Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α

countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = 0 ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, ¬p a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)


Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)


Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: r : ℝ

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: hr : 0 < r

Context: ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

log (r • a) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r) + log a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: r : ℝ

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: hr : 0 < r

Context: this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁷ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra S Sₘ

Context: i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : Algebra R Sₘ

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: x : R

(algebraMap Rₘ Sₘ) ((algebraMap R Rₘ) x) = (algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) x)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: e : R

Context: he : IsIdempotentElem e

Context: H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}

Context: H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)

Context: r : ↥(Submonoid.powers e)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: e : R

Context: he : IsIdempotentElem e

Context: r : ↥(Submonoid.powers e)

Context: this : (algebraMap R S) e = 1


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: e : R

Context: he : IsIdempotentElem e

Context: x y : R

Context: h : (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: e : R

Context: he : IsIdempotentElem e

Context: x y : R

Context: h : 1 - e ∣ x - y


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: e : R

Context: he : IsIdempotentElem e

Context: x y k : R

Context: hk : x - y = (1 - e) * k


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε✝ : ℝ
l✝ : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
l : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
a : α
v' : Vector α n
h : v = a ::ᵥ v'


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α

(∀ (x : α), x ∈ l₁ ∪ l₂ → p x) ↔ (∀ (x : α), x ∈ l₁ → p x) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₂ → p x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : ¬IsTrivial L M

(match nilpotencyLength R L M with | 0 => ⊥ | k.succ => lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : 1 < nilpotencyLength R L M


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

ContinuousOn (invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

ContinuousOn ((fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })) ∘ invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

Context: H₁ : Continuous fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

MapsTo (fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ) ((e₁.baseSet ×ˢ univ) ×ˢ e₂.baseSet ×ˢ univ)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G

((((Linear.homCongr k (diagonalSucc k G n ≪≫ (Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1) (Iso.refl A)).trans ((MonoidalClosed.linearHomEquivComm (of (Representation.ofMulAction k G G)) (of 1) A).trans ((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHomEquiv)).trans (Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)).symm).symm f).hom (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


(((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom) ≫ (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


(⇑((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) ∘ ⇑((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom)) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom ((diagonalSucc k G n).hom.hom (Finsupp.single x 1))) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single (x 0) 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single (fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ) 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


(1 • (((ihom (of 1)).obj A).ρ (x 0)) ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)) (Finsupp.single (fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ) 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


0 • (((ihom (of 1)).obj A).ρ (x 0)) ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
p : α → Prop
q : Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → q


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ m₃ m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω

IndepSets {s} {t} μ ↔ μ (s ∩ t) = μ s * μ t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t✝ : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
t : Finset ι
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)
h's : (↑t).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ

∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (s i)
h's : (↑∅).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ ∅, IntegrableOn f (s i) μ

∫ (x : X) in ⋃ i ∈ ∅, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ ∅, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: s : ι → Set X

Context: a : ι

Context: t : Finset ι

Context: hat : a ∉ t

Context: IH : (∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)) → (↑t).Pairwise (Disjoint on s) → (∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ) → ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ

Context: hs : ∀ i ∈ insert a t, MeasurableSet (s i)

Context: h's : (↑(insert a t)).Pairwise (Disjoint on s)

Context: hf : ∀ i ∈ insert a t, IntegrableOn f (s i) μ

∫ (x : X) in ⋃ i ∈ insert a t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ insert a t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ


Context:
x : ℂ
y : ℝ

x ^ ↑y = ↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)


Context: y : ℝ

0 ^ ↑y = ↑(abs 0 ^ y) * (↑(Real.cos (arg 0 * y)) + ↑(Real.sin (arg 0 * y)) * I)


Context:
x : ℂ
y : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: f : α → G

Context: hf : Multipliable f

Context: e : Set G

Context: he : e ∈ 𝓝 1

Context: s : Finset α

Context: hs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: f : α → G

Context: hf : Multipliable f

Context: e : Set G

Context: he : e ∈ 𝓝 1

Context: s : Finset α

Context: x : α

Context: hx : x ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

ContMDiffAt I I' (↑n) f x → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

(∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u

∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u

Context: x' : M

Context: hx' : u ∈ 𝓝 x'


Context:
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄

Submodule.comap (f.prodMap g) ⊥ = (Submodule.comap f ⊥).prod (Submodule.comap g ⊥)


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m n : E

fract b m = fract b n ↔ -m + n ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

∀ (d : idx × ℕ →₀ ℕ), (fun x => ↑x) (coeff d (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)).num = coeff d (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

(fun x => ↑x) (coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)).num = coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

(fun x => ↑x) (coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n).num = coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

Context: sum_induction_steps : (map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

↑((Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑p ^ n).num = (Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑p ^ n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

↑((Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑↑(p ^ n)).num = (Int.castRingHom ℚ) (coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))) / ↑↑(p ^ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ

↑(p ^ n) ∣ coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: c : idx × ℕ →₀ ℕ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

∀ (c : idx × ℕ →₀ ℕ), ↑(p ^ n) ∣ coeff c ((bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

C ↑(p ^ n) ∣ (bind₁ fun i => (rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℤ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n - i)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: hq : q ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: hq : q ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: hq : q ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: b : Associates M

Context: hb : b < c 1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: hq : q ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n + 1 + 1

Context: hb : c ⟨i, hi⟩ < c 1


Context:
z : ℍ
A B : ℝ
h : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B


√(r1 ⟨{ re := A, im := B }, h⟩) ≤ √(r1 z)


(UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 / UpperHalfPlane.im ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 + 1)⁻¹ ≤ (z.re ^ 2 / z.im ^ 2 + 1)⁻¹


z.re ^ 2 / z.im ^ 2 ≤ UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2 / UpperHalfPlane.im ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2


z.re ^ 2 ≤ UpperHalfPlane.re ⟨{ re := A, im := B }, h⟩ ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
inst✝ : IsPredArchimedean α
a b : α


ReflTransGen (Function.swap (hasse α).Adj) b a


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

(LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = absNorm I


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: this✝ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI

Context: b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI

Context: ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))

Context: f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'

Context: f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), f (b' i) = a i • b' i


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: this✝¹ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI

Context: this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

((LinearMap.toMatrix b' b') f).det.natAbs = (Matrix.diagonal a).det.natAbs


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

∏ i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S, (a i).natAbs = Nat.card (S ⧸ I)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: this✝² : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI

Context: this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: this : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), NeZero (a i).natAbs


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ
x✝ : (f ^ n).SameCycle x y
m : ℤ
h : ((f ^ n) ^ m) x = y


Context: n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
s t : Set β
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t✝ : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
s t : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
ht : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x ≤ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C

e.counit.app (e.functor.obj X) = e.functor.map (e.unitInv.app X)


𝟙 (e.functor.obj X) = 𝟙 (e.functor.obj ((𝟭 C).obj X))


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : IsComplete s
ht : IsComplete t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x

Context: ht : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → t ∈ l → ∃ x ∈ t, ↑l ≤ 𝓝 x

∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → (s ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x) ∧ (t ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : normSq a = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: a : ℍ[R]

Context: h : ((a.re ^ 2 = 0 ∧ a.imI ^ 2 = 0) ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: a : ℍ[R]

Context: h : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: a : ℍ[R]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: a : ℍ[R]

Context: h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: a : ℍ[R]

Context: h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ

Tendsto (fun x => rexp x / x ^ n) atTop atTop


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C

∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n / rexp 1 ^ k < (rexp 1 * C)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)


Context: α : Type u_1

Context: x✝ y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Set.Ioi ↑N


Context: α : Type u_1

Context: x✝ y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : ↑N < x


Context: α : Type u_1

Context: x✝ y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : ↑N < x

Context: hx₀ : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂

K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

p ∉ support R M ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0


(∀ (m : M), ∃ r ∈ p.asIdeal.primeCompl, r • m = 0) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a b : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y


⟪(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: cd : Fin 2 → R

Context: b₀ a : R

Context: gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1

Context: A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: cd : Fin 2 → R

Context: b₀ a : R

Context: gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1

Context: det_A_1 : A.det = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ → ℕ →. α
h : Partrec (Nat.unpaired f)


Context:
α : Type u_1
s : Set α
a : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
ι' : Type u_8
φ : ι' → ι

induced (fun f j => f (φ j)) topologicalSpace = ⨅ i', induced (eval (φ i')) (T (φ i'))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R

(map W f).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map f (W.addPolynomial x y L)


eval₂ (mapRingHom f) (C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y)) W.polynomial = eval₂ (mapRingHom f) ((mapRingHom f) (C L * (X - C x) + C y)) W.polynomial


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ l₁ → Tendsto f (↑g) l₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : a ≤ 0

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : a ≤ ↑n

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : ↑n ≤ a

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p

HasDerivAt (fun x => |x| ^ p) (p * |x| ^ (p - 2) * x) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅


T s + T t + (T' s + T' t) = T s + T' s + (T t + T' t)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : M₂ →ₗ[R] M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m✝ : ι → M₂

Context: i✝ : ι

Context: x✝ y✝ : M₂

(fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ (x✝ + y✝)) = (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ x✝) + (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ y✝)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : M₂ →ₗ[R] M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m✝ : ι → M₂

Context: i✝ : ι

Context: c✝ : R

Context: x✝ : M₂

(fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ (c✝ • x✝)) = c✝ • (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ x✝)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: x y : M₂

(fun x => f fun x_1 => x) (x + y) = (fun x => f fun x_1 => x) x + (fun x => f fun x_1 => x) y


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: c : R

Context: x : M₂

{ toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id R) c • { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: x : ι → M₂

((fun f => { toFun := fun x => f (x i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((fun f => { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x = f x


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: x : ι → M₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: x : P

Context: x✝ : x ∈ 0

Context: x' : R

Context: x'_mem_zero : x' ∈ ↑0

Context: x'_eq_x : (Algebra.linearMap R P) x' = x

Context: x'_eq_zero : x' = 0


Context: n : ℕ

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : (Fin n → ℂ) → E

Context: c : Fin n → ℂ

Context: R : Fin n → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C

Context: θ : Fin n → ℝ

Context: x✝ : θ ∈ Icc 0 fun x => 2 * π

‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)‖ = (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R θ)‖


Context: n : ℕ

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : (Fin n → ℂ) → E

Context: c : Fin n → ℂ

Context: R : Fin n → ℝ

Context: C : ℝ

(∏ i : Fin n, |R i|) * C * (volume (Icc 0 fun x => 2 * π)).toReal = ((2 * π) ^ n * ∏ i : Fin n, |R i|) * C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β

(e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s)).source = (e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)).source


e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e.source ∩ (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


μ ≪ (μ univ)⁻¹ • μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f✝ : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
hg : OpenEmbedding g


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set E

IsVonNBounded 𝕜 S ↔ Tendsto (fun x => x • S) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets


IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ t


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0

Absorbs 𝕜 V S ↔ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ V


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)


IsIntegral R (∑ σ : Equiv.Perm n, Equiv.Perm.sign σ • ∏ i : n, M (σ i) i)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w u : W
i : B

cs.IsReflection (w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹)


w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹ = w * u * cs.simple i * (w * u)⁻¹


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

‖lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f‖ = ‖f‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁
this : t.dual.dual.Bounded o₁ o₂


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K

finrank ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) = rank K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α

Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊓ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∩ toMultiset g)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
e : m ≃ n
h : (M.submatrix ⇑e ⇑e).PosSemidef


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f (μ + ν)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 (μ + ν)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ


(logEmbedding K) x = 0 ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1


Context:
b✝ x y a b c : ℝ
h₁ : b ≠ 0
h₂ : b ≠ 1
h₃ : b ≠ -1

log b / log a * (log c / log b) = log c / log a


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith C f t


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: this : ∀ x ∈ s, ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, HolderOnWith C 1 f t


Context: n m : ℕ


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

|dist a₁ b₁ - dist a₂ b₂| ≤ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f s x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)

Context: hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f s x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x, F x_1 (g x_1))) p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f s x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[s] x)

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f s✝ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[s✝] x)

Context: hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s✝] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: s : Set α

Context: sx : s ∈ 𝓝[s✝] x

Context: hs : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s, (f y, F n y) ∈ u₁

Context: A : ∀ᶠ (n : ι) in p, g n ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f s✝ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[s✝] x)

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: s : Set α

Context: sx : s ∈ 𝓝[s✝] x

Context: A : ∀ᶠ (n : ι) in p, g n ∈ s

Context: B : ∀ᶠ (n : ι) in p, (f x, f (g n)) ∈ u₁


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
hs : MeasurableSet s


∃ t₁ ∈ ae μ, ∃ t₂, s ⊆ t₂ ∧ s = t₁ ∩ t₂


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.even
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.even.get n)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: a : L

Context: h : map i f = C a

Context: this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: ha : ¬a = 0

Context: g✝ : L[X]

Context: hg : Irreducible g✝

Context: x✝ : g✝ ∣ map i f

Context: p : L[X]

Context: hp : map i f = g✝ * p

Context: this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: a : L

Context: h : map i f = C a

Context: ha : ¬a = 0

Context: g✝ : L[X]

Context: hg : Irreducible g✝

Context: x✝ : g✝ ∣ map i f

Context: p : L[X]

Context: hp : map i f = g✝ * p

Context: this : g✝.degree = 0 ∧ p.degree = 0


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ : HomologicalComplex C c
e✝ : HomotopyEquiv K✝ L✝
inst✝² : ∀ (i : ι), K✝.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L✝.HasHomology i
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
e : HomotopyEquiv K L


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
m : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
_l₁ _l₂ : List α

_l₁ ≈ _l₂ ↔ ∀ (a : α), count a ⟦_l₁⟧ = count a ⟦_l₂⟧


_l₁ ≈ _l₂ ↔ ∀ (a : α), List.count a _l₁ = List.count a _l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIcoMod hp a (b - c) = toIcoMod hp (a + c) b - c


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : n ≠ 0

2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑n ^ 2 - if Even n then 4 else 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 * n ≠ 0

2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * n)) = ↑(2 * n) ^ 2 - if Even (2 * n) then 4 else 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 * n + 1 ≠ 0

2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * n + 1)) = ↑(2 * n + 1) ^ 2 - if Even (2 * n + 1) then 4 else 1


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace

(pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ pullback.snd (f ≫ g) (Scheme.Opens.ι U) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)


(pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)


(((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U))) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U) = (((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv) ≫ pullback.snd g (Scheme.Opens.ι U)


((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv


(((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U))) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U) = (((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)


(pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U) = (pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv ≫ pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)


((f ≫ g) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f = (f ⁻¹ᵁ g ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'

(adj.homEquiv X Y') (f ≫ g) = (adj.homEquiv X Y) f ≫ G.map g


Context: p q : GHSpace


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: a✝ : ι

a✝ ∈ (f ⊔ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∪ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: a✝ : ι

¬f a✝ ⊔ g a✝ = ⊥ ↔ ¬f a✝ = ⊥ ∨ ¬g a✝ = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
q : ℕ[X]


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
h : p ^ (n.factorization p + 1) ∣ n


Context: a b m n✝ p✝ n p : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : Prime p

Context: h : (p ^ (n.factorization p + 1)).factorization ≤ n.factorization


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a

c ∈ (P.avoid b).parts ↔ ∃ d ∈ P.parts, ¬d ≤ b ∧ d \ b = c


(∃ x ∈ P.parts, ¬c = ⊥ ∧ x \ b = c) ↔ ∃ d ∈ P.parts, ¬d ≤ b ∧ d \ b = c


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
P : Finpartition a
d : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂

(pullback.fst S₁.L₁.g S₁.v₀₁.τ₃ ≫ S₁.v₁₂.τ₂) ≫ f.f₂.τ₂ = pullback.map S₁.L₁.g S₁.v₀₁.τ₃ S₂.L₁.g S₂.v₀₁.τ₃ f.f₁.τ₂ f.f₀.τ₃ f.f₁.τ₃ ⋯ ⋯ ≫ pullback.fst S₂.L₁.g S₂.v₀₁.τ₃ ≫ S₂.v₁₂.τ₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

M.actRight ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom = (M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom ≫ M.actRight ▷ N₂.X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ M.X ◁ f.hom = (M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom ≫ (α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

M.X ◁ N₁.actLeft ≫ M.X ◁ f.hom = M.X ◁ Y.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

M.X ◁ (Y.X ◁ f.hom ≫ N₂.actLeft) = M.X ◁ Y.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(M.tensorBimod N₁).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ (M.tensorBimod N₂).actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ (M.tensorBimod N₁).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ (M.tensorBimod N₂).actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ TensorBimod.actLeft M N₁ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

((α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (X.X ◁ M.X ◁ f.hom ≫ X.X ◁ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ M.X ◁ f.hom ≫ (α_ X.X M.X N₂.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₂.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ (X.X ⊗ M.X) ◁ f.hom) ≫ M.actLeft ▷ N₂.X) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ (M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(M.tensorBimod N₁).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M.tensorBimod N₂).actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ (M.tensorBimod N₁).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M.tensorBimod N₂).actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₁ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

((α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actRight ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actRight ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ Z.X ≫ N₂.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N₁.X) ((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ Z.X ≫ N₂.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ◁ f.hom) ▷ Z.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ Z.X) ≫ TensorBimod.actRight M N₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ M.X N₁.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ Z.X ≫ N₂.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.X ◁ f.hom) ▷ Z.X ≫ (α_ M.X N₂.X Z.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actRight ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: V : Set E

Context: hV : IsOpen (⇑(continuousLinearMapToWeakSpace 𝕜 E) '' V)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i


(fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i) = fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fderiv 𝕜 f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α
h : ∀ x ∈ s, p x

∀ (a : α), a ∈ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s) ↔ a ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F₁ : Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E₁ : B → Type u_6

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: inst✝²³ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝²² : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝²¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: inst✝¹⁶ : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁵ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)

Context: EB : Type u_8

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_9

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace HM M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝² : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁

Context: inst✝¹ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: y₀ y : LE₁E₂

↑(chartAt (ModelProd HB (F₁ →L[𝕜] F₂)) y₀) y = (↑(chartAt HB y₀.proj) y.proj, inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ y₀.proj y.proj y₀.proj y.proj y.snd)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a c u v w : V
e : Sym2 V
h : G.Adj a a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}

↑q * μ s ≤ ρ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

↑q * μ s ≤ ρ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

∀ x ∈ s ∩ t, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, (q • μ) a ≤ ρ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, (q • μ) a ≤ ρ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: I : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑q < ρ a / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: a : Set α

Context: ha : ↑q < ρ a / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: q : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | ↑q < v.limRatioMeas hρ x}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: a : Set α

Context: ha : ↑q < ρ a / μ a

↑q * μ a ≤ ρ a


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
i j : ℕ
hj : 0 < j


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
i j : ℕ
hj : 0 < j
this : j * (j - 1) < j ^ 2


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
x✝ : ℝ
h : x✝ ∈ Ι (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
x✝ : ℝ
h : -(π / 2) < x✝ ∧ x✝ ≤ π / 2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : T2Space E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
f g : F → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ n f
hg : ContDiff ℝ n g
h : ∀ (x : F), f x ≠ g x

ContDiff ℝ n fun x => Dist.dist (toEuclidean (f x)) (toEuclidean (g x))


∀ (x : F), toEuclidean (f x) ≠ toEuclidean (g x)


Context: n m : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} n

Context: Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m

Context: α✝ β : TypeVec.{u} m

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → α i → Prop

Context: x y : ↑P α

Context: a : P.A

Context: f₀ f₁ : P.B a ⟹ α

Context: xeq : x = ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = ⟨a, f₁⟩

Context: h : ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)


Context: n m : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} n

Context: Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m

Context: α✝ β : TypeVec.{u} m

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → α i → Prop

Context: x y : ↑P α

Context: a : P.A

Context: f₀ f₁ : P.B a ⟹ α

Context: xeq : x = ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = ⟨a, f₁⟩

(fun i t => (↑t).1) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ

map I.incl (derivedSeries R (↥↑I) k) = derivedSeriesOfIdeal R L k I