Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A B

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝ : IsIso (coprodComparison F A B)

F.map coprod.inr ≫ inv (coprodComparison F A B) = coprod.inr


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle x (x + y)).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
F' : Type u_4
inst✝² : EquivLike F' R S
inst✝¹ : RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
h : map f I = map (↑↑f) I


Context:
α : Type u_1
m n : ZNum

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
α : Type u_1
m n : ZNum

¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: R : Type

Context: inst✝ : Ring R

Context: X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)

Context: i✝ j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X)

{ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (𝟙 X) i✝ j✝ = 𝟙 ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X) i✝ j✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: R : Type

Context: inst✝ : Ring R

Context: X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)

MulOpposite.unop (if h : i✝ = j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if i✝ = j✝ then 1 else 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: R : Type

Context: inst✝ : Ring R

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X✝)

Context: j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj Z✝)

{ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (f ≫ g) i✝ j✝ = ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map f ≫ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map g) i✝ j✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: R : Type

Context: inst✝ : Ring R

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

MulOpposite.unop (∑ j : Y✝.ι, f i✝ j ≫ g j j✝) = ∑ j : ↑(FintypeCat.of Y✝.ι), MulOpposite.unop (f i✝ j) * MulOpposite.unop (g j j✝)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ p ⊔ p'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')


∀ x ∈ ↑p ∪ ↑p', ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x


∀ (x y : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → (∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = y) → ∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = x + y


∀ (a : R) (x : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = a • x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ p
z : M
hz : z ∈ p'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : Filter α
g : ι → Filter β


⨅ x, comap Prod.fst f ⊓ comap Prod.snd (g x) = ⨅ i, f.prod (g i)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R

(map f) ((expand p) φ) = (expand p) ((map f) φ)


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ

f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ ∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2


f a + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ f.support ⊆ insert a s ↔ ∃ a_1 b, a_1 + b = n ∧ ∃ g, f = g.update a a_1 ∧ s.sum ⇑g = b ∧ g.support ⊆ s


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ Grp

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget Grp) x y


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ Grp

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ Grp

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: k : J

Context: f : x.fst ⟶ k

Context: g : y.fst ⟶ k

Context: hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ Grp

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: k : J

Context: f : x.fst ⟶ k

Context: g : y.fst ⟶ k

(F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ Grp

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: k : J

Context: f : x.fst ⟶ k

Context: g : y.fst ⟶ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.10116, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (Karoubi C) c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

(fun i j => (K.d i j).f) i j ≫ (fun i j => (K.d i j).f) j k = 0


Context: θ : ℂ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι

finrank R (ι →₀ M) = card ι * finrank R M


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
this : prod.fst = prod.snd


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))
i : ↑(X.presheaf.obj (op U))
a✝ : i ∈ s


Context:
a b c d✝ m n : ℤ
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℤ
hd : b / c = a * d


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E


∀ ⦃B : Set β⦄, B ⊆ (M.map f hf)✶.E → ((M.map f hf)✶.Base B ↔ (M✶.map f hf).Base B)


∀ a ⊆ M.E, ((M.map f hf).Base (f '' M.E \ f '' a) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = f '' a) ↔ (M✶.map f hf).Base (f '' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : B ⊆ M.E

((M.map f hf).Base (f '' M.E \ f '' B) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = f '' B) ↔ (M✶.map f hf).Base (f '' B)


M.Base (M.E \ B) → ∃ u ⊆ M.E, f '' u = f '' B


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ : V

x✝ ∈ (G.subgraphOfAdj h).support ↔ x✝ ∈ {u, v}


(∃ w, (G.subgraphOfAdj h).Adj x✝ w) ↔ x✝ ∈ {u, v}


(∃ w, u = x✝ ∧ v = w ∨ u = w ∧ v = x✝) ↔ x✝ ∈ {u, v}


(∃ w, u = x✝ ∧ v = w ∨ u = w ∧ v = x✝) → x✝ ∈ {u, v}


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
h : G.Adj u v
x✝ w✝ : V
hw : u = x✝ ∧ v = w✝ ∨ u = w✝ ∧ v = x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasStrongEpiMonoFactorisations C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: I' : C

Context: e : X ⟶ I'

Context: m : I' ⟶ Y

Context: comm : e ≫ m = f

Context: inst✝¹ : StrongEpi e

Context: inst✝ : Mono m

(StrongEpiMonoFactorisation.mk (MonoFactorisation.mk I' m e ⋯)).toMonoIsImage.lift (Image.monoFactorisation f) ≫ ι f = m


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: x : M ⊗[R] N

Context: S : N →₀ M

Context: h : (TensorProduct.comm R M N) x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: x : M ⊗[R] N

Context: S : N →₀ M

(TensorProduct.comm R M N) x = (TensorProduct.comm R M N) (S.sum fun n m => m ⊗ₜ[R] n)


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ 1


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J f₂
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β

c ∈ image (const α b) s ↔ s.Nonempty ∧ b = c


(∃ a ∈ s, const α b a = c) ↔ s.Nonempty ∧ b = c


(∃ x, x ∈ s) ∧ b = c ↔ s.Nonempty ∧ b = c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β

(map f s).Disjoint (map g t) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≠ g b


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType


(m.coeEmbedding x).2 < count (m.coeEmbedding x).1 m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A
ha : a ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
x : n → R
hx : x ≠ 0


star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x = star (star x) ⬝ᵥ M *ᵥ star x


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝⁵ : HasEqualizers A

Context: inst✝⁴ : HasImages A

Context: inst✝³ : StrongEpiCategory B

Context: inst✝² : HasImages B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L

Context: inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L

Context: X Y : A

Context: f : X ⟶ Y

L.map (factorThruImage f) ≫ L.map (image.ι f) = L.map f


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g

Context: hφ : Continuous φ


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g

Context: hφ : Continuous φ

Context: hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g

Context: hφ : Continuous φ

Context: hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x

U ⊆ φ ⁻¹' Z₂


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g

Context: hφ : Continuous φ

Context: hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x

Context: x : X

Context: hx : x ∈ φ ⁻¹' Z₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f✝ : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
f g : α → β
b₁ b₂ : β

fold op (op b₁ b₂) (fun x => op (f x) (g x)) s = op (fold op b₁ f s) (fold op b₂ g s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Sort x
γ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddAbove (range f)
hg : Monotone g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ sphere 0 1

Context: y : E

Context: hy : y ∈ sphere 0 1

Context: h₂ : ‖x + y‖ = 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: h₂ : ‖x + y‖ = 2


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

(fun p => dist p.1 p.2) ∈ candidates X Y


(∀ (x y : X), dist (inl x) (inl y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (inr x) (inr y) = dist x y


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i

(fst f hi ≫ f) ⟨x, h⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h⟩


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h✝ : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
h : f x ∈ Set.range ⇑i

(fst f hi ≫ f) ⟨x, h✝⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h✝⟩


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x


f ({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩) = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)


Context: X✝ Y✝ Z✝ : Stonean

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝

Context: X Y Z : Stonean

Context: f : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hi : OpenEmbedding ⇑i

Context: x : (forget Stonean).obj X

Context: h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hy : i y = f x

Context: t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance

f x = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)


Context: X✝ Y✝ Z✝ : Stonean

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝

Context: X Y Z : Stonean

Context: f : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hi : OpenEmbedding ⇑i

Context: x : (forget Stonean).obj X

Context: h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hy : i y = f x

i y = i ((⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯) ⟨x, h⟩)


Context: X✝ Y✝ Z✝ : Stonean

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝

Context: X Y Z : Stonean

Context: f : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hi : OpenEmbedding ⇑i

Context: x : (forget Stonean).obj X

Context: h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hy : i y = f x

Continuous (⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module S N

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝ : Module S Q

Context: h : ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q] [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g

Context: g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)

Context: hg : ↑R g ∘ₗ f = ↑ULift.moduleEquiv.symm ∘ₗ (mk R S M) 1

Context: f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))

Context: f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module S N

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝ : Module S Q

Context: hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
Q : Sylow p G

Q ∈ fixedPoints (↥P) (Sylow p G) ↔ P ≤ ↑Q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: φ✝ φ : R⟦X⟧

Context: n : PartENat

Context: h : ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (coeff R i) φ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: φ✝ φ : R⟦X⟧

Context: h : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → (coeff R i) φ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: φ✝ φ : R⟦X⟧

Context: n✝ : ℕ

Context: h : ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → (coeff R i) φ = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
h : ↥H

ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹⁻¹ = g⁻¹ * ↑h * g


ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * toConjAct.toMonoidHom g = g⁻¹ * ↑h * g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖

∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)


Summable fun n => dist (∑ i ∈ range n, u i) (∑ i ∈ range n.succ, u i)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ ↑M


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ (1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) * edgeDensity r s₂ t₂


0 ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G

IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f) = ⊤


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
hg : CircleIntegrable g c R

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z - g z) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) - ∮ (z : ℂ) in C(c, R), g z


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B

RingSubgroupsBasis fun i => (B i).toAddSubgroup


∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι

∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i


↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
f : (b : β) → Z b
b : β

(h₁.piCongr' h₂).symm f (h₁.symm b) = (h₂ b).symm (f b)


Context:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃

↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃ = map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)


∀ (x : X₁) (y : X₂) (z : X₃), (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)


Context:
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
u v m✝ n : ℤ
x✝ : Even n
m : ℤ
hm : n = m + m


Context:
u v m n : ℤ
h : n % 2 = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c


∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc b c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc a c, f x ∂μ


∫ (x : ℝ) in Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a ∪ Ioc c b ∪ Ioc a c, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α

∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: h : ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a a_1 univ = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a x univ = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α

(blimsup u f fun x => p x ∨ q x) = blimsup u f p ⊔ blimsup u f q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
h : v ∈ e
e' : Sym2 V

e' ∈ G.incidenceSet v ∩ G.incidenceSet (Sym2.Mem.other h) ↔ e' ∈ {e}


(e' ∈ G.edgeSet ∧ v ∈ e') ∧ e' ∈ G.edgeSet ∧ Sym2.Mem.other h ∈ e' ↔ e' = e


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β

(comap m f).NeBot ↔ ∃ᶠ (y : β) in f, y ∈ range m


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (i : 𝒰.J), pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))).hom ≫ (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (pullback.snd (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))) (pullback.fst (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) ≫ pullback.fst g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) ⋯, isLimit := bigSquareIsPullback (pullback.fst (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))) (pullback.fst g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst) (pullback.snd (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))) (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) g ⋯ ⋯ (PullbackCone.isLimitOfFlip (pullbackIsPullback g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))) (PullbackCone.isLimitOfFlip (pullbackIsPullback (pullback.snd g (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)))) }).inv ≫ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst) ≫ 𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst) g (pullback.fst f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst) ≫ f) g (𝟙 (pullback f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst))) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ pullback.map (pullback.fst f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst) ≫ f) g f g (pullback.fst f (𝒰.map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i).fst)) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasStrictFDerivAt l l' (f x)
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hy : y = f x


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ


∀ (a b : X), Disjoint (𝓝 a) (𝓝 b) → {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (a, b)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)

{p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (x, y)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
U : Set X
hU : x ∈ U ∧ IsOpen U
V : Set X
hV : y ∈ V ∧ IsOpen V
hd : Disjoint U V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: f : α → ℝ

Context: K : ℝ≥0

Context: h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: ι : Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: X : ι → C

Context: f : (j : ι) → X j ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasWidePullback B X f

Context: inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)

Context: x y : (forget C).obj (widePullback B X f)

Context: h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: ι : Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: X : ι → C

Context: f : (j : ι) → X j ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasWidePullback B X f

Context: h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: ι : Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: X : ι → C

Context: f : (j : ι) → X j ⟶ B

Context: inst✝¹ : HasWidePullback B X f

Context: h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

Context: inhabited_h : Inhabited ι


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : IsDomain K

Context: R : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]

Context: inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]

Context: φ : F

Context: hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰

Context: p q : K[X]

(map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : IsDomain K

Context: R : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]

Context: φ : F

Context: hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰

Context: p : K[X]

(map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ 0)


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing K

Context: inst✝⁴ : IsDomain K

Context: R : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]

Context: φ : F

Context: hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰

Context: p q : K[X]

Context: hq : q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_4}


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1

f.eigenspace (-q.coeff 0 / q.leadingCoeff) = LinearMap.ker (q.leadingCoeff • f - (algebraMap K (End K V)) (-q.coeff 0))


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : q.degree = 1
h : q.leadingCoeff = 0


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
q : K[X]
hq : ⊥ = 1
h : q.leadingCoeff = 0


LinearMap.ker (q.leadingCoeff • f - (algebraMap K (End K V)) (-q.coeff 0)) = LinearMap.ker ((aeval f) (C q.leadingCoeff * X + C (q.coeff 0)))


LinearMap.ker (q.leadingCoeff • f - (algebraMap K (End K V)) (-q.coeff 0)) = LinearMap.ker (eval₂ (algebraMap K (End K V)) f (q.leadingCoeff • X + C (q.coeff 0)))


LinearMap.ker ((aeval f) (C q.leadingCoeff * X + C (q.coeff 0))) = LinearMap.ker ((aeval f) q)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
c : F
e : E

HasFPowerSeriesOnBall (fun x => c) (constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c) e ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
c : F
e y✝ : E
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
n : ℕ
hn : n ≠ 0

((constFormalMultilinearSeries 𝕜 E c n) fun x => y✝) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n d : ℕ

(trunc (n + 2) X).coeff d = Polynomial.X.coeff d


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n d : ℕ

(if d < n + 2 then if d = 1 then 1 else 0 else 0) = Polynomial.X.coeff d


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : Group H

Context: inst✝⁸ : MulAction G α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MulAction H β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : MeasurableSMul G α

Context: inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝ : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: ht : IsFundamentalDomain G t μ

Context: A : Set α

Context: hA₀ : MeasurableSet A

Context: hA : ∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' A = A

Context: this : ∫⁻ (x : α) in s, A.indicator 1 x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, A.indicator 1 x ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≤ a
hab : a < b


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: key : Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal) ↔ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun n => (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs n)).toReal) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ).toReal)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀

Context: f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀

Context: f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀

Context: f₀_ae_nns : ∀ (i : γ), 0 ≤ᶠ[ae ↑(μs i)] ⇑f₀


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀

Context: f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀

Context: aux : ∫ (a : Ω), f₀ a ∂↑μ = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f₀ a) ∂↑μ).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀

Context: f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀

Context: auxs : ∀ (i : γ), ∫ (a : Ω), f₀ a ∂↑(μs i) = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f₀ a) ∂↑(μs i)).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: lip : LipschitzWith 1 NNReal.toReal

Context: f₀ : Ω →ᵇ ℝ := comp NNReal.toReal lip f

Context: _def_f₀ : f₀ = comp NNReal.toReal lip f

Context: f₀_eq : ⇑f₀ = NNReal.toReal ∘ ⇑f

Context: f₀_nn : 0 ≤ ⇑f₀

Context: f₀_ae_nn : 0 ≤ᶠ[ae ↑μ] ⇑f₀

Context: aux : ∫ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑μ = (∫⁻ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑μ).toReal

Context: auxs : ∀ (i : γ), ∫ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑(μs i) = (∫⁻ (a : Ω), ↑(f a) ∂↑(μs i)).toReal


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ


AEMeasurable g ((μ.restrict s).withDensity f)


AEMeasurable g ((μ.withDensity f).restrict s)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
U : Set G
hU : U ∈ B


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
x₀ : X

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousAt (F i) x₀


Context:
μ ν : Measure ℝ
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
h : cdf μ = cdf ν


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: L : (ι → E × ℝ) →L[ℝ] E := (ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))

L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) = mfderiv I I (↑(chartAt H (f.c (f.ind x hx)))) x


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: this : HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (L.comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

HasMFDerivAt I 𝓘(ℝ, E) (⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x (mfderiv I I (↑(chartAt H (f.c (f.ind x hx)))) x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent =ᶠ[𝓝 x] ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx)))


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: hy : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y = 1 y

(⇑L ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) y = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: hy : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y = 1 y

↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
ι' : Sort u_2
inst✝ : UniformSpace β
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
ha : (𝓤 α).HasBasis p s
q : ι' → Prop
t : ι' → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis q t
f : α → β
S : Set α

(∀ (ib : ι'), q ib → ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia ∩ S ×ˢ S, (f x.1, f x.2) ∈ t ib) ↔ ∀ (i : ι'), q i → ∃ j, p j ∧ ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ S, (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ t i


Context:
R : CommRingCat
X✝ : Scheme
V✝ U✝ : X✝.Opens
f✝ g : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
V : Y.Opens
e : U ≤ f ⁻¹ᵁ V
s : ↑Γ(Y, V)

X.basicOpen ((Hom.appLE f V U e) s) = U ⊓ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen s


X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE e).op) ((Hom.app f V) s)) = U ⊓ X.basicOpen ((Hom.app f V) s)


Context:
M G : Type u
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Group G
N : Type v
inst✝¹ : Monoid N
C : Type v
inst✝ : Category.{w, v} C
f : C → G
X✝ : C

{ obj := fun x => (), map := fun {x y} x_1 => f y * (f x)⁻¹ }.map (𝟙 X✝) = 𝟙 ({ obj := fun x => (), map := fun {x y} x_1 => f y * (f x)⁻¹ }.obj X✝)


Context:
M G : Type u
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Group G
N : Type v
inst✝¹ : Monoid N
C : Type v
inst✝ : Category.{w, v} C
f : C → G
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

f Z✝ * (f X✝)⁻¹ = (f Y✝ * (f X✝)⁻¹) ≫ (f Z✝ * (f Y✝)⁻¹)


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x

multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ

multiplicity 2 (x ^ (n + 1) - y ^ (n + 1)) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 n.succ).Dom


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
n : ℕ
h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: hpn : ¬2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1

Context: k : ℕ

Context: hk : n + 1 = 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 (n + 1) = multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(n + 1)


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

2 ∣ x ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h - y ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

¬2 ∣ x ^ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

Context: hpn : 2 ∣ k

2 ^ ((multiplicity 2 (n + 1)).get h + 1) ∣ n + 1


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

Context: hpn : 2 ∣ k

2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * 2 ∣ n + 1


Context: R : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x y : ℤ

Context: hxy : 4 ∣ x - y

Context: hx : ¬2 ∣ x

Context: hx_odd : Odd x

Context: hxy_even : Even (x - y)

Context: hy_odd : Odd y

Context: n : ℕ

Context: h : (multiplicity 2 (n + 1)).Dom

Context: k : ℕ

Context: hpn : 2 ∣ k

2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * 2 ∣ 2 ^ (multiplicity 2 (n + 1)).get h * k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

MapsTo.restrict f (f ⁻¹' t) t ⋯ '' (Subtype.val ⁻¹' s) = Subtype.val ⁻¹' (f '' s)


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M✝ : Type u_4
M : Type u
inst✝ : RightCancelMonoid M
a b : M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

LinearMap.range ↑b.repr = Finsupp.supported R R univ


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β

(⋃ i, ⋃ j, s i j) ×ˢ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ×ˢ t


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : α
c : γ

Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (inl i) c


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F

f.inverse.domain = LinearMap.range f.toFun


Submodule.map (LinearMap.fst R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph) = Submodule.map (LinearMap.fst R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) f.graph)


Context:
G : Type u
F : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝³ : Monoid M₁
inst✝² : Monoid M₂
inst✝¹ : FunLike F M₁ M₂
inst✝ : MonoidHomClass F M₁ M₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
m₁ : M₁


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
n : OuterMeasure ((i : ι) → α i)

n ≤ OuterMeasure.pi m ↔ ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (univ.pi s).Nonempty → n (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)


(∀ (s : Set ((i : ι) → α i)), s.Nonempty → n s ≤ piPremeasure m s) ↔ ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (univ.pi s).Nonempty → n (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x y : S
e : P.σ x = P.σ y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: base : ↑X ⟶ ↑Y

Context: c c' : Y.presheaf ⟶ (Presheaf.pushforward C base).obj X.presheaf

Context: h : c ≫ whiskerRight (𝟙 (Opens.map base).op) X.presheaf = c'

{ base := base, c := c } = { base := base, c := c' }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: base : ↑X ⟶ ↑Y

Context: h : c = c'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0

∀ (a : DirectLimit G f), (lift G f P g Hg) a = 0 → a = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: hz : (lift G f P g Hg) z = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f i j hij x) = (g✝ i) x

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (lift G f P g✝ Hg) ((of G f i✝) g) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+* P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (g✝ i✝) g = 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ l₁.keys


Context: l r : List Char

ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α

IsStronglyAtomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyCoatomic α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
x : α


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc

Context: x : Ei (last n)

(f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M
x y : M
ne : x ≠ y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial M
x y : M
ne : x ≠ y
i : ι
h✝ : ¬(b.repr x) i = (b.repr y) i


Context:
n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k ≤ 0


Context:
n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond : f ≫ g = 0
cond2 : g ≫ h = 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

M.Basis (B ∩ X) X ↔ M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: I B X : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

Context: h : M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M

Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R


(f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l = ⊥


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this : IsReduced R

Context: p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) l


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this : IsReduced R

Context: hp : ¬p = ⊥


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p

Context: f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p

Context: f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this✝ : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p

Context: this : IsNilpotent (f₂ - f₁)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this✝ : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p

Context: this : IsNilpotent (f₂ - f₁)

Context: hf₁₂ : f₂ - f₁ = (algebraMap R (End R ↥p)) (μ₁ - μ₂)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: f : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: hμ : μ₁ ≠ μ₂

Context: k l : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: this✝ : IsReduced R

Context: hp : Nontrivial ↥p

Context: this : μ₁ = μ₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g

∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨ x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: a : α

(∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k' a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: a : α

Context: this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: a : α

Context: this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a

Context: h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk : Nat.Partrec k

Context: a : α

Context: this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a

Context: h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom

∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk✝ : Nat.Partrec k

Context: a : α

Context: this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a

Context: h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom

Context: hk : (k (encode a)).Dom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : ℕ →. ℕ

Context: hk✝ : Nat.Partrec k

Context: a : α

Context: this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a

Context: h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom

Context: hk : (k (encode a)).Dom

Context: H : ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ k a, (∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ f a_2, encode a = x) ∨ ∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ g a_2, encode a = x) ∧ ((k a).Dom ↔ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨ ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : a < 0
b s : ℝ

(fun x => rexp (a * x ^ 2 + b * x)) =o[atTop] fun x => x ^ s


(fun x => rexp (a * x ^ 2 + b * x)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)


Tendsto (fun x => -x - (a * x ^ 2 + b * x)) atTop atTop


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: ha : a < 0

Context: b s : ℝ

Context: this : (fun x => -x - (a * x ^ 2 + b * x)) = fun x => x * (-a * x - (b + 1))

Tendsto (fun x => x * (-a * x - (b + 1))) atTop atTop


Context: a : ℤ

∃ u, ∃ (_ : IsUnit u), ↑a.natAbs = u * a


Context:
a : ℤ
h : a = ↑a.natAbs


Context:
a : ℤ
h : a = -↑a.natAbs


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹

Context: hle : f x ≤ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹

Context: hle : f x ≤ g x

Tendsto (fun n => f x + (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
B : Set α

B ∈ {B | M.Base B} ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ


(∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂ν) μ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ


(∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) ν) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν


HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂ν) μ ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V
ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: b : ι → V

Context: lin_ind : LinearIndependent K b

Context: card_eq : finrank K ↥(span K (Set.range b)) = finrank K V

Context: ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K

‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } z‖ = ‖z‖


‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (↑(re z) + ↑(im z) * I)‖ = ‖↑(re z) + ↑(im z) * I‖


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B B' : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: i : B ⟶ B'

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂

Context: Z : C

Context: a₁ a₂ : α

Context: g₁ : Z ⟶ X a₁

Context: g₂ : Z ⟶ X a₂

Context: hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂

g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B B' : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: i : B ⟶ B'

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: a₁ a₂ : α

Context: g₁ : Z ⟶ X a₁

Context: g₂ : Z ⟶ X a₂

Context: hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂

(g₂ ≫ π a₂) ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ

(ghostComponent n) (teichmullerFun p r) = r ^ p ^ n


(teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ n = r ^ p ^ n


∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → ↑p ^ b * (teichmullerFun p r).coeff b ^ p ^ (n - b) = 0


0 ∉ Finset.range (n + 1) → ↑p ^ 0 * (teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ (n - 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.restrict s).singularPart ν = (μ.singularPart ν).restrict s


μ.restrict s = (μ.singularPart ν).restrict s + ν.withDensity (s.indicator (μ.rnDeriv ν))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G

∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure G

Context: f✝ : G → E

Context: g✝ : G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MeasurableMul G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → E

Context: g : G

Context: h_mul : MeasurableEmbedding fun x => g * x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M

(extChartAt (I.transDiffeomorph e) x).target = ⇑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target


⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ ↑I.symm ∘ ⇑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).target = ⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ (fun x => ↑I.symm (e.symm x)) ⁻¹' (chartAt H x).target


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K

(LinearIndependent K fun i => Aᵀ i) ↔ IsUnit A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β

Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f)


Multiset.map g (toMultiset 0) = toMultiset (mapDomain g 0)


∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f) → Multiset.map g (toMultiset (single a b + f)) = toMultiset (mapDomain g (single a b + f))


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v

Even p.length ↔ (c u = true ↔ c v = true)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set (Set A)

Context: hsn : s.Nonempty

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set (Set A)

Context: hsn : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype hsn


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : ↑a ≠ 0


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: r : Finset (α × γ)

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2

Context: f : α × γ → β

∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (a, c)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: r : Finset (α × γ)

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: f : α × γ → β

∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.snd, x.fst)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : CommRing T
inst✝²⁰ : Algebra R S
inst✝¹⁹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁵ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field F
inst✝¹³ : Algebra R L
inst✝¹² : Algebra L F
inst✝¹¹ : Algebra R F
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : Algebra A C
E : Type z
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
b : κ → L
pb : PowerBasis K L
i j : κ

(traceMatrix K b).map (⇑(algebraMap K E)) i j = (embeddingsMatrix K E b * (embeddingsMatrix K E b)ᵀ) i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ


Context:
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

(bit a m).lor (bit b n) = bit (a || b) (m.lor n)


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G

∫ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


∫ (x : G), f (x * g⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v

Module.rank R ↥(span R (range v)) = #↑(range v)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
this : Nontrivial R


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f' : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : α → δ → ε

Context: g : β → γ → δ

Context: f₁ : α → β → β'

Context: f₂ : α → γ → γ'

Context: g' : β' → γ' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)

image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑t) (image2 f₂ ↑s ↑u)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: b c d : α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: k : α


Context: i : (nim 1).RightMoves


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.4862, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasZeroObject C


IsZero S.homology ↔ Nonempty (S.homology ≅ 0)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
s : Set N
x : G
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s