Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝¹ : BorelSpace ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: n : ι

Context: hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n

StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω))


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝¹ : BorelSpace ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: n : ι

Context: hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n

Context: this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α


(sum fun p => (dirac x).prod (sFiniteSeq ν p)) = sum fun i => map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
i : ℕ

(dirac x).prod (sFiniteSeq ν i) = map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
i : ℕ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

(map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)) (s ×ˢ t) = (dirac x) s * (sFiniteSeq ν i) t


Context:
n : ℕ
hn : 2 ≤ n


Context:
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

StrictMonoOn (deriv fun x => x ^ n) (interior (Ici 0))


Context:
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

StrictMonoOn (fun x => ↑n * x ^ (n - 1)) (Ioi 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂


¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
hb : b₁ < b₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context:
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a} = ⊤


⊤ ≤ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}


AddSubmonoid.closure (⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv '' {f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b}) ≤ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}


{f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b} ⊆ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R

Finsupp.single n a ∈ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F G : C ⥤ D

Context: e : F ≅ G

Context: hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X

Context: happ : ∀ (X : C), e.hom.app X = eqToHom ⋯

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r N


Context: α : Type u_1

Context: R I J X Y : Set α

Context: N : Matroid α

Context: h : { toMatroid := N } < { toMatroid := N }


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : ∀ ⦃x : L⦄, x ∈ I₁ → x ∈ I₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E

x ∈ ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r ↔ x ∈ {x | p x ≤ r}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.rotate.mor₁ = 0 ∧ T.rotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w

(p.reverseAux q).length = p.length + q.length


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'

isometryOfOrthonormal (v.map f) = (isometryOfOrthonormal v).trans f


orthonormalBasisOneI.repr.trans (v.repr.symm.trans f) = (orthonormalBasisOneI.repr.trans v.repr.symm).trans f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F

lineDeriv 𝕜 f x (-v) = -lineDeriv 𝕜 f x v


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α

dest P (g <$$> ⟨a, f⟩) = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩


dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩


dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).fst, splitFun (g ⊚ pathDestLeft P ⋯ ⟨a, f⟩.snd) ((fun x => g <$$> x) ∘ fun x => ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).snd x, pathDestRight P ⋯ ⟨a, f⟩.snd x⟩)⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'

HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: g : F → G

Context: g' : F →L[𝕜] G

Context: L' : Filter F

Context: hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'

Context: hf : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: hL : Tendsto f L L'

Context: eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: g : F → G

Context: g' : F →L[𝕜] G

Context: L' : Filter F

Context: hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'

Context: hf : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: hL : Tendsto f L L'

Context: eq₂ : ((fun x' => g x' - g (f x) - g' (x' - f x)) ∘ f) =o[L] fun x' => x' - x := IsLittleO.trans_isBigO (IsLittleO.comp_tendsto hg.isLittleO hL) (isBigO_sub hf)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: g : F → G

Context: g' : F →L[𝕜] G

Context: L' : Filter F

Context: hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'

Context: hf : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: hL : Tendsto f L L'

Context: x' : E


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : Iᵒᵖ ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))

Context: f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((colimitCoyonedaHomIsoLimit D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : Iᵒᵖ ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((colimitHomIsoLimitYoneda (D.rightOp ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.rightOp ⋙ coyoneda).op ⋙ yoneda.obj F) (op i) ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : Iᵒᵖ ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((coyoneda.map (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : Iᵒᵖ ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i ≫ f)) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : Iᵒᵖ ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i))))) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α

funMulInvSnorm f p μ a ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹


f a ^ p * ((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹


((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹


Context:
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
I J : Ideal S
coprime : IsCoprime I J

cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ C

Context: e : K ≌ J

Context: inst✝ : HasColimit (e.functor ⋙ F)

Context: this : HasColimit (e.inverse ⋙ e.functor ⋙ F)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
m✝ : ↥↑(maxTrivSubmodule R L M)

↑((maxTrivEquiv LieModuleEquiv.refl) m✝) = ↑(LieModuleEquiv.refl m✝)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A✝ B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: inst✝ : ContinuousAdd 𝕜

Context: A : Set E

Context: w : E

Context: l₁ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}

Context: hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}

Context: l₂ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}

Context: hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}

∃ l, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} = {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A✝ B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: inst✝ : ContinuousAdd 𝕜

Context: A : Set E

Context: w : E

Context: l₁ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: l₂ : E →L[𝕜] 𝕜

{x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} ⊆ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, (l₁ + l₂) y ≤ (l₁ + l₂) x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A✝ B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: inst✝ : ContinuousAdd 𝕜

Context: A : Set E

Context: w : E

Context: l₁ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: l₂ : E →L[𝕜] 𝕜

{x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, (l₁ + l₂) y ≤ (l₁ + l₂) x} ⊆ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x x✝ : E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)

∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: x : α

Context: l : E

Context: hx : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: x : α

Context: l : E

Context: h_rw_sum : (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) = fun n => f n x - f 0 x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: x : α

Context: l : E

Context: hx : Tendsto (fun n => f n x - f 0 x) atTop (𝓝 l)

Context: hf_rw : (fun n => f n x) = fun n => f n x - f 0 x + f 0 x

∃ l, Tendsto (fun n => f n x - f 0 x + f 0 x) atTop (𝓝 l)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ : (SimplicialObject.Augmented C)ᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

f ≫ (unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ Quiver.Hom.op { left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.left), right := f.unop.right, w := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

f.unop.op ≫ (unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ Quiver.Hom.op { left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.op.unop.left), right := f.unop.op.unop.right, w := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

((unop Y✝).rightOpLeftOpIso.hom ≫ f.unop).op = ({ left := NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp f.unop.op.unop.left), right := f.unop.op.unop.right, w := ⋯ } ≫ (unop X✝).rightOpLeftOpIso.hom).op


Context:
α : Type u_1
l✝ : List α
p q : α → Bool
l : List α

countP (fun a => p ↑a) l.attach = countP p l


Context:
m n✝ n : ℕ
b : Bool
hn : n = 0 → b = true


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
x : ℝ

|x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: k n : ℕ

Context: f : 𝓢(ℝ, F)

Context: x : ℝ

Context: this : ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: inst✝ : AddCommMonoid S

Context: f : ℕ → R → S

Context: h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0

Context: n : ℕ

Context: toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ

Context: w : { toFinsupp := toFinsupp✝ }.natDegree < n

{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum f = ∑ a ∈ range n, f a ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff a)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: inst✝ : AddCommMonoid S

Context: f : ℕ → R → S

Context: h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0

Context: n : ℕ

Context: toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ

Context: this : { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support ⊆ range n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: inst✝ : AddCommMonoid S

Context: f : ℕ → R → S

Context: h : ∀ (n : ℕ), f n 0 = 0

Context: n : ℕ

Context: toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ

Context: this : toFinsupp✝.support ⊆ range n

∑ x ∈ toFinsupp✝.support, f x (toFinsupp✝ x) = ∑ x ∈ range n, f x (toFinsupp✝ x)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A

J.W = (MorphismProperty.isomorphisms (Sheaf J A)).inverseImage G


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g

(f + g).completion ⋯ = f.completion hf + g.completion hg


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁸ : UniformSpace α
inst✝⁷ : AddGroup α
inst✝⁶ : UniformAddGroup α
inst✝⁵ : UniformSpace β
inst✝⁴ : AddGroup β
inst✝³ : UniformAddGroup β
γ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup γ
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformAddGroup γ
f g : α →+ γ
hf : Continuous ⇑f
hg : Continuous ⇑g
hfg : Continuous fun x => f x + g x
x : Completion α

((f + g).completion ⋯) x = (f.completion hf + g.completion hg) x


IsClosed {a | ((f + g).completion ⋯) a = (f.completion hf + g.completion hg) a}


∀ (a : α), ((f + g).completion ⋯) (↑α a) = (f.completion hf + g.completion hg) (↑α a)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a x : R

x ∈ (p - C a).roots ↔ p ≠ C a ∧ eval x p = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
f : α₁ → β₁
x : α₁

(fun f => ⇑e₂.symm ∘ f ∘ ⇑e₁) ((fun f => ⇑e₂ ∘ f ∘ ⇑e₁.symm) f) x = f x


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
α₂ : Sort u_3
β₂ : Sort u_4
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : β₁ ≃ β₂
f : α₂ → β₂
x : α₂

(fun f => ⇑e₂ ∘ f ∘ ⇑e₁.symm) ((fun f => ⇑e₂.symm ∘ f ∘ ⇑e₁) f) x = f x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α

birkhoffAverage R f g n (f x) - birkhoffAverage R f g n x = (↑n)⁻¹ • (g (f^[n] x) - g x)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M


⨆ ι, #↑↑ι < ℵ₀


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤

⨆ ι, #↑↑ι < ℵ₀


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: S : Finset M

Context: hS : span R ↑S = ⊤

Context: i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : _root_.Finite ι
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

InjOn (⇑((span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip)) (range ⇑P.coroot)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: this : InjOn (⇑(span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap) (range (⇑P.toLin.flip ∘ ⇑P.coroot))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i j : ι

Context: hij : ((span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip) (P.coroot i) = ((span R (range ⇑P.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P.toLin.flip) (P.coroot j)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => f (c - x)) volume (c - a) (c - b)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)


∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map f.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X

ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁

ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))) = ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : G.IsCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: W : C

Context: i : G.obj W ⟶ X

Context: V₁ : C

Context: iVW : V₁ ⟶ W

Context: iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁

Context: e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁

Context: V₂ : C

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂

Context: e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂

ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁)))) = ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂))))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : G.IsCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: W : C

Context: i : G.obj W ⟶ X

Context: V₁ : C

Context: iVW : V₁ ⟶ W

Context: iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁

Context: e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁

Context: V₂ : C

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂

∀ ⦃Z_1 : C⦄ (j : Z_1 ⟶ V₂), j ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = j ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂ → ℱ.val.map (G.map j).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))))) = ℱ.val.map (G.map j).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : G.IsCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: W : C

Context: i : G.obj W ⟶ X

Context: V₁ : C

Context: iVW : V₁ ⟶ W

Context: iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁

Context: e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁

Context: V₂ : C

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂

Context: V₃ : C

Context: iV₃ : V₃ ⟶ V₂

Context: e₄ : iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = iV₃ ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂

ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))))) = ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : G.IsCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: W : C

Context: i : G.obj W ⟶ X

Context: V₁ : C

Context: iVW : V₁ ⟶ W

Context: iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁

Context: e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁

Context: V₂ : C

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂

Context: V₃ : C

Context: iV₃ : V₃ ⟶ V₂

ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁)).op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂Y₂)).op (x g₂ hg₂)


Context:
m n a : Nat
cmn : m.Coprime n
dvd : a ∣ m


Context:
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G

∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))


Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: hG : AddGroup.FG G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}


Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: hG : AddGroup.FG G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod ((fun i => (p i).natAbs) i ^ e i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
a : α
b : β

(a, b) ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}

#{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ max #↑s ℵ₀ ^ c


Context:
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}

#{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ #{ t // #↑t ≤ c }


Context:
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}
t : Set α
left✝ : t ⊆ s
h2t : #↑t ≤ c

{ toFun := fun t => Subtype.val ⁻¹' ↑t, inj' := ⋯ } ⟨t, ⋯⟩ ∈ fun t => Quot.lift ((fun α β => Nonempty (α ↪ β)) ↑t) ⋯ c


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: R₁ : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₂

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R₁ A

Context: inst✝¹ : Algebra R₂ A

Context: I : Ideal A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I

Context: a : R

Context: a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I

Context: b : R

Context: hab : (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r a) = (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r b)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Semiring S

Context: R₁ : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₂

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R₁ A

Context: inst✝¹ : Algebra R₂ A

Context: I : Ideal A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I

Context: a : R

Context: a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I

Context: b : R

Context: hab : (algebraMap R A) a - (algebraMap R A) b ∈ I


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap R A) (a - b) ∈ I


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

padicNorm p ↑m = 1 ↔ (↑p)⁻¹ < padicNorm p ↑m


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: f : α → Z

Context: z : Z

Context: hz : z ∈ e.source

Tendsto f l (𝓝 z) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: f : α → Z

Context: z : Z

Context: hz : z ∈ e.source

((Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).1) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).2) l (𝓝 (↑e z).2)) ∧ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ e.source) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

CompleteOrthogonalIdempotents e ↔ e default = 1


((∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)) ∧ ∀ (i j : I), i ≠ j → e i * e j = 0) ∧ ∑ i : I, e i = 1 ↔ e default = 1


e default = 1 → IsIdempotentElem (e default)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂

LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (weightSpace M χ) = weightSpace M₂ χ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
Q : AffineSubspace 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ ↑Q
y : E
hy : y ∈ ↑Q
a b : 𝕜
x✝¹ : 0 ≤ a
x✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ : Set G
g : G
h : Gᵐᵒᵖ
s : Set G

(fun y => h • y) '' ((fun x => g * x) ⁻¹' s) = (fun x => g * x) ⁻¹' ((fun y => h • y) '' s)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b


Context:
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0


Context:
b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c > 0
h : 0 ∣ b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
ha : a > 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : (i : ι) → κ i → α

l (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, l (f i j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: y : α

Context: hya : y ∈ Ici a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Ioi b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)


Context: V : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} V

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms V

Context: inst✝¹ : HasZeroObject V

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex V c

Context: j : ι

Context: A : V

Context: φ : A ⟶ K.X j

Context: hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0

(if hi : j = j then (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).hom ≫ φ ≫ 𝟙 (K.X j) else 0) = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ


Context: V : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} V

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms V

Context: inst✝¹ : HasZeroObject V

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex V c

Context: j : ι

Context: A : V

Context: φ : A ⟶ K.X j

(singleObjXIsoOfEq c j A j ⋯).hom ≫ φ = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε

Context: h₁ : b < a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: J : Ideal P

Context: hJ : J.IsPrime

Context: f : R →+* P

Context: h : I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl

Context: x : R

Context: hx : x ∈ Ideal.comap f J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring P

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: J : Ideal P

Context: hJ : J.IsPrime

Context: f : R →+* P

Context: x : R

Context: hx : x ∉ I


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J K : FractionalIdeal S P


⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
j : J


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: a : A

0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Algebra ℝ A

Context: inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: x : A

Context: hx : IsSelfAdjoint x

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint (x ^ 2)

Context: ha₂ : SpectrumRestricts (x ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

o.oangle x (-y) + o.oangle y (-z) + o.oangle z (-x) = ↑π


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥


Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph.topologicalClosure = (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph).topologicalClosure


↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph.topologicalClosure) = ↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph).topologicalClosure


(fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = _root_.closure ((fun a => a.swap) '' ↑f.graph)


_root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: hf' : f.IsClosable

Context: hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

Context: h1 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' ↑f.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: hf' : f.IsClosable

Context: hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

Context: h2 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: hf' : f.IsClosable

Context: hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

Context: h1 : (fun a => a.swap) '' ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph

Context: h2 : (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: hf' : f.IsClosable

Context: hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

_root_.closure (⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph) ⊆ ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))


⋃ a ∈ s, a • ↑(lowerClosure t) = ⋃ i ∈ s, ↑(i • lowerClosure t)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctor C (0 + a)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X


(shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ

Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖) ρ.fst


∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ‖‖∫ (y : Ω), f (a, y) ∂ρ.condKernel a‖‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (a, y)‖ ∂ρ.condKernel a‖


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → E
hf_int : Integrable f ρ
x : α

‖‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x‖


‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂ρ.condKernel x‖ ≤ ‖∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x‖


0 ≤ ∫ (a : Ω), ‖f (x, a)‖ ∂ρ.condKernel x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
g : A →ₐ[R] B

(mapAlgHom f).comp (mapAlgHom g) = mapAlgHom (f.comp g)


∀ (x : A[X]), ((mapAlgHom f).comp (mapAlgHom g)) x = (mapAlgHom (f.comp g)) x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : B →ₐ[R] C
g : A →ₐ[R] B
x : A[X]

((mapAlgHom f).comp (mapAlgHom g)) x = (mapAlgHom (f.comp g)) x


map ((↑f).comp ↑g) x = map (↑(f.comp g)) x


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : K


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
g : ↥(primaryComponent G p)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: b : α → ι → Set α

Context: p : α → ι → Prop

Context: hbasis : ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (p x) (b x)

Context: hconnected : ∀ (x : α) (i : ι), p x i → IsPreconnected (b x i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: b : α → ι → Set α

Context: p : α → ι → Prop

∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂


IsIso (h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH ≫ h₂.homologyIso.inv) ↔ IsIso γ.φH


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β

upperClosure (⇑f '' s) = (UpperSet.map f) (upperClosure s)


upperClosure (⇑f '' s) = (UpperSet.map f.symm).symm (upperClosure s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
x✝ : β

x✝ ∈ ↑(upperClosure (⇑f '' s)) ↔ x✝ ∈ ↑((UpperSet.map f.symm).symm (upperClosure s))


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι

(filter p f + filter (fun i => ¬p i) f) i = f i


((if p i then f i else 0) + if ¬p i then f i else 0) = f i


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} = {n | 0 < n}


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ⊆ {n | 0 < n}


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{n | 0 < n} ⊆ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x}


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j : ℤ
hj : 0 < j

j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x}


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r.IsConjExponent s

Context: j : ℤ

Context: hj : 0 < j

Context: hb₁ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq s k = x}


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r.IsConjExponent s

Context: j : ℤ

Context: hj : 0 < j

Context: hb₂ : ∀ s ≥ 0, j ∈ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ↔ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r.IsConjExponent s

Context: j : ℤ

Context: hj : 0 < j

j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ j ∉ {x | ∃ k, beattySeq r k = x}


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b d : R
hbd : d ∣ b
hac : 0 ∣ a


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b
hc0 : c ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
hac : c ∣ a
hc0 : c ≠ 0
hbd : 0 ∣ b


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c d : R
hac : c ∣ a
hbd : d ∣ b
hc0 : c ≠ 0
hd0 : d ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
c d : R
hc0 : c ≠ 0
hd0 : d ≠ 0
k1 k2 : R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G

IsConformalMap ((cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap))


(cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap) = (cg * cf) • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap


cg • cf • lig.toContinuousLinearMap.comp lif.toContinuousLinearMap = cg • cf • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

(snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = factor (I * J) J ⋯


((snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I * J)) = (factor (I * J) J ⋯).comp (Quotient.mk (I * J))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: h : ∀ (z : ℕ), IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun a => |k a ^ z * f a|

Context: z : ℕ

Tendsto (fun a => |k a ^ z * f a|) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: hm : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => |k a ^ (z + 1) * f a|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)

Context: h2 : Tendsto (fun a => |(k a)⁻¹| * m) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)

∀ᶠ (x : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |k x ^ (z + 1) * f x| m → |k x ^ z * f x| ≤ |(k x)⁻¹| * m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)

Context: x : α

Context: hk0 : k x ≠ 0

Context: hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |k x ^ (z + 1) * f x| m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: z : ℕ

Context: m : β

Context: h1 : Tendsto (fun x => 0) l (𝓝 0)

Context: x : α

Context: hk0 : k x ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R

I.jacobson = I ↔ ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M


(∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M) → I.jacobson = I


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
M : Set (Ideal R)
hM : ∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤
hInf : I = sInf M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
M : Set (Ideal R)
hM : ∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤
hInf : I = sInf M
x : R
hx : x ∈ I.jacobson


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G

⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
h : K ≤ K'

normalClosure F (↥K) L ≤ normalClosure F (↥K') L


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (b ^ n) (b ^ (n + 1)))


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
f : ℕ → M
n : ℕ

(map f (range n.succ)).prod = (map f (range n)).prod * f n


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: m : β

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = m


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: m : β

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = m

m ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) = m ^ s.card


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: m : β

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = m


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N

minkowskiBound K 1 < ↑(boundOfDiscBdd N)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

Context: this : boundOfDiscBdd N - 1 < boundOfDiscBdd N


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

minkowskiBound K 1 ≤ ↑(boundOfDiscBdd N - 1)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

2⁻¹ ^ NrComplexPlaces K * ↑(sqrt ‖discr K‖₊) * 2 ^ finrank ℚ K ≤ 1 * ↑(sqrt ↑N) * 2 ^ rankOfDiscrBdd N


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard < t.ncard
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context: a : ℝ

frontier {z | a ≤ z.im} = {z | z.im = a}


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

(canonicalEmbedding K) x ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


∑ x_1 : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), (canonicalEmbedding K) (((integralBasis K).repr x) x_1 • (integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


∑ x_1 : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), ((integralBasis K).repr x) x_1 • (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ Finset.univ

(canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) i) ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)


(latticeBasis K) i ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: this : κ = κ'.comapRight h_prod_embed


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: this : κ = κ'.comapRight h_prod_embed

κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = (κ'.fst ⊗ₖ η).comapRight h_prod_embed


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : ι → UniformSpace α
u₂ : UniformSpace β
i : ι
hf : UniformContinuous f

Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)


Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)


Context: R : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝⁵ : Module R N✝

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Semiring S

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : SMulCommClass R R S

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S S

Context: inst✝ : IsScalarTower R S S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_5

Context: m : ι → ↥M

Context: hc : ∀ (i : ι) (n : ↥N), Commute ↑(m i) ↑n

Context: i : ι

Context: n : ↥N

(mulLeftMap N m ∘ₗ Finsupp.lsingle i) n = (N.mulRightMap m ∘ₗ Finsupp.lsingle i) n


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp1 : 1 ≤ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R
hr : r ∈ R⁰
h : x * r = y * r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ : Measure α
κ : Kernel α β
h : ¬IsSFiniteKernel κ


¬IsSFiniteKernel (Kernel.prodMkLeft Unit κ)


Context:
I : Type u
inst✝⁴ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
inst✝¹ : X₁.HasTensor Y₁
inst✝ : X₂.HasTensor Y₂
i₁ i₂ i₁₂ : I
h : i₁ + i₂ = i₁₂

ιTensorObj X₁ Y₁ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ tensorHom f g i₁₂ = (f i₁ ⊗ g i₂) ≫ ιTensorObj X₂ Y₂ i₁ i₂ i₁₂ h


ιTensorObj X₁ Y₁ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ tensorHom f g i₁₂ = f i₁ ▷ Y₁ i₂ ≫ X₂ i₁ ◁ g i₂ ≫ ιTensorObj X₂ Y₂ i₁ i₂ i₁₂ h


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬Irreducible W.polynomial
f g : R[X]
h0 : W.polynomial.coeff 0 = f * g
h1 : W.polynomial.coeff 1 = f + g


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly = f * g

Context: h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly = f + g


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly.degree = (f * g).degree

Context: h1 : { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly.degree = (f + g).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : 3 = f.degree + g.degree


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h✝ : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : 3 = f.degree + g.degree

Context: h : f.degree = 0 ∧ g.degree = 3


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h✝ : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : 3 = f.degree + g.degree

Context: h : f.degree = 1 ∧ g.degree = 2


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h✝ : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : 3 = f.degree + g.degree

Context: h : f.degree = 2 ∧ g.degree = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h✝ : ¬Irreducible W.polynomial

Context: f g : R[X]

Context: h0 : 3 = f.degree + g.degree

Context: h : f.degree = 3 ∧ g.degree = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ


∀ (X : Scheme), Presieve.IsSheaf zariskiTopology (yoneda.obj X)


Context: X : Scheme

Presieve.IsSheaf zariskiTopology (yoneda.obj X)


Context: X : Scheme

∀ {X_1 : Scheme}, ∀ R ∈ zariskiPretopology.coverings X_1, Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj X) R


Context: X Y : Scheme

Context: 𝓤 : Y.OpenCover

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj X) (Presieve.ofArrows 𝓤.obj 𝓤.map)

Context: hx : x.Compatible


Context: X Y : Scheme

Context: 𝓤 : Y.OpenCover

Context: hx : x.Compatible

Context: e : Y ⟶ X := 𝓤.glueMorphisms (fun j => x (𝓤.map j) ⋯) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5

Context: H₁ : C 0

Context: H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)

Context: H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o


Context:
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ

(a :: l).rotate (n + 1) = (l ++ [a]).rotate n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ a ∈ s, n ≤ (filter (fun x => a ∈ x) B).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

∑ x ∈ s, (filter (fun x_1 => x ∈ x_1) B).card ≤ ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

(∑ x ∈ s, ∑ a ∈ B, if x ∈ a then 1 else 0) ≤ ∑ x ∈ B, ∑ a ∈ s, if a ∈ x then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β

image2 f (↑s) (↑t ∩ ↑t') ⊆ image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s ↑t'


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : R
hroot : f.IsRoot x
hmo : f.Monic
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = f.natDegree + k


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : R

Context: hroot : x ^ f.natDegree + ∑ i : Fin f.natDegree, f.coeff ↑i * x ^ ↑i = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: i : ℕ

Context: hi : f.natDegree ≤ i

Context: k : ℕ

Context: hk : i = f.natDegree + k


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : R

Context: hmo : f.Monic

Context: i : ℕ

Context: hi : f.natDegree ≤ i

Context: k : ℕ

Context: hk : i = f.natDegree + k

∑ i : Fin f.natDegree, f.coeff ↑i * x ^ ↑i ∈ 𝓟


Context:
α : Type u
β : Type v
f : β → β
b : β
a : α
l : List α

foldr (fun x => f) b (a :: l) = f^[(a :: l).length] b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (z * y)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
h : e.IsImage s t


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : ↑(characterSpace 𝕜 A)

((fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }) 1) a = 1 a


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)

({ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (a * b)) a✝ = ({ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun a * { toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun b) a✝


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)

((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0) a✝ = 0 a✝


((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (a + b)) a✝ = ((↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a + (↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun b) a✝


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
k : 𝕜
a✝ : ↑(characterSpace 𝕜 A)

((↑↑{ toFun := fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap 𝕜 A) k)) a✝ = ((algebraMap 𝕜 C(↑(characterSpace 𝕜 A), 𝕜)) k) a✝


Context: z x✝ y x : ℝ


Context:
z x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
z x✝ y x : ℝ
h : x < 0


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁

map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂

map f (affineSpan k ∅) = affineSpan k (⇑f '' ∅)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s


(map f (affineSpan k s)).direction = (affineSpan k (⇑f '' s)).direction


(↑(map f (affineSpan k s)) ∩ ↑(affineSpan k (⇑f '' s))).Nonempty


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α ≃ᵐ β

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (⇑f ⁻¹' U)

Context: hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (⇑f '' K)

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (map (⇑f) μ) U


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α ≃ᵐ β

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ (⇑f ⁻¹' U)


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α ≃ᵐ β

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ (⇑f ⁻¹' U)

Context: K : Set α

Context: hKU : K ⊆ ⇑f ⁻¹' U

Context: hKc : pa K

Context: hK : r < μ K


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x

Context: h : LiftPropWithinAt P g s x

Context: hts : t ⊆ s


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: h : LiftPropWithinAt P g s x

Context: hts : t ⊆ s

Context: y : H

Context: hy : y ∈ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' t


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
ha : a < 0
hb : b < 0

∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)


Context:
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousSMul R A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝ : DecidableEq α

(f.update a 0).support = f.support.erase a


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : b < 0

(fun z => cexp (↑b * z)) =o[l] fun z => z ^ a


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ : ℕ
heq₁ : Nat.card ↥H₁ = p₁ ^ n₁


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ : ℕ


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ n₂ : ℕ
heq₂ : Nat.card ↥H₂ = p₂ ^ n₂


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
G₂ : Type u_2
inst✝² : Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
inst✝¹ : Finite ↥H₁
inst✝ : Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
n₁ n₂ : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝⁵ : μ.IsNegInvariant

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : BorelSpace G

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E

Context: hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Integrable g μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝⁵ : μ.IsNegInvariant

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : BorelSpace G

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).Regular


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

(leftDistributor X f).inv ≫ X ◁ biproduct.π f j = biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → TopologicalSpace α

Context: ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), t i ≤ t₀

Context: u : ι → UniformSpace α

Context: hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α

Context: hcount : ∀ (i : ι), (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = t i

∃ u, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: u : ι → UniformSpace α

Context: hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α

Context: ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i ≤ t₀

Context: hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i

∃ u_1, CompleteSpace α ∧ (𝓤 α).IsCountablyGenerated ∧ UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: u : ι → UniformSpace α

Context: hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α