Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

‖sinKernel (↑a) t‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 t


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

‖∑' (b : ℕ), 2 * ↑b * Real.sin (2 * π * a * ↑b) * rexp (-π * ↑b ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

HasSum (fun n => 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n) (2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

∀ (i : ℕ), ‖2 * ↑i * Real.sin (2 * π * a * ↑i) * rexp (-π * ↑i ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t i


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f


Context: P : MorphismProperty Scheme

∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)


Context: P : MorphismProperty Scheme

∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α

take ((r ++ l₁).length - l₁.length) (r ++ l₁) ++ l₁ = r ++ l₁


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)
hk : ker f ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: r : R

Context: x y : M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: p p' : Submodule R M

Context: R₂ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R₂

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R₂ M₂

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: q : Submodule R₂ M₂

Context: inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: s : Set M₂

Context: h₀ : s.Nonempty

Context: h₁ : s ⊆ ↑(range f)

Context: hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: r : R

Context: x y : M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: p p' : Submodule R M

Context: R₂ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R₂

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R₂ M₂

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: q : Submodule R₂ M₂

Context: inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: s : Set M₂

Context: h₀ : s.Nonempty

Context: h₁ : s ⊆ Set.range ⇑f


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝

sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = ((presheafToSheaf J D).map (whiskerRight f.val G)).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯


sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯


sheafifyLift J (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).map f.val ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯


sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasWeakSheafify J D

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: adj : G ⊣ F

Context: X✝ : Sheaf J E

Context: Y✝ Y'✝ : Sheaf J D

Context: f : (composeAndSheafify J G).obj X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Y'✝

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y'✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val ≫ g.val)).app x✝ = (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val)).app x✝ ≫ F.map (g.val.app x✝)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E

Context: F : D ⥤ E

Context: G : E ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasWeakSheafify J D

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: adj : G ⊣ F

Context: X✝ : Sheaf J E

Context: Y✝ Y'✝ : Sheaf J D

Context: g : Y✝ ⟶ Y'✝

Context: x✝ : Cᵒᵖ

((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).unit.app X✝.val ≫ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).map (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val ≫ g.val)).app x✝ = ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).unit.app X✝.val ≫ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).map (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val)).app x✝ ≫ F.map (g.val.app x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : MapsTo f s t

Injective (restrict f s t h) ↔ InjOn f s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: f : ↥(lp G 2)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: f : ↥(lp G 2)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: f : ↥(lp G 2)

Context: x✝ : ι

‖↑f x✝‖ ^ 2 = ‖↑f x✝‖ ^ ENNReal.toReal 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: x : L

Context: h : optParam (∀ (m : M) (hm : m ∈ ↑N), ((toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N) ⋯

Context: x✝ : ↥↑N

↑((LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x) h) x✝) = ↑(((toEnd R L ↥↑N) x) x✝)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: h : q = Fintype.card (ZMod p) ^ n


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: h : q = p ^ n


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: h : q = p ^ 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: h : q = 1


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Fintype K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: this✝ : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯

Context: h : q = 1

Context: this : 0 = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hp : IsPrimitive 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 0 < p
hf : ‖f‖₊ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hp : 0 < p

Context: hf : eLpNorm (↑↑f) p μ = 0 ∨ eLpNorm (↑↑f) p μ = ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFiltered D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFiltered D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: this : Nonempty D


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ


Context: m n k : ℕ

(fib m).gcd (fib (n + (k + 1) * m)) = (fib m).gcd (fib n)


Context:
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R K[X]
x : R

(algebraMap R (RatFunc K)) x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap R K[X]) x) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 1


(algebraMap R (RatFunc K)) x = RatFunc.mk ((algebraMap R K[X]) x) 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X

frontier (s ∩ t) ⊆ frontier s ∩ closure t ∪ closure s ∩ frontier t


closure (s ∩ t) ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) ⊆ closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)


closure s ∩ closure t ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) = closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0
hs' : ¬s.Finite


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r L : List (List α)

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n

(foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L).length = n * L.length + r.length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r L : List (List α)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r : List (List α)

Context: n : ℕ

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length

Context: H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n

Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r : List (List α)

Context: n : ℕ

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: sum_map : Nat.sum (map length L) = n * L.length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : α

Context: ts : List α

Context: r : List (List α)

Context: n : ℕ

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: length_l : l.length = n


Context:
a b✝ c n : ℕ
hn : n ≠ 0
b : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: hst : (s - t).HaveLebesgueDecomposition μ

(s - t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ - t.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: hst : (s + -t).HaveLebesgueDecomposition μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

(s + -t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ + -t.rnDeriv μ


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ

(filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card ≤ 2 ^ Fintype.card ι


(filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card ≤ Fintype.card (Set ι)


InjOn (fun J => {i | J.lower i = x i}) ↑(filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a : α


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D

Context: X✝ Y✝ X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y

Context: colimits : (X Y : C) → IsColimit (cofans X Y)

Context: cones : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PullbackCone f g

Context: limits : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → IsLimit (cones f g)

Context: h₁ : ∀ {X' Y' : C} (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : (cofans X' Y').pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = (cofans X' Y').inl ≫ f → αY ≫ c.inr = (cofans X' Y').inr ≫ f → IsPullback (cofans X' Y').inl αX f c.inl ∧ IsPullback (cofans X' Y').inr αY f c.inr

Context: h₂ : {Z : C} → (f : Z ⟶ c.pt) → IsColimit (BinaryCofan.mk (cones f c.inl).fst (cones f c.inr).fst)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D

Context: X✝ Y✝ X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y

∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set G

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂ν'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set G

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set G

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ν' t

Context: h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = μ' t


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
h : Surjective ⇑f
K L : Subgroup N


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : SMul R α
x : R
a₀ a₁ : α


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
l : Line α ι
x : α
i : ι
h : l.idxFun i = none

(fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = x


Context: n k m : ℕ


Context:
ι : Type u_1
κ✝¹ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
κ✝ : Type u_6
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
x : κ

(⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f x = ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f x


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ


∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]

(algebraMap R A) x✝.re + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝


F ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝.re) + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝


Context:
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α✝ → β
x y : FreeGroup α✝
α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a✝ : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : FunLike F α β

Context: inst✝³ : CompactlySupportedContinuousMapClass F α β

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : FunLike G α β

Context: inst✝¹ : ContinuousMapClass G α β

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f : G


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)

Context: r : R'

Context: i : ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

r • (tprod R) 1 = (tprod R) (Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r))


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)

Context: inst✝⁴ : Algebra R' R

Context: inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)

Context: r : R'

Context: i : ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: this : Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r) = update (fun i => 1) i (r • 1)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i✝ : ι

Context: a✝ : β i✝

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: h : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}

Context: hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i

Context: j : ι

Context: hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i✝ : ι

Context: a✝ : β i✝

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: h : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}

Context: j : ι

Context: hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i

Context: hl : toLex a j ≠ toLex b j


Context:
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β

(lift (f + g)) a = (lift f) a + (lift g) a


(lift (f + g)) 0 = (lift f) 0 + (lift g) 0


∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x)


∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x) → (lift (f + g)) (-of x) = (lift f) (-of x) + (lift g) (-of x)


∀ (x y : FreeAbelianGroup α), (lift (f + g)) x = (lift f) x + (lift g) x → (lift (f + g)) y = (lift f) y + (lift g) y → (lift (f + g)) (x + y) = (lift f) (x + y) + (lift g) (x + y)


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddZeroClass G
inst✝¹ : Add H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t

(G.replaceVertex s t).edgeFinset = G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)


(G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s).toFinset


Context:
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o

vecAppend ho u v i = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩


(if hi : ↑(Fin.cast ho i) < m then ⋯ ▸ u ((Fin.cast ho i).castLT hi) else ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯)) = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩


Context:
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
hi : ¬↑(Fin.cast ho i) < m

⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩


v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
x✝ : α

‖(c • f) x✝‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖f x✝‖₊


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B

(minpoly A x).natDegree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range


(minpoly A x).degree = ↑1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t K : Set X

Context: hs : s.Infinite

Context: hK : IsCompact K

Context: hsub : s ⊆ K

Context: x : X

Context: hx : x ∈ K ∧ ClusterPt x (cofinite ⊓ 𝓟 s)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
h : 0 ≈ 1
this✝ : (1 - 0).LimZero
this : LimZero 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R
m : M
n : N

(r • m) ⊗ₜ[R] (s • n) = (r * s) • m ⊗ₜ[R] n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: h : b ≤ a * b


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

Function.Surjective (⇑(S.transitionMap n) ∘ ⇑(S.proj (n + 1)))


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S : Set ℕ := {n | ∃ s, Fermat42 s.1 s.2.1 s.2.2 ∧ n = s.2.2.natAbs}


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty

Context: m : ℕ := Nat.find S_nonempty


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty

Context: m : ℕ := Nat.find S_nonempty

Context: m_mem : m ∈ S


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty

Context: m : ℕ := Nat.find S_nonempty

Context: s0 : ℤ × ℤ × ℤ

Context: hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2

Context: hs1 : m = s0.2.2.natAbs


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty

Context: m : ℕ := Nat.find S_nonempty

Context: s0 : ℤ × ℤ × ℤ

Context: hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2

Context: hs1 : m = s0.2.2.natAbs

∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → s0.2.2.natAbs ≤ c1.natAbs


Context: a b c : ℤ

Context: h : Fermat42 a b c

Context: S_nonempty : S.Nonempty

Context: m : ℕ := Nat.find S_nonempty

Context: s0 : ℤ × ℤ × ℤ

Context: hs0 : Fermat42 s0.1 s0.2.1 s0.2.2

Context: hs1 : m = s0.2.2.natAbs

Context: a1 b1 c1 : ℤ

Context: h1 : Fermat42 a1 b1 c1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
n : ℕ


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
h₁ : a ≠ 0
h₂ : a ≠ last n


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
f : E →ₗ[ℝ] E := r • 1

map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
f : E →ₗ[ℝ] E := r • 1
hf : LinearMap.det f ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
M✝ : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
f : Box ι → M

∑ J ∈ (split I i x).boxes, f J = Option.elim' 0 f (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 f (I.splitUpper i x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G✝ : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
L : List ι
f : ι → M
G : Type u_8
inst✝¹ : FunLike G M N
inst✝ : MonoidHomClass G M N
g : G

(map (⇑g ∘ f) L).prod = g (map f L).prod


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
a : α
t : Multiset α
hst : s < t
hts : t < a ::ₘ s


Context:
M : Type ?u.3475
inst✝ : Monoid M
u : (↥(Submonoid.center M))ˣ
r : Mˣ

↑(r * (Units.map (Submonoid.center M).subtype) u) = ↑((Units.map (Submonoid.center M).subtype) u * r)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
i : γ → β
hf : Multipliable f
hi : Injective i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)

Context: q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i

Context: p' : ι → Submodule R ↥q := fun i => Submodule.comap q.subtype (p i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i

Context: hp₀ : ∀ i ∈ s, p i ≤ LinearMap.range q.subtype


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i

Context: hp₁ : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p' i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: q : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, p i

Context: hp₂ : ⨆ i ∈ s, p' i = ⊤


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective i

Context: A : C

Context: inst✝ : IsSplitMono ((reflectorAdjunction i).unit.app A)

Context: η : 𝟭 C ⟶ reflector i ⋙ i := (reflectorAdjunction i).unit


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective i

Context: A : C

Context: this : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective i

Context: A : C

Context: this✝ : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))

Context: this : Epi (η.app A)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective i

Context: A : C

Context: this✝¹ : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))

Context: this✝ : Epi (η.app A)

Context: this : IsIso (η.app A)


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: A : Matrix m m 𝔸

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: zero : T.mor₃ = 0

∃ e, T.mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl ∧ T.mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: zero : T.mor₃ = 0

Context: this : Epi T.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: zero : T.mor₃ = 0

Context: this✝ : Epi T.mor₂

Context: this : IsSplitEpi T.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: zero : T.mor₃ = 0

Context: this✝ : Epi T.mor₂

Context: this : IsSplitEpi T.mor₂

Context: fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁

Context: hfst : 𝟙 T.obj₂ - T.mor₂ ≫ section_ T.mor₂ = fst ≫ T.mor₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: zero : T.mor₃ = 0

Context: this✝ : Epi T.mor₂

Context: this : IsSplitEpi T.mor₂

Context: fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁

Context: d : BinaryBiproductData T.obj₁ T.obj₃ := binaryBiproductData T hT zero (section_ T.mor₂) ⋯ fst ⋯


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ := sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b

Context: h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2) = (sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => sin y ^ (n + 1)) (↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (-cos) (sin x) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: H : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 1) * sin x = sin b ^ (n + 1) * (-cos) b - sin a ^ (n + 1) * (-cos) a - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n * (-cos) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

IntervalIntegrable (fun x => ↑(n + 1) * cos x * sin x ^ n) MeasureTheory.volume a b


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

IntervalIntegrable sin MeasureTheory.volume a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
s : Stream' α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

(inv (L.map φ.s)).op ≫ (L.map φ.f).op = inv (L.map φ.s).op ≫ (L.map φ.f).op


Context:
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
h : Rel r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

IsBigOWith c ⊤ f g ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: w₁ : Word G

Context: h₁ : H

Context: hw₁ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₁.toList → g ∈ d.set i

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i

Context: h : CoprodI.of ((φ i) h₁) • w₁ = CoprodI.of ((φ i) h₂) • w₂

{ toWord := w₁, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: w₁ : Word G

Context: h₁ : H

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: h : w₁ = ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: h₁ : H

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1

{ toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: h₁ : H

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1

Context: hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1

{ toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: h₁ : H

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: this : h₁⁻¹ * h₂ = 1


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i : ι

Context: h₁ : H

Context: w₂ : Word G

Context: h₂ : H

Context: this : h₁ = h₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

bliminf s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}


(bliminf s cofinite p)ᶜ = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ


{x | {n | p n ∧ x ∈ (s n)ᶜ}.Infinite} = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G

b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|


Context:
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace E

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: b : Basis ι ℝ G

Context: v : ι → G

Context: this : FiniteDimensional ℝ G

Context: A : parallelepiped v = ⇑((b.constr ℕ) v) '' parallelepiped ⇑b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring R
f : ArithmeticFunction R
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: M N : SheafOfModules R

Context: s : M.sections

Context: p : M ⟶ N

N.unitHomEquiv (M.unitHomEquiv.symm s ≫ p) = N.unitHomEquiv (N.unitHomEquiv.symm (sectionsMap p s))


Context:
α : Type u
a : α
n k : ℕ


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ : Type

Context: f : α → σ → σ × β

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S

Context: closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S

Context: out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2

(mapAccumr f xs s₀).2 = map (fun x => (f x s₀).2) xs


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ : Type

Context: f : α → σ → σ × β

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S

(mapAccumr f xs s₀).2 = (mapAccumr (fun x x_1 => ((), (f x s₀).2)) xs ()).2


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ : Type

Context: f : α → σ → σ × β

Context: s₀ : σ

Context: S : Set σ

Context: h₀ : s₀ ∈ S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: hφ : ClosedEmbedding ⇑φ

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)

ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: hφ : ClosedEmbedding ⇑φ

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)

Context: this : CompactSpace ↑(σₙ R a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: hφ : ClosedEmbedding ⇑φ

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)

Context: this✝ : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Context: this : h.homeomorph.symm 0 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x


∀ (a : K), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x


∀ (p q : K[X]), ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x


∀ (n : ℕ) (a : K), ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x → ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

(f.pmul g) (m * n) = (f.pmul g) m * (f.pmul g) n


f m * f n * (g m * g n) = f m * g m * (f n * g n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : x ∈ f.support

∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : f x ≠ x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C

(fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) X X' ≫ __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' = __src✝.map (f ▷ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) Y X'


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y

(fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f X ≫ __src✝.obj f ◁ __src✝.map X' = __src✝.map (f ◁ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f Y


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

(G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.δ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z)) ≫ (G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ (G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z))) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.map (F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z))


G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)


G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)


G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z) = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : M

Context: h : a ^ 2 < b * c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b : α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Set α

Context: a : α


Context:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: k : ℕ

Context: hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)

range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (range (k + 1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: k : ℕ

range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (insert k (range k))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: k : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S✝ S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
S : C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow F S
f : X✝ ⟶ Y✝

(F ⋙ G).map f.left ≫ ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom = ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K

root (X ^ n - C a) ^ n = (of (X ^ n - C a)) a


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
H : Subgroup G
h : G
hh : h ∈ H
this : {x | x ∈ H} = ↑H


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

(sum fun i => (m i).trim) s ≤ (sum m).trim s


∀ (i : Set α), s ⊆ i → MeasurableSet i → ∑' (i : ι), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (m i) t ≤ ∑' (i_3 : ι), (m i_3) i


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F

o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ⇑b = ⇑(b.reindex e) ∘ ⇑e


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected


H.coe ≤ (H'.copy H.verts hv H'.Adj ⋯).coe


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv✝ : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
v : V
hv : v ∈ H.verts
w : V
hw : w ∈ H.verts
hvw : H.coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩

(H'.copy H.verts hv✝ H'.Adj ⋯).coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: n✝ : ℕ

Context: f : 𝕜 → F

Context: s : Set 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: n : ℕ∞

Context: h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: n✝ : ℕ

Context: f : 𝕜 → F

Context: s : Set 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: n : ℕ∞

∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g₁ g₂ : G
p : P
h : g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
S✝ S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
S : C
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : StructuredArrow S F
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom ≫ (F ⋙ G).map f.right = ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom


Context: x : 𝓞 ℚ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle


Context:
n ν : ℕ
x : ↑I


Context:
n ν : ℕ
x : ↑I

0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)


Context:
n ν : ℕ
x : ↑I
h₁ : 0 ≤ ↑x


Context:
n ν : ℕ
x : ↑I
h₁ : 0 ≤ ↑x
h₂ : 0 ≤ 1 - ↑x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: R : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Coreflective R

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape J C

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cone ((F ⋙ R) ⋙ comonadicRightAdjoint R) := (comonadicRightAdjoint R).mapCone (limit.cone (F ⋙ R))

Context: this : PreservesLimitsOfShape J (comonadicRightAdjoint R) := PreservesLimitsOfSize.preservesLimitsOfShape

Context: t : IsLimit c := isLimitOfPreserves (comonadicRightAdjoint R) (limit.isLimit (F ⋙ R))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: R : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Coreflective R

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape J C

Context: F : J ⥤ D


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∑ x ∈ s, f x) ^ (n + 1) / ↑s.card ^ n ≤ ∑ x ∈ s, f x ^ (n + 1)


Context:
ι : Type u
f : ι → ℝ
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ ∅, 0 ≤ f a

(∑ x ∈ ∅, f x) ^ (n + 1) / ↑∅.card ^ n ≤ ∑ x ∈ ∅, f x ^ (n + 1)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ
n : ℕ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
hs : s.Nonempty


Context: x y : ℝ*

x.InfiniteNeg → ¬y.InfinitePos → (x + y).InfiniteNeg


Context: x y : ℝ*

(-x).InfinitePos → ¬(-y).InfiniteNeg → (-x + -y).InfinitePos


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

s * ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s * t))


⋃ a ∈ s, a • ↑(upperClosure t) = ⋃ i ∈ s, ↑(i • upperClosure t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hsu : VectorMeasure.restrict s u ≤ VectorMeasure.restrict 0 u

Context: hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (u \ v) = 0 ∧ ↑(-s) (v \ u) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: this : ↑s (u ∆ v) = 0 → ↑s (u \ v) = 0 ∧ ↑s (v \ u) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p : K[X]

p.degree + (C p.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]

RatFunc.mk p q = { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) p / (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) q }


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup H
inst✝¹ : T0Space H
inst✝ : CompleteSpace H
f : NormedAddGroupHom G H
g : NormedAddGroupHom (Completion G) H
hg : ∀ (v : G), f v = g (↑G v)
v : Completion G


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i : ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : G →ₗ[𝕜] MultilinearMap 𝕜 E G'

Context: C : ℝ

Context: H : ∀ (x : G) (m : (i : ι) → E i), ‖(f x) m‖ ≤ C * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖

‖{ toFun := fun x => (f x).mkContinuous (C * ‖x‖) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (max C 0) ⋯‖ ≤ max C 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
ζ : Mˣ

IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: left✝ : x ∈ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)}


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j j' : ι
rij : c.Rel i j
rij' : c.Rel i j'


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
rij rij' : c.Rel i j


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

↑(differentIdeal A B) ≤ I ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1


↑I⁻¹ ≤ traceDual A K 1 ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1


Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A (↑I⁻¹ * 1)) ≤ 1 ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
this : {⟨x, hx⟩} ∈ 𝓝 ⟨x, hx⟩


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Bicategory C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Bicategory D

Context: F✝ : Pseudofunctor B C

Context: F : OplaxFunctor B C

Context: inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)

Context: inst✝ : ∀ {a b c : B} (f : a ⟶ b) (g : b ⟶ c), IsIso (F.mapComp f g)

Context: a✝ b✝ c✝ : B

Context: f : a✝ ⟶ b✝

Context: g h : b✝ ⟶ c✝

Context: η : g ⟶ h

F.map₂ (f ◁ η) = F.mapComp f g ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ inv (F.mapComp f h)


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Bicategory C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Bicategory D

Context: F✝ : Pseudofunctor B C

Context: F : OplaxFunctor B C

Context: inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)

Context: a✝ b✝ c✝ : B

Context: f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝

Context: η : f✝ ⟶ g✝

Context: h : b✝ ⟶ c✝

F.map₂ (η ▷ h) = F.mapComp f✝ h ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ inv (F.mapComp g✝ h)


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Bicategory C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Bicategory D

Context: F✝ : Pseudofunctor B C

Context: F : OplaxFunctor B C

Context: inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ : B

Context: f : a✝ ⟶ b✝

Context: g : b✝ ⟶ c✝

Context: h : c✝ ⟶ d✝

F.map₂ (α_ f g h).hom = F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ inv (F.mapComp g h) ≫ inv (F.mapComp f (g ≫ h))


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Bicategory C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Bicategory D

Context: F✝ : Pseudofunctor B C

Context: F : OplaxFunctor B C

Context: inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ : B

Context: f : a✝ ⟶ b✝

Context: g : b✝ ⟶ c✝

Context: h : c✝ ⟶ d✝

F.map₂ (α_ f g h).hom = (((F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom) ≫ F.map f ◁ inv (F.mapComp g h)) ≫ inv (F.mapComp f (g ≫ h))


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Bicategory C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Bicategory D

Context: F✝ : Pseudofunctor B C

Context: F : OplaxFunctor B C

Context: inst✝¹ : ∀ (a : B), IsIso (F.mapId a)

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ : B

Context: f : a✝ ⟶ b✝

Context: g : b✝ ⟶ c✝

Context: h : c✝ ⟶ d✝

(F.map₂ (α_ f g h).hom ≫ F.mapComp f (g ≫ h)) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = (F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

(continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L = (Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ b).comp (L.comp (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ b))


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

cast ⋯ (↑(continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm (b, L)).snd = (Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ b).comp (L.comp (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ b))


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

b ∈ (continuousLinearMap σ e₁ e₂).baseSet


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a

image (fun i => a ^ i) (range (orderOf a)) = univ


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ ↑(zpowers a)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalGroup G
h₂ : TopologicalGroup G


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalGroup G
h₂ : TopologicalGroup G
b : Bool


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

(whiskerRight f { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv ≫ whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X X.X { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ (whiskerRight f { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X X.X { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv ≫ whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (f.hom ▷ X.X ▷ TensorBimod.X N P) (f.hom ▷ TensorBimod.X N P) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ AssociatorBimod.inv M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M' N ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

f.hom ▷ TensorBimod.X N P ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ AssociatorBimod.inv M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M' N ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (AssociatorBimod.invAux M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.hom M' N P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

(tensorLeft M.X).map (coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (tensorLeft M.X).map (coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

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Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

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Context: M M' : Bimod W X

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M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

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Context: N : Bimod X Y

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M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ ((f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

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Context: N : Bimod X Y

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M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (f.hom ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ AssociatorBimod.homAux M' N P