Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I

Context: indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)

Context: indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I

Context: subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E

Context: htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y

Context: I' : Set α

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Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

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Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

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Context: B₀ : Set α

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Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)

Context: hE₀fin : E₀.Finite


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

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Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

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Context: B₀ : Set α

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Context: hE₀fin : E₀.Finite

Context: J : Set α

Context: hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'

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Context: hJ : Indep J

Context: hJss : J ⊆ E₀


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

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Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

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Context: hJss : J ⊆ E₀

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Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

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Context: I₀ : Set α

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Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

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Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

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Context: B₀ : Set α

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Context: I₀ : Set α

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Context: hE₀fin : E₀.Finite

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Context: hJ : Indep J

Context: hJss : J ⊆ E₀

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Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)

Context: heJ : e ∉ J


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

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Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)

Context: hE₀fin : E₀.Finite

Context: J : Set α

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Context: hJ : Indep J

Context: hJss : J ⊆ E₀

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Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)

Context: heJ : e ∉ J

Context: hJfin : J.Finite


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

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Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

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Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)

Context: hE₀fin : E₀.Finite

Context: J : Set α

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Context: hJss : J ⊆ E₀

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Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)

Context: heJ : e ∉ J

Context: hJfin : J.Finite

Context: hcard : (insert e I₀).ncard ≤ J.ncard


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)

Context: hE₀fin : E₀.Finite

Context: J : Set α

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Context: hJ : Indep J

Context: hJss : J ⊆ E₀

Context: heI₀ : e ∉ I₀

Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)

Context: heJ : e ∉ J

Context: hJfin : J.Finite

Context: hcard : I₀.ncard < J.ncard


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B✝ X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I B : Set α

Context: hI : Indep I

Context: I' : Set α

Context: hI' : Indep I'

Context: hII' : I ⊆ I'

Context: hne : ¬I = I'

Context: e : α

Context: heI' : e ∈ I'

Context: heI : e ∉ I

Context: hins : Indep (insert e I)

Context: heB : e ∉ B

Context: hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)

Context: heBdep : ¬Indep (insert e B)

Context: B₀ : Set α

Context: hB₀B : B₀ ⊆ B

Context: hB₀fin : B₀.Finite

Context: hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)

Context: hB₀ : Indep B₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀I : I₀ ⊆ I

Context: hI₀fin : I₀.Finite

Context: E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)

Context: hE₀fin : E₀.Finite

Context: J : Set α

Context: hB₀J : B₀ ⊆ J

Context: hJ : Indep J

Context: hJss : J ⊆ E₀

Context: heI₀ : e ∉ I₀

Context: heI₀i : Indep (insert e I₀)

Context: heJ : e ∉ J

Context: hJfin : J.Finite

Context: hcard : I₀.ncard < J.ncard

Context: f : α

Context: hfJ : f ∈ J

Context: hfI₀ : f ∉ I₀

Context: hfi : Indep (insert f I₀)


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: X I : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

(maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: X I : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hzorn : ∃ m ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, I ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, m ⊆ a → a = m


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: X I : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

∀ c ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: X I : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: Is : Set (Set α)

Context: hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}

Context: hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is

Context: x✝ : Is.Nonempty

Context: K : Set α

Context: hK : K ∈ Is


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X✝ E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: X I : Set α

Context: hI : Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: Is : Set (Set α)

Context: x✝ : Is.Nonempty

Context: K : Set α

Context: hK : K ∈ Is


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y

Context: ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s t✝ : Set α

Context: a b : α

Context: t : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ ∅, ∃ y ∈ t, x ≤ y

Context: ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ ∅, y ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y

Context: ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x

Context: s_ne : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: s_ne : s.Nonempty

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ ∅, x ≤ y

Context: ht : ∀ y ∈ ∅, ∃ x ∈ s, y ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y

Context: ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x

Context: s_ne : s.Nonempty

Context: t_ne : t.Nonempty


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
hs : p ∉ s
hn : n ∈ factoredNumbers s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
n : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n

b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l) ↔ k ≤ l.castSucc


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R

(contractLeft d) (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (contractLeft d) a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N


span R (image2 (fun a b => (f.flip b) a) ↑p ↑q) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι

(match ↑I with | some val => true | none => false) = true ↔ (↑↑I).Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : Zero β
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t

AEMeasurable (s.indicator f) μ ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

𝟙 ((Γ₀.splitting K).N (n + 1)) ≫ K.d (n + 1) n = (((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj (Γ₀.obj K)).d (n + 1) n ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))) ≫ 𝟙 ((Γ₀.splitting K).N n)


K.d (n + 1) n = ∑ j : Fin (n + 2), ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑j • (Γ₀.obj K).δ j) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


K.d (n + 1) n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑0 • (Γ₀.obj K).δ 0) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


∀ (x : Fin (n + 2)), x ≠ 0 → ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑x • (Γ₀.obj K).δ x) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S

(normalizeScaleRoots p).degree = p.degree


(normalizeScaleRoots p).degree ≤ p.degree


p.degree ≤ (normalizeScaleRoots p).degree


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
α : Type u
s : Set α
u : Ultrafilter α


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι

(b.toDual (b i)) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f) = f i


∑ x ∈ f.support, (b.toDual (b i)) (f x • b x) = f i


(if i ∈ f.support then f i else 0) = f i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

η.left.app (op [0]) ≫ Y✝.hom.app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right


(η.left ≫ Y✝.hom).app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right


(X✝.hom ≫ (const C).map η.right).app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc

X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.succ) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b c : A

(mulLeft R a * mulRight R b) c = (mulRight R b * mulLeft R a) c


Context:
f : StieltjesFunction
hf_bot : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf_top : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
x : α
a✝ : Nontrivial α


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

(Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι

Context: v : ι → F

Context: i j : ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hi : i ∈ s

Context: H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι

Context: v : ι → F

Context: i j : ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hi : i ∈ s

(Lagrange.basis s v i).natDegree = ∑ x ∈ s.erase i, 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι

Context: v : ι → F

Context: i j : ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hi : i ∈ s

∑ x ∈ s.erase i, 1 = ∑ i_1 ∈ s.erase i, (basisDivisor (v i) (v i_1)).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι

Context: v : ι → F

Context: i j✝ : ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hi : i ∈ s

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s.erase i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsLocallyInjective f
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: hf : IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)

Context: g : A → X

Context: cont : Continuous g

Context: hg : Function.Injective g

IsOpen (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: g : A → X

Context: cont : Continuous g

Context: hg : Function.Injective g

IsOpen (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

IsNormal f ↔ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o


(∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) → ((∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o) ↔ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

Context: h : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)

(∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o) ↔ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
P : α → ℕ
hP : ∑ i : α, P i = n
a : α

Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = Multiset.count a (Multiset.map (fun a => ↑⟨P, hP⟩ a • {a}) univ.val).sum


Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = (Multiset.map (fun b => Multiset.count a (↑⟨P, hP⟩ b • {b})) univ.val).sum


Context:
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : cd ≠ 0


Context:
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0


Context:
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0
this : cd 0 = 0


Context:
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
this : cd 0 = 0
h : cd 1 = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, circumcenterWeightsWithCircumcenter n i = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ

circumcenterWeightsWithCircumcenter n j = if j = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0


1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0


Context: α : Type u_1

Context: d : DynkinSystem α

Context: s : Set (Set α)

Context: hs : IsPiSystem s

Context: t₁ t₂ : Set α

Context: ht₁ : (generate s).Has t₁

Context: ht₂ : (generate s).Has t₂

Context: s₁ : Set α

Context: hs₁ : s₁ ∈ s

Context: this✝¹ : (generate s).Has s₁

Context: this✝ : generate s ≤ (generate s).restrictOn this✝¹

Context: this : (generate s).Has (t₂ ∩ s₁)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Set X
tc : t.Countable
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f' : 𝕜 → F

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)

(fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: h : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, 1) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: h : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun n => ↑n) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t✝ : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
t : Finset α


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x : F

∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x : F

Context: h : v x ≤ 1

Context: a : O

Context: ha : (algebraMap O F) a = x


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x : F

Context: h : v x⁻¹ ≤ 1

Context: a : O

Context: ha : (algebraMap O F) a = x⁻¹


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M ⧸ S


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M

g (S.normedMk x) = (lift S f hf) (S.normedMk x)


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₂ ∈ eval f₂ a₂


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
c₂ : σ₂
bc : Reaches f₂ b₂ c₂
cc : tr c₁ c₂
ac : Reaches f₁ a₁ c₁


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
d₁ : σ₁
hfc : f₁ c₁ = some d₁
d₂ : σ₂
left✝ : tr d₁ d₂
bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂


Context: σ₁ : Type u_1

Context: σ₂ : Type u_2

Context: f₁ : σ₁ → Option σ₁

Context: f₂ : σ₂ → Option σ₂

Context: tr : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: H : Respects f₁ f₂ tr

Context: a₁ : σ₁

Context: b₂ a₂ : σ₂

Context: aa : tr a₁ a₂

Context: ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂

Context: ab : Reaches f₂ a₂ b₂

Context: b0 : f₂ b₂ = none

Context: c₁ : σ₁

Context: ac : Reaches f₁ a₁ c₁

Context: bc : Reaches f₂ b₂ b₂

Context: cc : tr c₁ b₂

Context: d₁ : σ₁

Context: hfc : f₁ c₁ = some d₁

Context: d₂ : σ₂

Context: left✝ : tr d₁ d₂

Context: bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂

Context: e : σ₂

Context: h : e ∈ f₂ b₂

Context: right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) e d₂


Context:
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : ⊥ ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤
hne : (↑s).Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : ¬s.direction = ⊤
hne : (↑s).Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : ¬s.direction = ⊤
x : E
hx : x ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) = LinearMap.id


↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id


↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

(s₁ ∪ s₂).gcd = GCDMonoid.gcd s₁.gcd s₂.gcd


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ


Context:
α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ
a b : α
h : a * b = 1


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖1‖ = 1

‖x - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle x 1) (angle x 1)


Context: x✝ y x : ℂ

Context: hx : ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x

Context: hy : ‖1‖ = 1


Context:
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π

‖cexp (↑θ * I) - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle (cexp (↑θ * I)) 1) (angle (cexp (↑θ * I)) 1)


‖cos ↑θ - 1 + sin ↑θ * I‖ ∈ Icc (2 / π * |θ|) |θ|


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
f : l.Germ β
lc : Filter γ
g : γ → α
hf : f.IsConstant
hg : Tendsto g lc l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Tendsto g lc l
f : α → β
hf : IsConstant ⟦f⟧


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module.Free R M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : SMulCommClass R S N
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : StrongRankCondition S
inst✝² : Module.Free S N
inst✝¹ : Module R S
inst✝ : SMulCommClass R S S

Module.rank S (M →ₗ[R] S) = lift.{u', v} (Module.rank R M)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b


Context:
r x : ℝ
hx : 0 ≤ x

exponentialPDF r x = ENNReal.ofReal (r * rexp (-(r * x)))


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ[(⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m']


(∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ[(⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m']


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

Pairwise fun x y => Disjoint (Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))


Pairwise fun x y => Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)

Context: i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : m ≤ n

Context: i2 : n ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : RegularSpace α

Context: γ : β → Type u_5

Context: f : (b : β) × γ b → α

Context: g : β → α

Context: a : α

Context: ha : HasProd f a

Context: hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b

upcrossingsBefore 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N ω = upcrossingsBefore a b f N ω


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: this : IsIso (L.map φ'.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: this✝ : IsIso (L.map φ'.s)

Context: this : IsIso (L.map α.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: this✝¹ : IsIso (L.map φ'.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map α.s)

Context: this : IsIso (L.map (φ'.s ≫ α.s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L


Context:
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n

(p - 1) * padicValNat p (n.choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits (n - k)).sum - (p.digits n).sum


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

a⁺ᵐ ⊓ a⁻ᵐ = 1


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi✝ πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: M : Type u_2

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: f : Box ι → M

∑ J ∈ π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes, f J = ∑ J ∈ π.boxes, ∑ J' ∈ (πi J).boxes, f J'


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: M : Type u_2

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: f : Box ι → M

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ ↑π.boxes

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ ↑π.boxes

Context: hne : J₁ ≠ J₂

Context: J' : Box ι

Context: h₁' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₁

Context: h₂' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₂


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

(x ◃ x) ◃ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = (x ◃ x) ◃ x ◃⁻¹ y


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
h : I ≤ J


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g

F.map₂ η.inv ≫ F.map₂ η.hom = 𝟙 (F.map g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n✝ n : ℕ

Context: ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s

Context: m : Sym α (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n✝ n : ℕ

Context: m : Sym α (n + 1)

(∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)) → ∀ a ∈ m, a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n✝ n : ℕ

Context: m : Sym α (n + 1)

Context: h : ∀ a ∈ m, a ∈ s

∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t

∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝² : T2Space M

Context: inst✝¹ : NormalSpace M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: hd : s ⊆ interior t

Context: f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯

Context: h0 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ (interior t)ᶜ, f x = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝² : T2Space M

Context: inst✝¹ : NormalSpace M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s t : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: hd : s ⊆ interior t

Context: f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯

Context: h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

Context: x : M

Context: hx : x ∉ t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
hfp : map f p = 0
x : R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
h : ∀ (x : R), f x = 0
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: h : cfc f a = cfc g a

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x y : M

ContinuousOn (tangentCoordChange I x y) ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b

↑(expUnitary (a + b)) = ↑(expUnitary a * expUnitary b)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b
hcomm : Commute (I • ↑a) (I • ↑b)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
N : ℕ

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹)


(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹)


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension ∅ A B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ ≠ ⊤


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β = chainLength α β


Context: x y : ℤ

toComplex { re := x, im := y } = ↑x + ↑y * I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
hst : t.encard = s.encard + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
hst : ∃ x, t \ s = {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
x : α
hx : t \ s = {x}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : N ⊗[R] Q

(inverse Q hfg hg) ((rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : MulAction G α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Finite α

Context: S : Set G

Context: hS1 : ∀ σ ∈ S, ((toPermHom G α) σ).IsSwap

Context: hS2 : closure S = ⊤

Context: h : IsPretransitive G α


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : MulAction G α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Finite α

Context: S : Set G

Context: hS2 : closure S = ⊤

Context: h : IsPretransitive G α


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : MulAction G α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Finite α

Context: S : Set G

Context: hS2 : closure S = ⊤

Context: h : IsPretransitive G α

Context: this : IsPretransitive (↥(toPermHom G α).range) α


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : MulAction G α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Finite α

Context: S : Set G

Context: hS2 : closure S = ⊤

Context: h : IsPretransitive G α

Context: this : IsPretransitive (↥(closure (⇑(toPermHom G α) '' S))) α


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: μ : R

Context: x : ↥p

Context: hx : x ∈ ↑(eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
x : ↥p
hx : ⟨f ↑x, ⋯⟩ = μ • x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q

W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 + W'.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * addZ P Q - W'.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * addZ P Q ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x

↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)


↑(f.extend I) ⁻¹' (↑(f.extend I) '' s) ∈ 𝓝 x


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R (m + n)) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) φ * a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : ¬p = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: hf : Injective ⇑f

Context: p : R[X]

Context: h : ¬p = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ ^ 2 = re ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: A : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: h : ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0

g =o[𝓝[insert x s] x] g' ↔ g =o[𝓝[s] x] g'


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝[insert x s] x) g g') ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝[s] x) g g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0
c : ℝ
hc : 0 < c

IsBigOWith c (𝓝[insert x s] x) g g' ↔ IsBigOWith c (𝓝[s] x) g g'


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I

∃ y, HasIntegral J l f vol y ∧ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (Prepartition.single I J hJ)) (𝓝 y)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y✝ y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hJ : J ≤ I

Context: y : F

Context: hy : Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (Prepartition.single I J hJ)) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Countable ι'
m : Measure α
m' : ι' → Measure β
inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(m.prod (sum m')) s = (sum fun p => m.prod (m' p)) s


∫⁻ (x : α), (sum m') (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂m = ∑' (i : ι'), ∫⁻ (x : α), (m' i) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂m


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: ι' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Countable ι'

Context: m : Measure α

Context: m' : ι' → Measure β

Context: inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: M : ∀ (x : α), MeasurableSet (Prod.mk x ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: ι' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Countable ι'

Context: m : Measure α

Context: m' : ι' → Measure β

Context: inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : α), ∑' (i : ι'), (m' i) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂m = ∑' (i : ι'), ∫⁻ (x : α), (m' i) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂m


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hfnew : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x ^ p) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x ^ p) x) (c₂ * (fun x => f x ^ p) x)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁p : 0 < c₁ ^ p


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁p : 0 < c₁ ^ p

Context: hc₂p : 0 < c₂ ^ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : a / b = c


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R

(∀ (i : n), 0 ≤ d i) → (diagonal d).PosSemidef


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i

∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ diagonal d *ᵥ x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i
x : n → R
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R

x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ x ∈ supported R R {d | (weight w) d = m}


x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ ∀ x_1 ∈ ↑x.support, x_1 ∈ {d | (weight w) d = m}


x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ ∀ (x_1 : σ →₀ ℕ), x x_1 ≠ 0 → x_1 ∈ {d | (weight w) d = m}


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
hm : μ.IsMetric


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ


Context:
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m : ℕ


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ
hn : n > 0


Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A

x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A \ (convexHull 𝕜) (A \ {x})


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3

IsSquare (-1) ↔ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n

(∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) ↔ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: p q : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hq : q ∣ n → q % 4 ≠ 3

Context: hpq : p * q ∣ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

(K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyι = K.homologyι j ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).hom


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
r : R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f✝ f g : R[X]
ihf : (expand R 1) f = f
ihg : (expand R 1) g = g


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

Context: r : R

Context: x✝ : (expand R 1) (C r * X ^ n) = C r * X ^ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
b : Ordinal.{u_2}


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}
ha : a.IsLimit


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Set α
s : Set (α × α)


Context: ι : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Finite K

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : Algebra K R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K R

Context: ps : ι → MvPolynomial ι R

Context: hinj : Injective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)

Surjective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)


Context: n m : ℕ


Context: n : ℕ


Context:
n m : ℕ
hm : m ≠ 0


Context:
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup

l₁.diff (a :: l₂) = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁


List.filter (fun a_1 => decide (decide (a_1 ∉ l₂) = true ∧ decide (a_1 ≠ a) = true)) l₁ = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom

Context: ψ : M₁ ⟶ N

∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) (r • x) = r • (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN) φ = ψ.hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (φ.app X) (r • x) = r • (φ.app X) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

∀ (Y : C) (f_1 : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve f.hom y).arrows f_1 → (N.presheaf.map f_1.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map f_1.op) (r • (φ.app X) y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

Context: Y : C

Context: p : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y

(N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

Context: Y : C

Context: p : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: eq : (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x) = (R.map p.op) r • (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

Context: Y : C

Context: p : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: eq : (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x)) = (R.map p.op) r • (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) x)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

Context: Y : C

Context: p : Y ⟶ Opposite.unop X

(φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x) = (φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : LocallyIntegrable g μ


Context: θ : Angle

2 • θ = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Sup α
inst✝² : Sup β
inst✝¹ : Sup γ
inst✝ : Sup δ
g : SupHom β γ
f₁ f₂ : SupHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
x : W.CoordinateRing


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]

((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree ≠ 1


max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3) ≠ 1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n✝ a✝ : ℕ

max (2 • some (n✝ + 1 + 1)) (2 • ↑a✝ + 3) ≠ 1


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
i : n
j : m

(toMatrix₂Aux R ⇑b₁ ⇑b₂) B i j = (toMatrix₂ b₁ b₂) B i j


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: χ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (χ i)

Context: as bs cs : (i : ι) → χ i

Context: γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)

Context: γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)

Context: t : ↑I

Context: i : ι

{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (Path.pi γ₀).extend (2 * t) else (Path.pi γ₁).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } t i = (Path.pi fun i => { toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (γ₀ i).extend (2 * t) else (γ₁ i).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }) t i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: χ : ι → Type u_4

Context: as bs cs : (i : ι) → χ i

Context: γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)

Context: γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)

Context: t : ↑I

Context: i : ι

(if ↑t ≤ 1 / 2 then (Path.pi γ₀).extend (2 * ↑t) else (Path.pi γ₁).extend (2 * ↑t - 1)) i = if ↑t ≤ 1 / 2 then (γ₀ i).extend (2 * ↑t) else (γ₁ i).extend (2 * ↑t - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α

countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = card (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, p a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = x ^ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < 0
hnx : x ^ n = x ^ 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
h : a ≠ 0
i : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R

rootMultiplicity x p = 0 ↔ p.IsRoot x → p = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hsμ : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0

indicatorConstLp p hs hsμ c = indicatorConstLp p ht htμ c ↔ s =ᶠ[ae μ] t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t

eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n

(snoc ⟨val✝, property✝⟩ x).reverse = x ::ᵥ reverse ⟨val✝, property✝⟩


⟨(append ⟨val✝, property✝⟩ ⟨[x], ⋯⟩).toList.reverse, ⋯⟩ = ⟨x :: val✝.reverse, ⋯⟩


Context:
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3


Context: a b : ℕ

Context: ha : a % 4 = 3

Context: hb : b % 4 = 3

Context: nop : ∀ {n : ℕ}, n % 4 = 3 → (-1) ^ (n / 2) = -1 := @neg_one_pow_div_two_of_three_mod_four


Context: θ₁ θ₂ : Angle

(θ₁ + θ₂).expMapCircle = θ₁.expMapCircle * θ₂.expMapCircle


Context:
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ

(↑x✝ + θ₂).expMapCircle = (↑x✝).expMapCircle * θ₂.expMapCircle


Context: x✝¹ x✝ : ℝ

(↑x✝¹ + ↑x✝).expMapCircle = (↑x✝¹).expMapCircle * (↑x✝).expMapCircle


Context:
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
f : ι → β

∏ i ∈ s, (↑t).mulIndicator f i = ∏ i ∈ s ∩ t, f i


∏ i ∈ filter (fun i => i ∈ ↑t) s, f i = ∏ i ∈ filter (fun i => i ∈ t) s, f i


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : X

Context: r : R

Context: h : ι R x = (algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r

Context: f0 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 0

Context: f1 : FreeAlgebra R X →ₐ[R] R := (lift R) 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : X

Context: r : R

Context: hf0 : f0 (ι R x) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : X

Context: r : R

Context: hf0 : f0 (ι R x) = 0

Context: hf1 : f1 (ι R x) = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : X

Context: r : R

Context: hf0 : r = 0

Context: hf1 : f1 (ι R x) = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : X

Context: r : R

Context: hf0 : r = 0

Context: hf1 : r = 1


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
l : List ↥S


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i
j : ι
hj : j ≠ i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
x : δ a
hx : x ∉ t a

filter (fun x_1 => x_1 a = x) (piFinset t) = ∅


∀ ⦃x_1 : (a : α) → δ a⦄, (∀ (a : α), x_1 a ∈ t a) → ¬x_1 a = x


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Y

coprod.inr ≫ (pushoutZeroZeroIso X Y).inv = pushout.inr 0 0


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
m0 : MeasurableSpace Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h : IndepSets {s} {t} κ μ
u : Set Ω
hu : u ∈ {s}


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
m0 : MeasurableSpace Ω
hs_meas : MeasurableSet s
ht_meas : MeasurableSet t
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
h : IndepSets {s} {t} κ μ
u : Set Ω
hu : u ∈ {t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: e : α

Context: x✝ : e ∈ X \ I

Context: heX : e ∈ X

Context: heI : e ∉ I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: e : α

Context: x✝ : e ∈ X \ I

Context: heX : e ∈ X

Context: heI : e ∉ I

Context: hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: e : α

Context: x✝ : e ∈ X \ I

Context: heX : e ∈ X

Context: heI : e ∉ I

Context: hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E

N.Indep (insert (f e) (f '' I)) → ∃ x ∈ I, f x = f e


Context: n : Nat


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c b : Ordinal.{u_4}
x✝ : a ∣ a * b + c
d : Ordinal.{u_4}
e : a * b + c = a * d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c b : Ordinal.{u_4}
x✝ : a ∣ c
d : Ordinal.{u_4}
e : c = a * d


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

interior (a • s) + closure (b • s) = interior (a • s) + b • s


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q

Context: z w : N

Context: hizw : (f.map ⋯ k) z = (f.map ⋯ k) w


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w

Context: ifkg : ∀ (a : M), i (f.toMap a) = k.toMap (g a)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w

Context: z' w' : M

Context: x : ↥S

Context: hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'

Context: hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w

Context: z' w' : M

Context: x : ↥S

Context: hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'

Context: hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'

Context: this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w

Context: z' w' : M

Context: x : ↥S

Context: hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'

Context: hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'

Context: this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')

Context: c : M

Context: hc : c ∈ ↑S

Context: eq : ↑⟨g c, ⋯⟩ * g z' = ↑⟨g c, ⋯⟩ * g w'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid Q

Context: k✝ : T.LocalizationMap Q

Context: hg : Injective ⇑g

Context: z w : N

Context: i : N →* Q := f.map ⋯ k

Context: hizw : i z = i w

Context: z' w' : M

Context: x : ↥S

Context: hxz : z * f.toMap ↑x = f.toMap z'

Context: hxw : w * f.toMap ↑x = f.toMap w'

Context: this : k.toMap (g z') = k.toMap (g w')

Context: c : M

Context: hc : c ∈ ↑S

Context: eq : c * z' = c * w'


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x

Context: ihxyn : IH1 (-x) (-y)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x

Context: ihxyn : IH1 (-x) (-y)

Context: ihyxn : IH1 (-y) (-x)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x

Context: ihxyn : IH1 (-x) (-y)

Context: ihyxn : IH1 (-y) (-x)

∀ (i : (x * y).LeftMoves) (j : (x * y).RightMoves), (x * y).moveLeft i < (x * y).moveRight j


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x

Context: ihxyn : IH1 (-x) (-y)

Context: ihyxn : IH1 (-y) (-x)

∀ (i : (x * y).LeftMoves), ((x * y).moveLeft i).Numeric


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: hx : x.Numeric

Context: hy : y.Numeric

Context: ihxy : IH1 x y

Context: ihyx : IH1 y x

Context: ihxyn : IH1 (-x) (-y)

Context: ihyxn : IH1 (-y) (-x)

∀ (j : (x * y).RightMoves), ((x * y).moveRight j).Numeric


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
x : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : x ∈ ⊤

x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))


0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))


∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → f ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i)) → single i b + f ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K₁
inst✝¹¹ : Field K₂
inst✝¹⁰ : Field K₃
inst✝⁹ : Algebra F K₁
inst✝⁸ : Algebra F K₂
inst✝⁷ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K₁ E
inst✝³ : Algebra K₂ E
inst✝² : IsScalarTower F K₁ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₂ E
inst✝ : Normal F K₁
h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)
h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : Field F

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra F K

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K₁

Context: inst✝¹¹ : Field K₂

Context: inst✝¹⁰ : Field K₃

Context: inst✝⁹ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁸ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁷ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra K₁ E

Context: inst✝³ : Algebra K₂ E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K₁ E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F K₂ E

Context: inst✝ : Normal F K₁

Context: h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)

Context: h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)

Context: f : (E ≃ₐ[K₁] E) →* E ≃ₐ[F] E := { toFun := fun ϕ => AlgEquiv.ofAlgHom (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ) (AlgHom.restrictScalars F ↑ϕ.symm) ⋯ ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : Field F

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra F K

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K₁

Context: inst✝¹¹ : Field K₂

Context: inst✝¹⁰ : Field K₃

Context: inst✝⁹ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁸ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁷ : Algebra F K₃

Context: ϕ✝ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra K₁ E

Context: inst✝³ : Algebra K₂ E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K₁ E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F K₂ E

Context: inst✝ : Normal F K₁

Context: h1 : IsSolvable (K₁ ≃ₐ[F] K₁)

Context: h2 : IsSolvable (E ≃ₐ[K₁] E)

Context: ϕ : E ≃ₐ[F] E

Context: hϕ : ϕ ∈ (AlgEquiv.restrictNormalHom K₁).ker

Context: x : K₁

ϕ.toFun ((algebraMap K₁ E) x) = (algebraMap K₁ E) x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : v ≤ᶠ[lt] u
t : ι

-(∫ (x : ℝ) in v t..u t, f x ∂μ - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c) = ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ + (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
a : Set α
p : α → Prop


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : a % c + b % c < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

l.reduceOption.length = l.length ↔ ∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ

(a, b, c) ∈ Corners.triangleIndices A ↔ (a, b) ∈ A ∧ c = a + b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n

(hT.eigenvectorBasis hn).repr (T v) i = ↑(hT.eigenvalues hn i) * (hT.eigenvectorBasis hn).repr v i


∀ (w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)), T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) = (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm fun i => ↑(hT.eigenvalues hn i) * w i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)

T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) = (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm fun i => ↑(hT.eigenvalues hn i) * w i


∑ x : Fin n, w x • ↑(hT.eigenvalues hn x) • (hT.eigenvectorBasis hn) x = ∑ x : Fin n, (↑(hT.eigenvalues hn x) * w x) • (hT.eigenvectorBasis hn) x


∀ (a : Fin n), w a • ↑(hT.eigenvalues hn a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a = (↑(hT.eigenvalues hn a) * w a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
a : Fin n

w a • ↑(hT.eigenvalues hn a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a = (↑(hT.eigenvalues hn a) * w a) • (hT.eigenvectorBasis hn) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'

∀ᵐ (c : α) ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a, (preCDF ρ r (a, c).2).toReal ≤ (preCDF ρ r' (a, c).2).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

(preCDF ρ r a).toReal ≤ (preCDF ρ r' a).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
h_ne_top : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
q : ℚ

∀ᵐ (c : α) ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a, (preCDF ρ q (a, c).2).toReal ≤ 1


∀ᵐ (c : α) ∂ρ.fst, (preCDF ρ q c).toReal ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
q : ℚ
a : α
ha : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

Tendsto (fun m => ∫ (c : α), (preCDF ρ (s m) (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a) atTop (𝓝 0)