Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s
g : E → ℝ
g_lip : LipschitzWith C g
hg : EqOn f g s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hf : LipschitzOnWith C f s
g : E → ℝ
g_lip : LipschitzWith C g
hg : EqOn f g s
x : E
hx : DifferentiableAt ℝ g x
xs : x ∈ s


Context:
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

(unitsMap hm).comp (unitsMap hd) = unitsMap ⋯


Context:
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

(Units.map ↑(castHom hm (ZMod n))).comp (Units.map ↑(castHom hd (ZMod m))) = Units.map ↑(castHom ⋯ (ZMod n))


Context:
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

Units.map ((↑(castHom hm (ZMod n))).comp ↑(castHom hd (ZMod m))) = Units.map ↑(castHom ⋯ (ZMod n))


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
inst✝ : HasPDF X ℙ volume
x : ℝ

x * (pdf X ℙ volume x).toReal = (pdf X ℙ volume x).toReal * x


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0

∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + n₀) ≤ F.N n


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n


∀ (n : ℕ), F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
h' : F'.Stable
e : F.N 0 = F'.N 0
n₁ : ℕ
h₁ : ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₁) ≤ F'.N n
n₂ : ℕ
h₂ : ∀ (n : ℕ), F'.N (n + n₂) ≤ F.N n
n : ℕ

F.N (n + max n₁ n₂) ≤ F'.N n ∧ F'.N (n + max n₁ n₂) ≤ F.N n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite


Context:
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : P.B a), p (f i)


Subtype.val <$> ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty


∃ v, ∀ (w : ↑(H ⊔ K).verts), (H ⊔ K).coe.Reachable v w


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)

Context: K : Compacts ℝ

(fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: K : Compacts ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : ↑K ⊆ Metric.closedBall 0 r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: K : Compacts ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: K : Compacts ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r

Context: this : ∀ (x : ℝ), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x - r) (x + r)) f‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: K : Compacts ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r

Context: hf : (⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : Unique J
f : J → C
j : J


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hfg : f ≤ g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f g : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hfg : 0 ≤ g - f


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1


∀ {g' : G}, g' ^ n ^ j = 1 → g' • (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s ⊆ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
g' y : G
hy : y ∈ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s
hg' : (⇑(zpowGroupHom n))^[j] g' = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x' : M

Context: hx' : x' ∈ (chartAt H x).source

ContMDiffAt I I' n f x' ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = 0 ↔ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : ℕ

Context: x✝ : ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val

Context: s : Finset M

Context: h₁ : s.card = n

Context: h₂ : LinearIndependent R Subtype.val


Context:
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget BddOrd).obj α


Context:
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget BddOrd).obj β


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i j : Ordinal.{u}
hij : i ≤ j

⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ≤ ⋃ j_1, ball (p.c (p.index ↑j_1)) (p.r (p.index ↑j_1))


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: hc : IsConnected sp


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: hc : IsConnected sp

Context: hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: hc : IsConnected sp

Context: hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: hc : IsConnected sp

Context: hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄

Context: h : ¬p₁ = p₂

Context: hc : IsConnected sp

Context: hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp

Context: hp₄ : (p₁, p₄, p₂) ∈ sp


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
a : Set R

x ∈ Ideal.span (⇑(algebraMap R S) '' a) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z


(∃ y ∈ Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' a), ∃ z, x = mk' S 1 z • y) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset (Multiset α)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f g : α → Option β
x : Option α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → f a = g a


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Z

Context: e : X ≃ᵈ Y

Context: e' : Y ≃ᵈ Z

Context: hX : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

𝓕 (iteratedDeriv n f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

𝓕 (fun x => iteratedDeriv n f x) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

((fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) x n) fun x => 1) = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → LimitCone (F.flip.obj k)
j₁ j₂ : J
g : j₁ ⟶ j₂
k : K

(((const J).obj { obj := fun k => (c k).cone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₂).isLimit.lift { pt := (c k₁).cone.pt, π := (c k₁).cone.π ≫ F.flip.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ F.map g).app k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : ∃ x', e (some x) = some x'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E \ B


(∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X) ∧ X ⊆ M.E ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E ∧ Disjoint X B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
p : α → Prop
q : β → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
a : α
b : β

(a, b) ∈ filter (fun x => p x.1 ∧ q x.2) (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ filter p s ×ˢ filter q t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V

v ∈ s.direction ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2


(∃ x ∈ ↑s, ∃ y ∈ ↑s, x -ᵥ y = v) ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

Surjective f ↔ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: f : α → β

Context: U : ι → Set β

Context: hU : iUnion U = univ

Context: H : ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)

Context: x : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: f : α → β

Context: U : ι → Set β

Context: hU : iUnion U = univ

Context: x : β

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ U i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ✝ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β

IntegrableAtFilter f (map e l) μ ↔ IntegrableAtFilter (f ∘ e) l (Measure.comap e μ)


(∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s μ) ↔ ∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s (μ.restrict (range e))


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context: v : PrimeMultiset


Context: v : PrimeMultiset

Context: h : ↑v.prod = (Multiset.map Coe.coe (Multiset.map Coe.coe v)).prod := MonoidHom.map_multiset_prod PNat.coeMonoidHom v.toPNatMultiset


Context: v : PrimeMultiset

Context: h : ↑v.prod = (Multiset.map (Coe.coe ∘ Coe.coe) v).prod


Context: v : PrimeMultiset

Context: this : Coe.coe ∘ Coe.coe = Coe.coe


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r : R


(if h : r = 0 then 0 else ((single a) r).coeff (⋯.min ⋯)) = r


Context: A : Type v

Context: inst✝ : Ring A

Context: h₁ : (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ ∀ (a b : A), a * b = b * a

(Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A


Context: A : Type v

Context: inst✝ : Ring A

Context: h₂ : IsLieAbelian A ↔ ∀ (a b : A), ⁅a, b⁆ = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s t : Finset α


(filter ((fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ∘ ⇑(Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).symm) (map (Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).toEmbedding ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t))).card = Eₘ[t, s]


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'


(f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F

Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0


Polynomial.eval x (Polynomial.map (subfield G F).subtype (minpoly G F x)) = Polynomial.eval x (prodXSubSMul G F x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop

{ toQuot := Quot.mk (Rel r) 1 } = RingQuot.one r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp.simpleFunc E 1 μ)

Integrable (↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) μ


Memℒp (↑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) 1 μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y z a b : α
x : ↑(Icc (a ⊓ b) a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y z a b : α
x : ↑(Icc b (a ⊔ b))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)

{ toFun := fun x => ⟨↑x ⊔ b, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨a ⊓ ↑x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x ≤ { toFun := fun x => ⟨↑x ⊔ b, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨a ⊓ ↑x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } y ↔ x ≤ y


↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b ↔ x ≤ y


↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b ↔ ↑x ≤ ↑y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x✝ y✝ z a b : α
x y : ↑(Icc (a ⊓ b) a)
h : ↑x ⊔ b ≤ ↑y ⊔ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x : α
x✝ : x ∣ 1
y : α
h : 1 = x * y


Context:
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f✝ g : α → E
s : Set α
x✝ : α
f : E → F
hf : AntilipschitzWith K f
x y : E


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G ⧸ stabilizer G s

a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ a ∈ ⊥


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G

↑a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ ↑a ∈ ⊥


↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: s : Set G

Context: a : G

Context: this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: s : Set G

Context: a : G

Context: h : QuotientGroup.mk '' (a • s) = QuotientGroup.mk '' s


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: f' : X' ⟶ Y'

Context: g' : X' ⟶ Z'

Context: f'' : X'' ⟶ Y''

Context: g'' : X'' ⟶ Z''

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: j₁ : X' ⟶ X''

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: j₂ : Y' ⟶ Y''

Context: i₃ : Z ⟶ Z'

Context: j₃ : Z' ⟶ Z''

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝¹ : HasPushout f' g'

Context: inst✝ : HasPushout f'' g''

Context: e₁ : f ≫ i₂ = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g ≫ i₃ = i₁ ≫ g'

Context: e₃ : f' ≫ j₂ = j₁ ≫ f''

Context: e₄ : g' ≫ j₃ = j₁ ≫ g''


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: f' : X' ⟶ Y'

Context: g' : X' ⟶ Z'

Context: f'' : X'' ⟶ Y''

Context: g'' : X'' ⟶ Z''

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: j₁ : X' ⟶ X''

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: j₂ : Y' ⟶ Y''

Context: i₃ : Z ⟶ Z'

Context: j₃ : Z' ⟶ Z''

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝¹ : HasPushout f' g'

Context: inst✝ : HasPushout f'' g''

Context: e₁ : f ≫ i₂ = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g ≫ i₃ = i₁ ≫ g'

Context: e₃ : f' ≫ j₂ = j₁ ≫ f''

Context: e₄ : g' ≫ j₃ = j₁ ≫ g''


Context: x y : ℝ


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q


∀ (x : X), ‖x‖ = ‖(P * Q) • x‖ + ‖(1 - P * Q) • x‖


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
x : X


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : FractionRing K[X]

(toFractionRingRingEquiv K).symm x = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)).toRingEquiv x


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃

range (f.prod g) ≤ (range f).prod (range g)


∀ ⦃x : M₂ × M₃⦄ (x_1 : M), Pi.prod (⇑f) (⇑g) x_1 = x → (∃ y, f y = x.1) ∧ ∃ y, g y = x.2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀

(∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀) ∨ 𝓝 (f z₀) ≤ map f (𝓝 z₀)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R

∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (closedBall z₀ ρ)

Context: h4 : ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀

Context: h8 : (sphere z₀ r).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀

Context: h8 : (sphere z₀ r).Nonempty

Context: h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀

Context: h8 : (sphere z₀ r).Nonempty

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ sphere z₀ r

Context: hfx : IsMinOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: hf : AnalyticAt ℂ f z₀

Context: h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ f z₀

Context: ρ : ℝ

Context: hρ : ρ > 0

Context: h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)

Context: r : ℝ := ρ ⊓ R

Context: hr : 0 < r

Context: h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ

Context: h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀

Context: h8 : (sphere z₀ r).Nonempty

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ sphere z₀ r

ball (f z₀) (‖f x - f z₀‖ / 2) ⊆ f '' closedBall z₀ R


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
p : Submodule R M
x✝¹ x✝ : ↥p

I (((B.domRestrict₁₂ p p) x✝¹) x✝) = ((B.domRestrict₁₂ p p) x✝) x✝¹


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
inst✝⁴ : StarRing 𝕜
inst✝³ : TrivialStar 𝕜
inst✝² : StarAddMonoid F
inst✝¹ : ContinuousStar F
inst✝ : StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictDerivAt (fun x => star (f x)) (star f') x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a : α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: x : ι

Context: hx : x ∈ (f.rangeIcc g).support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a : α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: x : ι

Context: hx : x ∈ (f.rangeIcc g).support

Context: h : x ∉ f.support ∪ g.support


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
hdvd : DvdNotUnit a (minpoly A x)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
hdvd : DvdNotUnit a (minpoly A x)
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
h : c.natDegree ≤ 0


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M

LinearIndependent R ![x, y] ↔ ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

Context: h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

∀ (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R), ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 → ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

Context: g : Fin (Nat.succ 0).succ → R

Context: hg : ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

Context: g : Fin (Nat.succ 0).succ → R

Context: hg : g 0 • x + g 1 • y = 0


Context: u v m n : ℤ


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

P.wDest' (P.wMk a f' f) = ⟨a, splitFun f' f⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) (closure ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0}))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜

Context: hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜

{ContinuousMapZero.id h0} ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : T2Space A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalRing A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Module 𝕜 A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : CompactSpace ↑s

Context: _inst : Zero ↑s

Context: h0 : ↑0 = 0

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜

ContinuousMapZero.id h0 ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a

SpectrumRestricts (a ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal


∀ x ∈ (fun x => id x ^ 2) '' σ ℝ a, 0 ≤ x


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NNNorm 𝕜
E : Type u_2
inst✝ : SMul 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞

egauge 𝕜 s x < r ↔ ∃ c, x ∈ c • s ∧ ↑‖c‖₊ < r


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.num = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
this : Countable ↑t

ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)) = ⨆ i ∈ t, ae (μ.restrict (s i))


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
u : (Unitization S A)ˣ
hu : ↑u = ↑a


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I


f x ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule ∧ ↑f x = f x


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)

Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K


(∀ (K : Set α), IsCompact K → ∀ (U : Set β), IsOpen U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(F a)) K U) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hq : Irreducible q

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hq : Irreducible q

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

∀ {p : R}, Irreducible p → Associated p ϖ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: hn : Associated (ϖ ^ n) p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: hn : Associated (ϖ ^ n) p

Context: this : Irreducible (ϖ ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: hn : Associated (ϖ ^ n) p

Context: this : Irreducible (ϖ ^ n)

Context: H : n < 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hn : Associated (ϖ ^ 1) p

Context: this : Irreducible (ϖ ^ 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: hn : Associated (ϖ ^ n) p

Context: this : Irreducible (ϖ ^ n)

Context: H : 1 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty

f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' (s ∩ t)).Nonempty

f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

BddBelow (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))


0 ∈ lowerBounds (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn ∅


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing K
inst✝¹¹ : CommRing L
inst✝¹⁰ : CommRing M
inst✝⁹ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁸ : ExpChar K p
inst✝⁷ : ExpChar L p
inst✝⁶ : ExpChar M p
inst✝⁵ : ExpChar N p
inst✝⁴ : PerfectRing M p
inst✝³ : IsPRadical i p
inst✝² : PerfectRing N p
inst✝¹ : IsPRadical j p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S

{ toFun := map f, map_zero' := ⋯ }.toFun 1 = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α

(x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h


(∀ (h : p), x ∈ t h) ∧ p ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β

Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: c : β

Context: this : AEStronglyMeasurable (fun x => c) μ


Context: ι : Type u

Context: f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}

Context: a : Ordinal.{max u u_1}

Context: h : ∀ (i : ι), f i a = a

Context: l : List ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b


Context:
K : Type u_1
L : Type ?u.592984
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hpq : q ∣ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}


Context: p q✝ q : ℚ


Context:
p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0


Context:
p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)

Context: U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

toOpen R (unop U) ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app U = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

(locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

(locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ Γ.map ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).op ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

f.unop ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X

Presieve.IsSheafFor (presheafHom F G) S.arrows


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : TopologicalSpace β
f g : α → β
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeInf α
s t : Set α
a : α

a ∈ ↑(lowerClosure (s ⊼ t)) ↔ a ∈ ↑(lowerClosure s ⊓ lowerClosure t)


(∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ b = a_1) ∧ a ≤ a_1) ↔ a ∈ lowerClosure s ⊓ lowerClosure t


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
c : M₂


Context: x y : ℝ

√x ≤ 1 ↔ x ≤ 1


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S


x = (S.leftInvEquiv hS) ((S.leftInvEquiv hS).symm x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂

(Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj (X₁.tensorObj Y₁).rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tensorObj Y₂).tgt))).obj (X₂.tensorObj Y₂).rel


(Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel) ⊓ (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₁.rel) ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel) ⊓ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₂.rel)


(Subobject.pullback (π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel


(Subobject.pullback (π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F)) ≫ prod.map π₂ π₂)).obj Y₁.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)) ≫ prod.map π₂ π₂)).obj Y₂.rel


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : β

const abv x⁻¹ = if h : (const abv x).LimZero then 0 else (const abv x).inv h


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

f ◁ (λ_ g).inv ≫ (α_ f (𝟙 b) g).inv = (ρ_ f).inv ▷ g


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1

∃ r, ∀ (i : Fin (m + 1)), dist ((s.face h).points i) s.circumcenter = r


∀ (i : Fin (m + 1)), dist ((s.face h).points i) s.circumcenter = s.circumradius


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝ : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: M N : Action V G

Context: f : M.V ≅ N.V

Context: comm : autoParam (∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g) _auto✝

Context: g : ↑G


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝ : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: M N : Action V G

Context: f : M.V ≅ N.V

Context: g : ↑G

Context: w : (M.ρ g ≫ f.hom) ≫ f.inv = (f.hom ≫ N.ρ g) ≫ f.inv


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β

(∏ i ∈ s, if i ∈ t then f i else 1) = ∏ i ∈ s ∩ t, f i


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
f g : α → E
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s

eLpNormEssSup (s.piecewise f g) μ = max (eLpNormEssSup f (μ.restrict s)) (eLpNormEssSup g (μ.restrict sᶜ))


essSup (fun x => ↑‖s.piecewise f g x‖₊) μ = essSup (s.piecewise (fun x => ↑‖f x‖₊) fun x => ↑‖g x‖₊) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃

(ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S

∃ i T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

Context: eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

∃ T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

Substructure.map (of L ι G f i).toHom ((Substructure.closure L).toFun (range y)) = S


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

(Substructure.closure L).toFun (⇑(of L ι G f i).toHom '' range y) = S


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

(Substructure.closure L).toFun ((fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i a⟧) '' range y) = S


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
k : ℤ
h : k + k ≠ 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this : IsNoetherian K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this : IsNoetherian K V

Context: bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this

Context: b_eq : b = Basis.extend this


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b_eq : b = Basis.extend this

Context: i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b_eq : b = Basis.extend this

Context: i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b_eq : b = Basis.extend this

Context: i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝¹ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val

Context: b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝

Context: b_eq : b = Basis.extend this✝

Context: i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype

Context: this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝¹ : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b_eq : b = Basis.extend this✝

S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝² : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: this✝¹ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val

Context: b : Basis (↑(this✝¹.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝¹

Context: b_eq : b = Basis.extend this✝¹

Context: i1 : Fintype ↑(this✝¹.extend ⋯) := ⋯.fintype

Context: this✝ : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝¹.extend ⋯

Context: this : span K (Set.range ⇑bS) = ⊤


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝² : IsNoetherian K V

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: b_eq : b = Basis.extend this✝¹

Context: this : span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) = ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι

(e.adjustToOrientation x).toBasis.orientation = x


(e.toBasis.adjustToOrientation x).orientation = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ


{x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} =ᶠ[ae μ] {x | f x = g x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : MetrizableSpace E

Context: f g : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x

Context: hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x

{x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} x = {x | f x = g x} x


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G


Context: f : Code → Code

Context: hf : Computable f

Context: g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← (ofNat Code x).eval x (ofNat Code b).eval y

Context: this✝ : Partrec₂ g

Context: cg : Code

Context: eg : cg.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a)

Context: eg' : ∀ (a n : ℕ), cg.eval (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n)

Context: F : ℕ → Code := fun x => f (cg.curry x)

Context: this : Computable F

Context: cF : Code

Context: eF : cF.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (↑F a)

Context: eF' : cF.eval (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF)))

Context: n : ℕ

(f (cg.curry (encode cF))).eval n = (cg.curry (encode cF)).eval n


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
e : β → α
a : α

a ∈ closure (range e) ↔ ∀ ε > 0, ∃ k, dist a (e k) < ε


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Monoid R
l : List α
fι : α → ι
fA : α → R


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (completedHurwitzZetaEven a) s


s / 2 ≠ 0 ∨ (hurwitzEvenFEPair a).f₀ = 0


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L


(ad R L).range.toSubmodule = ⊤.toSubmodule


(LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : Module.Finite R L

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule

Context: x : L


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l = l.toFinset.inf id


Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (↑l).dedup = (↑l).dedup.inf


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s✝ t : Subfield K
f✝ f : K →+* L
s : Subfield K
y : L

(y ∈ let __src := Subring.map f s.toSubring; { toSubring := __src, inv_mem' := ⋯ }) ↔ ∃ x ∈ s, f x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α

a \ liminf u f = limsup (fun b => a \ u b) f


(a \ liminf u f)ᶜ = (limsup (fun b => a \ u b) f)ᶜ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsAssociatedPrime I M
hf : Function.Injective ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x : M

Context: h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M

IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x : M

(Submodule.span R {x}).annihilator = (Submodule.span R {f x}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x : M

Context: r : R

r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator ↔ r ∈ (Submodule.span R {f x}).annihilator


Context:
α : Sort u_2
a : α
β : Sort u_1
C : α → Sort u_1
x : C a
y : β


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Sort ?u.45682
δ : Sort ?u.45684
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → β → Bool
a : α
as : List α
b : β
bs : List β

all₂ r (a :: as) (b :: bs) = true ↔ Forall₂ (fun x x_1 => r x x_1 = true) (a :: as) (b :: bs)


Context:
z : ℂ
x : ℚ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
T : Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

(homologyFunctor C n₀).map T.mor₁ ≫ (homologyFunctor C n₀).map T.mor₂ = 0


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: d : Module.Dual R M

Context: x : CliffordAlgebra Q

(changeForm h) ((contractLeft d) x) = (contractLeft d) ((changeForm h) x)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: d : Module.Dual R M

Context: r : R

(changeForm h) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: d : Module.Dual R M

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : (changeForm h) ((contractLeft d) x) = (contractLeft d) ((changeForm h) x)

Context: hy : (changeForm h) ((contractLeft d) y) = (contractLeft d) ((changeForm h) y)

(changeForm h) ((contractLeft d) (x + y)) = (contractLeft d) ((changeForm h) (x + y))


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: d : Module.Dual R M

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (changeForm h) ((contractLeft d) m) = (contractLeft d) ((changeForm h) m)

(changeForm h) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((ι Q) x * m))


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G

Group.nilpotencyClass G' ≤ Group.nilpotencyClass G


∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → upperCentralSeries G' n = ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a b : α

Context: s : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: hf : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 a)

Context: hg : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, g b) atTop (𝓝 b)

Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b * g b) atTop (𝓝 (a * b))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a b : α

Context: s : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Tendsto (fun s => (∏ x ∈ s, f x) * ∏ x ∈ s, g x) atTop (𝓝 (a * b))


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : SetLike S G
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : SubgroupClass S G
H : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ

(μ.withDensityᵥ f).trim hm ≪ᵥ (μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : α → E

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hfi : Integrable f μ

Context: j : Set α

Context: hj₁ : MeasurableSet j

Context: hj₂ : ↑(μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure j = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : μ j = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U

Context: φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U

Tendsto (fun q => (F x q.2, F q.1 q.2)) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U

Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U

Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (comap Prod.fst (𝓝 x) ⊓ 𝓟 (Prod.fst ⁻¹' U ∩ Prod.snd ⁻¹' V)) (𝓤 γ)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U

Tendsto φ (comap Prod.fst (𝓝 x)) (𝓤 (α × β))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: V : Set β

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)

Context: hU : x ∈ U


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0

(p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iio ↑y) = Ioi x ∩ Iio y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atTop
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, p x

∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : Preorder β

Context: l : Filter α

Context: p : β → Prop

Context: f : α → β

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, ∀ (y : β), x ≤ y → p y


Context:
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 3 = pqr


Context:
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 4 = pqr


Context:
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 5 = pqr


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ

Submodule.map f (LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)) = LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)


LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n) = LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n * f)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : Module R₁ M₂
f : M₁ →L[R₁] M₂
c : R₁
x : M₁


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : AddCommGroup M''
inst✝¹ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
inst✝ : IsNoetherianRing R

{r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} = {r | IsSMulRegular M r}ᶜ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α

∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j


∀ (a : ι) (s : Finset ι), (∀ x ∈ s, x < a) → ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j → ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a✝ : α

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝² : CommSemiring α

Context: inst✝¹ : LinearOrder ι

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : ∀ x ∈ s, x < a

Context: ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j

∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a✝ : α

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝² : CommSemiring α

Context: inst✝¹ : LinearOrder ι

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : ∀ x ∈ s, x < a

Context: ha' : a ∉ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a✝ : α

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝² : CommSemiring α

Context: inst✝¹ : LinearOrder ι

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : ∀ x ∈ s, x < a

Context: ha' : a ∉ s

f a * ∏ i ∈ s, f i + (f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j)) = f a * ∏ x ∈ s, f x + ((g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a✝ : α

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝² : CommSemiring α

Context: inst✝¹ : LinearOrder ι

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : ∀ x ∈ s, x < a

Context: ha' : a ∉ s

f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) = (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a✝ : α

Context: f✝ g✝ : ι → α

Context: inst✝² : CommSemiring α

Context: inst✝¹ : LinearOrder ι

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : ∀ x ∈ s, x < a

Context: ha' : a ∉ s

g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j = (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊

{K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}

Context: hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}

minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this✝ : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}

Context: this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this✝ : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}

Context: this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K

minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1