Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.53320, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.53324, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A

e.inv.hom n ≫ e.hom.hom n = 𝟙 (G.functor n)


Context:
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ ∈ {n}


Context:
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ = n


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})

x ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})
b : B
hb : b ∈ {ζ}

⟨b, ⋯⟩ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})
a : A

(algebraMap A ↥(adjoin A {ζ})) a ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context: n✝ : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: ζ : B

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})

Context: hb₁ : b₁ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}

Context: hb₂ : b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}

b₁ + b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context: n✝ : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: ζ : B

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})

b₁ * b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
i : κ
j i' : ι
j' : κ

(toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) (i, j) (i', j') = submatrix 1 Prod.swap _root_.id (i, j) (i', j')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (x : α), f x ∂m.join = ∫⁻ (μ : Measure α), ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ∂m


⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * ∫⁻ (μ : Measure α), μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)

Context: hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ

⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * f n r μ ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ⨆ n, ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

∀ (n : ℕ), Measurable fun μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

(fun n => ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m) = fun n => ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∑ b ∈ s n, ∫⁻ (a : Measure α), b * f n b a ∂m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: m : Measure (Measure α)

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: hf✝ : Measurable f✝

Context: s : ℕ → Finset ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∀ b ∈ s n, Measurable fun a => b * f n b a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: F : Type u_10

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: p : ι → Seminorm 𝕝 E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: hf : ∃ s C, (normSeminorm 𝕝₂ F).comp f ≤ C • s.sup p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: F : Type u_10

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: p : ι → Seminorm 𝕝 E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: hf : IsBounded p (fun x => normSeminorm 𝕝₂ F) f


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x * r ∣ y * r
z : R'
h✝ : y * r = x * r * z


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace

Context: hU : _root_.IsOpen U

_root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U)


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: hU : _root_.IsOpen U

∀ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: hU : _root_.IsOpen U

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∧ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

_root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: S : Finset ι

Context: p : ι → Ideal R

Context: hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤

Context: hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: S : Finset ι

Context: p : ι → Ideal R


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: s : Finset V

Context: hs : s.Nonempty

Context: lin_ind : LinearIndependent K Subtype.val

Context: card_eq : s.card = finrank K V

⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

∂ (a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (x + z) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X Y Z : C
W : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

F.map (f ≫ g, 𝟙 W) = F.map (f, 𝟙 W) ≫ F.map (g, 𝟙 W)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
i✝ : ℕ

(N₂.map (isoΓ₀.hom.app X)).f.f i✝ = PInfty.f i✝


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c

ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ ENNReal.ofReal (variance X ℙ / c ^ 2)


ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2)


ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {ω | ↑c.toNNReal ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|}


evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2) = evariance X ℙ / ↑c.toNNReal ^ 2


Context:
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0

n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂) * (n₃ /. ↑d₃) = n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂ * (n₃ /. ↑d₃))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ


(map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: this : (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q


∀ {i : ℕ} (m_1 : ↥(𝒜 i)), ↑m_1 • x ∈ carrier f_deg q


∀ (m_1 m' : A), m_1 • x ∈ carrier f_deg q → m' • x ∈ carrier f_deg q → (m_1 + m') • x ∈ carrier f_deg q


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y : α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y x : α
hxs : x ∈ s
hxy : (x, y) ∈ U


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ


fract x ≤ |x - ↑z| ∨ 1 - fract x ≤ |x - ↑z|


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : ↑z ≤ x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : x < ↑z


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


μ = map (⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g)) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪v, x⟫_𝕜 = ⟪v, y⟫_𝕜


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

volume (Metric.closedBall a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)


ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝³ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝² : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: inst✝ : Fintype Γ

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: q : Λ'

Context: h : q ∈ trSupp M S

SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝³ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝² : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: inst✝ : Fintype Γ

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: q : Λ'

Context: h : q ∈ trSupp M S

∀ (q : Stmt₁), SupportsStmt S q → (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) → SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)

Context: hk : 2 ≤ k

Context: H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)

Context: hk : 2 ≤ k

Context: H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L

Context: this : 2 < 2 ^ k


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L

Context: this : 2 < 2 ^ k

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ k)) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ k)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L

Context: this : 2 < 2 ^ k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ k)

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : k = k₁.succ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L : C


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α

dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) ≤ dist a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ a b : α
n : ℕ

‖↑(embeddingOfSubset x a - embeddingOfSubset x b) n‖ ≤ dist a b


‖dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n))‖ ≤ dist a b


dist a (x n) - dist (x 0) (x n) - (dist b (x n) - dist (x 0) (x n)) = dist a (x n) - dist b (x n)


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s t : Set α✝

Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : Preorder ι'

Context: inst✝² : Nonempty ι'

Context: inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Order.Frame α

Context: f : ι → ι' → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Monotone (f i)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ

Context: inst✝³ : FunLike F α β

Context: inst✝² : DilationClass F α β

Context: inst✝¹ : FunLike G β γ

Context: inst✝ : DilationClass G β γ

Context: f✝ : F

Context: g✝ : G

Context: x y z : α

Context: s : Set α

Context: f g : α →ᵈ α

Context: h : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G

Context: u : ℝ → E

Context: v : ℝ → F

Context: u' : ℝ → E

Context: v' : ℝ → F

Context: m n : G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume

Context: hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume

Context: h_bot : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 m)

Context: h_top : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 n)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G

Context: u : ℝ → E

Context: v : ℝ → F

Context: u' : ℝ → E

Context: v' : ℝ → F

Context: m n : G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0


‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖|


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]

IsSplittingField F E p ↔ Splits (algebraMap F E) p ∧ adjoin F (p.rootSet E) = ⊤


IsSplittingField F E p ↔ Splits (algebraMap F E) p ∧ Algebra.adjoin F (p.rootSet E) = ⊤.toSubalgebra


Context:
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
z : ℝ


Context:
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f✝ : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
eta : ApplicativeTransformation G H
α β : Type u_1
f : α → G β
x : Multiset α

(fun {α} => eta.app α) (traverse f x) = traverse ((fun {α} => eta.app α) ∘ f) x


∀ (a : List α), (fun {α} => eta.app α) (traverse f ⟦a⟧) = traverse ((fun {α} => eta.app α) ∘ f) ⟦a⟧


Context:
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f✝ : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
eta : ApplicativeTransformation G H
α β : Type u_1
f : α → G β
x : Multiset α
a✝ : List α

(fun {α} => eta.app α) (traverse f ⟦a✝⟧) = traverse ((fun {α} => eta.app α) ∘ f) ⟦a✝⟧


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂

(congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R

Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0


(if h : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, i.maxPowDividing I else 1) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: b : Set (Set β)

Context: hbc : b.Countable

Context: this : MeasurableSpace α := generateFrom (preimage f '' b)


Context: n✝ n : ℕ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C

(shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x


Context: n : ℕ

bernoulli n = ∑ i ∈ range (n + 1), (monomial i) (_root_.bernoulli (n - i) * ↑(n.choose i))


Context: n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), (monomial (n - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(n.choose i)) = ∑ j ∈ range (n + 1), (monomial (n - j)) (_root_.bernoulli (n - (n - j)) * ↑(n.choose (n - j)))


Context: n : ℕ

∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x)) = (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli (n - (n - x)) * ↑(n.choose (n - x)))


Context:
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)

(monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x)) = (monomial (n - x)) (_root_.bernoulli (n - (n - x)) * ↑(n.choose (n - x)))


Context:
n x : ℕ
hx : x ≤ n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ ≤ μ (s ∩ t)


∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = μ (s ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: h_eq : ∫⁻ (x : α) in t, ↑‖↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, s.indicator (fun x => 1) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

1 * (μ.restrict (s ∩ t)) Set.univ = μ (s ∩ t)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : JoinedIn F x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : JoinedIn F x y
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hx✝ : x ∈ F
hy✝ : y ∈ F
h : Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : C(X, ℝ)
x : X

↑(((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) x) = ↑(((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal) x)


max (f x * g x) 0 + (-(f x * max (g x) 0) + max (f x) 0 * max (g x) 0) + (-(max (f x) 0 * g x) + max (f x) 0 * max (g x) 0) = -(f x * g x) + max (f x * g x) 0 + max (f x) 0 * max (g x) 0 + (-(max (f x) 0 * g x) + f x * g x + (-(f x * max (g x) 0) + max (f x) 0 * max (g x) 0))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]

(AEval.of R M a).symm ((d.compAEval a) f) = (aeval a) (derivative f) • d a


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

weightSpace M ((-↑(chainBotCoeff α β) - 1) • α + ⇑β) = ⊥


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det f ≠ 0

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : μ = μ ↑(piIcc01 ι) • addHaarMeasure (piIcc01 ι)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R

MvPolynomial.coeff m (truncFun n φ) = if m < n then (coeff R m) φ else 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
t : ℝ
f : AddCircle T → ℝ≥0∞
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → ℝ≥0∞

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

Context: this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (⇑(measurableEquivIoc T t).symm) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ((measurableEquivIoc T t).symm a)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → ℝ≥0∞

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

Context: this : ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → ℝ≥0∞

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → ℝ≥0∞

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

∫⁻ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫⁻ (a : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑a


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → ℝ≥0∞

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

∫⁻ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T))) = ∫⁻ (a : AddCircle T), f a ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(β_ (𝟙_ C) X).hom = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

AddMonoidAlgebra.single 0 a * AddMonoidAlgebra.single s a' = AddMonoidAlgebra.single s (a * a')


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p : R[X]
x : R


Context:
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type v
f : α → β
x : Comp F G α

(Seq.seq (pure f) fun x_1 => x).run = (f <$> x).run


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: U : Cᵒᵖ

Context: s : F.obj U

Context: V W : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (fun V f => F.map f.op s ∈ G.obj (op V)) V i

Context: j : W ⟶ V

(fun V f => F.map f.op s ∈ G.obj (op V)) W (j ≫ i)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: U : Cᵒᵖ

Context: s : F.obj U

Context: V W : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: j : W ⟶ V

F.map j.op (F.map i.op s) ∈ G.obj (op W)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

∫⁻ (x : E), pdf X ℙ μ x * f x ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: x : α

Context: H : ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: hs : s ⊆ u ∪ v

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: zu : z ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: xs : x ∈ s


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

Context: W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})

(EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂}))) s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

Context: h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

∑ i : Fin (n + 1), (centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - circumcenterWeightsWithCircumcenter n + centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) (pointIndex i) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i) -ᵥ Classical.choice ⋯) + (centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - circumcenterWeightsWithCircumcenter n + centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂} - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) circumcenterIndex • (s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex -ᵥ Classical.choice ⋯) = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

∑ x : Fin (n + 1), ((if x ∈ {i₁, i₂} then ((↑2)⁻¹ + (↑2)⁻¹) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else 0) - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else 0) = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

∑ x : Fin (n + 1), ((if x ∈ {i₁, i₂} then ((↑2)⁻¹ + (↑2)⁻¹) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) = ∑ _x ∈ ?m.329271, 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier

Context: a b : R

Context: hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: p : ↥(unop (op V))

↑((comap f U V hUV) (const R a b U hb)) p = ↑(const S (f a) (f b) V ⋯) p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: a b : R

Context: hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: p : ↥(unop (op V))

(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal f ⋯) (IsLocalization.mk' (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) ↑p, ⋯⟩) a ⟨b, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: a b : R

Context: hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: p : ↥(unop (op V))

IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) (f a) ⟨f ↑⟨b, ⋯⟩, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
i : Fin n → ι
r : Fin n → R
h : ∀ (j : Fin n), r j ∈ A (i j)

(List.ofFn r).prod ∈ A (List.ofFn i).sum


(List.map r (List.finRange n)).prod ∈ A (List.map i (List.finRange n)).sum


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F

Context: e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U

Context: A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: this✝ : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U

Context: A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U

Context: z : E

Context: hz : z ∈ U

Context: this : e (f z) = e 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
f : α → Option β
x : Option α


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hxy : x < y


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hyx : y < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ

a✝ ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n) ↔ a✝ ∈ n.properDivisors


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ

a✝ ∣ n → a✝ < n → 1 ≤ a✝


Context:
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n✝ : ℕ
x : α
hx : f x = g x
n : ℕ
ihn : f^[n] x = g^[n] x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s

((κ ⊗ₖ η) a) s = 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


(fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) =ᶠ[ae (κ a)] 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Measurable fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ

map (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm) (f ×ˢ g ×ˢ h) = (f ×ˢ g) ×ˢ h


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

((fun a => p a) x ∧ ∀ (y : α), (fun a => p a) y → y = x) ↔ filter p univ = {x}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞

Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ


eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0


eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ^ q.toReal < ⊤


eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ≠ ⊤


Context:
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J

colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j ≫ (((colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).inv) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).hom = colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k


(((colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).inv) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).hom = colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f✝ : α → β
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
s : Set α

TendstoUniformlyOn F f p s ↔ Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

variance X ℙ = (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2


Integrable ((fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ


Integrable (X ^ 2 + (fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ


Integrable (2 * X * fun x => ∫ (x : Ω), X x) ℙ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: p✝ : α✝ → Prop

Context: f✝ : (a : α✝) → p✝ a → β✝

Context: x✝ : Option α✝

Context: α β γ : Type u_5

Context: x : Option α

Context: g : α → Option β

Context: p : β → Prop

Context: f : (b : β) → p b → γ

Context: H : ∀ (a : β), a ∈ x >>= g → p a

Context: H' : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ g a → b ∈ x >>= g

pmap f (x >>= g) H = do let a ← x pmap f (g a) ⋯


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: P : Ideal R

Context: hP : IsAssociatedPrime P M

Context: right✝ : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: x✝ : ∃ n y, minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι


(starRingEnd 𝕜) ⟪x, b i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪y, b i⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
F✝ F : C ⥤ D
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Aut X

(F.mapIso (α.conjAut f)).hom = ((F.mapIso α).conjAut (F.mapIso f)).hom


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x

∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, ContDiffAt 𝕜 (↑n) f y


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: hx : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x : M

Context: hx : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

Primrec (Function.uncurry f) ↔ Primrec₂ f


(Primrec fun p => f p.1 p.2) ↔ Primrec₂ f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R

toTensorAlgebra (DirectSum.GAlgebra.toFun r) = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.85033, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F : C ⥤ E
hF : W.IsInvertedBy F
X Y : C
f : X ⟶ Y

Hom.map ((Q W).map f) F hF = 𝟙 (F.obj X) ≫ F.map f ≫ 𝟙 (F.obj Y)


Context: a n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: hs : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) n.bitIndices

Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (bit b n).bitIndices


Context: a n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

List.Pairwise (fun a b => a < b) n.bitIndices


Context:
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁


Context:
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
h : ¬l + r₂ ≤ 1


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A B : IndexSet Δ
h : B ≠ A

((s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ fun B_1 => if h : B_1 = B then eqToHom ⋯ else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

∃ g, eLpNorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: f' : β → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

∃ g, eLpNorm (f' - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : Memℒp f' p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : Memℒp f' p μ

Context: f'meas : Measurable f'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : Memℒp f' p μ

Context: f'meas : Measurable f'

Context: this : SeparableSpace ↑(Set.range f' ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : Memℒp f' p μ

Context: f'meas : Measurable f'

Context: n : ℕ

Context: hn : eLpNorm (↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f') p μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : Memℒp f' p μ

Context: f'meas : Measurable f'

Context: n : ℕ

Context: hn : eLpNorm (f' - ↑(approxOn f' f'meas (Set.range f' ∪ {0}) 0 ⋯ n)) p μ < ε


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).tan * dist p₁ p₂ = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂ b₃ c₁ c₂ b₁ : R


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors

∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a = n / ∏ a ∈ t, a


n = (∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a) * ∏ a ∈ t, a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜

‖derivWithin f s x‖ = ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
x : L
h : (ad R L) x = 0


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V

𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) w = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / b)


∫ (v : V), cexp (-(2 * ↑π * ↑⟪w, v⟫_ℝ * I) + (-(b * ↑‖v‖ ^ 2) + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-(↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2) / b)


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w v : V

cexp (-(2 * ↑π * ↑⟪w, v⟫_ℝ * I) + (-(b * ↑‖v‖ ^ 2) + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) = cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x - w, v⟫_ℝ)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f


Context:
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t


Context: k : ℕ

Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)


Context: k : ℕ

Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, ‖f_nat k a t i‖ ≤ 2 ^ k * (↑i ^ k * rexp (-π * (↑i + a) ^ 2 * t))


Context: k : ℕ

Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, |↑i + a| ^ k ≤ (↑i + ↑i) ^ k


Context: k : ℕ

Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ

Context: hn : ⌈|a|⌉₊ ≤ n


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
e : ϖ = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : S

x ∈ map (RingHom.snd R S) (I.prod J) ↔ x ∈ J


(∃ x_1 ∈ I.prod J, (RingHom.snd R S) x_1 = x) ↔ x ∈ J


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

Context: c : Ordinal.{u}

Context: ho : o.card < c.cof


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ


ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x⁻¹ ^ (n + 1)


∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ Ioi 0 → ∀ ⦃y : 𝕜⦄, y ∈ Ioi 0 → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → (a • x + b • y)⁻¹ ≤ a • x⁻¹ + b • y⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
this : FiniteDimensional F E


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: hfin : Finite G


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: hfin : Finite G

Context: g : IntermediateField F E → G := fun K => ⟨Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α), ⋯⟩


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: hfin : Finite G

Context: hinj : Function.Injective g


Context: σ✝ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝

Context: m n✝ : ℕ

Context: R : Type u_5

Context: σ : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: F G : MvPolynomial σ R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hG : G.IsHomogeneous n

Context: h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G

Context: hnR : ↑n ≤ #R


Context: σ✝ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝

Context: m n✝ : ℕ

Context: R : Type u_5

Context: σ : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: F G : MvPolynomial σ R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hG : G.IsHomogeneous n

Context: hnR : ↑n ≤ #R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G H : C ⥤ Type w
X Y Z : C
σ : F ⟶ G
τ : G ⟶ H
a : F.obj X


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0

↑(if hn : n = 0 then ⟨a, ⋯⟩ else if hm : m = 0 then ⟨b, ⋯⟩ else ⟨((↑n * (n.xgcd m).1 * ↑b + ↑m * (n.xgcd m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(n.lcm m)).toNat, ⋯⟩) < n.lcm m


((↑n * (n.gcdA m, n.gcdB m).1 * ↑b + ↑m * (n.gcdA m, n.gcdB m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(↑(n.lcm m)).toNat).toNat < (↑(n.lcm m)).toNat


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
lcm_pos : 0 < ↑(n.lcm m)


Context:
x : ℝ
hl : -(π / 2) ≤ x
hu : x ≤ π / 2


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s : AList β


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255779}
a : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α

s ∈ image (insert a) (memberSubfamily a 𝒜) ↔ s ∈ filter (fun x => a ∈ x) 𝒜


(∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) ↔ s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s


(∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) → s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
x✝ : s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
hs : s ∈ 𝒜
ha : a ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P z = 0

Context: hQz : Q z = 0

Context: hPx : IsUnit (P x)

Context: hPy : IsUnit (P y)

Context: hQx : IsUnit (Q x)

Context: hQy : IsUnit (Q y)

Context: hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)

Context: hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P z = 0

Context: hQz : Q z = 0

Context: hPx : IsUnit (P x)

Context: hPy : IsUnit (P y)

Context: hQx : IsUnit (Q x)

Context: hQy : IsUnit (Q y)

(fun m => m • Q) (hPy.unit / hPx.unit * (hQx.unit / hQy.unit)) = P


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P z = 0

Context: hQz : Q z = 0

Context: hPx : IsUnit (P x)

Context: hPy : IsUnit (P y)

Context: hQx : IsUnit (Q x)

Context: hQy : IsUnit (Q y)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ι a b), P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc a b), P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc b a), P x


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f✝ : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
f : ContDiffBump 0
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
H₁ : (Ioi a).Nonempty
H₂ : a ≤ b


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : IsEmpty V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, p.removeZero.rightInv i m = p.rightInv i m

p.removeZero.rightInv i n = p.rightInv i n


Context: θ : ℂ


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A

(baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = f ((baseChange W A).toAffine.negY x y)


(baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = (baseChange W B).toAffine.negY (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)


Context:
x z : EReal
h : x < z


Context:
x z : EReal
h : x < z
a : EReal
ha₁ : x < a
ha₂ : a < z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x a : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (x + a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂

(fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₂ : f₂ =O[l] g₂

Context: h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₂ : f₂ =O[l] g₂

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: h₂ : f₂ =O[l] g₂

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : c' > 0

Context: hc' : IsBigOWith c' l f₂ g₂


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: C : 𝕜

Context: hC : 0 < C

Context: hf : Tendsto f l atBot

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 C)

Context: this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atTop


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: C : Set Code

Context: H : ∀ (cf cg : Code), cf.eval = cg.eval → (cf ∈ C ↔ cg ∈ C)

(ComputablePred fun c => c ∈ C) ↔ C = ∅ ∨ C = Set.univ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N N' : Matrix n o α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context: s : ℝ

Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) atTop atTop


Context:
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n


Context:
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n

(fun x => rexp x / x ^ n) ≤ᶠ[atTop] fun x => rexp x / x ^ s


Context:
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : 1 ≤ x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7

(insert i s).sigma t = Sigma.mk i '' t i ∪ s.sigma t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

{s | IsPreconnected s} = range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅}) ⊆ {s | IsPreconnected s}


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₃

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: h : 1 < Module.rank R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: hy : LinearIndependent R (Fin.snoc ![x] y)


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₃

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: h : 1 < Module.rank R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: this : Fin.snoc ![x] y = ![x, y]


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (G.obj (op U))
V W : C
i : V ⟶ U
t : (forget A).obj (F.obj (op V))
ht : (f.app (op V)) t = (G.map i.op) s
j : W ⟶ V

(f.app (op W)) ((F.map j.op) t) = (G.map (j ≫ i).op) s


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}

IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπT_pi : IsPiSystem πT


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπT_pi : IsPiSystem πT

Context: hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπT_pi : IsPiSystem πT

Context: s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)

Context: sets_s : (i : { x // x ∈ S }) → Set (β ↑i)

Context: hs1 : sets_s ∈ Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: hs2 : Set.univ.pi sets_s = s

Context: t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)

Context: sets_t : (i : { x // x ∈ T }) → Set (β ↑i)

Context: ht1 : sets_t ∈ Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: ht2 : Set.univ.pi sets_t = t

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s ∩ (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t) = (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s) * (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπT_pi : IsPiSystem πT

Context: s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)

Context: hs2 : Set.univ.pi sets_s = s

Context: t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)

Context: ht2 : Set.univ.pi sets_t = t

Context: hs1 : ∀ (i : { x // x ∈ S }), MeasurableSet (sets_s i)

Context: ht1 : ∀ (i : { x // x ∈ T }), MeasurableSet (sets_t i)


Context: x y : ℝ*

x.InfiniteNeg → ¬y.Infinitesimal → y < 0 → (x * y).InfinitePos


Context: x y : ℝ*

(-x).InfinitePos → ¬(-y).Infinitesimal → 0 < -y → (-x * -y).InfinitePos


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: h : some a ∈ (flatten (Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) s.destruct)).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: h : some a ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct >>= destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: t : WSeq α

Context: tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct

Context: td : some a ∈ t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: t : WSeq α

Context: td : some a ∈ t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: t : WSeq α

Context: td : some a ∈ t.destruct

Context: t' : Option (α × WSeq α)

Context: ht' : t' ∈ s.destruct

Context: ht2 : Option.rec nil Prod.snd t' = t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
td : some a ∈ t.destruct
t' : Option (α × WSeq α)
ht' : t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd t' = t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
ht' : none ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd none = t
td : some a ∈ Computation.pure none


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α × WSeq α

Context: t : WSeq α

Context: t' : α × WSeq α

Context: td : some a ∈ t'.2.destruct

Context: ht' : some t' ∈ s.destruct

Context: ht2 : Option.rec nil Prod.snd (some t') = t


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop

⋃ n, (x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop

Context: n : ℕ

(x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

Context: h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

Context: hμ : ¬μ = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: hμ : ¬μ = 0

log (mgf X μ t * mgf Y μ t) = log (mgf X μ t) + log (mgf Y μ t)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

x ∈ range (inr R M M₂) ↔ x ∈ ker (fst R M M₂)


(∃ y, (inr R M M₂) y = x) ↔ (fst R M M₂) x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h : m ≤ m'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h✝ : m ≤ m'
xs ys : List α
h : ⟦xs⟧ ≤ ⟦ys⟧