Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: I : MulticospanIndex C

Context: inst✝¹ : HasMultiequalizer I

Context: x y : (forget C).obj (multiequalizer I)

∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), (limit.π I.multicospan j) x = (limit.π I.multicospan j) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
bdd : BddAbove (range p)


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)

Context: bdd : ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : BarrelledSpace 𝕜 E

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)

Context: x✝ : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : SurjOn f s t
g : β → γ


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : m.IsCaratheodory sᶜ


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

∫⁻ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


∫⁻ (x : G), f x ∂μ = ∫⁻ (a : G), f a ∂map (⇑(MeasurableEquiv.mulRight g)) μ


Context:
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ↑(inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: this : Set.Nonempty.some ⋯ ∈ ⋂ n, A (res (↑x) n)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ↑(inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ (i : ℕ), Set.Nonempty.some ⋯ ∈ A (res (↑x) i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V W : Set (β × β)
x y z : β
hV : SymmetricRel V
hx : x ∈ ball z V
hy : y ∈ ball z W


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V W : Set (β × β)
x y z : β
hV : SymmetricRel V
hx : z ∈ ball x V
hy : y ∈ ball z W


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ

(p ⊔ q).closedBall e r = p.closedBall e r ∩ q.closedBall e r


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝 x] t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: h : s.pi t = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: h : (s.pi t).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hst : s ⊆ closure t


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set ↑s
htc : (Subtype.val '' t).Countable
hst : s ⊆ closure (Subtype.val '' t)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

(fun t => inverse (↑x + t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1


(fun x_1 => inverse (1 + ↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1


(fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'

(lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) r' ↔ a ≤ b


(1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r') • a + r' • b ↔ a ≤ b


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom = Action.Hom.hom 0


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V

((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: x : ↑((resolution k G).X 1).V

Context: this : (forget₂ToModuleCat k G).d 1 0 ≫ (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = 0


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

(↑s ∩ ↑t).offDiag = (↑s).offDiag ∩ (↑t).offDiag


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z

swap y z * swap x y * swap y z = swap z x


swap y z * swap x y * (swap y z)⁻¹ = swap z x


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume ↑(piIcc01 ι) • addHaarMeasure (piIcc01 ι)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β

⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = (⋃ n, s n) ×ˢ ⋃ n, t n


⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = ⋃ x, s x.1 ×ˢ t x.2


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁

Context: inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃

Context: I : Type u_4

Context: J : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: p : I × J → K

Context: X : GradedObject I C₁

Context: Y : GradedObject J C₂

Context: A : C₃

Context: k : K

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p

Context: f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A

Context: h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁

Context: inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃

Context: I : Type u_4

Context: J : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: p : I × J → K

Context: X : GradedObject I C₁

Context: Y : GradedObject J C₂

Context: A : C₃

Context: k : K

Context: f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A

∀ (i : I × J) (hij : p i = k), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ f = (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : z = x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : ¬z = x


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ

oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ

oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
J : ℂ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : Semiring 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕝 F

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: f : E →ₗ[𝕝] F

Context: hf : IsOpenMap ⇑f

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : f x ≠ f y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : Semiring 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕝 F

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: f : E →ₗ[𝕝] F

Context: hf : IsOpenMap ⇑f

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : f x ≠ f y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ

x ≠ y → (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) x y


(¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) → x = y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ

Context: hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ

∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ

Context: w : Set X

Context: hw : IsClopen w

Context: hy : y ∈ w


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ

Context: w : Set X

Context: hw : IsClopen w

Context: hy : y ∈ w

Context: hx : x ∉ ↑⟨w, ⋯⟩


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
hr : ¬r = 0

(x * (single b) r).coeff (a + b) = x.coeff a * r


∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ (a + b), x.coeff x_1.1 * ((single b) r).coeff x_1.2 = x.coeff a * r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R

(fun s => s.sum fun x e => e) = fun m => Multiset.card (toMultiset m)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

(m.sum fun x e => e) = Multiset.card (toMultiset m)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
ha : 1 < a


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t

∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
G : α → β
hG_meas : Measurable G
hG_mem : range G ⊆ Preorder.toLE.1 0
hG_ae_eq : f =ᶠ[ae μ] G


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d

∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: ha₁ : IsFundamental a₁

Context: a : Solution₁ d

Context: H : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: ha₁ : IsFundamental a₁

Context: a : Solution₁ d

Context: Hx : 1 < a.x

Context: Hy : 0 < a.y

Context: H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n

Context: n₁ : ℤ

Context: hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: ha₁ : IsFundamental a₁

Context: a : Solution₁ d

Context: Hx : 1 < a.x

Context: Hy : 0 < a.y

Context: n₁ : ℤ

Context: hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁

Context: n₂ : ℤ

Context: hn₂ : a = a₁ ^ n₂ ∨ a = -a₁ ^ n₂


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s


∀ y ∈ ⋃₀ c, ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
y : α
s : Set α
sc : s ∈ c
ys : y ∈ s

∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : SimpleGraph α

Context: H : SimpleGraph β

Context: x : α × β

Context: inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)

Context: inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)

Context: this : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x) := boxProdFintypeNeighborSet x

(G □ H).neighborFinset x = (G.neighborFinset x.1 ×ˢ {x.2}).disjUnion ({x.1} ×ˢ H.neighborFinset x.2) ⋯


Context:
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p

Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v


Context: v : Multiset ℕ

Context: h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p

Context: this : (fun p h => Coe.coe ⟨p, h⟩) = fun p x => id p


Context:
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℝ≥0
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : R b a

destutter' R b (a :: l) = b :: destutter' R a l


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r


(univUnitBall.trans' (unitBallBall c r hr) ⋯).target = ball c r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : BorelSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: ι : Type u_6

Context: π : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), BorelSpace (π i)

MeasurableSpace.pi ≤ borel ((i : ι) → π i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : BorelSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: ι : Type u_6

Context: π : ι → Type u_7

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), BorelSpace (π i)

Context: this : inst✝¹ = fun i => borel (π i)


Context:
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'✝
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
G' : Subgroup G
H K : Subgroup ↥G'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0

dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center


-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = 0 ∨ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ


Context: p x ε y : ℝ

y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ closedBall x ε


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b ab : ℤ
h : a + b = ab
n : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ

((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

HasFDerivWithinAt f f' univ x ↔ HasFDerivAt f f' x


HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝 x) ↔ HasFDerivAt f f' x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

p.prod q = map (inl R M M₂) p ⊔ map (inr R M M₂) q


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
i j : α
h : i ≠ j + 1

(if h : i = j + 1 then eqToHom ⋯ ≫ d j else 0) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
x : E
y : E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ y

ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.map f g) univ (x, y)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E

((p.derivSeries n) fun x_1 => x) x = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x


∑ x_1 : { s // s.card = n }, ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x_1 ⋯) fun x_2 => x) (Fin.snoc ![] x) = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
x✝ : { s // s.card = n }
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x✝ ⋯) fun x_1 => x) (Fin.snoc ![] x) = (p (n + 1)) fun x_1 => x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.60536, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i : ℤ
A : C
f : A ⟶ (mappingCone φ).X i
j : ℤ
hij : i + 1 = j

f = (f ≫ (↑(fst φ)).v i j hij) ≫ (inl φ).v j i ⋯ + (f ≫ (snd φ).v i i ⋯) ≫ (inr φ).f i


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (b ^ n) (b ^ (n + 1)))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso g
inst✝ : IsIso (f ≫ g)


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyConnectedSpace H

Context: e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyConnectedSpace H

∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x) ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x)


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyConnectedSpace H

∀ (x : M) (i : Set H), (fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x i → IsPreconnected ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) nil.destruct nil.destruct


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ

Submodule.map reverse (p ^ n) = Submodule.map reverse p ^ n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

((shiftFunctor₁ C x).obj ((shiftFunctor₂ C y).obj K)).ιTotal (up ℤ) n₁ n₂ n h ≫ (((shiftFunctor₂ C y).obj K).totalShift₁Iso x).hom.f n ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = ((shiftFunctor₁ C x).obj ((shiftFunctor₂ C y).obj K)).ιTotal (up ℤ) n₁ n₂ n h ≫ ((x * y).negOnePow • (total.map ((shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K) (up ℤ)).f n ≫ (((shiftFunctor₁ C x).obj K).totalShift₂Iso y).hom.f n ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

(((shiftFunctor₂ C y).obj K).shiftFunctor₁XXIso n₁ x (n₁ + x) ⋯ n₂).hom ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)) x n (n + x) ⋯).inv ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • (((shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K).f n₁).f n₂ ≫ ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).shiftFunctor₂XXIso n₁ n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ (𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)).X (n + y))) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

(n₁ * y + x * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₂XXIso (n₁ + x) n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) y (n + x) (n + x + y) ⋯).inv = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

(n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x + y)) = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

(n₁ * y + x * y).negOnePow • K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ = (n₁ * y + x * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₁XXIso n₁ x (n₁ + x) ⋯ (n₂ + y)).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) x (n + y) (n + x + y) ⋯).inv ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: n n₁ n₂ : ℤ

Context: h : n₁ + n₂ = n

(n₁ * y + x * y).negOnePow • K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ = (n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).inv ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).hom


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

fourierCoeff (liftIoc T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n


(1 / T) • ∫ (x : ℝ) in ?a..?a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc T a f ↑x = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
a : Set X
ab : a ∈ b
xa : x ∈ a
ha : a ⊆ {y_1 | y_1 ≠ y}


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n

J ^ n ⊔ I = J ^ (multiplicity J I).get ⋯


J ^ count J (normalizedFactors I) = J ^ (multiplicity J I).get ⋯


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n m : ℕ+


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k

(s.weightedVSubOfPoint p b) (c • w) = c • (s.weightedVSubOfPoint p b) w


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸


ContinuousOn (exp 𝕂) (EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius)


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Finite G
x : F


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Finite G
x : F
val✝ : Fintype G


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
t : Set β
ht : MeasurableSet t

(Measure.map f (Measure.comap f μ)) t = (μ.restrict (range f)) t


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U

(X.restrictStalkIso h x).inv = Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : (OpenNhds (f x))ᵒᵖ

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) V ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) V ≫ Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) ≫ Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: U : TopCat

Context: X : PresheafedSpace C

Context: f : U ⟶ ↑X

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: x : ↑U

Context: V : OpenNhds (f x)

Context: i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: U : TopCat

Context: X : PresheafedSpace C

Context: f : U ⟶ ↑X

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: x : ↑U

Context: V : OpenNhds (f x)

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = ((((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑↑(X.restrict h))ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (X.restrict h).presheaf) ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V))) ≫ (X.restrictStalkIso h x).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: U : TopCat

Context: X : PresheafedSpace C

Context: f : U ⟶ ↑X

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: x : ↑U

Context: V : OpenNhds (f x)

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = (((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑↑(X.restrict h))ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (X.restrict h).presheaf) ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)) ≫ (X.restrictStalkIso h x).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: U : TopCat

Context: X : PresheafedSpace C

Context: f : U ⟶ ↑X

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: x : ↑U

Context: V : OpenNhds (f x)

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = (((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: U : TopCat

Context: X : PresheafedSpace C

Context: f : U ⟶ ↑X

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: x : ↑U

Context: V : OpenNhds (f x)

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = X.presheaf.map ((⋯.adjunction.counit.app (unop ((OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op.obj (op V)))).op ≫ ⋯.functor.op.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv).app (op V))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: ha : a ∉ upperClosure ↑s ⊔ upperClosure ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : (image f s).card = s.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: H : Multiset.card { val := (Multiset.map f s.val).dedup, nodup := ⋯ }.val = Multiset.card s.val


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: this : (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.map f s.val


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: this : (Multiset.map f s.val).Nodup


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

(esymm σ R n).support = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)


((powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}) = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l ≤ l.length


(if b = a then 0 else indexOf a l + 1) ≤ l.length + 1


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0

(p.update n a).support = insert n p.support


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : ¬1 = 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : IntegrableOn (u * v') (Ioi a) volume

Context: hu'v : IntegrableOn (u' * v) (Ioi a) volume

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

∫ (x : ℝ) in Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Ioi a) volume

Context: hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Ioi a) volume

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

∫ (a : ℝ) in Ioi a, u a * v' a + u' a * v a ∂volume = b' - a'


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
x : F'.obj U

f.app U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (f.app U)) V


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: U V : Cᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: x : F'.obj U

Context: this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y.left
hS : S ∈ J.sieves Y.left

(Sieve.overEquiv Y).symm S ∈ (J.over X).sieves Y


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.negY (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = ((y₂ - W.negY x₂ y₂) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) / (x₂ - x₁)


(-W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃ - (-(-W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃)) * (x₂ - x₁) = (y₂ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) - (y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃)) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
c : ℝ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
i : J ≃ I

OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ OrthogonalIdempotents e


Context:
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsRat (a ^ nb)⁻¹ num den


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁

(h₁₁ ≫ v₁₂) ≫ v₂₂ = v₃₁ ≫ h₃₁


h₁₁ ≫ v₁₂ = t.lift (h₁₁ ≫ v₁₂) v₃₁ ⋯ ≫ h₂₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.length ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯


l.get ⟨l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩, ?hn'⟩ = l.get ⟨0, hl'⟩


l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩ < l.length


Context: z : ℂ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂0, f x = f y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
hμ : μ ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
n : ℕ

Associates.mk (a ^ n) = Associates.mk a ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
p : α → Prop

(∃ x ∈ ⋃₀ S, p x) ↔ ∃ s ∈ S, ∃ x ∈ s, p x


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R


((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).support ⊆ x.support +ᵥ y.support


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)

Context: p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

∀ (x : W) (hx : x ∈ Set.range cs.simple) (y : W) (hy : y ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)), p' y hy → p' (x * y) ⋯


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
hf : ∀ (a : α), f a b = b
a : α
l : List α


Context:
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
b : β


Context: x y : EReal


Context:
x y : EReal
h : ∀ (z : ℝ), ↑z < y → ↑z ≤ x


Context:
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C


∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
y : E × E


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Measurable ((fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ

(f ^ n).support = f.support ↔ ¬orderOf f ∣ n


(f ^ n).support = f.support ↔ ¬f ^ n = 1


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

r ∉ (X.toΓSpecFun x).asIdeal ↔ IsUnit ((X.presheaf.Γgerm x) r)


Context:
k G✝ : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u
inst✝ : Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A


Context:
ι✝¹ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι✝ : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
ι : Type u_4
A : Set ι
hA : A.Nonempty
I : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i ∈ A, I i)
this : Nonempty ↑A

M.closure (⋂ i ∈ A, I i) = ⋂ i ∈ A, M.closure (I i)


Context: a x : ℝ

↑(⋯.lift ↑a) = jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α
this : ∀ (i : ι), s i = s default


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => x + c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

(λ_ X).hom ▷ Y = (α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g

f ≫ P.factorThru g h = P.factorThru (f ≫ g) ⋯


(f ≫ P.factorThru g h) ≫ P.arrow = P.factorThru (f ≫ g) ⋯ ≫ P.arrow


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivAt f f' x


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x


∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ

∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ ≤ ε

Context: m : ℤ

Context: hlt : dist x (↑m / ↑n) < δ


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ ≤ ε

Context: m : ℤ

Context: hlt : dist (↑m / ↑n) x < δ


Context:
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
a✝ : n.bodd = n.bits.headI


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }

lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
hI : ∀ (i : I), ∃ v ∈ V ↑i, v ≠ 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
v : I → M
hvV : ∀ (i : I), v i ∈ V ↑i
hv : ∀ (i : I), v i ≠ 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
v : I → M
hvV : ∀ (i : I), v i ∈ V ↑i
hv : ∀ (i : I), v i ≠ 0
this : LinearIndependent R v


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X


∀ (i : Set (OnePoint X)), ∞ ∈ i ∧ IsOpen i → ∃ i', (IsClosed i' ∧ IsCompact i') ∧ some '' i'ᶜ ⊆ i ∩ {∞}ᶜ


∀ (i' : Set X), IsClosed i' ∧ IsCompact i' → ∃ i, (∞ ∈ i ∧ IsOpen i) ∧ i ∩ {∞}ᶜ ⊆ some '' i'ᶜ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
m : ℕ
hm : m = 𝒜.card

supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m : ℕ

Context: ih : ∀ m_1 < m, ∀ {𝒜 : Finset (Finset α)}, 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → m_1 = 𝒜.card → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜

Context: hm : m = 𝒜.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜

Context: hm : m = 𝒜.card

Context: ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), 𝒜.card < m → 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m : ℕ

Context: a : Finset α

Context: h𝒜₁ : {a}.Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ {a}

Context: hm : m = {a}.card

supSum {a} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜

Context: hm : m = 𝒜.card

Context: h𝒜₃ : 𝒜.Nontrivial


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜

Context: h𝒜₃ : 𝒜.Nontrivial

Context: n✝ : ℕ

Context: hm : n✝ + 1 = 𝒜.card

Context: ih : ∀ (𝒜 : Finset (Finset α)), 𝒜.card < n✝ + 1 → 𝒜.Nonempty → univ ∉ 𝒜 → supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hs : s ∉ 𝒜

Context: h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜

Context: h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial

Context: ih : ∀ (𝒜_1 : Finset (Finset α)), 𝒜_1.card < 𝒜.card + 1 → 𝒜_1.Nonempty → univ ∉ 𝒜_1 → supSum 𝒜_1 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹

Context: hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card

supSum (insert s 𝒜) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hs : s ∉ 𝒜

Context: h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜

Context: h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial

Context: hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card

Context: h𝒜 : 𝒜.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: hs : s ∉ 𝒜

Context: h𝒜₁ : (insert s 𝒜).Nonempty

Context: h𝒜₂ : univ ∉ insert s 𝒜

Context: h𝒜₃ : (insert s 𝒜).Nontrivial

Context: hm : 𝒜.card + 1 = (insert s 𝒜).card

Context: h𝒜 : 𝒜.Nonempty

(image (fun x => s ⊓ x) 𝒜).card < 𝒜.card + 1


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: s : Set α

Context: S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: s : Set α

Context: t : Finset α

Context: ht₁ : ↑t ⊆ s

Context: hm : ∀ x ∈ S, ¬x > t.sup id


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: a b : ℝ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a

Context: hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b

Context: this : ‖interpStrip f z‖ ≤ sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: a b : ℝ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a

Context: hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b

sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) * sSupNormIm f 1 ^ z.re ≤ a ^ (1 - z.re) * b ^ z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: a b : ℝ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a

Context: hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: a b : ℝ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: ha : ∀ z ∈ re ⁻¹' {0}, ‖f z‖ ≤ a

Context: hb : ∀ z ∈ re ⁻¹' {1}, ‖f z‖ ≤ b

sSupNormIm f 0 ^ (1 - z.re) ≤ a ^ (1 - z.re)


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
a : X


(toComplex.comp ofComplex) Complex.I = (AlgHom.id ℝ ℂ) Complex.I


toComplex (ofComplex Complex.I) = Complex.I


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k ≃+* K
w : InfinitePlace K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β


(type fun x x_1 => x < x_1) = Ordinal.univ.{u, u + 1}


(type fun x x_1 => x < x_1) = type fun x x_1 => x < x_1


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I J K L : Ideal R

Context: this : (I * J).radical ≤ (I ⊓ J).radical


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I J K L : Ideal R

Context: this : (I * J).radical ≤ I.radical ⊓ J.radical


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V✝ : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV✝ : OrthogonalFamily 𝕜 G V✝

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: hV_sum : IsInternal fun i => V i

Context: α : ι → Type u_6

Context: v_family : (i : ι) → Basis (α i) 𝕜 ↥(V i)

Context: hv_family : ∀ (i : ι), Orthonormal 𝕜 ⇑(v_family i)

Orthonormal 𝕜 ⇑(hV_sum.collectedBasis v_family)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F β α
inst✝ : InfHomClass F β α
hs : InfClosed s
f : F
a : β
ha : a ∈ ⇑f ⁻¹' s
b : β
hb : b ∈ ⇑f ⁻¹' s

a ⊓ b ∈ ⇑f ⁻¹' s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
h : φ ≠ 0

(φ.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑n


(φ.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) ≤ ↑n


↑n ≤ φ.support.sup fun s => ↑((weight w) s)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set Y


Context:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.52301, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.52308, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Icc a b) (Icc (a + d) (b + d))


BijOn (fun x => x + d) (Ici a ∩ Iic b) (Ici (a + d) ∩ Iic (b + d))


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n : ℕ
hba : b * a = 1
hac : a * c = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

HasFPowerSeriesOnBall (_root_.fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x r


HasFPowerSeriesOnBall (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball x r

(fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = _root_.fderiv 𝕜 f z


(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1) = _root_.fderiv 𝕜 f z


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph W

Context: u v✝ : V

Context: H : SimpleGraph W

Context: f : G ↪g G'

Context: v w₁ : V

Context: h₁ : w₁ ∈ G.neighborSet v

Context: w₂ : V

Context: h₂ : w₂ ∈ G.neighborSet v

Context: h : (fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) ⟨w₁, h₁⟩ = (fun w => ⟨f ↑w, ⋯⟩) ⟨w₂, h₂⟩

⟨w₁, h₁⟩ = ⟨w₂, h₂⟩


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
H : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
v w₁ : V
h₁ : w₁ ∈ G.neighborSet v
w₂ : V
h₂ : w₂ ∈ G.neighborSet v
h : f ↑⟨w₁, h₁⟩ = f ↑⟨w₂, h₂⟩


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0

∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2


InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)) ≤ π / 2


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b

↑(Ultrafilter.map f b) ≤ 𝓝 (Ultrafilter.extend f b)


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b

Context: this : Tendsto (Ultrafilter.extend f) (𝓝 b) (𝓝 (Ultrafilter.extend f b))


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b

↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f) ↑b'


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b

↑(Ultrafilter.map f b) ≤ map (Ultrafilter.extend f ∘ pure) ↑b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t : Finset β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : Set.InjOn f ↑s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X Y : Skeleton C
h : X ≅ Y
this : Quotient.out X ≈ Quotient.out Y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α


Context:
n : ℕ
hn : 1 < n


Context:
d✝ d : ℤ
z : ℤ√d


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.measure (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

{ toOuterMeasure := f.outer, m_iUnion := ⋯, trim_le := ⋯ } (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)


Context: α : Type u_1

Context: p q : α → Bool

Context: a : α

Context: l : List α

Context: pa : p a = true

Context: this : countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 1

countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 0 + 1


Context:
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R

↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i


↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: hi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ w }) R Subtype.val

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: e : (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x) = x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: u : ι ↪ ↑w := { toFun := fun i => ⟨b i, ⋯⟩, inj' := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: e : ((b.repr x).sum fun i a => a • b i) = x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: e : ((b.repr x).sum fun i a => a • ↑(u i)) = ↑⟨x, p⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: e : (Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (Finsupp.embDomain u (b.repr x)) = ↑⟨x, p⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

⟨x, p⟩ ∉ (Finsupp.embDomain u (b.repr x)).support


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: j : ι

Context: W : u j = ⟨x, p⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing R₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x✝ y : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis ι R M

Context: w : Set M

Context: h : Set.range ⇑b ≤ w

Context: x : M

Context: p : x ∈ w

Context: q : x ∉ Set.range ⇑b

Context: j : ι

Context: W : b j = x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

(pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s)).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ : Type u_4

Context: l✝ : Line α ι

Context: i✝ : ι

Context: a✝ x : α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: l m : Line α ι

Context: hlm : (fun x x_1 i => (x.idxFun i).getD x_1) l = (fun x x_1 i => (x.idxFun i).getD x_1) m

Context: i : ι

Context: a : α


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ : Type u_4

Context: l✝ : Line α ι

Context: i✝ : ι

Context: a✝ x : α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: l m : Line α ι

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: hba : b ≠ a


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ : Type u_4

Context: l✝ : Line α ι

Context: i✝ : ι

Context: a✝ x : α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: l m : Line α ι

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: hba : b ≠ a

Context: hlm : ∀ (a : α) (a_1 : ι), (l.idxFun a_1).getD a = (m.idxFun a_1).getD a

l.idxFun i = some a ↔ m.idxFun i = some a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n


(∃ i, ∃ (h : i < v.toList.length), v.toList.get ⟨i, h⟩ = a) ↔ ∃ i, ∃ (h : i < n), v.toList.get (Fin.cast ⋯ ⟨i, h⟩) = a


Context: m : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
l : List α
hl : l ≠ []

(map norm l).prod = (fun a => ↑a) (map nnnorm l).prod


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → α → m β
as : List α

as.mapIdxM f = List.traverse (uncurry f) as.enum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α

↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
s : Set α

Metric.diam (⇑f '' s) = ↑(ratio f) * Metric.diam s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)

Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)) = Multiset.count J (Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: this : multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: this : Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)) = Multiset.count (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: this : ↑(Multiset.count J (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = ↑(Multiset.count (normalize ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))))

↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩) ∈ normalizedFactors ?m.130449


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: this : ↑(Multiset.count (normalize J) (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Irreducible ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x) ≠ 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

o.oangle x z - o.oangle x y = o.oangle y z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝

Context: inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝

Context: P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

(J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : Finite α
s : (a : α) → Set (π a)
hs : ∀ (a : α), (s a).Countable


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β

LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y


(∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t

IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1

¬IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : s ≤ -1

Context: H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : s ≤ -1

Context: I : 0 < min 1 t


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : s ≤ -1

Context: I : 0 < min 1 t

Context: H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : s ≤ -1

Context: I : 0 < min 1 t

Context: this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : s ≤ -1

Context: I : 0 < min 1 t

Context: this✝ : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume

Context: this : IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume 0 (min 1 t)