Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : Fintype.card α ≤ l

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P✝ : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h✝ : Nonempty α

Context: hε : 0 < ε

Context: l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊

Context: hl : 4 / ε ≤ ↑l

Context: hl' : l ≤ Fintype.card α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : l ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l

Context: hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)

Context: this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P✝ : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h✝ : Nonempty α

Context: hε : 0 < ε

Context: l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊

Context: hl : 4 / ε ≤ ↑l

Context: hl' : l ≤ Fintype.card α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : l ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l

Context: hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)

Context: this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * (ε * ↑(Fintype.card α ^ 2))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P✝ : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h✝ : Nonempty α

Context: hε : 0 < ε

Context: l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊

Context: hl : 4 / ε ≤ ↑l

Context: hl' : l ≤ Fintype.card α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : l ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l

Context: hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)

Context: this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: k : ↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t✝ : Finset α

Context: P✝ : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h✝ : Nonempty α

Context: hε : 0 < ε

Context: l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊

Context: hl : 4 / ε ≤ ↑l

Context: hl' : l ≤ Fintype.card α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : l ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l

Context: hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)

Context: this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t


⋃ x ∈ univ, (fun x_1 => x • x_1) '' t = ⋃ a ∈ univ, a • t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j) = X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯))


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(-lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)


↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)


StronglyMeasurable (-↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f))


↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)


↑↑↑(-f) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n

xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ipos : 0 < i

Context: hin : i ≤ n

Context: j4n : j ≤ 4 * n

Context: h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: i2n : i ≤ 2 * n

Context: j2n : 2 * n < j

Context: j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n

Context: t : xn a1 (4 * n - (4 * n - j)) ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x4n_sub a1 j42n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x

μ s ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)


μ s ≤ ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ


AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
x✝ : IsUnit q
v : αˣ
hv : ↑v = q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q

∀ (a b : α), p * ↑u ∣ a * b → p * ↑u ∣ a ∨ p * ↑u ∣ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: this : IsIso (pullback.snd f.base g.base)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: this✝ : IsIso (pullback.snd f.base g.base)

Context: this : IsIso (pullback.snd f g).base


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : Finset α → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)

Context: s : Finset α

Context: ihs : ∀ t ⊂ s, p t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: H : s.Nonempty

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : Finset α → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: ihs : ∀ t ⊂ ∅, p t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : Finset α → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: s : Finset α

Context: ihs : ∀ t ⊂ s, p t

Context: hne : s.Nonempty


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x

1 + x + x ^ 2 / 2 = ∑ i ∈ range 3, x ^ i / ↑i !


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Involutive f
hne : f ≠ id
H : f^[n] = id
hn : Odd n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' x✝ : D

adj.unit.app (G.obj x✝) ≫ G.map (adj.counit.app x✝) = 𝟙 (G.obj x✝)


adj.counit.app x✝ = F.map (𝟙 (G.obj x✝)) ≫ adj.counit.app x✝


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R

↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Submonoid.closure s))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ

∑ s : Finset α, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1


∑ i ∈ range (univ.card + 1), ∑ x ∈ powersetCard i univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: this : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

∑ x ∈ range (card α + 1), ↑(card α) * (↑((card α).choose x) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

↑(card α) * ∑ i ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose i) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i)) = ↑(card α) * ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))

Context: this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

∑ x ∈ range (card α + 1), (↑(card α) - ↑x)⁻¹ = ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹ ∨ card α = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: a : ℕ

Context: ha : a ∈ range (card α + 1)

(↑(card α) - ↑a)⁻¹ = (↑(card α + 1 - 1 - a))⁻¹


Context:
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g

OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑f


OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => c * x) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 < y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
val✝ : Invertible (Q m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: m : M

Context: h : IsUnit (Q m)

Context: val✝ : Invertible (Q m)

Context: this : Invertible ((ι Q) m) := invertibleιOfInvertible Q m


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

ShortComplex.mk ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₁) ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).hom.app T.obj₃) ≫ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = (F.shift n₁).map (-(shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁) ≫ 𝟙 ((F.shift n₁).obj T.obj₁)


Context:
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive


Context:
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ PInfty.f i) ≫ K[X].d i j = ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ PInfty.f j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

(s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (s.N n) ≫ ((s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n


s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))


s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = (𝟙 (K[X].X i) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))


s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = ((∑ A : IndexSet (op [i]), s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [i])).inj A) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ IndexSet.id (op [i]) → ((s.πSummand b ≫ (s.cofan (op [i])).inj b) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0


IndexSet.id (op [i]) ∉ Finset.univ → ((s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i]))) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0


s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ 𝟙 (s.N n)


({ f := { f := fun n => (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n, comm' := ⋯ }, comm := ⋯ } ≫ { f := { f := fun n => s.πSummand (IndexSet.id (op [n])), comm' := ⋯ }, comm := ⋯ }).f.f n = (𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj s.nondegComplex)).f.f n


𝟙 (summand s.N (op [n]) (IndexSet.id (op [n]))) = (𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj s.nondegComplex)).f.f n


({ f := { f := fun n => s.πSummand (IndexSet.id (op [n])), comm' := ⋯ }, comm := ⋯ } ≫ { f := { f := fun n => (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n, comm' := ⋯ }, comm := ⋯ }).f.f n = (𝟙 (N₁.obj X)).f.f n


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ × ℕ

Context: ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)

Context: f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ × ℕ

Context: f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∀ (p : Finset σ × σ), p ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ p.1 ∈ powersetCard a.1 univ ∧ p.2 ∈ univ


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ × ℕ

Context: f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∀ (p : Finset σ × σ), p.1.card = a.1 → p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ × ℕ

Context: f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

Context: p : Finset σ × σ

Context: hp : p.1.card = a.1

p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: a : ℕ × ℕ

Context: f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

Context: p : Finset σ × σ

Context: hp : p.1.card = a.1

Context: this : p.1.card ≤ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Countable ι'
x : ι' → Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop, p x

∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: p : α × β → Prop

Context: hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop ×ˢ atTop, p x


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
f : R →ₗ[R] M
y : R
hy : y ∈ ↑I


y • f 1 ∈ I • ⊤


Context:
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x : FreeCommRing α


Context:
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x✝ x y : FreeCommRing α
ihx : (lift (⇑f ∘ of)) x = f x
ihy : (lift (⇑f ∘ of)) y = f y


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
a : Set α
h : d.Has aᶜ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
t s : Set A
h : t ⊆ s
hx : AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α →ₛ β


Context:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)


Context:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)

∀ (i_1 : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i_1) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' ↑U))


Context:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J


IsOpen (⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' ↑U))


Context:
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)


↑I ⊓ ↑J ≤ ⊥ ↔ ↑I ∩ ↑J ⊆ ↑⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t : Set α

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s = μ₂ s


Context:
K : Type u
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R K[X]
inst✝ : IsScalarTower R K[X] K[X]
c : R
p q : K[X]

(algebraMap K[X] (RatFunc K)) (c • p) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = c • ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q)


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a✝ b✝ c a b : ℍ[R]

normSq (a + b) = normSq a + (a * star b).re + ((b * star a).re + normSq b)


normSq a + normSq b + ((a * star b).re + (b * star a).re) = normSq a + normSq b + 2 * (a * star b).re


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : h ∈ Ioi 0

‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : 0 < h


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : 0 < h

Context: xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : 0 < h

Context: g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w

Context: g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w

Context: hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w

Context: g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : 0 < h

Context: g'_bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖g' t‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

Context: h : ℝ

Context: hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

Context: h_lt_1 : h < 1

Context: hpos : 0 < h

Context: I : ‖g 1 - g 0‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x ≤ y

z ∈ Icc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s

∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t


(t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s ⊆ s


((t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s).Countable


Dense ((t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s)


∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s


∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s

sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
hst : tᶜ ∈ f

sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
hst : tᶜ ∈ f
ht : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ 𝓝 x

sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible

∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : ι → R

Context: h : abv.IsAdmissible

Context: n : ℕ

Context: e : ι ≃ Fin n

Context: t : Fin n → Fin (h.card ε)

Context: ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(abv ((A ∘ ⇑e.symm) i₁ % b - (A ∘ ⇑e.symm) i₀ % b)) < abv b • ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: A : ι → R

Context: h✝ : abv.IsAdmissible

Context: n : ℕ

Context: e : ι ≃ Fin n

Context: t : Fin n → Fin (h✝.card ε)

Context: i₀ i₁ : ι

Context: h : (t ∘ ⇑e) i₀ = (t ∘ ⇑e) i₁

↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M


∀ (i : ℕ), (M.mk x.dest).approx i = x.approx i


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: x : F.M

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n

Context: hd : F.A

Context: h' : hd = head' (x.approx 1)

Context: ch : F.B (head' (x.approx 1)) → CofixA F n

Context: h : x.approx n.succ = CofixA.intro (head' (x.approx 1)) ch

Context: a : F.B (head' (x.approx 1))

Context: a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))

Context: hh : cast ⋯ a = a''


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: x : F.M

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n

Context: hd : F.A

Context: h' : hd = head' (x.approx 1)

Context: a : F.B (head' (x.approx 1))

Context: a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))

Context: hh : HEq a a''


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
e : r ≃r s
x : α
y : β


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P

Context: g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P

Context: H : (mk R M N).compr₂ g = (mk R M N).compr₂ h


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

↑k * esymm σ R k = (-1) ^ k * ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s

LocallyIntegrableOn f s μ ↔ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: hs : IsClosed s ∨ IsOpen s

Context: hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
f : C(X, R)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : ¬Disjoint s v


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : (s ∩ v).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : (s ∩ v).Nonempty
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : x ∈ u ∩ v


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : 1 / a ≠ 0
ha : a = 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : 0 ≠ 0
ha : a = 0


Context:
α : Type u_1
n : Num


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set ↑s
ht : IsOpen t
hs : IsOpen s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s')

IsOpen (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P : Finpartition a

Context: Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

(P.bind Q).parts.card = ∑ A ∈ P.parts.attach, (Q ↑A ⋯).parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b c : α

Context: P : Finpartition a

∀ x ∈ P.parts.attach, ∀ y ∈ P.parts.attach, x ≠ y → Disjoint (Q ↑x ⋯).parts (Q ↑y ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: P : Finpartition a

Context: b : α

Context: hb : b ∈ P.parts

Context: c : α

Context: hc : c ∈ P.parts

Context: hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩

Disjoint (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: P : Finpartition a

Context: b : α

Context: hb : b ∈ P.parts

Context: c : α

Context: hc : c ∈ P.parts

Context: hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩

∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts → a_1 ∉ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: P : Finpartition a

Context: b : α

Context: hb : b ∈ P.parts

Context: c : α

Context: hc : c ∈ P.parts

Context: hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩

Context: d : α

Context: hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts

Context: hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: P : Finpartition a

Context: b : α

Context: hb : b ∈ P.parts

Context: c : α

Context: hc : c ∈ P.parts

Context: hbc : ¬b = c

Context: d : α

Context: hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts

Context: hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
Z✝ : C
g h : Y ⟶ Z✝
w : f ≫ g = f ≫ h


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: se : SplitEpi f

Context: Z✝ : C

Context: g h : Y ⟶ Z✝

Context: w : se.section_ ≫ f ≫ g = se.section_ ≫ f ≫ h


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y

HolderOnWith C r f univ ↔ HolderWith C r f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ

_root_.Disjoint (range a) (map (addRightEmbedding a) (range b))


∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬x + a = a_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν


(μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᶠ[ae μ] (μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)))⁻¹ ∧ ν.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
inst✝ : DenselyOrdered α

Disjoint (Ioo a₁ a₂) (Ioo b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G'' : SimpleGraph X
s : Set V
t : Set W
r : Set X
φ : G →g G'
φst : Set.MapsTo (⇑φ) s t
ψ : G' →g G''
ψtr : Set.MapsTo (⇑ψ) t r
hi : Set.InjOn (⇑φ) s


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
ha4 : a % 4 = 0
hb2 : b % 2 = 1


Context:
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0


Context:
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0
this : (↑2).gcd ↑b = 1


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
h : 0 ≤ x

∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, exponentialPDF r y = ENNReal.ofReal (1 - rexp (-(r * x)))


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
h : ¬0 ≤ x

∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, exponentialPDF r y = ENNReal.ofReal 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


(∃ c, IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'


Context: m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α


(Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖diagonal v i j‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i : m


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
hij : j ≠ i


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ

Context: hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ

Context: hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ

Context: hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v

Context: hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v

Context: hW : CompleteSpace W


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x 0

Context: hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

∫ (x : E' × ℝ), (B (f (L.symm x))) (g' (L.symm x)) ∂ν = -∫ (x : E' × ℝ), (B (f' (L.symm x))) (g (L.symm x)) ∂ν


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L

Integrable (fun x => (B (f' (L.symm x))) (g (L.symm x))) ν


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L

Integrable (fun x => (B (f (L.symm x))) (g' (L.symm x))) ν


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L

Integrable (fun x => (B (f (L.symm x))) (g (L.symm x))) ν


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L

∀ (x : E' × ℝ), HasLineDerivAt ℝ (fun x => f (L.symm x)) (f' (L.symm x)) x (0, 1)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E → F

Context: g g' : E → G

Context: v : E

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hW : CompleteSpace W

Context: hv : v ≠ 0

Context: this : Nontrivial E

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ

Context: L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ

Context: hL : L v = (0, 1)

Context: ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ

Context: L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L

∀ (x : E' × ℝ), HasLineDerivAt ℝ (fun x => g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Ring C
f : A →+* B
f_inv : B → A
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : A →+* C
hg : ker f ≤ ker g
h : B →+* C
hh : h.comp f = g

h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨h.comp f, ⋯⟩


completedRiemannZeta₀ 1 = (↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2 + 1


Context: this : completedRiemannZeta 1 = completedRiemannZeta₀ 1 - 1 / 1 - 1 / (1 - 1)


Context: this : completedRiemannZeta 1 + 1 = completedRiemannZeta₀ 1


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p % 4 = 3
hq : q % 4 = 3


Context: p q : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime q)

Context: hp : p % 4 = 3

Context: hq : q % 4 = 3

Context: nop : ∀ {n : ℕ}, n % 4 = 3 → (-1) ^ (n / 2) = -1 := @neg_one_pow_div_two_of_three_mod_four


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ'₀

Context: v : AddValuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : AddValuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
l : List α


Context:
m n : Num
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℕ
e : ↑n = ↑m * k


Context:
m n : Num
x✝ : m ∣ n
k : Num
e : n = m * k


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctor C a).obj X = (shiftFunctor C (0 + a)).obj X


(shiftFunctorAdd C 0 a).inv.app X = (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ eqToHom ⋯


Context:
α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ l₁ l₂✝ : List α✝
a✝ : α✝
h : l₁ <+ l₂✝


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝
a✝ : α✝
h : l₁✝ <+ l₂✝

(a✝ :: l₁✝).reverse <+ (a✝ :: l₂✝).reverse


l₁✝.reverse ++ [a✝] <+ l₂✝.reverse ++ [a✝]


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
z x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α → ℕ
p : Poly α
ps : List (Poly α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
hk : 1 < k

IsReduced R ↔ ∀ (x : R), x ^ k = 0 → x = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative
hg : g ^ k ∈ ↑P


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
k : ℕ
g₀ : G
h✝ : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P
this : (↑P).IsCommutative
hg : g ^ k ∈ ↑P
n : G
hn : n ∈ (↑P).normalizer
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ = n⁻¹ * g ^ k * n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ↔ ¬AntivaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
η : Type x
inst✝ : Semiring R
s : ι → η
r : R
f : ι → R

{ toFun := fun f => extend s f 0, map_add' := ⋯ }.toFun (r • f) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun f => extend s f 0, map_add' := ⋯ }.toFun f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Group.rank ↥(commutator G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)


Group.rank ↥(Subgroup.closure (commutatorSet G)) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ✝ σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle

(fun τ => τ⁻¹.cycleType = τ.cycleType) σ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ✝ σ τ : Perm α

Context: hστ : σ.Disjoint τ

Context: x✝ : σ.IsCycle

Context: hσ : (fun τ => τ⁻¹.cycleType = τ.cycleType) σ

Context: hτ : (fun τ => τ⁻¹.cycleType = τ.cycleType) τ

(fun τ => τ⁻¹.cycleType = τ.cycleType) (σ * τ)


Context:
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s

∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ t.sum = 0


Context:
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset (ZMod n)
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
t : Finset (ZMod n × ℕ)
hts : t ⊆ s.toEnumFinset
ht : t.card = n ∧ ∑ i ∈ t, i.1 = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
H : K.IsPrime
x y : R
h : x * y ∈ comap f K


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
g : γ → α

TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (comap g p')


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)

Context: g : γ → α

Tendsto (fun q => ((f ∘ g) q.2, (F q.1 ∘ g) q.2)) (p ×ˢ comap g p') (𝓤 β)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n α

Context: hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M

Context: this : (stdBasisMatrix i j 1 * M) i j = (M * stdBasisMatrix i j 1) i j


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0


Context:
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisionCommMonoid M
ψ : AddChar A M
x : A

ψ⁻¹ x = (ψ x)⁻¹


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯

Context: one : C 1 ⋯

Context: mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: one : C 1 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: one : C 1 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: i : ι

Context: x : M

Context: hx : x ∈ S i

(fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) x


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: one : C 1 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

(fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) 1


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: one : C 1 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: x y : M

(fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) x → (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) y → (fun m => ∃ (hm : m ∈ ⨆ i, S i), C m hm) (x * y)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
ha : 0 < a

Ioo 0 a = ((fun i => Inv.inv '' Ioi i) ∘ Inv.inv) a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hdeg : ↑n ≤ p.degree


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Supermartingale f ℱ μ


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last (n + 1)

a.succAbove b = last (n + 1) ↔ b = last n


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M✝ : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
b : ι → M✝
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M

∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: hdvd : ∀ (i : ι), a ∣ (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1

Context: ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1

Context: ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0

Context: M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)

Context: N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1

Context: ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0

Context: M'_le_M : M' ≤ M


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

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Context: M'_le_M : M' ≤ M

Context: N'_le_M' : N' ≤ M'


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

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Context: M✝ : Type u_3

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Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

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Context: M N : Submodule R O

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Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

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Context: a_zero : ¬a = 0

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Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

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Context: val✝ : Fintype ι

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Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

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Context: M✝ : Type u_3

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Context: b : ι → M✝

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Context: O : Type u_4

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Context: y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0

(∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

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Context: val✝ : Fintype ι

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Context: y'M : y' ∈ M

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Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

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Context: M'_le_M : M' ≤ M

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Context: n' : ℕ

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Context: hn'm' : n' ≤ m'

Context: bM' : Basis (Fin m') R ↥M'

∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

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Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

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Context: M'_le_M : M' ≤ M

Context: N'_le_M' : N' ≤ M'

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Context: bN' : Basis (Fin n') R ↥N'

Context: m' : ℕ

Context: hn'm' : n' ≤ m'

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Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

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Context: M'_le_M : M' ≤ M

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Context: n' : ℕ

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Context: hn'm' : n' ≤ m'

Context: bM' : Basis (Fin m') R ↥M'

∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = as' i • ↑(?neg.intro.intro.intro.refine_2.refine_1✝ (Fin.castLE ⋯ i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

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Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

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Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1

Context: ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0

Context: M'_le_M : M' ≤ M

Context: N'_le_M' : N' ≤ M'

Context: N'_le_N : N' ≤ N

Context: n' : ℕ

Context: bN' : Basis (Fin n') R ↥N'

Context: m' : ℕ

Context: hn'm' : n' ≤ m'

Context: bM' : Basis (Fin m') R ↥M'

Context: as : Fin n' → R

Context: h : ∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))

Context: i : Fin (n' + 1)

↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯) i) = Fin.cons a as i • ↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' ⋯) (Fin.castLE ⋯ i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

Context: c : ι → R

Context: val✝ : Fintype ι

Context: y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)

Context: y'M : y' ∈ M

Context: a_smul_y' : a • y' = y

Context: ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1

Context: ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0

Context: M'_le_M : M' ≤ M

Context: N'_le_M' : N' ≤ M'

Context: N'_le_N : N' ≤ N

Context: n' : ℕ

Context: bN' : Basis (Fin n') R ↥N'

Context: m' : ℕ

Context: hn'm' : n' ≤ m'

Context: bM' : Basis (Fin m') R ↥M'

Context: as : Fin n' → R

Context: i : Fin (n' + 1)

↑(Fin.cons ⟨y, yN⟩ (⇑(inclusion N'_le_N) ∘ ⇑bN') i) = Fin.cons a as i • ↑(Fin.cons ⟨y', y'M⟩ (⇑(inclusion M'_le_M) ∘ ⇑bM') (Fin.castLE ⋯ i))


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x y : L j

{ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x y : L j
i : ι

({ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆) i = ⁅{ toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑(of L j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆ i


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j : J
x : F.obj j

(colimitEquivQuot F) (colimit.ι F j x) = Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩