Context: ι : Type u

Context: hι : Nonempty ι

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a b : Ordinal.{max u v}

Context: h : b ≤ nfpFamily f a

Context: i : ι


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜

derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x, slope f x x_1 ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: y : 𝕜

Context: hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}

slope f x y ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: y : 𝕜

Context: hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}

(y - x)⁻¹ • (f y - f x) ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: y : 𝕜

Context: hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}

f y ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: y : 𝕜

Context: hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}

f x ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: g : S✝ →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: g : S✝ →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : R

Context: this : Nonempty ↑S


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: x : ↥U

∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: hn : h ^ n ∈ Ideal.span {g}


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: hn : h ^ n * h ∈ Ideal.span {g}


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: hn : ∃ a, a * g = h ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

Context: basic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

Context: i_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (i_basic_open ≫ iVU).op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map iVU.op ≫ (structureSheaf R).val.map i_basic_open.op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i_basic_open.op) (((structureSheaf R).val.map iVU.op) s)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ?right.hv


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)), g ∈ x.asIdeal.primeCompl


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: h : R

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: hc : c * g = h ^ (n + 1)

const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ = const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_sub : w ○ w ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_sub : w ○ w ⊆ s
this : symmetrizeRel w ⊆ w


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t

diam (s ∪ t) ≤ diam s + dist x y + diam t


(EMetric.diam (s ∪ t)).toReal ≤ (EMetric.diam s).toReal + (edist x y).toReal + (EMetric.diam t).toReal


EMetric.diam s + edist x y = ⊤ → EMetric.diam (s ∪ t) = ⊤


EMetric.diam t = ⊤ → EMetric.diam (s ∪ t) = ⊤


Context:
α : Type u_1
a' a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = some a'


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Invertible 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : β


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f'✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f✝ i j hij x) = (g i) x

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: g₁ : (i : ι) → G i →+* G' i

Context: g₂ : (i : ι) → G' i →+* G'' i

Context: hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)

Context: hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
p : ι → Subgroup G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
f : α ≃o β
x y : α


f.toOrderEmbedding x ⊓ f.toOrderEmbedding y ≤ f.toOrderEmbedding (x ⊓ y)


f.symm (f.toOrderEmbedding x ⊓ f.toOrderEmbedding y) ≤ f.symm (f.toOrderEmbedding (x ⊓ y))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c : α
hc : c ≠ 0
d : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Mon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

Context: one_f : autoParam (M.one ≫ f.hom = N.one) _auto✝

Context: mul_f : autoParam (M.mul ≫ f.hom = (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul) _auto✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Mon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

(N.mul ≫ f.inv) ≫ f.hom = ((f.inv ⊗ f.inv) ≫ M.mul) ≫ f.hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: M✝ M N : Mon_ C

Context: f : M.X ≅ N.X

(N.mul ≫ f.inv) ≫ f.hom = (f.inv ⊗ f.inv) ≫ (f.hom ⊗ f.hom) ≫ N.mul


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : Filter α
k✝ f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
l : Filter α
k : α → β
z : ℕ

Tendsto (fun a => k a ^ z * 0 a) l (𝓝 0)


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
ξ : 𝕊
n : ℕ
hn : 0 < n


volume univ ≤ (n + 1) • volume (closedBall 0 (T / ↑(n + 1) / 2))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

(fun x => a + x) '' Icc b c = Icc (a + b) (a + c)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M

∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ ClosedEmbedding e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context:
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M


Context:
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : CompactSpace M
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M
this : Fintype ι


Context: ι✝ : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : CompactSpace M

Context: ι : Type uM

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: this : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: e : M → EuclideanSpace ℝ (Fin n)

Context: hsmooth : Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e

Context: hinj : Injective e

Context: hinj_mfderiv : ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂

Valid' o₁ (l.node' x r).eraseMax ↑(findMax' x r) ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMax.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂

Context: this : Ordnode.node s l x r = l.node' x r


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l_ih✝ : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rl) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rl).eraseMax ↑(findMax' x rl) ∧ (l.node' x rl).size = (l.node' x rl).eraseMax.size + 1

Context: IHrr : ∀ {l : Ordnode α} {x : α} {o₁ : WithBot α}, Valid' o₁ (l.node' x rr) o₂ → Valid' o₁ (l.node' x rr).eraseMax ↑(findMax' x rr) ∧ (l.node' x rr).size = (l.node' x rr).eraseMax.size + 1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: H : Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂

Valid' o₁ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax ↑(findMax' x (Ordnode.node rs rl rx rr)) ∧ (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (l.node' x (Ordnode.node rs rl rx rr)).eraseMax.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: this : Ordnode.node rs rl rx rr = rl.node' rx rr


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: H : Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)) o₂

Valid' o₁ (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax ↑(findMax' x (rl.node' rx rr)) ∧ (l.node' x (rl.node' rx rr)).size = (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: h : Valid' (↑x) (rl.node' rx rr).eraseMax ↑(findMax' rx rr)

Context: e : (rl.node' rx rr).size = (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

(l.node' x (rl.node' rx rr)).size = (l.node' x (rl.node' rx rr)).eraseMax.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

(l.node' x (rl.node' rx rr)).size = l.size + (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1 + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: o₂ : WithTop α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

l.size + ((rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1) + 1 = l.size + (rl.node' rx rr).eraseMax.size + 1 + 1


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
l : Fin m

append u v (castAdd n l) = (u ∘ cast ⋯) (castAdd n l)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hv : n = 0
r : Fin n

append u v (natAdd m r) = (u ∘ cast ⋯) (natAdd m r)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype o
v : o → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
x✝ : m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R

(finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1


(finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (r * 1)) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ

map (↑(opLinearEquiv R)) (M ^ n) = map (↑(opLinearEquiv R)) M ^ n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

Context: ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

(ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

(mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n, (u (k + 1 + 1) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) = ∑ i ∈ range n, C • (u (i + 1) - u i) • f (u (i + 1))


Context:
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)


((IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (zeta n K L) = μ


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n

Context: h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ

Context: pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n

Context: hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n

Context: pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen

((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ) pf✝) (zeta n K L) = μ


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n

Context: h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ

Context: pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n

((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ) pf✝) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = μ


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n

Context: h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ

Context: pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n

zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = μ


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n

Context: h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ

Context: pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n

(↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = h.choose


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a


Filter.map (⇑(equivIco p a) ∘ QuotientAddGroup.mk) (𝓝 z✝) ≤ 𝓝 ((equivIco p a) ↑z✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j

Context: a : (fun _i => 𝕜) i

Context: b : (fun _i => 𝕜) j

⟪((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) i) a, ((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) j) b⟫_𝕜 = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: x✝¹ x✝ : A

↑(((decompose 𝒜) (x✝¹ + x✝)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: x✝¹ x✝ : A

↑(((decompose 𝒜) x✝¹ + (decompose 𝒜) x✝) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

∀ (x y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: x : A

{ toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (0 * x) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (↑m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ↑m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

∀ (m m' : A), (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m' * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m' * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → ∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ((m + m') * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m + m') * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f'‖₊ < K

Context: this : IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2) + f' (x.1 - x.2)) fun p => p.1 - p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f'‖₊ < K

Context: this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f'‖₊ < K

Context: U : Set E

Context: Uo : IsOpen U

Context: xU : x ∈ U

Context: hU : U ×ˢ U ⊆ {x | (fun x => ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖) x}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
i j : n


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α

IsComplete s ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : l ≤ 𝓟 s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : l ≤ 𝓟 s

Context: this : l.NeBot


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : l ≤ 𝓟 s

Context: this : l.NeBot

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxl : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(Lp E p μ)

↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑g ↔ f ≤ g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: G₀ : Type u_7

Context: inst✝⁸ : Monoid M

Context: inst✝⁷ : MulAction M β

Context: inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G β

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul G β

Context: inst✝² : GroupWithZero G₀

Context: inst✝¹ : MulAction G₀ β

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β

Context: c : G

Context: h : AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : Unique ι

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (π i)

Context: e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π

Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : Unique ι

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (π i)

Context: this : (piPremeasure fun i => (μ i).toOuterMeasure) = ⇑(Measure.map (⇑e.symm) (μ default))


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
L : List α
a b : α

count a (orderedInsert r b L) = count a L + if a = b then 1 else 0


Context:
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : x ∈ {a | ε ≤ f a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : ε ≤ f x


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
f : β → γ
x✝ : t β

traverse (pure ∘ f) x✝ = (pure ∘ map f) x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j x : α

(swap i j) x = update (update id j i) i j x


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H


Context:
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected


Context:
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal


Context:
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : y ≤ 0


Context:
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : 0 ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel R

Context: neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z

Context: a : α

Context: l : List α

(∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → R a b


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel R

Context: a : α

Context: l : List α

(∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) → ∀ (b : α), b ∈ l → R a b


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I R J : Set α
hIE : I ⊆ E


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hμ : μ ≠ 0

0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hμ : μ ≠ 0

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] fun x => rexp (t * X x)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hμ : μ ≠ 0

IntegrableOn (fun x => rexp (t * X x)) Set.univ μ


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d


¬b • d ≤ b • c


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c


Context:
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰

(map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }


(if h : φ ↑d ∈ S[X]⁰ then { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, h⟩ } else 0) = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
h : x ≠ y
s : Set X


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0


∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u


HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)


ContinuousOn f (insert x s) ∧ ∀ x_1 ∈ insert x s, (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x_1 0).uncurry0 = f x_1


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b
hcb : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a
c : β
hc : f c = g b
hbc : b ≤ c


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulZeroClass R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ'
hs : s.IsPWO
hys : ((of R).symm y).support ⊆ s

((of R).symm (x • y)).coeff a = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2


∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2


∀ x_1 ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff x_1.1 • ((of R).symm y).coeff x_1.2 = 0


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid V

Context: inst✝ : SMulZeroClass R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: s : Set Γ'

Context: hs : s.IsPWO

Context: hys : ((of R).symm y).support ⊆ s

Context: b : Γ × Γ'

Context: hb : b ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hs a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a

x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid V

Context: inst✝ : SMulZeroClass R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: s : Set Γ'

Context: hs : s.IsPWO

Context: hys : ((of R).symm y).support ⊆ s

Context: b : Γ × Γ'

Context: hb : (x.coeff b.1 ≠ 0 ∧ b.2 ∈ s ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a) ∧ (x.coeff b.1 ≠ 0 → b.1 +ᵥ b.2 = a → ((of R).symm y).coeff b.2 = 0)


Context: n : Nat


Context:
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ

x ∈ map valEmbedding (Ici a) ↔ x ∈ Icc (↑a) (n - 1)


Context:
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ

(∃ a_1, a ≤ a_1 ∧ valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a ≤ x ∧ x ≤ n - 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousAt (f i) x

LowerSemicontinuousAt (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') univ x


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Bijective f
g : α → γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mul α
x y : WithZero α
hxy : x * y ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: a : α

(if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0


Context:
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
a : Ordinal.{u}
ha : ∀ b < o, (beth b).ord ≤ a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a

image2 f (↑s ∪ ↑t) (↑s ∩ ↑t) ⊆ image2 f ↑s ↑t


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝¹ : R →+* S

Context: f✝ : R →+* B

Context: f : R →+* S

Context: x : B

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: p : R[X]

Context: hmonic : p.Monic

Context: heval : eval₂ (algebraMap R B) (x ^ n) p = 0


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g✝ : α✝ → β
mα : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
α : Type u_5
E : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : ContinuousNeg E
inst✝ : PseudoMetrizableSpace E
g f : α → E
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ

∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ ⋃ n, u n = univ ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set X

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_union : univ ⊆ ⋃ n, u n

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ univ) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set X

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_union : univ ⊆ ⋃ n, u n

Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: hy : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x

∀ (y : Cycle α), (fun s => ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f) y → y = ↑(f.toList x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
n : ℕ
hz : n ≠ 0

n • ψ = n • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(p / ↑n)


(∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑n))) ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑k • ↑(p / ↑n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : HasFiniteIntegral f μ
s : Set α


∫⁻ (a : α) in s, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b✝ b : R


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a✝ b✝ a b : R

Context: x✝¹ : a ≠ 0

Context: x✝ : gcd (b % a) a ∣ b % a ∧ gcd (b % a) a ∣ a

Context: IH₁ : gcd (b % a) a ∣ b % a

Context: IH₂ : gcd (b % a) a ∣ a


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a✝ b✝ a b : R

Context: x✝¹ : a ≠ 0

Context: IH₁ : gcd (b % a) a ∣ b % a

Context: IH₂ : gcd (b % a) a ∣ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
S : Set α
c : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: f : α → β

Context: w : α → M

Context: b : M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid M

Context: hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: hb : t.card • b < ∑ x ∈ s, w x

∑ i ∈ t, b < ∑ i ∈ t, ∑ x ∈ filter (fun x => f x = i) s, w x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M

((map f).toLinearMap.compAlternatingMap (ιMulti R n)) m = ((ιMulti R n).compLinearMap f) m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E

Summable f ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]ᵐᵒᵖ

((opRingEquiv R) p).leadingCoeff = op (unop p).leadingCoeff


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≤ 0
ge : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≥ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_ℝ = 0
this : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c d : ℂ
this : (-b).re < 0

Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Finset X
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, {x}


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsCompact s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Finset X
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ↑t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c : α
hn : Even n
a : α


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_1
a : α
C : α → Sort u_1
x : β
y : C a


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: h₀ : x = abs ⟨a, f⟩

Context: h₁ : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p (f i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: h₀ : x = abs ⟨a, f⟩

(fun i => Subtype.val) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨f i j, ⋯⟩⟩ = x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: h₀ : x = abs ⟨a, f⟩

abs ((fun i => Subtype.val) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨f i j, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N

w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z ↔ w = f ↑y * z


↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ * w = z ↔ w = f ↑y * z


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
this : S ≤ S ⊔ T


Context:
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{?u.46109, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
i₂₃ : I
h' : i₂ + i₃ = i₂₃


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atBot atBot
hg : Tendsto g atBot atBot


Tendsto (Prod.map f g) (atBot ×ˢ atBot) atBot


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b x : α


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x✝¹ x✝ : R

(sInf S) x✝¹ x✝ ↔ sInf (DFunLike.coe '' S) x✝¹ x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
r : ℝ≥0

(↑r • s).toJordanDecomposition = ↑r • s.toJordanDecomposition


(↑r • s).toJordanDecomposition = (r • s).toJordanDecomposition


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: f₁ : ↥(Lp ℝ 1 μ) := Integrable.toL1 f hf

∫ (a : α), f a ∂μ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal - (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: eq₁ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.posPart f₁‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: eq₂ : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (-f a) ∂μ).toReal = ‖Lp.negPart f₁‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

L1.integral (Integrable.toL1 (fun a => f a) ?hc) = ‖Lp.posPart f₁‖ - ‖Lp.negPart f₁‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)

Context: hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y

Context: hg : ContinuousAt (fun p => (g p.1, g p.2)) (a, a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)

Context: hfg : ∀ᶠ (p : F × F) in 𝓝 (a, a), f (g p.1) = p.1 ∧ f (g p.2) = p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)

Context: this : (fun p => g p.1 - g p.2 - f'.symm (p.1 - p.2)) =O[𝓝 (a, a)] fun p => f' (g p.1 - g p.2) - (p.1 - p.2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') (g a)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s

Context: h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ

Context: g₁ g₂ : G

Context: hg : g₁ ≠ g₂

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

Context: hg : g ≠ 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

Context: hg : g ≠ 1

Context: this : (fun x => g₂⁻¹ • x) ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set A

AlgebraicIndependent R Subtype.val ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval _root_.id) p = 0 → p = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ z₂' : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

(z₁.comp (z₂ - z₂') h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h - z₁.comp z₂' h).v p q hpq


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

(toBaseChange A Q) (involute ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v))) = (Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id A A) involute) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)))


Context: θ : Angle


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E

Integrable (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) ν ↔ Integrable f μ


Integrable (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) ν ↔ Integrable f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))


Context:
a : ℤ
e b : ℕ


Context:
a : ℤ
e b x✝ : ℕ
ih : J(a ^ x✝ | b) = J(a | b) ^ x✝


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α

Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)
hy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U

IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) y.asIdeal


IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((Spec Γ(X, U)).presheaf.stalk y)


IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((Spec Γ(X, U)).presheaf.stalk y) ↔ IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).presheaf.stalk y)


IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((Spec Γ(X, U)).presheaf.stalk y) = IsLocalization y.asIdeal.primeCompl ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).presheaf.stalk y)


(asIso (Scheme.Hom.stalkMap hU.fromSpec y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y


(asIso (Scheme.Hom.stalkMap hU.fromSpec y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (X.presheaf.germ ⟨hU.fromSpec.val.base y, hy⟩) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y


hU.fromSpec.val.c.app (op U) ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.germ ⟨y, hy⟩ = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y


(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨y, hy⟩) = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a✝ b✝ c k a b x y : α
hab : k ∣ a - b
hxy : k ∣ x - y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: y : Set β

Context: hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))

Context: hy : y ⊆ f '' x

x ∩ f ⁻¹' minimals s y = minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
inst✝ : Nonempty F


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e✝ : Pretrivialization F proj

Context: x : Z

Context: inst✝ : Nonempty F

Context: e e' : Pretrivialization F proj

Context: h : e.toPartialEquiv = e'.toPartialEquiv


Context:
X : RelCat
x y : X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m

awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x = RingHom.comp ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv) (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))


StructureSheaf.toStalk (A⁰_ f) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫ (specStalkEquiv 𝒜 f x ?f_deg ?hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv = RingHom.comp ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv) (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))


Context:
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0

↑m * ℵ₀ = ℵ₀


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

Nat.card ↥(Stab w) = 1 ∨ Nat.card ↥(Stab w) = 2


Nat.card ↑↑(Stab (mk w.embedding)) = 1 ∨ Nat.card ↑↑(Stab (mk w.embedding)) = 2


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
hn : 0 < n
e : α ^ n = a

X ^ n - C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))


(Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)).prod = ∏ i ∈ Finset.range n, (X - C (ζ ^ i * α))


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : C.Exact


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : Function.Exact ⇑C.f ⇑C.g

Function.Exact ⇑(C.map (tensorLeft M)).f ⇑(C.map (tensorLeft M)).g


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)

Context: h : κ → ι

Context: h' : ι → κ

Context: hh' : Function.LeftInverse h' h

Context: r : γ

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i✝ : κ

(comapDomain' h hh' (r • f)) i✝ = (r • comapDomain' h hh' f) i✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β

Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f


Context: n p : ℕ

Context: p2 : 2 ≤ p

Context: a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ≤ p.sqrt → ¬m ∣ p

Context: this : ∀ {m k : ℕ}, m ≤ k → 1 < m → p ≠ m * k

Context: m : ℕ

Context: m2 : 2 ≤ m

Context: l : m < p

Context: x✝ : m ∣ p

Context: k : ℕ

Context: e : p = m * k


Context: n p : ℕ

Context: p2 : 2 ≤ p

Context: m : ℕ

Context: m2 : 2 ≤ m

Context: l : m < p

Context: x✝ : m ∣ p

Context: k : ℕ

Context: e : p = m * k

Context: mk : m ≤ k


Context: n p : ℕ

Context: p2 : 2 ≤ p

Context: m : ℕ

Context: m2 : 2 ≤ m

Context: l : m < p

Context: x✝ : m ∣ p

Context: k : ℕ

Context: e : p = m * k

Context: km : k ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

Context: hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h : ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h : ∃ i, ∃ (h : P i) (_ : s ⊆ i), m i ⋯ < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: t : Set α

Context: h1t : P t

Context: h2t : s ⊆ t

Context: h3t : m t ⋯ < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
H₁ H₂ : FloorSemiring α


Context: F : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrderedSemiring α

Context: H₁ H₂ : FloorSemiring α

Context: this : FloorSemiring.ceil = FloorSemiring.ceil


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : P.W α → Prop

Context: ih : ∀ (a : P.A) (f' : P.drop.B a ⟹ α) (f : P.last.B a → P.W α), (∀ (i : P.last.B a), C (f i)) → C (P.wMk a f' f)

Context: a : P.wp.A

Context: f : P.wp.B a ⟹ α


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : P.W α → Prop

Context: a : P.wp.A

Context: f : P.wp.B a ⟹ α

∀ (a : P.A) (f : P.last.B a → P.last.W) (f' : P.WPath (WType.mk a f) ⟹ α), (∀ (i : P.last.B a), C ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩) → C ⟨WType.mk a f, f'⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : P.W α → Prop

Context: ih : ∀ (a : P.A) (f' : P.drop.B a ⟹ α) (f : P.last.B a → P.W α), (∀ (i : P.last.B a), C (f i)) → C ⟨WType.mk a fun i => (f i).fst, P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd⟩

Context: a✝ : P.wp.A

Context: f✝ : P.wp.B a✝ ⟹ α

Context: a : P.A

Context: f : P.last.B a → P.last.W

Context: f' : P.WPath (WType.mk a f) ⟹ α

Context: ih' : ∀ (i : P.last.B a), C ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩

Context: ih'' : (∀ (i : P.last.B a), C ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩) → C ⟨WType.mk a fun i => f i, P.wPathCasesOn (P.wPathDestLeft f') fun i => P.wPathDestRight f' i⟩ := ih a (P.wPathDestLeft f') fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : P.W α → Prop

Context: a✝ : P.wp.A

Context: f✝ : P.wp.B a✝ ⟹ α

Context: a : P.A

Context: f : P.last.B a → P.last.W

Context: f' : P.WPath (WType.mk a f) ⟹ α

Context: ih'' : (∀ (i : P.last.B a), C ⟨f i, P.wPathDestRight f' i⟩) → C ⟨WType.mk a fun i => f i, f'⟩


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
x : L

x ∈ killingCompl R L I ↔ ∀ y ∈ I, ((killingForm R L) y) x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : ⋃₀ 𝔖 = univ


∀ (i : α), UniformContinuous fun x => (toFun 𝔖) x i


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C

forkMap R P ≫ firstMap R P = forkMap R P ≫ secondMap R P


∀ (j : Discrete (((V : C) × { f // R f }) × (W : C) × { g // R g })), (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) j = (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) j


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g

(forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) } = (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫ limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) }


P.map f.op ≫ P.map (pullback.fst f g).op = P.map g.op ≫ P.map (pullback.snd f g).op


P.map (pullback.snd f g ≫ g).op = P.map g.op ≫ P.map (pullback.snd f g).op


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
m : β i
x : ι

(single i m) x = if h : x = i then ⋯ ▸ m else 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : Module 𝕜 G

Context: inst✝² : SMul R ℝ

Context: inst✝¹ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: x : E

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hix : (s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : Module 𝕜 G

Context: inst✝² : SMul R ℝ

Context: inst✝¹ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: x : E

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

∃ i ∈ s, ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = (p i) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α

fold op b (a ::ₘ s) = fold op (op a b) s


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E✝ E'✝ : IntermediateField K L
h : F ≤ E✝
h' : F ≤ E'✝
x : L
E E' : { E // F ≤ E }

{ toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨restrictScalars K E, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E ≤ { toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨restrictScalars K E, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E' ↔ E ≤ E'


extendScalars ⋯ ≤ extendScalars ⋯ ↔ E ≤ E'