Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: h : LiftPropOn P g univ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊤)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 + a.2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : ↑0 < x✝.1 ∧ ↑r < x✝.2


Context: α β : Type u


Context: w : List ℕ

Context: hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w

Context: hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x

(ofRowLens w hw).rowLens.length = w.length


Context: w : List ℕ

Context: hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x

¬False ∧ ∀ n < w.length, ∃ (h : n < w.length), 0 < w.get ⟨n, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x : α
h : IsCompl x ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: f : C ⟶ D

Context: hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)

Context: n : ι

(f ≫ nullHomotopicMap' hom).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: f : C ⟶ D

Context: n : ι

(nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : IsCoatom M


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : M ≠ ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : ∀ (b : Subgroup H), M < b → b = ⊤

∀ (b : Subgroup G), comap φ M < b → b = ⊤


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.68264
L : Type ?u.68267
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S

(minpolyDiv R x).natDegree < (minpoly R x).natDegree


(minpolyDiv R x).natDegree < (minpolyDiv R x).natDegree + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β

ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ = ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
f : δ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)) a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List (List M)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s

Multiset.fold op b (Multiset.map f (insert a s).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1

s.mulIndicator (g ∘ f) = g ∘ s.mulIndicator f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1
x✝ : α

s.mulIndicator (g ∘ f) x✝ = (g ∘ s.mulIndicator f) x✝


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α

FreeMonoid.toList (foldMap FreeMonoid.of xs) = FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse


FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse = FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse


FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse = (unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse


(unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse = toList xs


(unop (foldMap (⇑(Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) ∘ FreeMonoid.of) xs) []).reverse = toList xs


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α


Context:
n m : ℕ
a b : Fin n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
H : 1 ≤ a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
H : 1 ≤ a
n : ℕ


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

C (C 4 * X ^ 3 + C (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)) * X + C (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)) = (C (C 2) * Y + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃)) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + C W.toAffine.a₄ * X + C W.toAffine.a₆))


4 * C X ^ 3 + (C (C W.a₁) ^ 2 + 4 * C (C W.a₂)) * C X ^ 2 + 2 * (2 * C (C W.a₄) + C (C W.a₁) * C (C W.a₃)) * C X + (C (C W.a₃) ^ 2 + 4 * C (C W.a₆)) = (2 * Y + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃))) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.toAffine.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.toAffine.a₄) * C X + C (C W.toAffine.a₆)))


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
hg : ker g = ⊥


Context:
T : ℝ
x y : AddCircle T

(x + y).toCircle = x.toCircle * y.toCircle


Context:
T : ℝ
y : AddCircle T
z✝ : ℝ

(↑z✝ + y).toCircle = toCircle ↑z✝ * y.toCircle


Context: T z✝¹ z✝ : ℝ

(↑z✝¹ + ↑z✝).toCircle = toCircle ↑z✝¹ * toCircle ↑z✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: K L : HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) f ↔ (subcategoryAcyclic C).W f


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num = C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Seq α

join (ret (f a), Seq.map (ret ∘ f) s) = (f a, Seq.map f s)


join ((f a, nil), Seq.map ret (Seq.map f s)) = (f a, Seq.map f s)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
r : M
x : N
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂

(r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)


Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)


Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ

∫ (x : X), f x ∂μ = ∫ (x : X), ↑(f.nnrealPart x) ∂μ - ∫ (x : X), ↑((-f).nnrealPart x) ∂μ


∫ (a : X), (NNReal.toReal ∘ ⇑f.nnrealPart) a ∂μ - ∫ (a : X), (NNReal.toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) a ∂μ = ∫ (x : X), ↑(f.nnrealPart x) ∂μ - ∫ (x : X), ↑((-f).nnrealPart x) ∂μ


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g h : L ≃+* L
ζ : ↥(rootsOfUnity n L)

(g * h) ↑↑ζ = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n g * χ₀ n h).val)


g (h ↑↑ζ) = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n g * χ₀ n h).val)


↑↑(ζ ^ ((χ₀ n h).val * (χ₀ n g).val)) = ↑(↑ζ ^ (χ₀ n h * χ₀ n g).val)


ζ ^ ((χ₀ n h).val * (χ₀ n g).val) = ζ ^ (χ₀ n h * χ₀ n g).val


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P


(∃ p2_1 ∈ s, p2 -ᵥ p = p2_1 -ᵥ p) ↔ p2 ∈ s


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : p ≤ q


Context: k✝ G✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing k✝

Context: inst✝⁶ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k✝ G✝

Context: k G A : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing k

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G A

Context: inst✝ : SMulCommClass G k A

Context: f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))


Context: k✝ G✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing k✝

Context: inst✝⁶ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k✝ G✝

Context: k G A : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing k

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G A

Context: inst✝ : SMulCommClass G k A

Context: x : G → CoeSort.coe (Rep.ofDistribMulAction k G A)

Context: hx : (dOne (Rep.ofDistribMulAction k G A)) x = (twoCocycles (Rep.ofDistribMulAction k G A)).subtype ↑f


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: P.W α


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ

M.charmatrix.det.coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)


∑ b : Equiv.Perm n, (Equiv.Perm.sign b • ∏ i : n, M.charmatrix (b i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)


∀ c ∈ univ, (Equiv.Perm.sign c • ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n

(Equiv.Perm.sign c • ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)


(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (Fintype.card n - k)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
I : Ideal R
h : ∀ (i j : n), M i j ∈ I
k : ℕ
c : Equiv.Perm n
this : ∑ x : n, 1 = Fintype.card n


(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (∑ x : n, 1 - k)


∀ i ∈ univ, ∀ (k : ℕ), (M.charmatrix (c i) i).coeff k ∈ I ^ (1 - k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
l : f.LimZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
l : g.LimZero


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Nonempty α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
x : α

x ∈ (uniformOfFintype α).support ↔ x ∈ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)


MonovaryOn f g s ↔ (∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, f x < f x_2 → g x ≤ g x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, g x < g x_2 → f x ≤ f x_2


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
C : A → Prop
r : A
hr : r ∈ M * N
hm : ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, C (m * n)
ha : ∀ (x y : A), C x → C y → C (x + y)


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n : A

Context: C : A → Prop

Context: r : A

Context: hr : r ∈ M.toAddSubmonoid * N.toAddSubmonoid

Context: hm : ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, C (m * n)

Context: ha : ∀ (x y : A), C x → C y → C (x + y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


(∃ a a_1, (σ.IsCycle ∧ σ = a_1) ∧ (Finset.card ∘ support) a_1 = a) ↔ σ.IsCycle


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hp : p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ∈ 𝓝 0
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0

padicNorm p (q * r) = padicNorm p q * padicNorm p r


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
this : ↑p ≠ 0


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : n = 0


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
ha : 2 * a.val ≠ n
h : NeZero n


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J ≠ 0
I I' : FractionalIdeal A⁰ K


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s

‖(L (f (x - t))) (g t)‖ ≤ (-tsupport f + s).indicator (fun t => (‖L‖ * ⨆ i, ‖f i‖) * ‖g t‖) t


(-tsupport f + s).indicator (fun t => (‖L‖ * ⨆ i, ‖f i‖) * ‖g t‖) t = (-tsupport f + s).indicator (fun t => ‖L.flip‖ * ‖g t‖ * ⨆ i, ‖f i‖) t


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R

(if e ∈ G.incidenceSet a then 1 e else 0) = 1 ↔ e ∈ G.incidenceSet a


(if e ∈ G.incidenceSet a then 1 else 0) = 1 ↔ e ∈ G.incidenceSet a


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : LieRing L
inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
m₃ : M₃

m₃ ∈ LinearMap.range (↑g ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(M₁, χ₁, x) 𝕎(M₂, χ₂, x)) → m₃ ∈ 𝕎(M₃, χ₁ + χ₂, x)


∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1) = m₃ → ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) m₃ = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1

∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) t)) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) 0)) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 ⊗ₜ[R] y))) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

∀ (x_1 y : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)), (∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1)) = 0) → (∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) y)) = 0) → ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 + y))) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)

Context: m₂ : M₂

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)

Context: f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)

Context: m₂ : M₂

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)

Context: m₂ : M₂

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: hm₁ : ∃ k, (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k) m₁ = 0

Context: hm₂ : ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k) m₂ = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

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Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

(∑ m ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose m.1 • (f₁ ^ m.1 * f₂ ^ m.2)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

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Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

∑ x ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose x.1 • (f₁ ^ x.1 * f₂ ^ x.2) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

∀ x ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), (k₁ + k₂ - 1).choose x.1 • (f₁ ^ x.1 * f₂ ^ x.2) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

Context: i j : ℕ

Context: hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

Context: i j : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

Context: i j : ℕ

Context: hi : k₁ ≤ (i, j).1


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: m₁ : M₁

Context: m₂ : M₂

Context: k₁ : ℕ

Context: k₂ : ℕ

Context: hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Context: hf_comm : Commute f₁ f₂

Context: i j : ℕ

Context: hj : k₂ ≤ (i, j).2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ₁ δ₂ : ℝ
δ₁_pos : 0 < δ₁
δ₂_pos : 0 < δ₂
hle : δ₁ ≤ δ₂
E : Set α
x : α

(thickenedIndicator δ₁_pos E) x ≤ (thickenedIndicator δ₂_pos E) x


thickenedIndicatorAux δ₁ E x ≤ thickenedIndicatorAux δ₂ E x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Monoid M
l : List M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

MapsTo (⇑(AffineMap.lineMap x y)) (Icc 0 1) s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set F


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoid M
a x y : M
h : x = y


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
a : E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Finite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Infinite β


Context:
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)

lift.{u, w} (iSup f) = ⨆ i, lift.{u, w} (f i)


sSup (range (lift.{u, w} ∘ f)) = sSup (range fun i => lift.{u, w} (f i))


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M
hM : 0 ≤ M


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M

Context: hM : 0 ≤ M

Context: h1 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M

Context: hM : 0 ≤ M

Context: h2 : ‖∮ (z_1 : ℂ) in C(z, r), ((z_1 - z) ^ 2)⁻¹ • f z_1‖ ≤ 2 * π * r * (M / r ^ 2)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M

Context: hM : 0 ≤ M

‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ * ‖∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M

Context: hM : 0 ≤ M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
h✝ : Nontrivial R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
δ : Type u_9
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DistribMulAction M A
r : M
x y : A


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
hX : ¬AEMeasurable X ℙ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s

s ∈ ↑(Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜) → t ∈ ↑(Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜)


s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → t ∈ 𝒜 ∧ a ∉ t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α
a : α
tl : List α
r : Array α

go f (tl ++ [a]) r = r.toListAppend (go f (tl ++ [a]) #[])


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hf : (mulSupport f).Finite
x : α

x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) hf.toFinset) ∩ mulSupport f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hxz : f x < f (a • x + b • y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s t : NonemptyInterval α
x : α × α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => c * x) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (a / c) (b / c)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y : G

(filter (fun g => f g = f x) univ).card = (filter (fun g => f g = f y) univ).card


(filter (fun g => f g = f x) univ).card = (filter (fun g => f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)) univ).card


(filter ((fun g => f g = f x) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight y⁻¹))) univ).card = (filter (fun g => f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)) univ).card


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y g : G

((fun g => f g = f x) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight y⁻¹))) g ↔ f g = f ((fun x_1 => x * x_1) y)


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : FunLike F G M
inst✝ : MonoidHomClass F G M
f : F
x y g : G
f' : G →* M := ↑f

f' g * f' y⁻¹ = f' x ↔ f' g = f' x * f' y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : Subsingleton E'
c : ℝ
hc : 0 < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β

(p.bindOnSupport f).toOuterMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toOuterMeasure s


(∑' (x : β), if x ∈ s then ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) x else 0) = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else ∑' (x : β), if x ∈ s then (f a ⋯) x else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

A.rank = Fintype.card { i // hA.eigenvalues i ≠ 0 }


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h_conv : Convex 𝕜 s
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
v₁ : E
h₁ : v₁ ∈ s
v₂ : E
h₂ : v₂ ∈ s

(fun x x_1 => x + x_1) ((fun x => p • x) v₁) ((fun x => q • x) v₂) ∈ (p + q) • s


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
φ : C ⟶ (single₀ V).obj X


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel i 0


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel 1 0


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

(((mk R M N).compr₂ (map f (r • g))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (r • map f g)) x✝¹) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
S : Set (LowerSet α)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : a = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : ¬a = b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

μ.toFinite s = (μ.toFiniteAux Set.univ)⁻¹ * μ.toFiniteAux s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c d a b : K
h : b ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
h₂ : ¬f.nextCoeff = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Zero α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Zero β

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : ZeroHomClass F α β

Context: f : F

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff

Context: M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: hM : 0 ∉ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: hM : 0 ∉ M

Context: M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: hM : 0 ∉ M

Function.Injective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: hM : 0 ∉ M

((algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ).IsIntegral


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i

(single i b) i' = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0


(if h : i' = i then ⋯ ▸ b else 0 i') = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ


(fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν

F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

p ⊓ (f.genEigenspace μ) k = Submodule.map p.subtype ((genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤

∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hε_top : ¬ε = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hε_top : ¬ε = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → (∀ (i : ι), eLpNorm (t.indicator (f i)) p μ ≤ ε) → ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hε_top : ¬ε = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤


Context:
q : ℕ+
w : 1 < q
this : Fact (1 < ↑q)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x

(Quotient.mk'' y1 + Quotient.mk'' y2).val = val (Quotient.mk'' y1) + val (Quotient.mk'' y2)


Localization.mk ↑(y1 + y2).num ⟨↑(y1 + y2).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ↑y2.num + ↑⟨↑y2.den, ⋯⟩ * ↑y1.num) (⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ⟨↑y2.den, ⋯⟩)


Context:
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k


Context:
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : Associated (d ^ k) a


Context:
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : Associated a (d ^ k)


Context:
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : a = d ^ k ∨ a = (-d) ^ k


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht2 : t2 ∈ s'
ht1 : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ u), t1 ∈ s i


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)

Context: hf : f ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : f ≈ 0

Context: hg : g ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

padicNorm p (↑f (stationaryPoint ⋯)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint ⋯))


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X

∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x₀, ρ.fintsupport y ⊆ ρ.fintsupport x₀


∀ (x : X), {i | x ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))} → ρ.fintsupport x ⊆ ρ.fintsupport x₀


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ y : X

Context: hy : {i | y ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))}

Context: z : ι

Context: hz : z ∈ ρ.fintsupport y


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ y : X

Context: z : ι

Context: hz : y ∈ tsupport ⇑(ρ z)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖


Context:
l m₁ m₂ r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l (m₁ ++ m₂) r s
n : Nat

s.nextn n (s.next { byteIdx := utf8Len m₁ }) = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take (n + 1) m₂) }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits (RingHom.id K) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: C : FreeAlgebra R X → Prop

Context: h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)

Context: h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)

Context: h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)

Context: h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)

Context: a : FreeAlgebra R X

Context: s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }

Context: of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1

Context: of_id : AlgHom.id R (FreeAlgebra R X) = s.val.comp ((lift R) of)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: C : FreeAlgebra R X → Prop

Context: h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)

Context: a : FreeAlgebra R X


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: C : FreeAlgebra R X → Prop

Context: h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)

Context: a : FreeAlgebra R X

Context: of_id : ∀ (x : FreeAlgebra R X), x = ↑(((lift R) of) x)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure Ω

Context: h_le : ε₁ ≤ ε₂

Context: B : Set Ω

Context: hε₁ : μ B ≤ ν (thickening ε₁.toReal B) + ε₁

Context: ε_top : ¬ε₂ = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure Ω

Context: h_le : ε₁ ≤ ε₂

Context: B : Set Ω

Context: ε_top : ¬ε₂ = ⊤

ν (thickening ε₁.toReal B) ≤ ν (thickening ε₂.toReal B)


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : #K ≤ ℵ₀


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Basis ιK K (ℕ → K)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: rep_e : (Finsupp.total ιK (ℕ → K) K ⇑bK) (bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)) = ⇑bL ∘ ⇑e


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: rep_e : ∑ a ∈ (bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)).support, (bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)) a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)

Context: s : Finset ιK := c.support

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)

Context: s : Finset ιK := c.support

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: f : ℕ → { x // x ∈ s } → ↥L := fun i j => ⟨bK (↑j) i, ⋯⟩


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: this✝ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)

Context: s : Finset ιK := c.support

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)

Context: s : Finset ιK := c.support

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ t

Context: hgi : g i ≠ 0


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ t

Context: hgi : g i ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ t

Context: hgi : g i ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

∑ x ∈ t, ∑ x_1 ∈ s, g x • c x_1 • bK x_1 x = 0


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ t

Context: hgi : g i ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

∑ y ∈ s, ∑ x ∈ t, g x • c y • bK y x = 0


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i✝ : ℕ

Context: hi✝ : i✝ ∈ t

Context: hgi : g i✝ ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: eq0 : ∑ i ∈ t, g i • f i = 0

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: i : ιK

Context: hi : i ∈ s


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i✝ : ℕ

Context: hi✝ : i✝ ∈ t

Context: hgi : g i✝ ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: i : ιK

Context: hi : i ∈ s

Context: eq0 : L.subtype ((∑ i ∈ t, g i • f i) ⟨i, hi⟩) = L.subtype (0 ⟨i, hi⟩)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝¹ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i✝ : ℕ

Context: hi✝ : i✝ ∈ t

Context: hgi : g i✝ ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: i : ιK

Context: hi : i ∈ s

Context: eq0 : ∑ x ∈ t, L.subtype ((g x • f x) ⟨i, hi⟩) = L.subtype (0 ⟨i, hi⟩)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝² : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: this✝¹ : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i✝ : ℕ

Context: hi✝ : i✝ ∈ t

Context: hgi : g i✝ ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this✝ : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: i : ιK

Context: hi : i ∈ s

Context: this : SMulCommClass (↥L)ᵐᵒᵖ K K


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝² : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: t : Finset ℕ

Context: g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ

Context: i✝ : ℕ

Context: hi✝ : i✝ ∈ t

Context: hgi : g i✝ ≠ 0

Context: s : Finset ιK

Context: this✝ : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f

Context: c : ιK →₀ K

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e

Context: i : ιK

Context: hi : i ∈ s

Context: this : SMulCommClass (↥L)ᵐᵒᵖ K K


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
α' : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
β' : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace β'
f : α → α'
g : β → β'
f_mble : Measurable f
g_mble : Measurable g

(μ.map f).prod (ν.map g) = (μ.prod ν).map (Prod.map f g)


↑((μ.map f).prod (ν.map g)) = ↑((μ.prod ν).map (Prod.map f g))


(Measure.map f ↑μ).prod (Measure.map g ↑ν) = Measure.map (Prod.map f g) ((↑μ).prod ↑ν)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: i : ι

biprod.inl.f i ≫ biprod.fst.f i = 𝟙 (K.X i)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: p : ℝ

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: p : ℝ

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: f' : α' → β'

Context: q : Filter ι'

Context: q' : Filter α'

Context: h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' q q'

TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ q) (p' ×ˢ q')


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: f' : α' → β'

Context: q : Filter ι'

Context: q' : Filter α'

Context: h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)

Context: h' : Tendsto (fun q => (f' q.2, F' q.1 q.2)) (q ×ˢ q') (𝓤 β')

Tendsto (fun q => (Prod.map f f' q.2, Prod.map (F q.1.1) (F' q.1.2) q.2)) ((p ×ˢ q) ×ˢ p' ×ˢ q') (𝓤 (β × β'))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: f' : α' → β'

Context: q : Filter ι'

Context: q' : Filter α'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

c > fold max b f s ↔ b < c ∧ ∀ x ∈ s, f x < c


∀ {x y z : β}, x > max y z ↔ x > y ∧ x > z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝³ : Nonempty Z

Context: inst✝² : MetricSpace Z

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : MetricSpace Y

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: hΦ : Isometry Φ

Context: hΨ : Isometry Ψ

Context: i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ

Context: x✝ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝³ : Nonempty Z

Context: inst✝² : MetricSpace Z

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : MetricSpace Y

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: hΦ : Isometry Φ

Context: hΨ : Isometry Ψ

Context: x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: x✝ : Z

(toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ) x✝ = (toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ) x✝


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝³ : Nonempty Z

Context: inst✝² : MetricSpace Z

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : MetricSpace Y

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: hΦ : Isometry Φ

Context: hΨ : Isometry Ψ

Context: x✝ : Z

Quotient.mk'' (Sum.inl (Φ x✝)) = Quotient.mk'' (Sum.inr (Ψ x✝))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝³ : Nonempty Z

Context: inst✝² : MetricSpace Z

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : MetricSpace Y

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: hΦ : Isometry Φ

Context: hΨ : Isometry Ψ

Context: x✝ : Z

dist (Sum.inl (Φ x✝)) (Sum.inr (Ψ x✝)) = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K

↑(f.supSpanSingleton x y hx) ⟨x' + c • x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x', hx'⟩ + c • y


↑⟨x', hx'⟩ + ↑⟨c • x, ?h⟩ = ↑⟨x' + c • x, ⋯⟩


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖(-f) m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖} = ‖f‖


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G

chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: this : Continuous eval

chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - chaar K₀ K = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0

IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: this : IntegrableOn f ((fun t => t ^ p) '' Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume

IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s : Set ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f

Context: hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(g i)

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(g i)

Context: hab : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s : Set ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ ↑(g i)

Context: hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ ↑(g i)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s : Set ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ ↑(g c)

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ ↑(g d)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s : Set ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ ↑(g c)

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ ↑(g d)

Context: hcd : g c = g d


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝¹ : Lattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s : Set ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ ↑(g c)

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ ↑(g d)

Context: hcd : g c ≠ g d