Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
hb' : b ≠ a


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁ : s₁.length = 0


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
hs₁ : s₁.length = 0
this : Fin.last s₂.length = 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
A₁ : Type u_2
A₂ : Type u_3
A₃ : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A₁
inst✝⁴ : CommSemiring A₂
inst✝³ : CommSemiring A₃
inst✝² : Algebra R A₁
inst✝¹ : Algebra R A₂
inst✝ : Algebra R A₃
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
f : A₂ ≃ₐ[R] A₃
a✝ : MvPolynomial σ A₁
m✝ : σ →₀ ℕ

coeff m✝ (((mapAlgEquiv σ e).trans (mapAlgEquiv σ f)) a✝) = coeff m✝ ((mapAlgEquiv σ (e.trans f)) a✝)


coeff m✝ ((map ((↑f).comp ↑e)) a✝) = coeff m✝ ((map ↑(e.trans f)) a✝)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
x : α


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))

Context: hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g

Context: gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))

Context: gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g

∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) (f * gl) = ((sheaf X).val.map (iVU i).op) 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g

Context: i : ↥U

((sheaf X).val.map (iVU i).op) (f * gl) = ((sheaf X).val.map (iVU i).op) 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g

Context: i : ↥U

((sheaf X).val.map (iVU i).op) f * g i = 1


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X


(∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) ↔ ∀ (g : ↥⊤), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β✝ : Type u
pp : β✝ → Prop
β : Type u
P : β → Prop
x : F (α ::: β)

(∃ u, (fun i => Subtype.val) <$$> u = x) ↔ ∃ u, (fun i => Subtype.val) <$$> u = x


MvFunctor.f P n α ⊚ MvFunctor.g P n α = TypeVec.id


∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.PredLast' P i p_1) }), (fun i => Subtype.val) <$$> u = x ↔ (fun i => Subtype.val) <$$> MvFunctor.f P n α <$$> u = x


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝¹ : ConnectedSpace α

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : α → (i : ι) × π i

Context: hf : Continuous f

∃ i g, Continuous g ∧ f = Sigma.mk i ∘ g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝¹ : ConnectedSpace α

Context: f : α → (i : ι) × π i

Context: hf : Continuous f

Context: i : ι

Context: hi : range f ⊆ range (Sigma.mk i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝¹ : ConnectedSpace α

Context: i : ι

Context: g : α → π i

Context: hf : Continuous (Sigma.mk i ∘ g)

Context: hi : range (Sigma.mk i ∘ g) ⊆ range (Sigma.mk i)

∃ i_1 g_1, Continuous g_1 ∧ Sigma.mk i ∘ g = Sigma.mk i_1 ∘ g_1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝¹ : ConnectedSpace α

Context: i : ι

Context: g : α → π i

Context: hf : Continuous (Sigma.mk i ∘ g)


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0


Context: b : ℂ

Context: hb : b.re < 0

Context: c d : ℂ

Context: hb' : b ≠ 0

Context: h : ∀ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = cexp (- -b * (↑x + c / (2 * b)) ^ 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))


Context: b : ℂ

Context: hb : b.re < 0

Context: c d : ℂ

Context: hb' : b ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R : ℝ
x : P


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P
hne : x ≠ c


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
hu' : n = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : Irreducible ϖ
n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t


s ⊆ interior s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsPartialOrder α r

Context: S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}

Context: hS : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsPartialOrder α r

Context: s : α → α → Prop

Context: hs₁ : IsPartialOrder α s

Context: rs : r ≤ s

Context: hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsPartialOrder α r

Context: s : α → α → Prop

Context: hs₁ : IsPartialOrder α s

Context: rs : r ≤ s

Context: hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s

Context: this : IsPartialOrder α s


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsPartialOrder α r

Context: s : α → α → Prop

Context: hs₁ : IsPartialOrder α s

Context: rs : r ≤ s

Context: hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s

Context: this : IsPartialOrder α s

Context: x y : α


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsPartialOrder α r

Context: s : α → α → Prop

Context: hs₁ : IsPartialOrder α s

Context: rs : r ≤ s

Context: hs₂ : ∀ z ∈ S, s ≤ z → z = s

Context: this : IsPartialOrder α s

Context: x y : α

Context: h : ¬s x y ∧ ¬s y x


HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ 3 * Real.sin (π * ↑n / 2)) (π ^ 3 / 32)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖} ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖}


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ∏ i_1 : ι, ‖i i_1‖})


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : Codisjoint p p'
x : M


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
K : Set Y
Kf : K ⊆ range f


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s s' : Sym α n'

↑(s.append s') = ↑((Sym.cast ⋯) (s'.append s))


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: N : Type u_9

Context: x₀ x : H

Context: y₀ y : H'

Context: ϕ : E →L[𝕜] E'

inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x y₀ y ϕ = ϕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: N : Type u_9

Context: x₀ x : H

Context: y₀ y : H'

Context: ϕ : E →L[𝕜] E'

((tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp ((tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x) x)) = ϕ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P

Sbtw R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) (z -ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x


∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source

((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) x


↑(f.extend I) x ∈ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source


↑(f.extend I) x ∈ ↑(f.extend I) '' (f.source ∩ f'.source)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m n : Type v
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n

Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{u, v} (#m * #n)


Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: x y : PiLp p β

dist x y = (∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: T T' : Set α → F →L[ℝ] G''

Context: hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), (T s) x ≤ (T' s) x

Context: f : α →ₛ F

∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x ≤ ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n i : ℕ
h : i < n


Context:
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

rexp (log (x * y)) = rexp (log x + log y)


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

𝓝 = update pure 0 (⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ))


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h'r : r < 1

Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
k : ℕ

MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : x ∈ ↑((f.genEigenspace μ) k)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
h : Commute ((f - μ • 1) ^ k) g
x : M
hx : ((f - μ • 1) ^ k) x = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this : T1Space (hat K)

Context: f : hat K → hat K := fun x => x * x.hatInv

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this : T1Space (hat K)

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x

Context: cont : ContinuousAt f x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this : T1Space (hat K)

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x

Context: cont : ContinuousAt f x

Context: clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this : T1Space (hat K)

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x

Context: cont : ContinuousAt f x

Context: clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)

Context: fxclo : f x ∈ closure (f '' (c '' {0}ᶜ))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this✝ : T1Space (hat K)

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x

Context: cont : ContinuousAt f x

Context: clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)

Context: this : f '' (c '' {0}ᶜ) ⊆ {1}


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : UniformSpace K

Context: inst✝² : TopologicalDivisionRing K

Context: inst✝¹ : CompletableTopField K

Context: inst✝ : UniformAddGroup K

Context: x : hat K

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: this✝ : T1Space (hat K)

Context: c : K → hat K := fun x => ↑K x

Context: cont : ContinuousAt f x

Context: clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)

Context: this : f '' (c '' {0}ᶜ) ⊆ {1}

Context: fxclo : f x ∈ closure {1}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
x : G'

(∫ (a : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)) a ∂μ) • x = (μ (t ∩ s)).toReal • x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]

∫ (x : ℝ) in a..b, Real.log x = b * Real.log b - a * Real.log a - b + a


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0
heq : ∀ x ∈ [[a, b]], x * x⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ ball x r
a : X


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
a : X
h : dist y x < r


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this : Nontrivial (Subobject X)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this✝ : Nontrivial (Subobject X)
this : IsAtomic (Subobject X)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : ArtinianObject X
h : ¬IsZero X
this✝ : Nontrivial (Subobject X)
this : IsAtomic (Subobject X)
Y : Subobject X
s : IsAtom Y ∧ Y ≤ ⊤


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j

p.insertNth a f = g ↔ a = g p ∧ f = p.removeNth g


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y : 𝕜

HasDerivAt (Function.update x i) (Pi.single i 1) y


Pi.single i = ⇑(ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜)))


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y z : 𝕜
j : ι

Pi.single i z j = (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜))) z j


(if j = i then z else 0 j) = (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜))) z j


Context:
R : Type u
S : Type v
a b✝ : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
b : R
hp : p.leadingCoeff * b = 1
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(∏ i ∈ s, f i).coeff 0 = ∏ i ∈ s, (f i).coeff 0


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w : W

HasFDerivAt (fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))) ((-2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • ofRealCLM.comp (L v)) w


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: v : V

Context: w : W

Context: ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: v : V

Context: w : W

(-2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • ofRealCLM.comp (L v) = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: v : V

Context: w : W

Context: y : W

((-2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w))) • ofRealCLM.comp (L v)) y = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)) y


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: v : V

Context: w : W

Context: y : W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

{x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) =ᶠ[ae μ] {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : f i x = Exists.choose ⋯ x

{x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x = {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
h : e ∈ G.incidenceSet a


Context:
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}


(fun a => sup fun n => f^[n] a) a ≤ b ↔ ∀ (n : ℕ), f^[n] a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i : ι


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i : ι
d : Transversal φ


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: i : ι

Context: d : Transversal φ

Context: x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: x✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)

Context: a₁✝ a₂✝ : G i

Context: h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(of i)) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(of i)) a₂✝


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i = x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y✝ z : E

Context: s : Set E

Context: hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: h : a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y ∈ s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X Y : C
h : X = Y

α.app X = α.app X ≫ G.map (eqToHom h) ≫ G.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
x : 𝕜
x✝¹ : x ∈ univ
y : 𝕜
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

0 ≤ a • x ^ 2 + b • y ^ 2 - (a • x + b • y) ^ 2


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
x✝ : N ⋊[φ] G


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
x : N ⋊[φ] G
hx : x ∈ rightHom.ker


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

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Context: p q : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

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Context: r : K[X]

Context: hr : map (algebraMap R K) q = map (algebraMap R K) p * r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

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Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hq : q.IsPrimitive

Context: r : K[X]

Context: s : R

Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = ↑⟨s, s0⟩ • r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

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Context: inst✝³ : Algebra R K

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Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hq : q.IsPrimitive

Context: r : K[X]

Context: s : R

Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: hs : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ r) = C ((algebraMap R K) s) * r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

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Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hq : q.IsPrimitive

Context: r : K[X]

Context: s : R

Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: h : p ∣ q * C s


Context: R : Type u_1

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Context: R : Type u_1

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Context: hq : q.IsPrimitive

Context: r : K[X]

Context: s : R

Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: h : p ∣ q * (C s).primPart

Associated (q * (C s).primPart) ?m.90681


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

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Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

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Context: hp : p.IsPrimitive

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Context: r : K[X]

Context: s : R

Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: h : p ∣ q * (C s).primPart


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

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Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

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Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hq : q.IsPrimitive

Context: r : K[X]

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Context: s0 : s ∈ R⁰

Context: h : p ∣ (q * C s).primPart


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

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Context: hs : s ⊆ e.source

ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)


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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hs : s ⊆ e.source

(∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

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Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

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Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

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Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

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Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

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Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

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Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

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Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

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Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x) ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

𝓝[↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(e.extend I) x = 𝓝[↑(e.extend I) '' s] ↑(e.extend I) x


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F

(↑((Types.limitEquivSections (incl F ⋙ (F ⋙ FintypeCat.incl) ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂})) ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' (incl F) (F ⋙ FintypeCat.incl)).hom ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom ≫ ((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f))) A).down = f.app A.obj A.pt


(limit.π (incl F ⋙ (F ⋙ FintypeCat.incl) ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) A ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' (incl F) (F ⋙ FintypeCat.incl)).hom ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom ≫ ((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f))).down = f.app A.obj A.pt


(((FullyFaithful.ofFullyFaithful FintypeCat.incl).whiskeringRight C).homEquiv f).app A.obj ((colimit.isoColimitCocone { cocone := cocone F, isColimit := isColimit F }).hom.app A.obj ((colimit.ι ((incl F).op ⋙ coyoneda) (Opposite.op A)).app A.obj (𝟙 A.obj))) = f.app A.obj A.pt


Context: x y : ZFSet


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n

A.adjugate i j = (A.updateRow j (Pi.single i 1)).det


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β → α' → δ

Context: g' : α → α'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (↑t) (g' '' ↑s)


Context:
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π


Context: θ ψ : Angle

Context: h : θ = ↑(π / 2) - ψ ∨ θ = ↑(π / 2) - ψ + ↑π


Context:
y : ℝ
h : y < 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ι → κ
s : Finset κ
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)
g : κ → β
hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 1

∏ x ∈ s.preimage f hf, g (f x) = ∏ x ∈ s, g x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x


Monotone fun f => ∃ x ∈ s, ClusterPt x f


(∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x ↑f) ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b

(z - 1).inductionOn' b H0 Hs Hp = Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp)


HEq (match z - 1 - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n) (Hp z hz (z.inductionOn' b H0 Hs Hp))


Context:
a b✝ c d m n✝ : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)
hz : z ≤ b
n : ℕ
hn : z - 1 - b = -[n+1]


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
w : α → ℝ≥0
wpos : ∀ (x : α), 0 < w x
wmeas : Measurable w
wint : ∫⁻ (x : α), ↑(w x) ∂μ < ε / 2


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fmeas : Measurable f
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
w : α → ℝ≥0
wpos : ∀ (x : α), 0 < w x
wmeas : Measurable w
wint : ∫⁻ (x : α), ↑(w x) ∂μ < ε / 2
f' : α → ℝ≥0∞ := fun x => ↑(f x + w x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fmeas : Measurable f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ε / 2 ≠ 0

Context: w : α → ℝ≥0

Context: wpos : ∀ (x : α), 0 < w x

Context: wmeas : Measurable w

Context: wint : ∫⁻ (x : α), ↑(w x) ∂μ < ε / 2

Context: f' : α → ℝ≥0∞ := fun x => ↑(f x + w x)

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: le_g : ∀ (x : α), f' x ≤ g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f' x ∂μ + ε / 2


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ : Con M
r : M → M → Prop
c : Con M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y


sInf {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y} ≤ c


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX'.prod eY').source.Nonempty

eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
g : β → γ

(image g (image f s)).val = (image (g ∘ f) s).val


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
hr : o < type r


{ α := β, r := s, wo := inst✝ } ≈ { α := α, r := r, wo := inst✝¹ }


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint t

∏ x ∈ s.biUnion t, f x = ∏ x ∈ s, ∏ i ∈ t x, f i


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)

Context: hS : IsField S


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this : Nontrivial S


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝ : Nontrivial S

Context: this : Nontrivial R


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝ : Nontrivial S

Context: this : Nontrivial R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝ : Nontrivial S

Context: this : Nontrivial R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: a_inv : S

Context: ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝¹ : Nontrivial S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: a_inv : S

Context: ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1

Context: this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝¹ : Nontrivial S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: a_inv : S

Context: ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Ring B

Context: inst✝⁹ : CommRing S✝

Context: inst✝⁸ : CommRing T

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: hS : IsField S

Context: this✝¹ : Nontrivial S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: a_inv : S

Context: ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0

(aeval ((algebraMap R S) a)) p.reverse = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₂ : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂

Context: inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: inst✝ : Φ.HasRightResolutions

Context: X₂ : D₂

Context: this : L₂.EssSurj

Context: R : Φ.RightResolution (L₂.objPreimage X₂)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
A : Finset α

A ∈ 𝒜 → A ∈ powersetCard r univ ↔ A ∈ ↑𝒜 → A.card = r


Context: cs₁ cs₂ : List Char

utf8Len (cs₁.reverseAux cs₂) = utf8Len cs₁ + utf8Len cs₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t

∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsOpen ∅
disj : Disjoint ∅ t

∃ f u, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₃ : IsOpen ∅
disj : Disjoint s ∅

∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ ∅, u < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b

∃ f u, (∀ a ∈ s✝, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, 0 a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ 0 b
hf : IsOpenMap ⇑0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, 0 < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ 0
hf : IsOpenMap ⇑0


Context:
α : Type u
n : ℕ

finRange n.succ = 0 :: map Fin.succ (finRange n)


Context:
α : Type u
n : ℕ

map Fin.val (finRange n.succ) = map Fin.val (0 :: map Fin.succ (finRange n))


Context:
α : Type u
n : ℕ

0 :: map (Nat.succ ∘ Fin.val) (finRange n) = 0 :: map (Fin.val ∘ Fin.succ) (finRange n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
h : b ∉ s

(insert b s).gcd f = GCDMonoid.gcd (f b) (s.gcd f)


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n


MulOpposite.op ((∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y)) = MulOpposite.op (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m)


(MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

Context: this : ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

(MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R

↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s))


Context: S : ShortComplex Ab

S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles


Context: S : ShortComplex Ab

Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

Context: hxy : ¬x * y = 0

x.orderTop + y.orderTop ≤ (x * y).orderTop


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

Context: hxy : ¬x * y = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: J : Ideal A

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hjf : f j ≠ 0

Context: I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f

∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: J : Ideal A

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hjf : f j ≠ 0

Context: hI0 : I ≠ 0


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p₁ -ᵥ p = p₂ -ᵥ p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p

volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0

Context: nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
H : Subgroup G
hH : IsCompact ↑H
t : Set G
ht : IsClosed t


⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ H), (fun x_1 => x_1 * ↑⟨x, hx⟩) '' t = ⋃ a ∈ ↑H, (fun x => x * a) '' t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'

↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))


(fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹² : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E''

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E'

Context: h_comp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a = (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹² : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E''

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E'

Context: h_comp : ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹² : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E''

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E'

(fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᶠ[ae μ] fun a => (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ✝ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ✝ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : τ s = 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ✝ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : τ s = 0

∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' (f ⁻¹' s)) ∂μ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: hi : ∀ J ∈ π₁, πi₁ J = πi₂ J

Context: J : Box ι


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: hi : ∀ J ∈ π₁, πi₁ J = πi₂ J

Context: J : Box ι

(∃ J' ∈ π₁, J ∈ πi₁ J') ↔ ∃ J' ∈ π₁, J ∈ πi₂ J'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set (Set β)


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α

Tendsto (fun x => f (rexp x)) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] 0) l


Tendsto (fun x => f (rexp x)) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ rexp) atBot l


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I : Ideal R[X]

Context: x : R

Context: x✝ : ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑0 ∧ p.leadingCoeff = x

Context: p : R[X]

Context: hpI : p ∈ I

Context: hpdeg : p.degree ≤ ↑0

Context: hpx : p.leadingCoeff = x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hxy : JoinedIn F x y
hyz : JoinedIn F y z


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hxy : JoinedIn F x y
hyz : JoinedIn F y z
hx : x ∈ F
hy : y ∈ F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hxy : JoinedIn F x y
hyz : JoinedIn F y z
hx✝ : x ∈ F
hy✝ hx : y ∈ F
hy : z ∈ F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hx✝¹ : x ∈ F
hy✝¹ : y ∈ F
hy✝ : z ∈ F
hxy : Joined ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩
hyz : Joined ⟨y, ⋯⟩ ⟨z, ⋯⟩
hx✝ : x ∈ F
hx : y ∈ F
hy : z ∈ F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

([a] ++ l).sublists = do let x ← l.sublists [x, a :: x]


(do let x ← l.sublists map (fun x_1 => x_1 ++ x) [a].sublists) = do let x ← l.sublists [x, a :: x]


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: this : ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable

Context: hs : s ⊆ ⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable

⋃ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable

∀ i ∈ r, (fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable

Context: i : ↑s

Context: hi : i ∈ r

(fun x => interior (U ↑x ⋯)) i ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs✝ : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: r : Set ↑s

Context: hr : r.Countable

Context: i : ↑s

Context: hi : i ∈ r

U ↑i ⋯ ⊆ ⋃ x ∈ r, U ↑x ⋯


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: t s : ℝ

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f volume t₁ t₂

∫ (x : ℝ) in t..s + T, f x = (∫ (x : ℝ) in t..s, f x) + ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

i + j = n ∧ j ≤ k ↔ ∃ a, a + j = k ∧ a + (n - k) = i


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
hi : i + j = n ∧ j ≤ k


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

(∃ a, a + j = k ∧ a + (n - k) = i) → i + j = n ∧ j ≤ k


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t

variationOnFromTo (f ∘ φ) t x y = variationOnFromTo f (φ '' t) (φ x) (φ y)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s : Set α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : y ≤ x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
h : 𝟙 S.rightHomologyData.H = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝¹ x✝ : α

x✝ ⋖ x✝¹ ↔ x✝¹ ⋖ x✝


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: hs : ∀ π ∈ {π₁, π₂}, π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: hs : ∀ π ∈ {π₁, π₂}, (π.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: h₁ : (π₁.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion

Context: h₂ : (π₂.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π₁.boxes


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π₂.boxes


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E


ContDiffOn 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (?m.449353 ⁻¹' univ) ↔ ContDiffOn 𝕜 n f univ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g

UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c✝ : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m✝ : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: c : 𝕜'

Context: m : (i : ι) → E i

‖(c • f) m‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c✝ : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m✝ : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: c : 𝕜'

Context: m : (i : ι) → E i

‖c‖ * ‖f m‖ ≤ ‖c‖ * (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
h : t.WellFoundedOn r'
hle : r ≤ r'
hst : s ⊆ t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : WellFounded fun a b => r' a b ∧ a ∈ t ∧ b ∈ t

Context: hle : r ≤ r'

Context: hst : s ⊆ t

WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s


Context:
p n k : ℕ
h : n < p
hnk : ¬n < k


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
s : Set R[X]
hs : s.Finite
contra : Submodule.span R s = ⊤
n : ℕ
hn : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n