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Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

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Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Category.{u_11, u_1} C₁

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Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

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Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁

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Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h ≫ mapMap ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃) p j = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

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((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃) (i₁, i₂, i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

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Context: C₂₃ : Type u_6

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Context: I₁ : Type u_7

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Context: I₃ : Type u_9

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Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₂

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(((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃)) ≫ (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h = ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s


δ / 4 + dist (x + const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ


closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : dist x y < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : z ∈ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : dist x y < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ‖x - y‖ < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4

Context: hz : ‖(x + const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i + 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4

Context: hz : x i + 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i + 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1 : 0 ≤ p
hp2 : p ≤ 1


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hp1 : 0 ≤ 0
hp2 : 0 ≤ 1


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2 : p ≤ 1
hp1 : 0 < p


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hp1✝ : 0 ≤ 1
hp2 : 1 ≤ 1
hp1 : 0 < 1


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2✝ : p ≤ 1
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp1✝ : 0 ≤ p
hp2✝ : p ≤ 1
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs' : ¬s = 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11466, u_1} D
P : MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
h : P (f ≫ g)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M

(e.map f).orientation = -e.orientation ↔ LinearMap.det ↑f < 0


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h0 : ¬n = 0
h1 : ¬n = 1

commProb (Product (reciprocalFactors n)) = 1 / ↑n


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h0 : ¬n = 0
h1 : ¬n = 1
h2 : Even n


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h0 : ¬n = 0
h1 : ¬n = 1
h2 : Odd n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
x y : M


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a b : Solution₁ d
hbx : 0 < b.x
hby : 0 ≤ b.y
hb : a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a b : Solution₁ d
hbx : 0 < b.x
hby : 0 ≤ b.y
hb : a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}
n : ℕ
hn : b = a₁ ^ n


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F

reindex R s (Equiv.refl ι) = LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i)


↑(reindex R s (Equiv.refl ι)) = ↑(LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i))


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x✝ : (i : ι) → s i

((↑(reindex R s (Equiv.refl ι))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((↑(LinearEquiv.refl R (⨂[R] (i : ι), s i))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


(LinearEquiv.ofLinear (lift { toFun := ⇑(tprod R) ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s (Equiv.refl ι)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (lift ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s (Equiv.refl ι)).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s (Equiv.refl ι)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (tprod R))) ⋯ ⋯) ((tprod R) x✝) = (tprod R) x✝


{ toFun := ⇑(tprod R) ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s (Equiv.refl ι)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝ = (tprod R) x✝


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

p.count a.factors = 0 ∨ p.count b.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

p.count a.factors ≠ 0 → p.count b.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hca : p.count a.factors ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hca : p.count a.factors ≠ 0

Context: hcb : p.count b.factors ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

(∀ {i : PProd ι ι'}, p i.fst ∧ p' i.snd → (s i.fst ∩ s' i.snd).Nonempty) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃i' : ι'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0

P.toPoly = C P.b * X ^ 2 + C P.c * X + C P.d


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + 1)

{ length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i)) = p.toFun i


Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i))) = p.toFun i


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S

f.mk' a d = f.mk' b d ↔ ∃ c, ↑c * a = ↑c * b


f.toMap a * f.toMap ↑d = f.toMap b * f.toMap ↑d ↔ f.toMap a = f.toMap b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type u_1
m n✝ : ℕ
s : Finset ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ

∑ k ∈ range n, m ^ k = (m ^ n - 1) / (m - 1)


m ^ n = (∑ k ∈ range n, m ^ k) * (m - 1) + 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : IntegrableOn f (Ioi 0) ν
hg : IntegrableOn g (Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F


Integrable ((Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ

μ E ≤ ∫⁻ (x : X), ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x) ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
x✝ : X

↑((thickenedIndicator δ_pos E) x✝) = thickenedIndicatorAux δ E x✝


↑(thickenedIndicatorAux δ E x✝).toNNReal = thickenedIndicatorAux δ E x✝


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

gaussianPDFReal μ v (c⁻¹ * x) = |c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x : A

↑(Submonoid.powers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubmonoid.multiples x)


⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Submonoid.powers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubmonoid.multiples x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ

Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this : Nonempty γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this✝ : Nonempty γ
this : Nonempty δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a : α
inst✝ : NoMaxOrder α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α

‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle x (y - r • x)).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

(F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) ≫ (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: m₁ m₂ m₃ : M

Context: X : C

Context: this : (F.μ m₁ m₂ ▷ F.obj m₃ ≫ F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃ ≫ F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = ((α_ (F.obj m₁) (F.obj m₂) (F.obj m₃)).hom ≫ F.obj m₁ ◁ F.μ m₂ m₃ ≫ F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

(bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ Fintype.card α - r + 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

(bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ Fintype.card α - (r - 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

(bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ (image (fun a => insert a s) sᶜ).card


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t

Context: this : ∅ ∉ 𝒜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t

Context: this : ∅ ∉ 𝒜

Context: h : ∃ a ∉ s, insert a s = t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: this : ∅ ∉ 𝒜

Context: a : α

Context: ha : a ∉ s

Context: ht : insert a s ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ insert a s

insert a s ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t u : Multiset α
a b : α

∀ {s : Multiset α}, s - t ≤ u ↔ s ≤ u + t


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α

(l ++ l').eraseIdx k = l.eraseIdx k ++ l'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

D.t' i j i = pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))


D.t' i j i = (D.t' i j i ≫ pullback.snd (D.f j i) (D.f j i)) ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ

0 ≤ ↑x ↔ 0 ≤ x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Zero β
m0 : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : FloorDiv α β
f : ι →₀ β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
x : B
f : R[X]
hfm : f.Monic
hfx : eval₂ (algebraMap R B) x f = 0

span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝¹ y : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x x✝ : E

x✝ ∈ (c • p).ball x r ↔ x✝ ∈ p.ball x (r / ↑c)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r

(insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s

∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)

Context: x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)

Context: x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i

f.HasAntitoneBasis fun i => s ((fun i => ↑(x i)) i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)

Context: x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i

Context: this : (⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))).HasAntitoneBasis fun i => s ↑(x i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: f : Filter α

Context: h : f.IsCountablyGenerated

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set α

Context: hs : f.HasBasis p s

Context: x' : ℕ → Set α

Context: hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

Context: this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

Context: x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)

Context: x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

Multiset.Rel Associated (factors (x * y)) (factors x + factors y)


x * y ~ᵤ (factors x).prod * (factors y).prod


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α✝
α : ι → Type u_4
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)

(sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun i => cofinite) ↔ sᶜ ∈ cofinite


Context:
m n i : ℕ
hi : 2 ≤ i
m✝ : ℕ
a✝ : Nat.le 1 m✝


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
φ : M → N
ψ : N → M
h : Function.RightInverse φ ψ
χ : M → M
inst✝ : IsId χ


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : α i

Context: p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

Context: q : (j : Fin (n + 1)) → α j

q ≤ i.insertNth x p ↔ q i ≤ x ∧ (fun j => q (i.succAbove j)) ≤ p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : _root_.Embedding g

_root_.Embedding (g ∘ f) ↔ _root_.Embedding f


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
r : R'


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
y : β


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty) → x ∈ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set X

Context: hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: hfi : IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ

HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set X

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: hfi : Integrable f (Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))

HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X), f x ∂Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
x✝ : L

x✝ ∈ ⊥ᵛ ↔ x✝ ∈ ⊤


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Sigma σ → X

(∀ (i : ι), Continuous f) ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

(polynomialFunctions s).topologicalClosure ≤ AlgHom.equalizer φ ψ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => -f x) univ x


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
F : MonoFactorisation f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r b a


Context:
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : S.P T.obj₁

Context: h₃ : S.P T.obj₃


Context: l m✝ n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop


Context: l m✝ n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

(∃ r A, P (of (vecCons r A))) ↔ ∃ x, P x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S

(S.mapCyclesIso F).hom ≫ F.map S.iCycles = (S.map F).iCycles


Context: n : ℕ


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L

ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre (E ⋙ F) D ≫ pre F E = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)


ι F (E.obj (D.obj j)) = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L
this : HasColimit ((D ⋙ E) ⋙ F)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v v₁ : Valuation R Γ₀

Context: v₂ : Valuation R Γ'₀

Context: v₃ : Valuation R Γ''₀

Context: h : v₁.IsEquiv v₂

Context: r : R


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v v₁ : Valuation R Γ₀

Context: v₂ : Valuation R Γ'₀

Context: v₃ : Valuation R Γ''₀

Context: h : v₁.IsEquiv v₂

Context: r : R

Context: this : v₁ r ≠ v₁ 0 ↔ v₂ r ≠ v₂ 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫ (x : γ), κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α

IsCancelMulZero α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α
t : IsCancelMulZero α


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
a₂ : P.A
f₂ : P.last.B a₂ → P.last.M
h₂ : x.dest = ⟨a₂, f₂⟩
f' : Path P x ⟹ α


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
f' : Path P x ⟹ α
h₂ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → Game

Context: x : PGame

Context: hx : x ∈ upperBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → Game

Context: x : PGame

Context: i : ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1


Context: n : ℕ

catalan (n + 1) = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

multichoose (r + 1) (k + 1) = multichoose r (k + 1) + multichoose (r + 1) k


(fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose (r + 1) (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose r (k + 1) + multichoose (r + 1) k)


(ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r + (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k


Context:
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin m
j : Fin n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x✝ : X


({ toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } f) (Quot.mk (Rel R X) (Pre.of x✝)) = f x✝


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s

LSeries (f + g) s = LSeries f s + LSeries g s


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (x * y) = WittVector.ghostFun x * WittVector.ghostFun y


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α

EventuallyConst (c • s) (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M'₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝¹ : ContinuousAdd M₁
inst✝ : ContinuousAdd M'₁

(inl R₁ M₁ M'₁).coprod (inr R₁ M₁ M'₁) = id R₁ (M₁ × M'₁)


↑((inl R₁ M₁ M'₁).coprod (inr R₁ M₁ M'₁)) = ↑(id R₁ (M₁ × M'₁))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
this : PolishSpace ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x
hmn' : n < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m - n] (f^[n] x) = f^[n] x
hmn' : n < m


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hI : comap (algebraMap R S) I = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hI : comap (algebraMap R S) I = ⊥
x : S
hx : x ∈ I


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ


Context: b✝ : Game

Context: b : PGame

Context: c✝ : Game

Context: c : PGame

Context: h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c

Context: a✝ : Game

Context: a : PGame

Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hn : ‖f‖ = 0
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β


Context: x y : ℝ


Context:
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: w : Set M

Context: inst✝ : Finite ↑w

Context: s : range v ≤ ↑(span R w)

Context: this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w

Context: t : Finset ι

Context: v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: w : Set M

Context: inst✝ : Finite ↑w

Context: s : range v ≤ ↑(span R w)

Context: t : Finset ι

Context: v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x

Context: i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → M

Context: i : LinearIndependent R v

Context: w : Set M

Context: inst✝ : Finite ↑w

Context: s : range v ≤ ↑(span R w)

Context: t : Finset ι

Context: v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x

Context: i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'

Context: s' : range v' ≤ ↑(span R w)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α

sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, Setoid.r x y → s.Rel x y} ≤ r


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ Module.rank R (M × M')


lift.{v', v} (Module.rank R M) = Module.rank R ((M × M') ⧸ ker (LinearMap.fst R M M'))


lift.{v, v'} (Module.rank R M') = Module.rank R ↥(ker (LinearMap.fst R M M'))


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ
h : p.coeff n = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

Context: z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

HomogeneousLocalization.mk z ∈ carrier x ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

Disjoint ↑(Submonoid.powers f) ↑(↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

IsUnit (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers f)) 1 ⟨↑z.den, ⋯⟩)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
h2 : Even n
h1 : n ≠ 1

reciprocalFactors n = 3 :: reciprocalFactors (n / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b < 0
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
g : β × γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : β × γ), g c ∂(κ ×ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g (b, c) ∂η a ∂κ a


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
D : Type u_6
inst✝¹⁸ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁷ : Semiring A✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝¹⁵ : Star A✝
inst✝¹⁴ : Semiring B
inst✝¹³ : Algebra R✝ B
inst✝¹² : Star B
inst✝¹¹ : Semiring C
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ C
inst✝⁹ : Star C
inst✝⁸ : Semiring D
inst✝⁷ : Algebra R✝ D
inst✝⁶ : Star D
R : Type u_7
A : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A

∀ (x : R), (↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun x)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
h₁ : b.coeff 0 ≠ 0
h₂ : a = ↑p ^ m * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α


Context: m : ℕ

shiftLeft' true m 0 + 1 = (m + 1) * 2 ^ 0


Context: m k : ℕ


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
k : K


Context:
s : List Char
i b e n : Nat

go₁ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ s { byteIdx := i } { byteIdx := b } { byteIdx := e }


Context:
s : List Char
i b e n : Nat

∀ (c : Char) (cs : List Char), go₂ (c :: cs) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₂ (c :: cs) { byteIdx := b } { byteIdx := e }


Context:
s : List Char
i b e n : Nat

∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := b } → go₁ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := b + n } then go₂ (c :: cs) { byteIdx := i.byteIdx + n } { byteIdx := e + n } else go₁ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := b } then go₂ (c :: cs) i { byteIdx := e } else go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e }


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)


(⟦p⟧)⁻¹ = ⟦fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))⟧


(loopHomeo (Classical.arbitrary N)).symm (Path.symm ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv p)) ≈ fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : A →ₙₐ[R] B


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Ici f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Ici (f i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2


re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2


Context: o : ONote

Context: h : o.fundamentalSequence = Sum.inl none


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι✝

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ∞

Context: x : (i : ι✝) → E i

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) ↪ ι

Context: j : Fin (n + 1)

Context: h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst

Context: hj : j ≠ 0

(((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = e.toEquivRange.symm ⟨e j, ⋯⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι✝

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ∞

Context: x : (i : ι✝) → E i

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) ↪ ι

Context: j : Fin (n + 1)

Context: hj : j ≠ 0

(((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι✝ : Type u_2

Context: E : ι✝ → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι✝

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ∞

Context: x : (i : ι✝) → E i

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: n : ℕ

Context: e : Fin (n + 1) ↪ ι

Context: j : Fin (n + 1)

Context: hj : j ≠ 0

Context: this : e j = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj)

(((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj), ⋯⟩).succ = j


Context:
α : Type u_1
f : α → α
head✝ : α
l : List α
m : Nat

(modifyNth f 0 (head✝ :: l))[m + 1]? = (fun a => if 0 = m + 1 then f a else a) <$> (head✝ :: l)[m + 1]?


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat


(modifyNth f n l)[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?


(fun a => if n = m then f a else a) <$> l[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?


Context:
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

log (x * y) = log x + log y ↔ x.arg + y.arg ∈ Set.Ioc (-π) π


Context:
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

(log (x * y)).re = (log x + log y).re ∧ (log (x * y)).im = (log x + log y).im ↔ (x * y).arg = x.arg + y.arg


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : s.WellFoundedOn r
ht : t.WellFoundedOn r


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsStrictOrder α r

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t

∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsStrictOrder α r

Context: s t : Set α

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsStrictOrder α r

Context: s t : Set α

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsStrictOrder α r

Context: s t : Set α

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ


IsCompact (⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
M : Type u_4
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set α

s.mulIndicator f =ᶠ[ae μ] 1 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0


μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 1} = 0 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

List.map singleton l <+~ List.map ofList l.sublists


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

List.map (ofList ∘ pure) l <+~ List.map ofList l.sublists


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

List.map ofList (List.map pure l) <+~ List.map ofList l.sublists


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

Context: hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

Context: c : β

Context: hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c

∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

Context: c : β

Context: hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c

∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (F i a) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

Context: c : β

Context: a : α

Context: h : (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: i : ι

Context: i_s : i ∈ s

Context: b : β

Context: c : β

Context: a : α

Context: h : ∀ b ∈ s, F b a ≤ c


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ ∅, f i ≤ g i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝ : PosMulMono R

Context: f g : ι → R

Context: s✝ t : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i

Context: h0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i

Context: h1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i

∏ i ∈ cons a s has, f i ≤ ∏ i ∈ cons a s has, g i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioo a₁ a₂)


Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioo a₁ a₂))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖

‖f‖ ≤ c * ‖g‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

Context: hc : 0 ≤ c

‖f‖ ≤ c * ‖g‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: g : ↥(Lp F p μ)

Context: hc : c < 0

‖f‖ ≤ c * ‖g‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ℕ → β

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) cofinite f


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
x : A
r : R
y : A

x * ((algebraMap R A) r * y) = (algebraMap R A) r * (x * y)


Context:
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n : ℕ
H3 : μ = ↑n
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧


Context:
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n✝ : ℕ
H3 : μ = ↑n✝
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
n : ℕ
ih : ⟦α⟧ ^ ↑n ≤ ⟦α⟧

⟦α⟧ ^ ↑n.succ ≤ ⟦α⟧ * ⟦α⟧


⟦α⟧ ^ ↑n * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧ * ⟦α⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℤ


Context:
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq σ
i j : σ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]
r : k
x a : G


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0


Context:
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧ → Nonempty (X ≃ᵢ Y)


NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y → Nonempty (X ≃ᵢ Y)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)

Context: I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: g : ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ≃ᵢ Y


Context:
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y


⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : X ≃ᵢ Y

Context: f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : X ≃ᵢ Y

Context: g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : X ≃ᵢ Y

Context: I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y))


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : X ≃ᵢ Y

NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
hf : BddAbove (range f)


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, ¬Unbounded r x


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x : α


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x y : α
hxy : ¬r y x
c : Set α
hc : c ∈ s
hy : y ∈ c


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c✝ : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
c : R
x : M
hcx : c • x = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ

init n (x + y) = init n (init n x + init n y)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), T2Space (π i)

Context: s : Set ((i : ι) → π i)

IsCompact (closure s) ↔ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (eval i '' s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s s₁ s₂ : Finset β

Context: f g : β → α

Context: a : α

Context: p : α → Prop

Context: hb : p ⊥

Context: hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)

Context: hs : ∀ b ∈ s, p (f b)


Context:
n m p : ℕ
pp : Prime p
h : 1 = 1 ∨ m ≤ minFac 1
d : p ∣ 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l

∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l
s : C
ls : l ⟶ s
l's : l' ⟶ s
hs₁ : g₁ ≫ ls = (f₁ ≫ k₁l) ≫ l's
hs₂ : g₂ ≫ ls = (f₄ ≫ k₂l) ≫ l's


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ⊥), a.1 + a.2 < ↑x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : x✝.1 < ↑0 ∧ x✝.2 < ↑r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t✝ t : Finset β


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m


Context: b : Board

Context: m : ℤ × ℤ

Context: h : m ∈ left b

Context: w₁ : m ∈ b

Context: w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m

Context: i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b


Context: b : Board

Context: m : ℤ × ℤ

Context: h : m ∈ left b

Context: w₁ : m ∈ b

Context: w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m

Context: i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S

eval₂ f (f p.leadingCoeff * x) (normalizeScaleRoots p) = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f x p


∑ i ∈ Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff i) * (f p.leadingCoeff * x) ^ i = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff i) * x ^ i)


Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1) = Finset.range (p.natDegree + 1)


∀ x_1 ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff x_1) * (f p.leadingCoeff * x) ^ x_1 = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff x_1) * x ^ x_1)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝¹ f✝ : R →+* S

Context: p : R[X]

Context: x✝ : S

Context: h : 1 ≤ p.natDegree

Context: f : R →+* S

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)

f ((normalizeScaleRoots p).coeff n) * (f p.leadingCoeff * x) ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝¹ f✝ : R →+* S

Context: p : R[X]

Context: x✝ : S

Context: h : 1 ≤ p.natDegree

Context: f : R →+* S

Context: x : S

Context: n : ℕ

f (p.coeff n) * f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * x ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H✝ : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x

Context: x : S

Context: this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

(pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H✝ : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: x : S

Context: this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this : IsScalarTower R S A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H✝ : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: x : S

Context: this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this✝ : IsScalarTower R S A

Context: this : IsScalarTower S A A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H✝ : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: x : S

Context: this✝ : IsScalarTower R S A

Context: this : IsScalarTower S A A


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
inst✝ : DecidableEq V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support


Context:
n✝ n b : ℕ
l : List ℕ

n * ofDigits b l = ofDigits b (List.map (fun x => n * x) l)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : Cardinal.{u_2}
hx : x < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
n : ℕ
hx : ↑n < ℵ₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: t : Set α

Context: htc : IsComplete t

Context: htf : MapsTo f t t

Context: hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)

Context: y : α

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: hxy : edist x y ≠ ⊤

efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx = efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: t : Set α

Context: htc : IsComplete t

Context: htf : MapsTo f t t

Context: y : α

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: hxy : edist x y ≠ ⊤

Context: h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤

edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) < ⊤


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s✝ t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S


∃ s_1 S_1, MeasurableSet S_1 ∧ cylinder s S = cylinder s_1 S_1


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / 2 / 2 ^ n


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < 2 ^ (n + 1)


dist (f.transnumAuxSeq n) (f.transnumAuxSeq (n + 1)) < 1 / |2 ^ (n + 1)|


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < |2 ^ (n + 1)|


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : Cocone F
h : IsColimit t
f f' g : t ⟶ s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h : Projective R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : P →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: φ : (P →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total P M R fun p => Function.surjInv hf (g p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h : Projective R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : P →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: s : P →ₗ[R] P →₀ R

Context: hs : Function.LeftInverse ⇑(Finsupp.total P P R id) ⇑s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h : Projective R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : P →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: s : P →ₗ[R] P →₀ R

f ∘ₗ φ ∘ₗ s = g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h : Projective R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : P →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: s : P →ₗ[R] P →₀ R

Context: p : P

(f ∘ₗ φ ∘ₗ s) p = g ((Finsupp.total P P R id) (s p))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝ : Preorder α
s : NonemptyInterval α
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ

f.eraseLead.coeff i = if i = f.natDegree then 0 else f.coeff i


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

hitting u s n m ω = m ↔ (∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s) → sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) = m


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
hab : a * b ∈ s


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : Function.Injective ⇑f
h₂ : map f I = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : comap f ⊥ = ⊥
h₂ : map f I = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : comap f ⊥ = ⊥
h₂ : I ≤ ⊥


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source

LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g) s x


ContinuousWithinAt g s x → (P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x))


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hg : ContinuousWithinAt g s x

P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k > 0, beattySeq' r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} = {n | 0 < n}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0