Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R


∑ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0


∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

Context: inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

(pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = fst f g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y


(closure (f ⁻¹' s))ᶜ ⊆ (f ⁻¹' closure s)ᶜ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: p : ℤ

(↑(cocycleOfDegreewiseSplit (triangleRotateShortComplex φ) (triangleRotateShortComplexSplitting φ))).v p (p + 1) ⋯ = -φ.f (p + { as := 1 }.as)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
hb : b ≠ 0


Context:
n : ℕ+
x : ℂˣ

x ∈ rootsOfUnity n ℂ ↔ ∃ i < ↑n, cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x


Context:
n : ℕ+
x : ℂˣ

↑x ^ ↑n = 1 ↔ ∃ i < ↑n, cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x


Context:
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
i : n


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x

Context: n : N

Context: a b : CliffordAlgebra Q

((foldl Q f hf) n) (a * b) = ((foldl Q f hf) (((foldl Q f hf) n) a)) b


Context:
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv


Context:
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
h_mon : toMonoid = toMonoid


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }

Context: this : Monoid.npow = Monoid.npow


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: this✝ : Monoid.npow = Monoid.npow

Context: this : DivInvMonoid.zpow = DivInvMonoid.zpow


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: this✝¹ : Monoid.npow = Monoid.npow

Context: this✝ : DivInvMonoid.zpow = DivInvMonoid.zpow

Context: this : Div.div = Div.div


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

(Equiv.mulLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.mulLeft (a ^ n)) x✝


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)

(s.altitude i).direction = (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

(⇑(Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Products.eval C ↑l) l = Products.eval (C' C ho) (↑l).Tail


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


LinearMap.range ↑f = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] univ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : ι) → A i

T μ p f Finset.univ x = ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p : A[X]

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
f : E → B
hf : AnalyticAt 𝕜 f z
p : A[X]
k : A

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C k)) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: f : E → B

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 f z

Context: p✝ p q : A[X]

Context: hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z

Context: hq : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) q) z

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p + q)) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: f : E → B

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 f z

Context: p✝ : A[X]

Context: p : ℕ

Context: i : A

Context: hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C i * X ^ p)) z

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C i * X ^ (p + 1))) z


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X

f ≤ 𝓝 x ↔ ∀ (s : Set X), x ∈ s → IsOpen s → s ∈ f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y ⟶ Z✝
W E X Z : C
c : BinaryCofan W E
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : HasPullbacks C
hc : IsColimit c
f : W ⟶ X
h : X ⟶ Z
i : c.pt ⟶ Z
H : IsPushout f c.inl h i


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: hc₁ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αY : Y' ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c.pt).obj { as := WalkingPair.left }

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

Context: hc₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr))


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

Nonempty (IsColimit (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h')) ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

pullback.snd αY c.inr ≫ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inl = (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inl ≫ αZ


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

IsPullback (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inl (pullback.snd αY c.inr) αZ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inl ∧ IsPullback (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h').inr αX αZ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h).inr ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β


Context:
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool

s.boolIndicator ⁻¹' t = univ ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = s ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = sᶜ ∨ s.boolIndicator ⁻¹' t = ∅


Context:
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool

((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = univ ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = s ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = sᶜ ∨ ((if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅) = ∅


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleModule R M


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: g : R →+* ℤ_[p]

Context: hg : ∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp g = f n

Context: r : R


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: g : R →+* ℤ_[p]

Context: r : R

∀ ε > 0, dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: g : R →+* ℤ_[p]

Context: r : R

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: g : R →+* ℤ_[p]

Context: r : R

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: g : R →+* ℤ_[p]

Context: r : R

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

dist ((lift f_compat) r) (g r) ≤ ↑p ^ (-↑n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x - φ‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : E → G := fun y => f y - φ y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x - φ‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : E → G := fun y => f y - φ y

Context: hg : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt g (f' x - φ) s x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∧ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h1 : Antiperiodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

Context: h_nonempty : (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}).Nonempty


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

Context: h_mem : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

Context: h_mem : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∧ sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ {i | u i ω ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α


R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J)) ≤ R.leftDual J


R.leftDual J ≤ R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J))


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∏ ij ∈ antidiagonal (n + 1), f ij.1 ij.2 ^ (n + 1).choose ij.1 = (∏ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 (ij.2 + 1) ^ n.choose ij.1) * ∏ ij ∈ antidiagonal n, f (ij.1 + 1) ij.2 ^ n.choose ij.2


(∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i = (∏ x ∈ range n.succ, f x (n - x + 1) ^ n.choose x) * ∏ x ∈ range n.succ, f (x + 1) (n - x) ^ n.choose (n - x)


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
this : ∀ i ∈ range (n + 1), i ≤ n


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K

Valued.v f ≤ 1 ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f


(∀ n < 0, f.coeff n = 0) ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n : ℕ

((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = f.coeff (Int.negSucc n)


(∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f) → ∀ n < 0, f.coeff n = 0


((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
F : K⟦X⟧
n✝ : ℤ
a✝ : n✝ < 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
F : K⟦X⟧
n✝ : ℤ
a✝ : n✝ < 0
x✝ : ℕ


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this✝ : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})
this : Field R := hR.toField


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this✝ : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})
this : Field R := hR.toField
y : ↥(adjoin R {x})
hy : ⟨x, ⋯⟩ * y = 1


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α

(fun i => if MeasurableSet i then μ i else 0) ∅ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x✝ : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (x✝ i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on x✝)

HasSum (fun i => if MeasurableSet (x✝ i) then μ (x✝ i) else 0) (if MeasurableSet (⋃ i, x✝ i) then μ (⋃ i, x✝ i) else 0)


(∑' (b : ℕ), if MeasurableSet (x✝ b) then μ (x✝ b) else 0) = ∑' (i : ℕ), μ (x✝ i)


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: X₁ : ι → V

Context: d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j

Context: s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0

Context: h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0

Context: d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j

Context: s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0

Context: h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0

Context: h_d : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j

{ X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ } = { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: X₁ : ι → V

Context: d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j

Context: d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧ ↔ P1 (x.moveLeft i) x (x.moveLeft j) y (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)


⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < -(⟦x.moveLeft j * -y⟧ + ⟦x * (-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * (-y).moveLeft l⟧) ↔ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < ⟦x.moveLeft j * y⟧ + ⟦x * -(-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * -(-y).moveLeft l⟧


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
nzm : NeZero m
a : ZMod m
h : a.val < n
nzn : NeZero n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : μ' s < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : μ' s < ⊤
hμs : μ s < ⊤


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: A B : Matrix m m 𝔸

Context: h : Commute A B

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: hK : CompleteSpace ↥K

Context: this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

IsHilbertSum 𝕜 (fun b => ↥(bif b then K else Kᗮ)) fun b => (bif b then K else Kᗮ).subtypeₗᵢ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: hK : CompleteSpace ↥K

⊤ ≤ (⨆ i, bif i then K else Kᗮ).topologicalClosure


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: hK : CompleteSpace ↥K


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: hK : CompleteSpace ↥K

⊤ ≤ (match true with | true => K | false => Kᗮ) ⊔ match false with | true => K | false => Kᗮ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: hK : CompleteSpace ↥K

Codisjoint (match true with | true => K | false => Kᗮ) (match false with | true => K | false => Kᗮ)


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: j j✝ : Subtype p

(ι f ↑j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝ = ι (Subtype.restrict p f) j ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

(if h : ↑j = ↑j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = j✝ then eqToHom ⋯ else 0


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ↑j = ↑j✝

Context: h₂ : j = j✝


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ↑j = ↑j✝

Context: h₂ : ¬j = j✝


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ¬↑j = ↑j✝

Context: h₂ : j = j✝


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ¬↑j = ↑j✝

Context: h₂ : ¬j = j✝


Context: this : 1 + √5 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default x : α
hx : x ∈ s
this : Encodable ↑s := h.toEncodable

enumerateCountable h default (encode ⟨x, hx⟩) = x


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

(toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F = 𝟭 F.Elements


∀ (X : F.Elements), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).obj X = (𝟭 F.Elements).obj X


∀ (X Y : F.Elements) (f : X ⟶ Y), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 F.Elements).map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α

2 * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nontrivial α

card (Perm α ⧸ sign.ker) * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Nat.card (Perm α ⧸ sign.ker) * Nat.card ↥(alternatingGroup α) = Nat.card (Perm α)


Context: m n✝ i n : ℕ


Context:
m n✝ i n : ℕ
h✝ : 2 ≤ i


Context:
m n✝ i n : ℕ
h✝ : i < 2


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ


∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), ¬φ.Realize v xs ↔ ¬ψ.Realize v xs


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Zero 𝕜
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
l : Filter α
f : α → β
c : 𝕜
hf : l.ZeroAtFilter f


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

(s₁.ndunion s₂).lcm = GCDMonoid.lcm s₁.lcm s₂.lcm


∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂


Context:
m n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ Fin.last n

(finSuccEquiv' (Fin.last n)) i = some (i.castLT ⋯)


Context:
m n : ℕ
i : Fin n
h : i.castSucc ≠ Fin.last n

(finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some (i.castSucc.castLT ⋯)


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsAntisymm α r
a : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : x ^ n = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

(zpowersEquivZPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩


(finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z Z' : C
h : Z ⟶ Z'

(𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ h) ≫ (α_ X Y Z').hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ h)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P

I = spanSingleton S x * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.51945, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasKernel S.g


Epi S.toCycles ↔ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯)


Arrow.mk S.toCycles ≅ Arrow.mk (kernel.lift S.g S.f ⋯)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s
f' : F → G
left✝ : f (g x) = f' (g x)
ef : f =ᶠ[𝓝[s] g x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' (g x)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s
f' : F → G
left✝ : f (g x) = f' (g x)
ef : f =ᶠ[𝓝[s] g x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' (g x)
g' : E → F
gx : g x = g' x
eg : g =ᶠ[𝓝[t] x] g'
hg' : AnalyticAt 𝕜 g' x


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), x + z < f x
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f x - x ≤ f y - y


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀


Context:
α β : Type u
n : ℕ
ha : ↑n < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G

↑↑(condexpIndL1Fin hm ⋯ ⋯ x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤


↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)


↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

Context: hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

Context: ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμst x) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμst 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1 + indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) + (condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) (↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hst : s ∩ t = ∅

Context: x : G

Context: hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤

↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) + ↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

∃ g, (∀ (x : α), g x < ↑(f x)) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ⊥ < g x) ∧ ∫ (x : α), f x ∂μ < ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: g : α → EReal

Context: g_lt_f : ∀ (x : α), ↑(-f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: g_integrable : Integrable (fun x => (g x).toReal) μ

Context: g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤

Context: gint : ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), -f x ∂μ + ε


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F K
x : E
h : IsSeparable F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F K

Context: x : E

Context: h : (minpoly F ((algebraMap E K) x)).Separable


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F K

Context: x : E

Context: h✝ : (minpoly F ((algebraMap E K) x)).Separable

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F K) y = (algebraMap E K) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ ^ 2 = 1
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Context: H : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: h✝ : IsEmpty α


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: h✝ : Nonempty α


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: h✝ : Nonempty α

∀ (x : X → α), (∃ U, ↑U ≤ ⊤ ∧ Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (↑U) (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) x))) → (⋃₀ 𝔖).restrict x ∈ (⋃₀ 𝔖).restrict '' range F


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ι → R

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: s : Finset ι

f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ι → R

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: s : Finset ι

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m → f ((insert a s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert a s, c i) • f m


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ι → R

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: s✝ : Finset ι

Context: j : ι

Context: s : Finset ι

Context: j_not_mem_s : j ∉ s

Context: Hrec : f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m

Context: A : update (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) j (m j) = s.piecewise (fun i => c i • m i) m

f ((insert j s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ι → R

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: s✝ : Finset ι

Context: j : ι

Context: s : Finset ι

Context: j_not_mem_s : j ∉ s

c j • (∏ i ∈ s, c i) • f m = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m


Context: i : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E

(𝓝 0).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id


∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i → ∃ i', (0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id i


∀ (i' : Set E), 0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i' → ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id i'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s : Set E
hs_zero : 0 ∈ s
hs_open : IsOpen s
hs_balanced : Balanced 𝕜 s
hs_convex : Convex ℝ s

∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id s


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

(Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.Hom.app hU.fromSpec U) f) = PrimeSpectrum.basicOpen f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁


(ψ ≫ φ₁).τ₁ = S₃.f ≫ ψ.τ₂ ≫ h.h₁ + ψ.τ₁ ≫ h.h₀ + (ψ ≫ φ₂).τ₁


(ψ ≫ φ₁).τ₂ = S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₂ + (ψ.τ₂ ≫ h.h₁) ≫ S₂.f + (ψ ≫ φ₂).τ₂


(ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: β : Type u_2

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε

(𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 < f x}


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: β : Type u_2

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: s : Set (α × α)

(∃ i, 0 < i ∧ {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | edist p.1 p.2 < f i} ⊆ s


Context:
b : Bool
n : ℕ


Context:
b : Bool
n : ℕ

(2 * -[n+1] + bif b then 1 else 0) = -[2 * n + bif !b then 1 else 0+1]


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : α
i : ℕ

(x, i) ∈ Finset.map m.coeEmbedding Finset.univ ↔ (x, i) ∈ m.toEnumFinset


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)


(∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist x y) ≤ ↑K * ↑(nndist (f x) (f y))


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R (n → R) R
i j : n

Q.toMatrix'.transpose i j = Q.toMatrix' i j


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: h : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure

Context: i : ι

⋯.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i 1) = v i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F

(toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) ((toMatrix v₂.toBasis v₁.toBasis) (adjoint f)) = (toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) ((toMatrix v₁.toBasis v₂.toBasis) f)ᴴ


Context:
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x

Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))


Context:
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g


Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: x : α

Context: g : Ultrafilter α

Context: gx : ↑g ≤ 𝓝 x

Context: this✝ : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g

Context: this : map preStoneCechUnit ↑g ≤ 𝓝 (Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: x : α

Context: g : Ultrafilter α

Context: gx : ↑g ≤ 𝓝 x

Context: this✝ : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g

Context: e_1✝ : PreStoneCech α = Quot fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x

preStoneCechUnit x = Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι

((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : j = i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : j ≠ i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : HasCompactMulSupport f
h'f : Continuous f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0

Context: i : ι

Context: hi : f i ≠ 0

(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : f i ≠ 0

Context: H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : f i ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]


Context:
c : Code
n x : ℕ


Context:
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ c.eval n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : S
h : a ∈ p.rootSet S
hf : p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
f : R[X]
n✝ : ℕ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ
n : ℕ

ENNReal.ofReal (n • x) = n • ENNReal.ofReal x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G

IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k


IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k → IsPrimitiveRoot ζ k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)

Context: hCf : Continuous f


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: hCf : Continuous f

Context: hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: hCf : Continuous f

Context: h1 : 0 < (↑π * a).re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: hCf : Continuous f

Context: h1 : 0 < (↑π * a).re

Context: h2 : 0 < (↑π / a).re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: hCf : Continuous f

Context: h1 : 0 < (↑π * a).re

Context: h2 : 0 < (↑π / a).re

Context: f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: b : ℂ

Context: hCf : Continuous f

Context: h1 : 0 < (↑π * a).re

Context: h2 : 0 < (↑π / a).re

Context: Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0✝ : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfcₙ (fun x => f (star x)) a = cfcₙ f (star a)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this✝ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
this : |z.re| < 1 / 2


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i : F →+* K

Context: x : F

Context: h : F[X]

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval x h = 0

Context: h_splits : Splits i h

Context: h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: i : F →+* K

Context: x : F

Context: h : F[X]

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval x h = 0

Context: h_splits : Splits i h

Context: h_ne_zero : h ≠ 0


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: hY : QuasiSeparatedSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: inst✝ : QuasiSeparated f


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B


g⁻¹ • x ∈ g⁻¹ • B


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
j : J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: y : α

Context: hya : a ≤ y

Context: hyb : y < b

Context: z : α

Context: hzc : c < z

Context: hzd : z ≤ d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G

∀ (L : List G), L.reverse.prod = (map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.reverse.IsPath


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
hn : r < 0


Context:
r : ℝ
hp : 0 < r


Context: q r : ℚ

q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)


Context:
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0


Context:
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0


(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den) = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = -p


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)

inftyValuationDef Fq RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: i : ι

{ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: i : ι

∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: i : ι

Context: x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)

({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: X✝ Y✝ Z✝ : ι

Context: hij : X✝ ⟶ Y✝

Context: hjk : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk) = { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: X✝ Y✝ Z✝ : ι

Context: hij : X✝ ⟶ Y✝

Context: hjk : Y✝ ⟶ Z✝

∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁴ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: X✝ Y✝ Z✝ : ι

Context: hij : X✝ ⟶ Y✝

Context: hjk : Y✝ ⟶ Z✝

Context: x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)

({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

(pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackSnd f g = pullback.snd f g


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)

Context: h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: a : R


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a

Context: a : α


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: a : α

Context: hla : IsAtom (l a)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: a : α

Context: hla : IsAtom (l a)

Context: a' : α

Context: ha' : IsAtom a'

Context: hab' : a' ≤ u (l a)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: a : α

Context: hla : IsAtom (l a)

Context: a' : α

Context: ha' : IsAtom a'

Context: hab' : a' ≤ u (l a)

Context: this : l a' = l a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: a : α

Context: hla : IsAtom (l a)

Context: a' : α

Context: ha' : IsAtom a'

Context: hab' : a' ≤ u (l a)

Context: this : l a' = l a

Context: haa' : a = a'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : 0 < 1 / x


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) ≤ 1 / x - 1


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) < 1 / x


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1
aux : 0 ≤ -log x * x


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : |log x * x| < 1
aux : 0 ≤ -log x * x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

filter (fun x => x == a) l = replicate (count a l) a


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context: a b : ℕ+

Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}


mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ ((fun x => t.points i₂ -ᵥ x) '' (t.points '' ({i₂, i₃} \ {i₂}))))ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points) = mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ {t.points i₂ -ᵥ t.points i₃})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Ioo 0 1)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

0 < sInf (Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V})


¬∃ x ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = 0


∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f 0

Context: hg : Memℓp g 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f ⊤

Context: hg : Memℓp g ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p

Context: hp : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p

Context: hp : 0 < p.toReal

Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: i : α

‖(f + g) i‖ ^ p.toReal ≤ C * (‖f i‖ ^ p.toReal + ‖g i‖ ^ p.toReal)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ

mapDomain (g ∘ f) v = mapDomain g (mapDomain f v)


∀ (a : β) (b₁ b₂ : M), single (g a) (b₁ + b₂) = single (g a) b₁ + single (g a) b₂


(v.sum fun a b => (single (f a) b).sum fun a => single (g a)) = mapDomain (g ∘ f) v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
x✝¹ : α
x✝ : x✝¹ ∈ v.support


Context:
num : Int
den : Nat
den_nz : den ≠ 0

normalize num den den_nz = { num := num / ↑(num.natAbs.gcd den), den := den / num.natAbs.gcd den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun i => (U i).ι) ((fun x => ⋯.choose) x)).val.base


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
this : x ∈ ⨆ i, U i


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪(Equiv.pointReflection c) p₁ -ᵥ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0


2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
x✝ : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : ∀ (a : α), f a = 1 → a = 1
x y : α
hxy : f x = f y


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: n : γ → δ

Context: m' : β' → α' → δ

Context: n₁ : β → β'

Context: n₂ : α → α'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)

map n (map₂ m f g) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: n : γ → δ

Context: m' : β' → α' → δ

Context: n₁ : β → β'

Context: n₂ : α → α'

map n (map₂ (fun a b => m b a) g f) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)


Context:
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char

(if h : { byteIdx := utf8Len (c :: l) } = 0 then none else let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?


(let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?


Context: p : Char → Bool

Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default


Context: p : Char → Bool

Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }


Context: p : Char → Bool

Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c

Context: h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }


Context: p : Char → Bool

Context: c : Char

Context: l r : List Char

(if p c = true then some { byteIdx := utf8Len l } else { data := l.reverse ++ c :: r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len l }) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?


Context: p : Char → Bool

Context: c : Char

Context: l r : List Char

{ data := l.reverse ++ c :: r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len l } = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) l).tail?


Context:
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : FG I.num


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : ⊤.FG


Context: ι : Type u

Context: f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: hι : Nonempty ι

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a b : Ordinal.{max u v}

Context: h : b ≤ nfpFamily f a

Context: i : ι