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Context: E : Type u_2

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

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Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

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Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: h4f✝ : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀

Context: h4f : (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝 x₀

Context: h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝 (x₀, g x₀), ContMDiffAt (J.prod I) I' (↑One.one) (uncurry f) x'

Context: h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝 x₀, ContMDiffAt I I' 1 (f x₂) (g x₂)

Context: h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝 x₀

Context: this✝ : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)

Context: this : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀

ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

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Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

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Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

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Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

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Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

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Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: this✝² : ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x)))) (range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)

Context: this✝¹ : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀

Context: this✝ : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm ∘ writtenInExtChartAt I I' (g x) (f x) ∘ ↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))) x₀

Context: _inst✝ : (x : N) → NormedAddCommGroup (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedAddCommGroup E)

Context: _inst : (x : N) → NormedSpace 𝕜 (TangentSpace I (g x)) := fun x => inferInstanceAs (NormedSpace 𝕜 E)

Context: this : ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (fun x => (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

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Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

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Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

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Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ =ᶠ[𝓝 x₀] fun x => (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: x : N

Context: hx : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source

Context: h2x : x ∈ (fun x => f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source

inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀ x = (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: x : N

((tangentBundleCore I' M').coordChange (achart H' (f x (g x))) (achart H' (f x₀ (g x₀))) (f x (g x))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp ((tangentBundleCore I M).coordChange (achart H (g x₀)) (achart H (g x)) (g x))) = (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ ↑(extChartAt I' (f x (g x))).symm) (range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x (g x))) (f x (g x)))).comp ((mfderiv I I' (f x) (g x)).comp (fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I (g x)) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: x : N


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: x : N

f x (g x) ∈ (chartAt H' (f x₀ (g x₀))).source


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g

(whiskerEquiv e w).hom = lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯


(desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) = lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

∃ t A, Pairwise (Disjoint on t) ∧ (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] F

Context: t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)

Context: st : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: t_approx : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))

Context: ht : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] F

Context: t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)

Context: st : s ⊆ ⋃ n, t n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] F

Context: t_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)

Context: st : s ⊆ ⋃ n, t n

∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ disjointed t n) (r (A n))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : Flat R S
I : Ideal R

↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I) = ↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)


∀ (x : M) (y : ↥I), (↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I)) (x ⊗ₜ[R] y) = (↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : Flat R S
I : Ideal R
m : M
x : ↥I

(↑R (Module.Flat.auxLTensor R S M I)) (m ⊗ₜ[R] x) = (↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)) (m ⊗ₜ[R] x)


(Submodule.subtype (Module.Flat.J R S I)) (↑(LinearEquiv.refl S M) (((m, x).1, 1).1, ((TensorProduct.mk R S ↥I) ((m, x).1, 1).2) (↑(AlgebraTensorModule.rid S S M).symm (m, x).1, ↑(LinearEquiv.refl R ↥I).symm (m, x).2).2).1, ↑(Module.Flat.auxIso R S) (((m, x).1, 1).1, ((TensorProduct.mk R S ↥I) ((m, x).1, 1).2) (↑(AlgebraTensorModule.rid S S M).symm (m, x).1, ↑(LinearEquiv.refl R ↥I).symm (m, x).2).2).2).2 • LinearMap.id (↑(LinearEquiv.refl S M) (((m, x).1, 1).1, ((TensorProduct.mk R S ↥I) ((m, x).1, 1).2) (↑(AlgebraTensorModule.rid S S M).symm (m, x).1, ↑(LinearEquiv.refl R ↥I).symm (m, x).2).2).1, ↑(Module.Flat.auxIso R S) (((m, x).1, 1).1, ((TensorProduct.mk R S ↥I) ((m, x).1, 1).2) (↑(AlgebraTensorModule.rid S S M).symm (m, x).1, ↑(LinearEquiv.refl R ↥I).symm (m, x).2).2).2).1 = (↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I)) (m ⊗ₜ[R] x)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : ℝ
hs : 0 ≤ s

μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ : Set E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: s : ℝ

Context: hs : 0 ≤ s

Context: this : closedBall 0 (r * s) = r • closedBall 0 s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

(map f s).WSameSide (f x) (f y) ↔ s.WSameSide x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
h : (map f s).WSameSide (f x) (f y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : fp₁ ∈ map f s
fp₂ : P'
hfp₂ : fp₂ ∈ map f s
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (f y -ᵥ fp₂)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y ∈ s, f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y ∈ s, f y = fp₂
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (f y -ᵥ fp₂)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x y : P

Context: f : P →ᵃ[R] P'

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f y -ᵥ f p₂)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L

Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A K 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this✝ : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L

Context: this : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this✝¹ : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L

Context: this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : Algebra.IsIntegral A B


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this : Algebra.IsIntegral A B

Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L).toLinearMap (Submodule.map (Algebra.linearMap B (FractionRing B)) (differentIdeal A B)) = 1 / Submodule.traceDual A K 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this : Algebra.IsIntegral A B

1 / Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L)).toLinearMap (Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1) = 1 / Submodule.traceDual A K 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this : Algebra.IsIntegral A B

Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L)).toLinearMap (Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1) = Submodule.traceDual A K 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁸ : Field K

Context: inst✝¹⁷ : CommRing B

Context: inst✝¹⁶ : Field L

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B L

Context: inst✝¹³ : Algebra A B

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁸ : IsDomain A

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this : Algebra.IsIntegral A B

Submodule.traceDual A K (Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) 1) = Submodule.traceDual A K 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
h' : ∀ (y : E), f₀' y = f₁' y

HasStrictFDerivAt f₀ f₀' x ↔ HasStrictFDerivAt f₁ f₁' x


Context: c : RBColor

Context: α✝ : Type u_1

Context: t : RBNode α✝

Context: n : Nat

Context: h : match c with | black => ∃ n', n = n' + 1 ∧ RedRed True t n' | red => ∃ c, t.Balanced c n


Context: m n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
inst✝ : Bornology α
S : Set (Set α)
hs : S.Finite


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
k : ℕ
hi : (X ^ k).content = 1


Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

Context: h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧

Context: i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves

Context: j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inl (i, j))⟧


Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

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Context: j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧


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Context: h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)

∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧


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⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧ = -⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧


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Context:
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ι : Type u_3
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mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
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_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
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f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndep m κ μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)


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Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

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Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: π : ι → Set (Set Ω)

Context: s : ι → Set Ω

Context: S : Finset ι

Context: f : (x : ι) → Ω → β x

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: h : iIndep m κ μ

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (⋂ i ∈ Finset.univ, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)


Context: R : Type u_1

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Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

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Context: inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

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Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: I : Ideal S

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Context: inst✝¹⁰ : Module.Free R S

Context: M : Submonoid R

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

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Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

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Context: inst✝¹⁰ : Module.Free R S

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Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

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Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

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Context: h✝ : Nontrivial R

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Context: R : Type u_1

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Context: I : Ideal S

Context: inst✝¹¹ : Module.Finite R S

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Context: M : Submonoid R

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Context: Sₘ : Type u_4

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Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

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Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

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Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ

Context: h✝ : Nontrivial R

spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = span (⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing S

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Context: I : Ideal S

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Context: inst✝¹⁰ : Module.Free R S

Context: M : Submonoid R

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

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Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

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Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ

Context: h✝ : Nontrivial R

↑(map (algebraMap S Sₘ) I) ⊆ ⇑(Algebra.norm Rₘ) ⁻¹' ↑(Submodule.span Rₘ (⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: inst✝¹¹ : Module.Finite R S

Context: inst✝¹⁰ : Module.Free R S

Context: M : Submonoid R

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ

Context: h✝ : Nontrivial R

↑I ⊆ ⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) ⁻¹' ↑(Submodule.span Rₘ (⇑(Algebra.norm Rₘ) '' ↑(map (algebraMap S Sₘ) I)))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: α : Type u_1

Context: s : Heap α

Context: le : α → α → Bool

Context: n : Nat

Context: tl : Heap α

Context: hwf : WF le n s

Context: eq : Option.map (fun x => x.snd) (Heap.deleteMin le s) = some tl


Context:
n : ℕ
f g : Vector ℕ n → ℕ
h : Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Primrec' f
hg : Primrec' g
hh : Primrec' h

Primrec' fun v => Nat.rec (g v) (fun y IH => h (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)) (f v)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


x ⊓ y ⊓ x \ y = x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y


x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y = (x ⊓ (y ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y


(y ⊓ (x ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = (y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y


(y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = x ⊓ y ⊓ x \ y ⊔ x ⊓ y \ x ⊓ x \ y


x ⊓ y ⊓ x \ y ⊔ x ⊓ y \ x ⊓ x \ y = x ⊓ y \ x ⊓ x \ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0


¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this : (↑(P.subtype ⋯)).Normal


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex
hP : ¬p ∣ (↑(P.subtype ⋯)).index


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Context: If : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Context: If : Integrable f μ

Context: this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • f x ∂μ) atTop (𝓝 (f 0))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Context: If : Integrable f μ

Context: this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Context: If : Integrable f μ

Context: c : ℝ

∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ = ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g (x₀ - x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀✝ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: x₀ : F

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g x₀

Context: f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

Context: If : Integrable f μ

Context: c : ℝ

∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ = ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ + -x))) • g (x₀ - (x₀ + -x)) ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
h : Set.EqOn u v ↑(range E.order)
u' : ↥E.solSpace := ⟨u, hu⟩
v' : ↥E.solSpace := ⟨v, hv⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
u v : ℕ → α
hu : E.IsSolution u
hv : E.IsSolution v
h : Set.EqOn u v ↑(range E.order)
u' : ↥E.solSpace := ⟨u, hu⟩
v' : ↥E.solSpace := ⟨v, hv⟩
x : Fin E.order


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : A ⊆ range n ×ˢ range n
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n
A : Finset (ℕ × ℕ)
hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)
hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card
hA : IsCornerFree ↑A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: hA : IsCornerFree ↑A

Context: this : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: hA : IsCornerFree (Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: this✝ : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)

Context: this : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: this✝¹ : ↑A = Prod.map Fin.val Fin.val '' (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)

Context: this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val

Context: this : IsCornerFree (Prod.map Nat.cast Nat.cast '' ↑A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

Context: this : IsCornerFree ↑(image (Prod.map Nat.cast Nat.cast) A)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: A✝ B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hn : cornersTheoremBound (ε / 9) ≤ n

Context: A : Finset (ℕ × ℕ)

Context: hAn : ↑A ⊆ ↑(range n) ×ˢ ↑(range n)

Context: hAε : ε * ↑n ^ 2 ≤ ↑A.card

ε / 9 * ↑(Fintype.card (Fin (2 * n + 1))) ^ 2 ≤ ↑(image (Prod.map Nat.cast Nat.cast) A).card


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R

(map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)


∀ (a : R), (map f) (eval₂ C g (C a)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (C a))


∀ (p q : MvPolynomial S₂ R), (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) → (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q) → (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))


∀ (p : MvPolynomial S₂ R) (n : S₂), (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) → (map f) (eval₂ C g (p * X n)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X n))


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: h : Commute f₁ f₂

Context: m : M

Context: hm : m ∈ (⨆ k, (f₁.genEigenspace μ₁) k) ⊓ ⨆ k, (f₂.genEigenspace μ₂) k

m ∈ ⨆ k, ((f₁ + f₂).genEigenspace (μ₁ + μ₂)) k


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: h : Commute f₁ f₂

Context: m : M

Context: hm : (∃ k, ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k) m = 0) ∧ ∃ k, ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k) m = 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f₁ f₂ : End R M
μ₁ μ₂ : R
h : Commute f₁ f₂
m : M
k₁ : ℕ
hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: h : Commute f₁ f₂

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: this : f₁ + f₂ - (μ₁ + μ₂) • 1 = f₁ - μ₁ • 1 + (f₂ - μ₂ • 1)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)

∑ c ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1), ((k₁ + k₂ - 1).choose c.1 • ((f₁ - μ₁ • 1) ^ c.1 * (f₂ - μ₂ • 1) ^ c.2)) m = 0


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)

Context: x✝ : ℕ × ℕ

Context: i j : ℕ

Context: hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)

Context: x✝ : ℕ × ℕ

Context: i j : ℕ


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)

Context: x✝ : ℕ × ℕ

Context: i j : ℕ

Context: hi : k₁ ≤ (i, j).1


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: m : M

Context: k₁ : ℕ

Context: hk₁ : ((f₁ - μ₁ • 1) ^ k₁) m = 0

Context: k₂ : ℕ

Context: hk₂ : ((f₂ - μ₂ • 1) ^ k₂) m = 0

Context: h : Commute (f₁ - μ₁ • 1) (f₂ - μ₂ • 1)

Context: x✝ : ℕ × ℕ

Context: i j : ℕ

Context: hj : k₂ ≤ (i, j).2


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.11396, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
hX : W (𝟙 X)

(isoOfHom L W (𝟙 X) hX).inv = 𝟙 (L.obj X)


Context:
α : Type u_1
i : Nat
xs : List α
p : α → Bool

findIdx? p xs = some i ↔ map p (take (i + 1) xs) = replicate i false ++ [true]


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤

range (f.prod g) = (range f).prod (range g)


(range f).prod (range g) ≤ range (f.prod g)


∀ (a : M₂) (b : M₃) (x : M), f x = a → ∀ (x : M), g x = b → ∃ y, (f y, g y) = (a, b)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M
this : y - x ∈ ker f ⊔ ker g


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
h : ker f ⊔ ker g = ⊤
x y : M
this : y - x ∈ ker f ⊔ ker g
x' : M
hx' : x' ∈ ker f
y' : M
hy' : y' ∈ ker g
H : x' + y' = y - x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)

(∀ {i : Set (Set α)}, i.Finite ∧ i ⊆ s → (⋂₀ i).Nonempty) ↔ ∀ t ⊆ s, t.Finite → (⋂₀ t).Nonempty


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
h0 : ¬orderOf x = 0

orderOf y ∣ (orderOf x).lcm (orderOf (x * y))


orderOf (x ^ (orderOf x).pred * (x * y)) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf (x * y))


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
hx : ¬z = x
hy : ¬z = y

(Equiv.swap (f x) (f y)) (f z) = f ((Equiv.swap x y) z)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
s : Set (Set α)

s ∈ v.filterAt x ↔ ∃ ε > 0, ∀ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE μ ν
n : ℕ

⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k ∈ measurableLE μ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE μ ν
n : ℕ
x✝ : α

(⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k) x✝ = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k x✝


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
t u s x✝¹ : Multiset α
x✝ : α

s + t + {x✝} = s + u + x✝¹ ↔ t + {x✝} = u + x✝¹


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F


IsSeparable (range (derivWithin f univ))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : F' ⟶ F
g : F'' ⟶ F'

(adj1.natTransEquiv adj2).symm f ≫ (adj2.natTransEquiv adj3).symm g = (adj1.natTransEquiv adj3).symm (g ≫ f)


(adj1.natTransEquiv adj3) ((adj1.natTransEquiv adj2).symm f ≫ (adj2.natTransEquiv adj3).symm g) = (adj1.natTransEquiv adj3) ((adj1.natTransEquiv adj3).symm (g ≫ f))


Context: z : ℍ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
t : Set β


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : T
h : (g.comp f).IsIntegralElem x
p : R[X]
hp : p.Monic
hp' : eval₂ (g.comp f) x p = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
f₁ : MonoOver A
f₂ : Subobject A

(inf.obj (Quotient.mk'' f₁)).obj f₂ = (map f₁.arrow).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
f₁ f₂ : MonoOver A

(inf.obj (Quotient.mk'' f₁)).obj (Quotient.mk'' f₂) = (map f₁.arrow).obj ((pullback f₁.arrow).obj (Quotient.mk'' f₂))


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: ih : (⇑(frobenius (PerfectClosure K p) p))^[n] (mk K p (n, x)) = (of K p) x

(⇑(frobenius (PerfectClosure K p) p))^[n + 1] (mk K p (n + 1, x)) = (of K p) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D

(whiskerLeft G (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ adj2.counit).app x = adj1.counit.app x


F.map (adj2.unit.app (G.obj x)) ≫ adj1.counit.app (F'.obj (G.obj x)) ≫ adj2.counit.app x = adj1.counit.app x


F.map (adj2.unit.app (G.obj x) ≫ G.map (adj2.counit.app x)) ≫ adj1.counit.app x = adj1.counit.app x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ

‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: h₀ : 0 ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : edist 0 (↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x) ≤ edist 0 (f x) + edist 0 (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: h₀ : 0 ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : ↑‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖₊ ≤ ↑‖f x‖₊ + ↑‖f x‖₊


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux


hA.cfcAux { toFun := (spectrum ℝ A).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = hA.cfc f


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Module.rank R ↥(span R (range Subtype.val)) = #↑(range Subtype.val)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s


AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2))


![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2) = ![p₃, p₂, p₁]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: φ : ℕ → E × F

Context: x : E

Context: y : F

Context: hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph

Context: hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: φ : ℕ → E × F

Context: x : E

Context: y : F

Context: hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph

Context: hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))

Context: this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)

L.reverse.join = (map reverse L).join.reverse


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
f : A ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
right✝ : F.map f a = x


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s

(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b✝ c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a
b : X
hab : a ≤ b
hmem' : Icc a b ∈ 𝓝[≥] a
hsub : Icc a b ⊆ tᶜ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V) = ↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

(mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) = (mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1 = ((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)), (((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (TensorProduct.rid K V).symm ((TensorProduct.lid K V) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) (((Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] ((Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if j = x then (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] 1 else 0) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(if j ∈ Finset.univ then (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1 else 0) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ : C

binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ Y : C

Context: g : X₁ ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ X₂

Context: mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ Y : C

Context: g : X₁ ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ X₂

Context: e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃

Context: he₁ : (Triangle.mk g h 0).mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl

Context: he₂ : (Triangle.mk g h 0).mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ Y : C

Context: g : X₁ ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ X₂

Context: he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl

Context: he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ Y : C

Context: g : X₁ ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ X₂

Context: he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl

Context: he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd

Triangle.mk g h 0 ≅ binaryBiproductTriangle X₁ X₂


Context:
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n


Context:
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
hn : 1 < n.pred


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]

(pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂


sq₁.f₁₂ ≫ (evaluation₂.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₂


sq₁.f₁₃ ≫ (evaluation₃.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₃


sq₁.f₂₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₂.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₂₄


sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
this : (equivIco p a) ↑x = ⟨x, hx⟩


(Ico a (a + p)).restrict f ⟨x, hx⟩ = f x


Context:
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.360, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π

P.map π.op ≫ P.map c.fst.op = P.map π.op ≫ P.map c.snd.op


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f g : Perm α

Context: hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset

Context: hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f g : Perm α

Context: hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset

Multiset.map (Finset.card ∘ support) {f}.val ≤ Multiset.map (Finset.card ∘ support) g.cycleFactorsFinset.val


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f g : Perm α

Context: hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ : α → β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α

(pkg'.extend f ∘ pkg.map pkg' g) (pkg.coe a) = pkg.extend (f ∘ g) (pkg.coe a)


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

IsSeparated x✝ ↔ MorphismProperty.diagonal (@IsClosedImmersion) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α n.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α n.succ
a : α
ha : a ∈ s


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context:
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a

∀ (b : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) b = a ^ ω * b


Context:
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a

deriv (fun x => a * x) 0 = a ^ ω * 0 ∧ ∀ (a_1 : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) a_1 = a ^ ω * a_1 → deriv (fun x => a * x) (succ a_1) = a ^ ω * succ a_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hc : c ≠ 0

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hc : c ≠ 0

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : support ↑(const α c) = Set.univ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)

Context: hz' : z ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I

(algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: hz' : ∃ l ∈ Finsupp.supported S S ↑I, (Finsupp.total R S S ⇑(algebraMap R S)) l = z


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

Context: H' : (Finsupp.total R S S ⇑(algebraMap R S)) l = z


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

Context: H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

(l.sum fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

Context: lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

Context: a b : S

(fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) a → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) b → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) (a + b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

(fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) 0