Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z < ε + δ

Context: y : E

Context: hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z < ε + δ

Context: y : E

dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y✝ z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : dist x z / (ε + δ) < 1

Context: y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
hf : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

fderivWithin 𝕜 (fun y => f y + c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x


¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : Computation α

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: ha : (fun b => some a = b) ((↑s).get m)

Context: n : ℕ

Context: hb : (fun b_1 => some b = b_1) ((↑s).get n)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

(∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ (pi Q) x) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x


Context:
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j


Context:
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : β → γ
hg : Monotone g
this : Monotone (map m ∘ g)
s : Set γ

s ∈ map m (f.lift g) ↔ s ∈ f.lift (map m ∘ g)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x

HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x

Context: h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g

IsBigOWith (Nat.casesOn 0 ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
n : ℕ

IsBigOWith (Nat.casesOn (n + 2) ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ (n + 2)) fun x => g x ^ (n + 2)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F

integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d : D


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

𝟙 (φ.obj c) ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c) (φ.obj c)


Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (𝟙 (φ.obj c))


Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : δ ∈ (map φ hφ S).arrows d d

Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Groupoid D

Context: φ : C ⥤ D

Context: hφ : Function.Injective φ.obj

Context: hφ' : im φ hφ = ⊤

Context: Sn : S.IsNormal

Context: d d' : D

Context: g : d ⟶ d'

Context: δ : d ⟶ d

Context: hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c

Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : d' ∈ (im φ hφ).objs


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Groupoid D

Context: φ : C ⥤ D

Context: hφ : Function.Injective φ.obj

Context: hφ' : im φ hφ = ⊤

Context: Sn : S.IsNormal

Context: c : C

Context: γ : c ⟶ c

Context: γS : γ ∈ S.arrows c c

Context: cd' : φ.obj c = φ.obj c

Context: c' : C

Context: g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'

Context: this : g ∈ (im φ hφ).arrows (φ.obj c) (φ.obj c')

Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Groupoid D

Context: φ : C ⥤ D

Context: hφ : Function.Injective φ.obj

Context: hφ' : im φ hφ = ⊤

Context: Sn : S.IsNormal

Context: c : C

Context: γ : c ⟶ c

Context: γS : γ ∈ S.arrows c c

Context: cd' : φ.obj c = φ.obj c

Context: c' : C

Context: g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'

Context: this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'

Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (Groupoid.inv (eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb') ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb')


Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f)


Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (φ.map (Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f))


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α

typein (fun x x_1 => x < x_1) x ≤ typein (fun x x_1 => x < x_1) x' ↔ x ≤ x'


Context:
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
h : q ≤ p


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : DecidableEq L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : ↥(Ideal R)⁰

(canonicalEquiv R⁰ K K') ↑((mk0 K) I) = ↑((mk0 K') I)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J

Context: xJ : x ∈ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J

Context: xJ : x ∈ J

Context: left✝ : 1 ∉ I

Context: oJ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J

Context: xJ : x ∈ J

Context: left✝ : 1 ∉ I

Context: oJ : 1 ∈ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J

Context: xJ : x ∈ J

Context: left✝ : 1 ∉ I

Context: oJ : 1 ∈ J

Context: a b : α

Context: h : b ∈ Submodule.span α ↑I

Context: oe : 1 = a • x + b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I✝ I : Ideal α

Context: H : I.IsMaximal

Context: x y : α

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hx : x ∉ I

Context: IJ : I ≤ J

Context: xJ : x ∈ J

Context: left✝ : 1 ∉ I

Context: oJ : 1 ∈ J

Context: a b : α

Context: h : b ∈ Submodule.span α ↑I

Context: oe : 1 = a • x + b

Context: F : y * 1 = y * (a • x + b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

∃ i', (i' ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id s


(convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s) ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))


Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))


Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)

π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I

π ⊓ splitMany I ∅ = π.biUnion fun J => splitMany J ∅


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: I : Box ι

Context: π : Prepartition I

Context: p : ι × ℝ

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: a✝ : p ∉ s

Context: ihp : π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s

π ⊓ splitMany I (insert p s) = π.biUnion fun J => splitMany J (insert p s)


Context:
α : Type u_1
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ

Chain r ↑(range n.succ) ↔ r n 0 ∧ ∀ m < n, r m m.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G

ContDiffOn 𝕜 n (⇑e ∘ f) s ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : (↑p)⁻¹ < 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)
dz : (map φ f).degree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hf : IsUnit f.leadingCoeff
H : IsUnit (map φ f)
dz : f.degree = 0


Context: c : Cardinal.{u}


Context:
x : ℝ
hl : -π ≤ x
hr : x ≤ π


Context:
x : ℝ
hl : -π ≤ x
hr : x ≤ π
this : 0 ≤ cos (x / 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A B : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: hBA : B ⊆ A

Context: w : E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

Context: hCB : {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ⊆ B

Context: hw : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

∃ l_1, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} = {x | x ∈ B ∧ ∀ y ∈ B, l_1 y ≤ l_1 x}


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f


Context:
b u w v : Ordinal.{u_1}
hw : w < b ^ u


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₃ p₄


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SOppSide p₃ p₄
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

(ascPochhammer S (n + 1)).comp (X + 1) = ascPochhammer S (n + 1) + (n + 1) • (ascPochhammer S n).comp (X + 1)


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + 1)).comp (X + 1) = ascPochhammer ℕ (n + 1) + (↑n + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + 1)).comp (X + 1) = X * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1) + (↑n + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

(↑n + X + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1) = (X + (↑n + 1)) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y

z ∈ Ioo x y ↔ ∃ a b, 0 < a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℕ


a ^ (↑m * Int.negSucc n) = (a ^ ↑m) ^ Int.negSucc n


a ^ (Int.negSucc m * ↑n) = (a ^ Int.negSucc m) ^ ↑n


a ^ (Int.negSucc m * Int.negSucc n) = (a ^ Int.negSucc m) ^ Int.negSucc n


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: h : f.totalDegree < Fintype.card σ

Context: F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f

Context: this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ

p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: f : MvPolynomial σ K

Context: h : f.totalDegree < Fintype.card σ

Context: x✝ : σ → K

(eval x✝) f = 0 ↔ ∀ i ∈ univ, (eval x✝) (F i) = 0


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.14347

Context: D : Type u_6

Context: D' : Type ?u.14353

Context: H : Type u_3

Context: H' : Type ?u.14359

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.14367, ?u.14347} C'

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_6} D

Context: inst✝³ : Category.{?u.14375, ?u.14353} D'

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_3} H

Context: inst✝¹ : Category.{?u.14383, ?u.14359} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e✝ : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α'✝ : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: α' : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: e : RF ≅ RF'

Context: comm : α ≫ whiskerLeft L e.hom = α'

RF.IsRightDerivedFunctor α W ↔ RF'.IsRightDerivedFunctor α' W


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.14347

Context: D : Type u_6

Context: D' : Type ?u.14353

Context: H : Type u_3

Context: H' : Type ?u.14359

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_6} D

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_3} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e✝ : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α'✝ : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: α' : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: e : RF ≅ RF'

Context: comm : α ≫ whiskerLeft L e.hom = α'

RF.IsLeftKanExtension α ↔ RF'.IsLeftKanExtension α'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Nontrivial α
x y : α
hne : x ≠ y


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

dblY (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblY P)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ

finRotate (2 * n + 1) ∈ alternatingGroup (Fin (2 * n + 1))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f✝ : ι → α
a : α
f : ι → α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hst : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ

∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in t, f x ∂μ


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hcf : ContinuousOn f (Ioc a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ioc a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : f b = 0

Context: hgb : g b = 0

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] b) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hcf : ContinuousOn f (Ioc a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ioc a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfb : f b = 0

Context: hgb : g b = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: fab : eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) ≠ 0

1 ≤ ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: hF : (algebraMap ℤ K) ev = (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: Fa : |(algebraMap ℤ K) ev| = |(algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree * eval ((algebraMap ℤ K) a * bi) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: Fa : |↑ev| = |↑b ^ f.natDegree| * |eval ((algebraMap ℤ K) a * (1 / ↑b)) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: Fa : |↑ev| = ↑b ^ f.natDegree * |eval (↑a * (↑b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: F0 : ev = 0

eval (↑a / ↑b) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: f : ℤ[X]

Context: a b : ℤ

Context: b0 : 0 < b

Context: ev : ℤ

Context: bi : K

Context: bu : bi * (algebraMap ℤ K) b = 1

Context: hF : (algebraMap ℤ K) b ^ f.natDegree = 0 ∨ eval ((algebraMap ℤ K) a * ((algebraMap ℤ K) b)⁻¹) (Polynomial.map (algebraMap ℤ K) f) = 0

Context: F0 : ev = 0


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α


x ∉ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝² : DecidableRel r

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : IsRefl α r

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: h : x ∈ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α
h : (decide ¬r x x) = true


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
α : K

house α = ↑(univ.sup' ⋯ fun φ => ‖φ α‖₊)


Context:
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n

IsRightRegular (a ^ n) ↔ IsRightRegular a


IsRightRegular (a ^ n) → IsRightRegular a


IsRightRegular (a * a ^ n.pred) → IsRightRegular a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hab : b ≤ a

Context: hcb : c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hab : b ≤ a

Context: hcb : c ≤ b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : K ⟶ L

quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : K ⟶ L

Context: eq : ∀ (i : ι), IsIso ((quotient C c ⋙ homologyFunctor C c i).map f) ↔ IsIso ((HomologicalComplex.homologyFunctor C c i).map f)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : K ⟶ L

Context: eq : ∀ (i : ι), IsIso ((homologyFunctor C c i).map ((quotient C c).map f)) ↔ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap f i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

preNormEDS' b c d (2 * (m + 2) + 1) = (preNormEDS' b c d (m + 4) * preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b


((preNormEDS' b c d (2 * m / 2 + 4) * preNormEDS' b c d (2 * m / 2 + 2) ^ 3 * if Even (2 * m / 2) then b else 1) - preNormEDS' b c d (2 * m / 2 + 1) * preNormEDS' b c d (2 * m / 2 + 3) ^ 3 * if Even (2 * m / 2) then 1 else b) = (preNormEDS' b c d (m + 4) * preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: q : Products I

Context: hq : q < (↑l).Tail

Context: this : Inhabited I

List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑q)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: q : Products I

Context: hq : q < (↑l).Tail

Context: this : Inhabited I

List.Pairwise (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑q)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: q : Products I

Context: hq : q < (↑l).Tail

Context: this : Inhabited I

(∀ a' ∈ ↑q, a' < term I ho) ∧ List.Pairwise (fun x x_1 => x_1 < x) ↑q


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: q : Products I

Context: hq : q < (↑l).Tail

Context: this : Inhabited I

Context: a : I

Context: ha : a ∈ ↑q


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x : ↥⊥


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

multiplicity (↑p) (∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - 1 - i)) = 1


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

multiplicity (↑p) (∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)) = 1


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

↑p ^ 1 ∣ ∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

¬↑p ^ (1 + 1) ∣ ∑ i ∈ range p, x ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ y


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hx : ¬↑p ∣ y

Context: k : R

Context: hk : x - y = ↑p * k


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hx : ¬↑p ∣ y

Context: k : R

Context: hk : x - y = ↑p * k

¬↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (y + ↑p * k) ^ i * y ^ (p - ↑1 - i)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α

Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto (Rat.cast ∘ f) l atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α

u ∈ Icc s t ↔ u ∈ image (fun x => s ∪ x) (t \ s).powerset


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

Context: w₁ : InfinitePlace K

∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

∃ n m, n < m ∧ Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} = Ideal.span {↑(seq K w₁ hB m)}


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: n : ℕ

Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} ∈ {I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B✝ : ℕ

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

{I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}.Finite


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B


((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (curry ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B


((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app A) ≫ prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv) = prodComparison (reflector i) A B


prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) = (reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).hom


prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) = (reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)


prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.fst = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.fst


prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.snd = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.snd


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M

LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f) ↔ LeftInverse ⇑g ⇑f


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f)
x : M


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
M✝ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : Semiring S
R : Type u_7
inst✝² : CommSemiring R
r : R
rs : List R
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M

ofList (r :: rs) • N = r • N ⊔ ofList rs • N


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Inducing ⇑f


Context:
α : Type u_1
f : Nat
n : List α
l : α


Context: k m n : ℕ+

m.Coprime k → n.Coprime k → (m * n).Coprime k


Context: k m n : ℕ+

(↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑(m * n)).Coprime ↑k


Context: k m n : ℕ+

(↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑m * ↑n).Coprime ↑k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∉ t


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
ι : Sort u_3
f : ι → RingCon R


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x c : G
H : x ∈ conjugatesOfSet s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x c : G
H : x ∈ conjugatesOfSet s
a : G
h₁ : a ∈ s
h₂ : IsConj a x


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4


Context: L : Language

Context: ι✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : Preorder ι✝

Context: G✝ : ι✝ → Type w

Context: inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)

Context: f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j

Context: inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)

Context: inst✝⁹ : Nonempty ι✝

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁸ : L.Structure P

Context: g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x

Context: G' : ι✝ → Type w'

Context: inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)

Context: f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j

Context: g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i

Context: H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)

Context: inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: h : ∀ (i : ι), CG L (G i)

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)


Context: L : Language

Context: ι✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : Preorder ι✝

Context: G✝ : ι✝ → Type w

Context: inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)

Context: inst✝⁹ : Nonempty ι✝

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁸ : L.Structure P

Context: g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P

Context: G' : ι✝ → Type w'

Context: inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)

Context: g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: h : ∀ (i : ι), CG L (G i)

(⋃ i, ⇑(of L ι G f i) '' Classical.choose ⋯).Countable


Context: L : Language

Context: ι✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : Preorder ι✝

Context: G✝ : ι✝ → Type w

Context: inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)

Context: inst✝⁹ : Nonempty ι✝

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁸ : L.Structure P

Context: g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P

Context: G' : ι✝ → Type w'

Context: inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)

Context: g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: h : ∀ (i : ι), CG L (G i)

(Substructure.closure L).toFun (⋃ i, ⇑(of L ι G f i) '' Classical.choose ⋯) = ⊤


Context: α : Sort u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: motive : α → Sort u_2

Context: intro : (x : α) → (∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → r y x → motive y) → motive x

Context: a : α

Context: t : Acc r a


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

0 ≤ if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)


Context:
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E

inner_ 𝕜 (↑n • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑n * inner_ 𝕜 x y


inner_ 𝕜 (↑(n.sign * ↑n.natAbs) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(n.sign * ↑n.natAbs) * inner_ 𝕜 x y


inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : n < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E

inner_ 𝕜 (↑(Int.sign 0) • ↑(Int.natAbs 0) • x) y = ↑(Int.sign 0) * ↑(Int.natAbs 0) * inner_ 𝕜 x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂0 ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero α
p u : α
h₁ : p * u ≠ 0


Context: a b : PartENat


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ¬↑M * ↑n = ↑m
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

Function.Injective ⇑(quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯)


comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) = P


P ⊔ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ = P


comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥

Context: n : ℕ

(Quotient.mk (comap C P)) (p.coeff n) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

eval₂ (RingHom.id R) (x + y) f = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)


(f.sum fun e a => (RingHom.id R) a * (x + y) ^ e) = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
n : ℕ
z : R

(RingHom.id R) z * (x + y) ^ n = z * (x ^ n + ↑n * x ^ (n - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y n z) * y ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ

card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: h2 : card (Fin (n + 2)) = card (Option (Fin (n + 1)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β

(f '' s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)


(range fun x => f ↑x).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C

let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

Context: this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ⊆ C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

EMetric.diam (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)

Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝[>] a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderTopology α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


(if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y

kernel.lift (cokernel.π f) f ⋯ ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 = (cokernel.π (kernel.ι f) ≫ coimageImageComparison f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
g : t2Quotient X → Y
hfg : g ∘ mk = f


∀ (x : X), (g ∘ mk) x = (lift hf ∘ mk) x


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hst : Disjoint s t

Context: x : (i : δ) → π i

Context: e : ((i : { x // x ∈ s }) → π ↑i) × ((i : { x // x ∈ t }) → π ↑i) ≃ᵐ ((i : { x // x ∈ s ∪ t }) → π ↑i) := MeasurableEquiv.piFinsetUnion π hst

(∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ∂μ) x


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2
x : R


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d

IsRat (↑(Int.negOfNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.negOfNat d) n.succ


IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n✝ d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
n : ℕ
this : Invertible ↑n

IsRat (↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n


(↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ = ↑(-Int.ofNat d) * ⅟↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E

x ∈ adjoin F {α} ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s


(∃ a a_1, (aeval α) a / (aeval α) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : MapsTo f s t
hy : y = f x

HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
m : M


MulOpposite.op (inr m).fst • (inr m).snd = (inr m).fst • (inr m).snd


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : p.IsMaximal

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p

Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) = Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P) + Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1)))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : p.IsMaximal

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) = Module.rank (R ⧸ p) (↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)) + Module.rank (R ⧸ p) ↥(LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)

Context: ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)

∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: this : ∃ U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁

Context: y₁ : δ

Context: y₁_in : y₁ ∈ V₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁

Context: y₁ : δ

Context: y₁_in : y₁ ∈ V₁

Context: cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁

Context: y₁ : δ

Context: y₁_in : y₁ ∈ V₁

Context: U₂ : Set β

Context: U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁

Context: y₁ : δ

Context: y₁_in : y₁ ∈ V₁

Context: U₂ : Set β

Context: U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₂ : Set δ

Context: V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₀ : γ

Context: W : Set G

Context: W_nhd : W ∈ 𝓝 0

Context: U₁ : Set β

Context: U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₁ : Set δ

Context: V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

Context: x₁ : β

Context: x₁_in : x₁ ∈ U₁

Context: y₁ : δ

Context: y₁_in : y₁ ∈ V₁

Context: U₂ : Set β

Context: U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)

Context: V₂ : Set δ

Context: V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)

∀ x ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ x' ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ y ∈ V₁ ∩ V₂, ∀ y' ∈ V₁ ∩ V₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : NonAssocSemiring α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : NonAssocSemiring β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : NonAssocSemiring γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : NonAssocSemiring δ
inst✝ : Preorder δ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NontriviallyNormedField α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α


‖{ toLinearMap := (LinearMap.toMatrix' ↑f).mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊ = ‖f‖₊


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
x✝ : b ∣ a
c : R
e : a = b * c


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R

A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range A))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Context: hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2 = (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Context: this✝ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0

Context: hne : ¬h = 0

Context: this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0

Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Context: this✝¹ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0

Context: hne : ¬h = 0

Context: this✝ : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0

Context: this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ha : a ≠ 0


Context: θ : ℝ

cos θ ≠ 0 → (tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * π = θ)


Context:
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n


Context: n : ℕ

Context: n_large : 512 ≤ n

Context: no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n


Context: n : ℕ

Context: n_large : 512 ≤ n

Context: H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n


Context: n : ℕ

Context: n_large : 512 ≤ n

Context: H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom


Context: n : ℕ

Context: n_large : 512 ≤ n

Context: H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom

Context: H3 : n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 512 ≤ n

Context: H1 : n * ((2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)) ≤ 4 ^ n

Context: H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f' x‖ ≤ (C + ε) * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: y : E

Context: hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖

Context: hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + y - x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasFDerivAt f f' x₀

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: y : E

Context: hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖y‖


Context:
x✝ y x : ℝ
h : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
k : ℕ+
q : ℕ
x✝ : ¬(0 = 0 ∧ q + 1 = 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ : E × F → G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E
y : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p x : α
hx : ¬IsUnit x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: x✝ : E

Context: ι : Sort u_5

Context: s : ι → Set E

Context: hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⋃ i, s i

Context: y : E

Context: hy : y ∈ ⋃ i, s i

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: x✝ : E

Context: ι : Sort u_5

Context: s : ι → Set E

Context: hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)

Context: x : E

Context: hx : ∃ i, x ∈ s i

Context: y : E

Context: hy : ∃ i, y ∈ s i

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0

∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q✝ : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : weightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
this : T ≤ S ⊔ T


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : IsCentralScalar R M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup M
inst✝⁴ : ContinuousSMul R M
inst✝³ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : T2Space R
inst✝¹ : T2Space M
x : tsze R M
inst✝ : Invertible x.fst


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

M.LinearDisjoint N ↔ (equivOpposite.symm (MulOpposite.op N)).LinearDisjoint (equivOpposite.symm (MulOpposite.op M))


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f₁ f₂ : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

(((mk R M N).compr₂ (map (f₁ + f₂) g)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (map f₁ g + map f₂ g)) x✝¹) x✝


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
σ : Perm α
m n : ℤ
x : α


Context:
R✝ : Type u
K : Type u'
M✝ : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι✝ : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R✝ M₃
φ : ι✝ → Type i
inst✝⁶ : (i : ι✝) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module R✝ (φ i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommRing R
M : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
x : (i : ι) → M i


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J
h : j ≠ j'


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hi : Disjoint x z
hs : x ⊔ z = y
h : y ⊓ x = x


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
f : M →* N × P
x : M

(((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝ : ↑(P.obj X)

(P.map (f ≫ g)) x✝ = ((P.map g).comp (P.map f)) x✝


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
g : G
n : ℕ

g • (prodXSubSMul G R x).coeff n = (prodXSubSMul G R x).coeff n


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((μ.withDensity f).restrict s) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V

(fromEdgeSet (s ∩ t)).Adj v w ↔ (fromEdgeSet s ⊓ fromEdgeSet t).Adj v w


(s(v, w) ∈ s ∧ s(v, w) ∈ t) ∧ ¬v = w ↔ (s(v, w) ∈ s ∧ ¬v = w) ∧ s(v, w) ∈ t ∧ ¬v = w


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context: f✝ f : Bool → Bool → Bool

Context: h : autoParam (f false false = false) _auto✝

Context: a : Bool

Context: m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

(if bit a m = 0 then if f false true = true then bit b n else 0 else if bit b n = 0 then if f true false = true then bit a m else 0 else let n' := bit a m / 2; let m' := bit b n / 2; let b₁ := bit a m % 2 = 1; let b₂ := bit b n % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f a b) (bitwise f m n)


Context: f✝ f : Bool → Bool → Bool

Context: a : Bool

Context: m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

(if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n


Context: f✝ f : Bool → Bool → Bool

Context: a : Bool

Context: m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1


Context: f✝ f : Bool → Bool → Bool

Context: a : Bool

Context: m : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1

Context: h4 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) / 2 = x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: g : Y → Z

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source

Context: x : X

Context: hx✝ : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: hx : x ∈ e.source

Context: he : Set.EqOn f (↑e) e.source


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)

Context: hfa : Antitone f

Context: k : ℕ

∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i ≤ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: k : ℕ

Context: hm : Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i


Context:
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d


Context:
x : ℝ
h : cos x = 0


Context:
x : ℝ
h : cos x = 0
this : ¬DifferentiableAt ℝ tan x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f

MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

Context: h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

Context: h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

Context: h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

{a | IsRatStieltjesPoint f a} = {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

Context: a : α

a ∈ {a | IsRatStieltjesPoint f a} ↔ a ∈ {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}