Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

Context: i : ι

Context: I : IntegrableOn (φ i) t μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)

Context: hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

Context: i : ι

Context: hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1

Context: h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1

Context: h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

Context: I : IntegrableOn (φ i) t μ

Context: A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

Context: i : ι

Context: I : IntegrableOn (φ i) t μ

Context: B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝

Context: inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝

Context: P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

(𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : Type u_7
inst✝ : Nonempty γ
a : α
f : γ → β a
i : γ
g : γ → β a
h : mk a ∘ f = mk a ∘ g


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : Monoid γ

Context: inst✝² : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: r : γ

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i✝ : ι

(filter p (r • f)) i✝ = (r • filter p f) i✝


Context:
z : ℂ
x : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M


(∀ x ∉ ∅, f x = 1) ↔ ∀ (a : α), f a = 1 a


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{u}


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

(φ ⊔ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs


(∼φ ⟹ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

EventuallyConst s⁻¹ (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)


Context:
N : ℕ
hn : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N


Context:
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R

(pderiv i) (f * g) = (pderiv i) f * g + f * (pderiv i) g


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g


P ((Over.pullback f).map (Over.homMk (pullback.diagonal g) ⋯)).left


Context:
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

∑ i ∈ range n, a / b ^ i ≤ a * b / (b - 1)


(∑ i ∈ range n, a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b


(∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b


(b - 1) * ∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i ≤ a * b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜

iteratedDeriv n (fun x => -f x) a = -iteratedDeriv n f a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addRightEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)


⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a + c) (b + c)


Context:
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
this : x ∈ t * closure {1}


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: A₁ : Type u_6

Context: B₁ : Type u_7

Context: A₂ : Type u_8

Context: B₂ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommRing A₁

Context: inst✝⁵ : CommRing B₁

Context: inst✝⁴ : CommRing A₂

Context: inst✝³ : CommRing B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: inst✝ : Finite A₁ B₁

Context: this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: A₁ : Type u_6

Context: B₁ : Type u_7

Context: A₂ : Type u_8

Context: B₂ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommRing A₁

Context: inst✝⁵ : CommRing B₁

Context: inst✝⁴ : CommRing A₂

Context: inst✝³ : CommRing B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: inst✝ : Finite A₁ B₁

Context: this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: A₁ : Type u_6

Context: B₁ : Type u_7

Context: A₂ : Type u_8

Context: B₂ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommRing A₁

Context: inst✝⁵ : CommRing B₁

Context: inst✝⁴ : CommRing A₂

Context: inst✝³ : CommRing B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: inst✝ : Finite A₁ B₁

Context: this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

Context: e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: A₁ : Type u_6

Context: B₁ : Type u_7

Context: A₂ : Type u_8

Context: B₂ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommRing A₁

Context: inst✝⁵ : CommRing B₁

Context: inst✝⁴ : CommRing A₂

Context: inst✝³ : CommRing B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: inst✝ : Finite A₁ B₁

Context: this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

Context: this : Finite A₂ B₁


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hbc : Commute b c
hbd : Commute b⁻¹ d
hcd : Commute c⁻¹ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) X✝).one ≫ A.X.map f = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one


𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one


A.mul.app X✝ ≫ A.X.map f = (A.X.map f ⊗ A.X.map f) ≫ A.mul.app Y✝


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X : C


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
k : α
n : ℕ
x a a' : α
h : k + a = a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'

((toLinearMap₂' R) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂' R) J') (toLin' A) (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


(toLinearMap₂' R) J' ∘ₗ toLin' A = ((toLinearMap₂' R) J).compl₂ (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Context: h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K : S
hH : H ≤ K
x✝ : ↥H


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α

span R (v '' s) = map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)


v '' s ⊆ ↑(map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s))


map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s) ≤ span R (v '' s)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R


#ι = ⨆ ι, #↑↑ι


#ι ≤ ⨆ ι, #↑↑ι


⨆ ι, #↑↑ι ≤ #ι


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

(l.balanceL x r).size = l.size + r.size + 1


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : R[X]
hf : derivative f = 0
hp : p ≠ 0
n : ℕ

((expand R p) (contract p f)).coeff n = f.coeff n


(if p ∣ n then f.coeff (n / p * p) else 0) = f.coeff n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g : ι → α
s : Set β
f : β → α


Context: α β γ✝ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (α ⊕ β → ℕ)

Context: γ : Type u

Context: p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)

Context: pe : ∀ (v : α ⊕ β → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : {v | ∃ x, v ⊗ x ∈ S} v

Context: x : β → ℕ

Context: hx : v ⊗ x ∈ S

Context: t : γ → ℕ

Context: ht : p ((v ⊗ x) ⊗ t) = 0

p ((v ⊗ x ⊗ t) ∘ ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr)) = 0


Context: α β γ✝ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (α ⊕ β → ℕ)

Context: γ : Type u

Context: p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : {v | ∃ x, v ⊗ x ∈ S} v

Context: x : β → ℕ

Context: hx : v ⊗ x ∈ S

Context: t : γ → ℕ

Context: ht : p ((v ⊗ x) ⊗ t) = 0


Context: α β γ✝ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (α ⊕ β → ℕ)

Context: γ : Type u

Context: p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : ∃ t, (Poly.map ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr) p) (v ⊗ t) = 0

Context: t : β ⊕ γ → ℕ

Context: ht : (Poly.map ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr) p) (v ⊗ t) = 0


Context: α β γ✝ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (α ⊕ β → ℕ)

Context: γ : Type u

Context: p : Poly ((α ⊕ β) ⊕ γ)

Context: v : α → ℕ

Context: t : β ⊕ γ → ℕ

Context: ht : p ((v ⊗ t) ∘ ((inl ⊗ inr ∘ inl) ⊗ inr ∘ inr)) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a₀ x : α
h : a₀ ≠ 0
hx : ¬IsUnit x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : WfDvdMonoid α

Context: x : α

Context: hx : ¬IsUnit x

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: h : x ^ n * a ≠ 0

Context: hm : ∀ x_1 ∈ {a_1 | ∃ n_1, x ^ n_1 * a_1 = x ^ n * a}, ¬DvdNotUnit x_1 a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : WfDvdMonoid α

Context: x : α

Context: hx : ¬IsUnit x

Context: n : ℕ

Context: d : α

Context: h : x ^ n * (x * d) ≠ 0

Context: hm : ∀ x_1 ∈ {a | ∃ n_1, x ^ n_1 * a = x ^ n * (x * d)}, ¬DvdNotUnit x_1 (x * d)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
a b : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
h : Commute a b


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (RingHom.id K) P

P.coeff 0 = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod


(Multiset.map (fun a => X - C a) P.roots).prod.coeff 0 = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod


(Multiset.map (eval 0 ∘ fun a => X - C a) P.roots).prod = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod


(Multiset.map (fun x => -x) P.roots).prod = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod


(Multiset.map (HMul.hMul (-1)) P.roots).prod = (-1) ^ P.natDegree * P.roots.prod


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set α

Context: f✝ : ι → α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: f : ι → α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
l : List α
f : α → List β

((↑l).bind fun a => ↑(f a)) = ↑(l.bind f)


((↑l).bind fun a => ↑(f a)) = (↑(List.map (ofList ∘ f) l)).join


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Sort u_4
f : ι → Cardinal.{u_5}
hf : BddAbove (range f)

(sSup (range f)).ord = sSup (range fun i => (f i).ord)


(range fun i => (f i).ord) = ord '' range f


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : MeasurableSpace H
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G
inst✝² : NoncompactSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
K1 : K ∈ 𝓝 1
hK : IsCompact K
Kclosed : IsClosed K
K_pos : 0 < μ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: μ✝ : Measure G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G

Context: inst✝² : NoncompactSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: K1 : K ∈ 𝓝 1

Context: hK : IsCompact K

Context: Kclosed : IsClosed K

Context: K_pos : 0 < μ K

Context: A : ∀ (L : Set G), IsCompact L → ∃ g, Disjoint L (g • K)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: μ✝ : Measure G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G

Context: inst✝² : NoncompactSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: K1 : K ∈ 𝓝 1

Context: hK : IsCompact K

Context: Kclosed : IsClosed K

Context: K_pos : 0 < μ K

Context: g : Set G → G

Context: hg : ∀ (L : Set G), IsCompact L → Disjoint L (g L • K)

Context: L : ℕ → Set G := fun n => (fun T => T ∪ g T • K)^[n] K

Context: Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)

Context: Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)

Context: M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: μ✝ : Measure G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G

Context: inst✝² : NoncompactSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: K1 : K ∈ 𝓝 1

Context: hK : IsCompact K

Context: Kclosed : IsClosed K

Context: K_pos : 0 < μ K

Context: g : Set G → G

Context: Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)

Context: Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)

Context: M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K

Context: N : Tendsto (fun n => μ (L n)) atTop (𝓝 (⊤ * μ K))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: μ✝ : Measure G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G

Context: inst✝² : NoncompactSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: K1 : K ∈ 𝓝 1

Context: hK : IsCompact K

Context: Kclosed : IsClosed K

Context: K_pos : 0 < μ K

Context: g : Set G → G

Context: Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)

Context: Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)

Context: M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K

Context: N : Tendsto (fun n => μ (L n)) atTop (𝓝 ⊤)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: μ✝ : Measure G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : μ✝.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : WeaklyLocallyCompactSpace G

Context: inst✝² : NoncompactSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: K1 : K ∈ 𝓝 1

Context: hK : IsCompact K

Context: Kclosed : IsClosed K

Context: K_pos : 0 < μ K

Context: g : Set G → G

Context: Lcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (L n)

Context: Lclosed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (L n)

Context: M : ∀ (n : ℕ), μ (L n) = ↑(n + 1) * μ K


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
n : ℕ


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
n : ℕ
h0 : n ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < c
h₂ : b < c
h : a ≤ b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < c
h₂ : b < c
h : a > b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0
b : β
hb : b ∈ t
h : (fun x => a • x) b = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L

I ≤ Jᵛ ↔ map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A (I * J)) ≤ 1


I ≤ Jᵛ ↔ ∀ m ∈ restrictScalars A I, ∀ n ∈ restrictScalars A J, m * n ∈ comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarMul A
a : A
u : ↥(unitary A)

spectrum R (star ↑u * a * ↑u) = spectrum R a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R✝ M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R✝ M'
b b₁ : Basis ι✝ R✝ M
i✝ : ι✝
c : R✝
x✝ : M
ι : Type u_10
R : Type u_11
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : Semiring R
x : R
i : ι


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt

Context: e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.39620, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.39627, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) (f ≫ 𝟙 ((Cocones.precompose α).obj c).pt) (c.ι.app j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hst : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hst : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hst : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y

DirectedOn ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) on Iic) s


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
x : α


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : DecidableEq K
i : ℕ

∑ x : Kˣ, ↑x ^ i = if q - 1 ∣ i then -1 else 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: i : ℕ

Context: φ : Kˣ →* K := { toFun := fun x => ↑x ^ i, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0

logDeriv (fun z => f z * a) x = logDeriv f x


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hpt : p -ᵥ p₁ = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ p : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: hps : p ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hpc₁ : dist p c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: hpc₂ : dist p c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hpt : p = t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁

Context: hop : t₁ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hpc₁ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁

Context: hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂

t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Context: hp₂ : dist (1 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hpc₁ : t₂ = 0 ∨ t₂ = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Context: hp₂ : 1 = 0 ∨ 1 = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Context: hp₂ : 1 = -2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ c₁⟫_ℝ / ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hpc₁ : t₂ = 0 ∨ t₂ = 1

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
hs : Balanced ℝ s
x : E
hx : x ∈ s
a : ℝ
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Monotone g


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
z w : E
hd : DiffContOnCl ℂ f s
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) s z
hsub : ball z (dist w z) ⊆ s
H₁ : ‖f w‖ = ‖f z‖
H₂ : ‖f w + f z‖ = ‖f z + f z‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E

y ∈ c • sphere x r ↔ y ∈ sphere (c • x) (‖c‖ * r)


c⁻¹ • y ∈ sphere x r ↔ y ∈ sphere (c • x) (‖c‖ * r)


c⁻¹ • y ∈ sphere (c⁻¹ • c • x) r ↔ y ∈ sphere (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V

G.Adj v w ↔ v ≠ w ∧ ∃ e ∈ G.edgeSet, v ∈ e ∧ w ∈ e


(v ≠ w ∧ ∃ e ∈ G.edgeSet, v ∈ e ∧ w ∈ e) → G.Adj v w


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
hne : v ≠ w
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : v ∈ e ∧ w ∈ e


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
hne : v ≠ w
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : e = s(v, w)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
v w : V
hne : v ≠ w
he : s(v, w) ∈ G.edgeSet


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K : S
h : H ≤ K
val✝ : G
property✝ : val✝ ∈ H

↑((inclusion h) ⟨val✝, property✝⟩) = ↑⟨val✝, property✝⟩


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono (f ≫ g)
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : (a ≫ f) ≫ g = (b ≫ f) ≫ g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono (f ≫ g)
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
s : Submodule R N


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
h : y - z ≠ 0


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
h : y + -z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ

edist (Memℒp.toLp f hf) (Memℒp.toLp g hg) = eLpNorm (f - g) p μ


eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp f hf) - ↑↑(Memℒp.toLp g hg)) p μ = eLpNorm (f - g) p μ


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

(e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
h' : (a₁ - a₂).NFBelow e₁.repr


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
h' : (a₁.sub a₂).NFBelow e₁.repr

(match e₁.cmp e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => e₁.oadd n₁ a₁ | Ordering.eq => match (↑n₁).sub ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then a₁.sub a₂ else 0 | k.succ => e₁.oadd k.succPNat a₁).NFBelow b


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
h' : (a₁.sub a₂).NFBelow e₁.repr
this : (e₁.cmp e₂).Compares e₁ e₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : N → N'

Context: r : Set N

Context: y : N

Context: hf : ContMDiff I I' n f

Context: hg : ContMDiff J J' n g

Context: p : M × N

ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) p


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ

take m (iterate f a n) = iterate f a (min m n)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
r : R


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : LE P

Context: I✝ J✝ s t : Ideal P

Context: x y : P

Context: inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: I J : Ideal P


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : LE P

Context: I✝ J✝ s t : Ideal P

Context: x y : P

Context: I J : Ideal P

Context: a : P

Context: ha : a ∈ ↑I


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : LE P

Context: I✝ J✝ s t : Ideal P

Context: x y : P

Context: I J : Ideal P

Context: a : P

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: b : P

Context: hb : b ∈ ↑J


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : LE P

Context: I✝ J✝ s t : Ideal P

Context: x y : P

Context: I J : Ideal P

Context: a : P

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: b : P

Context: hb : b ∈ ↑J

Context: c : P

Context: hac : c ≤ a

Context: hbc : c ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
k : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc₁ : ChainClosure r c₁
hc₂ : ChainClosure r c₂
hc : SuccChain r c₂ = c₂


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: IH : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }

Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

{ l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

some (TM1.stepAux (tr M (ret q)) v ((Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)))) = some { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

(bif false then TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)))) else TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)))) = { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
l : List α


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j : Fin m

↑j < Fintype.card { i // f i ≤ a } ↔ f j ≤ a


∀ (k : Fin m), ↑k < Fintype.card { i // f i ≤ a } → f k ≤ a


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ↑k✝ < Fintype.card { i // f i ≤ a }


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a


(Finset.filter (fun i => f i ≤ a) Finset.univ).card ≤ (Finset.Iio k✝).card


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a
i : Fin m

i ∉ Finset.Iio k✝ → i ∉ Finset.filter (fun i => f i ≤ a) Finset.univ


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a
i : Fin m
hij : ¬i < k✝
hia : f i ≤ a


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝
h : l₁ ++ l <+ l₂ ++ l


Context: α✝ : Type u_1

Context: l₁ l₂ l : List α✝

Context: h : l₁ ++ l <+ l₂ ++ l

Context: this : (l₁ ++ l).reverse <+ (l₂ ++ l).reverse


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝
h : l₁ ++ l <+ l₂ ++ l
this : l₁ <+ l₂


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

(fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : f ≠ g
φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g
x : L
hx : f x ≠ g x
hφx : φ x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: h_nhd : ↑H ∈ 𝓝 1


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: h_nhd : ∃ t ⊆ ↑H, IsOpen t ∧ 1 ∈ t


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

∀ ⦃a : L ≃ₐ[K] L⦄, a ∈ f • W → a ∉ g • W


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : f * w1 = g * w2


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : w1 * w2⁻¹ ∈ H


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : φ ∈ E.fixingSubgroup


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : ∀ x ∈ E, φ x = x


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : x ∈ E → φ x = x


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : x ∈ E → φ x = x

Context: hxE : x ∈ E


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f =Θ[atTop] g
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_pos : 0 < b


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: hf_lb : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: hf_ub : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hf_lb : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, c₁ * ‖g x‖ ≤ ‖f x‖

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: hf_ub : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖f x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: hg : ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖g x‖) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => ‖g x‖) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => ‖g x‖) x) (c₄ * (fun x => ‖g x‖) x)

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1

Context: c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1

Context: c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1

Context: x : ℝ

Context: hf_pos : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y

Context: h_lb : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → c₁ * ‖g y‖ ≤ ‖f y‖

Context: h_ub : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖f y‖ ≤ c₂ * ‖g y‖

Context: hg_bound : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)

Context: hx_pos : 0 ≤ x

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1

Context: c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 ≤ x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

f u ∈ Set.Icc (c₁ * c₂⁻¹ * c₃ * f x) (c₂ * c₄ * c₁⁻¹ * f x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1

Context: c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 ≤ x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

Context: hbx : b * x ≤ x


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf : f =Θ[atTop] g

Context: hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb_pos : 0 < b

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_pos : 0 < c₂

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_pos : 0 < c₃

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_pos : 0 < c₄

Context: h_lb_pos : 0 < c₁ * c₂⁻¹ * c₃

Context: h_ub_pos : 0 < c₂ * c₄ * c₁⁻¹

Context: c₂_cancel : c₂⁻¹ * c₂ = 1

Context: c₁_cancel : c₁⁻¹ * c₁ = 1

Context: x : ℝ

Context: hg_bound✝ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (b * y) y, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g y‖) (c₄ * ‖g y‖)

Context: hx_pos : 0 ≤ x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

Context: hbx : b * x ≤ x

Context: hg_bound : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, ‖g u‖ ∈ Set.Icc (c₃ * ‖g x‖) (c₄ * ‖g x‖)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set (Filter α)
l : Filter α


Context:
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝¹⁰ : Ring F
inst✝⁹ : Ring K
inst✝⁸ : AddCommGroup A
inst✝⁷ : Module F K
inst✝⁶ : Module K A
inst✝⁵ : Module F A
inst✝⁴ : IsScalarTower F K A
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : StrongRankCondition K
inst✝¹ : Module.Free F K
inst✝ : Module.Free K A

toNat (Module.rank F K) * toNat (Module.rank K A) = toNat (Module.rank F A)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
Z : C
g h : Y ⟶ Z
x✝ : f ≫ g = f ≫ h


Context: m n : ℕ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ SpectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x ^ 2 = a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

SpectrumRestricts (cfc Real.sqrt a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ cfc Real.sqrt a ^ 2 = a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L

((BilinForm.toMatrix b) (traceForm K L)).det ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : CommRing T
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁷ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : Algebra R F
inst✝² : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι K L

Context: this : FiniteDimensional K L

Context: pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι K L

Context: this : FiniteDimensional K L

(pb.basis.toMatrix ⇑b * (pb.basis.toMatrix ⇑b)ᵀ).det * ((BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι K L

Context: this : FiniteDimensional K L

b.toMatrix ⇑pb.basis * pb.basis.toMatrix ⇑b = 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι K L

Context: this : FiniteDimensional K L

(pb.basis.toMatrix ⇑b * (pb.basis.toMatrix ⇑b)ᵀ).det * ((b.toMatrix ⇑pb.basis)ᵀ * b.toMatrix ⇑pb.basis).det = 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing T

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : Algebra R F

Context: inst✝² : IsScalarTower R L F

Context: pb✝ : PowerBasis K L

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι K L

Context: this : FiniteDimensional K L

((BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra S Sₘ

Context: i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : Algebra R Sₘ

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: x : R

Context: y : ↥M

(algebraMap Rₘ Sₘ) (mk' Rₘ x y) = mk' Sₘ ((algebraMap R S) x) ⟨(algebraMap R S) ↑y, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : Algebra R Sₘ

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: x : R

Context: y : ↥M

(algebraMap Rₘ Sₘ) (mk' Rₘ (↑y * x) y) = (algebraMap Rₘ Sₘ) ((algebraMap R Rₘ) x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: hl : l.HasBasis p s

Context: h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i

Context: h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: hl : l.HasBasis p s

Context: h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: hl : l.HasBasis p s

Context: h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → s' i' ∈ l

Context: t : Set α

Context: ht✝ : t ∈ l

Context: i : ι

Context: hi : p i

Context: ht : s i ⊆ t


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ

num (↑(T ^ n)) z / denom (↑(T ^ n)) z = ↑z + ↑n


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → W ⟶ f j
j : J

(F.map (lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom) ≫ π (F.obj ∘ f) j = (lift fun j => F.map (g j)) ≫ π (F.obj ∘ f) j


(F.map (lift g) ≫ (F.mapBiproduct f).hom) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j = (lift fun j => F.map (g j)) ≫ π (fun x => F.obj (f x)) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms

Context: J : Type w₁

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: inst✝ : PreservesBiproduct f F

Context: W : C

Context: g : (j : J) → W ⟶ f j

Context: j : J

Context: this : HasBiproduct fun j => F.obj (f j)


Context: m n : ℕ+


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α ≃ β


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: z₁ z₂ : FirstObj P R

Context: h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : R f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₂


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: z₁ z₂ : FirstObj P R

∀ (j : Discrete ((Y : C) × { f // R f })), limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : -n = n'
h₂ : -a = a'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ : ℕ
x✝ : ∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
p : R
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hn : p ^ k = n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }

Context: this : Algebra K K[n√a] := inferInstance


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: hn : 0 < n


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: hn : 0 < n

Context: hn' : ¬n = 1

Context: ζ : K

Context: hζ : ζ ∈ primitiveRoots n K


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: hn : 0 < n

Context: hn' : ¬n = 1

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: hn : 0 < n

Context: hn' : ¬n = 1

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

∀ x ∈ Finset.range n, ∀ y ∈ Finset.range n, (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ x * root (X ^ n - C a) = (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ y * root (X ^ n - C a) → x = y


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℤ


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℤ
m : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M

Submodule.map reverse (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)


Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm ∘ₗ ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)


Context:
x : PartENat
x✝ : Decidable x.Dom


Context: α : Type u_1

Context: t : Ordnode α

Context: hl : t.Sized

Context: C : Ordnode α → Prop

Context: H0 : C nil

Context: H1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (l.node' x r)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: i j k : ι

Context: x : B

Context: hx : x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∩ Z.baseSet k

Context: v : F

((Z.coordChange j k x).comp (Z.coordChange i j x)) v = (Z.coordChange i k x) v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: A B : J

Context: f : A ⟶ B

(D.map f).f ≫ c.ι.app B = c.ι.app A ≫ 𝟙 c.pt


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: A B : J

Context: f : A ⟶ B


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
m : p.Monic
hsplit : Splits (RingHom.id K) p

p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


(Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
a : α

a ⊔ liminf u f = liminf (fun x => a ⊔ u x) f


a ⊔ ⨆ s ∈ f, ⨅ a ∈ s, u a = ⨆ s ∈ f, ⨅ a_1 ∈ s, a ⊔ u a_1


⨆ i ∈ f, (⨅ a ∈ i, u a) ⊔ a = ⨆ s ∈ f, ⨅ a_1 ∈ s, a ⊔ u a_1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M

(ι Q) a * (ι Q) b * (ι Q) a = (ι Q) (QuadraticMap.polar (⇑Q) a b • a - Q a • b)


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : map i p ≠ 0
hsplit : Splits i p

(map i p).degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x y : L


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
m : β i
i' : ι

(equivFunOnFintype.symm (Pi.single i m)) i' = (single i m) i'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : x < y

∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁸ : Fintype ι

Context: inst✝⁷ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: e : ι ≃ ι'

Context: z : PiLp p fun x => E

(LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e).symm z = (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e.symm) z


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁸ : Fintype ι

Context: inst✝⁷ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: e : ι ≃ ι'

Context: z : PiLp p fun x => E

(LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e).symm z = (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e.symm) z


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁸ : Fintype ι

Context: inst✝⁷ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: e : ι ≃ ι'

Context: z : PiLp p fun x => E

Context: x✝ : ι

(LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e).symm z x✝ = (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e.symm) z x✝


Context:
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
he : ¬e.IsPrimitive


Context: R✝ : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: R' : Type v

Context: inst✝² : CommMonoid R'

Context: N : ℕ

Context: inst✝¹ : NeZero N

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: e : AddChar (ZMod N) R

Context: he : ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), e.mulShift x = 1


Context:
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
b : ZMod N
hb_ne : b ≠ 0
hb : e.mulShift b = 1


Context:
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1


Context: a b c p q : ℚ


Context: a b c p q : ℚ

p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den ∧ p ≠ q ↔ p.num * ↑q.den < q.num * ↑p.den


Context:
n : ℕ
hn : 2 ≤ n


Context:
n : ℕ
hn : 2 ≤ 2 + n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

UniformContinuous ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))


∀ (i : ↑(⋃₀ 𝔖)), UniformContinuous fun x => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖

UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s


StableUnderBaseChange fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f


∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], Function.Surjective ⇑(algebraMap R T) → Function.Surjective ⇑includeLeftRingHom


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Icc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Submonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)

∃ T ⊆ I, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i ∈ I, s i


∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
T : Set ↑I
hTc : T.Countable
hU : ⋃ i ∈ T, s ↑i = ⋃ i, s ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets

∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
left✝ : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r


∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (s.sup p).ball 0 r