Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α


(∀ x ∈ Multiset.map f s.val, x = 0) ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k


∀ (i : Set α), k ⊆ i → IsOpen i → μ (closure k) ≤ μ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
u : Set α
ku : k ⊆ u
u_open : IsOpen u


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
ha : IsWellOrderLimitElement ⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
ha : IsWellOrderLimitElement ⊥
b : α
hb : b < ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : i ∉ p.support


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s✝ t : Finset α
a✝ : α
m n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α

a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a


(∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a) ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β

∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : m.ToType, f x.fst ↑x.snd


∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }, f (↑x).1 (↑x).2


∀ (x : m.ToType), f x.fst ↑x.snd = f (↑(m.coeEquiv x)).1 (↑(m.coeEquiv x)).2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g : ι → α
s : Set α


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)

dist x y = ↑(nndist x.1 y.1 ⊔ nndist x.2 y.2)


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α✝ : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring $α✝)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a✝ a'✝ a₁ a₂ a₃ b✝ b'✝ b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R

Context: α β : Type u_2

Context: inst : CSLift α β

Context: a b : α

Context: a' b' : β

Context: h1 : CSLiftVal a a'

Context: h2 : CSLiftVal b b'

Context: h : a' = b'


Context: p : Prop


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
x : { x // p x }

↑x = ⊥ ↔ x = ⊥


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

∀ (a : List R[X]), (prod ⟦a⟧).degree ≤ (Multiset.map degree ⟦a⟧).sum


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d


Context:
α' : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α'
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
g : α' ≃ α
a : α
v : β

update f a v ∘ ⇑g = update (f ∘ ⇑g) (g.symm a) v


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

padicValNat p (a * b).natAbs = padicValNat p a.natAbs + padicValNat p b.natAbs


Context:
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0


explicitCokernelDesc cond' ≫ h = explicitCokernelDesc ⋯


explicitCokernelπ f ≫ explicitCokernelDesc cond' ≫ h = g ≫ h


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
h : map f id ^ n = map (f ^ n) (id ^ n)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p₀ q₀ : Path x₀ x₁
p₁ q₁ : Path x₁ x₂
F : p₀.Homotopy q₀
G : p₁.Homotopy q₁
x : ↑I × ↑I

(if ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1).extend (2 * ↑x.2) else (G.eval x.1).extend (2 * ↑x.2 - 1)) = if h : ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2, ⋯⟩ else (G.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2 - 1, ⋯⟩


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω

hitting u s ⊥ ⊤ ω = sInf {i | u i ω ∈ s}


(∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)) → ⊤ = sInf {i | u i ω ∈ s}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : CompleteLattice ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: f : Filtration ι m

Context: ω : Ω

Context: h_nmem_s : ∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : CompleteLattice ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: f : Filtration ι m

Context: ω : Ω


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), u x ω ∉ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α

lowerBounds (insert a s) = Iic a ∩ lowerBounds s


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s


underlying.obj (sInf s) ⟶ underlying.obj f


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : NormalizationMonoid α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Unique αˣ
m : Multiset α
h : ∀ p ∈ m, Prime p


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x y : ℝ
hy_mem : y ∈ Ioi x


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : 0 < n
g₀ : G
this : DecidableEq R

(filter (fun g => g ^ n = g₀) univ).card ≤ Multiset.card (nthRoots n (f g₀))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a : α

comap (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (𝓤 α) = 𝓤 α


Function.Injective fun x => (x.1 * a, x.2 * a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a p₁ p₂ q₁ q₂ : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
m : M

m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


(∀ (b : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → closure {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


Context:
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs.get? i = xs.get? j


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c_count : ∅.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ ∅, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
x : ι
hx : x ∈ c
n : ℕ
hn : f n = ⟨x, hx⟩


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsDomain B

Context: p : A[X]

Context: f : A →+* B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree

Multiset.map (⇑f) p.roots = (map f p).roots


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsDomain B

Context: p : A[X]

Context: f : A →+* B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Multiset.card (map f p).roots ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius

∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq : ℝ≥0
rq_pos : 0 < ↑rq
hrq : ↑rq < min 1 q.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq : ℝ≥0
rq_pos : 0 < ↑rq
hrq : ↑rq < min 1 q.radius
rp : ℝ≥0
rp_pos : 0 < ↑rp
hrp : ↑rp < min 1 p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hq : 0 < q.radius

Context: hp : 0 < p.radius

Context: rq rp : ℝ≥0

Context: hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius

Context: hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius

Context: rp_pos : 0 < rp

Context: rq_pos : 0 < rq

Context: Cq : ℝ≥0

Context: _hCq0 : Cq > 0

Context: hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq

Context: Cp : ℝ≥0

Context: hCp1 : Cp ≥ 1

Context: hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp

Context: r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹

Context: r0_pos : 0 < r0

Context: r : ℝ≥0 := rp * rq * r0

Context: r_pos : 0 < r

Context: I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hq : 0 < q.radius

Context: hp : 0 < p.radius

Context: rq rp : ℝ≥0

Context: hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius

Context: hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius

Context: rp_pos : 0 < rp

Context: rq_pos : 0 < rq

Context: Cq : ℝ≥0

Context: _hCq0 : Cq > 0

Context: hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq

Context: Cp : ℝ≥0

Context: hCp1 : Cp ≥ 1

Context: hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp

Context: r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹

Context: r0_pos : 0 < r0

Context: r : ℝ≥0 := rp * rq * r0

Context: r_pos : 0 < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hq : 0 < q.radius

Context: hp : 0 < p.radius

Context: rq rp : ℝ≥0

Context: hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius

Context: hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius

Context: rp_pos : 0 < rp

Context: rq_pos : 0 < rq

Context: Cq : ℝ≥0

Context: _hCq0 : Cq > 0

Context: hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq

Context: Cp : ℝ≥0

Context: hCp1 : Cp ≥ 1

Context: hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp

Context: r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹

Context: r0_pos : 0 < r0

Context: r : ℝ≥0 := rp * rq * r0

Context: r_pos : 0 < r

Context: this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hq : 0 < q.radius

Context: hp : 0 < p.radius

Context: rq rp : ℝ≥0

Context: hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius

Context: hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius

Context: rp_pos : 0 < rp

Context: rq_pos : 0 < rq

Context: Cq : ℝ≥0

Context: _hCq0 : Cq > 0

Context: hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq

Context: Cp : ℝ≥0

Context: hCp1 : Cp ≥ 1

Context: hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp

Context: r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹

Context: r0_pos : 0 < r0

Context: r : ℝ≥0 := rp * rq * r0

Context: r_pos : 0 < r

Summable fun i => ∑' (y : Composition (i + 1)), (4 ^ ⟨i + 1, y⟩.fst)⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hq : 0 < q.radius

Context: hp : 0 < p.radius

Context: rq rp : ℝ≥0

Context: hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius

Context: hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius

Context: rp_pos : 0 < rp

Context: rq_pos : 0 < rq

Context: Cq : ℝ≥0

Context: _hCq0 : Cq > 0

Context: hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq

Context: Cp : ℝ≥0

Context: hCp1 : Cp ≥ 1

Context: hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp

Context: r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹

Context: r0_pos : 0 < r0

Context: r : ℝ≥0 := rp * rq * r0

Context: r_pos : 0 < r

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support = t ∩ p.support


Context:
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}


max (a.blsub fun a' ha' => a' ♯ b ♯ c) (max (b.blsub fun b' hb' => a ♯ b' ♯ c) (c.blsub fun b' x => a ♯ b ♯ b')) = max (a.blsub fun a' x => a' ♯ (b ♯ c)) (max (b.blsub fun a' ha' => a ♯ (a' ♯ c)) (c.blsub fun b' hb' => a ♯ (b ♯ b')))


∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < b ♯ c → j < b ♯ c → i ≤ j → a ♯ i ≤ a ♯ j


∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < a ♯ b → j < a ♯ b → i ≤ j → i ♯ c ≤ j ♯ c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x

IsRelPrime (y * x) (z * x) ↔ IsRelPrime y z


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁

(toMatrix v₁ v₁) (f * g) = (toMatrix v₁ v₁) f * (toMatrix v₁ v₁) g


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : α

Context: xy : ¬x ≤ y

Context: yx : ¬y ≤ x


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : c < 0


Context:
m n a b d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : 0 < c


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ'.prod ν') s = 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite ν'

Context: h1 : μ ≪ μ'

Context: h2 : ν ≪ ν'

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : (fun x => ν' (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ'] 0

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless

(I.prod J).boundary (M × N) = (I.boundary M).prod univ


univ.prod ∅ ∪ (I.boundary M).prod univ = (I.boundary M).prod univ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
this : univ.prod ∅ = ∅


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
x✝ : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S

eval₂ f x (p.comp q) = eval₂ f (eval₂ f x q) p


eval₂ f x (eval₂ C q (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))) = eval₂ f (eval₂ f x q) (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∉ s


Context:
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}


Context:
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S


Context: f : CauSeq ℝ abs

Context: S : Set ℝ := {x | const abs x < f}

Context: lb : ∃ x, x ∈ S

Context: ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x


Context: f : CauSeq ℝ abs

Context: S : Set ℝ := {x | const abs x < f}

Context: lb : ∃ x, x ∈ S

Context: ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x


Context: f : CauSeq ℝ abs

Context: S : Set ℝ := {x | const abs x < f}

Context: lb : ∃ x, x ∈ S

Context: ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x

Context: h : f < const abs (sSup S)


Context: f : CauSeq ℝ abs

Context: S : Set ℝ := {x | const abs x < f}

Context: lb : ∃ x, x ∈ S

Context: ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x

Context: h : const abs (sSup S) < f


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))

L.join.NodupKeys ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise Disjoint (map keys L)


(∀ l ∈ L, Pairwise (fun s s' => s.fst ≠ s'.fst) l) ∧ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L


Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L


Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L = Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
l₁ l₂ : List (Sigma β)

(∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) ↔ l₁.keys.Disjoint l₂.keys


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this : Module.Finite R ↥S


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this : Module.Finite R ↥S

Context: p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})

Context: MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this✝ : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: this : Module.Finite ↥S ↥Sx


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this✝ : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: this : Module.Finite ↥S ↥Sx

(Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R (adjoin ↥S {x}))).FG


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this✝ : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: this : Module.Finite ↥S ↥Sx

Module.Finite R ↥(Subalgebra.toSubmodule (Subalgebra.restrictScalars R (adjoin ↥S {x})))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: this✝² : Module.Finite R ↥S

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: this✝¹ : Module.Finite ↥S ↥Sx

Context: this✝ : SMul ↥S ↥Sx := { smul := SMul.smul }

Context: this : IsScalarTower R ↥S ↥Sx


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
x✝ : α × List α
a : α
l : List α

ContinuousAt (fun p => insertNth n p.1 p.2) (a, l)


Tendsto (fun p => insertNth n p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth n (a, l).1 (a, l).2))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ

choose (r + 1) (k + 1) = choose r k + choose r (k + 1)


(fun x => (k + 1).factorial • x) (choose (r + 1) (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) (choose r k + choose r (k + 1))


(descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • choose r k + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

(fun x y z => 𝒰.gluedCoverT' x y z) x y z ≫ pullback.snd ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y z) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y x) = pullback.fst ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x y) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x z) ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom) x y


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R

(monomial n) r * X = (monomial (n + 1)) r


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x
h : x < y


Context: k : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = Submodule.restrictScalars S (ideal R S)


Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) ≤ Submodule.restrictScalars S (ideal R S)


Submodule.restrictScalars S (ideal R S) ≤ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)


Context:
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν


{x | (fun x => 0 < ν.rnDeriv μ x) x} ∈ ae (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: x : α

Context: hx : 0 < (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ x

Context: hx2 : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ x = ν.rnDeriv μ x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f

LieSubmodule.map f (weightSpace M χ) = weightSpace M₂ χ ⊓ f.range


weightSpace M₂ χ ⊓ f.range ≤ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : f m ∈ ↑↑(weightSpace M₂ χ)

f m ∈ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ)


∃ m_1, f m_1 ∈ weightSpace M₂ χ ∧ f m_1 = f m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : Associates.mk a ⊓ Associates.mk b ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hz : (Associates.mk a).factors ⊓ (Associates.mk b).factors ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0

Context: p0 : Associates α

Context: p0_irr : Irreducible p0

Context: p0_mem : ⟨p0, p0_irr⟩ ∈ factors' a ⊓ factors' b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0

Context: p0 : Associates α

Context: p0_irr : Irreducible p0

Context: p0_mem : ⟨p0, p0_irr⟩ ∈ factors' a ∩ factors' b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hz : ↑(factors' a ⊓ factors' b) ≠ 0

Context: p : α

Context: p0_irr : Irreducible (Associates.mk p)

Context: p0_mem : ⟨Associates.mk p, p0_irr⟩ ∈ factors' a ∩ factors' b


Context:
n : ℕ∞
p : ℝ[X]

ContDiff ℝ n fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x


Context:
n : ℕ∞
p : ℝ[X]
m : ℕ

ContDiff ℝ ↑m fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0

j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ ∃ k, ↑k < ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : (↑⌈(↑j + 1) / r⌉ - 1) * r < ↑j


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : (↑⌈(↑j + 1) / r⌉ - 1) * r ≥ ↑j


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ν_finite : IsFiniteMeasure ν


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ν_finite : IsFiniteMeasure ν

Context: obs_μ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂μ) atTop (𝓝 (μ F))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ν_finite : IsFiniteMeasure ν

Context: obs_ν : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂ν) atTop (𝓝 (ν F))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ν_finite : IsFiniteMeasure ν

Context: obs_μ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : Ω), ↑((F_closed.apprSeq n) x) ∂ν) atTop (𝓝 (μ F))


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W U V : Submodule R M

U.dualAnnihilator ⊔ V.dualAnnihilator ≤ (U ⊓ V).dualAnnihilator


U ⊓ V ≤ U.dualAnnihilator.dualCoannihilator ⊓ V.dualAnnihilator.dualCoannihilator


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p


lift.{v, w} #{ i // p i ≠ ⊥ } ≤ lift.{v, w} ↑(finrank R M)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = X✝.hom.app [0] ≫ η.right.app [0]


η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = (X✝.hom ≫ η.right).app [0]


η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = ((const C).map η.left ≫ Y✝.hom).app [0]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a < a * b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

(∀ (m : ℕ), m < n + 1 → p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → p m) ∧ p n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => limsup (F i) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f ≤ s.sup' hs fun i => limsup (F i) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

(s.sup' hs fun i => limsup (F i) f) ≤ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)

IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ Tendsto f (cocompact X) (cocompact Y)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

(Continuous f ∧ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsCompact (f ⁻¹' K)) ↔ Continuous f ∧ ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: f_cont : Continuous f

Context: H : ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X

Context: K : Set Y

Context: hK : IsCompact K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: f_cont : Continuous f

Context: K : Set Y

Context: hK : IsCompact K

Context: K' : Set X

Context: hK' : IsCompact K'

Context: hK'y : K'ᶜ ⊆ (f ⁻¹' K)ᶜ


Context:
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1


Context:
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : 0 ≤ 1 - p


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t s : Set (SeparationQuotient X)

Context: x : X

Filter.map mk (𝓝[mk ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] mk x


Context: z : ℤ


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
hs : s.Nodup
hs' : s'.Nodup

s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.Subsingleton ∧ s'.Subsingleton


s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.length ≤ 1 ∧ s'.length ≤ 1


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α

∀ {hs : s.Nodup} {hs' : s'.Nodup}, s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.length ≤ 1 ∧ s'.length ≤ 1


∀ (a₁ a₂ : List α) {hs : Nodup (Quotient.mk'' a₁)} {hs' : Nodup (Quotient.mk'' a₂)}, formPerm (Quotient.mk'' a₁) hs = formPerm (Quotient.mk'' a₂) hs' ↔ Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂ ∨ length (Quotient.mk'' a₁) ≤ 1 ∧ length (Quotient.mk'' a₂) ≤ 1


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α

∀ {hs : Nodup (Quotient.mk'' l)} {hs' : Nodup (Quotient.mk'' l')}, formPerm (Quotient.mk'' l) hs = formPerm (Quotient.mk'' l') hs' ↔ Quotient.mk'' l = Quotient.mk'' l' ∨ length (Quotient.mk'' l) ≤ 1 ∧ length (Quotient.mk'' l') ≤ 1


∀ {hs : l.Nodup} {hs' : l'.Nodup}, l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α
hs : l.Nodup
hs' : l'.Nodup

l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hn : Odd n

Context: a : K

Context: ha : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → ∀ (b : K), b ^ p ≠ a


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
F : C ⥤ D

F.map f ≫ F.map sm.retraction = 𝟙 (F.obj X)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝¹ : Set X

Context: ι : Type v

Context: hι : Nonempty ι

Context: hs : IsCompact s

Context: t✝ : ι → Set X

Context: htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t✝ i)

Context: hst : s ∩ ⋂ i, t✝ i = ∅

Context: hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t✝

Context: t : ι

Context: ht : s ⊆ (compl ∘ t✝) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: κ : Type u_8

Context: inst✝² : AddCommMonoid R

Context: inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: u : κ → α → R

Context: s : Finset κ

(∀ k ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (u k)) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup T

Context: inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: f g : AdicCompletion I M →ₗ[AdicCompletion I R] T

Context: h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M), f ((mk I M) a) = g ((mk I M) a)

Context: x : AdicCompletion I M


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

π' (k + n) ≤ (filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

(filter Prime (Ico 0 k) ∪ filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ (filter Prime (Ico 0 k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

(filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

filter Prime (Ico k (k + n)) ⊆ filter a.Coprime (Ico k (k + n))


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

∀ ⦃x : ℕ⦄, k ≤ x → x < k + n → Prime x → (k ≤ x ∧ x < k + n) ∧ a.Coprime x


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + φ a * (n / a + 1)


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

(filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ φ a * (n / a + 1)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

orthogonalProjectionFn s p ∈ mk' p s.directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) ⊆ ↑(mk' p s.directionᗮ)


Context:
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a

card (filter p (Ico n (n + a))) = count p a


Multiset.count True (map p (Ico n (n + a))) = Multiset.count True (map (p ∘ fun x => x % a) (Ico n (n + a)))


Context:
n✝ a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a
n : ℕ


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
j : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves

((PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.card


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a : n
M : Matrix n n α

(M * stdBasisMatrix i j c) a j = M a i * c


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
a✝ b✝ c : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral c
a b : M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det

Context: q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: ht : t_inv * t = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: ht : t_inv * t = 1

Context: hp : toLaurentAlg M.charpoly = p


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: ht : t_inv * t = 1

Context: hp : toLaurentAlg M.charpoly = p

Context: hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: ht : t_inv * t = 1

Context: hp : toLaurentAlg M.charpoly = p

Context: hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q

(1 - t_inv • M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det = (invert.mapMatrix (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C)).det


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x


(1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x


∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x


∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b

(fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
y : α
hy : y ∈ closedBall x r
h'y : y ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : Option α → Prop


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝³ : DecidableEq I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : K.HasTotal c₁₂
inst✝ : L.HasTotal c₁₂


(HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (map (𝟙 K) c₁₂) = (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (𝟙 (K.total c₁₂))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

taylorWithinEval f (n + 1) s x₀ x = taylorWithinEval f n s x₀ x + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀


(PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀


(PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀


(x - x₀) ^ (n + 1) • taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀ = ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀


(x - x₀) ^ (n + 1) • (↑(n + 1)!)⁻¹ • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀ = ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f

∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : S + 1 ≤ ‖x‖


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : ‖x‖ ≤ S


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
f : C(X, Y)
A A' : DiscreteQuotient X
B B' : DiscreteQuotient Y
g : C(Y, Z)
C : DiscreteQuotient Z

LEComap g B C → LEComap f A B → LEComap (g.comp f) A C


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
y : ↥M
hxy : mk' S 0 y ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
i j : n

(M.charmatrix i j).natDegree = if i = j then 1 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F'✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'✝

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hn : 0 < finrank ℝ E

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹

Context: F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))

Context: e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean

Context: C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊

Context: C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p

Context: C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊

Context: v : E → F' := ⇑e ∘ u

eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F'✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'✝

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hn : 0 < finrank ℝ E

Context: e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean

Context: C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊

Context: C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊

Context: v : E → F' := ⇑e ∘ u

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F'✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'✝

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hn : 0 < finrank ℝ E

Context: e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean

Context: C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊

Context: C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊

Context: v : E → F' := ⇑e ∘ u

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F'✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'✝

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hn : 0 < finrank ℝ E

Context: e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean

Context: C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊

Context: C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊

Context: v : E → F' := ⇑e ∘ u

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

Context: this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F'✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'✝

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hn : 0 < finrank ℝ E

Context: e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean

Context: C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊

Context: C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊

Context: v : E → F' := ⇑e ∘ u

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

Context: h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : X'

Context: y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤

Context: h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: this : (⋃ l ∈ s, ⋃ u ∈ s, ⋃ (_ : l < u), {Ico l u}).Countable


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

{x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2} ⊆ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : f (g x) = g x


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : g (g x) = g x


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hg : g x = x
hf : f (f x) = f x


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hg : g x = x
hf : g (f x) = f x


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.199007, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
A' : C
α : A' ⟶ A


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b : ℕ

(b ∈ (Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 - f (n_1 ::ᵥ v) = 0))).bind fun a => ↑pred (f (a ::ᵥ v))) ↔ b ∈ Nat.rfindOpt fun a => ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))


(∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v))), b = (f (a ::ᵥ v)).pred) ↔ ∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome), ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b a : ℕ

(a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v)))) = (a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome))


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ

Context: hf : Partrec' ↑f

Context: v : Vector ℕ n

Context: b a : ℕ

Context: h : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)

b = (f (a ::ᵥ v)).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s

(f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
n : ℕ
e : α ≃ Fin n


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧


signAux2 l (f * g) = signAux2 l f * signAux2 l g ∧ Pairwise fun x y => signAux2 l (swap x y) = -1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: f g : Perm α

Context: n : ℕ

Context: e : α ≃ Fin n

Context: l : List α

Context: hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧

Context: hfg : (e.symm.trans (f * g)).trans e = (e.symm.trans f).trans e * (e.symm.trans g).trans e


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b

((Types.pullbackIsoPullback (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesPullback.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (pullback.snd f g)) ⟨(a, b), h⟩ = b


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f

Context: hx : f₁ x = f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f

Context: hx : f₁ x = f x

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f₁) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f

Context: hx : f₁ x = f x

writtenInExtChartAt I I' x f₁ =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x] writtenInExtChartAt I I' x f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f

Context: hx : f₁ x = f x

writtenInExtChartAt I I' x f₁ (↑(extChartAt I x) x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s

(cons b s hb).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f


↑((cons b s hb).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ

↑(filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra S A

Context: r : R → R → Prop

Context: inst✝² : Semiring T

Context: B : Type u₄

Context: inst✝¹ : Semiring B

Context: inst✝ : Algebra S B

Context: s : A → A → Prop

Context: f g : RingQuot s →ₐ[S] B

Context: w : f.comp (mkAlgHom S s) = g.comp (mkAlgHom S s)

Context: x : RingQuot s


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra S A

Context: r : R → R → Prop

Context: inst✝² : Semiring T

Context: B : Type u₄

Context: inst✝¹ : Semiring B

Context: inst✝ : Algebra S B

Context: s : A → A → Prop

Context: f g : RingQuot s →ₐ[S] B

Context: x : A

f ((mkAlgHom S s) x) = g ((mkAlgHom S s) x)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq n
i : n


(monomial (Finsupp.single i 1)) (1 i i) = X i


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → (monomial (Finsupp.single b 1)) (1 i b) = 0


i ∉ Finset.univ → (monomial (Finsupp.single i 1)) (1 i i) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : ConnectedSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Surjective f
hf' : Continuous f


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p % 4 = 1
hq : q ≠ 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsOpen s

interior (s ∩ f ⁻¹' t) = s ∩ interior (f ⁻¹' t)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s✝ s : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : PartialHomeomorph E F
n : ℕ
x : E
hx : x ∈ f.source

↑f x ∈ {y | ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) y ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm y)} ↔ x ∈ {x | ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) x ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) (↑f x)}


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
x : E


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a ∣ b
h : b / a = 1


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
x✝ : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F F' : 𝕜 → ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x

IntervalIntegrable (F' x₀) μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F F' : 𝕜 → ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x

Context: h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F F' : 𝕜 → ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

IntegrableOn (F' x₀) (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F F' : 𝕜 → ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

IntegrableOn (F' x₀) (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F F' : 𝕜 → ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: this : Integrable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F n a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' x₀ a ∂μ) x₀


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Set M
m : M

m ∈ ↑(span R s) ↔ m ∈ ⋃ n, (fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2) '' {f | ∀ (i : Fin n), (f i).2 ∈ s}


(∃ n f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m) ↔ ∃ i x, (∀ (i : Fin i), (x i).2 ∈ s) ∧ ∑ i : Fin i, (x i).1 • (x i).2 = m


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Set M
m : M
n : ℕ

(∃ f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m) → ∃ x, (∀ (i : Fin n), (x i).2 ∈ s) ∧ ∑ i : Fin n, (x i).1 • (x i).2 = m


(∃ x, (∀ (i : Fin n), (x i).2 ∈ s) ∧ ∑ i : Fin n, (x i).1 • (x i).2 = m) → ∃ f g, ∑ i : Fin n, f i • ↑(g i) = m


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun b => dist ((μs b).testAgainstNN f) 0) F (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ (μs i).testAgainstNN 0 + nndist f 0 * (μs i).mass


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: obs : ∀ (i : γ), (μs i).testAgainstNN f ≤ nndist f 0 * (μs i).mass


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun b => ↑((μs b).testAgainstNN f)) F (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun t => (fun a => ↑a) (nndist f 0 * (μs t).mass)) F (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lim_pair : Tendsto (fun i => (↑(nndist f 0), ↑(μs i).mass)) F (𝓝 (↑(nndist f 0), 0))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: key : Tendsto ((fun p => p.1 * p.2) ∘ fun i => (↑(nndist f 0), ↑(μs i).mass)) F (𝓝 (↑(nndist f 0) * 0))


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a✝ b : α
n✝ : ℤ
a : α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C D : G.ComponentCompl K
ne : C ≠ D