‖c‖ * (‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖) ≤ ‖c‖ * SchwartzMap.seminormAux k n f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ

x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ico a b ↔ x✝ ∈ Ico ⌈a⌉ ⌈b⌉


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

(fun m => m • Q) u x * Q z ^ 2 = Q x * (fun m => m • Q) u z ^ 2


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u✝ v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
v w u : V

u ∈ ⊤.commonNeighbors v w ↔ u ∈ Set.univ \ {v, w}


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ

Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : α × Ω → F

Context: hf_int : (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst

Context: hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: h : a.factors ≤ b.factors

Context: ha : ¬a = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: h : a.factors ≤ b.factors

Context: ha : ¬a = 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: h : a.factors ≤ b.factors

Context: ha : ¬a = 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sb : b.factors = ↑sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h : ↑sa ≤ ↑sb

Context: h_sb : b.factors = ↑sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h : ↑sa ≤ ↑sb

Context: h_sb : b.factors = ↑sb

Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa ≤ Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h : sa ≤ sb

Context: h_sb : b.factors = ↑sb


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hn : l.Nodup
hs : Symmetric r
this : IsSymm α r := { symm := hs }


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: c : Con M

Context: s : Multiset ι

Context: f g : ι → M

Context: a✝ : List ι

Context: h : ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝, c (f x) (g x)

c (Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r a✝)).prod (Multiset.map g (Quot.mk Setoid.r a✝)).prod


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2

Submodule.comap reverse (evenOdd Q n) = evenOdd Q n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
hf : Antitone f


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A

(Algebra.adjoin R s).op = Algebra.adjoin R (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


(Algebra.adjoin R s).op.toSubsemiring = (Algebra.adjoin R (MulOpposite.unop ⁻¹' s)).toSubsemiring


Subsemiring.closure (MulOpposite.unop ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ MulOpposite.unop ⁻¹' s) = Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ) ∪ MulOpposite.unop ⁻¹' s)


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : Aᵐᵒᵖ

x ∈ MulOpposite.unop ⁻¹' Set.range ⇑(algebraMap R A) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Aᵐᵒᵖ)


(∃ y, (algebraMap R A) y = MulOpposite.unop x) ↔ ∃ y, MulOpposite.op ((algebraMap R A) y) = x


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : Aᵐᵒᵖ
x✝ : R

(algebraMap R A) x✝ = MulOpposite.unop x ↔ MulOpposite.op ((algebraMap R A) x✝) = x


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ


Context:
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : (sum fun a => κ ^ #(β a)) ≤ κ

(sum fun a => κ ^ lift.{u, u} #(β a)) ≤ κ


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : R →+* S

Context: x y : B

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R B) r * y = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap R B) (x * y) p = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : R →+* S

Context: x y : B

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R B) r * y = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

eval₂ (algebraMap R B) x (p.scaleRoots r) = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : R →+* S

Context: x y : B

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R B) r * y = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval ((algebraMap R B) r * (x * y)))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : R →+* S

Context: x y : B

Context: r : R

Context: hr : y * (algebraMap R B) r = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic

eval₂ (algebraMap R B) x = ⇑(aeval (x * y * (algebraMap R B) r))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : R →+* S

Context: x y : B

Context: r : R

Context: hr : y * (algebraMap R B) r = 1

Context: p : R[X]

Context: p_monic : p.Monic


Context:
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0

Tendsto (fun x => |tan x|) (𝓝[≠] x) atTop


Tendsto (fun x => Complex.abs (Complex.tan ↑x)) (𝓝[≠] x) atTop


Tendsto Complex.ofReal' (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] ↑x)


Tendsto Complex.ofReal' (𝓟 {x}ᶜ) (𝓟 {↑x}ᶜ)


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
l : List α
p : Chain R a l

Chain (fun x y => x ∈ a :: l ∧ y ∈ l ∧ R x y) a l


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
f : G → F
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf : Integrable f μ
g : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : Fin L.length

drop (Nat.sum (take (↑i) (map length L))) (take (Nat.sum (take (↑i + 1) (map length L))) L.join) = L.get i


Context: X : Type u

Context: m₁ m₂ : X → X → X

Context: e₁ e₂ : X

Context: h₁ : IsUnital m₁ e₁

Context: h₂ : IsUnital m₂ e₂

Context: distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)


Context: X : Type u

Context: m₁ m₂ : X → X → X

Context: e₁ e₂ : X

Context: h₁ : IsUnital m₁ e₁

Context: h₂ : IsUnital m₂ e₂

Context: a b : X


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X : D
Y : C

Function.Bijective fun g => adj.unit.app X ≫ g


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: X : D

Context: Y : C

Context: e_1✝ : ((G ⋙ F).obj X ⟶ F.obj Y) = (F.obj (G.obj X) ⟶ F.obj Y)

Context: e_2✝ : ((𝟭 D).obj X ⟶ F.obj Y) = (X ⟶ F.obj Y)

(fun g => adj.unit.app X ≫ g) = ⇑((Functor.FullyFaithful.ofFullyFaithful F).homEquiv.symm.trans (adj.homEquiv X Y))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y) = 𝓝[s] y


↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) =ᶠ[𝓝[s] y] id


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Valid' o₂ t.dual o₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : Valid' o₂ t.dual o₁
this : Valid' o₁ t.dual.dual o₂


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

J ∈ π₁ ⊓ π₂ ↔ ∃ J₁ ∈ π₁, ∃ J₂ ∈ π₂, ↑J = ↑J₁ ⊓ ↑J₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

sup f = lsub f ↔ ∀ a < lsub f, succ a < lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
heq : succ (sup f) = lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
heq : succ (sup f) = lsub f
this : succ (sup f) < lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ a < lsub f, succ a < lsub f
i : ι
hle : sup f ≤ f i
heq : succ (sup f) = lsub f
this : lsub f < lsub f


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|.toNNReal) (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M


∀ x ∈ f.graph.toList, ∀ y ∈ f.graph.toList, x.1 = y.1 → x = y


Context:
n : ℕ
s : ℕ := n.sqrt

pair (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).1 (if n - n.sqrt * n.sqrt < n.sqrt then (n - n.sqrt * n.sqrt, n.sqrt) else (n.sqrt, n - n.sqrt * n.sqrt - n.sqrt)).2 = n


Context:
n : ℕ
s : ℕ := n.sqrt
sm : s * s + (n - s * s) = n


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
q n : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
f : M ∗ N →* P

MonoidHom.mrange f = MonoidHom.mrange (f.comp inl) ⊔ MonoidHom.mrange (f.comp inr)


Context:
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} D

Context: F : C ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} D

Context: F : C ⥤ D

autoParam (∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y), (functor r ⋙ lift r F H).map f = eqToHom ⋯ ≫ F.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} D

Context: F : C ⥤ D

∀ (X : C), (functor r ⋙ lift r F H).obj X = F.obj X


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ

∃ i ∈ s, (H i).FiniteIndex ∧ (H i).index ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: h : ∀ i ∈ s, (H i).FiniteIndex → s.card < (H i).index


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hs : ¬s = ∅


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : 0 < s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : 0 < s.card

Context: hlt : ∀ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ < (↑s.card)⁻¹


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
β : Type u_2
inst✝ : InvolutiveStar β
x y : β


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β

ContinuousWithinAt f s b ↔ Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hy : x ∈ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))

κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum_a : ∀ (a : α), Summable fun n => f n a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

((κ.withDensity (∑' (n : ι), f n)) a) s = ((Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)) a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∑' (n : ι), ((κ.withDensity (f n)) a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable (Function.uncurry (∑' (n : ι), f n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : ∫⁻ (b : β) in s, tsum (fun n => f n) a b ∂κ a = ∫⁻ (b : β) in s, ∑' (n : ι), (fun b => f n a b) b ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∑' (i : ι), ∫⁻ (a_1 : β) in s, f i a a_1 ∂κ a = ∑' (n : ι), ((κ.withDensity (f n)) a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: h_sum : Summable fun n => f n

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: n : ι

∫⁻ (a_1 : β) in s, f n a a_1 ∂κ a = ((κ.withDensity (f n)) a) s


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0

(c • μ').haarScalarFactor μ = c • μ'.haarScalarFactor μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: c : ℝ≥0

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: c : ℝ≥0

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: c : ℝ≥0

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0

↑((c • μ').haarScalarFactor μ) = ↑(c • μ'.haarScalarFactor μ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
m n : ZNum


Context: n✝ b n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
a : α
s : Set α

TotallyBounded (insert a s) ↔ TotallyBounded s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →* G₃
hh : h.comp f = g

h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨h.comp f, ⋯⟩


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N

∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ


0 ≤ ∫ (a : Ω), (fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (f (i + 1) - f i)) ω) a ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
t : Subring S
h : t ≤ f.range


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: rα : α → α → Prop

Context: rβ : β → β → Prop

Context: a✝ : α

Context: b✝ : β

Context: C : α → α → Sort u_3

Context: hr : WellFounded rα

Context: IH : (a₁ b₁ : α) → ((a₂ b₂ : α) → GameAdd rα s(a₂, b₂) s(a₁, b₁) → C a₂ b₂) → C a₁ b₁

Context: a b : α

⋯.fix (fun x IH' => IH x.1 x.2 fun a' b' => IH' (a', b')) (a, b) = IH a b fun a' b' x => ⋯.fix (fun x IH' => IH x.1 x.2 fun a' b' => IH' (a', b')) (a', b')


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hconn : G.Connected
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v
q : G.Walk v w
hq : q.length = G.dist v w


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

toIocMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p


(c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIocMod hp a b = c


(c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIocMod hp a b = c


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n✝ n : ℤ
hc : b - n • p ∈ Set.Ioc a (a + p)


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: γ₀ : (i : ι) → Homotopic.Quotient (as i) (bs i)

Context: γ₁ : (i : ι) → Homotopic.Quotient (bs i) (cs i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α


s.inf WithTop.some = s.inf (WithTop.some ∘ fun x => x)


Context: m n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : z.im ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : (-z).re ≤ 0

Context: hz_im : (-z).im ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

∃ c < 2, ∃ B, (f ∘ Neg.neg) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).Φ n = Polynomial.map f (W.Φ n)


(X * (mapRingHom f) (W.ΨSq n) - (mapRingHom f) (W.preΨ (n + 1)) * (mapRingHom f) (W.preΨ (n - 1)) * if Even n then 1 else (mapRingHom f) W.Ψ₂Sq) = (mapRingHom f) (X * W.ΨSq n - W.preΨ (n + 1) * W.preΨ (n - 1) * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : { center := p, radius := r }.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere { center := p, radius := r }.center { center := p, radius := r }.radius → { center := p, radius := r } = s.circumsphere


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : Set.range s.points ⊆ Metric.sphere p r → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : (∀ p_1 ∈ Set.range s.points, p_1 ∈ { center := p, radius := r }) → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: p : P

Context: r : ℝ

Context: h : p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

(fun x => a + x) '' Ioc b c = Ioc (a + b) (a + c)


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg_mem : ∀ (x : X), g x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖

Context: g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖

Context: x : ↑s

‖f x‖ ≤ ‖g'‖


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖

Context: x : ↑s

Context: hx : f x = g' ↑x

‖f x‖ ≤ ‖g'‖


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖

Context: x : ↑s

Context: hx : f x = g' ↑x

‖g' ↑x‖ ≤ ‖g'‖


Context: X : TopCat


Context: X : TopCat

∀ (X_1 : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)), ⋯.functor.obj X_1 = (map (inclusionTopIso X).inv).obj X_1


Context: X : TopCat

∀ (X_1 Y : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)) (f : X_1 ⟶ Y), ⋯.functor.map f = eqToHom ⋯ ≫ (map (inclusionTopIso X).inv).map f ≫ eqToHom ⋯


Context: x : ℂ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

𝟙 X ⊗ (ρ_ Y).inv = (ρ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ X Y (𝟙_ C)).hom


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w

Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2


(Set.univ.toFinset \ {v, w}.toFinset).card = Fintype.card V - 2


Set.univ.toFinset.card - {v, w}.toFinset.card = Fintype.card V - 2


Context:
m✝ n✝ n m : ℕ
hnm : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
n : ℕ

μ (support ↑((fun n => c • hf.approx n) n)) < ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPushouts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono g

Context: s : PushoutCocone f g

Context: hs : IsColimit s

Context: this : Mono ((colimit.cocone (span f g)).ι.app WalkingCospan.left)


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑X


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α (n + 1)

a ∈ v.toList ↔ a = v.head ∨ a ∈ v.tail.toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a'✝ : α
v : Vector α (n + 1)
a' : α
v' : Vector α n
h : v = a' ::ᵥ v'


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
H1 : (B x) y = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Preorder M

Context: inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : ι → M

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod

Context: h₁ : ∀ i_1 ∈ i :: l, f i_1 ≤ g i_1

Context: h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1

(map f (i :: l)).prod < (map g (i :: l)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Preorder M

Context: f g : ι → M

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1

Context: h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x

f i * (map f l).prod < g i * (map g l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Preorder M

Context: f g : ι → M

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x

Context: h₂ : f i < g i ∨ ∃ a ∈ l, f a < g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Injective g
f : γ → α

∏' (y : β), extend g f 1 y = ∏' (x : γ), f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: γ : Type u_5

Context: g : γ → β

Context: hg : Injective g

Context: f : γ → α

Context: this : mulSupport (extend g f 1) ⊆ Set.range g


Context: θ : Angle


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : f a = f b

(∃ b_1 ∈ f b, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b_1 c) ↔ ∃ b ∈ f a, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α

sign (Equiv.trans f g) = sign g * sign f


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : W ⟶ X

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback f' (pullback.fst f g)

Context: inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g

(pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.snd f' (pullback.fst f g) ≫ pullback.fst f g = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : W ⟶ X

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g

(pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.fst f' (pullback.fst f g) ≫ f' = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
l : o.IsLimit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit x
hx'' : q = p * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit x
hx'' : p * 1 = p * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit 1
hx'' : p * 1 = p * x


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: g' : Z ⟶ W

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'

Context: inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

pushout.inr f (g ≫ g') ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').inv = pushout.inr (pushout.inr f g) g'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts


(∑ i ∈ P.parts, i.card) / P.parts.card ≤ t.card


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
f : ℕ → A
n : ℕ

(aeval f) (W_ R n) = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * f i ^ p ^ (n - i)


Context:
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R


Context: I : Type u

Context: inst✝⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.157279, u_1} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝² : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝¹ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: i₁ i₂ i₃ i₄ j : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j

Context: i₂₃₄ : I

Context: hi : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄


Context:
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε

∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε


Context: a b : ℝ

Context: f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: w : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring


Context: a b : ℝ

Context: f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring


Context: a b : ℝ

Context: f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: m : ℝ[X]

Context: H : ↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m ∈ Metric.ball f ε


Context: a b : ℝ

Context: f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: m : ℝ[X]

Context: H : ‖↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m - f‖ < ε


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : (C ↑u).degree = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : f.degree = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : (C (f.coeff 0)).IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : f.degree = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ f g : ι →₀ α

Context: s✝ : Finset ι

Context: hf : f.support ⊆ s✝

Context: h : ∀ i ∈ s✝, f i ≤ g i

Context: s : ι


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ

(Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).prod % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n


(Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


generateFrom (range Ioi) = generateFrom (⋃ a, {Ioi ↑a})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a


MeasurableSet (⋃ y ∈ Rat.cast ⁻¹' Ioi a, Ioi ↑y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

mixedEmbedding.norm x = 0 ↔ ∃ w, (normAtPlace w) x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

∀ (x y : A), (fun a => a • baseChangeHom R A M N) (x + y) = (fun a => a • baseChangeHom R A M N) x + (fun a => a • baseChangeHom R A M N) y


∀ (m x : A), { toFun := fun a => a • baseChangeHom R A M N, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id A) m • { toFun := fun a => a • baseChangeHom R A M N, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜


iteratedDerivWithin n f univ x = deriv^[n] f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝¹ x : 𝕜
x✝ : 𝕜 → F


Context:
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(node s l x r).toList = l.toList ++ x :: r.toList


l.toList ++ x :: foldr List.cons r [] = l.toList ++ x :: r.toList


Context:
a : Prop
l : List Prop


Context: θ ψ : ℝ


Context: θ ψ : ℝ

∃ k, toIocMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑k


Context: θ ψ : ℝ

toIocMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑(-toIocDiv two_pi_pos ψ θ)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α


cthickening (min δ 0) E ⊆ cthickening δ E


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
h : xs ~ ys


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: hgδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: x✝ : x ∈ f.range


Context: s : ℂ

((starRingEnd ℂ) s).GammaIntegral = (starRingEnd ℂ) s.GammaIntegral


Context: s : ℂ

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ((starRingEnd ℂ) s - 1) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (starRingEnd ℂ) (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))


Context:
s : ℂ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ((starRingEnd ℂ) s - 1) = (starRingEnd ℂ) (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α

↑n ≤ G.chromaticNumber ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Surjective ⇑C


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
inst✝ : IsSymmOp N N mu

Covariant N N (flip mu) r ↔ Covariant N N mu r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.buckets.WF

((m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val AssocList.nil ⋯).update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).WF


(m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).WF


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β → β

Context: inst✝³ : BEq α

Context: inst✝² : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: k : α

Context: h : m.buckets.WF

Context: inst✝¹ : PartialEquivBEq α

Context: inst✝ : LawfulHashable α

Context: H : List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val].toList

List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) (List.replaceF (fun x => bif x.fst == k then some (k, f x.fst x.snd) else none) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat].toList)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β → β

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: k : α

Context: h✝ : m.buckets.WF

Context: H : AssocList.All (fun k_1 x => ((hash k_1).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val]

Context: a : α × β

Context: h : a ∈ List.replaceF (fun x => bif x.fst == k then some (k, f x.fst x.snd) else none) m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat].toList

((hash a.fst).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
a : α
n : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

(∃ S ⊆ {t | IsOpen t ∧ Dense t}, S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsOpen t) ∧ (∀ t ∈ S, Dense t) ∧ S.Countable ∧ ⋂₀ S ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a b : Associates α
x✝¹ x✝ : α

(⟦x✝¹⟧ * ⟦x✝⟧).out = Associates.out ⟦x✝¹⟧ * Associates.out ⟦x✝⟧


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : ⟦α⟧ = succ c


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (succ c).ord.IsLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : #α = succ c
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
i : ↑S


Context: x y : EReal


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P : C

Context: hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj (op P))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P : C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

‖integral μ f‖ ≤ integral μ (map norm f)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

σₙ R (((↑(cfcHom ha)).comp ((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom)) f) = range ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

spectrum R (((↑(cfcHom ha)).comp ((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom)) f) ∪ {0} = range ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

spectrum R ((cfcHom ha) ((compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }) (toContinuousMapHom f))) ∪ {0} = range ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ R a), R)₀

range ⇑((compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }) (toContinuousMapHom f)) ∪ {0} = range ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
this : a + b = a + b + (a * b + b * a)


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C

f ▷ (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ f ▷ Y ▷ Z ≫ (α_ X' Y Z).hom


f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X' Y Z).hom


f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ 𝟙 Y ⊗ 𝟙 Z)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
h : Unique ι
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α

(f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in g, p x


(∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃s' : Set α⦄, s' ∈ g → (s ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∀ {U : Set α}, U ∈ g → ∃ x, p x ∧ x ∈ U


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing R
inst✝² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : C(X, 𝕜)


⇑(RingHom.id 𝕜) ⁻¹' Set.range ⇑f = Set.range ⇑f


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source

HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc✝ : γ t ∈ (extChartAt I (γ t₀)).source

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

(mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t))) = ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

∀ (x : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t), ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) x = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

Context: a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t

((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) a = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v s

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

Context: a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t

(ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a) = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

AntilipschitzWith (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ (s.restrict f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
x✝ : ↑s

s.restrict f x✝ = s.restrict (⇑f') x✝ + (f ↑x✝ - ↑f' ↑x✝)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z ≤ ε + δ
hε' : 0 < ε
hεδ : 0 < ε + δ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : dist x z ≤ ε + δ

Context: hε' : 0 < ε

Context: hεδ : 0 < ε + δ

Context: y : E

Context: hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : dist x z ≤ ε + δ

Context: hε' : 0 < ε

Context: hεδ : 0 < ε + δ

Context: y : E

dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε ≤ ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : dist x z / (ε + δ) ≤ 1

Context: hε' : 0 < ε

Context: hεδ : 0 < ε + δ

Context: y : E


Context:
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ Δ'
inst✝¹ : Epi e
i : Δ' ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ


Context:
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ Δ'
inst✝¹ : Epi e
i : Δ' ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
this : StrongEpi e


Context: Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: φ : Δ ⟶ Δ''

Context: e✝ : Δ ⟶ Δ'

Context: inst✝¹ : Epi e✝

Context: i : Δ' ⟶ Δ''

Context: inst✝ : Mono i

Context: fac : e✝ ≫ i = φ

Context: this : StrongEpi e✝

Context: e : Δ' ≅ image φ := image.isoStrongEpiMono e✝ i fac


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n
this : n - m + m = n


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n
this : n - m + m = n

(n - m + m - m).gcd (n - m + m) = (n - m).gcd m


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n
this✝ : n - m + m = n
this : (n - m).gcd n = (n - m).gcd m


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x✝ y z : V

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val

Context: hst : s ⊆ t

Context: b : Set V

Context: bt : b ⊆ t

Context: bi : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val

Context: sb : s ⊆ b

Context: h : ∀ a ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ b }) K Subtype.val}, b ⊆ a → a = b

Context: x : V

Context: xt : x ∈ t


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x✝ y z : V

Context: hst : s ⊆ t

Context: b : Set V

Context: bt : b ⊆ t

Context: sb : s ⊆ b

Context: x : V

Context: xt : x ∈ t

Context: hn : x ∉ ↑(span K b)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ f g : ι →₀ α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1

IsCauSeq abv fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1


IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (x ^ n)


IsCauSeq abs fun m => (abv x ^ m - 1) / (abv x - 1)


IsCauSeq abs fun m => (1 - abv x ^ m) / (1 - abv x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : Nontrivial β
x : β
hx1 : abv x < 1
hx1' : abv x ≠ 1
this : 0 < 1 - abv x


∀ n ≥ 0, (1 - abv x ^ n) / (1 - abv x) ≤ (1 - abv x ^ n.succ) / (1 - abv x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C

Context: F G : ℕ ⥤ C

Context: app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n

Context: naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)

Context: i j : ℕ

Context: φ : i ⟶ j


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C

Context: F G : ℕ ⥤ C

Context: app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n

Context: i j : ℕ

Context: φ : i ⟶ j

Context: k : ℕ

Context: hk : j = i + k


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C

Context: F G : ℕ ⥤ C

Context: app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n

Context: i j k : ℕ

Context: hk : j = i + k

F.map (homOfLE ⋯) ≫ app j = app i ≫ G.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C

Context: F G : ℕ ⥤ C

Context: app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n

Context: k : ℕ

∀ ⦃i j : ℕ⦄ (hk : j = i + k), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app j = app i ≫ G.map (homOfLE ⋯)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b

Disjoint (supported M R s) (ker (lmapDomain M R f))


supported M R s ⊓ ker (lmapDomain M R f) ≤ ⊥


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : l ∈ ↑(ker (lmapDomain M R f))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T0Space α
f g : CauchyFilter α


Context:
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rla : IsLeftRegular a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, c * u k ≤ u (k + 1)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ x = 0 ∨ ∃ r, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x = y


x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, r • (o.rotation ↑(π / 2)) x = y


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hr : r ≠ 0
h : LiouvilleWith p (x * ↑r)


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: h : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)

Context: j k : J

Context: g : k ⟶ j


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
hpq : q.degree ≤ p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hpq : q.degree ≤ p.degree

Context: this : (p % q).degree < (q * (p / q)).degree


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: β : Option ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : Option ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: μ : (i : Option ι) → Measure (β i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Option ι), SigmaFinite (μ i)

map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none)) = Measure.pi μ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: β : Option ι → Type u_4

Context: μ : (i : Option ι) → Measure (β i)

Context: s : (i : Option ι) → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : Option ι), MeasurableSet (s i)

(map (⇑(MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm) ((Measure.pi fun i => μ (some i)).prod (μ none))) (univ.pi s) = ∏ i : Option ι, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: β : Option ι → Type u_4

Context: μ : (i : Option ι) → Measure (β i)

Context: s : (i : Option ι) → Set (β i)

Context: e_meas : ((i : ι) → β (some i)) × β none ≃ᵐ ((i : Option ι) → β i) := (MeasurableEquiv.piOptionEquivProd β).symm


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: β : Option ι → Type u_4

Context: μ : (i : Option ι) → Measure (β i)

Context: s : (i : Option ι) → Set (β i)

Context: me : MeasurableEmbedding ⇑e_meas


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: β : Option ι → Type u_4

Context: μ : (i : Option ι) → Measure (β i)

Context: s : (i : Option ι) → Set (β i)

Context: me : MeasurableEmbedding ⇑e_meas

Context: this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = (univ.pi fun i => s (some i)) ×ˢ s none


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t : S
m : t ∈ l s
h : turnBound s = 0


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ l s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < turnBound s


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ l s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < 0


Context:
n x y : ℤ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : IsCoprime x y


Context:
n x y : ℤ
h : n = x ^ 2 + y ^ 2
hc : IsCoprime x y
u v : ℤ
huv : u * x + v * n = 1


Context: n x y : ℤ

Context: h : n = x ^ 2 + y ^ 2

Context: hc : IsCoprime x y

Context: u v : ℤ

Context: huv : u * x + v * n = 1

Context: H : u * y * (u * y) - -1 = n * (-v ^ 2 * n + u ^ 2 + 2 * v)


Context: n x y : ℤ

Context: h : n = x ^ 2 + y ^ 2

Context: hc : IsCoprime x y

Context: u v : ℤ

Context: huv : u * x + v * n = 1


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : PreservesBiproduct f F
W : C
g : (j : J) → f j ⟶ W

((F.mapBiproduct f).hom ≫ desc fun j => F.map (g j)) = F.map (desc g)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategory
e : Δ' ⟶ Δ
inst✝ : Epi e

((splitting K).cofan (op Δ)).inj (Splitting.IndexSet.id (op Δ)) ≫ (obj K).map e.op = ((splitting K).cofan (op Δ')).inj (Splitting.IndexSet.mk e)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

weightSpace M ((chainTopCoeff α β + 1) • α + ⇑β) = ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
hq : q.natDegree ≠ 0

(p.comp q).leadingCoeff = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: this✝ : PreservesColimit (parallelPair S.f 0) F

Context: this : PreservesLimit (parallelPair h.g' 0) F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0

Context: hp : IsColimit ((CokernelCofork.ofπ h.p ⋯).map F)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0

Context: g' : F.obj h.Q ⟶ F.obj S.X₃ := hp.desc (CokernelCofork.ofπ (S.map F).g ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0

Context: hg' : g' = F.map h.g'


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31876, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.31880, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wp : F.map S.f ≫ F.map h.p = 0

Context: hg' : g' = F.map h.g'

Context: wι : F.map h.ι ≫ g' = 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A

IsUnit (fromBlocks A B C D) ↔ IsUnit (D - C * ⅟A * B)


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b u v : ℤ
H : u * a + v * b = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H
this : (F ⋙ G).Full


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
k : ℕ
ih : ucs k N₁ ≤ ucs k N₂


(ucs k N₁).normalizer ≤ (ucs k N₂).normalizer


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M M' : Matrix m n α
N : Matrix n o α


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

Disjoint (LinearMap.ker ((aeval f) p)) (LinearMap.ker ((aeval f) q))


LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q) ≤ ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q)

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α


∃ x, ∀ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf' : ∀ (n : ℕ), ∃ B, MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B ∧ ↑s B < -↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: B : ℕ → Set α

Context: hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: hr : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)

Context: h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: B : ℕ → Set α

Context: hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n

Context: n : ℕ

Context: hn : -↑s A < ↑n


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 1 ≤ x


Context:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).degree = ↑(finrank F E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))


∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ i ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, a ^ x * (r ^ i.length * ∏ j : Fin i.length, p (i.blocksFun j)) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
a✝¹ : k ∈ Ico 2 (n + 1)
c : Composition k
a✝ : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset

a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))


a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = r ^ c.length * (a ^ k * ∏ x : Fin c.length, p (c.blocksFun x))


∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j)) ≤ ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))


∑ x ∈ (Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin x.snd.length, r * (a ^ x.snd.blocksFun j * p (x.snd.blocksFun j)) ≤ ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))


((Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset) ⊆ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ → ℝ

Context: hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k

Context: r a : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: ha : 0 ≤ a

Context: k : ℕ

Context: c : Composition k

Context: hd : ⟨k, c⟩ ∈ (Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset

⟨k, c⟩ ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length


2 ≤ c.length ∧ c.length < n + 1 ∧ ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
this : c ≠ Composition.single k ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ → ℝ

Context: hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k

Context: r a : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: ha : 0 ≤ a

Context: k : ℕ

Context: c : Composition k

Context: hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length

Context: j : Fin c.length

Context: this : ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < k


∑ e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))


∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n), ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∏ j : Fin (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.length, r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ → ℝ

Context: hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k

Context: r a : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: ha : 0 ≤ a

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n

Context: K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k

HEq (fun j => r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j))) fun j => r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ → ℝ

Context: hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k

Context: r a : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: ha : 0 ≤ a

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

∀ (i : Fin k), r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd i * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd i)) = r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑i, ⋯⟩ * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑i, ⋯⟩))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ → ℝ

Context: hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k

Context: r a : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: ha : 0 ≤ a

Context: k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: j : Fin k

r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j)) = r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩ * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩))


∑ e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∑ j ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j


∑ a_1 ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin a_1, r * (a ^ s j * p (s j)) = ∑ j ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin j, r * (a ^ s j * p (s j)) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j