(equivShrink α) x⁻¹ = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x))⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
s : Compacts α

↑(Compacts.map ⇑f.symm ⋯ (Compacts.map ⇑f ⋯ s)) = ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
s : Compacts β

↑(Compacts.map ⇑f ⋯ (Compacts.map ⇑f.symm ⋯ s)) = ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n : ℤ
a : α


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P

Context: X : C

Context: hX : IsZero X

Context: mem : S.P X


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q

∃ u v_1, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v_1 ∧ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ⊆ v_1 ∧ μ (u ∩ v_1) = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : CharZero R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
right✝ : CharP R p
hp : Nat.Prime p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y

{ toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 0 = y


{ toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1 = x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))

Context: i : ι


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: l_eq : l = Finsupp.single i 1


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: l_eq : Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi' : repr ⟨v i, ⋯⟩ = Finsupp.single i' 1 ∧ f i' = i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: i : ι

Context: i' : ι'


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α

(v.set i a).toList.prod = (take (↑i) v).toList.prod * a * (drop (↑i + 1) v).toList.prod


((List.take (↑i) v.toList).prod * if ↑i < v.toList.length then a else 1) * (List.drop (↑i + 1) v.toList).prod = (take (↑i) v).toList.prod * a * (drop (↑i + 1) v).toList.prod


Context:
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

{ cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = Real.sup { cauchy := ⟦a⟧ } { cauchy := ⟦b⟧ }


Context:
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

{ cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = match { cauchy := ⟦a⟧ }, { cauchy := ⟦b⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⋯ x y }


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α

∃! x, b + (Equiv.neg ℤ) x • a ∈ Ico c (c + a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f₀ : E' →SL[σ₁₂] F

Context: r : ℝ

Context: f : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f₀ : E' →SL[σ₁₂] F

Context: r : ℝ

Context: f : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hr : 0 ≤ r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f₀ : E' →SL[σ₁₂] F

Context: r : ℝ

Context: f : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hr : 0 ≤ r

Context: x : E'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f₀ : E' →SL[σ₁₂] F

Context: r : ℝ

Context: f : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hr : 0 ≤ r

Context: x : E'

Context: this : IsClosed {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: E' : Type u_11

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f₀ : E' →SL[σ₁₂] F

Context: r : ℝ

Context: f : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hr : 0 ≤ r

Context: x : E'

Context: g : E' →SL[σ₁₂] F

Context: hg : g ∈ closedBall f₀ r

g ∈ DFunLike.coe ⁻¹' {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: inst✝ : Nontrivial A


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: this : 0 = (algebraMap R A) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : α → β
hs : s.Countable

μ (f ⁻¹' s) = 0 ↔ ∀ x ∈ s, μ (f ⁻¹' {x}) = 0


Context:
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = n.choose k


Context:
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = (n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context:
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

((n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p


Context:
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

(n.choose k).factorization.support ⊆ Finset.range (n + 1)


Context:
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

∀ x ∈ Finset.range (n + 1), x ∉ (n.choose k).factorization.support → (fun x x_1 => x ^ x_1) x ((n.choose k).factorization x) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → E

Context: s : Set E

Context: hu : Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ s

Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ (toMeasurable μ s)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq


↑(tail ⟨some a :: ↑⟨f, al⟩, ⋯⟩) = ↑⟨f, al⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
h : l.prod = -1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
h : l.prod = -1
x : ℤ
h₁ : x ∈ l
h₂ : x ≠ 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C'✝ C''✝ C C' C'' : VariableChange R

(C.comp C').comp C'' = C.comp (C'.comp C'')


Context:
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b


Differentiable 𝕜 b ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 b y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
hxy : x ≠ y


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: A✝ : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring S✝

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A✝

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R S✝

Context: inst✝⁷ : Algebra S✝ A✝

Context: inst✝⁶ : Algebra S✝ B

Context: inst✝⁵ : Algebra R A✝

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S✝ A✝

Context: inst✝² : IsScalarTower R S✝ B

Context: S : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : Semiring A

Context: h1 h2 : Algebra S A

Context: h : ∀ (r : S) (x : A), (let_fun I := h1; r • x) = r • x

Context: r : S


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
A : Matrix m n α
b : n → α
x✝ : m


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

x ∈ M.closure I ↔ x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)


¬M.Indep (insert x I) ∧ x ∈ M.E ∨ x ∈ I ↔ x ∈ M.E ∧ (¬M.Indep (insert x I) ∨ x ∈ I)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
this : I ⊆ M.E


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

(coeff R (n + 1)) (X * φ) = (coeff R n) φ


(MvPowerSeries.coeff R (single () 1 + single () n)) (X * φ) = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ


(MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = 1 * (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x

(s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h) = (t.whisker h).hom


((s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h)) ≫ (α_ f t.extension h).inv = (t.whisker h).hom ≫ (α_ f t.extension h).inv


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
hfs : s.Finite
hxs : x.IsSupported s


Context:
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A

(X.a ≫ f.f) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)


(β.map f.f ≫ Y.a) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.115347, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

cyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ cyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.K


cyclesMap' e.inv h₂ h₁ ≫ cyclesMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.K


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : G
h₀ : f g = 0

(toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g, h₀⟩ ∈ f.completion.ker


Context:
R✝ : Type u
M✝ M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹² : Ring R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M'
inst✝⁶ : Module R✝ M₁
inst✝⁵ : Nontrivial R✝
inst✝⁴ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Module.rank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M


(∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0) ↔ ∀ ⦃x : M⦄, ∃ a, a • x = 0


Context: x : ℝ


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R

((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U : Set ℂ

Context: hU : IsOpen U

Context: c w₀ : ℂ

Context: R : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: hc : closedBall c R ⊆ U

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hw₀ : w₀ ∈ ball c R

Context: hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U : Set ℂ

Context: hU : IsOpen U

Context: c w₀ : ℂ

Context: R : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: hc : closedBall c R ⊆ U

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hw₀ : w₀ ∈ ball c R

Context: h0 : ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z) = dslope f w₀ w₀


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U : Set ℂ

Context: hU : IsOpen U

Context: c w₀ : ℂ

Context: R : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: hc : closedBall c R ⊆ U

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hw₀ : w₀ ∈ ball c R

((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u}


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Type u

(prod fun i => #(f i)) = 0 ↔ ∃ i, (fun i => #(f i)) i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p

(quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑(χ₄ ↑(Fintype.card F)) * ↑(Fintype.card F))


(quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: inst✝¹ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hp₁ : p ≠ 2

Context: hp₂ : ringChar F ≠ p

Context: h : (quadraticChar F) ↑(Fintype.card (ZMod p)) = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq M
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

(DirectSum.coeAddMonoidHom A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x


(DFinsupp.sumAddHom fun i => AddSubmonoidClass.subtype (A i)) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x


Context: m n : ℕ

Context: h : n ≤ m

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1))


Context: m n : ℕ

Context: h : n ≤ m

Context: p : ℕ

Context: hp : (m + 1 ≤ p ∧ p < m + n + 1) ∧ Nat.Prime p


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P✝ : Ideal S

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R S

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P✝ : Ideal S

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R S

Context: inst✝ : p.IsMaximal


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: γ : Type w

Context: α : Type x

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: s : Finset α

Context: g : α → Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

Context: h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂

∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)

↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: this : Fact (m ≤ m0)

Context: h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: this : Fact (m ≤ m0)

Context: ind : ↥(lpMeas E 𝕜 m 2 μ) := ⟨indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c, h_mem⟩

Context: h_coe_ind : ↑ind = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: this : Fact (m ≤ m0)

Context: h_orth_mem : (orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) ↑ind = ind


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Multiset α
l : List α

(map f (Quot.mk Setoid.r l)).dedup = map f (dedup (Quot.mk Setoid.r l))


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

¬padicNorm p ↑m < 1 ↔ padicNorm p ↑m ≤ 1 ∧ ¬padicNorm p ↑m < 1


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup Gˣ
x : G


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R

eval₂ (C.comp f) X ((monomial n) a) = (monomial n) (f a)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf : ¬f = 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf✝ : ¬f = 0
g : F[X]
hi : Irreducible g
hf : g ∣ f


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: F : Type u_2

Context: inst✝ : Field F

Context: f : F[X]

Context: hu : ¬IsUnit f

Context: hf✝ : ¬f = 0

Context: g : F[X]

Context: hi : Irreducible g

Context: hf : g ∣ f

Context: ha : Associated g (g * C g.leadingCoeff⁻¹)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
p : LTSeries β
f : α → β
comap : ∀ ⦃x y : α⦄, f x < f y → x < y
surjective : Function.Surjective f
i j : Fin (p.length + 1)
h : i < j

f ((fun i => ⋯.choose) i) < f ((fun i => ⋯.choose) j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

↑(chartAt (ModelProd H E) p) = ⇑(TotalSpace.toProd H E)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv = ⇑(TotalSpace.toProd H E)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v


Relation.Map H.Adj (⇑f) (⇑f) (f v) (f u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: E : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α × β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry (Function.curry f))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

map (Embedding.subtype p) (Ioc a b) = Ioc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioc ↑a ↑b)) = Ioc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ioc ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : ↑a < x ∧ x ≤ ↑b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: this : ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ gauge s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f.domain


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: y : ℝ

Context: hx : y • x₀ ∈ f.domain


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: y : ℝ

Context: hx : y • x₀ ∈ f.domain

Context: h : y ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: y : ℝ

Context: hx : y • x₀ ∈ f.domain

Context: h : 0 < y


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
h3 : 0 < 3


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p


(↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p
h3q : 3 ≤ q
h3r : 3 ≤ r
hp : (↑↑p)⁻¹ ≤ 3⁻¹
hq : (↑↑q)⁻¹ ≤ 3⁻¹
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 3⁻¹

(↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R

comap f (map f s) = s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})


comap f (map f s) ≤ s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})


s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty


Context:
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑↑(F.obj j₃))ᵒᵖ

(F.map (f ≫ g)).c.app U = (F.map g).c.app U ≫ ((pushforward C (F.map g).base).map (F.map f).c).app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A


2⁻¹ • (↑f + ↑g + |↑g - ↑f|) ∈ A.topologicalClosure


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y


(sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ + a₂) (b₁ * b₂)


(sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum x fun a m => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (f a + a₂) (m * b₂)


∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (0 * b₂)) = 0


∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₂ * b₂)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

(o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

Context: this : Mono S.f


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

Context: this : Mono S.f

((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁) = ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

((forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃)) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyι i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : ¬IsEmpty Ω

∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs
half_ε_pos : 0 < ε / 2


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R

IsIdempotentElem (f 1) ↔ IsIdempotentElem f


f (f 1) = f 1 ↔ ∀ (x : R), f (f x) = f x


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: ha : a ∉ s

(insert a s).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


a \ d ≤ b ∧ a \ d ≤ c ↔ a \ b ≤ d ∧ a \ c ≤ d


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

⨅ z ∈ s, edist y z + edist x y = (⨅ z ∈ s, edist y z) + edist x y


Context:
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv

mkHom f.hom i ≫ mkHom f.inv i' = 𝟙 (of ↑M)


↑(mkHom f.hom i ≫ mkHom f.inv i') = ↑(𝟙 (of ↑M))


mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i = 𝟙 (of ↑N)


↑(mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i) = ↑(𝟙 (of ↑N))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α


Context: k : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module k V

Context: inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : Module k W

Context: inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: v : W

(equivariantProjection G π) v = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) v


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I


x ∣ generator I ↔ span R {generator I} = Ideal.span {x}


x ∣ generator I ↔ x ∈ I ∧ x ∣ generator I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a b : α
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
a✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
ha : a ≠ 0


a * ↑(normUnit a) = a * ↑u * ↑(normUnit a) * ↑u⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

Context: hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

∀ (x : M × M), ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: x₀ y₀ : M

Context: key : (fun p => x₀ * p.1 * (p.2 * y₀)) = ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => x * y₀) ∘ uncurry fun x x_1 => x * x_1

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x₀, y₀)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: x₀ y₀ : M

Context: key₂ : ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => y₀ * x) = fun x => x₀ * y₀ * x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M

ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source


ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (↑I.symm ⁻¹' (f'.symm ≫ₕ f).source ∩ range ↑I)


Context:
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m


Context:
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsRelPrime (x ^ m) y


Context: α : Type u_1

Context: I : Type ?u.61695

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : DecompositionMonoid α

Context: x y z : α

Context: s : I → α

Context: t : Finset I

Context: m n : ℕ

Context: hm : 0 < m

Context: h : IsRelPrime (∏ _x ∈ Finset.range m, x) y


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)

Context: hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x

Context: hs : MapsTo h s t'

Context: hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

Context: hy : y = h x

derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S

mk' f (m₁ - m₂) s = mk' f m₁ s - mk' f m₂ s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
h : f = g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
t : (i : α) → Set (π i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α

∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
this : DecidableEq α

(powersetAux l₁).revzip ~ (powersetAux l₂).revzip


List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₁) ~ List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₂)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

f.toMap x * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y)⁻¹ * f.toMap ↑y = f.toMap x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

card { x // p x } = (filter p univ).card


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X

IsOpen (some '' s)ᶜ ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11640, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

Context: bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖

Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

Context: h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

Tendsto (fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

Tendsto (fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (⋂ b, s b).indicator f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable ((s n).indicator f) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(s n).indicator f a‖ ≤ bound a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : ℕ → Set α

Context: f : α → E

Context: hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : IntegrableOn f (s 0) μ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (s n).indicator f a) atTop (𝓝 ((⋂ b, s b).indicator f a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t


∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict t, μ.rnDeriv ν' x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: ν' : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: h : μ ⟂ₘ ν

Context: hνν' : ν ≪ ν'

Context: t : Set α := h.nullSet

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: ν' : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: h : μ ⟂ₘ ν

Context: hνν' : ν ≪ ν'

Context: t : Set α := h.nullSet

Context: ht : MeasurableSet t

(μ.restrict t).rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: ν' : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: h : μ ⟂ₘ ν

Context: hνν' : ν ≪ ν'

Context: t : Set α := h.nullSet

Context: ht : MeasurableSet t

rnDeriv 0 ν' =ᶠ[ae (ν.restrict h.nullSet)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: ν' : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: h : μ ⟂ₘ ν

Context: hνν' : ν ≪ ν'

Context: t : Set α := h.nullSet

Context: ht : MeasurableSet t


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = ⊤


adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context: n : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: this : DecidableEq L := Classical.decEq L


Context: n : ℕ+

Context: S T : Set ℕ+

Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: K : Type w

Context: L : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast
x : α

x ∈ p.snoc newLast rel ↔ x ∈ p ∨ x = newLast


(∃ y, Fin.append p.toFun (singleton r newLast).toFun y = x) ↔ (∃ y, p.toFun y = x) ∨ x = newLast


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
h : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹² : EMetricSpace X
inst✝¹¹ : EMetricSpace Y
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P

μH[d] (⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x) (Units.mk0 c hc)) ⁻¹' s) = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • μH[d] s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α 1
l l' : { x // x.length = 1 }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α 1
x✝¹ x✝ : { x // x.length = 1 }
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = 1
val✝ : List α
h : val✝.length = 1
perm : ⟨val✝¹, property✝⟩ ≈ ⟨val✝, h⟩

(fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝¹, property✝⟩ = (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝, h⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α 1
x✝¹ x✝ : { x // x.length = 1 }
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = 1
a : α
h : [a].length = 1
perm : ⟨val✝, property✝⟩ ≈ ⟨[a], h⟩

(fun l => (↑l).head ⋯) ⟨val✝, property✝⟩ = (fun l => (↑l).head ⋯) ⟨[a], h⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n' m : ℕ

Context: s : Sym α n

Context: a b : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: l : List α

Context: h : Multiset.card (Quot.mk Setoid.r l) = 1

(fun a => ⟨{a}, ⋯⟩) ((fun s => ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun x => x.length = 1) (fun x => Multiset.card x = 1) ⋯ ⋯) s).liftOn (fun l => (↑l).head ⋯) ⋯) ⟨Quot.mk Setoid.r l, h⟩) = ⟨Quot.mk Setoid.r l, h⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n n' m : ℕ

Context: s : Sym α n

Context: a✝ b : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: h : Multiset.card (Quot.mk Setoid.r [a]) = 1

(fun a => ⟨{a}, ⋯⟩) ((fun s => ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun x => x.length = 1) (fun x => Multiset.card x = 1) ⋯ ⋯) s).liftOn (fun l => (↑l).head ⋯) ⋯) ⟨Quot.mk Setoid.r [a], h⟩) = ⟨Quot.mk Setoid.r [a], h⟩


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = f n / f 0


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α

∑ i ∈ Finset.range 0, m (t ∩ s i) = m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < 0), s i)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ

∑ i ∈ Finset.range n.succ, m (t ∩ s i) = m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n.succ), s i)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
n : ℕ
a : α

a ∈ s n ∩ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k → a ∈ ∅


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n

∑ x ∈ Finset.Icc 1 n, (↑x)⁻¹ ≤ 1 + Real.log ↑n


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n

1 + ∑ x ∈ (Finset.Icc 1 n).erase 1, (↑x)⁻¹ ≤ 1 + Real.log ↑n


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n

∑ x ∈ (Finset.Icc 1 n).erase 1, (↑x)⁻¹ ≤ Real.log ↑n


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n

∑ x ∈ Finset.Ioc 1 n, (↑x)⁻¹ ≤ Real.log ↑n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β


(⨆ x ∈ s, infEdist x t) ⊔ ⨆ y ∈ t, infEdist y s = (⨆ y ∈ t, infEdist y s) ⊔ ⨆ x ∈ s, infEdist x t


Context: a✝¹ a✝ : ℕ

↑a✝¹ + ↑a✝ = 0 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Subsingleton R
f : R[X]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Field R

Context: p q : R[X]

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: ϕ : R →+* k

Context: f g : R[X]

Context: α : k

Context: hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Field R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: ϕ : R →+* k

Context: f g : R[X]

Context: α : k

Context: p : R[X]

Context: hp : g = EuclideanDomain.gcd f g * p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P

spanSingleton S x * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J


(∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ

|process s (n + 1) ω - process s n ω| ≤ 1


(s (n + 1)).indicator (fun a => ‖1 a‖) ω ≤ 1


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
x✝¹ : Ω
x✝ : x✝¹ ∈ s (n + 1)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : IsFiniteMeasure μ
hν : IsFiniteMeasure ν
this✝ : IsFiniteMeasure μ
this : IsFiniteMeasure ν

⨍⁻ (x : α), f x ∂(μ + ν) = μ univ / (μ univ + ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ + ν univ / (μ univ + ν univ) * ⨍⁻ (x : α), f x ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

(o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{u, u} o.card


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f
hf' : BijOn f A₁ B₁
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A₁
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A₁
hs : card s = n
ht : card t = n

(map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context: m : ℤ

Context: hm : 0 < m

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Hpv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % 2 = 1


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ
this : -2 * (↑n + 1) ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s✝ t s : Finset α

filter q (filter p s) = filter p (filter q s)


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p

(p - 1) * (multiplicity p n !).get ⋯ = n - (p.digits n).sum


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p

(p - 1) * (↑(∑ x ∈ range (log p n + 1), n / p ^ (x + 1))).get ⋯ = (p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α


(∀ x ∈ u, x ∈ t.ite s s') ↔ ∀ (x : α), (x ∈ u ∩ t → x ∈ s) ∧ (x ∈ u \ t → x ∈ s')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α
x : α

x ∈ u → x ∈ t.ite s s' ↔ (x ∈ u ∩ t → x ∈ s) ∧ (x ∈ u \ t → x ∈ s')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : β ≃ᵐ α

Measure.map (⇑e.symm) μ = Measure.comap (⇑e) μ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r
hn' : 1 ≤ ↑n * r


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n • r
hn' : 1 ≤ ↑n * r
x : α
hx : max b 0 * ↑n ≤ f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
a : ℝ≥0∞
ha : a ∈ f.range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
ha : ⊤ ∈ f.range

⊤ * μ (↑f ⁻¹' {⊤}) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
hm : f.FinMeasSupp μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑f a ≠ ⊤
a : ℝ≥0∞
ha✝ : a ∈ f.range
ha : a ≠ ⊤


Context:
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b


Context:
a b : ℕ
ha : 2 ≤ a
hb : 2 ≤ b
h₁ : a - 1 ∣ a ^ b - 1


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: s : Finset α

Context: i j : α → ℕ

Context: is_prime : ∀ p ∈ s, Prime p

Context: is_coprime : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q

Context: h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y

Context: hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i

Context: hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p

Context: is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q

f (∏ p ∈ ∅, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ ∅, p ^ i p) * f (∏ p ∈ ∅, p ^ j p)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: p : α

Context: s : Finset α

Context: hps : p ∉ s

Context: ih : (∀ p ∈ s, Prime p) → (∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q) → f (∏ p ∈ s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ s, p ^ j p)

Context: is_prime : ∀ p_1 ∈ insert p s, Prime p_1

Context: is_coprime : ∀ p_1 ∈ insert p s, ∀ q ∈ insert p s, p_1 ∣ q → p_1 = q

f (∏ p ∈ insert p s, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ insert p s, p ^ i p) * f (∏ p ∈ insert p s, p ^ j p)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: p : α

Context: s : Finset α

Context: hps : p ∉ s

Context: hpr_p : Prime p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: p : α

Context: s : Finset α

Context: hps : p ∉ s

Context: hpr_p : Prime p

Context: hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: p : α

Context: s : Finset α

Context: hps : p ∉ s

Context: hpr_p : Prime p

Context: hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p

Context: hcp_p : ∀ (i : α → ℕ), IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: f : α → β

Context: i j : α → ℕ

Context: p : α

Context: s : Finset α

Context: hps : p ∉ s

Context: hpr_p : Prime p

Context: hpr_s : ∀ p ∈ s, Prime p

Context: hcp_s : ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p ∣ q → p = q


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
h₁ : x.isRight = true
h₂ : x.getRight?.isSome = true


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a * b⁻¹) = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a * (f b)⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : StarAddMonoid α
inst✝ : ContinuousStar α
f : β → α
a : α
hf : Summable fun b => Star.star (f b)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne = M.rTensorOne


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥

↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] r) = ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] r)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R S) x = ↑r


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p a → β✝
x✝ : Option α✝
α β γ : Type u_5
f : β → γ
x : Option α
g : α → Option β

Option.map f (x >>= g) = do let a ← x Option.map f (g a)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
t : ↑(F.obj X)

F.map (Pi.π (fun x => X) t) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = t


Pi.π (fun b => F.obj X) t ((PreservesProduct.iso F fun x => X).hom (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X)) = t


Pi.π (fun b => F.obj X) t ((Concrete.productEquiv fun x => F.obj X).symm id) = t


Context:
α : Type u
head✝ : α
tail✝ : List α

(ofList (head✝ :: tail✝)).toList = head✝ :: tail✝


Context:
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp : k ≠ p ^ n


Context:
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : p ^ n < k


Context:
p n k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0
hkp✝ : k ≠ p ^ n
hkp : k < p ^ n


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hk : k ≠ 0

Context: hkp✝ : k ≠ p ^ n

Context: hkp : k < p ^ n

Context: h : multiplicity p ((p ^ n).choose k) = 0


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hk : k ≠ 0

Context: hkp✝ : k ≠ p ^ n

Context: hkp : k < p ^ n

Context: H : multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k = ↑n


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hk : k ≠ 0

Context: hkp✝ : k ≠ p ^ n

Context: hkp : k < p ^ n

Context: H : p ^ n ∣ k ∧ ¬p ^ (n + 1) ∣ k


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
hf : Injective2 f

image2 f (↑s) (↑t ∩ ↑t') = image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s ↑t'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝² : One M

Context: inst✝¹ : One N

Context: s✝ t : Set α

Context: f✝ g : α → M

Context: a : α

Context: h : M → β

Context: f : α → M

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: this : DecidablePred fun x => x ∈ s := Classical.decPred fun x => x ∈ s

h (s.mulIndicator f x) = s.piecewise (h ∘ f) (const α (h 1)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a : α
b : αˣ


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hf : LinearMap.ker f = ⊥


Context:
s : Set ℕ
m : ℕ
hm : m < sInf s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) ⊤ μ) l (𝓝 0)

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Tendsto (fun i => μ {x | δ ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hfg : Tendsto (fun n => essSup (fun x => ↑‖(f n - g) x‖₊) μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hfg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ε

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: hn : essSup (fun x => ↑‖(f n - g) x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hfg : ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖f x x_1 - g x_1‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2

Context: n : ι

Context: hn : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ ≤ ENNReal.ofReal δ / 2

Context: hε : 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: n : ι

Context: hε : 0 < ε

Context: this : essSup (fun x => ↑‖f n x - g x‖₊) μ < ENNReal.ofReal δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: n : ι

Context: hε : 0 < ε

μ {x | δ ≤ dist (f n x) (g x)} = μ {x | (fun y => ↑‖f n y - g y‖₊ < ENNReal.ofReal δ) x}ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: n : ι

Context: hε : 0 < ε

Context: x : α

x ∈ {x | δ ≤ dist (f n x) (g x)} ↔ x ∈ {x | (fun y => ↑‖f n y - g y‖₊ < ENNReal.ofReal δ) x}ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: n : ι

Context: hε : 0 < ε

Context: x : α

δ ≤ dist (f n x) (g x) ↔ δ ≤ ‖f n x - g x‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : StrongLT 0 g
i j : ι

g⁻¹ j < g⁻¹ i → f j ≤ f i ↔ g i < g j → f j ≤ f i


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂

leftZigzag (adj₁.compUnit adj₂) (adj₁.compCounit adj₂) = (λ_ (f₁ ≫ f₂)).hom ≫ (ρ_ (f₁ ≫ f₂)).inv


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: f : ℝ → V

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: A : V ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ V) → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ V).equivFun.toContinuousLinearEquiv

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: f : ℝ → V

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: f : ℝ → V

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R
i : V

↑{w | G.Adj i w}.toFinset.card = ∑ j : V, if G.Adj i j then 1 else 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ : C

tensorHom ℬ (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) = 𝟙 (tensorObj ℬ X₁ X₂)


∀ (j : Discrete WalkingPair), tensorHom ℬ (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ≫ (ℬ X₁ X₂).cone.π.app j = 𝟙 (tensorObj ℬ X₁ X₂) ≫ (ℬ X₁ X₂).cone.π.app j


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ range n, f i / f (i + 1) = f 0 / f n


Context:
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r

(s.sup p).ball x r = s.inf fun i => (p i).ball x r


(s.sup p).ball x r = ⨅ a ∈ s, (p a).ball x r


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : f ∈ skewAdjointSubmodule B
hg : g ∈ skewAdjointSubmodule B


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B f
hg : IsSkewAdjoint B g
hfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)
hgf : IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)


IsAdjointPair B B (f * g - g * f) (-(f * g - g * f))


IsAdjointPair B B (f * g - g * f) (g * f - f * g)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P

(LinearIndependent k fun (v : ↑s) => ↑v) ↔ AffineIndependent k fun p => ↑p


(LinearIndependent k fun (v : ↑s) => ↑v) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}))) => ↑v


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0

Context: p₁ : P

Context: h : (fun p => p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)

↑(toSimpleFunc (f + g)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f) + ↑(toSimpleFunc g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑↑↑(f + g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑↑(↑f + ↑g) a✝ = (↑↑↑f + ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) + ↑(toSimpleFunc g)) a✝


↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f + ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ + ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f + g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ + ↑(toSimpleFunc g) a✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: E : EqOn f g s