Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a = b + c


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty

Context: E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, thickening ε E


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε✝ : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: E : Set α

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: E : Set α

⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ cthickening δ E


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: this : A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝) ?refine_2 ≤ A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝) ?refine_1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: this : b✝.asIdeal ≤ a✝.asIdeal


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : a✝ ≤ b✝


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly L s)

Context: L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange

Context: f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm

∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F L ↥(adjoin L S)) = f


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: this : ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L' ↥(adjoin (↥L') S)) = f'


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

IsIntegral (↥L') s ∧ Splits f'.toRingHom (minpoly (↥L') s)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

Context: this : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

Context: this✝ : Algebra L ↥L' := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower L (↥L') E


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

Context: this : IsScalarTower L (↥L') E

Splits (f'.comp (algebraMap L ↥L')) (minpoly L s)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

Context: this : IsScalarTower L (↥L') E

f'.comp (algebraMap L ↥L') = f.toRingHom


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L E

Context: f : L →ₐ[F] K

Context: s : E

Context: hs : s ∈ S

Context: this : IsScalarTower L (↥L') E

Context: x✝ : L

(f'.comp (algebraMap L ↥L')) x✝ = f.toRingHom x✝


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n

i.succ.succAbove j.succ = (i.succAbove j).succ


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i < j.succ


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.succ ≤ i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

Context: h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hm : MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (κ a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
f : α →ᵤ[𝔖] β

𝓝 f = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V i}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : Unique α
s : Finset α


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
x : R


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B

x ∈ map h.toLinearMap (I / J) ↔ x ∈ map h.toLinearMap I / map h.toLinearMap J


(∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h.toLinearMap y = x) ↔ ∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h.toLinearMap y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h.toLinearMap y_1 = x * y


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
h : Normal F E
f : E ≃ₐ[F] E'


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: h : ∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)

Context: f : E ≃ₐ[F] E'

∀ (x : E'), IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: f : E ≃ₐ[F] E'

Context: x : E'

Context: h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))

IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E') (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: f : E ≃ₐ[F] E'

Context: x : E'

IsIntegral F (f (f.symm x)) ∧ Splits ((↑↑f).comp (algebraMap F E)) (minpoly F (f.symm x))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: hnk : n ≤ k

‖newton_seq k - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: hnk : n ≤ k

Context: hex : ∃ m, k = n + m


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: hnk : n ≤ k

Context: hex : ∃ m, k = n + m

Context: w✝ : ℕ

Context: hex' : k = n + w✝

‖newton_seq (n + w✝) - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

l.sublists' = map reverse l.reverse.sublists


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < (-y).orderTop


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
V : Set E

V ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ i, 0 < i.2 ∧ (i.1.sup p).ball 0 i.2 ⊆ V


(∃ i, (∃ i_1 r, 0 < r ∧ i = (i_1.sup p).ball 0 r) ∧ id i ⊆ V) ↔ ∃ a b, 0 < b ∧ (a.sup p).ball 0 b ⊆ V


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f₁ f₂ g₁ g₂ : R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: h : f₁ * g₂ = f₂ * g₁

Context: x : ↥(unop (op U))

↑⟨g₁, ⋯⟩ * f₂ = ↑⟨g₂, ⋯⟩ * f₁


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℤ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g

HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

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Context: s : Set P

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Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

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Context: 𝕜 : Type u𝕜

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Context: E' : Type uE'

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Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

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Context: μ : Measure G

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Context: k : Set G

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Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

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Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

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Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

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Context: ε C : ℝ

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Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

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Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

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Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

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Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

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Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

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Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)

Context: ε C : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

Context: K' : Set G := -k + {q₀.2}

Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'

Context: U : Set G

Context: U_open : IsOpen U

Context: K'U : K' ⊆ U

Context: hU : IntegrableOn f U μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)

Context: ε C : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

Context: K' : Set G := -k + {q₀.2}

Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'

Context: U : Set G

Context: U_open : IsOpen U

Context: K'U : K' ⊆ U

Context: hU : IntegrableOn f U μ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δε : δ ≤ ε

Context: hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

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Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)

Context: ε C : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

Context: K' : Set G := -k + {q₀.2}

Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'

Context: U : Set G

Context: U_open : IsOpen U

Context: K'U : K' ⊆ U

Context: hU : IntegrableOn f U μ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δε : δ ≤ ε

Context: hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U

Context: this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm

Context: bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C

Context: I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)

Context: ε C : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

Context: K' : Set G := -k + {q₀.2}

Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'

Context: U : Set G

Context: U_open : IsOpen U

Context: K'U : K' ⊆ U

Context: hU : IntegrableOn f U μ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δε : δ ≤ ε

Context: hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U

Context: I5 : Integrable bound μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: q₀ : P × G

Context: hq₀ : q₀.1 ∈ s

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)

Context: ε C : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s

Context: K' : Set G := -k + {q₀.2}

Context: K'_def : K' = -k + {q₀.2}

Context: hK' : IsCompact K'

Context: U : Set G

Context: U_open : IsOpen U

Context: K'U : K' ⊆ U

Context: hU : IntegrableOn f U μ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δε : δ ≤ ε

Context: hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U

Context: I5 : Integrable bound μ

Context: I6 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → HasFDerivAt (fun x => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) ((L (f a)).comp (g' (x.1, x.2 - a))) x


Context:
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
this✝ : TopologicalSpace α := ⊥
this : DiscreteTopology α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hs : μ s ≠ 0

Context: u : Set (α × β)

Context: hum : MeasurableSet u

Context: hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t =ᶠ[ae ν] Prod.mk x ⁻¹' u


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hs : μ s ≠ 0

Context: u : Set (α × β)

Context: hum : MeasurableSet u

Context: hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F

Measurable fun x => derivWithin f (Ici x) x


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s

MeasurableSet ((fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : IsClosed s

Context: this : (fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s = {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s}


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : IsClosed s

MeasurableSet ({x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s})


Context:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

{ toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝


Context:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β

{ toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝) x✝ = ({ toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card

Context: eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : ↥(map (LinearMap.fst R E F) g)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R

W'.Equation ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Equation X Y


Context: k : ℤ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity f) s ≤ (μ.withDensity g) s


∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)


m ∣ a.val * b.val - a.val * b.val % n✝.succ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: p : Sort u_4

Context: f : M → ↥S → M → ↥S → p

Context: H : ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S}, (r S) (a, b) (a', b') → (r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'

Context: a c : M

Context: b d : ↥S

((monoidOf S).mk' a b).liftOn₂ ((monoidOf S).mk' c d) f H = f a b c d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A

Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: φ ψ : A →ₐ[R] B

Context: s : Set A

Context: this : ∀ (S : Set A), S ≤ ↑(equalizer φ ψ) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: hs : IsChain r s

Context: h : ¬∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: hs : IsChain r s

Context: h : ¬(IsChain r s ∧ ∃ x, SuperChain r s x)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)

Context: hf : Differentiable ℝ f

Context: k : ℕ

Context: C : ℝ

Context: h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf : Differentiable ℝ f

Context: k : ℕ

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsLUB s a


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ

0 < findGreatest P k ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n


(¬∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n


(Exists fun ⦃n⦄ => 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb✝ : ¬p ∣ b
hb : IsUnit b


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb : ¬p ∣ b
ha : IsUnit a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a
ba : ¬a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
U : Set (PrimeSpectrum R)


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : LinearOrder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : R →* M

Context: x : R


Context:
x y : ℝ
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x


Context: x n : ℂ

x⁻¹ ^ n = if x.arg = π then (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)⁻¹ else (x ^ n)⁻¹


Context: x n : ℂ

(if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else if x.arg = π then (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else (cexp (log x * n))⁻¹) = if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp (log x * n))⁻¹


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
l : ↥(supported M R s)
a : α
h : a ∉ s

↑((restrictDom M R s ∘ₗ (supported M R s).subtype) l) a = ↑(LinearMap.id l) a


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A


F.map ((h.to { a := F.obj A.a, str := F.map A.str }).f ≫ A.str) = F.map (𝟙 A.a)


(h.to { a := F.obj A.a, str := F.map A.str }).f ≫ A.str = 𝟙 A.a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.kahler x) (o.rightAngleRotation y) = Complex.I * (o.kahler x) y


-↑((o.areaForm x) y) + ↑⟪x, y⟫_ℝ * Complex.I = Complex.I * (↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0

Splits φ P.toPoly ↔ ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : Disjoint s s'
t : Finset β

Disjoint (interedges r s t) (interedges r s' t)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β

∀ ⦃a : α × β⦄, a ∈ interedges r s t → a ∉ interedges r s' t


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝ ∈ interedges r s t
hy : a✝ ∈ interedges r s' t


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
hy : a✝.1 ∈ s' ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
f : ι → ℕ

f ∈ map { toFun := fun m a => Multiset.count a ↑m, inj' := ⋯ } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n


(∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ Multiset.card s_1 = n ∧ ∀ (a : ι), Multiset.count a s_1 = f a) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝


X ⊆ R → (M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I X)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝
hXR : X ⊆ R


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε

∃ f, (∀ x ∈ K, 1 ≤ f x) ∧ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: α : ℝ≥0

Context: α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f_hyp : f ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x} ∧ Λ f = α


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: α : ℝ≥0

Context: α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε

Context: f : X →ᵇ ℝ≥0


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : (α × β) × γ

x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ) ⁻¹' s ×ˢ t ×ˢ u ↔ x✝ ∈ (s ×ˢ t) ×ˢ u


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)

insertNth 0 x p = cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)


p = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j))


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
j : Fin n

p j = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasWeakSheafify J D

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: adj : G ⊣ F

Context: X : Sheaf J E

Context: Y : Sheaf J D

Context: A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj

Context: η : (composeAndSheafify J G).obj X ⟶ Y

η.val = sheafifyLift J ((A.homEquiv X.val Y.val).symm ((A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val))) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasWeakSheafify J D

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: adj : G ⊣ F

Context: X : Sheaf J E

Context: Y : Sheaf J D

Context: η : (composeAndSheafify J G).obj X ⟶ Y

toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val = (A.homEquiv X.val Y.val).symm ((A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasWeakSheafify J D

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: adj : G ⊣ F

Context: X : Sheaf J E

Context: Y : Sheaf J D

Context: γ : X ⟶ (sheafCompose J F).obj Y

(A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ sheafifyLift J ((A.homEquiv X.val Y.val).symm γ.val) ⋯) = γ.val


Context: m : ℕ∞

↑m ≤ 1 ↔ m ≤ 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1 ⋯) f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f


(setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

((setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f


(setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α

(equivShrink α).symm (-x) = -(equivShrink α).symm x


(equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm (-(equivShrink α).symm x)) = -(equivShrink α).symm x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α

Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atBot


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : NeZero 2
a : R


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L

normalClosure F K L = ⨆ x, adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K


Splits (algebraMap F L) (minpoly F (φ x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable ((fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x) ∘ fun x => (a, x))


StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: f : G →g G'

Context: f' : G' →g G''

Context: u✝ v✝ u' v' : V

Context: p✝ : G.Walk u✝ v✝

Context: u v : V

Context: p : G.Walk u v

Context: H : SimpleGraph V

Context: hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet

Context: K : SimpleGraph V

Context: hp' : ∀ e ∈ (p.transfer H hp).edges, e ∈ K.edgeSet

(p.transfer H hp).transfer K hp' = p.transfer K ⋯


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
v : Option α → ℕ

v ∈ {v | f (v ∘ some) = v none} ↔ v ∈ {v | (↑f).graph (v ∘ some, v none)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f p.proj)

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj

(mfderiv I I'' (g ∘ f) p.proj) p.snd = (mfderiv I' I'' g (f p.proj)) ((mfderiv I I' f p.proj) p.snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj

((mfderiv I' I'' g (f p.proj)).comp (mfderiv I I' f p.proj)) p.snd = (mfderiv I' I'' g (f p.proj)) ((mfderiv I I' f p.proj) p.snd)


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i

∫⁻ (t : α), ∏ j ∈ insertNone s, (j.elim (g t) fun j => f j t) ^ j.elim q p ∂μ ≤ ∏ j ∈ insertNone s, (∫⁻ (t : α), j.elim (g t) fun j => f j t ∂μ) ^ j.elim q p


∀ i ∈ insertNone s, AEMeasurable (fun t => i.elim (g t) fun j => f j t) μ


Context:
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
l : List α

(a ::ₘ ⟦l⟧).powerset = powerset ⟦l⟧ + map (cons a) (powerset ⟦l⟧)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'

Context: hf : HasMFDerivAt I I' f x f'

HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x (g'.comp f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g univ (f x) g'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'

HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) univ x (g'.comp f')


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
i : P.vars

P.toKaehler (P.cotangentSpaceBasis i) = (D R S) (P.val i)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G'✝ : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
u : V
v : V'

G.Reachable (φ.symm v) u ↔ G'.Reachable v (φ u)


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: L₂ : Type w

Context: inst✝¹ : LieRing L₂

Context: inst✝ : LieAlgebra R L₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: K K' : LieSubalgebra R L

Context: K₂ : LieSubalgebra R L₂

Context: S : Set (LieSubalgebra R L)

Context: h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: L₂ : Type w

Context: inst✝¹ : LieRing L₂

Context: inst✝ : LieAlgebra R L₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: K K' : LieSubalgebra R L

Context: K₂ : LieSubalgebra R L₂

Context: S : Set (LieSubalgebra R L)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N

∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
b : M × ↥S
hb : w * f.toMap ↑b.2 = f.toMap b.1


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: hf : Q.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: hf : Q.diagonal (pullback.snd f (𝟙 Y))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: hf : Q.diagonal (pullback.snd f (𝟙 Y))

Context: 𝒰 : (pullback f (𝟙 Y)).OpenCover := X.affineCover.pushforwardIso (inv (pullback.fst f (𝟙 Y)))

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝¹ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n n✝ : ℕ

(p.update n 0).coeff n✝ = (erase n p).coeff n✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t✝ : Set X
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
t : Set Y
hg : HolderOnWith Cg rg g t
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderOnWith Cf rf f s
hst : MapsTo f s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s

edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑(Cg * Cf ^ ↑rg) * edist x y ^ ↑(rg * rf)


edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑Cg * (↑Cf * edist x y ^ ↑rf) ^ ↑rg


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : Subobject Z

(pullback (f ≫ g)).obj x = (pullback f).obj ((pullback g).obj x)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
t : MonoOver Z

(pullback (f ≫ g)).obj (Quotient.mk'' t) = (pullback f).obj ((pullback g).obj (Quotient.mk'' t))


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.725197) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : 0 ≤ cfc id a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ id x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (κ a)

AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂κ.condKernel (a, x)) (κ.fst a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)


Context:
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime

x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert x s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y


Context:
p : Prop
α : Sort u_1
inst✝ : Nonempty α
P : α → Prop
f : p → α
a : p
h : P (f a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

All P (if l.size + r.size ≤ 1 then l.node' x r else if r.size > delta * l.size then l.rotateL x r else if l.size > delta * r.size then l.rotateR x r else l.node' x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
x✝ : R

x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R m ↔ x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R ↑m


Context: n m : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ = √(re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
r : M
s : Set α
f : α → M

r ∈ range (s.mulIndicator f) ↔ r = 1 ∧ s ≠ univ ∨ r ∈ f '' s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R


![(u • P) x, u ^ 3 * W'.negY P, (u • P) z] = u • W'.neg P


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.rightHomologyι


Context: z : ℂ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l l' : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α ≃o β
s t : UpperSet α
a : α
b : β


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N


{K | |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ⊆ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ∪ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F.unop

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeUnop c).pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeUnop c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeUnopOfCone s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F.unop

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeUnop c).pt

Context: j : J

(c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeUnopOfCone s)).op) s).unop).op


Context:
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P


∀ (n : ℕ), sequenceOfCofinals p 𝒟 n ≤ sequenceOfCofinals p 𝒟 (n + 1)


Context: x n m : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : NeZero 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a'✝ : α
b✝ : M
a a' : α
b : M

a ∈ (single a' b).support ↔ a = a' ∧ b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α

∀ᵐ (b : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, b) ↑r = f (a, b) q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa✝ : Measure α
μb✝ : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
e : α ≃ᵐ β
μa : Measure α
μb : Measure β
h : MeasurePreserving (⇑e) μa μb


Context:
n : ℕ+
hn : n ≠ 1


Context:
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n


Prime ⟨p, ⋯⟩ ∧ ↑⟨p, ⋯⟩ ∣ ↑n


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

(((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) + (κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ + η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

Context: this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

(((κ + η).withDensity fun a x => 1 - ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) + (κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = κ + η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

((κ + η).withDensity fun a x => 1) = κ + η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

Measurable (Function.uncurry fun a x => 1)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

Measurable (Function.uncurry fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x))


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: h_le : κ ≤ κ + η

∀ (a : α), (fun x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) ≤ᶠ[ae ((κ + η) a)] fun x => 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

Context: inst✝ : ∀ (A : C), HasProduct fun x => G

IsCoseparator G ↔ ∀ (A : C), Mono (Pi.lift fun f => f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

(∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Mono (Pi.lift fun f => f)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₂ m₂' : M₂

(Q₁.prod Q₂).IsOrtho (0, m₂) (0, m₂') ↔ Q₂.IsOrtho m₂ m₂'


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : ↑f ≤ 𝓝 a
hb : ↑g ≤ 𝓝 b


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : Tendsto id (↑f) (𝓝 a)
hb : Tendsto id (↑g) (𝓝 b)


Tendsto (fun x => ((id ∘ Prod.fst) x, (id ∘ Prod.snd) x)) (↑f ×ˢ ↑g) (𝓤 α) ↔ ↑f ×ˢ ↑g ≤ 𝓤 α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0


(∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0


Context:
C : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₃.HasHomology
inst✝¹ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
h : i ≠ j


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivAt u u' x
hv : HasDerivAt v v' x

HasDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ rtakeWhile p l


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ takeWhile p l.reverse


Context:
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0


Context:
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0


Context:
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
hx_pos : 0 < x.toReal


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M

b.repr m ∈ Finsupp.supported R R ↑(b.repr m).support ∧ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr m) = m


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddBelow s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(upperClosure s)

Context: hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddBelow s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddBelow s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: a : ι → ℝ

Context: ha : a ∈ upperBounds (range f)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddBelow s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: a : ι → ℝ

Context: ha : a ∈ upperBounds (range f)

Context: b : ι → ℝ

Context: hb : b ∈ closure (s ∩ Iic a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : StrictMono φ

Context: hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀

Context: hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)

Context: g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀

Context: ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }

Context: φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ

(cfcₙHom ha) (g.comp f') = (cfcₙHom ⋯) g


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)

Context: g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)

Context: g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀

φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R ((cfcₙHom ha) f)) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) f


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

(fun a => (tprod R) ((MonoidHom.mulSingle A i) a)) 1 = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: r : R

tprodCoeff R 1 ((MonoidHom.mulSingle A i) ((algebraMap R (A i)) r)) = r • tprodCoeff R 1 1


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: r : R

tprodCoeff R 1 ((MonoidHom.mulSingle A i) (r • 1)) = r • tprodCoeff R 1 1


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: r : R

tprodCoeff R (r • 1) 1 = r • tprodCoeff R 1 1


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x

Context: l : IntegrationParams

HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E

Context: hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
x : ℕ
h : p x


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: x y : α

Context: h : edist x y ≠ ⊤

Context: this : edist x y ≤ edist x (f x) + edist y (f y) + ↑K * edist x y

edist x y ≤ (edist x (f x) + edist y (f y)) / (1 - ↑K)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤

edist x (f x) + edist (f x) (f y) + edist (f y) y = edist x (f x) + edist y (f y) + edist (f x) (f y)


Context:
R : Type u_1
K : Type ?u.12922
L : Type ?u.12925
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx✝ : IsIntegral R x
hx : ¬IsIntegral R x

map (algebraMap R S) (if hx : IsIntegral R x then ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R S) x x_1 = 0) hx else 0) /ₘ (X - C x) = 0


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

Context: hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ

Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)


Context: m n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: this : (algebraMap A K) (num A 0) / (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: this : (algebraMap A K) (num A 0) = 0 ∨ (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 {x | p x}) l₂
h₁ : Tendsto g (l₁ ⊓ 𝓟 {x | ¬p x}) l₂

Tendsto (fun x => if p x then f x else g x) l₁ l₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: l l₁ : Filter α

Context: l₂ : Filter β

Context: f g : α → β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)

Context: h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁

Context: h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁

∀ s ∈ l₂, (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: l l₁ : Filter α

Context: l₂ : Filter β

Context: f g : α → β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l₂

(fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁