Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hP : W.Equation P

Context: hQ : W.Equation Q

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hPy : P y - W.negY P ≠ 0

Context: hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2

(3 * (P x / P z ^ 2) ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * (P x / P z ^ 2) + W.toAffine.a₄ - W.toAffine.a₁ * (P y / P z ^ 3)) / (P y / P z ^ 3 - W.negY P / P z ^ 3) = -(W.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4)) / (P z * (P y - W.negY P))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hP : W.Equation P

Context: hQ : W.Equation Q

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hPy : P y - W.negY P ≠ 0

Context: hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2

Context: hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N


Context: m n k : ℕ

Nat.shiftLeft' false m (n + k) = Nat.shiftLeft' false (Nat.shiftLeft' false m n) k


Context: m n✝ k i n : ℕ

↑m <<< ↑i = ↑(Nat.shiftLeft' false m (n + i) >>> n)


Context: m n✝ k i n : ℕ

↑m <<< -[i+1] = ↑(Nat.shiftLeft' false m n >>> (n + i + 1))


Context: m n✝ k i n : ℕ

Nat.shiftLeft' true m i = Nat.shiftLeft' true m (n + i) >>> n


Context: m n✝ k i n : ℕ


Context: m n✝ k i n : ℕ

m >>> i.succ = Nat.shiftLeft' true m n >>> (n + i + 1)


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
φ : M →SL[σ] M₂
x : M
hf : HasSum f x


Context: a : ℝ

interior {z | z.re ≤ a} = {z | z.re < a}


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : x ≠ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : (minpoly A x).coeff 0 = 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'

PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ'

⇑e.symm ∘ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = f ∘ ⇑e.symm


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic f μ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: G : C

Context: hG : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0) → f = 0

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

Context: h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |r i| ^ s.re


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

Context: this : HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * c i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin (fun t => ↑(oddKernel (↑a) t)) ((s + 1) / 2) / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

Context: n : ℤ

(s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * c n * ↑(SignType.sign (r n)) / ↑|r n| ^ s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M

(p.toDualLeft x) (p.toDualRight.symm f) = f x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι → M
e : ι' ≃ ι

(b.reindex e.symm).det (v ∘ ⇑e) = b.det v


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hf : ∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g

Context: hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) ≤ g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ 𝒰.map i ≫ f = (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ≫ g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

pullback.lift (pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)) (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: i : 𝒰.J

∀ (x : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).J), ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.lift (pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)) (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x : List α
hx : x ≠ []
h : x <+: []


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) '' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(W.baseChange B).Ψ₂Sq = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₂Sq


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

(r • j).posPart = r.toNNReal • j.posPart


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B

(Equiv.symm τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = ∞


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context: x y : PGame

Context: k : (x * y).RightMoves

Context: P : (x * y).RightMoves → Prop

Context: hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))

Context: hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))


Context: x y : PGame

Context: k : (x * y).RightMoves

Context: P : (x * y).RightMoves → Prop

P (toRightMovesMul (toRightMovesMul.symm k))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
e : α ≃ᵢ β


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)

Context: x : (forget C).obj (widePushout B X f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: y : (forget C).obj B


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: B : C

Context: α : Type v

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: X : α → C

Context: f : (j : α) → B ⟶ X j

Context: inst✝¹ : HasWidePushout B X f

Context: i : α

Context: y : (forget C).obj (X i)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)

rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk)) (mk x) = x


((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = x


((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = TypeVec.id <$$> x


(TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = TypeVec.id <$$> x


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
this : mk ∘ dest = _root_.id


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
o : Orientation R M ι

o = positiveOrientation ∨ o = -positiveOrientation


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

rayOfNeZero R x hx = positiveOrientation ∨ rayOfNeZero R x hx = -positiveOrientation


rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯ ∨ rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯


SameRay R x (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ∨ SameRay R x (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1)


¬LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: hx : x ≠ 0

Context: h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: hx : x ≠ 0

Context: H : LinearIndependent R ![f x, 1]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R

Context: hx : x ≠ 0

Context: H : ∀ (s : Finset (Fin (Nat.succ 0).succ)) (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R), ∑ i ∈ s, g i • ![f x, 1] i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = ⊤


span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L))


span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L)) ≤ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})


range (Weight.toLinear K (↥H) L) ⊆ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L

Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})


α.IsZero ∨ ∃ x, x.IsNonZero ∧ Weight.toLinear K (↥H) L x = Weight.toLinear K (↥H) L α


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: q : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re

HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: q : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: q : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i

Context: i : ι

↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s = Complex.Gamma s * a i / ↑(π * q i) ^ s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: q : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i

Summable fun i => ‖a i‖ / (π * q i) ^ s.re


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

diam univ = diam (range inl ∪ range inr)


diam (range inl) + dist (inl default) (inr default) + diam (range inr) = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ


diam univ + dist (inl default) (inr default) + diam univ = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

∫ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ = ∫ (x : α) in s, (g x).toReal ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

(∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (f a).toReal ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (g x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

AEStronglyMeasurable (fun x => (g x).toReal) (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (f x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : μ s < ⊤

AEStronglyMeasurable (fun x => (f x).toReal) (μ.restrict s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
x✝ : m

(A *ᵥ (x + y)) x✝ = (A *ᵥ x + A *ᵥ y) x✝


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β


Context:
n✝ b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0


Context: n✝ b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, m ≠ 0 → (b.digits m).length = log b m + 1

Context: hn : n ≠ 0


Context: n✝ b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

(b.digits (n / b)).length + 1 = log b n + 1


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

Integrable (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) μ


Integrable (fun ω => ((((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) s).toReal) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha✝ : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x

Context: ha : (z - y) / (z - x) = a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha✝ : 0 < a

Context: hb✝ : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x

Context: ha : (z - y) / (z - x) = a

Context: hb : (y - x) / (z - x) = b


Context:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k : Type u_16
inst✝¹ : Fintype n
p : m → Prop
q : n → Prop
inst✝ : DecidablePred q
r : k → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k R

(A * B).toBlock p r = A.toBlock p q * B.toBlock q r + (A.toBlock p fun i => ¬q i) * B.toBlock (fun i => ¬q i) r


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R


torsionBySet R M Set.univ ≤ torsionBySet R M {1}


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ

(scalarRTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then n else 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrderTop (α i)

Context: a : (i : ι) → α i

(Ioi a).card = ∏ i : ι, (Ici (a i)).card - 1


Context: x y : ℤ[i]

{ re := round (↑(x * star y).re * (↑(norm y))⁻¹), im := round (↑(x * star y).im * (↑(norm y))⁻¹) } = { re := round (↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round (↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F

MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x}


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : (c • μ) s = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬c = 0 ∧ μ s = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h✝ : s.Terminates
a : α
h : s.get = a


Context:
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂


ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + o₁.repr < ω ^ e.repr * ↑↑n₂ + o₂.repr


ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α
xs : List α
h : (x :: y :: xs).Nodup


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ

M ≅[L] N ↔ ∀ (φ : L.Sentence), M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
h_empty : t = ∅


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
h_nonempty : t.Nonempty


Context: a x z : ℂ

abs x = 1 ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x


Context: a x z : ℂ

(∃ θ, cexp (↑θ * I) = x) ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E


(x ∈ s → x = 0) → ∀ x_1 ∈ s, x_1 ∈ span K {x} → x_1 = 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ∈ span K {x}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
c : K
hy : c • x ∈ s
hyx : c • x ∈ span K {x}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R

Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))


Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

Context: y : R

Context: hseq : seminormFromConst_seq c f (x * y) = fun n => f x * seminormFromConst_seq c f y n


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : ClusterPt a (𝓟 A)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : ClusterPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : ClusterPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A
this : A = A \ {a}


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
A : Set X
h : derivedSet A ⊆ A
a : X
ha : AccPt a (𝓟 A)
nh : a ∉ A
this : A = A \ {a}


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)


IsIso ((biprod.braiding X W).hom ≫ biprod.map f g ≫ (biprod.braiding Y Z).hom)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
i j : ι
hij : p i = p j


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: i j : ι

Context: ha : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j

Context: hij : p i = p j


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: i j : ι

Context: hij : p i = p j

Context: hij' : ¬i = j


Context: K : Type u_1

Context: hK : NormedField K

Context: h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: Γ₀ : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: val : Valued L Γ₀

Context: hv : v.RankOne

Context: x : L

Context: hx : norm x = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
c : ι → Set α
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, c i


Context:
α : Type u_1
f g h σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
this : Fact (1 < n)


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
this✝ : Fact (1 < n)
this : NeZero n


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ : OneCocycle G U
i : I
T : C
a : T ⟶ U i


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

Real.cosh (dist z w) = ((z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2) / (2 * z.im * w.im)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn').v p q hpq = ((a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq


(a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv = (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯


(a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • 𝟙 (K.X (p + a)) ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ 𝟙 (L.X (q + a)) = (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n

(matPolyEquiv M.charmatrix).coeff k i j = (X - C M).coeff k i j


(M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j


Context:
s : String
p : Char → Bool

s.any p = true ↔ ∃ c, c ∈ s.data ∧ p c = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : Unique αˣ
s : Finset α
n : α
h : ∀ a ∈ s, Prime a
div : ∀ a ∈ s, a ∣ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l.dedup

¬∀ b ∈ pwFilter (fun x x_1 => x ≠ x_1) l, a ≠ b


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
r : S


∀ ⦃r_1 : S⦄ ⦃n : M⦄, r_1 ∈ {r} → n ∈ N → r_1 • n ∈ r • N


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

¬s.Terminates ↔ ∀ (n : ℕ), (s.get? n).isSome = true


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsTerminal X
hY : IsTerminal Y
f : X ⟶ Y

f ≫ hX.from Y = 𝟙 X ∧ hX.from Y ≫ f = 𝟙 Y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
h : IsClosedMap f


Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : IsDomain A
b : ι → B
hli : ¬LinearIndependent A b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℤ
this : n ≠ 0


Context:
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y + ↑n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n

(trace R ↥p) (f.restrict hf') = (trace R M) f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n

((toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')).trace = ((toMatrix snf.bM snf.bM) f).trace


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n

Context: A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')

Context: B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n

Context: aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsPrincipalIdealRing R

Context: p : Submodule R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (x : M), f x ∈ p

Context: hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯

Context: n : ℕ

Context: snf : Basis.SmithNormalForm p ι n

∑ i : Fin n, A i i = ∑ x ∈ Finset.filter (fun j => j ∈ Set.range ⇑snf.f) Finset.univ, B x x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
x : A


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
n : ℕ
inst✝² : IsDomain R✝
h : 0 < n
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R

ζ ^ n = 1 ↔ ∃ i ∈ n.divisors, (cyclotomic i R).IsRoot ζ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoDiv hp a (b - m • p) = toIcoDiv hp a b - m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)

Context: he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g

Context: Y Y' Y'' : D

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ Y''

{ obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map (g ≫ g') = { obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g ≫ { obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: Y Y' Y'' : D

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ Y''

(e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g ≫ g' = F.map ({ obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g) ≫ (e (G_obj Y') Y').symm (𝟙 (G_obj Y')) ≫ g'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: Y Y' Y'' : D

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ Y''

(e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g ≫ g' = ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) ≫ g'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

∀ᶠ (m : (ι × ι) × γ) in (p ×ˢ p) ×ˢ comap g p', ((fun n => F n ∘ g) m.1.1 m.2, (fun n => F n ∘ g) m.1.2 m.2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ✝ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: γ : Type u_1

Context: hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: g : γ → α

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: pa : ι × ι → Prop

Context: hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x

Context: pb : α → Prop

Context: hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y

Context: hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ✝ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: γ : Type u_1

Context: hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: g : γ → α

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: pa : ι × ι → Prop

Context: hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x

Context: pb : α → Prop

Context: hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y

∃ pa, (∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : γ) in comap g p', pb y) ∧ ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : γ}, pb y → ((fun n => F n ∘ g) (x, y).1.1 (x, y).2, (fun n => F n ∘ g) (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ✝ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: γ : Type u_1

Context: hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: g : γ → α

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: pa : ι × ι → Prop

Context: hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x

Context: pb : α → Prop

Context: hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y


Context:
α : Type u_1
xs ys zs : LazyList α

(xs.append { fn := fun x => ys }).append { fn := fun x => zs } = xs.append { fn := fun x => ys.append { fn := fun x => zs } }


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a : ↥S


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
hx : r x x
n : Nat


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)

∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1)


∑ x ∈ Finset.Ico a b, -f ↑(x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, -f x


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts C

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts C

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this : HasBinaryBiproducts C


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts C

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: this : PreservesBinaryBiproducts F


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (a b : ℚ), a < b → upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

∀ (i i_1 : ℚ), i < i_1 → ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑i) (↑i_1) f x < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: a b : ℚ

Context: hab : a < b

∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑a) (↑b) f x < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n✝

Context: inst✝ : Fintype n✝

Context: n : ℕ

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i

Context: h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n✝

Context: inst✝ : Fintype n✝

Context: n : ℕ

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic

∏ i : Fin n, of (fun i j => (p j).coeff ↑i) i i = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n✝

Context: inst✝ : Fintype n✝

Context: n : ℕ

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic

Context: x : Fin n

Context: a✝ : x ∈ univ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s✝ : Finmap β
s : AList β

(erase a (erase a' ⟦s⟧)).entries = (erase a' (erase a ⟦s⟧)).entries


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hxy : x ≠ y

Context: a : α

Context: ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a

Context: hya : ¬y = a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x y : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hxy : x ≠ y

Context: a : α

Context: hya : ¬y = a

(if y = x then y else if y = y then x else y) = a


Context:
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)


Context:
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n


Context:
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
h : (scale 1 a, n) = (o', m)
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n


Context:
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m

(scale 1 a).NF ∧ o.repr = (scale 1 a).repr + ↑m


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : NonUnitalSeminormedRing α
β : Type u_5
inst✝¹ : NormedRing β
inst✝ : Nontrivial β

‖1‖ ≤ ‖1‖ * ‖1‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ

eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal) = eLpNorm f q μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(uIcc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, ((↑(count i t) - ↑(count i s)).natAbs + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s : Set (α → M)
φ : L[[↑A]].Formula α
hφ : s = setOf φ.Realize
v : α → M


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

Tendsto (fun ε => ∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ (thickening ε {a | t ≤ f a}))).toReal) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ {a | t ≤ f a})).toReal))


∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(μ (thickening n {a | t ≤ f a}))) (volume.restrict A)


∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, ‖↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))‖ ≤ 1 a


∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, Tendsto (fun n => ↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))) (𝓝[>] 0) (𝓝 ↑(μ {a_1 | a ≤ f a_1}))


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: A B : Finset G

Context: aG bG : G

Context: aH bH : H

Context: hae : f aG = aH

Context: hbe : f bG = bH

Context: huH : UniqueMul (image (⇑f) A) (image (⇑f) B) aH bH

Context: huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: he : a * b = aG * bG


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: A B : Finset G

Context: aG bG : G

Context: aH bH : H

Context: hae : f aG = aH

Context: hbe : f bG = bH

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: he : a * b = aG * bG

Context: huH : f a * f b = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: A B : Finset G

Context: aG bG : G

Context: aH bH : H

Context: hae : f aG = aH

Context: hbe : f bG = bH

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: he : a * b = aG * bG

Context: huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A✝ B✝ : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: A B : Finset G

Context: aG bG : G

Context: aH bH : H

Context: hae : f aG = aH

Context: hbe : f bG = bH

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: he : a * b = aG * bG


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0


(p.mod q).degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasStrictFDerivAt g g' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi : i ≠ last (n + 1)


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi✝ : i ≠ last (n + 1)
hi : ∃ j, j.castSucc = i


Context:
n m : ℕ
y : Fin (n + 1)
hi : y.castSucc ≠ last (n + 1)

(last n).predAbove y.castSucc = y.castSucc.castPred hi


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0

Antiperiodic (fun x => f (x / a)) (c * a)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y✝ : F
hx : x ≠ 0
y : F
hy : y ∈ {y | SameRay ℝ x y}
z : F
hz : z ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖y‖ = ‖z‖


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
z : F
hz : z ∈ {y | SameRay ℝ x y}
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖z‖


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖s • x‖


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : r = s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
hg : Measurable g
hfg : Semiconj g fa fb
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: p : ℕ →. Bool

Context: n : ℕ

Context: x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

Context: h₁ : true ∈ p n

Context: h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m


Context: p : ℕ →. Bool

Context: n : ℕ

Context: h₁ : true ∈ p n

Context: h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ rfind p


Context: p : ℕ →. Bool

Context: n : ℕ

Context: h₁ : true ∈ p n

Context: h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ rfind p

Context: h : m < n


Context: p : ℕ →. Bool

Context: n : ℕ

Context: h₁ : true ∈ p n

Context: h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ rfind p

Context: h : m = n


Context: p : ℕ →. Bool

Context: n : ℕ

Context: h₁ : true ∈ p n

Context: h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ rfind p

Context: h : n < m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = ↑⟨c, c0⟩ • p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

IsUnit (?intro.intro.intro.intro.mk.x * p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

∃ r, IsUnit r ∧ C r = map (algebraMap R K) (C ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: con : (algebraMap R K) ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: con : (integerNormalization R⁰ p).content * ↑u = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : K[X]

Context: h0 : p ≠ 0

Context: u : Rˣ

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: con : p = 0 ∨ ↑u = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight


0 ∈ B.polar Set.univ ∧ ∀ x ∈ B.polar Set.univ, x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖
hcε : ‖c‖ < ε


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : n ∈ (p * q).support

p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: n : ℕ

Context: hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: n : ℕ

Context: i j : ℕ

Context: hij : (i, j) ∈ antidiagonal n

Context: hpq : p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: n : ℕ

Context: i j : ℕ

Context: hij : (i, j) ∈ antidiagonal n


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful

G.IsLocalization (W fun x => x ∈ Set.range F.obj)


G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
hs : s.Subsingleton


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g g' : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)

Context: gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1

Context: g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g g' : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)

Context: g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g g' : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)

Context: g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' y) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g g' : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)

Context: g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g g' : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)

Context: g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ioo x₀ x

Context: h : ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y * (g x - g x₀) / g' y = f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

(E.variableChange C).Δ'⁻¹ = C.u ^ 12 * E.Δ'⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
h2 : map f l₁ ⊆ map f l₂
x : α
hx : x ∈ l₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Injective f
h2 : map f l₁ ⊆ map f l₂
x : α
hx : x ∈ l₁
x' : α
hx' : x' ∈ l₂
hxx' : f x' = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

a ∉ Ι b c ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ b < a


¬(¬a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ ¬a ≤ c ∧ a ≤ b) ↔ a ≤ b ∧ a ≤ c ∨ ¬a ≤ c ∧ ¬a ≤ b


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A✝ A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryCoproduct A✝ B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct (F.obj A✝) (F.obj B)

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝² : HasBinaryCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproducts D

Context: A : C

Context: inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (coprodComparison F A B)

F ⋙ coprod.functor.obj (F.obj A) ≅ coprod.functor.obj A ⋙ F


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A✝ A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryCoproduct A✝ B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝² : HasBinaryCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproducts D

Context: A : C

IsIso { app := fun B => coprodComparison F A B, naturality := ⋯ }


Context:
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n a : ℕ

Chain r a (range n.succ) ↔ r a 0 ∧ ∀ m < n, r m m.succ


Context:
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n a : ℕ

r a 0 → (Chain r 0 (map succ (range n)) ↔ Chain' r (0 :: map succ (range n)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
z : Sym2 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
z : Sym2 α
x y : α

s(x, y) ∈ s.sym2 ↔ s(x, y) ∈ image Sym2.mk (s ×ˢ s)


x ∈ s ∧ y ∈ s ↔ ∃ a ∈ s ×ˢ s, Sym2.mk a = s(x, y)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hn : IsPrimePow ↑n

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: h : n ≠ 2

Context: this : 2 < n

Context: hprime : Fact (Nat.Prime (↑n).minFac) := { out := minFac_prime (IsPrimePow.ne_one hn) }


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hn : IsPrimePow ↑n

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: h : n ≠ 2

Context: this : 2 < n

↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ)) = ↑(↑n).minFac


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hn : IsPrimePow ↑n

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: h : n ≠ 2

Context: this : 2 < n

↑(eval 1 (cyclotomic ((↑n).minFac ^ (↑n).factorization (↑n).minFac) ℤ)) = ↑(↑n).minFac


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hn : IsPrimePow ↑n

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: h : n ≠ 2

Context: this : 2 < n

Context: k : ℕ

Context: hk : (↑n).factorization (↑n).minFac = k + 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M

↑((toEven Q) ((ι Q) m)) = e0 Q * (v Q) m


↑((LinearMap.codRestrict (evenOdd (Q' Q) 0) (LinearMap.mulLeft R (e0 Q) ∘ₗ v Q) ⋯) m) = e0 Q * (v Q) m


(LinearMap.mulLeft R (e0 Q) ∘ₗ v Q) m = e0 Q * (v Q) m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
q : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S

eval (f q) (cyclotomic n S) = f (eval q (cyclotomic n R))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).leadingCoeff = a


Context: α : Type u

Context: α' : Type u_1

Context: β✝ : Type v

Context: β' : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: φ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝

Context: inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝

Context: inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'

Context: β γ : Type v

Context: f : α → Part β

Context: g : α → β → Part γ

Context: hf : Monotone f

Context: hf' : Continuous { toFun := f, monotone' := hf }

Context: hg : Monotone g

Context: hg' : Continuous { toFun := g, monotone' := hg }

Context: c : Chain α

({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }) (ωSup c) = ωSup (c.map ({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }))


Context: α : Type u

Context: α' : Type u_1

Context: β✝ : Type v

Context: β' : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: φ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝

Context: inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝

Context: inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'

Context: β γ : Type v

Context: f : α → Part β

Context: g : α → β → Part γ

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: c : Chain α

({ toFun := f, monotone' := hf }.partBind { toFun := g, monotone' := hg }) (ωSup c) = { toFun := f, monotone' := hf } (ωSup c) >>= { toFun := g, monotone' := hg } (ωSup c)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: k : ℕ

Context: s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: k : ℕ

Context: hs : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)

Function.Injective ((fun f => F.map f a) ∘ fun f => f.hom)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
c : ℝ≥0∞


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h✝ : a ∈ s
b : α
h : s.sup WithBot.some = ↑b
right✝ : a ≤ b


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
B : BilinForm R M
v : M
x : CliffordAlgebra Q

((changeFormAux Q B) v) (((changeFormAux Q B) v) x) = (Q v - (B v) v) • x


(ι Q) v * ((ι Q) v * x - (contractLeft (B v)) x) - (contractLeft (B v)) ((ι Q) v * x - (contractLeft (B v)) x) = (Q v - (B v) v) • x


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (Fin 0 → α) → Prop


Context:
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
P : (Fin n.succ → α) → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

MDifferentiableWithinAt I I'' (g ∘ f) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: n : ℕ∞

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf' : HasFDerivWithinAt (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) f' (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: F : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: g'✝ : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: F : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: g' : E' →L[𝕜] E''

Context: hg' : HasFDerivWithinAt (↑I'' ∘ (↑(chartAt H'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(chartAt H' (f x)).symm) ∘ ↑I'.symm) g' (↑I'.symm ⁻¹' (↑(chartAt H' (f x)).symm ⁻¹' u) ∩ range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f x)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: F : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: g' : E' →L[𝕜] E''

Context: G : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


(κ a) {p | p.swap ∈ {p | p.1 ∈ s}} = (κ a) {p | p.2 ∈ s}


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁸ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁷ : Ring R'✝

Context: inst✝¹⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R✝ M

Context: inst✝¹² : Module R✝ M'

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁹ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S'✝ : Type v'

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : Ring S'✝

Context: inst✝³ : Algebra R' S'✝

Context: S' : Type v

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R' →+* R

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: g : B →+* C

Context: f : A →+* B

Context: hg : g.Finite

Context: hf : f.Finite

Context: this✝⁴ : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: this✝³ : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: this✝² : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C

Context: this✝ : Module.Finite A B := hf

Context: this : Module.Finite B C := hg


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

a ∈ 𝓒 u v s ↔ a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M


Context:
α : Sort ?u.31587
β : Sort ?u.31609
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
x✝ : { a // ¬p a }
a : α
h : ¬p a

(if h : p a then x₀ ⟨a, h⟩ else x ⟨a, h⟩) = x ⟨a, h⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hs : MeasurableSet s

Integrable (s.indicator f) μ ↔ IntegrableOn f s μ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : B
h : IsIntegral R x
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ

if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ
hx0 : x ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x + 1 ≤ 0

Context: hx0 : x ≤ 0

Context: n : ℕ

Context: ih : if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i

if Even (n + 1) then ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x + 1 ≤ 0

Context: hx0 : x ≤ 0

Context: n : ℕ

if ¬Even n then x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1 ≤ 0 else 1 ≤ x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S

r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r₁ * r₂ /ₒ (s₁ * s₂)


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this : DecidableEq ι

s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this : DecidableEq ι

Context: disj : Disjoint s (image (fun z => ↑z) s')


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this✝ : DecidableEq ι

Context: this : s'.card = (s ∪ image (fun z => ↑z) s').card - s.card


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this✝ : DecidableEq ι

(s ∪ image (fun z => ↑z) s').card - (s.biUnion t).card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this✝ : DecidableEq ι

((s ∪ image (fun z => ↑z) s').biUnion t).card - (s.biUnion t).card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this✝ : DecidableEq ι

((s ∪ image (fun z => ↑z) s').biUnion t \ s.biUnion t).card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this✝ : DecidableEq ι

s.biUnion t ⊆ (s ∪ image (fun z => ↑z) s').biUnion t


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

adjMatrix α G v ⬝ᵥ vec = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
a : α

a ∈ lowerBounds (closure s) ↔ a ∈ lowerBounds s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

a ∈ upperClosure ↑(s ∪ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∨ a ∈ upperClosure ↑t


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : 𝓞 K


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Field L

Context: nf : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: P : Polynomial ℤ

Context: hPm : P.Monic

Context: hP : Polynomial.eval₂ (algebraMap ℤ K) ((algebraMap (𝓞 K) K) x) P = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Field L

Context: nf : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: P : Polynomial ℤ

Context: hPm : P.Monic

Polynomial.eval₂ (algebraMap ℤ (𝓞 K)) x P = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
n : ℕ
hn : (⇑φ)^[n] = _root_.id
g : G

(List.map (fun k => (⇑φ)^[k] g) (List.range n)).prod = 1


(List.map (fun k => (⇑φ)^[k] (commutatorMap (⇑φ) g)) (List.range n)).prod = 1


(List.map (fun k => (⇑φ)^[k] g / (⇑φ)^[k.succ] g) (List.range n)).prod = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G


induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G = ⊤ ∧ (map f.toEmbedding univ).card = n


induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
v : α
hv : v ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
w : α
hw : w ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)

(induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
f : ⊤ ↪g G
v : α
hv✝ : v ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
w : α
hw✝ : w ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)
hv : ∃ x, f.toEmbedding x = v
hw : ∃ x, f.toEmbedding x = w

(induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨v, hv✝⟩ ⟨w, hw✝⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨v, hv✝⟩ ⟨w, hw✝⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n✝ : ℕ

Context: s : Finset α

Context: n : ℕ

Context: f : ⊤ ↪g G

Context: v' : Fin n

Context: hv : f.toEmbedding v' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)

Context: w' : Fin n

Context: hw : f.toEmbedding w' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)

(induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨f.toEmbedding v', hv⟩ ⟨f.toEmbedding w', hw⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨f.toEmbedding v', hv⟩ ⟨f.toEmbedding w', hw⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n✝ : ℕ

Context: s : Finset α

Context: n : ℕ

Context: f : ⊤ ↪g G

Context: v' : Fin n

Context: w' : Fin n

G.Adj ((Embedding.subtype fun x => x ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)) ⟨f v', ⋯⟩) ((Embedding.subtype fun x => x ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)) ⟨f w', ⋯⟩) ↔ ¬v' = w'