Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: β : Type w

Context: f : β → C

Context: inst✝ : HasProduct f

Context: h : IsCoseparator (∏ᶜ f)

Context: X Y : C

Context: u v : X ⟶ Y

Context: huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Y ⟶ Z


Context:
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e✝ : Perm α'
p : β' → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α' ≃ Subtype p
e e' : Perm α'

Equiv.trans (e.extendDomain f) (e'.extendDomain f) = extendDomain (Equiv.trans e e') f


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
inst✝ : Fintype ι
f : ι →₀ ↥I

(finsuppTotal ι M I v) f = ∑ i : ι, ↑(f i) • v i


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M < ↑n


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : P.IsStableUnderComposition
inst✝ : P.RespectsIso
hP'' : P.StableUnderBaseChange
X✝ Y✝ Z✝ : C
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
h₁ : P.diagonal x✝¹
h₂ : P.diagonal x✝


P (pullback.diagonal x✝¹ ≫ (pullbackDiagonalMapIdIso x✝¹ x✝¹ x✝).inv ≫ pullback.snd (pullback.diagonal x✝) (pullback.map (x✝¹ ≫ x✝) (x✝¹ ≫ x✝) x✝ x✝ x✝¹ x✝¹ (𝟙 Z✝) ⋯ ⋯))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t✝.Finite
t : Finset α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n = 0 ∨ a = b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12278, u_1} D
P : MorphismProperty C
hP : P.RespectsIso
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
h : P (f ≫ g)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

F.Stable ↔ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀


Context: R M : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: h✝ : F.Stable

Context: h : ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, F.N n = I ^ (n - n₀) • F.N n₀

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ h.choose


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


dual A K I ≤ dual A K J ↔ J ≤ dual A K (dual A K I)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
a✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
a✝ : Nontrivial E
H : 𝓝[univ \ {x}] x ≠ ⊥


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

hurwitzZetaEven a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * cosZeta a s


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

Context: hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

Context: this : hurwitzZetaEven a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

Context: hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

completedCosZeta a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedCosZeta a s / s.Gammaℝ)


Context:
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : { P // IsLprojection X P }


Context:
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0

⟨n✝ + 1, hi⟩.cycleRange.cycleType = {↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1}


(finRotate (↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1)).cycleType = {↑⟨n✝ + 1, hi⟩ + 1}


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p1 p2 = dist p1 p3


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖


InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => f (c + x)) volume (a - c) (b - c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s t : Set α

DirSupClosed s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → d ⊆ s → sSup d ∈ s


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x : E
hx : x ≠ 0


IsConnected {y | ∃ r, 0 < r ∧ r • x = y}


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
d : ℕ

∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = d → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ m < n, ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = m → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree

∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → p.natDegree = n → ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < p.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: pzero : p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: hlead : map f lead = (monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree) ∧ lead.degree = ((monomial p.natDegree) (p.coeff p.natDegree)).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree

Context: erase : R[X]

Context: herase : map f erase = Polynomial.erase p.natDegree p ∧ erase.degree = (Polynomial.erase p.natDegree p).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree

Context: erase : R[X]

map f (erase + lead) = p ∧ (erase + lead).degree = p.degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree

Context: erase : R[X]


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ

Context: p : S[X]

Context: hlifts : p ∈ lifts f

Context: hdeg : p.natDegree = n

Context: erase_zero : ¬p.eraseLead = 0

Context: deg_erase : p.eraseLead.natDegree < n

Context: pzero : p ≠ 0

Context: lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: lead : R[X]

Context: deg_lead : lead.degree = ↑p.natDegree

Context: erase : R[X]

(Polynomial.erase p.natDegree p).degree < p.degree


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s : Set α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
ha : a ≠ 0
h : a * b = c


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

y₁ * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) + y₂ * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) + W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (x₁ - x₂) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β
x : β
x✝ : x ∈ range f ∩ t
y : α
h_eq : f y = x
hx : x ∈ t


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Star α

Mᴴ.updateColumn i (star b) = (M.updateRow i b)ᴴ


((M.map star).updateRow i (star b))ᵀ = ((M.map star).updateRow i (star ∘ b))ᵀ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: ih : μ (s ∆ (f^[n] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

μ (s ∆ (f^[n + 1] ⁻¹' s)) ≤ n • μ (s ∆ (f ⁻¹' s)) + μ (s ∆ (f ⁻¹' s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: n : ℕ

Context: hs : NullMeasurableSet (s ∆ (f ⁻¹' s)) μ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
h : e ∈ M.E \ B


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : ℵ₀ ≤ b


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
R : Type u_4
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ

(χ.ringHomComp f)⁻¹ ↑a✝ = (χ⁻¹.ringHomComp f) ↑a✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b


Context:
f g : StieltjesFunction
h : ∀ (x : ℝ), ↑f x = ↑g x


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ a b : α
i j : Fin (n + 1)
h : i ≤ j
l : List α
hl : l.length = n

insertNth b j.succ (insertNth a i ⟨l, hl⟩) = insertNth a i.castSucc (insertNth b j ⟨l, hl⟩)


↑(insertNth b j.succ (insertNth a i ⟨l, hl⟩)) = ↑(insertNth a i.castSucc (insertNth b j ⟨l, hl⟩))


List.insertNth (↑j + 1) b (List.insertNth (↑i) a l) = List.insertNth (↑i) a (List.insertNth (↑j) b l)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op

(pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.fst f.op g.op = (pushout.inl f g).op


((pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.fst f.op g.op).unop = (pushout.inl f g).op.unop


(pullback.fst f.op g.op).unop ≫ (pushoutIsoUnopPullback f g).inv = pushout.inl f g


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ

(comapDomain h hh (f + g)) i✝ = (comapDomain h hh f + comapDomain h hh g) i✝


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₛₗ[J] V₂
x y : V

y ∈ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B ↔ y ∈ ker (B x)


(∀ (n : V), (∃ a, a • x = n) → B.IsOrtho n y) ↔ (B x) y = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)


↑hx.unit⁻¹ ∈ elementalStarAlgebra ℂ (star x * x)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)
hx' : IsUnit ⟨star x * x, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j✝ j : ι

(P.reflection i) (P.root j) ∈ range ⇑P.root


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : InfSet α
inst✝² : InfSet β
inst✝¹ : InfSet γ
inst✝ : InfSet δ
g : sInfHom β γ
f₁ f₂ : sInfHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg hgf : ¬f /ₘ g = 0

(f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : ¬f.degree < g.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q f g : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: hfg : ¬f /ₘ g = 0

Context: hgf : g.degree ≤ f.degree

Context: this : g.degree + (f /ₘ g).degree = f.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q f g : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: hfg : ¬f /ₘ g = 0

Context: hgf : g.degree ≤ f.degree

Context: hf : f ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q f g : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: hfg : ¬f /ₘ g = 0

Context: hgf : g.degree ≤ f.degree

Context: this : g.natDegree + (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree

Context: hf : f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G

x ∈ fixedPoints (ConjAct G) G ↔ x ∈ ↑(center G)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : (p * q).Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : ¬q.Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : ¬q.leadingCoeff = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
x : α


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
this : Nontrivial ↥(Subgroup.center G)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⨅ s ∈ {s | False ∈ s ∧ s ∈ {{True}}}, 𝓟 s = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
htt' : t ⊆ t'
ht' : t' ⊆ range f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type ?u.138430

Context: inst✝¹ : MulAction R X

Context: T : Type u_2

Context: inst✝ : Monoid T

Context: f : R →* T

Context: fS : ↥S →* Tˣ

Context: hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)

Context: φ : OreLocalization S R →* T

Context: huniv : ∀ (r : R), φ (numeratorHom r) = f r

Context: r : R

Context: s : ↥S

φ (r /ₒ s) = (universalMulHom f fS hf) (r /ₒ s)


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝

x✝ ∈ Set.range ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂


(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩) = x✝


(forget TopCat).map (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩) = x✝


∀ (j : WalkingCospan), (limit.π (cospan g₁ g₂) j) ((forget TopCat).map (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩)) = (limit.π (cospan g₁ g₂) j) x✝


((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) none) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) none) x✝


((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.left)) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.left)) x✝


((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Sort u_11
f : ι → α
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP : Presieve.IsSheaf K P

Presieve.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP }.val)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP✝ : Presieve.IsSheaf K P
hP : Presheaf.IsSheaf K P

Presheaf.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP✝ }.val)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
x : H


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r


Context:
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0


Context: d : Nat

Context: n : Int

Context: d0 : d ≠ 0

Context: this : normalize ?refine'_1 d d0 = normalize ?refine'_2 1 Nat.one_ne_zero ↔ ?refine'_1 * ↑1 = ?refine'_2 * ↑d


Context: d : Nat

Context: n : Int

Context: d0 : d ≠ 0

Context: this : normalize ?refine'_1 d d0 = 0 ↔ ?refine'_1 * ↑1 = 0 * ↑d


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
c : R
hc : c ≠ 0

((monomial s) c).totalDegree = s.sum fun x e => e


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
ζ : Rˣ
hζ : ↑ζ = ζ✝


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hζ : ↑ζ = ζ✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
f : S →ₐ[A] S'

(aeval (f pb.gen)) (minpoly A pb.gen) = 0


Context:
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)

‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖


Context:
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
hyx_sq_le : ‖y - x‖ ^ 2 ≤ r * ‖y - x‖


Context: z y✝ x✝ r : ℝ

Context: hr_nonneg : 0 ≤ r

Context: hr_le : r ≤ 1

Context: x y : ℂ

Context: hyx : ‖y - x‖ < r

Context: hy_eq : y = x + (y - x)

Context: hyx_sq_le : ‖y - x‖ ^ 2 ≤ r * ‖y - x‖

Context: h_sq : ∀ (z : ℂ), ‖z‖ ≤ 1 → ‖cexp (x + z) - cexp x‖ ≤ ‖z‖ * ‖cexp x‖ + ‖cexp x‖ * ‖z‖ ^ 2


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X

(F.trans G).symm (t, snd✝) = (G.symm.trans F.symm) (t, snd✝)


(if h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * (1 - ↑t), ⋯⟩, snd✝) else G (⟨2 * (1 - ↑t) - 1, ⋯⟩, snd✝)) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then G (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩, snd✝) else F (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩, snd✝)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R

untrop (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, untrop (f i)


∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).sum


∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map (fun i => untrop (f i)) s.val).sum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Icc a b) → β


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝ : FormallySmooth R S


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallySmooth R S

Context: this : FormallySmooth S Sₘ


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallySmooth R S

Context: this✝ : FormallySmooth S Sₘ

Context: this : FormallySmooth R Sₘ


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N

Function.Surjective ⇑(map f) ↔ Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
x : ExteriorAlgebra R M
hx : (map f) x = (ι R) y


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x y : X

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl y) = 0


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x : X

Context: y : Y

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) = 0


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x : Y

Context: y : X

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 0


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x y : Y

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 0


Context:
T : Type uT
x : ContextFreeGrammar T


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

(↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(remainder p n).vars ∪ (wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(remainder p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))


(-o).oangle y (y + x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y + x‖))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α

IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Iic a ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α

Chain' R [a].reverse ↔ Chain' (flip R) [a]


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ a b : α
l : List α

Chain' R (a :: b :: l).reverse ↔ Chain' (flip R) (a :: b :: l)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

frontier s = (interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Semiring T
inst✝² : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝¹ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g : G
inst✝ : Nontrivial S
f : F


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompletePartialOrder α
inst✝ : Preorder β
f✝ : ι → α
d : Set α
a : α
f : α → β

ScottContinuous f ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB (f '' d) (f (sSup d))


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CompletePartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ : ι → α

Context: d✝ : Set α

Context: a✝ : α

Context: f : α → β

Context: h : ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → IsLUB (f '' d) (f (sSup d))

Context: d : Set α

Context: hne : d.Nonempty

Context: hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d

Context: a : α

Context: hda : IsLUB d a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CompletePartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ : ι → α

Context: d✝ : Set α

Context: a✝ : α

Context: f : α → β

Context: d : Set α

Context: hne : d.Nonempty

Context: a : α

Context: hda : IsLUB d a


Context:
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
k n r : ℕ


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S

f ≫ toSpecΓ S = toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
x : ↑R
x' : ↥(unop (op ⊤))

↑((f ≫ toSpecΓ S) x) x' = ↑((toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op) x) x'


↑((toSpecΓ R ≫ Γ.map (Spec.toLocallyRingedSpace.map f.op).op) x) x' = ↑((f ≫ toSpecΓ S) x) x'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
n : ℕ
ih : a ^ n ~ᵤ b ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ

μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊓ hg.approx n) n)) < ⊤


μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: m : α → ℝ≥0∞

Context: f : Filter α

Context: h : ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: m : α → ℝ≥0∞

Context: f : Filter α

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑n < m a

Context: x : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : x < ↑n

Context: y : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → Field (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: p : Ring.DirectLimit G f

Context: hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
x : R

(aeval (root (minpoly R pb.gen))) (minpoly R pb.gen) = 0


Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I = Ideal.map (↑(equiv' (minpoly R pb.gen) pb ⋯ ⋯).symm.toRingEquiv) (Ideal.map (algebraMap R S) I)


((Ideal.map (algebraMap R S) I).quotientEquiv (Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I) (equiv' (minpoly R pb.gen) pb ⋯ ⋯).symm.toRingEquiv ⋯) ((algebraMap R (S ⧸ Ideal.map (algebraMap R S) I)) x) = (algebraMap R (AdjoinRoot (minpoly R pb.gen) ⧸ Ideal.map (of (minpoly R pb.gen)) I)) x


Context: m n : ℕ


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a

w * z = (x * y).succPNat ∧ a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat


a = a' * d ∧ b = b' * d ∧ z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)


Context: a b : ℕ+

Context: d : ℕ+ := a.gcdD b

Context: w : ℕ+ := a.gcdW b

Context: x : ℕ := a.gcdX b

Context: y : ℕ := a.gcdY b

Context: z : ℕ+ := a.gcdZ b

Context: a' : ℕ+ := a.gcdA' b

Context: b' : ℕ+ := a.gcdB' b

Context: u : XgcdType := XgcdType.start a b

Context: ur : XgcdType := u.reduce

Context: x✝¹ : d = ur.a

Context: hb : d = ur.b

Context: ha' : ↑a' = ↑w + x

Context: hb' : ↑b' = y + ↑z

Context: hdet : w * z = (x * y).succPNat

Context: hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1

Context: x✝ : u.v = (↑a, ↑b)

Context: hv : (↑w * ↑d + x * ↑ur.b, y * ↑d + ↑z * ↑ur.b) = (↑a, ↑b) := Eq.trans (XgcdType.reduce_v u) (XgcdType.start_v a b)


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d


z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d
hza' : ↑z * ↑a' = x * ↑b' + 1


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d
hza' : ↑z * ↑a' = x * ↑b' + 1
hwb' : ↑w * ↑b' = y * ↑a' + 1

↑z * (↑a' * ↑d) = x * (↑b' * ↑d) + ↑d ∧ ↑w * (↑b' * ↑d) = y * (↑a' * ↑d) + ↑d


↑z * ↑a' * ↑d = x * ↑b' * ↑d + ↑d ∧ ↑w * ↑b' * ↑d = y * ↑a' * ↑d + ↑d


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n

Fintype.card (QuaternionGroup n) = 4 * n


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M

Set.finrank R (range b) ≤ Fintype.card ι


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
u : ℤˣ
g : G

(unitsSMulGroup φ d u g).2 = (⋯.equiv g).2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hs : (↑s).Finite
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ ↑s
hb : b ∈ ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hs : (↑s).Finite
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ ↑s
hb : b ∈ ↑s
n : ℕ
hn : (f ^ n) a = b


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
f g : ℕ →₀ R

{ toFinsupp := f } = { toFinsupp := g } ↔ ∀ (n : ℕ), { toFinsupp := f }.coeff n = { toFinsupp := g }.coeff n


Context: ι✝ : Type u

Context: γ : Type w

Context: β✝ : ι✝ → Type v

Context: β₁✝ : ι✝ → Type v₁

Context: β₂✝ : ι✝ → Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → Zero (β✝ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι✝) → (x : β✝ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝⁸ : (i : ι✝) → Zero (β₁✝ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι✝) → Zero (β₂✝ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι✝) → (x : β₁✝ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝⁵ : (i : ι✝) → (x : β₂✝ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: ι : Type u

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: dec : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0

Context: g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i

Context: i : ι

(zipWith f hf g₁ g₂) i = (mk (g₁.support ∪ g₂.support) fun i => f (↑i) (g₁ ↑i) (g₂ ↑i)) i


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (-(log x * y))) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y))⁻¹


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⟶ Z

(tensorLeftHomEquiv (𝟙_ C) Y Y' Z).symm (η_ Y Y' ≫ Y ◁ f) = (ρ_ Y').hom ≫ f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SFinite μ
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s

(μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ∫⁻ (y : α) in s, ofReal ((g - f) y) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h₁ : (fun y => ofReal ((g - f) y)) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun y => ofReal ((AEMeasurable.mk g hg - AEMeasurable.mk f hf) y)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h₂ : ((μ.restrict s).prod volume) (regionBetween f g s) = ((μ.restrict s).prod volume) (regionBetween (AEMeasurable.mk f hf) (AEMeasurable.mk g hg) s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hs : MeasurableSet s

(μ.prod volume) (regionBetween f g s) = (μ.prod volume) (regionBetween (AEMeasurable.mk f hf) (AEMeasurable.mk g hg) s)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ

(fun x => rexp (-llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : ν ≪ μ

Context: x : α

Context: hx : (-llr ν μ) x = llr μ ν x

Context: hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal

rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : ν ≪ μ

Context: x : α

Context: hx : llr ν μ x = -llr μ ν x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₁

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝² : Module R₁ M₁

Context: I : R₁ →+* R

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R

Context: h : B = -B.flip

Context: x : M₁

Context: h' : (B x) x = ((-B.flip) x) x := congr_fun₂ h x x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x + (B x) x = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_top : ¬a + b = ⊤


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_top : ¬a + b = ⊤
ha_top : a ≠ ⊤
hb_top : b ≠ ⊤


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
a b : ℝ≥0
h_top : ¬↑a + ↑b = ⊤


Context:
n b : ℕ
h : 1 ≤ b

n.ProbablePrime b ↔ b ^ (n - 1) ≡ 1 [MOD n]


Context:
n b : ℕ
h : 1 ≤ b
this : 1 ≤ b ^ (n - 1)


n.ProbablePrime b ↔ 1 ≡ b ^ (n - 1) [MOD n]


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b✝ b : EReal

limsup u f ≤ b ↔ ∀ (c : ℝ), b < ↑c → ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ ↑c


(∀ (z : ℝ), b < ↑z → limsup u f ≤ ↑z) ↔ ∀ (c : ℝ), b < ↑c → ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ ↑c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint s (t ∪ u) ↔ _root_.Disjoint s t ∧ _root_.Disjoint s u


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n : ℤ

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
hdiv : p ∣ q
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z Z' : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z
γ : Z ≅ Z'


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ Z

α.symm ≪≫ α ≪≫ β = β


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Disjoint s (cylinder x (Nat.find A))


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hy : y ∈ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A ≤ firstDiff x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α
s : Finset α

map f (insert a s) = insert (f a) (map f s)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝³ : NormedRing A✝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ N, f n z) c


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝³ : NormedRing A✝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
h : ∀ n ∈ ∅, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ ∅, f n z) c


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 H

Context: 𝕝 : Type u_7

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕝

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝

Context: A✝ : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing A✝

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A✝

Context: A : Type u_9

Context: inst✝¹ : NormedCommRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: f : α → E → A

Context: c : E

Context: a : α

Context: B : Finset α

Context: aB : a ∉ B

Context: hB : (∀ n ∈ B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c) → AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ B, f n z) c

Context: h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticAt 𝕜 (f n) c

AnalyticAt 𝕜 (fun z => ∏ n ∈ insert a B, f n z) c


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z

add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: g : L.obj Y ⟶ L.obj Z

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯

Context: h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction Y Z

Context: hβ : g = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : (RightFraction.mk α.s ⋯ β.f).f ≫ γ.s = (RightFraction.mk α.s ⋯ β.f).s ≫ γ.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f


α.add.map L ⋯ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).add.map L ⋯


f₁ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).fst.map L ⋯


f₂ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).snd.map L ⋯


(α.add.comp₀ β γ).map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).add.map L ⋯


(LeftFraction.mk ((α.f + α.f') ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f ≫ γ.f + α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : α →₀ M

equivMapDomain e.symm (equivMapDomain e v) = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
v : β →₀ M

equivMapDomain e (equivMapDomain e.symm v) = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
e : α ≃ β
a b : α →₀ M

{ toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (a + b) = { toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun a + { toFun := equivMapDomain e, invFun := equivMapDomain e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun b


mapDomain (⇑e) (a + b) = mapDomain (⇑e) a + mapDomain (⇑e) b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ i = 1


((if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) ∪ if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅).card • 1 + (filter (fun x => ¬(x = i₁ ∨ x = i₂)) univ).card • 0 + -1 = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F₁ : Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E₁ : B → Type u_6

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: inst✝³⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: inst✝²⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝²³ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: inst✝²² : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝²¹ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)

Context: EB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_9

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB

Context: inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₂) (continuousLinearMapCoordChange (RingHom.id 𝕜) e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F₁ : Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E₁ : B → Type u_6

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: EB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_9

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB

Context: inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₁ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₁) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F₁ : Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E₁ : B → Type u_6

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: EB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_9

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB

Context: inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₂ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₂) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G) ≤ 2 * Nat.card ↑(commutatorSet G)


Group.rank ↥(closureCommutatorRepresentatives G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) + Nat.card ↑(commutatorSet G)


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: x y : (a : α) → Perm (β a)

Context: h : (sigmaCongrRightHom β) x = (sigmaCongrRightHom β) y

Context: a : α

Context: b : β a


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
head✝ : α
tail✝ : List α
h : ¬a ∈ head✝ :: tail✝

(a :: l₁).bagInter (head✝ :: tail✝) = l₁.bagInter (head✝ :: tail✝)


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∀ (t : Finset ι), ↑t ⊆ s → ∑ i ∈ t, ε' i ≤ ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ι → ℝ
hpos : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hε'c : HasSum (fun i => ε' ↑i) c
hcε : c ≤ ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ι → ℝ
hpos : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hε'c : HasSum (fun i => ε' ↑i) c
hcε : c ≤ ε
t : Finset ι
ht : ↑t ⊆ s

∑ i ∈ t, ε' i ≤ ε


∑ x ∈ Finset.subtype (fun x => x ∈ s) t, ε' ↑x ≤ ε


∀ i ∉ Finset.subtype (fun x => x ∈ s) t, 0 ≤ ε' ↑i


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: ho✝ : o✝.IsLimit

Context: hsC✝ : contained C o✝

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: ho✝ : o✝.IsLimit

Context: hsC✝ : contained C o✝

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

LinearIndependent (ι := ↑(range C)) ℤ ((fun p => ↑p) ∘ (range_equiv C ho hsC).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.33373, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.33377, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π

P.map π.op ≫ P.map (pullback.fst π π).op = P.map π.op ≫ P.map (pullback.snd π π).op


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H : ∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂


Context:
x y : EReal
h : x ≤ y
hx : x ≠ ⊥
hy : y ≠ ⊤


Context:
y : EReal
hy : y ≠ ⊤
x : ℝ
h : ↑x ≤ y
hx : ↑x ≠ ⊥


Context:
x : ℝ
hx : ↑x ≠ ⊥
y : ℝ
hy : ↑y ≠ ⊤
h : ↑x ≤ ↑y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
I : IsNoetherianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ sphere n d k

‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)‖ = √↑k


√(∑ i : Fin n, ‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x) i‖ ^ 2) = √↑k


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
hI : I.IsPrime
hIJ : I ≤ J
x : S
mem : x ∈ ↑J \ ↑I
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R S) x p = 0

comap (algebraMap R S) I < comap (algebraMap R S) J


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : Perm α

(∀ (x : α), p (f⁻¹ x) ↔ p (f (f⁻¹ x))) ↔ ∀ (x : α), p x ↔ p (f⁻¹ x)


Context:
z✝ w : ℍ
r✝ R : ℝ
z : ℍ
r : ℝ

dist ↑z ↑(z.center r) = z.im * (Real.cosh r - 1)


Context:
z✝ w : ℍ
r✝ R : ℝ
z : ℍ
r : ℝ

|(↑(z.center r)).im - (↑z).im| = z.im * Real.cosh r - z.im


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
x : FirstObj P R

((firstObjEqFamily P R).hom x).Compatible ↔ firstMap P R x = secondMap P R x


((firstObjEqFamily P R).hom x).PullbackCompatible ↔ firstMap P R x = secondMap P R x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: L : List R[X]

Context: hd : R[X]

Context: tl : List R[X]

Context: ih : 0 ∉ tl → tl.prod.roots = (↑tl).bind roots

Context: H : 0 ∉ hd :: tl

(hd :: tl).prod.roots = (↑(hd :: tl)).bind roots


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: L : List R[X]

Context: hd : R[X]

Context: tl : List R[X]

Context: H : ¬0 = hd ∧ 0 ∉ tl


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ : E
v : ↑(sphere 0 1)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i : ι
inst✝ : Nontrivial M₀
h : s.indicator 1 = t.indicator 1
x✝ : ι

x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ t


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
a : ι

Nonempty (Quotient.out (f a) ≃ Quotient.out ((fun i => lift.{w, v} (f i)) a))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0


(⋃ i ∈ Finset.range N, Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N i ω) (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω)).indicator 1 n ≤ 1


(↑(Finset.range N)).PairwiseDisjoint fun k => Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N k ω) (upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j

(Disjoint on fun k => Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N k ω) (upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω)) i j


min (upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω) (upperCrossingTime a b f N (j + 1) ω) ≤ max (lowerCrossingTime a b f N i ω) (lowerCrossingTime a b f N j ω)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
hij' : i < j


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
i : ℕ
a✝¹ : i ∈ ↑(Finset.range N)
j : ℕ
a✝ : j ∈ ↑(Finset.range N)
hij : i ≠ j
hij' : i > j


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s t : SummableFamily Γ R α
g : Γ

(s + t).hsum.coeff g = (s.hsum + t.hsum).coeff g


∑ᶠ (i : α), ((s i).coeff g + (t i).coeff g) = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g + ∑ᶠ (i : α), (t i).coeff g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β

(∅ ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm (∅.lcm f) (s₂.lcm f)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset β

Context: f : β → α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : β

Context: s : Finset β

Context: x✝ : a ∉ s

Context: ih : (s ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm (s.lcm f) (s₂.lcm f)

(insert a s ∪ s₂).lcm f = GCDMonoid.lcm ((insert a s).lcm f) (s₂.lcm f)


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SetLike S M
inst✝² : AddSubmonoidClass S M
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
m : ι

(m ∈ support fun i => ↑(x i)) → m ∈ ↑(DFinsupp.support x)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
Q✝ : QuadraticMap R M N
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
ι : Type u_8
inst✝ : DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M

Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Q (f i) + ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) (f i) (f j), ⋯⟩ ij


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: C : TensorAlgebra R M → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), C ((_root_.algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r)

Context: ι : ∀ (x : M), C ((TensorAlgebra.ι R) x)

Context: mul : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a * b)

Context: add : ∀ (a b : TensorAlgebra R M), C a → C b → C (a + b)

Context: a : TensorAlgebra R M

Context: s : Subalgebra R (TensorAlgebra R M) := { carrier := C, mul_mem' := mul, one_mem' := ⋯, add_mem' := add, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := algebraMap }

Context: h : AddCommMonoid ↥s := inferInstanceAs (AddCommMonoid ↥(Subalgebra.toSubmodule s))

Context: of : M →ₗ[R] ↥s := LinearMap.codRestrict (Subalgebra.toSubmodule s) (TensorAlgebra.ι R) ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: C : TensorAlgebra R M → Prop

Context: a : TensorAlgebra R M

Context: of_id : AlgHom.id R (TensorAlgebra R M) = s.val.comp ((lift R) of)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: C : TensorAlgebra R M → Prop

Context: a : TensorAlgebra R M


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : ¬IsBounded s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: f : findIdx p xs < i


Context:
z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''

(f.homMk' (g ≫ g')).right = (f.homMk' g ≫ (mk (f.hom ≫ T.map g)).homMk' g' ≫ eqToHom ⋯).right


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞

⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : Measurable g), ⨆ (_ : g ≤ f), ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p✝ : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p✝ : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι

AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter ≤ comap (⇑(p i)) (𝓝 0)


⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ≤ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s


∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → ∃ b ≥ i, f^[b] a ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → ∃ b ≥ n, f^[b] a ∈ s


∀ (a : α), ¬(a ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] a ∉ s) → a ∈ s → ∃ b ≥ n, f^[b] a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: a b : ℤ

CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (Triangle C) a b (a + b) ⋯ = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: a b : ℤ

shiftFunctorAdd (Triangle C) a b = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))

Context: this : Inhabited I

Context: h : Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (C' C ho) '' {m | m < (↑l).Tail})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: h : ∃ l_1 ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}, (Finsupp.total (Products I) (LocallyConstant ↑(C' C ho) ℤ) ℤ (Products.eval (C' C ho))) l_1 = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}

Context: hmsum : (Finsupp.total (Products I) (LocallyConstant ↑(C' C ho) ℤ) ℤ (Products.eval (C' C ho))) m = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this✝ : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: this : (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l) = (Linear_CC' C hsC ho) (m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this✝ : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hse : (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this✝ : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hse : LinearMap.range (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f = LinearMap.ker (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this✝ : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hse : LinearMap.range (πs C o) = LinearMap.ker (Linear_CC' C hsC ho)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this✝ : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: this : (Products.eval C ↑l - m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) ∈ LinearMap.range (πs C o)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: n : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ

Context: hn : (πs C o) n = Products.eval C ↑l - m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hn : ((πs C o) n + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hn' : n ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hn' : ∃ c, (c.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: w : { l // Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l } →₀ ℤ

Context: hc : (w.sum fun i a => a • eval (π C fun x => ord I x < o) i) = n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}

Context: hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)

Context: hn : ((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) = Products.eval C ↑l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Products.eval C ↑l ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

((w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) + m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

(w.sum fun a b => (πs C o) (b • eval (π C fun x => ord I x < o) a)) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

(m.sum fun i a => a • (List.map (e C) (term I ho :: ↑i)).prod) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval C '' {m | m < ↑l})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: x : ℂ

sin x = 1 ↔ ∃ k, ↑π / 2 + ↑k * (2 * ↑π) = x


Context: x : ℂ


Context:
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r

∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Gamma a


Context: a : ℂ

Context: r : ℝ

Context: ha : 0 < a.re

Context: hr : 0 < r

Context: aux : (1 / ↑r) ^ a = 1 / ↑r * (1 / ↑r) ^ (a - 1)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n


∀ (x : Fin (1 * n)), repeat 1 a x = (a ∘ cast h) x


∀ (x : Fin n), repeat 1 a (cast ⋯ x) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ x)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n
i : Fin n

repeat 1 a (cast ⋯ i) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ i)


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℂ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g [[a, b]]

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x

Context: hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g [[a, b]]

Context: hab : a ≤ b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g [[a, b]]

Context: hab : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0

↑r ∈ upperBounds (ofNNReal '' s) ↔ r ∈ upperBounds s


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R

zeroLocus ∘ SetLike.coe '' minimalPrimes R = irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)


Set.EqOn ((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) id (irreducibleComponents (PrimeSpectrum R))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: s : Set (PrimeSpectrum R)

Context: hs : s ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)

((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) s = id s


Context:
R : Type u_1
n : ℕ

∑ m ∈ range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = if n = 0 then 1 else 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n

Context: s t : WSeq α

Context: h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t

Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s.destruct t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n

Context: s t : WSeq α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n

Context: s t : WSeq α

∀ {a b : Option (α × WSeq α)}, a ∈ s.destruct → b ∈ t.destruct → LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) a b


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R

Context: g : R →+* S

Context: x : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)

Context: n : ℕ

((WittVector.map g) (f x)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x)).coeff n