Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: g : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: hB : ‖B‖ ≤ 1


Context:
M : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M α✝
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M α✝
N : Type u_4
inst✝⁵ : Monoid N
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : MulAction N β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : ContinuousConstSMul N β
σ : M → N

IsClosed {f | ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = σ c • f x}


IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i • i_1) = σ i • x i_1})


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : RatFunc K

Context: hxy : x + y ≠ 0

Context: h_zero : x.num * y.denom + x.denom * y.num = 0


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : RatFunc K

Context: hxy : x + y ≠ 0

Context: h : (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : RatFunc K

Context: hxy : x + y ≠ 0

Context: h : (x + y).num * (x.denom * y.denom) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀

IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_lip : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)

Context: h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: this : Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝² : Group G✝
H : Subgroup G✝
inst✝¹ : H.Normal
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G


Context:
α β : Type u
x : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


(∀ (x : α), Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x))) ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


∀ (a : α), Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) a) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) a)) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, a ∈ As i ↔ a ∈ A


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

F.map (opcyclesMap φ) ≫ (S₂.mapOpcyclesIso F).inv = (S₁.mapOpcyclesIso F).inv ≫ opcyclesMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹¹ : Monoid M
inst✝¹⁰ : Monoid N
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : DistribMulAction M α
inst✝⁷ : SMulCommClass M α α
inst✝⁶ : IsScalarTower M α α
inst✝⁵ : DistribMulAction N α
inst✝⁴ : SMulCommClass N α α
inst✝³ : IsScalarTower N α α
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : SMulCommClass R α α
inst✝ : IsScalarTower R α α
T S : CentroidHom α
a b : α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
this : Nonempty n


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
this : Nonempty n
r : R
hr : r ^ Fintype.card n = 1
hr' : (scalar n) r = ↑↑A


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: i : n

Context: a : ↥(rootsOfUnity (Fintype.card n).toPNat' R)

Context: B : SpecialLinearGroup n R


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))

(fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) A) = A


↑↑((fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ((fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) A)) = ↑↑A


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
r : R
left✝ : r ^ Fintype.card n = 1
hr : (scalar n) r = ↑↑A


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: i : n

Context: a inv✝ : R

Context: val_inv✝ : a * inv✝ = 1

Context: inv_val✝ : inv✝ * a = 1

Context: ha : { val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ } ∈ rootsOfUnity (Fintype.card n).toPNat' R

(fun A => rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯) ((fun a => ⟨⟨a • 1, ⋯⟩, ⋯⟩) ⟨{ val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ }, ha⟩) = ⟨{ val := a, inv := inv✝, val_inv := val_inv✝, inv_val := inv_val✝ }, ha⟩


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: i : n

Context: A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))

↑↑(rootsOfUnity.mkOfPowEq ((↑↑A * ↑↑B) i i) ⋯) = ↑↑(rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯ * rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑B i i) ⋯)


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: i : n


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: i : n

((scalar n) (↑↑A i i) * (scalar n) (↑↑B i i)) i i = (scalar n) (↑↑A i i) i i * (scalar n) (↑↑B i i) i i


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

EqOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (fun x => ((⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂)) ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) x).comp ((⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) x)) (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: y : EReal

Context: hy : y ∈ lowerBounds (Real.toEReal '' {x | LSeriesSummable f ↑x})


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: y : EReal

Context: hy : ∀ (a : ℝ), LSeriesSummable f ↑a → y ≤ ↑a


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: y : EReal

Context: H : ∀ (a : EReal), ↑x < a → y ≤ a


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset α


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (x * ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V

G'.deleteVerts (s ∩ G'.verts) = G'.deleteVerts s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
x✝ : minpoly A x ∣ p
q : A[X]
hq : p = minpoly A x * q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a m : α
l : List α

∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) [] → m ∈ [a]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: l tl : List α

Context: hd : α

Context: ih : ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) tl → m ∈ a :: tl

Context: a m : α

m ∈ foldl (argAux r) (some a) (tl ++ [hd]) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: l tl : List α

Context: hd : α

Context: a m : α

m ∈ Option.rec (some hd) (fun val => if r hd val then some hd else some val) (foldl (argAux r) (some a) tl) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S

f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)


Context: n : ℕ

antidiagonal n = image (fun i => (n - i, i)) (range (n + 1))


Context:
C : Type u
X Y : F C
f : X ⟶ Y

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f ≫ (normalizeIsoApp' C Y n).hom = (normalizeIsoApp' C X n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ 𝟙 X✝ ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
C : Type u
X Y X✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: a✝¹ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

Context: a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ g✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (f✝ ≫ g✝) ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

Context: f✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ X✝ ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: X Y X✝ Y✝ : F C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: Z✝ : F C

Context: a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ▷ Z✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : y ∈ sphere x ε
hε : ε ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U

∃ K, IsCompact K ∧ x ∈ interior K ∧ K ⊆ U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U
K : Set X
h1K : K ∈ 𝓝 x
h2K : K ⊆ U
h3K : IsCompact K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β

uniformSpace α γ 𝔖 = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β 𝔖)


⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) β) = ⨅ i ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) ∘ fun x => f ∘ x) (UniformFun.uniformSpace (↑i) β)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a✝ b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: a : ℕ

Context: h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a

multiplicity (↑p) (x ^ p ^ (a + 1) - y ^ p ^ (a + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑(a + 1)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a✝ b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: a : ℕ

multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ a) ^ p - (y ^ p ^ a) ^ p) = multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) + 1


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a✝ b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: a : ℕ


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂

(x, y) ∈ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ → (x, y) ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
A : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.129256, u_1} A'
inst✝³ : Category.{?u.129260, u_2} B'
inst✝² : Category.{?u.129264, u_3} T'
L✝ : A ⥤ T
R✝ : B ⥤ T
C : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} C
D : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} D
F : C ⥤ A
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
X✝ Y✝ : Comma (F ⋙ L) R
f : X✝ ⟶ Y✝

L.map (F.map f.left) ≫ ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) Y✝).hom = ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) X✝).hom ≫ R.map f.right


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : CommMonoid N
v : α →₀ M
h : α → M → N
hp : ∀ x ∈ v.support, p x

((subtypeDomain p v).prod fun a b => h (↑a) b) = v.prod h


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1


Context:
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1


Context:
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p


Context:
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1


Context:
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁✝ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1


Context: R L : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x : L

Context: p : { x_1 // x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0 } := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯


Context: R L : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x : L

Context: h : Polynomial.map (algebraMap R L) ↑p ≠ 0


Context: R L : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x y : L

Context: h : (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) x = (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) y


Context: R L : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x y : L

Context: h : ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => ¬x_1 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯) = ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯) ∧ HEq ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩


Context: R L : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: x y : L

∀ (x_1 : L), x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_2 => ¬x_2 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_2 = 0) ⋯)).aroots L ↔ x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯)).aroots L


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

p ∈ support R M ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0


(¬∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0


(∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R

Context: hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰

Context: h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)

Context: hp : p ∈ R⁰


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: hp : p ∈ R⁰


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: hp : p ∈ R⁰

∀ (v : HeightOneSpectrum R), (fun v => ↑(a * ↑↑⟨p, hp⟩) v) v ∈ adicCompletionIntegers K v


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s' s t : Multiset α

CutExpand r (s' + t) (s + t) ↔ CutExpand r s' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E''
g : ℕ → F''
h : ∀ (x : ℕ), g x = 0 → f x = 0

f =O[atTop] g ↔ ∃ C, ∀ (x : ℕ), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hf : ContinuousWithinAt f D x
ε : NNReal
hε : 0 < ε
x✝ : 0 < ⊤


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContinuousWithinAt f D x

Context: ε : NNReal

Context: hε : 0 < ε

Context: x✝ : 0 < ⊤

Context: this : ball (f x) (↑ε / 2) ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContinuousWithinAt f D x

Context: ε : NNReal

Context: hε : 0 < ε

Context: x✝ : 0 < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ (λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


((P.actLeft ≫ (λ_ P.X).inv) ≫ R.one ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(((λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ P.actLeft) ≫ R.one ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) R.X P.X).inv ≫ R.one ▷ R.X ▷ P.X) ≫ R.mul ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) R.X P.X).inv ≫ (λ_ R.X).hom ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) R.X P.X).inv ≫ (λ_ R.X).hom ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph V

∀ {a b : ↑Set.univ}, G.Adj ((Equiv.Set.univ V) a) ((Equiv.Set.univ V) b) ↔ (induce Set.univ G).Adj a b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: x : α

Context: n k : ℕ

Context: hn : k < n

Context: hk : k < l.length

Context: hk' : optParam (k < (insertNth n x l).length) ⋯

(insertNth n x l).get ⟨k, hk'⟩ = l.get ⟨k, hk⟩


Context:
n m k : ℕ
h₁ : k ≤ n

map (fun x => x - k) (Ico n m) = Ico (n - k) (m - k)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
m k : ℕ+
h : k ∣ m


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i : ι
hij : j < succFn i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: j i : ι

Context: hij : ∃ c ∈ lowerBounds (Set.Ioi i), j < c


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i k : ι
hk_lb : k ∈ lowerBounds (Set.Ioi i)
hk : j < k


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
j i k : ι
hk_lb : ∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x
hk : j < k


Context:
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

(bit a m).ldiff (bit b n) = bit (a && !b) (m.ldiff n)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r✝ : X
s✝ : ↥S


Context: o b : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ o)

Context: x y : Ordinal.{u_1}

Context: hx : x < o

Context: hy : y < o


Context: o b : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: x y : Ordinal.{u_1}

Context: hx : x < o

Context: hy : y < o

Context: this : (fun x x_1 => x * x_1) (b ^ x) (b ^ y) < b ^ o


Context: o b : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: x y : Ordinal.{u_1}

Context: hx : x < o

Context: hy : y < o

Context: this : b ^ x * b ^ y < b ^ o


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
hlt : p.degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0

Context: HEq : p.degree = q.degree

Context: hlt : max p.degree q.degree > (p + q).degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
HEq : p.degree = q.degree
hlt : q.degree > (p + q).degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff + q.leadingCoeff ≠ 0
hlt : q.degree < p.degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Bool
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {true})


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α

a ≤ bᶜ ↔ b ≤ aᶜ


Context:
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
s : ℕ := n.sqrt


Context:
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n
s : ℕ := n.sqrt

(if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).1 < n


0 ∈ ∅ ∨ ∅ = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤

IntegrableOn f (Iic b) μ ↔ IntegrableOn f (Iio b) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
u : Set ↑t

t.restrictPreimage f ⁻¹' u = (fun a => f ↑a) ⁻¹' (Subtype.val '' u)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology

S.leftHomologyData.π ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData h = cyclesMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData h ≫ h.π


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂


(lineMap x (r₂ • v +ᵥ x)) (r₁ / r₂) = r₁ • v +ᵥ x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₁ ≤ r₂
h : ¬r₁ = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b


Context:
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n

(m * n).divisors.card = m.divisors.card * n.divisors.card


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → α

Context: hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y

Context: l : Filter α

Tendsto (lift f hf) (𝓝 (mk x)) l ↔ Tendsto f (𝓝 x) l


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C(X, ℝ)

Context: hδ₀ : ∀ (x : X), 0 < δ x

Context: hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C(X, ℝ≥0)

Context: hδ₀ : ∀ (x : X), 0 < (ContinuousMap.coeNNRealReal.comp δ) x

Context: hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (ENNReal.ofReal ((ContinuousMap.coeNNRealReal.comp δ) x)) ⊆ U i

Context: i : ι

Context: x : X

Context: hi : x ∈ K i


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
h : a ≤ b


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g✝ : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : Inv γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ


Context:
n : ℕ
h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2
h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2

Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ 1 / (4 * ↑(n + 1) ^ 2)


Context: n : ℕ

Context: h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2

Context: h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2

Context: h₂ : 0 < 1 - (1 / (2 * (↑n + 1) + 1)) ^ 2


Context: n : ℕ

Context: h₁ : 0 < 4 * (↑n + 1) ^ 2

Context: h₃ : 0 < (2 * (↑n + 1) + 1) ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = n + 1
a : α
has : a ∈ s


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

∫ (x : ℝ), g (a * x) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU✝ : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: f : ℕ → Set α

Context: hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)

Context: mU : m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: i : ℕ


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L

Fintype.card P = order P L ^ 2 + order P L + 1


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L
val✝ : Fintype L


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Finite L
val✝ : Fintype L
p : P


Context: P : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Membership P L

Context: inst✝² : ProjectivePlane P L

Context: inst✝¹ : Fintype P

Context: inst✝ : Finite L

Context: val✝ : Fintype L

Context: p : P

Context: ϕ : { q // q ≠ p } ≃ (l : { l // p ∈ l }) × { q // q ∈ ↑l ∧ q ≠ p } := { toFun := fun q => ⟨⟨mkLine ⋯, ⋯⟩, ⟨↑q, ⋯⟩⟩, invFun := fun lq => ⟨↑lq.snd, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: b : S

Context: s : α →₀ R

Context: f : α → R → S

s.sum f * b = s.sum fun a c => f a c * b


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ∪ ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
g : SL(2, ℤ)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β

∏ t ∈ powersetCard n s, f t.card = f n ^ s.card.choose n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
a : Finset α
ha : a ∈ powersetCard n s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤


∀ (c : ℝ≥0), c ≠ 0 → μH[d₂] s ≤ ↑c * μH[d₁] s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0


(fun r => r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r => r ^ d₁


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹


∀ a ∈ Ico 0 (↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹), a ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) a


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0∞
hr₀ : 0 ≤ r
hrc : r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂

a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : α
h : inl a < inl b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α
b : β
h : inl a < inr b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β
b : α
h : inr a < inl b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : β
h : inr a < inr b


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : R ⟶ yoneda.obj X
Y Z : C
t : R.obj (Opposite.op Y)
g : Z ⟶ Y

f.app (Opposite.op Z) (R.map g.op t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t


(yoneda.obj X).map g.op (f.app (Opposite.op Y) t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: r s t w : 𝓞 K

Context: hr : ¬λ ∣ r

Context: hs : ¬λ ∣ s

Context: Hp : ∀ {p : 𝓞 K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p λ

Context: H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t

Context: H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: r s t w : 𝓞 K

Context: hr : ¬λ ∣ r

Context: hs : ¬λ ∣ s

Context: H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t

Context: H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w

Context: p : 𝓞 K

Context: hp : Prime p

Context: p_dvd_r : p ∣ r

Context: p_dvd_s : p ∣ s


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1


(Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val).sum


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: hzero : (↑↑a ^ k - 1) * (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors K

Context: G : Subgroup Kˣ

Context: inst✝ : Fintype ↥G

Context: k : ℕ

Context: k_pos : k ≠ 0

Context: k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G

Context: a✝ : Nontrivial K

Context: this : IsDomain K

Context: a : ↥G

Context: ha : a ^ k ≠ 1

Context: h : ↑↑a ^ k - 1 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
hs : s.SupIndep f
t : Finset { x // x ∈ s }
a✝¹ : t ⊆ s.attach
i : { x // x ∈ s }
a✝ : i ∈ s.attach
hi : i ∉ t

Disjoint ((fun a => f ↑a) i) (t.sup fun a => f ↑a)


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v
h₀ : u ≫ f ≫ g = z ≫ v ≫ g


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g


⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)


⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x : M


Context: q a b c : ℚ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ι a b → P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ioc a b → P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ioc b a → P x


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m

(map Subtype.val ∘ₗ comap Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (t ∩ s)) ⋯


(map Subtype.val) ((comap Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯


(map Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction (fun s_1 => m (Subtype.val '' s_1)) ⋯) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(f ⊗ g) ≫ (inv f ⊗ h) = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
o : Part α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CompactSpace α
inst✝² : MetricSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α

dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x y : 𝕜

dist ((algebraMap 𝕜 𝕜') x) ((algebraMap 𝕜 𝕜') y) = dist x y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g

(pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g = pullback.fst g f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulZeroClass α β
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
s : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y ∪ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x✝ y x : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

v.valuation (IsLocalization.mk' K r s) = v.intValuation r / v.intValuation ↑s


↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹ ∨ ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom r = 0


↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹


↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s) = v.intValuation ↑s


Context:
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
a : α


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
x✝ : R


max (Ordinal.lsub fun i => ((powHalf 1).moveLeft i).birthday) (Ordinal.lsub fun i => ((powHalf 1).moveRight i).birthday) = 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
a b : G


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context: x y z : ℂ

cos z = cos ↑z.re * cosh ↑z.im - sin ↑z.re * sinh ↑z.im * I


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
g : N →* P
f : G →* N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b


b - c - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)


b - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc (a + c) (a + c + p)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x y : X
hoxy : ι R x = ι R y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n.succ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: n : ℕ

1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k))


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₂


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
s : Set (Ideal S)

⨅ I ∈ s, comap f I = ⨅ I ∈ comap f '' s, I


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R

S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: r ε : ℝ

Context: L : F

Context: x y z : ℝ

Context: hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: r' : ℝ

Context: r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: r ε : ℝ

Context: L : F

Context: x y z : ℝ

Context: hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: r' : ℝ

Context: r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: A : x + r / 2 ≤ x + r'


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: f : A →+* B

Context: g : B →+* C

Context: h : (g.comp f).Finite

Context: this✝³ : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: this✝² : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C

Context: this : Module.Finite A C := h


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.center R L
y : L

Commute ((toEnd R L M) x) ((toEnd R L M) y)


Context:
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

IsPreimmersion x✝ ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Embedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] x => Function.Surjective ⇑x) x✝


Context:
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

(Embedding ⇑x✝.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑x✝².toPresheafedSpace), Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap x✝ x)) ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Embedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] x => Function.Surjective ⇑x) x✝


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤

Context: n i j : ℕ

Context: hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0

Context: hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j

lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: n i j : ℕ

Context: hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0

∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

{g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ 𝓝 f


{g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ
this : b ∣ d * a


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0

QuasiMeasurePreserving (fun x => r • x) μ μ


ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ ≪ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0

Context: h₂ : (aeval pb.gen) g = 0

Context: x : AdjoinRoot g

(pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) x) = x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₂ : (aeval pb.gen) g = 0

Context: p✝ : R[X]

(pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₂ : (aeval pb.gen) g = 0

Context: x : S

Context: a✝ : Nontrivial S

(liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) x) = x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₂ : (aeval pb.gen) g = 0

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: f : R[X]

Context: _hf : f.natDegree < pb.dim

(liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) ((aeval pb.gen) f)) = (aeval pb.gen) f


Context:
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'

(fun a => a / b) a < (fun a => a / b) a'


Context:
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a / b = a' / b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s

Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ s))


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsComplex


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

((κ.comapRight hf) a) t = (κ a) (f '' t)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
b : Bicone f
i : b.IsBilimit
as✝ : J

(∑ j : J, b.π j ≫ b.ι j) ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ } = 𝟙 b.pt ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A : C ⥤ ℰ

Context: P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: α : P₁ ⟶ P₂

Context: j : P₁.Elementsᵒᵖ

Context: T : Cᵒᵖ

Context: f : ((functorToRepresentables P₁).obj j).obj T

((coconeOfRepresentable P₁).ι.app j ≫ α).app T f = ((coconeOfRepresentable P₂).ι.app ((CategoryOfElements.map α).op.obj j)).app T f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y

Context: h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z

Context: h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: z : α

Context: hz : z ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: P : α → α → Prop

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: z : α

Context: hz : z ∈ s

Context: a : α

Context: ha : P z a

Context: h'a : a ∈ s


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]

Splits j (map i f) ↔ Splits (j.comp i) f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W

Context: e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W

Context: f' : E.functor.obj X ⟶ E.functor.obj Y

∃ φ, e.inv.app X ≫ f' ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: g : X ⟶ Y

∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map g ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: g : W.LeftFraction X Y

∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: g : W.LeftFraction X Y

e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = g.map L ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F


⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ * ‖x‖ = ‖y‖ * ‖y‖


⟪x, x⟫_ℝ + ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ ↔ ⟪x, x⟫_ℝ = ⟪y, y⟫_ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N

(filter p f).prod g * (filter (fun a => ¬p a) f).prod g = f.prod g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
this : φ 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] deriv ε


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x


deriv ε =ᶠ[atTop] fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
f : Module.Dual K V
v : V

((B.toDual hB) ((B.toDual hB).symm f)) v = f v


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s₁

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s₁.direction

Context: hle : s₁ ≤ s₂

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s₁

Context: hle : s₁ ≤ s₂

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s₂

↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s₁

Context: hle : s₁ ≤ s₂

Context: p : P

Context: hp : p ∈ s₂

Context: ho : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₂


Context:
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b : B
f : Discrete (Path a b)
down✝ : f.as = f.as

(preinclusion B).map₂ { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N
J : Subgroup (G × N)

J ≤ H.prod K ↔ map (MonoidHom.fst G N) J ≤ H ∧ map (MonoidHom.snd G N) J ≤ K


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y
Z : C
f : Z ⟶ Y.left

((overEquiv Y) S).arrows f ↔ S.arrows (Over.homMk f ⋯)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
f : Z ⟶ Y.left
S : Sieve Y.left

((overEquiv Y) ((overEquiv Y).symm S)).arrows f ↔ ((overEquiv Y).symm S).arrows (Over.homMk f ⋯)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
h : ∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: h : ∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t

Context: this : IsChain r s ∧ SuperChain r s h.choose


Context:
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 ≠ 0

∃ u v w, (fun x => g • x) = (fun x => w +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x


Context: g : SL(2, ℝ)

Context: hc : ↑↑g 1 0 ≠ 0

Context: h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos g) z ≠ 0


Context: a b c d : ℝ

Context: h : a * d - b * c = 1

Context: hc : ↑↑⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ 1 0 ≠ 0

Context: h_denom : ∀ (z : ℍ), denom (toGLPos ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩) z ≠ 0

∃ u v w, (fun x => ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ • x) = (fun x => w +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x


Context: a b c d : ℝ

Context: h : a * d - b * c = 1

Context: hc : c ≠ 0


Context: a b c d : ℝ

Context: h : a * d - b * c = 1

Context: hc : c ≠ 0

(fun x => ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ • x) = (fun x => a / c +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => c * d +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨c * c, ⋯⟩ • x


Context: a b c d : ℝ

Context: h : a * d - b * c = 1

Context: hc : c ≠ 0

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.im

↑(⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => a / c +ᵥ x) ∘ (fun x => ModularGroup.S • x) ∘ (fun x => c * d +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨c * c, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)


Context: a b c d : ℝ

Context: h : a * d - b * c = 1

Context: hc : c ≠ 0

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.im

(↑a * z + ↑b) / (↑c * z + ↑d) = ↑a / ↑c - (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z)⁻¹


Context:
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
z : ℂ
hz : 0 < z.im
hc : ↑c ≠ 0
h_denom : ↑c * z + ↑d ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ
h : a * d - b * c = 1
z : ℂ
hz : 0 < z.im
hc : ↑c ≠ 0
h_denom : ↑c * z + ↑d ≠ 0
h_aux : ↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ
z : ℂ
hz : 0 < z.im
hc : ↑c ≠ 0
h_denom : ↑c * z + ↑d ≠ 0
h_aux : ↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z ≠ 0
h : ↑a * ↑d - ↑b * ↑c = 1

(↑a * z + ↑b) * (↑c * (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z)) = (↑a * (↑c * ↑d + ↑c * ↑c * z) - ↑c) * (↑c * z + ↑d)


Context: z : ℂ

(z - (starRingEnd ℂ) z).re = (↑(2 * z.im) * I).re ∧ (z - (starRingEnd ℂ) z).im = (↑(2 * z.im) * I).im


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a b c : A
h₁ : (↑ₐ r - a) * b = 1
h₂ : c * (↑ₐ r - a) = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : ¬IsOfFinOrder x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
w : Set ℝ≥0∞
w_count : w.Countable
w_dense : Dense w
left✝ : 0 ∉ w
w_top : ⊤ ∉ w


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: w : Set ℝ≥0∞

Context: w_count : w.Countable

Context: w_dense : Dense w

Context: left✝ : 0 ∉ w

Context: w_top : ⊤ ∉ w

Context: I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤

Context: A : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: w : Set ℝ≥0∞

Context: w_count : w.Countable

Context: w_dense : Dense w

Context: left✝ : 0 ∉ w

Context: w_top : ⊤ ∉ w

Context: I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤

Context: B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: w : Set ℝ≥0∞

Context: w_count : w.Countable

Context: w_dense : Dense w

Context: left✝ : 0 ∉ w

Context: w_top : ⊤ ∉ w

Context: I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤

∀ (a : α), (∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, d < ρ a / μ a)) → ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: w : Set ℝ≥0∞

Context: w_count : w.Countable

Context: w_dense : Dense w

Context: left✝ : 0 ∉ w

Context: w_top : ⊤ ∉ w

Context: I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)

∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0

preVal K v O hv p (x * y) = preVal K v O hv p x * preVal K v O hv p y


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
hx0 : x ≠ 0


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0
hx0 : x ≠ 0
hy0 : y ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: y : ModP K v O hv p

Context: hy0 : y ≠ 0

Context: r : O

Context: hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y ≠ 0

Context: hx0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * y) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p y


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: hy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0

Context: hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s ≠ 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r * (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: hxy0 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s) ≠ 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r * s)) = preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r) * preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s)


Context: m n a b c d : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
γ : c ⟶ c

(fun δ => f ≫ δ ≫ inv f) ((fun γ => inv f ≫ γ ≫ f) γ) = γ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
δ : d ⟶ d

(fun γ => inv f ≫ γ ≫ f) ((fun δ => f ≫ δ ≫ inv f) δ) = δ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
c d : C
f : c ⟶ d
γ₁ γ₂ : c ⟶ c

{ toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (γ₁ * γ₂) = { toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun γ₁ * { toFun := fun γ => inv f ≫ γ ≫ f, invFun := fun δ => f ≫ δ ≫ inv f, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun γ₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L

IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this : IsDomain C


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this✝ : IsDomain C
this : NoZeroSMulDivisors A L


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
this✝¹ : IsDomain C
this✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this : NoZeroSMulDivisors A C


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
hp_ne_zero : p.toNNReal ≠ 0