Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h1'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)

Context: h1' : ↑((multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝) = multiplicity λ (S'.a + S'.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2

Context: h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2

Context: h2'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)

Context: h3' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)

Context: h2' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h3'✝ : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)

Context: h3' : ↑((multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝) = multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ < 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h2 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝ < 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h3 : (multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝ < 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : (λ ^ 2) ^ 3 ∣ ↑S'.u * S'.c ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 * 3 ≤ (multiplicity λ (S'.a + S'.b)).get h1'✝ + (multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b)).get h2'✝ + (multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)).get h3'✝


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)


(fun t => (↑t).1) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun t => (↑t).2) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y


(fun t => (↑t).2) <$> abs ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y


abs ((P F).map (fun t => (↑t).2) ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f₁⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.radical.IsMaximal
this : I.radical = I.jacobson
x y : R
hxy : x * y ∈ I
x✝ : ∃ y_1, y_1 * y - 1 ∈ I
z : R
hz : z * y - 1 ∈ I


Context:
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}


Context:
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b


Context:
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
ι' : Type u_4
l : List ι'
i : ι' → ι
r : ι' → R
h : ∀ j ∈ l, r j ∈ A (i j)

(List.map r l).prod ∈ A (List.map i l).sum


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α


Context:
R✝ : Type u
S✝ : Type v
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S✝
inst✝⁸ : FunLike F R✝ S✝
rc : RingHomClass F R✝ S✝
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S✝
G : Type u_2
inst✝⁷ : FunLike G S✝ R✝
rcg : RingHomClass G S✝ R✝
ι : Sort u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M

Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) I • N) = I • Submodule.restrictScalars R N


Submodule.restrictScalars R (⨆ b ∈ ↑I, (algebraMap R S) b • N) = ⨆ a ∈ ↑I, Submodule.restrictScalars R ((algebraMap R S) a • N)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x

HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') s x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv

(if h : (const abv 0).LimZero then 0 else (const abv 0).inv h) = const abv 0


Context: m n : ℕ


Context:
m n : Nat
h : m < n


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies

Context: inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies

Context: inst✝³ : F.Full

Context: inst✝² : F.Faithful

Context: inst✝¹ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝ : Precoherent D

Context: X : C

Context: S : Sieve X

S ∈ (coherentTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (coherentTopology D)).sieves X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Full

Context: inst✝² : F.Faithful

Context: inst✝¹ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝ : Precoherent D

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: this : Precoherent C


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Full

Context: inst✝² : F.Faithful

Context: inst✝¹ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝ : Precoherent D

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: this : Precoherent C

S ∈ (coherentTopology C).sieves X ↔ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ioo (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ioo b₁ b₂)


Ioo (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ioo b₁ b₂))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p✝ p : α → Bool
l l' : List α
h : l ⊆ l'
x : α
hx : x ∈ filter p l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p✝ p : α → Bool
l l' : List α
h : l ⊆ l'
x : α
hx : x ∈ l ∧ p x = true


Context:
f g : CircleDeg1Lift
f₁ f₂ : CircleDeg1Liftˣ
h : τ ↑f₁ = τ ↑f₂


Context:
α : Type u_1
f : α → α
m n : Nat
l : List α
h : m ≠ n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z = fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y


Limits.BinaryFan.fst (product (product X Y).cone.pt Z).cone ≫ Limits.BinaryFan.snd (product X Y).cone = fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I X : Set (ι × α)

(∀ (i : ι), (M i).Basis (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I)) (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' X))) ↔ ∀ (i : ι), (M i).Basis (Prod.mk i ⁻¹' I) (Prod.mk i ⁻¹' X)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω


Context:
α : Type u_1
p : PosNum

(pos p).succ'.pred'.toZNumNeg = ZNum.neg p


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommSemigroup α
h : Periodic f c
a x : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R

W'.Equation P ↔ P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₁ : 0 < a
h₂ : a ≤ 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → ∃ c ∈ s, a < c ∧ c < b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α

Context: U : Set α

Context: U_open : IsOpen U

Context: U_nonempty : U.Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α

Context: U : Set α

Context: U_open : IsOpen U

Context: U_nonempty : U.Nonempty

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: H : Ioo a b ⊆ U


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i j : ι
x : β i
h : i ≠ j


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
C : Matrix n m R
D : Matrix n n R

(fromBlocks A 0 C D).det = A.det * D.det


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
hp0_lt : 0 < p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p
hp0_lt : 0 < p
hp0 : 0 ≤ p


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R


(∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p = coeff m 0) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

W.ΨSq ↑n = W.preΨ' n ^ 2 * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ
x : G


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]

eval₂ (algebraMap R S) x (p * q) = eval₂ (algebraMap R S) x p * eval₂ (algebraMap R S) x q


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
a : α
H : 0 ≤ a
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : HasCompactSupport f

Context: b : ℝ

Context: this : ∀ x ∈ Iio b, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : HasCompactSupport f

Context: b : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0

Context: b : ℝ


Context:
α : Type u_1
n : ZNum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H

MulAut.conj h • P.subgroupOf H = (MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H


MulAut.conj h • P.subgroupOf H ≤ (MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H


(MulAut.conj ↑h • P).subgroupOf H ≤ MulAut.conj h • P.subgroupOf H


Context: num den : Int


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x : M

Context: s : Set (M × M')

Context: p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj

{ proj := p.proj.1, snd := (mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s p.proj) p.snd } = { proj := p.proj.1, snd := p.snd.1 }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x : M

Context: s : Set (M × M')

Context: p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')

{ proj := p.proj.1, snd := (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd } = { proj := p.proj.1, snd := p.snd.1 }


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
inst✝ : HasDerivedCategory C
f : X ⟶ Y

(mk₀ f).hom = ShiftedHom.mk₀ ↑0 ⋯ ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).map f)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝔸

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹

Context: inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹

Context: f : F

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝔸

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹

Context: inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹

Context: f : F

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: x : 𝔸

f ((fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) x) = (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (f x)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝔸

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹

Context: inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹

Context: f : F

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: x : 𝔸

∑' (b : ℕ), (⇑f ∘ fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n) b = (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (f x)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝔸

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹

Context: inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹

Context: f : F

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: x : 𝔸

∑' (b : ℕ), f ((↑b !)⁻¹ • x ^ b) = ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • f x ^ n


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : t ∈ Icc 0 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 ≤ t ∧ t ≤ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: p : 𝓞 K

Context: hp : Prime p

Context: hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b

Context: hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b

Context: this : p ∣ (1 * ↑η ^ 2 - ↑η * 1) * gcd S.a S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ ↑η ^ 2 - ↑η


λ = (↑η ^ 2 - ↑η) * ↑η * ↑η


(↑η ^ 2 - ↑η) * ↑η * ↑η = λ


Context: a : ℤ


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →*₀ F

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →*₀ F

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →*₀ F

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: H : ∀ (n : ℕ), ∏ p ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => (1 - f p)⁻¹) p = ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - f p)⁻¹


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →*₀ F

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: H' : ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => (1 - f p)⁻¹) = {p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : α → Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
x : β


Context:
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n


Context:
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ (p.maxPowDiv n + 1) ∣ n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

R.mul ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (α_ R.X R.X (X P Q)).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(tensorLeft (R.X ⊗ R.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ R.mul ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (tensorLeft (R.X ⊗ R.X)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ R.X R.X (X P Q)).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ R.mul ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(R.mul ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

R.mul ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ⊗ R.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ R.X R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ R.X ◁ actLeft P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ R.X ◁ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ R.X ◁ actLeft P Q) ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ (R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ R.X ◁ P.actLeft ▷ Q.X ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ R.X ◁ P.actLeft ▷ Q.X ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ (R.X ⊗ R.X) P.X Q.X).inv ≫ ((α_ R.X R.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X R.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ R.X ◁ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ (((α_ R.X (R.X ⊗ P.X) Q.X).inv ≫ (R.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
R' : Type v
inst✝ : CommMonoid R'
φ : AddChar R R'
a : R
h : 0 < ringChar R

⋯.unit ∈ rootsOfUnity (ringChar R).toPNat' R'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α

∃ a < (succ #α).ord, ∃ b < (succ #α).ord, a ≠ b ∧ lfpApprox f x a = lfpApprox f x b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_ninj : ¬Set.InjOn (lfpApprox f x) (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_ninj : ∃ a b, (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b ∧ a ≠ b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: a b : ↑(Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord)

Context: h_fab : (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) a = (Set.Iio (SuccOrder.succ #α).ord).restrict (lfpApprox f x) b

Context: h_nab : a ≠ b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_nab : a ≠ b

↑a < (succ #α).ord ∧ ∃ b < (succ #α).ord, ↑a ≠ b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_nab : a ≠ b

∃ b < (succ #α).ord, ↑a ≠ b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_nab : a ≠ b

↑b < (succ #α).ord ∧ ↑a ≠ ↑b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x ↑b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: h_nab : a ≠ b

↑a ≠ ↑b ∧ lfpApprox f x ↑a = lfpApprox f x ↑b


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
hx : x ≠ 0


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
i✝ : κ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

(μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤


(⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤


(μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = 0 ∨ ⊤ * (μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) s = ⊤


μ.toFinite (s ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ) = 0 ∨ ⊤ * μ.toFinite (s ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ) = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (image f)
x x' : α
hx : f x = f x'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝔸
hf : ContDiff 𝕜 n f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝔸
hf : ContDiff 𝕜 n f
m : ℕ


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

(Lagrange.basis s v i).degree = ↑(s.card - 1)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : 1 < ↑p


Context: a b k m n p : ℕ

p ∈ n.primeFactors ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f
b : ConjClasses β


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f
b : β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a : α

↑(map (fun b => max b 0) f - map (fun b => max b 0) (-f)) a = ↑f a


(↑(map (fun b => max b 0) f) - ↑(map (fun b => max b 0) (-f))) a = ↑f a


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0


Context:
n x : ℕ
hx : x < n + 2

(finRotate (n + 2) ^ ↑↑⟨x, hx⟩) 0 = ⟨x, hx⟩


Context:
n x : ℕ
hx : x < n + 2

↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩


Context: n x : ℕ

Context: ih : ∀ (hx : x < n + 2), ↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x, hx⟩) 0) = ↑⟨x, hx⟩

Context: hx : x + 1 < n + 2

↑((finRotate (n + 2) ^ ↑⟨x + 1, hx⟩) 0) = ↑⟨x + 1, hx⟩


Context: n x : ℕ

Context: hx : x + 1 < n + 2

(finRotate (n + 2) ^ x) 0 ≠ Fin.last (n + 1)


Context: n x : ℕ

Context: hx : x + 1 < n + 2


Context:
X : Type u_1
x y : X

(((toFinsupp.comp toFreeAbelianGroup).comp (singleAddHom x)) 1) y = (((AddMonoidHom.id (X →₀ ℤ)).comp (singleAddHom x)) 1) y


Context:
X : Type u_1
x y : X

(((toFinsupp.comp toFreeAbelianGroup).comp (singleAddHom x)) 1) y = ((singleAddHom x) 1) y


Context:
X : Type u_1
x y : X

((toFinsupp.comp ((smulAddHom ℤ (FreeAbelianGroup X)).flip (of x))) 1) y = ((singleAddHom x) 1) y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑X.toTopCat

(Opens.map f.val.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
c : CharacterModule (A ⊗[R] B)
r : R
a : A
x✝ : B

({ toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯ }.toFun (r • a)) x✝ = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯ }.toFun a) x✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
r : R
c : CharacterModule (A ⊗[R] B)
x✝¹ : A
x✝ : B

(({ toFun := fun c => { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) x✝¹) x✝ = (((RingHom.id R) r • { toFun := fun c => { toFun := fun x => AddMonoidHom.comp c ↑((mk R A B) x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun c) x✝¹) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k : n
d : α
a b : n

(stdBasisMatrix i j c * stdBasisMatrix j k d) a b = stdBasisMatrix i k (c * d) a b


(∑ x : n, (if i = a ∧ j = x then c else 0) * if j = x ∧ k = b then d else 0) = if i = a ∧ k = b then c * d else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
x : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α

IntegrableOn f {x} μ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: x : α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: this : f =ᶠ[ae (μ.restrict {x})] fun x_1 => f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: x : α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

f x = 0 ∨ (μ.restrict {x}) univ < ⊤ ↔ f x = 0 ∨ μ {x} < ⊤


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x

x ^ y ≤ 1 ↔ 1 ≤ x ∧ y ≤ 0 ∨ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Set X
ht : t.Finite


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ - ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ


∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal - ↑(-f a).toNNReal ∂μ


Integrable (fun a => ↑(-f a).toNNReal) μ


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
hx : ¬x = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
ha : ↑a ≠ 0
hf : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
hy : ¬y = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃

prod q₁ q₂ ⬝ prod r₁ r₂ = prod (q₁ ⬝ r₁) (q₂ ⬝ r₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂

prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧ ⬝ prod r₁ r₂ = prod (⟦a✝⟧ ⬝ r₁) (⟦b✝⟧ ⬝ r₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
a✝¹ : Path a₁ a₂
b✝¹ : Path b₁ b₂
a✝ : Path a₂ a₃
b✝ : Path b₂ b₃

prod ⟦a✝¹⟧ ⟦b✝¹⟧ ⬝ prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧ = prod (⟦a✝¹⟧ ⬝ ⟦a✝⟧) (⟦b✝¹⟧ ⬝ ⟦b✝⟧)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y

∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
s1 s2 : Set (Set Ω)
μ : Measure Ω

IndepSets s1 s2 μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))


(∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s✝ s : Finset α

(map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) s.attach).val = s.val


Multiset.map (⇑(Embedding.subtype fun x => x ∈ s)) s.val.attach = s.val


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set M

span R s = LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) M R Subtype.val)


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x < 1
hz : 0 < z


Context:
z : ℝ
hz : 0 < z
x : ℝ≥0
hx : ↑x < 1


Context:
z : ℝ
hz : 0 < z
x : ℝ≥0
hx : x < 1


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α
s : Stream' α

map f (a :: l ++ₛ s) = List.map f (a :: l) ++ₛ map f s


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → Game

Context: x : PGame

Context: hx : x ∈ lowerBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → Game

Context: x : PGame

Context: i : ι


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
ha : a ≤ c
hb : b ≤ c


a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ b < a → b ≤ a ∧ b ≤ c ∨ c < b ∧ a < b → a = b


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ + ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) + ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)


ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ + ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ + (shortComplexFunctor C c i).map ψ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ (ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x) ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n (↑(chartAt E' ((↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x)) ∘ (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ frontier s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ha : (∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ∧ ∀ (o : Set Ordinal.{u}), IsOpen o → a ∈ o → (o ∩ sᶜ).Nonempty


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : ¬a.IsLimit


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : IsOpen {a}


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : IsOpen {a}

Context: b : Ordinal.{u}

Context: hb : b ∈ {a}

Context: hb' : b ∈ s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : IsOpen {a}

Context: b : Ordinal.{u}

Context: hb : b ∈ {a}

Context: hb' : b ∈ s

Context: c : Ordinal.{u}

Context: hc : c ∈ {a}

Context: hc' : c ∈ sᶜ


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : IsOpen {a}

Context: b : Ordinal.{u}

Context: hb : b = a

Context: hb' : b ∈ s

Context: c : Ordinal.{u}

Context: hc : c = a

Context: hc' : c ∈ sᶜ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton α
f : α → β
x y : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ (W.negY x₂ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (y₂ - W.negY x₂ y₂) / (x₂ - x₁) ^ 2


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs : Fin k → M

((relabelEquiv g) φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (v ∘ ⇑g) xs


(mapTermRel (fun n => ⇑(Term.relabelEquiv (g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n))))) (fun n => id) (fun x => id) φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (v ∘ ⇑g) xs


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
g : α ≃ β
k : ℕ
φ : L.BoundedFormula α k
v : β → M
xs✝ : Fin k → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
xs : Fin n → M

realize (Sum.elim v xs) ((Term.relabelEquiv (g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n)))) t) = realize (Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs) t


realize (Sum.elim v xs ∘ ⇑(g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n)))) t = realize (Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs) t


Sum.elim v xs ∘ ⇑(g.sumCongr (_root_.Equiv.refl (Fin n))) = Sum.elim (v ∘ ⇑g) xs


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) (κ a)

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝² : AddCommGroup β✝
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : AddCommGroup γ
a : FreeAbelianGroup α
f : α → β
g : β →+ γ


∀ (x : α), (g.comp (lift f)) (of x) = (⇑g ∘ f) x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hca : c ≤ a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ≥0

(s.sup p).closedBall x ↑r = ⋂ i ∈ s, (p i).closedBall x ↑r


Context:
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

|(fun n => (↑f n).re) j - (fun n => (↑f n).re) i| ≤ abs' (↑f j - ↑f i)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet


(p.transfer H hp).reverse = p.reverse.transfer H ⋯


Context: m s n : Nat


Context: m s n : Nat

(∃ i, i < n ∧ m = s + i) ↔ s ≤ m ∧ m < s + n


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
xy : A × A

xy.swap ∈ antidiagonal n ↔ xy ∈ antidiagonal n


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: x₀ : G

Context: ε : ℝ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ φ.rOut, dist (g x) (g x₀) ≤ ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × σ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α

List.foldl (fun s b => h (a, s, b).1 ((a, s, b).2.2, (a, s, b).2.1)) (g a) (f a).reverse = List.foldr (fun b s => h a (b, s)) (g a) (f a)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
hw : w ≠ 0

(trinomial k m n u v w).mirror = trinomial k (n - m + k) n w v u


Context:
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α

s ∈ {s | IsOpen s} ↔ s ∈ {x | ∀ (i : ι), IsOpen x}


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂) = ⊤


⊤ ≤ map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M

x ∈ map (LinearMap.fst R M M₂) (fst R M M₂)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace A₂
inst✝² : Semiring A₂
inst✝¹ : Algebra R A₂
inst✝ : TopologicalSemiring A₂
k : R
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type u_3
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
hφψ : (φ ⋙q ψ).IsCovering
φsur : Surjective φ.obj
u : U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: k : Heap α → Heap α

Context: n : Nat

Context: le : α → α → Bool

Context: res : FindMin α

Context: s✝ : Heap α

Context: m : Nat

Context: hk : ∀ (s : Heap α), (k s).realSize = m + s.realSize

Context: hres : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize res n

Context: r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: eq : n = m + (cons r a c s).realSize

Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (findMin le (k ∘ cons r a c) s (if le res.val a = true then res else { before := k, val := a, node := c, next := s })) n


Context: α : Type u_1

Context: k : Heap α → Heap α

Context: n : Nat

Context: le : α → α → Bool

Context: res : FindMin α

Context: s✝ : Heap α

Context: m : Nat

Context: r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: eq : n = m + (cons r a c s).realSize

Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (if le res.val a = true then res else { before := k, val := a, node := c, next := s }) n


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S
z : L
hz : IsPrimitiveRoot z ↑n


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S

(minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpoly R x).natDegree


(minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpolyDiv R x).natDegree + (X - C x).natDegree


(minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f g : α → β

∏ x ∈ s, t.piecewise f g x = (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, g x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
a : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I

M.closure (⋂₀ Js) = ⋂ J ∈ Js, M.closure J


(∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : e ∈ ⋂ J ∈ Js, M.closure J
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
heEI : e ∈ M.E \ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
hIb : M.Basis I (insert e I)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: ι : Sort u_3

Context: I J✝ B : Set α

Context: f✝ x y : α

Context: Js : Set (Set α)

Context: hI : M.Indep I

Context: hne : Js.Nonempty

Context: hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I

Context: hiX : ⋂₀ Js ⊆ I

Context: hiI : M.Indep (⋂₀ Js)

Context: e : α

Context: he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i

Context: he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))

Context: heEI : e ∈ M.E \ I

Context: J : Set α

Context: hJI : M.Basis J (insert e I)

Context: heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J

Context: hIb : M.Basis I (insert e I)

Context: f : α

Context: hfIJ : f ∈ I \ J

Context: hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e I)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: ι : Sort u_3

Context: J✝ B : Set α

Context: f✝ x y : α

Context: Js : Set (Set α)

Context: hne : Js.Nonempty

Context: hiI : M.Indep (⋂₀ Js)

Context: e : α

Context: he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i

Context: he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))

Context: J : Set α

Context: heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J

Context: f : α

Context: hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))

Context: hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})

Context: hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})

Context: heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})

Context: hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))

Context: hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))

Context: hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J

Context: hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X✝ Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: ι : Sort u_3

Context: J✝ B : Set α

Context: f✝ x y : α

Context: Js : Set (Set α)

Context: hne : Js.Nonempty

Context: hiI : M.Indep (⋂₀ Js)

Context: e : α

Context: he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i

Context: he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))

Context: J : Set α

Context: heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J

Context: f : α

Context: hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))

Context: hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})

Context: heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})

Context: hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J

Context: X : Set α

Context: hX' : X ∈ Js

Context: hfX : f ∉ X


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X✝ Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: ι : Sort u_3

Context: J✝ B : Set α

Context: f✝ x y : α

Context: Js : Set (Set α)

Context: hne : Js.Nonempty

Context: hiI : M.Indep (⋂₀ Js)

Context: e : α

Context: he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i

Context: he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))

Context: J : Set α

Context: heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J

Context: f : α

Context: hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))

Context: hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})

Context: heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})

Context: hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J

Context: X : Set α

Context: hX' : X ∈ Js

Context: hfX : f ∉ X

Context: hd : M.Dep (insert e X)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X✝ Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: ι : Sort u_3

Context: J✝ B : Set α

Context: f✝ x y : α

Context: Js : Set (Set α)

Context: hne : Js.Nonempty

Context: hiI : M.Indep (⋂₀ Js)

Context: e : α

Context: he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i

Context: he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))

Context: J : Set α

Context: heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J

Context: f : α

Context: hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))

Context: hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})

Context: heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})

Context: hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J

Context: X : Set α

Context: hX' : X ∈ Js

Context: hfX : f ∉ X

Context: heX : e ∈ X


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (ULift.{v, u} X)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P

(s.weightedVSubOfPoint p b) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

W'.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Nonsingular Q


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

p.radius = liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < p.radius

↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)

∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: V : ℕ → Set (α × α)

Context: hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α

Context: u : ℕ → α

Context: a : α

Context: hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: V : ℕ → Set (α × α)

Context: hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α

Context: u : ℕ → α

Context: a : α

Context: hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_mono : StrictMono φ

Context: hφV : ∀ (n_1 : ℕ), ((u ∘ fun a => a + n) (φ (n_1 + 1)), (u ∘ fun a => a + n) (φ n_1)) ∈ V (n_1 + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: x : E


Context:
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hy : y.Infinite


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
H₁ H₂ : G.Subgraph
h : Disjoint H₁ H₂


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y


prod.lift (prod.lift a b ≫ σ) (prod.lift c d ≫ σ) ≫ σ = a - b - (c - d)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ TypeMax

Context: x✝¹ : Cone F

Context: x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j

x✝ = (fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹


Context: J : Type v

Context: inst✝ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ TypeMax

Context: x✝¹ : Cone F

Context: x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: x : x✝¹.pt

x✝ x = (fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x


Context: J : Type v

Context: inst✝ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ TypeMax

Context: x✝¹ : Cone F

Context: x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: x : x✝¹.pt

↑(x✝ x) = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ TypeMax

Context: x✝¹ : Cone F

Context: x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: x : x✝¹.pt

Context: j : J

↑(x✝ x) j = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x) j


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : G.Adj u v


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e'' : PartialEquiv γ δ

((e.trans e').trans e'').source = (e.trans (e'.trans e'')).source


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

f (normEDS b c d n) = normEDS (f b) (f c) (f d) n


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α


s.sup WithBot.some = s.sup (WithBot.some ∘ fun x => x)


Context: m n : ℕ

max m n ^ 2 + min m n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + m + n


Context:
m n : ℕ
h : m < n


Context:
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context: S : Type u_1

Context: R R' : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝¹⁷ : Semiring R

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R'

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Algebra S R

Context: inst✝¹³ : Algebra S R'

Context: inst✝¹² : Module S M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S R M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁶ : Module R' M

Context: inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁴ : IsCentralScalar R' M

Context: inst✝³ : IsScalarTower S R' M

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : Algebra R' A

Context: f : R →ₐ[S] A

Context: g : M →ₗ[S] A

Context: hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0

Context: hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x

Context: hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r

Context: r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
n' : ℕ
hn : k < n' + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n' + 1)

∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(n' + 1) = z * (μ - 1) ^ k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)

∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: k n : ℕ

Context: μ : R

Context: m : ℕ

Context: hn : k < m + k + 1

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)

Context: hdvd : ∀ (k : ℕ), ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, μ ^ k - 1 = z * (μ - 1)

Context: Z : ℕ → R := fun k => Classical.choose ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: k n : ℕ

Context: μ : R

Context: m : ℕ

Context: hn : k < m + k + 1

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)

Context: Zdef : ∀ (k : ℕ), Z k ∈ adjoin ℤ {μ} ∧ μ ^ k - 1 = Z k * (μ - 1)


Context:
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4
β : Type u_5


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n

(Pi.single j x ᵥ* diagonal v) i = Pi.single j (x * v j) i


Pi.single j x i * v i = Pi.single j (x * v j) i


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: c : Ordinal.{u}

Context: hc : ℵ₀ < c.cof

Context: hc' : o.card < c.cof

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c, f i hi b < c

Context: a : Ordinal.{u}


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
hs✝ : (map f S).FG
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S

map f (Algebra.adjoin R ↑(s.preimage ⇑f ⋯)) = map f S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
b : β


(∃ a ∈ s, f.toEmbedding a = b) ↔ f.symm b ∈ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), (As i).indicator 1 a ∂μ) L (𝓝 (∫⁻ (a : α), A.indicator 1 a ∂μ))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

∀ (x : ι), Measurable ((As x).indicator 1)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

∀ᶠ (n : ι) in L, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (As n).indicator 1 a ≤ B.indicator 1 a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (As n).indicator 1 a) L (𝓝 (A.indicator 1 a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f') ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g')


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W

cs.IsLeftInversion (t * w) t ↔ ¬cs.IsLeftInversion w t


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : γ ≃o α
y : β

IsLUB (⇑e ⁻¹' {x | f x ≤ y}) (e.symm (g y))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a✝ : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: a : Aˣ

Context: n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R

finrank R ↥(LinearMap.range (Aᵀ * A).mulVecLin) = finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)


(fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range (Aᵀ * A).mulVecLin)) = (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin))


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier

{ toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊤ ↔ N = ⊤


Context:
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : Rˣ

ζ ∈ rootsOfUnity k R ↔ ↑ζ ∈ nthRoots (↑k) 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h✝ : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
hh : IsIso (f ≫ g)
w : f ≫ g = h
this : IsIso (f ≫ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddSemigroup α
h : Periodic f c
a x : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]

p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval x) ↔ p ∈ Submodule.span A[X] {minpoly A x}


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.210393, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
φ : S ⟶ S₁
inst✝ : S₁.HasLeftHomology


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ

(gradedComm R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) x)) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) y)


(gradedMul R 𝒜 ℬ).compr₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) = (gradedMul R ℬ 𝒜 ∘ₗ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)).compl₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

(gradedComm R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁))) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂))


(gradedComm R 𝒜 ℬ) ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j₁ * i₁) • (lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((-1) ^ (j₂ * i₂) • (lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)


↑↑((-1) ^ (j₁ * i₂)) • (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ↑↑((-1) ^ (j₂ * i₂)) • ↑↑((-1) ^ (j₁ * i₁)) • ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)


((-1) ^ (j₁ * i₂) * (-1) ^ ((j₁ + j₂) * (i₁ + i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = ((-1) ^ (j₂ * i₂) * ((-1) ^ (j₁ * i₁) * (-1) ^ (i₁ * j₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)


(-1) ^ (j₁ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁ + (j₁ * i₂ + j₂ * i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = (-1) ^ (j₂ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁)) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat

x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, ↑i ≠ k ∧ l.get i = x


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v w u : V
p : G.Walk u u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a : α
h : ↑↑(negPart f) a = max (-↑↑f a) 0


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L