Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : SemilatticeInf α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toInf✝¹ : Inf α

Context: toPartialOrder✝¹ : PartialOrder α

Context: inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c

Context: toInf✝ : Inf α

Context: toPartialOrder✝ : PartialOrder α

Context: inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

Context: ss : toInf = toInf

mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : SemilatticeInf α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toInf✝¹ : Inf α

Context: toPartialOrder✝ : PartialOrder α

Context: inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: toInf✝ : Inf α

Context: inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

Context: ss : toInf = toInf


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Antitone fun s => T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

∀ (s : Finset ι) ⦃a : ι⦄, a ∉ s → T μ p (∫⋯∫⁻_(insert a s)ᶜ, f ∂μ) (insert a s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Finset ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

T μ p (∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ) (insert i s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Finset ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i}, ∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Finset ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Mono (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : Z✝ ⟶ K
eq : g ≫ φ = h ≫ φ
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G

(Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp3 : p % 4 = 3
hq3 : q % 4 = 3
hpq : p ≠ q


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α


Context: a : ℝ

frontier {z | z.im ≤ a} = {z | z.im = a}


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

Module.rank R M + Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R (M × M₁)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤

|(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤


(μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s \ t)).toReal - (μ (t \ s)).toReal


(μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s ∪ t)).toReal - (μ t).toReal - ((μ (s ∪ t)).toReal - (μ s).toReal)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
r : R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y = snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z


Limits.BinaryFan.snd (product X (product Y Z).cone.pt).cone ≫ Limits.BinaryFan.fst (product Y Z).cone = snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: p q : α → Prop

Context: f : Filter α

Context: hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x

Context: hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x ∧ q x) x

∀ (x : α), ¬(fun x => p x ∧ q x) x → q x → ¬(fun x => p x) x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: ι : Type u_1

Context: B : ι → Opens ↑X

Context: F : Presheaf C X

Context: F' : Sheaf C X

Context: h : Opens.IsBasis (Set.range B)

Context: α β : F ⟶ F'.val

Context: he : ∀ (i : ι), α.app (op (B i)) = β.app (op (B i))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: ι : Type u_1

Context: B : ι → Opens ↑X

Context: F : Presheaf C X

Context: F' : Sheaf C X

Context: h : Opens.IsBasis (Set.range B)

Context: α β : F ⟶ F'.val

(restrictHomEquivHom F F' h).symm α = (restrictHomEquivHom F F' h).symm β


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)

2 * G.edgeFinset.card = (filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y) univ).card


univ.card = (filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y) univ).card


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M₁

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f

∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : IsEmpty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β

Context: inhabited_h : Inhabited β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : ∀ (a : α), ⨅ b, f b a = ⨅ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : M


Context: a✝ b c d m n a : ℤ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K
this : discrim a b c = 0 * 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i

ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ

Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ

Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 0 ⊆ p.ball 0 (r₁ * 0)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0


Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)


Context: h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)


Context: h' : Tendsto (fun s => 2 * ↑π ^ (-s / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
b : β
hb : b ∈ upperBounds (l '' s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
l : List α


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n m : ℕ
hn : Squarefree n
hm : Squarefree m

n = m ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → (p ∣ n ↔ p ∣ m)


Context: s : Finset ℕ

Context: m✝ n✝ p✝ n m : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: hm : Squarefree m

Context: h : ∀ (p : ℕ), Prime p → (p ∣ n ↔ p ∣ m)

Context: p : ℕ


Context: s : Finset ℕ

Context: m✝ n✝ p✝ n m : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: hm : Squarefree m

Context: p : ℕ

Context: hp : ¬Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
x : α


Context: n m b : ℕ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
a : A
i : ℕ


Subtype.val ⁻¹' ↑(pbo ↑(((decompose 𝒜) a) i)) = ⇑(toSpec 𝒜 f) ⁻¹' (sbo HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).carrier


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: z : ℂ

Context: this : ContinuousOn (circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)

ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r✝ : α → β → Prop

Context: p : β → γ → Prop

Context: q : γ → δ → Prop

Context: r : Prop → α → Prop

Context: this : (fun x x_1 => x ↔ x_1) = fun x x_1 => x = x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
o o' : Ordering


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : PartialHomeomorph E F

Context: f₀' : E ≃L[𝕜] F

Context: a : F

Context: ha : a ∈ f.target

Context: hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 n (↑f) (↑f.symm a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : PartialHomeomorph E F

Context: f₀' : E ≃L[𝕜] F

Context: a : F

Context: ha : a ∈ f.target

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 0 (↑f) (↑f.symm a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : PartialHomeomorph E F

Context: f₀' : E ≃L[𝕜] F

Context: a : F

Context: ha : a ∈ f.target

Context: n : ℕ

Context: IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) a

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 (↑n.succ) (↑f) (↑f.symm a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : PartialHomeomorph E F

Context: f₀' : E ≃L[𝕜] F

Context: a : F

Context: ha : a ∈ f.target

Context: Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) a

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 ⊤ (↑f) (↑f.symm a)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤

μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ ε⁻¹ ^ p.toReal * eLpNorm f p μ ^ p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤
hεpow : ε ^ p.toReal ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h : ¬ε = ⊤
hεpow : ε ^ p.toReal ≠ 0
hεpow' : ε ^ p.toReal ≠ ⊤


ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

HasMFDerivAt (I.prod I') I' Prod.snd x (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I' x Prod.snd) (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I')) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

Context: this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

(↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) = (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

mulETransformLeft e⁻¹ x = (mulETransformRight e x.swap).swap


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y ε x : α
n : ℕ
h : x < ↑n


Context: n m : ℕ

m ∈ n.smoothNumbers ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p < n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 < a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : a < 0


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ

((fun x => rexp (f x)) =o[l] fun x => rexp (g x)) ↔ Tendsto (fun x => g x - f x) l atTop


Context:
n : ℕ+
h : n < 2


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b : Ordinal.{u_4}
b0 : 0 < succ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
b0 : 0 < b
lb : b.IsLimit


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

F.IsMittagLeffler ↔ ∀ (j : J), ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a b : 𝕜
f : E →ᵃ[𝕜] F
h : a + b = 1


f (b • (y -ᵥ x) + x) = b • (f y -ᵥ f x) + f x


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Algebra R k
inst✝ : AddMonoid G
r : R

(↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R k) r) = (algebraMap R k[G]) r


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Algebra R k
inst✝ : AddMonoid G
r : R
x✝ : G

((↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R k) r)) x✝ = ((algebraMap R k[G]) r) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0

∀ (x : α), x ∈ (ofMultiset s hs).support ↔ x ∈ ↑s.toFinset


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h) = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).inv ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.map₂ (α_ f g h).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ℕ), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε

Context: F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n

Context: hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hNε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑ε

Context: F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n

Context: hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hFε : ∀ (i : Fin N), eLpNorm (sᶜ.indicator (F i)) p μ ≤ ↑ε


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h : zeroRootSubalgebra R L H = H

(zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsClosed s

IsPreconnected s ↔ ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : Disjoint u v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: H : ∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → s ⊆ u ∨ s ⊆ v

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∨ s ⊆ v ∩ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∧ s ⊆ s ∨ s ⊆ v ∧ s ⊆ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: H1 : IsClosed (u ∩ s) → IsClosed (v ∩ s) → s ⊆ u ∩ s ∪ v ∩ s → Disjoint (u ∩ s) (v ∩ s) → s ⊆ u ∨ s ⊆ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: hss : s ⊆ u ∪ v

Context: huv : s ∩ (u ∩ v) = ∅


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : ker f = ⊥
h : LinearIndependent R v


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

(algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2


∏ x : Fin pb.dim, (∏ j ∈ Ioi x, ((e j) pb.gen - (e x) pb.gen)) ^ 2 = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
i : Fin pb.dim

(∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen)) ^ 2 = ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2


Context:
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
hb : n ≤ p ^ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition

(filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card = s.card % P.parts.card


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
z : ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: z : (filter (fun x => x.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card + P.parts.card * (s.card / P.parts.card) = s.card


Context: m n : ℕ+

(m.gcd n).factorMultiset = m.factorMultiset ⊓ n.factorMultiset


Context: m n : ℕ+

(m.gcd n).factorMultiset ≤ m.factorMultiset ⊓ n.factorMultiset


Context: m n : ℕ+

m.factorMultiset ⊓ n.factorMultiset ≤ (m.gcd n).factorMultiset


Context: n a c : ℕ


Context:
n a c n0 : ℕ
hn : n0 > 1
h : ∀ n ≥ n0, (a * c) ^ n < (n - 1)!


Context:
n✝ a c n0 : ℕ
hn✝ : n0 > 1
h : ∀ n ≥ n0, (a * c) ^ n < (n - 1)!
n : ℕ
hn : n ≥ n0


Context:
x✝ : Unit
p : ℕ

Nat.Partrec.Code.G (x✝, List.map (fun n => let a := ofNat (ℕ × Code) n; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1)) (List.range p)).2 = some (let a := ofNat (ℕ × Code) p; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1))


Context:
x✝ : Unit
p : ℕ

List.map (fun n => Nat.rec Option.none (fun n_1 n_ih => rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) (unpair n).1) (fun n_2 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 n_2) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_2 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_2 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) (ofNat Code (unpair p).2)) (unpair p).1) (List.range (unpair p).1) = List.map (evaln (unpair p).1 (ofNat Code (unpair p).2)) (List.range (unpair p).1)


Context:
x✝ : Unit
p n : ℕ

n ∈ List.range (unpair p).1 → Nat.rec Option.none (fun n_1 n_ih => rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) (unpair n).1) (fun n_2 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 n_2) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_2 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) ((unpair p).1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_2 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range p)) (n_1, ofNat Code (unpair p).2) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) (ofNat Code (unpair p).2)) (unpair p).1 = evaln (unpair p).1 (ofNat Code (unpair p).2) n


Context: x✝ : Unit

Context: p n : ℕ

Context: this : List.range p = List.range (Nat.pair (unpair p).1 (encode (ofNat Code (unpair p).2)))

Context: c : Code

Context: k' : ℕ

Context: nk : n ∈ List.range (k' + 1)

Context: k : ℕ := k' + 1

rec (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) x) (fun cf cg x x => Nat.rec (Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) (unpair n).1) (fun n_1 n_ih => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 n_1) Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cg) (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i))) (unpair n).2) (fun cf x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k' + 1, cf) n Nat.rec (some (unpair n).2) (fun n_1 n_ih => Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair (k' + 1) (encode c)))) (k', c) (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) x) c = evaln (k' + 1) c n


Context: x✝ : Unit

Context: p n : ℕ

Context: c : Code

Context: k' : ℕ

Context: k : ℕ := k' + 1

Context: nk : n ≤ k'


Context: x✝ : Unit

Context: p n : ℕ

Context: c : Code

Context: k' : ℕ

Context: k : ℕ := k' + 1

Context: nk : n ≤ k'

Context: hg : ∀ {k' : ℕ} {c' : Code} {n : ℕ}, Nat.pair k' (encode c') < Nat.pair k (encode c) → Nat.Partrec.Code.lup (List.map (fun n => List.map (evaln (unpair n).1 (ofNat Code (unpair n).2)) (List.range (unpair n).1)) (List.range (Nat.pair k (encode c)))) (k', c') n = evaln k' c' n


Context: this : Primrec₂ fun x n => let a := ofNat (ℕ × Code) n; List.map (evaln a.1 a.2) (List.range a.1)

Context: x✝ : (ℕ × Code) × ℕ

Context: k : ℕ

Context: c : Code

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
h : μ s ≠ ⊤

(μ s).toReal • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
h : μ s ≠ ⊤
this : Fact (μ s < ⊤)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n d : ℕ

(trunc n f.derivativeFun).coeff d = (derivative (trunc (n + 1) f)).coeff d


(if d < n then (coeff R d) f.derivativeFun else 0) = (derivative (trunc (n + 1) f)).coeff d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
x : ℝ≥0
y : ℝ
h✝¹ : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ y
h✝ : 0 ≤ y
h : 0 = y


Context: C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1

Context: b : Ordinal.{u_2}

Context: H0 : C 0

Context: H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o


Context: C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1

Context: b : Ordinal.{u_2}

Context: H0 : C 0


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherianRing R
h : FiniteType R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: h : FiniteType R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hnoet : IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin n) R)


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: h : FiniteType R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hnoet : IsNoetherian (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R)


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: h : FiniteType R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: this : Module (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R) := Semiring.toModule


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: h : FiniteType R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: this✝ : Module (MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial (Fin n) R) := Semiring.toModule

Context: this : Submodule.FG (RingHom.ker f.toRingHom)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₂ y₂ : F
h✝ : W.Nonsingular x₂ y₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h✝ : W.Nonsingular x₁ y₁


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ y₁ : F
h✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁
x₂ y₂ : F
h✝ : W.Nonsingular x₂ y₂

some h✝¹ + some h✝ = 0 ↔ some h✝¹ = -some h✝


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
a : M
X : C

(F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorZero C M).hom.app X)


Context:
k✝ : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k✝
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k✝ V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k✝ V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k✝ V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k✝ V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
k : Type u_10
inst✝ : LinearOrderedField k
f : k →ᵃ[k] k
a b : k

⇑f '' Set.uIcc a b = Set.uIcc (f a) (f b)


Context: k✝ : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹³ : Ring k✝

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹¹ : Module k✝ V1

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁸ : Module k✝ V2

Context: inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁵ : Module k✝ V3

Context: inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝³ : AddCommGroup V4

Context: inst✝² : Module k✝ V4

Context: inst✝¹ : AffineSpace V4 P4

Context: k : Type u_10

Context: inst✝ : LinearOrderedField k

Context: f : k →ᵃ[k] k

Context: a b : k

Context: this : ⇑f = (fun x => x + f 0) ∘ fun x => x * (f 1 - f 0)


Context: k✝ : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹³ : Ring k✝

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹¹ : Module k✝ V1

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁸ : Module k✝ V2

Context: inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁵ : Module k✝ V3

Context: inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝³ : AddCommGroup V4

Context: inst✝² : Module k✝ V4

Context: inst✝¹ : AffineSpace V4 P4

Context: k : Type u_10

Context: inst✝ : LinearOrderedField k

Context: f : k →ᵃ[k] k

Context: a b : k


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α

l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l[i]? ≠ l[j]?


(∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]) ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l[i]? ≠ l[j]?


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ c


Context:
x : ℝ
h : sin x = 0
h₃ : x - ↑⌊x / π⌋ * π > 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

∑ i ∈ p.support, (monomial i) (p.coeff i) = ∑ i ∈ p.support, C (p.coeff i) * X ^ i


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)

∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)

Context: H₁ : Summable fun i => f i * g i

Context: H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)

Context: H₁ : Summable fun i => f i * g i

Context: hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)

Context: H₁ : Summable fun i => f i * g i

Context: hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)


Context:
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⟦mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR⟧ = ⟦mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)⟧


(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).LeftMoves


(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).RightMoves


∀ (i : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveLeft i⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveLeft (?refine_1 i)⟧


∀ (j : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveRight j⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveRight (?refine_2 j)⟧


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero V
inst✝ : SMul R V
x y : HahnModule Γ R V

((of R).symm x).coeff = ((of R).symm y).coeff ↔ x = y


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A

adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (adjoin (↥(adjoin R s)) t)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n m : ℕ
hnq : n < q
hnm : c.Rel m n


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (f + g)) s = (μ.withDensity f + μ.withDensity g) s


∫⁻ (a : α) in s, (f + g) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a + g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ b

Context: m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure

∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0

Context: b : β

Context: hb : ∀ t ∈ 𝓝[univ] b, 0 < m t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0

Context: b : β

Context: hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0

Context: b : β

Context: hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t

Context: a : β

Context: hab : a ≠ b

Context: ha : ∀ t ∈ 𝓝[{b}ᶜ] a, 0 < m t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0

Context: b : β

Context: hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t

Context: a : β

Context: hab : a ≠ b

Context: ha : ∀ t ∈ 𝓝 a, 0 < m t


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

(w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞

Context: hw' : w₁ + w₂ = 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h : (∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i) ^ p ≤ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i ^ p


∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H


(con φ) ((inl.comp CoprodI.of) ((φ i) x)) (inr x)


∃ i_1 x', (inl.comp CoprodI.of) ((φ i) x) = inl (CoprodI.of ((φ i_1) x')) ∧ inr x = inr x'


∃ i_1 x', inl (CoprodI.of ((φ i) x)) = inl (CoprodI.of ((φ i_1) x')) ∧ inr x = inr x'


Context: x : ℂ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : (S.map F).Exact


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : kernel.ι (S.map F).g ≫ cokernel.π (S.map F).f = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: S : ShortComplex C

F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: S : ShortComplex C

Context: k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)

Context: hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: S : ShortComplex C

Context: l : cokernel (F.map S.f) ⟶ F.obj (cokernel S.f)

Context: hl : cokernel.π (F.map S.f) ≫ l = F.map (cokernel.π S.f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: t : Ordnode α

Context: h : t.Valid


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: t : Ordnode α

Context: h : t.Valid


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

(orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

Context: h : v +ᵥ p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

Context: h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) = ↑0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s.directionᗮ

↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.direction


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r L : List (List α)

Context: l' : List α

Context: this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)

l' ∈ foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r L : List (List α)

Context: l' : List α

l' ∈ (L.bind fun y => (permutationsAux2 t ts [] y id).2) ++ r ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X

SeparatedNhds s t ↔ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f g : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h1 : g.Separable
m : ℕ
h2 : (expand F (q ^ m)) g = f


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F

StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ici x) x


IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t


(range fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ

(fun x => derivWithin f (Ici x) x) x ∈ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))


(range fun y => derivWithin f (Ici x) y) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g

∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: hx : (x_fst, x_snd) ∈ g

Context: hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: hx : (x_fst, x_snd) ∈ g

↑g.toLinearPMap ⟨x_fst, hx_fst⟩ = (x_fst, x_snd).2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: hx : (x_fst, x_snd) ∈ g


Context:
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
x : M₀

x ∈ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ x ∈ nonZeroDivisorsRight M₀


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤


(μ ↑{ carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K } • haarMeasure { carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K }).Regular


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Ioc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p ≠ 0


Context: a b c d m n x : ℤ


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ


Context:
p : ℕ
hp : 0 < p


Context:
p : ℕ
hp : 0 < p
h : φ p = p - 1


Context:
p : ℕ
h : φ p = p - 1
hp : 1 < p


Context: p : ℕ

Context: h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card

Context: hp : 1 < p


Context: p : ℕ

Context: hp : 1 < p

Context: n : ℕ

Context: hn : n < p

Context: hnz : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
b0 : 0 < b


Context:
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z


Context:
w x y z✝ z : ℝ
h_one_le : 1 ≤ z
hx : ⊥ ≤ 1


Context:
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0

∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < 0, a k = 0

∃ t, z ^ 0 • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + 0)) t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L

φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0


(bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0

Context: hn : 0 < n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

(bind₁ fun k => 1) ((X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

(1 - ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

C ⅟↑p ^ n - (∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

C ⅟↑p ^ n - C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) * C ⅟↑p ^ n = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

∀ b ∈ Finset.range n, b ≠ 0 → C ↑p ^ b * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ b) ^ p ^ (n - b) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

0 ∉ Finset.range n → C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K

w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ ψ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: h : φ.realContinuousMapOfNNReal = ψ.realContinuousMapOfNNReal

Context: f : C(X, ℝ≥0)


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

↑(a.descFactorial b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer S b)


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasShift C S

Context: inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms

Context: X Y : DifferentialObject S C

Context: f : X ≅ Y


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasShift C S

Context: X Y : DifferentialObject S C

Context: f : X ≅ Y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Sort u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: l : ι → Filter α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: t : Set α

t ∈ ⨆ i, l i ↔ ∃ i, (∀ (i_1 : ι), p i_1 (i i_1)) ∧ ⋃ i_1, s i_1 (i i_1) ⊆ t


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
h : S ≤ f.srange


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M

(op ∘ ⇑f) (x * y) = (op ∘ ⇑f) x * (op ∘ ⇑f) y


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a

∀ (o : Ordinal.{max u v}), a ≤ derivFamily f o → ∃ o, derivFamily f o = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y✝ : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y

Context: hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: y : 𝕜

HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
j : α

(if j + 1 = j + 1 then d j ≫ 𝟙 (X (j + 1)) else 0) = d j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F


∀ (x y : E), ⟪(id 𝕜 E) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (id 𝕜 E) y⟫_𝕜


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame

(∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ (x.insertLeft x').moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ x.insertLeft x') ∧ ∀ (j : (x.insertLeft x').RightMoves), (∃ i, x ≤ ((x.insertLeft x').moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ (x.insertLeft x').moveRight j


Context:
α : Type u_1
n : ℤ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

{ proj := p.proj, snd := (mfderivWithin I I id s p.proj) p.snd } = p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

{ proj := p.proj, snd := (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I p.proj)) p.snd } = p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{0}
h' : c < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} c < ℵ₀


Context:
α β : Type u
S : Set ℕ
h' : #↑S < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀


Context:
α β : Type u
S : Set ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀
h' : ¬S.Finite


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : δ' → β → ε

Context: h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

image2 f (image2 g s t) u = image2 g' (image2 f' s u) t


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : δ' → β → ε

image2 f (image2 (fun a b => g b a) t s) u = image2 (fun a b => g' b a) t (image2 f' s u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
s : β → β → Prop
a : α
h : ¬r a a

∀ {a_1 b : β}, Prod.Lex r s ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } a_1) ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } b) ↔ s a_1 b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Module A M

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype κ

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } A M

Context: f : M →ₗ[A] M

Context: this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M)

LinearMap.det f = ((toMatrix b b) f).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₁ k₀ : ι

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

Context: hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁

Context: h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

(nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₁ k₀ : ι

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

Context: hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁

(C.d k₁ k₀ ≫ dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α

(∏' (b' : β), if b' = b then a else 1) = a


∀ (b' : β), b' ≠ b → (if b' = b then a else 1) = 1


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} o.card < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord

Context: a : Ordinal.{max u v}


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1

Context: Hnil : {u : V} → motive u u nil

Context: Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: h : G.Adj v w

⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse = Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse)


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: Hnil : {u : V} → motive u u nil

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: h : G.Adj v w

HEq (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: Hnil : {u : V} → motive u u nil

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: h : G.Adj v w

HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: Hnil : {u : V} → motive u u nil

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: h : G.Adj v w

HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (concatRecAux Hnil Hconcat (cons ⋯ p.reverse))


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: Hnil : {u : V} → motive u u nil

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: h : G.Adj v w

HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (cons ⋯ p.reverse)) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))


Context:
α : Type u_1
G✝ : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
G : Type u_6
inst✝ : Group G
S : Set G
x : G


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : Associated (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) q


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) = q


Context:
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V W : Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (forget C).obj (F.obj (op W))

(F.map (homOfLE e₁).op) ((F.map (homOfLE e₂).op) x) = (F.map (homOfLE ⋯).op) x


(F.map ((homOfLE e₂).op ≫ (homOfLE e₁).op)) x = (F.map (homOfLE ⋯).op) x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β

Context: f : F


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: f : F

Context: K : Set α

Context: hK₁ : IsCompact K

Context: hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: f : F

Context: K : Set α

Context: hK₁ : IsCompact K

Context: hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: f : F

Context: K : Set α

Context: hK₁ : IsCompact K

Context: hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C

Context: x y : α

Context: this : ∀ (x : α), f x ∈ closedBall 0 (max C 1)


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex (update x i a) < toLex x ↔ a < x i


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex (update x i a) < toLex x → a < x i


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

Context: j : ι

Context: hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x i a) j_1 = toLex x j_1

Context: h : update x i a j < x j


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: j : ι

Context: a : β j

Context: hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x j a) j_1 = toLex x j_1

Context: h : update x j a j < x j


Context: a b c d : Ordinal.{u}

a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'


Context: a b c d : Ordinal.{u}

¬a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
f : β → γ
x : β

(x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring R

Context: f g h : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: h2i : g i + h i ≤ f i

Context: hgf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j ≤ f j

Context: hhf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j ≤ f j

∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i ≤ ∏ i ∈ s, f i


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

W'.addXYZ P (W'.neg P) = -W'.dblZ P • ![1, 1, 0]


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: s t : Localization.Away f

Context: h_eq : (toBasicOpen R f) s = (toBasicOpen R f) t


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Localization.Away f

Context: a b : R

Context: hb : b ∈ Submonoid.powers f

Context: h_eq : (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩) = (toBasicOpen R f) t

IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = t