Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → β

⨆ y ∈ s.biUnion t, f y = ⨆ x ∈ s, ⨆ y ∈ t x, f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s A + ↑s B = 0


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
a : A
x✝ : R


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
ha : ¬IsUnit a


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
hb : ¬IsUnit b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)

(integralCLM' 𝕜) (c • f) = c • (integralCLM' 𝕜) f


Context: num : Int

Context: den g : Nat

Context: den_nz : den / g ≠ 0

Context: reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)

Context: hn : ↑g ∣ num

Context: hd : g ∣ den

maybeNormalize num den g den_nz reduced = normalize num den ⋯


Context: num : Int

Context: den g : Nat

Context: den_nz : den / g ≠ 0

Context: hn : ↑g ∣ num

Context: hd : g ∣ den

normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯


Context: num : Int

Context: den g : Nat

Context: den_nz : den / g ≠ 0

Context: hn : ↑g ∣ num

Context: hd : g ∣ den

Context: this : g ≠ 0


Context: num : Int

Context: den g : Nat

Context: den_nz : den / g ≠ 0

Context: hn : ↑g ∣ num

Context: hd : g ∣ den

Context: this : g ≠ 0

normalize num (den / g * g) ⋯ = normalize num den ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

Context: this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑‖y‖₊ < r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: W : ι → Set X

Context: hsW : s ⊆ iUnion W

Context: hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)

Context: hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f✝ : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: W : ι → Set X

Context: hsW : s ⊆ iUnion W

Context: hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)

Context: hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i

Context: f : ι → C(X, ℝ)

Context: hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)

Context: hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ

Context: hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))

Context: hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f✝ : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: W : ι → Set X

Context: hsW : s ⊆ iUnion W

Context: hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)

Context: hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i

Context: f : ι → C(X, ℝ)

Context: hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)

Context: hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ

Context: hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f✝ : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: W : ι → Set X

Context: hsW : s ⊆ iUnion W

Context: hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)

Context: hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i

Context: f : ι → C(X, ℝ)

Context: hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)

Context: hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ

Context: hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f✝ : BumpCovering ι X s

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hf : LocallyFinite U

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hsV : s ⊆ iUnion V

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

Context: hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: W : ι → Set X

Context: hsW : s ⊆ iUnion W

Context: hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)

Context: hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i

Context: f : ι → C(X, ℝ)

Context: hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)

Context: hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ

Context: hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ W i


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t✝ u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: A : μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0)

Context: B : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0) = μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤)

Context: C : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤) = ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))

μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

(Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ).Finite


(Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) ⊆ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m : M

Context: hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ

m ∈ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m : M

Context: hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m : M

(fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m : M

Context: hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m : M

Context: hm' : ∀ x ∈ ↑φ.support, ¬(weight w) x = m


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g

OpenEmbedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : OpenEmbedding ⇑f

Context: H₂ : OpenEmbedding ⇑g

Context: e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : OpenEmbedding ⇑f

Context: H₂ : OpenEmbedding ⇑g

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : OpenEmbedding ⇑f

Context: H₂ : OpenEmbedding ⇑g

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition

∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ↑J


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ⊤.iUnion


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)

s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0)


(∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ (fun p => dist p.1 p.2) ⁻¹' ball 0 i ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S

∀ {b : R}, b ∈ S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M

∀ x ∈ ↑S, ∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


∀ b ∈ S, 0 * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


∀ (x y : R), (∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → (∀ b ∈ S, y * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → ∀ b ∈ S, (x + y) * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
this : g' • g • a = g • a


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α

Tendsto (fun p => (u p.1, u p.2)) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s


Context:
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj α

((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj β

((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: i : ℕ

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: i : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hbddω : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α → δ

Context: g' : β → β'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a

image2 f' (g' '' t) ((fun a => a) '' s) = image2 f' (g' '' t) s


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s


δ / 4 + dist (x - const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ


closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : dist x y < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : z ∈ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : dist x y < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ‖x - y‖ < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4

Context: hz : ‖(x - const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i - 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4

Context: hz : x i - 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i - 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
i : ι

i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ support fun i => (ρ i) x₀


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

x ∈ r • Icc a b ↔ x ∈ Icc (r • a) (r • b)


(∃ y, (a ≤ y ∧ y ≤ b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x ≤ r * b


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

Module.rank K V < Module.rank K (V →ₗ[K] K)


Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
a : α
s : Set α
x✝ : β

x✝ ∈ f '' insert a s ↔ x✝ ∈ insert (f a) (f '' s)


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty

Context: Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S

Context: v : V

Context: vs : v ∈ s


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S

Context: v : V

Context: vs : v ∈ s

∀ {v_1 : V}, v_1 ∈ ⋃₀ S → ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : v_1 ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨v_1, hv'⟩


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S

Context: v : V

Context: vs : v ∈ s

Context: w : V

Context: hw : w ∈ ⋃₀ S

∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S

Context: v : V

Context: vs : v ∈ s

Context: w : V

Context: hw : ∃ t ∈ S, w ∈ t


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: S : Set (Set V)

Context: s : Set V

Context: sS : s ∈ S

Context: v : V

Context: vs : v ∈ s

Context: w : V

Context: t : Set V

Context: tS : t ∈ S

Context: wt : w ∈ t


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c✝ u a : αˣ
b c : α
h : ↑a * b = ↑a * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : NegZeroClass G
inst✝ : NegZeroClass H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
v : α →₀ G
x✝ : α

(mapRange f hf (-v)) x✝ = (-mapRange f hf v) x✝


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ

P.d (i + 1) ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) (i + 1) = P.d (i + 1) i ≫ f i (i + 1)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: P Q : ChainComplex V ℕ

Context: f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

Context: i : ℕ

Context: this : (ComplexShape.down ℕ).next (i + 1) = i


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ι a b) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


cos (Classical.choose exists_cos_eq_zero) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M

(U.mulIndicator fun x => a) ⁻¹' s ∈ {univ, U, Uᶜ, ∅}


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6279, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6283, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6287, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ : L.LeftExtension F
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
G : CostructuredArrow L Y

(E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = E'.hom.app G.left ≫ E'.right.map G.hom


(E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.right).app G.left ≫ E'.right.map G.hom


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E

(fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

Context: A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

Context: B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

(fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)) =o[lt] fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

Context: t : ι

‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

Context: t : ι

‖(μ (Ioc (v t) (u t))).toReal‖ ≤ ‖(μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1‖


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hl : μ.FiniteAtFilter l'

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

Context: hE : CompleteSpace E

Context: t : ι

∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c) = ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = s.sup fun i => limsup (F i) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ (F i)) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ (F i)) _auto✝

limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) ⊥ = s.sup fun i => limsup (F i) ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h✝ : f.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: h✝ : f.NeBot

Context: h₁ : autoParam (∀ i ∈ ∅, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (∀ i ∈ ∅, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

limsup (fun a => ∅.sup fun i => F i a) f = ∅.sup fun i => limsup (F i) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h✝ : f.NeBot

Context: s_nemp : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h✝ : f.NeBot

Context: s_nemp : s.Nonempty

limsup (fun a => s.sup fun i => F i a) f = limsup (fun a => s.sup' s_nemp fun i => F i a) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: f : Filter α

Context: F : ι → α → β

Context: s : Finset ι

Context: h✝ : f.NeBot

Context: s_nemp : s.Nonempty

Context: a : α

(s.sup fun i => F i a) = s.sup' s_nemp fun i => F i a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
h : t.Nonempty


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
i : Fin n
v : Fin n.succ → M

∏ j ∈ Ioi i.succ, v j = ∏ j ∈ Ioi i, v j.succ


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: v : ↑G'.verts

Context: inst✝¹ : Fintype ↑(G'.coe.neighborSet v)

Context: inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet ↑v)


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: v : ↑G'.verts

Context: inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet ↑v)

Fintype.card ↑(G'.coe.neighborSet v) = G'.degree ↑v


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M'✝
inst✝⁴ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommGroup M₁'
inst✝ : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
h : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁ g₁
h' : B₁.IsAdjointPair B₁' f₁' g₁'
x : M₁
y : M₁'


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
W X Y Z : Cᵒᵖ
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
p : CommSq f g h i


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b✝ c : α
h : IsUnit c
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f g : α → β

(range fun x => if p x then f x else g x) ⊆ range f ∪ range g


∀ (y : α), (if p y then f y else g y) ∈ range f ∪ range g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t : Set β

Context: f : α → β

Context: t' : Set β

Context: h : BijOn f s t

Context: hss₁ : s ⊆ s₁

Context: htt' : t ⊆ t'

Context: ht' : SurjOn f s₁ t'

Context: r : Set α

Context: hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t

Context: hbij : BijOn f r (f '' ((s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
y : β
hyt' : y ∈ t'


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: v w : V

Context: h : s(v, w) ∈ G.edgeSet

Context: d : G.Dart := { toProd := (v, w), adj := h }

(filter (fun d => d.edge = s(v, w)) univ).card = 2


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: v w : V

Context: h : s(v, w) ∈ G.edgeSet


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

sSup ((fun x => ‖f x‖) '' closedBall 0 1) = ‖f‖


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0

(∏ i ∈ s, f i).leadingCoeff = ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEFinStronglyMeasurable g μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEFinStronglyMeasurable g μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEFinStronglyMeasurable g μ

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEFinStronglyMeasurable g μ

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
x : β i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: M : ι → Matroid α

Context: h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)

Context: B : Set α

(Matroid.disjointSigma M h).Base B ↔ (∀ (i : ι), (M i).Base (B ∩ (M i).E)) ∧ B ⊆ ⋃ i, (M i).E


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α


Ring.inverse (A * B).det • (A * B).adjugate = Ring.inverse B.det • B.adjugate * Ring.inverse A.det • A.adjugate


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E

Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))


∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ


∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖


Integrable (fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ


∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[<] 0, ‖cexp (↑ε * z) • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε ∈ Iio 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hgn : ∀ (z : ℂ), ‖g z‖ = expR (ε * z.re) * ‖f z‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: y : ℝ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
S₁ S₂ : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥S₂
hle : S₁ ≤ S₂
hd : finrank K ↥S₂ ≤ finrank K ↥S₁


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: S₁ S₂ : Submodule K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥S₂

Context: hle : S₁ ≤ S₂

Context: hd : finrank K ↥S₂ ≤ finrank K ↥(comap S₂.subtype S₁)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
s : Set E

(map (⇑f) μ) s = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s


(ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ) s = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, IsRatStieltjesPoint f (a, t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: t : β

Context: ht_top : Tendsto (f (a, t)) atTop (𝓝 1)

Context: ht_bot : Tendsto (f (a, t)) atBot (𝓝 0)

Context: ht_iInf : ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q

Context: h_mono : Monotone (f (a, t))


Context:
f : ℕ →. ℕ
h : _root_.Partrec fun v => f v.head
v : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f g : α → β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)

Context: this✝ : BorelSpace (β × β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: a b c : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t K : Set X
hK : IsCompact K
l : Filter X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : α


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
x✝ : CharacterModule (A ⊗[R] B)
z : A ⊗[R] B

((uncurry ∘ₗ curry) x✝) z = (LinearMap.id x✝) z


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
h : Bornology.IsBounded E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
h : Bornology.IsBounded ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
h : Bornology.IsBounded E
x : X
hx : x ∈ E


Context: z τ : ℂ


Context: z τ : ℂ

∑' (c : ℤ), jacobiTheta₂_term ((Equiv.neg ℤ) c) (-z) τ = jacobiTheta₂ z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

jacobiTheta₂_term ((Equiv.neg ℤ) n) (-z) τ = jacobiTheta₂_term n z τ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: z : M ⧸ torsion R M

Context: x : M

Context: x✝ : Quotient.mk'' x ∈ torsion R (M ⧸ torsion R M)

Context: a : ↥R⁰

Context: hax : a • Quotient.mk'' x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: z : M ⧸ torsion R M

Context: x : M

Context: a : ↥R⁰

Context: hax : a • x ∈ torsion R M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: z : M ⧸ torsion R M

Context: x : M

Context: a b : ↥R⁰

Context: h : b • a • x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Preorder β

Context: inst✝⁵ : Preorder γ

Context: inst✝⁴ : Preorder δ

Context: inst✝³ : MulZeroOneClass α

Context: inst✝² : MulZeroOneClass β

Context: inst✝¹ : MulZeroOneClass γ

Context: inst✝ : MulZeroOneClass δ

Context: f✝ g✝ f g : α →*₀o β

Context: h : f.toOrderMonoidHom = g.toOrderMonoidHom


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MulZeroOneClass A
inst✝¹ : FunLike F ℕ A
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℕ A
f g : F
h_pos : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → f n = g n


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
l : List ℕ

commProb (Product (n :: l)) = commProb (DihedralGroup n) * commProb (Product l)


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
hn : r < 0


Context:
r : ℝ
hp : 0 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n

(fromBlocks M₁₁ 0 M₂₁ M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (preimage f)
y : β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Injective (preimage f)
y : β
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' {y}


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ha : a ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
x : ↑s

𝓝[Subtype.val ⁻¹' t] x = ⊥ ↔ 𝓝[t] ↑x ⊓ 𝓟 s = ⊥


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
a b : α × β


a.1 < b.1 ∧ a.2 ≤ b.2 ∨ a.1 ≤ b.1 ∧ a.2 < b.2 → (Prod.map f g a).1 < (Prod.map f g b).1 ∧ (Prod.map f g a).2 ≤ (Prod.map f g b).2 ∨ (Prod.map f g a).1 ≤ (Prod.map f g b).1 ∧ (Prod.map f g a).2 < (Prod.map f g b).2


Context:
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ

1 ∈ posTangentConeAt s a ↔ ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, x ∈ s


Context:
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ

(∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, x ∈ s ∩ Ioi a) ↔ ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, x ∈ s ∧ x ∈ Ioi a


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y

Context: b : ℝ

Context: hxb : x < b

Context: hba : b < a


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y

compactOpen = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), induced (restrict K) compactOpen


⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), induced (restrict K) compactOpen ≤ compactOpen


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set Y
hU : U ∈ {U | IsOpen U}


{f | MapsTo (⇑f) K U} = restrict K ⁻¹' {f | MapsTo (⇑f) univ U}


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P✝ : PrelocalPredicate T

Context: P : LocalPredicate T

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: sf : (i : ι) → (forget (Type v)).obj ((subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).obj (op (U i)))

Context: sf_comp : (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsCompatible U sf

Context: sf' : (i : ι) → (X.presheafToTypes T).obj (op (U i)) := fun i => ↑(sf i)

Context: sf'_comp : (X.presheafToTypes T).IsCompatible U sf'

∃! s, (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).IsGluing U sf s


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P✝ : PrelocalPredicate T

Context: P : LocalPredicate T

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: gl : (forget (Type v)).obj ((X.sheafToTypes T).val.obj (op (iSup U)))

Context: gl_spec : IsGluing (X.sheafToTypes T).val U sf' gl

Context: gl_uniq : ∀ (y : (forget (Type v)).obj ((X.sheafToTypes T).val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing (X.sheafToTypes T).val U sf' s) y → y = gl


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: hn : ∃ n, restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: k : ℕ := Nat.find hn

∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

Context: hk₂ : restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

Context: hmeas : MeasurableSet (⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

↑s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

↑s i - ∑' (i_1 : ℕ), ↑s (⋃ (_ : i_1 < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i i_1) < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

∀ (i_1 : ℕ), MeasurableSet (⋃ (_ : i_1 < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i i_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

Pairwise (Disjoint on fun l => ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hi₂ : ↑s i < 0

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: k : ℕ := Nat.find hn

⋃ l, ⋃ (_ : l < k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l ⊆ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝ : Sub R

Context: K : ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith K fun p => p.1 - p.2

Context: s t : Set R

Context: s_bdd : Bornology.IsBounded s

Context: t_bdd : Bornology.IsBounded t


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝ : Sub R

Context: K : ℝ≥0

Context: s t : Set R

Context: s_bdd : Bornology.IsBounded s

Context: t_bdd : Bornology.IsBounded t

Context: bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝ : Sub R

Context: K : ℝ≥0

Context: s t : Set R

Context: s_bdd : Bornology.IsBounded s

Context: t_bdd : Bornology.IsBounded t

Context: bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)

Context: p : R

p ∈ s - t ↔ p ∈ (fun p => p.1 - p.2) '' s ×ˢ t


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝ : Sub R

Context: K : ℝ≥0

Context: s t : Set R

Context: s_bdd : Bornology.IsBounded s

Context: t_bdd : Bornology.IsBounded t

Context: bdd : Bornology.IsBounded (s ×ˢ t)

Context: p : R

p ∈ s - t ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a - b = p


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

Context: x y : α

inducedMap α β (x + y) = inducedMap α β x + inducedMap α β y


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

Context: x y : α

sSup (cutMap β x + cutMap β y) = inducedMap α β x + inducedMap α β y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
M : o → Matrix m n α
N : o → Matrix n p α
i : m
k : o
j : p
k' : o

blockDiagonal (fun k => M k * N k) (i, k) (j, k') = (blockDiagonal M * blockDiagonal N) (i, k) (j, k')


(if k = k' then ∑ j_1 : n, M k i j_1 * N k j_1 j else 0) = ∑ x : n, ∑ x_1 : o, (if k = x_1 then M k i x else 0) * if x_1 = k' then N x_1 x j else 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)


∃ t ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), Prod.mk x ⁻¹' t ⊆ ball x V


Context:
r : ℕ+
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
h6 : 0 < 6


Context:
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r


Context:
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r

(↑↑2)⁻¹ + (↑↑3)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context:
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 6⁻¹

(↑↑2)⁻¹ + (↑↑3)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: s : Splitting X

Context: Z : C

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: F : (A : IndexSet Δ) → s.N (unop A.fst).len ⟶ Z

Context: A : IndexSet Δ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

Wbtw R x y z ↔ SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)


Context:
z : ℂ
hz : z = 0


Context:
z : ℂ
hz : ¬z = 0


Context: cf cg : Code

encode cf < encode (cf.comp cg) ∧ encode cg < encode (cf.comp cg)


Context: cf cg : Code

Context: this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.comp cg)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
ts : t ⊆ s
ho : IsGδ t
hd : Dense t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop

(∀ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∀ t ⊆ s, p (f '' t)


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ
hR0 : 0 < R
hRs : closedBall z R ⊆ s


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall z ↑R ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖ ≤ M

‖u‖ ≤ Fintype.card ι • ‖↑v.equivFunL‖ * M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
a : Filter α
b : β

Tendsto f a (pure b) ↔ ∀ᶠ (x : α) in a, f x = b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

f n = f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c

∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 < c0


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 = c0


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : c0 < 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ

Context: f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop

Context: h'fg : deriv f' =O[l] g


Context: p q : ℚ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M


((lift R) f) ((ι R) x) = (((lift R) f).toLinearMap ∘ₗ ι R) x


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: N : Type u_9

Context: f : N → H

Context: g : N → H'

Context: ϕ : N → E →L[𝕜] E'

Context: x₀ : N


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

(π₁.disjUnion π₂ h).iUnion = π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α

abs ((P F).wDest' x) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv x y


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv ((P F).wMk a f' f) y


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀)) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) y


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀)) = abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) → WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬A.EqId

(s.cofan (op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬Mono A.e


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : CommRing R
x : V → R

x ⬝ᵥ degMatrix R G *ᵥ x = ∑ i : V, ↑(G.degree i) * x i * x i


Context:
n m : Nat
h : n ≤ m


Context:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g


G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)


G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x✝ y✝ : α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: z : α

Context: hz : z ∈ Icc x y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x✝ y : α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: z : α

Context: hy : x ∈ s

Context: hz : z ∈ Icc x x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x✝ y : α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: z : α

Context: hy : x ∈ s

Context: hz : z = x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: val✝¹ : List I

Context: property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹

Context: val✝ : List I

Context: property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝

⟨val✝¹, property✝¹⟩ < ⟨val✝, property✝⟩ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: val✝¹ : List I

Context: val✝ : List I

val✝¹ < val✝ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩


Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: a✝ b c✝ d : V

Context: inst✝ : ∀ (a b : V), Subsingleton (a ⟶ b)

Context: a x✝ c : V

Context: p : Path a c

Context: f : c ⟶ x✝

Context: C : Path a c

Context: D : c ⟶ x✝

Context: hAC : p.toList = C.toList


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.275553, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{u_15, u_6} C₂₃

Context: F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q

Context: H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃

Context: F₁₂ : ?m.277908

Context: G : ?m.277911

Context: ρ₁₂ : ?m.277914

Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G →* K
g : H →* K


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hxy : x < y
hz : 0 < z


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 = x ∨ 0 < x
hxy : x < y
hz : 0 < z


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g

∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
ns : ℕ → ι
h_tendsto_ns : Tendsto ns atTop u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞

∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : Nonempty α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0


∀ (i : Finset ι × ℝ), 0 < i.2 → x ∈ (i.1.sup p).ball 0 i.2


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
f : F

HasStrictFDerivAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
n : ↥N

↑(N.lTensorOne' ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) = ↑(y • n)


(mulMap 1 N) ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n) = (algebraMap R S) y * ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re

HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs₁ : s ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs₁ : s ≠ 0

Context: hs₂ : 0 < (s + 1).re


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs₁ : s ≠ 0

Context: hs₂ : 0 < (s + 1).re

Context: hs₃ : s + 1 ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)

Context: hs₁ : s ≠ 0

Context: hs₂ : 0 < (s + 1).re

Context: hs₃ : s + 1 ≠ 0

Context: this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs₁ : s ≠ 0

Context: hs₂ : 0 < (s + 1).re

Context: hs₃ : s + 1 ≠ 0

Context: i : ι

(s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s = (s + 1).Gammaℝ * (a i * ↑(r i)) / ↑|r i| ^ (s + 1)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs₁ : s ≠ 0

Context: hs₂ : 0 < (s + 1).re

Context: hs₃ : s + 1 ≠ 0

Summable fun i => ‖a i * ↑(r i)‖ / |r i| ^ (s + 1).re


Context:
ι : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ℤ
hs : s.card = 2 * p - 1


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_1

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p✝ : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i✝ : Fin n

Context: y : α i✝.succ

Context: z : α 0

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : α i

Context: p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

Context: q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j

i.insertNth x p ∈ Icc q₁ q₂ ↔ x ∈ Icc (q₁ i) (q₂ i) ∧ p ∈ Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)


Context: R : CommRingCat

(locallyRingedSpaceMap (𝟙 R)).val = (𝟙 (locallyRingedSpaceObj R)).val


Context: R : CommRingCat

𝟙 (sheafedSpaceObj R) = (𝟙 (locallyRingedSpaceObj R)).val


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)

equiv.symm (equiv (↑↑x).snd * equiv (↑↑x⁻¹).snd) = equiv.symm 1


equiv.symm (equiv (↑↑x⁻¹).snd * equiv (↑↑x).snd) = equiv.symm 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ

(1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1


(1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1 + ↑((↑x⁻¹).val + (↑x).val + (↑x).val * (↑x⁻¹).val)


(1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) = 1


(1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) = 1 + ↑((↑x).val + (↑x⁻¹).val + (↑x⁻¹).val * (↑x).val)


↑↑((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) ((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) x)) = ↑↑x


↑((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) ((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) x)) = ↑x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: n : ℕ

Context: p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F

Context: h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)

Context: y : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: n : ℕ

Context: y : E

Context: c : ℝ

Context: c_pos : c > 0

Context: hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: n : ℕ

Context: y : E

Context: c : ℝ

Context: c_pos : c > 0

Context: t : Set E

Context: ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1)‖

Context: t_open : IsOpen t

Context: z_mem : 0 ∈ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: n : ℕ

Context: y : E

Context: c : ℝ

Context: c_pos : c > 0

Context: t : Set E

Context: t_open : IsOpen t

Context: z_mem : 0 ∈ t

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
c : ι₁ →₀ R

(eval ⇑c) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = (b₂.repr (f (b₁.repr.symm c))) i


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J

(rightDistributor f X).hom ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j = biproduct.π f j ▷ X


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < M * r i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: h₃ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.112788, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X✝ Y✝ : Split C
Φ : X✝ ⟶ Y✝
n : ℕ

Φ.f n ≫ (Y✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ((X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])


Φ.f n ≫ (Y✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = (X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])


(X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ Φ.F.app (op [n]) ≫ PInfty.f n = (X✝.s.cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n ≫ Φ.F.app (op [n])


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : ↥M


↑((toInvSubmonoid M S) x) * (algebraMap R S) ↑x = mk' S 1 x * (algebraMap R S) ↑x


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

dist p ↑((orthogonalProjection s) p) = 0 ↔ p ∈ s


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ


Context:
n : ℤ
hn : n.natAbs ≠ 1


Context:
n : ℤ
hn : n.natAbs ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
pd : p ∣ n.natAbs


Context:
X✝ Y✝ Z X Y : TopCat
H : X ≅ Y
U : Opens ↑Y

(𝟭 (Opens ↑Y)).obj U = (map H.hom ⋙ map H.inv).obj U


Context:
X✝ Y✝ Z X Y : TopCat
H : X ≅ Y
U : Opens ↑X

(map H.inv ⋙ map H.hom).obj U = (𝟭 (Opens ↑X)).obj U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : ∀ (p : ℕ), a.factorization p = b.factorization p


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α


Monotone (graph.proj ∘ ⇑(graphEquiv₂ f))


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ n₁ ⊕ n₂
A₁ : Matrix n n₁ R
A₂ : Matrix n n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R

A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂ = 1 ↔ B₁.fromRows B₂ * A₁.fromColumns A₂ = 1


Context:
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d


Context:
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : a.norm = 0


Context:
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : a.re * a.re - d * a.im * a.im = 0


Context:
d : ℤ
h_nonsquare : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : a.re * a.re = d * a.im * a.im


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s

∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x