Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a

∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N

∀ (x y : FreeMonoid ((i : ι) × M i)), Rel M x y → (Con.ker (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd)) x y


∀ (x y : FreeMonoid ((i : ι) × M i)), Rel M x y → (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) x = (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) y


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
i : ι
x : M i

((fun f i => f.comp of) ((fun fi => (conGen (Rel M)).lift (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) ⋯) fi) i) x = (fi i) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
is ts : List α

(is ++ ts).permutations = map (fun x => x ++ ts) is.permutations ++ ts.permutationsAux is.reverse


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

∀ x ∈ image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = x) s, f y = 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: xbar : Quotient R

Context: xbar_in_s : xbar ∈ image Quotient.mk'' s

∏ y ∈ filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y = 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s

∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: h : ∀ x ∈ s, ∏ x ∈ filter (fun y => ⟦y⟧ = ⟦x⟧) s, f x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x✝ : α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : List α

s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ count m s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)


Tendsto ((fun p => dist p.1 p.2) ∘ fun x => (p x.1, p x.2)) (comap (fun x => x.1 - x.2) (𝓝 0)) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α

(M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep (X ∩ I)


Context:
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A


Context:
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this : FiniteDimensional F A


Context: F✝ : Type u

Context: K✝ : Type v

Context: A✝ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝

Context: inst✝⁹ : DivisionRing K✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup A✝

Context: inst✝⁷ : Module F✝ K✝

Context: inst✝⁶ : Module K✝ A✝

Context: inst✝⁵ : Module F✝ A✝

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝

Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: hp : Nat.Prime (finrank F A)

Context: K : Subalgebra F A

Context: this✝ : FiniteDimensional F A

Context: this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K


Context: F✝ : Type u

Context: K✝ : Type v

Context: A✝ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝

Context: inst✝⁹ : DivisionRing K✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup A✝

Context: inst✝⁷ : Module F✝ K✝

Context: inst✝⁶ : Module K✝ A✝

Context: inst✝⁵ : Module F✝ A✝

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝

Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: hp : Nat.Prime (finrank F A)

Context: K : Subalgebra F A

Context: this✝ : FiniteDimensional F A


Context: F✝ : Type u

Context: K✝ : Type v

Context: A✝ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝

Context: inst✝⁹ : DivisionRing K✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup A✝

Context: inst✝⁷ : Module F✝ K✝

Context: inst✝⁶ : Module K✝ A✝

Context: inst✝⁵ : Module F✝ A✝

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝

Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: hp : Nat.Prime (finrank F A)

Context: K : Subalgebra F A

Context: this✝ : FiniteDimensional F A

Context: h : finrank F ↥K = finrank F A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : f x ∈ Ioo (f a) (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : a < x → b ≤ x


Context:
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α

foldrAux f a { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m


foldrAux f a { data := l ++ m.reverse.reverse ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m.reverse.reverse } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m.reverse.reverse


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p₁ p₂ : Path x₀ x₁
hp : ∀ (t : ↑I), p₁ t = p₂ t

HEq ⟦p₁⟧ ⟦p₂⟧


Context:
α : Type u
β : Type v

∀ {l : List (Computation α)} {S : WSeq (Computation α)} {c : Computation α}, c ∈ l → c.Terminates → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: lem1 : ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), (∃ a, parallel.aux2 l = Sum.inl a) → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

X.map (SimplexCategory.σ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯)).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)).op


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasSum (fun n => x ^ n / ↑n !) (exp 𝕂 x)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

HasSum (fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (exp 𝕂 x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: n : ℕ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: P : InjectiveResolution X

Context: Q : InjectiveResolution Y

Context: g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex

Context: w : P.ι ≫ g = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ Q.ι

(F.rightDerived n).map f = (P.isoRightDerivedObj F n).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map g ≫ (Q.isoRightDerivedObj F n).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasInjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: n : ℕ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: P : InjectiveResolution X

Context: Q : InjectiveResolution Y

Context: g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b

BddAbove {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N
hn' : ¬n ≤ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⋃ x, ⋃ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∪ ⋃ x, ⋃ (h : p x), s x ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝¹ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs✝ : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s
a : α
h : a < b
hs : Ioo a b ⊆ s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

((α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj

𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) ((α.vcomp β.toNatTrans).app a)


𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) (α.app a ≫ β.app a)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m

(toMatrix b b) ((lmul R S) x) i j = (b.repr (x * b j)) i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x y y' : α
h : y ≠ y'


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

((𝟙 N₂ ◫ N₂Γ₂.inv) ≫ (N₂.associator Γ₂ N₂).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans ◫ 𝟙 N₂).app P = (𝟙 N₂).app P


(N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂.map (𝟙 (N₂.obj P)))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P) = 𝟙 (N₂.obj P)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ


Context: a x : ℝ

↑(⋯.lift ↑a) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
y : L

y ∈ LieModule.ker R L L ↔ y ∈ center R L


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)

ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v

Context: ℱ' : SheafOfTypes K

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : C

Context: i : G.obj X ⟶ G.obj Y

Context: x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)

Context: this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v

Context: ℱ' : SheafOfTypes K

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : C

Context: i : G.obj X ⟶ G.obj Y

Context: x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)

Context: V : C

Context: iVX : V ⟶ X

Context: iVY : V ⟶ Y

Context: e : G.map iVY = G.map iVX ≫ i

ℱ'.val.map (G.map iVX).op (ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x)) = ℱ'.val.map (G.map iVX).op (α.app (op X) (ℱ.map i.op x))


Context:
α : Type u_1
l m r : List Char
f : Char → α → α
init : α

Substring.foldr f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldr f init m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: pb' : PowerBasis A S'

Context: h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0

Context: h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0

Context: x : S'

((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) x = (AlgHom.id A S') x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: pb' : PowerBasis A S'

Context: f : A[X]

((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) ((aeval pb'.gen) f) = (AlgHom.id A S') ((aeval pb'.gen) f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: pb' : PowerBasis A S'

Context: x : S

((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) x = (AlgHom.id A S) x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A S

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra A S'

Context: pb : PowerBasis A S

Context: pb' : PowerBasis A S'

Context: f : A[X]

((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) ((aeval pb.gen) f) = (AlgHom.id A S) ((aeval pb.gen) f)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

Context: key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

Context: hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ ↑m / ↑p ^ ↑n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: m n : ℕ

Context: r' q' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

(algebraMap (𝕎 k) (Localization (nonZeroDivisors (𝕎 k)))) ((frobeniusEquiv p k) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
P : RegularExpression α
x : List α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝

u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i✝ ↔ u ∈ f i✝ '' univ


(∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 ⟹ α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 i✝ '' univ) ↔ u ∈ f i✝ '' univ


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ 1 • s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
x : α

tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : g ^ a.val = g ^ b.val


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑a.val = ↑b.val


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x


y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄

comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap


(associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
m₁ : M₁
m₃ : M₃
m₁' : M₁
m₃' : M₃

((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)))) m₁) m₃)) m₁') m₃' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃))) m₁) m₃)) m₁') m₃'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : l ∈ Finsupp.supported 𝕜 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : ∀ x ∉ s, l x = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun m => κ.density ν a x (seq m)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density ν a x (seq n)) (ν a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : γ), κ.density ν a a_1 (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : γ), 0 ∂ν a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

∀ᵐ (a_1 : γ) ∂ν a, Antitone fun i => κ.density ν a a_1 (seq i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

∀ᵐ (a_1 : γ) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), 0 ≤ κ.density ν a a_1 (seq i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b₁✝ b₁ : α

Context: h : (fun b => s(a, b)) b₁✝ = (fun b => s(a, b)) b₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b₁✝ b₁ : α
h : b₁✝ = b₁ ∨ a = b₁ ∧ b₁✝ = a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzOnWith C f s

Context: A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ

∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzOnWith C f s

∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf : LipschitzOnWith C f s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

leftHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ - leftHomologyMap' φ' h₁ h₂


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0

LinearIndependent R ![a • x + b • y, c • x + d • y]


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: I1 : s * a + t * c = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: I1 : s * a + t * c = 0

Context: I2 : s * b + t * d = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: I1 : s * a + t * c = 0

Context: I2 : s * b + t * d = 0

Context: J1 : (a * d - b * c) * s = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M✝

Context: inst✝¹⁰ : Ring R✝

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M''

Context: a✝ b✝ : R✝

Context: x✝ y✝ : M✝

Context: R : Type u_8

Context: M : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NoZeroDivisors R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: a b c d : R

Context: h' : a * d - b * c ≠ 0

Context: s t : R

Context: I1 : s * a + t * c = 0

Context: I2 : s * b + t * d = 0

Context: J1 : (a * d - b * c) * s = 0

Context: J2 : (a * d - b * c) * t = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

sublistsLen (a :: l).length (a :: l) = [a :: l]


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

(λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y = (λ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).inv


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: U : β → Set (α × α)

Context: hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: f : β → α

Context: hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: U : β → Set (α × α)

Context: hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: f : β → α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: U : β → Set (α × α)

Context: hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: f : β → α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: N : β

Context: hN : U N ⊆ s

Context: m n : β

Context: hmn : (m, n) ≥ (N, N)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} V

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms V

Context: A B C : V

Context: f : A ⟶ B

Context: inst✝² : HasImage f

Context: g : B ⟶ C

Context: inst✝¹ : HasKernel g

Context: inst✝ : ConcreteCategory V

Context: w : f ≫ g = 0

Context: x : (forget V).obj (Subobject.underlying.obj (imageSubobject f))

(kernelSubobject g).arrow ((imageToKernel f g w) x) = (imageSubobject f).arrow x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
hy : (swap x (f x) * f) y ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: x y : α

Context: hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

Context: y : ↥(LinearMap.ker f')

↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) (↑y + a) = (f (↑y + a), y)


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i

(addMonoidHom fun i => (f i).comp (f₂ i)) = (addMonoidHom f).comp (addMonoidHom f₂)


∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0


∀ (i : ι), ((fun i x => (f i) x) i ∘ (fun i x => (f₂ i) x) i) 0 = 0


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ sᶜ

(Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inr ⟨x, hx⟩


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : Field k
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq k
f : R →+* k
x : R[X]

EuclideanDomain.gcd (map f 0) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd 0 x)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : DecidableEq k

Context: f : R →+* k

Context: x y : R[X]

Context: x✝ : x ≠ 0

Context: ih : EuclideanDomain.gcd (map f (y % x)) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd (y % x) x)

EuclideanDomain.gcd (map f x) (map f y) = map f (EuclideanDomain.gcd x y)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Sylow p G
x✝ : G

x✝ ∈ stabilizer G P ↔ x✝ ∈ (↑P).normalizer


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ

Context: hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ

martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ

f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ

Context: ω : Ω

Context: hω : h n ω = h 0 ω

(f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ

Context: ω : Ω

Context: hω : (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) n ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ

Context: ω : Ω

Context: hω : (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

Context: hhmgle : Martingale h ℱ μ

Context: ω : Ω

(f 0 - ((f + g) 0 - predictablePart (f + g) ℱ μ 0)) ω = 0 ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α


x ∈ ∅ ↔ y ∈ ∅


∀ (t : Set α), (x ∈ t ↔ y ∈ t) → (x ∈ tᶜ ↔ y ∈ tᶜ)


∀ (f : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), x ∈ f n ↔ y ∈ f n) → (x ∈ ⋃ i, f i ↔ y ∈ ⋃ i, f i)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g✝ : Y → Z
g : Z → W
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g✝ : Y → Z

Context: g : Z → W

Context: hf : Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

Context: hg : Continuous g ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter Z⦄ ⦃y : W⦄, Tendsto g (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

Continuous (Prod.map f g) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter (X × Z)⦄ ⦃y : Y × W⦄, Tendsto (Prod.map f g) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, Prod.map f g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α → E

∫ (z : α × β), f z.1 ∂μ.prod ν = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ


∫ (z : β × α), f z.swap.1 ∂ν.prod μ = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a

Context: ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }

Context: f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val

Context: hι : Nonempty ι

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c

Context: h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a

Context: f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val

Context: hι : Nonempty ι

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c

Context: j : Cardinal.{u}

Context: h' : j < c

Context: hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j

Quotient.liftOn₂ c j (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a

Context: f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val

Context: hι : Nonempty ι

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c

Context: j : Cardinal.{u}

Context: h' : j < c

Context: hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j

Context: this : #(Quotient.out (f ⟨c, hc⟩)) ≤ #(Quotient.out (f ⟨j, hj⟩))


Context:
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R

((MulSemiringActionHom.id N).comp f) x = f x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup G

Context: x₀ : G

Context: R : ℝ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀

Context: h2 : ∀ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)

(f ⋆[L, μ] g) x₀ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g x₀) ∂μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf

∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)

Context: f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf

Context: this : μ.withDensity f = μ.withDensity f'


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Groupoid G

Context: inst✝² : IsFreeGroupoid G

Context: T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))

Context: inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)

Context: X : Type u

Context: inst✝ : Group X

Context: f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X

Context: f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩

∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a


Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Groupoid G

Context: inst✝² : IsFreeGroupoid G

Context: X : Type u

Context: inst✝ : Group X

Context: F' : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X

Context: hF' : ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F'.map (of g) = f' g

Context: uF' : ∀ (y : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X), (fun F => ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F.map (of g) = f' g) y → y = F'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h✝ : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
h : G

((X f).comp (𝑳 I g)) h = (X (f.comp (𝑳 I g))) h


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : SeparableSpace α

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsd : Dense s

Context: t : ℕ → Set (α × α)

Context: hto : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets ∧ IsOpen (t i) ∧ SymmetricRel (t i)

Context: h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)


toTopologicalSpace = generateFrom (⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k))


∀ u ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), IsOpen u


∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

f.lintegral (Measure.sum μ) = ∑' (i : ι), f.lintegral (μ i)


∑' (x : { x // x ∈ f.range }) (i : ι), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x}) = ∑' (i : ι) (x : { x // x ∈ f.range }), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Unique αˣ
M : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p q : M
pp : Prime p
qp : Prime q


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hg : g x = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f


∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ segment 𝕜 a b → f c ∈ uIcc (f a) (f b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
a✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀

IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))

Context: hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)

Context: h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: H₁ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: H₂ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F' a ∂μ) x₀


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E

∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁

((b₁.linearMap b₂) (i, j)) (b₁ k) = if (i, j).2 = k then b₂ (i, j).1 else 0


∑ j_1 : ι₂, stdBasisMatrix i j 1 j_1 k • b₂ j_1 = if (i, j).2 = k then b₂ (i, j).1 else 0


∑ j_1 : ι₂, (if i = j_1 ∧ j = k then 1 else 0) • b₂ j_1 = if j = k then b₂ i else 0


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P


p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃) +ᵥ p₃ = p₁ -ᵥ p₃ +ᵥ p₃


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles

3 * (G.cliqueFinset 3).card ≤ G.edgeFinset.card


(G.cliqueFinset 3).card * 3 ≤ G.edgeFinset.card * 1


∀ a ∈ G.cliqueFinset 3, 3 ≤ (bipartiteAbove (fun s e => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset a).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
e : Sym2 α
he : e ∈ G.edgeFinset

(bipartiteBelow (fun s e => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) e).card ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SigmaFinite ν

Context: inst✝³ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SigmaFinite ν

Context: inst✝³ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n

(ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (f + g) p) n = (f * g) n


∏ p ∈ n.primeFactors, (f + g) p = (f * g) n


∏ x ∈ n.primeFactors, (f x + g x) = (f * g) n


∑ t ∈ n.primeFactors.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ t, g i = ∑ i ∈ (↑n.primeFactorsList).toFinset.powerset, f i.val.prod * g (n / i.val.prod)


∀ x ∈ n.primeFactors.powerset, (∏ i ∈ x, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ x, g i = f x.val.prod * g (n / x.val.prod)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ∈ n.primeFactors.powerset

(∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ n.primeFactors \ t, g i = f t.val.prod * g (n / t.val.prod)


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h1 : a.gcd m ∣ m


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h1 : a.gcd m ∣ m
h2 : b.gcd m ∣ m


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

o.rightAngleRotation (o.rightAngleRotation x) = -x


(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) ((LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) x) = -x


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G


Context:
α : Type u
β : Type v
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
n : ℕ
e : G ≃ Fin n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : Disjoint s t


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
k : ℝ := ↑(2 * n)!


k⁻¹ • (-↑(normSq q)) ^ n = k⁻¹ • ↑((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n))


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A B : Set X
x : X

x ∈ derivedSet (A ∪ B) ↔ x ∈ derivedSet A ∪ derivedSet B


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

index (↑K) V ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : ↑K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h1t : ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

(t * s).card ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

t * s ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

↑K ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

∀ i ∈ s, (fun h => i * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

Context: g₁ : G

Context: hg₁ : g₁ ∈ s

(fun h => g₁ * h) ⁻¹' ↑K₀ ⊆ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

Context: g₁ : G

Context: hg₁ : g₁ ∈ s

∀ (a : G), g₁ * a ∈ ↑K₀ → a ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

Context: g₁ : G

Context: hg₁ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀

Context: g₃ : G

Context: hg₃ : g₃ ∈ t

Context: h2V : g₁ * g₂ ∈ (fun h => (fun h => g₃ * h) ⁻¹' V) hg₃

g₂ ∈ ⋃ g ∈ t * s, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index ↑K ↑K₀

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index (↑K₀) V

Context: g₁ : G

Context: hg₁ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: hg₂ : g₁ * g₂ ∈ ↑K₀

Context: g₃ : G

Context: hg₃ : g₃ ∈ t

Context: h2V : g₃ * g₁ * g₂ ∈ V


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => x) x) (c₂ * (fun x => x) x)


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (b * (fun x => x) x) (c₂ * (fun x => x) x)


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => x) u ∈ Set.Icc (b * (fun x => x) x) (1 * (fun x => x) x)


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
x u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
inst✝ : Group G
s : Set G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CoheytingAlgebra α
inst✝² : CoheytingAlgebra β
inst✝¹ : CoheytingAlgebra γ
inst✝ : CoheytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : CoheytingHom α β
g g₁ g₂ : CoheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hfu : UnifIntegrable f p μ

Context: M : ℝ≥0

Context: hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hfu : UnifIntegrable f p μ

Context: M : ℝ≥0

Context: hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), μ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: k : ℕ

Context: x : (i : ι) → E₁ i

‖f.iteratedFDeriv k x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial k) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - k)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
n : ℕ

((X - C x) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s

{ ofColex := insert a s } ≤ { ofColex := insert b s } ↔ a ≤ b


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g✝ g : G


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

(((ofQuaternion.toLinearMap ∘ₗ toQuaternion.toLinearMap) ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inl R R R) 1 = (((AlgHom.id R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))).toLinearMap ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inl R R R) 1


(((ofQuaternion.toLinearMap ∘ₗ toQuaternion.toLinearMap) ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inr R R R) 1 = (((AlgHom.id R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))).toLinearMap ∘ₗ ι (Q c₁ c₂)) ∘ₗ LinearMap.inr R R R) 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α

Equicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), Continuous (F i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: this : aeval x = (ofId R A).comp ↑(isEmptyAlgEquiv R ι)

AlgebraicIndependent R x ↔ Injective ⇑(algebraMap R A)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Injective ⇑((ofId R A).comp ↑(isEmptyAlgEquiv R ι)) ↔ Injective (⇑(algebraMap R A) ∘ ⇑(isEmptyAlgEquiv R ι))


Context: m n : ℕ


Context: m n : ℕ

m + n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + (m + n)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n p : ℤ
hp : Even p
a : α


Context:
α : Type u_1
c₀ : RBColor
n₀ : Nat
c : RBColor
n : Nat
c' : RBColor
t : RBNode α
path : Path α
hp : Path.Balanced c₀ n₀ path c n
ht : DelProp c' t n
hc : c = black → c' ≠ red


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

‖f z‖ ≤ ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

‖f z‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (1 - z.re) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

‖f z‖ * ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (1 - z.re)) ^ (-1) * ((ε + sSupNormIm f 1) ^ z.re) ^ (-1) ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1


Context:
σ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
h : 0 < k

psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 ∈ Set.Ioo 0 k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides : (fun x => x - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2) (↑k * esymm σ R k) = (fun x => x - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2) ((-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2))


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2

Context: sub_both_sides : (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) (↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2) = (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) ((-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: this : filter (fun a => a.1 < k ∧ ¬0 < a.1) (antidiagonal k) = {(0, k)}


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (0, k).1 * esymm σ R (0, k).1 * psum σ R (0, k).2


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: sub_both_sides : (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 = psum σ R k


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : AddMonoid ι
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι

(proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ Icc a₁ a₂ ×ˢ Icc b₁ b₂ ↔ (x, y) ∈ Icc (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context:
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b

∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (x * b) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (a * b), g x


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : μ.toFiniteAux = 0


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : μ.toFiniteAux = 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ.toFiniteAux s = 0 s

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ.toFiniteAux s = 0 s


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : ∀ (i : ℕ), 2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ i) s = 0


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: n : ℕ

Context: h : 2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ = ⊤ ∨ (sFiniteSeq μ n) s = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
r : R
i : ι
h : r ∈ A i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
t : Set α
hsub : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
hts : t =ᶠ[ae μ] s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
t : Set α
hsub : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
hts : t =ᶠ[ae μ] s
x : α
hxt : x ∈ t
m : ℕ
hm₀ : m ≠ 0
hmt : f^[m] x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
x✝ : α × β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ t.biUnion fun b => image (fun a => (a, b)) s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ t : List α
s : t <+ l₁
e : t ++ l₂ = l₁ ∪ l₂
h : a ∈ l₁ ∪ l₂


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ t : List α
s : t <+ l₁
e : t ++ l₂ = l₁ ∪ l₂
h : ¬a ∈ l₁ ∪ l₂


Context: R : Type u_1


Context: R : Type u_1

μ 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → μ (m * n) = μ m * μ n


Context:
R : Type u_1
n m : ℕ
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
hnm : n.Coprime m


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

(p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ

(f.ppow (k + 1)) x = (f.pmul (f.ppow k)) x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : T
m : M
s : ↥S


(IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 * IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S y).1 (IsLocalization.sec S y).2) • mk m s = IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 • IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S y).1 (IsLocalization.sec S y).2 • mk m s


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeInf α
s✝ t : Set α
a b : α
s : ι → α

iInf s ≤ a ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), b ≤ s i) → b ≤ a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E

(μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a

H.IsComplement' (MulAction.stabilizer G a)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G
h : ↥H
hh : h • g • a = a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
a : α
h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1
h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a
g : G
h : ↥H
hh : h • g • a = a
hh' : (↑h * g) • a = a


∀ (y : ↑↑H × ↑↑(MulAction.stabilizer G a)), (fun x => ↑x.1 * ↑x.2 = g) y → y = (h⁻¹, ⟨↑h * g, hh'⟩)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: a : α

Context: h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1

Context: h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a

Context: h : ↥H

Context: h' : ↑↑H

Context: g : G

Context: hg : g • a = a

Context: hh : h • (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2) • a = a

Context: hh' : (↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2)) • a = a

(h', ⟨g, hg⟩) = (h⁻¹, ⟨↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2), hh'⟩)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: a : α

Context: h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a

Context: h : ↥H

Context: h' : ↑↑H

Context: g : G

Context: hg : g • a = a

Context: h1 : h * h' = 1


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x


∀ᶠ (n : ℤ) in Filter.comap Int.cast atBot, p ↑n


Context:
p : Char → Bool
s : String

s.find p = { byteIdx := utf8Len (List.takeWhile (fun x => !p x) s.data) }


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
E : Set X
x : X

x ∈ thickening δ E ↔ x ∈ ⋃ x ∈ E, ball x δ


x ∈ thickening δ E ↔ ∃ i ∈ E, x ∈ ball i δ


Context:
u✝ u : XgcdType
h : u.r ≠ 0

(if x : u.r = 0 then u.finish else u.step.reduce.flip) = u.step.reduce.flip


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ (b : β), C (f b)
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ (b : β), C (f b)
n : ℕ
b : β


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis' I X
hJ : M.Basis' J X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : (M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Multiset R

∀ (a : List R), trop (sum ⟦a⟧) = (map trop ⟦a⟧).prod


Context: a b c p q : ℚ


Context: a b c p q : ℚ

p.num /. ↑p.den ≤ q.num /. ↑q.den ↔ (p.num /. ↑p.den).num * ↑(q.num /. ↑q.den).den ≤ (q.num /. ↑q.den).num * ↑(p.num /. ↑p.den).den


Context: a b c p q : ℚ

p.num /. ↑p.den ≤ q.num /. ↑q.den ↔ p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den