Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

(∃ k, ∀ (i : ℕ), ↑(upcrossingsBefore a b f i ω) ≤ ↑k) ↔ ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
x y : (α →𝒄 β) × α
h : x ≤ y


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain ((α →𝒄 β) × α)

{ toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ } (ωSup c) = ωSup (c.map { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ })


{ toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ } (ωSup c) ≤ ωSup (c.map { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ })


ωSup (c.map { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ }) ≤ { toFun := fun f => f.1 f.2, monotone' := ⋯ } (ωSup c)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i0 ≤ i
hj : i0 ≤ j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i0 ≤ i
hj : j < i0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i < i0
hj : i0 ≤ j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i j : ι
h_le : i ≤ j
hi_max : ¬IsMax i
hj_min : ¬IsMin j
hi : i < i0
hj : j < i0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

(LocalizedModule.lift S g h ∘ₗ ↑(iso S f).symm) ∘ₗ f = g


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R
hr : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : LocallyBoundedVariationOn f s

∃ p q, MonotoneOn p s ∧ MonotoneOn q s ∧ f = p - q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f ∅

∃ p q, MonotoneOn p ∅ ∧ MonotoneOn q ∅ ∧ f = p - q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : LocallyBoundedVariationOn f s
c : α
cs : c ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'

(fun x => I * x) J ≤ (fun x => I * x) J'


⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ ≤ ⟨↑I * ↑J', ⋯⟩


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.14125, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex (Karoubi C) c
f : K ⟶ L
i j : ι
hij : c.Rel i j

(fun n => (f.f n).f) i ≫ (obj L).X.d i j = (obj K).X.d i j ≫ (fun n => (f.f n).f) j


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
n : ℕ
hn : 0 < n
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

x ∈ zeroLocus 𝒜 {f ^ n} ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 {f}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
r : R

(map f) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q₁)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q₂)) r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
y : M₂
x : M₁
hx : f x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
hf : Function.Surjective ⇑f
x✝³ x✝² : CliffordAlgebra Q₂
x✝¹ : ∃ a, (map f) a = x✝³
x✝ : ∃ a, (map f) a = x✝²
x : CliffordAlgebra Q₁
hx : (map f) x = x✝³
y : CliffordAlgebra Q₁
hy : (map f) y = x✝²


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R₁
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R₁ A
inst✝² : Algebra R₂ A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R₁ B
I : Ideal A
J : Ideal B
f : A →ₐ[R₁] B
H : I ≤ comap f J
x : A

((quotientMapₐ J f H).comp (Quotient.mkₐ R₁ I)) x = ((Quotient.mkₐ R₁ J).comp f) x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : Type w

Context: A B : I → C

Context: f : (i : I) → A i ⟶ B i

Context: S X Y Z : C

Context: πX : X ⟶ S

Context: πY : Y ⟶ S

Context: φ : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C

Context: hφ : φ ≫ πY = πX

Context: i : I

Context: t : A i ⟶ X

Context: b : B i ⟶ S

Context: w : t ≫ πX = f i ≫ b

Sigma.ι (functorObjSrcFamily f πX) { i := i, t := t, b := b, w := w } ≫ functorObjLeft f πX ≫ functorMapTgt f πX πY φ hφ = Sigma.ι (functorObjSrcFamily f πX) { i := i, t := t, b := b, w := w } ≫ functorMapSrc f πX πY φ hφ ≫ functorObjLeft f πY


Context:
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2


(↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries (n + 1)


(↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n ≤ (√(2 + ↑c / ↑d)).sqrtTwoAddSeries n


Context:
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
hb' : 0 < ↑b


Context:
a b c d n : ℕ
z : ℝ
hz : z ≤ (↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries n
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : a ^ 2 * d ≤ (2 * d + c) * b ^ 2
hb' : 0 < ↑b
hd' : 0 < ↑d


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite

∃ N', Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl w✝ N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N') w✝.subtype))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
r : α → β → Prop
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
r : α → β → Prop
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y
this : Nonempty β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: r : α → β → Prop

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∃ y, r x y

Context: this : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (x : α), (∃ y, r x y) → r x (f x)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ

χ⁻¹ ↑x = χ ↑x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: h : IsAdjoinRootMonic S f

Context: x y : S

Context: hxy : ∀ i < f.natDegree, h.coeff x i = h.coeff y i

Context: i : Fin f.natDegree

h.basis.equivFun x i = h.basis.equivFun y i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
f : ι → ℝ≥0∞
c : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : PartialOrder β
f : α ≃o β
x : α
y : β
hx : ∀ (x' : α), x ≤ x'
hy : ∀ (y' : β), y ≤ y'


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: h : v x ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: h : v x ≠ 0

∃ γ, {y | v (y - x) < ↑γ} ⊆ {y | v y = v x}


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: h : v x ≠ 0

{y | v (y - x) < ↑(Units.mk0 (v x) h)} ⊆ {y | v y = v x}


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: h : v x ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: h : v x ≠ 0

Context: y : R

Context: y_in : y ∈ {y | v (y - x) < v x}


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 + (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = (P y - W'.negY P) * Q z ^ 3


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s


∀ (a : ι), a ≠ i ∧ a ∈ s → ¬basisDivisor (v i) (v a) = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M


IsOpen (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal

Summable fun n => ‖expSeries 𝕂 𝔸 n‖ * ↑r ^ n


∀ᶠ (i : ℕ) in cofinite, ‖‖expSeries 𝕂 𝔸 i‖ * ↑r ^ i‖ ≤ ↑r ^ i / ↑i !


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
r : NNReal
n : ℕ
hn : n ≠ 0

‖‖expSeries 𝕂 𝔸 n‖ * ↑r ^ n‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !


‖(↑n !)⁻¹ • ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !


‖(↑n !)⁻¹‖ * ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !


↑r ^ n / ↑n ! * ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ ≤ ↑r ^ n / ↑n !


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕂

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: r : NNReal

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕂 n 𝔸‖ ≤ 1


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F
s : Set X

ContinuousOn f s ↔ ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : X → E →L[𝕜] F

Context: s : Set X

Context: h : ∀ (y : E), ContinuousOn (fun x => (f x) y) s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : X → E →L[𝕜] F

Context: s : Set X

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : X → E →L[𝕜] F

Context: s : Set X

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 E

Context: hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : X → E →L[𝕜] F

Context: s : Set X

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 E

Context: hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)

Context: e₁ : E ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd

Context: e₂ : (E →L[𝕜] F) ≃L[𝕜] Fin d → F := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite K L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x y : L
r : R

Polynomial.map (evalRingHom r) (LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y) = charpoly (φ (r • y + x))


Polynomial.map ((evalRingHom r).comp ↑(MvPolynomial.aeval fun i => C (((chooseBasis R L).repr y) i) * X + C (((chooseBasis R L).repr x) i))) ((↑φ).polyCharpoly (chooseBasis R L)) = charpoly (φ (r • y + x))


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite K L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: x y : L

Context: r : R

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L

Polynomial.map ((evalRingHom r).comp ↑(MvPolynomial.aeval fun i => C ((b.repr y) i) * X + C ((b.repr x) i))) ((↑φ).polyCharpoly b) = charpoly (φ (r • y + x))


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite K L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: x y : L

Context: r : R

Context: aux : (fun i => (b.repr y) i * r + (b.repr x) i) = ⇑(b.repr (r • y + x))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h_pos : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → CharP R p → P

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p ≠ 0

Context: p_char : CharP R p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p ≠ 0

Context: p_char : CharP R p

Context: p_prime : Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + k


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t ⊆ t✝

(t✝ \ t).card = k ↔ t✝.card = t.card + k


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Groupoid G

Context: inst✝¹ : IsFreeGroupoid G

Context: T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))

Context: inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)

Context: a b : Generators G

Context: e : a ⟶ b

Context: H : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b

loopOfHom T (of e) = 𝟙 (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T)


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Groupoid G

Context: inst✝¹ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : Generators G

Context: e : a ⟶ b

Context: H : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b

treeHom T (let_fun this := a; this) ≫ of e = treeHom T b


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsOpen s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsOpen s

∀ (i_1 : ι), IsOpen (Sigma.mk i_1 ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsOpen s

Context: j : ι

IsOpen (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: j : ι

Context: s : Set (σ j)

Context: hs : IsOpen s

IsOpen (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk j '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsOpen s

Context: j : ι

Context: hne : j ≠ i


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.6198, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.6202, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

(F.map (f.base ≫ g.base)).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b : Basis ι R M
i : ι
f : ι →₀ R


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K

Context: F : ℕ → Quotient equivSetoid

Context: hF : Quotient.mk' '' K = range F


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K

Context: F : ℕ → Quotient equivSetoid

Context: hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, Quotient.mk' x = ⟦a⟧) ↔ ∃ y, F y = ⟦a⟧


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K

Context: F : ℕ → Quotient equivSetoid

Context: hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K

Context: F : ℕ → Quotient equivSetoid

Context: hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: hn : K.Nonempty

Context: hc : (Quotient.mk' '' K).Countable

Context: fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M

Context: hp : Hereditary K

Context: jep : JointEmbedding K

Context: F : ℕ → Quotient equivSetoid

Context: hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K

Context: P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure

Context: hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K

Context: hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)

Context: hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : ¬(p a ∧ ContinuousOn f (spectrum R a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : MeasurableSet (insert a s)
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)


∀ (t : Set α), m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: t : Set α

Context: hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)

m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: t : Set α

(⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: t : Set α

⨆ b, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < b), s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: t : Set α

Context: n : ℕ

m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m (t \ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: t : Set α

Context: n : ℕ


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
hx : x ∈ A


∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f
h'y : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L

normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, map (↑f) K


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : L →ₐ[F] L


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : L ≃ₐ[F] L


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
i : ι'
hi : p i
h'i : s i = ∅


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x y : α → Σˣ f

Context: xy : x ≈ y

∃ i, ∃ (hx : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))) (hy : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ y))), unify f x i hx = unify f y i hy


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x y : α → Σˣ f

Context: xy : x ≈ y

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range (Sum.elim (fun a => (x a).fst) fun a => (y a).fst))


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x y : α → Σˣ f

Context: xy : x ≈ y

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (x a).fst) ∩ upperBounds (range fun a => (y a).fst)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: x y : α → Σˣ f

Context: xy : x ≈ y

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Sigma.fst ∘ x) a) ∩ upperBounds (range fun a => (Sigma.fst ∘ y) a)


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : ι → Set E
t : Set E

convexJoin 𝕜 (⋃ i, s i) t = ⋃ i, convexJoin 𝕜 (s i) t


⋃ x, ⋃ i, ⋃ (_ : x ∈ s i), ⋃ y ∈ t, segment 𝕜 x y = ⋃ i, ⋃ x ∈ s i, ⋃ y ∈ t, segment 𝕜 x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
xs : List α
n m : Fin xs.length
h : xs.get n = xs.get m
hne : n ≠ m


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ →+* ℂ
h : Continuous ⇑f


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).sin = ‖y - x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure α)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTrivial L M
x y : L


φ x ∘ₗ φ y = 0


Context:
f : Type u₀ → Type u₁
inst✝ : EquivFunctor f
α β : Type u₀
e : α ≃ β
γ : Type u₀
ab : α ≃ β
bc : β ≃ γ
x : f α

((mapEquiv f ab).trans (mapEquiv f bc)) x = (mapEquiv f (ab.trans bc)) x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
h : l = ⊥


Context:
α : Type u_1
p : PosNum

castNum <$> (pos p).ppred = (↑(pos p)).ppred


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n a : ℕ

trunc n (↑(trunc n f) ^ a) = trunc n (f ^ a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

mfderiv I I' f x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hxz : x ≤ z
hyz : y ≤ z
h : z \ x = z \ y


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι

↑↑a✝¹ ⊆ ↑↑a✝ ↔ ↑a✝¹ ≤ ↑a✝


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℂ
ht : t ≠ -1


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℂ
ht : t ≠ -1
this : t + 1 ≠ 0


IntervalIntegrable (fun y => ↑y * (1 + ↑y ^ 2) ^ t) MeasureTheory.volume a b


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0

padicValRat p (q / r) = padicValRat p q - padicValRat p r


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
s : Set (Submodule R M)
m : M

m ∈ sSup s ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ p ∈ s, p ≤ N) → m ∈ N


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s✝ : Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i))

Context: a : (i : ι) × G i

Context: s : Multiset ((i : ι) × G i)

Context: ih : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: hs : (of G f j) y = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(of G f k) (f i k hik x * f j k hjk y) = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of (⟨i, x⟩ ::ₘ s))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: a : (i : ι) × G i

Context: s : Multiset ((i : ι) × G i)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(of G f i) x * Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s) = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of (⟨i, x⟩ ::ₘ s))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: a : (i : ι) × G i

Context: s : Multiset ((i : ι) × G i)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

FreeAbelianGroup.of (⟨i, x⟩ ::ₘ s) = (fun x x_1 => x * x_1) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩) (FreeAbelianGroup.of s)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝¹ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s : Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i))

Context: x✝ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: ih : (of G f i) x = Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s)

(of G f i) (-x) = Quotient.mk'' (-FreeAbelianGroup.of s)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝¹ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: i : ι

Context: x : G i

-Quotient.mk'' (FreeAbelianGroup.of s) = Quotient.mk'' (-FreeAbelianGroup.of s)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝² : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: p q : FreeAbelianGroup (Multiplicative (Multiset ((i : ι) × G i)))

Context: x✝¹ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' p

Context: x✝ : ∃ i x, (of G f i) x = Quotient.mk'' q

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: ihx : (of G f i) x = Quotient.mk'' p

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: ihy : (of G f j) y = Quotient.mk'' q

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(of G f k) (f i k hik x + f j k hjk y) = Quotient.mk'' (p + q)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: x✝² : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: ihx : (of G f i) x = Quotient.mk'' p

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: ihy : (of G f j) y = Quotient.mk'' q

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Quotient.mk'' p + Quotient.mk'' q = Quotient.mk'' (p + q)


Context: a b : ℕ+

Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
h : a ≠ c

(lineMap (slope f a b) (slope f b c)) ((c - b) / (c - a)) = slope f a c


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g

((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk f.hom.left)).hom ≫ B.map f.right.hom = (StructuredArrow.mk g).hom


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = f₂.hom.left


f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = (f₁.hom ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map φ.right).left


((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ≫ ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₂).hom).right = ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₁).hom.right


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃

∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a✝ = c ≫ T₂.mor₃

Context: a : T₁.invRotate.obj₃ ⟶ T₂.invRotate.obj₃

Context: ha₁ : T₁.invRotate.mor₂ ≫ a = a✝ ≫ T₂.invRotate.mor₂

Context: ha₂ : T₁.invRotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c) = a ≫ T₂.invRotate.mor₃

∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a✝ ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: ha₂ : (T₁.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₁.3) ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c) = a ≫ T₂.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₂.3


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

T₁.mor₂ ≫ c ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₂.obj₃ = (T₁.mor₂ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app T₁.3) ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c)


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι K V

lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (Dual K V)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α

(↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, f a = (∑ i ∈ s, f i) / s.card ∨ f a = (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M✝ : Type v
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : SubMulAction M α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

∃ v ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀, v ⊆ insert x₀ s ∧ ∃ f', (∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (f x) (f' x) t (g x)) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => f' x) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: hst : insert x₀ s ×ˢ t ∈ 𝓝[(fun x => (x, g x)) '' s] (x₀, g x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: v : Set (E × F)

Context: hv : v ∈ 𝓝[insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)] (x₀, g x₀)

Context: hvs : v ⊆ insert (x₀, g x₀) (insert x₀ s ×ˢ t)

Context: f' : E × F → E × F →L[𝕜] G

Context: hvf' : ∀ x ∈ v, HasFDerivWithinAt (uncurry f) (f' x) (insert x₀ s ×ˢ t) x

Context: hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑↑n) f' (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: v : Set (E × F)

Context: f' : E × F → E × F →L[𝕜] G

(fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s ∈ 𝓝[insert x₀ s] x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: v : Set (E × F)

Context: f' : E × F → E × F →L[𝕜] G

∀ x ∈ (fun z => (z, g z)) ⁻¹' v ∩ insert x₀ s, HasFDerivWithinAt (f x) ((fun z => (f' (z, g z)).comp (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) x) t (g x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀✝ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ

Context: x₀ : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g s x₀

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: v : Set (E × F)

Context: f' : E × F → E × F →L[𝕜] G

ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun x => (fun z => (f' (z, g z)).comp (ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E F)) x) s x₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α

(a₁, a₂) ∈ s.diag ↔ (a₁, a₂) ∈ image (fun a => (a, a)) s


(a₁, a₂).1 ∈ s ∧ (a₁, a₂).1 = (a₁, a₂).2 ↔ (a₁, a₂) ∈ image (fun a => (a, a)) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: x : α × α

Context: a₁ a₂ : α

Context: h : (a₁, a₂).1 ∈ s ∧ (a₁, a₂).1 = (a₁, a₂).2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a₁ a₂ : α
h : ∃ a ∈ s, (a, a) = (a₁, a₂)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R


Context: x : ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : Rˣ
x : R
x_eq : x = r • r⁻¹ • x

r • r⁻¹ • x ∈ σ (r • a) ↔ x ∈ r • σ a


r⁻¹ • x ∈ σ a ↔ x ∈ r • σ a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : I.IsPrime


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I✝ I' : Ideal R

Context: J J' I : Ideal S

Context: h : I.IsPrime

Context: this : (I.prod ⊤).IsPrime := isPrime_ideal_prod_top


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I✝ I' : Ideal R

Context: J J' I : Ideal S

Context: h : I.IsPrime

(map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod ⊤)).IsPrime


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E

Irreducible (Polynomial.map (algebraMap F E) f)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
x : K
hx : (aeval x) f = 0


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
inst✝² : Algebra E K✝
inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝
f : F[X]
hsep : f.Separable
hirr : Irreducible f
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
K : Type v := AlgebraicClosure E
x : K
hx : (aeval x) f = 0
ha : Associated f (minpoly F x)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K✝ : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: inst✝² : Algebra E K✝

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝

Context: f : F[X]

Context: hsep : f.Separable

Context: hirr : Irreducible f

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: K : Type v := AlgebraicClosure E

Context: x : K

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: ha : Associated f (minpoly F x)

Context: ha' : Associated (Polynomial.map (algebraMap F E) f) (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x))


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K✝ : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: inst✝² : Algebra E K✝

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝

Context: f : F[X]

Context: hsep : f.Separable

Context: hirr : Irreducible f

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: K : Type v := AlgebraicClosure E

Context: x : K

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: ha : Associated f (minpoly F x)

Context: heq : Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K✝ : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: inst✝² : Algebra E K✝

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K✝

Context: f : F[X]

Context: hsep : f.Separable

Context: hirr : Irreducible f

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: K : Type v := AlgebraicClosure E

Context: x : K

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: ha : Associated f (minpoly F x)


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M

B.dualSubmodule (B.flip.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂

(∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x


RespectsIso fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f


∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), Function.Surjective ⇑e.toRingHom


Context:
R✝ S✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
inst✝ : CommRing S✝
e : R✝ ≃+* S✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
Hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝¹ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : (i : ι) × αs i → M → N

l.sum f = ∑ i ∈ l.splitSupport, (l.split i).sum fun a b => f ⟨i, a⟩ b


Context: x y : ℂ


Context:
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivAt d d' x

HasDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x

HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : G

x✝ ∈ stabilizer G ↑s ↔ x✝ ∈ stabilizer G s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : ↥M


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι

(filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : ι

Context: x : β i

Context: j : ι

Context: this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0 j


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : ι

Context: x : β i

Context: j : ι

Context: this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : ι

Context: x : β i

Context: j : ι

(if p j then (single i x) j else 0) = if p i then (single i x) j else 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : ι

Context: x : β i

Context: this : (if p i then single i x else 0) i = if p i then (single i x) i else 0

(if p i then (single i x) i else 0) = if p i then (single i x) i else 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : ι

Context: x : β i

Context: j : ι

Context: hij : i ≠ j


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
a : PresentedGroup M.relationsSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint (insert a t) s ↔ a ∉ s ∧ _root_.Disjoint s t


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : b = 0 → a = 0


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
t : (b - a).Nonneg ∨ (-(b - a)).Nonneg


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k

(constantCoeff σ k) φ⁻¹ = ((constantCoeff σ k) φ)⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (s.drop (n + 1)).destruct (t.drop (n + 1)).destruct


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) ((s.drop n).destruct >>= tail.aux) ((t.drop n).destruct >>= tail.aux)


Computation.LiftRel ?R (s.drop n).destruct (t.drop n).destruct


∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, ?R a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (tail.aux a) (tail.aux b)


Option (α × WSeq α) → Option (β × WSeq β) → Prop


∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (tail.aux a) (tail.aux b)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)

vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (s.altitude i).direction


vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β

(permutationsAux2 t ts r ys f).2 = map (fun x => f (x ++ ts)) (permutationsAux2 t [] [] ys id).2 ++ r


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

eval x ((interpolate s v) r) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹


(eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / (eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * 1 i) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a c✝ c : α


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)

Context: inst✝ : DecidablePred p

Continuous (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p Y).toFun


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : ι

Context: h✝ : p j


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : ι

Context: h✝ : ¬p j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
r s : m
hrs : b s < b r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
hrs : b j < b i


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι

(∀ j ∈ t, Splits i (s j)) → Splits i (∏ x ∈ t, s x)


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I

I.IsMaximal ↔ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I


I.IsMaximal → ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
hI' : I.IsMaximal


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
hI' : I.IsMaximal
x : X
hx : setOfIdeal I = {x}ᶜ


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3


↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = 0


(↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3) * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η)


↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0


↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2


Context: a s n step : Nat

map (fun x => a + x) (range' s (n + 1) step) = range' (a + s) (n + 1) step


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M

(Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : Finite ι

Context: e : Basis ι R M

Context: x : Orientation R M ι

Context: f : M ≃ₗ[R] M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : Finite ι

Context: e : Basis ι R M

Context: f : M ≃ₗ[R] M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: hg : g ≠ 0

(Orientation.map ι f) (rayOfNeZero R g hg) = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • rayOfNeZero R g hg


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)

Context: y z : ↥S

Context: h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)

Context: y z : ↥S

f ↑z * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹ = 1


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => f (x - c)) volume (a + c) (b + c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ


∀ (i : { r' // t < r' }), MeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i)


Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun r => s ×ˢ Iic ↑↑r


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Ring S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : IsDomain B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing S'

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: e : S ≃ₐ[A] S'

Context: h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0

Context: h₂ : (aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: x : S

(pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) x = e x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Ring S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : IsDomain B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing S'

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : Algebra A S

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: e : S ≃ₐ[A] S'

Context: f : A[X]

(pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) ((aeval pb.gen) f) = e ((aeval pb.gen) f)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

i x ∈ separableClosure F K ↔ x ∈ separableClosure F E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
m : Multiset α
hm : m.Nodup

{ val := m, nodup := hm }.Nonempty ↔ m ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N

g ↑(f.sec z).2 * (f.lift hg) z = g (f.sec z).1


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι

⨆ i, map (single i) (p i) = pi Set.univ p


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι


pi Set.univ p ≤ ⨆ i, map (single i) (p i)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
x y : V
he : s(x, y) ∈ M.edgeSet


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ⊤)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 * a.2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : ℝ

∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 * a.2


∃ t, (∀ y ∈ t, ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen t ∧ (⊤, ⊤) ∈ t


(∀ y ∈ Ioi (max (↑x) 0) ×ˢ Ioi 1, ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen (Ioi (max (↑x) 0) ×ˢ Ioi 1) ∧ (⊤, ⊤) ∈ Ioi (max (↑x) 0) ×ˢ Ioi 1


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n


(Aᵀ.updateColumn j (A i)).det = if j = i then A.det else 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t

↑s.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).1.card


↑s.card * ε ≤ ↑(⋯.choose, ⋯.choose).1.card


Context:
α : Type u_1
l✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α

count a (b :: l) = count a l + if a = b then 1 else 0


(if b = a then 1 else 0) = if a = b then 1 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: boxes : Finset (WithBot (Box ι))

Context: le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I

Context: pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint

Context: H : ∀ J ∈ boxes, J ≠ ⊥ → ∃ J' ∈ π, J ≤ ↑J'

ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint ≤ π


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: boxes : Finset (WithBot (Box ι))

Context: le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I

Context: this : ∀ (J : Box ι), ↑J ∈ boxes → ∃ J' ∈ π, J ≤ J'


Context:
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ


Context:
α : Type u_2
f : Type u_1
n : α → f → α
l : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
m n : ℕ

(f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ m ≡ n [MOD s.card]


(f ^ m) a = (f ^ n) a ↔ (f ^ (↑n - ↑m)) a = a


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G → CoeSort.coe A

f ∈ oneCocycles A ↔ ∀ (g h : G), f (g * h) = (A.ρ g) (f h) + f g


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ≫ (ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


((P.actRight ≫ (ρ_ P.X).inv) ≫ P.X ◁ S.one) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(((ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ P.actRight ▷ 𝟙_ C) ≫ P.X ◁ S.one) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ ((P.X ⊗ S.X) ◁ S.one ≫ P.actRight ▷ S.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (P.X ⊗ S.X) ◁ S.one ≫ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (((α_ P.X S.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.one) ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (α_ P.X S.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ S.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (α_ P.X S.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ S.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂

(affineCombination k s₁ p) w = (affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)


Context:
c : Code
k : Cont'


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)

Context: zero : p 0

Context: mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)

Context: smul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁸ : Module R A

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁴ : Module R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝² : SMulCommClass R B B

Context: inst✝¹ : FunLike F A B

Context: inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (r : R) (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : r • x ∈ adjoin R s), p ⟨r • x, x_1⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : φ ∘ ψ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop

(∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atTop, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atTop, ∃ b, ∀ a ≥ a₀, r a b


(∃ x y, ∀ b ≥ x, r b y) ↔ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∃ b_1, ∀ a ≥ b, r a b_1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.rightOp

Context: m : (coconeRightOpOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : J), (coconeRightOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeRightOp s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.rightOp

Context: m : (coconeRightOpOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: j : Jᵒᵖ

(m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeRightOp s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))

Context: hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hv : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀) ∧ ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)

Context: hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))

Context: hlip : LipschitzOnWith K v' s

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'