Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝³ : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)

Context: inst✝¹ : Fintype η

Context: k : ℕ

Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) ≤ k ↔ (Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)) ≤ k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: e : E

Context: f : E → F

Context: g : E → G

Context: s : Set E

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

Context: w✝¹ : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e w✝¹

Context: w✝ : ℝ≥0∞

Context: hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e w✝

HasFPowerSeriesWithinAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) s e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : q < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : ¬q < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
g : α → ℕ
pg : Primrec g
hg : ∀ (x : α), f x ≤ g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
g : α → ℕ
pg : Primrec g
hg : ∀ (x : α), f x ≤ g x
n : α

Nat.findGreatest (fun b => f n = b) (g n) = f n


Context:
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_dvd : v.maxPowDividing I ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0

Context: h_dvd : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors

Context: h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_dvd : Associates.mk (v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)

Context: h_not_dvd : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1)) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_dvd : Associates.mk (v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≤ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)

Context: h_not_dvd : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1)) ≤ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors

Context: h_not_dvd : ¬(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_not_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors < (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
u : ι → UniformSpace α
a : α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite


IsCompact (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex ℝ ↑s)


Continuous ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context: m s step : Nat

m ∈ range' s 0 step ↔ ∃ i, i < 0 ∧ m = s + step * i


Context: m s step n : Nat

m ∈ range' s (n + 1) step ↔ ∃ i, i < n + 1 ∧ m = s + step * i


Context: m s step n : Nat

Context: h : ∀ (i : Nat), i ≤ n ↔ i = 0 ∨ ∃ j, i = j.succ ∧ j < n


Context: m s step n : Nat

(m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ a, (∃ j, a = j + 1 ∧ j < n) ∧ m = s + step * a


Context: m s step n : Nat

(m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ a x, a = x + 1 ∧ x < n ∧ m = s + step * a


Context: m s step n : Nat

(m = s ∨ ∃ i, i < n ∧ m = s + step + step * i) ↔ m = s ∨ ∃ b a, a = b + 1 ∧ b < n ∧ m = s + step * a


Context:
α : Type u
m n : ℕ


Context:
α : Type u
m n : ℕ

(take m (range n)).length = (range (min m n)).length


Context:
α : Type u
m n : ℕ

∀ (n_1 : ℕ) (h₁ : n_1 < (take m (range n)).length) (h₂ : n_1 < (range (min m n)).length), (take m (range n))[n_1] = (range (min m n))[n_1]


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
h : Bijective ⇑f
x : M


Context: x y : ℝ


Context: t : |2⁻¹| = 2⁻¹


Context: t : |2⁻¹| = 2⁻¹

Context: z : |∑ i ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - 2⁻¹)| ≤ |2⁻¹| ^ (34 + 1) / (1 - |2⁻¹|)


Context: t : |2⁻¹| = 2⁻¹

Context: z : |∑ x ∈ range 34, (1 / 2) ^ (x + 1) / (↑x + 1) + log (1 / 2)| ≤ 1 / 17179869184


Context: t : |2⁻¹| = 2⁻¹

Context: z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrans α R
a b : α
l : List α
h : R a b
hb : Chain R b l


Context:
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
X✝ Y✝ : A ⥤ B × C
α : X✝ ⟶ Y✝
X Y : A
f : X ⟶ Y

((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).1.map f ≫ (fun X => (α.app X).1) Y = (fun X => (α.app X).1) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).1.map f


((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).2.map f ≫ (fun X => (α.app X).2) Y = (fun X => (α.app X).2) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).2.map f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

HasDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
hx : d x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) univ x


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)

(s.pi t).Nonempty ↔ ∀ a ∈ s, (t a).Nonempty


Context: x y : ℤ

(toComplex { re := x, im := y }).im = ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
h : a * b = 1

a ^ n.succ * b ^ n.succ = a ^ n * a * (b * b ^ n)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
g h : M
Hg : g ∈ Set.center M
u : Mˣ
hu : SemiconjBy (↑u) g h


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε C : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ C * p x

Context: x : E

Context: hx : p x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p q : Seminorm 𝕜 E

Context: ε C : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: x : E

Context: hx : p x ≠ 0

Context: δ : 𝕜

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: δxle : p (δ • x) < ε

Context: leδx : ε / ‖c‖ ≤ p (δ • x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hg : Measurable g
a✝¹ : γ
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
x✝ : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i' : ι'

(b.repr ≪≫ₗ Finsupp.domLCongr e).symm (Finsupp.single i' 1) = b.repr.symm (Finsupp.single (e.symm i') 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

∀ (i : (α × α) × α × α), i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔ (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈ filter (fun x => match x with | ((a, b), c, d) => a * b = c * d) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Multiset α
x✝ : β

x✝ ∈ map f s.toFinset ↔ x✝ ∈ (Multiset.map (⇑f) s).toFinset


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
H : μ'.haarScalarFactor μ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

Context: H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).pt ≅ H.cone.pt


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.left = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.left


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.right = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.right


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: h : M.IsMatching

Context: hGG' : G ≤ G'

Context: v✝ : V

Context: hv : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts

∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: h : M.IsMatching

Context: hGG' : G ≤ G'

Context: v✝ : V

Context: hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts

Context: w✝ : V

Context: hv : w✝ ∈ M.verts

Context: hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w✝¹ : V

Context: h : M.IsMatching

Context: hGG' : G ≤ G'

Context: v✝ : V

Context: w✝ : V

Context: hv : w✝ ∈ M.verts

Context: hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝

Context: w : V

Context: hw : (fun w => M.Adj w✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => M.Adj w✝ w) y → y = w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w✝¹ : V

Context: h : M.IsMatching

Context: hGG' : G ≤ G'

Context: v✝ : V

Context: w✝ : V

Context: hv : w✝ ∈ M.verts

Context: hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝

Context: w : V

(fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) y → y = w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : β → α

Context: h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : β → α

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : β → α

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s


Context: a b m n p : ℕ


Context: a b m n p : ℕ

∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then 1 else i ^ (a.lcm b).factorization i) ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : InvolutiveInv α
f g : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁✝ x₂✝ y y₁✝ y₂✝ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x₁ x₂ y₁ y₂ : A
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD I]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD I]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁✝ x₂✝ y y₁✝ y₂✝ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: I : Ideal A

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : A

Context: hxy₁ : (Ideal.Quotient.mk I) x₁ = (Ideal.Quotient.mk I) y₁

Context: hxy₂ : (Ideal.Quotient.mk I) x₂ = (Ideal.Quotient.mk I) y₂

(Ideal.Quotient.mk I) x₁ * (Ideal.Quotient.mk I) x₂ = (Ideal.Quotient.mk I) y₁ * (Ideal.Quotient.mk I) y₂


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

(coeff A (n + 1)) (bernoulliPowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) X


(algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1) / ((↑n + 1) * ↑n !)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal n, bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 = 1 then 1 else 0


(algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 + 1 = 1 then 1 else 0


(algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

(algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

(algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = (algebraMap ℚ A) (∑ i ∈ antidiagonal n.succ, ↑((i.1 + i.2).choose i.2) / (↑i.2 + 1) * bernoulli i.1 / ↑n.succ !)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: x : ℕ × ℕ

Context: h : x ∈ antidiagonal n.succ

bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n.succ ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: x : ℕ × ℕ

Context: h : x.1 + x.2 = n.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α


(↑s).Subsingleton ∧ s.card = n ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n


s.card = n → ((↑s).Subsingleton ↔ n ≤ 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s : Finset α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
I : Set β

(M.mapEquiv f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)


(∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: φ : M ↪ₑ[L] N

Context: n : ℕ

Context: f : L.Functions n

Context: x : Fin n → M

Context: h : (Formula.graph f).Realize (⇑φ ∘ Fin.cons (funMap f x) x) ↔ (Formula.graph f).Realize (Fin.cons (funMap f x) x)


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: φ : M ↪ₑ[L] N

Context: n : ℕ

Context: f : L.Functions n

Context: x : Fin n → M

Context: h : funMap f (⇑φ ∘ x) = φ (funMap f x) ↔ funMap f x = funMap f x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: f g : F[X]

Context: sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots

Context: sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots

Context: s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset

∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: f g : F[X]

Context: s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: f g : F[X]

Context: s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯

Context: c : F

Context: hc : c ∉ s'


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: f g : F[X]

Context: s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯

Context: c : F

Context: hc : ¬∃ a ∈ sf, ∃ a_1 ∈ sg, -(a - α) / (a_1 - β) = ϕ c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I

M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I


M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E ∧ (e ∈ M.E → M.Indep (insert e I))


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : IsEmpty β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g

Context: g'g : LeftInverse g' g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g

Context: g'g : LeftInverse g' g

Context: hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g

Context: g'g : LeftInverse g' g

Context: hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ

Context: h : α → β := s.piecewise f g'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g

Context: g'g : LeftInverse g' g

Context: hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ

Context: h : α → β := s.piecewise f g'

Context: this : Surjective h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a✝ : β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → G

Context: h : ((fun x => x⁻¹) ∘ fun k => f (k + 1) / f k) = fun k => f k / f (k + 1)

(map (fun k => f (k + 1) / f k) (range n)).prod = f n / f 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
u v : E
c : ℝ
hc : c ≠ 0
li : E →ₗᵢ[ℝ] F

angle ((c • li.toContinuousLinearMap) u) ((c • li.toContinuousLinearMap) v) = angle u v


Context:
a b c d m n : ℤ
n✝ : ℕ
h : 0 < n✝ + 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

∀ (a : p.Gal), (galActionHom p E) a = 1 → a = 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : p.Gal

Context: hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1

Context: x : p.SplittingField

Context: hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : p.Gal

Context: hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1

Context: x : p.SplittingField

Context: hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField

Context: key : ((galActionHom p E) ϕ) ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩) = 1 ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : p.Gal

Context: hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1

Context: x : p.SplittingField

Context: hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField

Context: key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • (rootsEquivRoots p E).symm ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: ϕ : p.Gal

Context: hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1

Context: x : p.SplittingField

Context: hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField

Context: key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • ⟨x, hx⟩) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: f : α → γ

Context: cont_f : Continuous f

Context: x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct

Context: x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct

Context: h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))

⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: f : α → γ

Context: cont_f : Continuous f

Context: this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: f : α → γ

Context: cont_f : Continuous f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: f : α → γ

Context: cont_f : Continuous f

∀ (b : pkg.space), ∃ c, Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 b)) (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: I : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: B : I → Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)

Context: inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)

Context: k : 𝕜

Memℓp ((algebraMap 𝕜 ((i : I) → B i)) k) ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: I : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: B : I → Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)

Context: inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)

Context: k : 𝕜


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α

Finset.univ.sup (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.sup f


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
q : Fin (n + 2) → β
i : Fin n


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
g : ?m.758269
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A

(baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Equation x y


(baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W B).toAffine.Equation (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: ℳ : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : Decomposition ℳ

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f g : M →ₗ[R] N

Context: h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ (ℳ i).subtype = g ∘ₗ (ℳ i).subtype

Context: i : ι

(f ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i = (g ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

∀ (x : α), 0 < x → (inducedAddHom α β) (x * x) = (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

Context: x : α

Context: hx : 0 < x

∀ a ∈ cutMap β (x * x), a ≤ (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

Context: x : α

Context: hx : 0 < x

∀ w < (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x, ∃ a ∈ cutMap β (x * x), w < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hs : NullMeasurableSet s μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
ι : Sort u_4
U : Submodule 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E

(∀ (i : ι), V i ⟂ U) ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (μ[f|m]) s_1 (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn 0 s_1 (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ

∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[f|m]) x ∂μ.restrict s = ∫ (x : α) in s_1, 0 x ∂μ.restrict s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ

AEStronglyMeasurable' m (μ[f|m]) (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hf_int : Integrable f μ

AEStronglyMeasurable' m 0 (μ.restrict s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
this : NeZero n


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z < 0


Context:
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x ≤ 1


Context:
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hc : 0 < c
h : c ≤ b


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'

inl' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inl


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0

(∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y ∧ x ≠ 0


(∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0


(∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₁ ⟶ X₀

Context: d₁ : X₂ ⟶ X₁

Context: s : d₁ ≫ d₀ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0

(if 2 = 1 + 1 then 𝟙 X₂ ≫ d₁ else 0) = d₁


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

interior (f.extend I).target ⊆ interior (range ↑I)


↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ interior (range ↑I) ⊆ interior (range ↑I)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ

∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x


↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Prime p)

Context: x : ℤ

Context: a b : ZMod p

Context: hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Prime p)

Context: x : ℤ

Context: a b : ZMod p

|a.valMinAbs| ^ 2 + |b.valMinAbs| ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Prime p)

Context: x : ℤ

Context: a b : ZMod p

↑(a.valMinAbs ^ 2 + b.valMinAbs ^ 2) = ↑x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : g ∈ H.normalizer
n : G


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : ∀ (n : G), n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
n : G


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

S.Exact ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g


IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
h₁ : c = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
n✝ : ℕ
h₁ : c = n✝ + 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E

cthickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t

SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₁)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.46544
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
pp : p.IsPath


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l

l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = l.next (l.nthLe k hk) hx


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length


l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = (pmap l.next l ⋯).nthLe k ⋯


l.reverse.prev (l.reverse.nthLe (l.length - 1 - k) ⋯) ⋯ = (l.rotate 1).nthLe k ⋯


(pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).nthLe (l.length - 1 - k) ?intro.intro = (l.rotate 1).nthLe k ⋯


l.length - 1 - k < (pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).length


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

Context: hm' : span R (Set.range m') = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

Context: hm' : span R (Set.range m') = ⊤

Context: hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

Context: hm' : span R (Set.range m') = ⊤

Context: hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: this : VanishesTrivially R m' n


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

Context: hm' : span R (Set.range m') = ⊤

Context: hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: this : ∃ κ x a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m' i = 0

Context: κ : Type u

Context: x✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

Context: j : κ

∑ i : ι, a i j • m i = 0 ↔ ∑ i : ι, a i j • m' i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

Context: hm' : span R (Set.range m') = ⊤

Context: hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: κ : Type u

Context: x✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

Context: j : κ

∑ i : ι, a i j • m i = (span R (Set.range m)).subtype (∑ i : ι, a i j • m' i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length


x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y


take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y


take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take (x.length + 1) y


take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take x.length y ++ [y[x.length]]


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: a x y✝ : E

Context: s t : Set E

Context: hst : s ≤ t

Context: y : E

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

Context: hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι

(BilinForm.toMatrix b) (traceForm R S) i j = (trace R S) (b i * b j)


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: x : M

Context: this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

Context: g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (g (x + y))


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ (x + y))) k)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁

x✝ ∈ ker 0 ↔ x✝ ∈ ⊤


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

(expand p) ((bind₁ f) φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) φ


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝

Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)


(∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]) ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)


Context:
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p


Context:
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p


Context:
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p
h2 : 1 ≤ 2 ^ p


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : K

(mixedEmbedding K) x ∈ convexBodySum K B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B


∑ x_1 : InfinitePlace K, ↑x_1.mult * x_1 x ≤ B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B


Context:
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : CstarRing A

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : PartialOrder A

Context: inst✝ : StarOrderedRing A

Context: a : A

Context: this : a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a * star a‖


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.154709, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasPullbacks D

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J D

Context: F : J ⥤ C ⥤ D

Context: c : Cocone F

Context: hc : ∀ (x : C), IsVanKampenColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: e : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.154709, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasPullbacks D

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J D

Context: F : J ⥤ C ⥤ D

Context: c : Cocone F

Context: F' : J ⥤ C ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : ∀ (x : C), Nonempty (IsColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c')) ↔ ∀ (j : J), IsPullback ((((evaluation C D).obj x).mapCocone c').ι.app j) ((whiskerRight α ((evaluation C D).obj x)).app j) (((evaluation C D).obj x).map f) ((((evaluation C D).obj x).mapCocone c).ι.app j)


Context:
α : Type u
inst✝² : Ring α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b


Context:
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
n : ℕ

eval₂ (algebraMap R S) x (p ^ n) = eval₂ (algebraMap R S) x p ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞

(⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ) + ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
f' : α →ₛ ℝ≥0∞
hf' : (fun h => ↑h ≤ f) f'
g' : α →ₛ ℝ≥0∞
hg' : (fun h => ↑h ≤ g) g'

f'.lintegral μ + g'.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: hs : s.Nonempty

Context: hb : b < sSup s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: hs : s.Nonempty

Context: hb : ∀ a ∈ s, a ≤ b


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂

Context: G' : D₂ ⥤ D₃ := Ψ.localizedFunctor L₂ L₃

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G

Context: e' : Ψ.functor ⋙ L₃ ≅ L₂ ⋙ G' := CatCommSq.iso Ψ.functor L₂ L₃ G'

Ψ.homMap L₂ L₃ (Φ.homMap L₁ L₂ f) = (Φ.comp Ψ).homMap L₁ L₃ f


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂

e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ G'.map (e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y) = (Φ.functor.associator Ψ.functor L₃ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e' ≪≫ (Φ.functor.associator L₂ G').symm ≪≫ isoWhiskerRight e G' ≪≫ L₁.associator G G').hom.app X ≫ (G ⋙ G').map f ≫ (Φ.functor.associator Ψ.functor L₃ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e' ≪≫ (Φ.functor.associator L₂ G').symm ≪≫ isoWhiskerRight e G' ≪≫ L₁.associator G G').inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂

e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ G'.map (e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y) = (𝟙 (L₃.obj (Ψ.functor.obj (Φ.functor.obj X))) ≫ e'.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ 𝟙 (G'.obj (L₂.obj (Φ.functor.obj X))) ≫ G'.map (e.hom.app X) ≫ 𝟙 (G'.obj (G.obj (L₁.obj X)))) ≫ G'.map (G.map f) ≫ (((𝟙 (G'.obj (G.obj (L₁.obj Y))) ≫ G'.map (e.inv.app Y)) ≫ 𝟙 (G'.obj (L₂.obj (Φ.functor.obj Y)))) ≫ e'.inv.app (Φ.functor.obj Y)) ≫ 𝟙 (L₃.obj (Ψ.functor.obj (Φ.functor.obj Y)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ✝ : Type u_3

Context: τ : Type u_4

Context: T : TopologicalSpace α

Context: σ : Type u_5

Context: F : Ctop α σ

Context: H : ∀ (a : α) (s : Set α), s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.f b ∧ F.f b ⊆ s

Context: x : α

Context: s : Set α

s ∈ 𝓝 x ↔ s ∈ 𝓝 x


Context:
R : Type u_1
f : ArithmeticFunction ℤ
inst✝ : Ring R
h : f.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: H : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H

Context: c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H

Context: hc : DifferentiableAt 𝕜 c x

Context: u : (i : ι) → M i

Context: m : E

(fderiv 𝕜 (fun y => (c y) u) x) m = ((fderiv 𝕜 c x) m) u


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X ≃ᵢ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → α
H : ∀ (x : α), f x = x
o : Part α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R

Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ LinearMap.ker (mkLinearMap S M) = ⊤


Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ ⊤ ≤ LinearMap.ker (mkLinearMap S M)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
H : ⊤ ≤ LinearMap.ker (mkLinearMap S M)
x : LocalizedModule S M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
H : ⊤ ≤ LinearMap.ker (mkLinearMap S M)
x : M
s : ↥S

Function.uncurry (IsLocalizedModule.mk' (mkLinearMap S M)) (x, s) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : AEStronglyMeasurable f ρ

AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x) ρ.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l : List α

Context: s✝ : WSeq α

Context: s1 s2 : Computation (List α)

Context: l' : List α

Context: s : WSeq α

Context: h : s1 = Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s) ∧ s2 = Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l' s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s) ∧ c2 = Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))) s1.destruct s2.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l : List α

Context: s✝ : WSeq α

Context: s1 s2 : Computation (List α)

Context: l' : List α

Context: s : WSeq α

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ l' s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s) ∧ c2 = Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l' ++ l, s)).destruct (Computation.map (fun x => l.reverse ++ x) (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l', s))).destruct


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.92908, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.93383, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F ⋙ coyoneda.obj (op X)).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.92908, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.93383, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : (const J).obj X ⟶ F
j j' : J
f : j ⟶ j'

(F ⋙ coyoneda.obj (op X)).map f (τ.app j) = τ.app j'


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N✝ : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : L.Structure M

Context: inst✝⁶ : L.Structure N✝

Context: inst✝⁵ : L.Structure P

Context: inst✝⁴ : L.Structure Q

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L[[M]].Structure N

Context: inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N

Context: inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Formula (Fin n)

Context: x : Fin n → M

φ.Realize ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) ↔ φ.Realize x


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N✝ : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : L.Structure M

Context: inst✝⁶ : L.Structure N✝

Context: inst✝⁵ : L.Structure P

Context: inst✝⁴ : L.Structure Q

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L[[M]].Structure N

Context: inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Formula (Fin n)

Context: x : Fin n → M

φ.Realize ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) ↔ N ⊨ (((L.lhomWithConstants M).onBoundedFormula φ).subst (Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x)).alls


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N✝ : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : L.Structure M

Context: inst✝⁶ : L.Structure N✝

Context: inst✝⁵ : L.Structure P

Context: inst✝⁴ : L.Structure Q

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L[[M]].Structure N

Context: inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Formula (Fin n)

Context: x : Fin n → M

M ⊨ (((L.lhomWithConstants M).onBoundedFormula φ).subst (Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x)).alls ↔ φ.Realize x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
f✝ : (i : ι) × α i → β
inst✝ : CompleteLattice β
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
f : Sigma α → β

⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij = ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : n → α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: h : StableUnderSpecialization (Set.range f)

Context: x y : X

Context: e : flip (fun x x_1 => x ⤳ x_1) (f y) (f x)

∃ a', flip (fun x x_1 => x ⤳ x_1) a' x ∧ f a' = f y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
h : g.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

(g.extendDomain f).SameCycle ((Subtype.val ∘ ⇑f) a) ((Subtype.val ∘ ⇑f) b)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: X Y : R

Context: h : W'.toAffine.Nonsingular X Y

Context: h0 : fromAffine (Affine.Point.some h) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: X Y : R

Context: h : W'.toAffine.Nonsingular X Y

Context: u : Rˣ

Context: eq : (fun m => m • ![1, 1, 0]) u = ![X, Y, 1]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
u : F α → α
x y : (P F).W
h : Wequiv x y


Context:
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring E✝
inst✝⁸ : Semiring K✝
inst✝⁷ : SMul F✝ E✝
inst✝⁶ : Algebra E✝ K✝
inst✝⁵ : CommSemiring F✝
inst✝⁴ : Algebra F✝ K✝
inst✝³ : IsScalarTower F✝ E✝ K✝
L : Subalgebra F✝ K✝
F : Type u_4
inst✝² : CommSemiring F
E : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring E
inst✝ : Algebra F E
K : Subalgebra F E
S : Set E

Subalgebra.restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R

-(J l R * Aᵀ * J l R * A) = -J l R * (Aᵀ * J l R * A)


-J l R * (Aᵀ * J l R * A) = -J l R * J l R


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : Aᵀ * J l R * A = J l R


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G

x ∈ ⋃ k, op (a * ↑k) • ↑H ↔ x ∈ doset a ↑H ↑K


(∃ i, x * ((↑i)⁻¹ * a⁻¹) ∈ H) ↔ ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * a * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

sSup ((fun x => ‖f x‖) '' ball 0 1) = ‖f‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R

Context: a : Aˣ

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x⁻¹) '' spectrum R ↑a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p ↑a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203239}
ι α : Type u
A : ι → Set α
s : Set ι


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ


Context: q₁ q₂ : ℚ

(q₁ * q₂).den = q₁.den * q₂.den / (q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s s'

HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x


HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h' * h₂') s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

minimals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' minimals s (y ∩ range ⇑f)


⇑f ⁻¹' minimals s (y ∩ range ⇑f) = univ ∩ ⇑f ⁻¹' minimals s (⇑f '' univ ∩ y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
h : ker f ≤ r
hf : Surjective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : Function.Injective k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0

(∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i).support.card = n


(∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i).support = image k univ


∀ (a : ℕ), (∑ x_1 : Fin n, if a = k x_1 then x x_1 else 0) ≠ 0 ↔ ∃ a_1, k a_1 = a


Context:
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M


Context:
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

∫⁻ (a : α), ↑‖(-f) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α

A.adjugateᵀ.map star = (Aᵀ.map star).adjugate


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : CommRing α

Context: inst✝ : StarRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: this : Aᵀ.adjugate.map star = (Aᵀ.map star).adjugate


Context:
n : ℕ+
a : ℕ
h : a ∣ ↑n


Context:
n : ℕ+
a : ℕ
h : 0 ∣ ↑n
hzero : a = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: s : (x : B) → E x

Context: x₀ : B

ContMDiffAt IB (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀ ↔ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) { proj := x, snd := s x }).2) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: s : (x : B) → E x

Context: x₀ : B

ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) (TotalSpace.mk' F x (s x))).2) x₀ → ContMDiffAt IB IB n (fun x => x) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: s : (x : B) → E x

Context: x₀ : B

Context: a✝ : ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) (TotalSpace.mk' F x (s x))).2) x₀


Context:
x y : ℝ
h : 0 < x
h₁ : 0 < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
b : α
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
h : x ∉ s → f x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b

Integrable (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) volume


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
h : CountablyGenerated α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α

generateFrom (⋃ n, countablePartition α n) = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : RCLike α
inst✝ : RCLike β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
i : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x✝¹ x✝ : List α
h : x✝¹ <+ x✝
n : ℕ


Context:
m n k : Nat
x✝ : m.Coprime k ∧ n.Coprime k
h : m.Coprime k
right✝ : n.Coprime k


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : sin (angle x y) = 1


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R

Context: inst✝¹³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module R M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: M₁'' : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (M₁'' i)

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: hf : ∀ (i : ι), Surjective ⇑(f i)

Context: g₁ g₂ : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂

Context: x : (i : ι) → M₁' i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A


1 - ∑ k ∈ range 0, ↑(Nat.choose 0 k) / (↑0 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
s t : Multiset α
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
h : Rel r s t


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
t : Multiset α
h : Rel r 0 t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: r✝ : α → β → Prop

Context: p : γ → δ → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝² : IsTrans α r

Context: inst✝¹ : IsSymm α r

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidablePred (r x)

Context: y : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countP (r x) s = countP (r x) t

Context: t : Multiset α

Context: h : Rel r (y ::ₘ s) t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hf : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume

Context: ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 c)

HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
inst✝ : e.IsTruncGE


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
inst✝ : e.IsTruncGE
k : ι
hk : e.f k = c'.next (e.f j)


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K

R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + 1, (frobenius K p) x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n + 1, (frobenius K p) x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) x).1] y.2)


R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + y.1).succ, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x * (⇑(frobenius K p))^[n] y.2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → Kernel α β
a : α


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

prodComparison (reflector i) A B ≫ (bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) = 𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))


(bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) ≫ prodComparison (reflector i) A B = 𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq N

Context: inst✝³ : Zero M

Context: inst✝² : DecidableEq P

Context: inst✝¹ : Zero P

Context: inst✝ : Zero N

Context: F : M → N → P

Context: F0 : F 0 0 = 0

Context: f : α →₀ M

Context: g₁ g₂ : α →₀ N

Context: hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun g => F f g

Context: a✝ : α

a✝ ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a✝ ∈ g₁.neLocus g₂


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : CokernelCofork f

Context: hc : IsColimit c

Context: hf : f = 0

Context: e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : CokernelCofork f

Context: hc : IsColimit c

Context: hf : f = 0

Context: eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : CokernelCofork f

Context: hc : IsColimit c

Context: hf : f = 0

Context: eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y

Context: this : IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData

(S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.ι = (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ h.opcyclesIso.hom


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
this : 0 ∈ (univBall c r).source


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: r : ℝ≥0

∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: r : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)

Context: h₂ : ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z), ∃ a, i = f ≫ a ∧ j = g ≫ a

Context: Z : C

Context: a : Y ⟶ Z

Context: f₁ : mk (f ≫ a) ⟶ mk a := homMk left ⋯

Context: f₂ : mk (g ≫ a) ⟶ mk a := homMk right ⋯


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0


ContinuousOn (fun {b} => ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) {c | 0 < c.re}


ContinuousOn (fun {b} => (↑π / b) ^ (1 / 2)) {c | 0 < c.re}


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
c : ℂ
hc : c ∈ {c | 0 < c.re}


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v
t : τ
ht : t ∈ u
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : Associates α


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0