // ↑g 1 = cd }

Context: g1 : SL(2, ℤ)

Context: hg1 : ↑↑g 1 = ↑g1 1


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: this✝ : Nonempty { g // ↑g 1 = cd }

Context: g : { g // ↑g 1 = cd }

Context: g1 : SL(2, ℤ)

Context: hg1 : ↑↑g 1 = ↑g1 1

Context: this : g1 ∈ (fun g => ↑g 1) ⁻¹' {cd}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.85209
inst✝ : MulAction R X
r : R
hr : r ∈ S


∃ u v, u • 1 = v • r ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑⟨r, hr⟩


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: this : Tendsto (fun n x => g x + ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (g + f))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Continuous f ↔ ∀ (a : α), Continuous fun x => f (a, x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

ContinuousOn f univ ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) univ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
p : R[X]
hp : p.Monic


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

Context: e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm

Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

Integrable ((fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) ∘ ⇑e) volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

Context: v : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V))

((fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) ∘ ⇑e) v = cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪e.symm w, v⟫_ℝ)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : ¬f 0 = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : OrderTop β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_top : f a = ⊤
x : α
p : β


Context:
x✝ y z x : ℝ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
hl : rdropWhile p l ≠ []

¬p ((dropWhile p l.reverse).reverse.getLast ⋯) = true


¬p ((dropWhile p l.reverse).get ⟨0, ⋯⟩) = true


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : ι → α

∏ j ∈ t, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a✝ : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
a : (i : ι) → α i

(s.sigma fun i => insert (a i) (t i)) = (fun i => ⟨i, a i⟩) '' s ∪ s.sigma t


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none
b' : σ
h' : b' ∈ f b


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)

(𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iio


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝ˢ (Iic a)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a ∧ Iio a ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : Nonempty ↑(Ioi a)
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a ∧ Iio a ⊆ s
b : α
hab : a < b
hbs : Ico a b ⊆ s


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 1)
y : G × G

(A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) - x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + ∑ j : Fin (1 + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • x (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y))


(A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) - x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + ((-1) ^ (↑0 + 1) • x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)) + (-1) ^ (↑1 + 1) • x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)))


(A.ρ y.1) (x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.2)) + (-x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm (y.1 * y.2)) + x ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y.1)) = (A.ρ ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y 0)) (x fun i => (piFinTwoEquiv fun x => G).symm y i.succ) + (-x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)) + x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((piFinTwoEquiv fun x => G).symm y)))


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: u✝ v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace β

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: hum : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: u✝ v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace β

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: i : ι

Measurable (u i) ∧ IsSeparable (Set.range (u i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α


Context: m n✝ a b c d n : ℕ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

∠ p₁ p₂ p₃ = π


p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
ε' : 𝕜
h : ε ≤ ε'
hε : G.IsUniform ε s t
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
hs : ↑s.card * ε' ≤ ↑s'.card
ht : ↑t.card * ε' ≤ ↑t'.card

|↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε'


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (fderiv 𝕜 ∘ f) g' l s

Context: hf : ∀ (n : ι), DifferentiableOn 𝕜 (f n) s

Context: hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: hx : x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: n : ι

Context: z : E

Context: hz : z ∈ s

HasFDerivAt (f n) ((fderiv 𝕜 ∘ f) n z) z


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)

Context: inst✝⁶ : (i : η) → Module R (φ i)

Context: inst✝⁵ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)

finrank R ((i : ι) → M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)

Context: inst✝⁶ : (i : η) → Module R (φ i)

Context: inst✝⁵ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

Context: this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
t : Set β
f : α → β
a : α
b : β

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, 0 < ia ∧ ∀ x ∈ ball a ia ∩ s, f x ∈ ball b ib ∩ t) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → f x ∈ t ∧ dist (f x) b < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
n : ℕ
a : α
h : a ∈ decode n
e : encode a = n


Context:
x : ℝ
hx₁ : -(2 * π) < x
hx₂ : x < 2 * π
h : cos x = 1


Context:
n : ℤ
hx₁ : -(2 * π) < ↑n * (2 * π)
hx₂ : ↑n * (2 * π) < 2 * π
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1


Context:
n : ℤ
hx₁ : -(2 * π) < ↑n * (2 * π)
hx₂ : ↑n < 1
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1


Context:
n : ℤ
hx₁ : -↑n < 1
hx₂ : ↑n < 1
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1


Context:
n : ℤ
h : cos (↑n * (2 * π)) = 1
hx₁ : -n < 1
hx₂ : n < 1


Context:
h : cos (↑0 * (2 * π)) = 1
hx₁ : -0 < 1
hx₂ : 0 < 1


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: hy : y ∈ s


Context:
p : ℚ → Prop
h : ∀ (a b : ℤ), p (↑a / ↑b)
q : ℚ
this : p (↑q.num / ↑↑q.den)


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : SubMulAction R M
s : S
x : M
h : x ∈ p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra S B

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: h : ∀ (x : R), (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)

Context: x : R

Context: y : S

Context: z : A


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

ascPochhammer S (n + 1) = ascPochhammer S n * (X + ↑n)


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

ascPochhammer ℕ (n + 1) = ascPochhammer ℕ n * (X + ↑n)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : GroupWithZero K
inst✝ : Fintype K
a : K
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v w : V
hvw : G.Adj v w
hv : u ≠ v
hw : u ≠ w
x✝ : V

x✝ ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u ↔ x✝ ∈ ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁

(a₀ + a₁) * (b₀ + b₁) ≤ (c₀ + c₁) * (d₀ + d₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁


(a₀ * b₁ + a₁ * b₀) * (c₀ * d₁) ≤ (c₀ * d₁ + c₁ * d₀) * (c₀ * d₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : a ≤ b * c
b0 : b = 0