Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
y : X
hy : y ∈ e.source
hyu : y ∈ s → y ∈ f ⁻¹' t

↑e y ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2


p * Nat.card (G ⧸ center G) ∣ Nat.card ↥(center G) * (center G).index


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k


Context:
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f : ι → ℝ
g : ι' → ℝ
hf : Summable f
hg : Summable g
hf' : 0 ≤ f
hg' : 0 ≤ g

Summable fun x => ∑' (y : ι'), f (x, y).1 * g (x, y).2


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g

(isoIsPullback X Y h h').inv ≫ fst = fst'


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s

(e.trans (ofSet s hs)).source = (e.restr (↑e ⁻¹' s)).source


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E

U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤

(sSup s).toNNReal = sSup (ENNReal.toNNReal '' s)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s

firstDiff x y + 1 ≤ shortestPrefixDiff x s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜

Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ ∧ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ ↔ Integrable f μ


Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ ↔ Memℒp f 1 μ


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

countP p l = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ dist x y

∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

(∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃j : Unit⦄, True → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜

Context: z : G


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜

Context: z : G


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ

(deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ

(deriv fun x => x ^ 0) =O[atTop] fun x => x ^ (0 - 1)


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: n D : ℤ

Context: f : LaurentSeries K

Context: H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))

Context: hnd : n < D

Context: h_n_ord : ¬n < HahnSeries.order f


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: n D : ℤ

Context: f : LaurentSeries K

Context: hnd : n < D

Context: h_n_ord : HahnSeries.order f ≤ n


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω

levyProkhorovEDist μ ν ≤ max (μ univ) (ν univ)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ⊓ x = y ⊓ z


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]
N : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
a : α
ha : s.max = ↑a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph (Fintype.card V) r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph n r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α

countP p (s + t) = countP p s + countP p t


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α

∑ i ∈ filter Squarefree n.divisors, f i = ∑ i ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset, f i.val.prod


(Multiset.map (f ∘ fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum = (Multiset.map (fun i => f i.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum


Context:
d✝ : ℤ
c d x y n : ℕ
xy : SqLe x c y d


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I

I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.toCotangent ⟨x, hx⟩


I.cotangentEquivIdeal (I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩) = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)


⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint b c


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : IsRightCancelMul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G

(f * single x r).support = map (mulRightEmbedding x) f.support


Context:
α : Type u
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : Invertible 2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsZero T.obj₁

Context: h₃ : IsZero T.obj₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsZero T.obj₁

Context: h₃ : IsZero T.obj₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β

(map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: a✝ a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : DivisionRing R

Context: a b : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx

Context: n : N

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

(((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((ι Q) m * x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : N

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

((ι Q) m * (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (f m) (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : N

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

((((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2) = (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : N

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

(((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : LazyList α
ys : Thunk (LazyList α)
f : α → LazyList β

(xs.append ys).bind f = (xs.bind f).append { fn := fun x => ys.get.bind f }


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝

(l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: s : Set β

Context: hf : Injective f

Context: hf' : Measurable f

Context: h : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → NullMeasurableSet (f '' t) μ

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
hs1 : 1 ∈ S
ht1 : 1 ∈ T


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M

((toMatrix b b) f).trace = ((toMatrix b b) ((id ∘ₗ f) ∘ₗ id)).trace


((toMatrix b b) ((id ∘ₗ f) ∘ₗ id)).trace = ((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace


((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace = ((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace


((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace = ((toMatrix c c) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)).trace


((toMatrix c c) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)).trace = ((toMatrix c c) f).trace


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : s.π ≫ k = s.π ≫ l


Context:
α : Type u
x y : FreeRing α


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Inducing ⇑f
hg : Inducing ⇑g

(W ⨯ Y).topologicalSpace_coe = induced (⇑(prod.map f g)) (X ⨯ Z).topologicalSpace_coe


induced (⇑prod.fst) W.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str = induced (⇑prod.fst) (induced (⇑f) X.str) ⊓ induced (⇑prod.snd) (induced (⇑g) Z.str)


induced (⇑prod.fst) W.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str = induced (⇑prod.fst) W.topologicalSpace_coe ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.topologicalSpace_coe


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this : b ≠ 0


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this : b ≠ 0
h : (-↑π * b).re < 0


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℂ
this : b ≠ 0
h : (-↑π * b).re < 0
t : ℝ


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: this✝ : b ≠ 0

Context: h : (-↑π * b).re < 0

Context: t : ℝ

Context: this : ∀ (x : ℝ), ↑(-2 * π * x * t) * I + -↑π * b * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * c * ↑x = -↑π * b * ↑x ^ 2 + (-2 * ↑π * I * ↑t + 2 * ↑π * c) * ↑x + 0


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: this✝ : b ≠ 0

Context: h : (-↑π * b).re < 0

Context: t : ℝ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f ⋆[L, μ] g x) (v x)) s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: x : P

Context: hx : x ∈ s

x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

IsZero T.obj₃ ↔ IsZero ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).obj T.obj₃)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι

(filter p (f + g)) i✝ = (filter p f + filter p g) i✝


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s) x) m


((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x) (init m)) (m (last n)) = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s) x) m


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h
this : x' ^ φ n = 1


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
x n : ℕ
h : x.Coprime n
x' : (ZMod n)ˣ := unitOfCoprime x h
this : ↑(x' ^ φ n) = ↑1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ


s.Finite → ((∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k) ↔ s.ncard ≤ k)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ

(p ^ (n + 1)).smeval x = p.smeval x ^ (n + 1)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C

Disjoint (⋃₀ ↑I) (⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y ε x : α
n : ℤ
h : ↑n < x


Context: x y : ℝ

1 ≤ √x ↔ 1 ≤ x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
r s : R
m : PolynomialModule R M

{ toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun (s • m) = (RingHom.id R) s • { toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun m


(Finsupp.sum m fun i c => r ^ i • s • c) = (RingHom.id R) s • { toFun := fun p => Finsupp.sum p fun i m => r ^ i • m, map_add' := ⋯ }.toFun m


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: H1 : UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: H2 : UniformSpace.comap ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α) = ⨅ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: H3 : ∀ K ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (UniformFun.uniformSpace (↑K) α) = UniformSpace.comap (K.restrict ∘ F) (Pi.uniformSpace fun i => α)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : E → A
z : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s s' : Set A

zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')


zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s) ∪ zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s')


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
d : σ →₀ ℕ
n : N
e : σ →₀ ℕ

coeff e (((AlgebraTensorModule.curry rTensorAlgHom.toLinearMap ∘ₗ monomial d) 1) n) = coeff e (((AlgebraTensorModule.curry ↑rTensor ∘ₗ monomial d) 1) n)


coeff e (rTensorAlgHom ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n)) = coeff e (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n))


coeff e ((monomial d) 1) ⊗ₜ[R] n = coeff e (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n))


((monomial d) 1) e ⊗ₜ[R] n = (↑rTensor ((monomial d) 1 ⊗ₜ[R] n)) e


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ

↑(toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R

f (a * (algebraMap R A) r) = f a * (algebraMap R B) r


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : Set E
t : ι → Set E

convexJoin 𝕜 s (⋃ i, t i) = ⋃ i, convexJoin 𝕜 s (t i)


Context:
x : EReal
n : ℕ


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n

abs (cexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n

(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))).lim ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
j : ℕ
hj : j ≥ n

↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹))) j


↑(cauSeqAbs (exp' x - const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹))) j


abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)


abs (∑ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range j), x ^ k / ↑k.factorial) ≤ abs x ^ n * (↑n.succ * (↑n.factorial * ↑n)⁻¹)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

(of v).TerminatedAt n ↔ IntFractPair.stream v (n + 1) = none


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ

coeff m (X i) = if Finsupp.single i 1 = m then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
K : ℝ≥0
x y : α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

T ∈ distinguishedTriangles C ↔ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (T ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (T ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
h : UniformEquicontinuous F


UniformEquicontinuous (F ∘ rangeSplitting F)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
U₁ Z₁ : Set X
hU₁ : IsOpen U₁
hZ₁ : IsClosed Z₁
U₂ Z₂ : Set X
hU₂ : IsOpen U₂
hZ₂ : IsClosed Z₂


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
x✝ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
hX : AEMeasurable X ℙ

HasPDF X ℙ μ ↔ (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ map X ℙ ≪ μ


AEMeasurable X ℙ ∧ (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ map X ℙ ≪ μ ↔ (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition μ ∧ map X ℙ ≪ μ


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u


((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t))⁻¹ * ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ (t ∩ u))) = (μ (s ∩ t))⁻¹ * μ (s ∩ t ∩ u)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
hst : μ (s ∩ t) = 0


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
hst : μ (s ∩ t) ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
p : B × F

p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).target ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i


p.1 ∈ Z.baseSet i ∧ p.2 ∈ univ ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R

IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ∃ p > 0, MixedCharZero R p


¬IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ¬∃ p > 0, MixedCharZero R p


¬IsEmpty (Algebra ℚ R) ↔ ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p


Nonempty (Algebra ℚ R) ↔ ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 f.rOut

support ↑(f.updateRIn r hr) = support ↑f


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : AddCommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ s
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
g : β → E
t : Set β

∫ (b : β) in t, g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫ (b : β) in t, g b ∂η a


(∫ (b : β) in t, g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫ (b : β) in t, g b ∂κ a else ∫ (b : β) in t, g b ∂η a


Context: z : ℂ

(z + (starRingEnd ℂ) z).re = (↑(2 * z.re)).re ∧ (z + (starRingEnd ℂ) z).im = (↑(2 * z.re)).im


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: h' : ∀ (x : Cofix F α), r x x

Context: h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest

Context: x y : (P F).M α

Context: rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)

Context: r' : (P F).M α → (P F).M α → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)

Context: hr' : r' = fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: h' : ∀ (x : Cofix F α), r x x

Context: x y : (P F).M α

Context: this : IsPrecongr r'


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K

(idealX K).intValuationDef X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))


(Polynomial.idealX K).intValuation Polynomial.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x✝ x : X
s : Set X


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
g : ℂ →L[ℝ] E
f : ℂ → E
map : ℂ →L[ℂ] E
nonzero : map ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
g : ℂ →L[ℝ] E
f : ℂ → E
map : ℂ →L[ℂ] E
nonzero : map ≠ 0
minor₁ : ‖map 1‖ ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤

(∑ a ∈ s, f a).toReal = ∑ a ∈ s, (f a).toReal


∑ a ∈ s, ↑(f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toReal


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ

(IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖rexp (f x)‖ / ‖rexp (g x)‖) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (f - g)


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
L : (J ⥤ C) ⥤ C
adj : const J ⊣ L
F : J ⥤ C
s : Cone F
j : J

(fun s => (adj.homEquiv s.pt F) s.π) s ≫ (coneOfAdj adj F).π.app j = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: L : (J ⥤ C) ⥤ C

Context: adj : const J ⊣ L

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: j : J

Context: eq : ((L ⋙ const J).map s.π ≫ adj.counit.app F).app j = (adj.counit.app ((const J).obj s.pt) ≫ (𝟭 (J ⥤ C)).map s.π).app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: L : (J ⥤ C) ⥤ C

Context: adj : const J ⊣ L

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: j : J

Context: eq' : ((const J).map (adj.unit.app s.pt) ≫ adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j = (𝟙 ((const J).obj s.pt)).app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: L : (J ⥤ C) ⥤ C

Context: adj : const J ⊣ L

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: j : J

Context: eq : L.map s.π ≫ (adj.counit.app F).app j = (adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j ≫ s.π.app j

Context: eq' : adj.unit.app s.pt ≫ (adj.counit.app ((const J).obj s.pt)).app j = 𝟙 s.pt

(adj.homEquiv s.pt F) s.π ≫ (adj.counit.app F).app j = s.π.app j


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W
j : J

ι (F.obj ∘ f) j ≫ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (desc g) = ι (F.obj ∘ f) j ≫ desc fun j => F.map (g j)


ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ (F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (desc g) = ι (fun x => F.obj (f x)) j ≫ desc fun j => F.map (g j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms

Context: J : Type w₁

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: inst✝ : PreservesBiproduct f F

Context: W : C

Context: g : (j : J) → f j ⟶ W

Context: j : J

Context: this : HasBiproduct fun j => F.obj (f j)


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: γ : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂


Context: x y : ℝ


Context:
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
z : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P'
inst✝⁵ : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P''✝ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing P''✝
inst✝³ : Algebra R P''✝
loc'' : IsLocalization S P''✝
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
P'' : Type u_5
inst✝² : CommRing P''
inst✝¹ : Algebra R P''
inst✝ : IsLocalization S P''
I : FractionalIdeal S P
x✝ : P''

x✝ ∈ (canonicalEquiv S P' P'') ((canonicalEquiv S P P') I) ↔ x✝ ∈ (canonicalEquiv S P P'') I


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a) volume

Context: ha : Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ ae volume) (𝓝 c)

HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) s a


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)

HasDerivWithinAt (fun u => -∫ (x : ℝ) in b..u, f x) (-c) s a


Context: n✝ m n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι

(fun x => if i = x then 1 else 0) ∈ stdSimplex 𝕜 ι


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he : e ∈ a.pretrivializationAtlas


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he : e ∈ a.pretrivializationAtlas

Context: z : B × F

Context: H : z ∈ e.target

Context: U : Set (TotalSpace F E)

Context: h : U ∈ 𝓝 (↑e.symm z)

coinduced (fun x => ↑e.symm ↑x) inferInstance ≤ a.totalSpaceTopology


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : isGood (π C fun x => ord I x < o₁) l

Context: hl' : eval (π C fun x => ord I x < o₂) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o₂) '' {m | m < l})

eval (π C fun x => ord I x < o₁) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o₁) '' {m | m < l})


Context:
p n : ℕ
hp : 1 ≤ padicValNat p n


Context:
p n : ℕ
hp : 1 ≤ padicValNat p n
h : ¬p ∣ n


Context:
p n : ℕ
hp : 1 ≤ 0
h : ¬p ∣ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ


Context: R : CommRingCat

identityToΓSpec.app (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)) ≫ Spec.toLocallyRingedSpace.map (SpecΓIdentity.inv.app R).op = 𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))


Context: R : CommRingCat

((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop).val.base = (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base


Context: R : CommRingCat

∀ (r : ↑(unop (op ((𝟭 CommRingCat).obj R)))), (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop ≫ ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑(unop (op ((𝟭 CommRingCat).obj R)))) (basicOpen r) ≫ (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.c.app (op (basicOpen r))


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : Semiring R✝
f : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]

(p * q).trailingCoeff = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → ℂ
a : E
c : ℂ
R : ℝ

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z • a) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) • a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero α
s✝ : Multiset α
inst✝¹ : NoZeroDivisors α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α
l : List α


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f p : R[X]
x : R


(algebraMap R (AdjoinRoot f)) x = (mk f) (C x)


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f p✝ p q : R[X]
ihp : (aeval (root f)) p = (mk f) p
ihq : (aeval (root f)) q = (mk f) q

(aeval (root f)) (p + q) = (mk f) (p + q)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f p : R[X]

Context: n : ℕ

Context: x : R

Context: x✝ : (aeval (root f)) (C x * X ^ n) = (mk f) (C x * X ^ n)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f p : R[X]

Context: n : ℕ

Context: x : R

(algebraMap R (AdjoinRoot f)) x * root f ^ (n + 1) = (of f) x * root f ^ (n + 1)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

bernoulli' n = 1 - ∑ k ∈ range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
n : ℕ
hn : ⊥.radical ^ n ≤ ⊥


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct fun b => G.obj (f b)
P : C
g : (j : β) → P ⟶ f j
j : β

(G.map (Pi.lift g) ≫ piComparison G f) ≫ Pi.π (fun b => G.obj (f b)) j = (Pi.lift fun j => G.map (g j)) ≫ Pi.π (fun b => G.obj (f b)) j


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s

normalizedFactors s.prod = (Multiset.map normalizedFactors s).sum


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
h✝ : Subsingleton α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : 0 ∉ s
h✝ : Nontrivial α


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)

Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.restrictScalars A (kerTotal S B)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (⇑(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) '' (((Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (((Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∪ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.1 1) + (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.2 1) - (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single (x.1 + x.2) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.2 x.1) + (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single x.1 x.2) - (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single (x.1 * x.2) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) 1 + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) 1 - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 + (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) ((algebraMap A B) x.1) + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) ((algebraMap A B) x.2) - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 * (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) 1 + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) 1 - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 + (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ (Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) x.2) ((algebraMap A B) x.1) + Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1) ((algebraMap A B) x.2) - Finsupp.single ((algebraMap A B) x.1 * (algebraMap A B) x.2) 1) ⊔ (Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1))) = Submodule.span A (Set.range ((fun x => Finsupp.single x.1 1 + Finsupp.single x.2 1 - Finsupp.single (x.1 + x.2) 1) ∘ Prod.map ⇑(algebraMap A B) ⇑(algebraMap A B))) ⊔ (Submodule.span A (Set.range ((fun x => Finsupp.single x.2 x.1 + Finsupp.single x.1 x.2 - Finsupp.single (x.1 * x.2) 1) ∘ Prod.map ⇑(algebraMap A B) ⇑(algebraMap A B))) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1) = Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ≤ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

(Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1) ⊆ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

(Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) ((algebraMap R S) x)) 1) ⊆ Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap S B) x) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : ℕ
x : α


Context:
p n k : ℕ
n_big : 2 < n
p_le_n : p ≤ n
big : 2 * n < 3 * p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: t : Measure α := μ.withDensity (ρ.rnDeriv μ)

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, t.rnDeriv μ x = ρ.rnDeriv μ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: C : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.rnDeriv μ x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: a✝ : α

Context: Ax : Tendsto (fun a => (ρ.singularPart μ) a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 0)

Context: Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝

Context: Cx : Tendsto (fun a => t a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (t.rnDeriv μ a✝))

Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: a✝ : α

Context: Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝

(fun a => ρ a / μ a) = fun x => (ρ.singularPart μ) x / μ x + t x / μ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: eq_add : ρ = ρ.singularPart μ + t

Context: a✝ : α

Context: Bx : t.rnDeriv μ a✝ = ρ.rnDeriv μ a✝

𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝) = 𝓝 (0 + t.rnDeriv μ a✝)


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x

(fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) x = (((Ioo 0 1).indicator fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) + {1}.indicator fun x => P.f₀ - P.f 1) x


(Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1

(Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) 1 + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 - P.f 1 + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L

_root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: x y : L

Context: k : ℕ

Context: hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: x y : L

Context: k : ℕ

((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k = 0


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: x y : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

(((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k) m = 0 m


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: x y : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

(⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Iio b = Iio (b + a)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree

∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

(A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj : b.natDegree - d ≤ j


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj : b.natDegree - d ≤ j

Context: hbj : ¬b.degree ≤ ↑j


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj : b.natDegree - d ≤ j

Context: hbj : ↑j < ↑b.natDegree


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj : b.natDegree - d ≤ j

Context: hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree

Context: hbj : j < b.natDegree


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj✝ : b.natDegree - d ≤ j

Context: hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree

Context: hbj : j < b.natDegree

Context: hj : b.natDegree - j.succ < d


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: this✝ : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj✝ : b.natDegree - d ≤ j

Context: hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree

Context: hbj : j < b.natDegree

Context: hj : b.natDegree - j.succ < d

Context: this : j = b.natDegree - (b.natDegree - j.succ).succ


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
hα : Nonempty α


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x✝ : ↑X.toTopCat

x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ x✝ ∈ (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier


x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x✝, ⋯⟩) r)


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

(log ∘ Gamma) (a • x + b • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + b • (log ∘ Gamma) y


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1

(log ∘ Gamma) (a • x + (1 - a) • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + (1 - a) • (log ∘ Gamma) y


log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ a * log (Gamma x) + (1 - a) * log (Gamma y)


Context:
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y


log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ log (Gamma x ^ a * Gamma y ^ (1 - a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A

adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map ((adj₂.homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F).obj P) ((G₁ ⋙ sheafCompose J F).obj P)).symm (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)) = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

g (essSup f μ) = essSup (fun x => g (f x)) μ


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)


Context:
α β : Type u
a b c : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a
ha : 0 < a


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → C(X, E)

Context: hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → C(X, E)

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

∃ f, Tendsto (fun i => restrict K (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → C(X, E)

Context: K : Compacts X

∃ f, Tendsto (fun i => restrict (↑K) (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → C(X, E)

Context: K : Compacts X

Context: A : ∀ (s : Finset ι), restrict (↑K) (∑ i ∈ s, F i) = ∑ i ∈ s, restrict (↑K) (F i)


Context: x y : ℂ

abs (cexp x) = abs (cexp y) ↔ x.re = y.re


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : ∀ (x : M₁), B x = 0 → x = 0
x : M₁
hB : ∀ (y : M₂), (B x) y = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : ∀ (x : M₁), B x = 0 → x = 0
x : M₁
hB : ∀ (y : M₂), (B x) y = 0
h' : B x = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
x : M


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ

dist c (inversion c R x) = R ^ 2 / dist c x


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : A ⊆ range n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A
this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n

Context: A : Finset ℕ

Context: hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n

Context: hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card

Context: hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))

Context: this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n

Context: A : Finset ℕ

Context: hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n

Context: hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card

Context: this✝ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)

Context: this : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n

Context: A : Finset ℕ

Context: hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n

Context: hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card

Context: this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)

Context: this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val

Context: this : ThreeAPFree ((fun x => ↑x) '' ↑A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n

Context: A : Finset ℕ

Context: hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n

Context: hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card

Context: this : ThreeAPFree ↑(image (fun x => ↑x) A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε✝ ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n

Context: A : Finset ℕ

Context: hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n

Context: hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card

ε / 3 * ↑(Fintype.card (Fin (2 * n + 1))) ≤ ↑(image (fun x => ↑x) A).card


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition l.length
i : ℕ

map length (l.splitWrtComposition c) = c.blocks


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ o.card


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ Cardinal.lift.{u, u} o.card


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε a b r : ℝ
ha : 0 ≤ a
hr : 0 < r
this : EqOn (fun x => ‖x‖) id (Ioo a b)
x : E

x ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' Ioo (a * r) (b * r) ↔ x ∈ ball 0 (b * r) \ closedBall 0 (a * r)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

∀ ⦃i_1 : (i : ι) × β i⦄, i_1 ∈ t → Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f i_1)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: j : ι

Context: c : β j

Context: hj : ⟨j, c⟩ ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: j : ι

Context: c : β j

Context: hj : ⟨j, c⟩ ∈ t

Context: hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: j : ι

Context: c : β j

Context: hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩

Context: hj : ⟨j, c⟩ ∈ s.sigma g


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: j : ι

Context: c : β j

Context: hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩

Context: hj : ⟨j, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨j, c⟩.snd ∈ g ⟨j, c⟩.fst


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: c : β i

Context: hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨i, c⟩

Context: hj : ⟨i, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, c⟩.snd ∈ g ⟨i, c⟩.fst


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: β : ι → Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: g : (i : ι) → Finset (β i)

Context: f : Sigma β → α

Context: t : Finset ((i : ι) × β i)

Context: ht : t ⊆ s.sigma g

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

Context: j : ι

Context: c : β j

Context: hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩

Context: hij : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
x✝ : ℕ


Context: x y z : ℤ

x * x + y * y = z * z ↔ y * y + x * x = z * z


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(c • lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)


↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)


StronglyMeasurable (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f))


↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)


↑↑↑(c • f) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)


c • ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

Context: x : α

Context: hx : ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) x = ↑↑↑f x

(c • ↑↑↑f) x = (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)) x


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
s : Set E

(map (fun x => r • x) μ) s = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| * μ s


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(g ⊗ f.inv) ≫ (h ⊗ f.hom) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
i j : ℕ
c : α
l : List α
h₀ : i + 1 ≤ j + 1
h₁ : j + 1 ≤ (c :: l).length

insertNth (j + 1 + 1) b (insertNth (i + 1) a (c :: l)) = insertNth (i + 1) a (insertNth (j + 1) b (c :: l))


insertNth (j + 1) b (insertNth i a l) = insertNth i a (insertNth j b l)


Context:
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n m✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ p✝ q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: a : R

Context: p : R[X]

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0