Context:
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd b = 1


Context:
a b c : ℤ
habc : a ∣ c * b
hab : a.gcd b = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: S' : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: p q : PrimeSpectrum S

Context: h : (fun x => Ideal.map (algebraMap R S) x.asIdeal) ((comap (algebraMap R S)) p) = (fun x => Ideal.map (algebraMap R S) x.asIdeal) ((comap (algebraMap R S)) q)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: S' : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: p q : PrimeSpectrum S

Context: h : Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) p.asIdeal) = Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) q.asIdeal)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
p q : PrimeSpectrum S
h : p.asIdeal = q.asIdeal


Context:
x y z✝ : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
z : ℝ


Context: R : Type u_1

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Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

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Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))

Context: I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)

Context: b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)

Context: this : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))


Context: R : Type u_1

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Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

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Context: hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b


Context: R : Type u_1

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Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)


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Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

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Context: hi : Surjective ⇑i


Context: R : Type u_1

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Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: this✝ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this : Finite R ↥(LinearMap.ker i)


Context: R : Type u_1

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Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

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Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this : Finite R ↥(LinearMap.ker i)


Context: R : Type u_1

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Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

∀ (y : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)), y = 0


Context: R : Type u_1

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Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: this✝¹ : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))

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Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: this : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

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Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

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Context: inst✝⁷ : LocalRing R

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Context: inst✝¹ : Module R P

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Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)

Context: this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

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Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

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Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x = (LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

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Context: inst✝⁷ : LocalRing R

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Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

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Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x) = (LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x) = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.lTensor k (i ∘ₗ (LinearMap.ker i).subtype)) x = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.lTensor k 0) x = (LinearMap.lTensor k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
g : M →ₗ[R] Q
this : Fact (Function.Injective ⇑f)
x y : N

(fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) (x + y) = (fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) x + (fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) y


(fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) (x + y) = ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap (⟨x, ⋯⟩ + ⟨y, ⋯⟩)


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
g : M →ₗ[R] Q
this : Fact (Function.Injective ⇑f)
r : R
x : N

{ toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x


{ toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ((RingHom.id R) r • ⟨x, ⋯⟩)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ (engel R x).normalizer


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x y : L

Context: hy : ∀ y_1 ∈ engel R x, ⁅y, y_1⁆ ∈ engel R x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : ⁅y, x⁆ ∈ engel R x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : ∃ n, ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

MeasurePreserving (fun z => (z.1 * z.2, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsMulRightInvariant
x y : G


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 2 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 ≤ ‖↑q - ζ'‖

Context: ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, q - 1 < ‖↑q - ζ'‖


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n < Units.mk0 ‖eval (↑q) (cyclotomic n ℂ)‖₊ ⋯


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n < ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

Units.mk0 (q - 1).toNNReal ⋯ ^ φ n = ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_2 i


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

{ x // x ∈ primitiveRoots n ℂ } → NNRealˣ


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

∀ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_2 i ≤ Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 2 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

∃ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_2 i < Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯


Context:
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
s : Set A


(∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, id i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ ↑(B i) ⊆ s


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : Mul γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ

extend f (g₁ * g₂) (e₁ * e₂) = extend f g₁ e₁ * extend f g₂ e₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 β

Context: f : α → β

Context: hf : Integrable f μ

Context: g : α → 𝕜

Context: g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ

Context: ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 β

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → 𝕜


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 β

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → 𝕜

Context: h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 β

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → 𝕜

Context: h : 1 / 1 = 1 / ⊤ + 1 / 1

Context: hg' : eLpNorm g ⊤ μ ≠ ⊤


Context:
X : Scheme
R : CommRingCat
inst✝ : IsDomain ↑R

genericPoint ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace = ⊥


PrimeSpectrum.zeroLocus ↑⊥.asIdeal = PrimeSpectrum.zeroLocus {0}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R 1
this : Subsingleton R


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i j : ι
w : c.Rel i j

f.next i = (C₁.xNextIso w).hom ≫ f.f j ≫ (C₂.xNextIso w).inv


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i : ι
w : c.Rel i (c.next i)

f.next i = (C₁.xNextIso w).hom ≫ f.f (c.next i) ≫ (C₂.xNextIso w).inv


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.256266, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d a b : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d a b : α

Context: h : b ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₁ s₂ : Seq α
a : α
h : a ∈ s₁


∀ (b : α) (s' : Seq α), a = b ∨ a ∈ s'.append s₂ → a ∈ (cons b s').append s₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

e ∈ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → e ∈ F


Context:
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : 2 ≤ n
t : Finset α
ht : ⊥.IsNClique n t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : 2 ≤ n
t : Finset α
ht : ⊥.IsNClique n t
this : 2 ≤ 1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

‖jacobiTheta τ - 1‖ ≤ 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im)


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

‖∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im))


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : ∀ (n : ℕ), ‖cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ (n + 1)


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: s : HasSum (fun n => rexp (-π * τ.im) ^ (n + 1)) (rexp (-π * τ.im) / (1 - rexp (-π * τ.im)))


Context: τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: aux : Summable fun n => ‖cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)‖


Context:
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
u v : List (Symbol T N)
hyp : r.Rewrites u v

∃ p q, u = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ v = p ++ r.output ++ q


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜'] F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: g' : E →L[𝕜] F

Context: h : HasFDerivAt f (restrictScalars 𝕜 f') x

Context: H : restrictScalars 𝕜 f' = g'


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ : U
p₁ : Path u v₁

∀ ⦃a₂ : PathStar u⦄, (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) ⟨v₁, p₁⟩ = (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) a₂ → ⟨v₁, p₁⟩ = a₂


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.12154
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)
u v₁ : U
h : True


Context: U : Type u_1

Context: inst✝² : Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: W : Type ?u.12154

Context: inst✝ : Quiver W

Context: ψ : V ⥤q W

Context: hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)

Context: u v₁ y₂ x₂ : U

Context: p₂ : Path u x₂

Context: e₂ : x₂ ⟶ y₂

Context: h : φ.obj u = φ.obj y₂ ∧ HEq Path.nil ((φ.mapPath p₂).cons (φ.map e₂))


Context: U : Type u_1

Context: inst✝² : Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: W : Type ?u.12154

Context: inst✝ : Quiver W

Context: ψ : V ⥤q W

Context: hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)

Context: u v₁ x₁ y₁ : U

Context: p₁ : Path u x₁

Context: e₁ : x₁ ⟶ y₁

Context: ih : ∀ ⦃a₂ : PathStar u⦄, (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) ⟨x₁, p₁⟩ = (fun p => ⟨φ.obj p.fst, φ.mapPath p.snd⟩) a₂ → ⟨x₁, p₁⟩ = a₂

Context: h : φ.obj y₁ = φ.obj u ∧ HEq ((φ.mapPath p₁).cons (φ.map e₁)) Path.nil


Context: U : Type u_1

Context: inst✝² : Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: W : Type ?u.12154

Context: inst✝ : Quiver W

Context: ψ : V ⥤q W

Context: hφ : ∀ (u : U), Injective (φ.star u)

Context: u v₁ x₁ y₁ : U

Context: p₁ : Path u x₁

Context: e₁ : x₁ ⟶ y₁

Context: y₂ x₂ : U

Context: p₂ : Path u x₂

Context: e₂ : x₂ ⟶ y₂

Context: h : φ.obj y₁ = φ.obj y₂ ∧ HEq ((φ.mapPath p₁).cons (φ.map e₁)) ((φ.mapPath p₂).cons (φ.map e₂))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
inst✝ : Nonempty ι
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f

¬(iInf f).NeBot → ¬∀ (i : ι), (f i).NeBot


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

a.re * b.re + -1 * a.imI * b.imI + -1 * a.imJ * b.imJ - -1 * -1 * a.imK * b.imK = a.re * b.re - a.imI * b.imI - a.imJ * b.imJ - a.imK * b.imK


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)

(span ℂ (range fourier)).topologicalClosure = ⊤


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)

(Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra).topologicalClosure = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
x : E

thickening ε (Metric.ball x δ) = Metric.ball x (ε + δ)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
hz : ‖z‖ = 1


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)

edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y) ≤ edist x y


edist x y ≤ edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h✝ : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
hh : IsIso (f ≫ g)
w : f ≫ g = h
this : IsIso (f ≫ g)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: this : IsIso (F.map f)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M

(Formula.iExs f φ).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

Context: e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(let e := Classical.choice ⋯; (relabel (fun a => Sum.map id (⇑e) (f a)) φ).exs).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(∃ xs, Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

(∀ (x : Fin (Classical.choose ⋯) → M), ¬Realize φ (fun x_1 => Sum.elim (fun x => v x) (fun x_2 => x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) (f x_1)) fun x_1 => x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔ ∀ (x : γ → M), ¬φ.Realize fun a => Sum.elim v x (f a)


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: T : L.Theory

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → β ⊕ γ

Context: φ : L.Formula α

Context: v : β → M

∀ (a : Fin (Classical.choose ⋯) → M), (¬Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => a (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => a (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ¬φ.Realize fun a_1 => Sum.elim v (?refine_1 a) (f a_1)


Context:
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d


Context:
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1


Context:
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0


Context:
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
h1 : 0 < a.x ^ 2


Context:
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
h1 : 0 < a.x ^ 2
h2 : 0 < a.y ^ 2


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv = (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hsm : MeasurableSet s
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b c : α


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
x y z : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
hz : z ≠ 1
hzx : z ≠ x
hzy : z ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a b : EReal

Context: h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (b, a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a b : EReal

Context: x✝ : EReal × EReal

x✝.1 * x✝.2 = ((fun p => p.1 * p.2) ∘ Prod.swap) x✝


Context:
a✝ b✝ c : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}


max (b.blsub fun b' x => a ♯ b') (a.blsub fun a' x => a' ♯ b) = max (b.blsub fun a' x => a' ♯ a) (a.blsub fun b' x => b ♯ b')


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)

∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p = 0


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0
he : 0 < exponent G


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: h : p ∈ (exponent G).factorization.support

Context: he : 0 < exponent G


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: he : 0 < exponent G

Context: g : G

Context: hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: he : 0 < exponent G

Context: g : G

Context: hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1

Context: k : ℕ

Context: hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: he : 0 < exponent G

Context: g : G

Context: hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1

Context: k : ℕ

Context: t : ℕ

Context: ht : (exponent G).factorization p = t.succ


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: he : 0 < exponent G

Context: g : G

Context: hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1

Context: k : ℕ

Context: t : ℕ


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x✝ : S

(↑↑__src✝).toFun ((algebraMap S A) x✝) = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝


{ toQuot := Quot.mk (Rel s) ((algebraMap S A) x✝) } = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s : Set α
hf : Isometry f

EMetric.diam (range f) = EMetric.diam univ


EMetric.diam (f '' univ) = EMetric.diam univ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

(shiftComm X i j).symm.hom = (shiftComm X j i).hom


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

multiplicity p (x ^ n + y ^ n) = multiplicity p (x + y) + multiplicity p n


multiplicity ↑p ↑(x ^ n + y ^ n) = multiplicity ↑p ↑(x + y) + multiplicity p n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : ↑p ∣ ↑(x + y)
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n
hxy : ↑p ∣ ↑x + ↑y

multiplicity (↑p) (↑x ^ n + ↑y ^ n) = multiplicity (↑p) (↑x + ↑y) + multiplicity p n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
h : a ∣ b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r

(∑ k ∈ Finset.range 0, (pf k) fun x_1 => y - x) = 0


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α


(Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard ≤ s.encard


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G

(sum (t' • a) fun m t => t • f m) = (MonoidHom.id k) t' • sum a fun m t => t • f m


(sum a fun i c => (t' • c) • f i) = sum a fun a b => (MonoidHom.id k) t' • b • f a


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m

{ toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

Context: h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

(sum (sum a₁ fun a₁ b₁ => sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) fun m t => t • f m) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

(sum a₁ fun a b => sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a * a₂) (b * b₂)) g) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

Context: x✝¹ : G

Context: x✝ : k

sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) g = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

Context: x✝¹ : G

Context: x✝ : k

(sum a₂ fun a b => sum (single (x✝¹ * a) (x✝ * b)) g) = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

Context: x✝³ : G

Context: x✝² : k

Context: x✝¹ : G

Context: x✝ : k

sum (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) g = (x✝² * x✝) • f (x✝³ * x✝¹)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
m : G

((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) ((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) f)) m = f m


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A

(fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F) = F


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
m : G

(((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F)).toMulHom.comp (ofMagma k G)) m = (F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) m


Context:
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)


Context:
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v


Context:
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v


Context:
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v


Context: a b c : ℕ

Context: h : a ≠ b ^^^ c

Context: v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hab : a ^^^ b = c ^^^ v

Context: hac : a ^^^ c = b ^^^ v

Context: hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

Context: i : ℕ

Context: hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true

Context: hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false


Context: a b c : ℕ

Context: h : a ≠ b ^^^ c

Context: v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hab : a ^^^ b = c ^^^ v

Context: hac : a ^^^ c = b ^^^ v

Context: hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

Context: i : ℕ

Context: hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true

Context: this : a.testBit i = true ∨ b.testBit i = true ∨ c.testBit i = true


Context: a b c : ℕ

Context: h✝ : a ≠ b ^^^ c

Context: v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hab : a ^^^ b = c ^^^ v

Context: hac : a ^^^ c = b ^^^ v

Context: hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

Context: i : ℕ

Context: hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true

Context: h : a.testBit i = true


Context: a b c : ℕ

Context: h✝ : a ≠ b ^^^ c

Context: v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hab : a ^^^ b = c ^^^ v

Context: hac : a ^^^ c = b ^^^ v

Context: hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

Context: i : ℕ

Context: hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true

Context: h : b.testBit i = true


Context: a b c : ℕ

Context: h✝ : a ≠ b ^^^ c

Context: v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

Context: hab : a ^^^ b = c ^^^ v

Context: hac : a ^^^ c = b ^^^ v

Context: hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

Context: i : ℕ

Context: hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true

Context: h : c.testBit i = true


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: x : ℕ → ℝ

Context: C : ℝ

Context: H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C

Tendsto (fun n => x (2 ^ n) / 2 ^ n) atTop (𝓝 (τ f))


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: x : ℕ → ℝ

Context: C : ℝ


Context: f g : CircleDeg1Lift

Context: x : ℕ → ℝ

Context: C : ℝ

∀ (t : ℕ), dist (f.transnumAuxSeq t) (x (2 ^ t) / 2 ^ t) ≤ ?m.120971 t


Context: x : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s


∀ (b : α) (s' : WSeq α), (a = b ∨ ∃ n, some a ∈ s'.get? n) → ∃ n, some a ∈ (cons b s').get? n


∀ (s : WSeq α), (∃ n, some a ∈ s.get? n) → ∃ n, some a ∈ s.think.get? n


Context: q✝ q r : ℚ

q / r = q.num * ↑r.den /. (↑q.den * r.num)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card


(A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M N : Matrix n n A

invFun R A n (M + N) = invFun R A n M + invFun R A n N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α

(⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α
U : Set α

(∃ t, U ∈ ⨅ i ∈ t, 𝓟 (s i)) ↔ ∃ i, i.Finite ∧ ⋂ i_1 ∈ i, s i_1 ⊆ U


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f

Set.range ⇑(pullback.fst g f).val.base = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier


⇑(pullback.fst (Scheme.forgetToTop.map g) (Scheme.forgetToTop.map f)) '' (⇑(pullback.snd g.val.base f.val.base) ⁻¹' Set.univ) = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier


Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom


Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Context: hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0

Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom + Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Polynomial.eval₂ f a (x + y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) = (Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.denom + Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.num) * Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Polynomial.eval₂ f a ((x + y).num * (x.denom * y.denom)) = Polynomial.eval₂ f a ((x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom)


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

(x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖


Context: m n : ℕ∞


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n

(cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
this : μ ^ orderOf μ = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ

Context: hμn : μ ^ n = 1

Context: hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: this : ∃ i ∈ (orderOf μ).divisors, (cyclotomic i K).IsRoot μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∈ (orderOf μ).divisors
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : X - C μ ∣ cyclotomic n K
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : X - C μ ∣ cyclotomic i K
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : X - C μ ∣ cyclotomic n K
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : X - C μ ∣ cyclotomic i K
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors
k : K[X]
hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k
j : K[X]
hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμn : orderOf μ ∣ n

Context: hnμ : orderOf μ ≠ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: i : ℕ

Context: hio : i ∣ orderOf μ

Context: key : i < n

Context: key' : i ∣ n

Context: hni : {i, n} ⊆ n.divisors

Context: k : K[X]

Context: hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k

Context: j : K[X]

Context: hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j

Context: this : ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i K = X ^ n - 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμn : orderOf μ ∣ n

Context: hnμ : orderOf μ ≠ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: i : ℕ

Context: hio : i ∣ orderOf μ

Context: key : i < n

Context: key' : i ∣ n

Context: hni : {i, n} ⊆ n.divisors

Context: k : K[X]

Context: hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k

Context: j : K[X]

Context: hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j

Context: this : (∏ x ∈ n.divisors \ {i, n}, cyclotomic x K) * ((X - C μ) * k * ((X - C μ) * j)) = X ^ n - 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμn : orderOf μ ∣ n

Context: hnμ : orderOf μ ≠ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: i : ℕ

Context: hio : i ∣ orderOf μ

Context: key : i < n

Context: key' : i ∣ n

Context: hni : {i, n} ⊆ n.divisors

Context: k : K[X]

Context: hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k

Context: j : K[X]

Context: hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j

Context: hn : Squarefree (X ^ n - 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμn : orderOf μ ∣ n

Context: hnμ : orderOf μ ≠ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: i : ℕ

Context: hio : i ∣ orderOf μ

Context: key : i < n

Context: key' : i ∣ n

Context: hni : {i, n} ⊆ n.divisors

Context: k : K[X]

Context: hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k

Context: j : K[X]

Context: hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j

Context: hn : IsUnit (X - C μ)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N


(∀ (I : Ideal R) (b : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ a, ∀ (a_1 : R) (b_1 : a_1 ∈ I) (x : M), (((lcomp R (CharacterModule M) (Submodule.subtype I)) a) ⟨a_1, b_1⟩) x = (b ⟨a_1, b_1⟩) x) ↔ ∀ (I : Ideal R) (g : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I) (x_1 : M), (g' x) x_1 = (g ⟨x, mem⟩) x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
hx : ∀ b ∈ s, a < b

(insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1


(insert a s).chainHeight + 0 = s.chainHeight + 1


(insert a s).chainHeight + ↑0 = s.chainHeight + ↑1


∀ l ∈ (insert a s).subchain, ∃ l' ∈ s.subchain, l.length + 0 ≤ l'.length + 1


∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ (insert a s).subchain, l.length + 1 ≤ l'.length + 0


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: x : Γ₀

Context: h : x ≠ 0

(𝓝 x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: x : Γ₀

Context: h : x ≠ 0

(pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a n x✝ : M


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

ω.length = ω.length ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a a✝ : α

a✝ ∈ (Ioi a).disjUnion (Iio a) ⋯ ↔ a✝ ∈ {a}ᶜ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree

(derivative p).degree = ↑(p.natDegree - 1)


(derivative p).degree ≤ ↑(p.natDegree - 1)


↑(p.natDegree - 1) ≤ (derivative p).degree


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this : CompleteSpace E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F


⟪x, ↑(ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ↑(toContinuousLinearMap A))) y⟫_𝕜 = ⟪↑(toContinuousLinearMap A) x, y⟫_𝕜


Context: n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: hn : ∀ a_1 ∈ (a :: l ++ [0]).head?, a_1 < n


Context: n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl : (∀ a' ∈ l ++ [0], a' + 2 ≤ a) ∧ Pairwise (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])


Context: n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: this : ∀ b ∈ (l ++ [0]).head?, b < a - 1


Context: n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])


Context: n a : ℕ

Context: l : List ℕ


Context: m n k : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: i j : n

Context: x : A

Context: t : ∀ (p : n × n), i = p.1 ∧ j = p.2 ↔ p = (i, j)

(matrixEquivTensor R A n) (stdBasisMatrix i j x) = x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1


Context:
p : ℝ
hp : p ≠ 0
x✝ : AddCircle p
ε : ℝ
hε : |p| / 2 ≤ ε
x : AddCircle p


Context:
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : QuasiMeasurePreserving f μ ν

g.compQuasiMeasurePreserving f hf = mk (↑g ∘ f) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: g : (a : Ordinal.{u}) → a < o' → Ordinal.{max u v}

Context: h : o.brange f ⊆ o'.brange g

range (o.familyOfBFamily f) ⊆ range (o'.familyOfBFamily g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I✝ : Set α
M : Matroid α
I : Set ↑X

(M.restrictSubtype X).Indep I ↔ M.Indep ↑I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: j i : ι

Context: hij : i ≤ j

gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: j i : ι

Context: hij : i ≤ j

f i - ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: j i : ι

Context: hij : i ≤ j

f i - ∑ x ∈ Finset.Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f x ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: j i : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: k : ι

Context: hk : k ∈ Finset.Iio i

(⟪gramSchmidt 𝕜 f k, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f k‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f k ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: j i : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: k : ι

Context: hk : k ∈ Finset.Iio i

Context: hkj : k < j := LT.lt.trans_le (Finset.mem_Iio.mp hk) hij


Context: a✝ b✝ m n p✝ a b p : ℕ

a * b / p ^ (a * b).factorization p = a / p ^ a.factorization p * (b / p ^ b.factorization p)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)


⨆ i, ∑ a ∈ Finset.range i, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
n : ℕ

∑ a ∈ Finset.range n, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ i ∈ Finset.range n, m (univ ∩ s i) = m (univ ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ x ∈ Finset.range n, m (s x) = m (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: n : ℕ

m (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i) ≤ m (⋃ i, s i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : α ≃ β
e' : β ≃ γ
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ
f'' : PartialEquiv γ δ

(e.transPartialEquiv f').trans f'' = e.transPartialEquiv (f'.trans f'')


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : DivInvMonoid G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : ContinuousOn f s
y : G₀


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
b : α
l : List α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
x y : R

evalEval (f x) (f y) (map (mapRingHom f) p) = f (evalEval x y p)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x x✝ : ↥H

Context: h✝ : x✝ ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x x✝ : ↥H

Context: hx✝ : x✝ ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}

Context: y✝ : ↥H

Context: hy✝ : y✝ ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}

Context: a✝¹ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0

Context: a✝ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) y✝) = 0

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) (x✝ + y✝)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x : ↥H

Context: a✝¹ : R

Context: x✝ : ↥H

Context: a✝ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) (a✝¹ • x✝)) = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictDerivAt (fun y => c • f y) (c • f') x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x : E

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∉ Finset.range n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x : E

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End K V

Context: k : ℕ

Context: h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)

Context: m : ℕ

LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End K V

Context: k : ℕ

Context: m : ℕ

LinearMap.ker (f ^ k) ≤ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End K V

Context: k : ℕ

Context: m : ℕ

LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1))) ≤ LinearMap.ker (f ^ k)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ

0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
s : Trident f
j : J


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

factorization (a * b) = factorization a + factorization b


Context:
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0


∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P.coeff m • Q = 0) → P.coeff n • Q = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0
Q : R[X]
hQ : P * Q = 0
l : ℕ
IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: h✝ : (P.coeff l • Q).natDegree < Q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

(P * Q).coeff (l + m) = P.coeff l * Q.leadingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

∑ x ∈ antidiagonal (l + m), P.coeff x.1 * Q.coeff x.2 = P.coeff l * Q.leadingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

∀ b ∈ antidiagonal (l + m), b ≠ (l, m) → P.coeff b.1 * Q.coeff b.2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

∀ (a b : ℕ), a + b = l + m → (a = l → ¬b = m) → P.coeff a * Q.coeff b = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

Context: i j : ℕ

Context: hij : i + j = l + m

Context: H : i = l → ¬j = m


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

Context: i j : ℕ

Context: hij : i + j = l + m

Context: H : i = l → ¬j = m

Context: hi : i < l


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

Context: i j : ℕ

Context: IH : ∀ m > i, P.coeff m • Q = 0

Context: hl : (P.coeff i • Q).natDegree = Q.natDegree

Context: hij : i + j = i + m

Context: H : i = i → ¬j = m


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: m : ℕ := Q.natDegree

Context: i j : ℕ

Context: hij : i + j = l + m

Context: H : i = l → ¬j = m

Context: hi : l < i


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : G →ₗᵢ[𝕜] G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap f‖ = ‖f‖


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: x y z : ⨂[R] (i : ι), A i

(mul ((mul x) y)) z = (mul x) ((mul y) z)


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: x y z : ⨂[R] (i : ι), A i

(LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul ∘ₗ mul = (((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: x✝ y✝ z✝ : ⨂[R] (i : ι), A i

Context: x y z : (i : ι) → A i

(((((((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul ∘ₗ mul).compMultilinearMap (tprod R)) x).compMultilinearMap (tprod R)) y).compMultilinearMap (tprod R)) z = ((((((((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] (⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R] (i : ι), A i) (⨂[R] (i : ι), A i) ((⨂[R] (i : ι), A i) →ₗ[R] ⨂[R] (i : ι), A i)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip.compMultilinearMap (tprod R)) x).compMultilinearMap (tprod R)) y).compMultilinearMap (tprod R)) z


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: x✝ y✝ z✝ : ⨂[R] (i : ι), A i

Context: x y z : (i : ι) → A i

(tprod R) x * (tprod R) y * (tprod R) z = (tprod R) x * ((tprod R) y * (tprod R) z)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → D.X i ⟶ E.X j
n : ι

(f ≫ nullHomotopicMap hom).f n = (nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ hom i j).f n


f.f n ≫ (D.dFrom n ≫ hom (c.next n) n + hom n (c.prev n) ≫ E.dTo n) = C.dFrom n ≫ f.f (c.next n) ≫ hom (c.next n) n + (f.f n ≫ hom n (c.prev n)) ≫ E.dTo n


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: enc₀ : enc default = Vector.replicate n false

Context: x✝ : Cfg₁

Context: l₁ : Option Λ

Context: v : σ

Context: T : Tape Γ

FRespects (step (tr enc dec M)) (trCfg enc enc₀) (trCfg enc enc₀ { l := l₁, var := v, Tape := T }) (step M { l := l₁, var := v, Tape := T })


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: x✝ : Cfg₁

Context: l₁ : Option Λ

Context: v : σ

Context: L R : ListBlank Γ

FRespects (step (tr enc dec M)) (trCfg enc enc₀) (trCfg enc enc₀ { l := l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R }) (step M { l := l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R })


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: x✝ : Cfg₁

Context: v : σ

Context: L R : ListBlank Γ

Context: l₁ : Λ

FRespects (step (tr enc dec M)) (trCfg enc enc₀) (trCfg enc enc₀ { l := some l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R }) (step M { l := some l₁, var := v, Tape := Tape.mk' L R })


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: x✝ : Cfg₁

Context: v : σ

Context: L R : ListBlank Γ

Context: l₁ : Λ

∀ (q : Stmt₁) (R : ListBlank Γ), Reaches (step (tr enc dec M)) (stepAux (trNormal dec q) v (trTape' enc0 L R)) (trCfg enc enc0 (stepAux q v (Tape.mk' L R)))


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: x✝ : Cfg₁

Context: v : σ

Context: L : ListBlank Γ

Context: q : Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Reaches (step (tr enc dec M)) (stepAux (trNormal dec q) v (trTape' enc0 L R)) (trCfg enc enc0 (stepAux q v (Tape.mk' L R)))


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B✝ : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
b : Basis ι R₁ M₁

B.SeparatingLeft ↔ ((toMatrix₂ b b) B).det ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G

Context: f : D → E

Context: g : D → F

Context: N : ℕ∞

Context: s : Set D

Context: x : D

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D

Context: Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E

Context: Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F

Context: Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G

Context: isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D

Context: isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD

Context: hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD

Context: gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip

Context: hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip

Context: Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀

Context: hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀

Context: Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖