Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : zeta n K L ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = zeta n K L ^ (↑x).val


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L

Context: hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n

Context: h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen

Context: key : ↑↑hζ.toRootsOfUnity ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ↑↑hζ.toRootsOfUnity ^ (↑x).val

Context: this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen

(IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : ↑↑(hζ.toRootsOfUnity ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val) = ↑↑(hζ.toRootsOfUnity ^ (↑x).val)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : hζ.toRootsOfUnity ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = hζ.toRootsOfUnity ^ (↑x).val


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : ↑(↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ↑(↑x).val


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : ↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h)) = ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (↑m / x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℤ

((coeHom K).comp (map ↑(algebraMap (𝓞 K) K))) (x ^ n) = (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field E
inst✝⁹ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁸ : Field K✝
inst✝⁷ : Algebra F K✝
inst✝⁶ : Algebra E K✝
inst✝⁵ : IsScalarTower F E K✝
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

sepDegree F E * sepDegree E K = sepDegree F K


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A

LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap C L)) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((traceForm K L).dualBasis ⋯ b))


Set.range ⇑b ⊆ ↑((traceForm K L).flip.dualSubmodule (LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap C L))))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C

((traceForm K L).flip (b i)) ((↑A (Algebra.linearMap C L)) y) ∈ 1


(trace K L) ((algebraMap C L) y * b i) ∈ 1


IsIntegral A ((trace K L) ((algebraMap C L) y * b i))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x : N


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε

Context: s : (p : GHSpace) → Set p.Rep

Context: N : GHSpace → ℕ

Context: hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n

Context: E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)

Context: hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)

Context: M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε

Context: s : (p : GHSpace) → Set p.Rep

Context: N : GHSpace → ℕ

Context: hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n

Context: E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)

Context: M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊

Context: F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε

Context: s : (p : GHSpace) → Set p.Rep

Context: N : GHSpace → ℕ

Context: hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n

Context: E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)

Context: M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊

Context: p : GHSpace

Context: pt : p ∈ t

Context: q : GHSpace

Context: qt : q ∈ t

Context: hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε

Context: s : (p : GHSpace) → Set p.Rep

Context: N : GHSpace → ℕ

Context: hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n

Context: E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)

Context: M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊

Context: p : GHSpace

Context: pt : p ∈ t

Context: q : GHSpace

Context: qt : q ∈ t

Context: Npq : N p = N q


Context: t : Set GHSpace

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: K : ℕ → ℕ

Context: ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: ε : ℝ := 1 / 5 * δ

Context: εpos : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε

Context: u_le_ε : u n ≤ ε

Context: s : (p : GHSpace) → Set p.Rep

Context: N : GHSpace → ℕ

Context: hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n

Context: E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)

Context: M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊

Context: p : GHSpace

Context: pt : p ∈ t

Context: q : GHSpace

Context: qt : q ∈ t

Context: Npq : N p = N q

Context: Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))

Context: Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x => ↑(Ψ x)

Context: main : ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

‖f‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


(∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

Context: h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

(∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

∑ a ∈ (toSimpleFunc f).range, (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

∀ a ∈ (toSimpleFunc f).range, ↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + z * y) y


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y


Context: a : ℂ


Context: a : ℂ

↑Complex.polarCoord a = (√(a.re ^ 2 + a.im ^ 2), a.arg)


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
σ : ι → Type u_12
s : Set (Sigma σ)
x : (i : ι) × σ i

x ∈ ⋃ i, Sigma.mk i '' (Sigma.mk i ⁻¹' s) ↔ x ∈ s


(∃ i x_1, ⟨i, x_1⟩ ∈ s ∧ ⟨i, x_1⟩ = x) ↔ x ∈ s


(bif true then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = Num.pos 1


Context: p : PosNum


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s

(AffineIndependent k fun p => ↑p) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v


(LinearIndependent k fun i => ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : M

Context: hn : 0 < n✝

Context: h : x < 1

Context: n : ℕ

Context: x✝ : Nat.succ 0 ≤ n

Context: ih : x ^ n < 1


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: n✝ : ℕ

Context: x : M

Context: hn : 0 < n✝

Context: h : x < 1

Context: n : ℕ

Context: x✝ : Nat.succ 0 ≤ n

Context: ih : x ^ n < 1


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : Y.Opens
W : X.Opens
e₁ : V ≤ g ⁻¹ᵁ U
e₂ : W ≤ f ⁻¹ᵁ V

(Hom.app g U ≫ Y.presheaf.map (homOfLE e₁).op) ≫ Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (homOfLE e₂).op = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (homOfLE e₁).op.unop).op ≫ (homOfLE e₂).op) = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (r • f))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (r • baseChange A f)) 1) x✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A✝ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝

Context: inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e

Context: inst✝³ : HasSheafify K A✝

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝ : K.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A✝ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝

Context: inst✝³ : HasSheafify K A✝

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝ : K.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

Context: hP' : Presheaf.IsSheaf K (e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A✝ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝

Context: inst✝³ : HasSheafify K A✝

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝ : K.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

Context: hP' : Presheaf.IsSheaf J (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
ha : ⊥ ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
ha' : a ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, u (k + 1) ≤ c * u k


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ

posFittingCompOf R M x ≤ lowerCentralSeries R L M k


∀ (m : M) (l : ℕ), ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: l : ℕ

Context: ih : ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l

((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) m ∈ lowerCentralSeries R L M (l + 1)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: l : ℕ

((toEnd R L M) x) (((toEnd R L M) x ^ l) m) ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M l⁆


Context:
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a = b
H : a' - b' - (a - b) = 0


Context:
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a - b = 0
H : a' - b' - (a - b) = 0


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑j < ↑k


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x : M ⊗[R] N


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0


Context:
k : ℤ
b : ℝ
hb : 0 < b

(fun x => x ^ k) =o[atTop] fun x => rexp (b * x)


Context:
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l✝
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
a b : n

(stdBasisMatrix i j c * stdBasisMatrix k l d) a b = 0 a b


(∑ x : n, (if i = a ∧ j = x then c else 0) * if k = x ∧ l = b then d else 0) = 0 a b


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f : MulRingNorm R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n

Context: hd : Summable d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n

Context: hd : Summable fun i => ↑(d i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hd : Summable fun i => ↑(d i)

∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hd : Summable fun i => ↑(d i)


Context:
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f


Context:
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
t1 : asHom g₁ = asHom g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤

IntegrableOn f (Ici b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioi b) μ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), a * x = z ↔ a = y


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Red (invRev L₁) (invRev L₂)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S

IsLocalization.mk' T r s • mk m s' = mk (r • m) (s * s')


∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: r : R

Context: m : M

Context: s s' c : ↥S

Context: hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: r : R

Context: m : M

Context: s s' c : ↥S

c • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = c • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: p q r : Associates M

Context: hp : Prime p

Context: hr : r ∣ q

Context: hp' : p ∣ r

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q r : Associates M

Context: hr : r ∣ q

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: i : Fin (n + 1 + 1)

Context: hp : Prime (c i)

Context: hp' : c i ∣ r


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q r : Associates M

Context: hr : r ∣ q

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: i : Fin (n + 1 + 1)

Context: hp : Prime (c i)

Context: hp' : c i ∣ r

Context: hi : 1 < i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q r : Associates M

Context: hr : r ∣ q

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: hp : Prime (c 0)

Context: hp' : c 0 ∣ r

Context: hi : 1 < 0


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q r : Associates M

Context: hr : r ∣ q

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: j : Fin (n + 1)

Context: hp : Prime (c j.succ)

Context: hp' : c j.succ ∣ r

Context: hi : 1 < j.succ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| = 2 * s.radius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

commutator G = Subgroup.closure (commutatorSet G)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
c : E


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
H : ¬c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: j : Fin n

Context: i : Fin c.length := c.index j

Context: H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i

Context: i_pos : 0 < ↑i

Context: i₁ : ℕ := (↑i).pred

Context: i₁_lt_i : i₁ < ↑i

Context: i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i

Context: this : ¬(↑j < c.sizeUpTo (i₁ + 1) ∧ i₁ < c.length)


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : c.sizeUpTo ↑i ≤ ↑j


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E

μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1


(p * 1).natDegree = (p * C a * C ai).natDegree


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ

∫ (x : X), (f + const X c) x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ + (μ Set.univ).toReal • c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
this : a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J

c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) = c.ι.app j ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s) ≫ s.pt.a


(D.obj j).a ≫ T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) = T.forget.map (s.ι.app j) ≫ s.pt.a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt

Context: J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt

∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt

Context: j : J✝

c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι

((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X) ≫ (unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝


((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X)).f i✝ ≫ ((unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝


Context: a b : ZNum


Context: a b : ZNum

(↑a).natAbs.gcd (↑b).natAbs = (↑a).gcd ↑b


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ span s


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : SetLike σ A

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: s : Set A

Context: h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x

Context: i : ι

Context: r : A

Context: hr : r ∈ LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : SetLike σ A

Context: inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: s : Set A

Context: h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x

Context: i : ι

Context: r : A

Context: hr : ∃ y, (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val) y = r


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A

↑(((decompose 𝒜) ((Finsupp.total (↑s✝) A A Subtype.val) s)) i) ∈ span s✝


∑ i_1 ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s i_1 • ↑i_1)) i) ∈ span s✝


∀ c ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s c • ↑c)) i) ∈ span s✝


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support

↑(((decompose 𝒜) (s z • ↑z)) i) ∈ span s✝


↑(((decompose 𝒜) (s z * ↑z)) i) ∈ span s✝


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u
e : Encoding α


Context:
α : Type u
e : Encoding α
x✝¹ x✝ : α
h : e.encode x✝¹ = e.encode x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : ↥K


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = f '' k


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = insert 1 (f '' k)


Context:
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α

(Ui, Vj) ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε) → (Ui, Vj) ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag


∀ (x x_1 : Finset α) (x_2 : x ∈ P.parts ∧ x_1 ∈ P.parts ∧ ¬x = x_1), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ ¬Ui = Vj


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: Ui Vj U V : Finset α

Context: hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V

Context: hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

Context: hVj : Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: Ui U V : Finset α

Context: hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

Context: hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: Ui U V : Finset α

Context: hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

Context: hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

Context: i : α

Context: hi : i ∈ Ui


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₁}


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: U : Sieve X

Context: B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y

Context: hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows

Context: hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows

Context: hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows

Context: s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows

Context: hs : s.Compatible


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: U : Sieve X

Context: hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows

Context: hs : s.Compatible

Context: y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: U : Sieve X

Context: hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows

Context: hs : s.Compatible

Context: hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible

Context: t : Presieve.FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf => ⋯.amalgamate (y hf) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: J J₂ : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: U : Sieve X

Context: hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows

Context: hs : s.Compatible

Context: ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ < a₂
h₂ : b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α


Context:
p : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

(x✝.dropWhile p).toString.data = List.dropWhile p x✝.toString.data


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g

pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd = s.snd


(pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).base = s.snd.base


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.snd.c.app x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hs : s ⟂ₘ ν

Context: hadd : μ = s + ν.withDensity f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: hsing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

Context: hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0

Context: hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0

Context: hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0

Context: heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0

Context: hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0

Context: heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0

Context: hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : s S = 0

Context: hS₃ : ν Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0

Context: hT₃ : ν Tᶜ = 0

Context: hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hμinter : (μ.singularPart ν) (A ∩ (S ∩ T)) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
h : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R


(algebraMap R S) x = (algebraMap R S) 0 ↔ x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hμs : μ s = ⊤
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
s t : Set α

s.restrict f '' (Subtype.val ⁻¹' t) = f '' (t ∩ s)


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬p %ₘ minpoly A x = 0


(p %ₘ minpoly A x).degree < (minpoly A x).degree


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C

(↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
x y : α
hxy : x ≤ y


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

(eval P) W.polynomialX / P z ^ 4 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialX


Context: n : ℕ


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

(cauSeqRe f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).re


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X

IsOpen U ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F


(∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l) ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F


(∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F) → ∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : FirstCountableTopology X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: f✝ : Filter X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: U : Set X

Context: cond : ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F

Context: x : X

Context: hx : x ∈ U

Context: f : Ultrafilter X

Context: h : ↑f ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : FirstCountableTopology X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: f✝ : Filter X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: U : Set X

Context: x : X

Context: f : Ultrafilter X

Context: hx : f.lim ∈ U

Context: h : ↑f ≤ 𝓝 x


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
hs : {x}.Nontrivial
H : s = {x}


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic

∀ (i : ℕ), (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i → x ^ i ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟


x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: hx : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).IsRoot x

Context: hmo : f.Monic


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M

Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x

√x ≠ 0 ↔ x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: s : Finset (LieIdeal R L)

Context: hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI✝ : I ≤ s.sup id

Context: S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}

Context: hI : I < s.sup id


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: s : Finset (LieIdeal R L)

Context: hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI✝ : I ≤ s.sup id

Context: hI : I < s.sup id

Context: J : LieIdeal R L

Context: hJs : J ∈ s

Context: hJI : ¬J ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : IsSemisimple R L

Context: x : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id

Context: a✝⁶ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id

Context: s : Finset (LieIdeal R L)

Context: a✝⁵ : (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id

Context: a✝⁴ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, a✝⁵⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id

Context: a✝³ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}

Context: I✝ : (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id

Context: a✝² : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, I✝⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id

Context: I : LieIdeal R L

Context: a✝¹ : I ≤ s.sup id

Context: a✝ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id

Context: hI : I < s.sup id

Context: J : LieIdeal R L

Context: h✝ : J ∈ s ∧ ¬J ≤ I

Context: hJs : J ∈ s

Context: hJI : ¬J ≤ I

Context: s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J

Context: hs' : s' ⊂ s

Context: hs'S : ↑s' ⊆ S

Context: K : LieIdeal R L := s'.sup id

Context: this : I ≤ K

(invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 ⟨s', ⟨hs'S, ⟨I, this⟩⟩⟩ ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

-Y - C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) = Polynomial.map (mapRingHom f) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: p : 𝓞 K

Context: hp : Prime p

Context: hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b

Context: hpaηb : p ∣ 1 * S.a + ↑η * S.b

Context: this : p ∣ (1 * ↑η - 1 * 1) * gcd S.a S.b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Ioi a).Nonempty


max (lsub fun i => (moveLeft 1 i).birthday) (lsub fun i => (moveRight 1 i).birthday) = 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : NoMinOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β

Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: h1 : ∀ (c : ℝ), (1 - c) / 2 * ((1 + c) / 2) = (1 - c ^ 2) / 4

Context: h2 : Continuous fun x => cos (2 * x) ^ 2


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: h3 : ∀ (x : ℝ), cos x * sin x = sin (2 * x) / 2


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: h4 : ∀ (d : ℝ), 2 * (2 * d) = 4 * d


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

HasFiniteIntegral (fun x => (f x).toReal) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: this : ∀ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ = ↑⟨(f x).toReal, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : CosimplicialObject.Augmented Cᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategoryᵒᵖ

(f.right.app (unop x)).unop ≫ (X✝.hom.app (unop x)).unop = (Y✝.hom.app (unop x)).unop ≫ f.left.unop


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategoryᵒᵖ

(X✝.hom.app (unop x) ≫ f.right.app (unop x)).unop = (f.left ≫ Y✝.hom.app (unop x)).unop


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : SimplexCategoryᵒᵖ

X✝.hom.app (unop x) ≫ f.right.app (unop x) = f.left ≫ Y✝.hom.app (unop x)


Context: m n : ℕ


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: hdF : ∀ z ∈ ball c R \ insert w s, DifferentiableAt ℂ F z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0

Context: hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0

Context: hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w

Context: hFeq : EqOn F (fun z => (z - w)⁻¹ • f z - (z - w)⁻¹ • f w) (sphere c R)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0

Context: hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w

Context: hc' : ContinuousOn (fun z => (z - w)⁻¹) (sphere c R)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0

Context: hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w

CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹ • f z) c R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hR : 0 < R

Context: F : ℂ → E := dslope f w

Context: hws : (insert w s).Countable

Context: hcF : ContinuousOn F (closedBall c R)

Context: HI : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), F z) = 0

Context: hne : ∀ z ∈ sphere c R, z ≠ w

CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹ • f w) c R


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
B : Type u_2
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
x✝ : IsAlgebraic R (f a)
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (aeval (f a)) p = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G

Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
p : Multipliable f


Context: z : ℂ


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℝ
u : ℝ
hf : HasDerivAt f u z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

(r • j).negPart = r.toNNReal • j.negPart


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : c * a = b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t

Context: hg' : g univ = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: hg' : g univ = ⊤

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: hg' : g univ = ⊤

Context: h✝ : Nonempty ι


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.36631, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.36635, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.36639, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.36643, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{?u.36647, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.36651, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.36655, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

(LocalizerMorphism.id W).homMap L₂ L₁ ((LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₂ f) = f


((LocalizerMorphism.id W).comp (LocalizerMorphism.id W)).homMap L₁ L₁ f = f


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.36631, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.36635, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.36639, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.36643, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{?u.36647, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.36651, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.36655, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
g : L₂.obj X ⟶ L₂.obj Y

(LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₂ ((LocalizerMorphism.id W).homMap L₂ L₁ g) = g


((LocalizerMorphism.id W).comp (LocalizerMorphism.id W)).homMap L₂ L₂ g = g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B

𝟭 (Subobject A) = lower e.functor ⋙ lower e.inverse


𝟭 (Subobject A) = ThinSkeleton.map (𝟭 (MonoOver A))


lower e.functor ⋙ lower e.inverse = ThinSkeleton.map (e.functor ⋙ e.inverse)


lower e.inverse ⋙ lower e.functor = 𝟭 (Subobject B)


lower e.inverse ⋙ lower e.functor = ThinSkeleton.map (e.inverse ⋙ e.functor)


𝟭 (Subobject B) = ThinSkeleton.map (𝟭 (MonoOver B))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsLUB (range f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
s : Set β

(∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ 𝓟 s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ s, p (x, y)


{a | ∀ b ∈ s, (a, b) ∈ {x | p x}} ∈ f ↔ {x | ∀ y ∈ s, p (x, y)} ∈ f


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R

(ghostComponent 0) x.verschiebungFun = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
a b : AddCircle T
h : a.toCircle = b.toCircle


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
b : AddCircle T
z✝ : ℝ
h : toCircle ↑z✝ = b.toCircle


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
z✝¹ z✝ : ℝ
h : toCircle ↑z✝¹ = toCircle ↑z✝


Context: T : ℝ

Context: hT : T ≠ 0

Context: z✝¹ z✝ : ℝ

Context: h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)


Context: T : ℝ

Context: hT : T ≠ 0

Context: z✝¹ z✝ : ℝ

Context: m : ℤ

Context: hm : 2 * π / T * z✝ = 2 * π / T * z✝¹ + ↑m * (2 * π)


Context: T : ℝ

Context: hT : T ≠ 0

Context: z✝¹ z✝ : ℝ

Context: m : ℤ


Context: T : ℝ

Context: hT : T ≠ 0

Context: z✝¹ z✝ : ℝ

Context: m : ℤ

Context: hm : 2 * π * z✝ = 2 * π * z✝¹ + ↑m * (2 * π) * T


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
s : Set α
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.trim hm) s ≠ ⊤
c : F

↑↑↑(lpTrimToLpMeas F ℝ p μ hm (indicatorConstLp p hs hμs c)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c)


↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context: G : Type u_1

Context: g₁ g₂ : Group G

Context: h_mul : Mul.mul = Mul.mul

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: f : G →* G := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: zorn_subset : ∀ (E₀ : Set E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → ρ '' E₀ ≠ univ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ

Context: disj' : Disjoint (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ

Context: disj'' : Disjoint (closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ) (closure (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ

Context: hx₁' : ρ x₁ ∈ closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace D

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝² : T2Space A

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : CompactSpace E

Context: ρ : E → A

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: x₁ x₂ : E

Context: hρx : ρ x₁ = ρ x₂

Context: hx : ¬x₁ = x₂

Context: G₁ G₂ : Set E

Context: G₁_open : IsOpen G₁

Context: G₂_open : IsOpen G₂

Context: hx₁ : x₁ ∈ G₁

Context: hx₂ : x₂ ∈ G₂

Context: disj : Disjoint G₁ G₂

Context: G₁_comp : IsCompact G₁ᶜ

Context: G₂_comp : IsCompact G₂ᶜ

Context: G₁_open' : IsOpen (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: G₂_open' : IsOpen (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ

Context: hx₁' : ρ x₁ ∈ closure (ρ '' G₁ᶜ)ᶜ

Context: hx₂' : ρ x₂ ∈ closure (ρ '' G₂ᶜ)ᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f

∃ C > 0, ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: hC : ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: L₁ : Tendsto (fun n => f (∑ i ∈ Finset.range n, u i)) atTop (𝓝 (f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: surj : Surjective ⇑f

Context: C : ℝ

Context: C0 : C ≥ 0

Context: g : F → E

Context: h : F → F := fun y => y - f (g y)

Context: hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Context: y : F

Context: u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)

Context: sNu : Summable fun n => ‖u n‖

Context: su : Summable u

Context: x : E := tsum u

Context: x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Context: L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))