Context: α : Type u_1

Context: sel : Set α → Option α

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h₁ : enumerate sel s n₁ = some a

Context: h₂ : enumerate sel s n₂ = some a

Context: hn : n₁ ≤ n₂


Context: α : Type u_1

Context: sel : Set α → Option α

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s

Context: h₁ : enumerate sel s n₁ = some a

Context: h₂ : enumerate sel s n₂ = some a

Context: hn : n₂ ≤ n₁


Context: α : Type u_1

Context: sel : Set α → Option α

Context: n₂ n₁ : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: h₂ : enumerate sel s n₂ = some a

Context: h₁ : enumerate sel s n₁ = some a

Context: hn : n₁ ≤ n₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

Context: x : FirstObj P X

Arrows.Compatible P π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).hom x) ↔ firstMap P X π x = secondMap P X π x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : FirstObj P X

Arrows.PullbackCompatible P π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).hom x) ↔ firstMap P X π x = secondMap P X π x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

(-(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁) ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃ ≫ (-(shiftFunctor C (-1)).map Y✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁)


(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map (X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁


(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C (-1)).map ((shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁


(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1 ⋙ shiftFunctor C (-1)).map f.1 ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁ = (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C (-1)).map ((shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁


X✝.invRotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃) = f.hom₂ ≫ Y✝.invRotate.mor₃


X✝.mor₂ ≫ (𝟭 C).map f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.obj₃ = X✝.mor₂ ≫ f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.3


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f μ

‖Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ


∫ (a : α), ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x✝ : A
f : A →ₐ[R] B
x : A


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M
this : ∀ (a : M), a ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → M
s : Finset α
t : Finset β

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s) (j : β) (_ : j ∈ ↑t), f i j = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ ↑t) (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i j


∏ i ∈ s, ∏ i_1 ∈ t, f i i_1 = ∏ i ∈ t, ∏ i_1 ∈ s, f i_1 i


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.im = w.im


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume

Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0

∀ᶠ (x : V) in cocompact V, dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v) 0 < ε


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: hI : dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) 0 < ε / 2

dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2

‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ ≤ ε / 2


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2 + ε / 2


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M

g ((ι Q) m) * g ((ι Q) m) = (algebraMap R A) (Q m)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ

dickson 1 1 (m * n) = (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1


dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) (m * n) = (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) m).comp (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) n)


map (Int.castRingHom R) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom R) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))


map (Int.castRingHom ℚ) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom ℚ) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))


((Chebyshev.T ℚ ↑m + Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X) = ((Chebyshev.T ℚ ↑m + Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp ((Chebyshev.T ℚ ↑n + Chebyshev.T ℚ ↑n).comp (C ⅟2 * X))


((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X) = (((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X)


(2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = ((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)


(2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp ((C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n))


Chebyshev.T ℚ ↑n = (C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s


Measurable fun x => (sum (sFiniteSeq ν)) (Prod.mk x ⁻¹' s)


Measurable fun x => ∑' (i : ℕ), (sFiniteSeq ν i) (Prod.mk x ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

memberSubfamily a (𝒜 ∪ ℬ) = memberSubfamily a 𝒜 ∪ memberSubfamily a ℬ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
hg : ∀ x ∈ s₂ \ s₁, g x = 1
hfg : ∀ x ∈ s₁, f x = g x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
a : α

count a (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = count a m


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf

∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
h : Subsingleton G
x y : Subgroup G
i : G


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E


(starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 + (starRingEnd 𝕜) ⟪z, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ

closedBall x r = ⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
a : ℝ≥0∞
b : α
s : Set α

(a • dirac b) s = s.indicator (fun x => a) b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
x y : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α

sᶜˢ ⊆ t ↔ s ⊆ tᶜˢ


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: f : α → β

Context: ha : a ∉ s

Context: comm : (↑(cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(cons a s ha).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y z : V

Context: h : Submodule.span ℝ {x} = Submodule.span ℝ {y}


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z, z • x = y


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x z : V
r : ℝˣ

2 • o.oangle x z = 2 • o.oangle (r • x) z


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f' : α → β → γ

Context: g g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t✝ t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c : γ

Context: t : Finset β

Context: hf : ∀ (b : β), Injective fun a => f a b

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f' : α → β → γ

Context: g g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t✝ t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c : γ

Context: t : Finset β

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

(image₂ f s {b}).card ≤ (image₂ f s t).card


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.63975, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryExtensive C

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X

Context: inst✝ : ReflectsFiniteProducts s

Context: hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.63975, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryExtensive C

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X

Context: inst✝ : ReflectsFiniteProducts s

Context: hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s))


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A

f₁ = f₂ ↔ S.pOpcycles ≫ f₁ = S.pOpcycles ≫ f₂


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P

vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₁ -ᵥ p₂}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
Y Z : C
P Q : Subobject Y
f : Z ⟶ Y
h : P ≤ Q


(representative.obj P).Factors f → (representative.obj Q).Factors f


Context:
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin X.len

(h.inv { down := (fun x => (h.hom { down := x }).down) a }).down = a


Context:
X Y : Skeleton
x✝ : IsIsomorphic X Y
h : X ≅ Y
a : Fin Y.len

(h.hom { down := (fun x => (h.inv { down := x }).down) a }).down = a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a < b
f : ℕ → M
ha : a ∉ Ico (a + 1) b

∏ k ∈ Ico a b, f k = f a * ∏ k ∈ Ico (a + 1) b, f k


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length (w₁ * w₂) ≤ cs.length w₁ + cs.length w₂


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w₂ : W

Context: ω₁ : List B

Context: hω₁ : ω₁.length = cs.length (cs.wordProd ω₁)

cs.length (cs.wordProd ω₁ * w₂) ≤ cs.length (cs.wordProd ω₁) + cs.length w₂


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω₁ : List B

Context: ω₂ : List B

Context: hω₂ : ω₂.length = cs.length (cs.wordProd ω₂)

cs.length (cs.wordProd ω₁ * cs.wordProd ω₂) ≤ cs.length (cs.wordProd ω₁) + cs.length (cs.wordProd ω₂)


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω₁ : List B

Context: ω₂ : List B

Context: this : cs.length (cs.wordProd (ω₁ ++ ω₂)) ≤ (ω₁ ++ ω₂).length


Context:
M' : Type u_1
inst✝³ : Monoid M'
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* P
χ : M →* P
h : φ.CompTriple ψ χ
x : M


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R

(A.updateRow i (A i + c • A j)).det = A.det


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
l : List ι
fs : (i : ι) → List (α i)
f : (i : ι) → i ∈ l → α i

f ∈ l.pi fs ↔ f ∈ (↑l).pi fun x => ↑(fs x)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1 + 1), ↑((n + 1 + 1).choose k) * bernoulli k = if n + 1 + 1 = 1 then 1 else 0


∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ↑n / 2


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: f : ∑ k ∈ range n.succ.succ, ↑(n.succ.succ.choose k) * bernoulli' k = ↑n.succ.succ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: f : ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1) = ↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

∑ i ∈ range n, ↑((n + 2).choose (i + 2)) * bernoulli (i + 2) = ∑ k ∈ range n, ↑(n.succ.succ.choose (k + 1 + 1)) * bernoulli' (k + 1 + 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

↑n + 1 + 1 - ↑(n.succ.succ.choose 0) * bernoulli' 0 - ↑(n.succ.succ.choose (0 + 1)) * bernoulli' (0 + 1) = ↑n / 2


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndepSets π κ μ
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ π i

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: inst✝ : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: this : IsAffine ↑U

IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: this : IsIntegral ↑U


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: this : IsIntegral ↑U

IsLocalization (nonZeroDivisors ↑Γ(X, U)) ↑(X.presheaf.stalk (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace))


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: this : IsIntegral ↑U

nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) = (hU.primeIdealOf ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩).asIdeal.primeCompl


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: this : IsIntegral ↑U

nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) = ⊥.asIdeal.primeCompl


Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: this : IsIntegral ↑U

Context: x✝ : ↑Γ(X, U)

x✝ ∈ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) ↔ x✝ ∈ ⊥.asIdeal.primeCompl


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν

∃ ε, 0 < ε ∧ ∃ E, MeasurableSet E ∧ 0 < ν E ∧ VectorMeasure.restrict 0 E ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ¬μ ⟂ₘ ν

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ i, MeasurableSet i ∧ VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) i ∧ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ¬μ ⟂ₘ ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: hf₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict 0 (f n) ≤ VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)

Context: hf₃ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) (f n)ᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 (f n)ᶜ

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ¬μ ⟂ₘ ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ¬μ ⟂ₘ ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A

Context: hA₂ : ∀ (n : ℕ), VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - ((1 / (↑n + 1)) • ν).toSignedMeasure) A ≤ VectorMeasure.restrict 0 A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ¬μ ⟂ₘ ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A

Context: hA₃ : ∀ (n : ℕ), μ A ≤ ↑(1 / (↑n + 1)) * ν A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A

Context: hμ : μ A = 0

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → ν sᶜ ≠ 0

Context: this : ν Aᶜ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A

Context: hμ : μ A = 0

Context: this : ν (⋃ i, f i) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: A : Set α := ⋂ n, (f n)ᶜ

Context: hAmeas : MeasurableSet A

Context: hμ : μ A = 0

Context: this : ν (⋃ i, f i) ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ν (f n)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S✝ S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent S v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

Pairwise fun x y => Disjoint (Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))


Pairwise fun x y => Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)

Context: i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : m ≤ n

Context: i2 : n ≤ m


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : ↑↑X

Hom.stalkMap α x = eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R

(toMatrix₂ b₁' b₂') (((toLinearMap₂ b₁ b₂) M).compl₁₂ ((toLin b₁' b₁) P) ((toLin b₂' b₂) Q)) = (toMatrix₂ b₁' b₂') ((toLinearMap₂ b₁' b₂') (Pᵀ * M * Q))


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
b : β a


⟨a, b⟩ ∈ l₁ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : (ν.trim hm) s = 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : ν s = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : F →L[𝕜] G

HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) x ↔ HasFDerivAt f f' (iso x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f


Context:
A : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.158446, u_1} A'
inst✝³ : Category.{?u.158450, u_2} B'
inst✝² : Category.{?u.158454, u_3} T'
L✝ : A ⥤ T
R✝ : B ⥤ T
C : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} C
D : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} D
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
F : T ⥤ C
X✝ Y✝ : Comma L R
f : X✝ ⟶ Y✝

(L ⋙ F).map f.left ≫ ((fun X => { left := X.left, right := X.right, hom := F.map X.hom }) Y✝).hom = ((fun X => { left := X.left, right := X.right, hom := F.map X.hom }) X✝).hom ≫ (R ⋙ F).map f.right


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂

∀ (v : V), ‖(AddMonoidHom.id V) v‖ ≤ 1 * ‖v‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: a' : α

Context: hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: a' : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: a' : α

Context: x✝ : β

update f b 1 x✝ = if x✝ = b then 1 else f x✝


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : RCLike K
z✝ : K
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
z : K

im (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * im z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
xs : List α
ys : List β

(suffixLevenshtein C xs ys).val = List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: I : Set ι

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

𝓝[I.pi s] x = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, 𝓝[s i] x i = ⊥


Context:
K : Set ℍ
hK : IsCompact K


Context: hK : IsCompact ∅


Context:
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty


Context:
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u


Context:
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝¹ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u
v : ℍ
left✝ : v ∈ K
hv : IsMinOn im K v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
h : x = none


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b
b' : α
h₁ : b' ∈ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx✝ : x ≤ z
hy✝ : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
hx : b ∈ z
hy : b' ∈ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx✝¹ : x ≤ z
hy✝ : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
hx✝ : b ∈ z
hy : b' ∈ z
hx : b = b'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α


σ.cycleType = τ.cycleType ↔ σ.partition = τ.partition


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

(F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X))) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

presheafHom φ (yoneda.obj X) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

yonedaEquiv (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = yonedaEquiv (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

(φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X)))) = yonedaEquiv (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X))


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : SmallCategory J

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K

Context: inst✝⁸ : FinCategory J

Context: F✝ : J × K ⥤ Type v

Context: inst✝⁷ : IsFiltered K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝³ : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: a : K

Context: b : J

colimit.ι (limit F) a ≫ (((isLimitOfPreserves colim (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ colim))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (colimitFlipIsoCompColim F).symm).hom) ≫ limit.π (colimit F.flip) b = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : SmallCategory J

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K

Context: inst✝⁸ : FinCategory J

Context: F✝ : J × K ⥤ Type v

Context: inst✝⁷ : IsFiltered K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝³ : HasColimitsOfShape K C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: a : K

Context: b : J

(limit.π F b).app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : SmallCategory J

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K

Context: inst✝⁸ : FinCategory J

Context: F✝ : J × K ⥤ Type v

Context: inst✝⁷ : IsFiltered K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝³ : HasColimitsOfShape K C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: a : K

Context: b : J

colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (colimit.ι F.flip a).app b


Context: J : Type u₁

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : SmallCategory J

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K

Context: inst✝⁸ : FinCategory J

Context: F✝ : J × K ⥤ Type v

Context: inst✝⁷ : IsFiltered K

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝³ : HasColimitsOfShape K C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: a : K

Context: b : J

colimit.ι (F.obj b) a = (flipCompEvaluation F b).hom.app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ
h : IsOfFinOrder x
h' : y ∈ zpowers x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x : G
i : ℤ
h : IsOfFinOrder x
k : ℤ
h' : x ^ k ∈ zpowers x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


generateFrom (range Iio) = generateFrom (⋃ a, {Iio ↑a})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsLUB (range Rat.cast ∩ Iio a) a


MeasurableSet (⋃ y ∈ Rat.cast ⁻¹' Iio a, Iio ↑y)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : Module.End R M
m : M
k l : ℕ
hk : k ≤ l
hm : (f ^ k) m = 0


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
x : G
hx : x ∈ ↑(closure (↑H * ↑N))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α

x.swap ∈ s.mulAntidiagonal t a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ

evariance X μ = 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ


(fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ


AEMeasurable (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hX✝ : AEMeasurable X μ

Context: hX : (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0

Context: ω : Ω

Context: hω : ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = 0 ω


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hX✝ : AEMeasurable X μ

Context: hX : X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ

Context: ω : Ω

Context: hω : X ω = ∫ (x : Ω), X x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
i : α
his : i ∈ s
hi : i < y


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.55681
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
P : Generators R T
s : T

(aeval P.val) ((fun x => (MvPolynomial.map (algebraMap R S)) (P.σ x)) s) = s


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: hbc : IsCoprime (-b) (-c)


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: hbc : IsCoprime (-b) (-c)

Context: h3b : ¬3 ∣ b


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
a : α
m : α → Filter β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
f : F


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: inst✝ : IsSimpleGroup G

Context: n : ℕ

Context: ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G

derivedSeries G (n + 1).succ = _root_.commutator G


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: inst✝ : IsSimpleGroup G

Context: n : ℕ


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: inst✝ : IsSimpleGroup G

Context: n : ℕ

Context: h : ⁅⊤, ⊤⁆ = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: inst✝ : IsSimpleGroup G

Context: n : ℕ

Context: h : ⁅⊤, ⊤⁆ = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a

𝓝[≤] a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), 𝓟 (Ioc l a)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁ : p₁ + n₁ = p₂
h₂ : p₂ + n₂ = p₃


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Epi f ↔ Function.Surjective ((forget C).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Epi ⇑((forget₂ C Ab).map f) ↔ Epi ((forget C).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Arrow.mk ⇑((forget₂ C Ab).map f) ≅ Arrow.mk ((forget C).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C


Context:
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

(bit a m).xor (bit b n) = bit (xor a b) (m.xor n)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0

(shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).hom.app X = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)


(pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₃ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' (OppositeShift C ℤ) b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₂ b₂ ⋯).inv.app ((shiftFunctor (OppositeShift C ℤ) b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1)) a₂).map ((pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₁ b₁ ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)


(pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₃ b₃ ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₂ b₂ ⋯).inv.app ((shiftFunctor (OppositeShift C ℤ) b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1)) a₂).map ((pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) a₁ b₁ ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).inv.app X)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Context: x : γ

κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ x ∈ κ.mutuallySingularSetSlice η a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
hb : IsLeftRegular b


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x a : M

Context: n m : ℕ

Context: ha : 1 ≤ a

Context: h : n ≤ m

Context: k : ℕ

Context: hk : n + k = m


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Monad C
x✝ : C

(MonoidalCategory.whiskerRight M.μ M.toFunctor ≫ M.μ).app x✝ = ((MonoidalCategory.associator M.toFunctor M.toFunctor M.toFunctor).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft M.toFunctor M.μ ≫ M.μ).app x✝


Context: C : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} C

Context: R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M' : PresheafOfModules R'

Context: α : R ⟶ R'

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)

{ toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun x


Context: C : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} C

Context: R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M' : PresheafOfModules R'

Context: α : R ⟶ R'

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: eq : (R.map f ≫ α.app Y) r = (α.app X ≫ R'.map f) r


Context: C : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} C

Context: R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M' : PresheafOfModules R'

Context: α : R ⟶ R'

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: r : ↑(R.obj X)

(R'.map f) ((α.app X) r) • (M'.presheaf.map f) x = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯ }.toFun x


Context: C : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} C

Context: R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M' : PresheafOfModules R'

Context: α : R ⟶ R'

Context: X : Cᵒᵖ

((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (𝟙 X)) x = ((ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X)) x


Context: C : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} C

Context: R R' : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M' : PresheafOfModules R'

Context: α : R ⟶ R'

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Cᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: x : ↑((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) X✝)

((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (f ≫ g)) x = ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((fun {X Y} f => { toFun := ⇑(M'.map f), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) g) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app ((fun X => (ModuleCat.restrictScalars (α.app X)).obj (M'.obj X)) Z✝)) x


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeSemigroup α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x✝ : FreeSemigroup α
x : α
y : FreeSemigroup α
hx : f (of x) = g (of x)
hy : f y = g y


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
V : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe V

(RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule).symm (V.ρ.asModuleEquiv.symm ((V.ρ g) x)) = ((Representation.ofModule ↑(ModuleCat.of (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule)) g) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule).symm (V.ρ.asModuleEquiv.symm x))


(MonoidAlgebra.of k G) g • V.ρ.asModuleEquiv.symm x = ((Representation.ofModule ↑(ModuleCat.of (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule)) g) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) V.ρ.asModule).symm (V.ρ.asModuleEquiv.symm x))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: ι : Type u_1

Context: U : ι → ↑X.affineOpens

Context: hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ ↑(U i) ⋯)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: ι : Type u_1

Context: U : ι → ↑X.affineOpens

Context: hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: this : ∀ (i : (X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).J), IsAffine ((X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).obj i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: ι : Type u_1

Context: U : ι → ↑X.affineOpens

Context: hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: i : (X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).J

Q (Scheme.Hom.app ((X.openCoverOfISupEqTop (fun i => ↑(U i)) hU).map i ≫ f) ⊤)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G

Context: hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0

HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0

Context: this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm) (φ.prodFun φ.pt)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0

Context: this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0

g'inv = (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm).comp (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'inv : ∀ (x : G), φ.rightDeriv (g'inv x) = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G) x

Context: hg'invf : ∀ (x : G), φ.leftDeriv (g'inv x) = 0 x

∀ (x : G), g'inv x = ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm ((ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: x : G

g'inv x = ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm ((ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: x : G

(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) (g'inv x) = (ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y : C

((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ ((ℬ Y X).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X Y).isLimit.swapBinaryFan).hom = 𝟙 (tensorObj ℬ X Y)


∀ (j : Discrete WalkingPair), (((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ ((ℬ Y X).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X Y).isLimit.swapBinaryFan).hom) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j = 𝟙 (tensorObj ℬ X Y) ≫ (ℬ X Y).cone.π.app j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
b : β


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)))} = span {(mk W) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x₁) + C y₁))} ⊔ span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)))}


span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)) + C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)) * C (C (W.a₁ + L)))} = span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (C (C W.a₁ * X + C W.a₃) + C (C L * (X - C x₁) + C y₁) + Y)}


Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)) + C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)) * C (C (W.a₁ + L)) = C (C W.a₁ * X + C W.a₃) + C (C L * (X - C x₁) + C y₁) + Y


Y - (-(C (C L) * (C (C (W.addX x₁ x₂ L)) - C (C x₁)) + C (C y₁)) - C (C W.a₁) * C (C (W.addX x₁ x₂ L)) - C (C W.a₃)) + (C X - C (C (W.addX x₁ x₂ L))) * (C (C W.a₁) + C (C L)) = C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃) + (C (C L) * (C X - C (C x₁)) + C (C y₁)) + Y


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
s t : σ
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
hx : M.evalFrom s x = t

∃ q a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ M.evalFrom s a = q ∧ M.evalFrom q b = q ∧ M.evalFrom q c = t


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: heq : M.evalFrom s (List.take (↑n) x) = M.evalFrom s (List.take (↑m) x)


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: hle : ↑n ≤ ↑m


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: hle : ↑n ≤ ↑m

Context: hm : ↑m ≤ Fintype.card σ


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: hle : ↑n ≤ ↑m

Context: hm : ↑m ≤ Fintype.card σ

M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑n) (List.take (↑m) x)) = M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x)) ∧ M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑m) x) = t


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: hle : ↑n ≤ ↑m

Context: hm : ↑m ≤ Fintype.card σ

Context: hq : M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑n) (List.take (↑m) x)) = M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: s t : σ

Context: hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: hx : M.evalFrom s x = t

Context: n m : Fin (Fintype.card σ + 1)

Context: hneq : n ≠ m

Context: hle : ↑n ≤ ↑m

Context: hm : ↑m ≤ Fintype.card σ

M.evalFrom (M.evalFrom s (List.take (↑n) (List.take (↑m) x))) (List.drop (↑m) x) = t


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V

(M * adjMatrix α G) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset w, M v u


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℤ
hn : n < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℤ
hn : n < 0
N : ℕ
h : ↑N = -n


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℤ
N : ℕ
hn : 0 < N
h : ↑N = -n


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C

((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

S ∈ leftTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, (↑s)⁻¹ * g ∈ T


(∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g) ↔ ∀ (g : G), ∃! s, (↑s)⁻¹ * g ∈ T


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

‖⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * ‖f‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

∀ (x : α), ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x → ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

Context: x : α

Context: hx : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x

‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

Context: x : α

‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖ ≤ ‖f‖


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
S : Set (Set α)
hK : IsCompact K
hopen : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hcover : K ⊆ ⋃₀ S

∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ s ∈ S, ball x V ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
S : Set (Set α)
hK : IsCompact K
hopen : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hcover : K ⊆ ⋃ i, ↑i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count a.factors

Context: a✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count (Associates.mk a0).factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count ↑(factors' a0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: hk' : ∀ p ∈ factors' a0, k ∣ Multiset.count p (factors' a0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: u : Multiset { a // Irreducible a }

Context: hu : factors' a0 = k • u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: u : Multiset { a // Irreducible a }

Context: hu : factors' a0 = k • u

Associates.mk a0 = FactorSet.prod ↑u ^ k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: k : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: a0 : α

Context: hz : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: u : Multiset { a // Irreducible a }

Context: hu : factors' a0 = k • u

(Associates.mk a0).factors = (FactorSet.prod ↑u ^ k).factors


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)
inst✝ : DecidableEq η
I : Finset η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i ∉ I, x i = 1
h2 : ∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i ∉ ∅, x i = 1
h2 : ∀ i ∈ ∅, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : AddGroup A

Context: η : Type u_3

Context: f : η → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (f i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: H : Subgroup ((i : η) → f i)

Context: i : η

Context: I : Finset η

Context: hnmem : i ∉ I

Context: ih : ∀ (x : (i : η) → f i), (∀ i ∉ I, x i = 1) → (∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H) → x ∈ H

Context: x : (i : η) → f i

Context: h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1

Context: h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ

constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0) = constantCoeff Φ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

(Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff (wittStructureInt p Φ 0)) = (Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff Φ)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.177771, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
φ₁✝ φ₂✝ φ₃ φ₄ : S₁✝ ⟶ S₂✝
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂


h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ = h.h₂ ≫ S₂.g + h.h₃ + φ₂.τ₃


φ₁.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂


S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ = h.h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h.h₂ + φ₂.τ₂


S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ = h.h₀ + S₁.f ≫ h.h₁ + φ₂.τ₁


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1


J ≤ ⟨(↑I)ᵛ, ⋯⟩


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I


IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap x) y)


∃ y_1, (algebraMap B L) y_1 = ((lmul K L).toLinearMap x) y


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
z : B
left✝ : z ∈ ↑⊤
hz : (Algebra.linearMap B L) z = y * x


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1
x : L
hx : x ∈ (fun a => ↑a) J
y : L
hy : y ∈ restrictScalars A ↑I
z : B
left✝ : z ∈ ↑⊤
hz : (Algebra.linearMap B L) z = x * y


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
m n a b c d : ℕ
h : b ≤ a


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
p : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in cocardinal α hreg, p x) ↔ c ≤ #↑{x | p x}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CommMonoid γ
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α
g : β → γ
a : α
b : γ
hf : HasProd f a
hg : HasProd g b


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r

(∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ ∀ {a b : α}, r a b ↔ f a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
x y : α


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeSup α✝
inst✝⁴ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g✝ : β✝ → α✝
a✝ : α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t

(s ×ˢ t).sup (Prod.map f g) ≤ i ↔ (s.sup f, t.sup g) ≤ i


(∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2) ↔ (∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
l : List α

Quot.mk Setoid.r l ≤ {a} ↔ Quot.mk Setoid.r l = 0 ∨ Quot.mk Setoid.r l = {a}


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ^ a ∣ b

padicValNat p (b / p ^ a) = padicValNat p b - a


Context:
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers s


Context: s : Finset ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 0 ∧ ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
h : s.Nonempty


∅ ⊆ s ∧ ∅ ≠ s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : ℕ → α
hf : CauchySeq f


Context:
n' : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq n'
inst✝³ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nonempty n'
inst✝ : Nontrivial R
A : M
ha : IsUnit A.det
z : ℤ


Context:
n' : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq n'
inst✝³ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nonempty n'
inst✝ : Nontrivial R
A : M
ha : IsUnit A.det
z : ℤ
this : IsUnit (A ^ z).det


Context:
n' : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq n'
inst✝³ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nonempty n'
inst✝ : Nontrivial R
A : M
ha : IsUnit A.det
z : ℤ
this : A ^ z = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ TensorBimod.X P Q ◁ L.actLeft)) ⋯) ⋯ = coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X (P.tensorBimod Q) L)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: C : Type u₁

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: M : Bimod A B

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ▷ L.X) ((α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X L.X).hom ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ L.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ coequalizer.π ((P.tensorBimod Q).actRight ▷ L.X) ((α_ (P.tensorBimod Q).X T.X L.X).hom ≫ (P.tensorBimod Q).X ◁ L.actLeft)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (-n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) < n


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) < ↑n


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β