Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

‖f'‖ ≤ C * ‖v‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t✝ : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: t : 𝕜

Context: ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}

‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t✝ : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: t : 𝕜

Context: ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Zero M

Context: l : List M

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: x : M

Context: inst✝ : DecidablePred fun x_1 => [x].getD x_1 0 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: s : Set (Submodule R M)

Context: p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }

(sSup s).toAddSubmonoid = sSup (toAddSubmonoid '' s)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: s : Set (Submodule R M)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: s : Set (Submodule R M)

sSup (toAddSubmonoid '' s) ≤ (sSup s).toAddSubmonoid


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ✝ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ✝ a)
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α

Nodup (Quot.mk Setoid.r l₁) → (∀ (a : α), (t a).Nodup) → (Multiset.sigma (Quot.mk Setoid.r l₁) t).Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ✝ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ✝ a)
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
f : (a : α) → List (σ a)
hf : ∀ (a : α), ⟦f a⟧ = t a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < (-q).degree


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
r : R

(↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (B × C)) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hfg : (f - g).LimZero


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: this : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: s : Set E := p.rootSet E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ (p.aroots E).toFinset, P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: K : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset

Context: hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

Context: this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module

Context: this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯

Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) →ₐ[F] E) = finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: K : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset

finrank F ↥(↥K)⟮x⟯ = finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: K : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset

finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) = finrank F ↥(↥K)⟮x⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: K : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset

↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) ≃ₗ[F] ↥(↥K)⟮x⟯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜

ContDiff 𝕜 ⊤ f₂ ↔ Differentiable 𝕜 f₂ ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ (deriv f₂)


ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ univ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ univ) univ


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

Context: hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

Context: this : ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ = ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ) (x₀, b₀)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α β : Type u_1

Context: p : α → Prop

Context: x✝ : m α

Context: q : β → Prop

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: f : α → m β

Context: hx : SatisfiesM p x✝

Context: hf : ∀ (a : α), p a → SatisfiesM q (f a)

Context: x : m { a // p a }

Context: g : (a : α) → p a → { x // Subtype.val <$> x = f a }

(Subtype.val <$> do let x ← x match x with | ⟨a, h⟩ => (g a h).val) = Subtype.val <$> x >>= f


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α β : Type u_1

Context: p : α → Prop

Context: x✝ : m α

Context: q : β → Prop

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: f : α → m β

Context: hx : SatisfiesM p x✝

Context: x : m { a // p a }

(do let x ← x let a ← (g x.val ⋯).val pure a.val) = do let x ← x f x.val


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α β : Type u_1

Context: p : α → Prop

Context: x✝ : m α

Context: q : β → Prop

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: f : α → m β

Context: hx : SatisfiesM p x✝

Context: x : m { a // p a }

(fun x => do let a ← (g x.val ⋯).val pure a.val) = fun x => f x.val


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α β : Type u_1

Context: p : α → Prop

Context: x✝ : m α

Context: q : β → Prop

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: f : α → m β

Context: hx : SatisfiesM p x✝

Context: x : m { a // p a }

Context: a : α

Context: h : p a

(do let a ← (g ⟨a, h⟩.val ⋯).val pure a.val) = f ⟨a, h⟩.val


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

(⨅ γ, ⨅ (_ : γ ≠ 0), 𝓟 (Iio γ)).HasBasis (fun γ => γ ≠ 0) Iio


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

DirectedOn (Iio ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) fun γ => γ = 0 → False


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
h : l.idxFun i = some a

(fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = a


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)

Context: inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)

Context: inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)

Context: H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)

Context: s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Submodule.span R ↑(t.attach.biUnion sf) = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • IsLocalizedModule.mk' (f r) x 1 ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

Context: hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: n₂ : ℕ

↑r ^ n₂ • ↑r ^ n₁ • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))

Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s)


Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s) ⊆ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : ⟨f i, y⟩ = Sigma.map f g ⟨j, x⟩


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : i = j ∧ HEq y (g j x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : HEq y (g i x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : y = g i x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
b : WithBot α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ↑a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f
i : σ

degreeOf (f i) ((rename f) p) = degreeOf i p


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X✝

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: inj : InjOn f s

Context: sc : IsCompact s

Context: fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x

Context: loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u

Context: this : ∀ x ∈ s ×ˢ s, ∀ᶠ (y : X × X) in 𝓝 x, f y.1 = f y.2 → y.1 = y.2


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X✝

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: f : X → Y

Context: s : Set X

Context: inj : InjOn f s

Context: sc : IsCompact s

Context: fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x

Context: loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u

Context: this : ∀ᶠ (x : X × X) in 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ s, f x.1 = f x.2 → x.1 = x.2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < log (b i * ↑n)


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h : Tendsto (fun n => log (b i * ↑n)) atTop atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : FunLike 𝓕 E F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
M : Matrix n n R

(toMatrixAlgEquiv v₁) ((toLinAlgEquiv v₁) M) = M


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0
h2 : 0 < (-I * τ).re


Context: a b c x : ℕ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : DecidableEq J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J

ι f j ≫ π f j' = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R


∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∑ σ : Perm m, ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A (σ i) i


∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (x i) i = ↑↑(sign (e.permCongr x)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr x) i) i


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n

↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign (e.permCongr σ)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i


↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i


∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i


∀ (x : n), A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ x) x = A ((e.permCongr σ) (e x)) (e x)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
i : n

A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = A ((e.permCongr σ) (e i)) (e i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → s ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ

Context: hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)

Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

(∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

(∀ i ∈ ∅, Prime (f i)) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → f i ≠ f j) → (∅.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ ∅, f i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i) → (∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j) → ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : (∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j

((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

f a ^ e a ⊓ ∏ i ∈ s, f i ^ e i = f a ^ e a * ∏ x ∈ s, f x ^ e x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

∀ (P : Ideal R), f a ^ e a ≤ P → ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P → ¬P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: P : Ideal R

Context: hPa : f a ^ e a ≤ P

Context: hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P

Context: hPp : P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: P : Ideal R

Context: hPa : f a ^ e a ≤ P

Context: hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P

Context: hPp : P.IsPrime

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ s

Context: hPb : f b ^ e b ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: P : Ideal R

Context: hPa : f a ^ e a ≤ P

Context: hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P

Context: hPp : P.IsPrime

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ s

Context: hPb : f b ^ e b ≤ P

Context: this : (f a).IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: P : Ideal R

Context: hPa : f a ^ e a ≤ P

Context: hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P

Context: hPp : P.IsPrime

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ s

Context: hPb : f b ^ e b ≤ P

Context: this✝ : (f a).IsPrime

Context: this : (f b).IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)

Context: P : Ideal R

Context: hPa : f a ^ e a ≤ P

Context: hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P

Context: hPp : P.IsPrime

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ s

Context: hPb : f b ^ e b ≤ P

Context: this✝ : (f a).IsPrime

Context: this : (f b).IsPrime


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X : SimplicialObject A
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
x✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)

(Finset.univ.inf fun k => kernelSubobject (X.δ k.succ)).arrow ≫ X.δ j.succ = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ

Context: s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s : Set α

μ (f '' s) ≤ (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: n : ℤ

(homOfDegreewiseSplit S σ).f n = (↑(cocycleOfDegreewiseSplit S σ)).v n (n + 1) ⋯


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖


Context:
n : ℕ
hn : n % 2 = 1


Context: n : ℕ

Context: hn : n % 2 = 1

Context: help : ∀ m < 4, m % 2 = 1 → (if m = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (m / 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s

HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: A : HasDerivAt g c 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: A : HasDerivAt g c 0

Context: B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: A : HasDerivAt g c 0

Context: Z : HasDerivWithinAt ((fun t => f (x + t • v)) ∘ g) (c • f') (g ⁻¹' s') 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: A : HasDerivAt g c 0

Context: Z : HasDerivWithinAt (fun x_1 => f (x + x_1 • c • v)) (c • f') ((fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)) 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t

Context: A : HasDerivAt g c 0

Context: t : 𝕜

t ∈ (fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s ↔ t ∈ (fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)


Context: q : ℍ

(exp ℝ q).im = (exp ℝ q.re * (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖)) • q.im


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c

Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0

Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (1 • f x))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0

Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0

Context: this : min 1 (c / ‖f x‖) = 1


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0

Context: this : min 1 (c / ‖f x‖) = 1

Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)) atTop (𝓝 (min 1 (c / ‖f x‖)))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_5

Context: f : α → β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: c : ℝ

Context: x : α

Context: hfx : ‖f x‖ ≤ c

Context: hfx0 : ¬‖f x‖ = 0

Context: this : min 1 (c / ‖f x‖) = 1

Tendsto (fun n => c / ‖↑(hf.approx n) x‖) atTop (𝓝 (c / ‖f x‖))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₁ < b₂
x : α

x ∈ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioo a₂ b₂ ↔ x ∈ Ioc (max a₁ a₂) b₁


Context: p : ℕ → Prop


Context: p : ℕ → Prop

sInf {x | p x ∧ ∀ k < 0, nth p k < x} = sInf (setOf p)


Context: α : Type u_1

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: hf : AEMeasurable (fun x => rexp (f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: this : f = fun x => log (rexp (f x))


Context: α : Type u_1

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: this : f = fun x => log (rexp (f x))

AEMeasurable (fun x => log (rexp (f x))) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
K : α
K0 : K > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
j : ℕ
ij : j ≥ i


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (-x) = -WittVector.ghostFun x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + dist x y

∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x ≤ f y + ↑1 * dist x y


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: hind : X.str = ⊤

Context: F : Presheaf C X

Context: it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))

Context: c : C

Context: U : TopologicalSpace.Opens ↑X

Context: s : Sieve U

Context: hs : s ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U

Presieve.IsSheafFor (F ⋙ coyoneda.obj (op c)) s.arrows


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: hind : X.str = ⊤

Context: F : Presheaf C X

Context: it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))

Context: c : C

Context: s : Sieve ⊥

Context: hs : s ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves ⊥


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: hind : X.str = ⊤

Context: F : Presheaf C X

Context: it : IsTerminal (F.obj (op ⊥))

Context: c : C

Context: U : TopologicalSpace.Opens ↑X

Context: s : Sieve U

Context: hne : U ≠ ⊥


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b
ht : b = ⊤ → a = ⊤


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ⊤ ≤ b
ht : b = ⊤ → ⊤ = ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b
ht : b = ⊤ → a = ⊤
ha : a ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
a✝ : Nontrivial R

b.flag k.castSucc ≤ LinearMap.ker (b.dualBasis k)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: i : Fin (n + 1)

Context: hr : 1 = c i


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : m ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)


⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
m : M

m ∈ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p ↔ m ∈ ⋂ s ∈ S, ↑s


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
c : ℝ≥0

μ.testAgainstNN (const Ω c) = c * μ.mass


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0


p.reverse * q.reverse * (X ^ p.natTrailingDegree * X ^ q.natTrailingDegree) = p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree * (q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree)


p.reverse * (X ^ p.natTrailingDegree * q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree) = p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree * (q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ

(ofFinsupp f).hsum.coeff g = (f.sum fun x => id).coeff g


∑ᶠ (i : α), (f i).coeff g = (∑ x ∈ f.support, id (f x)).coeff g


∑ᶠ (i : α), (coeff.addMonoidHom g) (f i) = (coeff.addMonoidHom g) (∑ x ∈ f.support, f x)


(Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)) ⊆ ↑f.support


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder Γ

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: α : Type u_3

Context: f : α →₀ HahnSeries Γ R

Context: g : Γ

Context: x : α

Context: h : x ∈ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder Γ

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: α : Type u_3

Context: f : α →₀ HahnSeries Γ R

Context: g : Γ

Context: x : α


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : f x = 0

x ∉ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab✝ : a ≤ b
hf✝ : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc c d))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ


∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc c d, f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y


Context:
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
i : (forget SimplexCategory).obj y

Continuous fun a => ∑ j ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = i) Finset.univ, ↑a j


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R


finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)


Context:
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : SMulCommClass R A M₁
inst✝² : SMulCommClass A R M₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : Module R M₂
B₁ : BilinMap A M₁ A
B₂ : BilinMap R M₂ R
hB₁ : IsSymm B₁
hB₂ : IsSymm B₂


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: g₁ : (i : ι) → G i →+ G' i

Context: g₂ : (i : ι) → G' i →+ G'' i

Context: hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)

Context: hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
f : (a : α) → γ a → δ a
s : (a : α) → Finset (γ a)
a✝ : (a : α) → δ a

(a✝ ∈ piFinset fun a => image (f a) (s a)) ↔ a✝ ∈ image (fun b a => f a (b a)) (piFinset s)


Context:
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

StrictAntiOn (fun x => 1 / log x) (Set.Ioi 1)


StrictAntiOn (fun x => (log x)⁻¹) (Set.Ioi 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: HB : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

Context: y : ModelProd HB F

Context: hy : y ∈ (chartAt (ModelProd HB F) x).target

(↑(chartAt (ModelProd HB F) x).symm y).proj = ↑(chartAt HB x.proj).symm y.1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: HB : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

Context: y : ModelProd HB F

Context: hy : y ∈ (chartAt HB x.proj).target ×ˢ univ ∧ ↑((chartAt HB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm y ∈ (trivializationAt F E x.proj).target

(↑(trivializationAt F E x.proj).symm (↑((chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)).symm y)).proj = ↑(chartAt HB x.proj).symm y.1


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : FiniteDimensional F E
inst✝³ : Algebra.IsSeparable F E
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra F K


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

T ∈ distinguishedTriangles ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ distinguishedTriangles


Context: x y : ℂ

sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
a✝ : Nontrivial R

(∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
hpz : ¬f = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : ι → TopologicalSpace β


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀


EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocRing R
m : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: is : List (Fin l.length)

Context: h : Pairwise (fun x x_1 => ↑x < ↑x_1) is

Context: n : Nat

Context: l' : List α

Context: hl' : l' = drop n l

Context: his : ∀ (i : Fin l.length), i ∈ is → n ≤ ↑i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1

Context: hp1 : 1 < p


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1

Context: hp1 : 1 < p

Context: order_of_a : orderOf a = p - 1


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1

Context: hp1 : 1 < p

Context: order_of_a : orderOf a = p - 1

Context: this : NeZero p


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1

Context: hp1 : 1 < p

Context: order_of_a : orderOf a = p - 1

Context: this : NeZero p

Context: hp' : p - 2 + 1 = p - 1


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h1 : p ≠ 1

Context: hp1 : 1 < p

Context: order_of_a : orderOf a = p - 1

Context: this : NeZero p

Context: hp' : p - 2 + 1 = p - 1

Context: a' : (ZMod p)ˣ := Units.mkOfMulEqOne a (a ^ (p - 2)) ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β

UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α


Context:
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p


Context:
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1


Context:
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1
q₂ : b + 1 ∣ b ^ p + 1


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n : ℕ

StronglyMeasurable fun ω => ∑ k ∈ Finset.range N, ({n | lowerCrossingTime a b f N k ω ≤ n} ∩ {n | n < upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω}).indicator 1 n


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n i : ℕ
x✝ : i ∈ Finset.range N

MeasurableSet fun ω => {n | n < upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω} n


MeasurableSet fun ω => {n | ¬upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω ≤ n} n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

v.valuation ((algebraMap R K) r) = v.intValuation r


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : ↥(Lp E 1 μ)


(setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


(setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
δ K ε x a : ℝ

HasDerivAt (fun y => gronwallBound δ K ε (y - a)) (K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε) x


K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε = (K * gronwallBound δ K ε (id x - a) + ε) * 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v

Context: hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v

Context: hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2

Context: this : RCLike.re ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ‖v‖ ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s : Set α

(pure a).toOuterMeasure s = if a ∈ s then 1 else 0


∑' (x : α), s.indicator (⇑(pure a)) x = if a ∈ s then 1 else 0


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: this : toAddMonoidWithOne = toAddMonoidWithOne


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: this✝ : toAddMonoidWithOne = toAddMonoidWithOne

Context: this : AddMonoidWithOne.toNatCast = AddMonoidWithOne.toNatCast

Context: toAddMonoid_eq✝ : AddMonoidWithOne.toAddMonoid = AddMonoidWithOne.toAddMonoid

Context: toNeg_eq✝ : toNeg = toNeg

Context: toSub_eq✝ : toSub = toSub

Context: zsmul_eq✝ : AddGroupWithOne.zsmul = AddGroupWithOne.zsmul


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : AddGroupWithOne R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_one : One.one = One.one

Context: this✝¹ : toAddMonoidWithOne = toAddMonoidWithOne

Context: this✝ : AddMonoidWithOne.toNatCast = AddMonoidWithOne.toNatCast

Context: toNeg_eq✝ : toNeg = toNeg

Context: toSub_eq✝ : toSub = toSub

Context: this : IntCast.intCast = IntCast.intCast


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : N
i : ι

(TensorProduct.piScalarRightInv R S N ι) (Pi.single i x) = x ⊗ₜ[R] Pi.single i 1


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
hr : r ≠ 0


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : Monoid A
inst✝¹¹ : Monoid B
inst✝¹⁰ : Monoid C
inst✝⁹ : Monoid D
inst✝⁸ : CommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace C
inst✝⁴ : TopologicalSpace D
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalGroup E
inst✝¹ : ContinuousMul B
inst✝ : T2Space B


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : Monoid A
inst✝¹¹ : Monoid B
inst✝¹⁰ : Monoid C
inst✝⁹ : Monoid D
inst✝⁸ : CommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace C
inst✝⁴ : TopologicalSpace D
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalGroup E
inst✝¹ : ContinuousMul B
inst✝ : T2Space B
x y : A

IsClosed {x_1 | x_1 (x * y) = x_1 x * x_1 y}


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C

((α.inv ◫ β.inv) ≫ α.hom ◫ β.hom).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝


((α.inv ≫ α.hom) ◫ (β.inv ≫ β.hom)).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d.degree ≠ n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight 1) d ≠ n


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)

Context: inst✝ : Monoid H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: motive : (con φ).Quotient → Prop

Context: x : (con φ).Quotient

Context: of : ∀ (i : ι) (g : G i), motive (((con φ).mk'.comp (inl.comp CoprodI.of)) g)

Context: base : ∀ (h : H), motive (((con φ).mk'.comp inr) h)

Context: mul : ∀ (x y : (con φ).Quotient), motive x → motive y → motive (x * y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α
hf : Involutive f
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]

(p * q).degree ≤ ↑(p.natDegree + q.natDegree)


p.degree + q.degree ≤ ↑(p.natDegree + q.natDegree)


p.degree + q.degree ≤ ↑p.natDegree + ↑q.natDegree


Context:
s : Set Game
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

o.derivBFamily f = enumOrd (⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi))


Context: o : Ordinal.{u}

StrictMono (o.derivBFamily f) ∧ Set.range (o.derivBFamily f) = ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)


Context: o : Ordinal.{u}

Set.range (o.derivBFamily f) = ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)


Context: o : Ordinal.{u}

(∀ (a : Ordinal.{max u v}), o.derivBFamily f a ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)) ∧ ∀ b ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi), ∃ a, o.derivBFamily f a = b


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : ∀ (i : Ordinal.{u}) (j : i < o), a ∈ fixedPoints (f i j)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 f

(Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 g


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : HeytingAlgebra α
inst✝¹ : HeytingAlgebra β
inst✝ : HeytingHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
huv : G.Adj u v


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : UniformInducing f


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet a)

(incMatrix R G * (incMatrix R G)ᵀ) a a = ↑(G.degree a)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
f : Π₀ (i : ι), Finset (α i)


∏ i ∈ f.support, (f i).card = f.prod fun i => ↑(f i).card


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞

⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) / μ univ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b

Context: δ : α

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: t : ↑(Icc a b)

Context: n : ℕ

Context: ht : t ∈ Icc (addNSMul h δ n) (addNSMul h δ (n + 1))

(fun a_1 => ↑a_1) t ≤ ↑(projIcc a b h ?m.54392)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b

Context: δ : α

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: t : ↑(Icc a b)

Context: n : ℕ


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
n : ℕ
y : F


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ maximalAtlas M G
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (e.symm ≫ₕ e').restr s ∈ G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: f : PartialHomeomorph M H := chartAt H (↑e.symm x)

Context: s : Set H := e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' f.source


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s

Context: xs : x ∈ s


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s

Context: xs : x ∈ s

Context: A : e.symm ≫ₕ f ∈ G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s

Context: xs : x ∈ s

Context: A : e.symm ≫ₕ f ∈ G

Context: B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s

Context: xs : x ∈ s

Context: A : e.symm ≫ₕ f ∈ G

Context: B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G

Context: C : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ∈ G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas M G

Context: x : H

Context: hx : x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source

Context: hs : IsOpen s

Context: xs : x ∈ s

Context: A : e.symm ≫ₕ f ∈ G

Context: B : f.symm ≫ₕ e' ∈ G

Context: C : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ∈ G

Context: D : (e.symm ≫ₕ f) ≫ₕ f.symm ≫ₕ e' ≈ (e.symm ≫ₕ e').restr s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F

eLpNormEssSup (c • f) μ = ↑‖c‖₊ * eLpNormEssSup f μ


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a ≤ c
h₂ : b ≤ c


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g : G
p₁ p₂ : P


g +ᵥ p₁ -ᵥ p₂ +ᵥ p₂ = g + (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ

⇑(prodAssoc α β γ).symm '' s ×ˢ t ×ˢ u = (s ×ˢ t) ×ˢ u


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ

((hasseDeriv n) p).natDegree = p.natDegree - n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ
hn : n ≤ p.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: hfl : f.leadingCoeff ∉ P

Context: hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P

Context: hfd0 : 0 < f.degree

Context: h0 : f.coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : f.IsPrimitive

Context: x✝ : f = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f : R[X]

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: hfl : f.leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < f.degree

Context: h0 : f.coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : f.IsPrimitive

Context: hf0 : f ≠ 0

Context: hf : map (mk P) f = C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree

Context: hfd0 : 0 < f.natDegree

Context: h : f.degree = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hf : map (mk P) (p * q) = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hmp : m ≤ p.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hmp : m ≤ p.natDegree

Context: hnq : n ≤ q.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hmnd : m + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hmn : 0 < m → 0 < n → False

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hmp : m ≤ p.natDegree

Context: hnq : n ≤ q.natDegree

Context: hpmqn : p.natDegree = m ∧ q.natDegree = n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: n : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ n

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hnq : n ≤ q.natDegree

Context: hmnd : 0 + n = (p * q).natDegree

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ 0

Context: hmn : 0 < 0 → 0 < n → False

Context: hmp : 0 ≤ p.natDegree

Context: hpmqn : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = n