Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

f =O[⊤] g ↔ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁴ : Mul α✝
inst✝³ : Mul β✝
γ : Type u_1
inst✝² : Mul γ
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f g : α → β
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
a b : α

f (a * b) * g (a * b) = f a * g a * (f b * g b)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L

ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = C


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

eLpNorm ({x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ = eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

Context: this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (f i) x‖) p μ = eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j) x‖) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

Context: F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

Context: F_meas : Measurable F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hι : Nonempty ι

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 0 < C

Context: i : ι

Context: this✝ : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}

Context: F_meas : Measurable F

Context: this : ∀ (k : ι), (fun x => {x | C ≤ ‖f k x‖}.indicator (fun a => ‖f k a‖) x) = F ∘ f k


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
hz : 0 < z


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
hz : ∃ x > 0, ↑x = z


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
hx : x > 0
hx' : ↑x = z


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)

(G'.neighborSet v).toFinset.card = G'.degree v


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
hnm : autoParam (n ≤ m) _auto✝
d : ℕ

(trunc n ↑(trunc m f)).coeff d = (trunc n f).coeff d


(if d < n then (trunc m f).coeff d else 0) = if d < n then (coeff R d) f else 0


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r) ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.takeWhile p)


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r) { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) } }


Context:
l m r : List Char
p : Char → Bool

m ++ r = List.takeWhile p m ++ (List.dropWhile p m ++ r)


Context: L✝ : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L✝

Context: inst✝⁶ : Algebra K L✝

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K F

Context: inst✝ : CharZero K

Context: x : 𝓞 F

Context: this : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K

Context: L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)


Context: L✝ : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L✝

Context: inst✝⁶ : Algebra K L✝

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K F

Context: inst✝ : CharZero K

Context: x : 𝓞 F

Context: this✝ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K

Context: this : FiniteDimensional F ↥L


Context: L✝ : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L✝

Context: inst✝⁶ : Algebra K L✝

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K F

Context: inst✝ : CharZero K

Context: x : 𝓞 F

Context: this✝¹ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K

Context: this✝ : FiniteDimensional F ↥L

Context: this : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)


Context: L✝ : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L✝

Context: inst✝⁶ : Algebra K L✝

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K F

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K F

Context: inst✝ : CharZero K

Context: x : 𝓞 F

Context: this✝² : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K

Context: this✝¹ : FiniteDimensional F ↥L

Context: this✝ : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)

Context: this : IsGalois F ↥L


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α


Context:
b x : ℝ
hb : 0 < b

IntegrableOn (fun x => rexp (-(b * x))) (Ioc 0 x) ℙ


Context:
b x : ℝ
hb : 0 < b

IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioc 0 x) ℙ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Bipointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

(g.toFun ∘ f.toFun) X.toProd.1 = Z.toProd.1


(g.toFun ∘ f.toFun) X.toProd.2 = Z.toProd.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y


{x, y}.einfsep = min (edist x y) (edist x y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set (Set E)

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m

HasFiniteFPowerSeriesAt (f - g) (pf - pg) x (max n m)


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n

∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk : ↑k.toNat = k


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < ↑k.toNat
hk₁ : ↑k.toNat ≤ ↑n
h : |↑↑k.toNat * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk : ↑k.toNat = k


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : Fintype m

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : CommRing α

Context: inst✝⁴ : CommRing β

Context: inst✝³ : CommRing γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'

Context: A : Matrix m m α

Context: B : Matrix n n β

(((kroneckerMapBilinear f) A) B).det = (((kroneckerMapBilinear f) A) 1 * ((kroneckerMapBilinear f) 1) B).det


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : Fintype m

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : CommRing α

Context: inst✝⁴ : CommRing β

Context: inst✝³ : CommRing γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: A : Matrix m m α

Context: B : Matrix n n β

(((kroneckerMapBilinear f) A) 1 * ((kroneckerMapBilinear f) 1) B).det = (blockDiagonal fun x => A.map fun a => (f a) 1).det * (blockDiagonal fun x => B.map fun b => (f 1) b).det


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : Fintype m

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : CommRing α

Context: inst✝⁴ : CommRing β

Context: inst✝³ : CommRing γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: A : Matrix m m α

Context: B : Matrix n n β


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : Fintype m

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : DecidableEq n

Context: inst✝⁵ : CommRing α

Context: inst✝⁴ : CommRing β

Context: inst✝³ : CommRing γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: A : Matrix m m α

Context: B : Matrix n n β

(blockDiagonal fun x => A.map fun a => (f a) 1).det * (blockDiagonal fun x => B.map fun b => (f 1) b).det = (A.map fun a => (f a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => (f 1) b).det ^ Fintype.card m


Context:
x : ℂ
hx : x.im < 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithTop α
b : α
hb : b ≠ 0

⊤ * ↑b = Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * b)


⊤ = Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * b)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x✝ : T

(trace R S ∘ₗ ↑R (trace S T)) x✝ = (trace R T) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
hb : 0 ≤ b
x✝ : ℕ

x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Icc a b ↔ x✝ ∈ Icc ⌈a⌉₊ ⌊b⌋₊


Context:
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + m) → α
a : α

∀ (x : Fin n), snoc f a (castAdd (m + 1) x) = f (castAdd m x)


Context:
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : GradedObject I C
inst✝ : X.HasTensor Y

(mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (𝟙 X)).app Y ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).map (𝟙 Y)) fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)


𝟙 ((((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).obj Y).mapObj fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)


Context:
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α → α
x : α


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this : IsEmpty κ


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this✝ : IsEmpty κ
this : Subsingleton ↥S


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

Context: inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)

inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.fst = prod.fst


Context:
m n : ℕ
x✝ : Fin m × Fin n
x : Fin m
y : Fin n
H : 0 < n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
hx : f x ≠ x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

blockDiagonal (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal M + blockDiagonal N) i✝ j✝


(if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 + N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) + if i✝.2 = j✝.2 then N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: R S T : 𝒮

Context: a b c : 𝒳

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: φ : a ⟶ b

Context: ψ : b ⟶ c

Context: inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ

Context: inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)

Context: inst✝ : p.IsHomLift f φ

Context: a' : 𝒳

Context: h : p.obj a' ⟶ R

Context: τ : a' ⟶ b

Context: hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ

Context: h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: R S T : 𝒮

Context: a b c : 𝒳

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: φ : a ⟶ b

Context: ψ : b ⟶ c

Context: inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ

Context: inst✝ : p.IsHomLift f φ

Context: a' : 𝒳

Context: h : p.obj a' ⟶ R

Context: τ : a' ⟶ b

Context: hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ

Context: h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)

(fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) (map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)) ∧ ∀ (y : a' ⟶ a), (fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) y → y = map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

o.bsup f = o.blsub f ↔ ∀ a < o.blsub f, succ a < o.blsub f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ↔ ∀ a < lsub (o.familyOfBFamily f), succ a < lsub (o.familyOfBFamily f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α

s(x✝, y✝) ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.diag


(∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)) ∧ s(x✝, y✝).IsDiag ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ a = b) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)


Context: m n✝ : ℕ


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map (f ≫ g) = { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map f ≫ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map g


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hs : MeasurableSet s

r ∈ (f.restrict s).range ↔ r = 0 ∧ s ≠ univ ∨ r ∈ ↑f '' s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
inst✝ : One α

(blockDiagonal' fun i => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
hf : mulSupport f ⊆ ↑s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β

μ.prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) μ


(sum fun i => (sFiniteSeq μ i).prod (dirac y)) = sum fun i => map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ

(sFiniteSeq μ i).prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

(map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i) s * (dirac y) t


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.18500
s✝ t s : Finset α

Multiset.map val (powersetCard 1 s).val = Multiset.map val (map { toFun := singleton, inj' := ⋯ } s).val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α

IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ici a ⊆ s


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x > a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x y : α
hy : y ∈ s
hy' : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α

[s ∈ 𝓝[≤] b, s ∈ 𝓝[Icc a b] b, s ∈ 𝓝[Ioc a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioc l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioc l b ⊆ s].TFAE


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀

whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: h : ((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).map (((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).preimage e.hom) = e.hom


Context:
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1

cexp (x + z) - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)


Context:
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1

cexp x * cexp z - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : α

Context: σ : Perm β

Context: x✝¹ : α × β

Context: a' : α

Context: b : β

Context: hab : (prodExtendRight a σ) (a', b) ≠ (a', b)

Context: x✝ : (prodExtendRight a σ) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) ≠ (prodExtendRight a σ) (a', b)

(fun ab x => ab.2) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) x✝ = σ ((fun ab x => ab.2) (a', b) hab)


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : α

Context: σ : Perm β

Context: x✝¹ x✝ : α × β

Context: a₁ : α

Context: b₁ : β

Context: hab₁ : (prodExtendRight a σ) (a₁, b₁) ≠ (a₁, b₁)

Context: a₂ : α

Context: b₂ : β

Context: hab₂ : (prodExtendRight a σ) (a₂, b₂) ≠ (a₂, b₂)

Context: h : (fun ab x => ab.2) (a₁, b₁) hab₁ = (fun ab x => ab.2) (a₂, b₂) hab₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: m n : ℕ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: x : ℚ_[p]

Context: hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: x : ℚ_[p]

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : (p * p.mirror).leadingCoeff = (q * q.mirror).leadingCoeff


Context:
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : eval 1 (p * p.mirror) = eval 1 (q * q.mirror)


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : eval 1 (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w) ^ 2 = eval 1 (trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z) ^ 2


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : (↑u + ↑v + ↑w) ^ 2 = (↑x + ↑v + ↑z) ^ 2


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : (↑v + (↑w + ↑u)) ^ 2 = (↑v + (↑z + ↑x)) ^ 2


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : 2 * ↑w * ↑u + 2 * ↑v * (↑w + ↑u) = 2 * ↑z * ↑x + 2 * ↑v * (↑z + ↑x)


Context:
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w + ↑u = ↑z + ↑x


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : ↑w = ↑z ∧ ↑u = ↑x ∨ ↑w = ↑x ∧ ↑u = ↑z


Context:
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : w = z ∧ u = x ∨ w = x ∧ u = z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.697927) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

0 ≤ cfc f a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), 0 a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hz : ‖z‖ = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R

(p * (monomial n) r).coeff (d + n) = p.coeff d * r


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : Under X
u : x ⟶ x'

x.hom ≫ u.right ≫ pushout.inl x'.hom f = f ≫ pushout.inr x'.hom f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M

B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁰ : Module K V

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M''✝ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝

Context: inst✝⁷ : Module R M'✝

Context: inst✝⁶ : Module R M''✝

Context: B : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: F : BilinForm R M

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: B' : BilinForm R M'

Context: f✝ f' : M →ₗ[R] M'

Context: g g' : M' →ₗ[R] M

Context: M₁' : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R₁ M₁'

Context: B₁' : BilinForm R₁ M₁'

Context: f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'

Context: g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁

Context: B₂' : BilinForm R M'

Context: f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'

Context: g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M

Context: M'' : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: B'' : BilinForm R M''

Context: B₂ F₂ : BilinForm R M

Context: e : M' ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁰ : Module K V

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M''✝ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝

Context: inst✝⁷ : Module R M'✝

Context: inst✝⁶ : Module R M''✝

Context: B : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: F : BilinForm R M

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: B' : BilinForm R M'

Context: f✝ f' : M →ₗ[R] M'

Context: g g' : M' →ₗ[R] M

Context: M₁' : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R₁ M₁'

Context: B₁' : BilinForm R₁ M₁'

Context: f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'

Context: g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁

Context: B₂' : BilinForm R M'

Context: f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'

Context: g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M

Context: M'' : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: B'' : BilinForm R M''

Context: B₂ F₂ : BilinForm R M

Context: e : M' ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁰ : Module K V

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M''✝ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝

Context: inst✝⁷ : Module R M'✝

Context: inst✝⁶ : Module R M''✝

Context: B : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: F : BilinForm R M

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: B' : BilinForm R M'

Context: f✝ f' : M →ₗ[R] M'

Context: g g' : M' →ₗ[R] M

Context: M₁' : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R₁ M₁'

Context: B₁' : BilinForm R₁ M₁'

Context: f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'

Context: g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁

Context: B₂' : BilinForm R M'

Context: f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'

Context: g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M

Context: M'' : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: B'' : BilinForm R M''

Context: B₂ F₂ : BilinForm R M

Context: e : M' ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: he : Function.Surjective ⇑↑e


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁶ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁰ : Module K V

Context: M'✝ : Type u_7

Context: M''✝ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝

Context: inst✝⁷ : Module R M'✝

Context: inst✝⁶ : Module R M''✝

Context: B : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: F : BilinForm R M

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: B' : BilinForm R M'

Context: f✝ f' : M →ₗ[R] M'

Context: g g' : M' →ₗ[R] M

Context: M₁' : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R₁ M₁'

Context: B₁' : BilinForm R₁ M₁'

Context: f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'

Context: g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁

Context: B₂' : BilinForm R M'

Context: f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'

Context: g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M

Context: M'' : Type u_11

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: B'' : BilinForm R M''

Context: B₂ F₂ : BilinForm R M

Context: e : M' ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: he : Function.Surjective ⇑↑e

B₂.IsAdjointPair F₂ f f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsAdjointPair (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f) (e.symm.conj f)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y✝ : E
x y : Set E

↑1 * EMetric.diam x + ↑1 * EMetric.diam y = EMetric.diam x + EMetric.diam y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M

(trace R P) (g ∘ₗ f ∘ₗ h) = (trace R N) (f ∘ₗ h ∘ₗ g)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ S


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
hp0 : p 1 = 0


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
hp0 : 0 < p 1


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: c : α → β

Context: h : ∀ (a b : α), c a = c b

Context: this : (fun x => (c x.1, c x.2)) ⁻¹' idRel = univ

𝓤 α ≤ comap (fun x => (c x.1, c x.2)) (𝓟 idRel)


Context: L : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace L

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup L

Context: inst✝ : ContinuousSup L

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → X → L

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: hne : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'
hy : y = h x

HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x L


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Integrable f μ

μ[f|m₂] =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), f x ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Integrable f μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤

∫ (x : Ω) in s, ∫ (x : Ω), f x ∂μ ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ


(μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : Memℒp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤


∀ (c : E) ⦃s_1 : Set Ω⦄, MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ


∀ ⦃f g : Ω → E⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f 1 μ → Memℒp g 1 μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), (f + g) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (f + g) x ∂μ


IsClosed {f | (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, ↑↑↑f x ∂μ}


∀ ⦃f g : Ω → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f 1 μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ → (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

Context: this : l.NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : l.NeBot

Context: hr : r ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : l.NeBot

Context: hr : 0 < r


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : l.NeBot

Context: hr : 0 < r

TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : l.NeBot

Context: hr : 0 < r

TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r) ∧ TendstoUniformlyOn (fun n x_1 => f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
t : Set Y
h : MapsTo f s t
hc : Continuous f


∀ ⦃x : X⦄, ClusterPt x (𝓟 s) → ClusterPt (f x) (𝓟 t)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ

Context: hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior sᶜ

Context: H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

((fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) ∘ ε) n ≤ 1 - ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

Context: this : 0 < ε n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

Context: this : 0 < ε n

ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

Context: this : 0 < ε n

0 < ENNReal.ofReal ((2 * (ε n / 4)) ^ Fintype.card ι) → ENNReal.ofReal ((2 * (ε n / 4)) ^ Fintype.card ι) < ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) → ENNReal.ofReal ((2 * ε n) ^ Fintype.card ι) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

Context: this : 0 < ε n

MeasurableSet (closedBall (f (ε n) ⋯) (ε n / 4))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁷ : Semifield R

Context: inst✝²⁶ : StarRing R

Context: inst✝²⁵ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²³ : ContinuousStar R

Context: inst✝²² : Field S

Context: inst✝²¹ : StarRing S

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁵ : StarRing A

Context: inst✝¹⁴ : Module S A

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝¹² : SMulCommClass S A A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module R A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁷ : StarModule R S

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝¹ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)

cfcₙHom hpa = nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁷ : Semifield R

Context: inst✝²⁶ : StarRing R

Context: inst✝²⁵ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²³ : ContinuousStar R

Context: inst✝²² : Field S

Context: inst✝²¹ : StarRing S

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁵ : StarRing A

Context: inst✝¹⁴ : Module S A

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝¹² : SMulCommClass S A A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module R A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁷ : StarModule R S

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)

Continuous ⇑(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁷ : Semifield R

Context: inst✝²⁶ : StarRing R

Context: inst✝²⁵ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝²³ : ContinuousStar R

Context: inst✝²² : Field S

Context: inst✝²¹ : StarRing S

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁵ : StarRing A

Context: inst✝¹⁴ : Module S A

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝¹² : SMulCommClass S A A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module R A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁷ : StarModule R S

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: f : C(S, R)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(σₙ S a)

(nonUnitalStarAlgHom (cfcₙHom hqa) h) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis' I X


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
hd : ↑q.den = 1


|ξ - ↑q.num / ↑↑q.den| < (↑↑q.den * (2 * ↑↑q.den - 1))⁻¹


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
n : ℕ
hp : 0 < p
hf : ((expand F (p ^ n)) f).Separable


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
n : ℕ
hp : 0 < p
hf : ((expand F (p ^ n)) f).Separable
hn : n ≠ 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: f : F[X]

Context: n : ℕ

Context: hp : 0 < p

Context: hf : ((expand F (p ^ n)) f).Separable

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf2 : derivative ((expand F (p ^ n)) f) = 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: f : F[X]

Context: n : ℕ

Context: hp : 0 < p

Context: hf : ∃ r, IsUnit r ∧ C r = (expand F (p ^ n)) f

Context: hn : n ≠ 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: f : F[X]

Context: n : ℕ

Context: hp : 0 < p

Context: hn : n ≠ 0

Context: r : F

Context: hr : IsUnit r

Context: hrf : C r = (expand F (p ^ n)) f


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: f : F[X]

Context: n : ℕ

Context: hp : 0 < p

Context: hn : n ≠ 0

Context: r : F

Context: hr : IsUnit r

Context: hrf : f = C r


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arcsin (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2

(Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal) ↔ (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f = AlgHom.id R S


(∀ (x : S), ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x) ↔ ∀ (x : S), ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x


∀ (a : S), ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) a = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) a ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) a = (AlgHom.id R S) a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S

((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2

Context: x : S

Context: e₁ : (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift (f x) = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((Ideal.Quotient.mk (ideal R S).cotangentIdeal) (f x))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2

Context: x : S

Context: e₂ : x = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x)


Context:
X : Compactum
x : X.A


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊓ c = a → b = a ∨ c = a

Context: b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: b c : α

(a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) = a → a ⊔ b = a ∨ a ⊔ c = a


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

LowerSemicontinuousAt f x ↔ f x ≤ liminf f (𝓝 x)


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.uIcc a b) = (b - a).natAbs + 1


Context:
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


Context:
x y : ℝ
f g : Cauchy abs

{ cauchy := f / g } = { cauchy := f } / { cauchy := g }


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : MvPolynomial σ R
h : Coe.coe x = Coe.coe y
m✝ : σ →₀ ℕ


(MvPowerSeries.coeff R m✝) ↑x = (MvPowerSeries.coeff R m✝) ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
a : α

‖‖a‖‖₊ = ‖a‖₊


⟨‖a‖, ⋯⟩ = ‖a‖₊


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h✝ : IsEmpty ((i : ι) → A i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)

Context: inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)

Context: inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)

Context: H : ∅ ≤ Finset.univ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℕ

Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) PowerSeries.X ^ s) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

‖Aᵀ‖₊ = ‖A‖₊


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a < wellOrderSucc b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: h : a < wellOrderSucc b

Context: this : b < a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

(∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ y ∈ t, y ∈ s i


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Epi f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Epi f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Abelian C

Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝² : Abelian A

Context: inst✝¹ : Abelian B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X✝ Y✝ : A

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : Epi f

(ShortComplex.mk f 0 ⋯).map L ≅ ShortComplex.mk (L.map f) 0 ⋯


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v w : V

(B₂ ((B₁.symmCompOfNondegenerate B₂ b₂) w)) v = (B₁ w) v


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p a b c d x y k1 : R
hk1 : a * x + b * y = p * k1
k2 : R
hk2 : c * x + d * y = p * k2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h : b ≤ c
x : α
hab : x ∈ Ico a b
hbc : x ∈ Ico c d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h : b ≤ c
x : α
hab : a ≤ x ∧ x < b
hbc : c ≤ x ∧ x < d


Context:
m n✝ n p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : ι
m : x ∈ t


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ι : Type u_2
f : ι → Set α
I : Set ι
x : α

infEdist x (⋃ i ∈ I, f i) = ⨅ i ∈ I, infEdist x (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
c : R
a : α

(Finsupp.total α M R v) (single a c) = c • v a


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s

p ^ e * n ∈ factoredNumbers (insert p s)


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList


Context:
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L

(∃ I, lieIdealSubalgebra R L I = K) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K


(∀ (x m : L), m ∈ K.toSubmodule → ⁅x, m⁆ ∈ K.toSubmodule) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: h : indexOf a (b :: l) < (b :: l).length


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup


Context:
α : Type u
l l' : List α
hn : [].Nodup


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup
hl : l ≠ []


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hw : cs.wordProd ω ≠ 1

Context: h : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hw : cs.wordProd ω ≠ 1

Context: h₁ : ω ≠ []


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

Context: ω' : List B

Context: hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1

Context: h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))

Context: h₁ : i :: ω' ≠ []

∃ i_1, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i_1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

Context: ω' : List B

Context: hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1

Context: h₁ : i :: ω' ≠ []

cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: i : B

Context: ω' : List B

Context: hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1

Context: h₁ : i :: ω' ≠ []

cs.length (cs.wordProd ω') < (i :: ω').length


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
v : V

AffineIndependent k (v +ᵥ p) ↔ AffineIndependent k p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : Part α
ha : a.Dom
b : α
h : a.get ha = b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R


(if hr : 0 = 0 then 0 else ↑1 /ₒ ⟨0, ⋯⟩) = 0 /ₒ 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f
x : X
hx1 : (g ∘ f) x = g y
hx2 : ClusterPt x ℱ


Context: I : Type u

Context: inst✝⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : DecidableEq I

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : (X₁ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)

Context: X X' : GradedObject I C

Context: φ : X ⟶ X'

tensorHom φ (𝟙 tensorUnit) ≫ (rightUnitor X').hom = (rightUnitor X).hom ≫ φ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
hf : BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

(image.map sq ≫ (imageSubobjectIso (Arrow.mk g).hom).inv) ≫ (imageSubobject (Arrow.mk g).hom).arrow = ((imageSubobjectIso f).inv ≫ imageSubobjectMap sq) ≫ (imageSubobject (Arrow.mk g).hom).arrow


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective (f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ

Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero R'
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : SMul R M'
p : Prop
inst✝ : Decidable p
a : R
b : M

(if p then a else 0) • b = if p then a • b else 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
a b : α
c : αˣ
hc : SemiconjBy (↑c) a b

SemiconjBy (↑((Units.map f) c)) (f a) (f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f

∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j
h_lt : i < j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j
x : α
hx₁ : x ∈ f i
hx₂ : x ∈ f j
h_lt : j < i


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
p : R[X]

(aeval x) (map (algebraMap R A) p) = (aeval x) p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤

Context: f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤

Context: f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)

Context: N n m : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hm : N ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤

Context: f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)

Context: N n m : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hm : N ≤ m

Context: hf : dist (f n) (f m) < B N


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤

Context: f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)

Context: N n m : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hm : N ≤ m

Context: hf : (eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(f m)) p μ).toReal < B N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
h : 0 < n
x : R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hNF : ¬IsField A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : ⟨a, haI⟩ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I : Ideal A
hI0✝ : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
hM : I.IsMaximal
hI0 : ⊥ < I
a : A
haI : a ∈ I
ha0 : a ≠ 0
J : Ideal A := span {a}
hJ0 : J ≠ ⊥
hJI : J ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I : Ideal A

Context: hI0✝ : I ≠ ⊥

Context: hI1 : I ≠ ⊤

Context: hM : I.IsMaximal

Context: hI0 : ⊥ < I

Context: a : A

Context: haI : a ∈ I

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: J : Ideal A := span {a}

Context: hJ0 : J ≠ ⊥

Context: hJI : J ≤ I

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: hle : (I ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J

Context: hnle : ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I : Ideal A

Context: hI0✝ : I ≠ ⊥

Context: hI1 : I ≠ ⊤

Context: hM : I.IsMaximal

Context: hI0 : ⊥ < I

Context: a : A

Context: haI : a ∈ I

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: J : Ideal A := span {a}

Context: hJ0 : J ≠ ⊥

Context: hJI : J ≤ I

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: b : A

Context: hbZ : b ∈ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod

Context: hbJ : b ∉ J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I : Ideal A

Context: hI0✝ : I ≠ ⊥

Context: hI1 : I ≠ ⊤

Context: hM : I.IsMaximal

Context: hI0 : ⊥ < I

Context: a : A

Context: haI : a ∈ I

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: J : Ideal A := span {a}

Context: hJ0 : J ≠ ⊥

Context: hJI : J ≤ I

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: b : A

Context: hbJ : b ∉ J

Context: hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I : Ideal A

Context: hI0✝ : I ≠ ⊥

Context: hI1 : I ≠ ⊤

Context: hM : I.IsMaximal

Context: hI0 : ⊥ < I

Context: a : A

Context: haI : a ∈ I

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: J : Ideal A := span {a}

Context: hJ0 : J ≠ ⊥

Context: hJI : J ≤ I

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: b : A

Context: hbJ : b ∉ J

Context: hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0

∀ y ∈ ↑I, (algebraMap A K) b * ((algebraMap A K) a)⁻¹ * y ∈ 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: hNF : ¬IsField A

Context: I : Ideal A

Context: hI0✝ : I ≠ ⊥

Context: hI1 : I ≠ ⊤

Context: hM : I.IsMaximal

Context: hI0 : ⊥ < I

Context: a : A

Context: haI : a ∈ I

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: J : Ideal A := span {a}

Context: hJ0 : J ≠ ⊥

Context: hJI : J ≤ I

Context: Z : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: b : A

Context: hbJ : b ∉ J

Context: hnz_fa : (algebraMap A K) a ≠ 0

(algebraMap A K) b * ((algebraMap A K) a)⁻¹ ∉ ↑((fun a => ↑a) 1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.420688, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i


Context:
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ

n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)


Context:
q : ℚ
n₁ n₂ d₂ : ℤ


Context:
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
h₁ : d₁ ≠ 0


Context:
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ : ℤ
h₁ : d₁ ≠ 0


Context:
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0