Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A

Context: inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B

Context: F✝ : A ⥤ B

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D

Context: inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory E

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget E)

Context: inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P) = ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv }


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A

Context: inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B

Context: F✝ : A ⥤ B

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D

Context: inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory E

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget E)

Context: inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: e_1✝ : (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ E)).obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P))

((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P) = (plusPlusAdjunction J E).unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J E).map ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A

Context: inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B

Context: F✝ : A ⥤ B

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D

Context: inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory E

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget E)

Context: inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv } = whiskerRight ((plusPlusAdjunction J D).unit.app P) F


Context:
x : ℝ
hx : -(π / 2) ≤ x
hx₀ : x ≤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Iic n)
us : ∀ i ≤ n, u i ∈ s

∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s


Context:
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n

ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)


Context:
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a


HasFDerivAt (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑?m.32659) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))


ContDiffAt 𝕂 n (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h


Context:
α : Type u_1
b : Bool
a : Lists' α b
l : Lists' α true


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [MOD n]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Continuous ⇑f
this : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 (f 1))


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: b : Ordinal.{u}

Context: a : Cardinal.{u}

Context: H : ∀ {o : Ordinal.{u}} (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), o.blsub f = b → a ≤ o.card

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = b


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: b : Ordinal.{u}

Context: a : Cardinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = b

Context: r : ι → ι → Prop

Context: hr : IsWellOrder ι r

Context: hι' : (#ι).ord = type r


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: b : Ordinal.{u}

Context: a : Cardinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: r : ι → ι → Prop

Context: hr : IsWellOrder ι r

Context: hf : (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = b

Context: hι' : (#ι).ord = type r


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

h.rightHomologyIso.hom ≫ h.ι = S.rightHomologyι ≫ h.opcyclesIso.hom


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ Tendsto f l atBot


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι

volume.toBoxAdditive I = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : NonUnitalRing R
p : RingSeminorm R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Multiset (Tropical R)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Tropical R
x : Multiset (Tropical R)
IH : untrop x.sum = (map untrop x).inf

untrop (s ::ₘ x).sum = (map untrop (s ::ₘ x)).inf


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
i j : ↥R⁰

Submodule.span (R_hat R K) {↑↑i * ↑↑j} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑i} ⊓ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑j}


(∃ a, a • ↑↑i = ↑↑i * ↑↑j) ∧ ∃ a, a • ↑↑j = ↑↑i * ↑↑j


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r : ↥R⁰

∃ j, a • Submodule.span (R_hat R K) {↑↑j} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c


a • Submodule.span (R_hat R K) {↑↑(r * b)} ≤ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: r b : ↥R⁰

Context: c : R_hat R K

Context: h : a * ↑↑b = ↑c

Context: m : FiniteAdeleRing R K

Context: hm : m ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑(r * b)})

(DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) m ∈ Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: r b : ↥R⁰

Context: c : R_hat R K

Context: h : a * ↑↑b = ↑c

Context: m : FiniteAdeleRing R K

Context: hm : m ∈ Submodule.span (R_hat R K) {↑(↑r * ↑b)}


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
m : FiniteAdeleRing R K
hm : ∃ a, a • ↑(↑r * ↑b) = m

∃ a_1, a_1 • ↑↑r = (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) m


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
r b : ↥R⁰
c : R_hat R K
h : a * ↑↑b = ↑c
n : R_hat R K

∃ a_1, a_1 • ↑↑r = (DistribMulAction.toLinearMap (R_hat R K) (FiniteAdeleRing R K) a) (n • ↑(↑r * ↑b))


Algebra.toRingHom (n * c) * ↑↑r = Algebra.toRingHom n * ↑c * ↑↑r


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : ↥R⁰

Context: x : FiniteAdeleRing R K

Context: hx : x ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}) * ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : ↥R⁰

Context: x : FiniteAdeleRing R K

Context: hx : ∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), ∃ y ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), x_1 * y = x


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : ↥R⁰

Context: a : FiniteAdeleRing R K

Context: ha : a ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})

Context: b : FiniteAdeleRing R K

Context: hb : b ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})

a * b ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r})


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
a b : FiniteAdeleRing R K
ha : ∃ a_1, a_1 • ↑↑r = a
hb : ∃ a, a • ↑↑r = b


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K

∃ a, a • ↑↑r = m • ↑↑r * n • ↑↑r


Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * Algebra.toRingHom ↑↑r * ↑↑r = Algebra.toRingHom m * ↑↑r * (Algebra.toRingHom n * ↑↑r)


Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (Algebra.toRingHom ↑↑r * ↑↑r) = Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (↑↑r * ↑↑r)


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ

(Summable fun i => f (i + k)) ↔ Summable f


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ

(Summable fun a => ↑(f (a + k))) ↔ Summable fun a => ↑(f a)


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0

SMul.smul n (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this : SMul.smul n (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ i ∈ univ, n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))


Context: x y : ℂ

cos ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cos x)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f✝ : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
f : G →* G'


(∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ⁅f g₁, f g₂⁆ ∈ ⁅map f H₁, map f H₂⁆) ∧ ∀ g₁ ∈ map f H₁, ∀ g₂ ∈ map f H₂, ⁅g₁, g₂⁆ ∈ map f ⁅H₁, H₂⁆


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: φ : G →* ι →ᵤ M := { toFun := swap (DFunLike.coe ∘ F), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k b : ℕ
x✝ : b ≥ 0


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ℕ → M

Context: he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m

Context: ho : HasProd (fun k => f (2 * k + 1)) m'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ℕ → M

Context: he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m

Context: this : Injective fun x => 2 * x


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
he : HasProd (fun k => f (2 * k)) m
this : Injective fun x => 2 * x
ho : HasProd (fun x => f ↑x) m'


IsCompl (Set.range fun x => 2 * x) (Set.range ((fun x => x + 1) ∘ fun x => 2 * x))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData

h.rightHomologyIso.hom ≫ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).inv = S.rightHomologyIso.hom


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
f : Over X
X✝ Y✝ : Over f
κ : X✝ ⟶ Y✝


κ.left.left ≫ Y✝.hom.left = (κ.left ≫ Y✝.hom).left


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α

IsOrderBornology α ↔ inst✝² = orderBornology


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
h : IsOrderBornology α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α
h : IsOrderBornology α
s : Set α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E


0 ≤ ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹


0 ≤ (∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
j : ι

(Basis.ofEquivFun b.repr.toLinearEquiv) j = b j


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

LiouvilleWith p (x * ↑n) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a✝ : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α
a : α

(s ×ˢ t).sup f ≤ a ↔ (s.sup fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ≤ a


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set (Sigma σ)

IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Sigma.mk i ⁻¹' s)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set (Sigma σ)

(∀ (i : ι), IsOpen s) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Sigma.mk i ⁻¹' s)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S✝
inst✝² : Algebra R S✝
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring S
J : Ideal S
hJ : J.IsPrime
K : Ideal P
hK : K.IsPrime
f : R →+* S
hIJ : I = Ideal.comap f J
g : S →+* P
hJK : J = Ideal.comap g K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S✝
inst✝² : Algebra R S✝
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring S
J : Ideal S
hJ : J.IsPrime
K : Ideal P
hK : K.IsPrime
f : R →+* S
hIJ : I = Ideal.comap f J
g : S →+* P
hJK : J = Ideal.comap g K
r : R

((localRingHom J K g hJK).comp (localRingHom I J f hIJ)) ((algebraMap R (Localization.AtPrime I)) r) = (algebraMap P (Localization.AtPrime K)) ((g.comp f) r)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪o.rightAngleRotationAux₁ x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y


⟪(InnerProductSpace.toDual ℝ E).symm (LinearMap.toContinuousLinearMap.symm.symm (o.areaForm x)), y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y


(LinearMap.toContinuousLinearMap.symm.symm (o.areaForm x)) y = (o.areaForm x) y


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
h : z ∈ {x, y}ᶜ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤

llr μ (c • ν) =ᶠ[ae μ] fun x => llr μ ν x - log c.toReal


(fun x => log (μ.rnDeriv (c • ν) x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: h : μ.rnDeriv (c • ν) =ᶠ[ae ν] c⁻¹ • μ.rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_eq : μ.rnDeriv (c • ν) x = (c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log (μ.rnDeriv (c • ν) x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log ((c⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log (c⁻¹.toReal * (μ.rnDeriv ν x).toReal) = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log c⁻¹.toReal + log (μ.rnDeriv ν x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

-log c.toReal + log (μ.rnDeriv ν x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal - log c.toReal


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g

∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g
hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: hunif : UniformIntegrable (fun n => μ[g|↑ℱ n]) 1 μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => μ[g|↑ℱ n]) i) 1 μ ≤ ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: hlimint : Integrable (limitProcess (fun n => μ[g|↑ℱ n]) ℱ μ) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

g =ᶠ[ae μ] limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: this : ∀ (n : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

μ s < ⊤ → ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

μ ∅ < ⊤ → ∫ (x : Ω) in ∅, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in ∅, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∀ t ∈ {s | ∃ n, MeasurableSet s}, μ t < ⊤ → ∫ (x : Ω) in t, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in t, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (μ t < ⊤ → ∫ (x : Ω) in t, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in t, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ) → μ tᶜ < ⊤ → ∫ (x : Ω) in tᶜ, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in tᶜ, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgmeas : StronglyMeasurable g

Context: hle : ⨆ n, ↑ℱ n ≤ m0

Context: R : ℝ≥0

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i) < ⊤ → ∫ (x : Ω) in f i, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in f i, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ) → μ (⋃ i, f i) < ⊤ → ∫ (x : Ω) in ⋃ i, f i, g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in ⋃ i, f i, limitProcess (fun n x => (μ[g|↑ℱ n]) x) ℱ μ x ∂μ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
c : β
hc : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, c) q

∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, c) ↑r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
c : β
hc : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, c) q
q : ℚ

0 ∈ lowerBounds (range fun r => f (a, c) ↑r)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y : C
α : F ⟶ G
f : X ⟶ Y
x✝ : IsIso (α.app Y)

α.app X ≫ G.map f ≫ inv (α.app Y) = F.map f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

(toSpec 𝒜 f).val.base x = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))


(PrimeSpectrum.comap (awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x)) (closedPoint ↑((Proj.restrict ⋯).presheaf.stalk x)) = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))


((PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)).comp (PrimeSpectrum.comap ((Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv))) (closedPoint ↑((Proj.restrict ⋯).presheaf.stalk x)) = (PrimeSpectrum.comap (mapId 𝒜 ⋯)) (closedPoint (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : BilinForm A M₃
b : Basis ι A M₃

B.Nondegenerate ↔ ((BilinForm.toMatrix b) B).det ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : Vector α n

Tendsto (fun p => p.1 ::ᵥ p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a ::ᵥ l))


Tendsto (fun x => ↑(x.1 ::ᵥ x.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: ↑l))


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : TopologicalSpace F
hm : m ≤ mΩ
hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f : Ω → F

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hm : m ≤ mΩ

Context: hf : AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)


Context:
r✝ r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
s : Finset α
r : ℝ≥0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

rightHomologyMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData ≫ S.rightHomologyData.ι = h.ι ≫ opcyclesMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

Context: h : ∀ i ∈ p₁.vars, i ∈ p₁.vars → g₁ i = g₂ i

(eval₂Hom f₁ g₁) p₁ = (eval₂Hom f₁ g₂) p₁


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

(eval₂Hom f₁ g₁) (∑ v ∈ p₁.support, (monomial v) (coeff v p₁)) = (eval₂Hom f₁ g₂) (∑ v ∈ p₁.support, (monomial v) (coeff v p₁))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

(∑ x ∈ p₁.support, f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₁ i ^ k) = ∑ x ∈ p₁.support, f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₂ i ^ k


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

∀ x ∈ p₁.support, (f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₁ i ^ k) = f₁ (coeff x p₁) * x.prod fun i k => g₂ i ^ k


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ p₁.support

∏ x ∈ d.support, g₁ x ^ d x = ∏ x ∈ d.support, g₂ x ^ d x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ p₁.support

∀ x ∈ d.support, g₁ x ^ d x = g₂ x ^ d x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ p₁.support

Context: i : σ

Context: hi : i ∈ d.support


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f₁ : R →+* S

Context: g₁ g₂ : σ → S

Context: p₁ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ p₁.support

Context: i : σ

Context: hi : i ∈ d.support

Context: this : i ∈ p₁.vars


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C : ℝ

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

‖SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)‖ ≤ C * ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: x : ℂ


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y

QuasiSeparated f ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: a b n : ℕ

(if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k => p ^ (k / n)) = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α
P : Set α → Prop

(∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, P a) ↔ ∀ ε > 0, ∃ a ∈ v.setsAt x, a ⊆ closedBall x ε ∧ P a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α

l₁ <+~ l₂ ↔ ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: this : l₁ <+~ l₂.diff l₁ ++ l₁


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : LocalRing R

Context: h_pos : ∀ (p : ℕ), IsPrimePow p → CharP R p → P

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : LocalRing R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : LocalRing R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p ≠ 0

Context: p_char : CharP R p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : LocalRing R

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p ≠ 0

Context: p_char : CharP R p

Context: p_ppow : IsPrimePow p


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h : w ≠ x
h₂ : Wbtw R x w z


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A

(fun x => A.leftRegularHom x) ({ toFun := fun f => f.hom (Finsupp.single 1 1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) = f


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f✝ : X ⟶ Y
A : Rep k G
f : ofMulAction k G G ⟶ A
x : G

(((fun x => A.leftRegularHom x) ({ toFun := fun f => f.hom (Finsupp.single 1 1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (f.hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Monoid G

Context: X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

Context: f✝ : X ⟶ Y

Context: A : Rep k G

Context: f : ofMulAction k G G ⟶ A

Context: x : G

Context: this : f.hom (((ofMulAction k G G).ρ x) (Finsupp.single 1 1)) = (A.ρ x) (f.hom (Finsupp.single 1 1))


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Monoid G

Context: X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

Context: f✝ : X ⟶ Y

Context: A : Rep k G

Context: f : ofMulAction k G G ⟶ A

Context: x : G

f.hom (Finsupp.single x 1) = f.hom (Finsupp.single x 1)


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
i : I

(ι' R A) ((lof R I A i) 1) = (mkAlgHom R A) 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, R < x n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x x_2 ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: r : ℝ≥0

∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: l : Filter ι

Context: x : ι → ℝ

Context: r : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

(crossProduct u) ((crossProduct v) w) = (crossProduct ((crossProduct u) v)) w + (crossProduct v) ((crossProduct u) w)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
q : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
q : R[X]
this : (gcd p q).degree ≤ ↑p.natDegree


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: pos : 0 < r

Context: sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)

Context: y✝ : E

Context: hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∉ Finset.range n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: pos : 0 < r

Context: y✝ : E

Context: hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this : Inhabited m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i

Context: A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hbi : b i = k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hi : b i < (image b univ).max' ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this✝ : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hi : b i < (image b univ).max' ⋯

Context: this : Invertible A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this✝ : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hi : b i < (image b univ).max' ⋯

Context: this : Invertible A

Context: hA : A.BlockTriangular b'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this✝ : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hi : b i < (image b univ).max' ⋯

Context: this : Invertible A

Context: hA : A.BlockTriangular b'

Context: hb' : image b' univ ⊂ image b univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: i j : m

Context: hij : b j < b i

Context: this✝ : Inhabited m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

Context: hi : b i < (image b univ).max' ⋯

Context: this : Invertible A

Context: hA : A.BlockTriangular b'

Context: hb' : image b' univ ⊂ image b univ

Context: hij' : b' ⟨j, ⋯⟩ < b' ⟨i, hi⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : α → Option γ
g : β → Option δ
hfg : (R ⇒ Option.Rel P) f g
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs

Forall₂ P (filterMap f (a :: as)) (filterMap g (b :: bs))


Forall₂ P (match f a with | none => filterMap f as | some b => b :: filterMap f as) (match g b with | none => filterMap g bs | some b => b :: filterMap g bs)


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.ContainsIdentities
J : Type
inst✝¹ : Finite J
inst✝ : HasProductsOfShape J C
hW : W.IsStableUnderProductsOfShape J
F : Discrete J ⥤ C

(adj L hW).counit.app (F ⋙ L) = (Functor.const (Discrete J)).map ((compLimitFunctorIso L hW).hom.app F) ≫ (Functor.compConstIso (Discrete J) L).hom.app (lim.obj F) ≫ whiskerRight (constLimAdj.counit.app F) L


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N✝ : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝⁴ : Zero M

Context: inst✝³ : Zero M'

Context: inst✝² : CommMonoid N✝

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: N : Type u_16

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ N

Context: a : α

(f.sum fun x v => if x = a then v else 0) = f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: s : Set α

Context: hμs : s ∈ μ.cofinite

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε

∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : j ∈ span R (Set.range v)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing R₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R₂ M

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y : M

Context: b : Basis ι R M

Context: G : Type u_10

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : DistribMulAction G R

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G M

Context: inst✝ : IsScalarTower G R M

Context: v : ι → M

Context: hv : span R (Set.range v) = ⊤

Context: w : ι → G

Context: j : M

Context: hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p

∀ (p : Submodule R M), Set.range (w • v) ⊆ ↑p → j ∈ p


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing R₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R₂ M

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y : M

Context: b : Basis ι R M

Context: G : Type u_10

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : DistribMulAction G R

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G M

Context: inst✝ : IsScalarTower G R M

Context: v : ι → M

Context: hv : span R (Set.range v) = ⊤

Context: w : ι → G

Context: j : M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing R₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R₂ M

Context: inst✝⁵ : Module R M'

Context: inst✝⁴ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y : M

Context: b : Basis ι R M

Context: G : Type u_10

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : DistribMulAction G R

Context: inst✝¹ : DistribMulAction G M

Context: inst✝ : IsScalarTower G R M

Context: v : ι → M

Context: hv : span R (Set.range v) = ⊤

Context: w : ι → G

Context: j : M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p

Context: i : ι

Context: this : ((w i)⁻¹ • 1) • w i • v i ∈ p


IsGδ (⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})


Context: n : ℕ

IsOpen (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})


Context:
n : ℕ
a b : ℤ
_hb : 1 < b

IsOpen (ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α

Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : IsAtom (f b)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : ⊥ ⋖ f b


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E

μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E
h : r ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E

μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F

μ (0 • ∅) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ ∅


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty


μ {0} = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : β →Co γ
f₁ f₂ : α →Co β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M

↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S✝ : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S✝ : L.Substructure M

Context: s : Set M


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S✝ : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: S' : L.Substructure M

Context: hS' : S' ∈ {S | s ⊆ ↑S}


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S✝ : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: S' : L.Substructure M

Context: hS' : S' ∈ {S | s ⊆ ↑S}

Context: t : L.Term { x // x ∈ s }


Context:
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝³ : MulZeroOneClass M₀
inst✝² : Nontrivial M₀
inst✝¹ : Zero M₀'
inst✝ : One M₀'
f : M₀' → M₀
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

Even (G.degree x) ↔ u ≠ v → x ≠ u ∧ x ≠ v


G.degree x = List.countP (fun e => decide (x ∈ e)) p.edges


(G.incidenceFinset x).card = Multiset.card (Multiset.filter (Membership.mem x) ↑p.edges)


(G.incidenceFinset x).val = Multiset.filter (Membership.mem x) ↑p.edges


(G.incidenceFinset x).val = (Finset.filter (Membership.mem x) ⋯.edgesFinset).val


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
this : Fintype ↑G.edgeSet


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

circleMap c R (θ + 2 * π) = circleMap c R θ


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: α : Type w

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C

Context: F : Discrete α ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt

Context: h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => colimit.desc (liftToFinset F) { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }) s


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: α : Type w

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete α ⥤ C

Context: s : Cocone F

∀ (j : Finset (Discrete α)), colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ m = colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ (fun s => colimit.desc (liftToFinset F) { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }) s


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: α : Type w

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete α ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: t : Finset (Discrete α)

colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ m = colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ colimit.desc { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: α : Type w

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete α ⥤ C

Context: s : Cocone F

Context: t : Finset (Discrete α)

∀ (j : Discrete { x // x ∈ t }), colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ m = colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ colimit.desc { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : s.WellFoundedOn (rι on f)

Context: hπ : ∀ (i : ι), (s ∩ f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)

WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f ↑c, g (f ↑c) ↑c⟩)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]

Context: hq₁ : q₁ ≠ 0

Context: hq₂ : q₂ ≠ 0

Context: h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁

Context: h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂

Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) (p₁ * p₂)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]

Context: hq₁ : q₁ ≠ 0

Context: hq₂ : q₂ ≠ 0

Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₁


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]

Context: hq₁ : q₁ ≠ 0

Context: hq₂ : q₂ ≠ 0

Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y))} = span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C L * (X - C x) + C y))}


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1

Context: of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯

Context: self : motive n ⋯

leRec (motive := fun {n_1} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n_1 → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n_1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n_1 ⋯ → motive n mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) ⋯ of_succ self = self


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}
c' : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a (b + p) = toIcoDiv hp a b + 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: f : R[X]

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: p : R[X]

Context: k : ℕ

Context: fu : ℕ → ℕ

Context: fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0

Context: fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m

Context: φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0

Context: φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: f : R[X]

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: p : R[X]

Context: k : ℕ

Context: fu : ℕ → ℕ

Context: fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0

∀ (n : ℕ) (r : R), r ≠ 0 → n ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (C r * X ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: f : R[X]

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring S

Context: inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]

Context: inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]

Context: φ : F

Context: p : R[X]

Context: k : ℕ

Context: fu : ℕ → ℕ

Context: fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0

∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) f → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) g → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (f + g)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.rightHomologyι


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

Context: inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G

IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

(∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤

∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : R
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

((k • z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: u : δ → δ → Prop

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : RelHomClass F r s

Context: f : F

Context: b : β

Context: a : α

Context: H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y

Context: IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom + (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.denom ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β


Context: n m : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
e : n ≃ m
M : Matrix n n R

((reindex e e) M).charmatrix.det = M.charmatrix.det


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

OrthogonalIdempotents e ↔ IsIdempotentElem (e default)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b c a : α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r

μ (ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : Module.End R M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : Module.End R M

Context: n : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : Module.End R M

Context: n : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ

Context: h : l ≤ m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : Module.End R M

Context: n : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ

Context: h : m < l


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * evariance X μ


∫⁻ (ω : Ω), ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ = ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2


↑(‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = ↑((c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2)


‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = (c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2


‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖|c| * (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ)‖₊ ^ 2


‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖c * X ω - c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2


∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ


∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = (∫ (x : Ω), X x ∂μ) * c


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y

Context: he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)

Context: Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x

Context: DF : F → E

Context: hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))

Context: Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

Context: x : F

x ∈ ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) ↔ x ∈ Set.Icc a b


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

Context: hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b

Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

Context: hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i))


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : F) in ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm (eL x))) (eL.symm (e i))


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i)) = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL b i) x))) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL a i) x)))


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn ((fun i x => f i (eL.symm x)) i) (Set.Icc (eL a) (eL b))


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

∀ x ∈ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (eL a i) (eL b i)) \ ⇑eL.symm ⁻¹' s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt ((fun i x => f i (eL.symm x)) i) ((fun i x => (f' i (eL.symm x)).comp ↑eL.symm) i x) x


Context: E : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : PartialOrder F

Context: inst✝¹ : MeasureSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ

Context: f : Fin (n + 1) → F → E

Context: f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E

Context: s : Set F

Context: hs : s.Countable

Context: a b : F

Context: hle : a ≤ b

Context: DF : F → E

Context: he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL

IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((fun i x => (f' i (eL.symm x)).comp ↑eL.symm) i x) (e i)) (Set.Icc (eL a) (eL b)) volume


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β


(∃ a ∈ s₁, x ∈ t₁ a) ↔ ∃ a ∈ s₂, x ∈ t₂ a


∀ (a : α), a ∈ s₁ ∧ x ∈ t₁ a ↔ a ∈ s₂ ∧ x ∈ t₂ a


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ


Context:
α : Type u_1
s✝ : Finset α
f : α → ℕ
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, (f i)! ∣ (∑ i ∈ s, f i)!

∏ i ∈ cons a s has, (f i)! ∣ (∑ i ∈ cons a s has, f i)!


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Tendsto U fltr (𝓝 u)
i : ι

StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2


Tendsto (fun l p => U l (↑p.1) p.2) fltr (𝓝 fun p => u (↑p.1) p.2)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: fltr : Filter γ

Context: inst✝¹ : fltr.NeBot

Context: inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated

Context: U : γ → ι → Ω → β

Context: h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)

Context: h_tendsto : ∀ (x : ι), Tendsto (fun i => U i x) fltr (𝓝 (u x))

Context: i : ι

∀ (x : ↑(Set.Iic i) × Ω), Tendsto (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) fltr (𝓝 (u (↑x.1) x.2))


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: fltr : Filter γ

Context: inst✝¹ : fltr.NeBot

Context: inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated

Context: U : γ → ι → Ω → β

Context: h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)

Context: i : ι

Context: x : ↑(Set.Iic i) × Ω

Context: h_tendsto : Tendsto (fun i_1 => U i_1 ↑x.1) fltr (𝓝 (u ↑x.1))

Tendsto (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) fltr (𝓝 (u (↑x.1) x.2))


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: fltr : Filter γ

Context: inst✝¹ : fltr.NeBot

Context: inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated

Context: U : γ → ι → Ω → β

Context: h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)

Context: i : ι

Context: x : ↑(Set.Iic i) × Ω

Context: h_tendsto : ∀ (s : Set (Ω → β)), IsOpen s → u ↑x.1 ∈ s → (fun i_1 => U i_1 ↑x.1) ⁻¹' s ∈ fltr

∀ (s : Set β), IsOpen s → u (↑x.1) x.2 ∈ s → (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) ⁻¹' s ∈ fltr


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k : n

(leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k) = (leftMulMatrix b) x i j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E

((adjoint S).comp (T.comp S)).IsPositive


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Epi (α.app X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : G ⟶ Z✝
eq : α ≫ g = α ≫ h
X : C


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l : List ι

Context: f g : ι → M

Context: h : (map f l).prod < (map g l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: l : List ι

Context: f g : ι → M

Context: h : ∀ i ∈ l, g i ≤ f i


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : y ∈ map f I


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : ∃ y_1 ∈ ↑I, ↑f y_1 = y


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
x : L
hx : x ∈ ↑I


Context:
K : Type u
inst✝ : CommRing K
R : Type u_1
r : K
x : FractionRing K[X]

r • { toFractionRing := x } = Polynomial.C r • { toFractionRing := x }


Context:
K : Type u
inst✝ : CommRing K
R : Type u_1
r : K
y✝ : K[X] × ↥K[X]⁰

r • { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = Polynomial.C r • { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
a b : Fin n


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

x ∈ comap i (perfectClosure F K) ↔ x ∈ perfectClosure F E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E

DifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (iso x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: _wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: ih : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) %ₘ q = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)

(if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

(C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2 = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: ih : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)