Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: xs : List (Sigma β)

Context: tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs

Context: fst_i : α

Context: snd_i : β fst_i

a ∈ (⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs).toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ ⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: xs : List (Sigma β)

Context: fst_i : α

Context: snd_i : β fst_i

(a = fst_i ∨ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs) ↔ (a = fst_i ∧ ∃ x, HEq x snd_i) ∨ ∃ x, ⟨a, x⟩ ∈ xs


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: xs : List (Sigma β)

Context: fst_i : α

Context: snd_i : β fst_i


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: xs : List (Sigma β)

Context: snd_i : β a


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1
h₂ : deriv abs 0 = -1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M


{p | ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p} = Set.Ici (⨆ a ∈ s, a • N)


{p | ∀ ⦃r : S⦄, r ∈ s → ∀ a ∈ N, r • a ∈ p} = {x | ∀ i ∈ s, i • N ≤ x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X

Context: ι : Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)

Context: x : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X

Context: ι : Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: x : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ s₃ ∩ s₂


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
s : Multiset α
h : LeftCommutative f
b : β


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
h : LeftCommutative f
b : β
a✝ : List α

noncommFoldr f ⟦a✝⟧ ⋯ b = foldr f h b ⟦a✝⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α

(∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → x ∈ t) ↔ μ (s \ t) = 0


μ {a | a ∈ s ∧ a ∉ t} = 0 ↔ μ (s \ t) = 0


Context:
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S


Context: S : Set ℝ

Context: L : ℝ

Context: hL : L ∈ S

Context: U : ℝ

Context: hU : U ∈ upperBounds S

Context: this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}


Context: S : Set ℝ

Context: L : ℝ

Context: hL : L ∈ S

Context: U : ℝ

Context: hU : U ∈ upperBounds S

Context: f : ℕ → ℤ

Context: hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d


Context: S : Set ℝ

Context: L : ℝ

Context: hL : L ∈ S

Context: U : ℝ

Context: hU : U ∈ upperBounds S

Context: f : ℕ → ℤ

Context: hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y


Context: S : Set ℝ

Context: L : ℝ

Context: hL : L ∈ S

Context: U : ℝ

Context: hU : U ∈ upperBounds S

Context: f : ℕ → ℤ

Context: hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ S, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)


Context: S : Set ℝ

Context: L : ℝ

Context: hL : L ∈ S

Context: U : ℝ

Context: hU : U ∈ upperBounds S

Context: f : ℕ → ℤ

Context: hg : IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ

AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) l).prod) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
A : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : A

{ toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x) = (f₀.prodMk g₀) x


{ toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x) = (f₁.prodMk g₁) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

fderiv 𝕜 (fun y => f y - c) x = fderiv 𝕜 f x


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)

Context: r s : R

Context: j : J

colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (r + s) = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ ((↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun r + (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun s)


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: r s : R

Context: j : J

((F.obj j).smul r + (F.obj j).smul s) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ })


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: r s : R

Context: j : J

(F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j + (F.obj j).smul s ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ }


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: R : ℝ

Context: ξ f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f 𝒢 μ

Context: hξ : Adapted 𝒢 ξ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R

Context: hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Context: hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: R : ℝ

Context: ξ f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f 𝒢 μ

Context: hξ : Adapted 𝒢 ξ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R

Context: hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Context: hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: R : ℝ

Context: ξ f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f 𝒢 μ

Context: hξ : Adapted 𝒢 ξ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R

Context: hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Context: hadp : Adapted 𝒢 fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: R : ℝ

Context: ξ f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f 𝒢 μ

Context: hξ : Adapted 𝒢 ξ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R

Context: hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Context: i : ℕ

0 ≤ᶠ[ae μ] μ[∑ k ∈ Finset.range (i + 1), ξ k * (f (k + 1) - f k) - ∑ k ∈ Finset.range i, ξ k * (f (k + 1) - f k)|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: R : ℝ

Context: ξ f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f 𝒢 μ

Context: hξ : Adapted 𝒢 ξ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R

Context: hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω

Context: i : ℕ

0 ≤ᶠ[ae μ] μ[ξ i * (f (i + 1) - f i)|↑𝒢 i]


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
a : α
s : Finset α

image f (insert a s) = insert (f a) (image f s)


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2

discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)

Context: hodd : p ≠ 2

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P : Fin 3 → F
hPz : P 2 ≠ 0


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n


xn a1 m < xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
t : xn a1 n * 1 < xn a1 n * a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι

vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)


Submodule.span k ((fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀}))) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V

v ∈ (fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀})) ↔ v ∈ range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i


(∃ x, (∃ x_1, (x_1 ∈ univ ∧ ¬x_1 = i₀) ∧ p x_1 = x) ∧ p i₀ -ᵥ x = v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ≠ i₀), p i₀ -ᵥ p a = v


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x


∀ x_1 ∈ engel K x, engel K x ≤ engel K x_1


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: h : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: x : L

Context: hx : IsRegular K x

Context: y : L

Context: hy : y ∈ engel K x

Context: Ex : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: h : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: x : L

Context: hx : IsRegular K x

Context: y : L

Context: hy : y ∈ engel K x


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: h : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: x : L

Context: hx : IsRegular K x

Context: y✝ : L

Context: hy✝ : y✝ ∈ engel K x

Context: y : L

Context: hy : y ∈ engel K x

Context: hyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: h : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: x : L

Context: hx : IsRegular K x

Context: y✝ : L

Context: hy✝ : y✝ ∈ engel K x

Context: y : L

Context: hy : y ∈ engel K x

Context: hyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex

finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: r : R

Context: f : R → R

cfc f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R A) (f r)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: h₁ : ContinuousOn f (spectrum R ((algebraMap R A) r))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

(cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ((algebraMap R C(↑(spectrum R ((algebraMap R A) r)), R)) (f r))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ spectrum R ((algebraMap R A) r)

(spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f ⟨x, hx⟩ = (algebraMap R R) (f r)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: x : R

Context: hx✝ : x ∈ spectrum R ((algebraMap R A) r)

Context: hx : x ∈ {r}

(spectrum R ((algebraMap R A) r)).restrict f ⟨x, hx✝⟩ = (algebraMap R R) (f r)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : α ≃o β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : 𝕜'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: f✝ : Filter α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: g : Filter α

Context: p : Filter α → Prop

Context: hp : Monotone p

Context: H : ∀ (f : Ultrafilter α), ↑f ≤ g → p ↑f

Context: f : Filter α

Context: hf : f.NeBot

Context: hfg : f ≤ g


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
I : Ideal S
h : I = ⊤


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
e : ℕ
he : e ≠ 0
hle : map f p ≤ P ^ e
hnle : ¬map f p ≤ P ^ (e + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
s : S
G : R →+* S
n : ℕ
f : R⟦X⟧

eval₂ G s (trunc n f) = ∑ i ∈ range n, G ((coeff R i) f) * s ^ i


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R

IsNoetherianRing (MvPolynomial (Fin 0) R)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
x : R


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
N : ℕ
x✝ : True


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
N : ℕ
x✝ : True
n : ℕ
hNn : N ≤ n
hn : u n ∈ ball x (W N)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n
huc : CauchySeq u
x : X
hxs : x ∈ s
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
N : ℕ
x✝ : True
n : ℕ
hNn : N ≤ n
hn : u n ∈ ball x (W N)
y : X
hy : y ∈ t n


Context:
x : ℝ*
r : ℝ

x.IsSt r ↔ ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → |x - ↑r| < ↑δ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
hB : B = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
Bnonempty : B.Nonempty


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0


p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a⁺ᵐ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → E

Context: s : Set E

Context: hns : μ s ≠ 0

Context: hnt : μ s ≠ ⊤

Context: hu : Measure.map X ℙ = (μ s)⁻¹ • μ.restrict s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → E

Context: s : Set E

Context: hns : μ s ≠ 0

Context: hnt : μ s ≠ ⊤

Context: h : ¬AEMeasurable X ℙ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : 0 = (μ s)⁻¹ • μ.restrict s
h : ¬AEMeasurable X ℙ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

a ∈ lowerClosure ↑(s ⊼ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∧ a ∈ lowerClosure ↑t


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E

(s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E

(∅.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ ∅, (∅.sup p) x = (p i) x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a b c : α

Context: h : a ≤ b

Context: this : Icc a b \ {a, b} ∪ {a, b} = Icc a b


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
this : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))

(polyOfInterest p n).vars = (↑p ^ (n + 1) * (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1) - X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) - X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)))).vars


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A✝
inst✝³ : Module A✝ M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
A : Type u_7
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M →ₗ[A] M
hf : IsUnit f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A✝
inst✝³ : Module A✝ M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
A : Type u_7
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M →ₗ[A] M
hf : IsUnit f
g : M →ₗ[A] M
hg : f ∘ₗ g = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A✝

Context: inst✝³ : Module A✝ M

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype κ

Context: A : Type u_7

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Module A M

Context: f : M →ₗ[A] M

Context: hf : IsUnit f

Context: g : M →ₗ[A] M

Context: hg : f ∘ₗ g = 1

Context: this : LinearMap.det f * LinearMap.det g = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : β → Filter α

(∃ᶠ (x : α) in ⨆ b, fs b, p x) ↔ ∃ b, ∃ᶠ (x : α) in fs b, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: j : ℕ

Context: L : List ℕ

Context: IH : (∀ i ∈ L, 1 ≤ i) → L.length ≤ L.sum

Context: h : ∀ i ∈ j :: L, 1 ≤ i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: j : ℕ

Context: L : List ℕ

Context: h : ∀ i ∈ j :: L, 1 ≤ i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: v w : V

Context: hvw : G.Adj v w

Context: v✝ w✝ : V

Context: h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: v w : V

Context: hvw : G.Adj v w

Context: v✝ w✝ : V


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (a ∈ s(v, w)) = (a ∈ s(a, b))


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : a = v ∨ a = w


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: P : Sort v

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q

Context: p q p' q' : K[X]

Context: hq : q ≠ 0

Context: hq' : q' ≠ 0

Context: h : q' * p = q * p'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

Context: hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: hS : adjoin F S = ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: y : K

Context: hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: hS : adjoin F S = ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: y : K

Context: hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0

Context: this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F S)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: hS : adjoin F S = ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: y : K

Context: hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0

Context: ix : IsAlgebraic F ⟨x, hx⟩


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: hS : adjoin F S = ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: y : K

Context: hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0

Context: ix : IsIntegral F ↑⟨x, hx⟩


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hL : L ≤ adjoin F S

Context: hS : adjoin F S = ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: y : K

Context: hy : (aeval y) (minpoly F x) = 0

Context: ix : IsIntegral F ↑⟨x, hx⟩

Context: φ : ↥(adjoin F S) →ₐ[F] K

Context: hφ : φ.comp (inclusion ⋯) = (algHomAdjoinIntegralEquiv F ix).symm ⟨y, ⋯⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: f g : P ⟶ Q

Context: h : ∀ (X : C) (p : yoneda.obj X ⟶ P), p ≫ f = p ≫ g

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x : P.obj X


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

factorThruImage f ≫ (coimageIsoImage' f).inv = cokernel.π (kernel.ι f)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : V

‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: Z : ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: w : V

Context: hn : ↑0 ≤ N

Context: Z : ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤ ‖w‖ ^ 0 * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ 0 * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))

‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: hn : n ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: hn : n ≠ 0

Context: Z : ‖0‖ ^ n * (‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖) ≤ ‖0‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))

‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: hn : n ≠ 0

Context: hw : w ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: Z : ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hw : w ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: hn : n ≠ 0

Context: hw : w ≠ 0

(2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: hn : n ≠ 0

Context: hw : w ≠ 0

(2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * (π * 1)) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn✝ : ↑n ≤ N

Context: w : V

Context: hn : n ≠ 0

Context: hw : w ≠ 0

(2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤ (2 * (π * 1)) ^ k * ((2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d
xz : c * (x * z) ≤ d * (y * w)


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xz : c * (x * z) ≤ d * (y * w)
xy : c * (x * x) ≤ d * (y * y)
zw : c * (z * z) ≤ d * (w * w)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d ≠ 0


Context:
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
L : List (α × Bool)

Red (p :: L ++ L₁) (p :: L ++ L₂) ↔ Red L₁ L₂


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥

I ⊔ J = (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: T : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing T

Context: inst✝ : IsDedekindDomain T

Context: I J : Ideal T

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

Context: H : normalizedFactors (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod = normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: T : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing T

Context: inst✝ : IsDedekindDomain T

Context: I J : Ideal T

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

Context: this : (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: T : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing T

Context: inst✝ : IsDedekindDomain T

Context: I J : Ideal T

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

I ⊔ J ≤ (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: T : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing T

Context: inst✝ : IsDedekindDomain T

Context: I J : Ideal T

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

(normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≤ I ⊔ J


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] N

(e.map f).orientation = (Orientation.map ι f) e.orientation


Context:
z : ℂ
x : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A


‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖


‖x.fst‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖


‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α

(corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (s₁, s₂)).tail = corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (s₂, s₁.tail)


((match (s₁, s₂) with | (s₁, snd) => s₁.head) :: corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (match (s₁, s₂) with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail))).tail = corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (s₂, s₁.tail)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
d : σ →₀ ℕ
r : R

(eval₂Hom f g) ((monomial d) r) = f r * d.prod fun i k => g i ^ k


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s✝ : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
s✝ : Set γ
f : γ → β
t t' : TopologicalSpace γ
ht : PolishSpace γ
ht' : PolishSpace γ
hle : t ≤ t'
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
e : MeasurableEmbedding id


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

M₁.actRight ▷ N.X ≫ f.hom ▷ N.X = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ M₂.actRight ▷ N.X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ f.hom ▷ N.X = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ (α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ f.hom ▷ (Y.X ⊗ N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ (α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(M₁.tensorBimod N).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ (M₂.tensorBimod N).actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = (tensorLeft X.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ (M₂.tensorBimod N).actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ TensorBimod.actLeft M₁ N ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

((α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ M₁.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ M₁.actLeft ▷ N.X ≫ f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ X.X ◁ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫ X.X ◁ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ TensorBimod.actLeft M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫ (α_ X.X M₂.X N.X).inv ≫ M₂.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((α_ X.X M₁.X N.X).inv ≫ (X.X ◁ f.hom) ▷ N.X) ≫ M₂.actLeft ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(M₁.tensorBimod N).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M₂.tensorBimod N).actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ (M₁.tensorBimod N).actRight ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = (tensorRight Z.X).map (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ (M₂.tensorBimod N).actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₁ N ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

((α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actRight ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actRight ≫ f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ▷ Z.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) ((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Z.X ≫ TensorBimod.actRight M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ N.X ▷ Z.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ Z.X) ≫ TensorBimod.actRight M₂ N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M₁.X N.X Z.X).hom ≫ (f.hom ▷ (N.X ⊗ Z.X) ≫ M₂.X ◁ N.actRight) ≫ colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ N.X ▷ Z.X ≫ (α_ M₂.X N.X Z.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actRight ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) ((α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)


Context: α : Type u

Context: C : FreeCommRing α → Prop

Context: z : FreeCommRing α

Context: hn1 : C (-1)

Context: hb : ∀ (b : α), C (of b)

Context: ha : ∀ (x y : FreeCommRing α), C x → C y → C (x + y)

Context: hm : ∀ (x y : FreeCommRing α), C x → C y → C (x * y)

Context: hn : ∀ (x : FreeCommRing α), C x → C (-x)

Context: h1 : C 1

Context: m✝ : Multiplicative (Multiset α)

Context: a : α

Context: m : Multiset α

Context: ih : C (FreeAbelianGroup.of m)

FreeAbelianGroup.of (a ::ₘ m) = of a * FreeAbelianGroup.of m


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

(pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackFst f g = pullback.fst f g


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

z - (starRingEnd K) z = ↑(re z) + ↑(im z) * I - (↑(re z) - ↑(im z) * I)


↑(re z) + ↑(im z) * I - (↑(re z) - ↑(im z) * I) = 2 * ↑(im z) * I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝¹ : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : (spectrum ℝ a).Nonempty

Context: ha' : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

(spectralRadius ℝ a).toNNReal ∈ spectrum ℝ≥0 a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝¹ : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : (spectrum ℝ a).Nonempty

Context: x : ℝ

Context: hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a

Context: hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A✝¹ : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha : (spectrum ℝ a).Nonempty

Context: x : ℝ

Context: hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a

Context: hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a

Context: this : 0 ≤ x


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: s : Set Ordinal.{max u v}

Context: x✝ : s ∈ Set.range fun i => fixedPoints (f i)

Context: i : ι

Context: hi : (fun i => fixedPoints (f i)) i = s


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: s : Set Ordinal.{max u v}

Context: i : ι

Context: hi : (fun i => fixedPoints (f i)) i = s


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a : R

Context: ha : a ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

Context: c : R


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a : R

Context: c x : R

Context: hx : x ∈ range fun s => star s * s


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a : R

Context: c x y : R

Context: hx : 0 ≤ star c * x * c

Context: hy : 0 ≤ star c * y * c


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k


pushoutComparison G f g ≫ G.map (pushout.desc h k w) = pushout.desc (G.map h) (G.map k) ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

(a ⇨ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ


(a ⇨ b)ᶜᶜ ≤ aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ


aᶜᶜ ⇨ bᶜᶜ ≤ (a ⇨ b)ᶜᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x : α

x ∈ filter p (s.erase a) ↔ x ∈ (filter p s).erase a


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ : M

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: y : M

Context: hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

f ⟨x, hx⟩ = f ⟨y, hy⟩ → ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ : M

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: x : M

Context: hx✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: hx : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = x

Context: y : M

Context: hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: hy : ∃ a ∈ t, (Embedding.subtype s) a = y

f ⟨x, hx✝⟩ = f ⟨y, hy✝⟩ → ⟨x, hx✝⟩ = ⟨y, hy✝⟩


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b✝ : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: t : Finset ↑s

Context: a : Subtype s

Context: _ha : a ∈ t

Context: hx : (Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

Context: b : Subtype s

Context: _hb : b ∈ t

Context: hy : (Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t

f ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = f ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩ → ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β

UniformInducing f ↔ (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

Integrable (↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)

generate s = generate (sInter '' {t | t.Finite ∧ t ⊆ s})


⋯.filter = (FilterBasis.ofSets s).filter


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ

∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: i₀ i₁ : Fin n

Context: hi : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: i₀ i₁ : Fin n

Context: hi✝ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁

Context: hi : ↑⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋.natAbs = ↑⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋.natAbs


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: i₀ i₁ : Fin n

Context: hi : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: i₀ i₁ : Fin n

Context: hi✝¹ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁

Context: hi✝ : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋

Context: hi : |↑(A i₀ % b) / |b| • ε - ↑(A i₁ % b) / |b| • ε| < 1


Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : ℤ

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : Fin n → ℤ

Context: hb' : 0 < ↑|b|

Context: hbε : 0 < |b| • ε

Context: i₀ i₁ : Fin n

Context: hi : |↑(A i₁ % b) - ↑(A i₀ % b)| < |b| • ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : StrongLT 0 g
i j : ι

g⁻¹ j < g⁻¹ i → f i ≤ f j ↔ g i < g j → f i ≤ f j


Context:
s : String
n : Nat


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s✝ : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a✝ : μ s < ⊤

∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ


∫ (x : α) in s, (μ[f|m₂]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K✝ L✝ L' M : Set V

Context: s : (j : (Finset V)ᵒᵖ) → G.componentComplFunctor.obj j

Context: sec : s ∈ G.end

Context: K L : (Finset V)ᵒᵖ

Context: h : L ⟶ K

Context: v : V

Context: vnL : v ∉ Opposite.unop L

Context: hs : s L = G.componentComplMk vnL

G.componentComplFunctor.map h (G.componentComplMk vnL) = G.componentComplMk ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ γ = η


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ γ = η

J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = J.plusLift η hQ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ γ = η

J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = η


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ γ = η

(J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ = η


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P


Context:
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤

Function.Injective ⇑((Ideal.Quotient.mk I).comp C)


Context: σ : Type u

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ K)

Context: hI : I ≠ ⊤

Context: x : K

Context: hx : ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) x = 0


Context:
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I


Context:
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0


Context:
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
this : C x⁻¹ * C x ∈ I


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'

IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

∀ ⦃d : α⦄, d ∣ p ^ i p → d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p' → ¬Prime d


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdp : d ∣ p ^ i p

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem' : q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val

Context: hdq : d ∣ q


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem : q ∈ s.val

Context: q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val

Context: hdq : d ∣ q ^ i q


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem : q ∈ s.val

Context: hdq : d ∣ q


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem : q ∈ s.val

Context: hdq : d ∣ q

Context: this : p ∣ q


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (ord ⟦α⟧).IsLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof


Context: α✝ : Type u_1

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: α : Type u

Context: h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: re : (#α).ord = type r

Context: this✝ : (type r).IsLimit

Context: S : Set α

Context: H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b

Context: Se : #↑S = (type r).cof

Context: this : (sum fun a => #{ x // r x ↑a }) < prod fun x => #α


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
i : ↑S

(fun a => #{ x // r x ↑a }) i < (fun x => #α) i


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.ReflectsIsomorphisms
inst✝² : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
inst✝ : Balanced D
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ : Mono f
x✝ : Epi f


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
s : Multiset (ι →₀ M)
x : ι
x✝ : List (ι →₀ M)

x ∈ (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r x✝)).sup ↔ ∃ f ∈ Quot.mk Setoid.r x✝, x ∈ f.support


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{v}

Cardinal.lift.{u, v} o.cof = (lift.{u, v} o).cof


∀ (α : Type v) (r : α → α → Prop) [inst : IsWellOrder α r], Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r

Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof


Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof ≤ (lift.{u, v} (type r)).cof


(lift.{u, v} (type r)).cof ≤ Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof


riemannZeta 4 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 4)


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q

∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p
h2pq : (1 / p)⁻¹ + (1 / q)⁻¹ = 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: p q : ℝ

Context: hp✝ : 0 ≤ p

Context: hq✝ : 0 ≤ q

Context: hpq : p + q = 1

Context: hp : 0 < p

Context: hq : 0 < q

Context: h2p : 1 < 1 / p

Context: h2pq : (1 / p)⁻¹ + (1 / q)⁻¹ = 1

Context: this : ∫⁻ (a : α), ((fun x => f x ^ p) * fun x => g x ^ q) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), (f a ^ p) ^ (1 / p) ∂μ) ^ (1 / (1 / p)) * (∫⁻ (a : α), (g a ^ q) ^ (1 / q) ∂μ) ^ (1 / (1 / q))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0

Context: h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h0_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / q)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p

Context: h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) * (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p

Context: h : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: h_one_div_q : 1 / q = 1 - 1 / p

Context: h : 1 * ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≤ ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) * ((∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (-(1 / p)) * ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d x : ℝ


Context:
o : ONote
x✝ : NF 0
h₂ : o.NF


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

(e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr * (e₂.oadd n₂ a₂).repr