Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

ClusterPt x F ↔ (F.lift' closure ⊓ pure x).NeBot


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : ∀ a < o, succ a < o


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w✝ : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: w w' : InfinitePlace K

Context: h : w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w✝ : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: w w' : InfinitePlace K

Context: h : w.embedding.comp (algebraMap k K) = w'.embedding.comp (algebraMap k K) ∨ ComplexEmbedding.conjugate (w.embedding.comp (algebraMap k K)) = w'.embedding.comp (algebraMap k K)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E

x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x


(∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1

s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < (⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ) + ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < ⨆ i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x, (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), ∃ b < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε, ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε

Context: hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

(SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

Context: this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

(SimpleFunc.map ofNNReal (φ + (ψ - φ))).lintegral μ < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

Context: x : α

↑(↑(φ + (ψ - φ)) x) ≤ max ↑(↑φ x) ↑(↑ψ x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

Context: x : α


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
h : ζ ^ ↑k = 1


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ι : Type u_2
a b : ℝ
f : ι → ℂ
s : Finset ι
ha₀ : 0 ≤ a
ha : ↑a = ∑ i ∈ s, f i
hb : b = ∑ i ∈ s, ‖f i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: n : ℤ

Context: t : ℝ

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable f volume t₁ t₂

∫ (x : ℝ) in t..t + n • T, f x = n • ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: n : ℤ

Context: t : ℝ

∫ (x : ℝ) in 0 ..n • T, f x = n • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, f x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

nonMemberSubfamily a (image (insert a) 𝒜) = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r

TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop (Metric.ball x ↑r')


f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x


Metric.ball x ↑r' = (fun y => y - x) ⁻¹' Metric.ball 0 ↑r'


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup E

Context: f x : (i : ι) → π i

Context: r : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: a : E


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R

X * (monomial n) r = (monomial (n + 1)) r


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: a b✝ : ℚ

Context: nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a, b := b✝ }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: a b✝ : ℚ


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Groupoid G

Context: inst✝² : IsFreeGroupoid G

Context: T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))

Context: inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)

Context: X : Type ?u.22662

Context: inst✝ : Monoid X

Context: f : End (IsFreeGroupoid.SpanningTree.root' T) →* X

Context: a : G

f (treeHom T a ≫ 𝟙 a ≫ inv (treeHom T a)) = 𝟙 ()


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Groupoid G

Context: inst✝² : IsFreeGroupoid G

Context: X : Type ?u.22662

Context: inst✝ : Monoid X

Context: X✝ Y✝ Z✝ : G

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun x => (), map := fun {X_1 Y} p => f (loopOfHom T p) }.map (f✝ ≫ g✝) = { obj := fun x => (), map := fun {X_1 Y} p => f (loopOfHom T p) }.map f✝ ≫ { obj := fun x => (), map := fun {X_1 Y} p => f (loopOfHom T p) }.map g✝


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Groupoid G

Context: inst✝² : IsFreeGroupoid G

Context: X : Type ?u.22662

Context: inst✝ : Monoid X

Context: X✝ Y✝ Z✝ : G

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun x => (), map := fun {X_1 Y} p => f (loopOfHom T p) }.map (f✝ ≫ g✝) = f (loopOfHom T g✝ * loopOfHom T f✝)


Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

fderivWithin 𝕜 (fun y => c - f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b : α
p : G.Walk a✝ b
hG : G.IsHamiltonian
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p✝ : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
w✝ : α
p : G.Walk w✝ w✝
hp : p.IsHamiltonianCycle


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p✝ : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
w✝ : α
p : G.Walk w✝ w✝
hp : p.IsHamiltonianCycle
a_mem : a ∈ p.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a✝ b✝ : α
p✝ : G.Walk a✝ b✝
hG : G.IsHamiltonian
a b : α
hab : a ≠ b
this : Nontrivial α
w✝ : α
p : G.Walk w✝ w✝
hp : p.IsHamiltonianCycle
a_mem : a ∈ p.support
b_mem : b ∈ p.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hG : G.IsHamiltonian
x✝ : IsEmpty α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

‖((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear) x✝‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

‖(lift x✝.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x y : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) (x + y)) x✝ = ((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) x + (fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) y) x✝


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: a : 𝕜

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

({ toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • x)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x) x✝


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
s : Finset G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α

WithBot.map (⇑toDual) s.max = (image (⇑toDual) s).min


WithBot.map (⇑toDual) s.max = s.inf (WithTop.some ∘ ⇑toDual)


Context: S : SSet

Context: filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 3)

Context: σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S

Context: h₀ : 0 < i

Context: hₙ : i < Fin.last (n + 2)

Context: σ : S _[n + 2]

Context: h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)

σ₀ = hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ


Context: S : SSet

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 3)

Context: σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S

Context: h₀ : 0 < i

Context: hₙ : i < Fin.last (n + 2)

Context: σ : S _[n + 2]

∀ (j : Fin (n + 1 + 2)) (h : j ≠ i), σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h) = (hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)


Context: S : SSet

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 3)

Context: σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S

Context: h₀ : 0 < i

Context: hₙ : i < Fin.last (n + 2)

Context: σ : S _[n + 2]

Context: j : Fin (n + 1 + 2)

Context: hj : j ≠ i

σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j hj) = (hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j hj)


Context: S : SSet

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 3)

Context: σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S

Context: h₀ : 0 < i

Context: hₙ : i < Fin.last (n + 2)

Context: σ : S _[n + 2]

Context: j : Fin (n + 1 + 2)

Context: hj : j ≠ i

SimplicialObject.δ S j σ = ((hornInclusion (n + 2) i).app (Opposite.op [n + 1]) ≫ ((S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1])) (horn.face i j hj)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type u₁

Context: D : Type v₁

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Semiring C

Context: inst✝⁴ : Semiring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: φ : A →ₐ[R] B

Context: f : A →ₗ[R] B

Context: map_one : f 1 = 1

Context: map_mul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y

Context: c : R

(↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := map_one, map_mul' := map_mul, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R A) c) = (algebraMap R B) c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : β


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

Polynomial.map (MvPolynomial.map f) (univ R n) = univ S n


(of (Function.curry MvPolynomial.X)).charpoly = univ S n


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ


Context:
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : sin x = 0


Context:
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : x ≠ 0


Context: l : List Char


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝕜'

HasDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x


Context:
R✝ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
x✝ : M✝
p✝ p'✝ : Submodule R✝ M✝
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R✝ →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M✝ M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s t : Set M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x : M

x ∈ (p ⊔ p').toAddSubgroup ↔ x ∈ p.toAddSubgroup ⊔ p'.toAddSubgroup


(∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ p.toAddSubgroup, ∃ z ∈ p'.toAddSubgroup, y + z = x


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
x y : G.Subgraph
h✝ : x ≤ y
v w : ↑x.verts
h : (inclusion h✝) v = (inclusion h✝) w


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: x y : G.Subgraph

Context: h✝ : x ≤ y

Context: v w : ↑x.verts

Context: h : ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } v) = ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } w)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊥


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x

Context: n : ℕ

Context: hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

Context: this : (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) = fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z) x


Context:
α : Type u_1
as : List (Option α)
as' : List α


Context:
α : Type u_1
as✝ : List (Option α)
as' : List α
acc : Array α
as : List (Option α)

fillNonesTR.go (none :: as) [] acc = acc.data ++ (none :: as).fillNones []


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → α → β
comm : ∀ (x y : α), f x y = f y x
l l' : List α


zipWith (fun b a => f a b) l' l = zipWith f l' l


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂

∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : (f₂ ≫ k₁t) ≫ ts = (g₂ ≫ k₂t) ≫ ts


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : f₂ ≫ k₁t ≫ ts = g₂ ≫ k₂t ≫ ts


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f✝ g✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'

Context: x✝ : ℝ≥0

‖f.prod g‖₊ ≤ x✝ ↔ max ‖f‖₊ ‖g‖₊ ≤ x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U
s : Finset X
hsK : ∀ x ∈ s, x ∈ K
hKs : ⋃ x ∈ s, V x ∈ 𝓝ˢ K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x : List α
n : ℕ
hn : n < x.length
w✝ : List α


Context:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R

(M * N).det = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i


∑ x : Perm n, ∑ i : n → n, ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, M (x i_1) (i i_1) * N (i i_1) i_1 = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
f : n → n
x✝ : f ∈ univ
hbij : f ∉ filter Bijective univ


∑ τ : Perm n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (τ i) * N (τ i) i = ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n

(∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: M N : Matrix n n R

Context: σ : Perm n

Context: x✝ : σ ∈ univ

Context: τ : Perm n

Context: this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: M N : Matrix n n R

Context: σ : Perm n

Context: x✝ : σ ∈ univ

Context: τ : Perm n

Context: h : ↑↑(sign σ) * ↑↑(sign (τ * σ⁻¹)) = ↑↑(sign τ)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: M N : Matrix n n R

Context: σ : Perm n

Context: x✝ : σ ∈ univ

Context: τ : Perm n

(∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ x : n, M ((τ * σ⁻¹) x) x


∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign τ)) * ∏ i : n, M (τ i) i = M.det * N.det


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ u, a < u

𝓝[≥] a = ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Ico a u)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : Summable fun i => f i ^ p

Context: hg : Summable fun i => g i ^ p

Context: pos : 0 < p

Context: H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : Summable fun i => f i ^ p

Context: hg : Summable fun i => g i ^ p

Context: pos : 0 < p

Context: bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : Summable fun i => f i ^ p

Context: hg : Summable fun i => g i ^ p

Context: pos : 0 < p

Context: H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hq0 : 0 ≤ q
f g : α → ℝ≥0∞
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
hp0_inv_lt : 0 < 1 / p


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
inst✝ : Epi g
W : C
h k : t.pt ⟶ W
i : t.inl ≫ h = t.inl ≫ k


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: f f' : α → β

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)

Context: h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)

Context: h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)

Context: H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

Context: Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)

ContinuousOn (t.piecewise f f') (t.ite s s')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: f f' : α → β

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)

Context: h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)

Context: h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)

Context: H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

Context: Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)

∀ a ∈ t.ite s s' ∩ frontier t, f a = f' a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: f f' : α → β

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)

Context: h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)

Context: h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)

Context: H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

Context: Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: f f' : α → β

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (x ∈ t)

Context: h : ContinuousOn f (s ∩ closure t)

Context: h' : ContinuousOn f' (s' ∩ closure tᶜ)

Context: H : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

Context: Heq : EqOn f f' (s ∩ frontier t)

ContinuousOn f' (t.ite s s' ∩ closure tᶜ)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : N ≃[L] P
f g : M ≃[L] N
hfg : h.comp f = h.comp g
x : M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℤ
n : ℤ

s.prod % n = (map (fun x => x % n) s).prod % n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

∑ i : ι, f (σ i) • g i = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary (f ∘ ⇑σ) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
x : α
xs : List α
ys : List β

(suffixLevenshtein C (x :: xs) ys).val = levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: h : DifferentiableAt 𝕜 (fun f i' => f i') f → ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => x i) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra A K
inst✝⁹ : IsFractionRing A K
inst✝⁸ : Algebra B L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsGalois K L
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x = (algebraMap A B) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯)


(algebraMap B L) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯))


(algebraMap B L) (∏ σ : L ≃ₐ[K] L, ((galRestrict A K L B) σ) x) = ((algebraMap K L).comp (algebraMap A K)) (IsIntegralClosure.mk' A ((Algebra.norm K) ((algebraMap B L) x)) ⋯)


Context:
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂

polarBilin (QuadraticForm.baseChange A Q) = BilinMap.baseChange A (polarBilin Q)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu : IsUnit u✝
u : R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ : R

Context: hu : IsUnit u✝

Context: u : R

Context: P : Fin 3 → R

Context: hP : P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P : Fin 3 → R

Context: u : R

Context: hu : IsUnit u

Context: this : ∀ (u : R) {P : Fin 3 → R}, W'.Equation P → W'.Equation (u • P)

Context: h : W'.Equation (u • P)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
f : Equiv.Perm α

f ∈ closure {σ | σ.IsSwap} ↔ (fixedBy α f)ᶜ.Finite


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x : α

swap x (f x) ∈ closure fun x => ∃ x_1 y, x_1 ≠ y ∧ x = swap x_1 y


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ

legendreSym p (a * b) = legendreSym p a * legendreSym p b


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ
i j : ι
x✝ : i ≤ j

μ[(fun x => f) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (fun x => f) i


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY'' : IndepFun nX nY μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY'' : IndepFun nX nY μ

Context: hnX : AEMeasurable nX μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY'' : IndepFun nX nY μ

Context: hnX : AEMeasurable nX μ

Context: hnY : AEMeasurable nY μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY'' : IndepFun nX nY μ

Context: hnX : AEMeasurable nX μ

Context: hnY : AEMeasurable nY μ

Context: hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: hX : Integrable X μ

Context: hY : Integrable Y μ

Context: nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊

Context: nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

Context: hXY'' : IndepFun nX nY μ

Context: hnX : AEMeasurable nX μ

Context: hnY : AEMeasurable nY μ

(∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
x : X


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
hf : FactorsThrough g f
x : α

g x = (extend f g (const β (Classical.arbitrary γ)) ∘ f) x


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
h : ∃ e, g = e ∘ f
x✝¹ x✝ : α
hf : f x✝¹ = f x✝


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


(x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x = x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
h : a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : f.SameCycle x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : ¬f.SameCycle x y


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

IsCompact (GromovHausdorff.candidatesB X Y)


∀ (f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ) (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → f x ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: d : Dioph S

Context: f : (α → ℕ) →. ℕ

Context: df : DiophPFun f

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : v ∈ {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S ∩ {v | f.graph (v ∘ some, v none)}}

Context: x : ℕ

Context: hS : x ::ₒ v ∈ S

Context: h : ∃ (h : (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).get h = ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).2

v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: d : Dioph S

Context: f : (α → ℕ) →. ℕ

Context: df : DiophPFun f

Context: v : α → ℕ

Context: x : ℕ

Context: hS : x ::ₒ v ∈ S

Context: h : ∃ (h : (f (v, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (x ::ₒ v) none).2


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: d : Dioph S

Context: f : (α → ℕ) →. ℕ

Context: df : DiophPFun f

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}

Context: x : f.Dom v

Context: hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S

∃ (h : (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).2


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: d : Dioph S

Context: f : (α → ℕ) →. ℕ

Context: df : DiophPFun f

Context: v : α → ℕ

Context: x : f.Dom v

Context: hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S

∃ (h : (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).2


Context: a b c : ℤ

Context: h2 : ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → c.natAbs ≤ c1.natAbs

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2

∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → (-c).natAbs ≤ c1.natAbs


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
inst✝ : IsAntisymm α r
l₁ l₂ : List α
hp : l₁ <+~ l₂
hs₁ : Sorted r l₁
hs₂ : Sorted r l₂
w✝ : List α
h : w✝ ~ l₁
h' : w✝ <+ l₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

Context: h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source

ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

Context: x : E

ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

Context: x : E

(((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d


Context:
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ

∑ i ∈ range (n✝ + 1), x ^ i * y ^ (n✝ + 1 - 1 - i) = ∑ i ∈ range (n✝ + 1), y ^ i * x ^ (n✝ + 1 - 1 - i)


∑ r ∈ range (n✝ + 1), x ^ (n✝ - r) * y ^ (n✝ - (n✝ - r)) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)


Context:
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ i : ℕ
hi : i ∈ range (n✝ + 1)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
f : α → β
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

Multiset.map (Subtype.restrict p f) univ.val = Multiset.map f (filter p univ).val


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex k P n

Context: h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points

centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: n : ℕ

Context: s₁ s₂ : Simplex k P n

Context: h : s₁.points '' ↑univ = s₂.points '' ↑univ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞

∫⁻ (b : β), f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ ⊥.jacobson
y z : R
hz : z * y * x + z - 1 ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t

(condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
u : Set Ω
hs ht : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ ∅

(condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ + (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ = (condCount (∅ ∪ ∅)) u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
t u : Set Ω
ht : t.Finite
hs : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ t
ht' : t.Nonempty

(condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ t)) ∅ + (condCount t) u * (condCount (∅ ∪ t)) t = (condCount (∅ ∪ t)) u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : ∅.Finite
hst : Disjoint s ∅

(condCount s) u * (condCount (s ∪ ∅)) s + (condCount ∅) u * (condCount (s ∪ ∅)) ∅ = (condCount (s ∪ ∅)) u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty


(Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ s)) + (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ t)) = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)


Measure.count s * (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ + Measure.count t * (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: s : Set E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: s : Set E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: s : Set E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 F

Context: hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: s : Set E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: d : ℕ := finrank 𝕜 F

Context: hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)

Context: e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd

Context: e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: h : Injective ⇑(algebraMap R A)

Context: s : Set A

Context: hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: h : Injective ⇑(algebraMap R A)

Context: s : Set A

∀ (s_1 : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → range Subtype.val ≤ s_1 → range Subtype.val = s_1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: h : Injective ⇑(algebraMap R A)

Context: s : Set A

Context: t : Set A

Context: ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: hr : range Subtype.val ≤ t


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: h : Injective ⇑(algebraMap R A)

Context: s : Set A

Context: t : Set A

Context: ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: hr : s ≤ t


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R

φ ((eval₂Hom f g) p) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) p


φ ((eval₂Hom f g) p) = (φ.comp (eval₂Hom f g)) p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
h : PowerBasis R S
i✝ j✝ : Fin h.dim

(BilinForm.toMatrix h.basis) (traceForm R S) i✝ j✝ = of (fun i j => (trace R S) (h.gen ^ (↑i + ↑j))) i✝ j✝


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

derivWithin (fun y => c + f y) s x = derivWithin f s x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0


DifferentiableAt ℝ (fun z => 1 / log z) x


DifferentiableAt ℝ (fun z => (log z)⁻¹) x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u}


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Finite ι


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R

Context: g : ℕ → E := fun n => c • f n

Context: A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R

Context: g : ℕ → E := fun n => c • f n

Context: A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r

Context: x : E

Context: left✝ : x ∈ closedBall 0 r

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φmono : StrictMono φ

Context: φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R

Context: g : ℕ → E := fun n => c • f n

Context: A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r

Context: x : E

Context: left✝ : x ∈ closedBall 0 r

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φmono : StrictMono φ

Context: φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)

Context: B : CauchySeq (g ∘ φ)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R

Context: g : ℕ → E := fun n => c • f n

Context: A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r

Context: x : E

Context: left✝ : x ∈ closedBall 0 r

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φmono : StrictMono φ

Context: φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)

Context: B : CauchySeq (g ∘ φ)

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ (n : ℕ), N ≤ n → dist ((g ∘ φ) n) ((g ∘ φ) N) < ‖c‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: h : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: R : ℝ

Context: f : ℕ → E

Context: Rgt : 1 < R

Context: fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R

Context: rRpos : 0 < r / R

Context: c : 𝕜

Context: hc : 0 < ‖c‖ ∧ ‖c‖ < r / R

Context: g : ℕ → E := fun n => c • f n

Context: A : ∀ (n : ℕ), g n ∈ closedBall 0 r

Context: x : E

Context: left✝ : x ∈ closedBall 0 r

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φmono : StrictMono φ

Context: φlim : Tendsto (g ∘ φ) atTop (𝓝 x)

Context: B : CauchySeq (g ∘ φ)

Context: N : ℕ


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂

Context: hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num

Context: hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂

Context: hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num

Context: hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den

Context: hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den * ↑q₂.den)


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂

Context: hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num

Context: hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den

Context: hd₂ : m ∣ q₁.num * ↑q₂.den - q₂.num * ↑q₁.den


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: m : ℤ

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂

Context: hq1 : ↑q₁.num = ↑q₂.num

Context: hq2 : ↑q₁.den = ↑q₂.den

Context: hm₀ : ↑m ≠ 0


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hn : x₁.Numeric
h : IH24 x₁ x₂ y
he : x₁ ≈ x₂
i : x₁.LeftMoves
j : y.LeftMoves


⟦x₁.mulOption y i j⟧ = ⟦x₁.moveLeft i * y⟧ + ⟦x₂ * y.moveLeft j⟧ - ⟦x₁.moveLeft i * y.moveLeft j⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass β
s : Set β
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)

∫ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : x ∉ closure s


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaEven (-a) s = hurwitzZetaEven a s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y

LocallyCompactSpace X ↔ LocallyCompactSpace Y


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
m n : ℕ
f g : ℕ → α

(∑ i ∈ range (m + 1), f i) * ∑ i ∈ range (n + 1), g i = (∑ i ∈ range m, f i) * ∑ i ∈ range n, g i + f m * ∑ i ∈ range n, g i + (∑ i ∈ range m, f i) * g n + f m * g n


Context:
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b

(a * b).factorization p = a.factorization p + b.factorization p


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
val✝ : Fintype σ


FiniteDimensional.finrank K (R σ K) = FiniteDimensional.finrank K ((σ → K) → K)


Context:
p : ℕ
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CompatibleRing K


(K ⊨ if p = 0 then (fun q => ∼(eqZero q)) '' {q | Nat.Prime q} else if Nat.Prime p then {eqZero p} else {⊥}) ↔ CharP K p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b c : α
hab : Disjoint a b
hbc : Codisjoint b c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : n < ν


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
f : α → β
hcf : Continuous f
h : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b


(stoneCechExtend hcf ∘ stoneCechUnit) a = (stoneCechExtend hcf ∘ stoneCechUnit) b


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y t u v : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj t u

notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons h p) ⋯ = p


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t

diam (s ∪ t) ≤ diam s + edist x y + diam t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t

Context: h'a : a ∈ s

Context: h'b : b ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t

Context: h'a : a ∈ s

Context: h'b : b ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t

Context: h'a : a ∈ t

Context: h'b : b ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t

Context: h'a : a ∈ t

Context: h'b : b ∈ t


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C

a₁ + a₂₃ = a₁₂₃


(shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X = (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Multiset { a // Irreducible a }


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

Lagrange.basis {i, j} v j = basisDivisor (v j) (v i)


Lagrange.basis {j, i} v j = basisDivisor (v j) (v i)


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g
f : w.CostructuredArrowDownwards g

∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g), f = mk w g X₁ a b comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g✝ : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁ : C₁

Context: a : X₂ ⟶ T.obj X₁

Context: b : L.obj X₁ ⟶ X₃

Context: g : StructuredArrow X₂ T

Context: φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj g ⟶ StructuredArrow.mk g✝

∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝), CostructuredArrow.mk φ = mk w g✝ X₁ a b comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁✝ : C₁

Context: a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝

Context: b : L.obj X₁✝ ⟶ X₃

Context: comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b = g

Context: X₁ : C₁

Context: a : X₂ ⟶ T.obj X₁

Context: φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a) ⟶ StructuredArrow.mk g

∃ X₁_1 a_1 b, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b = g), CostructuredArrow.mk φ = mk w g X₁_1 a_1 b comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁✝ : C₁

Context: a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝

Context: b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃

Context: comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g

Context: X₁ : C₁

Context: a : X₂ ⟶ T.obj X₁

Context: b : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).right ⟶ (StructuredArrow.mk g).right

Context: hb : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).hom ≫ B.map b = (StructuredArrow.mk g).hom

∃ X₁_1 a_1 b_1, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk b hb) = mk w g X₁_1 a_1 b_1 comm


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ


⟪x, x⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α

x ∈ fract ⁻¹' s ↔ x ∈ ⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Ico 0 1)


fract x ∈ s ↔ ∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1


(∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1) → fract x ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
m : ℤ
hms : x - ↑m ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑m
hm1 : x - ↑m < 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
hms : x - ↑⌊x⌋ ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑⌊x⌋
hm1 : x - ↑⌊x⌋ < 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
hx : x ∈ ↑s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α

x ∈ cthickening ε (cthickening δ s) → x ∈ cthickening (ε + δ) s


infEdist x (cthickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : Modification η θ
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ F.obj b
g : b ⟶ c

f ◁ F.map g ◁ Γ.app c ≫ f ◁ θ.naturality g = f ◁ η.naturality g ≫ f ◁ Γ.app b ▷ G.map g


Context:
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝


Context:
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a


Context:
x y : ℂ
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

(fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r'✝ : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: r'0 : 0 < ↑r'

Context: h : ↑r' < r

Context: a C : ℝ

Context: hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r'✝ : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: r'0 : 0 < ↑r'

Context: h : ↑r' < r

Context: a C : ℝ

∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r'✝ : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: h : ↑r' < r

Context: a C : ℝ

Context: r'0 : 0 < ↑r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r'✝ : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: h : ↑r' < r

Context: a C : ℝ

Context: r'0 : 0 < ↑r'

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖y‖ ^ n‖


Context:
a : ℤ
b ab' : ℕ
ab r b' : ℤ
hb' : ↑b = b'
hab : a % b' = ab
h : ↑ab' = ab
hr : jacobiSymNat ab' b = r


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f


∀ (x : FiniteMeasure Ω), ContinuousAt (fun ν => ν.map f) x


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

(p ^ count p n.primeFactorsList).primeFactorsList <+~ n.primeFactorsList


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

∀ x ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p, count x (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count x n.primeFactorsList


Context: a b m n✝ p✝ n p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: q : ℕ

Context: hq : q ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p

count q (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count q n.primeFactorsList


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜' : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜' : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)

Context: c : 𝕜

Context: hp : 0 ≠ 0

Context: f : ↥(lp E 0)

‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜' : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)

Context: c : 𝕜

Context: hp : ⊤ ≠ 0

Context: f : ↥(lp E ⊤)

‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜' : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)

Context: hp✝ : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp : 0 < p.toReal

‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((fun x_1 => x) t)))


HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.22516, u_3} E
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
G : C ⥤ D
e : F ≅ G
X Y : C
f g : X ⟶ Y


Context:
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x