Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hn : n ≠ 0

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : n ≠ 0

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: hn' : 0 < ↑n


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : n ≠ 0

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: hn' : 0 < ↑n

Context: this : f ↑n + x * log ↑n = (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ

J ^ n ⊔ I = J ^ min (count J (normalizedFactors I)) n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: x : α × α

Context: this : s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card

s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: x : α × α

Context: this : s.card + s.offDiag.card = s.card * s.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card


(filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s)).card + (filter (fun a => a.1 ≠ a.2) (s ×ˢ s)).card = (s ×ˢ s).card


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X

orbit G a = orbit G b ∨ Disjoint (orbit G a) (orbit G b)


¬Disjoint (orbit G a) (orbit G b) → orbit G a = orbit G b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R

(α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y


(α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y


∀ (x : ↑X) (y : ↑Y) (z : ↑Z), ((α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = ((α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x p = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R

(eval x) (Polynomial.eval q ((finSuccEquiv R n) f)) = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f


eval₂ ((eval x).comp ((Polynomial.evalRingHom q).comp (Polynomial.C.comp C))) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f


eval₂ (RingHom.id R) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f


(eval fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f


(fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) = fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
i : Fin (n + 1)

(eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) i)) = Fin.cases ((eval x) q) x i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C S0

Context: H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C S0

Context: this : Finite ↑S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C S0

Context: this✝ : Finite ↑S

Context: this : Finite { T // T ⊆ S }


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩

Context: this✝ : Finite ↑S

Context: this : Finite { T // T ⊆ S }


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩

Context: this✝ : Finite ↑S

Context: this : Finite { T // T ⊆ S }

Context: s : { x // x ⊆ S }

Context: hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩

Context: hs' : C ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: S0 : Set α

Context: hS0 : S0 ⊆ S

Context: H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩

Context: this✝ : Finite ↑S

Context: this : Finite { T // T ⊆ S }

Context: s : { x // x ⊆ S }

Context: hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩

Context: hs' : C ↑s

Context: a : α

Context: ha' : C (insert a ↑s)

Context: ha1 : a ∈ S

Context: ha2 : a ∉ ↑s


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
m✝ : L'

m✝ ∈ f.idealRange ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤


m✝ ∈ LieSubmodule.lieSpan R L' ↑(LieSubalgebra.map f ⊤) ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: s : Finset ι

Context: h : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

Context: p : Submodule R M

Context: hp : p = ⨆ i ∈ s, N i

Context: hp' : optParam (MapsTo ⇑f ↑p ↑p) ⋯

(trace R ↥p) (restrict f hp') = ∑ i ∈ s, (trace R ↥(N i)) (restrict f ⋯)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: ι : Sort u_3

Context: I J B : Set α

Context: f x y : α

Context: hI : M.Indep I

Context: F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: ι : Sort u_3

Context: I J B : Set α

Context: f x y : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIF : M.Basis I F


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: ι : Sort u_3

Context: I J B : Set α

Context: f x y : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIF : M.Basis I F

Context: hF : M.Flat F


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Matroid α

Context: F✝ X Y : Set α

Context: e : α

Context: ι : Sort u_3

Context: I J B : Set α

Context: f x y : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIF : M.Basis I F

Context: hF : M.Flat F

∀ t' ∈ {F | M.Flat F ∧ I ∩ M.E ⊆ F}, F ⊆ t'


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜

𝓤 (Matrix m n 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)


⨅ i, Filter.comap (fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 (n → 𝕜)) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)


⨅ i, ⨅ i_1, Filter.comap ((fun a => (a.1 i_1, a.2 i_1)) ∘ fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0


(∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a

Context: p : α

Context: hp0 : ¬p = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: h : Irreducible p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: h : Irreducible p

Context: f : Multiset α

Context: hf : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: h : Irreducible p

Context: q : α

Context: hq : p ~ᵤ q

Context: hf : (∀ b ∈ {q}, Prime b) ∧ {q}.prod ~ᵤ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: h : Irreducible p

Context: q : α

Context: hq : p ~ᵤ q


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
h : Memℒp f 2 μ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R

Context: h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n : ℕ

∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

(bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

∀ (x : Fin 2 × ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

(MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

Context: h : (ghostComponent k) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })) = (ghostComponent k) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) }))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

Context: h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k)) = ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k))


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: R✝ : Type u

Context: _Rcr✝ : CommRing R✝

Context: x✝ y✝ : 𝕎 R✝

Context: n k : ℕ

Context: x : Fin 2 × ℕ → ℤ

(eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)


Context:
x : ℝ
n : ℕ

sin (π / 2 ^ (n + 2)) ^ 2 = 1 / 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4


Context:
x : ℝ
n : ℕ

1 - 2 / 2 ^ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 2 ^ 2 = 1 / 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)

Tendsto f fi (𝓝 f_lim) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Tendsto (fun b => dist (f b) f_lim) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Tendsto (fun b => (eLpNorm (↑↑(f b) - ↑↑f_lim) p μ).toReal) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ

(toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)


Context:
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x ∈ range a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m


Context:
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x < a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m


Context:
a : ℕ
m : Multiset ℕ
c : ℕ
left✝ : c ∈ m
hxa : a + c < a
hxb : a + c ∈ map (fun x => a + x) m


Context:
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g


ker (lTensor Q g) = ker (lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g)


ker (lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g) = ker (lTensor Q g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: k : ℕ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

𝟙 X ∣_ U = 𝟙 ↑(𝟙 X ⁻¹ᵁ U)


Context:
x y : ℝ
hx : x < -1


Context:
x y : ℝ
hx : x < -1
this : 1 < -x


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : p ∈ x.lifts
a : R

List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p ∈ (a • x).lifts


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: x : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

Context: h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x

Context: a : R

(List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p)).sum = a • x


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: x : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

Context: a : R

(List.map ((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: x : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

Context: a : R

Context: x✝ : R × ((i : ι) → s i)

((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x✝ = ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) x✝


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : Kˣ
h : a ∈ A.principalUnitGroup


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i✝ : ι

Context: a✝ : β i✝

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: h : a ≤ b

Context: hne : ¬toLex a = toLex b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}

Context: hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i

Context: j : ι

Context: hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i✝ : ι

Context: a✝ : β i✝

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: h : a ≤ b

Context: hne : ¬toLex a = toLex b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}

Context: j : ι

Context: hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i

Context: hl : toLex a j ≠ toLex b j


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β✝
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : MeasurableSet s

t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

Context: this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g) μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

f * g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n ≤ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite

s.encard ≤ t.encard ↔ (s \ t).encard ≤ (t \ s).encard


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

P.p.f i ≫ P.p.f i ≫ P.X.d i j = P.X.d i j ≫ P.p.f j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P Q : Karoubi (HomologicalComplex C c)
φ : P ⟶ Q
i✝ : ι

φ.f.f i✝ ≫ Q.p.f i✝ = P.p.f i✝ ≫ φ.f.f i✝


P.p.f i ≫ P.X.d i j = (P.p.f i ≫ P.X.d i j) ≫ P.p.f j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
x✝ : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i✝ : ι


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ 1} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length

(List.map sum (a.blocks.splitWrtComposition b)).length = b.blocks.length


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n

(fromBlocks M₁₁ M₁₂ 0 M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent k p

Context: x✝ : ↑(Set.range p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
W : Set γ
f : α × β → γ

s ×ˢ t ⊆ f ⁻¹' W ↔ ∀ (a : α) (b : β), a ∈ s → b ∈ t → f (a, b) ∈ W


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

Context: S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

∃ U, U * U = U ∧ ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP a


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

Context: h : ∃ m ∈ S, m * m = m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

∀ (r : Ultrafilter M), Continuous fun x => x * r


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

(uniqueBaseOn I E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E


(uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B✝ I✝ X R J I E B : Set α
hB : B ⊆ E

(uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶.Base B ↔ (uniqueBaseOn (E \ I) E).Base B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : Filter α

f.smallSets = generate (powerset '' f.sets)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
x : E


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ l, (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) l = 1

Context: n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: this : (∑ i ∈ f.support, f i * ↑i) ^ (f.support.card * n + 1) ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

(fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support ⊆ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: a✝ : α

Context: hx : a✝ ∈ (fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support

a✝ ∈ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: a✝ : α

Context: hx : ∃ x ∈ ↑f.support, (f x * ↑x) ^ (n + 1) = a✝


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: x : ↑s

Context: left✝ : x ∈ ↑f.support


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

Context: this✝ : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)

Context: x : ↑s

Context: left✝ : x ∈ ↑f.support

Context: this : span {↑x ^ (n + 1)} ≤ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

(inducedOuterMeasure m P0 m0) s = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

(inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≤ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f x + r) a = cfc f a + (algebraMap R A) r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f x + r) a = (algebraMap R A) r + cfc f a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this : Algebra B C := (↑f).toAlgebra


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this✝ : Algebra B C := (↑f).toAlgebra
this : IsCyclotomicExtension {1} B C


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
C : Type u_1
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
h : IsCyclotomicExtension S A B
f : B ≃ₐ[A] C
this✝¹ : Algebra B C := (↑f).toAlgebra
this✝ : IsCyclotomicExtension {1} B C
this : IsScalarTower A B C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.48727, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.48731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain G K d
he : 0 + d = e


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.48731, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d : ℤ
γ : Cochain G K d
he : 0 + d = d

(Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((snd φ).comp γ he) ⋯ = γ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝¹ : Set α

Context: v₁ : Trunc ↑s✝¹

Context: s✝ : Set α

Context: v₂ : Trunc ↑s✝

Context: h : { s := s✝¹, val := v₁ }.s = { s := s✝, val := v₂ }.s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h : ¬Pairwise (Disjoint on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
h✝ : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
i : ι
_hi : i ∈ univ
j : ι
_hj : j ∈ univ
h : i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a : α
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
a a₁ a₂ : α
inst✝ : SMulPosReflectLT α β

(algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ < a₂


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
this✝ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)
this : Finite R (N ⧸ torsion R N)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: this✝ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

Context: this : Finite R (N ⧸ torsion R N)

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: h : ↥(torsion R N) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ span R {p i ^ e i}


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: this✝ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

Context: this : Finite R (N ⧸ torsion R N)

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: n : ℕ

Context: g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: this✝¹ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

Context: this✝ : Finite R (N ⧸ torsion R N)

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: n : ℕ

Context: g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R

Context: this : Projective R (N ⧸ torsion R N)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: this✝¹ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

Context: this✝ : Finite R (N ⧸ torsion R N)

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: n : ℕ

Context: g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R

Context: this : Projective R (N ⧸ torsion R N)

Context: f : N ⧸ torsion R N →ₗ[R] N

Context: hf : (torsion R N).mkQ ∘ₗ f = LinearMap.id


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: this✝¹ : IsNoetherian R ↥(torsion R N)

Context: this✝ : Finite R (N ⧸ torsion R N)

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: n : ℕ

Context: g : (N ⧸ torsion R N) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R

Context: this : Projective R (N ⧸ torsion R N)

Context: f : N ⧸ torsion R N →ₗ[R] N

LinearMap.range (torsion R N).subtype = LinearMap.ker (torsion R N).mkQ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E

∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ C * M


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: v : Basis ι 𝕜 E

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : C > 0

Context: h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Unique αˣ
x✝¹ x✝ : α

x✝¹ ~ᵤ x✝ ↔ x✝¹ = x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
h : IsLinearMap 𝕜 f
r : β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

dist (indicatorConstLp p hs hμs c) (indicatorConstLp p ht hμt c) = ‖indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c‖


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : SimplicialObject C
n : ℕ


∑ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, ((-1) ^ ↑x.2 • X.δ x.2) ≫ ((-1) ^ ↑x.1 • X.δ x.1) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)

Context: S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)

Context: φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)

∀ (a₁ : P) (ha₁ : a₁ ∈ S) (a₂ : P) (ha₂ : a₂ ∈ S), φ a₁ ha₁ = φ a₂ ha₂ → a₁ = a₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)

∀ b ∈ Sᶜ, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ S), φ a ha = b


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π

InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

Context: left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r < 0

Context: hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

Context: left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r < 0

Context: hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)

InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
n : Γ

((ofPowerSeries Γ R) PowerSeries.X).coeff n = ((single 1) 1).coeff n


(embDomain { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ } (toPowerSeries.symm PowerSeries.X)).coeff n = if n = 1 then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u s : Set α

generateFrom {s} = MeasurableSpace.comap (fun x => x ∈ s) ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ

⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = ⨍ (x : ℝ) in b..a, f x


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

(exp' x).lim = (fun x => ∑' (n : ℕ), x ^ n / ↑n !) x


Context:
x : ℂ
this : CauSeq.IsComplete ℂ norm


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : α
y : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain


y = ↑f ⟨x, hx⟩ ↔ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : ↑⟨x', hx'⟩ = (x, y).1
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = (x, y).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
hx : x ∈ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
h1 : x' = x
h2 : ↑f ⟨x', hx'⟩ = y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl

IsNilpotent x ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)


(∀ (J : Ideal (Localization I.primeCompl)), J.IsPrime → x ∈ J) ↔ x ∈ LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

AntitoneOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ AntitoneOn f s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → α → E

Context: p : Filter ι

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: Ffs : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => F i x) p (𝓝 (f x))

Context: v : ℝ≥0∞

Context: hv : v < eVariationOn f s

∀ᶠ (n : ι) in p, v < eVariationOn (F n) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → α → E

Context: p : Filter ι

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: v : ℝ≥0∞

Context: hv : v < eVariationOn f s

Context: n : ℕ

Context: u : ℕ → α

Context: um : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: hlt : v < ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: F : ι → α → E

Context: p : Filter ι

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: v : ℝ≥0∞

Context: hv : v < eVariationOn f s

Context: n : ℕ

Context: u : ℕ → α

Context: um : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: this : Tendsto (fun j => ∑ i ∈ Finset.range n, edist (F j (u (i + 1))) (F j (u i))) p (𝓝 (∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i))))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β

UniformInducing f ↔ UniformSpace.comap f inst✝¹ = inst✝²


(∀ (s : Set (α × α)), s ∈ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ↔ s ∈ 𝓤 α) ↔ ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ 𝓤 α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic

∃ q, map f q = p ∧ q.natDegree = p.natDegree ∧ q.Monic


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Subsingleton S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial S
p' : R[X]
h₁ : map f p' = p
h₂ : p'.degree = p.degree
h₃ : p'.Monic


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

term (f + g) s n = term f s n + term g s n


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: inst✝³ : Preorder M

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : β → M

Context: hf : Monotone f


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: inst✝³ : Preorder M

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f : β → M

Context: hf : Monotone f

Context: n : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
h : IsEmpty X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
h : Nonempty X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝ : ReflectsLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s

Context: h : IsSheaf J (P ⋙ s)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A ⥤ B

Context: h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit ((P ⋙ s).mapCone S.arrows.cocone.op))

∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op))


Context:
α : Type u_1
xs ys : List α
p : α → Bool

findIdx? p (xs ++ ys) = HOrElse.hOrElse (findIdx? p xs) fun x => Option.map (fun i => i + xs.length) (findIdx? p ys)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
a : ℤ

↑p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValInt p a


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x y : α
u : Fin 0 → α

Set.range (vecCons x (vecCons y u)) = {x, y}


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R

[].prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree []).sum


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
ps : List (MvPolynomial σ R)

(p :: ps).prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree (p :: ps)).sum


(p * ps.prod).totalDegree ≤ p.totalDegree + (List.map totalDegree ps).sum


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j k : D.J

D.t' i j k ≫ (pullbackSymmetry (D.f j k) (D.f j i)).hom ≫ D.t' j i k ≫ (pullbackSymmetry (D.f i k) (D.f i j)).hom = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i k))


(D.t' i j k ≫ (pullbackSymmetry (D.f j k) (D.f j i)).hom ≫ D.t' j i k ≫ (pullbackSymmetry (D.f i k) (D.f i j)).hom) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i k) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i k)) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)


Context: m : ℕ

↑(m + 1).toPNat' = if 0 < m + 1 then m + 1 else 1


Context: m : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) (↑x I) = (colimMap (J.diagramPullback P I.f) ≫ colimit.pre (J.diagram P I.Y) (J.pullback I.f).op) ((colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) (↑x I) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S) ≫ colimMap (J.diagramPullback P I.f) ≫ colimit.pre (J.diagram P I.Y) (J.pullback I.f).op) ((Meq.equiv P S).symm x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) ((J.pullback I.f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

Context: e : (J.pullback I.f).obj (unop (op S)) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

((J.diagram P I.Y).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))) (((J.diagram P I.Y).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I))) = (colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback I.f).obj S))) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

((J.diagram P I.Y).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I)) = ((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

∀ (t : ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P).L), (Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P) t) (((J.diagram P I.Y).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I))) = (Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P) t) (((J.diagramPullback P I.f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

Context: i : ((unop (op ((J.pullback I.f).obj (unop (op S))))).index P).L

(Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I_1.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯) (↑x I))) = (Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (S.index P) I_1.base) ⋯) ((Meq.equiv P S).symm x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op I.Y)) (fun I_1 => P.map I_1.f.op) ⋯ ≫ Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I_1.map e)) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) (↑x I) = (Multiequalizer.lift ((S.pullback I.f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I_1 => Multiequalizer.ι (S.index P) I_1.base) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((S.pullback I.f).index P) i) ((Meq.equiv P S).symm x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) (↑x I) = (Multiequalizer.ι (S.index P) (Cover.Arrow.base i)) ((Meq.equiv P S).symm x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: I : S.Arrow

(P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) (↑x I) = ↑x (Cover.Arrow.base i)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hε : {y | ‖y‖ < ε} ⊆ ⇑q ⁻¹' Iio 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : Seminorm 𝕜 F
hq : Continuous ⇑q
hq' : Tendsto (⇑q) (𝓝 0) (𝓝 0)
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hε : {y | ‖y‖ < ε} ⊆ ⇑q ⁻¹' Iio 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : LinearOrder E
f : X → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ

∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ

∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: B : NullMeasurableSet {x | f x = 0} μ

∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict {x | f x = 0}, f x = 0


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
a✝ : α
f✝ : β a✝ → WType β


Context:
P : PFunctor.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : ↑P α
a : P.A
f₀ f₁ : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f₀⟩
yeq : y = ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : P.B a), r (f₀ i) (f₁ i)


(fun t => (↑t).1) <$> ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun t => (↑t).2) <$> ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), ⋯⟩⟩ = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
r : 𝕜
h₁ : 0 ≤ r
h₂ : r < 1
hr : 0 = r

Tendsto (fun n => r ^ (n + 1)) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)


Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: β : Type u

Context: B : β → PSet

Context: H : (mk α A).Equiv (mk β B)

Context: γ : Type u

Context: C : γ → PSet

Context: b : (mk β B).Type

Context: hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)

Context: a : (mk α A).Type

Context: ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)


Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: β : Type u

Context: B : β → PSet

Context: H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)

Context: γ : Type u

Context: C : γ → PSet

Context: b : (mk β B).Type

Context: hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)

Context: a : (mk α A).Type

Context: H : ((mk α A).Func a).Equiv (mk γ C)


Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: β : Type u

Context: B : β → PSet

Context: H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)

Context: γ : Type u

Context: C : γ → PSet

Context: b : (mk β B).Type

Context: hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)

Context: a : (mk α A).Type

Context: H : (A a).Equiv (mk γ C)


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
f : α →ᵇ β
M : ℝ


dist f 0 ≤ M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 ≤ M


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
H : f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x₁ x₂ : M

Context: y₁ y₂ : ↥S

Context: H : f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : Semiring S✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₁
inst✝¹² : AddCommMonoid N₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module S✝ M₃
σ : R✝ →+* S✝
fₗ gₗ : M →ₗ[R✝] M₂
f✝ g : M →ₛₗ[σ] M₃
R : Type u_17
S : Type u_18
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : SMul R M
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : SMul R M₂
inst✝³ : Module S M₂
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : CompatibleSMul M M₂ R S
inst✝ : IsScalarTower R S M₂
f : M →ₗ[S] M₂
hf : Injective ⇑f
r : R
s : S
x✝ : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

Context: this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ

‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

Integrable (↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

Context: h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty

IsGreatest (↑(insert a s)) (max (s.max' H) a)


IsGreatest (insert a ↑s) (max a (s.max' H))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hne : a ≠ b


Context:
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
u : αˣ


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x z : ℂ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

setToFun μ T hT (f - g) = setToFun μ T hT f - setToFun μ T hT g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : MetricSpace Q
inst✝² : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : NormedSpace ℝ W
p₁ p₂ p₃ p₄ : V

dist (midpoint ℝ p₁ p₂) (midpoint ℝ p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / 2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i j : ι
hi : e.f i = i'
hj : e.f j = j'

(K.extend e).d i' j' = (K.extendXIso e hi).hom ≫ K.d i j ≫ (K.extendXIso e hj).inv


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0

LinearMap.range g.toLinearPMap.toFun = map (LinearMap.snd R E F) g


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).b₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hf_sum : Summable fun a => f a ^ p
hg_sum : Summable fun a => g a ^ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
s : Set α
f : α → M

(s ∩ mulSupport f).mulIndicator f = s.mulIndicator f


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Bool
b : Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h : a ~ᵤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h✝ : a ~ᵤ 0
u : αˣ
h : 0 * ↑u = a


Context:
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
h : m < n + 1

foldl.loop (n + 1) f x m = foldl.loop n (fun x i => f x i.succ) (f x ⟨m, h⟩) m


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ

∫ (v : ι → ℝ), cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp ((∑ i : ι, c i ^ 2) / (4 * b))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w

Context: this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w

Context: this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0

Context: h₁ : 0 ≤ ↑s v


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w

Context: this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0

Context: h₁ : 0 ≤ ↑s v

Context: h₂ : 0 ≤ ↑s (w \ v)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hy : y ≤ x
h : x \ y = z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t

t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ = s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖

k • p.closedBall 0 r = p.closedBall 0 (‖k‖ * r)


p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.closedBall 0 r


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E

x ∈ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) → x ∈ k • p.closedBall 0 r


p x ≤ ‖k‖ * r → ∃ y ∈ p.closedBall 0 r, k • y = x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) (f + g)) x✝ = ((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) f + (fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) g) x✝


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : 𝕜

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • f)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

Context: x : (i : ι) → E i

‖(lift.symm ↑l) x‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

Context: x : (i : ι) → E i

‖l ((tprod 𝕜) x)‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

Context: x : (i : ι) → E i


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : (i : ι) → E i

((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) ({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) x = f x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

{ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l) = l


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l)) = ↑l


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

(↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l))).compMultilinearMap (tprod 𝕜) = (↑l).compMultilinearMap (tprod 𝕜)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F

Context: m : (i : ι) → E i

((↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) m = ((↑l).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k V

Context: p : ι → P

Context: a✝ : Nontrivial ι

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hi : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p default


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k V

Context: p : ι → P

Context: a✝ : Nontrivial ι

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: this : IsNoetherian k V := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E

∀ᵐ (x : E) ∂μ, lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) = ∑ i ∈ s, a i • lineDeriv ℝ f x (v i)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g

∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), g x • ∑ i ∈ s, (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x ∂μ


∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

Context: A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a_1 : E), g a_1 • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) a_1 ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) * g x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (v i) * g x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

∫ (x : E), (∑ i ∈ s, a i * (fderiv ℝ g x) (v i)) * f x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), (fderiv ℝ g x) (v i) * f x ∂μ