Context: J : Type v

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : HasLimits D

Context: inst✝ : PreservesLimits G

Context: A : C

Context: ι : Type v

Context: B : ι → D

Context: f : (i : ι) → A ⟶ G.obj (B i)

Context: g : ∀ (X : D) (h : A ⟶ G.obj X), ∃ i g, f i ≫ G.map g = h

Context: B' : ι → StructuredArrow A G := fun i => StructuredArrow.mk (f i)

Context: hB' : ∀ (A' : StructuredArrow A G), ∃ i, Nonempty (B' i ⟶ A')


Context: J : Type v

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : HasLimits D

Context: inst✝ : PreservesLimits G

Context: A : C

Context: ι : Type v

Context: B : ι → D

Context: f : (i : ι) → A ⟶ G.obj (B i)

Context: T : StructuredArrow A G

Context: hT : ∀ (X : StructuredArrow A G), Nonempty (T ⟶ X)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.55691, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.55695, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
X : C

(e.hom.hom n).app X ≫ (e.inv.hom n).app X = 𝟙 ((F.functor n).obj X)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v v₁ : Valuation R Γ₀

Context: v₂ : Valuation R Γ'₀

Context: v₃ : Valuation R Γ''₀

Context: v' : Valuation R Γ₀

Context: f : Γ₀ →*₀ Γ'₀

Context: hf : Monotone ⇑f

Context: inf : Injective ⇑f

Context: h : v.IsEquiv v'

Context: H : StrictMono ⇑f := Monotone.strictMono_of_injective hf inf

Context: r s : R


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v v₁ : Valuation R Γ₀

Context: v₂ : Valuation R Γ'₀

Context: v₃ : Valuation R Γ''₀

Context: v' : Valuation R Γ₀

Context: f : Γ₀ →*₀ Γ'₀

Context: hf : Monotone ⇑f

Context: inf : Injective ⇑f

Context: h : v.IsEquiv v'

Context: r s : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E


Context: α : Type u_1

Context: p : α → Bool

Context: x : α

Context: xs l₂ : List α

Context: h : ∀ (b : α), b ∈ x :: xs → ¬p b = true

eraseP p (x :: xs ++ l₂) = x :: xs ++ eraseP p l₂


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

∏ x ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ↑x = ∏ x : (ZMod p)ˣ, ↑x


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p


∏ x : (ZMod p)ˣ, ↑x = ∏ x ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ↑x


∀ (a : (ZMod p)ˣ) (ha : a ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a ha ∈ Ico 1 (p - 1).succ


∀ (a₁ : (ZMod p)ˣ) (ha₁ : a₁ ∈ univ) (a₂ : (ZMod p)ˣ) (ha₂ : a₂ ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a₁ ha₁ = (fun a x => (↑a).val) a₂ ha₂ → a₁ = a₂


∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun a x => (↑a).val) a ha = b


∀ (a : (ZMod p)ˣ) (ha : a ∈ univ), ↑a = ↑((fun a x => (↑a).val) a ha)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.32181, u_3} E
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : HasZeroObject C


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R

(eval P) W'.polynomialX = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
t : Set Ω


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P

Function.Injective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Injective ⇑(rTensor M f)


Context:
x : ℂ
hx : x.arg ≠ π


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hm : ↑m ≤ n


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSub p₁) w


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y : M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : map f P = Q
x : N
hx : x ∈ Q


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y : M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
f : M ≃ₗ[R] N
hf : map f P = Q
x : N
hx : ∃ y ∈ P, f y = x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
y : V


𝓕 f ((LinearIsometryEquiv.neg ℝ) y) = 𝓕 (f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.neg ℝ)) y


Context:
R : Type u_1
k p i : ℕ
hp : Nat.Prime p

(σ k) (p ^ i) = ∑ j ∈ range (i + 1), p ^ (j * k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * c⁻¹ = b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiff 𝕜 n c
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
u : F
m : Fin i → E

(iteratedFDeriv 𝕜 i (fun y => (c y) u) x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 i c x) m) u


(iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) univ x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c univ x) m) u


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 3 → R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ioc a b) (Ioc (a + d) (b + d))


BijOn (fun x => x + d) (Ioi a ∩ Iic b) (Ioi (a + d) ∩ Iic (b + d))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context: s : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}

ρ s ≤ ↑p * μ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

ρ s ≤ ↑p * μ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ (p • μ) a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: a : Set α

Context: ha : ρ a / μ a < ↑p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: a : Set α

Context: ha : ρ a / μ a < ↑p

ρ a ≤ ↑p * μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: a : Set α

Context: ha : ρ a / μ a < ↑p

μ a ≠ 0 ∨ ↑p ≠ ⊤


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀✝ x₁✝ x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p : Path x₀ x₁
q : Path x₁ x₂
r : Path x₂ x₃
x : ↑I

((p.trans q).trans r) x = ((p.trans (q.trans r)).reparam (fun t => ⟨transAssocReparamAux t, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯) x


(if h : ↑x ≤ 1 / 2 then if h_1 : 2 * ↑x ≤ 1 / 2 then p ⟨2 * (2 * ↑x), ⋯⟩ else q ⟨2 * (2 * ↑x) - 1, ⋯⟩ else r ⟨2 * ↑x - 1, ⋯⟩) = if h : (if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * ↑x else if ↑x ≤ 1 / 2 then ↑x + 1 / 4 else 1 / 2 * (↑x + 1)) ≤ 1 / 2 then p ⟨if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1)), ⋯⟩ else if h_1 : (if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1 ≤ 1 / 2 then q ⟨2 * ((if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1), ⋯⟩ else r ⟨2 * ((if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1) - 1, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype α

e ∈ G.edgeSet → ∑ a : α, incMatrix R G a e = 2


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0

LiouvilleWith p (↑m * x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
h : μ ≤ ν
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: iVU : V ⟶ U

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: p : ↥(unop (op V))

↑((comap (RingHom.id R) U V ⋯) s) p = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: iVU : V ⟶ U

Context: p : ↥(unop (op V))

(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: iVU : V ⟶ U

Context: p : ↥(unop (op V))

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W

Context: iWU : W ⟶ unop (op U)

Context: h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: iVU : V ⟶ U

Context: p : ↥(unop (op V))

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W

Context: iWU : W ⟶ unop (op U)

Context: a b : R

Context: h' : ∀ (x : ↥W), ∃ (hs : b ∉ (↑x).asIdeal), ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) a ⟨b, hs⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: iVU : V ⟶ U

Context: p : ↥(unop (op V))

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W

Context: iWU : W ⟶ unop (op U)

Context: a b : R

Context: hb₁ : b ∉ (↑⟨↑p, hpW⟩).asIdeal

Context: s_eq₁ : ↑s ⟨↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₁⟩

Context: hb₂ : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, hpW⟩).asIdeal

Context: s_eq₂ : ↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₂⟩


Context:
α✝ β α : Type u
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
hne : μ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : m → α

‖col ι v‖₊ = ‖v‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LE α
a : WithBot α
h : a ≠ ⊥
b : α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

mellin f s = ∫ (u : ℝ), cexp (-s * ↑u) • f (rexp (-u))


∫ (x : ℝ) in univ, |(-rexp (-x))| • ↑((rexp ∘ Neg.neg) x) ^ (s - 1) • f ((rexp ∘ Neg.neg) x) = ∫ (u : ℝ), cexp (-s * ↑u) • f (rexp (-u))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ
this : 2 * ↑π ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

W.neg P = P z • ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: v : V

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)

Context: inst✝ : Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: v : V

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)

Fintype.card ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v) = Fintype.card ↑(G'.neighborSet v)


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r : α → β → Prop

Context: p : γ → δ → Prop

Context: hr : RightUnique r

Context: a : List α

Context: b : List β

Context: h₁ : Forall₂ r a b

Context: c : List α

Context: d : List β

Context: h₂ : Forall₂ r c d

Context: h : a ~ c

Context: this : (flip (Forall₂ r) ∘r Perm ∘r Forall₂ r) b d

((flip (Forall₂ r) ∘r Forall₂ r) ∘r Perm) b d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: a b : WithTop α

Context: mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: a b : WithTop α

∀ {a b : αᵒᵈ}, (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) a ≤ (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) b ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

(K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyι j = (K.sc' i j k).homologyι ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V

∃ K ⊆ V, IsCompact K ∧ r < (μ.restrict A) K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
R : (μ.restrict A) V ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)

(M.sum N).Base B ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)


M.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ∧ N.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
inst✝¹ : J.IsPrime
inst✝ : K.IsPrime
i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hMin : I ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (setOf Ideal.IsPrime)

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I

Context: J K : Ideal S

Context: inst✝¹ : J.IsPrime

Context: inst✝ : K.IsPrime

Context: i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : HasDistribNeg M
l : List M

(map Neg.neg l).prod = (-1) ^ l.length * l.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α

MeasurableSet s ↔ GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2) = (π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)


↑(∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2)) = ↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2))


↑(∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2)) = ∫ (v : V), cexp (-↑b * ↑‖v‖ ^ 2)


↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)) = (↑π / ↑b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

{x | ↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 1}.Finite


{x | ¬x.asIdeal ^ (Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors = 1}.Finite


Context:
X : CondensedSet
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)

∀ (i : (T : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => CondensedSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩


Context:
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S


Context:
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
hne' : (-S).Nonempty


Context:
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S
hne' : (-S).Nonempty
hbdd' : BddAbove (-S)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : α → E
a : Filter α
b : E

Tendsto f a (𝓝 b) ↔ Tendsto (fun e => ‖f e / b‖) a (𝓝 0)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K


∀ (f_1 : Ultrafilter X), ↑f_1 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K) → ∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑f_1 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑𝒰 ≤ 𝓟 (f ⁻¹' K)

∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K

∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
y : Y
hyK : y ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 y

∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f
K : Set Y
hK : IsCompact K
𝒰 : Ultrafilter X
h𝒰 : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓟 K
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hyK : f x ∈ K
hy : ↑(Ultrafilter.map f 𝒰) ≤ 𝓝 (f x)

∃ x ∈ f ⁻¹' K, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context: a b c d m n : ℤ

Context: P : ℤ → Sort u_1

Context: lt : (n : ℤ) → n < m → P n

Context: ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → P k) → P n

∀ (hn : m ≤ n), Int.strongRec lt ge n = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k


Context: a b c d m n✝ : ℤ

Context: P : ℤ → Sort u_1

Context: lt : (n : ℤ) → n < m → P n

Context: n : ℤ

Context: x✝ : n ≥ m

Context: ih : ∀ (k : ℤ), k < n → ∀ (hn : m ≤ k), Int.strongRec lt ge k = ge k hn fun k_1 x => Int.strongRec lt ge k_1

Context: hn : m ≤ n

Int.strongRec lt ge n = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k


Context: a b c d m n✝ : ℤ

Context: P : ℤ → Sort u_1

Context: lt : (n : ℤ) → n < m → P n

Context: n : ℤ

Context: x✝ : n ≥ m

Context: hn : m ≤ n

ge n ⋯ (n.inductionOn' m lt (fun _n a ih l a => if hlm : l < m then lt l hlm else ge l ⋯ fun k x => ih k ⋯) fun n_1 x hn l x => hn l ⋯) = ge n hn fun k x => Int.strongRec lt ge k


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

(B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))).Nondegenerate


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm K V

Context: b₁ : B.Nondegenerate

Context: b₂ : B.IsRefl

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: m : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))

Context: hm : ∀ (n : ↥(B.orthogonal (Submodule.span K {x}))), ((B.restrict (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) n = 0

Context: n : V


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm K V

Context: b₁ : B.Nondegenerate

Context: b₂ : B.IsRefl

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: n : V

Context: this : n ∈ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm K V

Context: b₁ : B.Nondegenerate

Context: b₂ : B.IsRefl

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: y : V

Context: hy : y ∈ Submodule.span K {x}

Context: z : V

Context: hz : z ∈ B.orthogonal (Submodule.span K {x})

Context: this : y + z ∈ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm K V

Context: b₁ : B.Nondegenerate

Context: b₂ : B.IsRefl

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: y : V

Context: hy : y ∈ Submodule.span K {x}

Context: z : V

Context: hm : ((domRestrict₁₂ B (B.orthogonal (Submodule.span K {x})) (B.orthogonal (Submodule.span K {x}))) m) ⟨z, hz⟩ = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R

rootMultiplicity t p = rootMultiplicity 0 (p.comp (X + C t))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

discr Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ) (discr R ⇑b)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ ∃ f', ContDiff 𝕜 (↑n) f' ∧ ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ X
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
u : Set δ
inst✝ : MeasureSpace δ
p : δ → Prop
hu : NullMeasurableSet u volume


∀ (s : Set { x // x ∈ u }), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (Subtype.val '' s) volume


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ z₁' : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

((z₁ + z₁').comp z₂ h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h + z₁'.comp z₂ h).v p q hpq


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a✝ : α
x : β
a : α
s : Set α
x✝ : α

x✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ x✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: hs : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: hf : ∀ a₁ ∈ s, ∀ a₂ ∈ s, r a₁ a₂ → r' (f a₁) (f a₂)

Context: g' : ℕ → β

Context: g : ℕ → α

Context: hgs : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: heq : ∀ (n : ℕ), f (g n) = g' n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: hs : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: g : ℕ → α

Context: hgs : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: heq : ∀ (n : ℕ), f (g n) = (f ∘ g) n

∃ m n, m < n ∧ r' ((f ∘ g) m) ((f ∘ g) n)


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
ha : G.Adj v w

(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - ℓ


(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: h : Continuous fun f => f (term I ho)


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : (forget C).PreservesMonomorphisms

MorphismProperty.injective C = monomorphisms C


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

IH4 x₁ x₂ y → IH4 (-x₂) (-x₁) y ∧ IH4 x₁ x₂ (-y)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

(∀ ⦃z w : PGame⦄, w.IsOption y → (z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w) ∧ (z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w)) → (∀ ⦃z w : PGame⦄, w.IsOption y → ((-z).IsOption x₂ → P2 z (-x₁) w) ∧ ((-z).IsOption x₁ → P2 (-x₂) z w)) ∧ ∀ ⦃z w : PGame⦄, (-w).IsOption y → (z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w) ∧ (z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : CommRing L
inst✝¹¹ : CommRing M
inst✝¹⁰ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁹ : ExpChar K p
inst✝⁸ : ExpChar L p
inst✝⁷ : ExpChar M p
inst✝⁶ : ExpChar N p
inst✝⁵ : PerfectRing L p
inst✝⁴ : IsPerfectClosure i p
inst✝³ : PerfectRing M p
inst✝² : IsPerfectClosure j p
inst✝¹ : PerfectRing N p
inst✝ : IsPerfectClosure k p
x : L


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
n✝ : ℤ
n : ℕ
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => s * completedCosZeta a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))


Context: a : UnitAddCircle

Context: h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-1))


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

((fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = s * completedCosZeta a s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hfi : HasFiniteIntegral f μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → β

Context: hfi : HasFiniteIntegral f μ

Context: eq : (fun a => ↑‖‖f a‖‖₊) = fun a => ↑‖f a‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: h : HasFPowerSeriesAt 0 p x

Context: n k : ℕ

Context: hk : ∀ m < k, ∀ (y : E), ((p m) fun x => y) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: h : HasFPowerSeriesAt 0 p x

Context: n k : ℕ

Context: psum_eq : p.partialSum (k + 1) = fun y => (p k) fun x => y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: n k : ℕ

Context: h : (fun y => 0 (x + y) - p.partialSum k.succ y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ k.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: n k : ℕ

Context: h : (fun x => (p k) fun x_1 => x) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ k.succ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

Context: s : PullbackCone (F.val.map (homOfLE ⋯).op) (F.val.map (homOfLE ⋯).op)

F.interUnionPullbackConeLift U V s ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Opposite.casesOn X_1 fun unop => Pairwise.casesOn unop (fun a => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down s.fst s.snd) fun a a_1 => ULift.casesOn a fun down => WalkingPair.casesOn down (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map (eqToHom ⋯).op ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op = s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

⋯.some.lift { pt := s.pt, π := { app := fun X_1 => Pairwise.rec (fun a => WalkingPair.rec s.fst s.snd a.down) (fun a a_1 => WalkingPair.rec (s.fst ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) (s.snd ≫ F.val.map (homOfLE ⋯).op) a.down) (unop X_1), naturality := ⋯ } } ≫ F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = s.fst


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : Module R B

Context: inst✝ : Module R C

Context: S T : NonUnitalSubalgebra R A

Context: h : S.toNonUnitalSubsemiring = T.toNonUnitalSubsemiring

Context: x : A


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α ↪ β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: f : α → β

Context: l : List α

Context: o : Option α

Context: a m✝ hd : α

Context: tl : List α

Context: m : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Cycle α

Context: hs : s.Nodup

Context: hf : (s.formPerm hs).IsCycle

Context: hs' : ∀ (y : Cycle α), (fun s_1 => ∃ (h : s_1.Nodup), s_1.formPerm h = s.formPerm hs) y → y = s

∃! s_1, (↑s_1).formPerm ⋯ = s.formPerm hs


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = 0

Context: hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f_meas : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ) := ⟨f, hf_meas⟩


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_f_meas : ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f_meas


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_f_meas : ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f_meas

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f_meas) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_f_meas : ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f_meas

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f_meas x ∂μ = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i : ι
i' : ι'
hi : e.f i = i'
h : ∃ i, e.f i = i'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
i : ι
i' : ι'
hi : e.f i = i'
h : ∃ i, e.f i = i'
this : h.choose = i


(if h : ∃ i, e.f i = i' then some h.choose else none) = some i


Context:
f : ℂ[X]
hf : 0 < f.degree


Context:
f : ℂ[X]
hf : 0 < f.degree
hf' : ∀ (z : ℂ), ¬f.IsRoot z


Context:
f : ℂ[X]
hf : 0 < f.degree
hf' : ∀ (z : ℂ), ¬f.IsRoot z
this : ∀ (z : ℂ), (eval z f)⁻¹ = 0


Context:
hf : 0 < (C 0).degree
hf' : ∀ (z : ℂ), ¬(C 0).IsRoot z
this : ∀ (z : ℂ), (eval z (C 0))⁻¹ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: LPμν_finite : ¬levyProkhorovEDist μ ν = ⊤

Context: LPνκ_finite : ¬levyProkhorovEDist ν κ = ⊤

levyProkhorovEDist μ κ ≤ levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

μ B ≤ κ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε ∧ κ B ≤ μ (thickening (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal B) + (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: r : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist μ ν + ε / 2

Context: s : ℝ≥0∞ := levyProkhorovEDist ν κ + ε / 2


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r

Context: lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r

Context: lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s

Context: hs_add_r : s + r = levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r

Context: lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s

Context: hs_add_r' : s.toReal + r.toReal = (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ + ε).toReal


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν κ : Measure Ω

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: half_ε_pos : 0 < ε / 2

Context: half_ε_lt_top : ε / 2 < ⊤

Context: lt_r : levyProkhorovEDist μ ν < r

Context: lt_s : levyProkhorovEDist ν κ < s

μ B ≤ κ (thickening (s.toReal + r.toReal) B) + (s + r) ∧ κ B ≤ μ (thickening (s.toReal + r.toReal) B) + (s + r)


Context: n k : ℕ

(n + k).choose k = (n + 1).ascFactorial k / k !


Context: n k : ℕ

k ! * (n + k).choose k = k ! * ((n + 1).ascFactorial k / k !)


Context: n k : ℕ

(n + 1).ascFactorial k = k ! * ((n + 1).ascFactorial k / k !)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix m n R
v : n → R
i : m


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X

Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P S.arrows) ⋯))


Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), firstMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) = secondMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a


Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), ((firstObjEqFamily P S.arrows).hom ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a)).Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a


Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), a.Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a


∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows), a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows

Context: b✝ : x.Compatible

(∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P S.arrows x_1 = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: b✝ : x.Compatible

∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P S.arrows a = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: b✝ : x.Compatible

Context: t : P.obj (op X)

x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: b✝ : x.Compatible

Context: t : P.obj (op X)

x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: b✝ : x.Compatible

Context: t : P.obj (op X)

x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x


Context:
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc t (t + T)) μ


Context:
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

Context: this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

∃! x_1, codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯ x_1 +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

c • sphere x r = sphere (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

0 • sphere x r = sphere (0 • x) (‖0‖ * r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x


∀ᶠ (n : ℤ) in Filter.comap Int.cast atTop, p ↑n


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
T : Set (TopologicalSpace β)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f '' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
h_fin : μ s ≠ ⊤
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s


Context:
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
n : Nat

x✝.nextn (n + 1) { byteIdx := utf8Len m } = { byteIdx := utf8Len m }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
hc : 0 < c


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
x : Rˣ

(x • γ).rightShift a n' hn' = x • γ.rightShift a n' hn'


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : Integrable I l f vol

HasIntegral I l f vol (integral I l f vol)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: x : P × P × P

Context: hx12 : x.1 ≠ x.2.1

Context: hx32 : x.2.2 ≠ x.2.1

Context: f : P × P × P → V × V := fun y => (y.1 -ᵥ y.2.1, y.2.2 -ᵥ y.2.1)

Context: hf1 : (f x).1 ≠ 0

Context: hf2 : (f x).2 ≠ 0

ContinuousAt (fun y => ∡ y.1 y.2.1 y.2.2) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: l✝ : List α

Context: a✝ m a : α

Context: l tl : List α

Context: hd : α

Context: ih : (a :: tl).maximum = max (↑a) tl.maximum

(a :: (tl ++ [hd])).maximum = max (↑a) (tl ++ [hd]).maximum


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → E'

Context: x : E

ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
x : α

x ∈ ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), ptsOfPeriod f n ↔ x ∈ periodicPts f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s


∀ t₁ ∈ s \ {∅}, ∀ t₂ ∈ s \ {∅}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ s \ {∅}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ → ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

MeasurableSet {x | ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x = 0 x}


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Measurable fun b => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ → ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ

ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = 0 x


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c

Context: inst✝² : K.HasTotal c

Context: inst✝¹ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝ : DecidableEq J

Context: j j' : J

(K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ

Context: e : ℕ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: x : ℝ

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e

Context: R : ℝ

Context: R_pos : R > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (1 / 2) ^ n < R


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K

(Finset.filter (fun φ => mk φ = w) Finset.univ).card = w.mult


(Finset.filter (fun x => x = w.embedding ∨ x = star w.embedding) Finset.univ).card = w.mult


({w.embedding} ∪ {ComplexEmbedding.conjugate w.embedding}).card = if w.IsReal then 1 else 2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k


Context: S : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹¹ : Module R A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R A A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra S B

Context: inst✝⁶ : Algebra S R

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction S A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower S R A

Context: C : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring C

Context: inst✝² : Algebra R C

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) C

Context: inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R A) C

Context: φ ψ : F

Context: h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a

Context: r : R

φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜

∫ (x : ℝ) in a..b, f x * r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) * r


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : a = 0


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : 1 ≤ b


Context:
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : n < m
i : Nat

(drop m (l.set n a))[i]? = (drop m l)[i]?


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ

μ (ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 s)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : ball 0 (r * s) = r • ball 0 s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < n
h : ↑n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
s t u : Multiset α


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E

(algebraMap E K₃) (((χ.trans ω).restrictNormal E) x✝) = (algebraMap E K₃) (((χ.restrictNormal E).trans (ω.restrictNormal E)) x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ


Context:
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
n : ℕ

l.rotate n = l ↔ n % l.length = 0 ∨ l = []


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ - I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ = 𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ - I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖ + (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ - I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)


𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + (𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))


𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + 𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + (I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))


𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖)) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
i : Fin n

vecAlt0 ⋯ (vecAppend ⋯ v v) i = (v ∘ fun n_1 => n_1 + n_1) i


(if h : ↑i + ↑i < n then v ⟨↑i + ↑i, ⋯⟩ else v ⟨↑i + ↑i - n, ⋯⟩) = v (i + i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r✝ r : List (List α)

Context: l : List α

Context: ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]

sublistsAux a (r ++ [l]) = (r ++ [l]).bind fun l => [l, a :: l]


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r✝ r : List (List α)

Context: l : List α

foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r) [l] = sublistsAux a r ++ [l, a :: l]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: r : R

Context: x y : S

Context: this : SMulZeroClass R S := inferInstance


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x : ring.Term α
v : α → R


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

whiskerRight (rightDerivedToHomotopyCategory (𝟙 F)) (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n) = 𝟙 (F.rightDerived n)


𝟙 (F.rightDerivedToHomotopyCategory ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n) = 𝟙 (F.rightDerived n)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E

‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖x‖ ^ k * (‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖)


‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖


‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x + iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)

IsOpen U ↔ ∀ (j : J), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β✝

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: x✝ y✝ z : α✝

Context: s : Set α✝

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i)

Context: x y : (i : ι) → α i

edist ((fun g i => f i (g i)) x) ((fun g i => f i (g i)) y) = edist x y


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

(Icc a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Icc a b)).card


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x : K_hat R K

Context: hx : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, x v ∈ adicCompletionIntegers K v

∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, (-x) v ∈ adicCompletionIntegers K v


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x : K_hat R K

Context: h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R), -x v ∈ adicCompletionIntegers K v ↔ x v ∈ adicCompletionIntegers K v


∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun x => x * log x) x


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Filter.Tendsto (fun x => x * log x) (𝓝 0) (𝓝 0)


Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝 0) (𝓝 0)


Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[Set.univ] 0) (𝓝 0)


Context: this : Set.univ = Set.Iio 0 ∪ Set.Ioi 0 ∪ {0}


Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0 ⊔ 𝓝[>] 0 ⊔ 𝓝[{0}] 0) (𝓝 0)


(Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)) ∧ Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (pure 0) (𝓝 0)


Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Filter.Tendsto (fun x => log x * x) (pure 0) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C

eLpNorm f p μ ≤ μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ * ENNReal.ofReal C


eLpNorm f p μ ≤ ENNReal.ofReal C * μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β


s ∩ r.inv.dom ⊆ r.inv.preimage (r.preimage s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α

(⇑ofDual ⁻¹' s).ordSeparatingSet (⇑ofDual ⁻¹' t) = ⇑ofDual ⁻¹' s.ordSeparatingSet t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Zero β

Context: inst✝¹² : One β

Context: inst✝¹¹ : Add β

Context: inst✝¹⁰ : Mul β

Context: inst✝⁹ : Neg β

Context: inst✝⁸ : Sub β

Context: inst✝⁷ : SMul ℕ β

Context: inst✝⁶ : SMul ℤ β

Context: inst✝⁵ : Pow β ℕ

Context: inst✝⁴ : NatCast β

Context: inst✝³ : IntCast β

Context: f : α → β

Context: hf : Surjective f

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : Add α

Context: inst✝ : RightDistribClass α

Context: add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y

Context: mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y

Context: x y z : α

(f x + f y) * f z = f x * f z + f y * f z


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: H : All (RootOrdered cmp (left red parent x b)) a

RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: H : All (RootOrdered cmp (right red a x parent)) b


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: xb : All (cmpLT cmp x) b

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: H : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a

RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance1 x b))


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: H : All (RootOrdered cmp (right black a x parent)) b

RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance2 x b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ


∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x - f x ∂μ + ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A


2⁻¹ • (↑f + ↑g - |↑g - ↑f|) ∈ A.topologicalClosure


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
h : a < b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C C' : VariableChange R

{ u := (Units.map ↑φ) (C.u * C'.u), r := φ (C.r * ↑C'.u ^ 2 + C'.r), s := φ (↑C'.u * C.s + C'.s), t := φ (C.t * ↑C'.u ^ 3 + C.r * C'.s * ↑C'.u ^ 2 + C'.t) } = { u := (Units.map ↑φ) C.u * (Units.map ↑φ) C'.u, r := φ C.r * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 2 + φ C'.r, s := ↑((Units.map ↑φ) C'.u) * φ C.s + φ C'.s, t := φ C.t * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 3 + φ C.r * φ C'.s * ↑((Units.map ↑φ) C'.u) ^ 2 + φ C'.t }


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionRing α
inst✝¹ : DivisionRing β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
f : C(X, Y)
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Z
hU : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
x y : M
hu : IsUnit (x * y)


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Mono f ↔ Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Mono (skeletalEquivalence.functor.map f) ↔ Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Mono (skeletalFunctor.map f) ↔ Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
hG : ¬(center G).index = 0
this : (center G).FiniteIndex

Nat.card ↥(_root_.commutator G) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G) + 1)


Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) * ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)) * (center G).index


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this : (center G).FiniteIndex

Context: h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this : (center G).FiniteIndex

Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ ((center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Context: this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Context: h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Context: h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Nat.card ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ∣ (center G).index ^ Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

∀ (g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))), g ^ (center G).index = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Context: g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝¹ : (center G).FiniteIndex

Context: this✝ : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex

Context: this : ↑↑g ∈ (MonoidHom.transferCenterPow G).ker


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M


Context:
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
x : ℝ


Tendsto (fun x_1 => f.measure (Ioc x_1 x)) atBot (𝓝 (ofReal (↑f x - l)))


Tendsto (fun x_1 => ofReal (↑f x - ↑f x_1)) atBot (𝓝 (ofReal (↑f x - l)))


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: x y : C

Context: f : x ⟶ y

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj ((skyscraperPresheafFunctor p₀).obj x)) U ≫ (skyscraperPresheafFunctor p₀ ⋙ Presheaf.stalkFunctor C p₀).map f ≫ (fun c => (skyscraperPresheafStalkOfSpecializes p₀ c ⋯).hom) y = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj ((skyscraperPresheafFunctor p₀).obj x)) U ≫ (fun c => (skyscraperPresheafStalkOfSpecializes p₀ c ⋯).hom) x ≫ (𝟭 C).map f


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
ι : Type v
hι : Infinite ι
ιK : Type (max u v)
bK : Basis ιK K (ι → K)
e : ℕ ↪ ι


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: this : lift.{max u v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ lift.{u, max u v} (Module.rank K (ι → K))


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: this : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: key : lift.{v, u} (max ℵ₀ #K) ≤ Module.rank K (ι → K)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: key : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ι → K) ∧ lift.{v, u} #K ≤ Module.rank K (ι → K)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: this✝ : lift.{v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ Module.rank K (ι → K)

Context: this : Infinite ιK


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: this : Infinite ιK


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : D ⥤ E

Context: hF : F.FullyFaithful

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C

Context: X✝ Y✝ : C ⥤ D

Context: f : ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj X✝ ⟶ ((CategoryTheory.whiskeringRight C D E).obj F).obj Y✝

Context: x✝¹ x✝ : C

Context: g : x✝¹ ⟶ x✝

X✝.map g ≫ (fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝ = (fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝¹ ≫ Y✝.map g


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : D ⥤ E

Context: hF : F.FullyFaithful

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C

Context: X✝ Y✝ : C ⥤ D

Context: x✝¹ x✝ : C

Context: g : x✝¹ ⟶ x✝

F.map (X✝.map g ≫ (fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝) = F.map ((fun X => hF.preimage (f.app X)) x✝¹ ≫ Y✝.map g)


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : D ⥤ E

Context: hF : F.FullyFaithful

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C

Context: X✝ Y✝ : C ⥤ D

Context: x✝¹ x✝ : C

Context: g : x✝¹ ⟶ x✝

F.map (X✝.map g ≫ hF.preimage (f.app x✝)) = F.map (hF.preimage (f.app x✝¹) ≫ Y✝.map g)


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : D ⥤ E

Context: hF : F.FullyFaithful

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.29894, u_1} C

Context: X✝ Y✝ : C ⥤ D

Context: x✝¹ x✝ : C

Context: g : x✝¹ ⟶ x✝

F.map (X✝.map g) ≫ f.app x✝ = f.app x✝¹ ≫ F.map (Y✝.map g)


Context: T : Type uT

Context: g : ContextFreeGrammar T

Context: s : List (Symbol T g.NT)

Context: hgs : g.reverse.Derives [Symbol.nonterminal g.reverse.initial] s

g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] s.reverse