Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G

Context: this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ.inv.inv μ.inv.inv


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G

Context: this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ

QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G

Context: this✝ : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ

Context: this : QuasiMeasurePreserving (Inv.inv ∘ (fun h => h * g⁻¹) ∘ Inv.inv) μ μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G

Context: this : QuasiMeasurePreserving (fun x => g * x) μ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r > μ A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r > μ A

Context: HA : μ A < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r > μ A

Context: HA : μ A < ⊤

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)

Context: hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n

Context: hAd : Pairwise (Disjoint on A)

Context: hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)

Context: hr : r > μ (⋃ n, A n)

Context: HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)

Context: hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n

Context: hAd : Pairwise (Disjoint on A)

Context: hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)

Context: hr : r > μ (⋃ n, A n)

Context: HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0∞

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: hδε : ∑' (i : ℕ), δ i < r - μ (⋃ n, A n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)

Context: hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n

Context: hAd : Pairwise (Disjoint on A)

Context: hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)

Context: hr : r > μ (⋃ n, A n)

Context: HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0∞

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)

Context: hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n

Context: hAd : Pairwise (Disjoint on A)

Context: hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)

Context: hr : r > μ (⋃ n, A n)

Context: HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0∞

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ U ⊇ A n, IsOpen U ∧ μ U < μ (A n) + δ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)

Context: hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n

Context: hAd : Pairwise (Disjoint on A)

Context: hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)

Context: hr : r > μ (⋃ n, A n)

Context: HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0∞

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: U : ℕ → Set α

Context: hAU : ∀ (n : ℕ), U n ⊇ A n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : ∀ (n : ℕ), μ (U n) < μ (A n) + δ n


Context:
a₀ a₁ a₂ : Type u
i : ℕ

lift.{v, u} #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i) = #(Sequence₂ (ULift.{v, u} a₀) (ULift.{v, u} a₁) (ULift.{v, u} a₂) i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r₁ r₂ : ℝ
h : |r₁| < |r₂|

(fun x => ‖r₁ ^ x‖) =o[atTop] fun x => ‖r₂ ^ x‖


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R

(finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r


(finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (1 * r)) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ico (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ico a₁ a₂)


Ico (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ico a₁ a₂))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α

Context: f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)

Context: sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n


Context: m : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α

l.maximum = ↑m ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m


(m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → id a ≤ id m) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → id m ≤ id a → indexOf m l ≤ indexOf a l) ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m


m ∈ l → (∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m) → ∀ (a : α), a ∈ l → m ≤ a → indexOf m l ≤ indexOf a l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a✝¹ m : α
a✝ : m ∈ l
h : ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
a : α
hal : a ∈ l
hma : m ≤ a


Context:
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (powersetAux l).revzip


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: x : Multiset α × Multiset α

Context: h : ∃ a ∈ l.sublists.revzip, Prod.map ofList ofList a = x


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: x : Multiset α × Multiset α

Context: h : ∃ a b, (a, b) ∈ l.sublists.revzip ∧ (↑a, ↑b) = x


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
h : (l₁, l₂) ∈ l.sublists.revzip


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: a✝ : α

Context: n✝ : Nat

Context: s✝ : HeapNode α

Context: h✝ : WF le a✝ s✝ n✝

Context: res : Heap α

Context: a : α

Context: c s : HeapNode α

Context: n : Nat

Context: left✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a✝ a = true

Context: h : WF le a c n

Context: h' : WF le a✝ s n

Context: hr : Heap.WF le (node a c s).rank res


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: a✝ : α

Context: n✝ : Nat

Context: s✝ : HeapNode α

Context: h✝ : WF le a✝ s✝ n✝

Context: res : Heap α

Context: a : α

Context: c s : HeapNode α

Context: n : Nat

Context: h : WF le a c s.rank

Context: h' : WF le a✝ s n

Context: hr : Heap.WF le (node a c s).rank res


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
i i' : I
f : i ⟶ i'

↑(((Functor.const I).obj ⟨limit (F ⋙ π A), liftedConeElement F⟩).map f ≫ (fun i => ⟨limit.π (F ⋙ π A) i, ⋯⟩) i') = ↑((fun i => ⟨limit.π (F ⋙ π A) i, ⋯⟩) i ≫ F.map f)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

arccos (⟪x, -y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖-y‖)) = π - arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)

((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x) = (LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι

(component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x)) = (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ

↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n


Submodule.Quotient.mk ((component R ι M i) ((lof R ι M j) (↑x n))) = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n


Submodule.Quotient.mk (if h : j = i then Eq.recOn h (↑x n) else 0) = ↑(if h : j = i then Eq.recOn h ((mk I (M j)) x) else 0) n


Context:
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR

mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR ≤ mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR


Context:
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : xl

(∃ i', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inl i) ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveLeft i') ∨ ∃ j, ((mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inl i)).moveRight j ≤ mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR


Context:
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : zl

(∃ i', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inr i) ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveLeft i') ∨ ∃ j, ((mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveLeft (Sum.inr i)).moveRight j ≤ mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR


Context:
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : yr

(∃ i_1, mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR ≤ ((mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inl i)).moveLeft i_1) ∨ ∃ j', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveRight j' ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inl i)


Context:
xl✝ xr✝ : Type u
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
h : mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR
i : zr

(∃ i_1, mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR ≤ ((mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inr i)).moveLeft i_1) ∨ ∃ j', (mk xl xr xL xR + mk zl zr zL zR).moveRight j' ≤ (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR).moveRight (Sum.inr i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n i j : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : ComposableArrows C n
hS : S.IsComplex
i : ℕ
hk : autoParam (i + 1 + 1 ≤ n) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
h : HasProd f a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
x : α

x ∈ insert a (insert b s) ↔ x ∈ insert b (insert a s)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
s : Finset M'

⇑f '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple S f s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset S f s • ↑s


⇑f '' ((fun t => integerMultiple S f s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset S f s • ↑s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: g_eq_G : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] G


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: g_eq_G_on : ∀ (t : ℝ), g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 t))] G


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: G_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable G volume 0 t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: F : α → ℝ

Context: F_mble : Measurable F

Context: F_nn : 0 ≤ F

Context: f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: F : α → ℝ

Context: F_mble : Measurable F

Context: F_nn : 0 ≤ F

Context: f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F

Context: eq₁ : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: F : α → ℝ

Context: F_mble : Measurable F

Context: F_nn : 0 ≤ F

Context: f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F

Context: eq₂ : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..F ω, G t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: G : ℝ → ℝ

Context: G_mble : Measurable G

Context: G_nn : 0 ≤ G

Context: F : α → ℝ

Context: F_mble : Measurable F

Context: F_nn : 0 ≤ F

Context: f_eq_F : f =ᶠ[ae μ] F

∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..F a, G t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ F a} * ENNReal.ofReal (G t)


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝ : LE α
a : α

↑a ≤ ⊥ ↔ ↑a = ⊥


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G


∀ (x : G), (∀ (b : G), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : G
h : ∀ (b : G), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_tsum_1 : ∀ (g : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), g i = liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), g i) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_liminf_pow : ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) atTop ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

∫⁻ (a : α), liminf (fun n => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) atTop ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hp_pos : 0 < p

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) atTop ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α✝ → β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: m m₂ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α✝ → β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: m m₂ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : Countable ι

Context: f✝ g : α✝ → β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: m m₂ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: g_seq_s : ℕ → α →ₛ E

Context: hg_seq_tendsto : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(g_seq_s n) x) atTop (𝓝 (f x))

Context: hg_seq_zero : ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: a b c d y : α

Context: hya : a ≤ y

Context: hyb : y ≤ b

Context: z : α

Context: hzc : c ≤ z

Context: hzd : z ≤ d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Icc (a * c) (b * d)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node size✝ l x r).Valid


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
d : DiscreteQuotient X
x✝ : Set X

x✝ ∈ (((image fun t => t.carrier) ∘ Finset.toSet) ∘ finsetClopens X) d ↔ x✝ ∈ match d with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes


(∃ a, d.proj ⁻¹' {a} = x✝) ↔ ∃ y, x✝ = {x | Setoid.r x y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


⋃ a, {Iio ↑a} = Iio '' (Rat.cast '' univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, {Iio ↑a} ↔ x ∈ Iio '' (Rat.cast '' univ)


comap re (comap Real.exp atTop) = comap re atTop


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Fintype α
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
hu : (↑C.u * ↑C.u⁻¹) ^ 12 = 1


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x✝ : N

x✝ ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g) ↔ x✝ ∈ Submodule.restrictScalars R (Submodule.localized' S p f (ker g))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n : ℕ


∑ i ∈ range (n + 1 + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) = (expand p) (∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i))


∀ x ∈ range (n + 1), C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) = (expand p) (C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k ∈ range (n + 1)

C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n + 1 - k) = (expand p) (C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n - k))


C (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n + 1 - k) = (algebraMap (ZMod (p ^ (n + 1))) (MvPolynomial ℕ (ZMod (p ^ (n + 1))))) (↑p ^ k) * X k ^ p ^ (n - k + 1)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
n k : ℕ
hk : k < n + 1


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat

(X.prodIsoProd Y).inv ≫ prod.fst = prodFst


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h✝ : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S
h : ϕ.comp (of f) = algebraMap R S


eval₂ (ϕ.comp (of f)) (ϕ (root f)) f = eval₂ (ϕ.comp (of f)) (ϕ.toRingHom (root f)) f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M Nᵐᵒᵖ
inst✝ : MonoidHomClass F M Nᵐᵒᵖ
f : F
l : List M

MulOpposite.unop (f l.prod) = (map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context: N : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Group N

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : G →* MulAut N

Context: f₁ : N →* H

Context: f₂ : G →* H

Context: h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁

Context: F : N ⋊[φ] G →* H

Context: x✝¹ : G

Context: x✝ : N

((F.comp inl).comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ x✝¹))) x✝ = ((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj ((F.comp inr) x✝¹))).comp (F.comp inl)) x✝


Context: N : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Group N

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : G →* MulAut N

Context: f₁ : N →* H

Context: f₂ : G →* H

Context: F : N ⋊[φ] G →* H


Context: N : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Group N

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : G →* MulAut N

Context: f₁ : N →* H

Context: f₂ : G →* H

Context: F : N ⋊[φ] G →* H

∀ (x : N ⋊[φ] G), F x = (lift (F.comp inl) (F.comp inr) ⋯) x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: h : ∀ (f : X → Prop), (∀ s ∈ S, ContinuousOn f s) → Continuous f

Context: u : Set X

Context: hu : ∀ s ∈ S, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' u)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: S : Set (Set X)

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: u : Set X

Context: h : ∀ (f : X → Prop), (∀ s ∈ S, IsOpen {x | s.restrict f x}) → IsOpen {x | f x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : T2Space β
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
f g : α →ᵤ[𝔖] β
hfg : f ≠ g

(fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) f g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : T2Space β
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
f g : α →ᵤ[𝔖] β
hfg : f ≠ g
x : α
hx : ¬f x = g x

∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ f ∈ u ∧ g ∈ v ∧ Disjoint u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : T2Space β
h : ⋃₀ 𝔖 = univ
f g : α →ᵤ[𝔖] β
hfg : f ≠ g
x : α
hx : ¬f x = g x
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => x + c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)


map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

(normAtPlace w) (-x) = (normAtPlace w) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

(if hw : w.IsReal then ‖(-x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(-x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
ha : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 1


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: ha : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 1

Context: this : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑{{ down := a }}


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : R →ₗ[R] M

(smulRight 1 ({ toFun := fun f => f 1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) 1 = f 1


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

(λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (M.one ⊗ N.one) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (M.X, N.X) ≫ (M.one ▷ M.X ⊗ N.one ▷ N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (M.X, N.X) ≫ ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ N.X).hom) = (λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(λ_ (M.X ⊗ N.X)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (M.X, N.X) ≫ ((λ_ M.X).hom ⊗ (λ_ N.X).hom)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint ↑s ↑t ↔ _root_.Disjoint s t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x

HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: c d : 𝕜 → 𝔸

Context: c' d' : 𝔸

Context: u v : 𝕜 → 𝕜'

Context: hc : HasDerivWithinAt c c' s x

Context: hd : HasDerivWithinAt d d' s x

Context: this : HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) ((c x • smulRight 1 d' + (smulRight 1 c').smulRight (d x)) 1) s x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K✝

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I J K : Ideal R

Context: coprime : ∀ (P : Ideal R), J ≤ P → K ≤ P → ¬P.IsPrime

Context: hJ : I ≤ J

Context: hK : I ≤ K


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K✝

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I J K : Ideal R

Context: coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime

Context: hJ : J ∣ I

Context: hK : K ∣ I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K✝

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: J K : Ideal R

Context: hJ0 : ¬J = 0

Context: I' : Ideal R

Context: hJ : J ∣ K * I'


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K✝

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: J K : Ideal R

Context: hJ0 : ¬J = 0

Context: I' : Ideal R

Context: hJ : J ∣ K * I'

∀ {d : Ideal R}, d ∣ J → d ∣ K → ¬Prime d


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : G →* H
hϕ : Function.Surjective ⇑ϕ


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : G →* H
hϕ : Function.Surjective ⇑ϕ
h : H
g : G
hg : ϕ g = h
k : ℕ
hk : g ^ p ^ k = 1


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h

F.map₂ (f ◁ η) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝

F.map₂ (η ▷ h) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g✝ h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

F.map₂ (α_ f g h).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).hom ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g h).inv ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (g ≫ h)).inv


inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h) ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).inv ≫ F.map₂ (α_ f g h).hom = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b

F.map₂ (λ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom


F.map₂ (inv (λ_ f).hom) = inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom)


F.map₂ (ρ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom


F.map₂ (inv (ρ_ f).hom) = inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X

EquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousOn F S


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, deriv g x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, DifferentiableAt ℝ g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt g (deriv g x) x


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
a b : ℕ


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
a : α
l : Thunk (LazyList α)

(∀ (x : α), x ∈ cons a l → p x) ↔ p a ∧ ∀ (x : α), x ∈ l.get → p x


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty

∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V ∧ t.card = index K V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: this : sInf (Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}) ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R

degreeOf i (f * g) ≤ degreeOf i f + degreeOf i g


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ

x ^ (n % orderOf x) = x ^ (n % orderOf x + orderOf x * (n / orderOf x))


x ^ (n % orderOf x + orderOf x * (n / orderOf x)) = x ^ n


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid γ

Context: S : ι → AddSubmonoid γ

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(S i)) → Decidable (x ≠ 0)

Context: x : γ

x ∈ iSup S ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid γ

Context: S : ι → AddSubmonoid γ

Context: x : γ

(∃ f, (sumAddHom fun i => (S i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid γ

Context: S : ι → AddSubmonoid γ

Context: x : γ

(∃ f, (f.sum fun x => ⇑(S x).subtype) = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2

2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

Context: h₁ : (fun a => ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a => χ a * ψ₈char a


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

Context: hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

Context: hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

Context: h : (χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))) ^ (ringChar FF ^ ↑n / 2) = χ (↑(ringChar FF) ^ ↑n)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

Context: h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

8 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : Field F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: hp : Nat.Prime (ringChar F)

Context: hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

Context: FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F

Context: hchar : ringChar F = ringChar FF

Context: FFp : Nat.Prime (ringChar FF)

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))

Context: hFF : ringChar FF ≠ 2

Context: hu : IsUnit ↑(ringChar FF)

Context: ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char

Context: τ : FF := ψ₈char 1

Context: τ_spec : τ ^ 4 = -1

Context: hχ : χ (-1) = 1

Context: hq : χ.IsQuadratic

(algebraMap F FF) (8 ^ (Fintype.card F / 2)) = (algebraMap F FF) ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))


Context:
p : ℕ
q : ℚ
hp : p ≠ 1
hq : q ≠ 0


Context:
p : ℕ
q : ℚ
hp : p ≠ 1
hq : q ≠ 0

padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯)


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c✝ u a : αˣ
b c : α
h : b * ↑a = c * ↑a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (φ i))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: u : ℕ → ι

Context: hu : Tendsto u atTop l


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: u : ℕ → ι

Context: hu : Tendsto u atTop l

Context: this : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, φ (u i)))


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: inhabited_h✝ : Inhabited X

Context: inhabited_h : Inhabited Y

Context: A : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist ↑p ↑q < diam univ + 1 + diam univ → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q

Context: B : ∀ (p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)), ⟦p⟧ = toGHSpace X → ⟦q⟧ = toGHSpace Y → hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ hausdorffDist ↑p ↑q

hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) = ghDist X Y


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: inhabited_h✝ : Inhabited X

Context: inhabited_h : Inhabited Y

hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ ghDist X Y


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: inhabited_h✝ : Inhabited X

Context: inhabited_h : Inhabited Y

ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

((fun s => { support := s.toFinset, toFun := fun a => count a s, mem_support_toFun := ⋯ }) ((fun f => Finsupp.toMultiset f) f)) a = f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

(fun f => Finsupp.toMultiset f) ((fun s => { support := s.toFinset, toFun := fun a => count a s, mem_support_toFun := ⋯ }) s) = s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
hK : 0 < K

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x r) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K⁻¹) * μ (closedBall x (K * r))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
hK : 0 < K
x✝ : ℝ
a✝ : α


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: x✝ : α (last n)

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p : (i : Fin n) → α i.castSucc

Context: i : Fin n

Context: y : α i.castSucc

Context: z : α (last n)

Context: P : ((i : Fin (n + 1)) → α i) → Sort u_1

Context: h : (x : (i : Fin n) → α i.castSucc) → (x₀ : α (last n)) → P (snoc x x₀)

Context: x : (i : Fin n) → init α i

Context: x₀ : α (last n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: s : Set α

IsTotallyDisconnected s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: s : Set α

(∀ t ⊆ s, t.OrdConnected → ∀ x ∈ t, ∀ x_1 ∈ t, ¬x < x_1) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n k l : A
h : (k, l) ∈ antidiagonal n

(fun x => ⟨x.1 + x.2, ⟨x, ⋯⟩⟩) ((fun x => ↑x.snd) ⟨n, ⟨(k, l), h⟩⟩) = ⟨n, ⟨(k, l), h⟩⟩


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n k l : A
h✝ : (k, l) ∈ antidiagonal n
h : (k, l).1 + (k, l).2 = n

(fun x => ⟨x.1 + x.2, ⟨x, ⋯⟩⟩) ((fun x => ↑x.snd) ⟨n, ⟨(k, l), h✝⟩⟩) = ⟨n, ⟨(k, l), h✝⟩⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
h : ∀ x ∈ s, a ≤ x


(map (Function.const α a) s).prod ≤ s.prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a + x) ⁻¹' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Decidable (IsField A)


IsField A ↔ restrictScalars A (LinearMap.range (Algebra.trace K L)) ≤ 1


⊤ ≤ (algebraMap A K).range ↔ restrictScalars A ⊤ ≤ 1


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : Preorder α✝
inst✝³ : Preorder β✝
inst✝² : Preorder γ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Unique α
inst✝ : Preorder β

∀ {a b : α → β}, (Equiv.funUnique α β) a ≤ (Equiv.funUnique α β) b ↔ a ≤ b


Context: m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
h₁ : ¬a ∈ l₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
h₁ : ¬a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ l₂


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α

σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a


σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8253, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : Vᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : Vᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

imageToKernel g.unop f.unop ⋯ ≫ (kernelSubobject f.unop).arrow = ((imageSubobjectIso g.unop ≪≫ (imageUnopOp g).unop.symm).hom ≫ (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).unop ≫ (kernelSubobjectIso f.unop ≪≫ kernelUnopUnop f).inv) ≫ (kernelSubobject f.unop).arrow


Context:
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
I✝ J✝ K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
I J : Ideal R
h : I = ⊥ ∨ J = ⊥


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
i₁✝ i₁'✝ i₂✝ i₂'✝ : I
h : c.Rel i₁✝ i₁'✝
x✝ : c.Rel i₂✝ i₂'✝


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ ν : FiniteMeasure Ω

⇑(μ + ν) = ⇑μ + ⇑ν


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ ν : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω


↑(μ + ν) x✝ = ↑μ x✝ + ↑ν x✝


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

↑p = (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n

if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 < 0
hn : 1 < n
hx0 : x < 0


if Even 2 then ∑ i ∈ range 2, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range 2, x ^ i


∀ (n : ℕ), 2 ≤ n → (if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i) → if Even (n + 1) then ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x + 1 < 0

Context: hx0 : x < 0

Context: n : ℕ

Context: hmn✝ : 2 ≤ n

Context: ihn : if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range n, x ^ i

if Even (n + 1) then ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 0 else 1 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x + 1 < 0

Context: hx0 : x < 0

Context: n : ℕ

Context: hmn✝ : 2 ≤ n

if ¬Even n then x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1 < 0 else 1 < x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
h : 1 ≤ 4 ^ P.parts.card


Fintype.card α / P.parts.card - Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card


Fintype.card α / P.parts.card - Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 1 ≤ 4 ^ P.parts.card - 1 + 1


Fintype.card α / P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card + 4 ^ P.parts.card - 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).support


x ∈ (p.takeUntil u h).support ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).support


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: h : a * b ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteKernel κ
S : Finset (Set γ)
hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n
hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)

∫ (x : γ) in ⋃₀ ↑S, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (⋃₀ ↑S ×ˢ s)).toReal


∫ (x : γ) in ⋃ i, ↑i, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) ((⋃ i, ↑i) ×ˢ s)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: S : Finset (Set γ)

Context: hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n

Context: hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)

Context: h_disj : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: S : Finset (Set γ)

Context: hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n

Context: hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)

∑' (n_1 : ↑↑S), ∫ (x : γ) in ↑n_1, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ∑' (a_1 : ↑↑S), ((κ a) (↑a_1 ×ˢ s)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: S : Finset (Set γ)

Context: hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n

Context: hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: S : Finset (Set γ)

Context: hS_subset : ↑S ⊆ countablePartition γ n

Context: hA : MeasurableSet (⋃₀ ↑S)

IntegrableOn (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) (⋃ i, ↑i) (ν a)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
x' : L := ⋯.choose


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x' : L := ⋯.choose

Context: h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x' : L := ⋯.choose

Context: k : K

Context: hx : k • x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)

chainLength α β • k • x' = ⁅coroot α, k • x'⁆


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M

(trace R P) ((g ∘ₗ f) ∘ₗ h) = (trace R M) ((h ∘ₗ g) ∘ₗ f)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
n : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
x✝ : Fin n


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: hc : ∀ᶠ (n : ι) in p, ContinuousOn (F n) s

Context: inst✝ : p.NeBot


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: n : ι

Context: hFc : ContinuousOn (F n) s

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

closedBall x δ * s = x • cthickening δ s


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K : Compacts G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: this : chaar K₀ K ∈ (fun K => Icc 0 ↑(index ↑K ↑K₀)) K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K : Compacts G

Context: this : 0 ≤ chaar K₀ K ∧ chaar K₀ K ≤ ↑(index ↑K ↑K₀)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ

f.SameCycle x ((f ^ n) y) ↔ f.SameCycle x y


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
a : A i

(((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ ι R A i) a = maps a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
g : β → γ
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a

Option.map g (pmap f x H) = pmap (fun a h => g (f a h)) x H


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0

(∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p) ↔ d ∣ n


(∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p) ↔ d.factorization ≤ n.factorization


Context: a b m n✝ p✝ d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: h : ∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p

Context: p : ℕ

Context: hp : ¬Prime p


Context: a b m n✝ p✝ d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : ¬Prime p


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder R

Context: inst✝² : AddMonoid R

Context: inst✝¹ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass R R (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : Tropical R

Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder R

Context: inst✝² : AddMonoid R

Context: x y : Tropical R

Context: n : ℕ

Context: h : x ≤ y


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder R

Context: inst✝² : AddMonoid R

Context: x y : Tropical R

Context: n : ℕ

Context: h : y ≤ x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

∃ J, mk0 I = mk0 J ∧ (algebraMap R S) M ∈ ↑J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : (algebraMap R S) M ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: b_min : ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Ideal.span {b} ∣ Ideal.span {(algebraMap R S) M} * ↑I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

∀ r ∈ Ideal.span {(algebraMap R S) M}, ∀ s ∈ ↑I, r * s ∈ Ideal.span {b}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: r' : S

Context: hr' : r' ∈ Ideal.span {(algebraMap R S) M}

Context: a : S

Context: ha : a ∈ ↑I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: r' : S

Context: hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'

Context: a : S

Context: ha : a ∈ ↑I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: r' : S

Context: hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'

Context: a : S

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: q : S

Context: r : R

Context: r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm

Context: lt : abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: r' : S

Context: hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'

Context: a : S

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: q : S

Context: r : R

Context: r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: inst✝¹⁶ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra R K

Context: inst✝¹² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹¹ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝³ : Infinite R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m

Context: hM : (algebraMap R S) M ≠ 0

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: r' : S

Context: hr' : (algebraMap R S) M ∣ r'

Context: a : S

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: q : S

Context: r : R

Context: r_mem : r ∈ finsetApprox bS adm

Context: lt : abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) r * a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Cardinal.lift.{0, 0} #ℚ < Cardinal.lift.{0, 0} #ℂ


Context:
U : Type ?u.16921
inst✝⁴ : Quiver U
V : Type ?u.16927
inst✝³ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.16949
inst✝² : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse U
inst✝ : HasInvolutiveReverse V
u : U
e : Star u

(fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) ((fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) e) = e


Context:
U : Type ?u.16921
inst✝⁴ : Quiver U
V : Type ?u.16927
inst✝³ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.16949
inst✝² : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse U
inst✝ : HasInvolutiveReverse V
u : U
e : Costar u


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₁ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s

f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s


f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s


f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
x : α
hx : x ∈ s
h₁ : f x ∈ f' ⁻¹' s₁


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
hs : SupClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M.Base B


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x y : R
I J : Ideal R

span {x} * I ≤ span {y} * J ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
c : n → R

(eval c) (M.toMvPolynomial i) = (M *ᵥ c) i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
a : R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ t ⊆ U ∧ U ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
hx : x ∈ s
ha : x ∉ s
h : insert x s ⊆ insert x t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s
hxt : x ∈ t


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
r : K
hr : (aeval r) (cyclotomic (↑a) K) = 0


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
r : K
hr : (aeval r) (cyclotomic (↑a) K) = 0
this : NeZero ↑↑a


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hxz : x ≠ 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hyz : y ≠ 0


Context: α : Type u

Context: app : List α → List α

Context: inv : ∀ (l : List α), app l = app [] ++ l


Context: α : Type u

Context: app : List α → List α

Context: x : List α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : IsClosed s
a : α


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X Y : FullSubcategory P

(fullMonoidalSubcategory.map h).map (β_ X Y).hom = inv ((fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y) ≫ (β_ ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj X) ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ Y X


(fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).map (β_ X Y).hom = (β_ ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj X) ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ Y X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: H₁ : C 0

Context: H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)

Context: H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o

Context: h : o.IsLimit

o.limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₃ o h fun x _h => x.limitRecOn H₁ H₂ H₃


Context:
d₁ d₂ n₁ n₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
inst✝ : OrderTop α


Context:
m : ℤ
p : ↥(Submonoid.powers 2)

dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m p) = ↑m * powHalf (Submonoid.log p)


Context:
m : ℤ
p : ↥(Submonoid.powers 2)

dyadicMap (Localization.mk m p) = ↑m * powHalf (Submonoid.log p)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ H


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y

Context: w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y

(rightDistributor f X).inv ≫ g = (rightDistributor f X).inv ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y

Context: j✝ : J

biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ g = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ h