Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle (x - y) x).sign = (o.oangle x y).sign


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

Context: eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

Context: eq₂ : ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))) = ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

Context: eq₃ : ((F ⋙ yoneda).map (↑f).unop ≫ φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))) = (φ.app (Opposite.unop y.fst) ≫ (yoneda ⋙ G).map (↑f).unop).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

Context: eq₄ : ∀ (a : ((F ⋙ yoneda).obj (Opposite.unop x.fst)).obj (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst)))), (((F ⋙ yoneda).obj (Opposite.unop x.fst)).map (F.map (↑f).unop).op ≫ (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst)))) a = ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ≫ ((yoneda ⋙ G).obj (Opposite.unop x.fst)).map (F.map (↑f).unop).op) a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

Context: eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))

Context: eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))

Context: eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

yonedaEquiv (yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x) = yonedaEquiv (coconeApp φ y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

yonedaEquiv (yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst)))))))) = yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm y.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))))))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: x y : P.Elements

Context: f : x ⟶ y

(F.op ⋙ G.obj P).map (↑f).unop.op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm y.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))))))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α

Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 (fixedPoint f hf))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • x + b • y ∈ interior ((fun x => z + x) ⁻¹' s)


a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : AddCancelCommMonoid E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: z x : E

Context: hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ interior s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M

(𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup N

Context: S : AddSubgroup M

Context: this : ∀ (ε : ℝ), mk '' ball 0 ε = {x | ‖x‖ < ε}


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup N

Context: S : AddSubgroup M

(Filter.map mk (𝓝 0)).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun x => mk '' ball 0 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Sub R

Context: inst✝ : BoundedSub R

Context: f g : X → R

Context: f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C

Context: g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Sub R

Context: inst✝ : BoundedSub R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f - Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f - Set.range g → dist x y ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Sub R

Context: inst✝ : BoundedSub R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Sub R

Context: inst✝ : BoundedSub R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: x y : X


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : PartENat

φ.order = n ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = n → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (coeff R i) φ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧

φ.order = ⊤ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → (coeff R i) φ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

φ.order = ↑n✝ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ↑n✝ → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → (coeff R i) φ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

c ≥ fold max b f s ↔ b ≤ c ∧ ∀ x ∈ s, f x ≤ c


∀ {x y z : β}, x ≥ max y z ↔ x ≥ y ∧ x ≥ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
x : ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α


(∃ a ∉ t, insert a t = s) ↔ t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
fst✝¹ : E
snd✝¹ : F
hx : (fst✝¹, snd✝¹) ∈ f.graph
fst✝ : E
snd✝ : F
hy : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
hxy : (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: this : (𝓤 (α × α)).HasBasis (fun U => U ∈ 𝓤 α) fun U => (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

⋃ x ∈ diagonal α, ball x ((fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U) ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β

AEStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


(AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t) → AEStronglyMeasurable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t_sep : IsSeparable ∅
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
h₀ : t.Nonempty


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → M
x : M

x ∈ I • span R (f '' s) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ↑s), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f ↑i) = x


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : τ ω ≤ i


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t F : Set G
hF : IsClosed F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r

Context: hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x (max n m) r


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical

Disjoint ↑(Submonoid.powers y) ↑I ↔ y ∉ I.toAddSubmonoid


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid
n : ℕ
hx' : (fun x => y ^ x) n ∈ ↑I


Context: x y : ℝ


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₁₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂

Context: inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂

Context: p q : ℤ

(p * q).negOnePow * 1 = q.negOnePow * ((p + 1) * q).negOnePow


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₁₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂

Context: p q : ℤ

(p * q).negOnePow * p.negOnePow = 1 * (p * (q + 1)).negOnePow


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

x ∈ s.disjSum t ↔ (∃ a ∈ s, inl a = x) ∨ ∃ b ∈ t, inr b = x


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n
hqy : ↑q ^ ↑n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < y


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ n < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

Fintype.card { a // a.IsDiag } = Fintype.card α


Fintype.card { a // a.IsDiag } = (image Sym2.mk univ.diag).card


∀ (x : Sym2 α), x ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ x.IsDiag


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α

x ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ x.IsDiag


(∃ a ∈ univ, Sym2.mk a = x) ∧ x.IsDiag ↔ x.IsDiag


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
a : α × α
ha : Quot.mk (Rel α) a = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
y : Set β
x : Set α
f : r ↪r s
h : y ⊆ ⇑f '' x

x ∩ ⇑f ⁻¹' minimals s y = minimals r (x ∩ ⇑f ⁻¹' y)


∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
s : Set M
r : R

r ∈ (span R s).annihilator ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0


(∀ n ∈ span R s, r • n = 0) ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : M → M' × N'

Context: x : M

ContMDiffAt I (I'.prod J') n f x ↔ ContMDiffAt I I' n (Prod.fst ∘ f) x ∧ ContMDiffAt I J' n (Prod.snd ∘ f) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : M → M' × N'

Context: x : M

ContMDiffWithinAt I (I'.prod J') n f univ x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) univ x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) univ x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.58352, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.58356, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑X.toTopCat

op U = (Opens.map f.val.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

∑ m ∈ range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ


Context:
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.324351, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.324358, u_2} D
inst✝¹ : HasInitial C
ι : Type u_3
X : ι → C
c : Cofan X
hc : IsVanKampenColimit c
i j : ι
inst✝ : DecidableEq ι

IsPullback (if h : j = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i)) (if h : j = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)


(Discrete.natTrans fun k => if h : k.as = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to ((Discrete.functor X).obj k)) ≫ c.ι = (Cofan.mk (X i) fun k => if h : k = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i)).ι ≫ (Functor.const (Discrete ι)).map (c.inj i)


IsColimit (Cofan.mk (X i) fun k => if h : k = i then eqToHom ⋯ else eqToHom ⋯ ≫ initial.to (X i))


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u v : ℙ K V
h : map f hf u = map f hf v


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
v : ℙ K V
u : V
hu : u ≠ 0
h : map f hf (mk K u hu) = map f hf v


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: L : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing L

Context: inst✝² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹ : Module L W

Context: σ : K →+* L

Context: τ : L →+* K

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ τ

Context: f : V →ₛₗ[σ] W

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: u : V

Context: hu : u ≠ 0

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: h : map f hf (mk K u hu) = map f hf (mk K v hv)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
h : ∃ a, a • f v = f u


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
a : L
ha : a • f v = f u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G

fderiv 𝕜 (⇑iso ∘ f) x = (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderiv 𝕜 f x)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E

Periodic (circleTransformDeriv R z w f) (2 * π)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R : ℝ

Context: z w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: this : ∀ (c : ℂ) (R : ℝ), Periodic (circleMap c R) (2 * π)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)

(forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ⇑(evalHom IM I M R x) = smoothSheaf.evalHom IM I R x


∀ (j : (OpenNhds x)ᵒᵖ), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑(TopCat.of M))ᵒᵖ (Type u)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (smoothSheaf IM I M R).presheaf) j ≫ (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ⇑(evalHom IM I M R x) = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑(TopCat.of M))ᵒᵖ (Type u)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (smoothSheaf IM I M R).presheaf) j ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

(forget CommRingCat).map (colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U) ≫ ⇑(evalHom IM I M R x) = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x


colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forget CommRingCat).map (evalAt IM I M R x (unop U))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : o → Matrix m n α

(blockDiagonal M)ᴴ = blockDiagonal fun k => (M k)ᴴ


(blockDiagonal fun k => (M k)ᵀ).map star = blockDiagonal fun k => (M k)ᵀ.map star


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)

(trace R M) f = ((toMatrix b b) f).trace


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } R M

Context: f : M →ₗ[R] M

(traceAux R ⋯.some) f = (traceAux R b) f


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } R M

Context: f : M →ₗ[R] M


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

x ⊓ y ⊓ z ⊔ x \ z ⊓ y \ z = (x ⊓ y ⊓ z ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z)


(x ⊓ y ⊓ z ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z) = (x ⊓ y ⊓ (z ⊔ x) ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z)


(y ⊓ (x ⊓ (x ⊔ z)) ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊔ y \ z)


(y ⊓ x ⊔ x \ z) ⊓ (x ⊓ y ⊔ y \ z) = x ⊓ y ⊔ x \ z ⊓ y \ z


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0∞), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
hxy : x ≠ y

(swap x y).support = { val := x ::ₘ y ::ₘ 0, nodup := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set α
hinj : InjOn f r
hrs : r ⊆ s

∃ u, r ⊆ u ∧ u ⊆ s ∧ f '' u = f '' s ∧ InjOn f u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set α
hinj : InjOn f r
hrs : r ⊆ s
u : Set α
hru : r ⊆ u
hus : u ⊆ s
h : BijOn f u (f '' s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring R
f : R →+* S


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ

(∑ i ∈ range n, i) * 2 = ∑ i ∈ range n, i + ∑ i ∈ range n, (n - 1 - i)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocRing R✝
inst✝⁴ : Pow R✝ ℕ
inst✝³ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ

(descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r


(X * (descPochhammer ℤ k).comp (X - 1)).smeval (r + 1) = (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r


(X * (descPochhammer ℤ k).comp (X - 1)).smeval (r + 1) = (k + 1) • (descPochhammer ℤ k).smeval r + ((X - ↑k) * descPochhammer ℤ k).smeval r


r * (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ k).smeval r = k • (descPochhammer ℤ k).smeval r + (descPochhammer ℤ k).smeval r + (r * (descPochhammer ℤ k).smeval r - (↑k).smeval r * (descPochhammer ℤ k).smeval r)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty

ofDual (s.max' hs) = (image (⇑ofDual) s).min' ⋯


↑(ofDual (s.max' hs)) = ↑((image (⇑ofDual) s).min' ⋯)


s.inf (WithTop.some ∘ fun x => ofDual x) = s.inf ((WithTop.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑ofDual)


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x✝ : UniformSpace α := ⊥


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x✝ : UniformSpace α := ⊥
this : DiscreteTopology α


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
L : F
LK : L ∈ K
hL₁ : x ∈ A f L r ε
hL₂ : x ∈ A f L s ε


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
r s ε x : ℝ
hx : x ∈ B f K r s ε
L : F
LK : L ∈ K
hL₁ : x ∈ A f L r ε
hL₂ : x ∈ A f L s ε
y : ℝ
hy₁ : y ∈ A f L r ε
hy₂ : y ∈ A f L s ε


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α
l : List α

List.pmap mk l ⋯ = List.map (fun p => ⟨↑p, ⋯⟩) (List.pmap mk l ⋯)


List.pmap mk l ⋯ = List.pmap (fun a_1 h => ⟨↑⟨a_1, h⟩, ⋯⟩) l ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T3Space β
ι : Type u_5
s : ι → Set α
p : ι → Prop
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s
f : α → β
hf : DenseInducing f

(𝓝 (f x)).HasBasis p fun i => closure (f '' s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : T3Space β

Context: ι : Type u_5

Context: s : ι → Set α

Context: p : ι → Prop

Context: x : α

Context: h : ∀ (t : Set α), t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t

Context: f : α → β

Context: hf : DenseInducing f

∀ (t : Set β), t ∈ 𝓝 (f x) ↔ ∃ i, p i ∧ closure (f '' s i) ⊆ t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
a : α
l : List β

foldl (fun b x => f b) a l = f^[l.length] a


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ rightTransversals ↑H


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesZeroMorphisms

Context: S : ShortComplex C

Context: x : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₁)

((forget₂ C Ab).map S.g) (((forget₂ C Ab).map S.f) x) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: S : ShortComplex C

Context: x : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₁)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid N
h : S ≤ MonoidHom.mrange f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
h : a < b * succ c


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: S : IntermediateField E K := separableClosure E K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h : lift (adjoin E ↑(separableClosure F ↥S)) = lift ⊤


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h : adjoin E (Subtype.val '' ↑(separableClosure F ↥S)) = S


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : IsScalarTower F (↥S) K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : IsScalarTower F (↥S) K

adjoin E ↑(IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F (↥(separableClosure E K)) K) (separableClosure F ↥(separableClosure E K))) = adjoin E (Subtype.val '' ↑(separableClosure F ↥S))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : α → ℝ≥0
hg : Summable g
i : α
hi : 0 < g i


Context:
R : Type u
S : Type u'
M✝ : Type v
N : Type w
K : Type u_1
M : Type u_2
L : Type v
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Ring M
inst✝⁵ : Algebra K M
inst✝⁴ : Module.Free K M
inst✝³ : Module.Finite K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L

#(M →ₐ[K] L) ≤ lift.{v, u_2} (Module.rank K M)


#(M →ₐ[K] L) = lift.{max u_2 v, max u_2 v} #(M →ₐ[K] L)


lift.{v, u_2} (Module.rank K M) = lift.{max u_2 v, max u_2 v} (Module.rank L (M →ₗ[K] L))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
a : R
x : M
x✝ : x ∈ __src✝.carrier
b : S
h : b • x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
h : Measurable fun x => ↑(f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁


map (f.comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P₁ v)) s = map ((↑(AffineEquiv.constVAdd k P₂ (f.linear v))).comp f) s


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
v : V₁
s : AffineSubspace k P₁
p✝ : P₁

(f.comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P₁ v)) p✝ = ((↑(AffineEquiv.constVAdd k P₂ (f.linear v))).comp f) p✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: a b : (i : ι) → α i

(Ico a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
s : S
p : R[X]
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u
N : Type v
P : Type w
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → TopologicalSpace α

Context: ht : ∀ (i : ι), SecondCountableTopology α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X : C


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
p : X → Prop
q : Y → Prop
h : X ≃ₜ Y
h_iff : ∀ (x : X), p x ↔ q (h x)


Context:
a : ℂ
r : ℝ

volume (Metric.closedBall a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: a₁ b₁ : ℝ

Context: h₁ : a₁ ≤ b₁

Context: a₂ b₂ : ℝ

Context: Hcf : ContinuousOn f ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])

Context: Hcg : ContinuousOn g ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]])

Context: Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a₁ b₁) (max a₁ b₁) ×ˢ Set.Ioo (min a₂ b₂) (max a₂ b₂) \ s, HasFDerivAt g (g' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) ([[a₁, b₁]] ×ˢ [[a₂, b₂]]) volume

Context: h₂ : a₂ ≤ b₂


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: a₁ b₁ : ℝ

Context: h₁ : a₁ ≤ b₁

Context: a₂ b₂ : ℝ

Context: h₂ : a₂ ≤ b₂

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂)

Context: Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a₁ b₁ ×ˢ Set.Ioo a₂ b₂ \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a₁ b₁ ×ˢ Set.Ioo a₂ b₂ \ s, HasFDerivAt g (g' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a₁ b₁ ×ˢ Set.Icc a₂ b₂) volume


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
x : M
s : Set M

span R (insert x s) = span R {x} ⊔ span R s


Context:
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
q : α
hq : ¬IsUnit q
hq' : q ≠ 0
n m : ℕ
h : n < m


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens

X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

∀ (x : ℕ → ι × α), Tendsto x atTop (l ×ˢ 𝓟 s) → Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ x) atTop (𝓤 β)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → ι × α

Context: hu : Tendsto u atTop (l ×ˢ 𝓟 s)

Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ u) atTop (𝓤 β)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → ι × α

Context: hu : Tendsto (fun n => (u n).1) atTop l ∧ Tendsto (fun n => (u n).2) atTop (𝓟 s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → ι × α

Context: h : TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n).1) f atTop s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → ι × α

Context: h : Tendsto (fun q => (f q.2, F (u q.1).1 q.2)) (atTop ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)


Context: a b m n✝ p✝ n p : ℕ

n.factorization p = 0 ↔ ¬Prime p ∨ ¬p ∣ n ∨ n = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)


∀ (u v : Set X), IsClosed u → IsClosed v → ⋂ s, ↑s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → ⋂ s, ↑s ⊆ u ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : RightDistribClass α
a b : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M
c : ι → R

(x = (Finsupp.equivFunOnFinite.symm c).sum fun i x => x • ↑(b i)) ↔ x = ∑ i : ι, c i • ↑(b i)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⋖ t


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³¹ : Semiring R₁
inst✝³⁰ : Semiring R₂
inst✝²⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝²¹ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R₄
inst✝⁵ : Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝³ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₁ →SL[σ₁₄] M₄
x : M₁

((fun f => (↑e₄₃.symm).comp (f.comp ↑e₁₂)) ((fun f => (↑e₄₃).comp (f.comp ↑e₁₂.symm)) f)) x = f x


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³¹ : Semiring R₁
inst✝³⁰ : Semiring R₂
inst✝²⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝²¹ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
R₄ : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R₄
inst✝⁵ : Module R₄ M₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝³ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
e₁₂ : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
e₄₃ : M₄ ≃SL[σ₄₃] M₃
f : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
x : M₂

((fun f => (↑e₄₃).comp (f.comp ↑e₁₂.symm)) ((fun f => (↑e₄₃.symm).comp (f.comp ↑e₁₂)) f)) x = f x


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

∃ b ⊆ t, span K b = span K t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: b : Set V

Context: hb₁ : b ⊆ t

Context: hb₂ : t ⊆ ↑(span K b)

Context: hb₃ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
h : re ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H✝ : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace H✝

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁷ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : MeasurableSpace H

Context: inst✝¹ : BorelSpace H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: e : G ≃* H

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: K : Set H

Context: hK : IsCompact K

Context: F : G ≃ₜ H := let __src := e.toEquiv; { toEquiv := __src, continuous_toFun := he, continuous_invFun := hesymm }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H✝ : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace H✝

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁷ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : MeasurableSpace H

Context: inst✝¹ : BorelSpace H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: e : G ≃* H

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: K : Set H

Context: hK : IsCompact K


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A

(shiftFunctorComm C i j).inv = (shiftFunctorComm C j i).hom


((shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯).inv = ((shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α
e : β ≃* α

MulDissociated (⇑e ⁻¹' s) ↔ MulDissociated s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

(∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) f s x) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
h✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Opens α

IsCoatom s ↔ ∃ x, s = (Closeds.singleton x).compl


IsAtom (toDual s.compl.compl) ↔ ∃ x, s.compl.compl = (Closeds.singleton x).compl


IsAtom ((Closeds.complOrderIso α) s.compl) ↔ ∃ x, s.compl.compl = (Closeds.singleton x).compl


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α
hm : (node size✝ l✝ x✝ r✝).Sized

(if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).size = l.size + size✝ + 1


(if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝).size = l.size + (l✝.size + r✝.size + 1) + 1


Context:
q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
f g : StructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : f.right ⟶ c
w : f.hom ≫ T.map η = f.hom ≫ T.map η'


Context:
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε

∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
hε' : 0 < ε / 3


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → ε / 3 ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := min (1 / 2) (min (ε / 3) (δ / 3))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : ‖x‖ ≤ 1 - δ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : ‖y‖ ≤ 1 - δ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : 1 - δ' < ‖y‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : 1 - δ' < ‖y‖

Context: hδ' : 0 < 1 - δ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : 1 - δ' < ‖y‖

Context: hδ' : 0 < 1 - δ'

Context: h₁ : ∀ (z : E), 1 - δ' < ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z‖ = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : 1 - δ' < ‖y‖

Context: hδ' : 0 < 1 - δ'

Context: h₂ : ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ 1 → 1 - δ' ≤ ‖z‖ → ‖‖z‖⁻¹ • z - z‖ ≤ δ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : UniformConvexSpace E

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : 0 < ε / 3

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ ≤ 1

Context: hxy : ε ≤ ‖x - y‖

Context: hx' : 1 - δ' < ‖x‖

Context: hy' : 1 - δ' < ‖y‖

Context: hδ' : 0 < 1 - δ'

Context: x' : E := ‖x‖⁻¹ • x

Context: y' : E := ‖y‖⁻¹ • y

Context: hxy' : ε / 3 ≤ ‖x' - y'‖


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
J : Ideal R
x : R
hJ : ker f ≤ J
hxf : x ∉ ker f
hxJ : x ∈ J


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
J : Ideal R
x : R
hJ : ker f ≤ J
hxf : x ∉ ker f
hxJ : x ∈ J
y : R
hy : f y = (f x)⁻¹


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
R : Type u_1
K : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : FunLike F R K
inst✝ : RingHomClass F R K
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
J : Ideal R
x : R
hJ : ker f ≤ J
hxf : x ∉ ker f
hxJ : x ∈ J
y : R
hy : f y = (f x)⁻¹
H : 1 = y * x - (y * x - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α

f.cycleFactorsFinset = {g} ↔ f.IsCycle ∧ f = g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝²³ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝²² : Category.{u_5, u_3} E

Context: inst✝²¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝²⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁹ : HasShift E ℤ

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁸ : F.CommShift ℤ

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝¹⁷ : G.CommShift ℤ

Context: inst✝¹⁶ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject E

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : Preadditive D

Context: inst✝¹¹ : Preadditive E

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁶ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated E

Context: H : C ⥤ E

Context: e : F ⋙ G ≅ H

Context: inst✝⁴ : H.CommShift ℤ

Context: inst✝³ : H.IsTriangulated

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : F.mapArrow.EssSurj

Context: inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝²³ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝²² : Category.{u_5, u_3} E

Context: inst✝²¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝²⁰ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁹ : HasShift E ℤ

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁸ : F.CommShift ℤ

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝¹⁷ : G.CommShift ℤ

Context: inst✝¹⁶ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject E

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : Preadditive D

Context: inst✝¹¹ : Preadditive E

Context: inst✝⁷ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁶ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated E

Context: H : C ⥤ E

Context: e : F ⋙ G ≅ H

Context: inst✝⁴ : H.CommShift ℤ

Context: inst✝³ : H.IsTriangulated

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : F.mapArrow.EssSurj

Context: inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ

Context: this : (F ⋙ G).IsTriangulated


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)


Context:
G H : PGame
e : G ≡r H
h : G.Impartial


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r

s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite


(∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite) → s.PartiallyWellOrderedOn r


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : f m = f n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : f m ≠ f n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : f m ≠ f n

Context: h : m < n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : f m ≠ f n

Context: h : n < m


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasCoequalizers C
𝒢 : Set C


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]

(quotQuotEquivComm I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
α : Sort u
β : Sort v


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α

(↑(Int.negOfNat 1))⁻¹ = ↑(Int.negOfNat 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
h : Primrec₂ f
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
h : Primrec₂ f
a : α
i : Fin n

(Vector.ofFn fun i => f a i).get i = f a i


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : LocalizedModule S M
m m' : M
s s' : ↥S


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
hv : X ≃ₕ Unit


(ContinuousMap.id X).Homotopic (const X (hv.invFun ()))


Context: x : ℤ[i]

toComplex (star x) = (starRingEnd ℂ) (toComplex x)


Context: x : ℤ[i]

{ re := ↑(star x).re, im := ↑(star x).im } = (starRingEnd ℂ) { re := ↑x.re, im := ↑x.im }


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂

K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddZeroClass β
inst✝ : ContinuousAdd β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
hg : l.ZeroAtFilter g


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: hA : CantorScheme.Disjoint A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: hA : CantorScheme.Disjoint A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

res ((fun a => ↑a) ⟨x, hx⟩) = res ((fun a => ↑a) ⟨y, hy⟩)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: hA : CantorScheme.Disjoint A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n

¬_root_.Disjoint (A (x n :: res x n)) (A (y n :: res x n))


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n

∃ x_1 ∈ A (x n :: res x n), x_1 ∈ A (y n :: res x n)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n

(inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ ∈ A (y n :: res x n)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n

(inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩ ∈ A (res y n.succ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: x y z : ℝ≥0∞

Context: h : x < y + z

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: this✝ : NeZero y

Context: this : NeZero z

Context: A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: x y z : ℝ≥0∞

Context: h : x < y + z

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: this✝ : NeZero y

Context: this : NeZero z

Context: y' z' : ℝ≥0∞

Context: hx : x < (y', z').1 + (y', z').2

Context: hy' : (y', z').1 ∈ Iio y

Context: hz' : (y', z').2 ∈ Iio z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
hf : ∀ x ∈ f.support, p x
H : ∀ (x : α), p x → f x = 0
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b


Context:
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1


Context:
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1


Context:
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : a.y = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y

T.map (T.map f ≫ Y.a) ≫ Y.a = T.μ.app X ≫ T.map f ≫ Y.a


(fun f => T.η.app X ≫ f.f) ((fun f => { f := T.map f ≫ Y.a, h := ⋯ }) f) = f


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : ι

Context: hi : ‖F i‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : ι

Context: hi : ‖F i‖ ≤ C

Context: hC : 0 ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: C : ℝ

Context: i : ι

Context: hC : 0 ≤ C

Context: _i : Fact (1 ≤ ⊤)

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: hi : ‖F i‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : ι

Context: hi : ‖F i‖ ≤ C

Context: hC : 0 ≤ C

Context: hp : p < ⊤


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z✝ : R
a b c : ℍ[R]
z : ℤ


Context: x y : ℂ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (m → R)
this : Module.Free R (m → R)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w✝ : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: w : InfinitePlace K

Context: H : IsUnramified k w

Context: v : InfinitePlace K

Context: hv : v.comap (algebraMap k K) = w.comap (algebraMap k K)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ✝ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: v : InfinitePlace K

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: H : IsUnramified k (σ • v)

Context: hv : v.comap (algebraMap k K) = (σ • v).comap (algebraMap k K)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p

∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)


(∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n m : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ

(drop n (drop m s)).get n✝ = (drop (n + m) s).get n✝


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
s : Submonoid M
l : List ↥s


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(_root_.commutator G)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(map (closureCommutatorRepresentatives G).subtype (_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β

(∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, f x = ∏ x ∈ s, f x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι


∀ t ∈ piiUnionInter π S, MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
ht_p : Finset ι
w✝ : ↑ht_p ⊆ S
ft : ι → Set α
hft_mem_pi : ∀ x ∈ ht_p, ft x ∈ π x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
ht_p : Finset ι
w✝ : ↑ht_p ⊆ S
ft : ι → Set α
hft_mem_pi : ∀ x ∈ ht_p, ft x ∈ π x
x : ι
hx_mem : x ∈ ht_p


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M

∏ k ∈ Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ioc a b, f k) * f (b + 1)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝¹ : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝ : α → X
g : X → Y
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
hs : IsOpen s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K

Context: e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

adjoint e' = (adjoint e').comp (e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K

e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = id 𝕜 K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K

(adjoint e').comp (e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) = ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K

comp 1 ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : MonoidWithZero R'
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : MulActionWithZero R M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : SMul R M'
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
x : M
i j : ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝¹ : LinearOrder R

Context: inst✝ : LinearOrder S

Context: f : R → S

Context: f_incr : Monotone f

Context: u : R

Context: freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u

Context: ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, ¬(fun y => y ≤ f u) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | f u < x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | f u < x}
con : ¬u < z


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


(if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.gt ↔ a > b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : ¬a = b


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: x y : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: n m : ℤ

Context: hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : x < b ^ t


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : x < b ^ t

Context: h : t = 0


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : x < b ^ t

Context: h : ∃ a, t = succ a


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : x < b ^ t

Context: h : t.IsLimit


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)

∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι