Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

μ s * ∫⁻ (y : G), f y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ


∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ


AEMeasurable (uncurry fun x y => s.indicator (fun x => 1) x * f y) (μ.prod ν)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: ms : ∀ (x : G), Measurable fun y => ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun x => 1) y


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : ∀ (x y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) = ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun b => 1) y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

Context: succ_nth_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0

∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

Context: left✝ : ifp_n.fr ≠ 0

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)

Context: succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: left✝ : ifp_n.fr ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝² : (b : B) → TopologicalSpace (E b)

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: inst✝ : T1Space B

Context: x : B


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: inst✝ : T1Space B

Context: x : B


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Small.{v, u} R

Context: H : ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)

Context: N' N'' : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup N'

Context: x✝² : AddCommGroup N''

Context: x✝¹ : Module R N'

Context: x✝ : Module R N''

Context: L : N' →ₗ[R] N''

Context: hL : Function.Injective ⇑L

Context: x : M ⊗[R] N'

Context: hx : (lTensor M L) x = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : G₀


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : G₀
h : IsIdempotentElem p
hp : ¬p = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: b : M

Context: l : List M

Context: ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod

Context: ha : a ∈ b :: l

Context: comm : ∀ x ∈ b :: l, ∀ y ∈ b :: l, x * y = y * x

a * ((b :: l).erase a).prod = (b :: l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: l : List M

Context: ha : a ∈ a :: l

Context: comm : ∀ x ∈ a :: l, ∀ y ∈ a :: l, x * y = y * x

a * ((a :: l).erase a).prod = (a :: l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: b : M

Context: l : List M

Context: ha : a ∈ b :: l

Context: ne : a ≠ b

Context: h : a ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: s : Finset α

Context: hs : f.support ⊆ s

Context: g : α → M → N

Context: h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x✝ : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: s : Finset α

Context: hs : f.support ⊆ s

Context: g : α → M → N

Context: h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : x ∉ f.support


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X


(∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X), ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j) ↔ ∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X) (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type u) X

Context: ι✝ : Type x

Context: U✝ : ι✝ → Opens ↑X

Context: ι : Type x

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: h : ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j

Context: sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))

Context: cpt : F.IsCompatible U sf

∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type u) X

Context: ι✝ : Type x

Context: U✝ : ι✝ → Opens ↑X

Context: ι : Type x

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: h : ∀ (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i

Context: s : (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ) → ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).obj j

Context: hs : s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections

∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this : s.Terminates


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this✝ : s.Terminates
this : s.Results a s.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


measureUnivNNReal μ = 0 ↔ ↑(measureUnivNNReal μ) = 0


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
a : M
N : Type u_4
F : Type u_5
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
m : M


Context: a b n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y

(F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y = F.εIso.inv.app X ≫ f ≫ (F.map (ρ_ m).inv).app Y


(inv (F.εIso.inv.app X) ≫ (F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y) ≫ inv ((F.map (ρ_ m).inv).app Y) = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : (μ.restrict V) U < r


Context:
x y✝ z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n.succ
v' : Vector α n


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c✝ d c : α


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)

(Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ ∃ d, (f d).NeBot


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F

Measurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X x✝¹ x✝ : Discrete M
f : x✝¹ ⟶ x✝

{ as := X.as * x✝¹.as } = { as := X.as * x✝.as }


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ X₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
X : Discrete M

{ as := X₁✝.as * X.as } = { as := X₂✝.as * X.as }


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g : X₂✝ ⟶ Y₂✝

{ as := X₁✝.as * X₂✝.as } = { as := Y₁✝.as * Y₂✝.as }


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ

mk' { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.left { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.right₀ = { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ⊥ < map f ↑x) ↔ StrictMono f


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q) = ⊤


⊤ ≤ LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
a✝ : v ∈ ⊤

v ∈ LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q)


∃ y ∈ LinearMap.range ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), y + z = v


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1


((aeval f) (p * p')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) p) ∧ ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v


∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v


((aeval f) (q * q')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) q) ∧ ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v


((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
P Q R S : C
J : Type u_2
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (R ⟶ S)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s

Collinear k (insert p s) ↔ Collinear k s


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift M
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
f : ℕ → R → S[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum f).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum fun a b => (f a b).coeff n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d : α
a b : WithTop α


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = ↑(sInf {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C})


sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C}}


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set β


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.426465, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : M

Context: y : M'

Context: f : M → M'

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: z : M

Context: hz : z ∈ s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source

UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : M

Context: y : M'

Context: f : M → M'

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: z : M

f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ nhdsWithin z s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : M

Context: y : M'

Context: f : M → M'

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: z : M


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
A : p = C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : f (p.coeff 0) = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
A : p = C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : f (p.coeff 0) = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
A : p = 0


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)

discr K ⇑pb.basis = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

(algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = (algebraMap K E) ((-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen))))


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

(-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * (algebraMap K E) ((norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen))))


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen) = (algebraMap K E) ((norm K) ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen))))


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ {i}ᶜ, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ {i}ᶜ, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, ∏ a ∈ { val := ((minpoly K pb.gen).aroots E).erase (σ pb.gen), nodup := ⋯ }, (σ pb.gen - a)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∏ x ∈ univ.sigma fun i => {i}ᶜ, ((e x.snd) pb.gen - (e x.fst) pb.gen) = ∏ x ∈ univ.sigma fun σ => { val := ((minpoly K pb.gen).aroots E).erase (σ pb.gen), nodup := ⋯ }, (x.fst pb.gen - x.snd)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: σ : (_ : L →ₐ[K] E) × E

Context: hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0

Context: hσ : σ.snd ≠ σ.fst pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval σ.snd (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∀ (a b : Fin pb.dim), ¬b = a → (e a) pb.gen ≠ (e b) pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval ((e a) pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hroots✝ : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E

∀ (a : L →ₐ[K] E) (b : E) (ha : b ≠ a pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval b (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0), ¬a = pb.lift b ⋯


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E✝ : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E✝

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E✝

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E✝

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∀ (a b : Fin pb.dim) (ha : ¬b = a), pb.lift ((e a) pb.gen) ⋯ = e a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] P

Context: M' : Submodule R M

Context: N : ℕ →o Submodule R M

Context: H : iSup ⇑N = M'

Context: S : Finset M

Context: hS : span R ↑S = M'

Context: this : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ∃ n, ↑s ∈ N n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] P

Context: M' : Submodule R M

Context: N : ℕ →o Submodule R M

Context: H : iSup ⇑N = M'

Context: S : Finset M

Context: hS : span R ↑S = M'

Context: f : { x // x ∈ S } → ℕ

Context: hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] P

Context: M' : Submodule R M

Context: N : ℕ →o Submodule R M

Context: H : iSup ⇑N = M'

Context: S : Finset M

Context: hS : span R ↑S = M'

Context: f : { x // x ∈ S } → ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid N
x : M × N

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd M N) s


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | r b a}
x : α
h : x ∈ {b | r b a}

((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⟨x, h⟩ ∈ {b | s b (f a)}


f.toRelEmbedding ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}) ⟨x, h⟩) ∈ {b | s b (f a)}


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | s b (f a)}
y : β
h : y ∈ {b | s b (f a)}

∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨y, h⟩


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a✝ : α
x✝ : ↑{b | s b (f a✝)}
a : α
h : f a ∈ {b | s b (f a✝)}

∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a✝)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a✝}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨f a, h⟩


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

(eval (Fin.cons y s)) f = Polynomial.eval y (Polynomial.map (eval s) ((finSuccEquiv R n) f))


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: s : Fin n → R

Context: y : R

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: s : Fin n → R

Context: y : R

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

aeval (Fin.cons y s) = (Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: s : Fin n → R

Context: y : R

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

∀ (i : Fin (n + 1)), (aeval (Fin.cons y s)) (X i) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: s : Fin n → R

Context: y : R

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

(aeval (Fin.cons y s)) (X 0) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X 0) ∧ ∀ (i : Fin n), (aeval (Fin.cons y s)) (X i.succ) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i.succ)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ


∀ (x : G), (∀ (b : Gᵐᵒᵖ), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.unop


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
this : 1 * op a ∈ s


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.iCycles


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

((hasseDeriv k) f).coeff n = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)


(if n + k - k = n then ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k) else 0) = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)


∀ b ∈ f.support, b ≠ n + k → ((monomial (b - k)) (↑(b.choose k) * f.coeff b)).coeff n = 0


n + k ∉ f.support → ((monomial (n + k - k)) (↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k))).coeff n = 0


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a

image (fun i => a ^ i) (range (Fintype.card α)) = univ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S

(Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Subsingleton A


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A


(Algebra.lmul A S) pb.gen = (Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim

((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.basis k) = ((Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)) (pb.basis k)


((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.gen ^ ↑k) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x


pb.gen ^ (↑k + 1) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.fst


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A


∀ (m_1 : m → K), A.vecMulLinear m_1 = 0 → m_1 = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α

(swap x y * f) z = (f * swap (f⁻¹ x) (f⁻¹ y)) z


(if f z = x then y else if f z = y then x else f z) = f (if z = f⁻¹ x then f⁻¹ y else if z = f⁻¹ y then f⁻¹ x else z)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : Y

(h.symm.trans h) x✝ = (Homeomorph.refl Y) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
fst✝ : E
snd✝ : F

(fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : C × D ⥤ E
h : curry.obj F₁ = curry.obj F₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I

((refl a).trans (refl a)) x✝ = (refl a) x✝


{ toFun := (fun t => a) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } x✝ = (refl a) x✝


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
t : Set β
ht : 0 ∈ t
hs : MeasurableSet s

t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) ↔ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i

blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i

Context: h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i

Context: h₂ : blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i

blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)


∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ

Context: this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ

Tendsto (fun n => ↑(toLp (SimpleFunc.approxOn ↑↑f ⋯ (Set.range ↑↑f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯)) atTop (𝓝 f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : sSup {m | IsSimpleModule R ↥m} = ⊤


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: k : Set X

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: kt : k ⊆ tᶜ

Context: f : X → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s

Context: hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ

Context: h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: k : Set X

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: kt : k ⊆ tᶜ

Context: f : X → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: A : t ⊆ (interior k)ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: k : Set X

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: kt : k ⊆ tᶜ

Context: f : X → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: A : t ⊆ (interior k)ᶜ

HasCompactSupport ⇑{ toFun := fun x => 1 - f x, continuous_toFun := ⋯ }


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: k : Set X

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: kt : k ⊆ tᶜ

Context: f : X → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: A : t ⊆ (interior k)ᶜ

Context: x : X

{ toFun := fun x => 1 - f x, continuous_toFun := ⋯ } x ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
x✝¹ : N
x✝ : Dual R N

(↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap) x✝¹) x✝ = ((Dual.eval R N) x✝¹) x✝


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k

∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ ∅ ^ k

∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(∅ ^ k) = Fintype.card ↑(∅ ^ Fintype.card G)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: n : ℕ

Context: h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))

∀ b ∈ S ^ (n + 2), b * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: n : ℕ

Context: h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: n : ℕ

Context: h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)

∀ ⦃x : G⦄, x ∈ S ^ (n + 1) → x * a * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ S

Context: n : ℕ

Context: h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)

Context: x : G

Context: hx : x ∈ S ^ (n + 1)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


∀ (m : R) (x : ↥(fst R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy : (x, y) ∈ fst R M M₂

(fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy⟩) = ⟨(x, y), hy⟩


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy✝ : (x, y) ∈ fst R M M₂
hy : y = 0

(fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy✝⟩) = ⟨(x, y), hy✝⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) s.think s


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²² : Semiring R₁
inst✝²¹ : Semiring R₂
inst✝²⁰ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₄
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
inst✝⁸ : Module R₁ M'₁
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝⁴ : Module R₁ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace R₁
inst✝² : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝¹ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝ : ContinuousAdd M₁
x y : M₁

(toSpanSingleton R₁ (x + y)) 1 = (toSpanSingleton R₁ x + toSpanSingleton R₁ y) 1


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : toNat (Module.rank R M) = toNat ↑n


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : toNat (Module.rank R M) = n


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n

(fun l => (listDecode l)[0]?) ((fun φ => φ.snd.listEncode) φ) = some φ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n

Context: h : listDecode ([φ].bind fun φ => φ.snd.listEncode) = [φ]


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
φ : (n : ℕ) × L.BoundedFormula α n
h : listDecode φ.snd.listEncode = [φ]


Context: n m : ℕ


Context:
n m : ℕ
h : n * m + m = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k ↑s


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : N ↪[L] P
f g : M ↪[L] N
hfg : h.comp f = h.comp g
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CompactSpace α
inst✝² : MetricSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α

dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: L R : ListBlank Γ

(Tape.move Dir.right)^[n] (trTape' enc0 L R) = trTape' enc0 (ListBlank.cons R.head L) R.tail


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: L R : ListBlank Γ

∀ (i : ℕ) (L : Tape Bool), (Tape.move Dir.right)^[i] ((Tape.move Dir.left)^[i] L) = L


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: L R : ListBlank Γ

Context: L✝ : Tape Bool

Context: i : ℕ

Context: IH : (Tape.move Dir.right)^[i] ((Tape.move Dir.left)^[i] L✝) = L✝

(Tape.move Dir.right)^[i + 1] ((Tape.move Dir.left)^[i + 1] L✝) = L✝


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsPath
h : u ∈ p.support

((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsPath


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : α


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
hn : n ≤ sInf {m | p m}

sInf {m | p (m + n)} + n = sInf {m | p m}


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
hn : n ≤ sInf {m | p m}
h : {m | p (m + n)} = ∅


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
hn : n ≤ sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p (m + n)}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β

⇑e ⁻¹' Icc a b = Icc (e.symm a) (e.symm b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : α ≃ β


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
a : (P F).A
f : (P F).B a → (P F).W

mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦WType.mk a f⟧


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → (P F).W

Context: this : mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦Wrepr (WType.mk a f)⟧


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → (P F).W

Setoid.r (Wrepr (WType.mk a f)) (WType.mk a f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
this : ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
this✝ : ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2
this : x + 1 / 2 < ↑⌊x + 1 / 2⌋ + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s✝ t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
s : Finset α
hs : G.IsClique ↑s
ht : (map f s).Nontrivial

(SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(map f s)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

|↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
h : δ < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
h : 1 ≤ δ


|↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ δ + δ


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CommSq f g h i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
x : G
h : IsOfFinOrder x
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : x ^ n = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι ι' : Type u

Context: r : ι → ι → Prop

Context: r' : ι' → ι' → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι r

Context: inst✝ : IsWellOrder ι' r'

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : type r = o

Context: ho' : type r' = o

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: i : ι

familyOfBFamily' r ho f i ≤ sup (familyOfBFamily' r' ho' f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι ι' : Type u

Context: r : ι → ι → Prop

Context: r' : ι' → ι' → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι r

Context: inst✝ : IsWellOrder ι' r'

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : type r = o

Context: ho' : type r' = o

Context: i : ι

Context: j : ι'

Context: hj : typein r' j = typein r i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι ι' : Type u

Context: r : ι → ι → Prop

Context: r' : ι' → ι' → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι r

Context: inst✝ : IsWellOrder ι' r'

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : type r = o

Context: ho' : type r' = o

Context: i : ι

Context: j : ι'

Context: hj : typein r' j = typein r i

f (typein r' j) ⋯ ≤ sup (familyOfBFamily' r' ho' f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
has : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
x✝ : 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
S : Set (Set H)

(⋃₀ S).innerDualCone = sInf (innerDualCone '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

(J.diagramNatTrans (𝟙 P) X).app x✝ = (𝟙 (J.diagram P X)).app x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index P).L

(J.diagramNatTrans (𝟙 P) X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i = (𝟙 (J.diagram P X)).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index P).L

Multiequalizer.lift ((unop x✝).index P) (multiequalizer ((unop x✝).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 𝟙 (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i = 𝟙 (multiequalizer ((unop x✝).index P)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index P).L

Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 𝟙 (P.obj (op i.Y)) = Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn (fun t => (x - t) ^ (n + 1)) (Icc x₀ x)

∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0

Context: hg' : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * ((x - x) ^ (n + 1) - (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = (-((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: xy_ne : ∀ y ∈ Ioo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1) / ((↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 1 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : DivInvMonoid α
a b : α
l : List α

(a :: b :: l).alternatingProd = a / b * l.alternatingProd


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f g : α → β

Context: t : Set α

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: l : Filter β

Context: h₀ : Tendsto f (𝓝[s ∩ t] a) l

Context: h₁ : Tendsto g (𝓝[s ∩ tᶜ] a) l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop

sᶜ ∈ f ↔ s ∉ f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : n < p.natTrailingDegree


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

S.abelianImageToKernel ≫ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)

Context: x₀ : G

Context: hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν

Context: hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ

Context: hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: t : G


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: t : G

Context: ht : ConvolutionExistsAt g k (x₀ - t) L₄ μ


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: s : Set (PE ≃ᵢ PE) := {e | e x = x ∧ e y = y}

Context: this : Nonempty ↑s

∀ (e : PE ≃ᵢ PE), e x = x → e y = y → e z = z


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this : Nonempty ↑s

Context: h_bdd : BddAbove (range fun e => dist (↑e z) z)


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this : Nonempty ↑s

Context: R : PE ≃ᵢ PE := (pointReflection ℝ z).toIsometryEquiv

Context: f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := fun e => ((e.trans R).trans e.symm).trans R


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this : Nonempty ↑s

Context: hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this : Nonempty ↑s

Context: hf_maps_to : MapsTo f s s


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this : Nonempty ↑s

Context: hf_maps_to : MapsTo f s s

Context: c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: hf_maps_to : MapsTo f s s

Context: c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z

Context: this : c ≤ c / 2


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: hf_maps_to : MapsTo f s s

Context: c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z

Context: this : c ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: PE : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: PF : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MetricSpace PE

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : MetricSpace PF

Context: inst✝ : NormedAddTorsor F PF

Context: x y : PE

Context: z : PE := midpoint ℝ x y

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: hf_maps_to : MapsTo f s s

Context: c : ℝ := ⨆ e, dist (↑e z) z

Context: this : c ≤ 0

Context: e : PE ≃ᵢ PE

Context: hx : e x = x

Context: hy : e y = y


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) = finrank ℚ K


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) =ᶠ[ae μ] μ[f|m]


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) s μ


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


AEStronglyMeasurable' m (SignedMeasure.rnDeriv ((μ.withDensityᵥ f).trim hm) (μ.trim hm)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal)


Context:
G : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)

exponent ((i : ι) → M i) = univ.lcm fun x => exponent (M x)


exponent ((i : ι) → M i) ∣ univ.lcm fun x => exponent (M x)


(univ.lcm fun x => exponent (M x)) ∣ exponent ((i : ι) → M i)


Context:
n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : GL n R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

a • b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: e : (K →+* ℂ) ≃ ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := equivReindex K

Context: N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (fun i => (integralBasis K) (e i)) RingHom.equivRatAlgHom


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)

N.det ^ 2 = (algebraMap ℚ ℂ) (Algebra.discr ℚ ⇑(integralBasis K))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)

N.det ^ 2 = (algebraMap ℚ ℂ) (Algebra.discr ℚ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑e.symm.symm))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

‖x‖ / Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x + y‖


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
inst✝ : Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion


Context:
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
inst✝ : Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₁.boxes

Box.Icc J ⊆ closedBall ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J) ↑(r ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J))


Context:
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
inst✝ : Fintype ι
h₁ : π₁.IsSubordinate r
h₂ : π₂.IsSubordinate r
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₂.boxes


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f g : α →₀ M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, h a 0 = 1

Context: h_add : ∀ a ∈ f.support ∪ g.support, ∀ (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f g : α →₀ M

Context: h : α → M → N

∏ x ∈ f.support ∪ g.support, h x ((f + g) x) = ∏ x ∈ f.support ∪ g.support, h x (f x) * h x (g x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source