Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1

ContinuousAt (Vector.eraseIdx i) ⟨l, hl⟩


Tendsto (fun x => ↑(Vector.eraseIdx i x)) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 ↑(match ⟨l, hl⟩ with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx ↑i, ⋯⟩))


Tendsto (fun x => (↑x).eraseIdx ↑i) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (l.eraseIdx ↑i))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M

ker (lTensor Q N.mkQ) = range (lTensor Q N.subtype)


Exact ⇑(lTensor Q N.subtype) ⇑(lTensor Q N.mkQ)


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
h : derivative f ≠ 0
g : F[X]
hg1 : g ∈ nonunits F[X]
_hg2 : g ≠ 0
x✝ : g ∣ f
hg4 : g ∣ derivative f
p : F[X]
hg3 : f = g * p
u : F[X]ˣ
hu : ↑u = p


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.FG
t : Set M
ht : t.Finite ∧ (closure L).toFun t = s

(closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α

(of fun i j => diagonal v (Sum.inl i) (Sum.inl j)) = diagonal fun i => v (Sum.inl i)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
i j : l

of (fun i j => diagonal v (Sum.inl i) (Sum.inl j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inl i)) i j


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0


(x / ↑(x.gcd y)).gcd (y / ↑(x.gcd y)) = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1

Context: F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)

Context: hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)

Context: u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)

Context: u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)

Context: u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)

Context: Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)

Context: u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)

Context: Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)

μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)

Context: u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)

Context: Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)

(⋃ n, ↑(u n)).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = ideal R S


Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) ≤ ideal R S


ideal R S ≤ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
m : ℕ

(trunc (n + 1) ((C R) a)).coeff m = (Polynomial.C a).coeff m


(if m < n + 1 then if m = 0 then a else 0 else 0) = if m = 0 then a else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
C : ℝ
Cpos : C > 0
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
C : ℝ
Cpos : C > 0
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} V
inst✝⁸ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.62271, u_2} W
inst✝⁶ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{?u.62296, u_3} W₁
inst✝⁴ : Category.{?u.62300, u_4} W₂
inst✝³ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝² : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
F G : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
α : F ≅ G
c : ComplexShape ι

NatTrans.mapHomologicalComplex α.hom c ≫ NatTrans.mapHomologicalComplex α.inv c = 𝟙 (F.mapHomologicalComplex c)


NatTrans.mapHomologicalComplex α.inv c ≫ NatTrans.mapHomologicalComplex α.hom c = 𝟙 (G.mapHomologicalComplex c)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b : α


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R n) (φ * (C σ R) a) = (coeff R n) φ * a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'

χ ≠ 1 ↔ ∃ a, χ ↑a ≠ 1


Context: m n : ℕ


Context: m : ℕ


Context:
m n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: H : S.FactorsThru T

Context: hS : IsSheafFor P S

Context: h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ R, IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: H : S.FactorsThru T

Context: hS : IsSeparatedFor P S ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

IsSeparatedFor P T ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P T), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a

Context: e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X

Context: h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)

Context: h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: y : FamilyOfElements P S := fun Y g hg => P.map (i hg).op (x (e hg) ⋯)


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: hy : y.Compatible


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: hy : y.Compatible

Context: left✝ : IsSeparatedFor P S

Context: h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

Context: z : P.obj (Opposite.op X)

Context: hz : y.IsAmalgamation z

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : T g

Context: R : Presieve Y

Context: hR1 : IsSeparatedFor P R

Context: WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C

Context: ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a

Context: ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X

Context: hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a)

Context: hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: hy : y.Compatible

Context: left✝ : IsSeparatedFor P S

Context: z : P.obj (Opposite.op X)

Context: hz : y.IsAmalgamation z

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : T g

Context: R : Presieve Y

Context: hR1 : IsSeparatedFor P R

Context: WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C

Context: Q : C

Context: t : Q ⟶ Y

Context: ht : R t

P.map t.op (P.map g.op z) = P.map t.op (x g hg)


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: hy : y.Compatible

Context: left✝ : IsSeparatedFor P S

Context: z : P.obj (Opposite.op X)

Context: hz : y.IsAmalgamation z

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : T g

Context: R : Presieve Y

Context: hR1 : IsSeparatedFor P R

Context: WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C

Context: Q : C

Context: t : Q ⟶ Y

Context: ht : R t

P.map (ii ht ≫ i ⋯).op (x (e ⋯) ⋯) = P.map t.op (x g hg)


Context: C : Type u_3

Context: D : Type ?u.25151

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_3} C

Context: inst✝ : Category.{?u.25159, ?u.25151} D

Context: X : C

Context: S T : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C

Context: x : FamilyOfElements P T

Context: hx : x.Compatible

Context: hy : y.Compatible

Context: left✝ : IsSeparatedFor P S

Context: z : P.obj (Opposite.op X)

Context: hz : y.IsAmalgamation z

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : T g

Context: R : Presieve Y

Context: hR1 : IsSeparatedFor P R

Context: WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C

Context: Q : C

Context: t : Q ⟶ Y

Context: ht : R t


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsPath


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ


integral μ f = integral μ (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc (Lp.simpleFunc.toLp f ⋯))


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S ι✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
ι' : Type w
x : ι → R
hi : ∀ (i : ι), x i ∈ I
f : (ι → R) →ₗ[R] ι' → R
i : ι'


Context:
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n✝
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
m n : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin m → α
ys : Fin n → α
i : Fin (m + n)

append xs ys i.rev = append (ys ∘ rev) (xs ∘ rev) (cast ⋯ i)


append xs ys i.rev.rev = append (ys ∘ rev) (xs ∘ rev) (cast ⋯ i.rev)


append xs ys i = append (ys ∘ rev) (xs ∘ rev) (cast ⋯ i.rev)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β

(insert a b s).keys = a :: s.keys.erase a


Context: ι : Type u

Context: β : ι → Type v

Context: I : Nonempty ι

Context: s : Set ((i : ι) → β i)

Context: hs : s ∈ Function.Embedding.sets β

Context: ms : ∀ a ∈ Function.Embedding.sets β, s ⊆ a → a = s

Context: h : ¬∃ i, ∀ (y : β i), ∃ x ∈ s, x i = y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a b : α
h : IsLUB s a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)


Context: a : UnitAddCircle

Context: this : Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)


Context: a : UnitAddCircle

(fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) =ᶠ[𝓝[≠] 1] fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : s ≠ 0

(s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ = (s - 1) * hurwitzZetaEven a s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
F : Realizer α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: τ : Type u_4

Context: T : TopologicalSpace α

Context: F : Realizer α

Context: this : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (range F.F.f)


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X a b


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X


(mkMetric fun x => ⊤).toOuterMeasure = ⊤.toOuterMeasure


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => f ≫ x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : f ≫ g = 𝟙 X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : f ≫ g = 𝟙 X

(fun x => f ≫ x) (g ≫ f) = (fun x => f ≫ x) (𝟙 Y)


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ

a.natAbs = b.natAbs ↔ ↑a.natAbs = ↑b.natAbs


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ

h.zmodEquivZPowers ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩


(((Int.castAddHom (ZMod k)).liftOfRightInverse ZMod.cast ⋯) ⟨{ toFun := fun i => Additive.ofMul ⟨(fun x => ζ ^ x) i, ⋯⟩, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩) ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

hurwitzZetaOdd a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * sinZeta a s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

(α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ ((α_ W X Y).hom ⊗ 𝟙 Z) = (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).inv) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
v : ι' → α
x : α

(fun x i => ((l.horizontal v).idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) v


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
v : ι' → α
x : α
i : ι ⊕ ι'

(fun x i => ((l.horizontal v).idxFun i).getD x) x i = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) v i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
c₁ : E''
c₂ : F''

((fun x => c₁) =Θ[l] fun x => c₂) ↔ (c₁ = 0 ↔ c₂ = 0)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : ↥(integralClosure R A)
p : R[X]
hpm : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R A) (↑x) p = 0

↑(eval₂ (algebraMap R ↥(integralClosure R A)) x p) = ↑0


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
this : NoZeroSMulDivisors ℕ M


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L

∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : Algebra.IsSeparable L F


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Ring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Field F

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra K E

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : IsScalarTower K L F

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝ : FiniteDimensional K F

Context: pb : PowerBasis K L

Context: this✝¹ : FiniteDimensional L F

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable L F

Context: this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Ring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Field F

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra K E

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : IsScalarTower K L F

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝ : FiniteDimensional K F

Context: pb : PowerBasis K L

Context: this✝¹ : FiniteDimensional L F

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable L F

∏ a : L →ₐ[K] E, ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨a, s⟩.fst pb.gen = ∏ x : L →ₐ[K] E, x pb.gen ^ finrank L F


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : Ring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Field F

Context: inst✝⁸ : Algebra K L

Context: inst✝⁷ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra K E

Context: inst✝⁴ : Algebra L F

Context: inst✝³ : IsScalarTower K L F

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝ : FiniteDimensional K F

Context: pb : PowerBasis K L

Context: this✝¹ : FiniteDimensional L F

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable L F

∀ (x : F →ₐ[K] E), x ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma x).fst pb.gen


Context:
x : ℂ
n : ℤ
hlt : -π < ↑n * x.arg
hle : ↑n * x.arg ≤ π
y : ℂ


Context:
x : ℂ
n : ℤ
hlt : -π < x.arg * ↑n
hle : x.arg * ↑n ≤ π
y : ℂ


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
A B : SpecialLinearGroup n R
inst✝ : Nontrivial R
g : SpecialLinearGroup n R


Context:
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.blt 1 n = true


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α

swap x y ∈ closure S ↔ x ∈ orbit (↥(closure S)) y


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y

Context: h : swap x y ∉ closure S

Context: this : ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ {x | swap x y ∈ closure S}, σ • a ∉ {x | swap x y ∈ closure S}


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf✝ : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : f ∈ S


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
z : α
hz : z ∈ {x | swap x y ∈ closure S}


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : Nonempty I
inst✝ : DecidableEq I

(∃ μ, ∑ i : I, μ i * ∏ j ∈ {i}ᶜ, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on s)


Pairwise (IsCoprime on s) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : SupClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

t.inf' ht id ⊔ u.inf' hu id ∈ infClosure s


((t ×ˢ u).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2) ∈ infClosure s


Context:
a✝ b✝ : Prop
α : Sort u_1
a b : α
p : Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < 0


Context:
α : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℝ

Context: hb : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b

(fun x => rexp ((f x).arg * (g x).im)) =Θ[l] fun x => 1


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℝ

∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(f x).arg * (g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (π * b)


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℝ

Context: hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b

∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(f a).arg * (g a).im| (π * b)


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℝ

Context: x : α

Context: hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g x).im| b


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℝ

Context: x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: A : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk f hf a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: B : ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), r * AEMeasurable.mk f hf a ∂μ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_7
β : Type u_8
F : Type u_6
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : dist x y ≠ 0
hr : dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y

↑(nndist (f x) (f y)) = ↑(r * nndist x y)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α : Ext X Y n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoDiv hp (a - m • p) b = toIcoDiv hp a b + m


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ egauge 𝕜 s (c • x)


∀ (c_1 : 𝕜), c • x ∈ c_1 • s → ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c_1‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = 0 • x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x
hc : c ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ₁ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ₂ : S₂ ⟶ S₃

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: h₃ : S₃.LeftHomologyData

Context: γ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂

Context: γ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

cyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = cyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ cyclesMap' φ₂ h₂ h₃


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A

Context: f g : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hn : 1 < n


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ

(μ.tilted f).tilted g = μ.tilted (f + g)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α

s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ¬∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f


(∃ x, IsBadSeq r s x) ↔ ∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α

dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) ≤ ∑ k ∈ Finset.range n, dist (g (f^[k] x)) (g (f^[k] y))


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ✝ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : L
χ : L → R

LieSubmodule.map (weightSpaceOf M (χ x) x).incl (weightSpace (↥↑(weightSpaceOf M (χ x) x)) χ) = weightSpace M χ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: r C : ℝ≥0∞

Context: hr : r < 1

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: r C : ℝ≥0∞

Context: hr : r < 1

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence

{p | φ ∈ p} = Set.univ ↔ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ


{p | Formula.not φ ∈ p} = ∅ ↔ {p | {Formula.not φ} ⊆ ↑p} = ∅


Context: m✝ n✝ m n : ℕ


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (↑H.unit).val.Coprime n


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (m % n).gcd n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_6
A B C : Matrix m n α
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
v : m → α
w : n → α

v ᵥ* A ⊙ B ⬝ᵥ w = (diagonal v * A * (B * diagonal w)ᵀ).trace


v ᵥ* A ⊙ B ⬝ᵥ w = ∑ y : n, ∑ x : m, ((diagonal v * A) ⊙ (B * diagonal w)) x y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = det ![u, v, w]


Context:
α : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Fintype β
e : Perm α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

s.ncard ≤ t.ncard ↔ (s \ t).ncard ≤ (t \ s).ncard


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

lift b.fst b.snd ≫ desc b.inl b.inr = 𝟙 b.pt


desc b.inl b.inr ≫ lift b.fst b.snd = 𝟙 (X ⊞ Y)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℕ

(opRingEquiv R) (op (C r * X ^ n)) = C (op r) * X ^ n


Context:
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ

∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n

↑(const _root_.abs (∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i !)) j ≤ ↑⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ j


∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, (↑x ^ i / ↑i !).re


∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, x ^ i / ↑i !


Context:
x✝³ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
x✝² : ℕ
x✝¹ : x✝² ∈ range j
x✝ : x✝² ∉ range n


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ

CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ = rexp x


Context:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u v : U
g : Lex (Γ' × Γ)

((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) (u + v))).coeff g = ((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) u + (fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) v)).coeff g


Context:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
x : U
g : Lex (Γ' × Γ)

((of R).symm ({ toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x))).coeff g = ((of R).symm ((RingHom.id R) r • { toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun x)).coeff g


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

f = (p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).conj (id.prodMap 0)


f = (↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0) ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: x₀ : X

Context: hA : EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀

Context: hu : Continuous u


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: x₀ : X

Context: hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) univ x₀

Context: hu : Continuous u


Context:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j : J


∃ k f g, (F.map f) ⟨⋯.some, 1⟩.snd = (F.map g) ⟨j, 1⟩.snd


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ


∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i]) x ∂μ


∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, x ∈ s → f i x = (μ[f j|↑ℱ i]) x


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: Y : C₄

Context: j : J

Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p

Context: φ φ' : mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y

Context: h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ'


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: Y : C₄

Context: j : J

∀ (i : I₁ × I₂ × I₃) (hij : p i = j), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ = ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ'


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u v : ℙ K V
h : u.submodule = v.submodule


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
u : V
hu : u ≠ 0
h : (mk K u hu).submodule = v.submodule


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: u : V

Context: hu : u ≠ 0

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: h : (mk K u hu).submodule = (mk K v hv).submodule


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
h : ∃ z, z • u = v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s✝ : Finset α
G : SimpleGraph α
s : Finset α

s ∈ G.cliqueSet 1 ↔ s ∈ Set.range singleton


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: A : Type v

Context: inst✝ : CommRing A

Context: φ✝ : R →+* A

Context: C : VariableChange R

Context: φ : R →+* A

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x✝¹ x✝ : VariableChange R

Context: h✝ : map φ x✝¹ = map φ x✝

Context: h : (Units.map ↑φ) x✝¹.u = (Units.map ↑φ) x✝.u

Context: left✝¹ : φ x✝¹.r = φ x✝.r

Context: left✝ : φ x✝¹.s = φ x✝.s

Context: right✝ : φ x✝¹.t = φ x✝.t


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ : R →+* A
C : VariableChange R
φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : VariableChange R
h✝ : map φ x✝¹ = map φ x✝
left✝¹ : φ x✝¹.r = φ x✝.r
left✝ : φ x✝¹.s = φ x✝.s
right✝ : φ x✝¹.t = φ x✝.t
h : ↑φ ↑x✝¹.u = ↑φ ↑x✝.u


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ A ∈ powersetCard k univ, ∑ j ∈ A, f (A, j)


∀ (p : Finset σ × σ), p ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ p.1 ∈ powersetCard k univ ∧ p.2 ∈ p.1


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ


∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i]) x ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = mabs b


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M

Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) = Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}

x ∈ corootSpace α ↔ x ∈ Submodule.span R s


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

⇑H.subtype '' s = {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: u : L

u ∈ ⇑H.subtype '' s ↔ u ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: u : L

(∃ (x : u ∈ H), ⟨u, ⋯⟩ ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}) ↔ ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = u


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: u : L

Context: x✝ : ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = u

Context: y : L

Context: hy : y ∈ rootSpace H α

Context: z : L

Context: hz : z ∈ rootSpace H (-α)

Context: hyz : ⁅y, z⁆ = u


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: u : L

Context: y : L

Context: hy : y ∈ rootSpace H α

Context: z : L

Context: hz : z ∈ rootSpace H (-α)

Context: hyz : ⁅y, z⁆ = u

u ∈ H ↔ ↑((rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯) (⟨y, hy⟩ ⊗ₜ[R] ⟨z, hz⟩)) ∈ ↑(rootSpace H 0)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
Φ : Submodule R (Module.Dual R M)
x : M

x ∈ Φ.dualCoannihilator ↔ ∀ φ ∈ Φ, φ x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K


(∃ y ∈ Ici a, r * y = x) ↔ x ∈ Ici (r * a)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 n


a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : RingHom.ker f ≤ I

map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

Context: this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, RingHom.ker f ≤ J


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

sInf (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}) ≤ sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: h : RingHom.ker f ≤ I

sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsMaximal} ≤ sInf (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : Zero M

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: m : M

Context: hif : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(single (f a) m).support)

comapDomain f (single (f a) m) hif = single a m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : Zero M

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: hif : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(single (f a) 0).support)

comapDomain f (single (f a) 0) hif = single a 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : Zero M

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: m : M

Context: hm : m ≠ 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : PropertyIsLocal P


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

∀ {R S : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), P e.toRingHom


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: e : R ≃+* S

Context: this : Algebra R S := e.toRingHom.toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: e : R ≃+* S

Context: this✝ : Algebra R S := e.toRingHom.toAlgebra

Context: this : IsLocalization.Away 1 S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i < 1
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 3 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (last 2) = f 0 * f 1 * f 2


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.17678, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.17685, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.17692, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
f : X ⟶ Y
a : M
g : ShiftedHom Y Z a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.17685, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.17692, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
a : M
g : ShiftedHom Y Z a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsClosed A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜
A : Set E
hA : IsClosed A
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : IsClosed A
hB : B.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A✝ B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology 𝕜

Context: A : Set E

Context: hA : IsClosed A

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: a : 𝕜

Context: hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}

Context: hB : {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}.Nonempty


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a a₁ a₂ : α
h₁ : r a₁ a
h₂ : r a₂ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : IsConj σ τ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)

σ.support.card = (π * σ * π⁻¹).support.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
x✝ : α
ha : x✝ ∈ σ.support

(fun a x => π a) x✝ ha ∈ (π * σ * π⁻¹).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : b ∈ (π * σ * π⁻¹).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : π⁻¹ b ∉ σ.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : σ (π⁻¹ b) = π⁻¹ b


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x - x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

Context: hx : -x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace γ
m : Measure α
f : α → Measure β
g : β → Measure γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((m.bind f).bind g) s = (m.bind fun a => (f a).bind g) s


∫⁻ (a : α), ∫⁻ (x : β), ((fun μ => μ s) ∘ g) x ∂f a ∂m = ∫⁻ (a : α), (((fun m => m.bind g) ∘ f) a) s ∂m


∫⁻ (a : α), ∫⁻ (x : β), ((fun μ => μ s) ∘ g) x ∂f a ∂m = ∫⁻ (a : α), ∫⁻ (a : β), (g a) s ∂f a ∂m


Context:
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : HasContDiffBump G
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
x₀ : G
hg : ∀ x ∈ ball x₀ φ.rOut, g x = g x₀

(φ.normed μ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀ = g x₀


∫ (t : G), ((lsmul ℝ ℝ) (φ.normed μ t)) (g x₀) ∂μ = g x₀


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hg : x ^ p = 1
hg1 : x ≠ 1


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
L' : Language
φ : L →ᴸ L'
h : φ.Injective

(φ.onTheory T).IsSatisfiable ↔ T.IsSatisfiable


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x✝ y x : G


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: x✝ y x : G

Context: w : ℕ

Context: hw1 : w > 0

Context: hw2 : IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) w 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: x✝ y x : G

Context: w : ℕ

Context: hw1 : w > 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c✝ c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ c : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ c ∈ perpBisector p₂ p₁


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
x : CliffordAlgebra Q₁

(equivOfIsometry (QuadraticMap.IsometryEquiv.refl Q₁)) x = AlgEquiv.refl x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : SurjOn fa s t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : fa x ∈ t


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

∠ p₃ p₂ p₁ = π


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : E
f : 𝓢(E, F)
x : E

((pderivCLM 𝕜 m) f) x = lineDeriv ℝ (⇑f) x m


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l✝ : Line α✝ ι✝

Context: i : ι✝

Context: a x✝ : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: κ : Type v

Context: inst✝ : Finite κ

Context: ι : Type

Context: ιfin : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → α) → ULift.{u, v} κ), ∃ l, IsMono C l

Context: C : (ι → α) → κ

Context: l : Line α ι

Context: c : ULift.{u, v} κ

Context: hc : ∀ (x : α), (ULift.up ∘ C) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c

Context: x : α

C ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c.down


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l : List α

Context: h✝ : l.Nodup

Context: l₁ l₂ : List α

Context: h : Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁.reverse l₂.reverse


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0

n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≤ 0

n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : 0 ≤ a

n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z = f.mk' x y


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z * f.toMap ↑y = f.toMap x


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

(fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
x : α
hx : μ.rnDeriv ν x < ⊤

rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c d : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hF : IsClosed F


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)

‖f‖ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ


(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ


(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑↑f a‖ ∂μ).toReal


Context: q : ℕ+

Fintype.card (ZMod ↑q × ZMod ↑q) = ↑q ^ 2


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)


∀ {Z : D} {W₁ W₂ : C} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁) (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂), iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ → ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂

ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
V : C
iVZ : G.obj V ⟶ Z

ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x))) = ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x)))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I


Context:
fs : Code
k : Cont'

contSupp (Cont'.cons₁ fs k) = trStmts₁ (move₂ (fun x => false) main aux (move₂ (fun s => decide (s = Γ'.consₗ)) stack main (move₂ (fun x => false) aux stack (trNormal fs k.cons₂)))) ∪ codeSupp fs k.cons₂


Context:
m n✝ k n : ℕ
h✝ : k = n + 1
x : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)


↑(if x.val ≤ namedPattern k (n + 1) h✝ / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝)) = x


Context:
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Epi ⇑f


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ


Context: C : FloatCfg


Context:
C : FloatCfg
this : prec ≤ 2 * emax


Context:
C : FloatCfg
this : ↑prec ≤ ↑(2 * emax)


Context:
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * emax) - ↑prec


Context:
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * FloatCfg.emax) - ↑prec


Context: C : FloatCfg

emin = max (emin + ↑(Nat.size 0) - ↑prec) emin


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (x / ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
h : ↑m = ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : P →ₗ[R] Q →ₗ[R] M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

Submodule.map₂ f p q = range (lift f ∘ₗ mapIncl p q)


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S N N' : Submonoid M


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((a • v) ((γ ∘ fun x => x * a) t)))


HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t * a)))).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a))


HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) t fun x => x * a) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)


HasFDerivAt (fun x => x * a) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a) t


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)

tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z
h₂ : r • f i = (r • 1) • f i


tprodCoeff R z (update f i ((r • 1) • f i)) = tprodCoeff R (r • 1 * z) f


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Bijective ⇑f
x y : L₁

{ toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆


Context:
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

(mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).birthday = (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday


max (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight i).birthday) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')


max (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inr b)).birthday)) (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inr b)).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')


max (max (lsub fun a => (xL a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')


max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')


max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)) (max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')


max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ (mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday


((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)


max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday) ≤ (mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b'


((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b') ≤ max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)


Context: a b x : PGame

Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday

Context: j : (mk xl xr xL xR).LeftMoves

Context: hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveLeft j).birthday

i ♯ (mk yl yr yL yR).birthday < max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)


Context: a b x : PGame

Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday

Context: j : (mk xl xr xL xR).RightMoves

Context: hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveRight j).birthday


Context: a b x : PGame

Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < (mk yl yr yL yR).birthday

Context: j : (mk yl yr yL yR).LeftMoves

Context: hj : i ≤ ((mk yl yr yL yR).moveLeft j).birthday

(mk xl xr xL xR).birthday ♯ i < max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)


Context: a b x : PGame

Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < (mk yl yr yL yR).birthday

Context: j : (mk yl yr yL yR).RightMoves

Context: hj : i ≤ ((mk yl yr yL yR).moveRight j).birthday


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: w x y z : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle y z).sign

InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z ↔ o.oangle w x = o.oangle y z


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: w x y z : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

Context: h : o.oangle w x = o.oangle y z

InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Bool
l : List α


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : S

a ∈ p.rootSet S ↔ map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r

∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a

‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a

∀ (n : ℕ), ‖(p n) fun x => y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n✝ : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a

Context: n : ℕ

‖(p n) fun x => y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S


1 ∉ I ∧ 1 ∉ J → 1 ∉ I.prod J → ∃ x x_1, ∃ (_ : x * x_1 ∈ I.prod J), x ∉ I.prod J ∧ x_1 ∉ I.prod J


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S

Context: h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S

Context: H : HasSum (fun i => deriv (fun x => term f x i) s) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S

Context: H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S

HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re

Context: x : ℝ

Context: hxs : x < s.re

Context: hf : LSeriesSummable f ↑x

Context: y : ℝ

Context: hxy : x < y

Context: hys : y < s.re

Context: S : Set ℂ := {z | y < z.re}

Context: h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖

Context: h₂ : IsOpen S

Context: H' : DifferentiableOn ℂ (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) S


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α

(a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}


a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a * b = hs.min hns * ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) c) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) univ x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝¹ : PartialOrder X
x y : X
inst✝ : NoAtoms μ

∫ (t : X) in Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Ioo x y, f t ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f

AEMeasurable g (Measure.map f μ) ↔ AEMeasurable (g ∘ f) μ


AEMeasurable (g ∘ f) μ → AEMeasurable g (Measure.map f μ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₁ : α → γ
hgm₁ : Measurable g₁
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₂ : β → γ
hgm₂ : Measurable g₂
hgm₁ : Measurable (g₂ ∘ f)
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₂ ∘ f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s