Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)

Context: hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))

Context: heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

(F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x) = (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

∀ (x_1 : ↥(V x ⊓ V y)), (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

Context: z : ↥(V x ⊓ V y)

(F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

Context: z : ↥(V x ⊓ V y)

((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = ((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

Context: z : ↥(V x ⊓ V y)

(germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = (germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

Context: z : ↥(V x ⊓ V y)

(G.val.map ((iVU x).op ≫ ((V x).infLELeft (V y)).op) ≫ germ G.val z) t = (G.val.map ((iVU y).op ≫ ((V x).infLERight (V y)).op) ≫ germ G.val z) t


Context: θ : ℝ

(↑θ).toReal = θ + 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc (-3 * π) (-π)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β

x.getRight?.isSome = true ↔ x.isRight = true


(∃ a, x.getRight? = some a) ↔ ∃ y, x = inr y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.unop

Context: m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : J), (coconeUnopOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.unop

Context: m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: j : Jᵒᵖ

(m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop


Context: α : Type u_1

Context: α₁ : Type u_2

Context: α₂ : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: β₁ : α₁ → Type u_5

Context: β₂ : α₂ → Type u_6

Context: f₁ : α₁ → α₂

Context: f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)

Context: h₁ : Injective f₁

Context: h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)

Context: i : α₁

Context: x : β₁ i

Context: j : α₁

Context: y : β₁ j

Context: h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨j, y⟩


Context: α : Type u_1

Context: α₁ : Type u_2

Context: α₂ : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: β₁ : α₁ → Type u_5

Context: β₂ : α₂ → Type u_6

Context: f₁ : α₁ → α₂

Context: f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)

Context: h₁ : Injective f₁

Context: h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)

Context: i : α₁

Context: x y : β₁ i

Context: h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, y⟩


Context: α : Type u_1

Context: α₁ : Type u_2

Context: α₂ : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: β₁ : α₁ → Type u_5

Context: β₂ : α₂ → Type u_6

Context: f₁ : α₁ → α₂

Context: f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)

Context: h₁ : Injective f₁

Context: h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)

Context: i : α₁

Context: x : β₁ i

Context: h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

cfc (fun x => Real.exp (Real.log x)) a = a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

cfc (fun x => Real.exp (Real.log x)) a = cfc id a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)

comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) ≤ Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I ≤ comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n e e' : α
h : n * e = e'
h2 : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → δ → α

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)

Measurable fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → δ → α

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)

Context: this : Countable ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → δ → α

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)

Context: this : Countable ↑s

(fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)) = fun b => ⨆ i, f (↑i) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → δ → α

Context: s : Set ι

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)

Context: this : Countable ↑s

Context: b : δ

(fun i => f i b) '' s = range fun i => f (↑i) b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤
b : α

∃ s, CompleteLattice.SetIndependent s ∧ IsCompl b (sSup s) ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → IsAtom a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: this : ∃ m ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, m ⊆ a → a = m


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: c : Set (Set α)

Context: hc1 : c ⊆ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}

Context: hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: s_max : ∀ a ∈ {s | CompleteLattice.SetIndependent s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a}, s ⊆ a → a = s

Context: s_ind : CompleteLattice.SetIndependent s

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

∀ b_1 ∈ {a | IsAtom a}, b_1 ≤ b ⊔ sSup s


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | IsAtom a}


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | IsAtom a}

Context: con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | IsAtom a}

Context: con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | IsAtom a}

Context: con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)

Context: a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: h : sSup {a | IsAtom a} = ⊤

Context: b : α

Context: s : Set α

Context: b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)

Context: s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | IsAtom a}

Context: con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)

Context: a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)

∀ x ∈ s ∪ {a}, Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ

range (circleMap c R) = c +ᵥ R • range fun θ => cexp (↑θ * I)


(c +ᵥ R • range fun θ => cexp (↑θ * I)) = sphere c |R|


c +ᵥ sphere (R • 0) (‖R‖ * 1) = sphere c |R|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: Cf : ContinuousAt f (sSup s)

Context: Mf : Monotone f

Context: ne : s.Nonempty

Context: H : BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: Cf : ContinuousAt f (sSup s)

Context: Mf : Monotone f

Context: ne : s.Nonempty

Context: H : BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: Cf : ContinuousAt f (sSup s)

Context: Mf : Monotone f

Context: ne : s.Nonempty

Context: H : BddAbove s

Tendsto f (𝓝[s] sSup s) (𝓝 (f (sSup s)))


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b * c


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y

Context: hgg' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y

Context: hg' : ∃ v ∈ atTop, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atTop

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atTop

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atTop

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atTop

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atTop

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atTop

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : s ∈ atTop


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atTop

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atTop

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atTop

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: hs : ∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l✝ : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l✝

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atTop

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atTop

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atTop

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: l : ℝ

Context: hl : ∀ b ≥ l, b ∈ s


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l✝ : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: s₁ : Set ℝ

Context: hs₁ : s₁ ∈ atTop

Context: hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y

Context: s₂ : Set ℝ

Context: hs₂ : s₂ ∈ atTop

Context: hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y

Context: s₃ : Set ℝ

Context: hs₃ : s₃ ∈ atTop

Context: hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0

Context: s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

Context: l : ℝ

Context: hl : ∀ b ≥ l, b ∈ s

Context: hl' : Ioi l ⊆ s


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph

H.Connected ↔ H.verts.Nonempty ∧ ∀ {u v : V}, u ∈ H.verts → v ∈ H.verts → ∃ p, p.toSubgraph ≤ H


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m - x)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
ι : Sort u_1
U : ι → Submodule R M

⨆ i, (U i).dualAnnihilator ≤ (⨅ i, U i).dualAnnihilator


⨅ i, U i ≤ ⨅ i, (U i).dualAnnihilator.dualCoannihilator


∀ (i : ι), U i ≤ (U i).dualAnnihilator.dualCoannihilator


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

((curry (map f (r • g))) x✝¹) x✝ = ((curry (r • map f g)) x✝¹) x✝


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.CliqueFree (r + 1) ∧ ∀ (H : SimpleGraph V) [inst : DecidableRel H.Adj], H.CliqueFree (r + 1) → H.edgeFinset.card ≤ G.edgeFinset.card

Context: hn : ¬G.Adj s t


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hn : ¬G.Adj s t
h : G.degree s ≠ G.degree t

G.CliqueFree (r + 1) → ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G✝.Adj
n r : ℕ
s✝ t✝ u : V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
h : G.degree s ≠ G.degree t
cf : G.CliqueFree (r + 1)
hd : G.degree t < G.degree s

∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G✝ : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G✝.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s✝ t✝ u : V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : V

Context: hn : ¬G.Adj s t

Context: h : G.degree s ≠ G.degree t

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: hd : G.degree t < G.degree s

Context: this : (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
k : Type u_2
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
h : IsConj φ σ
x : k

(star (φ.comp (algebraMap k K))) x = (φ.comp (algebraMap k K)) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : Epi f

Context: Z : D

Context: g h : F.obj Y ⟶ Z

Context: H : (adj.homEquiv X Z) (F.map f ≫ g) = (adj.homEquiv X Z) (F.map f ≫ h)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → ProbabilityMeasure Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
lim : Tendsto νs L (𝓝 ν)
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f

Tendsto (fun i => (νs i).map ⋯) L (𝓝 (ν.map ⋯))


Context: Ω : Type u_1

Context: Ω' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'

Context: inst✝ : BorelSpace Ω'

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: νs : ι → ProbabilityMeasure Ω

Context: ν : ProbabilityMeasure Ω

Context: lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(νs i)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν))

Context: f : Ω → Ω'

Context: f_cont : Continuous f

∀ (f_1 : Ω' →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω'), ↑(f_1 ω) ∂↑((νs i).map ⋯)) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω'), ↑(f_1 ω) ∂↑(ν.map ⋯)))


Context:
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M

x ∈ span R (insert y s) ↔ ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ϕ ⟨x, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = ϕ ⟨x, ⋯⟩


Context:
T : Type u
inst✝² : Category.{v, u} T
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Arrow C
f : X✝ ⟶ Y✝

(𝟭 D).map (F.map f.left) ≫ ((fun a => { left := F.obj a.left, right := F.obj a.right, hom := F.map a.hom }) Y✝).hom = ((fun a => { left := F.obj a.left, right := F.obj a.right, hom := F.map a.hom }) X✝).hom ≫ (𝟭 D).map (F.map f.right)


Context: T : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} T

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : Arrow C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: w : (𝟭 C).map f.left ≫ Y✝.hom = X✝.hom ≫ (𝟭 C).map f.right := f.w


Context: T : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} T

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : Arrow C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: w : f.left ≫ Y✝.hom = X✝.hom ≫ f.right := f.w


Context: T : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} T

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : Arrow C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.left ≫ F.map Y✝.hom = F.map X✝.hom ≫ F.map f.right


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: x✝ : f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : f = swap x y

Context: h : ¬s (swap x y) = -1

Context: this : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: x✝ : f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : f = swap x y

Context: h : ¬s (swap x y) = -1

Context: g : Perm α

Context: hg : s g = -1

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: x✝ : f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : f = swap x y

Context: h : ¬s (swap x y) = -1

Context: this✝ : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1

Context: g : Perm α

Context: hg : s g = -1

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: this : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: x✝ : f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : f = swap x y

Context: h : ¬s (swap x y) = -1

Context: this✝¹ : ∀ (f : Perm α), f.IsSwap → s f = 1

Context: g : Perm α

Context: hg : s g = -1

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: this✝ : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1

Context: this : s l.prod = 1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: x✝ : f.IsSwap

Context: x y : α

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : f = swap x y

Context: h : ¬s (swap x y) = -1

Context: g : Perm α

Context: hg : s g = -1

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : l.prod = g ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: this✝ : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = 1

Context: this : -1 = 1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: this : ∀ {f : Perm α}, f.IsSwap → s f = -1

Context: f : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl₁ : l.prod = f

Context: hl₂ : ∀ g ∈ l, g.IsSwap


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Perm α →* ℤˣ

Context: hs : Surjective ⇑s

Context: f : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl₁ : l.prod = f

Context: hl₂ : ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: hsl : ∀ a ∈ List.map (⇑s) l, a = -1


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2

HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2

Context: h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |↑i| ^ s.re


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2

Context: n : ℤ

(s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * c n * ↑(SignType.sign ↑n) / ↑|↑n| ^ s


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2

Context: n : ℤ

(s + 1).Gammaℝ * -I * ↑(SignType.sign n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * c n * ↑(SignType.sign n) / ↑|n| ^ s


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
z : ℂ

HasDerivAt (logTaylor (n + 1)) (∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j) z


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree (a • s)
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
h : b * d = c * c


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_nonneg : 0 ≤ r
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E

(N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ B ⊆ E


B ⊆ E → ((N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B))


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

⨆ μ, ⨆ k, (genEigenspace (LinearMap.restrict f h) μ) k = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: this : Submodule.comap p.subtype p = Submodule.comap p.subtype (⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k)


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: h_inj : Injective ⇑p.subtype


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: h_inj : Injective ⇑p.subtype

Context: this : ⊤ = ⨆ i, ⨆ i_1, (genEigenspace (LinearMap.restrict f h) i) i_1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι

(trace R S) ((algebraMap R S) x) = Fintype.card ι • x


∑ i : ι, ((toMatrix b b) ((lmul R S) ((algebraMap R S) x))).diag i = Fintype.card ι • x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

((toMatrix b b) ((lmul R S) ((algebraMap R S) x))).diag x✝ = x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : C ⥤ Type w
α : F₁ ⟶ F₂
t₁ t₂ : F₁.Elements
k : t₁ ⟶ t₂

F₂.map (↑k) ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₁).snd = ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₂).snd


Context: M₀ : Type u_1

Context: G₀ : Type u_2

Context: M₀' : Type u_3

Context: G₀' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Mul M₀

Context: inst✝³ : Zero M₀

Context: inst✝² : Mul M₀'

Context: inst✝¹ : Zero M₀'

Context: f : M₀ → M₀'

Context: hf : Injective f

Context: zero : f 0 = 0

Context: mul : ∀ (x y : M₀), f (x * y) = f x * f y

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M₀'

Context: a✝ b✝ c✝ : M₀

Context: Hne : a✝ ≠ 0

Context: He : a✝ * b✝ = a✝ * c✝

Context: this : f a✝ * f b✝ = f a✝ * f c✝


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j = i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hlb : lb.HasBasis pb sb

Tendsto f la lb ↔ ∀ (i : ι'), pb i → ∀ᶠ (x : α) in la, f x ∈ sb i


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E

convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) {c} = (convexHull 𝕜) {a, b, c}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I I' : Set β
h : I' ∈ R.rightFixedPoints
h₁ : I ≤ I'

R.leftDual (R.rightDual I) ≤ R.leftDual (R.rightDual I')


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s✝ t : Set M

Context: s : Set (Submodule R M)

Context: z : M

Context: hs : s.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s✝ t : Set M

Context: s : Set (Submodule R M)

Context: z : M

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
t : K
ht : t ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : Monoid R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : DistribMulAction R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : DistribMulAction R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝¹ : DistribMulAction R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₙₐ[R] B
g : A →⋆ₙₐ[R] C
x : A

__src✝.toFun (star x) = star (__src✝.toFun x)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)

Context: hfx : IsSeparable R pb.gen

Context: this : DecidableEq F := Classical.decEq F

(algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hfx : IsSeparable R pb.gen

((minpoly R pb.gen).aroots F).prod = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hfx : IsSeparable R pb.gen

((minpoly R pb.gen).aroots F).prod = ∏ x : { y // y ∈ (minpoly R pb.gen).aroots F }, ↑x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hfx : IsSeparable R pb.gen

∀ (x : S →ₐ[R] F), (fun σ => σ pb.gen) x = (fun x => ↑x) (pb.liftEquiv' x)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ ⨅ i₂, (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i₂})ᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ (⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i}))ᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: hu : ⋃ i, {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i} = (fun x => s.points i₁ -ᵥ x) '' (s.points '' (Set.univ \ {i₁}))


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: hv : p -ᵥ s.mongePoint ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
f : ℕ → M
n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: f : ℕ → M

Context: n x✝ : ℕ

Context: hd : (map f (range x✝.succ)).prod = f 0 * (map (fun i => f i.succ) (range x✝)).prod

(map f (range x✝.succ.succ)).prod = f 0 * (map (fun i => f i.succ) (range x✝.succ)).prod


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112708, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.H


leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.H


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian

(Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 0 ∨ (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 2


Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ).card = 2


Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ).card = 2


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u : V
p : G.Walk u u
ht : p.IsEulerian

Finset.filter (fun v => ¬u = u ∧ (¬v = u → v = u)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v => ¬u = u ∧ (¬v = u → v = u)) Finset.univ).card = 2


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
hn : u ≠ v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.tail.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length - 1


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0

dist ↑z ↑(w.center r) ^ 2 = 2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2


(z.re - w.re) ^ 2 + (z.im ^ 2 - 2 * z.im * (w.im * Real.cosh r) + w.im ^ 2 * (Real.sinh r ^ 2 + 1)) = (z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2 - 2 * z.im * w.im * Real.cosh r + w.im ^ 2 * Real.sinh r ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M✝ : Type u_4
N✝ : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : MulOneClass N
f : M →* N
s : Set α
g : α → M
x : α

f (s.mulIndicator g x) = s.mulIndicator (⇑f ∘ g) x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f✝ : ι → M₀
s✝ : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
s : Finset ι
f : ι → κ → M₀
x : κ

(x ∈ support fun j => ∏ i ∈ s, f i j) ↔ x ∈ ⋂ i ∈ s, support (f i)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω = i})


Context:
n m : ℕ
hnm : n < m

filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = [n]


Context:
n m : ℕ
hnm : n < m

filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥
hJ : derivedSeries R (↥↑J) l = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
hJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥

derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) = ⊥


derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J✝ : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: k l : ℕ

Context: I J : LieIdeal R L

Context: D : ℕ → LieIdeal R L → LieIdeal R L := derivedSeriesOfIdeal R L

Context: hI : D k I = ⊥

Context: hJ : D l J = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
hne : f x ≠ g x

ContDiffWithinAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) s x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K

∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: inst✝⁵ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R₁ K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: a_inv : R₁

Context: nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰

Context: ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)

Context: nonzero : a_inv ≠ 0

Context: map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: inst✝⁵ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R₁ K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: a_inv : R₁

Context: nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰

Context: ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)

Context: nonzero : a_inv ≠ 0

Context: x : K

x ∈ I → ∃ y' ∈ ↑(comap (Algebra.linearMap R₁ K) ↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a_inv) * I)), x = ((algebraMap R₁ K) a_inv)⁻¹ * y'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: inst✝⁵ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R₁ K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: a_inv : R₁

Context: nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰

Context: ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)

Context: nonzero : a_inv ≠ 0

Context: x : K

(∃ y' ∈ ↑(comap (Algebra.linearMap R₁ K) ↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a_inv) * I)), x = ((algebraMap R₁ K) a_inv)⁻¹ * y') → x ∈ I


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
f : CauSeq K norm
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ‖↑f j - ↑f i‖ < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

|(fun n => im (↑f n)) j - (fun n => im (↑f n)) i| ≤ ‖↑f j - ↑f i‖


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β


Context: n : ℤ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det

(A + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det


(A * 1 + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

mellin (fun t => f (t * a)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K✝ : Multicofork I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Multicofork I

∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) X ≫ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
x✝ : AEStronglyMeasurable g μ

(mk f hf + mk g x✝).lintegral = (mk f hf).lintegral + (mk g x✝).lintegral


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

update f i '' Ioo (f i) b = Ioo f (update f i b)


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'

F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ (η.naturality g).hom ▷ h = (η.naturality f).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this : s ⊆ insert a u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝ : s ⊆ insert a u

Context: this : t ⊆ insert a u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝¹ : s ⊆ insert a u

Context: this✝ : t ⊆ insert a u

Context: this : insert a s ⊆ insert a u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝² : s ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : t ⊆ insert a u

Context: this✝ : insert a s ⊆ insert a u

Context: this : insert a t ⊆ insert a u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝² : s ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : t ⊆ insert a u

Context: this✝ : insert a s ⊆ insert a u

Context: this : insert a t ⊆ insert a u

Context: has : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝² : s ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : t ⊆ insert a u

Context: this✝ : insert a s ⊆ insert a u

Context: this : insert a t ⊆ insert a u

Context: has : a ∉ s

Context: hat : a ∉ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝³ : s ⊆ insert a u

Context: this✝² : t ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : insert a s ⊆ insert a u

Context: this✝ : insert a t ⊆ insert a u

Context: has : a ∉ s

Context: hat : a ∉ t

Context: this : a ∉ s ∩ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝⁴ : s ⊆ insert a u

Context: this✝³ : t ⊆ insert a u

Context: this✝² : insert a s ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u

Context: has : a ∉ s

Context: hat : a ∉ t

Context: this✝ : a ∉ s ∩ t

Context: this : a ∉ s ∪ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝⁴ : s ⊆ insert a u

Context: this✝³ : t ⊆ insert a u

Context: this✝² : insert a s ⊆ insert a u

Context: this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u

Context: has : a ∉ s

Context: hat : a ∉ t

Context: this✝ : a ∉ s ∩ t

Context: this : a ∉ s ∪ t

((if s ∈ 𝒜 then f₁ s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f₁ (insert a s) else 0) * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < liminf u f
hb : b < liminf v f
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: ha : a < liminf u f

Context: hb : b < liminf v f

Context: ha' : a ≠ ⊤

Context: hb' : b ≠ ⊤

Context: h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: ha : limsup (-u) f < -a

Context: hb : limsup (-v) f < -b

Context: ha' : a ≠ ⊤

Context: hb' : b ≠ ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : r ≠ 0


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaEven₀ (-a) s = completedHurwitzZetaEven₀ a s


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List α
f : α → List β

(l.bind f).length = (map (length ∘ f) l).sum


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F G : J ⥤ C
j j' : J
f : j ⟶ j'

𝟙 (limit F ⊗ limit G) ≫ (limit.π F j' ⊗ limit.π G j') = (limit.π F j ⊗ limit.π G j) ≫ (F.map f ⊗ G.map f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝⁵ : Fintype α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
inst✝² : DecidableRel H.Adj
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
hn : n ≠ 1

↑((SimpleGraph.map f G).cliqueFinset n) = ↑(map { toFun := map f, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n))


Context:
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P


Context:
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
w : P
h : w ∈ ↑IF.F


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

x ^ orderOf x = (fun x_1 => x * x_1)^[minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1] 1


x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = (fun x_1 => x ^ minimalPeriod (fun x_2 => x * x_2) 1 * x_1) 1


x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 * 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R


(∀ (m : M), ∃ r ∈ Submonoid.powers 1, r • m = 0) ↔ ∀ (y : M), y = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G
hx : x ∈ ker f


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t

(graph t).cliqueFinset 3 = map toTriangle t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖

UniformContinuous fun g => (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) g ∘ f)


∀ i ∈ 𝔗, ∀ i_2 ∈ 𝓤 β, Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 i i_2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖
t : Set γ
ht : t ∈ 𝔗
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 (f '' t) V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 t V))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : Filter ((i : ι) → α i)

Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
i✝ : κ


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R✝

Context: r✝ : R✝

Context: f✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : R

Context: f g : R[X]

Context: h : (taylor (-r)) ((taylor r) f) = (taylor (-r)) ((taylor r) g)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₂
inst✝ : SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

(toMatrix v₁ (g • v₂)) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) i✝ j✝


((g • v₂).repr (f (v₁ j✝))) i✝ = (v₂.repr ((DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) (v₁ j✝))) i✝


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (a b : ℚ), a < b → upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤

Context: h₂ : liminf (fun n => ↑‖f n ω‖₊) atTop < ⊤

∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
this : Module.Free R S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
this✝ : Module.Free R S
this : Module.Finite R S


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
a : Solution₁ d

∃ b, 0 < b.x ∧ 0 ≤ b.y ∧ a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}


Context: α : Type u

Context: L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: x y : FreeGroup α

Context: g : FreeGroup α →* FreeGroup β

Context: hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = FreeGroup.of (f x)

Context: x✝ : FreeGroup α

Context: L : List (α × Bool)

g (Quot.mk Red.Step L) = (map f) (Quot.mk Red.Step L)


Context:
α : Type u
x y : FreeSemigroup α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i

(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • f) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) f


(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • 0) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) 0


∀ (i : ι) (b : M i) (f : Π₀ (i : ι), M i), f i = 0 → b ≠ 0 → (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • f) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) f → (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • (single i b + f)) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (single i b + f)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N

{ toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) = F


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
i : ι

{ toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) ∘ₗ lsingle i = F ∘ₗ lsingle i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F G : (i : ι) → M i →ₗ[R] N

(fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (F + G) = (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F + (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) G


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F G : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι

(fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (F + G) ∘ₗ lsingle i = ((fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F + (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) G) ∘ₗ lsingle i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
c : S
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N

{ toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • F) = (RingHom.id S) c • { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun F


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
c : S
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι

{ toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • F) ∘ₗ lsingle i = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun F) ∘ₗ lsingle i


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V₁
inst✝¹¹ : Module k V₁
inst✝¹⁰ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁹ : AddCommGroup V₂
inst✝⁸ : Module k V₂
inst✝⁷ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₃
inst✝⁵ : Module k V₃
inst✝⁴ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AffineSpace V₄ P₄
inst✝ : Invertible 2
x y : V₁
h : 2 • x = 2 • y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
x : E
hf✝ : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
left✝ : 0 < M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
e : E

‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) (e - x)‖


‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) e - (IsLinearMap.mk' f hf) x‖


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α


l.revzip.reverse.unzip.1.zip l.revzip.reverse.unzip.2 = l.reverse.revzip


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, image (fun a => f a b) s ⊆ u


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h4 : (comap K.subtype N).index = N.index


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

Context: h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

Context: H : Subgroup ↥K

Context: hH : (comap K.subtype N).IsComplement' H


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

Context: H : Subgroup ↥K

Context: hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

Context: H : Subgroup ↥K

Context: h7 : Nat.card ↥N * Nat.card ↥(map K.subtype H) = Nat.card G


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: K : Subgroup G

Context: hK : K ⊔ N = ⊤

Context: h3 : K ≠ ⊤

Context: h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

Context: H : Subgroup ↥K

Context: h8 : (Nat.card ↥N).Coprime (Nat.card ↥(map K.subtype H))


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η

Module.rank R (η → R) = ↑(Fintype.card η)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
m : OuterMeasure α

m ≤ μ.toOuterMeasure ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m s ≤ μ s


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

W.Ψ ↑n = C (W.preΨ' n) * if Even n then W.ψ₂ else 1


Context:
k✝ : Type u
inst✝³ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Field K
f : K →+* k
p : K[X]


Splits f p ↔ Splits (RingHom.id k) (map f p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₁ ∈ Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Icc a₂ b₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ b₂
hb : a₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : Flat R M
i : N →ₗ[R] M
r : M →ₗ[R] N
h : r ∘ₗ i = LinearMap.id


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor N (Submodule.subtype I))


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Function.Injective ⇑(rTensor N (Submodule.subtype I))


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)

Function.Injective ⇑(lTensor R i ∘ₗ rTensor N (Submodule.subtype I))


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)

Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I) ∘ₗ lTensor (↥I) i)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)

Function.RightInverse ⇑(lTensor (↥I) i) ⇑(lTensor (↥I) r)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)

Context: x : ↥I ⊗[R] N

(lTensor (↥I) r) ((lTensor (↥I) i) x) = x


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : N →ₗ[R] M

Context: r : M →ₗ[R] N

Context: h : r ∘ₗ i = LinearMap.id

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.FG

Context: h₁ : Function.Injective ⇑(lTensor R i)

Context: x : ↥I ⊗[R] N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


⋃ a, {Ioi ↑a} = Ioi '' (Rat.cast '' univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, {Ioi ↑a} ↔ x ∈ Ioi '' (Rat.cast '' univ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a
x✝ : α


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t✝ t : Set ((i : ι) → α i)

t ∈ measurableCylinders α ↔ ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = cylinder s S


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.94604, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.94611, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.94618, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.94670, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A

Context: i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: this : ∀ (X : Dᵒᵖ), IsIso ((sheafHom i.hom).app X)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.94604, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.94611, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.94618, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.94670, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A

Context: i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: this✝ : ∀ (X : Dᵒᵖ), IsIso ((sheafHom i.hom).app X)

Context: this : IsIso (sheafHom i.hom)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Finmap β

(keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝)).keys = (↑(keysLookupEquiv x✝)).1


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: J : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)

Context: inst✝¹ : Nonempty J

Context: inst✝ : Finite ↑F.sections

Context: this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)

Context: this : Fintype ↑F.sections

∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)


Context: J : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝¹ : Nonempty J

Context: inst✝ : Finite ↑F.sections

Context: this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)

Context: this : Fintype ↑F.sections

Context: card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections


Context: J : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝¹ : Nonempty J

Context: inst✝ : Finite ↑F.sections

Context: this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)

Context: this : Fintype ↑F.sections

Context: fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)


Context: J : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝¹ : Nonempty J

Context: inst✝ : Finite ↑F.sections

Context: this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)

Context: this : Fintype ↑F.sections

Context: i : J

Context: f : i ⟶ Function.argmin fn ⋯

Fintype.card (F.obj i) ≤ Fintype.card (F.obj (Function.argmin fn ⋯))


Context: J : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j k : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: inst✝¹ : Nonempty J

Context: inst✝ : Finite ↑F.sections

Context: this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)

Context: this : Fintype ↑F.sections

Context: i : J

Context: f : i ⟶ Function.argmin fn ⋯

Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj (Function.argmin fn ⋯)) ≤ Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj i)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
H : D ⥤ E
X Y : C
f : X ⟶ Y

H.map (X✝.map f) ≫ H.map (τ.app Y) = H.map (τ.app X) ≫ H.map (Y✝.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : D ⥤ E
f : X ⟶ Y
x✝ : C

f.app (X✝.obj x✝) ≫ Y.map (τ.app x✝) = X.map (τ.app x✝) ≫ f.app (Y✝.obj x✝)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y


Context:
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ


Continuous (Function.curry (uncurry ϕ.toFun) t)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

Context: m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f

(restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y' = (fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

∀ (x : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)), ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') x = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) x