Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: this : ∀ k < N, ∃ j < i, (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N

Context: hi : i < p.lastStep

Context: A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: g : ℕ → Ordinal.{u}

Context: hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)

Context: G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n

Context: color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n

Context: G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: g : ℕ → Ordinal.{u}

Context: color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n

Context: G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep

Context: fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: g : ℕ → Ordinal.{u}

Context: color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n

Context: G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep

Context: Gab : ∀ (a b : Fin N.succ), G ↑a < G ↑b → p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧ p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a))

Context: sc : SatelliteConfig α N p.τ := { c := fun k => p.c (p.index (G ↑k)), r := fun k => p.r (p.index (G ↑k)), rpos := ⋯, h := ⋯, hlast := ⋯, inter := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a : R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a : R
hi : Irreducible (Classical.choose ⋯)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

ENNReal.ofReal (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)


(∑ i ∈ s, f i).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal


Context: X : Scheme

Context: P : ↑X.affineOpens → Prop

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → ↑X.affineOpens

Context: iSup_U : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: basicOpen : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (f : ↑Γ(X, ↑U)), P U → P (X.affineBasicOpen f)

Context: openCover : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (s : Finset ↑Γ(X, ↑U)), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (f : { x // x ∈ s }), P (X.affineBasicOpen ↑f)) → P U

Context: hU : ∀ (i : ι), P (U i)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
b : σ a

⟨a, b⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨a, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨a, b⟩.snd ∈ t ⟨a, b⟩.fst


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤

(sInf s).toNNReal = sInf (ENNReal.toNNReal '' s)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: x : E

HasSum (fun i => ↑(b.repr x) i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) x


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L


Context:
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
y : k
hy : (algebraMap k ↥L) y = ⟨x, hx⟩


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I

Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) (𝓝 (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol))


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε


∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε


∀ (x : TaggedPrepartition I), (∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) x ∧ x.iUnion = π₀.iUnion) → integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: π₀ : Prepartition I

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

integralSum f vol π ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 f

∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: h : ¬∀ (s : Finset ι) (w : ι → 𝕜), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • f e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s

Context: J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s

Context: p : E := I.centerMass w f


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: p : E := I.centerMass w f

Context: hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: p : E := I.centerMass w f

Context: hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0

Context: hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: p : E := I.centerMass w f

Context: hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0

Context: hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i

Context: hp : J.centerMass w f = p


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: p : E := I.centerMass w f

Context: hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0

Context: hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i

Context: hp : J.centerMass w f = p

J.centerMass w f ∈ (convexHull 𝕜) (f '' (↑I)ᶜ)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: h_wsum : s.sum w = 0

Context: h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0

Context: nonzero_w_index : ι

Context: h1 : nonzero_w_index ∈ s

Context: h2 : w nonzero_w_index ≠ 0

Context: p : E := I.centerMass w f

Context: hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0

Context: hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i

Context: hp : J.centerMass w f = p

Context: _i : ι

Context: hi : _i ∈ J

Context: hi' : _i ∈ ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ

essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ


essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteLattice β

Context: γ : Type u_3

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : γ → β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: hg : Measurable g

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: c : β

Context: h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c

∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x : 𝔸

exp 𝕂 (MulOpposite.op x) = MulOpposite.op (exp 𝕂 x)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformly F f p
g : γ → α
cg : Continuous g

TendstoLocallyUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ

Context: g : γ → α

Context: cg : Continuous g

TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p univ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: g : γ → α

Context: cg : ContinuousOn g univ


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀

↑m ^ ↑n < ℵ₀


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ 𝒜 i, x ∈ I ↔ x ∈ J
x✝ : A


(∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) i) ∈ I.toIdeal) ↔ ∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) i) ∈ J.toIdeal


∀ (a : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ I.toIdeal ↔ ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ J.toIdeal


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: h : b < a

Context: hc : c < 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d✝ : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: h : b < a

Context: hc : c < 0

Context: d : α

Context: hcd : 0 = c + d


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.dropWhile p)


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

utf8Len l + utf8Len m = utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) + utf8Len (List.dropWhile p m)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r r' : X
s : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f


Context:
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)


Context:
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β] (e : α ≃ β), (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : β → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : β, f i)


Context:
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

∀ (f : PEmpty.{u + 1} → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : PEmpty.{u + 1}, f i)


Context:
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : Option α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : Option α, f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))

Context: y : Set β

x ∩ f ⁻¹' maximals s (f '' x ∩ y) = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: y : Set β

∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

ContinuousWithinAt (dslope f a) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hc : ContinuousWithinAt f s b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E

LowerSemicontinuousAt (fun f => eVariationOn f s) f


∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : Tendsto id (𝓝 f) (𝓝 f)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: s : Set α

Context: f : α →ᵤ[{s}] E

Context: this : ∀ s_1 ∈ {s}, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun {s}) ∘ id) ((UniformOnFun.toFun {s}) f) (𝓝 f) s_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: s : Set α

Context: f : α →ᵤ[{s}] E

∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOn id f (𝓝 f) {x}


Context:
ι : Type u_1
m : Multiset ℕ
k : ℕ


Context:
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ

(Multiset.prod ⟦a✝⟧).Coprime k ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, n.Coprime k


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F

ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ∀ (y : E), ContDiff 𝕜 ↑n fun x => (fderiv 𝕜 f x) y


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)

Context: gm : Monotone g

(f.lift g).HasBasis (fun i => p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) fun i => sg i.fst i.snd


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: gm : Monotone g

Context: t : Set γ

(∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ t) ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) ∧ sg i.fst i.snd ⊆ t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι

(∑ i ∈ s, f i).length ≤ ∑ i ∈ s, (f i).length


∀ (x y : Interval α), (x + y).length ≤ x.length + y.length


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ✝ : 𝕜
u v : Finset α
ε δ : 𝕜
a b : α
ab : G.Adj a b
U : Finset α
UP : U ∈ P.parts
V : Finset α
VP : V ∈ P.parts
xU : a ∈ U
yV : b ∈ V
UV : U ≠ V
GUV : G.IsUniform ε U V
εUV : δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)

G.Adj b a ∧ ∃ U ∈ P.parts, ∃ V ∈ P.parts, b ∈ U ∧ a ∈ V ∧ U ≠ V ∧ G.IsUniform ε U V ∧ δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a < b

minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Ico a b) = {a}


minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {x | x < b ∧ a ≤ x} = {a}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1 hT) (c • f) = c • (setToL1 hT) f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • (setToL1' 𝕜 hT h_smul) f


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsReal


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b c d : R
h1 : a - b ∈ I
h2 : c - d ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
s : Finset α
t : Finset β

s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i : ι × ι
a : ℬ i.1
b : 𝒜 i.2

(gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((gradedCommAux R ℬ 𝒜) ((lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i) (a ⊗ₜ[R] b))) = (lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i) (a ⊗ₜ[R] b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι

⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = l i


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → i = j → α

(∏ j : ι, if h : i = j then f j h else 1) = f i ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ l l' : List α

Context: x✝ : α

Context: h : x✝ ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) = (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)


∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (wittStructureInt p (X 0 * X 1))) (wittPolynomial p ℤ n)


(rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
ha' : ℵ₀ ≤ a


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hb' : ℵ₀ ≤ b


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
W : (↑(f ⁻¹ᵁ U)).Opens
e : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V

Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ W) ⋯


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: s : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: s : Stream' (Option α)

↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: s : Stream' (Option α)

(fun o => Option.rec none (fun val => some (g (f val))) o) = (fun o => Option.rec none (fun val => some (g val)) o) ∘ fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.135729, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T : (Triangle C)ᵒᵖ

((Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₁).hom).op = ((Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₃).hom ≫ (Opposite.unop T).mor₃).op


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

intrinsicFrontier 𝕜 s ∪ intrinsicInterior 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ


(C (W.preΨ' (2 * (m + 3))) * if Even (2 * (m + 3)) then W.ψ₂ else 1) * W.ψ₂ = (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 2 * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 5)) * if Even (m + 5) then W.ψ₂ else 1) - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) ^ 2


C (W.preΨ' (m + 2) ^ 2 * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 5) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 4) ^ 2) * W.ψ₂ * W.ψ₂ = (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 2 * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 5)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 2


Context:
E : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : AddCommGroup L
inst✝⁴ : Countable L
inst✝³ : AddAction L E
inst✝² : MeasurableSpace L
inst✝¹ : MeasurableVAdd L E
inst✝ : VAddInvariantMeasure L E μ
fund : IsAddFundamentalDomain L F μ
hS : NullMeasurableSet s μ
h : μ F < μ s

∃ x y, x ≠ y ∧ ¬Disjoint (x +ᵥ s) (y +ᵥ s)


Context: E : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup L

Context: inst✝⁴ : Countable L

Context: inst✝³ : AddAction L E

Context: inst✝² : MeasurableSpace L

Context: inst✝¹ : MeasurableVAdd L E

Context: inst✝ : VAddInvariantMeasure L E μ

Context: fund : IsAddFundamentalDomain L F μ

Context: hS : NullMeasurableSet s μ

Context: h : ∀ (x y : L), x ≠ y → Disjoint (x +ᵥ s) (y +ᵥ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a✝ : α

(toFinsupp (s ∩ t)) a✝ = (toFinsupp s ⊓ toFinsupp t) a✝


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C

(colimitCocone X).ι.app Y ≫ (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s = s.ι.app Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C
f : (coyoneda.obj X).obj Y

((colimitCocone X).ι.app Y ≫ (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s) f = s.ι.app Y f


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Cᵒᵖ

Context: s : Cocone (coyoneda.obj X)

Context: Y : C

Context: f : (coyoneda.obj X).obj Y

Context: e_1✝ : s.pt = ((Functor.const C).obj s.pt).obj (unop X)

s.ι.app Y f = ((coyoneda.obj X).map f ≫ s.ι.app Y) (𝟙 (unop X))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Cᵒᵖ

Context: s : Cocone (coyoneda.obj X)

Context: m : (colimitCocone X).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : C), (colimitCocone X).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Cᵒᵖ

Context: s : Cocone (coyoneda.obj X)

Context: m : (colimitCocone X).pt ⟶ s.pt

∀ (x : (colimitCocone X).pt), m x = (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict

range (rTensor Q ((range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)) = range (rTensor Q (range g).subtype)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

range (rTensor Q (range g).subtype ∘ₗ rTensor Q g.rangeRestrict) = range (rTensor Q (range g).subtype)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Function.Surjective ⇑(rTensor Q g.rangeRestrict)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a : α
s : Set α


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : α →ₛ F

Context: i✝ : F

Context: a✝ : i✝ ∈ f.range

‖T (↑f ⁻¹' {i✝})‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {i✝})).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ F

∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ F

∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p s

UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

(if ↑x = 0 then if ↑y = 0 then 1 else 0 else Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hy : y ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 0 → E
v' : Fin 0 → F
c : Composition 0 := Composition.ones 0

(∑ c : Composition 0, q.compAlongComposition p c) v = (q 0) v'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 0 → E
v' : Fin 0 → F
c : Composition 0 := Composition.ones 0
this : {c} = Finset.univ


(q c.length) (p.applyComposition c v) = (q 0) v'


Context: a x✝ z x : ℂ


Context: a x z : ℂ


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx : x ≠ 0


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Injective ⇑f'
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (g i').SupIndep f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: hs : (↑s).PairwiseDisjoint fun i => (g i).sup f

Context: hg : ∀ i' ∈ s, (↑(g i')).PairwiseDisjoint f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α


Context:
C : Type u_2
D : Type ?u.34421
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.34429, ?u.34421} D
X Y : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y

(Sieve.pullback f T).arrows g ↔ ⊤.arrows g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)

Context: H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a

Context: ha : ¬IsMin a

PredOrder.limitRecOn (pred a) H_pred H_lim = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: ha : ¬IsMin a

Context: h : ¬IsPredLimit (pred a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: ha : ¬IsMin a

Context: h : ¬IsPredLimit (pred a)

(let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: ha : ¬IsMin a

Context: h : ¬IsPredLimit (pred a)

Context: this : ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMin b} {hc : ¬IsMin c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_pred b hb (x b) = H_pred c hc (x c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: ha : ¬IsMin a

Context: h : ¬IsPredLimit (pred a)

Context: x : { x // ¬IsMin x ∧ pred x = pred a } := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
W : C

Presieve.IsSheaf (coherentTopology C) (yoneda.obj W)


∀ (B : C) (α : Type) [inst : Finite α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B), EffectiveEpiFamily X π → Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows X π)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Precoherent C
W X : C
α : Type
inst✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π

Presieve.IsSheafFor (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generateFamily Y π).arrows.cocone


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: h_colim : Limits.IsColimit (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows.cocone


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Presieve.ofArrows Y π)

Context: hx : x.Compatible

Context: x_ext : Presieve.FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)).arrows := x.sieveExtend


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible

Context: S : Sieve X := Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: W X : C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: H : EffectiveEpiFamily Y π

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible

Context: t : (yoneda.obj W).obj (Opposite.op X)

Context: t_amalg : x_ext.IsAmalgamation t

Context: t_uniq : ∀ (y : (yoneda.obj W).obj (Opposite.op X)), (fun t => x_ext.IsAmalgamation t) y → y = t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Denumerable α

Context: inst✝ : Denumerable β

Context: m : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: n : ℕ

Context: h₁ : ∀ m_1 ∈ m :: l, n ≤ m_1

Context: h₂ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (m :: l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Denumerable α

Context: inst✝ : Denumerable β

Context: m : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: n : ℕ

Context: h₁ : ∀ m_1 ∈ m :: l, n ≤ m_1

Context: this : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x✝ : α

(filter p f) x✝ = {x | p x}.indicator (⇑f) x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
M0 : 0 < M


dist f 0 < M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 < M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

ContMDiffOn I I n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (range e)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

ContinuousOn (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm) (range e) ∧ ∀ (x : H) (y : M), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (range e ∩ ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

(fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
x✝ : R

inverse (↑x + x✝) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * x✝ * ↑x⁻¹ = inverse (↑x + x✝) - (∑ i ∈ range 2, (-↑x⁻¹ * x✝) ^ i) * ↑x⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β

IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)


Context:
σ R : Type u
inst✝ : CommSemiring R

max (max (lift.{u, u} #R) (lift.{u, u} #σ)) ℵ₀ ≤ max (max #R #σ) ℵ₀


Context:
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
S T : Subalgebra R A
h : S.toSubsemiring = T.toSubsemiring
x : A


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
h : 0 < c


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝² : IsCancelAdd R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B

B.toQuadraticMap.IsOrtho x y ↔ LinearMap.IsOrtho B x y


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝² : IsCancelAdd R

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: B : BilinMap R M R

Context: x y : M

Context: h : LinearMap.IsSymm B

Context: this : AddCancelMonoid R := let __src := inst✝²; let __src_1 := inferInstanceAs (AddCommMonoid R); AddCancelMonoid.mk ⋯


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝² : IsCancelAdd R

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: B : BilinMap R M R

Context: x y : M

Context: h : LinearMap.IsSymm B


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
φ ψ : R⟦X⟧


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T.adjointDomain
x : ↥T.domain

⟪(adjointAux hT) y, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜


⟪{ toFun := fun y => (InnerProductSpace.toDual 𝕜 E).symm (adjointDomainMkCLMExtend hT y), map_add' := ⋯ } y, ↑x⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜


(adjointDomainMkCLMExtend hT y) ↑x = ⟪↑y, ↑T x⟫_𝕜


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c : k

(lineMap p₀ p₁) c = p₁ ↔ p₀ = p₁ ∨ c = 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : ¬IsAlgebraic F α


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : ¬IsAlgebraic F α
this : finrank F ↥F⟮α⟯ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
W X X' Y Z Z' : C
f : W ⟶ X
f' : X ⟶ X'
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
h' : X' ⟶ Z'
i : Y ⟶ Z
i' : Z ⟶ Z'
hsq₁ : CommSq f g h i
hsq₂ : CommSq f' h h' i'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃p₁ : ¬p₃ = p₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl

Context: this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') → ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.211386, ?u.211385, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor

Context: hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'

Context: hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))

Context: this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))

Context: this : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })

IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))) ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: this✝³ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝² : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: this✝¹ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))

Context: this✝ : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })

Context: this : IsPullback (Gl.map ((colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι.app j)) (Gl.map ((whiskerRight α' Gr).app j)) (Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) (Gl.map (c.ι.app j))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl

Context: this✝² : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j

Context: β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor

Context: hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'

Context: hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))

Context: this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))

Context: this : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })

whiskerRight α' Gr ≫ c.ι = (colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι ≫ (Functor.const J).map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: ι : Type u_1

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Finite

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set α

Context: ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: γ : Type x

Context: ι : Type u_1

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Finite

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set α

Context: this : Finite ↑s


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
l : List ι

(∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Continuous (f i)) → Continuous fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) (Quot.mk Setoid.r l)).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
hij : ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel i j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k


(s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C

Context: X : SimplicialObject C

Context: s : Splitting X

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: i j k : ℕ

Context: x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

Context: x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k

Context: eq : K[X].d i j ≫ 𝟙 (X _[j]) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C

Context: X : SimplicialObject C

Context: s : Splitting X

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: i j k : ℕ

Context: x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

Context: x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k

Context: eq : K[X].d i j ≫ (∑ A : IndexSet (op [j]), s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [j])).inj A) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0


Context:
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)

Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel x y


Context:
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y


Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel y x


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂

(conjugateEquiv adj₁ adj₁).symm (𝟙 R₁) = 𝟙 L₁


𝟙 R₁ = (conjugateEquiv adj₁ adj₁) (𝟙 L₁)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I J : Ideal R

Context: N N' : Submodule R M

Context: hN' : N'.FG

Context: hIJ : I ≤ J.jacobson

Context: hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'

Context: hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'

Context: h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I J : Ideal R

Context: N N' : Submodule R M

Context: hN' : N'.FG

Context: hIJ : I ≤ J.jacobson

Context: hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'

Context: hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'

Context: this : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I J : Ideal R

Context: N N' : Submodule R M

Context: hN' : N'.FG

Context: hIJ : I ≤ J.jacobson

Context: hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'

Context: hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'

Context: this✝ : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'

Context: this : map N.mkQ N' = J • map N.mkQ N'


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X)


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: X : FintypeCat

Context: inst✝¹ : MulAction G ↑X

Context: inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X

Context: h : Nonempty ↑X

Context: Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X

Context: hm : Mono i

Context: hni : IsInitial Y → False


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: X : FintypeCat

Context: inst✝¹ : MulAction G ↑X

Context: inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X

Context: h : Nonempty ↑X

Context: Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: hm : Mono i

Context: hni : IsInitial Y → False

Context: y : ↑Y.V


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: X : FintypeCat

Context: inst✝¹ : MulAction G ↑X

Context: inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X

Context: h : Nonempty ↑X

Context: Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: hm : Mono i

Context: hni : IsInitial Y → False

Context: y : ↑Y.V

Context: this : IsIso i.hom


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N


Context: a b : Prop


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

‖(ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖ ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι


Context:
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.fst (decode n))


Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n_1.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.fst ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0


Context:
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x < 1


Context:
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1


Context:
x✝ y✝¹ z✝¹ w x y✝ z✝ : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hs : s ⊆ f.source
hx : x ∈ f.source

↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑(f.extend I) '' s


Context:
x y : ℤ
d : ℕ
hd : x.gcd y = d
h : d.beq 1 = false


Context: I : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: X : I → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f g : (i : I) → C(A, X i)

Context: S : Set A

Context: homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S

Context: t : ↑unitInterval

Context: x : A

Context: hx : x ∈ S

{ toFun := fun x => __src✝.toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = (ContinuousMap.pi f) x


Context: I : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: X : I → Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f g : (i : I) → C(A, X i)

Context: S : Set A

Context: t : ↑unitInterval

Context: x : A

Context: hx : x ∈ S

(Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) = fun i => (f i) x


Context: I : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: X : I → Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f g : (i : I) → C(A, X i)

Context: S : Set A

Context: t : ↑unitInterval

Context: x : A

Context: hx : x ∈ S

∀ (a : I), (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) a = (f a) x


Context: I : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: X : I → Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f g : (i : I) → C(A, X i)

Context: S : Set A

Context: t : ↑unitInterval

Context: x : A

Context: hx : x ∈ S

Context: i : I

(Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) i = (f i) x


Context:
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char

(if h : { data := l ++ c :: r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then { data := l ++ c :: r } else let c_1 := f ({ data := l ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l }); let_fun this := ⋯; let s := { data := l ++ c :: r }.set { byteIdx := utf8Len l } c_1; mapAux f (s.next { byteIdx := utf8Len l }) s) = { data := l ++ List.map f (c :: r) }


(let c_1 := f ({ data := l ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l }); let_fun this := ⋯; let s := { data := l ++ c :: r }.set { byteIdx := utf8Len l } c_1; mapAux f (s.next { byteIdx := utf8Len l }) s) = { data := l ++ List.map f (c :: r) }


mapAux f { byteIdx := utf8Len l + (f c).utf8Size } { data := l ++ f c :: r } = { data := l ++ f c :: List.map f r }


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T


lift (lift.symm f) = lift ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩


{ toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm f) = { toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U

μ U = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U

r < ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x


HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝³ : CommMonoid β

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ

Context: inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: s : Finset α

Context: d : α

Context: hd : d ∈ s

Context: f : α → γ

Context: hdf : 1 < f d


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝³ : CommMonoid β

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ

Context: s : Finset α

Context: d : α

Context: hd : d ∈ s

Context: f : α → γ

Context: hdf : 1 < f d

∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ insert d (s.erase d), f m


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝³ : CommMonoid β

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ

Context: s : Finset α

Context: d : α

Context: hd : d ∈ s

Context: f : α → γ

Context: hdf : 1 < f d

∏ m ∈ s.erase d, f m < f d * ∏ x ∈ s.erase d, f x


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : p.degree ≤ 0


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t

eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)


eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)


eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

Context: A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) ∘ fun x => p x 0) ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt (fun x => p x 0) ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1))) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

Context: this : ↑0 < n


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

Context: this : ↑0 < n

(↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) = (p x (Nat.succ 0)).curryLeft


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hx : x ∈ s

Context: this : ↑0 < n

Context: y : E

Context: v : Fin 0 → E

Context: i : Fin (0 + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sb : b.factors = ↑sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb

Context: h_sb : b.factors = ↑sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sb : b.factors = ↑sb

Context: h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: sa : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sa : a.factors = ↑sa

Context: sb : Multiset { p // Irreducible p }

Context: h_sb : b.factors = ↑sb

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

(toFinsupp sa) ⟨p, hp⟩ = (toFinsupp sb) ⟨p, hp⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α


Context:
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n

↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b


Context:
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ

↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
h_fin : μ s₂ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f

Context: r : ℝ≥0∞

r ≤ ⨅ a ∈ fun x => (map f (ae μ)).sets {x_1 | (fun x_2 => (fun x x_3 => x ≤ x_3) x_2 x) x_1}, ↑a ↔ r ≤ essSup (fun x => ↑(f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0

Context: r : ℝ≥0∞

(∀ i ∈ fun x => (map f (ae μ)).sets {x_1 | x_1 ≤ x}, r ≤ ↑i) ↔ ∀ (r_1 : ℝ≥0), (∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ r_1) → r ≤ ↑r_1


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b = b / r + if v % r < b % r then 1 else 0


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

↑(b / r) + ⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} D

Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: H : J ⥤ K ⥤ C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J C

Context: k : K

Context: W : C

Context: f g : (colimit H).obj k ⟶ W

Context: w : ∀ (j : J), (colimit.ι H j).app k ≫ f = (colimit.ι H j).app k ≫ g


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} D

Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: H : J ⥤ K ⥤ C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J C

Context: k : K

Context: W : C

Context: f g : (colimit H).obj k ⟶ W

(colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ f = (colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ g


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ht : μ t = 0


Context:
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))