Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: s : S

Context: i : Fin n

TruncatedWittVector.coeff (Fin.castLE ⋯ (Fin.last ↑i)) ((f n) s) = TruncatedWittVector.coeff i ((f n) s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
h : f.SameCycle x y
z : α


(if f.SameCycle x z then f z else z) = (f.cycleOf y) z


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((ι Q) m)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : IsUnit ((ι Q) m)
val✝ : Invertible ((ι Q) m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: m : M

Context: h : IsUnit ((ι Q) m)

Context: val✝ : Invertible ((ι Q) m)

Context: this : Invertible (Q m) := invertibleOfInvertibleι Q m


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
v w : V

s(v, w) ∈ G.incidenceSet v ↔ w ∈ G.neighborSet v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addLeftEmbedding c) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)


⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ico a b = Set.Ico (c + a) (c + b)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M

polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: a : R

Context: x y : M

Context: B : BilinMap R M N

Context: h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Filter α
s : Set α
a✝ : α
m : α → β
f : Filter β
a : α


(∀ y ∈ f, ∀ (x : Set α), m ⁻¹' y ⊆ x → a ∈ x) ↔ ∀ s ∈ f, m a ∈ s


Context:
f : Type u₀ → Type u₁
inst✝¹ : Applicative f
inst✝ : LawfulApplicative f
α β : Type u₀
h : ∀ (γ : Type u₀), Injective pure
e₁ e₂ : α ≃ β
H : mapEquiv f e₁ = mapEquiv f e₂
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hc : 0 ≤ c
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

Finset.image Prod.fst m.toEnumFinset = m.toFinset


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hz₁ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hz₁ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
hzn : 0 ≤ ↑n * (2 * z.re) + ↑n * ↑n


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: n : ℤ

Context: hz₁ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im

Context: hzn : 0 ≤ ↑n * (2 * z.re) + ↑n * ↑n

Context: this : 1 < (z.re + ↑n) * (z.re + ↑n) + z.im * z.im


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
t : Set α
h₀ : MeasurableSet t
h₁ : t =ᶠ[ae μ] s
h₂ : f ⁻¹' t = t


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ₂ h₁ h₂


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
h✝ : IsEmpty n


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k

∑ t ∈ s, affineCombinationLineMapWeights i j c t = 1


∑ x ∈ s, (c • weightedVSubVSubWeights k j i) x + ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝕜' : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p' s
m : ℕ
hm : ↑m < n
x : E
hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt (fun x => FormalMultilinearSeries.restrictScalars 𝕜 (p' x) m) (FormalMultilinearSeries.restrictScalars 𝕜 (p' x) m.succ).curryLeft s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s

Multiset.fold op b (Multiset.map f (cons a s h).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c

IsGreatest {f | CardinalInterFilter f c ∧ g ⊆ f.sets} (cardinalGenerate g hc)


cardinalGenerate g hc ∈ upperBounds {f | CardinalInterFilter f c ∧ g ⊆ f.sets}


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c
f : Filter α
fct : CardinalInterFilter f c
hf : g ⊆ f.sets


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set X

SeparatedNhds s u → SeparatedNhds t u → SeparatedNhds (s ∪ t) u


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: hg : ∑ i : Fin (minpoly K x).natDegree, g i • x ^ ↑i = 0

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree

Context: hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree

(∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)).degree < (minpoly K x).degree


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree

Context: hn0 : ¬g i = 0

Context: h0 : ∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1) = 0


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]

(expand R p) f = map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₂₃
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R M

↑(map (g.comp f) p) = ↑(map g (map f p))


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

(α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv


(W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv = (W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
h_ne : s.Nonempty


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hsA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ s → x ∈ A₁ ×ˢ A₂

Context: htA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ t → x ∈ A₁ ×ˢ A₂

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

(map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

Context: hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂

Context: htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: α₁ : Type u_5

Context: α₂ : Type u_6

Context: β₁ : Type u_7

Context: β₂ : Type u_8

Context: inst✝³ : CommMonoid α₁

Context: inst✝² : CommMonoid α₂

Context: inst✝¹ : CommMonoid β₁

Context: inst✝ : CommMonoid β₂

Context: A₁ : Set α₁

Context: A₂ : Set α₂

Context: B₁ : Set β₁

Context: B₂ : Set β₂

Context: f₁ : α₁ → β₁

Context: f₂ : α₂ → β₂

Context: n : ℕ

Context: h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁

Context: h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂

Context: s t : Multiset (α₁ × α₂)

Context: hs : card s = n

Context: ht : card t = n

(map (fun x => f₁ x.1) s).prod = (map (fun x => f₁ x.1) t).prod ∧ (map (fun x => f₂ x.2) s).prod = (map (fun x => f₂ x.2) t).prod ↔ (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod


Context:
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g✝ : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α

∏ a : ι, (f a + g a) = ∑ t : Finset ι, (∏ a ∈ t, f a) * ∏ a ∈ tᶜ, g a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R

(mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x) = x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)


(mvPolynomialBasis R σ).repr ((mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x)) = (mvPolynomialBasis R σ).repr (x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r

Context: Hr : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ r > 0, f x ≤ B x + r * (x - a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: this : ContinuousWithinAt (fun r => B x + r * (x - a)) (Ioi 0) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α

∀ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in ⊤, n ≤ a}, ⊤ ≤ b


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

Tendsto (fun g => |(↑g • z).re|) cofinite atTop


Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: p : Fin 2 → ℤ

Context: hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

Context: this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0

Context: f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this

Context: ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: p : Fin 2 → ℤ

Context: hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

Context: this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0

Context: e_1✝ : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p}) = { g // ↑g 1 = p }

Context: g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})

(↑g • z).re = (⇑(f.trans ff) ∘ fun g => (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) g


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: p : Fin 2 → ℤ

Context: hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

Context: this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0

Context: g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})

(↑g • z).re = (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E

↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = ↑0


↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval α) (minpoly F α)


↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (AdjoinSimple.gen F α))) (minpoly F α)


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0


(n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (n ^ 2 + m ^ 2).natAbs = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α


Context: f g : CircleDeg1Lift


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁

((toLin v₁ v₃) (A * B)) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: a : K

Context: nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: a : K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_a_n : gp.a = a


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: a : K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_a_n : gp.a = a

Context: this : gp.a = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤


⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε

⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d


⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨅ i, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i n) ≤ ε / ↑K), ∑' (i_1 : ℕ), ⨆ (_ : (i i_1).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i i_1) ^ d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K

⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' ⋃ n, t n


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ


∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (f ⁻¹' t n).Nonempty), diam (f ⁻¹' t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x₁ x₂ : α
y : β


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
f : α → β
inst✝ : Fintype ↑(ker f).classes

Fintype.card ↑(ker f).classes ≤ Fintype.card β


Context:
n a b : ℕ
t : List ℕ

ofDigits (-1) (a :: b :: t) = (List.map (fun n => ↑n) (a :: b :: t)).alternatingSum


Context:
n a b : ℕ
t : List ℕ

↑a + -1 * (↑b + -1 * (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum) = ↑a + -↑b + (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

T_gen p F a = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
a b : α
hab : a ≤ b


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W

∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
hV : IsCompact V


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: W : Clopens (X × Y)

Context: a : X × Y

Context: h : a ∈ W

Context: hp : Continuous fun y => (a.1, y)

Context: V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}

Context: hV : IsCompact V

Context: U : Set X := {x | MapsTo (Prod.mk x) V ↑W}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: W : Clopens (X × Y)

Context: a : X × Y

Context: h : a ∈ W

Context: hp : Continuous fun y => (a.1, y)

Context: V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}

Context: hV : IsCompact V

Context: hUV : U ×ˢ V ⊆ ↑W


Context:
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0


Context:
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
h3 : z ^ 3 = 1


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1

Context: h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0

Context: h3 : z ^ 3 = 1

Context: key : z ^ n = 1 ∨ z ^ n = z ∨ z ^ n = z ^ 2


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1

Context: h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0

Context: h3 : z ^ 3 = 1

Context: z_ne_zero : z ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
i j : n

diagonal ((Pi.constRingHom n α) (Algebra.toRingHom r)) i j = if i = j then Algebra.toRingHom r else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
c : 𝕜
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝¹ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
x x✝ : X


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx✝ : x ∈ f.domain
y : E
hx : y ∈ f.domain
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
w✝ : Rˣ


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
c c' : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : A ⊗[R] B

((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) (c + c')) x = ((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c + (fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c') x


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
r : R
c : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : A ⊗[R] B

({ toFun := fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) 0 = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun c) 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, (fun a => f a b) '' s ⊆ u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α✝ → E

Context: g✝ : α✝ → F

Context: k : α✝ → G

Context: f' : α✝ → E'

Context: g' : α✝ → F'

Context: k' : α✝ → G'

Context: f'' : α✝ → E''

Context: g'' : α✝ → F''

Context: k'' : α✝ → G''

Context: l✝ l' : Filter α✝

Context: α : Type u_17

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0

f =O[l] g ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α✝ → E

Context: g✝ : α✝ → F

Context: k : α✝ → G

Context: f' : α✝ → E'

Context: g' : α✝ → F'

Context: k' : α✝ → G'

Context: f'' : α✝ → E''

Context: g'' : α✝ → F''

Context: k'' : α✝ → G''

Context: l✝ l' : Filter α✝

Context: α : Type u_17

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α✝ → E

Context: g✝ : α✝ → F

Context: k : α✝ → G

Context: f' : α✝ → E'

Context: g' : α✝ → F'

Context: k' : α✝ → G'

Context: f'' : α✝ → E''

Context: g'' : α✝ → F''

Context: k'' : α✝ → G''

Context: l✝ l' : Filter α✝

Context: α : Type u_17

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: c : ℝ

Context: hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (fun x => ‖f x / g x‖) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α✝ → E

Context: g✝ : α✝ → F

Context: k : α✝ → G

Context: f' : α✝ → E'

Context: g' : α✝ → F'

Context: k' : α✝ → G'

Context: f'' : α✝ → E''

Context: g'' : α✝ → F''

Context: k'' : α✝ → G''

Context: l✝ l' : Filter α✝

Context: α : Type u_17

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: c : ℝ

Context: hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α✝ → E

Context: g✝ : α✝ → F

Context: k : α✝ → G

Context: f' : α✝ → E'

Context: g' : α✝ → F'

Context: k' : α✝ → G'

Context: f'' : α✝ → E''

Context: g'' : α✝ → F''

Context: k'' : α✝ → G''

Context: l✝ l' : Filter α✝

Context: α : Type u_17

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: c : ℝ

Context: hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c

Context: x : α

Context: hx₁ : g x = 0 → f x = 0

Context: hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
s : Set α
c : α

IsCobounded s ↔ ∃ r, (closedBall c r)ᶜ ⊆ s


(∃ r, sᶜ ⊆ closedBall c r) ↔ ∃ r, (closedBall c r)ᶜ ⊆ s


∀ (a : ℝ), sᶜ ⊆ closedBall c a ↔ (closedBall c a)ᶜ ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r✝ : ℝ
s : Set α
c : α
r : ℝ

sᶜ ⊆ closedBall c r ↔ (closedBall c r)ᶜ ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: s : Set ι

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

MapsTo ⇑f ↑(⨆ i ∈ s, N i) ↑(⨆ i ∈ s, N i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: s : Set ι

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), Submodule.map f (N i) ≤ N i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: s : Set ι

Context: f : Module.End R M

Submodule.map f (⨆ i ∈ s, N i) ≤ ⨆ i ∈ s, N i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


∀ (m : ℕ), ↑f.natDegree < ↑m → f.reverse.coeff m = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
n : ℕ
hn : ↑f.natDegree < ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
n : ℕ
hn : f.natDegree < n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
S : Set X

IsClosed S ∧ DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ (x : X), Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)


(∀ (x : X), (ClusterPt x (𝓟 S) → x ∈ S) ∧ (x ∈ S → 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥)) ↔ ∀ (x : X), Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
S : Set X
x : X

(ClusterPt x (𝓟 S) → x ∈ S) ∧ (x ∈ S → 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥) ↔ Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)


(x ∉ S → Disjoint (𝓝 x) (𝓟 S)) ∧ (x ∈ S → Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)) ↔ Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 S)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)

H.prod K ≤ J ↔ map (MonoidHom.inl G N) H ≤ J ∧ map (MonoidHom.inr G N) K ≤ J


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsReal φ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝ : Field F

Context: φ : K →+* ℂ

Context: h : ComplexEmbedding.IsReal φ

Context: this : (mk φ).embedding = φ ∨ (mk φ).embedding = ComplexEmbedding.conjugate φ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ

Polynomial.derivative (↑((n + 1).choose (ν + 1)) * X ^ (ν + 1) * (1 - X) ^ (n + 1 - (ν + 1))) = (↑n + 1) * (bernsteinPolynomial R n ν - bernsteinPolynomial R n (ν + 1))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral Rₘ x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral Rₘ x

Context: h✝ : Subsingleton Rₘ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral Rₘ x

Context: nontriv : Nontrivial Rₘ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: nontriv : Nontrivial Rₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: hp₁ : p.Monic

Context: hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: nontriv : Nontrivial Rₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: hp₁ : p.Monic

Context: hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0

Context: this : ∃ q, Polynomial.map (algebraMap R Rₘ) q = p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∧ q.natDegree = (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).natDegree ∧ q.Monic


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: nontriv : Nontrivial Rₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: hp₁ : p.Monic

Context: hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0

p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : Algebra Rₘ S

Context: inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S

Context: x : S

Context: nontriv : Nontrivial Rₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: hp₁ : p.Monic

Context: hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0

(p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).Monic


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ReflTransGen r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a b c d a✝¹ c✝ : α

Context: h'✝ : r a✝¹ c✝

Context: h✝ : ReflTransGen r c✝ b

Context: a✝ : c✝ = b ∨ ∃ c, r c✝ c ∧ ReflTransGen r c b

a✝¹ = b ∨ ∃ c, r a✝¹ c ∧ ReflTransGen r c b


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
r : R
N : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M'


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
h : q.natDegree ≠ 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n

(iterateFrobeniusEquiv M p (Classical.choose ⋯).1).symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: h : i y = x ^ p ^ n

Context: h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ (Classical.choose ⋯).1


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: h : i y = x ^ p ^ n

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'

(iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: h : (x ^ p ^ n) ^ p ^ n' = i y ^ p ^ n'


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: h : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i

Context: m : ℕ

Context: h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: m : ℕ

(iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2)) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : CommRing L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f : L →+* M

Context: g : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁵ : ExpChar K p

Context: inst✝⁴ : ExpChar L p

Context: inst✝³ : ExpChar M p

Context: inst✝² : ExpChar N p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1

Context: m : ℕ

(iterateFrobeniusEquiv M p (m + n)) (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))


Context: f : Bool → Bool → Bool


Context:
f : Bool → Bool → Bool
m n : ℕ

bitwise (swap f) m n = swap (bitwise f) m n


Context: f : Bool → Bool → Bool

Context: m : ℕ

Context: ih : ∀ (m_1 : ℕ), m_1 < m → ∀ (n : ℕ), bitwise (swap f) m_1 n = bitwise f n m_1

Context: n : ℕ


Context: f : Bool → Bool → Bool

Context: m : ℕ

Context: ih : ∀ (m_1 : ℕ), m_1 < m + 1 → ∀ (n : ℕ), bitwise (swap f) m_1 n = bitwise f n m_1

Context: n : ℕ

bitwise (swap f) (m + 1) (n + 1) = bitwise f (n + 1) (m + 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val


((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).inv ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
a✝ : α
b✝ : β
x✝ : α
h₁ : b✝ < f a✝
h₂ : ¬b✝ < f x✝


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
a✝ : α
b✝ : β
x✝ : α
h₁ : f a✝ < b✝
h₂ : ¬f x✝ < b✝


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''

(adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f = (adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g)


(adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f) = (adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
X : D

((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f)).app X = ((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))).app X


adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) ≫ g.app X = f.app X ≫ g.app X


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a b : 𝕎 k
hab : ↑p = a * b


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a b : 𝕎 k
hab : ↑p = a * b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
b : 𝕎 k
hb0 : b ≠ 0
m : ℕ
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * b
ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0

IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit b


Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: hp : ¬IsUnit ↑p

Context: m : ℕ

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a.coeff 0 ≠ 0

Context: ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: b : 𝕎 k

Context: hb : b.coeff 0 ≠ 0

Context: hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0

Context: hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * (⇑verschiebung)^[n] b

IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)


Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: hp : ¬IsUnit ↑p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k

Context: hb : b.coeff 0 ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0

Context: hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n + 1] b

IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)


Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: hp : ¬IsUnit ↑p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k

Context: hb : b.coeff 0 ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0

Context: hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)


Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: hp : ¬IsUnit ↑p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k

Context: hb : b.coeff 0 ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0

Context: hab : (↑p).coeff 1 = ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)).coeff 1


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : 1 = 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ

¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi a) volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b


Context:
a b m n✝¹ p n n✝ : ℕ
hk : n✝ + 1 ≠ 0

(n ^ (n✝ + 1)).primeFactors = n.primeFactors


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: u : δ → δ → Prop

Context: inst✝ : Setoid α

Context: r : α → α → Prop

Context: H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂

∀ {a b : Quotient inst✝}, r ((Embedding.quotientOut α) a) ((Embedding.quotientOut α) b) ↔ Quotient.lift₂ r H a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: u : δ → δ → Prop

Context: inst✝ : Setoid α

Context: r : α → α → Prop

Context: x y : Quotient inst✝

Context: a b : α

r ((Embedding.quotientOut α) ⟦a⟧) ((Embedding.quotientOut α) ⟦b⟧) ↔ Quotient.lift₂ r H ⟦a⟧ ⟦b⟧


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s

Cardinal.lift.{max u v, u} (cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (cof s)


∀ b ∈ Cardinal.lift.{max u v, v} '' {c | ∃ S, (∀ (a : β), ∃ b ∈ S, s a b) ∧ #↑S = c}, sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ b


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b

sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u


Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u ∈ Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R

↑φ = 0 ↔ φ = 0


Context: n m : ℕ

Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range' n (m - n))


Context:
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G

Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ X.ρ g⁻¹ = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f


Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ ((ρAut X) g).inv = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f


f ≫ Y.ρ g = X.ρ g ≫ f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = f ≫ Y.ρ g


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k

(diagonalSucc k G n).inv.hom (g ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) g


(diagonalSucc k G n).inv.hom (0 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) 0


∀ (a : G) (b : k) (f_1 : G →₀ k), a ∉ f_1.support → b ≠ 0 → (diagonalSucc k G n).inv.hom (f_1 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) f_1 → (diagonalSucc k G n).inv.hom ((single a b + f_1) ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) (single a b + f_1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x✝ y : α
h : f 1 = 0
x : α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D


(∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map g ν)


Measure.map (u ∘ f) μ = Measure.map (u ∘ g) ν


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s s' : Set R

zeroLocus s ∪ zeroLocus s' = zeroLocus ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')


zeroLocus s ∪ zeroLocus s' = zeroLocus ↑(Ideal.span s) ∪ zeroLocus ↑(Ideal.span s')


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι

(traceMatrix A ⇑b *ᵥ b.equivFun z) i = (trace A B) (z * b i)


∑ j : ι, of (fun i j => ((traceForm A B) (b i)) (b j)) i j * col (Fin 1) (b.equivFun z) j 0 = (trace A B) (z * b i)


∑ x : ι, of (fun i j => (trace A B) (b i * b j)) i x * b.equivFun z x = (trace A B) (z * b i)


∑ x : ι, (trace A B) (b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)


(trace A B) (∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)


∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x) = z * b i


∑ x : ι, b i * b.equivFun z x • b x = z * b i


b i * ∑ i : ι, b.equivFun z i • b i = b i * z


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: E : Type u_6

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: i : ι

Context: v : E

(LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: E : Type u_6

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: i : ι

Context: v : E

Context: x : ι'

(LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) x = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t

↑(Sum.inr ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ t


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1


Context:
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1


Context:
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p


Context:
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1


Context:
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁✝ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
F : Type u_8
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F N S
inst✝ : AddMonoidHomClass F N S
f : M → N
g : F
x y : M


Context:
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra

Context: this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra

Context: this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))

Context: this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))

Context: s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤

Context: sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Algebra.adjoin R ↑(s.attach.biUnion sf) = ⊤


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

∀ (r : ↑↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

∃ n, ↑r ^ n • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(s₁ r)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ * x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ((algebraMap R S) ↑r)) (s₁ r))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Finset R

Context: hs : Ideal.span ↑s = ⊤

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: r : ↑↑s

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (⨆ x, Algebra.adjoin R ↑(sf x))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)

Context: n : ℤ

H.map ((inr φ).f n) ≫ (mapHomologicalComplexXIso φ H n).hom = (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p

(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm = (frobeniusEquiv R p).symm ^ n


(frobeniusEquiv R p ^ n).symm = (frobeniusEquiv R p).symm ^ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
x a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : ℕ
hx : p.natDegree < x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: n✝ : ℕ

Context: ih : ∀ m < n✝, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0

Context: p : R[X]

Context: x : ℕ

Context: hx : p.natDegree < x

Context: h : p.natDegree = n✝


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: x : ℕ

Context: hx : p.natDegree < x

Context: ih : ∀ m < p.natDegree, ∀ {p : R[X]} {x : ℕ}, p.natDegree < x → p.natDegree = m → (⇑derivative)^[x] p = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: t : ℕ

Context: hx : p.natDegree < t.succ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: t : ℕ

Context: hx : p.natDegree < t.succ

Context: hp : ¬p.natDegree = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: t : ℕ

Context: hx : p.natDegree < t.succ

Context: hp : ¬p.natDegree = 0

Context: this : (derivative p).natDegree < p.natDegree


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S✝ : Sieve X

Context: R✝ : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: h : S.arrows ≤ R

Context: hS : IsSheafFor P S.arrows

Context: trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S✝ : Sieve X

Context: R✝ : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: h : S.arrows ≤ R

Context: hS : IsSheafFor P S.arrows

IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


Context:
x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : ⊤.Adj v w

Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g'


Context:
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.Coprime n


Context:
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.gcd n = 1


Context:
m k n : Nat
H1 : m ∣ k
H2 : k.gcd n = 1
this : m.gcd n ∣ k.gcd n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Multiset α
f : α → Multiset β
x : β

count x (s.dedup.bind f).dedup = count x (s.bind f).dedup


(if x ∈ s.dedup.bind f then 1 else 0) = if x ∈ s.bind f then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
x : α
u v : αˣ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ ({x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x} \ N)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: hN : μ N = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ {x | ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}

Context: hxN : x ∉ N


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] E
hA : (↑A).IsSymmetric


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M


sInf {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} = ⨅ i, ↑(p i)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: hn : 0 < n

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n.succ

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α

(s ⊼ t)ᶜˢ = sᶜˢ ⊻ tᶜˢ


image compl (s ⊼ t) = image compl s ⊻ image compl t


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : a ∈ (g₁ * g₂).support


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : g₁ a * g₂ a ≠ 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R

FiniteDimensional.finrank R ℍ[R,c₁,c₂] = 4


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ (s₁ ∪ s₂) ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t ∪ s₂ ×ˢ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: hf : Measurable f

Context: this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A

(dOne A) f = 0 ↔ ∀ (g h : G), (A.ρ g) (f h) - f (g * h) + f g = 0


(∀ (a : G × G), (dOne A) f a = 0 a) ↔ ∀ (g h : G), (A.ρ g) (f h) - f (g * h) + f g = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
k : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f g : CoprodI M →* N
h : ∀ (i : ι), f.comp of = g.comp of
x✝ : (i : ι) × M i
i : ι
x : M i

(f.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩) = (g.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩)


(g.comp of) x = (g.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: F : SheafOfTypes J

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.forget X).op ⋙ F.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : C

Context: f₁ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: h : f₁ ≫ (Over.forget X).map g₁ = f₂ ≫ (Over.forget X).map g₂

Context: W' : Over X := Over.mk (f₁ ≫ Y₁.hom)

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁ ⋯

F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: F : SheafOfTypes J

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : C

Context: f₁ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.forget X).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: W' : Over X := Over.mk (f₁ ≫ Y₁.hom)

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁ ⋯

Context: g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂ ⋯


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
f : L →ₐ[K] L'
a₁✝ a₂✝ : IntermediateField K L
h : map f a₁✝ = map f a₂✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra ℚ R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
a b : ℕ
h_ab : ↑a = ↑b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra ℚ R
I : Ideal R
a b : ℕ
h_ab : ↑a = ↑b
hI : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Measurable f

Context: this : UpgradedStandardBorel X := upgradeStandardBorel X


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Measurable f

Context: τ' : TopologicalSpace X

Context: hle : τ' ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace

Context: hfc : Continuous f

Context: hτ' : PolishSpace X


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Measurable f

Context: τ' : TopologicalSpace X

Context: hfc : Continuous f

Context: hτ' : PolishSpace X

Context: m' : MeasurableSpace X := borel X

Context: b' : BorelSpace X


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Measurable f

Context: τ' : TopologicalSpace X

Context: hle✝ : τ' ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace

Context: hfc : Continuous f

Context: hτ' : PolishSpace X

Context: m' : MeasurableSpace X := borel X

Context: b' : BorelSpace X

Context: hle : borel X ≤ borel X


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iCondIndepFun m' hm' m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l

CondIndepFun m' hm' (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End K M

[¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: this : (List.map Not [φ.HasEigenvalue 0, (minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) = 0, LinearMap.det φ = 0, ⊥ < ker φ, ∃ m, m ≠ 0 ∧ φ m = 0]).TFAE