Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ ⊕ α

Context: hf : Partrec f

Context: hF : Partrec₂ F

Context: hp : Partrec₂ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)


Context:
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (2 * y) = true


Context:
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (y + y) = true


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
o : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ o

(p ^ m).coeff o = if o = m * n then p.coeff n ^ m else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ m * n

(p ^ m).coeff (m * n) = if m * n = m * n then p.coeff n ^ m else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
o : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
mno : m * n ≤ o
h : o ≠ m * n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsUpperSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ

𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ

Context: hℬ : IsUpperSet ↑ℬ

Context: this : 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 𝒜ᶜ.card * ℬ.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ

Context: hℬ : IsUpperSet ↑ℬ

Context: this : 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card - 𝒜.card * ℬ.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ

Context: hℬ : IsUpperSet ↑ℬ

𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * ℬ.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v✝ a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u v : α

Context: s : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < ↑r

dist f g < ↑r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) < ↑r


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hay : 0 ≤ a.y
ax : ℕ
hax' : ↑ax = a.x
hax : 0 < ↑ax


Context: d : ℤ

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a₁

Context: x : ℕ

Context: ih : ∀ m < x, ∀ {a : Solution₁ d}, 0 ≤ a.y → ↑m = a.x → 0 < ↑m → ∃ n, a = a₁ ^ n

Context: a : Solution₁ d

Context: hay : 0 ≤ a.y

Context: hax' : ↑x = a.x

Context: hax : 0 < ↑x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Finset α
f : α → R
g : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s

(Finsupp.total α M R g) (onFinset s f hf) = ∑ x ∈ s, f x • g x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α

(∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (u n) a < ε


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)

sort f = Equiv.refl (Fin n) ↔ Monotone f


(Monotone f ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (id i) = f (id j) → id i < id j) ↔ Monotone f


Monotone f → ∀ (i j : Fin n), i < j → f i = f j → i < j


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ

(closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set Mᵐᵒᵖ
a : Submonoid M

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
m n : ℤ
k : ℕ

(m.xor n).testBit k = xor (m.testBit k) (n.testBit k)


Context:
x y : EReal
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty


Context:
θ : Angle
h : θ.sign ≤ 0


Context:
θ : Angle
h : θ.sign = -1 ∨ θ.sign = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : β → α
hl : l.HasBasis p s
t : Set β

t ∈ Filter.comap f l ↔ ∃ i, p i ∧ f ⁻¹' s i ⊆ t


(∃ i, p i ∧ s i ⊆ {y | ∀ ⦃x : β⦄, f x = y → x ∈ t}) ↔ ∃ i, p i ∧ f ⁻¹' s i ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : β → α
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
i : ι

s i ⊆ {y | ∀ ⦃x : β⦄, f x = y → x ∈ t} ↔ f ⁻¹' s i ⊆ t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R

(∀ (x : M), r • N.mkQ x = 0 → N.mkQ x = 0) ↔ ∀ (x : M), r • x ∈ N → x ∈ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20231, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
f g : P ⟶ Q


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype ↑C.colorClasses
this : Fintype ↑(Setoid.ker ⇑C).classes


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
f : α → β
φ : L[[↑A]].Formula α
x✝ : β → M

x✝ ∈ (fun g => g ∘ f) ⁻¹' setOf φ.Realize ↔ x✝ ∈ setOf (Formula.relabel f φ).Realize


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f


Set.range f = Set.range ⇑(s.orderEmbOfFin h)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
f : Fin k → α
hfs : ∀ (x : Fin k), f x ∈ s
hmono : StrictMono f
x : α
hx : x ∈ image f univ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Epi f

Context: s : PullbackCone f g

Context: hs : IsLimit s

Context: this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.right)


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: Hle : π₁ ≤ π₂


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: Hle : π₁ ≤ π₂

Context: J₁ : WithBot (Box ι)

Context: hJ₁ : J₁ ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₁.boxes

Context: hne : J₁ ≠ ⊥

∃ J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes, J₁ ≤ J'


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: Hle : π₁ ≤ π₂

Context: J₁ : WithBot (Box ι)

Context: hJ₁ : ∃ a ∈ π₁.boxes, ↑J ⊓ ↑a = J₁

Context: hne : J₁ ≠ ⊥


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: Hle : π₁ ≤ π₂

Context: J₁ : Box ι

Context: hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes

Context: hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥

Context: J₂ : Box ι

Context: hJ₂ : J₂ ∈ π₂

Context: hle : J₁ ≤ J₂

∃ J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes, ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p

HasDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ p) (p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x) x


p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x = ((p * ‖x‖ ^ (p - 2)) • (innerSL ℝ) x) 1


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (n → R) R
f : (n → R) →ₗ[R] n → R

(Q.comp f).discr = (LinearMap.toMatrix' f).det * (LinearMap.toMatrix' f).det * Q.discr


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n

μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)

Context: A : s = ⋃ n, s ∩ u n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : 0 < a
b : Ordinal.{u_4}


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
hn : r ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal r
h : G.CliqueFree r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
H : SimpleGraph V
K : Finset V
left✝ : K ⊆ univ
hr : 0 < K.card
hn : K.card ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal K.card
h : G.CliqueFree K.card


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
H : SimpleGraph V
K : Finset V
left✝ : K ⊆ univ
hr : 0 < K.card
hn : K.card ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal K.card
h : G.CliqueFree K.card
a b : V
hab : a ≠ b
hGab : ¬G.Adj a b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]


0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : a ≤ 0

⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a

⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a

⌊a / ↑0⌋₊ = ⌊a⌋₊ / 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n > 0

⌊a / ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ / n


↑(⌊a⌋₊ / n) ≤ a / ↑n ∧ a / ↑n < ↑(⌊a⌋₊ / n) + 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticAt 𝕜 f x
n : ℕ∞


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s✝ : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticAt 𝕜 f x
n : ℕ∞
s : Set E
hs : s ∈ nhds x
hf : AnalyticOn 𝕜 f s


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike G N M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MonoidHomClass G N M
f : F
x : M
g : G
hfg : LeftInverse ⇑g ⇑f
h : IsUnit (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : CommSemigroup N
inst✝ : CommSemigroup P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
x✝ : M

(g.comp (f₁ * f₂)) x✝ = (g.comp f₁ * g.comp f₂) x✝


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R

Ideal.span {GCDMonoid.gcd x y} = Ideal.span {gcd x y}


Associated (GCDMonoid.gcd x y) (gcd x y)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ map ϕ.toMonoidHom H


H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ comap ϕ.symm.toMonoidHom H


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} A
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify J B
inst✝¹ : J.HasSheafCompose F
inst✝ : J.PreservesSheafification F
P : Cᵒᵖ ⥤ A

whiskerRight (toSheafify J P) F ≫ (sheafifyComposeIso J F P).inv = toSheafify J (P ⋙ F)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : IsLeftCancelMul α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s : Set α
t : Finset α

(s.PairwiseDisjoint fun x => x • t) ↔ Set.InjOn (fun p => p.1 * p.2) (s ×ˢ ↑t)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

I ∈ (toPrincipalIdeal R K).range ↔ ∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑I


(∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I) ↔ ∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑I


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

edist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ edist p₁ p₃ + edist p₂ p₄


↑(nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄)) ≤ ↑(nndist p₁ p₃) + ↑(nndist p₂ p₄)


nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a✝ b c : α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: s t : Cofork f g

Context: i : s.pt ≅ t.pt

Context: w : autoParam (s.π ≫ i.hom = t.π) _auto✝


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80688, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80688, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : Epi S.g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
f : α → β
l : Language α


(map f) (⨆ i, l ^ i) = ⨆ i, (map f) l ^ i


(map f) (⨆ i, l ^ i) = ⨆ i, (map f) (l ^ i)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : NormalizationMonoid α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
M : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : Unique Mˣ
x : M

factors x = Multiset.map (⇑normalize) (factors x)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : NormalizationMonoid α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
M : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : Unique Mˣ
x x✝ : M
a✝ : x✝ ∈ factors x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : NormalizationMonoid α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
M : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : Unique Mˣ
x x✝ : M
a✝ : x✝ ∈ factors x
p : M


Context:
k G✝ : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u
inst✝ : Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: Y : ι' → Type u_8

Context: inst✝ : (j : ι') → TopologicalSpace (Y j)

Context: e : ι ≃ ι'

Context: i : ι

Continuous fun a => (Equiv.piCongrLeft Y e).toFun a (e i)


Context:
a b c : ℕ
hac : a ≤ c
x : ℕ

x ∈ image (fun x => c - x) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico (c + 1 - b) (c + 1 - a)


Context:
a b c : ℕ
hac : a ≤ c
x : ℕ


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : ℵ₀ ≤ b


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a
h' : b ≠ 0
hb : b < ℵ₀
this : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r


Ordered cmp (r.reverse.balance1 v l.reverse).reverse


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

HasFTaylorSeriesUpTo 0 f p ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ x : α


a ≤ x ∧ x ≤ c ∨ c ≤ x ∧ x ≤ a → (a ≤ x ∧ x ≤ b ∨ b ≤ x ∧ x ≤ a) ∨ b ≤ x ∧ x ≤ c ∨ c ≤ x ∧ x ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hi : I.IsLocal
x : R
h : I ⊔ span {x} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : q = x * r


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : 0 ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: y : Set β

Context: x : Set α

Context: hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))

Context: hy : y ⊆ f '' x

x ∩ f ⁻¹' maximals s y = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: y : Set β

Context: x : Set α

Context: hy : y ⊆ f '' x

∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))


Context: x : USize


Context: α : Type u

induced pure Ultrafilter.topologicalSpace = ⊥


Context: α : Type u


Context:
α : Type u
x : α


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (F.map f ≫ coconeMorphism F j') x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: x y : F

Context: h : ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑(choose ⋯)})).factors)) = I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯
hnd : mk' K n d = k


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
k : K
hk : I = spanSingleton R⁰ k
n : R := choose ⋯
d : ↥R⁰ := choose ⋯
hnd : mk' K n d = k
hn0 : n ≠ 0


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ

(coeff R m) (X ^ n) = if m = n then 1 else 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k m : ℕ
hm : k ≤ m
hk : (f.genEigenspace μ) m = ⊥


(f.genEigenspace μ) k ≤ (f.genEigenspace μ) m


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: y : β

Context: h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: y : β

Context: h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: y✝ : β

Context: h : ∀ x ∈ s, Commute y✝ (f x)

Context: y : β


Context:
a✝ b✝ : Prop
α : Sort u_1
a b : α
p : Prop


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
S : Set (Sublattice α)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ
ha : Odd a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Odd a
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M

(rTensor M (g ∘ₗ f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)


(⇑(rTensor M g) ∘ ⇑(rTensor M f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)


eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p (μ.trim hm) = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk f hf) p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)

CauchySeq f ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun n => (eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ).toReal) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n.1) - ↑↑(f n.2)) p μ) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
n : ι × ι


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β✝ : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: f1 f2 : α →₀ M

Context: hd : Disjoint f1.support f2.support

Context: β : Type u_16

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: g : α → M → β

(f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β✝ : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: f1 f2 : α →₀ M

Context: hd : Disjoint f1.support f2.support

Context: β : Type u_16

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: g : α → M → β

Context: this : ∀ {f1 f2 : α →₀ M}, Disjoint f1.support f2.support → ∏ x ∈ f1.support, g x (f1 x + f2 x) = f1.prod g


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₀ ⟶ X₁

Context: d₁ : X₁ ⟶ X₂

Context: s : d₀ ≫ d₁ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0

(if 2 = 1 + 1 then d₁ ≫ 𝟙 X₂ else 0) = d₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis (fun x => True) s


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
v : Vector α n


Context:
M : Type u
inst✝³ : Monoid M
α : Type v
inst✝² : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝¹ : MulAction M β
a : α
inst✝ : Fintype ↑(orbit M a)

a ∈ fixedPoints M α ↔ Fintype.card ↑(orbit M a) = 1


(∀ (m : M), m • a = a) ↔ ∃ x, ∀ (y : ↑(orbit M a)), y = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I J K L : Ideal R

Context: m✝ : Multiset R

Context: a : R

Context: m : Multiset R

Context: ih : (Multiset.map (fun x => span {x}) m).prod = span {m.prod}

(Multiset.map (fun x => span {x}) (a ::ₘ m)).prod = span {(a ::ₘ m).prod}


Context:
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17548, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17548, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²

(fun i j => (X.d j i).op) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).op) x✝³ x✝² = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰


∀ (x : R[X]), x * (taylor r) p = 0 → x = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
x : R[X]
hx : x * (taylor r) p = 0
this : x = (taylor (r - r)) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → Set α

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: f : (i : ι) → ↑(t i) → β

Context: hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: htU : ⋃ i, t i = univ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (liftCover t f hf htU ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → Set α

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: f : (i : ι) → ↑(t i) → β

Context: hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: htU : ⋃ i, t i = univ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' s))


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
h : s < ⊤


finrank K ↥s < finrank K ↥s + finrank K (V ⧸ s)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
s : R
h : 0 ≤ s ^ 2


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : ComposableArrows C n
hS : S.Exact
i : ℕ
hk : autoParam (i + 1 + 1 ≤ n) _auto✝

(S.sc' ⋯ i (i + 1) (i + 1 + 1) ⋯ ⋯ ⋯).Exact


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup N

Context: S : AddSubgroup M

Context: h : ↑S.topologicalClosure = univ

Context: x : M

Context: hker : x ∈ S.normedMk.ker.topologicalClosure


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
hker : x ∈ S.topologicalClosure


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
a : α


Context:
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α →₀ β →₀ M
xy : α × β

((finsuppProdLEquiv R).symm f) xy = (f xy.1) xy.2


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: q : ℕ

Context: h2 : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range

Context: h1 : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar E q

∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: q : ℕ

Context: h2✝ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range

Context: h1✝ : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar E q

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: y : E

Context: h2 : (algebraMap E K) y = x ^ q ^ n

Context: m : ℕ

Context: z : F

Context: h1 : (algebraMap F E) z = y ^ q ^ m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f s l
hft : HasConstantSpeedOnWith f t l
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: t : Set ℝ

Context: hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))

Context: hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))

Context: x : ℝ

Context: hs : IsGreatest s x

Context: ht : IsLeast t x

∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s ∪ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s ∪ t → x ≤ y → eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M

(zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H


(zeroRootSubalgebra R L H).normalizer ≤ zeroRootSubalgebra R L H


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: y : L

Context: hy : y ∈ H

∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ H

Context: hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ H

Context: k : ℕ

Context: hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅x, y⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ H

Context: k : ℕ

Context: hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅y, x⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ H

Context: k : ℕ

((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ (k + 1)) x = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: hdom : f.domain ≠ ⊤

∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: hdom : f.domain ≠ ⊤

Context: y : E

Context: hy : y ∉ f.domain


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.9364, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.9368, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.9372, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.9376, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.9372, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.9376, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β

StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s < f (cons a s ha)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : Set Ω


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K

‖x + (starRingEnd K) x‖ ^ 2 = re (x + (starRingEnd K) x) ^ 2


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.28461
s✝ t s a✝ : Finset α


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: hrank : rank K = 0

Context: x : ↥(torsion K)

Context: e : Fin (rank K) → ℤ

Context: hxu : u = ↑(x, e).1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ (x, e).2 i


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : ↑x ^ n = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: hrank : rank K = 0

Context: x : ↥(torsion K)

Context: e : Fin (rank K) → ℤ

Context: hxu : u = ↑x

Context: n : ℕ

Context: hnpos : 0 < n

Context: hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: hrank : rank K = 0

Context: x : ↥(torsion K)

Context: e : Fin (rank K) → ℤ

Context: hxu : u = ↑x

Context: n : ℕ

Context: hnpos : 0 < n

Context: r : ℕ

Context: hr3 : r < ↑3

Context: hru : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = ζ ^ r ∨ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = -ζ ^ r


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: hrank : rank K = 0

Context: x : ↥(torsion K)

Context: e : Fin (rank K) → ℤ

Context: hxu : u = ↑x

Context: n : ℕ

Context: hnpos : 0 < n

Context: r : ℕ

Context: hr3 : r < ↑3

Context: hr : r ∈ Finset.Ico 0 3


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M


Context: v : Vector ℕ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Antitone f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: ha : a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: ha : ∃ y ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i}), (Finsupp.total ι M R v) y = a • v i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})

Context: e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})

Context: e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: l : ι →₀ R

Context: e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i

Context: hn : ¬a = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι

Context: hn : ¬l i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι

Context: hn : ¬l i = 0

Finsupp.single i (l i) - l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι

Context: hn : ¬l i = 0

(Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i (l i) - l) = l i • v i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsSemisimpleModule R M
inst✝ : Nontrivial M


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G

(𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


(B.N x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0

(algebraMap A K) (num A x⁻¹ * num A x) / (algebraMap A K) (↑(den A x⁻¹) * ↑(den A x)) = 1


(algebraMap A K) (num A x * num A x⁻¹) / (algebraMap A K) (↑(den A x) * ↑(den A x⁻¹)) = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : _root_.Disjoint s t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)

∏ _i : ι, ↑1 * EMetric.diam s = EMetric.diam s ^ Fintype.card ι


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
x : R


({ toFun := fun f => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f, w⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } x) = f x


Context: s n : Nat

range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + (s + 1))


Context: s n : Nat

range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + 1 + s)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ

f (preNormEDS' b c d n) = preNormEDS' (f b) (f c) (f d) n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
h : IsBigOWith C (𝓝 b) f g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
h : IsBigOWith C (𝓝 b) f g
this : ContinuousAt (↑e) (↑e.symm b)


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f


(pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯).Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
x✝ : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q

F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p q hpq = F.d p' q ≫ ψ q


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq✝ : p + 0 = q
hpq : p = q

F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p q hpq✝ = F.d p' q ≫ ψ q


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p : ℤ
hpq : p + 0 = p

F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p p hpq = F.d p' p ≫ ψ p


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ

dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : i < last N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : last N ≤ i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: a : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E)

Context: b : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E) := a.centerAndRescale


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: c' : Fin (multiplicity E).succ → E

Context: c'_le_two : ∀ (n : Fin (multiplicity E).succ), ‖c' n‖ ≤ 2

Context: hc' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖c' i - c' j‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x

map (Embedding.subtype p) (Ioi a) = Ioi ↑a


map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioi ↑a)) = Ioi ↑a


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

(shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) ≫ (shiftComm Y i j).hom


Context: a : ℝ

frontier {z | z.im < a} = {z | z.im = a}


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

g.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.inv = app₃.inv ≫ f.map' 3 4 ⋯ ⋯


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

Context: h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

(∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

(∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ↔ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
hm : m.Nonempty

(restrict s) (sInf m) = sInf (⇑(restrict s) '' m)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

x⁻¹⁻¹ = 1 * x⁻¹⁻¹


1 * x⁻¹⁻¹ = x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀

(∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ g z


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}

2 ^ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

lift.{max (u + 1) v, u} (2 ^ c) < univ.{u, v}


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0

(injectiveResolutions C).map f ≫ J.iso.hom = I.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ


Homotopy (desc f (injectiveResolution Y) (injectiveResolution X) ≫ ((injectiveResolution Y).homotopyEquiv J).hom) (((injectiveResolution X).homotopyEquiv I).hom ≫ φ)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0

Context: this : ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0

∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Free R M'
inst✝ : Module.Free R M₁

Module.rank R (M × M') = lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M')


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y
this : IsSplitMono f


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
a₁✝ a₂✝ : M ≃[L] N
h : a₁✝.toEmbedding = a₂✝.toEmbedding


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

(colim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f


((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv


∀ (j : J), colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

colimit.ι (X✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G X✝).inv ≫ G.map (colimMap f) = (whiskerRight f G).app j ≫ colimit.ι (Y✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G Y✝).inv


G.map (colimit.ι X✝ j ≫ colimMap f) = G.map (f.app j ≫ colimit.ι Y✝ j)


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : T ≤ S ⊔ T


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ

(fun N => ↑(rothNumberNat N)) =o[atTop] fun N => ↑N


∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑(rothNumberNat b) ≤ c * ↑b


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
A : Finset ℕ
hs₁ : A ⊆ range n
hs₂ : A.card = rothNumberNat n
hs₃ : ThreeAPFree ↑A


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : c ≠ 0


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
hc : c ≠ 0


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
U : Set α
hs' : U ⊆ s
hU : IsOpen U
hU' : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ

Context: fγ_injective : Function.Injective fγ

Context: a₁ : α

Context: f₁ : β a₁ → WType β

Context: a₂ : α

Context: f₂ : β a₂ → WType β

Context: h : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₂ f₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ

Context: fγ_injective : Function.Injective fγ

Context: a₁ : α

Context: f₁ f₂ : β a₁ → WType β

Context: h✝ : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₁ f₂)

Context: h : HEq (fun b => elim γ fγ (f₁ b)) fun b => elim γ fγ (f₂ b)


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ

Context: fγ_injective : Function.Injective fγ

Context: a₁ : α

Context: f₁ f₂ : β a₁ → WType β

Context: x : β a₁


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n


Context:
α : Type u
inst✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
h✝ : Finite α


Context:
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
h✝ : Infinite α


Context:
f : Bool → Bool → Bool
x y n : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: hS : S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₁ k₀ : ι

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

Context: hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l

Context: h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

(nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i k₁ k₀ : ι

Context: r₁₀ : c.Rel k₁ k₀

Context: hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l

(dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) ≫ D.d k₁ k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
I : Set ι
hI : I.Countable
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ I, IsOpen (f i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M

baseChange A (span R s) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s)) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s) ⊆ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

((TensorProduct.mk R A M) 1) m ∈ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))


∀ x ∈ s, 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


1 ⊗ₜ[R] 0 ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


∀ (x y : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (x + y) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


∀ (a : R) (x : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (a • x) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)


-π < π / 2 ∧ π / 2 ≤ π


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this : Nonempty V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : x ∈ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : ∃ i, x ∈ ⋃ (_ : i ∈ t), s i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s t : Set α
a b : α

∀ (x : Set α), InfClosed ((fun s => {a | ∃ t, ∃ (ht : t.Nonempty), ↑t ⊆ s ∧ t.inf' ht id = a}) x)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : InfClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h0 : j ≠ 0
h1728 : j ≠ 1728


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f


∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E


Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ

cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
hδ : 0 ≤ δ

cthickening δ ∅ = ⋃ x ∈ closure ∅, closedBall x δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty


cthickening δ (closure E) = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
y : α
yE : y ∈ closure E
hy : infDist x (closure E) = dist x y


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
y : α
yE : y ∈ closure E
hy : dist x y ≤ δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α

↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ →+* ℂ
hf : Continuous ⇑f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
g : α → α
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt g y
C : ℝ
hfg : ∀ (z : α), dist (f z) (g z) ≤ C

dist y (f y) / (1 - ↑K) = dist (f y) (g y) / (1 - ↑K)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α → α'
g : M →ₗ[R] M'
h : ∀ (i : α), g (v i) = v' (f i)
l : α

((Finsupp.total α' M' R v' ∘ₗ lmapDomain R R f) ∘ₗ lsingle l) 1 = ((g ∘ₗ Finsupp.total α M R v) ∘ₗ lsingle l) 1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a = b + c


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ leftTransversals ↑H


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ

(∑ i ∈ t, φ i).vars ⊆ t.biUnion fun i => (φ i).vars


Context:
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R✝ B
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
n : G
hn : n ∈ s
g : G


Context: this : ∀ (f : ℕ →. ℕ), Partrec f → Partrec' fun v => f v.head

Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n →. ℕ

Context: hf : _root_.Partrec f

Context: g : ℕ → Part ℕ := fun n₁ => (↑(decode n₁)).bind fun a => Part.map encode (f a)


Context:
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f


Context:
c : Code
hf : Partrec c.eval


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃ x, s x)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃₀ range s)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃₀ range s)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r
x : β
u : Unbounded r (s x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: h : l.HasBasis p s

Context: q : ι → Prop

Context: hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: h : l.HasBasis p s

Context: q : ι → Prop

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: h : l.HasBasis p s

Context: q : ι → Prop

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ l

Context: i : ι

Context: hpi : p i

Context: hti : s i ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : Integrable φ μ
hf : Memℒp f ⊤ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : Memℒp φ 1 μ
hf : Memℒp f ⊤ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
m : Multiset α


(a = b ∧ 0 = m ∨ a ≠ b ∧ ∃ cs, 0 = b ::ₘ cs ∧ m = a ::ₘ cs) ↔ a = b ∧ m = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α), f a 0 = 0
A : Matrix l m α
b : n → β
i₁ : l
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n

kroneckerMap f A (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = blockDiagonal (fun i => A.map fun a => f a (b i)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι

LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β


LiftRel (swap R) cb.think ca ↔ LiftRel (swap R) cb ca


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p


(∃ z, b = a + z • p) → toIocMod hp a b = a + p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = a + p


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯ = pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F G : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G

Presheaf.IsLocallySurjective J f.val ↔ IsIso (imageSheafι f)


IsIso (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι ↔ IsIso { val := (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι }


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

ae (μ.restrict (Ι a b)) = ae (μ.restrict (Ioc a b)) ⊔ ae (μ.restrict (Ioc b a))


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X


Continuous fun x => ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
x : ↑I × ↑I
hx : ↑x.2 = 1 / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

Context: s t : Set β

Context: h : ContinuousWithinAt f (f ⁻¹' s) x

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] f x

Context: hxy : y = f x


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this : ↑3 ≤ #α


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this✝ : ↑3 ≤ #α
this : ↑2 < #α


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this✝¹ : ↑3 ≤ #α
this✝ : ↑2 < #α
this : ∃ z, z ∉ [x, y]


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
p : γ → Prop

(∀ z ∈ image₂ f s t, p z) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, p (f x y)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ

Context: h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Measurable (Function.uncurry fun a x => (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Measurable (Function.uncurry (κ.rnDeriv η))


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)) ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs' : ∀ x ∈ s, κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1


Context:
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F

Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)


Context:
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G


Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F) ∧ Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

¬(p = 0 ∨ p.coeff 0 ≠ 0) ↔ p ≠ 0 ∧ p.coeff 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
v : E


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hne : s.Nonempty

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hne : s.Nonempty

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)

Context: y : α

Context: hy : y ⋖ sSup s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hne : s.Nonempty

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)

Context: y : α

Context: hy : y ⋖ sSup s

Context: i : α

Context: his : i ∈ s

Context: hi : y < i


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = 1


Context:
f g : Code
k : Cont'

codeSupp (f.comp g) k = trStmts₁ (trNormal (f.comp g) k) ∪ codeSupp g (Cont'.comp f k)


Context:
f g : Code
k : Cont'

trStmts₁ (trNormal g (Cont'.comp f k)) ∪ (codeSupp' g (Cont'.comp f k) ∪ (trStmts₁ (trNormal f k) ∪ (codeSupp' f k ∪ contSupp k))) = trStmts₁ (trNormal g (Cont'.comp f k)) ∪ (codeSupp' g (Cont'.comp f k) ∪ (codeSupp' f k ∪ contSupp k))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: x ζ : (𝓞 K)ˣ

Context: f : Fin (rank K) → ℤ

Context: hζ : ζ ∈ torsion K

Context: h : x = ζ * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ f i

f = ⇑((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x))