Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ

(whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val).app x✝ = ({ app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val).app x✝


U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝) ≫ U.map (𝟙 (((presheafToSheaf J A).obj ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).val.obj x✝)) ≫ U.map (((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝) ≫ U.map ((sheafifyLift J (𝟙 F.val) ⋯).app x✝) = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t))))).app x✝ ≫ (sheafifyLift J ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ⋯).app x✝


U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝) ≫ U.map (((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝) ≫ U.map ((sheafifyLift J (𝟙 F.val) ⋯).app x✝) = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ sheafifyLift J ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ⋯).app x✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y

∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain

Context: y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain

Context: hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E

Context: fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j : 𝒰.J

t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformly F (fun x => c) p


Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p ⊤


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Context: hpi : Function.Injective p

∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: p : Fin 3 → P

Context: hpi : Function.Injective p

Context: i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3

Context: left✝² : i₁ ≠ i₂

Context: left✝¹ : i₁ ≠ i₃

Context: left✝ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Context: h₁ : p i₁ = t.orthocenter

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₂ : t.points j₂ = p i₂

Context: h₃ : t.points j₃ = p i₃


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: p : Fin 3 → P

Context: hpi : Function.Injective p

Context: hs : Set.range p = Set.range t.points


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n

Context: hd : Summable d

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context:
z x✝ y x p : ℝ
hx : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: p : ι → Set (Set α)

Context: hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p

Context: t1 : Set α

Context: ht1 : t1 ∈ ⋃ n, p n

Context: t2 : Set α

Context: ht2 : t2 ∈ ⋃ n, p n

Context: h : (t1 ∩ t2).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: p : ι → Set (Set α)

Context: hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: t1 : Set α

Context: ht1 : ∃ i, t1 ∈ p i

Context: t2 : Set α

Context: ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i

Context: h : (t1 ∩ t2).Nonempty


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁹ : PartialOrder A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Module ℝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: a : A

0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁹ : PartialOrder A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Module ℝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁹ : PartialOrder A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Module ℝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: ha₂ : QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁹ : PartialOrder A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Module ℝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: x : A

Context: hx : IsSelfAdjoint x

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint (x * x)

Context: ha₂ : QuasispectrumRestricts (x * x) ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : ↑((autToPow K hμ) f) = ↑((autToPow K hμ) g)


Context:
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : ↑⋯.choose = ↑⋯.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m

Context: hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m

Context: hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose

Context: hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose

Context: hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose

f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = g ↑↑hμ.toRootsOfUnity


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD orderOf hμ.toRootsOfUnity]


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

orderOf hμ.toRootsOfUnity = orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity


Context: s : ℝ


Context: m : ℕ


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂


IsIso (h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH ≫ h₂.homologyIso.inv) ↔ IsIso γ.φH


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜

Context: t : Finset α

t ∈ ∂⁺ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: t : Finset α

(∃ a ∈ t, ∃ u, u.card = k ∧ (u ⊆ t ∧ a ∉ u) ∧ t \ insert a u ∈ 𝒜) ↔ ∃ u, (∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = u ∧ t.card = k) ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

(leftDistributor X f).hom ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j = X ◁ biproduct.π f j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α

s ⊆ insert x t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t


s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
hx : x ∉ s


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x

FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯ = (minpoly K x).natDegree


(powerBasis hx).dim = (minpoly K x).natDegree


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

yz a1 (m - n) = xz a1 n * yz a1 m - xz a1 m * yz a1 n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

yz a1 (m - n) = xz a1 m * -yz a1 n + yz a1 m * xz a1 n


Context:
a b : ℤ
ha : a ≠ 0

IsLeast {n | 0 < n ∧ ∃ x y, ↑n = a * x + b * y} (a.gcd b)


Context:
a b : ℤ
ha : a ≠ 0

IsLeast {n | 0 < n ∧ a.gcd b ∣ n} (a.gcd b)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V

Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
κ : Type v
b : Basis κ K V


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t


Context:
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1

2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))


Context:
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : MapsTo (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
h : s.prod = t.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

∫ (x : α), |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α), |f x| ∂μ


(∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |(μ[f|m]) a| ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |f a| ∂μ).toReal


AEStronglyMeasurable (fun x => |(μ[f|m]) x|) μ


Context:
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j

ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃) j = (f₁ i₁ ⊗ f₂ i₂ ⊗ f₃ i₃) ≫ ιTensorObj₃ Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0

(shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).inv.app X = (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).hom.app X) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X


𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map (𝟙 ((shiftFunctor C b₁).op.obj X)) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X


𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n

(LinearMap.toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf') i i = (LinearMap.toMatrix snf.bM snf.bM) f (snf.f i) (snf.f i)


(snf.bN.repr ((f.restrict hf') (snf.bN i))) i = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)) i


↑((f.restrict hf') (snf.bN i)) = ↑(snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)


Context: θ : Angle

(2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / 2) (π / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: p : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : (Multiset.map Associates.mk s).prod = Associates.mk s.prod

(Multiset.map Associates.mk (a ::ₘ s)).prod = Associates.mk (a ::ₘ s).prod


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: P : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)

Context: β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)

𝟙 (N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P)) = α.hom ≫ β.hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: P : Karoubi (SimplicialObject C)

β.inv ≫ α.inv = 𝟙 ((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this : LocallyCompactSpace H


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : SecondCountableTopology H


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M


Context: p : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁

HasLineDerivAt 𝕜 f₀ f' x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v


(fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
this : f₀ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f₁


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ

NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)


Context: X✝ : Scheme

Context: P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U

Context: h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }

Context: h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤

Context: x : ↥U


Context: X✝ : Scheme

Context: P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤

Context: x : ↥U

Context: j : X.affineBasisCover.J

Context: hx : ↑x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base

Context: i : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base ⊆ ↑U


Context: X✝ : Scheme

Context: P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤

Context: x : ↥U

Context: j : X.affineBasisCover.J

Context: U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := { carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base, is_open' := ⋯ }


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ F.obj Y

f ≫ α.hom.app Y = f' ≫ α.hom.app Y ↔ f = f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α

nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = nndist x₁ x₂


Context:
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 K

(norm K) ((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) x) = x ^ finrank K L


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))

Context: hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume

Context: hG : CompleteSpace G

∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))

Context: hG : CompleteSpace G


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hG : CompleteSpace G

Context: h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hG : CompleteSpace G

Context: h_der : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hg2 : IntervalIntegrable (fun x => f' x • (g ∘ f) x) volume a b

Context: hG : CompleteSpace G


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)

cylinder s S₁ ∪ cylinder s S₂ = cylinder s (S₁ ∪ S₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → γ

Context: g : β → δ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))

Context: hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))

Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s ×ˢ t] (x, y)) (𝓝 (Prod.map f g (x, y)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → γ

Context: g : β → δ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))

Context: hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))

Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s] x ×ˢ 𝓝[t] y) (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g y))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: k : ℕ

Context: d : ℝ

Context: left✝ : 0 < d

Context: hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x‖ ≤ d


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d


∃ c, ∀ᶠ (x : E) in cocompact E, ‖f x‖ ≤ c * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖


∀ᶠ (x : E) in cofinite, ‖f x‖ ≤ d * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f : Hom a b
g : Hom b c

normalizeAux nil (f.comp g) = (normalizeAux nil f).comp (normalizeAux nil g)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : IsEmpty α


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : Nonempty α


↑s.card / ↑(Fintype.card β) ≤ ↑s.card / ↑(Fintype.card α)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : μ ≪ ν


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae ν) f


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : ¬i = j


∀ (a b c d : HomotopyGroup N X x), Mul.mul (Mul.mul a b) (Mul.mul c d) = Mul.mul (Mul.mul a c) (Mul.mul b d)


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
h : ¬i = j
a✝ : HomotopyGroup N X x
a : ↑(Ω^ N X x)
b✝ : HomotopyGroup N X x
b : ↑(Ω^ N X x)
c✝ : HomotopyGroup N X x
c : ↑(Ω^ N X x)
d✝ : HomotopyGroup N X x
d : ↑(Ω^ N X x)

(loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv ((loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv d) ((loopHomeo j).toEquiv c)))) ((loopHomeo i).toEquiv ((loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv b) ((loopHomeo j).toEquiv a))))) = (loopHomeo j).symm (Path.trans ((loopHomeo j).toEquiv ((loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv d) ((loopHomeo i).toEquiv b)))) ((loopHomeo j).toEquiv ((loopHomeo i).symm (Path.trans ((loopHomeo i).toEquiv c) ((loopHomeo i).toEquiv a)))))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0
c : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)


(∀ (x y : α), ↑(nndist x y) ≤ ↑K * ↑(nndist (f x) (f y))) ↔ ∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : MulOneClass α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ha : MulLECancellable a


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
a b : X₁ ⊕ X₂

Quot.mk (Rel f g) a = Quot.mk (Rel f g) b ↔ Rel' f g a b


Quot.mk (Rel f g) a = Quot.mk (Rel f g) b ↔ Quot.mk (Rel' f g) a = Quot.mk (Rel' f g) b


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G M : Type

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulDistribMulAction G M

Context: f : ↥(twoCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))

IsMulTwoCoboundary (⇑Additive.toMul ∘ ↑↑f)


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G M : Type

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulDistribMulAction G M

Context: x : G → CoeSort.coe (Rep.ofMulDistribMulAction G M)

Context: hx : (dOne (Rep.ofMulDistribMulAction G M)) x = (twoCocycles (Rep.ofMulDistribMulAction G M)).subtype ↑f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPullback f.op g.op

(pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.snd f.op g.op = (pushout.inr f g).op


((pushoutIsoUnopPullback f g).inv.op ≫ pullback.snd f.op g.op).unop = (pushout.inr f g).op.unop


(pullback.snd f.op g.op).unop ≫ (pushoutIsoUnopPullback f g).inv = pushout.inr f g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: head₁ : G i

Context: tail₁ : Word G

Context: fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i

Context: normalized✝¹ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1

Context: head₂ : G i

Context: tail₂ : Word G

Context: fstIdx_ne✝ : tail₂.fstIdx ≠ some i

Context: normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1

rcons i { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹, normalized := normalized✝¹ } = rcons i { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝, normalized := normalized✝ } → { head := head₁, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝¹, normalized := normalized✝¹ } = { head := head₂, tail := tail₂, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝, normalized := normalized✝ }


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: head₁ : G i

Context: tail₁ : Word G

Context: fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i

Context: head₂ : G i

Context: tail₂ : Word G

Context: fstIdx_ne✝ : tail₂.fstIdx ≠ some i

↑(⋯.equiv head₁).2 = ↑(⋯.equiv head₂).2 → tail₁ = tail₂ → (⋯.equiv head₁).1 = (⋯.equiv head₂).1 → head₁ = head₂ ∧ tail₁ = tail₂


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: head₁ : G i

Context: tail₁ : Word G

Context: fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i

Context: head₂ : G i

Context: h₁ : ↑(⋯.equiv head₁).2 = ↑(⋯.equiv head₂).2

Context: h₃ : (⋯.equiv head₁).1 = (⋯.equiv head₂).1

Context: fstIdx_ne✝ : tail₁.fstIdx ≠ some i

Context: normalized✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ { head := head₂, tail := tail₁, fstIdx_ne := fstIdx_ne✝ }.tail.toList → g ∈ d.set i_1


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: head₁ : G i

Context: tail₁ : Word G

Context: fstIdx_ne✝¹ : tail₁.fstIdx ≠ some i

Context: head₂ : G i

Context: fstIdx_ne✝ : tail₁.fstIdx ≠ some i

↑(⋯.equiv head₂).1 * ↑(⋯.equiv head₂).2 = ↑(⋯.equiv head₂).1 * ↑(⋯.equiv head₂).2 ∧ tail₁ = tail₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
f : α → β
h : ∀ ⦃a b : α⦄, r' (f a) (f b) → r a b
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hbc : f b ≠ f c
hr : r' (f b) (f c)


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : δ < 0


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α

|max a b - max c d| ≤ max |a - c| |b - d|


-π < 0 ∧ 0 ≤ π


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
m : (s : α) → P s → ℝ≥0∞
s : α
h : P s


Context:
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t
this : μ t + ν t ≤ μ s + ν t


Context:
p : ℕ+
pp : p.Prime


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24510, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C

Context: u₁₂ : X₁ ⟶ X₂

Context: u₂₃ : X₂ ⟶ X₃

Context: u₁₃ : X₁ ⟶ X₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃

u₁₂ ≫ u₂₃ = 𝟙 X₁ ≫ u₁₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24510, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C

Context: u₁₂ : X₁ ⟶ X₂

Context: u₂₃ : X₂ ⟶ X₃

Context: u₁₃ : X₁ ⟶ X₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃

w₁₂ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 X₁) = h.m₁ ≫ w₁₃


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ

(∑ i ∈ s, f i) ^ (s.card * n + 1) ∈ span ((fun i => f i ^ (n + 1)) '' ↑s)


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: f g : M → E'

Context: f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'

Context: hf : MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: f g : M → E'

Context: f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η

∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: val✝ : Fintype η

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → Shrink.{0, u_7} η → α) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: val✝ : Fintype η

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: C : (ι × Shrink.{0, u_7} η → α) → κ

Context: l : Line (Shrink.{0, u_7} η → α) ι

Context: hl : Line.IsMono (fun x => C fun x_1 => match x_1 with | (i, e) => x i e) l

IsMono C (l.toSubspace.reindex (equivShrink η).symm (Equiv.refl α) (Equiv.refl (ι × Shrink.{0, u_7} η)))


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: val✝ : Fintype η

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: C : (ι × Shrink.{0, u_7} η → α) → κ

Context: l : Line (Shrink.{0, u_7} η → α) ι

Context: x✝ : ι × Shrink.{0, u_7} η → α

x✝ = ⇑(Equiv.refl α).symm ∘ x✝ ∘ ⇑(Equiv.refl (ι × Shrink.{0, u_7} η))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ


(∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ t, t.erase a = s) ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a ∈ 𝒜


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

(bind₁ (wittStructureRat p Φ)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) ((bind₁ (xInTermsOfW p ℚ)) (W_ ℚ n))


(bind₁ (wittStructureRat p Φ)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ i)) (W_ ℚ n)


(bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) ((bind₁ (xInTermsOfW p ℚ)) (W_ ℚ n)) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
p✝ : α → Prop
x y z : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
n : ℤ

(g.extendDomain f ^ n) ↑(f x) = ↑(f y) ↔ (g ^ n) x = y


Context:
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_1}

(ord ∘ aleph') o ≤ a ↔ ∀ b < o, (ord ∘ aleph') b ≤ a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P


∀ ⦃x : α →₀ M⦄, (∀ (i : α), x i = 0) → x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R

eval x p = ∑ i ∈ range n, p.coeff i * x ^ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
e : r ≃r s
f : r ≺i t
g : s ≺i t


Context:
α : Type u
β : Type v
f✝ f : α → β
hf : Bijective f
s : Set α
t : Set β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M


Context:
β : Type u_1
o : Ordinal.{u_1}
c : Cardinal.{u_1}
ho : o.card ≤ c
hc : ℵ₀ ≤ c
A : Ordinal.{u_1} → Set β
hA : ∀ j < o, #↑(A j) ≤ c


#↑(sSup (range ((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm))) ≤ c


#(Quotient.out o).α * ⨆ i, #↑(((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm) i) ≤ c * c


o.card * ⨆ i, #↑(((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm) i) ≤ c * c


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → R


∑ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val)).sum


∑ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val).sum


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s

CauchySeq u ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i


Tendsto (Prod.map u u) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i


(∀ (ib : γ), p ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia ×ˢ Ici ia, Prod.map u u x ∈ s ib) ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i✝ i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
hg : ContDiff 𝕜 (↑i) g

iteratedFDeriv 𝕜 i (f + g) x = iteratedFDeriv 𝕜 i f x + iteratedFDeriv 𝕜 i g x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i✝ i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f univ
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g univ

iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) univ x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g univ x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X

EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), ContinuousOn (F i) S


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : r ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
hr1 : 1 ≤ r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
hr1 : r < 1


Context:
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
p : MvPolynomial σ R

p ∈ restrictTotalDegree σ R m ↔ p.totalDegree ≤ m


p ∈ restrictTotalDegree σ R m ↔ ∀ b ∈ p.support, (b.sum fun x e => e) ≤ m


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
hp : IsUnit ↑p
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: hf : Pairwise fun i j => ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0

Context: x y : ⨁ (i : ι), L i

Context: f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i => ↑(f i)

{ toFun := ⇑(toModule R ι L' fun i => ↑(f i)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑(toModule R ι L' fun i => ↑(f i)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑(toModule R ι L' fun i => ↑(f i)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x y : ⨁ (i : ι), L i

∀ (i : ι) (y : L i), (toModule R ι L' f') ⁅x, (of L i) y⁆ = ⁅(toModule R ι L' f') x, (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x y : ⨁ (i : ι), L i

∀ (i j : ι) (y : L i) (x : L j), (toModule R ι L' f') ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(toModule R ι L' f') ((of L j) x), (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i

Context: i j : ι

Context: y : L i

Context: x : L j

(toModule R ι L' f') ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(toModule R ι L' f') ((of L j) x), (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i

Context: i j : ι

Context: y : L i

Context: x : L j

(toAddMonoid fun i => (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ = ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i

Context: i : ι

Context: y x : L i

(toAddMonoid fun i => (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ = ⁅(↑(f i)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: L : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'

Context: x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i

Context: i j : ι

Context: y : L i

Context: x : L j

Context: hij : i ≠ j


Context:
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.num = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: P : LieSubmodule R L M → Prop := fun N => IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)

IsCompl (weightSpace M 0) (posFittingComp R L M)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: hN : ∀ y < N, P y


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: hN : ∀ y < N, P y

Context: N' : LieSubmodule R L ↥↑N

Context: hN' : N' < ⊤

IsCompl (weightSpace (↥↑N') 0) (posFittingComp R L ↥↑N')


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: hN : ∀ y < N, P y

Context: N' : LieSubmodule R L ↥↑N

Context: hN' : N' < ⊤

IsCompl (weightSpace (↥↑(LieSubmodule.map N.incl N')) 0) (posFittingComp R L ↥↑(LieSubmodule.map N.incl N'))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h2 : orderOf σ = Fintype.card α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: e : Module.Dual R M ⊗[R] M ≃ₗ[R] M →ₗ[R] M := dualTensorHomEquiv R M M

trace R (Module.Dual R M) ∘ₗ Module.Dual.transpose = trace R M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h : Function.Surjective ⇑↑e


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: h : Function.Surjective ⇑↑e

(trace R (Module.Dual R M) ∘ₗ Module.Dual.transpose) ∘ₗ ↑e = trace R M ∘ₗ ↑e


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : (forget C).PreservesEpimorphisms

MorphismProperty.surjective C = epimorphisms C


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C


Context: r p : ℝ


Context:
p q : ℚ≥0
n₁✝ n₂✝ d₁✝ d₂✝ d n₁ n₂ d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0

Rat.divInt ↑n₁ ↑d₁ * Rat.divInt ↑n₂ ↑d₂ = Rat.divInt (↑n₁ * ↑n₂) (↑d₁ * ↑d₂)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L

(algebraMap K L) ((norm K) x) = ∏ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = ∏ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((norm K) x)) = ∏ x : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L, ?a.f✝ x


(L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L


∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L), ?a.f✝ x_1 = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det

A⁻¹⁻¹ = 1 * A⁻¹⁻¹


1 * A⁻¹⁻¹ = A * A⁻¹ * A⁻¹⁻¹


Context:
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)


Context: n : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: M : Matrix n n (ZMod p)

Context: h : (M ^ Fintype.card (ZMod p)).charpoly = M.charpoly


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ

Disjoint (I.splitLower i x) (I.splitUpper i x)


Disjoint (↑I ∩ {y | y i ≤ x}) (↑I ∩ {y | x < y i})


∀ ⦃a : ι → ℝ⦄, a ∈ {y | y i ≤ x} → a ∉ {y | x < y i}


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 < R
hc : ContinuousOn f (sphere c R)
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
hlt : ∃ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ < C

‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ < 2 * π * R * C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R C : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: hc : ContinuousOn f (sphere c R)

Context: hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

Context: hlt : ∃ z ∈ circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π), ‖f z‖ < C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : Disjoint s (range f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ b a : α
u : αˣ


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Module R V2
inst✝ : SMulCommClass k R V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
p✝ : V1

((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) ({ toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) p✝ = f p✝


((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) ({ toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) p✝ = (⇑f.linear + fun x => f 0) p✝


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁷ : AddCommGroup V3
inst✝⁶ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁵ : Module k V1
inst✝⁴ : Module k V2
inst✝³ : Module k V3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Module R V2
inst✝ : SMulCommClass k R V2
v : V2
f : V1 →ₗ[k] V2

{ toFun := fun f => (f 0, f.linear), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun p => p.2.toAffineMap + const k V1 p.1) (v, f)) = (v, f)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasInitial C
X : C
f : X ⟶ ⊥_ C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c✝ : α
n : ℤ
c : α

toIcoMod hp c a = toIcoMod hp c b ↔ a ≡ b [PMOD p]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ


∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → (toMultiset f).toFinset = f.support → (toMultiset (single a b + f)).toFinset = (single a b + f).support


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r✝ : R[X]
r : R

(C ((algebraMap R A) r)).toFinsupp = (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r


AddMonoidAlgebra.single 0 ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (AddMonoidAlgebra A ℕ)) r


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : α → ℝ
hint : Integrable g μ
ℱ : ι → MeasurableSpace α
hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0
A : MeasurableSpace α := m0

UniformIntegrable (fun i => μ[g|ℱ i]) 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ i]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ i])) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal

Context: hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hCpos : 0 < C


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hCpos : 0 < C

Context: this : ∀ (n : ι), μ {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hCpos : 0 < C

Context: n : ι

eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator (μ[g|ℱ n])) 1 μ ≤ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g) 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hCpos : 0 < C

Context: n : ι

Context: hmeasℱ : MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hCpos : 0 < C

Context: n : ι

eLpNorm (μ[{x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g|ℱ n]) 1 μ ≤ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g) 1 μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f i • g i ≤ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i


∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
p : R[X]

(aeval ((algebraMap A B) x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α

a ∉ sᶜ ↔ a ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V

Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ ⊔ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet ∪ G₂.edgeSet


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
α : Type u
x : FreeRing α


o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖))


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

limsup f (ae (μ.trim hm)) = limsup f (ae μ)


sInf {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ.trim hm, f n ≤ a} = sInf {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ, f n ≤ a}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : ℝ≥0∞

a ∈ {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ.trim hm, f n ≤ a} ↔ a ∈ {a | ∀ᵐ (n : α) ∂μ, f n ≤ a}


μ {x | ¬f x ≤ a} = (μ.trim hm) {x | ¬f x ≤ a}


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: n : ℕ


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: n : ℕ

IsOpen ((↑(Finset.range n)).pi fun i => {x i})


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Semiring α

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : MulPosMono α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a2 : 2 ≤ a

Context: b0 : 0 ≤ b


Context:
l : List ℕ
h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p


Context: l : List ℕ

Context: h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p

Context: this : ↑(ofNatMultiset (↑l) h).prod = (↑l).prod


Context: l : List ℕ

Context: h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p

Context: this : ↑(ofNatMultiset (↑l) h).prod = l.prod


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α

∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • s, f x ∂μ.restrict t = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in t ∩ g • s, f x ∂μ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : f ≈ g

padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: h : ¬padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: hlt : padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: hfg : f ≈ g

Context: hnlt : ¬padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)) < padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

(homologyMap' φ S₁.homologyData S₂.homologyData).op = (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫ (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom


S₂.homologyData.iso.inv.op ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op S₁.homologyData.op ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op = (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫ homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫ (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom


S₂.homologyData.iso.inv.op ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op.left S₁.homologyData.op.left ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op = (((rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv).op ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData) ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.op.leftHomologyData S₂.op.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData.left S₁.op.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.homologyData.left S₁.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op ≫ (S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData).op


Context: n : Nat


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: H : ∀ ε > 0, ∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, EMetric.closedBall x ε = univ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε' : ℝ≥0

Context: ε'0 : 0 < ↑ε'

Context: ε'ε : ↑ε' < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε' : ℝ≥0

Context: ε'0 : 0 < ↑ε'

Context: ε'ε : ↑ε' < ε

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: y : α → α

Context: hys : ∀ (x : α), y x ∈ s

Context: hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε' : ℝ≥0

Context: ε'0 : 0 < ↑ε'

Context: ε'ε : ↑ε' < ε

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: y : α → α

Context: hys : ∀ (x : α), y x ∈ s

Context: hyx : ∀ (x : α), dist x (y x) ≤ ↑ε'

Context: x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun a => (a, x))


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

RatFunc.mk p q = { toFractionRing := Localization.mk p ⟨q, ⋯⟩ }


Context:
xl xr : Type u
x y z : PGame
h₁ : x ⧏ y
h₂ : y ≤ z


Context:
xl xr : Type u
x y z : PGame
h₁ : ¬y ≤ x
h₂ : y ≤ z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivAt c c' x
f : F

HasFDerivAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) x


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n n' : ι

Context: hu : Adapted f u

Context: hs : MeasurableSet s

Context: i : ι

MeasurableSet {ω | hitting u s n n' ω ≤ i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n n' : ι

Context: hu : Adapted f u

Context: hs : MeasurableSet s

Context: i : ι

Context: hi : n' ≤ i


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n n' : ι

Context: hu : Adapted f u

Context: hs : MeasurableSet s

Context: i : ι

Context: hi : i < n'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₁ : S
he : e₁ ∈ f.range
he₁ : IsIdempotentElem e₁
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
he₁e₂ : e₁ * f e₂ = 0
he₂e₁ : f e₂ * e₁ = 0

∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e₁ ∧ e' * e₂ = 0 ∧ e₂ * e' = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e' : R
h₁ : IsIdempotentElem e'
h₂ : e' * e₂ = 0
he : f e' ∈ f.range
he₁ : IsIdempotentElem (f e')
he₁e₂ : f e' * f e₂ = 0
he₂e₁ : f e₂ * f e' = 0

∃ e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e' ∧ e'_1 * e₂ = 0 ∧ e₂ * e'_1 = 0


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on f)

Context: hm : ∀ (i : β), P (f i)

extend m (⋃ i, f i) = ∑' (i : β), extend m (f i)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on f)

Context: hm : ∀ (i : β), P (f i)

Context: val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on f)

Context: hm : ∀ (i : β), P (f i)

Context: val✝ : Encodable β

extend m (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) = ∑' (i : ℕ), extend m (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℤ
hm : m < 0

Tendsto (fun x => ‖x ^ m‖) (𝓝[≠] 0) atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℤ
hm : -m < 0

Tendsto (fun x => ‖x ^ (-m)‖) (𝓝[≠] 0) atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℕ
hm : 0 < ↑m

Tendsto (fun x => ‖x ^ (-↑m)‖) (𝓝[≠] 0) atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
m : ℕ
hm : 0 < m


Tendsto (fun x => ‖x⁻¹‖ ^ m) (𝓝[≠] 0) atTop


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: i : Nontrivial E := nontrivial_of_finrank_pos (LT.lt.trans_eq zero_lt_two (Eq.symm hr))

Context: h : ⊥ = ⊤


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: S : Subalgebra F E


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: S : Subalgebra F E

Context: this : FiniteDimensional F E


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: S : Subalgebra F E

Context: this✝ : FiniteDimensional F E

Context: this : FiniteDimensional F ↥S


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: S : Subalgebra F E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: this✝ : FiniteDimensional F ↥S

Context: this : finrank F ↥S ≤ 2


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Ring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hr : finrank F E = 2

Context: S : Subalgebra F E

Context: this✝² : FiniteDimensional F E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional F ↥S

Context: this✝ : finrank F ↥S ≤ 2

Context: this : 0 < finrank F ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this : a * (c * d) = a * 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this✝ : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1
this : a * c * (d * c) = a * c * 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelMonoidWithZero α
a c d : α
a_eq : a = a * c * d
ha0 : ¬a = 0
hac0 : a * c ≠ 0
this✝ : a * (c * d) = a * 1
hcd : c * d = 1
this : a * c * (d * c) = a * c * 1
hdc : d * c = 1


Context: a b m n✝ p n : ℕ


Context: a b m n✝ p n : ℕ

Multiset.toFinsupp ↑n.primeFactorsList = 0 ↔ n = 0 ∨ n = 1


Context:
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
f : Additive G →+ CoeSort.coe A
g h : G

(⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) (g * h) = (A.ρ g) ((⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) h) + (⇑f ∘ ⇑Additive.ofMul) g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
j : I

Function.update g i x j = (g / mulSingle i (g i) * mulSingle i x) j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i

Function.update g i x i = (g / mulSingle i (g i) * mulSingle i x) i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → Group (f i)
g : (i : I) → f i
x : f i
j : I
h : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
a : α
x✝ : β


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[ℕ]

({ toFinsupp := p } * { toFinsupp := q }).coeff n = ∑ x ∈ antidiagonal n, { toFinsupp := p }.coeff x.1 * { toFinsupp := q }.coeff x.2


(p * q) n = ∑ x ∈ antidiagonal n, p x.1 * q x.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Inhabited α
l✝ : List α
a : α
l : List α

(a :: l).dedup.tail = if (a :: l).headI ∈ (a :: l).tail then (a :: l).tail.dedup.tail else (a :: l).tail.dedup


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0


(Polynomial.aeval x) (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R

(map W f).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ W.Nonsingular x y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : F
y' : E
hy' : y' ∈ s
hy'f : f y' = y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context: x✝ y✝ x y : ℝ≥0


Context:
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1) = ↑(∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1))


Context:
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))


Context:
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r

EqOn (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1)) (fun x => ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))) (Ioi 0)


Context:
s : ℝ
this : ∀ (r : ℝ), ↑r = ↑r
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(map Prod.fst (μ.prod ν)) s = (ν univ • μ) s


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (forget C).Corepresentable
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
G : J ⥤ C
inst✝ : HasLimit G

Small.{v, max v w} ↑(G ⋙ forget C).sections


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

Context: n m : ℕ

Context: h : n < m

Context: w : InfinitePlace K

Context: hw : w ≠ w₁

w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(seq K w₁ hB m)) < w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(seq K w₁ hB n))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a✝ b✝ a b : α


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

(filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)).disjUnion (filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k)) ⋯ = MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k


∀ (a : Finset σ × σ), a ∈ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k) univ ∪ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k) univ ↔ a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : Finset σ × σ

a ∈ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k) univ ∪ filter (fun a => (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k) univ ↔ a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)


a ∈ univ ∧ ((a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k ∨ (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k) ↔ a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : Finset σ × σ

Context: ha : a ∈ univ ∧ a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)

a ∈ univ ∧ ((a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card < k ∨ (a.1.card ≤ k ∧ (a.1.card = k → a.2 ∈ a.1)) ∧ a.1.card = k)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : Finset σ × σ

Context: hacard : a.1.card < k ∨ a.1.card = k


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: ℬ : Set (Set α) := {s | s ∈ 𝒜} ∪ {s | sᶜ ∈ 𝒜}


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable

Context: f : Set (Set (Set α)) → Set α := fun A => ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

Context: 𝒞 : Set (Set (Set α)) := {a | a.Finite ∧ a ⊆ ℬ}


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable

Context: count_𝒞 : 𝒞.Countable


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable

Context: count_𝒞 : 𝒞.Countable

Context: 𝒟 : Set (Set (Set (Set α))) := {A | A.Finite ∧ A ⊆ 𝒞}


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable

Context: count_𝒞 : 𝒞.Countable

Context: count_𝒟 : 𝒟.Countable


Context: α : Type u_1

Context: 𝒜 : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: h : 𝒜.Countable

Context: count_ℬ : ℬ.Countable

Context: count_𝒞 : 𝒞.Countable

Context: count_𝒟 : 𝒟.Countable

Context: this : generateSetAlgebra 𝒜 ⊆ f '' 𝒟


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

𝓝[univ.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a ≤ f b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a ≤ f b
a b : α
hab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(μ + ν).toSignedMeasure i = ↑(μ.toSignedMeasure + ν.toSignedMeasure) i


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y

(leftUnitor X).inv ≫ map (𝟙 (⊤_ C)) f = f ≫ (leftUnitor Y).inv