Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: h : f =O[cofinite] g''

Context: C : ℝ

Context: C₀ : C > 0

Context: hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

Context: C' : ℝ

Context: hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: h : f =O[cofinite] g''

Context: C : ℝ

Context: C₀ : C > 0

Context: hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

Context: C' : ℝ

Context: this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'

∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: h : f =O[cofinite] g''

Context: C : ℝ

Context: C₀ : C > 0

Context: hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

Context: C' : ℝ

Context: x : α

Context: h₀ : g'' x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: h : f =O[cofinite] g''

Context: C : ℝ

Context: C₀ : C > 0

Context: hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

Context: C' : ℝ

Context: x : α

Context: h₀ : g'' x ≠ 0

C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ ≤ C' * ‖g'' x‖


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E

restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F T)) S)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ

⟪r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x, r₂ • x⟫_ℝ = 0


Context:
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
tb : Trunc (Basis ι A M)
b' : Basis ι' A M
f : M →ₗ[A] M

(detAux tb) f = ((toMatrix b' b') f).det


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι

MeasurableSet {ω | (fun ω => min (τ ω) (π ω)) ω ≤ i}


MeasurableSet ({a | τ a ≤ i} ∪ {a | π a ≤ i})


Context:
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)

IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map f F)


Context:
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℝ
hc : c ∈ upperBounds (range f)


Context:
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
U : (Opens ↑↑(F.obj j))ᵒᵖ

(F.map (𝟙 j)).c.app U = (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom.app U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ≥0∞

⇑h ⁻¹' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h.symm x) r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
N : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module A N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsScalarTower R A N
r : R
m : M


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3


↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * (λ ^ (3 * S.multiplicity - 5) * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 3 * (S.multiplicity - 1) = 2 + (3 * S.multiplicity - 5)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - 2 * ‖x‖ * ‖y‖ * Real.cos (angle x y)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: hfμ : Integrable f μ

Context: h_int : Integrable (llr μ ν) μ

Context: hfν : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: hfμ : Integrable f μ

Context: h_int : Integrable (llr μ ν) μ

Integrable (fun x => -f x + log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂ν) + llr μ ν x) μ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H K : Subgroup G


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop atTop

Context: r : ℝ

Context: hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ f a

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a

Context: hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop atTop

Context: r : ℝ

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a

Context: hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ

(rTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then 1 ⊗ₜ[R] n else 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
a b c✝ d e : α
m n : ℤ
β : Type u_4
inst✝ : Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
c : α
hc : 0 < c


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
hα : 1 < Nat.card ↑(fixedPoints G α)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
hα : Nontrivial ↑(fixedPoints G α)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A✝ B C A X Y : Rep k G

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : ↑(MonCat.of G)

Context: x : ↑((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) X).V

Context: y : CoeSort.coe A

f.hom ((X.ρ g) ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ ((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) Y).ρ g) x) y


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A✝ B C A X Y : Rep k G

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : ↑(MonCat.of G)

Context: y : CoeSort.coe A

(Y.ρ g) (f.hom ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ (of (A.ρ.linHom Y.ρ)).ρ g) x) y


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
u : γ → α
v : δ → β
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℕ


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β

t ∈ ⨅ a ∈ s, f a ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ a ∈ s, p a


t ∈ ⨅ x, f ↑x ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ x, p ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R


p.support \ q.support ∪ q.support \ p.support ⊆ (p + q).support


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ι
g : G i
m : M

(toDirectLimit f M) ((of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m) = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)


(((mk R (G i) M).compr₂ (of R ι (fun _i => G _i ⊗[R] M) (fun _i _j h => LinearMap.rTensor M (f _i _j h)) i)) g) m = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)


Context:
α✝² : Type u_1
α✝¹ : Type u_2
α✝ : Type u_3
f : α✝² → α✝¹ → α✝
l : List α✝²
l' : List α✝¹

(zipWith f l l').tail = zipWith f l.tail l'.tail


drop 1 (zipWith f l l') = zipWith f l.tail l'.tail


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h
x : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree < (C a * X ^ 3).degree


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)


Context: hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso


Context: this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP


∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U)


∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U i)) → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : 0 < a

∃ t, (∀ y ∈ t, 1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t


Context:
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M

tsupport ↑f ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)


closure (↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)) ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsPath


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).reverse.IsPath


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (q.reverse.append p.reverse).IsPath


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → γ
a : α
h : ∀ (b : γ), f a b = b
t : Finset γ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.14175, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
b₃ : B
h₃ : b₃ = φ (a₁ + a₂)

(shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) b₃ ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) b₃ h₃).inv.app X


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)

(shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) (φ a₁ + φ a₂) ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X


(shiftFunctorAdd (PullbackShift C φ) a₁ a₂).inv.app X = (shiftFunctorAdd C (φ a₁) (φ a₂)).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X


HasShift.shift.map (eqToHom ⋯) = (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
u : Finset α
left✝ : u ∈ 𝒜


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

mk (toWord (Quot.mk Red.Step L)) = Quot.mk Red.Step L


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : IsNilpotent R L M

Nontrivial ↥↑(lowerCentralSeriesLast R L M)


(match nilpotencyLength R L M with | 0 => ⊥ | k.succ => lowerCentralSeries R L M k) ≠ ⊥


Context: x y : ℂ

cosh (x - y) = cosh x * cosh y - sinh x * sinh y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

(map Prod.fst (f.pair g)).lintegral μ ⊔ (map Prod.snd (f.pair g)).lintegral μ ≤ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})


(∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) ⊔ ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) ≤ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞
x✝ : a ∈ (f.pair g).range


∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 ⊔ x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = (f ⊔ g).lintegral μ


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
hS : ¬S = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
h : cylinder s S = ∅
hS : S.Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: s : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)

Context: h : cylinder s S = ∅

Context: hS : S.Nonempty

Context: f : (i : { x // x ∈ s }) → α ↑i := hS.some


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: s : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)

Context: h : cylinder s S = ∅

Context: hS : S.Nonempty

Context: hf : f ∈ S


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M

(trace R M) (f * g * h) = (trace R M) (h * f * g)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : L
a✝ : Nontrivial R

Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ x)


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
p : ι → Set α


∀ (i : ι), ω f ϕ (p i) ⊆ ω f ϕ (⋃ i, p i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞

⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, f i a ∂μ


⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r₁✝ r₁ : List (List α)

Context: l : List α

Context: ih : ∀ (r₂ : List (List α)), sublists'Aux a r₁ r₂ = r₂ ++ map (cons a) r₁

Context: r₂ : List (List α)

sublists'Aux a (r₁ ++ [l]) r₂ = r₂ ++ map (cons a) (r₁ ++ [l])


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r₁✝ r₁ : List (List α)

Context: l : List α

Context: r₂ : List (List α)

foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ ++ [a :: l]) [] = sublists'Aux a r₁ r₂ ++ [a :: l]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β

_root_.Disjoint (s ×ˢ t) (s' ×ˢ t') ↔ _root_.Disjoint s s' ∨ _root_.Disjoint t t'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

(fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0


(fun x => ‖c • f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g


(fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: h : (Finset.affineCombination R s p) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R s p) w₁, (Finset.affineCombination R s p) w₂}

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)

Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) w) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: h : ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hs : Sbtw R (w₁ i) (w i) (w₂ i)

Context: r : R

Context: hr : ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Sbtw R ((Finset.affineCombination R s p) w₁) ((Finset.affineCombination R s p) (r • (w₂ - w₁) + w₁)) ((Finset.affineCombination R s p) w₂)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0

Context: hw₁w₂ : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0

Context: hw₁w₂ : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0

Context: ha' : (w₁ - w₂) i = 0


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
E : Set α
hx : x ∈ E
δ : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

‖F f ε z‖ ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

∃ c < Real.pi / (1 - 0), ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (c * |z.im|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

0 < Real.pi / (1 - 0) ∧ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

0 < Real.pi ∧ ∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

∃ B, (fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (B * Real.exp (0 * |z.im|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

Context: hBF : BF ∈ upperBounds (norm ∘ F f ε '' verticalClosedStrip 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

Context: hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

(fun x => invInterpStrip f x ε • f x) =O[comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1)] fun z => Real.exp (BF * Real.exp (0 * |z.im|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

∃ c, ∀ᶠ (x : ℂ) in comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1), ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ c * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

∀ᶠ (x : ℂ) in comap (_root_.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo 0 1), ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

∀ᶠ (x : ℂ) in comap (_root_.abs ∘ im) atTop, x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1 → ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

∀ x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1, ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: BF : ℝ

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1

‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ Real.exp BF


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * 0⁻¹ = b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMinOn g s a


Context: m k : ℕ


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R

x✝ ∈ (a • S).toAddSubmonoid ↔ x✝ ∈ a • S.toAddSubmonoid


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : Integrable f ν

∫ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • s, f x ∂ν


Integrable f (sum fun g => ν.restrict (g • s))


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (Set (E i))

Context: hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)

IsTopologicalBasis (⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i)


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (Set (E i))

Context: a : (i : ι) × E i

(𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (Set (E i))

Context: a : (i : ι) × E i

(map (Sigma.mk a.fst) (𝓝 a.snd)).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (Set (E i))

Context: a : (i : ι) × E i

Context: x✝ : Set ((i : ι) × E i)

x✝ ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => Sigma.mk a.fst '' i) '' {i | i ∈ s a.fst ∧ a.snd ∈ i}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v


Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → ℤ

Context: m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

Context: w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat


Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → ℤ

Context: m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

Context: hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m


Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → ℤ

Context: m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

Context: h : (Matrix.vandermonde fun i => ↑(w' i)).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det


Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → ℤ

Context: m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

Context: h : (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det


Context: n✝ : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 1) → ℤ

Context: m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

(Matrix.vandermonde v).det = ↑(sf n) * (Matrix.of fun i j => ↑((w' i).choose ↑j)).det


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b

Integrable (fun x => x * rexp (-b * x ^ 2)) volume


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)


∑' (i : ι), extend (fun t _ht => μ t) (f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)


∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → Pairwise (Disjoint on f) → μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), μ (f i)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: hg0 : g 0 = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |g (i + 1) ω - g i ω| ≤ ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: hω : BddAbove (Set.range fun n => g n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => g n ω) atTop (𝓝 c)

BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N


∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q] [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Monoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s t : Finset α

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Monoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s t✝ : Finset α

Context: n : ℕ

Context: t : Finset α

Context: hts : t ⊆ s

Context: hcard : t.card = mulRothNumber s

Context: ht : ThreeGPFree ↑t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Monoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s t✝ : Finset α

Context: n : ℕ

Context: t : Finset α

Context: hts : t ⊆ s

Context: hcard : t.card = mulRothNumber s

Context: ht : ThreeGPFree ↑t

Context: hn : n ≤ t.card


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Monoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s t✝ t : Finset α

Context: hts : t ⊆ s

Context: hcard : t.card = mulRothNumber s

Context: ht : ThreeGPFree ↑t

Context: u : Finset α

Context: hut : u ⊆ t

Context: h : ∀ t ∈ powersetCard u.card s, ¬ThreeGPFree ↑t

Context: hn : u.card ≤ t.card


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E


2 • ↑((orthogonalProjection K) x) = 2 • x ↔ ↑((orthogonalProjection K) x) = x


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)

Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 h.lim)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: l : ℝ

Context: hl : l < h.lim


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: hL : L > h.lim


Context:
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M

HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ


Context: R : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: d : n → R

Context: μ : R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: b : Basis n R M

Context: this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

Context: z₁ z₂ : FirstObj P X

Context: h : ∀ (i : I), Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₁ = Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₂


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: z₁ z₂ : FirstObj P X

∀ (j : Discrete I), limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₂


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : ProbabilityMeasure Ω

Context: h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : ProbabilityMeasure Ω


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g

inl ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inl f g


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

intrinsicClosure 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s) = intrinsicClosure 𝕜 s


IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Ring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace P

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: s✝ t✝ : Set P

Context: x : P

Context: s : Set P

Context: t : AffineSubspace 𝕜 P

Context: ht : t = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Ring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace P

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: s✝ t : Set P

Context: x : P

Context: s : Set P

Context: ht : affineSpan 𝕜 s = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Ring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace P

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: s✝ t : Set P

Context: x : P

Context: s : Set P


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : α → β
x : t' α

Equiv.traverse eqv (pure ∘ f) x = pure (Equiv.map eqv f x)


(eqv β) (id.mk (f <$> (eqv α).symm x)) = Equiv.map eqv f x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix m m R


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
f : LocallyConstant X Y
R : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring Y
inst✝¹ : Algebra R Y
inst✝ : TopologicalSemiring Y
r : R
x : X

((↑↑{ toFun := toContinuousMap, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (LocallyConstant X Y)) r)) x = ((algebraMap R C(X, Y)) r) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17959, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.17963, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X : Grothendieck F

(F.map (𝟙 X).base).obj X.fiber = X.fiber


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p

∏ x ∈ (p ^ k).divisors, f x = ∏ x ∈ range (k + 1), f (p ^ x)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


ContDiffOn 𝕜 0 f univ ↔ ContinuousOn f univ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝² : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la

Context: inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb

Context: hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume

Context: hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume

Context: ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

HasFDerivWithinAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (s ×ˢ t) (a, b)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝² : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la

Context: inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb

Context: ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

HasFDerivAtFilter (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b) (𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝² : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la

Context: inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb

Context: ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

Context: this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝² : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la

Context: inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb

Context: ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

∀ (x : ℝ × ℝ), ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.2 - b) • cb - (x.1 - a) • ca) = ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in (a, b).1 ..(a, b).2, f x) - ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x - (a, b))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝² : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: s t : Set ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la

Context: inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb

Context: ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)

Context: hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

(fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun x' => x' - (a, b)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R

(map (fun r => X + C r) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α

(insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∧ r b a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0

eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)


(↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)


↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.55203, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X✝ Y✝ Z✝ : SimplicialObject C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map (f ≫ g) = { obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map f ≫ { obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
f : β → α
hg : Injective g

∏' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∏' (x : γ), f (g x)


∏' (x : ↑Set.univ), f (g ↑x) = ∏' (x : γ), f (g x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝ : IsDomain S

(map φ P).roots = (Polynomial.map φ P.toPoly).roots


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = (b + 1 - a).toNat


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i


∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
la : Filter α
lb : Filter β
f : α → Filter β

Tendsto f la (𝓝 lb) ↔ ∀ s ∈ lb, ∀ᶠ (a : α) in la, s ∈ f a


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc

X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j.succ) = X.map (SimplexCategory.δ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β

edist (s • x) (s • y) = ‖s‖₊ • edist x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i


∀ i_1 ∈ Set.univ, (single i) x i_1 ∈ p i_1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : ¬M.Indep I

M.Indep (insert e I) ↔ M.Indep I ∧ (e ∉ I → e ∈ M.E \ M.closure I)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → α

Context: g : ℕ → α → α

Context: H : ∀ (n : ℕ), Semiconj f (g n) (g (n + 1))

Context: n k : ℕ


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
x y : G
s : Set α
hs : x • s =ᶠ[ae μ] s
hy : y ∈ Subgroup.zpowers x


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: x y : G

Context: s : Set α

Context: hs : Subgroup.zpowers x ≤ MulAction.aestabilizer G μ s

Context: hy : y ∈ Subgroup.zpowers x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: x✝ : ↑(ModuleCat.of ℤ (LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ))

(ModuleCat.ofHom (πs C o) ≫ ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) x✝ = 0 x✝


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

∀ (x₂ : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂), (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = x₂


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂

(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g f = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = f


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
x : G


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

W.negY P / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : ¬Irreducible p
s : FactorSet α
h : p ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

(coeff R (n + 1)) (φ * X) = (coeff R n) φ


(MvPowerSeries.coeff R (single () n + single () 1)) (φ * X) = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ


(MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ * 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s : Finset δ

Context: x : (i : δ) → π i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s : Finset δ

Context: x : (i : δ) → π i

∀ (a : δ), Measurable fun x_1 => if hi : a ∈ s then x_1 ⟨a, hi⟩ else x a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s : Finset δ

Context: x : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Measurable fun x_1 => if hi : i ∈ s then x_1 ⟨i, hi⟩ else x i


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
n : ℕ
a : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ

0 ∉ map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ


univ = Finset.cons 0 (map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ) ⋯


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(baseChange W B).toAffine.polynomialX = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomialX


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝

Context: B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w : { w // w ≠ w₀ }

∑ i ∈ univ.erase w, ‖B.toMatrix v i w‖ < ‖B.toMatrix v w w‖


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w : { w // w ≠ w₀ }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w : { w // w ≠ w₀ }

0 < |v w w| - v w w + ∑ x : { w // w ≠ w₀ }, v w x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w x : { w // w ≠ w₀ }

Context: hx : x ∈ univ.erase w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : s ∈ 𝓝 a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: hs : ∃ i_1, (i a ∈ i_1 ∧ IsOpen i_1) ∧ i ⁻¹' i_1 ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
U : Set β
sub : i ⁻¹' U ⊆ s
haU : i a ∈ U
hUo : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
h : z ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁

HasProd (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasProd f (a₁ * a₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (s.mulIndicator f) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.t i j ≫ D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.t i j ≫ D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.f j i) ∘ ⇑(D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

(fun x => (forget TopCat).map (D.f j i) ((forget TopCat).map (D.t i j) x)) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

(forget TopCat).map (D.f j i) '' ((forget TopCat).map (D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U)) = ⇑(D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

(forget TopCat).map (D.t i j) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U) = ⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i) ⁻¹' U


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

⇑(D.f i j) ⁻¹' U = (fun x => (⇑(D.f i j) ∘ ⇑(D.t j i)) ((forget TopCat).map (D.t i j) x)) ⁻¹' U


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

Function.Bijective ((forget TopCat).map (D.t i j))


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
inst✝⁵ : MonoidalPreadditive C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor D C
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Additive
X✝ Y✝ Z✝ : D
f✝ g✝ : Y✝ ⟶ Z✝


F.map (X✝ ◁ (f✝ + g✝)) = F.map (X✝ ◁ f✝ + X✝ ◁ g✝)


F.map ((f✝ + g✝) ▷ X✝) = F.map (f✝ ▷ X✝ + g✝ ▷ X✝)


Context: m n : Nat


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: x✝ : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q

Context: a✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: x✝ : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: x✝ : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : Rₘ →ₐ[R] Q

(↑f₁).comp (algebraMap R Rₘ) = (↑f₂).comp (algebraMap R Rₘ)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

(∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Set S), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)) → P f) ↔ ∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Finset S), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)) → P f


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set b), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P ((algebraMap b (Localization.Away ↑r)).comp e)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset b), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P ((algebraMap b (Localization.Away ↑r)).comp e)) → P e


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P', inv := AssociatorBimod.inv M N P', hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P', inv := AssociatorBimod.inv M N P', hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft) ((TensorBimod.X M N ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (TensorBimod.X M N ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P') ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

TensorBimod.X M N ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P') ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (AssociatorBimod.homAux M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N P'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯


Context: C : Type u₁

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Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

(tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯


Context: C : Type u₁

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Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P') ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯


Context: C : Type u₁

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: f : P ⟶ P'

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