Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y
f : Ultrafilter X
hf : ↑f ≤ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
l : Filter X
y : X
hmem : s ∈ l
h : ∀ x ∈ s, ClusterPt x l → x = y
f : Ultrafilter X
hf : ↑f ≤ l
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ↑f ≤ 𝓝 x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

IsUnit (cfc f a) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

0 ∉ f '' spectrum R a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
o : Option α
h : (Option.map f o).isSome = true


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s✝ t s : Set A

Context: x : A

Context: f : A →ₗ[R] B

Context: hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂

Context: h : x ∈ adjoin R s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s✝ t s : Set A

Context: x : A

Context: f : A →ₗ[R] B

Context: h : x ∈ adjoin R s

Context: r : R

(fun a => f a ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))) ((algebraMap R A) r)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s✝ t s : Set A

Context: x : A

Context: f : A →ₗ[R] B

Context: h : x ∈ adjoin R s

Context: r : R

Context: this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
i : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℕ


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
inst✝¹ : Infinite X
inst✝ : DiscreteTopology X
inhabited_h : Inhabited X


∃ x, ¬Tendsto (⇑CofiniteTopology.of.symm) (𝓝 x) (𝓝 (CofiniteTopology.of.symm x))


¬Tendsto (⇑CofiniteTopology.of.symm) (𝓝 (CofiniteTopology.of ↑default)) (𝓝 (CofiniteTopology.of.symm (CofiniteTopology.of ↑default)))


Context: F : Type u → Type v

Context: inst✝³ : Applicative F

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: G : Type u → Type w

Context: inst✝¹ : Applicative G

Context: inst✝ : LawfulApplicative G

Context: η η' : ApplicativeTransformation F G

Context: h : ∀ (α : Type u) (x : F α), (fun {α} => η.app α) x = (fun {α} => η'.app α) x


Context: F : Type u → Type v

Context: inst✝³ : Applicative F

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: G : Type u → Type w

Context: inst✝¹ : Applicative G

Context: inst✝ : LawfulApplicative G

Context: η η' : ApplicativeTransformation F G

(fun {α} => η.app α) = fun {α} => η'.app α


Context: F : Type u → Type v

Context: inst✝³ : Applicative F

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: G : Type u → Type w

Context: inst✝¹ : Applicative G

Context: inst✝ : LawfulApplicative G

Context: η η' : ApplicativeTransformation F G

Context: α : Type u


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
inst✝ : p.NeBot
h : Tendsto φ p F
H : Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
inst✝ : p.NeBot
h : Tendsto φ p F
H : Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)
this : map (u ∘ φ) p ≤ map u F


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Filter α
φ : β → α
p : Filter β
u : α → X
inst✝ : p.NeBot
h : Tendsto φ p F
H : Tendsto (u ∘ φ) p (𝓝 x)
this✝ : map (u ∘ φ) p ≤ map u F
this : map (u ∘ φ) p ≤ 𝓝 x ⊓ map u F


Context: θ : ℂ


Context: θ : ℂ

Context: h : (cexp (θ * I) + cexp (-θ * I)) / 2 = 0 ↔ cexp (2 * θ * I) = -1


Context: θ : ℂ

Context: x : ℤ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F

MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x}


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ
x✝ : ℝ

DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x✝) x✝ ↔ DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x✝) x✝ ∧ derivWithin f (Ici x✝) x✝ ∈ univ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.Nodup

pmap l.prev l ⋯ = l.rotate (l.length - 1)


(pmap l.prev l ⋯).length = (l.rotate (l.length - 1)).length


∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (pmap l.prev l ⋯).length) (h₂ : n < (l.rotate (l.length - 1)).length), (pmap l.prev l ⋯).nthLe n h₁ = (l.rotate (l.length - 1)).nthLe n h₂


Context:
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
g : SL(2, R)


Context: X : Type u

{ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)


Context: X : Type u

autoParam (∀ (X_1 Y : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)) (f : X_1 ⟶ Y), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context: X : Type u

∀ (X_1 : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (𝟙 X)).obj X_1 = (𝟙 ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X)).obj X_1


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map f ≫ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map g


autoParam (∀ (X Y : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X✝)) (f_1 : X ⟶ Y), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map f ≫ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map g).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


∀ (X : ↑({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.obj X✝)), ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map (f ≫ g)).obj X = ({ obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map f ≫ { obj := fun X => Cat.of (Discrete X), map := fun {X Y} f => id (Discrete.functor (Discrete.mk ∘ f)) }.map g).obj X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : δ' ≃ δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : δ' ≃ δ

∀ (a : δ), Measurable fun x => (piCongrLeft π f) x a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : δ' ≃ δ

Context: i : δ

Measurable fun x => (piCongrLeft π f) x i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : δ' ≃ δ

Context: i : δ

Measurable fun x => cast ⋯ (x (f.symm i))


Context:
x : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: hf : Tendsto f (cocompact X) (cocompact Y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: hdvd : a ∣ b

Context: heq : 0 = multiplicity a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hdvd : a ∣ b

Context: heq : 0 = multiplicity a b


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ

‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
h : r.dom ⊆ s


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hf : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: ρ' : Measure (α × ℝ) := Measure.map (Prod.map id f) ρ

Context: hρ'def : ρ' = Measure.map (Prod.map id f) ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Context: hρ'' : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ.map f ⋯) x = ρ'.condKernel x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → (ρ'.condKernel x) s = (ρ.condKernel x) (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Measure.map (Prod.map id f) ρ = ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Context: s : Set (α × ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.map (Prod.map id f) ρ) s = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Context: s : Set (α × ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.map (Prod.map id f) (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)) s = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel.map f ⋯) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Context: s : Set (α × ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' (Prod.map id (embeddingReal Ω) ⁻¹' s)) ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : α), ((ρ.condKernel.map f ⋯) a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂ρ.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: f : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hρ' : ρ'.fst = ρ.fst

Context: s : Set (α × ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (Prod.map id (embeddingReal Ω) ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
o : Option α


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
l : Multiset S[X]

∀ (a : List S[X]), (Multiset.sum ⟦a⟧).natDegree ≤ foldr max ⋯ 0 (Multiset.map natDegree ⟦a⟧)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : End X


Context: θ : Angle


Context: θ : Angle

0 ≤ (↑θ.toReal).cos ↔ |θ.toReal| ≤ π / 2


Context: θ : Angle

0 ≤ Real.cos θ.toReal ↔ -(π / 2) ≤ θ.toReal ∧ θ.toReal ≤ π / 2


Context:
θ : Angle
h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal


Context: θ : Angle

Context: h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal

Context: hn : ¬(-(π / 2) ≤ θ.toReal ∧ θ.toReal ≤ π / 2)


Context: θ : Angle

Context: h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal

Context: hn : θ.toReal < -(π / 2) ∨ π / 2 < θ.toReal


Context: θ : Angle

Context: h : 0 ≤ Real.cos θ.toReal


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
m : M
p : Submonoid M


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : H₁.Normal
hH₂ : H₂.Normal
hdis : Disjoint H₁ H₂
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1164305) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : 0 ≤ cfcₙ id a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ id x


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

(Real.add { cauchy := a } { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy + { cauchy := b }.cauchy


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α

f ∈ closure S ↔ (fixedBy α f)ᶜ.Finite ∧ ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
f : Equiv.Perm α
hf : f ∈ closure S


((fixedBy α f)ᶜ.Finite ∧ ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → f ∈ closure S


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: f : Equiv.Perm α

Context: hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x

Context: supp : Set α := (fixedBy α f)ᶜ

Context: fin : supp.Finite

Context: supp_eq : supp = (fixedBy α f)ᶜ


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: f : Equiv.Perm α

Context: supp : Set α := (fixedBy α f)ᶜ

Context: fin : supp.Finite

Context: supp_eq : supp = (fixedBy α f)ᶜ


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite

∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ supp → f ∈ closure S


∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ ∅ → f ∈ closure S


∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → (∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S) → ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s → f ∈ closure S


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: supp : Set α

Context: fin : supp.Finite

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: ih : ∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ s → f ∈ closure S

Context: f : Equiv.Perm α

Context: supp_subset : (fixedBy α f)ᶜ ⊆ insert a s


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: supp : Set α

Context: fin : supp.Finite

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: f : Equiv.Perm α

Context: b : α

(swap (f a) a * f) b ∈ orbit (↥(closure S)) b


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: supp : Set α

Context: fin : supp.Finite

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: f : Equiv.Perm α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ (fixedBy α (swap (f a) a * f))ᶜ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
m n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ↑x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α


Context: n m l : ℕ

filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n (min m l)


Context:
n m l : ℕ
hml : m ≤ l


Context:
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)

Context: Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I

∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: this : Iₚ ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: this : Iₚ ≠ ⊤

Context: M : Ideal Sₚ

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hM' : Iₚ ≤ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: this : Iₚ ≠ ⊤

Context: M : Ideal Sₚ

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hM' : Iₚ ≤ M

comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) M) ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: this : Iₚ ≠ ⊤

Context: M : Ideal Sₚ

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hM' : Iₚ ≤ M

Context: x : R

Context: hx : x ∈ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: this : Iₚ ≠ ⊤

Context: M : Ideal Sₚ

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hM' : Iₚ ≤ M

Context: x : R

Context: hx' : x ∉ P


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]

Tendsto (fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact ℝ)


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

Context: f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

Context: cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

Context: hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

Context: hf₂ : ClosedEmbedding ⇑(lcRow0Extend hcd)


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: cd : Fin 2 → ℤ

Context: hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)

Context: hmB : Continuous mB

(mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) = ⇑(lcRow0Extend hcd) ∘ f₁ ∘ fun a => ↑a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x y : E

⟪(adjoint T * T) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (adjoint T * T) y⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hm : m.Sized
hr : r.Sized


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)}) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

(fun i => μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)}) =ᶠ[l] fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} = μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

{x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} =ᶠ[ae μ] {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: x : α

Context: hxf : f i x = f' i x

Context: hxg : g x = g' x

{x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x = {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: x : α

Context: hxf : f i x = f' i x

Context: hxg : g x = g' x

{x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x ↔ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: x : α

Context: hxf : f i x = f' i x

Context: hxg : g x = g' x

ε ≤ dist (f' i x) (g' x) ↔ ε ≤ dist (f i x) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : a ≤ 1

Context: hab : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: a b c : α

Context: ha : a ≤ 1

Context: hab : b ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.leftHomologyData = leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


(∀ (x_1 : α), x_1 ∈ op x • ↑s ↔ x_1 ∈ op y • ↑s) ↔ y * x⁻¹ ∈ s


(∀ (x_1 : α), x_1 * x⁻¹ ∈ s ↔ x_1 * y⁻¹ ∈ s) ↔ y * x⁻¹ ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

¬Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∃ s ∈ l₂, ∃ᶠ (x : α) in l₁, f x ∉ s


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝¹ x✝ : R

(algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝¹ = (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝ → x✝¹ = x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ


∀ (a : α) (s : Multiset α), filter p (n • s) = n • filter p s → filter p (n • (a ::ₘ s)) = n • filter p (a ::ₘ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α

(zipWith f hf (single a m) (single a n)) a' = (single a (f m n)) a'


f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N

f ((single a m) a) ((single a n) a) = (single a (f m n)) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
ha' : a ≠ a'


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)

Context: hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0

Context: hg : IntegrableOn g k μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s q


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[s] q

Context: hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, dist (f p x) (f q x) < δ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[s] q

Context: hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, ‖f p x - f q x‖ < δ

Context: I : ∀ p ∈ s, IntegrableOn (fun y => (L (g y)) (f p y)) k μ

∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, ‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[s] q

Context: p : X

Context: hp : p ∈ v

Context: h'p : p ∈ s

‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f p y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε


Context:
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β


∀ t_1 ∈ toTopologicalSpace '' {b | TopologicalSpace.coinduced f t ≤ b.toTopologicalSpace}, Continuous f


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: inst✝¹ : Group α✝

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Group β

Context: f : α → β

Context: t' : GroupTopology β

Context: ht' : t' ∈ {b | TopologicalSpace.coinduced f t ≤ b.toTopologicalSpace}


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T

(((toLinearMap₂' T) M) v) w = v ⬝ᵥ M *ᵥ w


∑ i : n, ∑ j : m, v i •> w j •> M i j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : m, M x x_1 * w x_1


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ

∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = v x✝¹ * ∑ x : m, M x✝¹ x * w x


∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = ∑ i : m, v x✝¹ * (M x✝¹ i * w i)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ

v x✝³ •> w x✝¹ •> M x✝³ x✝¹ = v x✝³ * (M x✝³ x✝¹ * w x✝¹)


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α

indexesValues (fun b => decide (p b)) as = filter ((fun b => decide (p b)) ∘ Prod.snd) as.enum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => x * c) ⁻¹' Ico a b = Ioc (b / c) (a / c)


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: ho : o ≠ 0

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: this : Nonempty (Quotient.out o).α


Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: this : Nonempty (Quotient.out o).α

∀ (i : (Quotient.out o).α), IsNormal (o.familyOfBFamily f i)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y

Context: s : Set (SeparationQuotient X)

ContinuousOn (lift f hf) s ↔ ContinuousOn f (mk ⁻¹' s)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
m n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
g : α → β ⊕ Fin m
v : β → M
xs : Fin (m + n) → M

(relabel g φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (Sum.elim v (xs ∘ castAdd n) ∘ g) (xs ∘ natAdd m)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(extensionOfMax i f).domain

Context: x' : ↥(extensionOfMaxAdjoin i f h y).domain

Context: EQ : ↑x = ↑x'

ExtensionOfMaxAdjoin.extensionToFun i f h x' = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap x


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
g : G
x✝ : g ∈ ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h✝ : H.IsComplement' K
h : ↑↑H
k : ↑↑K
x✝ : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ ⊤


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F

A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd = liftedConeElement F


(preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = (preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I

limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: A : C ⥤ Type w

Context: I : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I

Context: inst✝² : Small.{w, u₁} I

Context: F : I ⥤ A.Elements

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A

Context: c : Cone F

Context: i : I

Context: h₁ : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).hom ≫ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: A : C ⥤ Type w

Context: I : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I

Context: inst✝² : Small.{w, u₁} I

Context: F : I ⥤ A.Elements

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A

Context: c : Cone F

Context: i : I

Context: h₂ : A.map (↑(c.π.app i)) (((Functor.const I).obj c.pt).obj i).snd = (F.obj i).snd


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜

HasDerivAt f f' x ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: this : 𝓝[≠] x = map (fun t => x + t) (𝓝[≠] 0)


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: X Y Z : Scheme

Context: e : X ≅ Y

Context: f : Y ⟶ Z

Context: hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f

stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : X ≅ Y

Context: f : Y ⟶ Z

∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (e.hom ≫ f) x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : X ≅ Y

Context: f : Y ⟶ Z

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : X ≅ Y

Context: f : Y ⟶ Z

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

P (Scheme.Hom.stalkMap f (e.hom.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap e.hom x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : Y ≅ Z

Context: f : X ⟶ Y

stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : Y ≅ Z

Context: f : X ⟶ Y

∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ e.hom) x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : Y ≅ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X Y Z : Scheme

Context: e : Y ≅ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

P (Scheme.Hom.stalkMap e.hom (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K

FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ (α_ V (FGModuleCatDual K V) V).hom ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V = (λ_ V).hom ≫ (ρ_ V).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U

(𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}


(Filter.comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G


∀ y ∈ {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q ∈ ⊤, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}, y = 1


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
y : G
hy1 : y ∈ lowerCentralSeries G n
z : G


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V
val✝ : Fintype K


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ f) g' l s

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, DifferentiableOn 𝕜 (f n) s

Context: hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: hx : x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) ((deriv ∘ f) n x) x


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i


Context:
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n

IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n))) n


Context:
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n

cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ n = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ l = 1 → n ∣ l


Context:
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n


Context:
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < π / 2


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R

(coeff R n) ((C R) a) = if n = 0 then a else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
x y : α × β

(hasse (α × β)).Adj x y ↔ (hasse α □ hasse β).Adj x y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R
f : R⟦X⟧

(r • f).derivativeFun = r • f.derivativeFun


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
hfe : MeasurableEmbedding f
s : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Surjective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
hs : IsStrongAntichain r s
f : α → β
hf : Surjective f
h : ∀ (a b : α), r' (f a) (f b) → r a b
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : f a ≠ f b
c : α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A


Context: R : CommRingCat

Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)


Context: R : CommRingCat

Context: this : adjunction.unit.app (Scheme.Spec.obj (op R)) ≫ Scheme.Spec.map (adjunction.counit.app (op R)) = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op R))


Context: R : CommRingCat

Context: this : adjunction.unit.app (Spec R) ≫ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).inv = 𝟙 (Spec R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α

fold op b (a ::ₘ s) = fold op (op b a) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g

∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}


∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ


∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {a | f a ≤ g a}ᶜ, f x ∂μ


∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x} → max (f x) (g x) = g x


∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x}ᶜ → max (f x) (g x) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hg : Measurable g
a : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((κ ∘ₖ deterministic g hg) a) s = ((κ.comap g hg) a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n

TendstoUniformly (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop


TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop univ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
g : OneHom N P
f₁ f₂ : OneHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α

(∃ u, toDual a < toDual u ∧ Icc (toDual a) (toDual u) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s


(∃ u, toDual a < toDual u ∧ ⇑ofDual ⁻¹' Icc u a ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
e : X ≃ᵢ Y
s : Set Y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X

(ofObjects Y X).arrows g → (ofArrows Y f).arrows g


(∃ i, Nonempty (W ⟶ Y i)) → ∃ i a, g = a ≫ f i


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
i : I
h : W ⟶ Y i


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s

∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x

x ∈ s ∩ Ioo a b → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
this : Ioo a b ∈ 𝓝[s] x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
a b : ℝ
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
a✝ : a < b
g : ℝ → ℝ
hg : Monotone g
gf : EqOn f g (s ∩ Icc a b)
x : ℝ
hx : DifferentiableAt ℝ g x
h'x : x ∈ s ∩ Ioo a b
this : Ioo a b ∈ 𝓝[s] x
y : ℝ
hy : y ∈ s
h'y : y ∈ Ioo a b


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

reduce (toWord (Quot.mk Red.Step L)) = toWord (Quot.mk Red.Step L)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α


∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ioi 0 → z ∈ Ioi 0 → x < y → y < z → (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝² : DecidableRel c.Rel

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝² : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

((Homotopy.ofEq ⋯).trans (Homotopy.equivSubZero (Homotopy.refl (𝟙 K)))).hom i j = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

mfderivWithin I I' f s x = mfderivWithin I I' f univ x


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG : Pregroupoid H
e e' : PartialHomeomorph H H
he' : e ≈ e'
he : PG.property (↑e) e.source


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

(equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α) x * (equivShrink α) y


(equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) * (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0


‖x‖ ^ 2 - 2 * (‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ - ‖y‖) ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
w : E

(ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) w = (K.subtypeL.comp (orthogonalProjection K) + Kᗮ.subtypeL.comp (orthogonalProjection Kᗮ)) w


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g✝ : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks

Context: g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

Context: J : Ideal (S ⊗[R] T)

Context: hJ : J.IsPrime

Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) J) J (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g✝ : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: J : Ideal (S ⊗[R] T)

Context: hJ : J.IsPrime

∀ (s : S ⊗[R] T), ∃ x r, ∃ c ∉ J, (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r ∉ J ∧ c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r * s = c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g✝ : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: J : Ideal (S ⊗[R] T)

Context: hJ : J.IsPrime

Context: x : S ⊗[R] T

∃ x_1 r, ∃ c ∉ J, (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r ∉ J ∧ c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) r * x = c * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) x_1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g✝ : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: J : Ideal (S ⊗[R] T)

Context: hJ : J.IsPrime

Context: x : S ⊗[R] T

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g J

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: yfs : y ∈ ⇑f '' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ s

Context: z : F

Context: hz : z ∈ ball y (ε / C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ s

Context: z : F

Context: hz : z ∈ ball y (ε / C)

Context: w : E

Context: wim : f w = z - y

Context: wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ s

Context: z : F

Context: hz : z ∈ ball y (ε / C)

Context: w : E

Context: wim : f w = z - y

Context: wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖

Context: this : f (x + w) = z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: y : F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: fxy : f x = y

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ s

Context: z : F

Context: hz : z ∈ ball y (ε / C)

Context: w : E

Context: wim : f w = z - y

Context: wnorm : ‖w‖ ≤ C * ‖z - y‖

Context: this✝ : f (x + w) = z

Context: this : x + w ∈ ball x ε


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : HasSolidNorm K


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : HasSolidNorm K
val✝ : Fintype ι


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : HasSolidNorm K
val✝ : Fintype ι
x : E
hx : x ∈ fundamentalDomain b

‖x‖ ≤ ∑ j : ι, ‖b j‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
g : β → γ
f : α → β
x✝¹ : α
x✝ : γ

x✝ ∈ ↑(g ∘ f) x✝¹ ↔ x✝ ∈ (↑g).comp (↑f) x✝¹


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

(α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv = (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ (α_ W X Y).hom ▷ Z


((α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv) ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z = ((α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ (α_ W X Y).hom ▷ Z) ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s✝ : Set α
s : Set β
f : α → β
hf : Surjective f
x : α
hx : f x ∈ s
y : α
hy : f y ∈ s
hxy : f x ≠ f y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
inst✝ : ProperSpace E
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E

Metric.closedBall a ε + Metric.closedBall b δ = Metric.closedBall (a + b) (ε + δ)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x✝ y : M
u : Rˣ
x : M


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) p).hom ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1).obj S.X₂).d p (p + 1) = (mappingCone (homOfDegreewiseSplit S σ)).d p (p + 1) ≫ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) (p + 1)).hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: r_f : (σ (p + 1 + 1)).r ≫ (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).f = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).X₂ - (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).g ≫ (σ (p + 1 + 1)).s


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: s_g : (σ (p + 1)).s ≫ (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1))).g = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1))).X₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: r_f : (σ (p + 1 + 1)).r ≫ S.f.f (p + 1 + 1) = 𝟙 (S.X₂.X (p + 1 + 1)) - S.g.f (p + 1 + 1) ≫ (σ (p + 1 + 1)).s

Context: s_g : (σ (p + 1)).s ≫ S.g.f (p + 1) = 𝟙 (S.X₃.X (p + 1))


Context:
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : 1 < A.card * B.card

∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

Context: C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

Context: D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

Context: hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

Context: hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card

Context: hC : 1 ∈ C


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

Context: hcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card

Context: hC : 1 ∈ C

Context: hD : 1 ∈ D


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: x : A

Context: p : R[X]

Context: h : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)

(aeval ((algebraMap A B) x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)


Context: a : ℝ

frontier {z | z.re < a} = {z | z.re = a}


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π : Prepartition I

Context: h : I ≤ J


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: h : I ≤ J

(Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π.boxes).biUnion Option.toFinset = π.boxes


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: h : I ≤ J

(π.boxes.biUnion fun a => Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a)) = π.boxes


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: h : I ≤ J

∀ a ∈ π.boxes, Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a) = {a}


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: h : I ≤ J

Context: J' : Box ι

Context: hJ' : J' ∈ π.boxes


Context: n : Nat


Context: n : Nat

0 :: map (fun x => 1 + x) (range' 0 n) = 0 :: map succ (range' 0 n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.133956, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.133960, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: α : Cochain F K m

Context: β : Cocycle G K n

Context: h : m + 1 = n

Context: eq : δ m n α = n.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp ↑β ⋯

δ n (n + 1) (descCochain φ α (↑β) h) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (b ^ n) (b ^ (n + 1)))


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y z : V

Context: h : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z_1, z_1 • y = z


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝˣ

2 • o.oangle x y = 2 • o.oangle x (r • y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ∈ alternatingGroup α


∀ (n : ℕ) (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (l : List (Perm α)), (∀ g ∈ l, g.IsSwap) → l.length = 2 * n → l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: hn : l.length = 2 * (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: hn : l.length = 2 * n + 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: a : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ a :: l, g.IsSwap

Context: hn : (a :: l).length = 2 * n + 2

(a :: l).prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: a : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ a :: l, g.IsSwap

Context: hn : l.length = 2 * n + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: a b : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ a :: b :: l, g.IsSwap

Context: hn : (b :: l).length = 2 * n + 1

(a :: b :: l).prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: a b : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ a :: b :: l, g.IsSwap

Context: hn : (b :: l).length = 2 * n + 1

a * b * l.prod ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: n : ℕ

Context: a b : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ a :: b :: l, g.IsSwap

Context: hn : l.length = 2 * n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular (u • P)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ : R

Context: hu✝ : IsUnit u✝

Context: u : R

Context: hu : IsUnit u

Context: P : Fin 3 → R

Context: hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)

Context: hP : W'.Equation (u • P)

Context: hP' : W'.a₁ * (u • P) y * (u • P) z - (3 * (u • P) x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u • P) x * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) z ^ 4) ≠ 0 ∨ 2 * (u • P) y + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) z ^ 3 ≠ 0 ∨ W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y + 3 * W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z + 4 * W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u • P) z ^ 5) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ : R

Context: hu✝ : IsUnit u✝

Context: u : R

Context: hu : IsUnit u

Context: P : Fin 3 → R

Context: hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)

Context: hP : W'.Equation (u • P)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ : R

Context: hu✝ : IsUnit u✝

Context: u : R

Context: hu : IsUnit u

Context: P : Fin 3 → R

Context: hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)

Context: hP : W'.Equation (u • P)

Context: hP' : W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) = 0 ∧ 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 = 0 ∧ W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P : Fin 3 → R

Context: u : R

Context: hu : IsUnit u

Context: this : ∀ {u : R}, IsUnit u → ∀ {P : Fin 3 → R}, W'.Nonsingular (u • P) → W'.Nonsingular P

Context: h : W'.Nonsingular P


Context:
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ

(List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r


(List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map ((fun x => x ^ r) ∘ f) l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
h₁ : R a✝ b✝
h₂ : Forall₂ R l₁✝ l₂✝

Forall₂ R (a✝ :: l₁✝).reverse (b✝ :: l₂✝).reverse


Forall₂ R (l₁✝.reverse ++ [a✝]) (l₂✝.reverse ++ [b✝])


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : Sphere P

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = r


Context:
α : Type u
x y n : ℕ


Context:
α : Type u
x y n : ℕ
h : y ≤ x


Context:
α : Type u
x y n : ℕ
h : x < y