Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1

Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R

Context: f g : X → R

Context: s : Set X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hs : IsOpen s

LocallyIntegrableOn (fun x => f x * g x) s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: f g : X → R

Context: s : Set X

Context: hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hs : IsOpen s

∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => f x * g x) k μ


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m


Context: b : Board

Context: m : ℤ × ℤ

Context: h : m ∈ right b

Context: w₁ : m ∈ b

Context: w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m

Context: i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b


Context: b : Board

Context: m : ℤ × ℤ

Context: h : m ∈ right b

Context: w₁ : m ∈ b

Context: w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m

Context: i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

cosh (dist z w) = 1 + dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 * z.im * w.im)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.42009, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D

({ val := (isoSheafify J ⋯).hom } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).inv }).val = (𝟙 P).val


({ val := (isoSheafify J ⋯).inv } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).hom }).val = (𝟙 ((presheafToSheaf J D).obj P.val)).val


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f g S


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z

(fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty

(image₂ f s t).sup' h g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A

annIdealGenerator 𝕜 a = 0 ↔ annIdeal 𝕜 a = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t
n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ : MeasurableSpace α✝

Context: μ ν : Measure α✝

Context: α : Sort u_3

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: m : ℕ

Context: a : α

Context: c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a

Context: hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a

Context: d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a

Context: hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ : MeasurableSpace α✝

Context: μ ν : Measure α✝

Context: α : Sort u_3

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: m : ℕ

Context: a : α

Context: hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a

⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α

(permsOfList (a :: l)).length = (a :: l).length !


(permsOfList (a :: l)).length = (l.length + 1) * l.length !


l.length ! + l.length * l.length ! = l.length * l.length ! + l.length !


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : p ∣ q ∨ q ∣ p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : q ∣ p


Context: x y : ℝ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : J₁ ≤ J₂


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂


(↑(comap f J₁)).carrier ⊆ (↑(comap f J₂)).carrier


Context: q : ℤ[X]

Context: k✝ k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support

IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)


Context: q : ℤ[X]

Context: k✝ k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: this : k✝ ∈ {k, m, n}


Context: q : ℤ[X]

Context: k✝ k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: u v w : ℤˣ

Context: this : k✝ = k ∨ k✝ = m ∨ k✝ = n


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s t : Set α

IsOpen s → IsOpen t → s ∪ t = univ → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)

Injective ⇑(mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v)


Injective ⇑(fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v))


Injective ⇑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)

Context: this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Injective ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Injective (⇑(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL ∘ ⇑U.symm.toContinuousLinearEquiv)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)

∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f a ∂μ i


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝⁴ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ContinuousConstSMul G α
inst✝¹ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
inst✝ : μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple


∀ (i : B), cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ

Continuous fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n


Continuous fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)


Continuous fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x)) (f x)


Continuous fun w => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L w


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : RankCondition R

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R

Context: i : Surjective ⇑f

Context: P : (β →₀ R) ≃ₗ[R] β → R := Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R β

Context: Q : (α → R) ≃ₗ[R] α →₀ R := (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm


Context:
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0∞


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
p : α → Prop

(∀ c ∈ s ○ t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)


(∀ (c : α), (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c) → p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: M : HomologicalComplex C c

Context: α : K ⟶ M

Context: β : L ⟶ M

Context: i : ι

biprod.inr.f i ≫ (biprod.desc α β).f i = β.f i


Context: a x z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformly F f p
g : γ → α

TendstoUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
g : γ → α

TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]

IntegrableOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]] volume


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t✝ r s t : Set α
h : Disjoint s t


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)

Context: hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M' : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜 := (List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod

Context: M'' : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜 := M'.toBlocks₁₁

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct (Fin r) 𝕜)

Context: D₀ : Fin r → 𝕜

Context: h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * M'' * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀

Context: c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())

(List.map toMatrix (List.map (sumInl Unit) L₀ ++ L₁)).prod * M * (List.map toMatrix (L₁' ++ List.map (sumInl Unit) L₀')).prod = diagonal (Sum.elim D₀ fun x => M' (inr ()) (inr ()))


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: D₀ : Fin r → 𝕜

Context: c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())

(List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀).prod * M' * (List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀').prod = diagonal (Sum.elim D₀ fun x => c)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: D₀ : Fin r → 𝕜

Context: c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())

Context: this : M' = fromBlocks M'' 0 0 (diagonal fun x => c)


Context: n : ℤ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A✝ : Type z

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: h_add : ∀ (p q : R[X]), M p → M q → M (p + q)

Context: h_monomial : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * X ^ n) → M (C a * X ^ (n + 1))

Context: A : ∀ {n : ℕ} {a : R}, M (C a * X ^ n)

Context: B : ∀ (s : Finset ℕ), M (∑ n ∈ s, C (p.coeff n) * X ^ n)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A✝ : Type z

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: A : ∀ {n : ℕ} {a : R}, M (C a * X ^ n)

M (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

(cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * cs.wordProd ω = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)


cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd ω = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)


cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd (take (j + 1) ω ++ drop (j + 1) ω) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)


cs.wordProd (take j ω) * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * cs.wordProd (take j ω ++ ω[j]?.toList ++ drop (j + 1) ω) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
lt : j < ω.length


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
le : ω.length ≤ j


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s / (s + 1).Gammaℝ)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ

-I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 / (s + 1).Gammaℝ


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ
this : 0 < (s + 1).re


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
m : ℤ


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
m : ℤ
hB : B⁻¹ * B = 1
right✝ : B * B⁻¹ = 1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
m : ℤ
hB : B⁻¹ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

(s - t).singularPart μ = s.singularPart μ - t.singularPart μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}

type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < o}) = lift.{u + 1, u} o


∀ (a : WellOrder), type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < ⟦a⟧}) = lift.{u + 1, u} ⟦a⟧


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r

type (Subrel (fun x x_1 => x < x_1) {o' | o' < ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧}) = lift.{u + 1, u} ⟦{ α := α, r := r, wo := wo }⟧


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

((κ.withDensity (f + g)) a) s✝ = ((κ.withDensity f + κ.withDensity g) a) s✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝⁴ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

(J.sheafifyCompIso F P).inv = J.sheafifyLift (whiskerRight (J.toSheafify P) F) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

J.toSheafify (P ⋙ F) = whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.sheafifyCompIso F P).hom


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
w✝¹ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFPowerSeriesAt f w✝¹ e
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFPowerSeriesAt g w✝ e


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ s


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε

∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : 1 / ε < ↑N
i : ℕ
hi : i ≥ N


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / ε < ↑N

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N

Context: h : padicNormE (↑f i - ↑(Classical.choose ⋯)) < 1 / (↑i + 1)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / ε < ↑N

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : MeasurableSet s

(μ.restrict s).toOuterMeasure = (OuterMeasure.restrict s) μ.toOuterMeasure


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < a.cof.ord → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence a.cof.ord f


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: g : (b : Ordinal.{u}) → b < a.cof.ord.cof.ord → Ordinal.{u}

Context: hg : a.cof.ord.IsFundamentalSequence a.cof.ord.cof.ord g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X

Context: inst✝ : Mono u

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X

Context: b : ↑(F.obj A)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: inst✝ : Mono u

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj A)

F.map u b = F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdPermIncl h b) a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

Disjoint (𝓟 s) (𝓝ˢ t) ↔ Disjoint (closure s) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
e : S ≃ₐ[R] S'
i : Fin pb.dim

(pb.basis.map e.toLinearEquiv) i = e pb.gen ^ ↑i


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
n : ℕ
f : ℕ → α
hn : ¬n = 0

∏ d ∈ n.divisors, f (n / d) = n.divisors.prod f


∏ x ∈ image (HDiv.hDiv n) n.divisors, f x = n.divisors.prod f


∀ x ∈ n.divisors, ∀ y ∈ n.divisors, n / x = n / y → x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N

(I.prod J).boundary (M × N) = univ.prod (J.boundary N) ∪ (I.boundary M).prod univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: N : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' N

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: x : M

Context: y : N

Context: h : (I.prod J).boundary (M × N) = (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ := Trans.trans (Trans.trans (Trans.trans rfl (boundary_eq_complement_interior (I.prod J))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _aᶜ = (I.interior M ×ˢ J.interior N)ᶜ) (interior_prod J))) (Eq.refl (I.interior M ×ˢ J.interior N)ᶜ))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a = (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ) (compl_prod_eq_union (I.interior M) (J.interior N)))) (Eq.refl ((I.interior M)ᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: N : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' N

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: x : M

Context: y : N

univ ×ˢ (J.interior N)ᶜ ∪ (I.interior M)ᶜ ×ˢ univ = univ.prod (J.interior N)ᶜ ∪ (I.interior M)ᶜ.prod univ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (↑n) (↑n + 1))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
z : ℤ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
μ : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((sum μ).restrict s) t = (sum fun i => (μ i).restrict s) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop

EventuallyConst p l ↔ (∀ᶠ (x : α) in l, p x) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, ¬p x


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : BoundedAdd β
inst✝ : ContinuousAdd β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : BoundedAdd β
inst✝ : ContinuousAdd β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f

SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.preimage (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f.val).hom ≫ (Y.ofRestrict ⋯).val = f.val


SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.preimage (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f.val).hom ≫ (Y.ofRestrict ⋯).val) = SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map f.val


(PresheafedSpace.IsOpenImmersion.isoRestrict f.val).hom ≫ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map (Y.ofRestrict ⋯).val = SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map f.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport f).Finite

∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset, f i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L = (H ⊓ K).relindex L


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
x✝ : LocallyConstant X Z

comap e.toContinuousMap (comap e.symm.toContinuousMap x✝) = x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
x✝ : LocallyConstant Y Z

comap e.symm.toContinuousMap (comap e.toContinuousMap x✝) = x✝


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a : α
s : l₁ ⊆ l₂
x✝ : α


x✝ = a ∨ x✝ ∈ l₁ → x✝ = a ∨ x✝ ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : CompleteLatticeHom α α
a : α

f (limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) atTop) = limsup (fun n => (⇑f)^[n] a) atTop


⨅ i, ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i.succ] a = ⨅ n, ⨆ i, (⇑f)^[i + n] a


⨅ i, ⨆ i_1, (⇑f)^[i_1 + i.succ] a ≤ ⨆ i, (⇑f)^[i] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hα : Nonempty α

Context: A : ∀ (i : ι) (c : α), MeasurableSet {x | f i x ≤ c}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hα : Nonempty α

Context: B : ∀ (c : α), MeasurableSet {x | ∀ (i : ι), f i x ≤ c}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hα : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Tendsto u atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hα : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Tendsto u atTop atTop

Context: this : {b | BddAbove (range fun i => f i b)} = {x | ∃ n, ∀ (i : ι), f i x ≤ u n}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hα : Nonempty α

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Tendsto u atTop atTop

MeasurableSet (⋃ i, {x | ∀ (i_1 : ι), f i_1 x ≤ u i})


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hr : r < 1


(1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a' + r • b


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
b : Γ
hr : ¬r = 0

((of R).symm ((HahnSeries.single b) r • x)).coeff (b +ᵥ a) = r • ((of R).symm x).coeff a


∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ (b +ᵥ a), ((HahnSeries.single b) r).coeff x_1.1 • ((of R).symm x).coeff x_1.2 = r • ((of R).symm x).coeff a


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: hφ' : optParam (R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ G₀⁰) ⋯

Context: x y : FractionRing R[X]

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := x } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := y } → { toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: y : FractionRing R[X]

Context: a : R[X] × ↥R[X]⁰

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := y } → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := y }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: a a' : R[X] × ↥R[X]⁰

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = (liftMonoidWithZeroHom φ hφ') { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 } → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: a a' : R[X] × ↥R[X]⁰

φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2 → { toFractionRing := Localization.mk a.1 a.2 } = { toFractionRing := Localization.mk a'.1 a'.2 }


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: a a' : R[X] × ↥R[X]⁰

Context: h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2

Localization.mk a.1 a.2 = Localization.mk a'.1 a'.2


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: a a' : R[X] × ↥R[X]⁰

Context: h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2


Context: K : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing K

Context: G₀ : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: φ : R[X] →*₀ G₀

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: a a' : R[X] × ↥R[X]⁰

Context: h : φ a.1 / φ ↑a.2 = φ a'.1 / φ ↑a'.2

Context: this : φ a.1 * φ ↑a'.2 = φ a'.1 * φ ↑a.2


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

(-(shiftFunctor C 1).map X✝.mor₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom₂ = (shiftFunctor C 1).map f.hom₁ ≫ (-(shiftFunctor C 1).map Y✝.mor₁)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f✝ f : R →+* S
x : R
p : R[X]
h : p.IsRoot x


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
hzero : Nat.card ↑(F.obj X) = 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse

Context: l : Λ

Context: N : Stmt₂

∃ b, TrCfg (TM2.stepAux N v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal N) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑(ofFun 𝔖) ∘ ⇑φ)

Context: h : ∀ (u : H), ∀ s ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (φ u '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑(ofFun 𝔖) ∘ ⇑φ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖

Context: this : TopologicalSpace H := TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑φ) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) E)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖

Context: φ' : H →ₗ[𝕜] ↑s → E := { toFun := s.restrict ∘ ⇑φ, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖

Context: u : H

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ' u))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : BooleanAlgebra α
inst✝² : BooleanAlgebra β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set X

Context: hcomp✝ : ∀ (i : ι), IsSigmaCompact (s i)

Context: K : ι → ℕ → Set X

Context: hcomp : ∀ (i : ι) (n : ℕ), IsCompact (K i n)

Context: hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set X

Context: K : ι → ℕ → Set X

Context: hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i

Context: this : ⋃ i, s i = ⋃ x, Function.uncurry K x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set X

Context: K : ι → ℕ → Set X

Context: hcov : ∀ (i : ι), ⋃ n, K i n = s i

IsSigmaCompact (⋃ x, Function.uncurry K x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hg : Tendsto (fun n x => (f n) x) atTop (𝓝 ⇑g)

Context: hf : CauchySeq f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : CauchySeq f

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N

Context: hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : CauchySeq f

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

∀ (n : ℕ) (x : E'), ‖(f n) x - g x‖ ≤ b n * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : CauchySeq f

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ

Context: x : E'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : CauchySeq f

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ

Context: x : E'

Context: this : Tendsto (fun m => ‖(f n) x - (f m) x‖) atTop (𝓝 ‖(f n) x - g x‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : CauchySeq f

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ

Context: x : E'

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
r : R
n : ℕ
hn : -r ≤ ↑n


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys

l₁ ~ l₂ → List.kerase a l₁ ~ List.kerase a l₂


Pairwise (fun a_1 b => decide (a = a_1.fst) = true → decide (a = b.fst) = true → False) l₁


∀ {a_1 b : Sigma β}, a_1.fst ≠ b.fst → decide (a = a_1.fst) = true → decide (a = b.fst) = true → False


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

μ (ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R✝
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁸ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁷ : Semifield R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : Algebra R S
a : A
f : S → R
h : QuasispectrumRestricts a f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b c d : Associates α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d
x : Associates α
hx : b = a * x
y : Associates α
hy : d = c * y


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R


(ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y) = ringConGen (⇑c ⊔ ⇑d)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

¬x ⤳ y ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(¬∀ (s : Set X), IsClosed s → x ∈ s → y ∈ s) ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(∃ s, IsClosed s ∧ x ∈ s ∧ y ∉ s) ↔ ∃ S, IsClosed S ∧ x ∈ S ∧ y ∉ S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : LowerSet α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a
this : a ∈ Iic a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : LowerSet α
a : α
s t : LowerSet α
hst : s ⊔ t = Iic a
this : a ∈ s ⊔ t


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f x✝¹ x✝ : RatFunc R
h : (laurent r) x✝¹ = (laurent r) x✝


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
x✝ : IsIdempotentElem (p ^ n)


p ^ n.succ * p ^ n.succ = (p * p) ^ n.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
n : ℕ


count a (replicate n a) = List.count a (List.replicate n a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ : List α
l₁ l₂ m₁ m₂ : Language α
h₁ : l₁ ≤ m₁
h₂ : l₂ ≤ m₂
x : List α
hx : x ∈ l₁ * l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ : List α
l₁ l₂ m₁ m₂ : Language α
h₁ : l₁ ≤ m₁
h₂ : l₂ ≤ m₂
x : List α
hx : ∃ a ∈ l₁, ∃ b ∈ l₂, a ++ b = x


Context:
u v : ℤ
h : u * v = 1


Context:
u v : ℤ
h : u * v = 1
h' : v * u = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: s : Set E

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: h : CPolynomialOn 𝕜 f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c
this : ∀ x ∈ U, ‖f x‖ = ‖f c‖


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
a : E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite

Context: s : Finset (PLift α)

Context: hs : hf.toFinset ⊆ s


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset (PLift α)

Context: hs : hf.toFinset ⊆ s

∏ i ∈ ?hc.toFinset, f i.down = ∏ i ∈ s, f i.down


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset (PLift α)

Context: hs : hf.toFinset ⊆ s

(mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Finset (PLift α)

Context: hs : hf.toFinset ⊆ s

Context: x : PLift α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: hxf : x ∉ hf.toFinset


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M


Context: z : 𝔻


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : MonoidHomClass F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: g : F

g (s.noncommProd f comm) = s.noncommProd (fun i => g (f i)) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c : 𝕜

openSegment 𝕜 x y ⊆ insert ((lineMap x y) c) (openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ∪ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y)


MapsTo (⇑(lineMap x y)) (Ioo 0 1) (insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1

(lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hac : a < c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1

(lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) a) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) a)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) a) y) '' Ioo 0 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hca : c < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : o ≠ 0
c : α


range (o.familyOfBFamily fun x x => c) = {c}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P

(affineCombination k (map e s₂) p) w = (affineCombination k s₂ (p ∘ ⇑e)) (w ∘ ⇑e)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f g : α → F

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊

Context: this : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

(leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData).op = rightHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.leftHomologyData.op S₂.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.rightHomologyData S₁.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.rightHomologyData S₁.leftHomologyData.op


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
x : E
h : IsVonNBounded 𝕜 (x +ᵥ s)


Context: a b : ℕ+

(a.xgcd b).y + (a.xgcd b).zp + 1 = (a.xgcd b).y + ((a.xgcd b).zp + 1)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s


p₁ ∈ ↑s ∧ p₂ ∈ ↑s


Context:
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0


Context:
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p


Context:
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n


(multiplicity p (n.choose k)).get ⋯ ≤ log p n


(Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Finset.Ico 1 (log p n + 1))).card ≤ log p n


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G

(setoid ↑⊥ ↑H).Rel a b ↔ (QuotientGroup.leftRel H).Rel a b


(∃ a_1 ∈ ⊥, ∃ b_1 ∈ H, b = a_1 * a * b_1) ↔ a⁻¹ * b ∈ H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s


∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, κ.densityProcess ν n a x s ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app X


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app X


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app X


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app X


(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.rightUnitor f✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ (𝟙 b✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun C => mapId ↑C) b✝).hom ≫ (Bicategory.rightUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app


(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.rightUnitor f✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ (𝟙 b✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun C => mapId ↑C) b✝).hom ≫ (Bicategory.rightUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Multiset ι
l : List ι

(∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) → Tendsto (fun b => (Multiset.map (fun c => f c b) (Quot.mk Setoid.r l)).prod) x (𝓝 (Multiset.map a (Quot.mk Setoid.r l)).prod)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting

(h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop


S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

(cs.rightInvSeq ω).getD j 1 * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = 1


(cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω))))) = 1


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f

(map f) (mkMetric m) = (restrict (range f)) (mkMetric m)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
x✝ : X ∣ f
g : R[X]
hfg : f = X * g


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : f.coeff 0 = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Monoid R

Context: inst✝⁶ : Monoid S

Context: σ : R → S

Context: inst✝⁵ : MulAction R M

Context: inst✝⁴ : MulAction S N

Context: inst✝³ : MulAction R M₁

Context: inst✝² : MulAction R M₂

Context: F : Type u_7

Context: h : F

Context: inst✝¹ : FunLike F M N

Context: inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N

Context: c : R

Context: s : Set M

Context: t : Set N

Context: hc : Function.Surjective fun m => c • m

Context: hc' : Function.Injective fun n => σ c • n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Monoid R

Context: inst✝⁶ : Monoid S

Context: σ : R → S

Context: inst✝⁵ : MulAction R M

Context: inst✝⁴ : MulAction S N

Context: inst✝³ : MulAction R M₁

Context: inst✝² : MulAction R M₂

Context: F : Type u_7

Context: h : F

Context: inst✝¹ : FunLike F M N

Context: inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N

Context: c : R

Context: s : Set M

Context: t : Set N

Context: hc : Function.Surjective fun m => c • m

⇑h ⁻¹' (σ c • t) ≤ c • ⇑h ⁻¹' t


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Monoid R

Context: inst✝⁶ : Monoid S

Context: σ : R → S

Context: inst✝⁵ : MulAction R M

Context: inst✝⁴ : MulAction S N

Context: inst✝³ : MulAction R M₁

Context: inst✝² : MulAction R M₂

Context: F : Type u_7

Context: h : F

Context: inst✝¹ : FunLike F M N

Context: inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N

Context: c : R

Context: s : Set M

Context: t : Set N

Context: hc : Function.Surjective fun m => c • m

c • ⇑h ⁻¹' t ≤ ⇑h ⁻¹' (σ c • t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : E →SL[σ₁₂] F

Context: M : ℝ

Context: hMp : 0 ≤ M

Context: hM : ∀ (x : E), ‖x‖ ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖

Context: x : E

Context: h : ‖x‖ = 0

‖f x‖ ≤ M * ‖x‖


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E

↑(rexp (-x)) • cexp (-↑x) ^ (s - 1) • f = cexp (-s * ↑x) • f


(↑(rexp (-x)) * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f


(cexp (-↑x) * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f


(cexp (-↑x) ^ 1 * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f


cexp (-↑x * (1 + (s - 1))) • f = cexp (-s * ↑x) • f


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : X


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x : X
y : Y


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x : Y
y : X


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y : Y


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hp : BddAbove s
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E


IsOpen {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r}


∀ x ∈ {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r}, {p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

{p | ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y p.2 < r' → ∀ (z : E), dist z p.2 < r' → ‖f p.1 z - f p.1 y - (L z - L y)‖ < s * r} ∈ 𝓝 (a, x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

∀ a ∈ u ×ˢ ball x (t - t'), ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y a.2 < r' → ∀ (z : E), dist z a.2 < r' → ‖f a.1 z - f a.1 y - (L z - L y)‖ < s * r