Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

Context: n : ℕ

∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b

Context: h_mono : Monotone F

Context: this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)

Context: h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)

Context: n : ℕ

∀ (c : ℝ≥0∞) {s : Set (β × γ)} (hs : MeasurableSet s), ∫⁻ (a : β × γ), ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (β × γ) c) (SimpleFunc.const (β × γ) 0)) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c_1 : γ), ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (β × γ) c) (SimpleFunc.const (β × γ) 0)) (a_1, c_1) ∂η (a, a_1) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

Context: n : ℕ

∀ ⦃f g : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g) → ∫⁻ (a : β × γ), ↑f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_2 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑f (a_2, c) ∂η (a, a_2) ∂κ a → ∫⁻ (a : β × γ), ↑g a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_3 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑g (a_3, c) ∂η (a, a_3) ∂κ a → ∫⁻ (a : β × γ), ↑(f + g) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_4 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑(f + g) (a_4, c) ∂η (a, a_4) ∂κ a


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ

coeff m (((finSuccEquiv R n) f).coeff i) = coeff (cons i m) f


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
j : Fin (n + 1) →₀ ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ

coeff m (((finSuccEquiv R n) ((monomial j) r)).coeff i) = coeff (cons i m) ((monomial j) r)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: p q : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: hp : ∀ (m : Fin n →₀ ℕ) (i : ℕ), coeff m (((finSuccEquiv R n) p).coeff i) = coeff (cons i m) p

Context: hq : ∀ (m : Fin n →₀ ℕ) (i : ℕ), coeff m (((finSuccEquiv R n) q).coeff i) = coeff (cons i m) q

Context: m : Fin n →₀ ℕ

Context: i : ℕ

coeff m (((finSuccEquiv R n) (p + q)).coeff i) = coeff (cons i m) (p + q)


r * coeff m ((Polynomial.X ^ j 0 * Polynomial.C (∏ x : Fin n, X x ^ j x.succ)).coeff i) = if j = cons i m then r else 0


r * coeff m (if i = j 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ j x.succ else 0) = r * if j = cons i m then 1 else 0


coeff m (if i = j 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ j x.succ else 0) = if j = cons i m then 1 else 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ

coeff m (if i = (cons i m) 0 then ∏ x : Fin n, X x ^ (cons i m) x.succ else 0) = if cons i m = cons i m then 1 else 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
j : Fin (n + 1) →₀ ℕ
r : R
m : Fin n →₀ ℕ
i : ℕ
hjmi : j ≠ cons i m


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι

dist I.lower I.upper ≤ ↑I.distortion * (I.upper i - I.lower i)


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
A : I.lower i - I.upper i < 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : Mono (terminal.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A


f ≫ terminal.from A = g ≫ terminal.from A


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i✝ j : Set α

Context: hs : VectorMeasure.restrict s univ ≤ VectorMeasure.restrict 0 univ

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑(s.toMeasureOfLEZero univ ⋯ hs).toSignedMeasure i = ↑(-s) i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i


{ toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
a✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : replicate n a ≠ []


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
s : Set γ
x₀ : γ

BddAbove s ↔ ∃ x, x₀ ≤ x ∧ ∀ y ∈ s, y ≤ x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(tensorLeft P.X).map (coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = (tensorLeft P.X).map (coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X P (Q.tensorBimod L))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

Context: h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b

Context: hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

∀ (s : Multiset α), (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

(∀ a ∈ 0, p a) → f (prod 0) ≤ (map f 0).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

∀ (a : α) (s : Multiset α), ((∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod

Context: hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hps : ∀ x ∈ s, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: hp_one : p 1

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hpsa : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hps : ∀ x ∈ s, p x

Context: hp_prod : p s.prod


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
x✝¹ : 0 ≤ as.size
x✝ : β

forIn.loop as f 0 x✝¹ x✝ = forIn (List.drop as.data.length as.data) x✝ f


forIn.loop as f 0 x✝¹ x✝ = forIn [] x✝ f


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size

(do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = forIn (List.drop j as.data) x✝ f


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)
i : Nat
x✝¹ : i + 1 ≤ as.size
x✝ : β
j : Nat
ij : j + (i + 1) = as.size
j_eq : j = as.size - 1 - i
this : as.size - 1 - i < as.size


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

Context: this : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

(do let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = do let x ← f as[as.size - 1 - i] x✝ match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

(fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = fun x => match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

Context: x : ForInStep β

(match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) = match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

Context: x : ForInStep β

(fun b => forIn.loop as f i ⋯ b) = fun b => forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b✝ : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

Context: x : ForInStep β

Context: b : β

forIn.loop as f i ⋯ b = forIn (List.drop (j + 1) as.data) b f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : Monad m

Context: as : Array α

Context: b✝ : β

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: i : Nat

Context: x✝¹ : i + 1 ≤ as.size

Context: x✝ : β

Context: j : Nat

Context: ij : j + (i + 1) = as.size

Context: j_eq : j = as.size - 1 - i

Context: this✝ : as.size - 1 - i < as.size

Context: x : ForInStep β

Context: b : β


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)

forIn.loop as f as.size ⋯ b = forIn as.data b f


forIn (List.drop 0 as.data) b f = forIn as.data b f


Context:
α : Type u_1
s : Set α
t : Set ↑s
x : α
x✝ : x ∈ val '' t
y : { x // x ∈ s }
left✝ : y ∈ t
yvaleq : ↑y = x


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f✝ : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: f : ι → R[X]

Context: n : ℕ

Context: l : Multiset ι

Context: hl : l.Nodup

Context: h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n

(∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, f i).coeff ({ val := l, nodup := hl }.card * n) = ∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f✝ : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: f : ι → R[X]

Context: n : ℕ

Context: l : Multiset ι

Context: hl : l.Nodup

{ val := l, nodup := hl }.card = Multiset.card (Multiset.map f l)


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f✝ : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: f : ι → R[X]

Context: n : ℕ

Context: l : Multiset ι

Context: hl : l.Nodup

∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) (Multiset.map f l)).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f✝ : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: f : ι → R[X]

Context: n : ℕ

Context: l : Multiset ι

Context: hl : l.Nodup


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀


∀ (x : G₀ˣ), (∀ (g : G₀ˣ), g * x = x * g) → ∀ (g : G₀), g * ↑x = ↑x * g


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

homologyMap e.hom ≫ homologyMap e.inv = 𝟙 S₁.homology


homologyMap e.inv ≫ homologyMap e.hom = 𝟙 S₂.homology


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source

Context: x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

∀ x ∈ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source, ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source

Context: hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)

∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ : EqOn (↑f' ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e') ∘ ↑f.symm) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source

Context: hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source

∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source

Context: hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source

x ∈ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source ∩ φ.source


Context: H✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H✝

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝

Context: f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop

Context: H₁ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁

Context: H₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂

Context: H₃ : Type u_8

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂

Context: inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃

Context: G₁ : StructureGroupoid H₁

Context: inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁

Context: inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁

Context: G₂ : StructureGroupoid H₂

Context: inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂

Context: e : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he : e ∈ atlas H₂ H₃

Context: f : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf : f ∈ atlas H₁ H₂

Context: e' : PartialHomeomorph H₃ H₂

Context: he' : e' ∈ atlas H₂ H₃

Context: f' : PartialHomeomorph H₂ H₁

Context: hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

Context: x : H₁

Context: φ : PartialHomeomorph H₁ H₁

Context: hφG₁ : φ ∈ G₁

Context: hφ_dom : x ∈ φ.source

(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr ((f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source ∩ φ.source) ∈ G₁


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X

pullback f (S ⊓ R) = pullback f S ⊓ pullback f R


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)


⋃₀ ↑(I ∪ hC.diffFinset₀ hs hI) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)


⋃₀ (↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)


Context:
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val * b.val < n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

X n ^ e = (monomial (Finsupp.single n e)) 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M

(tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g)) = (tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)


∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M
x : A ⊗[R] M

((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N


∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = 1 x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : A ⊗[R] M

((tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = 1 x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K

↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.313, u_3} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j


Context:
m n : ℤ
k : ℕ

(m.lor n).testBit k = (m.testBit k || n.testBit k)


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s

ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: p : TangentBundle I M

Context: hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

Context: hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

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Context: U' : UniqueMDiffOn I s'

Context: U'l : UniqueMDiffOn I s'l

Context: diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'

Context: diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

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Context: N' : Type u_13

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Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

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Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

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Context: m n : ℕ∞

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Context: hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Context: hp : p.proj ∈ s

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Context: ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)

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Context: o : Set M

Context: o_open : IsOpen o

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Context: diff_Drirrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

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Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

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Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

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Context: hmn : m + 1 ≤ n

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Context: one_le_n : 1 ≤ n

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Context: hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Context: hp : p.proj ∈ s

Context: l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj

Context: Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p

Context: hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p

Context: r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)

Context: Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)

Context: il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)

Context: ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)

Context: s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source

Context: s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'

Context: s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'

Context: s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l

Context: o : Set M

Context: o_open : IsOpen o

Context: ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s

Context: U' : UniqueMDiffOn I s'

Context: U'l : UniqueMDiffOn I s'l

Context: diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'

Context: diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source

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Context: diff_Drirrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift

Context: diff_DrirrflilDl : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

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Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

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Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

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Context: M' : Type u_7

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Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: p : TangentBundle I M

Context: hf' : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Context: hp : p.proj ∈ s

Context: l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj

Context: Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p

Context: hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p

Context: r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)

Context: Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)

Context: il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)

Context: ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)

Context: s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source

Context: s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'

Context: s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'

Context: s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l

Context: o : Set M

Context: o_open : IsOpen o

Context: ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s

Context: U' : UniqueMDiffOn I s'

Context: U'l : UniqueMDiffOn I s'l

Context: diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'

Context: diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source

Context: diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'

Context: diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l

Context: diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l

Context: diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift

Context: diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift

Context: diff_Drirrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift

Context: diff_DrirrflilDl : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift

Context: eq_comp : ∀ q ∈ s'_lift, tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α

dist x₁ y₁ ≤ dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂ + dist x₂ y₂


dist x₁ y₁ ≤ dist x₁ x₂ + dist x₂ y₂ + dist y₂ y₁


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0
hfi : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
b : ℝ≥0

∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b ↔ ∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≤ ↑b


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c c' : Cardinal.{u_3}
h : c.ord = c'.ord


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: C : 𝕜

Context: hC : C < 0

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 C)

Context: this : Tendsto (fun x => f x * -g x) l atTop


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ

(coeff R n) (φ₁ * (φ₂ + φ₃)) = (coeff R n) (φ₁ * φ₂ + φ₁ * φ₃)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
hsc : sᶜ ∉ f
h : ↑f ⊓ 𝓟 s = ⊥

↑f ⊓ 𝓟 sᶜᶜ = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

∀ (s : Set γ), IsOpen s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

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Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

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Context: f : δ → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : IsOpen s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

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Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

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Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))


Context: α : Type u_1

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(1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

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Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

(1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∑ x ∈ A ×ˢ B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card))