Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe)


∀ (x : α →ᵇ β), 𝓝 x = comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) x))


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β
l : Filter (α →ᵇ β)

l ≤ 𝓝 f ↔ l ≤ comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) f))


TendstoUniformly (fun i => ⇑(id i)) (⇑f) l ↔ TendstoUniformly (⇑UniformFun.toFun ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (UniformFun.toFun ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) f)) l


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm

MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p)) (Measure.pi μ) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

MeasurePreserving (⇑e) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i)) (Measure.pi μ)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (⇑e) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i))) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: this : ⇑e ⁻¹' univ.pi s = (univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ univ.pi fun i => s ↑i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(∏ i : Subtype p, (μ ↑i) (s ↑i)) * ∏ i : { i // ¬p i }, (μ ↑i) (s ↑i) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G × G


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K) ≫ K.iCycles j = (K.sc' i j k).iCycles


(K.sc' i j k).iCycles ≫ ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K).τ₂ = (K.sc' i j k).iCycles


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: t : Set α

Context: ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a

Context: g : ULift.{u, v} ι → Set (ULift.{v, u} α) := (fun x => ULift.down ⁻¹' x) ∘ f ∘ ULift.down

Context: l' : Filter (ULift.{u, v} ι) := Filter.map ULift.up l

Context: this : l'.NeBot


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: t : Set α

Context: ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a

Context: this : l'.NeBot

∀ x ∈ ULift.down ⁻¹' t, ∀ᶠ (i : ULift.{u, v} ι) in l', x ∈ g i


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: t : Set α

Context: ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a

Context: this : l'.NeBot

∀ (i : ULift.{u, v} ι), #↑(g i) ≤ lift.{v, u} a


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F


(ofPowerSeries ℤ F) PowerSeries.X = (single 1) 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

mixedEmbedding.norm x ≠ 0 ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

¬mixedEmbedding.norm x ≠ 0 ↔ ¬∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0

ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume = volume


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
p q : ℚ

volume (Ioo ↑p ↑q) = (ofReal |a| • Measure.map (fun x => a * x) volume) (Ioo ↑p ↑q)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h✝ : a ≠ 0
p q : ℚ
h : a < 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h✝ : a ≠ 0
p q : ℚ
h : a > 0


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R

Context: inst✝¹³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module R M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: f✝ f'✝ : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: M₁'' : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (M₁'' i)

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: f : (i : ι) → M₁ i ≃ₗ[R] M₁' i

Context: f' : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i := fun i => ↑(f i)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: this : Nonempty { a // a ∈ x.lifts } := nonempty_subtype.mpr (nonempty_lifts x)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ⨅ i, (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑i * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

∀ (x_1 : ↑x.lifts), ‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑x_1 * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp : p ∈ x.lifts

‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp⟩ * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

Context: hp : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum = x

‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp✝⟩ * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

‖(↑(List.map (⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p)).sum‖ ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp✝⟩ * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

(Multiset.map (fun x => ‖x‖) ↑(List.map (⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p)).sum ≤ (List.sum ∘ List.map fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ↑⟨p, hp✝⟩ * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

(List.map ((fun x => ‖x‖) ∘ ⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum * ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

(List.map ((fun x => ‖x‖) ∘ ⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p).sum ≤ (List.map (fun x => ‖f‖ • x) (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p)).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (List.map ((fun x => ‖x‖) ∘ ⇑(lift f.toMultilinearMap) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[𝕜] (i : ι), x.2 i) p) (List.map (fun x => ‖f‖ • x) (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

∀ (a : 𝕜) (b : (i : ι) → E i), (a, b) ∈ p → ‖a • f fun i => b i‖ ≤ ‖f‖ * (‖a‖ * ∏ x : ι, ‖b x‖)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

Context: a : 𝕜

Context: m : (i : ι) → E i

Context: a✝ : (a, m) ∈ p

‖a • f fun i => m i‖ ≤ ‖f‖ * (‖a‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: hp✝ : p ∈ x.lifts

Context: a : 𝕜

Context: m : (i : ι) → E i

Context: a✝ : (a, m) ∈ p

‖a‖ * ‖f fun i => m i‖ ≤ ‖a‖ * (‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖)


Context:
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥
x✝ : M₁
hx : B.flip x✝ = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B = ⊥
x✝¹ : M₁
hx : B.flip x✝¹ = 0
x✝ : M₁


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S

(IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r) = RingHom.id S


((IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r)).comp (algebraMap R S) = (RingHom.id S).comp (algebraMap R S)


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸✝ : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁹ : NormedRing 𝔸✝

Context: inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸✝

Context: inst✝⁷ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝔸✝

Context: ι : Type u_4

Context: 𝔸 : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedRing (𝔸 i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAlgebra 𝕂 (𝔸 i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (𝔸 i)

Context: x : (i : ι) → 𝔸 i

Context: j : ι

Context: xj : 𝔸 j

Context: i : ι

Function.update (exp 𝕂 x) j (exp 𝕂 xj) i = exp 𝕂 (Function.update x j xj) i


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸✝ : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁹ : NormedRing 𝔸✝

Context: inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸✝

Context: inst✝⁷ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝔸✝

Context: ι : Type u_4

Context: 𝔸 : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedRing (𝔸 i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (𝔸 i)

Context: x : (i : ι) → 𝔸 i

Context: j : ι

Context: xj : 𝔸 j

Context: i : ι

Function.update (fun i => exp 𝕂 (x i)) j (exp 𝕂 xj) i = exp 𝕂 (Function.update x j xj i)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)

Disjoint (fromEdgeSet s) G ↔ Disjoint s G.edgeSet


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible D

IsUnit (fromBlocks A B C D) ↔ IsUnit (A - B * ⅟D * C)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


(fun x x_1 => x ≤ x_1) (‖f x‖ / ‖g x‖) c


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁✝ : b ≤ 1
hb₁ : b < 1


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hb₀ : 0 < 1
hb₁ : 1 ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
x : Fin n → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ

StrongConvexOn s m f ↔ ConvexOn ℝ s fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝³ y✝ : E
f : E → ℝ
x✝² : Convex ℝ s
x : E
x✝¹ : x ∈ s
y : E
x✝ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (fun r => m / 2 * r ^ 2) ‖x - y‖ ↔ (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) (a • x + b • y) ≤ a • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) x + b • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) y


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A
y x✝ : σ → A
i✝ : σ

(aevalTower (Algebra.ofId S A) x✝) (X i✝) = (aeval x✝) (X i✝)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧

trunc n (↑(trunc n f) * ↑(trunc n g)) = trunc n (f * g)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0

Real.sin (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
u : M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S
this : CompleteSpace ↥S


(L.toLinearMap ∘ₗ ↑(orthogonalProjection S) + ((LinearMap.range L.toLinearMap)ᗮ.subtypeₗᵢ.comp ((stdOrthonormalBasis 𝕜 ↥Sᗮ).repr.trans ((stdOrthonormalBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range L.toLinearMap)ᗮ).reindex (finCongr ⋯)).repr.symm).toLinearIsometry).toLinearMap ∘ₗ ↑(orthogonalProjection Sᗮ)) ↑s = L.toLinearMap s


Context: α : Type u_1

Context: sel : Set α → Option α

Context: h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: a : α

enumerate sel s (n + 1) = some a → a ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
U : Set E

U ∈ 𝓝 x ↔ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
h₀ : ∀ (x : M), g x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
d : ℝ≥0∞

s.einfsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < d


Context: m : ℕ∞


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y✝
inst✝ : TopologicalSpace Z
p✝ : X → Prop
Y : Type u_5
p : X → Prop
l : Filter Y
f : Y → Subtype p
a : X
ha : p a

Tendsto f l (𝓝 ⟨a, ha⟩) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑⟨a, ha⟩)


Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑⟨a, ha⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set α
a b : α
inst✝ : Preorder α

IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) {a} ∧ IsGreatest {a} a


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: inst✝ : IsIso g

Context: H : P (f ≫ g)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: inst✝ : IsIso g

Context: H : P (f ≫ g)

f = (asIso g).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (f ≫ g)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hι : #ι < c.cof


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ = c * μ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

Context: h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

Context: ht : MeasurableSet t


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

Context: ht : MeasurableSet t

Context: ω : Ω

Context: hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω

Context: hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1

(μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

Context: ht : MeasurableSet t

Context: ω : Ω

(((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = ⊤) ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k


(∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k


Context:
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 4 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W a : Submodule R M
a✝ : Submodule R (Module.Dual R M)

(⇑OrderDual.toDual ∘ dualAnnihilator) a ≤ OrderDual.toDual a✝ ↔ a ≤ (dualCoannihilator ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (OrderDual.toDual a✝)


a✝ ≤ a.dualAnnihilator ↔ a ≤ a✝.dualCoannihilator


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι

b.equivFun (b i) j = if i = j then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : f ≫ g = h ≫ G.map k

F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: c : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).obj₁ ⟶ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).obj₁

Context: hc₁ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₁ ≫ b.unop = c ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₁

Context: hc₂ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃

Context: hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop

Context: hc₂ : (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop) ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: hc₂ : ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop) ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: hc₂ : (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

(T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a).unop = (c.op ≫ T₂.mor₃).unop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

(shiftFunctor C 1).map (T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a).unop = (shiftFunctor C 1).map (c.op ≫ T₂.mor₃).unop


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

(shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop = (((shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (a ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁)).unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C 1).obj (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ 1).obj T₂.obj₁))))).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f
s : Multiset β


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Surjective f
x : β
s : Multiset β
ih : ∃ a, map f a = s


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2

(χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Fintype R
R' : Type v
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : IsDomain R'
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
F' : Type u_2
inst✝¹ : Field F'
inst✝ : Fintype F'
χ : MulChar F F'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F
hch₂ : ringChar F' ≠ 2
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hc' : Fintype.card F' = ringChar F' ^ ↑n'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁

Context: FF' : Type u_2 := CyclotomicField ψ.n F'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

(algebraMap F' FF') ((χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2)) = (algebraMap F' FF') (χ ↑(Fintype.card F'))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

((algebraMap F' FF') (χ (-1)) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (algebraMap F' FF') (χ (↑(ringChar FF') ^ ↑n'))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

((χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (ringChar FF' ^ ↑n' / 2) = (χ.ringHomComp (algebraMap F' FF')) (↑(ringChar FF') ^ ↑n')


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF'))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : IsDomain R'

Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field F'

Context: inst✝ : Fintype F'

Context: χ : MulChar F F'

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: hχ₂ : χ.IsQuadratic

Context: hch₁✝ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hch₂ : ringChar F' ≠ 2

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: n' : ℕ+

Context: hp' : Nat.Prime (ringChar F')

Context: ψ : PrimitiveAddChar F F' := FiniteField.primitiveChar F F' hch₁✝

Context: hch₁ : IsUnit ↑(ringChar FF')

Context: hchar : ringChar F' = ringChar FF'

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime (ringChar F'))

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF'))


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

x ≤ y ∨ ¬x ≤ y


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y

frontier (univ ×ˢ s) = univ ×ˢ frontier s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), IsBlock G (B i)
hι : ¬IsEmpty ι


∀ (g : G), g • ⋂ i, B i = ⋂ i, B i ∨ Disjoint (g • ⋂ i, B i) (⋂ i, B i)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
ι : Type u_3
B : ι → Set X
hB : ∀ (i : ι), IsBlock G (B i)
hι : ¬IsEmpty ι
g : G

g • ⋂ i, B i = ⋂ i, B i ∨ Disjoint (g • ⋂ i, B i) (⋂ i, B i)


⋂ i, g • B i = ⋂ i, B i ∨ Disjoint (⋂ i, g • B i) (⋂ i, B i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α

(comap Prod.fst f).NeBot ↔ f.NeBot ∧ Nonempty β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
h✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
h✝ : Nonempty β


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ≥0)

φ.realContinuousMapOfNNReal ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f) = φ f


φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal - φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ f


φ ({ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ f


φ (-{ toFun := toReal, continuous_toFun := continuous_coe }.comp f).toNNReal = φ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s t : Set α
hs : AnalyticSet s
ht : AnalyticSet t
h : Disjoint s t


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: s t : Set α

Context: hs : s = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ range f = s

Context: ht : t = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ range f = t

Context: h : Disjoint s t


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : (ℕ → ℕ) → α
f_cont : Continuous f
g : (ℕ → ℕ) → α
g_cont : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β

(∀ (i' : ℝ≥0∞), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ


(∀ (i' : ℝ≥0∞), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} → (a, b) ∈ {p | edist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, edist (f a) (f b) < ε → edist a b < δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E E
v : Fin 0 → E


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F

(fun x => (x, y)) '' openSegment 𝕜 x₁ x₂ = openSegment 𝕜 (x₁, y) (x₂, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x₁ x₂ : E

Context: y : F

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}
hu : s' ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
this : DecidableEq α
s' : Finset α := {a, b}
hu : s' ⊆ s
hf : ∀ c ∈ s, c ∉ s' → f c = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: p : YonedaCollection F Y

(map₂ F f p).yonedaEquivFst = A.map f.op p.yonedaEquivFst


Context:
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
β : α → Type u_3
inst✝ : Fintype α

Nat.card ((a : α) → β a) = ∏ a : α, Nat.card (β a)


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
this : Module.Free F ↥⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x✝ x : E

x ∈ support (fderiv 𝕜 f) → x ∈ tsupport f


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = y * f y

Context: hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y

Context: hf_one : f 1 = 1


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)

Context: hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y

Context: hf_one : f 1 = 1


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)

Context: hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y

Context: hf_one : f 1 = 1

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)

Context: hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y

Context: hf_one : f 1 = 1

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

Context: e1 : Tendsto (BohrMollerup.logGammaSeq x) atTop (𝓝 ((log ∘ f) x - (log ∘ f) 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ f)

Context: hf_pos : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → 0 < f y

Context: hf_one : f 1 = 1

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

∀ {y : ℝ}, 0 < y → (log ∘ f) (y + 1) = (log ∘ f) y + log y


Context:
c : Char
it : Iterator
h : it.Valid


Context:
c : Char
it : Iterator
h✝ : it.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l r it


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
a : R
k : ℕ


Context:
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℕ

(fun z => z ^ m * cexp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * cexp (↑b₂ * z)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
b : β


Context:
f : Char → Char
cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.modify { byteIdx := utf8Len cs } f = { data := cs ++ List.modifyHead f cs' }


Context:
f : Char → Char
cs cs' : List Char

{ data := cs ++ List.modifyHead (fun x => f (cs'.headD default)) cs' } = { data := cs ++ List.modifyHead f cs' }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E


(∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀) ↔ M.Base B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
x✝ : ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
J : Set α
hJ : M.Base J
hIJ : f '' B = f '' J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E
x✝ : ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
J : Set α
hJ : M.Base J
hIJ : B = J


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y Z✝ X Z : C


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
inst✝ : AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c d : E

convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) (segment 𝕜 c d) = (convexHull 𝕜) {a, b, c, d}


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.57581, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.57588, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.57595, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.57647, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α✝ α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ℱ.obj X

(ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x = ((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x


∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : G.obj Y_1 ⟶ unop Y), ℱ'.val.map f_1.op ((ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x) = ℱ'.val.map f_1.op (((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.57581, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.57588, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.57595, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.57647, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α✝ α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ℱ.obj X
Y' : C
f' : G.obj Y' ⟶ unop Y

ℱ'.val.map f'.op ((ℱ.map f ≫ (fun X => appHom α (unop X)) Y) x) = ℱ'.val.map f'.op (((fun X => appHom α (unop X)) X ≫ ℱ'.val.map f) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ

Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[≥] 0) (𝓝 (μ {b}))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ
s : Set ℝ≥0∞
hs : s ∈ 𝓝 (μ {b})


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0

(map ι f) (rayOfNeZero R g hg) = rayOfNeZero R g hg


rayOfNeZero R (g.compLinearMap ↑f.symm) ⋯ = rayOfNeZero R g hg


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : IsEmpty ι
f : M ≃ₗ[R] M
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0
i : ι → M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
x : E

iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) (fun x => c) x = 0 x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h✝ e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h✝ e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
hn : μ = ↑n
h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h✝ e f : L

Context: m : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h✝ e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

Context: hn : μ = ↑n

Context: h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0

Context: this : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m) (↑n - 2 * (↑n + 1))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h✝ e f : L

Context: m✝ : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h✝ e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

Context: hn : μ = ↑n

Context: h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝ = 0

Context: this : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝) (↑n - 2 * (↑n + 1))

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑n - 2 * (↑n + 1) = ↑m


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h✝ e f : L

Context: m✝ : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h✝ e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

Context: hn : μ = ↑n

Context: h : ¬((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝ = 0

Context: this✝ : t.HasPrimitiveVectorWith (((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m✝) (↑n - 2 * (↑n + 1))

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑n - 2 * (↑n + 1) = ↑m

Context: this : ↑n < ↑m + 2 * (↑n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
hf : Continuous f
x✝ b : α
hab : x✝ ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
hf : Continuous f
x✝ b : α
hab : x✝ ≤ b
h : ¬f x✝ ≤ f b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
g : G →L[𝕜] E

IsBoundedLinearMap 𝕜 fun f => f.compContinuousLinearMap fun x => g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: g : G →L[𝕜] E

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => E) F

‖f.compContinuousLinearMap fun x => g‖ ≤ ‖g‖ ^ Fintype.card ι * ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: g : G →L[𝕜] E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: g : G →L[𝕜] E

∀ (m : ι → G), ‖(f.compContinuousLinearMap fun x => g) m‖ ≤ ‖g‖ ^ Fintype.card ι * ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: g : G →L[𝕜] E

Context: m : ι → G

‖(f.compContinuousLinearMap fun x => g) m‖ ≤ ‖g‖ ^ Fintype.card ι * ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 5 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (last 4) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)

Context: t : Set Ω

Context: h_indep : IndepSet t t κ μα

∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: h_indep : IndepSet t t κ μα

Context: a : α

Context: h_0_1_top : (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: hf : Integrable f μ

Context: h_int : Integrable (llr μ ν) μ

Context: hfμ : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

Context: hfν : AEMeasurable f ν


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: hf : Integrable f μ

Context: h_int : Integrable (llr μ ν) μ

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Integrable (fun x => f x - log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + llr μ ν x) μ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α


(𝓤 α).lift' (ball a) ≤ (𝓤 α).lift' (ball a)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra

(LieModule.traceForm R (↥H) L).Nondegenerate


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : Rˣ

(x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E

x ∈ (convexHull 𝕜) s ↔ ∀ (t : Set E), s ⊆ t → Convex 𝕜 t → x ∈ t


Context:
h : IsField ℤ
a : ℤ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici

Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: k : ℕ

Context: ih : lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) k = baseChange A (lowerCentralSeries R L M k)

lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) (k + 1) = baseChange A (lowerCentralSeries R L M (k + 1))


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233529}
x : α


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true


Partrec fun a => Part.assert (f a = true) fun x => Part.some ()


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
n : α
a : Unit

(a ∈ bif f n then Part.some () else Part.none) ↔ a ∈ Part.assert (f n = true) fun x => Part.some ()


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥


(∃ n H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}

Context: h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: i : ι

Context: r : R

Context: hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: i : ι

Context: r : R

Context: hv : Disjoint (Submodule.span R {v i}) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), Submodule.span R {v j})


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: i : ι

Context: r : R

Context: hv : Submodule.span R {v i} ⊓ Submodule.span R (Set.range fun i_1 => v ↑i_1) = ⊥


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: i : ι

Context: r : R

Context: this : r • v i ∈ ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ (∃ i, IsEmpty (α i)) ∨ f = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
a b : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l (𝓝 b)
hy : b ≠ 0


Context:
x : ℂ
hx : x ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r

Context: x' : ℝ

Context: hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)

∀ y ∈ Icc x' (x' + s), ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε x r' : ℝ

Context: rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r

Context: x' : ℝ

Context: hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)

Context: A : Icc x' (x' + s) ⊆ Icc x (x + r')


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : α i

Context: p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

Context: q : (j : Fin (n + 1)) → α j

i.insertNth x p ≤ q ↔ x ≤ q i ∧ p ≤ fun j => q (i.succAbove j)


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : y ≤ 0


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : 0 < y


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : Semiring k
inst✝² : One G
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : OneHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
h₀ : edist x y ≠ 0
htop : edist x y ≠ ⊤
hr : edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F

HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: c : 𝕜 → 𝕜'

Context: c' : 𝕜'

Context: hc : HasDerivWithinAt c c' s x

Context: f : F

Context: this : HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
g : γ → α
x : Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ Option.map g x → p a

pmap f (Option.map g x) H = pmap (fun a h => f (g a) h) x ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ
a : α

a ∈ decode₂ α n ↔ a ∈ decode n ∧ encode a = n


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M

B.flip.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

cos (angle x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
o : Ordinal.{u}
h : o < ω


Context:
o : Ordinal.{0}
h' : o < type fun x x_1 => x < x_1
h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω


(typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')).card < ℵ₀


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S T : StarSubalgebra R A
h : S.toSubalgebra = T.toSubalgebra
x : A


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ

integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ

Context: h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ

Context: h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y

(∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal ((X * Y) a) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ).toReal * (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ

Context: h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y

(∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal = ((∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ

Context: h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y

∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hXp : 0 ≤ X

Context: hYp : 0 ≤ Y

Context: hXm : AEMeasurable X μ

Context: hYm : AEMeasurable Y μ

Context: h3 : AEMeasurable (X * Y) μ

Context: h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y

IndepFun (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ


Context:
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toNatLinearMap = g.toNatLinearMap
x : M


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ : M
X : C

(F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (λ_ m₂).hom).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.obj m₂).map ((F.map (ρ_ m₁).inv).app X)


(F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.obj m₂).map (F.εIso.inv.app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (ρ_ m₁).inv).app X)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

Context: h₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.Iic n }) 𝕜 (f ∘ Subtype.val)

Context: h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: n : ι

Context: h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0

Context: h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: n : ι

Context: h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0

Context: h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)

Context: h₂ : (f ∘ Subtype.val) ⟨n, ⋯⟩ ∈ span 𝕜 (f ∘ Subtype.val '' Set.Iio ⟨n, ⋯⟩)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a✝ : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: a : Aˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
f f' : α → β
hf : ∀ a ∈ m, f a = f' a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f g : β × γ → E

Context: F : E → ℝ≥0∞

Context: hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: a✝ : β

Context: h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))

Context: h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))

F (∫ (y : γ), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) - ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)


MeasurableSet {x | HasFiniteIntegral (f x) ν}


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k

∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
P : K[X]
k✝ : ℕ
sep : P.Separable
nil : minpoly K f ∣ P ^ k✝
ff : ↥(adjoin K {f}) := ⟨f, ⋯⟩
P' : K[X] := derivative P
nil' : IsNilpotent ((aeval ff) P)
sep' : IsUnit ((aeval ff) P')
s : End K V
mem : s ∈ adjoin K {f}
hss : (aeval ⟨s, mem⟩) P = 0
k : ℕ
hk : (ff - ⟨s, mem⟩) ^ k = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y : α
r : ℝ
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ

dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ dist x (f x) * ↑K ^ n


dist (f^[n] x) ((f^[n] ∘ f) x) ≤ ↑K ^ n * dist x (f x)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W


cs.lengthParity (t * w) ≠ cs.lengthParity w


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w✝ w : W
i : B

cs.lengthParity (w * cs.simple i * w⁻¹ * w✝) ≠ cs.lengthParity w✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
d : ℝ≥0∞

diam s ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist x y ≤ d


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃
h₁₃ : X₁₁ ⟶ X₁₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPullback h₁₃ v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂)
t : IsPullback h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂

h₁₃ ≫ v₁₃ = (v₁₁ ≫ h₂₁) ≫ h₂₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a b : α
d : αˣ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : a ∣ b