Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul

Context: m : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: s : R

↑((m + n).choose k) = ∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α

t ≤ s → s ∈ ↑𝒜.shatterer → t ∈ ↑𝒜.shatterer


Context:
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
a✝ : n.div2.bits = n.bits.tail

(bit b n).div2.bits = (bit b n).bits.tail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N

(filter p f).prod g = ∏ x ∈ (filter p f).support, g x (f x)


Context: n b m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)

IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)

IsBounded (∅ ×ˢ t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded ∅ ∧ IsBounded t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty

IsBounded (s ×ˢ ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Nontrivial R
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Algebra R A
inst✝¹⁷ : LieRing L✝
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L✝
inst✝¹⁵ : Module.Finite R L✝
inst✝¹⁴ : Module.Free R L✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : LieRingModule L✝ M
inst✝¹⁰ : LieModule R L✝ M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ιₘ
inst✝⁴ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L✝
bₘ : Basis ιₘ R M
x✝ : L✝
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
x : L

IsRegular K x ↔ finrank K ↥(engel K x) = rank K L


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β


Context:
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α

(l.set m a).get? n = if m = n then (fun x => a) <$> l.get? n else l.get? n


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
r : G.Walk u x

(p.append q).reverseAux r = q.reverseAux (p.reverseAux r)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p : T[X]
a : S

a ∈ p.aroots S ↔ p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: f g : ↥(lp G 2)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: f g : ↥(lp G 2)

(ENNReal.toReal 2).IsConjExponent (ENNReal.toReal 2)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: f g : ↥(lp G 2)

∀ (i : ι), ‖⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜‖ ≤ (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) i


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: f g : ↥(lp G 2)

Context: i : ι

‖⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜‖ ≤ (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) i


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
huX : IsUniform X s ℙ volume

∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = (volume s)⁻¹.toReal * ∫ (x : ℝ) in s, x


∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = ∫ (x : ℝ), x ∂(volume s)⁻¹ • volume.restrict s


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ

padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max (stationaryPoint hf) (max v2 v3)))


stationaryPoint hf ≤ max (stationaryPoint hf) (max v2 v3)


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : x ≤ -1


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R

(rename f) p = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f) p


(sum p fun s a => (monomial (s.sum fun a => Finsupp.single (f a))) a) = sum p fun a => Finsupp.single (a.sum fun a => Finsupp.single (f a))


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'


Context:
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a' / b = a / b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max a b)


Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max b a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V

𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s (V i))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1

finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E

∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal


∀ (α : F), IsSolvable (minpoly F ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)).Gal


∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α + β)).Gal


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F (-α)).Gal


∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α * β)).Gal


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F α⁻¹).Gal


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → IsSolvable (minpoly F (α ^ n)).Gal → IsSolvable (minpoly F α).Gal


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p

map i p = C (i p.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod


map i p = C (map i p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod


C (map i p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod = map i p


Multiset.card (map i p).roots = (map i p).natDegree


Multiset.card (map i p).roots = p.natDegree


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
right✝ : t ≤ 1

SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
a b c : α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f

(pushoutSymmetry f f).hom = 𝟙 (pushout f f)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E

∫ (x : ℝ) in a..b, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in -b..-a, f x


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq✝ : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
hsq : EqOn ((f / g) ^ 2) 1 S


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀

Context: inst✝ : Ring R

Context: v : AddValuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: h : v x < v y


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

Compatibility.τ₀.hom.app K = (Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀).hom.app K


Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso.hom.app ((toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).functor.obj K) = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a
b b' : α
hb : b ∈ s
hb' : b' ∈ s
hne : b ≠ b'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
h : ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)


HasSum (fun a => ↑(f a)) (∑' (b : β), ↑(f b))


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h : b ∈ e.baseSet

Context: x : F


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap

((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


∀ (j : Discrete I.R), colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R

colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


(Multicofork.ofSigmaCofork I K).π j = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι

biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i ≫ (biproduct.desc fun j => F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j)) ≫ F.map (biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

((κ ×ₖ η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ

(matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k)


∀ (p q : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j q)).coeff k = stdBasisMatrix i j (q.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j (p + q))).coeff k = stdBasisMatrix i j ((p + q).coeff k)


∀ (n_1 : ℕ) (a : R), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j ((monomial n_1) a))).coeff k = stdBasisMatrix i j (((monomial n_1) a).coeff k)


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

↑r ≤ 1 ↔ r ≤ 1


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: l m : List α

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l

Context: hm : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m

Context: hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o

Context: hmltl : Lex (fun x x_1 => x < x_1) m l

∀ i ∈ m, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁✝ a₂✝ a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂

(algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Pairwise fun i j => ⟪![x, y] i, ![x, y] j⟫_ℝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.chainHeight ≠ ⊤

Context: this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.chainHeight ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n = s.chainHeight


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.chainHeight ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n = s.chainHeight

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.chainHeight ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n = s.chainHeight

Context: i : α

Context: h : i ∈ map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.chainHeight ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n = s.chainHeight

↑n.succ ≤ ↑(map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β


Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) (Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) fun x => default) = f


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α

(foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } xs).down = (toList xs).length


(List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } (toList xs)).down = (toList xs).length


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α

(List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length


(List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length + 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y


Context:
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = π * Real.Gamma (2 / p + 1)


Context:
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-‖x‖ ^ p)


Context:
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

π * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * Real.Gamma ((0 + 2) / p)


Context:
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : ¬R b a

destutter' R b (a :: l) = destutter' R b l


Context: k : ℕ

riemannZeta (-↑k) = (-1) ^ k * ↑(bernoulli (k + 1)) / (↑k + 1)


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M


RelMap (L.orderLHom.onRelation leSymb) ![a, b] ↔ a ≤ b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t

Context: f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t

Context: g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

∀ t ∈ Icc a b, ‖f t - g t‖ ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

Context: h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x - g' x‖ ≤ ↑K * ‖f x - g x‖ + (εf + εg)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ico a b

‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ico a b

Context: this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ico a b

Context: hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)

dist (f' t) (g' t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ico a b

εf + εg + ↑K * dist (f t) (g t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)


Context: q r : ℚ

Context: s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)

(q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num

Context: c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

↑q.den * ↑r.den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

¬c = 0 → ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q.num /. ↑q.den * (r.num /. ↑r.den) = s


Context: q r : ℚ

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q * r = s


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : Fintype τ
inst✝ : Algebra R S
f : σ → S
n : ℕ

(aeval f) (esymm σ R n) = (Multiset.map f univ.val).esymm n


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝³ : L.Additive

Context: inst✝² : Pretriangulated D

Context: inst✝¹ : L.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject D

Context: inst✝³ : L.Additive

Context: inst✝² : Pretriangulated D

Context: inst✝¹ : L.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: this : (L.mapComposableArrows 2).EssSurj


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ₁ χ₂ : L → R

Context: p q : ℤ

Context: this : ∀ (k : ℤ), k ∈ Ioo p q ↔ k ∈ Finset.Ioo p q

weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q = ⨆ k ∈ Finset.Ioo p q, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R

IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)


IsWeaklyRegular M (r :: rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) • ⊤


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝

(cons x✝¹ x✝).getVert 1 = (cons x✝¹ x✝).sndOfNotNil ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c✝ d : α

Context: m n : ℕ

Context: c : α

Context: h : a < b

Context: hc : c ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: a b c✝ d : α

Context: m n : ℕ

Context: c : α

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : b * c ≤ a * c


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

e.inverse.map (e.counitInv.app Y) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)


(e.unitIso.app (e.inverse.obj Y) ≪≫ e.inverse.mapIso (e.counitIso.app Y)).hom = (Iso.refl ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : AddZeroClass N

Context: f g : (α →₀ M) →+ N

Context: H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : AddZeroClass N

Context: f g : (α →₀ M) →+ N

Set.EqOn ⇑f ⇑g {f | ∃ a b, f = single a b}


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ

Context: right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (g x) (f' x) ≤ ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

∀ᵐ (x : E) ∂sum fun n => μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

Context: E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

Context: E₂ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), g x = A n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

Context: x : E

Context: hx1 : ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ

Context: hx2 : g x = A n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

Context: x : E

Context: hx1 : nndist (f' x) (A n) ≤ δ

Context: hx2 : g x = A n


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q : ℚ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R

(p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = p.leadingCoeff


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : Seq α

Context: f g : Seq α → Seq β

Context: H : ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s) (f s).destruct (g s).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : Seq α

Context: f g : Seq α → Seq β

IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s, s1 = f s ∧ s2 = g s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Measure.map (s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s

Context: u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s

Context: F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val

Context: hF : F = u ∘ Subtype.val


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s

Context: F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val

Context: hF : F = u ∘ Subtype.val

Context: A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (u '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s

Context: F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val

Context: hF : F = u ∘ Subtype.val

Context: A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u : E → E

Context: u_meas : Measurable u

Context: uf : EqOn u f s

Context: F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val

Context: hF : F = u ∘ Subtype.val

Context: this : F = s.restrict f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Countable


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
h : Nodup ⟦l⟧


∀ x ∈ l.sublists', ∀ y ∈ l.sublists', ↑x = ↑y → x = y


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (Perm α)ᵈᵐᵃ

g ∈ stabilizer (Perm α)ᵈᵐᵃ f ↔ f ∘ ⇑(mk.symm g) = f


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

M.Basis I X ↔ (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E


Context:
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ


Context:
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ

b ∣ ofDigits b' (b'.digits n) ↔ b ∣ ofDigits 1 (b'.digits n)


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

g <$$> P.wMk a f' f = P.wMk a (g ⊚ f') (MvFunctor.map g ∘ f)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ⟹ β

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

Context: this : MvFunctor.map g ∘ f = fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ⟹ β

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

Context: this✝ : MvFunctor.map g ∘ f = fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩

Context: this : f = fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩

(g <$$> P.wMk a f' fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩) = P.wMk a (g ⊚ f') fun i => ⟨(f i).fst, g ⊚ (f i).snd⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ⟹ β

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

g <$$> ⟨WType.mk a fun i => (f i).fst, P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd⟩ = ⟨WType.mk a fun i => (f i).fst, P.wPathCasesOn (g ⊚ f') fun i => g ⊚ (f i).snd⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ⟹ β

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

Context: h : ∀ (a : P.wp.A) (f : P.wp.B a ⟹ α), g <$$> ⟨a, f⟩ = ⟨a, g ⊚ f⟩


Context: n i : ℕ

n &&& 2 ^ i = (n.testBit i).toNat * 2 ^ i


Context: n i j : ℕ

(n &&& 2 ^ i).testBit j = ((n.testBit i).toNat * 2 ^ i).testBit j


Context:
n i : ℕ
h : n.testBit i = false

(n &&& 2 ^ i).testBit i = (false.toNat * 2 ^ i).testBit i


Context:
n i : ℕ
h : n.testBit i = true

(n &&& 2 ^ i).testBit i = (true.toNat * 2 ^ i).testBit i


Context:
n i j : ℕ
hij : i ≠ j
h : n.testBit i = false

(n &&& 2 ^ i).testBit j = (false.toNat * 2 ^ i).testBit j


Context:
n i j : ℕ
hij : i ≠ j
h : n.testBit i = true

(n &&& 2 ^ i).testBit j = (true.toNat * 2 ^ i).testBit j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: j : StructuredArrow (op X) G.op

lift hF hR s ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s j.hom.unop


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
g : H

((con φ).lift (Coprod.lift (CoprodI.lift f) k) ⋯) (((con φ).mk'.comp inr) g) = k g


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H K : Subgroup G

map f H ≤ map f K ↔ H ⊔ f.ker ≤ K ⊔ f.ker


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : ↑a * b < ↑a * c


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : ↑a * b < ↑a * c

Context: ha : 0 = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : ↑a * b < ↑a * c

Context: ha : 0 < ↑a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂


(HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (map (φ ≫ ψ) c₁₂) = (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (map φ c₁₂ ≫ map ψ c₁₂)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R

(φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b) ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
x : α


Context:
N : ℕ
a u v : Fin 2 → ZMod N
huv : u ≠ v


Context:
N : ℕ
a u v : Fin 2 → ZMod N
huv : ¬(Disjoint on gammaSet N) u v


Context: N : ℕ

Context: a u v : Fin 2 → ZMod N

Context: huv : ¬(Disjoint on gammaSet N) u v

Context: f : Fin 2 → ℤ

Context: hf : f ∈ gammaSet N u ∧ f ∈ gammaSet N v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hs : IsClosed s

LocallyIntegrableOn f s μ ↔ LocallyIntegrable f (μ.restrict s)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
hs : IsClosed s
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
x : X

IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (μ.restrict s)


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

(toOpen R ⊤ ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ ⟨y, True.intro⟩) ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = toOpen R ⊤ ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α

t.ite (s₁ ∩ s) (s₂ ∩ s) = t.ite s₁ s₂ ∩ s


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : RingQuot s
a✝ b✝ : A
r : Rel s a✝ b✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y

(↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel s)
x : A
toQuot✝ : Quot (Rel s)
y : A

(↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel s) x } + { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }) = (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) x } + (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }


(fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot) 1 = 1


{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel s) x } * { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }) = { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) x } * { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel s) y }


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : A →ₐ[S] B
h : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : S

(↑↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap S (RingQuot s)) x) = (algebraMap S B) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α

∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝[<] x, f x_1 ∈ Iic (leftLim f x)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
r : R
n : Γ

((ofPowerSeries Γ R) ((PowerSeries.C R) r)).coeff n = (C r).coeff n


(embDomain { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ } (toPowerSeries.symm ((PowerSeries.C R) r))).coeff n = if n = 0 then r else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b : β
x✝¹ x✝ : α × β
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β

GameAdd rβ rα (a₁, b₁).swap (a₂, b₂).swap ↔ GameAdd rα rβ (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : G
hx : g x ∈ s
i : ℕ

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E

Context: f : E → F

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: x : G

Context: hx : g x ∈ s

Context: i : ℕ

Context: this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) (⇑g ⁻¹' s) x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s (g x)).compContinuousLinearMap fun x => ↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: hs : s.WellFoundedOn r

Context: hx : x ∈ s

Context: P : α → Prop

Context: hP : ∀ y ∈ s, (∀ z ∈ s, r z y → P z) → P y

Context: Q : ↑s → Prop := fun y => P ↑y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: hs : s.WellFoundedOn r

Context: hx : x ∈ s

Context: P : α → Prop

Context: Q : ↑s → Prop := fun y => P ↑y

∀ (x : ↑s), (∀ (y : ↑s), r ↑y ↑x → Q y) → Q x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f' ⁻¹' s = s


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
hs₂ : g ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
hs₂ : g ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] univ


Context: a b c p q : ℚ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

h.leftHomologyIso.hom ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = S.leftHomologyIso.hom


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: F' : J' ⥤ Type (max u v w) := down ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{max u w, v}

Context: this : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)

Context: this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)

Context: this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : IsEmpty J


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)

Context: this : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝¹ : ∀ (i : J'), Nonempty (F'.obj i)

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J

Context: this : IsCofiltered J


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J

Context: this : IsCofiltered J

Context: u : (j : J') → F'.obj j

Context: hu : u ∈ F'.sections


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J

Context: this : IsCofiltered J

Context: u : (j : J') → F'.obj j

Context: hu : u ∈ F'.sections

(fun j => (u { down := j }).down) ∈ F.sections


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J

Context: this : IsCofiltered J

Context: u : (j : J') → F'.obj j

Context: hu : u ∈ F'.sections

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: h : F'.map { down := f } (u { down := j }) = u { down := j' }

F.map f ((fun j => (u { down := j }).down) j) = (fun j => (u { down := j }).down) j'


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{w, u} J

Context: inst✝² : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: J' : Type (max w v u) := AsSmall J

Context: down : J' ⥤ J := AsSmall.down

Context: this✝ : ∀ (i : J'), Finite (F'.obj i)

Context: h✝ : Nonempty J

Context: this : IsCofiltered J

Context: u : (j : J') → F'.obj j

Context: hu : u ∈ F'.sections

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: h : { down := F.map f (u { down := j }).down } = u { down := j' }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : a ⊔ c ≤ b ⊔ c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
x y : X
hd : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
he : x = y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m x✝² x✝¹ : ℤ
hij : ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹
x✝ : ↑(AddCommGrp.of (Cochain F G x✝²))

((fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝² x✝¹) x✝ = 0 x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: F G K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℤ

Context: x✝² : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝⁵ x✝⁴

Context: x✝¹ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝⁴ x✝³

Context: x✝ : ↑((fun i => AddCommGrp.of (Cochain F G i)) x✝⁵)

((fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝⁵ x✝⁴ ≫ (fun i j => AddCommGrp.ofHom ↑(δ_hom ℤ F G i j)) x✝⁴ x✝³) x✝ = 0 x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≤] a


Context:
V : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module ℝ V
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝ : ContinuousAdd V
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
a b : ℝ≥0
h : a ≤ b


a • ↑K ⊆ b • ↑K


Context:
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

Pretopology.toGrothendieck (Opens T) (pretopology T) = grothendieckTopology T


Context:
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

Pretopology.toGrothendieck (Opens T) (Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T)) = grothendieckTopology T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
w z : ℂ
h : w.re ≤ z.re

‖↑n ^ w‖ ≤ ‖↑n ^ z‖


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: s : Cocone F

Context: U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv = (limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: s : Cocone F

Context: U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: j : Jᵒᵖ

(s.pt.presheaf.map i ≫ limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))) { pt := s.pt.presheaf.obj V, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app V ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))).inv) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V))) = ((limit.lift ((pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ⋙ (evaluation (Opens ↑(Limits.colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ C).obj (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))) { pt := s.pt.presheaf.obj U, π := { app := fun j => (s.ι.app (unop j)).c.app U ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯), naturality := ⋯ } } ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop U)))).inv) ≫ (limit (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop).op) ≫ (limit.π (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp j).app (op ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).obj (unop V)))


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: s : Cocone F

Context: U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: j : Jᵒᵖ

Context: w : (Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) (unop j) ≫ colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop = eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (((forget C).mapCocone s).ι.app (unop j))).map i.unop ≫ eqToHom ⋯


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: s : Cocone F

Context: U V : (Opens ↑↑s.pt)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: j : Jᵒᵖ

Context: w : (Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) (unop j))).map ((Opens.map (colimit.desc (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCocone s))).map i.unop) = eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (((forget C).mapCocone s).ι.app (unop j))).map i.unop ≫ eqToHom ⋯


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SecondCountableTopology H

Context: s : Set M

Context: hs : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ

Context: hsc : s.Countable


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SecondCountableTopology H

Context: s : Set M

Context: hsc : s.Countable

Context: this : ∀ (x : M), SecondCountableTopology ↑(chartAt H x).source


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SecondCountableTopology H

Context: s : Set M

Context: hsc : s.Countable

Context: this✝ : ∀ (x : M), SecondCountableTopology ↑(chartAt H x).source

Context: this : Encodable ↑s


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SecondCountableTopology H

Context: s : Set M

Context: hs : ⋃ x, (chartAt H ↑x).source = univ

Context: hsc : s.Countable

Context: this : Encodable ↑s


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), 2 ^ k • f (2 ^ k) ≤ f 1 + 2 • ∑ k ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f k


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), 2 ^ k • f (2 ^ k) = f 1 + 2 • ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ (k + 1))


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1

f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((lineMap a b) r) ≤ slope f ((lineMap a b) r) b


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
s : AffineSubspace k P


Submodule.map (↑(AffineEquiv.constVAdd k P v)).linear s.direction = s.direction


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ⟪x, y⟫_𝕜 = 0

‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism

comap f ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆ = ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ⊔ f.ker


Submodule.comap (↑f) (Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.comap (↑f) (Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}))


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = (fun a => f a) '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

HasFiniteIntegral (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: this : ∫⁻ (a : E), ↑‖(1 + ‖a‖) ^ (-r)‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: x₀ : 𝕜

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context:
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 1


Context:
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume (1 / 2) 1


Context:
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l : L


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p✝ q✝ : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
p q : ℚ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ENNReal.toReal 0))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

(ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

(ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) a = ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

(μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

Context: A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

(μ a).toReal⁻¹ * ∫ (a : α) in a, ↑‖f a - f x‖₊ ∂μ = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ

Commute φ ((monomial R n) a) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring R

Context: m✝ n✝ : σ →₀ ℕ

Context: φ ψ : MvPowerSeries σ R

Context: a : R

Context: n : σ →₀ ℕ

Context: h : ∀ (n_1 : σ →₀ ℕ), (coeff R n_1) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R n_1) ((monomial R n) a * φ)

Context: m : σ →₀ ℕ


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring R

Context: m✝ n✝ : σ →₀ ℕ

Context: φ ψ : MvPowerSeries σ R

Context: a : R

Context: n : σ →₀ ℕ

Context: h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a

Context: m : σ →₀ ℕ

(coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) ((monomial R n) a * φ)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a✝ b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < type r, succ a < type r
x : α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h : IsCyclic G
σ : G →* G


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h✝ : IsCyclic G
σ : G →* G
h : G
hG : ∀ (x : G), x ∈ zpowers h


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h✝ : IsCyclic G
σ : G →* G
h : G
hG : ∀ (x : G), x ∈ zpowers h
m : ℤ
hm : (fun x => h ^ x) m = σ h
n : ℤ

σ ((fun x => h ^ x) n) = (fun x => h ^ x) n ^ m


Context:
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: h : ∀ (b : Ultrafilter α), ∃ c, Tendsto f (comap pure (𝓝 b)) (𝓝 c)


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: x✝ : TopologicalSpace α := ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε


Context:
a b : ℝ
h : b ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
i : α
his : i ∈ s
hi : y < i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
a : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π

dist a p * dist b p = dist c p * dist d p


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝¹ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
left✝ : k₂ < 0
hcd : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.284157, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: n : ℤ

(snd φ).v n n ⋯ ≫ ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).f + ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).g ≫ (-(inl φ).v (n + 1) n ⋯) = 𝟙 ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).X₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C

(F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) = (F.map (f ▷ n)).app X ≫ (F.μIso m' n).inv.app X


(F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ inv ((F.μIso m' n).inv.app X) = inv ((F.μIso m n).inv.app X) ≫ (F.map (f ▷ n)).app X


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E

IsExtreme 𝕜 A {x} ↔ x ∈ extremePoints 𝕜 A


x ∈ extremePoints 𝕜 A → IsExtreme 𝕜 A {x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: A B C : Set E

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ A

Context: hAx : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: A B C : Set E

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ A

∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ {x} → x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ ∈ {x} ∧ x₂ ∈ {x}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ✝ μ : Measure α
x✝¹ : Set α
x✝ : MeasurableSet x✝¹
h0 : μ x✝¹ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
c : F

HasDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s

(insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
Ixx : α → α → Set α

Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) (𝓟 s ×ˢ 𝓟 s) (𝓟 t).smallSets ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, Ixx x y ⊆ t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
k : α
n : ℤ
x a a' : α
h : k + a = a'


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)

Context: hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)

Context: h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)

Context: hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)

(∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n

Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝ : Fintype m


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : StrongRankCondition R

Context: inst✝³ : Module.Free R M

Context: inst✝² : Module.Free R M'

Context: m : Type v

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: val✝¹ : Fintype m

Context: val✝ : Fintype n

Context: h : lift.{max (max u v) w, max v w} #(m × n) = lift.{max v w, max (max u v) w} (Module.rank R (Matrix m n R))


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : StrongRankCondition R

Context: inst✝³ : Module.Free R M

Context: inst✝² : Module.Free R M'

Context: m : Type v

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: val✝¹ : Fintype m

Context: val✝ : Fintype n

Context: h : lift.{max v w u, max v w} #(m × n) = Module.rank R (Matrix m n R)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ

StrongConcaveOn s m f ↔ ConcaveOn ℝ s fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝³ y✝ : E
f : E → ℝ
x✝² : Convex ℝ s
x : E
x✝¹ : x ∈ s
y : E
x✝ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • f x + b • f y + a * b * (fun r => m / 2 * r ^ 2) ‖x - y‖ ≤ f (a • x + b • y) ↔ a • (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) x + b • (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) y ≤ (fun x => f x + m / 2 * ‖x‖ ^ 2) (a • x + b • y)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : CommRing R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: L : List (List R)

Context: HL : ∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1

Context: hx : (List.map List.prod L).sum ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: ih : (∀ t ∈ tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) → C (List.map List.prod tl).sum

Context: HL : ∀ t ∈ hd :: tl, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: HL : (∀ y ∈ hd, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ y ∈ x, y ∈ s ∨ y = -1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)