Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G

⁅g₁, g₂⁆⁻¹ = ⁅g₂, g₁⁆


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)

Context: c : 𝕜

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : β

‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)

Context: c : 𝕜

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : β

Context: h : p = ⊤


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)

Context: c : 𝕜

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : β

Context: h : 1 ≤ p.toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α

∀ (a₁ a₂ : α), (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂


Context:
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f

∀ {g : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f


∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * s.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c) ω ∂μ


∀ ⦃f_1 g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (f_1 + g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (f_1 + g) ω ∂μ


∀ ⦃f_1 : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f_1 n)) → Monotone f_1 → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 n ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 n ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = (b - a - 1).toNat


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ

Context: h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ

Context: this : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ

Context: this✝ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ

Context: this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)

Context: this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain A

Context: M : Submonoid A

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: Aₘ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing Aₘ

Context: inst✝² : IsDomain Aₘ

Context: inst✝¹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝ : IsLocalization M Aₘ

∀ {x : FractionRing A}, IsIntegral Aₘ x → ∃ y, (algebraMap Aₘ (FractionRing A)) y = x


Context:
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
m n : ℕ
x : M


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun a => ↑(f a)

Tendsto (fun a => ↑(f a)) cofinite (𝓝 ↑0)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K


∃ p, x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


Context:
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)


Tendsto (fun x => f.measure (Iic x)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))


Tendsto (fun x => ofReal (↑f x - l)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))


Context: k✝ G✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing k✝

Context: inst✝⁶ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k✝ G✝

Context: k G A : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing k

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G A

Context: inst✝ : SMulCommClass G k A

Context: f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))


Context: k✝ G✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing k✝

Context: inst✝⁶ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k✝ G✝

Context: k G A : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing k

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G A

Context: inst✝ : SMulCommClass G k A

Context: x : CoeSort.coe (Rep.ofDistribMulAction k G A)

Context: hx : (dZero (Rep.ofDistribMulAction k G A)) x = ↑↑f


Context: G✝ : Type u_1

Context: P✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : AddGroup G✝

Context: inst✝² : AddTorsor G✝ P✝

Context: G : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : AddTorsor G P

Context: h : Injective fun x => 2 • x

Context: y x₁ x₂ : P

Context: hy : (pointReflection x₁) y = (pointReflection x₂) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context:
p : Char → Bool
s : String

(s.takeWhile p).data = List.takeWhile p s.data


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t✝ : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)

Context: g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))

Context: x : M

Context: y : M'

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y

UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') (s ×ˢ t) (x, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t✝ : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: x : M

Context: y : M'

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y

(↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ×ˢ (↑(extChartAt I' y).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') ⊆ ↑(extChartAt (I.prod I') (x, y)).symm ⁻¹' s ×ˢ t ∩ range ↑(I.prod I')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s✝ t✝ : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: x : M

Context: y : M'

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: ht : UniqueMDiffWithinAt I' t y

(↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ×ˢ (↑(extChartAt I' y).symm ⁻¹' t) ∩ range ↑I ×ˢ range ↑I' ⊆ ↑(extChartAt (I.prod I') (x, y)).symm ⁻¹' s ×ˢ t ∩ range ↑I ×ˢ range ↑I'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α


(a * b).factors.prod.factors = (a.factors + b.factors).prod.factors


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsNowhereDense s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

P.newtonMap x = x - ↑h.unit⁻¹ * (aeval x) P


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : UpperSemicontinuousAt f x

Context: hg : UpperSemicontinuousAt g x

Context: hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)

UpperSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : UpperSemicontinuousWithinAt f univ x

Context: hg : UpperSemicontinuousWithinAt g univ x

UpperSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) univ x


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G

(∀ (g : G), Measure.map (fun x => x * g) μ = μ) ↔ μ.IsMulRightInvariant


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} J
inst✝ : Category.{u_4, u_2} C
P Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P ⟶ Q
X : J

toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding J C = (whiskeringRight J C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)


autoParam (∀ (X Y : J ⥤ C) (f : X ⟶ Y), (toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding J C).map f = eqToHom ⋯ ≫ ((whiskeringRight J C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


∀ (X : J ⥤ C), (toKaroubi (J ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding J C).obj X = ((whiskeringRight J C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddGroup α
inst✝² : SeminormedAddGroup β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p

(∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0) ↔ T1Space E


T1Space E → ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
a✝ : T1Space E


Context:
p : ℚ → Prop
x✝ : ∃ r, p r
r : ℚ
hr : p r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: α : Sort u_1


Context:
α : Sort u_1
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f' : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f₁ : α → γ → α'

Context: f₂ : β → γ → β'

Context: g' : α' → β' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: c : γ

Context: hc : c ∈ u

g' (f₁ a c) (f₂ b c) ∈ image2 g' (image2 f₁ s u) (image2 f₂ t u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
hs : s.Countable
f : α → β
hf : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})

∑' (b : ↑s), μ (f ⁻¹' {↑b}) = μ (f ⁻¹' s)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
y : Y
f : X → Z

(Inducing fun x => (f x, y)) ↔ Inducing f


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α

⋂ i, ⋂ (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l


⋂ x, s ↑x ⋯ ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: ι : Sort u_1

Context: S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: x : A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹ : NormedRing F'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'

Context: p q : M → F'

Context: p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'

Context: hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'

Context: hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, F') z (p * q)) (p z • q' + p'.smulRight (q z)) (↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I z) z)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks

Presieve.IsSheafFor P R ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P R) ⋯))


Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y


Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), firstMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) = secondMap P R ((firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a) → ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a


Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), a.Compatible → ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a


∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P R), a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P R x = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm a)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible

(∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x


∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P R a = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : Presieve.FamilyOfElements P R
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)

x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P R t = (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm x


x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasBinaryBiproducts C
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
n : ℤ

G.map ((triangle φ).mor₃.f n) ≫ 𝟙 (G.obj (K.X (n + 1))) = (mapHomologicalComplexXIso φ G n).hom ≫ (triangle ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).mor₃.f n


G.map ((triangle φ).mor₃.f n) ≫ 𝟙 (G.obj (K.X (n + 1))) = (G.map ((↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯) ≫ (inl ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v (n + 1) n ⋯ + G.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ (triangle ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).mor₃.f n


G.map ((triangle φ).mor₃.f n) = -G.map ((↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯)


G.map (((-↑(fst φ)).rightShift 1 0 triangle.proof_2).v n n ⋯) = -G.map ((↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯)


G.map ((-↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯ ≫ (K.shiftFunctorObjXIso 1 n (n + 1) ⋯).inv) = -G.map ((↑(fst φ)).v n (n + 1) ⋯)


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
f : PartialHomeomorph H H
hf : f ∈ G

f.symm ≫ₕ PartialHomeomorph.refl H ∈ G ∧ (PartialHomeomorph.refl H).symm ≫ₕ f ∈ G


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s

(∏ x ∈ s.erase a, f x) * f a = ∏ x ∈ s, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

a • b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum
h : ↑m < ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
s : Set G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : ¬ContinuousOn f (spectrum R a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp E 1 μ)


integralCLM f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ ↑↑f


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ v : V


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
i₁ : I
φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁
i₂ : I
φ₂ : Y₂ ⟶ Y i₂
a✝ : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

F.map g₁.op (x.familyOfElements X f₁ ⋯) = F.map g₂.op (x.familyOfElements X f₂ ⋯)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
U : Set X
inst✝ : (x : X) → Decidable (x ∈ U)
hU : IsClopen U
x✝ : X


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist ((lineMap p₁ p₂) c) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i : ι

b.repr (b i) = EuclideanSpace.single i 1


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t✝ : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
s t : ℝ

IndepFun (fun ω => rexp (s * X ω)) (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t✝ : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: s t : ℝ

Context: h_meas : ∀ (t : ℝ), Measurable fun x => rexp (t * x)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t✝ : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: s t : ℝ

IndepFun ((fun x => rexp (s * x)) ∘ X) ((fun x => rexp (t * x)) ∘ Y) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R


Context: n : ℕ


Context:
A : Set ℕ
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ A
B : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ B
h : A ⊆ B
x✝ : { n // 0 < n }

filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 ↑x✝) ⊆ filter (fun x => x ∈ B) (Ioc 0 ↑x✝)


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ

(Nat.castAddMonoidHom A) n ∈ toAddSubmonoid 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

↑(f.extend I) '' (f.source ∩ f'.source) = ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
x : α


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : L.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: fs_bdd : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c

Context: fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) L (𝓝 (μ E))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : L.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

μ E = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(E.indicator (fun x => 1) ω) ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : L.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : ∀ (ω : Ω), E.indicator (fun x => 1) ω = ↑(E.indicator (fun x => 1) ω)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : L.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: c : ℝ≥0

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
ht : IsClosed t
h : vanishingIdeal t ≤ vanishingIdeal s


Context:
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝⁴ : Primcodable α✝
inst✝³ : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable γ
f : α → β
g : α → γ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
n : ℕ

(Nat.casesOn (encode (decode n)) 0 fun n => (Nat.pair (encode (Option.map f (decode n))).pred (encode (Option.map g (decode n))).pred).succ) = encode (Option.map (fun a => (f a, g a)) (decode n))


Context:
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
h : IsBigOWith c l f g
hc : 0 ≤ c
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g

∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x ^ r‖ ≤ c ^ r * ‖g x ^ r‖


Context:
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
h : IsBigOWith c l f g
hc : 0 ≤ c
hr : 0 ≤ r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
x : α
hgx : 0 x ≤ g x
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
h : m.trim s = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
h : m.trim s = 0
t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : MeasurableSet t
hm : m t = m.trim s


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ

logGammaSeq (x + 1) n = logGammaSeq x (n + 1) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ

(x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log ↑(n + 1) + log ↑((n + 1) * n !) - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1 + 1), log (x + ↑m) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ

(x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log ↑(n + 1) + log ↑((n + 1) * n !) - (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑(k + 1)) + log x) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ

(x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log ↑(n + 1) + (log ↑(n + 1) + log ↑n !) - (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑(k + 1)) + log x) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
n : ℕ


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑(k + 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

(x + 1) * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) = x * log (↑n + 1) + (log (↑n + 1) + log ↑n !) - (∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + 1 + ↑m) + log x) + log x - (x + 1) * (log (↑n + 1) - log ↑n)


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
f : α → ℕ


(f a + ∑ i ∈ ∅, f i).choose (f a) * multinomial ∅ f = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : W.Equation P


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ u : Rˣ

Context: P : Fin 3 → R

Context: h : P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 = P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P : Fin 3 → R

Context: u : Rˣ

Context: this : ∀ (u : Rˣ) {P : Fin 3 → R}, W.Equation P → W.Equation (u • P)

Context: h : W.Equation (u • P)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)

multiplicity J (Ideal.map (algebraMap R S) I) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h : ∀ (a b : ℚ), μ (Ioo ↑a ↑b) = ν (Ioo ↑a ↑b)

∀ s ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, μ s = ν s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

∀ (s : Set ℝ), (∃ i i_1, ∃ (_ : i < i_1), s = Ioo ↑i ↑i_1) → μ s = ν s


Context: r x : ℝ

HasDerivAt (fun a => -rexp (-(r * a))) (r * rexp (-(r * x))) x


Context: r x : ℝ

(fun a => -rexp (-(r * a))) = fun y => -1 * rexp (-r * id y)


Context: r x : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π
θ : Angle
hθ : θ ∈ f '' s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π
z : α
hz : z ∈ s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set α

(Measure.comap f μ) s = (Measure.comap f μ) (f ⁻¹' (f '' s))


(Measure.map f (Measure.comap f μ)) (f '' s) = μ (f '' s)


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
L : List (List α)

Pairwise R L.join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ L → Pairwise R l) ∧ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) L


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
x : F

(weightedSMul (c • μ) s) x = (c.toReal • ⇑(weightedSMul μ s)) x


((c • μ) s).toReal • x = c.toReal • (μ s).toReal • x


((c • ⇑μ) s).toReal • x = c.toReal • (μ s).toReal • x


Context: J : Type w

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: B : C

Context: objs : J → C

Context: arrows : (j : J) → B ⟶ objs j

Context: inst✝ : HasWidePushout B objs arrows

Context: X : C

Context: f : B ⟶ X

Context: fs : (j : J) → objs j ⟶ X

Context: w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f

Context: g1 g2 : widePushout B objs arrows ⟶ X

Context: h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g1 = ι arrows j ≫ g2

Context: h2 : head arrows ≫ g1 = head arrows ≫ g2


Context: J : Type w

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: B : C

Context: objs : J → C

Context: arrows : (j : J) → B ⟶ objs j

Context: inst✝ : HasWidePushout B objs arrows

Context: X : C

Context: f : B ⟶ X

Context: fs : (j : J) → objs j ⟶ X

Context: w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f

Context: g1 g2 : widePushout B objs arrows ⟶ X

∀ (j : WidePushoutShape J), colimit.ι (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows) j ≫ g1 = colimit.ι (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows) j ≫ g2


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i j : ι

Context: this : {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | τ ω ≤ min i j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i j : ι


Context: p : ℕ

Nat.rec 1 (fun y IH => IH * (unpair p).1) (unpair p).2 = (unpair p).1 ^ (unpair p).2


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : α → Filter β
s✝ s : Set β

(s ∈ f.bind fun x => g x ⊓ 𝓟 s✝) ↔ s ∈ f.bind g ⊓ 𝓟 s✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x₀ x₁ : α
hx : (x₀, x₁) ∈ ↑s.diag
x₂✝ : α × α
a✝ : x₂✝ ∈ ↑s.diag
h : s(x₀, x₁) = Sym2.mk x₂✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x₀ x₁ : α
hx a✝ : (x₀, x₁) ∈ ↑s.diag
h : s(x₀, x₁) = s(x₀, x₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x₀ x₁ : α
hx : (x₀, x₁) ∈ ↑s.diag
a✝ : (x₁, x₀) ∈ ↑s.diag
h : s(x₀, x₁) = s(x₁, x₀)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α

‖x ⊓ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
h : ‖x ⊓ y - 0 ⊓ 0‖ ≤ ‖x - 0‖ + ‖y - 0‖

‖x ⊓ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι✝ → α
a b : α
ι : Type u_9
s : Set ι
f : ι → α
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
x : S
hx : Prime ((Algebra.norm ℤ) x)
y : ℤ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: a b c : α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: inst✝ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : AddLECancellable (b * c)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: a b c : α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: inst✝ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : AddLECancellable (c * b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)


Context:
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b : α

Function.swap r a b ∨ a = b ∨ Function.swap r b a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β


∀ (l : List α), Tendsto length (𝓝 l) (pure l.length)


Tendsto length (pure []) (pure [].length)


∀ (l : List α) (a : α), Tendsto length (𝓝 l) (pure l.length) → Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).length) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (pure (a :: l).length)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
z : ℤ
x : 𝔸


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]

f.removeFactor.natDegree = f.natDegree - 1


Context:
w x✝ y z p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x


Context: w x✝ y z p : ℝ

Context: x : ℝ≥0

Context: hx_pos : 0 < x

Context: rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p


Context: w x✝ y z p : ℝ

Context: x : ℝ≥0

Context: hx_pos : 0 < x

Context: hp_pos : 0 < p


Context: w x✝ y z : ℝ

Context: x : ℝ≥0

Context: hx_pos : 0 < x


Context: w x✝ y z p : ℝ

Context: x : ℝ≥0

Context: hx_pos : 0 < x

Context: hp_neg : p < 0


Context: θ ψ : Angle


Context:
θ : Angle
x✝ : ℝ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
e : Sym2 V

e ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).edgeSet ↔ e ∈ {s(v, w)}


∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ {s(v, w)}


Context: a x z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hsf : s.Finite
hs : s.Nontrivial

s.infsep = ⋯.toFinset.inf' ⋯ (uncurry dist)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]


Context:
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k

n ∈ Finset.image (fun x => match x with | (s, m) => m ^ 2 * s.prod id) (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0)


Context:
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers


Context:
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id


∃ a b, (a ⊆ k.primesBelow ∧ b ≠ 0 ∧ b < N.sqrt.succ) ∧ b ^ 2 * ∏ x ∈ a, x = n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: S : IntermediateField F K := separableClosure F K

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥L) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝² : x ∈ ⊤

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝² : x ∈ ⊤

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

Context: this : IsScalarTower (↥S) (↥L) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝² : x ∈ ⊤

Context: this✝¹ : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K

Context: this : Algebra.IsAlgebraic F K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝² : x ∈ ⊤

Context: this✝² : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝¹ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: this : IsPurelyInseparable (↥S) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: x : K

Context: x✝² : x ∈ ⊤

Context: this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K

Context: this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K

Context: this : IsPurelyInseparable (↥L) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K

Context: x✝² : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra

Context: x✝¹ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K

Context: this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K

Context: this : IsPurelyInseparable (↥L) K

Context: y : ↥L

Context: x✝ : (algebraMap (↥L) K) y ∈ ⊤


Context:
α : Type u_1
size✝ sz : ℕ
l' : Ordnode α
y : α
r' : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(node size✝ (node sz l' y r') x r).eraseMin.dual = (node size✝ (node sz l' y r') x r).dual.eraseMax


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f

ω f ϕ s = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)


⋂ u ∈ f, closure (image2 ϕ (u ∩ v) s) = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
hn : n ∈ u
h : IndepSets (s n) s' κ μ


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X

setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s) = interior s


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ interior s


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ


∃ f, (∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ∧ f x ≠ 0


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ
g : C(X, ℝ)
hgs : Set.EqOn (⇑g) 0 (closure sᶜ)
hgx : Set.EqOn (⇑g) 1 {x}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0

(C r).support.gcd (C r).coeff = normalize r


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
h : (C r).support = {0}


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∉ s
this : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ sᶜ

(Trans.trans (Trans.trans (Set.union ⋯).symm (Set.ofEq ⋯)) (Set.univ α)).symm x = Sum.inr ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
a b : α

AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

dist p₂ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

(w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0

Context: hw' : w₁ + w₂ = 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h : (∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i) ^ p ≤ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i ^ p


∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
t : Set α

m t = m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))


m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + (m (t \ s₁ ∩ s₂) + m ((t \ s₁) \ s₂)) = m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + m (t ∩ (s₂ \ s₁)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp (m • p + a) b = m • p + toIocMod hp a b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q✝ : R[X]
x : A
p q : R[X]
hpq : p.comp q = X
hqp : q.comp p = X


Context: n : ℕ

Context: a₁ b₁ : ℝ

Context: m : ℕ

Context: en : n + 1 = m

Context: h : |rexp 1 - expNear m 1 ((a₁ - 1) * ↑m)| ≤ |1| ^ m / ↑m.factorial * (b₁ * ↑m)

|rexp 1 - expNear n 1 a₁| ≤ |1| ^ n / ↑n.factorial * b₁


Context: n : ℕ

Context: a₁ b₁ : ℝ

Context: m : ℕ

Context: en : n + 1 = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b x : β

x ∈ pimage f s ↔ x ∈ image (fun x => (f ↑x).get ⋯) (filter (fun x => (f x).Dom) s).attach


(∃ a ∈ s, ∃ (h : (f a).Dom), (f a).get h = x) ↔ ∃ a, ∃ (hp : a ∈ s) (hq : (f a).Dom), (f a).get ⋯ = x


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝

∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'


∀ ⦃a : α⦄, a ∈ X → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ I' \ I → a ≠ b


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'
e : α
heX : e ∈ X
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: hr : r < 0

closedBall x r = Set.univ.pi fun b => closedBall (x b) r


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0

setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

Context: p : E × E

Context: hp : p ∈ (f.pair g).range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hg : Integrable (↑g) μ

Context: h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

Context: a : α

Context: hp : ↑(f.pair g) a ∈ (f.pair g).range

(T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).1 = (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).2


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1

∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = p₁ -ᵥ (affineCombination k s p₂) w


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I


Context:
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
a : ↥I
ha : a ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : IsDomain S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: n : Type u_3

Context: m : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype m

Context: b : Basis n R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: c : Basis m R ↥I

Context: a : ↥I

Context: ha : a ≠ 0

Context: this : LinearIndependent R fun i => b i • a


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology

leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom


leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom


leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = (leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left) ≫ (S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData h₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U

∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: X✝ Y✝ : Cᵒᵖ

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝ = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: X✝ Y✝ : Cᵒᵖ

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F'.obj X✝

↑((F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝) x) = ↑(((fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: f : F' ⟶ F

Context: X✝ Y✝ : Cᵒᵖ

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F'.obj X✝

f.app Y✝ (F'.map f✝ x) = ↑(G.toPresheaf.map f✝ ⟨f.app X✝ x, ⋯⟩)


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
ho : (x + y).orderTop = x.orderTop


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂ = (pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).inv ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ fst (snd f' g') i₂


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

(PushoutCocone.unop (colimit.cocone (span f.op g.op))).π.app WalkingCospan.left = (pushout.inl f.op g.op).unop


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: N m n : ℕ

Context: hm : N ≤ m

Context: hn : N ≤ n

Context: p : α × α

Context: hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: N m n : ℕ

Context: hm : N ≤ m

Context: hn : N ≤ n

Context: p : α × α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J (Type u_2)

Context: x y : ↑F.val.sections

Context: h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))

Context: W : Cᵒᵖ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J (Type u_2)

Context: x y : ↑F.val.sections

Context: W : Cᵒᵖ

∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Opposite.unop W⦄, (Sieve.ofObjects Y (Opposite.unop W)).arrows f → F.val.map f.op (↑x W) = F.val.map f.op (↑y W)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
i : ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I

(fractionalIdealLatticeBasis K I) i = (mixedEmbedding K) ((basisOfFractionalIdeal K I) i)


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} E₁
inst✝ : Category.{u_8, u_4} E₂
F₁ : C₁ ⥤ E₁
F₂ : C₂ ⥤ E₂
h₁ : W₁.IsInvertedBy F₁
h₂ : W₂.IsInvertedBy F₂
x✝¹ x✝ : C₁ × C₂
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W₁.prod W₂ f


IsIso ((F₁.prod F₂).map f).1 ∧ IsIso ((F₁.prod F₂).map f).2


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
ι : Type u_1
Y : ι → C
f : (i : ι) → Y i ⟶ X
i : ι

∃ i_1, ∃ (h : Y i_1 = Y i), f i = eqToHom ⋯ ≫ f i_1


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsDomain R
r : R

Associated (generator (Ideal.span {r})) r


Ideal.span {generator (Ideal.span {r})} = Ideal.span {r}


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x✝ : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformly f' g' l

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: x : 𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x✝ : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformly f' g' l

Context: hf✝ : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: x : 𝕜

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ Set.univ, HasDerivAt (f n) (f' n x) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x✝ : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformly f' g' l

Context: hfg✝ : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: x : 𝕜

Context: hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x✝ : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l

Context: x : 𝕜

Context: hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ


Context:
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1

∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1

∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W


∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
v w s t : M
v_in : v ∈ V
w_in : w ∈ V
s_in : s ∈ V
t_in : t ∈ V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

∑ i : ι, f i • g (σ i) < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)

‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C

Context: A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C

Context: B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C

Context: a✝¹ : X

Context: h1 : f a✝¹ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹

Context: a✝ : ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹‖ ≤ C


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n ≤ x
h'n : x < y ^ (n + 1)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S

Context: F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

lift hP hE le F ≫ P.map f.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf }


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S

Context: F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows f_1 → (lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map f_1.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map f_1.op


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S

Context: F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Y

Context: i : E.I₀

Context: a : Z ⟶ E.X i

Context: fac : a ≫ E.f i = g ≫ f

(lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map g.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map g.op


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S

Context: F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Y

Context: i : E.I₀

Context: a : Z ⟶ E.X i

Context: fac : a ≫ E.f i = g ≫ f

F.ι { Y := E.X i, f := E.f i, hf := ⋯ } ≫ P.map a.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map g.op


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_8, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u_7, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_3} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: G' : D₁ ⥤ D₂

Context: F' : D₂ ⥤ D₁

Context: inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'

Context: inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'

Context: X₂ : C₂

Context: this : Lifting L₂ W₂ ((F ⋙ G) ⋙ L₂) (F' ⋙ G') := { iso' := CatCommSq.iso'.symm }

(η adj L₁ L₂ W₂ G' F').app (L₂.obj X₂) = G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫ (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0

IsPrimitiveRoot (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k')) (k.lcm k')


k.lcm k' = orderOf (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k'))


ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k') = ζ ^ (orderOf ζ / (orderOf ζ).factorizationLCMLeft (orderOf ζ')) * ζ' ^ (orderOf ζ' / (orderOf ζ).factorizationLCMRight (orderOf ζ'))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B

(aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (Equiv.refl B) x ∈ (minpoly A pb.gen).aroots B


(aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (aeval x) (map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen)) = 0


map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap

l.prod ∈ alternatingGroup α ↔ Even l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(map (map f) μ).join s = (map f μ.join) s


∫⁻ (a : Measure α), (map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), μ (f ⁻¹' s) ∂μ


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I

Context: x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace

toInductiveLimit I n.succ ∘ f n = toInductiveLimit I n


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: x : X n

(toInductiveLimit I n.succ ∘ f n) x = toInductiveLimit I n x


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: x : X n

Quotient.mk'' ⟨n.succ, f n x⟩ = Quotient.mk'' ⟨n, x⟩


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: x : X n


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: x : X n

inductiveLimitDist f ⟨n.succ, f n x⟩ ⟨n, x⟩ = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c✝ d c : α


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: hJ : J ∈ π.biUnion πi


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: hJ : J ∈ π.biUnion πi


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S

𝓝[≠] x = ⊥ ↔ 𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

(coeff R n) f.derivativeFun = (coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ


UniformContinuous fun x => f x ^ Int.negSucc n


UniformContinuous fun x => (f x ^ (n + 1))⁻¹


Context:
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
t : Set α
h : InjOn f s
hst : t ⊆ s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)


(c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f


c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x

Context: h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: this : PreconnectedSpace ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: this : PreconnectedSpace ↑s

∀ (x : { x // x ∈ s }), ∀ᶠ (y : { x // x ∈ s }) in 𝓝 x, Q x y ∧ Q y x


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K


Context:
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h : IsPrimitiveRoot μ 0


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain R a l₂
h : l₁ <+ l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l₂)
h : l₁ <+ l₂


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆

AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃] ↔ AffineIndependent ℝ ![p₄, p₅, p₆]


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0


Context:
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha : 0 ≤ 0


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0


Context:
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0
hb'' : ↑b ≠ 0


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ

(n + 1 - (k + 1)) ^ (k + 1) ≤ n.descFactorial (k + 1)


Context: n k : ℕ

(n - k) * (n - k) ^ k ≤ (n - k) * n.descFactorial k


Context: n k : ℕ


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Free R M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Free R M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Free R M₁

Context: inst✝ : Infinite R

Context: h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M

Context: this : Infinite M

Context: h : lift.{max u v, v} #M = lift.{v, max u v} #(ChooseBasisIndex R M →₀ R)


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Free R M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Free R M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Free R M₁

Context: inst✝ : Infinite R

Context: h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M

Context: this : Infinite M

Context: h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Free R M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Free R M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Free R M₁

Context: inst✝ : Infinite R

Context: h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M

Context: this : Infinite M


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
t : Set γ
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hsub : s ⊆ closure t


Context: m n : ℕ+


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
c : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

iteratedDerivWithin n (fun z => c * f z) s x = c * iteratedDerivWithin n f s x


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: V' : Type u_3

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n

⨅ n ∈ setOf G.Colorable, ↑n ≤ ⨅ n ∈ setOf G'.Colorable, ↑n


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: V' : Type u_3

Context: G' : SimpleGraph V'

∀ (i : ℕ), G'.Colorable i → ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑i


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: V' : Type u_3

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: m : ℕ

Context: hc : G'.Colorable m

Context: this : G.Colorable m


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: V' : Type u_3

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: m : ℕ

Context: hc : G'.Colorable m

Context: this : G.chromaticNumber ≤ ↑m


Context: x : ℝ

(↑(projIcc 0 1 ⋯ x)).smoothTransition = x.smoothTransition


Context:
x✝ x : ℝ
hx : x < 0


Context:
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x


Context:
S : Finset Λ'
c : Code
k : Cont'
Hk : codeSupp c k ⊆ S


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: φ ψ : R⟦X⟧

Context: this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}

(coeff R 1) (φ * ψ) = (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) ψ + (coeff R 1) ψ * (constantCoeff R) φ


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: φ ψ : R⟦X⟧


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β

edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = edist y₁ y₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v✝ a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u v : α

Context: s : Finset α

Context: h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v✝ a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u v : α

Context: s : Finset α

filter (fun x => compress u v x ∈ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) ∪ filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: g : G

Context: q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)

Context: k : ℤ

(H.quotientEquivSigmaZMod g) (g ^ k • Quotient.out' q) = ⟨q, ↑k⟩


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

wittPolynomial p R n = ∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)


∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x) = C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ

(monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i) = C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hxB₁ : e ∈ B₁
hxB₂ : e ∉ B₂

∃ y, (y ∈ B₂ ∧ y ∉ B₁) ∧ M.Base (insert y (B₁ \ {e}))


Context: q r : ℚ

(q - r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den - r.num * ↑q.den) * ↑(q - r).den


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a


∀ (p_1 : ℕ), Nat.Prime p_1 → p_1 ∣ p ^ n → ∀ (b : K), b ^ p_1 ≠ a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
q : ℕ
hq : Nat.Prime q
hq' : q ∣ p ^ n


Context:
p q : ℕ
hp0 : p = 0

∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card


Context:
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ


Context:
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ
this : x ≤ p / 2


Context:
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0

∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card


Context:
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0

((Ico 1 (p / 2).succ).sigma fun a => filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
x : AdicCauchySequence I M

↑r n • Submodule.Quotient.mk (↑x n) = ↑r m • Submodule.Quotient.mk (↑x m)