Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K

R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)


R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
v w : M
i : ι

(h.coeffs (v + w)) i = (h.coeffs v + h.coeffs w) i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
c : R
v : M
i : ι

({ toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun (c • v)) i = ((RingHom.id R) c • { toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun v) i


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt

Context: x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F

Context: this : (𝟭 C).map m.left ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt.hom = s.pt.hom ≫ (Functor.fromPUnit B).map m.right


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F

Context: this : m.left ≫ 𝟙 B = s.pt.hom ≫ 𝟙 B


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a = b
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0


Context:
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a - b = 0
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s

Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOn F p s
g : γ → α

UniformCauchySeqOn (fun n => F n ∘ g) p (g ⁻¹' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
g : γ → α

UniformCauchySeqOnFilter (fun n => F n ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.57632, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝² : S₁.HasHomology
inst✝¹ : S₂.HasHomology
inst✝ : QuasiIso φ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ

↑(filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' < r

Context: hr'₀ : 0 < r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c r'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hr' : ↑r' < r

Context: hr'₀ : 0 < ↑r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hr' : ↑r' < r

Context: hr'₀ : 0 < ↑r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hr' : ↑r' < r

Context: hr'₀ : 0 < ↑r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'

Context: H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f (c + (z - c)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hr' : ↑r' < r

Context: hr'₀ : 0 < ↑r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'

Context: H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hr' : ↑r' < r

Context: hr'₀ : 0 < ↑r'

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

(z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c = (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
x : M
hx1 : x ∈ L
hx2 : p ∣ x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


⋂₀ {t | IsClosed t ∧ s ⊆ t} = ⋂₀ {s_1 | IsOpen s_1ᶜ ∧ s_1ᶜ ⊆ sᶜ}


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Eₘ[s, t] = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2


∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2 = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hsin : Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hsin : ∃ n, ↑n * π = angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hn0 : 0 ≤ n


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hn0 : 0 ≤ n

Context: hn3 : n < 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
s : Set ι

InjOn f s ↔ s.Pairwise fun x x_1 => f x ≠ f x_1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g
hfg' : f - g =ᶠ[𝓝 z₀] 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsConnected X

IsGalois X ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)


Nonempty (Unique (MulAction.orbitRel.Quotient (Aut X) ↑(F.obj X))) ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Infinite
h' : ∃ ε, ε ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
ε : ℝ≥0∞
hne✝ : ε ≠ 0
hε : ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
this : Infinite ↑s
x y : ↑s
hne : x ≠ y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α

Disjoint f g ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, Disjoint s t


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
g : M ≃[L] N
φ : L.Sentence

M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
m n : ℕ
l : List α
h : n ≤ m

modifyNthTail g m (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (m - n) (f l)) n l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α
m : ℕ
h : n ≤ n + m

modifyNthTail g (n + m) (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (n + m - n) (f l)) n l


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : Rˣ
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : a ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : Products I

l ∈ GoodProducts C ↔ l ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : Products I

Products.isGood C l ↔ Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l ∨ Products.isGood C l ∧ term I ho ∈ ↑l


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
r : B
hr : IsPrimitiveRoot r ↑n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ


Context:
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t : Set E

Context: h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

Context: y : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Context: ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t : Set E

Context: h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

Context: y : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t : Set E

Context: h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

Context: y : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k (k * f)
x : α
hx : k x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Set.InjOn f {x | x ∈ s}
x : α
H : x ∈ s


count x (filter (fun a => f x = f a) s) = card (filter (fun a => f x = f a) s)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atBot
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, p x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : Preorder β

Context: l : Filter α

Context: p : β → Prop

Context: f : α → β

Context: hf : Tendsto f l atBot

Context: h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, ∀ y ≤ x, p y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys xs' : List α
hx : xs' ~ xs
h : xs' <+ ys


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β


exterior s ⊆ exterior t → ∀ (x : Set α), exterior t ⊆ x → exterior s ⊆ x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s

(gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂).ball 0 1 = s


{y | (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) y < 1} = s


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V

G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.IsBridge s(v, w)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V

G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsStronglyAtomic α

Context: ha : (Set.Ici a).Infinite

Context: hfin : {x | a ⋖ x}.Finite

Context: h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsStronglyAtomic α

Context: ha : (Set.Ici a).Infinite

Context: hfin : {x | a ⋖ x}.Finite

Context: b : α

Context: hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsStronglyAtomic α

Context: ha : (Set.Ici a).Infinite

Context: hfin : {x | a ⋖ x}.Finite

Context: b : α

Context: hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}

Context: x : α

Context: hax : a ⋖ x

Context: hxb : x ≤ b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u

EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → X → α

Context: x₀ : X

Context: u : α → β

Context: hu : UniformInducing u

Context: this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → X → α

Context: x₀ : X

Context: u : α → β

Context: hu : UniformInducing u

ContinuousAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) x₀


Context: a : Rat


Context: A : Type u'

Context: inst✝¹² : Category.{v', u'} A

Context: inst✝¹¹ : ConcreteCategory A

Context: inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A

Context: inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A

Context: inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A

Context: inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)

Context: inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)

Context: inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)

Context: inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A

Context: X Y : Condensed A

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A

Context: inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A

Context: inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)

Context: inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)

Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))


Context: A : Type u'

Context: inst✝¹² : Category.{v', u'} A

Context: inst✝¹¹ : ConcreteCategory A

Context: X Y : Condensed A

Context: f : X ⟶ Y

IsLocallySurjective (Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.map ((StoneanCompHaus.equivalence A).inverse.map f)) ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁶ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝¹³ : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: Rₚ : Type u_3

Context: Sₚ : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₚ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ

Context: inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ

Context: hRS : Finite R S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u s : Set α

∀ (s : Set α), (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) s → (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, -f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


-∫ (a : ℝ) in Ioc a b, f a ∂μ - -∫ (a : ℝ) in Ioc b a, f a ∂μ = -(∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)

Context: i : ι

Function.Injective ⇑(of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

∀ (x : G i), (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hfx : (f' i j hij) x = 0


Context: n : ℕ


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : Lattice X

Context: inst✝ : JordanHolderLattice X

Context: s : CompositionSeries X

Context: h : IsMaximal (eraseLast s).last (last s)

Context: hs : s.length = 0


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}

sInf {m | p m} + n = sInf {m | p (m - n)}


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
b : ℕ
hb : b ∈ {m | p (m - n)}
hbn : b < n


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅

(condCount s) (t ∩ u) = (condCount (s ∩ t)) u * (condCount s) t


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V

(adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(Fintype.card ↑{p | p.length = n})


(adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(G.finsetWalkLength n u v).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Finite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Infinite β


Context:
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x))


Context:
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

(fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) = fun n => 1 / ↑↑n ^ k * (fourier ↑n) ↑x + 1 / ↑(-↑n) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x


Context:
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) = -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) + 1 / ↑0 ^ k * (fourier 0) ↑x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: hm : f.Monic

Context: hi : Irreducible f

Context: x✝ : ∃ n y, f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [![n]]


Context: n : ℕ

((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [] ++ [![n]]


Context: n : ℕ

((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) = []


Context: n : ℕ

∀ x < n, antidiagonalTuple 0 (n - x) = []


Context:
n x : ℕ
hx : x < n


Context:
x m : ℕ
hx : x < x + m + 1

antidiagonalTuple 0 (x + m + 1 - x) = []


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ closedBall y ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε


Context: b : ℂ

Context: hb : b.re ≠ 0

Context: c T : ℝ

Context: this : b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2 = b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : x ∈ derivedSet (closure A)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: A : Set X

Context: x : X

Context: hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty

∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: A : Set X

Context: x : X

Context: u : Set X

Context: this : (u ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty

Context: hu_open : IsOpen u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : b✝ ≤ ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: a b : α

Context: inst✝ : LE α

Context: h : IsMin a

Context: b✝ : WithTop α

Context: hb : WithTop.toDual ↑a ≤ WithTop.toDual b✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected


(a • ↑(upperClosure s) ∩ a • ↑(lowerClosure s)).OrdConnected


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)


↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂

S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Epi S₁.g ↔ Epi S₂.g


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α

x ∈ Ioo a b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Ioo (min a c) (max b d)


a < x ∧ x < b ∨ c < x ∧ x < d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x < b ∨ x < d)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

S₁.leftHomologyIso.hom ≫ homologyMap φ = leftHomologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.hom


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
t : Set α

m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) = m (t ∩ s₁) + m (t ∩ s₂)


Context: X✝ : Scheme

Context: P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop

Context: h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x

Context: h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X✝ : Scheme

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(X.affineCover.obj (X.affineCover.f x)).toPresheafedSpace

Context: e : (X.affineCover.map (X.affineCover.f x)).val.base y = x


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
pos : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Mul β
γ : Type u_1
inst✝ : Mul γ
f : α → β
g : β → γ
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝³ : DecidableEq α
s✝¹ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
ι✝ : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι✝ → α)
s✝ : Finset α
f : ι✝ → α
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq (ι → α)
inst✝ : Nonempty ι


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g h : Over Y
k : g ⟶ h

(pullback.fst g.hom f ≫ k.left) ≫ h.hom = pullback.snd g.hom f ≫ f


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y

Context: b : ℝ

Context: hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)

Context: hyb : y < b

Context: hbz : b < z


Context:
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n✝ k : ℕ
e : Perm α
s : Set α
h : IsFixedPt (Set.preimage f) s
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
f g h : Over P
R : C
p : R ⟶ f.left
q : R ⟶ g.left
ep : Epi p
Eq : Epi q
comm : p ≫ f.hom = q ≫ g.hom
R' : C
p' : R' ⟶ g.left
q' : R' ⟶ h.left
ep' : Epi p'
eq' : Epi q'
comm' : p' ≫ g.hom = q' ≫ h.hom


(pullback.fst q p' ≫ p) ≫ f.hom = (pullback.snd q p' ≫ q') ≫ h.hom


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
x : MvPolynomial σ R
i : σ

((mvPolynomialBasis R σ).repr ((D R (MvPolynomial σ R)) x)) i = (MvPolynomial.pderiv i) x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α

(s ∪ t).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a


(((∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ (∀ x ∈ t, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ↔ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → x ≠ y → r x y) ∧ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ t → x ≠ y → r x y) ∧ (∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x_2 x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R

W'.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Nonsingular X Y


Y ^ 2 + W'.toAffine.a₁ * X * Y + W'.toAffine.a₃ * Y - (X ^ 3 + W'.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W'.toAffine.a₄ * X + W'.toAffine.a₆) = 0 → W'.a₁ * Y - (3 * X ^ 2 + 2 * W'.a₂ * X + W'.a₄) = 0 → 2 * Y + W'.toAffine.a₁ * X + W'.toAffine.a₃ = 0 → W'.a₁ * X * Y + 3 * W'.a₃ * Y - (2 * W'.a₂ * X ^ 2 + 4 * W'.a₄ * X + 6 * W'.a₆) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: X Y : R

Context: h : Y ^ 2 + W'.toAffine.a₁ * X * Y + W'.toAffine.a₃ * Y - (X ^ 3 + W'.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W'.toAffine.a₄ * X + W'.toAffine.a₆) = 0

Context: hX : W'.a₁ * Y - (3 * X ^ 2 + 2 * W'.a₂ * X + W'.a₄) = 0

Context: hY : 2 * Y + W'.toAffine.a₁ * X + W'.toAffine.a₃ = 0


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)

∀ (i : ι), (b.repr ↑(floor b m)) i = (b.repr m) i


∀ (i : ι), ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i


↑⌊(algebraMap ℤ K) z⌋ = (algebraMap ℤ K) z


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃

(f.f₀ ≫ g.f₀) ≫ S₃.v₀₁ = S₁.v₀₁ ≫ f.f₁ ≫ g.f₁


(f.f₁ ≫ g.f₁) ≫ S₃.v₁₂ = S₁.v₁₂ ≫ f.f₂ ≫ g.f₂


(f.f₂ ≫ g.f₂) ≫ S₃.v₂₃ = S₁.v₂₃ ≫ f.f₃ ≫ g.f₃


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α

x ∈ l∗ ↔ x ∈ {x | ∃ S, x = S.join ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l ∧ y ≠ []}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: h : ‖g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x)‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖

Context: f : F →L[𝕜] G

‖g f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ : E → F →L[𝕜] G

Context: c : F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: f : F →L[𝕜] G

‖f c‖ ≤ ‖f‖ * ‖c‖


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β


Context: a b : ℝ

(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure = ⊤


Context:
a b : ℝ
h : a < b


Context:
a b : ℝ
h : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set ℝ
p q : ℝ → ℝ
hp : MonotoneOn p s
hq : MonotoneOn q s
h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (p - q) s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: s : Set ℝ

Context: p q : ℝ → ℝ

Context: hp : MonotoneOn p s

Context: hq : MonotoneOn q s

Context: h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s

Context: x : ℝ

Context: hxp : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ p s x

Context: hxq : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ q s x

Context: xs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α

countP p (l₁ ++ l₂) = countP p l₁ + countP p l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
hx : x ≠ 0

∏ p ∈ (factors x).toFinset, p ^ count p (factors x) = (∑ a ∈ (factors x).toFinset, count a (factors x) • {a}).prod


(∑ a ∈ (factors x).toFinset, count a (factors x) • {a}).prod = (factors x).prod


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : Dense s
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : (ball x ε).Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β

(∅ ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (∅.gcd f) (s₂.gcd f)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset β

Context: f : β → α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : β

Context: s : Finset β

Context: x✝ : a ∉ s

Context: ih : (s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (s.gcd f) (s₂.gcd f)

(insert a s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd ((insert a s).gcd f) (s₂.gcd f)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ

IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)

Context: h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i

Context: h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ

Context: val✝ : Encodable (ι → ℕ)

Context: e : ℕ → ι → ℕ := fun n => (decode n).iget


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)

Context: h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i

Context: h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ

Context: val✝ : Encodable (ι → ℕ)

⋃ n, (fun n => univ.pi fun i => s i (e n i)) n = univ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I✝ I J : TwoSidedIdeal R


↑I ⊆ ↑J ∧ I ≠ J ↔ ↑I ⊆ ↑J ∧ ↑I ≠ ↑J


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hι : IsEmpty ι


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I

Filter.map (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) ×ˢ Filter.map (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) ≤ 𝓤 F


Filter.map (fun p => (integralSum f vol p.1, integralSum f vol p.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 ({π | π.iUnion = π₀.iUnion} ×ˢ {π | π.iUnion = π₀.iUnion})) ≤ 𝓤 F


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)

Context: μ : Measure β

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hfi : Injective f

Context: μ : Measure β

Context: hs : MeasurableSet s

Injective f ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

Context: i : ι

Context: x : ↥(S i)

((Equiv_iSup S).symm.toEmbedding.comp (Substructure.inclusion ⋯)) x = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
y : F
hy : (algebraMap F ↥L) y = ⟨x, hx⟩


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i

(s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₂


∑ i ∈ s, w₁ i • (p i -ᵥ p j) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p i -ᵥ p j)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι

w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i = j


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i ≠ j


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), eval 1 ((monomial (n - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(n.choose i))) = bernoulli' n


Context: n : ℕ

(if n = 1 then 1 else 0) + _root_.bernoulli n = bernoulli' n


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
inst✝¹ : HasBiproduct (F.obj ∘ f)
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

F.biproductComparison' f ≫ F.biproductComparison f = 𝟙 (⨁ F.obj ∘ f)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

1 ≤ ↑r * ↑r⁻¹


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx : x ∈ closure (e '' {x | p x})

⟨x, hx⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx✝ : x ∈ closure (e '' {x | p x})
hx : x ∈ closure (range fun x => e ↑x)

⟨x, hx✝⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx✝⟩ ∈ univ


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : ι → Filter α
y : Filter β

Tendsto f (⨆ i, x i) y ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f (x i) y


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
j : κ

(if j ∈ s then ∏ b ∈ univ.erase i, s.card else 0) = if j ∈ s then s.card ^ (card ι - 1) else 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M

filter p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K

FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫ (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)).inv ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V = (ρ_ (FGModuleCatDual K V)).hom ≫ (λ_ (FGModuleCatDual K V)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f
i : ι


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k

(k • p).leadingCoeff = k • p.leadingCoeff


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: hts : s ⊆ t

Context: h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0

Context: h : IntegrableOn f t μ

∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: hts : s ⊆ t

Context: h : IntegrableOn f t μ

Context: f' : X → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G

(∀ (g : G), Measure.map (fun x => g * x) μ = μ) ↔ μ.IsMulLeftInvariant


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: x : 𝔸

Summable (norm ∘ fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x)


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0

φ n = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n.factorization.prod fun p k => φ (p ^ k)) = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∀ x ∈ n.factorization.support, φ (x ^ n.factorization x) = x ^ (n.factorization x - 1) * (x - 1)


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support

φ (p ^ n.factorization p) = p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1)


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support
h : 0 < n.factorization p


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → γ
g : γ → δ

g '' image2 f s t = image2 (fun a b => g (f a b)) s t


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂

IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β

(𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ t) id


(𝓝 a ⊓ 𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ t) id


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β
x✝ : Set β

x✝ ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => i.1 ∩ i.2) '' {i | (i.1 ∈ B₁ ∧ a ∈ i.1) ∧ i.2 ∈ B₂ ∧ a ∈ i.2}


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: P : G.Partition

Context: v w : V

Context: h : G.Adj v w

Context: hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: P : G.Partition

Context: v w : V

Context: h : G.Adj v w

Context: hw : w ∈ P.partOfVertex w


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: P : G.Partition

Context: v w : V

Context: h : G.Adj v w

Context: hw : w ∈ P.partOfVertex v


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context: o : Ordinal.{u_1}

(aleph' (succ o)).alephIdx ≤ (succ (aleph' o)).alephIdx


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
ι : Type v
inst✝ : Finite ι
hfp : FinitePresentation R A


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R A

Context: ι : Type v

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hfp : ∃ ι x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

∃ ι_1 x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: f : ι →₀ α

(Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card - 1


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

Tendsto (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) atTop (𝓝 1)


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

(rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log =ᶠ[atTop] fun x => x ^ (a / (b * x + c))


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

EqOn ((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) (Set.Ioi 0)


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0

((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) x = (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) x


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x

rexp (a * (log x / (b * rexp (log x) + c))) = x ^ (a / (b * x + c))


Context:
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x

rexp (a * (log x / (b * x + c))) = rexp (a / (b * x + c) * log x)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : β → α → β

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : l₁ ~ l₂

Context: comm : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → ∀ (z : β), f (f z x) y = f (f z y) x

Context: init : β


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO


(List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO


∀ a₁ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, ∀ a₂ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, List.SublistForall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a₁ a₂ → a₁.prod ≤ a₂.prod


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
b : n → α
a : α
x✝ : m


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
φ : G →* G
hφ : FixedPointFree ⇑φ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: φ : G →* G

Context: hφ : FixedPointFree ⇑φ

Context: x y : G

Context: h : commutatorMap (⇑φ) x = commutatorMap (⇑φ) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ

Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.rec (encode (Option.map f (decode z))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) (decode (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).1 (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).1 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).2.pred))))) n) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1).2)) (Nat.pair (id n) (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = Nat.unpaired (fun m n => encode ((decode m).bind fun a => Option.map (fun n => Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) n) (decode n))) n


Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α

Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (some a)) = encode ((some a).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))


Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) (Nat.unpair n).2 = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2) + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: σ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable δ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β

Context: g : α → ℕ × β → β

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec₂ g

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: m : ℕ

Context: a✝ : Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m) + 1

encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m - 1))) = encode (g a (m, Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m)) + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp (-a) b = p - toIcoMod hp a (-b)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 < b


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.8576, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: x✝ y✝ x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h : ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2

Context: hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖

Context: hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : 1 ≤ r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : r ≤ 1


Context: a : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : n ≤ m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M
inst✝ : T1Space M
p : Submodule R M
f : M →L[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: M₂ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝ : T1Space M

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →L[R] ↥p

Context: hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x

Context: this : LinearMap.ker (ContinuousLinearMap.id R M - p.subtypeL.comp f) = p


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
u : (Matrix m m 𝔸)ˣ
hu : ↑u = U

exp 𝕂 (↑u * A * (↑u)⁻¹) = ↑u * exp 𝕂 A * (↑u)⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl

x ∈ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑f.den


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientWithinAt f f' s x
hs : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ⇑f'
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F β α
inst✝ : SupHomClass F β α
hs : SupClosed s
f : F
a : β
ha : a ∈ ⇑f ⁻¹' s
b : β
hb : b ∈ ⇑f ⁻¹' s

a ⊔ b ∈ ⇑f ⁻¹' s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: P : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)

Context: coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j

Context: x : (i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i

Context: f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯

∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = x ⟨i, hi⟩


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: P : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)

Context: y : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i

∃ y_1, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y_1 = f y ⟨i, hi⟩


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: P : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)

Context: z : R

∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = f ((Ideal.Quotient.mk (∏ i ∈ s, P i ^ e i)) z) ⟨i, hi⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

‖∑' (n : ℕ), x ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: this : ‖∑' (b : ℕ), (fun n => x ^ (n + 1)) b‖ ≤ (1 - ‖x‖)⁻¹ - 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M

(liftAlternating f) ((ιMulti R n) v) = (f n) v


(liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v


Context:
a : ℤ
n : ℕ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this : CompactSpace M'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝¹ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this✝ : CompactSpace M'

Context: this : Nonempty M'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this✝¹ : CompactSpace M'

Context: this✝ : Nonempty M'

Context: this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this✝¹ : CompactSpace M'

Context: this✝ : Nonempty M'

Context: m : M

Context: hm : m ∈ s

Context: idem : ⟨m, hm⟩ * ⟨m, hm⟩ = ⟨m, hm⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α

(a ^ m ∈ Set.range fun x => x ^ n) ↔ a ∈ Set.range fun x => x ^ n


(∃ y c, y = c ^ m ∧ a = c ^ n) ↔ ∃ y, y ^ n = a


Context:
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)


gaussSum χ ψ * gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ * (gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1))


χ ↑(-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑(-1)) = χ (-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift (-1))


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)

Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

Context: t : ↑I × ↑I

(homotopyTo i H) t ∈ Ω^ { j // j ≠ i } X x


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Continuous fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: x✝ : ↑I

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

H ((0, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((0, x✝).2, y✝)) = p ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: x✝ : ↑I

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

H ((1, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((1, x✝).2, y✝)) = q ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: t y : ↑I

Context: yH : y ∈ {0, 1}

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

({ toFun := fun x_1 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_1), continuous_toFun := ⋯ } y) y✝ = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: t y : ↑I

Context: yH : y ∈ {0, 1}

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

H ((t, y).1, (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝)) = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: t y : ↑I

Context: yH : y ∈ {0, 1}

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

(Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) ∈ Cube.boundary N


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: t y : ↑I

Context: yH : y ∈ {0, 1}

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

(Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 0 ∨ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: t y : ↑I

Context: yH : y ∈ {0, 1}

Context: y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f g : α → β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)

Context: this✝ : BorelSpace (β × β)


Context: a b c : EReal


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1

↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
γ : Type u_2
s : TopologicalSpace β
B₁ : Set (Set α)
B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
f₁ : γ → α
f₂ : γ → β

IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => f₁ ⁻¹' x ∩ f₂ ⁻¹' x_1) B₁ B₂)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C

e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X) = 𝟙 (e.functor.unop.obj X)


(e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X)).op = (𝟙 (e.functor.unop.obj X)).op


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

a ∆ (b ∆ c) = a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ


a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ = a ⊓ b ⊓ c ⊔ a ⊓ bᶜ ⊓ cᶜ ⊔ b ⊓ cᶜ ⊓ aᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ ⊓ aᶜ


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context: n : ℕ∞

1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s t : Set α
hst : s ⊆ t

comap (fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 ↑t) = 𝓤 ↑s


comap ((fun q => (↑q.1, ↑q.2)) ∘ fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 α) = comap (fun q => (↑q.1, ↑q.2)) (𝓤 α)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β


∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun x => {f x}) = map f s → ((a ::ₘ s).bind fun x => {f x}) = map f (a ::ₘ s)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X✝ : C

Context: S : Sieve X✝

Context: R : Presieve X✝

Context: E : Aᵒᵖ

Context: π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ X✝

Context: g : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

(fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X✝ : C

Context: S : Sieve X✝

Context: R : Presieve X✝

Context: E : Aᵒᵖ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ X✝

Context: g : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

𝟙 ((unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).obj (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ })) ≫ (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X✝ : C

Context: S : Sieve X✝

Context: R : Presieve X✝

Context: E : Aᵒᵖ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ X✝

Context: g : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

𝟙 (unop E) ≫ π.app (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ }) = π.app (op { obj := Over.mk f, property := hf }) ≫ P.map g.op


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

(unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f ≫ (S.arrows.diagram.op ⋙ P).map g


(unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯


𝟙 (unop E) ≫ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯


↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯


g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom = (unop f').obj.hom


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α

Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Div G✝

Context: inst✝³ : ContinuousDiv G✝

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousSub G

Context: b c : G

Context: f : α → G

Context: l : Filter α

Context: h : Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Collinear k s

Context: p : P

Context: this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Collinear k s

Context: p : P

finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α

⋃ i, ⋃ j, s i j = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∈ s i j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (b : (gluing 𝒰 f g).diagram.R), Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p1 𝒰 f g ≫ f = Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p2 𝒰 f g ≫ g


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : ∀ (x : α), f x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : range f ⊆ s


Context:
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (-x)
x✝ : x ∈ Set.range Rat.cast
q : ℚ
hx : ↑q = x


Context:
a b : EReal
h : a ≤ -b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ


∀ ⦃ε : ℝ≥0⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
w : n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)

Context: hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

Context: i : ι

Context: hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1

Context: h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1

Context: h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)