Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)

Context: hp : Injective p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hx : p x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ p '' s), (convexHull 𝕜) ↑t

Context: hp : Injective p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hp : Injective p

Context: hx : ∃ i, ∃ (_ : ↑i ⊆ p '' s), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hp : Injective p

Context: t : Finset E

Context: ht : ↑t ⊆ p '' s

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ : Set E

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hp : Injective p

Context: t : Finset E

Context: ht : ↑t ⊆ p '' s

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t

p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p (t.preimage p ⋯))


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : Ring 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
n : ℕ

((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x => 0) = Pi.single 0 1 n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: A B : J

Context: f : A ⟶ B

𝟙 c.pt ≫ c.π.app B = c.π.app A ≫ (D.map f).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: A B : J

Context: f : A ⟶ B

c.π.app ?m.210336 ≫ (D ⋙ T.forget).map ?h = c.π.app A ≫ (D.map f).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: A B : J

Context: f : A ⟶ B


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hi : i ∈ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1

(b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = w i


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: s' s : Heap α

Context: eq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ s • ⊥


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

ContinuousOn (update f x y) s ↔ ContinuousOn f (s \ {x}) ∧ (x ∈ s → Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y))


(∀ (b : X), b ≠ x → b ∈ s → ContinuousWithinAt (update f x y) s b) ∧ (x ∈ s → ContinuousWithinAt (update f x y) s x) ↔ ContinuousOn f (s \ {x}) ∧ (x ∈ s → Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : T1Space X

Context: inst✝¹ : DecidableEq X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: y : Y

Context: H : ∀ (b : X), b ≠ x → b ∈ s → ContinuousWithinAt (update f x y) s b

Context: z : X

Context: hz : z ∈ s \ {x}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
H : ContinuousOn f (s \ {x})
z : X
hzx : z ≠ x
hzs : z ∈ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
x✝ : x ∈ s

ContinuousWithinAt (update f x y) s x ↔ Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y)


Context:
x n m : ℕ
h : x < 2 ^ n


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: this : Dioph fun v => (v &2 = 0 ∨ v &0 < v &2) ∧ ∃ x, v &0 + v &2 * x = v &1

Context: z x y : ℕ

Context: x✝ : (y = 0 ∨ z < y) ∧ ∃ c, z + y * c = x

Context: c : ℕ

Context: hc : z + y * c = x

Context: hl : z < y


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: z x y : ℕ

Context: e : x % y = z

(y = 0 ∨ x % y < y) ∧ ∃ c, x % y + y * c = x


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atBot


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G


Context: a : ℕ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(o.oangle x y).cos = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
γ : Cochain F G n
p q' : ℤ
hpq : p + n = q'

γ.v p q' hpq ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq G ⋯).inv = γ.v p q' ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a b : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : 1 ≤ a

Context: hab : a ≤ b


Context: m n✝ n : ℤ


Context: m n k : ℤ


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : #↑s ≤ 𝔠


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

All p (match l, v, r with | node red (node red a x b) y c, z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | node red a x (node red b y c), z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, b => node black a x b) ↔ p v ∧ All p l ∧ All p r


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

𝟙 (op X) ≫ (↑s j').op = (↑s j).op ≫ F.map f


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
τ : (const J).obj (op X) ⟶ F
j j' : J
f : j ⟶ j'

Quiver.Hom.op ((F ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => (τ.app j).unop) j)) = ((fun j => (τ.app j).unop) j').op


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

{ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d


(∀ {x y : Rᵐᵒᵖ}, ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c) x y → ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d) x y) ↔ ∀ {x y : R}, c x y → d x y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∈ t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
m : ℕ
i j : n

(matPolyEquiv (p • 1)).coeff m i j = (Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p).coeff m i j


(if i = j then p else 0).coeff m = if i = j then p.coeff m else 0


Context:
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y✝ : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x y : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ

Fintype.card (Fin n → Fin m) = Fintype.card (Fin (m ^ n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n✝ : ℕ

Context: ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n

Context: f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n✝ : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)

∑ x : Fin n, ↑(f x.castSucc) * (n✝ + 1) ^ ↑x + ↑(f (Fin.last n)) * (n✝ + 1) ^ n < (n✝ + 1) ^ (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n✝ : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: ih : ∀ (a : Fin (m ^ n)), ⟨∑ i : Fin n, ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a

Context: a : Fin (m ^ (n + 1))

⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: a : Fin (m ^ (n + 1))

Context: ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: a : Fin (m ^ (n + 1))

↑⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: a : Fin (m ^ (n + 1))

↑a % m + m * ∑ i : Fin n, ↑a / m / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: a : Fin (m ^ (n + 1))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurve γ v
a : ℝ

IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v univ
a : ℝ

IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X

IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: s : Set X

Context: h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)

Context: u : ℕ → X

Context: p : X

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, u x ∈ s ∩ insert p (range u)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: s : Set X

Context: u : ℕ → X

Context: p : X

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp a b = toIocMod hp 0 (b - a) + a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_2} D

Context: ε : C ≌ D

Context: h : IsIdempotentComplete C

Context: X' : D

Context: p : X' ⟶ X'

Context: hp : p ≫ p = p

Context: φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_2} D

Context: ε : C ≌ D

Context: h : IsIdempotentComplete C

Context: X' : D

Context: p : X' ⟶ X'

Context: hp : p ≫ p = p

∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_2} D

Context: ε : C ≌ D

Context: h : IsIdempotentComplete C

Context: X' : D

Context: p : X' ⟶ X'

Context: hp : p ≫ p = p

Context: Y : C

Context: i : Y ⟶ ε.inverse.obj X'

Context: e : ε.inverse.obj X' ⟶ Y

Context: h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y

Context: h₂ : e ≫ i = ε.inverse.map p


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_2} D

Context: ε : C ≌ D

Context: h : IsIdempotentComplete C

Context: X' : D

Context: p : X' ⟶ X'

Context: hp : p ≫ p = p

Context: Y : C

Context: i : Y ⟶ ε.inverse.obj X'

Context: e : ε.inverse.obj X' ⟶ Y

Context: h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y

Context: h₂ : e ≫ i = ε.inverse.map p

ε.functor.map i ≫ ε.functor.map e = 𝟙 (ε.functor.obj Y) ∧ ε.functor.map e ≫ ε.functor.map i = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : β → γ
hg : Injective g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.25479, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ

((inl φ).comp ↑(fst φ) ⋯).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (𝟙 F)).v p p ⋯


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

(image₂ f s t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty


(image2 f ↑s ↑t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: k : ℕ

Context: hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)

Context: x : AdicCauchySequence I N

Context: hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤

Context: x✝ n : ℕ

g (↑x (k + n)) ∈ Submodule.map g (I ^ (k + n) • ⊤)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCauchySequence I N

Context: hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤

Context: x✝ n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCauchySequence I N

Context: hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤

Context: x✝ n : ℕ

Context: d : N

Context: hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)

Context: hd : g d = g (↑x (k + n))

∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCauchySequence I N

Context: hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤

Context: x✝ n : ℕ

Context: d : N

Context: hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)

Context: hd : g d = g (↑x (k + n))

Context: y : M

Context: hdy : f y = ↑x (k + n) - d


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
x✝ : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context: f : ℕ → ℝ

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x

(Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f


Context: f : ℕ → ℝ

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: x✝ : ℕ


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : F₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ F₂
d : D

({ toFun := fun α => whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft U₂ α) U₁ ≫ whiskerRight adj₄.counit (R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight adj₄.unit (R₁ ⋙ F₁) ≫ whiskerRight (whiskerLeft F₂ β) F₁ ≫ whiskerLeft (F₂ ⋙ R₂) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ F₁) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (F₂ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α)).app d = ((Trans.trans (Trans.trans ((F₁ ⋙ L₂).leftUnitor.homCongr (L₁ ⋙ F₂).rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft ((U₂ ⋙ R₁) ⋙ 𝟭 A) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) α) (R₂ ⋙ U₁) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (𝟭 D ⋙ R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (𝟭 A ⋙ F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) β) (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ F₂) ⋙ 𝟭 D) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) ((U₂ ⋙ R₁).rightUnitor.homCongr (R₂ ⋙ U₁).leftUnitor)) α).app d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite


Context:
b : Bool
n : ℕ


Context:
b : Bool
n : ℕ

(2 * ↑n + bif b then 1 else 0) = ↑(2 * n + bif b then 1 else 0)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Iic a)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Iic a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x) atBot (𝓝 (f a - m))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Iic a)

(fun k => f a - f k) =ᶠ[atBot] fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Iic a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Iic a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder β
f✝ : α ≃o β
inst✝ : ComplementedLattice α
f : α ≃o β
x : β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder β
f✝ : α ≃o β
inst✝ : ComplementedLattice α
f : α ≃o β
x : β
y : α
hy : IsCompl (f.symm x) y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder β
f✝ : α ≃o β
inst✝ : ComplementedLattice α
f : α ≃o β
x : β
y : α
hy : IsCompl (f.symm x) (f.symm (f y))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y

ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h) = 1


ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯ * XYIdeal' h) = 1


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m

C ↑(p ^ (n + 1)) ∣ (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℤ (n + 1))) Φ - ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) ((expand p) (W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) n))) ((map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(bind₁ fun i => (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ (n + 1)))) ((map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) ((expand p) (W_ (ZMod (p ^ (n + 1))) n))) ((map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) Φ) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i))


∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ x * (expand p) (wittStructureInt p Φ x) ^ p ^ (n - x)) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (C (↑p ^ x) * wittStructureInt p Φ x ^ p ^ (n + 1 - x))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

(map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ k * (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k)) = (map (Int.castRingHom (ZMod (p ^ (n + 1))))) (C (↑p ^ k) * wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n k : ℕ
hk : k ≤ n


↑(p ^ (n + 1)) ∣ ↑(p ^ k) * ((expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

Context: this : p ^ (n + 1) = p ^ k * p ^ (n - k + 1)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑(p ^ k * p ^ (n - k + 1)) ∣ ↑(p ^ k) * ((expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑p ^ k * ↑p ^ (n - k + 1) ∣ ↑p ^ k * ((expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑p ^ (n - k + 1) ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ p ^ (n + 1 - k)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑p ^ (n - k + 1) ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - wittStructureInt p Φ k ^ (p * p ^ (n - k))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑p ^ (n - k + 1) ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) ^ p ^ (n - k) - (wittStructureInt p Φ k ^ p) ^ p ^ (n - k)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ≤ n

↑p ∣ (expand p) (wittStructureInt p Φ k) - wittStructureInt p Φ k ^ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: hf : IsCauSeq abv f

Context: i : ℕ

Context: h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1

Context: R : ℕ → α := Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))

Context: hR : R = Nat.rec (abv (f 0)) fun i c => max c (abv (f i.succ))

Context: this : ∀ (i j : ℕ), j ≤ i → abv (f j) ≤ R i

Context: j : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: hf : IsCauSeq abv f

Context: i : ℕ

Context: h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1

Context: j : ℕ

Context: hji : j ≤ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: hf : IsCauSeq abv f

Context: i : ℕ

Context: h : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < 1

Context: j : ℕ

Context: hij : i ≤ j


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: F : Fintype { x // x ∈ s }

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ (fun x => x ∈ s) x

∏ a ∈ s, f a = ∏ a : { x // x ∈ s }, f ↑a


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: F : Fintype { x // x ∈ s }

∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∏ a : { x // x ∈ s }, f ↑a


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: n✝ : ℕ

Context: n_ih : map (frobenius R p ^ n✝) ((expand R (p ^ n✝)) f) = f ^ p ^ n✝

f ^ p ^ (n✝ + 1) = map (frobenius R p ^ (n✝ + 1)) ((expand R (p ^ (n✝ + 1))) f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K

MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝ : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝¹ x✝ : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝² x✝¹ x✝ : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝³ x✝² x✝¹ : ℕ

Context: x✝ : x✝¹ ≥ x✝²


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝⁴ x✝³ x✝² : ℕ

Context: x✝¹ : x✝² ≥ x✝³

Context: x✝ : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ

Context: x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴

Context: x✝¹ : ℕ

Context: x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: this✝ : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}

Context: x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ

Context: x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴

Context: x✝¹ : ℕ

Context: x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴

Context: this : ProperSpace E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α

NoetherianSpace ↑s ↔ ∀ t ⊆ s, IsCompact t


Context: s t : Set ℝ

frontier (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ frontier t ∪ frontier s ×ℂ closure t


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x : α
ε : ℝ≥0

EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : x ∈ cthickening (↑ε) s
y : α
hy : y ∈ cthickening (↑ε) s
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤

edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : infEdist x s ≤ ↑ε
y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : infEdist x s ≤ ↑ε
y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
hx : infEdist x s < ↑ε + ↑δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
hx : infEdist x s < ↑ε + ↑δ
x' : α
hx' : x' ∈ s
hxx' : edist x x' < ↑ε + ↑δ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: x : E

Context: y : F

Context: H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0

Context: c : R

Context: h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: x : E

Context: y : F

Context: H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0

Context: c : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')

Context: is' : List α

(t :: is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) ((t :: is).permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux ((t :: is).reverse ++ is')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: is' : List α

(is'.permutations.bind fun y => (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] y id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: is')) = (is'.permutations.bind fun a => map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] a id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: ([] ++ is')))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: is' : List α

(fun y => (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] y id).2) = fun a => map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] a id).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: is' x✝ : List α

(permutationsAux2 t (is ++ ts) [] x✝ id).2 = map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] x✝ id).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: is' x✝ : List α

(permutationsAux2 t (is ++ ts) [] x✝ id).2 = (permutationsAux2 t is [] x✝ fun x => x ++ ts).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: is : List α

Context: is' x✝ : List α

(permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => id (x ++ (is ++ ts))).2 = (permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => x ++ is ++ ts).2


Context:
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.75509, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
n : ℕ

((Γ₀.splitting K).ι n ≫ (Γ₀.splitting K).desc (op [n]) fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj A) = f.f n ≫ (Γ₀.splitting K').ι n


f.f (unop (Splitting.IndexSet.id (op [n])).fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = f.f n ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
i✝ : m
j✝ : n

(A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂) i✝ j✝ = (A₁ * B₁ + A₂ * B₂) i✝ j✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: ι : Type u_1

Context: B : ι → Opens ↑X

Context: F : Presheaf C X

Context: F' : Sheaf C X

Context: h : Opens.IsBasis (Set.range B)

Context: α : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val

Context: i : ι

((restrictHomEquivHom F F' h) α).app (op (B i)) = α.app (op i)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: ι : Type u_1

Context: B : ι → Opens ↑X

Context: F : Presheaf C X

Context: F' : Sheaf C X

Context: h : Opens.IsBasis (Set.range B)

Context: i : ι

((restrictHomEquivHom F F' h) α).app (op (B i)) = ((restrictHomEquivHom F F' h).invFun ((restrictHomEquivHom F F' h).toFun α)).app (op i)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x

(f * single x r).support = image (fun x_1 => x_1 * x) f.support


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : DecidableEq G

Context: inst✝ : Mul G

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: r : k

Context: hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0

Context: x : G

Context: rx : IsRightRegular x

Context: y : G

Context: hy : y ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : DecidableEq G

Context: inst✝ : Mul G

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: r : k

Context: hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0

Context: x : G

Context: rx : IsRightRegular x

Context: y : G

Context: yf : y ∈ f.support

Context: hy : y * x ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: R : ℝ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: hf' : ∀ x ∈ ∅, HasFDerivWithinAt f (f' x) ∅ x

Context: hs : ∅ ⊆ closedBall 0 R

Context: h'f' : ∀ x ∈ ∅, (f' x).det = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: h's : s.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: h's : s.Nonempty

Context: this : ∀ (A : E →L[ℝ] E), ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t δ → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: h's : s.Nonempty

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: h's : s.Nonempty

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))

Context: Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y


Context:
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, x ≤ ↑(↑f j)


Context:
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)


Context:
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j


Context: x✝ y : ℝ

Context: f x : CauSeq ℚ abs

Context: h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)

Context: K : ℚ

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2


Context: x✝ y : ℝ

Context: f x : CauSeq ℚ abs

Context: h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)

Context: K : ℚ

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j

Context: i : ℕ


Context: x✝ y : ℝ

Context: f x : CauSeq ℚ abs

Context: h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)

Context: K : ℚ

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i


Context: x✝ y : ℝ

Context: f x : CauSeq ℚ abs

Context: h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)

Context: K : ℚ

Context: K0 : K > 0

Context: hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: this : K + -(K / 2) ≤ ↑(x - f) j + (↑f j - ↑f i)


Context:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : CommRing R

(Perm.permMatrix R σ).det = ↑↑(Perm.sign σ)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
i✝ : n × o
j✝ : m × o

(blockDiagonal M)ᵀ i✝ j✝ = blockDiagonal (fun k => (M k)ᵀ) i✝ j✝


(if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 j✝.1 i✝.1 else 0) = if i✝.2 = j✝.2 then M j✝.2 j✝.1 i✝.1 else 0


Context:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ

((A.compHahnSeries B (r • u)).coeff x✝¹).coeff x✝ = ((r • A.compHahnSeries B u).coeff x✝¹).coeff x✝


(r • A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝ = r • (A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0

p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support


gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.coeff) = gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.eraseLead.coeff)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
i : ℕ
hi : i ∈ p.support.erase p.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
i : ℕ
hi : i ≠ p.natDegree ∧ i ∈ p.support


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁶ : CommRing A

Context: inst✝²⁵ : CommRing B

Context: inst✝²⁴ : Algebra A B

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Field L

Context: inst✝²¹ : Algebra A K

Context: inst✝²⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝¹⁹ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁷ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁴ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹³ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.446485

Context: Bₘ : Type ?u.446488

Context: inst✝¹² : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝² inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : B

(algebraMap A K) (IsIntegralClosure.mk' A ((norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯) = (norm K) ((algebraMap B L) x)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝³ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝² : FiberBundle F E

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

((continuousLinearEquivAt R e b ⋯).symm.trans (continuousLinearEquivAt R e' b ⋯)) v = (coordChangeL R e e' b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : FiberBundle F E

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

((continuousLinearEquivAt R e b ⋯).symm.trans (continuousLinearEquivAt R e' b ⋯)) v = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lim_mass : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass

Context: eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass

Context: eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass

Tendsto (fun x => (μs x).mass⁻¹ * (μs x).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)

Context: nonzero : μ ≠ 0

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass

Context: lim_pair : Tendsto (fun i => ((μs i).mass⁻¹, (μs i).testAgainstNN f)) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton s = s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α

fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton ∅ = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: op : β → β → β

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: s✝ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: ih : fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton s = s

fold (fun x x_1 => x ∪ x_1) ∅ singleton (insert a s) = insert a s


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

‖x‖ = univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

univ.sup' ⋯ (Subtype.val ∘ fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) = univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : a • x ∈ a • S


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
this : Nonempty ↑s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ upperBounds s
x : E
this : Nonempty ↑s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
l : List α
xl : ¬x ∈ l
yl : ¬y ∈ l

List.insert x (y :: l) ~ List.insert y (x :: l)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
v : ℕ
hv : v ≠ 1
hr : CharP R v
h : ↑1 = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : MulAction S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : a • s = 1


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ r * ↑n


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ r * ↑n
x : α
hx : ↑n * max b 0 ≤ f x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₁'.X₂), x₂ ≫ S.L₁'.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₁'.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A₀ : C
x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃
hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
hπ₁ : Epi π₁
p : A₁ ⟶ S.L₀'.X₂
hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ S.L₀'.g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ (ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ ⋯).X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ (ShortComplex.mk S.v₁₂.τ₁ S.v₂₃.τ₁ ⋯).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁

Context: x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f

Context: x₂ : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := π₂ ≫ p ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁

Context: x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f

Context: hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁

Context: x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f

Context: hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0

Context: k₂ : A₂ ⟶ S.L₀.X₂ := ⋯.lift (x₂ - x₂') hx₂'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁

Context: x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f

Context: hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0

Context: hk₂ : k₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = x₂ - x₂'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp' : (p ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: hπ₂ : Epi π₂

Context: x₁ : A₂ ⟶ S.L₁.X₁

Context: hx₁ : π₂ ≫ p ≫ S.φ₁ = x₁ ≫ S.v₁₂.τ₁

Context: x₂' : A₂ ⟶ S.L₁.X₂ := x₁ ≫ S.L₁.f

Context: hx₂' : (x₂ - x₂') ≫ S.v₁₂.τ₂ = 0

Context: hk₂ : k₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = x₂ - x₂'

Context: hk₂' : k₂ ≫ S.L₀.g = π₂ ≫ p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : Algebra R S
f : τ → S
g : σ → MvPolynomial τ R
i✝ : σ

((aeval f).comp (bind₁ g)) (X i✝) = (aeval fun i => (aeval f) (g i)) (X i✝)


Context: q✝ a b c p q : ℚ


Context: q✝ a b c p q : ℚ

p.num /. ↑p.den = q.num /. ↑q.den ↔ p.num * ↑q.den = q.num * ↑p.den


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x


Context: step s n : Nat

range' s (n + 1) step = range' s n step ++ [s + step * n]


Context: step s n : Nat

range' s (1 + n) step = range' s n step ++ [s + step * n]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α

(boundedBy m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (t n)


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E

ContDiffOn ℝ ⊤ (uncurry y) (Ioo 0 1 ×ˢ univ)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)
hk : IsCompact (closedBall 0 1)


∀ (p : ℝ) (x : E), p ∈ Ioo 0 1 → x ∉ closedBall 0 1 → w p x = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


Context: f✝ f : StieltjesFunction


Context: f✝ f : StieltjesFunction

{x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x} ⊆ {x | ¬ContinuousAt (↑f) x}


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
hx : x ∈ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x}
h'x : ContinuousAt (↑f) x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : s ⊆ ⋃ i ∈ u, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : Disjoint (⋃ i ∈ u, U i)ᶜ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : Disjoint (⋂ i ∈ u, t i) s


Context:
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x y : ℕ → α
h : res x = res y
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
f' : β ≃ γ
f'' : γ ≃ δ

(e.transEquiv f').transEquiv f'' = e.transEquiv (f'.trans f'')


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K
this : ¬Disjoint (g • K) K


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K
this : ¬Disjoint (g • K) K
x : G
hxK : x ∈ K
hgxK : (fun x => g • x) x ∈ K


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Zero R
n : R


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)

LinearIndependent R (Sum.elim (fun x => ↑(f x)) g)


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Disjoint (span R (range fun x => ↑(f x))) (span R (range g))


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: x : M

Context: h₁ : x ∈ span R (range fun x => ↑(f x))

Context: h₂ : x ∈ span R (range g)


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: x : M

Context: h₁ : x ∈ span R (range fun x => ↑(f x))

Context: h₂ : x ∈ span R (range g)

Context: this : x ∈ M'


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: c : ι₂ →₀ R

Context: h₁ : (c.sum fun i a => a • g i) ∈ span R (range fun x => ↑(f x))

Context: h₂ : (c.sum fun i a => a • g i) ∈ span R (range g)

Context: this : (c.sum fun i a => a • g i) ∈ M'


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: c : ι₂ →₀ R

Context: this : (c.sum fun a b => b • Submodule.Quotient.mk (g a)) = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid M
a b c d : M
hbd : Commute b d
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R

(-A).det = (-1) ^ Fintype.card n * A.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot

f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂ ↔ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this : f₂.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this✝ : f₂.NeBot
this : g₂.NeBot


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Computable o
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
a : α

(Nat.casesOn (encode (o a)) (Option.some (f a)) fun n => Option.map (g a) (decode n)) = Option.some (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) {a | (a, x.2) ∈ s} x.1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f s (x.1, x.2) ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, (x.1, x.2).2)) {a | (a, (x.1, x.2).2) ∈ s} (x.1, x.2).1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

Context: x : α × β


Context:
m n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
m n : ℕ
h : n ≠ 0
this : n * 1 < n * succ 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.14973
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsLocallyInjective f ↔ IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)


(∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U) ↔ ∀ (a b : X) (b_1 : f a = f b), ⟨(a, b), b_1⟩ ∈ Function.pullbackDiagonal f → ∃ t ∈ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b, Subtype.val ⁻¹' t ⊆ Function.pullbackDiagonal f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E

x ∈ toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
d : σ →₀ ℕ
r : R

(bind₁ f) ((monomial d) r) = C r * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddMonoid τ

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddMonoid τ

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: t : τ

MapsTo (ϕ.toFun t) (ω f ϕ.toFun s) (ω f (fun t_1 x => ϕ.toFun (t + t_1) x) s)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
s t : Set α
f : α → E
x : α

edist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ↑‖(s ∆ t).mulIndicator f x‖₊


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'

((splitting K).cofan Δ).inj A ≫ (obj K).map θ = Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K).cofan Δ').inj (A.pull θ)


factorThruImage (θ.unop ≫ A.e) ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e) = θ.unop ≫ A.e


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : ↑a < ↑x✝

(↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝

(↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x✝ : ℝ≥0
h : 0 < x✝

(↑x✝)⁻¹ < (↑0)⁻¹


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝
ha : a ≠ 0

(↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹


Context:
p m : ℕ+
pp : p.Prime


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z : C


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : b ≠ 0
h : c.IsLimit


¬a < b ^ c ↔ ∀ (x : Ordinal.{u_1}), ¬(x < c ∧ a < b ^ x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β

⋂₀ S ×ˢ t = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t


⋂ r ∈ S ×ˢ {t}, r.1 ×ˢ r.2 = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t


Context:
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1

|rexp x - expNear m x 0| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)


|rexp x - ∑ m ∈ range m, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)


|x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m) = |x| ^ m * (↑m.succ / (↑m.factorial * ↑m))


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
f : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace β
inst✝ : T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)


∀ (a : α), pkg.extend f (pkg.coe a) = g (pkg.coe a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

(norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Subsingleton R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

Context: this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: h : AffineIndependent k p

Context: w w₁ w₂ : ι → k

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: hs : (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂}

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hj : j ∈ s

Context: hi0 : w₁ i = 0

Context: hj0 : w₁ j = 0

Context: hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)

SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: h : AffineIndependent k p

Context: w w₁ w₂ : ι → k

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: hs : ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hj : j ∈ s

Context: hi0 : w₁ i = 0

Context: hj0 : w₁ j = 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: h : AffineIndependent k p

Context: w w₁ w₂ : ι → k

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hj : j ∈ s

Context: hi0 : w₁ i = 0

Context: hj0 : w₁ j = 0

Context: r : k

Context: hr : ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
N : s.Normal
g a : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: u v w : m → α

Context: x : α

Context: i : m

Context: this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : v ∈ e

G.otherVertexOfIncident ⋯ ∈ G.neighborSet v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ

(fun a => ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r)) =ᶠ[ae ρ.fst] preCDF ρ r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: r : ℚ

Context: a : α

Context: ha : ↑(condCDF ρ a) ↑r = (preCDF ρ r a).toReal

Context: ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r) = preCDF ρ r a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: r : ℚ

Context: a : α

Context: ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

Memℒp (f + g) p μ ↔ Memℒp f p μ ∧ Memℒp g p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
hfg : Memℒp (f + g) p μ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : F.IsEquivalence
inst✝¹ : SplitEpiCategory C
X Y : D
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : b < 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a✝ : 𝕜

Context: inst✝² : Archimedean 𝕜

Context: x : AddCircle p

Context: hx : x ≠ ↑a✝

Context: inst✝¹ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)

Context: inst✝ : DenselyOrdered 𝕜

Context: a : 𝕜

∃ e, a ∈ e.source ∧ QuotientAddGroup.mk = ↑e