∀ (l₁ : List Γ'), ∃ l₁' l₂' s', l₁.reverseAux (trPosNum a) = l₁'.reverseAux l₂' ∧ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) l₁ c d } { l := some (unrev q₂), var := s', stk := elim (l₂' ++ Γ'.cons :: trList v) l₁' c d }


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Ordinal.{max u v}

Context: hc : ℵ₀ < c.cof

Context: hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < c


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: c : Ordinal.{max u v}

Context: hc : ℵ₀ < c.cof

Context: hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < c

Cardinal.lift.{v, u} (max ℵ₀ #ι) < c.cof


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: c : Ordinal.{max u v}

Context: hc : ℵ₀ < c.cof

Context: hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < c

Context: l : List ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: S T : WSeq (WSeq α)

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)

Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) s1.destruct s2.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: S T : WSeq (WSeq α)

Context: s1 s2 : WSeq α

∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca.destruct cb.destruct


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
x : Subobject X


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
f : MonoOver X

(map (𝟙 X)).obj (Quotient.mk'' f) = Quotient.mk'' f


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃

reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e' = reindex R s (e.trans e')


↑(reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e') = ↑(reindex R s (e.trans e'))


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
f : (i : ι) → s i

((↑(reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e')).compMultilinearMap (tprod R)) f = ((↑(reindex R s (e.trans e'))).compMultilinearMap (tprod R)) f


((tprod R) fun i => f (e.symm (e'.symm i))) = ((domDomCongrLinearEquiv' R R s (⨂[R] (i : ι₃), s ((e.trans e').symm i)) (e.trans e')).symm (tprod R)) f


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: a b c : Ordinal.{u}

Context: h_init : x ≤ f x

Context: h_ab : a < b

Context: h_ac : a ≤ c

Context: h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: a b c : Ordinal.{u}

Context: h_init : x ≤ f x

Context: h_ab : a < b

Context: h_ac : a ≤ c

Context: lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: a b c : Ordinal.{u}

Context: h_init : x ≤ f x

Context: h_ab : a < b

Context: h_ac : a ≤ c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
f : R

Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Disjoint (↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)) (Module.support R M)


Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f} ↔ Module.support R M ≤ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type ?u.136040
inst✝¹ : MulAction R X
T : Type u_2
inst✝ : Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R

(universalMulHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re

HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∑' (x_1 : ι), ↑x ^ (s - 1) * (a x_1 * ↑(rexp (-p x_1 * x))) ∂volume)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: i : ι

Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ↑a_1 ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * a_1))) ∂volume


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: i : ι

Integrable ((fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i) (volume.restrict (Ioi 0))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

Summable fun i => ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ‖(fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i a_1‖ ∂volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b : α
a : WithTop α


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ

((f * g) ∣[k1 + k2] A) x = ((↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A) x


f (A • x) * g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = ↑(↑↑A).det * (f (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det


Context: Γ : Subgroup SL(2, ℤ)

Context: k : ℤ

Context: f✝ : ℍ → ℂ

Context: k1 k2 : ℤ

Context: A : ↥GL(2, ℝ)⁺

Context: f g : ℍ → ℂ

Context: x : ℍ

Context: d : ℂ := ↑(↑↑A).det

Context: h1 : d ^ (k1 + k2 - 1) = d * d ^ (k1 - 1) * d ^ (k2 - 1)


Context: Γ : Subgroup SL(2, ℤ)

Context: k : ℤ

Context: f✝ : ℍ → ℂ

Context: k1 k2 : ℤ

Context: A : ↥GL(2, ℝ)⁺

Context: f g : ℍ → ℂ

Context: x : ℍ

Context: d : ℂ := ↑(↑↑A).det

Context: h22 : denom A x ^ (-(k1 + k2)) = denom A x ^ (-k1) * denom A x ^ (-k2)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

Context: this : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

Context: this✝ : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet

Context: this : ↑(FreeGroup.of i * FreeGroup.of i) = 1


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) * cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a✝ b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
a : α


Tendsto (fun s => g (∏ x ∈ s, f x)) atTop (𝓝 (g a)) ↔ Tendsto (fun s => ∏ x ∈ s, f x) atTop (𝓝 a)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ

0 < ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ↔ 0 < μ (support f ∩ s)


NullMeasurableSet (support f) (μ.restrict s)


NullMeasurableSet (f ⁻¹' {0}ᶜ) (μ.restrict s)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.64705, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
j : ℤ
A : C
f : (mappingCone φ).X j ⟶ A
i : ℤ
hij : j + 1 = i

f = (↑(fst φ)).v j i hij ≫ (inl φ).v i j ⋯ ≫ f + (snd φ).v j j ⋯ ≫ (inr φ).f j ≫ f


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs'✝ : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1


Context:
a : UnitAddCircle
hs' : 1 ≠ 1 ∨ a ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n

∃ s', some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
o : Option (α × WSeq α)
om : o ∈ (s.drop n).destruct


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n
o : Option (α × WSeq α)
om : o ∈ (s.drop n).destruct
this : Prod.fst <$> o = some a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: r : R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun a => eval a (C r)) a = (algebraMap R A) r


Context: m n : ℕ


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α


comap ((fun x => x.2 / x.1) ∘ Prod.swap) (𝓝 1) = comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

s.length = Computation.map List.length s.toList


Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ : WSeq α

Context: s1 s2 : Computation ℕ

Context: l : List α

Context: s : WSeq α

Context: h : s1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ s2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))) s1.destruct s2.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ : WSeq α

Context: s1 s2 : Computation ℕ

Context: l : List α

Context: s : WSeq α

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))) (Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s)).destruct (Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))).destruct


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α), f a ∂count = ∑' (a : α), f a


∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i = ∑' (a : α), f a


(fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i) = fun a => f a


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)

Context: hF' : Nonempty (PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F)

Context: x✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F := hF'.some


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))


(-o).oangle y (y + x) = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))


Context:
α : Type u_1
m n : Num


Context: α : Type u_1

Context: m n : Num

Context: this : Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)


Context:
α : Type u_1
m n : Num

Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m) → (m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n)


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
n : ℕ
hn : 0 < n

↑(basicOpen 𝒜 (f ^ n)) = ↑(basicOpen 𝒜 f)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
s : Cone (e.functor ⋙ F)
k : K

(((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).π.app k = (Iso.refl (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).pt).hom ≫ ((𝟭 (Cone (e.functor ⋙ F))).obj s).π.app k


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : trace K L = 0

Context: pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : trace K L = 0


Integrable (fun x => (1 + x ^ 2)⁻¹) volume


Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-2 / 2)) volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I₀ : Set α
hI₀ : M.Indep I₀

∃ I₀_1, M.Indep I₀_1 ∧ BijOn f I₀_1 (f '' I₀)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t✝ u : Finset α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: t : Finset β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂

Context: hst : t.card ≤ s.card

∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

δ n' (n' + 1) ((↑γ).rightShift a n' hn') = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x

HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: c d : 𝕜 → 𝔸

Context: c' d' : 𝔸

Context: u v : 𝕜 → 𝕜'

Context: hc : HasStrictDerivAt c c' x

Context: hd : HasStrictDerivAt d d' x

Context: this : HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) ((c x • smulRight 1 d' + (smulRight 1 c').smulRight (d x)) 1) x


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α


M.Indep B → ((B ⊆ M.E ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ M.E → B = J) ∧ M.E ⊆ M.E ↔ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I)


M.Indep B → ((B ⊆ M.E ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ M.E → B = J) ↔ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ

x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ioo a b ↔ x✝ ∈ Ioo ⌊a⌋₊ ⌈b⌉₊


Context: m n : ℕ


Context: m n : ℕ

(if m < n then n * n + m else m * m + (m + n)) < max m n * max m n + (max m n + (max m n + 1))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

((G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K).unit.app F).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

(G.op.ranAdjunction A).unit.app ((sheafToPresheaf K A).obj F) ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).symm.hom.app F) ≫ (G.sheafPushforwardCocontinuousCompSheafToPresheafIso A J K).symm.hom.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F) = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

(G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F)).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

(G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F)).val = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

(G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) ≫ 𝟙 (G.op.ran.obj (G.op ⋙ F.val)) = (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j j' : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i j'

kernelSubobject (C.d i j) = kernelSubobject (C.d i j')


kernelSubobject (C.d i j' ≫ eqToHom ⋯) = kernelSubobject (C.d i j')


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : Cardinal.{v}
hn : n < Module.rank R M

∃ s, #↑s = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : Cardinal.{v}

Context: hn : n < Module.rank R M

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Context: hs' : n < #↑↑⟨s, hs⟩


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : Cardinal.{v}

Context: hn : n < Module.rank R M

Context: s : Set M

Context: hs' : n < #↑↑⟨s, hs⟩

Context: t : Set M

Context: ht : t ⊆ ↑⟨s, hs⟩

Context: ht' : #↑t = n


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : DivisionMonoid G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
μ✝ μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G


MeasurePreserving (fun t => g * t⁻¹) μ μ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
i : ι

(b.repr ↑(ceil b m)) i = ↑⌈(b.repr m) i⌉


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
v : Fin n.succ → α
x : α
w : Fin n → α

v ⬝ᵥ vecCons x w = vecHead v * x + vecTail v ⬝ᵥ w


Context: n : ℕ+


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
f : { x // p x } → β
g : α → β
h : ∀ x ∈ s, g ↑x = f x

∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => p x) s, g x = ∏ x ∈ s, f x


∏ x ∈ s, g ((Embedding.subtype fun x => p x) x) = ∏ x ∈ s, f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀ : 0 ≤ x₀

Context: hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀ : 0 ≤ x₀

Context: h : ‖f ↑x₀‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀ : 0 ≤ x₀

Context: h : C < ‖f ↑x₀‖


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G

Group.nilpotencyClass ↥H ≤ Group.nilpotencyClass G


∀ (n : ℕ), lowerCentralSeries G n = ⊥ → lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H✝ : Subgroup G

Context: inst✝ : H✝.Normal

Context: H : Subgroup G

Context: hG✝ : Group.IsNilpotent G

Context: n : ℕ

Context: hG : lowerCentralSeries G n = ⊥

Context: this : map H.subtype (lowerCentralSeries (↥H) n) ≤ lowerCentralSeries G n


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H✝ : Subgroup G

Context: inst✝ : H✝.Normal

Context: H : Subgroup G

Context: hG✝ : Group.IsNilpotent G

Context: n : ℕ

Context: hG : lowerCentralSeries G n = ⊥

Context: this : ∀ ⦃x : G⦄ (x_1 : ↥H), x_1 ∈ lowerCentralSeries (↥H) n ∧ H.subtype x_1 = x → x ∈ ⊥


Context:
n b : ℕ
l : List ℕ
x✝¹ x✝ : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β

Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε


(∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ univ ∧ edist (f x) b < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1


Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1


Context:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

(∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)) → IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


IsLieAbelian ↥↑I ↔ ∀ (y : L) (x : ↥I) (x_1 : ↥I), ⁅↑x, ↑x_1⁆ = y → y = 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α' → β' → δ

Context: g₁ : α → α'

Context: g₂ : β → β'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g₁ '' ↑s) (g₂ '' ↑t)


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MulAction G β

Context: U V : Set α

Context: this : Setoid α := orbitRel G α

Context: f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'

Disjoint (f '' U) (f '' V) ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MulAction G β

Context: U V : Set α

Context: this : Setoid α := orbitRel G α

Context: h : Disjoint (f '' U) (f '' V)

Context: a : α

Context: a_in_U : a ∈ U

Context: g : G

Context: g_in_V : g • a ∈ V


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MulAction G β

Context: U V : Set α

Context: this : Setoid α := orbitRel G α

(∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V) → Disjoint (f '' U) (f '' V)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
inj : Injective m
large : range m ∈ f
S : Set α


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
t : Set G


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
s : Set H

map (↑I.symm) (𝓝[↑I '' s] ↑I x) = 𝓝[s] x


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup = B.unitGroup


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det


∑ σ ∈ Finset.map decomposeFin.symm.toEmbedding (univ ×ˢ univ), sign σ • ∏ i : Fin n.succ, A (σ i) i = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det


∑ x : Fin n.succ, ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (x, y)) • ∏ x_1 : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (x, y)) x_1) x_1 = ∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ ↑x * A x 0 * (of fun i j => A (x.succAbove i) j.succ).det


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (0, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (0, y)) x) x = (-1) ^ ↑0 * A 0 0 * (of fun i j => A (Fin.succAbove 0 i) j.succ).det


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n

∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = (-1) ^ ↑i.succ * A i.succ 0 * (of fun i_1 j => A (i.succ.succAbove i_1) j.succ).det


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i✝ : Fin n.succ

Context: x✝ : i✝ ∈ univ

Context: i : Fin n

Context: this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i✝ : Fin n.succ

Context: x✝ : i✝ ∈ univ

Context: i : Fin n

∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = ∑ i_1 : Perm (Fin n), -1 * (A i.succ 0 * sign i_1 • ∏ i_2 : Fin n, (of fun i_3 j => A (i.succ.succAbove i_3) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (i_1 i_2) i_2)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i✝ : Fin n.succ

Context: x✝¹ : i✝ ∈ univ

Context: i : Fin n

Context: σ : Perm (Fin n)

Context: x✝ : σ ∈ univ

sign (decomposeFin.symm (i.succ, σ)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i✝ : Fin n.succ

Context: x✝¹ : i✝ ∈ univ

Context: i : Fin n

Context: σ : Perm (Fin n)

Context: x✝ : σ ∈ univ

(-1 * sign σ) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : List α → Prop

Context: base : p []

Context: ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])

Context: q : List α → Prop := fun l => p l.reverse


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : List α → Prop

Context: base : p []

Context: pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : List α → Prop

Context: base : p []

Context: pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l

Context: qp : ∀ (l : List α), q l.reverse → p l


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'

((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂ b₂ b₂) J') ((toLin b₁ b₂) A) ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


(toLinearMap₂ b₂ b₂) J' ∘ₗ (toLin b₁ b₂) A = ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).compl₂ ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Context: h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: xs : Vector α n

Context: β σ₁ γ σ₂ : Type

Context: f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ

Context: f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ

Context: R : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2

Context: n✝ : ℕ

Context: xs✝ : Vector α n✝

Context: ys✝ : Vector β n✝

Context: x✝ : α

Context: y✝ : β

Context: a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).2

Context: s₁ : σ₁

Context: s₂ : σ₂

Context: h₀ : R s₁ s₂

R (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).2


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h : m < n

(if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h : m < n

Context: h_not : ¬∃ j, ∃ (_ : j ∈ Set.Icc n m), u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h : m < n

Context: h_not : ¬∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β

Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'

inr' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inr


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

∫⁻ (a : α) in s, f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : Memℒp f ⊤ μ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: S₁ S₂ : Split C

Context: F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X

Context: f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n

Context: c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n

Context: F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X

Context: c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n

Context: h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n

{ F := F₁, f := f₁, comm := c₁ } = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: S₁ S₂ : Split C

Context: F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X

Context: f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n

Context: F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U

∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (L (fun n => χ ↑n) s))


Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : Type w

Context: A B : I → C

Context: f : (i : I) → A i ⟶ B i

Context: S X Y Z : C

Context: πX : X ⟶ S

Context: πY : Y ⟶ S

Context: φ : X ⟶ Y

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C

Context: inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C

Context: inst✝ : HasPushout (functorObjTop f πX) (functorObjLeft f πX)

Context: x : FunctorObjIndex f πX

f x.i ≫ Sigma.ι (functorObjTgtFamily f πX) x ≫ ρFunctorObj f πX = x.t ≫ ιFunctorObj f πX


Context: a b : Cardinal.{u_1}


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
h0 : a = 0 → Nonempty ι


Context: p : ℕ

Context: inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u₁

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : CharP R p

Context: P : Type u₃

Context: inst✝³ : CommSemiring P

Context: inst✝² : CharP P p

Context: inst✝¹ : PerfectRing P p

Context: inst✝ : PerfectRing R p

Context: f : ℕ → R

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f (n + 1) ^ p = f n

Context: n✝ n : ℕ

Context: ih : (⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] (f 0) = f n

(⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n.succ] (f 0) ^ p = f n.succ ^ p


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: E : Set α

Context: Indep : Finset α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I

Context: indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)

Context: subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E

Context: I : Set α

(IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep I ↔ ∀ (J : Finset α), ↑J ⊆ I → Indep J


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
x : E
hx : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
x : E
hx : x ∈ s
this : x ∈ interior (↑(ker l))ᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β

f.trans f.symm = PEquiv.refl α ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true


(∀ (x : α), x ∈ {a | (f a).isSome = true}) ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h✝ : a ∈ s
b : α
h : s.inf WithTop.some = ↑b
right✝ : b ≤ a


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

f 0 ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0 = 0


¬(ComplexShape.up ℕ).Rel ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) x.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) univ x.2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z ℱ (g ∘ f)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z (map f ℱ) g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
y : Y
hy : ClusterPt y (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g y) (map f ℱ) g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
x : X
hx : ClusterPt x ℱ
hy : ClusterPt (f x) (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g (f x)) (map f ℱ) g

∃ x_1, (g ∘ f) x_1 = g (f x) ∧ ClusterPt x_1 ℱ


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = r i


((interpolate s v) fun i => eval (v i) f) = (interpolate s v) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β

(∀ (l_1 : List β), l_1 ∈ map f l → l_1 = []) ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = []


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f

J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G) f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint


J.W (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R

Function.Bijective fun g => whiskerRight f G ≫ g


Function.Bijective (⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: adj : G ⊣ F

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ E

Context: f : P ⟶ Q

Context: hf : J.W f

Context: this : F.IsRightAdjoint

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hR : Presheaf.IsSheaf J R

Context: e_1✝ : (Q ⋙ G ⟶ R) = (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).obj Q ⟶ R)

Context: e_2✝ : (P ⟶ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj R) = (P ⟶ R ⋙ F)

(⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g) = ⇑(((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv Q R).trans (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv hf (R ⋙ F) ⋯))


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B

algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (algebraMapSubmonoid B M)


algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (Submonoid.map f (algebraMapSubmonoid A M))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
inst✝ : Nontrivial ↥H


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)

Context: h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))

Context: h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))

Context: A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)

Context: B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)

Context: a : ℤ

p a = (∑ n ∈ p.support, C (p.toFun n) * T n) a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)

Context: a : ℤ

p a = (∑ x ∈ p.support, Finsupp.single x (p.toFun x)) a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)

Context: a : ℤ

p a = ∑ k ∈ p.support, (Finsupp.single k (p.toFun k)) a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)

Context: a : ℤ

p a = if a ∈ p.support then p.toFun a else 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Integrable f μ
c : E


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f 1 μ
c : E


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

((λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = 𝟙 P.X


(λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ P.actLeft = 𝟙 P.X


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∀ (x : ℕ), (∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, (F x, F l) ∈ {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε}) → F x ∈ Metric.closedBall f ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

Tendsto (id fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) atTop (𝓝 ↑(F n - f))


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

∀ (x : α), Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i x) atTop (𝓝 (↑(F n - f) x))


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: a : α

Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i a) atTop (𝓝 (↑(F n - f) a))


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
R✝ : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M'
inst✝⁹ : Module R✝ M₁
inst✝⁸ : Nontrivial R✝
inst✝⁷ : NoZeroSMulDivisors R✝ M
inst✝⁶ : StrongRankCondition R✝
inst✝⁵ : Module.Finite R✝ M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: this : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: this✝ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: this✝¹ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)

Context: this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: hne : ¬padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (-↑f m)) (padicNorm p (↑f n))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: this : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) < padicNorm p (-↑f m + ↑f n)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R
h : q.totalDegree < p.totalDegree


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))


Submodule.span k (insert (p i -ᵥ p i) ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

((↑F).comp (of A 0)) GradedMonoid.GOne.one = 1


↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = F 1


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j

((↑F).comp (of A (i + j))) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = ((↑F).comp (of A i)) ai * ((↑F).comp (of A j)) aj


F ((of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) = F ((of A i) ai) * F ((of A j) aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : { f // f GradedMonoid.GOne.one = 1 ∧ ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), f (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = f ai * f aj }

Context: xi : ι

Context: xv : A xi

↑((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) f)) xv = ↑f xv


(fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F) = F


(fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F)) = (fun f => ↑f) F


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
xi : ι
xv : A xi

(((fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F))).comp (of A xi)) xv = (((fun f => ↑f) F).comp (of A xi)) xv


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => process s n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart (process s) ℱ μ n ω) atTop atTop


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
ω : Ω
n : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1) ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: J : (Finset I)ᵒᵖ

Context: g : LocallyConstant ↑((spanFunctor ⋯).obj J).toTop ℤ

Context: h : f = LocallyConstant.comap ((spanCone ⋯).π.app J) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedSemiring R

Context: a : R

Context: Hsq : 0 ≤ a * a

Context: Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)

Context: H : 0 ≤ 2 + a

Context: n : ℕ

Context: this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedSemiring R

Context: a : R

Context: Hsq : 0 ≤ a * a

Context: Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)

Context: H : 0 ≤ 2 + a

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M

equivMapDomain f (single a b) = single (f a) b


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: β : Type

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ γ : Type

Context: f : α → β → σ → σ × γ

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S

Context: closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S

Context: out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2

(mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = map₂ (fun x x_1 => (f x x_1 s₀).2) xs ys


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: β : Type

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ γ : Type

Context: f : α → β → σ → σ × γ

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S

(mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = (mapAccumr₂ (fun x y x_1 => ((), (f x y s₀).2)) xs ys ()).2


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: β : Type

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ γ : Type

Context: f : α → β → σ → σ × γ

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsNoetherian R M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
s : σ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1

HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1

(fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1


Context:
n : ℕ
x✝ : 0 ≤ n


Context:
k : ℕ
h : k.succ ≤ 0


Context:
n k : ℕ
h : k.succ ≤ n.succ

(n.succ - k.succ)! * n.succ.descFactorial k.succ = n.succ !


Context:
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b

Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))


(∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))


(∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : 1 = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d : α
r n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a

variationOnFromTo f s a b = -(eVariationOn f (s ∩ Icc b a)).toReal


Context:
x✝¹ y x : ℝ
x✝ : x ∈ univ


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.IsLeftDescent w i ↔ ¬cs.IsLeftDescent (cs.simple i * w) i


cs.length (cs.simple i * w) + 1 = cs.length w ↔ cs.length w = cs.length (cs.simple i * w) + 1


Context: a b m n✝ p✝ p n : ℕ

Context: IH : (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 n)).card = n / p

Context: h1 : Ioc 0 n.succ = insert n.succ (Ioc 0 n)

(Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 (n + 1))).card = (n + 1) / p


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ¬G.CliqueFree m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ∃ x, G.IsClique ↑x ∧ x.card = m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hm : n < s.card


Context:
α : Type u_1
a y : Lists α
l : Lists' α true


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: t : E → ℝ

Context: ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s

Context: tpos : ∀ (m : E), 0 < t m


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: t : E → ℝ

Context: tpos : ∀ (m : E), 0 < t m

Context: C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: t : E → ℝ

Context: tpos : ∀ (m : E), 0 < t m

Context: C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m

Context: this : (f'' (z + t v • v)) (z + t w • w) = (f'' (z + t w • w)) (z + t v • v)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: t : E → ℝ

Context: tpos : ∀ (m : E), 0 < t m

Context: C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m

Context: this : (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) = (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: t : E → ℝ

Context: tpos : ∀ (m : E), 0 < t m

Context: C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m

Context: this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) < o


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) < type fun x x_1 => x < x_1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
A : M
h : IsUnit A.det


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

ContinuousOn f s ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s


(∀ x ∈ s, LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x) ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

∫ (b : β), ↑(f (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ Iic x)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : s ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : ⋃ x ∈ s, {x} ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : ⋃ x ∈ s, {x} ∈ f
a : α
has : a ∈ s
haf : {a} ∈ f


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

rdropWhile p [x] = if p x = true then [] else [x]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
b : β
hb : s b (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
a' : α
hb : s (f a') (f a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
he : e ∈ M.closure X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x : α


Context:
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ


Context:
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g

Context: m : ℕ

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g

Context: m : ℕ

Context: this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1

Context: m : ℕ

Context: this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: m : ℕ

Context: z : 𝕜

Context: hfg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z, x ∈ {z}ᶜ → f x = g x

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => (z_1 - z) ^ m • f z_1) z

Context: this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => z_1 - z) z

Context: hz : z ∈ {z}ᶜ → f z = g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z

Context: hn : z ≠ x


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set M

Context: hs : s ⊆ ↑M'

Context: hs' : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val

Context: t : Set M

Context: ht : LinearIndependent (ι := ↑t) R (Submodule.Quotient.mk ∘ Subtype.val)

LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ t)) R Subtype.val


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set M

Context: hs : s ⊆ ↑M'

Context: t : Set M

range (Sum.elim (fun x => ↑((s.embeddingOfSubset (↑M') hs) x)) Subtype.val) = s ∪ t


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H K : Subgroup G


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
x : ↑R

(((stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).inv ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫ (stalkIso (↑S) p).hom) ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) = (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)


((localizationToStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫ stalkToFiberRingHom (↑S) p) ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) = (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b b' : B
hb : b ≠ 1
hb' : b' ≠ 1
i j : A

Disjoint (mulSupport (mulSingle i b)) (mulSupport (mulSingle j b')) ↔ i ≠ j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α

(blockDiagonal' M)ᴴ = blockDiagonal' fun k => (M k)ᴴ


(blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ).map star = blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ.map star


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x


∃ t ⊆ range ↑I, IsOpen t ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
a : α
ha : m a ∈ s
b : α
hb : m b ∈ t

(fun x x_1 => x * x_1) (m a) (m b) ∈ range ⇑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι' ≃ ι
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
f : A →ₐ[S] B
s : A → A → Prop
w : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : A

((liftAlgHom S) ⟨f, w⟩) ((mkAlgHom S s) x) = f x


({ toFun := fun f' => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f' ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f, w⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } x) = f x


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range


CoprodI.of ((φ i) (cons g w hmw hgr).head) • (cons g w hmw hgr).toWord = CoprodI.of ((φ i) ((of i) g • w).head) • ((of i) g • w).toWord


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

∫ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ