Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₁ s.center ≤ s.radius


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Fintype F

Context: inst✝³ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝² : Field F'

Context: inst✝¹ : Fintype F'

Context: inst✝ : DecidableEq F'

Context: hF' : ringChar F' ≠ 2

Context: h : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')

(quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Fintype F

Context: inst✝³ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝² : Field F'

Context: inst✝¹ : Fintype F'

Context: inst✝ : DecidableEq F'

Context: hF' : ringChar F' ≠ 2

Context: h : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hχ₁ : χ ≠ 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Fintype F

Context: inst✝³ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝² : Field F'

Context: inst✝¹ : Fintype F'

Context: inst✝ : DecidableEq F'

Context: hF' : ringChar F' ≠ 2

Context: h✝ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: h : (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Fintype F

Context: inst✝³ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: F' : Type u_2

Context: inst✝² : Field F'

Context: inst✝¹ : Fintype F'

Context: inst✝ : DecidableEq F'

Context: hF' : ringChar F' ≠ 2

Context: h✝ : ringChar F' ≠ ringChar F

Context: hχ₁ : χ ≠ 1

Context: h : ↑((quadraticChar F') (χ (-1) * ↑(Fintype.card F))) = χ ↑(Fintype.card F')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f

y ∈ periodicOrbit f x ↔ ∃ n, f^[n] x = y


(∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y) ↔ ∃ n, f^[n] x = y


(∃ n, f^[n] x = y) → ∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = f^[n] x


Context: a b k m n✝ p n : ℕ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r = s'.r


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b✝ b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ map { toFun := fun i => (i, b), inj' := ⋯ } s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOn F f p s
g : γ → α

TendstoUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (g ⁻¹' s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)

Context: g : γ → α

TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: inst✝ : IsGalois X

Context: x y : ↑(F.obj X)

Context: φ : Aut X

Context: h : φ • x = y

Context: a : AutGalois F

Context: ha : (AutGalois.π F { obj := X, pt := x, isGalois := ⋯ }) a = φ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: inst✝ : IsGalois X

Context: x y : ↑(F.obj X)

Context: φ : Aut X

Context: h : φ • x = y

Context: a : AutGalois F

(autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := a } • x = y


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p x y : α
h : Prime p
i : ℕ
hxy : p ^ (i + 1) ∣ x * y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p y : α

Context: h : Prime p

Context: hy : ¬p ∣ y

Context: i : ℕ

Context: ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x

Context: x : α

Context: hxy : p ^ (i + 1 + 1) ∣ x * y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p y : α

Context: h : Prime p

Context: hy : ¬p ∣ y

Context: i : ℕ

Context: x : α

Context: hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ x * y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p y : α

Context: h : Prime p

Context: hy : ¬p ∣ y

Context: i : ℕ

Context: x' : α

Context: hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * x' * y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p y : α

Context: h : Prime p

Context: hy : ¬p ∣ y

Context: i : ℕ

Context: x' : α

Context: hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * (x' * y)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f univ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f : α ≃o β


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
s : Set S₁

Algebra.adjoin R s = (aeval Subtype.val).range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α

xs.sym2.length = (xs.length + 1).choose 2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_top : 0 ≠ ⊤
hf : Memℒp f 0 μ

∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) 0 μ < ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp₀ : p ≠ 0


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

(fun x => c • x) ⁻¹' ball x r = ball (c⁻¹ • x) r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) X✝).ι.app j ≫ f.right = ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: D : Type u₄

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: F : J ⥤ C

Context: X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: j : J

Context: e_1✝ : (F.obj j ⟶ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).pt) = (((fromPUnit F).obj X✝.left).obj j ⟶ ((const J).obj Y✝.right).obj j)

Context: e_5✝ : F = (fromPUnit F).obj X✝.left

((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι = (fromPUnit F).map f.left ≫ Y✝.hom


Context:
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) x = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) x


((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: N : Submodule R M

Context: r : R

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M' →ₗ[R] M''

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

Context: h1 : IsSMulRegular M r

Context: h2 : IsSMulRegular M'' r


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: N : Submodule R M

Context: r : R

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M' →ₗ[R] M''

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: h1 : IsSMulRegular M r

Context: h2 : IsSMulRegular M'' r


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: N : Submodule R M

Context: r : R

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M' →ₗ[R] M''

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: h1 : IsSMulRegular M r

Context: h2 : IsSMulRegular M'' r

Context: y : M

Context: hx : r • f y = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α

(l₁.diff l₂).erase a = (l₁.erase a).diff l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter β
f : β → α

Cauchy (map f l) ↔ l.NeBot ∧ Tendsto (fun p => (f p.1, f p.2)) (l ×ˢ l) (𝓤 α)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
y : E
a b : 𝕜
a✝¹ : 0 ≤ a
a✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (i : ι), ∃ n, s i ^ n • x ∈ S'
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Finset ι

Context: s l : ι → S

Context: e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'

Context: hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: _i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

Context: n : ι → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'

Context: s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩

Context: l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

Context: e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

Context: this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

Context: N : ℕ := ι'.sup n

Context: hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Finset ι

Context: s l : ι → S

Context: e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'

Context: hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: _i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

Context: n : ι → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'

Context: s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩

Context: l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

Context: e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

Context: this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

Context: N : ℕ := ι'.sup n

∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι'))), ↑r • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Finset ι

Context: s l : ι → S

Context: e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'

Context: hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: _i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

Context: n : ι → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'

Context: s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩

Context: l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

Context: e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

Context: this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

Context: N : ℕ := ι'.sup n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑ι'

s' i ^ N • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Finset ι

Context: s l : ι → S

Context: e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'

Context: hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: _i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

Context: n : ι → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'

Context: s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩

Context: l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

Context: e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

Context: this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

Context: N : ℕ := ι'.sup n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑ι'

s' i ^ (N - n i) • s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Finset ι

Context: s l : ι → S

Context: e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'

Context: hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: _i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

Context: n : ι → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'

Context: s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩

Context: l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

Context: e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

Context: this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

Context: N : ℕ := ι'.sup n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑ι'

s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : 0 < p.degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}


Context: a : ℝ

interior {z | z.im ≤ a} = {z | z.im < a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α


∀ (b : α), x b ≠ 0 → b ≠ a → (single (f b) (x b)) (f a) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)

Context: b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)

Context: e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] F

Context: fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] F

Context: gi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → E →L[𝕜] 𝕜

Context: hgf : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) (x : ↥p), (gi i) ↑x = (fi i) x

Context: a✝ : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))), ‖gi i‖ = ‖fi i‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] F

f = ((LinearMap.range f).subtypeL.comp ((↑e.symm).comp (pi gi))).comp p.subtypeL


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 3 = cos a - cos b - (cos a ^ 3 - cos b ^ 3) / 3


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * 1 + 1) * cos x ^ 0 = ∫ (u : ℝ) in cos b..cos a, u ^ 0 * (1 - u ^ 2) ^ 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
h_top : p ≠ ⊤

eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S
hpq : (aeval s) p = 0 ∧ (aeval s) q = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Nontrivial S

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p q : R[X]

Context: s : S

Context: hpq : (aeval s) p = 0 ∧ (aeval s) q = 0

Context: w✝¹ w✝ : R[X]

Context: h : (aeval s) (w✝¹ * p + w✝ * q) = (aeval s) 1


Context: R : Type u_1

Context: M₁ : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q₁ : QuadraticForm R M₁

Context: Q₂ : QuadraticForm R M₂

Context: Qₙ : QuadraticForm R N

Context: f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ

Context: f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ

Context: hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)

Context: m₁ : CliffordAlgebra Q₁

Context: m₂ : CliffordAlgebra Q₂

Context: hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ 1

Context: hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ 1

(map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = -(map f₂) m₂ * (map f₁) m₁


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : y ∈ ball x ε
this : 0 < ε - edist y x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
z : R[X]


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: E₀ E E₁ : Set Ω

Context: E₀_subset : E₀ ⊆ E

Context: subset_E₁ : E ⊆ E₁

Context: nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0

Context: h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L

Context: h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: E₀ E E₁ : Set Ω

Context: E₀_subset : E₀ ⊆ E

Context: subset_E₁ : E ⊆ E₁

Context: nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: E₀ E E₁ : Set Ω

Context: E₀_subset : E₀ ⊆ E

Context: subset_E₁ : E ⊆ E₁

Context: nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0

autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: E₀ E E₁ : Set Ω

Context: E₀_subset : E₀ ⊆ E

Context: subset_E₁ : E ⊆ E₁

Context: nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0

autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝


Context: θ : Angle

(2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal + 2 * π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2


Context: θ : Angle

(2 • ↑θ.toReal).toReal = 2 * θ.toReal + 2 * π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2


Context: θ : Angle

-3 * π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ -π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : List Γ


Context: α : Type u_1

Context: N : α → Type u_2

Context: inst✝⁵ : DecidableEq α

Context: M : α → Type u_3

Context: P : α → Type u_4

Context: inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)

Context: inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)

Context: inst✝² : (a : α) → Zero (P a)

Context: inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)

Context: inst✝ : (a : α) → DecidableEq (P a)

Context: F : (a : α) → M a → N a → P a

Context: F0 : ∀ (a : α), F a 0 0 = 0

Context: f : Π₀ (a : α), M a

Context: g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a

Context: hF : ∀ (a : α) (f : M a), Function.Injective fun g => F a f g

Context: a : α

a ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a ∈ g₁.neLocus g₂


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ

colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ Obj.map K (𝟙 Δ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ 𝟙 (Obj.obj₂ K Δ)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)

Context: A : Splitting.IndexSet Δ

Context: fac : A.e ≫ 𝟙 (unop A.fst) = (𝟙 Δ).unop ≫ A.e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)

Context: A : Splitting.IndexSet Δ

Sigma.ι (Obj.summand K Δ) (Splitting.IndexSet.mk A.e) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A }


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ' : Δ'' ⟶ Δ'
θ : Δ' ⟶ Δ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')
A : Splitting.IndexSet Δ''

colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map (θ' ≫ θ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ'' A) { as := A } ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ' ≫ { obj := fun Δ => Obj.obj₂ K Δ, map := fun {X Y} θ => Obj.map K θ }.map θ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: θ' : Δ'' ⟶ Δ'

Context: θ : Δ' ⟶ Δ

Context: x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')

Context: A : Splitting.IndexSet Δ''

Context: fac : θ.unop ≫ θ'.unop ≫ A.e = (θ' ≫ θ).unop ≫ A.e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: θ' : Δ'' ⟶ Δ'

Context: θ : Δ' ⟶ Δ

Context: x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')

Context: A : Splitting.IndexSet Δ''

Context: fac : factorThruImage (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e) = (θ' ≫ θ).unop ≫ A.e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K✝ K' : ChainComplex C ℕ

Context: f : K✝ ⟶ K'

Context: Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: Δ'' Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: θ' : Δ'' ⟶ Δ'

Context: θ : Δ' ⟶ Δ

Context: x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ'')

Context: A : Splitting.IndexSet Δ''

Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) (Splitting.IndexSet.mk (factorThruImage (θ.unop ≫ factorThruImage (θ'.unop ≫ A.e)))) = Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ (A.pull θ').e) ≫ image.ι (θ'.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) ((A.pull θ').pull θ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
δ₁ : Type u_6
δ₂ : Type u_7
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
h_cover : range φ₁ ∪ range φ₂ = univ

𝓤 (α →ᵤ β) = 𝓤 (α →ᵤ β)


𝓤 (α →ᵤ β) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : α → Type u_6
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (σ a)
f : Sigma σ → β

∏ x ∈ s.sigma t, f x = ∏ a ∈ s, ∏ s ∈ t a, f ⟨a, s⟩


Context: G : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝² : R1Space G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: h : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: g : G

Context: A : Set G

μ.outerMeasure ((fun x => g * x) ⁻¹' A) = μ.outerMeasure A


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

2 * (B (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)


(B (P.root i)) (P.root j) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j) - (B (P.root i)) (P.root j)


(B ((P.reflection j) (P.root i))) ((P.reflection j) (P.root j)) = P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j) - (B (P.root i)) (P.root j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
inst✝ : Finite ι
t : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on t)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite

∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i, t i), f a = ∏ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ t i), f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
inst✝ : Finite ι
t : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on t)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
val✝ : Fintype ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: v v₁ v₂ : α →₀ M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: f : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a : α

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0

Context: hgg : ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : α), g j (a₁ + a₂) = g j a₁ + g j a₂

(f.update i a).sum g + g i (f i) = f.sum g + g i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: v v₁ v₂ : α →₀ M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: f : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a : α

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0

(erase i f).sum g + (single i a).sum g + g i (f i) = f.sum g + g i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: v v₁ v₂ : α →₀ M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: f : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a : α

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0

(erase i f).sum g + (single i a).sum g + g i (f i) = (f.update i (f i)).sum g + g i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: v v₁ v₂ : α →₀ M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: f : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a : α

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0

(erase i f).sum g + ((single i a).sum g + g i (f i)) = (erase i f).sum g + ((single i (f i)).sum g + g i a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: v v₁ v₂ : α →₀ M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: f : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a : α

Context: g : ι → α → β

Context: hg : ∀ (i : ι), g i 0 = 0

(single i a).sum g + g i (f i) = (single i (f i)).sum g + g i a


Context:
F : Type u_1
Γ✝ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
inst✝¹ : FunLike F ℍ ℂ
k : ℤ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
inst✝ : SlashInvariantFormClass F Γ k
f : F
γ : ↥Γ
z : ℍ

f (γ • z) = (↑(↑↑↑γ 1 0) * ↑z + ↑(↑↑↑γ 1 1)) ^ k * f z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset (Fin n)


Context: n : ℕ

Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: ih : ∀ m < Nat.card G, ∀ {G : Type u} [inst : Group G] [inst_1 : Finite G], Nat.card G = m → ∀ {N : Subgroup G} [inst_2 : N.Normal], (Nat.card ↥N).Coprime N.index → ∃ H, N.IsComplement' H

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index


Context: n : ℕ

Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h3 : ∀ (x : Subgroup G), ¬N.IsComplement' x


Context: n : ℕ

Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: this : N.IsCommutative


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ {x | gauge s x < a} ↔ x✝ ∈ ⋃ r, ⋃ (_ : 0 < r), ⋃ (_ : r < a), r • s


gauge s x✝ < a ↔ ∃ i, 0 < i ∧ i < a ∧ x✝ ∈ i • s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: x : Ω[S⁄R]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: x : Ω[S⁄R]

Context: this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: x : Ω[S⁄R]

∀ x ∈ Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S), f x = f' x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: x : Ω[S⁄R]

∀ (x y : Ω[S⁄R]), f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

Context: x : Ω[S⁄R]

∀ (a : S) (x : Ω[S⁄R]), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ

AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n) μ


AEStronglyMeasurable (fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)) μ


AEStronglyMeasurable (fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x)) (f x)) μ


AEStronglyMeasurable (fun x => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x) μ


Continuous fun x => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : X → E →L[𝕜] F

Continuous f ↔ ∀ (y : E), Continuous fun x => (f x) y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp a b - b = -toIocDiv hp a b • p


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: h_disj : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

Context: s_f : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

Context: hs_f : MeasurableSet s_f


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

Context: hs_f : MeasurableSet s_f

Context: hs_f_eq : s_f =ᶠ[ae μ] Function.support f


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

Context: hs_f : MeasurableSet s_f

Context: s_g : Set α := Function.support (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

Context: hs_f : MeasurableSet s_f

Context: hs_g : MeasurableSet s_g


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f✝ : ↥(Lp F p μ)

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f✝) μ

Context: f g : α → F

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: hPf : P (Memℒp.toLp f hf)

Context: hPg : P (Memℒp.toLp g hg)

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Context: hs_g : MeasurableSet s_g

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β : Type v
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s✝ t✝ u✝ : Multiset α
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s t u : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
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h : ¬s ∩ t + u = (s + u) ∩ (t + u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

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Context: inst✝ : DecidableEq α

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Context: a : α

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Context: β : Type v

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Context:
α : Type u_1
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inst✝ : Group α
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Context: 𝒰 : X.OpenCover

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Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

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Context: f : X ⟶ Z

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∀ (i : 𝒰.J), pullback.map (𝒰.map i ≫ f) g f g (𝒰.map i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (𝒰.map i ≫ f) g) i)).hom ≫ ((gluing 𝒰 f g).openCover.pushforwardIso (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (p1 𝒰 f g) (p2 𝒰 f g) ⋯, isLimit := gluedIsLimit 𝒰 f g }).inv).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

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Context: f✝ : X ⟶ Z

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Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map (𝒰.map i ≫ f) g f g (𝒰.map i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (𝒰.map i ≫ f) g) i)).hom ≫ ((gluing 𝒰 f g).openCover.pushforwardIso (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (p1 𝒰 f g) (p2 𝒰 f g) ⋯, isLimit := gluedIsLimit 𝒰 f g }).inv).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map (𝒰.map i ≫ f) g f g (𝒰.map i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl (pullback (𝒰.map i ≫ f) g)).hom ≫ (gluing 𝒰 f g).ι ((Equiv.refl 𝒰.J) i) ≫ (limit.isoLimitCone { cone := PullbackCone.mk (p1 𝒰 f g) (p2 𝒰 f g) ⋯, isLimit := gluedIsLimit 𝒰 f g }).inv


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - 1).Gal

Context: a : (X ^ n - 1).SplittingField

Context: ha : a ∈ (X ^ n - 1).rootSet (X ^ n - 1).SplittingField


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ^ n = 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - 1).Gal

Context: a : (X ^ n - 1).SplittingField

Context: ha : a ^ n = 1

Context: key : ∀ (σ : (X ^ n - 1).Gal), ∃ m, σ a = a ^ m


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0

Context: σ τ : (X ^ n - 1).Gal

Context: a : (X ^ n - 1).SplittingField

Context: ha : a ^ n = 1

Context: c : ℕ

Context: hc : σ a = a ^ c

Context: d : ℕ

Context: hd : τ a = a ^ d


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝² : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝¹ : PreservesLimit F G
inst✝ : HasLimit F
t : Cone F
j✝ : J

(G.map (limit.lift F t) ≫ (preservesLimitIso G F).hom) ≫ limit.π (F ⋙ G) j✝ = limit.lift (F ⋙ G) (G.mapCone t) ≫ limit.π (F ⋙ G) j✝


Context: a✝ b c a n : ℕ

Context: ih : Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico n (n + a))

Set.InjOn (fun x => x % a) ↑(Ico (n + 1) (n + 1 + a))


Context: a✝ b c a n : ℕ

Set.InjOn (fun x => x % a) ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)


Context: a✝ b c a n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: hk : k ∈ ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)

Context: l : ℕ

Context: hl : l ∈ ↑((insert (n + a) (Ico n (n + a))).erase n)

Context: hkl : k % a = l % a


Context: a✝ b c a n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hkl : k % a = l % a

Context: ha : 0 < a


Context: a✝ b c a n : ℕ

Context: k l : ℕ

Context: hkl : k % a = l % a

Context: ha : 0 < a

Context: hk : k ≠ n ∧ (k = n + a ∨ k ∈ Ico n (n + a))

Context: hl : l ≠ n ∧ (l = n + a ∨ l ∈ Ico n (n + a))


∀ {x y z : ℝ}, x ∈ univ → z ∈ univ → x < y → y < z → (rexp y - rexp x) / (y - x) < (rexp z - rexp y) / (z - y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α

a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁


F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂


(F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) = F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: c✝ c : M'

Context: x : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: c✝ c : M'

Context: x : M

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x fun x => c) 0 (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧


(∀ m < n, (coeff R m) φ = 0) ↔ ∀ (m : Unit →₀ ℕ), m () < n → (MvPowerSeries.coeff R m) φ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
e : M ≃ₗ[R] M'

LinearEquiv.det (e.symm ≪≫ₗ f ≪≫ₗ e) = LinearEquiv.det f


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m ≤ k * n


Context:
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m ≤ 0 * n


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m ≤ k * n
hk : k > 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J


Context: α✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : BorelSpace X

Context: inst✝⁸ : R1Space X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : BorelSpace Y

Context: inst✝⁴ : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: f : α → ↥(Lp E p ν)

Context: f₀ : ↥(Lp E p ν)

Context: g : α → C(X, Y)

Context: g₀ : C(X, Y)

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 g₀)

Context: hgm : ∀ (a : α), MeasurePreserving (⇑(g a)) μ ν

Context: hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν

Context: hp : p ≠ ⊤

Tendsto (fun a => (Lp.compMeasurePreserving ⇑(g a) ⋯) (f a)) l (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving (⇑g₀) hgm₀) f₀))


Context: α✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : BorelSpace X

Context: inst✝⁸ : R1Space X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : BorelSpace Y

Context: inst✝⁴ : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: f : α → ↥(Lp E p ν)

Context: f₀ : ↥(Lp E p ν)

Context: g : α → C(X, Y)

Context: g₀ : C(X, Y)

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 g₀)

Context: hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun gf => (Lp.compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1) (𝓝 (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩)) (𝓝 ((Lp.compMeasurePreserving ⇑↑(f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).2 ⋯) (f₀, ⟨g₀, hgm₀⟩).1))


Context: α✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : BorelSpace X

Context: inst✝⁸ : R1Space X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : BorelSpace Y

Context: inst✝⁴ : R1Space Y

Context: μ : Measure X

Context: ν : Measure Y

Context: inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: f : α → ↥(Lp E p ν)

Context: f₀ : ↥(Lp E p ν)

Context: g : α → C(X, Y)

Context: g₀ : C(X, Y)

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 f₀)

Context: hgm₀ : MeasurePreserving (⇑g₀) μ ν

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: hg : Tendsto (fun a => ⟨g a, ⋯⟩) l (𝓝 ⟨g₀, hgm₀⟩)


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ x✝¹ L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)

Context: x✝ : α

Context: b✝ : Bool

Step (x✝¹ ++ (L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝)) (x✝¹ ++ (L₁✝ ++ L₂✝))


Context: α : Type u

Context: x✝ : α

Context: b✝ : Bool

Step (x✝¹ ++ L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝) (x✝¹ ++ L₁✝ ++ L₂✝)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (↑q - x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ range (AEStronglyMeasurable.mk f hf)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: x : α

Context: hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x

f x ∈ range (AEStronglyMeasurable.mk f hf)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x ≤ (∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x) + ∫ (x : ℝ) in ε..Int.fract (t / T) * T + ⌊t / T⌋ • T, g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: ε : ℝ := Int.fract (t / T) * T

sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..ε, g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: U : Matrix n n 𝕜

Context: hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

Context: i j : n

Context: norm_sum : ‖U i j‖ ^ 2 ≤ ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: U : Matrix n n 𝕜

Context: hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

Context: i j : n

Context: diag_eq_norm_sum : (U * Uᴴ) i i = ↑(∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: U : Matrix n n 𝕜

Context: hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

Context: i j : n

Context: re_diag_eq_norm_sum : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = ∑ x : n, ‖U i x‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: U : Matrix n n 𝕜

Context: hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

Context: i j : n

Context: mul_eq_one : U * Uᴴ = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: U : Matrix n n 𝕜

Context: hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

Context: i j : n

Context: mul_eq_one : U * Uᴴ = 1

Context: diag_eq_one : RCLike.re ((U * Uᴴ) i i) = 1


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ

Context: h3 : lift.{w', max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w'} κ

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

∃ S, s ⊆ ↑S ∧ lift.{w', w} #↥S = lift.{w, w'} κ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ lift.{w, w'} κ

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} κ

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

lift.{w', w} #↥((closure (L.sum L.skolem₁)).toFun (s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s')).elementarySkolem₁Reduct = #↑s'


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

Context: h : lift.{max w w', w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s') = lift.{w, max w w'} #↑s'


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

Context: h : lift.{w', w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s') = #↑s'


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

#↥((closure (L.sum L.skolem₁)).toFun (s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s')) = #↑(⇑Equiv.ulift '' s')


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

max ℵ₀ (lift.{max u v, w} #↑(s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s') + lift.{w, max u v} #((i : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions i)) ≤ lift.{max u v, w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s')


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

ℵ₀ ≤ #↑s' ∧ #↑(s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s') ≤ #↑(⇑Equiv.ulift '' s') ∧ lift.{w, max u v} #((i : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions i) ≤ lift.{max u v, w} #↑(⇑Equiv.ulift '' s')


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: κ : Cardinal.{w'}

Context: h4 : lift.{w, w'} κ ≤ lift.{w', w} #M

Context: s' : Set (ULift.{w', w} M)

Context: h2 : lift.{w', w} #↑s ≤ #↑s'

Context: h1 : ℵ₀ ≤ #↑s'

Context: hs' : #↑s' = lift.{w, w'} κ

ℵ₀ ≤ lift.{max u v, w} #↑(s ∪ ⇑Equiv.ulift '' s')


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
v2 : V
hv2 : v2 ∈ vectorSpan k s
hv2p : p = v2 +ᵥ p2


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_zero : f 0 = 0


Context: this : 𝓝 (π / 2) = 𝓝 ((1 - 0) * (π / 2))


Context: h : ∀ (n : ℕ), (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) = 1 - 1 / (2 * ↑n + 2)


Tendsto (fun i => 2 * ↑i + 2) atTop atTop


Context:
n : ℕ
p : Fin (n + 1)

decomposeFin.symm (p, Equiv.refl (Fin n)) = swap 0 p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : Ring K
inst✝⁵ : StrongRankCondition K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Finite K
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V


lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} (Module.rank K V) < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α

(∀ (x y : Quotient s), x = y) ↔ ∀ {x y : α}, ⊤ → s.Rel x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
a : α

(∀ (y : Quotient s), Quotient.mk' a = y) ↔ ∀ {y : α}, ⊤ → s.Rel a y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α
a b : α

Quotient.mk' a = Quotient.mk' b ↔ ⊤ → s.Rel a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
c : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint s t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
h0 : P.toPoly ≠ 0
x : R

x ∈ P.roots ↔ P.a * x ^ 3 + P.b * x ^ 2 + P.c * x + P.d = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hx h2x : x ∈ e.source

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hx : x ∈ e.source

Context: h2x : x ∈ (e.extend I).source