Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
hp_ne_zero : p.toNNReal ≠ 0
hq_ne_zero : q.toNNReal ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹¹ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁸ : DecidableEq I

Context: inst✝⁷ : HasInitial C

Context: inst✝⁶ : (X₁ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)

Context: inst✝⁵ : (X₂ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)

Context: X₁ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor X₃

Context: inst✝³ : (tensorObj X₁ tensorUnit).HasTensor X₃

Context: inst✝² : X₁.HasTensor (tensorObj tensorUnit X₃)

Context: inst✝¹ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor tensorUnit X₃

Context: inst✝ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ tensorUnit X₃

(associator X₁ tensorUnit X₃).hom ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (leftUnitor X₃).hom = tensorHom (rightUnitor X₁).hom (𝟙 X₃)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
hi' : e.r i' = none


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
i : ι
hi : e.r i' = some i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t

∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsCompact ∅
disj : Disjoint ∅ t

∃ f u v, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅

∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ ∅, v < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: i : I

Context: ho : ord I i < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : (map f) p = (map f) q


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p✝ q✝ : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: hf : Injective ⇑f

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), f (coeff m p) = f (coeff m q)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: A B : Submodule R M

Context: hAB : A ≤ B

Context: f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic

Context: hf : f = B.mapIic

A ⋖ B ↔ IsSimpleModule R (↥B ⧸ Submodule.comap B.subtype A)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: A B : Submodule R M

Context: hAB : A ≤ B

Context: hf : f = B.mapIic

IsCoatom ⟨A, hAB⟩ ↔ IsCoatom (B.mapIic (Submodule.comap B.subtype A))


Context:
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
l : List α
h : l.rotate 1 = l
n✝ n : ℕ
hn : l.rotate n = l


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀

f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)


{x | f x = 0 x} ∈ 𝓝 x ↔ {x | f x = 0} ∈ 𝓝 x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝¹ : S.HasLeftHomology

Context: inst✝ : HasKernel S.g

Context: h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData

Context: this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝¹ : S.HasLeftHomology

Context: inst✝ : HasKernel S.g

Context: this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)

Context: e : parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0 ≅ parallelPair h.f' 0 := parallelPair.ext (Iso.refl ((parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0).obj WalkingParallelPair.zero)) ((kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso h.hi) ⋯ ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0

rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q ≤ rootMultiplicity x (p * q)


(X - C x) ^ rootMultiplicity x p * (X - C x) ^ rootMultiplicity x q ∣ p * q


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j✝¹ j✝ : J

biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹ = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J

(biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j = { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j) ≫ (F j).p


(biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) = (F j).p ≫ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1


Context:
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n

∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1


Context:
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n


Context:
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n


↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n < (x * ↑n + 2) / ↑n


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N

∃ S, x = (Multiset.map (fun i => i.1 ⊗ₜ[R] i.2) S).sum


Context:
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
inst✝ : LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : List α

(fun {α} => η.app α) (List.traverse f x) = List.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι

(map (fun x => b) (𝓟 {a})).coprod (map id (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ {i})


Context:
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset


Context:
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x z : P
a : ℝ
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1

dist x ((AffineMap.lineMap x z) a) + dist ((AffineMap.lineMap x z) a) z = dist x z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ

(r • s).preimage t = r.preimage (s.preimage t)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.59648, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
i' : ι
x : K.X i' ⟶ A
hx : k = K.d i i' ≫ x


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h : n = -↑n.natAbs


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : c ∣ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α


((a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (a ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ ￢(a ⊔ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ b ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (b ⊔ ￢(a ⊓ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr₁ : Reflexive r'
hr₂ : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflTransGen r x y


Context: q : ℚ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
H₁ : ¬φ.order < ψ.order
H₂ : ¬ψ.order < φ.order


Context: h : √2 / 2 > 0


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: s₁ s₂ : Set (Set Ω)

Context: h : IndepSets s₁ s₂ κ μ

Context: t1 t2 : Set Ω

Context: ht1 : t1 ∈ s₂

Context: ht2 : t2 ∈ s₁

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (t2 ∩ t1) = (κ a) t2 * (κ a) t1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a✝ : α

a✝ ∈ f.toAList.keys.toFinset ↔ a✝ ∈ f.support


Context: a : ℕ


Context:
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A

s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s


(∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s


(∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, {b | b - a ∈ B i} ⊆ s


Context: z : ℂ


Context: z : ℂ

HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum ((fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context: z : ℂ

Context: k : ℕ


Context:
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝

Iterator.ValidFor l.reverse (m ++ r) { s := x✝.str, i := x✝.startPos }


StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral


∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).IsIntegral → includeLeftRingHom.IsIntegral


Context:
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T


∀ (x : S) (y : T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x ⊗ₜ[R] y)


∀ (x y : S ⊗[R] T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem x → includeLeftRingHom.IsIntegralElem y → includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x + y)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α

(∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y


a.x * a₁.y * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)


a.y * a₁.x * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R

(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = -t.sum


(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.nextCoeff


(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff ((Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree - 1)


¬(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ

Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * r ^ s.fst


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
r' : ℝ≥0
h0 : 0 < r'
hr' : ↑r + ↑r' < p.radius


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)

span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime


span {↑(absNorm I)} ≤ comap (algebraMap ℤ S) I


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k

solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: q : ℕ

Context: hq : p = q.succ


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: q : ℕ

Context: hq : p = q.succ

Context: hq' : q = p - 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: q : ℕ

Context: hq : p = q.succ

Context: hq' : q = p - 1

solution p a₁ a₂ ^ q.succ * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: q : ℕ

Context: hq : p = q.succ

Context: hq' : q = p - 1

solution p a₁ a₂ * (a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0) * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α


∀ x ∈ f '' s, ∀ y ∈ f '' s, edist x y ≤ ↑K * diam s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : c ≠ 0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: c' : ℤ := ↑g 1 0

Context: c : ℝ := ↑c'

Context: hc : 0 < c ^ 4

Context: h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: c' : ℤ := ↑g 1 0

Context: c : ℝ := ↑c'

Context: hc : 0 < c ^ 4

Context: h₂ : (c * z.im) ^ 4 / normSq (denom (↑g) z) ^ 2 ≤ 1


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: c' : ℤ := ↑g 1 0

Context: c : ℝ := ↑c'

Context: hc : 0 < c ^ 4

Context: nsq : ℝ := normSq (denom (↑g) z)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
x y : E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤


μ (s k) - ⨆ i, μ (s k \ s i) = μ (s k) - ⨆ i, μ (s k) - μ (s i)


Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => s k \ s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }

card { x // p x ∨ q x } ≤ card { x // p x } + card { x // q x }


Context:
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ s : Finset β
f : β → α

HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ b ∈ s, f b)


HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ x ∈ s.attach, f ↑x)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G


(∀ (x : G), x ∈ P ↔ x ∈ g • P) ↔ ∀ (h : G), h ∈ ↑P ↔ g⁻¹ * h * g ∈ ↑P


Context: this : Irrational √↑5


Context:
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 - √↑5)


Context:
this✝¹ : Irrational √↑5
this✝ : Irrational (↑1 - √↑5)
this : Irrational (↑0.5 * (↑1 - √↑5))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L


((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0


((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) 0 = 0


∀ (x : A) (y : L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y)) (x ⊗ₜ[R] y) = 0


∀ (x y : A ⊗[R] L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y) y = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y)) (x + y) = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K

(-x).num * x.denom = -x.num * (-x).denom


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

weightSpace M (-α + ⇑(chainBot α β)) = ⊥


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r ε : ℝ

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: x y z : E

Context: hy : y ∈ closedBall x (r / 2)

Context: hz : z ∈ closedBall x (r / 2)

Context: r' : ℝ

Context: r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r ε : ℝ

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: x y z : E

Context: hy : y ∈ closedBall x (r / 2)

Context: hz : z ∈ closedBall x (r / 2)

Context: r' : ℝ

Context: r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28046, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C

(tensorUnit.tensorObj X).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.leftUnitor X.src).hom (prod.leftUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P : ℕ → Prop

Context: this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x

∀ (x : 𝕎 R), select P x + select (fun i => ¬P i) x = x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n : ℕ

(ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n : ℕ

(ghostComponent n) (select P x) + (ghostComponent n) (select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n : ℕ

(bind₁ (selectPoly P)) (wittPolynomial p ℤ n) + (bind₁ (selectPoly fun i => ¬P i)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ n


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n : ℕ

∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n : ℕ

∀ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n m : ℕ

Context: x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)

(if P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n m : ℕ

Context: x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)

(if P m then X m ^ p ^ (n - m) else 0) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s


(∃ t ∈ g, ∀ᶠ (y : α) in f, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ (fun p => (p.2, p.1)) ⁻¹' s) ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s


Context:
a b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
h : n.succ ≤ m


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
coeff✝¹ coeff✝ : ℕ → R
h : ∀ (n : ℕ), coeff✝¹ n = coeff✝ n

{ coeff := coeff✝¹ } = { coeff := coeff✝ }


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

WithBot.map (⇑ofDual) s.max = (image (⇑ofDual) s).min


WithBot.map (⇑ofDual) s.max = s.inf (WithTop.some ∘ ⇑ofDual)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ


s * closedBall 1 δ = ⋃ x ∈ s, closedBall x δ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

x ∈ s * closedBall 1 δ ↔ x ∈ ⋃ x ∈ s, closedBall x δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y Z : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f

Context: w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y Z : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f

g ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv = h ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f

⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)


CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor


CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E

Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε


(∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p✝ q : MvPolynomial σ R

Context: P : MvPolynomial σ R → Prop

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h1 : ∀ (u : σ →₀ ℕ) (a : R), P ((monomial u) a)

Context: h2 : ∀ (p q : MvPolynomial σ R), P p → P q → P (p + q)

Context: this : P ((monomial 0) 0)


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ

p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList


Context:
b p : ℕ
hab : Coprime 0 b

p ∈ (0 * b).primeFactorsList ↔ p ∈ primeFactorsList 0 ∪ b.primeFactorsList


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0


Context:
a p : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0

p ∈ (a * 0).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ primeFactorsList 0


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
hb : b > 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : EquicontinuousAt F x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → X → α

Context: f : X → α

Context: x₀ : X

Context: h₁ : ∀ (x : X), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))

Context: h₂ : EquicontinuousWithinAt F univ x₀


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
x y : M
z : ↥S
h₁ : y * ↑z = 1
h₂ : x * y = 1


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact

triangleOfSES hS ∈ distinguishedTriangles


∃ X Y f, Nonempty (triangleOfSES hS ≅ Q.mapTriangle.obj (CochainComplex.mappingCone.triangle f))


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

Injective f ↔ ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: f : α → β

Context: U : ι → Set β

Context: hU : iUnion U = univ

Context: H : ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)

Context: x y : α

Context: e : f x = f y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: f : α → β

Context: U : ι → Set β

Context: hU : iUnion U = univ

Context: x y : α

Context: e : f x = f y

Context: i : ι

Context: hi : f x ∈ U i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

Real.cos (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C

F.δ X (Y ⊗ Z) ≫ F.obj X ◁ F.δ Y Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv = F.map (α_ X Y Z).inv ≫ F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
a : α
f : β → Multiset α

count a (map (fun x => f x) s.val).sum = (map (fun x => count a (f x)) s.val).sum


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) (cosKernel (↑a) t - 1)


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑(n + 1)) * ↑(rexp (-π * ↑↑(n + 1) ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑(n + 1))) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑i) * ↑(rexp (-π * ↑↑i ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑i)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑i) ^ 2 * t))))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
n : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Ioc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
ha : RightInverse ga' ga
hb : LeftInverse gb' gb
x : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

infDist x t ≤ infDist x s + hausdorffDist s t


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : infEdist x s = ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty


Context:
a x y : ℂ
hy : y ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 1 → Ordinal.{max u_4 u_5}


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)

f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((lineMap a b) r) ≤ slope f a b


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B

∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (α × α)

Context: hU : (𝓤 α).HasBasis p s

Context: A B : Set α

Context: hA : IsCompact A

Context: hB : IsClosed B

Context: h : Disjoint A B

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVAB : Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (α × α)

Context: hU : (𝓤 α).HasBasis p s

Context: A B : Set α

Context: hA : IsCompact A

Context: hB : IsClosed B

Context: h : Disjoint A B

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: i : ι

Context: hi : p i

Context: hiV : s i ⊆ V


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11500, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)

E.sieve₁' i₁ i₂ = E.sieve₁ (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂))


Sieve.pullback (𝟙 (pullback (E.f i₁) (E.f i₂))) (E.sieve₁' i₁ i₂) = Sieve.pullback (pullback.lift (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂)) ⋯) (E.sieve₁' i₁ i₂)


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C

(kernel.ι α).app X ≫ 𝟙 (F.obj X) = (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ≫ kernel.ι (α.app X)


(kernel.ι α).app X = kernelComparison α ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι (α.app X)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ (𝓞 K)

Context: b₀ : Basis ι ℤ (𝓞 K) := (RingOfIntegers.basis K).reindex ((RingOfIntegers.basis K).indexEquiv b)


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

HasFiniteIntegral (fun a => ‖cexp (-b * ↑a ^ 2)‖) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

HasFiniteIntegral (fun a => rexp (-b.re * a ^ 2)) volume


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits i f
n : ℕ


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f

Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic k) ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩)) f = 0


Polynomial.eval₂ MvPolynomial.C (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩) f ∈ maxIdeal k


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)

Context: F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Context: F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_pointwiseCompact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q

Context: this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)

Context: Q : X → Set α

Context: Q_compact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, IsCompact (Q x)

Context: F_in_Q : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∀ (i : ι), F i x ∈ Q x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
a✝ : Nontrivial E

‖↑U * A‖ = ‖A‖


‖↑U * A‖ ≤ ‖A‖


‖A‖ ≤ ‖↑U * A‖


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

s * closedBall x δ = x • cthickening δ s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁

(toMatrixAlgEquiv v₁) (f * g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g


Context:
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P

⊥ ∥ s ↔ s = ⊥


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : WithLp ⊤ (α × β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
h : s.erase x = s.erase y


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a : M


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ : ι → Type u_1

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)

Context: φ : (i : ι) → C(δ i, α)

Context: h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)

Context: h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)

Context: h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}

Context: h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖

Context: h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)

inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ : ι → Type u_1

Context: φ : (i : ι) → C(δ i, α)

Context: h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

Context: h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range ⇑(φ i)


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ : ι → Type u_1

Context: φ : (i : ι) → C(δ i, α)

Context: h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

⨅ i, ⨅ i_1 ∈ 𝔗 i, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun (𝔗 i))) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ ⇑(φ i)) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β) = ⨅ i, ⨅ i_1 ∈ {K | IsCompact K}, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun {K | IsCompact K})) ∘ toUniformOnFunIsCompact) ∘ fun x => x.comp (φ i)) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0

f.natSepDegree = f.natDegree ↔ f.Separable


f.natSepDegree = f.natDegree ↔ (f.aroots f.SplittingField).toFinset.card = f.natDegree


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
m n : ℤ


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isLeft = true


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₁ : LiftRel r s (inl w✝) y
h₂ : (inl w✝).isLeft = true

∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c


Context: α : Type u

Context: α' : Type w

Context: β : Type v

Context: β' : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: δ : Type u_2

Context: r : α → γ → Prop

Context: s : β → δ → Prop

Context: y : γ ⊕ δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: d : δ

Context: w✝ : α

Context: h₂ : (inl w✝).isLeft = true

Context: h₁ : ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ico a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : (z * I).re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ (z * I).im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.im

Context: hz_im : 0 ≤ z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.im

Context: hz_im : 0 ≤ z.re

Context: H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 2

Context: B : ℝ

Context: hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.im

Context: hz_im : 0 ≤ z.re

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 2

Context: B : ℝ

(f ∘ fun x => x * I) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.im

Context: hz_im : 0 ≤ z.re

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 2

Context: B : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D

(F.map (e.inv j)).app Y ≫ (F.map (e.hom j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (Y✝ j)).obj Y)


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0

(p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

(p * q).trailingDegree ≤ p.trailingDegree + q.trailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

(p * q).trailingDegree ≤ ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

(p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M

(⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M

x ∈ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid → x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid


x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i)) → x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝¹ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))

Context: x y : M

Context: hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Context: hy : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

x + y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝¹ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))

Context: r : R

Context: x : M

r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α

(∃ᶠ (a : α) in comap f l, p a) ↔ ∃ᶠ (b : β) in l, ∃ a, f a = b ∧ p a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R

Context: hp' : ¬p = ⊤

∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp' : ¬p = ⊤

Context: x : α

Context: hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp' : ¬p = ⊤

Context: x : α

Context: hppos : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp' : ¬p = ⊤

Context: x : α

Context: hppos : 0 < p.toReal

Context: this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp' : ¬p = ⊤

Context: x : α

Context: hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤

Context: hppos : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp' : ¬p = ⊤

Context: x : α

Context: hppos : 0 < p.toReal

(liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: n : ℕ

μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) ≤ μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: x : α

x ∈ s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: x : α

(x ∈ s ∧ ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)) → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hmem : x ∈ s

Context: hx : ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)

x ∈ {a | a ∈ s ∧ ∃ ε > 0, ∀ (N : ι), ∃ n ≥ N, ε ≤ dist (f n a) (g a)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hmem : x ∈ s

Context: N : ι

∃ n_1 ≥ N, 1 / (↑n + 1) ≤ dist (f n_1 x) (g x)


Context:
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)

(a + b).valMinAbs.natAbs ≤ (a.valMinAbs + b.valMinAbs).natAbs


Context:
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)

↑(a + b).valMinAbs = ↑(a.valMinAbs + b.valMinAbs)


Context:
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x : α

Pairwise (Disjoint on fun g => g • fundamentalInterior G s)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x : α
a b : G
hab : a ≠ b

∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ (fun g => g • fundamentalInterior G s) a → a_1 ∉ (fun g => g • fundamentalInterior G s) b


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: a b : G

Context: hab : a ≠ b

Context: x : α

Context: hx : x ∈ fundamentalInterior G s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ fundamentalInterior G s

Context: hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: a b : G

Context: hab : a ≠ b

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: a b : G

Context: hab : a ≠ b

Context: x : α

Context: y : α


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (L (fun n => χ ↑n) s)


HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : CommRing α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹.IsHermitian


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Ioc a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)


Ioi a₁ ∩ Iic b₁ ∩ (Ioi a₂ ∩ Iic b₂) = Ioi a₁ ∩ Ioi a₂ ∩ (Iic b₁ ∩ Iic b₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X

(M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (s.mulIndicator f) a
hb : HasProd (t.mulIndicator f) b

HasProd ((s ∪ t).mulIndicator f) (a * b)


HasProd (fun a => s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a) (a * b)


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α

a ∈ NonUnitalSubsemiring.center α ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)


(L a = L a ∧ ∀ g ∈ Set.range ⇑L, g * L a = L a * g) ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.75564, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting


Context:
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A


Context:
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
x✝ : IsIntegral R (f x)
p : R[X]
hp : p.Monic
hx : eval₂ (algebraMap R B) (f x) p = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E

Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) x))


∀ (x : ↥(LinearMap.eqLocus (↑f) 1)), (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) ↑x = x


↑(LinearMap.ker (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1))) ⊆ closure ↑(LinearMap.range (↑f - 1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: carrier : Set α

Context: sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier

Context: sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier

Context: x : α

Context: hx : x ∈ carrier

Context: y : α

Context: hy : y ∈ carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: carrier : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ carrier

Context: y : α

Context: hy : y ∈ carrier


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι✝ : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: π : δ' → Type u_6

Context: π' : δ' → Type u_7

Context: inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)

Context: inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: e : ι ≃ ι'

Context: β : ι' → Type u_10

Context: inst✝ : (i' : ι') → MeasurableSpace (β i')

Context: x : (i : ι) → β (e i)

Context: i : ι

(piCongrLeft (fun i' => β i') e) x (e i) = x i


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P

(s.weightedVSub p) w₁ +ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (affineCombination k s p) (w₁ + w₂)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι

(MvPowerSeries.coeff R (single () d)) (∏ j ∈ s, f j) = ∑ x ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)


∀ x ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i)) (f i) = ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝ : x ∈ s.finsuppAntidiag d

∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i)) (f i) = ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)


∀ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) x_1)) (f x_1) = (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝¹ : x ∈ s.finsuppAntidiag d
i : ι
a✝ : i ∈ s

((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i = single () (x i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
H : C
hH : H ∈ {G}
h : H ⟶ X


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
H : C
h : H ⟶ X
hG : IsSeparator H
hfg : ∀ (h : H ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
hH : H ∈ {H}


Context:
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
x : ℤ√d
u : (ℤ√d)ˣ


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: c : E

Context: hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
A B C D B' D' : SemiNormedGrp
fab : A ⟶ B
fbd : B ⟶ D
fac : A ⟶ C
fcd : C ⟶ D
h : fab ≫ fbd = fac ≫ fcd
fbb' : B ⟶ B'
fdd' : D ⟶ D'
condb : fab ≫ fbb' = 0
condd : fcd ≫ fdd' = 0
g : B' ⟶ D'
h' : fbb' ≫ g = fbd ≫ fdd'

explicitCokernelDesc condb ≫ g = explicitCokernelDesc ⋯ ≫ explicitCokernelDesc condd


Context:
L : Language
L' : Language

(L.sum L').card = lift.{max u' v', max u v} L.card + lift.{max u v, max u' v'} L'.card


Context:
L : Language
L' : Language

((sum fun i => lift.{max u' v v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u v v', u'} #(L'.Functions i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u u', v} #(L.Relations i)) + sum fun i => lift.{max v u u', v'} #(L'.Relations i)) = ((sum fun i => lift.{max v u' v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u u' v', v} #(L.Relations i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u v, u'} #(L'.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u' u v, v'} #(L'.Relations i))


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ

comap (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = comap (↑(opLinearEquiv R)) N * comap (↑(opLinearEquiv R)) M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X
x : X
h : ↑F ≤ 𝓝 x


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
d m : ℕ

((fun a => a + d) ∘ fun x => n • id x) m ≡ d [MOD n]


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)
H : ¬IsMax a


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdnf : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdng : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l

Context: this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) ∘ Neg.neg) atBot l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x => (fun x => f (-x) / g (-x)) (-x)) atBot l


Context:
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})


((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).Monic


∀ {n_1 : ℕ}, n_1 < ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).natDegree → ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).coeff n_1 ∈ Submodule.span ℤ {↑p}


((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).coeff 0 ∉ Submodule.span ℤ {↑p} ^ 2


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)

Context: p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

∀ (x : W) (hx : x ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)) (y : W) (hy : y ∈ Set.range cs.simple), p' x hx → p' (x * y) ⋯


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]
q : ℚ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
m : M
hm : m ∈ N


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: n : ℕ

Context: N : Submodule R M

Context: snf : SmithNormalForm N ι n

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ range ⇑snf.f

Context: c : Fin n →₀ R

Context: hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N

(snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: n : ℕ

Context: N : Submodule R M

Context: snf : SmithNormalForm N ι n

Context: i : ι

Context: c : Fin n →₀ R

Context: hi : ∀ (j : Fin n), snf.f j ≠ i


Context: x✝ y z x a : ℝ

a = 0 ^ x ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p r : α

Context: h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p

Context: hr : r ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p r : α

Context: hr : r ≠ 0

p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p r : α

Context: hr : r ≠ 0

Context: this : (normalizedFactors r).prod ~ᵤ r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
b : β


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: this : n + 1 ≤ 1 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α

(single a m).extendDomain a' = (single (↑a) m) a'


(if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M

(if h : P ↑a then (single a m) ⟨↑a, h⟩ else 0) = (single (↑a) m) ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
ha : ↑a ≠ a'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : dist p1 p2 = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : p1 = p2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : π / 2 = π
heq : p1 = p2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((rename f) φ).vars


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r

(fun x x_1 => x ↔ x_1) [].Nodup [].Nodup


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
hab : r a✝ b✝
h : Forall₂ r l₁✝ l₂✝

(fun x x_1 => x ↔ x_1) (a✝ :: l₁✝).Nodup (b✝ :: l₂✝).Nodup


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: IH : ∀ {l : List α}, ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum = l.length

(l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)).join = l


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum = l.length

(take n l :: (drop n l).splitWrtCompositionAux ns).join = l


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset α

Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.map Associates.mk p = Multiset.map Associates.mk q


Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.Rel (fun a b => Associates.mk a = Associates.mk b) p q


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i

(f fun i_1 => e (i i_1)) = (f ⇑e • e.det) fun i_1 => e (i i_1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: i : ι → ι

Context: h : Injective i

Context: σ : Equiv.Perm ι := Equiv.ofBijective i ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: i : ι → ι

Context: h : Injective i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ∀ (x : E'), ContDiffAt 𝕜 n g x

∀ (x : E × E'), ContDiffAt 𝕜 n (Prod.map f g) x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

toOpen ↑(Γ.obj (op X)) ⊤ ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))


(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))


toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))


(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op (basicOpen 1))) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpec.val.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op = 𝟙 (Γ.obj (op X))


X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen 1).leTop.op ≫ (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.map (eqToHom ⋯).op) = 𝟙 (Γ.obj (op X))


op ⊤ = (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.obj (op ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : α → Type u_6

Context: inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)

Context: inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)

Context: f : ι → (x : α) → π x

Multipliable f ↔ ∀ (x : α), Multipliable fun i => f i x


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C

(fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd) 1 = 1


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A

{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun ((inl x_r + ↑x_a) * (inl y_r + ↑y_a)) = { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl x_r + ↑x_a) * { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl y_r + ↑y_a)


(algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = ((algebraMap R C) x_r + φ x_a) * ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)


(algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + (φ x_a * (algebraMap R C) y_r + φ x_a * φ y_a)


(algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + ((algebraMap R C) y_r * φ x_a + φ x_a * φ y_a)


(↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0


(↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a + (inl y_r + ↑y_a)) = (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a) + (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl y_r + ↑y_a)


(algebraMap R C) x_r + (algebraMap R C) y_r + (φ x_a + φ y_a) = (algebraMap R C) x_r + φ x_a + ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
r : R

(↑↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = (algebraMap R C) r


Context:
xl✝ xr✝ xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

(-mk yl yr yL yR ≤ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR) ∧ (-mk yl yr yL yR ⧏ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ⧏ mk yl yr yL yR)