Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)

(compLpL p μ (L + L')) f = (compLpL p μ L + compLpL p μ L') f


Context: θ : Angle


Context: θ : Angle

θ = 0 ∨ θ + 0 = ↑π ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)

(s.mongePlane i₁ i₂).direction = (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

Continuous f ↔ ∀ (x : X) (g : Ultrafilter X), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f (↑g) (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeInf α
s t : Set α
b : α


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
g : α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hfg : EqOn f g s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (g x, F n x) ∈ u


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))

{ toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • m) = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: r : ↑(R.obj X)

(R.map f) ((R.map (hX.to c₁)) r) • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: r : ↑(R.obj X)

(R.map (hX.to c₁ ≫ f)) r • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: r : ↑(R.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c : Cᵒᵖ

Context: x✝ : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)

({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map (𝟙 c)) x✝ = (𝟙 ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)) x✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c : Cᵒᵖ

{ toFun := fun x => (𝟙 (M.presheaf.obj c)) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝ = (𝟙 ((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c))) x✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ c₃ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: g : c₂ ⟶ c₃

Context: x : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c₁)

({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map (f ≫ g)) x = ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map g) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: X : Cᵒᵖ

Context: hX : Limits.IsInitial X

Context: M : PresheafOfModules R

Context: c₁ c₂ c₃ : Cᵒᵖ

Context: f : c₁ ⟶ c₂

Context: g : c₂ ⟶ c₃

{ toFun := fun x => (M.presheaf.map f ≫ M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x = ({ toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ≫ { toFun := fun x => (M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ


Context:
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors


Context:
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
h_dvd : m ∣ n
h_lt : m < n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context:
p q : ℤ[X]
h : p * p.mirror = q * q.mirror


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
N : ℕ
hN : μ univ < ↑N * μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
N : ℕ
hN : μ univ < ↑N * μ s
x : α
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : m ∈ Ioo 0 N
hmx : f^[m] x ∈ s


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R
val✝ : Fintype R


Context: B : Type u₁

Context: inst✝¹ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝ : Bicategory C

Context: F G : OplaxFunctor B C

Context: η θ ι : F ⟶ G

Context: app : (a : B) → η.app a ≅ θ.app a

Context: naturality : ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b), F.map f ◁ (app b).hom ≫ θ.naturality f = η.naturality f ≫ (app a).hom ▷ G.map f

Context: a b : B

Context: f : a ⟶ b

F.map f ◁ (fun a => (app a).inv) b ≫ η.naturality f = θ.naturality f ≫ (fun a => (app a).inv) a ▷ G.map f


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
φ : L.Sentence

φ ∈ L.completeTheory M ∨ Formula.not φ ∈ L.completeTheory M


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

a ∈ liminf s 𝓕 ↔ ∀ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α →ₘ[μ] β

f.Integrable → g.Integrable → (f + g).Integrable


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : (mk f hf).Integrable
hgi : (mk g hg).Integrable


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_le : μ.restrict s ≤ ν.restrict s
h_meas_s : MeasurableSet s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J

HasColimitsOfShape (WidePushoutShape J) C


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
h : a ^ (Fintype.card (ZMod p) - 1) = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E

EMetric.diam (c • s) = ‖c‖₊ • EMetric.diam s


‖c‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (c • s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
s : Set E

‖0‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (0 • s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G


x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i)) → ∃ i, x ∈ K i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))


∀ (x y : G), (∃ i, x ∈ K i) → (∃ i, y ∈ K i) → ∃ i, x * y ∈ K i


∀ (x : G), (∃ i, x ∈ K i) → ∃ i, x⁻¹ ∈ K i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤


Context:
x : ℝ*
hx : x.Infinitesimal


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
this : p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1


(∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀
hr : r ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝ : Group G

Context: f : α → G

Context: rels : Set (FreeGroup α)

Context: h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1

Context: g : PresentedGroup rels →* G

Context: hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x

Context: x : PresentedGroup rels


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝ : Group G

Context: f : α → G

Context: rels : Set (FreeGroup α)

Context: g : PresentedGroup rels →* G

Context: x : PresentedGroup rels

∀ (z : FreeGroup α), g ↑z = (toGroup h) ↑z


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: x : ↑(F.obj X)

Context: A : C

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h1 : IsGalois A

Context: h2 : Function.Bijective fun f => F.map f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: x : ↑(F.obj X)

Context: A : C

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h1 : IsGalois A

Context: f : A ⟶ X

Context: hf : (fun f => F.map f a) f = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η

κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η


(Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η
n : ℕ
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s = ((κ.seq n ⊗ₖ η) a) s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α → α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X

Context: s_sub : s₁ ⊆ s₂

Context: t_sub : t₁ ⊆ t₂

Context: u : ℕ → Set X

Context: u_cov : s₂ ⊆ ⋃ n, u n

Context: u_props : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n) ∧ Disjoint (closure (u n)) t₂


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true

Context: h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 ≤ ⅟↑da


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 ≤ ⅟↑da

Context: hb : 0 ≤ ⅟↑db


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h✝¹ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true

Context: h✝ : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))

Context: ha : 0 ≤ ⅟↑da

Context: hb : 0 ≤ ⅟↑db

Context: h : ⅟↑db * (↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) * ⅟↑da) ≤ ⅟↑db * (↑(num✝.mul (Int.ofNat da)) * ⅟↑da)


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 ≤ ⅟↑da

Context: hb : 0 ≤ ⅟↑db

Context: h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) * ⅟↑db * ⅟↑da ≤ ⅟↑db * (↑(num✝.mul (Int.ofNat da)) * ⅟↑da)


Context: u : Level

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: da db : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: ha : 0 ≤ ⅟↑da

Context: hb : 0 ≤ ⅟↑db

Context: h : ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ⅟↑db * ↑num✝


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α

image2 f (↑s ∩ ↑s') ↑t ⊆ image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s' ↑t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x✝ : E
x : E × E


Context:
k : ℕ
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ evaln (k + 1) c n


Context:
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : 0 = x


Context:
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : n + 1 = x


Context:
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : (unpair n).1 = x


Context:
k n x : ℕ
left✝ : n ≤ k
h : (unpair n).2 = x


Context: k : ℕ

Context: cf cg : Code

Context: hf : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cf n → x ∈ cf.eval n

Context: hg : ∀ (n x : ℕ), x ∈ evaln (k + 1) cg n → x ∈ cg.eval n

Context: n x : ℕ

Context: left✝ : n ≤ k

Context: h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x

∃ a ∈ cf.eval n, ∃ a_1 ∈ cg.eval n, Nat.pair a a_1 = x


Context: k : ℕ

Context: cf cg : Code

Context: n x : ℕ

Context: left✝ : n ≤ k

Context: h : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x


Context: k : ℕ

Context: cf cg : Code

Context: n x : ℕ

Context: left✝ : n ≤ k

Context: h : Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2 = some x

x ∈ Nat.rec (cf.eval (unpair n).1) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair y i))) (unpair n).2


Context: k : ℕ

Context: cf : Code

Context: n x : ℕ

Context: left✝ : n ≤ k

Context: h : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x

∃ a, (0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (a + (unpair n).2)) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < a → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)), ¬a = 0) ∧ a + (unpair n).2 = x


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: i : ι

Context: h₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)

Context: h₂ : IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)

Context: h₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)

Context: h₄ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: i : ι

Context: h₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)

Context: h₂ : IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)

Context: this : Mono (homologyMap φ.τ₃ i)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: i : ι

Context: h₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)

Context: h₂ : IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)

Context: this✝ : Mono (homologyMap φ.τ₃ i)

Context: this : Epi (homologyMap φ.τ₃ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddGroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂
x : α


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.7894, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.7906, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.7918, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁

Φ.homMap L₁ L₂ (𝟙 (L₁.obj X)) = 𝟙 (L₂.obj (Φ.functor.obj X))


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μs : ℕ → LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)

Context: ν : LevyProkhorov (ProbabilityMeasure Ω)

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: P : ProbabilityMeasure Ω := ν.toProbabilityMeasure

Context: Ps : ℕ → ProbabilityMeasure Ω := fun n => (μs n).toProbabilityMeasure

Tendsto (toProbabilityMeasure ∘ μs) atTop (𝓝 P)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑P))


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

Context: norm_f_pos : 0 < ‖f‖


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

Context: norm_f_pos : 0 < ‖f‖

∀ (ε : ℝ), 0 < ε → limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

Context: norm_f_pos : 0 < ‖f‖

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

limsup (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)) atTop ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P + δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

Context: norm_f_pos : 0 < ‖f‖

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) n) ≤ ∫ (x : Ω), f x ∂↑P + δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: hμs : Tendsto μs atTop (𝓝 ν)

Context: f✝ f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_zero : ¬‖f‖ = 0

Context: norm_f_pos : 0 < ‖f‖

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toProbabilityMeasure ∘ μs) i)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E

IsPurelyInseparable F ↥F⟮x⟯ ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {n})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = spanSingleton R⁰ (mk' K n d)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
hd_ne_zero : (algebraMap R K) ↑d ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
hd_ne_zero : (algebraMap R K) ↑d ≠ 0
h0 : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: n : R

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↥R⁰

Context: hd_ne_zero : (algebraMap R K) ↑d ≠ 0

Context: h0 : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) ≠ 0

Context: hI : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) ↑d)⁻¹ * ↑(Ideal.span {n})


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : BorelSpace X

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

Context: h : ∀ (s : Set X), diam s ≤ ε → μ s ≤ m (diam s)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : BorelSpace X

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

μ.toOuterMeasure ≤ OuterMeasure.mkMetric m


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
n : ℕ
α : Ext Z T n

(mk₀ f).comp ((mk₀ g).comp α ⋯) ⋯ = (mk₀ (f ≫ g)).comp α ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
n : ℕ


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det
huAT : IsUnit Aᵀ.det


Context: s : ℝ

Context: h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi 0) volume


Context: s : ℝ

Context: hs : s ≤ -1


Context: s : ℝ

Context: hs : -1 < s


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace R F

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: 𝕜₁ : Type u_5

Context: 𝕜₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: B' : Type u_7

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: F' : Type u_8

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'

Context: E' : B' → Type u_9

Context: inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)

Context: inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E

Context: inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)

Context: inst✝¹ : FiberBundle F' E'

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'

Context: x₀ x : B

Context: y₀ y : B'

Context: ϕ : E x →SL[σ] E' y

Context: hx : x ∈ (trivializationAt F E x₀).baseSet

Context: hy : y ∈ (trivializationAt F' E' y₀).baseSet

Context: x✝ : F

(inCoordinates F E F' E' x₀ x y₀ y ϕ) x✝ = ((↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₂ (trivializationAt F' E' y₀) y hy)).comp (ϕ.comp ↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₁ (trivializationAt F E x₀) x hx).symm)) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ

(↑u⁻¹).val + (↑u).val + (↑u).val * (↑u⁻¹).val = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I


map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: I : Ideal R

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

Context: this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: I : Ideal R

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

{J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} = map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: I : Ideal R

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

Context: j : Ideal S

{J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} j → (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) j


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: I : Ideal R

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

Context: j : Ideal S

(map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) j → {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} j


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
c✝ : G
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: this : TopologicalSpace α := generateFrom s

IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

∀ t₁ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ t₂ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

⋃₀ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}) = univ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

∀ s_1 ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, IsOpen s_1


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ s

t ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n < x
h'n : x ≤ y ^ (n + 1)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F

Context: inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F

Context: i : D.J

Context: this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan

colimit.ι (D.diagram.multispan ⋙ F) (WalkingMultispan.right i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso F)).hom = (D.mapGlueData F).ι i


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: i : D.J

(D.diagramIso F).hom.app (WalkingMultispan.right i) ≫ colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: i : D.J

colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ

∏ i ∈ s, ↑(f i) ^ r = ↑(∏ i ∈ s, f i) ^ r


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n m : ℕ
hn : IsPrimePow n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p : R

Context: k n m : ℕ

Context: hn : ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n

Context: hm : m ∣ n

Context: hm₁ : m ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ m : ℕ
hm₁ : m ≠ 1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
hm : m ∣ p ^ k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k

∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
hik : 0 ≤ k
hm₁ : p ^ 0 ≠ 1
hm : p ^ 0 ∣ p ^ k


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝³ : Zero M

Context: inst✝² : Zero M'

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: b : α → M → N

(∏ a_1 ∈ f.support, if a_1 = a then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.pi μ) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.pi μ) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

∏ i : ι, (μ i) (s i) ≤ (Measure.pi μ) (univ.pi s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a : α

Context: inst✝ : Subsingleton α

Context: this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : NonAssocRing S
f : R ≃+* S
x✝ y x : R


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
δ : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Isometry f
hg : Isometry g
x y : α × γ

edist (Prod.map f g x) (Prod.map f g y) = edist x y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: h : sign a = -1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = -1


Context:
n : Nat
i : Fin (list n).length


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
c : S


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits G

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits G

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f


Context: i j k : ℤ


Context: i j k : ℤ

(i.natAbs.lcm j.natAbs).lcm k.natAbs = i.natAbs.lcm (j.natAbs.lcm k.natAbs)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: x : ⨁ (i : ι), ↥(V i)

Context: i : ι

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)

(orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: i : ι

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)

(orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) 0) = 0 i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: i : ι

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)

Context: j : ι

Context: x : ↥(V j)

(orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) ((of (fun i => ↥(V i)) j) x)) = ((of (fun i => ↥(V i)) j) x) i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: i : ι

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)

Context: x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)

Context: hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i

Context: hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i

(orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) (x + y)) = (x + y) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: C : EReal

Context: h : C ≠ ⊥

Context: h' : C ≠ ⊤

Context: this : (fun n => C / ↑n) = fun n => ↑(C.toReal / ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: C : EReal

Context: h : C ≠ ⊥

Context: h' : C ≠ ⊤

Tendsto (fun n => C.toReal / ↑n) atTop (𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : CompleteSpace ↥U

(U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: U : Submodule 𝕜 E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : T.IsPositive

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥U

Context: this : ((U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)).comp (T.comp (adjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : σ fst✝

𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩ = Filter.map (mk ⟨fst✝, snd✝⟩.fst) (𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
z : γ
i : ℕ

(zipWith f l₁ l₂).get? i = some z ↔ ∃ x y, l₁.get? i = some x ∧ l₂.get? i = some y ∧ f x y = z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m✝ : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝¹ : Nontrivial M ∧ ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)

Context: left✝ : Nontrivial M

Context: h : ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)

Context: m : Submodule R M

Context: ne_bot : ¬m = ⊥

Context: x : M

Context: hxm : x ∈ m

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: y : R

Context: x✝ : (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α

A.IsHermitian ↔ (toEuclideanLin A).IsSymmetric


A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), ⟪(toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁), (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂⟫_α = ⟪(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁, (toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂)⟫_α


A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), star x₁ ᵥ* Aᴴ ⬝ᵥ x₂ = star x₁ ᵥ* A ⬝ᵥ x₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Semiring β

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : IsCancelAdd α

Context: hab : a + b = 0

Context: k : ℕ

Context: ih : a ^ (2 * k + 1) + b ^ (2 * k + 1) = 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Semiring β

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : IsCancelAdd α

Context: hab : a + b = 0

Context: k : ℕ

Context: this : a ^ 2 = b ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ box n d

∑ i : Fin n, x i ^ 2 ∈ range (n * (d - 1) ^ 2 + 1)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
x✝ : Matrix n n R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
x : β


(∃ a, a ∈ l₁ ∧ f a = x) → ∃ a, a ∈ l₂ ∧ f a = x


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ

μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → p x
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x✝ : ℍ

((f + g) ∣[k]A) x✝ = (f ∣[k]A + g ∣[k]A) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nonempty ι
b : Basis ι A M
this : DecidableEq ι


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nonempty ι
b : Basis ι A M
this : DecidableEq ι
val✝ : Fintype ι


Context:
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n = n'
h1 : a * (2 * b - a) = a'
h2 : a * a + b * b = b'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a x y : α

dirac x ≠ dirac y ↔ ∃ A, MeasurableSet A ∧ x ∈ A ∧ y ∉ A


¬dirac x ≠ dirac y ↔ ¬∃ A, MeasurableSet A ∧ x ∈ A ∧ y ∉ A


(∀ (A : Set α), MeasurableSet A → (x ∈ A ↔ y ∈ A)) ↔ ∀ (x_1 : Set α), MeasurableSet x_1 → x ∈ x_1 → y ∈ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a x y : α

Context: h : ∀ (x_1 : Set α), MeasurableSet x_1 → x ∈ x_1 → y ∈ x_1

Context: A : Set α

Context: A_mble : MeasurableSet A


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: h₁ : RespectsIso P

Context: h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)


Context: h₁ : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)

Context: e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv


Context: h₁ : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)

Context: f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')


Context: h₁ : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)

Context: this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x


Context: h₁ : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)

algebraMap R' S' = ?m.49455.toRingHom.comp Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom


Context: h₁ : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} D

Context: F₁ F₂ : C ⥤ D

Context: app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X

Context: X Y : C

Context: e : X ≅ Y

Context: he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom

F₁.map e.inv ≫ app X = app Y ≫ F₂.map e.inv


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} D

Context: F₁ F₂ : C ⥤ D

Context: app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X

Context: X Y : C

Context: e : X ≅ Y

F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = F₁.map e.hom ≫ app Y ≫ F₂.map e.inv


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} D

Context: F₁ F₂ : C ⥤ D

Context: app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X

Context: X Y : C

Context: e : X ≅ Y

F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = (app X ≫ F₂.map e.hom) ≫ F₂.map e.inv


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i

(x ∈ (s₁ ∪ s₂).pi fun i => t₁ i ∩ t₂ i) ↔ x ∈ s₁.pi t₁ ∩ s₂.pi t₂


(∀ (i : ι), i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂ → x i ∈ t₁ i ∧ x i ∈ t₂ i) ↔ (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: s s₁ s₂ : Set ι

Context: t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)

Context: i✝ : ι

Context: ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ

Context: ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ

Context: x : (i : ι) → α i

Context: h : (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}


sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ≤ o.card


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap f p
k : ℕ
hk : f ^ k = 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : b ∈ closure t


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: s t✝ : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: t : Set G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ s

Context: b : G

Context: hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: s t✝ : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: t : Set G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ s

Context: b : G

Context: hbU : b ∈ s⁻¹ * {a * b}


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: s t✝ : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: t : Set G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ s

Context: b : G

Context: hbU : b ∈ s⁻¹ * {a * b}

Context: c : G

Context: hc : c ∈ s⁻¹

Context: hcs : (fun x x_1 => x * x_1) c (a * b) ∈ t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: i : P ≅ P'

Context: h : IsSheafFor P R

Context: x : FamilyOfElements P' R

Context: hx : x.Compatible

Context: x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: i : P ≅ P'

Context: h : IsSheafFor P R

Context: x : FamilyOfElements P' R

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x'.Compatible


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: i : P ≅ P'

Context: h : IsSheafFor P R

Context: x : FamilyOfElements P' R

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x'.Compatible

Context: t : P.obj (op X)

Context: ht1 : x'.IsAmalgamation t

Context: ht2 : ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x'.IsAmalgamation t) y → y = t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: i : P ≅ P'

Context: h : IsSheafFor P R

Context: x : FamilyOfElements P' R

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x'.Compatible

Context: t : P.obj (op X)

Context: ht1 : x'.IsAmalgamation t

(fun t => x.IsAmalgamation t) (i.hom.app (op X) t) ∧ ∀ (y : P'.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = i.hom.app (op X) t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
x a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a ≤ b
x : α
h : a < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ normalizedFactors c
hb : b ∈ normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m✝ : (i : ι) → E i

Context: n : ℕ

Context: Ei : Fin n → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : Fin n) → SeminormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝ : (i : Fin n) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: m : (i : Fin n) → Ei i

Context: b : ℝ

Context: hm : ‖m‖ ≤ b


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y

Context: hxy : orderOf x ∣ orderOf y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y

Context: hxy : orderOf x ∣ orderOf y

∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf y → ¬orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y

Context: hxy : orderOf x ∣ orderOf y

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpy : p ∣ orderOf y

Context: hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h✝ : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y

Context: hxy : orderOf x ∣ orderOf y

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpy : p ∣ orderOf y

Context: hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p

Context: h : p ∣ orderOf x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: h✝ : Commute x y

Context: hy : IsOfFinOrder y

Context: hoy : 0 < orderOf y

Context: hxy : orderOf x ∣ orderOf y

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpy : p ∣ orderOf y

Context: hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p

Context: h : ¬p ∣ orderOf x


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M

Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1) ≤ 𝓝[stolzSet M] 1


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M

Tendsto id (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝[stolzSet M] 1)


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M

∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ Set.Iio 1 ⊆ {x | ↑x ∈ stolzSet M}


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 2 ∩ Set.Iio 1


Context:
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : (0 < x ∧ x < 2) ∧ x < 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0

p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h : p * q ≠ 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: this : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h : p * q ≠ 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
g : G


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : Ring R

Context: X₁ X₂ : Type v

Context: M✝ N✝ M N : ModuleCat R

Context: f : M ⟶ N

Context: r : R

Context: x : ↑((forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj M)

((forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map f ≫ N.smul r) x = (M.smul r ≫ (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : OrderedRing 𝕜
f : ↑(stdSimplex 𝕜 (Fin 2))


Context:
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι

Sigma.ι f i ≫ (sigmaIsoGlued f).hom = (disjointGlueData f).ι i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α

sublistsLen (n + 1) (a :: l) = sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l)


sublistsLen (n + 1) l ++ map (id ∘ cons a) (sublistsLen n l) = sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l)


Context: n : PosNum

Context: fuel : ℕ

Context: ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1

Context: k : PosNum

Context: h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑k.bit1 * ↑k.bit1 then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)


Context: n : PosNum

Context: fuel : ℕ

Context: k : PosNum

Context: h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑(k.bit1 * k.bit1) then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)


Context: n : PosNum

Context: fuel : ℕ

Context: k : PosNum

Context: h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if n < k.bit1 * k.bit1 then ↑n else if k.bit1 ∣ n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)


Context: n : PosNum

Context: fuel : ℕ

Context: k : PosNum

Context: h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

Context: h✝¹ : ¬n < k.bit1 * k.bit1

Context: h✝ : ¬k.bit1 ∣ n

↑(n.minFacAux fuel k.succ) = (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: s t : Set X

Context: h : HolderOnWith C r f s

Context: hr : 0 < r

Context: this✝³ : MeasurableSpace X := borel X

Context: this✝² : BorelSpace X

Context: this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y

Context: this✝ : BorelSpace Y

Context: d : ℝ≥0

Context: hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤

Context: this : μH[↑d] (f '' s) ≤ ↑C ^ ↑d * μH[↑r * ↑d] s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤


↑r ≠ ⊤ ∨ dimH s ≠ ⊤


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)) * y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)


orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y))) * orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)


(orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)))).Coprime (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))))


(orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) * (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) = (orderOf x).lcm (orderOf y)


(orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y


(orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x


((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this : (comap (algebraMap R S) I).IsPrime


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ

HasProd (fun n => f (n + k)) (g / ∏ i ∈ range k, f i) ↔ HasProd f g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : eLpNorm' f q μ < ⊤

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R✝ J I E R : Set α

uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R ∩ E) R


∀ I_1 ⊆ R, (I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ E) ∧ I_1 ⊆ R ↔ ((I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ R) ∧ I_1 ⊆ E) ∧ I_1 ⊆ R


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0


Context:
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF


Context:
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
this : (a.cmp b).Compares a b


Context:
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
h : a.cmp b = Ordering.eq
this : Ordering.eq.Compares a b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P

((toLocalizationWithZeroMap M S).lift g.toMonoidWithZeroHom hg) z * w + w' = v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v


↑g.toMonoidWithZeroHom ((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V

𝓕 f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
v : V₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
c : γ
a : α

flip (r ∘r p) c a = (flip p ∘r flip r) c a


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ

y ∈ I.splitCenterBox s ↔ y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s


(∀ (i : ι), y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i)) ↔ ∀ (x : ι), y x ∈ Set.Ioc (I.lower x) (I.upper x) ∧ ((I.lower x + I.upper x) / 2 < y x ↔ x ∈ s)


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι

y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)


y i ∈ Set.Ioc (if i ∈ s then (I.lower i + I.upper i) / 2 else I.lower i) (if i ∈ s then I.upper i else (I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∈ s

y i ∈ Set.Ioc ((I.lower i + I.upper i) / 2) (I.upper i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∉ s

y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) ((I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ y i ≤ (I.lower i + I.upper i) / 2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h✝ : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → 𝕜
h : ContDiff 𝕜 (↑n) f
c : 𝕜

(iteratedDeriv n fun x => f (c * x)) = fun x => c ^ n * iteratedDeriv n f (c * x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SMulZeroClass S R

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul S R

Context: inst✝² : SMulZeroClass S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower S R A

Context: inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)

Context: s : S

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData

homologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ homologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.left.H


homologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ homologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.left.H


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: hm✝ : f.Monic

Context: x✝ : ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m

Context: m n : ℕ

Context: y : F

Context: hm : m ≠ 0

Context: h : f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ

Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M π)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b


Context:
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C

{ toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun 0 = 0


Context:
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
x y : A

{ toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun x + { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun y


{ toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x * { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun y


Context:
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
c : R
x : A

Pi.prod (⇑f) (⇑g) (c • x) = (MonoidHom.id R) c • Pi.prod (⇑f) (⇑g) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0

Context: hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0

f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ i ∈ t, w i • p i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0

(∀ j ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, p j = ∑ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w i • p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ x ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w x • p x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0

∀ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, 0 < w i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0

∑ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w i = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0

∀ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, p i ∈ s


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : RingHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)

∃ m, σ ↑↑ζ = ↑↑ζ ^ m


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ+

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : FunLike F R R

Context: inst✝ : RingHomClass F R R

Context: σ : F

Context: ζ : ↥(rootsOfUnity k R)

Context: m : ℤ

Context: hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m

∃ m, σ ↑↑ζ = ↑↑ζ ^ m


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : CommMonoid M

Context: inst✝⁵ : CommMonoid N

Context: inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ+

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : FunLike F R R

Context: inst✝ : RingHomClass F R R

Context: σ : F

Context: ζ : ↥(rootsOfUnity k R)

Context: m : ℤ

∃ m_1, ↑↑ζ ^ (m % ↑(orderOf ζ)).toNat = ↑↑ζ ^ m_1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y z : R

SemiconjBy (star x) (star z) (star y) ↔ SemiconjBy x y z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Sort u_17
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h✝ : f =O[l] g'
hb : l.HasBasis p s
c : ℝ
h : c > 0 ∧ IsBigOWith c l f g'

c > 0 ∧ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: H : Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: hcovers : Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: H : Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: this : Finite (G ⧸ H)


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Sort u
f : α → α
h : Involutive f
P : Prop
inst✝ : Decidable P
x : α

f (if P then x else f x) = if ¬P then x else f x


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
hx : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

(G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

Context: q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

∑ a ∈ filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts, (a \ (filter (fun x => x ⊆ a) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

∑ _i ∈ filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts, m ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

(filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card • m ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1) * m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

(filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card ≤ 2 ^ (P.parts.card - 1)