Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B✝ B' I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: M₁ M₂ : Matroid α

Context: hE : M₁.E = M₂.E

Context: h : ∀ I ⊆ M₁.E, M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I

Context: h' : ∀ (I : Set α), M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I := fun I => Or.elim (em (I ⊆ M₁.E)) (h I) fun h' => iff_of_false (fun hi => h' (Indep.subset_ground hi)) fun hi => h' (LE.le.trans_eq (Indep.subset_ground hi) (Eq.symm hE))

Context: B : Set α

Context: x✝ : B ⊆ M₁.E


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R


(starRingEnd ℂ) (φ a) = ((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iic b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ioi b) μ

∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioi b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n = 1
a✝ : Nontrivial R


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Inducing f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F

StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hα : SecondCountableTopology α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsHausdorff I N
f : M →ₗ[R] N
g : Hausdorffification I M →ₗ[R] N
hg : g ∘ₗ of I M = f
x✝ : Hausdorffification I M
x : M

g ((of I M) x) = (lift I f) ((of I M) x)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂

∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : f k = f l


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : ↑k • χ₁ = ↑l • χ₁


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)

(π.map f).map ⟦p⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map g).map ⟦q⟧ ≫ hcast ⋯


HEq ((π.map f).map ⟦p⟧) ((π.map g).map ⟦q⟧)


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
a : α
x✝ : Multiset α
hx✝ : x✝ ∈ Set.range val
s : Finset α
t : Multiset α
ht : t ∈ Set.Icc x✝ s.val


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

(-a).val = if a = 0 then 0 else n - a.val


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

(n - a.val) % n = if a = 0 then 0 else n - a.val


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : a.val ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) (f x) < r


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

alternatization (a.domCoprod b) = (alternatization a).domCoprod (alternatization b)


↑(alternatization (a.domCoprod b)) = ↑((alternatization a).domCoprod (alternatization b))


∑ xbar ∈ Finset.image Quotient.mk'' Finset.univ, ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = ∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)

∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = Quotient.mk'' σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∑ y ∈ Finset.filter (fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∑ x ∈ Finset.filter ((fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ))) Finset.univ, Perm.sign ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) • domDomCongr ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign x.1 • Perm.sign x.2 • (domDomCongr x.1 a).domCoprod (domDomCongr x.2 b))


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

Context: al : Perm ιa

Context: ar : Perm ιb

Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign al • Perm.sign ar • (domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

Context: al : Perm ιa

Context: ar : Perm ιb

Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • Perm.sign al • Perm.sign ar • domDomCongr σ ((domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

(-φ₁).τ₁ = S₁.f ≫ (-h.h₁) + -h.h₀ + (-φ₂).τ₁


-φ₂.τ₁ + -(S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀) = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + -φ₂.τ₁


(-φ₁).τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + (-φ₂).τ₂


-φ₂.τ₂ + -(S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f) = -S₁.g ≫ h.h₂ + -h.h₁ ≫ S₂.f + -φ₂.τ₂


(-φ₁).τ₃ = -h.h₃ + (-h.h₂) ≫ S₂.g + (-φ₂).τ₃


-(h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃) = -h.h₃ + -h.h₂ ≫ S₂.g + -φ₂.τ₃


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α

M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), Commute (stdBasisMatrix i j 1) M


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M

Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)


r • stdBasisMatrix i j 1 = MulOpposite.op r • stdBasisMatrix i j 1


Context: n : Int


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : K

(mixedEmbedding K) x ∈ convexBodyLT K f ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w x < ↑(f w)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

IsClosed ((dualPairing 𝕜 E).flip.polar s)


IsClosed (⋂ x ∈ s, {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) x‖ ≤ 1})


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
z : E
x✝ : z ∈ s

IsClosed {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) z‖ ≤ 1}


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4

IsEmpty (ULift.{u_5, u_4} α) ↔ IsEmpty α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0


↑⌈a⌉ = ↑⌊a⌋ + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s✝ : Set α

Context: t : Set β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter β

Context: α₁ : Type u

Context: α₂ : Type v

Context: β₁ : Type w

Context: β₂ : Type x

Context: f₁ : Filter α₁

Context: f₂ : Filter α₂

Context: m₁ : α₁ → β₁

Context: m₂ : α₂ → β₂

Context: s : Set (β₁ × β₂)

Context: hs : (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s ∈ f₁ ×ˢ f₂

Context: s₁ : Set α₁

Context: hs₁ : s₁ ∈ f₁

Context: s₂ : Set α₂

Context: hs₂ : s₂ ∈ f₂

Context: h : s₁ ×ˢ s₂ ⊆ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
s : Set α
h : q.s ⊆ s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0

x = ↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs


(fun a => ↑a) x = (fun a => ↑a) (↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: x : ℤ_[p]

Context: hx : x ≠ 0

Context: repr : ↑x = ↑↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation

↑p ^ x.valuation.natAbs = ↑p ^ x.valuation


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F


(List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) 0).sum = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.think.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n k : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0

Context: x✝ : ℕ

Context: hm : n ≤ x✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n k : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0

Context: x✝ : ℕ

Context: hm : n ≤ x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a + x) ⁻¹' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀


Context: t : ↑I


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M

∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : LinearWeights R L M

Context: χ✝ : L → R

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : Weight R L M

Context: hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : LinearWeights R L M

Context: χ✝ : L → R

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : Weight R L M

Context: m : M

Context: property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)

Context: hm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))

Context: hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : LinearWeights R L M

Context: χ✝ : L → R

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : Weight R L M

Context: m : M

Context: hm₁✝ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))

Context: hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁✝⟩ ≠ 0

Context: hm₁ : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j : 𝒰.J

t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hst : s =ᶠ[ae μ] t


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
F : C ⥤ D

F.map se.section_ ≫ F.map f = 𝟙 (F.obj Y)


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop


Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }


Context:
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p


∀ p ∈ n.primeFactorsList, _root_.Prime p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : (ZMod p)ˣ


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

Tendsto (fun x => rexp (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop

EventuallyConst p l ↔ (p =ᶠ[l] fun x => False) ∨ p =ᶠ[l] fun x => True


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) y

EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: this : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y

Context: this : (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) x = (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) y


Context: D : GlueData

Context: x y : ↑(∐ D.U)

Context: this : (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one x = (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
hS : S ≤ A⁰
s : ↥S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n (addBottom L) = addBottom (ListBlank.modifyNth f n L)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n✝ : ℕ

ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n✝ : ℕ

ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail) = ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n✝ : ℕ

∀ (x : (k : K) → Option (Γ k)), { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f (f x) = (({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).1, f ({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).2)


Context:
r p : ℝ≥0
h : p ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : IsTorsion G
h : H
g : G
hg : f g = h


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
hne : f x ≠ g x


Context: x y : ℂ

sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y


Context: x y : ℂ

(cexp x - cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y - cexp (-x) * cexp (-y))


Context:
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-2) ^ 2 ^ k)


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: c : Composition n

Context: i : Fin (l.splitWrtComposition c).length

(l.splitWrtComposition c).get i = drop (c.sizeUpTo ↑i) (take (c.sizeUpTo (↑i + 1)) l)


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.3840, u_2} T
X✝ Y✝ : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
f : X✝ ⟶ Y✝
t t' : T
g : t ⟶ t'
i : ι

(((fun C => C.asFunctor) X✝).map g ≫ (fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t').f i = ((fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t ≫ ((fun C => C.asFunctor) Y✝).map g).f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
ab : b ∈ pure a
c : α
ac : c ∈ pure a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
ab : b = a
c : α
ac : c = a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m


Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: ι : Type u_1

Context: m : ι → ↥M

Context: hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥M) R m)


Context:
x y z : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x

HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x)) x


f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x) = ((((fun x => (f x, g x)) x).2 * ((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ (((fun x => (f x, g x)) x).2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ ((fun x => (f x, g x)) x).2 * log ((fun x => (f x, g x)) x).1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f', g')


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : Set Y
hK : IsCompact K
l : Filter X

l ×ˢ 𝓝ˢ K = ⨆ y ∈ K, l ×ˢ 𝓝 y


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : β → α

(∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ range f → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ range f → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ (x y : β), dist (f x) (f y) ≤ C


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
b : Basis ι R₁ M₁

((toLinearMap₂ b b) M).SeparatingLeft ↔ M.Nondegenerate


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)

p.predAbove i.rev = (p.rev.predAbove i).rev


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI : ¬I = ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI✝ : ¬I = ⊥
hI : ↑I ≠ 0


Context:
R✝ : Type u
a✝ b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a : R[ℕ]

{ toFinsupp := -a } = Polynomial.neg { toFinsupp := a }


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y✝ : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ha : a ≠ 0

padicValNat p (a ^ n) = n * padicValNat p a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
x : α

(fun n => (decode n).iget) (encode x) = x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E


∀ (i : E ≃L[𝕜] F), range toContinuousLinearMap ∈ 𝓝 ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: h_O : Continuous O


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: e : E ≃L[𝕜] F

Context: h_O : Continuous O

range toContinuousLinearMap = O ⁻¹' {x | IsUnit x}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
hmem : g ^ ngn ∈ f.ker


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker
nn : ℕ
nnpos : 0 < nn
hnn : gn ^ nn = 1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
x✝¹ : R
x✝ : L
hx : D1 x✝ = D2 x✝


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: D D1 D2 : LieDerivation R L M

Context: a b : L

Context: s : Set L

Context: h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s

Context: z : L

Context: hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)

Context: zero : D1 0 = D2 0

Context: smul : ∀ (r : R) {x : L}, D1 x = D2 x → D1 (r • x) = D2 (r • x)

Context: x✝¹ x✝ : L

Context: hx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹

Context: hy : D1 x✝ = D2 x✝


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: D D1 D2 : LieDerivation R L M

Context: a b : L

Context: s : Set L

Context: h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s

Context: z : L

Context: hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)

Context: zero : D1 0 = D2 0

Context: add : ∀ (x y : L), D1 x = D2 x → D1 y = D2 y → D1 (x + y) = D2 (x + y)

Context: x✝¹ x✝ : L

Context: hx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹

Context: hy : D1 x✝ = D2 x✝


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w


Context: h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6


Context: this : rexp 1 ^ (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)


Context: this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
A B : Matrix n n R

(toLinAlgEquiv v₁) (A * B) = (toLinAlgEquiv v₁) A ∘ₗ (toLinAlgEquiv v₁) B


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hb : 0 ≤ b


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
ba : b ≤ a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'

(fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₂ : f' =O[l] g'

Context: h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₂ : f' =O[l] g'

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₂ : f' =O[l] g'

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : c' > 0

Context: hc' : IsBigOWith c' l f' g'


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n✝ n : ℕ
ih : (M ^ n).FG


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
p : ℤ
hp : Prime p
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : Filter α
s : Set α
f : α → β
t : Set β

t ∈ pmap (PFun.res f s) l ↔ t ∈ map f (l ⊓ 𝓟 s)


sᶜ ∪ f ⁻¹' t ∈ l ↔ {x | x ∉ s ∨ x ∈ f ⁻¹' t} ∈ l


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V

H = G.singletonSubgraph v ↔ H.verts = {v}


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V
h : H.verts = {v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

∫⁻ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : OrderedSemiring β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
i j : α
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

{⟨finRotate 5, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ ∈ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : g2 ∈ normalClosure {g2}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0

Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0


Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (?neg✝ * 0))


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0

Context: this : EqOn (deriv f) f' (interior D)


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0

Context: this : EqOn (deriv f) f' (interior D)

DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
s : Multiset α
ihs : s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ

Function.const ℍ x ∣[0] A = Function.const ℍ x


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
x✝ : ℍ

(Function.const ℍ x ∣[0] A) x✝ = Function.const ℍ x x✝


Function.const ℍ x (↑A • x✝) * ↑1 ^ (-1) * denom (↑A) x✝ ^ (-0) = Function.const ℍ x x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f
t : Set α
ht : t ∈ pure a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
n : ↥N


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x₀
hmn : m + ↑i ≤ n

ContDiffAt 𝕜 m (iteratedFDeriv 𝕜 i f) x₀


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x₀
hmn : m + ↑i ≤ n

ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ) univ x₀


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j : ι


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι
hi : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β

image (fun i => b ↑i) univ = (image b univ).erase k


image (fun i => b ↑i) univ ⊆ (image b univ).erase k


(image b univ).erase k ⊆ image (fun i => b ↑i) univ


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α


IsClosed {x | dist x.1 x.2 = dist x.2 x.1}


∀ (a b : α), dist (↑α a) (↑α b) = dist (↑α b) (↑α a)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: fst✝¹ : Perm { a // p a }

Context: snd✝¹ : Perm { a // ¬p a }

Context: fst✝ : Perm { a // p a }

Context: snd✝ : Perm { a // ¬p a }

Context: h : (subtypeCongrHom p) (fst✝¹, snd✝¹) = (subtypeCongrHom p) (fst✝, snd✝)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: fst✝¹ : Perm { a // p a }

Context: snd✝¹ : Perm { a // ¬p a }

Context: fst✝ : Perm { a // p a }

Context: snd✝ : Perm { a // ¬p a }


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 2


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho✝ : o ≤ 2
ho : o < 2


Context: ho : 2 ≤ 2


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K

f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - f %ₘ (X - C a))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - C (eval a f))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: key : (1 - derivative (C a)) * (f /ₘ (X - C a)) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f - derivative (C (eval a f))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: key : f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f - derivative (C (eval a f))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: key : f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: P : Sort v

Context: p q : K[X]

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1

Context: H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn' f H = f p q


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: P : Sort v

Context: p q : K[X]

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1

∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : x ∈ f.graph


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

(𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

(((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd


Context:
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens


Context:
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U


Context:
s : ℝ
hs : 1 < s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support) = ⊤


⊤ ≤ adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support)


S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
hf : f ∈ S

f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Monoid M

Context: S : Set (MonoidAlgebra R M)

Context: hS : adjoin R S = ⊤

Context: f : MonoidAlgebra R M

Context: hf : f ∈ S

Context: hincl : ⇑(of R M) '' ↑f.support ⊆ ⋃ g ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑g.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nontrivial α

∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ s


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t✝ : Set α

Context: S T : Set (Set α)

Context: h_gen : m0 = generateFrom S

Context: hc : T.Countable

Context: h_inter : IsPiSystem S

Context: hU : ⋃₀ T = univ

Context: htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤

Context: ST_eq : ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S, μ (s ∩ t) = ν (s ∩ t)

Context: T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ T

Context: u : Set α

Context: hu : MeasurableSet u


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t✝ : Set α

Context: S T : Set (Set α)

Context: h_gen : m0 = generateFrom S

Context: hc : T.Countable

Context: h_inter : IsPiSystem S

Context: hU : ⋃₀ T = univ

Context: htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤

Context: T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ T

Context: u : Set α

Context: hu : MeasurableSet u


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t✝ : Set α

Context: S T : Set (Set α)

Context: h_gen : m0 = generateFrom S

Context: hc : T.Countable

Context: h_inter : IsPiSystem S

Context: hU : ⋃₀ T = univ

Context: htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤

Context: T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ T

Context: u : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

∀ (t_1 : Set α), MeasurableSet t_1 → μ (t_1 ∩ t) = ν (t_1 ∩ t) → μ (t_1ᶜ ∩ t) = ν (t_1ᶜ ∩ t)


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t✝ : Set α

Context: S T : Set (Set α)

Context: h_gen : m0 = generateFrom S

Context: hc : T.Countable

Context: h_inter : IsPiSystem S

Context: hU : ⋃₀ T = univ

Context: htop : ∀ t ∈ T, μ t ≠ ⊤

Context: T_eq : ∀ t ∈ T, μ t = ν t

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ T

Context: u : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i ∩ t) = ν (f i ∩ t)) → μ ((⋃ i, f i) ∩ t) = ν ((⋃ i, f i) ∩ t)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
J : ι → Ideal R
s : Finset ι
hf : ∀ j ∈ s, IsCoprime I (J j)


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
c : Cardinal.{v}

c ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, #↑s = c ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
c : Cardinal.{v}
this : Nontrivial K


Context: θ : Angle

(2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

↑(a.ascFactorial b) = Polynomial.eval (↑a) (ascPochhammer S b)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j k : A
h : i + j = k


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A

shiftFunctorComm C i j = (shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯


shiftFunctorComm C i j = (shiftFunctorAdd C i j).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C j i (i + j) ⋯


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
x✝ : K


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : β


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j : 𝒰.J

t 𝒰 f g i j ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α ≃ β
h₁ : UniformContinuous ⇑f
h₂ : UniformContinuous ⇑f.symm


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α

Context: a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

trunc (n - 1) ((d⁄dX R) f) = Polynomial.derivative (trunc n f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪x, o.rightAngleRotationAux₁ y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y


⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, x⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
empty_X : IsEmpty X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: x : X

Context: s✝ s t : Set X

Context: r : RegularSpace X

Context: inst✝ : LindelofSpace X

Context: s_cl : IsClosed s

Context: t_cl : IsClosed t

Context: st_dis : Disjoint s t

Context: nonempty_X : Nonempty X

Context: u : X → Set X

Context: u_open : ∀ (a : X), IsOpen (u a)

Context: u_dis : ∀ (a : X), Disjoint (closure (u a)) t

Context: u_nhd : ∀ a ∈ s, a ∈ u a


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: x : X

Context: s✝ s t : Set X

Context: r : RegularSpace X

Context: inst✝ : LindelofSpace X

Context: s_cl : IsClosed s

Context: t_cl : IsClosed t

Context: st_dis : Disjoint s t

Context: nonempty_X : Nonempty X

Context: u : X → Set X

Context: u_open : ∀ (a : X), IsOpen (u a)

Context: u_nhd : ∀ a ∈ s, a ∈ u a

Context: f : ℕ → X

Context: f_cov : s ⊆ ⋃ n, u (f n)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J

Context: H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: H_ind : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: H_ind : ∀ J ≤ I, ¬p J → ∃ x, ¬p (J.splitCenterBox x)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: s : Box ι → Set ι

Context: hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))

Context: J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: s : Box ι → Set ι

Context: J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: s : Box ι → Set ι

Context: hJmono : Antitone J


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: hpI : ¬p I

Context: s : Box ι → Set ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝 z)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝 z)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z

Context: hU : ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : ℕ → Box ι

Context: hJmono : Antitone J

Context: hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I

Context: hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)

Context: h0 : J 0 = I

Context: z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower

Context: hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z

Context: m : ℕ

Context: hUm : Set.Icc (J m).lower (J m).upper ∈ 𝒫 U


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod

(map (g ∘ f) s).prod = (map (g ∘ f) t).prod


(map g (map f s)).prod = (map g (map f t)).prod


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field F
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K₁
inst✝¹⁴ : Field K₂
inst✝¹³ : Field K₃
inst✝¹² : Algebra F K₁
inst✝¹¹ : Algebra F K₂
inst✝¹⁰ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E✝ : Type u_6
inst✝⁹ : Field E✝
inst✝⁸ : Algebra F E✝
inst✝⁷ : Algebra E✝ K₁
inst✝⁶ : Algebra E✝ K₂
inst✝⁵ : Algebra E✝ K₃
inst✝⁴ : IsScalarTower F E✝ K₁
inst✝³ : IsScalarTower F E✝ K₂
inst✝² : IsScalarTower F E✝ K₃
inst✝¹ : Algebra F K
E : IntermediateField F K
inst✝ : Normal F ↥E
f : ↥E →ₐ[F] K
this : Algebra ↥E ↥E := Algebra.id ↥E
g : ↥E ≃ₐ[F] ↥E := f.restrictNormal' ↥E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : β → ℝ≥0

Context: hf : Summable fun i => ↑(f i)

Context: g : β → ℝ≥0

Context: hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : β → ℝ≥0

Context: hf : Summable f

Context: g : β → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E

∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∑ a : α, (p a).toReal • f a


∑ x : α, (p.toMeasure {x}).toReal • f x = ∑ a : α, (p a).toReal • f a


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: φ : (i : ι) → β i →+ γ

Context: f : (i : ι) → β i

Context: support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

Context: s : Multiset ι

Context: hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

∑ i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0) (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: φ : (i : ι) → β i →+ γ

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

∀ x ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ x) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) x ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) else 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: φ : (i : ι) → β i →+ γ

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset

(φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) else 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: inst✝ : AddCommMonoid γ

Context: φ : (i : ι) → β i →+ γ

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ s.toFinset

(φ i) (f i) = if f i ≠ 0 then (φ i) (f i) else 0


Context:
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z

((h₁.invFun.comp h₂.invFun).comp (h₂.toFun.comp h₁.toFun)).Homotopic (ContinuousMap.id X)


((h₁.invFun.comp h₂.invFun).comp (h₂.toFun.comp h₁.toFun)).Homotopic (h₁.invFun.comp h₁.toFun)


((h₂.toFun.comp h₁.toFun).comp (h₁.invFun.comp h₂.invFun)).Homotopic (ContinuousMap.id Z)


((h₂.toFun.comp h₁.toFun).comp (h₁.invFun.comp h₂.invFun)).Homotopic (h₂.toFun.comp h₂.invFun)


Context:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y


Context:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : (forget Stonean).obj Y


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hC : IsClosed C


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hC : IsClosed C

Context: U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hC : IsClosed C

Context: U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ

Context: hUy : U ∈ 𝓝 y


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hC : IsClosed C

Context: U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ

Context: hUy : U ∈ 𝓝 y

Context: V : Set ((forget Stonean).obj Y)

Context: hV : V ∈ {s | IsClopen s}

Context: hyV : y ∈ V

Context: hVU : V ⊆ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
μ κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝² : IsSFiniteKernel μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s✝ : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s✝

(((μ + κ) ⊗ₖ η) a✝) s✝ = ((μ ⊗ₖ η + κ ⊗ₖ η) a✝) s✝


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : 0 < r

a ≤ (lineMap a b) r ↔ (lineMap a b) 0 ≤ (lineMap a b) r


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
s : Set E

μ (⇑(AffineMap.homothety x r) '' s) = μ ((fun y => y + x) '' (r • (fun y => y + -x) '' s))


μ (⇑(AffineMap.homothety x r) '' s) = μ ((fun x_1 => r • (x_1 - x) + x) '' s)


μ ((fun y => y + x) '' (r • (fun y => y + -x) '' s)) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s


Context:
α : Sort u_1
s : α → Prop
h : ∃ a, (fun b => a = b) = s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ‖↑↑g x‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set G
x✝ : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Set G
a : G
ha : a ∈ ↑(stabilizer G s)
b : G
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c u : αˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β × γ → α
c : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ℕ


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R
h : a • S ≤ a • T


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Sort u_1
U : ι → ↑Y.affineOpens
hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: ι : Sort u_1

Context: U : ι → ↑Y.affineOpens

Context: hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: ι : Sort u_1

Context: U : ι → ↑Y.affineOpens

Context: hU : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: hU' : ∀ (i : ι), Q (f ∣_ ↑(U i))


Context:
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

Integrable (fun x => g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
h : ∅.Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
x : α


‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

⇑(MvPowerSeries.coeff R 0) = ⇑(constantCoeff R)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G

↑‖∫ (a : α), f a ∂μ‖₊ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ


ENNReal.ofReal ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ


‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁


R.symm.inverse.map (T.map (L.symm.counitIso.inv.app X)) ≫ R.symm.inverse.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.symm.inverse.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.symm.inverse.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.symm.inverse.obj X)))) ≫ R.symm.unitIso.inv.app (B.obj (L.symm.inverse.obj X)) = iso'.hom.app X


R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X)) = iso'.hom.app X


(R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = iso'.hom.app X ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X))


(R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = (T ⋙ R.functor).map (L.unitIso.hom.app X) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app ((L.functor ⋙ L.inverse).obj X)


(R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))


R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X)))) ≫ R.counit.app (R.functor.obj (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X)))) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X)) ≫ B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))


Context:
x : PartENat
n : ℕ

(∃ (h : True → x.Dom), ∀ (hy : (↑n).Dom), x.get ⋯ ≤ (↑n).get hy) ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M

(e.map f).orientation = e.orientation ↔ 0 < LinearMap.det ↑f


Context:
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X

μ k = ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)


μ k ≤ ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)


⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ k


Context:
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hn : ‖f‖ = 0
x : V₁


Context:
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hf : f = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

(Equiv.addRight a ^ n) x✝ = (Equiv.addRight (n • a)) x✝


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hab : a ≤ b

Context: hcd : c ≤ d


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: hcd : c ≤ d

Context: b : α

Context: hab : a ≤ a + b


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a c : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: b : α

Context: hab : a ≤ a + b

Context: d : α

Context: hcd : c ≤ c + d


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G

QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ