Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v x : ℤ

x ∈ filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ico a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x + v, inj' := ⋯ } (filter (fun x => r ∣ x) (Ico (a - v) (b - v)))


Context: z w : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

UpperSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ UpperSemicontinuousAt f x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: f✝ : α → G

Context: s : Set α

Context: x✝¹ : α

Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ContinuousMul M

Context: inst✝² : Group H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: f : G →* H →* M

Context: hl : ∀ (x : G), Tendsto (⇑(f x)) (𝓝 1) (𝓝 ((f x) 1))

Context: hr : ∀ (y : H), Tendsto (fun x => (f x) y) (𝓝 1) (𝓝 ((f 1) y))

Context: x✝ : G × H

Context: x : G

Context: y : H

Context: hf : Tendsto (fun x => (f x.1) x.2) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f 1) 1))


Context: G : Type w

Context: H✝ : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: f✝ : α → G

Context: s : Set α

Context: x✝¹ : α

Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ContinuousMul M

Context: inst✝² : Group H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: f : G →* H →* M

Context: x✝ : G × H

Context: x : G

Context: y : H


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) a = (f a, 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)

AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ


∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)


∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp g hg) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)


IsClosed {f | (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) f}


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
x : α

(fun x i => ((diagonal α ι).idxFun i).getD x) x = fun x_1 => x


Context:
α : Type u_1
s t✝ t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup

{ val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ t.powerset ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1
hm : p.Monic


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

¬ν ≤ μ ↔ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ν s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ s


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ Ioi a


Context:
x : PartENat
hx : x ≠ ⊤


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α

CauchySeq u ↔ ∀ V ∈ 𝓤 α, ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ N, (u k, u l) ∈ V


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: i : ι

Context: hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂volume.restrict (Ioc a₀ b₀) ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: i : ι

∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀, ‖f x‖ ∂volume ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: i : ι

∀ (a_1 : ℝ), (Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀) a_1 ≤ Ioc (a i) (b i) a_1


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LECmp cmp


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

¬v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: hv_prime : Prime v.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: hv_prime : Prime v.asIdeal

Context: w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ∈ hf.toFinset.erase v

Context: hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: hv_prime : Prime v.asIdeal

Context: w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ∈ hf.toFinset.erase v

Context: hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I

Context: hw_prime : Prime w.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: hv_prime : Prime v.asIdeal

Context: w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ∈ hf.toFinset.erase v

Context: hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I

Context: hw_prime : Prime w.asIdeal

Context: hvw : v.asIdeal ∣ w.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

Context: hv_prime : Prime v.asIdeal

Context: w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ∈ hf.toFinset.erase v

Context: hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I

Context: hw_prime : Prime w.asIdeal

Context: hvw : v.asIdeal = w.asIdeal


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
z : ℤ

x ^ (z % ↑(orderOf x)) = x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x)))


x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x))) = x ^ z


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Add α
a b c d : WithTop α
x y : α


Context:
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S

closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) = closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)


closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) ⊆ closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)


closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ) ⊆ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ))


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂

c.inl x₁ = c.inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


(Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
this : Mono f


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝ : AddTorsor V₂ P₂
E : AffineSubspace k P₁
Ene : Nonempty ↥E
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₁
hx : x ∈ E


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

W'.dblX (u • P) = (u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f✝ f : ι → Set α

(closure (⋃ i, f i))ᶜ = (⋃ i, closure (f i))ᶜ


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b
c : ℝ≥0
ac : a < ↑c
cb : ↑c < b


Context:
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : ↑a < ↑c


Context:
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : a < c


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L

H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L


(H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) * K.relindex L = H.relindex L


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α


a ≤ aᶜ ∧ a ≠ aᶜ ↔ a = ⊥


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0


Context: V : Type u

Context: G✝ : SimpleGraph V

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G✝.Coloring α

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : Finite V

Context: h : G.chromaticNumber = 0

Context: h' : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
h' : G.Colorable (ENat.toNat 0)


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b

Context: h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

Context: hbij : Function.Bijective f'


Context:
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝ : ℕ


Context:
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝¹ x✝ : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: iic : IsIntegrallyClosedIn R A

Context: hRA : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)

integralClosure R A = ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: iic : IsIntegrallyClosedIn R A

integralClosure R A ≤ ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: π : ι ⊕ ι' → Type u_4

Context: t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)

Context: x✝ : ((i : ι) → π (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → π (Sum.inr i'))

x✝ ∈ ⇑(sumPiEquivProdPi π).symm ⁻¹' univ.pi t ↔ x✝ ∈ (univ.pi fun i => t (Sum.inl i)) ×ˢ univ.pi fun i => t (Sum.inr i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: π : ι ⊕ ι' → Type u_4

Context: t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)

(∀ (i : ι ⊕ ι'), Sum.rec x✝.1 x✝.2 i ∈ t i) ↔ (∀ (i : ι), x✝.1 i ∈ t (Sum.inl i)) ∧ ∀ (i : ι'), x✝.2 i ∈ t (Sum.inr i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Finite κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'

(toLin b c') ((toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b) = (toLin b c') ((toMatrix b c') f)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
a : E
b : ℝ
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)


Context:
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (Quiver.Path.reverse p ≫ p) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 Y)


Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (Quiver.Path.reverse p ≫ (Quiver.Path.reverse p).reverse) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 Y)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : Preorder α

Context: le✝ A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

Context: A_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

Context: B_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

Context: B_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

mk le_refl✝¹ le_trans✝¹ A_iff = mk le_refl✝ le_trans✝ B_iff


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : Preorder α

Context: le✝ A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: B_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: this : A_lt = B_lt


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'

((of R).symm (x • (y + z))).coeff k = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : DistribSMul R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y z : HahnModule Γ' R V

Context: k : Γ'

Context: hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : DistribSMul R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y z : HahnModule Γ' R V

Context: k : Γ'

∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hwf k, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y + (of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : DistribSMul R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y z : HahnModule Γ' R V

Context: k : Γ'

((of R).symm (y + z)).support ⊆ ((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²² : Field K

Context: inst✝²¹ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : Field L

Context: inst✝¹⁹ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁶ : Module R V

Context: inst✝¹⁵ : Module K V

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹² : Module R V'

Context: inst✝¹¹ : Module S V'

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁸ : Module R V''

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: hp : p.IsMaximal

Context: inst✝ : IsNoetherian R S

Context: this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p

Context: ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)

Context: b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)

finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²² : Field K

Context: inst✝²¹ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : Field L

Context: inst✝¹⁹ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁶ : Module R V

Context: inst✝¹⁵ : Module K V

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹² : Module R V'

Context: inst✝¹¹ : Module S V'

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁸ : Module R V''

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: hp : p.IsMaximal

Context: inst✝ : IsNoetherian R S

Context: b' : ι → S := fun i => ⋯.choose


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²² : Field K

Context: inst✝²¹ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : Field L

Context: inst✝¹⁹ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁶ : Module R V

Context: inst✝¹⁵ : Module K V

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹² : Module R V'

Context: inst✝¹¹ : Module S V'

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁸ : Module R V''

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: hp : p.IsMaximal

Context: inst✝ : IsNoetherian R S

Context: b' : ι → S := fun i => ⋯.choose

Context: b_eq_b' : ⇑b = ⇑(↑R (Submodule.mkQ (map (algebraMap R S) p))) ∘ b'


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
r : R
u : Rˣ
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
hr : r = ↑u * ϖ ^ n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
h : S.pOpcycles ≫ f₁ = S.pOpcycles ≫ f₂


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

IntegrableOn g (f '' s) μ ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

Integrable (g ∘ s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

Integrable ((g ∘ f) ∘ Subtype.val) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal)) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

Integrable (fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x) (μ.restrict s) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|.toNNReal) (μ.restrict s)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

Context: I' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'

mk I = 1 ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'

(∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * ⊤) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1

Tendsto (fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)


Tendsto ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)


((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) = id


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
x : M

((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) x = id x


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

f ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).1 = g ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).2


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

(pullbackIsoProdSubtype f g).hom x = ⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x) = ↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

(↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).1 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).1


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

(↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).2 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).2


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I' : ClassGroup S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : Ideal S
hI : I ∈ (Ideal S)⁰


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ∈ (Ideal S)⁰

Context: J : ↥(Ideal S)⁰

Context: mk0_eq_mk0 : mk0 ⟨I, hI⟩ = mk0 J

Context: J_dvd : (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ∈ ↑J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

filter p s ∩ filter (fun a => ¬p a) t = ∅


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological

Context: this : F.PreservesZeroMorphisms


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological

Context: this✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this : (L ⋙ F).IsHomological


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological

Context: this✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this : (L ⋙ F).IsHomological

Context: T : Triangle D

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological

Context: this✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this : (L ⋙ F).IsHomological

Context: T : Triangle D

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT : T ∈ L.essImageDistTriang


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁵ : Preadditive C

Context: inst✝¹³ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A

Context: inst✝⁵ : Abelian A

Context: F✝ : C ⥤ A

Context: inst✝⁴ : F✝.IsHomological

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝² : L.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e✝ : L ⋙ F ≅ G

Context: inst✝ : G.IsHomological

Context: this✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this : (L ⋙ F).IsHomological

Context: T : Triangle D

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: T₀ : Triangle C

Context: e : T ≅ L.mapTriangle.obj T₀

Context: hT₀ : T₀ ∈ distinguishedTriangles


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ

(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)


(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card + Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) + Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)


(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card + (G.commonNeighbors v w).toFinset.card = 2 * k


Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ 2 * k


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α


M.Indep I ↔ (I ⊆ M.E → M.Indep I) ∧ I ⊆ M.E


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : a = c * b⁻¹


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
h : MultilinearMap R t E
x✝ : (i : ι) → s i

((lift h ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((lift (h.compLinearMap f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : PredOrder α

Context: a b i : α

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i

Context: hin : ¬IsMax (succ^[n + 1 - 1] i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : PredOrder α

Context: a b i : α

Context: n : ℕ

Context: hin : ¬IsMax (succ^[n] i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : PredOrder α

Context: a b i : α

Context: n : ℕ

Context: hin : ¬IsMax (succ^[n] i)

Context: h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : PredOrder α

Context: a b i : α

Context: n : ℕ

Context: hin : ¬IsMax (succ^[n] i)

Context: h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)

(pred^[n] ∘ pred) ((succ ∘ succ^[n]) i) = i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p q : T[X]
hpq : p * q ≠ 0

(p * q).aroots S = p.aroots S + q.aroots S


map (algebraMap T S) p * map (algebraMap T S) q ≠ 0


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h

cons a (snoc q b) i = snoc (cons a q) b i


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
this : i = j.succ


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
this : i = j.succ
h' : ¬↑j < n


snoc q b (last n) = snoc (cons a q) b (last n.succ)


Context: x y : PartENat

(x + y).toWithTop = x.toWithTop + y.toWithTop


Context: x y : PartENat

(⊤ + ⊤).toWithTop = ⊤.toWithTop + ⊤.toWithTop


Context: x y : PartENat

∀ (n : ℕ), (↑n + ⊤).toWithTop = (↑n).toWithTop + ⊤.toWithTop


Context: x y : PartENat

∀ (n : ℕ), (⊤ + ↑n).toWithTop = ⊤.toWithTop + (↑n).toWithTop


Context: x y : PartENat

∀ (n n_1 : ℕ), (↑n + ↑n_1).toWithTop = (↑n).toWithTop + (↑n_1).toWithTop


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Ico 0 p


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Ico 0 p
h0 : 0 ∈ Ico 0 (0 + p)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
ha : a ∈ Ico 0 p
h0 : 0 ∈ Ico 0 (0 + p)
ha' : a ∈ Ico 0 (0 + p)


Context:
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
this : Subsingleton (Invertible 2)

associated ((BilinMap.toQuadraticMapLinearMap A A (M₁ ⊗[R] M₂)) ((BilinMap.tensorDistrib R A) (associated Q₁ ⊗ₜ[R] associated Q₂))) = (BilinMap.tensorDistrib R A) (associated Q₁ ⊗ₜ[R] associated Q₂)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: V : Type u_8

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Invertible 2

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: Q : QuadraticForm K V

Context: hQ : LinearMap.SeparatingLeft (associated Q)

∃ w, Equivalent Q (weightedSumSquares K w)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: V : Type u_8

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Invertible 2

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: Q : QuadraticForm K V

Context: v : Basis (Fin (FiniteDimensional.finrank K V)) K V

Context: hv₁ : LinearMap.IsOrthoᵢ ((associatedHom K) Q) ⇑v


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: V : Type u_8

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Invertible 2

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: Q : QuadraticForm K V

Context: hv₂ : ∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank K V)), ¬LinearMap.IsOrtho ((associatedHom K) Q) (v i) (v i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: V : Type u_8

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Invertible 2

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: Q : QuadraticForm K V

Context: hv₂ : ∀ (i : Fin (FiniteDimensional.finrank K V)), ¬Q (v i) = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

opcyclesMap' φ h₁ h₂ ≫ h₂.g' = h₁.g' ≫ φ.τ₃


Context:
α✝ : Type u_1
A✝ : α✝ → PSet
i : (mk α✝ A✝).Type


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: r : B

Context: s : Set R

Context: left✝ : s.Finite

Context: hsr : IsIntegral (↥(Subring.closure s)) r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) {b | (x.1, b) ∈ s} x.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f s (x.1, x.2) ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f ((x.1, x.2).1, x_1)) {b | ((x.1, x.2).1, b) ∈ s} (x.1, x.2).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β

Tendsto f (map (Prod.mk x.1) (𝓝 x.2 ⊓ 𝓟 (Prod.mk x.1 ⁻¹' s))) (𝓝 (f (x.1, x.2))) ↔ Tendsto (fun x_1 => f (x.1, x_1)) (𝓝 x.2 ⊓ 𝓟 {b | (x.1, b) ∈ s}) (𝓝 (f (x.1, x.2)))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: this : Algebra A C := (f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)).toAlgebra

Context: F₁ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₁.toRingHom, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: F₂ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₂.toRingHom, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: x : B


Context: θ : Angle


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n

addOrderOf u = n ↔ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = u


(∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = u) → addOrderOf u = n


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n

∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
h0 : addOrderOf ↑k • ↑k = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
h0 : ∃ n_1, n_1 • p = n • k


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : a • p = n • k


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : a • p = n • k
h0 : ↑n ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: p q : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: u : AddCircle p

Context: n : ℕ

Context: h : 0 < n

Context: k : 𝕜

Context: hk : addOrderOf ↑k = n

Context: a : ℤ

Context: ha : ↑(a / ↑n) * p + (a % ↑n) • p / ↑n = k

Context: h0 : ↑n ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: p q : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: u : AddCircle p

Context: n : ℕ

Context: h : 0 < n

Context: k : 𝕜

Context: hk : addOrderOf ↑k = n

Context: a : ℤ

Context: h0 : ↑n ≠ 0

Context: han : ↑(a % ↑n).toNat = a % ↑n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: p q : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: u : AddCircle p

Context: n : ℕ

Context: h : 0 < n

Context: k : 𝕜

Context: hk : addOrderOf ↑k = n

Context: a : ℤ

Context: h0 : ↑n ≠ 0

Context: han : ↑(a % ↑n).toNat = a % ↑n

Context: he : ↑(↑(a % ↑n).toNat / ↑n * p) = ↑k


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)

U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen (U.topIso.inv r) = X.basicOpen r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F

(filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts).card ≤ 2 ^ (F.card - 1)


filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts ⊆ image (fun P => filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t P ↔ i ∈ x) s) (F.erase t).powerset


∀ ⦃x : Finset α⦄, x ∈ filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts → x ∈ image (fun P => filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t P ↔ i ∈ x) s) (F.erase t).powerset


∀ ⦃x : Finset α⦄, ∀ x_1 ∈ x, ∀ x_2 ⊆ F, filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ x_2 ↔ i ∈ u) s = x → x ⊆ t → ∀ x_3 ∈ x, ∃ a ⊆ F.erase t, filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t a ↔ i ∈ x) s = x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t u : Finset α

Context: P✝ : Finpartition s

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: F : Finset (Finset α)

Context: ht : t ∈ F

Context: i : α

Context: P : Finset (Finset α)

Context: PQ : P ⊆ F

Context: hi : i ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s

Context: hy₂ : filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s ⊆ t

Context: j : α

Context: _hj : j ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s

∃ a ⊆ F.erase t, filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t a ↔ i ∈ x) s = filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t u : Finset α

Context: P✝ : Finpartition s

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: F : Finset (Finset α)

Context: ht : t ∈ F

Context: i : α

Context: P : Finset (Finset α)

Context: PQ : P ⊆ F

Context: j : α

filter (fun i => ∀ x ∈ F, x ∈ insert t (P.erase t) ↔ i ∈ x) s = filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ P ↔ i ∈ u) s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

(noncommPiCoprod ϕ hcomm).range = ⨆ i, (ϕ i).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

(noncommPiCoprod ϕ hcomm).range ≤ ⨆ i, (ϕ i).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

⨆ i, (ϕ i).range ≤ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).range


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α

ContinuousAt f a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε


Context: α✝ : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ✝

Context: μ✝ μ' : Measure α✝

Context: ν✝ ν' : Measure β✝

Context: τ✝ : Measure γ✝

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: h2f : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, QuasiMeasurePreserving (fun x => f (x, y)) μ τ


Context: α✝ : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ✝

Context: μ✝ μ' : Measure α✝

Context: ν✝ ν' : Measure β✝

Context: τ✝ : Measure γ✝

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite ν

QuasiMeasurePreserving f (map Prod.swap (ν.prod μ)) τ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hB : B ⊆ A
hC : C ⊆ A
h : A ↓∩ B = A ↓∩ C


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
h : A ↓∩ B = A ↓∩ C
hB : A ∩ B = B
hC : A ∩ C = C


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hB : A ∩ B = B
hC : A ∩ C = C
h : B = C


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
div : p ∣ n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

(mk S.f (Abelian.coimage.π S.g) ⋯).Exact ↔ S.Exact


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

(algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)


∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)


(∏ x : Fin pb.dim, ∏ x ∈ Ioi x, -1) * ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) * ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen)) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) * ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) * ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen))


∑ i : Fin pb.dim, (Ioi i).card = n * (n - 1) / 2


∑ x : Fin pb.dim, ↑(Ioi x).card = ↑(n * (n - 1) / 2)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

∑ x : Fin pb.dim, ↑(pb.dim - (↑x + 1)) = ↑(n * (n - 1) / 2)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

↑pb.dim * ↑pb.dim - (∑ x : Fin pb.dim, ↑↑x + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hn : n = pb.dim


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hn : n = pb.dim

Context: h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hn : n = pb.dim

Context: h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)

Context: hne : ↑2 ≠ 0


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hn : n = pb.dim

Context: h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)

Context: hne : ↑2 ≠ 0

Context: hle : 1 ≤ pb.dim


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝¹⁵ : CommRing A

Context: inst✝¹⁴ : CommRing B

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : CommRing C

Context: inst✝¹¹ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι'

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : Module.Finite K L

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

Context: hn : n = pb.dim

Context: h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)

Context: hne : ↑2 ≠ 0

Context: hle : 1 ≤ pb.dim

↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑pb.dim * (↑pb.dim - ↑1) / ↑2 + ↑pb.dim) = ↑pb.dim * (↑pb.dim - ↑1) / ↑2


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)

t ∈ (atomise s F).parts ↔ t.Nonempty ∧ ∃ Q ⊆ F, filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s = t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
K : ℝ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in closedBall (w j) (δ j), ‖f y - f x‖ ∂μ) l (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
z : ℤ
c : ℝ≥0

|z| ≤ ↑⌊c⌋₊ ↔ ‖z‖₊ ≤ c


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
x : E

(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x


(setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂

∃ a, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂

Context: a : T₁.rotate.obj₃ ⟶ T₂.rotate.obj₃

Context: ha₁ : T₁.rotate.mor₂ ≫ a = c ≫ T₂.rotate.mor₂

Context: ha₂ : T₁.rotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map b = a ≫ T₂.rotate.mor₃


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v i + ∑ i_1 ∈ Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 v i_1, v i⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 v i_1‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 v i_1⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v i⟫_𝕜 + ∑ x ∈ Iio i, ⟪gramSchmidt 𝕜 v x, v i⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 v x‖ ^ 2 * ⟪gramSchmidt 𝕜 v j, gramSchmidt 𝕜 v x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v

⟪b j, b i⟫_𝕜 + ∑ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v

∑ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v

∀ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v

Context: k : ι

Context: hki' : k ∈ Iio i

Context: hki : k < i

⟪b k, v i⟫_𝕜 / ↑‖b k‖ ^ 2 * ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: v : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v

Context: k : ι

Context: hki' : k ∈ Iio i

Context: hki : k < i

Context: this : ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x : 𝔸ᵐᵒᵖ

exp 𝕂 (MulOpposite.unop x) = MulOpposite.unop (exp 𝕂 x)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t✝ : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ

(s ×ˢ t).indicator 1 (i, j) = s.indicator 1 i * t.indicator 1 j


(if i ∈ s ∧ j ∈ t then 1 (i, j) else 0) = (if i ∈ s then 1 i else 0) * if j ∈ t then 1 j else 0


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)

Context: inst✝ : SeminormedGroup E

Context: f x : (i : ι) → π i

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)


Context:
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'


Context:
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
i : Fin2 n

(prod.fst ⊚ (f ⊗' g)) i = (f ⊚ prod.fst) i


Context:
s : String
p : Char → Bool

s.split p = List.map mk (List.splitOnP p s.data)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε : ℝ

Context: C : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x

Context: x : E

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

Context: hjx : (p j) x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε : ℝ

Context: C : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

Context: hjx : (p j) x ≠ 0

Context: this : (s.sup p) x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε : ℝ

Context: C : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

Context: hjx : (p j) x ≠ 0

Context: this : (s.sup p) x ≠ 0

Context: y : E

Context: hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y

Context: hlt : (s.sup p) y < ε


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε : ℝ

Context: C : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s

Context: hjx : (p j) x ≠ 0

Context: this : (s.sup p) x ≠ 0

Context: y : E

Context: hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y

Context: hlt : (s.sup p) y < ε

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hiy : (s.sup p) y = (p i) y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β

(map Prod.mk f).seq g = (map (fun b a => (a, b)) g).seq f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α → α × β)
hs : s ∈ map (fun b a => (a, b)) g
t : Set α
ht : t ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (β → α × β)
hs : s ∈ map Prod.mk f
t : Set β
ht : t ∈ g

s.seq t ∈ (map (fun b a => (a, b)) g).seq f


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R

k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p)


∀ (a : R), k (eval₂ f g (C a)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (C a))


∀ (p q : MvPolynomial σ R), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g q) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) q) → k (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p + q))


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p * X n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ

Context: p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: aeSeqLim : α → ℝ≥0∞ := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: x : α

Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))


Context:
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞


Context:
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hneg : p.1 < 0


Context:
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hpos : 0 < p.1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: u v a : α

Context: ha : a ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}

Context: b : α

Context: hb : b ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}

Context: hab : (fun x => (x ⊔ u) \ v) a = (fun x => (x ⊔ u) \ v) b

Context: h : ((a ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v = ((b ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: j : J

Context: I : IsInitial j

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝¹ : HasColimit F

Context: inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)

colimit.ι F j ≫ colimit.desc F (coconeOfDiagramInitial I F) = 𝟙 (F.obj j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: j : J

Context: I : IsInitial j

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝¹ : HasColimit F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ spanningSets μ n → μ.rnDeriv ν x < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ

∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ spanningSets μ n → μ.rnDeriv ν x < ⊤


∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict (spanningSets μ n), μ.rnDeriv ν x < ⊤


∫⁻ (x : α) in spanningSets μ n, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≠ ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X ≃ Y
hf : Inducing ⇑f


Context:
A : Class
x : ZFSet
H : ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x
y : ZFSet
x✝ : A.iota y
x' : ZFSet
h : {x | ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x} x'
yx' : y ∈ ↑x'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: f : r ↪r s

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b

¬s b ↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: f : r ↪r s

Context: a : α

Context: b : β

¬s b ↑(let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) y) a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: f : r ↪r s

Context: a : α

Context: b : β

¬s b (⋯.min {b | ∀ (a_1 : α), r a_1 a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a_1)) b} ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t₁ ∩ s ×ˢ t₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hg : AnalyticAt 𝕜 g x


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f✝ : Filter τ

Context: ϕ✝ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: α' : Type u_5

Context: β' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace β'

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: ϕ' : τ → α' → β'

Context: ga : α → α'

Context: s' : Set α'

Context: hs : MapsTo ga s s'

Context: gb : β → β'

Context: hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s

Context: hgc : Continuous gb


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f✝ : Filter τ

Context: ϕ✝ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: α' : Type u_5

Context: β' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace β'

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: ϕ' : τ → α' → β'

Context: ga : α → α'

Context: s' : Set α'

Context: hs : MapsTo ga s s'

Context: gb : β → β'

Context: hgc : Continuous gb

∀ ⦃x : β⦄, (∀ i ∈ f, x ∈ closure (image2 ϕ i s)) → ∀ i ∈ f, gb x ∈ closure (image2 ϕ' i s')


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f✝ : Filter τ

Context: ϕ✝ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: α' : Type u_5

Context: β' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace β'

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: ϕ' : τ → α' → β'

Context: ga : α → α'

Context: s' : Set α'

Context: hs : MapsTo ga s s'

Context: gb : β → β'

Context: hgc : Continuous gb

Context: y : β

Context: hy : ∀ i ∈ f, y ∈ closure (image2 ϕ i s)

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f✝ : Filter τ

Context: ϕ✝ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: α' : Type u_5

Context: β' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace β'

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: ϕ' : τ → α' → β'

Context: ga : α → α'

Context: s' : Set α'

Context: hs : MapsTo ga s s'

Context: gb : β → β'

Context: hgc : Continuous gb

Context: y : β

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: t : τ

Context: ht : t ∈ u ∩ {x | (fun t => EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s) x}

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
f : (Step k n)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f

∃ x, Polynomial.eval₂ (toStepSucc k n) x f = 0


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: f : (Step k n)[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hfi : Irreducible f

Context: x : AdjoinMonic (Step k n)

Context: hx : Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic (Step k n)) x f = 0


Context:
p : Nat
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

x✝.atEnd { byteIdx := p } = true ↔ p = x✝.toString.utf8ByteSize


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd

↑(filterNe a (fill a m.fst m.snd)).snd = ↑m.snd


filter (fun x => a ≠ x) (↑m.snd + ↑(replicate (↑m.fst) a)) = ↑m.snd


∀ (a_1 : α), a_1 ∉ filter (fun x => a ≠ x) ↑(replicate (↑m.fst) a)


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (iterate id a) = fr (const a)

fr (iterate id a).tail = fr (const a).tail


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s t : Submodule K V

Context: hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V

Context: hdisjoint : Disjoint s t


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s t : Submodule K V

Context: hdisjoint : Disjoint s t

Context: h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s t : Submodule K V

Context: hdisjoint : Disjoint s t

Context: h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0

finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s t : Submodule K V

Context: hdisjoint : Disjoint s t

Context: h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0

finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₂ k₁ k₀ : ι

Context: r₂₁ : c.Rel k₂ k₁

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

Context: h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

(nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₂ k₁ k₀ : ι

Context: r₂₁ : c.Rel k₂ k₁

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

(C.d k₁ k₀ ≫ dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) + (dite (c.Rel k₂ k₁) (h k₁ k₂) fun x => 0) ≫ D.d k₂ k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)

∏ i : Fin (n + 1), f i = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)


f x * ∏ x_1 : Fin n, f (x.succAboveEmb x_1) = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)