Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: u : E → F

Context: hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u

Context: uf : EqOn (f - ⇑f') u s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: u : E → F

Context: uf : EqOn (f - ⇑f') u s

Context: g : E → F := fun x => f' x + u x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: u : E → F

Context: uf : EqOn (f - ⇑f') u s

Context: g : E → F := fun x => f' x + u x

Context: fg : EqOn f g s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: u : E → F

Context: uf : EqOn (f - ⇑f') u s

Context: g : E → F := fun x => f' x + u x

Context: fg : EqOn f g s

Context: hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[ℝ] F

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: u : E → F

Context: uf : EqOn (f - ⇑f') u s

Context: g : E → F := fun x => f' x + u x

Context: fg : EqOn f g s

Context: this : FiniteDimensional ℝ E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
h : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ s


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
m : M
i : ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a✝ : α i
a : (i : ι) → α i
x : ι
y : α x

(⟨x, y⟩ ∈ s.sigma fun i => {a i}) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (fun i => ⟨i, a i⟩) '' s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : openSegment 𝕜 x y ⊆ frontier s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : openSegment 𝕜 x y ⊆ frontier s
a : 𝕜
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

ContinuousOn f s ↔ Continuous (s.restrict f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

(∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔ ∀ (x : ↑s), ContinuousAt (s.restrict f) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : ∀ (x : ↑s), ContinuousAt (s.restrict f) x

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1 - 1, m.2) ∈ b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α

(fun n => ε (b i * ↑n) - ε ↑n) ~[atTop] fun n => -log (b i) / log ↑n ^ 2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f n x
hm : IsPeriodicPt f m x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

Context: this✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: this : ⟨k, (lookup k s₁).get ⋯⟩ ∈ s₂.entries


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

Context: this : lookup k s₂ = some ((lookup k s₁).get ⋯)


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

(some ((lookup k s₁).get ⋯)).isSome = true


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R

∑ p : n × n, (algebraMap R A) (M p.1 p.2) ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix p.1 p.2 1 = 1 ⊗ₜ[R] M


1 ⊗ₜ[R] ∑ a : n × n, M a.1 a.2 • stdBasisMatrix a.1 a.2 1 = 1 ⊗ₜ[R] M


∑ a : n × n, M a.1 a.2 • stdBasisMatrix a.1 a.2 1 = M


∑ a : n × n, M a.1 a.2 • stdBasisMatrix a.1 a.2 1 = ∑ i : n, ∑ j : n, stdBasisMatrix i j (M i j)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
x✝¹ : n
a✝¹ : x✝¹ ∈ Finset.univ
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

stdBasisMatrix x✝¹ x✝ (M x✝¹ x✝) = M (x✝¹, x✝).1 (x✝¹, x✝).2 • stdBasisMatrix (x✝¹, x✝).1 (x✝¹, x✝).2 1


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]

∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)


Context: n : Type u

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Subsingleton n

Context: x : SpecialLinearGroup n R

Context: x✝ : x ∈ center (SpecialLinearGroup n R)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q u v x y z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hu : u ∈ segment 𝕜 x p
hv : v ∈ segment 𝕜 y q

¬Disjoint (segment 𝕜 u v) ((convexHull 𝕜) {p, q, z})


∃ x ∈ segment 𝕜 u v, x ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, z}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q x y : E
az bz : 𝕜
haz : 0 ≤ az
hbz : 0 ≤ bz
habz : az + bz = 1
haz' : 0 < az
av bv : 𝕜
hav : 0 ≤ av
hbv : 0 ≤ bv
habv : av + bv = 1
hav' : 0 < av
au bu : 𝕜
hau : 0 ≤ au
hbu : 0 ≤ bu
habu : au + bu = 1
hab : 0 < az * av + bz * au

(az * av / (az * av + bz * au)) • (au • x + bu • p) + (bz * au / (az * av + bz * au)) • (av • y + bv • q) ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}


(az * av / (az * av + bz * au) * bu) • p + (bz * au / (az * av + bz * au) * bv) • q + ((az * av / (az * av + bz * au)) • au • x + (bz * au / (az * av + bz * au)) • av • y) ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, az • x + bz • y}


Context: a b : ℤ

a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b


Context: ι : Sort u_1

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: h : ∀ (t : Finset α) (i j : ι), ∃ k, ∀ a ∈ t, f k a ≤ f i a ∧ f k a ≤ f j a

⨅ i, ∑ a ∈ s, f i a = ∑ a ∈ s, ⨅ i, f i a


Context: ι : Sort u_1

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Nonempty ι

⨅ i, ∑ a ∈ ∅, f i a = ∑ a ∈ ∅, ⨅ i, f i a


Context: ι : Sort u_1

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : ⨅ i, ∑ a ∈ s, f i a = ∑ a ∈ s, ⨅ i, f i a

⨅ i, ∑ a ∈ Finset.cons a s ha, f i a = ∑ a ∈ Finset.cons a s ha, ⨅ i, f i a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α'

supported M R (f ⁻¹' s) ≤ comap (lmapDomain M R f) (supported M R s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hg : g ≤ᶠ[ae μ] 0

Integrable (f + g) μ ↔ Integrable f μ ∧ Integrable g μ


Integrable (-f + -g) μ ↔ Integrable (-f) μ ∧ Integrable (-g) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
this : Fact (μ K < ⊤)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
K : Set X
a b : X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hK : IsCompact K
h'K : MeasurableSet K
hf : ContinuousOn f K
this : Fact (μ K < ⊤)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' K, ‖x‖ ≤ C


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: r✝ : 𝕜

Context: f✝ : (i : ι) → E i

(mapL f) (r✝ • (tprod 𝕜) f✝) = (map fun i => ↑(f i)) (r✝ • (tprod 𝕜) f✝)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x✝ y✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hx : (mapL f) x✝ = (map fun i => ↑(f i)) x✝

Context: hy : (mapL f) y✝ = (map fun i => ↑(f i)) y✝

(mapL f) (x✝ + y✝) = (map fun i => ↑(f i)) (x✝ + y✝)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂

(r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)


(r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)


(r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ ⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩)


(r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁))


oreNum r₃ (sa * s₁) • (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) = oreNum r₃ (sa * s₁) • sa • r₁ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) + oreNum r₃ (sa * s₁) • ra • r₂ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(Measure.comap f (μ.restrict s)) t = ((Measure.comap f μ).restrict (f ⁻¹' s)) t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: K L : HomologicalComplex C₁ c

Context: φ : K ⟶ L

Context: F : C₁ ⥤ C₂

Context: inst✝⁶ : F.Additive

Context: inst✝⁵ : F.PreservesHomology

Context: inst✝⁴ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

QuasiIso ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) ↔ QuasiIso φ


Context:
n a b : ℕ
a1 : a ≠ 1
b1 : b ≠ 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ E
F₁' F₂' F₃' : D ⥤ E
h₁ : Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : Lifting L W F₂ F₂'
h₃ : Lifting L W F₃ F₃'
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
X : C

(liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' τ ≫ liftNatTrans L W F₂ F₃ F₂' F₃' τ').app (L.obj X) = (liftNatTrans L W F₁ F₃ F₁' F₃' (τ ≫ τ')).app (L.obj X)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
f : R →+* S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r✝ : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ↑r < p.radius

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: hab : [a, b] <+ l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E

a * c ∈ closedBall (b * c) r ↔ a ∈ closedBall b r


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T


Context: α : Type u


Context:
α : Type u
h✝ : Finite α


Context:
α : Type u
h✝ : Infinite α


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: i : n

Context: this : Nonempty n

Context: n' : ℕ

Context: hn' : Fintype.card n = n'.succ

Context: x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)

Context: e : n ≃ Fin n'.succ

Context: A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: i : n

Context: this : Nonempty n

Context: n' : ℕ

Context: hn' : Fintype.card n = n'.succ

Context: x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)

Context: e : n ≃ Fin n'.succ

A'.det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: i : n

Context: this : Nonempty n

Context: n' : ℕ

Context: hn' : Fintype.card n = n'.succ

Context: x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)

Context: e : n ≃ Fin n'.succ

∑ j : Fin n'.succ, (-1) ^ (↑(e i) + ↑j) * A' (e i) j * (A'.submatrix (e i).succAbove j.succAbove).det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)

Context: h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l

Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 (a * 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: this : ∀ᶠ (y : ℝ) in l, y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: y : ℝ

Context: hy : y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u

Context: L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (1 - 0))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

∀ a ∈ Ioi 0, μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Context: s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)) = Subalgebra.toSubmodule ⊤


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

∀ (y : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)), s y ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)))


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Context: x✝¹ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)

Context: x✝ : x ∈ Finset.univ


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Context: x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)

(map (algebraMap F K) (∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x))).IsRoot (s x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: h : Normal F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Context: x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)

∏ x_1 : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), (aeval (s x)) (minpoly F (s x_1)) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e✝ e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: a : α

Context: hf : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f) _auto✝

Context: h : a < f.limsSup


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: a : α

Context: h : ¬∃ᶠ (n : α) in f, a < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: a : α

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in f, x ≤ a


Context:
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord

Context: a : Ordinal.{max u v}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: hω : ℵ₀ < c.ord.cof


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l

σ.cycleType = ↑(List.map (Finset.card ∘ support) l)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
l : List (Perm α)
h0 : l.prod = σ
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
hl : l.Nodup


Multiset.map (Finset.card ∘ support) l.toFinset.val = ↑(List.map (Finset.card ∘ support) l)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x

Context: i : Fin (n + 1)

HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x)) BoxAdditiveMap.volume)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: fI : ℝ → Box (Fin n) → E := fun y J => integral J GP (fun x => f (i.insertNth y x)) BoxAdditiveMap.volume


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: fb : ↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I.face i)] E := fun x => ⋯.toBoxAdditive


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[↑I] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯

HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1)) BoxAdditiveMap.volume (F I)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

∀ (J : Box (Fin (n + 1))), 0 ≤ ?refine_1 J


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (GP.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((BoxAdditiveMap.volume J) ((f' x) (Pi.single i 1))) (F J) ≤ ε


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (GP.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((BoxAdditiveMap.volume J) ((f' x) (Pi.single i 1))) (F J) ≤ ε * ?refine_1 J


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • f x + b • f y + (a • g x + b • g y) = a • (f x + g x) + b • (f y + g y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α
m : WithBot (WithTop ℕ)
hm✝ : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ m
hm : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ ⊥
this : Inhabited α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α

Context: m✝ : WithBot (WithTop ℕ)

Context: hm✝ : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ m✝

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ (i : LTSeries α), ↑i.length ≤ some (some m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α

Context: m✝ : WithBot (WithTop ℕ)

Context: m : ℕ

some (some m) < ↑(LTSeries.withLength α (m + 1)).length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : InfiniteDimensionalOrder α

Context: m✝ : WithBot (WithTop ℕ)

Context: m : ℕ

m < ↑(LTSeries.withLength α (m + 1)).length


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι

vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i0 -ᵥ p i)


Submodule.span k (range ((fun x => p i0 -ᵥ x) ∘ p)) = Submodule.span k (range fun i => p i0 -ᵥ p i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
h : IsEllSequence W
x : R
m n r : ℤ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
μ : F
hI : I.Countable
s : ι → Set α
this : Countable ↑I

μ (⋃ i ∈ I, s i) ≤ ∑' (i : ↑I), μ (s ↑i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
hm : m ∈ s


∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → m ∈ N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set EReal

(∃ i, True ∧ Iio ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Iio ↑y ⊆ s


Context:
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u
u : Core α
x : α


∀ (a : α), ∀ i ∈ u.uniformity, a ∈ Prod.mk a ⁻¹' id i


∀ (a : α), ∀ i ∈ u.uniformity, ∀ᶠ (x : α) in comap (Prod.mk a) u.uniformity, Prod.mk a ⁻¹' id i ∈ comap (Prod.mk x) u.uniformity


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ x : α

Context: ht : IsAntichain r t

Context: h : maximals r s ⊆ t

Context: hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ maximals r s, r b a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ maximals r s

Context: hr : r b a


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝¹ t✝ u : Multiset α
a✝ b : α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t : Multiset α), s ∩ t ≤ t
t : Multiset α
h : a ∈ t


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X

(NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X = (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) ≫ (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X ≫ (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).hom = (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex))) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : InjectiveResolution X

Context: β : (injectiveResolution X).cocomplex ⟶ P.cocomplex

Context: hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map β = P.iso.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : InjectiveResolution X

(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : InjectiveResolution X

(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app ((injectiveResolutions C).obj X).as ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app (injectiveResolution X).cocomplex ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map β)


Context:
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
s : Set (β₁ × β₂)

s ∈ (map m₁ f₁).coprod (map m₂ f₂) → s ∈ map (Prod.map m₁ m₂) (f₁.coprod f₂)


((∃ t₁, m₁ ⁻¹' t₁ ∈ f₁ ∧ Prod.fst ⁻¹' t₁ ⊆ s) ∧ ∃ t₂, m₂ ⁻¹' t₂ ∈ f₂ ∧ Prod.snd ⁻¹' t₂ ⊆ s) → (∃ t₁ ∈ f₁, Prod.fst ⁻¹' t₁ ⊆ Prod.map m₁ m₂ ⁻¹' s) ∧ ∃ t₂ ∈ f₂, Prod.snd ⁻¹' t₂ ⊆ Prod.map m₁ m₂ ⁻¹' s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

S₁.rightHomologyIso.hom ≫ homologyMap φ = rightHomologyMap φ ≫ S₂.rightHomologyIso.hom


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree

d₁ + d₂ ≤ d₃ ↔ d₁ ≤ d₃ ∧ d₂ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ

of p✝ + d₂ ≤ d₃ ↔ of p✝ ≤ d₃ ∧ d₂ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ

of p✝¹ + of p✝ ≤ d₃ ↔ of p✝¹ ≤ d₃ ∧ of p✝ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ

of p✝² + of p✝¹ ≤ of p✝ ↔ of p✝² ≤ of p✝ ∧ of p✝¹ ≤ of p✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
h₁ : ∀ (i : ι), b ≤ f i
h₂ : ∀ (w : α), b < w → ∃ i, f i < w


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

HasFDerivAtFilter Φ Φ' x L ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivAtFilter (fun x => Φ x i) ((proj i).comp Φ') x L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

((fun x' => Φ x' - Φ x - Φ' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔ ∀ (i : ι), (fun x' => Φ x' i - Φ x i - ((proj i).comp Φ') (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
x : E
x✝ : E × E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (b / c) (a / c)


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f✝ f : R[X]

(Polynomial.map (of f) f).IsRoot (root f)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x

∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: this : HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Ici x) x) (Ici x) x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: this : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[≥] x, ‖f x_1 - f x - (x_1 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: m : ℝ

Context: xm : m ∈ Ioi x

Context: hm : Ico x m ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f x_2 - f x - (x_2 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ ε / 2 * ‖x_2 - x‖) x_1}


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: m : ℝ

Context: xm : m ∈ Ioi x

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 (m - x)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: this✝ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[≥] x, ‖f x_1 - f x - (x_1 - x) • derivWithin f (Ici x) x‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖

Context: m : ℝ

Context: xm : m ∈ Ioi x

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 (m - x)

Context: this : r ∈ Ioc (r / 2) r


Context:
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d


Context:
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d
this : ↑n % ↑d = ↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋


Context:
n d : ℕ
n_coprime_d : n.Coprime d
this✝ : ↑n % ↑d = ↑n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
this : d.Coprime n


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K

a ≠ b → Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)


¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K) → a = b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K

Context: h : ¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b x✝ : ℝ≥0

nndist a b ≤ x✝ ↔ max (a - b) (b - a) ≤ x✝


nndist a b ≤ x✝ ↔ a ≤ x✝ + b ∧ b ≤ x✝ + a


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Norm F
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

(fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) =O[𝓝 1] fun x => 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

I ≤ J⁻¹ ↔ J ≤ I⁻¹


Context: n✝ n : ℕ

Fintype.card (Composition n) = 2 ^ (n - 1)


Context: n✝ n : ℕ

Fintype.card (Composition n) = Fintype.card (CompositionAsSet n)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Iic a)) (𝓟 (Ici a⁻¹))


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C

(F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ (F.map A.counit ≫ F.η) ▷ F.obj A.X = (λ_ (F.obj A.X)).inv


(F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.counit ≫ F.η) = (ρ_ (F.obj A.X)).inv


(F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) = (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ▷ F.obj A.X ≫ (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.hom ≫ F.map Y✝.counit ≫ F.η = F.map X✝.counit ≫ F.η


F.map f.hom ≫ F.map Y✝.comul ≫ F.δ Y✝.X Y✝.X = (F.map X✝.comul ≫ F.δ X✝.X X✝.X) ≫ (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl : 1 < l

Context: h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl : 1 < l

Context: key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl : 1 < l

Context: key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 1 < r

Context: hr₁ : r < l


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl : 1 < l

Context: key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 1 < r

Context: hr₁ : r < l

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r * ‖f n‖ ≤ ‖f (n + 1)‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: l : ℝ

Context: hl : 1 < l

Context: key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 1 < r

Context: hr₁ : r < l

Context: a✝¹ : ℕ

Context: a✝ : r ≤ ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖

Context: h₁ : ‖f a✝¹‖ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m

Context: a : α

Unbounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Unbounded r s


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

x ∈ LinearMap.ker (dZero A) ↔ x ∈ A.ρ.invariants


(∀ (a : G), (dZero A) x a = 0 a) ↔ ∀ (g : G), (A.ρ g) x - x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : MulZeroClass α
P Q : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b : α

((if P then a else 0) * if Q then b else 0) = if P ∧ Q then a * b else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ 0) s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
n : ℕ

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ (n + 1)) s x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring

(f.toAlgHom.toLinearMap - g.toAlgHom.toLinearMap) x ∈ Submodule.restrictScalars R P'.ker


Context:
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

IsOpenMap f ↔ ∀ (b : β), IsOpenMap fun x => f (x, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

(∀ (y : β) (x : α), 𝓝 (f (x, y)) ≤ map (f ∘ fun a => (a, y)) (𝓝 x)) ↔ ∀ (b : β) (x : α), 𝓝 (f (x, b)) ≤ map (fun x => f (x, b)) (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K

(starRingEnd K) (r • z) = r • (starRingEnd K) z


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0


↑(q.num * r.den + q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₁


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ⊤ ≫ (Spec (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))).presheaf.map ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).obj ((Opens.map U.ι.val.base).obj U)) = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1

∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t - if 1 - a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

Context: hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

(fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

Context: this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
a : α

r (f a) (f (Directed.sequence f hf (encode a + 1)))


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
x : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e


∑ i : Option I, i.elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1


none.elim (1 - ∑ i : I, e i) e + ∑ i : I, (some i).elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof

∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
a : α
ha : θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥

ramificationIdx f p P = Multiset.count P (factors (map f p))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0


↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
hμ_top : ¬μ Set.univ = ⊤


↑‖c‖₊ < ⊤ ∧ μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ∨ μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) = 0 ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
n m m' : ℕ
h : m ^^^ n = m' ^^^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
i : ℕ
w : i < l.length
h : optParam (0 < l.length) ⋯


Context: x✝ y✝ z x y : ℝ


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : x < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s

IsOpen s ↔ IsCompact (some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsOpen (some ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f

HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ


∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ↑‖∫ (y : β), ‖f (a, y)‖ ∂ν‖₊ ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

Context: this : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a_1 : β), ↑‖f (a, a_1)‖₊ ∂ν).toReal ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

Context: this✝ : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖

Context: this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a b : α
h : inl b < inl a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : α
b : β
h : inr b < inl a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a : β
b : α
h : inl b < inr a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMinOrder (α ⊕ β)
a b : β
h : inr b < inr a


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F G : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
inst✝ : HasLimit G
c : Cone F
α : F ⟶ G
j✝ : J

(lift F c ≫ limMap α) ≫ π G j✝ = lift G ((Cones.postcompose α).obj c) ≫ π G j✝


c.π.app j✝ ≫ α.app j✝ = ((Cones.postcompose α).obj c).π.app j✝


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : ¬Integrable I l f vol

integral I l (-f) vol = -integral I l f vol


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set α
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s

(v.filterAt x).HasBasis p fun i => {t | t ∈ v.setsAt x ∧ t ⊆ s i}


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
P : ProjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

(HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex).homologyι 0 ≫ P.fromLeftDerivedZero' F


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₁ : HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map (𝟙 X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₂ : (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₁ : HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) 0).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj ((projectiveResolutions C).obj X).as).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F = (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (lift (𝟙 X) P (projectiveResolution X))) 0 ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (projectiveResolution X).complex).homologyι 0 ≫ (projectiveResolution X).fromLeftDerivedZero' F


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α

AEDisjoint μ (s ∪ t) u ↔ AEDisjoint μ s u ∧ AEDisjoint μ t u


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a✝ : Nontrivial M₀


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → δ < ⊤ → levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ + ↑ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: a✝ : δ < ⊤

Context: ε_top : ¬↑ε = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: a✝ : δ < ⊤

Context: ε_top : ¬↑ε = ⊤

δ + ↑ε ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: a✝ : δ < ⊤

Context: ε_top : ¬↑ε = ⊤

Context: B : Set Ω

Context: B_mble : MeasurableSet B

μ B ≤ ν (thickening (δ + ↑ε).toReal B) + (δ + ↑ε) ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ↑ε).toReal B) + (δ + ↑ε)


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
x y z : α


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ t
v w : V

(fromEdgeSet s).Adj v w → (fromEdgeSet t).Adj v w


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
m : α → β
h : Injective m
s : Set α
hs : s ∈ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: U V : Opens M

Context: h : U ≤ V

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: U V : Opens M

Context: h : U ≤ V

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U

∀ (y : H), ContDiffWithinAtProp I I n id univ y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: U V : Opens M

Context: h : U ≤ V

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U

Context: y : H


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: U V : Opens M

Context: h : U ≤ V

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U

Context: y : H

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (univ ∩ range ↑I) (↑I y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: U V : Opens M

Context: h : U ≤ V

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U

Context: y : H

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I y)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R

CharP (R ⧸ I) n ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ RingHom.ker (Nat.castRingHom R)


(∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0) ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) ⊥


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source

P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P f s x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source

Context: h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source

Context: this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e.symm.symm) (↑e.symm.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e.symm (↑e x))


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source

Context: this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source


Context: x y : ℂ

cexp x = cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))

Context: hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))

∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[l] fun z => expR (B * expR (c * |u z|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

Context: hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

(f - g) =O[l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * expR (max cf cg * |u z|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized

(l.rotateR x r).size = l.size + r.size + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : (i : α) → Matrix (m' i) (m' i) R
i : α
i' : m' i
j : α
j' : m' j
h : ⟨j, j'⟩.fst < ⟨i, i'⟩.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
inst✝ : SigmaFinite μb


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
s : Multiset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
l : List α

countP p (filter (fun a => ¬q a) (Quot.mk Setoid.r l)) = List.countP (fun x => decide (p x)) (List.filter (fun a => !decide (q a)) l)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
h : ⁅x + y, x⁆ + ⁅x + y, y⁆ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: f : G →g G'

Context: f' : G' →g G''

Context: u✝ v✝ u' v' : V

Context: p✝ : G.Walk u✝ v✝

Context: u v : V

Context: p : G.Walk u v

Context: H : SimpleGraph V

Context: w : V

Context: q : G.Walk v w

Context: hpq : ∀ e ∈ (p.append q).edges, e ∈ H.edgeSet

(p.append q).transfer H hpq = (p.transfer H ⋯).append (q.transfer H ⋯)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
s : ↥M


Context:
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)

HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1


Context:
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π


Context:
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0


Context:
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1


Context: f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)

Context: g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)

Context: aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π

Context: aux2 : ↑√π ≠ 0

Context: hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1

Context: hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1


Context: f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)

Context: g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)

Context: aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π

Context: aux2 : ↑√π ≠ 0

Context: hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1


Context:
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat

mkRat n₁ d₁ * mkRat n₂ d₂ = mkRat (n₁ * n₂) (d₁ * d₂)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
e₁ : Sym2 V
h₁ : e₁ ∈ G.edgeSet
e₂ : Sym2 V
h₂ : e₂ ∈ G.edgeSet

⟨Sym2.map (⇑f) e₁, ⋯⟩ = ⟨Sym2.map (⇑f) e₂, ⋯⟩ → ⟨e₁, h₁⟩ = ⟨e₂, h₂⟩


Sym2.map (⇑f) e₁ = Sym2.map (⇑f) e₂ → e₁ = e₂


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n✝ n : ℕ
ih : ⊤ ^ n = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
p : R
r : X
s : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
p✝ p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x : α
hx : x ∈ Finset.filter p f.support

single x ((filter p f) x) = single x (f x)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b

0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (support f ∩ Ioc a b)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a < b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hba : b ≤ a


Context: S : Set Ordinal.{u}


Context: S : Set Ordinal.{u}

sInf (S ∩ {b | ∀ c < 0, enumOrd S c < b}) = sInf S


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E


Context: ι : Sort u_1

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f k + g k ≤ f i + g j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent (t ∘ f)
hf : Surjective f
i' : ι'

Disjoint (t (f i')) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ f i'), t j)


Disjoint (t (f i')) (⨆ x, ⨆ (_ : f x ≠ f i'), t (f x))


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : IsEmpty n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : Nonempty n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : Nonempty n

Context: i : n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : Nonempty n

Context: i j k : n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : Nonempty n

Context: i j : n


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n α

Context: h✝ : Nonempty n

Context: i j k : n

Context: hkl : j ≠ k