Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p
q : ℕ
h : CharP R q


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

cyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).leftHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).leftHomologyData ≫ cyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.leftHomologyData.map F) = cyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.leftHomologyData.map F) ≫ F.map (cyclesMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : ℕ

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

Context: hf : Irreducible ((expand R (p ^ Nat.zero)) f)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : ℕ

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : R[X]

Context: n✝ n : ℕ

Context: ih : Irreducible ((expand R (p ^ n)) f) → Irreducible f

Context: hf : Irreducible ((expand R (p ^ n.succ)) f)

Irreducible ((expand R p) ((expand R (p ^ n)) f))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : ℕ

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : R[X]

Context: n✝ n : ℕ

Context: hf : Irreducible ((expand R (p * p ^ n)) f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε


(ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 * eLpNorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 < ⊤


(ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α

⨆ x ∈ s ∪ t, f x = (⨆ x ∈ s, f x) ⊔ ⨆ x ∈ t, f x


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q

ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q


Context:
n✝ n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ∣ n
k : ℕ

k ∈ filter (fun x => x ∣ m) n.divisors ↔ k ∈ m.divisors


Context:
n✝ n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ∣ n
k : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: this : Nonempty (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) := Basis.index_nonempty (Module.Free.chooseBasis R M)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: a✝ : Nontrivial R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

HasEigenvector (↑T) (↑(⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hx₀' : 0 < ‖x₀‖

Context: hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hx₀' : 0 < ‖x₀‖

Context: hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖

IsMaxOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)

Disjoint (s.pi t₁) (s.pi t₂) ↔ ∃ i ∈ s, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Y
g₁ g₂ : X ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPushout f₁ g₁
inst✝ : HasPushout f₂ g₂

(congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 Y) (𝟙 Z) (𝟙 X) ⋯ ⋯


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹² : Field F
inst✝¹¹ : Field K₁
inst✝¹⁰ : Field K₂
inst✝⁹ : Field K₃
inst✝⁸ : Algebra F K₁
inst✝⁷ : Algebra F K₂
inst✝⁶ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : Algebra K₁ E
inst✝² : Algebra K₂ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₁ E
inst✝ : IsScalarTower F K₂ E
h : Normal F E
x y : E

minpoly F x = minpoly F y ↔ x ∈ MulAction.orbit (E ≃ₐ[F] E) y


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹² : Field F
inst✝¹¹ : Field K₁
inst✝¹⁰ : Field K₂
inst✝⁹ : Field K₃
inst✝⁸ : Algebra F K₁
inst✝⁷ : Algebra F K₂
inst✝⁶ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : Algebra K₁ E
inst✝² : Algebra K₂ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₁ E
inst✝ : IsScalarTower F K₂ E
h : Normal F E
x y : E
he : minpoly F x = minpoly F y


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹² : Field F
inst✝¹¹ : Field K₁
inst✝¹⁰ : Field K₂
inst✝⁹ : Field K₃
inst✝⁸ : Algebra F K₁
inst✝⁷ : Algebra F K₂
inst✝⁶ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : Algebra K₁ E
inst✝² : Algebra K₂ E
inst✝¹ : IsScalarTower F K₁ E
inst✝ : IsScalarTower F K₂ E
h : Normal F E
x y : E
he : minpoly F x = minpoly F y
φ : E →ₐ[F] E
hφ : φ y = x


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑f
g : Y ⟶ S


⇑(pullback.snd f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g))) ∘ ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯)


⇑(pullback.snd f g) = ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g)).hom)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F R S
hr : IsNilpotent r
f : F


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃

(g.comp f).range = AddSubgroup.map g.toAddMonoidHom f.range


(g.comp f).range = (g.toAddMonoidHom.comp f.toAddMonoidHom).range


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
hn : r < 0


Context:
r : ℝ
hp : 0 < r


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a : α i


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]

RatFunc.mk p 1 = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p }


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

((∡ p₂ p₁ s.center).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : Sphere P

Context: p₁ p₂ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : p₁ ≠ p₂

Context: r : ℝ

Context: hr : r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : Sphere P

Context: p₁ p₂ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : p₁ ≠ p₂

Context: r : ℝ

((o.oangle (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) + (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁))).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : Sphere P

Context: p₁ p₂ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : p₁ ≠ p₂

Context: r : ℝ

((o.oangle (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) (2 • (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)) + (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁))).tan / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = r • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : Sphere P

Context: p₁ p₂ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : p₁ ≠ p₂

Context: r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
f₁ : α → β
g₁ : γ → δ
f₂ : β → α
g₂ : δ → γ
hf : LeftInverse f₁ f₂
hg : LeftInverse g₁ g₂
a : β × δ


Context:
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0

fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun k x)) n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)


Context:
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0

1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - (↑1 - ↑0) * fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)


Context:
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0

1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)


Context:
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0

1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (↑(if k = 1 then 1 else 0) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))

Context: e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm

Context: M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)

Context: N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom

volume (fundamentalDomain (latticeBasis K)) = 2⁻¹ ^ NrComplexPlaces K * ↑(sqrt ‖discr K‖₊)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

M.map ⇑ofReal = matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: i✝ j✝ : index K

((mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)).map (⇑ofReal) i✝ j✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: i✝ j✝ : index K

(matrixToStdBasis K *ᵥ (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) (e j✝)) ∘ ⇑(indexEquiv K)) i✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a

ContinuousOn (dslope f a) s ↔ ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a


ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a → ContinuousOn (dslope f a) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
hc : ContinuousOn f s
hd : DifferentiableAt 𝕜 f a
x : 𝕜
hx : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
b : 𝕜
s : Set 𝕜
hc : ContinuousOn f s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
h : s ∈ 𝓝 x
hd : DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
hc : ContinuousOn f s
hd : DifferentiableAt 𝕜 f a
x : 𝕜
hx : x ∈ s
hne : x ≠ a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)


I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.snd a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.sndFrom a)) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : ExactPairing X Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α


sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s t : Set G
ht : IsSubgroup t
h : s ⊆ t
a : G
ha : a ∈ closure s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: f : α → α

Context: x y : α

Context: hy : Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y)

Context: hf : ContinuousAt f y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: f : α → α

Context: x y : α

Context: hf : ContinuousAt f y

Tendsto (fun n => f^[n + 1] x) atTop (𝓝 (f y))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: f : α → α

Context: x y : α

Context: hf : ContinuousAt f y

Tendsto (fun n => (f ∘ f^[n]) x) atTop (𝓝 (f y))


Context:
k m n : Nat
H : k.Coprime m


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝⁴ : CommMonoid β

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ℕ → α

Context: h : Monotone f

Context: n : ℕ

∑ i ∈ range n, (f (i + 1) - f i) = f n - f 0


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝⁴ : CommMonoid β

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: f : ℕ → α

Context: h : Monotone f

Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι₂) → s (e.symm i)

((map f ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) m = ((↑(reindex R t e).symm ∘ₗ map fun i => f (e.symm i)).compMultilinearMap (tprod R)) m


(reindex R t e) (((map f ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) m) = (reindex R t e) (((↑(reindex R t e).symm ∘ₗ map fun i => f (e.symm i)).compMultilinearMap (tprod R)) m)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M

∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 (Gamma s))


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 s.GammaIntegral)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)

Context: f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))

Context: f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

(fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) = fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f n a


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ‖f n a‖ ≤ rexp (-a) * a ^ (s.re - 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε : ε ≤ 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
x y : α
b : β y


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
a : S
x : M

(fun x => Q x) (a • x) = (a * a) • (fun x => Q x) x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : Algebra S R

Context: inst✝¹ : IsScalarTower S R M

Context: inst✝ : IsScalarTower S R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: B : BilinMap R M N

Context: h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y

Context: x y : M

(fun x => Q x) (x + y) = (fun x => Q x) x + (fun x => Q x) y + ((LinearMap.restrictScalars₁₂ S S B) x) y


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α

List.oldMapIdxCore f 0 (l ++ [e]) = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]


List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f (0 + l.length) [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]


List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f l.length [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (x / ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)

(comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : IsEmpty ((j : ι) → α j)


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : Nonempty ((j : ι) → α j)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝

((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).Exact


∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology

(S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = S.iCycles ≫ S.pOpcycles


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: ι₁ : Type u_4

Context: ι₂ : Type u_5

Context: β₁ : ι₁ → Type u_1

Context: β₂ : ι₂ → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝³ : DecidableEq ι₂

Context: inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ

Context: f₁ : (i : ι₁) → β₁ i

Context: support'✝¹ : Trunc { s // ∀ (i : ι₁), i ∈ s ∨ f₁ i = 0 }

Context: s₁ : Multiset ι₁

Context: h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0

Context: f₂ : (i : ι₂) → β₂ i

Context: support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι₂), i ∈ s ∨ f₂ i = 0 }

Context: s₂ : Multiset ι₂

Context: h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0

(sumAddHom fun i₂ => (sumAddHom fun i₁ => h i₁ i₂) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ } = (sumAddHom fun i₁ => (sumAddHom fun i₂ => (h i₁ i₂).flip) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ }) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: ι₁ : Type u_4

Context: ι₂ : Type u_5

Context: β₁ : ι₁ → Type u_1

Context: β₂ : ι₂ → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝³ : DecidableEq ι₂

Context: inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: f₁ : (i : ι₁) → β₁ i

Context: s₁ : Multiset ι₁

Context: h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0

Context: f₂ : (i : ι₂) → β₂ i

Context: s₂ : Multiset ι₂

Context: h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0

∑ x ∈ s₂.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₁.toFinset, ((h x_1 x) (f₁ x_1)) (f₂ x) = ∑ x ∈ s₁.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₂.toFinset, ((h x x_1) (f₁ x)) (f₂ x_1)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕂
inst✝⁶ : Ring 𝔸
inst✝⁵ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝³ : TopologicalRing 𝔸
inst✝² : T2Space 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X

PathConnectedSpace X ↔ ∃ x, pathComponent x = univ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
h : f ⁻¹' e.source = univ


ContinuousOn f univ ↔ ContinuousOn (↑e ∘ f) univ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hg : LipschitzWith c g✝
g0 : g✝ 0 = 0
f g : ↥(Lp E p μ)

dist (hg.compLp g0 f) (hg.compLp g0 g) ≤ ↑c * dist f g


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

(ofNat' (n + 1)).toZNum = (ofNat' n).toZNum + 1


Context: α : Type u_1

(ofNat' 0).toZNum = (ofNat' (0 + 1)).toZNumNeg + 1


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

(ofNat' (n + 1)).toZNumNeg = (ofNat' (n + 1 + 1)).toZNumNeg + 1


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η

Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)

Context: inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)

Context: inst✝ : Finite η

Context: val✝ : Fintype η

Context: B : (i : η) → Basis (ChooseBasisIndex R (φ i)) R (φ i) := fun i => chooseBasis R (φ i)

Context: b : Basis ((j : η) × ChooseBasisIndex R (φ j)) R ((i : η) → φ i) := Pi.basis fun i => B i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (deriv g x) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : range i ∈ f

Tendsto (m ∘ i) (comap i f) g ↔ Tendsto m f g


(map m ∘ map i) (comap i f) ≤ g ↔ Tendsto m f g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ t s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤


c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0


μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ¬μ s = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

StrictMonoOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ StrictMonoOn f s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R

(quotQuotEquivComm I J).symm = quotQuotEquivComm J I


(((quotQuotEquivQuotSup I J).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup J I).symm).symm = ((quotQuotEquivQuotSup J I).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup I J).symm


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E

∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: c : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => -x

Context: this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂Measure.map (fun x => -x) volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: c : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => -x

Context: this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective f.toFun
a b : LocallyConstant Y Z
h : comap f a = comap f b
y : Y
x : X
hx : f.toFun x = y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Option α × Perm α
x : Option α
σ : Perm α

(fun σ => (σ none, removeNone σ)) ((fun i => swap none i.1 * optionCongr i.2) (x, σ)) = (x, σ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x✝ : Option α × Perm α

Context: x : Option α

Context: σ : Perm α

Context: this : removeNone (swap none x * optionCongr σ) = σ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: M' : Submodule R S

Context: hM : M' ≤ M

Context: hFG : Module.Finite R ↥M'

Context: h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: M' : Submodule R S

Context: hM : M' ≤ M

Context: hFG : M'.FG


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: M' : Submodule R S

Context: hM : M' ≤ M

Context: hFG : M'.FG

Context: x' : ↥M' ⊗[R] ↥N

Context: hx' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = x

Context: y' : ↥M' ⊗[R] ↥N

Context: hy' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y' = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc : ChainClosure r c


Context:
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
a b : α
na : ℕ
na' : α
p : IsNat ((↑n - 1) * a) na
pa : ↑na = na'


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝¹ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

nndist ((x ⊓ y) i) ((x ⊔ y) i) = nndist (x i) (y i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α

swap a b ∈ MulAction.stabilizer (Perm α) S ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)


(∀ (x : α), x ∈ (swap a b)⁻¹ • S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)


(∀ (x : α), (if x = a then b else if x = b then a else x) ∈ S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
a : α
l : List α

(a :: l).inits = (map reverse (a :: l).reverse.tails).reverse


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: T : E →ₗ.[𝕜] F

Context: S : F →ₗ.[𝕜] E

Context: hT : Dense ↑T.domain

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: y : F

Context: w : E

Context: hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: T : E →ₗ.[𝕜] F

Context: S : F →ₗ.[𝕜] E

Context: hT : Dense ↑T.domain

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: y : F

Context: w : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: T : E →ₗ.[𝕜] F

Context: S : F →ₗ.[𝕜] E

Context: hT : Dense ↑T.domain

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: y : F

Context: w : E

Context: this : Continuous ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)

⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun) = ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
hm : MeasurableSet t
h_fin : μ t ≠ ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.kahler (o.rightAngleRotation x)) (o.rightAngleRotation y) = (o.kahler x) y


Complex.I * (-Complex.I * (o.kahler x) y) = (o.kahler x) y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝¹ : α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝¹ : α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: a b : α

Context: ab : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝¹ : α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: a b : α

Context: ba : b ≤ a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F G : Filter X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g : C(α, β)
f : C(β, γ)
g₁ g₂ : C(α, β)
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : F
h : W.Nonsingular ![X, Y, 1]

toAffine W ![X, Y, 1] = Affine.Point.some ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

StrictAnti (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictAnti f


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q


(∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (p⁻¹ * q⁻¹ * q)


(∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ p⁻¹


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α


ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α

supported M R (⋃ i, s i) = ⨆ i, supported M R (s i)


supported M R (⋃ i, s i) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

Context: this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

LinearMap.range ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

⊤ ≤ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

Context: l : α →₀ M

l ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

Context: l : α →₀ M

0 ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: δ : Type u_7

Context: s : δ → Set α

Context: l : α →₀ M

∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → f ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i)) → single a b + f ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α

(∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length) ↔ ¬G.IsAcyclic


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic
w✝¹ : α
w✝ : G.Walk w✝¹ w✝¹
h✝ : w✝.IsCycle ∧ G.egirth = ↑w✝.length


Context: this : ∀ (a : ℤ) (n : ℕ), |a / ↑n| ≤ |a|

Context: a b : ℤ

Context: n : ℕ


Context: a b : ℤ

Context: n : ℕ


Context:
a : ℤ
n : ℕ


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 ≤ z.re


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : 0 ≤ z.im


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im < 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(W.baseChange B).preΨ₄ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).preΨ₄


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure

∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∫ (a : α) in p.support, f a ∂p.toMeasure


∫ (a : α) in p.support, f a ∂p.toMeasure = ∑' (a : ↑p.support), (p.toMeasure {↑a}).toReal • f ↑a


Integrable f (p.toMeasure.restrict p.support)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : PMF α
f : α → E
hf : Integrable f p.toMeasure
x : ↑p.support


Context: n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝¹ : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: L✝ : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ

Context: α : A ⟶ yoneda ⋙ L✝

Context: L : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ

Context: e : A ≅ yoneda ⋙ L

Context: inst✝ : PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: L✝ : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ

Context: α : A ⟶ yoneda ⋙ L✝

Context: L : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ ℰ

Context: e : A ≅ yoneda ⋙ L

IsIso e.hom ∧ Nonempty (PreservesColimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, v₁, max u₁ (v₁ + 1), u₂} L)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E

separableClosure F E ≤ L ↔ IsPurelyInseparable (↥L) E


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
L : IntermediateField F E
h : separableClosure F E ≤ L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : separableClosure F E ≤ L

Context: this : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : separableClosure F E ≤ L

Context: this✝¹ : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E

Context: this✝ : Algebra ↥(separableClosure F E) ↥L := (inclusion h).toAlgebra

Context: this : SMul ↥(separableClosure F E) ↥L := Algebra.toSMul


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : separableClosure F E ≤ L

Context: this✝² : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E

Context: this✝¹ : Algebra ↥(separableClosure F E) ↥L := (inclusion h).toAlgebra

Context: this✝ : SMul ↥(separableClosure F E) ↥L := Algebra.toSMul

Context: this : IsScalarTower (↥(separableClosure F E)) (↥L) E


Context:
p a b : ℕ
hpa : p ∈ a.primeFactorsList
hb : b ≠ 0


Context:
p b : ℕ
hb : b ≠ 0
hpa : p ∈ primeFactorsList 0


Context:
p a b : ℕ
hpa : p ∈ a.primeFactorsList
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E

MeasurePreserving (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ) (μ.toSphere.prod (volumeIoiPow (dim E - 1)))


μ.toSphere.prod (volumeIoiPow (dim E - 1)) = map (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)

(map (⇑(homeomorphUnitSphereProd E)) (comap Subtype.val μ)) (s ×ˢ Iio r) = μ.toSphere s * (volumeIoiPow (dim E - 1)) (Iio r)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
s : Set ↑(sphere 0 1)
hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}
r : ↑(Ioi 0)
this : Ioo 0 ↑r = ↑r • Ioo 0 1
hpos : 0 < dim E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

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Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this : v \ u = v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝ : v \ u = v

Context: this : x ∉ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝ : v \ u = v

Context: this : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝ : v \ u = v

Context: this : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜) ∧ ¬∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝ : v \ u = v

Context: this : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

¬∃ a ∉ (s ∪ v) \ u, insert a ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝¹ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝ : v \ u = v

Context: this : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝¹ : v \ u = v

Context: this✝ : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'

Context: this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝¹ : v \ u = v

Context: this✝ : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'

Context: this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)

Context: hwu : w ∉ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝¹ : v \ u = v

Context: this✝ : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'

Context: this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)

Context: hwu : w ∉ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝² : v \ u = v

Context: this✝¹ : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'

Context: this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)

Context: hwu : w ∉ u

Context: this : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u) \ v ∈ 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: u✝ v✝ a : Finset α

Context: r : ℕ

Context: u v : Finset α

Context: 𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'

Context: hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜

Context: m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜

Context: x : α

Context: left✝ : x ∉ s

Context: right✝ : insert x s ∈ 𝒜'

Context: hus✝ : u ⊆ insert x s

Context: hvs : Disjoint v (insert x s)

Context: this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜

Context: hsv : Disjoint s v

Context: hvu : Disjoint v u

Context: hxv : x ∉ v

Context: this✝² : v \ u = v

Context: this✝¹ : x ∉ u

Context: hus : u ⊆ s

Context: w : α

Context: hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u

Context: hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'

Context: this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)

Context: hwu : w ∉ u

insert w s = (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u) \ v


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ


((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: a b n : ℤ

Context: this : IsIso (((shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b).inv.app K).f n)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: a b n : ℤ

𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) (a + b)).obj K).X n) = (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
t : S
a b : lib R X
h : Rel R X a b


Context: this : ⇑sqrt = fun x => x ^ (1 / 2)


Context: this : ⇑sqrt = fun x => x ^ (1 / 2)

StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ (1 / 2)


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
pf : Partrec' f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M✝ : Type u_2

Context: M'✝ : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M✝

Context: inst✝⁸ : Module R M'✝

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝

Context: g : M✝ →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Semiring M

Context: inst✝³ : Semiring M'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Algebra R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: m₁ m₂ : M

Context: s₁ s₂ : ↥S

mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂) = mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M✝ : Type u_2

Context: M'✝ : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M✝

Context: inst✝⁸ : Module R M'✝

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝

Context: g : M✝ →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Semiring M

Context: inst✝³ : Semiring M'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Algebra R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: m₁ m₂ : M

Context: s₁ s₂ : ↥S

f (m₁ * m₂, s₁ * s₂).1 = ↑(m₁ * m₂, s₁ * s₂).2 • (mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M✝ : Type u_2

Context: M'✝ : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M✝

Context: inst✝⁸ : Module R M'✝

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝

Context: g : M✝ →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Semiring M

Context: inst✝³ : Semiring M'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Algebra R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: m₁ m₂ : M

Context: s₁ s₂ : ↥S

f (m₁ • m₂) = (↑s₁ • ↑s₂) • mk' f m₁ s₁ • mk' f m₂ s₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M✝ : Type u_2

Context: M'✝ : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M✝

Context: inst✝⁸ : Module R M'✝

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝

Context: g : M✝ →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Semiring M

Context: inst✝³ : Semiring M'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Algebra R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: m₁ m₂ : M

Context: s₁ s₂ : ↥S

f (m₁ • m₂) = mk' f (↑s₁ • m₁) s₁ • mk' f (↑s₂ • m₂) s₂


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W


cs.lengthParity (w * t) ≠ cs.lengthParity w


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w✝ w : W
i : B

cs.lengthParity (w✝ * (w * cs.simple i * w⁻¹)) ≠ cs.lengthParity w✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
E : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike E α β
inst✝ : OrderIsoClass E α β
e : E


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f✝ f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N

((uncurry R M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n


(((LinearMap.lflip ∘ₗ LinearMap.id.flip) m) n) f = (f m) n


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0


(n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (2 * n * m).natAbs = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : F

((innerSL ℝ).flip v) w = ((innerSL ℝ) v) w


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M

LiftPropAt P f x ↔ ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hy : y = f x


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike K
z : K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
n : ℕ
x : E

‖n • x‖ = n • ‖x‖


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℕ


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u}

#(ULift.{u, 0} ℕ ⊕ α) ^ c ≤ max #α ℵ₀ ^ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioc x y) = Ioc ↑x ↑y


Context:
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

(F.prod H).map f ≫ (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝, snd✝) = (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝¹, snd✝¹) ≫ (G.prod I).map f


(F.map f.1 ≫ α.app fst✝, H.map f.2 ≫ β.app snd✝) = (α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1, β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2)


F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1 ∧ H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2


F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1


H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node4R x m y r).dual = r.dual.node4L y m.dual x l.dual


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
a : ↑A


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
a : ↑A
this : f a ∈ {b | h b = g b}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
x✝¹ : Ideal S
x✝ : x✝¹ ≠ ⊤
s : S
r : R
hr : f r = s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: l : List M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x

Context: n : N

((foldl Q f hf) n) (List.map (⇑(ι Q)) l).prod = List.foldl (fun m n => (f n) m) n l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, o = succ a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M

MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

(N₁Γ₀.hom.app K).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n


((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]

Splits i f ↔ f = 0 ∨ ∀ {g : L[X]}, Irreducible g → g ∣ map i f → g.degree = 1


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
b : α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
hs : x ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hs : a ∈ s ↔ x ∈ s


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hxb : x ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ : ι → Type u_5

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: 𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))

Context: h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖

Context: h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)

Context: h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)

Context: ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)

Context: this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)

uniformSpace α β 𝔖 = ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ : ι → Type u_5

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: 𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))

Context: i : ι

uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: δ : ι → Type u_5

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: 𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))

Context: S : Set α

Context: hS : S ∈ 𝔖

⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i)) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
r : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

x ∈ ↑(basicOpen 𝒜 r) ↔ x ∈ (zeroLocus 𝒜 {r})ᶜ


x ∈ ↑(basicOpen 𝒜 r) ↔ r ∉ ↑x.asHomogeneousIdeal


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α


↑(l.toFinset ⊔ l.tail.toFinset) ≤ ↑l.toFinset


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

Bijective f ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)


((∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)) ∧ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)) ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), z i < y i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε

Context: hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i

Context: w : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hw : w ∈ univ.pi fun b => Ioo (y b - δ) (y b + δ)


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J × K ⥤ C

Context: inst✝³ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : Small.{v, u₁} J

Context: inst✝ : Small.{v, u₂} K

Context: F : J × K ⥤ Type v

Context: j : J

Context: k : K

Context: f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k

limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j (limit.lift (curry.obj F ⋙ colim) { pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f)) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J × K ⥤ C

Context: inst✝³ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : Small.{v, u₁} J

Context: inst✝ : Small.{v, u₂} K

Context: F : J × K ⥤ Type v

Context: j : J

Context: k : K

{ pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } }.π.app j (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J × K ⥤ C

Context: inst✝³ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : Small.{v, u₁} J

Context: inst✝ : Small.{v, u₂} K

Context: F : J × K ⥤ Type v

Context: j : J

Context: k : K

colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J × K ⥤ C

Context: inst✝³ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : Small.{v, u₁} J

Context: inst✝ : Small.{v, u₂} K

Context: F : J × K ⥤ Type v

Context: j : J

Context: k : K

{ pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }.ι.app k f = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : InfSet β
f : ι → α × β


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : β
p : Fin n → β


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharZero R
u : Rˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s✝ : Set F
L : Filter F
frechet : F →L[𝕜] 𝕜
s : Set F

HasFDerivWithinAt f frechet s x ↔ HasGradientWithinAt f ((toDual 𝕜 F).symm frechet) s x


Context: x : ℝ

Tendsto (fun y => Icc x y) (𝓝[>] x) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x)


Context: x : ℝ

∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[>] x, Icc x i ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x


Context: x : ℝ

∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[>] x, Icc x i ⊆ Metric.closedBall x ε


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.185407, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂

(liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (snd φ).v p₂ p₂ ⋯ = β.v p₁ p₂ h₁₂


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
this : Invertible 1

(fromBlocks 1 B C D).det = (D - C * B).det


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α


∀ (x y : α × Closeds α), infEdist x.1 ↑x.2 ≤ infEdist y.1 ↑y.2 + 2 * edist x y


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s✝ : Set α
x : α
s : Closeds α
y : α
t : Closeds α

infEdist (x, s).1 ↑(x, s).2 ≤ infEdist (y, t).1 ↑(y, t).2 + 2 * edist (x, s) (y, t)


Context:
z : ℤ
h : 0 ≤ z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation

Context: x y : E

(o.areaForm x) y = ((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: x y : E

(o.areaForm x) y = (o.areaForm (f.symm (f x))) (f.symm (f y))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r

arccos (⟪x, r • y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • y‖)) = arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : _root_.Continuous f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : _root_.Continuous f
h : Monotone f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : _root_.Continuous f
h : Monotone f
c : Chain (Scott α)
z : Scott β

{ toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: hf✝ : _root_.Continuous f

Context: h : Monotone f

Context: c : Chain (Scott α)

Context: z : Scott β

Context: hf : Monotone fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z

Context: hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: hf✝ : _root_.Continuous f

Context: h : Monotone f

Context: c : Chain (Scott α)

Context: z : Scott β

Context: hf' : { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf } (ωSup c) = ωSup (c.map { toFun := fun x => x ∈ f ⁻¹' notBelow z, monotone' := hf })


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: hf✝ : _root_.Continuous f

Context: h : Monotone f

Context: c : Chain (Scott α)

Context: z : Scott β

Context: hf' : (¬f (ωSup c) ≤ z) = ωSup (c.map { toFun := fun x => ¬f x ≤ z, monotone' := ⋯ })


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: hf✝ : _root_.Continuous f

Context: h : Monotone f

Context: c : Chain (Scott α)

Context: z : Scott β

¬{ toFun := f, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ¬ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := h }) ≤ z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: hf✝ : _root_.Continuous f

Context: h : Monotone f

Context: c : Chain (Scott α)

Context: z : Scott β

(∃ a, (∃ y, ¬f (c y) ≤ z ↔ a) ∧ a) ↔ ∃ x, ¬f (c x) ≤ z


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
s : Set A
hs : s.Finite ∧ Algebra.adjoin R s = S


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : S.FG
hT : T.FG
s : Set A
hs : s.Finite ∧ Algebra.adjoin R s = S
t : Set B
ht : t.Finite ∧ Algebra.adjoin R t = T


((Algebra.adjoin R s).prod (Algebra.adjoin R t)).FG


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

(eval P) W.polynomialX = W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))