Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ⋯ ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

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(tensorRight P.X ⋙ tensorRight Q.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ ((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = (tensorRight P.X ⋙ tensorRight Q.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ ((((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ▷ Q.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

((((α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ▷ Q.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫ ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

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Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫ ((α_ M.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Y.X Q.X).hom ≫ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

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(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ ((((α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Y.X Q.X).hom ≫ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ◁ Q.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Y.X Q.X).hom ≫ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ▷ Q.X ≫ M.X ◁ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫ (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

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Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

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Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = ((((α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ (P.X ⊗ Q.X)) ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (((M.X ⊗ N.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫ (α_ M.X (N.X ⊗ P.X) Q.X).hom ≫ (M.X ◁ (α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) WalkingParallelPair.one = (α_ (M.X ⊗ N.X) P.X Q.X).hom ≫ (((α_ M.X N.X (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft)) ((α_ M.X W.X (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X) ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))


Context: θ : ℂ

cos θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: a : α

Context: inst✝ : Finite ↑(orbit G a)

Context: ϕ : ↑(orbit G a) ≃ G ⧸ stabilizer G a := orbitEquivQuotientStabilizer G a


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: a : α

Context: inst✝ : Finite ↑(orbit G a)

Context: this : Finite (G ⧸ stabilizer G a)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: a : α

Context: inst✝ : Finite ↑(orbit G a)

Context: this✝ : Finite (G ⧸ stabilizer G a)

Context: this : (stabilizer G a).FiniteIndex


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: a : α

Context: inst✝ : Finite ↑(orbit G a)

Context: this✝ : Finite (G ⧸ stabilizer G a)

Context: this : (stabilizer G a).FiniteIndex

∃ n, Nat.card (G ⧸ stabilizer G a) = p ^ n


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)

Context: neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)

Context: mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ closure s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p ⟨x + y, x_1⟩


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s

∀ (x : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : -x ∈ closure s), p ⟨-x, x_1⟩


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ closure s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p ⟨x * y, x_1⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
π : β → Type u_2
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → EDist (π b)
f g : (b : β) → π b
d : ℝ≥0∞

(∀ b ∈ Finset.univ, edist (f b) (g b) ≤ d) ↔ ∀ (b : β), edist (f b) (g b) ≤ d


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ

c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


(if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.lt ↔ a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

StrictMono (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictMono f


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)


Context:
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f

colimit.ι (parallelPair f 0) zero ≫ cokernel.desc f g h = 0


((parallelPair f 0).map WalkingParallelPairHom.left ≫ colimit.ι (parallelPair f 0) one) ≫ cokernel.desc f g h = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

(map f s).SOppSide (f x) (f y) ↔ s.SOppSide x y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: u v w : m → α

Context: i : m

Context: this : ∀ (j : m), j ≠ i → diagonal v i j * w j = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

(𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s


(⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : MonoidAlgebra k G → Prop

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)

Context: hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)

Context: hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : MonoidAlgebra k G → Prop

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : MonoidAlgebra k G → Prop

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)

Context: g : G

Context: r : k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖


a • a⁻¹ • s ⊆ a • t


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: inhabited_h : Inhabited ι


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: inhabited_h : Inhabited ι

f (Pi.single default 0) = g (Pi.single default 0)


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
P : F[X]


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m


Context:
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
H1 : n ≤ m
H2 : m ≤ n + 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α

∏ i ∈ s, (1 - f i) = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)


∏ i ∈ s, 1 - ∑ i ∈ s, (f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, 1 = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
h : ‖x‖ = ‖0‖


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥


∀ (z : ℝ), ↑z < ⊤ → ↑z ≤ liminf (u + v) f


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x : ℝ


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq M

Context: inst✝³ : Zero M

Context: inst✝² : DecidableEq P

Context: inst✝¹ : Zero P

Context: inst✝ : Zero N

Context: F : M → N → P

Context: F0 : F 0 0 = 0

Context: f₁ f₂ : α →₀ M

Context: g : α →₀ N

Context: hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun f => F f g

Context: a✝ : α

a✝ ∈ (zipWith F F0 f₁ g).neLocus (zipWith F F0 f₂ g) ↔ a✝ ∈ f₁.neLocus f₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos = 2 * s.radius


Context:
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑x = ↑y
hl : x.natAbs ≤ n / 2


Context:
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑n ∣ y - x
hl : x.natAbs ≤ n / 2


Context:
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y - x = ↑n * m


Context:
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y = ↑n * m + x


Context:
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ


Context:
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2


Context:
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0


n / 2 + x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs + x.natAbs


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
y : R[X]

y ∈ RingHom.ker (evalRingHom x) ↔ y ∈ Ideal.span {X - C x}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

(aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)


(eval₂Hom (algebraMap R B) (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (eval₂Hom (algebraMap R B) fun i => (algebraMap A B) (x i)) p


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G

Differentiable 𝕜 (f ∘ ⇑iso) ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M

filter p f = f ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 0 → p x


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
x : α
s : Set α

s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S

Context: α : Type u

Context: f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})

Context: x : α


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})

Context: x : α

S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (f ((↾fun x_1 => x) (Classical.choose ⋯))) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤

Context: hG : CompleteSpace G

∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

HasFiniteIntegral (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → α → G

Context: hG : CompleteSpace G

∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => f n a) (∑' (i : ι), f i a)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
x✝ : ∃ g, ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
x : α
hx : x ∈ s
g : ↑s → ↑t
hg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : LinearOrder M
s : Set α
f : α → M
a : α

s.indicator f a ≤ {a | 0 ≤ f a}.indicator f a


Context:
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤


Context:
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x + 1 ≤ y


Context:
y : PartENat
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ y


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ ⊤


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n


Context:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ


Context:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0


Context:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList


Context:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList


Context:
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R S✝
inst✝ : IsLocalization M S✝
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R

I = ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I)


I ≤ ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I)


⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I) ≤ I


Context: a : UnitAddCircle

{ f := ofReal' ∘ evenKernel (-a), g := ofReal' ∘ cosKernel (-a), k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if -a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel a, g := ofReal' ∘ cosKernel a, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S✝

Context: inst✝ : Ring T

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R

Context: U : Subring R := Subring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S✝

Context: inst✝ : Ring T

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: x y : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Small.{v, u} R

Context: H : ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)

Context: N' N'' : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup N'

Context: x✝² : AddCommGroup N''

Context: x✝¹ : Module R N'

Context: x✝ : Module R N''

Context: L : N' →ₗ[R] N''

Context: hL : Function.Injective ⇑L

Context: x : N' ⊗[R] M

Context: hx : (rTensor M L) x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => x * c) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g

Context: hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g

Context: hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g

Context: hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g

∫⁻ (a : α) in s, ↑‖g a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

Context: g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

Context: hg_meas : StronglyMeasurable g

∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, ↑↑f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
g : β → γ
K : ℝ≥0
h : Isometry g

LipschitzWith K (g ∘ f) ↔ LipschitzWith K f


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : ⟨p, hpp⟩ < ⟨P, ⋯⟩


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: R : Type u_4

Context: Rₘ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra R Rₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M Rₘ

Context: hM : M ≤ R⁰

Context: h : DimensionLEOne R

Context: p : Ideal Rₘ

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: hpp : p.IsPrime

Context: P : Ideal Rₘ

Context: hpP : p < P

Context: hPm : P.IsMaximal

Context: hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: R : Type u_4

Context: Rₘ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra R Rₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M Rₘ

Context: hM : M ≤ R⁰

Context: h : DimensionLEOne R

Context: p : Ideal Rₘ

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: hpp : p.IsPrime

Context: P : Ideal Rₘ

Context: hpP : p < P

Context: hPm : P.IsMaximal

Context: this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: R : Type u_4

Context: Rₘ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra R Rₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M Rₘ

Context: hM : M ≤ R⁰

Context: h : DimensionLEOne R

Context: p : Ideal Rₘ

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: hpp : p.IsPrime

Context: P : Ideal Rₘ

Context: hpP : p < P

Context: hPm : P.IsMaximal

Context: this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime

Context: this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: R : Type u_4

Context: Rₘ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra R Rₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M Rₘ

Context: hM : M ≤ R⁰

Context: h : DimensionLEOne R

Context: p : Ideal Rₘ

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: hpp : p.IsPrime

Context: P : Ideal Rₘ

Context: hpP : p < P

Context: hPm : P.IsMaximal

Context: hlt : Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: R : Type u_4

Context: Rₘ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra R Rₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M Rₘ

Context: hM : M ≤ R⁰

Context: h : DimensionLEOne R

Context: p : Ideal Rₘ

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: hpp : p.IsPrime

Context: P : Ideal Rₘ

Context: hpP : p < P

Context: hPm : P.IsMaximal


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
p q : I


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.24327, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.24334, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.24341, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.24334, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.24341, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s

s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫_ℝ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x y : K_hat R K

Context: hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite

Context: hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite

{x_1 | (x * y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: x y : K_hat R K

Context: h_subset : {v | (x * y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : K.HasHomology k


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖

Context: hE : CompleteSpace E

HasSum (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x) (∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hE : CompleteSpace E

∀ (n : ι), ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → ‖(f n) t‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hE : CompleteSpace E

∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hE : CompleteSpace E

IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ι), ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖) volume a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hE : CompleteSpace E

∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → HasSum (fun n => (f n) t) (∑' (i : ι), (f i) t)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ

(map f s.val).esymm n = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f


(map ((fun x => x.prod) ∘ (fun x => map f x) ∘ Finset.val) (Finset.powersetCard n s).val).sum = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t✝ : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α
h : (∀ (x : α), p x) → b
h' : ∀ (x : α), ¬(p x → b)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
t : M ⊗[R] (ι →₀ R)
i : ι

((finsuppScalarRight R M ι) t) i = (TensorProduct.rid R M) ((lTensor M (Finsupp.lapply i)) t)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

(mk W) (W.Ψ n) ^ 2 = (mk W) (C (W.ΨSq n))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
f : M →ₗ[R] α → R
s : Surjective ⇑f

f ∘ₗ f.splittingOfFunOnFintypeSurjective s = id


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
K : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝³ : CommRing S✝
i : R →+* S✝
a : S✝
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝² : Algebra R S✝
hfx : (aeval a) f✝ = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S

(algebraMap R S) r * f (root (C r * X - 1)) = 1


(algebraMap R S) r * g (root (C r * X - 1)) = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : β → Option (α × β)

Context: b : β

Context: h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1

Context: a : α

Context: b' : β

Context: h : f b = some (a, b')

tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩ = ⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : β → Option (α × β)

Context: b : β

Context: a : α

Context: b' : β

Context: h : f b = some (a, b')

↑(tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩) = ↑⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : β → Option (α × β)

Context: b : β

Context: a : α

Context: b' : β

Context: h : f b = some (a, b')

(corec' (Corec.f f) (some b)).tail = corec' (Corec.f f) (some b')


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : β → Option (α × β)

Context: b : β

Context: a : α

Context: b' : β

Context: h : f b = some (a, b')

corec' (Corec.f f) (Corec.f f (some b)).2 = corec' (Corec.f f) (some b')


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : 𝕎 (ZMod p)

((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) x = (RingHom.id (𝕎 (ZMod p))) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
x : 𝕎 R

(ghostComponent n) x.frobeniusFun = (ghostComponent (n + 1)) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜