Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ ((f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one ▷ P.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫ (α_ M'.X N.X P.X).hom ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X)) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

(f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: inst✝¹ : IsDomain β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: h : const abv 1 ≈ const abv 0

Context: this : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ (k : ℕ), i ≤ k → abv (1 - 0) < ε

Context: h2 : 0 < abv 1

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → abv (1 - 0) < abv 1


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P

x ∈ SMulAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 • x.2 = a


x ∈ s.smulAntidiagonal t a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 • x.2 = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
g : N →* P
f₁ f₂ : M →* N
x✝ : M

(g.comp (f₁ * f₂)) x✝ = (g.comp f₁ * g.comp f₂) x✝


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist ((homothety p₁ c) p₂) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ α₂ β : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : α₁ → G α₂
x : t α₀ β

Comp.mk (tfst f' <$> tfst f x) = tfst (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) x


bitraverse (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ pure) x = tfst (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) x


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
this : {c' | c < c'}.Nonempty


Context: α β✝ : Type u

Context: c b : Cardinal.{u}

Context: β γ : Type u

Context: this : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty

Context: hlt : Quot.mk Setoid.r γ < Quot.mk Setoid.r β

Quot.mk Setoid.r γ + 1 ≤ Quot.mk Setoid.r β


Context: α β✝ : Type u

Context: c b : Cardinal.{u}

Context: β γ : Type u

Context: f : γ ↪ β


Context: α β✝ : Type u

Context: c b : Cardinal.{u}

Context: β γ : Type u

Context: this✝ : {c' | Quot.mk Setoid.r γ < c'}.Nonempty

Context: f : γ ↪ β

Context: this : ¬Surjective ⇑f


Context: α β✝ : Type u

Context: c b : Cardinal.{u}

Context: β γ : Type u

Context: f : γ ↪ β

Context: this : ∃ x, ¬∃ a, f a = x


Context: α β✝ : Type u

Context: c b✝ : Cardinal.{u}

Context: β γ : Type u

Context: f : γ ↪ β

Context: b : β

Context: hb : ¬∃ a, f a = b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

(Polynomial.map φ f).IsWeaklyEisensteinAt (Ideal.map φ 𝓟)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: A : Type v

Context: inst✝ : CommRing A

Context: φ : R →+* A

Context: n✝ : ℕ

Context: hn : n✝ < (Polynomial.map φ f).natDegree

(Polynomial.map φ f).coeff n✝ ∈ Ideal.map φ 𝓟


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: A : Type v

Context: inst✝ : CommRing A

Context: φ : R →+* A

Context: n✝ : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
hs : s ⊆ range f


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hne : s.Nonempty
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * 2⁻¹ ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
hc : IsClosed s
hb : IsBounded s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
t : Set α
r : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
hc : IsClosed ∅
hb : IsBounded ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
hc : IsClosed s
hb : IsBounded s
x : α


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: s : Finset ι

Context: f : (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }

Context: i : ι

i ∈ (mk s fun i => ↑(f i)).support ↔ i ∈ s


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i : ι

↑((fun f_1 => ⟨mk f.support fun i => ↑(f_1 i), ⋯⟩) ((fun x => match (motive := { f_1 // f_1.support = f.support } → (i : { x // x ∈ f.support }) → { x // x ≠ 0 }) x with | ⟨f_1, hf⟩ => fun x => match x with | ⟨i, hi⟩ => ⟨f_1 i, ⋯⟩) ⟨f, ⋯⟩)) i = ↑⟨f, ⋯⟩ i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : { x // x ∈ s }

(fun x => match (motive := { f // f.support = s } → (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }) x with | ⟨f, hf⟩ => fun x => match x with | ⟨i, hi⟩ => ⟨f i, ⋯⟩) ((fun f => ⟨mk s fun i => ↑(f i), ⋯⟩) f) x✝ = f x✝


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : { x // x ∈ s }

f ⟨↑x✝, ⋯⟩ = f x✝


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α


supp (g <$> abs (repr x)) = g '' supp (abs (repr x))


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α β : Type u
g : α → β
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α

supp (g <$> abs ⟨a, f⟩) = g '' supp (abs ⟨a, f⟩)


supp (abs ⟨a, g ∘ f⟩) = g '' supp (abs ⟨a, f⟩)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x✝ : ℕ
x : ℕ := x✝
hx : x✝ ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: t : List ↑s := List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯

Context: ht : t = List.pmap (fun y hy => ⟨y, hy⟩) (List.filter (fun y => decide (y ∈ s)) (List.range x)) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩

Context: wf : ∀ (m : ↑s), t.maximum = ↑m → ↑m < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩

Context: m : ↑s

Context: hmax : t.maximum = ↑m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩

Context: m : ↑s

Context: hmax : t.maximum = ↑m

Context: a : ℕ

Context: ha : ofNat s a = ⟨↑m, ⋯⟩


Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x✝ : ℕ

Context: a✝ : ∀ (y : ℕ), (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝ → ∀ (hx : y ∈ s), ∃ n, ofNat s n = ⟨y, hx⟩

Context: x : ℕ := x✝

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hmt : ∀ {y : ↑s}, y ∈ t ↔ y < ⟨x, hx⟩

Context: m : ↑s

Context: h✝ hmax : t.maximum = ↑m

(invImage (fun x => x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 (↑m) x✝


Context:
s : Set ℝ
h : BddBelow s
h' : s.Nonempty
a : ℝ

sInf s ≤ a ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x ∈ s, x < a + ε


(∀ (ε : ℝ), 0 < ε → sInf s < a + ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x ∈ s, x < a + ε


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ i = 0


∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (mongePointWeightsWithCircumcenter n - centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ) i = 0


1 - ∑ x : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ x = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

(fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = (pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = (pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p

Subtype.val ⁻¹' MulAction.orbit R ↑m = MulAction.orbit R m


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
a b : ℕ


(diagonal fun mn => ↑(a * b)) = ↑(a * b)


Context: P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop

Context: inst✝ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso

Context: hP₂ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β), P f → P (s.restrictPreimage f)

Context: hP₃ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β), iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f

IsLocalAtTarget (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P)


∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f → topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U)


∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U i)) → topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
x✝ : ↑I

(p.trans (Path.refl x₁)) x✝ = (p.reparam (fun t => ⟨if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯) x✝


(if h : ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then p ⟨2 * ↑x✝, ⋯⟩ else x₁) = p ⟨if ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then 2 * ↑x✝ else 1, ⋯⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.323650
S' : Type ?u.323653
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.326084
S'' : Type ?u.326087
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : P.vars

(aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S S'') (P.val x)


(aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S' S'') ((aeval P'.val) (g.val x))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
i✝ : ι


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝² : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : J

Context: i : Subtype p

(ι f j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) i = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝² : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : J

Context: i : Subtype p

(if h : j = ↑i then eqToHom ⋯ else 0) = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.Monic

Context: h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b✝ : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.Monic

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b✝ : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.leadingCoeff = 1

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b✝ : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.leadingCoeff = 1

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = (a * b).leadingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b✝ : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.leadingCoeff = 1

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

(W.map f).ψ₂ = Polynomial.map (mapRingHom f) W.ψ₂


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁ →ₐ[R] A₂

(fun f => ((↑e₂.symm).comp f).comp ↑e₁) ((fun f => ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm) f) = f


(↑e₂.symm).comp ((↑e₂).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁))) = f


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁' →ₐ[R] A₂'

(fun f => ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm) ((fun f => ((↑e₂.symm).comp f).comp ↑e₁) f) = f


(↑e₂).comp ((↑e₂.symm).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁'))) = f


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone


∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inl ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk (𝟙 X) 0).π.app j


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
a : R
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x✝¹ x✝ : α

(sInf s).Rel x✝¹ x✝ ↔ sInf (Rel '' s) x✝¹ x✝


(sInf s).Rel x✝¹ x✝ ↔ ∀ i ∈ s, i.Rel x✝¹ x✝


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b c : G
f : α → G
l : Filter α

Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Div G✝

Context: inst✝³ : ContinuousDiv G✝

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousDiv G

Context: b c : G

Context: f : α → G

Context: l : Filter α

Context: h : Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
x✝ : [].Nodup
i : Fin [].length

[].next ([].get i) ⋯ = [].get ⟨(↑i + 1) % [].length, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
_h : (x :: y :: l).Nodup
h0 : 0 < (x :: y :: l).length
h₁ : (x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩ = x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length

(x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x
hi' : i ≤ l.length


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s

Context: s : Set Ω

Context: s_mble : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₙₐ[R] C
c : Subalgebra R C

(lift f).range ≤ c ↔ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ≤ c


NonUnitalAlgHom.range f ≤ c.toNonUnitalSubalgebra ↔ ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ⊆ ↑c


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x.arg = y.arg ↔ ↑(abs y) / ↑(abs x) * x = y


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x.arg = y.arg ↔ (↑(abs y) / ↑(abs x) * x).arg = y.arg


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'

commProb (M × M') = commProb M * commProb M'


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h

f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ (θ.naturality h).hom = f ◁ (θ.naturality g).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G

character (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj V ⊗ Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj W)) = V.character * W.character


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β

x✝ ∈ s ×ˢ ∅ ↔ x✝ ∈ ∅


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂

(∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₁.map f)) ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₂.map f)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
hc : ¬c = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α

a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
s : Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
hwf : WF le n s

WF le 0 ((Heap.tail? le s).getD Heap.nil)


Context:
n✝ c n : ℕ
hn : n ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)


Context: n c d : ℕ

Context: hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)


Context: n d : ℕ

Context: hn : 2 * (0 ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (0 ^ 2 + 1)


Context: n c d : ℕ

Context: c0 : c > 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D


F.map ι ≫ F.map q.leftRetraction = 𝟙 (F.obj W)


F.map g ≫ F.map q.rightRetraction = 𝟙 (F.obj X)


F.map f ≫ F.map q.rightRetraction = F.map q.leftRetraction ≫ F.map ι


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'

(map f H).index = (H ⊔ f.ker).index * f.range.index


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Surjective ⇑((↑e).comp f) ∧ (RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom).FG


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom = RingHom.ker f.toRingHom


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hco : ((↑e).comp f).toRingHom = (↑e.toRingEquiv).comp f.toRingHom


Context:
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)


Context: D : GlueData

Context: h : MkCore

Context: i j : h.J

Context: x : ↥(h.V j i)

Context: this : ↑((h.t i j) ⟨↑((h.t j i) x), ⋯⟩) = ↑((h.t j j) ⟨↑x, ?refine_1⟩)


Context: x y : ℂ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: hz : z ∈ ball c R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball z R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball z R₁) (ball (f z) R₂)

Context: hz : z ∈ ball z R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hne : z ≠ c


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

∀ (i : ι), (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: i : ι

(Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: i : ι

Context: H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: i : ι

Context: hi₁ : J₁.lower i = x i


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: i : ι

Context: hi₁ : J₁.lower i < x i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h : x ≠ y

∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬x ≤ y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬y ≤ x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K

4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|

Context: h_bd : 1 ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|

Context: h_bd : ↑(finrank ℚ K) ^ (finrank ℚ K * 2) / ((4 / π) ^ (NrComplexPlaces K * 2) * ↑(finrank ℚ K).factorial ^ 2) ≤ ↑|discr K|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|

4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑(finrank ℚ K) ^ (finrank ℚ K * 2) / ((4 / π) ^ (NrComplexPlaces K * 2) * ↑(finrank ℚ K).factorial ^ 2)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: z✝ : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: z p q : DirectSum ι fun i => G i

Context: x✝¹ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p

Context: x✝ : ∃ i x, (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' q

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: ihx : (of R ι G f i) x = Quotient.mk'' p

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: ihy : (of R ι G f j) y = Quotient.mk'' q

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(of R ι G f k) ((f i k hik) x + (f j k hjk) y) = Quotient.mk'' (p + q)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: z✝ : DirectLimit G f

Context: ind : ι

Context: z p q : DirectSum ι fun i => G i

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: j : ι

Context: y : G j

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Quotient.mk'' p + Quotient.mk'' q = Quotient.mk'' (p + q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α

∀ᵐ (c : β) ∂ν a, ∀ ⦃a_1 b : ℚ⦄, a_1 ≤ b → f (a, c) a_1 ≤ f (a, c) b


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ : R
ea₁ b : ℕ
xa₁ : R

(xa₁ ^ ea₁ * a₂) ^ b = xa₁ ^ (ea₁ * b) * a₂ ^ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Zero β

Context: inst✝¹² : One β

Context: inst✝¹¹ : Add β

Context: inst✝¹⁰ : Mul β

Context: inst✝⁹ : Neg β

Context: inst✝⁸ : Sub β

Context: inst✝⁷ : SMul ℕ β

Context: inst✝⁶ : SMul ℤ β

Context: inst✝⁵ : Pow β ℕ

Context: inst✝⁴ : NatCast β

Context: inst✝³ : IntCast β

Context: f : β → α

Context: hf : Injective f

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : Add α

Context: inst✝ : RightDistribClass α

Context: add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y

Context: mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y

Context: x y z : β


Context:
α : Type u_1
f : List α → List α
n : Nat
l₁ l₂ : List α

modifyNthTail f (l₁.length + n) (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ modifyNthTail f n l₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

y ∈ {y | s.WOppSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iic 0) ↑s


s.WOppSide x y ↔ ∃ a ≤ 0, ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K

(colimit.ι F j).app k ≫ (preservesColimitIso ((evaluation K C).obj k) F).hom = colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j


(colimit.ι F j).app k = colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j ≫ (preservesColimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x


∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: ω : Ω

Context: hω₁ : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: hω₂ : ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R

Context: i : ℕ

|martingalePart f ℱ μ (i + 1) ω - martingalePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑(2 * R)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: ω : Ω

Context: i : ℕ

|f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: ω : Ω

Context: i : ℕ

Context: this : |f (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - (f i ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| = |f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)|

|f (i + 1) ω - f i ω - (predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω)| ≤ ↑(R + R)


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι

(indicator s f) i = if hi : i ∈ s then f i hi else 0


(if H : i ∈ s then f i H else 0) = if hi : i ∈ s then f i hi else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β

((∑ i ∈ I, κ i) a) s = ∑ i ∈ I, ((κ i) a) s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).b₈ = ↑C.u⁻¹ ^ 8 * (W.b₈ + 3 * C.r * W.b₆ + 3 * C.r ^ 2 * W.b₄ + C.r ^ 3 * W.b₂ + 3 * C.r ^ 4)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Nontrivial A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet

Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f.symm).toRelHom (Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f).toRelHom ⟨e, h⟩) = ⟨e, h⟩


Sym2.map (fun x => { toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } x)) e = e


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
x✝ : V
a✝ : x✝ ∈ e

{ toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } x✝) = id x✝


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 W
h : e ∈ G'.edgeSet

Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f).toRelHom (Hom.mapEdgeSet (RelIso.toRelEmbedding f.symm).toRelHom ⟨e, h⟩) = ⟨e, h⟩


Sym2.map (fun x => { toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } x)) e = e


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
e : Sym2 W
h : e ∈ G'.edgeSet
x✝ : W
a✝ : x✝ ∈ e

{ toFun := ⇑f, map_rel' := ⋯ } ({ toFun := ⇑f.symm, map_rel' := ⋯ } x✝) = id x✝


Context:
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M

contDiffGroupoid 0 I = continuousGroupoid H


Context:
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
u : PartialHomeomorph H H
a✝ : u ∈ ⊤.members


{ property := fun f s => ContDiffOn 𝕜 0 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑u) u.source ∧ { property := fun f s => ContDiffOn 𝕜 0 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑u.symm) u.target


ContinuousOn (↑I ∘ ↑u ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u.source ∩ range ↑I) ∧ ContinuousOn (↑I ∘ ↑u.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u.target ∩ range ↑I)


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty


∀ b ∈ s * t, hs.min hsn * ht.min htn ≤ b


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ t

hs.min hsn * ht.min htn ≤ (fun x x_1 => x * x_1) x y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : MulOneClass α

Context: i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ha : MulLECancellable a


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U✝ : Set Y
a : X
U : Set Y
hU : IsOpen U


Context:
R : Type u_1
s : Multiset ℕ
h0 : s.prod ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup 𝔸

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 𝔸

Context: l : Filter ι

Context: ε : ι → 𝕜

Context: f : ι → 𝔸

Context: hε : Tendsto ε l (𝓝 0)

Context: hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup 𝔸

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 𝔸

Context: l : Filter ι

Context: ε : ι → 𝕜

Context: f : ι → 𝔸

Context: hε : ε =o[l] fun _x => 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
r : R

(expand R p) ((expand R q) (C r)) = (expand R (p * q)) (C r)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: f✝ f g : R[X]

Context: ihf : (expand R p) ((expand R q) f) = (expand R (p * q)) f

Context: ihg : (expand R p) ((expand R q) g) = (expand R (p * q)) g

(expand R p) ((expand R q) (f + g)) = (expand R (p * q)) (f + g)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

Context: r : R

Context: x✝ : (expand R p) ((expand R q) (C r * X ^ n)) = (expand R (p * q)) (C r * X ^ n)

(expand R p) ((expand R q) (C r * X ^ (n + 1))) = (expand R (p * q)) (C r * X ^ (n + 1))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
h : IsInitial X

∃ x, (∀ (i : Empty), IsConnected ((fun x => X) i)) ∧ Finite Empty


(∀ (i : Empty), IsConnected ((fun x => X) i)) ∧ Finite Empty


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x : E
a b : ℝ
hf : ‖f‖ ≤ a
hx : ‖x‖ ≤ b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f✝ g : ι → α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: s : Multiset ι

Context: f : α → β → γ

Context: hf : ∀ (a b : α) (c d : β), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d

Context: hf' : f 1 1 = 1

Context: f₁ : ι → α

Context: f₂ : ι → β

Context: l : List ι

(map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) ⟦l⟧).prod = f (map f₁ ⟦l⟧).prod (map f₂ ⟦l⟧).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass β
s : Set β
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)

∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : f ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : f ≈ 0
hg : g ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0


padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a (b - p) = toIcoDiv hp a b - 1


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β

image2 f (↑s) (insert b ↑t) = (fun a => f a b) '' ↑s ∪ image2 f ↑s ↑t


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : Semiring R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f g : R[X]
f0 : ¬f = 0
g0 : ¬g = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs' : ∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)

Context: hs : Ideal.map f (Ideal.span s) = Ideal.map f ⊤


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤

∀ (r : ↑(⇑f '' s)), P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤

Context: r : R

Context: hr : r ∈ s

P ((algebraMap S (Localization.Away ↑⟨f r, ⋯⟩)).comp f)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: hP : PropertyIsLocal P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span (⇑f '' s) = ⊤

Context: r : R

Context: hr : r ∈ s

(algebraMap S (Localization.Away ↑⟨f r, ⋯⟩)).comp f = (Localization.awayMap f ↑⟨r, hr⟩).comp (algebraMap R (Localization.Away r))


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : α

(fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae ρ.fst] ⇑ρ.condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : α

Context: h : (fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae ((Kernel.const α ρ).fst a)] ⇑((Kernel.const α ρ) a).condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : α

Context: h : (fun b => (Kernel.const α ρ).condKernel (a, b)) =ᶠ[ae (Measure.map Prod.fst ρ)] ⇑ρ.condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: hs : s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')

Context: ht : t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

∀ ⦃i_1 : ι × ι'⦄, i_1 ∈ u → Disjoint (f (i, i')) (f i_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hj : (j, j') ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hj : (j, j') ∈ u

Context: hij : (i, i') ≠ (j, j')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hij : (i, i') ≠ (j, j')

Context: hj : (j, j') ∈ s ×ˢ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hij : (i, i') ≠ (j, j')

Context: hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j' : ι'

Context: hij : (i, i') ≠ (i, j')

Context: hj : (i, j').1 ∈ s ∧ (i, j').2 ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: u : Finset (ι × ι')

Context: hu : u ⊆ s ×ˢ t

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t

Context: hiu : (i, i') ∉ u

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hij✝ : (i, i') ≠ (j, j')

Context: hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t

Context: hij : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
X✝ Y✝ : C ⥤ D
η : X✝ ⟶ Y✝
A : Augmented C
n : SimplexCategory

η.app A.left ≫ 𝟙 (Y✝.obj A.left) ≫ Y✝.map (A.hom.app n) = (𝟙 (X✝.obj A.left) ≫ X✝.map (A.hom.app n)) ≫ η.app (A.right.obj n)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Div β
inst✝¹ : MeasurableDiv₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : Type u_8

Context: m : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : Div β

Context: inst✝¹ : MeasurableDiv₂ β

Context: f : ι → Ω → β

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: i j k : ι

Context: hik : i ≠ k

Context: hjk : j ≠ k

Context: this : IndepFun (fun ω => (f i ω, f j ω)) (f k) κ μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) atBot atBot


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun n => sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊n / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atBot atBot


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atBot atBot


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Periodic g T

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
n : ℤ


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K

ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ post (E ⋙ F) G ≫ G.map (pre F E) = ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E ≫ post F G


G.map (ι F (E.obj j)) = (ι ((E ⋙ F) ⋙ G) j ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ post F G


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasColimit F
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
h : HasColimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
j : K
this : HasColimit (E ⋙ F ⋙ G)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
e : α ≃ β
he : UniformEmbedding ⇑e


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A

↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 1)).card / ↑1 ≤ 1


(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 1)).card ≤ 1


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v₁ v₂ : V
x : P


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I : Box ι

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℝ

Context: y : ι → ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: h : x ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)

Context: h' : optParam (∀ (j : ι), update I.lower i x j < I.upper j) ⋯

I.splitUpper i x = ↑{ lower := update I.lower i x, upper := I.upper, lower_lt_upper := h' }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace δ
f : α → δ
x : δ
hμ : μ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < n


n • ↑(p / ↑n) = 0 ∧ ∀ m < n, 0 < m → m • ↑(p / ↑n) ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
k : ℕ
hk : k • p = ↑m * (p / ↑n)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < ↑n
m : ℕ
hn : m < n
h0 : 0 < m
k : ℕ
hk : n * k = m


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: f : α → β

Context: w : α → M

Context: b : M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid M

Context: hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: ht : t.Nonempty

Context: hb : t.card • b ≤ ∑ x ∈ s, w x

∑ i ∈ t, b ≤ ∑ i ∈ t, ∑ x ∈ filter (fun x => f x = i) s, w x


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n

0 < (filter (fun a => orderOf a = Fintype.card α) univ).card


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: op : β → β → β

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: s✝ : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: c : β

Context: inst✝¹ : Add β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: n : WithBot β

Context: s : Finset α

fold max ⊥ (fun x => ↑(f x) + n) s = fold max ⊥ (WithBot.some ∘ f) s + n


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
t : Set α
a x y : α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : f a = g a

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : f a = g a

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Icc a b

Context: this : dist (f t) (g t) ≤ 0 * rexp (↑K * (t - a))


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g) μ μ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s

μ s = 0 → (map (fun h => h * g) μ) s = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Top α
inst✝² : Top β
inst✝¹ : Top γ
inst✝ : Top δ
g : TopHom β γ
f₁ f₂ : TopHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R

(truncate h1) ((truncate h2) x) = (truncate ⋯) x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : 𝕎 R

(truncate h1) ((truncate h2) ((WittVector.truncate n₃) x)) = (truncate ⋯) ((WittVector.truncate n₃) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
s : Set β
hs : s.Finite
t : β → Set α

IntegrableOn f (⋃ i ∈ s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ s, IntegrableOn f (t i) μ


IntegrableOn f (⋃ i ∈ ∅, t i) μ ↔ ∀ i ∈ ∅, IntegrableOn f (t i) μ


∀ {a : β} {s : Set β}, a ∉ s → s.Finite → (IntegrableOn f (⋃ i ∈ s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ s, IntegrableOn f (t i) μ) → (IntegrableOn f (⋃ i ∈ insert a s, t i) μ ↔ ∀ i ∈ insert a s, IntegrableOn f (t i) μ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

∫ (x : X) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, g x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ

∏ k ∈ range (n + 1 + 1), f k = (∏ k ∈ range (n + 1), f (k + 1)) * f 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: h_spec : σₙ R a ⊆ {0}

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ U

Context: y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) := hU.primeIdealOf ⟨x, hx⟩

Context: hy : y = hU.primeIdealOf ⟨x, hx⟩

IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk ↑⟨x, hx⟩)) y.asIdeal


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ U

Context: hy : y = hU.primeIdealOf ⟨x, hx⟩

Context: this : hU.fromSpec.val.base y = x


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: y : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)

Context: hx : hU.fromSpec.val.base y ∈ U

Context: hy : y = hU.primeIdealOf ⟨hU.fromSpec.val.base y, hx⟩

IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk ↑⟨hU.fromSpec.val.base y, hx⟩)) y.asIdeal


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π


(if 0 ≤ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).re then Real.arcsin ((↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).im / r) else if 0 ≤ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).im then Real.arcsin ((-(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I))).im / r) + π else Real.arcsin ((-(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I))).im / r) - π) = θ


(if 0 ≤ Real.cos θ then Real.arcsin (Real.sin θ) else if 0 ≤ Real.sin θ then Real.arcsin (-Real.sin θ) + π else Real.arcsin (-Real.sin θ) - π) = θ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: Γ : Type u_1

Context: Γ₁ : Type u_2

Context: Γ₂ : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂

Context: v : Valuation K Γ

Context: v₁ : Valuation K Γ₁

Context: v₂ : Valuation K Γ₂


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: Γ : Type u_1

Context: Γ₁ : Type u_2

Context: Γ₂ : Type u_3

Context: v : Valuation K Γ

Context: v₁ : Valuation K Γ₁

Context: v₂ : Valuation K Γ₂

∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v.valuationSubring.valuation x ≤ 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: Γ : Type u_1

Context: Γ₁ : Type u_2

Context: Γ₂ : Type u_3

Context: v : Valuation K Γ

Context: v₁ : Valuation K Γ₁

Context: v₂ : Valuation K Γ₂

Context: x : K

v x ≤ 1 ↔ v.valuationSubring.valuation x ≤ 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: Γ : Type u_1

Context: Γ₁ : Type u_2

Context: Γ₂ : Type u_3

Context: v : Valuation K Γ

Context: v₁ : Valuation K Γ₁

Context: v₂ : Valuation K Γ₂

Context: x : K


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0
hβ : β.hom = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
β : Ext 0 Y n := 0
hβ : β.hom = 0
this : 0 = comp 0 β ⋯


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hfv : LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Group R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p

MulAction.stabilizer R m = MulAction.stabilizer R ↑m


(MulAction.stabilizer R m).toSubmonoid = (MulAction.stabilizer R ↑m).toSubmonoid


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α

Quot.mk Mcongr <$> abs (corecF g x).dest = corec g <$> g x


(Quot.mk Mcongr ∘ corecF g) <$> g x = corec g <$> g x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: w : ↥(lp G 2)

HasSum (fun i => (V i) (↑w i)) (hV.linearIsometryEquiv.symm w)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)

Context: s✝ : (i : ι) → Set (α i)

Context: p✝ : (i : ι) → α i → Prop

Context: ι' : ι → Type

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set (α i)

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: h : ∀ (i : ι), (f i).HasBasis (p i) (s i)

(pi f).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, p i (If.2 i)) fun If => If.1.pi fun i => s i (If.2 i)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: η : F ⟶ A

Context: X : Cᵒᵖ

Context: p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) (unop X)

η.app X (unitForward η (unop X) p) = p.yonedaEquivFst


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁


p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r • (p₂ -ᵥ p₁)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁✝ p₂ p₁ p₃ : P

Context: r : ℝ

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r ≤ 1

Context: hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁

Context: hr0' : r ≠ 0

(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁✝ p₂ p₁ p₃ : P

Context: r : ℝ

Context: hr1 : r ≤ 1

Context: hr0' : r ≠ 0

Context: hr0 : 0 < r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁✝ p₂ p₁ p₃ : P

Context: r : ℝ

Context: hr1 : r ≤ 1

Context: hr0' : r ≠ 0

Context: hr0 : 0 < r

p₃ -ᵥ p₁ = r⁻¹ • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)


Context:
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd

Context: n : ℕ

((expSeries 𝕜 (tsze R M) (n + 1)) fun x_1 => x).snd = ((expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) • x.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β


f.coprod g = comap Prod.fst f ⊔ comap Prod.snd g


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : ¬∀ᵐ (x : α) ∂μ, |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: R : ℝ≥0

Context: f : α → ℝ

Context: hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R

Context: hnm : m ≤ m0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: h : μ {x | (fun x => |(μ[f|m]) x| ≤ ↑R) x}ᶜ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}


(μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R < (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R


IntegrableOn (fun x => |(μ[f|m]) x|) {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|} μ


∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, |f x| ∂μ ≤ (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R


∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, |f x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, ↑R ∂μ


IntegrableOn (fun x => ↑R) {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|} μ


∫⁻ (a : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, ↑‖(fun x => ↑R) a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, ↑‖(μ[f|m]) a‖₊ ∂μ


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}
x : α
hx : x ∈ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g g₁ g₂ : σ → S₁

Context: h : ∀ {i : σ} {c : σ →₀ ℕ}, i ∈ c.support → coeff c p ≠ 0 → g₁ i = g₂ i


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g g₁ g₂ : σ → S₁

∀ x ∈ p.support, (fun s a => f a * s.prod fun n e => g₁ n ^ e) x (p x) = (fun s a => f a * s.prod fun n e => g₂ n ^ e) x (p x)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g g₁ g₂ : σ → S₁

Context: C : σ →₀ ℕ

Context: hc : C ∈ p.support

(C.prod fun n e => g₁ n ^ e) = C.prod fun n e => g₂ n ^ e


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g g₁ g₂ : σ → S₁

Context: C : σ →₀ ℕ

Context: hc : C ∈ p.support

∀ x ∈ C.support, (fun n e => g₁ n ^ e) x (C x) = (fun n e => g₂ n ^ e) x (C x)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g g₁ g₂ : σ → S₁

Context: C : σ →₀ ℕ

Context: hc : C ∈ p.support

Context: i : σ

Context: hi : i ∈ C.support


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β

∏ x ∈ s, f x * g x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (1 * 1) (fun x => f x * g x) s


∏ x ∈ s, f x * g x = fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 (fun x => f x * g x) s


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
ht : ⋃ x ∈ t, U ↑x ∈ 𝓝ˢ s

⋃ x ∈ Finset.image Subtype.val t, U x ∈ 𝓝ˢ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : G.obj A ⟶ X
v : G.obj B ⟶ Y
sq : CommSq u (G.map i) p v
adj : G ⊣ F

(adj.homEquiv A X) u ≫ F.map p = i ≫ (adj.homEquiv B Y) v


adj.unit.app A ≫ F.map (G.map i ≫ v) = i ≫ adj.unit.app B ≫ F.map v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: y : β

ContinuousWithinAt (update f x y) s x ↔ Tendsto (update f x y) (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
hmn : m ∣ n
hm : FermatLastTheoremFor m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0

∃ (hf : {i | ε ≤ a i}.Finite), ↑hf.toFinset.card ≤ c / ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_top : c ≠ ⊤
tsum_le_c : ∑' (i : ι), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
hf : {i | ε ≤ a i}.Finite


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N✝
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
N : Type u_7
inst✝ : Group N
f : G →* N


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
x : R
inst✝ : Away x S


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
n : ℕ
s : Multiset α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)


∀ (X : V), (of σ ⋙q lift σ φ τ h).obj X = φ.obj X


∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of σ ⋙q lift σ φ τ h).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
x✝ a✝ : R

((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMap, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(R, R)) x✝) a✝


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: E : Type u_8

Context: R : Type u_9

Context: ι : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : SMulWithZero R M

Context: s : ι → X → R

Context: h✝ : LocallyFinite fun i => support (s i)

Context: f : ι → X → M

Context: i : ι

Context: x : X

Context: h : s i x = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C

__src✝.map f ▷ __src✝.obj X' ≫ (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) Y X' = (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) X X' ≫ __src✝.map (f ▷ X')


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y

__src✝.obj f ◁ __src✝.map X' ≫ (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) f Y = (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) f X ≫ __src✝.map (f ◁ X')


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

(G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (G.μ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z)) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ Y Z)) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))


G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))


G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = ((G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
s : Finset ι
f : ι → R

(∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i * f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d


Context:
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin (single n h).length


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => eval x p / rexp x) atTop (𝓝 0)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

(bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ (n + 1)


(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n)) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.fst