Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : ∀ x ∈ t, ¬a ≤ x


Context: r x : ℝ

ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then r ^ 1 / Gamma 1 * x ^ (1 - 1) * rexp (-(r * x)) else 0) = ENNReal.ofReal (if 0 ≤ x then r * rexp (-(r * x)) else 0)


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => x + t) f f

Context: t : τ

ω f ϕ.toFun s = ω f ϕ.toFun (ϕ.toFun (-t) '' (ϕ.toFun t '' s))


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hx : x₁ = x₂


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W✝ : Affine R

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : y₁ ^ 2 + W.a₁ * x₁ * y₁ + W.a₃ * y₁ = x₁ ^ 3 + W.a₂ * x₁ ^ 2 + W.a₄ * x₁ + W.a₆

Context: h₂ : y₂ ^ 2 + W.a₁ * x₂ * y₂ + W.a₃ * y₂ = x₂ ^ 3 + W.a₂ * x₂ ^ 2 + W.a₄ * x₂ + W.a₆

Context: hx : x₁ = x₂


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W✝ : Affine R

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: hx : x₁ = x₂


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v w : V

Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ G.degree w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t : Set E

Context: h : s ⊆ t

Context: y : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Context: ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᶠ[ae μ] ↑(c • toSimpleFunc f)


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

AffineTargetMorphismProperty.StableUnderBaseChange fun X x x_1 x => IsAffine X


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: this : ∀ (P : MorphismProperty Scheme) {Q : outParam AffineTargetMorphismProperty} [self : HasAffineProperty P Q], AffineTargetMorphismProperty.IsLocal Q := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), IsAffine Y → IsAffine (Limits.pullback f g)


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
h : IsAffine Y


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
h : Y ∈ Scheme.Spec.essImage


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K

Context: Z✝ : C

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: x✝ : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ✝.val) T✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: hF : {c : C} → {d : D} → (d ⟶ F.obj c) → (c' : C) × (F.obj c' ≅ d)

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (F.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ F.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ F.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: he : f₁ ≫ F.map g₁ = f₂ ≫ F.map g₂

Context: X' : C

Context: e : F.obj X' ≅ X

ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K

Context: Z✝ : C

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (F.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ F.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ F.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: he : f₁ ≫ F.map g₁ = f₂ ≫ F.map g₂

Context: X' : C

Context: e : F.obj X' ≅ X

(ℱ.val.mapIso e.op).toEquiv (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)) = (ℱ.val.mapIso e.op).toEquiv (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K

Context: Z✝ : C

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (F.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ F.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ F.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: he : f₁ ≫ F.map g₁ = f₂ ≫ F.map g₂

Context: X' : C

Context: e : F.obj X' ≅ X

ℱ.val.map (f₁.op ≫ e.hom.op) (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map (f₂.op ≫ e.hom.op) (x g₂ hg₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
hx : ¬p x


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℤ
x : G


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C

IsCodetector G ↔ (yoneda.obj G).ReflectsIsomorphisms


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCodetector G
A✝ B✝ : Cᵒᵖ
f : A✝ ⟶ B✝
hf : IsIso ((yoneda.obj G).map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
h : (yoneda.obj G).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', f ≫ h' = h


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M

[].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M

xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M

(x :: xs).prod * (y :: ys).prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) (x :: xs) (y :: ys)).prod * (drop (y :: ys).length (x :: xs)).prod * (drop (x :: xs).length (y :: ys)).prod


x * xs.prod * (y * ys.prod) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


x * (y * ((zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod)) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α

Codisjoint a (b ⊓ c) ↔ Codisjoint a b ∧ Codisjoint a c


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup

(a :: l).toFinset.prod f = (map f (a :: l)).prod


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl✝ : (a :: l).Nodup
not_mem : a ∉ l
hl : l.Nodup


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T
g : Y' ⟶ f.left
g' : Y'' ⟶ Y'

(f.homMk' (g' ≫ g)).left = (eqToHom ⋯ ≫ (mk (S.map g ≫ f.hom)).homMk' g' ≫ f.homMk' g).left


Context:
x : ZFSet
h : x.Nonempty
x✝ : ZFSet

x✝ ∈ (⋂₀ x).toSet ↔ x✝ ∈ ⋂₀ (toSet '' x.toSet)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

(∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u

∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: j : Fin2 n

Context: y : (P F).B a j


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: j : Fin2 n

Context: y : (P F).B a j

∀ (a : (P F).A) (f_1 : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f_1⟩ = x → f j y ∈ f_1 j '' univ


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: j : Fin2 n

Context: y : (P F).B a j

Context: a' : (P F).A

Context: f' : (P F).B a' ⟹ α

Context: xeq' : abs ⟨a', f'⟩ = x


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι

(filter (fun x => x ≠ i) f) j = (erase i f) j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
x : R
i✝ j✝ : n

(toMatrix v₁ v₁) (DistribMulAction.toLinearMap R M₁ x) i✝ j✝ = Matrix.diagonal (fun x_1 => x) i✝ j✝


Context: z : ℂ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: x : M

Context: hI : (Submodule.span R {x}).annihilator.IsPrime

⊤.annihilator ≤ (Submodule.span R {x}).annihilator


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2

Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : HasAntidiagonal A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: f g : A → α

Context: inst✝¹ : T3Space α

Context: inst✝ : TopologicalSemiring α

Context: h : Summable fun x => f (↑x.snd).1 * g (↑x.snd).2


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : HasAntidiagonal A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: f g : A → α

Context: inst✝¹ : T3Space α

Context: inst✝ : TopologicalSemiring α

Summable fun x => ∑' (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t✝.Finite
t : Finset α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)

(s.face ⋯).points i✝ = (mkOfPoint k (s.points i)).points i✝


s.points (({i}.orderEmbOfFin ⋯) i✝) = s.points i


Context: u v m n : ℤ


Context:
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < 1
H : 0 < 1 - (1 + x + x ^ 2) * (1 - x)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v}

Context: hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < (lsub f).cof

Context: hf : ∀ (i : ι), f i < lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
hg : Memℒp (↑g) p μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
Z : C
g h : Z ⟶ X
x✝ : g ≫ f = h ≫ f


Context:
A₁ : Type u_1
A₂ : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup A₁
inst✝¹ : AddCommGroup A₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ A₂
f : A₁ →+ A₂
n : ℕ
g : A₁
hg : n • g ∈ f.ker


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f ≈ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E

IntegrableAtFilter f (map e l) (Measure.map e μ) ↔ IntegrableAtFilter (f ∘ e) l μ


(∃ s ∈ map e l, IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ) ↔ ∃ s ∈ l, IntegrableOn (f ∘ e) s μ


Context: m n : ℕ


Context: m n : ℕ

m.gcd n = 1 ↔ ∀ ⦃d : ℕ⦄, d ∣ m.gcd n → d ∣ 1


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(∏ i ∈ s, f i).natDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).natDegree


Context:
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝


∀ (a b : Unitization ℂ A), IsSelfAdjoint b → star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : CstarRing A

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝ : IsScalarTower ℂ A A

Context: a✝ b✝ : A

Context: hb✝ : autoParam (IsSelfAdjoint b✝) _auto✝

Context: a b : Unitization ℂ A

Context: hb : IsSelfAdjoint b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : R
hx : x ≠ 0


↑(ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {x})).factors))) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
f : Bool → Measure α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : IsOpen s₂

ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (deriv f₂) s₂


DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ s₂) s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (deriv f₂) s₂


Context:
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι✝ → Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
ι : Type u_4
α : Type u_5
β : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (β i)
inst✝ : Preorder α
f : α → (i : ι) → β i

Antitone f ↔ ∀ (i : ι), Antitone fun x => f x i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂

(toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₂ v₃) f * (toMatrix v₁ v₂) g


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ
this : -2 * (↑n + 1) ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 l)


(fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: u : ℕ → E

Context: l : E

Context: h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

Context: this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: u : ℕ → E

Context: l : E

Context: h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

(fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, (u i - l)) =ᶠ[atTop] fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: u : ℕ → E

Context: l : E

Context: h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

(fun x => (↑x)⁻¹ • ↑x) =ᶠ[atTop] fun _x => 1


Context: u : ℤˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
b : β


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : Chain' R (l₁ ++ l₂)
h₂ : Chain' R (l₂ ++ l₃)
hn : l₂ ≠ []

∀ (x : α), x ∈ (l₁ ++ l₂).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₃.head? → R x y


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

Context: α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

(Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : ¬a * x ∣ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : IsUnit x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)

(iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.snd f g) = pullback.snd (G.map f) (G.map g)


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: inst✝ : Valued K Γ₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : Valued K Γ₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : Valued K Γ₀

Context: x : K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : Valued K Γ₀

Context: x : K

Context: h : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x✝ y✝ : R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p : R

Context: hp : Prime p

Context: x y : R

Context: hxy : p ∣ x - y

Context: hx : ¬p ∣ x

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬p ∣ ↑n

multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: m n : PosNum

n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt


Context: m n : PosNum

(m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt


Context:
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m

Summable ({n | ↑n = k}.indicator f) ↔ Summable f


Context:
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)


Summable (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f)


Context:
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
x✝ : ℕ

(∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f) x✝ = ∑ i : ZMod m, {n | ↑n = i}.indicator f x✝


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R

(matPolyEquiv.symm M).map (eval r) = eval ((scalar n) r) M


(aeval r).mapMatrix.comp ↑matPolyEquiv.symm = eval₂AlgHom' (AlgHom.id R (Matrix n n R)) ((scalar n) r) ⋯


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

s ○ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ○ t₁ ∩ s ○ t₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝¹ : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a✝ b✝ a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝¹ : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a✝ b✝ a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G

Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass (G ⧸ center G) + 1


Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass G - 1 + 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ✝ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁✝ : S₁.HomologyData

Context: h₂✝ : S₂.HomologyData

Context: A : C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: inst✝¹ : S₁.HasHomology

Context: inst✝ : S₂.HasHomology

Context: h₁ : IsIso (cyclesMap φ)

Context: h₂ : Epi φ.τ₁

Context: h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X

∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : (M ↾ X).Base I'
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : M.Basis I' X
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J


Context: p q✝ q : ℚ≥0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1

finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) ≤ n


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

sinh x * cosh (2 * x) + cosh x * sinh (2 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

Context: h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

sinh x * (sinh x ^ 2 + 1 + sinh x ^ 2) + 2 * sinh x * (sinh x ^ 2 + 1) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ r


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s

liminf (fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] s


limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ

(compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ = (preimage f)^[x✝] sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
n : α

n ∈ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ ↔ n ∈ (preimage f)^[x✝] sᶜ


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J

(H.map (post F G) ≫ post (F ⋙ G) H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝ = post F (G ⋙ H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝


H.map (G.map (π F j✝)) = (G ⋙ H).map (π F j✝)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : (p * q).Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.leadingCoeff = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

‖f m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C

(HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)


Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory C c)


Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).Localization


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: m : ℕ

((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)


a = 0 ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∧ b ≤ a ↔ a = 0 ∧ b = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i

Context: Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F

Context: Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

Context: Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

Context: Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

Context: Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f

Context: gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF

Context: tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

Context: htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

Context: hstu : MapsTo fu s tu

Context: Ffu : isoF (fu x) = f x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: P : R[X]

Context: hmo : P.Monic

Context: hP : (Polynomial.aeval s) P = 0

Context: Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree

Context: hs : IsIntegral R s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: P : R[X]

Context: hmo : P.Monic

Context: hP : (Polynomial.aeval s) P = 0

Context: hs : IsIntegral R s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: P : R[X]

Context: hmo : P.Monic

Context: hP : (Polynomial.aeval s) P = 0

Context: hs : IsIntegral R s

Context: hnz : ¬minpoly R s - P = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: P : R[X]

Context: hmo : P.Monic

Context: hP : (Polynomial.aeval s) P = 0

Context: hs : IsIntegral R s

Context: hnz : ¬minpoly R s - P = 0

(minpoly R s - P).degree < (minpoly R s).degree


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: P : R[X]

Context: hmo : P.Monic

Context: hP : (Polynomial.aeval s) P = 0

Context: hs : IsIntegral R s

Context: hnz : ¬minpoly R s - P = 0

(minpoly R s).leadingCoeff = P.leadingCoeff


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : a • b < 0
hb : 0 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: f : α → α → α

Context: a b : α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: hf : f = HSub.hSub

Context: ra : IsRat a na da

Context: rb : IsRat b nb db

Context: h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc

Context: h₂ : da.mul db = k.mul dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: f : α → α → α

Context: a b : α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: hf : f = HSub.hSub

Context: ra : IsRat a na da

Context: rb : IsRat b nb db

Context: h₂ : da.mul db = k.mul dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: f : α → α → α

Context: a b : α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: hf : f = HSub.hSub

Context: ra : IsRat a na da

Context: rb : IsRat b nb db

Context: h₂ : da.mul db = k.mul dc

(na.mul ↑db).add ((-nb).mul ↑da) = (↑k).mul nc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: f : α → α → α

Context: a b : α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: hf : f = HSub.hSub

Context: ra : IsRat a na da

Context: rb : IsRat b nb db

Context: h₂ : da.mul db = k.mul dc

(na.mul ↑db).add (-(nb * ↑da)) = (↑k).mul nc


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ

HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in y + ↑n..y + ↑n + 1, f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)


HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)


HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ) in ⋃ n, Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

𝓝ˢ (s ×ˢ t) = 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ t


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α

Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x

HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x

HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') univ x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x => x * x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
h : weightedTotalDegree w φ < n

(weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
v : Fin n → M''
i j : Fin n
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

Matrix.vecCons m v i.succ = Matrix.vecCons m v j.succ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ


(1 / if n = 0 then (↑u).coeff 0 else 0) = if n = 0 then (↑u⁻¹).coeff 0 else 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
u : α
hu : a < u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}

Context: hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: q : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hqs : q ∈ S

Context: hpq : p ≤ q

Context: hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: q : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hqs : q ∈ S

Context: hpq : p ≤ q

Context: hq : q.domain ≠ ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: q : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hqs : q ∈ S

Context: hpq : p ≤ q

Context: hq : q.domain ≠ ⊤

Context: hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: q : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hqs : q ∈ S

Context: hpq : p ≤ q

Context: hq : q.domain ≠ ⊤

Context: hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: r : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hqr : q < r

Context: hr : ∀ (x : ↥r.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑r x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.52987, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(F.shift n₀).map T.mor₁ ≫ (F.shift n₀).map T.mor₂ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s
c : α
hc : b < c


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S

(unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s


Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range (NonUnitalSubalgebraClass.subtype s)) = Algebra.adjoin R ↑s


Algebra.adjoin R {x | x ∈ s} = Algebra.adjoin R ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ ν : Kernel α β
hν : IsFiniteKernel ν
hκν : κ ≤ ν


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i : Fin n

Context: y : α i.succ

Context: z : α 0

Context: P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v

Context: h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (cons x₀ x)

Context: x₀ : α 0

Context: x : (i : Fin n) → α i.succ


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i : Fin n

Context: y : α i.succ

Context: z : α 0

Context: P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v

Context: x₀ : α 0

Context: x : (i : Fin n) → α i.succ

h (cons x₀ x 0) (tail (cons x₀ x)) = h x₀ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ

dist (∑ i ∈ Finset.range n, f i) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) ≤ C * r ^ n


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
n : ℕ

rootMultiplicity a p ≤ n ↔ ¬(X - C a) ^ (n + 1) ∣ p


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ


(x ^ Int.negSucc n) ⤳ (y ^ Int.negSucc n)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F

HasFDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₁)


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : IsProj m f
x : ↥m


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = if n ≤ m then (coeff R (m - n)) φ * a else 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t

↑(Sum.inl ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

P.map g₁.op (x f₁ h₁) = P.map g₂.op (x f₂ h₂)


P.map (g₂ ≫ f₂).op t = P.map g₂.op (P.map f₂.op t)


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: hx : x ≤ 1

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x : M

Context: hx : x ≤ 1

Context: n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)


Context:
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: r : ℝ≥0

Context: h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ

((mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (triangle (mappingConeCompTriangle f g).mor₁).mor₃).f n = (mappingConeCompTriangle f g).mor₃.f n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α


(∃ L, x = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l) ↔ ∃ i S, x = S.join ∧ S.length = i ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico (max a c) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: I✝ : C

Context: Fm : I✝ ⟶ Y

Context: m_mono✝¹ : Mono Fm

Context: e✝¹ : X ⟶ I✝

Context: Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f

Context: Fm' : I✝ ⟶ Y

Context: m_mono✝ : Mono Fm'

Context: e✝ : X ⟶ I✝

Context: Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f

Context: hm : (mk I✝ Fm e✝¹ Ffac).m = eqToHom ⋯ ≫ (mk I✝ Fm' e✝ Ffac').m


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasProduct f


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasProduct f
val✝ : Fintype J


Context:
d : ℤ
a : ℤ√d


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
this : ↑x.snd < count x.fst m


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π i
inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f g : (i : ι) → π i

(univ.erase i).piecewise f g = update f i (g i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: S✝ : WSeq (WSeq α)

Context: T✝ : WSeq (WSeq β)

Context: h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝

Context: s1 : WSeq α

Context: s2 : WSeq β

Context: x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: h1 : s1 = s.append S.join

Context: h2 : s2 = t.append T.join

Context: st : LiftRel R s t

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.append S.join).destruct (t.append T.join).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: S✝ : WSeq (WSeq α)

Context: T✝ : WSeq (WSeq β)

Context: h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝

Context: s1 : WSeq α

Context: s2 : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: h1 : s1 = s.append S.join

Context: h2 : s2 = t.append T.join

Context: st : LiftRel R s t

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.destruct.bind (destruct_append.aux S.join)) (t.destruct.bind (destruct_append.aux T.join))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: S✝ : WSeq (WSeq α)

Context: T✝ : WSeq (WSeq β)

Context: h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝

Context: s1 : WSeq α

Context: s2 : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: h1 : s1 = s.append S.join

Context: h2 : s2 = t.append T.join

Context: st : LiftRel R s t

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (destruct_append.aux S.join a) (destruct_append.aux T.join b)


Context:
q✝ a b c q : ℚ
h : q.isInt = true


Context:
q✝ a b c q : ℚ
h : q.den = 1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝²⁹ : Semiring R
inst✝²⁸ : Semiring R₂
inst✝²⁷ : Semiring R₃
inst✝²⁶ : Semiring S
inst✝²⁵ : Semiring S₃
M : Type u_6
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²¹ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁹ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹³ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace N₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R N₃
inst✝⁹ : Module S₃ M₃
inst✝⁸ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝⁷ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝⁶ : Module S N₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R S N₂
inst✝³ : Module S N₃
inst✝² : SMulCommClass R S N₃
inst✝¹ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
c : S
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f✝ g✝ : M →SL[σ₁₂] M₂
x y z : M
f g : M × N₂ →L[R] N₃

f = g ↔ f.comp (inl R M N₂) = g.comp (inl R M N₂) ∧ f.comp (inr R M N₂) = g.comp (inr R M N₂)


↑f ∘ₗ LinearMap.inl R M N₂ = ↑g ∘ₗ LinearMap.inl R M N₂ ∧ ↑f ∘ₗ LinearMap.inr R M N₂ = ↑g ∘ₗ LinearMap.inr R M N₂ ↔ ↑(f.comp (inl R M N₂)) = ↑(g.comp (inl R M N₂)) ∧ ↑(f.comp (inr R M N₂)) = ↑(g.comp (inr R M N₂))


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕂

Context: htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasStrictDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (x * exp 𝕂 (t • x)) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
X : Type u_3
hX : 5 ≤ Cardinal.mk X
h : IsSolvable (Perm X)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
X : Type u_3
hX : 5 ≤ Cardinal.mk X
h : IsSolvable (Perm X)
key : Nonempty (Fin 5 ↪ X)


Context: a b : Rat

a + b = mkRat (a.num * ↑b.den + b.num * ↑a.den) (a.den * b.den)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y✝ z x y : V
hx : x ≠ 0

LinearIndependent K ![x, y] ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y


(∀ (s t : K), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0) ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Star R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : StarAddMonoid A
r : R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
hS : IsClosed ↑S
m : M
h : ‖(mk' S) m‖ = 0


Context:
ε : Type u_1
p : ε → Prop
inst✝ : DecidablePred p
ep ep' : Perm { a // p a }
en en' : Perm { a // ¬p a }
a : ε
h : p a


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M


∀ (m : M), (Dual.eval R M) m = 0 → m = 0


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
m : M
hm : (Dual.eval R M) m = 0


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
m : M
hm : ∀ (x : Dual R M), x m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial α
f : α → β
hf : Injective f
y : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial α
f : α → β
hf : Injective f
y : β
x₁ x₂ : α
hx : x₁ ≠ x₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : LinearIndependent R m
hn : LinearIndependent R n

LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)

Context: hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)

Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm

Context: i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.total ι (↥N) R n)

Context: i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total κ (↥M) R m)

Context: i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2

Context: h : Function.Injective ⇑i


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2

Context: h : Function.Injective ⇑i

Context: this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y✝ ε x y : α
h : x < y
n : ℕ
nh : (y - x)⁻¹ < ↑n


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x✝ y✝ ε x y : α

Context: h : x < y

Context: n : ℕ

Context: nh : (y - x)⁻¹ < ↑n

Context: z : ℤ

Context: zh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x✝ y✝ ε x y : α

Context: h : x < y

Context: n : ℕ

Context: nh : (y - x)⁻¹ < ↑n

Context: z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x✝ y✝ ε x y : α

Context: h : x < y

Context: n : ℕ

Context: nh : (y - x)⁻¹ < ↑n

Context: z : ℤ

Context: n0' : 0 < ↑n


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: x✝ y✝ ε x y : α

Context: h : x < y

Context: n : ℕ

Context: nh : (y - x)⁻¹ < ↑n

Context: z : ℤ

Context: n0' : 0 < ↑n

Context: n0 : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞
t : Set β

∫⁻ (b : β) in t, g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂η a


(∫⁻ (b : β) in t, g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β) in t, g b ∂η a


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
hb : b < c


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c
ha : a < c
hc : ℵ₀ ≤ c
hb : b < c
this : a + b < c


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : ℕ → Subgroup G
hH : IsAscendingCentralSeries H
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ H (n + 1)


∀ (y : G), x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ upperCentralSeries G n


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

(∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball x i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, edist x y < ε


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'

(f + g).rank ≤ Module.rank K ↥(range f ⊔ range g)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
c : 𝕜


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

Integrable (fun x => (pdf X ℙ μ x).toReal • f x) μ ↔ Integrable (fun x => f (X x)) ℙ


Integrable f (map X ℙ) ↔ Integrable f (μ.withDensity ((map X ℙ).rnDeriv μ))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I X : Set α
hIX : M.Basis I X


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι k V
v : V


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b✝ : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : AffineBasis ι k V

Context: v : V

Context: hb : ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) v) = v


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a

↑‖k‖₊ ≤ ↑‖a‖₊


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : MulZeroClass α
a✝ b✝ : WithTop α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α
ha : a < ⊤
hb : b < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : MulZeroClass α
a✝ b✝ : WithTop α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
c : R

c ∈ p.coeffs ↔ ∃ n ∈ p.support, c = p.coeff n


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
j✝ : J

((rightDistributor f X ⊗ asIso (𝟙 Y)) ≪≫ rightDistributor (fun j => f j ⊗ X) Y).hom ≫ biproduct.π (fun j => (f j ⊗ X) ⊗ Y) j✝ = (α_ (⨁ f) X Y ≪≫ rightDistributor f (X ⊗ Y) ≪≫ biproduct.mapIso fun j => (α_ (f j) X Y).symm).hom ≫ biproduct.π (fun j => (f j ⊗ X) ⊗ Y) j✝


∑ x : J, (biproduct.π f x ▷ X ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ ▷ Y = (α_ (⨁ f) X Y).hom ≫ biproduct.π f j✝ ▷ (X ⊗ Y) ≫ (α_ (f j✝) X Y).inv


∑ x : J, ((biproduct.π f x ⊗ 𝟙 X) ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ ⊗ 𝟙 Y) = (α_ (⨁ f) X Y).hom ≫ (biproduct.π f j✝ ⊗ 𝟙 (X ⊗ Y)) ≫ (α_ (f j✝) X Y).inv


(∑ x : J, if h : x = j✝ then (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 X) ≫ eqToHom ⋯ ⊗ 𝟙 Y else (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 X) ≫ 0 ⊗ 𝟙 Y) = (α_ (⨁ f) X Y).hom ≫ (biproduct.π f j✝ ⊗ 𝟙 (X ⊗ Y)) ≫ (α_ (f j✝) X Y).inv


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → F) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}

Context: h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g

Context: f : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → F) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}

Context: f : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf

Context: hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → F) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}

Context: f : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → F) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}

Context: f : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf

∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), (fun f => P ↑↑f) ↑(Lp.simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → F) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}

Context: f : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf

∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf) → (fun f => P ↑↑f) (toLp g hg) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf + toLp g hg)


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
h : Fintype.card α ∣ i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
m : ℕ
hm : i = Fintype.card α * m


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : 0 < (a ^ n).x


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : (a ^ n').x < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: x : β

Context: f✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → β

sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae μ), n ≤ a} = sInf {a | μ {x | a < f x} = 0}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Iio a = Ioi (a / c)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0

IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] volume


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≠ 0

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≠ 0

IntegrableOn ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) ((fun x => x * c⁻¹) ⁻¹' [[a / c, b / c]]) volume


Context:
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup P
inst✝ : OrderBot P
x : P
I J K : Ideal P
S : Set (Ideal P)


Context: x : ℝ*


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : ℝ
f : ℕ → ℝ≥0

HasSum (fun i => ↑(f i)) r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop (𝓝 r)


(∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)) ↔ ∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ Finset.range a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

↑(toCircle (n • ↑x)) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: x✝ x y : 𝓞 K

Context: hy : x - 1 = λ * y

Context: this : x ^ 3 - 1 = λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: x✝ x y : 𝓞 K

Context: hy : x - 1 = λ * y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t✝ u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: t : Finset β

Context: i : (a : α) → a ∈ s → β

Context: j : (a : β) → a ∈ t → α

Context: hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s

Context: left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a

Context: right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t✝ u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: t : Finset β

Context: i : (a : α) → a ∈ s → β

Context: j : (a : β) → a ∈ t → α

Context: hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s

Context: a1 : α

Context: h1 : a1 ∈ s

Context: a2 : α

Context: h2 : a2 ∈ s

Context: eq : i a1 h1 = i a2 h2


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

(α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom