Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

(fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I) (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) x))) v = (v, 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

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Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

Context: N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))

Context: A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x

Context: B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

(fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x)) = fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

Context: y : E

Context: hy : y ∈ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target

(↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm y))), 0) = (y, 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

(↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm (↑I (↑(chartAt H x) x))))), 0) = (↑I (↑(chartAt H x) x), 0)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(cocompact X).coprod (cocompact Y) = cocompact (X × Y)


(cocompact X).coprod (cocompact Y) ≤ cocompact (X × Y)


cocompact (X × Y) ≤ (cocompact X).coprod (cocompact Y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

(-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) / (2 * ↑k).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context: k : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hk : k ≠ 0

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: this : ↑(2 * k)! = 2 * ↑k * Complex.Gamma (2 * ↑k)


Context: k : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hk : k ≠ 0

Context: hx : x ∈ Icc 0 1


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iio ↑y) = Ici x ∩ Iio y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → 𝕜

Context: g : X → E

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: hg : ContinuousOn g s

LocallyIntegrableOn (fun x => f x • g x) s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → 𝕜

Context: g : X → E

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ

Context: hg : ContinuousOn g s

∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => f x • g x) k μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: v : InfinitePlace K

Context: hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramified k v


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(κ.singularPart η) a = 0 ↔ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ≪ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ≪ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a ≪ η a ∧ (κ.singularPart η) a ≪ η a


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ r < 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β → E

∫ (z : α × β), f z.2 ∂μ.prod ν = (μ univ).toReal • ∫ (y : β), f y ∂ν


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ t t' : TopologicalSpace X
H : ∀ (x : X), 𝓝 x = 𝓝 x
x✝ : Set X


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
U : Set X
inst✝ : (x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
x✝ : X


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t


t' • (r₁ * r * r₂) = t' • (r₁ * r' * r₂)


Context:
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1


Context:
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1
hb : b < 0


Context:
hb₀ : -1 < 0
hb₁ : 0 < 1


Context:
b : ℝ
hb₀ : -1 < b
hb₁ : b < 1
hb : 0 < b


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
x : HahnSeries Γ R


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R

((rename f) φ).degrees ⊆ Multiset.map f φ.degrees


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ

‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ‖f x - y₀‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist y₀ (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist (f x) y₀


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
a : α
l : List α

scanr f b (a :: l) = foldr f b (a :: l) :: scanr f b l


f a (foldr (fun a x => (f a x.1, x.1 :: x.2)) (b, []) l).1 = f a (foldr f b l)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
h : I ^ m = I ^ m • ⊤

(Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r n) = (Ideal.Quotient.mk (I ^ m)) (↑r m)


Submodule.Quotient.mk (↑r n) = Submodule.Quotient.mk (↑r m)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
h : a = aᶜ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
b c : α
inst✝ : Nontrivial α
h : ⊥ = ⊥ᶜ


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)

edist x y ≤ ↑(2 ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ (α × β)

edist x y ≤ ↑(2 ^ (1 / ⊤).toReal) * edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q b : R[X]
P : R[X][X]

P ∈ Ideal.span {C (X - C a), X - C b} ↔ eval a (eval b P) = 0


(∃ a_1 b_1, a_1 * C (X - C a) + b_1 * (X - C b) = P) ↔ eval a (eval b P) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
s : Set (α i)

univ.pi (update (fun j => univ) i s) = eval i ⁻¹' s


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R

↑φ = 1 ↔ φ = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β

map f (permutationsAux2 t ts [] ys id).2 = (permutationsAux2 t ts [] ys f).2


(permutationsAux2 (id t) ts (map f []) ys ?f').2 = (permutationsAux2 t ts [] ys f).2


∀ (a : List α), f (id a) = ?f' (map id a)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P


Context: a b : Rat

a - b = mkRat (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x✝ : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x y z : α ⊕ β ⊕ γ

(graph t).Adj x y → (graph t).Adj x z → (graph t).Adj y z → ∃ a b c, {in₀ a, in₁ b, in₂ c} = {x, y, z} ∧ (graph t).Adj (in₀ a) (in₁ b) ∧ (graph t).Adj (in₀ a) (in₂ c) ∧ (graph t).Adj (in₁ b) (in₂ c)


Context:
α : Type u_1
p q✝ q : ℚ≥0
n : ℕ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f x : σ → R
p : MvPolynomial σ R
s : R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D


∀ (j : StructuredArrow Y L), f₁.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app j = f₂.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app j


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
X : StructuredArrow Y L

f₁.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X = f₂.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E E' : L.RightExtension F

Context: h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension

Context: G : L.RightExtension F

Context: f₁ f₂ : G ⟶ E

Context: Y : D

Context: X : StructuredArrow Y L

Context: eq₁ : (((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.left ≫ E.hom).app X.right = G.hom.app X.right


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E E' : L.RightExtension F

Context: h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension

Context: G : L.RightExtension F

Context: f₁ f₂ : G ⟶ E

Context: Y : D

Context: X : StructuredArrow Y L

Context: eq₂ : (((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₂.left ≫ E.hom).app X.right = G.hom.app X.right


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E E' : L.RightExtension F

Context: h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension

Context: G : L.RightExtension F

Context: f₁ f₂ : G ⟶ E

Context: Y : D

Context: X : StructuredArrow Y L

Context: eq₁ : f₁.left.app (L.obj X.right) ≫ E.hom.app X.right = G.hom.app X.right

Context: eq₂ : f₂.left.app (L.obj X.right) ≫ E.hom.app X.right = G.hom.app X.right

f₁.left.app Y ≫ E.left.map X.hom ≫ E.hom.app X.right = f₂.left.app Y ≫ E.left.map X.hom ≫ E.hom.app X.right


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Zero α

Context: s : Finset ι

Context: f : ι →₀ α

Context: t : ι →₀ Finset α

Context: ht : t.support ⊆ s

Context: i : ι

Context: h : (i ∈ f.support → i ∈ s) ∧ (i ∈ s → f i ∈ t i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) + μ.singularPart μ = μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) = μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : μ.withDensity (μ.rnDeriv μ) = μ.withDensity 1

Context: h_one : μ = μ.withDensity 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h_one : μ = μ.withDensity 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝² : G.Full

Context: inst✝¹ : G.Faithful

Context: I : D

Context: hI : Injective (G.obj I)

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_2, v₁, u_1, u₁} G


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝² : G.Full

Context: inst✝¹ : G.Faithful

Context: I : D

Context: hI : Injective (G.obj I)

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: w : G.obj Y ⟶ G.obj I

Context: h : G.map g ≫ w = G.map f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝² : G.Full

Context: inst✝¹ : G.Faithful

Context: I : D

Context: hI : Injective (G.obj I)

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: w : G.obj Y ⟶ G.obj I

Context: h : G.map g ≫ w = G.map f

g ≫ inv (adj.counit.app Y) ≫ F.map w ≫ adj.counit.app I = f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : E
h : ⟪v, w⟫_𝕜 = 0


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n✝
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
f : Fin n → α
i : Fin n


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s : ι → Set Ω

Context: hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: hfi : iIndepFun (fun x => mβ) f μ

Context: hij : i < j

Indep (MeasurableSpace.comap (f j) mβ) (↑(Filtration.natural f hf) i) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s : ι → Set Ω

Context: hfi : iIndepFun (fun x => mβ) f μ

Context: hij : i < j

Indep (⨆ k ∈ {j}, MeasurableSpace.comap (f k) mβ) (⨆ k ∈ {k | k ≤ i}, MeasurableSpace.comap (f k) mβ) μ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝

Groupoid.inv f ≫ 𝟙 c✝ ≫ f ∈ discrete.arrows d✝ d✝


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)

Context: hmul_left : ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x₀ * x) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: hmul_right : ∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x * x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E

μ.toSphere univ = ↑(dim E) * μ (ball 0 1 \ {0})


Context:
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : MulActionWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
g : Γ'

((of R).symm (1 • x)).coeff g = ((of R).symm x).coeff g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: I₁₂ : Type u_4

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: φ : K ⟶ L

Context: e : K ≅ L

Context: ψ : L ⟶ M

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝² : DecidableEq I₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝ : K.HasTotal c₁₂

Context: A : C

Context: i₁₂ : I₁₂

Context: f g : (K.total c₁₂).X i₁₂ ⟶ A

Context: h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (hi : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂), K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ f = K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ hi ≫ g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: I₁₂ : Type u_4

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: φ : K ⟶ L

Context: e : K ≅ L

Context: ψ : L ⟶ M

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝² : DecidableEq I₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝ : K.HasTotal c₁₂

Context: A : C

Context: i₁₂ : I₁₂

Context: f g : (K.total c₁₂).X i₁₂ ⟶ A

∀ (i : I₁ × I₂) (hij : c₁.π c₂ c₁₂ i = i₁₂), K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ hij ≫ f = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) i i₁₂ hij ≫ g


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) ψ ≠ 0

φ = ψ⁻¹ ↔ φ * ψ = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t

fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : s =ᶠ[𝓝[≠] x] t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this✝ : s =ᶠ[𝓝[≠] x] t
this : 𝓝[s \ {x}] x = 𝓝[t \ {x}] x


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i j : ι
hij : i ≠ j
a : α j
hx : x ∈ A i

((h.collectedBasis v).repr x) ⟨j, a⟩ = 0


((sigmaFinsuppLequivDFinsupp R).symm (DFinsupp.mapRange (fun i => ⇑(v i).repr) ⋯ (↑(LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm x))) ⟨j, a⟩ = 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : n ≤ finrank R M
h : ¬finrank R M = 0

∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: f : ℕ → R := fun n => ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: L : R

Context: hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: L : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: L : R

Context: n : ℕ

Context: hL : f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsAdicComplete I R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: y : R

Context: L : R

Context: n : ℕ

Context: hL : f n - L ∈ I ^ n


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_13, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_15, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_14, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_17, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_12, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context: inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q

Context: H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃

Context: H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).inv j = ((associator.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : V1
c : k

(lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • p₀ + c • p₁


c • p₁ - c • p₀ + p₀ = p₀ - c • p₀ + c • p₁


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x y : L


Context:
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

Set.BijOn g (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

∃ i y, x = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

x a = ⟦Structure.Sigma.mk f i (unify f (Quotient.out ∘ x) i hi a)⟧


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f ((Quotient.out ∘ x) a).fst i ⋯) ((Quotient.out ∘ x) a).snd)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

Context: r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i

Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

Context: r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i

Context: this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

Context: r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i

(f (Quotient.out (x a)).fst i ⋯) (Quotient.out (x a)).snd = (f (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst i this) (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).snd


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x : α → DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: a : α

Context: r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i

(Quotient.out (x a)).fst ∈ range fun a => (Quotient.out (x a)).fst


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: inst✝⁴ : CommMonoid M

Context: inst✝³ : CommMonoid N

Context: inst✝² : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ζ : Rˣ

Context: h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: e : ZMod ↑n ≃+ Additive ↥(Subgroup.zpowers ζ) := h.zmodEquivZPowers

Context: F : Fintype ↥(Subgroup.zpowers ζ)


Context:
k : ℕ
b : ℝ
hb : 0 < b

(fun x => x ^ k) =o[atTop] fun x => rexp (b * x)


Context:
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ

(ListBlank.map (proj i) L).nth n = L.nth n i


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable
x : K
hx : (map f p).IsRoot x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []

(a :: b :: l).dropLast ++ [(a :: b :: l).getLast h] = a :: b :: l


a :: ((b :: l).dropLast ++ [(b :: l).getLast ⋯]) = a :: b :: l


(b :: l).dropLast ++ [(b :: l).getLast ⋯] = b :: l


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: hw : w.IsReal

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: hn : ¬n = 0

Context: hm : ¬m = 0

multiplicity p m ≤ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: hn : ¬n = 0

Context: hm : ¬m = 0

↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ (multiplicity p m).get ⋯ ∣ n


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
w✝² : V
w✝¹ : G.Adj u w✝²
w✝ : G.Walk w✝² v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1

Wbtw R w ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) z


(lineMap w z) (t₂ * t₁) = (lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ b :: l₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: Y Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

S.W g ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: Y Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

(∃ Z_1 g_1 h, ∃ (_ : Triangle.mk g g_1 h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z_1) ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedSinZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaOdd a s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ : P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: h : Finite a b

Context: hm : (multiplicity a b).get h < m


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α

Context: x y : α

Context: x_ne_y : (fun x => dirac x) x = (fun x => dirac x) y


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
v : V

v ∈ ρ.invariants ↔ ∀ (g : G), (ρ g) v = v


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a ≤ 1


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a > 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n✝ : ℤ
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I✝ : Ideal α

Context: a b : α

Context: I : Ideal α

Context: hI : I.IsMaximal

Context: x : α

Context: hx : x ∉ I

Context: H₁ : 1 ∉ I

Context: H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I✝ : Ideal α

Context: a b : α

Context: I : Ideal α

Context: hI : I.IsMaximal

Context: x : α

Context: hx : x ∉ I

Context: H₁ : 1 ∉ I

Context: y z : α

Context: hz : z ∈ span ↑I

Context: hy : 1 = y * x + z


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0

2 • o.oangle (r • x) y = 2 • o.oangle x y


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
x y : M


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω

⇑(c • μ) = c • ⇑μ


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

(imageIsoImage f).hom ≫ Limits.image.ι f = kernel.ι (cokernel.π f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) univ x


Context:
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 = r.sign * r


Context:
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 = r.sign * r
hs0 : r.sign = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: val✝ : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: property✝ : val✝ ∈ U

(stalkToFiberRingHom R ↑⟨val✝, property✝⟩) (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨val✝, property✝⟩) s) = ↑s ⟨val✝, property✝⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree = 1

C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree = ↑1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)

trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R = id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h : Function.Surjective ⇑↑e


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h : Function.Surjective ⇑↑e

(trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) ∘ₗ ↑e = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) ∘ₗ ↑e


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
s t : Set α
hst : s =ᶠ[l] t
t' : Set α
ht' : MeasurableSet t'
htt' : t =ᶠ[l] t'


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
α : Type u_1
l : List α

l.inits = (foldr (fun a arrs => (Array.map (fun t => a :: t) arrs).push []) #[[]] l).data.reverse


Context:
u : Lean.Level
n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝² : HasMultiequalizer I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
a : I.L


equalizer.ι I.fstPiMap I.sndPiMap ≫ Pi.π I.left a = (limit.isoLimitCone { cone := I.multiforkEquivPiFork.inverse.obj (limit.cone (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap)), isLimit := IsLimit.ofPreservesConeTerminal I.multiforkEquivPiFork.inverse (limit.isLimit (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap)) }).inv ≫ ι I a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

(K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β
f : α ≃ β

map f.symm.toEmbedding t ⊆ s ↔ t ⊆ map f.toEmbedding s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

midpoint R x y +ᵥ midpoint R x y = midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x


midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x = x + y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α

μ (s ∪ t) < ⊤ ↔ μ s < ⊤ ∧ μ t < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : μ (s ∪ t) < ⊤


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W

(F.mapBiprod X Y).inv ≫ F.map (desc f g) = desc (F.map f) (F.map g)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z

IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


(Continuous f ∧ ∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
x✝ : Continuous f

(∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context: x y : PartENat

x < y ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy


Context: x y : PartENat

((∃ (h : y.Dom → x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get ⋯ ≤ y.get hy) ∧ ∀ (x_1 : x.Dom → y.Dom), ¬∀ (hy : x.Dom), y.get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

(pullback f g).str = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

induced (⇑homeo) (of { p // f p.1 = g p.2 }).topologicalSpace_coe = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

induced (⇑homeo) (induced Subtype.val (induced Prod.fst X.str ⊓ induced Prod.snd Y.str)) = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

induced ((Prod.fst ∘ Subtype.val) ∘ ⇑homeo) X.str ⊓ induced ((Prod.snd ∘ Subtype.val) ∘ ⇑homeo) Y.str = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(α i)

(sigmaIsoSigma α).inv ⟨i, x⟩ = (Sigma.ι α i) x


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : contained C o

Context: this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i ≠ false → ord I i < o) → (π C fun x => ord I x < o) = C


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : contained C o

Context: this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i = true → ord I i < o) → (Proj fun x => ord I x < o) '' C = C


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E

LocallyIntegrableOn P.f_modif (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

IntegrableAtFilter ((Ioi 1).indicator fun x => P.f x - P.f₀) (𝓝[Ioi 0] x) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

IntegrableAtFilter ((Ioo 0 1).indicator fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (𝓝[Ioi 0] x) volume


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ

asympBound g a b n = ↑n ^ p a b * (1 + ∑ u ∈ range n, g ↑u / ↑u ^ (p a b + 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

Continuous f ↔ LowerSemicontinuous f ∧ UpperSemicontinuous f


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
this : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree
this : Nontrivial R


↑(p /ₘ q).natDegree < ↑q.natDegree + ↑(p /ₘ q).natDegree


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ lowerBounds s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ lowerBounds s
c : α
hc : c < b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Context: h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)

Context: this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα

Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = finrank F ↥F⟮α⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = (minpoly F α).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = Fintype.card (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α

image2 f (insert a ↑s) ↑t = (fun b => f a b) '' ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

(span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure ≤ (⨆ J, span 𝕜 ↑(Finset.image (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) J)).topologicalClosure


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

(span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure ≤ (span 𝕜 (⋃ i, ↑(Finset.image (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i))).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: l : ⨁ (i : ι), G i

Context: i : ι

Context: v : G i

(DFinsupp.sum l fun j w => if i = j then ⟪(V i) v, (V j) w⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: l : ⨁ (i : ι), G i

Context: i : ι

Context: v : G i

(if l i ≠ 0 then ⟪(V i) v, (V i) (l i)⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜


Context: m n : ℕ


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a b : α

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, SetIndependent a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a b : α

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: h : ∀ a ∈ s, SetIndependent a


Context:
α✝ β : Type u
α : Type (max u v)
inst✝ : Small.{v, max u v} α

lift.{u, v} #(Shrink.{v, max u v} α) = #α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

fderiv 𝕜 (fun y => c - f y) x = -fderiv 𝕜 f x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y

(f.subtypeRestr hs).symm.trans (f'.subtypeRestr hs) ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)


(f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).trans f') ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: openness₁ : IsOpen (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

((f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs)).trans f' ≈ ((ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm).trans f'


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

(f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ (ofSet (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) openness₁).trans f.symm


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: set_identity : f.symm.source ∩ (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s) = f.symm.source ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: openness₂ : IsOpen ↑s


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: openness₂ : IsOpen ↑s

f.symm.trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs)) ≈ f.symm.trans (ofSet (↑s) openness₂)


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: openness₂ : IsOpen ↑s

(s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs) ≈ ofSet (↑s) openness₂


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: f f' : PartialHomeomorph X Y

Context: openness₂ : IsOpen ↑s

ofSet (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target ⋯ ≈ ofSet (↑s) openness₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α

𝓝 (l₁ ⊓ l₂) = 𝓝 l₁ ⊓ 𝓝 l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β

(f '' s ∩ t).Nonempty ↔ (s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

count True (map p s) = card (filter p s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v

((fun x => -u x) - fun x => -v x) =o[l] fun x => -v x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
x✝ : α

((fun x => -u x) - fun x => -v x) x✝ = -(u - v) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)

f '' ⋂ i, ⋂ (hi : p i), s i hi = ⋂ i, ⋂ (hi : p i), f '' s i hi


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
s : (i : ι) → p i → Set α
hp : ∃ i, p i
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, ⋃ (hi : p i), s i hi)
this : Nonempty { i // p i }


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
T : ι → L.Theory

IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (s : Finset ι), IsSatisfiable (⋃ i ∈ s, T i)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂


⟪p₂ -ᵥ s.center, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ < ‖p₁ -ᵥ s.center‖ * ‖p₁ -ᵥ s.center‖


⟪p₂ -ᵥ s.center, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ ≠ ‖p₁ -ᵥ s.center‖ * ‖p₁ -ᵥ s.center‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)
a : α
b : σ a

⟨a, b⟩ ∈ l₁.sigma l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: b : ℝ → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: b : ℝ → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x y : β), dist x y < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i y) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: b : ℝ → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

∃ δ > 0, ∀ (x y : β), dist x y < δ → ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i y) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: b : ℝ → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : ∀ {x : ℝ}, dist x 0 < δ → dist (b x) 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: b : ℝ → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: x y : β

Context: hxy : dist x y < δ

Context: i : ι


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: k : ℕ

Context: hlt : ∀ (hf : (setOf p).Finite), k + 1 < hf.toFinset.card

filter p (range (nth p (k + 1))) = insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ

Context: ha : a ∈ insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ

Context: ha : a = nth p k ∨ a < nth p k ∧ p a


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ

Context: ha : a = nth p k ∨ a < nth p k ∧ p a

Context: this : nth p k < nth p (k + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
I : Ideal S


(∀ a ∈ I, a = 0) ↔ ∀ ⦃x : S⦄, x ∈ I → x ∈ ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
h : r ≠ 0


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : TopologicalSpace M₂
inst✝ : T2Space M₂
f : M₁ → M₂

IsCompactOperator f ↔ ∃ V ∈ 𝓝 0, IsCompact (closure (f '' V))


(∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ K, IsCompact K ∧ f '' V ⊆ K) ↔ ∃ V ∈ 𝓝 0, IsCompact (closure (f '' V))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Finite ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: I : Set ι

Context: h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
x y : Associates α
a b : α
h : ⟦a⟧ * ⟦b⟧ = 1
this : a * b ~ᵤ 1


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X Y : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
hY : Memℒp Y 2 ℙ
h : IndepFun X Y ℙ


Integrable (fun a => X a ^ 2 + Y a ^ 2) ℙ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t x : ℝ
n : ℕ


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s✝ : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)

Context: i : J

Context: x : F.obj i

Context: s : Set (F.obj i) := {x}


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s✝ : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: i : J

Context: x : F.obj i

Context: s : Set (F.obj i) := {x}

Context: this : ∀ (j : J), Nonempty ((F.toPreimages s).obj j)


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s✝ : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: i : J

Context: x : F.obj i

Context: s : Set (F.obj i) := {x}

Context: sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j

Context: h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s✝ : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: i : J

Context: x : F.obj i

Context: s : Set (F.obj i) := {x}

Context: sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j

Context: h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections

(fun s => ↑s i) ⟨fun j => ↑(sec j), ⋯⟩ = x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : ‖x‖ ≤ r
hy : ‖y‖ ≤ r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall 0 r
hy : y ∈ closedBall 0 r


Context:
x : ℝ
n : ℕ

sin (π / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 = 1 - (sqrtTwoAddSeries 0 n / 2) ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: C : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)

Context: ι : ∀ (x : M), C ((CliffordAlgebra.ι Q) x)

Context: mul : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a * b)

Context: add : ∀ (a b : CliffordAlgebra Q), C a → C b → C (a + b)

Context: a : CliffordAlgebra Q

Context: s : Subalgebra R (CliffordAlgebra Q) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }

Context: h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: C : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: a : CliffordAlgebra Q

Context: of : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (_root_.algebraMap R ↥s) (Q m) } := ⟨LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (CliffordAlgebra.ι Q) ι, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: C : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: a : CliffordAlgebra Q

Context: of_id : AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q) = s.val.comp ((lift Q) of)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: C : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: a : CliffordAlgebra Q


Context:
X : Compactum
S : Set X.A

IsClosed S ↔ ∀ (F : Ultrafilter X.A), S ∈ F → X.str F ∈ S


Context:
X : Compactum
S : Set X.A

IsOpen Sᶜ ↔ ∀ (F : Ultrafilter X.A), S ∈ F → X.str F ∈ S


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
K : Type z
inst✝¹ : Category.{z', z} K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
F : K ⥤ Sheaf J D
E : Cone (F ⋙ sheafToPresheaf J D)
hE : IsLimit E


∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork E.pt))


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Set E

(convexHull R) (s + t) = (convexHull R) s + (convexHull R) t


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j

Context: p₂ : ι₂ → P

Context: hi₂ : ∀ i ∈ s₂, ∀ j ∈ s₂, p₂ i = p₂ j → i = j

Context: he : p '' ↑s = p₂ '' ↑s₂


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X

↑(((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) x) = ↑(((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal) x)


max (f x + g x) 0 + (-f x + max (f x) 0) + (-g x + max (g x) 0) = -(f x + g x) + max (f x + g x) 0 + max (f x) 0 + max (g x) 0


Context: α β : Type u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: h : o.bsup f = o.blsub f

Context: i : Ordinal.{u}


Context:
f✝ g f : CircleDeg1Lift
h : Bijective ⇑f
x y : ℝ
hxy : x ≤ y

f ((Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm x) ≤ f ((Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm y)


Context:
f✝ g f : CircleDeg1Lift
h : Bijective ⇑f
x : ℝ

f ({ toFun := ⇑(Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm, monotone' := ⋯ }.toFun (x + 1)) = f ({ toFun := ⇑(Equiv.ofBijective (⇑f) h).symm, monotone' := ⋯ }.toFun x + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n a✝ : ℕ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0

↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f


∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → orderOf (f ζ) ∣ l


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f ζ ^ l = 1


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
v' : ι' → M'
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'

Disjoint (span R (Set.range (⇑(inl R M M') ∘ v))) (span R (Set.range (⇑(inr R M M') ∘ v')))