(ofFn f).toList.get (Fin.cast ⋯ i) = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

torsionBySet R M s = torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: refl : ∀ (x : α), R x x

Context: symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x

Context: trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z

∀ {x y : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: refl : ∀ (x : α), R x x

Context: symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: refl : ∀ (x : α), R x x

Context: symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x

∀ {x y z : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y z → LiftRel R x z


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ

volume (Metric.closedBall a r) = ofReal (2 * r)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hf : f x = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.101289, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ

(map φ₁ φ₃ (a ≫ a') (b ≫ b') ⋯).f n = (map φ₁ φ₂ a b comm ≫ map φ₂ φ₃ a' b' comm').f n


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K

(ComponentCompl.supp C).Infinite ↔ C ∈ G.componentComplFunctor.eventualRange K


(∀ (L : Finset V) (h : Opposite.unop K ⊆ L), ∃ D, ComponentCompl.hom h D = C) ↔ ∀ (i : (Finset V)ᵒᵖ) (i_1 : i ⟶ K), ∃ y, ComponentCompl.hom ⋯ y = C


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: x y : R

Context: x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: c : ↥M

Context: h : (algebraMap R S) (↑c * x) = (algebraMap R S) (↑c * y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: x y : R

Context: x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: c : ↥M

Context: h : (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: A : PointedGaloisObject F

Context: σ : Aut A.obj

Context: this : ∀ (i : PointedGaloisObject F), Finite ((autGaloisSystem F ⋙ forget Grp).obj i)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ

(comapDomain h hh (single (h k) x)) i = (single k x) i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
i : κ
x : β (h i)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Icc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
M₄ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
x : M₁

Q₃ ({ toFun := fun x => g (f x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = Q₁ x


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
η : ApplicativeTransformation F G
x : t (F α)

(fun {α} => η.app α) (sequence x) = sequence ((fun {α} => η.app α) <$> x)


Context: ι : Type u

Context: f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}

Context: o : Ordinal.{max u_1 u}

derivFamily f o < derivFamily f (succ o)


Context: ι : Type u

Context: o : Ordinal.{max u_1 u}

succ (derivFamily f o) ≤ nfpFamily f (succ (derivFamily f o))


Context: ι : Type u

Context: o : Ordinal.{max u_1 u}

Context: l : o.IsLimit

Context: a : Ordinal.{max u_1 u}

derivFamily f o ≤ a ↔ ∀ b < o, derivFamily f b ≤ a


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : ℕ

(↑x✝)⁻¹ = (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) x✝


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0

angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)


Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)


Real.arcsin √((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α

p ∈ filter (fun p => ¬p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts ↔ p ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts


p ∈ P.parts → (¬p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ p.card = s.card / P.parts.card)


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P


Context:
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f p ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j


(if h : (p ↑k)ᶜ then biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) ⟨↑k, ⋯⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0


0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0


Context:
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K

biproduct.ι f j ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ ≫ (fun {W} g x => biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) g' w = biproduct.ι f j ≫ g'


(if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) ≫ biproduct.ι f j ≫ g' = biproduct.ι f j ≫ g'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s

iteratedDerivWithin n (f - g) s x = iteratedDerivWithin n f s x - iteratedDerivWithin n g s x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ

∀ (x : γ × δ), x ∈ (m₁ '' s) ×ˢ (m₂ '' t) ↔ x ∈ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) '' s ×ˢ t


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ] M₃
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
x✝ : b ∈ f.range

(T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • (T (↑f ⁻¹' {b})) b


∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f


Context:
b n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : b ≤ 1


Context:
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : 1 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ L : List α
i : ℕ
h : i < L.attach.length

↑L.attach[i] = (map Subtype.val L.attach)[i]


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b

a.toPGame = b.toPGame.moveLeft (toLeftMovesToPGame ⟨a, h⟩)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂

Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
x : L
hx : χ₁ x ≠ χ₂ x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
s' t' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht' : IsOpen t'
hss' : s ⊆ s'
htt' : tᶜ ⊆ t'
hs't' : Disjoint s' t'


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

(fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
this : C.d i j ≫ C.d j k = 0


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} V

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms V

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: T : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T

Context: C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c

Context: t : T

Context: i j k : ι

Context: x✝¹ : c.Rel i j

Context: x✝ : c.Rel j k

Context: this : ∀ (a : T), (C.d i j ≫ C.d j k).app a = NatTrans.app 0 a


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
this : C.d i j = 0


Context: V : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} V

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms V

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: T : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T

Context: C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c

Context: t : T

Context: i j : ι

Context: h : ¬c.Rel i j

Context: this : ∀ (a : T), (C.d i j).app a = NatTrans.app 0 a


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i : ι


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
X✝ Y✝ Z✝ : T
h₁ : X✝ ⟶ Y✝
h₂ : Y✝ ⟶ Z✝
i : ι

(C.X i).map (h₁ ≫ h₂) = (C.X i).map h₁ ≫ (C.X i).map h₂


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoidWithZero M
S : Finset α
p : M
pp : Prime p
g : α → M
hS : ∀ a ∈ S, ¬p ∣ g a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ (SumEval C ho)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

LinearIndependent ℤ (eval C ∘ ⇑(sum_equiv C hsC ho)) ↔ LinearIndependent ℤ (eval C ∘ (sum_equiv C hsC ho).toFun)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

update f i '' Ioo a (f i) = Ioo (update f i a) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


(∃ b ∈ s, ↑a ≤ (WithBot.some ∘ f) b) ↔ ∃ b ∈ s, a ≤ f b


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)

Context: h : p ≠ 2


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p

∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'


(i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y ∧ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'


Context:
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.3042) (N : Type ?u.3041) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: y : α

Context: hya : a ≤ y

Context: hyb : y ≤ b

Context: z : α

Context: hzc : c ≤ z

Context: hzd : z < d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
m x✝ : E


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C

IsCofiltered C ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C

(∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)) ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ : Set α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ i, f i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
hs : Dense s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S

Context: maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S

Context: this : 1 ∈ ↑S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I

Context: hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I

Context: hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S

Context: hy : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {y}) ↑S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I

Context: hx : ∃ x_1, (∃ y ∈ I, ∃ z, x ∣ z ∧ y + z = x_1) ∧ x_1 ∈ S

Context: hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I

Context: s₁ : α

Context: hs₁ : s₁ ∈ S

Context: i₁ : α

Context: hi₁ : i₁ ∈ I

Context: r₁ : α

Context: hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁

Context: s₂ : α

Context: hs₂ : s₂ ∈ S

Context: i₂ : α

Context: hi₂ : i₂ ∈ I

Context: r₂ : α

Context: hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: S : Submonoid α

Context: disjoint : Disjoint ↑I ↑S

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I

Context: s₁ : α

Context: hs₁ : s₁ ∈ S

Context: i₁ : α

Context: hi₁ : i₁ ∈ I

Context: r₁ : α

Context: hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁

Context: s₂ : α

Context: hs₂ : s₂ ∈ S

Context: i₂ : α

Context: hi₂ : i₂ ∈ I

Context: r₂ : α

Context: hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂

(i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = s₁ * s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb

(ra * r₂ /ₒ (sa * s₁)) • (r₃ /ₒ s₃) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))


(rc * rb) • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))


rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))


(r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂)) = rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x

⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: p x : ℝ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd

Context: e : R

Context: h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e

HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: e : R

HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) (n + 1)) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd - ∑ i ∈ Finset.range 1, ((expSeries 𝕜 (tsze R M) i) fun x_1 => x).snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: e : R

HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) • x.snd) (e • x.snd - ∑ x_1 ∈ Finset.range 1, ((expSeries 𝕜 (tsze R M) x_1) fun x_2 => x).snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: e : R

Context: h : HasSum (fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) e

HasSum (fun n => ((↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) • x.snd) (e • x.snd - ∑ x_1 ∈ Finset.range 1, ((↑x_1.factorial)⁻¹ • x ^ x_1).snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: e : R

HasSum (fun n => ((↑n.factorial)⁻¹ • x.fst ^ n) • x.snd) (e • x.snd)


Context: m₁ m₂ n : ℕ

qrSign (m₁ * m₂) n = qrSign m₁ n * qrSign m₂ n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

(fromPadicInt p).comp (toPadicInt p) = RingHom.id (𝕎 (ZMod p))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

∀ (k : ℕ), (truncate k).comp ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) = (truncate k).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(truncate n).comp ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) = (truncate n).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(zmodEquivTrunc p n).toRingHom.comp ((PadicInt.toZModPow n).comp (toPadicInt p)) = (truncate n).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(u, t) ∈ p.edges


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
f : G' →* G
hf : Injective ⇑f
inst✝ : H.IsCommutative
a b : ↥(comap f H)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: H K : Subgroup G

Context: f : G' →* G

Context: hf : Injective ⇑f

Context: inst✝ : H.IsCommutative

Context: a b : ↥(comap f H)

Context: this : ⟨f ↑a, ⋯⟩ * ⟨f ↑b, ⋯⟩ = ⟨f ↑b, ⋯⟩ * ⟨f ↑a, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hx : x ^ p ≠ 0
hy : y ^ p ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: y : ModP K v O hv p

Context: hy : y ^ p ≠ 0

Context: r : O

Context: hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ^ p ≠ 0

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: hy : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ^ p ≠ 0

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r ^ p) ≠ 0

Context: s : O

Context: hy : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (s ^ p) ≠ 0

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: hx : v ↑p < v ((algebraMap O K) (r ^ p))

Context: s : O

Context: hy : v ↑p < v ((algebraMap O K) (s ^ p))

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: hx : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) r)

Context: s : O

Context: hy : v ↑p ^ (1 / ↑p) < v ((algebraMap O K) s)

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

v ↑p < v ((algebraMap O K) r) * v ((algebraMap O K) s)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

v ↑p ≤ v ↑p ^ (1 / ↑p) * v ↑p ^ (1 / ↑p)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

Context: hvp : ¬v ↑p = 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

Context: hvp : 0 < v ↑p


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp✝ : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: h1p : 0 < 1 / ↑p

Context: hvp : 0 < v ↑p

v ↑p ^ 1 ≤ v ↑p ^ (1 / ↑p) * v ↑p ^ (1 / ↑p)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones

Context: s : Cone F

(limitCone h).extend (homOfCone h s) = s


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: s : Cone F

(limitCone h).extend (homOfCone h (coneOfHom h (homOfCone h s))) = coneOfHom h (homOfCone h s)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: s : Cone F

(limitCone h).extend (homOfCone h s) = coneOfHom h (homOfCone h s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b : α
a : ↑(Iic b)


a ⋖ ⊤ ↔ ↑a ⋖ b


(range ⇑(OrderEmbedding.subtype fun c => c ≤ b)).OrdConnected


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M

((Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m))) f') m' = (((dualTensorHom R (Dual R M) (Dual R M)) ((Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)) f') m'


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

IsWeaklyRegular M as ∧ ¬Subsingleton (M ⧸ Ideal.ofList as • ⊤) ↔ IsWeaklyRegular M₂ bs ∧ ¬Subsingleton (M₂ ⧸ Ideal.ofList bs • ⊤)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: e' : M ⧸ (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup ≃+ M₂ ⧸ (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup := QuotientAddGroup.congr (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup e ⋯


Context:
c : Char
cs : List Char
i : Pos

{ s := { data := c :: cs }, i := i + c }.hasNext = { s := { data := cs }, i := i }.hasNext


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: ps : Set P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: p : P

(∃ r, ∀ p1 ∈ ps, dist p1 p = r) ↔ ∃ r, ∀ p1 ∈ ps, dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p) = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: ps : Set P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: p : P

Context: h : (ps.Pairwise fun p1 p2 => dist p1 p = dist p2 p) ↔ ps.Pairwise fun p1 p2 => dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p) = dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: ps : Set P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: p : P

Context: h : (∃ z, ∀ x ∈ ps, dist x p = z) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ ps, dist x ↑((orthogonalProjection s) p) = z


Context: m n : ℤ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y

Context: hind : CompleteLattice.Independent H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hind : CompleteLattice.Independent H

CompleteLattice.Independent fun i => (H i).subtype.range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hind : CompleteLattice.Independent H

∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(H i).subtype


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Iic b

projIic b ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite σ

Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ
e : (σ → K) → K
x✝ : e ∈ ⊤

∃ y ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1), (evalₗ K σ) y = e


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Add G
a b : Multiplicative G

(fun a => single a 1) (a * b) = (fun a => single a 1) a * (fun a => single a 1) b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
x : ↥(unop (op U))

(algebraMap R (Localizations R ↑x)) 0 = ↑0 x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨f, ⋯⟩


0 = ↑0 x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨f, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => Finset.univ.sup fun j => ‖A i j‖₊)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
this : Epi S.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4190, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.ShortExact
this : Mono S.f


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t

Context: st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝¹ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x✝ : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t

Context: st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty

Context: x : E

Context: xt : x ∈ closure t

Context: xs : x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝¹ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x✝ : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t

Context: st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty

Context: x : E

Context: xt : x ∈ closure t

Context: xs : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : Metric.ball x ε ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝¹ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x✝ : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t

Context: st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty

Context: x : E

Context: xt : x ∈ closure t

Context: xs : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : Metric.ball x ε ⊆ s

Context: y : E

Context: yt : y ∈ t

Context: hxy : dist x y < ε / 2


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝¹ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: x₀ x✝ : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: open_t : IsOpen t

Context: st_nonempty : (s ∩ t).Nonempty

Context: x : E

Context: xt : x ∈ closure t

Context: xs : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : Metric.ball x ε ⊆ s

Context: y : E

Context: yt : y ∈ t

Context: hxy : dist x y < ε / 2

Context: B : Metric.ball y (ε / 2) ⊆ Metric.ball x ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
ι : Type u_4
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → C(α, β)
x✝ : α

(s.inf' H f) x✝ = s.inf' H (fun i => ⇑(f i)) x✝


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M

polar (⇑Q) x (y + y') = polar (⇑Q) x y + polar (⇑Q) x y'


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β₀ β₁ β₂ : Type u
g : β₀ → F β₁
g' : β₁ → G β₂
x : t α β₀

Comp.mk (tsnd g' <$> tsnd g x) = tsnd (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x


bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ pure) (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x = tsnd (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x


bitraverse (fun x => Comp.mk (pure (pure x))) (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x = tsnd (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

(toBaseChange A Q) ((ofBaseChange A Q) (1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v)) = 1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v


Context: N : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')

Submodule.Quotient.mk x = (quotientInfEquivSupQuotient p p') 0 ↔ ↑x ∈ p'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0


x * (mk' K ↑(sec (nonZeroDivisors A) x).2 ⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩ * (algebraMap A K) ↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩) = (algebraMap A K) ↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩


x = mk' K (↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩) (sec (nonZeroDivisors A) x).2


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)


(Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
x : T

eval₂ g x (map f p) = eval₂ (g.comp f) x p


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: obs : ∀ (x : ℝ), ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, t ^ (p - 1) = x ^ p / p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

Context: obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

Context: g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal (f a ^ p / p) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: p : ℝ

Context: p_pos : 0 < p

Context: one_lt_p : -1 < p - 1

Context: g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)

AEMeasurable (fun ω => ENNReal.ofReal (f ω ^ p / p)) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

im ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x - I • y‖ * ‖x - I • y‖ - ‖x + I • y‖ * ‖x + I • y‖) / 4


im ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * -im ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * -im ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) / 4


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpU : p ∈ U.carrier

p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

comap (RingHom.id R) U U ⋯ = RingHom.id ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))


eqToHom ⋯ = RingHom.id ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: s : Set ι

span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' s) = span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: s : Set ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' ↑{i})


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: s : Set ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 {gramSchmidtNormed 𝕜 f i}


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra k A
inst✝³ : AddMonoid G
inst✝² : AddMonoid H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : AddMonoidHomClass F G H
f : F
r : k

mapDomain (⇑f) ((algebraMap k A[G]) r) = (algebraMap k A[H]) r


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E

x✝ ∈ fundamentalDomain (b.reindex e) ↔ x✝ ∈ fundamentalDomain b


(∀ (i : ι'), (b.repr x✝) (e.symm i) ∈ Set.Ico 0 1) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x✝) i ∈ Set.Ico 0 1


∀ (b_1 : ι'), (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1 ↔ (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ fst (X ⊗ Y) Z ≫ fst X Y = fst X (Y ⊗ Z)


Limits.BinaryFan.fst (product X (product Y Z).cone.pt).cone = fst X (Y ⊗ Z)


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Real.toNNReal ⁻¹' Set.Ioi a.toNNReal


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : G
w : NormalWord d

ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = of g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β


chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β


chainLength α β ≤ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R

trop (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, trop (f i)


∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val)).prod


∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val).prod


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S


AlgHom.equalizer ϕ (liftHom f (ϕ (root f)) ⋯) = ⊤


root f ∈ ↑(AlgHom.equalizer ϕ (liftHom f (ϕ (root f)) ⋯))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : S

Context: x : R

Context: hx : x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r x : S

Context: hx' : x ∈ ↑(span {r})

Context: hx : (Algebra.norm R) x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
x : Completion G

(id G).completion x = (id (Completion G)) x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J
hbI : b ∈ I
right✝ : b ∈ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : y ≤ x

Context: u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : y ≤ x

Context: hu : Monotone u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : y ≤ x

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

W'.addXYZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α


¬(M.Indep X ∧ X ⊆ R) ∧ X ⊆ R ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

(cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: hg0 : Function.extend Subtype.val (⇑f) g 0 = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

(cfcₙHom ha) f = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hg0 }


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

∫ (x : ℝ), g (x * a) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G

(t \ s).mulIndicator f * s.mulIndicator f = t.mulIndicator f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

Tendsto (fun A => ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))


∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (truncation f n) μ


∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖truncation f n a‖ ≤ (fun x => |f x|) a


∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => truncation f n a) atTop (𝓝 (f a))


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯

Context: mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i

Context: i : ι

Context: x₂ : M

Context: hx₂ : x₂ ∈ S i

(fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i

Context: x₃ y : M

(fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I


Context: k : ℕ

Context: ih : ∀ (n : ℕ), (antidiagonalTuple k n).Nodup

Context: n : ℕ


Context: k : ℕ

Context: n : ℕ

(∀ x ∈ antidiagonal n, (map (fun x_1 => Fin.cons x.1 x_1) (antidiagonalTuple k x.2)).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (map (fun x => Fin.cons a.1 x) (antidiagonalTuple k a.2)).Disjoint (map (fun x => Fin.cons b.1 x) (antidiagonalTuple k b.2))) (antidiagonal n)


Context: M : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α✝ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹⁰ : SMul M X

Context: inst✝⁹ : ContinuousSMul M X

Context: R : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : FunLike F α β

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid β

Context: inst✝⁴ : Module R α

Context: inst✝³ : Module R β

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : LinearMapClass F R α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousSMul R β

Context: f : F

Context: tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ


Context: M : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α✝ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹⁰ : SMul M X

Context: inst✝⁹ : ContinuousSMul M X

Context: R : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : FunLike F α β

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid β

Context: inst✝⁴ : Module R α

Context: inst✝³ : Module R β

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : LinearMapClass F R α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousSMul R β

Context: f : F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

x ⤳ y ∧ y ⤳ x ↔ x ∈ closure {y} ∧ y ∈ closure {x}


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M


Context:
α : Type u
R : α → α → Prop
n : ℕ
f : Fin n → α

Pairwise R (ofFn f) ↔ ∀ ⦃i j : Fin n⦄, i < j → R (f i) (f j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α

(s.singularPart μ).totalVariation = s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: this : (s.singularPart μ).toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ) (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDerivWithin n f s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr t : Ordnode α

Context: hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂

Context: hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂

Context: h : delta * ls < rs

Context: v : Valid' o₁ t ↑rx

Context: e : t.size = ls + rl.size

Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr t : Ordnode α

Context: h : delta * ls < rs

Context: v : Valid' o₁ t ↑rx

Context: e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr t : Ordnode α

Context: h : 3 * (ll.size + lr.size + 1) < rl.size + rr.size + 1

Context: v : Valid' o₁ t ↑rx


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr t : Ordnode α

Context: v : Valid' o₁ t ↑rx

Context: H : rl.size + rr.size ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr t : Ordnode α

Context: v : Valid' o₁ t ↑rx

Context: hr₁ : rl.size ≤ delta * rr.size

Context: hr₂ : rr.size ≤ delta * rl.size


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Y Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

∃ X f h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Y Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X' : C

Context: f' : Z ⟶ X'

Context: g' : X' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Y

Context: mem : Triangle.mk g f' g' ∈ distinguishedTriangles


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a b : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: hb₁ : IsSelfAdjoint b

Context: ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

Context: hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

SpectrumRestricts (a + b) ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a b : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: hb₁ : IsSelfAdjoint b

‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a + ((algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b)‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a b : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: hb₁ : IsSelfAdjoint b

‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a‖₊ + ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a b : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: hb₁ : IsSelfAdjoint b


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
F : ℂ →ₐ[ℝ] A


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
x✝ : Fin n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
l : List α


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: f : Filtration ℕ m

Context: u : ℕ → Ω → β

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: n : ℕ

Context: this : {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + {a | τ a = n}.indicator (u n)

stoppedProcess u τ n = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), {a | τ a = i}.indicator (u i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : LowerSet α


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C


(shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorAdd' C n m 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C m n 0 ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X) ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)


Context: f g : MulRingNorm ℚ


Context:
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n


Context:
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
z : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G

g ∈ closure (Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G))


∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

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Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

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Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Tendsto (fun n => coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G ⟨toLp (x n) ⋯, ⋯⟩) atTop (𝓝 g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Tendsto (fun n => ↑(toLp (x n) ⋯)) atTop (𝓝 ↑g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑↑(toLp (x n) ⋯) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: n : ℕ

↑↑↑g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

limit.lift (D.diagramOverOpen U) { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } } ≫ D.diagramOverOpenπ U i = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)


{ pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.right i)) = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)


(D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.t i i).c.app (op ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)


(D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 ((Opens.map (D.f i i).base).obj U)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderBot β
f : γ → α →ₛ β
s : Finset γ
a : α