Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

⨅ (_ : s ⊆ iUnion g), ⨅ (_ : MeasurableSet (iUnion g)), f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))


Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

Context: hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)

⨅ (_ : MeasurableSet (iUnion g)), f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))


Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hs : autoParam s.Finite _auto✝

s.ncard = n + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n


(∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n) → s.ncard = n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
h : insert a t = s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp a (m • p + b) = toIcoMod hp a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
k : β → Part γ
a : γ

a ∈ (f.bind g).bind k ↔ a ∈ f.bind fun x => (g x).bind k


(∃ a_1, (∃ a ∈ f, a_1 ∈ g a) ∧ a ∈ k a_1) ↔ ∃ a_1 ∈ f, ∃ a_2 ∈ g a_1, a ∈ k a_2


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: x : M

Context: x✝ : x ∈ univ

∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (univ ∩ u)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K

∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
K' : Set X
hK' : IsCompact K'
hKK' : K ⊆ interior K'


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
hs : s.Countable


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p


Context:
n✝ m a n : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G

∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)


setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: hμ : Integrable f μ

Context: hν : Integrable f ν

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (μ + ν)

Context: hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: hμ : Integrable f μ

Context: hν : Integrable f ν

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (μ + ν)

Context: hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: hμ : Integrable f μ

Context: hν : Integrable f ν

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (μ + ν)

setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun (μ + ν) (weightedSMul μ) hμ_dfma f + setToFun (μ + ν) (weightedSMul ν) hν_dfma f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: hμ : Integrable f μ

Context: hν : Integrable f ν

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (μ + ν)

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hμνs : (μ + ν) s < ⊤

weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: f : α → G

Context: hμ : Integrable f μ

Context: hν : Integrable f ν

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (μ + ν)

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hμνs : μ s < ⊤ ∧ ν s < ⊤


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)}


Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

x ∈ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
X : Subobject B
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ mk g

X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLEMk f g h₂ = X.ofLEMk g ⋯


underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℤ
a : α


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true


0 ≤ ↑0 * ⅟↑d


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α


y = if f.SameCycle x (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) then f (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) else if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
L M : Matrix l m α
N : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n

((L + M) * N) i✝ j✝ = (L * N + M * N) i✝ j✝


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: j j✝ : Subtype p

ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ fromSubtype f p ≫ π f ↑j = ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ π (Subtype.restrict p f) j


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

(if h : ↑j✝ = ↑j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j✝ = j then eqToHom ⋯ else 0


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ↑j✝ = ↑j

Context: h₂ : j✝ = j


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ↑j✝ = ↑j

Context: h₂ : ¬j✝ = j


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ¬↑j✝ = ↑j

Context: h₂ : j✝ = j


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j j✝ : Subtype p

Context: h₁ : ¬↑j✝ = ↑j

Context: h₂ : ¬j✝ = j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H


Context:
n : ℕ
h : IsSquare (-1)


Context: h : IsSquare (-1)


Context: p n : ℕ

Context: hpp : Prime p

Context: ih : IsSquare (-1) → ∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2

Context: h : IsSquare (-1)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M


infDist x (⇑(IsometryEquiv.subLeft x).symm ⁻¹' {m | ↑m = ↑x}) = infDist x ↑S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M

y ∈ ⇑(IsometryEquiv.subLeft x).symm ⁻¹' {m | ↑m = ↑x} ↔ y ∈ ↑S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

(∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r ≤ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α


IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s


s.bind (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, s.bind (pure ∘ f) = s_1.bind (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1


Context: x y : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

U.ι ''ᵁ (X.restrictFunctor.map i).left ⁻¹ᵁ W ≤ V.ι ''ᵁ W


⇑((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) ⁻¹' ↑W ⊆ ⇑U.ι.val.base ⁻¹' (⇑V.ι.val.base '' ↑W)


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (X ^ n - 1) = 0


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: hroot : eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (cyclotomic n (ZMod p)) = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y✝ : α
h : ∀ (x : α), f x = 0
y : β
hy : y ∈ {0}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z) * (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
g h : ↑G

F.map (M.ρ (g * h)) = F.map (M.ρ g) * F.map (M.ρ h)


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : ↑G

F.map (X✝.ρ g) ≫ F.map f.hom = F.map f.hom ≫ F.map (Y✝.ρ g)


({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map (𝟙 M)).hom = (𝟙 ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.obj M)).hom


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ Z✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map (f ≫ g)).hom = ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map g).hom


Context:
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f g : Hom b c
η' : Hom₂ f g

(fun p => normalizeAux p f) = fun p => normalizeAux p g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData

leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ h.left ≫ h.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) h.right h₂


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ {y | 0 ≤ y}
z : ℝ
hz : z ∈ {y | 0 ≤ y}
hyz : y ^ x = z ^ x


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

(Real.mul { cauchy := a } { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy * { cauchy := b }.cauchy


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b


Context: Δ : SimplexCategory

Context: f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)

({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f = (𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f


Context: Δ : SimplexCategory

↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f)


Context: Δ : SimplexCategory

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Δ

↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) i = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i


Context: Δ : SimplexCategory

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Δ

∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x = i) Finset.univ, ↑f j = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)

({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h = ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h)


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) i = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h) i


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

∑ j ∈ Finset.filter (fun x => (f ≫ g) x = i) Finset.univ, ↑h j = ↑(({ toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := toTopMap g, continuous_toFun := ⋯ }) h) i


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ (Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ).biUnion fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x


Context: X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

(↑(Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ)).PairwiseDisjoint fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s


(∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s) ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y

φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ RightFractionRel φ ψ


φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ (φ.map L ⋯).op = (ψ.map L ⋯).op


Context: ξ : ℚ

Context: f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)

Context: s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}


Context: ξ : ℚ

Context: hinj : Function.Injective f


Context: ξ : ℚ

Context: hinj : Function.Injective f

Context: H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}


Context: ξ : ℚ

Context: hinj : Function.Injective f

(⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}).Finite


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
n : ℕ
x : R

eval₂ C X ((monomial n) x) = (monomial n) x


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this : Field (R ⧸ I) := Quotient.field I


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α

IsCobounded r (𝓟 s) ↔ ∃ b, ∀ (a : α), (∀ x ∈ s, r x a) → r b a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F

(sesqFormOfInner (↑A x)) y = (sesqFormOfInner x) (↑(adjoint A) y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
Us : Set (Opens α)
x : α


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N

↑(toCircle j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j.val / ↑N)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N

f.mk' x y = z ↔ f.toMap x = z * f.toMap ↑y


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support

(?m.20281.append (p.dropUntil u h)).IsTrail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ filter p s ∩ t ↔ a✝ ∈ filter p (s ∩ t)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp : 1 < p

Context: hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent

Context: this : IsGreatest ((fun g_1 => ∑ i ∈ s, (f + g) i * g_1 i) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ i ∈ s, (f + g) i ^ p) ^ (1 / p))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp : 1 < p

Context: hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent

Context: this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp : 1 < p

Context: hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent

Context: φ : ι → ℝ≥0

Context: hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}

Context: H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp : 1 < p

Context: hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent

Context: φ : ι → ℝ≥0

(fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)

(OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : univ.pi s = ∅


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : (univ.pi s).Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: i : M

Context: hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support

(weightedHomogeneousComponent w i) φ = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: i : M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: i : M

Context: hi : ∀ (x : σ →₀ ℕ), ¬coeff x φ = 0 → ¬(weight w) x = i


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hm : IsMaximal x (x ⊔ y)


Context:
α✝ α : Type u
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b c : α
bc : a * b ≤ a * c


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.Monic
hf' : optParam (f ≠ 0) ⋯


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

ker (map g g') = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)


ker (lTensor P g' ∘ₗ rTensor N' g) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)


Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)


Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ ker (rTensor N' g)


Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = Submodule.comap (rTensor N' g) (Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f')))


ker (lTensor P g') = Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f'))


ker (lTensor P g') = Submodule.map (lTensor P f') (range (rTensor M' g))


ker (lTensor P g') = range (lTensor P f')


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

modifyNth f n l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))


((fun a => l.set n (f a)) <$> some (l.get ⟨n, h⟩)).getD l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist ((homothety p₁ c) p₂) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
f : F

HasFDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) s x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'

b'.det (⇑f ∘ ⇑b) = LinearMap.det (f ∘ₗ ↑(b'.equiv b (Equiv.refl ι)))


(b'.toMatrix (⇑f ∘ ⇑b)).det = ((LinearMap.toMatrix b b') f).det


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module A M'
b : Basis ι A M
b' : Basis ι A M'
f : M →ₗ[A] M'
i j : ι

b'.toMatrix (⇑f ∘ ⇑b) i j = (LinearMap.toMatrix b b') f i j


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : basisDivisor x y = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x = y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β : κ

traceMatrix A (b ᵥ* P.map ⇑(algebraMap A B)) α β = (Pᵀ * traceMatrix A b * P) α β


∑ y : κ, ∑ x : κ, ((traceForm A B) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x α)) (b y * P.map (⇑(algebraMap A B)) y β) = ∑ j : κ, (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ

∑ x_1 : κ, ((traceForm A B) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B)) x_1 α)) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β) = (Pᵀ * traceMatrix A b) α x * P x β


∑ x_1 : κ, ((traceForm A B) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B)) x_1 α)) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β) = ∑ i : κ, Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ

((traceForm A B) (b y * P.map (⇑(algebraMap A B)) y α)) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β) = Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β


(trace A B) (P y α • b y * (b x * P.map (⇑(algebraMap A B)) x β)) = Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β


P y α * (trace A B) (b y * (b x * (algebraMap A B) (P x β))) = P y α * traceMatrix A b y x * P x β


P y α * (trace A B) (b y * P x β • b x) = P y α * traceMatrix A b y x * P x β


P y α * (trace A B) (b y * P x β • b x) = P y α * (traceMatrix A b y x * P x β)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

Context: hab : a < b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hab : a < b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hab : a < b

Context: this : ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hab : a < b

Context: this : ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ (⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ) / ENNReal.ofReal (b - a)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hab : a < b

Context: this : (∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ) * ENNReal.ofReal (b - a) ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

ENNReal.ofReal (b - a) ≠ 0 ∨ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hab : a < b

ENNReal.ofReal (b - a) ≠ ⊤ ∨ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ ≠ ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (chartAt H x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

ContinuousWithinAt f univ x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContinuousAt f x' ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (2 ^ n), f k ≤ f 0 + ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (2 ^ n), f k = f 0 + ∑ k ∈ Ico 1 (2 ^ n), f k


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R


⇑(homothety x t) = fun y => t • (y - x) + x


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
y : F


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasFDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') s x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: t : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F

Context: f : E →ₗ[𝕜] F

Context: this : TopologicalSpace E := induced (⇑f) t


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: t : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F

Context: f : E →ₗ[𝕜] F

Context: x : E

(𝓝 x).HasBasis ((fun x s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ Convex 𝕜 s) x) ((fun x => preimage ⇑f) x)


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: t : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 F

Context: f : E →ₗ[𝕜] F

Context: x : E

(comap (⇑f) (𝓝 (f x))).HasBasis ((fun x s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ Convex 𝕜 s) x) ((fun x => preimage ⇑f) x)


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R


Context:
n : ℕ
b : Bool


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
this : Subsingleton R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : InvariantBasisNumber R
h : ¬Nontrivial R
this✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton (Fin 1 → R)


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

hurwitzZetaEven (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k ≠ -↑n
h2 : 2 * ↑k ≠ 1
h3 : (2 * ↑k).Gammaℂ ≠ 0


Complex.cos (↑π * (2 * ↑k) / 2) * (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
K : Type u_1
L : Type ?u.603122
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q

(algEquivOfEq hp h_eq) (root p) = root q


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P

s₁ ≠ s₂ ↔ s₁.center ≠ s₂.center ∨ s₁.radius ≠ s₂.radius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a

Tendsto (fun x => ↑⌊a * x⌋₊ / x) atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

Context: A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 (a - 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

Context: A : Tendsto (fun x => a - x⁻¹) atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

∀ᶠ (b : R) in atTop, a - b⁻¹ ≤ ↑⌊a * b⌋₊ / b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
h : n ≤ s.card


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: x y : (i : ι) → M₁ i

(∑ i : ι, f.toLinearMap x i ∘ₗ LinearMap.proj i) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

single (f ≫ g) 1 = single f 1 ≫ single g 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonAssocSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B


Context: x y : ZFSet


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜


∀ ⦃x : Finset α⦄, (∃ s ∈ 𝒜, x ⊆ s ∧ (s \ x).card = k) → x.card = r - k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
t s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
hts : t ⊆ s


Context:
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M


Context:
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
val✝ : Fintype ι


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀s : x₀ ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
x : E
c : 𝕜


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g✝ f g : Perm α
x : α

x ∈ (f * g).support → x ∈ f.support ⊔ g.support


x ∈ (f * g).support → x ∈ f.support ∪ g.support


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
q : ℕ
inst✝ : ExpChar R q


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
q : ℕ
inst✝ : ExpChar R q
h : Nat.Prime q


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : ExpChar R 1


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

sinZeta a s = (expZeta a s - expZeta (-a) s) / (2 * I)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

sinZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s - (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / (2 * I)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : AddGroup G

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: x₀ : G

Context: h : HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: u : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addRight x₀)

Context: v : G ≃ₜ G := (Homeomorph.neg G).trans (Homeomorph.addLeft x₀)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : AddGroup G

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: x₀ : G

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => ↑(toAddUnits x₀) - t) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t)))))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : AddGroup G

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: x₀ : G

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: A : AEStronglyMeasurable (g ∘ ⇑v) (μ.restrict (tsupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : AddGroup G

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: x₀ : G

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x✝ : G


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝¹ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : AddGroup G

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: x₀ : G

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x✝ x : G


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)

Context: inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥B * Module.rank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
g : E → F
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: m : Fin n.succ → A

‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A) m‖ ≤ 1 * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: m : Fin n.succ → A

‖(List.map m (List.finRange n.succ)).prod‖ ≤ (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange n.succ)).prod


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: m : Fin n.succ → A


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: m : Fin n.succ → A

(List.map norm (List.map m (List.finRange n.succ))).prod = (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange n.succ)).prod


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: _h : 0 < 1

‖newton_seq 1 - a‖ = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: _h : 0 < k + 2

‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖newton_seq (k + 1) - a‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: _h : 0 < k + 2

‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: _h : 0 < k + 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: _h : 0 < k + 2

Context: hlt : ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖newton_seq (k + 1) - a‖

Context: hne' : ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ ≠ ‖newton_seq (k + 1) - a‖

‖newton_seq (k + 2) - a‖ = ‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1) + (newton_seq (k + 1) - a)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q a : R[X]


Context:
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]

xn a1 1 ≡ xn b1 1 [MOD c] ∧ yn a1 1 ≡ yn b1 1 [MOD c]


Context:
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ

xn a1 (n + 2) + xn a1 n ≡ xn b1 (n + 2) + xn b1 n [MOD c]


yn a1 (n + 2) + yn ⋯ n ≡ yn b1 (n + 2) + yn ⋯ n [MOD c]


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x✝ : V

(o.rotation θ).symm x✝ = (o.rotation (-θ)) x✝


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
this : MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: this : MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω} ∧ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ π ω}


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π


MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω ≤ π ω})


Context: a : EReal


Context:
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Free R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : Free R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M


Context:
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Free R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : Free R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

variance X μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ


∫ (x : Ω), (X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2 ∂μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ


Integrable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) μ


0 ≤ᶠ[ae μ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α


⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b) = ⨅ x, ⨅ (_ : x > 0), 𝓟 {a_1 | a - a_1 < x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
this : Nonempty { i // p i }


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
hik : i ≠ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
h : NullMeasurableSet s μ


Context:
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ m₂

∀ (n : Nat), x✝.nextn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take n m₂) }


Context:
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ m₂


Context:
m₁ m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ m₂) r x✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v

(fun x => a x • u x) ~[l] fun x => b x • v x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : α → 𝕜
u v : α → E
l : Filter α
hab : a ~[l] b
huv : u ~[l] v
φ : α → 𝕜
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
habφ : a =ᶠ[l] φ * b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: hab : a ~[l] b

Context: huv : u ~[l] v

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: this : ((fun x => a x • u x) - fun x => b x • v x) =ᶠ[l] fun x => b x • (φ x • u x - v x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: hab : a ~[l] b

Context: huv : u ~[l] v

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: hab : a ~[l] b

Context: huv : u ~[l] v

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hCuv : IsBigOWith C l u v


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: hab : (a - b) =o[l] b

Context: huv : (u - v) =o[l] v

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hCuv : IsBigOWith C l u v


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: hab : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(a - b) x‖ ≤ c * ‖b x‖

Context: huv : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c * ‖v x‖

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hCuv : IsBigOWith C l u v

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hCuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x - 1‖ < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x • u x - v x‖ ≤ c * ‖v x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x - 1‖ < c / 2 / C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: huv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(u - v) x‖ ≤ c / 2 * ‖v x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: x : α

Context: hCuvx : ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖

Context: huvx : ‖(u - v) x‖ ≤ c / 2 * ‖v x‖

Context: hφx : ‖φ x - 1‖ < c / 2 / C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: a b : α → 𝕜

Context: u v : α → E

Context: l : Filter α

Context: φ : α → 𝕜

Context: habφ : a =ᶠ[l] φ * b

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: x : α

Context: hCuvx : ‖u x‖ ≤ C * ‖v x‖

Context: huvx : ‖(u - v) x‖ ≤ c / 2 * ‖v x‖

Context: hφx : ‖φ x - 1‖ < c / 2 / C

Context: key : ‖φ x - 1‖ * ‖u x‖ ≤ c / 2 * ‖v x‖


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L

Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly


(of (Function.curry fun i => (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (toMvPolynomial b bₘ.end φ i))).charpoly = ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
i✝ j✝ : ιM

of (Function.curry fun i => (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (toMvPolynomial b bₘ.end φ i)) i✝ j✝ = (toMatrix bₘ bₘ) (φ x) i✝ j✝


(bₘ.end.repr (φ x)) (i✝, j✝) = (toMatrix bₘ bₘ) (φ x) i✝ j✝


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulAction G M

Context: f : G × G → M

Context: hf : IsMulTwoCocycle f

Context: g : G

Context: this : f (g * g⁻¹, g) * f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) * f (g, g⁻¹ * g)


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulAction G M

Context: f : G × G → M

Context: hf : IsMulTwoCocycle f

Context: g : G

Context: this : f (1, 1) * f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) * f (g, 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
x✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Measurable f
hg : Measurable g
t : Set β
ht : MeasurableSet t


MeasurableSet (s.ite (f ⁻¹' t) (g ⁻¹' t))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ

(condCDF ρ a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) x)


(condCDF ρ a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) x - 0)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g✝ : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
g : α' → α
hg : ClosedEmbedding g


IsCompact (closure (g ⁻¹' mulSupport f))


closure (g ⁻¹' mulSupport f) ⊆ g ⁻¹' mulTSupport f


g ⁻¹' closure (g '' (g ⁻¹' mulSupport f)) ⊆ g ⁻¹' mulTSupport f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

toIcoMod hp a b = a + Int.fract ((b - a) / p) * p


b - ⌊(b - a) / p⌋ • p = a + ((b - a) / p - ↑⌊(b - a) / p⌋) * p


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.50566, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.50570, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X ≫ (F.shiftIso n a a' ha').inv.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd C m n).inv.app X)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
r n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

(a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
x y : M
hu : IsUnit (x * y)
z : M
hz : x * y * z = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
inst✝ : Algebra R S
h : (aeval x) p = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
inst✝ : Algebra R S
h : eval₂ (algebraMap R S) x p = 0


IsIntegral R ((algebraMap R S) p.leadingCoeff * x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
l : Filter X
l' : Filter Y
h : Tendsto f l l'
s : Set Y
hs : s ∈ l'

∀ᶠ (a : X) in l.lift' closure, f a ∈ closure s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

(p * q).support.card ≤ p.support.card * q.support.card


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
a : R
this : (C a).degree < X.degree


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ g x


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : TopCat

Context: F : TopCat.Presheaf CommRingCat X

Context: U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ : Opens ↑X

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑(F.obj (op U₁))

Context: y₂ : ↑(F.obj (op U₂))

Context: f : ↑(F.obj (op (U₁ ⊔ U₂)))

Context: x : ↑(F.obj (op U₃))

Context: h₄₁ : U₄ ≤ U₁

Context: h₄₂ : U₄ ≤ U₂

Context: h₅₁ : U₅ ≤ U₁

Context: h₅₃ : U₅ ≤ U₃

Context: h₆₂ : U₆ ≤ U₂

Context: h₆₃ : U₆ ≤ U₃

Context: h₇₄ : U₇ ≤ U₄

Context: h₇₅ : U₇ ≤ U₅

Context: h₇₆ : U₇ ≤ U₆

Context: e₁ : (F.map (homOfLE h₇₅).op) ((F.map (homOfLE h₅₁).op) y₁) = (F.map (homOfLE h₇₅).op) ((F.map (homOfLE h₅₁).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ * (F.map (homOfLE h₅₃).op) x)

Context: e₂ : (F.map (homOfLE h₇₆).op) ((F.map (homOfLE h₆₂).op) y₂) = (F.map (homOfLE h₇₆).op) ((F.map (homOfLE h₆₂).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ * (F.map (homOfLE h₆₃).op) x)

(F.map (homOfLE h₇₄).op) ((F.map (homOfLE h₄₁).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * y₁)) = (F.map (homOfLE h₇₄).op) ((F.map (homOfLE h₄₂).op) ((F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * y₂))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : TopCat

Context: F : TopCat.Presheaf CommRingCat X

Context: U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ : Opens ↑X

Context: n₁ n₂ : ℕ

Context: y₁ : ↑(F.obj (op U₁))

Context: y₂ : ↑(F.obj (op U₂))

Context: f : ↑(F.obj (op (U₁ ⊔ U₂)))

Context: x : ↑(F.obj (op U₃))

Context: h₄₁ : U₄ ≤ U₁

Context: h₄₂ : U₄ ≤ U₂

Context: h₅₁ : U₅ ≤ U₁

Context: h₅₃ : U₅ ≤ U₃

Context: h₆₂ : U₆ ≤ U₂

Context: h₆₃ : U₆ ≤ U₃

Context: h₇₄ : U₇ ≤ U₄

Context: h₇₅ : U₇ ≤ U₅

Context: h₇₆ : U₇ ≤ U₆

Context: e₁ : (F.map (homOfLE ⋯).op) y₁ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (F.map (homOfLE ⋯).op) x

Context: e₂ : (F.map (homOfLE ⋯).op) y₂ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (F.map (homOfLE ⋯).op) x

(F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (F.map (homOfLE ⋯).op) y₁ = (F.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (F.map (homOfLE ⋯).op) y₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
hκs : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)

Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)


(fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) ∅


∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) t


∀ (t : Set (α × β)), MeasurableSet t → (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) t → (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set (α × β)), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) (f i)) → (fun t => Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)) (⋃ i, f i)


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → α
a : ℕ
hf : Periodic f a
n : ℕ


Context:
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b


Context:
b : Ordinal.{u_1}
b1 : ¬1 < b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE
i : ι
hi : e.f i = c'.prev (e.f j)


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup β
x : β


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y


↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) c)⁻¹ * (g.restrict S) c * g x = g y


↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) c)⁻¹ * g ↑c * g x = g y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
r u : R
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.IsHermitian

(Matrix.fromBlocks A B Bᴴ D).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian


(Matrix.fromBlocks D Bᴴ B A).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian


Context: i j : ℤ

i.natAbs.lcm j.natAbs = j.natAbs.lcm i.natAbs


Context:
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n

j ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: j : Fin n

Context: this : (c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

Subsingleton (CotangentSpace R) ↔ IsField R


IsIdempotentElem (maximalIdeal R) ↔ IsField R


maximalIdeal R = ⊥ ∨ maximalIdeal R = ⊤ ↔ maximalIdeal R = ⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => x * c) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (a / c) (b / c)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ w₄ p₁ p₂ p₃ p₄ : ℝ≥0

w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ * p₄ ^ ↑w₄ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃ + w₄ * p₄


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α


l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 α ↔ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ Filter.comap (fun p => (f p.1, f p.2)) (𝓤 β)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsCoverDense K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X : D

Context: s t : ℱ.val.obj (op X)

Context: h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsCoverDense K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X : D

Context: s t : ℱ.val.obj (op X)

∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, (Sieve.coverByImage G X).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → F →L[ℝ] E

Context: a : F

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

(fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) a = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → F →L[ℝ] E

Context: a : F

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

∫ (x : V), (e (-(L.toLinearMap₂ x) w) • f x) a ∂μ = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → F →L[ℝ] E

Context: a : F

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

Integrable (fun v => e (-(L.toLinearMap₂ v) w) • f v) μ


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : SetLike σ R

Context: inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: r : ↥(A i)

Context: r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: h : i ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : SetLike σ R

Context: inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: i : ι

Context: r : ↥(A i)

Context: r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: h : ¬i ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: s : Set α

Context: φ : ι → Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ae_eventually_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∀ᶠ (n : ι) in l, x ∈ φ n

Context: measurable : ∀ (n : ι), MeasurableSet (φ n)

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ φ i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι

∏ i ∈ s \ t, f i ≤ ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

↑((last n).cycleRange i) = ↑((finRotate (n + 1)) i)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: P : G.Partition

Context: v : V

Context: right✝ : ∀ (y : Set V), (fun b => b ∈ P.parts ∧ v ∈ b) y → y = Exists.choose ⋯

Context: left✝ : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts

Context: h : v ∈ Exists.choose ⋯


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

rightHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ - rightHomologyMap' φ' h₁ h₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α

(equivShrink α) x⁻¹ = ((equivShrink α) x)⁻¹