Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯

∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: h_lim_1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β → G

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: h_lim_2 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hγ : J.toPlus P ≫ γ = η

γ = J.plusMap η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hγ : J.toPlus P ≫ γ = η

γ ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom = J.plusMap (J.toPlus P) ≫ J.plusMap γ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1

a✝³ • x✝ + b✝ • y✝ ∈ ↑K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P

y ∈ ↑(Ideal.span {x}) ↔ y ∈ spanSingleton S ((algebraMap R P) x)


(∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) ↔ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

(μ.singularPart ν).singularPart ν = μ.singularPart ν


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f

(((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


(Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) ((g x) ((Equiv.symm (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞)) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩))) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


(Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) ((g x) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


(Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) (fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
r : x * b ∈ MonoidHom.range f


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : C * A = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
fst✝ : α
snd✝ : M

(fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ f (fst✝, snd✝).1 = (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝, snd✝).2 ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set (Set E)
hS : S.Finite

IsVonNBounded 𝕜 (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsVonNBounded 𝕜 s


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
h : g.comp f = id
m : M
hm : f m = 0


Context:
x y z : PartENat
h : x < y
hz : z ≠ ⊤


Context:
y z : PartENat
hz : z ≠ ⊤
m : ℕ
h : ↑m < y


Context:
y : PartENat
m : ℕ
h : ↑m < y
k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤


Context:
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
h : ↑m < ⊤


Context:
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m < ↑n


Context:
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : m < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a * b < a


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n → ℕ

Context: hf : Primrec' f

Context: s : Primrec' fun v => (f v).sqrt

Context: fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n → ℕ

Context: hf : Primrec' f

Context: s : Primrec' fun v => (f v).sqrt

Context: v : Vector ℕ n

(if f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt < (f v).sqrt then (f v).sqrt else f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt - (f v).sqrt) = (unpair (f v)).2


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t : S
m : t ∈ r s
h : turnBound s = 0


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < turnBound s


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < 0


Context: cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.prev { byteIdx := utf8Len cs } = { byteIdx := utf8Len cs.dropLast }


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

(support fun x => ↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ) = ball c f.rOut


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)
n' : ℕ
r : s.Results a n'
e : n + 1 = n' + 1


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

(rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.rightUnshift n hn


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s


∀ x ∈ s, (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x


(fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) 1


∀ (x y : N), (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) y → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) (x * y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: k : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → F' i

Context: i : ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: k : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → F' i

Context: i : ι

∀ (i_1 : ι), ContDiff 𝕜 k fun x_1 => update x i x_1 i_1


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
r : R
p q : R[X]

(taylor r) (p * q) = (taylor r) p * (taylor r) q


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : Filter (α × β)

Cauchy F ↔ Cauchy (map Prod.fst F) ∧ Cauchy (map Prod.snd F)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

ENNReal.ofReal (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)


(∏ i ∈ s, f i).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g

inv (pullback.fst f g) ≫ pullback.snd f g = f ≫ inv g


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x

deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)


Context: n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree
h : ¬p.natDegree = q.natDegree


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: i : α

(fun y => y ^ p.toReal) ‖lp.single p i (f i)‖ = (fun y => y ^ p.toReal) ‖f i‖


Context:
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
hfn : (coeff R p n) f ≠ 0
k✝ k : ℕ
ih : (coeff R p (n + k)) f ≠ 0
h : (coeff R p (n + k.succ)) f = 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsOpen s
x : α
xs : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsOpen s
x : α
xs : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
u : Set α
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ n


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u_2}) → b < 0 → Ordinal.{u_2}


Context:
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : KernelFork (f - g)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i i' : ι
w : c.Rel i i'


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
w : c.Rel i (c.next i)

(dNext i) f = C.d i (c.next i) ≫ f (c.next i) i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1


∀ (b_1 : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → logb b a ≤ b_1


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e : ℝ


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e a : ℝ


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
e a : ℝ
ha : 1 ≤ a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: h_spec : spectrum R a ⊆ {0}

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
hf : HasDerivAt f 0 (g a)
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝 a] id
hg : DifferentiableAt 𝕜 g a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
hf : HasDerivAt f 0 (g a)
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝 a] id
hg : DifferentiableAt 𝕜 g a
this : HasDerivAt id (0 * deriv g a) a


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι

(s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : Fintype.card α ≤ s.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : s.card ≤ Fintype.card α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ ∅, (↑(f i)).Intersecting
hs : ∅.card ≤ Fintype.card α

(∅.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - ∅.card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)

Context: f : ι → Finset (Finset α)

Context: hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting

Context: hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α

((cons i s hi).biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

Context: f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

Context: hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

Context: hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

((cons i s hi).biUnion f').card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

((insert i s).biUnion f').card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

(f' i ∪ s.biUnion f').card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

(f' i).card + ((f' i ∪ s.biUnion f') \ f' i).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

(f' i).card + (s.biUnion f' ∩ (f' i)ᶜ).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ (Fintype.card α + 1) * ((f' i).card + (s.biUnion f' ∩ (f' i)ᶜ).card) ≤ 2 ^ (Fintype.card α + 1) * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ Fintype.card α * (2 * (f' i).card) + 2 * (2 ^ Fintype.card α * (s.biUnion f' ∩ (f' i)ᶜ).card) ≤ 2 * 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ Fintype.card α * Fintype.card (Finset α) + 2 * ((s.biUnion f').card * (f' i)ᶜ.card) ≤ 2 * 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card) ≤ 2 ^ Fintype.card α * (2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ι → Finset (Finset α)

2 ^ Fintype.card α + (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)) ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context:
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: this : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 - x) * x ^ i) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: this✝ : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)

Context: this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : R

Context: h : ‖x‖ < 1

Context: x✝ : ℕ

1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, (1 - x) * x ^ i


Context: s : String


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
x : F.obj j
hx : x ∈ F.eventualRange j

∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨x, hx⟩


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
y : F.obj i
hy : y ∈ F.eventualRange i
hx : F.map f y ∈ F.eventualRange j

∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨F.map f y, hx⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β

image2 f s (⋃ i, t i) = ⋃ i, image2 f s (t i)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred

(((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) b) fun i => w ↑i) = ((filter pred s).weightedVSubOfPoint p b) w


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.48420, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.48427, u_3} E

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : HasShift E M

Context: X Y Z T : C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).PreservesZeroMorphisms

Context: a : M

Context: β : ShiftedHom X Y a

Context: b c : M

Context: h : b + a = c


Context: z : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
a x b c : E

a + x ∈ openSegment 𝕜 (a + b) (a + c) ↔ x ∈ openSegment 𝕜 b c


Context:
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ

∃ β t sgn g, (∀ (b : β), g b ∈ s) ∧ t.card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs ∧ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ t, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a


(univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs).card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs


∀ a ∈ s, (∑ b ∈ univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs, if (fun a => ↑a.fst) b = a then ↑((fun a => sign (f ↑a.fst)) b) else 0) = f a


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : ℝ → E
w : ℝ

𝓕 f w = ∫ (v : ℝ), Complex.exp (↑(-2 * π * v * w) * Complex.I) • f v


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
Z X : C
g : Z ⟶ X

(ofObjects Y X).arrows g ↔ ∃ i, Nonempty (Z ⟶ Y i)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝ : GaloisCategory C

Context: X : C

Context: F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C

∃ ι f g x, (∀ (i : ι), IsConnected (f i)) ∧ Finite ι


Context:
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i → β₁ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf₂ : ∀ (i : ι), f₂ i 0 = 0
h : ∀ (i : ι), (f i ∘ f₂ i) 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι

(mapRange (fun i => f i ∘ f₂ i) h g) i✝ = (mapRange f hf (mapRange f₂ hf₂ g)) i✝


(f i✝ ∘ f₂ i✝) (g i✝) = f i✝ (f₂ i✝ (g i✝))


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
α : Type u_4
f : α → M

mrange (FreeMonoid.lift f) = closure (Set.range f)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = eLpNorm' f q μ ^ q


Context: n m : ℕ

Context: p : Fin (n + 1)

Context: i j x : Fin n

Context: y : Fin (n + 1)

Context: h : x.castSucc < y

Context: h' : optParam (y.succAbove x ≠ last n) ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0
n : ℕ


Context: x y : ℕ

↑(x.gcd y) = ↑x * x.gcdA y + ↑y * x.gcdB y


Context:
x y : ℕ
this : Nat.P x y (x.xgcdAux 1 0 y 0 1)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
e : m ≃ n
M : Matrix m n α

M.submatrix id ⇑e * Mᵀ.submatrix (⇑e) id = M * Mᵀ


Context: s n : Nat

(range' s (n + 1)).reverse = map (fun x => s + (n + 1) - 1 - x) (range (n + 1))


Context: s n : Nat

[s + n].reverse ++ (range' s n).reverse = (s + n - 0) :: map ((fun x => s + n - x) ∘ succ) (range n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
h : f.eraseLead.natDegree < f.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
h : f.eraseLead = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
h : a < 0


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → β
xs : t α
x : β

foldr f x xs = (Foldr.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs)) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
t : Set β

Tendsto f (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ ∀ a ∈ s, f a ∈ t


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N

∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: hN : IsTorsion R N

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: w✝ : DecidableEq I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: hN : IsTorsion R N

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: w✝ : DecidableEq I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: this : Fintype I


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h' : Finite R N

Context: hN : IsTorsion R N

Context: I : Type u

Context: fI : Fintype I

Context: w✝ : DecidableEq I

Context: p : I → R

Context: hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)

Context: e : I → ℕ

Context: this✝ : Fintype I

Context: this : ∀ (i : I), ∃ d k, Nonempty (↥(torsionBy R N (p i ^ e i)) ≃ₗ[R] ⨁ (j : Fin d), R ⧸ span R {p i ^ k j})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

∫⁻ (a : α), f a ∂Measure.sum μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i


⨆ x, ⨆ s, ∑ i ∈ s, (↑x).lintegral (μ i) = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


⨆ j, ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1) = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


(fun j => ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1)) = fun s => ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
s : Finset ι

⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


⨆ i, ∑ i_1 ∈ ∅, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ ∅, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : ι → Measure α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)

⨆ i_1, ∑ i ∈ insert i s, (↑i_1).lintegral (μ i) = ∑ i ∈ insert i s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : ι → Measure α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

⨆ i_1, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑i_1).lintegral (μ i) = (⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)) + ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : ι → Measure α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

∀ (i_1 j : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∃ k, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑j).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ : ι → Measure α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: φ ψ : { i // ↑i ≤ fun a => f a }

∃ k, (↑φ).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑ψ).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
hf : HasSeparableContraction q f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P' Q' : Fin 3 → R
u v : Rˣ

W'.add ((fun m => m • P') u) ((fun m => m • Q') v) ≈ W'.add P' Q'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
x : E
hx : gauge s x < r⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹
hrc : r < c⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: a : ℝ

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: ha : Absorbent ℝ s

Context: hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : r > 0

Context: hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u

Context: c : ℝ

Context: hc₀ : 0 < c

Context: hcr : c < r⁻¹

Context: hrc : r < c⁻¹

Context: z : E

Context: hz : z ∈ u

Context: hy : (fun x => c⁻¹ • x) z ∈ s

Context: hx : gauge s ((fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z)) < r⁻¹

(fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z) ∈ u


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)

Context: x y : PiLp ⊤ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : a * b ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : Tendsto (ofReal' ∘ fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 ↑l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : Tendsto (fun x => ↑(∑ i ∈ range x, f i)) atTop (𝓝 ↑l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝 ↑l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : Tendsto ((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') (𝓝[<] 1) (𝓝 ↑l)


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: a✝⁴ : ℝ

Context: a✝³ : a✝⁴ > 0

Context: x✝ a✝² : ℝ

Context: a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1

Context: a✝ : dist a✝² 1 < x✝

dist (∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n) l = dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') a✝²) ↑l


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: a✝⁴ : ℝ

Context: a✝³ : a✝⁴ > 0

Context: x✝ a✝² : ℝ

Context: a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1

Context: a✝ : dist a✝² 1 < x✝

‖∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l‖ = ‖∑' (n : ℕ), ↑(f n) * ↑a✝² ^ n - ↑l‖


Context: f : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

Context: a✝⁴ : ℝ

Context: a✝³ : a✝⁴ > 0

Context: x✝ a✝² : ℝ

Context: a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1

Context: a✝ : dist a✝² 1 < x✝

‖∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l‖ = ‖↑(∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l)‖


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M

↑(closure s) = List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}


Set.range ⇑(FreeMonoid.lift Subtype.val) = Set.range (List.prod ∘ List.map Subtype.val)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
u : Set β
ut : u ⊆ t
u_open : IsOpen u
hu : x ∈ u


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
h : p₁ -ᵥ p₂ = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

IsSigmaCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsSigmaCompact s


IsSigmaCompact (⇑h.symm '' s) ↔ IsSigmaCompact s


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s s' : ↥S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M

(extChartAt I x).target ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)


𝓝 (↑(extChartAt I x) x) = 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s

(fun x => x + z) (a • x + b • y') = a • (x + z) + b • (fun x => x + z) y'


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
s : R
hs : s * 1 * (r - 1) + s - 1 ∈ I


Context: n : ℕ


Context: m e : Nat

(if true = true then normalize (↑m) (10 ^ e) ⋯ else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)


Context: m e : Nat

(if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) '' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this : Fintype ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this✝ : Fintype ↑t
this : Fintype ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: n : ℕ


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Context: h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Tendsto (fun e => ‖⨍ (y : α) in e, f y ∂μ - f x‖) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

∀ᶠ (t : Set α) in v.filterAt x, ‖⨍ (y : α) in t, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in t, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - ⨍ (x_1 : α) in a, f x ∂μ‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

‖∫ (y : α), f y ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a - ∫ (x_1 : α), f x ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a‖ ≤ ∫ (y : α), ‖f y - f x‖ ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

‖∫ (a : α), f a - f x ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a‖ ≤ ∫ (y : α), ‖f y - f x‖ ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : 0 < μ a

Context: h'a : μ a < ⊤

Context: h''a : IntegrableOn f a μ

Integrable (fun x_1 => f x) ((μ a)⁻¹ • μ.restrict a)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts = p.support.dropLast


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j✝ n : ℕ

Context: ipos : 0 < i

Context: hin : i ≤ n

Context: h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: j' : ℕ := j✝ % (4 * n)

Context: n4 : 0 < 4 * n

Context: jl : j' < 4 * n

Context: jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]

Context: j q : ℕ

Context: IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

xn a1 (j + 4 * n * (q + 1)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j✝ n : ℕ

Context: ipos : 0 < i

Context: hin : i ≤ n

Context: h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: j' : ℕ := j✝ % (4 * n)

Context: n4 : 0 < 4 * n

Context: jl : j' < 4 * n

Context: jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]

Context: j q : ℕ

xn a1 (4 * n + (j + 4 * n * q)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ipos : 0 < i

Context: hin : i ≤ n

Context: h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: j' : ℕ := j % (4 * n)

Context: n4 : 0 < 4 * n

Context: jl : j' < 4 * n

Context: jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]

Context: this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

Context: ji : j' + i = 4 * n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ipos : 0 < i

Context: hin : i ≤ n

Context: h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: j' : ℕ := j % (4 * n)

Context: n4 : 0 < 4 * n

Context: jl : j' < 4 * n

Context: jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

(dite P A fun x => b) ≠ b ↔ ∃ h, A h ≠ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
hF : F.Representable
X : Cᵒᵖ
f : unop X ⟶ F.reprX

(F.reprW.app X).hom f = F.map f.op F.reprx


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : t ∈ Ioo 0 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 < t ∧ t < 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: u v w : m → α

Context: i : m

Context: this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq G
x : G

x ∈ Finset.image (fun i => x✝ ^ i) (Finset.range (orderOf x✝)) ↔ x ∈ (↑(zpowers x✝)).toFinset


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
h : a ∈ s

∏ x ∈ s.erase a, f x = (∏ x ∈ s, f x) / f a


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : M → Prop

Context: hs : closure s = ⊤

Context: x : M

Context: one : p 1

Context: mul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), p y → p (x * y)

Context: this : x ∈ closure s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

edist (Memℒp.toLp (s.indicator fun x => c) ⋯) (Memℒp.toLp (t.indicator fun x => c) ⋯) = ↑‖Memℒp.toLp ((s ∆ t).indicator fun x => c) ⋯‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E


sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} = sInf (a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
r : ℝ

r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} ↔ r ∈ a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}


(r ∈ Ioi 0 ∧ ∃ y ∈ s, a • y = r⁻¹ • x) ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a⁻¹ • y = r


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
h₃ : r b c


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r b b


Context:
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
h₃ : r c b


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length

(p.smash q h).toFun (Fin.castAdd q.length i).succ = p.toFun i.succ


(if H : ↑(Fin.castAdd q.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = p.toFun i.succ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : c < b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v✝ v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f

IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ f ⁻¹' s' = s


(∃ U Z, (∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = U) ∧ (∃ t, IsClosed t ∧ f ⁻¹' t = Z) ∧ s = U ∩ Z) ↔ ∃ s', (∃ U Z, IsOpen U ∧ IsClosed Z ∧ s' = U ∩ Z) ∧ f ⁻¹' s' = s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π


‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
Hs : s.Nonempty
t : γ → Finset β
Ht : ∀ (b : γ), (t b).Nonempty
c : α

(s.biUnion t).sup' ⋯ f ≤ c ↔ (s.sup' Hs fun b => (t b).sup' ⋯ f) ≤ c


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'

gaussSum χ ψ ^ p = gaussSum (χ ^ p) (ψ ^ p)


∑ x : R, (frobenius R' p) (χ x * ψ x) = ∑ a : R, (χ ^ p) a * (ψ ^ p) a


∑ x : R, χ x ^ p * ψ x ^ p = ∑ x : R, χ x ^ p * (ψ ^ p) x


Context:
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
g' : α → β
h : β → γ
x : F (G α)

Comp.map (h ∘ g') (mk x) = Comp.map h (Comp.map g' (mk x))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R

eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
t : R

eval t (0 /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t 0) = (comp 0 (X + C t)).trailingCoeff


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: hp : p ≠ 0

Context: mul_eq : (X - C t) ^ rootMultiplicity t p * (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
m : ℕ := rootMultiplicity t p
g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m
mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p

eval t g = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: hp : p ≠ 0

Context: m : ℕ := rootMultiplicity t p

Context: g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m

Context: mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p

Context: this : (g.comp (X + C t)).coeff 0 = eval t g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : β → σ

Context: m : β → ℕ

Context: l : β → List β

Context: g : β → List σ → Option σ

Context: hm : Primrec m

Context: hl : Primrec l

Context: hg : Primrec₂ g

Context: Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b

Context: H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)

Context: this : DecidableEq β

Context: mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList

Context: bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n

Context: graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : β → σ

Context: m : β → ℕ

Context: l : β → List β

Context: g : β → List σ → Option σ

Context: hm : Primrec m

Context: hl : Primrec l

Context: hg : Primrec₂ g

Context: this : DecidableEq β

Context: mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : β → σ

Context: m : β → ℕ

Context: l : β → List β

Context: g : β → List σ → Option σ

Context: hm : Primrec m

Context: hl : Primrec l

Context: hg : Primrec₂ g

Context: this : DecidableEq β

Context: mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph

Context: bindList_primrec : Primrec₂ bindList


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : β → σ

Context: m : β → ℕ

Context: l : β → List β

Context: g : β → List σ → Option σ

Context: hm : Primrec m

Context: hl : Primrec l

Context: hg : Primrec₂ g

Context: this : DecidableEq β

Context: mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph

Context: bindList_primrec : Primrec₂ bindList

Context: graph_primrec : Primrec₂ graph


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : β → σ

Context: m : β → ℕ

Context: l : β → List β

Context: g : β → List σ → Option σ

Context: hm : Primrec m

Context: hl : Primrec l

Context: hg : Primrec₂ g

Context: this✝ : DecidableEq β

Context: mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph

Context: bindList_primrec : Primrec₂ bindList

Context: graph_primrec : Primrec₂ graph

Context: this : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R
ha : a ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: U : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Context: HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: ma : a ∈ S.join.destruct

∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: U : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: ma : a ∈ S.join.destruct

Context: n : ℕ

Context: h : S.join.destruct.Results a n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: U : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)}, LiftRel (LiftRel R) S T → ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: ra : S.join.destruct.Results a n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: U : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: n : ℕ

Context: S : WSeq (WSeq α)

Context: T : WSeq (WSeq β)

Context: ST : LiftRel (LiftRel R) S T

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ x ∈ Set.Icc 0 π, sin x ^ (n + 1) ≤ sin x ^ n := fun x h => pow_le_pow_of_le_one (sin_nonneg_of_mem_Icc h) (sin_le_one x) (Nat.le_add_right n 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q : R[X]
a b : R
p : R[X]


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.199564, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : HasCokernels C
inst✝¹ : HasKernels Cᵒᵖ
inst✝ : HasCokernels Cᵒᵖ

∀ {X Y : (ShortComplex C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (rightHomologyFunctor C).op.map f ≫ ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) Y).hom = ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) X).hom ≫ (opFunctor C ⋙ leftHomologyFunctor Cᵒᵖ).map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
g' : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g'

∫⁻ (b : γ), g' b ∂(κ.map f hf) a = ∫⁻ (a : β), g' (f a) ∂κ a


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'

η.naturality (f ≫ g) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map (f ≫ g)) h).hom ≫ η.app a ◁ G.mapComp f g ▷ h = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom


(F.mapComp f g ▷ η.app c ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ≫ η.naturality f ▷ G.map g ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α

Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } Finset.univ = {⊤, ⊥}


Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } {true, false} = {⊤, ⊥}


{IsSimpleOrder.equivBool.symm true, IsSimpleOrder.equivBool.symm false} = {⊤, ⊥}


Context: x y : ℂ

cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C

S ≤ T ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d


(∀ (a : C) (b : (d : C) × (a ⟶ d)), ⟨a, b⟩ ∈ S → ⟨a, b⟩ ∈ T) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d


Context: a b c d x y z w : ℕ

(↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2)


Context: a b c d x y z w : ℕ

↑((↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2) = ↑((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2))


Context: a b c d x y z w : ℕ

|↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w| ^ 2 + |↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z| ^ 2 + |↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y| ^ 2 + |↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x| ^ 2 = (↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + ↑c ^ 2 + ↑d ^ 2) * (↑x ^ 2 + ↑y ^ 2 + ↑z ^ 2 + ↑w ^ 2)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : I ≤ 1


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ

Context: this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I

∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J I : Box ι

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π : Prepartition I

Context: this : ∀ (J : Box ι), ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J I : Box ι

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition

Context: πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock

Context: πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r

Context: h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m

Context: πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J I : Box ι

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition

Context: πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock

(π.biUnionTagged πi).distortion = π.distortion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J I : Box ι

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π : Prepartition I

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition

Context: πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock

(π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion) = π.distortion


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C(X, ℝ≥0)

Context: hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x

Context: hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C(X, ℝ≥0)

Context: hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x

Context: i : ι

Context: x : X

Context: hx : x ∈ K i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
ha : a ≠ 0

Tendsto (⇑((zmultiplesHom ℝ) a)) Filter.cofinite (cocompact ℝ)


DiscreteTopology ↥((zmultiplesHom ℝ) a).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: hST : IsComplement S T

Context: hHT : IsComplement (↑H) T

Context: hSK : IsComplement S ↑K

Context: g : G

Context: h1 : 1 ∈ S

Context: hg : g ∈ T

Context: this : hST.equiv.symm (⟨1, h1⟩, ⟨g, hg⟩) = g


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f✝ : M →* P
f : c.Quotient →* P
x y : M
h : c x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β

(map g f).lintegral μ = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


∑ x ∈ Finset.image g f.range, x * μ (↑(map g f) ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
b : β
hb : b ∈ f.range

g b * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g b}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g b) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range

g (↑f a) * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


∑ i ∈ Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {i}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range = Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range


∀ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {x}) = g x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
m : M
p : Subsemigroup M


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node3R x m y r).dual = r.dual.node3L y m.dual x l.dual


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent
hp2q2 : p2.IsConjExponent q2


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) = arccos (⟪y, x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖x‖))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

fderivWithin 𝕜 _root_.id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E


fderiv 𝕜 _root_.id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E


Context:
r : ℝ
c : ℂ

{ toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c) = (RingHom.id ℝ) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

Context: h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

Context: h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ

a⁺ᵐ / a⁻ᵐ ≤ b⁺ᵐ / b⁻ᵐ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x + a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)


Context:
m : ℕ
_h : 0 < m + 1


Context:
m n : ℕ
h : 0 < m + 1


Context:
m₁ m₂ : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1


Context:
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1


Context:
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1

ack m₁ (ack (m₁ + 1) n) < ack m₂ (ack (m₂ + 1) n)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

∑ i ∈ Ico 1 (log p n).succ, n / p ^ i ≤ n / (p - 1)


Context: v : PrimeMultiset

Multiset.map Subtype.val (Multiset.map Coe.coe v) = Multiset.map Subtype.val v


Context: v : PrimeMultiset

Multiset.map (Subtype.val ∘ Coe.coe) v = Multiset.map Subtype.val v


Context:
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0


Context:
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n


Context:
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b = 0


Context:
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b > 0


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : (a' * g) ^ n ∣ (b' * g) ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : a' ^ n * g ^ n ∣ b' ^ n * g ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ^ succ 0 ∣ a' ^ n


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ∣ 1


Context:
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF

(x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)


Context:
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
this : a.NF


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(∀ ⦃a : X⦄ ⦃b : Y⦄, b ∈ closure {f a} → ∃ a' ∈ closure {a}, f a' = b) ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R

(∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧ P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d


(∀ n > 3, ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0) ∧ ((((if True then P.a else 0) + if 3 = 2 then P.b else 0) + if 3 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.a ∧ ((((if 2 = 3 then P.a else 0) + if True then P.b else 0) + if 2 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.b ∧ ((((if 1 = 3 then P.a else 0) + if 1 = 2 then P.b else 0) + if True then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.c ∧ ((((if False then P.a else 0) + if False then P.b else 0) + if False then P.c else 0) + if True then P.d else 0) = P.d


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E

b.addHaar (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1


(addHaarMeasure b.parallelepiped) (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : Monic 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : Monic 0

Context: this : Subsingleton R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: h : ¬Monic 0

(if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).2 else p) = p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

Module.rank R ↥(LinearMap.range f) = Module.rank R M'


Context:
α : Type u_1
l : List α
x y : α
hne : x ≠ y


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2

↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SL(2, R)

Context: i✝ j✝ : Fin 2

Context: this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SL(2, R)

Context: i✝ j✝ : Fin 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β

s ×ˢ t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∨ t = ⊤


↑(s ×ˢ t) = ↑⊤ ↔ ↑s = ↑⊤ ∨ ↑t = ↑⊤


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s : Multiset α

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: p : α → Prop

Context: hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

Context: unit : p 1

Context: base : ∀ x ∈ s, p x


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: p : α → Prop

Context: unit : p 1

Context: l : List α

Context: comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: base : ∀ x ∈ ⟦l⟧, p x


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: p : α → Prop

Context: unit : p 1

Context: l : List α

Context: comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute

Context: base : ∀ x ∈ l, p x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

IsBounded (s ∪ t) ↔ IsBounded s ∧ IsBounded t


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i

i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩


↑(i.cycleRange j) = ↑(if j = i then 0 else j + 1)


(if ⟨↑j, ⋯⟩ = last ↑i then 0 else ↑⟨↑j, ⋯⟩ + 1) = ↑(if castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ = i then 0 else castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ + 1)


(if ↑j = ↑i then 0 else ↑j + 1) = ↑(if ↑j = ↑i then 0 else j + 1)