Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

∫ (x : ↑s), g (s.restrict f x) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

∫ (x : ↑s), (g ∘ f) ↑x ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

∫ (x : E) in s, |(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → F

Context: x : E

|(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x = |(f' x).det| • (g ∘ f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ Metric.ball 0 r


∀ (i : ℝ), 0 < i → Absorbs 𝕜 (Metric.ball 0 i) s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r

∀ (i : ℝ), 0 < i → Absorbs 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α

μ₁ + μ₂ ≪ ν ↔ μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
h : μ₁ + μ₂ ≪ ν

μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
h : μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
v : ℕ → Set α
hv : s ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

(s ∪ t).card = s.card + t.card - (s ∩ t).card


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
h : 0 ≤ ε
y : α

y ∈ EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ closedBall x ε


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : D ⥤ C
x✝ : E

(𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) ≫ x.map (adj.unit.app (G.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝))))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ x.map (G.map (adj.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) = 𝟙 (x.obj (G.obj x✝))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : E ⥤ C
x✝ : D

(𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) ≫ x.map (F.map (adj.unit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝))))) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫ x.map (adj.counit.app (F.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) = 𝟙 (x.obj (F.obj x✝))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x y : L

Context: hx : IsAlgebraic K x

Context: h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x y : L

Context: hx : IsAlgebraic K x

Context: hy : IsAlgebraic K y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
hsplit : Splits (RingHom.id K) p

p = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ


Context:
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A

minpoly A (x - (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (X + C a)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: u : Set X

Context: hus : u ⊆ s

Context: huc : u.Countable

Context: huU : s ⊆ ⋃ x ∈ u, t x


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: u : Set X

Context: hus : u ⊆ s

Context: huc : u.Countable

Context: huU : s ∩ ⋃ x ∈ u, t x = s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: u : Set X

Context: hus : u ⊆ s

Context: huc : u.Countable

Context: huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: u : Set X

Context: hus : u ⊆ s

Context: huc : u.Countable

Context: huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s

⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ (⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i)) / ↑r


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: u : Set X

Context: hus : u ⊆ s

Context: huc : u.Countable

Context: huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s

⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ ⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i) / ↑r


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R

seminormFromConst' hf1 hc hpm (x + y) ≤ max (seminormFromConst' hf1 hc hpm x) (seminormFromConst' hf1 hc hpm y)


∀ (x_1 : ℕ), seminormFromConst_seq c f (x + y) x_1 ≤ max (seminormFromConst_seq c f x x_1) (seminormFromConst_seq c f y x_1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: hna : IsNonarchimedean ⇑f

Context: x y : R

Context: n : ℕ

Context: hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ max (f (x * c ^ n)) (f (y * c ^ n))

seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ max (seminormFromConst_seq c f x n) (seminormFromConst_seq c f y n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: hna : IsNonarchimedean ⇑f

Context: x y : R

Context: n : ℕ

Context: hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (x * c ^ n) ∨ f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (y * c ^ n)

seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f x n ∨ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f y n


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: h : p ≠ 2

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

(Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1) = ↑↑p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'

map p'.subtype (range (inclusion h)) = p


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (r • f)) s = (r • μ.withDensity f) s


∫⁻ (a : α) in s, (r • f) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, r * f a ∂μ


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β

{ pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app j ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app j


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
h : j = default


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)

{ pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app default


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Unique β

Context: f : β → C

Context: s : Cocone (Discrete.functor f)

Context: m : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.pt ⟶ s.pt

Context: w : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ m = s.ι.app default


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Unique β

Context: f : β → C

Context: s : Cocone (Discrete.functor f)

Context: w : m = s.ι.app default


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

countP (fun a => p ↑a) (attach ⟦l⟧) = countP p ⟦l⟧


countP (fun a => p ↑a) (↑l).attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l


countP (fun a => p ↑a) ↑l.attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l


List.countP (fun b => decide (p ↑b)) l.attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l


List.countP (fun b => decide (p ↑b)) l.attach = List.countP (fun a => decide (p ↑a)) l.attach


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
n i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (2 * n + 1)

(2 * n).choose i✝ ≤ (2 * n).choose (2 * n / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
a b : α


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s

∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMapOn f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f ⁻¹' s

Context: e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMapOn f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f ⁻¹' s

Context: h : f x ∈ ⋯.toTrivialization.baseSet


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMapOn f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f ⁻¹' s

Context: h : f x ∈ ⋯.toTrivialization.baseSet

Context: he : x ∈ e.source := (Trivialization.mem_source e).mpr h


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton S


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : ContinuousAdd E

Context: s t : Set E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: ht : StrictConvex 𝕜 t

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ t

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ t

Context: h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

a • (fun x x_1 => x + x_1) v w + b • (fun x x_1 => x + x_1) x y ∈ interior (s + t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : ContinuousAdd E

Context: s t : Set E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: ht : StrictConvex 𝕜 t

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ t

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ t

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : ContinuousAdd E

Context: s t : Set E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: ht : StrictConvex 𝕜 t

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ t

Context: y : E

Context: hy : y ∈ t

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hx : v ∈ s

Context: h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) v y

a • v + b • v + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : ContinuousAdd E

Context: s t : Set E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: ht : StrictConvex 𝕜 t

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ t

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ t

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hvx : v ≠ x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
h : J.Covers S f
Z : C
g : Z ⟶ Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
h : Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
Z : C
g : Z ⟶ Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.17758, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

∃ g', map (algebraMap R K) g' * C g.leadingCoeff = g


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0


∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: g_ne_0 : g ≠ 0

Context: g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: g_ne_0 : g ≠ 0

Context: algeq : ↥(integralClosure R K) ≃ₐ[R] R := ((integralClosure R K).equivOfEq ⊥ ⋯).trans (Algebra.botEquivOfInjective ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: g_ne_0 : g ≠ 0

Context: this : (algebraMap R K).comp (↑algeq).toRingHom = (integralClosure R K).toSubring.subtype


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: g_ne_0 : g ≠ 0

Context: H : ∃ q, map (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K) q = g * C g.leadingCoeff⁻¹


Context:
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ
ih : Even (m ^ n) ↔ Even m ∧ n ≠ 0


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
this : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ s

(Trans.trans (Trans.trans (Set.union ⋯).symm (Set.ofEq ⋯)) (Set.univ α)).symm x = Sum.inl ⟨x, hx⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: z : S

Context: inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : p ≠ 0

Context: px : (aeval z) p = 0

Context: a : R := p.leadingCoeff

∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: z : S

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : p ≠ 0

Context: px : (aeval z) p = 0

Context: a : R := p.leadingCoeff

Context: a_ne_zero : a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: z : S

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : p ≠ 0

Context: px : (aeval z) p = 0

Context: a : R := p.leadingCoeff

Context: a_ne_zero : a ≠ 0

Context: x_integral : IsIntegral R (z * (algebraMap R S) a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x
p : α
hp : p ∈ factors x
right✝ : p' ~ᵤ p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: H : ∀ (n : β), IsPreconnected (s n)

Context: K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty

Context: i✝ j i : β

Context: x✝ : i ∈ Ico j i✝


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: H : ∀ (n : β), IsPreconnected (s n)

Context: i✝ j i : β

Context: x✝ : i ∈ Ico j i✝


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt

Context: e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

(∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)) ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

∀ (a : J), IsPullback (c'.ι.app a) ((α' ≫ α).app a) f (c.ι.app a) ↔ IsPullback (c'.ι.app a) (α'.app a) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app a)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (α.app j ≫ c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

Context: this : IsPullback (α.app j ≫ c.ι.app j) (α.app j) (𝟙 (((Functor.const J).obj c.pt).obj j)) (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.34786, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.34793, u_2} D

Context: F G : J ⥤ C

Context: α : F ⟶ G

Context: inst✝ : IsIso α

Context: c : Cocone G

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α' : F' ⟶ F

Context: hα : NatTrans.Equifibered α'

Context: j : J

c'.ι.app j ≫ f = α'.app j ≫ α.app j ≫ c.ι.app j


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : δ + ε ≤ dist x y


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1
hp0 : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1
hp0 : p ≠ 0
this : p.degree < (p * X).degree


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1
hp0 : p ≠ 0
this : p = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))


volume (⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
this : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: this✝ : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))

Context: this : volume (Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r) = ENNReal.ofReal r ^ Fintype.card (Fin (finrank ℝ E)) * ENNReal.ofReal (√π ^ Fintype.card (Fin (finrank ℝ E)) / Gamma (↑(Fintype.card (Fin (finrank ℝ E))) / 2 + 1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: this✝ : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))

Context: this : volume (Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: this✝ : Nonempty (Fin (finrank ℝ E))

⇑(stdOrthonormalBasis ℝ E).repr.symm ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball ((stdOrthonormalBasis ℝ E).repr x) r


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x y : ↑X
h : x ≠ y

∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑(polynomialFunctions X), f x ≠ f y


(fun f => ⇑f) (↑(toContinuousMapOnAlgHom X) Polynomial.X) x ≠ (fun f => ⇑f) (↑(toContinuousMapOnAlgHom X) Polynomial.X) y


¬eval (↑x) Polynomial.X = eval (↑y) Polynomial.X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f g : r ≼i s
a : α


Context: V : Type u₁

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: F G : Paths V ⥤ C

Context: h_obj : F.obj = G.obj

Context: h : ∀ (a b : V) (e : a ⟶ b), F.map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ G.map e.toPath ≫ eqToHom ⋯


Context: V : Type u₁

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: F G : Paths V ⥤ C

Context: h_obj : F.obj = G.obj


Context: V : Type u₁

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: F G : Paths V ⥤ C

Context: h_obj : F.obj = G.obj

autoParam (∀ (X Y : Paths V) (f : X ⟶ Y), F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
l : List Bool
b : Bool


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
p : Set α → Prop
hs : s.Subsingleton
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}


Context:
α : Type u
a : α
t : Set α
p : Set α → Prop
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
hs : ∅.Subsingleton


Context:
α : Type u
a : α
t : Set α
p : Set α → Prop
he : p ∅
h₁ : ∀ (x : α), p {x}
x : α
hs : {x}.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊂ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

AffineIndependent k p ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hxy' : f x < f y

Context: u : 𝕜

Context: hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: v : 𝕜

Context: hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: huv : u < v

Context: step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hxy' : f x < f y

Context: v : 𝕜

Context: hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: hu : y ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: huv : y < v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hxy' : f x < f y

Context: u : 𝕜

Context: hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: v : 𝕜

Context: hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y

Context: huv : u < v

Context: hu2 : y < u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : b ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i) = 𝟙 (X.obj [n])


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot
f g : β → α
a b : α
ha : Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Tendsto g l (𝓝 b)

Inseparable a b ↔ Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f g : β → α

Context: a b : α

Context: ha : Tendsto f l (𝓝 a)

Context: hb : Tendsto g l (𝓝 b)

Context: h : Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f g : β → α

Context: a b : α

Context: ha : Tendsto f l (𝓝 a)

Context: hb : Tendsto g l (𝓝 b)


Context: α : Type u_1


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α

((x, y, z) ∈ (s \ (SimpleGraph.badVertices G ε s t ∪ SimpleGraph.badVertices G ε s u)).biUnion fun x => image (fun x_1 => (x, x_1)) (G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u))) → (x, y, z) ∈ filter (fun x => match x with | (x, y, z) => G.Adj x y ∧ G.Adj x z ∧ G.Adj y z) (s ×ˢ t ×ˢ u)


∀ x_1 ∈ s, ¬(x_1 ∈ SimpleGraph.badVertices G ε s t ∨ x_1 ∈ SimpleGraph.badVertices G ε s u) → ∀ (x_2 x_3 : α), x_2 ∈ t → G.Adj x_1 x_2 → x_3 ∈ u → G.Adj x_1 x_3 → G.Adj x_2 x_3 → x_1 = x → x_2 = y → x_3 = z → x ∈ s ∧ y ∈ t ∧ z ∈ u ∧ G.Adj x y ∧ G.Adj x z ∧ G.Adj y z


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: i : Fin (n + 1)

Context: hi : (Hom.toOrderHom θ) i.castSucc = (Hom.toOrderHom θ) i.succ

∃ θ', θ = σ i ≫ θ'


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: i : Fin (n + 1)


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : Fin ([n + 1].len + 1)

(Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom (σ i ≫ δ i.succ ≫ θ)) x


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : Fin ([n + 1].len + 1)

(Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) ((Hom.toOrderHom (δ i.succ)) (i.predAbove x))


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2
cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: mono : StrictMonoOn (fun y => tan y - y) (Ico 0 (π / 2))


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: zero_in_U : 0 ∈ U


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: zero_in_U : 0 ∈ U

Context: x_in_U : x ∈ U


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
this : fib n ≤ 2 * fib (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
x : R
y : ↥M


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M


Context: x y : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)

cylinder s S₁ ∩ cylinder s S₂ = cylinder s (S₁ ∩ S₂)


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


(if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.eq ↔ a = b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a < b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : a = b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : ¬a = b


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: hx : x ∈ filter (fun a => a ^ n = 1) univ

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x

(fun x => (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) ^ x) ↑(m / (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) = x


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x

Context: hgmn : g ^ (m * n.gcd (Fintype.card α)) = 1


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x

(g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) ^ ↑(m / (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))) = x


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x

Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α) ∣ m


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x

Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α) * n.gcd (Fintype.card α) ∣ m * n.gcd (Fintype.card α)


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: x : α

Context: m : ℕ

Context: hm : g ^ m = x


Context:
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

(↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))))).toFinset.card ≤ n


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: m : ℕ

Context: hm : Fintype.card α = n.gcd (Fintype.card α) * m


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: m : ℕ

Context: hm0 : 0 < m


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: m : ℕ

Context: hm0 : 0 < m

Fintype.card ↥(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α)))) ≤ n


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: m : ℕ

Context: hm0 : 0 < m

Fintype.card α / (Fintype.card α).gcd (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α)) ≤ n


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsCyclic α

Context: n : ℕ

Context: hn0 : 0 < n

Context: g : α

Context: hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

Context: m : ℕ

Context: hm0 : 0 < m

Fintype.card α / (n.gcd (Fintype.card α) * m).gcd (n.gcd (Fintype.card α) * m / n.gcd (Fintype.card α)) ≤ n


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : m ∈ ⁅I, N⁆


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: N₂ : LieSubmodule R L M₂

Context: h₁ : I ≤ J

Context: h₂ : N ≤ N'

Context: m : M

Context: h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: N₂ : LieSubmodule R L M₂

Context: h₁ : I ≤ J

Context: h₂ : N ≤ N'

Context: m : M

∀ (N : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N → m ∈ N


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field E
inst✝⁹ : Algebra F E
K✝ : Type w
inst✝⁸ : Field K✝
inst✝⁷ : Algebra F K✝
inst✝⁶ : Algebra E K✝
inst✝⁵ : IsScalarTower F E K✝
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Module.rank F E * sepDegree E K = sepDegree F K


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R

Function.Surjective A.mulVec ↔ ∃ B, A * B = 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: A : Matrix m n R

Context: val✝ : Fintype m

Context: h : Function.Surjective A.mulVec

Context: cols : m → n → R

Context: hcols : ∀ (x : m), A *ᵥ cols x = Pi.single x 1


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: A : Matrix m n R

Context: val✝ : Fintype m

Context: h : Function.Surjective A.mulVec

Context: cols : m → n → R

Context: i j : m


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u v : UniformSpace β
F : Filter β

F.NeBot ∧ F ×ˢ F ≤ 𝓤 β ↔ (F.NeBot ∧ F ×ˢ F ≤ 𝓤 β) ∧ F.NeBot ∧ F ×ˢ F ≤ 𝓤 β


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
i j : A
h : i + j = 0
X : C

(shiftFunctor C i).map ((shiftFunctorCompIsoId C i j h).symm.hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C j i ⋯).hom.app ((shiftFunctor C i).obj X) = 𝟙 ((shiftFunctor C i).obj X)


Context: C : Type u

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: inst✝ : HasShift C A

Context: i j : A

Context: h : i + j = 0

Context: X : C

Context: e_1✝ : ((shiftFunctor C i).obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((shiftFunctor C i).obj X)) = ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj ((𝟭 C).obj X) ⟶ (𝟭 C).obj ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj X))

Context: e_3✝ : (shiftFunctor C i).obj ((𝟭 C).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj ((𝟭 C).obj X)

Context: e_4✝¹ : (shiftFunctor C i).obj ((shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj (((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X)

Context: e_7✝ : (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X = ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X

Context: e_6✝ : shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse

Context: e_4✝ : shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse

(shiftFunctorCompIsoId C i j h).symm = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).unitIso


Context: C : Type u

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: inst✝ : HasShift C A

Context: i j : A

Context: h : i + j = 0

Context: X : C

Context: e_4✝ : (shiftFunctor C i).obj ((shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).obj X) = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj (((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse).obj X)

Context: e_5✝¹ : (𝟭 C).obj ((shiftFunctor C i).obj X) = (𝟭 C).obj ((equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor.obj X)

Context: e_5✝ : shiftFunctor C j ⋙ shiftFunctor C i = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor

Context: e_3✝ : shiftFunctor C j ⋙ shiftFunctor C i = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).inverse ⋙ (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).functor

shiftFunctorCompIsoId C j i ⋯ = (equivOfTensorIsoUnit (shiftMonoidalFunctor C A) { as := i } { as := j } (Discrete.eqToIso h) (Discrete.eqToIso ⋯) ⋯).counitIso


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

(μ (closedBall c f.rIn)).toReal ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α

⋂ i, ⋂ j, s i j = ∅ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∉ s i j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : Summable fun n => ↑‖p n‖₊ * ↑r ^ n


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
hb : b ≠ j
c : R
M : Matrix n n R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G H : C ⥤ Type w
X Y Z : C
σ : F ⟶ G
τ : G ⟶ H
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : F.obj X


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
a0 : 0 < a


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ : OneCocycle G U
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Field R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: a : A

Context: ha : p a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Field R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Field R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

(cfcₙHom ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ?refine_1 } = (cfcₙHom_of_cfcHom R ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ?refine_1 }


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝¹ : Fintype V
G' : G.Subgraph
inst✝ : Fintype ↑G'.verts
h : G'.IsSpanning


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
a x : R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E

HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v✝ v : E

Context: h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0

Context: h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v✝ v : E

Context: h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0

Context: h₂ : HasFDerivAt (fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v) (4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v✝ v : E

Context: h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0

ContinuousLinearMap.id ℝ E = (‖0‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E + ContinuousLinearMap.smulRight 0 (4 • 0 + (‖0‖ ^ 2 - 4) • v)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: X' X : C

Context: Y Y' : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G.obj Y'

Context: h : X' ⟶ G.obj Y

Context: k : Y ⟶ Y'

Context: w : F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: f g : Filter α

Context: s : Set α → Set β

Context: hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: f g : Filter α

Context: s : Set α → Set β

⨅ i, (bif i then f else g).lift' s = ⨅ b, bif b then f.lift' s else g.lift' s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: f g : Filter α

Context: s : Set α → Set β

∀ (i : Bool), (bif i then f else g).lift' s = bif i then f.lift' s else g.lift' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent t
hf : Injective f
i : ι'

⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (t ∘ f) j ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ f i), t j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent t
hf : Injective f
i✝ i : ι'

⨆ (_ : i ≠ i✝), (t ∘ f) i ≤ ⨆ (_ : f i ≠ f i✝), t (f i)


Context: X Y B : LightProfinite

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : LightProfinite

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget LightProfinite).obj Z

Context: hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z

Context: hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z


Context: X Y B : LightProfinite

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : LightProfinite

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget LightProfinite).obj Z


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
p : V × V
h : G.Adj p.1 p.2

∀ {p_1 : V × V}, { toProd := p, adj := h }.edge = Sym2.mk p_1 ↔ { toProd := p, adj := h }.toProd = p_1 ∨ { toProd := p, adj := h }.toProd = p_1.swap


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α

s⁻¹ = ∅ ↔ s = ∅


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X : C

Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: X : C

Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ≅ (contractibleTriangle X).invRotate


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.250887, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + n' = p₃
q : ℤ
hq : p₁ + m = q

(liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α' β' h').v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ q hq ≫ α'.v q p₃ ⋯ + β.v p₁ p₂ h₁₂ ≫ β'.v p₂ p₃ h₂₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.250887, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: α : Cochain K F m

Context: β : Cochain K G n

Context: n' m' : ℤ

Context: α' : Cochain F L m'

Context: β' : Cochain G L n'

Context: h : n + 1 = m

Context: h' : m' + 1 = n'

Context: p : ℤ

Context: hp : n + n' = p

Context: p₁ p₂ p₃ : ℤ

Context: h₁₂ : p₁ + n = p₂

Context: h₂₃ : p₂ + n' = p₃

Context: q : ℤ

Context: hq : p₁ + m = q

Context: eq : ((liftCochain φ α β h).comp (descCochain φ α' β' h') hp).v p₁ p₃ ⋯ = (α.comp α' ⋯ + β.comp β' ⋯).v p₁ p₃ ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: x₀ : E

Context: n : ℕ

Context: h : f =O[𝓝[univ] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n

Context: hn : 1 < n


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
this : DecidableEq ι

((Finsupp.total ι (Dual R M) R b.coord) f) (b i) = f i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: n✝ : ℕ

Context: f : 𝕜 → F

Context: s : Set 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s

Context: Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: n✝ : ℕ

Context: f : 𝕜 → F

Context: s : Set 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: n : ℕ∞

∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: n✝ : ℕ

Context: f : 𝕜 → F

Context: s : Set 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: n : ℕ∞

∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h : #↑(Ioi a) < 𝔠

Context: hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ

Context: h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h : #↑(Ioi a) < 𝔠

Context: hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ

#↑((fun x => a + a - x) '' Ioi a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h : #↑(Ioi a) < 𝔠

Context: hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ

Integrable (fun t => (L (f (x - t))) (g t)) μ


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ
x✝ : G


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = 1


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length

∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ

Context: hnil : b ≠ []

Context: hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a

Context: hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: y : List α

Context: hy : y ∈ {a} * {b}∗ * {c}


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: y : List α

Context: hy : ∃ a_1 ∈ {a} * {b}∗, ∃ b ∈ {c}, a_1 ++ b = y


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: ab : List α

Context: hab : ab ∈ {a} * {b}∗

Context: c' : List α

Context: hc' : c' ∈ {c}


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: ab : List α

Context: hab : ∃ a_1 ∈ {a}, ∃ b_1 ∈ {b}∗, a_1 ++ b_1 = ab

Context: c' : List α

Context: hc' : c' ∈ {c}


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: c' : List α

Context: hc' : c' ∈ {c}

Context: a' : List α

Context: ha' : a' ∈ {a}

Context: b' : List α

Context: hb' : b' ∈ {b}∗


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: a b c : List α

Context: hx : x = a ++ b ++ c

Context: hnil : b ≠ []

Context: c' : List α

Context: hc' : c' = c

Context: a' : List α

Context: ha' : a' = a

Context: b' : List α

Context: hb' : b' ∈ {b}∗


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: b : List α

Context: hnil : b ≠ []

Context: c' a' b' : List α

Context: hb' : b' ∈ {b}∗

Context: hlen : a'.length + b.length ≤ Fintype.card σ

Context: hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b = M.evalFrom M.start a'

Context: hx : x = a' ++ b ++ c'

Context: hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') c' = M.evalFrom M.start x


Context: α : Type u

Context: σ : Type v

Context: M : DFA α σ

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: x : List α

Context: hx✝ : x ∈ M.accepts

Context: hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length

Context: b : List α

Context: hnil : b ≠ []

Context: c' a' b' : List α

Context: hb' : b' ∈ {b}∗

Context: hx : x = a' ++ b ++ c'

Context: h : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b' = M.evalFrom M.start a'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : Nontrivial A


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x


Fintype.card { x // x ∈ b } ≤ finrank R M


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iic ↑y) = Ioi x ∩ Iic y


Context:
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0

(b + 2) ^ l.length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) l


(b + 2) ^ (l.dropLast ++ [l.getLast hl]).length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) (l.dropLast ++ [l.getLast hl])


(b + 2) * (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) * (ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl)


(b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl


(b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl


Context:
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α

∀ (a_1 : α), Associates.out ⟦a_1⟧ ∣ a ↔ ⟦a_1⟧ ≤ Associates.mk a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → E

Context: h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2

Context: h' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context:
X : TopCat
ι : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ Opens ↑X

B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ Opens.IsBasis (Set.range B.obj)


B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U' ∈ Set.range B.obj, x ∈ U' ∧ U' ≤ U


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x : L
y' : L'

(e.toLinearEquiv.conj ((ad R L) x)) y' = ((ad R L') (e x)) y'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a b c x y : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β


Context:
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : AEval R M a

(of R M a).symm (X • m) = a • (of R M a).symm m


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A →ₐ[R] B
x : A

Subalgebra.map e (adjoin R {x}) = adjoin R {e x}


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : p.degree ≤ 0


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α

stieltjesFunctionAux (fun p => f p.2) ((), a) = stieltjesFunctionAux f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R

limsup a F = sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)


limsup a F ≤ sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)


sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets) ≤ limsup a F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ


PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: σ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable δ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: σ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable δ

Context: inst✝ : Primcodable σ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: σ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable δ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: a k q : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) x) = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α

x ∈ mulAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 * x.2 = a


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: k : Type u_2

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)

Context: this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: k : Type u_2

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: k : Type u_2

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

Context: ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: k : Type u_2

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: k : Type u_2

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ ψ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

Context: x : K

(φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: s : Set A

Context: z : A

(∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: s : Set A

Context: z : A

(∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g : Perm α

∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α

fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}


∀ (σ : Perm α), σ.IsCycle → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}


∀ (σ τ : Perm α), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x


Context:
X : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : X →ᵇ E

∫⁻ (x : X), ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑‖f‖₊ * μ Set.univ


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(M F)


∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r s : R

Context: j : J

Context: x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j

(r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r s : R

Context: j : J

M.mk F ⟨⟨j, x⟩.fst, r • ⟨j, x⟩.snd + s • ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk (((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⟨j, ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat).map (𝟙 j)) ⟨j, r • ⟨j, x⟩.snd⟩.snd + ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat).map (𝟙 j)) ⟨j, s • ⟨j, x⟩.snd⟩.snd⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r s : R

Context: j : J

M.mk F ⟨j, r • x + s • x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk (((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⟨j, ((forget₂ AddGrp AddMonCat).map ((forget₂ AddCommGrp AddGrp).map (LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (F.obj j))))) (r • x) + ((forget₂ AddGrp AddMonCat).map ((forget₂ AddCommGrp AddGrp).map (LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (F.obj j))))) (s • x)⟩


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
x✝¹ x✝ : M

((associated (linMulLin f g)) x✝¹) x✝ = ((⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ f g + (mul R R).compl₁₂ g f)) x✝¹) x✝


⅟2 * ((f x✝¹ + f x✝) * (g x✝¹ + g x✝) - f x✝¹ * g x✝¹ - f x✝ * g x✝) = ⅟2 * (f x✝¹ * g x✝) + ⅟2 * (g x✝¹ * f x✝)


Context:
P : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝¹ : Finite α
X : α → CompHausLike P
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)


Context: n : ℕ

map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors = n.divisorsAntidiagonal


Context: n : ℕ

map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) = map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ

a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) ↔ a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ

a✝ ∈ map ({ toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ }.trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisors ↔ a✝ ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ

↑(toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ

cexp (↑(2 * π / 1 * (↑j / ↑N)) * I) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)


Context: a x✝ z x : ℂ


Context: a x✝ z x : ℂ

|if x.arg = π then π else -x.arg| = |x.arg|


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ →o Submodule R M


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroClass M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
f g : ι → M₀
x : ι

(x ∈ support fun x => f x * g x) ↔ x ∈ support f ∩ support g


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb : b ≠ ⊤
h : a < b


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

Context: z₁ z₂ : SecondObj P X π

Context: h : ∀ (ij : I × I), Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₁ = Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₂


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: z₁ z₂ : SecondObj P X π

∀ (j : Discrete (I × I)), limit.π (Discrete.functor fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) j z₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: inst✝³ : TopologicalSpace N

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup N

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f✝ g f : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N

Context: v : ι → M

Context: i j : ι

Context: hv : v i = v j

Context: hne : i ≠ j

(∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f).toFun v = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: inst✝³ : TopologicalSpace N

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup N

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g x✝² x✝¹ : ContinuousMultilinearMap R (fun x => M) N

Context: x✝ : ι → M

({ toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun (x✝² + x✝¹)) x✝ = ({ toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝² + { toFun := fun f => { toContinuousMultilinearMap := ∑ σ : Equiv.Perm ι, Equiv.Perm.sign σ • domDomCongr σ f, map_eq_zero_of_eq' := ⋯ }, map_zero' := ⋯ }.toFun x✝¹) x✝


Context: p : ℂ

(Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p.re


Context: p : ℂ

(Summable fun x => ‖1 / ↑(x + 1) ^ p‖) ↔ Summable fun n => 1 / ↑(n + 1) ^ p.re


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedSemiring α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atTop


Context:
x y : ℝ
hy₀ : 0 ≤ y
hy₁ : y ≤ π
hxy : x = cos y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup R
a b : R

IsRegular (a * b) ↔ IsRegular a ∧ IsRegular b


IsRegular (a * b) ↔ IsRegular (a * b) ∧ IsRegular (b * a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hf : (s ∩ mulSupport f).Finite

s ∩ mulSupport f = ↑hf.toFinset ∩ mulSupport f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (k : ℕ), f^[k] x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
k : ℕ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, f^[k] a ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] a ∈ s