Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0
c : R
hac : 0 = a + c
d : R
hbd : 0 = b + d
hd : 0 ≤ d


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s


AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 1 2))


![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 1 2) = ![p₁, p₃, p₂]


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
e : m → n


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)

Context: inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ φ, φ (m i) = 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : CauchySeq g


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : CauchySeq g

Context: a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this✝ : CauchySeq g

Context: a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)

Context: this : Tendsto (fun n => (g n) m) atTop (𝓝 (a m))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y✝ : α
m n : ℕ
g : β → β
y : β

minimalPeriod f x = minimalPeriod g y ↔ ∀ (n : ℕ), IsPeriodicPt f n x ↔ IsPeriodicPt g n y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: f✝ : α → β

Context: ι : Sort u_2

Context: T : TopologicalSpace α

Context: f : β → α

Context: a : β

Context: s : Set β

Context: this : TopologicalSpace β := induced f T


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: f✝ : α → β

Context: ι : Sort u_2

Context: T : TopologicalSpace α

Context: f : β → α

Context: a : β

Context: s : Set β

(∃ t ⊆ s, (∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = t) ∧ a ∈ t) ↔ ∃ u, (∃ t ⊆ u, IsOpen t ∧ f a ∈ t) ∧ f ⁻¹' u ⊆ s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R

((ψ.mulShift r).mulShift s) x✝ = (ψ.mulShift (r * s)) x✝


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : a % c + b % c < c
hc0 : ¬c = 0


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
n : ℕ
h✝ : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

x.appr n ≤ x.appr n + p ^ n * (toZMod (↑(unitCoeff h✝) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val


Context:
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ

Chain' r (range n.succ) ↔ ∀ m < n, r m m.succ


Context:
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ

Chain' r (range n ++ [n]) ↔ ∀ m < n, r m m.succ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: this : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u

Context: this : 0 = ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(x (l, r)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: l : β

∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (l, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u = (fun j => a k j) l * NumberField.house.ξ K x l


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: l : β

∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (l, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u = ∑ i : K →+* ℂ, (fun j => a k j) l * (↑(x (l, i)) * (NumberField.house.newBasis K) i)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: l✝ : β

Context: l : K →+* ℂ

↑(x (l✝, l)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l✝ l u) * (NumberField.house.newBasis K) u = (fun j => a k j) l✝ * (↑(x (l✝, l)) * (NumberField.house.newBasis K) l)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: k : α

Context: l✝ : β

Context: l : K →+* ℂ

↑(x (l✝, l)) * (a k l✝ * (NumberField.house.newBasis K) l) = (fun j => a k j) l✝ * (↑(x (l✝, l)) * (NumberField.house.newBasis K) l)


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
i : X.basicOpen f ⟶ U

IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfa : f ≤ 𝓟 {x}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I

(γ.trans γ').symm t = (γ'.symm.trans γ.symm) t


(if h : ↑(σ t) ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩) else γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₁ : ↑t ≤ 1 / 2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₁ : ¬↑t ≤ 1 / 2

γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ = γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ¬↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : ¬1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₂ : ↑t ≤ 1 / 2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ¬↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : ¬1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₂ : ¬↑t ≤ 1 / 2


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g✝ : G
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] t
g : G

g ∈ aestabilizer G μ s ↔ g ∈ aestabilizer G μ t


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l init tail : List α

(init, tail) ∈ l.inits.zip l.tails ↔ init ++ tail = l


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
init tail : List α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ε : Type u_4

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: ih : ∀ {init tail : List α}, (init, tail) ∈ tl.inits.zip tl.tails ↔ init ++ tail = tl

Context: init tail : List α

(init, tail) ∈ ([], hd :: tl) :: (map (fun t => hd :: t) tl.inits).zip tl.tails ↔ init ++ tail = hd :: tl


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : Module.Free R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: h : I ≤ N.idealizer

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ I

Context: hy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯

(trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : Module.Free R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: h : I ≤ N.idealizer

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ I


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

f (∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ ∑ i ∈ t, w i • f (p i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : |r| < 1

Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < π / 2


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
n : ℕ
h : (-1) ^ n = -1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
n : ℕ
h : (-1) ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Measurable (μ.rnDeriv ν) ∧ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν ∧ μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Measurable (Classical.choose ⋯).2 ∧ (Classical.choose ⋯).1 ⟂ₘ ν ∧ μ = (Classical.choose ⋯).1 + ν.withDensity (Classical.choose ⋯).2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : s.Finite


Context:
S : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : LinearOrder G
x✝ : SetLike S G
inst✝ : NegMemClass S G
H : S
x : G


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsWeakUpperModularLattice α
a b : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥


finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)


finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + 0


finrank K V ≤ finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0


(match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) = {n}


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
g : G
a : α


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node4L x m y r).dual = r.dual.node4R y m.dual x l.dual


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η

μ ⊗ₘ (κ + η) = μ ⊗ₘ κ + μ ⊗ₘ η


(Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ + Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit η) () = μ ⊗ₘ κ + μ ⊗ₘ η


Context:
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y


Context:
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
hy : y ≠ 0


Context:
b x : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → Disjoint (t x) (t y)

∑ a ∈ s, ∑ _i ∈ t a, 1 = ∑ u ∈ s, (t u).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s
U : Set α


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g✝ g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g✝ g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x

Context: hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g✝ g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x

Context: L : Tendsto g atTop (𝓝 (limUnder atTop g))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g✝ g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x

Context: this : Tendsto (fun x => g (-x)) atBot (𝓝 (limUnder atTop g))


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: r : R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: r : R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => r, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ((algebraMap R C(↑(spectrum R a), R)) r)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : AList β

∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x (s₁ ∪ s₂ ∪ s₃).entries ↔ y ∈ dlookup x (s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)).entries


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜

HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))


(∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) → HasFPowerSeriesAt f p z₀


(∃ ε > 0, ∀ ⦃y : 𝕜⦄, dist y 0 < ε → HasSum (fun n => y ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + y))) → HasFPowerSeriesAt f p z₀


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S

(AdjoinRoot.isAdjoinRoot f).root = root f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C

∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
b : Set (Set α)
bct : b.Countable
left✝ : ∅ ∉ b
bbasis : IsTopologicalBasis b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
x y : α

↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑(Kf * Kg) * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y)


↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑Kf * (↑Kg * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x

map (Embedding.subtype p) (Iio a) = Iio ↑a


map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iio ↑a)) = Iio ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ Set.univ).toReal


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L


Context:
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a / (b - 1)


a + ∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a + a / (b - 1)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
hb : IsUnit ((aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)


IsUnit ((aeval b) P + ((aeval a) P - (aeval b) P))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o : Option α
a m : α
tl : List α
hd : α

(foldl (argAux r) o tl = none ↔ tl = [] ∧ o = none) → (foldl (argAux r) o (tl ++ [hd]) = none ↔ tl ++ [hd] = [] ∧ o = none)


(foldl (argAux r) o tl = none ↔ tl = [] ∧ o = none) → ¬Option.rec (some hd) (fun val => if r hd val then some hd else some val) (foldl (argAux r) o tl) = none


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop

(∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y) ↔ ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x

∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x

Context: S : Set α

Context: hSf : S.Finite

Context: hS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ i ∈ S, Ici i → p x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x

Context: S : Set α

Context: hSf : S.Finite

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⋂ i, (fun x => Ici ↑x) i

Context: y : α

Context: hy : x ≤ y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x

Context: S : Set α

Context: hSf : S.Finite

Context: x y : α

Context: hy : x ≤ y

Context: hS : ∀ ⦃x : α⦄, (∀ i ∈ S, x ∈ Ici i) → p x

Context: hx : ∀ (i : ↑S), x ∈ Ici ↑i


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α

(fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (iUnion s).mulIndicator f a


(fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i).mulIndicator f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : ∀ (a b : C), HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D

Context: c : C

Context: d : D

Context: F : C ⥤ D

Context: f : (evaluationLeftAdjoint D c).obj d ⟶ F

Context: x : C

Context: g : c ⟶ x

(Sigma.ι (fun x => d) g ≫ Sigma.desc fun h => (Sigma.ι (fun x => d) (𝟙 c) ≫ f.app c) ≫ F.map h) = Sigma.ι (fun x => d) g ≫ f.app x


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

(∃'θ).Realize v xs ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)


(∃ x, ¬(∼θ).Realize v (snoc xs x)) ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α

variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ab : a < b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a : α

variationOnFromTo f s a a = -variationOnFromTo f s a a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ba : b < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i✝ : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → α
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j

∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i = ∏ i ∈ s, f i


Context:
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A✝ A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial


LinearMap.range (LinearMap.codRestrict (oneCocycles A) 0 ⋯) = ⊥


Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : F →L[𝕜] E

IsSelfAdjoint ((adjoint S).comp (T.comp S))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : F →L[𝕜] E

adjoint ((adjoint S).comp (T.comp S)) = (adjoint S).comp (T.comp S)


((adjoint S).comp T).comp S = (adjoint S).comp (T.comp S)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

S.Exact ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g


LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g


Context:
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ

DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(a 0) * z + ↑(a 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}


Context:
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
ha : a ≠ 0


Context: k : ℤ

DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(0 0) * z + ↑(0 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Equicontinuous F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: ι : Type u_4

Context: F : ι → β → α

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: h : Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: ι : Type u_4

Context: F : ι → β → α

Context: inst✝ : CompactSpace β

UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ

(trunc n 0).coeff m = Polynomial.coeff 0 m


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : MeasurableSet s
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : ¬MeasurableSet s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s


Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: κ : ι → Sort u_5

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: hs : Balanced 𝕜 s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Context: y : E

Context: hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Context: u v : ℝ

Context: hu : 0 ≤ u

Context: hv : 0 ≤ v

Context: huv : u + v = 1

Context: a : 𝕜

Context: ha : ‖a‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: κ : ι → Sort u_5

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: hs : Balanced 𝕜 s

Context: x : E

Context: y : E

Context: u v : ℝ

Context: hu : 0 ≤ u

Context: hv : 0 ≤ v

Context: huv : u + v = 1

Context: a : 𝕜

Context: ha : ‖a‖ ≤ 1

u • a • x + v • a • y ∈ (convexHull ℝ) s


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'


Context: α β : Type u

Context: β' : Type v

Context: inst✝ : Infinite α

Context: leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'

Context: e : α ≃ β'

Context: e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = lift.{u, max u v} #(α ≃ β')


Context: α β : Type u

Context: β' : Type v

Context: inst✝ : Infinite α

Context: leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'

Context: e : α ≃ β'

Context: e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = lift.{u, max u v} #(α → β')


Context: α β : Type u

Context: β' : Type v

Context: inst✝ : Infinite α

Context: leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'

Context: e : α ≃ β'

Context: e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = #(α ≃ β')

Context: e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = #(α → β')


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i


(compHom (mulHom A)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci

(((((((compHom (mulHom A)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx


((mulHom A) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of A ci) cx) = ((mulHom A) ((of A ai) ax)) (((mulHom A) ((of A bi) bx)) ((of A ci) cx))


(of A (ai + bi + ci)) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) cx) = (of A (ai + (bi + ci))) (GradedMonoid.GMul.mul ax (GradedMonoid.GMul.mul bx cx))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : SurjOn f E N.E

(N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f g : α → β
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f g : α → β

Context: a✝ : List α

Context: h : ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝, f x = g x

map f (Quot.mk Setoid.r a✝) = map g (Quot.mk Setoid.r a✝)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : TM2.Supports M S
l' : Λ'
h : l' ∈ trSupp M S


∀ (q : Stmt₂), TM2.SupportsStmt S q → (∀ x ∈ trStmts₁ q, x ∈ trSupp M S) → TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal q) ∧ ∀ l' ∈ trStmts₁ q, TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (tr M l')


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)

↑↑((c • L).compLp f) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • L.compLp f)


(fun a => (c • L) (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • L.compLp f)


(fun a => (c • L) (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(L.compLp f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: 𝕜' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜'

Context: inst✝² : Module 𝕜' F

Context: inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F

Context: c : 𝕜'

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: x : α

Context: hx : ↑↑(L.compLp f) x = (fun a => L (↑↑f a)) x

(fun a => (c • L) (↑↑f a)) x = (c • ↑↑(L.compLp f)) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length

(a.blocks.splitWrtComposition b)[↑i].length = b.blocksFun i


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'

Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor B f) ↔ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lcomp R (CharacterModule B) f)


Context:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: ifp : IntFractPair K

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: ifp : IntFractPair K

Context: this : gp = { a := 1, b := ↑ifp.b }


Context:
A : Type v
inst✝⁶ : Ring A
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type w
C : Type w₁
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring C
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R C
f✝ : A →ₐ[R] B
g✝ : B →ₐ[R] C
f g : A →ₐ[R] B
h : f.toLieHom = g.toLieHom
a : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum κ) a) s = ∑' (n : ι), ((κ n) a) s


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m

(bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R n) = X n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

(W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))) * (algebraMap R (MvPolynomial ℕ R)) (⅟↑p ^ n) = X n * C (↑p ^ n) * C (⅟↑p ^ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = X n * C (↑p ^ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

∀ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: i : ℕ

Context: h : i ∈ range n

C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: i : ℕ

Context: h : i < n


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
a₁ s₁ : A
a₂ s₂ : ↥S

mk a₁ a₂ * x • mk s₁ s₂ = x • (mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)

Context: hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v

Context: hγ' : IsIntegralCurve γ' v

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: t : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v

Context: hγ' : IsIntegralCurve γ' v

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: t T : ℝ

Context: ht₀ : t ∈ Ioo (-T) T

Context: ht : t₀ ∈ Ioo (-T) T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : { center := p, radius := r }.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere { center := p, radius := r }.center { center := p, radius := r }.radius → { center := p, radius := r } = s.circumsphere


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : Set.range s.points ⊆ Metric.sphere p r → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : (∀ p_1 ∈ Set.range s.points, p_1 ∈ { center := p, radius := r }) → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj

f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' e.source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => -f y) x


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
m : M
v : Fin n → M

(ι R) (Matrix.vecCons m v 0) * (ιMulti R n) (Matrix.vecTail (Matrix.vecCons m v)) = ((LinearMap.mulLeft R ((ι R) m)).compAlternatingMap (ιMulti R n)) v


(ι R) (Matrix.vecCons m v 0) * (ιMulti R n) v = ((LinearMap.mulLeft R ((ι R) m)).compAlternatingMap (ιMulti R n)) v


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: F✝ : Filter ι

Context: inst✝⁷ : F✝.NeBot

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : OrderTopology R

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S

Context: inst✝² : TopologicalSpace S

Context: inst✝¹ : OrderTopology S

Context: F : Filter R

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: f : R → S

Context: f_decr : Antitone f

Context: f_cont : ContinuousAt f F.limsSup

Context: bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝

Context: cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: F✝ : Filter ι

Context: inst✝⁷ : F✝.NeBot

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : OrderTopology R

Context: inst✝² : TopologicalSpace S

Context: inst✝¹ : OrderTopology S

Context: F : Filter R

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: f : R → S

Context: f_decr : Antitone f

Context: f_cont : ContinuousAt f F.limsSup


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hg : ContinuousAt g a

Context: hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)

Context: hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y

Context: this : (fun x => g x - g a - f'.symm (x - a)) =O[𝓝 a] fun x => f' (g x - g a) - (x - a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: g : F → E

Context: a : F

Context: hg : ContinuousAt g a

Context: hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)

Context: hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y

(fun x => f' (g x - g a) - (x - a)) =o[𝓝 a] fun x' => x' - a


∀ (x : F), f (g x) = x → (fun x => ↑f' (g x - g a) - (f (g x) - f (g a))) x = f' (g x - g a) - (x - a)


((fun x' => x' - g a) ∘ g) =O[𝓝 a] fun x' => x' - a


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (a : α) → W a ≃ Z (h₁ a)
f : (a : α) → W a
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

#((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) = max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)


#((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) ≤ max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)


max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i) ≤ #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n))


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬S = ⊥


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : SMul K A

Context: inst✝ : IsScalarTower K A V

Context: h : finrank K V = 1

Context: this : Nontrivial V

Context: S : Submodule A V

Context: hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥

restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : SMul K A

Context: inst✝ : IsScalarTower K A V

Context: h : finrank K V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: S : Submodule A V

Context: this : FiniteDimensional K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : SMul K A

Context: inst✝ : IsScalarTower K A V

Context: h : finrank K V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: S : Submodule A V

Context: this : FiniteDimensional K V

finrank K V ≤ finrank K ↥(restrictScalars K S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle


∀ (x : α), (List.count x p.support - if f x = (List.map (⇑f) p.support).head ⋯ then 1 else 0) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
x v✝ : α
y : G.Adj a v✝
p : G.Walk v✝ a
hp : (cons y p).IsHamiltonianCycle

(List.count x (cons y p).support - if f x = (List.map (⇑f) (cons y p).support).head ⋯ then 1 else 0) = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : -0 < -G


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : 0 < G


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: x✝ : x ∈ f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: x✝ : x ∈ f.range

Context: hx0 : ¬x = 0


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
x✝ : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.update n a).coeff x✝ = Function.update { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n a x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : MeasurableSpace α
hsep : CountablySeparated α
h : m ≤ m'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m m' : MeasurableSpace α

Context: h : m ≤ m'

Context: hsep : HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet univ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
s : Set E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : 1 < n


Context:
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

gaussSum χ ψ * gaussSum χ⁻¹ ψ⁻¹ = ↑(Fintype.card R)


∑ x : R, ∑ i : R, χ i * ψ i * (χ x⁻¹ * ψ (-x)) = ↑(Fintype.card R)


∑ x : R, ∑ y : R, χ (y * x⁻¹) * ψ (y - x) = ↑(Fintype.card R)


∑ x : R, ∑ c : R, χ c * ψ (x * (c - 1)) = ↑(Fintype.card R)


∑ y : R, ∑ x : R, χ y * ψ (x * (y - 1)) = ↑(Fintype.card R)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
η : ↥(rootsOfUnity n S)

f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm η) = ↑↑η


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
ε : ↥(rootsOfUnity n R)

f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm ((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)) = ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤

(span ℂ (range (fourierLp p))).topologicalClosure = ⊤


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: e_3✝ : Complex.instSemiring = DivisionSemiring.toSemiring

Context: he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule

span ℂ (range (fourierLp p)) = Submodule.map (↑(toLp p haarAddCircle ℂ)) (span ℂ (range fourier))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule

span ℂ (⇑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)

Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ.fst a) univ).toReal)


Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ a) {p | p.1 ∈ univ}).toReal)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)


Context:
a b d m n : ℤ
hb : b ≠ 0
k : ℤ
h : b * a = b * k * d


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f


Measurable fun b => if h : p then f b else sInf ∅


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
this : a + (b + 2) ≤ a * (b + 2)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β

UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S


UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f
hit : i ∉ t


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
a : α
h : a ∈ filter p s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β

(∏ a ∈ filter p s, if p a then f a else 1) = ∏ a ∈ s, if p a then f a else 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
x : α
hs : x ∈ s
h : x ∉ filter p s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
x : α
hs : x ∈ s
h : x ∈ s → ¬p x


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x : A

Context: hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)

Context: hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)

Context: n : ℕ

∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x : A

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial A


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x : A

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial A

(∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x : A

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial A

(fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) 0


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x : A

Context: n✝ : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ m ≤ n, (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) m

(fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) n.succ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
this : h.fintype = inst✝


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))

Context: h : IsCompatible F.val U sf

∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: h : IsCompatible F.val U sf

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: h : IsCompatible F.val U sf

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U

Context: gl : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))

Context: gl_spec : IsGluing F.val U sf gl

Context: gl_uniq : ∀ (y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing F.val U sf s) y → y = gl


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: hf : LinearIndependent S v

Context: sec : N → M × ↥p

Context: hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: hf : LinearIndependent S v

Context: sec : N → M × ↥p

LinearIndependent R fun i => (sec (v i)).1


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Context: sec : N → M × ↥p

∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • (sec (v i)).1 = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: sec : N → M × ↥p

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0

Context: i : ι

Context: hit : i ∈ t


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: sec : N → M × ↥p

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0

Context: i : ι

Context: hit : i ∈ t

(algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = (algebraMap R S) 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: sec : N → M × ↥p

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0

Context: i : ι

Context: hit : i ∈ t

(algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S N

Context: inst✝² : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → N

Context: sec : N → M × ↥p

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0

Context: i : ι

Context: hit : i ∈ t

∑ i ∈ t, (fun i => (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2)) i • v i = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
inst✝¹ : Preorder β₁
inst✝ : Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂

map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α

Nat.rec (g a) (fun n IH => h a (n, IH).2) (f a) = (h a)^[f a] (g a)


Context: s : Set (ℚ × ℚ)


Context: s : Set (ℚ × ℚ)

(∃ i, 0 < i ∧ {p | AbsoluteValue.abs (p.2 - p.1) < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < ↑i} ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e✝ : Pretrivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : F

{ proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m

⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s / t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ

(frobenius x).coeff n = ((map (_root_.frobenius R p)) x).coeff n


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

Context: zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0

Context: i : ι

(nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom + Hom.f 0 i


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

Context: i : ι

(nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom


Context: n : ℕ

ContinuousOn (fun x => term (n + 1) x) (Ici 1)


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

∀ x ∈ Ici 1, AEStronglyMeasurable (fun a => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))


Context: n : ℕ

Integrable (fun x => (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))


Context: n : ℕ

∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ContinuousOn (fun x => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ
y : α
h : y ∈ univ ∧ f y = x


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z

Context: e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: he : ∀ (x : F), ‖e x‖ = ‖x‖


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum

¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = sheafifyLift J (whiskerLeft G.op (toSheafify K F)) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

toSheafify J (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = whiskerLeft G.op (toSheafify K F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
hs : autoParam ∅.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s


(∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}


(s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}) → ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x a : α
hs : autoParam {a}.Finite _auto✝
hx : x ∈ {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x a : α
hs : autoParam {a}.Finite _auto✝
hx : x = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x : α
hs : autoParam {x}.Finite _auto✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
h : IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
x y : X
hxy : x ≠ y

∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
h : IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
x y : X
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : U ∈ {s | IsClopen s}
hxU : x ∈ U
hyU : U ⊆ {y_1 | y_1 ≠ y}


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}
this : y ∈ {y}


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F

Context: Fclosed : IsClosed ↑F


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F

Context: Fclosed : IsClosed ↑F

Context: this : ∃ x, x ∉ F


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F

Context: Fclosed : IsClosed ↑F

Context: this : ∃ x, x ∉ F

Context: x : E

Context: xR : ‖x‖ ≤ R

Context: hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: R : ℝ

Context: hR : ‖c‖ < R

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: s : Finset E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F

Context: Fclosed : IsClosed ↑F

Context: this : ∃ x, x ∉ F

Context: x : E

Context: xR : ‖x‖ ≤ R

Context: hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖y - x‖


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

hausdorffEdist s t = 0 ↔ closure s = closure t


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

(equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α) x / (equivShrink α) y


(equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) / (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
x✝ : E

‖x✝‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑0) x✝‖ ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ t✝ : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: s : Multiset α

Context: h : ∀ (a : α) (t : Multiset α), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t

Context: a : α

Context: le : a ::ₘ a ::ₘ 0 ≤ s

Context: t : Multiset α

Context: s_eq : s = a ::ₘ a ::ₘ 0 + t


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : v ∉ f.vars


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : x v ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty