Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

(fun x => f x ^ n.succ) =o[l] fun x => g x ^ n.succ


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: φ ψ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ a))

Context: h : characterSpaceToSpectrum a φ = characterSpaceToSpectrum a ψ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: x y : X

Context: h : (fun x => orbit G x) x ≠ (fun x => orbit G x) y

(Disjoint on id) ((fun x => orbit G x) x) ((fun x => orbit G x) y)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: x y : X

Context: h : ¬(Disjoint on id) (orbit G x) (orbit G y)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P

spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I = ↑I.num


(fun I => ↑I) (spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I) = (fun I => ↑I) ↑I.num


↑(spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I) = ↑↑I.num


(algebraMap R P) ↑I.den • ↑I = I.den • ↑I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
x✝ : P

x✝ ∈ (algebraMap R P) ↑I.den • ↑I ↔ x✝ ∈ I.den • ↑I


(∃ y ∈ ↑↑I, (algebraMap R P) ↑I.den • y = x✝) ↔ ∃ y ∈ ↑↑I, S.subtype I.den • y = x✝


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : OrderBot ι
inst✝ : InfSet ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω✝ ω : Ω

upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω = hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω


hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω = hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ

∑ a : { s // s.card = l }, ‖p.changeOriginSeriesTerm k l ↑a ⋯‖₊ = ∑' (x : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊


Context: n q p : ℕ

Context: prime_p : Prime p

Context: covering : p ≤ 2 * q

Context: H : n < q → ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

Context: hn : n < p

Context: h : ¬p ≤ 2 * n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.orthogonal W = ⊥


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.orthogonal W = ⊥
this : W ⊔ B.orthogonal W = ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x => g i x) (g' i) s x

HasFDerivWithinAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

HasFDerivWithinAt (fun x => (Multiset.map ((fun x_1 => g x_1 x) ∘ Subtype.val) u.attach).prod) (Multiset.map ((fun x_1 => (Multiset.map (fun x_2 => g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod • g' x_1) ∘ Subtype.val) u.attach).sum s x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
u : Rˣ
n✝ : ℕ

(coeff S n✝) ((map f) (invUnitsSub u)) = (coeff S n✝) (invUnitsSub ((Units.map ↑f) u))


f ↑(u ^ (n✝ + 1))⁻¹ = ↑((Units.map ↑f) (u ^ (n✝ + 1)))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict s u ≤ VectorMeasure.restrict 0 u

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w

Context: this : ↑(-s) w = 0 → w ⊆ u → v ⊆ w → ↑(-s) v = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hw₁ : ↑s w = 0

Context: hw₂ : w ⊆ u

Context: hwt : v ⊆ w

Context: this : ↑s w = 0 → w ⊆ u → v ⊆ w → ↑s v = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (chartAt H x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔ ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (chartAt H x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContinuousWithinAt f s x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (extChartAt I x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

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Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

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Context: hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: G' : Type u_15

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Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

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Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

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Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (extChartAt I x).source

Context: hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source

ContinuousWithinAt f s x' → (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑(extChartAt I x) x'))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

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Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

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Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: hx : x' ∈ e.source

Context: e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)

ContinuousWithinAt f s x' → (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x') ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑e.symm) (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑e x'))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

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Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

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Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: hx : x' ∈ e.source

Context: hc : ContinuousWithinAt f s x'

𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x' = 𝓝[e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)] ↑e x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: hx : x' ∈ e.source

Context: hc : ContinuousWithinAt f s x'

f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ : QuasiIsoAt φ i
hφφ' : QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
hφ : IsIso (homologyMap φ i)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ') i)


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L M K' L' : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

Context: φ' : L ⟶ M

Context: i : ι

Context: inst✝² : K.HasHomology i

Context: inst✝¹ : L.HasHomology i

Context: inst✝ : M.HasHomology i

Context: hφ : IsIso (homologyMap φ i)

Context: hφφ' : IsIso (homologyMap φ i ≫ homologyMap φ' i)


Context:
α : Type u_1
a : α
f : α →₀ ℕ

f.multinomial = (f.sum fun x => id).choose (f a) * (f.update a 0).multinomial


Context:
α : Type u_1
a : α
f : α →₀ ℕ

Nat.multinomial f.support ⇑f = (f.sum fun x => id).choose (f a) * Nat.multinomial (f.update a 0).support ⇑(f.update a 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y

Context: n : ℕ

Submodule.Quotient.mk (n • x) = Submodule.Quotient.mk (n • y)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, N i

Context: hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y

Context: h0 : C 0

Context: hadd : ∀ (y z : M), C y → C z → C (y + z)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, ↑(N i)

Context: hN : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, C y

Context: h0 : C 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃

∡ p₃ p₁ p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₁ p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hn : p₂ ≠ p₃
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

∡ p₃ p₁ p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₁ p₂ p₃


o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁) = ↑π - 2 • o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)


o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁) = o.oangle (p₁ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂)


↑π - 2 • o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = ↑π - 2 • o.oangle (p₁ -ᵥ p₃ - (p₁ -ᵥ p₂)) (p₁ -ᵥ p₃)


p₁ -ᵥ p₂ ≠ p₁ -ᵥ p₃


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y z : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
P : α → α → Prop
h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y
h' : Transitive P
h'' : Symmetric P
x y z a : α
ha : P z a


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ : R[X]
p q : R[ℕ]

{ toFinsupp := p }.coeff = { toFinsupp := q }.coeff → { toFinsupp := p } = { toFinsupp := q }


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)

⟨x, hx⟩ ∈ LinearMap.ker (traceForm K (↥H) L)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)

Context: y : ↥H

Context: comm : Commute ((toEnd K (↥H) L) ⟨x, hx⟩) ((toEnd K (↥H) L) y)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝ : IsKilling K L

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)

Context: y : ↥H

(LinearMap.trace K L) ((toEnd K (↥H) L) ⟨x, hx⟩ * (toEnd K (↥H) L) y) = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.220633, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.220633, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
this : Epi S.toCycles


Projective.factorThru (S.liftCycles f hf) S.toCycles ≫ S.f = f


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing M p
inst✝² : IsPRadical i p
inst✝¹ : IsPRadical g p
inst✝ : IsPRadical (g.comp i) p

lift g (lift i j p) p = lift (g.comp i) j p


(fun f => f.comp (g.comp i)) (lift g (lift i j p) p) = (fun f => f.comp (g.comp i)) (lift (g.comp i) j p)


Context: a n✝ n : ℕ

(2 * n).bitIndices = map (fun x => x + 1) n.bitIndices


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
x✝ : P

x✝ ∈ v +ᵥ ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g


GrowsPolynomially fun x => |f x| * |g x|


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x| * |g x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x| * |g x|) x) (c₂ * (fun x => |f x| * |g x|) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hg : ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |g x|) x) (c₂ * (fun x => |g x|) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_mem : c₄ > 0

Context: hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => |g x|) x) (c₄ * (fun x => |g x|) x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x| * |g x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * c₃ * (fun x => |f x| * |g x|) x) (c₂ * c₄ * (fun x => |f x| * |g x|) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝¹ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝¹ : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_mem : c₄ > 0

Context: hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => |g x|) x) (c₄ * (fun x => |g x|) x)

Context: x : ℝ

Context: hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)

Context: hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |g u| ∈ Set.Icc (c₃ * |g x|) (c₄ * |g x|)

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| * |g u| ∈ Set.Icc (c₁ * c₃ * (|f x| * |g x|)) (c₂ * c₄ * (|f x| * |g x|))


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G

H.normalCore = (MulAction.toPermHom G (G ⧸ H)).ker


H.normalCore ≤ (MulAction.toPermHom G (G ⧸ H)).ker


(MulAction.toPermHom G (G ⧸ H)).ker ≤ H.normalCore


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae μ] g

∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ


Context: m n : ℕ


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α

⋃ i, ⋃ (hi : p i), Ico (f i hi) a = Iio a ↔ ∀ x < a, ∃ i, ∃ (hi : p i), f i hi ≤ x


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)

G'.deleteEdges (s ∩ G'.edgeSet) = G'.deleteEdges s


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
l : List α
s : Stream' α

corec (fun x => match x with | (a, snd) => a) (fun p => match p with | (l', s') => (l' ++ [s'.head], s'.tail)) (l, s) = l :: corec (fun x => match x with | (a, snd) => a) (fun p => match p with | (l', s') => (l' ++ [s'.head], s'.tail)) (l ++ [s.head], s.tail)


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: a b : A

Context: X : C

(add F s i a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: a b : A

Context: X : C

Context: h : whiskerLeft F (add F s i a b).inv = (i (a + b) ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a b) F ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (shiftFunctor C b) F ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (i b).symm ≪≫ ((shiftFunctor C a).associator F (s b)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (i a).symm (s b) ≪≫ F.associator (s a) (s b)).inv


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a b : α

DvdNotUnit (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ DvdNotUnit a b


(a ≠ 0 ∧ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ a * x ~ᵤ b) ↔ a ≠ 0 ∧ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ b = a * x


(∃ x, ¬IsUnit x ∧ a * x ~ᵤ b) ↔ ∃ x, ¬IsUnit x ∧ b = a * x


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : s ≠ 0


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0
a : Fin n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCodetector G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', f ≫ h' = h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : X ⟶ H


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : C
h : X ⟶ H
hG : IsCodetector H
hf : ∀ (h : X ⟶ H), ∃! h', f ≫ h' = h
hH : H ∈ {H}


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : ↥A
w : NormalWord d

(if h : Cancels 1 (↑g • w) then unitsSMulWithCancel φ 1 (↑g • w) h else let g' := unitsSMulGroup φ d 1 (↑g • w).head; cons (↑g'.1) 1 ((↑g'.2 * (↑g • w).head⁻¹) • ↑g • w) ⋯ ⋯) = ↑(φ g) • if h : Cancels 1 w then unitsSMulWithCancel φ 1 w h else let g' := unitsSMulGroup φ d 1 w.head; cons (↑g'.1) 1 ((↑g'.2 * w.head⁻¹) • w) ⋯ ⋯


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : ↥A
w : NormalWord d
this : Cancels 1 (↑g • w) ↔ Cancels 1 w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin n → G
i : ℕ
hn : i < n

(partialProd f ⟨i, hn⟩.castSucc)⁻¹ * partialProd f ⟨i, hn⟩.succ = f ⟨i, hn⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : SubNegZeroMonoid G

Context: inst✝ : SubNegZeroMonoid H

Context: f : G → H

Context: hf : f 0 = 0

Context: hf' : ∀ (x y : G), f (x - y) = f x - f y

Context: v₁ v₂ : α →₀ G

Context: x✝ : α

(mapRange f hf (v₁ - v₂)) x✝ = (mapRange f hf v₁ - mapRange f hf v₂) x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompletelyNormalSpace Y
e : X → Y
he : _root_.Embedding e
s t : Set X
hd₁ : Disjoint (closure s) t
hd₂ : Disjoint s (closure t)


Disjoint (comap e (𝓝ˢ (e '' s))) (comap e (𝓝ˢ (e '' t)))


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30188
s✝ t s : Finset α

s.powerset = (range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => powersetCard i s) ⋯


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30188
s✝ t s a : Finset α
ha : a ∈ s.powerset

a ∈ (range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => powersetCard i s) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: s✝¹ t✝ : Finset α

Context: n : ?m.30188

Context: s✝ t s a : Finset α

Context: ha : a ∈ (range (s.card + 1)).disjiUnion (fun i => powersetCard i s) ⋯


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
G : Type u_9
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
g : G
x : M


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: ihl : tl.Nodup → map (update f x y) tl = if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl

Context: hl : (hd :: tl).Nodup

map (update f x y) (hd :: tl) = if x ∈ hd :: tl then (map f (hd :: tl)).set (indexOf x (hd :: tl)) y else map f (hd :: tl)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: hl : hd ∉ tl ∧ tl.Nodup


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: hl : hd ∉ tl ∧ tl.Nodup

(update f x y hd :: if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl) = if x = hd ∨ x ∈ tl then (f hd :: map f tl).set (indexOf x (hd :: tl)) y else f hd :: map f tl


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E

(minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this : ExpChar E q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q
h : (minpoly F x).natSepDegree = 1

∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: this✝ : ExpChar E q

Context: this : ExpChar E[X] q

Context: x✝ : ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n

Context: n : ℕ

Context: h : Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: this✝ : ExpChar E q

Context: this : ExpChar E[X] q

Context: n : ℕ

Context: h : constantCoeff (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)) = constantCoeff ((X - C x) ^ q ^ n)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: this✝ : ExpChar E q

Context: this : ExpChar E[X] q

Context: n : ℕ

Context: h : (algebraMap F E) ((minpoly F x).coeff 0) = (0 - x) ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: x : E

Context: this✝ : ExpChar E q

Context: this : ExpChar E[X] q

Context: n : ℕ

Context: h : (algebraMap F E) ((minpoly F x).coeff 0) = -1 * x ^ q ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Add α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Add β
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : OrderedSub β
f : AddHom α β
hf : Monotone ⇑f
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
i : ℕ

(truncateFun n x).out.coeff i = (init n x).coeff i


(if h : i < n then TruncatedWittVector.coeff ⟨i, h⟩ (truncateFun n x) else 0) = if i < n then x.coeff i else 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
i : ℕ
hi : i < n

TruncatedWittVector.coeff ⟨i, hi⟩ (truncateFun n x) = x.coeff i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b✝ c : β
a b : ℕ

range (a + b) = range a ∪ map (addLeftEmbedding a) (range b)


(range (a + b)).val = (range a).val ∪ (map (addLeftEmbedding a) (range b)).val


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: hs' : IsOpen s'

Context: ht : ∀ x ∈ frontier t, x ∈ s ↔ x ∈ s'


Context: c : ℝ

Context: f✝ g✝ : ℕ → Bool

Context: n✝ : ℕ

Context: h1 : 0 < c

Context: h2 : c < 1 / 2

Context: h3 : c < 1

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ {f g : ℕ → Bool}, (∀ k < n, f k = g k) → f n = false → g n = true → cantorFunction c f < cantorFunction c g

Context: f g : ℕ → Bool

Context: hn : ∀ k < n + 1, f k = g k

Context: fn : f (n + 1) = false

Context: gn : g (n + 1) = true


Context: c : ℝ

Context: f✝ g✝ : ℕ → Bool

Context: n✝ : ℕ

Context: h1 : 0 < c

Context: h2 : c < 1 / 2

Context: h3 : c < 1

Context: n : ℕ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: hn : ∀ k < n + 1, f k = g k

Context: fn : f (n + 1) = false

Context: gn : g (n + 1) = true

((bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < (bif g 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => g (n + 1)


Context: c : ℝ

Context: f✝ g✝ : ℕ → Bool

Context: n✝ : ℕ

Context: h1 : 0 < c

Context: h2 : c < 1 / 2

Context: h3 : c < 1

Context: n : ℕ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: hn : ∀ k < n + 1, f k = g k

Context: fn : f (n + 1) = false

Context: gn : g (n + 1) = true

((bif g 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < (bif g 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => g (n + 1)


Context: c : ℝ

Context: f✝ g✝ : ℕ → Bool

Context: n✝ : ℕ

Context: h1 : 0 < c

Context: h2 : c < 1 / 2

Context: h3 : c < 1

Context: n : ℕ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: hn : ∀ k < n + 1, f k = g k

Context: fn : f (n + 1) = false

Context: gn : g (n + 1) = true

(c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < c * cantorFunction c fun n => g (n + 1)


Context: c : ℝ

Context: f✝ g✝ : ℕ → Bool

Context: n✝ : ℕ

Context: h1 : 0 < c

Context: h2 : c < 1 / 2

Context: h3 : c < 1

Context: n : ℕ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: hn : ∀ k < n + 1, f k = g k

Context: fn : f (n + 1) = false

Context: gn : g (n + 1) = true

(cantorFunction c fun n => f (n + 1)) < cantorFunction c fun n => g (n + 1)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

(image₂ f s t).card = s.card * t.card ↔ InjOn (fun x => f x.1 x.2) (↑s ×ˢ ↑t)


(image₂ f s t).card = (s ×ˢ t).card ↔ InjOn (fun x => f x.1 x.2) ↑(s ×ˢ t)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R

Context: ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R

Context: b : R

Context: hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R

Context: b : R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R

Context: b : R

Context: i : R

Context: hi : i ∈ I


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : x ≤ -1


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 < x


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P

s1.direction ⊔ s2.direction ≤ (s1 ⊔ s2).direction


Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊔ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2) ≤ Submodule.span k (↑(s1 ⊔ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊔ s2))


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y


⟪x, (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E


Context:
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)


Context: α : Type

Context: d✝ : ℕ

Context: ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: d : ℕ

Context: ds : List ℕ

Context: x : Holor α (d :: ds)

Context: h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)


Context: α : Type

Context: d✝ : ℕ

Context: ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: d : ℕ

Context: ds : List ℕ

Context: x : Holor α (d :: ds)

Context: h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod


Context: α : Type

Context: d✝ : ℕ

Context: ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: d : ℕ

Context: ds : List ℕ

Context: x : Holor α (d :: ds)

Context: this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)


Context: α : Type

Context: d✝ : ℕ

Context: ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: d : ℕ

Context: ds : List ℕ

Context: x : Holor α (d :: ds)

Context: h_cprankMax_sum : CPRankMax ((Finset.range d).card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)


Context: α : Type

Context: d✝ : ℕ

Context: ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: d : ℕ

Context: ds : List ℕ

Context: x : Holor α (d :: ds)

CPRankMax (d :: ds).prod (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.trim hm)

∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
n : ℕ

single a b ^ (n + 1) = single ((n + 1) • a) (b ^ (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set (β × Ω)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ρ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set (β × Ω)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set (β × Ω)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂ρ.fst


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j

F.eventualRange j = range (F.map f) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))


(∀ (i_1 : J) (j_1 : i_1 ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map j_1)) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : i ⟶ j

Context: h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))

Context: j' : J

Context: f' : j' ⟶ j


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : i ⟶ j

Context: j' : J

Context: f' : j' ⟶ j

Context: k : J

Context: g : k ⟶ i

Context: g' : k ⟶ j'

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : i ⟶ j

Context: j' : J

Context: f' : j' ⟶ j

Context: k : J

Context: g : k ⟶ i

Context: g' : k ⟶ j'

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'

range (F.map (g ≫ f)) ⊆ range (F.map f')


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : i ⟶ j

Context: j' : J

Context: f' : j' ⟶ j

Context: k : J

Context: g : k ⟶ i

Context: g' : k ⟶ j'

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'

range (F.map g' ≫ F.map f') ⊆ range (F.map f')


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'


Surjective (⇑(lTensor P g') ∘ ⇑(rTensor N' g))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ

range (extend f g g') = range g ∪ g' '' (range f)ᶜ


range g ∪ g' '' (range f)ᶜ ⊆ range (extend f g g')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
y : β
hy : y ∈ (range f)ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
o : Option α


Context: x : PartENat


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i✝ : ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
i : ι
x : ℝ

Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitUpper i x) = f I


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1


Context:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q

((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R N)).comul = Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N)) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
ne_top : ¬map f I = ⊤
J : Ideal S
hJ : map f I < J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n

IsSMulRegular M (a ^ n) ↔ IsSMulRegular M a


IsSMulRegular M (a ^ n) → IsSMulRegular M a


IsSMulRegular M (a ^ n.pred • a) → IsSMulRegular M a


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

IsUnramified k (σ • w) ↔ IsUnramified k w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup fun i => F i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: m : ι → β

∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (s.sup m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (a : α) in f, F i a ≤ m i

∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup fun i => F i a) ≤ s.sup m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: m : ι → β

Context: hm : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ i ∈ s, F i x ≤ m i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹³ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝² : CompleteSpace E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

Context: h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹³ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝² : CompleteSpace E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

AEStronglyMeasurable' m (↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹³ : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝² : CompleteSpace E''

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: hm✝ hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : G

AEStronglyMeasurable' m (⇑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ


Context:
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
f : Spec S ⟶ Spec R


Scheme.Spec.map φ.op = Scheme.Spec.map ψ.op ↔ map φ = map ψ


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j : J

∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: j j₁ : J

Context: g₁ : j₁ ⟶ i

Context: f₁ : j₁ ⟶ j

Context: j₂ : J

Context: f₂ : j₂ ⟶ j₁

Context: h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: j j₁ : J

Context: g₁ : j₁ ⟶ i

Context: f₁ : j₁ ⟶ j

Context: j₂ : J

Context: f₂ : j₂ ⟶ j₁

Context: j₃ : J

Context: f₃ : j₃ ⟶ j₂

Context: x : F.obj j₂

Context: hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s

Context: this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁

(F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: j j₁ : J

Context: g₁ : j₁ ⟶ i

Context: f₁ : j₁ ⟶ j

Context: j₂ : J

Context: f₂ : j₂ ⟶ j₁

Context: j₃ : J

Context: f₃ : j₃ ⟶ j₂

Context: x : F.obj j₂

Context: hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s

Context: this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁

Context: y : F.obj j₃

Context: hy : y ∈ F.eventualRange j₃

Context: h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: j j₁ : J

Context: g₁ : j₁ ⟶ i

Context: f₁ : j₁ ⟶ j

Context: j₂ : J

Context: f₂ : j₂ ⟶ j₁

Context: j₃ : J

Context: f₃ : j₃ ⟶ j₂

Context: x : F.obj j₂

Context: hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s

Context: this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁

Context: y : F.obj j₃

Context: hy : y ∈ F.eventualRange j₃

Context: h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x

Context: g₂ : j₃ ⟶ i


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: j j₁ : J

Context: g₁ : j₁ ⟶ i

Context: f₁ : j₁ ⟶ j

Context: j₂ : J

Context: f₂ : j₂ ⟶ j₁

Context: j₃ : J

Context: f₃ : j₃ ⟶ j₂

Context: x : F.obj j₂

Context: hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s

Context: this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁

Context: y : F.obj j₃

Context: hy : y ∈ F.eventualRange j₃

Context: h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x

↑((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁) ⟨y, ⋯⟩) = ↑((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b✝ b : β

b ∈ (q.seq p).support ↔ b ∈ ⋃ f ∈ q.support, f '' p.support


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L


Context:
s : ℝ
hs : 1 < s


Context:
s : ℝ
hs : 1 < s

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, term (i + 1) s) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))


Context:
s : ℝ
hs : 1 < s

Tendsto (fun N => term_sum s N) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))


Context:
s : ℝ
hs : 1 < s

Tendsto (fun x => 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
r : R

(bind₂ f) ((monomial d) r) = f r * (monomial d) 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (map f s).Nonempty


s.sup ((WithBot.some ∘ g) ∘ ⇑f) = s.sup (WithBot.some ∘ g ∘ ⇑f)


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
hs : IsCompact ∅


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a

HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ ρ a

Context: H₁ : HasFDerivAt Ring.inverse (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 A) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) (↑ₐ k - a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ ρ a

Context: H₂ : HasDerivAt (fun k => ↑ₐ k - a) 1 k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h₀ : HasMFDerivAt I I' f x f₀'

Context: h₁ : HasMFDerivAt I I' f x f₁'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h₀ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₀'

Context: h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₁'


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume

Context: ha : ContinuousAt f a

HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E

q.partialSum N (∑ i ∈ Finset.Ico 1 N, (p i) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z


(∑ n ∈ Finset.range N, ∑ r ∈ Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q n) fun i => (p (r i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z


(∑ x ∈ (Finset.Ico 0 N).sigma fun n => Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q x.fst) fun i => (p (x.snd i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z


∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 0 N N), ((q e.fst) fun i => (p (e.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N e he).snd) fun _j => z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: N : ℕ

Context: z : E

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N

((q ⟨k, blocks_fun⟩.fst) fun i => (p (⟨k, blocks_fun⟩.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd) fun _j => z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: N : ℕ

Context: z : E

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

∀ (i : ℕ) (him : i < ⟨k, blocks_fun⟩.fst) (hin : i < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length), ((p (⟨k, blocks_fun⟩.snd ⟨i, him⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i, hin⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: N : ℕ

Context: z : E

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: i✝ : ℕ

Context: him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst

Context: hin✝ : i✝ < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length

((p (⟨k, blocks_fun⟩.snd ⟨i✝, him✝⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: N : ℕ

Context: z : E

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: i✝ : ℕ

Context: him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst

((p ((compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑⟨i✝, him✝⟩, ⋯⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
p : R[X]

∀ (n : ℕ), (map g (map f p)).coeff n = (map (g.comp f) p).coeff n


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
s : Submodule R M


Context: θ ψ : ℝ


Context: θ ψ : ℝ

∃ k, toIcoMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑k


Context: θ ψ : ℝ

toIcoMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑(-toIcoDiv two_pi_pos ψ θ)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ c ⊔ b
hd : Disjoint a c


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂✝ : R

Context: c₂ k a₁ a₂ : ℕ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalCommSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x : n → α
x✝ : m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume

Context: hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume

Context: ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

Context: this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝¹⁰ : Ring K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V'
inst✝⁴ : Module K V'
inst✝³ : AddCommGroup V''
inst✝² : Module K V''
inst✝¹ : AddCommGroup V'₁
inst✝ : Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S)) = ⊤


⊤ ≤ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]

x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S ⊗[R] S
hx : x ∈ ideal R S

(ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

Context: this : x ∈ Submodule.restrictScalars S (ideal R S)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

Context: this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))