Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: this : TopologicalAddGroup H


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))

Context: this : TopologicalAddGroup H

Context: hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: this : TopologicalAddGroup H

∀ {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j ∈ 𝓝 0, V • {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} ⊆ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: this : TopologicalAddGroup H

∀ (x₀ : 𝕜) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ j ∈ 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x => x₀ • x) {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: this : TopologicalAddGroup H

∀ (m₀ : H) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) = ⊤


∀ (x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F), x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F

φ ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F

(List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l).prod ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)


∀ x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l, x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: l : List F

Context: left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F

Context: x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: hx : x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l

x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: l : List F

Context: left✝¹ : l.length ≤ finrank ℝ F

Context: x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: a : F

Context: left✝ : a ∈ l

Context: hax : reflection (Submodule.span ℝ {a})ᗮ = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M

(s.support.biUnion fun a => {f a}) ⊆ image f s.support


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ


(map f (cons l.head l.tail)).tail = map f l.tail


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Word M

(equivPair i) (of m • w) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }


(equivPair i) ((equivPair i).symm (let __src := (equivPair i) w; { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }


Context:
α✝ : Type u_1
l l₁ l₂ : List α✝

(l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂


Context:
α✝ : Type u_1
l l₁ l₂ : List α✝

l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : β
hf : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => c

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a


Context: Z : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace R

Context: d : N → ℝ

Context: j : Z → N → R

Context: f : R → R

Context: α : R

Context: ε M : ℝ

Context: d0 : ∀ (a : N), 1 ≤ d a

Context: e0 : 0 < ε

Context: B : ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ closedBall α ε → dist (f α) (f y) ≤ dist α y * M

Context: L : ∀ ⦃z : Z⦄ ⦃a : N⦄, j z a ∈ closedBall α ε → 1 ≤ d a * dist (f α) (f (j z a))

∃ A, 0 < A ∧ ∀ (z : Z) (a : N), 1 ≤ d a * (dist α (j z a) * A)


Context: Z : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace R

Context: d : N → ℝ

Context: j : Z → N → R

Context: f : R → R

Context: α : R

Context: ε M : ℝ

Context: d0 : ∀ (a : N), 1 ≤ d a

Context: e0 : 0 < ε

Context: me0 : 0 < max (1 / ε) M


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s


(⨆ i ∈ s, comap f (p i)) ⊔ LinearMap.ker f = ⊤


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ x, p ↑x = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s

(⨆ x, comap f (p ↑x)) ⊔ LinearMap.ker f = ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
x : S
hx : B.gen ∈ adjoin R {x}


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝¹¹ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)

(f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)), ∑ i : ι, (A i).card = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})

Context: C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)

Context: Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j

Context: Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: Brec : (f fun i => ∑ j ∈ B i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: Crec : (f fun i => ∑ j ∈ C i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: D : Disjoint (piFinset B) (piFinset C)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: D : Disjoint (piFinset B) (piFinset C)

Context: pi_BC : piFinset A = piFinset B ∪ piFinset C

f (update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: α : ι → Type u_1

Context: g : (i : ι) → α i → M₁ i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: A : (i : ι) → Finset (α i)

Context: h : ∑ i : ι, (A i).card = n

Context: Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : 1 < (A i₀).card

Context: j₁ j₂ : α i₀

Context: left✝ : j₁ ∈ A i₀

Context: hj₂ : j₂ ∈ A i₀

Context: right✝ : j₁ ≠ j₂

Context: B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i

Context: C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i

Context: D : Disjoint (piFinset B) (piFinset C)

((∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)) + ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)) = ∑ r ∈ piFinset B ∪ piFinset C, f fun i => g i (r i)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ✝ ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
x : E
i j : ι
x✝ : i ≤ j

μ[(fun x_1 x_2 => x) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (fun x_1 x_2 => x) i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹⁴ : LinearOrderedField R
inst✝¹³ : LinearOrderedField R'
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁹ : Module R E
inst✝⁸ : Module R F
inst✝⁷ : Module R α
inst✝⁶ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c✝ : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
c : R'
inst✝⁵ : Module R' R
inst✝⁴ : Module R' E
inst✝³ : SMulCommClass R' R R
inst✝² : IsScalarTower R' R R
inst✝¹ : SMulCommClass R R' E
inst✝ : IsScalarTower R' R E
hc : c ≠ 0

t.centerMass (c • w) z = t.centerMass w z


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
μs_lim : Tendsto μs ⊥ (𝓝 μ)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot


∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → ↑μ F < ⊤ → limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
a✝ : ↑μ F < ⊤
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: key₁ : Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂↑μ) atTop (𝓝 (↑μ F))


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

Context: hM : ∀ b ≥ M, ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs b) ω) ∂↑μ < ↑μ F + ↑ε / 2


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

Context: key₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

Context: room₂ : ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ < ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

Context: ev_near : ∀ᶠ (x : ι) in L, ∫⁻ (x : Ω), ↑((fs M) x) ∂↑(μs x) ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

Context: ev_near' : ∀ᶠ (x : ι) in L, ↑(μs x) F ≤ ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

limsup (fun x => ∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2) L ≤ ↑μ F + ↑ε


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

∫⁻ (a : Ω), ↑((fs M) a) ∂↑μ + ↑ε / 2 ≤ ↑μ F + ↑ε


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: μs : ι → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: hne : L.NeBot

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: a✝ : ↑μ F < ⊤

Context: fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0 := F_closed.apprSeq

Context: room₁ : ↑μ F < ↑μ F + ↑ε / 2

Context: M : ℕ

↑μ F + ↑ε / 2 + ↑ε / 2 ≤ ↑μ F + ↑ε


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
g : G


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x

Context: ha : ∀ (s : Finset ι), s.Nonempty → s ≠ univ → s.card < (s.biUnion t).card

∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this : Nonempty ι


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this✝ : Nonempty ι

Context: this : DecidableEq ι

Context: x : ι := Classical.arbitrary ι


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this✝ : Nonempty ι

Context: this : DecidableEq ι

Context: x : ι := Classical.arbitrary ι

Context: tx_ne : (t x).Nonempty


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this✝ : Nonempty ι

Context: this : DecidableEq ι

Context: x : ι := Classical.arbitrary ι

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t x

Context: ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}

Context: t' : ↑ι' → Finset α := fun x' => (t ↑x').erase y


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this✝ : Nonempty ι

Context: this : DecidableEq ι

Context: x : ι := Classical.arbitrary ι

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t x

Context: ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}

Context: card_ι' : Fintype.card ↑ι' = n


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: this✝ : Nonempty ι

Context: this : DecidableEq ι

Context: x : ι := Classical.arbitrary ι

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t x

Context: ι' : Set ι := {x' | x' ≠ x}

Context: card_ι' : Fintype.card ↑ι' = n

Context: f' : ↑ι' → α

Context: hfinj : Function.Injective f'

Context: hfr : ∀ (x : ↑ι'), f' x ∈ t' x


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i

⟨i, m⟩ ∈ ((equivPair j) w).tail.toList ↔ ⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩


⟨i, m⟩ ∈ (↑(consRecOn w ⟨{ head := 1, tail := empty, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩ fun j_1 m w h1 h2 x => if ij : j = j_1 then ⟨{ head := ⋯ ▸ m, tail := w, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩ else ⟨{ head := 1, tail := cons m w h1 h2, fstIdx_ne := ⋯ }, ⋯⟩)).tail.toList ↔ ⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ ¬i = j ∧ ∃ (h : ¬w.toList = []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: M : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: N : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace N

Context: inst✝ : ChartedSpace G N

Context: n : ℕ∞

Context: f : M → N

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: Φ : PartialDiffeomorph I J M N n

Context: hx : x ∈ Φ.source

Context: heq : EqOn f (↑Φ.toPartialEquiv) Φ.source


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a✝ a : α


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioo x y) = Ioo ↑x ↑y


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
ha : a = 0


Context:
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : IsNoetherianRing ↑Γ(X, U)


Context:
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
inst✝ : IsNoetherianRing ↑Γ(X, U)
this : IsNoetherianRing ↑Γ(↑U, ⊤)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : A
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]


(∀ (r : R), C r ∣ p → IsUnit r) ↔ IsUnit p.content


(∀ (r : R), r ∣ p.content → IsUnit r) ↔ IsUnit p.content


Context:
a✝ b✝ c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hs : IsPreconnected s
hu : IsOpen u
h'u : (s ∩ u).Nonempty
h : closure u ∩ s ⊆ u
A : s ⊆ u ∪ (closure u)ᶜ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
N : Submodule R M
h : N.FG


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: i : Fin r ⊕ Unit

Context: A : (listTransvecRow M).length = r

(M * (listTransvecRow M).prod) i (inr ()) = M i (inr ())


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: i : Fin r ⊕ Unit

Context: A : (listTransvecRow M).length = r

(M * (List.take r (listTransvecRow M)).prod) i (inr ()) = M i (inr ())


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i) = ⊥


∀ x ∈ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i), x = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: hx : x ∈ ⨅ i, RingHom.ker (WittVector.truncate i)

Context: n✝ : ℕ


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n✝ : ℕ

Context: hx : ∀ (i i_1 : ℕ), i_1 < i → x.coeff i_1 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C
X X' : D
f : (reflector i).obj (A ⨯ B) ⟶ X
g : X ⟶ X'

i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj X')).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯) (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj X')) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj X')).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯) (((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj X')) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X') (f ≫ g) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')) = i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj X)).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯) (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj X)) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj X)).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯) (((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj X)) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X) f ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)) ≫ g


i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X') (f ≫ g) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')) = i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X) f ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)) ≫ g


i.map (i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X') (f ≫ g) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X')))) ≫ 𝟙 (i.obj X'))) = i.map (i.fullyFaithfulOfReflective.preimage (prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B) ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯) (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) X) f ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)))) ≫ 𝟙 (i.obj X)) ≫ g)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : s ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
a b z : ℤ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁰ : T2Space E

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : T2Space F

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F

Context: hf : ker f = ⊥

Context: g : E ≃ₗ[𝕜] ↥(range f) := LinearEquiv.ofInjective f ⋯

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((restrict s) μ).trim = (restrict s) μ.trim


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α

((restrict s) μ).trim t ≤ ((restrict s) μ.trim) t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m μ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((restrict s) μ.trim) t ≤ ((restrict s) μ) t


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a

∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 y x) → P124 a


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {y, x} → P124 a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α

∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ s = sSup S


∀ (x : Closeds α), (∀ y < x, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S) → ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ x = sSup S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : NoetherianSpace α

Context: s : Closeds α

Context: H : ∀ y < s, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : NoetherianSpace α

Context: H : ∀ y < ⊥, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S

∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ ⊥ = sSup S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : NoetherianSpace α

Context: s : Closeds α

Context: h₀ : s ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id

(↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id


(↑I).PairwiseDisjoint id ∧ (↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id ∧ ∀ ⦃i : Set α⦄, i ∈ ↑I → ∀ ⦃j : Set α⦄, j ∈ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) → i ≠ j → Disjoint (id i) (id j)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑I
v : Set α
hv : v ∈ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
x✝ : u ≠ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

IsCondKernelCDF (fun p => condCDF ρ p.2) (Kernel.const Unit ρ) (Kernel.const Unit ρ.fst)


IsCondKernelCDF (fun p => stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), p.2)) (Kernel.const Unit ρ) (Kernel.const Unit ρ.fst)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

∑ i ∈ Ico a b, ∑ j ∈ Ico (i + 1) b, f i j = ∑ j ∈ Ico a b, ∑ i ∈ Ico a j, f i j


∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun i => Ico (i + 1) b, f x.fst x.snd = ∑ x ∈ (Ico a b).sigma (Ico a), f x.snd x.fst


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R

r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a


r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
x : IsUnit r

¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • ↑a))


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
h : x ∈ s
o : IsOpen s
sf : 𝓟 s ≤ f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl

IsCompl W (B.orthogonal W) ↔ Disjoint W (B.orthogonal W)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)


finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)


finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤) ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal W)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
hf : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
K : α
K0 : K > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
j : ℕ
ij : j ≥ i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a

Context: c : Computation α

Context: cs : c ∈ S

Context: ac : a ∈ c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: c : Computation α

Context: cs : c ∈ S

Context: ac : a ∈ c

Context: this : c.Terminates


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: c : Computation α

Context: cs : c ∈ S

Context: ac : a ∈ c

Context: this✝ : c.Terminates

Context: this : (parallel S).Terminates


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: x : α

Context: hx : x ∈ mulSupport g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: x : α

Context: hx : x ∈ mulSupport g

Context: this : f x = 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this : (f + g - 0).LimZero


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝ : (f + g - 0).LimZero
this : f ≈ -g


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝¹ : (f + g - 0).LimZero
this✝ : f ≈ -g
this : f.norm = (-g).norm


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R

∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = R ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), f x ∂μ


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁

comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁) = Q₁.tmul QuadraticMap.sq


(associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁

((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)))) m₁) 1)) m₁') 1 = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq))) m₁) 1)) m₁') 1


(((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁))) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)


((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associated Q₁).tmul (associated QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₂ →qᵢ Q₁
h : LeftInverse ⇑g ⇑f
x : CliffordAlgebra Q₁


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: M₁ : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: M₃ : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: Q₁✝ : QuadraticForm R M₁

Context: Q₂✝ : QuadraticForm R M₂

Context: Q₃ : QuadraticForm R M₃

Context: Q₁ : QuadraticForm R M₁

Context: Q₂ : QuadraticForm R M₂

Context: f : Q₁ →qᵢ Q₂

Context: g : Q₂ →qᵢ Q₁

Context: x : CliffordAlgebra Q₁

Context: h : g.comp f = QuadraticMap.Isometry.id Q₁


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X

Context: inst✝ : Mono u

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X

Context: b : ↑(F.obj A)

∀ (i : ↑(F.obj X)), (F.map (Pi.π (fun x => X) i)) (F.map u b) = (F.map (Pi.π (fun x => X) i)) (F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdPermIncl h b) a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ

(setToFun μ T hT fun a => ∑ i ∈ s, f i a) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
a : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x

2 ≤ (minpoly A x).natDegree ↔ x ∉ (algebraMap A B).range


(minpoly A x).natDegree = 1 ↔ (minpoly A x).natDegree < 2


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)

Context: h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'

Context: d : D


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: d : D


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: d : D

IsFiltered (StructuredArrow (op d) F.op)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: d : D

∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: d : D

∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t


Context:
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
n✝ : ℕ

(coeff A' n✝) ((map f) (sin A)) = (coeff A' n✝) (sin A')


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
x✝ : m


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(∏ i ∈ s, f i).leadingCoeff = ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f

Set.range ⇑(pullback.snd f g).val.base = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier


⇑(pullback.snd (Scheme.forgetToTop.map f) (Scheme.forgetToTop.map g)) '' (⇑(pullback.fst f.val.base g.val.base) ⁻¹' Set.univ) = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier


Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).hom


Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).hom


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n


∀ (hf : (setOf p).Finite), k < hf.toFinset.card


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E


∀ ⦃x : E⦄, x ∈ openSegment 𝕜 a b → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ openSegment 𝕜 a b → openSegment 𝕜 x y ⊆ openSegment 𝕜 a b


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : j < i
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)

i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.castPred ⋯))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ

x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioc a b ↔ x✝ ∈ Ioc ⌊a⌋ ⌊b⌋


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t


Set.InjOn (fun x => s ∪ x) ↑(t \ s).powerset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ∈ ↑(t \ s).powerset
v : Finset α
hv : v ∈ ↑(t \ s).powerset
huv : s ⊔ u = s ⊔ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ⊆ t \ s
v : Finset α
hv : v ⊆ t \ s
huv : s ⊔ u = s ⊔ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
x✝³ x✝² x✝¹ x✝ : Associates α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β

HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) (a / f b)


(fun n => if n = b then 1 else f n) = update f b 1


Context:
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : Infinite X


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: r : ℝ

Context: f : β → α

Context: hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s✝ t : Set α

Context: r : ℝ

Context: f : β → α

Context: s : Set β

Context: hsf : s.Finite

Context: hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s✝ t : Set α

Context: r : ℝ

Context: f : β → α

Context: s : Set β

Context: hsf : s.Finite


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: r : ℝ

Context: f : β → α

Context: s : Set β

Context: hsf : s.Finite

Context: x : β

Context: hx : x ∈ sᶜ

Context: y : β

Context: hy : y ∈ sᶜ


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
a : R ⧸ J
ha : (quotientMap I f H) a = 0


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Semiring S✝

Context: R₁ : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₂

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R₁ A

Context: inst✝¹ : Algebra R₂ A

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: H : J ≤ comap f I

Context: h : comap f I ≤ J

Context: r : R

Context: ha : (quotientMap I f H) ((Quotient.mk J) r) = 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
h : comap f I ≤ J
r : R
ha : f r ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a b c : ℕ

ofAdd (-↑c) ≤ max (ofAdd (-↑a)) (ofAdd (-↑b)) ↔ min a b ≤ c


Context: C : Type uC

Context: inst✝³ : Category.{vC, uC} C

Context: D : Type uD

Context: inst✝² : Category.{vD, uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.9506, u_1} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X Y : C

Context: i₁ i₂ : X ⟶ Y

Context: e : G.map i₁ = G.map i₂

Context: s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))

Context: h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X), j ≫ i₁ = j ≫ i₂ → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t


Context: C : Type uC

Context: inst✝³ : Category.{vC, uC} C

Context: D : Type uD

Context: inst✝² : Category.{vD, uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.9506, u_1} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X Y : C

Context: i₁ i₂ : X ⟶ Y

Context: e : G.map i₁ = G.map i₂

Context: s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))

∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer i₁ i₂)).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => r * x) '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f (r * x)) a = cfc f (r • a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

μ {x | g x < 1} = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝³ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝² : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝¹ : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this : BorelSpace F

Context: φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure

ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1)) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : F), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂ν) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ F) / p + 1))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: t : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: h : 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: t : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: t : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
this : DecidableEq V


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: this : DecidableEq V

Context: k : ℕ

Context: hg : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card = 2 * k + 1


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: this : DecidableEq V

Context: k : ℕ

Context: hg' : (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card > 0


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: this : DecidableEq V

Context: k : ℕ

Context: w : V

Context: hw : w ∈ filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: this : DecidableEq V

Context: k : ℕ

Context: w : V

Context: hw : ¬w = v ∧ Odd (G.degree w)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: D₁ : Type u₄

Context: D₂ : Type u₅

Context: D₃ : Type u₆

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : (Φ.functor ⋙ L₂).IsLocalization W₁

Context: this : CatCommSq Φ.functor (Φ.functor ⋙ L₂) L₂ (𝟭 D₂)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
W : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : AddCommMonoid X
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y
inst✝⁴ : AddCommMonoid Z
inst✝³ : Module R W
inst✝² : Module R X
inst✝¹ : Module R Y
inst✝ : Module R Z

(LinearMap.lTensor W ↑(assoc R X Y Z) ∘ₗ ↑(assoc R W (X ⊗[R] Y) Z)) ∘ₗ LinearMap.rTensor Z ↑(assoc R W X Y) = ↑(assoc R W X (Y ⊗[R] Z)) ∘ₗ ↑(assoc R (W ⊗[R] X) Y Z)


∀ (w : W) (x : X) (y : Y) (z : Z), ((LinearMap.lTensor W ↑(assoc R X Y Z) ∘ₗ ↑(assoc R W (X ⊗[R] Y) Z)) ∘ₗ LinearMap.rTensor Z ↑(assoc R W X Y)) (((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (↑(assoc R W X (Y ⊗[R] Z)) ∘ₗ ↑(assoc R (W ⊗[R] X) Y Z)) (((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l ≠ []


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ p x✝ : P


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω

(condCount Set.univ) s = Measure.count s / ↑(Fintype.card Ω)


Measure.count s / Measure.count Set.univ = Measure.count s / ↑(Fintype.card Ω)


Measure.count Set.univ = ↑(Fintype.card Ω)


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β
c : G

(Continuous fun x => c • f x) ↔ Continuous f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ C
hμ : ¬μ = 0

‖f‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C


eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C)


C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ = ↑(measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ l, HasStrictFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x

HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.finRange l.length)).prod) (∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

(∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp (a + p) b = toIcoMod hp a b + p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
h₁ : l ~ l₁
h₂ : l <+ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
h₁ : l ~ l₁
h₂✝ : l <+ l₂
l' : List α
h₂ : l₂ ~ l ++ l'


Context:
x y : PartENat
hx : x.Dom
hy : y.Dom


Context:
α : Type u
inst✝³ : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α


Context:
F : Type u → Type v
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : α → β
y : F α


Context:
x : ℂ
h : cos x ≠ 0


Context:
x : ℂ
h : cos x ≠ 0

1 / cos x ^ 2 = (cos x * cos x - sin x * -sin x) / cos x ^ 2


Context:
x : ℂ
h : ¬cos x = 0

(sin x ^ 2 + cos x ^ 2) / cos x ^ 2 = (cos x * cos x - sin x * -sin x) / cos x ^ 2


Context:
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Set M

closure s ⊆ ↑(span R s).topologicalClosure


Context:
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L


finrank K M = toNat (lift.{v, u_2} (Module.rank K M))


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat

residueFieldMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.residueField x)


LocalRing.ResidueField.map (𝟙 (X.presheaf.stalk x)) = 𝟙 (X.residueField x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: h : (succ #ι).ord ≤ mex f

Context: H : ∀ (a : (Quotient.out (succ #ι).ord).α), ∃ i, f i = typein (fun x x_1 => x < x_1) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: h : (succ #ι).ord ≤ mex f

Context: g : (Quotient.out (succ #ι).ord).α → ι := fun a => Classical.choose ⋯

Context: hg : Injective g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: h : (succ #ι).ord ≤ mex f

Context: hg : Injective g

succ #ι = #(Quotient.out (succ #ι).ord).α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
h : W.Equation 0 0
hΔ : Δ W ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
hΔ : Δ W ≠ 0
h : W.a₆ = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
h : W.a₆ = 0
hΔ : W.a₆ = 0 → W.a₃ = 0 ∧ W.a₄ = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : T2Space M
f : ℕ → M
hf : Multipliable f

HasProd f m ↔ Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f : ℕ → M

Context: hf : Multipliable f

Context: h : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f : ℕ → M

Context: hf : Multipliable f


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G


MeasurableSet ((fun x => a⁻¹ • x) ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k


Context:
n k s : ℕ
hkn : k ≤ n
hsk : s ≤ k
h : 0 < (n - k)! * (k - s)! * s !

n.choose k * k.choose s * ((n - k)! * (k - s)! * s !) = n.choose k * (k.choose s * s ! * (k - s)!) * (n - k)!


n.choose k * (k.choose s * s ! * (k - s)!) * (n - k)! = n !


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

(gradedComm R 𝒜 ℬ).symm = gradedComm R ℬ 𝒜


(TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).trans ((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) (gradedCommAux R ℬ 𝒜) ⋯ ⋯)).symm = ((TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R ℬ 𝒜) (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ⋯ ⋯)).trans (TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).symm


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context: m n k : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring T
inst✝³ : FunLike F R S
inst✝² : NonUnitalRingHomClass F R S
S' : Type u_2
inst✝¹ : SetLike S' S
inst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S' S
s : NonUnitalSubsemiring R
f : F

↑(srange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
f : Ultrafilter (OnePoint X)

↑f ≤ 𝓝 ∞ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → some '' s ∉ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
s : Set X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

IsIrreducible s ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z


(∀ (U : Finset (Set X)), (∀ u ∈ U, IsOpen u) → (∀ u ∈ U, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑U).Nonempty) ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Finset (Set X)

(∀ u ∈ t, IsOpen u) → (∀ u ∈ t, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑t).Nonempty ↔ (∀ z ∈ (Equiv.finsetCongr (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑((Equiv.finsetCongr (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) t) → ∃ z ∈ (Equiv.finsetCongr (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) t, s ⊆ z


(∀ u ∈ t, IsOpen u) → (∀ u ∈ t, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑t).Nonempty ↔ (∀ u ∈ t, IsOpen u) → s ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, xᶜ → ∃ a ∈ t, s ⊆ aᶜ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Finset (Set X)
x✝ : ∀ u ∈ t, IsOpen u

(∀ u ∈ t, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑t).Nonempty ↔ (¬∃ a ∈ t, s ⊆ aᶜ) → ¬s ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, xᶜ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson
s : R
hs : s * r - 1 ∈ ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ ⊥.jacobson
s : R
hs : r * s = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : IsConj σ τ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ π : Perm α
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f g : AdicCompletion I M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ mk I M = g ∘ₗ mk I M
x : AdicCompletion I M


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

Integrable f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y)) ν) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Field R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: h1 : 1 ∉ s

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Field R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: h1 : 1 ∉ s

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : (algebraMap R A) r ∈ s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Field R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: h1 : 1 ∉ s

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : r • 1 ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β

(e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s)).source = (e.restr (↑e ⁻¹' s)).source


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : K

(mixedEmbedding K) x ∈ convexBodyLT' K f w₀ ↔ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w x < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding x).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding x).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2


((∀ (a : InfinitePlace K), a.IsReal → a x < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), if ⟨a, b⟩ = w₀ then |(a.embedding x).re| < 1 ∧ |(a.embedding x).im| < ↑(f a) ^ 2 else a x < ↑(f a)) ↔ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w x < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding x).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding x).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α

M.Flat F ↔ ∃ (h : F ⊆ M.E), M.subtypeClosure.IsClosed ⟨F, h⟩


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
h : sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b = ∅

∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = inl a₁ → b = inl b₁ → f₁ a₁ b₁ = ∅


∀ (a₁ : α₁) (b₂ : β₂), a = inl a₁ → b = inr b₂ → g₁ a₁ b₂ = ∅ ∧ g₂ a₁ b₂ = ∅


∀ (a₂ : α₂) (b₂ : β₂), a = inr a₂ → b = inr b₂ → f₂ a₂ b₂ = ∅


Context: α₁ : Type u_1

Context: α₂ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_3

Context: β₂ : Type u_4

Context: γ₁ : Type u_5

Context: γ₂ : Type u_6

Context: f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁

Context: f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂

Context: g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁

Context: g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂

Context: a : α₁ ⊕ α₂

Context: b : β₁ ⊕ β₂

Context: c : γ₁ ⊕ γ₂

Context: h : (∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = inl a₁ → b = inl b₁ → f₁ a₁ b₁ = ∅) ∧ (∀ (a₁ : α₁) (b₂ : β₂), a = inl a₁ → b = inr b₂ → g₁ a₁ b₂ = ∅ ∧ g₂ a₁ b₂ = ∅) ∧ ∀ (a₂ : α₂) (b₂ : β₂), a = inr a₂ → b = inr b₂ → f₂ a₂ b₂ = ∅


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

(((PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n


PInfty.f n ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n


PInfty.f n ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n ≫ PInfty.f n


((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n


∀ (A : Splitting.IndexSet (op [n])), ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])

((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n


𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0
this : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x = last s₁


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁0 : s₁.length = 0
this✝ : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x = last s₁
this : ∀ (x : X), x ∈ s₂ ↔ x = last s₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
hx : f x ∈ closure s
this : Nonempty ↑s

Tendsto (fun n => ↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f✝ f : β → α

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set α

Context: y₀ : α

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: this : Nonempty ↑s

Context: hx : f x ∈ closure (Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f✝ f : β → α

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set α

Context: y₀ : α

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: this : Nonempty ↑s

Tendsto (fun n => (↑(nearestPt (fun k => Nat.casesOn k y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)) n) ∘ f) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f✝ f : β → α

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set α

Context: y₀ : α

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: this : Nonempty ↑s

Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)) ⊆ closure (Set.range fun k => Nat.casesOn k y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f✝ f : β → α

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set α

Context: y₀ : α

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: this : Nonempty ↑s

Subtype.val '' closure (Set.range (denseSeq ↑s)) ⊆ closure {y₀} ∪ closure (Subtype.val '' Set.range (denseSeq ↑s))


Context:
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
e : Pos

go₁ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } e = go₂ t { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } e


go₁ (cs ++ t) { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size + i } e = go₂ t { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size + i } e


utf8Len cs + c.utf8Size + i = utf8Len cs + (i + c.utf8Size)