Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ¬↑f b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'

Context: this : s.HaveLebesgueDecomposition μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t✝ t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'

Context: this : s.HaveLebesgueDecomposition μ

μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ f


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R


(x ◃ y) ◃ x ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty n


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h✝ : Nonempty n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α

pimage f (s ∩ t) ⊆ pimage f s ∩ pimage f t


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f (insert a s) t = (fun b => f a b) '' t ∪ image2 f s t


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y

W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ IsIso (G.map f)


W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (f ≫ adj.unit.app Y) ↔ IsIso (G.map f)


W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (adj.unit.app X ≫ (G ⋙ F).map f) ↔ IsIso (G.map f)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α

a * b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0


(if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤

μ s = ⊤ ↔ μ t = ⊤


∀ (u v : Set α), μ (u ∆ v) ≠ ⊤ → μ u = ⊤ → μ v = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

((fun x => rexp (f x)) =Θ[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x|


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥

Context: t : Set ι✝

Context: ht : t.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ = ∅


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0

(Polynomial.idealX K).intValuation P = (idealX K).intValuation ↑P


(Polynomial.idealX K).intValuationDef P = (idealX K).intValuationDef ↑P


↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (Polynomial.idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors))) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors)))


(Associates.mk (Ideal.span {Polynomial.X})).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors = (Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0

Context: span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0

Context: span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0

Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count (idealX K).asIdeal (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {↑P}))


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0

Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count Polynomial.X (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors P)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: P : K[X]

Context: hP : ¬P = 0

Multiset.count (idealX K).asIdeal (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {↑P})) = Multiset.count X (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors ↑P)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
x : R × S

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ filter (fun a => p a ∨ q a) s ↔ x✝ ∈ filter p s ∪ filter q s


Context:
α : Type u_1
a : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)


M.Basis (⋃ b, bif b then I else J) (⋃ b, bif b then X else Y)


∀ (i : Bool), M.Basis (bif i then I else J) (bif i then X else Y)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y : R

act' (x ◃ y) = act' x * act' y * (act' x)⁻¹


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R

(act' (x ◃ y) * act' x) z = (act' x * act' y) z


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X✝ Y✝ : CommMon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝² x✝¹ : Discrete PUnit.{u + 1}
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹


Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{w, v} V

Context: inst✝³ : MonoidalCategory V

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : EnrichedCategory V C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : EnrichedCategory V D

Context: inst✝ : BraidedCategory V

Context: F G : EnrichedFunctor V C D

Context: X✝ Y✝ : Vᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝

Context: X Y : C

(((Center.ofBraided V).obj (unop Y✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ (fun X => f.unop ≫ σ.app X) Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = ((fun X => f.unop ≫ σ.app X) X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)


Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{w, v} V

Context: inst✝³ : MonoidalCategory V

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : EnrichedCategory V C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : EnrichedCategory V D

Context: inst✝ : BraidedCategory V

Context: F G : EnrichedFunctor V C D

Context: X✝ Y✝ : Vᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: p : (((Center.ofBraided V).obj (unop X✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)


Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{w, v} V

Context: inst✝³ : MonoidalCategory V

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : EnrichedCategory V C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : EnrichedCategory V D

Context: inst✝ : BraidedCategory V

Context: F G : EnrichedFunctor V C D

Context: X✝ Y✝ : Vᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: p : (β_ (unop X✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)

(β_ (unop Y✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ f.unop ≫ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (f.unop ≫ σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
x : E

HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) x


HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1


∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, preCDF ρ i a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst


(ρ.IicSnd ↑r) s ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : WithLp p ((i : ι) → β i)

edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y) ≤ ↑1 * edist x y


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : WithLp p ((i : ι) → β i)

∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ ⊤)

Context: x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : WithLp p ((i : ι) → β i)

Context: h : 1 ≤ p.toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s

Nat.casesOn 0 y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n✝ : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s
n : ℕ

Nat.casesOn (n + 1) y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
x : X × Y


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : MeasurableSet t


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι

(update i f b) j = (erase i f + single i b) j


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i

(update i f b) i = (erase i f + single i b) i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
h : i ≠ j


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F

[EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE


[∀ (k : ι'), EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, ∀ (k : ι'), Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (k : ι'), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
i : ι'

(List.map (fun p => p i) [fun k => EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, fun k => Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun k => UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun i => ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, fun i => BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))]).TFAE


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
x y : Fin 1

¬x = y → (∏ x_1 ∈ finPairsLT 1, if (if x_1.fst = x then y else if x_1.fst = y then x else x_1.fst) ≤ if x_1.snd = x then y else if x_1.snd = y then x else x_1.snd then -1 else 1) = -1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
h2n : 2 ≤ n + 2


IsConj (swap x y).signAux (swap ⟨0, ⋯⟩ ⟨1, ⋯⟩).signAux


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
s : ↥S


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V

e ∈ (fromEdgeSet s).edgeSet ↔ e ∈ s \ {e | e.IsDiag}


Context:
α : Type u_1
i : Nat
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = some i

match xs.get? i with | some a => p a = true | none => false = true


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ


Context:
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}


(∀ (i : ↑(Iio b)), a ^ ↑i ≤ c) ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α

c ≤ (s₁ ∪ s₂).inf f ↔ c ≤ s₁.inf f ⊓ s₂.inf f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.105888, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂

((shiftFunctor C 1).map φ.hom₃.unop).op ≫ ((shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁ = (((shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁) ≫ φ.hom₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₀
inst✝³ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝² : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H


Context:
a b c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
h : m * a ∣ n * a


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ

Context: hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEMeasurable f_1 μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
h : LinearMap.IsSymm B₁
x y : M

(((associatedHom S) B₁.toQuadraticMap) x) y = (B₁ x) y


Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P

Context: hP' : ∀ ⦃X Y B : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ B) (g : Y ⟶ B), OpenEmbedding ⇑f → HasExplicitPullback f g

Context: X✝ Y✝ Z✝ : CompHausLike P

Context: f : Z✝ ⟶ X✝ ⨿ Y✝


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a✝ b✝ a b : α


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n i : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff i = if i = n then 0 else { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff i


(Finsupp.erase n toFinsupp✝) i = if i = n then 0 else toFinsupp✝ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c x a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s


((convexHull 𝕜) ↑(minCardFinsetOfMemConvexHull hx)).Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).support


x ∈ (p.takeUntil u h).support ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).support


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
this : Memℒp f ⊤ μ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i


Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x

(Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f


Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: x✝ : ℕ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: this : xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n)) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n) * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))


(bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)


(bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ - (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)


(bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)


∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * wittStructureRat p Φ x ^ p ^ (n - x)


Context: α β : Type u


Context:
x : Tree Unit
n : ℕ

x ∈ treesOfNumNodesEq n ↔ x.numNodes = n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasPushouts C
F : WalkingParallelPair ⥤ C

pushoutInl F = pushout.inr (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))


Context:
α : Type u_1
s✝ t s : Set α

(fun x => (x, x)) '' s = diagonal α ∩ s ×ˢ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t✝ : Set α
a✝ b a : α
t : Set α
h : a ∉ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t ∩ s₂ ×ˢ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

Context: p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as

(π.map g).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 1 }).prod p') t)


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap ((fun t => ((Path.refl { down := 1 }) t, p' t)) t)


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), g (p' t) = H (((Path.refl { down := 1 }) t).down, p' t)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

Finset.univ.noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

(insert i (Finset.univ.erase i)).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

(ϕ i) (Pi.mulSingle i y i) * (Finset.univ.erase i).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

(ϕ i) y * (Finset.univ.erase i).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

(ϕ i) y * ?m ^ (Finset.univ.erase i).card = (ϕ i) y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

∀ x ∈ Finset.univ.erase i, (ϕ x) (Pi.mulSingle i y x) = ?m


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S✝

Context: inst✝ : Ring T

Context: S : Set (Subring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ

(algebraMap R A) (eval x (T R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (T A n)


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑f j| < ε
H₂ : |↑g j| < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : -ε < ↑f j ∧ ↑f j < ε
H₂ : -ε < ↑g j ∧ ↑g j < ε


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: F : Arrow C

Context: X : Augmented C

Context: G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X

Context: x : SimplexCategory

Context: j : Fin (x.len + 1)

G.left ≫ (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : Arrow C

Context: X : Augmented C

Context: G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X

Context: x : SimplexCategory

Context: j : Fin (x.len + 1)

Context: t : ((const C).obj X.left).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ ((𝟭 (CosimplicialObject C)).obj X.right).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : Arrow C

Context: X : Augmented C

Context: G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X

Context: x : SimplexCategory

Context: j : Fin (x.len + 1)

Context: t : 𝟙 X.left ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)

G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : Arrow C

Context: X : Augmented C

Context: G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X

Context: x : SimplexCategory

Context: j : Fin (x.len + 1)

Context: t : X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R

0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context:
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ


Context:
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ

(List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁ * legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod = (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁) b.primeFactorsList.attach).prod * (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod


Context: α : Type u_1

Context: g : GenContFract α

Context: n : ℕ

Context: b : α

Context: nth_partDen_eq : g.partDens.get? n = some b


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E

μ (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |b₀.det ⇑b| * μ (fundamentalDomain b₀)


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E


fundamentalDomain b = ⇑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)) ⁻¹' fundamentalDomain b₀


b₀.det ⇑b = LinearMap.det ↑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)).symm


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : q.natDegree < n


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : (-q).natDegree < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: hj : abv (↑f j) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: hj : abv (↑f j) < ε / 2

Context: k : ℕ

Context: jk : k ≥ j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: this✝ : (a : Prop) → Decidable a

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: hj : abv (↑f j) < ε / 2

Context: k : ℕ

Context: jk : k ≥ j

Context: this : abv (↑f k - ↑f j + ↑f j) < ε / 2 + ε / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
f : Filter β
u v : β → α
bu : α
hu : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≤ bu
bv : α
hv : ∀ᶠ (x : β) in f, v x ≤ bv


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
m : M
s : Set M

m ∈ span R s ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m


m ∈ span R (_root_.id '' s) ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : StarAddMonoid α
inst✝ : ContinuousStar α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a

HasSum (fun b => Star.star (f b)) (Star.star a)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : M ^ k = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t : Set α
a b : α

∀ (x : Set α), SupClosed ((fun s => {a | ∃ t, ∃ (ht : t.Nonempty), ↑t ⊆ s ∧ t.sup' ht id = a}) x)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : SupClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : CeilDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)

inlX φ j i hij ≫ d φ i j = φ.f j ≫ inrX φ j


(inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j


Context:
ι : Sort u_1
g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
f : ι → ℝ≥0

(⨆ i, ↑(f i)).toNNReal = ⨆ i, ((fun i => ↑(f i)) i).toNNReal


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
h : n < l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
f : p → α

⨆ (h : p), f h = if h : p then f h else sSup ∅


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₂ b₂ : σ₂
h : f₂ a₂ = f₂ b₂

(match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ a₂ (tr b₁) | none => f₂ a₂ = none) ↔ match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ b₂ (tr b₁) | none => f₂ b₂ = none


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R


Context:
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
hn : Even n
h : 0 < n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

∀ y ∈ e.target ∩ e'.target, ↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) y = (y.1, e.coordChange e' y.1 y.2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x✝ : M

Context: b : B

Context: x : F

Context: hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target

↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x) = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x✝ : M

Context: b : B

Context: x : F

Context: hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target

(↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x)).1 = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2).1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x✝ : M

Context: b : B

Context: x : F

Context: hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target

Context: this : (↑e.symm (b, x)).proj ∈ e'.baseSet


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t : Set α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ : Set α

Context: t : Set α

Context: htc : t.Countable

Context: ht : univ ⊆ closure t


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
this : Mono (F.map f ≫ (α.app Y).hom)


G.map f = (α.app X).inv ≫ F.map f ≫ (α.app Y).hom


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
n : γ → δ

map n (map₂ m f g) = map₂ (fun a b => n (m a b)) f g


map (n ∘ fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map (fun p => n (m p.1 p.2)) (f ×ˢ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsGLB (range f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s : Finset α
a : α

(image f s).erase (f a) ⊆ image f (s.erase a)


∀ ⦃x : β⦄, x ≠ f a → ∀ x_1 ∈ s, f x_1 = x → ∃ a_4, (a_4 ≠ a ∧ a_4 ∈ s) ∧ f a_4 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s : Finset α
a x : α
hx : x ∈ s
hb : f x ≠ f a

∃ a_1, (a_1 ≠ a ∧ a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = f x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x✝ y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X

∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ IsCompact (closure U)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iSup g)

Context: Mf : Monotone f

Context: bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iSup g)

Context: Mf : Monotone f

sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E

↑((orthogonalProjection K) v) = v ↔ v ∈ K


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : ↑((orthogonalProjection K) v) = v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : v ∈ K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
x y : α

‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖


‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖y‖ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

(↑s).infsep = if hs : s.offDiag.Nonempty then s.offDiag.inf' hs (uncurry dist) else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: H : (↑s).Nontrivial ↔ s.offDiag.Nonempty


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt

Context: e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ Nonempty (IsColimit (Cocone.whisker e.inverse c'))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

(∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)) ↔ ∀ (j : K), IsPullback ((Cocone.whisker e.inverse c').ι.app j) ((whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom).app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

(whiskerLeft e.inverse α ≫ (e.invFunIdAssoc F).hom) ≫ c.ι = (Cocone.whisker e.inverse c').ι ≫ (Functor.const K).map f


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

x.2 * x.1 = n ∧ ¬n = 0 ↔ x ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

(J.isoSheafify hP).inv = J.sheafifyLift (𝟙 P) hP


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

J.toSheafify P ≫ (J.isoSheafify hP).inv = 𝟙 P


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c

f ◁ θ.naturality (g ≫ h) ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ θ.naturality h ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ θ.naturality g ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
this : Free K ↥⊤


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : M →* N


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R

(if a = 0 then ⊥ else sum 0 fun x e => e) = 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
bs₀ bs₁ : Multiset β

Rel r as (bs₀ + bs₁) ↔ ∃ as₀ as₁, Rel r as₀ bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁


(∃ bs₀_1 bs₁_1, Rel (flip r) bs₀ bs₀_1 ∧ Rel (flip r) bs₁ bs₁_1 ∧ as = bs₀_1 + bs₁_1) ↔ ∃ as₀ as₁, Rel r as₀ bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
s : Set F
x : 𝕜

derivWithin f t x ∈ s ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ derivWithin f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : MetrizableSpace E

Context: f g : α → E

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: this✝¹ : MeasurableSpace (E × E) := borel (E × E)

Context: this✝ : BorelSpace (E × E)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
V : OpenNhdsOf 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: V : OpenNhdsOf 1

Context: this : Classical.choose ⋯ ∈ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: V : OpenNhdsOf 1

Context: this : ∀ (i : OpenNhdsOf 1), Classical.choose ⋯ ∈ clPrehaar (↑K₀) i


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K

(Polynomial.idealX K).valuation P = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑P


∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk p q) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk p q)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

(Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk f g)


(PowerSeries.idealX K).valuation ↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = (Polynomial.idealX K).intValuation f / (Polynomial.idealX K).intValuation g


↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (LaurentSeries K) ↑f ⟨↑g, ⋯⟩


(Polynomial.idealX K).intValuation f = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑f


(Polynomial.idealX K).intValuation g = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑⟨↑g, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝¹ : f.SameCycle x y
x✝ : f.SameCycle y z
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
j : ℤ
hj : (f ^ j) y = z


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l : List α

Context: f : ℕ → α → β

Context: i : ℕ

Context: h : i < l.length

Context: h' : optParam (i < (mapIdx f l).length) ⋯

(mapIdx f l).nthLe i h' = f i (l.nthLe i h)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ
x : D


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : α → β
l : Filter β

Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β

Measure.map (⇑e) (Measure.map (⇑e.symm) ν) = ν


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.invRotate.mor₁ = 0 ∧ T.invRotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

-(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.mor₃ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
f : G →g G'
p : G.Walk u v

(Walk.map f p).toSubgraph = Subgraph.map f p.toSubgraph


Context:
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1


Context:
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1
h : log x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop

(∃ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∃ t ⊆ s, p (f '' t)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₂) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n ⋙ CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁


Context:
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)

Measurable fun a => ⟨memPartitionSet t n a, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : ↑(memPartition t n)

MeasurableSet ((fun a => ⟨memPartitionSet t n a, ⋯⟩) ⁻¹' {s})


Context:
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n

MeasurableSet {x | memPartitionSet t n x = s}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
f g : CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : c ⟶ f.left
w : S.map η ≫ f.hom = S.map η' ≫ f.hom


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors

(X ^ d - 1) * cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n


X ^ n - 1 = (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R


(X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1


(X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R


(X ^ d - 1) * (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R) = (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R


cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < a.cof.ord


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: H : a.cof.ord = o


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow (op d) F.op)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.unop.right.unop ≫ (unop Y✝).hom.unop = (unop X✝).hom.unop


(𝟙 (op d) ≫ (unop X✝).hom).unop = (unop X✝).hom.unop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v

‖v‖ * ‖v‖ = ‖v - p‖ * ‖v - p‖ + ‖p‖ * ‖p‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v
h' : ⟪v - p, p⟫_𝕜 = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.ball a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ → IsStoppingTime 𝒢 π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s : α → α → Prop

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: a : α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: inst✝ : Nontrivial β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s : α → α → Prop

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: a b : β

Context: hne : a ≠ b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s : α → α → Prop

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: a b : β

Context: hne : a ≠ b

Context: ha : IsBot a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s : α → α → Prop

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝ : Nontrivial β

Context: a b : β

Context: hne : a ≠ b

Context: c : β

Context: hc : c < a


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
x : S₁

(optionEquivRight R S₁) (X (Option.some x)) = X x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module.Free R M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : SMulCommClass R S N
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : StrongRankCondition S
inst✝² : Module.Free S N
inst✝¹ : Module R S
inst✝ : SMulCommClass R S S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf

∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: g : PartialHomeomorph Y Z

Context: hxg : f x ∈ g.source

Context: hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s

Context: hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)

Context: gf : PartialHomeomorph X Z

Context: hgf : x ∈ gf.source

Context: he : ↑g ∘ f = ↑gf

Context: y : X

Context: hy : y ∈ ((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm).source

f y = ↑((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm) y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: g : PartialHomeomorph Y Z

Context: hxg : f x ∈ g.source

Context: hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s

Context: hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)

Context: gf : PartialHomeomorph X Z

Context: hgf : x ∈ gf.source

Context: he : ↑g ∘ f = ↑gf

Context: y : X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: g : PartialHomeomorph Y Z

Context: hxg : f x ∈ g.source

Context: hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s

Context: hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)

Context: gf : PartialHomeomorph X Z

Context: hgf : x ∈ gf.source

Context: he : ↑g ∘ f = ↑gf

Context: y : X

Context: this : f y ∈ g.source


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε

Context: δ_top : ¬δ = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δ_top : ¬δ = ⊤

∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δ_top : ¬δ = ⊤

Context: x : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: x_pos : 0 < x

Context: x_lt_top : x < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

μ B ≤ ν (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s


MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Ico 0 1))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
κ : Type u_6
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α

(∑ i ∈ s, f i) * ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i * g j


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

(leftShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
k : ℤ

↑(eval k (descPochhammer ℤ n)) = eval (↑k) (descPochhammer R n)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
k : ℤ

(algebraMap ℤ R) (eval k (descPochhammer ℤ n)) = eval₂ (algebraMap ℤ R) (↑k) (descPochhammer ℤ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
S : Set (LowerSet α)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
x : α
hx : x ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℤ

((single (order x)) 1 * (ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff n = x.coeff n


((ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff (n - order x) = x.coeff n


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Balanced C
𝒢 : Set C


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯


Context: n : ℕ

(antidiagonal (n + 1)).val = (cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯).val


Context: n : ℕ

(antidiagonal (n + 1)).val = (0, n + 1) ::ₘ Multiset.map (⇑({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n).val


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : X ⟶ T.obj₂

Context: hf : f ≫ T.mor₂ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : X ⟶ T.obj₂

Context: hf : f ≫ T.mor₂ = 0

Context: a : (contractibleTriangle X).obj₁ ⟶ T.obj₁

Context: ha₁ : (contractibleTriangle X).mor₁ ≫ f = a ≫ T.mor₁

Context: right✝ : (contractibleTriangle X).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = 0 ≫ T.mor₃


Context: m : ℕ∞

↑m + ℵ₀ = ℵ₀


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: hc : G.chromaticNumber < ↑n

Context: hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤

Context: m : ℕ

Context: hc' : G.Colorable m

Context: this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: hc : G.chromaticNumber < ↑n

Context: hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤

Context: m : ℕ

Context: hc' : G.Colorable m


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: hc : G.chromaticNumber < ↑n

Context: hne : ↑G.chromaticNumber.toNat = G.chromaticNumber

Context: m : ℕ

Context: hc' : G.Colorable m


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ


Context: α : Sort u_1

Context: o b : Ordinal.{u_2}

Context: hb : 1 < b

Context: ho : o.IsLimit

Context: f : α → Ordinal.{u_2}

Context: H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i

Context: a : Ordinal.{u_2}

Context: h : a < b ^ o


Context: α : Sort u_1

Context: o b : Ordinal.{u_2}

Context: hb : 1 < b

Context: ho : o.IsLimit

Context: f : α → Ordinal.{u_2}

Context: a : Ordinal.{u_2}

Context: h : a < b ^ o

Context: d : Ordinal.{u_2}

Context: hd : d < o

Context: h' : a < b ^ d


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : (fun z => r + f z) = fun z => (fun x => r) z + f z

cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ


(fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν

F (∫ (y : β), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct (⊤_ C) P

snd ≫ lift (terminal.from P) (𝟙 P) = 𝟙 ((⊤_ C) ⨯ P)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

↑(centralizer R Set.univ) = ↑(center R A)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x✝ y✝ : α

Context: r K : ℝ

Context: h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y

Context: x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
i : Nat
cs : Array γ
hia : i ≤ as.size
hib : i ≤ bs.size
h : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)

(if h : i < as.size then let a := as[i]; if h : i < bs.size then let b := bs[i]; zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b)) else cs else cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K✝
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E'

(reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K)) x = f ((reflection K) (f.symm x))


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x✝ : ι → R

(MultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y


L.map (f₁ + f₂) = add W (Iso.refl (L.obj X)) (Iso.refl (L.obj Y)) (L.map f₁) (L.map f₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : IsNoetherianRing R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ⊓ ↑J'