Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

(↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e x) = ((↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑e x)


Context: θ : ↑I


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop

(∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≤ a, ∀ l ≤ a, p (k, l)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x : { x // x ∈ s }


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hb₀ : b ≠ 0
hb₁ : b ≠ ⊤
h : a / b = 1


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : φ i
j : ι

(stdBasis R φ i) x j = (pi (diag i)) x j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β × γ
b : Filter β
c : Filter γ

comap f (b ×ˢ c) = comap (Prod.fst ∘ f) b ⊓ comap (Prod.snd ∘ f) c


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ

multiplicity (↑p) (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p n.succ).Dom


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
h : (multiplicity p (n + 1)).Dom


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : Odd p

Context: x y : ℤ

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity p (n + 1)).Dom

Context: hpn : ¬p ^ ((multiplicity p (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1

Context: k : ℕ

Context: hk : n + 1 = p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h * k


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : Odd p

Context: x y : ℤ

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity p (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k - (y ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h) ^ k) = multiplicity (↑p) (x - y) + multiplicity p (n + 1)


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: x y : ℤ

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity p (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: x y : ℤ

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity p (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

↑p ∣ x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h - y ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: x y : ℤ

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity p (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

¬↑p ∣ x ^ p ^ (multiplicity p (n + 1)).get h


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A

(toFunAlgHom R A n) (invFun R A n M) = M


∑ x : n × n, M x.1 x.2 • (stdBasisMatrix x.1 x.2 1).map ⇑(algebraMap R A) = M


M = ∑ x : n, ∑ y : n, M (x, y).1 (x, y).2 • (stdBasisMatrix (x, y).1 (x, y).2 1).map ⇑(algebraMap R A)


∑ i : n, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (M i j) = ∑ x : n, ∑ y : n, M (x, y).1 (x, y).2 • (stdBasisMatrix (x, y).1 (x, y).2 1).map ⇑(algebraMap R A)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n A
i : n
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
x✝ : j ∈ Finset.univ
a b : n

stdBasisMatrix i j (M i j) a b = (M (i, j).1 (i, j).2 • (stdBasisMatrix (i, j).1 (i, j).2 1).map ⇑(algebraMap R A)) a b


(if i = a ∧ j = b then M i j else 0) = M i j • (algebraMap R A) (if i = a ∧ j = b then 1 else 0)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4

Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
h✝ : Finite α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
h✝ : Infinite α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
y : α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x : α
hy1 : 1 < y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x z : α
hz : 0 < z
hy1 : 1 < 1 + z


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

(shiftFunctorZero (PullbackShift C φ) A).hom.app X = (pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorZero C B).hom.app X


𝟙 ((𝟭 (PullbackShift C φ)).obj X) = 𝟙 ((𝟭 C).obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α

(insert a s).diag = insert (a, a) s.diag


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g

exponent G = 0 ↔ (Set.range orderOf).Infinite


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g

Context: this : exponent G ≠ 0 ↔ (Set.range orderOf).Finite


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V

G.dist u v ≠ 0 ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v


¬(u = v ∨ ¬G.Reachable u v) ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v


u ≠ v ∧ G.Reachable u v ↔ u ≠ v ∧ G.Reachable u v


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}


Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : R

Context: this : Nonempty ↑S


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
p : Submodule R M

Module.rank R ↥(Submodule.map f p) ≤ Module.rank R ↥p


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
h : Wbtw R x y x
hne : y ≠ x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
h : y = x
hne : y ≠ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a

a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ b₁ ≤ a • b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hf : Measurable f
a✝¹ : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: hf : Computable₂ fun a n => (decode n).bind (f a)

Context: n : ℕ

((↑(decode n)).bind fun a => map encode ((fun a => (do let n ← (↑fun n => encode (decode n)) a.2 ↑n.ppred).bind ↑fun b => (fun a n => (decode n).bind (f a)) (a, b).1.1 (a, b).1.2) a)) = (↑(decode n)).bind fun a => map encode ((↑fun p => f p.1 p.2) a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: n : ℕ

((↑((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.some (a, (Nat.unpair n).2))).bind fun a => (↑(encode (decode a.2)).ppred).bind fun y => Part.some (encode ((decode a.2).bind fun a_1 => f a.1 a_1))) = (↑((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2))).bind fun a => Part.some (encode (f a.1 a.2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → Option σ
hf : Computable₂ f

Computable₂ fun a n => (decode n).bind (f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: hf : Computable₂ f

Context: this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: hf : Computable₂ f

Context: a : α × ℕ

(Nat.casesOn (encode (decode a.2)) (Part.some Option.none) fun n => map (f a.1) ↑(decode n)) = (↑fun p => (fun a n => (decode n).bind (f a)) p.1 p.2) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: hf : Computable₂ f

Context: a : α × ℕ

Nat.rec (Part.some Option.none) (fun n n_ih => map (f a.1) ↑(decode n)) (encode (decode a.2)) = Part.some ((decode a.2).bind (f a.1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a✝ b✝ a b : α

mabs a / mabs b ≤ mabs (a / b) ∧ (mabs a / mabs b)⁻¹ ≤ mabs (a / b)


Context:
m✝ n✝ m : ℕ
b : Bool
n : ℕ


Context: m✝ n✝ m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: this : (bit b n >>> 1 >>> m).bodd = (n >>> m).bodd


Context: m✝ n✝ m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: this : (bit b n >>> (m + 1)).bodd = (n >>> m).bodd


Context: m✝ n✝ m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: this : (1 &&& bit b n >>> (m + 1) != 0) = (1 &&& n >>> m != 0)


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

(Quot.mk Red.Step L)⁻¹.toWord = invRev (toWord (Quot.mk Red.Step L))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
x✝¹ x✝ : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α

insert a (s ∪ t) = insert a s ∪ insert a t


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (PartialRefinement u s)
i : ι
ne : c.Nonempty
h : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (PartialRefinement u s)
i : ι
ne : c.Nonempty
h : ¬∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

toSheafify J P ≫ sheafifyLift J η hQ = η


(sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ ((presheafToSheaf J D).map η ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := Q, cond := hQ }).val = η


η ≫ (sheafificationAdjunction J D).unit.app ((sheafToPresheaf J D).obj { val := Q, cond := hQ }) ≫ (sheafToPresheaf J D).map ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := Q, cond := hQ }) = η


η ≫ 𝟙 ((sheafToPresheaf J D).obj { val := Q, cond := hQ }) = η


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ t s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: s✝ t s : Set α


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)

(⋃ j, I.pi fun i => s i j) = I.pi fun i => ⋃ j, s i j


⋃ j, ⋂ x, eval ↑x ⁻¹' s (↑x) j = ⋂ x, ⋃ i, eval ↑x ⁻¹' s (↑x) i


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)
this : Finite ↑I


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder ι'
inst✝ : Nonempty ι'
α : ι → Type u_3
I : Set ι
s : (i : ι) → ι' → Set (α i)
hI : I.Finite
hs : ∀ i ∈ I, Monotone (s i)
this : Finite ↑I
i : ↑I
j₁ j₂ : ι'
h : j₁ ≤ j₂

eval ↑i ⁻¹' s (↑i) j₁ ≤ eval ↑i ⁻¹' s (↑i) j₂


Context:
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
x : α
ys : Fin m → α

append (snoc xs x) ys = append xs (cons x ys) ∘ cast ⋯


(append xs (cons (cons x elim0 0) ys) ∘ cast ⋯) ∘ cast ⋯ = append xs (cons x ys) ∘ cast ⋯


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
ho : o + 1 = m + 1 + n
x : α
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin (o + 1)

vecAppend ho (vecCons x u) v i = vecCons x (vecAppend ⋯ u v) i


(if h : ↑i < m + 1 then vecCons x u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - (m + 1), ⋯⟩) = vecCons x (fun i => if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩) i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T5Space Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e

∀ ⦃s t : Set X⦄, Disjoint (closure s) t → Disjoint s (closure t) → Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T5Space Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
this : CompletelyNormalSpace X


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a✝ : α
b : β
c : γ
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
l : Filter β


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x : M ⊗[R] N

Context: this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x : M ⊗[R] N

Context: m : M

Context: n : N


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x✝ : M ⊗[R] N

Context: x y : M ⊗[R] N

Context: ihx : 1 • x = x

Context: ihy : 1 • y = y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
I : Set ι
I_fin : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
hU : ⋂ i, V i ⊆ U
this : Fintype ↑I


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α
I : Set ι
I_fin : I.Finite
V : ↑I → Set α
hV : ∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i
hU : ⋂ i, V i ⊆ U
this : Fintype ↑I
i : ↑I


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M


(conGen fun x y => c x y ∨ d x y) = conGen (⇑c ⊔ ⇑d)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: o' : Ordinal.{v}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w}

Context: g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w}

Context: h : o.brange f ⊆ o'.brange g

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: j : Ordinal.{v}

Context: hj : j < o'

Context: hj' : g j hj = f i hi


Context:
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ n ^ k


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ


Context:
w x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
w x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x

(↑x.toNNReal ^ y).toNNReal = x.toNNReal ^ y


Context:
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hr : x ≤ 2 * π


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'

HasFDerivAt (fun y => c y * d) (d • c') x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 0)
y : G

(A.ρ y) (x default) - x default = (A.ρ ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y 0)) (x fun i => (Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y i.succ) + ∑ j ∈ {0}, (-1) ^ (↑j + 1) • x (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y))


(A.ρ y) (x default) + -x default = (A.ρ ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y 0)) (x fun i => (Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y i.succ) + -x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.funUnique (Fin 1) G).symm y))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q✝ : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
q : Subspace 𝕜 E
hq : IsCompl p q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
p q✝ : Subspace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 (E ⧸ p)
hp : IsClosed ↑p
q : Subspace 𝕜 E
hq : IsCompl p q
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥q


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h : H

Measure.map (fun x => h * x) (Measure.map (⇑f) μ) = Measure.map (⇑f) μ


Measure.map ((fun x => h * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G

Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) μ


Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) (Measure.map (fun x => g * x) μ)


Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f ∘ fun x => g * x) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g y : G

((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) y = (⇑f ∘ fun x => g * x) y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f g : Filter α

(∃ᶠ (x : α) in f ⊔ g, p x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in g, p x


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: m n : ℕ

1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C

(∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X✝ Y✝ : C

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : L.CommShift M

Context: X Y : C

Context: eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor C a ⋙ L).obj X ⟶ (shiftFunctor C b ⋙ L).obj Y) ↔ Small.{w, v₂} ((L ⋙ shiftFunctor D a).obj X ⟶ (L ⋙ shiftFunctor D b).obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X✝ Y✝ : C

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : L.CommShift M

Context: X Y : C

Context: eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} (L.obj ((shiftFunctor C a).obj X) ⟶ L.obj ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂

(l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α

(∏ x ∈ Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Ici a, f x


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: x : G


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: x : ℝ≥0∞

Context: hx : x ≠ ⊤

Context: this✝ : (x • μ).OuterRegular

Context: this : IsFiniteMeasureOnCompacts (x • μ)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
s : Set α
f : α → Filter β


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i✝ : ℤ
hx : IsOfFinOrder x
x✝ : y ∈ zpowers x
i : ℤ
hi : (fun x_1 => x ^ x_1) i = y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ x : E
hx : x ∈ s


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1


Context:
r s : ℤ
h : IsCoprime r s


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A✝ A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
hi : IsInternal A


Context:
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω


Context:
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
i : Ordinal.{u_1}
hi : i < ω
h' : a < o * i


Context:
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
i : ℕ
hi : ↑i < ω
h' : a < o * ↑i


Context:
x : SimplexCategory
e : x ≅ x


Context:
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
h : Finset.univ.card = x.len + 1


Context: x : SimplexCategory

Context: e : x ≅ x

Context: h : Finset.univ.card = x.len + 1

Context: eq₁ : RelIso.toRelEmbedding (orderIsoOfIso e) = Finset.univ.orderEmbOfFin h


Context: x : SimplexCategory

Context: e : x ≅ x

Context: h : Finset.univ.card = x.len + 1

Context: eq₂ : RelIso.toRelEmbedding (orderIsoOfIso (Iso.refl x)) = Finset.univ.orderEmbOfFin h


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂


(∃ c, IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f₂ g₂


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
x : R

(Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J ⊔ I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
v : α → R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ

eval₂ f g (p ^ (n + 1)) = eval₂ f g p ^ (n + 1)


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M

⁅I, N⁆ = ((toModuleHom R L M).comp (mapIncl I N)).range


Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R (⇑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑N.incl n = t})


Context:
m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0


Context:
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0


Context:
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset


Context: α : ℝ

Context: ha : Irrational α

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f

Context: fa : eval α fR = 0

Context: fR0 : fR ≠ 0

Context: ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset

Context: ζ : ℝ

Context: z0 : ζ > 0

Context: U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}


Context: α : ℝ

Context: ha : Irrational α

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f

Context: fa : eval α fR = 0

Context: fR0 : fR ≠ 0

Context: ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset

Context: ζ : ℝ

Context: z0 : ζ > 0

Context: xm : ℝ

Context: hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm


Context: α : ℝ

Context: ha : Irrational α

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f

Context: fa : eval α fR = 0

Context: fR0 : fR ≠ 0

Context: ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset

Context: ζ : ℝ

Context: z0 : ζ > 0

Context: xm : ℝ


Context: α : ℝ

Context: ha : Irrational α

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f

Context: fa : eval α fR = 0

Context: fR0 : fR ≠ 0

Context: ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset

Context: ζ : ℝ

Context: z0 : ζ > 0

Context: xm : ℝ

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ closedBall α ζ

dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) y) ≤ dist α y * |eval xm (derivative fR)|


Context: α : ℝ

Context: ha : Irrational α

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f

Context: fa : eval α fR = 0

Context: fR0 : fR ≠ 0

Context: ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset

Context: ζ : ℝ

Context: z0 : ζ > 0

Context: xm : ℝ

Context: z : ℤ

Context: a : ℕ

Context: hq : ↑z / (↑a + 1) ∈ closedBall α ζ

1 ≤ (↑a + 1) ^ f.natDegree * dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) (↑z / (↑a + 1)))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n1 n2 k e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n1 * e1 = t1
h2 : n2 * e2 = t2
h3 : n1 * n2 = k


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(β_ (𝟙_ C) X).inv = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv


(β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)


((λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv) ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) + (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m₁ + s₁ • m₂) (s₁ * s₂))


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier

chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
h2L₁ : K₁.carrier * L₁ ⊆ U₁


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
h2L₁ : K₁.carrier * L₁ ⊆ U₁
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval

chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂ - chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval

Context: V : Set G := V₁ ∩ V₂


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval

Context: V : Set G := V₁ ∩ V₂

clPrehaar ↑K₀ { carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ } ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval

Context: V : Set G := V₁ ∩ V₂

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: this : Continuous eval

Context: V : Set G := V₁ ∩ V₂

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
hf : Measurable f
κ : Kernel α β
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((deterministic f hf ∘ₖ κ) a) s = ((κ.map f hf) a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid β

Context: inst✝ : ContinuousAdd β

Context: f : γ → C(α, β)

Context: g : C(α, β)

Context: hf : HasSum f g

Context: x : α

Context: ev : C(α, β) →+ β := (Pi.evalAddMonoidHom (fun a => β) x).comp coeFnAddMonoidHom


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: this : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (i : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊

(fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a‖ ≤ ε * ‖↑⌊c ^ x⌋₊‖


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: i : ℕ

Context: hi : v i < ε


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: i : ℕ

Context: hi : v i < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < v i * ↑⌊c ^ n⌋₊

‖∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a‖ ≤ ε * ‖↑⌊c ^ n⌋₊‖


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: v : ℕ → ℝ

Context: v_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < v n

Context: v_lim : Tendsto v atTop (𝓝 0)

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: i : ℕ

Context: hi : v i < ε

Context: n : ℕ

|∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| ≤ ε * ↑⌊c ^ n⌋₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
y : α
h_disjoint : s.PairwiseDisjoint f
hy : y ∈ ⋃ i ∈ s, f i


∀ (y₁ y₂ : ι), y₁ ∈ s ∧ y ∈ f y₁ → y₂ ∈ s ∧ y ∈ f y₂ → y₁ = y₂


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset

(n * m).factorMultiset = n.factorMultiset + m.factorMultiset


Context:
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this : n = u.prod


(u.prod * m).factorMultiset = u.prod.factorMultiset + m.factorMultiset


Context:
n m : ℕ+
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
v : PrimeMultiset := m.factorMultiset
this✝ : n = u.prod
this : m = v.prod


(u.prod * v.prod).factorMultiset = u.prod.factorMultiset + v.prod.factorMultiset


(u + v).prod.factorMultiset = u.prod.factorMultiset + v.prod.factorMultiset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card ≤ n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n

A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r

↑(filter (fun x => r ∣ x) (Ico a b)).card = max (⌈↑b / ↑r⌉ - ⌈↑a / ↑r⌉) 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N

tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom = (rightUnitor M).hom ≫ f


(TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom) = (TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)


∀ (x : ↑M), ((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom)) x = ((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)) x


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↑M

((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom)) x = ((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)) x


(((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ (tensorHom f (𝟙 (of R R)) ≫ (rightUnitor N).hom)) x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑M ↑(of R R)).compr₂ ((rightUnitor M).hom ≫ f)) x) 1


(rightUnitor N).hom ((tensorHom f (𝟙 (of R R))) (x ⊗ₜ[R] 1)) = f ((rightUnitor M).hom (x ⊗ₜ[R] 1))


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedSinZeta (-a) s = -completedSinZeta a s


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hf0 : Summable fun n => f n x₀

Context: hx : x ∈ s

HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing 𝒪

Context: inst✝³ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra 𝒪 K

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: a b : 𝒪


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing 𝒪

Context: inst✝³ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra 𝒪 K

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: a b : 𝒪

Context: h : v ((algebraMap 𝒪 K) a) ≤ v ((algebraMap 𝒪 K) b)


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing 𝒪

Context: inst✝³ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra 𝒪 K

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: a b : 𝒪

Context: h : v ((algebraMap 𝒪 K) b) ≤ v ((algebraMap 𝒪 K) a)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
φ : P ⟶ Q

Sheaf.IsLocallyInjective ((presheafToSheaf J A).map φ) ↔ IsLocallyInjective J φ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: hmE : MeasurableSet (Ef ∪ Eg)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: hmE : MeasurableSet (Ef ∪ Eg)

Context: hfmE : μ (Ef ∪ Eg) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤

Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤

Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)

Context: huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤

Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)

Context: hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

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Context: n : ℕ

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Context: Ef : Set α

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Context: n : ℕ

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Context: hε : ε > 0

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Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

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Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

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Context: n : ℕ

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Context: μ : Measure α

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Context: Eg : Set α

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Context: Ef : Set α

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Context: hmE : MeasurableSet E

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Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

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Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

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Context: μ✝ : Measure α

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Context: μ : Measure α

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Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)

Context: ffmE : Fact (μ E < ⊤)

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Context: n : ℕ

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Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

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Context: μ✝ : Measure α

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Context: μ : Measure α

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Context: n : ℕ

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Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

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Context: μ✝ : Measure α

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Context: μ : Measure α

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Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤

Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)

Context: ffmE : Fact (μ E < ⊤)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hmfngEc : AEStronglyMeasurable (Eᶜ.indicator (f n - g)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: Eg : Set α

Context: hmEg : MeasurableSet Eg

Context: hμEg : μ Eg < ⊤

Context: Ef : Set α

Context: hmEf : MeasurableSet Ef

Context: hμEf : μ Ef < ⊤

Context: E : Set α := Ef ∪ Eg

Context: hmE : MeasurableSet E

Context: hfmE : μ E < ⊤

Context: hgE' : Memℒp g p (μ.restrict E)

Context: ffmE : Fact (μ E < ⊤)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hfngEcε : eLpNorm (Eᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3 + ε / 3


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

↑(sinh (2 * x)) = ↑(2 * sinh x * cosh x)


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasLimit (E ⋙ F)
k : K


(Cone.whisker E (cone F)).π.app k = π F (E.obj k)


Context:
α : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: u v : ℕ → E

Context: N : ℕ

Context: huv : ∀ n ≥ N, u n = v n

Context: hv : CauchySeq fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k

Context: d : ℕ → E := fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k

CauchySeq (d * fun n => ∏ k ∈ range (n + 1), v k)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: u v : ℕ → E

Context: N : ℕ

Context: huv : ∀ n ≥ N, u n = v n


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: u v : ℕ → E

Context: N : ℕ

Context: huv : ∀ n ≥ N, u n = v n

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

∏ k ∈ range (n + 1), u k / v k = ∏ k ∈ range (N + 1), u k / v k


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: u v : ℕ → E

Context: N : ℕ

Context: huv : ∀ n ≥ N, u n = v n

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: u v : ℕ → E

Context: N : ℕ

Context: huv : ∀ n ≥ N, u n = v n

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ N + 1


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x y : S

h.repr (x + y) - (h.repr x + h.repr y) ∈ Ideal.span {f}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s✝ t : UpperSet α
a : α
b : β
f : α ≃o β
s : UpperSet β


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s (closure t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : f =o[l] g
hgk : IsBigOWith c l g k
hc : 0 < c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hgk : IsBigOWith c l g k

Context: hc : 0 < c

Context: hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hgk : IsBigOWith c l g k

Context: hc : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : 0 < c'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hgk : IsBigOWith c l g k

Context: hc : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : 0 < c'

Context: this : 0 < c' / c


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
y : ↑(range f)
m : y ∈ s


(fun x => ⟨rangeSplitting f ↑x, ⋯⟩) ((fun x => ⟨⟨f ↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ⟨rangeSplitting f y, ⋯⟩) = ⟨rangeSplitting f y, ⋯⟩


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
x : ↑s

(fun x => ⟨⟨f ↑x, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun x => ⟨rangeSplitting f ↑x, ⋯⟩) x) = x


Context:
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
p : Partition 1


Context: n : ℕ

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : DecidableEq τ

Context: p : Partition 1

Context: h : p.parts = replicate (card p.parts) 1


Context: n : ℕ

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : DecidableEq τ

Context: p : Partition 1

Context: h' : card p.parts = 1


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ✝
inst✝² : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝¹ : Zero Γ
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
hn : n < l.reverse.length
hn' : l.length - 1 - n < l.length

l.reverse.nthLe n hn = l.nthLe (l.length - 1 - n) hn'


l.nthLe (l.length - 1 - n) hn' = l.reverse.nthLe n hn


l.nthLe (l.length - 1 - n) hn' = l.reverse.reverse.nthLe (l.reverse.length - 1 - n) ⋯


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r

∃ S, Unbounded r S ∧ type (Subrel r S) = (type r).cof.ord


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
S : Set α
hS : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
s : ↑S → ↑S → Prop
w✝ : IsWellOrder (↑S) s
e' : (#↑S).ord = type s


Context: α : Type u_1

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: S : Set α

Context: hS : Unbounded r S

Context: e : #↑S = (type r).cof

Context: s : ↑S → ↑S → Prop

Context: w✝ : IsWellOrder (↑S) s

Context: e' : (#↑S).ord = type s

Context: T : Set α := {a | ∃ (aS : a ∈ S), ∀ (b : ↑S), s b ⟨a, aS⟩ → r (↑b) a}

Context: a : α

Context: this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: S : Set α

Context: hS : Unbounded r S

Context: e : #↑S = (type r).cof

Context: s : ↑S → ↑S → Prop

Context: w✝ : IsWellOrder (↑S) s

Context: e' : (#↑S).ord = type s

Context: a : α

Context: this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty

Context: b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this


Context: α : Type u_1

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: S : Set α

Context: hS : Unbounded r S

Context: e : #↑S = (type r).cof

Context: s : ↑S → ↑S → Prop

Context: w✝ : IsWellOrder (↑S) s

Context: e' : (#↑S).ord = type s

Context: a : α

Context: this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty

Context: b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this

Context: ba : ¬r (↑b) a


Context: α : Type u_1

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: S : Set α

Context: hS : Unbounded r S

Context: e : #↑S = (type r).cof

Context: s : ↑S → ↑S → Prop

Context: w✝ : IsWellOrder (↑S) s

Context: e' : (#↑S).ord = type s

Context: a : α

Context: this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty

Context: b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this

Context: ba : ¬r (↑b) a

Context: c : ↑S

Context: h : ¬r ↑c ↑b

¬s c ⟨↑b, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: S : Set α

Context: hS : Unbounded r S

Context: e : #↑S = (type r).cof

Context: s : ↑S → ↑S → Prop

Context: w✝ : IsWellOrder (↑S) s

Context: e' : (#↑S).ord = type s

Context: a : α

Context: this : {b | ¬r (↑b) a}.Nonempty

Context: b : ↑S := ⋯.min {b | ¬r (↑b) a} this

Context: ba : ¬r (↑b) a

Context: c : ↑S

Context: h : ¬r ↑c ↑b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Mul α
a x y : α

SemiconjBy (op a) (op y) (op x) ↔ SemiconjBy a x y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq κ
b : Basis ι A M
c : Basis κ A M
f : M →ₗ[A] M

((toMatrix b b) f).det = ((toMatrix c c) f).det


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
i j : n

(M.charmatrix i j).natDegree ≤ if i = j then 1 else 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n

coeff i (mk p fun i => coeff i x) = coeff i x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
a : R
x : M'
x' : M
hx : f x' = x


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
g : ↑Γ(X, X.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: g : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: this : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

∃ f', X.basicOpen f' = X.basicOpen (x • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩))


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

X.basicOpen (f * x) = X.basicOpen (x • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩))


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x = X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) ⊓ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x = X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x ⊓ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x ≤ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩) = X.basicOpen f


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

IsUnit ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : ↥(nonZeroDivisors R)


0 < ↑(ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑x})).factors)))


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


utf8Len l + utf8Len r ≤ utf8Len l ↔ r = []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t t' : Set α
h : EqOn f g (t ∩ s)
h' : EqOn f' g (t' ∩ sᶜ)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V
u v : V

(G'.deleteVerts s).Adj u v ↔ u ∈ G'.verts ∧ u ∉ s ∧ v ∈ G'.verts ∧ v ∉ s ∧ G'.Adj u v


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n