Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₃, x'⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

Context: h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β

Context: h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ

Context: h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β

(F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map γ) ⟨IsFiltered.max ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₃, x'⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂)) x') * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂)) y)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

(F.map f ≫ F.map β) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y = (F.map g ≫ F.map β) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Rack R

Context: x y : R

Context: h : op x ◃ op x = op y ◃ op y ↔ op x = op y


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b

Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : ι → M

Context: hb : LinearIndependent R b

Context: this : Module.rank R ↥(span R (range b)) = #↑(range b)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ P.actRight ▷ S.X) (R.X ◁ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ R.X (P.X ⊗ S.X) S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).inv ▷ S.X ≫ P.actLeft ▷ S.X ▷ S.X) ((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ R.X P.X S.X).inv ≫ P.actLeft ▷ S.X) ≫ P.actRight = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ R.X P.X S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ R.X P.X S.X).inv ≫ (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft = R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ

(contract p f).coeff n = f.coeff (n * p)


f.natDegree + 1 ≤ n → 0 = f.coeff (n * p)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R[X]
n : ℕ
hn : f.natDegree + 1 ≤ n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f


Context: q₁ q₂ : ℚ


Context: q₁ q₂ : ℚ

{ num := q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)), den := q₁.den * q₂.den / (q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }.den ∣ q₁.den * q₂.den


Context: q₁ q₂ : ℚ

(q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den) ∣ q₁.den * q₂.den


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0

logDeriv (fun z => a * f z) x = logDeriv f x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ

h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2

Subsingleton α ∧ Nonempty α ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
c✝ c : ComplexMeasure α
μ : Measure α


Memℒp (fun x => RCLike.re (c.rnDeriv μ x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (c.rnDeriv μ x)) 1 μ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
h : p.trailingDegree = ↑n


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
α β : PartOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget PartOrd).obj α


Context:
α β : PartOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget PartOrd).obj β


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b

((Finset.erase b m).erase (m.1 - 1, m.2)).card + 2 = Finset.card b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b

(Finset.erase b m).card - 1 + 2 = Finset.card b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b

Finset.card b - 1 - 1 + 2 = Finset.card b


Context: X : Type u

Context: m₁ m₂ : X → X → X

Context: e₁ e₂ : X

Context: h₁ : IsUnital m₁ e₁

Context: h₂ : IsUnital m₂ e₂

Context: distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)

Context: a b c : X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: h : μ.singularPart ν = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
h : μ.singularPart ν = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]

(toFunLinear R A) ((a₁ * a₂) ⊗ₜ[R] (p₁ * p₂)) = (toFunLinear R A) (a₁ ⊗ₜ[R] p₁) * (toFunLinear R A) (a₂ ⊗ₜ[R] p₂)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: h : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))

Context: hpn : 0 < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, padicNorm p (↑(f - g) j) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))

Context: i : ℕ := max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hi : N ≤ i


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hi : N ≤ i

Context: hN' : padicNorm p (↑(f - g) i) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) - padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hlt : padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))

Context: h : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) ≠ padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))

Context: hi : N ≤ i

Context: hN' : padicNorm p (↑(f - g) i) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) - padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hi : N ≤ i

Context: hpne : padicNorm p (↑f i) ≠ padicNorm p (-↑g i)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hi : N ≤ i

Context: hN' : padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) < padicNorm p (↑f (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg)))) - padicNorm p (↑g (max N (max (stationaryPoint hf) (stationaryPoint hg))))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: N : ℕ

Context: hi : N ≤ i

Context: this : padicNorm p (↑f i) < padicNorm p (↑f i)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : Monoid P
P' : Type u_4
inst✝ : Monoid P'
f : P →* P'
g₁ : M →* P
g₂ : N →* P

(f.comp (lift g₁ g₂)).comp inl = (lift (f.comp g₁) (f.comp g₂)).comp inl


(f.comp (lift g₁ g₂)).comp inr = (lift (f.comp g₁) (f.comp g₂)).comp inr


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E

Context: H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), φ₁ (tprodCoeff R r f) = φ₂ (tprodCoeff R r f)


Context: i : ℕ

Context: ih : ∀ (n : ℕ), n.testBit i = n.bits.getI i

Context: n : ℕ


Context: i : ℕ

Context: n : ℕ

(bit n.bodd n.div2).testBit (i + 1) = n.bits.getI (i + 1)


Context: i : ℕ

Context: n : ℕ

n.bits.tail.getI i = n.bits.getI (i + 1)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
inst✝ : IsIso f


Context:
C✝ : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C✝
C : Type u
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Final


Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{(max v u v₂ u₂) + 1}) ↔ Nonempty (colimit (constPUnitFunctor D) ≅ PUnit.{(max v u v₂ u₂) + 1})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α

Context: a b : α


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s


Context:
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1

ContDiffWithinAt ℝ n (↑univUnitBall.symm) (ball 0 1) y


ContDiffAt ℝ n (fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹) y


Context:
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
h : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2


ContDiffAt ℝ n (fun y => √(1 - ‖y‖ ^ 2)) y


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset (Multiset α)


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α✝
inst✝² : OrderBot α✝
inst✝¹ : DecidableEq α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a✝ : Multiset α
s✝ : Multiset (Multiset α)
h : s✝.sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ s✝, a.Nodup

(a✝ ::ₘ s✝).sup.Nodup ↔ ∀ a ∈ a✝ ::ₘ s✝, a.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulZeroClass α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F

Metric.diam (range ⇑f) = ↑(ratio f) * Metric.diam univ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: x : CliffordAlgebra Q


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: x : CliffordAlgebra Q'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2


InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p2 -ᵥ p1) = π


InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (-(p1 -ᵥ p2)) = π


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData


leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.descH (h₂.liftH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯) ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
H : ¬∃ x, p x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
H : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A

(homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = ⨆ i, span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I)


(homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = span (⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
x✝ : A

x✝ ∈ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ↔ x✝ ∈ ⋃ i, ⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: x y z : ℤ_[p]

Context: hz : Polynomial.eval x F - Polynomial.eval y F = z * (x - y)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : MeasurableSet s

μ.toSphere s = ↑(dim E) * μ (Ioo 0 1 • Subtype.val '' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s s' : Set β

Context: h : s ⊆ s'

Context: h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s s' : Set β

Context: h : s ⊆ s'

Context: h_ne_top : ∀ (s : Set β), (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s s' : Set β

Context: h : s ⊆ s'

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s') / (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in b..d, f x ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q

((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M ⊗ of R N) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R P)).comul = Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj)).comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat, Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map ((tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N)) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul


↑(tensorTensorTensorComm R (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) (↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R M).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj))).toModuleCat) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R (M ⊗[R] N) (M ⊗[R] N) P P) ∘ₗ map (↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) Coalgebra.comul


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j✝ : J
inst✝² : X.HasMap p
inst✝¹ : Y.HasMap p
inst✝ : Z.HasMap p
i : I
j : J
hij : p i = j

X.ιMapObj p i j hij ≫ mapMap φ p j = φ i ≫ Y.ιMapObj p i j hij


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
i : Fin n
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n

(map f ⟨val✝, property✝⟩).get i = f (get ⟨val✝, property✝⟩ i)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f g : Filter α
m : α → β
hm : Injective m


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
x y : M
hy : y ∈ ↑p
e : f y = f x


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
x : B
h : c ⟶ x
X✝ Y✝ : LeftExtension f g
η : X✝ ⟶ Y✝

((fun t => t.whisker h) X✝).unit ≫ f ◁ η.right ▷ h = ((fun t => t.whisker h) Y✝).unit


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

Context: h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪y, A x⟫_𝕜 = ⟪y, B x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)


¬o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : (o.oangle x y).sign = 1

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

Context: hxy : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
ha : 0 < a
x : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B

LinearMap.ker (map R S A B) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)))


Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B))) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A

x ∈ Submodule.comap (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (map R S A B)) ↔ x ∈ Submodule.comap (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B))


(Finsupp.total A (Ω[B⁄S]) A (⇑(map R S A B) ∘ ⇑(D R A))) x = 0 ↔ (Finsupp.total B (Ω[B⁄S]) B ⇑(D S B)) ((Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) x) = 0


(x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ ((Finsupp.mapRange ⇑(Algebra.linearMap A B) ⋯ (Finsupp.mapDomain (⇑(algebraMap A B)) x)).sum fun i a => a • (D S B) i) = 0


(x.sum fun i a => a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔ (x.sum fun a m => (Algebra.linearMap A B) m • (D S B) ((algebraMap A B) a)) = 0


∀ (b : B), (Algebra.linearMap A B) 0 • (D S B) b = 0


∀ (b : B) (m₁ m₂ : A), (Algebra.linearMap A B) (m₁ + m₂) • (D S B) b = (Algebra.linearMap A B) m₁ • (D S B) b + (Algebra.linearMap A B) m₂ • (D S B) b


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
x✝ : A


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
n : ℕ

derivedSeries R L (n + 1) = ⊤ ↔ derivedSeries R L 1 = ⊤


derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: n : ℕ

Context: ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤

derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1 + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: n : ℕ

⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: n : ℕ

Context: h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: n : ℕ

⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ ≤ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g g' : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: s : Set δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hg : ∀ b ∈ s, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (g b)

Context: hg' : EqOn g g' sᶜ

Context: g'_meas : Measurable g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g g' : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: s : Set δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hg' : EqOn g g' sᶜ

Context: g'_meas : Measurable g'

Context: hι : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g g' : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: s : Set δ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hg' : EqOn g g' sᶜ

Context: g'_meas : Measurable g'

Context: i : ι


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s

s.piecewise f g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] g


Context:
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c


Context:
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
z : ℂ

(Complex.orientation.rotation θ) z = ↑θ.expMapCircle * z


↑θ.cos * z + ↑θ.sin * (I * z) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * I) * z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ xᶜ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h✝ : yᶜ ≤ xᶜ
h : xᶜᶜ ≤ yᶜᶜ


Context: n : ℤ


Context:
n : ℕ
h : ↑(T ^ ↑n) = !![1, ↑n; 0, 1]


Context:
n : ℕ
h : ↑(T ^ (-↑n)) = !![1, -↑n; 0, 1]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : ℕ → R
a : R
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) ((rescale a) (mk f)) = (coeff R n✝) (mk fun n => a ^ n * f n)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v : V

Subgraph.map f (G.singletonSubgraph v) = G'.singletonSubgraph (f v)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
v : V
x✝¹ x✝ : W


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) μ

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w n


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀

↑m * ↑n < ℵ₀


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l₁ l₂ : List α

(a :: l₁ ++ l₂).alternatingProd = (a :: l₁).alternatingProd * l₂.alternatingProd ^ (-1) ^ (a :: l₁).length


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: f g : α →ᵇ E

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: f g : α →ᵇ E

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: h : (toLp p μ 𝕜) f = (toLp p μ 𝕜) g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: f g : α →ᵇ E

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: h : (toLp p μ 𝕜) f = (toLp p μ 𝕜) g

↑↑((toLp p μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toLp p μ 𝕜) g)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁹ : CompleteSpace A
inst✝⁸ : Nontrivial A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝

↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b


(∀ x ∈ quasispectrum ℝ (b - a), 0 ≤ x) ↔ 0 ≤ b - a


Context:
a b c : ℕ
h : a ≤ b + 1
x : ℕ

x ∈ insert (b + 1) (Icc a b) ↔ x ∈ Icc a (b + 1)


Context:
a b c : ℕ
h : a ≤ b + 1
x : ℕ

x = b + 1 ∨ a ≤ x ∧ x ≤ b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n : ℕ

derivative (p ^ Nat.zero) = C ↑Nat.zero * p ^ (Nat.zero - 1) * derivative p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝¹ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n✝ n : ℕ

derivative (p ^ n.succ) = C ↑n.succ * p ^ (n.succ - 1) * derivative p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α

insert a l = if a ∈ l then l else a :: l


insert a l = if elem a l = true then l else a :: l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
L : List α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
g : Filter α
hg : (g ⊓ ↑f).NeBot


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z

(z + 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)


HEq (match z + 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hs z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : b ≤ z
zb : ℕ
hzb : ↑zb = z - b


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
zb : ℕ
hz : b ≤ b + ↑zb
hzb : ↑zb = b + ↑zb - b

HEq (match ↑zb + 1 with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hs (b + ↑zb) hz ((b + ↑zb).inductionOn' b H0 Hs Hp))


(b + ↑zb).inductionOn' b H0 Hs Hp = inductionOn'.pos b H0 Hs zb


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
h : ofSet s = PEquiv.refl α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
h : ofSet s = PEquiv.refl α
x✝ : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
h : s = Set.univ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ioo a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 z)

Context: hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))

Context: hx : x ∈ closure s


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}

Context: hx : x ∈ closure s

∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : x ∈ closure s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : x ∈ closure s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVs : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : (𝓝[s] x).NeBot

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVs : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : (𝓝[s] x).NeBot

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVs : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[s] x, y ∈ s ∧ (∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V) ∧ (f y, z) ∈ V


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : (𝓝[s] x).NeBot

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVs : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: y : X

Context: hys : y ∈ s

Context: hFy : ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V

Context: hfy : (f y, z) ∈ V


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: z : α

Context: hF : EquicontinuousAt F x

Context: hx : (𝓝[s] x).NeBot

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVs : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: y : X

Context: hys : y ∈ s

Context: hFy : ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V

Context: hfy : (f y, z) ∈ V

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ (fun x => F x y) ⁻¹' ball (f y) V


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hz : F.obj Z = G.obj Z
hf : HEq (F.map f) (G.map f)
hg : HEq (F.map g) (G.map g)


HEq (F.map f ≫ F.map g) (G.map f ≫ G.map g)


Context: p q✝ q : ℚ≥0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁷ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝¹ : (i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')

Context: inst✝ : (i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')

Context: f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')

Context: x✝ : ℝ≥0

‖pi f‖₊ ≤ x✝ ↔ ‖f‖₊ ≤ x✝


Context: E : Type u_1

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: x : ℝ

Context: I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL

Context: f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f

↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊


Context: E : Type u_1

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: x : ℝ

Context: f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f

Context: hf' : ContDiff ℝ 1 f'


Context: E : Type u_1

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: x : ℝ

Context: f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f

Context: hf' : ContDiff ℝ 1 f'

Context: h'f' : HasCompactSupport f'


Context: E : Type u_1

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: x : ℝ

Context: f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f

Context: hf' : ContDiff ℝ 1 f'

Context: h'f' : HasCompactSupport f'

Context: this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: M : ι → Matroid α

Context: h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)

Context: I X : Set α

(Matroid.disjointSigma M h).Basis I X ↔ (∀ (i : ι), (M i).Basis (I ∩ (M i).E) (X ∩ (M i).E)) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ ⋃ i, (M i).E


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z


biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc f g ≫ h = biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc (f ≫ h) (g ≫ h)


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
i : ι

(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b) i = f (b i)


Context:
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hnm : n.natAbs < m.natAbs


Context:
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : MulOneClass N
f : M →* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M

{ toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β

(M.mapEmbedding f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f


(∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: f : α ↪ β

Context: I X : Set β

Context: x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f

Context: hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X)

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hX : X ⊆ range ⇑f

∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: f : α ↪ β

Context: I : Set β

Context: X : Set α

Context: x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X)) ∧ I ⊆ ⇑f '' X ∧ ⇑f '' X ⊆ range ⇑f

Context: hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X))

Context: hIX : I ⊆ ⇑f '' X

Context: hX : ⇑f '' X ⊆ range ⇑f

∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ ⇑f '' X = ⇑f '' X₀


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: f : α ↪ β

Context: X : Set α

Context: hX : ⇑f '' X ⊆ range ⇑f

Context: I : Set α

Context: x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X)) ∧ ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X ∧ ⇑f '' X ⊆ range ⇑f

Context: hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X))

Context: hIX : ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X

∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ ⇑f '' I = ⇑f '' I₀ ∧ ⇑f '' X = ⇑f '' X₀


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s : Set P

Context: x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s : Set P

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s : Set P

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s

Context: x y : P

Context: hx : IsInteger R (a • x)

Context: hy : IsInteger R (a • y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s✝ : Set P

Context: x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s✝

Context: s : R

Context: x : P

Context: hx : IsInteger R (a • x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s✝ : Set P

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s✝

Context: s : R

Context: x : P

Context: hx : IsInteger R (a • x)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
x₀ : X

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousAt F x₀


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))

Context: h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))

Context: h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVU : ball (f x₀) V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVU : ball (f x₀) V ⊆ U

Context: W : Set (α × α)

Context: hW : W ∈ 𝓤 α

Context: hWclosed : IsClosed W

Context: hWV : W ⊆ V


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

update f i '' Ioc a (f i) = Ioc (update f i a) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (sum μs) s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ι), (μs i) s = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hg : f.LimZero

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: G : α

Context: G0 : G > 0

Context: hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < ε / G * G


Context:
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α


OpenEmbedding (⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a))


Context: α✝ : Type

Context: inst✝¹ : Finite α✝

Context: B : Stonean

Context: X : α✝ → Stonean

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Z : α → Stonean

Context: a : α

Context: e_2✝ : ↑(finiteCoproduct Z).toTop = (forget Stonean).obj (finiteCoproduct Z)

⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a) = ⇑(finiteCoproduct.ι Z a)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ

((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝¹ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : PerfectRing R p

Context: y : R

Context: m : ℕ

Context: H : ((X ^ p ^ 1 - C y) ^ m).roots = (m * p ^ 1) • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : 1 ≤ r


Context:
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StrongRankCondition R
n m : ℕ
v : Fin m → Fin n → R
h : LinearIndependent R v


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module ℂ A

Context: inst✝¹ : StarAddMonoid A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: z : ℂ

Context: a : A

Context: this : ℑ (z • a) = ℑ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V

((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x ≫ stalkPullbackHom C f F ↑x = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ((pullback C f).obj F).germ x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = f x

derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLeast s b


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors

(X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
h0n : 0 < n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
h0n : 0 < n
h0d : 0 < d


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R

truncateFun n (m • x) = m • truncateFun n x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
this : ContDiff ℂ ↑n cexp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : ¬IsMax b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤


eLpNorm' f p.toReal ν ≤ eLpNorm' f p.toReal μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊

Context: hX : s ∈ P.parts

↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: h✝ : IsEmpty α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: h✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: h✝ : Nonempty α

Context: this : 0 < P.parts.card


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X

IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X

Context: s : Set X

Context: h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X

Context: s : Set X

∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: ℱ : Filter X

Context: hℱ₁ : ℱ.NeBot

Context: hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s

Context: hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: ℱ : Filter X

Context: hℱ₁ : ℱ.NeBot

Context: hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s

Context: hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: K_mem : K ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Differentiable 𝕜 fun y => -f y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1

∃ x₀ ∉ F, ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
x' : Mˣ
hx : ↑x' = ↑x


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: hS : S ≤ IsUnit.submonoid M

Context: x : ↥S.leftInv

Context: h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: hS : S ≤ IsUnit.submonoid M

Context: x : ↥S.leftInv

(Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑h.choose


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: hS : S ≤ IsUnit.submonoid M

Context: x : ↥S.leftInv

(Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)


↑(S.fromLeftInv ⟨(Classical.choose ⋯).inv, ⋯⟩) = ↑x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
m : ↥M


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s


#↑(Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' {a})) ≤ #↑(f ⁻¹' {a})


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y✝ : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
x : X
hx : x ∈ K
y : X
hy : y ∈ L
h : Inseparable x y


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ

(n + k).choose k • choose (r + ↑k) (n + k) = choose (r + ↑k) k * choose r n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: b : ℤ√↑(Pell.d a1)

Context: h1 : 1 ≤ b

Context: hp : IsPell b

Context: h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1

Context: ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: b : ℤ√↑(Pell.d a1)

Context: h1 : 1 ≤ b

Context: hp : IsPell b

Context: h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b

b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: b : ℤ√↑(Pell.d a1)

Context: h1 : 1 ≤ b

Context: hp : IsPell b

Context: h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b

Context: t : b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := ↑a, im := -1 }


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: b : ℤ√↑(Pell.d a1)

Context: h1 : 1 ≤ b

Context: hp : IsPell b

Context: h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b

Context: m : ℕ

Context: e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: x y : ℤ

Context: h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }

Context: hp : IsPell { re := x, im := y }

Context: h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }

Context: h1l : 1 < { re := x, im := y }


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V

⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) / 4


⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ + ⟪T y, y⟫_ℂ) - (⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ - ⟪T y, y⟫_ℂ)) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ))) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ)))) / 4


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F : Filter X


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ : α → β
f : Set α → Set β
hf : Injective f
h2 : f ∅ = ∅
s : Set α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (x - y) = WittVector.ghostFun x - WittVector.ghostFun y


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: X Y : C

Context: α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y

Context: x✝¹ x✝ : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

(fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: X Y : C

Context: x✝¹ x✝ : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: this : ((Functor.const J).obj X).map f ≫ α.app x✝ = α.app x✝¹ ≫ ((Functor.const J).obj Y).map f


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: X Y : C

Context: x✝¹ x✝ : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: this : α.app x✝ = α.app x✝¹


Context:
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ

(orbitZMultiplesEquiv a b).symm ↑k = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩


(k % ↑(minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)) • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩ = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G

IsBlock (↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)) (g • B)


∀ (g_1 : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)), g_1 • g • B = g • B ∨ Disjoint (g_1 • g • B) (g • B)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: H : Subgroup G

Context: hB : IsBlock (↥H) B

Context: g : G

Context: h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)

h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: H : Subgroup G

Context: hB : IsBlock (↥H) B

Context: g : G

Context: h : G

Context: hH : h ∈ H

Context: hh : (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) h = ↑h'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: H : Subgroup G

Context: hB : IsBlock (↥H) B

Context: g : G

Context: h : G

Context: hH : h ∈ H

Context: hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : AEDisjoint μ s t


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜

ContinuousAt (fun x => x ^ m) x ↔ x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m


ContinuousAt (fun x => x ^ m) x → x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m


x = 0 ∧ m < 0 → ¬ContinuousAt (fun x => x ^ m) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
hm : m < 0
hc : ContinuousAt (fun x => x ^ m) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
xs : List α

card (Multiset.sym2 ⟦xs⟧) = (card ⟦xs⟧ + 1).choose 2


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a d₁ : α

Context: t₁ : List α

Context: ih : ¬a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = t₁.length + indexOf a l₂

Context: h : ¬a ∈ d₁ :: t₁

indexOf a (d₁ :: t₁ ++ l₂) = (d₁ :: t₁).length + indexOf a l₂


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z✝ : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: e : X ≃ Y

Context: he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s

Context: s : Set X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z✝ : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: e : X ≃ Y

Context: s : Set X


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: l : List ι

Context: hle : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i ≤ g i

Context: hlt : ∃ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i < g i

(map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod < (map g (Quot.mk Setoid.r l)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: l : List ι

(List.map f l).prod < (List.map g l).prod


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ

LipschitzWith (K ^ (n + 1)) (f ^ (n + 1))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : a * b = a0 * b0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : f a * f b = f a0 * f b0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P

W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P : Fin 3 → F

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hy : P y = W.negY P

Context: this : (eval P) W.polynomialY = P y - W.negY P


Context: x : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCochain G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j

(G.map a.op) (α⁻¹ i) * γ₂.ev i j a b = γ₁.ev i j a b * (G.map b.op) (α⁻¹ j)


Context: C : Type uC

Context: inst✝³ : Category.{vC, uC} C

Context: D : Type uD

Context: inst✝² : Category.{vD, uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7470, u_1} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X Y : C

Context: i : G.obj X ⟶ G.obj Y

Context: s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))

Context: h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X) (f : Z ⟶ Y), G.map f = G.map j ≫ i → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t


Context: C : Type uC

Context: inst✝³ : Category.{vC, uC} C

Context: D : Type uD

Context: inst✝² : Category.{vD, uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7470, u_1} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X Y : C

Context: i : G.obj X ⟶ G.obj Y

Context: s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))

∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve i)).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D

Prod.instMeasurableSpace = generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)


Prod.instMeasurableSpace ≤ generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)


generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) ≤ Prod.instMeasurableSpace


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Icc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a