Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B

adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) = (adjoin R s).prod (adjoin R t)


adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) ≤ (adjoin R s).prod (adjoin R t)


(adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)


∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0


↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0 ∧ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0


↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0


x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * ↑hx.unit⁻¹ - 1 = 1 - 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : ↑hx.unit⁻¹ * (1 + x) - 1 = 1 - 1


Context:
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H

(fun x => a • x)^[Nat.zero] b = a ^ Nat.zero • b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n✝ : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
n : ℕ
ih : (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b

(fun x => a • x)^[n.succ] b = a ^ n.succ • b


Context: m n✝ a n : ℕ


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G

Codisjoint (H.subgroupOf (H ⊔ K)) (K.subgroupOf (H ⊔ K))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(Measure.map (fun x => c • x) μ) s = μ s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω


Context:
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs

Function.Injective (natAbs ∘ fun x => a ^ x)


Context:
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
x✝ : ℕ

(natAbs ∘ fun x => a ^ x) x✝ = a.natAbs ^ x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R

∀ (a_1 : R), star a * a_1 = a_1 * star a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

star a * (b * c) = star a * (star (star b) * star (star c))


star a * (star (star b) * star (star c)) = star a * star (star c * star b)


star a * star (star c * star b) = star (star c * star b * a)


star (star c * star b * a) = star (star c * (star b * a))


star (star c * (star b * a)) = star (star b * a) * c


b * star a * c = star (star c * star (b * star a))


star (star c * star (b * star a)) = star (star c * (a * star b))


star (star c * (a * star b)) = star (star c * a * star b)


star (star c * a * star b) = b * (star a * c)


b * c * star a = star (a * star (b * c))


star (a * star (b * c)) = star (a * (star c * star b))


star (a * (star c * star b)) = star (a * star c * star b)


star (a * star c * star b) = b * star (a * star c)


b * star (a * star c) = b * (c * star a)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)

(R.boundedFormula₂ t₁ t₂).Realize v xs ↔ RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]


(RelMap R fun i => realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i)) = RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]


realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] 0) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] 0


∀ (i : Fin 1), realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] i.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C

∀ (s : Set α), μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C

Context: s : Set α

Context: hs : μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C

Context: s : Set α

Context: hs : μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C

∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral (μ.restrict s) ≤ ε₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: ε₂ : ℝ≥0∞

Context: hε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ε : ε₂ < ε

Context: ε₁ : ℝ≥0∞

Context: hε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁₂ : ε₁ < ε₂

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C

Context: s : Set α

Context: hs : μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

(SimpleFunc.map ofNNReal ψ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ε₂


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
y : ↥S

f.toMap ((f.sec (f.mk' x y)).1 * ↑y) = f.toMap (x * ↑(f.sec (f.mk' x y)).2)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite

(condCount s) (t ∩ u) = (condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u


(condCount s) (u ∩ t) = (condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

(multiplicity a (-b)).Dom ↔ (multiplicity a b).Dom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: a b : α

Context: h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom

Context: h₂ : (multiplicity a b).Dom

↑((multiplicity a (-b)).get h₁) = ↑((multiplicity a b).get h₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: a b : α

Context: h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom

Context: h₂ : (multiplicity a b).Dom

multiplicity a (-b) = ↑((multiplicity a b).get h₂)


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T1Space Y
y : Y
s : Set X
x✝ : IsClosed s
h2s : s.Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: n d : ℕ

Context: f : K⟦X⟧

Context: H : Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))

Context: hnd : n < d


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: n d : ℕ

Context: f : K⟦X⟧

Context: hnd : n < d


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: n d : ℕ

Context: f : K⟦X⟧

Context: hnd : n < d

(PowerSeries.idealX K).valuation ((algebraMap K⟦X⟧ (LaurentSeries K)) f) ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑d))


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : ℝ≥0∞


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Icc x y) = Icc ↑x ↑y


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
x : X
f : C(X, R)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: uβ : β → β

Context: h : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), f i (ui i x) = uβ (f i x)

Context: u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: hui : ∀ (i : ι) (x : ↑(S i)), u (inclusion ⋯ x) = inclusion ⋯ (ui i x)

Context: x : ↑(iUnion S)

iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (u x) = uβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: uβ : β → β

Context: u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: x : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: uβ : β → β

Context: u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: x : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (u x) = f i (ui i ⟨↑x, hi⟩)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: ui : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: uβ : β → β

Context: u : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: x : ↑(iUnion S)

Context: i : ι

Context: hi : ↑x ∈ S i

Context: this : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, hi⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f' φ'


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R✝ : 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
g : p.obj a' ⟶ R✝
f : R✝ ⟶ p.obj b✝
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
hf' : p.map φ' = g ≫ f
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ') φ'


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R : 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
a' : 𝒳
φ' : a' ⟶ b
g : p.obj a' ⟶ R
f : R ⟶ p.obj b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
hf' : p.map φ' = g ≫ f
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ') φ'
this : p.IsHomLift (g ≫ f) φ'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α

𝒜.shatterer.card ≤ ∑ k ∈ Iic 𝒜.vcDim, (Fintype.card α).choose k


𝒜.shatterer.card ≤ ∑ x ∈ Iic 𝒜.vcDim, (powersetCard x univ).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜.shatterer

s.card ∈ Iic 𝒜.vcDim ∧ s ∈ powersetCard s.card univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
h3 : |x| = x
h4 : |x| ≤ 1

rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)


Context: x : ℝ

Context: h1 : 0 ≤ x

Context: h2 : x ≤ 1

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h3 : |x| = x

Context: h4 : |x| ≤ 1

Context: h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))


Context: x : ℝ

Context: h1 : 0 ≤ x

Context: h2 : x ≤ 1

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h3 : |x| = x

Context: h4 : |x| ≤ 1

Context: h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))


Context: x : ℝ

Context: h1 : 0 ≤ x

Context: h2 : x ≤ 1

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h3 : |x| = x

Context: h4 : |x| ≤ 1

Context: h'' : rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))


Context: x : ℝ

Context: h1 : 0 ≤ x

Context: h2 : x ≤ 1

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h3 : |x| = x

Context: h4 : |x| ≤ 1

Context: t : rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iInf g)

Context: Af : Antitone f

Context: bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iInf g)

Context: Af : Antitone f

sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ < b₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => f (x * c)) volume (a / c) (b / c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝ : Preorder α
f : Filter β
u : β → α
b : α
hb : b ∈ upperBounds (range u)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex L ≠ 0
hK : K.relindex L ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hK : K.relindex L ≠ 0
hH : H.relindex (K ⊓ L) ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hK : (K ⊓ L).relindex L ≠ 0
hH : (H ⊓ (K ⊓ L)).relindex (K ⊓ L) ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
i : ι
hit : i ∈ t
hit' : i ∉ filter (fun i => w i ≠ 0) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
h : f '' (f ⁻¹' s) = s


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N
w v : P

(f.lift hg) z * w = v ↔ g (f.sec z).1 * w = g ↑(f.sec z).2 * v


Context:
ι : Sort u_1
a b : ℝ
h : a ≤ b
c : ι → Set ↑(Icc a b)
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

∃ t, ↑(t 0) = a ∧ Monotone t ∧ (∃ m, ∀ n ≥ m, ↑(t n) = b) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: c : ι → Set ↑(Icc a b)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: ball_subset : ∀ x ∈ univ, ∃ i, Metric.ball x δ ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: c : ι → Set ↑(Icc a b)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: c : ι → Set ↑(Icc a b)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

Context: n : ℕ

∃ i, Icc (addNSMul h (δ / 2) n) (addNSMul h (δ / 2) (n + 1)) ⊆ c i


Context: ι : Sort u_1

Context: a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: c : ι → Set ↑(Icc a b)

Context: hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)

Context: hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : 0 < δ / 2

Context: n : ℕ

Context: i : ι

Context: hsub : Metric.ball (addNSMul h (δ / 2) n) δ ⊆ c i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y x : E


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

(X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n) = A.det


∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff (Fintype.card n) = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i


∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i


∀ (x : Equiv.Perm n), (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

(sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n) = sign g • ∏ i : n, A (g i) i


∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n)


∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n * 1)


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

A (g x✝) x✝ = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x✝) x✝).coeff 1


∀ p ∈ Finset.univ, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁷ : Module R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: S : NonUnitalSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: T : NonUnitalSubalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: h : K i ≤ T

Context: x✝ : ↥(K i)

((iSupLift K dir f hf T hT).comp (inclusion h)) x✝ = (f i) x✝


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
a✝ : f x ≠ f y


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)

Context: inst✝² : HasLimits A'

Context: inst✝¹ : PreservesLimits s

Context: inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms

Context: this : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)

Context: inst✝² : HasLimits A'

Context: inst✝¹ : PreservesLimits s

Context: inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms

Context: this✝ : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'

Context: this : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, max (u₁ + 1) (v₁ + 1)} s


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

(fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) ≫ f = (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ≫ g


lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯ ≫ fst (fst f' g') i₁ = lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯ ≫ fst (snd f' g') i₂


lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂))


(lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯) ≫ fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)) ≫ fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)


(lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)


lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ = 𝟙 (pullback f g)


(lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯) ≫ fst f g = 𝟙 (pullback f g) ≫ fst f g


(lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯) ≫ snd f g = 𝟙 (pullback f g) ≫ snd f g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.90051, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂

((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₁).mor₃.op) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map φ.unop.hom₃.op = φ.unop.hom₁.op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₂).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op


(opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op = (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁.op.unop).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'

μ[f|⊥] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'

0[f|⊥] =ᶠ[ae 0] fun x => (0 Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hμ : NeZero μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
ha : 0 < a


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D

(F.map e.inv).app Z ≫ (F.map e.hom).app Z = 𝟙 ((F.obj Y).obj Z)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


x ∈ ⇑(canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


(∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))), (canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap x_1 = x) ↔ ∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K) x_1 = x


(∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap x_1 = x) ↔ ∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K) x_1 = x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]

eval₂ f x p = eval₂ (f.comp (Subring.closure ↑p.coeffs).subtype) x p.restriction


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : ↑p ^ i = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : i ≠ n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hpi : i ≠ n
hin : i < n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CharP R p

Context: i : ℕ

Context: hin : i < n

Context: this : ↑p ^ i = (WittVector.truncate n) (↑p ^ i)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CharP R p

Context: i : ℕ

Context: hin : i < n

∃ x, ¬coeff x ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff x 0


¬coeff ⟨i, hin⟩ ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff ⟨i, hin⟩ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : Nontrivial R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α

(s ×ˢ t).sup' h f = t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => f (i, i')


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑-[n+1]


Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : ι → Type u_5

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: f : PiLp p β

↑‖f‖₊ = ↑((∑ i : ι, ‖f i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₂
x : α
this : ¬(x = a ∧ x ∈ s₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a b c d : α


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0


(G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0 = kernel.lift (G.map f) (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A

Context: inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F

Context: inst✝³ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝² : G.IsContinuous K J

Context: inst✝¹ : G.Full

Context: inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q

Context: h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj

K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f ↔ J.W f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝³ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝² : G.IsContinuous K J

Context: inst✝¹ : G.Full

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q

Context: h₂ : ∀ (R : Sheaf J A), (Function.Bijective fun g => whiskerLeft G.op f ≫ g) ↔ Function.Bijective fun g => f ≫ g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝³ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝² : G.IsContinuous K J

Context: inst✝¹ : G.Full

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q

LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj) (((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).map f) ↔ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f


(comap f (LinearMap.ker g) ⊓ LinearMap.ker f).FG


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
f : Γ → R
h : (Function.support f).IsPWO

{ coeff := f, isPWO_support' := h }.coeff = coeff 0 ↔ f = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.offDiag.Nonempty

(↑s).infsep = s.offDiag.inf' hs (uncurry dist)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : p ^ (k - s + 1) = 2


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I a b c : OplaxFunctor B C
f g : a ⟶ b
h i : b ⟶ c
η : f ⟶ g
θ : h ⟶ i
b✝ : B

((fun {F G H} η x x_1 Γ => OplaxNatTrans.whiskerLeft η Γ) f h i θ ≫ (fun {F G H} x x_1 Γ η => OplaxNatTrans.whiskerRight Γ η) f g η i).app b✝ = ((fun {F G H} x x_1 Γ η => OplaxNatTrans.whiskerRight Γ η) f g η h ≫ (fun {F G H} η x x_1 Γ => OplaxNatTrans.whiskerLeft η Γ) g h i θ).app b✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₄
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherian R M
rs rs' : List R
h2 : rs ~ rs'
h3 : IsWeaklyRegular M rs
h4 : ⊤ ≠ Ideal.ofList rs • ⊤


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L

IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {1}) A B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
hS : S.Nonempty


Context:
n : ℕ+
T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L

IsCyclotomicExtension ∅ A B ↔ IsCyclotomicExtension (∅ ∪ {1}) A B


IsCyclotomicExtension ∅ A B ↔ IsCyclotomicExtension {1} A B


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hN' : N < Nat.find ⋯


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hN' : ¬N < Nat.find ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : Norm E
l✝ : Filter α
f : α → ℝ
l : Filter α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.107784, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

(δ 0 1 (snd φ)).v p q hpq = (-(↑(fst φ)).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).v p q hpq


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: X Y : C

Context: hr : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.lift 0 f = f ≫ biprod.inr

Context: hl : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.lift f 0 = f ≫ biprod.inl

EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => leftAdd X Y x x_1) 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

∀ (a : Submodule R N), Submodule.map f (Submodule.comap f a) = a ⊓ LinearMap.range f


∀ (a : Submodule R N), Submodule.comap g (Submodule.map g a) = a ⊔ LinearMap.range f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
hq : q ≤ -1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t

(Ioo s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 2


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : F

(Pretrivialization.linearMapAt R e b) ((Pretrivialization.symmₗ R e b) y) = y


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : F

↑(linearEquivAt R e b hb) ((Pretrivialization.symmₗ R e b) y) = y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}

Prime a ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ∃ p, a = ↑p ∧ Nat.Prime p


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : a < ℵ₀


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ↑a < ℵ₀

Prime ↑a ↔ ℵ₀ ≤ ↑a ∨ ∃ p, ↑a = ↑p ∧ Nat.Prime p


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive D

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u_2} E

Context: inst✝² : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : G.Additive

Context: ι✝¹ : Type

Context: fintype✝¹ : Fintype ι✝¹

Context: X✝¹ : ι✝¹ → C

Context: i✝ : ((F ⋙ G).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι

Context: ι✝ : Type

Context: fintype✝ : Fintype ι✝

Context: X✝ : ι✝ → C

Context: j✝ : ((F.mapMat_ ⋙ G.mapMat_).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι

Context: f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝

((F ⋙ G).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (F.mapMat_ ⋙ G.mapMat_).map f) i✝ j✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ Bornology.IsBounded s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: hρball : ∀ (c : 𝕜), ρ ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • Metric.ball 0 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: a : 𝕜

Context: ha : ρ < ‖a‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
hρball : s ⊆ a • Metric.ball 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
hρball : s ⊆ Metric.ball 0 (‖a‖ * 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l x : Filter α
g : Filter (α → β)
h : Filter (β → γ)

h.seq (g.seq x) = ((map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g).seq x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: l x : Filter α

Context: g : Filter (α → β)

Context: h : Filter (β → γ)

Context: s : Set (α → γ)

Context: hs : s ∈ (map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l x : Filter α
g : Filter (α → β)
h : Filter (β → γ)
s : Set (β → γ)
hs : s ∈ h
t : Set β
ht : t ∈ g.seq x

s.seq t ∈ ((map (fun x x_1 => x ∘ x_1) h).seq g).seq x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P

affineSegment R x y = affineSegment R y x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P

z ∈ affineSegment R x y ↔ z ∈ affineSegment R y x


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g

CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → CondIndepSet m' hm' (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯

g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

g.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.inv = app₃.inv ≫ f.map' 3 4 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

g.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.inv = app₄.inv ≫ f.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context:
c₁ c₂ : Code
n₁ n₂ : ℕ
h₁ : c₁ = c₂
h₃ : Code.const n₁ = Code.const n₂
h₄ : Code.id = Code.id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x y z : M

Context: h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source

↑(extChartAt I x) z ∈ ((extChartAt I x).symm ≫ extChartAt I y).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x y z : M

↑(extChartAt I x) z ∈ ↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h₁ : a ≤ b

Context: h₂ : c ≤ b


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i < r i


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ r' < r i, v i ⊆ ball (c i) r'


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)

Context: r' : ι → ℝ

Context: hlt : ∀ (i : ι), r' i < r i

Context: hsub : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r' i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupPrime ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x✝ : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c + f y) x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

2 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f x = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.cycleOf x = 1


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑m + x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β

‖f‖ = sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }

comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal R

Context: J : Ideal A

Context: f : R ⧸ I →+* A ⧸ J

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: X : { p // p ∣ I }

Context: this : RingHom.ker (Ideal.Quotient.mk J) ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal R

Context: J : Ideal A

Context: f : R ⧸ I →+* A ⧸ J

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: X : { p // p ∣ I }

Context: this : J ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : ⟨X, hX⟩ ≤ ⟨Y, hY⟩

(fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨X, hX⟩ ≤ (fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y

comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) X)) ≤ ↑((fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩)


map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y ⊔ comap f ⊥


map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β

((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν ν' : Kernel α γ

Context: hνν' : ν ≤ ν'

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : Mul M

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul M

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁴ : FunLike F α β

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : MulOneClass β

Context: inst✝¹ : MonoidHomClass F α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: f : F

Context: tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : Mul M

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul M

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁴ : FunLike F α β

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : MulOneClass β

Context: inst✝¹ : MonoidHomClass F α β

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: f : F


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : x ∈ thickening δ E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : infEdist x E < ENNReal.ofReal δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'

finrank R (M × M') = finrank R M + finrank R M'


Context:
b : ℕ
h : 1 ≤ b

∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, n.FermatPsp b


Context:
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n : ℕ


Context:
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n p : ℕ
hp : p.FermatPsp b ∧ n ≤ p


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t

Disjoint (span R (v '' s)) (span R (v '' t))


∀ (x : M), (∃ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → (∃ l ∈ Finsupp.supported R R t, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → x = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: s t : Set ι

Context: hs : Disjoint s t

Context: l₁ : ι →₀ R

Context: hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s

Context: l₂ : ι →₀ R

Context: hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t

Context: H : (Finsupp.total ι M R v) l₂ = (Finsupp.total ι M R v) l₁


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
this : l₁ = 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x

∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter β

Context: la : Filter α

Context: lb : Filter β

Context: p : α × β → Prop

Context: h✝ : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x

Context: pa : α → Prop

Context: ha : ∀ᶠ (x : α) in la, pa x

Context: pb : β → Prop

Context: hb : ∀ᶠ (y : β) in lb, pb y

Context: h : ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)


Context:
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ


d * (n / d) = d * (n / d) + n % d ↔ d ∣ n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t

∫ (x : X) in s, t.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ


Context:
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring k✝
inst✝⁸ : Monoid G
inst✝⁷ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra k A
x✝ : MonoidAlgebra A G

(mapDomainAlgHom k A (MonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k (MonoidAlgebra A G)) x✝


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : M
x : Y₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i

Context: h0 : p 0 = 0

(p.leftInv i).comp (id 𝕜 F) = (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h0 : p 0 = 0

(p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i)) = ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h0 : p 0 = 0

((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i) = (id 𝕜 E).comp (p.rightInv i)


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G


(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) 0) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
g : F →L[𝕜] G
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r

HasSum (fun n => (g.compFormalMultilinearSeries p n) fun x => y✝) ((⇑g ∘ f) (x + y✝))


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ b


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length


Context:
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsRat (a ^ nb) num den


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜


∃ f, range f ⊆ Set.univ ∧ Continuous f ∧ Injective f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : x ∈ Set.univ

Context: U : Set 𝕜

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: c : 𝕜

Context: c_pos : 0 < ‖c‖

Context: hc : ‖c‖ < 1

Context: A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 (x + 0))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : x ∈ Set.univ

Context: U : Set 𝕜

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: c : 𝕜

Context: c_pos : 0 < ‖c‖

Context: hc : ‖c‖ < 1

Context: A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : x ∈ Set.univ

Context: U : Set 𝕜

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: c : 𝕜

Context: c_pos : 0 < ‖c‖

Context: hc : ‖c‖ < 1

Context: B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : x ∈ Set.univ

Context: U : Set 𝕜

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: c : 𝕜

Context: c_pos : 0 < ‖c‖

Context: hc : ‖c‖ < 1

Context: B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U

Context: n : ℕ

Context: hn : x + c ^ n ∈ U


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b


Context:
b : Ordinal.{u_1}
hbo : 0 < b


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : b ≤ 1


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : 1 < b


Context:
α : Type u_1
f : Nat
n : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < μ s + ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < ε + μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45694, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e
hf : 0 + e = e

(Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) hf = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b

Context: hst : s.ncard ≤ t.ncard

Context: a₁ : α

Context: ha₁ : a₁ ∈ s

Context: a₂ : α

Context: ha₂ : a₂ ∈ s

Context: ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂

Context: hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

preNormEDS b c d (2 * (↑m + 3)) = preNormEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 5) - preNormEDS b c d (↑m + 1) * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 4) ^ 2


preNormEDS' b c d (2 * (m + 3)) = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hs : s.Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i / g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) / ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a

(𝓝[≤] a).HasBasis (fun l => l < a) fun l => Ioc l a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝ : α


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
hne : a ≠ b


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: this : Dioph fun v => v &2 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ v &0 * v &2 ≤ v &1 ∧ v &1 < (v &0 + 1) * v &2

Context: z x y : ℕ

y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ x / y = z


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: z x y : ℕ

y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ z = x / y


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: h : QuasiIso (forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom

QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G))


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: h : QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G) ≫ (HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)) (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app (Rep.trivial k G k))


Context:
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x

Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (log (Gamma x)))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 ((log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

(log ∘ Gamma) (y + 1) = (log ∘ Gamma) y + log y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop

∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) atTop (𝓝 1)


∀ (n : ℕ), Integrable (fun c => f (a, c) (seq n)) (ν a)


Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 1 ∂ν a))


∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i => f (a, a_1) (seq i)


∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t u : Finset α
hus : u ⊆ s ∪ t
hcard : u.card = mulRothNumber (s ∪ t)
hu : ThreeGPFree ↑u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x


(fun t => x + t • v) ⁻¹' t ∈ 𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0


ContinuousWithinAt (fun t => x + t • v) ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0


Context:
d : ℤ
b c : ℤ√d
hb : IsPell b
hc : IsPell c


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R

eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i) = ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ m


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m - ↑v * ϖ ^ m = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u - ↑v = 0 ∨ ϖ ^ m = 0


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0

valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m : ℕ

Context: hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m n : ℕ

Context: hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m n : ℕ

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m n : ℕ

Context: hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m n : ℕ

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g)) ^ p ^ (max m n + 1) = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f) ^ p ^ (max m n + 1) * ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hf : ¬f = 0

Context: hg : ¬g = 0

Context: m n : ℕ

Context: hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g ≠ 0

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1) = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f) ^ p ^ (max m n + 1) * ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1)


Context:
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a


∀ z ∈ nonunits ℤ, z ≠ 0 → z ∣ b.re → ¬z ∣ b.im


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E

c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' ball a r ↔ c ∈ ball (a / b) r


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t

Context: hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2

Context: x' : α

Context: hx' : x' ∈ s'

Context: hxx' : edist x x' < ↑δ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2

Context: x' : α

Context: hx' : x' ∈ s'

Context: hxx' : edist x x' < ↑δ

Context: A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2

Context: x' : α

Context: hx' : x' ∈ s'

Context: hxx' : edist x x' < ↑δ

Context: A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x

Context: B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s s' : Set α

Context: t : Set β

Context: hs' : s' ⊆ s

Context: hss' : s ⊆ closure s'

Context: K : ℝ≥0

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ t

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε / 2

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < ↑δ

Context: hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2

Context: x' : α

Context: hx' : x' ∈ s'

Context: hxx' : edist x x' < ↑δ

Context: A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x

Context: a : α

Context: b : β

Context: has : (a, b).1 ∈ s

Context: hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ

Context: hbt : (a, b).2 ∈ t

Context: hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2}

f (a, b) ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0

(∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y


(∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x


(∃ r, 0 ≤ r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
h : Disjoint p q
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }

card { x // p x ∨ q x } = card { x // p x } + card { x // q x }


Context:
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤


Context:
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p


Context:
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_nonpos : p ≤ 0


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

gaussianPDFReal μ v (c * x) = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

|c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨c⁻¹ ^ 2, ⋯⟩ * v) x = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv

Context: e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv

P (Localization.awayMap f r) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

P (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) = P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: f : R →+* S

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom = IsLocalization.Away.map R' S' f r