Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: HL : ∀ y ∈ hd, y ∈ s ∨ y = -1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ s ∨ y = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)

Context: HL : ∀ y ∈ hd :: tl, y ∈ s ∨ y = -1

∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = L.prod

Context: hhd : hd ∈ s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = L.prod

Context: hhd : hd = -1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = -L.prod

Context: hhd : hd ∈ s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = -L.prod

Context: hhd : hd = -1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hm : Squarefree 0


Context: α : Type u_1

Context: g : GenContFract α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: nth_partNum_eq : g.partNums.get? n = some a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (x : α), f x ≤ liminf f (𝓝 x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
hs : IsLocallyClosed s
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (range f)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f✝ f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsLocallyClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsLocallyClosed t
hs : IsLocallyClosed (f ⁻¹' t)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ico b c = Ico (b + a) (c + a)


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

dist ↑a ↑c * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b) / (2 * √(a.im * c.im)) ≤ (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ s ⊔ t


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x : C
h : x ∈ closure (↑s ∪ ↑t)


∀ x ∈ ↑s ∪ ↑t, ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x


∀ (x y : C), (∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) → (∃ y_1 ∈ s, ∃ z ∈ t, y_1 * z = y) → ∃ y_1 ∈ s, ∃ z ∈ t, y_1 * z = x * y


∀ (x : C), (∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x) → ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x⁻¹


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
y : C
hy : y ∈ s
z : C
hz : z ∈ t


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(F i)

Context: hFortho : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(F i)) fun i => (F i).subtypeₗᵢ

Context: hFtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, F i).topologicalClosure

⊤ ≤ (⨆ i, LinearMap.range (F i).subtypeₗᵢ.toLinearMap).topologicalClosure


Context:
X : Type ?u.719
Y : ?m.713
A : Type ?u.722
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
Y₁ : Sort u_3
Y₂ : Sort u_4
Z₁ : Type u_5
Z₂ : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X₁
inst✝² : TopologicalSpace X₂
inst✝¹ : TopologicalSpace Z₁
inst✝ : TopologicalSpace Z₂
f₁ : X₁ → Y₁
g₁ : Z₁ → Y₁
f₂ : X₂ → Y₂
g₂ : Z₂ → Y₂
mapX : X₁ → X₂
contX : Continuous mapX
mapY : Y₁ → Y₂
mapZ : Z₁ → Z₂
contZ : Continuous mapZ
commX : f₂ ∘ mapX = mapY ∘ f₁
commZ : g₂ ∘ mapZ = mapY ∘ g₁

Continuous (Function.mapPullback mapX mapY mapZ commX commZ)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace δ

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: s : Set α

Context: f g : α → β

Context: hp : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, f a = g a

Context: hf : ContinuousOn f (s ∩ closure {a | p a})

Context: hg : ContinuousOn g (s ∩ closure {a | ¬p a})

ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace δ

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: s : Set α

Context: f g : α → β

∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Tendsto f (𝓝[s ∩ {a | p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace δ

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: s : Set α

Context: f g : α → β

∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Tendsto g (𝓝[s ∩ {a | ¬p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α✝

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace δ

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: s : Set α

Context: f g : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
g : G
hg : g ∈ s
n : G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : r ≠ 0

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo (-1) 1

Context: hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : r ≠ 0

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo (-1) 1

Context: this : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : r ≠ 0

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Ioo 0 1

Context: hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * ↑a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: this✝ : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Ioo 0 1

Context: this : ↑r < ↑r / ↑a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Ioo 0 1

Context: this : r < r / a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Ioo 0 1

Context: this : ↑r < ↑(r / a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Ioo 0 1

Context: this : ↑r < ↑(r / a)

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : ι →₀ R
n : N
i : ι

((finsuppScalarLeft R N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = (p.sum fun i m => Finsupp.single i (m • n)) i


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: hφ : AECover μ l fun i => Ioc (a i) (b i)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

∀ᶠ (x : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a x..b x, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioc (a x) (b x), ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I : ℝ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: i : ι

Context: hai : a i ≤ 0

Context: hbi : 0 ≤ b i

Context: ht : ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I

∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(sum fun n => sum (μ n)) s = (sum fun p => μ p.1 p.2) s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x

Context: hg_int : IntegrableOn g (f '' s) volume

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

(Measure.comap f (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x

Context: hg_int : IntegrableOn g (f '' s) volume

Context: f' : ℝ → ℝ

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

sᶜ ∈ cocompact X ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t


(∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ sᶜ) ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
p : Submodule R L

(lieSpan R L ↑p).toSubmodule = p ↔ ∃ K, K.toSubmodule = p


(lieSpan R L ↑p).toSubmodule = p ↔ ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f g : α → ℝ

∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ.tilted f = (∫ (x : α), rexp ((f + g) x) ∂μ) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
g : { a // ¬P a } →₀ M

Disjoint (map (Embedding.subtype P) f.support) (map (Embedding.subtype fun a => ¬P a) g.support)


∀ ⦃a : α⦄ (a_1 : α) (b : P a_1), ⟨a_1, b⟩ ∈ f.support ∧ a_1 = a → ¬∃ a_2, ∃ (h : ¬P a_2), ⟨a_2, ⋯⟩ ∈ g.support ∧ a_2 = a


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cone (Discrete.functor f)
j : Discrete β

(fun s => s.π.app default) s ≫ { pt := f default, π := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.π.app j = s.π.app j


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
h : j = default


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 ≤ x
hyz : y ≤ z


Context:
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable fun x => rexp (f x)


Context:
α : Type u_1
x✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable fun x => rexp (f x)
this : f = fun x => log (rexp (f x))


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

(fun a => ↑a) '' (closure (Subtype.val ⁻¹' s) \ frontier (Subtype.val ⁻¹' s)) = intrinsicInterior 𝕜 s


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : Fintype V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: hb : ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges

Context: c : G.Walk u u

Context: hc : c.IsTrail

Context: he : s(v, w) ∈ c.edges

Context: hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: c : G.Walk u u

Context: hc : c.IsTrail

Context: he : s(v, w) ∈ c.edges

Context: hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support

Context: hv : v ∈ c.support


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: c : G.Walk u u

Context: hc : c.IsTrail

Context: he : s(v, w) ∈ c.edges

Context: hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support

Context: hv : v ∈ c.support

Context: puw : G.Walk u w := (c.takeUntil v hv).takeUntil w hw

Context: pwv : G.Walk w v := (c.takeUntil v hv).dropUntil w hw

Context: pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv

Context: this : c = (puw.append pwv).append pvu

Context: hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges

Context: hpq' : s(v, w) ∈ pwv.reverse.edges


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: c : G.Walk u u

Context: hc : c.IsTrail

Context: he : s(v, w) ∈ c.edges

Context: hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support

Context: hv : v ∈ c.support

Context: pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv

Context: this : c = (puw.append pwv).append pvu

Context: hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges

Context: hpq' : s(v, w) ∈ pwv.edges


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: c : G.Walk u u

Context: he : s(v, w) ∈ c.edges

Context: hw : w ∈ (c.takeUntil v ⋯).support

Context: hv : v ∈ c.support

Context: pvu : G.Walk v u := c.dropUntil v hv

Context: hc : ((pvu.append puw).edges ++ pwv.edges).Nodup

Context: this : c = (puw.append pwv).append pvu

Context: hbq : s(v, w) ∈ (pvu.append puw).edges

Context: hpq' : s(v, w) ∈ pwv.edges


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → 𝕜
g₁ g₂ : α → 𝕜'
h₁ : f₁ =Θ[l] g₁
h₂ : f₂ =Θ[l] g₂

(fun x => f₁ x / f₂ x) =Θ[l] fun x => g₁ x / g₂ x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : Set (UniformSpace β)

Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β) ↔ ∀ u ∈ u₂, Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)


Context:
c : Char
cs : List Char
b e : Pos

{ data := c :: cs }.extract (b + c) (e + c) = { data := cs }.extract b e


Context:
c : Char
cs : List Char
b e : Pos

(if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then "" else { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) }) = if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then "" else { data := extract.go₁ cs 0 b e }


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x : M

x ∈ N ⊔ N' ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x


(∃ y ∈ ↑N, ∃ z ∈ ↑N', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

∀ᵐ (ω : Ω), (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: A : ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X j ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: ω : Ω

Context: hω : Tendsto (fun n => truncation (X n) (↑n) ω - X n ω) atTop (𝓝 0)

(fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: ω : Ω

(fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) = fun n => ∑ i ∈ range n, (truncation (X i) (↑i) ω - X i ω)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: ω : Ω

Context: n : ℕ

∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω = ∑ i ∈ range n, (truncation (X i) (↑i) ω - X i ω)


Context:
R✝ : Type u
inst✝²⁷ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²⁶ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²⁵ : CommRing S
inst✝²⁴ : Algebra R S
A : Type u
inst✝²³ : CommRing A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Algebra S A
inst✝²⁰ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁹ : CommRing B
inst✝¹⁸ : Algebra R B
inst✝¹⁷ : Algebra S B
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S B
f✝¹ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R F
inst✝¹³ : Algebra S F
inst✝¹² : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : Algebra S K
inst✝⁸ : IsScalarTower R S K
f✝ : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsScalarTower R F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : W⟮F⟯
this : Subsingleton (F →ₐ[F] L)

(map W f) ((baseChange W F K) P) = (baseChange W F L) P


Context: m n : ℕ∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: E' : Type u_5

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : TopologicalSpace H'

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e) e.source

Context: he_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I).property (↑e.symm) e.target

Context: he' : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e') e'.source

Context: he'_symm : (contDiffPregroupoid ⊤ I').property (↑e'.symm) e'.target

e.prod e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ (I.prod I')


Context: m n : ℕ∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: E' : Type u_5

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : TopologicalSpace H'

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I').symm ⁻¹' e.source ×ˢ e'.source ∩ range ↑(I.prod I'))


Context: m n : ℕ∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: E' : Type u_5

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : TopologicalSpace H'

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).target ∩ range ↑(I.prod I'))


Context:
z : ℂ
hz : z ≠ 0


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : r < r'

(lineMap a b) r < (lineMap a b) r' ↔ a < b


(1 - r) • a + r • b < (1 - r') • a + r' • b ↔ a < b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹


∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: y : K

Context: hy : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: p : A[X]

Context: hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: p : A[X]

∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: p : A[X]

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)


Context:
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
this : (1 ⍟ fun x => ↑(μ x)) = δ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K
h : a ≠ 0
b : V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹ : T2Space G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : Group H

Context: f : H →* G

Context: hf' : DiscreteTopology ↥f.range

Context: hf : Function.Injective ⇑f.rangeRestrict


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

f i hi (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

IsNormal (o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯))


Context: o : Ordinal.{u}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: H : IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit a


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t

(G.interedges s t).card + (Gᶜ.interedges s t).card = s.card * t.card


(filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card + (filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card = (s ×ˢ t).card


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : Disjoint s t

Context: this : filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t) = filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : Disjoint s t

Disjoint (filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)) (filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t))


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : K ⊔ J = ⊤


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ K = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α


Context: x : ℂ


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Rˣ

v.valuationOfNeZero ((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1


v.valuation (↑(algebraMap R K) ↑x) ≤ ↑1 ∧ ¬v.valuation (↑(algebraMap R K) ↑x) < ↑1


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t


cs.lengthParity t = Multiplicative.ofAdd 1


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.lengthParity (w * cs.simple i * w⁻¹) = Multiplicative.ofAdd 1


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

equalizerSieve a b ∈ K.sieves (Opposite.unop X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ Opposite.unop X⦄, (Sieve.coverByImage H (Opposite.unop X)).arrows f → Sieve.pullback f (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback g (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback lift (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b)) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback map (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves (H.obj Z)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.functorPushforward H (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))) ∈ K.sieves (H.obj Z)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

equalizerSieve ((forget A).map (F.map map.op) a) ((forget A).map (F.map map.op) b) ≤ Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : Dᵒᵖ

Context: a b : (forget A).obj (F.obj X)

Context: h : (f.app X) a = (f.app X) b

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X

Context: fac : lift ≫ map = g

((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) a) = ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) b)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹⁰ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: e : (i : ι) → G i ≃ₗ[R] G' i

Context: he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), ↑(e j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ ↑(e i)

Context: i✝ : ι

Context: g : G' i✝

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

↑(e j).symm ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ ↑(e i).symm


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
hl : f₁ =ᶠ[l₁] f₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a : α
s : Set M


Context:
g : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ

∃ g, g • z ∈ 𝒟


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z✝ z : ℍ

Context: g₀ : SL(2, ℤ)

Context: hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im

∃ g, g • z ∈ 𝒟


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z✝ z : ℍ

Context: g₀ : SL(2, ℤ)

Context: g : SL(2, ℤ)

Context: hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1

Context: hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|

∃ g, g • z ∈ 𝒟


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z✝ z : ℍ

Context: g₀ : SL(2, ℤ)

Context: g : SL(2, ℤ)

Context: hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z✝ z : ℍ

Context: g₀ : SL(2, ℤ)

Context: g : SL(2, ℤ)

Context: hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1

Context: hg₀' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g • z).im


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z✝ : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: Z : Type u_7

Context: f : X → Y → Z

Context: ta1 ta2 : TopologicalSpace X

Context: tb1 tb2 : TopologicalSpace Y

Context: tc1 : TopologicalSpace Z

Context: h : Continuous fun p => f p.1 p.2

Context: ha : Continuous id

Context: hb : Continuous id

Context: h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
g : α → α
a : α


f a :: map f (iterate g (g a)) = f a :: corec f g (g a)


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.rotate' (n % l.length) = (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length))


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

(l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length)) = l.rotate' n


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d


Context:
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : BEq α
inst✝² : LawfulBEq α
inst✝¹ : BEq β
inst✝ : LawfulBEq β
f : α → β
I : Injective f
a b : α


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false

HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
y : E
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s

HasIntegral I l (↑(piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0))) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0)))


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: f g : SimpleFunc (ι → ℝ) E

Context: a✝ : Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g)

Context: hfi : HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)

Context: hgi : HasIntegral I l (↑g) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) g)

HasIntegral I l (↑(f + g)) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (f + g))


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

A.EqId ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len


A.fst = Δ ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ 𝓒 u v s

Context: ha : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: ha : a ∉ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T

hT.diagonalization (T v) μ = ↑T μ • hT.diagonalization v μ


∀ (w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))), T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: v : E

Context: μ : Eigenvalues T

Context: w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))

T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: v : E

Context: μ : Eigenvalues T

Context: hwT : ∀ (μ : Eigenvalues T), T ↑(w μ) = ↑T μ • ↑(w μ)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
h : x ∈ c.C


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier

{ toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊥ ↔ N = ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂
this : ∀ (i : ι), (f₂ i).NeBot


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'

P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this : P.RespectsIso


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: S X X' Y Y' : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : X' ⟶ S

Context: g' : Y' ⟶ S

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: h₁ : P i₁

Context: h₂ : P i₂

Context: e₁ : f = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g = i₂ ≫ g'

Context: this✝ : P.RespectsIso

Context: this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: S X X' Y Y' : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : X' ⟶ S

Context: g' : Y' ⟶ S

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: h₁ : P i₁

Context: h₂ : P i₂

Context: e₁ : f = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g = i₂ ≫ g'

Context: this✝ : P.RespectsIso

P (((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: S X X' Y Y' : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : X' ⟶ S

Context: g' : Y' ⟶ S

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: h₁ : P i₁

Context: h₂ : P i₂

Context: e₁ : f = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g = i₂ ≫ g'

Context: this✝ : P.RespectsIso

P ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: P : MorphismProperty C

Context: hP : P.StableUnderBaseChange

Context: inst✝ : P.IsStableUnderComposition

Context: S X X' Y Y' : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : X' ⟶ S

Context: g' : Y' ⟶ S

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: h₁ : P i₁

Context: h₂ : P i₂

Context: e₁ : f = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g = i₂ ≫ g'

Context: this✝ : P.RespectsIso

P ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
t : f.NeBot
p : Prop


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z


(∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 - sin x ^ 2 = sin b * cos b - sin a * cos a


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticMap R M R
x y : M

(RingHom.id R) ((((associatedHom S) Q) x) y) = (((associatedHom S) Q) y) x


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: a₁ a₂ a₃ : (i : ι) → A i

Context: ha : SemiconjBy a₁ a₂ a₃

SemiconjBy ((PiTensorProduct.tprod R) a₁) ((PiTensorProduct.tprod R) a₂) ((PiTensorProduct.tprod R) a₃)


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
h : i1 = i2


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
h : i1 < i2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: X : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U

Context: S : Set X

Context: hS : IsPreconnected S

∀ ⦃x : X⦄, x ∈ S → ∀ ⦃y : X⦄, y ∈ S → x = y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: X : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsPreconnected S

Context: h_contra : ∃ x ∈ S, ∃ y ∈ S, x ≠ y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: X : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsPreconnected S

Context: x : X

Context: hx : x ∈ S

Context: y : X

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x ≠ y

Context: U : Set X

Context: hU : IsClopen U

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: X : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ S

Context: y : X

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x ≠ y

Context: U : Set X

Context: hU : IsClopen U

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U

Context: hS : (S ∩ (U ∩ Uᶜ)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: X : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ S

Context: y : X

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x ≠ y

Context: U : Set X

Context: hU : IsClopen U

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U

Context: hS : ∅.Nonempty


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n : ℕ

∑ i ∈ range n, op y ^ (n - 1 - i) * op x ^ i = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)


∑ j ∈ range n, op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j ∈ range n


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h : π.IsPartition

Context: hJ : J ≤ I


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DivisionMonoid α
s t : Finset α
inst✝ : Fintype α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: j : J

(lambda c t ≫ T.ε.app c.pt) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: j : J

c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.ε.app (T.forget.obj (D.obj j)) = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

lambda c t ≫ T.δ.app c.pt = lambda c t ≫ T.map (lambda c t)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: j : J

(lambda c t ≫ T.δ.app c.pt) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j = (lambda c t ≫ T.map (lambda c t)) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: j : J

(c.π.app j ≫ (D.obj j).a) ≫ T.δ.app ((D ⋙ T.forget).obj j) = lambda c t ≫ T.map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: j : J

c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.δ.app (D.obj j).A = lambda c t ≫ T.map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : N


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
m : M


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup N

Context: f : NormedAddGroupHom M N

Context: hquot : f.IsQuotient

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: m : M

Context: nonemp : ((fun m' => ‖m + m'‖) '' ↑f.ker).Nonempty


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup N

Context: f : NormedAddGroupHom M N

Context: hquot : f.IsQuotient

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: m : M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ↑f.ker

Context: H : ‖m + x‖ < sInf ((fun m' => ‖m + m'‖) '' ↑f.ker) + ε


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

c ∈ image₂ f s t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, f a b = c


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V

(X.restrictFunctor.op ⋙ (Over.forget X).op ⋙ Γ).map i ≫ ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) V).hom = ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) U).hom ≫ X.presheaf.map i


Hom.app (X.restrictFunctor.map i.unop).left ⊤ ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ X.presheaf.map i


X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op) = X.presheaf.map ((eqToHom ⋯).op ≫ i)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity fun x => c) s = (c • μ) s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤

infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : infEdist x (closure s) < ⊤

Context: ε0 : 0 < ↑ε / 2

Context: this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y✝ : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : infEdist x (closure s) < ⊤

Context: ε0 : 0 < ↑ε / 2

Context: y : α

Context: ycs : y ∈ closure s

Context: hy : edist x y < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y✝ : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : infEdist x (closure s) < ⊤

Context: ε0 : 0 < ↑ε / 2

Context: y : α

Context: ycs : y ∈ closure s

Context: z : α

Context: zs : z ∈ s

Context: dyz : edist y z < ↑ε / 2


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ

∀ j ∈ primitiveRoots n K, Splits (RingHom.id K) (X - C j)


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ
z : K
a✝ : z ∈ primitiveRoots n K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α

StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m


∀ (a : α), (fun n => StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m) a → (fun n => StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m) (succ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: n : α

Context: φ : α → α

Context: k : α

Context: ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m

Context: hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))

Context: m : α

Context: hm : m ≤ succ k

Context: hk : ¬IsMax k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: n : α

Context: φ : α → α

Context: k : α

Context: hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))

Context: hk : ¬IsMax k

Context: hm : succ k ≤ succ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : SuccOrder α

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: n : α

Context: φ : α → α

Context: k : α

Context: hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))

Context: m : α

Context: hm : m ≤ succ k

Context: hk : ¬IsMax k

Context: h : m ≤ k


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : 0 ∈ A

schnirelmannDensity A = 1 ↔ A = Set.univ


{x | Liouville x} = {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)


{x | Liouville x} ⊆ {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)


{x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) ⊆ {x | Liouville x}


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom


((β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv = (X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv


(β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom ≫ (α_ Z Y X).inv = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom ≫ (α_ Z Y X).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / g x) s x₀


ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s x₀


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → 𝕜

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: hre : AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ

Context: him : AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → 𝕜

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: x✝ : α

f x✝ = (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.re (f x)) x✝ + (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.im (f x)) x✝ * RCLike.I


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : M
hv : v ≠ 0

u • rayOfNeZero R v hv = rayOfNeZero R v hv ↔ 0 < ↑u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(ν.restrict s).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator 1


(ν.withDensity (s.indicator 1)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
e : (-α).IsZero


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

(∏ x ∈ finPairsLT n, if 1 x.fst ≤ 1 x.snd then -1 else 1) = 1


(∏ x ∈ finPairsLT n, if 1 x.fst ≤ 1 x.snd then -1 else 1) = ∏ _x ∈ finPairsLT n, 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ s, ∃ U ⊇ s, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ s ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ s + ε


∀ (U : Set α), IsOpen U → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ U, ∃ U_1 ⊇ U, IsClosed F ∧ IsOpen U_1 ∧ μ U ≤ μ F + ε ∧ μ U_1 ≤ μ U + ε


∀ (t : Set α), MeasurableSet t → (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ t, ∃ U ⊇ t, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ t ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ t + ε) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ tᶜ, ∃ U ⊇ tᶜ, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ tᶜ ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ tᶜ + ε


∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ) (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ f i, ∃ U ⊇ f i, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ (f i) ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ (f i) + ε) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ ⋃ i, f i, ∃ U ⊇ ⋃ i, f i, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ (⋃ i, f i) ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ (⋃ i, f i) + ε


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R


Context:
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0


Context:
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Irreducible (trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1)


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0 ∧ (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0)


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0

Context: h2 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h2 : (aeval z) (trinomial 0 (n - 1 + 0) n ↑1 ↑(-1) ↑(-1)) = 0


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : -1 * z ^ 0 + -1 * z ^ 1 + 1 * z ^ n = 0

Context: h2 : 1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n = 0


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1

Context: h2 : (1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n) * z = 0


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1

Context: h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * z ^ n + -1 * z ^ n * z = 0


Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≠ 1

Context: hn0 : ¬n = 0

Context: hn : 1 < n

Context: z : ℂ

Context: h1 : z ^ n = z + 1

Context: h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * (z + 1) + -1 * (z + 1) * z = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

Submodule.span K {x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊥


Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x}) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: N L : Submodule R M

Context: B : BilinForm K V

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: y : V

Context: h : y ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: N L : Submodule R M

Context: B : BilinForm K V

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: μ : V → K

Context: h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: N L : Submodule R M

Context: B : BilinForm K V

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: μ : V → K

Context: this : B.IsOrtho x (∑ i ∈ {x}, μ i • i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: N L : Submodule R M

Context: B : BilinForm K V

Context: x : V

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: μ : V → K


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp2 : p = 2

Context: x✝ : Irreducible ↑p

Context: not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p

Context: h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp2 : p = 2

Context: x✝ : Irreducible ↑p

Context: not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p

Context: this : IsUnit { re := 1, im := 1 } ∨ IsUnit { re := 1, im := -1 }


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp2 : p = 2

Context: x✝ : Irreducible ↑p

Context: not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p

Context: this : { re := 1, im := 1 }.norm.natAbs = 1 ∨ { re := 1, im := -1 }.norm.natAbs = 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ZMod p
hk : -1 = k * k


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

Context: hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p

Context: hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p

Context: hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }

Context: hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p

Context: hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }

Context: hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }

Context: y : ℕ

Context: hy : k ^ 2 + 1 = p * y


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p

Context: hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }

Context: hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }

Context: y : ℕ

Context: hy : k ^ 2 + 1 = p * y

Context: this : ↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 } ∨ ↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp a (-b) = -(toIcoDiv hp (-a) b + 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ

(shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).inv.app X = ((shiftFunctorZero C ℤ).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).inv.app X


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H
this : b * (a * b) * b⁻¹ ∈ H


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f univ


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁸ : Ring R✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : CharZero R
z : ℤ
x : M
h : z • x = 0


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₂.HasTensor Y₁

tensorHom f g = whiskerRight f Y₁ ≫ whiskerLeft X₂ g


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R

(((taylor r) f).sum fun i a => C a * (X - C r) ^ i) = f


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{max u_2 u_3}

Context: f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}

Context: c : Cardinal.{max u_2 u_3}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : o.card < c


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head

(p.append q connect).toFun (Fin.last (p.append q connect).length) = q.toFun (Fin.last q.length)


Fin.last (p.append q connect).length = ↑↑(Fin.natAdd p.length (Fin.last q.length)) + 1


↑(Fin.last (p.append q connect).length) = (↑(Fin.natAdd p.length (Fin.last q.length)) % ((p.append q connect).length + 1) + 1 % ((p.append q connect).length + 1)) % ((p.append q connect).length + 1)


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
h : Commute a b
n : ℕ


(a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ
hy : 0 < y

ENNReal.ofReal (x / y) = ENNReal.ofReal x / ENNReal.ofReal y


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t


⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hfs : ↑s ≤ fun a => f a


s.lintegral μ ≤ (s.restrict tᶜ).lintegral μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
i : ℕ

(MvPolynomial.eval₂Hom f M) ((univ R n).coeff i) = (of (Function.curry M)).charpoly.coeff i


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f g : ι → α


⨆ i, f i ≤ ⨆ x, g x ⊔ f x ∆ g x ∧ ⨆ i, g i ≤ ⨆ x, f x ⊔ f x ∆ g x


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : Set G
f : Compacts G → ℝ

f ∈ haarProduct K₀ ↔ ∀ (K : Compacts G), f K ∈ Icc 0 ↑(index (↑K) K₀)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
ne : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
p : ι → Prop
f : (i : Subtype p) → α i.val
this : DecidablePred p


Context:
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝³ : Group H
M : Type x
inst✝² : Monoid M
φ : G →* H
H₁ : Subgroup G
inst✝¹ : H₁.Normal
H₂ : Subgroup (G ⧸ H₁)
inst✝ : H₂.Normal
x : G

x ∈ Subgroup.comap (mk' H₁) (Subgroup.comap (mk' H₂) (Subgroup.center ((G ⧸ H₁) ⧸ H₂))) ↔ x ∈ Subgroup.comap (mk' (Subgroup.comap (mk' H₁) H₂)) (Subgroup.center (G ⧸ Subgroup.comap (mk' H₁) H₂))


Context:
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x


Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors s.prod) s


closure (range fun x => x * x) = nonneg ℚ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

x ∈ closure s ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, x ∈ s


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥

Context: y : L

Context: hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)

Context: hy : ⟨y, hyα⟩ ∈ LinearMap.ker F

Context: hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥

Context: y : L

Context: hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)

Context: hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0

Context: hy : ⁅y, f⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥

Context: y : L

Context: hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)

Context: hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0

Context: hy : ⁅y, f⁆ = 0

Context: P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥

Context: y : L

Context: hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)

Context: hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0

Context: hy : ⁅y, f⁆ = 0

Context: P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)

Context: n : ℕ

Context: hn : -2 = ↑n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤


(∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = (∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν) ^ p.toReal⁻¹


∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν


IdentDistrib (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ ν