Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f

Context: hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (cokernel.π (kernel.ι γ)) wπ)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝[s] x'

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
m' : M'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : List α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Algebra S K
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R K
inst✝¹ : IsFractionRing S K
inst✝ : IsScalarTower R S K

Algebra.IsAlgebraic R S ↔ Algebra.IsAlgebraic R K


(∀ (x : S), IsAlgebraic R x) ↔ ∀ (x : K), IsAlgebraic R x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b


Context:
n d a : Int
a0 : a ≠ 0


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R

A ∈ symplecticGroup l R ↔ Aᵀ * J l R * A = J l R


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β

∀ (l : List α), mapIdx f l = List.oldMapIdx f l


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β

∀ (l : List α) (e : α), mapIdx f l = List.oldMapIdx f l → mapIdx f (l ++ [e]) = List.oldMapIdx f (l ++ [e])


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R

(A * (B * C)).trace = (C * (A * B)).trace


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
f : R →+* A
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : eval₂ f z p = 0
hz : f x * z = f y


y ^ (p.scaleRoots x).natDegree ∈ span {x}


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
f : R →+* A
hf : ∀ (a : R), f a = 0 ↔ a = 0
p : R[X]
hp : p.Monic
x y : R
z : A
h : eval₂ f z p = 0
hz : f x * z = f y


Context: R : Type u

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing A

Context: f : R →+* A

Context: hf : ∀ (a : R), f a = 0 ↔ a = 0

Context: p : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: x y : R

Context: z : A

Context: h : eval₂ f z p = 0

Context: hz : f x * z = f y

Context: this : eval₂ f (f x * z) (p.scaleRoots x) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

￢￢(a ⊔ b) = ￢￢a ⊔ ￢￢b


￢￢(a ⊔ b) ≤ ￢￢a ⊔ ￢￢b


Context:
s b p : ℝ
hp : 1 < p
hb : 0 < b

(fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)


Context:
s b p : ℝ
hp : 1 < p
hb : 0 < b

(fun x => x ^ s * rexp (-x)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: H : minpoly G F x = 1

Context: this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D

((sheafificationAdjunction J D).counit.app P).val = (((sheafificationAdjunction J D).homEquiv P.val { val := P.val, cond := ⋯ }).symm (𝟙 P.val)).val


((sheafificationAdjunction J D).counit.app P).val = ((presheafToSheaf J D).map (𝟙 P.val) ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app { val := P.val, cond := ⋯ }).val


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
N : 0 < n + 2

∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v) = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) ((p.rightInv i).applyComposition c v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
v : Fin (n + 2) → F
N : 0 < n + 2
c : Composition (n + 2)
hc : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
j : ℕ
hj1 hj2 : j < c.length

applyComposition (fun k => if k < n + 2 then p.rightInv i k else 0) c v ⟨j, hj1⟩ = (p.rightInv i).applyComposition c v ⟨j, hj2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin (n + 2) → F

Context: N : 0 < n + 2

Context: c : Composition (n + 2)

Context: hc : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset

Context: j : ℕ

Context: hj1 hj2 : j < c.length

Context: this : ∀ (k : Fin c.length), c.blocksFun k < n + 2


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)
this : Mono (app' φ 2 ⋯)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)
this✝ : Mono (app' φ 2 ⋯)
this : Epi (app' φ 2 ⋯)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup N
hH : H ≤ f.range
hK : K ≤ f.range

map f (comap f H ⊔ comap f K) = map f (comap f (H ⊔ K))


Context: n k : ℕ


Context: x✝ y z x : ℝ


Context: x : ℤ[i]


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x

P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace β'
F : ι → β' → α
S : Set β'
k : κ
hk : UniformEquicontinuousOn F S


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: u : κ → UniformSpace β'

Context: F : ι → β' → α

Context: S : Set β'

Context: k : κ

Context: hk : UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: u : κ → UniformSpace β'

Context: F : ι → β' → α

Context: S : Set β'

Context: k : κ

Tendsto (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2)) (𝓤 β' ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) (𝓤 (ι →ᵤ α))


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: u : κ → UniformSpace β'

Context: F : ι → β' → α

Context: S : Set β'

Context: k : κ

Tendsto (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2)) ((⨅ i, 𝓤 β') ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) (𝓤 (ι →ᵤ α))


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x : M₁ i

f (update m i (-x)) + f (update m i x) = 0


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g✝ : E✝ → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E✝

Context: x✝ y : E✝

Context: f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G

Context: φ : E✝ →L[𝕜] G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : E → G

Context: hf : Differentiable 𝕜 f

Context: hg : Differentiable 𝕜 g

Context: hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = fderiv 𝕜 g x

Context: x : E

Context: hfgx : f x = g x

Context: A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g✝ : E✝ → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E✝

Context: x✝ y : E✝

Context: f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G

Context: φ : E✝ →L[𝕜] G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f g : E → G

Context: hf : Differentiable 𝕜 f

Context: hg : Differentiable 𝕜 g

Context: x : E

Context: hfgx : f x = g x


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[atTop] g
hf : LSeriesSummable f s


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[cofinite] g
hf : LSeriesSummable f s


∀ᶠ (i : ℕ) in cofinite, ‖term g s i‖ ≤ ‖term f s i‖


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[cofinite] g
hf : LSeriesSummable f s
this : term f s =ᶠ[cofinite] term g s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: l : (i : ι) → G i

Context: s : Finset ι

‖∑ i ∈ s, (V i) (l i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s, ‖l i‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: l : (i : ι) → G i

Context: s : Finset ι

Context: this : ↑‖∑ i ∈ s, (V i) (l i)‖ ^ 2 = ∑ i ∈ s, ↑‖l i‖ ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: D : ℝ

Context: x : E

Context: Dpos : 0 < D

Context: A : (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x ≤ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] 1) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: D : ℝ

Context: x : E

Context: Dpos : 0 < D

Context: B : (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] fun x => 1) x = 1


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S


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Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

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Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: l : ↑s →₀ R


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

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Context: s : Set R

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Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

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∀ (i : ↑s), f ↑i ∈ (Algebra.ofId R S).range


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Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: l : ↑s →₀ R

∀ (i : ↑s), f (l i) ∈ (Algebra.ofId R S).range


Context: R S : Type u_1

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Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: l : ↑s →₀ R

∀ (i : ↑s), ∃ n, f ↑i ^ n • x ∈ (Algebra.ofId R S).range


Context:
C : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
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inst✝³ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
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inst✝ : Mono φ.τ₃


IsIso (LeftHomologyMapData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ S₁.leftHomologyData).φH


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∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


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abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


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Context: h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n


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Context: h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k


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Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

Context: hsumlesum : ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))


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Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

Context: hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P


Context: α : Type u_1

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Context: Q : α

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Context: hQ0 : Q ≠ 0

Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

abv (∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε


Context: α : Type u_1

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Context: hPε0 : 0 < ε / (2 * P)

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Context: hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)

Context: M : ℕ

Context: K : ℕ

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Context: two_mul_two : 4 = 2 * 2

Context: hQ0 : Q ≠ 0

Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

∑ i ∈ range K, abv (f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε


Context: α : Type u_1

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Context: ε0 : 0 < ε

Context: P : α

Context: Q : α

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Context: hPε0 : 0 < ε / (2 * P)

Context: N : ℕ

Context: hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)

Context: M : ℕ

Context: K : ℕ

Context: hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)

Context: two_mul_two : 4 = 2 * 2

Context: hQ0 : Q ≠ 0

Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + (∑ i ∈ range K, abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) - ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q)


Context: α : Type u_1

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Context: ε : α

Context: ε0 : 0 < ε

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Context: Q : α

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Context: hPε0 : 0 < ε / (2 * P)

Context: N : ℕ

Context: hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)

Context: M : ℕ

Context: K : ℕ

Context: hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)

Context: two_mul_two : 4 = 2 * 2

Context: hQ0 : Q ≠ 0

Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

∑ i ∈ range K, abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) - ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: ε : α

Context: ε0 : 0 < ε

Context: P : α

Context: Q : α

Context: hP0 : 0 < P

Context: hPε0 : 0 < ε / (2 * P)

Context: N : ℕ

Context: hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)

Context: M : ℕ

Context: K : ℕ

Context: hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)

Context: two_mul_two : 4 = 2 * 2

Context: hQ0 : Q ≠ 0

Context: h2Q0 : 2 * Q ≠ 0

Context: hNMK : max N M + 1 < K

Context: hKN : N < K

∑ k ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K), abv (f k) * abv (∑ k ∈ range (K - k), g k - ∑ k ∈ range K, g k) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
Γ : Type u_1
inst✝⁵ : PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
n : Γ
x✝¹ : R
x✝ : V

{ toFun := fun v => ((of R).symm (A v)).coeff n, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • { toFun := fun v => ((of R).symm (A v)).coeff n, map_add' := ⋯ }.toFun x✝


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.36964, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι

UniformCauchySeqOn f l s ↔ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z / f n.2 z) 1 (l ×ˢ l) s


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ

yn a1 (m + n) = xn a1 m * yn a1 n + yn a1 m * xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: re_eq✝ : ↑(xn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + ↑(Pell.d a1) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im

Context: h : ↑(yn a1 (m + n)) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).im + (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).re


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : LipschitzWith D g
h'g : HasCompactSupport g
v : E

∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ = ∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

∀ (t : ℝ), ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

∫ (x : E), (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * (g (x + t • -v) - g x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

Context: S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

∫ (x : E), f (x + t • v) * g x - f x * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) - f x * g x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

Integrable (fun x => f x * g (x + t • -v)) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: t : ℝ

Integrable (fun x => f (x + t • v) * g x) μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x✝ : M
f✝ : Dual R M
y : M
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
hx : x ≠ 0
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hx' : x ∈ span R Φ
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

(span R Φ).subtype.dualMap f = (span R Φ).subtype.dualMap g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : Φ.Finite

Context: hx' : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: Φ' : Set ↥(span R Φ) := range (inclusion ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hx' : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hx' : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hΦ'₁ : Φ'.Finite


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hx' : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hΦ'₁ : Φ'.Finite

Context: hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤

Context: x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'⟩


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hx'✝ : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hΦ'₁ : Φ'.Finite

Context: hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤

Context: x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'✝⟩

Context: hx' : x' ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hx'✝ : x ∈ span R Φ

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hΦ'₁ : Φ'.Finite

Context: hΦ'₂ : span R Φ' = ⊤

Context: x' : ↥(span R Φ) := ⟨x, hx'✝⟩

Context: hx' : x' ≠ 0

Context: this : ∀ {F : Dual R M}, MapsTo (⇑(preReflection x F)) Φ Φ → MapsTo (⇑(preReflection x' ((span R Φ).subtype.dualMap F))) Φ' Φ'


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | ¬b ≤ a}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Field β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: c : β

Context: hc0 : c ≠ 0

Context: h : SuperpolynomialDecay l k fun n => c * f n

Context: x : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E

(setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (T s) x


(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs hμs x) = (T s) x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c ≠ 0
h : a * c = b


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i < p
hi : optParam (i.succ ≠ last n) ⋯


Context: τ : ℍ

jacobiTheta ↑(ModularGroup.S • τ) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * jacobiTheta ↑τ


Context:
τ : ℍ
h0 : ↑τ ≠ 0


Context:
τ : ℍ
h0 : ↑τ ≠ 0
h1 : (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) ≠ 0


jacobiTheta₂ 0 ↑(UpperHalfPlane.mk (-↑τ)⁻¹ ⋯) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * jacobiTheta₂ 0 ↑τ


jacobiTheta₂ 0 ↑(UpperHalfPlane.mk (-↑τ)⁻¹ ⋯) = (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * (1 / (-I * ↑τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * 0 ^ 2 / ↑τ) * jacobiTheta₂ (0 / ↑τ) (-1 / ↑τ))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
x : α
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂


HasProd (fun b => f b * (g b)⁻¹) (a₁ * a₂⁻¹)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r


Context: x y z : PGame


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
p : Fin (n + 1)

univ = Finset.cons p (map p.succAboveEmb univ) ⋯


Context: x y : ℂ


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: i : Fin2 n

Context: u : α i

Context: h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' univ

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: i : Fin2 n

Context: u : α i

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

(∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) → p i u


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: i : Fin2 n

Context: u : α i

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f⟩

Context: h' : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: i✝ : Fin2 n

Context: u : α i✝

Context: h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i✝ '' univ

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f⟩

Context: i : (P F).B a i✝

Context: left✝ : i ∈ univ

Context: hi : f i✝ i = u


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x * ↑m)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s

Context: h : ∀ s ∈ S, TendstoLocallyUniformlyOn F f p s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s

TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃ i ∈ S, i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α

IsRelPrime (Associates.mk a) (Associates.mk b) ↔ IsRelPrime a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}


(∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), ¬x = ∅) → ⋃₀ S = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
s : Set α
hs : s ∈ S
hne : ¬s = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}
hs : univ ∈ S
hne : ¬univ = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c ≠ 0


⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), boundedBy (extend fun s x => (c • m) (diam s)) = c • ⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), boundedBy (extend fun s x => m (diam s))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : Infinite α
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k : ℕ
h : ↑‖x‖₊ < p.radius

‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst


HasSum (fun l => ∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l) (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: k : ℕ

Context: h : ↑‖x‖₊ < p.radius

Context: this : Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: k : ℕ

Context: h : ↑‖x‖₊ < p.radius

Context: l : ℕ

HasSum (fun c => ‖p (k + ⟨l, c⟩.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ ⟨l, c⟩.fst) (∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module R[X] A
D : Derivation R R[X] A
a : R
f : R[X]
this : C a • D f = D (C a * f)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp a b + toIcoDiv hp a b • p = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Measurable fun b => ∫⁻ (μ : Measure α), μ s ∂b


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsIntegralClosure A R B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R B


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsIntegralClosure A R B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R B
x✝¹ : R
x✝ : A

(algebraMap A B) (x✝¹ • x✝) = x✝¹ • (algebraMap A B) x✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
ha : a ∉ s
f : Finset α → β

∏ t ∈ (cons a s ha).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset.attach, f (cons a ↑t ⋯)


Context:
G₀ : Type u
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
G₀' : Type u_3
inst✝¹ : MulZeroClass M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
a b : M₀


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: g : γ → α

Context: i : ↑(mulSupport g) → β

Context: hi : Injective i

Context: hf : mulSupport f ⊆ Set.range i

Context: hfg : ∀ (x : ↑(mulSupport g)), f (i x) = g ↑x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: g : γ → α

Context: i : ↑(mulSupport g) → β

Context: hi : Injective i

Context: hf : mulSupport f ⊆ Set.range i

∏' (c : ↑(mulSupport g)), f (i c) = ∏' (x : ↑(mulSupport g)), g ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal


∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a


∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = limsup (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: A : Set γ

Context: hA : MeasurableSet A

Context: h : Tendsto (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0

eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal


eLpNorm' f p.toReal μ ≤ eLpNorm' f q.toReal μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hp0 : p ≠ 0
hp0_lt : 0 < p
hq0_lt : 0 < q
hq_top : ¬q = ⊤
hp_lt_top : p < ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H✝ : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x

Context: x : R'

Context: this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: r : R

Context: s : S

Context: a : A


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α

Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))


∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length

Context: H : s.Nonempty

Context: l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ = s.min' H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: H : s.Nonempty

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩ ≤ s.min' H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: H : s.Nonempty

s.min' H ≤ (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨0, h⟩


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

(f * g) x = sum f fun a₁ b₁ => sum g fun a₂ b₂ => if a₁ * a₂ = x then b₁ * b₂ else 0


(sum f fun a₁ b => (sum g fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b * b₂)) x) = sum f fun a₁ b₁ => sum g fun a₂ b₂ => if a₁ * a₂ = x then b₁ * b₂ else 0


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x x✝¹ : G
x✝ : k

(sum g fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) x = sum g fun a₂ b₂ => if x✝¹ * a₂ = x then x✝ * b₂ else 0


(sum g fun a₁ b => (single (x✝¹ * a₁) (x✝ * b)) x) = sum g fun a₂ b₂ => if x✝¹ * a₂ = x then x✝ * b₂ else 0


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f g : MonoidAlgebra k G
x x✝³ : G
x✝² : k
x✝¹ : G
x✝ : k

(single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) x = if x✝³ * x✝¹ = x then x✝² * x✝ else 0


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
x m : ↥p

x ∈ MulAction.orbit R m ↔ ↑x ∈ MulAction.orbit R ↑m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y

f ≫ inv ((reflectorAdjunction i).counit.app Y) = inv ((reflectorAdjunction i).counit.app X) ≫ (reflector i).map (i.map f)


(reflectorAdjunction i).counit.app X ≫ f = (reflector i).map (i.map f) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app Y


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y

((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom = (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f


i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D

i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X) = 𝟙 (i.toEssImage.obj X)


i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))


i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X)) ≫ inv ((reflectorAdjunction i).unit.app ((𝟭 i.EssImageSubcategory).obj (i.toEssImage.obj X)).obj) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))


Context: a b c x : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty

Context: h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n

Context: this : CauchySeq u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x✝ y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n

Context: this : CauchySeq u

Context: x : α

Context: xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x✝ y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n

Context: this : CauchySeq u

Context: x : α

Context: n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x✝ y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n

Context: this : CauchySeq u

Context: x : α

Context: n p : ℕ

Context: hp : p ∈ Ici n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a✝ a₁ a₂ : α

Context: b b₁✝ b₂✝ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : PosSMulReflectLE α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: b₁ b₂ : β

Context: h : a • b₁ ≤ a • b₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ

x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Icc a b ↔ x✝ ∈ Icc ⌈a⌉ ⌊b⌋


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I

Context: this : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp a = f


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I

Context: this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R Rₘ Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f✝ : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I

Context: f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q := let __src := lift I ⋯ (AlgHom.restrictScalars R f✝); { toRingHom := __src.toRingHom, commutes' := ⋯ }

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp a = f✝


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f✝ : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I


Context: n : Nat


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), AEMeasurable ((As i).indicator fun x => 1) μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (As n).indicator (fun x => 1) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => 1) x))


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g


Context:
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α


Context:
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α

splitOnP P l = splitOnPTR.go P l #[] #[]


Context:
α : Type u_1
P : α → Bool
l : List α

∀ (xs : List α) (acc : Array α) (r : Array (List α)), splitOnPTR.go P xs acc r = r.data ++ splitOnP.go P xs acc.data.reverse


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i : Discrete ι


OpenEmbedding ⇑(colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

Context: this : colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom = Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

Context: this : colimit.ι (F ⋙ forget C) i = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

OpenEmbedding ⇑(((Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

Context: this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) i = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv

Context: this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := i.as } ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) i.as


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

Context: this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := i.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) i.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: as✝ : ι

Context: this✝ : colimit.ι (F ⋙ forget C) { as := as✝ } = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv

Context: this : colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := { as := as✝ }.as } = TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv

OpenEmbedding ⇑(((Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) { as := as✝ }) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: as✝ : ι

OpenEmbedding ⇑((((Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as) ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).inv) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: as✝ : ι

OpenEmbedding ⇑(TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) { as := as✝ }.as)


Context: a : Ordinal.{u_1}

(succ a.card).ord.card.ord = (succ a.card).ord


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hK : IsCompact K
hμK : μ K ≠ 0
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ g ∈ t, g • U
hμU : μ U = 0
x✝¹ : G
x✝ : x✝¹ ∈ ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : α → ℕ

multinomial (insert a s) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * multinomial s f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal

Context: hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝

(fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ - m i • b) =o[li] m


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

(fun s => ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b) =o[l.smallSets] fun s => (μ s).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

∀ᶠ (x : Set X) in l.smallSets, ‖∫ (x : X) in x, f x ∂μ - (μ x).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ x).toReal‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

Context: this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

∀ (a : Set X), μ a < ⊤ → IntegrableOn f a μ → AEStronglyMeasurable f (μ.restrict a) → (∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ a → f x ∈ closedBall b ε) → ‖∫ (x : X) in a, f x ∂μ - (μ a).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ a).toReal‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

∀ (a : Set X), μ a < ⊤ → IntegrableOn f a μ → AEStronglyMeasurable f (μ.restrict a) → (∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ a → ‖f x - b‖ ≤ ε) → ‖∫ (x : X) in a, f x ∂μ - (μ a).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ a).toReal‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s✝ : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s✝ li l.smallSets

Context: m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s✝ i)).toReal

Context: hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s✝ i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

Context: s : Set X

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: h_integrable : IntegrableOn f s μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)

Context: h_norm : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε

‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ s).toReal‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s✝ : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s✝ li l.smallSets

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : 0 < ε

Context: s : Set X

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: h_integrable : IntegrableOn f s μ

‖∫ (a : X) in s, f a - b ∂μ‖ ≤ ε * (μ s).toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

l.reverse.sublists' = map reverse l.sublists


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0

Context: x : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0

Context: x : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0

Context: x : ℕ

Context: H1 : ↑x = 0

Context: H2 : ¬x % Nat.find ⋯ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0

Context: x : ℕ

Context: H1 : Nat.find ⋯ ∣ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_2

Context: π : ι → Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: r : β → β → Prop

Context: inst✝ : IsTrans β r

Context: f : ℕ → β

Context: a : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))

Context: b c : ℕ

Context: hab : a ≤ b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_2

Context: π : ι → Type u_3

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: r : β → β → Prop

Context: inst✝ : IsTrans β r

Context: f : ℕ → β

Context: a : ℕ

Context: b c : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: k : ℕ

Context: b_lt_k : b.succ.le k

Context: r_b_k : r (f b) (f k)


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
x : X
left✝ : x ∈ univ
hfg : f x ≤ g x
hgf : g x ≤ f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
hij : i ≠ j


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'

cthickening δ E ⊆ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E
y : α
hy₁ : y ∈ E
hy₂ : dist x y < δ'


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1

∀ x ∈ Ioi 0, 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x


0 < (∏ i ∈ Finset.range 2, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑2)


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ Ico 0 ↑2


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ ↑(Finset.Ico 0 ↑2)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝² y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
t : Set β
a : α
b : β
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < δ
x : α

edist x a < δ → x ∈ s → edist (f x) b < ε ∧ f x ∈ t ↔ x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ t ∧ edist (f x) b < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α

𝓝 (a :: l) = Seq.seq (List.cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
val✝ : Fintype α


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : IsLocalAtSource P

Context: X✝ Y✝ U V : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : U ⟶ Y✝

Context: inst✝¹ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: inst✝ : P.IsMultiplicative

Context: hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : IsLocalAtSource P

Context: X✝ Y✝ U V : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : U ⟶ Y✝

Context: inst✝¹ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: inst✝ : P.IsMultiplicative

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i : (𝒰.pullbackCover f).J

P ((𝒰.pullbackCover f).map i ≫ f) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : IsLocalAtSource P

Context: X✝ Y✝ U V : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : U ⟶ Y✝

Context: inst✝¹ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: inst✝ : P.IsMultiplicative

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i : (𝒰.pullbackCover f).J

P (𝒰.pullbackHom f i ≫ 𝒰.map i) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)


Context: a b c d m n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: motive : (m : ℕ) → m ≤ k → Sort u_1

Context: hmn : m ≤ n

Context: hnk : n ≤ k

Context: of_succ : (k_1 : ℕ) → (h : k_1 < k) → motive (k_1 + 1) h → motive k_1 ⋯

Context: self : motive k ⋯

decreasingInduction of_succ self ⋯ = decreasingInduction (fun n_1 ih => of_succ n_1 ⋯) (decreasingInduction of_succ self hnk) hmn


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: ane0 : ¬a = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: ane0 : ¬a = 0

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Classical.choose ⋯

Context: hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: ane0 : ¬a = 0

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Classical.choose ⋯


Context:
q : ℚ
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
ψ : Aut A.obj
hψ : autMap f.val ψ = φ


Context:
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

(π.map f).map p ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ ⟦H.evalAt x₀⟧ ≫ (π.map g).map p = H.diagonalPath' p


(hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) p) ≫ hcast ⋯) ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop x₀))) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) p) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p


(hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) p) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop (fromTop x₁).as))) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p ∧ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop x₀))) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) p) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p


Context:
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1

(a.extract s1 e1).extract s2 e2 = a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)


((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size


∀ (i : Nat) (hi₁ : i < ((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size) (hi₂ : i < (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size), ((a.extract s1 e1).extract s2 e2)[i] = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2))[i]


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1

Context: hprime : Nat.Prime p


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1

Context: hprime : Nat.Prime p

Context: hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1

Context: hprime : Nat.Prime p

Context: hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)

Context: t : ℝ

Context: h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1

Context: hprime : Nat.Prime p

Context: hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)

Context: t : ℝ

Context: h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)

∃! p, ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p✝ : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p✝

Context: hp1 : f ↑p✝ < 1

Context: p : ℕ

Context: hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1

Context: hprime : Nat.Prime p

Context: hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)

Context: t : ℝ

Context: h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)

(fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) p ∧ ∀ (y : ℕ), (fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) y → y = p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : ↑(f.restrict s) x ≠ 0

Context: hxs : x ∈ s

Context: x✝ : μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑(f.restrict s) x}) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ↑f b = 0

↑f b * μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑f b}) = ↑f b * μ (↑f ⁻¹' {↑f b} ∩ s)