Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x : (a : ι) → π a
hs : s ∈ 𝓝 x
y : (a : ι) → π a


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : X → (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Set ((a : ι) → π a)

Context: x y : (a : ι) → π a

Context: hs : ∃ I t, (∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)) ∧ (↑I).pi t ⊆ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x y : (a : ι) → π a
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (π i)
htx : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)
hts : (↑I).pi t ⊆ s
i : ι
hi : i ∈ ↑I


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : 0 < ‖y‖

Context: hyr : ‖y‖ < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : y ≠ 0

Context: hyr : ‖y‖ < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : y ≠ 0

Context: hyr : ‖y‖ < r

Context: this : y • V ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : y ≠ 0

Context: hyr : ‖y‖ < r

Context: this : y • V ∈ 𝓝 0

Context: a : 𝕜

Context: ha : ‖a‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : y ≠ 0

Context: hyr : ‖y‖ < r

Context: this : y • V ∈ 𝓝 0

Context: a : 𝕜

Context: ha : ‖a‖ ≤ 1

Context: z : E

Context: hz : z ∈ V


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

Context: j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ

F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

F.map (eqToHom ⋯ ≫ (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op.π.app j) = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

F.map (eqToHom ⋯ ≫ (opensLeCoverCocone U).op.π.app ((generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor.obj j)) = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op))).hom


({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op)).hom


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : QuotientMap f


Context:
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d


Context:
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p

(p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum


Context:
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
h : 1 < p


Context:
n : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < 1

(1 - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits 1 L / 1 ^ i.succ = ofDigits 1 L - L.sum


Context:
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
h : p < 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M

ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑f.symm) (↑f.symm ⁻¹' s) (↑f x)


ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt ((g ∘ ↑f.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑f.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑f x))


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰

(equiv K) (mk0 I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)


(QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I)) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)


(Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I) = (FractionalIdeal.mk0 K) I


Context:
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ


Context:
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
this : StrongEpi e


Context: S : Set Ordinal.{u}


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Disjoint (Ico a₁ a₂) (Ico b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n k : ℕ
h : k ≤ n


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective2 f


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

↑a ! = Polynomial.eval 1 (ascPochhammer S a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G


Context: m n k : ℕ+


Context: u : ZFSet


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.IsRightInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsRightDescent w i


Context: z : ℂ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R[X]
hx : x.Monic


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L


(algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
this : FiniteDimensional K L


Context:
n b : ℕ
L : List ℕ

ofDigits b L = (List.mapIdx (fun i a => a * b ^ i) L).sum


Context:
n b : ℕ
L : List ℕ

List.foldr (fun x y => ↑x + b * y) 0 L = (List.zipWith (fun i a => a * b ^ i) (List.range L.length) L).sum


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b


Context: c : ℂ

CliffordAlgebraComplex.equiv (ofComplex ((starRingEnd ℂ) c)) = CliffordAlgebraComplex.equiv (involute (ofComplex c))


Context:
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ


Context:
d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ


Context:
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0


Context:
b m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0


Context:
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0
hd : d > 0


Context:
θ : Angle
ψ : ℝ


Context: ψ x✝ : ℝ

(↑x✝).cos = Real.cos ψ ↔ ↑x✝ = ↑ψ ∨ ↑x✝ = -↑ψ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α


Context:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45870, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.45877, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c


Context:
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toRatLinearMap = g.toRatLinearMap
x : M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
ih : map pure l <+ l.sublists

map pure l ++ [pure a] <+ l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α


Context:
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I


Context:
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I
ht : x ⊔ xᶜ ∈ I


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsEmpty σ
x : R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)

Context: m : Fin (n + 1 + 1) → E

(iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: n : ℕ

Context: m : Fin (n + 1 + 1) → E

Context: hmzero : Fin.init m 0 = m 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: n : ℕ

Context: m : Fin (n + 1 + 1) → E

Context: hmzero : Fin.init m 0 = m 0

Context: hmtail : Fin.tail m (Fin.last n) = m (Fin.last n.succ)


Context: s : Set ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f g : R⟦X⟧

Context: hD : (d⁄dX R) f = (d⁄dX R) g

Context: hc : (constantCoeff R) f = (constantCoeff R) g

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ insert b t ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s ∪ s ×ˢ t


x ∈ s ∧ (y = b ∨ y ∈ t) ↔ (∃ a ∈ s, a = x ∧ b = y) ∨ x ∈ s ∧ y ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁴ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: this : e a ∈ upperClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ upperClosure ↑s

e (s.truncatedInf a) = (map e.toEmbedding s).truncatedInf (e a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁴ : BoundedOrder α

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

(if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊥) = if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ e a) (map e.toEmbedding s)).inf' ⋯ id else ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁴ : BoundedOrder α

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ upperClosure ↑s

(filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ (⇑e ∘ id) = (filter (fun x => x ≤ e a) (map e.toEmbedding s)).inf' ⋯ id


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : S ⟶ S'
f' : S' ⟶ S''
h : StructuredArrow S'' T

(map (f ≫ f')).obj h = (map f).obj ((map f').obj h)


(map (f ≫ f')).obj (mk h.hom) = (map f).obj ((map f').obj (mk h.hom))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + c) s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
X✝ Y✝ : C ⥤ Comon_ D
α : X✝ ⟶ Y✝
x : C

(α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).counit = (X✝.obj x).counit


(α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).comul = (X✝.obj x).comul ≫ ((α.app x).hom ⊗ (α.app x).hom)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

(p.prod q).radius = min p.radius q.radius


(p.prod q).radius ≤ min p.radius q.radius


min p.radius q.radius ≤ (p.prod q).radius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : Finite α
f : α → σ
l : List α
left✝ : l.Nodup
m : ∀ (x : α), x ∈ l
this : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : Finite α
f : α → σ
l : List α
left✝ : l.Nodup
m : ∀ (x : α), x ∈ l
this : DecidableEq α
a : α

(List.map f l).get? (List.indexOf a l) = some (f a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card


(A / C).card * B⁻¹.card ≤ (A / B⁻¹).card * (B⁻¹ / C).card


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E

∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Iic b)).toReal - (μ (Iic a)).toReal) • c


∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Iic b, c ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Iic a, c ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
x✝ : m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[a, b]] μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[a, b]]


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[b, a]]


ContinuousOn (fun x => -∫ (t : ℝ) in b..x, f t ∂μ) [[b, a]]


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
f : α × β → Finset γ

(s ×ˢ t).biUnion f = s.biUnion fun a => t.biUnion fun b => f (a, b)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n

(aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p n) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
i : ι


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: P I : Ideal A

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)

Context: hle : I ≤ P ^ i

Context: P_prime' : Prime P

Context: h1 : I ≠ ⊥

Context: this : P ^ i ≠ 0

Context: h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: P I : Ideal A

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: hle : I ≤ P ^ i

Context: P_prime' : Prime P

Context: h1 : I ≠ ⊥

Context: this : P ^ i ≠ 0

Context: h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0

normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: P I : Ideal A

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: hle : I ≤ P ^ i

Context: P_prime' : Prime P

Context: h1 : I ≠ ⊥

Context: this : P ^ i ≠ 0

Context: h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

↑((orthogonalProjection s) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) = p ↔ ↑((orthogonalProjection s) p) = p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : Zero X
inst✝¹⁷ : Zero Y
inst✝¹⁶ : CommSemiring M
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : StarRing S
inst✝⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝⁴ : ContinuousStar S
inst✝³ : Module M R
inst✝² : Module M S
inst✝¹ : ContinuousConstSMul M R
inst✝ : ContinuousConstSMul M S
φ : R →⋆ₙₐ[M] S
hφ : Continuous ⇑φ
x✝ : C(X, R)₀

∀ (x : X), ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun (star x✝)) x = (star ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun x✝)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α

∀ {s u : Multiset α}, s ≤ t → s ≤ u → s ≤ t ∩ u


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α
s u : Multiset α
h₁ : s ≤ 0
h₂ : s ≤ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Multiset α

Context: a✝ b a : α

Context: t : Multiset α

Context: IH : ∀ {s u : Multiset α}, s ≤ t → s ≤ u → s ≤ t ∩ u

Context: s u : Multiset α

Context: h₁ : s ≤ a ::ₘ t

Context: h₂ : s ≤ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t✝ : Set α
h : Semiconj f fa fb
s t : Set β
hb : MapsTo fb s t
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context:
α✝ : Type u_1
a : α✝
l₁ l₂ : List α✝

[a].Disjoint l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂ ↔ ¬a ∈ l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: L' : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field L'

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K L'

Context: S : IntermediateField K L

Context: inst✝¹ : Algebra L' L

Context: inst✝ : IsScalarTower K L' L

Context: U V : IntermediateField L' L

Context: H : restrictScalars K U = restrictScalars K V

Context: x : L


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module.Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module.Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module.Free R M₁
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank R M = 1
v : M
i : ι
hv : v = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

(fun n m => limMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ (F.obj j).d n m = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: i j : J

Context: φ : i ⟶ j

Context: n : ι

𝟙 (limit (F ⋙ eval C c n)) ≫ limit.π (F ⋙ eval C c n) j = limit.π (F ⋙ eval C c n) i ≫ (F.map φ).f n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0

normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = normalize n d d0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsInitial X
hY : IsInitial Y
f : X ⟶ Y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) s ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidWithOne R


AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R) = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom R) 1)


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
S : Set ι

UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ i ∈ S, UniformSpace.comap (eval i) (U i)


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.45154, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.45158, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.45162, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_10, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.45174, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
g : L₁.obj Y ⟶ L₁.obj Z

(homEquiv W L₁ L₂) (f ≫ g) = (homEquiv W L₁ L₂) f ≫ (homEquiv W L₁ L₂) g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝
x✝ y z : α✝
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α

IsOpen {x} ↔ ∃ ε > 0, ∀ (y : α), dist y x < ε → y = x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b : α


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: f : MultilinearMap R M M₂

Context: m : (i : Fin n) → M i.succ

Context: x y : M 0

f (cons (x + y) m) = f (cons x m) + f (cons y m)


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] B
r : R
c : CharacterModule B
x : A

({ toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) x = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun c) x


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D

Context: inst✝ : HasStrictInitialObjects C

Context: X : C

Context: h : IsInitial X

Context: F' : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ Functor.empty C

Context: f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt

Context: hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D

Context: inst✝ : HasStrictInitialObjects C

Context: X : C

Context: h : IsInitial X

Context: F' : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ Functor.empty C

Context: f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : F' = Functor.empty C


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D

Context: inst✝ : HasStrictInitialObjects C

Context: X : C

Context: h : IsInitial X

Context: c' : Cocone (Functor.empty C)

Context: α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C

Context: f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D

Context: inst✝ : HasStrictInitialObjects C

Context: X : C

Context: h : IsInitial X

Context: c' : Cocone (Functor.empty C)

Context: α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C

Context: f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : IsIso f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β

IsLocallyClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsLocallyClosed (Subtype.val ⁻¹' s)


IsOpen (coborder s) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (coborder (Subtype.val ⁻¹' s))


(∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' coborder s)) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (coborder (Subtype.val ⁻¹' s))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s

∃ K ⊆ s, (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) K ∧ r < μ K


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
K : Set G
Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤

IsOpenMap f ↔ ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)


(∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsOpenMap f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), IsOpenMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Context: x : β

Context: hx : x ∈ U i

⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Context: x : β

Context: hx : x ∈ U i

(∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct A B

Context: inst✝² : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

coprodComparison F A B ≫ F.map (coprod.map f g) = coprod.map (F.map f) (F.map g) ≫ coprodComparison F A' B'


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ✝ μ : Measure Ω


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
hs₀ : 0 ∉ s

(∀ n ∈ s, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n ∈ s, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup R

Context: f g : ℕ → R

Context: s : Set ℕ

Context: hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s

Context: hs₀ : 0 ∉ s

Context: this : ∀ (P : ℕ → Prop), (∀ n ∈ s, P n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → P n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

s ∈ memberSubfamily a 𝒜 ↔ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s


(∃ a_1, (a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∈ a_1) ∧ a_1.erase a = s) ↔ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s


(∃ a_1, (a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∈ a_1) ∧ a_1.erase a = s) → insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
hs1 : s ∈ 𝒜
hs2 : a ∈ s

insert a (s.erase a) ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s.erase a


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

fib n * fib n + fib (n + 1) * fib (n + 1) = fib (n + 1) ^ 2 + fib n ^ 2


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : a ≤ b

(min a b).toReal = min a.toReal b.toReal


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : b ≤ a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂

(s₁.weightedVSubOfPoint p b) w = (s₂.weightedVSubOfPoint p b) ((↑s₁).indicator w)


∑ i ∈ s₁, w i • (p i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s₂, (↑s₁).indicator w i • (p i -ᵥ b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hgs : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hgt : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
x : P
hx : x ∈ ↑I


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
x : P
hx : x ∈ ↑I
h_eq : I.den • ↑I = ⊥


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ℕ → Set X

Context: su : s ⊆ ⋃ n, u n

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ℕ → Set X

Context: su : s ⊆ ⋃ n, u n

Context: this : s = ⋃ n, u n ∩ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ℕ → Set X

Context: su : s ⊆ ⋃ n, u n

Context: this : s = ⋃ n, u n ∩ s

∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (u i ∩ s))


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
hm : m ≤ m0

μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hsf_zero : ∀ (g : α → E), g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0 → s.indicator g =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: hm : m ≤ m0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: I : Set ι

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

(𝓝[I.pi s] x).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (𝓝[s i] x i).NeBot


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x y : V₁


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cocone F.rightOp

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeRightOp c).pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeRightOp c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeRightOpOfCone s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cocone F.rightOp

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeRightOp c).pt

Context: j : J

(c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeRightOpOfCone s)).unop) s).op).unop


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (s : Seq α), (s.drop n).head = s.get? n

Context: s : Seq α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: n : ℕ

Context: s : Seq α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0

(((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i ≤ f.totalDegree


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: i : ℕ

Context: hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0

Context: hf'_sup : (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.Nonempty


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ✝ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ✝ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: i : ℕ

Context: hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0

Context: σ : Fin n →₀ ℕ

Context: hσ1 : σ ∈ (((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support

Context: hσ2 : ((((finSuccEquiv R n) f).coeff i).support.sup fun s => s.sum fun x e => e) = σ.sum fun x e => e


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ✝ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ✝ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: i : ℕ

Context: hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0

Context: σ : Fin n →₀ ℕ

Context: σ' : Fin (n + 1) →₀ ℕ := cons i σ


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ✝ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ✝ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: i : ℕ

Context: hi : ((finSuccEquiv R n) f).coeff i ≠ 0

Context: σ : Fin n →₀ ℕ

Context: σ' : Fin (n + 1) →₀ ℕ := cons i σ

(((finSuccEquiv R n) f).coeff i).totalDegree + i = σ'.sum fun x e => e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : ι → Set α
t : Set β

image2 f (⋂ i, s i) t ⊆ ⋂ i, image2 f (s i) t


∀ (x : α), (∀ (i : ι), x ∈ s i) → ∀ y ∈ t, ∀ (i : ι), f x y ∈ image2 f (s i) t


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : Finset α → β

∏ t ∈ s.powerset, f t = ∏ j ∈ range (s.card + 1), ∏ t ∈ powersetCard j s, f t


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x✝ : L ≃ₐ[K] L


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y : E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
this : ↑m < ℵ₀


Context: a b : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: k : Cardinal.{u_1}

Context: hk : ↑m = ↑n * k

Context: this : ↑n = 0 ∨ k = 0 ∨ ↑n < ℵ₀ ∧ k < ℵ₀


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
h : ↑n = 0


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
h : k = 0


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
k : Cardinal.{u_1}
hk : ↑m = ↑n * k
hk' : k < ℵ₀


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊


Context:
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : (k * k).ble n = false


2 ≤ n ∧ ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ n.sqrt → ¬m ∣ n


Context:
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : (k * k).ble n = false
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
hmn : m ≤ n.sqrt
h2mn : m ∣ n


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Set C
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

x✝ ∈ (full univ).arrows x✝² x✝¹ ↔ x✝ ∈ ⊤.arrows x✝² x✝¹


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R[X] A
D₁ D₂ : Derivation R R[X] A
h : D₁ X = D₂ X
f : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f' x‖
hne : ‖f' x‖ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ ‖f' x‖ / 2
hne : ‖f' x‖ ≠ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A✝ : Type u_5
B✝ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : MulAction M α
A : Type u_11
B : Type u_12
G : Type u_13
inst✝⁴ : CommMonoid G
inst✝³ : SMul A G
inst✝² : SMul B G
inst✝¹ : IsScalarTower A G G
inst✝ : IsScalarTower B G G
r : A
s : B
x : G


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : op a • ↑s = ↑s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop


Context:
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y


Context: E : Type u_1

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x


Context: E : Type u_1

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S


Context: E : Type u_1

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: this : ∫ (x : ℝ) in (fun t => t ^ p) '' Ioi 0, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)


Context: E : Type u_1

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)


Context: E : Type u_1

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : g.Separable
h : IsCoprime f g


IsCoprime (f * g) (derivative f * g + f * derivative g)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
x : α

(MulAction.toPerm g) ((fun x => { toFun := fun g' => g⁻¹ * g' * g, invFun := fun g' => g * g' * g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } g' • x) x) = (fun x => g' • x) ((MulAction.toPerm g) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

P.d 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next 0) 0 = 0


¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0)


Context: a n✝ n : ℕ

(2 * n + 1).bitIndices = 0 :: map (fun x => x + 1) n.bitIndices


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s✝ t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω

iIndepSets (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (t : Finset ι), μ (⋂ i ∈ t, s i) = ∏ i ∈ t, μ (s i)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
P : MonoOver Z
h : Factors (Quotient.mk'' P) g


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context:
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj α


Context:
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj β


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0

(p * p.mirror).natDegree = 2 * p.natDegree


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x‖ = ‖f x‖


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N

map f (span R ↑(t.preimage ⇑f ⋯)) = map f N


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {nil}) = ⊤


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

⊤ ≤ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

f ∈ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

f default • eval {fun x => false} nil = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

Context: x : ↑{fun x => false}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E

∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℂ), f p


∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (measurableEquivRealProd.symm (↑polarCoord.symm p))


Context:
a x z : ℂ
θ : ℝ

(cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
z : 𝕜

‖z‖ ≤ ‖f'‖⁻¹ * ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') z‖


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : Measurable f := hf.measurable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: h : ∀ (a : ℚ), Measurable fun x => f x a


Context:
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ

biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ biproduct.toSubtype f p) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j


(if h : p ↑k then biproduct.ι (Subtype.restrict p f) ⟨↑k, h⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0


0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0


Context:
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K

((fun {W} g x => g ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) g' w ≫ biproduct.fromSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π f j = g' ≫ biproduct.π f j


(g' ≫ biproduct.π f j ≫ if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) = g' ≫ biproduct.π f j


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
h : a < 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha✝ : a ≠ 0
b c : α
ha : 0 < a


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : 1 = (↑g).det


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_nonempty : s.Nonempty
hs_ne_univ : s ≠ univ
x y : β

(piecewise s hs (const α x) (const α y)).range = {x, y}


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: a b c d : α


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W

Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: this : Set.range cs.simple = Set.range cs.simple ∪ (Set.range cs.simple)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.fst i.snd ∧ s i.fst i.snd ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l

Context: t : Set α

(∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
a : α

(e.extendDomain f.toEquivRange) (f a) = f (e a)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖


|(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃))).toReal| < π / 2


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E

Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s t : Set α✝

Context: x : α✝

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: E : Set α

Context: h : Bornology.IsBounded E

Context: this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s t : Set α✝

Context: x : α✝

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: E : Set α

Context: h : Bornology.IsBounded E

Metric.cthickening δ E ⊆ thickening (max (δ + 1) 1) E


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

t.sup' ht id ⊓ u.sup' hu id ∈ supClosure s


((t ×ˢ u).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2) ∈ supClosure s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b ≠ a + z • p


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T✝ : L.Theory
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
T : L.Theory


Context:
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: a c : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: c_mem : c ∈ P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: a c : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: c_mem : c ∈ P ^ i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x

fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x = fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x
A : 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x = 𝓝[s \ {x}] x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
h𝕜 : SecondCountableTopology 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A


↑(ℜ x) + I • ↑(ℑ x) ∈ span ℂ ↑(selfAdjoint A)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
l : List α
a₁ a₂ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M


Context:
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: this : Tendsto (fun x => x.2.1 * (x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 * 1⁻¹))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: this : Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
m p : PosNum


Context:
α : Type u_1
m p : PosNum

↑(m * p) + ↑(m * p) + ↑m = ↑m * (↑p + ↑p) + ↑m


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ

(l.rotate n).rotate m = l.rotate (n + m)


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S✝ : StarSubalgebra R A
S : StarSubalgebra R C
g : B →⋆ₐ[R] C
f : A →⋆ₐ[R] B

↑(comap f (comap g S)) = ↑(comap (g.comp f) S)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≤ y


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : PartialHomeomorph X Y
e : X ≃ₜ Y


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn

(μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K


(μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ (μ (closedBall c f.rIn)).toReal


f.rOut ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal ≤ (K * f.rIn) ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝

((fun sq => sq.map F) X✝).f₁₂ ≫ F.map φ.τ₂ = F.map φ.τ₁ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₁₂


((fun sq => sq.map F) X✝).f₁₃ ≫ F.map φ.τ₃ = F.map φ.τ₁ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₁₃


((fun sq => sq.map F) X✝).f₂₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₂ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₂₄


((fun sq => sq.map F) X✝).f₃₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₃ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₃₄


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

Context: hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

(φ.emb.comp (inclusion ⋯)).comp (inclusion hL) = f


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥


IsGalois (↥(IntermediateField.fixedField ⊤)) E


Context: C : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_4} D

Context: F : C ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

(lift r F H).map ((functor r).map f) = F.map f


Context: C : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_4} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

(lift r F H).map ((functor r).map f) = (lift.isLift r F H).inv.app X ≫ (functor r ⋙ lift r F H).map f ≫ (lift.isLift r F H).hom.app Y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M

↑(closure s) = {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)


↑(closure s) ≤ {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)


{1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ ↑(closure s)


Context:
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V


¬(¬v.rep = 0 ∧ ∀ (a : K), a • v.rep ≠ (Projectivization.rep ∘ ![u, v]) 0) ↔ u = v


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j : ι
w : ¬c.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

(fun i j => F.map (C.d i j)) i j ≫ (fun i j => F.map (C.d i j)) j k = 0


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
X✝ Y✝ : HomologicalComplex W₁ c
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

F.map (f.f i) ≫ F.map (Y✝.d i j) = F.map (X✝.d i j) ≫ F.map (f.f j)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : HasFDerivWithinAt f f' s x
ht : HasFDerivWithinAt f f' t x


HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝[s] x ⊔ 𝓝[t] x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
x : α
hx : x ∈ ⋃ i, s i


Context: α : Sort u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: C : α → Sort u_2

Context: F : (x : α) → ((y : α) → r y x → C y) → C x

Context: x : α

Context: a : Acc r x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: x : B

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Ring E

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : IsDomain K

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: f g : E →ₐ[F] K

Context: h : rootsOfMinPolyPiType F E K f = rootsOfMinPolyPiType F E K g


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: x : B

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Ring E

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : IsDomain K

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: f g : E →ₐ[F] K


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: x : B

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Ring E

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : IsDomain K

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: f g : E →ₐ[F] K

Context: h : ∀ (a : ↑(range ⇑(FiniteDimensional.finBasis F E))), rootsOfMinPolyPiType F E K f a = rootsOfMinPolyPiType F E K g a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (exp 𝕜) a = exp 𝕜 ((cfcHom ha) { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ })


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)

Context: x✝ : ContinuousOn (exp 𝕜) (spectrum 𝕜 a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict (exp 𝕜), continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) (exp 𝕜 { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ })


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)

Context: a✝ : ↑(spectrum 𝕜 a)

{ toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict (exp 𝕜), continuous_toFun := ⋯ } a✝ = (exp 𝕜 { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ }) a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
h : Invertible ↑denom✝

-(↑num✝ * ⅟↑denom✝) = ↑num✝.neg * ⅟↑denom✝


↑(-num✝) * ⅟↑denom✝ = ↑num✝.neg * ⅟↑denom✝


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g


Context: m✝ n✝ m n : ℤ


Context:
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Even (m + n)


Context:
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Odd (m + n)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G

x✝ ∈ a • ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasLimit F
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
h : HasLimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
this : HasLimit (E ⋙ F ⋙ G)
j✝ : K

(G.map (pre F E) ≫ post (E ⋙ F) G) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝ = (post F G ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

(Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y) = p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : o < b


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0

Measure.map (⇑f) volume = ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • volume


Context:
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

cantorFunction c f = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)


cantorFunctionAux c f 0 + ∑' (b : ℕ), cantorFunctionAux c f (b + 1) = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)


(bif f 0 then 1 else 0) + c * ∑' (x : ℕ), cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) x = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite
m n : ℕ
hmn : m < n
ha : a ^ m = a ^ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : CompleteLattice.IsCompactElement ↑b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: a : α

Context: b : ↑(Iic a)

Context: h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a

∀ (ι : Type u_2) (s : ι → ↑(Iic a)), b ≤ iSup s → ∃ t, b ≤ ⨆ a_2 ∈ t, s a_2