Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: this : rootSpace H (-((n + chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥


Context:
R : Type u_1
n : ℤ


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i j : ℕ
w : ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel i j


¬(ComplexShape.up ℕ).Rel (i + 1) (j + 1)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : LindelofSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c

(a + b) / c = a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c

(a + b) % c + a % c + b % c + c * ((a + b) / c) = (a + b) % c + a % c + b % c + c * (a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0)


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c

a + (b + (a % c + b % c)) = (a + b + if c ≤ a % c + b % c then c * 1 else c * 0) + (a + b) % c


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c

a + (b + ((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0)) = (a + b + if c ≤ a % c + b % c then c * 1 else c * 0) + (a + b) % c


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : 0 < c

a + (b + ((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0)) = (a + b + if c ≤ a % c + b % c then c else 0) + (a + b) % c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
n m : ℕ

↑n ≤ s.chainHeight + ↑m ↔ ∃ l ∈ s.subchain, n ≤ l.length + m


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

MDifferentiableAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


ContinuousAt f x ∧ DifferentiableAt 𝕜 f x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.4974
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι

MeasurableSpace.comap (Function.eval i) (m i) ≤ MeasurableSpace.generateFrom ((fun t => {i}.pi t) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})


MeasurableSpace.comap (Function.eval i) (m i) ≤ MeasurableSpace.generateFrom ((fun a => Function.eval i ⁻¹' a i) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})


MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ s, MeasurableSet s ∧ Function.eval i ⁻¹' s = t} ≤ MeasurableSpace.generateFrom ((fun a => Function.eval i ⁻¹' a i) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s})


Context:
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.4974
α : ι → Type u_1
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
i : ι
S : Set ((x : ι) → α x)

S ∈ {t | ∃ s, MeasurableSet s ∧ Function.eval i ⁻¹' s = t} → S ∈ (fun a => Function.eval i ⁻¹' a i) '' univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}


∀ (x : Set (α i)), MeasurableSet x → Function.eval i ⁻¹' x = S → ∃ x, (∀ (i : ι), MeasurableSet (x i)) ∧ Function.eval i ⁻¹' x i = S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a i : M
l : List M
hil : (∀ x ∈ l, x = 1) → l.prod = 1
hl : ∀ x ∈ i :: l, x = 1


Context: S : Type u_1

Context: R R' : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝¹⁷ : Semiring R

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R'

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Algebra S R

Context: inst✝¹³ : Algebra S R'

Context: inst✝¹² : Module S M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S R M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁶ : Module R' M

Context: inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁴ : IsCentralScalar R' M

Context: inst✝³ : IsScalarTower S R' M

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : Algebra R' A

Context: f : R →ₐ[S] A

Context: g : M →ₗ[S] A

Context: hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0

Context: hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x

Context: hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r

Context: m : M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → E
a : α
hfm : StronglyMeasurable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) atBot atTop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h₁ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: p : ℝ

a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p ≤ ∑ i : α, a i * b i ^ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: p : ℝ

Context: i : α

Context: x✝ : i ∈ univ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h₁✝ : Tendsto (fun p => a (max_bi b) * b (max_bi b) ^ p) atBot atTop

Context: p : ℝ

Context: i : α

Context: x✝ : i ∈ univ

Context: h₁ : 0 < a i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: p : ℝ

Context: i : α

Context: x✝ : i ∈ univ

Context: h₁ : 0 < a i

Context: h₂ : 0 < b i


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S T
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : TopologicalGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group β
inst✝¹ : FunLike hom β α
inst✝ : MonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α

Tendsto (fun t => t.2 / t.1) (comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: hom : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : Group α

Context: inst✝⁴ : TopologicalGroup α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : FunLike hom β α

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom β α

Context: e : hom

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: x₀ : α

Context: comm : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun t => (e t.1, e t.2)) = ⇑e ∘ fun t => t.2 / t.1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: hom : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : Group α

Context: inst✝⁴ : TopologicalGroup α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : FunLike hom β α

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom β α

Context: e : hom

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: x₀ : α

Context: lim : Tendsto (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 (x₀, x₀)) (𝓝 (e 1))


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

(∏ μ ∈ primitiveRoots n R, (X - C μ)).roots = (primitiveRoots n R).val


∃ a, 0 < a ∧ ∀ (n : ℕ), a ≤ stirlingSeq (n + 1)


Context: c : ℝ

Context: h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))


Context: c : ℝ

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hf_eLpNorm : eLpNorm (↑f) p μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Memℒp (↑f) p μ

Context: y : E

Context: hy_ne : y ≠ 0

Context: hp_pos_real : 0 < p.toReal

Context: hf_eLpNorm : ∀ a ∈ f.range, ↑‖a‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Memℒp (↑f) p μ

Context: y : E

Context: hy_ne : y ≠ 0

Context: hp_pos_real : 0 < p.toReal

Context: hyf : y ∈ f.range

Context: hf_eLpNorm : ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Memℒp (↑f) p μ

Context: y : E

Context: hy_ne : y ≠ 0

Context: hp_pos_real : 0 < p.toReal

Context: hyf : y ∈ f.range

Context: hf_eLpNorm : ↑‖y‖₊ ^ p.toReal < ⊤ ∧ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤ ∨ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal = 0 ∨ μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
n : N

(finsuppScalarLeft R N ι).symm (Finsupp.single i n) = Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹

Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: this : DifferentiableOn ℂ f ({z | z ≠ c → DifferentiableAt ℂ f z} \ {c})


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: H : DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) {x | (fun x => x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x) x}


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ
x : α

(fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = (fun x => f (a • x)) x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a


∀ {a : α} {s : Multiset α}, a ∈ S → s ⊆ S → (map g1 s).prod ∣ (map g2 s).prod → (map g1 (insert a s)).prod ∣ (map g2 (insert a s)).prod


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
a : α
T : Multiset α
haS : a ∈ S
a✝ : T ⊆ S
IH : (map g1 T).prod ∣ (map g2 T).prod

(map g1 (insert a T)).prod ∣ (map g2 (insert a T)).prod


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f g : MonoidAlgebra R M

Context: ihf : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f

Context: ihg : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = g

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f + g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: r : R

Context: f : MonoidAlgebra R M

Context: ih : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = r • f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this : Nonempty ↑s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : SemilatticeSup α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h : Ici a ⊆ s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : SemilatticeSup α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h : Ici a ⊆ s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

(∀ (i : α), Ici i ∈ ⨅ i, 𝓟 (Subtype.val '' Ici i)) ∧ ∀ (i : ↑s), Subtype.val '' Ici i ∈ ⨅ a, 𝓟 (Ici a)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0


↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree


↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ?s).coeff p.natDegree * num A r ^ p.natDegree


∀ (j : ℕ), j ≠ p.natDegree → ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : ¬j < p.natDegree

↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: p : A[X]

Context: r : K

Context: hr : (aeval r) p = 0

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree

Context: h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: p : A[X]

Context: r : K

Context: hr : (aeval r) p = 0

Context: j : ℕ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R' →+* R

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'

lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' S')


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R' →+* R

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R'

Context: x✝ : S


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R' →+* R

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R'

Context: x✝ : S

Context: this : ((j.comp (algebraMap R S)).comp i) r = (algebraMap R' S') r


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R' →+* R

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R'

Context: x✝ : S

Context: this : j ((algebraMap R S) (i r)) = (algebraMap R' S') r


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0

(trinomial k m n u v w).trailingCoeff = u


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this : p.IsPrime

Context: f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this : p.IsPrime

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I

Context: this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I

map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p ∈ minimalPrimes (R ⧸ RingHom.ker f')


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I

(map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p).IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I

∀ ⦃b : Ideal (R ⧸ RingHom.ker f')⦄, b ∈ {p | p.IsPrime ∧ ⊥ ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : β

Context: A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : β

Context: h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : β

Context: h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep

Context: H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : β

Context: h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep

Context: H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep

Context: Rpos : 0 < p.R p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: x : β

Context: h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep

Context: H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep

Context: Rpos : 0 < p.R p.lastStep

Context: B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0

ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = volume


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)


ofReal |∏ i : ι, D i| * (Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume) (univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)


ofReal |∏ i : ι, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)


Measurable ⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: D : ι → ℝ

Context: h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0

Context: s : ι → Set ℝ

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: this : (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi fun i => s i) = univ.pi fun i => (fun x => D i * x) ⁻¹' s i

Context: B : ∀ (i : ι), ofReal |D i| * volume ((fun x => D i * x) ⁻¹' s i) = volume (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: D : ι → ℝ

Context: h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0

Context: s : ι → Set ℝ

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

∏ x : ι, ofReal |D x| * volume ((fun x_1 => D x * x_1) ⁻¹' s x) = ∏ x : ι, volume (s x)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f
x : α

(μ.withDensity fun x => ↑(f x)).FiniteAtFilter (nhds x)


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Continuous f

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: hμU : μ U < ⊤

Context: hUf : U ⊆ {x_1 | (fun a => f a ≤ f x + 1) x_1}

Context: hUx : U ∈ nhds x

Context: hUo : IsOpen U


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Continuous f

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: hμU : μ U < ⊤

Context: hUx : U ∈ nhds x

Context: hUo : IsOpen U


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : Finmap β
a₁ a₂ : AList β

insert a b (⟦a₁⟧ ∪ ⟦a₂⟧) = insert a b ⟦a₁⟧ ∪ ⟦a₂⟧


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂
key : ↑μ s₁ ≤ ↑μ s₂


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
s : Submonoid M
x : M

x ∈ ↑s * ↑s ↔ x ∈ ↑s


x ∈ ↑s * ↑s → x ∈ ↑s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
s : Submonoid M
a : M
ha : a ∈ ↑s
b : M
hb : b ∈ ↑s


Context: G : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝² : R1Space G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Set G

Context: h1U : IsOpen U

Context: h2U : U.Nonempty


Context: G : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝² : R1Space G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Set G

Context: h1U : IsOpen U

Context: h2U : U.Nonempty

μ.outerMeasure U = μ.innerContent { carrier := U, is_open' := h1U }


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
z₁ z₂ : S

mk' S x y + z₁ = z₂ ↔ (algebraMap R S) x + z₁ * (algebraMap R S) ↑y = z₂ * (algebraMap R S) ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B


∀ (i : Bool), MeasurableSet (bif i then A else B)


Pairwise (Disjoint on fun b => bif b then A else B)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
a : α

∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: v : α →₀ M

Context: f : α ↪ β

Context: g : β → M → N

(embDomain f v).prod g = v.prod fun a b => g (f a) b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: v : α →₀ M

Context: f : α ↪ β

Context: g : β → M → N

∏ x ∈ v.support, g (f x) ((embDomain f v) (f x)) = ∏ a ∈ v.support, g (f a) (v a)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ↥(twoCocycles A)

Context: g : G

Context: this : ↑f (g * 1, 1) + ↑f (g, 1) = (A.ρ g) (↑f (1, 1)) + ↑f (g, 1 * 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z✝ z : ℤ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
x : α
v : m → α
x✝ : m

((diagonal fun x_1 => x) *ᵥ v) x✝ = (x • v) x✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsOpen s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯

∀ (x y : ↥(adjoin R s)), (fun x => p ↑x ⋯) x → (fun x => p ↑x ⋯) y → (fun x => p ↑x ⋯) (x + y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯

∀ (x y : ↥(adjoin R s)), (fun x => p ↑x ⋯) x → (fun x => p ↑x ⋯) y → (fun x => p ↑x ⋯) (x * y)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1
h₂ : (X - C x).degree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
hgu : IsUnit g


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι✝ → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: ι : Type u_9

Context: s : Set ι

Context: f : ι → A

Context: hs : AlgebraicIndependent R fun x => f ↑x


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0

UniqueMul (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } A)) (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } B)) (op (op a0)) (op (op b0))


UniqueMul (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) A) (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) B) (op (op a0)) (op (op b0))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c✝ : ComplexShape ι
W : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.37324, u_3} W
inst✝² : Preadditive W
F G : V ⥤ W
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f✝ : { as := C } ⟶ { as := D }
f : C ⟶ D

(F.mapHomotopyCategory c).map (Quot.mk (Quotient.CompClosure (homotopic V c)) f) ≫ (fun C => (HomotopyCategory.quotient W c).map ((mapHomologicalComplex α c).app C.as)) { as := D } = (fun C => (HomotopyCategory.quotient W c).map ((mapHomologicalComplex α c).app C.as)) { as := C } ≫ (G.mapHomotopyCategory c).map (Quot.mk (Quotient.CompClosure (homotopic V c)) f)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (nonMemberSubfamily a 𝒜) → p (memberSubfamily a 𝒜) → p 𝒜

Context: u : Finset α := 𝒜.sup id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: u : Finset α := 𝒜.sup id

Context: hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: u : Finset α

Context: hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a✝¹ : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: a : α

Context: u : Finset α

Context: a✝ : a ∉ u

Context: ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), (∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ u) → p 𝒜

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hu : ∀ s ∈ 𝒜, s ⊆ insert a u


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³ : Semiring R₁
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
x : R₂


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f✝ : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring R
f : R →ₙ+* S


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
r s : R

(taylor r) ((taylor s) f) = (taylor (r + s)) f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ

(o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s (μ.restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: h : IntegrableOn f s (μ.restrict t)

Context: this : IntegrableOn f (s ∩ t) (μ.restrict t)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)

(Linear_CC' C hsC ho) (eval C l) = eval (C' C ho) l.Tail


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

(Linear_CC' C hsC ho) (e C (term I ho) * eval C ⟨↑l.Tail, ⋯⟩) = eval (C' C ho) (Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

((Linear_CC' C hsC ho) (e C (term I ho) * eval C ⟨↑l.Tail, ⋯⟩)) x = (eval (C' C ho) (Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩)) x


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

(e C (term I ho)) (CC'₁ C hsC ho x) * (eval C l.Tail) (CC'₁ C hsC ho x) - (e C (term I ho)) (CC'₀ C ho x) * (eval C l.Tail) (CC'₀ C ho x) = (eval (C' C ho) (Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩)) x


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

(((e C (term I ho)) ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ * if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ i = true then 1 else 0) - (e C (term I ho)) ⟨↑x, ⋯⟩ * if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑⟨↑x, ⋯⟩ i = true then 1 else 0) = if ∀ i ∈ ↑(Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩), ↑x i = true then 1 else 0


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

((if ∀ i ∈ ↑l.Tail, SwapTrue o (↑x) i = true then (e C (term I ho)) ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩ else 0) - if ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = true then (e C (term I ho)) ⟨↑x, ⋯⟩ else 0) = if ∀ i ∈ ↑(Tail ⟨term I ho :: ↑l.Tail, hlc⟩), ↑x i = true then 1 else 0


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

Context: hi' : ∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = SwapTrue o (↑x) i


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: x : ↑(C' C ho)

Context: H : (∀ i ∈ ↑l.Tail, ↑x i = true) = ∀ i ∈ ↑l.Tail, SwapTrue o (↑x) i = true


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ = cyclesMap φ ≫ S₂.homologyπ


S₁.homologyπ ≫ S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = cyclesMap φ ≫ S₂.leftHomologyπ


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: V₁ : Type u_3

Context: V₂ : Type u_4

Context: V₃ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃

Context: f : NormedAddGroupHom V W

Context: W₁ : Type u_6

Context: W₂ : Type u_7

Context: W₃ : Type u_8

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃

Context: g : NormedAddGroupHom V W

Context: f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁

Context: f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂

Context: f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃

Context: ψ : NormedAddGroupHom V₁ ↥(f.equalizer g)

f.comp ((ι f g).comp ψ) = g.comp ((ι f g).comp ψ)


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₁ ∈ eval f₁ a₁
ab : Reaches f₁ a₁ b₁
b0 : f₁ b₁ = none


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ b₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝¹ : b₁ ∈ eval f₁ a₁
ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁
b0 : f₁ b₁ = none
b₂ : σ₂
bb : tr b₁ b₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4

Nat.card (α × β) = Nat.card α * Nat.card β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop

(∃ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∨ ∃ x ∈ s, p x


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iic ↑y) = Ici x ∩ Iic y


Context: α : Type u_1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
e : ι ≃ ι'


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
hr : r ∈ ⊥


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
hr : r = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)

μ.innerContent (⨆ i, U i) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

∀ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ μ.innerContent (U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: i : ℕ

Context: a✝ : i ∈ t

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ μ.innerContent (U i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: i : ℕ

Context: a✝ : i ∈ t

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ ⨆ (_ : ↑(L i) ⊆ ↑(U i)), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i)


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: i : ℕ

Context: a✝ : i ∈ t

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Continuous (⋯.extend fun p => (φ p.1) p.2)


∀ (b : α × γ), Cauchy (map (fun p => (φ p.1) p.2) (comap (fun p => (e p.1, f p.2)) (𝓝 b)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.103896 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.109347 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.lift (pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)) (pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₁ f₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

pullback.lift (pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)) (pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₁ f₂ = pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
i : κ

(comapDomain' h hh' (single (h k) x)) i = (single k x) i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
i : κ
x : β (h i)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
J : LieIdeal R L
k l : ℕ


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J✝ : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: J : LieIdeal R L

Context: k l : ℕ

Context: D₁ : LieIdeal R L →o LieIdeal R L := { toFun := fun I => ⁅I, I⁆, monotone' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J✝ : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: J : LieIdeal R L

Context: k l : ℕ

Context: h₁ : ∀ (I J : LieIdeal R L), D₁ (I ⊔ J) ≤ D₁ I ⊔ J


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I J✝ : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: J : LieIdeal R L

Context: k l : ℕ

Context: h₁ : ∀ (n₁ n₂ : ℕ) (a₁ a₂ : LieIdeal R L), (⇑D₁)^[n₁ + n₂] (a₁ ⊔ a₂) ≤ (⇑D₁)^[n₁] a₁ ⊔ (⇑D₁)^[n₂] a₂


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁴ : SMul M X
inst✝³ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝² : SMul N Y
inst✝¹ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝ : SMul P Z
f : X →ₑ[φ] Y
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

(mulEquivOfQuotient f) (mk x y) = f.mk' x y


(mulEquivOfQuotient f) ((monoidOf S).mk' x y) = f.mk' x y


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g✝ : G
H K : Subgroup G
g : G

∃ h k, h ∈ H ∧ k ∈ K ∧ Quotient.out' (mk H K g) = h * g * k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g✝ : G

Context: H K : Subgroup G

Context: g : G

Context: this : mk H K (Quotient.out' (mk H K g)) = mk H K g ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g✝ : G

Context: H K : Subgroup G

Context: g : G

Context: this : mk H K g = mk H K g ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g✝ : G

Context: H K : Subgroup G

Context: g : G

Context: h : G

Context: h_h : h ∈ H

Context: k : G

Context: hk : k ∈ K

Context: T : g = h * Quotient.out' (mk H K g) * k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g✝ : G

Context: H K : Subgroup G

Context: g : G

Context: h : G

Context: h_h : h ∈ H

Context: k : G

Context: hk : k ∈ K


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: I : Type u

Context: f : I → Type v

Context: x✝ y : (i : I) → f i

Context: i j : I

Context: α : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (β a)

Context: inst✝ : (a : α) → (b : β a) → One (γ a b)

Context: a : α

Context: b : β a

Context: x : γ a b

uncurry (Pi.mulSingle a (Pi.mulSingle b x)) = Pi.mulSingle ⟨a, b⟩ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: this : CompleteSpace ↑s

∃ y ∈ s, IsFixedPt f y ∧ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y) ∧ ∀ (n : ℕ), edist (f^[n] x) y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: this : CompleteSpace ↑s

Context: y : ↑s

Context: hfy : IsFixedPt (MapsTo.restrict f s s hsf) y

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => (MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) atTop (𝓝 y)

Context: hle : ∀ (n : ℕ), edist ((MapsTo.restrict f s s hsf)^[n] ⟨x, hxs⟩) y ≤ edist ⟨x, hxs⟩ (MapsTo.restrict f s s hsf ⟨x, hxs⟩) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: this : CompleteSpace ↑s

Context: y : ↑s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: this : CompleteSpace ↑s

Context: y : ↑s

Context: n : ℕ

edist (f^[n] x) ↑y ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n / (1 - ↑K)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: p : Set γ

Context: f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β

Context: g g₁ g₂ : β → γ

Context: f' f₁' f₂' : β → α

Context: g' : γ → β

Context: a : α

Context: b : β

Context: f : α → α

Context: h : MapsTo f s s

Context: x : ↑s

Context: k : ℕ

Context: ih : ↑((restrict f s s h)^[k] x) = f^[k] ↑x

↑((restrict f s s h)^[k + 1] x) = f^[k + 1] ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i

update y i '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (update y i x₁) (update y i x₂)


(fun x => update y i (x.1 • x₁ + x.2 • x₂)) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • update y i x₁ + p.2 • update y i x₂) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: s : Set ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: x₁ x₂ : π i

Context: y : (i : ι) → π i

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}

update y i (a.1 • x₁ + a.2 • x₂) = a.1 • update y i x₁ + a.2 • update y i x₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ∈ Iic n
y : α
hy : y ∈ Iic n
hxy : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : Preorder β
ψ : α → β
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
n : α
hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)
x : α
hx : x ∈ Iic n
i : ℕ
hy : succ^[i] x ∈ Iic n
hxy : x < succ^[i] x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Iic n

Context: k : ℕ

Context: ih : succ^[k + 1] x ∈ Iic n → x < succ^[k + 1] x → ψ x < ψ (succ^[k + 1] x)

Context: hy : succ^[k + 1 + 1] x ∈ Iic n

Context: hxy : x < succ^[k + 1 + 1] x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: ih : succ^[k + 1] x ≤ n → x < succ^[k + 1] x → ψ x < ψ (succ^[k + 1] x)

Context: hy : succ^[k + 1 + 1] x ≤ n

Context: hxy : x < succ^[k + 1 + 1] x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: ih : succ (succ^[k] x) ≤ n → x < succ (succ^[k] x) → ψ x < ψ (succ (succ^[k] x))

Context: hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))

Context: hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))

Context: hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n

Context: hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)

Context: hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))

Context: hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n

Context: hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)

Context: hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))

ψ (succ (succ^[k] x)) < ψ (succ (succ (succ^[k] x)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))

Context: hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n

Context: hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)

Context: hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))

ψ (succ^[k.succ] x) < ψ (succ (succ^[k.succ] x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: ψ : α → β

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: n : α

Context: hψ : ∀ m < n, ψ m < ψ (succ m)

Context: x : α

Context: hx : x ≤ n

Context: k : ℕ

Context: hxy : x < succ (succ (succ^[k] x))

Context: hy : succ (succ (succ^[k] x)) ≤ n

Context: hmax : ¬IsMax (succ^[k] x)

Context: hmax' : ¬IsMax (succ (succ^[k] x))

succ^[k.succ] x < succ (succ (succ^[k] x))


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m x : (i : ι) → E i

‖(f + g) x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖ + ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → δ
s : Set α
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.rotateL x r).dual = r.dual.rotateR x l.dual


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α

(if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).dual = if l✝.size < ratio * r✝.size then r✝.dual.node3R x✝ l✝.dual x l.dual else r✝.dual.node4R x✝ l✝.dual x l.dual


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

Ordering.casesOn ((pos a).cmp (pos b)) (↑(pos a) < ↑(pos b)) (pos a = pos b) (↑(pos b) < ↑(pos a))


Context: α : Type u_1

Context: a b : PosNum

Context: this : Ordering.casesOn (a.cmp b) (↑a < ↑b) (a = b) (↑b < ↑a)


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

Ordering.casesOn ((neg a).cmp (neg b)) (↑(neg a) < ↑(neg b)) (neg a = neg b) (↑(neg b) < ↑(neg a))


Context: α : Type u_1

Context: a b : PosNum

Context: this : Ordering.casesOn (b.cmp a) (↑b < ↑a) (b = a) (↑a < ↑b)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0


Context:
s x y : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : x < 1 / (1 + s ^ 2)
hy : |y| < s * x


Context:
s x y : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : x < 1 / (1 + s ^ 2)
hy : |y| < s * x
H : √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2) ≤ 1 - x / 2


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α

(if h : x ∈ F then Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, h⟩ else ∅).Nonempty ↔ x ∈ F


Context:
Γ : Type u_1
i : Inhabited Γ
L₁ L₂ : ListBlank Γ

(∀ (i_1 : ℕ), L₁.nth i_1 = L₂.nth i_1) → L₁ = L₂


Context: Γ : Type u_1

Context: i : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: H : ∀ (i_1 : ℕ), (mk l₁).nth i_1 = (mk l₂).nth i_1


Context: Γ : Type u_1

Context: i : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length


Context: Γ : Type u_1

Context: i : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length

l₂ = l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default


Context: Γ : Type u_1

Context: i : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length

l₂.length = (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length


Context: Γ : Type u_1

Context: i✝ : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: H : ∀ (i : ℕ), (mk l₁).nth i = (mk l₂).nth i

Context: h✝ : l₁.length ≤ l₂.length

Context: i : ℕ

Context: h : i < l₂.length

Context: h₂ : i < (l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).length

(l₁ ++ List.replicate (l₂.length - l₁.length) default).get ⟨i, h₂⟩ = l₂.get ⟨i, h⟩


Context: Γ : Type u_1

Context: i✝ : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i

Context: h✝ : l₁.length ≤ l₂.length

Context: i : ℕ

Context: h : i < l₂.length


Context: Γ : Type u_1

Context: i✝ : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i

Context: h✝ : l₁.length ≤ l₂.length

Context: i : ℕ

Context: h : i < l₂.length

Context: h' : i < l₁.length


Context: Γ : Type u_1

Context: i✝ : Inhabited Γ

Context: L₁ L₂ : ListBlank Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: H : ∀ (i : ℕ), l₁.getI i = l₂.getI i

Context: h✝ : l₁.length ≤ l₂.length

Context: i : ℕ

Context: h : i < l₂.length

Context: h' : l₁.length ≤ i


Context:
n : ℕ
c : Composition n

c.boundaries.orderEmbOfFin ⋯ = c.boundary


Context:
n : ℕ
c : Composition n

∀ (x : Fin (c.length + 1)), c.boundary x ∈ c.boundaries


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h

ltByCases x y h₁ h₂ h₃ = ltByCases x' y' h₁' h₂' h₃'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
h : x < y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
h : x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
h₁' : x' < y' → P
h₂' : x' = y' → P
h₃' : y' < x' → P
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
hh'₁ : ∀ (h : x' < y'), h₁ ⋯ = h₁' h
hh'₂ : ∀ (h : x' = y'), h₂ ⋯ = h₂' h
hh'₃ : ∀ (h : y' < x'), h₃ ⋯ = h₃' h
h : y < x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X : J
tX : IsInitial X
F : J ⥤ C
j j' : J
k : j ⟶ j'

𝟙 (F.obj X) ≫ F.map (tX.to j') = F.map (tX.to j) ≫ F.map k


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

normSq (z + w) = normSq z + normSq w + 2 * re (z * (starRingEnd K) w)


(re z + re w) * (re z + re w) + (im z + im w) * (im z + im w) = re z * re z + im z * im z + (re w * re w + im w * im w) + 2 * (re z * re w - im z * -im w)


Context:
s n : Nat
step : optParam Nat 1


Context:
s✝ n✝ : Nat
step : optParam Nat 1
s n m : Nat

range'TR.go step n (s + step * (n + 1) - step) ((s + step * (n + 1) - step) :: range' (s + step * (n + 1)) m step) = range' s (n + 1 + m) step


range'TR.go step n (s + step * n) ((s + step * n) :: range' (s + step * n + step) m step) = range' s (n + m + 1) step


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : M.Indep I


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α

supported M R (s ∩ t) = supported M R s ⊓ supported M R t


supported M R (bif true then s else t) ⊓ supported M R (bif false then s else t) = supported M R s ⊓ supported M R t


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
hs₁ : p ∈ s₁
hs₂ : p ∈ s₂
h : s₁.center = s₂.center


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
hs₁ : dist p s₁.center = s₁.radius
hs₂ : dist p s₂.center = s₂.radius
h : s₁.center = s₂.center


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: h : ¬a = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: h : ¬a = 0

Context: y : α

Context: left✝ : y ∈ Classical.choose ⋯

Context: hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

Context: s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)

F.interUnionPullbackConeLift U V s ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Opposite.casesOn X_1 fun unop => Pairwise.casesOn unop (fun a => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down s.fst s.snd) fun a a_1 => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map (eqToHom ⋯).op ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Pairwise.rec (fun a => WalkingPair.rec s.fst s.snd a.down) (fun a a_1 => WalkingPair.rec (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) a.down) (unop X_1), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = s.snd


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

Context: h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.det ⇑f ≠ -1


Context:
k : ℕ
h : ¬k = 0


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : CommRing L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 2
inst✝ : IsDomain L

(Algebra.norm K) ζ = (-1) ^ FiniteDimensional.finrank K L


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a

Context: hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun i a => -f i a

Context: F' : α → ℝ := fun a => -F a

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun i a => -f i a

Context: F' : α → ℝ := fun a => -F a

Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F' a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun i a => -f i a

Context: F' : α → ℝ := fun a => -F a


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
ea eb : ℕ
x : R

x ^ ea * a₂ * (x ^ eb * b₂) = x ^ (ea + eb) * (a₂ * b₂)


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A

Context: inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A

Context: D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A

Context: h₁ : D 1 = 0

Context: H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)

∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A

Context: D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A

Context: h₁ : D 1 = 0

Context: hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A

Context: D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A

Context: h₁ : D 1 = 0

Context: hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0

Context: this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p

Context: p q : MvPolynomial σ R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F✝
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
F G : C ⥤ C
α : F ⟶ G
X✝ Y✝ : Coalgebra F
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) X✝).str ≫ G.map f.f = f.f ≫ ((fun V => { V := V.V, str := V.str ≫ α.app V.V }) Y✝).str


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E
w : F

⟪w, (adjoint (adjoint A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C'✝ C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] G''

Context: C C' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∉ MonoidHom.range f
r : g = h


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: hx : x ∉ MonoidHom.range f

Context: r : (g x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = (h x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: hx : x ∉ MonoidHom.range f

Context: r : (g x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: hx : x ∉ MonoidHom.range f

Context: r : fromCoset ⟨x • ↑⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩, ⋯⟩ = (((Equiv.symm τ).trans (↑g x)).trans τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: hx : x ∉ MonoidHom.range f

Context: r : fromCoset ⟨x • Set.range ⇑f, ⋯⟩ = τ ((↑g x) ((Equiv.symm τ) (fromCoset ⟨Set.range ⇑f, ⋯⟩)))


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: hx : x ∉ MonoidHom.range f

Context: r : fromCoset ⟨x • Set.range ⇑f, ⋯⟩ = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: T : Triangle C

(1 • (CategoryTheory.shiftFunctor C 0).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 0).hom.app T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₁) = (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₃ ≫ T.mor₃


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ

WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ↑n ↔ ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ g x ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
h : ⋯.order = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℤ
h : ¬⋯.order = ⊤


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q✝ R✝ : Prop
inst✝² : Decidable P
inst✝¹ : Decidable Q✝
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
inst✝ : Decidable P

dite P Q R ↔ (∀ (h : P), Q h) ∧ ∀ (h : ¬P), R h


Context: a b c : ℕ

range (a + b) = range a ∪ map (addLeftEmbedding a) (range b)


Context: a b c : ℕ

Ico 0 (a + b) = Ico 0 a ∪ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b)


Context: a b c : ℕ

image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b) = Ico a (a + b)


Context: a b c x : ℕ

x ∈ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b) ↔ x ∈ Ico a (a + b)


Context: a b c x : ℕ

(∃ a_1 < b, a + a_1 = x) ↔ a ≤ x ∧ x < a + b


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α
G : Type u_2
inst✝² : OrderedAddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousSub G

Context: h : IsClosed {x | 0 ≤ x}

Context: this : {p | p.1 ≤ p.2} = (fun p => p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousSub G

Context: h : IsClosed {x | 0 ≤ x}

IsClosed ((fun p => p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x})


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix m n R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Monoid M
x : ↥(IsUnit.submonoid M)

(fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ((fun x => IsUnit.unit ⋯) x) = x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
inst✝ : Monoid M
x y : Mˣ

{ toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => IsUnit.unit ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


⟨↑x * ↑y, ⋯⟩ = ⟨↑x, ⋯⟩ * ⟨↑y, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂

Context: f : Arrow C


Context: num den : Int


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: _i : Fact (1 ≤ p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ 0

∀ (i : α), UniformContinuous fun x => ↑x i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ 0

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ 0

Context: i : α

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: f g : ↥(lp E p)

Context: hfg : ‖f - g‖ < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ 0

Context: i : α

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: f g : ↥(lp E p)

Context: hfg : ‖f - g‖ < ε

Context: this : ‖↑f i - ↑g i‖ ≤ ‖f - g‖


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x✝ y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : Ray R M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x✝ y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0

rayOfNeZero R x hx ≠ -rayOfNeZero R x hx


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x✝ : α

x✝ ∈ {b | toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b} ↔ x✝ ∈ ⋃ z, Set.Ioo (a + z • p) (a + p + z • p)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t : Multiset α
a✝ b : α
s : Multiset α
a : α
h : a ∉ s


Context:
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B

∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

Context: below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

AntilipschitzWith C⁻¹.toNNReal ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑C⁻¹.toNNReal * ‖(continuousLinearMapOfBilin B) x‖


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

∀ (x : V), C⁻¹⁻¹ * ‖x‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) x‖


Context:
β : Sort ?u.112935
α : Sort ?u.112940
P : β → Sort w
e✝ : α ≃ β
ι'' : Sort u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
π : ι'' → Type u_1
e : ι ⊕ ι' ≃ ι''
f : (i : ι) → π (e (inl i))
g : (i : ι') → π (e (inr i))
i : ι

(piCongrLeft π e) ((sumPiEquivProdPi fun x => π (e x)).symm (f, g)) (e (inl i)) = f i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hs : s.Nonempty

s ⊆ {a, b} ↔ s = {a} ∨ s = {b} ∨ s = {a, b}


Context:
α : Type u
L L₁✝ L₂✝ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
a₁✝ : FreeGroup α
L₁ : List (α × Bool)
a₂✝ : FreeGroup α
L₂ : List (α × Bool)

toWord (Quot.mk Red.Step L₁) = toWord (Quot.mk Red.Step L₂) → Quot.mk Red.Step L₁ = Quot.mk Red.Step L₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Precoherent C

Context: X : C

Context: α : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : EffectiveEpiFamily Y π

Context: β : α → Type

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: Y_n : (a : α) → β a → C

Context: π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a

Context: H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)

EffectiveEpiFamily (fun c => Y_n c.fst c.snd) fun c => π_n c.fst c.snd ≫ π c.fst


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Precoherent C

Context: X : C

Context: α : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : EffectiveEpiFamily Y π

Context: β : α → Type

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: Y_n : (a : α) → β a → C

(Presieve.ofArrows (fun c => Y_n c.fst c.snd) fun c => π_n c.fst c.snd ≫ π c.fst).EffectiveEpimorphic


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Precoherent C

Context: X : C

Context: α : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : EffectiveEpiFamily Y π

Context: β : α → Type

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: Y_n : (a : α) → β a → C

Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => match x with | ⟨a, b⟩ => Y_n a b) fun x => match x with | ⟨a, b⟩ => π_n a b ≫ π a) ∈ (coherentTopology C).sieves X


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
t : α → Set β

⋂ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋂ i, ⋂ x ∈ s i, t x