Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
fa : α✝ → α✝
fb : β✝ → β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → γ
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : RightInvOn ψ φ s
ψts : MapsTo ψ s t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
l : x ≤ y


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
fa : α✝ → α✝
fb : β✝ → β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → γ
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : RightInvOn ψ φ s
ψts : MapsTo ψ s t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
l : x ≤ y
ψxy : ψ x ≤ ψ y


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
fa : α✝ → α✝
fb : β✝ → β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → γ
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LinearOrder β
φ : β → α
ψ : α → β
t : Set β
s : Set α
hφ : MonotoneOn φ t
φψs : RightInvOn ψ φ s
ψts : MapsTo ψ s t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s
l : x ≤ y
ψyx : ψ y ≤ ψ x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G

h ∈ orbit (ConjAct G) g ↔ h ∈ (ConjClasses.mk g).carrier


Context:
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M

(𝓝 c).HasBasis (fun x => True) fun f => tsupport ↑f


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: this : (𝓝 c).HasBasis (fun x => True) fun f => ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y

(adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g


F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)


Context:
a b : Ordinal.{u}
ha : a ≠ 0
hb : Principal (fun x x_1 => x * x_1) b
hb₂ : 2 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f g : K[X]

IsCoprime f g ↔ ∀ {A : Type v} [inst : CommRing A] [inst_1 : IsDomain A] [inst_2 : Algebra K A] (a : A), (aeval a) f ≠ 0 ∨ (aeval a) g ≠ 0


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: f g : K[X]

Context: h : ∀ {A : Type v} [inst : CommRing A] [inst_1 : IsDomain A] [inst_2 : Algebra K A] (a : A), (aeval a) f ≠ 0 ∨ (aeval a) g ≠ 0


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: f g : K[X]

Context: x : K[X]

Context: hx : x ∈ nonunits K[X]

Context: x✝ : x ≠ 0

x ∣ f → ¬x ∣ g


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: x y : X

Context: δx_eq_δy : (fun x => diracProba x) x = (fun x => diracProba x) y


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: x y : X

Context: x_ne_y : ¬x = y


Context: f : Code → ℕ →. ℕ

Context: hf : Partrec₂ f

Context: cf : Code

Context: ef : cf.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => f p.1 p.2) a)

Context: c : Code

Context: e : (cf.curry (encode c)).eval = c.eval

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α✝ → β
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α

IsQuasiSeparated Set.univ ↔ QuasiSeparatedSpace α


IsQuasiSeparated Set.univ ↔ ∀ (U V : Set α), IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
p : α → Prop
this : Fintype α


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
i : ι

(b.repr ↑(floor b m)) i = ↑⌊(b.repr m) i⌋


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
a : α
ha : a ∉ s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : DistribMulAction R S
inst✝ : SMulCommClass R S S
M : Matrix m n S
b : R
v : n → S
i : m


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x

HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

sin (angle x y) = 0 ↔ angle x y = 0 ∨ angle x y = π


Context:
a b m n✝ p✝ p k n : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0

p ^ k ∣ n ↔ p ^ k ∣ p ^ n.factorization p


Context:
n : ℕ∞
x : Cardinal.{u_1}


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X

𝓝 ∞ = map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

Context: f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

Context: htendsto : Tendsto f atBot (𝓝 b')


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
Φ : FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ


Quotient.functor redStep ⋙ Φ = Paths.lift (Quiver.Symmetrify.lift φ)


Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor = Quiver.Symmetrify.lift φ


Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor) = φ


∀ {X Y : Quiver.Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor).map (Quiver.reverse f) = Quiver.reverse ((Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Φ).toPrefunctor).map f)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
t : Finset α

t ∈ image (fun t => s ∩ t) 𝒜 ↔ t ∈ s.powerset


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s t✝ : Finset α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: h : image (fun t => s ∩ t) 𝒜 = s.powerset

Context: t : Finset α

Context: ht : t ⊆ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
K : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ D

IsSheaf (toGrothendieck C K) P ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.covering X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Sieve.generate R).arrows.cocone.op))


(∀ (E : D) {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, Presieve.IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj (Opposite.op E)) R) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.covering X, ∀ (E : Dᵒᵖ), Presieve.IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj E) R


Context:
α : Type u_1
l : List α
x : α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
n : ℕ
hn : q.degree ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R

∑ i : Fin n, (monomial ↑i) ((p %ₘ q).coeff ↑i) = p %ₘ q


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k


(∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F G : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: e : X ≅ Y

Context: hX : F.obj X = G.obj X

Context: hY : F.obj Y = G.obj Y

Context: h₂ : F.map e.hom = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.hom ≫ eqToHom ⋯

F.map e.inv = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.inv ≫ eqToHom ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε

Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : Disjoint (ball x δ) (closedBall y ε)

Context: hxy : dist x y < δ + ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : dist x y < ε + δ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z✝ : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : dist x y < ε + δ

Context: z : E

Context: hxz : dist x z < δ

Context: hzy : dist z y ≤ ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z✝ : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : dist x y < ε + δ

Context: z : E

Context: hxz : dist z x < δ

Context: hzy : dist z y ≤ ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Finset α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v v✝ : V
h : G.Adj u v✝
p' : G.Walk v✝ v
d : G.Dart
hd : d ∈ (cons h p').darts


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u v v✝ : V

Context: h : G.Adj u v✝

Context: p' : G.Walk v✝ v

Context: d : G.Dart

Context: hd : d = { toProd := (u, v✝), adj := h } ∨ d ∈ p'.darts

d.toProd.1 = u ∨ d.toProd.1 ∈ p'.support


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂ : c₂ > 0

Context: h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ≤ c₂ * f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂ : c₂ > 0

∀ (a : ℝ), (∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f a) (c₂ * f a)) → ∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, f u ≤ c₂ * f a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : BoundarylessManifold I M


Context:
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

Tendsto log (𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z) (𝓝 (↑(Real.log (abs z)) + ↑π * I))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : Fintype ι'
f : ι' ≃ ι

Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) (Measure.pi fun i' => μ (f i')) = Measure.pi μ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : Fintype ι'
f : ι' ≃ ι
s : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft α f)) (Measure.pi fun i' => μ (f i'))) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α

l₁ ++ l₂ ⊆ l ↔ l₁ ⊆ l ∧ l₂ ⊆ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ


HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x).toNNReal) μ


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖ ∂μ < ⊤


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ


(fun a => ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖) ≤ fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
x : α

(fun a => ENNReal.ofReal ‖↑(f a).toNNReal‖) x ≤ (fun a => ENNReal.ofReal ‖f a‖) x


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)

Context: s : Finset α

∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: G : ((a : α) → E a) → ℝ := fun f => ∑ a ∈ s, ‖f a‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: hG : Continuous G


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: hG : Continuous G

∀ᶠ (c : ι) in l, (G ∘ id fun i => ↑(F i)) c ≤ C ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: hG : Continuous G

∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → (G ∘ id fun i => ↑(F i)) x ≤ C ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: hG : Continuous G

Context: k : ι

Context: hCFk : ‖F k‖ ≤ C

(G ∘ id fun i => ↑(F i)) k ≤ C ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: s : Finset α

Context: hp' : p ≠ 0

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: hG : Continuous G

Context: k : ι

Context: hCFk : ‖F k‖ ≤ C


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
hj : ∀ (x : M), j (f.toMap x) = g x
x✝ : N


j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2 * x✝)


f.toMap (f.sec x✝).1 = f.toMap ↑(f.sec x✝).2 * x✝


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context:
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0


Context:
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0

(↑p).num * ↑(↑q).den < (↑q).num * ↑(↑p).den ↔ p.num * q.den < q.num * p.den


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
h : x ≠ 0
hp : preVal K v O hv p x ≤ v ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: h : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0

Context: hp : preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) ≤ v ↑p

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: hp : ↑p ∣ r


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

isGood (π C fun x => ord I x < o) l ↔ ∃ o' < o, isGood (π C fun x => ord I x < o') l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

∃ o' < o, isGood (π C fun x => ord I x < o') l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o ∧ isGood (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

Context: ha : ⊥ < o


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

Context: ha : ⊥ < o

Context: hslt : ((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o

Context: he : eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) '' {m | m < l})

eval (π C fun x => ord I x < o) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o) '' {m | m < l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

Context: ha : ⊥ < o

Context: hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

t.ite s s' ∩ closure tᶜ = s' ∩ closure tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι A


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

hurwitzZeta a (1 - s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (-↑π * I * s / 2) * expZeta a s + cexp (↑π * I * s / 2) * expZeta (-a) s)


2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (↑π * s / 2 * I) + cexp (-(↑π * s / 2) * I)) / 2) * cosZeta a s + 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (-(↑π * s / 2) * I) - cexp (↑π * s / 2 * I)) * I / 2) * sinZeta a s = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (-↑π * I * s / 2) * (cosZeta a s + I * sinZeta a s) + cexp (↑π * I * s / 2) * (cosZeta a s + I * -sinZeta a s))


Context: x y : ℕ

x.xgcdAux 1 0 y 0 1 = (x.gcd y, x.xgcd y)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M

m ∈ posFittingComp R L M ↔ m ∈ ⨆ x, posFittingCompOf R M x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
h : e ∉ G.incidenceSet a


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : P3 x₃ x₂ y₂ y₃
h₂ : P3 x₁ x₃ y₂ y₁


⟦x₃ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₃⟧) < ⟦x₃ * y₂⟧ + (⟦x₃ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₃⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β

Tendsto (fun x => f '' x) la.smallSets lb.smallSets ↔ Tendsto f la lb


(∀ t ∈ lb, ∀ᶠ (x : Set α) in la.smallSets, f '' x ⊆ t) ↔ Tendsto f la lb


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : α → β
u : Set β
hu : u ∈ lb

(∀ᶠ (x : Set α) in la.smallSets, f '' x ⊆ u) ↔ u ∈ map f la


Context: X : Scheme

Context: U : (Opens ↑↑((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

(Opens.map (adjunction.unit.app X).val.base).obj (unop U) ≤ ⊤


Context: X : Scheme

toOpen (↑(unop (Scheme.Γ.rightOp.obj X))) (unop U) ≫ (adjunction.unit.app X).val.c.app U = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : Scheme

toOpen ↑(unop (Scheme.Γ.rightOp.obj X)) ⊤ ≫ (adjunction.unit.app X).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat (adjunction.unit.app X).val.base).obj ((𝟭 Scheme).obj X).presheaf).map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : Scheme

(adjunction.counit.app (Scheme.Γ.rightOp.obj X)).unop ≫ (Scheme.Γ.rightOp.map (adjunction.unit.app X)).unop ≫ ((pushforward CommRingCat (adjunction.unit.app X).val.base).obj ((𝟭 Scheme).obj X).presheaf).map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : Scheme

(𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)).unop ≫ ((pushforward CommRingCat (adjunction.unit.app X).val.base).obj ((𝟭 Scheme).obj X).presheaf).map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : Scheme

𝟙 Γ(X, ⊤) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ∩ ↑J'


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsSeparable s

Context: this : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsSeparable s

Context: this✝ : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X

Context: this : SeparableSpace ↑s


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P


(Multiset.map (fun a => X - C a) P.roots).prod.nextCoeff = -P.roots.sum


(Multiset.map (fun i => (X - C i).nextCoeff) P.roots).sum = -P.roots.sum


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w


(p.support ++ q.support.tail).Nodup → p.support.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h
this : (h - g + -(f - g)).Pos


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0


(-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v + (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p = p


((-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v = 0


(-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ = 0


-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ = 0


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: r : MonoidAlgebra k G

Context: m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M

((ofModule M).asAlgebraHom r) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: r : MonoidAlgebra k G

∀ (g : G), ((ofModule M).asAlgebraHom ((of k G) g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((of k G) g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: r : MonoidAlgebra k G

∀ (f g : MonoidAlgebra k G), ((ofModule M).asAlgebraHom f) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (f • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom g) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom (f + g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((f + g) • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: r : MonoidAlgebra k G

∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), ((ofModule M).asAlgebraHom f) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (f • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom (r • f)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((r • f) • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2


Context: n : ℕ

antidiagonal n = image (fun i => (i, n - i)) (range (n + 1))


Context: R : Type uR

Context: A : Type uA

Context: M₁ : Type uM₁

Context: M₂ : Type uM₂

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module A M₁

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁

Context: inst✝³ : SMulCommClass A R M₁

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)

Context: h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)


Context: R : Type uR

Context: A : Type uA

Context: M₁ : Type uM₁

Context: M₂ : Type uM₂

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module A M₁

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁

Context: inst✝³ : SMulCommClass A R M₁

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)

Context: h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)


Context: R : Type uR

Context: A : Type uA

Context: M₁ : Type uM₁

Context: M₂ : Type uM₂

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module A M₁

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁

Context: inst✝³ : SMulCommClass A R M₁

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)

Context: x : A ⊗[R] M₂


Context: p : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: i : δ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
g : γ → δ

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => g (f a b)) ↑s ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite


Context: r : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α


-toIcoDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)

‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
hzx : ⟪z, x⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Semiring α
m✝ n✝ m n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
f : α →. β
h : Partrec f
n : α
x✝ : Unit

x✝ ∈ Part.map (fun b => ()) (f n) ↔ x✝ ∈ Part.assert ((fun a => (f a).Dom) n) fun x => Part.some ()


Context:
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0


Context:
n : ℕ
hk0 : 1 ≠ 0


Context:
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k


Context:
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hprime : Fact (Prime p)


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hprime : Fact (Prime p)

Context: hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hprime : Fact (Prime p)

Context: hpb : ¬p ∣ b


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hprime : Fact (Prime p)

Context: hpb : ¬p ∣ b

Context: habs : p ≤ n


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α

⊥ = generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PredOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : NoMinOrder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α

Context: h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PredOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : NoMinOrder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α

Context: this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PredOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : NoMinOrder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: F : Filter R

Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: F : Filter R

(F.NeBot ∧ ∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: F : Filter R

(∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: F : Filter R

(∀ (U : Set R), (∃ i, U = ↑(v.ltAddSubgroup i)) → ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source

LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) → ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf : g x ∈ f.source

Context: h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf : g x ∈ f.source

Context: h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf : g x ∈ f.source

Context: this : ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Finset ℝ≥0∞

Context: hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Finset ℝ≥0∞

∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Finset ℝ≥0∞

∀ (a₁ : ℝ≥0∞) (h₁₁ : a₁ ∈ f.range) (h₁₂ : a₁ * μ (↑f ⁻¹' {a₁}) ≠ 0) (a₂ : ℝ≥0∞) (h₂₁ : a₂ ∈ f.range) (h₂₂ : a₂ * μ (↑f ⁻¹' {a₂}) ≠ 0), (fun r x x => r) a₁ h₁₁ h₁₂ = (fun r x x => r) a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Finset ℝ≥0∞

∀ b ∈ s, b * μ (↑f ⁻¹' {b}) ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Finset ℝ≥0∞

∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), a * μ (↑f ⁻¹' {a}) = (fun r x x => r) a h₁ h₂ * μ (↑f ⁻¹' {(fun r x x => r) a h₁ h₂})


Context: n p : ℕ

p ∈ n.primeFactorsList ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫ (x : γ), κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ

∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

Context: f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k

Context: hf : ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n
i : Fin n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A

(AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x) ↔ ¬_root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a


Injective (⇑↑(Polynomial.aeval a) ∘ ⇑hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom) ↔ Injective ⇑(Polynomial.aeval a)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n

Context: S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))

Context: f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n

Context: this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n

(∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n

∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: n_pos : 0 < n

Context: n2_pos : 1 ≤ 2 * n

∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ 4 ^ (2 * n / 3)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ = 0
n : σ →₀ ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : Module 𝕜 F

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : Module 𝕜 F

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: x : (i : ι) → E i

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S


Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: inst✝ : Small.{v, u} ↑s

Context: hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)

(fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).Final


Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: inst✝ : Small.{v, u} ↑s

Context: i : J

∃ c, Nonempty (i ⟶ (fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).obj c)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0

↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Lattice α
s : Sym2 α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Lattice α
x✝ y✝ : α


Context:
ι : Sort u_1
c : ι → Set (↑I × ↑I)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

∃ t, ↑(t 0) = ↑0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, ↑(t m) = ↑1) ∧ ∀ (n m : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ×ˢ Icc (t m) (t (m + 1)) ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

Context: h : 0 ≤ 1


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

Context: h : 0 ≤ 1

Context: n m : ℕ

∃ i, Icc (addNSMul h (δ / 2) n) (addNSMul h (δ / 2) (n + 1)) ×ˢ Icc (addNSMul h (δ / 2) m) (addNSMul h (δ / 2) (m + 1)) ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: c : ι → Set (↑I × ↑I)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

Context: h : 0 ≤ 1

Context: n m : ℕ

Context: i : ι

Context: hsub : Metric.ball (addNSMul h (δ / 2) n, addNSMul h (δ / 2) m) δ ⊆ c i


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : r • m = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : (algebraMap R A) r • m = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : (algebraMap R A) r • m = 0
H : (algebraMap R A) r = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : Semiring A✝
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A✝
M✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module A✝ M✝
inst✝¹⁵ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ M✝
N : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module A✝ N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ N
R : Type u_5
A : Type u_6
M : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
r : R
m : M
h : (algebraMap R A) r • m = 0
H : m = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

x.2.card + (e⁻¹ • x.2).card = 2 * x.2.card


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q)


Context:
σ K : Type u
inst✝ : Field K

Module.rank K (MvPolynomial σ K) = Cardinal.mk (σ →₀ ℕ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set β

Context: hs : s.OrdConnected


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set β

Context: hs : s.OrdConnected

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

Context: y : β

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

(fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s) x y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A

toSubmodule S * toSubmodule T ≤ toSubmodule (S ⊔ T)


∀ m ∈ toSubmodule S, ∀ n ∈ toSubmodule T, m * n ∈ toSubmodule (S ⊔ T)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
y : A
hy : y ∈ toSubmodule S
z : A
hz : z ∈ toSubmodule T


Context:
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


Context:
s step n : Nat
x✝ : 0 < n + 1

(range' s (n + 1) step)[0]? = some (s + step * 0)


Context:
s step m n : Nat
h : m + 1 < n + 1

(range' s (n + 1) step)[m + 1]? = some (s + step * (m + 1))


Context:
s step m n : Nat
h : m + 1 < n + 1

(range' (s + step) n step)[m]? = some (s + step * (m + 1))


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ

cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, closedBall x δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hE : IsCompact ∅

cthickening δ ∅ = ⋃ x ∈ ∅, closedBall x δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E
y : α
yE : y ∈ E
hy : infEdist x E = edist x y


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E
y : α
yE : y ∈ E
hy : infEdist x E = edist x y
D1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
hE : IsCompact E
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ E
y : α
yE : y ∈ E
hy : infEdist x E = edist x y
D1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
D2 : dist x y ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g

UnifIntegrable ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hg : Memℒp g p μ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsHausdorff ⊤ M
x y : M
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

W'.negDblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.negDblY P


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#(α ≃ β) = 0 ↔ #α ≠ #β


Context:
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : 1 < padicNorm p a


Context:
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : a.isInt = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
h : ‖A‖ < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
h : ‖A‖ < 1
i : α
j : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
h : ∀ (i : α) (j : β), ‖A i j‖ < 1
i : α
j : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : ‖A i j‖ < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : |↑(A i j)| < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
hA : A ≠ 0
i : α
j : β
h : |A i j| < 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : ¬p.natDegree < n

p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree)) n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree


p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : ¬p.natTrailingDegree ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : n < p.natTrailingDegree


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: V : ℕ → Set (α × α)

Context: hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ k, (u l, u k) ∈ V n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: V : ℕ → Set (α × α)

Context: hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_extr : StrictMono φ

Context: hφ : ∀ (n l : ℕ), l ≥ φ n → (u l, u (φ n)) ∈ V n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Continuous f ↔ ∀ (b : β), Continuous fun x => f (x, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

ContinuousOn f univ ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) univ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x + y) y).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle y (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖


((-o).oangle y (y + x)).cos * ‖y + x‖ = ‖y‖


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x y : ↑F F.M
h : M.mk x = M.mk y


Context:
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: R : P.M → P.M → Prop

Context: h : ∀ (x y : P.M), R x y → ∃ a f f', x.dest = ⟨a, f⟩ ∧ y.dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), R (f i) (f' i)

Context: x y : P.M

Context: h' : R x y

Context: this : Inhabited P.A


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: R : P.M → P.M → Prop

Context: x y : P.M

Context: h' : R x y

Context: this : Inhabited P.A


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝ : CommRing U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
i : R →+* U
x : U
hx : eval₂ i x f = 0
z : S

(lift i x hx h') ((h.aequiv h') z) = (lift i x hx h) z


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X
hfB : IsFixedBlock G B


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑⊥) (Ioo 0 a)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hbot : H ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ m * n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ n * m


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞


Context:
s : Finset ℕ
m : ℕ

m ∈ factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s


Context:
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p


(m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s) ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s


Context:
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p
H : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
h : m = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x

map (Embedding.subtype p) (Iic a) = Iic ↑a


map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iic ↑a)) = Iic ↑a


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : IntegrableOn f t μ
hgi : IntegrableOn (g ∘ f) t μ

(⨍ (x : α) in t, f x ∂μ, ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n


Context: N : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Group N

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : G →* MulAut N

Context: f₁ : N →* H

Context: f₂ : G →* H

Context: h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁

Context: f g : N ⋊[φ] G →* H

Context: hl : f.comp inl = g.comp inl

Context: hr : f.comp inr = g.comp inr


Context: N : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Group N

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : G →* MulAut N

Context: f₁ : N →* H

Context: f₂ : G →* H

Context: f g : N ⋊[φ] G →* H

Context: hl : f.comp inl = g.comp inl

Context: hr : f.comp inr = g.comp inr

lift (f.comp inl) (f.comp inr) ⋯ = lift (g.comp inl) (g.comp inr) ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R

x ∈ I.leadingCoeff ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x


(∃ i, x ∈ I.leadingCoeffNth i) ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x


Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun n => I.leadingCoeffNth n


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
i j : ℕ

∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) i) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) j) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z)


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
r : R


(∀ (a : M) (b : a ∈ N), ↑(r • ⟨a, b⟩) = ↑0) ↔ ∀ n ∈ N, r • n = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A

((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₁) x = ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₂) x


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A
this : (f.comp ↑g₁) x = (f.comp ↑g₂) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α


Context:
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A

comap f (map f S) = S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})


comap f (map f S) ≤ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})


S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f S)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
h : s ⊆ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : ∅ ⊆ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : {0} ⊆ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
h : b = c / a


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
h : a * b = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n

Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (Vector.insertNth a i ⟨l, hl⟩))


Tendsto (fun x => ↑(Vector.insertNth x.1 i x.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 ↑⟨insertNth (↑i) a ↑⟨l, hl⟩, ⋯⟩)


Tendsto (fun x => insertNth (↑i) x.1 ↑x.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (insertNth (↑i) a l))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = (tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight


Context:
x✝ y x : ℝ
h : x ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : CommRing T

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K S

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: x : L

Context: hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

(algebraMap K F) ((Algebra.trace K L) x) = finrank (↥K⟮x⟯) L • ((minpoly K x).aroots F).sum


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : p x < r₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Finset α


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
h : Basis ι R M


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

f ∈ idealOfSet R s ↔ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G

inverse W D ⋙ functor W D = 𝟭 (W.FunctorsInverting D)


∀ (X : W.FunctorsInverting D), (inverse W D ⋙ functor W D).obj X = (𝟭 (W.FunctorsInverting D)).obj X


∀ (X Y : W.FunctorsInverting D) (f : X ⟶ Y), (inverse W D ⋙ functor W D).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (W.FunctorsInverting D)).map f ≫ eqToHom ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Context: h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂

Context: h''f : AEStronglyMeasurable f μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Context: h''f : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Context: h''f : AEStronglyMeasurable f μ

∀ᵐ (a : D) ∂μ, ‖‖a‖ ^ k * ‖f a‖‖ ≤ 2 ^ μ.integrablePower * (C₁ + C₂) * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q r : ℚ
a : α


Context:
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* S
r : R
n : ℕ

(fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) (n + 1) ^ p = (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) n


Context:
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* Ring.Perfection S p
r : R
n : ℕ

(coeff S p 0) (f ((⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) = (coeff S p n) (f r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β

range f = s ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s) ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b


range f = s ↔ range f ⊆ s ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Encodable α
e : β ≃ α
n : ℕ

(decode n).bind (some ∘ ⇑e.symm) = Option.map (⇑e.symm) (decode n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ uIcc x' y'
hy : y ∈ uIcc x' y'


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
J' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J' ⥤ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α →ₛ β


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.length (cs.simple i * w) ≠ cs.length w


cs.length (cs.simple i * w) = cs.length (w⁻¹ * cs.simple i)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E

IsSplittingField F (↥K) p ↔ Splits (algebraMap F ↥K) p ∧ K = adjoin F (p.rootSet E)


Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K = adjoin F (p.rootSet E))


Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E))


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
hp : Splits (algebraMap F ↥K) p

Algebra.adjoin F (p.rootSet E) = K.val.range ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)

∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : Integrable f (μ.restrict s)

Context: hi : Countable { x // x ∈ s }

Context: hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : Integrable f (μ.restrict s)

Context: hi : Countable { x // x ∈ s }

∑' (a : ↑s), ((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : Integrable f (μ.restrict s)

Context: hi : Countable { x // x ∈ s }

Context: a : ↑s

((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = (μ {↑a}).toReal • f ↑a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : Integrable f (μ.restrict s)

Context: hi : Countable { x // x ∈ s }

Context: a : ↑s

(μ (Subtype.val '' {a})).toReal • f ↑a = (μ {↑a}).toReal • f ↑a


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S