(((∀ (i : yr), -yR i ⧏ -mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : xl), -mk yl yr yL yR ⧏ -xL j) ↔ (∀ (i : xl), xL i ⧏ mk yl yr yL yR) ∧ ∀ (j : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR j) ∧ (((∃ i, -mk yl yr yL yR ≤ -xR i) ∨ ∃ j, -yL j ≤ -mk xl xr xL xR) ↔ (∃ i, mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ mk yl yr yL yR)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a₁ a₂ a₃ : X
b₁ b₂ b₃ : Y
γ₁ : Path a₁ a₂
δ₁ : Path a₂ a₃
γ₂ : Path b₁ b₂
δ₂ : Path b₂ b₃

(γ₁.prod γ₂).trans (δ₁.prod δ₂) = (γ₁.trans δ₁).prod (γ₂.trans δ₂)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : ↑s ⊆ ↑S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : s ⊆ S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Subsingleton α


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 = Fintype.card n


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T


∀ (X : Over Y), (map (𝟙 Y)).obj X = (𝟭 (Over Y)).obj X


autoParam (∀ (X Y_1 : Over Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Over Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2

Context: inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

(∑ x ∈ p.support, ∑ x_1 ∈ q.support, if x + x_1 = ap + aq then p x * q x_1 else 0) = p ap * q aq


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

∀ b ∈ q.support, b ≠ aq → (if ap + b = ap + aq then p ap * q b else 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

aq ∉ q.support → (if ap + aq = ap + aq then p ap * q aq else 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

∀ b ∈ p.support, b ≠ ap → (∑ x ∈ q.support, if b + x = ap + aq then p b * q x else 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

ap ∉ p.support → (∑ x ∈ q.support, if ap + x = ap + aq then p ap * q x else 0) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: hu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: hgu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝

Context: hgu_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g (u x)) _auto✝

g (limsup u f) = limsup (fun x => g (u x)) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

limsup (fun x => g (u x)) f ≤ g (limsup u f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

g (g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f)) ≤ g (limsup u f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f) ≤ limsup u f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hf : u = fun i => g.symm (g (u i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hf : u = fun i => g.symm (g (u i))

g.symm (limsup (fun x => g (u x)) f) ≤ limsup (fun i => g.symm (g (u i))) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hf : u = fun i => g.symm (g (u i))

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => g.symm (g (u x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hf : u = fun i => g.symm (g (u i))

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => u x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
s : Set α
x✝ : ∃ i, {s | #↑s < c} i ∧ iᶜ ⊆ s
_t : Set α
htf : {s | #↑s < c} _t
hts : _tᶜ ⊆ s


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
s : Set α
x✝ : ∃ i, {s | #↑s < c} i ∧ iᶜ ⊆ s
_t : Set α
htf : {s | #↑s < c} _t
hts : _tᶜ ⊆ s
this : #↑sᶜ < c


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Fintype I
inst✝² : Fintype J
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
x✝¹ x✝ : Matrix I I (Matrix J J R)
i✝ j✝ : I × J

__spread✝⁻⁰.toFun (x✝¹ * x✝) i✝ j✝ = (__spread✝⁻⁰.toFun x✝¹ * __spread✝⁻⁰.toFun x✝) i✝ j✝


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
a : ↥S.leftInv
b : M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: H : ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T), Q (g.comp f) → Q g

Context: Z : Scheme

Context: hZ : IsAffine Z

Context: Y : Scheme

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hY✝ : IsAffine Y

Context: X : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : P (f ≫ g)

Context: hY : IsAffine X


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: Z : Scheme

Context: hZ : IsAffine Z

Context: Y : Scheme

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hY✝ : IsAffine Y

Context: X : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Q (Scheme.Hom.app (f ≫ g) ⊤)

Context: hY : IsAffine X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: p : ι → Prop

Context: s : X → ι → Set X

Context: h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)

Context: h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)

Context: x : X

(𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: p : ι → Prop

Context: s : X → ι → Set X

Context: h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)

Context: x : X

∀ (i : ι), p i → ∃ i', (i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i') ∧ id i' ⊆ s x i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: p : ι → Prop

Context: s : X → ι → Set X

Context: h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)

Context: x : X

∀ (i' : Set X), i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i' → ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id i'


Context:
a : ℤ
b : ℕ

{0, 1, -1} = ↑(MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom)


Context:
a : ℤ
b : ℕ

{0, -1, 1} = ↑(MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom)


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: x✝ : ℤ

Context: ha' : x✝ ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯

x✝ ∈ (MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom).copy {0, 1, -1} ⋯


Context: a : ℤ

Context: b p : ℕ

Context: hp : p ∈ b.primeFactorsList

Context: ha' : legendreSym p a ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯

legendreSym p a ∈ (MonoidHom.mrange ↑SignType.castHom).copy {0, 1, -1} ⋯


Context: a : ℤ

Context: b p : ℕ

Context: hp : p ∈ b.primeFactorsList

Context: this : Fact (Nat.Prime p)


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : i ≠ j
a b c d : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I

(transAt i (transAt j a b) (transAt j c d)) y✝ = (transAt j (transAt i a c) (transAt i b d)) y✝


(if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then a (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) else b (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) else if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then c (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) else d (Function.update (Function.update y✝ i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1)))) = if ↑(y✝ j) ≤ 1 / 2 then if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then a (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) else c (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j)))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1))) else if ↑(y✝ i) ≤ 1 / 2 then b (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i)))) else d (Function.update (Function.update y✝ j (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ j) - 1))) i (Set.projIcc 0 1 transAt.proof_2 (2 * ↑(y✝ i) - 1)))


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Bornology G₀
inst✝³ : MulAction G₀ α
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
inst✝² : (cobounded G₀).NeBot
E : Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid E
inst✝ : DistribMulAction G₀ E
s : Set E


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃

Presheaf.IsLocallySurjective J ((sheafToPresheaf J A).map φ) ↔ IsLocallySurjective φ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q✝ : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q✝ : R[X]

Context: h : IsUnit p

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: q : R[X]

Context: hq : p * q = 1

Context: this : (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q✝ : R[X]

Context: h : IsUnit p

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: q : R[X]

Context: hq : p * q = 1

Context: this : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = 0


Context: C D : Type u₁

Context: inst✝⁹ : SmallCategory C

Context: inst✝⁸ : SmallCategory D

Context: E : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u₁, u₂} E

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory E

Context: inst✝⁵ : HasLimits E

Context: inst✝⁴ : HasColimits E

Context: inst✝³ : ReflectsLimits (forget E)

Context: inst✝² : PreservesFilteredColimits (forget E)

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget E)

Context: inst✝ : HasFiniteLimits C

Context: F : C ⥤ D

Context: H : RepresentablyFlat F.op.lan

Context: this✝ : PreservesFiniteLimits F.op.lan

Context: this : PreservesFiniteLimits F


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
h : IsUnit a
a✝ : Nontrivial A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: h : IsUnit a

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: a' : ↥(elementalStarAlgebra ℂ a) := ⟨a, ⋯⟩


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: h : IsUnit a

Context: a✝ : Nontrivial A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: h : IsUnit (star a * a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: h : IsUnit (star a * a)

Context: h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: h : IsUnit (star a * a)

Context: h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0

Context: u : (↥(elementalStarAlgebra ℂ a))ˣ := (Units.map ↑(algebraMap ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))) (Units.mk0 (↑‖star a * a‖) h₁)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: h : IsUnit (star a * a)

Context: h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0

‖star a' * a' - (algebraMap ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a)) ↑‖star a * a‖‖ < ‖star a * a‖


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: h : IsUnit (star a * a)

Context: h₁ : ↑‖star a * a‖ ≠ 0

Context: h₂ : ∀ z ∈ spectrum ℂ ((algebraMap ℂ A) ↑‖star a * a‖ - star a * a), ‖z‖₊ < ‖star a * a‖₊


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ

(Algebra.adjoin R s).unop = Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)


(Algebra.adjoin R s).unop.toSubsemiring = (Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)).toSubsemiring


Subsemiring.closure (MulOpposite.op ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ) ∪ MulOpposite.op ⁻¹' s) = Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ MulOpposite.op ⁻¹' s)


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖

Context: h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n

Context: x : ℝ

∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n

Context: x : ℝ

Context: F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n

Context: x : ℝ

Context: this : Summable (fourierCoeff ⇑F)


Context: f : C(ℝ, ℂ)

Context: h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n

Context: x : ℝ

Context: this : Summable (fourierCoeff ⇑F)

∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x = ∑' (b : ℤ), fourierCoeff (⇑F) b • (fourier b) ↑x


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F

(algebraMap (RatFunc F) (LaurentSeries F)) ((algebraMap F[X] (RatFunc F)) p / (algebraMap F[X] (RatFunc F)) q) = (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) p / (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) q


Context:
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: b b' x : F

(tangentBundleCore 𝓘(𝕜, F) F).coordChange (achart F b) (achart F b') x = 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
h : f =ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context: m n a b c d : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x ⊓ y \ z = (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ z)


(y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ z)


(y ⊓ z ⊔ (y ⊓ x ⊔ y \ x)) ⊓ (y ⊓ x ⊔ (y ⊓ z ⊔ y \ z)) = (y ⊓ z ⊔ y) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y)


y ⊓ (x ⊔ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)


(y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = y ⊓ x ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) ⊔ y ⊓ z ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)


y ⊓ x ⊓ y \ x ⊓ y \ z ⊔ y \ x ⊓ (y \ z ⊓ (y ⊓ z)) = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Finset α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K 0
m₁ : ℤ
h₁ : n₁ + 1 = m₁

δ n₁ m₁ (z₁.comp z₂ ⋯) = z₁.comp (δ 0 1 z₂) h₁ + (δ n₁ m₁ z₁).comp z₂ ⋯


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s = ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t = ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r

Context: H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r

Context: h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: this : hausdorffEdist s t ≤ ENNReal.ofReal r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: hp : 0 < p.radius

Context: C r : ℝ

Context: Cpos : 0 < C

Context: rpos : 0 < r

Context: ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n

Context: I : ℝ := ‖↑i.symm‖

Context: a : ℝ

Context: apos : 0 < a

Context: ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1

Context: ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: hp : 0 < p.radius

Context: C r : ℝ

Context: Cpos : 0 < C

Context: rpos : 0 < r

Context: ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n

Context: I : ℝ := ‖↑i.symm‖

Context: a : ℝ

Context: apos : 0 < a

Context: ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Context: S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖

Context: IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a

Context: a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: hp : 0 < p.radius

Context: C r : ℝ

Context: Cpos : 0 < C

Context: rpos : 0 < r

Context: ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n

Context: I : ℝ := ‖↑i.symm‖

Context: a : ℝ

Context: apos : 0 < a

Context: ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Context: a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: hp : 0 < p.radius

Context: C r : ℝ

Context: Cpos : 0 < C

Context: rpos : 0 < r

Context: ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n

Context: I : ℝ := ‖↑i.symm‖

Context: a : ℝ

Context: apos : 0 < a

Context: ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Context: a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩

Context: n : ℕ

‖p.rightInv i n‖ * ↑a' ^ n ≤ (I + 1) * a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1

Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p


(∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a


Context: σ : Type u_1

Context: f : σ → Option σ

Context: a b c : σ

Context: h₁ : Reaches₁ f a c

Context: h₂ : b ∈ f a

Context: b' : σ

Context: hab : b' ∈ f a

Context: hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c


Context: σ : Type u_1

Context: f : σ → Option σ

Context: a b c : σ

Context: h₁ : Reaches₁ f a c

Context: h₂ hab : b ∈ f a

Context: hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

(F.ε ≫ F.map A.one) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (λ_ (F.obj A.X)).hom


F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (A.one ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (λ_ A.X).hom


F.obj A.X ◁ (F.ε ≫ F.map A.one) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (ρ_ (F.obj A.X)).hom


F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (A.X ◁ A.one) ≫ F.map A.mul = F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ A.X).hom


(F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul


F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map (A.mul ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul


F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map ((α_ A.X A.X A.X).hom ≫ A.X ◁ A.mul ≫ A.mul) = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

(F.ε ≫ F.map X✝.one) ≫ F.map f.hom = F.ε ≫ F.map Y✝.one


(F.μ X✝.X X✝.X ≫ F.map X✝.mul) ≫ F.map f.hom = (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom) ≫ F.μ Y✝.X Y✝.X ≫ F.map Y✝.mul


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j


Context:
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
u : V₁ →ₗ[K] V₂
i : ι₁
j : ι₂

(toMatrix B₂.dualBasis B₁.dualBasis) (Module.Dual.transpose u) i j = ((toMatrix B₁ B₂) u)ᵀ i j


Context: x y : ℝ


Context:
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R

Module.rank R M ≤ Module.rank R (M ⧸ M')


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

LinearIndependent R fun (x : ↑↑⟨s, hs⟩) => M'.mkQ ↑x


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Set M

Context: hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Context: hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0

∀ (s_1 : Finset ↑↑⟨s, hs✝⟩) (g : ↑↑⟨s, hs✝⟩ → R), ∑ i ∈ s_1, g i • M'.mkQ ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Set M

∀ (s_1 : Finset ↑s) (g : ↑s → R), ∑ x ∈ s_1, g x • ↑x ∈ M' → ∀ i ∈ s_1, g i = 0


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: g : ↑s → R

Context: hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'

Context: i : ↑s

Context: hi : i ∈ t

Context: r : ↥(nonZeroDivisors R)

Context: hg : r • ∑ x ∈ t, g x • ↑x = 0


Context: R✝ S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M'✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M₁

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: M' : Submodule R M

Context: hN : M' ≤ torsion R M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: g : ↑s → R

Context: hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'

Context: i : ↑s

Context: hi : i ∈ t

Context: r : ↥(nonZeroDivisors R)

Context: hg : ∑ x ∈ t, (↑r * g x) • ↑x = 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: p : ι → Prop

Context: q : ι → ι' → Prop

Context: s : (x : ι) → (y : ι') → p x ∧ q x y → Set α

⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p x ∧ q x y), s x y h = ⋂ x, ⋂ (hx : p x), ⋂ y, ⋂ (hy : q x y), s x y ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n

(∑ x ∈ s, A.cramer fun j => f j x) i = A.cramer (fun j => ∑ x ∈ s, f j x) i


(A.updateColumn i (∑ x ∈ s, fun j => f j x)).det = (A.updateColumn i fun j => ∑ x ∈ s, f j x).det


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i j x✝ : n

(∑ x ∈ s, fun j => f j x) j = ∑ x ∈ s, f j x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
f : R[X]
m : M
n : ℕ

(f • (single R i) m) n = if i ≤ n then f.coeff (n - i) • m else 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra S R

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: i : ℕ

Context: m : M

Context: n : ℕ

Context: p q : R[X]

Context: hp : (p • (single R i) m) n = if i ≤ n then p.coeff (n - i) • m else 0

Context: hq : (q • (single R i) m) n = if i ≤ n then q.coeff (n - i) • m else 0

((p + q) • (single R i) m) n = if i ≤ n then (p + q).coeff (n - i) • m else 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n n✝ : ℕ
a✝ : R

((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) n = if i ≤ n then ((monomial n✝) a✝).coeff (n - i) • m else 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

W.Φ (↑n + 1) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1


((X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1) - W.preΨ' (n + 1 + 1) * W.preΨ' n * if Even (↑n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : g ∈ Lp E p μb
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : eLpNorm (↑g) p μb < ⊤
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb

eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ < ⊤


Context: x y : ℝ

sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: c : E

Context: hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y


∀ (X_1 : Over X), (map f ⋙ forget Y).obj X_1 = (forget X).obj X_1


autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget Y).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget X).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.snd a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.2 ∂κ a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Context: sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {XClass W x₁ * XClass W x₂, XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)), YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂, YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₂} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ (span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

(span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)}) = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

∃ x, (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₂)) ∧ (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]

∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → Fq[X]

Context: t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)

Context: ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ

NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioo (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)


NullMeasurableSet (fun p => f p.1 < p.2) (μ.prod volume)


NullMeasurableSet (fun p => p.2 < g p.1) (μ.prod volume)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
a : α
f : Filter β


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

Context: hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

inst✝⁸ = MeasurableSpace.generateFrom ?convert_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α


Context:
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0

(X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p


IsCoprime (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) (X - C z)


X - C ((starRingEnd ℂ) z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : x = yᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s t : Set α
l : Filter α

s ∩ t =ᶠ[l] t ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ t → x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hab : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume

Context: hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' volume

Context: ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

Context: hub : Tendsto ub lt lb

Context: hvb : Tendsto vb lt lb

(fun t => ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x) - ((vb t - ub t) • cb - (va t - ua t) • ca)) =o[lt] fun t => ‖va t - ua t‖ + ‖vb t - ub t‖


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : a ∈ l₂
l₁ : List α

(a :: l₁).diff l₂ = l₁.diff (l₂.erase a)


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B

((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β)).app b = (rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : C ⥤ D

Context: R₂ : D ⥤ C

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: b : B

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp α (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : C ⥤ D

Context: R₂ : D ⥤ C

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: b : B

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv) ≫ whiskerRight α (𝟭 D)) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) (𝟭 C) ≫ whiskerLeft H ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))

((mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G β ≫ α)).app b = ((mateEquiv adj₁ adj₂) α ≫ whiskerLeft H ((Trans.trans (Trans.trans (L₃.leftUnitor.homCongr L₂.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₂ adj₃)) (R₂.rightUnitor.homCongr R₃.leftUnitor)) β)).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : C ⥤ D

Context: R₂ : D ⥤ C

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: b : B

Context: vcompb : ((mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft G (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv) ≫ whiskerRight α (𝟭 D))).app b = (whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) (𝟭 C) ≫ whiskerLeft H ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : C ⥤ D

Context: R₂ : D ⥤ C

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: b : B

Context: vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (G.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj (H.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H.obj b))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app (H.obj b))

({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (whiskerLeft G β ≫ α)).app b = ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α ≫ whiskerLeft H ((Trans.trans (Trans.trans (L₃.leftUnitor.homCongr L₂.rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft (R₂ ⋙ 𝟭 C) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₂ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₂.counit (𝟭 D ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₂.unit (𝟭 C ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₂ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₂ ⋙ 𝟭 D) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) (R₂.rightUnitor.homCongr R₃.leftUnitor)) β)).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : C ⥤ D

Context: R₂ : D ⥤ C

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: b : B

adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (G.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj (H.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H.obj b))) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app (H.obj b))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
y : β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

{x | x ∈ s ∧ f x = y}.ncard ≠ 0 ↔ y ∈ f '' s


y ∈ f '' s → {x | x ∈ s ∧ f x = y}.ncard ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
z : α
hz : z ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)

Context: K : ∀ (i j : ι), ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty) i j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp a (b - p) = toIocDiv hp a b - 1


Context:
n : ℕ
hn : 1 < n
w z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
s : Stream' α


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
b0 : b ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..d, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..b, f x ∂μ


Context:
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
V : FDRep k G

⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = ↑(finrank k ↥(invariants V.ρ))


⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = (trace k (CoeSort.coe V)) (averageMap V.ρ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I

∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ x ∈ I, t x), f a = ∏ᶠ (i : ι) (_ : i ∈ I) (j : α) (_ : j ∈ t i), f j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β

LocallyLipschitzOn s f ↔ LocallyLipschitz (s.restrict f)


(∀ (x : ↑s), ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] ↑x, LipschitzOnWith K f t) ↔ ∀ (x : ↑s), ∃ K t, (∃ t_1 ∈ 𝓝[s] ↑x, Subtype.val ⁻¹' t_1 ⊆ t) ∧ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c

∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : 0 < c

Context: this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (a, a), ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : 0 < c

Context: this : ∃ t ∈ 𝓝 a, t ×ˢ t ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : 0 < c

Context: s : Set E

Context: has : s ∈ 𝓝 a

Context: hs : s ×ˢ s ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

∀ {f : α × β → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set (α × β)⦄, MeasurableSet s → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (s.indicator fun x => c)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ ⦃f g : α × β → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) f → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) g → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (f + g)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ ⦃f : ℕ → α × β → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (f n)) → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) fun x => ⨆ n, f n x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n

(Matrix.map 1 fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X


((diagonal fun x => 1).map fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α

(l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l
hb : b ∈ l


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M


∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R

Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))


Function.Injective (⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower R S M

Context: inst✝¹ : Flat R S

Context: inst✝ : Flat S M

Context: I : Ideal R

Context: h : ⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)) = ⇑(↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : IsScalarTower R S M

Context: inst✝¹ : Flat R S

Context: inst✝ : Flat S M

Context: I : Ideal R

Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype (Module.Flat.J R S I)))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: ρs : ρ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: ρs : ρ s ≠ ⊤

Context: A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: ρs : ρ s ≠ ⊤

Context: B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 (⊤⁻¹ * ρ s))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: ρs : ρ s ≠ ⊤

Context: B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : ρ o < ⊤

Context: ρs : ρ s ≠ ⊤

∀ᶠ (c : ℝ≥0) in atTop, μ s ≤ (↑c)⁻¹ * ρ s


Context:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
x y : Matrix m✝ n α
m : m✝

{ toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) m = ({ toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun y) m


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α

0 < infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
this : IsIso (image.ι f)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

(Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)).IsPWO


(Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = x.support


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

(Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)).IsPWO


(Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)) = (AddOpposite.unop x).support


(fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x) = x


AddOpposite.unop ((fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x)) = AddOpposite.unop x


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

{ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y)) = AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card

∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type w'

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: Q : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: toEmbedding✝¹ : M ↪ N

Context: map_fun'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝¹.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x)

Context: map_rel'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x

Context: toEmbedding✝ : M ↪ N

Context: map_fun'✝ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝.toFun ∘ x)

Context: map_rel'✝ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x

Context: h : ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝¹, map_fun' := map_fun'✝¹, map_rel' := map_rel'✝¹ } = ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝, map_fun' := map_fun'✝, map_rel' := map_rel'✝ }

Context: x : M


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L

Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule


Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: x : ↥H

Context: x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule

Context: hαx : x ∈ ↑Weight.ker

Context: hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: x : ↥H

Context: hαx : α x = 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: h : (i : ι) → β₂ i → γ

Context: h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

(mapRange f hf g).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: h : (i : ι) → β₂ i → γ

Context: h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

(mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: h : (i : ι) → β₂ i → γ

Context: h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

∀ x ∈ g.support, x ∉ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).support → h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = 1


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁✝ : ι → Type v₁

Context: β₂✝ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: h : (i : ι) → β₂ i → γ

Context: h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

∏ x ∈ g.support, h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = g.prod fun i b => h i (f i b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoid α

Context: s : Submonoid α

Context: a₁ b₁ : α

Context: a₂ b₂ b : ↥s

Context: c d : α

Context: h : (fun a => mk a b) c = (fun a => mk a b) d


Context:
α : Type u_1
s t u : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x


e.extendSubtype x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁


μ (⋃ b, bif b then s₁ else t₁) = μ (⋃ b, bif b then s₂ else t₂)


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

Context: this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

(vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

Context: this : (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝⁵ : CompactSpace α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_6

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: g : β → C(α, E)

Context: f : C(α, E)

Context: hg : Summable g

Context: hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁵ : CompactSpace α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_6

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: g : β → C(α, E)

Context: f : C(α, E)

Context: hg : Summable g


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivAt f f' x


Context:
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

(F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt


(F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)


((F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)


(uncurry.obj F).map (𝟙 j, f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)


Context:
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K

(D.obj j).ι.app k ≫ (D.map f).hom ≫ (Q j').desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j', k), naturality := ⋯ } } = (D.obj j).ι.app k ≫ (Q j).desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ 𝟙 c.pt


(F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCocones F

Context: Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)

Context: c : Cocone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k)


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCocones F

Context: Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)

Context: c : Cocone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : ((F.map f).app k ≫ (F.obj j').map (𝟙 k)) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCocones F

Context: Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)

Context: c : Cocone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)

φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L