Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: this : [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ¬⊥ < ker φ, ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0].TFAE


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: aux₁ : ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0 ↔ φ m = 0 → m = 0

[¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: aux₂ : ker φ = ⊥ ↔ ¬⊥ < ker φ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

Context: hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C

‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

‖iteratedFDeriv ℝ k (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

Context: T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun i => W) ℝ) := (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

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Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

Context: I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x => L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

Context: I₂ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m

Context: I₃ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x => L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

Context: A : ContDiff ℝ K fun y => T fun x => L y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) (T fun x_1 => L x, f x).1) (T fun x_1 => L x, f x).2) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * (2 * ↑n + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

(2 * π) ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) (T fun x_1 => L x)) (f x)) v‖ ≤ (2 * π) ^ n * ((2 * ↑n + 2) ^ k * (‖L‖ ^ n * C))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) (T fun x_1 => L x)) (f x)) v‖ ≤ (2 * ↑n + 2) ^ k * (‖L‖ ^ n * C)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f✝ f : V → E

Context: K : ℕ∞

Context: C : ℝ

Context: hf : ContDiff ℝ K f

Context: n k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: v : V

∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ i (fun y => T fun x => L y) v‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (k - i) f v‖ ≤ (2 * ↑n + 2) ^ k * (‖L‖ ^ n * C)


Context:
x✝ y : ℝ
C : ℝ → Prop
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (mk y)
x : Cauchy abs


Context:
x✝ y : ℝ
C : ℝ → Prop
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (mk y)
x : CauSeq ℚ abs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t✝ u : Set α
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hf : Measurable f
h : {x | f x ≠ g x}.Countable
t : Set β
ht : MeasurableSet t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: hf : Measurable f

Context: h : {x | f x ≠ g x}.Countable

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: hf : Measurable f

Context: h : {x | f x ≠ g x}.Countable

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

MeasurableSet (g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: hf : Measurable f

Context: h : {x | f x ≠ g x}.Countable

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

MeasurableSet (g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t✝ u : Set α

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: hf : Measurable f

Context: h : {x | f x ≠ g x}.Countable

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this✝ : g ⁻¹' t = g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}ᶜ ∪ g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}

Context: this : g ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x} = f ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x}

MeasurableSet (f ⁻¹' t ∩ {x | f x = g x})


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
m : (i : ι) → Mᵢ i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
Q : QuadraticMap R (Mᵢ i) P
m : (i : ι) → Mᵢ i
j : ι
hij : j ≠ i


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e

((splitting K).ι (unop A.fst).len ≫ (obj K).map A.e.op) ≫ (obj K).map θ = Termwise.mapMono K i ≫ (splitting K).ι Δ''.len ≫ map K (Splitting.IndexSet.mk e).e.op


(splitting K).ι (unop A.fst).len ≫ (obj K).map (A.e.op ≫ θ) = Termwise.mapMono K i ≫ (splitting K).ι Δ''.len ≫ map K (Splitting.IndexSet.mk e).e.op


Sigma.ι (summand K A.fst) (Splitting.IndexSet.id A.fst) ≫ map K (A.e.op ≫ θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K (op Δ'')) (Splitting.IndexSet.id (op Δ'')) ≫ map K (Splitting.IndexSet.mk e).e.op


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
γ' : Cochain L M 0

(γ.comp γ' ⋯).leftShift a n' hn' = (γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

update f i '' Ico a (f i) = Ico (update f i a) f


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup A

Context: inst✝² : Module ℂ A

Context: inst✝¹ : StarAddMonoid A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: z : ℂ

Context: a : A

Context: this : ℜ (z • a) = ℜ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y

Context: X : C

Context: x y : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: h : ((J.toPlus P).app (op X)) x = ((J.toPlus P).app (op X)) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: x y : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: h : mk (Meq.mk ⊤ x) = mk (Meq.mk ⊤ y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: x y : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: h : ∃ W h1 h2, (Meq.mk ⊤ x).refine h1 = (Meq.mk ⊤ y).refine h2


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: P : IntermediateField F E → Prop

Context: base : P ⊥

Context: ih : ∀ (K : IntermediateField F E) (x : E), P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)

Context: S : Finset E


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α

l.toFun (↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑(l.toFun ↑y)) = l.toFun (↑x ∪ ↑y)


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : √x = y


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : y * y = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α


Context:
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0


map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p


map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) = (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z)


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop


Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => c + x) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M

(RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = (ι R) m


(RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m


Context:
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β

(s.pi fun a => {f a}) = {fun a x => f a}


((fun a x => f a) ∈ s.pi fun a => {f a}) ∧ ∀ x ∈ s.pi fun a => {f a}, x = fun a x => f a


Context:
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : a ∈ s.pi fun a => {f a}
i : α
hi : i ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : α → Type u

Context: δ : α → Sort v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ : Finset α

Context: t : (a : α) → Finset (β✝ a)

Context: β : Type u_2

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: a : (a : α) → a ∈ s → β

Context: ha : ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ s), a a_1 h ∈ {f a_1}

Context: i : α

Context: hi : i ∈ s


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: H : Q g

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: H : Q g

∀ (i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J), Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: H : Q g

Context: this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J

Context: e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)

Context: this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i

Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: H : Q g

Q (pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: H : Q g


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0


Context:
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction


Context:
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b

(c • f).measure (Ioc a b) = (c • f.measure) (Ioc a b)


ofReal (↑(c • f) b - ↑(c • f) a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)


ofReal (↑c * ↑f b - ↑c * ↑f a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)


↑c • ofReal (↑f b - ↑f a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen)


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen = Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
x✝ : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

x✝ ∈ SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen ↔ x✝ ∈ Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)


(∃ x ∈ Set.range X.basicOpen, ↑x = x✝) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ Set.range PrimeSpectrum.basicOpen, ↑x_1 = x) ∧ ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) ⁻¹' x = x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E

inner_ 𝕜 (I • x) y = (starRingEnd 𝕜) I * inner_ 𝕜 x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1


4⁻¹ * (𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖) = 4⁻¹ * (-I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖))


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ - I * 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖) + I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖) + -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) + -(-I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖)) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖)


𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖) + I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖) + -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) = -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) + - -(I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖)) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁

(toLinAlgEquiv v₁) ((toMatrixAlgEquiv v₁) f) = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(f.restrict s).lintegral μ = f.lintegral (μ.restrict s)


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

(↑p).IsConjExponent ↑q ↔ p.IsConjExponent q


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

1 < p → ((↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = 1 ↔ p⁻¹ + q⁻¹ = 1)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → Subalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: T : Subalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: h : K i ≤ T

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ (Set.inclusion h x) = (f i) x


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f 0 x r


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i = coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ

∏ x ∈ range (n + 1), f x = f n * ∏ x ∈ range n, f x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] fun z => -deriv ε z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x


(fun z => -deriv ε z) =o[atTop] fun x => x⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
R : Type u_4
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : R


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L

φ.nilRankAux b = (φ.polyCharpoly b').natTrailingDegree


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] norm

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] norm

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a

Context: N : ℕ


Context:
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p

↑(p * q).toNNReal = ↑(p.toNNReal * q.toNNReal)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)


(-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

Context: hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)

(-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)) = ↑(Real.arctan r⁻¹)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

D.t' j i i = pullback.fst (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))


D.t' j i i = (D.t' j i i ≫ pullback.snd (D.f i i) (D.f i j)) ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ

UniformIntegrable (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) p μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ
n : ℕ

(∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n = (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ
n : ℕ
x : α

((∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) x = ((↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊

C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ


∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ


∀ᵐ (a : α) ∂μ, s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ≤ ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊

s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F

Context: v : Basis ι ℝ E

Context: w : Basis ι' ℝ F

(v.prod w).addHaar = v.addHaar.prod w.addHaar


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: v : Basis ι ℝ E

Context: w : Basis ι' ℝ F

Context: this : FiniteDimensional ℝ E


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: v : Basis ι ℝ E

Context: w : Basis ι' ℝ F

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: this : FiniteDimensional ℝ F


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝² : Monoid N✝
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : (i : ι) → G i →* N
i : ι
x : G i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
f✝ g : α → β
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : β → α
hf : ∀ (x y : β), f x = f y
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
f✝ g : α → β
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : β → α
hf : ∀ (x y : β), f x = f y
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
x✝ : β


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a < b
hcd : c < d


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

(map f) ((bind₁ g) φ) = (bind₁ fun i => (map f) (g i)) ((map f) φ)


(eval₂Hom C fun i => (map f) (g i)) ((map f) φ) = (bind₁ fun i => (map f) (g i)) ((map f) φ)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

∀ (x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i), ‖(mapL f) x‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ‖x‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖((let __src := liftEquiv 𝕜 E (⨂[𝕜] (i : ι), E' i); { toLinearEquiv := __src, norm_map' := ⋯ }) ((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f)) x‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ‖x‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖(lift ((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f).toMultilinearMap) x‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ‖x‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖(tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

∀ (m : (i : ι) → E i), ‖((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f) m‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: m : (i : ι) → E i

‖((tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f) m‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: m : (i : ι) → E i

‖(tprodL 𝕜) fun i => (f i) (m i)‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: m : (i : ι) → E i

∏ i : ι, ‖(f i) (m i)‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: m : (i : ι) → E i

∏ i : ι, ‖(f i) (m i)‖ ≤ ∏ x : ι, ‖f x‖ * ‖m x‖


Context: x y : ℝ

Tendsto (fun x => log (rexp x)) atTop atTop


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


(pushout.inr S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.op.δ.unop ≫ (pullback.snd S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop = (pushout.inl S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ (pullback.fst S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop


((pushout.inr S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.op.δ.unop ≫ (pullback.snd S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop).op = ((pushout.inl S.L₁.g.op S.v₀₁.τ₃.op).unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ (pullback.fst S.L₂.f.op S.v₂₃.τ₁.op).unop).op


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : x ≠ 0
h2 : x ≠ ⊤


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K

IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n ↔ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
β : Type u_1
α : Type u_2
p : α → Bool
f : β → α
b : β
l : List β

eraseP p (map f (b :: l)) = map f (eraseP (p ∘ f) (b :: l))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ (s ∩ s') ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
e : ↑s ↪ ↑t


((fun a => ↑a) '' (⇑e '' univ)).encard ≤ t.encard


Context: R✝ : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop R✝

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid R

Context: a b : Tropical (WithTop R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Continuous f

SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), f '' closure {x} = closure {f x}


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W

cs.IsReflection t ∧ cs.length (w * t * t) < cs.length (w * t) ↔ ¬(cs.IsReflection t ∧ cs.length (w * t) < cs.length w)


cs.length w < cs.length (w * t) ↔ cs.length w ≤ cs.length (w * t)


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Icc (-1) 1
hy : y ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N
s : Submonoid N

MonoidHom.mrange (lift f) ≤ s ↔ ∀ (i : ι), MonoidHom.mrange (f i) ≤ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
h : MeasurableSet (f '' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 E


((toDual 𝕜 E) ((toDual 𝕜 E).symm y)) x = y x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfIrred ⊤


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPullback
e : sq₁ ≅ sq₂


sq₁.f₁₂ ≫ (evaluation₂.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₂


sq₁.f₁₃ ≫ (evaluation₃.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₃


sq₁.f₂₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₂.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₂₄


sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
f : E →ₐ[F] K

(f.comp L.val).fieldRange.toSubalgebra = (map f L).toSubalgebra


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hC0 : 0 < C

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hμt : μ univ < ⊤

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

Measure.map (fun ω => X ω + y) ℙ = gaussianReal (μ + y) v


Measure.map ((fun ω => ω + y) ∘ X) ℙ = gaussianReal (μ + y) v


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg

Context: A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg

Context: B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg

Context: ω : Ω

Context: hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))

Context: hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))

Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg

Context: ω : Ω

(fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) = fun x => (∑ i ∈ range x, (pos ∘ X i) ω) / ↑x - (∑ i ∈ range x, (neg ∘ X i) ω) / ↑x


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0

Context: neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

Context: posm : Measurable pos

Context: negm : Measurable neg

Context: ω : Ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
xs : List α

(Multiset.sym2 ⟦xs⟧).dedup = (dedup ⟦xs⟧).sym2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.reverse.Nodup
x : α
hx : x ∈ s.reverse


Context:
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G

μ.measure ↑K = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


μ.measure ↑K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.measure ↑K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm) (e'.baseSet ∩ e.baseSet)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet

↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm = ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e' e b)


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

(Measure.pi μ) univ = ∏ i : ι, (μ i) univ


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.reverse.rotate n = (l.rotate (l.length - n % l.length)).reverse


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.reverse.reverse.reverse.rotate n = (l.reverse.reverse.rotate (l.reverse.reverse.length - n % l.reverse.reverse.length)).reverse


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.reverse = l.reverse.rotate (l.length - (l.length - n % l.length) % l.length + (l.length - n % l.length))


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.reverse = l.reverse.rotate (l.reverse.length - (l.reverse.length - n % l.reverse.length) % l.reverse.length + (l.reverse.length - n % l.reverse.length))


Context:
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)

IsBoundedAtImInfty ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∣[k] A)


∃ M A_1, ∀ (z : ℍ), A_1 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ M


∀ (z : ℍ), 2 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


Context:
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im

Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

Context: hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

Complex.abs ((eisensteinSeries_SIF (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod ↑N))) A)) k) (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

Context: hk' : 2 < ↑k


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

Context: hk' : 2 < ↑k

Summable fun i => r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)


Context: N : ℕ+

Context: a : Fin 2 → ZMod ↑N

Context: k : ℤ

Context: hk : 3 ≤ k

Context: A : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : 2 ≤ z.im

Context: n : ℤ

Context: hk' : 2 < ↑k

∀ (i : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k i (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)‖ ≤ r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: J K : ι → Prop

Context: a b : ↑C

Context: i : ι

Context: h : (π_app C fun x => x ∈ {i}) a = (π_app C fun x => x ∈ {i}) b


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: J K : ι → Prop

Context: a b : ↑C

Context: i : ι

Context: h : ↑((π_app C fun x => x ∈ {i}) a) = ↑((π_app C fun x => x ∈ {i}) b)


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: J K : ι → Prop

Context: a b : ↑C

Context: i : ι

Context: h : (fun j => ↑a ↑j) = fun j => ↑b ↑j


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : (ZMod p)[X]


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : (ZMod p)[X]

Context: h : (expand (ZMod p) (Fintype.card (ZMod p))) f = f ^ Fintype.card (ZMod p)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m
x : M
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
x : M
hx : x ≠ 0
h : ↑n • x = ↑m • x


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

s ⊆ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s

ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: m_le_n : m ≤ n

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: m_le_n : m ≤ n

Context: one_le_n : 1 ≤ n

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Context: q : TangentBundle I' H'

ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) p.1) p.2) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

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Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

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Context: x : M

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Context: s : Set H

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Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: m_le_n : m ≤ n

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: p : TangentBundle I H

Context: q : TangentBundle I' H'

Context: D : ContDiffOn 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) x) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: m_le_n : m ≤ n

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: p : TangentBundle I H

Context: q : TangentBundle I' H'

ContDiffOn 𝕜 m (fun p => fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) p.1) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.IdempotentOp ga
h : Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Surjective f
x : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : PreirreducibleSpace X

IsOpen s → IsOpen t → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a ≤ a'
hr : r ≤ 1


(1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r) • a' + r • b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : M → M' × N'

Context: h : ContMDiff I I' n (Prod.fst ∘ f) ∧ ContMDiff I J' n (Prod.snd ∘ f)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w


((w.comap (algebraMap K F)).comap (algebraMap k K)).mult ≤ (w.comap (algebraMap K F)).mult


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₁ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₃ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁

Context: comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁

Context: comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂

Context: comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂

Context: comm₃ : (L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃

Context: comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁