Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => (isColimitOfPreserves F (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X)))).coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X) ⋙ F)) ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)) ⋯).hom.app X = (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

(F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ ((isColimitOfPreserves F (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X)))).coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (J.diagram P (unop X) ⋙ F))).hom) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)).hom = (((isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm).hom) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

(colimit.cocone (J.diagram P (unop X) ⋙ F)).ι.app W ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun W => (isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F)) ≪≫ HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm) ⋯)).hom = (((isLimitOfPreserves F (limit.isLimit ((unop W).index P).multicospan)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (((unop W).index P).multicospan ⋙ F))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (Cover.multicospanComp F P (unop W)).symm).hom) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop X)) W


Context: n a b : ℕ

Prime (a * b) ↔ Prime a ∧ b = 1 ∨ Prime b ∧ a = 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: f_cont : SeqContinuous f

Context: K : Set X

Context: K_cpt : IsSeqCompact K

Context: ys : ℕ → Y

Context: xs : ℕ → X

Context: xs_in_K : ∀ (n : ℕ), xs n ∈ K

Context: fxs_eq_ys : ∀ (n : ℕ), f (xs n) = ys n

Context: a : X

Context: a_in_K : a ∈ K

Context: phi : ℕ → ℕ

Context: phi_mono : StrictMono phi

Context: xs_phi_lim : Tendsto (xs ∘ phi) atTop (𝓝 a)

∃ a ∈ f '' K, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (ys ∘ φ) atTop (𝓝 a)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: f_cont : SeqContinuous f

Context: K : Set X

Context: K_cpt : IsSeqCompact K

Context: ys : ℕ → Y

Context: xs : ℕ → X

Context: xs_in_K : ∀ (n : ℕ), xs n ∈ K

Context: fxs_eq_ys : ∀ (n : ℕ), f (xs n) = ys n

Context: a : X

Context: a_in_K : a ∈ K

Context: phi : ℕ → ℕ

Context: phi_mono : StrictMono phi


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q✝ : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
ι : Type u_8
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M

Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ ij ∈ s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij - ∑ i ∈ s, Q (f i)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G₂.obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)

Context: hα : adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F

α = (sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

(adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) ((sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

(adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) ((adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))).symm (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

(adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

(adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = (∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) / μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
s : Set α

range (map Subtype.val) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x : X


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P

AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) ↔ AffineIndependent k p


AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) → AffineIndependent k p


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding

AffineIndependent k (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding)


Tendsto (fun z => z * Gamma z) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)


Tendsto (fun z => z * Gamma z) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (Gamma (0 + 1)))


Tendsto (fun x => Gamma (x + 1)) (𝓝 0) (𝓝 (Gamma (0 + 1)))


Context: m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
i : Fin n
v : Vector α n


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A


Context: n✝ n e : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : PosMulMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h1 : a < c

Context: h2 : b < d

Context: h3 : 0 ≤ a

Context: h4 : 0 ≤ b

Context: b0 : 0 = b


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : PosMulMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : MulPosStrictMono α

Context: h1 : a < c

Context: h2 : b < d

Context: h3 : 0 ≤ a

Context: h4 : 0 ≤ b

Context: b0 : 0 = b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α

(fun x => x * b) '' t = (fun x => x * b⁻¹) ⁻¹' t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
a✝ : ℕ

a✝ ∈ (p.scaleRoots s).support → a✝ ∈ p.support


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.46156, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.symm.Rel i j

(fun i => (f.unop.f i).unop) i ≫ ((fun X => (unop X).unop) Y✝).d i j = ((fun X => (unop X).unop) X✝).d i j ≫ (fun i => (f.unop.f i).unop) j


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module.Free R M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
cond : finrank R M = finrank R M'

lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℝ
this : Nonempty { r' // r < ↑r' }


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: η : Type u_8

Context: s : Set η

Context: t : η → Set M

Context: hs : DirectedOn (t ⁻¹'o fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent R fun (x : ↑(t a)) => ↑x

LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ a ∈ s, t a)) => ↑x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: η : Type u_8

Context: s : Set η

Context: t : η → Set M

LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ x, t ↑x)) => ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ

ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ici x) x


ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x


ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (sInf (stieltjesFunctionAux f a '' Ioi x)))


ContinuousWithinAt (stieltjesFunctionAux f a) (Ioi x) x ↔ Tendsto (stieltjesFunctionAux f a) (𝓝[>] x) (𝓝 (⨅ a_1, stieltjesFunctionAux f a ↑a_1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: h' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑r = ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: h'' : ⨅ r, stieltjesFunctionAux f a ↑↑r = ⨅ r, f a ↑r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: x : ℝ

stieltjesFunctionAux f a x = ⨅ r, f a ↑r


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

xn a1 (n * 0) ≡ xn a1 n ^ 0 [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ yn a1 (n * 0) ≡ 0 * xn a1 n ^ (0 - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

Context: hx : xn a1 (n * k) ≡ xn a1 n ^ k [MOD yn a1 n ^ 2]

Context: hy : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

Context: L : xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n + 0 [MOD yn a1 n ^ 2]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

Context: R : xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n k : ℕ

xn a1 (n * k) * xn a1 n + Pell.d a1 * yn a1 (n * k) * yn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * xn a1 n [MOD yn a1 n ^ 2] ∧ xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n ≡ xn a1 n ^ k * yn a1 n + k * xn a1 n ^ k * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K L : HomologicalComplex C c'
e' : K ≅ L
e : c.Embedding c'
h : K.IsStrictlySupportedOutside e
i : ι


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : IsTotal α r
inst✝ : IsTrans α r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : IsTotal α r
inst✝ : IsTrans α r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length


Sorted r (merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) (mergeSort r l₁) (mergeSort r l₂))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M

mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I


(∃ x_1, (algebraMap R S) x * (algebraMap R S) ↑x_1.2 = (algebraMap R S) ↑x_1.1) ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c


Context:
x y : ℝ≥0∞
h : x < y

(if x = 0 then ⊥ else if x = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log x.toReal)) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)


Context:
y : ℝ≥0∞
h : 0 < y

(if 0 = 0 then ⊥ else if 0 = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log (ENNReal.toReal 0))) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)


Context:
y : ℝ≥0∞
h : ⊤ < y

(if ⊤ = 0 then ⊥ else if ⊤ = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log ⊤.toReal)) < if y = 0 then ⊥ else if y = ⊤ then ⊤ else ↑(Real.log y.toReal)


Context:
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
x_real : 0 < x.toReal


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p)

Context: y : M

Context: hy : y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q)

Context: hxy : x + y = v


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p)

Context: y : M

Context: hy : y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q)

Context: hxy : x + y = v

Context: h_eval_x : ((aeval f) (p * q)) x = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p)

Context: y : M

Context: hy : y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q)

Context: hxy : x + y = v

Context: h_eval_x : ((aeval f) (p * q)) x = 0

Context: h_eval_y : ((aeval f) (p * q)) y = 0


Context:
p q : ℚ≥0
hn : p.num = q.num
hd : p.den = q.den


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ last n


Context:
n m : ℕ
y : Fin n
h : y.castSucc ≠ last n

(y.castSucc.castPred h).castSucc = y.castSucc


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α✝
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α✝
α : Type u_1
s t : Set α


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: g : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: h : ∀ (x : E), ∃ C, ∀ (i : ι), ‖(g i) x‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: g : ι → E →SL[σ₁₂] F

UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ g)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: g : ι → E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ : Fin 1

Context: x : E

BddAbove (range fun i => (normSeminorm 𝕜₂ F) ((g i) x))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

mapFun (⇑f) (x * y) = mapFun (⇑f) x * mapFun (⇑f) y


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞

ContDiffAt ℝ n arccos x ↔ n = 0 ∨ x ≠ -1 ∧ x ≠ 1


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: g : α → (a : δ) → π a

Measurable g ↔ ∀ (a : δ), Measurable fun x => g x a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
C : ℝ

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), C ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: C c : ℝ

Context: hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: C c : ℝ

Context: hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n

Context: hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: C c : ℝ

Context: hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n

Context: hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: h₁ : 0 < c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: C c : ℝ

Context: hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n

Context: hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: h₁ : 0 < c

Context: i : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : R f


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : R f
h : ∃ h g, R g ∧ h ≫ g = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
a b : α
h : p a ∧ p b
c : α
hc : c ∈ s(a, b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
b c : α
h : p c ∧ p b
hc : c ∈ s(c, b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
a c : α
h : p a ∧ p c
hc : c ∈ s(a, c)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
A : (Matrix n n R)ˣ
this : (↑A * ↑A⁻¹).rank ≤ (↑A).rank


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M


Context: a b c : Ordinal.{u}

b ♯ c ≤ a ↔ (∀ b' < b, b' ♯ c < a) ∧ ∀ c' < c, b ♯ c' < a


Context: a b c : Ordinal.{u}

max (b.blsub fun a' x => a' ♯ c) (c.blsub fun b' x => b ♯ b') ≤ a ↔ (∀ b' < b, b' ♯ c < a) ∧ ∀ c' < c, b ♯ c' < a


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M

Disjoint p (ker f) ↔ ∀ x ∈ p, f x = 0 → x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a✝ a : α

s.mulIndicator f a ≠ 1 ↔ a ∈ s ∩ mulSupport f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | p x k}

Measurable fun x => Nat.findGreatest (p x) N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
N : ℕ
hN : ∀ k ≤ N, MeasurableSet {x | p x k}
k : ℕ
hk : k ≤ N

MeasurableSet {x | Nat.findGreatest (p x) N = k}


MeasurableSet ({a | k ≤ N} ∩ ((⋂ (_ : k ≠ 0), {x | p x k}) ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : k < i), ⋂ (_ : i ≤ N), {a | p a i}ᶜ))


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : i < j


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
f g : R[X]


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)


{S | (∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d) ∧ S.IsNormal} ⊆ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : Dual R R
r : R


Context:
β : Sort ?u.114339
α : Sort ?u.114344
P : β → Sort w
e✝ : α ≃ β
ι'' : Sort u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
π : ι'' → Type u_1
e : ι ⊕ ι' ≃ ι''
f : (i : ι) → π (e (inl i))
g : (i : ι') → π (e (inr i))
j : ι'

(piCongrLeft π e) ((sumPiEquivProdPi fun x => π (e x)).symm (f, g)) (e (inr j)) = g j


Context:
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
x✝ : (forget FinBoolAlg).obj α

((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : FinBoolAlg
e : ↑α.toBoolAlg ≃o ↑β.toBoolAlg
x✝ : (forget FinBoolAlg).obj β

((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
x✝ : L ⧸ f.ker
x : L
y✝ : L ⧸ f.ker
y : L

{ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r x), { toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r y)⁆


↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆) = ⁅↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r x)), ↑({ toFun := ⇑(↑f).quotKerEquivRange, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (Quot.mk Setoid.r y))⁆


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
c : Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ

ωSup (c.map (f.partBind g)) = ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g)


∀ (c_1 : Part γ), ωSup (c.map (f.partBind g)) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g) ≤ c_1


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
c : Chain α
f : α →o Part β
g : α →o β → Part γ
x : Part γ

ωSup (c.map (f.partBind g)) ≤ x ↔ ωSup (c.map f) >>= ωSup (c.map g) ≤ x


(∀ (i : ℕ), (c.map (f.partBind g)) i ≤ x) ↔ ∀ a ∈ ωSup (c.map f), ωSup (c.map g) a ≤ x


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: I J Js : Box ι

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: H : ∀ (i : ι), {(i, J.lower i), (i, J.upper i)} ⊆ s

Context: HJs : Js ∈ splitMany I s

Context: Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: I J Js : Box ι

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: HJs : Js ∈ splitMany I s

Context: Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js

Context: H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x✝ : ℝ

Context: I J Js : Box ι

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: HJs : Js ∈ splitMany I s

Context: Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js

Context: x : ι → ℝ

Context: hx : x ∈ ↑J

Context: hxs : x ∈ ↑Js


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R

((monomial n) r * p).coeff (d + n) = r * p.coeff d


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: hd : Disjoint s₁ s₂

Context: h₁ : P s₁

Context: h₂ : P s₂

extend m (s₁ ∪ s₂) = extend m s₁ + extend m s₂


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: hd : Disjoint s₁ s₂

Context: h₁ : P s₁

Context: h₂ : P s₂

∑ b : Bool, extend m (bif b then s₁ else s₂) = extend m s₁ + extend m s₂


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
z : ℂ
h : z ≠ 0


Context:
a b c : ℕ
hb0 : 0 < b
hc : a / b ≤ c
x : ℕ

x ∈ Ico 1 (a / b).succ ↔ x ∈ filter (fun x => x * b ≤ a) (Ico 1 c.succ)


Context:
a b c : ℕ
hb0 : 0 < b
hc : a / b ≤ c
x : ℕ
this : x * b ≤ a → x ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : SeminormedRing α

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : Module α β

Context: h : ∀ (r : α) (x : β), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖

Context: a : α

Context: b₁ b₂ : β

dist (a • b₁) (a • b₂) ≤ dist a 0 * dist b₁ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : SeminormedRing α

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : Module α β

Context: a₁ a₂ : α

Context: b : β

dist (a₁ • b) (a₂ • b) ≤ dist a₁ a₂ * dist b 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A


Context: P : ℝ → Prop

Context: x₀ r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hx₀ : 0 < x₀

Context: base : ∀ x ∈ Ico x₀ (r * x₀), P x

Context: step : ∀ n ≥ 1, (∀ z ∈ Ico x₀ (r ^ n * x₀), P z) → ∀ z ∈ Ico (r ^ n * x₀) (r ^ (n + 1) * x₀), P z


Context: P : ℝ → Prop

Context: x₀ r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hx₀ : 0 < x₀

Context: base : ∀ x ∈ Ico x₀ (r * x₀), P x

∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ Ico x₀ (r ^ (n + 1) * x₀), P x


Context: P : ℝ → Prop

Context: x₀ r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hx₀ : 0 < x₀

Context: base : ∀ x ∈ Ico x₀ (r * x₀), P x

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
b c : α
u : αˣ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: hs : ∀ (s : Set X), f '' interior s ⊆ interior (f '' s)

Context: u : Set X

Context: hu : IsOpen u


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Nat.card ↥(_root_.commutator G) ≤ cardCommutatorBound (Nat.card ↑(commutatorSet G))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ^ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G)

Context: h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ ((center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h1 : (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ (Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G)) * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: h2 : Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ (Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1) + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

0 < (center ↥(closureCommutatorRepresentatives G)).index ^ (Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ (2 * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1) + 1)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

(G.map P.decompId_p).f = ((((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).obj P).p ≫ (G.map P.decompId_p).f ≫ (((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).obj P).p


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
G : Karoubi C ⥤ Karoubi D
P Q : Karoubi C
f : P ⟶ Q

(((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).map f ≫ (fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }) Q = (fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }) P ≫ ((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).map f


(G.map P.decompId_i).f = (((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).obj P).p ≫ (G.map P.decompId_i).f ≫ ((((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).obj P).p


((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G).map f ≫ (fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }) Q = (fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }) P ≫ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G).map f


(({ app := fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ } ≫ { app := fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ }).app P).f = ((𝟙 (((whiskeringLeft C (Karoubi C) (Karoubi D)).obj (toKaroubi C) ⋙ functorExtension₁ C D).obj G)).app P).f


(({ app := fun P => { f := (G.map P.decompId_i).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ } ≫ { app := fun P => { f := (G.map P.decompId_p).f, comm := ⋯ }, naturality := ⋯ }).app P).f = ((𝟙 ((𝟭 (Karoubi C ⥤ Karoubi D)).obj G)).app P).f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.48051, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.48055, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.48059, u_3} E
X Y : Karoubi C ⥤ Karoubi D
φ : X ⟶ Y
P : Karoubi C

((X.map ((toKaroubi C).map P.p)).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f) ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (φ.app P).f


((X.map (P.decompId_p ≫ P.decompId_i)).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f) ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i ≫ φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ Y.map P.decompId_p).f


(X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i).f ≫ (φ.app ((toKaroubi C).obj P.X)).f ≫ (Y.map P.decompId_p).f = (X.map P.decompId_p).f ≫ (X.map P.decompId_i).f ≫ (φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }).f ≫ (Y.map P.decompId_p).f


Context: x y : ℝ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.114018, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

rightHomologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.H


rightHomologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ rightHomologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.H


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s

ofMeasurableSpace ((generate s).toMeasurableSpace ⋯) ≤ ofMeasurableSpace (generateFrom s)


generate s ≤ ofMeasurableSpace (generateFrom s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀

ContMDiffAt I' I n (fun x => f x / g x) x₀


ContMDiffAt I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) x₀


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K

Context: inst✝³⁴ : Field L

Context: inst✝³³ : Algebra A K

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K

Context: inst✝³¹ : Algebra B L

Context: inst✝³⁰ : Algebra K L

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing Aₘ) (FractionRing Bₘ)

Context: x : B

Context: hM : 0 ∉ M

(algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x) = (intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K

Context: inst✝³⁴ : Field L

Context: inst✝³³ : Algebra A K

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K

Context: inst✝³¹ : Algebra B L

Context: inst✝³⁰ : Algebra K L

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K✝

Context: inst✝³⁴ : Field L✝

Context: inst✝³³ : Algebra A K✝

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝³¹ : Algebra B L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this : IsIntegralClosure B A L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K✝

Context: inst✝³⁴ : Field L✝

Context: inst✝³³ : Algebra A K✝

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝³¹ : Algebra B L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A L

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K✝

Context: inst✝³⁴ : Field L✝

Context: inst✝³³ : Algebra A K✝

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝³¹ : Algebra B L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM

Context: this : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K✝

Context: inst✝³⁴ : Field L✝

Context: inst✝³³ : Algebra A K✝

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝³¹ : Algebra B L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝²⁰ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁶ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝² : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A Aₘ K


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁸ : CommRing A

Context: inst✝³⁷ : CommRing B

Context: inst✝³⁶ : Algebra A B

Context: inst✝³⁵ : Field K✝

Context: inst✝³⁴ : Field L✝

Context: inst✝³³ : Algebra A K✝

Context: inst✝³² : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝³¹ : Algebra B L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁹ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁸ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁷ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²⁵ : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²⁴ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²³ : CommRing Bₘ

Context: inst✝²² : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝²¹ : Algebra A Aₘ

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Context: inst✝¹³ : IsDomain A

Context: inst✝¹² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹¹ : IsDomain B

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁹ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁸ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁶ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM

Context: this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯

Context: this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L

(algebraMap Aₘ K) ((algebraMap A Aₘ) ((intNorm A B) x)) = (algebraMap Aₘ K) ((intNorm Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x))


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b c a : G


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v✝ v : VitaliFamily μ

Context: f : α → Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, a ∈ f x

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

∃ a ∈ v.setsAt x ∩ f x, a ⊆ closedBall x ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v✝ v : VitaliFamily μ

Context: f : α → Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : Set α

Context: av : a ∈ v.setsAt x

Context: ha : a ⊆ closedBall x ε

Context: af : a ∈ f x


Context:
α : Type u
l✝ l' : List α
x : α
l : List α

(x :: l).cyclicPermutations.length = l.length + 1


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝¹ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasHomology

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)

Context: hx₂ : ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0

((forget₂ C Ab).map S.iCycles) ((S.mapCyclesIso (forget₂ C Ab)).hom ((S.map (forget₂ C Ab)).abCyclesIso.inv ⟨x₂, hx₂⟩)) = x₂


Context: α : Type u

Context: hα : Nonempty α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (n : ℕ), (a :: l).rotate n = a :: l

Context: n : ℕ

Context: h₁ : n < (a :: l).length

Context: h₂ : n < (replicate (a :: l).length a).length

(a :: l)[n] = (replicate (a :: l).length a)[n]


Context: α : Type u

Context: hα : Nonempty α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: x✝ : ∃ a_1, a :: l = replicate (a :: l).length a_1

Context: n : ℕ

Context: b : α

Context: hb : a :: l = replicate (a :: l).length b


Context: m n k : ℕ

(m + n).choose k = ∑ ij ∈ antidiagonal k, m.choose ij.1 * n.choose ij.2


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0

(a.wronskian b).natDegree < a.natDegree + b.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R[X]
hw : a.wronskian b ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


↑(a.wronskian b).natDegree < ↑a.natDegree + ↑b.natDegree


(a.wronskian b).degree = ↑(a.wronskian b).natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ

Integrable (fun a => (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst


AEStronglyMeasurable (fun a => (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
t : Set α
x✝¹ : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t ≠ ⊤

∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖(preCDF ρ x x_1).toReal‖₊ ∂ρ.fst ≤ ρ.fst univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β

SurjOn (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ SurjOn m s t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: f' : 𝕜

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hx : f x = x

Context: hs : MapsTo f s s

Context: n : ℕ

Context: this : HasFDerivWithinAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) s x


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ

x ∈ filter (fun x => r ∣ x) (Ico a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } (Ico ⌈↑a / ↑r⌉ ⌈↑b / ↑r⌉)


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ

((a ≤ x ∧ x < b) ∧ ∃ c, x = c * r) ↔ ∃ a_1, (a ≤ a_1 * r ∧ a_1 * r < b) ∧ { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } a_1 = x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A✝ : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A✝
N : Type u_5
inst✝ : Group N
A A' B : Subgroup G
hA : A ≤ B
hA' : A' ≤ B

(A ⊔ A').subgroupOf B = A.subgroupOf B ⊔ A'.subgroupOf B


map B.subtype ((A ⊔ A').subgroupOf B) = map B.subtype (A.subgroupOf B ⊔ A'.subgroupOf B)


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H H'

Context: x : M'

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (extChartAt I x).target

Context: this : ChartedSpace H M' := ChartedSpace.comp H H' M'

writtenInExtChartAt I I x (↑(chartAt H' x)) y = y


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
DET : 0 < ↑(GeneralLinearGroup.det ↑g)


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
DET : 0 < ↑(GeneralLinearGroup.det ↑g)
hz : 0 < (↑z).im


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
H : denom g z = 0
DET : 0 < (↑↑g).det
hz : 0 < (↑z).im


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f : X ⟶ Y
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

(s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = s.φ f (unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op


s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ f.app Δ = s.ι (unop A.fst).len ≫ f.app (op [(unop A.fst).len]) ≫ Y.map A.e.op


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x y : Quotient G α
h : x.orbit = y.orbit


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MulAction G β

Context: x y : Quotient G α

Context: h : Setoid.r (Quotient.out' x) (Quotient.out' y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 ≤ f


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
cg : KernelFork S.g
hg : IsLimit cg
cf : CokernelCofork S.f
hf : IsColimit cf


kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0 ↔ Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: cg : KernelFork S.g

Context: hg : IsLimit cg

Context: cf : CokernelCofork S.f

Context: hf : IsColimit cf

Context: e₁ : (Fork.ofι (kernel.ι S.g) ⋯).pt ≅ cg.pt := (kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso hg

Context: e₂ : (Cofork.ofπ (cokernel.π S.f) ⋯).pt ≅ cf.pt := (cokernelIsCokernel S.f).coconePointUniqueUpToIso hf


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: cg : KernelFork S.g

Context: hg : IsLimit cg

Context: cf : CokernelCofork S.f

Context: hf : IsColimit cf

Context: this : Fork.ι cg ≫ Cofork.π cf = e₁.inv ≫ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f ≫ e₂.hom


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton M


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : Ring R'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Module R' M'

Context: inst✝¹ : Module R' M₁

Context: inst✝ : Subsingleton R

Context: this✝ : Subsingleton M

Context: this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : Ring R'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Module R' M'

Context: inst✝¹ : Module R' M₁

Context: inst✝ : Subsingleton R

Context: this✝ : Subsingleton M

∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), #↑↑i ≤ 1


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : Ring R'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Module R' M'

Context: inst✝¹ : Module R' M₁

Context: inst✝ : Subsingleton R

Context: this✝ : Subsingleton M


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Integrable (u n) μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) 1 μ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
inst✝ : BraidedCategory D
F : LaxBraidedFunctor C D
A : CommMon_ C

(β_ (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: inst✝³ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory D

Context: inst✝ : BraidedCategory D

Context: F : LaxBraidedFunctor C D

Context: A : CommMon_ C

Context: this : ∀ (X Y : C), F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: inst✝³ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory D

Context: inst✝ : BraidedCategory D

Context: F : LaxBraidedFunctor C D

Context: A : CommMon_ C

(F.μ A.X A.X ≫ F.map (β_ A.X A.X).hom) ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul


Context:
G✝ : Type u
inst✝² : AddCommGroup G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G

∃ ι x n, (∀ (i : ι), 1 < n i) ∧ Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (n i))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: X' : C

MonoidalCategory.whiskerRight (F.map f) (F.obj X') ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) Y X' = (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X X' ≫ F.map (MonoidalCategory.whiskerRight f X')


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y X' : C

Context: g : X ⟶ Y

MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X') (F.map g) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X' Y = (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X' X ≫ F.map (MonoidalCategory.whiskerLeft X' g)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

MonoidalCategory.whiskerRight ((fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X Y) (F.obj Z) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫ F.map (MonoidalCategory.associator X Y Z).hom = (MonoidalCategory.associator (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) ((fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) Y Z) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (prodComparison F X Y)).inv (F.obj Z) ≫ (asIso (prodComparison F (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)).inv ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (prodComparison F Y Z)).inv ≫ (asIso (prodComparison F X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z))).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (prodComparison F X Y)).inv (F.obj Z) ≫ (asIso (prodComparison F (MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z)).inv ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (prodComparison F Y Z)).inv ≫ (asIso (prodComparison F X (MonoidalCategory.tensorObj Y Z))).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.map (CategoryTheory.inv (prodComparison F X Y)) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F (X ⨯ Y) Z) ≫ F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) = prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z) = (prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (Y ⨯ Z))) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X Y Z : C

F.map (prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd)) ≫ prodComparison F X (Y ⨯ Z) = prod.lift (F.map prod.fst ≫ F.map prod.fst) (prodComparison F (X ⨯ Y) Z ≫ prod.map (prodComparison F X Y) (𝟙 (F.obj Z)) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F Y Z))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: Y : C

(MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj Y)).hom = MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (terminalComparison F)).inv (F.obj Y) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (𝟙_ C) Y ≫ F.map (MonoidalCategory.leftUnitor Y).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: Y : C

prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ (MonoidalCategory.leftUnitor (F.obj Y)).hom = prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ MonoidalCategory.whiskerRight (asIso (terminalComparison F)).inv (F.obj Y) ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) (𝟙_ C) Y ≫ F.map (MonoidalCategory.leftUnitor Y).hom