Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E : L.LeftExtension F

Context: X : C

Context: h : E.IsPointwiseLeftKanExtensionAt (L.obj X)

Context: inst✝¹ : L.Full

Context: inst✝ : L.Faithful


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: A : Set G

μ.outerMeasure (⇑f ⁻¹' A) = μ.outerMeasure A


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: A : Set G

∀ (s : Set G) (hs : IsOpen s), μ.innerContent { carrier := ⇑f.toEquiv ⁻¹' s, is_open' := ⋯ } = μ.innerContent { carrier := s, is_open' := hs }


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: A s : Set G

Context: hs : IsOpen s

μ.innerContent { carrier := ⇑f.toEquiv ⁻¹' s, is_open' := ⋯ } = μ.innerContent { carrier := s, is_open' := hs }


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : ι → Set E

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ PartENat.card ι

Context: h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)

Context: h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)

Context: h_inter : ∀ (I : Finset ι), I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : ι → Set E

Context: h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)

Context: h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)

∀ (I : Finset ι), I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : ι → Set E

Context: h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)

Context: h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)

Context: I : Finset ι

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset ι

Context: hJ_ss : I ⊆ J

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : ι → Set E

Context: h_convex : ∀ (i : ι), Convex 𝕜 (F i)

Context: h_compact : ∀ (i : ι), IsCompact (F i)

Context: I : Finset ι

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset ι

Context: hJ_ss : I ⊆ J

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1

(⋂ x ∈ fun a => a ∈ J.val, F x).Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
p : Ideal S
Hp : p.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime T p

IsLocalization.AtPrime T (Ideal.comap (algebraMap R S) p)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
p : Ideal S
Hp : p.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime T p
x : S
hx : IsUnit x
hx' : x ∈ ↑p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: f : M → M'

Context: x : M

ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: f : M → M'

Context: x : M

ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ ContinuousAt f x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
i : Fin s₂.length

Iso (s₁.toFun ((Exists.choose h).symm i).castSucc, s₁.toFun ((Exists.choose h).symm i).succ) (s₂.toFun i.castSucc, s₂.toFun i.succ)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.11066, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
j : J

F.map (e.inv j) ≫ F.map (e.hom j) = 𝟙 (F.obj (Y j))


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
x : RatFunc Fq
hx : x ≠ 0

inftyValuationDef Fq x = ↑(Multiplicative.ofAdd x.intDegree)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (uncurry f)

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: h : ∀ (a : α × β), ⨆ n, ↑(F n) a = uncurry f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: h : ∀ (a : α) (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: this : ∀ (a : α), ∫⁻ (b : β), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) ∂κ a = ⨆ n, ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a

Measurable fun a => ⨆ n, ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: n : ℕ

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑(F n) (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: n : ℕ

∀ (c : ℝ≥0∞) {s : Set (α × β)} (hs : MeasurableSet s), (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const (α × β) c) (SimpleFunc.const (α × β) 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (uncurry f)

Context: n : ℕ

∀ ⦃f g : SimpleFunc (α × β) ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) f → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) g → (fun f => Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ↑f (a, b) ∂κ a) (f + g)


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
W : C
X Y Z : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

F.map (𝟙 W, f ≫ g) = F.map (𝟙 W, f) ≫ F.map (𝟙 W, g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ∀ (b : α), ¬r a b


(a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b) ↔ b = a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hg : Monotone g
s : Set β

s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g


∀ (x : Set α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → s ∈ g x → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
inst✝ : Category.{?u.30099, u_2} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
s : Set α


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(limitOpIsoOpColimit F).hom ≫ (colimit.ι F i).op = limit.π F.op (op i)


Context:
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → CommSemiring (A i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (A i)
x y : ⨂[R] (i : ι), A i


Context:
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → CommSemiring (A i)
inst✝ : (i : ι) → Algebra R (A i)
x✝ y✝ : ⨂[R] (i : ι), A i
x y : (i : ι) → A i

(mul ((tprod R) x)) ((tprod R) y) = (mul ((tprod R) y)) ((tprod R) x)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α → β' → δ

Context: g' : β → β'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (↑s) (g' '' ↑t)


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℤ


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: f : F

Context: x : A


Context: n : ℤ

Context: help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈ ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 7 then 1 else -1

χ₈ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 7 then 1 else -1


Context: n : ℤ

χ₈ ↑(n % ↑8) = if n % 8 % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 7 then 1 else -1


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasLimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasLimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
this : HasProductsOfShape (↑𝒢) C


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : WellPowered C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: 𝒢 : Set C

Context: inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢

Context: h𝒢 : IsCoseparating 𝒢

Context: this✝ : HasProductsOfShape (↑𝒢) C

Context: this : ∀ (A : C), HasProductsOfShape ((G : ↑𝒢) × (A ⟶ ↑G)) C


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : WellPowered C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: 𝒢 : Set C

Context: inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢

Context: h𝒢 : IsCoseparating 𝒢

Context: this✝¹ : HasProductsOfShape (↑𝒢) C

Context: this✝ : ∀ (A : C), HasProductsOfShape ((G : ↑𝒢) × (A ⟶ ↑G)) C

Context: this : CompleteLattice (Subobject (∏ᶜ Subtype.val)) := completeLatticeOfCompleteSemilatticeInf (Subobject (∏ᶜ Subtype.val))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : WellPowered C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: 𝒢 : Set C

Context: inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢

Context: h𝒢 : IsCoseparating 𝒢

Context: this✝¹ : HasProductsOfShape (↑𝒢) C

(A : C) → Unique (Subobject.underlying.obj ⊥ ⟶ A)


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f

ω f ϕ.toFun (ω f ϕ.toFun s) ⊆ ω f ϕ.toFun s


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

∀ (x : α), (∀ n ∈ 𝓝 x, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty) → ∀ n ∈ 𝓝 x, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' s ∩ n).Nonempty


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: h : ∀ n ∈ 𝓝 x✝, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (ϕ.toFun x '' ω f ϕ.toFun s ∩ n).Nonempty

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: o : Set α

Context: ho₁ : o ⊆ n

Context: ho₂ : IsOpen o

Context: ho₃ : x✝ ∈ o


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: o : Set α

Context: ho₁ : o ⊆ n

Context: ho₂ : IsOpen o

Context: ho₃ : x✝ ∈ o

Context: t : τ

Context: _ht₁ : t ∈ u

Context: ht₂ : (ϕ.toFun t '' ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: o : Set α

Context: ho₁ : o ⊆ n

Context: ho₂ : IsOpen o

Context: ho₃ : x✝ ∈ o

Context: t : τ

Context: _ht₁ : t ∈ u

Context: l₁ : (ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: o : Set α

Context: ho₁ : o ⊆ n

Context: ho₂ : IsOpen o

Context: ho₃ : x✝ ∈ o

Context: t : τ

Context: _ht₁ : t ∈ u

Context: l₁ : (ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty

Context: l₂ : (closure (image2 ϕ.toFun u s) ∩ o).Nonempty


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace τ

Context: inst✝² : AddCommGroup τ

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝 x✝

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: o : Set α

Context: ho₁ : o ⊆ n

Context: ho₂ : IsOpen o

Context: ho₃ : x✝ ∈ o

Context: t : τ

Context: _ht₁ : t ∈ u

Context: l₁ : (ω f ϕ.toFun s ∩ o).Nonempty

Context: l₃ : (o ∩ image2 ϕ.toFun u s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
h1 : m - n + n = m


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
h1 : m - n + n = m
h2 : a ^ (m - n) * a ^ n = a ^ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: x : β

Context: f✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → β

sSup {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae μ), a ≤ n} = sSup {a | μ {x | f x < a} = 0}


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
hp : p ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c + f y) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Nonempty α
f : α →₀ M

f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a b, f = single a b


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h : π₂.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion


Context:
m n a b c d✝ : ℤ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [ZMOD m]
d : ℕ := m.gcd c


Context:
m n a b c d✝ : ℤ
hm : 0 < m
h : m ∣ b * c - a * c
d : ℕ := m.gcd c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M

map (↑((chartAt H x).extend I)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
x : G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
his : IsGLB (↑s) i
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁

Module.rank R ↥(LinearMap.range f) ≤ Module.rank R M


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty
A : sInf (Subtype.val '' s) ∈ Set.Ici 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ y.natAbs
hpz : p ∣ z.natAbs


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
H : ¬y.gcd z = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : ↑p ∣ y
hpz : ↑p ∣ z


Context:
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y


Context:
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y
w : ZFSet
left✝ : w ∈ x
we : w.pair (f w) = z.pair y


Context:
f : ZFSet → ZFSet
H : Definable 1 f
x z : ZFSet
zx : z ∈ x
y : ZFSet
yx : (fun w => z.pair w ∈ map f x) y
w : ZFSet
left✝ : w ∈ x
we : w.pair (f w) = z.pair y
wz : w = z
fy : f w = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
x : ℕ → ι
hx : Tendsto x atTop u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))

Context: x : ℕ → ι

Context: hx : Tendsto x atTop u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: x : ℕ → ι

Context: hx : Tendsto x atTop u

Context: this : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: x : ℕ → ι

Context: hx : Tendsto x atTop u

Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)

∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀


∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n

d ∣ n ↔ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization


(n / d).factorization = n.factorization - d.factorization → d ∣ n


Context:
a b m n p d : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ d

(d / d).factorization = d.factorization - d.factorization → d ∣ d


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hdn : d ≤ n
hd_lt_n : d < n
h1 : n / d ≠ 0


Context: a b m n✝ p d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hdn : d ≤ n

Context: hd_lt_n : d < n

Context: h1 : n / d ≠ 0

Context: h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization


Context: a b m n✝ p d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hdn : d ≤ n

Context: hd_lt_n : d < n

Context: h1 : n / d ≠ 0


Context: a b m n✝ p d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hdn : d ≤ n

Context: hd_lt_n : d < n

Context: h1 : n / d ≠ 0

Context: h2 : ¬n ≤ n / d * d


Context: a b m n✝ p✝ d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hdn : d ≤ n

Context: hd_lt_n : d < n

Context: h1 : n / d ≠ 0

Context: h2 : ¬n ≤ n / d * d

Context: p : ℕ

Context: hp : (n / d * d).factorization p < n.factorization p


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
c : Cardinal.{u_3}
ho : o ≤ c.ord


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: ι : Type v

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ξ : Basis ι 𝕜 E

Context: this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: ι : Type v

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ξ : Basis ι 𝕜 E

Context: this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

Context: this : UniformAddGroup E := comm_topologicalAddGroup_is_uniform


Context:
C : Type u
X Y : F C
f' : X ⟶ᵐ Y

(fun n => X.normalizeObj n) = Y.normalizeObj


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: n : ℕ

Context: σ : Fin n →₀ M

Context: i : M

((cons i σ).sum fun x e => e) = i + σ.sum fun x e => e


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: n : ℕ

Context: σ : Fin n →₀ M

Context: i : M

∑ i_1 : Fin (n + 1), (cons i σ) i_1 = i + ∑ i : Fin n, σ i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : SMulCommClass G R M
g : G
v : ι → M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p

(filter p univ).card = (if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card


(if p 0 then {0} else ∅).card + (filter (p ∘ ⇑{ toFun := succ, inj' := ⋯ }) univ).card = (if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ ((eval P) W.polynomialX ≠ 0 ∨ (eval P) W.polynomialY ≠ 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p b : α
hp : p ≠ 0
a : αˣ
ha : p * b * ↑a = p


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Set (Subalgebra R A)
x : A


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.33393, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

((Cochain.ofHom (inr φ)).comp ↑(fst φ) ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : ⊥.jacobson = ⊥

Context: f : R[X]

Context: hf : f ∈ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})

Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : ⊥.jacobson = ⊥

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₁₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝³ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂

Context: inst✝² : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c₁₂

Context: inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c₁₂

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

c₂.σ c₁ c₁₂ i₂ i₁ = c₁.σ c₂ c₁₂ i₁ i₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
I : Ideal R
f : F
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Groupoid C
h : ∀ (c : C), Subsingleton (c ⟶ c)
c d : C
f g : c ⟶ d
this : Subsingleton (d ⟶ d)


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝⁸ : AddMonoid A
inst✝⁷ : HasShift C A
inst✝⁶ : W.IsCompatibleWithShift A
inst✝⁵ : W.HasLocalization
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
inst✝⁴ : Lifting L W F F'
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : L.CommShift A
inst✝ : F.CommShift A
a : A
X : C

(F'.commShiftIso a).hom.app (L.obj X) = F'.map ((L.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (Lifting.iso L W F F').hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor E a).map ((Lifting.iso L W F F').inv.app X)


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : Partrec' f
v : Vector ℕ n.succ

f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f v.tail


f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f (ofFn v.tail.get)


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : Partrec' f
v : Vector ℕ n.succ
i : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
t_hij : i✝ ≠ j✝
c✝ : R

{ i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.inv.toMatrix * { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.toMatrix = 1


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = π / 2


Context:
S : Finset Λ'
q : Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
HS₁ : trStmts₁ q ⊆ S


Context:
S : Finset Λ'
q : Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
HS₁ : trStmts₁ q ⊆ S
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k₁✝ k₂✝ : K'

Context: q : Λ'

Context: q_ih : Λ'.Supports S q → trStmts₁ q ⊆ S → Supports (trStmts₁ q) S

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q)

Context: HS₁ : insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S

Supports (insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)) S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k✝ : K'

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.clear p✝ k✝ q)

Context: HS₁ : insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S

Supports (insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)) S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S q.copy

Context: HS₁ : insert q.copy (trStmts₁ q) ⊆ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: k✝ : K'

Context: s✝ : Option Γ' → Option Γ'

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.push k✝ s✝ q)

Context: HS₁ : insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q) ⊆ S

Supports (insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)) S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Option Γ' → Λ'

Context: q_ih : ∀ (a : Option Γ'), Λ'.Supports S (q a) → trStmts₁ (q a) ⊆ S → Supports (trStmts₁ (q a)) S

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.read q)

Context: HS₁ : insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s)) ⊆ S

Supports (insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s))) S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S q.succ

Context: HS₁ : insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q)) ⊆ S

Supports (insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q))) S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q₁ q₂ : Λ'

Context: q₁_ih : Λ'.Supports S q₁ → trStmts₁ q₁ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₁) S

Context: q₂_ih : Λ'.Supports S q₂ → trStmts₁ q₂ ⊆ S → Supports (trStmts₁ q₂) S

Context: H₁ : Λ'.Supports S (q₁.pred q₂)

Context: HS₁ : insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂)) ⊆ S

Supports (insert (q₁.pred q₂) (insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ trStmts₁ q₂))) S


Context:
S : Finset Λ'
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q
k✝ : Cont'
H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.ret k✝)
HS₁ : {Λ'.ret k✝} ⊆ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k₁✝ k₂✝ : K'

Context: q : Λ'

Context: h₁ : Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q ∈ S

Context: h₂ : trStmts₁ q ⊆ S

Context: h₃ : q ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: p✝ : Γ' → Bool

Context: k✝ : K'

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.clear p✝ k✝ q)

Context: h₁ : Λ'.clear p✝ k✝ q ∈ S

Context: h₂ : trStmts₁ q ⊆ S

Context: h₃ : q ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S q.copy

Context: HS₁ : insert q.copy (trStmts₁ q) ⊆ S

Context: h₁ : q.copy ∈ S

Context: h₂ : trStmts₁ q ⊆ S

Context: h₃ : q ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: k✝ : K'

Context: s✝ : Option Γ' → Option Γ'

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.push k✝ s✝ q)

Context: h₁ : Λ'.push k✝ s✝ q ∈ S

Context: h₂ : trStmts₁ q ⊆ S

Context: h₃ : q ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Option Γ' → Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.read q)

Context: h₁ : Λ'.read q ∈ S

Context: h₂ : ∀ ⦃x : Λ'⦄ (x_1 : Option Γ'), x ∈ trStmts₁ (q x_1) → x ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S q.succ

Context: h₁ : q.succ ∈ S

Context: h₂ : unrev q ∈ S ∧ ∀ a ∈ trStmts₁ q, a ∈ S


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q₁ q₂ : Λ'

Context: H₁ : Λ'.Supports S (q₁.pred q₂)

Context: h₁ : q₁.pred q₂ ∈ S

Context: h₂ : unrev q₂ ∈ S ∧ ∀ (a : Λ'), a ∈ trStmts₁ q₁ ∨ a ∈ trStmts₁ q₂ → a ∈ S


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
a : G₀


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ

∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = |R ^ finrank ℝ E| • ∫ (x : E), f x ∂μ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)

Context: inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

∀ (y : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X), Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj y = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj y → ∃! x, Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: hi : IsIso (piComparison F fun x => op (X x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X

Context: a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b

Context: ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t

Context: y : F.obj (op c.pt)

Context: hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y

y = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom y = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv t)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom y = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

𝟙 (F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))) t = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) t = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))

Context: y : F.obj (op c.pt)

𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x)) = (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
x : A


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℤ
x : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁷ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v, u₂} D
inst✝⁵ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝³ : HasCokernels C
inst✝² : HasKernels C
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits G
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y

(coimageIsoImage F G i adj f).hom = Abelian.coimageImageComparison f


((((((((𝟙 (Abelian.coimage f) ≫ cokernel.desc (kernel.ι f) (i.inv.app X ≫ cokernel.π (kernel.ι f ≫ i.inv.app X)) ⋯ ≫ cokernel.desc (kernel.ι f ≫ i.inv.app X) (cokernel.π (i.hom.app (kernel f) ≫ kernel.ι f ≫ i.inv.app X)) ⋯ ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).inv ≫ cokernelComparison (F.map (kernel.ι f)) G) ≫ G.map (cokernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ G.map (cokernel.desc (kernelComparison f F ≫ kernel.ι (F.map f)) (cokernel.π (kernel.ι (F.map f))) ⋯)) ≫ 𝟙 (G.obj (cokernel (kernel.ι (F.map f))))) ≫ G.map (Abelian.coimageImageComparison (F.map f))) ≫ 𝟙 (G.obj (Abelian.image (F.map f)))) ≫ (PreservesKernel.iso G (cokernel.π (F.map f))).hom) ≫ ((((((((kernelIsoOfEq ⋯).hom ≫ kernel.lift (cokernel.π (G.map (F.map f))) (kernel.ι (cokernel.π (G.map (F.map f)) ≫ cokernelComparison (F.map f) G)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y)) (kernel.ι (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y) ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).hom)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) (kernel.ι (cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y) ≫ cokernel.desc (f ≫ i.inv.app Y) (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y)) ⋯)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯) (kernel.ι (inv (i.inv.app Y) ≫ cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯) ≫ inv (i.inv.app Y)) ⋯) ≫ kernel.lift (cokernel.π f) (kernel.ι (cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯)) ⋯) ≫ 𝟙 (kernel (cokernel.π f)) = Abelian.coimageImageComparison f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofiltered D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsCofiltered D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: this : Nonempty D


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

Context: this : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet

(cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

Context: this✝ : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet

Context: this : ↑((FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i') = 1


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i i' : B

(cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) * cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i')) ^ M.M i i' = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

⋃ b ∈ t, (fun x => f x b) '' s = image2 f s t


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

((∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x ⧏ y.moveRight j) ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι

LinearIndependent R v ↔ ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i✝ i : ι

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

Context: hi : i ∉ s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : ∃ x, (mapRingHom f) x = p


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
p₁ : R[X]

∃ x, (mapRingHom f) x = C (f r) * (mapRingHom f) p₁


(mapRingHom f) (C r * p₁) = C (f r) * (mapRingHom f) p₁


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e : I → R

Context: he✝ : OrthogonalIdempotents e

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: e₁ e₂ : R

Context: he₁ : IsIdempotentElem e₁

Context: he₂ : IsIdempotentElem e₂

Context: H' : Commute e₁ e₂

Context: this✝ : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂

Context: n : ℕ

Context: hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0

Context: this : (e₁ - e₂) ^ (2 * n + 1) = e₁ - e₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖x‖ = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖y‖ = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞
U : Set α
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < (c • μ) U


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: H : μ.InnerRegularWRT p q

Context: c : ℝ≥0∞

Context: U : Set α

Context: hU : q U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < c * ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E✝ : Type u_5
P : Type u_6
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s


∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0

x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x y : M


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α

⇑f '' minimals r x = minimals s (⇑f '' x)


∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ


∑ x ∈ range (n + 1), (map f) ((monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x)) = ∑ i ∈ range (n + 1), (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)

(map f) ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)) = (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S

(unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℤ R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

f.eraseLead.support = f.support.erase f.natDegree


Context: n : ℕ+


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: p q : R[X]

Context: hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0

Context: h : ∑ i : Fin 2, ![p, q] i • (CoordinateRing.basis W) i = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: p q : R[X]

Context: hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0

Context: h : ![p, q] 0 • 1 + ![p, q] (Fin.succ 0) • (mk W) Y = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x

Context: S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p

Context: t : ↑S

Context: ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

Context: he : t * (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) ↑(r, s).2 = (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) (r, s).1


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

Context: t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s

Context: he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

IsUnit ((algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r)


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

IsUnit ((toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) r)


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) (t * t'))


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : ↑S

Context: r : ↑(Γ.obj (op X))

Context: s : ↥p.asIdeal.primeCompl

IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t * (PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t')


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α

(⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : ¬p i), g i h


(⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = ⨆ x, (⨆ (h : p x), f x h) ⊔ ⨆ (h : ¬p x), g x h


Context:
X✝ X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S

∀ (i : (T : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => CondensedSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩


Context:
X✝ X : CondensedSet
x✝² x✝¹ : CompHausᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²

(X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toCondensedSet.val.map x✝) a✝


{ toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (CompHaus.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module S N
inst✝⁸ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : AddCommMonoid Q✝
inst✝⁴ : Module S Q✝
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module S Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ

decode₂ α n ≠ none ↔ n ∈ Set.range encode


Context:
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0


Context:
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0
h_inj : Function.Injective Int.cast


Context: x y : ℝ


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L

posFittingCompOf R M x ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M x


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology

h.π ≫ h.leftHomologyIso.inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

(type fun x x_1 => x < x_1).card = o.card


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

W.ΨSq (2 * (↑m + 2) + 1) = ((W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2) ^ 2


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : SemilatticeSup α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toSup✝¹ : Sup α

Context: toPartialOrder✝¹ : PartialOrder α

Context: le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b

Context: le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b

Context: sup_le✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c

Context: toSup✝ : Sup α

Context: toPartialOrder✝ : PartialOrder α

Context: le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b

Context: le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b

Context: sup_le✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

Context: ss : toSup = toSup

mk le_sup_left✝¹ le_sup_right✝¹ sup_le✝¹ = mk le_sup_left✝ le_sup_right✝ sup_le✝


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : SemilatticeSup α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toSup✝¹ : Sup α

Context: toPartialOrder✝ : PartialOrder α

Context: le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b

Context: le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b

Context: toSup✝ : Sup α

Context: le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b

Context: le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

Context: ss : toSup = toSup


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
x✝ : ?m.181632
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x

↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 < n
a b : α
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α 0
f : α → β


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq l
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), f 0 b = 0
a : l → α
B : Matrix m n β
i₁ : l
i₂ : m
j₁ : l
j₂ : n

kroneckerMap f (diagonal a) B (i₁, i₂) (j₁, j₂) = (reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (blockDiagonal fun i => B.map fun b => f (a i) b) (i₁, i₂) (j₁, j₂)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
K : CochainComplex C ℤ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p q : TangentBundle I M

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source

{ proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p q : TangentBundle I M

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source

{ proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj)) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: p q : TangentBundle I M

Context: h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source

MDifferentiableAt I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : StandardBorelSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α

∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α ∧ IsClosed s ∧ IsOpen s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : StandardBorelSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : TopologicalSpace α

Context: hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace

Context: ht : PolishSpace α

Context: s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : StandardBorelSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : TopologicalSpace α

Context: ht : PolishSpace α

Context: s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ

iSup S = AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype)


iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype)


AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype) ≤ iSup S


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct P (⊤_ C)

fst ≫ lift (𝟙 P) (terminal.from P) = 𝟙 (P ⨯ ⊤_ C)


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1}


adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {b | b ^ ↑n = 1}

x ∈ ↑(adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a : α

(if a ≤ a then (eVariationOn f (s ∩ Icc a a)).toReal else -(eVariationOn f (s ∩ Icc a a)).toReal) = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞

μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: a : ℝ

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: a : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: a : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : 0 < ε'

Context: ha : a * ε' < ε


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.closure X = M.closure Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J

ι (F ⋙ H) j✝ ≫ post F H ≫ H.map (colim.map α) = ι (F ⋙ H) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α H) ≫ post G H


H.map (α.app j✝) ≫ H.map (ι G j✝) = ι (F ⋙ H) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α H) ≫ post G H


H.map (α.app j✝) ≫ H.map (ι G j✝) = (whiskerRight α H).app j✝ ≫ H.map (ι G j✝)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hk : k ≤ Nat.card ↥H
hk₀ : k ≠ 0

∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' ≤ k ∧ k < p * Nat.card ↥H'


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hk : k ≤ Nat.card ↥H
hk₀ : k ≠ 0
m : ℕ
hmk : p ^ m ≤ k
hkm : k < p ^ (m + 1)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hk : k ≤ Nat.card ↥H
hk₀ : k ≠ 0
m : ℕ
hmk : p ^ m ≤ k
hkm : k < p ^ (m + 1)
H' : Subgroup G
H'H : H' ≤ H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: f : E → 𝕜

Context: hf1 : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y

Context: hf2 : ∀ ⦃c : 𝕜⦄ (x : E), 0 ≤ c → f (c • x) ≤ c * f x

Context: B : 𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: f : E → 𝕜

Context: B : 𝕜

∀ ⦃x : E⦄, x ∈ {x | f x ≤ B} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ {x | f x ≤ B} → [x-[𝕜]y] ⊆ {x | f x ≤ B}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: f : E → 𝕜

Context: B : 𝕜

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | f x ≤ B}

Context: y : E

Context: hy : y ∈ {x | f x ≤ B}

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hs : a + b = 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

hV.linearIsometry (lp.single 2 i x) = (V i) x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

∑' (i_1 : ι), (V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1) = ∑' (b' : ι), if b' = i then (V i) x else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

(V j) (↑(lp.single 2 i x) j) = if j = i then (V i) x else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

(V j) (if h : j = i then ⋯ ▸ x else 0) = if j = i then (V i) x else 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : doset a ↑H ↑K = doset b ↑H ↑K


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α

a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b x✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4


LipschitzWith 2 (Subtype.val ∘ fun p => p.1 - p.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: this : Isometry (Prod.map toReal toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
s : Finset α

s ∈ ∂ 𝒜ᶜˢ ↔ s ∈ (∂⁺ 𝒜)ᶜˢ


(∃ s_1, s_1ᶜ ∈ 𝒜 ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s) ↔ ∃ s_1 ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s_1, insert a s_1 = sᶜ


(∃ b, ((Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b)ᶜ ∈ 𝒜 ∧ ∃ a ∈ (Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b, ((Equiv.symm (Function.Involutive.toPerm compl ⋯)) b).erase a = s) ↔ ∃ s_1 ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s_1, insert a s_1 = sᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (insert x s) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s


Context: m n a b c : ℕ


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
s : Set Y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
n₁ : ℤ
x a₁ : α
n₂ : ℤ
a₂ : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'

termg n₁ x a₁ + termg n₂ x a₂ = termg n' x a'


n₁ • x + a₁ + (n₂ • x + a₂) = n₁ • x + n₂ • x + (a₁ + a₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x₁ y₁ x₂ y₂ : α

dist x₂ y₂ ≤ dist x₁ y₁ + (dist x₁ x₂ + dist y₁ y₂)


dist x₂ y₂ ≤ dist x₂ x₁ + dist x₁ y₁ + dist y₁ y₂


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: g : G

Context: key : ∀ (k : ℕ) (g₀ : G), g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ H → g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = g ^ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: a : Ordinal.{max u v}

a < o.bsup f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a < f i hi


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f : M →ₗ[A] P
g₁ g₂ : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

((curry (map f (g₁ + g₂))) x✝¹) x✝ = ((curry (map f g₁ + map f g₂)) x✝¹) x✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: a : (forget TopCat).obj ↑(X.restrictFunctor.obj U).left.toPresheafedSpace

(X.restrictFunctor.map i).left.val.base a = ((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

↑((X.restrictFunctor.map i).left.val.base a) = ↑(((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E

‖(Lp.const p μ) c‖ ≤ ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


‖indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c‖ ≤ ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ


(∃ d, coeff d (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ d.support) ↔ ∃ d, coeff d φ ≠ 0 ∧ i ∈ d.support


∀ (a_1 : σ →₀ ℕ), coeff a_1 (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ a_1.support ↔ coeff a_1 φ ≠ 0 ∧ i ∈ a_1.support


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ
d : σ →₀ ℕ

coeff d (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ d.support ↔ coeff d φ ≠ 0 ∧ i ∈ d.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
q : Stmt₁


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0


(p.support.erase p.natDegree).max ≠ ↑p.natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃) ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ (s₁ ∩ s₃)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
n : ℕ

iterate f (f a) n = map f (iterate f a) n


Context:
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
a : αᵒᵖ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : ℤ

⌈↑n⌉ ≤ a ↔ ↑n ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc✝ gc : GaloisConnection l u
s : Set α


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
h✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M

↑(Submodule.map (↑e) p) = ↑(Submodule.comap (↑e.symm) p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ periodicPts f

Cycle.Chain r (periodicOrbit f x) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)


(∀ n < minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x✝ y : α

Context: m n✝ : ℕ

Context: r : α → α → Prop

Context: f : α → α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ periodicPts f

Context: H : ∀ n < minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)

Context: n : ℕ