Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝ y✝ x y : R

Context: h : x ≠ 0

Context: IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x

Context: s t s' t' : R


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝ y✝ x y : R

Context: h : x ≠ 0

Context: s t s' t' : R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U
V : C
i : V ⟶ unop U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Surjective f
s : Set β


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius


Context: n✝ n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
this : Nonempty ↑s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x

∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: t : Finset ↑s

Context: hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)

∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: t : Finset ↑s

Context: hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: t : Finset ↑s

Context: hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : ↑s

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)

⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: t : Finset ↑s

Context: hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: y : ↑s

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)

U ↑y ⋯ ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
t : α → Multiset β
x : β

x ∈ (s.bind t).toFinset ↔ x ∈ s.toFinset.biUnion fun a => (t a).toFinset


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k

Mono (Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j))


(Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)


∀ (b : J), (Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
j : J

(Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)


Sigma.ι X (ι j) = (Cofan.mk (∐ X) fun j => Sigma.ι X (ι j)).ι.app { as := j }


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α → ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : f 0 = ⊤ ∨ ∑' (b : ℕ), f (b + 1) = ⊤

Context: hf0 : f 0 ≠ ⊤


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hb : b ≤ 0

Context: h : 1 ≤ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hc : 0 < c


Context: X : Type u

Context: m₁ m₂ : X → X → X

Context: e₁ e₂ : X

Context: h₁ : IsUnital m₁ e₁

Context: h₂ : IsUnital m₂ e₂

Context: distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)

Context: a b : X


Context:
R✝ : Type u
a✝ b✝ : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : R[X]

(a - b).toFinsupp = a.toFinsupp - b.toFinsupp


Context:
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α

powersetCardAux n l = List.map ofList (sublistsLen n l)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M

polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + (f x + f x' + f y) = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)


polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M


(∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x✝) ↔ ∃ x ∈ ↑p, ∃ y ∈ ↑p', x + y = x✝


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation

Context: x y : E

(o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) (f x) * f y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: x y : E

(o.kahler x) y = (o.kahler (f.symm (f x))) (f.symm (f y))


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K
hn : n ≠ 0


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: m : ℕ

Context: hm' : m ≠ 1

Context: b : K

Context: k : ℕ

Context: hn : m * k ≠ 0

Context: H : Irreducible (X ^ (m * k) - C (b ^ m))


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: m : ℕ

Context: hm' : m ≠ 1

Context: b : K

Context: k : ℕ

Context: hn : m * k ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: m : ℕ

Context: hm' : m ≠ 1

Context: b : K

Context: k : ℕ

Context: hn : m * k ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: m : ℕ

Context: hm' : m ≠ 1

Context: b : K

Context: k : ℕ

Context: hn : m * k ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)

Context: this : q.degree = 0


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: m : ℕ

Context: hm' : m ≠ 1

Context: b : K

Context: k : ℕ

Context: hn : m * k ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)

Context: this : q.degree = 0

Context: hq : ((X ^ k) ^ m - C b ^ m).degree = ((X ^ k - C b) * q).degree


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
this : q.degree = 0
hq : m * k = k


Context:
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A


Context:
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A

∀ (s : Set X.A), X.str F ∈ s → IsOpen s → s ∈ ↑F


Context:
n✝ b : ℕ
h : 2 ≤ b
f n e : ℕ
hlt : n < b ^ e
h_e_pos : 0 < e


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j

(DirectSum.toModule R (ι × ι) (⨁ (i : ι × ι), ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) fun i => ((-1) ^ (i.1 * i.2) • lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i.swap) ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R (𝒜 i.1) (ℬ i.2))) ((lof R (ι × ι) (fun i => 𝒜 i.1 ⊗[R] ℬ i.2) (i, j)) (a ⊗ₜ[R] b)) = (-1) ^ (j * i) • (lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) (j, i)) (b ⊗ₜ[R] a)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_surj : range f = ⊤

Context: C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'

Context: hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'

Context: this : Inhabited V


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_surj : range f = ⊤

Context: this : Inhabited V

Context: c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')

(f ∘ₗ (hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (hC c) = id (hC c)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_surj : range f = ⊤

Context: this : Inhabited V

Context: c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')

f (C.restrict (invFun ⇑f) c) = id (hC c)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


P ((g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm) (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑(e.symm ≫ₕ e') (↑e x)) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


P ((g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm) (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


P ?m.19557 (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


(g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm =ᶠ[𝓝 (↑e' x)] ?m.19557


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ

(↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : 0 ≤ q

ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q ↔ p ≤ q


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f

∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z


Set.Ici k ⊆ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'

k' ∈ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}


∃ x ∈ 𝒜 (k' • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = f ^ k' • val z


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0


∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k + k) • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) * num z)


∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k) • m + deg z), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) • num z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
l : List α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct W Y
inst✝ : HasBinaryProduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : X → Y

Context: hs : IsLindelof s

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: l : Filter Y

Context: lne : l.NeBot

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)

Context: this✝¹ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)

Context: this✝ : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot

Context: this : Tendsto f (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)) (𝓝 (f x) ⊓ l)


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
x✝ : D

𝟙 (R₁.obj x✝) ≫ (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝) ≫ R₁.map (𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝))) ≫ R₁.map (adj₁.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (R₁.obj x✝) = 𝟙 (R₁.obj x✝)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I

↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩) ↔ L ∣ M


(idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩ ≤ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩ ↔ ⟨M, hM⟩ ≤ ⟨L, hL⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ

(X ^ n * p).coeff d = if n ≤ d then p.coeff (d - n) else 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N


Context: θ : Angle


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
n : ℕ
_hn : 0 < n
hx : x ^ n = 0


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M

IsNilpotent R L M ↔ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)


(∀ (x : ↥(toEnd R L M).range), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥(toEnd R L M).range) M) x)) ↔ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a₁ a₂ : α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)

Context: inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))

Context: k : K

(limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) S ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).inv) ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = S.π.app k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) S ≫ ((HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).inv) ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = (limit.isLimit (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))).lift S ≫ (limit.cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))).π.app k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

((HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).inv) ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

(J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram (limit F) (unop (op X))) j ≫ (J.plusMap (limit.π F k)).app (op X) = colimit.ι (J.diagram (limit F) (unop (op X))) j ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram (limit F) X) j ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (limit.π F k) X) = colimit.ι (J.diagram (limit F) X) j ≫ (HasColimit.isoOfNatIso ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)))).hom ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

(J.diagramNatTrans (limit.π F k) X).app j ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D X) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X))).hom.app j ≫ colimit.ι (limit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)) j ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).symm).inv ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ colimit.ι (limit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)) j ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) ((Cones.postcompose (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).hom).obj (limit.cone (colimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip))) ≫ limit.π (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X)) k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ colimit.ι (limit (F ⋙ J.diagramFunctor D X)) j ≫ (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D X)).hom ≫ ((Cones.postcompose (NatIso.ofComponents (fun k => colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k) ⋯).hom).obj (limit.cone (colimit (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip))).π.app k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F))).app j ≫ (limit.π (F ⋙ J.diagramFunctor D X) k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = ((limit.lift (F ⋙ J.diagramFunctor D X) ((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F)) ≫ limit.π (F ⋙ J.diagramFunctor D X) k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k) ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

Multiequalizer.lift ((unop j).index (F.obj k)) (multiequalizer ((unop j).index (limit F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop j).index (limit F)) i ≫ (limit.π F k).app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (((J.diagramFunctor D X).mapCone (limit.cone F)).π.app k).app j ≫ (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).inv = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

(((evaluation K D).obj k).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip)).ι.app j = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k


Context:
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric

x ⧏ y → ¬y ⧏ x


Context: x y : PGame

Context: ox : x.Numeric

Context: oy : y.Numeric

Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j

Context: _oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric

Context: _oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric

Context: IHxl : ∀ (i : xl), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xL i)

Context: IHxr : ∀ (i : xr), (fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (xR i)

(fun x => ∀ (z : PGame), z.Numeric → x ⧏ z → ¬z ⧏ x) (mk xl xr xL xR)


Context: x y : PGame

Context: ox : x.Numeric

Context: oy : y.Numeric

Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j

Context: _oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric

Context: _oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric

Context: yl yr : Type u_1

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: hy : ∀ (i : yl) (j : yr), yL i < yR j

Context: oyl : ∀ (i : yl), (yL i).Numeric

Context: oyr : ∀ (i : yr), (yR i).Numeric

Context: _IHyl : ∀ (i : yl), mk xl xr xL xR ⧏ yL i → ¬yL i ⧏ mk xl xr xL xR

Context: _IHyr : ∀ (i : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR i → ¬yR i ⧏ mk xl xr xL xR

mk xl xr xL xR ⧏ mk yl yr yL yR → ¬mk yl yr yL yR ⧏ mk xl xr xL xR


Context: x y : PGame

Context: ox : x.Numeric

Context: oy : y.Numeric

Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: hx : ∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j

Context: _oxl : ∀ (i : xl), (xL i).Numeric

Context: _oxr : ∀ (i : xr), (xR i).Numeric

Context: yl yr : Type u_1

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: hy : ∀ (i : yl) (j : yr), yL i < yR j

Context: oyl : ∀ (i : yl), (yL i).Numeric

Context: oyr : ∀ (i : yr), (yR i).Numeric

((∃ i, mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ mk yl yr yL yR) → ¬((∃ i, mk yl yr yL yR ≤ xL i) ∨ ∃ j, yR j ≤ mk xl xr xL xR)


Context:
n : ℕ
c : ℂ

(iteratedDeriv n fun s => cexp (c * s)) = fun s => c ^ n * cexp (c * s)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a✝ b✝ : G

(setoid ↑H.toSubmonoid ↑⊥).Rel a✝ b✝ ↔ (QuotientGroup.rightRel H).Rel a✝ b✝


(setoid ↑H.toSubmonoid ↑⊥).Rel a✝ b✝ ↔ (setoid ↑H ↑⊥).Rel a✝ b✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).Δ = ↑C.u⁻¹ ^ 12 * W.Δ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b

(a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x✝ : E

Context: h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context:
X : Scheme
R : CommRingCat
h : IsReduced (Spec R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousAdd β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ

Tendsto (fun a => k a ^ z * (f + g) a) l (𝓝 0)


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : a ∈ center M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : ∀ (g : M), g * a = a * g


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

jacobiTheta τ = 1 + 2 * ∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
this : f * (g * i) = f * 1


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
this : i = f


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A

(baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addX x₁ x₂ L)


(baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addX (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom L)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
x✝ y : M
h : c x✝ y
x : M


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂

Disjoint (⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k) (⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k)


∀ (i i_1 : ℕ), Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) i) ((f.genEigenspace μ₂) i_1)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

((adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val = sheafifyLift J ((X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1) ⋯


toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ ((adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1


toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ ((adjunction J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1


toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D))) ⋯ = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1


((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).map ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).map ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit.app ((sheafCompose J (forget D)).obj X))) ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D)) = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

S₁.rightHomologyIso.inv ≫ rightHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.rightHomologyIso.inv


Context:
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context: n : ℕ

Context: h : 2 ≤ n

Context: hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)


Context: n : ℕ

Context: h : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a : ℝ

Context: h2 : (fun x => a + a - x) '' Iio a = Ioi a


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
h : ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

(toMatrix (g • v₁) v₂) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) i✝ j✝


(v₂.repr (f ((g • v₁) j✝))) i✝ = (v₂.repr ((f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) (v₁ j✝))) i✝


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)

countP p (a :: l).join = Nat.sum (map (countP p) (a :: l))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: v : E

(fderivWithin 𝕜 (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) v = v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: v : E

UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: v : E

↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] fun x => x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: v : E

(↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑i).extend I) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

ContinuousOn ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

(fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j ⊆ ((↑i).extend I).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j : ↑(atlas H M)

MapsTo (↑((↑i).extend I)) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) j k x) (((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j x) v) = ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i k x) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

(↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] ↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

((↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑j).extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

MapsTo (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: i j k : ↑(atlas H M)

Context: x : M

Context: hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k

Context: hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i

Context: hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j

Context: v : E

(↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑j).extend I) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
x : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

affineSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂} = altitude t₂ j₂


t₁.points i₁ ≠ t₂.points j₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₂.points j₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ


t₁.points i₁ ≠ t₁.points i₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ


t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)

t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₁.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}

t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}

Context: hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}

t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ (t₁.points '' ↑(univ.erase i₃))


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}

Context: hui : univ.erase i₃ = {i₁, i₂}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3

Context: hi₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: hi₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: hi₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hj₁₂ : j₁ ≠ j₂

Context: hj₁₃ : j₁ ≠ j₃

Context: hj₂₃ : j₂ ≠ j₃

Context: h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter

Context: h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂

Context: h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Context: hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}

Context: hui : univ.erase i₃ = {i₁, i₂}

t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a b : α
l : List α
h : a ∈ b :: l

f a * (map f ((b :: l).erase a)).prod = (map f (b :: l)).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a : α
l : List α
h : a ∈ a :: l

f a * (map f ((a :: l).erase a)).prod = (map f (a :: l)).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a b : α
l : List α
h✝ : a ∈ b :: l
ne : a ≠ b
h : a ∈ l


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
x : σ
hx : x ∈ p.vars ∪ q.vars


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: x : σ

Context: h : p.degrees.Disjoint q.degrees

Context: hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset


Context:
x : PartENat
h : x.Dom


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y

∀ (f₁ : Subobject Y), (pullback g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (pullback g).obj f₁ ⊓ (pullback g).obj f₂


∀ (a : MonoOver Y), (pullback g).obj (Quotient.mk'' a ⊓ f₂) = (pullback g).obj (Quotient.mk'' a) ⊓ (pullback g).obj f₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y

(pullback g).obj (Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂) = (pullback g).obj (Quotient.mk'' f₁) ⊓ (pullback g).obj f₂


(map (pullback.snd f₁.arrow g)).obj ((pullback (pullback.snd f₁.arrow g ≫ g)).obj f₂) = (map ((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow).obj ((pullback (((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow ≫ g)).obj f₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b
h : mex f < a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0
hfi : Integrable f μ

⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β

ι (f ∘ ⇑ε) b ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom = ι f (ε b)


(Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)).map ((Discrete.equivalence ε).unit.app { as := b }) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) } = ι f (ε b)


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ✝ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: γ : Type w'

Context: ε : β ≃ γ

Context: f : γ → C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct f

Context: inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)

Context: b : β

Context: h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ✝ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: γ : Type w'

Context: ε : β ≃ γ

Context: f : γ → C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct f

Context: inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)

Context: b : β

eqToHom ⋯ ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = ι f (ε b)


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ✝ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: γ : Type w'

Context: ε : β ≃ γ

Context: f : γ → C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct f

Context: inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)

Context: b : β


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k

M.charpoly.coeff k = (∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k


M.charpoly.coeff k - (∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k = 0


(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k = 0


(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑k


Context:
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0

(fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (Complex.log x.1 * x.2)


Context:
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
hf : Injective f
hg : Injective g
r : α → β → Prop
a : α
b : β


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))
hne : f ≠ e


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f B \ {e})
hne : f ≠ e


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ = T ∅ + T ∅


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ + 0 = T ∅ + T ∅


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℕ
h : Odd n


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f✝ : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
f : Filtration ι m
i : ι
s : Set Ω


(∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | i ≤ i_1})) ↔ MeasurableSet s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: hs : IsCompact s

Context: hmono : MonotoneOn f s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: hs : IsCompact ∅

Context: hmono : MonotoneOn f ∅


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: hs : IsCompact s

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: h : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ

(fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hb : orderOf b = n
hab : a ∈ ball b δ


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}


(fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m • δ)


ball (b ^ m) (↑m • δ) = ball (b ^ m) (m • δ)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

o.oangle x (r • x + y) = 0 ∨ o.oangle x (r • x + y) = ↑π ↔ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π


(∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, r • x + y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0


(∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset (ι →₀ M)

Context: hs : (↑s).PairwiseDisjoint Finsupp.support

(s.sum id).support = s.sup Finsupp.support


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
x : α

x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 ≤ b


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 1 ≤ b
hb : 1 < b


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hb : 1 ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α


f x ≤ f y + f (x / y) ∧ f y ≤ f x + f (x / y)


Context:
n k : ℕ
hk : k ≤ n


Context:
n k : ℕ
hk : k ≤ n

n.choose k = n.choose k * (k ! * (n - k)!) / (k ! * (n - k)!)


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
m : M


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

F.Initial ↔ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
hF : F.Initial

(∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'


Context: C : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, v₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

Context: hF : F.Initial

Context: h₁ : ∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Context: h₂ : ∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: h : sSup S = ⊤

Context: _i : DistribLattice α := hS.distribLattice_of_sSup_eq_top h


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: h : sSup S = ⊤

Context: _i₁ : IsAtomistic α


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Measurable fun p => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2)


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ (e.oadd n a).repr


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ (e.oadd n a).repr
this : ¬(e.oadd n a).repr = repr 0


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ (e.oadd n a).repr
this : ¬(e.oadd n a).repr = repr 0
L : b ≤ e.repr


Context:
b : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
d : ω ^ b ∣ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
this : ¬(e.oadd n a).repr = repr 0
L : b ≤ e.repr


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.degree ≤ 1
hif : 0 < (map i f).degree


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : f.degree ≤ 1
hif : ↑(Nat.succ 0) ≤ (map i f).degree


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context:
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)

∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ f ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) g


Context:
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
h : f ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K✝ : Type w
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
f : L[X]
hf : Irreducible f
this : Fact (Irreducible f)
h : f ≠ 0
h2 : IsIntegral K (AdjoinRoot.root f)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K✝ : Type w

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing K

Context: inst✝³ : IsDomain K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f : L[X]

Context: hf : Irreducible f

Context: this : Fact (Irreducible f)

Context: h : f ≠ 0

Context: h2 : IsIntegral K (AdjoinRoot.root f)

Context: h3 : f * C f.leadingCoeff⁻¹ ∣ Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K (AdjoinRoot.root f))


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
f : Dual R M
g : Dual R (Dual R M)
m : M := (evalEquiv R M).symm g


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0

(W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑(2 * n) ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑(2 * n + 1) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing F


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ᵤ (X → α) := UniformEquiv.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

UniformInducing (⇑φ.symm ∘ F) ↔ UniformInducing F


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

List.map f (l₁.diff l₂ ++ l₂) = (List.map f l₁).diff (List.map f l₂) ++ List.map f l₂


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.Exact
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: X Y : C

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: hS : ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂), x₂ ≫ S.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f

Context: A : C

Context: x₂ : A ⟶ S.X₂

Context: hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ∣ f i


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
hn : n ≠ 0


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι✝ → Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α
f✝ g : ι✝ → α
ι : Type u_6
s✝ : Finset ι
f : ι → ℤ
n : ℤ
hf : ∀ i ∈ s✝, n ∣ f i
hn : n ≠ 0
s : ι
hs : s ∈ s✝


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
p : Pair M i
hm : p.head = 1

(rcons p).prod = of p.head * p.tail.prod


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
p : Pair M i
hm : ¬p.head = 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

addZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * addZ P Q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : RightHomologyMapData φ' h₁ h₂

opcyclesMap' (φ + φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ + opcyclesMap' φ' h₁ h₂


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
x : G
s : Set G

x ∈ closure s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U


(∀ i ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y ∈ {y | y / x ∈ id i}) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h : ∀ (a : α), n ≤ (filter (fun x => a ∈ x) B).card

∑ s ∈ B, (univ ∩ s).card = ∑ s ∈ B, s.card


Context:
α : Type u
l s : List ℕ
hs : s ∈ l.ranges

Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) l.ranges.join


Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) (range (Nat.sum l))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β

(f.symm.trans f).symm = (ofSet {b | (f.symm b).isSome = true}).symm


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n 𝕜


‖ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ((toLin (EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis (EuclideanSpace.basisFun m 𝕜).toBasis) A))‖ = ‖A‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: h : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f x - (f b - f a) * g x

Context: hI : h a = h b

Context: h' : ℝ → ℝ := fun x => (g b - g a) * f' x - (f b - f a) * g' x

∃ c ∈ Ioo a b, (g b - g a) * f' c = (f b - f a) * g' c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: hI : h a = h b

Context: hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: hI : h a = h b

Context: hhc : ContinuousOn h (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: hI : h a = h b

Context: hhc : ContinuousOn h (Icc a b)

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Ioo a b

Context: hc : h' c = 0


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: m : (i : ι) → E i

projectiveSeminorm (⨂ₜ[𝕜] (i : ι), m i) ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: m : (i : ι) → E i

⨅ p, projectiveSeminormAux ↑p ≤ ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: m : (i : ι) → E i

∏ i : ι, ‖m i‖ = projectiveSeminormAux ↑⟨[(1, m)], ?convert_2⟩


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: m : (i : ι) → E i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m : ℤ
n_dvd : 0 ∣ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
k : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : CharZero k
m n : ℤ
n_dvd : n ∣ m
hn : n ≠ 0


Context: x a : ℂ

a = 0 ^ x ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : CompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : FirstCountableTopology α
inst✝¹ : OrderTopology α
f : Filter β
inst✝ : CountableInterFilter f
u : β → α
h : u =ᶠ[f] ⊥


Context: h : Decidable ⊤.Dom


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
h : IsEmpty ↑(Ioi a)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a b : α
hb : b ∈ Ioi a