Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : (filter (fun u => u ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ u.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card ≤ 2 ^ ((P.nonuniformWitnesses G ε U).card - 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U

Context: q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id

(P.nonuniformWitnesses G ε U).card ≤ P.parts.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a ^ (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n
dvd_a : p ∣ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n
dvd_pow : p ∣ a ^ n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : DecidableEq M
α : Type u_9
s : Finset α
f : { x // x ∈ s } → Finset M

span R ↑(s.attach.biUnion f) = ⨆ x, span R ↑(f x)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.leftOp
j : Jᵒᵖ

((fun s => (hc.desc (coconeOfConeLeftOp s)).unop) s ≫ (coneLeftOpOfCocone c).π.app j).op = (s.π.app j).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.leftOp

Context: m : s.pt ⟶ (coneLeftOpOfCocone c).pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneLeftOpOfCocone c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeLeftOp s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.leftOp

Context: m : s.pt ⟶ (coneLeftOpOfCocone c).pt

Context: j : J

(c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeLeftOp s)).unop) s).op).unop


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C

∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C) ∧ Disjoint C₀ C₁


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T25Space α
hC : Perfect C
y : α
yC : y ∈ C
x : α
xC : x ∈ C
hxy : x ≠ y
U : Set α
xU : x ∈ U
Uop : IsOpen U
V : Set α
yV : y ∈ V
Vop : IsOpen V
hUV : Disjoint (closure U) (closure V)


(Perfect (closure (U ∩ C)) ∧ (closure (U ∩ C)).Nonempty ∧ closure (U ∩ C) ⊆ C) ∧ (Perfect (closure (V ∩ C)) ∧ (closure (V ∩ C)).Nonempty ∧ closure (V ∩ C) ⊆ C) ∧ Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))


(Perfect (closure (U ∩ C)) ∧ (closure (U ∩ C)).Nonempty) ∧ closure (U ∩ C) ⊆ C


((Perfect (closure (V ∩ C)) ∧ (closure (V ∩ C)).Nonempty) ∧ closure (V ∩ C) ⊆ C) ∧ Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))


Disjoint (closure (U ∩ C)) (closure (V ∩ C))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α

a :: l ∈ s.subchain ↔ a ∈ s ∧ l ∈ s.subchain ∧ ∀ b ∈ l.head?, a < b


Context:
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x

(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)) = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasProjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f

P.iso.inv ≫ (projectiveResolutions C).map f = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ ≫ Q.iso.inv


Homotopy (((projectiveResolution X).homotopyEquiv P).inv ≫ lift f (projectiveResolution X) (projectiveResolution Y)) (φ ≫ ((projectiveResolution Y).homotopyEquiv Q).inv)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : 1 < a


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n✝ : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: a✝ : m.succ.le n

Context: ih : a ^ m < a ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: h : IsProjectiveLimit μ P

Context: I : Finset ι

Context: s : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: hs : MeasurableSet s


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: h : IsProjectiveLimit μ P

Context: I : Finset ι

Context: s : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
h : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, P n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
h : ∀ (a : ℕ), ∃ b > a, P b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M


B.Nondegenerate ↔ ∀ (m : M), B m = 0 → m = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R✝ R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hne : x ≠ c


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f✝ f : End K V
x : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroup G
f g : α →₀ G


(f + -g).support ⊆ f.support ∪ (-g).support


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

↑((o.kahler x) y).arg + ↑((o.kahler y) z).arg = ↑((o.kahler x) z).arg


↑(↑‖y‖ ^ 2 * (o.kahler x) z).arg = ↑((o.kahler x) z).arg


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this : ↑‖y - x‖₊ < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r

Context: this : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) n (r - ↑‖y - x‖₊)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r

Context: this : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) y n (r - ↑‖y - x‖₊)


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Measurable fun x => liminf (fun x_1 => f x_1 x) v


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this : Countable (Subtype p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this : Countable (Subtype p)

Context: hp : IsEmpty (Subtype p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Measurable fun x => if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f (↑i) x) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f (↑i) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: m : Subtype p → Set δ := fun j => {x | BddBelow (range fun i => f (↑i) x)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: m_meas : ∀ (j : Subtype p), MeasurableSet (m j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: mc_meas : MeasurableSet {x | ∀ (j : Subtype p), x ∉ m j}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: reparam : δ → Subtype p → Subtype p := fun x => liminf_reparam (fun i => f i x) s p

Context: F0 : Subtype p → δ → α := fun j x => ⨅ i, f (↑i) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: F0_meas : ∀ (j : Subtype p), Measurable (F0 j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: F1 : δ → α := fun x => F0 (reparam x j) x

Context: hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x

Context: g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this✝ : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x

Context: g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯

Context: Z : ∀ (x : δ), ∃ n, x ∈ m (g n) ∨ ∀ (k : Subtype p), x ∉ m k

Context: this : F1 = fun x => if x ∈ m j then F0 j x else F0 (g (Nat.find ⋯)) x

Measurable fun x => if x ∈ m j then F0 j x else F0 (g (Nat.find ⋯)) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this✝ : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x

Context: g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯

Measurable fun x => F0 (g (Nat.find ⋯)) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: f : ι → δ → α

Context: v : Filter ι

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: hv : v.HasCountableBasis p s

Context: hs : ∀ (j : ι'), (s j).Countable

Context: this✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: hp : Nonempty (Subtype p)

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: this✝ : ∀ (i : ι'), Countable ↑(s i)

Context: j : Subtype p

Context: hF1 : F1 = fun x => F0 (reparam x j) x

Context: g : ℕ → Subtype p := Classical.choose ⋯

Context: n : ℕ

MeasurableSet {x | x ∈ m (g n) ∨ ∀ (k : Subtype p), x ∉ m k}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n


mapTermRel (fun x t => Term.relabel (Sum.map id (natAdd 0)) t) (fun x => id) (fun x => castLE ⋯) φ = castLE ⋯ φ


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: hμ : f.HasEigenvalue μ

Context: h_unit : IsUnit ((algebraMap R (End R M)) μ - f)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: hμ : f.HasEigenvalue μ

Context: f' : M ≃ₗ[R] M := LinearMap.GeneralLinearGroup.toLinearEquiv h_unit.unit


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: hμ : f.HasEigenvalue μ

Context: v : M

Context: hv : f.HasEigenvector μ v


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
h : m.Nonempty

(sInf m) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ m, μ (t n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f : γ → β

Context: this : UniformSpace γ := UniformSpace.comap f inst✝

uniformSpace α γ = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β

Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits s

Context: hF : IsSheaf (coherentTopology C) F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits s

Context: hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F

Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits s

Context: this : PreservesFiniteProducts F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.52509, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : PreservesFiniteLimits s

Context: this : PreservesFiniteProducts F

Context: x✝² x✝¹ : C

Context: π : x✝² ⟶ x✝¹

Context: x✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]
h : p ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
h : r < dimH s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, dimH t ≤ r


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
t : X → Set X
htx : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
htr : ∀ x ∈ s, dimH (t x) ≤ r


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
r : ℝ≥0∞
t : X → Set X
htx : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
htr : ∀ x ∈ s, dimH (t x) ≤ r
S : Set X
hSs : S ⊆ s
hSc : S.Countable
hSU : s ⊆ ⋃ x ∈ S, t x


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝¹ : Functor t

Context: inst✝ : LawfulFunctor t

Context: h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f

Context: h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f


Context:
R : Type ?u.5
inst✝ : Field R
a b : R
hab : a ^ 2 + b ^ 2 ≠ 0


Context:
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ

p ∈ restrictDegree σ R n ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n


↑p.support ⊆ {n_1 | ∀ (i : σ), n_1 i ≤ n} ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : 𝓜(𝕜, A)

Context: h0 : ∀ (f : A →L[𝕜] A) (C : ℝ≥0), (∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊) → ‖f‖₊ ≤ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : 𝓜(𝕜, A)

Context: h1 : ∀ (b : A), ‖a.toProd.1 b‖₊ ^ 2 ≤ ‖a.toProd.2‖₊ * ‖a.toProd.1 b‖₊ * ‖b‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : 𝓜(𝕜, A)

Context: h2 : ∀ (b : A), ‖a.toProd.2 b‖₊ ^ 2 ≤ ‖a.toProd.1‖₊ * ‖a.toProd.2 b‖₊ * ‖b‖₊


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : DiscreteTopology X
f : OnePoint X → Y

Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) cofinite (𝓝 (f ∞))


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S✝ : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : Submodule R M

Context: S : Set (Submodule R M) := {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}

p = sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S✝ : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : Submodule R M

p ≤ sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}}


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S✝ : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : Submodule R M

sSup {T | ∃ m ∈ p, m ≠ 0 ∧ T = span R {m}} ≤ p


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: F : C ⥤ D

Context: S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)

Context: φ : S ⟶ F.op ⋙ R

Context: φ' : S' ⟶ R

Context: d : M.Derivation φ

Context: f : M ⟶ N

Context: X✝ Y✝ : Dᵒᵖ

Context: x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝ : ↑(R.obj X✝)

(fun {X} => (Hom.app f X).toAddMonoidHom.comp d.d) ((R.map x✝¹) x✝) = (N.map x✝¹) ((fun {X} => (Hom.app f X).toAddMonoidHom.comp d.d) x✝)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: F : C ⥤ D

Context: S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: φ : S ⟶ F.op ⋙ R

Context: φ' : S' ⟶ R

Context: d : M.Derivation φ

Context: f : M ⟶ N

Context: X : Cᵒᵖ

Context: a : ↑(S.obj X)

(Hom.app f (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop X)))) (d.d ((φ.app X) a)) = 0


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => 1 / (1 + x ^ 2)) μ a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s.Disjoint t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a✝ b✝ : List α

Context: h : Disjoint (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝)

ndunion (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = dedup (Quot.mk Setoid.r a✝) + Quot.mk Setoid.r b✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : (filter p s).card = s.card
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : (filter p s).card = s.card
x : α
hx : x ∈ s ∧ p x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M

I.IsInteriorPoint x ∨ I.IsBoundaryPoint x


↑(extChartAt I x) x ∉ interior (range ↑I) → ↑(extChartAt I x) x ∈ range ↑I ∧ ↑(extChartAt I x) x ∉ interior (range ↑I)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

(ρ_ X).inv ▷ Y ≫ (α_ X (𝟙_ C) Y).hom = X ◁ (λ_ Y).inv


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
p : (g : G₀) → g ≠ 0 → Prop

(∃ g hg, p g hg) ↔ ∃ g hg, p ↑(mk0 g hg) ⋯


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hinj : Injective ⇑f
hp : p.IsPath


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : r₂ ≤ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ


∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0


(fun a => ENNReal.ofReal (f a)) =ᶠ[ae μ] 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0


AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
F : ι → α →ᵤ[𝔖] β
f : α →ᵤ[𝔖] β

Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(toFun 𝔖) ∘ F) ((toFun 𝔖) f) p s


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
x✝ : PolynomialModule R M

x✝ ∈ (F ⊓ F').submodule ↔ x✝ ∈ F.submodule ⊓ F'.submodule


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ
h : ¬p = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁵ : CompleteSpace F
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝² : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : SpectralMap β γ
f₁ f₂ : SpectralMap α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
j : n


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
h : (fun x => k • x) y = x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : p y ≤ r
h : (fun x => k • x) y = x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

Context: x : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, ‖g' x‖) atTop (𝓝 (l - g a))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

(fun x => g x - g a) =ᶠ[atTop] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, ‖g' x‖


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi a

g x - g a = ∫ (x : ℝ) in a..id x, ‖g' x‖


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi a

Context: h'x : a ≤ id x


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace X
f : C(X, ℝ≥0)
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
x : X
hx : x ∈ {x | c ≤ f x}

({ toFun := (⇑f ⊔ ⇑(const X c))⁻¹, continuous_toFun := ⋯ } * f) x = 1 x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

chainBotCoeff (-α) β = chainTopCoeff α β


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.Finite
R : Set α
hR : R ⊆ M.E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
p : Prop
f g : p → M
hfg : ∀ (h : p), f ⋯ = g h


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
b : β
h : b ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : swap (LiftRel fun x y => R y x) s t
b : β
h : b ∈ t


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : Kˣ

{ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x = I ↔ spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]

f ∈ reesAlgebra I ↔ ∀ i ∈ f.support, f.coeff i ∈ I ^ i


∀ (a : ℕ), f.coeff a ∈ I ^ a ↔ a ∈ f.support → f.coeff a ∈ I ^ a


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
a : ℕ

f.coeff a ∈ I ^ a ↔ a ∈ f.support → f.coeff a ∈ I ^ a


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
hinj : Injective f
hf : IsOpenMap f
hsf : s ⊆ range f
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
hinj : Injective f
hf : IsOpenMap f
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
hsf : f '' (f ⁻¹' s) = s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)
x : Fin (n + 1) → F

((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: he : e.toBasis.orientation = o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: he : e.toBasis.orientation = o

Context: heφ : (e.map φ).toBasis.orientation = (map (Fin n.succ) φ.toLinearEquiv) o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: he : e.toBasis.orientation = o

(e.map φ).toBasis.det x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: he : e.toBasis.orientation = o

(e.map φ).toBasis.det x = e.toBasis.det (⇑φ.symm ∘ x)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.flip.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingRight
i : n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
s✝ : Set G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
x : G
hx : x ∈ closure s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: q : R[X]

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R

untrop (∑ i ∈ s, f i) = s.inf (untrop ∘ f)


s.inf (untrop ∘ f) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).inf


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁_pos : 0 < c₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

Context: i : α

Context: hrpos_i : 0 < r i n

sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ max c₂ (c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

Context: i : α

Context: hrpos_i : 0 < r i n

Context: g_nonneg : 0 ≤ g ↑n


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ

(∃ b, (f ^ (Equiv.symm (Equiv.addRight n)) b) ((f ^ n) x) = y) ↔ f.SameCycle x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hconv : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hconv : Convex ℝ s
hne : s.Nonempty
x : E
x_in : x ∈ s
y : E
y_in : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝⁵ : CommMonoid γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
inst✝³ : FunLike G α γ
inst✝² : MonoidHomClass G α γ
inst✝¹ : FunLike G' γ α
inst✝ : MonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : LeftInverse ⇑g' ⇑g
h : Multipliable (⇑g ∘ f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝⁵ : CommMonoid γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
G' : Type u_6
inst✝³ : FunLike G α γ
inst✝² : MonoidHomClass G α γ
inst✝¹ : FunLike G' γ α
inst✝ : MonoidHomClass G' γ α
g : G
g' : G'
hg : Continuous ⇑g
hg' : Continuous ⇑g'
hinv : LeftInverse ⇑g' ⇑g
h : Multipliable (⇑g ∘ f)
this : Multipliable (⇑g' ∘ ⇑g ∘ f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d

(map d) x₁ = (map d) x₂ ↔ x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d
h : (map d) x₁ = (map d) x₂

x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ
hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d
hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
this : x₁ 0 = x₂ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: x₁ x₂ : Fin n.succ → ℕ

Context: hx₁ : ∀ (i : Fin n.succ), x₁ i < d

Context: hx₂ : ∀ (i : Fin n.succ), x₂ i < d

Context: h : ∑ x : Fin n, x₁ x.succ * d ^ ↑x = ∑ x : Fin n, x₂ x.succ * d ^ ↑x ∨ d = 0

Context: this : x₁ 0 = x₂ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

↑N = ⊥ ↔ N = ⊥


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ

weightSpaceChain M (-χ₁) χ₂ (-q) (-p) = weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ₁ χ₂ : L → R

Context: p q : ℤ

Context: e : ℤ ≃ ℤ := Involutive.toPerm Neg.neg ⋯


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ₁ χ₂ : L → R

Context: p q : ℤ

⨆ k ∈ Ioo (-q) (-p), weightSpace M (k • -χ₁ + χ₂) = ⨆ i ∈ ⇑e.symm '' Ioo p q, weightSpace M (e i • χ₁ + χ₂)


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)

Context: s : L.Substructure M


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: s : L.Substructure M


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: s : Set M

Context: h : s.Countable


Context:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
hv : ContinuousAt f v


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : -1 < r.re

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume a b


∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d : ℝ

Context: r : ℂ

Context: h : -1 < r.re

Context: this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) volume 0 c

Context: c : ℝ


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d : ℝ

Context: r : ℂ

Context: h : -1 < r.re

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c✝ d : ℝ

Context: r : ℂ

Context: h : -1 < r.re

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≤ 0


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

(W.preΨ n).natDegree ≤ (n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]


p.restriction.coeff p.natDegree = 1 ↔ p.coeff p.natDegree = 1


p.restriction.coeff p.natDegree = 1 ↔ ↑(p.restriction.coeff p.natDegree) = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t

HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v


(fun t => x + t • v) ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 0] (fun t => x + t • v) ⁻¹' t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
this : s =ᶠ[𝓝 (F 0)] t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A P : StructuredArrow S T

Context: f : P ⟶ A

Context: hf : Mono f

Context: q : (Functor.fromPUnit S).obj A.left ⟶ T.obj (Subobject.underlying.obj (projectSubobject (Subobject.mk f)))

Context: hq : q ≫ T.map (projectSubobject (Subobject.mk f)).arrow = A.hom

liftSubobject (projectSubobject (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A P : StructuredArrow S T

Context: f : P ⟶ A

Context: hf : Mono f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : D

Context: T : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : PreservesLimits T

Context: A P : StructuredArrow S T

Context: f : P ⟶ A

Context: hf : Mono f

?i.hom ≫ f = homMk (projectSubobject (Subobject.mk f)).arrow hq


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι

Orthonormal ℝ ⇑(e.toBasis.adjustToOrientation x)


∀ (i : ι), (e.toBasis.adjustToOrientation x) i = e i ∨ (e.toBasis.adjustToOrientation x) i = -e i


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : ↑s.card < t.card • b

∃ y ∈ t, ↑(filter (fun x => f x = y) s).card < b


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : ∑ a ∈ s, 1 < t.card • b

∃ y ∈ t, ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1 < b


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

IsIso ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

IsIso ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

Function.Bijective ⇑((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

IsLocalization ?M ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

IsLocalization ?M ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

RingHom.comp ((ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.c.app (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) (algebraMap ?R ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))) = algebraMap ?R ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

Algebra ?R ((forget CommRingCat).obj (((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).presheaf.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f))))


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

Algebra ?R ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
m : M
p : ι →₀ R
i : ι

((finsuppScalarRight R M ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = (p.sum fun i n => Finsupp.single i (n • m)) i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Nontrivial α
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : NoZeroDivisors α
h : IsRegular 0


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: S : Set (Set α)

Context: Sct : S.Countable

Context: Sp : ∀ s ∈ S, p s

Context: hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

HasCountableSeparatingOn (↑t) (fun u => ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = u) univ


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: S : Set (Set α)

Context: Sct : S.Countable

Context: Sp : ∀ s ∈ S, p s

∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: S : Set (Set α)

Context: Sct : S.Countable

Context: Sp : ∀ s ∈ S, p s

∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: S : Set (Set α)

Context: Sct : S.Countable

Context: Sp : ∀ s ∈ S, p s

Context: x y : ↑t

Context: hxy : ∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E

inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0


inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑↑r.num / ↑↑r.den)) • x) y = ↑r.den * ((starRingEnd 𝕜) (↑↑r.num / ↑↑r.den) * inner_ 𝕜 x y)


inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑r.num / ↑r.den)) • x) y = ↑r.den * (↑r.num / ↑r.den * inner_ 𝕜 x y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s t : Set α

Context: ht : IsOpen t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α

p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : l.toFinset = f.cycleFactorsFinset


p ∈ l.toFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f p : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : l.Nodup

Context: hl' : (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = f


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)

j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : k ≤ i


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i < k


Context:
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E

MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)) μ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
x✝ : E

L = (span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K

Context: inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K

Context: inst✝¹³ : FloorRing K

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝

Context: inst✝⁹ : ProperSpace E✝

Context: L✝ : AddSubgroup E✝

Context: inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝

Context: ι : Type u_3

Context: hs : IsZlattice K L✝

Context: b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L

Context: inst✝³ : IsZlattice ℝ L

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: b : Basis ι ℤ ↥L

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : MeasureTheory.Measure E

Context: e_1✝ : ↥L = ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup

Context: e_2✝ : NormedAddGroup.toAddGroup = AddCommGroup.toAddGroup


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r

Context: v : Fin 0 → E

Context: v_eq : v = fun i => 0

Context: zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r

Context: this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ((pf i) fun j => 0) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r

Context: v : Fin 0 → E

Context: v_eq : v = fun i => 0

Context: zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r

Context: A : f (x + 0) = (pf 0) fun x => 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ m : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Measurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}

∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ m : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Measurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: norm_sets_spanning : ⋃ n, norm_sets n = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ m : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Measurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: sets : ℕ → Set α := fun n => sigma_finite_sets n ∩ norm_sets n

Context: h_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ m : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : Measurable f

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h_finite : ∀ (n : ℕ), μ (sets n) < ⊤


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set ↑s
ht : IsClosed t
hs : IsClosed s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
s' : Set X
hs' : IsClosed s'
ht : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s')

IsClosed (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
m : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s

Context: h : IsSheaf J P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A ⥤ B

Context: h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op))

∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit ((P ⋙ s).mapCone S.arrows.cocone.op))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A


(fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) ∅


∀ t ∈ {s | ∃ n, MeasurableSet s}, (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t


∀ (t : Set γ), MeasurableSet t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set γ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (f i)) → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (⋃ i, f i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length w₁ - cs.length w₂ ≤ cs.length (w₁ * w₂)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)

Context: m : Multiset R[A]

(Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) m).sum ≤ m.prod.support.inf degt


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: m : Multiset R[A]

OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: m : Multiset R[A]

Context: a b : A

OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)


Context:
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁

(if f (f⁻¹ a₂) < f (f⁻¹ a₁) then ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
h : f⁻¹ a₁ = f⁻¹ a₂


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁

(if f (f⁻¹ a₁) < f (f⁻¹ a₂) then ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩


Context: c : ℝ


Context: c : ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..c, rexp x) atBot (𝓝 (rexp c))


Context: c : ℝ

Tendsto (fun i => rexp c - rexp (id i)) atBot (𝓝 (rexp c - 0))


Context:
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ

Multiset.range n = n' ::ₘ Multiset.range n'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α

filter p s = ∅ ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬p x


Context:
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane


Context:
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h₀ : abs x ≠ 0


Context:
a x z : ℂ
h : 0 < x.re ∨ x.im < 0 ∨ 0 < x.im
h₀ : abs x ≠ 0


Context:
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_re : 0 < x.re


Context:
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : x.im < 0


Context:
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : 0 < x.im


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'

L[[α]].card = lift.{w', max u v} L.card + lift.{max u v, w'} #α


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t

(fun x x_1 => x * x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s * t)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s

Context: k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s

Context: hk : (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card = k + 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι

∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ⊆ y → y ∈ ⋃ i, (f i).sets


∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → x ⊆ y → ∃ i, y ∈ (f i).sets


∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → y ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ∩ y ∈ ⋃ i, (f i).sets


∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → ∀ (x_2 : ι), y ∈ (f x_2).sets → ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
x y : Set α
a : ι
hx : x ∈ (f a).sets
b : ι
hy : y ∈ (f b).sets
c : ι
ha : f a ≥ f c
hb : f b ≥ f c


Context:
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ


(if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
h✝ : ¬n = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ


(fun x => ?m.77547.factorial • x) (multichoose (-↑n) n) = (fun x => ?m.77547.factorial • x) ((-1) ^ n)


?m.77547.factorial • multichoose (-↑n) n = ?m.77547.factorial • (-1) ^ n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a✝ b✝ : G
ha : a✝ ∈ center G
hb : b✝ ∈ center G
g : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

↑φ = 1 ↔ φ = 1


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R✝ M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R✝ P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R✝ M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R✝ N'
ι✝ : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f✝ f' : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N
g g₂ : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
g' : M' [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
v✝ : ι✝ → M
v' : ι✝ → M'
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
v : ι → M₁
i j : ι
h : v i = v j
hne : i ≠ j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
h : a ≠ i
M : Matrix n n α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π


‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ ↔ ∠ p1 p2 p3 = π


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ closedBall x r
x✝ : X

x✝ ∈ closedBall x r ↔ x✝ ∈ closedBall y r


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
x✝ : X
h : dist y x ≤ r


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : IsOfFinOrder x

minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n


Context:
X : Compactum
A : Set X.A


Context:
X : Compactum
A : Set X.A

∀ (F : Ultrafilter X.A), Compactum.cl A ∈ F → X.str F ∈ Compactum.cl A


Context:
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : Compactum.cl A ∈ F


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this✝ : Finite ↑s
this : Finite ↑t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty


↑{ carrier := ↑s -ᵥ ↑s, add_mem' := ⋯ } ⊆ ↑(vectorSpan k ↑s)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β

⟦s₁⟧ ∪ ∅ = ⟦s₁⟧


⟦s₁⟧ ∪ ⟦∅⟧ = ⟦s₁⟧


Context:
X : Type u_1
x : X


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ

⇑(prodAssoc α β γ) '' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
a✝ : Nontrivial α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v

(Walk.map f p).reverse = Walk.map f p.reverse


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm_not : ¬m ≤ m0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p1 p2 p3 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)

Context: hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p1 p2 p3 : P


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p1 p2 p3 : P

Context: hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p1 p2 p3 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p2 - (p1 -ᵥ p3)) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3 - (p1 -ᵥ p2))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))


eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))


(-1) ^ (n - ν) * eval (↑(n - (n - ν - 1))) (ascPochhammer R (n - ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
h : b ∉ s

(insert b s).lcm f = GCDMonoid.lcm (f b) (s.lcm f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x


(¬∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → ¬q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x


(∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h : 0 < f x

HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x