Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x✝ y✝ x y : R

Context: h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p

∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star y = star x + p


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x✝ y x d : R

Context: hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star (x + d) = star x + p


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x✝ y x d : R

starAddEquiv d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: x✝ y x d : R

(range fun s => star s * s) ⊆ ⇑starAddEquiv ⁻¹' range fun s => star s * s


Context:
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

Set.BijOn f (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))


Context: n : ℕ

(n + 1).descFactorial (0 + 1) = (n + 1) * n.descFactorial 0


Context: n k : ℕ

(n + 1).descFactorial (k.succ + 1) = (n + 1) * n.descFactorial k.succ


Context: R : CommRingCat

Context: U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace

Context: x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))

((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((comap (𝟙 R) U✝ ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝) ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝


Context: R : CommRingCat

((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((eqToHom ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

Context: this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)).prod) (inr ()) (inl i) = 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) (inr ()) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i = i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i ≠ i


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1


(1 * p).natDegree = (C ai * (C a * p)).natDegree


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β

(∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ x✝¹ ∈ map (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x✝³)


(∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ ∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ⁻¹' x✝¹


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤


Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = ⊤


⊤ ≤ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ

x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

Context: this : f y ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑T)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

Context: this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

Context: H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T)


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure s

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: L : List (List R)

Context: HL : ∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

Context: hx : (List.map List.prod L).sum ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum

Context: HL : ∀ l ∈ hd :: tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: HL : (∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ x_1 ∈ x, x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: HL : ∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)

Context: HL : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∨ x = -1

∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = L.prod

Context: hhd : hd ∈ s


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = L.prod

Context: hhd : hd = -1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = -L.prod

Context: hhd : hd ∈ s


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: C : R → Prop

Context: h1 : C 1

Context: hneg1 : C (-1)

Context: ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

Context: h0 : C 0

Context: hd : R

Context: tl : List R

Context: L : List R

Context: HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s

Context: HP : tl.prod = -L.prod

Context: hhd : hd = -1


Context: θ : Angle


Context: a : ℝ

frontier {z | a < z.re} = {z | z.re = a}


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g : F α → α

Context: h : Fix F → α

Context: hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)

Context: x : Fix F


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g : F α → α

Context: h : Fix F → α

Context: x : Fix F

∀ (x : F (Fix F)), rec g <$> x = h <$> x → rec g (mk x) = h (mk x)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g : F α → α

Context: h : Fix F → α

Context: x✝ : Fix F

Context: x : F (Fix F)

Context: hyp' : rec g <$> x = h <$> x


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : ↑S.objs
p : c ⟶ d


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : EnoughProjectives C
G : C
hG : IsCoseparator G


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : EnoughProjectives C
G : C
hG : IsCoseparator G
T : Cᵒᵖ
hT₁ : Injective T
hT₂ : IsCoseparator T


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₃ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₁, p₃}


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R

x1.fromColumns y1 = x2.fromColumns y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2


(∀ (i : m) (j : n₁ ⊕ n₂), x1.fromColumns y1 i j = x2.fromColumns y2 i j) → (∀ (i : m) (j : n₁), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m) (j : n₂), y1 i j = y2 i j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

(QInfty ≫ PInfty).f n = HomologicalComplex.Hom.f 0 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

0 ≤ a • b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousWithinAt (F i) S x₀


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t c : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

(α_ F₁ F₂ F₃).inv.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).inv


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f

(FunctorPushforwardStructure.casesOn (getFunctorPushforwardStructure ⋯) fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g

(FunctorPushforwardStructure.casesOn { preobj := X, premap := g, lift := f', cover := hg, fac := eq } fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ insert a s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t ∪ s ×ˢ t


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1
hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: K : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : Field K

Context: L : Type u_7

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: g : A →+* L

Context: x : A

Context: y : ↥(nonZeroDivisors A)

Context: hxy : (algebraMap A K) x = (algebraMap A K) ↑y

Context: hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B ∩ g' • B ≠ ∅ → g • B = g' • B


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s t'
hy : y = h x

HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a


Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂(κ.restrict hs) a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : AddGroupWithOne α

Context: n : ZNum

Context: this : ↑(-1 + ↑n + ↑n) = ↑(↑n + ↑n + -1)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R M


(φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (Fintype.card ι) ≠ 0


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Add α

Context: b c d : WithTop α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: h : b < c

Context: a : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Add α

Context: c d : WithTop α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: a b : α

Context: h' h : ↑b < c


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
r : R


Context: α : Type u

Context: o n m : ℕ

Context: m' : Type uₘ

Context: n' : Type uₙ

Context: o' : Type uₒ

Context: a b : ℕ

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid α

Context: inst✝ : Mul α

Context: a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₃₁ b₃₂ b₃₃ : α

Context: i j : Fin 3

(!![a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃] * !![b₁₁, b₁₂, b₁₃; b₂₁, b₂₂, b₂₃; b₃₁, b₃₂, b₃₃]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ + a₁₃ * b₃₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂ + a₁₃ * b₃₂, a₁₁ * b₁₃ + a₁₂ * b₂₃ + a₁₃ * b₃₃; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁ + a₂₃ * b₃₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂ + a₂₃ * b₃₂, a₂₁ * b₁₃ + a₂₂ * b₂₃ + a₂₃ * b₃₃; a₃₁ * b₁₁ + a₃₂ * b₂₁ + a₃₃ * b₃₁, a₃₁ * b₁₂ + a₃₂ * b₂₂ + a₃₃ * b₃₂, a₃₁ * b₁₃ + a₃₂ * b₂₃ + a₃₃ * b₃₃] i j


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

(univ.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), (t i).Nonempty


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x y : L

((killingForm R L') (e x)) (e y) = ((killingForm R L) x) y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w x : Fin 3 → R

(crossProduct u) v ⬝ᵥ (crossProduct w) x = u ⬝ᵥ w * v ⬝ᵥ x - u ⬝ᵥ x * v ⬝ᵥ w


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.34532, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.34536, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π

MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).hom


MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).inv = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯


(MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).inv) ≫ equalizer.ι (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op) = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯ ≫ equalizer.ι (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β


List.oldMapIdx f l = map (uncurry f) l.enum


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h e f : L

Context: ht : IsSl2Triple h e f

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f

Context: key : α h = 2


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f

Context: key : α h = 2

Context: α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

Context: hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'

Context: hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f

Context: key : α h = 2

Context: h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f

Context: key : α h = 2

Context: h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'

(2 • (α α')⁻¹ * (((killingForm K L) e) f)⁻¹) • h = coroot α


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e f : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: h : ↥H

Context: ht : IsSl2Triple (↑h) e f

Context: key : α h = 2

Context: h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'

Context: hef₀ : ((killingForm K L) e) f ≠ 0


Context: k m n : ℕ+

k.Coprime m → k.Coprime n → k.Coprime (m * n)


Context: k m n : ℕ+

(↑k).Coprime ↑m → (↑k).Coprime ↑n → (↑k).Coprime ↑(m * n)


Context: k m n : ℕ+

(↑k).Coprime ↑m → (↑k).Coprime ↑n → (↑k).Coprime (↑m * ↑n)


Context: s : ℂ

completedCosZeta₀ 0 s = completedRiemannZeta₀ s


Context:
Ω : Type u_1
ι✝ : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
ι : Type u_10
β : ι → Type u_11
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i

iIndepFun m f μ ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ (⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i) = ∏ i ∈ S, μ (f i ⁻¹' sets i)


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : Zero Γ
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.trim hm)

∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm


∫ (a : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf a ∂μ = ∫ (a : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf a ∂μ.trim hm


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X

((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.1 ≫ F.map ((U p.1).infLELeft (U p.2)).op) = (Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.2 ≫ F.map ((U p.1).infLERight (U p.2)).op


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
x✝ : Discrete (ι × ι)

((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.1 ≫ F.map ((U p.1).infLELeft (U p.2)).op) ≫ limit.π (Discrete.functor fun p => F.obj (op (U p.1 ⊓ U p.2))) x✝ = ((Pi.lift fun i => F.map (leSupr U i).op) ≫ Pi.lift fun p => Pi.π (fun i => F.obj (op (U i))) p.2 ≫ F.map ((U p.1).infLERight (U p.2)).op) ≫ limit.π (Discrete.functor fun p => F.obj (op (U p.1 ⊓ U p.2))) x✝


F.map (leSupr U x✝.as.1).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op = F.map (leSupr U x✝.as.2).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op


F.map ((leSupr U x✝.as.1).op ≫ ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op) = F.map (leSupr U x✝.as.2).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op


F.map ((leSupr U x✝.as.1).op ≫ ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op) = F.map ((leSupr U x✝.as.2).op ≫ ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
x y : N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
x y : N
h : Injective ⇑(LinearMap.fst R M N)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ

spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ ^ (1 / (↑n + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑n + 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))

Context: nnnorm_pow_le : ↑(‖k‖₊ ^ (n + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + 1)‖₊ * ↑‖1‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))

Context: hn : 0 < ↑(n + 1)


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.40441, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c

Context: inst✝² : K.HasTotal c

Context: inst✝¹ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝ : DecidableEq J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: j : J

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j


Context: α✝ β α : Type u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Set β₁
g₂ : Set α₂ → Set β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂

(f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => 𝓟 (g₁ s) ×ˢ 𝓟 (g₂ t)) = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => 𝓟 (g₁ s ×ˢ g₂ t)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ r < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure


(∫ (x : E), ↑f x ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : E), ↑f x ∂μ = 1


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k


∀ (p : k'[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
hmp : p.Monic
hp : Irreducible p


Context: k : Type u

Context: inst✝² : Field k

Context: k' : Type u

Context: inst✝¹ : Field k'

Context: e : k ≃+* k'

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: p : k'[X]

Context: hmp : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: hpe : (map e.symm.toRingHom p).degree ≠ 0


Context: k : Type u

Context: inst✝² : Field k

Context: k' : Type u

Context: inst✝¹ : Field k'

Context: e : k ≃+* k'

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: p : k'[X]

Context: hmp : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: x : k

Context: hx : (map (↑e.symm) p).IsRoot x


Context: k : Type u

Context: inst✝² : Field k

Context: k' : Type u

Context: inst✝¹ : Field k'

Context: e : k ≃+* k'

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: p : k'[X]

Context: hmp : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: x : k

Context: hx : eval x (map (↑e.symm) p) = 0


Context: k : Type u

Context: inst✝² : Field k

Context: k' : Type u

Context: inst✝¹ : Field k'

Context: e : k ≃+* k'

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: p : k'[X]

Context: hmp : p.Monic

Context: hp : Irreducible p

Context: x : k

Context: hx : eval x (map (↑e.symm) p) = 0

e.symm (eval (e x) p) = eval x (map (↑e.symm) p)


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k'[X]
x : k


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hq : q ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V
p : P

Sbtw R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) (z +ᵥ p) ↔ Sbtw R x y z


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : StarRing B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: inst✝² : FunLike F (↥S.topologicalClosure) B

Context: inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B

Context: inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥S.topologicalClosure) B

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : ∀ (x : ↥S), φ ((inclusion ⋯) x) = ψ ((inclusion ⋯) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : StarRing B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: this : ↑φ = ↑ψ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsUpperSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: this : 𝒜ᶜ.card * ℬ.card ≤ 2 ^ Fintype.card α * (𝒜ᶜ ∩ ℬ).card


Context:
cmp✝ : ?m.5873 → ?m.5873 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.5871
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
y z x : x✝
yz : cmp y z = Ordering.eq


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x ⧏ x'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Module A M

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype κ

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: P : A → Prop

Context: f : M →ₗ[A] M

Context: hb : ∀ (s : Finset M) (b : Basis { x // x ∈ s } A M), P ((toMatrix b b) f).det

Context: h1 : P 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: e : Basis ι R M

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Module A M

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype κ

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: P : A → Prop

Context: f : M →ₗ[A] M

Context: h1 : P 1

P ((if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) f)


Context:
α : Type u
inst✝² : Monoid α
a : α
inst✝¹ inst✝ : Invertible a


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hf_top_rpow : (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: a : α


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M

∀ {a b : Submodule R M}, { toFun := restrictScalars S, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := restrictScalars S, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖(toDualContinuousMultilinearMap F) x‖ ≤ projectiveSeminorm x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯‖ ≤ projectiveSeminorm x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
hs : s.Infinite


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l

l.next (l.prev (l.nthLe n hn) hx) ⋯ = l.nthLe n hn


l.nthLe ((n + (l.length - 1) + 1) % l.length) ⋯ = l.nthLe n hn


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_zero : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hg_zero : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = 0
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = ⊤


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
x : E

(𝓝 x).HasBasis ((fun x If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) x) ((fun x If => ⋂ i ∈ If.1, If.2 i) x)


(⨅ i, 𝓝 x).HasBasis ((fun x If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) x) ((fun x If => ⋂ i ∈ If.1, If.2 i) x)


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

x ∈ r • Ioc a b ↔ x ∈ Ioc (r • a) (r • b)


(∃ y, (a < y ∧ y ≤ b) ∧ r * y = x) ↔ r * a < x ∧ x ≤ r * b


Context:
m n a b c d : ℤ
h₁ : c ≡ d [ZMOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]


Context:
m n a b c d : ℤ
h₁ : c ≡ d [ZMOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [ZMOD n]


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤

(aeval x) (derivative (minpoly A x)) ∈ differentIdeal A B


Ideal.span {(aeval x) (derivative (minpoly A x))} ≤ differentIdeal A B


conductor A x * differentIdeal A B ≤ differentIdeal A B


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α

𝓝[≥] a = (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a)


((⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)) ⊓ 𝓟 (Ici a) = (⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a)


(⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Iio u)) ⊓ 𝓟 (Ici a) ≤ ⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)


∀ i_1 ∈ {i, j}, Disjoint (f i_1) (({i, j}.erase i_1).sup f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
k : ι
hk : k ∈ {i, j}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Disjoint (f i) (f j)
k : ι
hk : k = i ∨ k = j


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: f : SmallHom W₁ X Y

(SmallHom.equiv W₂ L₂) (Φ.smallHomMap f) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) f) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

(SmallHom.equiv W₂ L₂) (Φ.smallHomMap ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

(SmallHom.equiv W₂ L₂) ((SmallHom.equiv W₂ W₂.Q).symm ((((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app X).homCongr ((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app Y)) ((Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).map g))) = e.hom.app X ≫ G.map ((SmallHom.equiv W₁ L₁) ((SmallHom.equiv W₁ W₁.Q).symm g)) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

Context: G' : W₁.Localization ⥤ W₂.Localization := Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q

Context: β : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q G'

Context: E₁ : W₁.Localization ⥤ D₁ := (uniq W₁.Q L₁ W₁).functor

Context: α₁ : W₁.Q ⋙ E₁ ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁

Context: E₂ : W₂.Localization ⥤ D₂ := (uniq W₂.Q L₂ W₂).functor

Context: α₂ : W₂.Q ⋙ E₂ ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map ((((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app X).homCongr ((CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).symm.app Y)) ((Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q).map g)) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X ≫ E₁.map g ≫ α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

Context: γ : G' ⋙ E₂ ≅ E₁ ⋙ G := liftNatIso W₁.Q W₁ (W₁.Q ⋙ G' ⋙ E₂) (W₁.Q ⋙ E₁ ⋙ G) (G' ⋙ E₂) (E₁ ⋙ G) ((W₁.Q.associator G' E₂).symm ≪≫ isoWhiskerRight β.symm E₂ ≪≫ Φ.functor.associator W₂.Q E₂ ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor α₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight α₁.symm G ≪≫ W₁.Q.associator E₁ G)

α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X ≫ G'.map g ≫ β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X ≫ E₁.map g ≫ α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

Context: hγ : ∀ (X : C₁), γ.hom.app (W₁.Q.obj X) = E₂.map (β.inv.app X) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj X) ≫ e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X)


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X) ≫ E₂.map (G'.map g) ≫ E₂.map (β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X) ≫ G.map (E₁.map g) ≫ G.map (α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X) ≫ E₂.map (G'.map g) ≫ E₂.map (β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = e.hom.app X ≫ G.map (α₁.inv.app X) ≫ (γ.inv.app (W₁.Q.obj X) ≫ (G' ⋙ E₂).map g ≫ γ.hom.app (W₁.Q.obj Y)) ≫ G.map (α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y


Context: C₁ : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: W : ?m.28304

Context: X Y Z : C₁

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: g : W₁.Q.obj X ⟶ W₁.Q.obj Y

γ.hom.app (W₁.Q.obj X) ≫ G.map (α₁.hom.app X) ≫ e.inv.app X ≫ α₂.inv.app (Φ.functor.obj X) ≫ E₂.map (β.hom.app X ≫ G'.map g ≫ β.inv.app Y) ≫ α₂.hom.app (Φ.functor.obj Y) = E₂.map (G'.map g) ≫ γ.hom.app (W₁.Q.obj Y) ≫ G.map (α₁.hom.app Y) ≫ e.inv.app Y


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : l.Nodup
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: h : l.Nodup

Context: i : ℕ

Context: hi : i < l.length

Context: j : ℕ

Context: hj : j < l.length

Context: this : l.get ⟨i, hi⟩ = l.get ⟨j, hj⟩ ↔ ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α

MeasurableSet s ↔ ∀ (i : ι), MeasurableSet s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source

((f.extend I).symm ≫ f'.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : E
hx : x ∈ ↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source

↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source ∈ 𝓝[range ↑I] x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : H
hx : x ∈ (f.symm ≫ₕ f').source

↑I '' (f.symm ≫ₕ f').source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑I x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b c a : α

a ≤ ⊤ᶜ ↔ a ≤ ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℤ → β
h : ∀ (n : ℤ), r (f n) (f (n + 1))
a b : ℤ
hab : a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℤ → β
h : ∀ (n : ℤ), r (f n) (f (n + 1))
a : ℤ
n : ℕ
hab : a < a + ↑n.succ


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n a : ℕ
ha : 0 < a

(∃ k, a * k < n ∧ n < a * (k + 1)) ↔ ¬a ∣ n


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n a : ℕ
ha : 0 < a
han : ¬a ∣ n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ s.center p₂ p₁


Context:
q : ℚ
q_pos : 0 < q


Context:
q : ℚ
q_pos : 0 < q
q_num_pos : 0 < q.num


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv

((↑q.den - ↑q.num * ↑⌊q_inv⌋) / ↑q.num).num < q.num


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv

Context: q_inv_num_denom_ineq : q⁻¹.num - ⌊q⁻¹⌋ * ↑q⁻¹.den < ↑q⁻¹.den


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv

Context: this : q_inv.num = ↑q.den ∧ q_inv.den = q.num.natAbs


Context:
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
ha2 : a % 2 = 1
hc : 0 < c


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0

Context: ht6 : 0 ≤ m


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

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Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0


Context: a b c : ℤ

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Context: a b c : ℤ

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Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

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Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2

Context: hk0 : k ≠ 0


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hj2 : r ^ 2 = j ^ 4

Context: hk2 : s ^ 2 = k ^ 4

Context: hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hj2 : r ^ 2 = j ^ 4

Context: hk2 : s ^ 2 = k ^ 4

Context: hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4

Context: hn : n ≠ 0


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hj2 : r ^ 2 = j ^ 4

Context: hk2 : s ^ 2 = k ^ 4

Context: hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4

Context: hn : n ≠ 0

Context: hic : i.natAbs < c.natAbs


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : s.gcd r = 1

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : (r * s).gcd m = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'

Context: hs : b' ^ 2 = r * s * m

Context: hrsz : r * s ≠ 0

Context: h2b0 : b' ≠ 0

Context: i : ℤ

Context: hi' : ¬m = -i ^ 2

Context: hi : m = i ^ 2

Context: d : ℤ

Context: hd' : ¬r * s = -d ^ 2

Context: hd : s * r = d ^ 2

Context: j : ℤ

Context: hj : r = j ^ 2 ∨ r = -j ^ 2

Context: hj0 : j ≠ 0

Context: k : ℤ

Context: hk : s = k ^ 2 ∨ s = -k ^ 2

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hj2 : r ^ 2 = j ^ 4

Context: hk2 : s ^ 2 = k ^ 4

Context: hh : i ^ 2 = j ^ 4 + k ^ 4

Context: hn : n ≠ 0

Context: hic : i.natAbs < c.natAbs

Context: hic' : c.natAbs ≤ i.natAbs


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

μ.restrict (s ∪ t) = ν.restrict (s ∪ t) ↔ μ.restrict s = ν.restrict s ∧ μ.restrict t = ν.restrict t


μ.restrict s = ν.restrict s ∧ μ.restrict t = ν.restrict t → μ.restrict (s ∪ t) = ν.restrict (s ∪ t)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ.restrict s = ν.restrict s
ht : μ.restrict t = ν.restrict t
u : Set α
hu : MeasurableSet u

(μ.restrict (s ∪ t)) u = (ν.restrict (s ∪ t)) u


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ.restrict s = ν.restrict s
ht : μ.restrict t = ν.restrict t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
US : Set α
hsub : u ∩ s ⊆ US
hm : MeasurableSet US
hμ : μ US = μ (u ∩ s)
hν : ν US = ν (u ∩ s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I : Ideal α

Context: a b : α

Context: P : Ideal α

Context: hmax : ∀ (m : Ideal α), P < m → ¬m.IsMaximal

Context: J : Ideal α

Context: hPJ : P < J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I : Ideal α

Context: a b : α

Context: P : Ideal α

Context: J : Ideal α

Context: hPJ : P < J

Context: hnonmax : ¬J = ⊤


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I : Ideal α

Context: a b : α

Context: P : Ideal α

Context: J : Ideal α

Context: hPJ : P < J

Context: hnonmax : ¬J = ⊤

Context: M : Ideal α

Context: hM1 : M.IsMaximal

Context: hM2 : J ≤ M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f g : α → β → σ
hg : Primrec₂ f
H : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f g : α → β → σ
hg : Primrec₂ f
H : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g a b
a : α
b : β


Context:
x : ℂ
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Sort u_1
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
p : γ → Prop
s : γ → Set (α × α)
H : (𝓤 α).HasBasis p s

CauchySeq u ↔ ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ n ≥ N, (u n, u N) ∈ s i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: γ : Sort u_1

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : β → α

Context: p : γ → Prop

Context: s : γ → Set (α × α)

Context: H : (𝓤 α).HasBasis p s

Context: h : ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i

Context: i : γ

Context: hi : p i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: γ : Sort u_1

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : β → α

Context: p : γ → Prop

Context: s : γ → Set (α × α)

Context: H : (𝓤 α).HasBasis p s

Context: h : ∀ (i : γ), p i → ∃ N, ∀ n ≥ N, (u n, u N) ∈ s i

Context: i : γ

Context: hi : p i

∃ N, ∀ (m : β), N ≤ m → ∀ (n : β), N ≤ n → (u m, u n) ∈ s i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : MDifferentiable I' I'' g

Context: hf : MDifferentiable I I' f

Context: p : TangentBundle I M

tangentMap I I'' (g ∘ f) p = (tangentMap I' I'' g ∘ tangentMap I I' f) p


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

(∀ (i' : ℝ), 0 < i' → ∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | dist p.1 p.2 < i'}) ↔ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : G ‖ 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : ∃ j, G.moveRight j ≤ 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
i : G.RightMoves
hi : G.moveRight i ≤ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q✝ : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
q : ℚ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E

μ ({x} + r • s) / μ ({y} + r • t) = ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ s * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ t)⁻¹