Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (f' n x)) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ((F - f 0) x)))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : CommSemiring A'
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A'
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
s : S

(aevalTower (AlgHom.id S S) s) X = (aeval s) X


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 1


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x : RatFunc K
h : Polynomial.eval₂ f a x.denom = 0


Context:
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝³ : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝² : IsIso g
inst✝¹ : IsAffine Z
inst✝ : IsAffine Y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)


↑‖c‖₊ < ⊤ ∧ eLpNorm (↑↑f) p μ < ⊤ ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ∨ eLpNorm (↑↑f) p μ = 0


Context: m n : ℕ


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

IsClosed s ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ f ⁻¹' t = s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

x ∈ zeroLocus 𝒜 {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 {f} ∪ zeroLocus 𝒜 {g}


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
x : B

∃ a s, ∃ (hs : s ∈ S), (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom x = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a : A
s : ↥S

∃ a_1 s_1, ∃ (hs : s_1 ∈ S), (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a s) = IsLocalization.mk' K a_1 ⟨s_1, ⋯⟩


(mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a s) = IsLocalization.mk' K a ⟨↑s, ⋯⟩


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S

IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩ ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range


(mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

Integrable (fun x => f (R • x)) μ ↔ Integrable f μ


∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x => g (S • x)) μ


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: g : E → F

Context: hg : Integrable g μ

Context: S : ℝ

Context: hS : S ≠ 0

Context: t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: g : E → F

Context: hg : Integrable g μ

Context: S : ℝ

Context: hS : S ≠ 0

Integrable g (Measure.map (fun x => S • x) μ)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : E → F

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: g : E → F

Context: hg : Integrable g μ

Context: S : ℝ

Context: hS : S ≠ 0

ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : Memℒp f 1 μ

∃ g, HasCompactSupport g ∧ eLpNorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g 1 μ


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2


Context:
x : ℝ
h1 : 0 ≤ 0
h2 : 0 < π / 2


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2
h1' : 0 < x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - ∫ (x : X) in t, f x ∂μ


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
g : ¬i = j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s t : Set α

(s ∪ t).Countable ↔ s.Countable ∧ t.Countable


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)

(g fun j => (update f i (f₁ + f₂) j) (x j)) = (g fun j => (update f i f₁ j) (x j)) + g fun j => (update f i f₂ j) (x j)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: j : ι

(update f i (f₁ + f₂) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i) + f₂ (x i)) j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: j : ι

(update f i f₁ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i)) j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: j : ι

(update f i f₂ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₂ (x i)) j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: a : R

Context: f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

(g fun j => (update f i (a • f₀) j) (x j)) = a • g fun j => (update f i f₀ j) (x j)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: a : R

Context: f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: j : ι

(update f i (a • f₀) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (a • f₀ (x i)) j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: i : ι

Context: a : R

Context: f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i

Context: g : MultilinearMap R M₁' M₂

Context: x : (i : ι) → M₁ i

Context: j : ι

(update f i f₀ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₀ (x i)) j


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x✝ : M
h : x✝ ∈ torsionBy R M 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x✝ : M
h : x✝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s


(fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)) =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s


(fun x => x ^ (-↑k)) =O[atTop] fun x => x ^ s


∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖x ^ (-↑k)‖ ≤ c * ‖x ^ s‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
x : ℝ
hx : 1 ≤ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : Inhabited α
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
h : l₁.length = n


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

(α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
f : G.forget.obj X ⟶ Y


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
g : X ⟶ G.cofree.obj Y


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n 0 τ) (jacobiTheta₂ 0 τ)


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)

Context: this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑n ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑n) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ))


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑(n + 1) ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (↑π * I * ↑↑i ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑i) ^ 2 * τ)))


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ) * 2) (jacobiTheta τ - 1)


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

Context: h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

(Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I J : Ideal α

I < J → J = ⊤ ↔ ∀ (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J


I ≤ J ∧ ¬J ≤ I → J = ⊤ ↔ ∀ (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: ht : t ∈ 𝓝 x

mfderivWithin I I' f (s ∩ t) x = mfderivWithin I I' f s x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
x : α

x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (s ∩ ball x V).Nonempty


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

Context: x : Rˣ

(x • γ).rightUnshift n hn = x • γ.rightUnshift n hn


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
a✝ : Nontrivial R


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context: a : ℤ

(↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a.natAbs


Context: a : ℤ

↑(↑a)⁻¹.den = ↑(if a = 0 then 1 else a.natAbs)


Context:
a : ℤ
lt : a < 0


↑(↑0)⁻¹.den = ↑(if 0 = 0 then 1 else Int.natAbs 0)


Context:
a : ℤ
gt : 0 < a


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x y : E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → β → Prop

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: inst✝² : DecidablePred (r a)

Context: inst✝¹ : (a : α) → Decidable (r a b)

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : (a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)

∑ a ∈ s, (bipartiteAbove r t a).card = ∑ b ∈ t, (bipartiteBelow r s b).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → β → Prop

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: inst✝² : DecidablePred (r a)

Context: inst✝¹ : (a : α) → Decidable (r a b)

Context: m n : ℕ

(∑ x ∈ s, ∑ a ∈ t, if r x a then 1 else 0) = ∑ x ∈ t, ∑ a ∈ s, if r a x then 1 else 0


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ fromStalk p₀ (toSkyscraperPresheaf p₀ f) = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

{ pt := c, ι := { app := fun U => (toSkyscraperPresheaf p₀ f).app (op (unop U).obj) ≫ eqToHom ⋯, naturality := ⋯ } }.ι.app U = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds p₀)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion p₀).op).obj 𝓕) U ≫ f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

(if h : p₀ ∈ (unop U).obj then 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj (op (unop U).obj))) ≫ eqToHom ⋯ = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

(𝓕.germ ⟨p₀, ⋯⟩ ≫ f ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ↑⟨p₀, ⋯⟩).op ⋙ 𝓕) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }) ≫ f = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F) (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1)) y = (f.linearDeriv x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

(∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 => x) (Fin.snoc 0 y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

((∑ s : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑s ⋯) fun x_1 => x) (Fin.snoc 0 y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

∀ (b' : ℕ), b' ≠ Fintype.card ι - 1 → ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b') fun x_1 => x) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

(∑ a : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑a ⋯) fun x_1 => x) fun x => y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

∑ x_1 : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑x_1).piecewise (fun x_2 => x) fun x => y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Fin (Nat.succ 0 + (Fintype.card ι - Nat.succ 0)) → { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

f (Function.update x i (y i)) = (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑((?h.inr.refine_1 ∘ ⇑(Fintype.equivFinOfCardEq ⋯)) i)).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

f (Function.update x i (y i)) = (f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1))) ((↑(((fun x => ⟨{x}ᶜ, ⋯⟩) ∘ ⇑(Fintype.equivFinOfCardEq ⋯)) i)).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

f (Function.update x i (y i)) = (domDomCongr (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯) (f.compContinuousLinearMap ContinuousLinearMap.proj)) (Function.update (fun x_1 => x) ((Fintype.equivFinOfCardEq ⋯) i) y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

f (Function.update x i (y i)) = f fun i_1 => if i_1 = i then y i_1 else x i_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i j : ι

Function.update x i (y i) j = if j = i then y j else x j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: j : ι

Function.update x j (y j) j = if j = j then y j else x j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i j : ι

Context: hj : j ≠ i


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: ι : Type u_7

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Matrix m m 𝔸

Context: h : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra

exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = s.noncommProd (fun i => exp 𝕂 (f i)) ⋯


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: h : ∀ {α : Type u₁} (F : J → α), (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂) → ∀ (j j' : J), F j = F j'

Context: α✝ : Type u₁

Context: F : J ⥤ Discrete α✝

Context: j₁✝ j₂✝ : J

Context: f : j₁✝ ⟶ j₂✝


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List (Sigma β)

Context: h : l.NodupKeys

Context: this : (map Sigma.fst (map (Sigma.mk a) (lookupAll a l))).Nodup


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List (Sigma β)

Context: h : l.NodupKeys

Context: this : (map (Sigma.fst ∘ Sigma.mk a) (lookupAll a l)).Nodup


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hfg : Set.EqOn f g s

Set.EqOn (iteratedDerivWithin n f s) (iteratedDerivWithin n g s) s


Context: p : ℕ

Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH + 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 + (unpair p).2


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

((liftIsometry 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (tprodL 𝕜)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) x✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a b : R
dvd : a ∣ b


torsionBySet R M ↑(span R {a}) ≤ torsionBySet R M {b}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a c : R
dvd : a ∣ c


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : ι' → ι
hf : Injective f
p q : MvPolynomial ι' R

(aeval (x ∘ f)) p = (aeval (x ∘ f)) q → p = q


Context:
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k


Context:
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k

(∀ (j : ℕ), Summable fun i => ((fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm) ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑fun i => i ∈ (box j).val), ((fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm) ↑i


Context:
z : ℍ
k : ℝ
hk : 2 < k

0 ≤ (fun x => ‖x‖ ^ (-k)) ∘ ⇑(finTwoArrowEquiv ℤ).symm


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

(f.extend I).target = ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ range ↑I


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

[IsCoprime I J, Codisjoint I J, I + J = 1, ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1, I ⊔ J = ⊤].TFAE


[IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J, IsCoprime I J].TFAE


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
x : α
a✝ : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context: x y : ℝ

AntitoneOn (fun x => log x / √x) {x | rexp 2 ≤ x}


Context: x y : ℝ

AntitoneOn (fun x => log x / x ^ (1 / 2)) {x | rexp 2 ≤ x}


Context: x y x✝ : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
x y : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: p : α → Prop

Context: step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)

Context: hSup : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sSup s)

Context: s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: p : α → Prop

Context: s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}

Context: hSup : p (sSup s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: p : α → Prop

Context: s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}

Context: hSup : p (sSup s)

Context: h : sSup s ≤ lfp f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: p : α → Prop

Context: s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}

Context: hSup : p (sSup s)

Context: h : sSup s ≤ lfp f

Context: hmem : f (sSup s) ∈ s


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p n R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ

b ≤ ⌊a + ↑n⌋₊ ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n


↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b

↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b ≤ n

↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : α → Prop
inst✝ : DecidablePred q
s : Multiset α

countP p (filter q s) = countP (fun a => p a ∧ q a) s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝³¹ : AddCommGroup E
inst✝³⁰ : AddCommGroup F
inst✝²⁹ : AddCommGroup G
inst✝²⁸ : AddCommGroup H
inst✝²⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²³ : Module 𝕜 E
inst✝²² : Module 𝕜₂ F
inst✝²¹ : Module 𝕜₃ G
inst✝²⁰ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹³ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹² : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
f g : E →SL[σ₁₄] H

(fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) (f + g) = (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) f + (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) g


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝³¹ : AddCommGroup E
inst✝³⁰ : AddCommGroup F
inst✝²⁹ : AddCommGroup G
inst✝²⁸ : AddCommGroup H
inst✝²⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²³ : Module 𝕜 E
inst✝²² : Module 𝕜₂ F
inst✝²¹ : Module 𝕜₃ G
inst✝²⁰ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹³ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹² : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
t : 𝕜₄
f : E →SL[σ₁₄] H

{ toFun := fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm), map_add' := ⋯ }.toFun (t • f) = σ₄₃ t • { toFun := fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm), map_add' := ⋯ }.toFun f


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: h : 0 = s.circumradius

Context: hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: h : 0 = s.circumradius

Context: hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: h : 0 = s.circumradius

Context: h01 : s.points 0 ≠ s.points 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a

p.IsHamiltonianCycle ↔ p.IsCycle ∧ ∀ (a_1 : α), List.count a_1 p.support.tail = 1


Context:
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

{ num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = num /. ↑den


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J J' : Submodule B L


Context:
x : PartENat
n : ℕ
hx : x ≠ ⊤


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: h : ∀ (i : I), J i → K i

Context: x : ↑C

Context: i : I

↑((ProjRestricts C h ∘ ProjRestrict C K) x) i = ↑(ProjRestrict C J x) i


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: h : ∀ (i : I), J i → K i

Context: x : ↑C

Context: i : I

(if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C

adj1.unit.app x ≫ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app (F.obj x) = adj2.unit.app x


adj1.unit.app x ≫ adj2.unit.app (G.obj (F.obj x)) ≫ G'.map (adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x


adj2.unit.app x ≫ G'.map (F.map (adj1.unit.app x) ≫ adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x


Context: x y : ℝ


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 4)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 3)
k : ℕ
h : k < n + 2

Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.triangle ⟨k, ⋯⟩ ⟨k + 1, ⋯⟩ ⟨k + 2, ⋯⟩ ⋯ ⋯)) ∪ {i} ≠ Set.univ


∃ x, ¬i = x ∧ ∀ (x_1 : Fin (2 + 1)), ¬(Hom.toOrderHom ({ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm (Hom.mk { toFun := ![⟨k, ⋯⟩, ⟨k + 1, ⋯⟩, ⟨k + 2, ⋯⟩], monotone' := ⋯ })).down) x_1 = x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R
h : IsUnit p


Context: f : Bool → Bool → Bool


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
n : N
m : M

((↑(P.reflection i).dualMap ∘ₗ P.toLin.flip) n) m = ((P.toLin.flip ∘ₗ ↑(P.coreflection i)) n) m


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

Context: f : X ⟶ X


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

Context: f : X ⟶ X

Context: this : Nontrivial (End X)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

Context: f : X ⟶ X

Context: this✝ : Nontrivial (End X)

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

Context: f : X ⟶ X

Context: this✝ : Nontrivial (End X)

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)

Context: c : 𝕜

Context: nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜

Context: inst✝ : Linear 𝕜 C

Context: X : C

Context: I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

Context: id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

Context: f : X ⟶ X

Context: this✝ : Nontrivial (End X)

Context: this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)

Context: c : 𝕜

Context: nu : End.of f = c • 1


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α✝ → β✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α


(∀ (x : β), x ∉ f '' s) ↔ ∀ (x : α), x ∉ s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ

⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: w : ℝ≥0∞

Context: hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: w : ℝ≥0∞

Context: hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Context: m : ℝ≥0∞

Context: hm₁ : w < m

Context: hm₂ : m < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: w : ℝ≥0∞

Context: hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Context: m : ℝ≥0∞

Context: hm₁ : w < m

Context: hm₂ : m < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Context: i : ι

Context: hi : m ≤ ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

1 < s.ncard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b


(∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

M.Basis I (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ


map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ Prod.mk a) g = map (m a) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
B : Set α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hB : MeasurableSet B

∫⁻ (x : α) in A ∩ B, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in A \ B, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) →. ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' g
v : Vector ℕ n

(mOfFn fun i => Fin.cases f (fun i v => ↑(some (v.get i))) i v) >>= g = (f v).bind fun a => g (a ::ᵥ v)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : V


Context: k : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
s : Set X
hs : IsClosed s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsClosed t
hs : IsClosed (f ⁻¹' t)


Context: a b c p q✝ q : ℚ


Context:
a b c p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0


Context:
a b c p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 0 ≤ k
hij : 0 ≤ 0

map f 0 k ⋯ = map f 0 0 hij ≫ map f 0 k hjk


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 1 ≤ k
hij : 0 ≤ 1

map f 0 k ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 k hjk


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j : Fin 2
hij : 0 ≤ 1
hjk : 1 ≤ 1

map f 0 1 ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 1 hjk


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : j ≤ k
hij : 1 ≤ j

map f 1 k ⋯ = map f 1 j hij ≫ map f j k hjk


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i k : Fin 2
hjk : 1 ≤ k
hij : 1 ≤ 1

map f 1 k ⋯ = map f 1 1 hij ≫ map f 1 k hjk


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i : Fin 2
hij hjk : 1 ≤ 1

map f 1 1 ⋯ = map f 1 1 hij ≫ map f 1 1 hjk


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ : GradedObject I C

Context: inst✝ : X₁.HasTensor X₂

Context: A : C

Context: k : I

Context: f : (i₁ i₂ : I) → i₁ + i₂ = k → (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂ ⟶ A)

Context: i₁ i₂ : I

Context: hi : i₁ + i₂ = k

ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ k hi ≫ tensorObjDesc f = f i₁ i₂ hi


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

Context: this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 Y


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

IntegrableOn (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (Ioc 0 Y) volume


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

HasFiniteIntegral (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (volume.restrict (Ioc 0 Y))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

HasFiniteIntegral (fun a => ‖s * (↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s - 1))‖) (volume.restrict (Ioc 0 Y))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

HasFiniteIntegral (fun a => abs s * (abs ↑(rexp (-a)) * abs (↑a ^ (s - 1)))) (volume.restrict (Ioc 0 Y))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

(fun x => rexp (-x) * x ^ (s.re - 1)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 Y))] fun a => abs ↑(rexp (-a)) * abs (↑a ^ (s - 1))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 Y → rexp (-x) * x ^ (s.re - 1) = abs ↑(rexp (-x)) * abs (↑x ^ (s - 1))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: Y : ℝ

Context: hY : 0 ≤ Y


Context:
x y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x


Context:
y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ ∅
hz : z ∈ ∅


Context:
x y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x
hx : x.Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set (Set α)
hs : s.Countable


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x


IsIntegral R (finrank (↥L⟮x⟯) F • ((minpoly L x).aroots (AlgebraicClosure F)).sum)


Splits (algebraMap L (AlgebraicClosure F)) (minpoly L x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M✝
M : ι → ι → R

(basisFun R ι).det M = detRowAlternating M


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Context: k : ℕ

Context: habk : k ∣ p.count (a * b).factors

Context: ha : ¬a = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: k : ℕ

Context: habk : k ∣ p.count (a * b).factors

Context: ha : ¬a = 0

Context: hz : p.count a.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: k : ℕ

Context: habk : k ∣ p.count (a * b).factors

Context: ha : ¬a = 0

Context: h : p.count b.factors = 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q) = LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))


LinearMap.ker ((aeval f) (p * q)) ≤ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: hpq : IsCoprime p q

Context: v : M

Context: hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))

v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: hpq : IsCoprime p q

Context: v : M

∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1

Context: h_eval₂_qpp' : ((aeval f) (q * (p * p'))) v = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1

Context: h_eval₂_pqq' : ((aeval f) (p * (q * q'))) v = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1

Context: h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0

Context: h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1

((aeval f) (q * q')) v + ((aeval f) (p * p')) v = v


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: p q : R[X]

Context: v : M

Context: p' q' : R[X]

Context: hpq' : p' * p + q' * q = 1

((aeval f) (p' * p)) v + ((aeval f) (q' * q)) v = v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: a : ↥circle


Context:
a : ↥circle
i j : Fin 2

(LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) (↑(rotation a).toLinearEquiv) i j = ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) i j


Context:
a : ↥circle
i j : Fin 2


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformSpace δ
h : α ≃ᵤ β


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

F.map ((((((η.hom.app X ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ F.map (G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G

Context: ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D

Context: X : C

Context: this : (G ⋙ F).map (F.map (η.inv.app X)) ≫ ε.hom.app (F.obj ((𝟭 C).obj X)) = ε.hom.app (F.obj ((F ⋙ G).obj X)) ≫ (𝟭 D).map (F.map (η.inv.app X))


F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


F.map (η.hom.app X) ≫ (F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X)))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G

Context: ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D

Context: X : C

Context: this : (G ⋙ F).map (ε.inv.app (F.obj X)) ≫ ε.hom.app ((G ⋙ F).obj (F.obj X)) = ε.hom.app ((𝟭 D).obj (F.obj X)) ≫ (𝟭 D).map (ε.inv.app (F.obj X))


F.map (η.hom.app X) ≫ (ε.hom.app (F.obj X) ≫ ε.inv.app (F.obj X)) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G

Context: ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D

Context: X : C

Context: this : (ε.app (F.obj X)).hom ≫ (ε.app (F.obj X)).inv = 𝟙 ((G ⋙ F).obj (F.obj X))


F.map (η.hom.app X) ≫ 𝟙 (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G

Context: ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D

Context: X : C

Context: this : (F.mapIso (η.app X)).hom ≫ (F.mapIso (η.app X)).inv = 𝟙 (F.obj ((𝟭 C).obj X))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha✝ : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
ha : 0 < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
s : Set α
hs : IsLUB s b
ha : 0 ≤ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜


x.asHomogeneousIdeal ≤ y.asHomogeneousIdeal ↔ ↑x.asHomogeneousIdeal ⊆ ↑y.asHomogeneousIdeal


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s


∀ x ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ, (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
z : X × Y
hzs : z ∈ s
hzV : z.2 ∈ V


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]


{ toFun := fun z => eval₂ i x (h.repr z), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } (h.map z) = eval₂ i x z


eval₂ i x (h.repr (h.map z)) = eval₂ i x z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
this : liminf s atTop ≤ limsup s atTop


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : ι → X → M

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: hxU : U ∈ 𝓝 x₀

Context: hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite

∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (mulSupport fun i => f i x) ⊆ ↑I


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : ι → X → M

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: hxU : U ∈ 𝓝 x₀

Context: y : X

Context: hy : y ∈ U

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : ι → X → M

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: hxU : U ∈ 𝓝 x₀

Context: y : X

Context: hy : y ∈ U

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y

i ∈ {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}


Context:
α β : Type u
β' : Type v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ

⇑h '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (h x) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x✝ : α


Context:
K✝ : Type uK
inst✝⁷ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₁
inst✝⁵ : Module K✝ V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Submodule K (Dual K V)
x✝ : FiniteDimensional K ↥W

FiniteDimensional K (V ⧸ W.dualCoannihilator)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = s.append nil ∧ s2 = s) (s.append nil).destruct s.destruct


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
ihn : ∀ m < n, m# ≤ 4 ^ m


Context:
n : ℕ
ihn : ∀ m < n + 1, m# ≤ 4 ^ m


Context:
m : ℕ
ihn : ∀ m_1 < m + m + 1, m_1# ≤ 4 ^ m_1


Context:
n : ℕ
ihn : ∀ m < n + 1, m# ≤ 4 ^ m
ho : Odd n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
p : α → Prop
q : β → Prop
f : α → β
h : ∀ (x : α), p x → q (f x)
x : β
hx : q x

⟨x, hx⟩ ∈ range (Subtype.map f h) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' {x | p x})


(∃ a, ∃ (h_1 : p a), ⟨f a, ⋯⟩ = ⟨x, hx⟩) ↔ ∃ x_1 ∈ {x | p x}, f x_1 = x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
hp : p < ⊤


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
hp : p < ⊤
v : V
hpv : v ∉ p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
v : V
hpv : v ∉ p


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v✝ : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: p : Submodule K V

Context: v : V

Context: hpv : v ∉ p

Context: f : V →ₗ[K] K

Context: hf : f ∘ₗ ({ domain := p, toFun := 0 }.supSpanSingleton v 1 hpv).domain.subtype = ({ domain := p, toFun := 0 }.supSpanSingleton v 1 hpv).toFun


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(whiskerRight (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom Q ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (N.tensorBimod P) Q, inv := AssociatorBimod.inv M (N.tensorBimod P) Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom N P Q, inv := AssociatorBimod.inv N P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom (M.tensorBimod N) P Q, inv := AssociatorBimod.inv (M.tensorBimod N) P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N (P.tensorBimod Q), inv := AssociatorBimod.inv M N (P.tensorBimod Q), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (((M.tensorBimod N).tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom Q ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (N.tensorBimod P) Q, inv := AssociatorBimod.inv M (N.tensorBimod P) Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom N P Q, inv := AssociatorBimod.inv N P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = coequalizer.π (((M.tensorBimod N).tensorBimod P).actRight ▷ Q.X) ((α_ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom (M.tensorBimod N) P Q, inv := AssociatorBimod.inv (M.tensorBimod N) P Q, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N (P.tensorBimod Q), inv := AssociatorBimod.inv M N (P.tensorBimod Q), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) (TensorBimod.actRight M (N.tensorBimod P) ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X M (N.tensorBimod P)) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M (N.tensorBimod P) ◁ Q.actLeft) (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Y.X ▷ Q.X) (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X) ⋯ ⋯) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

((coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M (N.tensorBimod P) ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X M (N.tensorBimod P)) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M (N.tensorBimod P) ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight (M.tensorBimod N) P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X (M.tensorBimod N) P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q) ⋯ ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯


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coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫ AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) = AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯


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coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ⋯ ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

(tensorRight Q.X).map (coequalizer.π ((M.tensorBimod N).actRight ▷ P.X) ((α_ (M.tensorBimod N).X X.X P.X).hom ≫ (M.tensorBimod N).X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ⋯ ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = (tensorRight Q.X).map (coequalizer.π ((M.tensorBimod N).actRight ▷ P.X) ((α_ (M.tensorBimod N).X X.X P.X).hom ≫ (M.tensorBimod N).X ◁ P.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯