Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs
n : σ →₀ ℕ
hnsupp : n ∈ p.support
hn : 0 = coeff n p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)

Context: hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)

Context: f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx

Context: fs : ℕ → α →ₛ β := fun n => (f_approx n).restrict (S n ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Zero β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)

Context: f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx

Context: h_fs_t_compl : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∉ t, ↑(fs n) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1260451) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f g : C(↑(σₙ R a), R)₀


Context:
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1


Context:
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x


Context: x✝ x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x

Context: this : -(|x| ^ 4 * (5 / 96)) ≤ sin x - (x - x ^ 3 / 6)


Context: x✝ x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x

Context: this : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x


Context: x✝ x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x


Context: x✝ x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x

Context: this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x

Context: this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : Z.Fiber b

(Trivialization.continuousLinearMapAt R (Z.localTriv i) b) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : Z.Fiber b

(fun y => (↑(Z.localTriv i) { proj := b, snd := y }).2) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : Z.Fiber b


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : star A * A = 1


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G


(∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ⁅g₁, g₂⁆ ∈ ⊥) ↔ H₁ ≤ centralizer ↑H₂


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
p : G
_hp : p ∈ H₁
q : G
hq : q ∈ H₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : f ≠ 0
hfR : ↑f.natDegree < #R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hfR : ↑f.natDegree < #R
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f μ

∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

∑' (i : α), ∫ (a : α), f a ∂μ {i} • Measure.dirac i = ∑' (a : α), ((Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a) {a}).toReal • f a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : Countable α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: a : α

∫ (a : α), f a ∂μ {a} • Measure.dirac a = ((Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a) {a}).toReal • f a


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞

HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α → ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α → ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: r : ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r✝ p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α → ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: r : ℝ≥0∞

Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M

polar (⇑Q) (x - x') y = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x' y


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b

DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b


dslope f a =ᶠ[𝓝[s] b] fun y => (id y - a)⁻¹ • (f y - f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β

Codisjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Codisjoint s₁ s₂ ∨ Codisjoint t₁ t₂


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : Rˣ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α


pure ⊥ ≤ 𝓝 ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
μ : Measure α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖ ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ (μ.trim hm) (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖₊ ≤ ↑n

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s n

Context: hx_nnnorm : ‖f x‖₊ ≤ ↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s n

Context: hx_nnnorm : ‖f x‖₊ ≤ ↑n

↑‖f x‖₊ ≤ ↑n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Orthonormal 𝕜 fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Pairwise fun i j => ⟪(fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) i, (fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) j⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: i j : ↑{i | gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0}

Context: hij : ¬i = j

⟪(fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) i, (fun i => gramSchmidtNormed 𝕜 f ↑i) j⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: hij : ¬↑i = ↑j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish (q + 1) φ
j : Fin (n + 1)
hj : n + 1 ≤ ↑j + q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

(fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0


(fun x => ‖c • f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g


(fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: k : ℕ

Context: s t : Set ℝ

Context: ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y

Context: hs : s ∈ 𝓝[t] y

Context: hf : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y

HasDerivWithinAt (fun z => (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - z) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s z) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) t y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: k : ℕ

Context: s t : Set ℝ

Context: ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y

Context: hs : s ∈ 𝓝[t] y

Context: hf : HasDerivWithinAt (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) (iteratedDerivWithin (k + 2) f s y) t y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: k : ℕ

Context: s t : Set ℝ

Context: ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y

Context: hs : s ∈ 𝓝[t] y

Context: this : HasDerivWithinAt (fun t => ((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) (-((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k)) t y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: k : ℕ

Context: s t : Set ℝ

Context: ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y

Context: hs : s ∈ 𝓝[t] y

(((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y = (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y + -((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: k : ℕ

Context: s t : Set ℝ

Context: ht : UniqueDiffWithinAt ℝ t y

Context: hs : s ∈ 𝓝[t] y

((x - y) ^ (k + 1) / ((↑k + 1) * ↑k !)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((x - y) ^ k / ↑k !) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y = ((x - y) ^ (k + 1) / ((↑k + 1) * ↑k !)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y + (-(x - y) ^ k / ↑k !) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β
inst✝ : MeasurableSpace β
hs : MeasurableSet s

(p.bindOnSupport f).toMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toMeasure s


Context:
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
G : SimpleGraph V
x✝¹ x✝ : V

(FirstOrder.Language.simpleGraphOfStructure V).Adj x✝¹ x✝ ↔ G.Adj x✝¹ x✝


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤

Context: meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤

Context: meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0

μ univ = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' univ ∩ s)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α


s₁.tail ⋈ s₂.tail = (s₁.head :: s₂.head :: (s₁.tail ⋈ s₂.tail)).tail.tail


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.33498, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.33505, u_3} E

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : HasShift E M

Context: X Y Z T : C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).Additive

Context: a b c : M

Context: α : ShiftedHom X Y a

Context: β₁ β₂ : ShiftedHom Y Z b

Context: h : b + a = c

α.comp (β₁ + β₂) h = α.comp β₁ h + α.comp β₂ h


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n j : ℕ
hj : j < p ^ n

p ^ (n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ∣ (p ^ n).choose (j + 1)


↑(n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose (j + 1))


↑(n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ≤ ↑(n - (multiplicity p j.succ).get ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: I : ↑{I | I ∈ normalizedFactors (span {r})}

multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr).symm I)) r = multiplicity (↑I) (span {r})


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: x : ↑{d | d ∈ normalizedFactors r}

Context: hx : (normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) x = I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: a : R

Context: ha : a ∈ {d | d ∈ normalizedFactors r}

Context: hx : (normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨a, ha⟩ = I


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.homologyι


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

(W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: x : X

Context: U : ℕ → Set X

Context: hU : ∀ (i : ℕ), x ∈ U i ∧ IsOpen (U i)

Context: h_basis : (𝓝 x).HasAntitoneBasis fun i => U i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: x : X

Context: U : ℕ → Set X

Context: hU : ∀ (i : ℕ), x ∈ U i ∧ IsOpen (U i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
𝔖 : Set (Set ι)

induced (⋃₀ 𝔖).restrict topologicalSpace = ⨅ S ∈ 𝔖, induced S.restrict topologicalSpace


Context:
m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E →ₗᵢ[ℝ] F
u v : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: t : Finset (Fin n)

Context: this : ∀ (m : ℕ) (hm : n = m), (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (p m) ((Finset.map (finCongr hm).toEmbedding t).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)

let s := changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩; (((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y) = (p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: t : Finset (Fin n)

(p n) (t.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (p ((changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).fst + (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.fst)) ((↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.snd).piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → Set Ω

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)

Context: S : Finset ι

Context: f : ι → Set Ω

Context: hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → Set Ω

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: S : Finset ι

Context: f : ι → Set Ω

Context: hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)

(κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → Set Ω

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: S : Finset ι

Context: f : ι → Set Ω

Context: hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i

Context: a : α

Context: this : ∀ i ∈ S, (κ a) (f i) = (κ a) (s i)


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : IsPrimePow n
hn' : ¬Nat.Prime n


Context:
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)


Context: z : ℂ


Context: a b : ℕ+

(uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

∫ (x : G), (f ⋆[L, ν] g) x ∂μ = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)


∫ (y : G), (L (f y)) (∫ (x : G), g x ∂μ) ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3

Context: h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3

Context: c_eq : star c * c + c * star c = 2 • (↑(ℜ c) * ↑(ℜ c) + ↑(ℑ c) * ↑(ℑ c))

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3

Context: c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3

Context: h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3

Context: h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : 0 = a_neg ^ 3

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : 0 = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a ^ 3

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a

∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ σ ℝ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ σ ℝ a

Context: hx' : x < 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ σ ℝ a

Context: hx' : 0 < -x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: b : A

Context: a : A := star b * b

Context: a_def : a = star b * b

Context: c : A := b * a_neg

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ σ ℝ a

Context: hx' : 0 < -x

Context: h_eqOn : Set.EqOn 0 (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) (σ ℝ a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
α : Type u_1
p✝ : α → Bool
b : α
l✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
n : Nat

findIdx.go p l (n + 1) = findIdx.go p l n + 1


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : σ → S
r : R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)

(fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨ra * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)

Localization.mk (ra * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (ra * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R


{x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: h_empty : {v | 0 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

InitiallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: hs : Small.{v, u} ↑s

Context: hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: f : M → M'

Context: g : M → M''

Context: x : M

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f x

Context: hg : MDifferentiableAt I I'' g x

mfderiv I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x = (mfderiv I I' f x).prod (mfderiv I I'' g x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
c : 𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v

HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') univ x (c • v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α

count a s ≤ count a (fold max 0 (map (fun a => count a s) s) • s.dedup)


count a s ≤ fold max 0 (map (fun a => count a s) s) * count a s.dedup


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: w : InfinitePlace K

Context: h₁ : x ≠ 0

Context: h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1

Context: h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: w : InfinitePlace K

Context: h₁ : x ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R

x ∈ LinearMap.ker (Aᵀ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R


∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ

∃ ε > 0, Metric.ball (↑x) ε ⊆ {x | IsUnit x}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : y ∈ Metric.ball ↑x ‖↑x⁻¹‖⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s

Context: wf : WellFounded r

Context: a b : (i : ι) → β i


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: wf : WellFounded r

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: hab : a = b


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: wf : WellFounded r

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: hab : a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ

bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0

bernoulliFourierCoeff k 0 = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑0) ^ k


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0

bernoulliFourierCoeff 1 n = -↑1! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ 1


Context: k✝ : ℕ

Context: hk✝ : k✝ ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: hk : 1 ≤ k

Context: h'k : bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k

bernoulliFourierCoeff (k + 1) n = -↑(k + 1)! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ (k + 1)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f


lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, u} #↑s


Context:
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 - Pell.d a1 * y * y = 1


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)


a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


(HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m ∈ q.asIdeal) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal)


HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).val


Localization.mk (a ^ m) (⟨f ^ n, ⋯⟩ ^ m) = Localization.mk (a ^ m) ⟨(f ^ n) ^ m, ⋯⟩


Context:
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M

(weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m


IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w m) φ) m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α


(s ∪ {x}).encard ≤ s.encard + {x}.encard


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: a : ↥(𝒜 0)


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N

map₂ f p q = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_3
b : Basis ι K V


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : α → δ → ε

Context: g : β → γ → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : β → δ' → ε

Context: h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)

image2 f s (image2 g t u) = image2 g' t (image2 f' s u)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : α → δ → ε

Context: g : β → γ → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : β → δ' → ε

image2 (fun a b => f b a) (image2 g t u) s = image2 g' t (image2 (fun a b => f' b a) u s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0

Measure.map (⇑(toLin' M)) volume = ofReal |M.det⁻¹| • volume


∀ (D : ι → ℝ), (Matrix.diagonal D).det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = ofReal |(Matrix.diagonal D).det⁻¹| • volume


∀ (t : TransvectionStruct ι ℝ), Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ofReal |t.toMatrix.det⁻¹| • volume


∀ (A B : Matrix ι ι ℝ), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' A)) volume = ofReal |A.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' B)) volume = ofReal |B.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' (A * B))) volume = ofReal |(A * B).det⁻¹| • volume


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)

Context: x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂

prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.2


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂

Context: y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)

prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).2


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = ({ cauchy := a } + -{ cauchy := b }).cauchy


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
inst✝¹ : SMul G β
inst✝ : IsScalarTower G β β
f1 f2 : CauSeq β abv
c : G
hf : f1 ≈ f2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)

countP p (a :: l).join = (map (countP p) (a :: l)).sum


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p✝ : G.Walk u v
p : G.Walk u u
hinj : Injective ⇑f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: finj : Injective f

Context: a : α

Context: l : List α

Context: this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x

map f (l.erase a) = (map f l).erase (f a)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: finj : Injective f

Context: a : α

Context: l : List α

map f (eraseP (fun x => f a == f x) l) = map f (eraseP ((fun x => f a == x) ∘ f) l)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: hmn : m ≤ n


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: hmn : m ≤ m


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: hmn : m ≤ n

Context: h : m < n


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.9360, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
x : ℝ

x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues


↑x ∈ Set.range (RCLike.ofReal ∘ ha.eigenvalues) ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x : ↑C

Context: l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)

l.prod x = (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) l).prod


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x : ↑C

Context: l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)

l.prod x = (LocallyConstant.evalMonoidHom x) l.prod


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x y : R
S : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f


(ker f).IsRadical ↔ ∀ (x : R), (∃ n, x ^ n ∈ ker f) → x ∈ ker f


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A
this : Epi f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

Dense s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: h0 : f 0 = 0

Context: h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y

Context: hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i

Context: hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y

Context: this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: hb0 : ¬b = 0

Context: hf1 : ¬f 1 = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

Context: this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ (Multiset.count p (normalizedFactors a) + Multiset.count p (normalizedFactors b))) = f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors a)) * f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors b))


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: h0 : f 0 = 0

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: hb0 : ¬b = 0

Context: hf1 : ¬f 1 = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, Prime p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: h0 : f 0 = 0

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: hb0 : ¬b = 0

Context: hf1 : ¬f 1 = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, ∀ q ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ∣ q → p = q


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: h0 : f 0 = 0

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: hb0 : ¬b = 0

Context: hf1 : ¬f 1 = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a ∨ p ∈ normalizedFactors b → Prime p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: h0 : f 0 = 0

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: hb0 : ¬b = 0

Context: hf1 : ¬f 1 = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a ∨ p ∈ normalizedFactors b → ∀ (q : α), q ∈ normalizedFactors a ∨ q ∈ normalizedFactors b → p ∣ q → p = q


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence


(F ⋙ G.asEquivalence.functor ⋙ G.asEquivalence.inverse).IsEquivalence


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hs : s ⊆ range f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Pointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius

Summable fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst


Summable ((fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst) ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm)


Summable fun x => ‖p (x.fst - x.snd.card + x.snd.card)‖₊ * r ^ x.snd.card * r' ^ (x.fst - x.snd.card)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r + ↑r' < p.radius

Context: this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r + ↑r' < p.radius

Summable fun x => ∑' (y : Finset (Fin x)), ‖p (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card + ⟨x, y⟩.snd.card)‖₊ * r ^ ⟨x, y⟩.snd.card * r' ^ (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r + ↑r' < p.radius


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
M₁ M₂ : Matroid α

M₁ = M₂✶ ↔ M₂ = M₁✶


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

∀ {P : C} (g : P ⟶ R₁.obj' 2 ⋯), g ≫ app' φ 2 ⋯ = 0 → g = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝ : Epi π₁

Context: f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝ : Epi π₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝ : Epi π₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁

Context: hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝² : Epi π₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝¹ : Epi π₂

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝ : Epi π₃

Context: f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝² : Epi π₁

Context: hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝¹ : Epi π₂

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝ : Epi π₃

Context: f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯

Context: h₄ : f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯ = π₃ ≫ π₂ ≫ f₁


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : One α
inst✝² : One α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : OneHomClass F α α₂
f : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f


Context: f g : CircleDeg1Lift


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →+* S

Context: p : R[X]

Context: x : S

Context: hx : eval₂ f x p = 0

Context: hx' : eval₂ f x (derivative p) = 0

Context: a b : R[X]

Context: e : eval₂ f x (a * p + b * derivative p) = eval₂ f x 1


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W : C

IsSheaf (extensiveTopology C) (yoneda.obj W)


∀ {X : C}, ∀ R ∈ (extensiveCoverage C).covering X, IsSheafFor (yoneda.obj W) R


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D

Context: inst✝ : FinitaryPreExtensive C

Context: W X : C

Context: R : Presieve X

Context: Y : Type

Context: α : Finite Y

Context: Z : Y → C

Context: π : (a : Y) → Z a ⟶ X

Context: hR : R = ofArrows Z π

Context: hi : IsIso (Sigma.desc π)

Context: this✝ : IsIso (Sigma.desc (Cofan.mk X π).inj)

Context: this : R.Extensive


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α

x✝ ∈ ⋃ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∃ i, P i x}


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring K

Context: inst✝⁶ : CommSemiring L

Context: inst✝⁵ : CommSemiring M

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: f : L →+* M

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁴ : ExpChar K p

Context: inst✝³ : ExpChar L p

Context: inst✝² : ExpChar M p

Context: inst✝¹ : PerfectRing M p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: x : K

Context: this : (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ (Classical.choose ⋯).1


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
key : f x ≤ nndist f 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

CompleteLattice.IsCompactElement (span R ↑S)


CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, span R {x})


CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ S, span R {x})


CompleteLattice.IsCompactElement (S.sup fun x => span R {x})


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ

(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k).card ≤ rothNumberNat ((2 * (n✝ + 1) - 1) ^ (n✝¹ + 1))


Set.InjOn ⇑(map (2 * (n✝ + 1) - 1)) ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ

x ∈ ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k) → x ∈ {x | ∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < 2 * (n✝ + 1) - 1}


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

(map W' f).toJacobian.polynomialX = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialX


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
hI : I.IsRadical
hJ : J.IsRadical


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s


Context:
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
x : A
h : IsIntegral R (f x)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.116671, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.Q


opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ ≫ opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.Q


Context:
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

(logb (a * b) c)⁻¹ = (logb a c)⁻¹ + (logb b c)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c
this : (a + b) % c = a % c + b % c


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
s₀ : Finset (α 0)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.succ)

cons x₀ x ∈ piFinset (cons s₀ s) ↔ x₀ ∈ s₀ ∧ x ∈ piFinset s


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: i : Fin r ⊕ Unit

((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι


(if H : i ∈ s then (x - y) ⟨i, H⟩ else 0) = (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) - if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0


Context:
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 X)


EqvGen (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) (𝟙 X)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
a : R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)

∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal


∫ (a : α), ↑‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal


∫ (x : α), ‖↑↑f x‖ ^ 2 ∂μ = (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ).toReal


(∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ).toReal


AEStronglyMeasurable (fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2) μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
h_two : 2 = ↑2

ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)


↑‖↑↑f x‖₊ ^ 2 = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β

nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = nndist y₁ y₂


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P✝ P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ

⁅f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ = ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m


Context:
α : Type u
a b : Set α
u : Ultrafilter α
ua : u ∈ (fun s => {u | s ∈ u}) a
ub : u ∈ (fun s => {u | s ∈ u}) b

∃ t₃ ∈ ultrafilterBasis α, u ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (fun s => {u | s ∈ u}) a ∩ (fun s => {u | s ∈ u}) b


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : OrderedSemiring β
l : Filter α
f g : α → β
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g


Context:
α : Sort u
β✝ : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β✝ a
a✝ : α
b✝ : β✝ a✝
β : Sort u_1
f : α → β
a' : α
b : β
a : α

update f a' b a = if a = a' then b else f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = ((κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η).comapRight ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = (κ'.fst ⊗ₖ η).comapRight h_prod_embed


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η = κ'.fst ⊗ₖ η.comapRight he


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

((κ.fst ⊗ₖ borelMarkovFromReal Ω η) a) t = ((κ.fst ⊗ₖ η.comapRight he) a) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ((borelMarkovFromReal Ω η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t} ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β), ((η.comapRight he) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t} ∂κ.fst a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

(fun b => ((borelMarkovFromReal Ω η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}) =ᶠ[ae (κ.fst a)] fun b => ((η.comapRight he) (a, b)) {c | (b, c) ∈ t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a, (a, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a✝ : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a✝, (a✝, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}

Context: a : β

Context: ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0

((borelMarkovFromReal Ω η) (a✝, a)) {c | (a, c) ∈ t} = ((η.comapRight he) (a✝, a)) {c | (a, c) ∈ t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a✝ : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a : β

Context: ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0

((piecewise ⋯ η (deterministic (fun x => Exists.choose ⋯) ⋯)) (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t}) = (η (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Ω : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : CountablyGenerated γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) ℝ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω

Context: hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'

Context: h_fst : κ'.fst = κ.fst

Context: a✝ : α

Context: t : Set (β × Ω)

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a : β

Context: ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0


Context:
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U


Context:
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
p : R[X]
i : ℤ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Epi f ↔ Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context:
α : Type u
c' : Cardinal.{u_1}
c : ℕ∞


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' ↑g

Partrec' fun v => Part.map (fun a => g (a ::ᵥ v)) (f v)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: f g : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: f g : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

U ≤ ⨆ i, Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f i)) ⊓ U


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: f g : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

∀ (i : ↑↑X.toPresheafedSpace), (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) f = (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) g


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l₁ l₂ : List M

Context: h : l₁ <+ l₂

Context: h₁ : ∀ a ∈ l₂, 1 ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ