Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: h : ↑p ∣ a - b

Context: k : ℕ

Context: ih : ↑p ^ (k + 1) ∣ a ^ p ^ k - b ^ p ^ k


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: h : ↑p ∣ a - b

Context: k : ℕ

↑p * ↑p ^ (k + 1) ∣ (∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)) * (a ^ p ^ k - b ^ p ^ k)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: h : ↑p ∣ a - b

Context: k : ℕ

↑p ∣ ∑ i ∈ Finset.range p, (a ^ p ^ k) ^ i * (b ^ p ^ k) ^ (p - 1 - i)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: h : ↑p ∣ a - b

Context: k : ℕ

Context: f : R →+* R ⧸ span {↑p} := mk (span {↑p})


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: h : ↑p ∣ a - b

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (r : R), ↑p ∣ r ↔ f r = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: a b : R

Context: k : ℕ

Context: h : f a = f b

Context: hf : ∀ (r : R), ↑p ∣ r ↔ f r = 0


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ l₁ ∩ l₂


Context:
n m : ℕ
h : Nonempty (Fin n ↪ Fin m)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
h : 0 < z⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : Set (Sym2 α)
x y : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x y : A
n : ℕ
hxy : x ≡ y [SMOD I]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: I : Ideal A

Context: x y : A

Context: n : ℕ

Context: hxy : (Ideal.Quotient.mk I) x = (Ideal.Quotient.mk I) y

(Ideal.Quotient.mk I) x ^ n = (Ideal.Quotient.mk I) y ^ n


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
φ : K →+* ℂ

IsUnramified k (mk φ) ↔ ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hφ : ¬IsUnramified k (mk φ)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hφ : (mk φ).IsComplex ∧ ((mk φ).comap (algebraMap k K)).IsReal


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hφ : ¬ComplexEmbedding.IsConj φ 1 ∧ ComplexEmbedding.IsReal (φ.comp (algebraMap k K))


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower k K ℂ

Context: φ' : K →ₐ[k] ℂ := let __src := star φ; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: this✝² : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower k K ℂ

Context: this : ComplexEmbedding.IsConj φ (φ'.restrictNormal' K)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M

x ∈ span R (insert y s) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s


(∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y


(fun x_1 => x_1 - x) '' interior s ⊆ tangentConeAt ℝ s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
z : G
zs : z ∈ interior s

(fun x_1 => x_1 - x) z ∈ tangentConeAt ℝ s x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C

(X.tensorObj tensorUnit).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.rightUnitor X.src).hom (prod.rightUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
hn : Even n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
n : ℕ
hn : Even (2 * n)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x

HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasDerivAt c c' x

Context: hu : HasDerivAt u u' x

Context: this : HasDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : ¬IsZero Y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : ¬biprod.inl = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : biprod.inl ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : biprod.inl ≠ 0
this : Simple (Y ⊞ Z)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X : C
inst✝ : Simple X
Y Z : C
i : X ≅ Y ⊞ Z
h : IsIso biprod.inl
this : Simple (Y ⊞ Z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
n : ℕ
ih : (preimage f)^[n] s =ᵐ[μ] s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
n : ℕ
hn : s ≤ n • r


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
n : ℕ
hn : s ≤ ↑n • r


Context: R : Type u

Context: K : Type u'

Context: M : Type v

Context: V : Type v'

Context: M₂ : Type w

Context: V₂ : Type w'

Context: M₃ : Type y

Context: V₃ : Type y'

Context: M₄ : Type z

Context: ι : Type x

Context: ι' : Type x'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: φ : ι → Type i

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (φ i)

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M

Context: h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ single i = g ∘ₗ single i


Context: R : Type u

Context: K : Type u'

Context: M : Type v

Context: V : Type v'

Context: M₂ : Type w

Context: V₂ : Type w'

Context: M₃ : Type y

Context: V₃ : Type y'

Context: M₄ : Type z

Context: ι : Type x

Context: ι' : Type x'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: φ : ι → Type i

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (φ i)

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M

Context: i : ι

Context: x : φ i


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.41266, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(F.shift n₀).map φ.hom₃ ≫ F.shiftMap T'.mor₃ n₀ n₁ ⋯ = F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (F.shift n₁).map φ.hom₁


Context:
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ


Context:
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ

↑a * a.gcdA b + 0 ≡ ↑a * a.gcdA b + ↑b * a.gcdB b [ZMOD ↑b]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : μ (⋃ n, s n) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), μ (s n) ≤ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝ : BraidedCategory C

Context: tensorObj : Mon_ C → Mon_ C → Mon_ C := fun M N => { X := M.X ⊗ N.X, one := (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one), mul := tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul), one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }

Context: X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C

Context: f : X₁ ⟶ Y₁

Context: g : X₂ ⟶ Y₂

((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (X₁.one ⊗ X₂.one)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (Y₁.one ⊗ Y₂.one)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝ : BraidedCategory C

Context: X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C

Context: f : X₁ ⟶ Y₁

Context: g : X₂ ⟶ Y₂

(tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ (X₁.mul ⊗ X₂.mul)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = ((f.hom ⊗ g.hom) ⊗ f.hom ⊗ g.hom) ≫ tensor_μ C (Y₁.X, Y₂.X) (Y₁.X, Y₂.X) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝ : BraidedCategory C

Context: X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C

Context: f : X₁ ⟶ Y₁

Context: g : X₂ ⟶ Y₂

(tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ (X₁.mul ⊗ X₂.mul)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = (tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ ((f.hom ⊗ f.hom) ⊗ g.hom ⊗ g.hom)) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝ : BraidedCategory C

Context: X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C

Context: f : X₁ ⟶ Y₁

Context: g : X₂ ⟶ Y₂

tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ ((f.hom ⊗ f.hom) ⊗ g.hom ⊗ g.hom) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul) = (tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ ((f.hom ⊗ f.hom) ⊗ g.hom ⊗ g.hom)) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

lintegral (μ.restrict (X ⁻¹' t)) ((fun a => ((condDistrib Y X μ) a) s) ∘ X) = μ (X ⁻¹' t ∩ Y ⁻¹' s)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : Mono f


IsIso ((IsPullback.isLimit ⋯).conePointUniqueUpToIso (IsPullback.isLimit h)).inv


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n * 1 = 0


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : T3Space α

Context: f : β → γ → α

Context: h : Multipliable (uncurry f)

Context: h₁ : ∀ (b : β), Multipliable (f b)

Context: h₂ : ∀ (c : γ), Multipliable fun b => f b c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : T3Space α

Context: f : β → γ → α

Context: h : Multipliable (uncurry f)

Context: h₁ : ∀ (b : β), Multipliable (f b)

∏' (p : γ × β), uncurry f p.swap = ∏' (c : γ × β), uncurry f ((Equiv.prodComm γ β) c)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30241, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
f : (i : ι) → α i


Context: p x t : ℝ


Context: p x t : ℝ

Context: aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)


Context: p x : ℝ


Context: p x t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0


Context: p x t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: ht' : |t| ≠ 0


Context: p x t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: ht' : |t| ≠ 0

sInf ((fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)}) = sInf (|t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p})


Context: p x t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: ht' : |t| ≠ 0

Context: z : ℝ

z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ z ∈ |t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}


Context: p x t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: ht' : |t| ≠ 0

Context: z : ℝ

z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ |t|⁻¹ • z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β


∃ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, 0 ≤ κ.densityProcess ν x_1 a x s


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s


Context: s n step : Nat

range' s (n + 1) step = s :: range' (s + step) n step


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : M.E = E ∧ M.Indep E


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
b : α

b ∈ iterate f a n ↔ ∃ m < n, b = f^[m] a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : Subsingleton M
f : M →ₗ[R] M
b : Basis (Fin 0) R M


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g

IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x - f₂ x) g


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0

Inv_divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hf = 1


divided_by_X_pow_order hf * Inv_divided_by_X_pow_order hf = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

1 ≤ ↑r ↔ 1 ≤ r


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: H H' : G.Subgraph

Context: hle : ∀ (v w : V), H.Adj v w → H'.Adj v w

Context: hv : H.verts = H'.verts

Context: h : H.Connected


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

verschiebung (x * frobenius y) = verschiebung x * y


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x y : 𝕎 R

Context: this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x y : 𝕎 R

Context: this✝ : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)

Context: this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung x * y


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x y : 𝕎 R

∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (verschiebung (x * frobenius y)) = (ghostComponent n) (verschiebung x * y)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

a = n.sqrt ↔ a ^ 2 ≤ n ∧ n < (a + 1) ^ 2


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)

Context: x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂

prod.fst ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.1


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂

Context: y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)

prod.fst ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).1


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ

volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M

l.support = l.splitSupport.sigma fun i => (l.split i).support


∀ (a : ι) (b : αs a), ⟨a, b⟩ ∈ l.support ↔ (∃ a_1 ∈ l.support, a_1.fst = a) ∧ ⟨a, b⟩ ∈ l.support


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
h : p ∈ Set.Ioo 0 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X

frontier (s ∪ t) ⊆ frontier s ∩ closure tᶜ ∪ closure sᶜ ∩ frontier t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s₁✝ s₂✝ : Finmap β

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : ∀ (x : α), lookup x ⟦s₁⟧ = lookup x ⟦s₂⟧


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s₁✝ s₂✝ : Finmap β

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s₁✝ s₂✝ : Finmap β

Context: s₁ s₂ : AList β


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s₁✝ s₂✝ : Finmap β

Context: s₁ s₂ : AList β

∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s₁✝ s₂✝ : Finmap β

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: x : α

Context: y : β x

y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ range g), f i = ∏ᶠ (j : β), f (g j)


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 2) = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯


Context: n : ℕ

cons (0, n + 1 + 1) (cons (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (n + 1, 0)) (map (((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }).trans ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯ = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s

ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / g x) s


ContMDiffOn I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s


Context: n : ℕ


Context: n✝ : ℕ

Context: this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: IH : n < 1 <<< n.size

Context: h : ¬bit b n = 0


Context: n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: IH : n < 1 <<< n.size

Context: h : ¬bit b n = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : IsEmpty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f + g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f + baseChange A g)) 1) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n✝ : ℕ
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
x : α
hx : x ∈ ptsOfPeriod f n


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

b ∈ filter p (image f s) ↔ b ∈ image f (filter (fun a => p (f a)) s)


(∃ a ∈ s, f a = b) ∧ p b ↔ ∃ a, (a ∈ s ∧ p (f a)) ∧ f a = b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: B : C

Context: α : Type u_3

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: W : D

Context: ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W

Context: h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂

Context: Z : C

Context: a₁ a₂ : α

Context: g₁ : Z ⟶ X a₁

Context: g₂ : Z ⟶ X a₂

Context: hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂

Context: this : e.functor.map g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = e.functor.map g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂

g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: B : C

Context: α : Type u_3

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: W : D

Context: ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W

Context: Z : C

Context: a₁ a₂ : α

Context: g₁ : Z ⟶ X a₁

Context: g₂ : Z ⟶ X a₂

Context: hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂

Context: this : True → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j

Context: x : PushoutI φ

Context: g₁ : G i

Context: hg₁ : (of i) g₁ = x

Context: g₂ : G j

Context: hg₂ : (of j) g₂ = x

Context: hx : ¬x ∈ (base φ).range

Context: hx1 : x ≠ 1

Context: hg₁1 : g₁ ≠ 1

Context: hg₂1 : g₂ ≠ 1

Context: hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range

Context: hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range

Context: w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j

Context: x : PushoutI φ

Context: g₁ : G i

Context: hg₁ : (of i) g₁ = x

Context: g₂ : G j

Context: hg₂ : (of j) g₂ = x

Context: hx : ¬x ∈ (base φ).range

Context: hx1 : x ≠ 1

Context: hg₁1 : g₁ ≠ 1

Context: hg₂1 : g₂ ≠ 1

Context: hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range

Context: hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range

Context: hw : Reduced φ w


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j

Context: x : PushoutI φ

Context: g₁ : G i

Context: hg₁ : (of i) g₁ = x

Context: g₂ : G j

Context: hg₂ : (of j) g₂ = x

Context: hx : ¬x ∈ (base φ).range

Context: hx1 : x ≠ 1

Context: hg₁1 : g₁ ≠ 1

Context: hg₂1 : g₂ ≠ 1

Context: hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range

Context: hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range

Context: hw : Reduced φ w

Context: this : w = Word.empty


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j


((of i).comp (φ i)).range ≤ (of i).range


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
h : H


((of j).comp (φ j)).range ≤ (of j).range


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝⁴ : DecidableRel G.Adj
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : NonAssocSemiring α
i j : V

(1 + adjMatrix α G + fun i j => if i = j then 0 else if adjMatrix α G i j = 0 then 1 else 0) i j = of (fun x x => 1) i j


(((if i = j then 1 else 0) + if G.Adj i j then 1 else 0) + if i = j then 0 else if (if G.Adj i j then 1 else 0) = 0 then 1 else 0) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α

count a (b :: l) = count a l + if a = b then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R M
x✝ : M₂

x✝ ∈ map (↑e) K ↔ x✝ ∈ comap (↑e.symm) K


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x y
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent (-y)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0


(r /ₒ s * if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
hr : r ≠ 0

(r /ₒ s * if h : False then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
c : NNReal

‖x‖₊ ≤ c ↔ max ↑(x 0).natAbs ↑(x 1).natAbs ≤ c


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

Context: N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)) ⋯.bundled)


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

Context: this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

lift.{max (max u v) w, w} #(Quotient.out κ) ≤ #↑N


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

lift.{max (max u v) w, w} #↑Set.univ ≤ #↑N


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Infinite M

lift.{max u v w, max (max u v) w} (lift.{w, max (max u v) w} #↑N) ≤ lift.{max u v w, max (max u v) w} #↑N


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

(Ideal.map (algebraMap A (Away f)) (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal).IsPrime


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n j : ℕ
ij : i < j + 1
jn : j + 1 < n

xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n


xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j✝ : ι'
N : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
ι'' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b'' : ι'' → M
this✝¹ : DecidableEq ι
this✝ : DecidableEq ι'
this : DecidableEq ι''
i : ι
j : ι''

(b.toMatrix ⇑b' * b'.toMatrix b'') i j = b.toMatrix b'' i j


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ


dist f 0 < M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 < M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hab : a ≠ b
s : Set α


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: e : n ≃ Fin (Fintype.card n)

∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: e : n ≃ Fin (Fintype.card n)

∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsClosed t → t = s


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)


Context: X✝ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U


Context: X✝ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T0Space X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : ¬x = y

Context: U : Set X

Context: hUo : IsOpen U

Context: hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)

Context: hxU : x ∈ U

Context: hyU : y ∉ U

Context: this : s \ U = s


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E


∀ {c d : C}, (full D).arrows c d ⊆ (full E).arrows c d


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D✝ D E : Set C
h : D ≤ E
c d : C
f : c ⟶ d

f ∈ (full D).arrows c d → f ∈ (full E).arrows c d


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L

φ.IsNilRegular x ↔ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = φ.nilRank


(charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0 ↔ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = φ.nilRank


Context:
α : Type u_1
l : List α
x y : α
h : x ∈+ y :: l
hx : x ≠ y


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsSolvable R ↥↑I

Context: s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsSolvable R ↥↑I

Context: hne : s ≠ ∅


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: hs : IsIntegral R s

Context: p : R[X]

Context: hp : (Polynomial.aeval s) p = 0

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: L : Type u_2 := FractionRing S

Context: x✝ : Algebra K L := FractionRing.liftAlgebra R L

Context: this✝ : IsScalarTower R (FractionRing R) L

Context: this : minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ map (algebraMap R K) (p %ₘ minpoly R s)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: s : S

Context: hs : IsIntegral R s

Context: p : R[X]

Context: hp : (Polynomial.aeval s) p = 0

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: L : Type u_2 := FractionRing S

Context: this : minpoly R s ∣ p %ₘ minpoly R s


Context: x y : ℂ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : ExactPairing X Y


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Inf α
inst✝⁶ : Top α
inst✝⁵ : Inf β
inst✝⁴ : Top β
inst✝³ : Inf γ
inst✝² : Top γ
inst✝¹ : Inf δ
inst✝ : Top δ
g : InfTopHom β γ
f₁ f₂ : InfTopHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.4808, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.4812, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.4816, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.4820, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.4816, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.4820, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X = (shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hw : w ∈ K

⟪w, v - ↑((orthogonalProjection K) v)⟫_𝕜 = 0


⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), w⟫_𝕜 = 0


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.map (⇑f.symm) (gaussianReal μ v)) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

(Measure.map (⇑f.symm) (ℙ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val

∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) = ∑ j ∈ range (Fintype.card σ + 1), Polynomial.C (esymm σ R j) * Polynomial.X ^ (Fintype.card σ - j)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

(Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val).prod = ∑ x ∈ range (Multiset.card s + 1), Polynomial.C ((Multiset.map X univ.val).esymm x) * Polynomial.X ^ (Multiset.card s - x)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val = Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i


(smulAddMonoidHom A M) 1 = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)


∀ (i : ιB) (y : M i), ((smulAddMonoidHom A M) 1) ((of M i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) y)


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GMonoid A
inst✝ : Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i
i : ιB
xi : M i

((smulAddMonoidHom A M) ((of A 0) GOne.one)) ((of M i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) xi)


(of M (0 +ᵥ i)) (GSMul.smul GOne.one xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ιB), M i)) ((of M i) xi)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0

(f * g).natSepDegree ≤ f.natSepDegree + g.natSepDegree


((f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset ∪ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset).card ≤ (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card + (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: leftSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Iio 0, gammaPDF a r x = 0


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: rightSide : ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, gammaPDF a r x = ∫⁻ (x : ℝ) in Ici 0, ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict (Ici 0))] fun x => r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x))


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

AEStronglyMeasurable (fun x => r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x))) (ℙ.restrict (Ici 0))


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
h₁ : UniformContinuous f₁
h₂ : UniformContinuous f₂


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: n : ℕ

Context: hn : longestPrefix x s < n


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬Disjoint s (cylinder x n)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬Disjoint s (cylinder x n)

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ cylinder x n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X : Cᵒᵖ

contractibleTriangle X ∈ distinguishedTriangles C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X : Cᵒᵖ

∃ T', ∃ (_ : T' ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles), Nonempty (contractibleTriangle X ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₂ : ?m.76253
x✝¹ x✝ : M

(RingHom.id R) ((B x✝¹) x✝) = (B x✝) x✝¹ ↔ ((flipHom B) x✝¹) x✝ = (B x✝¹) x✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : One M
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice M
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α → M

(mulSupport fun x => ⨆ i, f i x) ⊆ ⋃ i, mulSupport (f i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : One M
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice M
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α → M
x : α
hx : ∀ (x_1 : ι), f x_1 x = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ : P
h : (∡ p₁ p p₂).sign = 0

p₁ = p ∨ p₂ = p ∨ ∠ p₁ p p₂ = 0 ∨ ∠ p₁ p p₂ = π


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'

UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ν a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: x✝ : ν s < ⊤

ρ s ≤ ν s + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: x✝ : ν s < ⊤

Context: U : Set α

Context: sU : s ⊆ U

Context: U_open : IsOpen U

Context: νU : ν U ≤ ν s + ↑ε

ρ s ≤ ν s + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: x✝ : ν s < ⊤

Context: U : Set α

Context: sU : s ⊆ U

Context: U_open : IsOpen U

Context: νU : ν U ≤ ν s + ↑ε

Context: f : α → Set (Set α) := fun x => {a | ρ a ≤ ν a ∧ a ⊆ U}

ρ s ≤ ν s + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: x✝ : ν s < ⊤

Context: U : Set α

Context: sU : s ⊆ U

Context: U_open : IsOpen U

Context: νU : ν U ≤ ν s + ↑ε

Context: h : v.FineSubfamilyOn f s

ρ s ≤ ν s + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: ρ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ν

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: x✝ : ν s < ⊤

Context: U : Set α

Context: sU : s ⊆ U

Context: U_open : IsOpen U

Context: νU : ν U ≤ ν s + ↑ε

Context: h : v.FineSubfamilyOn f s

Context: this : Encodable ↑h.index

ρ s ≤ ν s + ↑ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal 1) μ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Surjective f


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Surjective f
this : lift.{u, v} #β ≤ lift.{v, u} #α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: m M N k : ℕ

Context: blocks_fun : Fin k → ℕ

Context: hi : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource m M N

{ blocks := ofFn fun a => blocks_fun a, blocks_pos := ⋯, blocks_sum := ⋯ }.length = k


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
hμ : f.HasEigenvalue μ


LinearMap.ker (f - (algebraMap R (End R M)) μ) ≠ ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≤ a
hab : a < b
x : α

x ∈ filter (fun x => x ≤ a) (Ico a b) ↔ x ∈ {a}


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α

thickening ε (thickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : ε ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : δ ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : α

x ∈ thickening ε (thickening δ s) → x ∈ thickening (ε + δ) s


(∃ z, (∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal δ) ∧ edist x z < ENNReal.ofReal ε) → ∃ z ∈ s, edist x z < ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
b : β
hb : b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ u n}


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : CompleteLattice β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h : ∃ᶠ (a : α) in f, u a ≤ x
b : β
hb : b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, a ≤ u n}
hbx : ∃ᶠ (x_1 : α) in f, b ≤ x


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
h : μ ⟂ₘ ν
s : Set α


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Epi (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : L ⟶ Z✝
eq : φ ≫ g = φ ≫ h
i : ι


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n < (a :: l).length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : l.length ≤ n - 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰

mk0 I = mk0 J ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J


(equiv K) (mk0 I) = (equiv K) (mk0 J) ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J


(∃ z, (∃ x, spanSingleton R⁰ x = ↑z) ∧ ↑↑I * ↑z = ↑↑J) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0

eLpNorm f (↑p) μ ^ ↑p = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ↑p ∂μ


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
c : ℝ≥0
h₀ : 0 < ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
c : ℝ≥0
h₀ : ¬0 < ε

l.RCond ((fun x x => ⟨1, convergenceR.proof_3⟩) c)


Context:
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W


Context:
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W

Isometry ⇑{ toFun := ⇑i.hom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context:
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W
v : ↑V

‖{ toFun := ⇑i.hom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } v‖ = ‖v‖


Context:
V W : SemiNormedGrp₁
i : V ≅ W
v : ↑V


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a
h₁ : RePred p
h₂ : RePred fun a => ¬p a


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a

Context: h₁ : RePred p

Context: h₂ : RePred fun a => ¬p a

Context: k : α →. Bool

Context: pk : Partrec k

Context: hk : ∀ (a : α) (x : Bool), x ∈ k a ↔ x ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p a) fun x => Part.some ()) ∨ x ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) a) fun x => Part.some ())


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a

Context: h₁ : RePred p

Context: h₂ : RePred fun a => ¬p a

Context: k : α →. Bool

Context: pk : Partrec k

Context: n : α


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: x✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a

Context: h₁ : RePred p

Context: h₂ : RePred fun a => ¬p a

Context: k : α →. Bool

Context: pk : Partrec k

Context: n : α

(fun a => decide (p a)) n ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p n) fun x => Part.some ()) ∨ (fun a => decide (p a)) n ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) n) fun x => Part.some ())


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)

sSup s = EqvGen.Setoid (sSup (Rel '' s))


(EqvGen.Setoid fun x y => ∃ r ∈ s, r.Rel x y) = EqvGen.Setoid (⨆ a ∈ s, a.Rel)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x y : α

(∃ r ∈ s, r.Rel x y) ↔ (⨆ a ∈ s, a.Rel) x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (0 - 1) r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hn : n ≠ 0


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
hnm : n < m


Context:
n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = n !


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
hnm : m < n


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < m
h : n ! = m !
hnm : m < n


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < m
h : n ! = m !
hnm : m ! < m !


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
D : DecidableEq α
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
g₁ : α →₀ M
g₂ : α →₀ N

(zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤

Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i

Context: A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1

Context: B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0

Context: span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0

⊤ = Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det})


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Context: smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤

Context: A' : Fin n → Fin n → R

Context: hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p

Context: d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0

Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det}) ≤ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioo (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Icc f g


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ioo (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Icc (f i) (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j : ι

Context: h : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Context: hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j : ι

(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) ((preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i))) (root j)) = root j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G ≈ 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : 0 < G


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G ‖ 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderTop α

Context: inst✝¹ : IsCoatomic α

Context: inst✝ : OrderTop β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: h_coatom : ∀ (a : α), IsCoatom a → u (l a) = a

Context: b : β


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderTop α

Context: inst✝¹ : IsCoatomic α

Context: inst✝ : OrderTop β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: b : β

Context: hb : IsCoatom b


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderTop α

Context: inst✝¹ : IsCoatomic α

Context: inst✝ : OrderTop β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: b : β

Context: hb : IsCoatom b

Context: a : α

Context: ha : IsCoatom a

Context: hab : u b ≤ a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderTop α

Context: inst✝¹ : IsCoatomic α

Context: inst✝ : OrderTop β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: b : β

Context: hb : IsCoatom b

Context: a : α

Context: ha : IsCoatom a

Context: hab : u b ≤ a

Context: this : l a = b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

BddAbove (norm ∘ F f ε '' verticalClosedStrip 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

BddAbove ((fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hB : ∃ x, ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x

∃ x, ∀ y ∈ (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: B : ℝ

Context: hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: B : ℝ

∀ y ∈ (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: B : ℝ

∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: B : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B


‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ * ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ * ‖f z‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context: P Q : Prop