Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
this : (RingHom.ker f).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Field S

Context: f : R[X] →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : (RingHom.ker f).IsMaximal

Context: g : R[X] ⧸ RingHom.ker f →+* S := Quotient.lift (RingHom.ker f) f ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Field S

Context: f : R[X] →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : (RingHom.ker f).IsMaximal

Context: hfg : g.comp (Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Field S

Context: f : R[X] →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : (RingHom.ker f).IsMaximal

(g.comp ((Quotient.mk (RingHom.ker f)).comp C)).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Field S

Context: f : R[X] →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : (RingHom.ker f).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Field S

Context: f : R[X] →+* S

Context: this : (RingHom.ker f).IsMaximal

Context: hf : Function.Surjective (⇑g ∘ ⇑(Quotient.mk (RingHom.ker f)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

nndist f g < r ↔ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) < r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ⊥ < r


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
hf : Injective f
m : OuterMeasure α
s : Set α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

(s.weightedVSub p) (weightedVSubVSubWeights k i j) = p i -ᵥ p j


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (opcyclesMap φ)
h₂ : Mono φ.τ₃


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ✝ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁✝ : S₁.HomologyData

Context: h₂✝ : S₂.HomologyData

Context: A : C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: inst✝¹ : S₁.HasHomology

Context: inst✝ : S₂.HasHomology

Context: h₁ : IsIso (opcyclesMap φ)

Context: h₂ : Mono φ.τ₃

Context: h : (S₂.homologyι ≫ inv (opcyclesMap φ)) ≫ S₁.fromOpcycles = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0


(∫⁻ (x : α), f x ∂if a ∈ s then dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
f : ↑(Ω^ N X x)


⟦fromLoop i (Path.symm (toLoop i f))⟧ = ⟦fromLoop j (Path.symm (toLoop j f))⟧


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i j : N

Context: f : ↑(Ω^ N X x)

Context: inv : (G : Type ?u.632657) → Group G → G → G := fun G x x_1 => x_1⁻¹


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
x : S

g (eval₂ f x p) = eval₂ (g.comp f) (g x) p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
hf : f =ᶠ[l] 1


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
x : α

x ∈ (cons a s h).toList ↔ x ∈ a :: s.toList


Context:
α : Type u
β : Type v
σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Iio a)
l : Filter β

Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_3
m : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsSymm
k : ℕ


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ

‖jacobiTheta₂'_term n z τ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


‖2 * ↑π * I * ↑n‖ * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → β → Prop

(∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, r = fun x x_1 => f x = x_1


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
i : I
g : X ⟶ Y i
Z : C
h : Z ⟶ X


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hc : c ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : HeytingAlgebra α
inst✝¹ : HeytingAlgebra β
inst✝ : HeytingHomClass F α β
f : F
a : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
pb : PowerBasis A B
b : B


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p : R[X]
h : p.Monic

Irreducible p ↔ Irreducible (Polynomial.map (algebraMap R K) p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = a * b

Context: hₐ : ¬IsUnit a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: ha : Polynomial.map (algebraMap R K) a' * C a.leadingCoeff = a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: b' : R[X]

Context: hb : Polynomial.map (algebraMap R K) b' * C b.leadingCoeff = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: b' : R[X]

Context: this : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: b' : R[X]

Context: H : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) (a' * b')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: b' : R[X]

IsUnit ((mapRingHom (algebraMap R K)) b' * C b.leadingCoeff)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p : R[X]

Context: h : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hₐ : ¬IsUnit a

Context: a' : R[X]

Context: b' : R[X]


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

(pointReflection R (midpoint R x y)) x = y


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
P Q R S : C
J : Type u_2
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (R ⟶ S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β →. σ
h : α → γ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
hh : Partrec₂ h
a : α

(bif Sum.casesOn (f a) (fun b => true) fun b => false then Sum.casesOn (f a) (fun b => Part.map Option.some (g (a, b).1 (a, b).2)) fun c => Part.some Option.none else Sum.casesOn (f a) (fun b => Part.some Option.none) fun b => Part.map Option.some (h (a, b).1 (a, b).2)) = Part.map Option.some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: U : ↑X.affineOpens


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: U : ↑X.affineOpens

Context: S : 𝒰.J → ↑X.affineOpens := fun i => ⟨Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i), ⋯⟩


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
h : μ μ.sigmaFiniteSetᶜ = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜

∫ (x : ℝ) in a..b, f x / r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) / r


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
x p : ℝ
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ p
h0 : 0 = p

Tendsto (fun a => f a ^ 0) l (𝓝 (x ^ 0))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A

curry (𝟙 (A ⊗ (𝟭 C).obj X)) = (ihom.coev A).app X


(ihom.coev A).app ((𝟭 C).obj X) ≫ 𝟙 ((ihom A).obj (A ⊗ (𝟭 C).obj X)) = (ihom.coev A).app X


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

dist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄


‖p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ ‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R


∀ (x y : S), Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
x y : R

Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {f x, f y})


Ideal.span {f x, f y} = Submodule.span S {f (gcd x y)}


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
hm : m ∈ span R ↑S


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
h✝ : x✝ ∈ ↑S


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
y✝ : M
hy✝ : y✝ ∈ span R ↑S
a✝¹ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
a✝ : (f ^ S.sup g) y✝ = 0 y✝


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
a✝¹ : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
a✝ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ

(fun z => |z.im| ^ n) ≤ᶠ[l] fun z => Real.exp z.re


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g✝ : β → E
ν : Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasurePreserving f μ ν

eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ = eLpNorm (↑g) p ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(g ⊗ inv f) ≫ (h ⊗ f) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β


(((↑μ).prod ↑ν) (univ ×ˢ univ)).toNNReal = (↑μ univ).toNNReal * (↑ν univ).toNNReal


(((↑μ).prod ↑ν) (univ ×ˢ univ)).toNNReal = (↑μ univ * ↑ν univ).toNNReal


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : IsEmpty X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h✝ : Nonempty X

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)

Context: hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h✝ : Nonempty X

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f

Context: y : Y

Context: xl xu : X

Context: h : g y ∈ Icc (f xl) (f xu)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
w : Word M

of ((equivPair i) w).head • ((equivPair i) w).tail = w


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂

comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) = Q₁.tmul Q₂


(associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂

((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)))) m₁) m₂)) m₁') m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂))) m₁) m₂)) m₁') m₂'


(((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')


((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₂).tmul (associated Q₁)) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated Q₁).tmul (associated Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: ι₁ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι₁

Context: β₁ : ι₁ → Type v₁

Context: inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)

Context: inst✝² : (i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁

Context: g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i

(f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (g i (f i)).support


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: ι₁ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι₁

Context: β₁ : ι₁ → Type v₁

Context: inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁

Context: g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i

Context: this : ∀ (i₁ : ι), (f.sum fun i b => (g i b) i₁) ≠ 0 → ∃ i, f i ≠ 0 ∧ ¬(g i (f i)) i₁ = 0


Context:
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0


Context:
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0

mkRat (n * ↑a) (d * a) = mkRat (↑a * n) (a * d)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ


QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h⁻¹) μ μ


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: E : ι → Type wE

Context: G : Type wG

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: ε : ι → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: c : ι → 𝕜

Context: hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖

Context: hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

Context: m m✝ : (i : ι) → E i

Context: i✝ : ι

Context: h : ‖m✝ i✝‖ = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂


c₂ -ᵥ c₁ ∈ (perpBisector p₁ p₂).direction


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: hJ : J ∈ π.biUnion πi


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

Context: x : α

‖{x | max C 1 ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯) x‖ ≤ ‖{x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

Context: x : α

{x | max C 1 ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (fun a => ‖Exists.choose ⋯ a‖) x ≤ {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (fun a => ‖g i a‖) x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P

((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w + (s₂.weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₂

Context: f : V →ₗ[K] V₂

Context: h : finrank K V₂ < finrank K V

Context: h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₂

Context: f : V →ₗ[K] V₂

Context: h : finrank K V₂ < finrank K V

Context: h₂ : finrank K ↥(range f) ≤ finrank K V₂


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₂

Context: f : V →ₗ[K] V₂

Context: h : finrank K V₂ < finrank K V


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α

(s₁ ⋈ s₂).get (2 * n + 1).succ.succ = s₂.get n.succ


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
hgauge : gauge s x < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: a : ℝ

Context: absorbs : Absorbent ℝ s

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr₁ : r < 1

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hgauge : gauge s ((fun x => r • x) y) < 1

∃ y_1 ∈ s, (fun x => r • x) y ∈ openSegment ℝ 0 y_1


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
h : x ∈ slitPlane

HasStrictDerivAt (fun z => z ^ c) (c * x ^ (c - 1)) x


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = 1 ∨ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = -1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: h : λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) - ↑n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: X : 𝓞 K

Context: hX : ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * X


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: X : 𝓞 K

Context: Y : 𝓞 K

Context: hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Y

Context: Z : 𝓞 K

Context: hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 - 1 = λ ^ 2 * Z


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: X : 𝓞 K

Context: Y : 𝓞 K

Context: Z : 𝓞 K

Context: hZ : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Z


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: X : 𝓞 K

Context: Y : 𝓞 K

Context: hY : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + 1 = λ ^ 2 * Y

Context: Z : 𝓞 K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4

Context: X : 𝓞 K

Context: Y : 𝓞 K

Context: Z : 𝓞 K


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
s : Set Ω


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
h : μ ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
h : μ ≠ 0
mass_nonzero : μ.mass ≠ 0


Context:
D : GlueData
i j : D.J

⇑(D.ι j) ⁻¹' Set.range ⇑(D.ι i) = Set.range ⇑(D.f j i)


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l₁ l₂✝ : List α
a b : α
l₂ l₃ : List α
h : Chain' R (l₂ ++ l₁ ++ l₃)


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
a b : K

Quot.mk Setoid.r a ≤ Quot.mk Setoid.r b ∨ Quot.mk Setoid.r b ≤ Quot.mk Setoid.r a


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b✝ : ValueGroup A K
b : K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A

Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r b ∨ Quot.mk Setoid.r b ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A

Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ∨ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤ Quot.mk Setoid.r ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya)


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this : (algebraMap A K) ya ≠ 0


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xa * yb * c = xb * ya


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a b : ValueGroup A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xb * ya * c = xa * yb


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A


Continuous fun x => ∑ σ : Equiv.Perm n, Equiv.Perm.sign σ • ∏ i : n, A x (σ i) i


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
l✝ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l✝ → Type u_9
n' : l✝ → Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : TopologicalRing R
A : X → Matrix n n R
hA : Continuous A
l : Equiv.Perm n
x✝ : l ∈ Finset.univ

Continuous fun x => ∏ i : n, A x (l i) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset ℕ
a : ℕ
ha : a < n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y


f ⁻¹' closure s \ f ⁻¹' s ⊆ closure (f ⁻¹' s) \ f ⁻¹' s


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b + 1


Context: X✝ Y✝ : LocallyRingedSpace

Context: f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : RingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

Context: H : f = g

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)

IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap g x)


Context: X✝ Y✝ : LocallyRingedSpace

Context: f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : RingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

Context: H : f = g

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

IsLocalRingHom (eqToHom ⋯ ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : x ∉ periodicPts f


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : F
x : A


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F G F'✝ G' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : F'✝ ⟶ G'
F' : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y

(tensorObj F F').map f ≫ (fun X => α.app X ▷ F'.obj X) Y = (fun X => α.app X ▷ F'.obj X) X ≫ (tensorObj G F').map f


(tensorObj F F').map f ≫ (α.app Y ⊗ 𝟙 (F'.obj Y)) = (α.app X ⊗ 𝟙 (F'.obj X)) ≫ (tensorObj G F').map f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n

(x ::ᵥ ⟨val✝, property✝⟩).reverse = (reverse ⟨val✝, property✝⟩).snoc x


⟨val✝.reverse ++ [x], ⋯⟩ = append ⟨val✝.reverse, ⋯⟩ ⟨[x], ⋯⟩


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S

cyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (S.leftHomologyData.map F) = cyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (hl.map F) ≫ F.map (cyclesMap' (𝟙 S) hl S.leftHomologyData)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤

adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support) = ⊤


⊤ ≤ adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support)


S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤
f : R[M]
hf : f ∈ S

f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : AddMonoid M

Context: S : Set R[M]

Context: hS : adjoin R S = ⊤

Context: f : R[M]

Context: hf : f ∈ S

Context: hincl : of' R M '' ↑f.support ⊆ ⋃ g ∈ S, of' R M '' ↑g.support


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: h₁ : QuasiIso φ.τ₁

Context: h₂ : QuasiIso φ.τ₂


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: h₁ : QuasiIso φ.τ₁

Context: h₂ : QuasiIso φ.τ₂


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: h₁ : QuasiIso φ.τ₁

Context: h₂ : QuasiIso φ.τ₂

Context: i : ι


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: h₁ : QuasiIso φ.τ₁

Context: h₂ : QuasiIso φ.τ₂

Context: i : ι

∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hS₁ : S₁.ShortExact

Context: hS₂ : S₂.ShortExact

Context: h₁ : QuasiIso φ.τ₁

Context: h₂ : QuasiIso φ.τ₂

Context: i : ι

∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: x : O

Context: hx : IsUnit x

Context: H : ∀ (x : O), v ((algebraMap O R) x) ≤ 1

Context: u : Oˣ

Context: hu : ↑u = x


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: x : O

Context: hx : IsUnit x

Context: u : Oˣ

Context: hu : ↑u = x

v ((algebraMap O R) x) * v ((algebraMap O R) ↑u⁻¹) ≤ v ((algebraMap O R) x) * 1


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (s ×ˢ t) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hst : s ⊆ g ⁻¹' t

ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hst : s ⊆ g ⁻¹' t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hst : s ⊆ g ⁻¹' t

∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hst : s ⊆ g ⁻¹' t

∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : σ →₀ ℕ

(MvPowerSeries.coeff R n) ↑(φ * ψ) = (MvPowerSeries.coeff R n) (↑φ * ↑ψ)


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℤ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R

range toPrimeSpectrum = {x | IsClosed {x}}


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R

range toPrimeSpectrum = {x | x.asIdeal.IsMaximal}


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : Ideal R
isPrime✝ : x.IsPrime

{ asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ range toPrimeSpectrum ↔ { asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ {x | x.asIdeal.IsMaximal}


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f g : W ⟶ X
h : Y ⟶ Z


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n a b : μ
hab : (a, b) ∈ ↑(antidiagonal n)
c d : μ
hcd : (c, d) ∈ ↑(antidiagonal n)

(a, b) ≠ (c, d) → (Disjoint on fun p => map (addRightEmbedding fun j => if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) (a, b) (c, d)


¬b = d → ∀ ⦃a_2 : ι → μ⦄ (x : ι → μ), s.sum x = b → (∀ (i : ι), ¬x i = 0 → i ∈ s) → (x + fun j => if j = i then a else 0) = a_2 → ∀ (x : ι → μ), s.sum x = d → (∀ (i : ι), ¬x i = 0 → i ∈ s) → ¬(x + fun j => if j = i then c else 0) = a_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: s : Set β

Context: hs : s ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier

sSup s ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: t : Set α

Context: ht : t ⊆ ↑L

Context: hs : ⇑f '' t ⊆ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier

sSup (⇑f '' t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: t : Set α

Context: ht : t ⊆ ↑L

f (sSup t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: s : Set β

sInf s ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: t : Set α

Context: ht : t ⊆ ↑L

sInf (⇑f '' t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ L : CompleteSublattice α

Context: t : Set α

Context: ht : t ⊆ ↑L

f (sInf t) ∈ { carrier := ⇑f '' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
h : a / b = 0


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b
h : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
f₂ : N ≃ P
hf₂ : f₂ 0 = 0
hf₂' : f₂.symm 0 = 0


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : lift.{v, u} o.card < c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

μ (iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

∑' (a : ℕ), ENNReal.ofReal (ε / 2 * 2⁻¹ ^ a) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

∑' (a : ℕ), ENNReal.ofReal (ε / 2) * ENNReal.ofReal (2⁻¹ ^ a) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 1 < k


Context: f : ℕ → ℕ → ℕ

Context: hf : Primrec' fun v => f v.head v.tail.head

Context: n : ℕ

Context: g h : Vector ℕ n → ℕ

Context: hg : Primrec' g

Context: hh : Primrec' h


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : ¬range f < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Nonempty X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated ↑s

Context: f : α → α

Context: g : α → X

Context: h : QuasiErgodic f μ

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s

Context: hgm : NullMeasurable g μ

Context: hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Nonempty X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: s : Set X

Context: f : α → α

Context: g : α → X

Context: h : QuasiErgodic f μ

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s

Context: hgm : NullMeasurable g μ

Context: hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g

∀ (U : Set X), MeasurableSet U → (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ U) ∨ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∉ U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Nonempty X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: s : Set X

Context: f : α → α

Context: g : α → X

Context: h : QuasiErgodic f μ

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s

Context: hgm : NullMeasurable g μ

Context: hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g

Context: U : Set X

Context: hU : MeasurableSet U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Nonempty X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: s : Set X

Context: f : α → α

Context: g : α → X

Context: h : QuasiErgodic f μ

Context: hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ s

Context: hgm : NullMeasurable g μ

Context: hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g

Context: U : Set X

Context: hU : MeasurableSet U

Context: x : α

Context: hx : (g ∘ f) x = g x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b : ℤ
n : ℕ


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
s' : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(W.baseChange B).Ψ₃ = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₃


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g

(𝓝 x).lift g = (𝓤 α).lift fun s => g (ball x s)


(𝓤 α).lift (g ∘ preimage (Prod.mk x)) = (𝓤 α).lift fun s => g (ball x s)


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type w

Context: M₁ : ι → Type w₁

Context: M₁' : ι → Type w₁'

Context: M₂ : Type w₂

Context: M₃ : Type w₃

Context: M₄ : Type w₄

Context: inst✝¹⁸ : Semiring R

Context: inst✝¹⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝¹⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₄

Context: inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : Module R M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₄

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M₃

Context: inst✝ : TopologicalSpace M₄

Context: f✝ f'✝ f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂

f = f' ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type w

Context: M₁ : ι → Type w₁

Context: M₁' : ι → Type w₁'

Context: M₂ : Type w₂

Context: M₃ : Type w₃

Context: M₄ : Type w₄

Context: inst✝¹⁸ : Semiring R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₄

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : Module R M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₄

Context: inst✝² : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M₃

Context: inst✝ : TopologicalSpace M₄

(∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f.toMultilinearMap x = f'.toMultilinearMap x) ↔ ∀ (x : (i : ι) → M₁ i), f x = f' x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁.toEnumFinset ⊆ m₂.toEnumFinset


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R

{ a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s), a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2), a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t), a₄ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 * (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 - 2 * φ C.s * φ C.t), a₆ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 * (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 - φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) } = { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)), a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)), a₄ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)), a₆ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
a : Set α
σ✝ : Type u_5
F✝ : CFilter (Set α) σ✝

a ∈ F✝.toFilter ↔ ∃ b, { σ := σ✝, F := F✝, eq := ⋯ }.F.f b ⊆ a


Context:
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r✝ : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
r : ι → ι → Prop
hwf : WellFounded r
x y : (i : ι) → β i
hlt : x < y


∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
j : ι
r : c.Rel (c.prev j) j

C.dTo j = (C.xPrevIso r).hom ≫ C.d (c.prev j) j


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Icc 0 π)


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo 0 π


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → Z

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Context: s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)

ContinuousOn (uncurry (lift₂ f hf)) s ↔ ContinuousOn (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → Z

(∀ (a : X) (b : Y), (mk a, mk b) ∈ s → ContinuousWithinAt (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s) (a, b)) ↔ ∀ (a : X) (b : Y), (a, b) ∈ Prod.map mk mk ⁻¹' s → ContinuousWithinAt (uncurry f) (Prod.map mk mk ⁻¹' s) (a, b)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α

(M ↾ R).Basis I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ X ⊆ R


X ⊆ R → (M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R ↔ M.Basis' I X)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hXR : X ⊆ R

M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R ↔ M.Basis' I X


Context:
α : Type u_1
p : PosNum
this : (↑p).bit0 = (ZNum.pos p).bit0


Context:
α : Type u_1
p : PosNum
this : (↑p).bit1 = (ZNum.pos p).bit1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderTop α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb l : Filter β
f : α → β

(comap f l).smallSets = comap (image f) l.smallSets


∀ (x : Filter (Set α)), map f (x.bind 𝓟) = (map (image f) x).bind 𝓟


Context: m n : Num


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : μ s = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀

Disjoint (univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) (univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i))


∀ ⦃a : (i : ι) → α i⦄, (a ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) → a ∉ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: z : (i : ι) → α i

Context: h₁ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)

Context: h₂ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: z : (i : ι) → α i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y✝ z : E

Context: s : Set E

Context: hx : x ∈ s

Context: h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: ha' : 0 < a

Context: hb' : 0 < b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y z : E

Context: s : Set E

Context: hx : x ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: ha' : 0 < a

Context: hb' : 0 < b

Context: hy : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y✝ z : E

Context: s : Set E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: ha' : 0 < a

Context: hb' : 0 < b

Context: hxy : x ≠ y


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: x : I → Bool

Context: hx : x ∈ C0 C ho

Context: i : I


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : I → Bool

Context: hx : x ∈ C0 C ho

Context: i : I


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : I → Bool

Context: hx : x ∈ C0 C ho

Context: i : I

Context: hi : o ≤ ord I i


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : I → Bool

Context: hx : x ∈ C0 C ho

Context: i : I

Context: hi : o < ord I i ∨ o = ord I i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: 𝔸' : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: 𝕜' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸'

Context: h : ∀ i ∈ t, ContDiffWithinAt 𝕜 n (f i) s x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => ∏ i ∈ t, f i y) s x


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h : 0 < n

∃ a b, (b + 1) ^ 2 * (a + 1) = n ∧ Squarefree (a + 1)


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h : 0 < n
a₁ b₁ : ℕ
ha₁ : 0 < a₁
hb₁ : 0 < b₁
hab₁ : b₁ ^ 2 * a₁ = n
hab₂ : Squarefree a₁


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support

(c.rotate h).support.tail ~r c.support.tail


((c.dropUntil u h).support.tail ++ (c.takeUntil u h).support.tail) ~r c.support.tail


((c.takeUntil u h).support.tail ++ (c.dropUntil u h).support.tail) ~r c.support.tail


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
n : ℕ

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : W.IsCompatibleWithShift A
a : A
x✝¹ x✝ : C
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W f


Context:
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ

l.rotate i = l.rotate j ↔ i % l.length = j % l.length ∨ l = []


Context:
α : Type u
i j : ℕ
hl : [].Nodup

[].rotate i = [].rotate j ↔ i % [].length = j % [].length ∨ [] = []


Context:
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ
hn : l ≠ []


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)

sSup S = conGen (sSup (DFunLike.coe '' S))


(conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = conGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x y : M


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring α
inst✝³ : AddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝ : DecidableEq α


image (fun x => -x) s • t = image (fun x => -x) (s • t)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝¹⁰ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.115187, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝⁸ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A

Context: inst✝⁷ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F

Context: inst✝⁶ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝⁵ : G.IsContinuous K J

Context: inst✝⁴ : G.Full

Context: inst✝³ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj

Context: inst✝² : G.IsCocontinuous K J

Context: hG : CoverPreserving K J G

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory A

Context: inst✝ : K.WEqualsLocallyBijective A

Context: X✝ Y✝ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m✝ n✝ : ℕ

Context: hx : x ∈ periodicPts f

Context: n m : ℕ

Context: x✝¹ : m < ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length

Context: x✝ : m < (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length

((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).get ⟨m, x✝¹⟩ = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).get ⟨m, x✝⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

span 𝕜 (Set.range (gramSchmidtNormed 𝕜 f)) = span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f))


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
I : Submodule R N
x : ↥I ⊗[R] M

∃ J, ∃ (_ : J.FG) (hle : J ≤ I), ∃ y, x = (rTensor M (inclusion hle)) y


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: s t : Set ((i : ι) → α i)

Context: hs : ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s = cylinder s_1 S

Context: ht : ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = cylinder s S

∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s ∩ t = cylinder s_1 S


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)

s ∈ 𝓤 (Completion α) ↔ s ∈ ⨅ ε, 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑ε}


s ∈ 𝓤 (Completion α) ↔ ∃ i, s ∈ 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑i}


Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun ε => 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑ε}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
t u : Set α


Context:
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat


Context:
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]


Context:
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
g : ℕ
hh : n = a.gcd n * g


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ContinuousOn u [[a, b]]

Context: hv : ContinuousOn v [[a, b]]

Context: huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x

Context: hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x

Context: hu' : IntervalIntegrable u' volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
i✝ x✝ : m

(toLinearMapRight' 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
x : ↥(S ⊓ f.domain)
y : ↥f.domain
h : ↑x = ↑y
this : (Submodule.inclusion ⋯) x = y

↑(f.domRestrict S) x = ↑f ((Submodule.inclusion ⋯) x)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

IsCoprime I J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → Rˣ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: v : ι → M

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0

Context: w : ι → Rˣ

∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: v : ι → M

Context: w : ι → Rˣ

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: β : Type u_5

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: g : β → E

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm g p (Measure.map f μ) = eLpNorm (g ∘ f) p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: β : Type u_5

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: g : β → E

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

(∫⁻ (x : β), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂Measure.map f μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: β : Type u_5

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: g : β → E

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

(∫⁻ (a : α), ↑‖g (f a)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix m p R


Context:
n : ℕ
c : Composition n

c.boundary (Fin.last c.length) = Fin.last n


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0

∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Z

Context: C r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: s t : Set X

Context: hf : HolderOnWith C r f s

Context: h0 : 0 < r

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Z

Context: C r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: s t : Set X

Context: hf : HolderOnWith C r f s

Context: h0 : 0 < r

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δ0 : 0 < δ

Context: H : Iio δ ⊆ (fun d => ↑C * d ^ ↑r) ⁻¹' {x | (fun x => x < ε) x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ

SuperpolynomialDecay l k fun a => k a ^ z * f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: hf : ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)

Context: z : ℤ

∀ (z_1 : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z_1 * (k a ^ z * f a)) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z z' : ℤ

Context: x : α

Context: hx : k x ≠ 0

k x ^ (z' + z) * f x = (fun a => k a ^ z' * (k a ^ z * f a)) x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: hx₁ : Submodule.span R (↑y • ↑s) = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: hx : S.subtype y • f x ∈ y • Submodule.span R ↑s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: hx : f (S.subtype y • x) ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: x' : M

Context: hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))

Context: hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: x' : M

Context: hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)

Context: a : ↥S

Context: ha : a • x' = a • S.subtype y • x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : M

Context: s : Finset M'

Context: y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

Context: x' : M

Context: hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)

Context: a : ↥S

Context: ha : a • x' = a • S.subtype y • x

(a * y) • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
z : M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

(derivative p).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)


(p.sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)


(p.sum fun a b => b * ↑a * if n = a - 1 then 1 else 0) = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)


∀ b ∈ p.support, b ≠ n + 1 → (p.coeff b * ↑b * if n = b - 1 then 1 else 0) = 0


n + 1 ∉ p.support → (p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) * if n = n + 1 - 1 then 1 else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

(ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond


(ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * (ρ.fst ⊗ₘ ρCond) ({x} ×ˢ s)


(ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ∫⁻ (a : α), (ρCond a) (Prod.mk a ⁻¹' {x} ×ˢ s) ∂ρ.fst


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
n₁ : ℕ
x a₁ : α
n₂ : ℕ
a₂ : α
n' : ℕ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'

term n₁ x a₁ + term n₂ x a₂ = term n' x a'


Context: n✝ n : ℕ


Context: n : ℕ


Context:
n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α

(∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬μ univ = 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hω : ¬IsSuccLimit (⨆ i, f i)


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : ¬BddAbove (range f)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s

⇑h '' connectedComponentIn s x = connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x)


connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ ⇑h '' connectedComponentIn s x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y'

Context: s : Set X

Context: h : X ≃ₜ Y

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: this : ⇑h.symm '' connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ connectedComponentIn (⇑h.symm '' (⇑h '' s)) (h.symm (h x))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

Context: hseq : seminormFromConst_seq c f x = fun _n => f x


Context: n : ℕ

(n + 1).centralBinom = 2 * (n + 1 + n).choose n


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs