Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3

affineSpan ℝ {t.orthocenter, t.points i} ≤ altitude t i


{t.orthocenter, t.points i} ⊆ ↑(altitude t i)


t.orthocenter ∈ ↑(altitude t i) ∧ t.points i ∈ ↑(altitude t i)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c : k

(lineMap p₀ p₁) c = p₀ ↔ p₀ = p₁ ∨ c = 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
hfn : IsNilpotent f
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
hfn : IsNilpotent f
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ : R
hf : f.HasEigenvalue μ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m
n : ℕ
hn : f ^ n = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
t : γ → Finset β
c : α

(s.biUnion t).sup f ≤ c ↔ (s.sup fun x => (t x).sup f) ≤ c


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: h : p.degree = q.degree

Context: hlc : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0

(p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff + q.leadingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: h : p.degree = q.degree

Context: this : (p + q).natDegree = p.natDegree


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝


((B ⊆ M.E ∧ ∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ (I : Set α), M✶.Indep I → B ⊆ I → B = I) ↔ (B ⊆ M.E ∧ ∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, (y ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint y B) → B ⊆ y → B = y


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ x y : E


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
x : tsze R M


Context: z w : ℂ

((abs z + w) * abs z + w) ≤ ((abs z) + abs w) * ((abs z) + abs w)


Context: z w : ℂ

(z * (starRingEnd ℂ) w).re ≤ abs z * (starRingEnd ℂ) w


Context: x : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g✝ f g : α →*o β
h : f.toOrderHom = g.toOrderHom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hsu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)
htu : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' u)


u = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' u) ∪ Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' u)


Context: A : 0 < 3 / 2


Context: A : 0 < 3 / 2

Context: this : (log ∘ Gamma) (↑2 + 1 / 2) ≤ (log ∘ Gamma) ↑2 + 1 / 2 * log ↑2


Context:
A : 0 < 3 / 2
y : ℝ
hy : 0 < y

(log ∘ Gamma) (y + 1) = (log ∘ Gamma) y + log y


Context: A : 0 < 3 / 2

Context: this : Gamma (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α

(∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Ioi ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : Preorder γ

Context: f : α → β

Context: e : β → γ

Context: l : Filter α

Context: hm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: hu : ∀ (c : γ), ∃ b, c ≤ e b

Tendsto (e ∘ f) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : Lattice X

Context: inst✝ : JordanHolderLattice X

Context: s : CompositionSeries X

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : X

Context: hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁

Context: hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂

Context: hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁

Context: hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂

Context: hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)

Context: hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)

Context: e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc

Context: x✝ : Fin s.length

x✝.castSucc.castSucc < (Fin.last s.length).castSucc


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : Lattice X

Context: inst✝ : JordanHolderLattice X

Context: s : CompositionSeries X

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : X

Context: hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁

Context: hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂

Context: hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)

Context: hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)

Context: h1 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ (Fin.last s.length).castSucc

Context: x✝ : Fin s.length

x✝.castSucc.castSucc < Fin.last (s.length + 1)


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

riemannZeta s = ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : riemannZeta s = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : riemannZeta s = 1 / ↑0 ^ s + ∑' (b : ℕ), 1 / ↑(b + 1) ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ L.essImageDistTriang


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj

Context: φ : Arrow C

Context: e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj

Context: φ : Arrow C

Context: e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f

Context: Z : C

Context: g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((𝟭 C).obj φ.left)

Context: H : Triangle.mk φ.hom g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj

Context: φ : Arrow C

Context: e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f

Context: Z : C

Context: g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z

Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left) ≅ L.mapTriangle.obj (Triangle.mk φ.hom g h)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj

Context: φ : Arrow C

Context: e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f

Context: Z : C

Context: g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z

(Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left)).mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map (Arrow.leftFunc.mapIso e.symm).hom = (Iso.refl (Triangle.mk f (e.inv.right ≫ L.map g) (L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app ((𝟭 C).obj φ.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left)).obj₃).hom ≫ (L.mapTriangle.obj (Triangle.mk φ.hom g h)).mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : L.mapArrow.EssSurj

Context: φ : Arrow C

Context: e : L.mapArrow.obj φ ≅ Arrow.mk f

Context: Z : C

Context: g : (𝟭 C).obj φ.right ⟶ Z

(L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app φ.left ≫ (shiftFunctor D 1).map e.hom.left) ≫ (shiftFunctor D 1).map e.inv.left = 𝟙 (L.obj Z) ≫ L.map h ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app φ.left


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α

mapIdx.go f (l ++ [e]) #[] = mapIdx.go f l #[] ++ [f l.length e]


mapIdx.go f [e] (toArray (mapIdx.go f l #[])) = mapIdx.go f l #[] ++ [f l.length e]


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: x : L

Context: this : ∃ k, ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

HasSum (fun i => ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

(fun i => ⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜) = fun b_1 => ((innerSL 𝕜) x) (↑(b.repr y) b_1 • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) b_1)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: i : ι

⟪x, (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i⟫_𝕜 * ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, y⟫_𝕜 = ((innerSL 𝕜) x) (↑(b.repr y) i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors ≤ b.factors


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors ≤ b.factors
this : a.factors.prod ≤ b.factors.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S T : Set R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite β
f : α → β
hf : Function.Injective f
this✝ : Fintype β
this : Fintype α


Context:
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y

Continuous (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})))


Context:
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y

Continuous (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X)


Context:
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y

∀ (i : (S : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op S)), Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X) ⟨i, a⟩


Context:
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)

Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X) ⟨⟨S, x⟩, a⟩


Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)


Context: X Y : CondensedSet

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : CompHaus

Context: x : X.val.obj (Opposite.op S)

Context: this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (CompHaus.of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (CompHaus.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (CompHaus.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)


Context: X Y : CondensedSet

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : CompHaus

Context: x : X.val.obj (Opposite.op S)

Continuous fun a => Y.val.map (CompHaus.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ i ∉ s, x i = y i


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ i ∉ s, x i = y i

(∫⁻ (y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i), f fun i => if hi : i ∈ s then y ⟨i, hi⟩ else x i ∂Measure.pi fun i => μ ↑i) = ∫⁻ (y_1 : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i), f fun i => if hi : i ∈ s then y_1 ⟨i, hi⟩ else y i ∂Measure.pi fun i => μ ↑i


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.22117, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
f : P ⟶ Q


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
y : Y
f : X → Y
h : Continuous f
h' : EqOn f (fun x => y) s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.172711, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂


h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃


φ₁.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂


S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂


S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ = h.h₀ + S₁.f ≫ h.h₁ + φ₂.τ₁


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

Context: hn : q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)

b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

Context: h₁ : q (b i * ↑n) - b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ q ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.282116, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithInitial C
f : X ⟶ Y

(map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝¹ : μ
s : Finset ι
n✝ : μ
f : ι → μ
n x₁ x₂ : μ

(x₁, x₂) ∈ (Equiv.boolArrowEquivProd μ).finsetCongr (univ.piAntidiag n) ↔ (x₁, x₂) ∈ antidiagonal n


(∃ a ∈ univ.piAntidiag n, a = (Equiv.boolArrowEquivProd μ).symm (x₁, x₂)) ↔ (x₁, x₂) ∈ antidiagonal n


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β


(fun g => g ∘ ⇑f.symm) ⁻¹' s = (fun g => g ∘ ⇑f) '' s


Function.LeftInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f


Function.RightInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
f : (i : ι) → s i

(lift { toFun := ⇑(tprod R) ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s e), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((tprod R) f) = (tprod R) fun i => f (e.symm i)


Context: m n k : ℕ

k ∈ (m * n).divisors ↔ k ∈ m.divisors * n.divisors


Context: m n k : ℕ

(∃ x x_1, (x ∣ m ∧ x_1 ∣ n ∧ x * x_1 = k) ∧ m ≠ 0 ∧ n ≠ 0) ↔ ∃ y x, (y ∣ m ∧ m ≠ 0) ∧ (x ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ y * x = k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ

deriv^[k] (fun x => x ^ n) x = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ (n - k)


(∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hkn : k ≤ n


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hnk : n < k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0

𝓝 x⁻¹ = (𝓝 x)⁻¹


(𝓝 x⁻¹)⁻¹ ≤ 𝓝 x


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R

(Q.basisRepr v) w = Q (∑ i : ι, w i • v i)


(Q.basisRepr v) w = Q (v.equivFun.symm w)


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
c : C

G.map (adj₁.unit.app c) ≫ α.app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))


G.map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))


Context:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g) t


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = joinM (g <$> f t)


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this

Context: this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f : X ≅ Y

Context: i : I


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f : X ≅ Y

Context: i : I


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f'✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f✝ i j hij x) = (g✝ i) x

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: e : (i : ι) → G i ≃+* G' i

Context: he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toRingHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)

Context: i : ι

Context: g : G' i

(congr e he).symm ((of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) g) = (of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) ((e i).symm g)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N

map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (map e p).dualCoannihilator


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N
this : IsReflexive R N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.natDegree < p.natDegree
hcontra : p ∣ q


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)

Measurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: this : Continuous (Function.uncurry g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)


l.reduceOption.length ≤ l.reduceOption.length + (filter Option.isNone l).length


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

(fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = 0


homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ 0


homotopyCofiber.inrX φ i ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inrX φ i ≫ 0


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

hurwitzZeta (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0

hurwitzZetaEven (↑x) (-(2 * ↑k.succ)) = 0


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)

f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap a b) r) b


f ((lineMap b a) (1 - r)) ≤ (lineMap (f b) (f a)) (1 - r) ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap b a) (1 - r)) b


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)

f ((lineMap b a) r') ≤ (lineMap (f b) (f a)) r' ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap b a) r') b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
ha : a ∈ z
hb : Mem.other ha ∈ z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹⁰ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁸ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N'

Context: inst✝⁴ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: f : M₂ →ₗ[R] M

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: g₁ g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N

Context: h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂

Context: x : ι → M


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: X : C

Context: this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

(shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
h : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n


ringChar F = 2 ↔ ringChar F = 2 ∧ ↑n ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0


Context: n : ℤ


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆ ≤ Subgroup.center G


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⁅⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆, ⊤⁆ = ⊥


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⁅⁅⊤, centralizer ↑(commutator G)⁆, centralizer ↑(commutator G)⁆ = ⊥


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

centralizer ↑(commutator G) ≤ centralizer ↑⁅⊤, centralizer ↑(commutator G)⁆


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

IsOpen (Set.range ⇑(comap (algebraMap R S)))


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
j : Fin n


Context:
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle

x ∈ addWellApproximable UnitAddCircle δ ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite


Context:
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle

{n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}.Infinite ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite


Context: δ : ℕ → ℝ

Context: x : UnitAddCircle

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}

n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}


Context: δ : ℕ → ℝ

Context: x : UnitAddCircle

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}

n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
H : ∃ f, LinearIndependent R f


Context:
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
x✝ : (C × D)ᵒᵖ
X : C
Y : D

(𝟙 (op X) ≫ 𝟙 (op X), 𝟙 (op Y) ≫ 𝟙 (op Y)) = (𝟙 (op X), 𝟙 (op Y))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

mapFun (⇑f) (x - y) = mapFun (⇑f) x - mapFun (⇑f) y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)

Context: x : L

Context: hx : x ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

x ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x' : L

Context: hx : (algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

(algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

(algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰

Context: mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰

(algebraMap S L) (a * y) ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰

(algebraMap S L) (a * y) ∈ ↑(Submodule.span R (⇑(algebraMap S L) '' b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹² : IsDomain R

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra R K

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝⁴ : IsFractionRing S L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: y' : S

Context: z' : ↥S⁰

Context: y : S

Context: z : R

Context: hz0 : z ≠ 0

Context: yz_eq : z • y' = ↑z' * y

Context: hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰

(algebraMap S L) (a * y) ∈ ↑(Submodule.map (↑R (Algebra.linearMap S L)) (Submodule.span R b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
y z : ℝ
n : ℕ
hy : 0 < y
hx : 0 ≤ 0
h : log 0 ≤ z * log y


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial
this : (F.op ⋙ G.op).Final


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : G.PreservesEpimorphisms

Context: P : C

Context: hP : Projective P

Context: E✝ X✝ : D

Context: f : F.obj P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: f' : P ⟶ G.obj E✝

Context: hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : G.PreservesEpimorphisms

Context: P : C

Context: hP : Projective P

Context: E✝ X✝ : D

Context: f : F.obj P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: f' : P ⟶ G.obj E✝


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : G.PreservesEpimorphisms

Context: P : C

Context: hP : Projective P

Context: E✝ X✝ : D

Context: f : F.obj P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: f' : P ⟶ G.obj E✝

F.map (adj.unit.app P ≫ G.map f) ≫ adj.counit.app X✝ = f


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0

(gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] a


↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)).flip ((lof R ι ℬ 0) b) = (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ((lof R ι ℬ 0) b)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a✝ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
i : ι
a : 𝒜 i

(gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

(λ_ f).hom ▷ g = (α_ (𝟙 a) f g).hom ≫ (λ_ (f ≫ g)).hom


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.index ≠ 0
hK : K.index ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex ⊤ ≠ 0
hK : K.relindex ⊤ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : F.σ
a : α
m : a ∈ F.F.f s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R

f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}


(∀ (i : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : i ∈ t), i.asIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}


∀ (a : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : a ∈ t), a.asIdeal ↔ a ∈ t → f ∈ a.asIdeal


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
x : PrimeSpectrum R

f ∈ ⨅ (_ : x ∈ t), x.asIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asIdeal


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

Context: h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

(Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n)


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f


IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s)


IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : ¬H.relindex L = 0

(H ⊓ K).relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L


H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
pf : Primrec' f


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝ : CommMonoid R
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℕ


Context:
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: h : ¬⋃ k, ↑(b.repr (v k)).support = Set.univ


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: h : ∃ a, ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) a = 0


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: b' : ι

Context: w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0

Context: v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: b' : ι

Context: w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0

Context: r : range v ⊆ range v'


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: b' : ι

Context: w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0

Context: r : range v ⊆ range v'

Context: r' : b b' ∉ range v


Context: ι✝¹ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: ι : Type w

Context: b : Basis ι R M

Context: κ : Type w'

Context: v : κ → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: m : i.Maximal

Context: b' : ι

Context: w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0

Context: r : range v ⊆ range v'

Context: r' : b b' ∉ range v

Context: r'' : range v ≠ range v'


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S


Context: S : Set ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x y f' : ℝ

Context: hfc : StrictConvexOn ℝ S f

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x < y

Context: hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x

Context: u : ℝ

Context: hxu : x < u

Context: huy : u < y

Context: hu : u ∈ S

Context: this : (f u - f x) / (u - x) < (f y - f x) / (y - x)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : slope f x u < slope f x y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E

indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c + c')


Memℒp.toLp ((s.indicator fun x => c) + s.indicator fun x => c') ⋯ = Memℒp.toLp (fun a => s.indicator (fun x => c) a + s.indicator (fun x => c') a) ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

∫ (x : X) in s, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = ∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ


∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • e


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s t : ↥S

Localization.mk r s • mk m t = mk (r • m) (s * t)


IsLocalization.mk' (Localization S) r s • mk m t = mk (r • m) (s * t)


Context:
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}


∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ k < j, enumOrd T k ≤ enumOrd S k) → enumOrd T j ≤ enumOrd S j


Context:
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < b, enumOrd T k ≤ enumOrd S k


sInf (T ∩ {b_1 | ∀ c < b, enumOrd T c < b_1}) ≤ enumOrd S b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℕ


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_zero : n = 0


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0


Context:
n : ℕ
n_pos : n > 0


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0
x_real : 0 < x.toReal


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₁ : a = x ⊔ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a
u : γ
au : a < u
ub : u < b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
x : R

(toMatrix v₁ v₁) ((algebraMap R (Module.End R M₁)) x) = (scalar n) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c✝ : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: ε C : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖

Context: x : E

Context: hx : ¬x = 0

‖f x‖ ≤ C * ‖x‖


Context: a b c d c' : List Γ'

update (elim a b c d) aux c' = elim a b c' d


Context:
a b c d c' : List Γ'
x : K'

update (elim a b c d) aux c' x = elim a b c' d x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
s : Set Y
hs : AnalyticSet s
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}


f ⁻¹' range g = Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}
x : X

x ∈ f ⁻¹' range g ↔ x ∈ Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e

Context: α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e

⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e

⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ rootSpace H 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e

∀ y ∈ rootSpace H (-0), ((killingForm K L) (⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α')) y = 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : 1 ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y


Context: x y : ℝ

cosh (x - y) = cosh x * cosh y - sinh x * sinh y


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
v : V₁
hv : f v ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

∀ (a b : α), Setoid.r a b = (a⁻¹ * b ∈ s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: y : E i

Context: l : E i →L[𝕜] (i : ι) → E i := ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))

Context: update_eq : Function.update x i = (fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i

HasFDerivAt ((fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i) l y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: y : E i

l = 0 + l.comp (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ
this : 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2

(fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) x ∈ ball 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
this : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

ContinuousOn ↑{ toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ } { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source


ContinuousOn { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: this : ∀ y ∈ ball 0 1, √(1 - ‖y‖ ^ 2) ≠ 0


Context: x y : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : δ' → β → ε

Context: h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 g' (image2 f' ↑s ↑u) ↑t


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.346325
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁

f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ B₁.IsSkewAdjoint f


f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ (-B₁).IsAdjointPair B₁ f f


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)


(Spec Γ(X, U)).basicOpen (((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) f) = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hss' : s' ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
hss' : s' ⊆ s


Context: n : ℤ


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

∃ n ω_1, ω_1.length = n ∧ cs.wordProd ω_1 = cs.wordProd ω


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
hα : ¬α.IsZero

β = -α ∨ β = α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = -1 • ⇑α

β = -α ∨ β = α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = 0 • ⇑α

β = -α ∨ β = α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = 1 • ⇑α

β = -α ∨ β = α


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C × D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X : C
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'

X✝.map (𝟙 X, g) ≫ T.app (X, Y') = T.app (X, Y) ≫ Y✝.map (𝟙 X, g)


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C × D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X X' : C
f : X ⟶ X'
x✝ : D

X✝.map (f, 𝟙 x✝) ≫ T.app (X', x✝) = T.app (X, x✝) ≫ Y✝.map (f, 𝟙 x✝)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)

zeroLocus ↑(vanishingIdeal t) = closure t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
I : Set R
hI : closure t = zeroLocus I


t ⊆ closure t ∧ t ⊆ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : Zero Γ
f : HahnSeries Γ R
hf : ¬f = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: M : ι → Matroid α

Context: h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)

Context: I : Set α

(Matroid.disjointSigma M h).Indep I ↔ (∀ (i : ι), (M i).Indep (I ∩ (M i).E)) ∧ I ⊆ ⋃ i, (M i).E


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
j : J

c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.ε.app c.pt = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt


(D.obj j).a ≫ T.ε.app (D.obj j).A ≫ c.ι.app j = c.ι.app j


c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.δ.app c.pt = c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.map (t.desc (newCocone D c))


(D.obj j).a ≫ T.δ.app (D.obj j).A ≫ T.map (T.map (c.ι.app j)) = (D.obj j).a ≫ T.map (c.ι.app j) ≫ T.map (t.desc (newCocone D c))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
x : α
hx : x ∈ {a | f a ≤ c}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
c_neg : c < 0
x : α
hx : f x ≤ c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
x : E
this : ∀ (x : E), -x ∈ s ↔ x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
b₁ b₂ : α
h₁ : b₁ ≠ 0
h₂ : ¬IsUnit b₂
h : span {b₁} ≤ span {b₁ * b₂}


Context: a : ℝ

interior {z | a ≤ z.re} = {z | a < z.re}


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)

((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).δ j.succ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: n : ℕ

Context: j : Fin (n + 1)

Context: a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)

Context: eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K (SimplexCategory.δ j.succ) ≫ ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: n : ℕ

Context: j : Fin (n + 1)

Context: a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)

Context: eq : ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (Γ₀.obj K).map (SimplexCategory.δ j.succ).op = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: n : ℕ

Context: j : Fin (n + 1)

Context: a✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)

Context: n : ℕ

IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => r ^ x) n, ⋯⟩)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: z : S

∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: z' : R

∃ x, (algebraMap R S) z' * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: x y : R

(algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: x y : R


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α

(cobounded α).HasBasis (fun x => True) fun i => (fun x => dist x c) ⁻¹' Ici i


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
h' : (a + o).NFBelow b


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h' : (e'.oadd n' a').NFBelow b


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NFBelow b
h₂ : o.NFBelow b
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h' : (e'.oadd n' a').NFBelow b
this : (e.cmp e').Compares e e'


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2

Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2 = (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: this✝ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0

Context: hne : ¬h = 0

Context: this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0

Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: this✝¹ : (Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0

Context: hne : ¬h = 0

Context: this✝ : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) + q * h = 0

Context: this : Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) = -q * h


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: hne : ¬h = 0

‖-q‖ * ‖h‖ ≤ 1 * ‖h‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: hne : ¬h = 0

‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: hne : ¬h = 0

‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{v}
e : o = succ a

lift.{u, v} o.pred = (lift.{u, v} o).pred


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
h : ¬∃ a, o = succ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ

a ^ (-Int.negSucc n) = (a ^ Int.negSucc n)⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f : G → ↑R := fun g => toFun hR g

Context: U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f : G → ↑R := fun g => toFun hR g

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f : G → ↑R := fun g => toFun hR g

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y ∈ ↑(closure U) * R


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f : G → ↑R := fun g => toFun hR g

Context: g : G

Context: x✝ : g ∈ ⊤

∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y⁻¹ ∈ ↑(closure U) * R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
W : C
k l : W ⟶ t.pt
h₀ : k ≫ t.fst = l ≫ t.fst
h₁ : k ≫ t.snd = l ≫ t.snd


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : n → α


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α✝

Context: s✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → Set α

Context: c : Set ι

Context: hn : c.Nonempty

Context: hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c

Context: s : Finset α

Context: hs : ↑s ⊆ ⋃ i ∈ c, f i


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α✝

Context: s✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → Set α

Context: c : Set ι

Context: hn : c.Nonempty

Context: s : Finset α

Context: hs : ↑s ⊆ ⋃ x, f ↑x


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α✝

Context: s✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → Set α

Context: c : Set ι

Context: hn : c.Nonempty

Context: s : Finset α

Context: hs : ↑s ⊆ ⋃ x, f ↑x

Context: this : Nonempty ↑c


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂
i✝ : n
j✝ : m

(toMatrix₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) B i✝ j✝ = (toMatrix₂' R) B i✝ j✝


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α

(∃ n, 0 < μ (s ∩ spanningSets μ n)) ↔ 0 < μ s


(¬∃ n, 0 < μ (s ∩ spanningSets μ n)) ↔ ¬0 < μ s


(∀ (x : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ x) = 0) ↔ μ s = 0


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : f = divided_by_X_pow_order hf


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f
this : f.order.get ⋯ = 0


divided_by_X_pow_order hf = X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)
u v : α
u_in : (u, v).1 ∈ ball x w
v_in : (u, v).2 ∈ ball x w


Context:
α : Type u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M

⊤ ≤ span R (Set.range v) ↔ ∀ (x : M), ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x


⊤ ≤ span R (Set.range v) ↔ ∀ (x : M), x ∈ span R (Set.range v)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ

↑(B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f