Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

∀ t ∈ Ico (-b) (-a), HasDerivWithinAt (f ∘ Neg.neg) ((Neg.neg ∘ v (-t)) ((f ∘ Neg.neg) t)) (Ici t) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))

Context: hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)

Context: hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)

Context: hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))

∀ t ∈ Ico (-b) (-a), HasDerivWithinAt (g ∘ Neg.neg) ((Neg.neg ∘ v (-t)) ((g ∘ Neg.neg) t)) (Ici t) t


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → Subalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: T : Subalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: x : ↥T

Context: hx : ↑x ∈ K i

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩


Context:
n m : ℕ
i : Fin 2
hi : i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α

sign f = (-1) ^ (f.cycleType.sum + card f.cycleType)


(Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) f.cycleType).prod = (-1) ^ (f.cycleType.sum + card f.cycleType)


(Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) 0).prod = (-1) ^ (Multiset.sum 0 + card 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: a : ℕ

Context: s : Multiset ℕ

Context: ihs : (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) s).prod = (-1) ^ (s.sum + card s)

(Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) (a ::ₘ s)).prod = (-1) ^ ((a ::ₘ s).sum + card (a ::ₘ s))


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: this : Nontrivial ↥N


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: this✝ : Nontrivial ↥N

Context: this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u t s s' : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, Tendsto (fun m => κ.density κ.fst a x (seq m)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density κ.fst a x (seq n)) (κ.fst a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : γ), κ.density κ.fst a a_1 (seq i) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 (∫ (a : γ), 1 ∂κ.fst a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, Monotone fun i => κ.density κ.fst a a_1 (seq i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, ∀ (i : ℕ), κ.density κ.fst a a_1 (seq i) ≤ 1


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

Tendsto (fun x => x ^ s / rexp (b * x)) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b * c⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * c = b


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x✝ y ε x : α
x0 : 0 < x


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
C : E

C = 0 ∨ (μ.restrict s) univ < ⊤ ↔ C = 0 ∨ μ s < ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α

￢a ≤ b ↔ ￢b ≤ a


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
i✝ j✝ : n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

∑ s ∈ 𝒜, (↑((card α).choose s.card))⁻¹ ≤ infSum 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

∑ s ∈ 𝒜, (↑((card α).choose s.card))⁻¹ = ∑ s ∈ 𝒜, ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ 𝒜

(↑((card α).choose s.card))⁻¹ = ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ 𝒜

Context: this : 0 < s.card


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)

Context: 𝒰 : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

∀ (i : (((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).J), QuasiSeparatedSpace ↑↑((((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj i).toPresheafedSpace


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: i : Z.affineCover.J

Context: j : (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.J

QuasiSeparatedSpace ↑↑((((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj ⟨i, j⟩).toPresheafedSpace


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: i : Z.affineCover.J

(((Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun x => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj x).affineCover).pullbackCover f).obj ⟨i, j⟩ ⟶ pullback (f ≫ g) (Z.affineCover.map i)


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : QuasiSeparated (f ≫ g)

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: i : Z.affineCover.J


Context:
n d : PosNum
q r : Num
h₁ : ↑r + ↑d * (↑q + ↑q) = ↑n
h₂ : ↑r < 2 * ↑d

↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).2 + ↑d * ↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).1 = ↑n ∧ ↑(match Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) with | some r' => (q.bit1, r') | none => (q.bit0, r)).2 < ↑d


Context: n d : PosNum

Context: q r : Num

Context: h₁ : ↑r + ↑d * (↑q + ↑q) = ↑n

Context: h₂ : ↑r < 2 * ↑d

Context: this : ∀ {r₂ : Num}, Num.ofZNum' (r.sub' (Num.pos d)) = some r₂ ↔ ↑r = ↑r₂ + ↑d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
N : ℕ
x : α

↑(nearestPtInd e (N + 1)) x = if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x


(if x ∈ ⋂ k, ⋂ (_ : k ≤ N), {x | edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x} then ↑(const α (N + 1)) x else ↑(nearestPtInd e N) x) = if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
p : β → Prop
f : α → β
a : α
b : Subtype p


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
x✝ y x : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

(map _root_.id) (Quot.mk Red.Step L) = Quot.mk Red.Step L


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A


Function.Surjective ⇑((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (A i).subtype)


Context: a b c : ℕ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : Module.Free R N
inst✝⁶ : Module.Finite R N
inst✝⁵ : Module.Free R P
inst✝⁴ : Module.Finite R P
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : IsProj p f
inst✝³ : Module.Free R ↥p
inst✝² : Module.Finite R ↥p
inst✝¹ : Module.Free R ↥(ker f)
inst✝ : Module.Finite R ↥(ker f)

(LinearMap.trace R M) f = ↑(finrank R ↥p)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]

(∑ i ∈ ∅, f i).degree ≤ ∅.sup fun b => (f b).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree

(∑ i ∈ Finset.cons a s has, f i).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

(f a + ∑ x ∈ s, f x).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun b => (f b).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ max (f a).degree (s.sup fun b => (f b).degree)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle y (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1 μ)

dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ


∫ (a : α), ‖↑↑(f - g) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a - ↑↑g a‖ ∂μ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallyInjective J f₂

Context: X : C

Context: x : (forget A).obj (F₂.obj (op X))

Context: S : Sieve X := imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x)

Context: T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → S.arrows f → Sieve Y := fun Y f hf => equalizerSieve ((f₁.app (op Y)) (localPreimage (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x) f hf)) ((F₂.map f.op) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝ : IsLocallyInjective J f₂

Context: X : C

Context: x : (forget A).obj (F₂.obj (op X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝ : IsLocallyInjective J f₂

Context: X : C

Context: x : (forget A).obj (F₂.obj (op X))

∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop (op X)⦄, (imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((f₂.app (op X)) x)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J.sieves Y


Context:
R✝ : Type u
a✝ b✝ : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : R[ℕ]

{ toFinsupp := a - b } = { toFinsupp := a } - { toFinsupp := b }


{ toFinsupp := a } + -{ toFinsupp := b } = { toFinsupp := a } - { toFinsupp := b }


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F

∃! s, ∀ (i : I), ↑s (Opposite.op (Y i)) = x i


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F


∃ x_1, ∀ (i : I), ↑x_1 (Opposite.op (Y i)) = x i


∀ (y₁ y₂ : ↑F.sections), (∀ (i : I), ↑y₁ (Opposite.op (Y i)) = x i) → (∀ (i : I), ↑y₂ (Opposite.op (Y i)) = x i) → y₁ = y₂


Context: h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)


Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ t ⊆ {n | k ≤ n}, ∑' (n : ↑t), {p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) ↑n ∈ Iio (1 / 2)


Context: k : ℕ

Context: hk : ∑' (n : ↑({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p})), {p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) ↑n ∈ Iio (1 / 2)


Context: k : ℕ

Context: hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2


Context: k : ℕ

Context: h' : Summable (({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator fun n => 1 / ↑n)


Context: k : ℕ

∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p ≤ ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x


Context: k : ℕ

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow

1 / ↑p = ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) p


Context: k : ℕ

Context: p : ℕ

Context: hp₁ : p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow.val

Context: hp₂ : p ∉ k.primesBelow


Context: k : ℕ

Context: p : ℕ

Context: hp₂ : p ∉ k.primesBelow

Context: hpp : Nat.Prime p


Context:
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
h : EffectiveEpi f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
ι : Sort u_3
us' : ι → UniformSpace β
h' : ∀ (i : ι), UniformGroup β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : CompleteSpace F
E' : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℂ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
T : E' →L[ℂ] E'

T.IsPositive ↔ ∀ (x : E'), ↑(re ⟪T x, x⟫_ℂ) = ⟪T x, x⟫_ℂ ∧ 0 ≤ re ⟪T x, x⟫_ℂ


((∀ (v : E'), ↑(re ⟪↑T v, v⟫_ℂ) = ⟪↑T v, v⟫_ℂ) ∧ ∀ (x : E'), 0 ≤ T.reApplyInnerSelf x) ↔ (∀ (x : E'), ↑(re ⟪T x, x⟫_ℂ) = ⟪T x, x⟫_ℂ) ∧ ∀ (x : E'), 0 ≤ re ⟪T x, x⟫_ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : F''

(f'' =O[l] fun _x => c) ↔ (c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0) ∧ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖


((c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0) ∧ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖) → f'' =O[l] fun _x => c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: c : F''

Context: hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f'' x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: c : F''

Context: hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0

Context: hc : c = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: c : F''

Context: hcf : c = 0 → f'' =ᶠ[l] 0

Context: hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
a b : R
h : a * b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ


¬(IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η)


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w

G.componentComplMk vK = G.componentComplMk wK


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
a b : R
H : a * (x + y * z) + b * y = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

(map (fun t => X - C t) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)


(map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)


(map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (map (fun r => X + C r) (map (fun t => -t) s)).prod.coeff ?convert_1


(-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k) = (map (fun t => -t) s).esymm (card (map (fun t => -t) s) - ?convert_1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y : E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})


Context:
M' : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M'
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* M
h : Function.RightInverse ⇑φ ⇑ψ
χ : M →* M
inst✝ : IsId χ


Context:
n✝ b m n : ℕ
hb : 0 < b

b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)


Context:
n✝ m n : ℕ
hb : 0 < succ 0

(succ 0).digits n ++ (succ 0).digits m = (succ 0).digits (n + succ 0 ^ ((succ 0).digits n).length * m)


Context:
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b


b.digits n ++ b.digits m = b.digits (ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m))


Context:
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
l : ℕ
hl : l ∈ b.digits n ++ b.digits m


Context: n✝ b m n : ℕ

Context: hb✝ : 0 < b

Context: hb : succ 0 < b

Context: h_append : b.digits n ++ b.digits m ≠ []

(b.digits n ++ b.digits m).getLast h_append ≠ 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s

Walk.map (Hom.mapSpanningSubgraphs ⋯) (toDeleteEdges s p hp) = p


∀ e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges, e ∈ G.edgeSet


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
e : Sym2 V

e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges → e ∈ G.edgeSet


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀

Context: h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1

Context: x y : K

Context: hy : ¬y = 0


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀

Context: h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1

Context: x y : K

Context: hy : ¬y = 0


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀

Context: h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1

Context: x y : K

Context: hy : ¬y = 0

v (x * y⁻¹ * y) ≤ v (1 * y) ↔ v' (x * y⁻¹ * y) ≤ v' (1 * y)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀

Context: h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1

Context: x y : K

Context: hy : ¬y = 0

v (x * y⁻¹) * v y ≤ v 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ v' 1 * v' y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀

Context: h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1

Context: x y : K

Context: hy : ¬y = 0

v (x * y⁻¹) * v y ≤ 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ 1 * v' y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g


ker (rTensor Q g) = ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g)


ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g) = ker (rTensor Q g)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n A
M' : Matrix n m A
N : Matrix n n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp (p + a) b = toIocDiv hp a b - 1


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₁
LL₂ : List (α × Bool)
eq₂ : p :: L₂ = LL₂
h : Red LL₁ LL₂


Context:
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ LL₂ L₁ L₂ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₂
eq₂ : p :: L₂ = LL₂


Context: α : Type u

Context: L L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: p : α × Bool

Context: LL₁ LL₂ L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)

Context: h₁₂ : Step L₁✝ L₂✝

Context: h : ReflTransGen Step L₂✝ LL₂

Context: ih : ∀ {L₁ L₂ : List (α × Bool)}, p :: L₁ = L₂✝ → p :: L₂ = LL₂ → Red L₁ L₂

Context: L₁ L₂ : List (α × Bool)

Context: eq₁ : p :: L₁ = L₁✝

Context: eq₂ : p :: L₂ = LL₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hf : f.HasBasis p s
hh : Monotone h
t : Set β

(∃ i, p i ∧ ∃ x, True ∧ h (s i) ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ (h ∘ s) i ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε

∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: ε K₁ K₂ : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)

Context: εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : β

Context: ha₁ : abv a₁ < K₁

Context: hb₂ : abv b₂ < K₂

Context: h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

Context: h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: ε K₁ K₂ : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)

Context: εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : β

Context: hb₂ : abv b₂ < K₂

Context: ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: ε K₁ K₂ : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)

Context: εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : β

Context: ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)

Context: hb₂ : abv b₂ < max 1 (max K₁ K₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: ε K₁ K₂ : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : β

Context: M : α := max 1 (max K₁ K₂)

Context: K0 : 0 < M

Context: εK : 0 < ε / 2 / M

Context: h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M

Context: h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M

Context: ha₁ : abv a₁ < M

Context: hb₂ : abv b₂ < M

Context: this : abv (a₁ - b₁) * abv b₂ + abv (a₂ - b₂) * abv a₁ < ε / 2 / M * M + ε / 2 / M * M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: ε K₁ K₂ : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : β

Context: M : α := max 1 (max K₁ K₂)

Context: K0 : 0 < M

Context: εK : 0 < ε / 2 / M

Context: h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M

Context: h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M

Context: ha₁ : abv a₁ < M

Context: hb₂ : abv b₂ < M

Context: this : abv ((a₁ - b₁) * b₂) + abv (a₁ * (a₂ - b₂)) < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M

(Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

Context: e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(let e := Classical.choice ⋯; (relabel (fun a => Sum.map id (⇑e) (f a)) φ).alls).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(∀ (xs : Fin (Classical.choose ⋯) → M), Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(Fin (Classical.choose ⋯) → M) ≃ (γ → M)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

∀ (a : Fin (Classical.choose ⋯) → M), (Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => a (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => a (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ φ.Realize fun a_1 => Sum.elim v (?refine_1 a) (f a_1)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι

((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = (((dNext i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + (prevD i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + ((F.mapHomologicalComplex c).map g).f i


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} V

Context: inst✝³ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g✝ : C ⟶ D

Context: h✝ k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: W : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W

Context: inst✝¹ : Preadditive W

Context: F : V ⥤ W

Context: inst✝ : F.Additive

Context: f g : C ⟶ D

Context: h : Homotopy f g

Context: i : ι

Context: H : f.f i = (dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β

Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C

(ofComplex Z).d 1 0 ≫ Projective.π Z = 0


Context:
K : Type ?u.601713
L : Type ?u.601716
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t


Computation.LiftRel Equiv ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> s.destruct) ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> t.destruct)


Computation.LiftRel Equiv (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct) (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) t.destruct)


Computation.LiftRel Equiv (s.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o)) (t.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o))


∀ {a b : Option (α × WSeq α)}, BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b → Computation.LiftRel Equiv ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) a) ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h✝ : s ~ʷ t
a b : Option (α × WSeq α)
h : BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b

Computation.LiftRel Equiv ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) a) ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) b)


Option.rec nil Prod.snd a ~ʷ Option.rec nil Prod.snd b


Context: a b : ℝ

Context: n k : ℕ

Context: ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
ha : a ∉ s


Context:
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : Types.PullbackObj f g

c.fst ((equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).1


Context:
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt

c.fst ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
f' : β → γ
gc : γ → γ → γ
hf' : Semiconj₂ f' gb gc
hf : Semiconj₂ f ga gb
x y : α

(f' ∘ f) (ga x y) = gc ((f' ∘ f) x) ((f' ∘ f) y)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : σ

((rename f).comp (expand p)) (X φ) = ((expand p).comp (rename f)) (X φ)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

GaloisConnection (fun s => zeroLocus s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: ideal_gc : GaloisConnection Ideal.span SetLike.coe


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hy : c.IsClosed y


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s


Context:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive D
z z' : Cochain K L n
f : K ⟶ L
Φ✝ : C ⥤ D
inst✝¹ : Φ✝.Additive
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
Φ : C ⥤ D
inst✝ : Φ.Additive
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

Φ.map ((z₁.comp z₂ h).v p q hpq) = ((z₁.map Φ).comp (z₂.map Φ) h).v p q hpq


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (↑n) (↑n + 1))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

leftHomologyMap φ ≫ h₂.leftHomologyIso.hom = h₁.leftHomologyIso.hom ≫ γ.φH


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
h : Embedding ⇑(f ≫ g).val.base


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsPreimmersion g

Context: inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsPreimmersion g

Context: inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M

∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ Module.rank R M

Context: this : ∀ (R : Type ?u.181016) (M : Type ?u.181015) [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M], Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
p : 𝕜 → Prop
h : ∀ᶠ (ε : 𝕜) in 𝓝[>] 0, p ε


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α : Type u_7
β : Type u_8
m✝ : R
x✝ : α ⊕ β →₀ M

{ toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (m✝ • x✝) = (RingHom.id R) m✝ • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hI : M.Indep I
hBI : B ⊆ I
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hB'I : I ⊆ B'


Context: this : Irrational √↑5


Context:
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 + √↑5)


Context:
this✝¹ : Irrational √↑5
this✝ : Irrational (↑1 + √↑5)
this : Irrational (↑0.5 * (↑1 + √↑5))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
l : Filter β
f : β → α
y : α

Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).Φ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).Φ n)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane

HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) s x


HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') s x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, g' x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y

Context: hgg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y

Context: hg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atBot

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atBot

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atBot

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atBot

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atBot

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atBot

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : s ∈ atBot


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atBot

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atBot

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atBot

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∈ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l✝ : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atBot

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atBot

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atBot

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: l : ℝ

Context: hl : ∀ b ≤ l, b ∈ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l✝ : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atBot

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atBot

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atBot

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: l : ℝ

Context: hl : ∀ b ≤ l, b ∈ s

Context: hl' : Iio l ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
ha₀ : 0 < a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
ha₀ : 0 < a
k : ℕ
hk : ↑k = n - m


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hP0 : ¬P = ⊥


Context:
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n

x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n δ ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ


(∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ) ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: inst✝⁴ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a c b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: inst✝⁴ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: a c b : α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: a b c : α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: a b c : α

(0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: a b c : α

Context: or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: a b c : α

Context: or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0

Context: or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: a b c : α

Context: or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0

Context: or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0

Context: or_c : 0 ≤ c ∨ c ≤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂

All (fun y => All (fun z => y < z) t₂) t₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂
y : α
yx : y < x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2

Submodule.map involute.toLinearMap (evenOdd Q n) = evenOdd Q n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

minimalPeriod f (f^[n] x) = minimalPeriod f x


IsPeriodicPt f (minimalPeriod f x) (f^[n] x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'
k : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S

comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}


comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) ≤ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}


sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal} ≤ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)

c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂ = 0


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s
h_mes : μ s ≠ 0
h_nemp : s.Nonempty
u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝³ : Nontrivial E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝¹ : Countable ↥L

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h_cpt : IsCompact s

Context: h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s

Context: h_mes : μ s ≠ 0

Context: h_nemp : s.Nonempty

Context: u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose

Context: K : ConvexBody E := { carrier := s, convex' := h_conv, isCompact' := h_cpt, nonempty' := h_nemp }

Context: S : ℕ → ConvexBody E := fun n => (1 + u n) • K

Context: Z : ℕ → Set E := fun n => ↑(S n) ∩ (↑L \ {0})


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝³ : Nontrivial E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝¹ : Countable ↥L

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h_cpt : IsCompact s

Context: h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s

Context: h_mes : μ s ≠ 0

Context: h_nemp : s.Nonempty

Context: u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose

Context: h_zero : 0 ∈ K


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝³ : Nontrivial E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝¹ : Countable ↥L

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h_cpt : IsCompact s

Context: h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s

Context: h_mes : μ s ≠ 0

Context: h_nemp : s.Nonempty

Context: u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose

Context: h_zero : 0 ∈ K

Context: h_clos : IsClosed (↑L \ {0})


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝³ : Nontrivial E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝¹ : Countable ↥L

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h_cpt : IsCompact s

Context: h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s

Context: h_mes : μ s ≠ 0

Context: h_nemp : s.Nonempty

Context: u : ℕ → ℝ≥0 := ⋯.choose

Context: h_zero : 0 ∈ K

Context: h_clos : IsClosed (↑L \ {0})

Context: n : ℕ


Context: X Y : Scheme

Context: U✝ : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X, U✝)

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : { U // ↑U ≤ Scheme.Hom.opensRange f }


Context: X Y : Scheme

Context: U✝ : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X, U✝)

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f


Context:
p q r : Prop
h : r → p → q


Context:
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f

Partrec₂ fun a m => Part.map (fun x => x + m) (Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + m)))


Context:
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f

Partrec (unpaired fun a b => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + b)))


Context: f : ℕ →. ℕ

Context: hf : Partrec f

Context: this : Partrec fun a => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> unpaired (fun a b => f (Nat.pair (unpair a).1 (b + (unpair a).2))) (Nat.pair a n)


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
f g : α ⟹ β
h : ∀ (i : Fin2 n), f i = g i


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
β : TypeVec.{u_2} n
f g : α ⟹ β
h : ∀ (i : Fin2 n), f i = g i
i : Fin2 n


Context: y : ℝ


Context: y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iio ↑y) = Iio y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DilationClass F α β

Context: f : F

Context: x y : α

Context: key : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤

edist (f x) (f y) = ↑⋯.choose * edist x y


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
μ : CyclotomicField n K
h : IsPrimitiveRoot μ ↑n


CyclotomicRing n A K = ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1})


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t u : Finset α

(filter (fun x => match x with | (a, b) => a * b ∈ u) (s ×ˢ t)).card ^ 2 ≤ u.card * Eₘ[s, t]


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n✝ : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: m n : M

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h : p ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w n

(weightedHomogeneousComponent w m) p = if m = n then p else 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ

coeff x ((weightedHomogeneousComponent w m) p) = coeff x (if m = n then p else 0)


(if (weight w) x = m then coeff x p else 0) = coeff x (if m = n then p else 0)


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : 1 ≤ x
h_one_le : 1 ≤ z


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : y ≠ 0


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ b


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ


Context: k : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Infinite k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module k E

Context: s : Finset (Subspace k E)

Context: hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤

Context: hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ

Context: p : Subspace k E

Context: hp : p ∈ s

Context: hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex


Context: k : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Infinite k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module k E

Context: s : Finset (Subspace k E)

Context: hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤

Context: hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ

Context: p : Subspace k E

Context: hp : p ∈ s

Context: this : Finite (E ⧸ p)


Context: k : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Infinite k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module k E

Context: s : Finset (Subspace k E)

Context: hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤

Context: hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ

Context: p : Subspace k E

Context: hp : p ∈ s

Context: this✝ : Finite (E ⧸ p)

Context: this : Nontrivial (E ⧸ p)


Context: k : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Infinite k

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module k E

Context: s : Finset (Subspace k E)

Context: hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤

Context: hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ

Context: p : Subspace k E

Context: hp : p ∈ s

Context: this✝¹ : Finite (E ⧸ p)

Context: this✝ : Nontrivial (E ⧸ p)

Context: this : Infinite (E ⧸ p)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: c : (k : K) → ColimitCocone (F.flip.obj k)

Context: j₁ j₂ : J

Context: g : j₁ ⟶ j₂

Context: k : K

(F.map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ ((const J).obj { obj := fun k => (c k).cocone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₁).isColimit.desc { pt := (c k₂).cocone.pt, ι := F.flip.map f ≫ (c k₂).cocone.ι }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g).app k


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))
this : zpowers g = ⊥ ∨ zpowers g = ⊤


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ C : Finset α

Context: hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card

(A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

(A * B * ∅).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * ∅).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card

(A * B * insert x C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * insert x C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

(A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}

Context: h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}

((A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card) * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}

(A * B * C).card * A.card + (A * B).card * A.card - (A' * B).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}

(A * B).card * (A * C).card + (A * B).card * A.card - (A * B).card * (A ∩ (A * C / {x})).card = (A * B).card * (A * C').card


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: this : HasFundamentalDomain G α ν

Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕) = μ


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
Z : C


Context:
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c


Context:
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
h : c.ord = 0


Context:
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
a : Ordinal.{u_1}
h : c.ord ≤ succ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, Integrable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context: m : ℕ


Context: m n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V


v ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
g : ι' → Cardinal.{v}

(⨆ i, f i) * ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i * g j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

(cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

Context: h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

(cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}) ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarModule 𝕜 A

Context: p : A → Prop

Context: p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop

Context: hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

IsClosed ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k

(affineCombination k s p) (affineCombinationLineMapWeights i j c) = (AffineMap.lineMap (p i) (p j)) c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α ↪ β
s : Finset α
a : α

map f (s.erase a) = (map f s).erase (f a)


image (⇑f) (s.erase a) = (image (⇑f) s).erase (f a)


Context:
θ ψ : Angle
h : θ.sign = ψ.sign


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length

(fun x => ⟨indexOf (↑x) l, ⋯⟩) ((fun i => ⟨l.get i, ⋯⟩) i) = i


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsAlgClosure F E
H : IsPurelyInseparable F E


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsAlgClosure F E
H : IsPurelyInseparable F E
this : IsAlgClosed E


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.support.card ≤ 1

(monomial p.natDegree) p.leadingCoeff = p


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.5630
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x x' : X
x✝ : f x = f x'

(x ≠ x' → ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ x ∈ s₁ ∧ x' ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂) ↔ x ≠ x' → Disjoint (𝓝 x) (𝓝 x')


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B : Matrix n n α
A : (Matrix n n α)ˣ
this : Invertible ↑A := A.invertible

↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
h : ∀ a ∈ s, a ∈ t


(fun τ => jacobiTheta τ - 1) =O[comap im atTop] fun τ => rexp (-π * τ.im)


∃ c a, ∀ b ≥ a, ∀ (a : ℂ), a.im = b → ‖jacobiTheta a - 1‖ ≤ c * ‖rexp (-π * a.im)‖


Context:
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y

2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im) ≤ 2 / (1 - rexp (-π)) * ‖rexp (-π * τ.im)‖


Context:
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y


Context:
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y

π ≤ π * τ.im


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

(-x).coeff n = peval (wittNeg p n) ![x.coeff]


Context: n✝ b m d n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, ∀ {d : ℕ}, d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2

Context: hd : d ∈ (b + 2).digits (n + 1)


Context: n✝ b m d n : ℕ

Context: hd : d ∈ (n + 1) % (b + 2) :: (b + 2).digits ((n + 1) / (b + 2))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Ring α
a : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x

Context: ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x

∀ (f : Ultrafilter (X × Y)), s ×ˢ t ∈ f → ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

Context: x : X

Context: sx : x ∈ s

Context: hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x

∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

Context: x : X

Context: sx : x ∈ s

Context: hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x

Context: y : Y

Context: ty : y ∈ t

Context: hy : map Prod.snd ↑f ≤ 𝓝 y

∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

Context: x : X

Context: sx : x ∈ s

Context: hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)

Context: y : Y

Context: ty : y ∈ t

Context: hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)

∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

Context: x : X

Context: sx : x ∈ s

Context: hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)

Context: y : Y

Context: ty : y ∈ t

Context: hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

Context: x : X

Context: sx : x ∈ s

Context: hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)

Context: y : Y

Context: ty : y ∈ t

Context: hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)

↑f ≤ 𝓝 x ×ˢ 𝓝 y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1

Context: refl : motive n ⋯

Context: le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯

Context: h1 : n ≤ m

Context: h2 : n ≤ m + 1

leRec refl le_succ_of_le h2 = le_succ_of_le h1 (leRec refl le_succ_of_le h1)


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
H : Subsingleton R


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: H : Subsingleton R

Context: this : Module.rank R (PUnit.{u + 1} ⧸ ⊥) + Module.rank R ↥⊥ = Module.rank R PUnit.{u + 1}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
g : α

Quotient.out' ↑g = g * ↑⟨g⁻¹ * Quotient.out' ↑g, ⋯⟩


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this : SeparableSpace ↑s


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)

Context: Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))

Context: h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))

Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

(∀ a' < 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, a' < ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖) ∧ ∀ a' > 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < a'


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

∀ a' > 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < a'


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝ : SeparableSpace ↑s

Context: this : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

Context: k : ℕ

Context: hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝¹ : SeparableSpace ↑s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

Context: k : ℕ

Context: hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ

Context: this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝¹ : SeparableSpace ↑s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

Context: k : ℕ

Context: hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ

Context: I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝¹ : SeparableSpace ↑s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

Context: k : ℕ

Context: hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ

Context: J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: h' : StronglyMeasurable (X 0)

Context: s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}

Context: zero_s : 0 ∈ s

Context: this✝¹ : SeparableSpace ↑s

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: ω : Ω

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ + δ + δ < ε

Context: k : ℕ

Context: hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ

Context: n : ℕ

Context: hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ

Context: h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ

‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0