Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤

μ (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = μ (t ∩ s)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hMN : ∀ {ι : Type u} [inst : Fintype ι] {m : ι → M} {n : ι → N}, ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n

Context: M' : Submodule R M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

∀ (a : ↥M' ⊗[R] N), (rTensor N M'.subtype) a = 0 → a = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: x : ↥M' ⊗[R] N

Context: hx : (rTensor N M'.subtype) x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

Context: hx : (rTensor N M'.subtype) (∑ i ∈ s, i.1 ⊗ₜ[R] i.2) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

VanishesTrivially R (fun i => (↑i).1) fun i => (↑i).2


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

Context: hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

Context: hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0

Context: this : VanishesTrivially R (fun i => ↑(↑i).1) fun i => (↑i).2


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

Context: hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0

Context: this : ∃ κ x a y, (∀ (i : { x // x ∈ s }), (fun i => (↑i).2) i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = 0

Context: κ : Type u

Context: x✝ : Fintype κ

Context: a : { x // x ∈ s } → κ → R

Context: y : κ → N

Context: j : κ

∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = 0 ↔ ∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => (↑i).1) i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Finset (↥M' × N)

Context: hx : ∑ x ∈ s, ↑x.1 ⊗ₜ[R] x.2 = 0

Context: κ : Type u

Context: x✝ : Fintype κ

Context: a : { x // x ∈ s } → κ → R

Context: y : κ → N

Context: j : κ

∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => ↑(↑i).1) i = M'.subtype (∑ i : { x // x ∈ s }, a i j • (fun i => (↑i).1) i)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ

setToSimpleFunc T (f - g) = setToSimpleFunc T f - setToSimpleFunc T g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: hx_ne : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (K * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x r)

Context: x : α

μ (closedBall x (K * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)


Context: f : StieltjesFunction


Context: f : StieltjesFunction

MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi) ≤ f.outer.caratheodory


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
g : G
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

(singleObjHomologySelfIso c j A).inv ≫ homologyMap ((single C c j).map f) j = f ≫ (singleObjHomologySelfIso c j B).inv


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
n : ℕ
x : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup γ

Context: E : Type u_5

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C < ⊤

Context: f : α → E

Context: hf_meas : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hf_sum : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hg_sum : HasSum (fun a => g a ^ q) (B ^ q)

∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A * ↑B ∧ HasSum (fun i => ↑(f i) * ↑(g i)) C


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : C ≤ A * B

Context: H : HasSum (fun i => f i * g i) C


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Mul N
b₁ b₂ : N


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.65033, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.65040, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.65047, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.65099, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val

({ val := (presheafIso i).hom } ≫ { val := (presheafIso i).inv }).val = (𝟙 ℱ).val


({ val := (presheafIso i).inv } ≫ { val := (presheafIso i).hom }).val = (𝟙 ℱ').val


Context:
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : (disjointGlueData f).J

(disjointGlueData f).ι i ≫ (sigmaIsoGlued f).inv = Sigma.ι f i


Scheme.forgetToLocallyRingedSpace.map ((disjointGlueData f).ι i ≫ (sigmaIsoGlued f).inv) = Scheme.forgetToLocallyRingedSpace.map (Sigma.ι f i)


(disjointGlueData f).ι i ≫ ((disjointGlueData f).isoLocallyRingedSpace.hom ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := toLocallyRingedSpaceCoproductCofan f, isColimit := toLocallyRingedSpaceCoproductCofanIsColimit f }).inv) ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i


(disjointGlueData f).ι i ≫ (disjointGlueData f).isoLocallyRingedSpace.hom ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := toLocallyRingedSpaceCoproductCofan f, isColimit := toLocallyRingedSpaceCoproductCofanIsColimit f }).inv ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i


((disjointGlueData f).mapGlueData Scheme.forgetToLocallyRingedSpace).ι i ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := toLocallyRingedSpaceCoproductCofan f, isColimit := toLocallyRingedSpaceCoproductCofanIsColimit f }).inv ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i


colimit.ι (Discrete.functor (Scheme.toLocallyRingedSpace ∘ f)) { as := i } ≫ sigmaComparison Scheme.forgetToLocallyRingedSpace f = Sigma.ι f i


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
T : β → β
n : ℕ
h : UniformContinuous T


Context: n₁ n₂ : Int

Context: d₁ d₂ : Nat

Context: z₁ : d₁ ≠ 0

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: e₁ : normalize n₁ d₁ z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } + normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) (d₁ * d₂) ⋯


Context: n₂ : Int

Context: d₂ : Nat

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝ * g₁ ≠ 0

Context: e₁ : normalize (num✝ * ↑g₁) (den✝ * g₁) z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } + normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (num✝ * ↑g₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑(den✝ * g₁)) (den✝ * g₁ * d₂) ⋯


Context: n₂ : Int

Context: d₂ : Nat

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: e₂ : normalize n₂ d₂ z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } + { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * d₂) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

Context: e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } + { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

normalize (num✝¹ * ↑den✝ + num✝ * ↑den✝¹) (den✝¹ * den✝) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

normalize ((num✝¹ * ↑den✝ + num✝ * ↑den✝¹) * ↑(g₁ * g₂)) (den✝¹ * den✝ * (g₁ * g₂)) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * ↑(den✝ * g₂) + num✝ * ↑g₂ * ↑(den✝¹ * g₁)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ

(of v).s.get? (n + 1) = (of (fract v)⁻¹).s.get? n


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v = 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v ≠ 0
h₁ : (of (fract v)⁻¹).s.get? n = none


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ n : ℕ
h : fract v ≠ 0
h₁ : (of (fract v)⁻¹).s.get? n ≠ none


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
h : p.Separable
f : R →+* S
a b : R[X]
H : a * p + b * derivative p = 1

Polynomial.map f a * Polynomial.map f p + Polynomial.map f b * derivative (Polynomial.map f p) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p : α
hp : Irreducible p
q' : α
hq : Irreducible (p * q')


Context: n : ℕ

φ n = (n / ∏ p ∈ n.primeFactors, p) * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x : α
h : IsAntichain r s
a : α
ha hb : a ∈ s
hab : r a a


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ → Prop
a : ℝ
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, p x
l u : ℝ
hx : a ∈ Ioo l u
hs : Ioo l u ⊆ {x | p x}


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₂' : List α
s : l₁ <+ l₂
p : l₂ ~ l₂'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0

(filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card = a


(filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = a * m + b * (m + 1)


(filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = ∑ i ∈ (equitabilise h).parts, i.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

Context: hunion : (equitabilise h).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

(filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts).card * m + b * (m + 1) = ∑ i ∈ filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts, i.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

Disjoint (filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h).parts) (filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h).parts)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

Disjoint (fun u => u.card = m) fun u => u.card = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h✝ : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

Context: hunion : (equitabilise h✝).parts = filter (fun u => u.card = m) (equitabilise h✝).parts ∪ filter (fun u => u.card = m + 1) (equitabilise h✝).parts

Context: x : Finset α → Prop

Context: ha : x ≤ fun u => u.card = m

Context: hb : x ≤ fun u => u.card = m + 1

Context: i : Finset α

Context: h : x i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h✝ : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hm : m ≠ 0

Context: x : Finset α → Prop

Context: ha : x ≤ fun u => u.card = m

Context: hb : x ≤ fun u => u.card = m + 1

Context: i : Finset α

Context: h : x i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: a : α

Context: val✝¹ : Multiset α

Context: s : List α

Context: nodup✝¹ : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)

Context: val✝ : Multiset α

Context: t : List α

Context: nodup✝ : Nodup (Quot.mk Setoid.r t)

Context: h : _root_.Disjoint { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ } { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ }

a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ }.disjUnion { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ } h ↔ a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r s, nodup := nodup✝¹ } ∨ a ∈ { val := Quot.mk Setoid.r t, nodup := nodup✝ }


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → SimpleGraph V

(⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3

IsEmpty (α → β) ↔ Nonempty α ∧ IsEmpty β


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Mono f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Mono f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Mono f

(ShortComplex.mk 0 f ⋯).map L ≅ ShortComplex.mk 0 (L.map f) ⋯


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l fun i => Iic (b i)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc a (b i)) μ

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Iic (b i)) (μ.restrict (Ioi a))


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hb : Tendsto b l atTop

∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a..b x, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Iic (b x), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Ioi a) ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: i : ι

Context: hbi : a ≤ b i

∫ (x : ℝ) in a..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Iic (b i), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Ioi a) ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a✝ b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a : ℝ

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: i : ι

Context: hbi : a ≤ b i

∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ Iic (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x

∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (g x)


(∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (g x)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ (fun n m => colimMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

{ app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: n m : ι

Context: h : ¬c.Rel n m

Context: j : J

(F.obj j).d n m ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: F : J ⥤ HomologicalComplex C c

Context: i j : J

Context: φ : i ⟶ j

Context: n : ι

(F.map φ).f n ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) i ≫ 𝟙 (colimit (F ⋙ eval C c n))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : PolishSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : BorelSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a : G


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

l.sublists = map reverse l.reverse.sublists'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den


q.num / ↑q.den = c * q.num / (c * ↑q.den)


Context:
α : Type u_1
s t✝ : Finset α
n : ℕ
t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup

{ val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ powersetCard n t ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t ∧ { val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0


‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderBot α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k

IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (f k) κ μ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f✝ : F
a b : α
f : α ≃* β := ↑f✝
h : f✝ a ∣ f✝ b


f.invFun (f.toFun a) ∣ f.invFun (f.toFun b)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

f.inverse.graph = Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

‖(WithLp.equiv 2 (m → WithLp 2 (n → α))).symm fun i => (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun j => A i j‖₊ = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : β
x : γ

update f (inr i) x (inr j) = update (f ∘ inr) i x j


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ


((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom


(((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).symm ≪≫ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom


((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f p ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom


(XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom = (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix l n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible D

(reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks A B C D) = (reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks 1 (B * ⅟D) 0 1 * fromBlocks (A - B * ⅟D * C) 0 0 D * fromBlocks 1 0 (⅟D * C) 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

∫⁻ (a : α), (⨅ n, aeSeq h_meas p n) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

∫⁻ (a : α), ⨅ i, aeSeq h_meas p i a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

⨅ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq h_meas p n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x


Context:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1


Context:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1


Context: N : ℕ

Context: inst✝¹ : NeZero N

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: e : AddChar (ZMod N) R

Context: χ : DirichletCharacter R N

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ N

Context: he : e.mulShift ↑d = 1

Context: u : (ZMod N)ˣ

Context: hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1

Context: this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: st : MapsTo f s t

Context: hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ : Type

Context: s : σ

Context: f : α → σ × σ → (σ × σ) × β

Context: h : ∀ (x : α) (s : σ), (f x (s, s)).1.1 = (f x (s, s)).1.2


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ : Type

Context: s : σ

Context: f : α → σ × σ → (σ × σ) × β


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
hzero : (aeval f) (minpoly R f) = 0


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
hzero : ∀ (x : M), ((aeval f) P) x = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: f : ι → α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: f : ι → α

∀ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), ∃ y ∈ range fun i => f i, x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: f : ι → α

∀ y ∈ range fun i => f i, ∃ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), y ≤ x


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x

Context: T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u

Context: M' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∉ s \ u

Context: h'x : ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M

comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ ker (subToSupQuotient p p')


comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ comap p.subtype ((p ⊔ p') ⊓ p')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ


Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddGroup A

Context: inst✝³ : Ring R

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝² : Group α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : MulAction α β

Context: b : β

Context: inst✝ : Fintype ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)

minimalPeriod (fun x => a • x) b = Fintype.card ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)


Context:
p : ℕ
R✝ : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R✝
n : ℕ
R : Type u_2
_Rcr : CommRing R
x : 𝕎 R

(x * ↑n).coeff = fun n_1 => (aeval x.coeff) (wittMulN p n n_1)


Context:
p : ℕ
R✝ : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R✝
n : ℕ
R : Type u_2
_Rcr : CommRing R
x : 𝕎 R
k : ℕ

(x * ↑n).coeff k = (aeval x.coeff) (wittMulN p n k)


Context:
X : Type u_1
s : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M


Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ≤ Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => ((mk R M N) m) n) ↑⊤ ↑⊤)


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZeta a 1))


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ + hurwitzZetaOdd a s) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaEven a 1 + hurwitzZetaOdd a 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤


∀ (a : α), f a < ⊤ → ↑(f a).toNNReal = f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s = closure t


closure t ⊆ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s


⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' closure t ⊆ closure s


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : a * ↑u = 0


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: f : B' → B


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: f : B' → B

induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ ≤ induced (Pullback.lift f) inst✝


Context:
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
h : ∃ r, x.IsSt r


Context: t : ℝ

Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)


Context: t : ℝ

Context: h₁ : Tendsto (fun h => h⁻¹ * log (1 + t * h)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 t)


Context: t : ℝ

Context: h₂ : Tendsto (fun x => x⁻¹) atTop (𝓝[≠] 0)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β

(TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (corecF g x)) = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x


(TypeVec.id ⊚ TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr ∘ corecF g) <$$> g x = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E


∑ x_1 : ι, (b.toBasis.repr x) x_1 • b.toBasis x_1 = x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: 𝒢 : Set C

Context: inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢

Context: h𝒢 : IsDetecting 𝒢

Context: X : C

Context: P Q : Subobject X

Context: h : (fun P => {f | P.Factors f.snd}) P = (fun P => {f | P.Factors f.snd}) Q

∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, P.Factors f ↔ Q.Factors f


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝ : B
f : B →ₐ[A] B'
x : B

(Polynomial.aeval (f x)) (minpoly A x) = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Sort ?u.95493
inst✝ : _root_.Finite ι
h : FinitePresentation R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : (LinearMap.ker l).FG


Context:
x y : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π
hy₁ : -π < y.im
hy₂ : y.im ≤ π
hxy : cexp x = cexp y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedCosZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioc a b) μ


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}

ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0


Context: α β : Type u

Context: a b : Cardinal.{u}

Context: this : ∀ {a : Cardinal.{u}}, ℵ₀ ≤ a → a ≠ 0


Context: α β : Type u

Context: a b : Cardinal.{u}

b ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ a ∨ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : b ∈ ⇑φ '' s
b' : β
hb' : b' ∈ ⇑φ '' s
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : ∃ x ∈ s, φ x = b
b' : β
hb' : ∃ x ∈ s, φ x = b'
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
a : α
has : a ∈ s
a' : α
has' : a' ∈ s
h₁ : φ a ≠ φ a'
h₂ : r' (φ a) (φ a')


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Countable


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

replicate n p = (p ^ n).primeFactorsList


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

replicate n p ~ (p ^ n).primeFactorsList


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n q : ℕ
hq : q ∈ replicate n p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α

Context: op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s) (m₃ s)

Context: s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α

Context: op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: _hst : s ⊆ t

Context: _ht : MeasurableSet t

Context: htm : ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ), (![m₁, m₂, m₃] i) t = (![m₁, m₂, m₃] i).trim s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α

Context: op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: _hst : s ⊆ t

Context: _ht : MeasurableSet t

Context: htm : m₁ t = m₁.trim s ∧ m₂ t = m₂.trim s ∧ m₃ t = m₃.trim s ∧ ∀ (i : Fin 0), (![] i) t = (![] i).trim s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤


μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K

∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
L_closed : IsClosed L


(fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) L


Context: R : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f i : N →ₗ[R] M

Context: K : Submodule R N

Context: m : ℕ

Context: heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hi : Injective ⇑i


Context: R : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f i : N →ₗ[R] M

Context: K : Submodule R N

Context: m : ℕ

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hi : Injective ⇑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hd : l.Nodup
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a✝ b c : S
h : Commute b c
a : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'

PInfty.f (n + 1) ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.b i.rev = (PInfty.f (n + 1) ≫ f.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev) ≫ h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(dirac a ⊗ₘ κ) s = (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsAlgebraic F x

(adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S✝ : Set E

Context: α : E

Context: S : Set E

Context: hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x

Context: this : Algebra.IsIntegral F ↥(Algebra.adjoin F S)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S✝ : Set E

Context: α : E

Context: S : Set E

Context: hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x

Context: this✝ : Algebra.IsIntegral F ↥(Algebra.adjoin F S)

Context: this : IsField ↥(Algebra.adjoin F S)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

(mulETransformLeft e x).1.card + (mulETransformLeft e x).2.card + ((mulETransformRight e x).1.card + (mulETransformRight e x).2.card) = x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } - { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n - { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n


(match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ - toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n = (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n - (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

(Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], cons a s)).destruct = Sum.inr (List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], s))


Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([a], s) = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)


(fun x => [a].reverse ++ x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)


(fun x => a :: x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : RBNode α
h : WF cmp t


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) x = r • x


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

(gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = DistribMulAction.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: ia : ι

Context: a : 𝒜 ia

Context: ib : ι

Context: b : ℬ ib

((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) ((lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b) = r • (lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: ia : ι

Context: a : 𝒜 ia

Context: ib : ι

Context: b : ℬ ib

(-1) ^ (0 * ia) • ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r * (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ 0) GradedMonoid.GOne.one * (lof R ι ℬ ib) b) = r • (lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: ia : ι

Context: a : 𝒜 ia

Context: ib : ι

Context: b : ℬ ib

((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r * (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ 0) GradedMonoid.GOne.one * (lof R ι ℬ ib) b) = (r • (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'


↑h.unit m' = ↑h.unit (↑h.unit⁻¹ (x • m'))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t


(t \ s).card = (t \ s ∪ s).card - s.card


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G

P.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) = 𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : J), s.ι.app j ≫ P.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) = s.ι.app j ≫ 𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.ι.app j ≫ P.desc ((Cocones.precompose w.inv).obj (Cocone.whisker e.functor t)) ≫ Q.desc ((Cocones.precompose ((e.invFunIdAssoc G).inv ≫ whiskerLeft e.inverse w.hom)).obj (Cocone.whisker e.inverse s)) = s.ι.app j ≫ 𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

w.inv.app j ≫ G.map (e.counitInv.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ s.ι.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) = s.ι.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

F.map (e.unit.app j) ≫ w.inv.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ w.hom.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ s.ι.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) = s.ι.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Q.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = 𝟙 t.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cocone G

Context: P : IsColimit s

Context: Q : IsColimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : K), t.ι.app j ≫ Q.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.desc ((Cocones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = t.ι.app j ≫ 𝟙 t.pt


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
f : PartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ f.source
hf : IsLocalHomeomorph ↑f

∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ Set.InjOn (↑f) U


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

I ⊓ orthogonal Φ hΦ_inv I ≤ I ∧ I ⊓ orthogonal Φ hΦ_inv I ≠ I


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Context: x : ↥I

Context: y : ↥I

⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Context: x : ↥I

Context: y : ↥I


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Context: x : ↥I

Context: y : ↥I

Context: z : L


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Context: x : ↥I

Context: y : ↥I

Context: z : L

Context: hyz : ⁅↑x, z⁆ ∈ I


Context: b x : Bool

Context: l : List Bool

Context: h : Chain (fun x x_1 => x ≠ x_1) b (x :: l)

count (!b) (x :: l) = count b (x :: l) + (x :: l).length % 2


Context: x : Bool

Context: l : List Bool

Context: h : Chain (fun x x_1 => x ≠ x_1) (!x) (x :: l)

count (!!x) (x :: l) = count (!x) (x :: l) + (x :: l).length % 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
h this : SigmaFinite μ
s : ℕ → Set α := spanningSets μ
hs_univ : ⋃ i, s i = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: hs_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: h_univ_empty : ¬univ = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: h_univ_empty : ¬univ = ∅

Context: i : ℕ

Context: hsi : s i = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J✝ : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I J : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ I * J


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H✝ H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ : IntermediateField K L
S : Subalgebra K L
hS : IsField ↥S
x✝ : L

x✝ ∈ (S.toIntermediateField' hS).toSubalgebra ↔ x✝ ∈ S


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

angle x (x + y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)


Real.arccos (‖x‖ * ‖x‖ / (‖x‖ * ‖x + y‖)) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
hx : ¬‖x‖ = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
c : R

((monomial s) c).totalDegree ≤ s.sum fun x => id


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp : p ≠ 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : IsLeftCancelMul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G

(single x r * f).support = map (mulLeftEmbedding x) f.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0

Integrable (fun x => f x • c) μ ↔ Integrable f μ


AEStronglyMeasurable f μ → (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
this : ∀ (x : ℝ≥0∞), x = 0 → x < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ

(range f)ᶜ.restrict (extend f g g') = g' ∘ Subtype.val


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C

({ app := fun X_1 => G₂.map (({ app := fun X => α.app (R₂.obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₃.map (β.app X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => γ.app (R₄.obj X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => R₅.map (δ.app X_2), naturality := ⋯ }).app (K₁.obj X_1), naturality := ⋯ }).app c = ({ app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => G₂.map (α.app X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => γ.app (H₁.obj X_2), naturality := ⋯ }).app (R₂.obj X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => R₅.map (({ app := fun X => H₂.map (β.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => δ.app (K₁.obj X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ }).app c


G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ γ.app (H₁.obj (R₂.obj c)) ≫ R₅.map (H₂.map (β.app c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))


G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ ((R₃ ⋙ G₂).map (β.app c) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c))) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: H : μ.ContentRegular

Context: K : Compacts G

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hc : ¬∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: H : μ.ContentRegular

Context: K : Compacts G

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: H : μ.ContentRegular

Context: K : Compacts G

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ ⨅ K', ⨅ (_ : ↑K ⊆ interior ↑K'), (fun s => ↑(μ.toFun s)) K'


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: H : μ.ContentRegular

Context: K : Compacts G

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: h : ∀ p ∈ e.source, ∃ s, IsOpen s ∧ p ∈ s ∧ ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)

∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: h : ∀ (x : ↑e.source), ∃ s, IsOpen s ∧ ↑x ∈ s ∧ ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: s : ↑e.source → Set (B × F)

Context: hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)

Context: hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x

Context: φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F

Context: u : ↑e.source → Set B

Context: hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)

Context: hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)

Context: h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)

Context: heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: s : ↑e.source → Set (B × F)

Context: hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)

Context: hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x

Context: φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F

Context: u : ↑e.source → Set B

Context: hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)

Context: hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: s : ↑e.source → Set (B × F)

Context: hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)

Context: hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x

Context: φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F

Context: u : ↑e.source → Set B

Context: hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)

Context: hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: s : ↑e.source → Set (B × F)

Context: hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)

Context: hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x

Context: φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F

Context: u : ↑e.source → Set B

Context: hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)

Context: hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p

Context: heu : ∀ (p : ↑e.source) (q : B × F), q.1 ∈ u p → q ∈ e.source


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α


∀ (i' : α × α), True ∧ True → ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic i'.1 ∪ Ici i'.2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α

∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ∈ abs ⁻¹' Ici (max (-a) b)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ≤ a ∧ x ≤ -b ∨ -a ≤ x ∧ b ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U

(𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1⁻¹ * x.2 ∈ U i}


(Filter.comap (fun x => x.1⁻¹ * x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1⁻¹ * x.2 ∈ U i}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
x y z : S


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y

(rightDualIso p p).hom = (Iso.refl Y).hom


Context: x y : ℂ


Context: s : ℂ


Context:
s : ℂ
h : s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
s' : Set α

s' ∈ piiUnionInter (fun i => {s i}) S ↔ s' ∈ {s' | ∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), s' = ⋂ i ∈ t, s i}


(∃ t, ↑t ⊆ S ∧ ∃ f, (∀ x ∈ t, f x = s x) ∧ s' = ⋂ x ∈ t, f x) ↔ ∃ t, ↑t ⊆ S ∧ s' = ⋂ i ∈ t, s i


Context: n : Nat

list (n + 1) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]


Context: n : Nat

0 :: List.map succ (list n) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: S : ↑X.affineOpens

Context: U₁ U₂ : X.Opens

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑Γ(X, U₁)

Context: y₂ : ↑Γ(X, U₂)

Context: f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: h₁ : ↑S ≤ U₁

Context: h₂ : ↑S ≤ U₂

Context: e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯

Context: e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯

Context: n : ℕ

Context: e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: S : ↑X.affineOpens

Context: U₁ U₂ : X.Opens

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑Γ(X, U₁)

Context: y₂ : ↑Γ(X, U₂)

Context: f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: h₁ : ↑S ≤ U₁

Context: h₂ : ↑S ≤ U₂

Context: n : ℕ


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: S : ↑X.affineOpens

Context: U₁ U₂ : X.Opens

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑Γ(X, U₁)

Context: y₂ : ↑Γ(X, U₂)

Context: f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: h₁ : ↑S ≤ U₁

Context: h₂ : ↑S ≤ U₂

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: S : ↑X.affineOpens

Context: U₁ U₂ : X.Opens

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑Γ(X, U₁)

Context: y₂ : ↑Γ(X, U₂)

Context: f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: h₁ : ↑S ≤ U₁

Context: h₂ : ↑S ≤ U₂

Context: n m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

Context: e : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂)

(X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁)) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝⁴ : FloorRing α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : β → α → γ

Context: h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)

Context: hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1

Continuous (uncurry f ∘ Prod.map id fract)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝⁴ : FloorRing α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : β → α → γ

Context: hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1

∀ (x : β × α), ContinuousAt (uncurry f ∘ Prod.map id fract) x


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n

↑(a + b) = if n ≤ ↑a + ↑b then ↑a + ↑b - n else ↑a + ↑b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
r : R
x : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x

0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)


0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝²³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: E : Type u_10

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : 0 ≤ x

Context: a : α

Context: ha : 0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a

0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

x ∈ span K (insert y s) → x ∉ span K s → y ∈ span K (insert x s)


∀ (x_1 : K), ∀ x_2 ∈ span K s, x = x_1 • y + x_2 → x ∉ span K s → ∃ a, ∃ z ∈ span K s, y = a • x + z


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s

∃ a_1, ∃ z_1 ∈ span K s, y = a_1 • (a • y + z) + z_1


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
a0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯

Context: x : G ⧸ N

(map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: x✝ : G ⧸ N

Context: x : G

(map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
hp : p ≠ 2

∏ μ ∈ primitiveRoots 2 R, (X - C μ) = X + 1


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : IsDomain R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP R p

Context: hp : p ≠ 2

Context: prim_root_two : primitiveRoots 2 R = {-1}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
U : Set α


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n


(ofFn f).get i = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩