Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b c : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
f : α → β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hμs : μb s ≠ ⊤
c : E
hf : MeasurePreserving f μ μb

μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤


Context: this : -(π / 2) < π / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: f : α × β → M

Context: hf : (mulSupport f).Finite

Context: h₁ : ∀ (a : α × β), ∏ᶠ (_ : a ∈ hf.toFinset), f a = f a

Context: h₂ : ∏ᶠ (a : α × β), f a = ∏ᶠ (a : α × β) (_ : a ∈ hf.toFinset), f a

∏ᶠ (ab : α × β), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β), f (a, b)


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)

¬Tendsto diracProba L (𝓝 (diracProba x))


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
x : X
L : Filter X
h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)
U : Set X
U_nhd : U ∈ 𝓝 x
hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U
Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: x : X

Context: L : Filter X

Context: h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)

Context: U : Set X

Context: U_nhd : U ∈ 𝓝 x

Context: hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U

Context: Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: fx_eq_one : f x = 1

Context: f_vanishes_outside : ∀ y ∈ (interior U)ᶜ, f y = 0


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: x : X

Context: L : Filter X

Context: h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)

Context: U : Set X

Context: U_nhd : U ∈ 𝓝 x

Context: hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U

Context: Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: fx_eq_one : f x = 1

∃ x_1, ¬Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(x_1 ω) ∂↑(diracProba i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(x_1 ω) ∂↑(diracProba x)))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: x : X

Context: L : Filter X

Context: h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)

Context: U : Set X

Context: U_nhd : U ∈ 𝓝 x

Context: hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U

Context: Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: fx_eq_one : f x = 1

¬Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : X), ↑(f ω) ∂↑(diracProba x)))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: x : X

Context: L : Filter X

Context: h : ¬Tendsto id L (𝓝 x)

Context: U : Set X

Context: U_nhd : U ∈ 𝓝 x

Context: hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U

Context: Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: fx_eq_one : f x = 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: x✝ : X

Context: L : Filter X

Context: h : ¬Tendsto id L (𝓝 x✝)

Context: U : Set X

Context: U_nhd : U ∈ 𝓝 x✝

Context: hU : ∃ᶠ (x : X) in L, x ∉ U

Context: Uint_nhd : interior U ∈ 𝓝 x✝

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: fx_eq_one : f x✝ = 1

Context: x : X

Context: x_notin_U : x ∉ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α

(∏ i : ι, if i ∈ s then f i else 1) = ∏ i ∈ s, f i


Context: B : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: proj : Z → B

Context: h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj


Context: B : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: e : Z ≃ₜ B × F

Context: h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C

(∀ (X Y : C), HasSmallLocalizedShiftedHom (HomologicalComplex.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)) ℤ ((CochainComplex.singleFunctor C 0).obj X) ((CochainComplex.singleFunctor C 0).obj Y)) ↔ ∀ (X Y : C) (n : ℤ), Small.{w, w'} ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))


(∀ (X Y : C) (a b : ℤ), Small.{w, w'} ((shiftFunctor (DerivedCategory C) a).obj (DerivedCategory.Q.obj ((CochainComplex.singleFunctor C 0).obj X)) ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) b).obj (DerivedCategory.Q.obj ((CochainComplex.singleFunctor C 0).obj Y)))) ↔ ∀ (X Y : C) (n : ℤ), Small.{w, w'} ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hs' : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsRightRegular b


Context: ι : Type uι

Context: R : Type uR

Context: A : ι → Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝⁴ : AddMonoid ι

Context: inst✝³ : GSemiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : GAlgebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : (i : ι) → A i →ₗ[R] B

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj

Context: r : R

(toModule R ι B f) ((algebraMap R (⨁ (i : ι), A i)) r) = (algebraMap R B) r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 - (⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ


a⁻¹ ^ Int.negSucc n = (a ^ Int.negSucc n)⁻¹


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: hs : LinearIndependent K fun (b : ↑s) => ↑b

Context: hx : x ∉ span K s

LinearIndependent K fun (b : ↑(insert x s)) => ↑b


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: hx : x ∉ span K s

LinearIndependent K fun (b : ↑(s ∪ {x})) => ↑b


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: hx : x ∉ span K s

Context: x0 : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
n : Type u_6
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddGroup n
inst✝ : Fintype n
a : α
i j : n

circulant (Pi.single 0 a) i j = (scalar n) a i j


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

Context: aux₁ : (fun a => a.1 ≤ k) = (fun a => a.2 ≤ k) ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).symm

filter (fun a => a.1 ≤ k) (antidiagonal n) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (antidiagonal k)


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

Context: aux₂ : ∀ (i j : ℕ), (∃ a b, a + b = k ∧ b = i ∧ a + (n - k) = j) ↔ ∃ a b, a + b = k ∧ a = i ∧ b + (n - k) = j


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

filter (fun a => a.1 ≤ k) (map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (antidiagonal n)) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (antidiagonal k)


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

map (({ toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }.prodMap (Embedding.refl ℕ)).trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) (antidiagonal k) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + (n - k), inj' := ⋯ }) (antidiagonal k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : β → α
s : Finset β

∏ x ∈ s, f x = ∏' (x : β), (↑s).mulIndicator f x


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X

ProperSMul G X ↔ ContinuousSMul G X ∧ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)


(ContinuousSMul G X ∧ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, g • x₂ = x₁ ∧ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)) ↔ ContinuousSMul G X ∧ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
hc : ContinuousSMul G X

(∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, g • x₂ = x₁ ∧ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)) ↔ ∀ (𝒰 : Ultrafilter (G × X)) (x₁ x₂ : X), Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂)) → ∃ g, Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G X

Context: inst✝⁵ : MulAction G Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : T2Space X

Context: hc : ContinuousSMul G X

Context: 𝒰 : Ultrafilter (G × X)

Context: x₁ x₂ : X

Context: hxx : Tendsto (fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)) (↑𝒰) (𝓝 (x₁, x₂))

Context: g : G

g • x₂ = x₁ ∧ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g) ↔ Tendsto fst (↑𝒰) (𝓝 g)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
V : Set X
h : V ∈ 𝓝 x
h' : V ∩ s = {x}


Context:
α : Type u_1
xs : List α
ns : List Nat


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
H : p.IsRoot a


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : Aˣ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: h0 : ∑' (k : ℕ), m (s (k + 1) \ s k) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Tendsto (fun k => m ((⋃ n, s n) \ s k)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

(⋃ n, s n) \ s n ⊆ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s

∀ (i : ℕ), s i ⊆ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s

Context: x : α

Context: this : ∃ i, x ∈ s i

Context: j : ℕ

Context: hj : x ∈ s j

Context: hlt : ∀ m < j, x ∉ s m

x ∈ s n ∪ ⋃ i, s (i + n + 1) \ s (i + n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s

Context: x : α

Context: this : ∃ i, x ∈ s i

Context: j : ℕ

Context: hj : x ∈ s j

Context: hlt : ∀ m < j, x ∉ s m

Context: hjn : j ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s

Context: x : α

Context: this : ∃ i, x ∈ s i

Context: j : ℕ

Context: hj : x ∈ s j

Context: hlt : ∀ m < j, x ∉ s m

Context: hnj : n < j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ m : OuterMeasure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), s n ⊆ s (n + 1)

Context: n : ℕ

Context: h' : Monotone s

Context: x : α

Context: this✝ : ∃ i, x ∈ s i

Context: j : ℕ

Context: hj : x ∈ s j

Context: hlt : ∀ m < j, x ∉ s m

Context: hnj : n < j

Context: this : j - (n + 1) + n + 1 = j


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

(∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ

Context: hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

(f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

(fun t => ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g (x - t))) ≤ fun t => ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) (g' (x - t))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

(fun t => f t * g (x - t)) ≤ fun t => f t * g' (x - t)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

Context: t : G

(fun t => f t * g (x - t)) t ≤ (fun t => f t * g' (x - t)) t


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : s ⊆ t
h : μ.restrict t = ν.restrict t


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
hf : Inducing f
h : IsTopologicalBasis T
a : α

(𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ preimage f '' T ∧ a ∈ t) id


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
T : Set (Set β)
hf : Inducing f
h : IsTopologicalBasis T
a : α
s : Set α

s ∈ preimage f '' T ∧ a ∈ s ↔ s ∈ (preimage f ∘ fun t => t) '' {i | i ∈ T ∧ f a ∈ i}


Context:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

(↑t).Pairwise (IsRelPrime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z


Context:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
i : ι
hi : i ≠ j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y ≤ a • f x + b • f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : (z - x) * f y ≤ (z - x) * (a • f x + b • f z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f y * (z - x) ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n : ℕ

coeff (Finsupp.single s' n) (X s) = if n = 1 ∧ s = s' then 1 else 0


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

Context: s : S

Context: r : R

Context: y : ↑Y


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: s₁ s₂ : S

Context: y : ↑Y


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: r : R

Context: s : S

Context: y : ↑Y


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: x✝¹ x✝ : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)

(lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (x✝¹ + x✝) = (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝¹ + (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: s : S

Context: z : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

(lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: s : S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

(lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • 0) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) 0


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: s : S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))

Context: y : ↑((restrictScalars f).obj Y)

(lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • s' ⊗ₜ[R] y) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s' ⊗ₜ[R] y)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y : ModuleCat S

Context: s : S

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: z1 z2 : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)

Context: ih1 : (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z1) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z1

Context: ih2 : (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • z2) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) z2

(lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (s • (z1 + z2)) = (RingHom.id S) s • (lift { toFun := fun s => { toFun := fun y => s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (z1 + z2)


Context: i j : ℤ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H₁ H₂ K : Subgroup G

H₁.subgroupOf K = H₂.subgroupOf K ↔ H₁ ⊓ K = H₂ ⊓ K


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a
c : α
x✝ : b ≤ c
H : IsSuccLimit c → c ≤ b
hc : IsSuccLimit (succ c)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : IsSuccArchimedean α
b : α
hb : b ≤ a
c : α
x✝ : b ≤ c
H : IsSuccLimit c → c ≤ b
hc : IsSuccLimit (succ c)
this : succ c = c


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
s : Submonoid R
a : R
ha : a ≠ 0
hfac : ∀ b ∈ factors a, b ∈ s
hunit : ∀ (c : Rˣ), ↑c ∈ s
c : Rˣ
hc : (factors a).prod * ↑c = a


Context:
n : ℕ
ζ : ℂ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0

∃ i, ζ.arg = ↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i ↑n ∧ i.natAbs < n


Context: n : ℕ

Context: ζ : ℂ

Context: h : ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n)) = ζ

Context: hn : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n

∃ i_1, (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n))).arg = ↑i_1 / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i_1 ↑n ∧ i_1.natAbs < n


∃ i_1, (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I).arg = ↑i_1 / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i_1 ↑n ∧ i_1.natAbs < n


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : i.Coprime n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n

(Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I).arg = ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)


(Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) * Complex.I).arg = ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)


↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = ↑(↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi))


↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi) ∈ Set.Ioc (-Real.pi) Real.pi


-Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ∧ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ Real.pi


-Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
m : ℕ
hn : 0 < m.succ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α
x✝ : m

((A + B) *ᵥ x) x✝ = (A *ᵥ x + B *ᵥ x) x✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c₁ : Cofan fun f => F.obj f.fst.1

Context: c₂ : Cofan F.obj

Context: s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt

Context: hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ s = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 }

Context: ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), c₁.ι.app { as := f } ≫ t = c₂.ι.app { as := f.fst.1 }

Context: i : Cofork s t

Context: j₁ j₂ : J

Context: f : j₁ ⟶ j₂

F.map f ≫ c₂.ι.app { as := j₂ } ≫ i.π = (c₂.ι.app { as := j₁ } ≫ i.π) ≫ 𝟙 i.pt


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c₁ : Cofan fun f => F.obj f.fst.1

Context: c₂ : Cofan F.obj

Context: s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt

Context: i : Cofork s t

Context: j₁ j₂ : J

Context: f : j₁ ⟶ j₂

Context: reassoced : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)) {W : C} {h : c₂.pt ⟶ W}, c₁.ι.app { as := f } ≫ s ≫ h = F.map f.snd ≫ c₂.ι.app { as := f.fst.2 } ≫ h


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X

∃ γ, ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ
γ : Path (p 0) (p ↑n)
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower S R M

Context: inst✝¹ : Module S N

Context: inst✝ : IsScalarTower S R N

Context: toFun : M → N

Context: toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x

Context: polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y

Context: polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y

Context: x x✝¹ x✝ : M

polar toFun x (x✝¹ + x✝) = polar toFun x x✝¹ + polar toFun x x✝


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower S R M

Context: inst✝¹ : Module S N

Context: inst✝ : IsScalarTower S R N

Context: toFun : M → N

Context: x✝² : R

Context: x✝¹ x✝ : M

polar toFun x✝¹ (x✝² • x✝) = x✝² • polar toFun x✝¹ x✝


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower S R M

Context: inst✝¹ : Module S N

Context: inst✝ : IsScalarTower S R N

Context: toFun : M → N

Context: x✝¹ x✝ : M

toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + ((LinearMap.mk₂ R (polar toFun) polar_add_left polar_smul_left ⋯ ⋯) x✝¹) x✝


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S R

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower S R M

Context: inst✝¹ : Module S N

Context: inst✝ : IsScalarTower S R N

Context: toFun : M → N

Context: x✝¹ x✝ : M

toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + polar toFun x✝¹ x✝


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

dist (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g) = dist f g


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
x : Ordinal.{u_1}
xb : x < ω ^ b
ax : a < ω ^ x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y

orderOf (x * y) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)


minimalPeriod ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) 1 ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).ΨSq n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).ΨSq n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: u : Set α

Context: hu : IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ

a /ₚ u₁ + b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ + ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)


a * ↑u₁⁻¹ + b * ↑u₂⁻¹ = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₁ * b * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹)


a * ↑u₁⁻¹ + ↑u₂⁻¹ * b = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹ * (↑u₁ * b)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p n R


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : 𝕎 R

∃ a, (truncate hm) a = (WittVector.truncate n) x


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

‖log (1 + z) - z‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

log (1 + z) - z = log (1 + z) - logTaylor (1 + 1) z


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
x✝ y✝ : V

s(x✝, y✝) ∈ G.incidenceFinset v ↔ s(x✝, y✝) ∈ filter (Membership.mem v) G.edgeFinset


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d r : ℝ
h : -1 < r

IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume a b


∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d r : ℝ

Context: h : -1 < r

Context: this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c

Context: c : ℝ


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d r : ℝ

Context: h : -1 < r

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d r : ℝ

Context: h : -1 < r

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≤ 0


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α


Context:
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α


Context:
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
hα : Finite α


Context:
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
hα : Infinite α


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: hFS : ∅ ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ∅


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F

Context: hFnemp : F.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F

Context: hFnemp : F.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑F


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F

Context: hFnemp : F.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑F

Context: t u : ↑F

∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F

Context: hFnemp : F.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑F

Context: t u : ↑F

Context: htu : ↑t ⊆ ↑u


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝² : Module ℝ F✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F✝

Context: inst✝ : T1Space F✝

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: F : Set (Set E)

Context: hFS : F ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F

Context: hFnemp : F.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑F

Context: t u : ↑F

Context: hut : ↑u ⊆ ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G

DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (↑n)⁻¹ * a < b


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
l : List R

l.sum * l.sum = (List.map (fun x => x * x) l).sum


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f - g) = lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f - lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g


Context: X : TopCat

EqualizerCondition (yonedaPresheaf LightProfinite.toTopCat ↑X)


Context: X : TopCat

∀ (Z B : LightProfinite) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)


Context:
X : TopCat
Z B : LightProfinite
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π


Context:
X : TopCat
Z B : LightProfinite
π : Z ⟶ B
he : Function.Surjective ⇑π


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.card ≠ 0

∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

∀ (s : Set β), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ Set.univ → MeasurableSet (g ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: s : Set β

Context: h1s : IsClosed s

Context: h2s : s.Nonempty

Context: h3s : s ≠ Set.univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β

Context: s : Set β

Context: h1s : IsClosed s

Context: h2s : s.Nonempty

Context: h3s : s ≠ Set.univ

Context: this : Measurable fun x => infNndist (g x) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: s : Set β

Context: h1s : IsClosed s

Context: h2s : s.Nonempty

Context: h3s : s ≠ Set.univ

Context: h4s : g ⁻¹' s = (fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: s : Set β

Context: h1s : IsClosed s

Context: h2s : s.Nonempty

Context: h3s : s ≠ Set.univ

MeasurableSet ((fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
x : X
hx : p x
h : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x


p ∈ 𝓝 ↑⟨x, hx⟩


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι

(pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s)).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X Y Z✝ : TopCat

Context: Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : Presheaf C Y

Context: U : Opens ↑X

Context: φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z

Context: h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X Y Z✝ : TopCat

Context: Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : Presheaf C Y

Context: U : Opens ↑X

∀ (j : CostructuredArrow (Opens.map f).op (op U)), ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ ψ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X Y Z✝ : TopCat

Context: Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : Presheaf C Y

Context: U : Opens ↑X

Context: V : Opens ↑Y

Context: as✝ : PUnit.{1}

Context: b : unop ((Functor.fromPUnit (op U)).obj { as := as✝ }) ⟶ unop ((Opens.map f).op.obj (op V))

((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ ψ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
γ : Type u_7
s : Finset (α × β × γ)
f : α × β × γ → M

∏ᶠ (abc : α × β × γ) (_ : abc ∈ s), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ) (_ : (a, b, c) ∈ s), f (a, b, c)


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → γ
x : t' α

Equiv.map eqv (h ∘ g) x = Equiv.map eqv h (Equiv.map eqv g x)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z

((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) ≫ g = 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z


𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ⊗ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom


𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ ((Yᘁ ⊗ Y) ◁ g ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ Y ◁ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M

(((even.ι Q).compr₂ ((evenToNeg Q' Q h').comp (evenToNeg Q Q' h))).bilin m₁) m₂ = (((even.ι Q).compr₂ (AlgHom.id R ↥(even Q))).bilin m₁) m₂


(evenToNeg Q' Q h') ((evenToNeg Q Q' h) (((even.ι Q).bilin m₁) m₂)) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂


(evenToNeg Q' Q h') (-((even.ι Q').bilin m₁) m₂) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

(ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

Context: this : (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ (λ_ X₂).hom


(α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ (λ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


(α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ ((β_ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (ρ_ X₂).hom) = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : Group α

Context: h₁ : UniformContinuous fun p => p.1 * p.2

Context: h₂ : UniformContinuous fun p => p⁻¹


Context:
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg


Context: d x y : ℕ

Context: a : ℤ√↑d

Context: ha : a.Nonneg

Context: this : { re := ↑x, im := ↑y } * a = ↑x * a + sqrtd * (↑y * a)


Context: d x y : ℕ

Context: a : ℤ√↑d

Context: ha : a.Nonneg


Context:
m n : ℕ
h : m ∣ n


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: p : β → Prop

Context: hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)

Context: unit : p 1

Context: base : ∀ x ∈ s, p (f x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: p : β → Prop

Context: unit : p 1

Context: base : ∀ x ∈ s, p (f x)

Context: b : β

Context: hb : b ∈ Multiset.map f s.val


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F

Context: inst✝ : Mono f

Context: this : let_fun this := ⋯; IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) this)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F

Context: inst✝ : Mono f

Context: this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)


Context:
n k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: R : Sheaf J D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj R

J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ ⋯ = J.sheafifyLift (η ≫ γ) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: X✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: Y✝ Y'✝ : Sheaf J D

Context: η : (plusPlusSheaf J D).obj X✝ ⟶ Y✝

Context: γ : Y✝ ⟶ Y'✝

J.toSheafify X✝ ≫ η.val ≫ γ.val = (J.toSheafify X✝ ≫ η.val) ≫ γ.val


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 = 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α

s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ Multiset.count m s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S R✝ : Sieve X

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: G : D ⥤ E

Context: R : Sieve (F.obj X)

Context: Y✝ Z✝ : C

Context: f : Y✝ ⟶ X

Context: hf : Presieve.functorPullback F R.arrows f

Context: g : Z✝ ⟶ Y✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S R✝ : Sieve X

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: G : D ⥤ E

Context: R : Sieve (F.obj X)

Context: Y✝ Z✝ : C

Context: f : Y✝ ⟶ X

Context: g : Z✝ ⟶ Y✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
x : ℤ[i]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β


Context: m n : ℤ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: h : p.toDualRight (p.toDualRight.symm f) = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
h : p.flip (p.toDualRight.symm f) = f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → Option γ

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: H : m.WF

Context: g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → Option γ

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: H : m.WF

Context: H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → Option γ

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: H : m.WF

Context: g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList

Context: M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id

Context: H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })

Context: H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)

∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), Array.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) m.buckets.val { down := 0 } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → Option γ

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: H : m.WF

∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), pure { data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data } { down := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data) } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f

⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ = ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: 𝕜₁ : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A

Context: f : 𝕜₂ → 𝕜₁

Context: a : A

Context: h : SpectrumRestricts a f

Context: this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: 𝕜₁ : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A

Context: f : 𝕜₂ → 𝕜₁

Context: a : A

Context: h : SpectrumRestricts a f

⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: 𝕜₁ : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A

Context: f : 𝕜₂ → 𝕜₁

Context: a : A

Context: h : SpectrumRestricts a f

⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: 𝕜₁ : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A

Context: f : 𝕜₂ → 𝕜₁

Context: a : A

Context: h : SpectrumRestricts a f

Context: x : 𝕜₁

Context: hx : x ∈ spectrum 𝕜₁ a

↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: 𝕜₁ : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A

Context: f : 𝕜₂ → 𝕜₁

Context: a : A

Context: h : SpectrumRestricts a f

Context: x : 𝕜₂

Context: hx : x ∈ spectrum 𝕜₂ a

↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ
x : α
hx : f ≤ 𝓝 x


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).b₂ = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R M✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
f : M✝ →ₗ[R] P
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
p : (i : ι) → Submodule R (M i)
hsb : ∀ (i : ι), (p i).FG


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ

(PowerSeries.coeff R n✝) ↑((monomial n) a) = (PowerSeries.coeff R n✝) ((PowerSeries.monomial R n) a)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

(AffineSubspace.map f s).WOppSide (f x) (f y)


SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (p₂ -ᵥ y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
r : R
a : A

star r ∈ resolventSet R a ↔ r ∈ resolventSet R (star a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0

essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) (c • μ) = essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : AddMonoid M

AddMonoid.IsTorsionFree M ↔ NoZeroSMulDivisors ℕ M


(∀ (y : ℕ) (x : M), x ≠ 0 → y ≠ 0 → ¬y • x = 0) ↔ ∀ {c : ℕ} {x : M}, c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α

∀ (a : List α), card (powersetCard n ⟦a⟧) = (card ⟦a⟧).choose n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s✝ t : LowerSet α
a : α
b : β
f : α ≃o β
s : LowerSet β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S

(S.map F).leftHomologyπ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (S.leftHomologyData.map F) = (S.map F).leftHomologyπ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (hl.map F) ≫ F.map (leftHomologyMap' (𝟙 S) hl S.leftHomologyData)


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i✝ i : F →+* K
f : F[X]
sep : f.Separable
sp : Splits i f

∃ s, map i f = C (i f.leadingCoeff) * ∏ a ∈ s, (X - C a)


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i✝ i : F →+* K

Context: f : F[X]

Context: sep : f.Separable

Context: sp : Splits i f

Context: s : Multiset K

Context: h : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i✝ i : F →+* K

Context: f : F[X]

Context: sep : f.Separable

Context: sp : Splits i f

Context: s : Multiset K

map i f = C (i f.leadingCoeff) * ∏ a ∈ s.toFinset, (X - C a)


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i✝ i : F →+* K

Context: f : F[X]

Context: sep : f.Separable

Context: sp : Splits i f

Context: s : Multiset K


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i✝ i : F →+* K

Context: f : F[X]

Context: sep : f.Separable

Context: sp : Splits i f

Context: s : Multiset K

(Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i✝ i : F →+* K

Context: f : F[X]

Context: sep : f.Separable

Context: sp : Splits i f

Context: s : Multiset K

(?h.hs.f * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod).Separable


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a < b

∃ p, a.factorization p < b.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a < b
hb : b ≠ 0


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hab : ∀ (p : ℕ), b.factorization p ≤ a.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : b ∣ a


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
h : a ≠ 0 ∨ s ≠ 0

Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0) s = completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
h✝ : a ≠ 0 ∨ s ≠ 0
h : s ≠ 0


Context:
a : UnitAddCircle
h : a ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0

Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0) 0 = completedHurwitzZetaEven a 0 / Gammaℝ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x✝ : M

((ofDirectSum.comp toDirectSum).toLinearMap ∘ₗ ι R) x✝ = ((AlgHom.id R (TensorAlgebra R M)).toLinearMap ∘ₗ ι R) x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
s : Set G
hs : IsOpen s


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
s : Set G
hs : IsOpen s
inst✝¹ : IsMulLeftInvariant 0
inst✝ : Regular 0


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
s : Set G
hs : IsOpen s
hμ : NeZero μ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Integrable (-g') (volume.restrict (Ioi a))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ


IsUpperSet (⋂ ε_1, ⋂ (_ : max 0 ε < ε_1), thickening ε_1 s)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E


(fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1) ⊆ closure ((fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x ≠ 0
hPy : P y = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P : Fin 3 → R

Context: hP : 0 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * 0 ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * 0 ≠ 0)

Context: hPz : P z = 0

Context: hPx : P x ≠ 0

Context: hPy : P y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsSuccLimit a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsSuccLimit a
b : α
hb : ¬IsMax b ∧ succ b = a


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 1 < n


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 1 < n
this : n * 1 < n * n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0

Context: P : Polynomial ℤ := 1 - (1 - Polynomial.X ^ n) ^ n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0

Context: this : (Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n ∣ P - P ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0

Context: this✝ : (Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n ∣ P - P ^ 2

Context: this : (Polynomial.aeval x) ((Polynomial.X - Polynomial.X ^ 2) ^ n) ∣ (Polynomial.aeval x) (P - P ^ 2)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hx : (x - x ^ 2) ^ n = 0

Context: this : 1 - (1 - x ^ n) ^ n - (1 - (1 - x ^ n) ^ n) ^ 2 = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

(fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


∀ (k' l' : ℕ), k' = k → l' = l → ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'), ⟨k', ⟨l', ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: k'✝ l'✝ : ℕ

Context: s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))

Context: hs : s.card = l'✝

Context: hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝

Context: hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝

⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)

(fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) = ⟨n, s⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Tendsto (fun m => ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)).toReal)


(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) ≠ 0 ∨ (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inv α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a


Context:
α : Type u_1
f g h✝ h : Perm α
x✝ : α

(h * f * h⁻¹) x✝ = x✝ ∨ (h * g * h⁻¹) x✝ = x✝ ↔ f (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝ ∨ g (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : (orthogonalProjection K) v = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : v ∈ Kᗮ


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : (i : I) → One (f i)
inst✝² : (i : I) → One (g i)
inst✝¹ : (i : I) → One (h i)
inst✝ : One β
i : I
x : β
i' : I


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

let x := minAx.toCompleteLattice; ⨆ i, ⨅ j, f i j = ⨅ g, ⨆ i, f i (g i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

⨆ g, ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

Context: a : ι

Context: ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

Context: a : ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

Context: a : ι

Context: b : κ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

Context: h : (i : ι) → κ i

Context: ha : ∀ (b : κ (g h)), ∃ f, ∃ (h_1 : g h = g f), h_1 ▸ b = f (g f)

⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ f (g h) (h (g h))


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
x : E


Context:
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ

a ≤ sSup s ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x


(∀ (ε : ℝ), 0 < ε → a < sSup s + ε) ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ : R

Context: a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}

Context: μ₂ : R

Context: hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}

Context: hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ : R

Context: μ₂ : R

Context: contra : ¬μ₁ = μ₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: h : H.index = 2

Context: a b : G

Context: ha : a ∉ H

Context: hb : b ∉ H

Context: c : G

Context: hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: h : H.index = 2

Context: a b : G

Context: ha : a ∉ H

Context: hb : b ∉ H

Context: c : G


Context: n d : Int


Context:
b : Ordinal.{u_1}
h : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ico a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ico ↑a ↑b)


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

(∃ a_1, ((a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a ≤ x ∧ x < ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasRightHomology

Context: A : C

Context: f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology

Context: h : f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
α : Type u_1
a : α

∀ {L : Array (Array α)}, a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l


Context:
α : Type u_1
a : α

∀ {L : Array (Array α)}, (∃ l, (∃ a, a ∈ L.data ∧ a.data = l) ∧ a ∈ l) ↔ ∃ l, l ∈ L.data ∧ a ∈ l.data


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a

(f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: F : J ⥤ K ⥤ TypeMax

Context: k : K

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: x : t.pt.obj k

Context: hev : IsColimit (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t) := isColimitOfPreserves ((evaluation K TypeMax).obj k) h


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: F : J ⥤ K ⥤ TypeMax

Context: k : K

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: j : J

Context: y : (F ⋙ (evaluation K TypeMax).obj k).obj j

∃ j_1 y_1, (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t).ι.app j y = (t.ι.app j_1).app k y_1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)

∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) = ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f)


⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f) = univ ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s (⇑f '' univ ∩ y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n

a' ∈ (a ::ᵥ v).toList ↔ a' = a ∨ a' ∈ v.toList


Context: a b : ℕ

range (a + b) = range a ∪ map (fun x => a + x) (range b)


Context: a b : ℕ

(range a).Disjoint (map (fun x => a + x) (range b))


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: a : ℝ

∃ p, 0 < p ∧ sinKernel ↑a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖sinKernel (↑a) x‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 x