Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hmp : m ≤ p.natDegree

Context: hmnd : m + 0 = (p * q).natDegree

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ 0

Context: hmn : 0 < m → 0 < 0 → False

Context: hnq : 0 ≤ q.natDegree

Context: hpmqn : p.natDegree = m ∧ q.natDegree = 0


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Type u_3
Φ : MvPolynomial idx ℤ
f : idx → σ
n : ℕ

wittStructureInt p ((rename f) Φ) n = (rename (Prod.map f id)) (wittStructureInt p Φ n)


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p ((rename f) Φ) n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((rename (Prod.map f id)) (wittStructureInt p Φ n))


(bind₁ fun k => (bind₁ ((fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) ∘ f)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) (xInTermsOfW p ℚ n) = (bind₁ fun i => (bind₁ fun i_1 => (rename (Prod.map f id ∘ Prod.mk i_1)) (W_ ℚ i)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) (xInTermsOfW p ℚ n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
e : α ≃ᵐ ↑s


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : Finite ↑↑H

Context: x : G

Context: hx : ↑x ∈ MulAction.fixedPoints (↥H) (G ⧸ H)

Context: ha : ∀ {y : G ⧸ H}, y ∈ orbit ↥H ↑x → y = ↑x

Context: n : G

Context: hn : n ∈ H

Context: this : (n⁻¹ * x)⁻¹ * x ∈ H

x⁻¹ * n * x⁻¹⁻¹ ∈ H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : Finite ↑↑H

Context: x : G

Context: n : G

Context: hn : n ∈ H

Context: this : x⁻¹ * n * x ∈ H

x⁻¹ * n * x⁻¹⁻¹ ∈ H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : Finite ↑↑H

Context: x : G

Context: n : G

Context: hn : n ∈ H

Context: this : x⁻¹ * n * x ∈ H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : Finite ↑↑H

Context: x : G

Context: hx : ∀ (n : G), n ∈ H ↔ x * n * x⁻¹ ∈ H

Context: y✝ : G ⧸ H

Context: y : G

Context: hy : Quotient.mk'' y ∈ orbit ↥H ↑x

Context: b : G

Context: hb₁ : b ∈ H

Context: hb₂✝ : (fun m => m • ↑x) ⟨b, hb₁⟩ = Quotient.mk'' y

Context: hb₂ : x * ((b * x)⁻¹ * y) * x⁻¹ ∈ H


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)

(forgetStalk IM I M R x).hom ≫ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)


smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)


(forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ⇑(evalHom IM I M R x) = (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ (forget CommRingCat).map (evalHom IM I M R x)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
hT : T.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : BoundarylessManifold I M

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v

Context: hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }

Context: heq : γ a = γ b

Context: t : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : BoundarylessManifold I M

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v

Context: heq : γ a = γ b

Context: t : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
g : Stream' (Option (Option α))
al : g.IsSeq
h : b ∈ map f ⟨g, al⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
g : Stream' (Option (Option α))
al : g.IsSeq
h : b ∈ map f ⟨g, al⟩
o : Option α
om : o ∈ ⟨g, al⟩
oe : Option.map f o = some b


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h1 : n ≠ 1


Context:
h : ↑(0 - 1)! = -1
h1 : 0 ≠ 1


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h1 : n ≠ 1
h0 : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n
hm : m ∣ (n - 1)!


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : OrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : R
m : M
s t : ↥S

IsLocalization.mk' A x s • mk' f m t = mk' f (x • m) (s * t)


(fun m => (s * t) • m) (IsLocalization.mk' A x s • mk' f m t) = (fun m => (s * t) • m) (mk' f (x • m) (s * t))


s • IsLocalization.mk' A x s • t • mk' f m t = (fun m => (s * t) • m) (mk' f (x • m) (s * t))


↑s • IsLocalization.mk' A x s • f m = x • f m


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : IsMaximal x (x ⊔ y)
hyz : IsMaximal y (x ⊔ y)


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxz : IsMaximal x (y ⊔ x)
hyz : IsMaximal y (y ⊔ x)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L)) = ⊤


⊤ ≤ LinearMap.range (traceForm K (↥H) L)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X

IsPathConnected F ↔ ∃ x ∈ F, pathComponentIn x F = F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
x_in : x ∈ F
h : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
x_in : x ∈ F
h : pathComponentIn x F = F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set X

Context: ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), IsGδ (t i hi)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set X

Context: this : Countable ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
l : List α

List.foldl (fun x y => op y x) b l = List.foldl op b l


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M

Submodule.comap involute.toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α → β
g : M →+ N
x✝¹ : α
x✝ : M
a✝ : β

((((addMonoidHom f).comp (mapRange.addMonoidHom g)).comp (singleAddHom x✝¹)) x✝) a✝ = ((((mapRange.addMonoidHom g).comp (addMonoidHom f)).comp (singleAddHom x✝¹)) x✝) a✝


Context:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s}) = MeasurableSpace.pi


MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s}) ≤ MeasurableSpace.pi


MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (squareCylinders fun i => {s | MeasurableSet s})


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace β
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: H : ∀ (x₀ : α), ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ↑A), dist (↑i x) (↑i x') < ε


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

∃ β_1 x F, ∀ (x y : ↑A), F x = F y → dist ↑x ↑y < ε


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: this : ∀ (x : α), ∃ U, x ∈ U ∧ IsOpen U ∧ ∀ y ∈ U, ∀ z ∈ U, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: hU : ∀ (x : α), x ∈ U x ∧ IsOpen (U x) ∧ ∀ y ∈ U x, ∀ z ∈ U x, ∀ {f : α →ᵇ β}, f ∈ A → dist (f y) (f z) < ε₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝ : tα ⊆ univ

Context: hfin : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝ : tα ⊆ univ

Context: hfin : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝ : Fintype ↑tα


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ

Context: F : β → β

Context: hF : ∀ (y : β), F y ∈ tβ ∧ dist y (F y) < ε₂


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ

Context: F : β → β

∀ (x y : ↑A), (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) x = (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) y → dist ↑x ↑y < ε


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ g✝ : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ

Context: F : β → β

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : f ∈ A

Context: g : α →ᵇ β

Context: hg : g ∈ A

Context: f_eq_g : (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) ⟨f, hf⟩ = (fun f a => ⟨F (↑f ↑a), ⋯⟩) ⟨g, hg⟩


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ g✝ : α →ᵇ β

Context: x✝ : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ

Context: F : β → β

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : f ∈ A

Context: g : α →ᵇ β

Context: hg : g ∈ A

Context: x : α


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ g✝ : α →ᵇ β

Context: x✝ : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: A : Set (α →ᵇ β)

Context: closed : IsClosed A

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: εε₁ : ε₁ < ε

Context: ε₂ : ℝ := ε₁ / 2 / 2

Context: ε₂0 : ε₂ > 0

Context: U : α → Set α

Context: tα : Set α

Context: left✝¹ : tα ⊆ univ

Context: hfin✝ : tα.Finite

Context: htα : univ ⊆ ⋃ x ∈ tα, U x

Context: val✝¹ : Fintype ↑tα

Context: tβ : Set β

Context: left✝ : tβ ⊆ univ

Context: hfin : tβ.Finite

Context: htβ : univ ⊆ ⋃ y ∈ tβ, ball y ε₂

Context: val✝ : Fintype ↑tβ

Context: F : β → β

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : f ∈ A

Context: g : α →ᵇ β

Context: hg : g ∈ A

Context: x x' : α

Context: x'tα : x' ∈ tα

Context: hx' : x ∈ U x'


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α

thickening ε (cthickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : ε ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
x : α

x ∈ thickening ε (cthickening δ s) → x ∈ thickening (ε + δ) s


(∃ z, infEdist z s ≤ ENNReal.ofReal δ ∧ edist x z < ENNReal.ofReal ε) → infEdist x s < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ
hxy : edist x y < ENNReal.ofReal ε

infEdist x s < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hl : (i :: l).Nodup
hj : j ∈ l
v : TProd α (i :: l)


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hj : j ∈ l
hl : (j :: l).Nodup
v : TProd α (j :: l)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : β


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ ⁻¹' ↑S


Context:
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : CommApplicative F
inst✝ : CommApplicative G
g : α → G β
h : β → γ
s : Finset α

Functor.map h <$> Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse g s.val = Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse (Functor.map h ∘ g) s.val


(Multiset.toFinset ∘ Functor.map h) <$> Multiset.traverse g s.val = Multiset.toFinset <$> Multiset.traverse (Functor.map h ∘ g) s.val


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) (((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) 1) x)) ((ι Q) m) = (ι Q') m * (changeForm h) x - (contractLeft (B m)) ((changeForm h) x)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: m : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

((changeFormAux Q' B) m) (((foldr Q (changeFormAux Q' B) ⋯) 1) x) = (ι Q') m * (changeForm h) x - (contractLeft (B m)) ((changeForm h) x)


Context:
s : ℂ
hs : s ≠ 0

riemannZeta s = completedRiemannZeta s / s.Gammaℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
f : WithLp p (α × β)

↑‖f‖₊ = ↑((‖f.1‖₊ ^ p.toReal + ‖f.2‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
n : ℕ


(a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n


Context: R : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R B

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra A Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q

Context: e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f₂

Context: this : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra


Context: R : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R B

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra A Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q

Context: this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap A Q).comp (algebraMap R A)).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R A Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl


Context: R : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R B

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra A Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q

AlgHom.restrictScalars R f₁ = AlgHom.restrictScalars R f₂


Context: R : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R B

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra A Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q

∀ (x : B), (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₁) x) = (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₂) x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R B

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra A Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[A] Q

Context: x : B

(Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₁) x) = (Ideal.Quotient.mk I) ((AlgHom.restrictScalars R f₂) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.ShortExact

Function.Injective ⇑((forget₂ C Ab).map S.f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.ShortExact


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
c : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R

(fun v => ↑↑c v) v ∈ adicCompletionIntegers K v


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

Differentiable 𝕜 f ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => f x i


(∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x => f x i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α

Setoid.r x✝¹ x✝ ↔ LeftCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝


(fun x y => x⁻¹ * y ∈ s) x✝¹ x✝ ↔ LeftCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
x : ℤ
f : MulRingNorm R


Context: m n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology

S.liftCycles k hk ≫ h.cyclesIso.hom = h.liftK k hk


Context:
m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : a * c ≡ b * c [MOD m]


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b

↑(b.choose a) = ↑b ! / (↑a ! * ↑(b - a)!)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
h : a ≤ b
this : ∀ {n : ℕ}, ↑n ! ≠ 0


↑(b.choose a) * (↑a ! * ↑(b - a)!) = ↑b !


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : 0 < p.radius

Context: y✝ : E

Context: hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 p.radius

HasSum (fun n => (p n) fun x => y✝) (p.sum (0 + y✝))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : 0 < p.radius

Context: y✝ : E

Context: hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 p.radius

HasSum (fun n => (p n) fun x => y✝) (p.sum y✝)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Ring α

IsDomain α ↔ NoZeroDivisors α ∧ Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α

s =ᶠ[ae μ] t ↔ μ (s \ t) = 0 ∧ μ (t \ s) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: hs : IsOpen s

Context: hs' : IsOpen s'

Context: ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ frontier t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A✝ B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: A : Set E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

Context: w : E

Context: hw : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

∃ l_1 a, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l_1 x}


Context: M₀ : Type u_1

Context: G₀ : Type u_2

Context: M₀' : Type u_3

Context: G₀' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Mul M₀

Context: inst✝³ : Zero M₀

Context: inst✝² : Mul M₀'

Context: inst✝¹ : Zero M₀'

Context: f : M₀ → M₀'

Context: hf : Injective f

Context: zero : f 0 = 0

Context: mul : ∀ (x y : M₀), f (x * y) = f x * f y

Context: inst✝ : IsRightCancelMulZero M₀'

Context: a✝ b✝ c✝ : M₀

Context: Hne : b✝ ≠ 0

Context: He : a✝ * b✝ = c✝ * b✝

Context: this : f a✝ * f b✝ = f c✝ * f b✝


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a : R
h : a ≠ 0

(∀ b ∈ if h : a = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯, Irreducible b) ∧ Associated (if h : a = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯).prod a


(∀ b ∈ Classical.choose ⋯, Irreducible b) ∧ Associated (Classical.choose ⋯).prod a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i


CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, f x * (-1) ^ x


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
i✝¹ i✝ : n

(((toBilin (Pi.basisFun R₂ n)) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1 = ((toBilin' M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : z.im ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ (-z).re

Context: hz_im : (-z).im ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: H : MapsTo Neg.neg (Iio 0 ×ℂ Ioi 0) (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

∃ c < 2, ∃ B, (f ∘ Neg.neg) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: x : ℝ

Context: hx : x ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : z.re ≤ 0

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

Context: this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
w x y✝ z✝ : α
hwx : w ≠ x
hyz✝ : y✝ ≠ z✝
y z : α
hyz : y ≠ z
hwz : w ≠ z

swap w y * swap x z * swap w x * (swap w y * swap x z)⁻¹ = swap y z


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: w x y z : α

Context: hwx : w ≠ x

Context: hyz : y ≠ z

Context: h : ∀ {y z : α}, y ≠ z → w ≠ z → swap w y * swap x z * swap w x * (swap w y * swap x z)⁻¹ = swap y z

Context: hwz : w = z


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: w x y z : α

Context: hwx : w ≠ x

Context: hyz : y ≠ z

Context: hwz : w = z

Context: hwy : w ≠ y

swap w z * swap x y * swap w x * (swap w z * swap x y)⁻¹ = swap y z


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: s : Set Y

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hf : ∀ᶠ (a : α) in l, MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Tendsto (fun a => μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s))) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: s : Set Y

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: s : Set Y

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, μ ((⇑(f x) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

∀ᶠ (x : α) in l, μ ((⇑(f x) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K

Context: a : α

Context: hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: ha : MapsTo (⇑(f a)) K s


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K

Context: a : α

Context: hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: ha : MapsTo (⇑(f a)) K s

μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε / 2 + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K

Context: a : α

Context: hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: ha : MapsTo (⇑(f a)) K s

μ ((⇑(f a) ⁻¹' s) ∆ K) + μ (K ∆ (⇑g ⁻¹' s)) ≤ ε / 2 + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K

Context: a : α

Context: hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: ha : MapsTo (⇑(f a)) K s

μ (⇑(f a) ⁻¹' s \ K) + μ (⇑g ⁻¹' s \ K) ≤ ε / 2 + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : BorelSpace X

Context: inst✝⁶ : R1Space X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : BorelSpace Y

Context: inst✝² : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: l : Filter α

Context: f : α → C(X, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hfg : Tendsto f l (𝓝 g)

Context: hg : MeasurePreserving (⇑g) μ ν

Context: this : ν.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set Y

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hso : IsOpen s

Context: hνs' : μ (⇑g ⁻¹' s) ≠ ⊤

Context: K : Set X

Context: hKg : MapsTo (⇑g) K s

Context: hKco : IsCompact K

Context: hKcl : IsClosed K

Context: hKμ : μ (⇑g ⁻¹' s \ K) < ε / 2

Context: hKm : MeasurableSet K

Context: a : α

Context: hfa : MeasurePreserving (⇑(f a)) μ ν

Context: ha : MapsTo (⇑(f a)) K s

Context: hK' : μ K ≠ ⊤


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp

g.conts 1 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }


g.contsAux 2 = { a := gp.b * g.h + gp.a, b := gp.b }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ l, HasFDerivWithinAt (fun x => f i x) (f' i) s x

HasFDerivWithinAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

HasFDerivWithinAt (fun x => (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.finRange l.length)).prod) (∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

(∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M

∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
x : M
x✝ : x ∈ univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

_root_.mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderiv I I' f x)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
f : α → β
hi : Injective f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : Set E

Context: a x y : E

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hf : HasFDerivWithinAt f f' s a

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

Context: hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)

Context: hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : Set E

Context: a x y : E

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hf : HasFDerivWithinAt f f' s a

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : Set E

Context: a x y : E

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hf : HasFDerivWithinAt f f' s a

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

Context: hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] (a + 0))


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : Set E

Context: a x y : E

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hf : HasFDerivWithinAt f f' s a

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

Context: hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] a)


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : Set E

Context: a x y : E

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hf : HasFDerivWithinAt f f' s a

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℕ → E

Context: hc : Tendsto c atTop atTop

Context: n : ℕ

Context: hfn : f (a + d n) ≤ f a

Context: hcn : 0 ≤ c n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => c * x) ⁻¹' Icc a b = Icc (a / c) (b / c)


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
f g : K[X]
hg : g ≠ 0

RatFunc.mk f g = IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩


Context:
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)

(hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)


Context:
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_le : k ≤ n


Context:
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_lt : n < k


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))


Tendsto (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j

imageSubobject (C.d i j) = imageSubobject (C.d i' j)


imageSubobject (eqToHom ⋯ ≫ C.d i' j) = imageSubobject (C.d i' j)


Context:
X : Scheme
U : Opens (PrimeSpectrum ↑Γ(X, ⊤))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α


(Associates.mk p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit (Associates.mk p) ∧ ∀ (a : α) (b : Associates α), Associates.mk p ∣ Associates.mk a * b → Associates.mk p ∣ Associates.mk a ∨ Associates.mk p ∣ b) ↔ p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit p ∧ ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X

frontier (s ×ˢ univ) = frontier s ×ˢ univ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : x ∈ ball y ε


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

s.Disjoint (a ::ₘ t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t


a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s : Set G

Context: h₁ : IsAddSubgroup s

Context: h₂ : ∀ n ∈ s, ∀ (g : Additive G), g + n + -g ∈ s


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x = x

(dZero A ∘ₗ (H0 A).subtype) ⟨x, hx✝⟩ g = 0 ⟨x, hx✝⟩ g


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x - x = 0


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R

(vandermonde fun i => v i + a).det = (vandermonde v).det


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ

↑(eval k (ascPochhammer ℕ n)) = eval (↑k) (ascPochhammer S n)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddLeftCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
b : A
a : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) (i + j)) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) j)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W

cs.IsRightInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsLeftInversion w t


cs.IsReflection t → (cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
ht : cs.IsReflection t

cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z

f ≫ g ≫ h ≫ e.counitInv.app Z = f' ≫ g' ≫ h' ≫ e.counitInv.app Z ↔ f ≫ g ≫ h = f' ≫ g' ≫ h'


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s

Context: S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}

borel α = MeasurableSpace.generateFrom S


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: a : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t✝ u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s

Context: a : α

Context: t : Set α

Context: hts : t ⊆ s

Context: hc : t.Countable

Context: htd : Dense t

Context: htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle x (x - y)).sign = -(o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s

Injective (codRestrict f s h) ↔ Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ

s.EquitableOn f ↔ ∃ b, f '' s ⊆ Icc b (b + 1)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: hP : IsLocalAtTarget P

Context: X Y U V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U ⟶ Y

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: hP : IsLocalAtTarget P

Context: X Y U V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U ⟶ Y

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S

eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) S).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod


eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: S : Multiset R

Context: r : R

Context: hr : r ∈ S

Context: this : ↑(evalRingHom r) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r)).prod = (Multiset.map (⇑↑(evalRingHom r)) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r))).prod


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x✝ : EuclideanSpace ℝ n

x✝ ∈ Metric.closedBall 0 r ↔ x✝ ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 ≤ r ^ 2}


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
h : IsZero c.pt
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
hg : g ≫ f = 0
a : P✝ ⟶ c.pt
ha : a ≫ Fork.ι c = g


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π

dist a b ^ 2 * dist c p + dist a c ^ 2 * dist b p = dist b c * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)


(dist a p * dist a p + dist b p * dist b p - 2 * dist a p * dist b p * -Real.cos (∠ a p c)) * dist c p + (dist a p * dist a p + dist c p * dist c p - 2 * dist a p * dist c p * Real.cos (∠ a p c)) * dist b p = (dist b p + dist c p) * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
hn : n > 0


Context: n : ℕ

Context: hn : n > 0

Context: this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card


Context: n : ℕ

Context: hn : n > 0

∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
t : Set β


Tendsto (fun s => riemannZeta ↑s - 1 / (↑s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 ↑γ)


Tendsto ?f₁ (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))


Context:
α : Type u_1
m n : Num
h : m = n


Context: α : Type u_1

Context: m n : Num

Context: h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)


(∃ s, zeroLocus s = Z) ↔ ∃ a, zeroLocus (⇑(algebraMap R S) '' a) = Z


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤

integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ


integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = ((map g f).lintegral μ).toReal


∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • (ENNReal.toReal ∘ g) x = ∑ a ∈ f.range, (g a * μ (↑f ⁻¹' {a})).toReal


Context:
a b : ℕ
ha : a % 4 = 1
hb : Odd b


Context: x y : ℤ[i]

(toComplex (x / y)).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)


Context: x y : ℤ[i]

(toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round ↑(↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (range fa)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (fa '' univ)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: α₁ α₂ : Ext X Y n

Context: m : ℕ

Context: β : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

((α₁ + α₂).comp β h).hom = (α₁.comp β h + α₂.comp β h).hom


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
x : ι
y : α x

⟨x, y⟩ ∈ s₁.sigma t₁ ∩ s₂.sigma t₂ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (s₁ ∩ s₂).sigma fun i => t₁ i ∩ t₂ i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddCommGroup H
a : G
b : H
f : G →+c[a, b] H
x✝ : G


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field F✝

Context: q✝ : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: q : ℕ

Context: f : F[X]

Context: hf : HasSeparableContraction q f

Context: hq : NeZero q

Context: inst✝ : CharP F q

Context: g g' : F[X]

Context: m m' : ℕ

Context: h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ m')) g'

Context: hg : g.Separable

Context: hg' : g'.Separable

Context: hm : m ≤ m'


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field F✝

Context: q✝ : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: q : ℕ

Context: f : F[X]

Context: hf : HasSeparableContraction q f

Context: hq : NeZero q

Context: inst✝ : CharP F q

Context: g g' : F[X]

Context: m : ℕ

Context: hg : g.Separable

Context: hg' : g'.Separable

Context: s : ℕ

Context: h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ (m + s))) g'

Context: hm : m ≤ m + s


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : g = (expand F (q ^ s)) g'
hm : m ≤ m + s


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable

((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
h : IsUnit g'


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m + 0
hg : ((expand F (q ^ 0)) g').Separable

((expand F (q ^ 0)) g').natDegree = g'.natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

Multiset.count a (toMultiset f) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})


Multiset.count a (f.sum fun a n => n • {a}) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})


(f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})) = f.sum fun x n => n * Multiset.count a {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a a' : α
x✝ : f a' ≠ 0
H : a' ≠ a


Context:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : CharZero 𝕜
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝³ : UniformSpace R
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : T2Space R
r : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.think.destruct t.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct


Context: α β✝ γ✝ : Type u

Context: S S' : Set (α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (α ⊕ β)

Context: pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0

Context: γ : Type u

Context: q : Poly (α ⊕ γ)

Context: qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0

Context: v : α → ℕ

(S ∪ S') v ↔ ∃ t, (Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inl) p * Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inr) q) (v ⊗ t) = 0


Context: α β✝ γ✝ : Type u

Context: S S' : Set (α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (α ⊕ β)

Context: γ : Type u

Context: q : Poly (α ⊕ γ)

Context: v : α → ℕ

(∃ t, p (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, p ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inl)) = 0


Context: α β✝ γ✝ : Type u

Context: S S' : Set (α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (α ⊕ β)

Context: γ : Type u

Context: q : Poly (α ⊕ γ)

Context: v : α → ℕ

(∃ t, q (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, q ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inr)) = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]


p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
x y : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
f : F ⟶ G
z : Cochain G K n
m : ℤ

δ n m ((Cochain.ofHom f).comp z ⋯) = (Cochain.ofHom f).comp (δ n m z) ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
t : ↑I


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)

Context: h : EqOn (extendFrom (Ioo a b) f) f (Ioo a b)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc✝ : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)

Context: c : X

Context: hc : c ∈ Ioo a b

Context: hfc : IsExtrOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Icc a b) c


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L

((toEnd R L M₂) x ^ k) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k


(toEnd R L M₂) x ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋


↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ ≤ a + b


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
l : List α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ

(p.bindOnSupport f).bindOnSupport g = p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : γ

((p.bindOnSupport f).bindOnSupport g) a = (p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : γ

(∑' (a_1 : β), (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) * if h : (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 h) a) = ∑' (a_1 : α), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else ∑' (a_2 : β), (f a_1 h) a_2 * if h : (f a_1 h) a_2 = 0 then 0 else (g a_2 ⋯) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : γ

(∑' (a_1 : β) (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) * if h : (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 h) a) = ∑' (a_1 : α) (i : β), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else (f a_1 h) i * if h : (f a_1 h) i = 0 then 0 else (g i ⋯) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : γ

(∑' (a_1 : β) (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) * if h : ∀ (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 ⋯) a) = ∑' (a_1 : α) (i : β), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else (f a_1 h) i * if h : (f a_1 h) i = 0 then 0 else (g i ⋯) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : γ

Context: a' : α

Context: b : β

((p a' * if h : p a' = 0 then 0 else (f a' h) b) * if h : ∀ (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0 then 0 else (g b ⋯) a) = p a' * if h : p a' = 0 then 0 else (f a' h) b * if h : (f a' h) b = 0 then 0 else (g b ⋯) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g

∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0 ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

{a}.Disjoint t ∧ s.Disjoint t ↔ a ∉ t ∧ s.Disjoint t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜

StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hs : StarConvex 𝕜 x s

Context: z : E

Context: c : 𝕜

Context: h : StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + x) '' (c • s))


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1

↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬(f '' s).Finite


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
i : B

cs.leftInvSeq (ω.concat i) = (cs.leftInvSeq ω).concat (cs.wordProd ω * cs.simple i * (cs.wordProd ω)⁻¹)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α

𝓟 s ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥


𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ = ⊤


Context: b : Ordinal.{u_1}


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : ¬a = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: r C : ℝ≥0∞

Context: hr : r < 1

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η * S.b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : β
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α

IsGenericPoint x S ↔ ∀ (y : α), x ⤳ y ↔ y ∈ S


Context:
α : Type u_1
s✝ : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s✝
s t : Set α
e : ℕ → α
he : ∀ (n : ℕ), e n ∈ s ∪ t

∃ g, (∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ s) ∨ ∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ t


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T25Space X

Context: x y : X

Context: h : Disjoint ((𝓝 x).lift' closure) ((𝓝 y).lift' closure)

Context: hxy : x = y


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s

Real.toEReal '' {x | LSeriesSummable f ↑x} ∈ {x | ↑s.re ∈ x}


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : (x : α) → OmegaCompletePartialOrder (β x)

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ

Context: f : γ → (x : α) → β x

Context: hf : ∀ (x : α), Continuous' fun g => f g x

Context: c : Chain γ

Context: a : α

{ toFun := f, monotone' := ⋯ } (ωSup c) a = ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ }) a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

x ∈ s.offDiag ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ x.1 ≠ x.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : s.Nonempty → ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
h : (⇑ofDual ⁻¹' s).Nonempty

∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x


(fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))


∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

sinh ((dist a b + dist b c) / 2) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

dist ↑a ↑b * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑c) / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

(dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * b.im) * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * c.im) * b.im))


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

√(a.im * b.im) * √(b.im * c.im) = √(a.im * c.im) * b.im


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l


(-1) ^ (Fintype.card l + Fintype.card l) = 1