Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)

preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h = eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h


(preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h) ≫ ι h = (eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h) ≫ ι h


(lift (MonoFactorisation.mk (image (g ≫ h)) (ι (g ≫ h)) (f ≫ factorThruImage (g ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) (g ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫ ι h = (lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫ ι h


ι (f ≫ g ≫ h) = lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯) ≫ ι h


Context: R : Type uR

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Ring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f✝ f : EvenHom Q A

Context: this : AddCommGroup ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f) := AddSubgroupClass.toAddCommGroup (CliffordAlgebra.even.lift.S f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α

Seq.map (Option.map (g ∘ f)) s = Seq.map (Option.map g) (Seq.map (Option.map f) s)


Seq.map (Option.map (g ∘ f)) s = Seq.map (Option.map g ∘ Option.map f) s


Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f


Context:
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0

¬p ∣ r ↔ (p * i + r).factorization p = 0


Context:
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : (p * i + r).factorization p = 0


Context: a b m n p✝ p r i : ℕ

Context: pp : Prime p

Context: hr0 : r ≠ 0

Context: h : ¬Prime p ∨ ¬p ∣ p * i + r ∨ p * i + r = 0


Context:
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : p ∣ r


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedRing A
f✝ g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
f : ℝ → 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜
h : IntervalIntegrable f μ a b
c : 𝕜

IntervalIntegrable (fun x => f x / c) μ a b


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
n : ℕ


SemiconjBy a ↑(x ^ -[n+1]) ↑(y ^ -[n+1])


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : ℕ
P : R[X]
r : A

(aeval r) ((expand R p) P) = (aeval (r ^ p)) P


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: p✝ q : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: p : ℕ

Context: P : R[X]

Context: r : A

Context: f g : R[X]

Context: hf : (aeval r) ((expand R p) f) = (aeval (r ^ p)) f

Context: hg : (aeval r) ((expand R p) g) = (aeval (r ^ p)) g

(aeval r) ((expand R p) (f + g)) = (aeval (r ^ p)) (f + g)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂

(m, 0) + (0, n) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a : α

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : NonUnitalSemiring α

Context: h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a : α

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : NonUnitalSemiring α

Context: h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i

Context: x : ι

Context: hx : x ∈ s.val

Context: hy : f x ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s


∀ (a : α) (b : β), Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β

Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this : type r * succ (typein s b) ≤ c


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this : type r * typein s b + type r ≤ c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α β : Type u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α r

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: c : Ordinal.{u_4}

Context: h : (type s).IsLimit

Context: H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c

Context: l : c < type r * type s

Context: a : α

Context: b : β

Context: this✝ : type r * typein s b + type r ≤ c

Context: this : type r * typein s b + typein r a < c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α β : Type u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α r

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: c : Ordinal.{u_4}

Context: h : (type s).IsLimit

Context: H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c

Context: l : c < type r * type s

Context: a✝ : α

Context: b : β

Context: this : type r * typein s b + typein r a✝ < c

Context: a : ↑{b_1 | Prod.Lex s r b_1 (b, a✝)}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α β : Type u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α r

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: c : Ordinal.{u_4}

Context: h : (type s).IsLimit

Context: H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c

Context: l : c < type r * type s

Context: a✝ : α

Context: b✝ : β

Context: this✝ : type r * typein s b✝ + type r ≤ c

Context: this : type r * typein s b✝ + typein r a✝ < c

Context: a b : ↑{b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)}

Subrel (Prod.Lex s r) {b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)} a b → Sum.Lex (Prod.Lex (Subrel s {b | s b b✝}) r) (Subrel r {b | r b a✝}) ((fun a => ?m.90264 a) a) ((fun a => ?m.90264 a) b)


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

a ≤ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n)


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

a ≤ √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) * 2 ^ (n + 1)


Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

(a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n


Context:
n✝ m✝ n m : ℕ
a b : Fin m


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : M
r : R

(weightedHomogeneousComponent w n) (C r * φ) = C r * (weightedHomogeneousComponent w n) φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊤


Submodule.span K {x} ⊔ ker (B.toLinHomAux₁ x) = ⊤


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hfi : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x

Context: hab : a < b

Context: hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b

Context: h₀ : 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ι a b))] f


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hfi : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x

Context: hab : a < b

Context: hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b

a < b ∧ 0 < volume (support f ∩ Ioc a b)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
a : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
x : X
E : Set X
hx : x ∈ E
δ : ℝ


Context:
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T

(pullbackSpecIso R S T).hom ≫ Spec.map (ofHom ↑includeRight) = pullback.snd (Spec.map (ofHom (algebraMap R S))) (Spec.map (ofHom (algebraMap R T)))


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

p (if h : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, f i.down else 1)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

Context: h✝ : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

Context: h✝ : ¬(mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P : Finpartition a

Context: Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

b ∈ (P.bind Q).parts ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P : Finpartition a

(∃ a_1 ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts) ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G

finrank (↥(subfield G F)) F ≤ Fintype.card G


Module.rank (↥(subfield G F)) F ≤ ↑(Fintype.card G)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Ici a = Iic (a / c)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: b : Con (M × ↥S)

Context: H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}

Context: x✝² x✝¹ : M × ↥S

Context: p : M

Context: q : ↥S

Context: x : M

Context: y : ↥S

Context: x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)

Context: t : ↥S

Context: ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: b : Con (M × ↥S)

Context: H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}

Context: x✝² x✝¹ : M × ↥S

Context: p : M

Context: q : ↥S

Context: x : M

Context: y : ↥S

Context: x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)

Context: t : ↥S


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑y * p) = ↑t * (↑q * x)

(↑t * ↑y * p, t * y * q) = (↑t * ↑q * x, t * q * y)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : (Matrix m m R)ˣ
N : Matrix m m R


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a b c d : α


Context: b : ℝ

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2


Context:
b : ℝ
hb : b ≤ 0


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
x✝ : ℝ

↑(rexp (-b * x✝ ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x✝ ^ 2)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
this✝ : Fintype ↑s
this : Fintype ↑(g • s)


Context:
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m

filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l


Context:
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
hnl : n ≤ l


Context:
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
hln : l ≤ n


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

Context: k : ℕ

Context: ih : ∀ (l : ℕ), lcs (l + k) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs k N₂

Context: l : ℕ

lcs (l + (k + 1)) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs (k + 1) N₂


Context:
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
n k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1


Context:
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
hnk : n ^ k ≠ 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ sᶜ ⊆ t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsUpperModularLattice α
a b : α


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))

Context: loc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))

toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = X.toToΓSpecMapBasicOpen r ↔ f = X.toΓSpecCApp r


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = (IsLocalization.Away.lift r ⋯).comp (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) ↔ f = X.toΓSpecCApp r


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ


∀ (x : N ⊗[R] Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) x = (range (rTensor Q f)).mkQ x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q

(inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) y = (range (rTensor Q f)).mkQ y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α


∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → Perm.sign (optionCongr f) = Perm.sign f → Perm.sign (optionCongr (swap x y * f)) = Perm.sign (swap x y * f)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ

‖Memℒp.toLp f hf‖ = (eLpNorm f p μ).toReal


Context:
α✝ : Sort u_1
x₁ x₂ : α✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x


IsIntegral R (((minpoly K x).aroots (AlgebraicClosure L)).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L)


Splits (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (minpoly K x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
r : R
M : Matrix n n R

(1 + r • M).det = 1 + M.trace * r + eval r (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * r ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree

p.coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)


(C p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod).coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)


p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = p.leadingCoeff * ((-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ card p.roots

(map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30699
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq (Finset α)
s : Finset α

s.powerset = (range (s.card + 1)).biUnion fun i => powersetCard i s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
s : l₁ <+ l₂


Context:
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y / x) b).get ⋯ = a.get ⋯ / b.get ⋯


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ

IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsIntegralCurveOn γ v s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)


∫ (a : α), ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x

(fun a => ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜) x


⟪↑↑(f + f') x, ↑↑g x⟫_𝕜 = ⟪↑↑f x + ↑↑f' x, ↑↑g x⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F

HasStrictFDerivAt (fun x => f x - c) f' x


Context:
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
c : ℚ
x : M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f✝ : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: N : Type ?u.1048911

Context: N' : Type ?u.1048914

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: g : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S g

Context: f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M

iso S (mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f✝ : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: N : Type ?u.1048911

Context: N' : Type ?u.1048914

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: g : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S g

Context: e : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M

Context: left✝ : e ∘ₗ f = f

Context: univ : ∀ (y : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M), (fun l => l ∘ₗ f = f) y → y = e


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommSemiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : Module A M'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R M'

Context: inst✝⁷ : Module R M''

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f✝ : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝

Context: N : Type ?u.1048911

Context: N' : Type ?u.1048914

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: g : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S g

Context: left✝ : e ∘ₗ f = f

e = ↑(LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs✝ ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
xs : List α

(if p x = true then [].reverse :: splitOnP.go p xs [] else splitOnP.go p xs [x]) = if p x = true then [] :: splitOnP p xs else modifyHead (cons x) (splitOnP p xs)


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : levyProkhorovEDist μ ν < c

Context: B : Set Ω

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}

Context: lt_c : c' < c


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

(p.append p').support.tail = p.support.tail ++ p'.support.tail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

TransGen r a c ↔ ∃ b, ReflTransGen r a b ∧ r b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : TransGen r a c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x : R⟦X⟧
n : ℕ

(coeff R n) ((rescale 0) x) = (coeff R n) (((C R).comp (constantCoeff R)) x)


(coeff R n) ({ toFun := fun f => mk fun n => 0 ^ n * (coeff R n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x) = if n = 0 then (constantCoeff R) x else 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
χ : ι → Type u_3
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (ψ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (χ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (χ i)
S : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ι → M
g : ι → R

((piRing R M ι S).symm f) g = ∑ i : ι, g i • f i


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
ι' : Sort u_2
inst✝ : UniformSpace β
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
ha : (𝓤 α).HasBasis p s
q : ι' → Prop
t : ι' → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis q t
f : α → β

(∀ (ib : ι'), q ib → ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (f x.1, f x.2) ∈ t ib) ↔ ∀ (i : ι'), q i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ t i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
t : Finset α
hf : Injective f


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

(x.1 ∪ e • x.2).card + (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1).card = x.1.card + x.2.card


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

((-z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.odd
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.odd.get n)


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length

findIdx p xs = i ↔ p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true

Context: h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true

Context: h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: h1 : i < findIdx p xs


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s) → x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0


(lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β

(s ×ˢ t).Finite ↔ (s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β

Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto' (Function.graph f) l₁ l₂


Context: α β : Type u


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
hs : s.Nonempty

eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ = 1


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 1


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 3


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: f : R[X]

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: T : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing T

Context: i : R →+* T

Context: x : T

Context: hx : eval₂ i x f = 0

Context: h : IsAdjoinRoot S f

Context: g : S →+* T

Context: hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a

Context: hroot : g h.root = x

Context: a : S


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: f : R[X]

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: T : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing T

Context: i : R →+* T

Context: x : T

Context: hx : eval₂ i x f = 0

Context: h : IsAdjoinRoot S f

Context: g : S →+* T

Context: hroot : g h.root = x

Context: a : S

g (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i)) = (lift i x hx h) (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i))


Context: z : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x✝ : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
l : Subspace η α ι
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
x : η' → α'
i : ι'

↑(l.reindex eη eα eι) x i = eα (↑l (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (eι.symm i))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f₁ f₂ : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : ι

(erase i (f₁ + f₂)) x✝ = (erase i f₁ + erase i f₂) x✝


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: hB : M.Base B

Context: hf : f ∉ B

Context: hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'

Context: hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: hB : M.Base B

Context: hf : f ∉ B

Context: hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hIB' : f ∈ B' ∧ (B \ B' = ∅ ∨ B \ B' = {e})


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: hB : M.Base B

Context: hf : f ∉ B

Context: hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hfB : f ∈ B'

Context: h : B \ B' = {e}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : ∃ x, B' \ B = {x}
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
x : α
hx : B' \ B = {x}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)


∀ (x : α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → ∀ (y : α) (x_2 : ι), y ∈ f x_2 → ∃ z, (∃ i, z ∈ f i) ∧ r x z ∧ r y z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
this : ∀ y ∈ t1, ∃ x ∈ s, f x = y


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : f x ∈ map f s


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Semiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ P✝

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] P

Context: s : Submodule R M

Context: this✝² : DecidableEq R

Context: this✝¹ : DecidableEq M

Context: this✝ : DecidableEq P

Context: t1 : Finset P

Context: ht1 : span R ↑t1 = map f s

Context: t2 : Finset M

Context: ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f

Context: g : P → M

Context: hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: this : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1, (Finsupp.total P P R id) l = f x


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x


(Finsupp.total M M R id).toFun ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R (g '' ↑t1)


x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R ↑t2


x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ LinearMap.ker f


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : f a * (f b)⁻¹ = 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ


IsOpen (⋃ i, ⋃ (_ : i.card = n), {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑i) => ↑x ↑x_1})


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n

IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
this : Continuous fun f x => f ↑x


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a


Context:
s : ℝ
h : 0 < s

IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume


Context:
s : ℝ
h : 0 < s

IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioc 0 1) volume ∧ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 1) volume


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n

(matPolyEquiv m).coeff k i j = (m i j).coeff k


(matPolyEquiv 0).coeff k i j = (0 i j).coeff k


∀ (p q : Matrix n n R[X]), (matPolyEquiv p).coeff k i j = (p i j).coeff k → (matPolyEquiv q).coeff k i j = (q i j).coeff k → (matPolyEquiv (p + q)).coeff k i j = ((p + q) i j).coeff k


∀ (i_1 j_1 : n) (x : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i_1 j_1 x)).coeff k i j = (stdBasisMatrix i_1 j_1 x i j).coeff k


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : ¬evariance X μ = ⊤


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hXm : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hX : ¬Memℒp X 2 μ

Context: h : evariance X μ < ⊤

Context: this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hXm : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hX : ¬Memℒp X 2 μ

Context: h : evariance X μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hXm : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hX : ¬Memℒp X 2 μ

Context: h : evariance X μ < ⊤

X = (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hXm : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hX : ¬Memℒp X 2 μ

Context: h : evariance X μ < ⊤

Context: ω : Ω

X ω = ((fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ω


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) < u


Context:
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) > u


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
x y : R
w : r x y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
β : Y ≅ Z
f : Aut X

(α ≪≫ β).conjAut f = β.conjAut (α.conjAut f)


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.67329, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.67333, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X) ≫ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X


Context: x y : ℂ


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s

e.trans (ofSet s hs) = e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ

LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s ↔ 1 < s.re


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s


Context:
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
h : s.re ≤ 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℕ


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G
n : ℤ
hn : g ^ n = x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K / ↑(finrank ℚ K).factorial)) ^ 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: this : 0 < finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2

Context: this : 0 < finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: this : 0 < finrank ℚ K

Context: C : ClassGroup (𝓞 K)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: this : 0 < finrank ℚ K

Context: I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: this✝ : 0 < finrank ℚ K

Context: I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰

Context: this : Ideal.absNorm ↑I = 1


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
hs : s ≠ Set.univ
f : α → ↑s
hf : Injective f
h : Fintype α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

(f • g) (a • x + b • y) ≤ a • (f • g) x + b • (f • g) y


f (a * x + b * y) • g (a * x + b * y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y


(a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y


(a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x)


(a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition

integralSum f vol π₁ - integralSum f vol π₂ = ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, ((vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)))


∑ J ∈ (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - ∑ J ∈ (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)) = ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x)) - ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
F : Filter α


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G M : Type

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulDistribMulAction G M

Context: f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))

IsMulOneCoboundary (⇑Additive.ofMul ∘ ↑↑f)


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A : Rep k G✝

Context: G M : Type

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : CommGroup M

Context: inst✝ : MulDistribMulAction G M

Context: x : CoeSort.coe (Rep.ofMulDistribMulAction G M)

Context: hx : (dZero (Rep.ofMulDistribMulAction G M)) x = ↑↑f


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
k : ↥K

hSK.equiv (g * ↑k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * k)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: hST : IsComplement S T

Context: hHT : IsComplement (↑H) T

Context: hSK : IsComplement S ↑K

Context: g : G

Context: k : ↥K

Context: this : (hSK.equiv (g * ↑k)).1 = (hSK.equiv g).1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }

Context: hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }

Context: a : α

Context: has : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: hat : a ∉ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: hat : a ∉ t

Context: _b : α

Context: hb₁ : _b ∈ s

Context: hb₂ : _b ∉ s

Context: right✝ : a ≤ _b


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Wbtw R z y x


Context:
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A

minpoly A (x + (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (X - C a)


(Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) ((minpoly A x).comp (X - C a)) = 0


Context: A : Type u_1

Context: B✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field A

Context: inst✝³ : Ring B✝

Context: inst✝² : Algebra A B✝

Context: x✝ : B✝

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: a : A

Context: q : A[X]

Context: qmo : q.Monic

Context: hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0

((minpoly A x).comp (X - C a)).degree ≤ q.degree


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᶠ[ae μ] t
this : Fintype G


∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = Nat.card G • μ (t ∩ s)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Group G

Context: inst✝¹⁰ : Group H

Context: inst✝⁹ : MulAction G α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MulAction H β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: s t✝ : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝¹ : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: inst✝ : Finite G

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: t : Set α

Context: this : Fintype G

Context: ht : ∀ (g : G), g • t ∩ s =ᶠ[ae μ] t ∩ s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

f (preNormEDS b c d n) = preNormEDS (f b) (f c) (f d) n


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R


Context:
m✝ n a b c d m : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD m * n]


Context:
m✝ n a b c d m : ℤ
h : m * n ∣ b - a


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

tanh (dist z w / 2) = dist ↑z ↑w / dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a b : Ordinal.{max v u}

Context: hb : b < o.nfpBFamily f a

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a b : Ordinal.{max v u}

Context: hb : b < o.nfpBFamily f a

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) b < o.nfpBFamily f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s.Disjoint t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ : List α

Context: h : Disjoint (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝)

(Quot.mk Setoid.r a✝ + Quot.mk Setoid.r b✝).dedup = dedup (Quot.mk Setoid.r a✝) + dedup (Quot.mk Setoid.r b✝)


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ

mk (ComplexEmbedding.conjugate φ) = mk φ


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
x : K

(mk (ComplexEmbedding.conjugate φ)) x = (mk φ) x


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

(y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n


MulOpposite.op ((y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = MulOpposite.op (y ^ n - x ^ n)


MulOpposite.op (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (MulOpposite.op y - MulOpposite.op x) = MulOpposite.op y ^ n - MulOpposite.op x ^ n


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R

(algebraMap R A) x = ((algebraMap S A).comp (algebraMap R S)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

↑(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (Real.log x * y)) = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log ↑x * ↑y)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MetricSpace P

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝³ : Nonempty ↥s₁

Context: inst✝² : Nonempty ↥s₂

Context: inst✝¹ : HasOrthogonalProjection s₁.direction

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s₂.direction

Context: p : P

(reflection s₁) p = (reflection s₂) p ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MetricSpace P

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝³ : Nonempty ↥s₁

Context: inst✝² : Nonempty ↥s₂

Context: p : P

↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
q : R[X]
c : (R ⧸ P)[X]
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hc0 : c.degree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : UpperSet α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ Ici a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ s ⊓ t


Context:
x y : ZFSet
h : ↑x = ↑y
z : ZFSet


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f✝ g : RatFunc F
f : F[X]
hf : f ≠ 0


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : J ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
x : (fun F => ↑F.sections) F
j j' : J
f : j ⟶ j'

(F.map f ≫ φ.app j') (↑x j) = (fun j => φ.app j (↑x j)) j'


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y

∀ (b : ℝ≥0), ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y
a : ℝ≥0
ha : c.toNNReal ≤ a


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₗ[K] K
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

Submodule.span K {x} ⊔ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B = ⊤


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: hk : IsCompactElement k

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

Context: h : ¬sSup s < k


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

Context: h : ¬sSup s < k

Context: sSup' : sSup s ≤ k


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ SupSet.sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

Context: h : ¬SupSet.sSup s < k

Context: sSup' : SupSet.sSup s ≤ k

Context: sSup : SupSet.sSup s = k


Context: ι : Sort u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α✝

Context: f : ι → α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: k : α

Context: s : Set α

Context: hemp : s.Nonempty

Context: hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

Context: h : ¬SupSet.sSup s < k

Context: sSup' : SupSet.sSup s ≤ k

Context: sSup : SupSet.sSup s = k

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hkx : k ≤ x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.13901, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.13905, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerLeft (F.functor a'') (shiftFunctorAdd' D m n (m + n) ⋯) ≪≫ ((F.functor a'').associator (shiftFunctor D m) (shiftFunctor D n)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (F.shiftIso m a' a'' ha'') (shiftFunctor D n) ≪≫ F.shiftIso n a a' ha'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ (α_ f g h).inv ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom


F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ ((α_ f g h).inv ≫ (α_ f g h).hom) ≫ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h


Context: m n k : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : p x = true

takeWhile p (x :: l) = x :: takeWhile p l


Context:
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L


Context:
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n

∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, u (n * a + r) / ↑(n * a + r) < L


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: k : ℕ

Context: hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: k : ℕ


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: k : ℕ

u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: L : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hL : u n / ↑n < L

Context: r : ℕ

Context: x✝ : r < n

Context: k : ℕ

u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ (↑k * u n + u r) / ↑(k * n + r)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g

let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


Context: a b : Rat

Context: g ad bd : Nat

Context: hg : g = a.den.gcd b.den

Context: had : ad = a.den / g

Context: hbd : bd = b.den / g

Context: this : let den := ad * (-b).den; let num := a.num * ↑bd + (-b).num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


Context: a b : Rat

Context: g ad bd : Nat

Context: hg : g = a.den.gcd b.den

Context: had : ad = a.den / g

Context: hbd : bd = b.den / g

Context: this : (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd g = (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd (ad * (-b).den)


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M'


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M'), x • m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
c' : β
hc' : f a < c' ∧ c' < b'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
c' : β
hc' : f a < c' ∧ c' < b'
c : α
hcs : c ∈ s
hc : f c ∈ Ioo (f a) b'


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
x : E

‖f x‖ ≤ 0 * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ \ s₂ ↔ x✝ ∈ filter (fun x => x ∉ s₂) s₁


Context:
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

{ num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = mkRat num den


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α


Context:
R M : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Flat R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hlt : ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hle : ∀ i ∈ s, g i ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

IsPiSystem (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b})


⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} = {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} ↔ x ∈ {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

span R {x} = ⊤ ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v


(∀ v ∈ ⊤, ∃ r, r • x = v) ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α

x ∈ s ∧ x ∉ t ↔ x ∈ s ∩ tᶜ


Context:
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n

∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ


Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hn0 : ↑n ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n

∃ i_1 < n, ∃ (_ : i_1.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i


Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hn0 : ↑n ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i


Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hn0 : ↑n ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑n))


Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hn0 : ↑n ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)

x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, si ≤ xi


(∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d + m') ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, si ≤ xi


(∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = m' + d) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, ∃ c, xi = si + c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x y : α


Context: B : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: proj : Z → B

Context: h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj


Context: B : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: e : Z ≃ₜ B × F

Context: h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ✝ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁹ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁸ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁷ : DecidableEq γ'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq δ✝

Context: inst✝⁵ : DecidableEq δ'

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ε

Context: inst✝³ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ✝

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: δ : Type u_15

Context: u : Finset γ

Context: v : Finset δ

Context: inst✝² : DecidableEq ζ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ζ'

Context: inst✝ : DecidableEq ν

Context: f : ε → ζ → ν

Context: g : α → β → ε

Context: h : γ → δ → ζ

Context: f' : ε' → ζ' → ν

Context: g' : α → γ → ε'

Context: h' : β → δ → ζ'

Context: h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)

image2 f (image2 g ↑s ↑t) (image2 h ↑u ↑v) = image2 f' (image2 g' ↑s ↑u) (image2 h' ↑t ↑v)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: j : Fin (Composition.single n hn).length

p.applyComposition (Composition.single n hn) v j = (p n) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j

Context: hi2 : i < n

(v ∘ ⇑((Composition.single n hn).embedding j)) ⟨i, hi1⟩ = v ⟨i, hi2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi2 : i < n

((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ⟨i, hi2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi2 : i < n

((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi2 : i < n

Context: j_val : ℕ

Context: j_property : j_val < (Composition.single n hn).length

Context: hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun ⟨j_val, j_property⟩

((Composition.single n hn).embedding ⟨j_val, j_property⟩) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi2 : i < n

Context: j_val : ℕ

Context: this : j_val = 0


Context:
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m


(f <$> x).run = do let a ← x.run pure (Option.map f a)


(do let x ← x.run match x with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = do let a ← x.run pure (Option.map f a)


∀ (a : Option α), (match a with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = pure (Option.map f a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Even m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Odd m


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α


(Injective fun i => l[↑i]) ↔ Injective l.get


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G


∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.op


∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), b * unop x ∈ s ↔ b ∈ s) ↔ unop x ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : Gᵐᵒᵖ
h : ∀ (b : G), b * unop a ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
e : ι → β
he : Injective e
f : ι → α


(⨆ i, ⨆ (_ : ∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i = ⨆ i, f i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : hζ.toInteger - 1 = 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

(algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = ↑↑p


Context:
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z


Context:
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

y ∈ ZFSet.sep (fun y => ∀ z ∈ x, y ∈ z) (Set.Nonempty.some h) ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z


Context:
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

(∀ z ∈ x, y ∈ z) → y ∈ Set.Nonempty.some h


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : Tendsto F p (𝓝 f)
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α

∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V✝ : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: h : ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: x : α


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V✝ : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: n : Set α

Context: hn₁ : IsCompact n

Context: hn₂ : n ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X

(M.restrictSubtype X).Base B ↔ M.Basis' (↑B) X


(M ↾ X).Basis ↑B ↑(X ↓∩ (M ↾ X).E) ∧ InjOn Subtype.val B ∧ B ⊆ X ↓∩ (M ↾ X).E ↔ M.Basis' (↑B) X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hc : s.Countable
hd : Dense s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α

(l ++ l.reverse).reverse = l ++ l.reverse


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G

average k G * Finsupp.single g 1 = average k G


⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single (x * g) 1 = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single x 1


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring k

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: g : G

Context: f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1

⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f (x * g) = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m

(univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = {z | m < z i₀} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: hm : x i₀ ≤ m

Context: this : Ioc m (y i₀) = Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: hm : x i₀ ≤ m

({x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) = {z | m < z i₀} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)


Context: x y z : ℝ


Context: x y z : ℝ

StrictMonoOn (fun x => sinh x - x) (Ici 0)


Context: x y z : ℝ

ContinuousOn (fun x => sinh x - x) (Ici 0)


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)


Context: q a b c : ℚ


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y x✝ s✝ t✝ s'✝ t'✝ : R

(xgcdAux 0 s✝ t✝ x✝ s'✝ t'✝).1 = gcd 0 x✝