Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p ∧ p < ⊤

Context: f : (i : α) → E i

(if p = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else if p = ⊤ then BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖) else Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : isGood C l

Context: hsC : contained C o

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : isGood C l

Context: hsC : contained C o

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬ord I i < o


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : isGood C l

Context: hsC : contained C o

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬ord I i < o

eval C l ∈ Submodule.span ℤ (eval C '' {m | m < l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : isGood C l

Context: hsC : contained C o

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: h' : ¬ord I i < o

Context: x : ↑C


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : isGood C l

Context: hsC : contained C o

Context: i : I

Context: hi : i ∈ ↑l

Context: x : ↑C

Context: h' : (∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true) ∧ ¬False


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Semiring L
inst✝ : Nontrivial L
f : K →+* L
p : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f g : β → α
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : UniformGroup α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f g : β → α

Context: hf : UniformContinuous f

Context: hg : UniformContinuous g

Context: this : UniformContinuous fun x => f x / (g x)⁻¹


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

Context: x : P.obj (op B)

Context: ij : I × I

Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij ((forkMap P X π ≫ firstMap P X π) x) = Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij ((forkMap P X π ≫ secondMap P X π) x)


Context:
n p a k : ℕ
hp : Prime p


Context:
n p a k : ℕ
hp : Prime p
h : a ^ k = p


Context:
n p a k : ℕ
hp : Prime (a ^ k)
h : a ^ k = p


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: s : Z → Y := fun z => Classical.choose ⋯


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id

Context: t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id

Context: t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit

Context: ht : Continuous t


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id

Context: t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit

Context: ht : Continuous t

Context: h : StoneCech X → Y := stoneCechExtend ht


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id

Context: t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit

Context: ht : Continuous t

Context: hh : Continuous h


Context: X : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : DiscreteTopology X

Context: Y Z : Type u

Context: _tsY : TopologicalSpace Y

Context: _tsZ : TopologicalSpace Z

Context: _csY : CompactSpace Y

Context: _t2Y : T2Space Y

Context: _csZ✝ : CompactSpace Z

Context: _csZ : T2Space Z

Context: f : StoneCech X → Z

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: g_sur : Surjective g

Context: hs : g ∘ s = id

Context: t : X → Y := s ∘ f ∘ stoneCechUnit

Context: ht : Continuous t

Context: hh : Continuous h

(g ∘ h) ∘ stoneCechUnit = f ∘ stoneCechUnit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
j : JordanDecomposition α
h : s = j.toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f q

Context: hpq : q ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f 0

Context: hpq : 0 ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f 0

Context: hpq : 0 ≤ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: hfq : Memℓp f 0

Context: hpq : 0 ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f ⊤

Context: hpq : ⊤ ≤ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f q

Context: hq : 0 < q.toReal

Context: hpq : q ≤ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f q

Context: hpq : q ≤ p

Context: hq : 0 < q.toReal

Context: left✝ : 0 < p.toReal

Context: hpq' : q.toReal ≤ p.toReal


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsAlgClosed K
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : Nontrivial V
f : End K V


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono g


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono g
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.fst = k ≫ t.fst


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf : range f = ⊤
p p' : Submodule R₂ M₂
H : comap f p ≤ comap f p'
x : M₂
hx : x ∈ p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf : range f = ⊤
p p' : Submodule R₂ M₂
H : comap f p ≤ comap f p'
y : M
hx : f y ∈ p


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

D ⊆ A ↓∩ ↑E ↔ D ⊆ E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context: q a✝ b c a : ℚ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
hf' : eval a (derivative f) ≠ 0


Context:
f : StieltjesFunction
a : ℝ

f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)


Context:
f : StieltjesFunction
a : ℝ
u : ℕ → ℝ
u_mono : StrictMono u
u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context:
f : StieltjesFunction
a : ℝ
u : ℕ → ℝ
u_mono : StrictMono u
u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mono : StrictMono u

Context: u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a

Context: L1 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (f.measure {a}))


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mono : StrictMono u

Context: u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a

Context: L2 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)))


Context:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R


(spectrum R ((toLinAlgEquiv (Pi.basisFun R n)) A)).Finite


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝ : Add α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α

![a₀, a₁, a₂] + ![b₀, b₁, b₂] = ![a₀ + b₀, a₁ + b₁, a₂ + b₂]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

(span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure = ⊤


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

((single C c j).obj A).homologyι j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv = (singleObjHomologySelfIso c j A).hom


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y L : A

(baseChange W B).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map (↑f) ((baseChange W A).toAffine.addPolynomial x y L)


(baseChange W B).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addPolynomial (↑f x) (↑f y) (↑f L)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
e : X ≃ₜ Y
f : PartialHomeomorph Y Z
f' : PartialHomeomorph Z Z'

(e.transPartialHomeomorph f).trans f' = e.transPartialHomeomorph (f.trans f')


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁷ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁶ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁵ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝⁴ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G
inst✝ : G.IsEquivalence


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x - y, x - y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ


⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x y : E


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f_dom : Submodule R E

Context: f g : ↥f_dom →ₗ[R] F

Context: h' : ∀ ⦃x : ↥{ domain := f_dom, toFun := f }.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := f_dom, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := g } y

{ domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := g }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f_dom : Submodule R E

Context: f : ↥f_dom →ₗ[R] F

Context: h' : ∀ ⦃x y : ↥{ domain := f_dom, toFun := f }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := f } y

{ domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := f }


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
f : α → β


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.236298}
α : Type u_1
l : List α
h : ↑l.length < #α


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.236298}
α : Type u_1
l : List α
h : ∀ (z : α), z ∈ l


Context:
n i : ℕ
h : n < 2 ^ i


Context:
x y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s t : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ

Context: f : t ⟶ s

Context: x : F.obj t

counitForward F (unop s) (F.map f x) = (counitForward F (unop t) x).map₂ f.unop.left ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s t : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ

Context: f : t ⟶ s

Context: x : F.obj t

F.map (eqToHom ⋯) (YonedaCollection.snd ((counitForward F (unop t) x).map₂ f.unop.left ⋯).val) = YonedaCollection.snd (counitForward F (unop s) (F.map f x)).val


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s t : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ

Context: f : t ⟶ s

Context: x : F.obj t

Context: this : (CostructuredArrow.mkPrecomp (unop t).hom f.unop.left).op = f ≫ eqToHom ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: l : M' →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ f = g

LocalizedModule.lift S g h ∘ₗ ↑(iso S f).symm = l


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: l : M' →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ f = g

(l ∘ₗ ↑(iso S f)) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: l : M' →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ f = g

l ∘ₗ ↑(iso S f) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M = l ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: l : M' →ₗ[R] M''

Context: hl : l ∘ₗ f = g

Context: x : M

(↑(iso S f) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x = f x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Subsingleton M
f' : M →L[R] N
x : M


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : tsze R' M


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.16016, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.16020, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.16024, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.16028, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.16032, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.16036, u_6} C₂₃
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
X₁ : C₁
X₂ Y₂ : C₂
φ✝ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃

(F.obj X₁).map ((G₂₃.obj X₂).map φ) ≫ (F.obj X₁).map ((G₂₃.map φ✝).app Y₃) = (F.obj X₁).map ((G₂₃.map φ✝).app X₃) ≫ (F.obj X₁).map ((G₂₃.obj Y₂).map φ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : InjOn f (freeOn E).E


((freeOn E).map f hf)✶ = (freeOn (f '' E))✶


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x s] x
q : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) g q v

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => (f x, g x)) p u


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℕ

(algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
d : ℝ≥0∞

diam (insert x s) ≤ d ↔ max (⨆ y ∈ s, edist x y) (diam s) ≤ d


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
h₁' : ↑n / ↑d < 0


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (↑n / ↑d < 0) = true
h₂ : decide (-1 < ↑n / ↑d) = true
h₁' : ↑n / ↑d < 0
h₂' : -1 < ↑n / ↑d


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.156646, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : δ (-1) 0 α = Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

(desc φ α β eq).f p = (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ α.v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ β.f p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y

∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁
V₂ : Set X
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₂_closed : IsClosed V₂
h₂ : V₂ ⊆ U₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : Continuous ⇑p
r : ℝ
hr : 0 < r
this : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α


Context: m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: t : (2 * n + 1).choose n ≤ ∑ i ∈ range (n + 1), (2 * n + 1).choose i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Integrable (fun x => ((κ x) s).toReal) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : α

‖((κ x) s).toReal‖ ≤ (IsFiniteKernel.bound κ).toReal


Context:
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0

ℵ₀ * ↑n = ℵ₀


Context:
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b c✝ d a c : G₀
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : a / b = c / d


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
x : Quot F


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
j : J
y : F.obj j

hc.desc (toCocone f) (desc c (ι F j y)) = f (ι F j y)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p

eval t ((⇑derivative)^[m] p) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)


eval t ((⇑derivative)^[m] ((X - C t) ^ m * (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)


eval t (m.choose 0 • ((⇑derivative)^[m - 0] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[0] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)


∀ b ∈ range m.succ, b ≠ 0 → eval t (m.choose b • ((⇑derivative)^[m - b] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[b] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F

HasStrictFDerivAt T.reApplyInnerSelf (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : (↑T).IsSymmetric

Context: x₀ : F

Context: e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup

Context: he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'

2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = (fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : (↑T).IsSymmetric

Context: x₀ : F

Context: y : F

(2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) y = ((fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R


Context: R M : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Flat R M

Context: K N : Type u

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup K

Context: inst✝⁵ : Module R K

Context: inst✝⁴ : Finite R K

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Free R N

Context: inst✝ : Finite R N

Context: f : K →ₗ[R] N

Context: x : N →ₗ[R] M

Context: h : x ∘ₗ f = 0

Context: this : ∀ (K' : Submodule R K), K'.FG → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ K' ≤ ker (a ∘ₗ f)


Context: R M : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Flat R M

Context: K N : Type u

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup K

Context: inst✝⁵ : Module R K

Context: inst✝⁴ : Finite R K

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Free R N

Context: inst✝ : Finite R N

Context: f : K →ₗ[R] N

Context: x : N →ₗ[R] M

Context: h : x ∘ₗ f = 0

Context: x✝³ : Type u

Context: x✝² : Fintype x✝³

Context: x✝¹ : N →ₗ[R] x✝³ →₀ R

Context: x✝ : (x✝³ →₀ R) →ₗ[R] M

x✝¹ ∘ₗ f = 0 ↔ ⊤ ≤ ker (x✝¹ ∘ₗ f)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y

Equation (WeierstrassCurve.map W f) (f x) (f y)


Context:
R : Type u₁
inst✝³ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CharP R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

(fun n => φ ((coeff R p n) f)) (n + 1) ^ p = (fun n => φ ((coeff R p n) f)) n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R

Context: hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0

Context: j₁ j₂ : Fin (n + 1)

(M.submatrix id j₁.succAbove).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R

Context: j₁ j₂ : Fin (n + 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R

Context: j₁ j₂ : Fin (n + 1)

Context: x✝ : Fin n


Context: c : Cardinal.{u_1}


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀


Context:
m n x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ x✝¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

(pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram i = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

(Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ


(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

mulRothNumber (map (mulRightEmbedding a) s) = mulRothNumber s


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.51124, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : HomologicalComplex V c.symm
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

(fun i => (f.f i).op) i ≫ X✝.opSymm.d i j = Y✝.opSymm.d i j ≫ (fun i => (f.f i).op) j


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

(1 + X • M.map ⇑C).det = 1 + M.trace • X + (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * X ^ 2


(1 + X • M.map ⇑C).det = (1 + X • M.map ⇑C).det.divX * X + C 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hfi : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hgi : IntervalIntegrable g μ a b

Context: hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g

Context: hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hfi : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hgi : IntervalIntegrable g μ a b

Context: hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g

0 < (μ.restrict (Ioc a b)) (support fun x => g x - f x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hfi : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hgi : IntervalIntegrable g μ a b

Context: hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] fun x => g x - f x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hfi : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hgi : IntervalIntegrable g μ a b

Context: hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g

Integrable (fun x => g x - f x) (μ.restrict (Ioc a b))


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j' = (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: x : ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j

(((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j') x = ((fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f) x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E

(convexHull R) (Set.range v) = {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}


Set.range v ⊆ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}


Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}


{x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x} ⊆ (convexHull R) (Set.range v)


Context: n d : PosNum


Context: n d : PosNum

-↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / ↑d


Context: n d : PosNum

-↑(↑n.pred' / ↑(Num.pos d) + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) / (↑↑d.pred' + 1)


Context: n d : PosNum

↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / -↑d


Context: n d : PosNum

↑(↑n.pred' / ↑(Num.pos d) + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) / -(↑↑d.pred' + 1)


Context: n d : PosNum

↑(↑n.pred' / ↑d).succ = ↑(↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)).succ


Context: f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ


Context:
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
h : f I = I


Context:
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
h : f I = -I


Context:
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: hl : l ≤ Henstock

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε

Context: H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J

Context: A : l.bHenstock = true

∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Submodule R M
t : ι → Submodule R N

map₂ f s (⨆ i, t i) = ⨆ i, map₂ f s (t i)


map₂ f (span R ↑s) (⨆ i, span R ↑(t i)) = ⨆ i, map₂ f (span R ↑s) (span R ↑(t i))


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R

Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent) = I ^ 2


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥
key : p ∣ Nat.card ↥↑P


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
s : NonUnitalStarSubalgebra R A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s).toSubalgebra = span R {1} ⊔ s.toSubmodule


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d
h₂' : ↑n / ↑d < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
f : α →+* β
a b : AsBoolAlg α

toBoolAlg (f (ofBoolAlg a + ofBoolAlg b + ofBoolAlg a * ofBoolAlg b)) = toBoolAlg (f (ofBoolAlg a)) ⊔ toBoolAlg (f (ofBoolAlg b))


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j k : ι
hjk : c.Rel j k

(desc φ α hα).f j = fstX φ j k hjk ≫ hα.hom k j + sndX φ j ≫ α.f j


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)

(desc φ α hα).f j = fstX φ j (c.next j) hjk ≫ hα.hom (c.next j) j + sndX φ j ≫ α.f j


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: ξ : ℝ

{q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite ↔ Irrational ξ


Context: ξ : ℝ

Context: h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite

Context: a b : ℤ

Context: H : ξ = ↑a / ↑b


Context: ξ : ℝ

Context: a b : ℤ

Context: H : ξ = ↑a / ↑b

Context: q : ℚ

|ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2 ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2


Context: ξ : ℝ

Context: a b : ℤ

Context: H : ξ = ↑a / ↑b

Context: q : ℚ

|↑a / ↑b - ↑q| < ↑(1 / ↑q.den ^ 2) ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

(equivShrink α).symm (x - y) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y


(equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y


Context:
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

{ num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = normalize num den nz


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m

⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)

s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2)


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
this : (s + 1).Gammaℝ ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
hx : IsPrimal x


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]

IntervalIntegrable (fun x => (f x)⁻¹) μ a b


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : b ≤ 1


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
f : S → R

QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts (↑a) f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y

((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X')) (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)) g.op).unop


(h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ (h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map g.op).unop


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'

((h.homEquiv (Opposite.op Y') (Opposite.op X)).symm (g.op ≫ f.op)).unop = ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)).symm f.op).unop ≫ G.map g


(G.op.map (g.op ≫ f.op) ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop = (G.op.map f.op ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop ≫ G.map g


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

ContinuousAt f x ↔ LowerSemicontinuousAt f x ∧ UpperSemicontinuousAt f x


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
i j : Fin 2


(-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0] i j


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N

(((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M (g ∘ₗ f))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M g ∘ₗ lTensor M f)) m) n


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
p q : G


Context:
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0


Context:
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty


Context:
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

(exponent G).primeFactorsList.Subperm (orderOf t).primeFactorsList


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

∀ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (exponent G).primeFactorsList ≤ List.count x (orderOf t).primeFactorsList


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: h : ∃ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (orderOf t).primeFactorsList < List.count x (exponent G).primeFactorsList


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ (exponent G).primeFactorsList

Context: hpe : List.count p (orderOf t).primeFactorsList < List.count p (exponent G).primeFactorsList


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpe : (orderOf t).factorization p < (exponent G).factorization p


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t

Context: hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t

Context: a : ℕ

Context: ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t

Context: a : ℕ

Context: hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t

Context: a : ℕ


Context: G : Type u

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: hG : ExponentExists G

Context: he : exponent G ≠ 0

Context: hne : (Set.range orderOf).Nonempty

Context: hfin : (Set.range orderOf).Finite

Context: t : G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: k : ℕ := (orderOf t).factorization p

Context: hpe : k < (exponent G).factorization p

Context: hk : k = (orderOf t).factorization p

Context: g : G

Context: hpk : p ^ k ∣ orderOf t

Context: a : ℕ

p ^ (orderOf t).factorization p ∣ orderOf t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_pos : 0 < p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_pos : 0 < p

Context: rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: hp_pos : 0 < p

Context: x : α

Context: hx : (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocSemiring R
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α

map (map f) ts.permutations' = (map f ts).permutations'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α

(N.comapOn E f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ E


Context: C : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} C

Context: J✝ : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J✝ RingCat

Context: inst✝² : HasWeakSheafify J✝ AddCommGrp

Context: inst✝¹ : J✝.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : J✝.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: I J : Type u

Context: f : I → J

Context: i : I

sectionsMap (freeMap f) (freeSection i) = freeSection (f i)


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt

f = descFun hc lc ↔ ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up


f = descFun hc lc → ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up


Context: J : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} J

Context: K : J ⥤ Type u

Context: c : Cocone K

Context: hc : IsColimit c

Context: lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})

Context: f : c.pt → lc.pt

Context: he : ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up

Context: x : c.pt


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
this : Countable ↑s


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3

(fun a => a * Q z ^ 3) (P y) = (fun a => a * Q z ^ 3) (W'.negY P)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: f✝ : α → α

Context: s : Set α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: μ : Measure α

Context: h : Conservative f μ

Context: this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: f✝ : α → α

Context: s✝ : Set α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: μ : Measure α

Context: h : Conservative f μ

Context: x : α

Context: hx : ∀ i ∈ countableBasis α, x ∈ i → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ i

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: f✝ : α → α

Context: s✝ : Set α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: μ : Measure α

Context: h : Conservative f μ

Context: x : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: o : Set α

Context: hoS : o ∈ countableBasis α

Context: hxo : x ∈ o

Context: hos : o ⊆ s


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1


Context:
n : ℕ
α : Type u
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → α


map f (map (⇑σ) (finRange n)) ~ map f (finRange n)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s

eval (v i) (derivative (nodal s v)) = eval (v i) (nodal (s.erase i) v)


∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (nodal (s.erase x) v) = 0


Context:
x : ℝ
h : 1 ≤ x

expNegInvGlue x = expNegInvGlue x + expNegInvGlue (1 - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f' ↔ HasMFDerivAt I I' f x f'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A

(List.map f l).prod = mk (l.dProdIndex fun i => (f i).fst) (l.dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)


(List.map f l).prod = (List.map (fun a => ⟨(f a).fst, (f a).snd⟩) l).prod


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

tsupport (f.normed μ) = closedBall c f.rOut


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
s : Finset ι
f : ι → Set α

(⋃ i ∈ s, f i).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)

Context: hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f

∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * g a|) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f

Context: z : ℕ

Context: x : α

Context: hx : (abs ∘ g) x ≤ (abs ∘ f) x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R


(φ.polyCharpoly b).coeff (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree ≠ 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : ↑a = r * r


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
hmul : g ∈ connectedComponent (g * h)


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = ↑1


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = 1


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ

↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(↑(u * u⁻¹)).val


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ

(rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ) = (rename ⇑e) φ


(rename ⇑e.symm) ((rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ)) = (rename ⇑e.symm) ((rename ⇑e) φ)


(rename ⇑((e.trans x✝).trans e.symm)) φ = φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : InfSet α
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
x : G ⧸ Γ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
z✝ : G


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
a : α
hs : IsCompact ∅
hf : ContinuousOn f ∅
hf' : ∀ b ∈ ∅, a < f b


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b
hs' : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁✝ X₂✝ Y₁✝ Y₂✝ : C
f₁₁✝ : X₁✝ ⟶ Y₁✝
f₁₂✝ : X₁✝ ⟶ Y₂✝
f₂₁✝ : X₂✝ ⟶ Y₁✝
f₂₂✝ : X₂✝ ⟶ Y₂✝
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₁₂ : Y₁ ⟶ Z₂
g₂₁ : Y₂ ⟶ Z₁
g₂₂ : Y₂ ⟶ Z₂

(biprod.fst ≫ f₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ f₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ f₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ f₂₂ ≫ biprod.inr) ≫ (biprod.fst ≫ g₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ g₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ g₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ g₂₂ ≫ biprod.inr) = biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₁ + f₁₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₂ + f₁₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₁ + f₂₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₂ + f₂₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

(mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = mk x y


(mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = (monoidOf S).mk' x y


Context:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Module R C
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S.toSubmodule = T.toSubmodule
x : A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

Context: hM : Module.IsTorsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)

DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

Context: hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

Context: x✝ : { x // x ∈ S }

torsionBy R M (q ↑x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q ↑x✝})


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F


Context: m n : ℕ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set (Set M)

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent (ι := { x // x ∈ a }) R Subtype.val

LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃₀ s)) => ↑x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set (Set M)

LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ i, ↑i)) => ↑x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

W'.addX (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝¹ y : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x x✝ : E

x✝ ∈ (c • p).closedBall x r ↔ x✝ ∈ p.closedBall x (r / ↑c)


Context:
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

a✝ ∈ (a * b).primeFactors ↔ a✝ ∈ a.primeFactors ∪ b.primeFactors


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n

p.content = (Finset.range n).gcd p.coeff


p.content ∣ (Finset.range n).gcd p.coeff


(Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
s : Finset (Perm α)

σ.cycleFactorsFinset = s ↔ (∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup

σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l.toFinset, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑l.toFinset).Pairwise Disjoint), l.toFinset.noncommProd id ⋯ = σ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α

r ⊔ s = EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y


r ⊔ s = sInf {s_1 | ∀ ⦃x y : α⦄, r.Rel x y ∨ s.Rel x y → s_1.Rel x y}


{x | r ≤ x ∧ s ≤ x} = {s_1 | ∀ ⦃x y : α⦄, r.Rel x y ∨ s.Rel x y → s_1.Rel x y}


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : i0 ≤ pred^[n] i0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : pred^[n] i0 < i0


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α

(s + t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ¬(↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module k V

Context: S : AffineSpace V P

Context: p₁ p₂ : P

Context: s1 s2 : AffineSubspace k P

Context: h1 : (↑s1).Nonempty

Context: h2 : (↑s2).Nonempty

Context: hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤

Context: h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅

Context: hlt : s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
hlt : ⊤ < (s1 ⊔ s2).direction


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : α → α
hf : map f μ = μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β


Context: ι✝ : Type u_1

Context: κ✝ : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α✝

Context: a : α✝

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: ι : Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: α : Type u_8

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset κ

Context: f : ι → α

Context: g : κ → α

Context: i : (a : ι) → a ∈ s → κ

Context: j : (a : κ) → a ∈ t → ι

Context: hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s

Context: left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a

Context: right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a

Context: h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: κ✝ : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α✝

Context: a : α✝

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: ι : Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: α : Type u_8

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset κ

Context: f : ι → α

Context: g : κ → α

Context: i : (a : ι) → a ∈ s → κ

Context: j : (a : κ) → a ∈ t → ι

Context: hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s

Context: a1 : ι

Context: h1 : a1 ∈ s

Context: a2 : ι

Context: h2 : a2 ∈ s

Context: eq : i a1 h1 = i a2 h2


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁵ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x✝¹ x✝ : ι

Context: hij : x✝¹ ⟶ x✝

(directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝ = DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁵ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x✝¹ x✝ : ι

Context: hij : x✝¹ ⟶ x✝

∀ (x : ↑((directLimitDiagram G f).obj x✝¹)), ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝) x = (DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁵ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x✝¹ x✝ : ι

Context: hij : x✝¹ ⟶ x✝

Context: x : ↑((directLimitDiagram G f).obj x✝¹)

((directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝) x = (DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij) x


Context:
α₁ : Type ?u.41768
β₁ : Type ?u.41767
β₂ : Type ?u.41769
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
α₂ : Type ?u.41770
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
x₁ : α₁
y₁ : β₁

(fun y => (e₁.symm y.1, (e₂ (e₁.symm y.1)).symm y.2)) ((fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)) (x₁, y₁)) = (x₁, y₁)


Context:
α₁ : Type ?u.41768
β₁ : Type ?u.41767
β₂ : Type ?u.41769
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
α₂ : Type ?u.41770
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
x₁ : α₂
y₁ : β₂

(fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)) ((fun y => (e₁.symm y.1, (e₂ (e₁.symm y.1)).symm y.2)) (x₁, y₁)) = (x₁, y₁)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
x : R

(aeval ((algebraMap R A) x)) (X - C x) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝 x'


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0

(map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
h : Commute (f a) x


∀ (k : ℕ), Commute (f ((C a).coeff k)) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: g : α → F

Context: b : E → F → G

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖flip b (g x) (f x)‖₊ ≤ ‖g x‖₊ * ‖f x‖₊


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}

Context: hp : p ≠ ⊥


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf✝ : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hf : f ≠ 0

Context: v : V₁


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf✝ : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hf : f ≠ 0

Context: y : V₁

Context: hy : y ∈ LinearMap.ker f

Context: z : V₁

Context: hz : z ∈ p


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf✝ : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hf : f ≠ 0

Context: y : V₁

Context: hy : y ∈ LinearMap.ker f

Context: z : V₁

Context: hz : z ∈ p

Context: hy' : g y = 0


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf✝ : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hf : f ≠ 0

Context: y z : V₁

Context: hz : z ∈ p

Context: hy' : g y = 0

Context: hy : f y = 0


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f✝ : Dual K V₁

Context: hf✝ : f✝ ≠ 0

Context: f g : Dual K V₁

Context: x : V₁

Context: h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g

Context: h' : f x = g x

Context: hx : f x ≠ 0

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hf : f ≠ 0

Context: y : V₁

Context: hy' : g y = 0

Context: hy : f y = 0

Context: t : K

Context: hz : t • x ∈ p


Context:
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp

cmp x y = Ordering.eq ↔ cmp y x = Ordering.eq


cmp y x = Ordering.eq.swap ↔ cmp y x = Ordering.eq


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
l : Filter Y
inst✝ : l.NeBot
c d : X


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : DivInvMonoid G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α


∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : R


MulOpposite.op (inl x).fst • (inl x).snd = (inl x).fst • (inl x).snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α


({a | IsTop a} ∪ {a | ∃ b, a ⋖ b}).Countable


Context: x y : PGame

Context: L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves

Context: R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves

Context: hl : ∀ (i : x.LeftMoves), ⟦x.moveLeft i⟧ = ⟦y.moveLeft (L i)⟧

Context: hr : ∀ (j : x.RightMoves), ⟦x.moveRight j⟧ = ⟦y.moveRight (R j)⟧


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
V : Set ↑e.source
hV : IsOpen V


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
s : Set α
ho : Ioi a ⊆ s
hc : s ⊆ Ici a
h : a ∈ s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β

(∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U


(∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (Filter.comap (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 β)), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preregular C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: Y : C

Context: π : Y ⟶ X

Context: h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π

Context: h_le : Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π) ≤ S


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preregular C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: Y : C

Context: π : Y ⟶ X

Context: h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π

(regularCoverage C).Saturate X (Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hp' : ¬p.Nil


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.support.Nodup
hp' : ¬p.Nil


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: hp' : ¬p.Nil

Context: hp : u ∉ (p.tail hp').support ∧ (p.tail hp').support.Nodup


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: m M N : ℕ

Context: f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α

Context: g : (n : ℕ) × Composition n → α

Context: h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)

∑ e ∈ compPartialSumSource m M N, f e = ∑ e ∈ compPartialSumTarget m M N, g e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: m M N : ℕ

Context: f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α

Context: g : (n : ℕ) × Composition n → α

∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha ∈ compPartialSumTarget m M N


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: m M N : ℕ

Context: f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α

Context: g : (n : ℕ) × Composition n → α

∀ (a₁ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₁ : a₁ ∈ compPartialSumSource m M N) (a₂ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₂ : a₂ ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a₁ ha₁ = compChangeOfVariables m M N a₂ ha₂ → a₁ = a₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: m M N : ℕ

Context: f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α

Context: g : (n : ℕ) × Composition n → α

∀ b ∈ compPartialSumTarget m M N, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha = b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: m M N : ℕ

Context: f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α

Context: g : (n : ℕ) × Composition n → α

∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), f a = g (compChangeOfVariables m M N a ha)


Context: b n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α

CauchySeq u ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)