Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
F : Type u_17
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module S M₃
σ : R →+* S
f : F
inst✝² : FunLike F M M₃
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ M M₃
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
c : S
x : M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : R

x ∈ map (RingHom.fst R S) (I.prod J) ↔ x ∈ I


(∃ x_1 ∈ I.prod J, (RingHom.fst R S) x_1 = x) ↔ x ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t

((graph t).cliqueFinset 3).card = t.card


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s


(fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ∅


∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) t


∀ (t : Set (α × β)), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) t → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set (α × β)), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (f i)) → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (⋃ i, f i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p ≤ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p


Context: p : ℝ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i j : ι

Context: hij : v i = v j

Context: l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i j : ι

Context: hij : v i = v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i j : ι

Context: hij : v i = v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: h_single_eq : Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
n : M
h : Function.Injective fun m => n ^ m
x✝¹ x✝ : Multiplicative ℕ

{ toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ * x✝) = { toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun m => pow n (Multiplicative.toAdd m), invFun := fun m => Multiplicative.ofAdd (log m), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ

IntervalIntegrable f volume a b ↔ IntervalIntegrable (fun x => f (-x)) volume (-a) (-b)


IntervalIntegrable (fun x => f (-1 * x)) volume (a / -1) (b / -1) ↔ IntervalIntegrable (fun x => f (-x)) volume (-a) (-b)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
t : Multiset α

∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t✝ : Multiset α

Context: b : α

Context: t : Multiset α

Context: IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t

Context: s : Multiset α

count a (s - b ::ₘ t) = count a s - count a (b ::ₘ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t✝ : Multiset α

Context: b : α

Context: t : Multiset α

Context: s : Multiset α

count a (s.erase b) - count a t = count a s - count a (b ::ₘ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t✝ t : Multiset α

Context: s : Multiset α

count a (s.erase a) - count a t = count a s - count a (a ::ₘ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t✝ : Multiset α

Context: b : α

Context: t : Multiset α

Context: s : Multiset α

Context: ab : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n

(circulant v * circulant w) i j = (circulant w * circulant v) i j


∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j x : n

v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
hf : Injective2 f

image2 f (↑s ∩ ↑s') ↑t = image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s' ↑t


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k

(p ^ k).minFac ^ (p ^ k).factorization (p ^ k).minFac = p ^ k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y

Context: hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: hy : y ∈ t

HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: hy : y ∈ t

Context: hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y

HasFDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y)) y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: hy : y ∈ t

ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y) = ∑' (n : α), ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: hy : y ∈ t

∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t u : Set Ω

Context: hs : s.Finite

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht : s ⊆ t

Context: this : IsProbabilityMeasure (condCount s)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t u : Set Ω

Context: hs : s.Finite

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht : s ⊆ t


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: hfg : g ≤ f

Context: f' : E →ₗ.[R] F

Context: hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: hfg : g ≤ f

Context: f' : E →ₗ.[R] F

Context: this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: hfg : g ≤ f

Context: f' : E →ₗ.[R] F


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: hfg : g ≤ f

Context: f' : E →ₗ.[R] F

∀ x ∈ g.graph.topologicalClosure, x.1 = 0 → x.2 = 0


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g : R →+* ZMod n

Context: h : RingHom.ker f = RingHom.ker g

Context: this : ((f.liftOfRightInverse cast ⋯) ⟨g, ⋯⟩).comp f = ↑⟨g, ⋯⟩


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g : R →+* ZMod n

Context: h : RingHom.ker f = RingHom.ker g

Context: this : ((f.liftOfRightInverse cast ⋯) ⟨g, ⋯⟩).comp f = g


Context: a b c : ℕ


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α

IsConnected (connectedComponentIn F x) ↔ x ∈ F


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : N →+ P
f₂ : M →+ N


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ

coeff d (rTensorAlgHom ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f

∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, f u ≤ c * f ↑n


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c : ℝ

Context: hc_mem : c > 0

Context: hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ≤ c * f x


Context:
r p : ℝ
hr : 0 ≤ r
hp : 0 ≤ p


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑m - x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
x y d m : ℕ
hd : x.gcd y = d
d0 : d.beq 0 = false
dm : x * y = d * m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s

MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioc (f p.1) (g p.1)}


MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 < a_1} ∩ {a_1 | a_1 ≤ g a.1}})


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Module.rank R M < ℵ₀


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n


0 < RCLike.re (star ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i)) ⬝ᵥ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
𝓐 : Filter ((α →ᵤ β) × (α →ᵤ β))
𝓕 : Filter (β × β)

𝓐 ≤ (fun 𝓕 => UniformFun.filter α β 𝓕) 𝓕 ↔ (fun 𝓐 => map (UniformFun.phi α β) (𝓐 ×ˢ ⊤)) 𝓐 ≤ 𝓕


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W

induced Prod.fst (induced f inst✝⁴) ⊓ induced Prod.snd (induced g inst✝²) = induced (fun p => (f p.1, g p.2)) (induced Prod.fst inst✝⁴ ⊓ induced Prod.snd inst✝²)


induced (f ∘ Prod.fst) inst✝⁴ ⊓ induced (g ∘ Prod.snd) inst✝² = induced (Prod.fst ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝⁴ ⊓ induced (Prod.snd ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝²


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f : α ↪ β
l₁ l₂ : α →₀ M
h : embDomain f l₁ = embDomain f l₂
a : α


Context: X : TopCat

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf CommRingCat X

Context: G : F.SubmonoidPresheaf

Context: S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)

Context: hs : s ∈ (fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) U

s ∈ Submonoid.comap (F.map i) ((fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) V)


Context: X : TopCat

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf CommRingCat X

Context: G : F.SubmonoidPresheaf

Context: S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)

Context: hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i

∀ (i_1 : ↥(unop V)), (F.germ i_1) ((F.map i) s) ∈ S ↑i_1


Context: X : TopCat

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf CommRingCat X

Context: G : F.SubmonoidPresheaf

Context: S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)

Context: x : ↥(unop V)


Context: X : TopCat

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf CommRingCat X

Context: G : F.SubmonoidPresheaf

Context: S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)

Context: x : ↥(unop V)

(F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s ∈ S ↑x


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : CompactSpace α

Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p


(∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K) ↔ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p univ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

degreeLE R ↑n = Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1)))


degreeLE R ↑n ≤ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1)))


Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1))) ≤ degreeLE R ↑n


↑(range (n + 1)) ⊆ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range (n + 1))

k ∈ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
l : List α

count a ((c :: l).erase b) = count a (c :: l) - if a = b then 1 else 0


count a (if (c == b) = true then l else c :: l.erase b) = count a (c :: l) - if a = b then 1 else 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
this : a • s ∈ 𝓝 (a • b)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : ℝ≥0∞


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯

Context: mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯

Context: x : G

Context: h : x ∈ closure s

Context: m : Gᵐᵒᵖ

Context: hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : G

Context: h : x ∈ closure s

{ unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
h : p ∣ q


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M

Module.rank R (M ⊗[S] M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
fst✝ : Type v
bM : Basis fst✝ R M


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
fst✝¹ : Type v
bM : Basis fst✝¹ R M
fst✝ : Type v'
bN : Basis fst✝ S M'


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α


M.toDFA.eval x ∈ M.toDFA.accept ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
y x : α
hy : 0 < y
this : 0 ≤ 1 + y
n : ℕ
h : x ≤ n • y


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1

Context: mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : M → Prop

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : M → Prop

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 1

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ ↑(S i)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
hf : Multipliable fun n => f (n + 1)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20343, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : J.OneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)

E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))


E.sieve₁ (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂)) ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : HasPushouts C

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: hP₂ : ∀ (A B A' : C) (f : A ⟶ A') (g : A ⟶ B), P f → P (pushout.inr f g)

Context: A A' B B' : C

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : A ⟶ B

Context: f' : B ⟶ B'

Context: g' : A' ⟶ B'

Context: sq : IsPushout g f f' g'

Context: hf : P f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : HasPushouts C

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: A A' B B' : C

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : A ⟶ B

Context: f' : B ⟶ B'

Context: g' : A' ⟶ B'

Context: sq : IsPushout g f f' g'

Context: hf : P f

Context: e : B' ≅ pushout f g := ⋯.isoPushout


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι

((sumInv I M) x) j = (map I (component R ι M j)) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x✝ : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)

Context: j : ι

Context: x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)

((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)) j = (map I (component R ι M j)) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))

∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑i) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x


∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, -f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range a, -f (x₀ + ↑x)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

σ (rootOfSplitsXPowSubC hn a L) = (autEquivRootsOfUnity hζ hn H L) σ • rootOfSplitsXPowSubC hn a L


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)

((autEquivRootsOfUnity hζ hn H L).symm η) (rootOfSplitsXPowSubC hn a L) = (autEquivRootsOfUnity hζ hn H L) ((autEquivRootsOfUnity hζ hn H L).symm η) • rootOfSplitsXPowSubC hn a L


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)

(((adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H ⋯).symm.autCongr.trans (autAdjoinRootXPowSubCEquiv hζ hn H).symm).symm η) (rootOfSplitsXPowSubC hn a L) = η • rootOfSplitsXPowSubC hn a L


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)

↑↑η • rootOfSplitsXPowSubC hn a L = η • rootOfSplitsXPowSubC hn a L


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K

(algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
h : (minpoly k x).degree = 1


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
hsep : IsSeparable k x
h : (minpoly k x).degree = 1
this : (aeval x) (minpoly k x) = 0


Context: k : Type u

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsSepClosed k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable k K

Context: x : K

Context: hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1

Context: hsep : IsSeparable k x

Context: h : (minpoly k x).degree = 1

Context: this : x = -(algebraMap k K) ((minpoly k x).coeff 0)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E

f.normed μ x ≤ K ^ finrank ℝ E / (μ (closedBall c f.rOut)).toReal


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
x : E
K_pos : 0 < K


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K : ℝ

Context: h : f.rOut ≤ K * f.rIn

Context: x : E

Context: K_pos : 0 < K

Context: this : ↑f x / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ ≤ 1 / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ

1 / ∫ (y : E), ↑f y ∂μ ≤ K ^ finrank ℝ E / (μ (closedBall c f.rOut)).toReal


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K : ℝ

Context: h : f.rOut ≤ K * f.rIn

Context: x : E

Context: K_pos : 0 < K

(μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K : ℝ

Context: h : f.rOut ≤ K * f.rIn

Context: x : E

Context: K_pos : 0 < K


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hp : p.Monic
hpq : q.degree < p.degree


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
f g : X ⟶ Y
x : ↑(F.obj X)
h : F.map f x = F.map g x

((Types.equalizerIso (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesEqualizer.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (equalizer.ι f g)) ⟨x, h⟩ = x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h_det : (mvPolynomialX m m R).det = 0


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h_det : (mvPolynomialX m m R).det = 0

Context: this : ((MvPolynomial.eval fun p => 1 p.1 p.2).mapMatrix (mvPolynomialX m m R)).det = det 1


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h_det : (mvPolynomialX m m R).det = 0
this : 0 = 1


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid

Context: h_zero' : AddMonoid.toZero = AddMonoid.toZero


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid

Context: h_one' : toOne = toOne


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddMonoidWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: h_monoid : toAddMonoid = toAddMonoid

Context: h_one' : toOne = toOne

Context: h_natCast : NatCast.natCast = NatCast.natCast


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s

sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
n : ℕ
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
x : ℕ → Set α
hx : f.HasAntitoneBasis x


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)

Context: hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: this : FreeGroup.lift a = (lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i).comp freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Function.Injective (⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i) ∘ ⇑freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom)


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Function.Injective ⇑(lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i)


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit

Context: f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i

Pairwise fun i j => Disjoint (X' i) (X' j)


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i

Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X' j ⊆ X' i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i

Context: inhabited_h : Inhabited ι


Context:
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B

range (continuousLinearMapOfBilin B) = ⊤


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

Context: this : CompleteSpace ↑↑(range (continuousLinearMapOfBilin B))


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

(range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮᗮ = ⊤


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: coercive : IsCoercive B

∀ (x : V), x ∈ (range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮᗮ


Context: V : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace V

Context: B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ

Context: v : V

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

Context: coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u

Context: mem_w_orthogonal : 0 ∈ (range (continuousLinearMapOfBilin B))ᗮ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: h_eq_sum : κ.withDensity f = Kernel.sum fun i => (κ.seq i).withDensity f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

IsSFiniteKernel (Kernel.sum fun i => (κ.seq i).withDensity f)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ

(𝓤 E).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | ‖p.1 / p.2‖ < ε}


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Set E

(convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t


isomorphisms Scheme = (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f


(((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f) = (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) f ↔ (isomorphisms TopCat).inverseImage Scheme.forgetToTop f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b


Context:
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F

eLpNorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F

eLpNorm (0 • f) p μ = ↑‖0‖₊ * eLpNorm f p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hc : c ≠ 0


↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm (c • f) p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F

Context: c : 𝕜

Context: f : α → F

Context: hc : c ≠ 0

Context: this : eLpNorm (c⁻¹ • c • f) p μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • eLpNorm (c • f) p μ


Context: x : PGame

Context: IHl : ∀ (i : x.LeftMoves) {y : PGame}, x.moveLeft i ≡r y → (x.moveLeft i).Numeric → y.Numeric

Context: IHr : ∀ (j : x.RightMoves) {y : PGame}, x.moveRight j ≡r y → (x.moveRight j).Numeric → y.Numeric

Context: y : PGame

Context: r : x ≡r y

Context: ox : x.Numeric


Context: x : PGame

Context: y : PGame

Context: r : x ≡r y

Context: ox : x.Numeric

Context: i : y.LeftMoves

Context: j : y.RightMoves


Context: x : PGame

Context: y : PGame

Context: r : x ≡r y

Context: ox : x.Numeric

Context: i : y.LeftMoves


Context: x : PGame

Context: y : PGame

Context: r : x ≡r y

Context: ox : x.Numeric

Context: j : y.RightMoves


Context:
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
G : ι → Type u_4
inst✝² : Semigroup G₁
inst✝¹ : Semigroup G₂
inst✝ : (i : ι) → Semigroup (G i)
fst✝¹ : G₁
snd✝¹ : G₂
fst✝ : G₁
snd✝ : G₂

(fst✝¹, snd✝¹) ∣ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ∣ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 ∣ (fst✝, snd✝).2


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R

(ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart = (single (-order x)) 1 * x


(ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart = (single (-order x)) 1 * ((single (order x)) 1 * (ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart)


Context:
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)

a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ


Context:
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : a.succ ≤ b


Context:
n m : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : b < a.succ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategory

f.unop.right.op ≫ ((unop Y✝).hom.app (op x)).op = ((unop X✝).hom.app (op x)).op ≫ (f.unop.left.app (op x)).op


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategory

((unop Y✝).hom.app (op x) ≫ f.unop.right).op = (f.unop.left.app (op x) ≫ (unop X✝).hom.app (op x)).op


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategory

(unop Y✝).hom.app (op x) ≫ f.unop.right = f.unop.left.app (op x) ≫ (unop X✝).hom.app (op x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nonempty ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
v : ι → M

|(e.adjustToOrientation x).det v| = |e.det v|


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

(mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f))) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

Context: vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp (prodComparisonNatIso F A).inv (prod.functor.map (F.map f))) = rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv) ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

Context: vcomp2 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp (prod.functor.map f) (prodComparisonNatIso F A').inv) = rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) ((mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

Context: vcomp1 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) (whiskerLeft F (prod.functor.map (F.map f)) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv ≫ whiskerLeft F ((conjugateEquiv (exp.adjunction (F.obj A)) (exp.adjunction (F.obj A'))) (prod.functor.map (F.map f)))

Context: vcomp2 : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A'))) ((prodComparisonNatIso F A').inv ≫ whiskerRight (prod.functor.map f) F) = whiskerRight ((conjugateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction A')) (prod.functor.map f)) F ≫ (mateEquiv (exp.adjunction A') (exp.adjunction (F.obj A'))) (prodComparisonNatIso F A').inv

Context: B : C

(whiskerLeft F (prod.functor.map (F.map f)) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv).app B = ((prodComparisonNatIso F A').inv ≫ whiskerRight (prod.functor.map f) F).app B


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

Context: B : C

prod.map (F.map f) (𝟙 (F.obj B)) ≫ inv (prodComparison F A B) = inv (prodComparison F A' B) ≫ F.map (prod.map f (𝟙 B))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A A' : C

Context: f : A' ⟶ A

Context: B : C

prod.map (F.map f) (F.map (𝟙 B)) ≫ inv (prodComparison F A B) = inv (prodComparison F A' B) ≫ F.map (prod.map f (𝟙 B))


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

Set.range ((⇑U.ι.val.base ∘ ⇑(↑U).isoSpec.inv.val.base) ∘ ⇑(Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base) = ↑U


Function.Surjective (⇑(↑U).isoSpec.inv.val.base ∘ ⇑(Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base)


Epi ((Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base ≫ (↑U).isoSpec.inv.val.base)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]

(expand R (p ^ Nat.zero)) f = (⇑(expand R p))^[Nat.zero] f


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

Context: ih : (expand R (p ^ n)) f = (⇑(expand R p))^[n] f

(expand R (p ^ n.succ)) f = (⇑(expand R p))^[n.succ] f


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h's : IsCompact (closure s)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M

(weightSpace M 0).normalizer = weightSpace M 0


(weightSpace M 0).normalizer ≤ weightSpace M 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : m ∈ (weightSpace M 0).normalizer


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: m : M

Context: hm : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ weightSpace M 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: m : M

Context: hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0

∀ (x : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: m : M

Context: y : L

Context: k : ℕ

Context: hk : ((toEnd R L M) y ^ k) ⁅y, m⁆ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hc : c ≠ 0


Context: a b : ℕ

φ (a.gcd b) * φ (a * b) = φ a * φ b * a.gcd b


Context: a b : ℕ

Context: shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)


Context: a b : ℕ

((a.gcd b / ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ((a * b / ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = ((a / ∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ((b / ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b


Context: a b : ℕ


Context: a b : ℕ

∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p ∣ a.gcd b


Context: a b : ℕ

a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b


Context: a b : ℕ

a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b


Context: a b : ℕ

(∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p ∣ a * b


Context:
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : multiplicity.Finite p n

p.maxPowDiv n = (multiplicity p n).get h


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : 𝓞 K
i : K →+* ℂ

((basisMatrix K)ᵀ⁻¹ *ᵥ fun j => (canonicalEmbedding K) ((algebraMap (𝓞 K) K) α) j) i = ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr ↑α) i)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
eq1 : (m, s).2 • x = f (m, s).1

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s) = x


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α

(∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Iio ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, m a < ↑x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
h : f ∈ l
hl : List.Pairwise Disjoint l
x : α
hx : x ∈ f.support


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ f.range

‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal * ‖b‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: hb : 0 ∈ f.range

‖T (↑f ⁻¹' {0})‖ * ‖0‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {0})).toReal * ‖0‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: b : E

Context: hb✝ : b ∈ f.range

Context: hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: b : E

Context: hb✝ : b ∈ f.range

Context: hb : b ≠ 0

‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : Cofix F α

Context: R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : Cofix F α

∀ (x y : Cofix F α), R x y → LiftR' (α.RelLast' R) x.dest y.dest


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a✝ : (P F).M α

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (repr (Quot.mk Mcongr a✝)))) (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝))


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a✝ : (P F).M α

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr x.dest) <$$> dest (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a✝ : (P F).M α

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) <$$> Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a✝ : (P F).M α

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: (Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a✝ : (P F).M α

∀ (x : (P F).M α), R (((Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) x) (Quot.mk Mcongr x)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MulAction G X

Context: inst✝⁸ : MulAction G Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: H : Type u_5

Context: inst✝³ : Group H

Context: inst✝² : MulAction H X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : ProperSMul G X

Context: f : H →* G

Context: f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f

Context: f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x

IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MulAction G X

Context: inst✝⁸ : MulAction G Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: H : Type u_5

Context: inst✝³ : Group H

Context: inst✝² : MulAction H X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : ProperSMul G X

Context: f : H →* G

Context: f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f

Context: this : IsProperMap ⇑f


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MulAction G X

Context: inst✝⁸ : MulAction G Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: H : Type u_5

Context: inst✝³ : Group H

Context: inst✝² : MulAction H X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : ProperSMul G X

Context: f : H →* G

Context: f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f

Context: this : IsProperMap ⇑f

Context: h : IsProperMap (Prod.map ⇑f fun x => x)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MulAction G X

Context: inst✝⁸ : MulAction G Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: H : Type u_5

Context: inst✝³ : Group H

Context: inst✝² : MulAction H X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: inst✝ : ProperSMul G X

Context: f : H →* G

Context: f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f

Context: this✝ : IsProperMap ⇑f

Context: this : (fun hx => (hx.1 • hx.2, hx.2)) = fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)

IsProperMap fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
s' : Multiset α
hs' : s = 0 ::ₘ s'


Context:
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A


Context: n : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Fintype n

Context: R : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : Module R M✝

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Nontrivial A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: M : Matrix n n A

Context: this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ ((algebraMap A K).mapMatrix M).det = 0


Context: n : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Fintype n

Context: R : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : Module R M✝

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Nontrivial A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: M : Matrix n n A

Context: this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0


Context: n : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Fintype n

Context: R : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : Module R M✝

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Nontrivial A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: M : Matrix n n A

(∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows

Context: hx : x.Compatible


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hx : x.Compatible


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hx : x.Compatible

∀ (y₁ y₂ : (presheafHom F G).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s : Set X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : RegularSpace X

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: h : RegularSpace X ↔ ∀ (x : X) (s : Set X), Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ

Multiset.card (toMultiset f) = f.sum fun x => id


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: f : α → β

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun y => y ∈ Set.range f

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: this : DecidablePred fun y => ∃ x, f x = y := inst✝¹

filter (fun y => y ∈ Set.range f) univ = image f univ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]

eval₂ (algebraMap R S) x (p.comp q) = eval₂ (algebraMap R S) (eval₂ (algebraMap R S) x q) p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G

F.a ≫ U.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ G.a


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n : ℕ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G


F.a ≫ U.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ G.a


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
r : ℤ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: q : G.Walk v w

Context: h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: h_countable_range : (Set.range τ).Countable

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

stoppedValue f τ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] μ[f n|hτ.measurableSpace]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

∀ i ∈ Set.range τ, stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j✝ : J

(biproduct.lift fun j => biproduct.π f j ▷ X) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ = (∑ j : J, biproduct.π f j ▷ X ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝


biproduct.π f j✝ ▷ X = (∑ j : J, biproduct.π f j ▷ X ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

Context: hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x

Context: H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ

(f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: f g g' : G → ℝ

Context: hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x

Context: hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x

Context: this : (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x = 0


Context: β : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

Context: t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: T : (i : ι) → Set (Set (X i))

Context: cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)

Context: f : (i : ι) → β → X i

IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i}


Context: β : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

Context: t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: T : (i : ι) → Set (Set (X i))

Context: f : (i : ι) → β → X i

Context: S : Set β

(∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i) ↔ ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ preimage (f i) '' T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x

Context: Hi : IntervalIntegrable f' volume a b


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: Hi : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hab : a ≤ b


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: Hi : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hab : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

(mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2


Context:
α : Type u
inst✝³ : GroupWithZero α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a / b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ


{a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a < g a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f g : α → β

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x

Context: hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x

{a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a < g a} x


Context:
θ : ℝ
k : ℤ

(↑θ).toReal = θ - 2 * ↑k * π ↔ θ ∈ Set.Ioc ((2 * ↑k - 1) * π) ((2 * ↑k + 1) * π)


Context:
θ : ℝ
k : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : InvolutiveInv α
f g : Filter α
s : Set α

f⁻¹ ≤ g ↔ f ≤ g⁻¹


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
n : ℕ


Integrable ((fun n => f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])) n) μ


Context:
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S

FormallyUnramified R S ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1


(∃ e, IsIdempotentElem e ∧ KaehlerDifferential.ideal R S = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1


Context: R S : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : EssFiniteType R S

Context: this : ∀ (t : S ⊗[R] S), (TensorProduct.lmul' R) t = 1 ↔ 1 - t ∈ KaehlerDifferential.ideal R S


Context: R S : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : EssFiniteType R S

(∃ e, IsIdempotentElem e ∧ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ 1 - t ∈ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: E : Set α

Context: Indep : Finset α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I

Context: indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)

Context: subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E

Context: I : Finset α

(IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep ↑I ↔ Indep I


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: E : Set α

Context: Indep : Finset α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: I : Finset α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Subsingleton M₀


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Nontrivial M₀


Context:
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
x y : { x // p x }

(fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x = (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y → x = y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : StarRing R
inst✝⁶ : TrivialStar R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : StarAddMonoid A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousStar A
r : R
a : A

{ toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • a) = (starRingEnd R) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun a


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
S S' : Set (HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
inst✝ : Fact (0 < n)


Function.Injective (⇑(QuotientGroup.kerLift fromUnit) ∘ ⇑(QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).symm)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p ∧ p < ⊤

Context: f : (i : α) → E i