Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝ : 𝕜

‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝‖ = ‖x✝‖


normSq ({ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝) = RCLike.re x✝ * RCLike.re x✝ + RCLike.im x✝ * RCLike.im x✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ

(f ^ Int.negSucc n) a = a ↔ ↑s.card ∣ Int.negSucc n


(f⁻¹ ^ (n + 1)) a = a ↔ ↑s.card ∣ Int.negSucc n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

memberSubfamily a (image (fun x => x.erase a) 𝒜) = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r a b


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a c : α
h₁ : ¬r a a
h₂ : r a c


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r b a


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : HasIntegral I l f vol y
h' : HasIntegral I l g vol y'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Vector α n
y : Vector β n
m✝ : Fin (n - 1)

(zipWith f x y).tail.get m✝ = (zipWith f x.tail y.tail).get m✝


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

(-o).rightAngleRotation x = -o.rightAngleRotation x


∀ (v : E), ⟪(-o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, v⟫_ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪(-o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ


((-o).areaForm x) y = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ¬ringChar R = 2


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

H.index = 2 ↔ ∃ a, ∀ (b : G), Xor' (b * a ∈ H) (b ∈ H)


(∃ x ∉ H, ∀ x_1 ∉ H, x_1⁻¹ * x ∈ H) ↔ ∃ a, ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : a ∉ H ∧ ∀ x ∉ H, x⁻¹ * a ∈ H
b : G
hba : b * a ∈ H
hb : b ∈ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : a ∉ H ∧ ∀ x ∉ H, x⁻¹ * a ∈ H
b : G
hb : b ∉ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
b : G
hb : b ∉ H


Context:
x y : ℝ
f : Cauchy abs

{ cauchy := f⁻¹ } = Real.inv' { cauchy := f }


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H✝ : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: k : ℕ

Context: hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T' f = c • setToSimpleFunc T f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x = c • ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∀ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: c : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f.range ∧ x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : UniformEquicontinuous F


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: h₁ : ∀ (x : β), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F univ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

map₂ m f (pure b) = map (fun x => m x b) f


map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun a => (a, b)) f = map (fun x => m x b) f


Context: m : ℕ


Context: m n : ℕ


Context:
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ

f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ (f.sum fun x x => x) = n ∧ f.support ⊆ s


f.support ⊆ s → (s.sum ⇑f = n ↔ (f.sum fun x x => x) = n)


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
hf : f.support ⊆ s


Context:
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ

uniformSpace α γ = uniformSpace α γ ⊓ uniformSpace α γ


⨅ i, uniformSpace α γ = ⨅ b, bif b then uniformSpace α γ else uniformSpace α γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ
i : Bool

uniformSpace α γ = bif i then uniformSpace α γ else uniformSpace α γ


Context:
a x z✝ z : ℂ
θ : Real.Angle


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
a : ι
h : a ∈ m

f a * (map f (m.erase a)).prod = (map f m).prod


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : μ s ≠ ⊤

μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : μ s ≠ ⊤
this : Fact (μ s < ⊤)


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : MetricSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
K : ℝ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in closedBall (w j) (δ j), f y ∂μ) l (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


(∀ (I : Set α), M.Indep I → I = ∅) ↔ ∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
s s' : Multiset α
p p' : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred p'

s = s' → (∀ x ∈ s, p x = p' x) → countP p s = countP p' s'


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x y : ι → α

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x y : ι → α

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i

Context: val✝ : Fintype ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x y : ι → α

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x y : ι → α

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x y : ι → α

Context: h : ∀ (i : ι), x i < y i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ι → α

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = y i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x : ι → α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ι → α

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i

Context: hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x : ι → α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ι → α

Context: hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i

Context: hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i

Context: hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x : ι → α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ι → α

Context: hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i

Context: hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i

Context: hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε

Context: δ : α

Context: hδ : 0 < δ

Context: hδε : δ < Finset.univ.inf' ⋯ ε


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: n : ℕ

‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

‖term f s 0‖ ≤ ‖↑C / ↑0 ^ (s + (1 - ↑x))‖


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: n : ℕ

Context: hn : n > 0


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: n : ℕ

Context: hn : n > 0

Context: hn' : 0 < ↑n ^ s.re


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : x < s.re

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: n : ℕ

Context: hn : n > 0

Context: hn' : 0 < ↑n ^ s.re

‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (-(s + (1 - ↑x)).re + s.re)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β

comap m (f.lift g) = f.lift (comap m ∘ g)


⨅ i ∈ f, comap m (g i) = ⨅ s ∈ f, (comap m ∘ g) s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Eₘ[s, univ] = Fintype.card α * s.card ^ 2


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι

DiscreteTopology ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))

x ∈ Subtype.val ⁻¹' Metric.ball 0 1 ↔ x ∈ {0}


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: val✝ : Fintype ι


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 0) ⋯

(algebraMap A B) (mk' A 0 h) = (algebraMap A B) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α
h : a < b


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy2' : y < π / 2


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy1' : π / 2 ≤ y


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.41960, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.41964, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p

volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: ys₁ ys₂ : List β

(↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))).minimum


Context:
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α

traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) x = Comp.mk (traverse h <$> traverse g x)


∀ (a : List α), traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) ⟦a⟧ = Comp.mk (traverse h <$> traverse g ⟦a⟧)


Context:
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
a✝ : List α

traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) ⟦a✝⟧ = Comp.mk (traverse h <$> traverse g ⟦a✝⟧)


Comp.mk (((fun x => ofList <$> x) ∘ Traversable.traverse h) <$> Traversable.traverse g a✝) = Comp.mk ((Quotient.lift (Functor.map ofList ∘ Traversable.traverse h) ⋯ ∘ ofList) <$> Traversable.traverse g a✝)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring R
x : R × S

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (RingHom.fst R S) s


Context:
μ : YoungDiagram
i a b : ℕ

(a, b) ∈ μ.row i ↔ (a, b) ∈ {i} ×ˢ Finset.range (μ.rowLen i)


Context:
μ : YoungDiagram
i a b : ℕ

a = i → (b < μ.rowLen a ↔ b < μ.rowLen i)


Context:
μ : YoungDiagram
a b : ℕ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r


↑⟨r, hr⟩ = ↑‖r‖₊


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight 1) d ≠ n


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : CharZero R
f : α → α
x : α
h : IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]

gcd (p * q).eraseLead.content p.leadingCoeff = gcd (p.eraseLead * q).content p.leadingCoeff


gcd p.leadingCoeff (p * q).eraseLead.content = gcd p.leadingCoeff (p.eraseLead * q).content


C p.leadingCoeff ∣ (p * q).eraseLead - p.eraseLead * q


C p.leadingCoeff ∣ C p.leadingCoeff * (X ^ p.natDegree * q) - C p.leadingCoeff * (C q.leadingCoeff * X ^ (p * q).natDegree)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : NullMeasurableSet s μ
hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E (MultilinearMap 𝕜 E' G)

Context: C : ℝ

Context: H : ∀ (m₁ : (i : ι) → E i) (m₂ : (i : ι') → E' i), ‖(f m₁) m₂‖ ≤ (C * ∏ i : ι, ‖m₁ i‖) * ∏ i : ι', ‖m₂ i‖

‖{ toFun := fun m => (f m).mkContinuous (C * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (max C 0) ⋯‖ ≤ max C 0


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
h : f.HasEigenvalue μ
w : V
H : w ∈ f.eigenspace μ
ne0 : w ≠ 0


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
r : α ⊗ α ⟹ repeat n Prop
i : Fin2 n
x : Subtype_ r i

(toSubtype' r ⊚ ofSubtype' r) i x = id i x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : M.Indep I
f : α ↪ β


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Fork f g
ht : IsLimit t
Z : C
k : Z ⟶ t.pt


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o o' : Ordinal.{u}
ho : o < type r
ho' : o' < type r

¬r (enum r o' ho') (enum r o ho) ↔ o ≤ o'


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A B X X' Y Y' Z : C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : Exponentiable A

Context: I : C

Context: t : IsInitial I

Context: this : prod.snd = uncurry (t.to (A ⟹ I))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A B X X' Y Y' Z : C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : Exponentiable A

Context: I : C

Context: t : IsInitial I

t.to (A ⟹ I) ≫ (exp A).map (t.to (A ⨯ I)) = curry (𝟙 (A ⨯ I))


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv

(const abv (f.lim + g.lim) - (f + g)).LimZero


(const abv f.lim - f + (const abv g.lim - g)).LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero α

Context: x y : α

Context: nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)

Context: H : ∀ (z : α), ¬IsUnit z → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y

Context: hx : 0 ∣ x

Context: hy : 0 ∣ y

Context: h : ¬IsUnit 0


Context:
n m : ℕ
h : Ico n m = []


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s : Set α
l : Filter α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
hr' : 0 ≤ r
z : ℂ

∃ x, ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hr' : 0 ≤ r

Context: z : ℂ

Context: cts : ContinuousOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ univ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hr' : 0 ≤ r

Context: z : ℂ

Context: comp : IsCompact (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hr' : 0 ≤ r

Context: z : ℂ

Context: none : (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]]).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hr' : 0 ≤ r

Context: z : ℂ

Context: this : ∃ x ∈ closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]], IsMaxOn (⇑abs ∘ circleTransformBoundingFunction R z) (closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]]) x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h : NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν)

Context: ht : ν t ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : ν t ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : ν t ≠ 0

NullMeasurableSet (Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t) (ν.prod μ)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1


∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) +ᵥ p i = p i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ

c.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ) = c


c.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ) = (re c).toComplexMeasure (im c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ComplexMeasure α
inst✝ : c.HaveLebesgueDecomposition μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(c.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i = ↑((re c).toComplexMeasure (im c)) i


↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }


(↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i).re = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }.re


(↑(c.singularPart μ) i + ↑(μ.withDensityᵥ (c.rnDeriv μ)) i).im = { re := ↑(re c) i, im := ↑(im c) i }.im


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
c : E
inst✝ : NeZero μ
hp_zero : p ≠ 0

‖(Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
c : E
inst✝ : NeZero μ
hp_zero : p ≠ 0
this : μ ≠ 0


(↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)).toReal = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s : Set X
x : ↑s


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hv₀ : 0 < ↑v


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hv₀ hv₁ : 0 < ↑v
hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hf : ξ = ↑⌊ξ⌋


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : |↑⌊ξ⌋ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Context: hf : ξ = ↑⌊ξ⌋


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hf : ξ = ↑⌊ξ⌋

Context: H : 2 * ↑v - 1 < 1


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)

Context: h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this : μ.IsAddHaarMeasure

∀ᵐ (x₀ : G) ∂μ, Tendsto (fun i => ((φ i).normed μ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) l (𝓝 (g x₀))


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Context: h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)

Tendsto (fun i => ((φ i).normed μ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) l (𝓝 (g x₀))


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Tendsto (fun i => ∫ (t : G), (φ i).normed μ (x₀ - t) • g t ∂μ) l (𝓝 (g x₀))


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Context: hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Context: this : Tendsto (((fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ∘ fun r => closedBall x₀ r) ∘ fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Context: this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn g (closedBall x₀ (φ i).rOut) μ


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Tendsto (fun i => ∫ (y : G), (φ i).normed μ (x₀ - y) ∂μ) l (𝓝 1)


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

∀ᶠ (i : ι) in l, (support fun y => (φ i).normed μ (x₀ - y)) ⊆ closedBall x₀ (φ i).rOut


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), |(φ i).normed μ (x₀ - x)| ≤ K ^ FiniteDimensional.finrank ℝ G / (μ (closedBall x₀ (φ i).rOut)).toReal


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
hy : y ≠ 0


Context: z τ : ℂ

(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂ z τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context: z τ : ℂ

∑' (a : ℤ), (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term a (-z) τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term n (-z) τ) = jacobiTheta₂_term n ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
α : Type u_1
I : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

(equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α) x + (equivShrink α) y


(equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) + (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))


Context:
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n

repeat m.succ a = append a (repeat m a) ∘ cast h


∀ (x : Fin (m.succ * n)), repeat m.succ a x = (append a (repeat m a) ∘ cast h) x


∀ (x : Fin (n + m * n)), repeat m.succ a (cast ⋯ x) = (append a (repeat m a) ∘ cast h) (cast ⋯ x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
hb : IsRegular b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b


(match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = b :: l


Context: m n k : ℕ


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R

∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹


∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → inverse (↑x + y) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * y) * ↑x⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : dist t 0 < ‖↑x⁻¹‖⁻¹

inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R

(optionEquivLeft R S₁) (C r) = Polynomial.C (C r)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he✝ : s(t, u) ∈ p.edges
d : G.Dart
hd : d ∈ p.darts
he : d.edge = s(t, u)


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: t u v w : V

Context: p : G.Walk v w

Context: he✝ : s(t, u) ∈ p.edges

Context: d : G.Dart

Context: hd : d ∈ p.darts

Context: he : d.toProd.1 = t ∧ d.toProd.2 = u ∨ d.toProd.1 = u ∧ d.toProd.2 = t


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R

Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) = reesAlgebra I


Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ≤ reesAlgebra I


reesAlgebra I ≤ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)


Context:
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a


Context:
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im

∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im


Context:
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = re * ↑(a.re.gcd a.im)
Him : a.im = im * ↑(a.re.gcd a.im)


Context:
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = ↑(a.re.gcd a.im) * re
Him : a.im = ↑(a.re.gcd a.im) * im


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

Context: h : solution p a₁ a₂ = 0

Context: this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : 0 = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

Context: h : solution p a₁ a₂ = 0

Context: this : 0 ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp a b • p + toIocMod hp a b = b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f x

mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f x

HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x ((mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x))


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

2 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α

x✝ ∈ (f.comp g).Dom ↔ x✝ ∈ g.preimage f.Dom


(∃ y, ∃ a ∈ g x✝, y ∈ f a) ↔ ∃ y, ∃ x ∈ f y, y ∈ g x✝


(∃ b a, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y, ∃ x ∈ f y, y ∈ g x✝


Context:
w x✝ y✝ z : ℝ
x : ℝ≥0
y : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : PreservesColimits G


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C

Context: adj : G ⊣ F

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: this✝ : PreservesColimits G

Context: this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C

Context: adj : G ⊣ F

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: this✝ : PreservesColimits G

Context: this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < φ.order


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) φ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

(φ₁ - φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ - h'.h₁) + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂ - φ₄).τ₁


S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ - (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ - S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂.τ₁ - φ₄.τ₁)


(φ₁ - φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ - h'.h₂) + (h.h₁ - h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ - φ₄).τ₂


S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ - (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ - S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f - h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ - φ₄.τ₂)


(φ₁ - φ₃).τ₃ = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ - h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ - φ₄).τ₃


h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ - (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g - h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ - φ₄.τ₃)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist p₁ p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : (reflection s) p₁ = p₁

Context: p₂ : P


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => χ ↑n) s = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
h : a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤

a * b ≤ a ^ p / ENNReal.ofReal p + b ^ q / ENNReal.ofReal q


a.toNNReal * b.toNNReal ≤ a.toNNReal ^ p / p.toNNReal + b.toNNReal ^ q / q.toNNReal


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian


(↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * ↑(star hA.eigenvectorUnitary)).rank = (diagonal hA.eigenvalues).rank


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hc : c.IsRegular

Context: ho : lift.{v, u} o.card < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord

Context: a : Ordinal.{max u v}


Context: x y : ℂ

sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ

Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: φ : ℕ → Set α

Context: hφ : AECover μ atTop φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: lim₁ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: φ : ℕ → Set α

Context: hφ : AECover μ atTop φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: lim₂ : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in ⋃ k ∈ Iic i, φ k, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: φ : ℕ → Set α

Context: hφ : AECover μ atTop φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: n : ℕ

∫⁻ (x : α) in ⋂ k ∈ Ici n, φ k, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in φ n, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: φ : ℕ → Set α

Context: hφ : AECover μ atTop φ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: n : ℕ

∫⁻ (x : α) in φ n, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in ⋃ k ∈ Iic n, φ k, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h✝ h₁ h₂ g : Set α → Set β
h : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
hh : Monotone h

(f.lift fun s => (𝓟 (g s)).lift h) = f.lift fun s => h (g s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)


∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 * a.2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a
x : ℝ

∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 * a.2


∃ t, (∀ y ∈ t, ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen t ∧ (⊤, ↑a) ∈ t


(∀ y ∈ Ioi ↑(2 * max (x + 1) 0 / a) ×ˢ Ioi ↑(a / 2), ↑x < y.1 * y.2) ∧ IsOpen (Ioi ↑(2 * max (x + 1) 0 / a) ×ˢ Ioi ↑(a / 2)) ∧ (⊤, ↑a) ∈ Ioi ↑(2 * max (x + 1) 0 / a) ×ˢ Ioi ↑(a / 2)


Context:
x : ℂ
h : cos x = 0


Context:
x : ℂ
h : cos x = 0
this : ¬DifferentiableAt ℂ tan x


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
b : β i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context: u v m n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
h : ∀ a ∈ s, star a ∈ s
ha : a ∈ s.centralizer
y : R
hy : y ∈ s


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
x : ℝ


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s✝ s : Opens M

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: e : PartialHomeomorph (↥s) H

Context: xset : Set (PartialHomeomorph (↥s) H)

Context: he : e ∈ xset

Context: x : ↥s

Context: hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
hcd : ⟨c, hc⟩ < ⟨d, hd⟩


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
hcd : ⟨c, hc⟩ < ⟨d, hd⟩
x : α
hcx : c ⋖ x
hxd : x ≤ d


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ G.obj Y

f ≫ g ≫ α.inv.app Y = f' ≫ g' ≫ α.inv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: this : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen ∈ adjoin K {ζ - 1}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LocallyCompactSpace α

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn F f p K


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ

init n (x - y) = init n (init n x - init n y)


Context:
p : ℝ
hp : 0 < p

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = Gamma (1 / p + 1)


Context:
p : ℝ
hp : 0 < p

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ 0 * rexp (-x ^ p)


Context:
p : ℝ
hp : 0 < p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A : C

Context: f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A

Context: H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ f = ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A : C

Context: H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : r₁₂₃ (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L✝ M✝ : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
hf : Injective ⇑f


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u


Context:
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ

∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n : ℕ

Context: H : ¬∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n : ℕ

Context: H : ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: this : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|

Context: this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|

Context: hnm : n ≤ m


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: a b : ℤ

Context: hb : 1 < b

Context: hne : x ≠ ↑a / ↑b

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < ↑b

Context: hne : x ≠ ↑a / ↑↑b

Context: hlt : |x - ↑a / ↑↑b| < 1 / ↑↑b ^ m


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: hne : x ≠ ↑a / ↑b

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: hne : x ≠ ↑a / ↑b

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m

Context: h : N ≤ b


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n N : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: a : ℤ

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: hne : x ≠ ↑a / ↑b

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m

Context: h : b < N


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β

(∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ

𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K) ≫ 𝟙 (homology K a') = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K)


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)

x ∈ piFinset s ↔ x 0 ∈ s 0 ∧ tail x ∈ piFinset (tail s)


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


Context: l r : List Char

Context: h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

{ s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.curr = r.headD default


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬M.Basis I X
hJ : M.Basis J X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : M.Basis J X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
e : α
he : e ∈ J \ I
hi : (M ↾ X).Indep (insert e I)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) × β n

Context: F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) × β n

Context: F_cont : Continuous F


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) × β n

Context: F_cont : Continuous F

Context: F_range : range F = ⋃ n, s n


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
contra : derivedSeries R L 1 = ⊤


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : ⊤ = ⊥
contra : derivedSeries R L 1 = ⊤


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: ι : Type u_5

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: p : ι → K[X]

Context: s : Finset ι

Context: h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0

Context: h : ∀ i ∈ s, IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)

Context: F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i

IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: ι : Type u_5

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: p : ι → K[X]

Context: s : Finset ι

Context: h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0

Context: hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: ι : Type u_5

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: p : ι → K[X]

Context: s : Finset ι

Context: h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0

Context: hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F

Context: h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)

Splits (algebraMap K ↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i) ∧ ⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: ι : Type u_5

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: p : ι → K[X]

Context: s : Finset ι

Context: h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0

Context: hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F

⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: ι : Type u_5

Context: t : ι → IntermediateField K L

Context: p : ι → K[X]

Context: s : Finset ι

Context: h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0

Context: hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F

⨆ i ∈ s, t i = ⨆ i ∈ s, adjoin K ((p i).rootSet L)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup L
inst✝¹¹ : Module R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Fintype ι'
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

(tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpolyAux b (Module.Free.chooseBasis R M))


(tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) = (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (basis A (Module.Free.chooseBasis R M))


Context:
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f g : MonoidAlgebra R M

Context: ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f

Context: ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = g

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f + g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: r : R

Context: f : MonoidAlgebra R M

Context: ih : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = r • f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β

countP p (l.bind f) = Nat.sum (map (countP p ∘ f) l)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
r : A

r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')


(∃ y ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal, ∃ z ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal, y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asHomogeneousIdeal


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : f ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal
g : A
hg : g ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
g : A
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asHomogeneousIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'


Context:
f g : Code
k : Cont'

codeSupp (f.case g) k = trStmts₁ (trNormal (f.case g) k) ∪ (codeSupp f k ∪ codeSupp g k)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ≥0

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 ↑I)

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal ↑I))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: s : Set R

Context: x : R


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α


s.encard - {x}.encard ≤ (s \ {x}).encard


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β

Context: C : ℝ

Context: f g : α →C₀ β


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p.natDegree ≤ n

(p /ₘ (X - C a)).coeff n = ∑ i ∈ Icc (n + 1) p.natDegree, a ^ (i - (n + 1)) * p.coeff i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ -1

Context: this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ -1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a

(insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1


(⇑ofDual ⁻¹' insert a s).chainHeight = (⇑ofDual ⁻¹' s).chainHeight + 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hs : s ∈ l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hs : univ ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Inducing f


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

w.head ∈ toSubgroup A B u → ∀ (x : G), ¬w.toList.head? = some (-u, x)


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P

(s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w₂


∑ i ∈ s, w₁ i • (p₁ i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p₂ i -ᵥ b)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l

(PB l R)ᵀ * JB l R * PB l R = 2 • fromBlocks 1 0 0 (S l R)


Context: a b m n✝ p✝ n p : ℕ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V
r : k

(((linearization k G).obj X).ρ g) (Finsupp.single x r) = Finsupp.single (X.ρ g x) r


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'

Tendsto (norm ∘ f') l atTop ↔ Tendsto (norm ∘ g') l atTop


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : Monotone ⇑f
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
a b : α
hl : a ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α

⌈a⌉₊ ≤ ⌊a⌋₊ + 1


a ≤ ↑⌊a⌋₊ + 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5

reindex R M (Equiv.refl ι) = Equiv.refl (Orientation R M ι)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝ : MeasurableSingletonClass β

∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

(fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = (fderiv 𝕜 f x) 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
h : S ≤ f.range


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : MulOneClass G

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f g : MonoidAlgebra k G →+* R

Context: h₁ : ∀ (b : k), f (single 1 b) = g (single 1 b)

Context: h_of : ∀ (a : G), f (single a 1) = g (single a 1)

Context: a : G

Context: b : k

((fun f => ↑f) f) (Finsupp.single a b) = ((fun f => ↑f) g) (Finsupp.single a b)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : MulOneClass G

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f g : MonoidAlgebra k G →+* R

Context: a : G

Context: b : k

((fun f => ↑f) f) (single 1 b * single a 1) = ((fun f => ↑f) g) (single 1 b * single a 1)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : MulOneClass G

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f g : MonoidAlgebra k G →+* R

Context: a : G

Context: b : k

f (single 1 b * single a 1) = g (single 1 b * single a 1)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
x✝ y✝ : α ⊕ β →₀ M

__src✝.toFun (x✝ + y✝) = __src✝.toFun x✝ + __src✝.toFun y✝


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ

(x * y * z).coeff b = (x * (y * z)).coeff b


∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ b, (x * y).coeff ij.1 * z.coeff ij.2 = ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ b, x.coeff ij.1 * (y * z).coeff ij.2


∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2 * z.coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 * (y.coeff x_1.snd.1 * z.coeff x_1.snd.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → β × List β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this✝ : Primcodable (List β) := prim H

Context: this : Primrec fun a => Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a)))

Context: a : α

Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a))) = some (List.casesOn (f a) (g a) fun b l => h a (b, l))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α


(fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) 0


∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) s → (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) (a_1 ::ₘ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ

(Nat.rfind fun n_1 => (fun m => decide (m = 0)) <$> (↑(decode (Nat.pair n n_1))).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Part.map (fun b => bif (a, b).2 then 0 else 1) (p a.1 a.2)) a)) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Nat.rfind (p a)) a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a

(Nat.rfind fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = Nat.rfind (p a)


(fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ

Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n)) = p a n


Part.map (fun x => decide ((bif x then 0 else 1) = 0)) (p a n) = p a n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
b : Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
this : Infinite ↑{i | ε ≤ a i}


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X

x ∉ setOfIdeal I ↔ ∀ ⦃f : C(X, R)⦄, f ∈ I → f x = 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
hK : (H.subgroupOf K).Normal
HK : H ≤ K
x : G
hx : x ∈ K
y : G
yH : x * y * x⁻¹ ∈ H


Context: μ : YoungDiagram


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s

s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)


P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → s ⊆ y → s = y) ↔ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
x✝ : P s
h : ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
t : Set α
ht : P t
hst : s ⊆ t
x : α
hxt : x ∈ t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x y : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ f p ↔ (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ ∀ (m : ℕ) (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y m) (p x m.succ).curryLeft x


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝¹ : BorelSpace ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: n : ι

Context: hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n

Context: this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)