Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : NonAssocSemiring S
inst✝² : NonAssocSemiring R'
inst✝¹ : NonAssocSemiring S'
inst✝ : Subsingleton S
fst✝ : S
snd✝ : R

(fun x => (0, x)) (fst✝, snd✝).2 = (fst✝, snd✝)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y


coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ (coimageIsoImage' f).hom = coequalizer.π (kernel.ι f) 0 ≫ cokernel.desc (kernel.ι f) (factorThruImage f) ⋯


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂

Function.Surjective ⇑f.dualMap ↔ Function.Injective ⇑f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Continuous fun b => if f b ≤ g b then f b else g b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : SingleObj α ⥤q SingleObj β
g : SingleObj β ⥤q SingleObj γ

toPrefunctor.symm (f ⋙q g) = toPrefunctor.symm g ∘ toPrefunctor.symm f


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : spectrum ℝ a ⊆ Set.Icc (-↑t) ↑t


(∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ x) ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra ℝ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

Context: this : spectrum ℝ a ⊆ Set.Icc (-↑t) ↑t

Context: h : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ spectrum ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra ℝ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

Context: this : spectrum ℝ a ⊆ Set.Icc (-↑t) ↑t

Context: h : spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


HomogeneousLocalization.mk { deg := { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.deg + { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.deg, num := ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num * ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num, ⋯⟩, den := ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den * ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) (a + b) ^ m * (proj 𝒜 i) (a + b) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i * f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i j : ℕ
h2 : ¬m + m < j
h1 : j ≤ m

(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j) ∈ 𝒜 (m * i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i j : ℕ

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : ¬j ≤ m

Context: l : A⁰_ f := HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }

(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j) ∈ 𝒜 (m * i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } = ∑ i ∈ range (m + m + 1), g i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Localization.mk ↑{ deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ⟨↑{ deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.val (∑ i ∈ range (m + m + 1), g i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Localization.mk ↑{ deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ⟨↑{ deg := m * i + m * i, num := ⟨∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩ = (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (∑ i ∈ range (m + m + 1), g i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Localization.mk (∑ x ∈ range (m + m + 1), (m + m).choose x • ((proj 𝒜 i) a ^ x * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - x))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (∑ i ∈ range (m + m + 1), g i)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

∑ i_1 ∈ range (m + m + 1), Localization.mk ((m + m).choose i_1 • ((proj 𝒜 i) a ^ i_1 * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - i_1))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = ∑ x ∈ range (m + m + 1), (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (g x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

∀ j ∈ range (m + m + 1), Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (g j)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.val (g j)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : j ≤ m

Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : ¬j ≤ m

Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (m + m).choose j • HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ })


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : j ≤ m

(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j) = (proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j) * (proj 𝒜 i) b ^ m


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : j ≤ m

⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = ⟨f ^ i, ⋯⟩ * ⟨f ^ i, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : ¬j ≤ m

(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j) = (proj 𝒜 i) a ^ m * ((proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Context: h2 : ¬m + m < j

Context: h1 : ¬j ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty

0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length


Context: n b f : ℕ

∀ (n : ℕ) (l1 l2 : List Char), l1.length = l2.length → (b.toDigitsCore f n l1).length = (b.toDigitsCore f n l2).length


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G


(Set.range fun i => g • i • a) = Set.range fun m => m • g • a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X

(x✝ ∈ Set.range fun i => g • i • a) ↔ x✝ ∈ Set.range fun m => m • g • a


(∃ y, g • y • a = x✝) ↔ ∃ y, y • g • a = x✝


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: a : I

Context: ha : ↑y a = true

Context: hx : ↑x a = false

1 - e (π C fun x => x ∈ s) a ∈ factors C s x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: a : I

Context: ha : ↑y a = true

Context: hx : ↑x a = false

∃ a_1 ∈ s, (if ↑x a_1 = true then e (π C fun x => x ∈ s) a_1 else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a_1) = 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: a : I

Context: ha : ↑y a = true

Context: hx : ↑x a = false

a ∈ s ∧ (if ↑x a = true then e (π C fun x => x ∈ s) a else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a) = 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: a : I

Context: ha : ↑y a = true

Context: hx : ↑x a = false


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
i : Fin l.length

(l.formPerm ^ n) (l.get i) = l.get ⟨(↑i + n) % l.length, ⋯⟩


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
R : Type u_4
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R M M
c : R
a : M
b : ↥S


OreLocalization.oreNum (c • 1) b • a /ₒ (OreLocalization.oreDenom (c • 1) b * 1) = c • a /ₒ b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C

adj1.unit.app x ≫ G.map ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x) = adj2.unit.app x


adj1.unit.app x ≫ G.map ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x) = (adj1.unit ≫ whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
z : N

j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * ↑((IsUnit.liftRight ((j.toMap.comp l).restrict T) ⋯) (k.sec ((f.map hy k) z)).2)⁻¹ = j.toMap (l (g (f.sec z).1)) * ↑((IsUnit.liftRight ((j.toMap.comp (l.comp g)).restrict S) ⋯) (f.sec z).2)⁻¹


j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * (j.toMap.comp (l.comp g)) ↑(f.sec z).2 = (j.toMap.comp l) ↑(k.sec ((f.map hy k) z)).2 * j.toMap (l (g (f.sec z).1))


j.toMap (l (k.sec ((f.map hy k) z)).1) * j.toMap (l (g ↑(f.sec z).2)) = j.toMap (l ↑(k.sec ((f.map hy k) z)).2) * j.toMap (l (g (f.sec z).1))


j.toMap (l ((k.sec ((f.map hy k) z)).1 * g ↑(f.sec z).2)) = j.toMap (l (↑(k.sec ((f.map hy k) z)).2 * g (f.sec z).1))


Context:
u v : ℤ
h : u * v = -1


Context:
v : ℤ
h : 1 * v = -1


Context:
v : ℤ
h : -1 * v = -1


Context: n p : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: hR : Presheaf.IsSheaf J R

J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = J.sheafifyLift (η ≫ γ) hR


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: hR : Presheaf.IsSheaf J R

J.toSheafify P ≫ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = η ≫ γ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set ℝ

volume s = StieltjesFunction.id.measure s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a✝ : Finset σ × σ

a✝ ∈ filter (fun x => match x with | (s, snd) => s.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ a✝ ∈ (range k).disjiUnion (fun x => powersetCard x univ) ⋯ ×ˢ univ


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : (-q).natDegree ≤ n


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂

(mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: E : Type u₅

Context: F : Type u₆

Context: X : Type u₇

Context: Y : Type u₈

Context: Z : Type u₉

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F

Context: inst✝² : Category.{v₇, u₇} X

Context: inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y

Context: inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z

Context: G₁ : A ⥤ D

Context: H₁ : B ⥤ E

Context: K₁ : C ⥤ F

Context: G₂ : D ⥤ X

Context: H₂ : E ⥤ Y

Context: K₂ : F ⥤ Z

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : B ⥤ C

Context: R₂ : C ⥤ B

Context: L₃ : D ⥤ E

Context: R₃ : E ⥤ D

Context: L₄ : E ⥤ F

Context: R₄ : F ⥤ E

Context: L₅ : X ⥤ Y

Context: R₅ : Y ⥤ X

Context: L₆ : Y ⥤ Z

Context: R₆ : Z ⥤ Y

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: adj₄ : L₄ ⊣ R₄

Context: adj₅ : L₅ ⊣ R₅

Context: adj₆ : L₆ ⊣ R₆

Context: α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁

Context: β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁

Context: γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂

Context: δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂

Context: vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: E : Type u₅

Context: F : Type u₆

Context: X : Type u₇

Context: Y : Type u₈

Context: Z : Type u₉

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F

Context: inst✝² : Category.{v₇, u₇} X

Context: inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y

Context: inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z

Context: G₁ : A ⥤ D

Context: H₁ : B ⥤ E

Context: K₁ : C ⥤ F

Context: G₂ : D ⥤ X

Context: H₂ : E ⥤ Y

Context: K₂ : F ⥤ Z

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : B ⥤ C

Context: R₂ : C ⥤ B

Context: L₃ : D ⥤ E

Context: R₃ : E ⥤ D

Context: L₄ : E ⥤ F

Context: R₄ : F ⥤ E

Context: L₅ : X ⥤ Y

Context: R₅ : Y ⥤ X

Context: L₆ : Y ⥤ Z

Context: R₆ : Z ⥤ Y

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: adj₄ : L₄ ⊣ R₄

Context: adj₅ : L₅ ⊣ R₅

Context: adj₆ : L₆ ⊣ R₆

Context: α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁

Context: β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁

Context: γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂

Context: δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂

Context: hcomp1 : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: E : Type u₅

Context: F : Type u₆

Context: X : Type u₇

Context: Y : Type u₈

Context: Z : Type u₉

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F

Context: inst✝² : Category.{v₇, u₇} X

Context: inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y

Context: inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z

Context: G₁ : A ⥤ D

Context: H₁ : B ⥤ E

Context: K₁ : C ⥤ F

Context: G₂ : D ⥤ X

Context: H₂ : E ⥤ Y

Context: K₂ : F ⥤ Z

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : B ⥤ C

Context: R₂ : C ⥤ B

Context: L₃ : D ⥤ E

Context: R₃ : E ⥤ D

Context: L₄ : E ⥤ F

Context: R₄ : F ⥤ E

Context: L₅ : X ⥤ Y

Context: R₅ : Y ⥤ X

Context: L₆ : Y ⥤ Z

Context: R₆ : Z ⥤ Y

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: adj₄ : L₄ ⊣ R₄

Context: adj₅ : L₅ ⊣ R₅

Context: adj₆ : L₆ ⊣ R₆

Context: α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁

Context: β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁

Context: γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂

Context: δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂

Context: hcomp2 : (mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x : F


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * z) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsPredLimit a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsPredLimit a
b : α
hb : ¬IsMin b ∧ pred b = a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝⁴ : μ.IsOpenPosMeasure
s U✝ F : Set X
x : X
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Surjective f
U : Set Z
hUo : IsOpen U
hUne : U.Nonempty


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m

Context: hm : f ↑m < 1


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m

Context: hm : f ↑m < 1

Context: M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m

Context: hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m

Context: k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

Context: hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m

Context: hm : f ↑m < 1

Context: M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m

Context: hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m

Context: k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

Context: hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

Context: a b : ℤ

Context: bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: m : ℕ

Context: hpm : ¬p ∣ m

Context: hm : f ↑m < 1

Context: M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m

Context: hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m

Context: k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

Context: hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

Context: a b : ℤ

Context: bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1

Context: le_half : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → x < 1 → x ≤ M → x ^ k < 1 / 2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card
h_deg_eq : degree 0 = g.degree
hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x 0 = eval x g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
hf : f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

∫⁻ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2

A ≃ₗ[R] ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)


(selfAdjointPart R).prod (skewAdjointPart R) ∘ₗ (selfAdjoint.submodule R A).subtype.coprod (skewAdjoint.submodule R A).subtype = LinearMap.id


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R

x1.fromRows y1 = x2.fromRows y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2


(∀ (i : m₁ ⊕ m₂) (j : n), x1.fromRows y1 i j = x2.fromRows y2 i j) → (∀ (i : m₁) (j : n), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m₂) (j : n), y1 i j = y2 i j


Context: b c : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
n : ℕ
hG : Nat.card G = p ^ n
g : G


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
u : Rˣ

(constantCoeff R) (invUnitsSub u) = 1 /ₚ u


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n

v ⬝ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c = v i * c


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → v b * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c b = 0


i ∉ Finset.univ → v i * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c i = 0


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s s' : Set (Sym2 V)

(G.deleteEdges s).deleteEdges s' = G.deleteEdges (s ∪ s')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub

Context: trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c

Context: this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub

Context: ub : α

Context: hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub

Context: a : α

Context: ha : r ub a

Context: this : IsChain r (insert a (maxChain r))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub

Context: ub : α

Context: hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub

Context: a : α

Context: ha : r ub a


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context:
a : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit


Context:
a : Ordinal.{u_1}
h : a ≠ 0 ∧ ω ∣ a


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hpx : eval₂ (algebraMap O R) x p = 0

Context: hvx : 1 < v x


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hpx : x ^ p.natDegree = -∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)

Context: hvx : 1 < v x


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

Context: hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v (x ^ p.natDegree)


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

v (∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

v (eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

Context: hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) < 1


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hvx : 1 < v x

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

Context: hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) = 1


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t

(G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: hn : ¬G.Adj s t

Context: inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: hn : ¬G.Adj s t

G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card - G.degree t = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: hn : ¬G.Adj s t

(image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card = G.degree s


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: hn : ¬G.Adj s t


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ * A = 1
right✝ : A * A⁻¹ = 1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ = 0


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : A.Finite


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p✝ q✝ r : R✝[X]
x✝ : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
h : p.IsRoot x
hpq : p ∣ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b c : α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

∏ x ∈ s.support, X x ^ s x = (monomial s) 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter α
s : Set β

Tendsto f l (𝓟 s) ↔ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α

∏ x ∈ Ico a b, f (c + x) = ∏ x ∈ Ico (a + c) (b + c), f x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝¹ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Ico a b


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : i.EssImageSubcategory

i.essImageInclusion.map (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom = inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj)


inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj) = inv ((reflectorAdjunction i).unit.app X.obj)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
g₁ g₂ : G
h₁ : g₁ ∈ {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}
h₂ : g₂ ∈ {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: s : Set α

Context: g : G

Context: h : g ∈ { carrier := {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯ }.carrier

g⁻¹ ∈ { carrier := {g | g • s =ᶠ[ae μ] s}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯ }.carrier


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ

↑((a + b).choose a) = ↑(a + b)! / (↑a ! * ↑b !)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
inst✝ : f.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f✝ : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
f : A₀ ⟶ A₁
inst✝ : IsIso f.f

F.map (inv f.f) ≫ A₀.str = A₁.str ≫ inv f.f


F.map (inv f.f) ≫ F.map f.f ≫ A₁.str = A₁.str


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalization M S


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalization M S
s : S

∃ r s_1, IsUnit ((algebraMap R S) s_1) ∧ (algebraMap R S) s_1 * s = (algebraMap R S) r


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
s : ↥M

∃ r s_1, IsUnit ((algebraMap R S) s_1) ∧ (algebraMap R S) s_1 * IsLocalization.mk' S x s = (algebraMap R S) r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → E → F

Context: s : Finset ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ s, ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f i x) x

ContDiffAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → E → F

Context: s : Finset ι

Context: x : E

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) univ x


Context:
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 < f i
hs : s.Nonempty


Context: x y : ℝ≥0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : FunLike F R S
inst✝² : NonUnitalRingHomClass F R S
inst✝¹ : FunLike G S T
inst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T
f✝ : F
g✝ : G
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b
this : IsLocalizedModule S LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

(s ∩ t).ncard + (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : { x // x ∈ t }
hs : s ∈ 𝓝 (π ↑a)

π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
π : α → β
s : Set β
t : Set α
a : { x // x ∈ t }
hs : (fun x => π ↑x) ⁻¹' s ∈ 𝓝 a

π ⁻¹' s ∈ 𝓝[t] ↑a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
c : R
m : ℕ

derivative ((X - C c) ^ m) = C ↑m * (X - C c) ^ (m - 1)


Context:
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α

WithTop.map (⇑toDual) s.min = (image (⇑toDual) s).max


WithTop.map (⇑toDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑toDual)


Context: a b c : ℕ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₃ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
c' : R
hc' : c' ≠ 0
li : M →ₗᵢ[R] N

IsConformalMap (c • c' • li.toContinuousLinearMap)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''


∀ (v w : V), (G.connectedComponentMk v).supp = (G.connectedComponentMk w).supp → G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk w


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V

(G.connectedComponentMk v).supp = (G.connectedComponentMk w).supp → G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk w


(∀ (x : V), G.Reachable x v ↔ G.Reachable x w) → G.Reachable v w


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: v w : V

Context: h : ∀ (x : V), G.Reachable x v ↔ G.Reachable x w


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : Semiring R₁
inst✝¹⁷ : Semiring S₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁹ : Module R N₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m

(toMatrix₂Aux R (fun i => (LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) (toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) i j = f i j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π

⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace


⋯.measurableSpace ≤ hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace


hτ.measurableSpace ⊓ hπ.measurableSpace ≤ ⋯.measurableSpace


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P

vectorSpan k {p₁, p₂} = Submodule.span k {p₂ -ᵥ p₁}


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p

⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n) = ⇑((RingAut.toPerm R) (frobeniusEquiv R p ^ n))


⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n) = (⇑((RingAut.toPerm R) (frobeniusEquiv R p)))^[n]


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context: f✝ f g : StieltjesFunction


Context:
f✝ f g : StieltjesFunction
a b : ℝ
h : a < b

(f + g).measure (Ioc a b) = (f.measure + g.measure) (Ioc a b)


ofReal (↑f b + ↑g b - (↑f a + ↑g a)) = ofReal (↑f b - ↑f a) + ofReal (↑g b - ↑g a)


ofReal (↑f b + ↑g b - (↑f a + ↑g a)) = ofReal (↑f b - ↑f a + (↑g b - ↑g a))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
G : Type u_1
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift
h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

∃ F, ∀ (g : G), Semiconj ⇑F ⇑(f₁ g) ⇑(f₂ g)


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift

Context: h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

Context: this : ∀ (x : ℝ), BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift

Context: h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

Context: F₁ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₁.toHomUnits

Context: F₂ : G →* ℝ ≃o ℝ := toOrderIso.comp f₂.toHomUnits

Context: hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)

Context: hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift

Context: h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

Context: hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)

Context: hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)

Context: x y : ℝ

Context: hxy : x ≤ y

sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') x)) ≤ sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') y))


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift

Context: h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

Context: hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)

Context: hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)

Context: x : ℝ

sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') (x + 1))) = sSup (range fun g' => (f₂ g'⁻¹) ((f₁ g') x)) + 1


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* CircleDeg1Lift

Context: h : ∀ (g : G), τ (f₁ g) = τ (f₂ g)

Context: hF₁ : ∀ (g : G), ⇑(F₁ g) = ⇑(f₁ g)

Context: hF₂ : ∀ (g : G), ⇑(F₂ g) = ⇑(f₂ g)

Context: x : ℝ

BddAbove (range fun g => (f₂ g⁻¹) ((f₁ g) x))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i : ι


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i j : ι

(h.basis.repr (e i)) j = (Finsupp.single i 1) j


(if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
p : β → Prop

(∀ b ∈ image f s, p b) ↔ ∀ a ∈ s, p (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : OrientedOrd α
inst✝ : OrientedOrd β


OrientedCmp (compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ


(fun x => (n + k + 1).factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + k + 1)) = (fun x => (n + k + 1).factorial • x) 0


(n + k + 1).factorial • multichoose (-↑n) (n + k + 1) = (n + k + 1).factorial • 0


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x y : PiLp 2 β

dist x y = √(∑ i : ι, dist (x i) (y i) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f


Context: m n : ℕ+


Context:
m n : ℕ+
h : n.mod m = m


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T T₁ T₂ : Monad C
h : T₂ ⟶ T₁
A : T₁.Algebra


T₂.μ.app A.A ≫ h.app A.A ≫ A.a = T₂.map (h.app A.A ≫ A.a) ≫ h.app A.A ≫ A.a


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l✝ : Line α✝ ι✝

Context: i : ι✝

Context: a x✝² : α✝

Context: α α' : Type u

Context: e : α ≃ α'

Context: κ : Type (max v u)

Context: x✝¹ : Finite κ

Context: ι : Type

Context: x✝ : Fintype ι

Context: h : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l

Context: C : (ι → α') → κ

Context: l : Line α ι

Context: c : κ

Context: lc : ∀ (x : α), (fun v => C (⇑e ∘ v)) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c

Context: x : α

C ((fun x i => ((map (⇑e) l).idxFun i).getD x) (e x)) = c


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι

Context: i : ι

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: ihα : ∀ (κ : Type (max v u)) [inst : Finite κ], ∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

∃ ι x, ∀ (C : (ι → Option α) → κ), ∃ l, IsMono C l


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι

Context: i : ι

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

Context: val✝ : Fintype κ


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι

Context: i : ι

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

Context: val✝ : Fintype κ

Context: h : Nonempty α


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι

Context: i : ι

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

Context: val✝ : Fintype κ

Context: h : Nonempty α

∀ (r : ℕ), ∃ ι x, ∀ (C : (ι → Option α) → κ), (∃ s, Multiset.card s.lines = r) ∨ ∃ l, IsMono C l


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι✝

Context: i : ι✝

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

Context: val✝ : Fintype κ

Context: h : Nonempty α

Context: r : ℕ

Context: ι : Type

Context: _inst✝ : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → Option α) → κ), (∃ s, Multiset.card s.lines = r) ∨ ∃ l, IsMono C l

Context: ι' : Type

Context: _inst : Fintype ι'

Context: C : (ι ⊕ ι' → Option α) → κ

Context: l' : Line α ι'

Context: C' : (ι → Option α) → κ

Context: hl' : ∀ (x : α), (fun v' v => C (Sum.elim v (some ∘ v'))) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) = C'

(∃ s, Multiset.card s.lines = r + 1) ∨ ∃ l, IsMono C l


Context: η : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: l : Line α✝ ι✝

Context: i : ι✝

Context: a x : α✝

Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: κ : Type (max v u)

Context: inst✝ : Finite κ

Context: val✝ : Fintype κ

Context: h : Nonempty α

Context: r : ℕ

Context: ι : Type

Context: _inst✝ : Fintype ι

Context: ι' : Type

Context: _inst : Fintype ι'

Context: C : (ι ⊕ ι' → Option α) → κ

Context: l' : Line α ι'

Context: C' : (ι → Option α) → κ

Context: mono_of_mono : (∃ l, IsMono C' l) → ∃ l, IsMono C l


Context:
n m : ℕ
α : Sort u_1
k k' : ℕ
f g : Fin k → Fin k' → α

HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k) (j : Fin k'), f i j = g ⟨↑i, ⋯⟩ ⟨↑j, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s

Context: B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s

Context: C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s

Context: C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)


Context:
r p : ℝ
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

s ∈ f ×ˢ ⊤ ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f


{a | ∀ b ∈ univ, (a, b) ∈ s} ∈ f ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), y i < z i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: hs : IsLowerSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h : ∀ (i : ι), y i < x i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε

Context: hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i

Context: w : ι → ℝ

Context: i : ι

Context: hw : w ∈ univ.pi fun b => Ioo (y b - δ) (y b + δ)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
p : R[X]
hsep : p.Separable


∀ (x : R[X]), multiplicity x p ≤ 1 ∨ IsUnit x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : NoMaxOrder α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i = (pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
a : α

a ∈ l.support.preimage f hf ↔ (fun a => l (f a)) a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a b✝ c : α
inst✝ : NoMinOrder α
b : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M

∏ p ∈ antidiagonal (n + 1), f p = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)


f (0, n + 1) * ∏ x ∈ antidiagonal n, f (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)) x) = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α


(f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).head :: (f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).tail = f a :: map f s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : Finite α

Context: C : Set α → Prop

Context: S0 : Set α

Context: H0 : C S0

Context: H1 : ∀ (S : Set α), S ≠ univ → C S → ∃ a ∉ S, C (insert a S)

∀ s ⊂ univ, C s → ∃ a ∈ univ \ s, C (insert a s)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'

(toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ l r) i j = (((toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) r) i j


(B (l (b₁' i))) (r (b₂' j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x


((b₁.repr (l (b₁' i))).sum fun i xi => (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => xi •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x


(∑ i_1 : n, (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 •> yj •> (B (b₁ i_1)) (b₂ j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x


∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∩ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2

dickson 1 1 0 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)


3 - ↑1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)


dickson 1 1 1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑1).comp (C ⅟2 * X)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ

dickson 1 1 (n + 2) = 2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 2)).comp (C ⅟2 * X)


X * (2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 1)).comp (C ⅟2 * X)) - 1 * (2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X)) = 2 * (↑2 * (C ⅟2 * X) * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))


X * 2 * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - 1 * 2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X) = 2 * (1 * X * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
h : a ∈ parallel S


∀ (C : Computation α), a ∈ C → ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), corec parallel.aux1 (l, S) = C → ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: h : a ∈ parallel S

Context: F : List (Computation α) → α ⊕ List (Computation α) → Prop := fun l a => Sum.casesOn (motive := fun t => a = t → Prop) a (fun a_1 h => ∃ c, c ∈ l ∧ a_1 ∈ c) (fun l' h => ∀ (a' : α), (∃ c, c ∈ l' ∧ a' ∈ c) → ∃ c, c ∈ l ∧ a' ∈ c) ⋯

Context: lem1 : ∀ (l : List (Computation α)), F l (parallel.aux2 l)

Context: C : Computation α

Context: aC : a ∈ C

∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), corec parallel.aux1 (l, S) = C → ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S✝ : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: h : a ∈ parallel S✝

Context: C : Computation α

Context: aC : a ∈ C

Context: l : List (Computation α)

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: e : corec parallel.aux1 (l, S) = pure a

Context: a' : α

Context: this : F l (Sum.inl a')

Context: h' : a' = a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S✝ : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: h : a ∈ parallel S✝

Context: C : Computation α

Context: aC : a ∈ C

Context: C' : Computation α

Context: IH : ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), corec parallel.aux1 (l, S) = C' → ∃ c, (c ∈ l ∨ c ∈ S) ∧ a ∈ c

Context: l : List (Computation α)

Context: S : WSeq (Computation α)

Context: e : corec parallel.aux1 (l, S) = C'.think

Context: l' : List (Computation α)

Context: this : F l (Sum.inr l')

Context: h' : corec parallel.aux1 ((fun l' => match Seq.destruct S with | none => (l', Seq.nil) | some (none, S') => (l', S') | some (some c, S') => (c :: l', S')) l') = C'


Context: θ : Angle

-θ = θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.236825
S'' : Type ?u.236828
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
v : P.vars →₀ ℕ
r : R

f.toAlgHom ((monomial v) r) = r • v.prod fun x x_1 => f.val x ^ x_1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: F : DirectLimit G f →+ P

Context: x : DirectLimit G f

F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: F : DirectLimit G f →+ P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: F : DirectLimit G f →+ P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

(W.map f).preΨ₄ = Polynomial.map f W.preΨ₄


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : IsDomain R₁
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : IsDomain R₁
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
d : R₁
J : Ideal R₁
left✝ : d ≠ 0

IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) d)⁻¹ * ↑J)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
M₀ : Type u_6
inst✝⁴ : MulZeroOneClass α
inst✝³ : MulZeroOneClass β
inst✝² : MulZeroOneClass γ
inst✝¹ : MulZeroOneClass δ
inst✝ : FunLike F α β
g : β →*₀ γ
f₁ f₂ : α →*₀ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A

Context: adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A

Context: adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A

Context: adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K

adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F) = ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

(adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: eq : (adj₁.comp adj₂).unit.app F ≫ (sheafToPresheaf J A ⋙ G.op.ran).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F) = (adj₃.comp adj₄).unit.app F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

(adj₁.homEquiv ((𝟭 (Dᵒᵖ ⥤ A)).obj F) ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val).symm (adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))) = (adj₁.homEquiv ((𝟭 (Dᵒᵖ ⥤ A)).obj F) ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val).symm ((adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F)))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map ((sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val = ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

(sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F)) = adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ


↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᶠ[ae μ] f


↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)


AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Integrable.toL1 f hfi)) μ


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : n > 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

(addOppositeEquiv.symm x).support = (AddOpposite.unop x).support


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
z : ℤ


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), ∃ j < i, f n ∈ generateMeasurableRec s j

⋃ n, f n ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s✝ : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
s : Finset E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s✝ : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w✝ : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: y z : E

Context: s : Finset E

Context: hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f

Context: w : E → 𝕜

Context: hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y

Context: hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1

Context: hx : s.centerMass w _root_.id ∈ (convexHull 𝕜) ↑s

f (s.centerMass w _root_.id) ≤ s.sup' ⋯ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α
a : α

M.evalFrom s (x ++ [a]) = M.step (M.evalFrom s x) a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: x : M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: x : M


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α

![a₀, a₁, a₂] ⬝ᵥ ![b₀, b₁, b₂] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁ + a₂ * b₂


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ


∀ (A : IndexSet Δ), (s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = (s.cofan Δ).inj A ≫ g.app Δ


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])

(s.cofan (op [n])).inj A ≫ f.app (op [n]) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ g.app (op [n])


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


Context:
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A


M.Nondegenerate ↔ ¬∃ v, v ≠ 0 ∧ v ᵥ* M = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing S
inst✝ : Nontrivial R
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G

f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op = (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫ Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }


((NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom ≫ f.unop).op = ({ app := fun X => f.unop.op.unop.app X, naturality := ⋯ } ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom).op


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α