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Context: h : Inducing ((a.pretrivializationAt b).source.restrict ↑(a.pretrivializationAt b) ∘ codRestrict (TotalSpace.mk b) (a.pretrivializationAt b).source ⋯)


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Inducing (codRestrict (TotalSpace.mk b) (a.pretrivializationAt b).source ⋯)


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Context: C : Type u₁

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Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ L.X ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ (α_ R.X P.X (Q.tensorBimod L).X).inv ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (R.X ⊗ P.X) ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))

Context: x✝ : Set ↑c.pt


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: x✝ : Set ↑c.pt

IsOpen (⇑homeo.symm ⁻¹' x✝) ↔ ∀ (i : J), IsOpen x✝


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : B ≤ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : 0 < B


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Iic f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Iic (f i)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : a ∈ ⟦l⟧

Context: comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

a * (erase ⟦l⟧ a).noncommProd comm' = noncommProd ⟦l⟧ comm


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute

Context: h : a ∈ l


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute

Context: h : a ∈ l

Context: x : α

Context: hx : x ∈ l

Context: y : α

Context: hy : y ∈ l


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute

Context: h : a ∈ l

Context: x : α

Context: hx hy : x ∈ l


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute

Context: h : a ∈ l

Context: x : α

Context: hx : x ∈ l

Context: y : α

Context: hy : y ∈ l

Context: hxy : x ≠ y


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

n.choose k ≡ (n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p) [MOD p]


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α


Measurable fun x => (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x).toReal - (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a'✝ a' : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: t : Set β

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: x' : α

Context: hx' : x' ∈ s

Context: he : invFunOn f s (f x) = invFunOn f s (f x')


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f✝ : E →ₛₗ[σ] F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair σ₂₁ σ
a : ℝ
ha : 0 < a
f : E ≃ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
y : F


Context:
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⋖ t


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℤ
x : α


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0

primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
x : K
hx : x ∈ primitiveRoots n K

x ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset


μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots


μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots ↔ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)


map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ) ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0

upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i


upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hab : a < b

Context: hN : ¬N = 0

Context: h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hab : a < b

Context: hN : ¬N = 0

Context: h₂ : ∀ k ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω + 1) (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : ℝ → F

∫ (x : ℝ) in f '' s, g x = ∫ (x : ℝ) in s, |f' x| • g (f x)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : ↥s


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : ↥s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H

fundamentalFrontier G (g • s) = g • fundamentalFrontier G s


Context:
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.49815

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z

Context: inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)

Context: f : SmallHom W₁ X Y

Context: g : SmallHom W₁ Y Z

Φ.smallHomMap (f.comp g) = (Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g)


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.49815

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z

Context: inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z

Context: f : SmallHom W₁ X Y

Context: g : SmallHom W₁ Y Z

(SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) (Φ.smallHomMap (f.comp g)) = (SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) ((Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g))


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat

(X.prodIsoProd Y).hom ≫ prodFst = prod.fst


Context: θ₁ θ₂ : Angle

(θ₁ + θ₂).sin = θ₁.sin * θ₂.cos + θ₁.cos * θ₂.sin


Context:
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ

(↑x✝ + θ₂).sin = (↑x✝).sin * θ₂.cos + (↑x✝).cos * θ₂.sin


Context: x✝¹ x✝ : ℝ

(↑x✝¹ + ↑x✝).sin = (↑x✝¹).sin * (↑x✝).cos + (↑x✝¹).cos * (↑x✝).sin


Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α

∀ (n : ℕ), (const a).get n = (a :: const a).get n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M
y : N

(LinearMap.snd R M N) (x, y) = 0 ↔ (x, y) ∈ Set.range ⇑(LinearMap.inl R M N)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKc : IsCompact K
hK : μ A < μ K + ε


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝ : HasEqualizer f g

(equalizerSubobject f g).arrow ≫ f = (equalizerSubobject f g).arrow ≫ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : 0 < (head✝ :: tail✝).length


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
e : α ≃ β
h : ∀ (x : α), e (f x) = g (e x)


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
e : α ≃ β
h : ∀ (x : α), e (f x) = g (e x)
hg : g = (e.symm.trans f).trans e


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p

(∏ i : ι, if p i then 1 else 0) = if ∀ (i : ι), p i then 1 else 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
hy : y ∈ (swap x (f x) * f).support


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝ : Encodable α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : LinearOrder α

Context: inst✝¹⁰ : LinearOrder β

Context: inst✝⁹ : Countable α

Context: inst✝⁸ : DenselyOrdered α

Context: inst✝⁷ : NoMinOrder α

Context: inst✝⁶ : NoMaxOrder α

Context: inst✝⁵ : Nonempty α

Context: inst✝⁴ : Countable β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: val✝¹ : Encodable α

Context: val✝ : Encodable β

Context: to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)

Context: our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : LinearOrder α

Context: inst✝¹⁰ : LinearOrder β

Context: inst✝⁹ : Countable α

Context: inst✝⁸ : DenselyOrdered α

Context: inst✝⁷ : NoMinOrder α

Context: inst✝⁶ : NoMaxOrder α

Context: inst✝⁵ : Nonempty α

Context: inst✝⁴ : Countable β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: val✝¹ : Encodable α

Context: val✝ : Encodable β

Context: F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : LinearOrder α

Context: inst✝¹⁰ : LinearOrder β

Context: inst✝⁹ : Countable α

Context: inst✝⁸ : DenselyOrdered α

Context: inst✝⁷ : NoMinOrder α

Context: inst✝⁶ : NoMaxOrder α

Context: inst✝⁵ : Nonempty α

Context: inst✝⁴ : Countable β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: val✝¹ : Encodable α

Context: val✝ : Encodable β

Context: G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

(↑(alternatization a)).domCoprod ↑(alternatization b) = ∑ σa : Perm ιa, ∑ σb : Perm ιb, Perm.sign σa • Perm.sign σb • (domDomCongr σa a).domCoprod (domDomCongr σb b)


domCoprod' ((∑ σ : Perm ιa, Perm.sign σ • domDomCongr σ a) ⊗ₜ[R'] ∑ σ : Perm ιb, Perm.sign σ • domDomCongr σ b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)


∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, domCoprod' (Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)

(FilterBasis.ofSets s).filter = generate s


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V

EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = edist K L


EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = ENNReal.ofReal (dist K L)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)

Context: add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: C0 : motive 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: C0 : motive 0

Context: x : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))

∀ (x : R × ((i : ι) → (fun i => s i) i)) (xs : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))), motive ↑xs → motive ↑(FreeAddMonoid.of x + xs)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: C0 : motive 0

∀ (x : R × ((i : ι) → s i)) (xs : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))), motive ↑xs → motive (↑(FreeAddMonoid.of x) + ↑xs)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α

M.closure X = ↑(M.subtypeClosure ⟨X ∩ M.E, ⋯⟩)


∀ (x : α), (∀ (t : Set α), M.Flat t → X ∩ M.E ⊆ t → x ∈ t) ↔ x ∈ M.E ∧ ∀ a ⊆ M.E, X ∩ M.E ⊆ a → M.Flat a → x ∈ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0

Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y)) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G₀

Context: inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀

Context: inst✝¹ : ContinuousMul G₀

Context: f✝ g✝ : α → G₀

Context: inst✝ : T1Space G₀

Context: f g : α → G₀

Context: l : Filter α

Context: x y : G₀

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 y)

Context: hy : y ≠ 0

Context: hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G₀

Context: inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀

Context: inst✝¹ : ContinuousMul G₀

Context: f✝ g✝ : α → G₀

Context: inst✝ : T1Space G₀

Context: f g : α → G₀

Context: l : Filter α

Context: x y : G₀

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 y)

Context: hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : y ∈ ball x ε


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝⁸ : AddMonoid A
inst✝⁷ : HasShift C A
inst✝⁶ : W.IsCompatibleWithShift A
inst✝⁵ : W.HasLocalization
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
inst✝⁴ : Lifting L W F F'
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : L.CommShift A
inst✝ : F.CommShift A
a : A
X : C

(F'.commShiftIso a).inv.app (L.obj X) = (shiftFunctor E a).map ((Lifting.iso L W F F').hom.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (Lifting.iso L W F F').inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F'.map ((L.commShiftIso a).hom.app X)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: x1 x2 : X

Context: h : (productOfMemOpens X) x1 = (productOfMemOpens X) x2


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: x1 x2 : X


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

∃ conts, (of v).conts n = Pair.map Rat.cast conts


∃ conts, (of v).contsAux (n + 1) = Pair.map Rat.cast conts


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' z (τ + 2) = jacobiTheta₂' z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

jacobiTheta₂'_term n z (τ + 2) = jacobiTheta₂'_term n z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * (τ + 2))) = 2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ))


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Set α
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : StarMul α
s : Set α
x✝ : α

x✝ ∈ s⁻¹⋆ ↔ x✝ ∈ s⋆⁻¹


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Filter α
s : Set α
a✝ a : α


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableAt ℝ c a
hR : DifferentiableAt ℝ R a
hx : DifferentiableAt ℝ x a
hne : x a ≠ c a

DifferentiableAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) a


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a

DifferentiableWithinAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) univ a


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : 0 ≤ x.norm


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : x.norm ≤ 0


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
y : ℤ√d
hy : 1 = x * y


Context: d : ℤ

Context: x : ℤ√d

Context: h : IsUnit x

Context: y : ℤ√d

Context: hy : 1 = x * y

Context: this : (Int.natAbs ∘ norm) 1 = (Int.natAbs ∘ norm) (x * y)


Context: d : ℤ

Context: x : ℤ√d

Context: h : IsUnit x

Context: y : ℤ√d

Context: hy : 1 = x * y

Context: this : x.norm.natAbs = 1 ∧ y.norm.natAbs = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y
this : 0 < ↑N


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset α


Context:
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'✝
f✝ : G →* G'✝
G' : Type u_3
G'' : Type u_4
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : Group G''
f : G' →* G
g : G →* G''
hfg : g.ker ≤ f.range
hG' : IsSolvable G'
hG'' : IsSolvable G''
n : ℕ
hn : derivedSeries G'' n = ⊥
m : ℕ
hm : derivedSeries G' m = ⊥


derivedSeries G (n + m) ≤ map f (derivedSeries G' m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ

∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : ∃ i, ∃ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ ↑(f x)), L < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: L : ℝ≥0∞

Context: g₀ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)

Context: g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: L : ℝ≥0∞

Context: g₀ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)

Context: h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: L : ℝ≥0∞

Context: g₀ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)

Context: h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ

Context: g : α →ₛ ℝ≥0

Context: hg : ∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑g₀ x

Context: gL : ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤

Context: gtop : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k

(𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((inv ((linearization k G).μ (Action.leftRegular G) { V := Fin n → G, ρ := 1 })).hom ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a


(𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (↑(finsuppTensorFinsupp' k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a


(𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lcongr (Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k).symm) (single ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f) a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a


(𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f)) ((TensorProduct.lid k k).symm a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a


(𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).1 1 ⊗ₜ[k] single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).2 a) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a


Context: s : ℂ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ
h : n = 0


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

(f a + f b).succ * multinomial {a, b} f = (f a).succ * multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ)


(f a + f b).succ * (f a + f b).choose (f a) = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ * (f a).succ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s✝ t s : Finset α
n : ℕ

↑(s ^ Int.negSucc n) = ↑s ^ Int.negSucc n


(↑(npowRec n.succ s))⁻¹ = ↑s ^ Int.negSucc n


Context:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R

∑ i : n, (Perm.permMatrix R σ).diag i = ↑(Function.fixedPoints ⇑σ).ncard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: r : α → β → Prop

Context: f : α →ₛ β

Context: h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: r : α → β → Prop

Context: f : α →ₛ β

Context: this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: r : α → β → Prop

Context: f : α →ₛ β

MeasurableSet (⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b})


Context: K L : Type

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : IsAlgClosed K

Context: inst✝³ : IsAlgClosed L

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : CharP L p

Context: hK : ℵ₀ < #K

Context: hKL : #K = #L

Context: this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p

Context: this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p


Context: K L : Type

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : IsAlgClosed K

Context: inst✝³ : IsAlgClosed L

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : CharP L p

Context: hK : ℵ₀ < #K

Context: hKL : #K = #L

Context: s : Set K

Context: hs : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val


Context: K L : Type

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : IsAlgClosed K

Context: inst✝³ : IsAlgClosed L

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : CharP L p

Context: hK : ℵ₀ < #K

Context: hKL : #K = #L

Context: s : Set K

Context: t : Set L

Context: ht : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val


Context: K L : Type

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : IsAlgClosed K

Context: inst✝³ : IsAlgClosed L

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : CharP L p

Context: hK : ℵ₀ < #K

Context: hKL : #K = #L

Context: this✝¹ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p

Context: this✝ : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p

Context: s : Set K

Context: t : Set L

Context: this : #↑s = #↑t


Context: K L : Type

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : IsAlgClosed K

Context: inst✝³ : IsAlgClosed L

Context: p : ℕ

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : CharP L p

Context: hK : ℵ₀ < #K

Context: hKL : #K = #L

Context: s : Set K

Context: t : Set L

Context: this : #↑s = #↑t

Context: e : ↑s ≃ ↑t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n
x : PrimeSpectrum R

x ∈ zeroLocus {f ^ n} ↔ x ∈ zeroLocus {f}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E
h : r ∈ Icc 0 1

dist (r • x + (1 - r) • y) x = ‖1 - r‖ * ‖x - y‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]


Context:
p n b k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n

∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i = ∑ i ∈ Ico 1 b, (k + (n - k)) / p ^ i


Context:
p n b k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n

∑ i ∈ Ico 1 b, (k + (n - k)) / p ^ i = ∑ i ∈ Ico 1 b, (k / p ^ i + (n - k) / p ^ i + if p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i then 1 else 0)


Context:
p n b k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n

∑ i ∈ Ico 1 b, (k / p ^ i + (n - k) / p ^ i + if p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i then 1 else 0) = ∑ i ∈ Ico 1 b, k / p ^ i + ∑ i ∈ Ico 1 b, (n - k) / p ^ i + (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
s : Set α
hreg : c.IsRegular
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : #↑S < c
hS : ⋂₀ S ⊆ s


Context: ι α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CardinalInterFilter l c

Context: g : Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: hreg : c.IsRegular

Context: S : Set (Set α)

Context: Sg : S ⊆ g

Context: Sct : #↑S < c

Context: hS : ⋂₀ S ⊆ s

Context: this : CardinalInterFilter (cardinalGenerate g ⋯) c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
h : Subsingleton R⟦X⟧


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
h : ∀ (x y : R⟦X⟧), x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s

(∀ n > 0, n ∈ s → ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n


(∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n


∀ (a : ℕ), a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
a : ℕ

a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a


a > 0 → (a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a ∈ s → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
a : ℕ
x✝¹ : a > 0
x✝ : a ∈ s
x : ℕ × ℕ
_hx : x ∈ a.divisorsAntidiagonal


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ

(fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: hc' : IsBigOWith c atTop ⇑f fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: hc' : ∃ a, ∀ b_1 ≥ a, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖

∃ c a, ∀ b_1 ≥ a, ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (b_1 + R) (b_1 + S)) f‖‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖

Context: x : ℝ

Context: hx : x ≥ max (1 + max 0 (-2 * R)) (d - R)

‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x

Context: hx' : max 0 (-2 * R) < x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x

Context: hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x

Context: hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x

∀ (x_1 : ↑(Icc (x + R) (x + S))), ‖(ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f) x_1‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x

Context: hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x

Context: y : ↑(Icc (x + R) (x + S))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: d : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x

Context: hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x

Context: y : ↑(Icc (x + R) (x + S))

Context: A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R
hR : Finite R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0
hfR : ↑f.natDegree < #R
hR : Infinite R


Context:
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ∈ slitPlane


ContinuousAt (fun x => cexp (Complex.log x.1 * x.2)) p


ContinuousAt (fun x => Complex.log x.1 * x.2) p


Context:
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0

↑(norm (x % y)).natAbs < ↑(norm y).natAbs


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k


Context:
n k' : ℕ
e : n.minFac + 2 = k'
h : MinFacHelper n n.minFac
np : n.minFac ≠ n.minFac


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2 : k < n.minFac


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2✝ : k < n.minFac
h2 : k.succ = n.minFac


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2✝ : k < n.minFac
h2 : k.succ < n.minFac


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀


Context: R M : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: h : F.Stable

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀


Context: R M : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: h : F.Stable

Context: n₀ : ℕ


Context: R M : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: h : F.Stable

Context: n₀ : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : CliffordAlgebra Q
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy✝ : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
hy : 0 < y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n

(diagonal v *ᵥ Pi.single j x) i = Pi.single j (v j * x) i


v i * Pi.single j x i = Pi.single j (v j * x) i


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Disjoint I (sSup ({I | IsAtom I} \ {I}))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

sSup ({I | IsAtom I} \ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

∀ b ∈ {I | IsAtom I} \ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

∀ (b : LieIdeal K L), IsAtom b → ¬b = I → b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I

{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I

Context: x : ↥J

Context: y : ↥J


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I

Context: x : ↥J

Context: y : ↥J

Context: z : L

Context: hz : z ∈ I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I

Context: x : ↥J

Context: y : ↥J

Context: z : L

Context: hz : z ∈ I

⁅↑x, z⁆ ∈ J ⊓ I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : ¬J = I

Context: x : ↥J

Context: y : ↥J

Context: z : L

Context: hz : z ∈ I

⁅↑x, z⁆ ∈ ⁅J, I⁆


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(latticeBasis K) i = (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) i)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α


Context: a b c : ℕ

Context: P✝ : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n

Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Monoid M

Context: k : ℕ

Context: hk : 1 < k

Context: P : M → Prop

Context: hmul : ∀ (x y : M), P x → P (x * y) ∨ P (y * x)

Context: hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x

Context: x : M

Context: hx : P (x ^ n)

Context: h : P (x ^ n * x)


Context: a b c : ℕ

Context: P✝ : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n

Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Monoid M

Context: k : ℕ

Context: hk : 1 < k

Context: P : M → Prop

Context: hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x

Context: x : M

Context: hx : P (x ^ n)

Context: h : P (x * x ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j


v.restrict (⋃ b, bif b then i else j) ≤ w.restrict (⋃ b, bif b then i else j)


∀ (b : Bool), MeasurableSet (bif b then i else j)


∀ (b : Bool), v.restrict (bif b then i else j) ≤ w.restrict (bif b then i else j)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p

∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: n : ℕ

Context: hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)

∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: n : ℕ

Context: t : R

Context: ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹

Context: ht' : inverse (1 - -↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (1 - -↑x⁻¹ * t)

inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: n : ℕ

Context: t : R

Context: ht' : inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * inverse (1 + ↑x⁻¹ * t)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: n : ℕ

Context: t : R

(∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * (inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobject g).arrow = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right


(imageSubobjectIso f).hom ≫ image.map sq ≫ image.ι g = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f


Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₁ : L'
h₁ : z₁ ∈ map f I₁
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂

⁅↑⟨z₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁

⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂

⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

Tendsto (fun a => s.sup fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup g))


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H


Context: a x✝ z x : ℂ

(-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im


Context: s : Finset ℕ

Context: n : ℕ

Context: h₀ : (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod.primeFactorsList


Context: s : Finset ℕ

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ

Context: H₁ : Prime p

Context: H₂ : p ∣ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
hpq : IsCompl p q
x : E

↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(q.prodEquivOfIsCompl p ⋯).symm) x) = x


↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) = x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i

Context: norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: Hj : ‖a.c j‖ ≤ 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: Hj : 2 < ‖a.c j‖


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
this : 0 ≤ -i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi : (↑i').natAbs.gcd (↑k).natAbs = 1
hi' : ↑i' = -i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hf : f.IsCycle

Context: hg : g.IsCycle

Context: h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x

Context: hx : f x = g x

Context: hx' : x ∈ f.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hf : f.IsCycle

Context: hg : g.IsCycle

Context: hx : f x = g x

Context: hx' : x ∈ f.support

Context: hx'' : x ∈ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hf : f.IsCycle

Context: hg : g.IsCycle

Context: hx : f x = g x

Context: hx' : x ∈ f.support

Context: hx'' : x ∈ g.support

Context: this : f.support ⊆ g.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
this : f.support ⊆ g.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u
inst✝³ : Monoid α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a * b)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E

y ∈ ⊥ ↔ y ∈ ⊤


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
s t : Set G


mk '' s = mk '' t ↔ mk ⁻¹' (mk '' s) = mk ⁻¹' (mk '' t)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β

ConvexOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y


(Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y) ↔ Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hy : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hxy : x ≠ y


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S

IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: f : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away f S

Context: e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: f : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away f S

IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f)) ≫ CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: f : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away f S

IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: f : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away f S

Context: H : IsIso (CommRingCat.ofHom (↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).toRingHom)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: f : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away f S

Context: H : IsIso (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)

IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DecidableEq β

Context: f✝ g : α →. β

Context: inst✝² : (x : α) → Decidable (f✝ x).Dom

Context: inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom

Context: s✝ t : Finset α

Context: b : β

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (Part.some (f x)).Dom

Context: a✝ : β

a✝ ∈ pimage (fun x => Part.some (f x)) s ↔ a✝ ∈ image f s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : X ≅ Z

α ≪≫ α.symm ≪≫ β = β


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
α : Type u_2
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : MulDistribMulAction α A
inst✝ : SMulCommClass α R A
a : α
r : R

a • (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : star u * u = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : Rˣ
h_mul : star ↑u * ↑u = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)

Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl) ↔ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: σ : Perm (m ⊕ n)

Context: h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl)

Context: x : m ⊕ n

Context: l : m

Context: hx : σ x = Sum.inl l

x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inr


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: σ : Perm (m ⊕ n)

Context: x : m ⊕ n

Context: r : n

Context: hx : σ x = Sum.inr r

x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inr


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: σ : Perm (m ⊕ n)

Context: h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)

Context: x : m ⊕ n

Context: l : m

Context: hx : σ x = Sum.inl l

x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inl


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: σ : Perm (m ⊕ n)

Context: x : m ⊕ n

Context: r : n

Context: hx : σ x = Sum.inr r

x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inl


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g


∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(g ω) ∂↑μ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: c : Cardinal.{u_1}


Context: c : Cardinal.{u_1}

(∀ (o' : Ordinal.{u_1}) (x : ℕ), o' = ↑x → aleph' o' ≤ c) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ c


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V


finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ finrank k V


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : IsCoprime y z
a b : R
h1 : a * x + b * z = 1
c d : R
h2 : c * y + d * z = 1


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj (a, b).1 (a, b).2
u v : V

{ toProd := (a, b), adj := h }.edge = s(u, v) ↔ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = u ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = v ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = v ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = u


{ toProd := (a, b), adj := h }.toProd = (u, v) ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd = (u, v).swap ↔ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = u ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = v ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = v ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = u


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra F K

Context: inst✝⁹ : Algebra F E

Context: inst✝⁸ : Algebra K E

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower F K E

Context: A₁ : Type u_4

Context: B₁ : Type u_5

Context: A₂ : Type u_6

Context: B₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field A₁

Context: inst✝⁵ : Field B₁

Context: inst✝⁴ : Field A₂

Context: inst✝³ : Field B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁

Context: this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra