Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)

Context: ϕ : E ≃ₐ[F] E

Context: x : ↑(p.rootSet E)

Context: ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)

↑(ψ (ψ.symm (↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))))) = ϕ ↑x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : E ≃ₐ[F] E

Context: x : ↑(p.rootSet E)

↑(↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))) = ϕ ↑x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : E ≃ₐ[F] E

Context: x : ↑(p.rootSet E)

ϕ ↑((rootsEquivRoots p E) ((rootsEquivRoots p E).symm x)) = ϕ ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: H : ∃ m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, c ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, m ⊆ a → a = m


∀ c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 → c_1.Nonempty → ∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ c_1, s ⊆ ub


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: cs : Set (Set α)

Context: hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}

Context: hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ cs

∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ cs, s ⊆ ub


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: cs : Set (Set α)

Context: hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ cs


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: cs : Set (Set α)

Context: hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ cs

Context: y : α

Context: sy : Set α

Context: hsy : sy ∈ cs

Context: hysy : y ∈ sy

Context: z : α

Context: sz : Set α

Context: hsz : sz ∈ cs

Context: hzsz : z ∈ sz

Context: hyz : y ≠ z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: cs : Set (Set α)

Context: hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ cs

Context: y : α

Context: sy : Set α

Context: hsy : sy ∈ cs

Context: hysy : y ∈ sy

Context: z : α

Context: hyz : y ≠ z

Context: hsz : sy ∈ cs

Context: hzsz : z ∈ sy


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: hc : IsChain r c

Context: cs : Set (Set α)

Context: hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ cs

Context: y : α

Context: sy : Set α

Context: hsy : sy ∈ cs

Context: hysy : y ∈ sy

Context: z : α

Context: sz : Set α

Context: hsz : sz ∈ cs

Context: hzsz : z ∈ sz

Context: hyz : y ≠ z

Context: hsseq : sy ≠ sz


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : AddSubmonoid R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : E'' → F''
s : Set E''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Center C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
U : C

(f.f ⊗ g.f) ▷ U ≫ ((Y₁.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj X₂).snd.β U).hom ≫ U ◁ (f.f ⊗ g.f)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m : M₁

((map (QuadraticMap.Isometry.id Q₁)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m = ((AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₁)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Subsingleton A
a : A


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ

multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x✝ y : ℤ
hx✝ : ¬2 ∣ x✝
hxy : 4 ∣ x✝ - y
hx_odd : Odd x✝
hxy_even : Even (x✝ - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
x : ℤ
hx : Odd x


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((μ + ν).withDensity f) s = (μ.withDensity f + ν.withDensity f) s


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)

cderiv r (f - g) z = cderiv r f z - cderiv r g z


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z r)

Context: hg : ContinuousOn g (sphere z r)

Context: h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z r)

Context: hg : ContinuousOn g (sphere z r)


Context: a x✝ z x : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β

s ×ˢ t = ⊥ ↔ s = ⊥ ∨ t = ⊥


↑(s ×ˢ t) = ↑⊥ ↔ ↑s = ↑⊥ ∨ ↑t = ↑⊥


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: x✝ : ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: h : ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n

Context: x : ℚ


Context: a : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ := (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal ^ (1 / ↑(finrank ℚ K))

Context: h_le : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)

∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x✝ : K

↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)| = (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x✝ : K

↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial * √|↑(discr K)| / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K = (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x✝ : K

↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial * √|↑(discr K)| = (minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x✝ : K

(minkowskiBound K I * ↑(convexBodySumFactor K)⁻¹).toReal = ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial * √|↑(discr K)|


Context:
z : ℍ
n : ℤ


Context:
z : ℍ
n : ℤ

(↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 0 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 0 1))) / (↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 1 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑(ModularGroup.T ^ n) 1 1))) = ↑z + ↑↑n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α

(sublistsLen (n + 1) (a :: l)).length = (a :: l).length.choose (n + 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C

(Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom = Γ₂N₁.hom


Γ₂N₁.inv ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom = 𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

(Γ₂N₁.inv ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom).app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X


Γ₂N₁.inv.app X ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom.app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X


((Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X)) ≫ (Compatibility.υ toKaroubiCompN₂IsoN₁).hom.app X = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X


Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X) ≫ Γ₂N₂.hom.app ((toKaroubiEquivalence (SimplicialObject C)).functor.obj X) ≫ Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X


Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ (𝟙 (N₂ ⋙ Γ₂)).app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X) ≫ Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = (𝟙 (N₁ ⋙ Γ₂)).app X


Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.inv.app X) ≫ Preadditive.DoldKan.equivalence.inverse.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)


Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.inv.app X) ≫ Γ₂.map (toKaroubiCompN₂IsoN₁.hom.app X) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)


𝟙 (Γ₂.obj (N₁.obj X)) = 𝟙 ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X)


Context:
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 < b


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : C
hX : IsZero X


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : C
hX : 𝟙 X = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

liminf (fun i => (xs i).toReal) F = (liminf xs F).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b
liminf_le : liminf xs F ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: liminf_le : liminf xs F ≤ b

Context: aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: liminf_le : liminf xs F ≤ b

Context: aux' : (liminf xs F).toReal = b.truncateToReal (liminf xs F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: liminf_le : liminf xs F ≤ b

liminf (fun a => b.truncateToReal (xs a)) F = b.truncateToReal (liminf xs F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: liminf_le : liminf xs F ≤ b

Context: key : b.truncateToReal (liminf xs F) = liminf (b.truncateToReal ∘ xs) F


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: z : I → Bool

Context: hz : z ∈ C

Context: hx : ↑⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩ a = true

e (π C fun x => x ∈ s) a ∈ factors C s ⟨Proj (fun x => x ∈ s) z, ⋯⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: z : I → Bool

Context: hz : z ∈ C

∃ a_1 ∈ s, (if Proj (fun x => x ∈ s) z a_1 = true then e (π C fun x => x ∈ s) a_1 else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a_1) = e (π C fun x => x ∈ s) a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: z : I → Bool

Context: hz : z ∈ C


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
h : m ≠ n
a : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a✝ b✝ : α
n a b c : ℕ

multinomial univ ![a, b, c] = (a + b + c)! / (a ! * b ! * c !)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
A : Type v
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a b : A

((ad R A) a) b = ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a) b


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L (fun n => ↑(ζ n)) s * L (fun n => ↑(μ n)) s = 1


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L ((fun x => ↑(ζ x)) ⍟ fun n => ↑(μ n)) s = 1


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum
h : ↑m = ↑n


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
i : ι
his : i ∈ S


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S : Set ι
i : ι
his : i ∈ S
h_ss : {i} ⊆ S


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsClosed {1}
x : G


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsCoatomistic αᵒᵈ
b : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsAtomistic α
b : αᵒᵈ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : Subobject A
inst✝ : HasBinaryProduct f₁ f₂


(f₁ ⨯ f₂) ≤ f₁ ⊓ f₂


f₁ ⊓ f₂ ≤ (f₁ ⨯ f₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.7311
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U

φ.symmetrify.costar u = ⇑(symmetrifyCostar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.costar u) (φ.star u) ∘ ⇑(symmetrifyCostar u)


⇑(symmetrifyCostar (φ.obj u)) ∘ φ.symmetrify.costar u = Sum.map (φ.costar u) (φ.star u) ∘ ⇑(symmetrifyCostar u)


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a⁻¹⁻¹ + b⁻¹⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : e (some x) = none


Context:
α✝ β✝ : Type u
a b : Cardinal.{v}
α β : Type v

lift.{u, v} #α ≤ lift.{u, v} #β ↔ #α ≤ #β


lift.{max v u, v} #α ≤ lift.{max v u, v} #β ↔ #α ≤ #β


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y


∀ (b : OuterMeasure X), (∀ (i : ℝ≥0∞), ⨆ (_ : i > 0), ⊤ ≤ b) → ⊤ ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f : E ≃ᵐ E

Context: g : E → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x

Context: hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) μ

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x

(Measure.map (⇑f.symm) (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : (f '' s).ncard = s.ncard
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : (f '' s).encard = s.encard
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
f : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α

iIndep (fun i => MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ f i) ⊤) κ μ ↔ iIndepSet f κ μ


Context:
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible (↑ad ^ b)

IsRat ((↑an * ⅟↑ad) ^ b) (an ^ b) (ad ^ b)


Context:
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible ↑(ad ^ b)


(↑an * ⅟↑ad) ^ b = ↑(an ^ b) * ⅟↑(ad ^ b)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

univ.pi t₁ ⊆ univ.pi t₂ ↔ (∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ ∃ i, t₁ i = ∅


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

¬IsUnramified k w ↔ w.IsComplex ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal


(¬(if (w.comap (algebraMap k K)).IsReal then 1 else 2) = if w.IsReal then 1 else 2) ↔ ¬w.IsReal ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h₁ : ¬(w.comap (algebraMap k K)).IsReal
h₂ : w.IsReal


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁

(((map f).comp (map g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m = ((map (f.comp g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m


(map f) ((map g) ((ι Q₁) m)) = (map (f.comp g)) ((ι Q₁) m)


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) p)


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: h_mon : p.Monic

Context: h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0

Context: nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod)


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: h_mon : p.Monic

Context: h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: right✝ : eval k p = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : s ∈ 𝓝 x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

Context: h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)

Context: h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)


Context:
ι : Type u_1
n : ℕ
s : Finset ι
a : ι → ZMod n
hs : 2 * n - 1 ≤ s.card


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : τ → S
h : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

(eval₂Hom f g) ((bind₁ h) φ) = (eval₂Hom f fun i => (eval₂Hom f g) (h i)) φ


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R

((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R


∀ x ∈ ball c R \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑S

Context: x : G

Context: h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S

Context: this✝ : (a : Prop) → Decidable a

Context: val✝ : Fintype ↑S

Context: this : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

Context: c : Ordinal.{u}

Context: ho : o.card < c.cof

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
hx' : ¬x.leadingCoeff = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: h : p.leadingCoeff ∈ R⁰

Context: x : R[X]

Context: hx : x * p = 0

Context: hx' : ¬x.leadingCoeff * p.leadingCoeff = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'


(sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1 + sFiniteSeq μ' p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ' n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ

(sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) = (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t

((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2) t


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

(0 ≤ if x.val ≤ n / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) ↔ x.val ≤ n / 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b


Context: x y : ℝ

↑(expMapCircle (x + y)) = ↑(expMapCircle x * expMapCircle y)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (i j : ι), ∃ k, ∀ (a : α), f a i ≤ f a k ∧ f a j ≤ f a k

∑ a ∈ s, ⨆ i, f a i = ⨆ i, ∑ a ∈ s, f a i


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite

⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) = ⨅ i ∈ J, ker (proj i)


⨅ i ∈ J, ker (proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
this : univ ⊆ ↑hI.toFinset ∪ J


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
this : univ ⊆ ↑hI.toFinset ∪ J
i : ι

⨆ (_ : i ∈ hI.toFinset), range (stdBasis R φ i) ≤ ⨆ (_ : i ∈ I), range (stdBasis R φ i)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M✝ : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
C : R → Prop
r : R
hr : r ∈ M * N
hm : ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, C (m * n)
ha : ∀ (x y : R), C x → C y → C (x + y)

0 ∈ { carrier := setOf C, add_mem' := ⋯ }.carrier


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α


Context:
num : Int
den : Nat


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ζ : ℂ
n : ℕ
h : ζ ^ n = 1
hn : n ≠ 0


∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).Finite → includeLeftRingHom.Finite


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
a✝ : A₁

((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ψ)) a✝ = ψ a✝


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
a✝ : A₂

((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ψ)) a✝ = ψ a✝


Context:
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝² : Quiver U
inst✝¹ : Quiver V
inst✝ : Quiver W
h : HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b


Context:
R : Type u_1
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.432254, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x
this : PreconnectedSpace ↑s


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: x : I → Bool

Context: h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i

Context: i : I


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: x : I → Bool

Context: h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i

Context: i : I


Context:
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2


Context:
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2

ConcaveOn ℝ (Icc 0 (π / 2)) fun x => sin x - 2 / π * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (t b) μ
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α) in ⋃ b ∈ s, t b, f a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α) in t b, f a ∂μ


Context:
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)

IsIso (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.toPresheafedSpace.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op) x)


IsIso ((stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of ↑R)))) ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x)).hom ≫ Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯ ≫ (stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of (Localization M))))) x).inv)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a

↑⌈a⌉₊ = ↑⌈a⌉


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: M₀ : Type u_6

Context: M₀' : ?m.1161840

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝⁴ : Module R M₀

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₁' : ?m.1162365

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₂' : ?m.1162890

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: g : M₀ →ₗ[R] M₁

Context: h : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: ex : Exact ⇑g ⇑h

Context: y : LocalizedModule S M₁

Context: m : M₁

Context: s : ↥S

Context: hy : ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) (mk m s) = 0

mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
ha : ⟨a, aS⟩ • h m = ⟨a, aS⟩ • 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
ha : a • m ∈ Set.range ⇑g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
x : M₀
hx : g x = a • m


((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (mk x (⟨a, aS⟩ * s)) = mk m s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: M₀ : Type u_6

Context: M₀' : ?m.1161840

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝⁴ : Module R M₀

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₁' : ?m.1162365

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₂' : ?m.1162890

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: g : M₀ →ₗ[R] M₁

Context: h : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: ex : Exact ⇑g ⇑h

Context: y : LocalizedModule S M₁

Context: x✝ : y ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)

Context: x : LocalizedModule S M₀

((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) x = y → ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: M₀ : Type u_6

Context: M₀' : ?m.1161840

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝⁴ : Module R M₀

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₁' : ?m.1162365

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₂' : ?m.1162890

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: g : M₀ →ₗ[R] M₁

Context: h : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: ex : Exact ⇑g ⇑h

Context: y : LocalizedModule S M₁

Context: x : LocalizedModule S M₀

Context: m : M₀

Context: s : ↥S

Context: hx : ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (mk m s) = y

((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) y = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
hb : ¬IsMax b


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0
hi : 0 < x.im


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

Context: f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x✝ : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

Context: x : A

Context: hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: y : A

Context: hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

f ⟨x, hx⟩ = f ⟨y, hy⟩ → ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x✝ : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

Context: x : A

Context: hx✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: hx : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = x

Context: y : A

Context: hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: hy : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = y

f ⟨x, hx✝⟩ = f ⟨y, hy✝⟩ → ⟨x, hx✝⟩ = ⟨y, hy✝⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a✝ b✝ : R

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

Context: a : Subtype s

Context: left✝¹ : a ∈ t

Context: hx : (Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: b : Subtype s

Context: left✝ : b ∈ t

Context: hy : (Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

f ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = f ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩ → ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: inst✝ : ∀ (X : C), IsSplitEpi (h.unit.app X)

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

L.map ((h.homEquiv X (L.obj Y)) f ≫ section_ (h.unit.app Y)) = f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

L.map (section_ (h.unit.app Y)) = h.counit.app (L.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

L.map (section_ (h.unit.app Y)) ≫ 𝟙 (L.obj ((𝟭 C).obj Y)) = h.counit.app (L.obj Y)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: P A : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: inst✝³ : Algebra R P

Context: I✝ : Ideal P

Context: f : P →ₐ[R] A

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝² : FormallySmooth R P

Context: g : A →ₐ[R] P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2

Context: hg : f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: i : A →ₐ[R] C ⧸ I

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = i


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: P A : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: inst✝³ : Algebra R P

Context: I✝ : Ideal P

Context: f : P →ₐ[R] A

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝² : FormallySmooth R P

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: i : A →ₐ[R] C ⧸ I

Context: l : P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2 →ₐ[R] C := Ideal.Quotient.liftₐ (RingHom.ker f.toRingHom ^ 2) (lift I ⋯ (i.comp f)) ⋯


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: P A : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: inst✝³ : Algebra R P

Context: I✝ : Ideal P

Context: f : P →ₐ[R] A

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝² : FormallySmooth R P

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: i : A →ₐ[R] C ⧸ I

Context: this : i.comp f.kerSquareLift = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp l


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : addOrderOf r • r = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
u : R
hu : u * ↑p = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : u * (↑p * r) = u * 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : r = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

(equiv K') (mk I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I)


(QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I)) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K').range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I)


(Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I) = (Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I


(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K').toMulEquiv (↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)) ↑I) = ↑(canonicalEquiv R⁰ K K') ↑I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu Gu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: f : E → Fu

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: f : E → Fu

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑0) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑0) f s

Context: hC : ∀ i ≤ 0, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ 0 → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑0! * C * D ^ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: f : E → Fu

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m ≤ n, ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}, ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s → (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) → (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s

Context: hC : ∀ i ≤ n.succ, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n.succ → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n.succ ! * C * D ^ n.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: f : E → Fu

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: n : ℕ

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s

Context: M : ↑n < ↑n.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: f : E → Fu

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: n : ℕ

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s

Context: M : ↑n < ↑n.succ

Context: Cnonneg : 0 ≤ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D✝ : Type uD

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: f : E → Fu

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: n : ℕ

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s

Context: M : ↑n < ↑n.succ

Context: Cnonneg : 0 ≤ C

Context: Dnonneg : 0 ≤ D


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: κ : ι → Sort u_3

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: A A₁ A₂ : Finset α

Context: r r₁ r₂ : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

∑ r ∈ Iic (Fintype.card α), (𝒜 # r).card = 𝒜.card


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: κ : ι → Sort u_3

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: A A₁ A₂ : Finset α

Context: r r₁ r₂ : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

∀ x ∈ Iic (Fintype.card α), ∀ y ∈ Iic (Fintype.card α), x ≠ y → Disjoint (𝒜 # x) (𝒜 # y)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E


∃ r, ContinuousLinearMap.seminorm.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: f g : E →SL[σ₁₂] F

Context: h : F →SL[σ₂₃] G

Context: x : E

Context: x✝¹ : Set E × ℝ

Context: s : Set E

Context: r : ℝ

Context: x✝ : IsVonNBounded 𝕜 (s, r).1 ∧ 0 < (s, r).2

Context: hs : IsVonNBounded 𝕜 (s, r).1

Context: hr : 0 < (s, r).2

∃ r_1 > 0, ContinuousLinearMap.seminorm.ball 0 r_1 ⊆ {f | ∀ x ∈ (s, r).1, f x ∈ closedBall 0 (s, r).2}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y
hxy : x < y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x : α
hf : f x = f x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
h : ∀ (x y : α), x < y → f x ≠ f y
x y : α
hf : f x = f y
hxy : y < x


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (exp 𝕂 x)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

HasSum (fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (exp 𝕂 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s

g⁻¹ j < g⁻¹ i → f i ≤ f j ↔ g i < g j → f i ≤ f j


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : ⨂[R]^i M
b : ⨂[R]^j M

toTensorAlgebra (GradedMonoid.GMul.mul a b) = toTensorAlgebra a * toTensorAlgebra b


((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra) a) b = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) a) b


((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra = (LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M

((((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b = (((((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b


((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)


toTensorAlgebra (GradedMonoid.GMul.mul ((PiTensorProduct.tprod R) a) ((PiTensorProduct.tprod R) b)) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)


(List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod


(List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = ((List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod


(List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)) = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α

s ∈ memberSubfamily a (image (insert a) 𝒜) ↔ s ∈ 𝒜


(∃ a_1 ∈ 𝒜, insert a a_1 = insert a s) ∧ a ∉ s ↔ s ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
hs : a ∉ s
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hts : insert a t = insert a s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∑' (x : α), s.indicator (fun x => μ {x}) x = (sum fun a => μ {a} • dirac a) s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInverse g f
F : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
U : Set α

U ∈ generate s ↔ ∃ i, (i.Finite ∧ i ⊆ s) ∧ ⋂₀ i ⊆ U


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ


Context:
x : ℂ
h : x ≠ 0


ord ∘ aleph' = enumOrd {b | b.card.ord = b}


StrictMono (ord ∘ aleph') ∧ (∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph') a ∈ {b | b.card.ord = b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b}, ∃ a, (ord ∘ aleph') a = b


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0

finrank K ↥(LinearMap.ker f) + 1 = finrank K V₁


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x₁ x₂ : α
r₁ r₂ : Ordnode α
H : Raised r₁.size r₂.size

Raised (l.node' x₁ r₁).size (l.node' x₂ r₂).size


Raised (l.size + r₁.size + 1) (l.size + r₂.size + 1)


Context:
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b


Context:
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b


Context:
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b


Context:
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x

Algebra.adjoin R {x} ≤ integralClosure R A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A B : Finset (G × G)

Context: a✝ b✝ c✝ d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hs : IsCornerFree ↑A

Context: a a' b b' c c' : G

Context: ha : (a', b, c) ∈ Corners.triangleIndices A

Context: hb : (a, b', c) ∈ Corners.triangleIndices A

Context: hc : (a, b, c') ∈ Corners.triangleIndices A


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a✝ b✝ c✝ d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hs : IsCornerFree ↑A
a a' b b' c c' : G
ha : (a', b) ∈ A ∧ c = a' + b
hb : (a, b') ∈ A ∧ c = a + b'
hc : (a, b) ∈ A ∧ c' = a + b


Context:
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a x✝ : G

((fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id) 1) x✝ = 1 x✝


Context:
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a : G
x✝² x✝¹ : Multiplicative G
x✝ : G

({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun (x✝² * x✝¹)) x✝ = ({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝² * { toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹) x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b✝ : α
m n : ℕ
b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring

(CotangentSpace.map f) (x ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)


x • 1 ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)


(algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
y : β
ys : List β

(List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.getLast ⋯ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]


(List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.get ⟨(List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.length - 1, ⋯⟩ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
x y : R
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
x : M
hx₁ : t₁ ⊆ x • s₁
hx₂ : t₂ ⊆ x • s₂


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t

Context: hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in c..id i, ↑x ^ a) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

Tendsto (fun x => ↑x ^ (a + 1)) atTop (𝓝 0)


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

Tendsto (fun x => ‖↑x ^ (a + 1)‖) atTop (𝓝 0)


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
x : ℝ
hx : 0 < x


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Submartingale f ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: a✝¹ : Ω

Context: a✝ : f i a✝¹ ≤ (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : δ' → β → ε

Context: h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b

map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ n' (map₂ m' f h) g


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : δ' → β → ε

map₂ m (map₂ (fun a b => n b a) g f) h = map₂ (fun a b => n' b a) g (map₂ m' f h)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set (Filter α)
l : Filter α

l ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ l, ∃ l' ∈ s, t ∈ l'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R

x ∈ I.leadingCoeffNth n ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x


(∃ y, (y.degree ≤ ↑n ∧ y ∈ I.ofPolynomial) ∧ y.coeff n = x) ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range

p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∈ lifts (algebraMap R Rₘ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: p : Rₘ[X]

∀ (n : ℕ), (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: n : ℕ

(p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: p : Rₘ[X]

Context: n : ℕ

p.coeff n * (algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff) ^ (p.natDegree - n) ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)


Context:
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E

ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
h : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: r : ℝ≥0∞

Context: this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: r : ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, r ∂μ = r * μ {x | f x = r}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: r : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT✝ : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
hT : ¬Dense ↑T.domain
y : ↥T†.domain

(if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: hB : ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)

Context: g : G


Context:
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p

Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop atTop


Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop atTop


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'

R.rightDual (R.leftDual J) ≤ R.rightDual (R.leftDual J')


(fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J → R a b) ≤ fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J' → R a b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

∀ (U : (Opens ↑X)ᵒᵖ), IsIso (f.val.app U)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: X✝ : Opens ↑X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α

(equivShrink α).symm x⁻¹ = ((equivShrink α).symm x)⁻¹


(equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x)⁻¹) = ((equivShrink α).symm x)⁻¹


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R

∃ s q₁ q₂, p₁ = (rename Subtype.val) q₁ ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₂ : MvPolynomial σ R
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R

∃ s q₁_1 q₂, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R
s₂ : Finset σ
q₂ : MvPolynomial { x // x ∈ s₂ } R

∃ s q₁_1 q₂_1, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ (rename Subtype.val) q₂ = (rename Subtype.val) q₂_1


Context: s : ℂ

completedRiemannZeta s = completedRiemannZeta₀ s - 1 / s - 1 / (1 - s)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop


Tendsto (Prod.map f g) (atTop ×ˢ atTop) atTop


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ : SimplicialObject C
X Y : Augmented C
f : X ⟶ Y

(drop.map f).app (op [0]) ≫ Y.hom.app (op [0]) = X.hom.app (op [0]) ≫ point.map f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: P : Karoubi C

Context: h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: P : Karoubi C

Context: h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: P : Karoubi C

Context: h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f

Context: h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝

(F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f

Context: h'' : F.map (x✝¹.p ≫ f.f) = F.map f.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f

Context: h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f

Context: h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

(F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E

Context: F G : C ⥤ Karoubi D

Context: φ : F ⟶ G

Context: x✝¹ x✝ : Karoubi C

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

(F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a b : α


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h₃ : ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)

Context: z : ℂ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n m : ℕ
h : n = m
x : ⨂[R]^n M

GradedMonoid.mk m ((PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) (finCongr h)) x) = GradedMonoid.mk n x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : β
h : x ∈ ⊥.image s


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hij : c.Rel i (c.next i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X✝ Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: X : C

Context: p : Subobject X → Subobject X → Prop

Context: h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)

Context: P Q : Subobject X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X✝ Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: X : C

Context: p : Subobject X → Subobject X → Prop

Context: P Q : Subobject X

∀ (a₁ a₂ : MonoOver X), p (Quotient.mk'' a₁) (Quotient.mk'' a₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ


∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : M


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1


(∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.lcm y).factorization x_1)) * ∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.gcd y).factorization x_1) = (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ x.factorization x_1)) * ∏ x ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x ^ y.factorization x)


y.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors


x.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors


(x.gcd y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors


(x.lcm y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis R S
y : S

y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => pb.gen ^ ↑i)


Context: a✝ b✝ a b : Prop


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Denumerable α

Context: inst✝ : Denumerable β

Context: m : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: n : ℕ

Context: h : Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: m :: l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Denumerable α

Context: inst✝ : Denumerable β

Context: m : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: n : ℕ

Context: this : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α

(a • m) t = (a • m) (t ∩ s) + (a • m) (t \ s)


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
c d : C

X c d ⊆ ⋂ S ∈ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}, S.arrows c d


∀ i ∈ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}, X c d ⊆ i.arrows c d


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0

W.addX P Q = ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 + W.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * addZ P Q - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * addZ P Q ^ 2) / (P z * Q z) ^ 2


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
ι : Type u_1
f : ι → F
s : Finset ι
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y


(∏ x ∈ s.attach, (X - C (f ↑x))).Separable