Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
hg : ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
a✝ : α
haf : ↑f a✝ ≤ ↑f' a✝
hag : ↑g a✝ ≤ ↑f' a✝
ha_sup : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


↑f a✝ ⊔ ↑g a✝ ≤ ↑f' a✝


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ adjoin F S


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯


⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯ ≤ adjoin F ↑(Finset.image Subtype.val s)


∀ i ∈ s, {↑i} ≤ ↑(adjoin F (Subtype.val '' ↑s))


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
i✝ : ↑S
h : i✝ ∈ s


Context:
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ

Finset.range n = Finset.cons n' (Finset.range n') ⋯


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E

(1 + ‖x‖) ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


(∑ m ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ m * 1 ^ (k - m) * ↑(k.choose m)) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ↑(2 ^ m.1) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ↑(∑ m_1 ∈ Finset.range (m.1 + 1), m.1.choose m_1) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ (∑ x ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose x)) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose i) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: m : ℕ × ℕ

Context: k n : ℕ

Context: hk : k ≤ m.1

Context: hn : n ≤ m.2

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: x : E

Context: hk' : Finset.range (k + 1) ⊆ Finset.range (m.1 + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: m : ℕ × ℕ

Context: k n : ℕ

Context: hk : k ≤ m.1

Context: hn : n ≤ m.2

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: x : E

∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (m.1 + 1), ↑(m.1.choose i) * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : CommRing C
p : K[X]

integerNormalization (nonZeroDivisors A) p = 0 ↔ p = 0


(∀ (n : ℕ), p.coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), (integerNormalization (nonZeroDivisors A) p).coeff n = coeff 0 n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : CommRing C

Context: p : K[X]

Context: b : A

Context: nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A

Context: hb : ∀ (i : ℕ), (algebraMap A K) ((integerNormalization (nonZeroDivisors A) p).coeff i) = ↑⟨b, nonzero⟩ • p.coeff i


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

Context: hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc✝ : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

Context: hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite

∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ t.PairwiseDisjoint s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
ι : Type u_2
l : ι → Filter α
t : Set ι
hd : t.PairwiseDisjoint l
ht : t.Finite
this : Finite ↑t
s : ↑t → Set α
hsl : ∀ (i : ↑t), s i ∈ l ↑i
hsd : Pairwise (Disjoint on s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: l : ι → Filter α

Context: t : Set ι

Context: hd : t.PairwiseDisjoint l

Context: ht : t.Finite

Context: this : Finite ↑t

Context: s : (i : ↑t) → { s // s ∈ l ↑i }

Context: hsd : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑(s i))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: l : ι → Filter α

Context: t : Set ι

Context: hd : t.PairwiseDisjoint l

Context: ht : t.Finite

Context: this : Finite ↑t

Context: s : (i : ι) → { s // s ∈ l i }

Context: hsd : Pairwise (Disjoint on fun i => ↑((fun i => s ↑i) i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α

(𝓟 s).IsMeasurablyGenerated ↔ MeasurableSet s


(𝓟 s).IsMeasurablyGenerated → MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ ⦃s_1 : Set α⦄, s_1 ∈ 𝓟 s → ∃ t ∈ 𝓟 s, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : Set α

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓟 s

Context: htm : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : ↑s → β
hf : Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : α → β
hf : Injective fun i => f ↑i


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
z : E


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hu : IsUniform X s ℙ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α

(N.comap f).Base B ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E


N.Basis (f '' B) (f '' (N.comap f).E) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ (N.comap f).E ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

update f i '' Ioc a b = Ioc (update f i a) (update f i b)


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.17728
s✝ t s : Finset α
i : ℕ

Multiset.map val (powersetCard i s).val = Multiset.powersetCard i s.val


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x : α


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x y : α
ys : y ∈ s
hy : y < x


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hb : ¬BddBelow s
ha : ¬BddAbove s
x y : α
ys : y ∈ s
hy : y < x
z : α
zs : z ∈ s
hz : x < z


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R

(∀ i ∈ Finset.univ, star (v i) * v i = 0) ↔ v = 0


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
a : α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
h : IsSuccLimit a
b : α
hb : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
h : IsSuccLimit (succ^[0] b)
hb : b ≤ succ^[0] b


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
n : ℕ
h : IsSuccLimit (succ^[n + 1] b)
hb : b ≤ succ^[n + 1] b


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
x : A

IsAlgebraic R x ↔ ¬Function.Injective ⇑(aeval x)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x


P f (s ∩ {x | f x = g x}) x ↔ P g (s ∩ {x | f x = g x}) x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p * q ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
F : ι → (a : α) → π a

BddAbove (range F) ↔ ∀ (a : α), BddAbove (range fun i => F i a)


(∀ (a : α), BddAbove (range (eval a ∘ F))) ↔ ∀ (a : α), BddAbove (range fun i => F i a)


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑n + x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hf : LSeriesSummable (logMul 1) s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hf : Summable fun x => ‖term (logMul 1) s x‖

Summable fun x => ‖term (fun n => ↑(Λ n)) s x‖


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hΛ : ‖(fun n => ↑(Λ n)) n‖ ≤ ‖Complex.log ↑n‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoid τ

Context: inst✝² : TopologicalSpace τ

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: ϕ : Flow τ α

Context: f₁ : τ → α → α

Context: cont'✝¹ : Continuous (uncurry f₁)

Context: map_add'✝¹ : ∀ (t₁ t₂ : τ) (x : α), f₁ (t₁ + t₂) x = f₁ t₁ (f₁ t₂ x)

Context: map_zero'✝¹ : ∀ (x : α), f₁ 0 x = x

Context: f₂ : τ → α → α

Context: cont'✝ : Continuous (uncurry f₂)

Context: map_add'✝ : ∀ (t₁ t₂ : τ) (x : α), f₂ (t₁ + t₂) x = f₂ t₁ (f₂ t₂ x)

Context: map_zero'✝ : ∀ (x : α), f₂ 0 x = x

Context: h : ∀ (t : τ) (x : α), { toFun := f₁, cont' := cont'✝¹, map_add' := map_add'✝¹, map_zero' := map_zero'✝¹ }.toFun t x = { toFun := f₂, cont' := cont'✝, map_add' := map_add'✝, map_zero' := map_zero'✝ }.toFun t x


Context: τ : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoid τ

Context: inst✝² : TopologicalSpace τ

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd τ

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: ϕ : Flow τ α

Context: f₁ : τ → α → α

Context: cont'✝¹ : Continuous (uncurry f₁)

Context: map_zero'✝¹ : ∀ (x : α), f₁ 0 x = x

Context: f₂ : τ → α → α

Context: cont'✝ : Continuous (uncurry f₂)

Context: map_zero'✝ : ∀ (x : α), f₂ 0 x = x

Context: x✝¹ : τ

Context: x✝ : α

f₁ x✝¹ x✝ = f₂ x✝¹ x✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)

Context: y : E

Context: hy : y ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)

Context: hne : x ≠ y

(fun x y => ∃ c, (AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)) x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: hne : x ≠ y

∃ c, (AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: hne : x ≠ y

Context: a b : ℝ

Context: hab : a + b = 1

Context: hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: hne : x ≠ y

Context: a b : ℝ

Context: hab : a + b = 1

Context: hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1

(AffineMap.lineMap x y) b ∈ interior (closedBall 0 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: R₃ : Type u_5

Context: M₃ : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : Ring R₂

Context: inst✝⁸ : Ring R₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M₂

Context: inst✝² : Module R₃ M₃

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: τ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃

Context: inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: h : ∀ (u v : M₂ →ₗ[R₂] M₂ ⧸ range f), u.comp f = v.comp f → u = v


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: R₃ : Type u_5

Context: M₃ : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : Ring R₂

Context: inst✝⁸ : Ring R₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R₂ M₂

Context: inst✝² : Module R₃ M₃

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: τ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃

Context: inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: h₁ : comp 0 f = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
l l' : List α
c : Composition l.length
h : l' ∈ l.splitWrtComposition c


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: l l' : List α

Context: c : Composition l.length

Context: h : l' ∈ l.splitWrtComposition c

Context: this : l'.length ∈ map length (l.splitWrtComposition c)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
l l' : List α
c : Composition l.length
h : l' ∈ l.splitWrtComposition c
this : l'.length ∈ c.blocks


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x : E
hx : ¬x = 0


IsConnected {y | ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝³ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝³ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : Nontrivial α

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: k : ℕ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f j - f i|↑ℱ i]

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ

⇑f = toReal ∘ ⇑f.nnrealPart - toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

f x = (toReal ∘ ⇑f.nnrealPart - toReal ∘ ⇑(-f).nnrealPart) x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: x : ℝ


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: a b : A

Context: X : C

Context: this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

(shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α


Nonempty ↑{m | G.Colorable m} ↔ ∃ n, G.Colorable n


Context: n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Unique ι
f : ι → α


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: ι : Sort u_2

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → NonUnitalSubsemiring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R

Context: U : NonUnitalSubsemiring R := NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: ι : Sort u_2

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → NonUnitalSubsemiring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
f : K →ₐ[F] L
x✝¹ : L
x✝ : x✝¹ ∈ f.fieldRange
x : K
hx : f.toRingHom x = x✝¹


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: H : HoldsForLocalizationAway fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: hf : Function.Bijective ⇑f

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: hf : Function.Bijective ⇑f

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : IsLocalization (Submonoid.powers 1) R


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: hf : Function.Bijective ⇑f

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : IsLocalization (Submonoid.powers 1) R

Context: this : IsLocalization (Submonoid.powers 1) S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝ : LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
h : b j < b i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x y : R

seminormFromBounded' f (x * y) ≤ seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x y : R

∀ (x_1 : R), f (x * y * x_1) / f x_1 ≤ seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: key : φ (l.lcm ↑n) ≤ FiniteDimensional.finrank ℚ K


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l
hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n
key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n
r : ℕ
hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r
ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (↑n * r)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: key : φ (l.lcm ↑n) ≤ φ ↑n

Context: r : ℕ

Context: hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r

Context: ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (GCDMonoid.lcm l ↑n)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: r : ℕ

Context: hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r

Context: key : φ r ≤ 1


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: r : ℕ

Context: hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r

Context: key : φ r ≤ 1

Context: rpos : 0 < r


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: r : ℕ

Context: hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r

Context: rpos : 0 < r

Context: key : r = 1 ∨ r = 2


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'


X ^ pb.dim - ∑ i : Fin pb.dim, C (((pb.map e).basis.repr ((pb.map e).gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i = X ^ pb.dim - ∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
a : α
ha : a ≤ sSup S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: C : Set α

Context: hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x

Context: ha : sSup C ≤ sSup S

Context: aux : ∀ (b : α), IsCompactElement b → b ≤ sSup S → ∃ T ⊆ S, b = sSup T


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: C : Set α

Context: hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x

Context: ha : sSup C ≤ sSup S

Context: T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α

Context: hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S

Context: hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: C : Set α

Context: hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x

Context: ha : sSup C ≤ sSup S

sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x} ⊆ S ∧ sSup C = sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})


Context: n : ℕ

(fun b => succ.comp b)^[n] zero = Code.const n


Context:
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n


Context:
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1


Context:
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1
p : ℕ
hp : Prime p
hpdvd : p ∣ m.gcd n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s

TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoUniformlyOn F f p s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
this : CompactSpace ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsCompact s
this : CompactSpace ↑s
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α

foldl f a (c :: l ++ [b]) = foldr f b (a :: c :: l)


f (f a c) (foldr f b l) = f a (f c (foldr f b l))


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P

intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

intrinsicFrontier 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicFrontier 𝕜 ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (⋃ i, s i)) t = (sum fun i => μ.restrict (s i)) t


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k ↥L
x : K
hx : x ∈ L


Context:
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
y : k
hy : (algebraMap k ↥L) y = ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α
this : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α
this✝ : Nonempty α
this : ∀ b ∈ s, b = a


Context:
o : ONote
x✝ : NF 0
h₂ : o.NF


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

(e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
this : a₁.NF


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF
this✝ : a₁.NF
this : a₂.NF


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

Context: this✝ : a₁.NF

Context: this : a₂.NF

Context: h' : (a₁.sub a₂).repr = a₁.repr - a₂.repr

(match e₁.cmp e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => e₁.oadd n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then a₁.sub a₂ else 0 | k.succ => e₁.oadd k.succPNat a₁).repr = (e₁.oadd n₁ a₁).repr - (e₂.oadd n₂ a₂).repr


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NF

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

Context: this✝ : a₁.NF

Context: this : a₂.NF

Context: ee : (e₁.cmp e₂).Compares e₁ e₂


Context:
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (ULift.{v, u} X)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α

(partialSups f) n ≤ x✝ ↔ (Finset.range (n + 1)).sup f ≤ x✝


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑j.range
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n

∃ a, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧ ‖j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖j (a n)‖ < f n


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: j : E →* F

Context: b : F

Context: hb : b ∈ closure ↑j.range

Context: f : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n

Context: v : ℕ → F

Context: sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)

Context: v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ j.range

Context: hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0

Context: hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
v : α → ℕ

v ∈ {v | f v < g v} ∪ {v | g v < f v} ↔ ¬f v = g v


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ

μ[f|⊥] = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c


(fun x => c) = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: hμ : NeZero μ

Context: f : α → F'

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure μ

Context: h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])

Context: c : F'

Context: h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c

Context: h_integral : ∫ (x : α), (μ[f|⊥]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: hμ : NeZero μ

Context: f : α → F'

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure μ

Context: h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])

Context: c : F'

Context: h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c

Context: h_integral : (μ Set.univ).toReal • c = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: hμ : NeZero μ

Context: f : α → F'

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure μ

Context: h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])

Context: c : F'

Context: h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

((γ₁ + γ₂).rightShift a n' hn').v p q hpq = (γ₁.rightShift a n' hn').v p q hpq + (γ₂.rightShift a n' hn').v p q hpq


Context: p : ℝ


Context:
p : ℝ
hp : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i : ι
a x : α
l : Line (η → α) ι
C : (ι × η → α) → κ

Subspace.IsMono C l.toSubspace ↔ IsMono (fun x => C fun x_1 => match x_1 with | (i, e) => x i e) l


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)

(f ∘ ⇑σ) ∘ ⇑(sort (f ∘ ⇑σ)) = f ∘ ⇑(sort f)


f ∘ ⇑(σ * sort (f ∘ ⇑σ)) = f ∘ ⇑(sort f)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: hl : l.Nodup

l.toFinset.noncommProd f comm = (List.map f l).prod


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: f : α → β

Context: hl : l.dedup = l


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x

mellinInv σ f x = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)


|(2 * π)⁻¹| • ∫ (y : ℝ), ↑x ^ (-(↑σ + ↑y * I)) • f (↑σ + ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0


|(2 * π)⁻¹| • ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (a : ℝ), ↑x ^ (-(↑a * I)) • f (↑σ + ↑a * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
x✝ : ℝ

↑x ^ (-(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)


cexp (↑(Real.log x) * -(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)


↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • 𝓕⁻ (fun y => f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)) (-Real.log x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
l l' : Filter α
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable f (μ.restrict univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n

minimalPeriod f^[n] x = minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n


minimalPeriod f^[n] x ∣ minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n


minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n ∣ minimalPeriod f^[n] x


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p
hq : ¬q = 0


Context:
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
UX UY : Scheme
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
H : P f


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring C
inst✝⁹ : CommSemiring D
inst✝⁸ : CommSemiring E
inst✝⁷ : CommSemiring F
inst✝⁶ : Algebra C D
inst✝⁵ : Algebra C E
inst✝⁴ : Algebra C F
inst✝³ : Algebra D F
inst✝² : Algebra E F
inst✝¹ : IsScalarTower C D F
inst✝ : IsScalarTower C E F
S : Set D
T : Set E
hS : adjoin C S = ⊤
hT : adjoin C T = ⊤

Subalgebra.restrictScalars C (adjoin E (⇑(algebraMap D F) '' S)) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D (⇑(algebraMap E F) '' T))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z : L

Context: hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1

Context: hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L

Context: x : L

Context: A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z : L

Context: hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1

Context: hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L

Context: x : L

(algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z : L

Context: hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1

Context: hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L

Context: x : L

(trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z : L

Context: hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L

Context: x : L

Context: hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z x : L

Context: hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z x : L

⨆ μ, ⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z x : L

∀ (μ : A), (trace A ↥(⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k)) (LinearMap.restrict ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z)) ⋯) = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: z x : L

Commute ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A✝ A' B B' : C

Context: inst✝⁷ : HasBinaryProduct A✝ B

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F✝.obj A✝)) (G.obj (F✝.obj B))

Context: inst✝² : HasBinaryProduct ((F✝ ⋙ G).obj A✝) ((F✝ ⋙ G).obj B)

Context: inst✝¹ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝ : HasBinaryProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: A f : C

∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y), (prod.functor.obj A ⋙ F).map f_1 ≫ (fun B => prodComparison F A B) Y = (fun B => prodComparison F A B) f ≫ (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).map f_1


Context: x : ℝ


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

(filter Squarefree n.divisors).val = Multiset.map (fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

∀ (a : ℕ), a ∈ (filter Squarefree n.divisors).val ↔ a ∈ Multiset.map (fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

∀ x ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, ∀ y ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, x.val.prod = y.val.prod → x = y


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s : Finset α
a : α

a ∈ s⁻¹ ↔ a⁻¹ ∈ s


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
x✝ : σ → S
i✝ : σ

(aevalTower (AlgHom.id S S) x✝) (X i✝) = (aeval x✝) (X i✝)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X

∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: x : X

Context: this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: x : X

Context: r : ℝ

Context: hr0 : r > 0

Context: hr : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: x : X

Context: r : ℝ

Context: hr0 : r > 0

Context: y : X

Context: hy : ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i

r ∈ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
b : Basis ι R₃ M₃

((Matrix.toBilin b) M).Nondegenerate ↔ M.Nondegenerate


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ¬a = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
i : ι
m : M
i✝ : ι

(single i m).toDFinsupp i✝ = (DFinsupp.single i m) i✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : x ∈ interior s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)
y : β
hyi : y ∈ (range i)ᶜ
hys : y ∈ i '' s


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: ua1 ua2 : UniformSpace α

Context: ub1 ub2 : UniformSpace β

Context: uc1 : UniformSpace γ

Context: h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: ua1 ua2 : UniformSpace α

Context: ub1 ub2 : UniformSpace β

Context: uc1 : UniformSpace γ

Context: ha : UniformContinuous id


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: ua1 ua2 : UniformSpace α

Context: ub1 ub2 : UniformSpace β

Context: uc1 : UniformSpace γ

Context: ha : UniformContinuous id

Context: hb : UniformContinuous id


Context: α✝ : Type ua

Context: β✝ : Type ub

Context: γ✝ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝² : UniformSpace α✝

Context: inst✝¹ : UniformSpace β✝

Context: inst✝ : UniformSpace γ✝

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : α → β → γ

Context: ua1 ua2 : UniformSpace α

Context: ub1 ub2 : UniformSpace β

Context: uc1 : UniformSpace γ

Context: ha : UniformContinuous id

Context: hb : UniformContinuous id

Context: h_unif_cont_id : UniformContinuous (Prod.map id id)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: x : B

Context: hx : x ∈ e.baseSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
i : ι

bfamilyOfFamily' r f (typein r i) ⋯ = f i


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
a : α
i✝ : m
j✝ : n

(a • M) i✝ j✝ = (M * diagonal fun x => a) i✝ j✝


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = sheafifyLift J (η ≫ γ) hR


toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p✝ : AddGroupSeminorm E
r : R
p q : AddGroupSeminorm E
x y : ℝ


Context:
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

a✝ ∈ (a.gcd b).primeFactors ↔ a✝ ∈ a.primeFactors ∩ b.primeFactors


Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a ∧ a✝ ∣ b ↔ (Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a) ∧ Prime a✝ ∧ a✝ ∣ b


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : 2 < ‖a.c i‖

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : 2 < ‖a.c i‖

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : 2 < ‖a.c i‖

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : 2 < ‖a.c i‖

Context: hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: A : a.r i ≤ ‖a.c i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

Context: spos : 0 < s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

Context: spos : 0 < s

Context: d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

Context: spos : 0 < s

Context: d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

Context: spos : 0 < s

Context: d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: s : ℝ := ‖a.c i‖

Context: hi : 2 < s

Context: hij : s ≤ ‖a.c j‖

Context: A : a.r i ≤ s

Context: spos : 0 < s

Context: d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ

Context: invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t


∀ (x : ℝ), γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 x ∧ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ x (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ x))) → HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ x) (γ t₀) (γ x)) (v (γ x))) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t

Context: ht2 : HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))

HasDerivAt (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : t ∈ γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) (↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t))))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

(mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t))) = ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

∀ (x : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t), ((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) x = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

Context: a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t

((mfderiv I I (↑(chartAt H (γ t₀))) (γ t)).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))) a = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: t : ℝ

Context: hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source

Context: a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t

(ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a) = (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) (1 a)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Monoid M

Context: c : Con M

Context: p : c.Quotientˣ → Prop

Context: H : ∀ (x y : M) (hxy : c (x * y) 1) (hyx : c (y * x) 1), p { val := ↑x, inv := ↑y, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }

Context: val✝ inv✝ : c.Quotient

Context: x y : M

Context: h₁ : Quot.mk r x * Quot.mk r y = 1

Context: h₂ : Quot.mk r y * Quot.mk r x = 1

p { val := Quot.mk r x, inv := Quot.mk r y, val_inv := h₁, inv_val := h₂ }


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: inst✝¹ : ∀ (X : Dᵒᵖ), Limits.HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A

Context: inst✝ : IsDenseSubsite J K G

Context: Y : Sheaf J A

Context: U : C

Context: X : A

IsIso ((yoneda.map ((G.op.ranCounit.app Y.val).app (op U))).app (op X))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: inst✝ : IsDenseSubsite J K G

Context: Y : Sheaf J A

Context: U : C

Context: X : A

Function.Bijective ((yoneda.map ((G.op.ranCounit.app Y.val).app (op U))).app (op X))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Denumerable α
inst✝¹ : Denumerable β
γ : α → Type u_3
inst✝ : (a : α) → Denumerable (γ a)
n : ℕ

some (ofNat (Sigma γ) n) = some ⟨ofNat α (unpair n).1, ofNat (γ (ofNat α (unpair n).1)) (unpair n).2⟩


((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = some ⟨ofNat α (unpair n).1, ofNat (γ (ofNat α (unpair n).1)) (unpair n).2⟩


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
a₁ s₁ : A
a₂ s₂ : ↥S

x • mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂ = x • (mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: I J : Ideal A

Context: this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)

Context: hgcd : gcd I J = I ⊔ J

Context: hlcm : lcm I J = I ⊓ J


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : LeftInverse g₁ f
h₂ : RightInverse g₂ f

g₁ = g₁ ∘ f ∘ g₂


g₁ ∘ f ∘ g₂ = g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b✝ : β
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
β : Type u_9
i : Finset β
f : β → Multiset α

i.sum f = i.sup f ↔ ∀ x ∈ i, ∀ y ∈ i, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
β : Type u_9
f : β → Multiset α

∅.sum f = ∅.sup f ↔ ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ ∅, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type u_9

Context: f : β → Multiset α

Context: z : β

Context: i : Finset β

Context: hz : z ∉ i

Context: hr : i.sum f = i.sup f ↔ ∀ x ∈ i, ∀ y ∈ i, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)

(Finset.cons z i hz).sum f = (Finset.cons z i hz).sup f ↔ ∀ x ∈ Finset.cons z i hz, ∀ y ∈ Finset.cons z i hz, x ≠ y → (f x).Disjoint (f y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : ℝ
hc : 0 < c
x : α


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


((evalRingHom 0).mapMatrix (1 - X • M.map ⇑C)).det = det 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Matrix n n R

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : (1 - X • M.map ⇑C).map (eval 0) = 1


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}


(fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) ∅


∀ t ∈ p1, (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) t


∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) (f i)) → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t ∩ t2) = (κ a) t * (κ a) t2) (⋃ i, f i)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : One R
inst✝ : AddGroup R
f : ι → R


Context:
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M

#((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) ≤ max ℵ₀ L.card


#((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1)) ≤ max ℵ₀ L.card


Context:
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme

CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ QuasiCompact (terminal.from X)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


Context:
q a b c : ℚ
n d : ℤ


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯

Context: mul_mem : ∀ (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → ∀ (m : A) (hm : m ∈ M), C i.succ (x * m) ⋯

Context: n : ℕ

Context: n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx

Context: x : A


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: n : ℕ

Context: x : A


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M N P Q : Submodule R A

Context: m n✝ : A

Context: n : ℕ

Context: x : A

Context: hx : x ∈ M ^ n * M


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: K : CochainComplex C ℕ

Context: X : C

Context: φ : X ⟶ K.X 0

Context: inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0

Context: hφ✝ : φ ≫ K.d 0 1 = 0

Context: hφ : φ ≫ K.d 0 ((ComplexShape.up ℕ).next 0) = 0

Context: α : ShortComplex.mk 0 0 ⋯ ⟶ HomologicalComplex.sc K 0 := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }

IsIso (HomologicalComplex.liftCycles K φ ((ComplexShape.up ℕ).next 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk φ (K.d 0 ((ComplexShape.up ℕ).next 0)) hφ).Exact ∧ Mono φ


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
a : α
l₁ l₂ : List α
h : Lex r l₁ l₂


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
a : α
l₁ l₂ : List α
h : r a a


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
ha : a ≠ i
c : R
M : Matrix n n R


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : WithBot (Box ι)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ

⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = μ s / (μ s + μ t) * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ + μ t / (μ s + μ t) * ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
h : -x ∈ p


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
h : F.IsMittagLeffler
f : j ⟶ i

F.eventualRange i ⊆ F.map f '' F.eventualRange j


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: f : j ⟶ i

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: hg : F.eventualRange j = range (F.map g)


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: f : j ⟶ i

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: x : F.obj i

Context: hx : x ∈ F.eventualRange i


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: h : F.IsMittagLeffler

Context: f : j ⟶ i

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: x : F.obj k

Context: hx : F.map (g ≫ f) x ∈ F.eventualRange i

F.map (g ≫ f) x ∈ F.map f '' range (F.map g)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

cyclesMap φ = cyclesMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁ ≫ γ.φK ≫ cyclesMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData


cyclesMap φ = cyclesMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(f.hom ⊗ g) ≫ (f.inv ⊗ h) = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0

(deriv fun x => x ^ p) =Θ[atTop] fun x => x ^ (p - 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : Perm α
hf : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
n : ℕ

∀ (x : α), p x ↔ p ((f ^ Int.negSucc n) x)


Context:
p : ℕ
h : 1 < p
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P

t.orthocenter = 3 • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t


(↑(2 + 1) / ↑(2 - 1)) • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t = 3 • (centroid ℝ univ t.points -ᵥ circumcenter t) +ᵥ circumcenter t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E

Metric.ball a ε + Metric.closedBall b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

∑ i : ι, f (σ i) • g i = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary (f ∘ ⇑σ) g


Context:
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'

RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f


RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f


∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), Function.Surjective ⇑e.toRingHom


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂

φ.comp (eval₂Hom f g) = eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)


∀ (r : R), (φ.comp (eval₂Hom f g)) (C r) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) (C r)


∀ (i : σ), (φ.comp (eval₂Hom f g)) (X i) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) (X i)


Context:
J : Type v
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : HasLimits D
inst✝ : PreservesLimits G
hG : SolutionSetCondition G


∀ (A : C), HasInitial (StructuredArrow A G)