Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₂ : M
r : Rˣ
hr : 0 < ↑r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝ : IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
x✝¹ x✝ : { a // a ∈ c }
a : β
ha : a ∈ c
b : β
hb : b ∈ c
hab : a = b

∃ z, r ((fun x => f ↑x) ⟨a, ha⟩) ((fun x => f ↑x) z) ∧ r ((fun x => f ↑x) ⟨b, hb⟩) ((fun x => f ↑x) z)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
x y : R
I : Ideal R


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology β
hf : Inducing f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : M
xs : List M

involute (List.map (⇑(ι Q)) (x :: xs)).prod = (-1) ^ (x :: xs).length • (List.map (⇑(ι Q)) (x :: xs)).prod


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : a ≤ b


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : re a ≤ re b ∧ im a = im b


r * re a ≤ r * re b ∧ r * im a = r * im b


Context:
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅

(LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i

Context: hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑(insert a s)) => ↑i

LinearIndependent F fun (i : ↑↑(insert a s)) => (toFun G F) ↑i


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑(insert a ↑s)) => ↑i

LinearIndependent F fun (i : ↑(insert a ↑s)) => (toFun G F) ↑i


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

(LinearIndependent F fun (x : ↑↑s) => (toFun G F) ↑x) ∧ (toFun G F) a ∉ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: ha : (toFun G F) a ∈ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: ha : ∃ l ∈ Finsupp.supported F F ↑s, (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: hla : (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g : G


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g : G

∑ i ∈ s.attach, (fun i => g • l ↑i - l ↑i) i • (toFun G F) ↑i = 0


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g : G

∑ x ∈ s, (g • l x - l x) • (toFun G F) x = 0


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g g' : G

∑ x ∈ s, (g • l x * (toFun G F) x g' - l x • (toFun G F) x g') = 0 g'


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g g' : G

∑ x ∈ s, g • l x * (toFun G F) x g' = ∑ x ∈ s, l x • (toFun G F) x g'


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g g' : G

∑ x ∈ s, g • (fun y => l y • (toFun G F) y) x (g⁻¹ * g') = ∑ x ∈ s, (fun y => l y • (toFun G F) y) x g'


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: i : F

Context: his : i ∈ s

Context: g g' : G

g • (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) (g⁻¹ * g') = (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) g'


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
h : b ≤ c


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
h : b > c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g✝ : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifTight f p μ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: hε_top : ¬↑ε = ⊤

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: S : Set α

Context: hμS : μ S ≠ ⊤

Context: hFε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (Sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g✝ : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: hε_top : ¬↑ε = ⊤

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: S : Set α

Context: hμS : μ S ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hfε : eLpNorm (sᶜ.indicator (f ↑n)) p μ < ↑ε


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b : α


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b a : α
s : Set α
hs : s ∈ update pure a₀ l a

∀ᶠ (y : α) in update pure a₀ l a, s ∈ update pure a₀ l y


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
l : Filter α
b a : α
s : Set α
h : pure a ≤ l
hs : s ∈ update pure a l a

∀ᶠ (y : α) in update pure a l a, s ∈ update pure a l y


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
a₀ : α
l : Filter α
h : pure a₀ ≤ l
b a : α
s : Set α
hs : s ∈ update pure a₀ l a
ha : a ≠ a₀


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

∀ (t : Set α), (⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: t : Set α

(⨆ (_ : (t ∩ s).Nonempty), m (t ∩ s)) + ⨆ (_ : (t \ s).Nonempty), m (t \ s) ≤ ⨆ (_ : t.Nonempty), m t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: t : Set α

Context: h : t = ∅


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: t : Set α

Context: h : t.Nonempty


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∉ s

Context: ha : AffineIndependent k fun x => ![p₁, p₂, p₃] ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∉ s

![p₁, p₂, p₃] 2 ∉ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∉ s

Context: h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∉ s

affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2}) ≤ s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∉ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (Set.range fun x => p ↑x)

Context: hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (Set.range fun x => p ↑x)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: hp0s1 : ∃ fs, ↑fs ⊆ s1 ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w

Context: hp0s2 : ∃ fs, ↑fs ⊆ s2 ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: ha : ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: ha : (↑fs1).indicator w1 = (↑fs2).indicator w2


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0

Context: i : ι

Context: hifs1 : i ∈ fs1

Context: hinz : w1 i ≠ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: hnz : ∑ i ∈ fs1, w1 i ≠ 0

Context: i : ι

Context: hifs1 : i ∈ fs1

Context: hinz : (↑fs2).indicator w2 i ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K

(∀ (x : H), ‖u x‖ = ‖x‖) ↔ (adjoint u).comp u = 1


Context: c : ℝ

∫ (x : ℝ) in Ioi c, rexp (-x) = rexp (-c)


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Tendsto (fun x => log |x|) (𝓝[≠] 0) atBot


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

(fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : (fun a => (((condDistrib id id μ) (id a)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(id ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)]


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : (fun a => (((condDistrib id id μ) a) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

(fun ω => (((condDistrib id id μ) (id ω)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m ⊓ mΩ]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) = (aeval y) f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Subsingleton A


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A


((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) (f %ₘ minpoly A pb.gen)) = (aeval y) (f %ₘ minpoly A pb.gen)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
h✝ : Nontrivial A
hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

Context: this : (f %ₘ minpoly A pb.gen).natDegree < pb.dim


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

∑ x ∈ Finset.range pb.dim, ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff x • pb.gen ^ x) = ∑ i ∈ Finset.range pb.dim, (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • y ^ i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range pb.dim

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • pb.gen ^ i) = (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • y ^ i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < pb.dim


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < pb.dim

(f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (pb.gen ^ i) = (f %ₘ minpoly A pb.gen).coeff i • y ^ i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: y : S'

Context: hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: f : A[X]

Context: h✝ : Nontrivial A

Context: hf : ¬f %ₘ minpoly A pb.gen = 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < pb.dim

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (pb.gen ^ i) = y ^ i


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: a₁ a₂ : α

a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: a₁ a₂ : α

Context: f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: hf : f ∈ our_ideal

Context: ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: a₁ a₂ : α

Context: f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: hf : f ∈ our_ideal

Context: ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f

Context: g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: hg : g ∈ our_ideal

Context: ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : Countable α

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: val✝ : Encodable α

Context: x y : β

Context: hxy : x < y

Context: a : β

Context: ha : x < a ∧ a < y

Context: this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)

Context: a₁ a₂ : α

Context: f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: hf : f ∈ our_ideal

Context: ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f

Context: g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: hg : g ∈ our_ideal

Context: ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g

Context: m : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)

Context: _hm : m ∈ ↑our_ideal

Context: fm : f ≤ m

Context: gm : g ≤ m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim


∑ i : Fin pb.dim, (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra A S

Context: pb : PowerBasis A S

Context: p : A[X]

Context: ne_zero : p ≠ 0

Context: hlt : p.natDegree < pb.dim

Context: i : Fin pb.dim

Context: root : ∑ x : Fin pb.dim, p.coeff ↑x • pb.basis x = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra A S

Context: pb : PowerBasis A S

Context: p : A[X]

Context: ne_zero : p ≠ 0

Context: hlt : p.natDegree < pb.dim

Context: i : Fin pb.dim

Context: this : ∀ (i : Fin pb.dim), p.coeff ↑i = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i

Context: hi_min : ¬IsMin i

Context: seq : ℕ → ι

Context: h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)

Context: h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i

Context: h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i

Context: hi_min : ¬IsMin i

Context: seq : ℕ → ι

Context: h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)

Context: h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i

Context: h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i

Context: hi_min : ¬IsMin i

Context: seq : ℕ → ι

Context: h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)

Context: h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i

MeasurableSet (τ ⁻¹' ⋃ j, {k | k ≤ seq j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace ι

Context: inst✝¹ : OrderTopology ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i

Context: hi_min : ¬IsMin i

Context: seq : ℕ → ι

Context: h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)

Context: h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: A A' : Matrix ι ι R

Context: f f' : Module.End R M

Context: h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f

Context: h' : (PiToModule.fromMatrix R b) A' = (PiToModule.fromEnd R b) f'

(PiToModule.fromMatrix R b) (A + A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f + f')


Context:
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R

(crossProduct v) w + (crossProduct w) v = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜

HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a
this : IsIso (equalizer.ι f g)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ

(Measure.map (fun x => a * x) volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

Multiset.count b (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ rootMultiplicity b (map f p)


(Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.replicate (Multiset.count b (Multiset.map (⇑f) p.roots)) b)).prod ∣ map f p


(Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.filter (Eq b) (Multiset.map (⇑f) p.roots))).prod ∣ map f p


(Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (⇑f) p.roots)).prod ∣ map f p


(Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (⇑f) p.roots)).prod = map f (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


(Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) p.roots).prod = (Multiset.map (map f ∘ fun a => X - C a) p.roots).prod


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
x✝ : A

((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) x✝ = (map f ∘ fun a => X - C a) x✝


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M✝

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M✝

Context: inst✝³ : Module.Free R M'

Context: ι : Type v

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

Context: B : (i : ι) → Basis (ChooseBasisIndex R (M i)) R (M i) := fun i => chooseBasis R (M i)

Context: b : Basis ((i : ι) × ChooseBasisIndex R (M i)) R (⨁ (i : ι), M i) := DFinsupp.basis fun i => B i

Module.rank R (⨁ (i : ι), M i) = sum fun i => Module.rank R (M i)


Context:
u v : ℤ
n : ℕ


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x

√x ≤ √y ↔ x ≤ y


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : y ≤ 0

√x ≤ √y ↔ x ≤ y


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 ≤ y

√x ≤ √y ↔ x ≤ y


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι

((Finsupp.total ι (Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι


∑ d : ι, (f d • b.dualBasis d) (b i) = f i


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s


Context:
k : ℕ
hk : 2 ≤ k

Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: this : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: this✝ : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)

Context: this : (fun x => ‖1 / ↑x ^ k‖) = fun x => |1 / ↑x ^ k|


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hs : s ≠ ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_neg : a < 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_pos : 0 < a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R


Context:
a b c : ℕ
h : a ≤ b


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (∀ (i : ι), f i 0 = 0) _auto✝

Context: i : ι

cfcₙ (f i) a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g < h


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Nonempty ι
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β

l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β ↔ ∀ (i : ι), l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0

HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Tendsto (fun n => ↑(∑ a ∈ Finset.range n, f a)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.range n, f a) atTop (𝓝 r)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t


Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A

(sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((sheafToPresheaf J A).obj P) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)


((sheafificationAdjunction J B).homEquiv (P.val ⋙ U) ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))).symm (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)


((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)


(((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P)).val = ((sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)).val


toSheafify J (P.val ⋙ U) ≫ (((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P)).val = toSheafify J (P.val ⋙ U) ≫ ((sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)).val


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasInitial C
h : ∀ (A : C) (f : A ⟶ ⊥_ C), IsIso f
I A : C
f : A ⟶ I
hI : IsInitial I
this : IsIso (f ≫ hI.to (⊥_ C))

f ≫ hI.to (⊥_ C) ≫ inv (f ≫ hI.to (⊥_ C)) = 𝟙 A


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M →[L] N
p : L.Substructure N


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
t : Set β
ht : 0 ∉ t

t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X


Context: x y : ℝ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
u : Set P
hu : IsOpen u
x : P
hx : x ∈ u

∃ s ⊆ u, AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ s = ⊤


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: u : Set P

Context: hu : IsOpen u

Context: x : P

Context: hx : x ∈ u

Context: s : Set P

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k

(∏ i ∈ Ioc m n, f i) * ∏ i ∈ Ioc n k, f i = ∏ i ∈ Ioc m k, f i


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
x : ℕ
hx : x ∈ Ioc m n
h'x : x ∈ Ioc n k


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hcf : ContinuousOn f (Ico a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ico a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : f a = 0

Context: hga : g a = 0

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hcf : ContinuousOn f (Ico a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ico a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : f a = 0

Context: hga : g a = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
d : ℝ≥0∞

d ≤ s.einfsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ edist x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G

(adjoint (A ∘ₗ B)) v = (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G
w : E

⟪w, (adjoint (A ∘ₗ B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v⟫_𝕜


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ico a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iio b) b


riemannZeta 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2


Context: this : Tendsto (fun s => HurwitzZeta.hurwitzZetaEven 0 s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (HurwitzZeta.hurwitzZetaEven 0 1))


Context: this : Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (riemannZeta 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

∀ (j : P.Elementsᵒᵖ), (coconeOfRepresentable P).ι.app j ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = (coconeOfRepresentable P).ι.app j ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

(coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = (coconeOfRepresentable P).ι.app x ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

Context: eq : (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁)).map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ (F.op.lan ⋙ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type v₁)).obj F.op).map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

Context: eq₁ : (((Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom).hom ≫ ((whiskeringLeft C (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) (Dᵒᵖ ⥤ Type v₁)).obj yoneda).map f.right).app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst)))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

Context: eq₂ : (((Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom).hom ≫ ((whiskeringLeft C (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) (Dᵒᵖ ⥤ Type v₁)).obj yoneda).map g.right).app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (F.op.obj (Opposite.unop x).fst) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.unop x).fst)))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

Context: eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))

Context: eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))

Context: eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))

yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (f.right.app P) = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P ≫ whiskerLeft F.op (g.right.app P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ f.right.app P) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ g.right.app P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ f.right.app P = F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) ≫ g.right.app P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

(compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)) = yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x : P.Elementsᵒᵖ

(Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) ((f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))))) = (Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) ((g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))))


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α [d]


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V

SeparatingDual R V ↔ Function.Injective ⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip


(∀ (x : V), ¬x = 0 → ∃ f, ¬f x = 0) ↔ ∀ (a : V), (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip a = 0 → a = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V

(¬v = 0 → ∃ f, ¬f v = 0) ↔ (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v = 0 → v = 0


(¬∃ f, ¬f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0


(∀ (f : V →L[R] R), f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i

HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i)) ((hT.eigenvectorBasis hn) i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n

Context: i : Fin n

Context: v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i

Context: μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n

Context: i : Fin n

Context: v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n

Context: i : Fin n

Context: v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i

Context: key : HasEigenvector T μ v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n

Context: i : Fin n

Context: v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i

Context: key : HasEigenvector T μ v

Context: re_μ : ↑(RCLike.re μ) = μ


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) + dist ↑w ↑(w.center (dist z w)) = w.im * (rexp (dist z w) - 1)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
c : R


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N

upperCrossingTime a b f M n ω = upperCrossingTime a b f N n ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N
h' : upperCrossingTime a b f N n ω < N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : MeasurableSet s

map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ


∀ (n : ℕ), μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ

μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]


(Multiset.map (X * p).coeff (X * p).support.val).gcd = (Multiset.map p.coeff p.support.val).gcd


Multiset.map (X * p).coeff (X * p).support.val = Multiset.map p.coeff p.support.val


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support

Multiset.map (X * p).coeff (Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support).val = Multiset.map p.coeff p.support.val


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Multiset.map (fun x => (X * p).coeff x.succ) p.support.val = Multiset.map p.coeff p.support.val


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

(fun x => (X * p).coeff x.succ) = p.coeff


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: a : ℕ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s = comap 𝓝 (𝓝 (𝓝 x))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s = ρ s


(μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ρ s


ρ s ≤ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ

(δ (-1) 0 (Cochain.ofHomotopy h)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: φ₁ φ₂ : F ⟶ G

Context: h : Homotopy φ₁ φ₂

Context: p : ℤ

Context: eq : φ₁.f p = (dNext p) h.hom + (prevD p) h.hom + φ₂.f p


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: φ₁ φ₂ : F ⟶ G

Context: h : Homotopy φ₁ φ₂

Context: p : ℤ

Context: eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: φ₁ φ₂ : F ⟶ G

Context: h : Homotopy φ₁ φ₂

Context: p : ℤ

(Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ (Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: φ₁ φ₂ : F ⟶ G

Context: h : Homotopy φ₁ φ₂

Context: p : ℤ

h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p - φ₂.f p


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ


(μ univ)⁻¹ • μ ≪ μ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.75534, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{?u.75538, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
n : α

(fun n => F.map (d n)) (n + 1) ≫ (fun n => F.map (d n)) n = 0


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0

(F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq) = of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯


∀ (i j : α), (ComplexShape.down α).Rel i j → ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq)).d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ (of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯).d i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α

((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq)).d (j + 1) j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ (of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯).d (j + 1) j


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
d : ℕ
f : K⟦X⟧

Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d)) ↔ ∀ n < d, (PowerSeries.coeff K n) f = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: d : ℕ

Context: f : K⟦X⟧

Context: this : PowerSeries.X ^ d ∣ f ↔ ∀ n < d, (PowerSeries.coeff K n) f = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: d : ℕ

Context: f : K⟦X⟧

(PowerSeries.idealX K).intValuation f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d)) ↔ Ideal.span {PowerSeries.X} ^ d ∣ Ideal.span {f}


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β

dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂) = max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ))


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : α →ᵇ β
h₁ h₂ : δ →ᵇ β
x : δ

dist ((extend f g₁ h₁) x) ((extend f g₂ h₂) x) ≤ max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ))


dist g₁ g₂ ≤ dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂)


dist (h₁.restrict (range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (range ⇑f)ᶜ) ≤ dist (extend f g₁ h₁) (extend f g₂ h₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P Q R : C

Context: f : P ⟶ R

Context: g : Q ⟶ R

Context: p : Pseudoelement P

Context: q : Pseudoelement Q

Context: x : Over P

Context: y : Over Q

Context: h : pseudoApply f ⟦x⟧ = pseudoApply g ⟦y⟧

∃ s, pseudoApply (pullback.fst f g) s = ⟦x⟧ ∧ pseudoApply (pullback.snd f g) s = ⟦y⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P Q R : C

Context: f : P ⟶ R

Context: g : Q ⟶ R

Context: p : Pseudoelement P

Context: q : Pseudoelement Q

Context: x : Over P

Context: y : Over Q

Context: Z : C

Context: a : Z ⟶ ((fun g => app f g) x).left

Context: b : Z ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) y).left

Context: ea : Epi a

Context: eb : Epi b

Context: comm : a ≫ ((fun g => app f g) x).hom = b ≫ ((fun g_1 => app g g_1) y).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P Q R : C

Context: f : P ⟶ R

Context: g : Q ⟶ R

Context: p : Pseudoelement P

Context: q : Pseudoelement Q

Context: x : Over P

Context: y : Over Q

Context: Z : C

Context: a : Z ⟶ ((fun g => app f g) x).left

Context: b : Z ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) y).left

Context: ea : Epi a

Context: eb : Epi b

Context: l : Z ⟶ pullback f g

Context: hl₁ : l ≫ pullback.fst f g = a ≫ x.hom

Context: hl₂ : l ≫ pullback.snd f g = b ≫ y.hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α

x ∈ (insert a s).erase b ↔ x ∈ insert a (s.erase b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α
this : x ≠ b ∧ x = a ↔ x = a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
x : M
xm : x ∈ ⊥
y : M
ym : y ∈ ⊥


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i


(mulHom A) One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)


∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

((mulHom A) ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)


(of A (0 + i)) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

Context: h : ¬n ≤ m


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ ∅, u j ω ∈ s

Context: h : ¬n ≤ m


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
b₂ : B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

∫⁻ (x : α), 0 ∂μ ≠ ⊤


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n


(∑ x ∈ φ.support, (rename f) ((monomial x) (coeff x φ))).IsHomogeneous n


(∑ x ∈ φ.support, (monomial (mapDomain f x)) (coeff x φ)).IsHomogeneous n


∀ d ∈ φ.support, (mapDomain f d).degree = n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support


(d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = n


(d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = (weight 1) d


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.197151, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.197155, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: α : Cocycle K F m

Context: β : Cochain K G n

Context: h : n + 1 = m

Context: eq : δ n m β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
X✝ Y✝ : C ⥤ D
η : X✝ ⟶ Y✝
A : Augmented C
n : SimplexCategoryᵒᵖ

η.app (A.left.obj n) ≫ Y✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (Y✝.obj A.right) = (X✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (X✝.obj A.right)) ≫ η.app A.right


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : (quadraticChar F) a = -1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : ¬IsUnit a


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
v : V

(s.weightedVSubOfPoint (v +ᵥ p) b) w = (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ b)) w


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι

g.f i = (dNext i) (-h.hom) + (prevD i) (-h.hom) + f.f i


Context:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : q ≠ p


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i

Context: m : (i : ι) → E i

‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖ * ‖m i‖ = (‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
a b c : ℤ
h : a + b = c
x✝ : CochainComplex C ℤ
i✝ : ℤ

((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b c h).hom.app x✝).f i✝ = ((shiftFunctorAdd' C a b c h).hom.app x✝).f i✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel ν
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

((ν ⊗ₖ IsCondKernelCDF.toKernel f hf) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V → ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y V

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V

∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ id V}


Context:
x y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℤ


Context:
k n m : Nat
H : k.Coprime n


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
i : Γ
hi : ↑i < orderTop 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop
hx : x ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support


Context: s : ℝ


Context:
K✝ : Type u
V : Type v
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0


Context: K✝ : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Ring K

Context: inst✝² : IsDomain K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F K

Context: x : K

Context: H : x ≠ 0

Context: this : Surjective ⇑(LinearMap.mulLeft F x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
s t✝ : Set β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
a : α
hs : MeasurableSet s
t : Set β

∫ (x : β) in t, f x ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in t ∩ s, f x ∂κ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : SuccOrder β

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: s : β → Set α

Context: H : ∀ (n : β), IsConnected (s n)

Context: K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty

Context: i✝ j i : β

Context: x✝ : i ∈ Ico j i✝


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : SuccOrder β

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: s : β → Set α

Context: H : ∀ (n : β), IsConnected (s n)

Context: i✝ j i : β

Context: x✝ : i ∈ Ico j i✝


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

IsTopologicalBasis {s | ∃ x n, s = cylinder x n}


Context: E : ℕ → Type u_1

∀ u ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, IsOpen u


Context: E : ℕ → Type u_1

∀ (a : (n : ℕ) → E n) (u : Set ((n : ℕ) → E n)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
d n : ℕ

∑ ij ∈ antidiagonal n, (d + ij.2).choose d = (d + n).choose d + (d + n).choose d.succ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M


Context: σ K : Type u

Context: inst✝² : Fintype K

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Finite σ

Context: p : MvPolynomial σ K

Context: h : ∀ (v : σ → K), (eval v) p = 0

Context: hp : p ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)

Context: p' : R σ K := ⟨p, hp⟩

Context: this : p' ∈ ker (evalᵢ σ K)


Context:
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β


IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = (pure a).bind f ∧ c₂ = f a ∨ c₁ = corec (Bind.f f) (Sum.inr c₂)


(pure a).bind f = (pure a).bind f ∧ f a = f a ∨ (pure a).bind f = corec (Bind.f f) (Sum.inr (f a))


Context:
a : ℤ
ha0 : 0 < a


Context: n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
a : Fin (n + 1) → ℕ

(map d) a = a 0 + (∑ x : Fin n, a x.succ * d ^ ↑x) * d


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n m : ℕ

Context: β : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂

Context: F G : Quotient r ⥤ D

Context: τ₁ τ₂ : F ⟶ G

Context: h : whiskerLeft (functor r) τ₁ = whiskerLeft (functor r) τ₂

Context: X : C


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)

Context: M₀ : LieSubmodule R L M := weightSpace M 0

Context: M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h✝ : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)

Context: h : ∀ (a : L), weightSpaceOf M 0 a = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: hx : weightSpaceOf M 0 x ≠ ⊤


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

sInf ((fun n => u n / ↑n) '' Ici 1) ≤ u n / ↑n


Context:
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁


Context:
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂


Context:
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h✝ : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂
h : tr b₁ ∈ eval f₂ (tr a₁)


Context:
m n✝ n a : ℕ
h : a < n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0


(∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ^ k) ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n


∀ (a : ℕ), Nat.Prime a ∧ a ∣ n ^ k ↔ Nat.Prime a ∧ a ∣ n


∀ (a : ℕ), Nat.Prime a → (a ∣ n ^ k ↔ a ∣ n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p