Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: p : ι → Submodule R N

Context: x : N

(∃ f, ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hz : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic m K = cyclotomic' m K

Context: ζ : K

Context: hz : IsPrimitiveRoot ζ k


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: hz : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hzero : k = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: hz : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: hz : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: h : ∀ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic i K = cyclotomic' i K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
h : e.symm none = none


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
h : e none = none


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k

IsPrimitiveRoot ζ k ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), 0 < l → l < k → ζ ^ l ≠ 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl' : 0 < l
hl : l < k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 0 < k
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl' : 0 < l
hl : l < orderOf ζ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L k


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: k : ℕ

Context: x : L

Context: hk : 1 ≤ k

Context: hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: k : ℕ

Context: x : L

Context: hk : 1 ≤ k

Context: y : L

Context: x✝ : y ∈ {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}

Context: u v : L

Context: huv : ⁅u, v⁆ = y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: k : ℕ

Context: x : L

Context: hk : 1 ≤ k


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: k : ℕ

Context: x : L

Context: hk : 1 ≤ k

Context: u v : L

Context: hu : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) u

Context: hv : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) v

(fun x => (trace R M) (φ x) = 0) (u + v)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: k : ℕ

Context: x : L

Context: hk : 1 ≤ k

Context: t : R

Context: u : L

Context: hu : (fun x => (trace R M) (φ x) = 0) u

(fun x => (trace R M) (φ x) = 0) (t • u)


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K : Set X

Context: U : Set Y

Context: this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K : Set X

Context: U : Set Y

∀ (x : Y) (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set (Y × X)), IsOpen U → {x} ×ˢ K ⊆ U → ∀ᶠ (a : Y) in 𝓝 x, {a} ×ˢ K ⊆ U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K✝ : Set X

Context: U✝ : Set Y

Context: x : Y

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: U : Set (Y × X)

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K✝ : Set X

Context: U✝ : Set Y

Context: x : Y

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: U : Set (Y × X)

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U

Context: V : Set Y

Context: W : Set X

Context: hV : IsOpen V

Context: hxV : {x} ⊆ V

Context: hKW : K ⊆ W

Context: hVWU : V ×ˢ W ⊆ U


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K✝ : Set X

Context: U✝ : Set Y

Context: x : Y

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: U : Set (Y × X)

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U

Context: V : Set Y

Context: W : Set X

Context: hV : IsOpen V

Context: hxV : {x} ⊆ V

Context: hKW : K ⊆ W

Context: hVWU : V ×ˢ W ⊆ U

Context: a : Y

Context: ha : a ∈ V


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α

∀ (s t u : Finset α), s ○ t ○ u = s ○ (t ○ u)


∀ (a b c : Finset α), a ○ b ○ c ≤ a ○ (b ○ c)


∀ (a b c : Finset α) (a_1 : α), (∃ a_2 ∈ a, ∃ b_1 ∈ b, Disjoint a_2 b_1 ∧ a_2 ⊔ b_1 = a_1) → ∀ b_1 ∈ c, Disjoint a_1 b_1 → ∃ a_5 ∈ a, ∃ b_2, (∃ a ∈ b, ∃ b ∈ c, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = b_2) ∧ Disjoint a_5 b_2 ∧ a_5 ⊔ b_2 = a_1 ⊔ b_1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s✝ t✝ u✝ v s t u : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : Disjoint a b
c : α
hc : c ∈ u
habc : Disjoint (a ⊔ b) c

∃ a_1 ∈ s, ∃ b_1, (∃ a ∈ t, ∃ b ∈ u, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = b_1) ∧ Disjoint a_1 b_1 ∧ a_1 ⊔ b_1 = a ⊔ b ⊔ c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s✝ t✝ u✝ v s t u : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
hab : Disjoint a b
c : α
hc : c ∈ u
habc : Disjoint a c ∧ Disjoint b c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀✝ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁✝ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x y : E
hx : IsSeparable F x
hy : IsSeparable F y


Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥F⟮x⟯)⟮y⟯)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x y : E
hx : IsSeparable F x
hy : IsSeparable (↥F⟮x⟯) y


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: x y : E

Context: hx : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯

Context: hy : Algebra.IsSeparable ↥F⟮x⟯ ↥(↥F⟮x⟯)⟮y⟯


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
K L : Subgroup N
hf : Surjective ⇑f


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
c : ℤ →+* R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ ℤ

eval₂ c (g ∘ f) p = eval₂ c g ((rename f) p)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ egauge 𝕜 (c • s) x


∀ (c_1 : 𝕜), x ∈ (c_1 * c) • s → egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖c_1‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s

egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖a‖₊


egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) ≤ ↑‖a‖₊ * ↑‖c‖₊


egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) ≤ ↑‖a * c‖₊


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

0 < (μ.restrict s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

{a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤} ⊆ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ

Context: hx : x ∉ {x | f x = ⊤}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∉ {x | f x = ⊤}


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X


Context: a b m n✝ p n d : ℕ

d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n


Context: a b m n p d : ℕ

d ∣ 0 ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ 0


Context:
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0

0 ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ 0 → p ^ k ∣ n


Context:
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0


(∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → d ∣ n


(∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → ∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p


Context: a b m n✝ p✝ n d : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hd : d ≠ 0

Context: h : ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n

Context: p : ℕ

Context: pp : Prime p


Context: a b m n✝ p✝ n d : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hd : d ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: pp : Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context: h : setOf Odd = {n | n % 2 = 1}


Context: h : setOf Odd = {n | n % 2 = 1}

schnirelmannDensity {n | n % 2 = 1} = 2⁻¹


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ.hom

f ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 R


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ≅ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ.hom) φ.hom

p.map φ.hom ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (p.obj a✝)


(eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ f = 𝟙 S


(eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ p.map φ.hom = 𝟙 (p.obj b✝)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hf : DifferentiableOn 𝕜 f s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖ ≤ 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j

QuasiIsoAt ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ j


IsIso (homologyMap ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i) ↔ IsIso (homologyMap φ j)


Context:
α : Type u_1
s t : Multiset α

∀ (a b : List α), ⟦a⟧ ∈ powerset ⟦b⟧ ↔ ⟦a⟧ ≤ ⟦b⟧


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

A.mul.unop ≫ A.one.unop ▷ unop A.X = (λ_ (unop A.X)).inv


A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.one.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv


A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.mul.unop = A.mul.unop ≫ A.mul.unop ▷ unop A.X ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom


((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop = (A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I

Context: ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

Context: φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k

Context: hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

Context: φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k

Context: hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ

Context: x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))

Context: hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

Context: φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k

Context: hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ

Context: p : MvPolynomial σ k

Context: hp : p ∈ vanishingIdeal {x}


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

Context: φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k

Context: hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ

Context: p : MvPolynomial σ k

Context: hp : p ∈ vanishingIdeal {x}

∑ d ∈ p.support, ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, (Ideal.Quotient.mk I) (X i) ^ d i = 0


Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed k

Context: inst✝ : Finite σ

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ k)

Context: val✝ : Fintype σ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : I.IsMaximal := hI

Context: hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

Context: φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k

Context: hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ

Context: p : MvPolynomial σ k

Context: hp : ∑ d ∈ p.support, coeff d p * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y = 0


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True
eq_zero_false : p = 0 ↔ False


Context: t : ↑I

↑(qRight (t, 0)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1


Context: t : ↑I

↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R


Continuous fun x => p.sum fun e a => f a * x ^ e


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : c < ∑ i ∈ Finset.range n, f i


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝¹ : Zero α

Context: inst✝ : Preorder α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]


span R (of' R M '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support))


of' R M '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support)))


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x✝ : K ≃ₐ[k] K


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
y : X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E

IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (Convex.toCone ((convexHull 𝕜) s) ⋯)


{t | s ⊆ ↑t} = {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
t : ConvexCone 𝕜 E

t ∈ {t | s ⊆ ↑t} ↔ t ∈ {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'

tail ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b), ⋯⟩ = ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b'), ⋯⟩


↑(tail ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b), ⋯⟩) = ↑⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b'), ⋯⟩


(Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b)).tail = Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b')


Stream'.corec' (Corec.f f) (Corec.f f (Sum.inr b)).2 = Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b')


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
e : α
heJ : e ∈ M.closure J
heI : e ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Ico a₁ b₁ ∩ Ico a₂ b₂ = Ico (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)


Ici a₁ ∩ Iio b₁ ∩ (Ici a₂ ∩ Iio b₂) = Ici a₁ ∩ Ici a₂ ∩ (Iio b₁ ∩ Iio b₂)


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l' ∈ l.cyclicPermutations


Context: α : Type u

Context: l✝ l : List α

Context: k : Fin l.cyclicPermutations.length

Context: h : l.cyclicPermutations.get k ∈ l.cyclicPermutations

(l.cyclicPermutations.get k).length = l.length


Context: n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormalSpace X

Context: inst✝³ : ParacompactSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: t : X → Set E

Context: ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)

Context: U : X → Set X

Context: hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : X → X → E

Context: hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)

Context: hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormalSpace X

Context: inst✝³ : ParacompactSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: t : X → Set E

Context: ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)

Context: U : X → Set X

Context: hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : X → X → E

Context: f : PartitionOfUnity X X

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormalSpace X

Context: inst✝³ : ParacompactSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: t : X → Set E

Context: ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)

Context: U : X → Set X

Context: hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : X → X → E

Context: f : PartitionOfUnity X X

Context: x i : X

Context: hi : (f i) x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M


Context:
α : Type u_1
a : Lists α
l0 l₂ : Lists' α true
a✝ a'✝ : Lists α
e : a✝ ~ a'✝
h : a ∈ (a✝.snd.cons' l0).toList
m : a'✝ ∈ l₂.toList
s : l0.Subset l₂


Context:
α : Type u_1
a : Lists α
l0 l₂ : Lists' α true
a✝ a'✝ : Lists α
e : a✝ ~ a'✝
m : a'✝ ∈ l₂.toList
s : l0.Subset l₂
h : a = a✝ ∨ a ∈ l0.toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i

Context: hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ

Context: hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂

Context: hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: k : Set α

Context: hk : MeasurableSet k

↑((s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂).toSignedMeasure - (s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃).toSignedMeasure) k = ↑s k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: k : Set α

Context: hk : MeasurableSet k

(↑⟨↑s (i ∩ k), ⋯⟩).toReal - (↑⟨-↑s (iᶜ ∩ k), ⋯⟩).toReal = ↑s k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: k : Set α

Context: hk : MeasurableSet k


Context:
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting


Context:
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : 2 * s.card ≤ Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : s.card ≤ Fintype.card α / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : BooleanAlgebra α

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s✝ : Finset α

Context: this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2

Context: s : Finset α

Context: ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting

Context: _hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2

Context: hs : (↑s).Intersecting

Context: t : Finset α

Context: ht : (↑t).Intersecting

Context: hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : BooleanAlgebra α

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s✝ : Finset α

Context: this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2

Context: s : Finset α

Context: _hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2

Context: hs : (↑s).Intersecting

Context: t : Finset α

Context: ht : (↑t).Intersecting

Context: hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
h✝ : IsRelPrime x y
z : R
h : IsRelPrime x y


Context:
n : ℕ
hpos : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: integer : ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i ℤ = X ^ n - 1


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h

f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ θ.naturality h = f ◁ θ.naturality g ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
H : 0 < finrank R M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
H : 0 < finrank R M
this : FiniteDimensional R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
c : E
l : Filter α

IsBigOWith ‖c‖ l (fun _x => c) fun _x => 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Injective ⇑g
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
S : Submonoid M
inst✝ : Fintype ↥S
h : card ↥S ≤ 1
x : M
hx : x ∈ S


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
a : S

(h.aequiv (h'.ofEquiv e)) a = ((h.aequiv h').trans e) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : SimpleGraph α

Context: H : SimpleGraph β

Context: x : α × β

Context: inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)

Context: inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)

(G □ H).degree x = G.degree x.1 + H.degree x.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : SimpleGraph α

Context: H : SimpleGraph β

Context: x : α × β

Context: inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)

(G.neighborFinset x.1 ×ˢ {x.2}).card + ({x.1} ×ˢ H.neighborFinset x.2).card = (G.neighborFinset x.1).card + (H.neighborFinset x.2).card


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : i ⟶ j
f' : i ⟶ j'
K : C
G : j ⟶ K
G' : j' ⟶ K
h✝ : True
k : C
e : K ⟶ k
he : (f ≫ G) ≫ e = (f' ≫ G') ≫ e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(sum fun n => sum (μ n)) s = (sum fun m => sum fun n => μ n m) s


Context:
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
x✝ : ι → R

(ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: F : C ⥤ B

Context: R : A ⥤ B

Context: F' : C ⥤ A

Context: adj₁ : F ⊣ U

Context: adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)

Context: Y : A

Context: X : B

Context: f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y

F'.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ f = otherMap R F' adj₁ adj₂ X ≫ f ↔ U.map (F.map ((adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ (adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: F : C ⥤ B

Context: R : A ⥤ B

Context: F' : C ⥤ A

Context: adj₁ : F ⊣ U

Context: adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: Y : A

Context: X : B

Context: f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y

U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.toPrefunctor.1 X)) ≫ F.map (U.map (R.map f)) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj ((𝟭 B).obj X)) ≫ (R ⋙ U).map f ↔ U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.obj X)) ≫ F.map ((R ⋙ U).map f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj X) ≫ (R ⋙ U).map f


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: F : C ⥤ B

Context: R : A ⥤ B

Context: F' : C ⥤ A

Context: adj₁ : F ⊣ U

Context: adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: Y : A

Context: X : B

Context: g : U.obj X ⟶ U.obj (R.obj Y)

U.map (F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ g ↔ F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ (adj₁.homEquiv (U.obj X) (R.obj Y)).symm g = adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ (adj₁.homEquiv (U.obj X) (R.obj Y)).symm g


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: F : C ⥤ B

Context: R : A ⥤ B

Context: F' : C ⥤ A

Context: adj₁ : F ⊣ U

Context: adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: Y : A

Context: X : B

Context: g : U.obj X ⟶ U.obj (R.obj Y)

adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app ((𝟭 B).obj (R.obj Y)) ↔ F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

∑' (n : ℕ), { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = ∑' (n : ℕ), if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ

{ toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s


{ toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } 0 = if 0 = 0 then 0 else χ ↑0 / ↑0 ^ s


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t


Context:
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
p₁ p₂ : Pullback f g
he : (p₁, p₂).1.snd = (p₁, p₂).2.snd

⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' pullbackDiagonal f ↔ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ pullbackDiagonal snd


⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' {p | p.fst = p.snd} ↔ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 ∧ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)

Context: U : M → Set M

Context: hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : M → M → F

Context: hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)

Context: hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)

Context: U : M → Set M

Context: hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : M → M → F

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)

Context: U : M → Set M

Context: hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : M → M → F

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: x i : M

Context: hi : (f i) x ≠ 0


Context:
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w

(p.append q).toSubgraph = p.toSubgraph ⊔ q.toSubgraph


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : Bicone f
j j' : J

(fun j => F.map (b.ι j)) j ≫ (fun j => F.map (b.π j)) j' = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0


F.map (b.ι j ≫ b.π j') = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0


Context:
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 1 ≤ g
he : 1 ≤ e
_b : β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0

W'.negAddY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * W'.negY Q


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.regular
inst✝ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E

Context: X : C

Context: inst✝¹ : Projective X

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: inst✝ : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular

IsSheafFor F (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E

Context: X : C

Context: inst✝¹ : Projective X

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

∀ (x : Unit → F.obj (op Y)), Arrows.Compatible F (fun x => f) x → ∃! t, ∀ (i : Unit), F.map f.op t = x i


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

op ((toBaseChange A Q) (reverse ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)))) = (Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q)) ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v))))


op (1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v) = op (unop (↑(AlgEquiv.toOpposite A A) 1) ⊗ₜ[R] unop (op ((ι Q) v)))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∉ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∉ Quot.mk Setoid.r a✝

(formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = x


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁴ : SMul M X
inst✝³ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝² : SMul N Y
inst✝¹ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝ : SMul P Z
f : X →ₑ[φ] Y
x : X


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ

(∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z


Context: n : ℕ

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : (Fin n → ℂ) → E

Context: c✝ : Fin n → ℂ

Context: R✝ : Fin n → ℝ

Context: f : (Fin 1 → ℂ) → E

Context: c : Fin 1 → ℂ

Context: R : Fin 1 → ℝ

Context: H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)


Context: n : ℕ

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : (Fin n → ℂ) → E

Context: c✝ : Fin n → ℂ

Context: R✝ : Fin n → ℝ

Context: f : (Fin 1 → ℂ) → E

Context: c : Fin 1 → ℂ

Context: R : Fin 1 → ℝ

Context: H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)


Context: n : ℕ

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : (Fin n → ℂ) → E

Context: c✝ : Fin n → ℂ

Context: R✝ : Fin n → ℝ

Context: f : (Fin 1 → ℂ) → E

Context: c : Fin 1 → ℂ

Context: R : Fin 1 → ℝ

∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (∏ i : Fin 1, ↑(R i) * cexp (↑((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x i) * I) * I) • f ((fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)) ((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x)) = ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap (c 0) (R 0)) x • f fun x_1 => circleMap (c 0) (R 0) x ∂volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ Iic x)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x : A

IsUnit ((Algebra.lmul R A) x) ↔ IsUnit x


IsUnit x ↔ Function.Bijective ⇑((Algebra.lmul R A) x)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Ordinal.{u_2}
h : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u_2}
h : 0 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a c : Ordinal.{u_2}
h : succ c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Ordinal.{u_2}
h : b ≠ 0
hb : b.IsLimit


Context: x y : ℝ≥0


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j


a.get i * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)


(Stream'.drop i a).head * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

Context: i j : ℕ

Context: ij : i < j

Context: d : ℕ

Context: hd : j = i.succ + d

Context: this : (Stream'.drop i a).tail.get d ∈ FP (Stream'.drop i a).tail


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

Context: i j : ℕ

Context: ij : i < j

Context: d : ℕ

Context: hd : j = i.succ + d

Context: this : a.get (d + 1 + i) ∈ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop i a))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: a : Stream' M

Context: i j : ℕ

Context: ij : i < j

Context: d : ℕ

Context: hd : j = i.succ + d


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c ≠ 0
h : c * a = b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOn F (fun x => c) p s


Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p (𝓟 s)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n

(MvPolynomial.eval₂ f g φ).IsHomogeneous (n * m)


∀ i ∈ φ.support, ((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (n * m)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (n * m)


((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (0 + n * m)


(i.prod fun n e => g n ^ e).IsHomogeneous (n * m)


∀ i_1 ∈ i.support, ((fun n e => g n ^ e) i_1 (i i_1)).IsHomogeneous ((fun k => n * i k) i_1)


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ) = ⊤


⊤ ≤ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)


{σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Context: ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))

Context: ne : i ≠ j.succ

Context: lt : i < j.succ

swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Context: ne : i ≠ j.succ

Context: lt : i < j.succ

Context: mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: j : Fin n

Context: ih : j.castSucc ≠ j.castSucc → j.castSucc < j.castSucc → swap j.castSucc j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))

Context: ne : j.castSucc ≠ j.succ

Context: lt : j.castSucc < j.succ

swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Context: ne : i ≠ j.succ

Context: lt : i < j.succ

Context: lts : i < j.castSucc


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Context: ne : i ≠ j.succ

Context: lt : i < j.succ

Context: lts : i < j.castSucc

swap j.castSucc j.succ * swap i j.castSucc * swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X

∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1 x


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a


Context:
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : Zero M

Context: a✝ a' : α

Context: b : M

Context: a : α

Context: b₁ b₂ : M

Context: eq : single a b₁ = single a b₂

Context: this : (single a b₁) a = (single a b₂) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s

(List.map f (a :: s)).prod = ∏ m ∈ (a :: s).toFinset, f m ^ count m (a :: s)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: has : a ∉ s.toFinset


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: has : a ∉ s.toFinset

f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = f a * ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: has : a ∉ s.toFinset

∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: has : a ∉ s.toFinset

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s.toFinset

f x ^ count x s = f x ^ count x (a :: s)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: has : a ∉ s.toFinset

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s.toFinset


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Ici x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: this : ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ 0 * (x - a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hne : i ≠ j

{i, j}.centerMass w z = (w i / (w i + w j)) • z i + (w j / (w i + w j)) • z j


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
χ : DirichletCharacter ℂ 0


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s


Context: N : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter ℂ N

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hN : N ≠ 0

Context: hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s

Context: hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re


Context: N : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter ℂ N

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hN : N ≠ 0

Context: hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s

Context: hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s


Context: N : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter ℂ N

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hN : N ≠ 0

Context: hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s

L ((fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n) s = L (logMul fun n => χ ↑n) s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Antitone f
n a : ℤ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ

(Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = rexp (log x * y) * cos (y * π)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x : E


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂ (z + 1) τ = jacobiTheta₂ z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

jacobiTheta₂_term n (z + 1) τ = jacobiTheta₂_term n z τ


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f

((rename f) φ).IsHomogeneous n ↔ φ.IsHomogeneous n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
h : ((rename f) φ).IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F


Context:
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α


∀ (x y : Cofix F α), (fun x y => x = mk y.dest) x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

(TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (mk y.dest).dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest


(TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (TypeVec.id ::: corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest


(TypeVec.id ::: (Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest


(TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest


(TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest)


(((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = Quot.mk fun x y => x = mk y.dest


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝¹ x✝ y : Cofix F α
h : x✝ = mk y.dest
x : Cofix F α

(((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) x = Quot.mk (fun x y => x = mk y.dest) x


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
a₁ a₂ : α

(algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ ≤ a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ ↑s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι

nodalWeight s v i = (eval (v i) (nodal (s.erase i) v))⁻¹


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
f✝ : F.B a → F.M
hp : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f✝⟩


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
hp : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₂


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
h : p ∣ n


Context:
α : Type u_1
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))

Context: this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: x✝ : ℕ

1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, x ^ i * (1 - x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ ball b r


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod


(Multiset.map (⇑leadingCoeffHom) t).prod = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree

d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ

of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → of p✝ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ

of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ d₃ → of p✝¹ ≤ d₃


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ

of p✝² ≤ of p✝¹ → of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝² ≤ of p✝


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S

eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ


↑d.succ * ∑ m ∈ range (d + 1), y ^ m * 1 ^ (d - m) * ↑(d.choose m) - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))


↑d.succ * ∑ x ∈ range (d + 1), ↑(d.choose x) * y ^ x - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))


∑ i ∈ range d, ↑d.succ * (↑(d.choose i) * y ^ i) = ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose (k + 1)) * (↑(k + 1) * y ^ (k + 1 - 1))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y✝ : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
y : ℕ
_hy : y ∈ range d


Context:
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A


Context:
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0


eval₂ (algebraMap K A) x (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m

(treesOfNumNodesEq n.succ).card = catalan n.succ


Context: n : ℕ

∑ u ∈ antidiagonal n, (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq u.1) (treesOfNumNodesEq u.2)).card = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2


Context: n : ℕ

∀ x ∈ antidiagonal n, ∀ y ∈ antidiagonal n, x ≠ y → Disjoint (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq x.1) (treesOfNumNodesEq x.2)) (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq y.1) (treesOfNumNodesEq y.2))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)

(Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
this : Nonempty (Fin n)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
this✝ : Nonempty (Fin n)
this : FiniteDimensional ℝ E


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²² : TopologicalSpace M₁
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹² : Module R₁ M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M'₁
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝⁷ : Module R₁ M₂
inst✝⁶ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁵ : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝⁴ : ContinuousSMul R₁ M₁
α : Type u_10
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : DistribMulAction α M₁
inst✝¹ : ContinuousConstSMul α M₁
inst✝ : SMulCommClass R₁ α M₁
c : α
x : M₁

(toSpanSingleton R₁ (c • x)) 1 = (c • toSpanSingleton R₁ x) 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V

v +ᵥ z ∈ affineSegment R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T μ
this : T w = μ • w


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝 x)


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: h : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: g : G

Context: U : Opens G

μ.innerContent ((Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) = μ.innerContent U


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp a b • p - b = -toIocMod hp a b


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
φ : L.Sentence

M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hst : _root_.Disjoint s (t.erase a)


a ∉ t.erase a ∧ _root_.Disjoint s (t.erase a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

S.Exact ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)


Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯) ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: this : factorThruImage S.f ≫ imageToKernel' S.f S.g ⋯ = kernel.lift S.g S.f ⋯


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ prod.snd ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f' : Filter α
g' : Filter β

Disjoint (f ×ˢ g) (f' ×ˢ g') ↔ Disjoint f f' ∨ Disjoint g g'


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β

∏ t ∈ (insert a s).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset, f (insert a t)


∀ x ∈ s.powerset, ∀ y ∈ s.powerset, insert a x = insert a y → x = y


Disjoint s.powerset (image (insert a) s.powerset)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β

zipWithLeft f as bs = zipWithLeftTR f as bs


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : MvPolynomial τ R →+* S
g : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

f ((bind₁ g) φ) = (eval₂Hom (f.comp C) fun i => f (g i)) φ


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, P n k


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v : V

Disjoint (G.neighborSet v) (Gᶜ.neighborSet v)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : w ∈ Gᶜ.neighborSet v


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X]
y : W.CoordinateRing

(map W f) (x • y) = Polynomial.map f x • (map W f) y


(mk (WeierstrassCurve.map W f)) (C ((mapRingHom f) x)) * (map W f) y = (mk (WeierstrassCurve.map W f).toAffine) (C (Polynomial.map f x)) * (map W f) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a

∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a

ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : p a✝

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
x : D

x ∈ (map φ hφ S).objs ↔ x ∈ φ.obj '' S.objs


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'

(ψ'.comp ψ).comp f₁ = f₃.comp (φ'.comp φ)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i

(affineCombination k (filter pred s) p) w = (affineCombination k s p) w


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : ↑a⁻¹ * b = c


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : b = ↑a * c


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
t : Set (α × α)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: s : Set (α × α)

Context: h : idRel ⊆ s

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∀ {t : Set (α × α)}, t ⊆ (fun x => s ○ x)^[n] t

Context: t : Set (α × α)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : M.Basis I X


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: R I J X Y : Set α

Context: h : (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: R I J X Y : Set α

∀ (I_1 : Set α), M.Indep I_1 → I_1 ⊆ X → I ⊆ I_1 → I = I_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α × β → γ
x : Filter α
y : Filter β
z : Filter γ

Tendsto f (x ×ˢ y) z ↔ ∀ W ∈ z, ∃ U ∈ x, ∃ V ∈ y, ∀ (x : α) (y : β), x ∈ U → y ∈ V → f (x, y) ∈ W


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : ¬a = 0


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
a : α


(ofInjective f hf) ((ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩) = (ofInjective f hf) a


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context: x✝ y x : ℝ

Context: hx₁ : -1 ≤ x

Context: hx₂ : x ≤ 1

Context: this : sin (arcsin x) ^ 2 + cos (arcsin x) ^ 2 = 1


Context: x✝ y x : ℝ

Context: hx₁ : -1 ≤ x

Context: hx₂ : x ≤ 1

Context: this : cos (arcsin x) = √(1 - sin (arcsin x) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
x : ℕ → Set α


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }

Context: h : f (p * p.mirror) = f (q * q.mirror)


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = f (q * q.mirror)


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = C ↑v * (C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n))


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: h : C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n) = C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n)


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: h : m + n = m' + n ∧ n - m + k + n = n - m' + k + n ∨ ↑u = ↑w ∧ m + n = n - m' + k + n ∧ n - m + k + n = m' + n ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m + n = n - m + k + n ∧ m' + n = n - m' + k + n


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w

Context: h : m = m' ∧ n - m = n - m' ∨ u = w ∧ m = n - m' + k ∧ n - m + k = m' ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m = n - m + k ∧ m' = n - m' + k


Context:
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'

((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩


({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j') i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩


((s j').repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i) j')) i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α

↑L = ∅ ↔ L = ⊥


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.117700, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃

(inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z


Context:
E : ℕ → Type u_1
x z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy hxz : x ≠ y


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z


Context:
a b c : ℕ
h : a < b