Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: m₀ : ℕ

Context: q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉

Context: m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀

Context: hm₁ : 0 ≤ m₁


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n

Context: m₀ : ℕ

Context: q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉

Context: m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀

Context: hm₁ : 0 ≤ m₁


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤

IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)


(∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Context: x : β

Context: hx : x ∈ U i

⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

Context: x : β

Context: hx : x ∈ U i

(∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'

(b.reindex e).repr x i' = b.repr x (e.symm i')


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: h : ∃ n a, a ∈ f n

Context: h' : ∃ n, (f n).isSome = true

Context: s : (f (Nat.find h')).isSome = true

Context: fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: h : ∃ n a, a ∈ f n

Context: h' : ∃ n, (f n).isSome = true

Context: s : (f (Nat.find h')).isSome = true

((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: h : ∃ n a, a ∈ f n

Context: h' : ∃ n, (f n).isSome = true

Context: s : (f (Nat.find h')).isSome = true

Context: this : true ∈ ↑(Option.some (f ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get fd)).isSome)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

((↑s).drop n).head = Computation.pure (s.get? n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s

↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i


s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ∈ {0}ᶜ


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
this : IsUnit (Units.mk0 k hk • 1)


Context:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ

((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B x) y


((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ Mₗ Rₗ ⇑b₁') (b₁'.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ Nₗ Rₗ ⇑b₂') (b₂'.repr y))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
t : M ⊗[R] (ι →₀ N)
i : ι

((finsuppRight R M N ι) t) i = (lTensor M (Finsupp.lapply i)) t


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((const α (μ.bind ⇑κ)) a) s = ((κ ∘ₖ const α μ) a) s


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m

lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

Context: x✝ : R'

Context: h : i' x✝ = 0


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

Context: r : R'

Context: m : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0

HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x)) μ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤


Context: A✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedRing A✝

Context: inst✝⁹ : StarRing A✝

Context: inst✝⁸ : CstarRing A✝

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace A✝

Context: inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ A✝

Context: inst✝⁵ : StarModule ℂ A✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℂ A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal

Context: a : A

Context: x : ℝ

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

↑x ∈ σ ℂ a ↔ x ∈ σ ℝ a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

(∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C


F.map 0 ≫ F.map 0 = F.map 0 ≫ (i.hom ≫ i.inv) ≫ F.map 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
u : αˣ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : BorelSpace X

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace X

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : C(X, E)

Context: s : ι → Compacts X

Context: hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : BorelSpace X

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace X

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : C(X, E)

Context: s : ι → Compacts X

Context: i : ι

∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : BorelSpace X

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace X

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : C(X, E)

Context: s : ι → Compacts X

Context: i : ι

‖∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

W'.negAddY P Q * (P z * Q z) ^ 3 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 3


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : Step k m

AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n.succ ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n h) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ S
left✝ : x ≠ 0
hxneg : -x ∈ S


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p q : F[X]

Context: hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p

Context: hp : IsSolvable p.Gal

Context: hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal

Context: K : Type u_1 := p.SplittingField

Context: L : Type u_1 := q.SplittingField

Context: this : Fact (Splits (algebraMap F L) p)

Context: ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p q : F[X]

Context: hp : IsSolvable p.Gal

Context: K : Type u_1 := p.SplittingField

Context: L : Type u_1 := q.SplittingField

Context: this : Fact (Splits (algebraMap F L) p)

Context: ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p q : F[X]

Context: hp : IsSolvable p.Gal

Context: K : Type u_1 := p.SplittingField

Context: L : Type u_1 := q.SplittingField

Context: this✝ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)

Context: this : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p q : F[X]

Context: hp : IsSolvable p.Gal

Context: K : Type u_1 := p.SplittingField

Context: L : Type u_1 := q.SplittingField

Context: this✝¹ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)

Context: this✝ : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)

Context: this : IsSolvable (L ≃ₐ[K] L)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L

_root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: k : ℕ

((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)

↑((((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k) ⟨m, hm⟩) = ↑(0 ⟨m, hm⟩)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hab : AddLECancellable (a - b)

Context: h : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

{x | ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)) ≠ 1}.Finite


{x | ¬↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 1}.Finite


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ↥(oneCocycles A)

Context: this : (A.ρ 1) (↑f 1) - ↑f (1 * 1) + ↑f 1 = 0


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
this : sizeOf u.step < sizeOf u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite

∏ᶠ (abc : α × β × γ), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite
a : α

∏ᶠ (b : β × γ), f (a, b) = ∏ᶠ (b : β) (c : γ), f (a, b, c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α

‖1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊


‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun x => 1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊


↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊


↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2) * ‖1‖₊


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
hfin : multiplicity.Finite p ↑n


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : CommMonoid M

Context: inst✝³ : CommMonoid N

Context: inst✝² : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : R

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ+

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: p : ℕ := ringChar R

Context: hfin : multiplicity.Finite p ↑n

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑n = p ^ (multiplicity p ↑n).get hfin * m ∧ ¬p ∣ m


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{t, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : PreservesLimit F (forget C)

Context: D : Cone F

Context: hD : IsLimit D

Context: E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D

Context: hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD

Context: G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)

Context: hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)

Context: T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG

Context: h : Function.Injective T.hom

Function.Injective (T.hom ≫ fun x j => G.π.app j x)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{t, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : PreservesLimit F (forget C)

Context: D : Cone F

Context: hD : IsLimit D

Context: h : Function.Injective T.hom

Function.Injective fun x j => G.π.app j x


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α

(∏ j : ι, if j = i then f j else 1) = f i


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M

closure s = mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t

⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a

insert a b (singleton a b') = singleton a b


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f

Function.Injective ⇑(AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)


Function.Injective ⇑(↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

ReflTransGen (ReflGen r) = ReflTransGen r


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a


Tendsto f (map Subtype.val (𝓝 ⟨a, ⋯⟩)) (𝓝 (f a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι✝ : Type u_5

Context: π : ι✝ → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: ι : Sort u_7

Context: f : α → β

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x

Context: hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hi : s i ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι✝ : Type u_5

Context: π : ι✝ → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: ι : Sort u_7

Context: f : α → β

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x

Context: hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hi : s i ∈ 𝓝 x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
r : R
x : PrimeSpectrum R

x ∈ ↑(basicOpen r) ↔ x ∈ (zeroLocus {r})ᶜ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α

lcm (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * lcm b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n

(partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : UniqueFactorizationMonoid α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: e : α ≃* β

Context: hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a

∀ (a : β), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: e : α ≃* β

Context: a : β

Context: ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: e : α ≃* β

Context: a : β

Context: ha : a ≠ 0

Context: w : Multiset α

Context: hp : ∀ b ∈ w, Prime b

Context: u : αˣ

Context: h : w.prod * ↑u = e.symm a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K

∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ interior K


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ frontier K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂

x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P ≅ P'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : Z ≅ Z'
commfst : fst ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ fst'
commsnd : snd ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ snd'
commf : f ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}

Context: hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

Context: g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a < o'


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β

(∀ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ s ∈ l ∧ t ∈ m


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: m : Filter β

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : m.NeBot

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: m : Filter β

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : m.NeBot

Context: s : Set α

Context: t : Set β


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: m : Filter β

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : m.NeBot

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: w✝ : α

Context: hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A


Context:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.38390, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.38397, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α₁ α₂ : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c

(α₁ + α₂).comp β h = α₁.comp β h + α₂.comp β h


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H

Context: K : Subgroup ↥N

Context: inst✝ : (map N.subtype K).Normal


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup ↥N

Context: inst✝ : (map N.subtype K).Normal

Context: key : map N.subtype K = ⊥ ∨ map N.subtype K = N


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup ↥N

Context: inst✝ : (map N.subtype K).Normal

Context: key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = N


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup ↥N

Context: inst✝ : (map N.subtype K).Normal

Context: key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝¹ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup ↥N

Context: inst✝ : (map N.subtype K).Normal

Context: inj : Function.Injective (map N.subtype)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ

a /ₚ u₁ - b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ - ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m


Context:
m n a b c d : ℕ
hdm : d ∣ m
h : a ≡ b [MOD d]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set β

∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a✝ : A

Context: a : Aˣ

Context: ha : autoParam (p ↑a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a✝ : A

Context: a : Aˣ

Context: ha : autoParam (p ↑a) _auto✝


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
D : ℤ
f : LaurentSeries K

Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D)) ↔ ∀ n < D, f.coeff n = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
D : ℤ
f : LaurentSeries K
h_val_f : ∀ n < D, f.coeff n = 0

Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))


Context:
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q


Context:
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
this : p⁻¹ + q⁻¹ = 1


Context:
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
this : q = (1 - p⁻¹)⁻¹


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel a x - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: b : ℝ

∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

(fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

(evenKernel (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) = HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n : ℕ+


∀ (n : ℕ+), (n < PNat.find h₂ + 1 → ¬p n) → n + 1 < PNat.find h₂ + 1 → ¬p (n + 1)


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : m + 1 < PNat.find h₂ + 1


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : ∀ m_1 ≤ m, ¬p (m_1 + 1)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : T2Space F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : T2Space F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : T2Space F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ

Context: this✝¹ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this✝ : UniformAddGroup F

Context: this : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ dist x y

∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y


Context: C : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.225, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.229, u_2} A

Context: F : C ⥤ A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid M

Context: inst✝² : HasShift C M

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup G

Context: inst✝ : HasShift C G

Context: sequence : M → C ⥤ A

Context: isoZero : sequence 0 ≅ F

Context: shiftIso : (n a a' : M) → n + a = a' → (shiftFunctor C n ⋙ sequence a ≅ sequence a')

Context: shiftIso_zero : ∀ (a : M), shiftIso 0 a a ⋯ = isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C M) (sequence a) ≪≫ (sequence a).leftUnitor

Context: n m a a' a'' : M

Context: ha' : n + a = a'

Context: ha'' : m + a' = a''


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
inst✝ : DecidableEq σ

(coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → Semiquot β
b : β


b ∈ q.bind f ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ∈ q), b ∈ f a


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : FullSubcategory P

(fullMonoidalSubcategoryInclusion P).map (β_ X Y).hom = inv ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y) ≫ (β_ ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj X) ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ Y X


(fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).map (β_ X Y).hom = (β_ ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj X) ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ Y X


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
c : α → Prop
inst✝ : DecidablePred c
f g : α → σ
hc : PrimrecPred c
hf : Primrec f
hg : Primrec g

Primrec fun a => if c a then f a else g a


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
hl : l.Sized
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hr : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized

(l.rotateL x (node size✝ l✝ x✝ r✝)).Sized


(if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).Sized


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
h : v +ᵥ p ∈ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝¹ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s
h₂ : interior t = ∅
x : X
x✝ : x ∈ interior (s ∪ t)
u : Set X
hu₁ : IsOpen u
hu₂ : u ⊆ s ∪ t
hx₁ : x ∈ u
hx₂ : x ∉ s
this : u \ s ⊆ t


Context: X : Type u_1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : G.toPresheaf ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U : Cᵒᵖ
s : G.toPresheaf.obj U

(homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s = f.app U s


∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection ↑((homOfLe ⋯).app U s)).arrows f_1 → F'.map f_1.op ((homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s) = F'.map f_1.op (f.app U s)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : G.toPresheaf ⟶ F'

Context: h : Presieve.IsSheaf J F'

Context: U : Cᵒᵖ

Context: s : G.toPresheaf.obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (G.sieveOfSection ↑((homOfLe ⋯).app U s)).arrows i

F'.map i.op ((homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift f h).app U s) = F'.map i.op (f.app U s)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : G.toPresheaf ⟶ F'

Context: h : Presieve.IsSheaf J F'

Context: U : Cᵒᵖ

Context: s : G.toPresheaf.obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : G.toPresheaf.obj X), f.app Y (G.toPresheaf.map f_1 x) = F'.map f_1 (f.app X x)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
x✝ : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

(affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂} ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i


(∃ r, ∀ i ∈ s, (w - w₁) i = r * (w₂ i - w₁ i)) ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Closeds α

(Opens.compl ∘ ⇑ofDual) ((⇑toDual ∘ compl) s) = s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : (Opens α)ᵒᵈ

(⇑toDual ∘ compl) ((Opens.compl ∘ ⇑ofDual) s) = s


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a : α
n : ℕ
x y : α →₀ ℕ

(x, y) ∈ antidiagonal (single a n) ↔ (x, y) ∈ map ({ toFun := single a, inj' := ⋯ }.prodMap { toFun := single a, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)


x + y = single a n ↔ ∃ a_1 b, a_1 + b = n ∧ single a a_1 = x ∧ single a b = y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)

∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: h_nz : ⟨x, hx⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨x, hx⟩ ∈ convexBodySum K B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: hx✝ : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: hx : x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I

Context: h_nz : ⟨x, hx✝⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨x, hx✝⟩ ∈ convexBodySum K B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodySum K B

↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

↑(finrank ℚ K) * ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (↑(finrank ℚ K))⁻¹ ≤ B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

↑(finrank ℚ K) * ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (↑(finrank ℚ K))⁻¹ ≤ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w a


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult)⁻¹ ≤ (∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w a) / ∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

↑|(Algebra.norm ℚ) a| ^ (∑ x : InfinitePlace K, ↑x.mult)⁻¹ ≤ (∏ i : InfinitePlace K, ↑i a ^ ↑i.mult) ^ (∑ i : InfinitePlace K, ↑i.mult)⁻¹


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: hB : 0 ≤ B

Context: h1 : 0 < (↑(finrank ℚ K))⁻¹

Context: h2 : 0 ≤ B / ↑(finrank ℚ K)

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s✝ : Set α


Context:
F✝ : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝⁴ : Applicative F✝
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F✝
inst✝¹ : LawfulApplicative G
α β γ : Type v
F : Type u_1 → Type u_2
AF : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
α✝ β✝ : Type u_1
f : F (α✝ → β✝)
x : F α✝

(Seq.seq (id <$> f) fun x_1 => x) = Seq.seq f fun x_1 => x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2

s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction


s1.direction ⊔ s2.direction ≤ (s1 ⊔ s2).direction ∧ ∃ x ∈ (s1 ⊔ s2).direction, x ∉ s1.direction ⊔ s2.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: p₁ p₂ : P

Context: s1 s2 : AffineSubspace k P

Context: he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅

Context: p1 : P

Context: hp1 : p1 ∈ ↑s1

Context: p2 : P

Context: hp2 : p2 ∈ ↑s2

Context: h : p2 -ᵥ p1 ∈ s1.direction ⊔ s2.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: p₁ p₂ : P

Context: s1 s2 : AffineSubspace k P

Context: he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅

Context: p1 : P

Context: hp1 : p1 ∈ ↑s1

Context: p2 : P

Context: hp2 : p2 ∈ ↑s2

Context: h : ∃ y ∈ s1.direction, ∃ z ∈ s2.direction, y + z = p2 -ᵥ p1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 + v2 = p2 -ᵥ p1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
he : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s1
p2 : P
hp2 : p2 ∈ ↑s2
v1 : V
hv1 : v1 ∈ s1.direction
v2 : V
hv2 : v2 ∈ s2.direction
hv1v2 : v1 +ᵥ p1 = -v2 +ᵥ p2


{ f := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g, g := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f, k := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.k, ε := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.ε⁻¹, f₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g₀, g₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f₀, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := ⋯, hε := ⋯, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop


a ⊓ sInf (Subtype.val '' range fun i => f i) = a ⊓ ⨅ i, ↑(f i)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : S

x ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : R
s : ↥M

mk' S x s ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)


Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: e_1✝ : Spec Γ(X, U) = Spec (CommRingCat.of ↑Γ(X, U))

PrimeSpectrum.basicOpen f = Scheme.Hom.opensRange (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑Γ(X, U)) (Localization.Away f))))


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p

n.factorization p = (Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)).card


Context:
α✝ : Type u₁
C : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} C
α : Type u₁
β : Type u₂
h : Discrete α ≌ Discrete β
a : α

(as ∘ h.inverse.obj ∘ mk) ((as ∘ h.functor.obj ∘ mk) a) = a


Context:
α✝ : Type u₁
C : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} C
α : Type u₁
β : Type u₂
h : Discrete α ≌ Discrete β
a : β

(as ∘ h.functor.obj ∘ mk) ((as ∘ h.inverse.obj ∘ mk) a) = a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: hU : (interior U).Nonempty

Context: h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)

↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: hU : (interior U).Nonempty

↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = (↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)) / ↑(index (↑K₀) U)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: hU : (interior U).Nonempty

↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) = ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P


Context: p q✝ q : ℚ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
e : M → N
he0 : e 0 = 0
f : ι →₀ M
he : Injective e
a✝ : ι

a✝ ∈ (mapRange e he0 f).support ↔ a✝ ∈ f.support


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖

Summable fun n => ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: f g : ℕ → R

Context: hf : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: this : Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: ι' : Type u_3

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: f g : ℕ → R

Context: hf : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: n : ℕ

‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖ ≤ ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring S
x : R × S

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (RingHom.snd R S) s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x✝ : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : μ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
i j : Fin s.card

(s.orderEmbOfFin ⋯) i = (s.orderEmbOfFin ⋯) j ↔ ↑i = ↑j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: od : Prop

Context: o p : od → α

Context: H1 : { Dom := od, get := o }.Dom ↔ { Dom := od, get := p }.Dom

Context: H2 : ∀ (h₁ : { Dom := od, get := o }.Dom) (h₂ : { Dom := od, get := p }.Dom), { Dom := od, get := o }.get h₁ = { Dom := od, get := p }.get h₂

{ Dom := od, get := o } = { Dom := od, get := p }


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule

Context: x : L

(ad R L) (D x) ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: x : L

⁅x, D⁆ ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (LinearMap.range ↑(ad R L))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: x : α

Context: H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ ball x R, p y

Context: y : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: x : α

Context: y : α

Context: R : ℝ

Context: hR : R > dist y x

Context: h : ∀ z ∈ ball x R, p z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ

((κ ⊗ₖ η) a) Set.univ ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η


∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ Set.univ} ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η


∫⁻ (b : β), (η (a, b)) Set.univ ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
Cη : ℝ≥0∞ := IsFiniteKernel.bound η


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∉ s

IsClosed s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s) ∧ IsCompact (some ⁻¹' s)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.84561, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hf : S.f = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.84561, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
this : IsIso S.pOpcycles


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J

FinallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty J

Context: h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: hs : Small.{v, u} ↑s

Context: hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g


G.map (pullback.lift h k w) ≫ pullbackComparison G f g = pullback.lift (G.map h) (G.map k) ⋯


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d

IsRat (↑(Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)

F.map prod.fst ((fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = x


F.map prod.fst ((PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv (x, y))) = x


((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv ≫ (PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map prod.fst) (x, y) = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : 0 < n

orderOf x = n ↔ x ^ n = 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → x ^ m ≠ 1


(if h : 1 ∈ periodicPts fun x_1 => x * x_1 then Nat.find h else 0) = n ↔ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → ¬IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) m 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R x y z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R z y x


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i

Context: j : α

↑(lp.single p i (-a)) j = ↑(-lp.single p i a) j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: R' : Type u_4

Context: inst✝ : CommRing R'

Context: g : S →+* R'

Context: p : S[X]

Context: x : R'

Context: hx : eval₂ g x p = 0

Context: b : ↥M

Context: hb : Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p) = ↑b • p

eval₂ g x (Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p)) = 0


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β

ι f (ε b) ≫ (reindex ε f).inv = ι (f ∘ ⇑ε) b


Context: a x : ℝ

↑(oddKernel (↑a) x) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : PosNum


Context:
b p : ℕ
w : 0 < b


Context:
b p : ℕ
w : 0 < b
this : 1 ≤ b ^ p


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β

z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : StrongEpiMonoFactorisation f
F' : MonoFactorisation f
hF' : IsImage F'


StrongEpi (F.e ≫ (F.toMonoIsImage.isoExt hF').hom)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m✝ : ℤ
z : Cochain F G n
m : ℤ
hnm : n + 1 = m
h : δ n m z = 0


Context:
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α


lowerBasis α = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ {s | ∃ a, (Ici a)ᶜ = s}}


{s | ∃ t, t.Finite ∧ ⋂ i ∈ t, (Ici i)ᶜ = s} = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ {s | ∃ a, (Ici a)ᶜ = s}}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)

Tendsto (fun x => μ (Ioc x a)) atBot (𝓝 (μ (Iic a)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Antitone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Antitone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atBot
h_Iic : Iic a = ⋃ n, Ioc (xs n) a


Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Ioc (xs n) a


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
n : ℕ
h : p = ↑n
f : WithLp p (α × β)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
n : ℕ
h : p = ↑n
f : WithLp p (α × β)
this : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type w
f : ι → Set α
s : Finset ι


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))

Context: n : ℕ+


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ+


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ+

Context: h_char_zero : CharZero (R ⧸ Ideal.span {↑↑n})


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝² : HasMulticoequalizer I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
b : I.R


Sigma.ι I.right b ≫ coequalizer.π I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap = π I b ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := I.multicoforkEquivSigmaCofork.inverse.obj (colimit.cocone (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)), isColimit := IsColimit.ofPreservesCoconeInitial I.multicoforkEquivSigmaCofork.inverse (colimit.isColimit (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)) }).hom


Sigma.ι I.right b ≫ coequalizer.π I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap = (Multicofork.ofSigmaCofork I (colimit.cocone (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap))).π b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
s : WSeq α
t : WSeq β

LiftRel R (cons a s) (cons b t) ↔ R a b ∧ LiftRel R s t


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (cons a s).destruct (cons b t).destruct ↔ R a b ∧ LiftRel R s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
f : α → Measure β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)

Context: he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G_obj Y

F.map f ≫ (e X Y).symm g = (e X' Y).symm (f ≫ g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G_obj Y


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂

∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x


∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (1 * 1) (fun x => f x) (s₁.disjUnion s₂ h)


∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 (fun x => f x) (s₁.disjUnion s₂ h)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)

(compLpL p μ (c • L)) f = (c • compLpL p μ L) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t✝ : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
t : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.869645) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc f a ≤ 0 ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

0 ≤ cfc (fun x => -f x) a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ -f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s

ContinuousOn (fun t => taylorWithinEval f n s t x) s


ContinuousOn (fun t => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s t) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)

ContinuousOn (fun t => ((↑i !)⁻¹ * (x - t) ^ i) • iteratedDerivWithin i f s t) s


ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hf : (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : UniqueDiffOn ℝ s

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range (n + 1)

Context: right✝ : ∀ (m : ℕ), ↑m < ↑n → DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin m f s) s

Context: hf_left : ↑i ≤ ↑n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : UniqueDiffOn ℝ s

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n + 1


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
G : Type u_8
hG : Group G
inst✝³ : DistribMulAction G R
inst✝² : DistribMulAction G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → G


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: G : Type u_8

Context: hG : Group G

Context: inst✝³ : DistribMulAction G R

Context: inst✝² : DistribMulAction G M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower G R M

Context: inst✝ : SMulCommClass G R M

Context: v : ι → M

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0

Context: w : ι → G

∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: G : Type u_8

Context: hG : Group G

Context: inst✝³ : DistribMulAction G R

Context: inst✝² : DistribMulAction G M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower G R M

Context: inst✝ : SMulCommClass G R M

Context: v : ι → M

Context: w : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0

Context: i : ι


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

(fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts = 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f

Set.range ⇑(pullback.fst g f ≫ g).val.base = Set.range ⇑g.val.base ∩ Set.range ⇑f.val.base


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hle : ∑ i ∈ s, f i ≤ ∑ i ∈ s, g i


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hle : ∀ i ∈ s, g i < f i


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

cyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).hom = (singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ f


cyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ ((single C c j).obj B).iCycles j = ((singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).inv) ≫ ((single C c j).obj B).iCycles j


Context:
H : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℂ H
inst✝ : CompleteSpace H
S : VonNeumannAlgebra H
z : H →L[ℂ] H

z ∈ S.commutant ↔ ∀ g ∈ S, g * z = z * g


z ∈ (↑S).centralizer ↔ ∀ g ∈ S, g * z = z * g


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'

∀ (x_1 : ι'), ((b.reindex e).repr x) x_1 = (Finsupp.mapDomain (⇑e) (b.repr x)) x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
h : k ≤ l.castSucc
a✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hp1 : p ≤ 1

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hp1 : p ≤ 1

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ 1 ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : a + b ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (uIcc (f i) (g i)).card


(uIcc f g).card = ∏ i ∈ (f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support, (uIcc (f i) (g i)).card


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : LSeriesSummable f s

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : LSeriesSummable f s

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: s : ι → Set α

Context: hs : IndexedPartition s

Context: β : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)

Context: h_disjoint : univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i

Context: x y : α

Context: h : hs.piecewise f x = hs.piecewise f y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: s : ι → Set α

Context: hs : IndexedPartition s

Context: β : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)

Context: x y : α

Context: h : hs.piecewise f x = hs.piecewise f y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: s : ι → Set α

Context: hs : IndexedPartition s

Context: β : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)

Context: x y : α

Context: h : hs.piecewise f x = hs.piecewise f y

¬Disjoint (f (hs.index x) '' s (hs.index x)) (f (hs.index y) '' s (hs.index y))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: s : ι → Set α

Context: hs : IndexedPartition s

Context: β : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)

Context: x y : α

Context: h : Disjoint (f (hs.index x) '' s (hs.index x)) (f (hs.index y) '' s (hs.index y))


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ

dist ((starRingEnd ℂ) z) w = dist z ((starRingEnd ℂ) w)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Set α
hs : s.Nonempty


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: N₁ N₂ : L.Substructure M

Context: hN₁ : N₁.FG

Context: hN₂ : N₂.FG

Context: t₁ : Set M

Context: ht₁ : t₁.Finite ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁

Context: t₂ : Set M

Context: ht₂ : t₂.Finite ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) = i₁₂

K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂ h'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b j ≤ b i
c : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
h : edist x y ≠ ⊤

efixedPoint f hf x hx = efixedPoint f hf y hy


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: x : α

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: y : α

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: h : edist x y ≠ ⊤

Context: h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ⊤

edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: x : α

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: y : α

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: h : edist x y ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: x : α

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: y : α

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: h : edist x y ≠ ⊤

edistLtTopSetoid.Rel y (efixedPoint f hf y hy)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
R : Type u_3
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → OuterMeasure α
c : R
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁶ : PartialOrder α

Context: inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝⁴ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α HAdd.hAdd LE.le

Context: h : c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁶ : PartialOrder α

Context: inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: a c d✝ : α

Context: d : α

Context: h : c ≤ c + d


Context: x : EReal


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)

∫ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R

I.radical = I.jacobson ↔ ⊥.radical = ⊥.jacobson


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

μ.withDensity (s.indicator 1) = μ.restrict s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤

∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hν : ν' = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : sign a = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Zero α

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: a : α

Context: h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h_1 : ¬0 < a
h_2 : ¬a < 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a✝ a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: M : MvPolynomial σ R → Prop

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: a : R


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a✝ a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: M : MvPolynomial σ R → Prop

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: a : R


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a✝ a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: M : MvPolynomial σ R → Prop

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: a : R

∀ (a_1 : σ) (b : ℕ) (f : σ →₀ ℕ), a_1 ∉ f.support → b ≠ 0 → M ((monomial f) a) → M ((monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ

⇑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (h.symm x) r


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : CommSemiring S₂

Context: f✝ : σ → S₁

Context: f : R →+* S₂

Context: g : σ → S₂

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : CommSemiring S₂

Context: f✝ : σ → S₁

Context: f : R →+* S₂

Context: g : σ → S₂

Context: φ : MvPolynomial σ R

∑ x ∈ φ.support, (eval₂Hom f g) ((monomial x) (coeff x φ)) = 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : CommSemiring S₂

Context: f✝ : σ → S₁

Context: f : R →+* S₂

Context: g : σ → S₂

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ φ.support

(eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : CommSemiring S₂

Context: f✝ : σ → S₁

Context: f : R →+* S₂

Context: g : σ → S₂

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ φ.support

Context: i : σ

Context: hi : i ∈ d.support

Context: hgi : g i = 0


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

|cos x - (1 - x ^ 2 / 2)| = Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2))


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ↑(cos x - (1 - x ^ 2 / 2)) = Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2))


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2)) = Complex.abs ((cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2)) / 2)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2) = cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)