Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ F

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ F

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: n : ℕ

Context: hn : r < μ (F ∩ s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: n : ℕ

Context: hn : r < (μ.restrict (s n)) F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: n : ℕ

Context: hn : r < (μ.restrict (s n)) F

Context: K : Set α

Context: KF : K ⊆ F

Context: hKp : p K

Context: hK : r < (μ.restrict (s n)) K


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

𝓝 a ×ˢ 𝓝 b = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}


((𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ ball b t) = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Module.Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A

Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = ((tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ) ((basis A b).repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x))).charpoly


Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = Polynomial.map ((MvPolynomial.eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)


(MvPolynomial.aeval x).toRingHom = (MvPolynomial.eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (β i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₂ i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → β₁ i →ₗ[R] β₂ i
h : (i : ι) → β₂ i →ₗ[R] N
l : Π₀ (i : ι), β₁ i

((lsum ℕ) h) ((mapRange.linearMap f) l) = ((lsum ℕ) fun i => h i ∘ₗ f i) l


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
this : Nonempty ↑F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ¬∃ a ∈ s, f a = b


Context: z : ℂ


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι

↑((basisSpanSingleton b hx) i) = x * b i


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f⁻¹.Disjoint g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s

Context: xy : x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s

Context: yx : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ s₃✝ : Finmap β
s₁ s₂ s₃ : AList β

⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧ = ⟦s₁⟧ ∪ (⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hab : AddLECancellable (a - b)

Context: h₁ : b ≤ a

Context: h₂ : c ≤ a

Context: h₃ : a - b = a - c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hab : AddLECancellable (a - b)

Context: h₁ : b ≤ a

Context: h₂ : c ≤ a

Context: h₃ : a - b = a - c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)
h' : ¬AEMeasurable f μ


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)

Context: inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))

Context: ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl

Context: ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr

Context: c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)

f ≫ ι₁ ≫ c = g ≫ ι₂ ≫ c


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)

Context: ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl

Context: ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr

Context: s : PushoutCocone f g

(f ≫ ι₁) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right) = (g ≫ ι₂) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)

Context: ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl

Context: ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr

Context: s : PushoutCocone f g

f ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.left } = g ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.right }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ

Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → ℝ≥0∞
M : ℝ≥0
hM : ∀ x ∈ s, f x ≤ ↑M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R

b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: κ' : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: R₂ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R₂ M₂

Context: e : Basis ι R M

Context: v : ι' → M

Context: i : ι

Context: j : ι'

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: b : Basis ι R M

Context: b' : Basis ι' R M

Context: c : Basis κ R N

Context: c' : Basis κ' R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝³ : Fintype ι'

Context: inst✝² : Fintype κ

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq κ

Context: b₁ : Basis ι R M

Context: b₂ : Basis ι' R M

Context: b₃ : Basis κ R N

Context: A : Matrix ι' κ R

Context: this : b₁.toMatrix ⇑b₂ * (toMatrix b₃ b₂) ((toLin b₃ b₂) A) = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ

x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioo a b ↔ x✝ ∈ Ioo ⌊a⌋ ⌈b⌉


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Subsingleton α
a : Associates α
this : Subsingleton (Associates α)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : k ≤ s.card
a : Fin k


Context:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P

(Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

map f.toEmbedding (filter p s) = filter (p ∘ ⇑f.symm) (map f.toEmbedding s)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ s ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ≥0

(¬Summable fun i => ↑(f i)) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop atTop


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
v : V
h : v ∈ e


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
h : v ∈ e
he : s(Sym2.Mem.other h, v) ∈ G.edgeSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atBot (𝓝 0)


∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun q => f (a, t) (-q)) atTop (𝓝 0)


∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) (-↑n)) atTop (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (spectrum R a)) _auto✝

Context: i : ι

cfc (f i) a = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯ }


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : Infinite α


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
a : α
ha : #α < #↑(f ⁻¹' {a})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

StrictMonoOn (fun x => 1 - ε x) (Set.Ioi 1)


StrictMonoOn (fun x => 1 + -ε x) (Set.Ioi 1)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R

r ∈ {r | ∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))} ↔ r ∈ spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}


(∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))) ↔ IsUnit r → ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r

¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)


IsUnit (1 - hr.unit⁻¹ • a) ↔ IsUnit (r • 1 - a)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
p : P
g : Dual R N
q : Q
m : M
n : N

(((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (TensorProduct.map ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)) ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((dualTensorHom R (M ⊗[R] N) (P ⊗[R] Q)) ((dualDistrib R M N) (f ⊗ₜ[R] g) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q))) m) n


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

(f ^ n).support.sup degb ≤ n • f.support.sup degb


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

(List.replicate n f).prod.support.sup degb ≤ (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

(List.map (fun f => f.support.sup degb) (List.replicate n f)).sum = (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
h : Aᴴ * A * B = 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
h : Bᴴ * (Aᴴ * A * B) = Bᴴ * 0


Context:
s : Finset ℕ
m : ℕ

m ∈ factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s


Context:
s : Finset ℕ
m : ℕ

(m ≠ 0 ∧ ∀ (p : ℕ), Prime p ∧ p ∣ m ∧ m ≠ 0 → p ∈ s) ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X

IsClosed (some '' s) ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
A : Set ι

M.closure (⋃ i ∈ A, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i)


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
h : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) 1

Summable ({n | ↑n = 1}.indicator fun n => 1 / ↑n)


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
h : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) 1
n : ℕ

{n | ↑n = 1}.indicator (fun n => 1 / ↑n) n ≤ ‖term (fun n => χ ↑n) 1 n‖


(if n ∈ {n | ↑n = 1} then 1 / ↑n else 0) ≤ if n = 0 then 0 else ‖χ ↑n‖ / ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
σ : Equiv.Perm ι


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹² : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N'

Context: inst✝⁶ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N

Context: g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M

Context: v' : ι → M'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: v : ι → M

Context: s : Equiv.Perm ι

Context: x y : ι

Context: hxy : x ≠ y

Context: hI : g (v ∘ ⇑s) = Equiv.Perm.sign s • g v

g (v ∘ ⇑(s * Equiv.swap x y)) = Equiv.Perm.sign (s * Equiv.swap x y) • g v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : Inseparable x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: J : LieIdeal R ↥↑I

Context: J' : LieIdeal R L := let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J; { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: J : LieIdeal R ↥↑I

¬J = ⊤ → J = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: J : LieIdeal R ↥↑I

Context: hJ : ¬J = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: J : LieIdeal R ↥↑I

Context: hJ : J' = I


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹

Context: hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹

∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i)) = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

∀ i ∈ range (n + 1), f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁ : i ∈ range (n + 1)

f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁ : i < n + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this : ↑(m.choose (i + 1) * (i + 1)) = ↑(m.choose i * (m - i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)

↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose (i + 1)) * (↑(m.choose (i + 1)))⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose (i + 1)) * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this✝ : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)

Context: this : ↑(n.choose (i + 1) * (i + 1)) = ↑(n.choose i * (n - i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹ - ↑(n.choose i) * ↑(n - i) * (↑i + 1)⁻¹ * (↑(m.choose i) * ↑(m - i) * (↑i + 1)⁻¹)⁻¹ = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this✝¹ : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)

Context: this✝ : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)

Context: this : ↑m - ↑i ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this✝² : ↑(m.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(m.choose i) * ↑(m - i)

Context: this✝¹ : ↑(n.choose (i + 1)) * (↑i + 1) = ↑(n.choose i) * ↑(n - i)

Context: this✝ : ↑m - ↑i ≠ 0

Context: this : ↑(m.choose i) ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x₁ x₂ : P.Elementsᵒᵖ
f : x₁ ⟶ x₂

yoneda.map (↑f.unop).unop ≫ yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₂).snd = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₁).snd ≫ 𝟙 P


yoneda.map (↑f.unop).unop ≫ yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₂).snd = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₁).snd


yonedaEquiv.symm (P.map (↑f.unop) (Opposite.unop x₂).snd) = yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x₁).snd


P.map (↑f.unop) (Opposite.unop x₂).snd = (Opposite.unop x₁).snd


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
h : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
h : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
this : NumberField K


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
hU : U ∈ 𝓝 1

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : TopologicalGroup H

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : Group K

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace K

Context: inst✝ : NonarchimedeanGroup K

Context: U : Set (G × K)

Context: hU : ∃ t₁ ∈ 𝓝 1, ∃ t₂ ∈ 𝓝 1, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ U

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁
W : OpenSubgroup K
hW : ↑W ⊆ U₂

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


∃ W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × K)
U₁ : Set G
hU₁ : U₁ ∈ 𝓝 1
U₂ : Set K
hU₂ : U₂ ∈ 𝓝 1
h : U₁ ×ˢ U₂ ⊆ U
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U₁
W : OpenSubgroup K
hW : ↑W ⊆ U₂
x : G
hX : x ∈ ↑V
y : K
hY : y ∈ ↑W


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a : G
n : ℤ


Context:
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_mono : Mono f


Context: x y : SimplexCategory

Context: f : x ⟶ y

Context: hyp_f_mono : Mono f

Context: f_inj : Function.Injective (Hom.toOrderHom f).toFun


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: s : Set (β × γ)

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s

HasFiniteIntegral (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: s : Set (β × γ)

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal ((η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s)).toReal ∂κ a < ⊤


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0
L : 𝕜 → E := fun t => t • v


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0
L : 𝕜 → E := fun t => t • v
this : ClosedEmbedding L


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)

Absorbs G₀ (s ∩ t) u ↔ Absorbs G₀ s u ∧ Absorbs G₀ t u


Context:
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
f : ℍ → ℂ
γ : ↥Γ
z : ℍ

(f ∣[k] γ) z = f z ↔ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z


f (↑↑γ • z) * ↑(↑↑↑↑γ).det ^ (k - 1) * denom (↑↑γ) z ^ (-k) = f z ↔ f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z


f (↑↑γ • z) * ↑(↑↑↑↑γ).det ^ (k - 1) * denom (↑↑γ) z ^ (-k) = ((↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k)⁻¹ * f (γ • z)


(↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α

a ⊔ limsup u f = limsup (fun x => a ⊔ u x) f


⨅ i ∈ f, a ⊔ ⨆ a ∈ i, u a = ⨅ s ∈ f, (⨆ x ∈ s, a) ⊔ ⨆ x ∈ s, u x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
s : Set β
hs : s ∈ f


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : IsLeftCancelMulZero α
x y : α
h : x * y = 0
hx : ¬x = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R

(toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)) f * const R 1 f (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = 1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n m : ℕ
w : n ≤ m
x : M
h : x ∈ (fun n => range (f ^ n)) m


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: K₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: V : Type u_9

Context: V₂ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : Semiring R₂

Context: inst✝⁸ : Semiring R₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: σ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : Module R₃ M₃

Context: σ₂₁ : R₂ →+* R

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: τ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: x : M

Context: c : ℕ

Context: w : n ≤ n + c

Context: h : x ∈ (fun n => range (f ^ n)) (n + c)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
c : ℕ
w : n ≤ n + c
h : ∃ y, (f ^ (n + c)) y = x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₗ[R] M
n c : ℕ
w : n ≤ n + c
m : M

(f ^ (n + c)) m ∈ (fun n => range (f ^ n)) n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α

(∀ (a : α), Irreducible a ↔ Prime a) ↔ ∀ (a : Associates α), Irreducible a ↔ Prime a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

closure s \ closure t = (closure t)ᶜ ∩ closure s


closure ((closure t)ᶜ ∩ s) = closure (s \ closure t)


Context:
s : ℝ
hs : 0 ≤ s


Context: hs : 0 ≤ 0


Context:
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h : 0 < s


Context:
α : Type u_1
m n : Num


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree ≠ ↑i

f.integralNormalization.coeff i = f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)


Context:
K : Type u_1
n : ℤ
inst✝ : Field K


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
k : ℤ


Context:
α : Type u_1
a : α
inst✝ : SemilatticeSup α
x y : ↑(Iic a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C

‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ a

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)

Context: hx : x ∈ Icc a a

Context: hC : ∀ y ∈ Icc a a, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a a) y‖ ≤ C

‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b

Context: h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b

Context: A : ∀ t ∈ Icc a x, HasDerivWithinAt (fun y => taylorWithinEval f n (Icc a b) y x) (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b

Context: this : ‖taylorWithinEval f n (Icc a b) x x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b C x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: h : a < b

Context: this : ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
hz : ∀ᶠ (x : α) in l, v x = 0 → u x = 0
huv : Tendsto (u / v) l (𝓝 1)


∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
ρ : PartitionOfUnity ι X
x₀ : X

∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1 ∧ (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X

Context: x₀ : X

Context: I : Finset ι

Context: H : (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[univ] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X

Context: x₀ : X

Context: I : Finset ι

∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1 ∧ (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f✝ : α → 𝕜
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f✝ : α → 𝕜
f : α → ℝ
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
x✝ : IsCoprime x x
a b : R
h : a * x + b * x = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsUnit x
b : R
hb : b * x = 1


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N


(j.comp f.toMap) (f.sec x✝).1 = (j.comp f.toMap) ↑(f.sec x✝).2 * j x✝


j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2) * j x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context:
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x ≤ log b y


Context:
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x ≤ log b y
hb : b ≤ 1


Context:
b x y : ℕ
hy : y ≠ 0
h : x = 0
hb : b ≤ 1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H K : LieSubalgebra R L
h₁ : H ≤ K
h₂ : K ≤ H.normalizer

∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K) I = ofLe h₁


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f [[a, b]]


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f [[a, b]]


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f [[a, b]]

BddBelow (Icc (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]])))


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f [[a, b]]

BddAbove (Icc (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]])))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
h : IsClosed s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x✝ : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: m✝ m : ℤ

Context: x : 𝕜

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m

Context: this : ∀ (m : ℤ), 0 < m → HasStrictDerivAt (fun x => x ^ m) (↑m * x ^ (m - 1)) x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x✝ : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: m✝ m : ℤ

Context: x : 𝕜

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m

Context: hm : m < 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x✝ : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: m✝ m : ℤ

Context: x : 𝕜

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m

Context: hm : m = 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x✝ : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: m✝ m : ℤ

Context: x : 𝕜

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m

Context: hm : 0 < m


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r

∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t)) = (1 / r) ^ a * Gamma a


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r

↑(∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = (↑1 / ↑r) ^ ↑a * Complex.Gamma ↑a


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r

↑(∫ (t : ℝ) in Ioi 0, t ^ (a - 1) * rexp (-(r * t))) = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (↑a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t))


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x ε : ℝ


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0


Context:
a b m n p✝ p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
d : ℕ
hdvd : ∃ e, p = d * e
e : ℕ
hmul : p = d * p
this✝³ : ↑p = 0
this✝² : ↑d * ↑e = 0
he : ↑e = 0
this✝¹ : p ∣ e
this✝ : e ∣ p
this : e = p
h₀ : 0 < p


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M →[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: hs : s.CG

Context: t : Set M

Context: ht : t.Countable ∧ (closure L).toFun t = s

(closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

‖soln - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U
x : 𝕜
hx : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: hs : s ⊆ t

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l = l.toFinset.sup id


Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ (↑l).dedup = (↑l).dedup.sup


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
hy : x ≠ y


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
hIJ : I ≤ J
x : R

(Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖

∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : Summable fun x => ‖term f s x‖

Context: H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : Summable fun x => ‖term f s x‖

Context: n : ℕ

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : Summable fun x => ‖term f s x‖

Context: n : ℕ

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: this : ‖term f s n‖ ≤ ∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : Summable fun x => ‖term f s x‖

Context: n : ℕ

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: this : ‖f n‖ ≤ (∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖) * ↑n ^ s.re


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0

HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑t) / (-2 * ↑π))


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
n : ℤ

-I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂'_term n (↑a) (I * ↑t) / (-2 * ↑π)


-2 * ↑π * (-I * ↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n + -↑π * ↑n ^ 2 * ↑t) = 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑t))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: φ p : MvPolynomial σ R

IsWeightedHomogeneous w p 0 ↔ weightedTotalDegree w p = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ p : MvPolynomial σ R

(∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ s ∈ p.support, (weight w) s = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ p : MvPolynomial σ R

∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → (weight w) a = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → (weight w) m = 0


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

weightedTotalDegree w p = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

(∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → ∀ (x : σ), a x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ coeff m p ≠ 0 → ∀ (x : σ), m x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

coeff m p ≠ 0 → ((weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: a✝ : coeff m p ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : Kˣ

x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation ↑x = 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.unitGroup)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: l✝ l' l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: l✝ l' l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: l✝ l' l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l

Context: C : ℝ

Context: hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hμ : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: l✝ l' l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l

Context: C : ℝ

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hμ : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: l✝ l' l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l

Context: C : ℝ

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hμ : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X


closure s = s ∧ interior s = s ↔ closure s ⊆ interior s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : closure s ⊆ interior s


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
s : Set A

centralizer R s.centralizer.centralizer = centralizer R s


↑(centralizer R s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer R s)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g

(Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T U : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
h : X ⟶ U
i : Y ⟶ U


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp (a + m • p) b = toIcoMod hp a b + m • p


Context: q a b c : ℚ


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ

(pmap f l h).get? n = Option.pmap f (l.get? n) ⋯


(pmap f l h)[n]? = Option.pmap f l[n]? ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : Subsingleton α
a b i j : α

(j ∈ if i = a then some b else none) ↔ j ∈ some i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: c : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

mixedEmbedding.norm (c • x) = |c| ^ finrank ℚ K * mixedEmbedding.norm x


Context:
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β


Context:
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
this : Subsingleton α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (s : Set β), IsCompact s → IsCompact (f ⁻¹' s)

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ cocompact β

Context: t : Set β

Context: ht : IsCompact t

Context: hts : tᶜ ⊆ s


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n


(Finsupp.sum F fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n


fold max 0 (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) F.support ≤ m * n


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

(natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) d ≤ m * n


(Polynomial.C (F d) * d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n


(d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n


∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n


∀ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ

((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasGradientAt g g' u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : F → 𝕜

Context: f' x : F

Context: s : Set F

Context: L : Filter F

Context: g : 𝕜 → 𝕜

Context: g' u : 𝕜

Context: L' : Filter 𝕜

Context: h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x


Context: hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
hS₂ : S.Nonempty


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : α → G

Context: s✝ : Set α

Context: x : α

Context: s : Set G

Context: hs : s ∈ 𝓝 1

Context: this : (fun p => p.1 * p.2⁻¹) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁✝ t₂✝ : Set β

Context: u✝ : Set γ

Context: v✝ : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m₁ : α → γ → α'

Context: m₂ : β → γ → β'

Context: n' : α' → β' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)

Context: s : Set ε

Context: t₁ : Set α'

Context: u : Set α

Context: hu : u ∈ f

Context: w₁ : Set γ

Context: hw₁ : w₁ ∈ h

Context: ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁

Context: t₂ : Set β'

Context: hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s

Context: v : Set β

Context: hv : v ∈ g

Context: w₂ : Set γ

Context: hw₂ : w₂ ∈ h

Context: ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁✝ t₂✝ : Set β

Context: u✝ : Set γ

Context: v✝ : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m₁ : α → γ → α'

Context: m₂ : β → γ → β'

Context: n' : α' → β' → ε

Context: s : Set ε

Context: t₁ : Set α'

Context: u : Set α

Context: hu : u ∈ f

Context: w₁ : Set γ

Context: hw₁ : w₁ ∈ h

Context: ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁

Context: t₂ : Set β'

Context: hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s

Context: v : Set β

Context: hv : v ∈ g

Context: w₂ : Set γ

Context: hw₂ : w₂ ∈ h

Context: ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂


Context:
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val


Context:
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val


dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ hausdorffDist (range Subtype.val) (range Subtype.val)


Context:
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1

HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : 0 < p.1

Context: this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : 0 < p.1

HasStrictFDerivAt (fun x => rexp (log x.1 * x.2)) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : 0 < p.1

(p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = rexp (log p.1 * p.2) • (log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + p.2 • p.1⁻¹ • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → β i
i : ι
s : Set (β i)
y : (a : ι) → β a

y ∈ update x i '' s ↔ y ∈ univ.pi (update (fun j => {x j}) i s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
m : Multiset R[X]
L : List R[X]

0 ∉ Quot.mk Setoid.r L → (prod (Quot.mk Setoid.r L)).roots = Multiset.bind (Quot.mk Setoid.r L) roots


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α

∀ (y₁ y₂ : Set α), y₁ ∈ s ∧ a ∈ y₁ → y₂ ∈ s ∧ a ∈ y₂ → y₁ = y₂


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0

(insert i t).centerMass w z = (w i / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • z i + ((∑ j ∈ t, w j) / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • t.centerMass w z


(w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + (w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ t, w i • z i = (w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + ((∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹) • ∑ i ∈ t, w i • z i


(w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ = (∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t

_root_.Disjoint (s.erase a) (insert a t) ↔ _root_.Disjoint s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d ≤ b


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : iIndepFun m f κ μ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, IsProbabilityMeasure (κ a)


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

(sqrtd * { re := ↑x, im := -↑y }).Nonneg


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg

(sqrtd * { re := -↑x, im := ↑y }).Nonneg


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : MulOneClass M

Context: inst✝¹ : MulOneClass N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: f✝ : M →* P

Context: g : N →* P

Context: comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f✝ m) (g n)

Context: f : M × N →* P

Context: x : M × N

((f.comp (inl M N)).noncommCoprod (f.comp (inr M N)) ⋯) x = f x


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y z : S


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ

(s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) = s.ι n


s.ι (unop (IndexSet.id (op [n])).fst).len = s.ι n


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x : X
y : Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2


Context: x y z : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K
F : Set G
h1F : IsCompact F
h2F : K ⊆ interior F


Context:
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1


∀ (b : ℕ), cantorFunctionAux c f b = 0 ∨ cantorFunctionAux c f b = c ^ b


Context:
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a


Context:
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a
x : α


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g g' : ℝ → E

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g g' : ℝ → E

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]

Context: hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

g (f b) - g (f a) = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g g' : ℝ → E

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]

Context: hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α
e_1✝ : β = Multiplicative β

f x = (FreeGroup.lift f) (FreeGroup.of x)


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n

Context: h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n ≤ a


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ sqrtTwoAddSeries 0 n


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
this : |log (x ^ t) * x ^ t| < 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : Subsemiring R
x : S


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : SemilatticeInf α

Context: inst✝² : SemilatticeInf β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : InfHomClass F α β

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Set α

Context: a b c : α

Context: s t : Set α

Context: this : (uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = image2 (fun x x_1 => x ⊓ x_1) s t

(uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = s ⊼ t


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

(fun r => r • 1) (g i) = (fun r => r • 1) 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
val✝ : Fintype ι


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
val✝ : Fintype ι
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : DecidableEq γ
g : β → γ
f : α →ₛ β

↑(map g f).range = ↑(Finset.image g f.range)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
i : ι
x✝¹ : i ∈ s
j : ι
x✝ : j ∈ s

0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i) ↔ f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n : ℕ

x.frobeniusFun.coeff n = (aeval x.coeff) (frobeniusPoly p n)


Context:
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
q : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q


Context:
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
q : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : CharP A q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

(s + t).singularPart μ = s.singularPart μ + t.singularPart μ


s + t = s.singularPart μ + t.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

δ n' (n' + 1) ((↑γ).leftShift a n' hn') = 0


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
hx : x ∈ e.source

(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p y) ↔ ∀ᶠ (b : Y) in map (↑e) (𝓝 x), p b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

(formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius = 1


(formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius ≤ 1


1 ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: h : f ≠ 0

Context: h₀ : ∀ {α : Type ?u.167292} {β : Type ?u.167295} (f : α → β), (fun x => x) ∘ f = f

Context: h₁ : ∀ {α : Type ?u.167360} {β : Type ?u.167363} (f : α → β), (f ∘ fun x => x) = f

Context: h₂ : WithBot.some = Nat.cast

((finSuccEquiv R n) f).degree = ↑(degreeOf 0 f)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

Context: h : f ≠ 0

Context: h₀ : ∀ {α β : Type} (f : α → β), (fun x => x) ∘ f = f

Context: h₂ : WithBot.some = Nat.cast

Context: h' : (((finSuccEquiv R n) f).support.sup fun x => x) = degreeOf 0 f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context: a x z x✝ : ℂ

x✝ ∈ (fun θ => cexp (↑θ * I)) '' Ioc (-π) π ↔ x✝ ∈ sphere 0 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(¬∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(∃ s, IsOpen s ∧ y ∈ s ∧ x ∉ s) ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

‖log (1 - z)⁻¹ + logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

‖log (1 + -z) - logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)


Context: x y : ℝ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂

∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁


p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X


∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ J.sieves Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : γ → β → δ
n : α → γ

map₂ m (map n f) g = map₂ (fun a b => m (n a) b) f g


map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun p => (n p.1, id p.2)) (f ×ˢ g) = map (fun p => m (n p.1) p.2) (f ×ˢ g)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β

(SimpleGraph.map f G).IsNClique n t ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t


(∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t) ∧ t.card = n ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s✝ : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
f : α ↪ β
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s

(∃ s_1, G.IsClique ↑s_1 ∧ map f s_1 = map f s) ∧ (map f s).card = n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

h₁.f' ≫ cyclesMap' φ h₁ h₂ = φ.τ₁ ≫ h₂.f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x : ℝ≥0


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : Fin n


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj

(e.symm.trans e'.toPartialEquiv).symm = e'.symm.trans e.toPartialEquiv


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addLeftEmbedding c) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)


⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (c + a) (c + b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: opβ : β → β → β

Context: h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)

Context: op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)

Context: x y : ↑(iUnion S)

iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k

iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k

Context: hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k

Context: hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k

Context: hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩

Context: hxy : ↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)) ∈ S k


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opβ : β → β → β

Context: x y : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: j : ι

Context: hj : ↑y ∈ S j

Context: k : ι

Context: hik : S i ≤ S k

Context: hjk : S j ≤ S k

Context: hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩

f k ⟨↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)), hxy⟩ = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α

∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑ i : ι, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x


∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (b : ι) (x : ↑(t b)), f ↑x