Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: a : α

Context: b : ↑(Iic a)

Context: ι : Type u_2

Context: s : ι → ↑(Iic a)

Context: hb : b ≤ iSup s


Context: ι✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: a : α

Context: b : ↑(Iic a)

Context: h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a

Context: ι : Type u_2

Context: s : ι → ↑(Iic a)

Context: hb : ↑b ≤ iSup (Subtype.val ∘ s)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
x : G
xH : x ∈ H
n : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Multiset (Associates α)

∀ (a : Associates α) (s : Multiset (Associates α)), (s.prod = 1 ↔ ∀ a ∈ s, a = 1) → ((a ::ₘ s).prod = 1 ↔ ∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, a_2 = 1)


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
i : s ⟶ t
x : B
h : x ⟶ c

(s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right) = (t.whisker h).hom


((s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right)) ≫ (α_ h t.lift f).hom = (t.whisker h).hom ≫ (α_ h t.lift f).hom


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b : α
m n : ℕ
a d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
h : c ≤ a ∨ c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ

Context: hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)

Context: s : Set α

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: s : Set α

∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: s : Set α

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1

↑p ∣ r.num - r.num * r.den.gcdA p % ↑p * ↑r.den


↑(r.num - r.num * r.den.gcdA p % ↑p * ↑r.den) = 0


↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r✝ r : ℚ

Context: h : ‖↑r‖ ≤ 1

Context: this : (fun x => ↑x % ↑p) ↑(r.den.gcd p) = (fun x => ↑x % ↑p) (↑r.den * r.den.gcdA p + ↑p * r.den.gcdB p)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r✝ r : ℚ

Context: h : ‖↑r‖ ≤ 1

Context: this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r✝ r : ℚ

Context: h : ‖↑r‖ ≤ 1

↑r.num - ↑r.num * ↑(r.den.gcdA p) * ↑r.den = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r✝ r : ℚ

Context: h : ‖↑r‖ ≤ 1


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : ↥K →ₐ[F] L


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : L →ₐ[F] L


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0


Associated (gcd x y * gcd x' y') (gcd x y * 1)


gcd x y * 1 = gcd (gcd x y * x') (gcd x y * y')


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : ℕ → α

∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r (f (g n)) (f (g (n + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hnr : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

Context: this : ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (-toSimpleFunc f) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖x‖ / (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

‖x‖ / ((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x + y‖


‖x‖ / ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖y + x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, Ici (f i j)


Context:
s : List Char
i e n : Nat

go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }


Context:
s : List Char
i e n : Nat

∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := e } → go₂ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs (i + c) { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs (i + c) { byteIdx := e }


Context: s : List Char

Context: i✝ e n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := e }

Context: ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }

(if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if { byteIdx := i } = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }


Context: s : List Char

Context: i✝ e n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = e

(if i + n = e + n then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n }) = if i = e then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }


Context: s : List Char

Context: i✝ e n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = e

go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }


Context: s : List Char

Context: i✝ e n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = e

go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
a : α
h : -f < const a


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj

(f.symm.trans e.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ


Context:
n✝ m n : ℕ
i : Fin n.succ
hi : i ∈ Set.range castSucc

↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i


↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩).castSucc = ↑i


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0

EMetric.closedBall x ↑ε = closedBall x ↑ε


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a ≤ c
h₂ : d ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b ≤ d
h₂ : c ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b ≤ c
h₂ : d ≤ a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X

{x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s ↔ x ∉ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
h : a ≠ last (n + 1)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

(M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

Context: h_sum : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p + M⁻¹.toBlock q q * M.toBlock q p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

Context: h_zero : M.toBlock q p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

Context: h_zero : M.toBlock q p = 0

Context: h_mul_eq_zero : M⁻¹.toBlock q p * M.toBlock p p = 0

Context: this : Invertible (M.toBlock p p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

Context: h_zero : M.toBlock q p = 0

Context: this✝ : Invertible (M.toBlock p p)

Context: this : (fun i => k ≤ b i) = q


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s


↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ↑v (f ⁻¹' s) else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ↑v (f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
x : ↑(M F)


∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), 1 • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: j : J

Context: x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j

1 • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: j : J

M.mk F ⟨⟨j, x⟩.fst, 1 • ⟨j, x⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩


Context:
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)


(∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ).toReal ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ).toReal ^ (1 / q)


AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ


AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ


AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ


(∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

(∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: hE : CompleteSpace E✝

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)


Context:
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊


Context:
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n


Context:
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
t2 : -(s + 1).re < ↑n


GammaAux n (s + 1) = s * (GammaAux n (s + 1) / s)


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ

((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1 = g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * log (f x) * g'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι


ι → ι → True


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g


∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse

Context: hε : υ hF = ε

Context: X : A

(equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ ((𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X)))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))) ≫ 𝟙 (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = (equivalenceUnitIso hG ε).hom.app X


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse

Context: hε : υ hF = ε

Context: X : A

(equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse

Context: hε : υ hF = ε

Context: X : A

(equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree


{ toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = (h.modByMonicHom z).coeff i


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g✝ : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One β
inst✝ : One γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Injective g
hg0 : g 1 = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : SizeOf α

Context: x : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: nodup✝ : val✝.Nodup

Context: hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }

sizeOf x < 1 + Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : SizeOf α

Context: x : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: nodup✝ : val✝.Nodup

sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯ + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : SizeOf α

Context: x : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: nodup✝ : val✝.Nodup

sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯


Context:
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsAffine Z


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ

a ≤ ⌊↑n⌋₊ ↔ a ≤ n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
hp : p ≠ 0
n✝ : ℕ

(contract p ((expand R p) f)).coeff n✝ = f.coeff n✝


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: x : M

Context: h1 : x ∈ I.interior M

Context: h2 : x ∈ I.boundary M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: x : M

Context: h1 : x ∈ I.interior M

Context: h2 : x ∈ I.boundary M

↑(extChartAt I x) x ∈ interior (range ↑I) ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ frontier (range ↑I)


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: h_anti : StrictAntiOn (deriv f) (interior D)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : b ≤ a
hb : b ≤ 0


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r


(1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a + r • b'


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁) = G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂)


↑(G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁)) = ↑(G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂))


F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
p : Option α → Prop

(∀ a ∈ insertNone s, p a) ↔ p none ∧ ∀ a ∈ s, p (some a)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G


∀ b ∈ Finset.univ, orderOf b ∣ exponent G


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
g : G
a✝ : g ∈ Finset.univ


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ

Context: hWo : IsOpen W


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W

Context: hUVW : U ⊆ V ∪ W


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α

IsConnected s ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u


(s.Nonempty ∧ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v) ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

modifyNth f n l = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l


take n l ++ modifyHead f (l[n] :: drop (n + 1) l) = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l


Context:
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ

dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) ≤ sinh (r / 2)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)

⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' univ.pi t = univ.pi fun i => t (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

ENNReal.ofReal ‖f - g‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ


∫⁻ (x : α), edist (↑↑(f - g) x) 0 ∂μ = ∫⁻ (x : α), edist (↑↑f x - ↑↑g x) 0 ∂μ


(fun a => edist (↑↑(f - g) a) 0) =ᶠ[ae μ] fun a => edist (↑↑f a - ↑↑g a) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝

edist (↑↑(f - g) a✝) 0 = edist (↑↑f a✝ - ↑↑g a✝) 0


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

(contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = 0


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
f✝ f : { f // f ↑n = 0 }

Injective ⇑((lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x : R

x ∈ seminormFromBounded' f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ f ⁻¹' {0}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
a : M
b : ↥S
eq1 : b • m = f a

∃ u, u • b • ⋯.choose.1 = u • ⋯.choose.2 • a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G


Context: a x✝ z x : ℂ

(x ∈ range fun x => cexp (↑x * I)) ↔ x ∈ sphere 0 1


Context:
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K

(idealX K).valuation RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)

(U.mulIndicator fun x => a) ⁻¹' s = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅


U.ite (if a ∈ s then univ else ∅) (if 1 ∈ s then univ else ∅) = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
h : x ≡ y [SMOD I]
f : R[X]

Polynomial.eval x f ≡ Polynomial.eval y f [SMOD I]


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R✝ M

Context: x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R✝ N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R✝ N

Context: R : Type u_5

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: x y : R

Context: h : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y

Context: f : R[X]

Submodule.Quotient.mk (Polynomial.eval x f) = Submodule.Quotient.mk (Polynomial.eval y f)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R✝ M

Context: x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R✝ N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R✝ N

Context: R : Type u_5

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: x y : R

Context: f : R[X]

Context: h : (Ideal.Quotient.mk I) x = (Ideal.Quotient.mk I) y

(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval x f) = (Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval y f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α


(∀ b ∈ s, (WithBot.some ∘ f) b ≤ ↑a) ↔ ∀ b ∈ s, ↑(f b) ≤ ↑a


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: h₁ : ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧

Context: h₂ : ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧ < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧) < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
p : α → Prop

(∀ x ∈ cons a s h, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C


Context:
m n✝ : ℕ
C : ℕ → Sort u
H : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (bit b n)
b : Bool
n : ℕ

HEq (H (bit b n).bodd (bit b n).div2) (H b n)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x


#↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)


#↑{x | f ↑x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C

Context: f : α → E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : (⊤ • μ) s < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : (⊤ • μ) s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : ¬μ s = ⊤ ∧ μ s = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
s : Finset ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ i ∈ s, (N i).FG


Context:
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ


∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h_le_pow : ∀ (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ (2 ^ (n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: nt : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro 1 (Exists.intro 0 (hA.mp (Exists.intro { val := 1, inv := 1, val_inv := mul_one 1, inv_val := mul_one 1 } rfl))) }

Context: z : ℂ

(fun a => ⋯.some) ((algebraMap ℂ A) z) = z


Context:
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : ⟨a, ha⟩ < ⟨b, hb⟩


Context:
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)

#↑{t | GenerateMeasurable s t} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)

#↑(⋃ i, generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)

#(Quotient.out (aleph 1).ord).α * ⨆ i, #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)

aleph 1 * ⨆ i, #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝¹ inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : ↥M₀⁰

(∃ b_1, ↑a * ↑↑b_1 = ↑b) ↔ ∃ u, a * ↑u = b


Context:
n b x : ℕ
hx : x ≠ 0
hxb : x < b


Context:
n b x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
hxb : x.succ < b


Context:
n x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
b : ℕ
hxb : x.succ < b + succ 1


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: f : M →+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), f (r • x) = s • f x) as bs

AddSubgroup.map f (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup = (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : κ → α

∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ s, f (g i)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
x : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1


↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = ↑(d.symm ⟨1, ⋯⟩)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : u = 1


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) - ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)


ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ - (shortComplexFunctor C c i).map ψ)


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i : A

shiftFunctorComm C i i = Iso.refl (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C i)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P

Sbtw R x y z ↔ y ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : OrderedRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : Module R V

Context: inst✝⁴ : AddTorsor V P

Context: inst✝³ : AddCommGroup V'

Context: inst✝² : Module R V'

Context: inst✝¹ : AddTorsor V' P'

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: x y z : P

Context: h : y ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1


(lineMap x z) t ≠ x ∧ (lineMap x z) t ≠ z


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
hfd : ¬FiniteDimensional F E


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0
this : q * (p / q) + p % q = p


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: h : p.degree < q.degree

Context: hlt : p.degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: h : p.degree < q.degree

Context: hm : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Monic


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}

∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : α → Prop

Context: t : Finset α

Context: h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)

Context: s : Set α := {x | p x}

Context: this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : α → Prop

Context: t : Finset α

Context: h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)

Context: s : Set α := {x | p x}

∏ i ∈ t, s.mulIndicator f i = ∏ i ∈ t, f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : α → Prop

Context: t : Finset α

Context: h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)

Context: s : Set α := {x | p x}

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: hxs : x ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : α → Prop

Context: t : Finset α

Context: h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)

Context: s : Set α := {x | p x}

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: hxs : f x ≠ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x + g x) univ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h✝ h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m' : α → ε' → ε

Context: n' : β → γ → ε'

Context: h : Filter γ

Context: h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = m' a (n' b c)

map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ m' f (map₂ n' g h)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h✝ h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : δ → γ → ε

Context: n : α → β → δ

Context: m' : α → ε' → ε

Context: n' : β → γ → ε'

Context: h : Filter γ

map (fun p => m (n p.1.1 p.1.2) p.2) ((f ×ˢ g) ×ˢ h) = map ((fun p => m' p.1 (n' p.2.1 p.2.2)) ∘ ⇑(Equiv.prodAssoc α β γ)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D

(monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : MonoidalFunctor C D

Context: G : D ⥤ C

Context: h : F.toFunctor ⊣ G

Context: X Y : D

Context: eq : (F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y))) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = (h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y)) ≫ F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : MonoidalFunctor C D

Context: G : D ⥤ C

Context: h : F.toFunctor ⊣ G

Context: X Y : D

Context: eq : F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : MonoidalFunctor C D

Context: G : D ⥤ C

Context: h : F.toFunctor ⊣ G

Context: X Y : D

(F.μ (G.obj X) (G.obj Y) ≫ F.map ((h.homEquiv (G.obj X ⊗ G.obj Y) (X ⊗ Y)) (inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y)))) ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ 𝟙 (X ⊗ Y)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G

(monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).ε ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = (LaxMonoidalFunctor.id D).ε


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : MonoidalFunctor C D

Context: G : D ⥤ C

Context: h : F.toFunctor ⊣ G

Context: eq : (G ⋙ F.toFunctor).map F.ε ≫ h.counit.app (F.obj (𝟙_ C)) = h.counit.app (𝟙_ D) ≫ (𝟭 D).map F.ε


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : MonoidalFunctor C D

Context: G : D ⥤ C

Context: h : F.toFunctor ⊣ G

Context: eq : F.map (G.map F.ε) ≫ h.counit.app (F.obj (𝟙_ C)) = h.counit.app (𝟙_ D) ≫ F.ε

(F.ε ≫ F.map ((h.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)) (inv F.ε))) ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = 𝟙 (𝟙_ D)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x

Context: ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x

LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑(inl R M M') '' s ∪ ⇑(inr R M M') '' t)) => ↑x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Disjoint (span R (⇑(inl R M M') '' s)) (span R (⇑(inr R M M') '' t))


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Set M'

Disjoint (Submodule.map (inl R M M') (span R s)) (Submodule.map (inr R M M') (span R t))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
hF : F.IsSheaf


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : TopCat

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : Presheaf C Y

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: hF : F.IsSheaf

Context: this : ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: this : ∀ (t : Set β), IsClosed (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

(∀ (s_1 : Set β), IsClosed s_1 → IsClosed (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

setToL1S T (f - g) = setToL1S T f - setToL1S T g


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
x✝ : m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u

((κ.restrict hs ⊗ₖ η.restrict ht) a) u = (((κ ⊗ₖ η).restrict ⋯) a) u


∫⁻ (b : β), ((η.restrict ht) (a, b)) {c | (b, c) ∈ u} ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∩ s ×ˢ t} ∂κ a


∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s✝ : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ : α

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a : α

Context: u : Set (β × γ)

Context: hu : MeasurableSet u

Context: this : ∀ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} = s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b

∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b ∂κ a


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n m : ℕ
hm : r ^ m = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : IsEmpty α


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : Nonempty α


BddAbove (range fun x => dist (f x) (g x))


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ s : R✝
x y : M
R : Type u_9
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Module R M
r : R
m : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hg : Integrable g (μ.restrict sᶜ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f 1 (μ.restrict s)
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict sᶜ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α

Context: a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.degree = ↑n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g
ht : IsColimit t
Z : C
k : t.pt ⟶ Z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y

Perm.sign f = Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : f (f x) = x

Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : f (f x) = x

Context: h : swap x (f x) * f = 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : ¬f (f x) = x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : ¬f (f x) = x

Context: h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : ¬f (f x) = x

Context: this : (swap x (f x) * f).support.card < f.support.card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: h1 : ¬f (f x) = x

-1 * -(-1) ^ (swap x (f x) * f).support.card = -(-1) ^ ((swap x (f x) * f).support.card + 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v

B.Nondegenerate ↔ ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
hB : ∀ (n : M), (B m) n = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : (B (v.repr.symm vi)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

Context: hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : vi i * (B (v i)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

∀ b ∈ vi.support, b ≠ i → vi b * (B (v b)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: B : BilinForm R M

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.iIsOrtho ⇑v

Context: ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

i ∉ vi.support → vi i * (B (v i)) (v i) = 0


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
h : ¬∃ d, g' = g + d


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology

h.liftK k hk ≫ h.cyclesIso.inv = S.liftCycles k hk


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
i✝ : σ

((bind₁ g).comp (bind₁ f)) (X i✝) = (bind₁ fun i => (bind₁ g) (f i)) (X i✝)


Context: m n : ℤ


Context:
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
l : List (Multiset α)

a.Disjoint l.sum ↔ ∀ b ∈ l, a.Disjoint b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Z
g : Y → Z

IsOpenMap (Sum.elim f g) ↔ IsOpenMap f ∧ IsOpenMap g


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

(dNext k₀) hom + (prevD k₀) hom = hom k₀ k₁ ≫ D.d k₁ k₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : VectorPrebundle 𝕜 F E

Context: ha : IsSmooth IB a

Context: e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

Context: this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle

Context: this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b)) ((a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : VectorPrebundle 𝕜 F E

Context: ha : IsSmooth IB a

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

∀ y ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet, ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') y) = smoothCoordChange IB a he he' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : VectorPrebundle 𝕜 F E

Context: ha : IsSmooth IB a

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (smoothCoordChange IB a he he' b) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : VectorPrebundle 𝕜 F E

Context: ha : IsSmooth IB a

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

(↑(a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') { proj := b, snd := (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).symm b v }).2 = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : VectorPrebundle 𝕜 F E

Context: ha : IsSmooth IB a

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

b ∈ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : Nontrivial M

nilpotencyLength R L M = 1 ↔ IsTrivial L M


IsTrivial L M ∧ lowerCentralSeries R L M 0 ≠ ⊥ ↔ IsTrivial L M


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ

(𝓝 1).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y‖ < ε}


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ x✝¹ : ℝ
x✝ : E


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
i : M
hi : i ∈ ↑p
j : N
hj : j ∈ ↑q

(fun m n => (f m) n) i j ∈ ↑(map₂ f p q)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
inst✝ : NoncompactSpace X


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
x : R

x ∈ finsetApprox bS adm ↔ ∃ i j, i ≠ j ∧ (distinctElems bS adm) i - (distinctElems bS adm) j = x


(x ≠ 0 ∧ ∃ a ∈ Finset.univ, (distinctElems bS adm) a.1 - (distinctElems bS adm) a.2 = x) ↔ ∃ i j, i ≠ j ∧ (distinctElems bS adm) i - (distinctElems bS adm) j = x


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → AddSubgroup N

Context: h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → AddSubgroup N

Independent (⇑AddSubgroup.toIntSubmodule ∘ p)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hst : ↑s ≃ ↑t


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * ((fourier ↑n) ↑x + (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulliFun (2 * k) x))

Context: ofReal_two : ↑2 = 2

HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))))


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: ofReal_two : ↑2 = 2

Context: n : ℕ

1 / ↑n ^ (2 * k) * Real.cos (2 * π * ↑n * x) = (1 / ↑n ^ (2 * k) * ((fourier ↑n) ↑x + (fourier (-↑n)) ↑x) / 2).re


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: ofReal_two : ↑2 = 2

(-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k))) = ((-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! * ↑(bernoulliFun (2 * k) x) / 2).re


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p
aux : g_poly ≠ 0


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = g_poly.natDegree


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = p ^ n