Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: hx : x ∈ e.source

Context: h2x : x ∈ (e.extend I).source

ContinuousWithinAt (fun x => f (↑e.symm x)) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑e.symm (↑I.symm x_1))))) (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x)) ↔ ContinuousWithinAt (fun x => f (↑e.symm x)) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑(e.extend I).symm x_1)))) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : HomotopyEquiv C D

(quotient V c).map f.hom ≫ (quotient V c).map f.inv = 𝟙 ((quotient V c).obj C)


(quotient V c).map (f.hom ≫ f.inv) = (quotient V c).map (𝟙 C)


(quotient V c).map f.inv ≫ (quotient V c).map f.hom = 𝟙 ((quotient V c).obj D)


(quotient V c).map (f.inv ≫ f.hom) = (quotient V c).map (𝟙 D)


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: f₁ f₂ : MvPolynomial σ K

Context: h : f₁.totalDegree + f₂.totalDegree < Fintype.card σ

Context: F : Bool → MvPolynomial σ K := fun b => bif b then f₂ else f₁

p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f₁ = 0 ∧ (eval x) f₂ = 0 }


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: f₁ f₂ : MvPolynomial σ K

Context: this : ∑ b : Bool, (F b).totalDegree < Fintype.card σ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
inst✝ : HasDerivedCategory C
a b : ℕ
α : Ext X Y a
β : Ext Y Z b
c : ℕ
h : a + b = c


Context:
c d : ℝ
hc : 1 ≤ c ^ 2
z : ℂ
hz : 0 < z.im

r ⟨z, hz⟩ ≤ Complex.abs (↑c * ↑⟨z, hz⟩ + ↑d)


Context: c d : ℝ

Context: hc : 1 ≤ c ^ 2

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.im

Context: H1 : z.im ≤ √((c * z.re + d) ^ 2 + (↑c * z).im ^ 2)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A

Algebra.adjoin R s = ((lift R) Subtype.val).range


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝¹ : Zero α

Context: inst✝ : Preorder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
a : α
l : List α

(a :: l).tails = (map reverse (a :: l).reverse.inits).reverse


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → σ →₀ ℕ
a : R

(monomial (∑ i ∈ s, f i)) a = C a * ∏ i ∈ s, (monomial (f i)) 1


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Invertible 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : β


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles


Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles ↔ Function.Surjective ⇑S.moduleCatToCycles


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c x a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: x : β

Context: f : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: x : β

Context: f : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology β

Context: inst✝ : OrderTopology β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α

eVariationOn (f ∘ ⇑ofDual) (⇑ofDual ⁻¹' s) = eVariationOn f s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α

diam {x, y, z} = max (max (dist x y) (dist x z)) (dist y z)


(max (max (edist x y) (edist x z)) (edist y z)).toReal = max (max (edist x y).toReal (edist x z).toReal) (edist y z).toReal


Context:
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V

(adjMatrix α G ^ 2) v w = (k • 1 + ℓ • adjMatrix α G + μ • adjMatrix α Gᶜ) v w


↑(Fintype.card { x // x.length = 2 }) = (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0


↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0


Context:
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V

↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v v)) = (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0


Context:
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n

Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Context: x✝ : ℕ

(∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ • g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, φ x✝ x • g x ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

range (mapIncl p q) = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)


Submodule.span R {t | ∃ m n, p.subtype m ⊗ₜ[R] q.subtype n = t} = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x


μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ
x : α

x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: E : Type u_8

Context: R : Type u_9

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α'

Context: inst✝⁴ : One β

Context: inst✝³ : One γ

Context: inst✝² : One δ

Context: g✝ : β → γ

Context: f✝ : α → β

Context: f₂ : α → γ

Context: m : β → γ → δ

Context: x✝ : α

Context: inst✝¹ : T2Space α'

Context: hf : HasCompactMulSupport f✝

Context: g : α → α'

Context: cont✝ : Continuous g

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: U : Set α'

Context: hU : IsOpen U

Context: f : ↑U → β

Context: cont : Continuous f

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: x : α'

Context: h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: E : Type u_8

Context: R : Type u_9

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α'

Context: inst✝⁴ : One β

Context: inst✝³ : One γ

Context: inst✝² : One δ

Context: g✝ : β → γ

Context: f✝ : α → β

Context: f₂ : α → γ

Context: m : β → γ → δ

Context: x✝ : α

Context: inst✝¹ : T2Space α'

Context: hf : HasCompactMulSupport f✝

Context: g : α → α'

Context: cont✝ : Continuous g

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: U : Set α'

Context: hU : IsOpen U

Context: f : ↑U → β

Context: cont : Continuous f

Context: supp : HasCompactMulSupport f

Context: x : α'


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H✝ H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f


Subgroup.map f H.normalizer ≤ (Subgroup.map f H).normalizer


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ

∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z✝ z : ℂ

z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

f x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₁)⁻¹ = f x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₂)⁻¹ ↔ f (x₁ * ↑y₂) = f (x₂ * ↑y₁)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s


∀ (n : ℕ), m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n → s ^ m ⊆ s ^ (n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : ¬1 < p


Context:
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2


Context:
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)


Context:
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
d : ℤ
u : ℤˣ
hu : d ^ 2 * ↑u = a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S

spanNorm R I * spanNorm R J ≤ spanNorm R (I * J)


span (⇑(Algebra.norm R) '' (↑I * ↑J)) ≤ span (⇑(Algebra.norm R) '' ↑(I * J))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S
x : S
hxI : x ∈ ↑I
y : S
hyJ : y ∈ ↑J


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R (ι → R)
A : Matrix ι ι R

b.toMatrix ⇑(Pi.basisFun R ι) * A = of fun i j => (b.repr (Aᵀ j)) i


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b : α
S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b → S a b
l : List α
p : Chain' R l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f

IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)


IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f '' univ)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α

Context: a b c : α

min a (b * c) = min a (min a b * min a c)


Context: α : Type u

Context: a b c : α

Context: hb : a ≤ b


Context: α : Type u

Context: a b c : α

Context: hb : b ≤ a


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* G'
g : G' →* G''
h : g.comp f = 1
y : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

EMetric.diam (⇑f '' s) = ↑(ratio f) * EMetric.diam s


↑(ratio f) * EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s)


EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s) / ↑(ratio f)


EMetric.diam s ≤ ↑(ratio f)⁻¹ * EMetric.diam (⇑f '' s)


Context:
n : ℕ
hn : Even n

closure (range fun x => x ^ n) = nonneg ℤ


Context:
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ


Context:
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n


x.natAbs • 1 ^ n ∈ closure (range fun x => x ^ n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0

Context: this : Nonempty ι

∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: s : Set ((i : ι) × G i)

Context: H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j

Context: hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s

Context: hx : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: s : Set ((i : ι) × G i)

Context: H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j

Context: hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: s : Set ((i : ι) × G i)

Context: H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j

Context: hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s

Context: hx : (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False

Context: a✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: x y : α

Context: hne : x ≠ y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: x y : α

Context: hne : x ≠ y

Context: z : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b ≤ a


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t

IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s.re


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d : ℝ

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d : ℝ

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : QuotientMap g
hf : QuotientMap f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
x✝ : ∃ b, f = single a b
b : M
hb : f = single a b


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
f : M →ₙ* N × P
x : M

(((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
a : ↥(toSubgroup A B u)

↑((toSubgroupEquiv φ (-u)) ((toSubgroupEquiv φ u) a)) = ↑a


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B 1)

↑((toSubgroupEquiv φ (-1)) ((toSubgroupEquiv φ 1) a)) = ↑a


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B (-1))

↑((toSubgroupEquiv φ (- -1)) ((toSubgroupEquiv φ (-1)) a)) = ↑a


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ

mellin (fun t => ↑t ^ a • f t) s = mellin f (s + a)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0

↑t ^ (s - 1) • (fun t => ↑t ^ a • f t) t = ↑t ^ (s + a - 1) • f t


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s


IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Ioi 0 ×ˢ ↑s)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → ↥(A (fι a))
l : List α

↑(l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => ↑(fA a)) l).prod


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Subgroup G
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s✝ t : Set α
s : Set (α ⊕ β)

Sum.inl '' (Sum.inl ⁻¹' s) ∪ Sum.inr '' (Sum.inr ⁻¹' s) = s


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
x : L

x ∈ ↑(lieSpan R L s) ↔ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → x ∈ K


x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → x ∈ K


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : DivisionSemiring β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ≥0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

Context: x : G i

(s.ι.app j) ((f i j h) x) = (s.ι.app i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

Context: x : G i

(s.ι.app j) ((f i j h) x) = ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i : ι

(directLimitCocone G f).ι.app i ≫ (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s = s.ι.app i


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i : ι

∀ (x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)), ((directLimitCocone G f).ι.app i ≫ (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s) x = (s.ι.app i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i : ι

Context: x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)

(DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯ ∘ₗ DirectLimit.of R ι G f i) x = (s.ι.app i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i : ι

Context: x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)

(DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) ((DirectLimit.of R ι G f i) x) = (s.ι.app i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt

Context: h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt

Context: this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt

∀ (x : ↑(directLimitCocone G f).pt), m x = ((fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt

Context: x : ↑(directLimitCocone G f).pt

m x = (DirectLimit.lift R ι G f (fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i) ⋯) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α

Continuous fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal


∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α

thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}


∃ C, ∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ C


∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α

dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2


|↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) - ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y)| ≤ 2


|↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x)| + |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y)| ≤ 2


↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) + ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 1 + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α

Context: x y : α

Context: key : ∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬f = 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬∀ (a : G), f a = 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0
this : k ∈ 𝓝 x


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R →+* R'

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)

lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' S')


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R →+* R'

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R

Context: x✝ : S


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R →+* R'

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R

Context: x✝ : S

Context: this : ((algebraMap R' S').comp i) r = (j.comp (algebraMap R S)) r


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R →+* R'

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: r : R

Context: x✝ : S

Context: this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set 𝕜

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set 𝕜

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : T2Space A

Context: s : Set 𝕜

Context: inst✝ : CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

(polynomialFunctions s).starClosure.topologicalClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Indep (⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n) (limsup s f) κ μα


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

∀ (i : α), Indep (⨆ n ∈ ns i, s n) (limsup s f) κ μα


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun i => ⨆ n ∈ ns i, s n


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂

(sumLift₂ f g a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f a₁ b₁).Nonempty) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (g a₂ b₂).Nonempty


Context:
n d a : Int
a0 : a ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝¹ : AddCommGroup Q

Context: inst✝ : Module R Q

Context: inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)

Context: X Y : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup X

Context: x✝² : AddCommGroup Y

Context: x✝¹ : Module R X

Context: x✝ : Module R Y

Context: f : X →ₗ[R] Y

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: g : X →ₗ[R] Q


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝¹ : AddCommGroup Q

Context: inst✝ : Module R Q

Context: X Y : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup X

Context: x✝² : AddCommGroup Y

Context: x✝¹ : Module R X

Context: x✝ : Module R Y

Context: f : X →ₗ[R] Y

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: g : X →ₗ[R] Q

Context: this : CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom f)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝¹ : AddCommGroup Q

Context: inst✝ : Module R Q

Context: X Y : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup X

Context: x✝² : AddCommGroup Y

Context: x✝¹ : Module R X

Context: x✝ : Module R Y

Context: f : X →ₗ[R] Y

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: l : ModuleCat.of R Y ⟶ ModuleCat.of R Q

∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ModuleCat.ofHom f) l) x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤


IsLocallySurjective J f ↔ ∀ (a : Cᵒᵖ) (x : (G ⋙ forget A).obj a), x ∈ (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A)))).obj a


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M


lift.{?u.585050, v} (Module.rank R ↥(LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) M R Subtype.val))) ≤ lift.{?u.585050, v} #↑s


lift.{v, max u v} (Module.rank R (↑s →₀ R)) ≤ lift.{max u v, v} #↑s


lift.{v, max u v} (lift.{u, v} #↑s) ≤ lift.{max u v, v} #↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : t ∈ 𝓝[s] x

HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : t ∈ 𝓝[s] x

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : X

↑(toPartialHomeomorph f h).symm (f x) = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : N →* G
x : N

x ∈ comap f H.normalizer → x ∈ (comap f H).normalizer


(∀ (h : G), h ∈ H ↔ f x * h * (f x)⁻¹ ∈ H) → ∀ (h : N), f h ∈ H ↔ f (x * h * x⁻¹) ∈ H


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N
r : R
hr : r - 1 ∈ I
hr' : ∀ n ∈ N, r • n = 0


Context: m n : ℕ

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂

dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
s : ↥S
m : M


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n m : ℕ
inst✝⁵ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R M
f : ℕ → A →ₗ[R] M
c : R
p : A[X]

∑ n ∈ p.support, (f n) ((c • p).coeff n) = (RingHom.id R) c • p.sum fun x x_1 => (f x) x_1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context:
X Y : SimplexCategory
x✝ : IsIsomorphic X Y
I : X ≅ Y

Fintype.card (Fin (X.len + 1)) = Fintype.card (Fin (Y.len + 1))


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.divX = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p = C (p.coeff 0)


Context: m n k : ℕ


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0

(-1) ^ (k + 1) * 2 ^ (2 * k - 1) * π ^ (2 * k) * ↑(bernoulli (2 * k)) / ↑(2 * k)! = (-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval 0 (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: this : 2 ^ (2 * k - 1) = 2 ^ (2 * k) / 2


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b c d : α

Context: inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝³ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝² : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : PosMulMono α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b c d : α

Context: inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝³ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝² : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : PosMulMono α

Context: a : α

Context: ha : 0 ≤ a


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b c d : α

Context: inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝³ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝² : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : PosMulMono α

Context: a : α

Context: ha : a ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝³ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝² : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : PosMulMono α

Context: a : α

Context: ha : a ≤ 0

Context: b : α

Context: hab : 0 = a + b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
s : Set X
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

f =O[l] g ↔ ∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi (a * 0)) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: h2 : ↑a ^ (s - 1) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U

(𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ U i}


(Filter.comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ U i}


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X

(s + 1).partialGamma X = s * s.partialGamma X - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: int_eval : ∫ (y : ℝ) in 0 ..X, -(↑(rexp (-y)) * ↑y ^ s) + ↑(rexp (-y)) * (s * ↑y ^ (s - 1)) = (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: int_eval : -∫ (y : ℝ) in 0 ..X, -(↑(rexp (-y)) * ↑y ^ s) + ↑(rexp (-y)) * (s * ↑y ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

(∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)

(∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

Context: t : ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) = s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X

(∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * 0 - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: X : ℝ

Context: hX : 0 ≤ X


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring K
inst✝³ : CommSemiring L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K ↥E1
inst✝ : Module.Finite K ↥E2


Module.Finite K ↥(Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val).range


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)


Context:
m✝ n a b c d m : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)

⇑f ⤳ ⇑g ↔ f ⤳ g


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
h : ⇑f ⤳ ⇑g


∀ (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set Y), IsOpen U → MapsTo (⇑g) K U → MapsTo (⇑f) K U


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t✝ : Set X

Context: x✝ : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: t : Set X

Context: ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)

Context: u : ℕ → X

Context: x : X

Context: hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t

Context: hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t✝ : Set X

Context: x✝ : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: t : Set X

Context: u : ℕ → X

Context: x : X

Context: hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t

Context: hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: s : Set X

Context: hsc : IsClosed s

Context: hst : Subtype.val ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' t


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t✝ : Set X

Context: x✝ : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: t : Set X

Context: u : ℕ → X

Context: x : X

Context: hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t

Context: hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: s : Set X

Context: hsc : IsClosed s

Context: hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t✝ : Set X

Context: x✝ : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: t : Set X

Context: u : ℕ → X

Context: x : X

Context: hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t

Context: hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: s : Set X

Context: hsc : IsClosed s


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t✝ : Set X

Context: x✝ : X

Context: inst✝ : SequentialSpace X

Context: t : Set X

Context: u : ℕ → X

Context: x : X

Context: hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t

Context: hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)

Context: s : Set X

Context: hsc : IsClosed s

Context: k : ℕ


Context:
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p

exponent G = p ↔ ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p


Context:
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hG : exponent G = p
g : G
hg : g ≠ 1


Context:
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f


∀ (l : ι' →₀ R), (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0 → l = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R v

Context: f : ι' → ι

Context: hf : Injective f

Context: l : ι' →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R v

Context: f : ι' → ι

Context: hf : Injective f

Context: l : ι' →₀ R

Context: h_map_domain : ∀ (x : ι'), (Finsupp.mapDomain f l) (f x) = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: h : LinearIndependent R v

Context: f : ι' → ι

Context: hf : Injective f

Context: l : ι' →₀ R

Context: x : ι'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ →. ℕ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t


Context: u v : ℂ


Context: u v : ℂ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = (-1)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in -1 * 0 + 1 ..-1 * 1 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)


Context: u v : ℂ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in -1 * 1 + 1 ..-1 * 0 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)


Context: u v : ℂ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, (-↑x + 1) ^ (u - 1) * ↑x ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)


Context: u v : ℂ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card

∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹ : Finite R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: t : Finset M

Context: h : finrank R M < t.card

Context: g : { x // x ∈ t } → R

Context: sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0

Context: z : { x // x ∈ t }

Context: nonzero : g z ≠ 0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹ : Finite R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: t : Finset M

Context: h : finrank R M < t.card

Context: g : { x // x ∈ t } → R

Context: z : { x // x ∈ t }

Context: nonzero : g z ≠ 0

∑ e ∈ t, Function.extend Subtype.val g 0 e • e = 0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹ : Finite R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: t : Finset M

Context: h : finrank R M < t.card

Context: g : { x // x ∈ t } → R

Context: z : { x // x ∈ t }

Context: nonzero : g z ≠ 0

∑ i : ↑↑t, Function.extend Subtype.val g 0 ↑i • ↑i = 0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹ : Finite R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: t : Finset M

Context: h : finrank R M < t.card

Context: g : { x // x ∈ t } → R

Context: z : { x // x ∈ t }

Context: nonzero : g z ≠ 0

Context: x✝ : ↑↑t

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

Function.extend Subtype.val g 0 ↑x✝ = g x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : 1 ≤ r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : r ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) ∩ 𝓕) = ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' A ∩ g • 𝓕)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: π_preA : Set G := QuotientGroup.mk ⁻¹' A

Context: this✝ : QuotientGroup.mk ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = (fun x => g * x) ⁻¹' π_preA

Context: this : ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕)

ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ g • 𝓕)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ • x) ⁻¹' 𝓕)


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α

(ωSup c₀) (ωSup c₁) = Prod.apply (ωSup (c₀.zip c₁))


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re

HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)


Integrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) (volume.restrict (Ioc 0 1)) ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s


IntervalIntegrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) volume 0 1 ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s


∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H (-α)

Context: y : M

Context: hy : y ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)

Context: hp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥

⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G

η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op


((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: Y : Scheme

Context: f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y

Context: hf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x = pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y

Context: x : 𝒰.J


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: Y : Scheme

Context: f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y

Context: x : 𝒰.J

𝒰.gluedCover.ι x ≫ 𝒰.fromGlued ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
x y : Holor α (d :: ds)
h : x.slice = y.slice
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
hiis : ↑t = i :: is

Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
i : Fin l.length


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: ps : Set P

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: hd : finrank ℝ V = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: S : Set α

Context: hS : IsPreconnected S

Context: T : Set β

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↑T

Context: f : α → β

Context: hc : ContinuousOn f S

Context: hTm : MapsTo f S T

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S

Context: F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: S : Set α

Context: hS : IsPreconnected S

Context: T : Set β

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↑T

Context: f : α → β

Context: hc : ContinuousOn f S

Context: hTm : MapsTo f S T

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f✝ : β → α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
rs₁ rs₂ : List R

IsWeaklyRegular M (rs₁ ++ rs₂) ↔ IsWeaklyRegular M rs₁ ∧ IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₁ • ⊤) rs₂


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: X : Augmented C

Context: F : Arrow C

Context: G : X ⟶ F.augmentedCechNerve

(𝟭 C).map (G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ WidePullback.π (fun x => F.hom) 0) ≫ F.hom = (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ (𝟭 C).map G.right


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X : Augmented C

Context: F : Arrow C

Context: G : X ⟶ F.augmentedCechNerve

Context: this : (𝟭 (SimplicialObject C)).map G.left ≫ F.augmentedCechNerve.hom = X.hom ≫ (const C).map G.right


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α

(⋃ i, s i).Nonempty ↔ ∃ i, (s i).Nonempty


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E

Context: h₁ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W D

Context: h₂ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W W.Localization

W.Q ⋙ 𝟭 W.Localization = W.Q ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ ⋙ h₂.lift W.Q ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E

L ⋙ h₂.lift W.Q ⋯ ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ = L ⋙ 𝟭 D


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

(shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (-n)).obj X)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n

b.equivFun.symm ((stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n
val✝ : Fintype n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
hm : m ≤ n
x✝ : M

x✝ ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ⇑h) s x✝ ↔ h.toEquiv x✝ ∈ ⇑h.symm ⁻¹' s → ContMDiffWithinAt J I' m f (⇑h.symm ⁻¹' s) (h.toEquiv x✝)


Context: q a b c : ℚ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: hs : ∀ (s : Set X), closure (f '' s) ⊆ f '' closure s

Context: c : Set X

Context: hc : IsClosed c


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : StrictConvex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : StrictConvex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

(∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs : StrictConvex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent

(CotangentSpace.map f ∘ₗ P.cotangentComplex) x = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ Cotangent.map f) x


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id x_1) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

Context: this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

x + ↑r ≠ ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

x + ↑r ≠ ↑m / ↑n + ↑r ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

C / ↑n ^ p = ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r✝ : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: r : ℚ

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

Context: this✝ : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r

Context: this : ↑r.den ^ p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. β
g : α → β → σ
hf : Partrec f
hg : Computable₂ g


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β

map₂ m f g = map₂ (fun a b => m b a) g f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α

mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : b ≤ a


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))


imageSieve (f₁ ≫ f₂) x ≤ imageSieve f₂ x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : (imageSieve (f₁ ≫ f₂) x).arrows g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R

(eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) q) = f ((eval r) q)


(eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) 0) = f ((eval r) 0)


∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) f_1) = f ((eval r) f_1) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) g) = f ((eval r) g) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) (f_1 + g)) = f ((eval r) (f_1 + g))


∀ (a : ℕ) (b : M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) ((single R a) b)) = f ((eval r) ((single R a) b))


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤