Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : f x ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] t

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

{x | (x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a) ∧ ¬IsBot x}.Countable


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

{x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

Context: t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

Context: this : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

Context: z : α → α

Context: hz : ∀ x ∈ t, z x < x

Context: h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a

Context: this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: a : Set α

Context: ha : IsOpen a

Context: z : α → α

Context: hz : ∀ x ∈ t, z x < x

Context: h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)

Context: g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ

Context: h : α ≃ β := (Set.sumCompl s).symm.trans (((ofInjective ⇑f ⋯).sumCongr g).trans (Set.sumCompl (range ⇑f)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)

Context: g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

∀ (p q : R[T;T⁻¹]), (∃ n f', toLaurent f' = p * T ↑n) → (∃ n f', toLaurent f' = q * T ↑n) → ∃ n f', toLaurent f' = (p + q) * T ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R

∃ n_1 f', toLaurent f' = C a * T n * T ↑n_1


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
s : Finset (Box ι)

∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, ∀ (I J : Box ι), J ∈ s → ∀ J' ∈ splitMany I t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
s : Finset (Box ι)
val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: i✝ : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Finset (Box ι)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : Finset (ι × ℝ)

Context: ht : t ≥ s.biUnion fun J => Finset.univ.biUnion fun i => {(i, J.lower i), (i, J.upper i)}

Context: I J : Box ι

Context: hJ : J ∈ s

Context: J' : Box ι

Context: hJ' : J' ∈ splitMany I t

Context: i : ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M

Function.Surjective ⇑(ofTensorProduct I M)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
p : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hp : Function.Surjective ⇑p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: n : ℕ

Context: p : (Fin n → R) →ₗ[R] M

Context: hp : Function.Surjective ⇑p

Context: f : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := ofTensorProduct I M ∘ₗ LinearMap.baseChange (AdicCompletion I R) p

Context: g : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := map I p ∘ₗ ofTensorProduct I (Fin n → R)

Context: hfg : f = g

Context: hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
ι : Type u_4
bL : Basis ι F ↥L

toSubmodule L = span F (Set.range fun i => ↑(bL i))


Context:
r p : ℝ≥0
h : p ≠ 0


Context:
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
inst✝¹ : MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
inst✝ : LawfulMvFunctor F
x : F α

∀ (u : F fun i => Subtype ((fun i x => ofRepeat (P i x)) i)), (fun i => Subtype.val) <$$> u = x ↔ subtypeVal P <$$> toSubtype P <$$> u = x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 p1a : P
hp1a : p1a ∈ s
v1 : V
hv1 : v1 ∈ vectorSpan k s
hv1p : p1 = v1 +ᵥ p1a
p2a : P
hp2a : p2a ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p2 = v2 +ᵥ p2a
hv1v2 : v1 - v2 ∈ vectorSpan k s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S

eval₂ f x (p + q) = eval₂ f x p + eval₂ f x q


((p + q).sum fun e a => f a * x ^ e) = (p.sum fun e a => f a * x ^ e) + q.sum fun e a => f a * x ^ e


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E


sepDegree F K = sepDegree F ↥(separableClosure E K)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: this : IsScalarTower F (↥(separableClosure E K)) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Module.rank F ↥(IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F (↥(separableClosure E K)) K) (separableClosure F ↥(separableClosure E K))) = sepDegree F ↥(separableClosure E K)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

update f i '' Ico (f i) b = Ico f (update f i b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
A : E
U : ↥(unitary E)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R

(blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det


∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i


∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ p ∈ univ.pi fun x => univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i : n, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i


∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: o : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype o

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: M : o → Matrix n n R

Context: preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: o : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype o

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: M : o → Matrix n n R

Context: mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: o : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype o

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: M : o → Matrix n n R

∑ x ∈ preserving_snd, ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: o : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype o

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: M : o → Matrix n n R

∀ x ∈ univ, x ∉ preserving_snd → ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}

Context: hs : s.Nonempty


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: hs : s.Nonempty

sInf s = 0 ↔ lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: hs : s.Nonempty

Context: h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen r))


∀ u ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), IsOpen u


∀ (a : PrimeSpectrum R) (u : Set (PrimeSpectrum R)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

sinZeta a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * hurwitzZetaOdd a s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s

(↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
hs : (↑s).Subsingleton


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
h✝ : (↑s).Nontrivial


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

(eval r) (p • q) = Polynomial.eval r p • (eval r) q


(eval r) (p • 0) = Polynomial.eval r p • (eval r) 0


∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r) (p • f) = Polynomial.eval r p • (eval r) f → (eval r) (p • g) = Polynomial.eval r p • (eval r) g → (eval r) (p • (f + g)) = Polynomial.eval r p • (eval r) (f + g)


∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r) (p • (single R a) b) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R a) b)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M

(eval r) (p • (single R i) m) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R i) m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Algebra S R

Context: inst✝⁷ : Module S M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S R M

Context: R' : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : Module R' M'

Context: inst✝² : Algebra R R'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' M'

Context: q : PolynomialModule R M

Context: r : R

Context: i : ℕ

Context: m : M

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: e₁ : (eval r) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r p✝ • (eval r) ((single R i) m)

Context: e₂ : (eval r) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r q✝ • (eval r) ((single R i) m)

(eval r) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.eval r (p✝ + q✝) • (eval r) ((single R i) m)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R

(eval r) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r ((monomial n✝) a✝) • (eval r) ((single R i) m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α

s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight


s.chainHeight ≤ ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight


⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight ≤ s.chainHeight


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : ℂ


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β


s • image (fun x => -x) t = image (fun x => -x) (s • t)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
l₃ : List α
h : l₁ <+ l₂


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : i < x.order


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
i : Γ
hi : i < order 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : i < x.order
hx : x ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : T2Space M
i : ι
x : M

∃ t, ⇑(fs.toSmoothPartitionOfUnity i) =ᶠ[𝓝 x] ↑(fs.toFun i) * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - ↑(fs.toFun j))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: x : I → Bool


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : InvolutiveStar R
x : R

IsSelfAdjoint (star x) ↔ IsSelfAdjoint x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (g - f) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

μ s < ⊤ → ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫ (a : α) in s, g a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤

μ {x | ε ≤ f x} * ε ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

Context: R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)

∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

Context: n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

Context: n : ℕ

Context: h : N ≤ n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

Context: n : ℕ

Context: h : n < N


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P

map LinearMap.id = AlgHom.id R' (tsze R' M)


∀ (m : M), (map LinearMap.id) (inr m) = (AlgHom.id R' (tsze R' M)) (inr m)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

(X ^ 0 * p).smeval x = x ^ 0 * p.smeval x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ

(X ^ (n + 1) * p).smeval x = x ^ (n + 1) * p.smeval x


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat

(X.prodIsoProd Y).hom ≫ prodSnd = prod.snd


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hz : z ∈ verticalStrip 0 1

(fun x => ‖f z‖) ≤ᶠ[𝓝[>] 0] fun ε => ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.23232, u_1} D
P : MorphismProperty C


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C

Injective J ↔ (preadditiveYonedaObj J).PreservesEpimorphisms


(yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveYonedaObj J).PreservesEpimorphisms


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)
h✝ : IsEmpty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddAbove (range f)
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
r : R

hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (C r) = Polynomial.C ((algebraMap R ↥(adjoin R (range x))) r)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R


Context: x n : ℂ

(x ^ n)⁻¹ = if x.arg = π then (starRingEnd ℂ) (x⁻¹ ^ (starRingEnd ℂ) n) else x⁻¹ ^ n


Context: x n : ℂ

(x ^ n)⁻¹ = if x.arg = π then if x.arg = π then (x ^ n)⁻¹ else (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)⁻¹ else x⁻¹ ^ n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ

orderOf x = 0 ↔ ∀ (n : ℕ), 0 < n → x ^ n ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

a \ b ∆ c ⊔ b ∆ c \ a = a \ (b ⊔ c) ⊔ a ⊓ b ⊓ c ⊔ (b \ (c ⊔ a) ⊔ c \ (b ⊔ a))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z


Context:
γ : Type u
f : Listβ γ Listα.nil → WType (Listβ γ)

ofList γ (toList γ (mk Listα.nil f)) = mk Listα.nil f


Context: γ : Type u

Context: x : γ

Context: f : Listβ γ (Listα.cons x) → WType (Listβ γ)

ofList γ (toList γ (mk (Listα.cons x) f)) = mk (Listα.cons x) f


Context: γ : Type u

Context: x : γ


Context:
n b m : ℕ
h : 1 < b
p : b.digits m ≠ []
q : b.digits (m / b) ≠ []
hm : ¬m = 0

(b.digits m).getLast p = (b.digits (m / b)).getLast q


(m % b :: b.digits (m / b)).getLast ⋯ = (b.digits (m / b)).getLast q


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)

x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 ({1} ∪ ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})))


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: I : Type u_3

Context: B : I → Type u_4

Context: inst✝ : (i : I) → NonUnitalNormedRing (B i)

Context: f g : (i : I) → B i

Context: hf : Memℓp f ⊤

Context: hg : Memℓp g ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: I : Type u_3

Context: B : I → Type u_4

Context: f g : (i : I) → B i

Context: hf : Memℓp f ⊤

Context: hg : Memℓp g ⊤

BddAbove (Set.range fun i => ‖(f * g) i‖)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: I : Type u_3

Context: B : I → Type u_4

Context: f g : (i : I) → B i

Context: hf : Memℓp f ⊤

Context: hg : Memℓp g ⊤

Context: Cf : ℝ

Context: hCf : Cf ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖f i‖)

Context: Cg : ℝ

Context: hCg : Cg ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g i‖)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: I : Type u_3

Context: B : I → Type u_4

Context: f g : (i : I) → B i

Context: hf : Memℓp f ⊤

Context: hg : Memℓp g ⊤

Context: Cf : ℝ

Context: Cg : ℝ

Context: i : I


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat

(X.prodIsoProd Y).inv ≫ prod.snd = prodSnd


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : K[X]
y : ↥K[X]⁰

{ toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) x y } = IsLocalization.mk' (RatFunc K) x y


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : CommSemiring S'
inst✝⁶ : Algebra S' R
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B

RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom = (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal


RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom ≤ (RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal


(RingHom.ker f.toRingHom).cotangentIdeal ≤ RingHom.ker f.kerSquareLift.toRingHom


Context: n : Nat


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
h : ¬pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] 0


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
h : ¬AEMeasurable X ℙ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
p : α → Prop
h : ∀ {a' a : α}, r a' a → p a → p a'
s' s : Multiset α

CutExpand r s' s → (∀ a ∈ s, p a) → ∀ a ∈ s', p a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i x') s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: b : Finset ι

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑ i ∈ b, f i x') s x


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝ : Add α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α

![a₀, a₁] + ![b₀, b₁] = ![a₀ + b₀, a₁ + b₁]


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε

∀ j ≥ k, padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ k

padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ k

padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ k

padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑p ^ (-↑k) < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ k


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace


∀ (a : ↑Γ(X, V)), (X.presheaf.map i.op) a = 0 → a = 0


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
hx : (X.presheaf.map i.op) x = 0


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: x : ↑Γ(X, V)

Context: hx : X.basicOpen ((X.presheaf.map i.op) x) = ⊥


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)
hx : U ⊓ X.basicOpen x = ⊥


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
x : ↑Γ(X, V)

U ⊓ X.basicOpen x = ⊥ → X.basicOpen x = ⊥


X.basicOpen x ≠ ⊥ → U ⊓ X.basicOpen x ≠ ⊥


(↑(X.basicOpen x)).Nonempty → (↑(U ⊓ X.basicOpen x)).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R₂ M₂

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'

Context: inst✝³ : Module R Mₗ₁

Context: inst✝² : Module R Mₗ₂

Context: inst✝¹ : Module R Mₗ₁'

Context: inst✝ : Module R Mₗ₂'

Context: B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M

Context: e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'

Context: e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'

Context: h : B.SeparatingLeft

Context: x : Mₗ₁'

Context: hx : ∀ (y : Mₗ₂'), (((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B) x) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R₂ M₂

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'

Context: inst✝³ : Module R Mₗ₁

Context: inst✝² : Module R Mₗ₂

Context: inst✝¹ : Module R Mₗ₁'

Context: inst✝ : Module R Mₗ₂'

Context: B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M

Context: e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'

Context: e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'

Context: h : B.SeparatingLeft

Context: x : Mₗ₁'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R₂ M₂

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'

Context: inst✝³ : Module R Mₗ₁

Context: inst✝² : Module R Mₗ₂

Context: inst✝¹ : Module R Mₗ₁'

Context: inst✝ : Module R Mₗ₂'

Context: B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M

Context: e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'

Context: e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'

Context: h : B.SeparatingLeft

Context: x : Mₗ₁'

Context: y : Mₗ₂

Context: hx : (((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B) x) (e₂ y) = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : B.SeparatingLeft
x : Mₗ₁'
y : Mₗ₂
hx : (B (e₁.symm x)) y = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
X : Compactum
uux : Ultrafilter (Ultrafilter X.A)

(β.μ.app X.A ≫ X.a) uux = X.str (Ultrafilter.map X.str uux)


(β.map X.a ≫ X.a) uux = X.str (Ultrafilter.map X.str uux)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
f : G →* N✝
H N : Subgroup G
h : H.normalizer ≤ N

H.normalizer.subgroupOf N = (H.subgroupOf N).normalizer


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioi (a i)) (μ.restrict (Iic b))


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a x..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a x), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Iic b) ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: i : ι

Context: hai : a i ≤ b

∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a i), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Iic b) ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: i : ι

Context: hai : a i ≤ b

∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a i) ∩ Iic b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context:
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a b : R[ℕ]

{ toFinsupp := a * b } = Polynomial.mul { toFinsupp := a } { toFinsupp := b }


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this : Finite ↑(f '' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h_inf : s.Infinite

Context: h_fin : (f '' s).Finite

Context: this✝ : Finite ↑(f '' s)

Context: this : Infinite ↑s

Context: h : ¬Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
h : InjOn f s

Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x = x + ↑m
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S

map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J) = J.prod I


(map (RingHom.fst S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))).prod (map (RingHom.snd S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))) = J.prod I


Context:
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U


(appIso f U).inv ≫ appLE f (f ''ᵁ U) V e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ X.presheaf.map (homOfLE e).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


X.presheaf.map (eqToHom ⋯ ≫ (homOfLE e).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X
this : IsSplitEpi f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
a b : R
n : ℕ

(coeff R n) ((rescale b) ((rescale a) f)) = (coeff R n) ((rescale (a * b)) f)


b ^ n * (a ^ n * (coeff R n) f) = (a * b) ^ n * (coeff R n) f


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
x : α
h : IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).c₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * W.c₄


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
e : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K)

regulator K = |(Matrix.of fun i => (logEmbedding K) (fundSystem K (e i))).det|


|(Matrix.of fun x => ↑((logEmbeddingEquiv K) (Additive.ofMul ⟦fundSystem K (e x)⟧))).det| = |(Matrix.of fun i => (logEmbedding K) (fundSystem K (e i))).det|


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (rexp (f a)) * (ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ))⁻¹ ∂μ = 1


ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ 0


ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: p : YonedaCollection F Y

op (CostructuredArrow.mk (yoneda.map f ≫ p.fst)) = op (CostructuredArrow.mk (map₂ F f p).fst)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2

∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: n : ℕ

Context: i : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
e : α ≃o β


∀ s ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}, IsOpen (⇑e ⁻¹' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

support ↑f = (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

UniversallyClosed f ↔ (topologically @IsClosedMap).universally f


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: β : Type u_3

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε

(𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | dist p.1 p.2 ≤ f x}


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: β : Type u_3

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: s : Set (α × α)

(∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ f i} ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
d : Transversal φ


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: w : Word G

Context: hw : Reduced φ w

Context: h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range

Context: d : Transversal φ

Context: w' : NormalWord d

Context: hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod

Context: hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: w : Word G

Context: hw : Reduced φ w

Context: d : Transversal φ

Context: w' : NormalWord d

Context: hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod

Context: h : H

Context: heq : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = w'.prod

Context: this : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = (base φ) h


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: w : Word G

Context: hw : Reduced φ w

Context: d : Transversal φ

Context: w' : NormalWord d

Context: hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod

Context: h : H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ a * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ b * a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.29963}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum (fun b => e (f b)) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum f (e.symm y)


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ ⊥
n : R
hn : n ∈ S


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m = 0
n : R
hn : n ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s : List α
a : α
t : List α


Context:
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
x : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r✝ : ℝ
x✝ : E
r : ℝ≥0
hc : Convex ℝ s
hr : 0 < r
hs : ball 0 ↑r ⊆ s
this : Absorbent ℝ (ball 0 ↑r)
x y : E

gauge s y + ‖x - y‖ / ↑r = gauge s y + ↑r⁻¹ * dist x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : g =o[atTop] f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : g =o[atTop] f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ c * ‖f x‖

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_ub : b < 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * 0 ^ p.toReal))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1

∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | ε ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε_1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | ε ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

Context: n : ι

Context: hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

Context: n : ι

μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

Context: n : ι

ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal) * μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

Context: n : ι

ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal) ≠ 0 ∨ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≠ 0


Context: θ : ℝ


Context:
θ : ℝ
h : 0 ≤ θ ∧ θ ≤ π


Context:
θ : ℝ
h : 0 ≤ θ ∧ θ ≤ π
hnegpi : ¬θ = π


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite

TotallyBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, TotallyBounded s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x


Context:
N : ℕ
k n : ℤ
f : SlashInvariantForm (Gamma N) k
z : ℍ


Context: N : ℕ

Context: k n : ℤ

Context: f : SlashInvariantForm (Gamma N) k

Context: z : ℍ

Context: Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma (↑N).natAbs


Context: N : ℕ

Context: k n : ℤ

Context: f : SlashInvariantForm (Gamma N) k

Context: z : ℍ

Context: Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma N


Context: N : ℕ

Context: k n : ℤ

Context: f : SlashInvariantForm (Gamma N) k

Context: z : ℍ

f z = (↑(↑↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩ 1 1)) ^ k * f z


Context: N : ℕ

Context: k n : ℤ

Context: f : SlashInvariantForm (Gamma N) k

Context: z : ℍ

f z = (↑(↑{ val := ↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩, inv := ↑(↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } 1 0) * ↑z + ↑(↑{ val := ↑↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩, inv := ↑(↑⟨ModularGroup.T ^ (↑N * n), Hn⟩)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } 1 1)) ^ k * f z


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : WSeq (WSeq α)


Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S, s1 = s.append (map f S.join) ∧ s2 = s.append (map (map f) S).join


∃ s S_1, map f S.join = s.append (map f S_1.join) ∧ (map (map f) S).join = s.append (map (map f) S_1).join


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context: u v : ℤ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.81671
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Finite R M


Context:
α : Type u
inst✝² : Semiring α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
ha : ↑a ∈ center M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
ha : ∀ (g : M), g * ↑a = ↑a * g


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : minpoly A x %ₘ p = 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x %ₘ p) ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : minpoly A x %ₘ p = 0

Context: r : A[X]

Context: hr : minpoly A x = p * r


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : minpoly A x %ₘ p = 0

Context: r : A[X]

Context: hr : minpoly A x = p * r

Context: hlead : (minpoly A x).leadingCoeff = (p * r).leadingCoeff


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : minpoly A x %ₘ p = 0

Context: r : A[X]

Context: hr : minpoly A x = p * r

Context: hlead : 1 = r.leadingCoeff


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hx : IsIntegral A x

Context: h : minpoly A x %ₘ p = 0

Context: r : A[X]

Context: hr : minpoly A x = p * r

Context: hlead : 1 = r.leadingCoeff

Context: this : r.natDegree ≤ 0


Context:
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι

MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume


volume = map (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume


volume = ((Pi.basisFun ℝ ι).map (PiLp.continuousLinearEquiv 2 ℝ fun a => ℝ).symm.toLinearEquiv).addHaar


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Group α

Context: g : GroupTopology α

Context: this✝ : TopologicalSpace α := g.toTopologicalSpace

Context: this : TopologicalGroup α


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: f₁ : (TotalSpace (F₁ × F₂) fun x => E₁ x × E₂ x) → TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ := fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })

Context: f₂ : TotalSpace F₁ E₁ × TotalSpace F₂ E₂ → (B × F₁) × B × F₂ := fun p => (↑e₁ p.1, ↑e₂ p.2)

Context: f₃ : (B × F₁) × B × F₂ → B × F₁ × F₂ := fun p => (p.1.1, p.1.2, p.2.2)

ContinuousOn (toFun' e₁ e₂) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₂ : ContinuousOn f₂ (e₁.source ×ˢ e₂.source)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃

MapsTo f₁ (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet)) (e₁.source ×ˢ e₂.source)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃

EqOn (toFun' e₁ e₂) ((f₃ ∘ f₂) ∘ f₁) (TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet))


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃

Context: b : B

Context: v₁ : E₁ b

Context: v₂ : E₂ b

Context: hb₁ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₁.baseSet

Context: right✝ : { proj := b, snd := (v₁, v₂) }.proj ∈ e₂.baseSet

toFun' e₁ e₂ { proj := b, snd := (v₁, v₂) } = ((f₃ ∘ f₂) ∘ f₁) { proj := b, snd := (v₁, v₂) }


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃

Context: b : B

Context: v₁ : E₁ b

Context: v₂ : E₂ b


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: hf₁ : Continuous f₁

Context: hf₃ : Continuous f₃

Context: b : B

Context: v₁ : E₁ b

Context: v₂ : E₂ b

{ proj := b, snd := v₁ }.proj ∈ e₁.baseSet


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
eι : ι ≃ ι'

(e.reindex eι).orientation = (Orientation.reindex R M eι) e.orientation


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

filter (fun x => decide (a = x)) l = replicate (count a l) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x : α

dist (birkhoffSum f g n (f x)) (birkhoffSum f g n x) = dist (g (f^[n] x)) (g x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α

l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.diff l₂).erase a


(l₁.diff l₂).erase a = l₁.diff (a :: l₂)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), t i ≠ ∅


¬(Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t → ∃ i, t i₀ ∩ t i = ∅)


Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t ∧ ∀ (i : ι), (t i₀ ∩ t i).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
t : ι → Set X
htd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t
htc : ∀ (i : ι), IsCompact (t i)
htcl : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
i₀ : ι := hι.some
htn : ∀ (i : ι), (t i).Nonempty
i j : ι
hji₀ : t i₀ ⊇ t j
hji : t i ⊇ t j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet sᶜ
f g : α →ₛ β

↑(piecewise sᶜ hs f g) = ↑(piecewise s ⋯ g f)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
x : (i : ι) → β i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ ↔ TendstoLocallyUniformly F f p


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X

T0Space X ↔ Pairwise fun a b => a ∉ closure {b} ∨ b ∉ closure {a}


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f
b : ↑s
h : s.restrict f b = s.restrict g b


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
mF : MeasurableSpace F
Y : α → F
hY : Measurable Y
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
A : Set α
hA : MeasurableSet A

∫ (x : α), (μ[A.indicator fun x => 1|MeasurableSpace.comap Y mF]) x ∂μ = (μ A).toReal


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt Subtype.val x₀


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → R₁
y : m → R₂

(((toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j


∑ i : n, ∑ j : m, σ₂ (y j) •> σ₁ (x i) •> M i j = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K K' V : Set G

Context: hK' : IsCompact K'

Context: h : K ⊆ K'

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index K' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K K' V : Set G

Context: hK' : IsCompact K'

Context: h : K ⊆ K'

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K' V

index K' V ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K K' V : Set G

Context: hK' : IsCompact K'

Context: h : K ⊆ K'

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K' V

∃ x ∈ {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = index K' V


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f : N →* M
x y : N

c (f x) (f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)


↑(f x) = ↑(f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝¹ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
ε : ℝ
x x✝ : α

x✝ ∈ UniformSpace.ball x {p | dist p.1 p.2 < ε} ↔ x✝ ∈ ball x ε


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V

finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)


finrank K ↥W + finrank K ↥(range (domRestrict B W)).dualCoannihilator = finrank K V + finrank K ↥(ker (domRestrict B W))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x

HasFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
z : E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
b : β

LiftRel R ca (pure b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

∃ c ∈ Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Ioo a b

Context: hc : (b - a) * f' c = (f b - f a) * 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : IntegrableOn f U μ

IntegrableAtFilter (s.indicator f) (𝓝 x) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

((borelMarkovFromReal Ω η) a) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω✝ : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝

Context: inst✝³ : Nonempty Ω✝

Context: Ω : Type u_5

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : StandardBorelSpace Ω

Context: η : Kernel α ℝ

Context: a : α

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω✝ : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝

Context: inst✝³ : Nonempty Ω✝

Context: Ω : Type u_5

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : StandardBorelSpace Ω

Context: η : Kernel α ℝ

Context: a : α

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

(if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then Measure.comap (embeddingReal Ω) (η a) else Measure.comap (embeddingReal Ω) (Measure.dirac (Exists.choose ⋯))) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.Adj v w
a✝ : V

a✝ ∈ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) ↔ a✝ ∈ (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ


¬G.Adj v a✝ → ¬G.Adj w a✝ → ¬(a✝ = w ∨ a✝ = v)


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F

Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective (sectionOfCone c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
hX : (Ideal.span {X}).IsMaximal

LocalRing.maximalIdeal k⟦X⟧ = Ideal.span {X}


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(aeval fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n) = (aeval fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) Φ


(fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)


(fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

¬SupPrime a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c


(¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c


(IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β

z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq β
i : β


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

F⟮α⟯ = ⊤ ↔ ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

Context: h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

Context: this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

Context: this✝ : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: α : E

Context: φ : E →ₐ[F] A

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E

∀ (x : E), Splits (algebraMap (↥F⟮α⟯) A) (minpoly (↥F⟮α⟯) x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1✝ : WSeq α

Context: s2✝ : WSeq β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1✝ s2✝

Context: h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)

Context: s1 : WSeq γ

Context: s2 : WSeq δ

Context: h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) (map f1 s).destruct (map f2 t).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1✝ : WSeq α

Context: s2✝ : WSeq β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1✝ s2✝

Context: s1 : WSeq γ

Context: s2 : WSeq δ

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x) (Computation.map (Option.map (Prod.map f1 (map f1))) s.destruct) (Computation.map (Option.map (Prod.map f2 (map f2))) t.destruct)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1✝ : WSeq α

Context: s2✝ : WSeq β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1✝ s2✝

Context: s1 : WSeq γ

Context: s2 : WSeq δ

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO S (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x) (Option.map (Prod.map f1 (map f1)) a) (Option.map (Prod.map f2 (map f2)) b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


(∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1


((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) → ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d

∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d