Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

Context: val✝ : Encodable β

R (m (⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, s b)) (∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b))


Context:
a b : UnitAddCircle
z : ℂ

DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) z


Context:
a b : UnitAddCircle
z : ℂ
hz : z ≠ 1


Context: a b : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) 1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ₁ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ₂ : S₂ ⟶ S₃

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: h₃ : S₃.LeftHomologyData

Context: γ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂

Context: γ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : ¬e.BoundaryGE i

(if hij : c.Rel i j then if hi : e.BoundaryGE i then (truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else 0) = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv


(truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

∀ (s : Finset ι) (g : ι → Rₛ), ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: a : ↥S

Context: g' : ι → R

Context: hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: a : ↥S

Context: g' : ι → R

Context: h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: a : ↥S

Context: g' : ι → R

Context: h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0

Context: s : ↥S

Context: hs : s • ∑ i ∈ t, g' i • v i = 0


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: a : ↥S

Context: g' : ι → R

Context: h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0

Context: s : ↥S

Context: hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: a : ↥S

Context: g' : ι → R

Context: h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0

Context: s : ↥S

Context: hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0

Context: hv : ↑s * g' i = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup R

Context: a b : R

Context: ab : IsRightRegular (b * a)

Context: x y : R

Context: xy : (fun x => x * b) x = (fun x => x * b) y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup R

Context: a b : R

Context: ab : IsRightRegular (b * a)

Context: x y : R


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s

f ∈ s.dfinsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: s : Finset ι

Context: f : Π₀ (i : ι), α i

Context: t✝ : (i : ι) → Finset (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)

Context: ht : t.support ⊆ s

Context: i : ι

Context: h : (i ∈ f.support → i ∈ s) ∧ (i ∈ s → f i ∈ t i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q

(contractLeft d) ((ι Q) a * b) = d a • b - (ι Q) a * (contractLeft d) b


∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1

finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) = n


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α


Context:
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι₁ : Type u_4
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
v₁ : ι₁ → F
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
v₂ : ι₂ → F
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0

⟪∑ i₁ ∈ s₁, w₁ i₁ • v₁ i₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₂ i₂ • v₂ i₂⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖ * ‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖)) / 2


Context:
x y : ℝ
hp : 0 < y

ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)


Context:
x y : ℝ
hp : 0 < y
hx : x ≠ 0


Context:
y : ℝ
hp : 0 < y

ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)


Context: y : ℝ

Context: hp : 0 < y

Context: A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)


Context: y : ℝ

Context: hp : 0 < y

Context: B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)


Context: y : ℝ

Context: hp : 0 < y

Context: C : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[{0}] 0 ×ˢ 𝓝 y) (pure 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

b + m • p - (toIcoDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ico a (a + p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq 0 n) s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq 0 i) s = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ

generateFrom (memPartition t n) ≤ generateFrom (range t)


generateFrom (memPartition t n) ≤ generateFrom (⋃ n, memPartition t n)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
g : G
a : α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k


Context:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

∀ (m : AdicCompletion I M), (map I f) m = 0 → m = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

(map I f) ((mk I M) a) = 0 → (mk I M) a = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ≥ 42


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ≥ 42

↑a (n + k) ∈ Submodule.comap f (I ^ n • range f)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ≥ 42

f (↑a (n + k)) ∈ I ^ n • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ≥ 42

f (↑a (n + k)) ∈ I ^ (n + k) • ⊤ ⊓ range f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ : ι →₀ α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: f g : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: j : ι

(single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g✝ : ι →₀ α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: f g : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a b : α

(single i (a - b)) i = (single i a - single i b) i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g✝ : ι →₀ α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: f g : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: j : ι

Context: h : i ≠ j


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜

b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜

Context: b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)

Context: A : Matrix ι ι 𝕜

Context: this : (b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).toMatrix ⇑(Pi.basisFun 𝕜 ι) * A = of fun i j => ((b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).repr (Aᵀ j)) i


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜

Context: b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)

Context: A : Matrix ι ι 𝕜

Context: this : (b.toMatrix fun x => (basisFun p 𝕜 ι) x) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Aᵀ j))) i


Context:
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b


HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)


Context: f g : ℕ → ℂ

Context: s a b : ℂ

Context: hf : LSeriesHasSum f s a

Context: hg : LSeriesHasSum g s b

Context: hsum : Summable fun x => term f s x.1 * term g s x.2


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

ofFn f = pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

ofFn f = map (fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩) (range n).attach


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
h : ¬IsUnit a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit 0
h : ¬IsUnit a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a a' : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h' : b ∈ f.fix a'

Context: fa : Sum.inr a' ∈ f a

Context: hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final

Context: hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀

(fixInduction h fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a a' : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h' : b ∈ f.fix a'

Context: fa : Sum.inr a' ∈ f a

Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) ((f a).get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a a' : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h' : b ∈ f.fix a'

Context: fa : Sum.inr a' ∈ f a

(fun x e => Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get ⋯ = y → C a) x (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)) (Sum.inr a') ⋯


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X

inst✝ = ⨅ i, induced (fun x => x ∈ i) inferInstance


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
h : IsPreconnected s


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : SetLike σ A

Context: inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝³ : GradedRing 𝒜

Context: a : A

Context: n i : ι

Context: inst✝² : Sub ι

Context: inst✝¹ : OrderedSub ι

Context: inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : i ≤ n

Context: b : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : S

eval₂ f x (p - q) = eval₂ f x p - eval₂ f x q


Context:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane


Context: E : Type

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f g : E → ℂ

Context: z : ℂ

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: fa : AnalyticAt ℂ f x

Context: ga : AnalyticAt ℂ g x

Context: m : f x ∈ slitPlane

Context: e : (fun z => f z ^ g z) =ᶠ[𝓝 x] fun z => cexp (log (f z) * g z)


Context: E : Type

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f g : E → ℂ

Context: z : ℂ

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: fa : AnalyticAt ℂ f x

Context: ga : AnalyticAt ℂ g x

Context: m : f x ∈ slitPlane

AnalyticAt ℂ (fun z => cexp (log (f z) * g z)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : β → γ

Context: e : α ≃ᵐ β

Context: hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)

Context: this : Measurable (f ∘ ⇑(e.symm.trans e).toEquiv)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
x✝ : G

(y • f ⋆[L, μ] g) x✝ = (y • (f ⋆[L, μ] g)) x✝


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B W : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpiFamily X π

Context: m₁ m₂ : B ⟶ W

Context: h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂

Context: this : m₂ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B W : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpiFamily X π

Context: m₁ m₂ : B ⟶ W

Context: h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: h : ∃ M, Infinite ↑M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t✝ s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
h : s.toFinset = t.toFinset


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0


↑(q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β

Tendsto m f (𝓝 b) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f


(∀ i ∈ g, b ∈ i → ∀ᶠ (a : α) in f, m a ∈ i) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ last n
h' : optParam (i.rev ≠ 0) ⋯


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
h : I.FG
f : R →+* S


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ


∃ g, (Function.LeftInverse g fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse g fun a => ↑m • a


(Function.LeftInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
s : Set ((i : ι) → α i)

sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ f ↔ ∀ (i : ι), (eval i '' s)ᶜ ∈ f i


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasStrictFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸

Context: h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸

(ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸

Context: t' : 𝕊


Context: n : ℕ

∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n


∑ i ∈ divisors 0, i = ∑ i ∈ properDivisors 0, i + 0


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.89869
inst✝ : MulAction R X
r : R
s : ↥S


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
hp : 1 < a.succ
hk : 1 < n.succ
h : a.succ ^ n.succ ∣ a.succ


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁷ : PartialOrder Γ✝

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁵ : VAdd Γ✝ Γ'

Context: inst✝⁴ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ R V

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬(of R).symm y = 0

((of R).symm (x • y)).coeff (x.order + ((of R).symm y).order) = x.leadingCoeff • ((of R).symm y).leadingCoeff


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁷ : PartialOrder Γ✝

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁵ : VAdd Γ✝ Γ'

Context: inst✝⁴ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ R V

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬(of R).symm y = 0

∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ (⋯.min ⋯ + ⋯.min ⋯), x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 = x.coeff (⋯.min ⋯) • ((of R).symm y).coeff (⋯.min ⋯)


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L

∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
h2 : F⟮x⟯ ≤ L'


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

e.inverse.map (e.counit.app Y) = e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)


𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝² : DivInvMonoid β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower α β β
r : α
x y : β


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
k : ι
hk' : c.Rel j k


Context:
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n * xn a1 n ^ (yn a1 n - 1) * yn a1 n


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
a : α
b : Bool


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K L
f : K[X]

pb.equivAdjoinSimple.symm ((aeval pb.gen) f) = (aeval (AdjoinSimple.gen K pb.gen)) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a✝ a₁ a₂ : α

Context: b b₁✝ b₂✝ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : PosSMulStrictMono α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: b₁ b₂ : β

Context: hb : b₁ < b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a✝ a₁ a₂ : α

Context: b b₁✝ b₂✝ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : PosSMulStrictMono α γ

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: b₁ b₂ : β

Context: smul : α → β → True

Context: hb : f b₁ < f b₂


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Finite κ
inst✝¹ : Fintype κ'
inst✝ : DecidableEq ι'
this : DecidableEq κ'

(toLin b' c) (c.toMatrix ⇑c' * (toMatrix b' c') f) = (toLin b' c) ((toMatrix b' c) f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p n : α
hp : Irreducible p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p n : α
hp : Irreducible p
hpn : ¬p ∣ n
d : α
hdp : d ∣ p
hdn : d ∣ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p n : α
hp : Irreducible p
d : α
hdp : d ∣ p
hdn : d ∣ n
hpn : ¬IsUnit d


HasSum (fun n => term (n + 1) 1) (1 - γ)


Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, term (i + 1) 1) atTop (𝓝 (1 - γ))


Tendsto (fun N => term_sum 1 N) atTop (𝓝 (1 - γ))


Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1) + 1) atTop (𝓝 (-γ + 1))


Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) atTop (𝓝 (-γ))


Context: this : Tendsto (fun x => -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) x) atTop (𝓝 (-γ))


Context: n : ℕ

-(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) n = (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) n


Context: n : ℕ

-(↑(harmonic (n + 1)) - log ↑(n + 1)) = -↑(harmonic (n + 1)) + log (↑n + 1)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra R S
N : Type u_4
inst✝² : Semiring N
inst✝¹ : Module N S
inst✝ : SMulCommClass R N S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι

((↑(b.constr N)).toFun (Subtype.val ∘ ⇑(basisSpanSingleton b hx))) (b i) = ((Algebra.lmul R S) x) (b i)


Context: G : PGame

G.ImpartialAux ↔ G ≈ -G ∧ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).ImpartialAux) ∧ ∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).ImpartialAux


Context:
a b c : SignType
x✝¹ : a ≤ b
x✝ : b ≤ c


Context:
p q : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror


Context:
p q✝ : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror

q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror


Context:
p q✝ : ℤ[X]
hp : p.IsUnitTrinomial
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
hq : q.IsUnitTrinomial


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z
hk : k = k'


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
k' m' n' : ℕ
hkm' : k' < m'
hmn' : m' < n'
x y z : ℤˣ
hq : q = trinomial k' m' n' ↑x ↑y ↑z
hk : k = k'
hn : n = n'


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = ↑v


Context:
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = -↑v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
hsf : s ⊆ range f


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s


∀ (s_1 : Set G), MeasurableSet s_1 → μ' s_1 < ⊤ → ν'.inv s_1 < ⊤ → ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict s_1, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν'.inv A < ⊤

∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict A, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤


∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hμs : μ' s ≠ ⊤

Context: sm : MeasurableSet s

Context: A : Set G

Context: hA : MeasurableSet A

Context: a✝ : μ' A < ⊤

Context: h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

Context: h1 : μ' s * ∫⁻ (y : G), A⁻¹.indicator 1 y ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hμs : μ' s ≠ ⊤

Context: sm : MeasurableSet s

Context: A : Set G

Context: hA : MeasurableSet A

Context: a✝ : μ' A < ⊤

Context: h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

Context: h1 : μ' s * ∫⁻ (a : G) in A⁻¹, 1 a ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hμs : μ' s ≠ ⊤

Context: sm : MeasurableSet s

Context: A : Set G

Context: hA : MeasurableSet A

Context: a✝ : μ' A < ⊤

Context: h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

Context: h1 : μ' s * ν' A⁻¹ = ∫⁻ (x : G), A.indicator (fun j => ν' ((fun y => y * j) ⁻¹' s)) x ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hμs : μ' s ≠ ⊤

Context: sm : MeasurableSet s

Context: A : Set G

Context: hA : MeasurableSet A

Context: a✝ : μ' A < ⊤

Context: h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

μ' s * ν' A⁻¹ ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝕜'

HasStrictDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: a b y : α

Context: hya : y ∈ Iic a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Iic b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iic (a * b)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M

BddAbove (Set.range fun a => period m a)


Monoid.exponent M ∈ upperBounds (Set.range fun a => period m a)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ

coeff m (X i ^ k) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m✝ : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: i : σ

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: k : ℕ

Context: this : coeff m ((monomial (Finsupp.single i k)) 1) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m✝ : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: i : σ

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: k : ℕ

Context: this : coeff m ((Finsupp.single i k).prod fun n e => X n ^ e) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: x✝ : Cᵒᵖ

F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) (op ⊤)) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app x✝ = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

∀ (a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L), (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

Context: a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L

(F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

Context: a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L

F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index P) a) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Icc 0 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: g : β → Set (Set α)

Context: s : Set β

Context: h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)

Context: t : Set α

Context: h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)

∃ T f, ↑T ⊆ s ∧ t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: g : β → Set (Set α)

Context: s : Set β

Context: h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)

Context: t : Set α

Context: this : t ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: g : β → Set (Set α)

Context: s : Set β

Context: h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)

Context: T : Finset (Subtype s)

Context: f : Subtype s → Set α

Context: h_t' : ∀ b ∈ T, f b ∈ (g ∘ Subtype.val) b

Context: h_t : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)

Context: this : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)

∃ T_1 f_1, ↑T_1 ⊆ s ∧ ⋂ b ∈ T, f b = ⋂ b ∈ T_1, f_1 b ∧ ∀ b ∈ T_1, f_1 b ∈ g b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : p * q ≠ 0

(p * q).primPart = p.primPart * q.primPart


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0


C (p * q).content * (p * q).primPart = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)


C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)


C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C p.content * C q.content * (p.primPart * q.primPart)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: Y' : C

Context: f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Context: mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: Y' : C

Context: f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Context: T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: Y' : C

Context: f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Triangle.mk (((shiftEquiv C 1).unitIso.app X).hom ≫ T'.mor₁) T'.mor₂ h ≅ (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β

b ∈ (p.bind f).support ↔ b ∈ ⋃ a ∈ p.support, (f a).support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

orderOf ?x = Fintype.card (QuaternionGroup 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : Subsingleton α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F

x ∈ ↑(v.prod w).parallelepiped ↔ x ∈ ↑(v.parallelepiped.prod w.parallelepiped)


(∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i) ↔ (∃ t ∈ Icc 0 1, x.1 = ∑ i : ι, t i • v i) ∧ ∃ t ∈ Icc 0 1, x.2 = ∑ i : ι', t i • w i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
t : ι → ℝ
ht1 : t ∈ Icc 0 1
ht2 : x.1 = ∑ i : ι, t i • v i
s : ι' → ℝ
hs1 : s ∈ Icc 0 1
hs2 : x.2 = ∑ i : ι', s i • w i

∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i


Sum.elim t s ∈ Icc 0 1 ∧ x = ∑ i : ι ⊕ ι', Sum.elim t s i • (v.prod w) i


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

(contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

(contractLeft d) ((contractLeft d') ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)

Context: hy : (contractLeft d) ((contractLeft d') y) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) y)

(contractLeft d) ((contractLeft d') (x + y)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) (x + y))


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') m) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) m)

(contractLeft d) ((contractLeft d') ((ι Q) x * m)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((ι Q) x * m))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

filter (fun x => p x.1) (s ×ˢ t) = filter p s ×ˢ t


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
v : n → R


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: inst✝³ : Preorder M

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: f : β → M

Context: n✝ : ℕ

Context: hf : StrictMono f

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n.succ.succ ≠ 0


Context:
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic' i K = X ^ n - 1


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r₁ r₂ : R


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ExistsMulOfLE α

Context: a b : α

Context: h : a < b


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝ : ExistsMulOfLE α

Context: a c : α

Context: h : a < a * c


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : X
val✝ : Y

glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl val✝¹).swap (Sum.inr val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : Y
val✝ : X

glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr val✝¹).swap (Sum.inl val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

(map φ P).toPoly = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)


C (φ P.a) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {x, y, z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x y : α
hne : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s t u✝ u : Finset α

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ u.powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ u.powerset

(∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f g μ : Finset α → β

Context: s t u : Finset α

Context: f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ ∅ → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ ∅ → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ ∅.powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ ∅.powerset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a✝ : α

Context: f g μ : Finset α → β

Context: s t u✝ : Finset α

Context: a : α

Context: u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: ih : ∀ {f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β}, 0 ≤ f₁ → 0 ≤ f₂ → 0 ≤ f₃ → 0 ≤ f₄ → (∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)) → ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, 𝒜 ⊆ u.powerset → ℬ ⊆ u.powerset → (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s

Context: f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a✝ : α

Context: f g μ : Finset α → β

Context: s t u✝ : Finset α

Context: a : α

Context: u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset

Context: ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a✝ : α

Context: f g μ : Finset α → β

Context: s t u✝ : Finset α

Context: a : α

Context: u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset

Context: this : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a✝ : α

Context: f g μ : Finset α → β

Context: s t u✝ : Finset α

Context: a : α

Context: u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset

Context: hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset

Context: this✝ : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset

Context: this : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ (insert a u).powerset


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

(equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α) x - (equivShrink α) y


(equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) - (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ


IsOpen (⋃ i, ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {↑i})ᶜ)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts (algebraMap R S)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ (mapAlg R S).range


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 12 * 0.6931471808 < 16


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β

(q.seq p) b = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0


(∑' (a : α → β), q a * ∑' (a_1 : α), if b = a a_1 then p a_1 else 0) = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
f : α → β
a : α

(q f * if b = f a then p a else 0) = if b = f a then q f * p a else 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

derivWithin (fun x => c x / d) s x = derivWithin c s x / d


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K


(toLin' (col (Fin 1) w) ∘ₗ toLin' (row (Fin 1) v)).rank ≤ 1


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
c : Cocone F
j✝ : J

ι (F ⋙ G) j✝ ≫ post F G ≫ G.map (desc F c) = ι (F ⋙ G) j✝ ≫ desc (F ⋙ G) (G.mapCocone c)


G.map (c.ι.app j✝) = (G.mapCocone c).ι.app j✝


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R' S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' S

Context: inst✝ : IsLocalization M R'

Context: s : Set S

Context: x : S

Context: hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R' s)

∃ t, t • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R' S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' S

Context: inst✝ : IsLocalization M R'

Context: s : Set S

Context: x : S

Context: hx : x ∈ Submodule.span R' ↑(Submonoid.closure s)

∃ t, t • x ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.closure s)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R


((p + q).support.sup fun s => toMultiset s) ≤ (p.support.sup fun s => toMultiset s) ⊔ q.support.sup fun s => toMultiset s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y

∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)

Context: hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: h✝ : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: h : m < n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)

Context: m : ℕ

Context: hmn : m ≠ m


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: P : α → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: h : n < m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: n : ℕ

Context: hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑n‖

Context: hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)

∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: n : ℕ

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: gt_zero : 0 < b (min_bi b)

Context: n : ℕ

Context: i : α

Context: hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ↑n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ ∅, IsBounded ∅


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝¹ : Bornology α
s t : Set α
x✝ : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ

∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: h₁ : 0 ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: h₁ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvx : Tendsto v atTop (𝓝[≤] x)
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: t : Set α

Context: x : α

Context: inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated

Context: htx : IsLUB t x

Context: not_mem : x ∉ t

Context: ht : t.Nonempty

Context: v : ℕ → α

Context: hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)

Context: hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x

Context: this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: t : Set α

Context: x : α

Context: inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated

Context: htx : IsLUB t x

Context: not_mem : x ∉ t

Context: ht : t.Nonempty

Context: v : ℕ → α

Context: hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)

Context: hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ (k : ℕ), k < N k

Context: hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: t : Set α

Context: x : α

Context: inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated

Context: htx : IsLUB t x

Context: not_mem : x ∉ t

Context: ht : t.Nonempty

Context: v : ℕ → α

Context: hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)

Context: hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ (k : ℕ), k < N k

Context: hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)

Context: x✝ : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Bool
l : List α

filter p (filter q l) = filter q (filter p l)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set β


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

Context: h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

Context: h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

(∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable (fun x => (L (f y)) (g (x - y))) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

Integrable (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : AddGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: hf : Integrable f ν

Context: hg : Integrable g μ

Context: t : G

‖∫ (x : G), ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

h₁.homologyIso.inv ≫ homologyMap φ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ h₂.homologyIso.inv


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P : C

Projective P ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms


(coyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


-![W'.dblZ P ^ 2, W'.dblZ P ^ 3, addZ P (W'.neg P)] y = -W'.dblZ P ^ 3


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: N : Submonoid R

Context: h₁ : M ≤ N

Context: h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)

Context: x y : R

(algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: N : Submonoid R

Context: h₁ : M ≤ N

Context: x y : R

(∃ c, ↑c * x = ↑c * y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: N : Submonoid R

Context: h₁ : M ≤ N

Context: x y : R

Context: c : ↥M

Context: hc : ↑c * x = ↑c * y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

{ ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a


(∃ x, ¬(x ∈ t → x ∉ s → ∃ b ∈ s, b ∉ t ∧ x ≤ b)) ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]

toLaurent (Polynomial.C r * f) = C r * toLaurent f


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ
c : R

(⇑derivative)^[k] ((X + C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X + C c) ^ (n - k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y


∀ s ∈ range (natGeneratingSequence α), x ∈ s ↔ y ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

x ∈ natGeneratingSequence α n ↔ y ∈ natGeneratingSequence α n


decide (x ∈ natGeneratingSequence α n) = decide (y ∈ natGeneratingSequence α n)


Decidable (x ∈ natGeneratingSequence α n)


Decidable (y ∈ natGeneratingSequence α n)


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (σₙ S a)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = 0

Context: inst✝² : HasKernel f

Context: inst✝¹ : HasKernel (G.map f)

Context: inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = 0

Context: inst✝² : HasKernel f

Context: inst✝¹ : HasKernel (G.map f)

(iso G f).hom ≫ kernel.ι (G.map f) = kernelComparison f G ≫ kernel.ι (G.map f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a


c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = c.lift (g.comp c.mk') ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
y p q : R[X]

(p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) (C y) = (p * y) • 1 + (q * y) • (mk W) Y