Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : X), u n * (f n) x ≤ u n


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ

Context: _hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)

Context: f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

Context: S : ∀ (x : X), Summable fun n => u n * (f n) x

∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

s = ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 } ⁻¹' {1}


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 }


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

Context: x : X

0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 } x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

Context: x : X

{ toFun := g, continuous_toFun := ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 } x ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.783706) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1

Context: hf : ContinuousOn f (spectrum R a)

Context: ha : p a

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1

Context: hf : ContinuousOn f (spectrum R a)

Context: ha : p a

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ (cfcHom ha) 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 1

Context: hf : ContinuousOn f (spectrum R a)

Context: ha : p a

{ toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ≤ 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
δ : Type u_9
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DistribMulAction M A
r : M
x : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α


Context:
s : Set Game
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: Y' : ?m.129704

Context: j : J

φ j ≫ (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').inv j = (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).inv j ≫ mapBifunctorMapMap F p φ (𝟙 ((single₀ I).obj Y)) j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: Y' : ?m.129704

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (X' j) ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ = e.inv.app (X j) ≫ (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ (F.map (φ j)).app ((single₀ I).obj Y 0) ≫ (F.obj (X' j)).map (𝟙 ((single₀ I).obj Y) 0) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: Y' : ?m.129704

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (X' j) ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ = e.inv.app (X j) ≫ (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ (F.map (φ j)).app ((single₀ I).obj Y 0) ≫ (F.obj (X' j)).map (𝟙 ((single₀ I).obj Y 0)) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: Y' : ?m.129704

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (X' j) ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ = e.inv.app (X j) ≫ (F.map (φ j)).app Y ≫ (F.obj (X' j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).inv ≫ ιMapBifunctorMapObj F p X' ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = Real.cos |(x / y).arg|


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = (x / y).re / abs (x / y)


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this : abs x ≠ 0


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this✝ : abs x ≠ 0
this : abs y ≠ 0


(x.re * y.re + x.im * y.im) * ((abs y)⁻¹ * (abs x)⁻¹) = (x.re * (y.re * (abs y ^ 2)⁻¹) + x.im * (y.im * (abs y ^ 2)⁻¹)) * (abs y * (abs x)⁻¹)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ✝ : a ⟶ b
inst✝³ : p.IsCartesian f φ✝
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsCartesian f φ
a' : 𝒳
ψ ψ' : a' ⟶ a
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) ψ
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 R) ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement univ S


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement univ S
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0

∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: ε : ℝ := ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))

Context: ε_eq : ε = ↑(normBound abv bS) ^ (-1 / ↑(Fintype.card ι))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: ε_le : ↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(abv b) ^ ↑(Fintype.card ι)

Context: μ : Fin (cardM bS adm).succ ↪ R := distinctElems bS adm

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: qs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i / b

Context: rs : Fin (cardM bS adm).succ → ι → R := fun j i => μ j * s i % b

Context: r_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: μ_eq : ∀ (i : ι) (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j * s i = b * qs j i + rs j i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

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Context: inst✝¹² : Field L

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Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

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Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: μ_mul_a_eq : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ), μ j • a = b • ∑ i : ι, qs j i • bS i + ∑ i : ι, rs j i • bS i


Context: R : Type u_1

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Context: ι : Type u_5

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Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j k : Fin (adm.card ε ^ Fintype.card ι).succ

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: hjk : ∀ (k_1 : ι), ↑(abv (μ k * s k_1 % b - μ j * s k_1 % b)) < abv b • ε


Context: R : Type u_1

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Context: ι : Type u_5

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Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: r_eq✝ : ∀ (j : Fin (cardM bS adm).succ) (i : ι), rs j i = μ j * s i % b

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: hjk' : ∀ (i : ι), ↑(abv (rs k i - rs j i)) < abv b • ε

Context: q : S := ∑ i : ι, (qs k i - qs j i) • bS i

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

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Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

∃ i j, i ≠ j ∧ (distinctElems bS adm) i - (distinctElems bS adm) j = r


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

Context: this : r • a - b • q = ∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

abv ((Algebra.norm R) (∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x))) < abv b ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

Context: i : ι

↑(abv ((bS.repr (∑ x : ι, (rs k x • bS x - rs j x • bS x))) i)) ≤ ↑(abv (rs k i - rs j i))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S

Context: inst✝¹⁴ : IsDomain S

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Algebra R K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝¹ : Infinite R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: a : S

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: dim_pos : 0 < Fintype.card ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hμ : μ = distinctElems bS adm

Context: s : ι →₀ R := bS.repr a

Context: s_eq : ∀ (i : ι), s i = (bS.repr a) i

Context: j_ne_k : j ≠ k

Context: r : R := μ k - μ j

Context: r_eq : r = μ k - μ j

↑(normBound abv bS) * (abv b • ε) ^ Fintype.card ι ≤ ↑(abv b ^ Fintype.card ι)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: ι : Type v

Context: hs : IsCompact s

Context: t : ι → Set X

Context: htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)

Context: hst : ∀ (u : Finset ι), (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R

Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p


∀ (a : R), Polynomial.eval x (eval₂ f g (C a)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (C a)


∀ (p q : MvPolynomial σ R), Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p → Polynomial.eval x (eval₂ f g q) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) q → Polynomial.eval x (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (p + q)


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) p → Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s => Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E
this : Module.Free F ↥⊤


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => (fourier (-n)) ↑y) (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x) x


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : AddZeroClass γ

Context: f g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ

Context: H : ∀ (i : ι) (y : β i), f (single i y) = g (single i y)


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : AddZeroClass γ

Context: f✝ g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ

Context: H : ∀ (i : ι) (y : β i), f✝ (single i y) = g (single i y)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: hf : f ∈ ⋃ i, Set.range (single i)


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : AddZeroClass γ

Context: f✝ g : (Π₀ (i : ι), β i) →+ γ

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: hf : ∃ i y, single i y = f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y

Context: w : ∀ (j : J), g ≫ biproduct.π f j ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j ▷ Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y

g ≫ (rightDistributor f Y).hom = h ≫ (rightDistributor f Y).hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y

Context: j✝ : J

(g ≫ (rightDistributor f Y).hom) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝ = (h ≫ (rightDistributor f Y).hom) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : X ⟶ (⨁ f) ⊗ Y

Context: j✝ : J

g ≫ biproduct.π f j✝ ▷ Y = h ≫ biproduct.π f j✝ ▷ Y


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n a : ℕ
ha : n = a + q

hσ' q n (n + 1) ⋯ = (-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝¹ : Fintype α
a : α
inst✝ : Fintype ↑{x | x ≠ a}
this : DecidableEq α

Fintype.card ↑{x | x ≠ a} = Fintype.card α - 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
x y : PrimeSpectrum R
e : x ⤳ y
H : x ∈ support R M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Module A M

Context: x y : PrimeSpectrum R

Context: e : x ⤳ y

Context: H : ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ x.asIdeal

∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ y.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Module A M

Context: x y : PrimeSpectrum R

Context: e : x ⤳ y

Context: m : M

Context: hm : (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ x.asIdeal


Context:
α : Type u_1
m n : Nat
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
h : m ≤ n

(take m (x :: xs)).Disjoint (drop n (x :: xs))


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
n✝ : Nat
h : n✝ + 1 ≤ 0

¬x ∈ x :: xs ∧ (take n✝ xs).Disjoint (x :: xs)


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
n✝¹ n✝ : Nat
h : n✝¹ + 1 ≤ n✝ + 1

¬x ∈ drop n✝ xs ∧ (take n✝¹ xs).Disjoint (drop n✝ xs)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: G' : D₁ ⥤ D₂

Context: F' : D₂ ⥤ D₁

Context: inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'

Context: inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'

Context: X₁ : C₁

Context: this : Lifting L₁ W₁ ((G ⋙ F) ⋙ L₁) (G' ⋙ F') := { iso' := CatCommSq.iso'.symm }

(ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x) atTop (𝓝 (m - f a))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)

(fun x => f x - f a) =ᶠ[atTop] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi a


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi a

Context: h'x : a ≤ id x


Context: n : ℕ

map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal = n.divisorsAntidiagonal


Context: n : ℕ

Prod.swap ⁻¹' ↑n.divisorsAntidiagonal = ↑n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
x✝ : ℕ × ℕ

x✝ ∈ Prod.swap ⁻¹' ↑n.divisorsAntidiagonal ↔ x✝ ∈ ↑n.divisorsAntidiagonal


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
H : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S


⇑(pullback.snd f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g))) ∘ ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯)


⇑(pullback.snd f g) = ⇑(pullback.map f g (𝟙 S) g f (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.snd (𝟙 S) g)).hom)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1

i 0 = i b ^ N * eval (i a * bi) (Polynomial.map i 0)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
o : Option α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: key : 16 ^ P.parts.card = ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card) ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / ↑((chunk hP G ε hU).parts ×ˢ (chunk hP G ε hV).parts).card


Context:
l m r ml mm mr : List Char
b e : Pos

∃ l' r', ValidFor l' mm r' ({ str := { data := l ++ (ml ++ mm ++ mr) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (ml ++ mm ++ mr) } }.extract { byteIdx := utf8Len ml } { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm })


Context:
l m r ml mm mr : List Char
b e : Pos

∃ l' r', ValidFor l' mm r' (if utf8Len ml + utf8Len mm ≤ utf8Len ml then { str := "", startPos := 0, stopPos := 0 } else { str := { data := l ++ (ml ++ (mm ++ (mr ++ r))) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }.min ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml }), stopPos := { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len ml + (utf8Len mm + utf8Len mr)) }.min ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len ml + utf8Len mm }) })


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
h : LocallyBoundedVariationOn f univ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: f : ℝ → V

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f univ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ univ → DifferentiableWithinAt ℝ f univ x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
h : LocallyBoundedVariationOn f univ
x : ℝ
hx : x ∈ univ → DifferentiableAt ℝ f x


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable


f.graph.topologicalClosure = (Exists.choose hf).graph


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : yn a1 m ∣ yn a1 n
hp : n % m > 0


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : yn a1 m ∣ yn a1 n

Context: hp : n % m > 0

Context: co : (yn a1 m).Coprime (xn a1 (m * (n / m)))


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : yn a1 m ∣ yn a1 n

Context: hp : n % m > 0

Context: m0 : 0 < m


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : yn a1 m ∣ xn a1 (n % m) * yn a1 (m * (n / m)) + yn a1 (n % m) * xn a1 (m * (n / m))

Context: hp : n % m > 0

Context: m0 : 0 < m


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
x✝ : m ∣ n
k : ℕ
e : n = m * k


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
u : Ultrafilter α
f g : Filter α

¬↑u ≤ f ⊔ g ↔ ¬(↑u ≤ f ∨ ↑u ≤ g)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c < 0


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
m : Nat

(modifyNth f n l).get? m = (fun a => if n = m then f a else a) <$> l.get? m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
f : α →₀ M
h : a' ≠ a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}

Context: a : Ordinal.{max u_4 u_5}

Context: H : ∀ b < a, ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: a : Ordinal.{max u_4 u_5}

Context: h : o.bmex f < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s

(∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : FiniteDimensional 𝕜 F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
this : ProperSpace E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace E
inst✝ : LocallyCompactSpace F
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
this✝ : ProperSpace E
this : ProperSpace F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M : F × E →ₗ[𝕜] F := LinearMap.id.coprod L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M_cont : Continuous ⇑M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M_cont : Continuous ⇑M

Context: hM : Function.Surjective ⇑M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M_cont : Continuous ⇑M

Context: hM : Function.Surjective ⇑M

Context: A : ∀ (x : F × E), M x ∈ s ↔ x ∈ ⇑M ⁻¹' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M_cont : Continuous ⇑M

Context: hM : Function.Surjective ⇑M

(∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (x : F × E) ∂ν.prod μ, x ∈ ⇑M ⁻¹' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁵ : BorelSpace F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace F

Context: s : Set F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : ProperSpace F

Context: M_cont : Continuous ⇑M

Context: hM : Function.Surjective ⇑M

(∀ᵐ (y : F) ∂ν, ∀ᵐ (x : E) ∂μ, y + L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (x : F) ∂ν, ∀ᵐ (y : E) ∂μ, (x, y) ∈ ⇑M ⁻¹' s


Context:
p✝ q : ℚ
p : ℚ≥0
hq : 0 ≤ q


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
inst✝ : Mono f.unop.left.op

f.unop.left ≫ (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).hom.unop = (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop


f.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).hom.unop = (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop


Context: n : ℕ

eulerMascheroniSeq' (n + 1) < eulerMascheroniSeq' n


eulerMascheroniSeq' (0 + 1) < eulerMascheroniSeq' 0


Context:
n : ℕ
hn : n > 0


Context:
n : ℕ
hn : n > 0

↑(harmonic (n + 1)) - log ↑(n + 1) < ↑(harmonic n) - log ↑n


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a✝ b✝ : α
n a b : ℕ

multinomial univ ![a, b] = (a + b)! / (a ! * b !)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.Associative gb
h : Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Injective f
x₁ x₂ x₃ : α

f (ga (ga x₁ x₂) x₃) = f (ga x₁ (ga x₂ x₃))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β → δ
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' β

zip f s₁ s₂ = f s₁.head s₂.head :: zip f s₁.tail s₂.tail


(zip f s₁ s₂).head :: (zip f s₁ s₂).tail = f s₁.head s₂.head :: zip f s₁.tail s₂.tail


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))

Context: n : ℕ+


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: n : ℕ+


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1 + 1


Context:
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
a : α
h2 : IsUnit a
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r : A
hr : r ∈ I


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q p' q' : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : q' ≠ 0

RatFunc.mk p q = RatFunc.mk p' q' ↔ p * q' = p' * q


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : γ → β → δ
g : α → γ

image2 f (g '' ↑s) ↑t = image2 (fun a b => f (g a) b) ↑s ↑t


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α

List.filter p l₁ <+: List.filter p (l₁ ++ xs)


List.filter p l₁ <+: List.filter p l₁ ++ List.filter p xs


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: s : Set α

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: x : E

setToL1S T (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: s : Set α

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: x : E

Context: h_empty : T ∅ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: s : Set α

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: x : E

Context: h_empty : T ∅ = 0

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) = (T s) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: s : Set α

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: x : E

Context: h_empty : T ∅ = 0

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: s : Set α

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: x : E

Context: h_empty : T ∅ = 0

↑(toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs ⋯ x)) =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (c : α), funMulInvSnorm f p μ c ^ p ∂μ = 1


∫⁻ (c : α), f c ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹ ∂μ = 1


Context:
f : ℝ → ℝ
f' : ℝ
s : Set ℝ
a b : ℝ
h : IsLocalMin f a
hf : HasDerivAt f f' a


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : b = a⁻¹ * c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: a✝ : Nontrivial E

Context: O₁ : (E →L[𝕜] E) → F →L[𝕜] E := fun f => f.comp ↑e.symm

Context: O₂ : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: a✝ : Nontrivial E

Context: this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: a✝ : Nontrivial E

Context: this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂

ContDiffAt 𝕜 n (O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂) ↑e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: a✝ : Nontrivial E

Context: this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂

Context: h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: a✝ : Nontrivial E

Context: this : inverse = O₁ ∘ Ring.inverse ∘ O₂

Context: h₁ : ContDiff 𝕜 n O₁

Context: h₂ : ContDiff 𝕜 n O₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: h : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧

Context: R : C

Context: p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left

Context: q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left

Context: ep : Epi p

Context: w✝ : Epi q

Context: comm : p ≫ a.hom ≫ f = q ≫ a'.hom ≫ f

Context: a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: R : C

Context: p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left

Context: q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left

Context: ep : Epi p

Context: w✝ : Epi q

Context: comm : p ≫ ((fun g => app f g) a).hom = q ≫ ((fun g => app f g) a').hom

Context: a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom

Context: Z : C

Context: g : P ⟶ Z

Context: hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0

pseudoApply g (Quot.mk (PseudoEqual P) (Over.mk a'')) = pseudoApply g ⟦a⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: R : C

Context: p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left

Context: q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left

Context: ep : Epi p

Context: w✝¹ : Epi q

Context: a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom

Context: Z : C

Context: g : P ⟶ Z

Context: hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0

Context: X : C

Context: p' : X ⟶ ((fun g_1 => app g g_1) a').left

Context: q' : X ⟶ (Over.mk 0).left

Context: ep' : Epi p'

Context: w✝ : Epi q'

Context: comm' : p' ≫ ((fun g_1 => app g g_1) a').hom = q' ≫ (Over.mk 0).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: R : C

Context: p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left

Context: q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left

Context: ep : Epi p

Context: w✝¹ : Epi q

Context: a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom

Context: Z : C

Context: g : P ⟶ Z

Context: hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0

Context: X : C

Context: q' : X ⟶ (Over.mk 0).left

Context: ep' : Epi p'

Context: w✝ : Epi q'

Context: this : a'.hom ≫ g = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: R : C

Context: p : R ⟶ ((fun g => app f g) a).left

Context: q : R ⟶ ((fun g => app f g) a').left

Context: ep : Epi p

Context: w✝¹ : Epi q

Context: a'' : R ⟶ P := p ≫ a.hom - q ≫ a'.hom

Context: Z : C

Context: g : P ⟶ Z

Context: hh : pseudoApply g ⟦a'⟧ = 0

Context: X : C

Context: q' : X ⟶ (Over.mk 0).left

Context: ep' : Epi p'

Context: w✝ : Epi q'

Context: this : a'.hom ≫ g = 0

(fun g_1 => app g g_1) (Over.mk a'') ≈ (fun g_1 => app g g_1) a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s t : Finset α
hts : t ≤ s

s ∈ ↑(Finset.memberSubfamily a 𝒜) → t ∈ ↑(Finset.memberSubfamily a 𝒜)


insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → insert a t ∈ 𝒜 ∧ a ∉ t


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Mono f
abar abar' : Pseudoelement P

pseudoApply f abar = pseudoApply f abar' → abar = abar'


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: inst✝ : Mono f

Context: abar abar' : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: ha : pseudoApply f ⟦a⟧ = pseudoApply f ⟦a'⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: inst✝ : Mono f

Context: abar abar' : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: inst✝ : Mono f

Context: abar abar' : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: this : ⟦Over.mk (a.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (a'.hom ≫ f)⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: inst✝ : Mono f

Context: abar abar' : Pseudoelement P

Context: a a' : Over P

Context: R : C

Context: p : R ⟶ (Over.mk (a.hom ≫ f)).left

Context: q : R ⟶ (Over.mk (a'.hom ≫ f)).left

Context: ep : Epi p

Context: Eq : Epi q

Context: comm : p ≫ (Over.mk (a.hom ≫ f)).hom = q ≫ (Over.mk (a'.hom ≫ f)).hom


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
x : k
hx : (map f p).IsRoot x


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source


Q (↑(PartialHomeomorph.refl H) ∘ ↑e ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' univ) (↑e x)


Context: q✝ q : ℚ


Context: n : ℕ

∑ m ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ), φ m = n


Context: n : ℕ

∑ m ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ), φ m = n.divisors.sum φ


Context: n : ℕ

(∑ a ∈ Ico 0 n.succ, if a ∣ n then φ a else 0) = ∑ a ∈ Ico 1 (n + 1), if a ∣ n then φ a else 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α

a✝ ∈ (f x✝).bind ⇑f.symm ↔ a✝ ∈ (ofSet {a | (f a).isSome = true}) x✝


(∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a) ↔ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1}


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R : Sieve X
h : S.arrows (𝟙 X)
Y : C
f : Y ⟶ X
x✝ : ⊤.arrows f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
hf : ¬f = 0

f.natDegree = f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree


f.natDegree ≤ f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree


f.reverse.natDegree + f.natTrailingDegree ≤ f.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
c : R

derivative ((X - C c) ^ 2) = C 2 * (X - C c)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b a : k
hb : 0 < b


Context:
p s b : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ p)) (Ioi 0) volume


Context:
p s b : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
hib : 0 < b ^ (-p⁻¹)


IntegrableOn (fun x => (b ^ (-p⁻¹)) ^ s * (x ^ s * rexp (-x ^ p))) (Ioi 0) volume


Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (volume.restrict (Ioi 0))


IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i

fromAddMonoid ((of (fun i => γ →+ β i) i) f) = (of β i).comp f


(AddMonoidHom.compHom (of β i)) f = (of β i).comp f


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n✝ n : ℕ
a✝ : Pair K

a✝ ∈ (Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s).get? n ↔ a✝ ∈ (of v).s.get? n


a✝ ∈ (Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s).get? n ↔ a✝ ∈ Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
f : α → ℝ≥0∞


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
s : Set A


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
s : Set A
n : ℕ

span R s ^ (n + 1) = span R (s ^ (n + 1))


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ

coeff d ((homogeneousComponent n) φ) = if d.degree = n then coeff d φ else 0


coeff d ((homogeneousComponent n) φ) = if (weight 1) d = n then coeff d φ else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


∫ (a : α) in s, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) a ∂μ = 0


Integrable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) (μ.restrict s)


∀ (c : E'), ∫ (x : α) in s, ⟪c, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) x⟫_𝕜 ∂μ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E' 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E'

∫ (x : α) in s, ⟪c, (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) - ↑↑f) x⟫_𝕜 ∂μ = 0


∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) x⟫_𝕜 - ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0


∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜 ∂μ - ∫ (a : α) in s, ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' 2 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E'

Context: h_ae_eq_f : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E' 2 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E'

∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯) x ∂μ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i

hammingDist x y ≤ hammingDist z x + hammingDist z y


hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist z y


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α

𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∩ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t


Context: this : ∀ (a b : Num), (a * b).natSize ≤ a.natSize + b.natSize


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x

Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hf'_nonneg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f' n x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f' n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (F - f 0) x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ).toReal) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (F - f 0) x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

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∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ ≠ ⊤


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Context: hF : Integrable F μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => ENNReal.ofReal (f' n x)