Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S


sInf (norm '' {m | ↑m = -x}) = sInf (norm '' {m | ↑m = x})


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ

r ∈ norm '' {m | ↑m = -x} ↔ r ∈ norm '' {m | ↑m = x}


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ

(a * b).factorization p = (a.factorization + b.factorization) p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂

f₁ ⊔ g₁ ≤ᶠ[l] f₂ ⊔ g₂


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ), f x ∂μ))


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hφ : AECover μ l φ


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hφ : AECover μ l φ

(fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: i : ι

Context: hai : a i ≤ 0

Context: hbi : 0 ≤ b i

∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ


Context:
x✝ y x : ℝ
a✝ : ℕ

log (x ^ Int.negSucc a✝) = ↑(Int.negSucc a✝) * log x


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑φ


eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑(eval₂ C X φ)


∑ i ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff i) * PowerSeries.X ^ i = ∑ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)


∀ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff x) * PowerSeries.X ^ x = coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: φ ψ : R[X]

Context: x✝ : ℕ

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1)

(PowerSeries.C R) (φ.coeff x✝) * PowerSeries.X ^ x✝ = coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x✝) * X ^ x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ


range ⇑(γ.truncate t₀ t₁) ⊆ range γ.extend


∀ (x : ℝ) (h : x ∈ I), (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, h⟩ ∈ range γ.extend


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ x : ℝ
_hx : x ∈ I

(γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, _hx⟩ ∈ range γ.extend


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : A.IsSymm
k : ℤ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0

IntegrableOn (fun x => x ^ (p - 1) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k


(∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: h_non : (Ico x y).Nonempty

Context: z : α

Context: z_mem : z ∈ Ico x y

Context: hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1

Context: z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: h_non : (Ico x y).Nonempty

Context: z : α

Context: z_mem : z ∈ Ico x y

Context: hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1

Context: hzy : z ⋖ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (s.indicator fun x => c)


∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f + g)


∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

‖fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsDomain k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

Context: this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

Context: this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

(succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree = ↑p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsDomain k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

(C (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂))).degree < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsDomain k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

0 < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsDomain k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0


Context:
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1


Context:
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0


Context:
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

update f i '' Ioc (f i) b = Ioc f (update f i b)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β

(s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
this : ∀ (a : α), ∃ l, f a = ↑l


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
this : f = fun a => ↑(f' a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: a : α

Context: s t : Multiset α

Context: f g : α → Multiset β

Context: f' : α → List β

Context: h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)

Context: this : f = fun a => ↑(f' a)

Context: hd : Symmetric fun a b => (f' a).Disjoint (f' b)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H


Context: n : ℕ

Context: x a b : ℝ

Context: m : ℕ

Context: e₁ : n + 1 = m

Context: h : |x| ≤ 1

Context: e : |1 - a| ≤ b - |x| / ↑m * ((↑m + 1) / ↑m)

|rexp x - expNear n x a| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
x✝ : β


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ≤ a
hb : 0 < b
h : a / b = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

(Finset.univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x) ≤ convexBodySumFun x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: w : InfinitePlace K

Context: x✝ : w ∈ Finset.univ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: w : InfinitePlace K

Context: x✝ : w ∈ Finset.univ

(normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x + ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: w : InfinitePlace K

Context: x✝ : w ∈ Finset.univ

(normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: w : InfinitePlace K

Context: x✝ : w ∈ Finset.univ

0 ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E

μ.toSphere univ = ↑(dim E) * μ (ball 0 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Iic s).card = ∏ i ∈ s.toFinset, (count i s + 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

Context: hcont : ContinuousOn Real.log (Real.exp '' spectrum ℝ a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

cfc (fun x => Real.log (Real.exp x)) a = a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : X


(∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨1 - x_1, ⋯⟩ = x) ↔ ∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨x_1, h⟩ = x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y✝
a b : X
γ : Path a b
x : X
y : ℝ
hy : y ∈ I
hxy : γ.toFun ⟨y, hy⟩ = x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

Memℒp (s.indicator f) p μ ↔ Memℒp f p (μ.restrict s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : IsLocalization M S
R' : Type u_4
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Algebra S R'
inst✝ : IsScalarTower R S R'
p : S[X]
x : R'
hx : (aeval x) p = 0

(aeval x) (integerNormalization M p) = 0


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
i : ℤ

(move Dir.right T).nth i = T.nth (i + 1)


(move Dir.right T).nth i = (move Dir.left (move Dir.right T)).nth (i + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ : List α

Context: p : β → Prop

Context: f : (b : β) → p b → α

Context: a : β

Context: l : List β

Context: ihl : ∀ (h : ∀ (x : β), x ∈ l → p x), Pairwise R (pmap f l h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l

Context: h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x

Context: left✝ : p a

Context: hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b

Pairwise R (pmap f (a :: l) h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) (a :: l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ : List α

Context: p : β → Prop

Context: f : (b : β) → p b → α

Context: a : β

Context: l : List β

Context: h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x

Context: left✝ : p a

Context: hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b

Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l → ((∀ (a' : α) (x : β) (h_1 : x ∈ l), f x ⋯ = a' → R (f a ⋯) a') ↔ ∀ (a' : β), a' ∈ l → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p a'), R (f a h₁) (f a' h₂))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

¬SupIrred a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a


(¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a


(IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b ≠ a ∧ c ≠ a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a


∀ (a_1 b : α), a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 ≠ a ∧ b ≠ a ↔ a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 < a ∧ b < a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c : α
P : Finpartition a
b : α

(image (fun x => x \ b) P.parts).sup id = a \ b


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : r < h.finpartition.parts.card

Context: z : Finset V

Context: hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : r < h.finpartition.parts.card

Context: z : Finset V

Context: ncf : ¬G.CliqueFree z.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : r < h.finpartition.parts.card

Context: z : Finset V

Context: ncf : ¬G.CliqueFree h.finpartition.parts.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
h✝ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hα : Countable α
x y : α
h : x ∈ measurableAtom y

(fun a => (κ a).condKernel) x = (fun a => (κ a).condKernel) y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝³ : CompleteSpace E''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝³ : CompleteSpace E''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

0 ≤ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝³ : CompleteSpace E''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

0 ≤ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝³ : CompleteSpace E''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h) s_1 (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝³ : CompleteSpace E''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s_1, AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h x ∂μ.trim hm


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k

IsCoprime (map f p) (map f q) ↔ IsCoprime p q


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b

|∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ| ≤ ∫ (x : ℝ) in a..b, |f x| ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

{ obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g


{ obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (0 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map 0 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g


∀ (f g_1 : (X ⟶ Y) →₀ R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (g_1 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g_1 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map ((f + g_1) ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f + g_1) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g


∀ (a : X ⟶ Y) (b : R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0
e : b = 0


Context:
a : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
b : Ordinal.{u_1}
hb : succ b ≠ 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0
l' : b.IsLimit


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : Invertible 2
p : Fin 2 → P

centroid k univ p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0


centroid k {0, 1} p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
i : ι

res F U ≫ limit.π (Discrete.functor fun i => F.obj (op (U i))) { as := i } = F.map (leSupr U i).op


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : c * a = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : a * c = b


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : Cone F
h : IsLimit t
f f' g : s ⟶ t


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p

Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)


Context:
a b m n p✝ p : ℕ
pp : Prime p

Icc 1 ((factorization 0) p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ 0) (Ico 1 0)


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x : ℕ

x ∈ Icc 1 (n.factorization p) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α

∃ S, (∀ (k : { x // x ∈ S }), IsIrreducible ↑↑k) ∧ s = S.sup id


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context:
c : Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

x✝.contains c = true ↔ c ∈ x✝.toString.data


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x y z : L

Context: hx : x ∈ H.normalizer

Context: hy : y ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule

Context: hz : z ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule

⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x y z : L

Context: hx : x ∈ H.normalizer

Context: hy : ∃ y_1 ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z ∈ H.toSubmodule, y_1 + z = y

Context: hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H

⁅u₁ + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}

⁅t • x + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}

⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e e' : Trivialization F proj

Context: h : (fun e => e.toPretrivialization) e = (fun e => e.toPretrivialization) e'


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e e' : Trivialization F proj


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F

f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =o[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)

Context: x : (forget C).obj (widePushout B X f)

(∃ y, (head f) y = x) ∨ ∃ i y, (ι f i) y = x


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj none)

(∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: j : α

Context: y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj (some j))

(∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y


Context:
a r x : ℝ
hx : 0 ≤ x

gammaPDF a r x = ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N

∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: f_lim : α → E

Context: h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: f_lim : α → E

Context: h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim

Context: h_tendsto' : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: f_lim : α → E

Context: h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim

Context: h_ℒp_lim : Memℒp f_lim p μ


Context:
a b c d : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c


Context:
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n


Context:
m : ℕ
hmn : m.Coprime 0


Context:
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
hn : n ≠ 0


Context:
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
hn : n ≠ 0
this : NeZero n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → M

Context: s : Finset ι

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEStronglyMeasurable (f i) μ

AEStronglyMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
i : ι
this : f i ≤ g i

Nonempty (Quotient.out (f i) ↪ Quotient.out (g i))


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : V

(adjMatrix α G)ᵀ i✝ j✝ = adjMatrix α G i✝ j✝


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R

(∀ {zI : R}, zI ∈ I → zI ∈ span {x} * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: la : Filter α

Context: pa : ι → Prop

Context: sa : ι → Set α

Context: lb : Filter β

Context: pb : ι' → Prop

Context: sb✝ : ι' → Set β

Context: f : α → β

Context: p : ι → Prop

Context: sb : ι → Set β

Context: hla : la.HasBasis p sa

Context: hlb : lb.HasBasis p sb

Context: h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j

(la ×ˢ lb).HasBasis p fun i => sa i ×ˢ sb i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: la : Filter α

Context: pa : ι → Prop

Context: sa : ι → Set α

Context: lb : Filter β

Context: pb : ι' → Prop

Context: sb✝ : ι' → Set β

Context: f : α → β

Context: p : ι → Prop

Context: sb : ι → Set β

Context: hla : la.HasBasis p sa

Context: hlb : lb.HasBasis p sb

∀ (t : Set (α × β)), (∃ i, (p i.fst ∧ p i.snd) ∧ sa i.fst ×ˢ sb i.snd ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ sa i ×ˢ sb i ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: this✝¹ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this✝ : Encodable ↑b

Context: this : ∀ (p : A), ∃ q, f '' ↑(↑p).1 ⊆ q ∧ Disjoint (f '' ↑(↑p).2) q ∧ MeasurableSet q


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: q : A → Set β

Context: hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p

Context: hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)

Context: q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: q : A → Set β

Context: hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p

Context: q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)

Context: E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: q : A → Set β

Context: hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p

Context: q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: q : A → Set β

Context: hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p

Context: q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: F : ℕ → Set β := fun n => ⋃ s, ⋃ (_ : Bornology.IsBounded ↑s ∧ diam ↑s ≤ u n), E s


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≤ b


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
g : G
hg : g ∈ stabilizer G a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x✝ : E

x✝ ∈ k • p.ball 0 r ↔ x✝ ∈ p.ball 0 (‖k‖ * r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ c * ‖x_1‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - f x - L x_1‖ ≤ ε * ‖x_1‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: hv : 0 ∈ ball 0 r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r

Context: v_ne : v ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r

Context: v_ne : v ≠ 0

Context: w : E

Context: ρ : ℝ

Context: w_mem : w ∈ sphere 0 1

Context: hvw : v = ρ • w

Context: hρ : ρ = ‖v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r

Context: v_ne : v ≠ 0

Context: w : E

Context: ρ : ℝ

Context: w_mem : w ∈ sphere 0 1

Context: hvw : v = ρ • w

Context: hρ : ρ = ‖v‖

Context: norm_rho : ‖ρ‖ = ρ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r

Context: v_ne : v ≠ 0

Context: w : E

Context: ρ : ℝ

Context: w_mem : w ∈ sphere 0 1

Context: hvw : v = ρ • w

Context: hρ : ρ = ‖v‖

Context: norm_rho : ‖ρ‖ = ρ

Context: rho_pos : 0 ≤ ρ

Context: y : E

Context: yq : y ∈ q

Context: hy : ‖w - y‖ < δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: L : E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε

Context: q : Set E

Context: hqs : q ⊆ s

Context: q_fin : q.Finite

Context: hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ

Context: r : ℝ

Context: r_pos : 0 < r

Context: v : E

Context: hv : v ∈ ball 0 r

Context: v_ne : v ≠ 0

Context: w : E

Context: ρ : ℝ

Context: w_mem : w ∈ sphere 0 1

Context: hvw : v = ρ • w

Context: hρ : ρ = ‖v‖

Context: norm_rho : ‖ρ‖ = ρ

Context: rho_pos : 0 ≤ ρ

Context: y : E

Context: yq : y ∈ q

Context: hy : ‖w - y‖ < δ

Context: this : ‖y - w‖ < δ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
c : R

c ∈ p.coeffs ↔ ∃ n ∈ p.support, c = coeff n p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X : C
I : InjectiveResolution X
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

(injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) = I.toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: I : InjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₁ : F.map (𝟙 X) ≫ I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: I : InjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₁ : I.toRightDerivedZero' F = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: I : InjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: h₂ : (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: I : InjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

(injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: X : C

Context: I : InjectiveResolution X

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

(injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) 0).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) = (injectiveResolution X).toRightDerivedZero' F ≫ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (injectiveResolution X).cocomplex).homologyπ 0 ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map (desc (𝟙 X) I (injectiveResolution X))) 0 ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) 0).inv.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β

f₁ ×ˢ g₁ ⊓ f₂ ×ˢ g₂ = (f₁ ⊓ f₂) ×ˢ (g₁ ⊓ g₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)

a.toProd ∈ {lr | ∀ (x y : A), lr.2 x * y = x * lr.1 y}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₁ : U R (n + 1) = X * U R n + T R (n + 1)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₂ : U R (n + 1 + 1) = X * U R (n + 1) + T R (n + 1 + 1)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₃ : U R (n + 2) = 2 * X * U R (n + 1) - U R n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α


𝓤 α = comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α)


map (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α) ≤ 𝓤 α


comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α) ≤ 𝓤 α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝⁴ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝³ : DecidableRel c.Rel

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))

Context: hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j

Context: D : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} D

Context: H : HomologicalComplex C c ⥤ D

Context: hH : (homotopyEquivalences C c).IsInvertedBy H

Context: this : IsIso (H.map (π K))


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
h : IsCompl W W'

IsCompl (dualAnnihilator W) (dualAnnihilator W')


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
h : W ⊓ W' = ⊥ ∧ W ⊔ W' = ⊤

dualAnnihilator W ⊓ dualAnnihilator W' = ⊥ ∧ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W' = ⊤


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x y z : S


single x z + single y z - single (x + y) z ∈ kerTotal R S


z • (single x 1 + single y 1 - single (x + y) 1) ∈ kerTotal R S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
hfg : Tendsto (g ∘ f) a c
hg : comap g c ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
b : Filter β
c : Filter γ
hfg : a ≤ comap (g ∘ f) c
hg : comap g c ≤ b


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle

↑(LinearEquiv.det (o.rotation θ).toLinearEquiv) = ↑1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β

f ⁻¹' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f ⁻¹' s i j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β

f (⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a) = ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a


⨅ i ∈ {H | IsCoatom H}, f i = ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a


∀ (x : α), ⨅ (_ : ?e x ∈ {H | IsCoatom H}), ?e x = ⨅ (_ : x ∈ {H | IsCoatom H}), f x


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 / p.2) (μ.prod ν) μ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
y : G

QuasiMeasurePreserving (fun x => (x, y).1 / (x, y).2) μ μ


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
l : Dual R M
i : ι


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalSemiring α
u : m → α
w : n → α
v : Matrix m n α

(fun j => u ⬝ᵥ fun i => v i j) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ fun i => v i ⬝ᵥ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b x : α


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c : P1
r₁ r₂ : k
p : P1

(homothety c (r₁ * r₂)) p = (homothety c r₁) ((homothety c r₂) p)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖y‖ / (o.oangle (x + y) y).cos = ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

‖y‖ / ((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖x + y‖


‖y‖ / ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y + x‖


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K


¬I = ⊤ → I = ⊥


I ≠ ⊤ → I = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
h1 : 1 ∉ I


Context:
α : Type u
β : Type v
K : Type u
inst✝ : DivisionSemiring K
I : Ideal K
h1 : 1 ∉ I
r : K
hr : r ∈ I
H : ¬r = 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.58445, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.58449, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A
X : C

(e.inv.hom n).app X ≫ (e.hom.hom n).app X = 𝟙 ((G.functor n).obj X)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G

Nat.card ↥↑P = p ^ (Nat.card G).factorization p


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
n : ℕ
heq : Nat.card ↥↑P = p ^ n


Nat.card ↥↑P ∣ p ^ (Nat.card G).factorization p


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι✝ : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: E : ι → Type u_9

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)

Context: S : Set ((i : ι) → E i)

IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (eval i '' S)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x


log (μ.rnDeriv ν x)⁻¹.toReal = log (ν.rnDeriv μ x).toReal


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

Integrable f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (y : β) ∂ν, Integrable (fun x => f (x, y)) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : α), ‖f (x, y)‖ ∂μ) ν


Integrable f (μ.prod ν) ↔ Integrable (fun z => f z.swap) (ν.prod μ)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: i : ι

Context: s : Set (α i)

Context: hs : (μ i) s = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: i : ι

Context: s : Set (α i)

Context: hs : (μ i) s = 0

Context: t : Set (α i)

Context: hst : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: hμt : (μ i) t = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: i : ι

Context: s : Set (α i)

Context: hs : (μ i) s = 0

Context: t : Set (α i)

Context: hst : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: hμt : (μ i) t = 0

∏ i_1 : ι, (μ i_1) (update (fun j => univ) i t i_1) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: i : ι

Context: s : Set (α i)

Context: hs : (μ i) s = 0

Context: t : Set (α i)

Context: hst : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: hμt : (μ i) t = 0

(μ i) (update (fun j => univ) i t i) = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p : P


∃ radius, ∀ p_1 ∈ {p}, dist p_1 p = radius


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: s : Set ((i : ι) → E i)

Context: hs : IsVonNBounded 𝕜 s

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = s


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Substructure.map f.toHom ((closure L).toFun (⇑f ⁻¹' t)) = Substructure.map f.toHom s


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ t


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ t

Context: h' : x ∈ ↑((closure L).toFun t)


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ t

Context: h' : x ∈ ↑(Substructure.map f.toHom s)


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
inst✝ : Nonempty J
s : Cotrident f
W : C
k l : s.pt ⟶ W
h : s.π ≫ k = s.π ≫ l


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: val✝ : Fintype ι

∀ (s : Finset ι) (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ s, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: val✝ : Fintype ι

∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ ∅, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: val✝ : Fintype ι

∀ (a : ι) (s : Finset ι) (h : a ∉ s), (∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → ∀ x ∈ s, (f ∘ ⇑g) a x ≤ (f ∘ ⇑g) b x) → ∀ (f : ℕ → (s : ι) → α s), ∃ g, ∀ ⦃a_2 b : ℕ⦄, a_2 ≤ b → ∀ x ∈ Finset.cons a s h, (f ∘ ⇑g) a_2 x ≤ (f ∘ ⇑g) b x


Context: C : Type (u + 1)

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u + 1} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: D : Type (u + 1)

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u + 1} D

Context: inst✝² : ConcreteCategory D

Context: inst✝¹ : HasForget₂ C D

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: i : IsIso ((forget₂ C D).map f)

Context: i' : IsIso ((forget D).map ((forget₂ C D).map f))


Context: C : Type (u + 1)

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u + 1} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: D : Type (u + 1)

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u + 1} D

Context: inst✝² : ConcreteCategory D

Context: inst✝¹ : HasForget₂ C D

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: i : IsIso ((forget₂ C D).map f)

Context: this : IsIso ((forget C).map f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s

MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Icc (f p.1) (g p.1)}


MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 ≤ a_1} ∩ {a_1 | a_1 ≤ g a.1}})


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

(singleObjHomologySelfIso c j A).inv ≫ ((single C c j).obj A).homologyι j = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β →. σ
g : α → β
hf : Partrec f
hg : Computable g
n : ℕ

(((↑(decode n)).bind fun a => Part.some (encode (g a))).bind fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f a)) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (f (g a))


Context: x y : ℝ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

↑(differentIdeal A B) = (FractionalIdeal.dual A K 1)⁻¹


(fun I => ↑I) ↑(differentIdeal A B) = (fun I => ↑I) (FractionalIdeal.dual A K 1)⁻¹


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r₁ r₂ : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : C(α, β)

Context: ι : Type u_5

Context: S : ι → Set α

Context: φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)

Context: hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩

Context: hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x

Context: i : ι

Context: x : ↑(S i)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : A
n : ℕ
I : Ideal A

Associates.mk I ^ n ≤ Associates.mk (span {x}) ↔ x ∈ I ^ n


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
l l' : List α
h : l' ≤ l


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
l l' : List α
h : l' < l ∨ l' = l


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α → α'
l : α' →₀ R
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)

(Finsupp.total α M R v) (comapDomain f l hf) = ∑ i ∈ l.support.preimage f hf, l (f i) • v i


((comapDomain f l hf).sum fun i a => a • v i) = ∑ i ∈ l.support.preimage f hf, l (f i) • v i


Context:
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
x y : α
e : encode x = encode y


Context:
α : Type u_1
s : α → α → Bool
a b : α
l r : List α

(match s a b with | true => merge.loop s l (b :: r) [a] | false => merge.loop s (a :: l) r [b]) = if s a b = true then a :: merge.loop s l (b :: r) [] else b :: merge.loop s (a :: l) r []


Context:
xl xr : Type u
xR : xr → PGame
i : xl
xL : xl → PGame
j : (xL i).RightMoves

((xL i).moveRight j).Subsequent (mk xl xr xL xR)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : LinearIndependent R n


Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: ι : Type u_1

Context: n : ι → ↥N

Context: hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass G) = ⊥


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : ↥H

Context: this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex

diff (MonoidHom.id ↥H) α (op ↑h • β) = diff (MonoidHom.id ↥H) α β * h ^ H.index


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : ↥H

(let α_1 := toEquiv ⋯; let β_1 := toEquiv ⋯; ∏ q : G ⧸ H, (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑(α_1 q))⁻¹ * ↑(β_1 q), ⋯⟩) = ∏ x : G ⧸ H, (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) x))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) x), ⋯⟩ * h


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : ↥H

Context: q : G ⧸ H

Context: x✝ : q ∈ Finset.univ

(MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ = (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) q))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) q), ⋯⟩ * h


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : ↥H

Context: q : G ⧸ H

Context: x✝ : q ∈ Finset.univ

↑((toEquiv ⋯) q) = ↑((toEquiv ⋯) q) * ↑h


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : ↥H

Context: q : G ⧸ H

Context: x✝ : q ∈ Finset.univ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: n : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter R n

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : NeZero m

Context: hm : n ∣ m

Context: a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n

Context: h : (changeLevel hm) a₁✝ = (changeLevel hm) a₂✝

Context: y : (ZMod n)ˣ

a₁✝ ↑y = a₂✝ ↑y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: n : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter R n

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : NeZero m

Context: hm : n ∣ m

Context: a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n

Context: z : (ZMod m)ˣ

a₁✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z) = a₂✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: n : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter R n

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : NeZero m

Context: hm : n ∣ m

Context: a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n

Context: h : ∀ (a : (ZMod m)ˣ), ((changeLevel hm) a₁✝) ↑a = ((changeLevel hm) a₂✝) ↑a

Context: z : (ZMod m)ˣ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

(finSuccEquiv R n) p = (eval₂Hom (Polynomial.C.comp C) fun i => Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) i) p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = (∫⁻ (y : β), ↑μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂↑ν).toNNReal


Context:
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0


¬orderOf (ωUnit (p' + 2)) ∣ 2 ^ (p' + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

2 < s.ncard ↔ ∃ a b c, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ c ∈ s ∧ a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ


∫⁻ (b : α), ∫⁻ (c : β), f (b, c) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), b) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ


Context:
x✝ : ZFSet
s : Set ZFSet
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
x : ZFSet

x ∈ (mk (PSet.mk (Shrink.{u, u + 1} ↑s) fun x => Quotient.out ↑((equivShrink ↑s).symm x))).toSet ↔ x ∈ s


(Quotient.out x ∈ PSet.mk (Shrink.{u, u + 1} ↑s) fun x => Quotient.out ↑((equivShrink ↑s).symm x)) ↔ x ∈ s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X


Context:
a b c d : Ordinal.{u}
h₁✝ : a ≤ b
h₂✝ : 0 ≤ c
h₁ : a < b
h₂ : 0 < c


Context:
a b d : Ordinal.{u}
h₁✝ : a ≤ b
h₁ : a < b
h₂ : 0 ≤ 0


Context:
a c d : Ordinal.{u}
h₂✝ : 0 ≤ c
h₁ : a ≤ a
h₂ : 0 < c


Context:
a d : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ a
h₂ : 0 ≤ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

0 ≤ if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
ha : a < 0
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

trunc n.succ f = trunc n f + (Polynomial.monomial n) ((coeff R n) f)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₂

(piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₂ ⟨↑x, hx⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₂

Context: this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₂

(comap { toFun := C₂.restrictPreimage Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } f₂) ⟨x, hx⟩ = f₂ ⟨↑x, hx⟩


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
c : R

(c • A).det = ((diagonal fun x => c) * A).det


(diagonal fun x => c).det * A.det = c ^ Fintype.card n * A.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
a : α
ha : HasSum f a
n : ℕ

dist (∑ x ∈ Finset.range n, f x) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)


Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 a)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂✝ a₂ : α
h : HasSum f a₁


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f : ι → Set α
hS : ∀ s ∈ S, IsClosed s


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f : ι → Set α
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen sᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
n : ℕ
_i : Fact (finrank 𝕜 E = n + 1)
v : E
hv : v ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
n : ℕ
_i : Fact (finrank 𝕜 E = n + 1)
v : E
hv : v ≠ 0
this : FiniteDimensional 𝕜 E