Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

X.map (SimplexCategory.δ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (j.pred ⋯)).op


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

(μ {x | R < f x}).toReal * R < ∫ (x : X) in {x | R < f x}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: R : ℝ

Context: f : X → ℝ

Context: hR : 0 ≤ R

Context: hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ

Context: hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

Context: this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: R : ℝ

Context: f : X → ℝ

Context: hR : 0 ≤ R

Context: hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ

Context: hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

0 < μ ((support fun a => f a - R) ∩ {x | R < f x})


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: R : ℝ

Context: f : X → ℝ

Context: hR : 0 ≤ R

Context: hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ

Context: hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict {x | R < f x})] fun a => f a - R


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: R : ℝ

Context: f : X → ℝ

Context: hR : 0 ≤ R

Context: hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ

Context: hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

IntegrableOn (fun a => f a - R) {x | R < f x} μ


Context:
n : ℕ
c : Composition n
n₁ : ℕ
c₁ : Composition n₁
i₁ i₂ : Fin c₁.length
hi : ↑i₁ = ↑i₂


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
t : (Set (ProjectiveSpectrum 𝒜))ᵒᵈ

(fun I => zeroLocus 𝒜 ↑I) I ≤ t ↔ I ≤ (fun t => vanishingIdeal t) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := s } < { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b < a


(∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)) ∧ s ≠ {a} ↔ ∀ b ∈ s, b < a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: b✝ b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: h : (∀ b_1 ∈ s, b_1 ≤ b ∧ (b ∈ s → b_1 = b)) ∧ s ≠ {b}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
t u : Finset α
a b : α
h : ∀ b ∈ {a}, b < a


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α

(fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x)


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α
i : ι ⊕ ι'

(fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x i = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) i


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι

(Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∈ ⋃ i, ⋃ s, ⋃ (_ : IsOpen s), {(Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' s}


∃ i_1 i_2, IsOpen i_2 ∧ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i_1).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i_1) ⁻¹' i_2


(Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
p : Z.TotalSpace

p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ↔ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
a b : k
h : a ≠ b

slope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: F : C ⥤ D

Context: S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)

Context: φ : S ⟶ F.op ⋙ R

Context: φ' : S' ⟶ R

Context: d : M.Derivation φ

Context: X : Dᵒᵖ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

2 < s.ncard ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → δ

Context: g : δ → β

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → δ

Context: g : δ → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G

Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-↑n)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
p : Multipliable f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a : α

Context: ha : ¬IsUnit a

Context: ha0 : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a : α

Context: ha : ¬IsUnit a

Context: ha0 : a ≠ 0


Context:
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α

findIdx p xs < xs.length ↔ ∃ x ∈ xs, p x = true


xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: this : findIdx p xs = xs.length ↔ findIdx p xs ≤ xs.length ∧ xs.length ≤ findIdx p xs


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: this : findIdx p xs = xs.length ↔ xs.length ≤ findIdx p xs


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

(∀ x ∈ xs, ¬p x = true) ↔ ∀ (x : α), ¬(x ∈ xs ∧ p x = true)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x

Context: hf_inj : Disjoint (span R s) (ker f)

LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑f '' s)) => ↑x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf_inj : Disjoint (span R (Set.range Subtype.val)) (ker f)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: f : M →ₗ[R] M'


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ

M.toAddSubmonoid ^ n ≤ (M ^ n).toAddSubmonoid


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

M.toAddSubmonoid ^ 0 ≤ (M ^ 0).toAddSubmonoid


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R
ha : a = fun i => b.repr (b i * x)

(1 ⊗ₜ[R] x * f.sum fun i y => y ⊗ₜ[R] b i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support, (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k


∑ i ∈ f.support, 1 ⊗ₜ[R] x * f i ⊗ₜ[R] b i = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support, (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)

∑ i ∈ f.support, 1 ⊗ₜ[R] x * f i ⊗ₜ[R] b i = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

∑ i ∈ f.support, f i ⊗ₜ[R] (Finsupp.total I S R ⇑b) (a i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ x_1 ∈ f.support, ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

∀ x_1 ∈ f.support, ∑ x ∈ (a x_1).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: i : I

Context: hi : i ∈ f.support

∑ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: i : I

Context: hi : i ∈ f.support

(a i).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: i : I

Context: hi : i ∈ f.support

∀ x_1 ∈ (f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support) \ (a i).support, ((a i) x_1 • f i) ⊗ₜ[R] b x_1 = 0


Context: R S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module S M

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝² : FormallyUnramified R S

Context: inst✝¹ : EssFiniteType R S

Context: I : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq I

Context: b : Basis I R S

Context: f : I →₀ S

Context: x : S

Context: i : I

Context: hi : i ∈ f.support

∀ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α

∑' (n : ℕ), ↑(↑(eapproxDiff f n) a) = f a


Context: ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ

Context: h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)

↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.take = ↑(take ⟨is, h⟩).drop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

l.reduceOption.length < l.length ↔ none ∈ l


(¬∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true) ↔ none ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: head✝ : Option α

Context: tail✝ : List (Option α)

Context: tail_ih✝ : (¬∀ (x : Option α), x ∈ tail✝ → x.isSome = true) ↔ none ∈ tail✝

head✝.isSome = true → none ∈ tail✝ ↔ none = head✝ ∨ none ∈ tail✝


Context: num den n : ℕ

mkRat (↑num) den ^ n = mkRat (↑num ^ n) (den ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : a ≠ b


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α γ
x : α
he : x ∈ e.source
he' : x ∈ e'.source


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: d : Set (α × α)

Context: hd : d ∈ 𝓤 α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : IsOpen t

Context: hst : s ⊆ t

Context: ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: d : Set (α × α)

Context: hd : d ∈ 𝓤 α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : IsOpen t

Context: hst : s ⊆ t

Context: this : s ⊆ interior d


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: d : Set (α × α)

Context: hd : d ∈ 𝓤 α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : IsOpen t

Context: hst : s ⊆ t

Context: this✝ : s ⊆ interior d

Context: this : interior d ∈ 𝓤 α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
w : R
dvd : x ∣ w ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

update f i '' Ico a b = Ico (update f i a) (update f i b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: hs : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: hs : s.Nonempty


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t

∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y


Disjoint (thickening (↑r / 2) s) (thickening (↑r / 2) t)


thickening (↑r / 2) s ⊓ thickening (↑r / 2) t ≤ ⊥


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : z ∈ thickening (↑r / 2) s
hzt : z ∈ thickening (↑r / 2) t


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hst : Disjoint s t

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y

Context: z : α

Context: hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)

Context: hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ↑(r / 2)
hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ↑(r / 2)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z x : α
hx : x ∈ s
hzx : edist z x < ↑(r / 2)
y : α
hy : y ∈ t
hzy : edist z y < ↑(r / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial


Context:
n : ℕ
x✝ : ℤ

x✝ ∈ RingHom.ker (Int.castRingHom (ZMod n)) ↔ x✝ ∈ Ideal.span {↑n}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n e1 t1 k l : α
e2 : ℕ
h1 : n * e1 = t1
h2 : l * n ^ e2 = k


Context:
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α

cthickening δ (closure s) = cthickening δ s


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.48505, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.48509, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.48513, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.48525, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C

(homEquiv W L₁ L₂) (𝟙 (L₁.obj X)) = 𝟙 (L₂.obj X)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V

finrank K (Module.Dual K V) = finrank K V


∀ (s : Finset V), Basis (↑↑s) K V → False


∀ (s : Finset (Module.Dual K V)), Basis (↑↑s) K (Module.Dual K V) → False


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : EquivLike F α β

Context: inst✝⁴ : LE α

Context: inst✝³ : OrderBot α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝¹ : OrderBot β

Context: inst✝ : OrderIsoClass F α β

Context: f : F

Context: a : α

Context: this : BotHomClass F α β := OrderIsoClass.toBotHomClass


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α


a ≤ max (a - c) (b - d) + max c d ∧ b ≤ max (a - c) (b - d) + max c d


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : 0 < a + b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : 0 < a + b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: b : ℝ

Context: hm : ‖m‖ ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : IsClosed s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : IsClosed s

Context: h1 : s = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : IsClosed s

Context: h1 : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, ¬p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β

(∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M

(iInf s f).Realize v v' ↔ ∀ b ∈ s, (f b).Realize v v'


Context:
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

w.im * (1 - rexp (-dist z w)) = dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) - dist ↑w ↑(w.center (dist z w))


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

w.im * (1 - (Real.cosh (dist z w) - Real.sinh (dist z w))) = w.im * Real.sinh (dist z w) - w.im * (Real.cosh (dist z w) - 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α

mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y


(sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)


(sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum x fun a m => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (f a * a₂) (m * b₂)


∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (0 * b₂)) = 0


∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₂ * b₂)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s✝ t : Set E
x✝ y x : E
s : Set E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hne : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs

(dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys))).getD x = x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
y : α
hy : (x, y) ∈ xs.zip ys


Context:
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : α → β
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V


Context:
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M

(∀ x ∈ N₁, x ∈ B.flip.dualSubmodule N₂) ↔ ∀ x ∈ N₂, x ∈ B.dualSubmodule N₁


(∀ x ∈ N₁, ∀ y ∈ N₂, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B y) x) ↔ ∀ x ∈ N₂, ∀ y ∈ N₁, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B x) y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsDetector G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : H ⟶ Y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : C
h : H ⟶ Y
hG : IsDetector H
hf : ∀ (h : H ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
hH : H ∈ {H}


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]

derivative (p ^ 2) = C 2 * p * derivative p


Context: S : Profinite


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
G✝ H✝ : ModuleCat R
f✝ : G✝ ⟶ H✝
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H

(imageIsoRange f).hom ≫ ofHom (LinearMap.range f).subtype = Limits.image.ι f


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : Y ⟶ Z


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this : P.RespectsIso


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: S S' : C

Context: f : S' ⟶ S

Context: X Y : Over S

Context: g : X ⟶ Y

Context: H : P g.left

Context: this : P.RespectsIso

Context: e : pullback g.left (pullback.fst Y.hom f) ≅ pullback X.hom f := pullbackRightPullbackFstIso Y.hom f g.left ≪≫ pullback.congrHom ⋯ ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: S S' : C

Context: f : S' ⟶ S

Context: X Y : Over S

Context: g : X ⟶ Y

Context: H : P g.left

Context: this✝ : P.RespectsIso

Context: this : e.inv ≫ pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f) = ((Over.pullback f).map g).left


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: S S' : C

Context: f : S' ⟶ S

Context: X Y : Over S

Context: g : X ⟶ Y

Context: H : P g.left

Context: this✝ : P.RespectsIso

P (pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G
x : G
hx : x ≠ 1


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X : C

(ρ_ (F.obj X)).inv ≫ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) = F.map (ρ_ X).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → β

Context: g✝ : β → α

Context: g : ↑(range f) → α

Context: hf₁ : Measurable f

Context: hf₂ : MeasurableSet (range f)

Context: hg : Measurable g

Context: H : LeftInverse g (rangeFactorization f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → β

Context: g✝ : β → α

Context: g : ↑(range f) → α

Context: hf₁ : Measurable f

Context: hf₂ : MeasurableSet (range f)

Context: hg : Measurable g

Context: e : α ≃ᵐ ↑(range f) := { toFun := rangeFactorization f, invFun := g, left_inv := H, right_inv := ⋯, measurable_toFun := ⋯, measurable_invFun := hg }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
m n : PosNum


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V

⊤.edgeFinset = filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ


↑⊤.edgeFinset = ↑(filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ

↑(I.splitLower i x) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}


(univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ

(y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | y i ≤ x}


(∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y i ≤ x ∧ y ≤ I.upper ↔ (∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y ≤ I.upper ∧ y i ≤ x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p (x + y) x_1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p (x * y) x_1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F

Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(span R s) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


s ⊆ ↑(eqLocus f g) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃


Context: R₁ : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Semiring R₁

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: inst✝³ : Semiring R₃

Context: σ₁₂ : R₁ →+* R₂

Context: σ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R₁ →+* R₃

Context: σ : R₁ →+* R₂

Context: σ' : R₂ →+* R₁

Context: inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂

Context: inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃

Context: this : Function.Surjective (⇑σ₂₃ ∘ ⇑σ₁₂)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

∫ (x : E), (pdf X ℙ μ x).toReal • f x ∂μ = ∫ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤

Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: o : α → Option β

Context: f : α → σ

Context: g : α → β →. σ

Context: ho : Computable o

Context: hf : Computable f

Context: hg : Partrec₂ g

Context: this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)

Context: a : α

(Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)) = Option.casesOn (o a) (Part.some (f a)) (g a)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Sort w

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: xs : List ((_ : α) × α)

Context: hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs

Context: hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup

Context: xs₀ : List α

Context: h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀

Context: xs₁ : List α

Context: h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁

Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Sort w

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: xs : List ((_ : α) × α)

Context: hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup

Context: xs₀ : List α

Context: h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀

Context: xs₁ : List α

Context: h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁

Context: hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Sort w

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: xs : List ((_ : α) × α)

Context: xs₀ : List α

Context: h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀

Context: xs₁ : List α

Context: h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁

Context: hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)

Context: hperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))

Context: hnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup

Injective (mapToSelf (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) hperm hnodup).apply


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Sort w

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: xs : List ((_ : α) × α)

Context: xs₀ : List α

Context: h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀

Context: xs₁ : List α

Context: h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁

Context: hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)


Context:
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α

t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → 𝓝 b = pure b


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
i : Fin n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f : M × M' → M''

Context: p : M × M'

Context: hf : MDifferentiableAt (I.prod I') I'' f p

mfderiv (I.prod I') I'' f p = mfderiv (I.prod I') I'' (fun z => f (z.1, p.2)) p + mfderiv (I.prod I') I'' (fun z => f (p.1, z.2)) p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f : M × M' → M''

Context: p : M × M'

mfderiv (I.prod I') I'' f p = (mfderiv (I.prod I') I'' f (p.1, p.2)).comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f : M × M' → M''

Context: p : M × M'

(mfderiv (I.prod I') I'' f (p.1, p.2)).comp ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2))) = mfderiv (I.prod I') I'' f p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: f : M × M' → M''

Context: p : M × M'

(ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 + ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace (I.prod I') (p.1, p.2))


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

multinomial {a, b} f = (f a + f b)! / ((f a)! * (f b)!)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s

∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen s
ht : IsClosed t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x') ^ n / ↑n ! * (x - x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

(x - y) ^ n * (x - x₀) * iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (x - y) ^ n * (x - x₀)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree
this : p.coeff q.natDegree = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: h : (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length

Context: H : s.Nonempty

Context: l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ = s.max' H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: H : s.Nonempty

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ ≤ s.max' H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: H : s.Nonempty

s.max' H ≤ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
y z : ℝ
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖

Context: s : Finset ℕ

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime ∅, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: p : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hp : p ∉ s

Context: ih : (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime (insert p s), ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

(eval P) W.polynomialY = 2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
this : NeZero n


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s


Context:
α : Type u_1
p : α → Option α
b✝ : α
l : List α
a a' : α
al✝ : a ∈ b✝ :: l
pa : p a = some a'
b : α
al : Mem a l
pb : p b = none
c c' : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → p b = none
h₂ : p c = some c'
h₃ : l = l₁ ++ c :: l₂
h₄ : replaceF p l = l₁ ++ c' :: l₂


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
A : C
i : ι
γ : A ⟶ K.homology i

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i (c.next i) = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z (c.next i) ⋯ hz ≫ K.homologyπ i


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)

∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: U : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)

Context: hp : p ∈ U

Context: s : (forget CommRingCat).obj (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op U))

Context: e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hp⟩) s = y


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: hp : p ∈ U

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: hrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: hp : p ∈ U

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: hrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U

Context: e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE hrU).op) s) = y


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))

Context: e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

Context: hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, trivial⟩) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2)) * y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) * y = (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))


Context: R S : CommRingCat

Context: f✝ : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

Context: f : ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ := ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩

f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) * f s' = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))


Context: R S : CommRingCat

Context: f✝ : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

f (s' * (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))


Context: R S : CommRingCat

Context: f✝ : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

Context: hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) r ^ n) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s


Context: R S : CommRingCat

Context: f✝ : R ⟶ S

Context: p : PrimeSpectrum ↑R

Context: inst✝ : Algebra ↑R ↑S

Context: r : ↑R

Context: hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r

Context: s : ↑S

Context: n : ℕ

Context: hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) (r ^ n)) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
key : minpoly A x = X - C y


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : Field A

Context: inst✝² : Ring B

Context: inst✝¹ : IsDomain B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x✝ x : B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: y : A

Context: h : (minpoly A x).IsRoot y

Context: key : minpoly A x = X - C y

Context: this : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s a
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s a
h₀ : g a ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: α : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → α i → E

Context: l : Π₀ (i : ι), α i

Context: x : E

⟪x, l.sum f⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪x, f i a⟫_𝕜


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P

AffineIndependent k p ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2


(∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
c : ℝ≥0
h : I.distortion ≤ c
this : 0 ≤ ↑c * (I.upper i - I.lower i)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc I
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : SMul M R
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : SMulCommClass M R R
x y : R
m : M
h : x ∣ y
k : R
hk : y = x * k


Context: f : ℕ → ℕ →. ℕ

Context: h : _root_.Partrec fun v => f v.head v.tail.head

Context: v : ℕ × ℕ

f (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).head (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).tail.head = f v.1 v.2


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞
g : E → F
fx : f x = g x
fg : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hg : AnalyticAt 𝕜 g x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ r < 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: M₀' : PresheafOfModules R₀

Context: A' : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'

Context: τ₀ : M₀ ⟶ M₀'

Context: τ : A ⟶ A'

Context: fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val

∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: M₀' : PresheafOfModules R₀

Context: A' : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val

Context: τ₀ : M₀ ⟶ M₀'

Context: τ : A ⟶ A'

Context: fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val

Context: f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val := (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯).symm (τ₀ ≫ toSheafify α φ')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: M₀' : PresheafOfModules R₀

Context: A' : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val

Context: τ₀ : M₀ ⟶ M₀'

Context: τ : A ⟶ A'

Context: fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val

Context: eq : τ.val = f.hom


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

(π₁ ⊓ π₂).iUnion = π₁.iUnion ∩ π₂.iUnion


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: F : J → C

Context: inst✝¹ : HasProduct F

Context: inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor F) (forget C)

Context: x : (j : J) → (forget C).obj (F j)

Context: j : J

(Pi.π F j) ((productEquiv F).symm x) = x j


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

(F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: one_mem : 1 ∈ s

Context: div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s

Context: a : G

Context: ha : a ∈ s

Context: this : 1 * a⁻¹ ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ c : G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: one_mem : 1 ∈ s

Context: inv_mem : ∀ a ∈ s, a⁻¹ ∈ s

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ s

Context: hb : b ∈ s

Context: this : a * b⁻¹⁻¹ ∈ s


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m N₂
i✝¹ : n
i✝ : m

(((toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1 = (((toLinearMap₂' R) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: I : Type u_3

Context: B : I → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : I) → NormedRing (B i)

Context: inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)

Context: i : I


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0
x y : α
h' : k * x = k * y


Context:
m n✝ a✝ b✝ c d : ℤ
a b n : ℕ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞

⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Iio a)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm : Commute f g

Context: hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

Context: hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm : Commute f g

Context: hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm : Commute f g

∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm : Commute f g

Context: μ : R

(trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm✝ : Commute f g

Context: μ : R

Context: h_comm : Commute (restrict g ⋯) (restrict f ⋯)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : Mul M

Context: inst✝¹ : Mul N

Context: inst✝ : Semigroup P

Context: f : M →ₙ* P

Context: g : N →ₙ* P

Context: comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)

Context: mn mn' : M × N

(fun mn => f mn.1 * g mn.2) (mn * mn') = (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn * (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α


∀ I ⊆ (loopyOn E ↾ R).E, (loopyOn E ↾ R).Indep I ↔ (loopyOn R).Indep I


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

(‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖


(2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ - (2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖)) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖


Context:
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : r.Rewrites v w
p : List (Symbol T N)


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w : List (Symbol T N)

Context: hvw : ∃ p q, v = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w = p ++ r.output ++ q

Context: p : List (Symbol T N)

∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w p x y : List (Symbol T N)

Context: hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w p x y : List (Symbol T N)

p ++ v = p ++ x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ p ++ w = p ++ x ++ r.output ++ y


Context:
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
K✝ : Type u_3
inst✝⁶ : Field K✝
inst✝⁵ : Module K✝ M✝
f✝ : End K✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
ht : t ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

convexBodySumFun (x + y) ≤ convexBodySumFun x + convexBodySumFun y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * (normAtPlace w) (x + y) ≤ ∑ x_1 : InfinitePlace K, ↑x_1.mult * ((normAtPlace x_1) x + (normAtPlace x_1) y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R

IsJacobson R ↔ ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P


(∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P) → ∀ (I : Ideal R), I.IsRadical → I.jacobson = I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.jacobson


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.jacobson

∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} → x ∈ I_1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.jacobson

Context: P : Ideal R

Context: hP : P ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.jacobson

Context: P : Ideal R

Context: hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1

Context: P : Ideal R

Context: hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: P : Ideal R

Context: hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime

∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ {J | P ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ k ∈ Ico (u n + 1) (u (n + 1) + 1), f (u (n + 1)) ≤ f k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source = ↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source


↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' f'.source ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ f').source ∩ range ↑I


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
x y : V


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module.Free R M

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝ : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M₂

Context: φ : Module.End R M₁

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁

LinearMap.charpoly (e.conj φ) = LinearMap.charpoly φ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module.Free R M

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝ : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M₂

Context: φ : Module.End R M₁

((LinearMap.toMatrix (b.map e) (b.map e)) (e.conj φ)).charpoly = ((LinearMap.toMatrix b b) φ).charpoly


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module.Free R M

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝ : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M₂

Context: φ : Module.End R M₁

Context: i j : ChooseBasisIndex R M₁

(LinearMap.toMatrix (b.map e) (b.map e)) (e.conj φ) i j = (LinearMap.toMatrix b b) φ i j


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R : Sieve X
f : Y ⟶ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∉ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedSup a = t.truncatedSup a


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsLocallyFiniteMeasure (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (a : α), Tendsto (fun a => (μ.restrict s) a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 ((μ.restrict s).rnDeriv μ a)) → (μ.restrict s).rnDeriv μ a = s.indicator 1 a → Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (s.indicator 1 a))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => (μ.restrict s) a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.restrict s).rnDeriv μ x))

Context: h'x : (μ.restrict s).rnDeriv μ x = s.indicator 1 x

Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))


Context:
a x✝ z x : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
a x✝ z x : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
x : { x // x ≠ last n }

(finSuccAboveOrderIso (last n)).symm x = (↑x).castLT ⋯


some ((finSuccAboveOrderIso (last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
n : ℕ
h_dim : finrank 𝕜 ↥K + n = finrank 𝕜 E


finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥Kᗮ = finrank 𝕜 ↥K + n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: e : α ≃ᵐ β

Context: μ₁ μ₂ : Measure α

Context: hμ : Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ₁) = Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Surjective f
hf' : Continuous f


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x x' z : H

Context: v : E

((tangentBundleCore I H).coordChange (achart H x) (achart H x') z) v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) v


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f

∫⁻ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)


Context:
z : ℂ
n : ℕ


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : 0 ∉ t
a✝ : Nontrivial R

t.prod.natDegree = (Multiset.map natDegree t).sum


(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
a b : α


Context:
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k


Context:
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k

∀ (b : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k b z) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)


Context:
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
b : Fin 2 → ℤ

Complex.abs (eisSummand k b z) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)


Complex.abs (↑(b 0) * ↑z + ↑(b 1)) ^ (-k) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)

Context: h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M ((monomial n) a)

Context: n : ℕ

Context: a : R

Context: _h : M (C a * X ^ n)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: n : ℕ

Context: a : R

Context: _h : M (C a * X ^ n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ

⇑h ⁻¹' Metric.sphere x r = Metric.sphere (h.symm x) r


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: I : MulticospanIndex C

Context: inst✝¹ : HasMultiequalizer I

Context: inst✝ : PreservesLimit I.multicospan (forget C)

Context: x y : (forget C).obj (multiequalizer I)

Context: h : ∀ (t : I.L), (Multiequalizer.ι I t) x = (Multiequalizer.ι I t) y