Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
x✝ : E


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

S.rightHomologyIso.inv ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData S.rightHomologyData = S.rightHomologyIso.inv


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x✝ : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

x✝ ∈ fundamentalDomain (stdBasis K) ↔ x✝ ∈ (Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1) ×ˢ Set.univ.pi fun x => ⇑measurableEquivPi ⁻¹' Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
h : f.lintegral μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
h : f.lintegral μ ≠ ⊤
b : ℝ≥0∞
hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : Zero β

Context: inst✝ : Zero γ

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : α →ₛ β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0∞

Context: h : ∑ x ∈ insert b (f.range \ {0}), x * μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤

Context: hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : Zero β

Context: inst✝ : Zero γ

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : α →ₛ β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0∞

Context: hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s

(μ.trim hm).restrict s = (μ.restrict s).trim hm


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
μ : Measure α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((μ.trim hm).restrict s) t = ((μ.restrict s).trim hm) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a₁✝ g : α → β

Context: h : graph a₁✝ = graph g

Context: x : α

Context: h2 : graph a₁✝ x (g x) = graph g x (g x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a₁✝ g : α → β
h : graph a₁✝ = graph g
x : α
h2 : a₁✝ x = g x


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h h' : j ≤ 2 * n

xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n - j) [MOD xn a1 n]


xn a1 (4 * n - j) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : finrank F ↥S = 1
inst✝ : Module.Free F ↥S


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S = 1
inst✝ : Module.Free F ↥S


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)


(map (Prod.fst ∘ Prod.swap) l, map (Prod.snd ∘ Prod.swap) l) = (map Prod.fst l, map Prod.snd l).swap


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_4
p : α → Prop
a b : { y // p y }


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z : Scheme
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z : Scheme

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z : Scheme

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

Context: e : ↑⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩ * x = ↑⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩ * 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ιX : Type u_5
ιY : Type u_6
px : ιX → Prop
py : ιY → Prop
sx : ιX → Set X
sy : ιY → Set Y
x : X
y : Y
hx : (𝓝 x).HasBasis px sx
hy : (𝓝 y).HasBasis py sy

(𝓝 (x, y)).HasBasis (fun i => px i.1 ∧ py i.2) fun i => sx i.1 ×ˢ sy i.2


(𝓝 x ×ˢ 𝓝 y).HasBasis (fun i => px i.1 ∧ py i.2) fun i => sx i.1 ×ˢ sy i.2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: ha : ∀ a ∈ s, Continuous fun y => f (a, y)

Context: hb : ∀ (b : β), LipschitzWith K fun x => f (x, b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: ha : ∀ a ∈ s, ContinuousOn (fun y => f (a, y)) univ

Context: hb : ∀ (b : β), LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) univ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x

Context: c : 𝕜

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a b b₀ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ

Context: aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a b b₀ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: n : ℕ∞

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (g q.1 ⋆[L, μ] f) q.2) (s ×ˢ univ)


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: N : Type u4

Context: N' : Type u5

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝ : Module R N'

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: N : Type u4

Context: N' : Type u5

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝ : Module R N'

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: this✝ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

Context: this : IsCentralScalar R M


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: N : Type u4

Context: N' : Type u5

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝ : Module R N'

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: this✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

Context: this✝ : IsCentralScalar R M

Context: this : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: N : Type u4

Context: N' : Type u5

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝ : Module R N'

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

Context: this✝¹ : IsCentralScalar R M

Context: this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

Context: this : IsCentralScalar R N

(TrivSqZeroExt.sndHom R N ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap) ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: N : Type u4

Context: N' : Type u5

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝ : Module R N'

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: this✝¹ : IsCentralScalar R M

Context: this : IsCentralScalar R N

(f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M) ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x : P.Ring
i : P.vars

(P.cotangentSpaceBasis.repr (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = (aeval P.val) ((pderiv i) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ

∑ k ∈ Finset.range (n + 1 + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) + (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : ¬∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: k : ℕ

Context: hk : N < (fun n => upperCrossingTime a b f N n ω) k


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype W


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β

(SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : t.card ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : 1 < t.card


(∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t) ↔ ¬1 < t.card ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
a b : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A) ≃+* FractionalIdeal A⁰ K := mapEquiv (FractionRing.algEquiv A K)

IsDedekindDomainInv A ↔ ∀ (I : FractionalIdeal A⁰ K), I ≠ ⊥ → I * I⁻¹ = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)

x ≠ ⊥ → x * x⁻¹ = 1 ↔ h.toEquiv x ≠ ⊥ → h.toEquiv x * (h.toEquiv x)⁻¹ = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)

x ≠ ⊥ → h.toEquiv (x * x⁻¹) = h.toEquiv 1 ↔ h.toEquiv x ≠ ⊥ → h.toEquiv x * (h.toEquiv x)⁻¹ = 1


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R


(r = 0 ∨ Finsupp.single i 1 ≤ j) ∧ 1 ∣ r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''


∀ (v : V), map ψ (map φ (G.connectedComponentMk v)) = map (ψ.comp φ) (G.connectedComponentMk v)


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
p : HolorIndex (d :: ds) → Prop
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
h : ↑t = i :: is

Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (List α)
h : l₁ ~ l₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: π : δ' → Type u_6

Context: π' : δ' → Type u_7

Context: inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)

Context: inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_8

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x i


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: π : δ' → Type u_6

Context: π' : δ' → Type u_7

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_8

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x (i.succAbove j)


Context:
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y

(fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val = f


Context:
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }

((fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val) x' = f x'


Context:
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
w : ↑x' = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α

u ∈ Ico s t ↔ u ∈ image (fun x => s ∪ x) (t \ s).ssubsets


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

Surjective x✝ ↔ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) x✝


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

(mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (u n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: j : ℕ


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Measurable ((fun p => κ.rnDerivAux η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)

Context: x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})

Context: h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: this : Nonempty C


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: this : Nonempty C

Context: c d : C


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: this : Nonempty C

Context: c d : C

EqvGen (Quot.Rel (constPUnitFunctor C)) ⟨c, PUnit.unit⟩ ⟨d, PUnit.unit⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoid R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R'

Context: toMonoidHom✝¹ : R →* R'

Context: map_nonunit'✝¹ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝¹).toFun a = 0

Context: toMonoidHom✝ : R →* R'

Context: map_nonunit'✝ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝).toFun a = 0

Context: h : ∀ (a : R), { toMonoidHom := toMonoidHom✝¹, map_nonunit' := map_nonunit'✝¹ } a = { toMonoidHom := toMonoidHom✝, map_nonunit' := map_nonunit'✝ } a


Context:
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
hpos : NeZero n
a : ZMod n

a.valMinAbs.natAbs = min a.val (n - a.val)


(if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = min a.val (n - a.val)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
b c : α
h : c ⩿ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a c : α
h : a ⩿ c


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c

#↑(⋃ i, t i) < c ↔ ∀ (i : ι), #↑(t i) < c


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜


Context:
R : Type u_1
l : ℕ
hl : Squarefree l


Context: f : ℍ → ℂ

IsBoundedAtImInfty f ↔ ∃ M A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ M


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L L' L'' : C
g : L ⟶ L'
g' : L' ⟶ L''

(ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L'') (g ≫ g') ≫ sHomComp K L L'' = ((ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L') g ≫ sHomComp K L L') ≫ (ρ_ (sHom K L')).inv ≫ sHom K L' ◁ (homEquiv L' L'') g' ≫ sHomComp K L' L''


(ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (λ_ (𝟙_ SSet)).inv ≫ sHom K L ◁ ((homEquiv L L') g ⊗ (homEquiv L' L'') g') ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K L) (EnrichedCategory.Hom L L') (EnrichedCategory.Hom L' L'')).inv ≫ eComp SSet K L L' ▷ EnrichedCategory.Hom L' L'' ≫ eComp SSet K L' L'' = (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L') g ≫ sHomComp K L L' ≫ (ρ_ (sHom K L')).inv ≫ sHom K L' ◁ (homEquiv L' L'') g' ≫ sHomComp K L' L''


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}

f i hi (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}

o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}

IsNormal (o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯))


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2

IsUnit W.twoTorsionPolynomial.disc ↔ IsUnit W.Δ


IsUnit (2 ^ 4) ∧ IsUnit W.Δ ↔ IsUnit W.Δ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : a ≤ 0

Context: h : b ≤ 1


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: f : PiLp p β


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : PiLp 0 β


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : PiLp ⊤ β


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : PiLp p β

Context: h : 0 < p.toReal


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N₁ N₂ : Submodule R M
hN₁ : N₁.FG
hN₂ : N₂.FG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Finite ∧ span R t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Finite ∧ span R t₂ = N₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
x✝ : ∃ f t, s = graphOn f t
f : α → β
t : Set α
hs : s = graphOn f t


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ

pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t


∀ x ∈ s ×ˢ t, ∀ y ∈ s ×ˢ t, ∃ t_1 ⊆ s ×ˢ t, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1


Context:
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : map f K ≤ map i K
n : ℕ

f.iterateMapComap i n K ≤ (fun K => comap f (map i K))^[n + 1] K


map f (f.iterateMapComap i n K) ≤ map i (f.iterateMapComap i n K)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M

lift.{v, w} #ι = lift.{w, v} (Module.rank R M)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R


Context: x y : ℝ

AntitoneOn (fun x => log x / x) {x | rexp 1 ≤ x}


Context: x y : ℝ

∀ ⦃a : ℝ⦄, rexp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

xᶜ ≤ x ↔ x = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
q : ℍ[R,c₁,c₂]

CliffordAlgebraQuaternion.equiv (ofQuaternion (star q)) = CliffordAlgebraQuaternion.equiv (star (ofQuaternion q))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
f : X ⟶ Y
Z : Mon_ C


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = π


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P

Context: h : p1 -ᵥ p2 ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)

InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) = 0


p2 -ᵥ p1 ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p3 -ᵥ p1 = r • (p2 -ᵥ p1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel η


¬(IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
M : Matrix n n R[X]

matPolyEquiv (p • M) = Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p * matPolyEquiv M


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q✝ : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q✝ : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
this : ↑↑q.den ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
this : ↑(ν.map f) A = ↑ν (f ⁻¹' A)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : T.rotate.mor₃ = 0 ↔ Epi T.rotate.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0 ↔ Epi T.mor₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.mor₁ = 0 ↔ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → α

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Context: x : X

Context: y : Y

Context: l : Filter α

Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝 (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝 (x, y)) l


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → α

Context: x : X

Context: y : Y

Context: l : Filter α

Tendsto (uncurry (lift₂ f hf) ∘ Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝 (x, y)) l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α

y ∈ f ⁻¹' EMetric.closedBall (f x) r ↔ y ∈ EMetric.closedBall x r


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
x : R

coeSubmodule S (Ideal.span {x}) = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}


Context:
C✝ : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C✝
X✝ Y✝ : PresheafedSpace C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
Y : TopCat
f : Y ⟶ TopCat.of ↑↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
U : Opens ↑↑(X.restrict h)

(X.restrict h).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv ((X.ofRestrict h).c.app (op ((opensFunctor (X.ofRestrict h)).obj U))) = 𝟙 ((X.restrict h).presheaf.obj (op U))


(X.restrict h).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (X.ofRestrict h).c.app (op ((opensFunctor (X.ofRestrict h)).obj U))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40064, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40068, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
kf : KernelFork S.g
hkf : IsLimit kf

Epi ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40064, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40068, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
kf : KernelFork S.g
hkf : IsLimit kf
this : S.HasHomology


Arrow.mk S.toCycles ≅ Arrow.mk ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))


(Iso.refl (Arrow.mk S.toCycles).left).hom ≫ (Arrow.mk ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))).hom = (Arrow.mk S.toCycles).hom ≫ (S.cyclesIsKernel.conePointUniqueUpToIso hkf).hom


((Iso.refl (Arrow.mk S.toCycles).left).hom ≫ (Arrow.mk ((hkf.ofIsoLimit (Fork.ext (Iso.refl kf.pt) ⋯)).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯))).hom) ≫ Fork.ι kf = ((Arrow.mk S.toCycles).hom ≫ (S.cyclesIsKernel.conePointUniqueUpToIso hkf).hom) ≫ Fork.ι kf


Context:
k m : Nat
H : k.Coprime m
d : k ∣ m


Context:
p : ℕ → Prop
h₀ : ¬p 0
a b : ℕ
hab : a ≤ b
ha : nth p a = 0


Context: p : ℕ → Prop

Context: h₀ : ¬p 0

Context: a b : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : ∃ (hf : (setOf p).Finite), hf.toFinset.card ≤ a

∃ (hf : (setOf p).Finite), hf.toFinset.card ≤ b


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a ≤ b
x : α
h : a < b


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x ^ 2 = (cos a ^ 3 - cos b ^ 3) / 3


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * 0 + 1) * cos x ^ 2 = ∫ (u : ℝ) in cos b..cos a, u ^ 2 * (1 - u ^ 2) ^ 0


Context:
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a


Context:
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a
h₂ : r < b'


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
q : G.Walk v w
hadj : G.Adj u v

notNilRec (fun x u x_1 x x => u) (cons hadj q) ⋯ = v


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : Module ℂ A

Context: inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A

Context: inst✝² : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal

Context: a : A

IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : Module ℂ A

Context: inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A

Context: inst✝² : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ σₙ ℂ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : Module ℂ A

Context: inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A

Context: inst✝² : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: a : A

IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM → IsSelfAdjoint a


Context:
α : Type u_1
m n : ZNum
h : m = n


Context: α : Type u_1

Context: m n : ZNum

Context: h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

(A.leftRegularHom x).hom (Finsupp.single 1 1) = x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ


Context:
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}


a < (fun a => sup fun n => f^[n] a) b ↔ ∃ n, a < f^[n] b


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
x : A


Context: a : ℕ


Context:
n d : ℤ
d_ne_zero : d ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x


↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpInd E hm μ s) x)


↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : f⁻¹ b < f⁻¹ a

(if f⁻¹ ⟨a, b⟩.fst ≤ f⁻¹ ⟨a, b⟩.snd then -1 else 1) = if f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).fst ≤ f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).snd then -1 else 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : ¬f⁻¹ b < f⁻¹ a


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: s t : Set ((i : ι) → α i)

Context: hs : ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s = cylinder s_1 S

∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ sᶜ = cylinder s_1 S


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S

∃ s_1 S_1, MeasurableSet S_1 ∧ (cylinder s S)ᶜ = cylinder s_1 S_1


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n → Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: ι₁ : Type u_6

Context: e : Basis ι₁ R M₂

Context: h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n → Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: ι₁ : Type u_6

Context: e : Basis ι₁ R M₂

Context: val✝ : Fintype ι


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 1
n : ℕ
hn : N ≤ n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 1
m : ℕ
hn : N ≤ N + m

∏ k ∈ range (N + m), u k = ∏ k ∈ range N, u k


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)

(PrimeSpectrum.comap (residue T)) x = closedPoint T


(PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥ = closedPoint T


((PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥).asIdeal = (closedPoint T).asIdeal


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 (x, y), p x

∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, p (x', y')


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 x ×ˢ 𝓝 y, p x


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty

∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : (f '' s).Finite

Context: hs : s.Nonempty

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hmax : ∀ a' ∈ f '' s, id (f a) ≤ id a' → id (f a) = id a'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

∫ (x : X), ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = ∫ (x : X) in univ, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ


(μ (t ∩ univ)).toReal • e = (μ t).toReal • e


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s


⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ s), ⨆ (_ : IsCompact K), μ' K = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ s), ⨆ (_ : IsCompact K), (μ'.haarScalarFactor μ • μ) K


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s
K : Set G
_Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → α
g : β → β
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

𝓟 s ⊓ 𝓟 t ≤ 𝓟 (s ∩ t)


∃ t₁ ∈ 𝓟 s, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, s ∩ t = t₁ ∩ t₂


𝓟 (s ∩ t) ≤ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ


IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n : ℤ

Context: φ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶ (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast := homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n : ℤ

Context: this : IsIso ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (mappingCone S.f) ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X


Context:
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α

LipschitzWith 2 fun p => infDist p.1 ↑p.2


Context:
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hμ₀ : 0 ≤ μ

Context: hf₀ : 0 ≤ f

Context: hg₀ : 0 ≤ g

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)

(∑ a : α, μ a * f a) * ∑ a : α, μ a * g a ≤ (∑ a : α, μ a) * ∑ a : α, μ a * (f a * g a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hμ₀ : 0 ≤ μ

Context: hf₀ : 0 ≤ f

Context: hg₀ : 0 ≤ g

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: a b : α

(μ * f) a * (μ * g) b ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hμ₀ : 0 ≤ μ

Context: hf₀ : 0 ≤ f

Context: hg₀ : 0 ≤ g

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: a b : α

μ a * f a * (μ b * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hμ₀ : 0 ≤ μ

Context: hf₀ : 0 ≤ f

Context: hg₀ : 0 ≤ g

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: a b : α

μ a * μ b * (f a * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b))


Context:
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: p : ℕ

Context: pp : Nat.Prime p

Context: hp : p ≠ 2


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: p : ℕ

Context: pp : Nat.Prime p

Context: hp : p ≠ 2

Context: hpo : Odd p


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: p : ℕ

Context: pp : Nat.Prime p

Context: hp : p ≠ 2

Context: hpo : Odd p

Context: q : ℕ

Context: pq : Nat.Prime q

Context: hq : q ≠ 2


Context: a b : ℕ

Context: ha : Odd a

Context: hb : Odd b

Context: p : ℕ

Context: pp : Nat.Prime p

Context: hp : p ≠ 2

Context: hpo : Odd p

Context: q : ℕ

Context: pq : Nat.Prime q

Context: hq : q ≠ 2

Context: hqo : Odd q


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : κ → α

∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f (g i)


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s

IntervalIntegrable (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) volume (↑n) (↑n + 1)


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s

IntegrableOn (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) (Icc (↑n) (↑n + 1)) volume


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : J ⥤ Presheaf C X

Context: H : ∀ (j : J), (F.obj j).IsSheaf

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: F' : J ⥤ Sheaf C X := { obj := fun j => { val := F.obj j, cond := ⋯ }, map := fun {X_1 Y} f => { val := F.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }

Context: e : F' ⋙ Sheaf.forget C X ≅ F := NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F' ⋙ Sheaf.forget C X).obj x)) ⋯


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: h : ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n x y : A

x ∈ map ((LinearMap.mul R A).flip y) P ↔ ∃ z ∈ P, Mul.mul z y = x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : One α

(blockDiagonal fun x => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : 0 < ε


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
a : S


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
Bₙ : ℚ
nth_den_eq : (of v).dens n = ↑Bₙ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

Context: this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s) + 2 * ↑0 * μ s))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

Context: this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑c * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

∀ a ∈ Ioi 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑a * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : ε ∈ Ioi 0

∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf : InjOn f s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
n : ℕ

dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) / (1 - ↑K)


dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) ((f ∘ f^[n]) x) / (1 - ↑K)


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hf : ¬IsField R

Context: this : ¬∀ {a : R}, a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hf : ¬IsField R


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0


‖y‖ / ‖x‖ * ‖x‖ = ‖y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

2 * (image Sym2.mk s.offDiag).card = s.offDiag.card


∀ (x y : α), s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag → (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
hxy : s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag

(filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: x y : α

Context: hxy : ∃ a, (a.1 ∈ s ∧ a.2 ∈ s ∧ a.1 ≠ a.2) ∧ Sym2.mk a = s(x, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
h : Sym2.mk a = s(x, y)
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: x y : α

Context: a : α × α

Context: ha₁ : a.1 ∈ s

Context: ha₂ : a.2 ∈ s

Context: ha : a.1 ≠ a.2

Context: h : Rel α a (x, y)

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : y ≠ x

Context: this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: x y : α

Context: a : α × α

Context: ha₁ : a.1 ∈ s

Context: ha₂ : a.2 ∈ s

Context: ha : a.1 ≠ a.2

Context: h : Rel α a (x, y)

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : y ≠ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * b < c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : a * b < c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : (c ≤ a ∧ d ≤ a) ∧ c ≤ b ∧ d ≤ b


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E

∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → E

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

Context: this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (⇑(measurableEquivIoc T t).symm) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ((measurableEquivIoc T t).symm x)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → E

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

Context: this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → E

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → E

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

Context: this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x

Context: this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val

∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val) volume = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : ℝ

Context: f : AddCircle T → E

Context: m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val volume) = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume))


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M''

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: r✝ : R

Context: M''' : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'''

Context: inst✝ : Module R M'''

Context: r : R

Context: f₁ : M →ₗ[R] M'

Context: f₂ : M' →ₗ[R] M''

Context: f₃ : M'' →ₗ[R] M'''

Context: h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂

Context: h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃

Context: h : IsSMulRegular M''' r

Context: this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r

Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M''

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: r✝ : R

Context: M''' : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'''

Context: inst✝ : Module R M'''

Context: r : R

Context: f₁ : M →ₗ[R] M'

Context: f₂ : M' →ₗ[R] M''

Context: f₃ : M'' →ₗ[R] M'''

Context: h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂

Context: h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃

Context: h : IsSMulRegular M''' r

r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


∀ (X_1 : Under Z), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map g ⋙ map f).obj X_1


autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Z) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map g ⋙ map f).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

IntegrableOn (fun t => ↑t ^ a) (Ioi c) volume


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

IntegrableOn (fun a_1 => ‖↑a_1 ^ a‖) (Ioi c) volume


Context:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ a) (volume.restrict (Ioi c))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → Option β

Context: g : α → β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)

filterMap f (a :: l) = map g (a :: l) → ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = some (g x)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → Option β

Context: g : α → β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ha : f a = none


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → Option β

Context: g : α → β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: b : β

Context: ha : f a = some b

b = g a → filterMap f l = map g l → b = g a ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a = some (g a)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume

Context: A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (F 0))

Context: B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom


α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv = (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

(fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) I ⋯


((fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I ⊓ J)) = (factor (I ⊓ J) I ⋯).comp (Quotient.mk (I ⊓ J))


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι

((ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr (f m)) i = (algebraMap R Rₛ) ((b.repr m) i)


↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i✝ i : ι

(↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ht : t ∈ 𝓝 x

(fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: x : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁷ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁴ : FunLike F M M₂

Context: inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s✝ t : Set M

Context: inst✝² : SetLike S M

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M

Context: inst✝ : SMulMemClass S R M

Context: s : S

Context: s' : Submodule R M := { carrier := ↑s, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }


Context:
x n m : ℕ
x✝ : x ∣ n * m
y : ℕ
hy : n * m = x * y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
x : F

(weightedSMul (μ + ν) s) x = (⇑(weightedSMul μ s) + ⇑(weightedSMul ν s)) x


((μ + ν) s).toReal • x = (μ s).toReal • x + (ν s).toReal • x


((⇑μ + ⇑ν) s).toReal • x = (μ s).toReal • x + (ν s).toReal • x


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: S : Finset Λ'

Context: f✝ : Γ → Stmt Bool Λ' σ

Context: this : ∀ (i : ℕ) (f : Vector Bool i → Stmt Bool Λ' σ), (∀ (v : Vector Bool i), SupportsStmt S (f v)) → SupportsStmt S (readAux i f)

Context: hf : ∀ (a : Γ), SupportsStmt S (f✝ a)

Context: v✝ : Vector Bool n

SupportsStmt S (move Dir.left (f✝ (dec v✝)))


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c


Context: s n : Nat

range' s (n + 1) = range' s n ++ [s + n]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝³ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ

(S₁.s.cofan Δ).inj A ≫ Φ.F.app Δ = Φ.f (unop A.fst).len ≫ (S₂.s.cofan Δ).inj A


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ


Context:
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R

(∏ i ∈ s, (X - C (f i))).nextCoeff = -∑ i ∈ s, f i


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hf : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x

Context: hg : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt g (g' (f x)) (f x)

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg' : Continuous g'

∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


generateFrom (range fun a => Iio ↑a) = generateFrom (range fun a => Ici ↑a)


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M ≃+ M'

Context: hi : Bijective ⇑i

Context: hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m

Context: x✝¹ : R

Context: x✝ : i x✝¹ = 0


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M ≃+ M'

Context: hi : Bijective ⇑i

Context: x✝¹ : R

Context: x✝ : M'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P

Function.Bijective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑(rTensor M f)


Context:
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (p * p.mirror).toFinsupp }


Context:
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n


C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w * trinomial k (n - m + k) n ↑w ↑v ↑u).toFinsupp }


C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + k) (↑u * ↑w) + Finsupp.single (k + (n - m + k)) (↑u * ↑v) + Finsupp.single (k + n) (↑u * ↑u) + (Finsupp.single (m + k) (↑v * ↑w) + Finsupp.single (m + (n - m + k)) (↑v * ↑v) + Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u)) + (Finsupp.single (n + k) (↑w * ↑w) + Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v) + Finsupp.single (n + n) (↑w * ↑u))) }


C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + k) (↑u * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + (n - m + k)) (↑u * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + n) (↑u * ↑u)) + (Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + k) (↑v * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + (n - m + k)) (↑v * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u))) + (Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + k) (↑w * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + n) (↑w * ↑u))) }


C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := 0 + 0 + 0 + (0 + 0 + Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u)) + (0 + Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v) + 0) }


n + (n - m + k) ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)


m + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)


k + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X


∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), R.arrows f → Sieve.pullback f (R ⊓ S) ∈ J.sieves Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R.arrows f


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)

j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i ≤ k


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : k < i


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A : StructuredArrow S T

Context: P : { P // ∃ q, q ≫ T.map P.arrow = A.hom }

↑((fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩) ((fun P => liftSubobject ↑P ⋯) P)) = ↑P


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T

∀ {a b : Subobject A}, { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b


∀ ⦃A_1 B : StructuredArrow S T⦄ (f : A_1 ⟶ A) (g : B ⟶ A) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g

{ toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A P Q : StructuredArrow S T

Context: f : P ⟶ A

Context: g : Q ⟶ A

Context: hf : Mono f

Context: hg : Mono g

Context: h : { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A P Q : StructuredArrow S T

Context: f : P ⟶ A

Context: g : Q ⟶ A

Context: hf : Mono f

Context: hg : Mono g


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g

{ toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]


Context:
l✝ r : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
l : List Char
h : ValidFor (a :: l) r it
hn : n + 1 ≤ (a :: l).length

ValidFor (List.drop (n + 1) (a :: l)) ((List.take (n + 1) (a :: l)).reverse ++ r) (it.prev.prevn n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
P : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x


(∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, q x ∧ P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

F.map (cyclesMap φ) ≫ (S₂.mapCyclesIso F).inv = (S₁.mapCyclesIso F).inv ≫ cyclesMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : i ≠ f.natDegree


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ

count p (a + b) = count p a + count (fun k => p (a + k)) b


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: a b : ℕ

Context: this : Disjoint (filter p (range a)) (filter p (map (addLeftEmbedding a) (range b)))


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: a b : ℕ

(filter p (range a)).card + (filter (p ∘ ⇑{ toFun := fun h => a + h, inj' := ⋯ }) (range b)).card = (filter p (range a)).card + (filter (fun k => p (a + k)) (range b)).card


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Disjoint g₁ g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

pushout.inl f g ≫ inv (pushout.inr f g) = inv f ≫ g


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)

a.toProdMulOpposite ∈ {lr | ∀ (x y : A), (unop lr.2) x * y = x * lr.1 y}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R

incMatrix R G a e = 0 ↔ e ∉ G.incidenceSet a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s