Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁✝ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ a₁ : R

Context: x✝ : a₂ + b = c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

Context: id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)

HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

Context: h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

Context: h' : (proj i).comp id' = proj i

HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

s ⊆ ⋂ i, ⋂ j, t i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s ⊆ t i j


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : One α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜

(iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDerivWithin n f s x


(iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun i => m i • 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0

Context: this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α

∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

∀ x ∈ {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}, ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), IsSupported 0 s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 0) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

∀ (x y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), y.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) y) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (x + y).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

∀ (a x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (a • x).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (a • x)) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b c : α
hc : p * b = a * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b c : α
hc : p * b = a * c
h : p ∣ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b x : α
hc : p * b = a * (p * x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
x✝ : Quotient r
x : α

Quotient.lift f H (Quot.mk Setoid.r x) = g (Quot.mk Setoid.r x)


(g ∘ Quotient.mk'') x = g (Quot.mk Setoid.r x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
s : Set β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
c : ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) (f a) ∂μ = c * μ (f ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N


∀ p ∈ {p | ∀ ⦃r : S⦄ {n : M}, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p}, r • m ∈ p


Context: k n✝ : ℕ

(n✝ + 1).ascFactorial k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k


Context: k n✝ : ℕ

k ! * (n✝ + k).choose k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ

(map f x).bind g = x.bind fun y => g (f y)


(x.bind fun x => ((some ∘ f) x).bind g) = x.bind fun y => g (f y)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''

((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: g : G → E'' →L[𝕜] E'

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

Context: x : E''

Context: this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: g : G → E'' →L[𝕜] E'

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G

Context: x : E''


Context:
α : Type u
c✝ d c : Cardinal.{u}
h : c < ℵ₀


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L a, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R

matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j ((monomial k) x)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)


(polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)


(polyEquivTensor R (Matrix n n R)) ((polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1))) = (polyEquivTensor R (Matrix n n R)) ((monomial k) (stdBasisMatrix i j x))


stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] X ^ k


stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)


(x • stdBasisMatrix i j 1) ⊗ₜ[R] (X ^ k) = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : β → E

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})

Context: hf : Memℒp f p μ

Tendsto (fun n => Memℒp.toLp ↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯) atTop (𝓝 (Memℒp.toLp f hf))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
q : β → Prop
inst✝ : DecidablePred q

filter (fun x => q x.2) (s ×ˢ t) = s ×ˢ filter q t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

(toPadicInt p).comp (fromPadicInt p) = RingHom.id ℤ_[p]


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

∀ (n : ℕ), (PadicInt.toZModPow n).comp ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(PadicInt.toZModPow n).comp ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(toZModPow p n).comp (fromPadicInt p) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate n)).comp (lift (fun k => (zmodEquivTrunc p k).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k)) ⋯) = PadicInt.toZModPow n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (zmodEquivTrunc p n).toRingHom).comp (PadicInt.toZModPow n) = PadicInt.toZModPow n


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ

(subcategoryAcyclic C).P ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n


(∀ (n : ℤ), IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K))) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ

IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ HomologicalComplex.ExactAt K n


IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ IsZero (HomologicalComplex.homology K n)


Context:
𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 ≤ a
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
k : ℕ


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : ε ∈ Ioo 0 ⊤
B : Set Ω
x✝ : MeasurableSet B
hε₀ : 0 < ε
hε_top : ε < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hu : u ∈ P.parts

Context: hucard : ¬u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hu : u ∈ P.parts

Context: this : m * 4 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hu : u ∈ P.parts

Context: hucard : ¬u.card = Fintype.card α / P.parts.card


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
x y : R

{ toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context: A : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B : ι → AddSubgroup A

Context: hB : RingSubgroupsBasis B

Context: this : TopologicalSpace A := hB.topology

Context: U : Set A

Context: hU : U ∈ 𝓝 0


Context: A : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B : ι → AddSubgroup A

Context: hB : RingSubgroupsBasis B

Context: U : Set A

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: i : ι

Context: hi : ↑(B i) ⊆ U


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
i : ℕ
h : i.succ < m.succ
x : α
u : Fin m → α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset M
x : M
hx : x ∈ span R ↑s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context: α : Type u


Context:
α : Type u
a : α
l : List α


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Ici a) volume

∫ (x : ℝ) in Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
P : Submodule R M


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)

∅.Definable L s ↔ ∃ φ, s = setOf φ.Realize


(∃ φ, s = setOf φ.Realize) ↔ ∃ b, s = setOf ((LEquiv.addEmptyConstants L ↑∅).onFormula.symm b).Realize


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ≠ ⊤

(⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.Extensive
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝ : PreservesFiniteProducts F


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: X : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive

Context: hc : IsColimit (Cofan.mk X π)

Context: this : (ofArrows Z (Cofan.mk X π).inj).hasPullbacks


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: X : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive

Context: hc : IsColimit (Cofan.mk X π)

Context: val✝ : Fintype α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X → Y

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f) fun x => f ⁻¹' x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X → Y

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: x : X

Context: s : Set Y

Context: hs : (s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) ∧ s ⊆ range f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X → Y

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: x : X

Context: s : Set Y


Context: x y : ℂ


Context:
x y : ℂ
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
hj : j ≥ 1


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

(I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv ≫ F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv


F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv


F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f = (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).inv


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
e : PartialHomeomorph α H
h : e.source = univ
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' e'' : PartialHomeomorph α H
he' : e' ∈ atlas H α
he'' : e'' ∈ atlas H α
hle : idRestrGroupoid ≤ G


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f

⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a = quasispectrum S a


⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a ⊆ quasispectrum S a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ quasispectrum S a

f s ∈ quasispectrum R a ∧ (algebraMap R S) (f s) = s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
hn0 : a ≠ 0
hnu : ¬IsUnit a

∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod = a ∧ f ≠ ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
f : Multiset α
hi : ∀ b ∈ f, Irreducible b
u : αˣ
hn0 : f.prod * ↑u ≠ 0
hnu : ¬IsUnit (f.prod * ↑u)

∃ f_1, (∀ b ∈ f_1, Irreducible b) ∧ f_1.prod = f.prod * ↑u ∧ f_1 ≠ ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
f : Multiset α
hi : ∀ b ∈ f, Irreducible b
u : αˣ
hn0 : f.prod * ↑u ≠ 0
hnu : ¬IsUnit (f.prod * ↑u)
b : α
h : b ∈ f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E

HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f

(quotMapOfEquivQuotMapCMapSpanMk I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (span {f})) (Ideal.map C I))) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) x


(quotEquivOfEq ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk (span {f})) (Ideal.map C I))) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) x


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: H : f.support = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] E


Context:
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsNat (a ^ nb)⁻¹ ne


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

dist f g ≤ ↑r ↔ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r


Context: m n k : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
S : Set (TwoSidedIdeal R)
x : R

(∀ x_1 ∈ ringCon '' S, x_1 x 0) ↔ ∀ I ∈ S, x ∈ I


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: P : Sort v

Context: p q : K[X]

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1

Context: H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ μ₁ μ₂ ν : Measure α
inst✝¹ : μ₁.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : μ₂.HaveLebesgueDecomposition ν

(μ₁ + μ₂).singularPart ν = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν


μ₁ + μ₂ = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν + ν.withDensity fun a => μ₁.rnDeriv ν a + μ₂.rnDeriv ν a


μ₁ + μ₂ = μ₁.singularPart ν + μ₂.singularPart ν + (ν.withDensity (μ₁.rnDeriv ν) + ν.withDensity (μ₂.rnDeriv ν))


μ₁ + μ₂ = μ₁.singularPart ν + ν.withDensity (μ₁.rnDeriv ν) + ν.withDensity (μ₂.rnDeriv ν) + μ₂.singularPart ν


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


{x | EMetric.infEdist x s < ENNReal.ofReal δ}⁻¹ = {x | EMetric.infEdist x⁻¹ s < ENNReal.ofReal δ}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
S : Seq (Seq1 α)

Seq.map f S.join = (Seq.map (map f) S).join


Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S, s1 = s.append (Seq.map f S.join) ∧ s2 = s.append (Seq.map (map f) S).join


∃ s S_1, Seq.map f S.join = s.append (Seq.map f S_1.join) ∧ (Seq.map (map f) S).join = s.append (Seq.map (map f) S_1).join


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: p a b : ℕ

Context: hp : p ≠ 1

Context: hle : multiplicity p a ≤ multiplicity p b

Context: hab : a.Coprime b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a
this : p ^ 1 ∣ a.gcd b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p a b : ℕ
hp : p ≠ 1
hle : ∀ (n : ℕ), p ^ n ∣ a → p ^ n ∣ b
hab : a.Coprime b
h : p ^ 1 ∣ a
this : p = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
f✝ f : α → 𝕜
h : Integrable f μ
c : 𝕜


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i j : m' k

(diagonal d).blockDiag' k i j = diagonal (fun i => d ⟨k, i⟩) i j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i : m' k

(diagonal d).blockDiag' k i i = diagonal (fun i => d ⟨k, i⟩) i i


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i j : m' k
hij : i ≠ j


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : x + y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Ioc 0 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : R[X]
N : ℕ

reflect N (f - g) = reflect N f - reflect N g


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : E

∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Ioc a b)).toReal - (μ (Ioc b a)).toReal) • c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α


Context: B : Type u

Context: inst✝ : Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ a

Context: η : 𝟙 a ⟶ f ≫ g

Context: ε : g ≫ f ⟶ 𝟙 b

Context: h : leftZigzag η ε = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv

(g ◁ η ⊗≫ ε ▷ g) ⊗≫ g ◁ η ⊗≫ ε ▷ g = g ◁ η ⊗≫ ε ▷ g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M N : Matrix n n A


Context:
V✝ : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V✝
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : V

h ∈ q.support → h ∈ (p.append q).support


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u_1}


Context:
b x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0
i : ι


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: hf : ∀ (i : ι), l i ^ q ^ f i ∈ (algebraMap F E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: n : ℕ := l.support.sup f


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this✝ : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: n : ℕ := l.support.sup f

Context: this : q ^ n ≠ 0


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this✝ : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: n : ℕ := l.support.sup f

Context: this : q ^ n ≠ 0

Context: lF : ι → F

Context: hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this✝ : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: n : ℕ := l.support.sup f

Context: this : q ^ n ≠ 0

Context: lF : ι → F

Context: lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → K

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this✝ : ExpChar K q

Context: l : ι →₀ E

Context: hl : (Finsupp.total ι K E v) l = 0

Context: i : ι

Context: f : ι → ℕ

Context: n : ℕ := l.support.sup f

Context: this : q ^ n ≠ 0

Context: lF : ι → F

Context: h : lF₀ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) μ


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
hne : T.Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hne : T.Nonempty
hS : IsPreconnected ∅
hc : ContinuousOn f ∅
hTm : MapsTo f ∅ T


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
hne : T.Nonempty
x : α
hx : x ∈ S


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Sort u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ iUnion S

Context: hT' : T = iUnion S

Context: c : ↑T

Context: ci : (i : ι) → ↑(S i)

Context: hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c

Context: cβ : β

Context: h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Sort u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ iUnion S

Context: hT' : T = iUnion S

Context: c : ↑T

Context: ci : (i : ι) → ↑(S i)

Context: hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c

Context: cβ : β

Context: h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ

Context: i : ι

Context: hi : ↑c ∈ S i


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Sort u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ iUnion S

Context: hT' : T = iUnion S

Context: c : ↑T

Context: ci : (i : ι) → ↑(S i)

Context: hci : ∀ (i : ι), ↑(ci i) = ↑c

Context: cβ : β

Context: h : ∀ (i : ι), f i (ci i) = cβ

Context: i : ι

Context: hi : ↑c ∈ S i

Context: this : ci i = ⟨↑c, hi⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Ico s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: t : PushoutCocone f g

Context: w : (span f g).map fst ≫ t.ι.app WalkingSpan.left = t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ ((Functor.const WalkingSpan).obj t.pt).map fst


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: t : PushoutCocone f g

Context: w : f ≫ t.inl = t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ 𝟙 t.pt


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
h : M.BlockTriangular id
this : DecidableEq R


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)
hI : I ≠ 0


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

(𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c).HasBasis (fun x => True) fun f => closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I


∀ (i : ℝ), 0 < i ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I ⊆ (extChartAt I c).target → ∃ i', True ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I


∀ (i' : SmoothBumpFunction I c), True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
x : M


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree

p.degree = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree


p.leadingCoeff = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).leadingCoeff


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx : x ≠ 0
p : ℝ

HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : x < 0


Context:
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : 0 < x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a GradedMonoid.GOne.one) = a


(cast R M ⋯) (mulEquiv (a ⊗ₜ[R] (tprod R) Fin.elim0)) = a


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: h2 : ↑(twoCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ ↑(threeCochainsLequiv A)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: h1 : (oneCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom

Context: h2 : (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ (threeCochainsLequiv A).toModuleIso.hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
x : α

(pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α


∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {U | IsOpen U}, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: J : C

Context: hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveYonedaObj J)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: J : C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ


Nonempty { f_1 // f k ∈ Set.range ⇑f_1 }


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A : w.CostructuredArrowDownwards g

R.map (γ ≫ A.left.hom) ≫ w.app A.left.right ≫ B.map A.hom.right = g'


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'

(γ ≫ A.left.hom) ≫ T.map φ.left.right = γ ≫ A'.left.hom


L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = A.hom.right


L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = ((StructuredArrow.pre (R.obj X₂) L B).map ((Comma.mapRight (Functor.fromPUnit (R.obj X₂)) w).map (StructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯)) ≫ A'.hom).right


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: f : R[X]

Context: f0 : f.natDegree ≠ 0

Context: h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)

Context: h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)

Context: h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: f : R[X]

Context: f0 : f.natDegree ≠ 0

∀ (a : R), (C a).natDegree = 0 ∨ M (C a)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: f : R[X]

Context: f0 : f.natDegree ≠ 0

∀ (p q : R[X]), p.natDegree = 0 ∨ M p → q.natDegree = 0 ∨ M q → (p + q).natDegree = 0 ∨ M (p + q)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: M : R[X] → Prop

Context: f : R[X]

Context: f0 : f.natDegree ≠ 0

∀ (n : ℕ) (a : R), (C a * X ^ n).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ n) → (C a * X ^ (n + 1)).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ (n + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q


∀ (a : R) {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * C a) = eval₂ f g p * eval₂ f g (C a)


∀ (p q : MvPolynomial σ R), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → (∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p + q)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p + q)


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p * X n)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p * X n)


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
az : ¬a = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → S₁
y : m → S₂
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ

(RingHom.id S₂) (y x✝¹) •> (RingHom.id S₁) (x x✝³) •> M x✝³ x✝¹ = x x✝³ •> y x✝¹ •> M x✝³ x✝¹


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : (↥(S.integer K))ˣ
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∉ S

v.valuation ↑(Units.mk0 ↑↑x ⋯) * v.valuation ↑x.inv = 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P

Collinear k (Set.range p) ↔ ¬AffineIndependent k p


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : V₁), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
x y : V₁


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧
m : ℕ

(trunc n (↑(trunc n f) * g)).coeff m = (trunc n (f * g)).coeff m


(if m < n then (coeff R m) (↑(trunc n f) * g) else 0) = if m < n then (coeff R m) (f * g) else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α

(a :: l).toFinset.val = (insert a l.toFinset).val


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : MetrizableSpace β

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : Zero E

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: f : ι → Ω → E

Context: μ : Measure Ω

Context: h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁴ : MetrizableSpace β

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : Zero E

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: f : ι → Ω → E

Context: μ : Measure Ω

Context: h : ¬∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)

Context: h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (f i) μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)

Context: t : ι → Set α

Context: _ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ f i

Context: ht_eq : ∀ (i : ι), f i =ᶠ[ae μ] t i

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: htd : Pairwise (Disjoint on t)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E 0 μ)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F

Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ⟪y, (f a) x⟫_𝕜) l (𝓝 ⟪y, A x⟫_𝕜)


Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) ((f a) x)) l (𝓝 (((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) (A x)))


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c d : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : CommSemiring A'
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
r : R
h : eval₂ f (f r) p = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i

Context: b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α

Context: N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α

Context: h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α

Context: h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α

Context: h₃ : ↑(weightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p✝ q✝ : ℤ

Context: inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R L

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : CharZero R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: hα : α ≠ 0

Context: hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

Context: p : ℤ

Context: hp₀ : p < 0

Context: q : ℤ

Context: hq₀ : q > 0

Context: hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: hb : 0 < b

Context: x : ↥H

Context: hx : x ∈ corootSpace α

(a • α + ↑b • χ) x = ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M) x) ⋯)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
a b : R
n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ s, a i ≠ ⊤

Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a c))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∈ ∅, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ ∅, a i ≠ ⊤

Tendsto (fun b => ∏ c ∈ ∅, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ ∅, a c))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝¹ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: x : Filter α

Context: a✝ : ι → ℝ≥0∞

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))

Context: h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))

Context: h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

Tendsto (fun b => ∏ c ∈ insert a s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ insert a s, a✝ c))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝¹ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: x : Filter α

Context: a✝ : ι → ℝ≥0∞

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

Tendsto (fun b => f a b * ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (a✝ a * ∏ c ∈ s, a✝ c))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝¹ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: x : Filter α

Context: a✝ : ι → ℝ≥0∞

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

a✝ a ≠ 0 ∨ ∏ c ∈ s, a✝ c ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝¹ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: x : Filter α

Context: a✝ : ι → ℝ≥0∞

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

Tendsto (fun a => ∏ c ∈ s, f c a) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝¹ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: x : Filter α

Context: a✝ : ι → ℝ≥0∞

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

∏ c ∈ s, a✝ c ≠ 0 ∨ a✝ a ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
i : ι

((finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = p i ⊗ₜ[R] n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: n p : ℕ

Context: inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁

Context: inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃

Context: inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁

Context: inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃

Context: hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n

Context: hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₂ = n + p


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: n p : ℕ

Context: inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁

Context: inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃

Context: inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁

Context: inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃

Context: inst✝ : StrongRankCondition R


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: n p : ℕ

Context: inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁

Context: inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃

Context: inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁

Context: inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃ = ↑(FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ + FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t

ContinuousWithinAt (fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) t x


ContinuousAt (t.restrict fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) ⟨x, hx⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l

Tendsto (fun b => f i ↑b) (𝓝 ⟨x, hx⟩) (𝓝 (f i ↑⟨x, hx⟩))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l
h : ContinuousWithinAt (f i) t x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: l : List ι

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ l

Context: h : ContinuousAt (t.restrict (f i)) ⟨x, hx⟩


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX.prod eY).source.Nonempty
x : X
y : Y
this✝² : Nonempty X
this✝¹ : Nonempty X'
this✝ : Nonempty Y
this : Nonempty Y'

eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : (↑g).det = 1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = 1
hd : ↑g 1 1 = 1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = -1
hd : ↑g 1 1 = -1


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

(F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X) = (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)


inv ((F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X)) = inv ((F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X))


inv ((F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X)) = (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X)


inv ((F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)) = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ m₂) m₃).inv.app X


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
f : R ≃+* S
x : ResidueField R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
f : R ≃+* S
x : ResidueField S


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'


HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) (g' / f 0)


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : O

Context: hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)

Context: hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1

Context: u : Rˣ

Context: hu : ↑u = (algebraMap O R) x

Context: h1 : v ↑u ≤ 1


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : O

Context: hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)

Context: hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1

Context: u : Rˣ

Context: hu : ↑u = (algebraMap O R) x

Context: h1 : v ↑u ≤ 1

Context: h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1

Context: r1 : O

Context: hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u

Context: r2 : O

Context: hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹

(algebraMap O R) (r1 * r2) = (algebraMap O R) 1


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : O

Context: hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)

Context: hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1

Context: u : Rˣ

Context: hu : ↑u = (algebraMap O R) x

Context: h1 : v ↑u ≤ 1

Context: h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1

Context: r1 : O

Context: hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u

Context: r2 : O

Context: hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹

(algebraMap O R) (r2 * r1) = (algebraMap O R) 1


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

Context: x : B

Context: w₁ : F₁

Context: w₂ : F₂

Context: h₁ : x ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : x ∈ e₂.baseSet

toFun' e₁ e₂ (invFun' e₁ e₂ (x, w₁, w₂)) = (x, w₁, w₂)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_zero : ¬a + b = 0

Context: h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

Context: h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

Context: h : (a / (a + b)) ^ p + (b / (a + b)) ^ p ≤ 1


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_zero : ¬a + b = 0

Context: h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

Context: h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

Context: h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_zero : ¬a + b = 0

Context: h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

Context: h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

Context: hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_zero : ¬a + b = 0

Context: h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

Context: h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

Context: hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0

Context: hab_0' : 0 < (a + b) ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_zero : ¬a + b = 0

Context: h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

Context: h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

Context: hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0

Context: hab_0' : 0 < (a + b) ^ p

Context: h_mul : (a + b) ^ p * (a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p) ≤ (a + b) ^ p


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : ↥(Lp F' 1 μ)

(condexpL1CLM F' hm μ) (c • f) = c • (condexpL1CLM F' hm μ) f


∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), (condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • (condexpInd F' hm μ s) x


Context:
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{v}

lift.{u, v} (sInf (range f)) = sInf (range fun i => lift.{u, v} (f i))


(range fun i => lift.{u, v} (f i)) = lift.{u, v} '' range f


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1

Context: of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯

Context: self : motive (n + 1) ⋯

Context: mn : m ≤ n

Context: msn : m ≤ n + 1

leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) msn of_succ self = leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) mn (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ n ⋯ self)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


((κ a✝¹).withDensity (1 a✝¹)) s✝ = (κ a✝¹) s✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ ca


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
g : Rˣ
hg : ∀ (x : Rˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
χ₁ χ₂ : MulChar R R'

χ₁ = χ₂ ↔ χ₁ ↑g = χ₂ ↑g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
b0 : 0 ≤ b
a0 : 0 ≤ -b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
b0 : 0 ≤ b
a0 : 0 ≤ -b
this : b = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
a✝ b✝ : A
r : R
inst✝³ : OrderedCommRing R
inst✝² : OrderedRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : OrderedSMul R A
a b : R
h : a ≤ b


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : CountableInterFilter f
h : f ≤ 𝓟 s ∧ ∀ x ∈ s, ¬ClusterPt x f

∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Set ι), t.Countable → ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: h : f ≤ 𝓟 s ∧ ∀ (x : ↑s), ∃ i, (↑x ∈ i ∧ IsOpen i) ∧ iᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

∀ (t : Set ↑s), t.Countable → ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets

Context: uninf : ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets

Context: uninf : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets

Context: uninf✝ : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜ ∈ f

Context: uninf : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜᶜ ∉ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : CountableInterFilter f

Context: fsub : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Set ↑s

Context: ht : t.Countable

Context: h : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: uinf : ⋃ i ∈ t, U i ∈ f.sets

Context: uninf✝ : (⋃ i ∈ t, U i)ᶜ ∈ f

Context: uninf : ⋃ i ∈ t, U i ∉ f


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: X : Augmented C

Context: F : Arrow C

Context: G : Augmented.toArrow.obj X ⟶ F

Context: x : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: i : Fin ((Opposite.unop x).len + 1)

(X.left.map ((SimplexCategory.mk 0).const (Opposite.unop x) i).op ≫ G.left) ≫ F.hom = X.hom.app x ≫ G.right


Context:
α : Type u_1
l l₁ r₁ l₂ r₂ : List α


Context:
n : ℕ
c : Char
l : List Char

(replicate (n - { data := l }.length) c).IsPrefix (leftpad n c { data := l })


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hmn : 1 ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : 1 ≤ n


tangentMap I I' f = tangentMapWithin I I' f univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
M : Matrix m m R
p q : m → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : ∀ (x : m), q x ↔ p x

(M.toSquareBlockProp p).det = (M.toSquareBlockProp q).det


Context:
X : LightCondSet
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)

∀ (i : (T : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => LightCondSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0
k : ℕ

padicValRat p (q ^ k) = ↑k * padicValRat p q


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M

(of R M) m ∈ span R (⇑(of R M) '' S) ↔ m ∈ S


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h : (of R M) m ∈ span R (⇑(of R M) '' S)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : ↑{m} ⊆ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f g✝ h : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Tendsto g lc l
b : β
hb : f =ᶠ[l] fun x => b


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁷ : Module R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: S : NonUnitalSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(iSup K)

Context: hx : ↑x ∈ K i

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩


Context:
a b d m n : ℤ
h : b ∣ a
e : ℤ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
h : LinearMap.ker (traceForm R L M) = ⊥


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : Injective P
X✝ Y✝ : C
g : X✝ ⟶ Q
f : X✝ ⟶ Y✝
mono : Mono f


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q : C
i : P ≅ Q
hP : Injective P
X✝ Y✝ : C
g : X✝ ⟶ Q
f : X✝ ⟶ Y✝
mono : Mono f
h : Y✝ ⟶ P
h_eq : f ≫ h = g ≫ i.inv


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: N' : Submodule R S

Context: h : N' ≤ N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: N' : Submodule R S

Context: h : N' ≤ N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: hi : Function.Injective ⇑i


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) = if Even n then ↑n / 2 else ↑n