Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: h : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ Subtype.val)


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}

Context: S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}

Context: S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

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Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

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Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

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Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

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Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: hS4 : S4 = (U.pi fun x => W) ∩ Set.range DFunLike.coe


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: hS4 : IsClosed S4


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : Monoid A

Context: inst✝¹⁷ : Monoid B

Context: inst✝¹⁶ : Monoid C

Context: inst✝¹⁵ : Monoid D

Context: inst✝¹⁴ : CommGroup E

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : Group X

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁴ : UniformSpace Y

Context: inst✝³ : CommGroup Y

Context: inst✝² : UniformGroup Y

Context: inst✝¹ : T0Space Y

Context: inst✝ : CompactSpace Y

Context: U : Set X

Context: V : Set Y

Context: hU : IsCompact U

Context: hV : V ∈ nhds 1

Context: W : Set Y

Context: hWo : W ∈ nhds 1

Context: hWV : W ⊆ V

Context: hWc : IsCompact W

Context: S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

Context: h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Context: hS4 : IsClosed S4

Context: hS2 : (interior S2).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q✝ : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: b : Prop

Context: h₂ : ∃! x, ∃! h, q x h

Context: h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q✝ : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: b : Prop

Context: h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q✝ : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: b : Prop

Context: h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h

∀ (x : α), (∃ h, q x h) → (∀ (y : α), (∃ h, q y h) → y = x) → b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
hx : ¬x = 0
this✝ : ‖c‖ ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0

T.rayleighQuotient (c • x) = T.rayleighQuotient x


‖c‖ ^ 2 * T.reApplyInnerSelf x * ‖x‖ ^ 2 = T.reApplyInnerSelf x * (‖c‖ * ‖x‖) ^ 2


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν


∫⁻ (x : β), μ (Prod.mk x ⁻¹' (Prod.swap ⁻¹' s)) ∂ν = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν


Context:
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''

𝟭 (FreeGroupoid V) = lift (𝟭q V ⋙q of V)


of V ⋙q (𝟭 (FreeGroupoid V)).toPrefunctor = 𝟭q V ⋙q of V


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

IsCompact (⋃ i, ↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

∀ (i : ↑↑s'), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: i : ↑↑s'

IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: i : ↑↑s'

IsCompact (↑↑U ∩ ↑(X.basicOpen ↑i) ∩ (↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i)))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: i : ↑↑s'


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Zero X

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)

(f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal = (-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Zero X

Context: f g : C(X, ℝ)₀

↑((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = ↑((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P

Context: g : M ⊗[R] N →ₗ[R] P

Context: H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = (f x) y

Context: m : M

Context: n : N


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁵ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: t : ι → Type u_11

Context: t' : ι → Type u_12

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)

Context: g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i

Context: f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i

Context: r : R

Context: φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i

Context: x✝¹ : (i : ι) → s i

Context: x✝ : (i : ι) → t i

((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ)))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((((r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
a b : ι

K.d a b = 𝟙 (X K (some a)) ≫ K.d a b ≫ 𝟙 (X K (some b))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))

Context: x✝ : ↑C

(Products.eval C ↑l) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x✝ : ↑C

((πs C o) (Products.eval (π C fun x => ord I x < o) ↑l)) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))


Tendsto μs F (𝓝 μ) → ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))


(∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))) → ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart

Context: _def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart

Context: f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart

Context: _def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart

Context: _def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart

Context: f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart

Context: _def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

Context: tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart

Context: _def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart

Context: f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart

Context: _def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

Context: tends_neg : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ).toReal)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart

Context: _def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart

Context: f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart

Context: _def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

Context: aux : ∀ (g : Ω →ᵇ ℝ≥0), (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)) = fun i => (∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart

Context: _def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart

Context: f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart

Context: _def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

Context: tends_pos : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ))

Context: tends_neg : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x✝ : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (f n)

Context: hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n

Context: hf0 : Summable fun n => f n x₀

Context: x : E

fderiv 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (f n) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f

Fintype.card ↑(f.rootSet K) = f.natDegree ↔ f.Separable


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f₁ : ι → κ

Context: f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)

Context: h : Injective f₁

_root_.Embedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), _root_.Embedding (f₂ i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0

(trinomial k m n u v w).natTrailingDegree = k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ (trinomial k m n u v w).support


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ {k, m, n}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i = k ∨ i = m ∨ i = n


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
h : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(C x * X ^ k + C y * X ^ m).support.card = 2


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a

∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: s : Set α

Context: hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: s : Set α

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => if a ∈ s then 0 else f n a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: s : Set α

Context: g_eq_f : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g n a = f n a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: a : α


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: L R : ListBlank Γ

(Tape.move Dir.left)^[n] (trTape' enc0 L R) = trTape' enc0 L.tail (ListBlank.cons L.head R)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

(Tape.move Dir.left)^[n] (trTape' enc0 (ListBlank.cons a L) R) = trTape' enc0 (ListBlank.cons a L).tail (ListBlank.cons (ListBlank.cons a L).head R)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

(Tape.move Dir.left)^[n] (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯)) = Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc a).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

∀ {L' R' : ListBlank Bool} {l₁ l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂ R')) = Tape.mk' L' (ListBlank.append (enc a).toList R')


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

Context: L'✝ R'✝ : ListBlank Bool

Context: b : Bool

Context: l₁ : List Bool

Context: IH : ∀ {l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)

Context: l₂ : List Bool

Context: e : (enc a).toList = (b :: l₁).reverseAux l₂

(Tape.move Dir.left)^[(b :: l₁).length] (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

Context: L'✝ R'✝ : ListBlank Bool

Context: b : Bool

Context: l₁ : List Bool

Context: l₂ : List Bool

(Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.move Dir.left (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝))) = Tape.mk' L'✝ (ListBlank.append (enc a).toList R'✝)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

Context: L'✝ R'✝ : ListBlank Bool

Context: b : Bool

Context: l₁ : List Bool

Context: l₂ : List Bool

Tape.move Dir.left (Tape.mk' (ListBlank.append (b :: l₁) L'✝) (ListBlank.append l₂ R'✝)) = Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L'✝) (ListBlank.append (b :: l₂) R'✝)


Context: a b c : ℤ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E

gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t

gauge t (gaugeRescale s t 0) = gauge s 0


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
m n✝ n : ℕ
hn : Odd n
a : ZMod n


Context:
m n✝ n : ℕ
hn : Nat.Coprime 2 n
a : ZMod n


Context:
f : Bool → Bool → Bool
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0

(if n = 0 then if f false true = true then m else 0 else if m = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := m / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := m % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f n.bodd m.bodd) (bitwise f (n / 2) (m / 2))


Context: f : Bool → Bool → Bool

Context: n m : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hm : m ≠ 0

Context: mod_two_iff_bod : ∀ (x : ℕ), decide (x % 2 = 1) = x.bodd


Context: f : Bool → Bool → Bool

Context: n m : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hm : m ≠ 0

(if f n.bodd m.bodd = true then bitwise f (n / 2) (m / 2) + bitwise f (n / 2) (m / 2) + 1 else bitwise f (n / 2) (m / 2) + bitwise f (n / 2) (m / 2)) = (if f n.bodd m.bodd = true then fun x => x + x + 1 else fun x => x + x) (bitwise f (n / 2) (m / 2))


Context:
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace

(D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ D.Rel ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩


(D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) x = (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι j) y


(D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) x) = D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι j) y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ x : M

HasMFDerivAt I I id x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ x : M

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I x id) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ x : M

Context: this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ x : M

(↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x) = id (↑(extChartAt I x) x)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g✝ : Perm α

Context: x y : α

Context: hf : f.IsCycle

Context: hx : f x ≠ x

Context: hy : f y ≠ y

Context: g : α

Context: hg : f g ≠ g ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle g y

Context: a : ℤ

Context: ha : (f ^ a) g = x

Context: b : ℤ

Context: hb : (f ^ b) g = y


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n


(X ^ n - 1).Monic ∧ eval₂ (algebraMap ℤ K) μ (X ^ n - 1) = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
U : Set X


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this✝ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex

Context: this : DecidableEq G

∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this : DecidableEq G

Context: R₀ : Set G

Context: hR : R₀ ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R₀


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R✝ S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex

Context: this✝ : DecidableEq G

Context: R₀ : Set G

Context: hR : R₀ ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R₀

Context: this : Fintype ↑R₀

Context: R : Finset G := R₀.toFinset


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R✝ S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this✝ : DecidableEq G

Context: R₀ : Set G

Context: hR1 : 1 ∈ R₀

Context: this : Fintype ↑R₀

Context: R : Finset G := R₀.toFinset

Context: hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R✝ S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this✝ : DecidableEq G

Context: R₀ : Set G

Context: this : Fintype ↑R₀

Context: R : Finset G := R₀.toFinset

Context: hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R✝ S✝ : Set G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: S : Finset G

Context: hS : closure ↑S = ⊤

Context: this✝ : DecidableEq G

Context: R₀ : Set G

Context: this : Fintype ↑R₀

Context: R : Finset G := R₀.toFinset

Context: hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

(Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)).card ≤ H.index * S.card


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a

ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b


(ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b


((ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformly F f p
h' : TendstoUniformly F' f' p'

TendstoUniformly (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformlyOn F f p univ
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' univ

TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (univ ×ˢ univ)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: hK : IsPGroup p ↥K

Context: hHK : H ≤ K

Context: a b : ↥H

Context: h : (Subgroup.inclusion hHK) a = (Subgroup.inclusion hHK) b

↑((Subgroup.inclusion hHK) a) = ↑((Subgroup.inclusion hHK) b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : T3Space α

Context: γ : β → Type u_5

Context: f : (b : β) × γ b → α

Context: g : β → α

Context: a : α

Context: ha : HasProd g a

Context: hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)

Context: hf' : Multipliable f


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s

Context: s : Set X

Context: hs : T0Space ↑s

Context: x y : { x // x ∈ s }

Context: hxy : Inseparable ↑x ↑y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : T0Space ↑s

Context: x y : { x // x ∈ s }

Context: hxy : Inseparable x y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

c ∈ s ○ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
x y z : α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α

foldl (fun x y => y * x) ⋯ 1 s = foldl (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
h : X ≃ₕ Unit


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
h : X ≃ₕ Unit
h' : Y ≃ₕ Unit


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
x : α
l : List α

Forall p (x :: l) ↔ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l → p x_1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_4
x : E


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
I : Set η
x : (i : η) → f i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l : List M

Context: n : M

Context: h : ∀ x ∈ l, x ≤ n


Context:
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : Set.EqOn (p ∘ g₁) (p ∘ g₂) s
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a


Context: X : Type u_3

Context: Y : ?m.22013

Context: A✝ : Type ?u.22022

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace A✝

Context: E : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: p : E → X

Context: sep : IsSeparatedMap p

Context: inj : IsLocallyInjective p

Context: s : Set A

Context: hs : IsPreconnected s

Context: g g₁ g₂ : A → E

Context: h₁ : ContinuousOn g₁ s

Context: h₂ : ContinuousOn g₂ s

Context: he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)

Context: a : A

Context: has : a ∈ s

Context: ha : g₁ a = g₂ a


Context: X : Type u_3

Context: Y : ?m.22013

Context: A✝ : Type ?u.22022

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace A✝

Context: E : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: p : E → X

Context: sep : IsSeparatedMap p

Context: inj : IsLocallyInjective p

Context: s : Set A

Context: hs : IsPreconnected s

Context: g g₁ g₂ : A → E

Context: h₁ : Continuous (s.restrict g₁)

Context: h₂ : Continuous (s.restrict g₂)

Context: a : A

Context: has : a ∈ s

Context: ha : g₁ a = g₂ a


Context: X : Type u_3

Context: Y : ?m.22013

Context: A✝ : Type ?u.22022

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace A✝

Context: E : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: p : E → X

Context: sep : IsSeparatedMap p

Context: inj : IsLocallyInjective p

Context: s : Set A

Context: hs : PreconnectedSpace ↑s

Context: g g₁ g₂ : A → E

Context: h₁ : Continuous (s.restrict g₁)

Context: h₂ : Continuous (s.restrict g₂)

Context: a : A

Context: has : a ∈ s

Context: ha : g₁ a = g₂ a


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

Context: hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

∀ (t : Set α), (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

Context: t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : t ⊆ ⋃ i, f i

(OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

Context: t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : t ⊆ ⋃ i, f i


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

Context: t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : t ⊆ ⋃ i, f i

∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i ∩ s) i) + ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i \ s) i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : Integrable f μ

(ν.withDensityᵥ fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) = μ.withDensityᵥ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hxa : x < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hax : a ≤ x


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
e : α ^ n = a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C


(λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙 (𝟙_ C) ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).inv


(λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ 𝟙 (𝟙_ C) = (ρ_ (𝟙_ C)).inv


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p : TangentBundle I M

Context: q : TangentBundle I H

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

{ proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj).symm) q.proj) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p : TangentBundle I M

Context: q : TangentBundle I H

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

{ proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p : TangentBundle I M

Context: q : TangentBundle I H

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

q.proj = ↑↑(achart H p.proj) (↑((chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)).symm (q.proj, q.snd)).1


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

(μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / 0)) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h : σ ≠ 1

(filter (fun x => σ x = x) univ).card < Fintype.card α - 1


1 < (filter (fun x => ¬σ x = x) univ).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n

↑d ^ (n - 2) / ↑n ≤ ↑(rothNumberNat ((2 * d - 1) ^ n))


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.CliqueFree (r + 1) ∧ ∀ (H : SimpleGraph V) [inst : DecidableRel H.Adj], H.CliqueFree (r + 1) → H.edgeFinset.card ≤ G.edgeFinset.card

Context: hts : ¬G.Adj t s

Context: hsu : ¬G.Adj s u

Context: hst : ¬G.Adj s t

Context: dst : G.degree s = G.degree t

Context: dsu : G.degree s = G.degree u


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u

G.CliqueFree (r + 1) → ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)

∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u


G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: hts : ¬G.Adj t s

Context: hsu : ¬G.Adj s u

Context: hst : ¬G.Adj s t

Context: dst : G.degree s = G.degree t

Context: dsu : G.degree s = G.degree u

Context: h : G.Adj t u

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: nst : s ≠ t

Context: ntu : t ≠ u

Context: this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u

Context: l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: hts : ¬G.Adj t s

Context: hsu : ¬G.Adj s u

Context: hst : ¬G.Adj s t

Context: dst : G.degree s = G.degree t

Context: dsu : G.degree s = G.degree u

Context: h : G.Adj t u

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: nst : s ≠ t

Context: ntu : t ≠ u

Context: this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u

Context: l2 : (G.replaceVertex s t).degree u = G.degree u - 1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: hts : ¬G.Adj t s

Context: hsu : ¬G.Adj s u

Context: hst : ¬G.Adj s t

Context: dst : G.degree s = G.degree t

Context: dsu : G.degree s = G.degree u

Context: h : G.Adj t u

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: nst : s ≠ t

Context: ntu : t ≠ u

Context: this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u

Context: l3 : 0 < G.degree u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
f x✝ : (a : α) → δ a

(x✝ ∈ piFinset fun i => {f i}) ↔ x✝ ∈ {f}


Context:
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
v : V

v ∈ (s₁ ⊓ s₂).direction ↔ v ∈ s₁.direction ⊓ s₂.direction


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R

Context: g g' : X → R

Context: hg : IntegrableOn g A μ

Context: hg' : ContinuousOn g' K

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hK : IsCompact K

Context: hAK : A ⊆ K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: g g' : X → R

Context: hg : IntegrableOn g A μ

Context: hg' : ContinuousOn g' K

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hK : IsCompact K

Context: hAK : A ⊆ K

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: g g' : X → R

Context: hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)

Context: hg' : ContinuousOn g' K

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hK : IsCompact K

Context: hAK : A ⊆ K

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C

Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: g g' : X → R

Context: hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)

Context: hg' : ContinuousOn g' K

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hK : IsCompact K

Context: hAK : A ⊆ K

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C

Context: this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: hU : (interior U).Nonempty

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: a✝ : { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ univ

prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ (fun K => Icc 0 ↑(index ↑K ↑K₀)) { carrier := K, isCompact' := hK }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: hU : (interior U).Nonempty

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

0 ≤ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∧ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ≤ ↑(index ↑{ carrier := K, isCompact' := hK } ↑K₀)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring α
x : ↑(Icc 0 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)

Context: F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

Context: hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) (F ⋙ CategoryTheory.forget A)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A

Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : HasDerivAt e e' ↑z


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0

ContinuousAt (fun y => o.oangle y.1 y.2) x


ContinuousAt (fun y => (o.kahler y.1) y.2) x


Context:
n m : ℕ
hm : n ≠ m


Context:
n m : ℕ
hm✝ : n ≠ m
hm : n < m


Context:
n m : ℕ
hm✝ : n ≠ m
hm : m < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
l₁ l₂ : List α
a : α

l₁ <+: l₂ ++ [a] ↔ l₁ = l₂ ++ [a] ∨ l₁ <+: l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a✝ b✝ : List α

Context: h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝

ndinter (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = Quot.mk Setoid.r a✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : PrimeSpectrum R

x ∈ support R N → x ∈ support R M ∪ support R P


x ∉ support R M ∪ support R P → x ∉ support R N


(∀ (m : M), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0) → (∀ (m : P), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0) → ∀ (m : N), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: p : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: h : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: x : PrimeSpectrum R

Context: H₁ : ∀ (m : M), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0

Context: H₂ : ∀ (m : P), ∃ r ∉ x.asIdeal, r • m = 0

Context: m : N

Context: r : R

Context: hr : r ∉ x.asIdeal

Context: e₁ : r • g m = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: p : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: h : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: x : PrimeSpectrum R

Context: m : N

Context: r : R

Context: hr : r ∉ x.asIdeal

Context: e₁ : r • m ∈ Set.range ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: p : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: h : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: x : PrimeSpectrum R

Context: m : N

Context: r : R

Context: hr : r ∉ x.asIdeal

Context: m' : M

Context: hm' : f m' = r • m

Context: s : R

Context: hs : s ∉ x.asIdeal

Context: e₁ : s • m' = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAt f f' x
x✝ : E


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁ : orderOf ⟨x, hx₁⟩ = p₁ ^ n₁


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁ : orderOf ⟨x, hx₁⟩ = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf ⟨x, hx₂⟩ = p₂ ^ n₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁ : orderOf x = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁ : orderOf x = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
this : p₁ ^ n₁ = p₂ ^ n₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
hn₁ : orderOf x = p₁ ^ 0
this : p₁ ^ 0 = p₂ ^ n₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
x : G
hx₁ : x ∈ H₁
hx₂ : x ∈ H₂
n₁ : ℕ
hn₁✝ : orderOf x = p₁ ^ n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : orderOf x = p₂ ^ n₂
this : p₁ ^ n₁ = p₂ ^ n₂
hn₁ : n₁ > 0


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

Disjoint (filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)) (filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k))


∀ x ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k, x.1.card < k → ¬x.1.card = k


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w

Nonempty (T.CompleteType α) ↔ T.IsSatisfiable


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w

Nonempty (T.CompleteType α) ↔ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T).IsSatisfiable


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : AddCircle T → E
c : ℂ
n : ℤ

fourierCoeff (c • f) n = c • fourierCoeff f n


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville ↑{ num := a, den := b, den_nz := bN0, reduced := cop }


Context:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q

Context: a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑q


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑q

Context: b0 : ↑b ≠ 0


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑q

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: bq0 : 0 < ↑b * ↑q


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑q

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: bq0 : 0 < ↑b * ↑q

Context: a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p q : ℤ

Context: q1 : 1 < q

Context: qR0 : 0 < ↑q

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: bq0 : 0 < ↑b * ↑q

Context: a0 : a * q - ↑b * p ≠ 0


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p : ℤ

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: q1 : 1 < ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑↑q

Context: bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q

Context: a1 : |a * ↑q - ↑b * p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q

Context: a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0


Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: bN0 : b ≠ 0

Context: cop : a.natAbs.Coprime b

Context: h : Liouville (↑a / ↑b)

Context: p : ℤ

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: q1 : 1 < ↑q

Context: qR0 : 0 < ↑↑q

Context: bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q

Context: a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0

Context: ap : 0 < |a * ↑q - ↑b * p|


Context:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ a1 : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ ap : 0 < ↑e


Context:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ : 0 < ↑e
a1 : e * q ^ (b + 1) < b * q
ap : 0 < e
q1 : 1 < q


Context:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a

(φ.Realize fun i => Quotient.mk' (x i)) ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, φ.Realize fun i => x i a


BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) default = BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) fun i => Quotient.mk' fun a => default i


Context:
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C

(G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) ≫ G.map (F.map (β_ X Y).hom) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)


G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)


((β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X)) ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)


Context:
n : ℤ
z τ : ℂ

‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖ ≤ 3 * π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

Context: hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * ‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (2 * π * ↑|n| ^ 2 + 1 * π * ↑|n| ^ 2)


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| ^ 2


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

‖(↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 1 * π * ↑|n| ^ 2


Context: hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p

Context: n : ℕ

Context: h : n ≥ 3


Context: n : ℕ

Context: h : n ≥ 3

Context: hdvd : 4 ∣ n


Context: n : ℕ

Context: h : n ≥ 3

Context: p : ℕ

Context: hpprime : Nat.Prime p

Context: hdvd : p ∣ n

Context: hpodd : Odd p


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : LE β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : α → β


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : LE β

Context: f g : α → β

Context: h : 1 ≤ᶠ[ae μ] g / f

Context: a : α

Context: ha : 1 a ≤ (g / f) a


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝² : Group β

Context: inst✝¹ : LE β

Context: f g : α → β

Context: h : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: a : α

Context: ha : f a ≤ g a


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M

∏ a ∈ {x | p x}.toFinset, f a = ∏ a : Subtype p, f ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
x✝ : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E

(s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E

(∅.sup p) x = ↑(∅.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : Module 𝕜 G

Context: inst✝² : SMul R ℝ

Context: inst✝¹ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: x : E

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)

((Finset.cons a s ha).sup p) x = ↑((Finset.cons a s ha).sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: denom✝¹ denom✝ : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹

Context: inv✝ : Invertible ↑denom✝

Context: h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat denom✝) = num✝.mul (Int.ofNat denom✝¹)) = false


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: num✝¹ num✝ : ℤ

Context: denom✝¹ denom✝ : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹

Context: inv✝ : Invertible ↑denom✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y : TopCat

Context: homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)

(X ⨯ Y).str = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y : TopCat

induced (⇑homeo) (of (↑X × ↑Y)).topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y : TopCat

induced (⇑homeo) (induced Prod.fst X.topologicalSpace_coe ⊓ induced Prod.snd Y.topologicalSpace_coe) = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X Y : TopCat

induced (Prod.fst ∘ ⇑homeo) X.topologicalSpace_coe ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑homeo) Y.topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : p i


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s + (s - 1) * hurwitzZetaOdd a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (1 + (1 - 1) * hurwitzZetaOdd a 1))


Context: a : UnitAddCircle


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (hurwitzZetaOdd a) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaOdd a 1))


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Multiset R
t : Multiset M

s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
t : Multiset M

sum 0 • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (0 ×ˢ t)).sum


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r s✝ : R

Context: x y : M

Context: t : Multiset M

Context: a : R

Context: s : Multiset R

Context: ih : s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum

(a ::ₘ s).sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) ((a ::ₘ s) ×ˢ t)).sum


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
left✝ : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1

SameRay R (z -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

0 < ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

((𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F))) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

(𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv


Context:
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ

(trunc n (φ + ψ)).coeff m = (trunc n φ + trunc n ψ).coeff m


(if m < n then (coeff R m) (φ + ψ) else 0) = (if m < n then (coeff R m) φ else 0) + if m < n then (coeff R m) ψ else 0


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
s : Subgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
w✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
x y z : M
x✝¹ : y ∈ powers x
x✝ : z ∈ powers x
n₁ : ℕ
h₁ : x ^ n₁ = y
n₂ : ℕ
h₂ : x ^ n₂ = z


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : n < 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : 0 < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ

Context: hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEStronglyMeasurable f_1 μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: X : C

Context: a b : A

Context: h : a + b = 0

Context: eq : (F.commShiftIso 0).hom.app X = (CommShift.isoAdd' h (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)).hom.app X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: X : C

Context: a b : A

Context: h : a + b = 0

Context: eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: X : C

Context: a b : A

Context: h : a + b = 0

F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), thickening ε E


∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioi δ ∩ Ioc δ ε).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V

B₂ ((↑(B₂.toDual b₂).symm ∘ₗ B₁) v) = B₁ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a : α
d : ℕ
ht : t ⊆ s
hu : u ⊆ s

∏ a ∈ s, a ^ ((↑t).indicator 1 - (↑u).indicator 1) a = (∏ a ∈ t, a) / ∏ a ∈ u, a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
c : S
a✝ : Nontrivial S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → G
C : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤