Tendsto (fun x => dist (Prod.map u u x).1 (Prod.map u u x).2) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p

(∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: this : ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i) ^ p) ≤ ↑(↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ s, s.erase a = t


Context:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }

(A * B).toBlock p q i k = (A.toBlock p ⊤ * B.toBlock ⊤ q) i k


∑ j : n, A (↑i) j * B j ↑k = ∑ x : { a // ⊤ a }, A ↑i ↑x * B ↑x ↑k


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h : x < y
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: g φ : α → ℝ≥0∞

Context: hφm : Measurable φ

Context: hφ_le : φ ≤ fun a => f a + g a

Context: hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: x : α

Context: this : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, IsCompact (closedBall x r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝

⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N

iSup p = LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)


iSup p ≤ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)


LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) ≤ iSup p


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α


IsClosed (⋂ i ∈ s, ⋂ i_1 ∈ s, {x | edist (x i) (x i_1) ≤ ↑K * edist i i_1})


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s

Continuous fun x_1 => edist (x_1 x) (x_1 y)


Context:
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0

∃ᶠ (p : ℕ) in atTop, Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]


Context:
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n : ℕ


Context:
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n p : ℕ
hp : Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α


Context:
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α

Context: x : α

Context: hbdd : BddAbove ∅

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup ∅)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)

Context: hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ

sInf (image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s

(map (fun i => X + C (r i)) s).prod.coeff k = (map r s).esymm (card s - k)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
z : ℤ
x : 𝕎 R


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r✝ : ℝ≥0∞

Context: n✝ : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : CPolynomialOn 𝕜 f s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℕ

Context: n : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p y r n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x y
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
a b : R
h : a * x + b * y = 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂

𝟙 (E.left.obj Y) ≫ E.left.map g₂.hom ≫ E.hom.app g₂.right = (E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right) ≫ F.map φ.right


E.left.map g₁.hom ≫ E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right


E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: inst✝¹ : HasColimits C

Context: inst✝ : PreservesColimits S

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: hf : Mono f

Context: q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right

Context: hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom

liftQuotient (projectQuotient (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: inst✝¹ : HasColimits C

Context: inst✝ : PreservesColimits S

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: hf : Mono f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: inst✝¹ : HasColimits C

Context: inst✝ : PreservesColimits S

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: hf : Mono f

?i.hom ≫ f = (homMk (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop hq).op


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V

e ∈ G.edgeSet \ (s \ {e | e.IsDiag}) ↔ e ∈ G.edgeSet \ s


e ∈ G.edgeSet → (e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

Summable fun i => ‖(-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i‖


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i) atTop (nhds (log (1 + z)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a✝ : α
a b : List α

a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : IsReduced K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: x y : ℕ × K

Context: x✝ : ∃ z, (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2

Context: z : ℕ

Context: H : (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2

(⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x.2) = (⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[x.1] y.2)


Context:
x y : ℝ
n : ℕ

log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p


Context: x y : ℝ

log ↑0 = (Nat.factorization 0).sum fun p t => ↑t * log ↑p


Context:
x y : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V

‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

(shiftAdd X i j).inv ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f)


(shiftFunctorAdd C i j).inv.app X ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f


Context:
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : HasCompactSupport f

Context: b : ℝ

Context: this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : HasCompactSupport f

Context: b : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b✝ l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : ContDiff ℝ 1 f

Context: h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0

Context: b : ℝ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: x : ↥(span R (range v))

Context: eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x

Context: this : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: x : ↥(span R (range v))

Context: eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x

Context: this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l

Context: this : ↑hv.totalEquiv l = x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: l : ι →₀ R

Context: x : ↥(span R (range v))

Context: eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x

Context: this : ↑hv.totalEquiv l = x

hv.repr x = hv.totalEquiv.symm (hv.totalEquiv l)


Context: a : ↥circle

LinearEquiv.det (rotation a).toLinearEquiv = 1


Context: C : Type ?u.25950

Context: inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type ?u.25982

Context: inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂

Context: F G : Quotient r ⥤ D

Context: τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G

natTransLift r τ.hom ≫ natTransLift r τ.inv = 𝟙 F


Context: C : Type ?u.25950

Context: r : HomRel C

Context: D : Type ?u.25982

Context: inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: F G : Quotient r ⥤ D

Context: τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G

natTransLift r τ.inv ≫ natTransLift r τ.hom = 𝟙 G


Context:
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
hrs : r < s


Context:
y : ℝ*
r s : ℝ
hys : y.IsSt s
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r


Context:
r s : ℝ
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r
g : ℕ → ℝ
hys : (ofSeq g).IsSt s


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r < s

Context: f : ℕ → ℝ

Context: hxr : Tendsto f (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hys : Tendsto g (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Nontrivial R
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
x : G

x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup ↔ x ∈ AddCommGroup.torsion G


(∃ n, n ≠ 0 ∧ n • x = 0) ↔ x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : (ofArrows Y f).arrows g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : ∃ i a, g = a ≫ f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ^ 2 ≤ ‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖


‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ≤ √‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖


‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖


sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1) ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖


∀ b ∈ (fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1, b ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) b‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖


‖b⋆ * (x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b))‖ ≤ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)


‖b⋆‖ * ‖x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b)‖ ≤ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)


BddAbove ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)


‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) b‖ = ‖x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b)‖


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ

f (x + Int.negSucc n • a) = f x + Int.negSucc n • b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
x : G
xs : List G

(x :: xs).prod⁻¹ = (map (fun x => x⁻¹) (x :: xs)).prod


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
s : Set X
hs : IsPreconnected s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
U : Set X := f ⁻¹' {f y}


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)


∀ (a : Unitization 𝕜 A), (splitMul 𝕜 A) a = 0 → a = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
r✝ : 𝕜
a✝ : A
hx : (splitMul 𝕜 A) (inl r✝ + ↑a✝) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)

Context: r✝ : 𝕜

Context: a✝ : A

Context: hx : (splitMul 𝕜 A) (inl r✝) + (splitMul 𝕜 A) ↑a✝ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)

Context: r✝ : 𝕜

Context: a✝ : A

Context: hx : r✝ = 0 ∧ (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) r✝ + (mul 𝕜 A) a✝ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)

Context: a✝ : A

Context: hx : (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) 0 + (mul 𝕜 A) a✝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
a✝ : A
hx : (mul 𝕜 A) a✝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h : Function.Injective ⇑(mul 𝕜 A)
a✝ : A
hx : (mul 𝕜 A) a✝ = (mul 𝕜 A) 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ([x-[𝕜]y] \ frontier s).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s \ interior s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s \ interior s

Context: x✝ : x ≠ y

fun ⦃a b⦄ => ([a-[𝕜]b] \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap a b) c ∈ interior s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s \ interior s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s \ interior s

Context: x✝ : x ≠ y

(⇑(lineMap x y) '' Icc 0 1 \ frontier s).Nonempty → ∃ c, (lineMap x y) c ∈ s \ frontier s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s \ interior s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s \ interior s

Context: x✝ : x ≠ y

Context: c : 𝕜

Context: hc : c ∈ Icc 0 1

Context: hcs : (lineMap x y) c ∉ frontier s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


↑g a✝ ≤ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X₁ ⟶ Y₁


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B B' : C
h : B ⟶ B'
hB : B ∈ i.essImage
hB' : B' ∈ i.essImage
f : A ⟶ B

(unitCompPartialBijective A hB') (f ≫ h) = (unitCompPartialBijective A hB) f ≫ h


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: f : F


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: f : A →+* B

Context: g : B →+* C

Context: h : (g.comp f).FiniteType

Context: x✝⁴ : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: x✝³ : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: x✝² : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: x✝¹ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C

Context: x✝ : Algebra.FiniteType A C := h


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: v v₁✝ v₂✝ : α →₀ M

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: v₁ v₂ : α →₀ M

Context: eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂

Context: a : α

Context: this : (mapDomain f v₁) (f a) = (mapDomain f v₂) (f a)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝ : CommMonoid C
n : ℕ
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ∀ (a : ZMod n), ψ a = 1 → a = 0
a : ZMod n
ha : a ≠ 0
hf : ψ.mulShift a = 1
h : (ψ.mulShift a) 1 = 1 1


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝ : CommMonoid C
n : ℕ
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ∀ (a : ZMod n), ψ a = 1 → a = 0
a : ZMod n
ha : a ≠ 0
hf : ψ.mulShift a = 1
h : ψ a = 1 1


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
x : L


Context:
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : NonPreadditiveAbelian C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : (CokernelCofork.ofπ σ ⋯).pt ⟶ Y

Context: hg : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ σ ⋯) ≫ g = prod.map f f ≫ σ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : NonPreadditiveAbelian C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : (CokernelCofork.ofπ σ ⋯).pt ⟶ Y


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
f : P → P₂
hf : Isometry f
p : P
g : V → V₂
hg : ∀ (v : V), g v = f (v +ᵥ p) -ᵥ f p


g = ⇑(vaddConst 𝕜 (f p)).symm ∘ f ∘ ⇑(vaddConst 𝕜 p)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ

List.take 0 (take n s) = take (min n 0) s


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
m : ℕ

List.take m (take 0 s) = take (min 0 m) s


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
m n : ℕ

List.take (m + 1) (take (n + 1) s) = take (min (n + 1) (m + 1)) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : ¬M ≤ 0

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)

eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hp : ¬p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hp : ¬p = 0

eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hp : ¬p = 0

Context: haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hp : ¬p = 0

(μ.restrict s) univ ^ p.toReal⁻¹ * ENNReal.ofReal M ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hp : ¬p = 0

μ s ^ p.toReal⁻¹ ≤ ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : λ ∣ x + 1


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : λ ∣ -x - 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : b ≤ a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: l : Filter α

Context: h : ∀ {s : Set α}, s ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ s ∈ f i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s t : Set α

Context: f : ι → Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: l : Filter α


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: f : MultilinearMap R M M₂

Context: m : (i : Fin n) → M i.succ

Context: c : R

Context: x : M 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
s t : Set α
f : α → E
a : α


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s

Module.rank R ↥(span R s) ≤ ↑s.toFinset.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1

∃ s, ∀ (t : Set α), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
φ : L.Formula α
v : α → ↥⊤

φ.Realize v ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v)


φ.Realize (⇑topEquiv ∘ v) ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
rlt : α → α → Prop
inst✝ : IsNonstrictStrictOrder α r rlt

x ∈ maximals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt x y → y ∉ s


Context:
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ✝
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ✝ R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : IsEmpty σ


Context:
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ✝ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ✝
s : σ✝ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ✝ R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R
a : σ →₀ ℕ


Context:
α : Type u_1
x✝ : Bool × ℕ
b : Bool
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: hv2 : ↑x / ↑z = 2 * ↑m * ↑n / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)

Context: hw2 : ↑y / ↑z = (↑m ^ 2 - ↑n ^ 2) / (↑m ^ 2 + ↑n ^ 2)

Context: H : (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1

Context: co : m.gcd n = 1

Context: pp : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: co : m.gcd n = 1

Context: hz : z ≠ 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : x.gcd y = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: hm2n2 : 0 < m ^ 2 + n ^ 2

Context: co : m.gcd n = 1

Context: hz : z ≠ 0

Context: h2 : y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ z = m ^ 2 + n ^ 2


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝ : Ω
hle : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝ ≤ f i a✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ X : SimplicialObject C

Context: X₀ : C

Context: f : X _[0] ⟶ X₀

Context: w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : [0] ⟶ i), X.map g₁.op ≫ f = X.map g₂.op ≫ f

Context: i j : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: g : i ⟶ j

X.map g ≫ X.map ([0].const (unop j) 0).op ≫ f = (X.map ([0].const (unop i) 0).op ≫ f) ≫ 𝟙 X₀


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ X : SimplicialObject C

Context: X₀ : C

Context: f : X _[0] ⟶ X₀

Context: i j : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: g : i ⟶ j

X.map g.unop.op ≫ X.map ([0].const (unop j) 0).op ≫ f = (X.map ([0].const (unop i) 0).op ≫ f) ≫ 𝟙 X₀


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₁ : σ₁
ab : Reaches f₁ a₁ b₁


Context:
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₂ : σ₂
b₁ : σ₁
aa : tr b₁ a₂
ab : Reaches f₁ b₁ b₁


Context: σ₁ : Type u_1

Context: σ₂ : Type u_2

Context: f₁ : σ₁ → Option σ₁

Context: f₂ : σ₂ → Option σ₂

Context: tr : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: H : Respects f₁ f₂ tr

Context: a₁ : σ₁

Context: a₂ : σ₂

Context: aa : tr a₁ a₂

Context: b₁ : σ₁

Context: ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁

Context: ab : TransGen (fun a b => b ∈ f₁ a) a₁ b₁


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
h : ‖f n‖ ≤ ‖g n‖


(if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖g n‖ / ↑n ^ s.re


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a : M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
b c : M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a c : M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
z₁ z₂ : M
hz₁ : z₁ ∈ center M
hz₂ : z₂ ∈ center M
a b : M


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α✝
inst✝¹ : Semiring β
a b : α✝
m n : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : Semiring α
x : α

(x ∈ Set.range fun x => 2 * x) ↔ x ∈ {a | Even a}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0

(p * q).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: aux1 : ∀ (n : ℕ), ↑n = ↑n

Context: aux2 : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: aux1 : ∀ (n : ℕ), ↑n = ↑n

(p * q).trailingDegree = ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M

lift.{u, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ max ℵ₀ (lift.{u, w} #↑s + lift.{w, u} #((i : ℕ) × L.Functions i))


lift.{max w u, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ max ℵ₀ (lift.{max w u, w} #↑s + lift.{w, u} #((i : ℕ) × L.Functions i))


max ℵ₀ #(↑s ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i) ≤ max ℵ₀ (lift.{max w u, w} #↑s + lift.{w, u} #((i : ℕ) × L.Functions i))


Context: M✝ : Type u_1

Context: N✝ : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: δ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: N : Type u_12

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : SMul M N

Context: h : ∀ (x : M) (y : N), x • 1 * y = x • y

Context: x : M

Context: y z : N


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: h : Continuous fun f => f (term I ho)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf₁ : ∀ (i : ι), Injective (f i)
hf₂ : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

(hammingNorm fun i => f i (x i)) = hammingNorm x


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioc (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Icc f g


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioc (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Icc (f i) (g i)


Context: n : ℤ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊔ t.truncatedSup a


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α✝ → β → β
op : α✝ → α✝ → α✝
inst✝³ : Monoid α✝
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α✝ β
α : Type u_6
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α✝ → β → β
op : α✝ → α✝ → α✝
inst✝³ : Monoid α✝
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α✝ β
α : Type u_6
inst✝ : CommMonoid α
a✝ : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑M.E

(M.restrictSubtype M.E).Base B ↔ M.Base ↑B


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T

(f.homMk' (𝟙 f.left)).left = (eqToHom ⋯).left


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E✝ : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E✝
E : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: h : H.IsComplement' K

Context: ϕ : ↥H × ↥K ≃ ↥K × ↥H := { toFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), invFun := fun x => (x.2⁻¹, x.1⁻¹), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: h : H.IsComplement' K

Context: ψ : G ≃ G := { toFun := fun g => g⁻¹, invFun := fun g => g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: h : H.IsComplement' K

(⇑ψ ∘ fun x => ↑x.1 * ↑x.2) = (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) ∘ ⇑ϕ


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A

discr A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P.det ^ 2 * discr A b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)

Context: g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))

Context: x : M

(if MDifferentiableWithinAt I I' f univ x then fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) else 0) = if MDifferentiableAt I I' f x then fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) else 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2


Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ≤ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

term I ho :: (↑l).tail = term I ho :: ↑l.Tail


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

LiouvilleWith p (↑n * x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
m n : ZNum


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.balance' x r).dual = r.dual.balance' x l.dual


(if l.size + r.size ≤ 1 then l.node' x r else if delta * l.size < r.size then l.rotateL x r else if delta * r.size < l.size then l.rotateR x r else l.node' x r).dual = if l.size + r.size ≤ 1 then r.dual.node' x l.dual else if delta * r.size < l.size then r.dual.rotateL x l.dual else if delta * l.size < r.size then r.dual.rotateR x l.dual else r.dual.node' x l.dual


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : ¬l.size + r.size ≤ 1
h_1 : delta * l.size < r.size
h_2 : delta * r.size < l.size

r.dual.rotateR x l.dual = r.dual.rotateL x l.dual


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0

⨍⁻ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤

Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))


Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ s)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U

((orthogonalProjection U).comp (T.comp U.subtypeL)).IsPositive


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : T.IsPositive

Context: U : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥U

Context: this : ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (adjoint (orthogonalProjection U)))).IsPositive


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : CommRing α
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
i k : n

f.mapMatrix M.adjugate i k = (f.mapMatrix M).adjugate i k


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : CommRing α

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Matrix n n R

Context: i k : n

Context: this : Pi.single i 1 = ⇑f ∘ Pi.single i 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
H : Symmetric R
H₁ : ∀ (x : α), x ∈ l → R x x
H₂ : Pairwise R l


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α

a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : a • s = s
b : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Ring R
i : V


↑(G.degree i) * 1 - ∑ u ∈ G.neighborFinset i, 1 = 0 i


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
f : X₁ ⊞ X₂ ⟶ Y₁ ⊞ Y₂

ofComponents (biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst) (biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd) (biprod.inr ≫ f ≫ biprod.fst) (biprod.inr ≫ f ≫ biprod.snd) = f


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ

derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥


Context: θ : Angle

θ.sign ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context: ι✝ : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: ι : Type u_6

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → ℝ → E

Context: h : ∀ i ∈ s, IntervalIntegrable (f i) μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, ∑ i ∈ s, f i x ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (x : ℝ) in a..b, f i x ∂μ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E

y ∈ ⊥ ↔ y ∈ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

HasSum (fun i => lp.single p i (↑f i)) f


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: this : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, lp.single p b (↑f b)) f < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, lp.single p b (↑f b)) f < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∀ (x : Finset α), dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal → dist (∑ b ∈ x, lp.single p b (↑f b)) f < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: hs : dist (∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal

dist (∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b)) f < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

dist (∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b)) f ^ p.toReal < ε ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: hs : dist (‖f‖ ^ p.toReal) (∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: hs : |‖f‖ ^ p.toReal - ∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal

‖∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b) - f‖ ^ p.toReal < ε ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: H : ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: hs : |‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal| < ε ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: this✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: this : |‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal| = ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i) - f‖ ^ p.toReal


Context:
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) '' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂✝ : Type u_13
N₃✝ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₂
inst✝⁶ : Module R M₃
N : Type u_17
N₂ : Type u_18
N₃ : Type u_19
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
e₁ : M ≃ₗ[R] N
e₂ : M₂ ≃ₗ[R] N₂
e₃ : M₃ ≃ₗ[R] N₃
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : N

((e₁.arrowCongr e₃) (g ∘ₗ f)) x✝ = ((e₂.arrowCongr e₃) g ∘ₗ (e₁.arrowCongr e₂) f) x✝


Context:
α : Type u_1
a : ℤ
ha : 0 < a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X

Setoid.IsPartition (Set.range fun a => orbit G a)


∀ (a : X), ∃ x ∈ Set.range fun x => orbit G x, a ∈ x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M


(∀ (x y : M), x = y) ↔ ∀ (x y : M), x = y


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C

IsBlock G B ↔ IsBlock G (Subtype.val '' B)


(∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) ↔ ∀ (g : G), g • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (g • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)


∀ (a : G), a • B = B ∨ Disjoint (a • B) B ↔ a • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (a • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C
g : G

g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B ↔ g • Subtype.val '' B = Subtype.val '' B ∨ Disjoint (g • Subtype.val '' B) (Subtype.val '' B)


(fun a => ↑a) '' (g • B) = (fun a => ↑a) '' B ∨ Disjoint (g • B) B ↔ ⇑C.inclusion '' (g • B) = ⇑C.inclusion '' B ∨ Disjoint (⇑C.inclusion '' (g • B)) (⇑C.inclusion '' B)


Disjoint (g • B) B ↔ Disjoint (⇑C.inclusion '' (g • B)) (⇑C.inclusion '' B)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

s.WSameSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


(y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), f i * g j + f j * g i ≤ f i * g i + f j * g j


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
a✝ : α


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t

finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: s t : Submodule K V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥t

Context: key : Module.rank K ↥(s ⊔ t) + Module.rank K ↥(s ⊓ t) = Module.rank K ↥s + Module.rank K ↥t


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: s t : Submodule K V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥t

Context: key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + ↑(finrank K ↥t)


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
h : x ≤ y
hx : IsSelfAdjoint x


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x y : R

Context: h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p

Context: hx : IsSelfAdjoint x


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x : R

Context: hx : IsSelfAdjoint x

Context: d : R

Context: hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x : R

Context: hx : IsSelfAdjoint x

Context: d : R


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x : R

Context: hx : IsSelfAdjoint x

Context: d : R

EqOn (⇑↑starAddEquiv) (⇑(AddMonoidHom.id R)) (range fun s => star s * s)


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
H : Subgroup G
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
F : C ⥤ Type u_1
j : C
x✝¹ x✝ : (i : C) ×' (i ⟶ j)
i : C
ij : i ⟶ j
k : C
kj : k ⟶ j

∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨i, ij⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z) ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) ⟨k, kj⟩) ((fun f => Set.range (F.map f.snd)) z)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
F : C ⥤ Type u_1
j : C
x✝¹ x✝ : (i : C) ×' (i ⟶ j)
i : C
ij : i ⟶ j
k : C
kj : k ⟶ j
l : C
li : l ⟶ i
lk : l ⟶ k
e : li ≫ ij = lk ≫ kj


Context: s : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α


Context:
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y


Context:
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
w : g ≫ f = h ≫ f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: sm : SplitMono f

Context: Z✝ : C

Context: g h : Z✝ ⟶ X

Context: w : (g ≫ f) ≫ sm.retraction = (h ≫ f) ≫ sm.retraction


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsProbabilityMeasure (P i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
x : G
m n : ℤ
h : x ^ n = 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N✝ : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝⁴ : Zero M

Context: inst✝³ : Zero M'

Context: inst✝² : CommMonoid N✝

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: N : Type u_16

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ N

Context: a : α

(if a ∈ f.support then f a else 0) = f a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N✝ : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝⁴ : Zero M

Context: inst✝³ : Zero M'

Context: inst✝² : CommMonoid N✝

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: N : Type u_16

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ N

Context: a : α


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
inst✝ : CommMonoid N
s t : Submonoid N
x : N


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ↑p ^ (-↑n) = ↑↑p ^ (-↑n)


↑(padicNorm p ↑k) ≤ ↑↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k


padicNorm p ↑k ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑(p ^ n) ∣ k


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

(fun x => c • x) ⁻¹' sphere x r = sphere (c⁻¹ • x) r


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s


Context:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s
h : ∀ (n : ℕ), IsNowhereDense (K n)


∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length

drop (take i (map length L)).sum (take (take (i + 1) (map length L)).sum L.join) = L[i]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g


⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F

Context: U U' : Set B

Context: hU : IsOpen U

Context: hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U

Context: h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U

Context: hU' : IsOpen U'

Context: hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'

Context: h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'

({ toFun := fun x => (x.1, (φ x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ x.1).symm x.2), source := U ×ˢ univ, target := U ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ { toFun := fun x => (x.1, (φ' x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ' x.1).symm x.2), source := U' ×ˢ univ, target := U' ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ }).target = (U ∩ U') ×ˢ univ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C


(h.add 0 n).inv.app X = (h.F n).map (h.zero.hom.app X) ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Category.{?u.318300, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.318304, u_2} D
inst✝¹¹ : Category.{?u.318308, u_3} E
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : HasShift D ℤ
inst✝⁸ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝⁶ : G.CommShift ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : F.Additive
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂
inst✝² : F₁.CommShift ℤ
inst✝¹ : F₂.CommShift ℤ
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ
T : Triangle C

(F₁.map T.mor₃ ≫ (F₁.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (e.hom.app T.obj₁) = e.hom.app T.obj₃ ≫ F₂.map T.mor₃ ≫ (F₂.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ 0 • f z) x


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b


succ ⋯.rank ≤ sup fun b_1 => succ ⋯.rank


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s

(fun x => (f x, g x)) x ∈ (f '' s) ×ˢ (g '' s)


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a

pmap f l H = map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach


pmap f l H = pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩ ⋯) l ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Surjective f
l : Filter β


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.Regular

Context: inst✝ : μ'.Regular

Context: A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.Regular

Context: inst✝ : μ'.Regular

Context: s : Set G

Context: _hs : MeasurableSet s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.Regular

Context: inst✝ : μ'.Regular

Context: s : Set G

Context: _hs : MeasurableSet s

⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ' U = ⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U


Context: R✝ S : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R'

Context: inst✝³ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S

Context: inst✝² : Algebra R✝ R'

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing

Context: x : R

Context: hx : IsNilpotent x


Context: R✝ S : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R'

Context: inst✝³ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S

Context: inst✝² : Algebra R✝ R'

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : R

Context: hx : IsNilpotent x

∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) x = 0


Context:
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
hx : IsNilpotent x
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
h : IsReduced (Localization.AtPrime J)

(algebraMap R (Localization.AtPrime J)) x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R

degreeOf n f = f.support.sup fun m => m n


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: a✝ : Ordinal.{u_3}

Context: α : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: a x : α

Context: x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y

Context: IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)

Context: o : Ordinal.{u_3}

Context: h : o < typein r x


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: a✝ : Ordinal.{u_3}

Context: α : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: a x : α

Context: x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y

Context: b : α

Context: h : typein r b < typein r x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

(ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r


((X + ↑k) * ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (X * (ascPochhammer ℕ k).comp (X + 1)).smeval r


((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)


((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)


(r + 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)


r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (↑↑k * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)


↑k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + ((ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: h : μ ∈ m

Context: this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: h : μ ∈ m

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]

(f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: f g : M[ι]

Context: to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring

∀ (f g : M[ι]), to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom = (AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

((((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

{ toFun := ⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv)), map_zero' := ⋯ } (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

(⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv))) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

to_hom (Finsupp.single xi xv * Finsupp.single yi yv) = to_hom (Finsupp.single xi xv) * to_hom (Finsupp.single yi yv)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

(DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) = toDirectSum (Finsupp.single xi xv) * toDirectSum (Finsupp.single yi yv)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

(DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) = (DirectSum.of (fun i => M) xi) xv * (DirectSum.of (fun i => M) yi) yv


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i


(Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = ↑x


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α n✝
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n✝ → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
x : Fin n → M

realize (Sum.elim v x) (t.subst (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr))) = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t


realize (fun a => realize (Sum.elim v x) (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr) a)) t = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] Q

(rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) x = (rTensorHomToHomRTensor R M P Q) x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z✝ T : C

Context: n : ℕ

Context: α : Ext X Y n

Context: Z : C

Context: m p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 1


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁷ : DecidableEq n✝
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
R : Type v
inst✝³ : CommRing R
n : Type u_3
inst✝² : Unique n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R


Context:
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
n : ℕ

f.reverse.coeff n = f.coeff ((revAt f.natDegree) n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]


Context: T : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} T

Context: X✝ X : T

Context: U V : Over X

Context: f g : U ⟶ V

Context: left✝¹ : U.left ⟶ V.left

Context: b : U.right ⟶ V.right

Context: w✝¹ : (𝟭 T).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map b

Context: left✝ : U.left ⟶ V.left

Context: e : U.right ⟶ V.right

Context: w✝ : (𝟭 T).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map e

Context: h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.left = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.left


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R

eval 0 (A + X • M.map ⇑C).det = eval 0 A.det


(eval 0 (matPolyEquiv A) + eval 0 (matPolyEquiv ((algebraMap R[X] (Matrix n n R[X])) X) * matPolyEquiv (M.map ⇑C))).det = (eval 0 (matPolyEquiv A)).det


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝² : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a : 𝕜

Context: inst✝¹ : Archimedean 𝕜

Context: x✝ : AddCircle p

Context: hx✝ : x✝ ≠ ↑a

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ Ioo a (a + p)

Context: hx' : ↑x ∈ {↑a}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝² : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a : 𝕜

Context: inst✝¹ : Archimedean 𝕜

Context: x✝ : AddCircle p

Context: hx✝ : x✝ ≠ ↑a

Context: x : AddCircle p

Context: hx : x ∈ {↑a}ᶜ

(fun x => ↑((equivIco p a) x)) x ∈ Ioo a (a + p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝² : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a : 𝕜

Context: inst✝¹ : Archimedean 𝕜

Context: x : AddCircle p

Context: hx : x ≠ ↑a

ContinuousOn { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ι → Set α

Context: hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (Accumulate f)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : ι → Set α

μ (⋃ x, Accumulate f x) = ⨆ i, μ (Accumulate f i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)

i.pi s \ i.pi t ⊆ ⋃ a ∈ i, eval a ⁻¹' (s a \ t a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: π : α → Type u_11

Context: i : Set α

Context: s t : (a : α) → Set (π a)

Context: x : (i : α) → π i

Context: hx : x ∈ i.pi s \ ⋃ a ∈ i, eval a ⁻¹' (s a \ t a)

Context: a : α

Context: ha : a ∈ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: π : α → Type u_11

Context: i : Set α

Context: s t : (a : α) → Set (π a)

Context: x : (i : α) → π i

Context: a : α

Context: ha : a ∈ i

Context: hx : (∀ i_1 ∈ i, x i_1 ∈ s i_1) ∧ ∀ x_1 ∈ i, eval x_1 x ∈ s x_1 → eval x_1 x ∈ t x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν

(sum fun n => μ.restrict (disjointed (spanningSets ν) n)) = μ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N

(additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f = (biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).inv


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x y : α

(x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' s → (x, y) ∈ idRel


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R

(rename f) ((expand p) φ) = (expand p) ((rename f) φ)


Context:
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
h : n / d * d = n