Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

blockDiagonal (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal M) i✝ j✝


(if i✝.2 = j✝.2 then x • M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = x • if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = eLpNorm f (p * ENNReal.ofReal q) μ ^ q


eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p * ENNReal.ofReal q).toReal μ ^ q


eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p.toReal * q) μ ^ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h : a < succ b

Ioc a (succ b) = insert (succ b) (Ioc a b)


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ

predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: s✝ : ℕ → Set Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: μ : Measure Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: n : ℕ

Context: this : martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: s✝ : ℕ → Set Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: μ : Measure Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - ∑ x ∈ Finset.range n, μ[(s (x + 1)).indicator 1|↑ℱ x]


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: A : Type v

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Ring A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S A

Context: inst✝² : IsScalarTower R S A

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: x : K

Context: hx : ¬x = 0

Context: this : Invertible x := invertibleOfNonzero hx


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t


IsCompact ((fun x => x.1 * x.2) '' s ×ˢ t)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y

(adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g


F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : R
ha : ¬IsUnit a

(↑{ toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
x y : R

{ toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length

((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G

(center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤


(center G).index ≤ Nat.card (↑↑S → ↑(commutatorSet G))


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
a : β
h : a ∈ {b | s b f.top}

∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a_1 = ⟨a, h⟩


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α β : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α r

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: f : r ≺i s

Context: x✝ : ↑{b | s b f.top}

Context: b : α

Context: h : f.toRelEmbedding b ∈ {b | s b f.top}

∃ a, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a = ⟨f.toRelEmbedding b, h⟩


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • opcyclesMap' φ h₁ h₂


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute

(a ::ₘ s).noncommProd comm = a * s.noncommProd ⋯


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: a : α

Context: a✝ : List α

Context: comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute

(a ::ₘ ⟦a✝⟧).noncommProd comm = a * noncommProd ⟦a✝⟧ ⋯


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

t ∈ (p.append p').support ↔ t ∈ p.support ∨ t ∈ p'.support


t = u ∨ t ∈ p.support.tail ∨ t ∈ p'.support.tail ↔ (t = u ∨ t ∈ p.support.tail) ∨ t = v ∨ t ∈ p'.support.tail


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : β → Prop
s : β → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
t : Set (α × α)

(∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ s i → (a, b) ∈ t


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)

((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 1) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)


(f fun i => (Fin.partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i))) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n

(Fin.partialProd g (a.succ.succAbove x✝.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove x✝).castSucc * g (a.succAbove x✝)) = a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g x✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a * b)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a • b)


Context:
n : Int
d : Nat


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
R : ℝ
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x R


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: R : ℝ

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hR : 0 < R

Context: hs : IsClosed s

Context: h : ⇑toEuclidean '' s ⊆ Metric.ball (toEuclidean x) R


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: R : ℝ

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hR : 0 < R

Context: hs : IsClosed s

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 R

Context: hsr : ⇑toEuclidean '' s ⊆ Metric.ball (toEuclidean x) r


Context:
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p
hp : p ≠ last n
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯

(p.castPred hp).predAbove i = i.castPred hi


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1

(({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.comp (Cube.splitAt i).toContinuousMap) y = x


(↑(p.toContinuousMap (y i)) fun j => y ↑j) = x


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: y : N → ↑I

Context: j : N

Context: Hj : y j = 0 ∨ y j = 1

Context: p : Ω (↑(Ω^ { j_1 // j_1 ≠ j } X x)) const

(↑(p.toContinuousMap (y j)) fun j_1 => y ↑j_1) = x


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
Hne : j ≠ i


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

IsOpen s ↔ ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a✝ x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a✝ x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ exterior {a}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fderivWithin 𝕜 f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: p : α → Prop

Context: hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: p : α → Prop

μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: p : α → Prop


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: p : α → Prop

Context: x : α

x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁

finrank R (ULift.{u_2, v} M) = finrank R M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : StrictOrderedRing α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x : α

Context: this✝ : (a : Prop) → Decidable a

Context: this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : StrictOrderedRing α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x : α

Context: this✝ : (a : Prop) → Decidable a

Context: fl : ℤ

Context: h : ↑fl ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl

Context: z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : StrictOrderedRing α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x : α

Context: this✝ : (a : Prop) → Decidable a

Context: fl z : ℤ

Context: h₁ : ↑fl ≤ x

Context: h₂ : ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I

(colimitHomIsoLimitYoneda' F A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A


(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (F.rightOp ⋙ coyoneda) A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A


(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A


((coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A


Context:
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P


Context:
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
this : a * d - a * d' ∈ P ^ (i + 1)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

s.einfsep = 0 ↔ ∀ C > 0, ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < C


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0

⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a = ‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x


∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0
hs : s.Finite


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ × ℝ → E

Context: B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])

∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ × ℝ → E

Context: A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ × ℝ → E

Context: B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ × ℝ → E

Context: B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1

∫ (p : ℝ × ℝ), f p = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).numDenom = (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q), C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))


∀ (p : K[X]), (if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p✝ q : K[X]
hq : q ≠ 0
p : K[X]

(if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))


(0, 1) = let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ

p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
x✝ : List β

Forall₂ R (map f []) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) [] x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
a : γ
l : List γ
x✝ : List β

Forall₂ R (map f (a :: l)) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) (a :: l) x✝


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O

∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
val✝ : Fintype ι


Context:
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : One α
f : ι → α
g : ι → α → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hg : ∀ (a : ι), g a 1 = 1

∏ i ∈ t, g i ((↑s).mulIndicator f i) = ∏ i ∈ s, g i (f i)


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α

(lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)


Subgroup.closure (Set.range f) ≤ (lift f).range


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α []
h : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: r : β → γ → Prop

Context: f : α → β

Context: g : α → γ

Context: s : Finset α

Context: h₁ : r 1 1

Context: h₂ : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r b c → r (f a * b) (g a * c)

r (Multiset.map (fun x => f x) s.val).prod (Multiset.map (fun x => g x) s.val).prod


Context: a : Cardinal.{v}


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot


Context: v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)

Nat.rec v.tail.head (fun y IH => IH + 1) v.head = v.head + v.tail.head


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

LinearIndependent R v ↔ LinearMap.ker ((LinearMap.lsum R (fun x => R) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) = ⊥


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
hf : f.Monic

(AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).root = root f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
h : m.WF


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: t : Set α

Context: fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν

Context: U : Set (Quotient α_mod_G)

Context: meas_U : MeasurableSet U


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

F.map f ◁ (F.mapId b).hom = (F.mapComp f (𝟙 b)).inv ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h1 : ¬1 ≈ 0


Context:
m k n : Nat
H1 : m.Coprime k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y

J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β

Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ


Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ


Context:
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R


(∃ y_1 ∈ span {x}, ∃ z ∈ span {y}, y_1 + z = 1) ↔ IsCoprime x y


Context:
x : ℂ
n : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: m : ℕ

Context: hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)

Context: hmp : m < p

Context: hm₀ : 0 < m

Context: a b c d : ℕ

Context: habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: a b c d : ℕ

Context: hmin : ∀ m < 1, ¬(m < p ∧ 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p)

Context: hmp : 1 < p

Context: hm₀ : 0 < 1

Context: habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 * p


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: m : ℕ

Context: hmp : m < p

Context: hm₀ : 0 < m

Context: a b c d : ℕ

Context: hm₁ : 1 < m


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this✝ : Fact (Prime p)

Context: m : ℕ

Context: hmp : m < p

Context: hm₀ : 0 < m

Context: a b c d : ℕ

Context: hm₁ : 1 < m

Context: this : NeZero m


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s


(image₂ f {a} t).card ≤ (image₂ f s t).card


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

star ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = Pi.single j 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α

(x :: xs).formPerm ((x :: xs).nthLe xs.length ⋯) = x


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω


Context:
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

((X + C r) ^ n).coeff k = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)


∑ x ∈ range (n + 1), (lcoeff R k) (X ^ x * C r ^ (n - x) * ↑(n.choose x)) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)


∑ x ∈ range (n + 1), (X ^ x).coeff k * r ^ (n - x) * ↑(n.choose x) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)


∀ b ∈ range (n + 1), b ≠ k → (X ^ b).coeff k * r ^ (n - b) * ↑(n.choose b) = 0


k ∉ range (n + 1) → (X ^ k).coeff k * r ^ (n - k) * ↑(n.choose k) = 0


Context:
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c


Context:
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m


Context:
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c


Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: inst✝ : NumberField K

Context: b : Basis ι ℚ K

Context: b' : Basis ι' ℚ K

Context: h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)

Context: h' : ∀ (i : ι') (j : ι), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑b) i j)


Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: inst✝ : NumberField K

Context: b : Basis ι ℚ K

Context: b' : Basis ι' ℚ K

Context: h' : ∀ (i j : ι'), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑(b.reindex (b.indexEquiv b'))) i j)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Multiset ι

Context: r : α → β → Prop

Context: f : ι → α

Context: g : ι → β

Context: h₁ : r 1 1

Context: h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a * b) (g a * c)

Context: l : List ι


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset (Set E)

Context: left✝ : I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ F

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset (Set E)

Context: left✝ : I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ F

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1

Context: this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* M
h : f.ker = ⊥
x y : G
hxy : f x = f y


Context:
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)

(auxEquiv R ℬ 𝒜) ((comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b)) = (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)


↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)


↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)

Context: K : HomologicalComplex C c

(Localization.liftNatTrans (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom).app ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: K : HomologicalComplex C c

(Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c)).hom.app K ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh)).inv.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: K : HomologicalComplex C c

𝟙 ((F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).obj (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient D c).obj ((F.mapHomologicalComplex c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K).as))) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: K : HomologicalComplex C c

(F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: K : HomologicalComplex C c

(F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map (𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map (𝟙 ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x : R

BddAbove (Set.range fun y => f (x * y) / f y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

c * f x ∈ upperBounds (Set.range fun y => f (x * y) / f y)


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y Z : limit (F ⋙ objects)
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j j' : J
h : j ⟶ j'

(homDiagram X Z).map h ((fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j) = (fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j'


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝

𝟙 X✝ ≫ x✝ = x✝


∀ (j : J), limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j (𝟙 X✝ ≫ x✝) = limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j x✝


x✝ ≫ 𝟙 Y✝ = x✝


∀ (j : J), limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j (x✝ ≫ 𝟙 Y✝) = limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j x✝


Context: n : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B

Context: this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}

IsCyclotomicExtension T (↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1})) B


Context: n : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B

Context: b : B

b ∈ adjoin ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1}) {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}


Context: n : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: b : B

Context: h : b ∈ adjoin A {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMaxOn g s a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : Infinite R
p : R[X]
h : ∀ (x : R), eval x p = 0


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
a : E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν = μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: u : δ → δ → Prop

Context: f : r ↪r s

Context: b : β

Context: a : α

Context: H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y

Context: IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b b' : M
hb : b ≠ 0
hb' : b' ≠ 0
i j : α

Disjoint (single i b).support (single j b').support ↔ i ≠ j


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : Set E

μ (r • s) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ s


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
F : Type u_7
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
x y : M
u : Mˣ
ha : x * ↑u = y


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n

i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i ≤ j.castSucc


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc < i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R

spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Subsingleton S


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S


∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl

Context: this : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: this✝ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: h : P' ≤ S⁰


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')

Context: h : P' ≤ S⁰

Context: this : IsDomain (Localization P')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: this✝² : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this✝¹ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')

Context: h : P' ≤ S⁰

Context: this✝ : IsDomain (Localization P')

Context: this : IsDedekindDomain (Localization P')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: this✝³ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this✝² : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')

Context: h : P' ≤ S⁰

Context: this✝¹ : IsDomain (Localization P')

Context: this✝ : IsDedekindDomain (Localization P')

Context: this : DecidableEq (Ideal (Localization P')) := Classical.decEq (Ideal (Localization P'))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: this✝⁴ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this✝³ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')

Context: h : P' ≤ S⁰

Context: this✝² : IsDomain (Localization P')

Context: this✝¹ : IsDedekindDomain (Localization P')

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal (Localization P')) := Classical.decEq (Ideal (Localization P'))

Context: this : IsPrincipalIdealRing (Localization P')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

(↑s).destruct.destruct = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, ↑s.tail)) s.head)


(match match Option.map (fun a' => (a', (some <$> s).tail)) ((some <$> s).get? 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s')) with | Sum.inl a => Sum.inl a | Sum.inr b => Sum.inr (Computation.corec (fun s => match Option.map (fun a' => (a', Seq.tail s)) (Seq.get? s 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s'))) b)) = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, some <$> s.tail)) (s.get? 0))


(match match Option.map (fun a' => (a', (some <$> s).tail)) (some <$> s.get? 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s')) with | Sum.inl a => Sum.inl a | Sum.inr b => Sum.inr (Computation.corec (fun s => match Option.map (fun a' => (a', Seq.tail s)) (Seq.get? s 0) with | none => Sum.inl none | some (none, s') => Sum.inr s' | some (some a, s') => Sum.inl (some (a, s'))) b)) = Sum.inl (Option.map (fun a => (a, some <$> s.tail)) (s.get? 0))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m✝ : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω

iIndep m μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)


(∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ {s | MeasurableSet s}) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

(increment hP G ε).parts.card = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPα' : stepBound P.parts.card ≤ Fintype.card α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

∑ A ∈ P.parts.attach, (chunk hP G ε ⋯).parts.card = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

∑ x ∈ (filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card + ∑ x ∈ (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

(filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * ?m.16076 + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * ?m.16115 = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

∀ x ∈ (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = ?m.16115


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

∀ x ∈ (filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).attach, (equitabilise ⋯).parts.card = ?m.16076


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

(filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * (4 ^ P.parts.card - (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card) + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card * (4 ^ P.parts.card - (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card + 1) + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card + 1)) = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

((filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card) * 4 ^ P.parts.card = stepBound P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hPpos : 0 < stepBound P.parts.card

(filter (fun x => (↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card + (filter (fun x => ¬(↑x).card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card)) P.parts.attach).card = P.parts.card


Context: θ : Angle


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F X Y : Set α

Context: e : α

Context: Xs Ys : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)

M.closure (⋃ i, Xs i) = M.closure (⋃ i, Ys i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)

Tendsto (fun N => ↑(nearestPt e N) x) atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε

∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist x (e N) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist (e N) x < ε


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : IsEmpty ι
b : Basis ι R M

b.det = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → α := fun n => Nat.recOn n ⋯.choose fun x a => ⋯.choose


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set (Set A)

zeroLocus 𝒜 (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus 𝒜 s'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p₁ p₂ : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁ : HasFPowerSeriesAt f p₁ x
h₂ : HasFPowerSeriesAt f p₂ x

HasFPowerSeriesAt 0 (p₁ - p₂) ?m.1179749


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞

infEdist x s < r ↔ ∃ y ∈ s, edist x y < r


Context:
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : K ⊆ U

∃ δ > 0, cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : K ⊆ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hKδ : cthickening δ K ⊆ U


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l

l.prev (l.next (l.nthLe n hn) hx) ⋯ = l.nthLe n hn


l.nthLe ((n + 1 + (l.length - 1)) % l.length) ⋯ = l.nthLe n hn


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D

(map f g).range = (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range


(map f g).range ≤ (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range


(includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range ≤ (map f g).range


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.homologyπ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α

m.toFinset ⊆ s → m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i m


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
l : List α

Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l) ⊆ s → Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l) = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i (Quot.mk Setoid.r l)


(↑l).toFinset ⊆ s → l.prod = ∏ x ∈ s, x ^ List.count x l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b x : α


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x y : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a x✝ y✝ : α
h : a ∈ s(x✝, y✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a x✝ y✝ : α
h : a ∈ s(x✝, y✝)
h' : a = x✝ ∨ a = y✝


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
z : ℤ
hq : ↑q.num ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

uniqueBaseOn (I ∩ E) E = uniqueBaseOn I E


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), {x} ∈ 𝓝 x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g

(f * g).cycleFactorsFinset = f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset


(∀ f_1 ∈ f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset, f_1.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑(f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset)).Pairwise Disjoint), (f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset).noncommProd id ⋯ = f * g


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

p.count (a * b).factors = p.count a.factors ∨ p.count (a * b).factors = p.count b.factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: ha0 : p.count a.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hb0 : p.count b.factors = 0


Context:
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 E
x y : E


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
a : α
l : List α
this : l <+~ a :: l ∧ ¬l ~ a :: l

Quot.mk Setoid.r l < a ::ₘ Quot.mk Setoid.r l


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P✝

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n l : ℕ

Context: φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l

Context: θ : L.BoundedFormula α l.succ

Context: v : α → M

Context: xs : Fin l → M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop

Context: φ : L.BoundedFormula α n

Context: hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ

Context: hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P (∀'ψ)

Context: hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P (∃'φ)

Context: hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P✝

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n l : ℕ

Context: φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l

Context: θ : L.BoundedFormula α l.succ

Context: v : α → M

Context: xs : Fin l → M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: φ : L.BoundedFormula α n

∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α m}, φ.IsPrenex → P φ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : -2 = ↑(-2)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]


(∀ (i : ℕ), ↑i > n → (lcoeff R i) f = 0) ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f g : β × γ → E

Context: F : E → E'

Context: hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: a✝ : β

Context: h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))

Context: h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))

F (∫ (y : γ), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) - ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: X : C

(zero F s i).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: X : C

Context: h : whiskerLeft F (zero F s i).inv = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).inv


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'

LiftProp P f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M), P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑f


↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑f


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊

essSup (fun x => ↑(c * ‖g x‖₊)) μ = essSup (fun x => ↑c * ↑‖g x‖₊) μ


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
hp : ¬p = 0

(p * C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t

(Independent fun i => t ↑i) ↔ Independent t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t
h : Independent fun i => t ↑i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht : Independent t

Context: h : ∀ (i : { i // t i ≠ ⊥ }), Disjoint (t ↑i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t ↑j)

∀ (i : ι), Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht : Independent t

Context: i : ι

Disjoint (t i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht : Independent t

Context: i : ι

Context: hi : t i ≠ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht : Independent t

Context: i : ι

Context: hi : t i ≠ ⊥

⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j = ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨i, hi⟩), t ↑j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht : Independent t

Context: i : ι

Context: hi : t i ≠ ⊥

Context: this : ∀ (j : ι), ⨆ (_ : t j = ⊥), t j = ⊥


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ

Bornology.IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ C


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b

sSup ({x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x}) ≤ sSup ({x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1} ∪ {x})


{x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ∪ {x} ⊆ {x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1} ∪ {x}


{x_1 | ∃ b, ∃ (_ : b < a), f (lfpApprox f x b) = x_1} ≤ {x_1 | ∃ b_1, ∃ (_ : b_1 < b), f (lfpApprox f x b_1) = x_1}


∀ a_1 < a, ∃ b_1 < b, f (lfpApprox f x b_1) = f (lfpApprox f x a_1)


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h : a ≤ b
a' : Ordinal.{u}
h' : a' < a

∃ b_1 < b, f (lfpApprox f x b_1) = f (lfpApprox f x a')


a' < b ∧ f (lfpApprox f x a') = f (lfpApprox f x a')


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R

HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c R n) fun x => w) ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)


HasSum (fun n => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


μ.withDensity ((r • ν).rnDeriv μ) = μ.withDensity (r • ν.rnDeriv μ)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α →₀ M


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I

(colimitHomIsoLimitYoneda' F A).inv ≫ (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A = limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
hb : b ≠ 0
hab : b ∣ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addRightEmbedding c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)


⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (a + c) (b + c)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t s : Set G
this : s ⊆ s * {1}


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: β : G.ComponentCompl K → Prop

Context: f : ∀ ⦃v : V⦄ (hv : v ∉ K), β (G.componentComplMk hv)


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: β : G.ComponentCompl K → Prop

∀ (v : ↑Kᶜ), β ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk v)


Context: α : Type u_1

Context: cut : α → Ordering

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: f : α → α

Context: t : RBNode α

Context: h : Ordered cmp t

Context: c✝ : RBColor

Context: l✝ : RBNode α

Context: v✝ : α

Context: r✝ : RBNode α

Context: x✝ : Path α

Context: H : OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (node c✝ l✝ v✝ r✝, x✝).fst

Context: eq : RBNode.zoom cut t = (node c✝ l✝ v✝ r✝, x✝)

Path.RootOrdered cmp x✝ (f v✝) ∧ OnRoot (cmpEq cmp (f v✝)) (node c✝ l✝ v✝ r✝)


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
ha : ⨆ l, ↑(↑l).length = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n : ℕ
hn : ↑n ≤ s.chainHeight
ha : ⨆ l, ↑(↑l).length < ⊤


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
t : Set α
a✝ : MeasurableSet t

(Measure.comap f (Measure.map f μ)) t = μ t


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ

xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 m * yn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im

Context: im_eq✝ : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : hζ.toInteger - 1 ∣ 2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : hζ.toInteger - 1 ∣ 2

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : NumberField K

Context: h : hζ.toInteger - 1 ∣ ↑2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : NumberField K

Context: h : ↑↑p ∣ 2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : NumberField K

Context: h : hζ.toInteger - 1 ∣ ↑2

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context:
a : ℕ
ha0 : 0 < a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 1 < n
a : K


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Sort u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s✝

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)

Context: gm : Monotone g

Context: s : Set γ

s ∈ f.lift g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Sort u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s✝

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: gm : Monotone g

Context: s : Set γ

DirectedOn (g ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) f.sets


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Sort u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s✝

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: gm : Monotone g

Context: s : Set γ

(∃ i ∈ f.sets, s ∈ g i) ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
h : closure ↑I ⊆ nonunits R


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'

Context: l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)

Context: this : some hd = l'.get? (f 0)


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: this : ∃ (h : f 0 < l'.length), l'.get ⟨f 0, h⟩ = hd


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd

Context: f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'[f 0] = hd


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'[f 0] = hd

Context: hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?

Context: IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'[f 0] = hd

Context: this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'[f 0] = hd


Context: α : Type u_1

Context: hd : α

Context: tl l' : List α

Context: f : ℕ ↪o ℕ

Context: w : f 0 < l'.length

Context: h : l'[f 0] = hd

(take (f 0).succ l')[f 0] ∈ take (f 0 + 1) l'


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
β : α → Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
ht : image Sigma.fst s ⊆ t

(t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) = s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s

Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν

(fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν


(fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this : SigmaFinite (map f ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝ : SigmaFinite (map f ν)

Context: this : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

Context: this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))

Context: this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

Context: h_add : (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) =ᶠ[ae (map f ν)] (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

Context: h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

(μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

(μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)

(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y : ℕ
H : ↑x = ↑y


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f✝ f g : R[X]

Context: D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

(((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ∑ ij ∈ antidiagonal k, (((compHom.comp ((compHom Φ) (D ij.1))).flip (D ij.2)) f) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f✝ f g : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

(((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)) f) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

(((((compHom (D k)).comp Φ).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s = ((((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

(monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

Context: aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

(monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

(monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = (monomial (m + n - k)) ((∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)) * (r * s))