Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: p : R

Context: z : S

Context: l : R →₀ S

Context: H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I

∀ x_1 ∈ l.support, (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) ((fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) x_1 (l x_1))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ c • (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)


((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ ↑c ^ p * ((∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p


∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ


∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(‖f a‖₊ ^ p) ≤ ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p)


∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖₊ ≤ c * ‖g a‖₊


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝[≠] x = ⊥


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0


coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) = coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernel.desc (G.map f) (G.map h) ⋯


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b

IsOpen s ↔ ∀ a ∈ s, ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β

Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f


Context: m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ

Context: this : (a + b) % c = (a % c + b % c) % c

Context: hc0 : c = 0

((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0) = a % c + b % c


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

¬y ≤ x ↔ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x ∨ ¬y ≤ x ∧ ¬x ≤ y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A


∀ x ∈ LinearMap.range (ι R), x ∈ 1 → x = 0


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: x : M

Context: r : R

Context: hx : (ι R) x = (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r

(algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r = 0


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
r : R
hx : x = 0 ∧ r = 0


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: g : Γ₀

Context: hx : v x ≤ g

Context: hy : v y ≤ g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: g : Γ₀

Context: hx : v x ≤ g

Context: hy : v y ≤ g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsOpen s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsOpen s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsOpen s

Context: x y : X

Context: hys : y ∈ s

Context: hxy : mk y = mk x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E

sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : IntermediateField F K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F ↑S)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : IntermediateField F K

Context: inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F ↑S)

Context: this : sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥(adjoin F ↑S)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (λ_ X).inv


((ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom) ≫ (λ_ X).hom = (λ_ X).inv ≫ (λ_ X).hom


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (insert e I)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (I ∪ {e})


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E

‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: k : ℕ

Context: x₀ : E

Context: this : ‖x₀‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f


Context:
α : Type u_1
xs : List α
α✝ : Sort u_2
f : Nat → α → α✝ → α✝
i : α✝
s : Nat

foldrIdx f i xs s = foldrIdx (fun i => f (i + s)) i xs


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : SetLike σ R

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)

Context: r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

↑((r * r') n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : SetLike σ R

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A

Context: r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

↑((DFinsupp.sum r fun i ai => DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : SetLike σ R

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A

Context: r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n x✝¹ x✝ : ι

↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D

oscillationWithin f D x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f D x


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0

∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: x : E

Context: xD : x ∈ D

Context: hf : oscillationWithin f D x = 0

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)), diam i < ε


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε
y : E
hy : y ∈ f ⁻¹' S


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
h : J ≤ I


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsGδ (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: n : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: n : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

Context: x : α

Context: hx : f n x = g n x

s.indicator (g n) x = s.indicator (f n) x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
hb : 1 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
F : α
F0 : F > 0
hF : ∃ i, ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j
H : g.LimZero
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j ∧ |↑g j| < F / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : F ≤ ↑f j
h₂ : |↑g j| < F / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
F : α
F0 : F > 0
hF : ∃ i, ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j
H : g.LimZero
i : ℕ
h : ∀ j ≥ i, F ≤ ↑f j ∧ |↑g j| < F / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : F ≤ ↑f j
h₂ : |↑g j| < F / 2
this : F + -(F / 2) ≤ ↑f j + ↑g j


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s U : Opens M

Context: x : ↥U

Context: e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x

↑e.symm =ᶠ[𝓝 (↑e ↑x)] Subtype.val ∘ ↑(chartAt H x).symm


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s U : Opens M

Context: x : ↥U

Context: heUx_nhds : (e.subtypeRestr ⋯).target ∈ 𝓝 (↑e ↑x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : InjOn f (loopyOn E).E


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

cosh x ^ 2 = sinh x ^ 2 + (cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S


Context:
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
t : ℝ
ht : 0 ≤ t ∧ t ≤ 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α

Disjoint a (sSup s) ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint a b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E

⇑f '' parallelepiped v = parallelepiped (⇑f ∘ v)


(⇑f ∘ fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • (⇑f ∘ v) i) '' Icc 0 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
f : E →ₗ[ℝ] F
v : ι → E
t : F

t ∈ (⇑f ∘ fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1 ↔ t ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • (⇑f ∘ v) i) '' Icc 0 1


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
n G : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α β : Type v
inst✝² : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
k : ℕ
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
m : ℕ
i j : n

(matPolyEquiv ((↑(expand K k)).mapMatrix (M ^ k).charmatrix)).coeff m i j = (X ^ k - C (M ^ k)).coeff m i j


((expand K k) ((M ^ k).charmatrix i j)).coeff m = (if m = k then 1 else 0) i j - (if m = 0 then M ^ k else 0) i j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖


re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)


‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) = ‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y

x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = ((map f).obj y).hom


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ y.hom


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ ((pushout f).obj x).hom ≫ u.right


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ pushout.inr x.hom f ≫ u.right


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: t : Set E

Context: ht : t ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: t : Set E

Context: ht : t ∈ 𝓝 x

Context: this : f '' (s ∩ t) ∈ 𝓝 (f x)


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab' : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab' : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x

Context: hg : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab' : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Icc a b

Context: hc : IsMinOn g (Icc a b) c


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab' : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Icc a b

Context: hc : IsMinOn g (Icc a b) c

Context: cmem' : c ∈ Ioo a b


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab' : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => f x - m * x

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Icc a b

Context: hc : IsMinOn g (Icc a b) c

Context: cmem' : c ∈ Ioo a b

Context: this : Icc a b ∈ 𝓝 c


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
x : ℝ≥0∞

¬x < ⊤ ↔ x = ⊤


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s


closure s ⊆ s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

x ∈ closure s → x ∈ s ↔ (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t

(μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ↑t ^ 2 * ρ s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
t_ne_zero' : t ≠ 0
t_ne_zero : ↑t ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: ν : Measure α := μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: A : ν (s ∩ f ⁻¹' {0}) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' {0})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: B : ν (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' {⊤})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : 1 < t

Context: t_ne_zero' : t ≠ 0

Context: t_ne_zero : ↑t ≠ 0

Context: f : α → ℝ≥0∞ := v.limRatioMeas hρ

Context: f_meas : Measurable f

Context: C : ∀ (n : ℤ), ν (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1))) ≤ (↑t ^ 2 • ρ) (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

0 ∈ lowerBounds (Set.range fun p => projectiveSeminormAux ↑p)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

∀ x_1 ∈ Set.range fun p => projectiveSeminormAux ↑p, 0 ≤ x_1


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

∀ a ∈ x.lifts, 0 ≤ projectiveSeminormAux a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N


IsSimpleModule R (M ⧸ m) ↔ IsSimpleOrder ↑(Set.Ici m)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A

𝓤 (Unitization 𝕜 A) = 𝓤 (Unitization 𝕜 A)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
key : UniformInducing ⇑(addEquiv 𝕜 A)


𝓤 (Unitization 𝕜 A) = comap (fun x => ((addEquiv 𝕜 A) x.1, (addEquiv 𝕜 A) x.2)) (𝓤 (𝕜 × A))


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s

IsOpen s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsCompact (some ⁻¹' s)ᶜ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

rightHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -rightHomologyMap' φ h₁ h₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : ℕ

((⇑derivative)^[k] p).natDegree ≤ p.natDegree - k


Context:
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α

(node size✝ l x✝ r).toList.length = (node size✝ l x✝ r).realSize


l.realSize + (r.realSize + 1) = (node size✝ l x✝ r).realSize


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

i ∈ { toFun := f, support' := s }.support ↔ { toFun := f, support' := s } i ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk s }.support ↔ { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

i ∈ Finset.filter (fun i => { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0) (↑s).toFinset ↔ { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }


Context:
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x : ℕ → α
n : ℕ
y : ℕ → α

(∀ i < n, y i = x i) ↔ res y n = res x n


Context: n m l : ℕ

filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico (max n l) m


Context:
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l


Context:
n m l : ℕ
hln : l ≤ n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A

f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}


(∀ (i : ProjectiveSpectrum 𝒜), f ∈ (⨅ (_ : i ∈ t), i.asHomogeneousIdeal).toIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

f ∈ (⨅ (_ : x ∈ t), x.asHomogeneousIdeal).toIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asHomogeneousIdeal


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'

(f ⊗ g) ⊗ h = (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsUpperSet sᶜ


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
hq : q ∈ K[X]⁰

RatFunc.mk p q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p ⟨q, hq⟩ }


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: x : α × α

Context: h : x ∈ Prod.map Sum.inl Sum.inl ⁻¹' (Prod.map Sum.inl Sum.inl '' s ∪ range (Prod.map Sum.inr Sum.inr))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
x✝ : ι

(⇑f ∘ (g / h)) x✝ = (⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h) x✝


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: as : Array α

Context: motive : Nat → β → Prop

Context: init : β

Context: h0 : motive 0 init

Context: f : β → α → m β

Context: hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → SatisfiesM (motive (↑i + 1)) (f b as[i])

SatisfiesM (motive as.size) (foldlM.loop f as as.size ⋯ as.size 0 init)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: c : M'

Context: inst✝ : One M'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃


∀ (P : C) (g : P ⟶ S₁.X₂), g ≫ φ.τ₂ = 0 → g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
x₁ : A ⟶ S₁.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S₁.f = x₂


Context:
E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : MeasurableSpace E
inst✝¹² : BorelSpace E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹⁰ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
v : Fin n → G

ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |ω v|


ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |(ω ⇑(finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯) • (finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯).det) v|


Context:
C✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2292, u_1} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
inst✝³ : BraidedCategory C✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y W Z : Cᵒᵖ

(tensor_μ Cᵒᵖ (X, W) (Y, Z)).unop = tensor_μ C (unop X, unop Y) (unop W, unop Z)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2


eLpNorm (↑↑f) 2 μ ^ 2 = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ


∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

ofTensorProduct I (ι → R) = ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)


ofTensorProduct I (ι → R) = (↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R)) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R)


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d : α
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsCoseparating 𝒢

Context: X Y : StructuredArrow S T

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h

Context: G : C

Context: hG : G ∈ 𝒢

Context: h : Y.right ⟶ G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ colimMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R X))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R X))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

(ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj X) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ colimMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (colimMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Y ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Y) j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((whiskerLeft F (restriction R g)).app j ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((whiskerLeft F (restriction R g)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: this : ∀ (t : Set A), Algebra.adjoin R (star t) ≤ star (Algebra.adjoin R t)

star (Algebra.adjoin R s) ≤ Algebra.adjoin R (star s)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ j i : ι
x : β i

erase j (single i x) = if i = j then 0 else single i x


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
c : Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
j✝ : J

ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = ι F j✝ ≫ desc F c ≫ f


ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = (ι F j✝ ≫ desc F c) ≫ f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
x✝ : ↑m ≤ n

Differentiable 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m fun x => 0)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ

card ↑(derangements (Fin n)) = numDerangements n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: hyp : ∀ m < n, card ↑(derangements (Fin m)) = numDerangements m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: hyp : ∀ m < n + 1 + 1, card ↑(derangements (Fin m)) = numDerangements m

card ↑(derangements (Fin (n + 1 + 1))) = numDerangements (n + 1 + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
h : A ∈ ↑(∂ 𝒜)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
hA : A ∈ 𝒜
i : α
hi : i ∈ A
h : A.erase i ∈ ↑(∂ 𝒜)


Context:
α : Type u_1
a✝¹ a✝ : PosNum

((pos a✝¹).cmp (pos a✝)).swap = (pos a✝).cmp (pos a✝¹)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : ProbabilityMeasure Ω

Context: h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s

Context: s : Set Ω

Context: s_mble : MeasurableSet s


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.7784
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsSeparatedMap f ↔ IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)


(∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂) ↔ ∀ (a b : X) (b_1 : f a = f b), ⟨(a, b), b_1⟩ ∈ (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ → (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 a ×ˢ 𝓝 b)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type ?u.7784

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: x₁ x₂ : X

Context: x✝¹ : f x₁ = f x₂

Context: x✝ : x₁ ≠ x₂

Context: h : ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂

(Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type ?u.7784

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: x₁ x₂ : X

Context: x✝² : f x₁ = f x₂

Context: x✝¹ : x₁ ≠ x₂

Context: x✝ : (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ ∈ comap Subtype.val (𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂)

Context: t : Set (X × X)

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₁ ×ˢ 𝓝 x₂

Context: t_sub : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ (Function.pullbackDiagonal f)ᶜ

∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: S : Submonoid R✝

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: K✝ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field K✝

Context: inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝

Context: inst✝⁴ : IsDomain R₁

Context: R : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

Context: h : Ideal.span {a} = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: S : Submonoid R✝

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: K✝ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field K✝

Context: inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝

Context: inst✝⁴ : IsDomain R₁

Context: R : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: h : a = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : a = 0


Context: x : ℝ


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

p₁ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₄) = p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Ring B✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R B✝

Context: f✝ : R →+* S

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Ring B

Context: inst✝⁸ : Ring C

Context: inst✝⁷ : Algebra R B

Context: inst✝⁶ : Algebra A B

Context: inst✝⁵ : Algebra R C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : Algebra A C

Context: inst✝² : IsScalarTower R A C

Context: b : B

Context: inst✝¹ : FunLike F B C

Context: inst✝ : AlgHomClass F A B C

Context: f : F

Context: P : R[X]

Context: hP : P.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R B) b P = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Ring B✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R B✝

Context: f✝ : R →+* S

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Ring B

Context: inst✝⁸ : Ring C

Context: inst✝⁷ : Algebra R B

Context: inst✝⁶ : Algebra A B

Context: inst✝⁵ : Algebra R C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : Algebra A C

Context: inst✝² : IsScalarTower R A C

Context: b : B

Context: inst✝¹ : FunLike F B C

Context: inst✝ : AlgHomClass F A B C

Context: f : F

Context: P : R[X]


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
i : n ⊕ o
j : p ⊕ q

(fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') i j = fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') i j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F

(fun y => (x, y)) '' openSegment 𝕜 y₁ y₂ = openSegment 𝕜 (x, y₁) (x, y₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x : E

Context: y₁ y₂ : F

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.11099, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α


μ.singularPart 0 = μ.singularPart 0 + withDensity 0 (μ.rnDeriv 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: n : ι × α

Context: h : (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ∧ F n.1 n.2 = F' n.1 n.2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: n : ι × α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

W'.dblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E


∀ x ∈ {0}ᶜ, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ {0}ᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S


Ideal.comap (algebraMap R S) ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0


(f.support.erase f.natDegree).card < f.support.card


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hP : W.Nonsingular P

Context: hQ : W.Nonsingular Q

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

toAffine W ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1] = toAffine W P + toAffine W Q


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

⟨⅟2, ⋯⟩ • (pi Q).polarBilin = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)


∑ x : ι, ⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ (Q x).polarBilin (LinearMap.proj x) (LinearMap.proj x) = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : CountablyGenerated α✝
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α


⨆ n, ↑(countableFiltration α) n = ⨆ i, generateFrom (countablePartition α i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: M₂ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: ι : Type u_4

Context: φ : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (φ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)

Context: f : (i : ι) → M →L[R] φ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: M₂ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: ι : Type u_4

Context: φ : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)

Context: f : (i : ι) → M →L[R] φ i


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

(fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) 1 = 1


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun g


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

Context: this : ∀ {a b c d e f : Matrix n n 𝕜}, a * b * c * (d * e * f) = a * (b * (c * d) * e) * f


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.IsHermitian

Context: f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ (⇑f * ⇑g) ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun i => ↑(f ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * ↑(g ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary


(↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0


(↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g


↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ (⇑f + ⇑g) ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun i => ↑(f ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) + ↑(g ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ

(↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)) r) = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r


(↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r


↑hA.eigenvectorUnitary * ((diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * ((algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r * star ↑hA.eigenvectorUnitary)


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

(↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star f) = star ((↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun f)


↑hA.eigenvectorUnitary * (diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * (diagonal (star (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: val✝ : Multiset α

Context: l : List α

Context: hs : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

(permsOfFinset { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }).card = { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }.card !


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s
y : α
hy : y ∈ s
heq : f y = f a


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: U : X.Opens

Context: s : Set ↑Γ(X, U)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: U : X.Opens

Context: s : Set ↑Γ(X, U)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: U : X.Opens

Context: s : Set ↑Γ(X, U)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

∀ i ∈ ⇑U.topIso.inv '' s, IsAffineOpen ((↑U).basicOpen i)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : eval₂ f x p = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s


s ⊆ a⁻¹ • s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0

SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
s : Set (CofiniteTopology X)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: β : ι → Type u_6

Context: β₁ : ι → Type u_7

Context: β₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₁ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (β₂ i)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: r : R

Context: hf' : ∀ (i : ι) (x : β₁ i), f i (r • x) = r • f i x

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: i✝ : ι

(mapRange f hf (r • g)) i✝ = (r • mapRange f hf g) i✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Ioc 0 1)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P
h : Injective fun x => 2 • x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : ∀ (a : Pseudoelement P), pseudoApply f a = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context: l r : List Char

ValidFor l.reverse r { s := { data := l ++ r }, i := { byteIdx := utf8ByteSize.go l } }


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x = 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
hPx : P x = 0
hP : P y ^ 2 = 0 ∧ 2 * P y ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
inst✝⁴ : StarRing 𝕜
inst✝³ : TrivialStar 𝕜
inst✝² : StarAddMonoid F
inst✝¹ : ContinuousStar F
inst✝ : StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L

HasDerivAtFilter (fun x => star (f x)) (star f') x L


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

((IntFractPair.stream v n).bind fun ap_n => if ap_n.fr = 0 then none else some (IntFractPair.of ap_n.fr⁻¹)) = none ↔ IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s

Module.rank K ↥s = 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ s ≤ span K {v₀}


(∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : ↥s), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v


Context:
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r


IsBigOWith ((c ^ r⁻¹) ^ r) l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

gramSchmidt 𝕜 f n = f n - ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: S : ℕ → Set α

Context: x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)

Context: hS_mono : Monotone S

∫⁻ (x : α) in ⋃ n, S n, f x ∂μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (x : α) in S n, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: S : ℕ → Set α

Context: x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)

Context: hS_mono : Monotone S


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) atTop atTop


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun n => sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊n / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q P Q : MvPolynomial σ R
hPQ : X n * P = X n * Q
i : σ →₀ ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)

Continuous f ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)


b ⊆ {s | IsOpen s} ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M

(contractRight ((ι Q) x)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: x y : F

Context: h : ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
V : (Opens ↑Y)ᵒᵖ
x : ↥((Opens.map f).obj (unop V))

((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app V ≫ germToPullbackStalk C f F ((Opens.map f).obj (unop V)) x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T_open : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t
T_count : ∅.Countable
T_int : t = ⋂₀ ∅


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: st_dis : Disjoint s t

Context: t_cl : IsClosed t

Context: T : Set (Set X)

Context: T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t

Context: T_count : T.Countable

Context: T_int : t = ⋂₀ T

Context: T_nonempty : T.Nonempty

Context: g : ℕ → ↑T

Context: g_surj : Surjective g

Context: g' : ℕ → Set X

Context: g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)

Context: clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n

Context: clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: st_dis : Disjoint s t

Context: t_cl : IsClosed t

Context: T : Set (Set X)

Context: T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t

Context: T_count : T.Countable

Context: T_int : t = ⋂₀ T

Context: T_nonempty : T.Nonempty

Context: g : ℕ → ↑T

Context: g_surj : Surjective g

Context: g' : ℕ → Set X

Context: g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)

Context: clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n

Context: clg'_int : t = ⋂ i, closure (g' i)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: st_dis : Disjoint s t

Context: t_cl : IsClosed t

Context: T : Set (Set X)

Context: T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t

Context: T_count : T.Countable

Context: T_int : t = ⋂₀ T

Context: T_nonempty : T.Nonempty

Context: g : ℕ → ↑T

Context: g_surj : Surjective g

Context: g' : ℕ → Set X

Context: g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)

Context: clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n

Context: clg'_int : t = ⋂ i, closure (g' i)

s ⊆ ⋃ n, (closure (g' n))ᶜ ∧ ∀ (n : ℕ), IsOpen (closure (g' n))ᶜ ∧ Disjoint (closure (closure (g' n))ᶜ) t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m.trim s ≤ m s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)

Context: H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a

Context: ha : IsSuccLimit a

SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: ha : IsSuccLimit a

(H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsSuccLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim


Context: h : Decidable (Dom 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G ≤ H


G.IsClique ↑s ∧ s.card = n → H.IsClique ↑s ∧ s.card = n


Context: m k n : ℕ

(n ∈ Set.range fun n => m * n + k) ↔ n ∈ {n | ↑n = ↑k ∧ k ≤ n}


Context: m k n : ℕ


Context:
m k n : ℕ
x✝ : ∃ y, n = k + m * y
a : ℕ
ha : n = k + m * a


Context:
m k n : ℕ
x✝ : ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
H₁ : ↑n = ↑k
H₂ : k ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), ⨅ i, f i a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ


∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: χ₁ : L → R

Context: a✝ : χ₁ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}

Context: χ₂ : L → R

Context: hχ₂ : χ₂ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}

Context: hχ₁₂ : weightSpace M χ₁ = weightSpace M χ₂


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: χ₁ : L → R

Context: a✝ : χ₁ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}

Context: χ₂ : L → R

Context: hχ₂ : χ₁ ≠ χ₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β

kernImage f (s ∪ f ⁻¹' t) = kernImage f s ∪ t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

normSq (⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y) = normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)


⟪⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y, ⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y⟫_𝕜 = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2))


⟪x, y⟫_𝕜 * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ↑(normSq x)) - ↑(normSq x) * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪x, y⟫_𝕜) - ⟪x, y⟫_𝕜 * (↑(normSq x) * ⟪y, x⟫_𝕜) + ↑(normSq x) * (↑(normSq x) * ↑(normSq y)) = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y) - normSq x * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)


↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 * ↑(normSq x) - ↑(normSq x) * ↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 - ↑(normSq x) * ↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 + ↑(normSq x) * (↑(normSq x) * ↑(normSq y)) = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y) - normSq x * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: h : centroid k fs₁ s.points = centroid k fs₂ s.points


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: ha : (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₂)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: ha : ∀ (a : Fin (n + 1)), (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) a = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) a


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: i : Fin (n + 1)

Context: ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i

Context: key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: i : Fin (n + 1)

Context: key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0

Context: hi : i ∈ fs₁

Context: hni : i ∉ fs₂


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: inst✝ : CharZero k

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex k P n

Context: fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))

Context: m₁ m₂ : ℕ

Context: h₁ : fs₁.card = m₁ + 1

Context: h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

Context: i : Fin (n + 1)

Context: key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0

Context: hi : i ∈ fs₂

Context: hni : i ∉ fs₁


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cocycle F G 0


Context:
f g : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n

LSeriesHasSum f s a ↔ LSeriesHasSum g s a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s

eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s

eLpNorm (s.indicator f) ⊤ μ = eLpNorm f ⊤ (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : p ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

Context: t : ℝ

γ t = ((γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt) t


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)

Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

Context: H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)

∀ (x_1 : N → ↑I), (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ↑p x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (x_1 : N → ↑I), (homotopyFrom i H).toFun (1, x_1) = ↑q x_1


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i : N

Context: p q : ↑(Ω^ N X x)

∀ (t : ↑I), ∀ x_1 ∈ Cube.boundary N, { toFun := fun x_2 => { toContinuousMap := homotopyFrom i H, map_zero_left := ?refine_1, map_one_left := ?refine_2 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = ↑p x_1


Context:
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
a✝ : PosNum


Context:
α : Type u_1
a✝ : PosNum
n : ℕ
IH : ↑(a✝ <<< n) = ↑a✝ <<< n


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hgw : w ∈ g.reverse.language


w.reverse ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w).reverse


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
a : A
z : ℂ
h : z ∈ σ a


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

K.opcyclesToCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_4

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x y : α i

Context: f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

dist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) = max (dist x y) (dist f g)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
a : ℝ
ha : a ≠ 0

IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

Context: a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) ε)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) = {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: t : ℝ

t ∈ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) ↔ t ∈ {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}