Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule

Context: π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0

Context: π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1

Context: f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1

Context: this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p

Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: hf' : ClosedEmbedding ⇑f


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hf : LinearMap.ker f = ⊥

Context: hf' : ClosedEmbedding ⇑f

Context: h₂ : Tendsto (fun p => Int.cast ∘ p) cofinite (cocompact (Fin 2 → ℝ))


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w✝ : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts

Context: w : V

Context: hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w✝ : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts

Context: w : V

(fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w✝ : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts

Context: w : V

∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w✝ : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts

Context: w : V

Context: y : V

Context: hy : (⨆ i, f i).Adj v y


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w✝ : V

Context: ι : Type u_2

Context: f : ι → G.Subgraph

Context: hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts

Context: i : ι

Context: hi : v ∈ (f i).verts

Context: w : V

Context: y : V

Context: hy : (⨆ i, f i).Adj v y

Context: i' : ι

Context: hi' : (f i').Adj v y


Context: α : Type u

Context: g : Set (Set α)

Context: a : α

Context: this : TopologicalSpace α := generateFrom g


Context: α : Type u

Context: g : Set (Set α)

Context: a : α

⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s


Context: α : Type u

Context: g : Set (Set α)

Context: a : α

∀ i ∈ {s | a ∈ s ∧ IsOpen s}, ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s ≤ 𝓟 i


Context: α : Type u

Context: g : Set (Set α)

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: ha : a ∈ s

Context: hs : IsOpen s


Context:
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
this : Countable ↑s


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S✝ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
F : Type u_9
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : ℕ
a : M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: X : C

yonedaEquiv (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
hs : s.Countable


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0


↑n * ⅟↑d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

Context: this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb

(algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) pb.gen) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

{ x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E } → E


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

∀ (x : { x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E }), ?f x = _root_.id ↑x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

∀ (x : L →ₐ[K] E), x pb.gen = ?f (pb.liftEquiv' x)


Context: m n✝ n : ℤ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DivisionSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
F : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : DivisionSemiring S
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
g' : F
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α

g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (⇑g' ∘ g) n x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Context: x : γ

x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} ↔ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
con : Formula.not φ ∈ T


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : ¬T.IsSatisfiable
con : Formula.not φ ∈ T


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
p : α → Prop


Context:
a b m n p✝ p q : ℕ
hp : Prime p
h : p.factorization q ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: a b : R

Context: m✝ n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: p : R[X]

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0


Context: n : ℕ

map Prod.swap (antidiagonal n) = (antidiagonal n).reverse


Context: n : ℕ

map (Prod.swap ∘ fun i => (i, n - i)) (range (n + 1)) = map ((fun i => (i, n - i)) ∘ fun x => 0 + (n + 1) - 1 - x) (range (n + 1))


Context: n : ℕ

∀ a ∈ range (n + 1), (Prod.swap ∘ fun i => (i, n - i)) a = ((fun i => (i, n - i)) ∘ fun x => 0 + (n + 1) - 1 - x) a


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
h : X ^ n + C a = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
hx : f x ≠ x
hf : f.IsCycle
y : α
x✝ : f.SameCycle x y
hy : f y = y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
hx : f x ≠ x
hf : f.IsCycle
y : α
x✝ : f.SameCycle x y
hy : f y = y
i : ℤ
hi : x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : a ≠ 0
b : Ordinal.{u_4}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : OrderTopology α

Context: inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : OrderTopology β

Context: inst✝⁵ : Nonempty γ

Context: inst✝⁴ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder δ

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology δ

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf : f ⊥ ≤ f ⊤

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : OrderTopology β

Context: inst✝⁵ : Nonempty γ

Context: inst✝⁴ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder δ

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology δ

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf : f ⊥ ≤ f ⊤

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: h : f b ≤ f a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : OrderTopology β

Context: inst✝⁵ : Nonempty γ

Context: inst✝⁴ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder δ

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology δ

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf : f ⊥ ≤ f ⊤

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: h : f b ≤ f a

Context: H : f b < f a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1

Context: H₂ : 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size

Context: H₃ : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1

Context: r0 : r.size = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1

Context: r0 : r.size > 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1

Context: r0 : r.size > 0

Context: l0 : l.size = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : l.size = 0 → r.size ≤ 1

Context: r0 : r.size > 0

Context: l0 : l.size > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
ha : Irreducible a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
b : α
ha : Irreducible (b ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ

(deriv fun x => x ^ p * (1 + ε x)) =ᶠ[atTop] fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 1 < x

deriv (fun x => x ^ p * (1 + ε x)) x = deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x


(fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x) =ᶠ[atTop] fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: p x : ℝ

Context: hx : 1 < x

Context: hderiv : deriv (fun x => 1 + ε x) x = -x⁻¹ / log x ^ 2

deriv (fun x => x ^ p) x * (1 + ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 + ε x) x = p * x ^ (p - 1) * (1 + ε x) - x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 0 < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: s : Set β

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hf : Continuous f

Context: hs : ∀ (x : α), f x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: s : Set β

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hf : ContinuousOn f univ

Context: hs : ∀ (x : α), f x ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: inst✝ : Small.{v, u} R

Context: inj : Injective R Q

Context: I : Ideal R

Context: g : ↥I →ₗ[R] Q

Context: eI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R

Context: eR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R

∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: inst✝ : Small.{v, u} R

Context: inj : Injective R Q

Context: I : Ideal R

Context: g : ↥I →ₗ[R] Q

Context: g' : Shrink.{v, u} R →ₗ[R] Q

Context: hg' : ∀ (x : Shrink.{v, u} ↥I), g' ((↑eR.symm ∘ₗ Submodule.subtype I ∘ₗ ↑eI) x) = (g ∘ₗ ↑eI) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Ioo a₁ b₁ ∩ Ioo a₂ b₂ = Ioo (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)


Ioi a₁ ∩ Iio b₁ ∩ (Ioi a₂ ∩ Iio b₂) = Ioi a₁ ∩ Ioi a₂ ∩ (Iio b₁ ∩ Iio b₂)


Context: L : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace L

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : SemilatticeSup L

Context: inst✝¹ : OrderBot L

Context: inst✝ : ContinuousSup L

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → X → L

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x


Context:
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω

∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) s)) = 0


Context:
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
Rs : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti Rs
Rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < Rs n
Rs_lim : Tendsto Rs atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: Rs : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti Rs

Context: Rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < Rs n

Context: Rs_lim : Tendsto Rs atTop (𝓝 0)

Context: obs : ∀ (n : ℕ), ∃ r ∈ Ioo 0 (Rs n), μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionRing α
inst✝¹ : FunLike F ℚ α
inst✝ : RingHomClass F ℚ α
f : F
q : ℚ


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : b ≤ a
hb' : b ≠ 0


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

Context: hU : IsClopen U


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

Context: hU : IsClopen U

Context: j : J

Context: V : Set ↑(F.obj j).toTop

Context: hV : IsClopen V

Context: h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

Context: hU : IsClopen U

Context: j : J

Context: V : Set ↑(F.obj j).toTop

Context: hV : IsClopen V

Context: h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V

f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.ofIsClopen hV)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

Context: hU : IsClopen U

Context: j : J

Context: V : Set ↑(F.obj j).toTop

Context: hV : IsClopen V

Context: h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V

⇑f ⁻¹' {0} = ⇑(LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.ofIsClopen hV)) ⁻¹' {0}


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
i : LinearIndependent R v

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ range v }) R Subtype.val


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s : Set α

Context: T : Set (Set β)

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x)) ↔ ∀ t ∈ T, f x ∈ t → f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s : Set α

Context: T : Set (Set β)

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

(∀ (i : Set β), f x ∈ i → i ∈ T → ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[s] x, f a ∈ i) ↔ ∀ t ∈ T, f x ∈ t → f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
x : CoprodI G


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
i : ι
x : G i


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
s : Subgroup N
h : ∀ (i : ι), (f i).range ≤ s
x y : CoprodI G
hx : (lift f) x ∈ s
hy : (lift f) y ∈ s


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
inst✝ : Nontrivial R

((φ.polyCharpoly b).coeff i).IsHomogeneous j


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: i j : ℕ

Context: hij : i + j = Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)

Context: inst✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: i j : ℕ

Context: inst✝ : Nontrivial R

(↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff i)).IsHomogeneous (1 * j)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: i j : ℕ

Context: inst✝ : Nontrivial R

∀ (r : R), ((algebraMap R (MvPolynomial ι R)) r).IsHomogeneous 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: i j : ℕ

Context: inst✝ : Nontrivial R

∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex R M × Module.Free.ChooseBasisIndex R M), (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ i).IsHomogeneous 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂


Context:
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
a b : α
as : a ∈ s
bs : b ∈ s

eVariationOn f (s ∩ Icc a b) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)


∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s ∩ Icc a b }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
hf : MonotoneOn f s
a b : α
as : a ∈ s
bs : b ∈ s
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s ∩ Icc a b

∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ ENNReal.ofReal (f b - f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: P : {a b : α} → ReflTransGen r a b → Prop

Context: a b : α

Context: h : ReflTransGen r a b

Context: ih₁ : ∀ (a : α), P ⋯

Context: ih₂ : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯

Context: ih₃ : ∀ {a b c : α} (h₁ : ReflTransGen r a b) (h₂ : ReflTransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
h : LiftRel R ca cb
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
h : LiftRel R ca cb
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
b' : β
mb' : b' ∈ cb
ab : R a b'


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : X → Set X

Context: hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : X → Set X

Context: hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: t : Finset X

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : X → Set X

Context: hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: t : Finset X

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

{i | (f i ∩ s).Nonempty} ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : X → Set X

Context: hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: t : Finset X

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

Context: i : ι

Context: x : X

Context: hx : x ∈ f i ∩ s

i ∈ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : X → Set X

Context: hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: t : Finset X

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

Context: i : ι

Context: x : X

Context: hx : x ∈ f i ∩ s

Context: c : X

Context: hct : c ∈ t

Context: hcx : x ∈ U c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b

minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Icc a b) = {a}


minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {x | x ≤ b ∧ a ≤ x} = {a}


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α → β' → δ

Context: g' : β → β'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)

image2 f' ((fun a => a) '' s) (g' '' t) = image2 f' s (g' '' t)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
ha : a ∉ s


Context: a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : a.primeFactorsList ~ b.primeFactorsList


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀'.X₂), x₂ ≫ S.L₀'.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₂ : A ⟶ S.P

Context: hx₂ : x₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = 0

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₂ : A ⟶ S.P

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: hπ : Epi π

Context: x₁ : A' ⟶ S.L₁.X₁

Context: fac : π ≫ x₂ ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = x₁ ≫ S.L₁.f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ∈ s


Context:
G₀ : Type u
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
G₀' : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
inst✝¹ : Div M₀
inst✝ : MulDivCancelClass M₀
a b✝ b : M₀
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β

Chain r (map f (Quotient.mk'' (a :: l))) ↔ Chain (fun a b => r (f a) (f b)) (Quotient.mk'' (a :: l))


List.Chain r (f a) (List.map f l ++ [f a]) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])


List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l.concat a) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a✝ b a : α
ha : 0 < a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c : R
b₁ b₂ : ℕ


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1


Context:
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
hc : b / 2 = 0
hr : jacobiSymNat a 0 = r


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
hc' : c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ

padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max (stationaryPoint hf) v3)))


stationaryPoint hf ≤ max v1 (max (stationaryPoint hf) v3)


Context:
X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y

(𝟭 CommRingCat).map f ≫ ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) Y).hom = ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) X).hom ≫ (Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ Γ).map f


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a✝ a : α
ha : a ∉ s


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasLimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K

pre F E₂ ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝ = (pre F E₁ ≫ lim.map (whiskerRight α F)) ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hg : HasFiniteIntegral g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → β

Context: g : α → γ

Context: h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖

Context: hg : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ < ⊤


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p q : P

dist ((Equiv.pointReflection p) q) p = dist p q


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁

Icc a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ < b₂


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F

(𝓝 0).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

(Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) 0 i))).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

(Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

∀ (i : Set (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) × (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F → ℝ)), (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) → ∃ i', (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets i' ∧ id i' ⊆ ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

∀ (i' : Set (E →WOT[𝕜]F)), (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets i' → id i' ∈ Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E

⟪↑((orthogonalProjection K) u), v⟫_𝕜 = ⟪u, ↑((orthogonalProjection K) v)⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

eLpNorm (s.indicator (f i) + s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁_pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂_pos : 0 < δ₂

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E


2 • v - 2 • ↑((orthogonalProjection K) v) - v = v - 2 • ↑((orthogonalProjection K) v)


Context: k : ℕ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Context: hA : A.Nonempty

Context: hB : B.Nonempty

Context: hc : ¬(A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: hA : A.Nonempty

Context: hB : B.Nonempty

Context: hc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: hA : 0 < A.card

Context: hB : 0 < B.card

Context: hc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: hA : 0 < A.card

Context: hB : 0 < B.card

Context: hc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card

Context: p : G × G

Context: hp : p ∈ A ×ˢ B

Context: w✝ : G × G

Context: left✝¹ : w✝ ∈ A ×ˢ B

Context: left✝ : p ≠ w✝

Context: hu : UniqueMul A B p.1 p.2

Context: right✝ : UniqueMul A B w✝.1 w✝.2


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: hA : 0 < A.card

Context: hB : 0 < B.card

Context: hc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card

Context: p : G × G

Context: hp : p.1 ∈ A ∧ p.2 ∈ B

Context: w✝ : G × G

Context: left✝¹ : w✝ ∈ A ×ˢ B

Context: left✝ : p ≠ w✝

Context: hu : UniqueMul A B p.1 p.2

Context: right✝ : UniqueMul A B w✝.1 w✝.2


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
c : ℝ

(normAtPlace w) (fun x => c, fun x => ↑c) = |c|


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ

(coeff R m) ↑(trunc n ↑f) = (coeff R m) ↑f


(if m < n then (coeff R m) ↑f else 0) = (coeff R m) ↑f


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
h✝ : ¬m < n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
s t : Set α

AEMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict t)


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : A * star A = 1


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂ (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂ z τ


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂ (z + τ) τ = ∑' (c : ℤ), cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂_term ((Equiv.addRight 1) c) z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

jacobiTheta₂_term n (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂_term ((Equiv.addRight 1) n) z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: σ τ : p.Gal

Context: h : ∀ x ∈ p.rootSet p.SplittingField, σ x = τ x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: σ τ : p.Gal

Context: x : p.SplittingField


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

Context: h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

(μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

(μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (- -t * -ε) * mgf (-X) μ (-t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

(μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal = (μ {ω | -ε ≤ (-X) ω}).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : t ≤ 0

Integrable (fun ω => rexp (-t * (-X) ω)) μ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • ∑ i : Fin 2, f (![![a, b], ![b, a]] i)


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: impos : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum < ω.size • 2 • f ![a, b]


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: rhs_swap : ω.size • 2 • f ![a, b] = 2 • ω.size • f ![a, b]


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: valid : ω.IsValid

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: a b : D

Context: hab : a ≠ b

Context: mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: impos : 2 • ω.size • f ![a, b] < 2 • ω.size • f ![a, b]

Context: distrib : (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum = ω.size • f ![a, b]


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : (cyclotomic n ℝ).coeff 0 = 1


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0


Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: this✝ : NeZero n

Context: h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1

Context: hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0

Context: this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)


Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: this✝ : NeZero n

Context: h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1

Context: hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : (cyclotomic n ℝ).IsRoot y


Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: this✝ : NeZero n

Context: h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1

Context: hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : IsPrimitiveRoot y n


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: this✝ : NeZero n

Context: h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1

Context: hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0

Context: y : ℝ

Context: hn : 2 < orderOf y

Context: hy : IsPrimitiveRoot y n


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).ψ n)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊆ Y
hYX : Y ⊆ X


∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ Y → I = J


Context: θ : Angle

(2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p p' : Perm α'
x✝ : β'

(Equiv.trans (e.permCongr p) (e.permCongr p')) x✝ = (e.permCongr (Equiv.trans p p')) x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 (f b) ∧ IsClosed s


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖


(∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2


Context: x : ℝ≥0


Context:
x : ℝ≥0
h0 : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
x : α
hx : ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊

↑‖f x‖₊ ^ q ≤ ↑‖g x‖₊ ^ q


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q

(contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (contractRight b) d


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t


Context:
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t
e : ↑s ≃ ↑t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
a : S
t : R
k : ℕ
ha : a ^ k = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : TopologicalAddGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x✝¹ : M →L[R] M
x✝ : M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (ofArrows X π).hasPullbacks

IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔ ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.PullbackCompatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

x ∈ closure s ↔ (comap Subtype.val (𝓝 x)).NeBot


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i

(f, g) ∈ ⇑(piEquivPiSubtypeProd p β).symm ⁻¹' univ.pi s ↔ (f, g) ∈ (univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ univ.pi fun i => s ↑i


(∀ (i : α), (piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i) ↔ ∀ (x : α), (∀ (b : p x), f ⟨x, b⟩ ∈ s x) ∧ ∀ (b : ¬p x), g ⟨x, b⟩ ∈ s x


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
i : α

(piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i ↔ (∀ (b : p i), f ⟨i, b⟩ ∈ s i) ∧ ∀ (b : ¬p i), g ⟨i, b⟩ ∈ s i


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty

(image₂ f s t).sup' h g = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)


(t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : Finite ι

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : Module 𝕜 F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : Finite ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: val✝ : Fintype ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : Finite ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : Finite ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : Finite ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : UniformAddGroup F

Context: m : (i : ι) → E i

∃ V ∈ {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}, V ∈ 𝓝 m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 ∣ b
h₂ : b ∣ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
h₁ : a ∣ 0
h₂ : 0 ∣ a


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : Fintype M

Context: inst✝¹ : DecidableEq M

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: ζ : Rˣ

Context: hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Monoid.orderUnits M) R

Context: g : Mˣ

Context: hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p

(∃ b, b₁ + b₂ - (a₁ + a₂) = (Equiv.symm (Equiv.addLeft m)).symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N

(lTensor M (g ∘ₗ f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)


(⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f g : R[X]
N n✝ : ℕ

(reflect N (f + g)).coeff n✝ = (reflect N f + reflect N g).coeff n✝


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h₁ : o₁ < type r
h₂ : o₂ < type r

r (enum r o₁ h₁) (enum r o₂ h₂) ↔ o₁ < o₂


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Context: h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F E) (minpoly F α)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Context: h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F ↥F⟮α⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Context: α : E

Context: hα : F⟮α⟯ = ⊤

Context: H : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

(E ≃ₐ[F] E) ≃ ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

(aeval fun x => IsLocalization.Away.invSelf r) ((fun s => C (IsLocalization.Away.sec r s).1 * X () ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) s) = s


(algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec r s).1 * IsLocalization.Away.invSelf r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s


s * (algebraMap R S) r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s


s * IsLocalization.mk' S r 1 ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 (⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s


s * IsLocalization.mk' S (r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * 1) (1 * ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s


s * IsLocalization.mk' S r ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : β → γ
g : α → β
x : Filter α
y : Filter γ

Tendsto f (map g x) y ↔ Tendsto (f ∘ g) x y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : Module ℚ α
inst✝ : PosSMulMono ℚ α
q : ℚ
a : α


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ

(u • P) 0 = ↑u * P 0 ∧ (u • P) 1 = ↑u * P 1 ∧ (u • P) 2 = ↑u * P 2


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α


A.cramer b = (of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1
k : n

A.cramer (∑ i : n, b i • Pi.single i 1) k = ((of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b) k


riemannZeta 2 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 2)


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n

((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: x : Step k n

Context: hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: x : Step k n

((Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) n) x


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: x : Step k n

(Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) (n + 1)) ((toStepSucc k n) x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) n) x


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: x : Step k n

(Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) (n + 1)) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) n) x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E

(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s ∧ Balanced 𝕜 s) id


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s

∃ i', (i' ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed i' ∧ Balanced 𝕜 i') ∧ id i' ⊆ id s


IsClosed (balancedCore 𝕜 s) ∧ Balanced 𝕜 (balancedCore 𝕜 s)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
h : adjoin R {x} = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α

∀ (x : β), x ∈ ↑(map f s) ↔ x ∈ ⇑f '' ↑s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
k : α
hk : a = 2 * k + 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: hz : z ∈ verticalStrip 0 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalStrip 0 1

Tendsto (fun x => ‖f z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖f z‖)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalStrip 0 1

Tendsto (fun ε => ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖interpStrip f z‖)


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A

(algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial m) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial m) 1


(algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial 0) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial 0) 1


∀ (a_1 : σ) (b : ℕ) (f : σ →₀ ℕ), a_1 ∉ f.support → b ≠ 0 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial f) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial f) 1 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) 1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X

x ∈ thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: X : Type u

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace X

Context: E : Set X

Context: x : X

Context: key_iff : ∀ (z : X), edist x z < ENNReal.ofReal δ ↔ dist x z < δ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : TopCat
X : Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : X.Opens
W : (X.restrict h).Opens
e : W ≤ X.ofRestrict h ⁻¹ᵁ V


X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app V).op ≫ (X.restrict h).presheaf.map (homOfLE e).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α


Context:
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0


Context:
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

padicValInt p z = (multiplicity (↑p) z).get ⋯


Context:
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

(multiplicity p z.natAbs).get ⋯ = (multiplicity (↑p) z).get ⋯


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i

IsAtom f → ∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a


(∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a) → IsAtom f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ iInf f

Context: p : Set α → Prop

Context: uni : p univ

Context: ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ t, s ∈ ⨅ i ∈ t, f i.down

Context: p : Set α → Prop

Context: uni : p univ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: s : Set α

Context: p : Set α → Prop

Context: uni : p univ

Context: hs : ∃ t, s ∈ t.inf fun a => f a.down


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: s : Set α

Context: p : Set α → Prop

Context: uni : p univ

Context: is : Finset (PLift ι)

Context: his : s ∈ is.inf fun a => f a.down


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
p : ℕ
hp : Prime p


Context:
x : ℝ*
h : x ≠ 0


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℤ

translate (Multiplicative.ofAdd x) ^ n = translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x + a) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

|(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤ ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 50


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f
i : σ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : 𝕜
x : E
y : F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
y : Set α


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

Context: M : ℝ

Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n) (𝓝[stolzSet M] 1) (𝓝 l)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : M ≤ 1


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i

Context: g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) l < ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: hB₁ : ∀ n ≥ B₁, ‖∑ i ∈ range n, f i - l‖ < ε / 4 / M

Context: F : ℝ := ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖

∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → ‖x - 1‖ < δ → ‖∑' (n : ℕ), f n * x ^ n - l‖ < ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → ‖x - 1‖ < ε / 4 / (F + 1) → ‖∑' (n : ℕ), f n * x ^ n - l‖ < ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: p : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: p : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: B₂ : ℕ

Context: hB₂ : ‖l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n - (1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i‖ < ε / 2


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: B₂ : ℕ

‖(1 - z) * ∑ i ∈ range (max B₁ B₂), (l - s (i + 1)) * z ^ i‖ < ε / 2


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: B₂ : ℕ

‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i + ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 2


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: B₂ : ℕ

Context: S₁ : ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ range B₁, ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 4


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B₁ : ℕ

Context: z : ℂ

Context: zn : ‖z‖ < 1

Context: zm : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)

Context: zd : ‖z - 1‖ < ε / 4 / (F + 1)

Context: B₂ : ℕ

Context: S₂ : ‖1 - z‖ * ∑ i ∈ Ico B₁ (max B₁ B₂), ‖l - s (i + 1)‖ * ‖z‖ ^ i < ε / 4


Context: x : ℝ

Tendsto (fun y => Icc y x) (𝓝[<] x) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x)


Context: x : ℝ

∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[<] x, Icc i x ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x


Context: x : ℝ

∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[<] x, Icc i x ⊆ Metric.closedBall x ε


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
t : Finset V
h : ¬AffineIndependent k Subtype.val

∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G

H₁ ⊓ H₂ ≤ ⊥ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: z : ↑((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.stalk x)

homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((stalkToFiberRingHom 𝒜 x) z) = z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: s : (forget CommRingCat).obj ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.obj (op U))

homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x ((stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s)) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

Context: h : ∀ (x : ↥V), ↑b ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: e : ∀ (x : ↥V), (fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

Context: e : ∀ (x : ↥V), ↑s ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) = ((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ })) = ↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

Context: t : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ht : t ∈ unop (op V)

HomogeneousLocalization.val (↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ })) ⟨t, ht⟩) = HomogeneousLocalization.val (↑(((Proj.structureSheaf 𝒜).presheaf.map i.op) s) ⟨t, ht⟩)