Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq R
w : m → R

(diagonal w).rank = Fintype.card { i // w i ≠ 0 }


Context:
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x : (α ⊗ β) i


Context:
n n✝ : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x : (α ⊗ β) Fin2.fz

(id Fin2.fz x.1, id Fin2.fz x.2) = id Fin2.fz x


Context: n n✝ : ℕ

Context: a✝ : Fin2 n✝

Context: a_ih✝ : ∀ {α β : TypeVec.{u_1} n✝} (x : (α ⊗ β) a✝), (id ⊗' id) a✝ x = id a✝ x

Context: α β : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)

Context: x : (α ⊗ β) a✝.fs


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Codisjoint a b


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.101182, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
j : ℕ
hj : j + 1 < n + 1 + 1


Context:
s : List Char
h : { data := s } ≠ ""

{ data := s }.toList = { data := s }.head :: ({ data := s }.drop 1).toList


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K

(toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

Context: hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

Context: hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

Context: B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

Context: B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

Module.rank K ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) = Module.rank K ({ i // w i ≠ 0 } → K)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : DecidableEq K

Context: w : m → K

↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] { i // w i ≠ 0 } → K


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝⁶ b✝ : 𝕜
x : E
a✝⁵ : x ∈ univ
y : E
a✝⁴ : y ∈ univ
a✝³ : x ≠ y
a b : 𝕜
a✝² : 0 < a
a✝¹ : 0 < b
a✝ : a + b = 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'

x' ∈ LieIdeal.killingCompl R L' ⊤ ↔ x' ∈ ⊥


(∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0) ↔ x' ∈ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: L' : Type u_5

Context: inst✝² : LieRing L'

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝ : IsKilling R L

Context: e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'

Context: x' : L'

Context: hx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: L' : Type u_5

Context: inst✝² : LieRing L'

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝ : IsKilling R L

Context: e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'

Context: x' : L'

e.symm x' ∈ LinearMap.ker (killingForm R L)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
y : L
hx' : ((killingForm R L') x') (e y) = 0


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
val✝ : Encodable β


d.Has (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset


map (fun k => (l.formPerm ^ k) (l.get ⟨0, ⋯⟩)) (range l.length) = l


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens

f.val.c.app (op ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f.val).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.app (f ''ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'

let leq := ⋯; (quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯) = (quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g leq)


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
a : R ⧸ comap f (comap g' I)

((quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯)) a = ((quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g ⋯)) a


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
r : R

((quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯)) ((Quotient.mk (comap f (comap g' I))) r) = ((quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g ⋯)) ((Quotient.mk (comap f (comap g' I))) r)


(Quotient.mk I) (g' (f r)) = (Quotient.mk I) (f' (g r))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ε * μ {x | f x + ε ≤ g x} ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hle : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ f

Context: hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hle : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ f

Context: x : α

Context: hx₁ : f x ≤ g x

φ x + {x | φ x + ε ≤ g x}.indicator (fun x => ε) x ≤ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hle : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ f

Context: x : α

Context: hx₁ : f x ≤ g x

(φ x + if x ∈ {x | φ x + ε ≤ g x} then ε else 0) ≤ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hle : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ f

Context: x : α

Context: hx₁ : f x ≤ g x

Context: hx₂ : x ∈ {x | φ x + ε ≤ g x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hle : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ f

Context: x : α

Context: hx₁ : f x ≤ g x

Context: hx₂ : x ∉ {x | φ x + ε ≤ g x}


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

|sin x - (x - x ^ 3 / 6)| = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ↑(sin x - (x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (((cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3)) / 2)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

(cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3) = (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2 + -((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2)


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t

Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨a, ha⟩) = Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨b, hb⟩) → Sum.inr ⟨a, ha⟩ = Sum.inr ⟨b, hb⟩


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
x : List α

x ∈ ((reindex g) M).accepts ↔ x ∈ M.accepts


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c x : α


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Fintype.card ↑(Set.uIcc a b) = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso g

pushout.inr f g ≫ inv (pushout.inl f g) = inv g ≫ f


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : ↥(selfAdjoint A)


Context:
α : Type u_1
p q : ℚ≥0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : One M

Context: inst✝ : One N

Context: s t : Set α

Context: f g : α → M

Context: a : α

Context: this : Decidable (a ∈ s) := Classical.dec (a ∈ s)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: i : ℕ

eLpNorm (stoppedValue f (leastGE f r i)) 1 μ ≤ ↑(2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)).toNNReal


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: i : ℕ

2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R) ≤ ↑(2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)).toNNReal


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s

(s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target = ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}

Context: o : Ordinal.{u_5}

Context: H : IsNormal f

Context: p : Set Ordinal.{u_4}

Context: p0 : p.Nonempty

Context: b : Ordinal.{u_4}

Context: H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, a ≤ o

Context: h : ∀ a ∈ p, f a ≤ o


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (x - ↑r) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
h : IsPrimitiveRoot ζ n


∀ (a : ZMod n), (zmodChar n ⋯) a = 1 → a = 0


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : ZMod n
ha : (zmodChar n ⋯) a = 1


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : ZMod n
ha : ζ ^ a.val = ζ ^ 0


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Fintype G

Context: R : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : MulSemiringAction G R

Context: x : R

Context: g : G

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: g' : G ⧸ stabilizer G x

g • (X - C (ofQuotientStabilizer G x g')) = X - C (ofQuotientStabilizer G x (g • g'))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R


(∀ (s : σ →₀ ℕ), coeff s p ≠ 0 → False) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: r t : ℝ≥0∞

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

Context: hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e r

Context: hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e t


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: r t : ℝ≥0∞

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: r t : ℝ≥0∞

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

Context: y : E

Context: m : e + y ∈ s

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)

HasSum (fun n => (p.prod q n) fun x => y) (f (e + y), g (e + y))


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: r t : ℝ≥0∞

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

Context: y : E

Context: m : e + y ∈ s

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)

HasSum (fun n => ((p n) fun x => y, (q n) fun x => y)) (f (e + y), g (e + y))


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: r t : ℝ≥0∞

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

Context: y : E

Context: m : e + y ∈ s

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
S : Set (Set α)
hs : S.Countable
hd : S.Pairwise Disjoint
h : ∀ s ∈ S, MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
S : Set (Submodule R M)
s : Submodule R M
hs : s ∈ S


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
S : Set (Submodule R M)
s : Submodule R M
hs : s ∈ S
this : s ≤ sSup S


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n

(n - k)! * n.descFactorial k = (n - k)! * (n ! / (n - k)!)


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)


{x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
hm : ↑0 < ENNReal.ofReal |A.det|

{x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → ↑0 * μ s ≤ μ (f '' s)) x} ∈ 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: δ₀ : ℝ≥0

Context: δ₀pos : 0 < δ₀

Context: hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: δ₀ : ℝ≥0

Context: δ₀pos : 0 < δ₀

Context: L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹

Context: L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: δ₀ : ℝ≥0

Context: δ₀pos : 0 < δ₀

∀ (a : ℝ≥0), Subsingleton E ∨ a < ‖↑B.symm‖₊⁻¹ → ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - a)⁻¹ * a < δ₀ → ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s a → ↑m * μ s ≤ μ (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|

Context: mpos : 0 < m

Context: hA : A.det ≠ 0

Context: δ₀ : ℝ≥0

Context: δ₀pos : 0 < δ₀

Context: δ : ℝ≥0

Context: h1δ : Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹

Context: h2δ : ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hf' : ApproximatesLinearOn f (↑B) s δ

Context: F : PartialEquiv E E := hf'.toPartialEquiv h1δ

μ (↑F.symm '' F.target) ≤ ↑m⁻¹ * μ F.target


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasFiniteLimits C
F : C ⥤ D
inst✝ : PreservesFiniteLimits F
X : D


∀ (J : Type v₁) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasLimitsOfShape J (StructuredArrow X F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a
ba : ¬a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c✝ d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h : Ioi b ⊆ Ici a
ba : ¬a ≤ b
c : α
bc : b < c
ca : c < a


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A
this : IsIso (diag A) := isIso_diag hA


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: K : ℝ≥0

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + ↑K * dist x y


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂

rightZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) = (ρ_ (g₂ ≫ g₁)).hom ≫ (λ_ (g₂ ≫ g₁)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m✝ n✝ n m : ℕ
l : List α

dropSlice n m l = take n l ++ drop m (drop n l)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖

Context: N : ℕ

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ N.primesBelow, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: N : ℕ

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), ∑' (n : ℕ), f (p ^ n))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n


(match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n = -(match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F✝ : Type u_9
inst✝⁶ : One M
inst✝⁵ : One N
inst✝⁴ : FunLike F✝ M N
R : Type u_10
S : Type u_11
F : Type u_12
inst✝³ : One R
inst✝² : One S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : OneHomClass F R S
f : F
x : R
hx : f x ≠ 1


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ 1 ∣ Nat.card G


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ 1 ∣ Nat.card G
key : p ^ 1 ∣ Nat.card ↥↑P


Context:
p q : ℚ
hq : 0 ≤ q


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
s : Set (CofiniteTopology X)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
h : IsCoatomic αᵒᵈ
b : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
h : IsAtomic α
b : αᵒᵈ


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k

peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)


(x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
x y : 𝕎 k
this : ↑p = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

Context: x y : 𝕎 k

Context: this : ↑p = 0

Context: sum_zero_pow_mul_pow_p : ∀ (y : 𝕎 k), ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), 0 ^ x * y.coeff x ^ p ^ (n + 1 - x) = y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)


Context:
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
x✝¹ : CoeSort.coe A
x✝ : G


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝² : Category.{u₁, u₂} C
G : Type u_1
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsPreconnected G


_root_.Equivalence fun x y => Nonempty (x ⟶ y)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

(pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫ pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) = pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
hs : ∀ a ∈ s₁, a ∉ s₂ → f a = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h : MeromorphicAt (-f) x


Context: a : ℝ

frontier {z | a < z.im} = {z | z.im = a}


Context:
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n m : ℕ
r s : R

((monomial n) r * (monomial m) s).toFinsupp = ((monomial (n + m)) (r * s)).toFinsupp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β ⊕ γ → α
c : α

⨆ x, f x ≤ c ↔ (⨆ i, f (Sum.inl i)) ⊔ ⨆ j, f (Sum.inr j) ≤ c


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝¹ : S.HasRightHomology

Context: inst✝ : HasCokernel S.f

Context: h : S.RightHomologyData := S.rightHomologyData

Context: this : HasLimit (parallelPair h.g' 0)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝¹ : S.HasRightHomology

Context: inst✝ : HasCokernel S.f

Context: this : HasLimit (parallelPair h.g' 0)

Context: e : parallelPair (cokernel.desc S.f S.g ⋯) 0 ≅ parallelPair h.g' 0 := parallelPair.ext ((colimit.isColimit (parallelPair S.f 0)).coconePointUniqueUpToIso h.hp) (Iso.refl ((parallelPair (cokernel.desc S.f S.g ⋯) 0).obj WalkingParallelPair.one)) ⋯ ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0

(p * p.mirror).natTrailingDegree = 2 * p.natTrailingDegree


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : ¬s ⊆ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : ¬↑s ⊆ ↑0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : ¬↑s ⊆ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
inst✝ : ProperSpace α

EMetric.diam univ = ⊤ ↔ NoncompactSpace α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s t✝ : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)

Context: g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ MDifferentiableOn I I' f (s ∩ u)

Context: x : M

Context: xs : x ∈ s

Context: t : Set M

Context: t_open : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t

Context: ht : MDifferentiableOn I I' f (s ∩ t)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
h : LocallyFinite f
x : X

x ∈ closure (⋃ i, f i) ↔ x ∈ ⋃ i, closure (f i)


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
x y : R
x✝ : A

x✝ ∈ (x * y) • (M * N) ↔ x✝ ∈ x • M * y • N


x✝ ∈ (x * y) • (M * N) → x✝ ∈ x • M * y • N


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
x y : R
x✝ : A
hx : x✝ ∈ x • M * y • N

∀ m ∈ x • M, ∀ n ∈ y • N, m * n ∈ (x * y) • (M * N)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span {C r * X () - 1} = RingHom.ker (aeval (Generators.localizationAway r).val)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Presentation R S

Context: r : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away r S

Context: this : aeval (Generators.localizationAway r).val = (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Presentation R S

Context: r : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span {C r * X () - 1} = RingHom.ker ((↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1})))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Presentation R S

Context: r : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker (↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r)).toRingHom)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Presentation R S

Context: r : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker ↑(mvPolynomialQuotientEquiv S r))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Presentation R S

Context: r : R

Context: inst✝ : IsLocalization.Away r S

Ideal.span {C r * X () - 1} = Ideal.comap (↑(Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.span {C r * X () - 1}))) (RingHom.ker (mvPolynomialQuotientEquiv S r))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
j : Fin n

partialProd f j.succ = partialProd f j.castSucc * f j


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : M → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂

Context: mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : M → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : M → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂

Context: x₂ : M

Context: hx₂ : x₂ ∈ ⋃ i, ↑(S i)


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : M → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂

Context: x₂ : M

Context: hx₂ : x₂ ∈ ⋃ i, ↑(S i)

Context: i : ι

Context: hi : x₂ ∈ ↑(S i)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD 2]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑↑s

s'.card ≤ (s'.biUnion fun a' => t ↑a').card


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

Sbtw R x y z ↔ x ≠ y ∧ z ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioi 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Sbtw R x y z


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x y z : P

Context: h : x ≠ y ∧ z ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioi 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: h : f ≈ g

Context: ε : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, abv (↑(f - g) j) < ε / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: k : ℕ

Context: jk : k ≥ j

Context: h₁ : abv (↑(f - g) j) < ε / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: h : f ≈ g

Context: ε : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: k : ℕ

Context: jk : k ≥ j

Context: h₁ : abv (↑(f - g) j) < ε / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2

Context: this : abv (↑f j - ↑g j + (↑f k - ↑f j)) < ε / 2 + ε / 2


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
X✝ Y Z : C
f : Y ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
F : C ⥤ D
X : C


generate (functorPushforward F ⊤).arrows = ⊤


(functorPushforward F ⊤).arrows (𝟙 (F.obj X))


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁

(toProd Q₁ Q₂) ((ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1) = (ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
l : List α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R

vanishingIdeal '' irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) = minimalPrimes R


∀ ⦃a a' : Set (PrimeSpectrum R)⦄, a ∈ {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} → a' ∈ {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} → (Function.swap (fun x x_1 => x ≤ x_1) a a' ↔ vanishingIdeal a ≤ vanishingIdeal a')


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α β β' : Type u
f : β → β'
x : t α β


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n n✝ m✝ : ℕ
hmn : n✝.le m✝
ha : a ^ n✝ = 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ
κ : Kernel (α × β) Ω
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ
a : α

(fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (ρ.fst a)] ⇑(ρ a).condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a : α

Context: this : ρ a = (ρ a).fst ⊗ₘ κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a : α

Context: h : ∀ᵐ (x : β) ∂(ρ a).fst, (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) x = (ρ a).condKernel x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a : α

(fun b => κ (a, b)) =ᶠ[ae (Measure.map Prod.fst (ρ a))] ⇑(ρ a).condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel ρ

Context: κ : Kernel (α × β) Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ.fst ⊗ₖ κ = ρ

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : (κ.comap (fun b => (a, b)) ⋯) b = (ρ a).condKernel b


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)

x ∈ piFinset s ↔ init x ∈ piFinset (init s) ∧ x (last n) ∈ s (last n)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
zero_eq_one : 0 = 1


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s✝ s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ (closure L).toFun s → Prop

Context: Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f {x | ∃ (hx : x ∈ (closure L).toFun s), p x hx}

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (closure L).toFun s


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s✝ s : Set M

Context: Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (closure L).toFun s

∃ (x_1 : x ∈ (closure L).toFun s), p x x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Zero β

Context: inst✝¹² : One β

Context: inst✝¹¹ : Add β

Context: inst✝¹⁰ : Mul β

Context: inst✝⁹ : Neg β

Context: inst✝⁸ : Sub β

Context: inst✝⁷ : SMul ℕ β

Context: inst✝⁶ : SMul ℤ β

Context: inst✝⁵ : Pow β ℕ

Context: inst✝⁴ : NatCast β

Context: inst✝³ : IntCast β

Context: f : β → α

Context: hf : Injective f

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : Add α

Context: inst✝ : LeftDistribClass α

Context: add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y

Context: mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y

Context: x y z : β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
b : ℝ


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Summable fun i => f i ^ p

Context: hg : Summable fun i => g i ^ q

Context: H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)

Context: bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i * g i)

(Summable fun i => f i * g i) ∧ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Summable fun i => f i ^ p

Context: hg : Summable fun i => g i ^ q

Context: H₂ : Summable fun i => f i * g i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n : ℤ
a : G


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype α
hG : G.Colorable (card α)

G.chromaticNumber = ↑(card α) ↔ ∀ (C : G.Coloring α), Surjective ⇑C


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
Hd : a ∣ b


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x : ↑(obj' f M₁)

(LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃

(LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) 0 = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) 0


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y✝ : ↑M₁

(LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)


Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R

Context: l₁₂ : M₁ ⟶ M₂

Context: l₂₃ : M₂ ⟶ M₃

Context: x y : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑M₁

Context: ihx : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x

Context: ihy : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) y = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) y

(LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x + y) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x + y)


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g : {X : Type u} → (Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)

Context: x : β

Context: h : ∀ (X Y : Type u) (f : Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y), g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x

(corec₁ g x).dest = g _root_.id (corec₁ g) x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: x : β

g (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inl) (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inr) x = g _root_.id (corec₁ g) x


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hf : Function.Injective ⇑f

CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length

xs.formPerm (xs.nthLe n ⋯) = xs.nthLe (n + 1) hn


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M

M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφ : T ⊨ᵇ φ

M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ

M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ n' a : ℤ

Context: γ : Cocycle ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
b : X


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α

(∏ j : ι, if i = j then f j else 1) = f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V₁ : Type u_3

Context: V₁' : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: V₃ : Type u_6

Context: V₄ : Type u_7

Context: P₁ : Type u_8

Context: P₁' : Type u_9

Context: P : Type u_10

Context: P₂ : Type u_11

Context: P₃ : Type u_12

Context: P₄ : Type u_13

Context: inst✝²⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁

Context: inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'

Context: inst✝¹³ : MetricSpace P₁'

Context: inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂

Context: inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂

Context: inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃

Context: inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄

Context: f : P →ᵃ[𝕜] P₂

Context: inhabited_h : Inhabited P

Context: this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph

Continuous (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ Continuous ⇑f


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: h₁ : I ≤ center R L

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: h₁ : I ≤ center R L

Context: k : ℕ


Context: R : CommRingCat


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

(of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v = 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M

(s ∪ t).mulIndicator f a = s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: a n' : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

Context: m m' : ℤ

Context: hm' : m' + a = m

δ n m (γ.rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' γ).rightUnshift m hm'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
γ' : Cochain K L n

δ n m (((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ').rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' ((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ')).rightUnshift m hm'


δ n m ((γ'.rightShift a n' hn).rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' (γ'.rightShift a n' hn)).rightUnshift m hm'


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆) = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: H : ¬∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / 2 ^ k * ϕ x' ↔ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x'


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: H : ∀ (k : ℕ) (x' : X), d x' x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x' → ∃ y, d x' y ≤ ε / 2 ^ k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ y


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: hu : ∀ (n : ℕ), d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ n * ϕ x ≤ ϕ (u n) → d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))

Context: key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x

Context: key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: cauchy_u : CauchySeq u


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: cauchy_u : CauchySeq u

Context: y : X

Context: limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: cauchy_u : CauchySeq u

Context: y : X

Context: limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)

Context: lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: this : Nonempty X

Context: F : ℕ → X → X

Context: u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F

Context: cauchy_u : CauchySeq u

Context: y : X

Context: limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)

Context: lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop

Context: lim : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop (𝓝 (ϕ y))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m : ℕ
a : α


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: p : Submodule R N

Context: hf : Injective ⇑f

Context: h : p ≤ LinearMap.range f

Context: x y : ↥(comap f p)

Context: hxy : (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) x = (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) y


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
x✝ : ↥p
y : M
hx : f y ∈ p

∃ a, (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) a = ⟨f y, hx⟩


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤

(sInf s).toReal = sInf (ENNReal.toReal '' s)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s))


AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s)) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • (g⁻¹ • s ∩ t)))


(∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g⁻¹⁻¹ • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))


(∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G

AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: ht : IsFundamentalDomain G t μ

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

Context: g : G

Context: he : MeasurableEmbedding fun x => g⁻¹ • x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: ht : IsFundamentalDomain G t μ

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

Context: g : G

AEStronglyMeasurable (f ∘ fun x => g⁻¹ • x) (μ.restrict (g • s ∩ t)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))


(∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)


(lfp.comp h) (lfp h.onDiag) ≤ lfp h.onDiag


h.onDiag (lfp (lfp.comp h)) = lfp (lfp.comp h)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
ha : (⇑lfp ∘ ⇑h) a = a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E

Context: x✝ : E

Context: s : Set (Seminorm 𝕜 E)

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: hp : p ∈ s

Context: x : E

Context: q : E → ℝ

Context: hq : q ∈ upperBounds (DFunLike.coe '' s)


Context: n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ

Context: α : Fin 2 → Type u_2

Context: inst✝ : (i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)

Context: x hx : (i : Fin 2) → α i

edist ((piFinTwoEquiv α).toFun x) ((piFinTwoEquiv α).toFun hx) = edist x hx


Context:
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ

a✝ ∈ (s.biUnion f).biUnion g ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => (f a).biUnion g


(∃ a, (∃ a_1 ∈ s, a ∈ f a_1) ∧ a✝ ∈ g a) ↔ ∃ a ∈ s, ∃ a_1 ∈ f a, a✝ ∈ g a_1


(∃ a, ∃ x ∈ s, a ∈ f x ∧ a✝ ∈ g a) ↔ ∃ a x, a ∈ s ∧ x ∈ f a ∧ a✝ ∈ g x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)

Context: X Y : D

Context: f : R.obj X ⟶ R.obj Y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : D

Context: f : R.obj X ⟶ R.obj Y

R.map (retraction (h.counit.app X) ≫ (h.homEquiv (R.obj X) Y).symm f) = f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : D

Context: f : R.obj X ⟶ R.obj Y

R.map (retraction (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L : C ⥤ D

Context: R : D ⥤ C

Context: h : L ⊣ R

Context: X Y : D

Context: f : R.obj X ⟶ R.obj Y

𝟙 (R.obj ((𝟭 D).obj X)) ≫ R.map (retraction (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι

pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s) = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥


(∃ i, f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥) ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
i : ι

f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥ ↔ i ∈ I ∧ f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥


Context: a : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x


ConcreteCategory.forget.map f = ConcreteCategory.forget.map g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
x : ConcreteCategory.forget.obj X

ConcreteCategory.forget.map f x = ConcreteCategory.forget.map g x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y

↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him

Context: y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: this : ↑y' < y


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: this : ↑y' < y

Context: y'_nonneg : 0 ≤ y'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: this : ↑y' < y

Context: y'_nonneg : 0 ≤ y'

↑(normBound abv bS * y' ^ Fintype.card ι) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: this : ↑y' < y

Context: y'_nonneg : 0 ≤ y'

↑(normBound abv bS) * ↑y' ^ Fintype.card ι < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : IsDomain S

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: T : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrderedRing T

Context: a : S

Context: y : T

Context: i : ι

Context: this : ↑y' < y

Context: y'_nonneg : 0 ≤ y'

↑y' ^ Fintype.card ι < y ^ Fintype.card ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f✝ : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x

Context: hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x

Context: he : f x ∈ e.source

Context: he' : f x ∈ e'.source

ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e' (f y)).2) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f✝ : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: he : (f x).proj ∈ e.baseSet

Context: he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f✝ : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: he : (f x).proj ∈ e.baseSet

Context: he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet

(fun y => (↑e' (f y)).2) =ᶠ[𝓝[s] x] fun y => e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) y) (↑e (f y)).2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f✝ : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: he : (f x).proj ∈ e.baseSet

Context: he' : (f x).proj ∈ e'.baseSet

(↑e' (f x)).2 = e.coordChange e' ((TotalSpace.proj ∘ f) x) (↑e (f x)).2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p

M.det = (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det


((reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M).det = (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det


∑ σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a }), ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ i : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }, (reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M (σ i) i = ∑ σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a }), ↑↑(Equiv.Perm.sign σ) * ∏ i : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }, fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j) (σ i) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: σ : Equiv.Perm ({ a // p a } ⊕ { a // ¬p a })

Context: x y : { a // p a } ⊕ { a // ¬p a }

Context: hy : σ x = y

(reindex (Equiv.sumCompl p).symm (Equiv.sumCompl p).symm) M y x = fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j) y x


Context:
a b m n k : ℕ
p : ℕ → Prop
H' : ¬p 0
H : ∃ n, p n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ (trinomial k m n u v w).support


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ {k, m, n}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
i : ℕ
h : i = k ∨ i = m ∨ i = n


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : M

Context: h : a ^ 2 ≤ b * c


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

∃ r ∈ Ioo 0 f.rOut, s ⊆ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) r


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
this : IsClosed (↑e '' s)


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hsc : IsClosed s

Context: hs : s ⊆ (chartAt H c).source ∧ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: this : IsClosed (↑e '' s)


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hsc : IsClosed s

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: this : IsClosed (↑e '' s)

Context: r : ℝ

Context: hrR : r ∈ Ioo 0 f.rOut

Context: hr : ↑e '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : One β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1

Context: hf : ContinuousOn f (closure s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s
x : ↑s
h : ¬∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
a : ℕ
ha : a ∈ s
hax : a ≥ ↑x + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s
x : ↑s
h : ¬∃ n, ↑x + n + 1 ∈ s
this : ∀ a ∈ s, a < ↑x + 1

∀ a ∈ Multiset.filter (fun x => x ∈ s) (Multiset.range (↑x).succ), a ∈ s


∀ (x_1 : { y // y ∈ s }), x_1 ∈ (Multiset.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (Multiset.filter (fun x => x ∈ s) (Multiset.range (↑x).succ)) ⋯).toFinset


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜


Context:
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁

((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ QuotientAddGroup.mk' S.abToCycles.range) x = 0 x


Context:
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁

((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)) x ∈ S.abToCycles.range


Context:
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁

∃ x_1, S.abToCycles x_1 = ((AddCommGrp.kernelIsLimit S.g).lift (Limits.KernelFork.ofι S.f ⋯)) x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Preorder α
s : Finset α
c : α
hcs : c ∈ s


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Preorder α
s : Finset α
c : α
hcs : c ∈ s
this : WellFounded LT.lt