Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

Fintype.card ι • ∑ i : ι, f i • g i ≤ (∑ i : ι, f i) • ∑ i : ι, g i


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

((γ₁ + γ₂).leftShift a n' hn').v p q hpq = (γ₁.leftShift a n' hn').v p q hpq + (γ₂.leftShift a n' hn').v p q hpq


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t₁ t₂ : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁ : t₁.points i₁ = t₂.points i₁

Context: h₃ : t₁.points i₃ = t₂.points i₃

Context: h₂ : 2 • ∡ (t₁.points i₁) (t₁.points i₂) (t₁.points i₃) = 2 • ∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)

Simplex.circumsphere t₁ = Simplex.circumsphere t₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y

∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: this : ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∪ v ∧ (s ∩ u).Nonempty ∧ (s ∩ v).Nonempty ∧ s ∩ (u ∩ v) = ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: u_op : IsOpen u

Context: v_op : IsOpen v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: x_in_u : x ∈ u

Context: H : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: y : α

Context: y_in_s : y ∈ s

Context: y_in_v : y ∈ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: u_op : IsOpen u

Context: v_op : IsOpen v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: x_in_u : x ∈ u

Context: H : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: y : α

Context: y_in_s : y ∈ s

Context: y_in_v : y ∈ v

Context: hy : y ∉ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: u_op : IsOpen u

Context: v_op : IsOpen v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: x_in_u : x ∈ u

Context: H : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: y : α

Context: y_in_s : y ∈ s

Context: y_in_v : y ∈ v

Context: hy : y ∉ u

Context: this : ContinuousOn u.boolIndicator s


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
g f₁ f₂ : CentroidHom α
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : ¬p ∣ Fintype.card α
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s


∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) ≤ eVariationOn f s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t

∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)

HasProd (F ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N₀ : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s ≥ range N₀

dist (∏ b ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N₀ : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s ≥ range N₀

Context: this : ∏ p ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F p = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, F p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N₀ : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s ≥ range N₀

‖∑' (n : ℕ), f n - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

IsLeast {C | ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊} ‖f‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: inst✝ : One β

Context: f : α → β

Context: hf : Continuous f

Context: k : Set α

Context: hk : IsCompact k

Context: h'f : mulSupport f ⊆ k

Context: this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: inst✝ : One β

Context: f : α → β

Context: hf : Continuous f

Context: k : Set α

Context: hk : IsCompact k

Context: h'f : mulSupport f ⊆ k


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology

cyclesMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData h ≫ h.i = S.leftHomologyData.i


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MulAction G α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝³ : Countable G

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝ : MeasurableSMul G α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: s : Set α

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν

Context: h : μ = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
c : 𝕜
x : E

‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (c • ⇑f) x‖ = ‖c‖ * ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M

Function.Surjective ⇑(quotientInfToSupQuotient p p')


∀ (x : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'), x ∈ range (subToSupQuotient p p')


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₃ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: f : M →ₗ[R] M₂

Context: p p' : Submodule R M

Context: x✝ : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ p ⊔ p'

Quot.mk Setoid.r ⟨x, hx⟩ ∈ range (subToSupQuotient p p')


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₃ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: f : M →ₗ[R] M₂

Context: p p' : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : y ∈ p

Context: z : M

Context: hz : z ∈ p'

Context: hx : y + z ∈ p ⊔ p'

Quot.mk Setoid.r ⟨y + z, hx⟩ ∈ range (subToSupQuotient p p')


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₃ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: f : M →ₗ[R] M₂

Context: p p' : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : y ∈ p

Context: z : M

Context: hz : z ∈ p'

Context: hx : y + z ∈ p ⊔ p'

(subToSupQuotient p p') ⟨y, hy⟩ = Quot.mk Setoid.r ⟨y + z, hx⟩


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₃ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R M₃

Context: f : M →ₗ[R] M₂

Context: p p' : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : y ∈ p

Context: z : M

Context: hz : z ∈ p'

Context: hx : y + z ∈ p ⊔ p'

(inclusion ⋯) ⟨y, hy⟩ - ⟨y + z, hx⟩ ∈ comap (p ⊔ p').subtype p'


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
h : optParam (1 ≠ 0) ⋯


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
i : ι


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • y


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ 0


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: r : ℝ

Context: hr0 : 0 < r

Context: hrδ : r ≤ δ

Context: hrR : r ≤ R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: r : ℝ

Context: hr0 : 0 < r

Context: hrδ : r ≤ δ

Context: hrR : r ≤ R

Context: hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: r : ℝ

Context: hr0 : 0 < r

Context: hrδ : r ≤ δ

Context: hrR : r ≤ R

Context: hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: r : ℝ

Context: hr0 : 0 < r

Context: hrδ : r ≤ δ

Context: hrR : r ≤ R

Context: hzne : ∀ z ∈ sphere c r, z ≠ c


Context:
m n k : ℕ
hk : k + 1 < n + 2

⟨k + 1, hk⟩ < ⟨k + 1, hk⟩ - 1 ↔ ⟨k + 1, hk⟩ = 0


Context: m n k : ℕ

Context: hk : k + 1 < n + 2

Context: this : (n + 1 + (k + 1)) % (n + 2) = k % (n + 2)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Subsingleton A
a : A


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N

Context: this : (map N.subtype ↑P).Normal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
m n : ℕ
h : m ≤ n

edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) (f x) ≤ edist (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ m) x) (f x)


edist (↑(nearestPt (fun k => Nat.rec y₀ (fun n n_ih => ↑(denseSeq (↑s) n)) k) n) (f x)) (f x) ≤ edist (↑(nearestPt (fun k => Nat.rec y₀ (fun n n_ih => ↑(denseSeq (↑s) n)) k) m) (f x)) (f x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
c : R[X]ˣ
p : R[X]


Context:
L : Language
L' : Language
M✝ : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M✝
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M✝
xs✝ : Fin l → M✝
inst✝ : Nonempty M✝
φ : L.BoundedFormula α n
M : ∅.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : N ↪[L] P
f g : M →[L] N
hfg : h.toHom.comp f = h.toHom.comp g
x : M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X✝ Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: X : C

Context: p : Subobject X → Prop

Context: h : ∀ ⦃A : C⦄ (f : A ⟶ X) [inst : Mono f], p (mk f)

Context: P : Subobject X


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X✝ Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: X : C

Context: p : Subobject X → Prop

Context: P : Subobject X


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝² : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid A
U : Submonoid A
R : Type u_6
inst✝ : CommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →* A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N

(k.map hl j) ((f.map hy k) x) = (f.map ⋯ j) x


(k.map hl j) ((f.map hy k) x) = ((k.map hl j).comp (f.map hy k)) x


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r : ℝ

Context: hpos : 0 < r

Context: hr : Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X

c.lim x = midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)


Tendsto (fun n => approx (n + 1) c x) atTop (𝓝 (midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)))


Tendsto (fun n => midpoint ℝ (approx n c.left x) (approx n c.right x)) atTop (𝓝 (midpoint ℝ (c.left.lim x) (c.right.lim x)))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α

(a :: l₁).diff l₂ = if a ∈ l₂ then l₁.diff (l₂.erase a) else a :: l₁.diff l₂


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
u s : Set α
a : α
has : a ∈ s

⟨f a, ⋯⟩ ∈ (fun x => ↑((Set.image f s hf).symm x)) ⁻¹' u ↔ ⟨f a, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α

(ReflTransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1


Context:
x y : PartENat
h : x < y


Context:
x : PartENat
h : x < ⊤


Context:
x : PartENat
n : ℕ
h : x < ↑n


Context:
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
c : ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s

Integrable (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const X c) (SimpleFunc.const X 0)) * f) μ


Integrable (s.indicator (const X c) * f) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: f : X → ℝ

Context: m m0 : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: g : SimpleFunc X ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: c : ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : s.indicator (const X c) * f = s.indicator (c • f)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: f : X → ℝ

Context: m m0 : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: g : SimpleFunc X ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: c : ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : MeasurableSet s


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: R S : CommRingCat

Context: φ : R ⟶ S


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: R S : CommRingCat

Context: φ : R ⟶ S

Context: H : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I)) ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

x ∈ ⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I))) ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

x ∈ ⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑↑I ↔ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H

Context: inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasRightKanExtension F

Context: G : D ⥤ H

whiskerLeft L ((L.ranAdjunction H).unit.app G) ≫ L.ranCounit.app (L ⋙ G) = 𝟙 (L ⋙ G)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
h : X ⟶ Z
k : Y ⟶ Z
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
comm : f ≫ h = g ≫ k
inst✝² : PreservesColimit (span f g) G
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)

G.map (pushout.inr f g) ≫ (iso G f g).inv = pushout.inr (G.map f) (G.map g)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.225151}
S T : Set α
h : T ⊆ S


Context:
I✝ : Type u
f : I✝ → Type v
I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x✝ : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
x : I ⊕ J

star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : IsNilpotent f

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : IsNilpotent f


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : ¬IsUnit a

(↑{ toFun := quadraticCharFun F, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0


(↑{ toFun := quadraticCharFun F, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E

minpoly F (AdjoinSimple.gen F α) = minpoly F α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a✝ : α
l✝ : List α
a : β
x : α
l : List α

(scanl f a (x :: l)).length = (x :: l).length + 1


(scanl f (f a x) l).length = l.length + 1


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
cR : Type u
inst✝¹ : CommRing cR
s✝ : Set R
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
s : Set R


Context: k : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : Module k V1

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁴ : Module k V3

Context: inst✝³ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝² : AddCommGroup V4

Context: inst✝¹ : Module k V4

Context: inst✝ : AffineSpace V4 P4

Context: f g : P1 →ᵃ[k] P2

Context: h₁ : f.linear = g.linear

Context: p : P1

Context: h₂ : f p = g p

Context: q : P1

Context: hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q


Context: k : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : Module k V1

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁴ : Module k V3

Context: inst✝³ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝² : AddCommGroup V4

Context: inst✝¹ : Module k V4

Context: inst✝ : AffineSpace V4 P4

Context: f g : P1 →ᵃ[k] P2

Context: h₁ : f.linear = g.linear

Context: p : P1

Context: h₂ : f p = g p

Context: q : P1

Context: this : f.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q


Context: k : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : Module k V1

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁴ : Module k V3

Context: inst✝³ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝² : AddCommGroup V4

Context: inst✝¹ : Module k V4

Context: inst✝ : AffineSpace V4 P4

Context: f g : P1 →ᵃ[k] P2

Context: h₁ : f.linear = g.linear

Context: p : P1

Context: h₂ : f p = g p

Context: q : P1

Context: this : f q -ᵥ g p +ᵥ f q = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q +ᵥ f q


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
n : ℕ := addOrderOf u


Context:
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
n : ℕ := addOrderOf u
m : ℕ
hm : ↑(↑m / ↑(addOrderOf u) * p) = u


‖u‖ = p * (↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝ : G.IsEquivalence

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: e : F ⋙ G ⋙ G.inv ≅ F := NatIso.hcomp (Iso.refl F) G.asEquivalence.unitIso.symm


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝ : G.IsEquivalence

Context: hc : IsVanKampenColimit c

IsVanKampenColimit (G.inv.mapCocone (G.mapCocone c))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.60069, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝ : G.IsEquivalence

Context: hc : IsVanKampenColimit c

IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose e.inv).obj (G.inv.mapCocone (G.mapCocone c)))


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hμν : levyProkhorovEDist μ ν < ENNReal.ofReal ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

∫ (ω : Ω), f ω ∂μ ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

Context: key : (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) ≤ fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal + ε

Context: intble₁ : IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume

Context: intble₂ : IntegrableOn (fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

∫ (x : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | x ≤ f a})).toReal + ε ∂volume ≤ (∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal) + ε * ‖f‖


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

IntegrableOn (fun t => (μ {a | t ≤ f a}).toReal) (Ioc 0 ‖f‖) volume


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f

IntegrableOn (fun t => (ν (thickening ε {a | t ≤ f a})).toReal + ε) (Ioc 0 ‖f‖) volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C

dist f g ≤ C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

Context: hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0

Context: hf_meas_m : StronglyMeasurable f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0

Context: hf_meas_m : StronglyMeasurable f

((μ.restrict t).trim hm) {x | (fun x => f x = 0 x) x}ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0

Context: hf_meas_m : StronglyMeasurable f

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn f s ((μ.restrict t).trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: t : Set α

Context: ht_meas : MeasurableSet t

Context: htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0

Context: htf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0

Context: hf_meas_m : StronglyMeasurable f

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x = cos a - cos b


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ (fun x => -cos x) x


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
c : Cocone F
j✝ : K

ι (E ⋙ F) j✝ ≫ pre F E ≫ desc F c = ι (E ⋙ F) j✝ ≫ desc (E ⋙ F) (Cocone.whisker E c)


ι F (E.obj j✝) ≫ desc F c = ι (E ⋙ F) j✝ ≫ desc (E ⋙ F) (Cocone.whisker E c)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝¹ : MetricSpace γ
x : γ
s : Set γ
inst✝ : MetricSpace β
f : γ → β

UniformEmbedding f ↔ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {a b : γ}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε) ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : γ}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G


HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))


(support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : f t = 0


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

(algebraMap A K) ((intNorm A B) x) = (norm K) ((algebraMap B L) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : IsFractionRing B L


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(FractionRing.algEquiv A K).symm ((algebraMap A K) ((intNorm A B) x)) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((norm K) ((algebraMap B L) x))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((norm K) ((FractionRing.algEquiv B L) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.512830

Context: Bₘ : Type ?u.512833

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

((algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv).comp (algebraMap A (FractionRing A)) = ((↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))).comp (algebraMap A (FractionRing A))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
y : M'


Context: y : ℝ


Context: y : ℝ

((if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤) * if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤) = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤


Context:
y : ℝ
h✝ : 0 < y


Context:
y : ℝ
h✝¹ : ¬0 < y
h✝ : y = 0


Context:
y : ℝ
h✝¹ : ¬0 < y
h✝ : ¬y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = ↑I


∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = ↑(∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)


∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = ∏ᶠ (a : HeightOneSpectrum R), ↑(a.maxPowDividing I)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι

((s.erase i).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w


∑ i_1 ∈ s.erase i, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰

Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
this : Nontrivial S


Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)


Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ a : R
ha : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x

Context: p : TangentBundle I M

Context: hp : p.proj ∈ s

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

HEq (tangentMapWithin I I' f s p).snd (tangentMapWithin I I' f₁ s p).snd


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
p : Prop
q : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p → q x) ↔ p → ∃ᶠ (x : α) in f, q x


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
s : Finset ι
h : s.prod f ≠ 0

(s.prod f).rootSet S = ⋃ i ∈ s, (f i).rootSet S


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
i : ι

Indep (generateFrom {s i}) (generateFrom {t | ∃ j < i, s j = t}) κ μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ


μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x + a) ⁻¹' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hne : I.Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hne : I.Nonempty
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
g : ι → G
n : ℤ
x✝ : ι


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ

⌈↑n⌉₊ ≤ a ↔ n ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x y : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
hy : y ∈ Ico a (a + p)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x y : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
hy : y ∈ Ico a (a + p)
h : ↑x = ↑y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a : 𝕜

Context: inst✝ : Archimedean 𝕜

Context: x y : 𝕜

Context: hx : x ∈ Ico a (a + p)

Context: hy : y ∈ Ico a (a + p)

Context: h : (equivIco p a) ↑x = (equivIco p a) ↑y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a : 𝕜

Context: inst✝ : Archimedean 𝕜

Context: x y : 𝕜

Context: hx : x ∈ Ico a (a + p)

Context: hy : y ∈ Ico a (a + p)

(equivIco p a).toFun ((equivIco p a).invFun ⟨x, hx⟩) = (equivIco p a).toFun ((equivIco p a).invFun ⟨y, hy⟩)


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : ι ≃ (L →ₐ[K] E)

(algebraMap K E) (discr K b) = (embeddingsMatrixReindex K E b e).det ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s✝ t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop

Context: h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯

Context: h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯

Context: s : Finset α

Context: hs : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop

Context: h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯

Context: a : α

Context: hs : {a}.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s✝ t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop

Context: h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯

Context: s : Finset α

Context: hs✝ : s.Nonempty

Context: hs : s.Nontrivial


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: h : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact

Context: h₀ : S.δ₀.Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: h₀ : S.δ₀.Exact

(mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : (x * y) ^ m ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I
h : x ^ m ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrimary
x y : R
x✝ : x * y ∈ I.radical
m : ℕ
hxy : x ^ m * y ^ m ∈ I
h : y ^ m ∈ I.radical


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable (f * g) μ


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
ha : f^[m] a = f^[n] a


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
ha : f^[m] a = f^[n] a
h : m ≤ n


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
ha : f^[m] a = f^[n] a
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ s t : Multiset α
i : α

(toDFinsupp (s ∪ t)) i = (toDFinsupp s ⊔ toDFinsupp t) i


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c

∑ i ∈ filter (fun x => j < c ^ x) (range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < c⁻¹ ^ 2


Context: N : ℕ

Context: j : ℝ

Context: hj : 0 < j

Context: c : ℝ

Context: hc : 1 < c

Context: cpos : 0 < c

Context: A : 0 < c⁻¹ ^ 2

Context: B : c ^ 2 * (1 - c⁻¹ ^ 2)⁻¹ ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹


Context: N : ℕ

Context: j : ℝ

Context: hj : 0 < j

Context: c : ℝ

Context: hc : 1 < c

Context: cpos : 0 < c

Context: A : 0 < c⁻¹ ^ 2

Context: C : c⁻¹ ^ 2 < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), cthickening ε E


∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioi δ ∩ Ioc δ ε).Nonempty


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M

DirectSum.IsInternal fun p => torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: x✝ : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }

torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) = torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: p : M

p ∈ torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) ↔ p ∈ torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))


Context: x : ℝ

x ∈ {x | Liouville x} ↔ x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b}


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p

Irreducible x ∨ ∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid α

Context: x : α

Context: h : ¬IsUnit x

Context: this : (p : Prop) → Decidable p

Context: H : ¬∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid α

Context: x : α

Context: h : ¬IsUnit x

Context: this : (p : Prop) → Decidable p

Context: H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x

∀ (a b : α), x = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid α

Context: x : α

Context: h✝ : ¬IsUnit x

Context: this : (p : Prop) → Decidable p

Context: a b : α

Context: h : x = a * b

Context: o : ¬(IsUnit a ∨ IsUnit b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid α

Context: x : α

Context: h✝ : ¬IsUnit x

Context: this : (p : Prop) → Decidable p

Context: a b : α

Context: h : x = a * b

Context: o : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: hp : PrimrecPred p

Context: this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: hp : PrimrecPred p

Context: n : ℕ

encode (decode n) = encode (Option.map Subtype.val (decode n))


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u₁ u₂ : αˣ


Context:
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : 0 = n % k


Context:
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : k ∣ n


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Memℒp f 1 μ


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s✝ : Set M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : (closure L).toFun s = ⊤

Context: Hs : ∀ x ∈ s, p x

Context: Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f (setOf p)


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: s✝ : Set M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : (closure L).toFun s = ⊤

Context: Hs : ∀ x ∈ s, p x

Context: this : ∀ x ∈ (closure L).toFun s, p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf (regularTopology C) F ↔ IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf (regularTopology C) (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
X : Set (C(α, β) × C(α, β))

X ∈ 𝓤 C(α, β) ↔ ∃ K V, IsCompact K ∧ V ∈ 𝓤 β ∧ {fg | ∀ x ∈ K, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V} ⊆ X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ ≤ a₂
h₂ : b₁ < b₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R✝ : α → β → Prop

Context: C✝ : Computation α → Computation β → Prop

Context: R : α → β → Prop

Context: C : Computation α → Computation β → Prop

Context: b : β

Context: ca : Computation α

LiftRelAux R C ca.destruct (Sum.inl b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: x y z : M

Context: B : BilinMap R M N

Context: h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: x y z : M

Context: B : BilinMap R M N


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: x y z : M

Context: B : BilinMap R M N

Q x + Q y + (B x) y + Q z + ((B x) z + (B y) z) + (Q x + Q y + Q z) = Q x + Q y + (B x) y + (Q y + Q z + (B y) z) + (Q x + Q z + (B x) z)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P

((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q) = q


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
hq : q ∈ affineSpan k (range ⇑b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: w : ι → k

Context: hw : ∑ i : ι, w i = 1

Context: hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)

((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w)) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i✝ j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: w : ι → k

Context: hw : ∑ i : ι, w i = 1

Context: i : ι

(b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β

(x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

(monomial n) a * C b = (monomial n) (a * b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a₁ < a₂


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: s : Set ι

Context: e : α ≃ ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x : (i : ι) → E₁ i

‖f‖ * ∏ _i : { a // a ∉ s }, ‖x‖ = ‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s }


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: s : Set ι

Context: e : α ≃ ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: x : (i : ι) → E₁ i

‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s } = ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - Fintype.card α)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: h : LinearMap.range f' = ⊤

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h

Context: c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: h : LinearMap.range f' = ⊤

Context: c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: h : LinearMap.range f' = ⊤

Context: c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm

Context: cpos : 0 < c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: h : LinearMap.range f' = ⊤

Context: c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2

Context: f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm

Context: cpos : 0 < c

Context: s : Set E

Context: s_nhds : s ∈ 𝓝 a

Context: hs : ApproximatesLinearOn f f' s c


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤


f.sum single ∈ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a)


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.85122

Context: D : Type ?u.85125

Context: D' : Type ?u.85128

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.85134

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.85142, ?u.85122} C'

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.85146, ?u.85125} D

Context: inst✝³ : Category.{?u.85150, ?u.85128} D'

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} H

Context: inst✝¹ : Category.{?u.85158, ?u.85134} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

F.HasRightDerivedFunctor W ↔ F'.HasRightDerivedFunctor W


Context:
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : Types.PullbackObj f g

c.snd ((equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).2


Context:
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt

c.snd ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ

IsPrimePow n ↔ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
f : α → α
a : α

(iterate f a).get n.succ = (iterate f (f a)).get n


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: this : UniformAddGroup F

Context: φ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖 →ₗ[𝕜₂] E → F := { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i' : ι
h : ¬i = i'


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: ι : Type v

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : ι → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: ι : Type v

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : ι → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ ⋃₀ S ⊆ ⋃ i ∈ r, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: ι : Type v

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : ι → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: h_nhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hk : 0 ∉ A


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0


↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card / ↑k ≤ 1 - (↑k)⁻¹


↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card / ↑k ≤ (↑k - 1) / ↑k


↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card ≤ ↑k - 1


(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k)).card ≤ k - 1


filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 k) ⊆ Ioo 0 k


filter (fun x => x ∈ A) (Ioo 0 k) ⊆ Ioo 0 k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

fderivWithin 𝕜 (⇑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L) ∘ f) s x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f : End F
A : PointedGaloisObject F

F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt


F.map (↑(((sectionsFunctor (PointedGaloisObject F)).mapIso (autIsoFibers F)).symm.toEquiv ((endEquivSectionsFibers F) f)) A).hom A.pt = f.app A.obj A.pt


F.map ((evaluationEquivOfIsGalois F A.obj A.pt).symm (↑((endEquivSectionsFibers F) f) A)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt


F.map ((evaluationEquivOfIsGalois F A.obj A.pt).symm (f.app A.obj A.pt)).hom A.pt = f.app A.obj A.pt


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : PosNum


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x

Context: this : EqOn (deriv f) f' (interior D)


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' f'' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f'' x

Context: this : EqOn (deriv f) f' (interior D)

DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ


(∃ c, IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

X.δ i.castSucc ≫ X.δ i = X.δ i.succ ≫ X.δ i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Finite
hc : ∀ s ∈ S, IsCompact s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : μ s ≠ ⊤
h's : μ' s ≠ ⊤
c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : μ' s ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ

Context: B : ∀ (s : Set G), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → μ' s < ⊤ → μ' s = (c • μ) s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : μ' s ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ

Context: t : Set G := toMeasurable μ' s ∩ toMeasurable μ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: inst✝ : μ'.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : μ' s ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0 := μ'.haarScalarFactor μ

Context: st : s ⊆ t