Context:
S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T

eval t (ascPochhammer T n) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)


eval t (map f (ascPochhammer S n)) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)


Context:
α✝ : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α✝
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
A : m' → Fin n.succ → α
x : α
v : Fin n → α
i : m'

(of A *ᵥ vecCons x v) i = (x • vecHead ∘ A + of (vecTail ∘ A) *ᵥ v) i


Context:
α β : Type u
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : #α = #β
h : #↑s = #↑t


Context:
θ ψ : Angle
hs : θ.sign = ψ.sign
hr : |θ.toReal| = |ψ.toReal|


Context: θ ψ : Angle

Context: hs : θ.sign = ψ.sign

Context: hr : θ.toReal = ψ.toReal ∨ θ.toReal = -ψ.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F

↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))


(s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

Context: h_compLp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

Context: h_compLp : ↑↑((ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

(s.indicator fun x_1 => x) =ᶠ[ae μ] fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

Context: y : α

Context: hy : ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) y = s.indicator (fun x => 1) y

s.indicator (fun x_1 => x) y = (fun a => (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs 1) a)) y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

Context: y : α

s.indicator (fun x_1 => x) y = (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ x) (s.indicator (fun x => 1) y)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : F

Context: y : α

s.indicator (fun x_1 => x) y = s.indicator (fun x => 1) y • x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: this : infEdist x ∅ ≤ hausdorffEdist s ∅


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c✝ : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a
c : G
w : c * a * c⁻¹ = x


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c✝ : G
s : Set G
inst✝ : Group G
t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t
a : G
h : a ∈ t
x : G
hc : x ∈ conjugatesOf a
c : G
w : c * a * c⁻¹ = x
H : c * a * c⁻¹ ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
f : α → β
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : y ≠ 0

‖y‖ / Real.sin (angle x (x + y)) = ‖x + y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

HasStrictDerivAt sinh ((cexp x + cexp (-x)) * 2⁻¹) x


Context: x : ℂ

(cexp x + cexp (-x)) * 2⁻¹ = (cexp x - cexp (-id x) * -1) * 2⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: ns : ℕ → ℕ

Context: hns : Tendsto ns atTop atTop

∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: ns : ℕ → ℕ

Context: hns : Tendsto ns atTop atTop

Context: ms : ℕ → ℕ

Context: left✝ : StrictMono ms

Context: hms' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns (ms i)) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame

(-x).insertLeft (-x') = -x.insertRight x'


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R
i✝ j✝ : n

of (fun i j => v j * A i j) i✝ j✝ = (A * diagonal v) i✝ j✝


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
v : n → R
A : Matrix n n R

(A * diagonal v).det = (∏ i : n, v i) * A.det


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω

MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥


∀ y ∈ I, (algebraMap R₁ K) ↑I.den * y ∈ 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I


Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) I.num ≤ 1


Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) 1 ≤ 1


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α


{p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ Prod.swap <$> 𝓤 α


Context: a b : ℝ

frontier {z | a ≤ z.re ∧ z.im ≤ b} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ z.im ≤ b}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F

∀ (a : List (Set α)), ⇑f '' Multiset.prod ⟦a⟧ = (Multiset.map (fun s => ⇑f '' s) ⟦a⟧).prod


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β

sᶜ ∈ kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r ≠ 0
hv : v.asIdeal = Ideal.span {r}


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
this : 0 < φ ‖x - y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : i < last N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : last N ≤ i


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b = a
e : b = a := x✝


Context:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v


Context:
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v
terminated : g.partDens.TerminatedAt n


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: not_terminated : ¬g.partDens.TerminatedAt n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
x : Option α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
E : Set α
x : α


Context:
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

(p - 1) * padicValNat p ((n + k).choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum


Context:
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k


(p - 1) * padicValNat p ((n + k)! / (k ! * (n + k - k)!)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum


(p - 1) * padicValNat p (n + k)! - ((p - 1) * padicValNat p k ! + (p - 1) * padicValNat p (n + k - k)!) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum


n + k - (p.digits (n + k)).sum - (k - (p.digits k).sum + (n + k - k - (p.digits (n + k - k)).sum)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.92724, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + 1 = j
hjk : j + 1 = k

(mappingCone φ).d i j ≫ (↑(fst φ)).v j k hjk = -(↑(fst φ)).v i j hij ≫ F.d j k


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : StrongEpi f
X Y : D
Z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono Z


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : p ∣ q


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : ↑q = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
a : A
ha : a ∈ asIdeal f_deg hm q
j : ℕ
h : i = j

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) ↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
a : A
ha : a ∈ asIdeal f_deg hm q
j : ℕ
h : ¬i = j

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * j, num := ⟨(proj 𝒜 j) ↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ j, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set α

(Measure.comap f μ).restrict s = Measure.comap f (μ.restrict (f '' s))


Context:
a : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b✝ b c : α
l₁ l₂ : List α

Chain' R (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain' R (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain' R (c :: l₂)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0

Context: hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0

Context: hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0

padicValRat p (q.num /. ↑q.den) ≤ padicValRat p (q + r)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0

multiplicity ↑p ↑q.den + multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den * ↑q.den + ↑q.den * r.num * ↑q.den)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (r.num * ↑q.den)

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

IsUnramified k w ↔ w.mult ≤ (w.comap (algebraMap k K)).mult


(w.comap (algebraMap k K)).mult ≤ w.mult


Context: x : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
K : Type u_5
r : A
s : ↥(nonZeroDivisors A)

Localization.mk r s = (algebraMap A (FractionRing A)) r / (algebraMap A (FractionRing A)) ↑s


Context: f : C(↑I, ℝ)

Tendsto (fun n => bernsteinApproximation n f) atTop (𝓝 f)


Context: f : C(↑I, ℝ)

∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < i


Context:
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < ε


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n

Context: npos : 0 < ↑n


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n

Context: npos : 0 < ↑n

∀ (x : ↑I), ‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n

Context: npos : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

Context: S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x

‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n

Context: npos : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

∑ k ∈ S, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x ≤ ε / 2


Context: f : C(↑I, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: h : 0 < ε

Context: δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

Context: n : ℕ

Context: nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2

Context: npos' : 0 < n

Context: npos : 0 < ↑n

Context: x : ↑I

∑ k ∈ Sᶜ, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x < ε / 2


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α

Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x)) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α

TotallyDisconnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = {x}


(∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton) ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = {x}


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α

(connectedComponent x).Subsingleton ↔ connectedComponent x = {x}


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: F : Arrow C

Context: X : Augmented C

Context: G : F.augmentedCechConerve ⟶ X

G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) = (WidePushout.head fun x => F.hom) ≫ G.right.app (SimplexCategory.mk 0)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n

(if h : ↑i < n then coeff ⟨↑i, h⟩ x else 0) = coeff i x


Context:
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F

StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : α → β

Context: r : β → β → Prop

Context: m : Multiset α

Context: h : {a | a ∈ m}.Pairwise fun a₁ a₂ => r (f a₁) (f a₂)

Context: b₁ : β

Context: h₁ : b₁ ∈ {b | b ∈ map f m}

Context: b₂ : β

Context: h₂ : b₂ ∈ {b | b ∈ map f m}

Context: hn : b₁ ≠ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : α → β

Context: r : β → β → Prop

Context: m : Multiset α

Context: a₁ : α

Context: H₁ : a₁ ∈ m

Context: h₁ : f a₁ ∈ {b | b ∈ map f m}

Context: a₂ : α

Context: H₂ : a₂ ∈ m

Context: h₂ : f a₂ ∈ {b | b ∈ map f m}

Context: hn : f a₁ ≠ f a₂


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ

∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
x y : E


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M

mk a b + mk c d = mk (↑b * c + ↑d * a) (b * d)


mk a b + mk c d = mk (↑d * a + ↑b * c) (d * b)


Context:
x : ℝ≥0∞
h : 0 < x.toReal


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

x ∈ zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s) ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : SMulWithZero R A
a₁ a₂ : A


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing B
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsFractionRing R S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

(∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f

ker f = IsSubgroup.trivial G ↔ ∀ (x : G), f x = 1 → x = 1


(∀ (x : G), x ∈ ker f ↔ x ∈ IsSubgroup.trivial G) ↔ ∀ (x : G), f x = 1 → x = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E

Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ s) (𝓝[≠] ↑P.k) (𝓝 (P.ε • P.g₀))


Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ₀ s - (s - ↑P.k) • (1 / s) • P.f₀ - (s - ↑P.k) • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] ↑P.k) (𝓝 (0 - 0 - -P.ε • P.g₀))


Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • P.Λ₀ s) (𝓝 ↑P.k) (𝓝 0)


Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • (1 / s) • P.f₀) (𝓝 ↑P.k) (𝓝 0)


Tendsto (fun s => (s - ↑P.k) • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] ↑P.k) (𝓝 (-P.ε • P.g₀))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: F F' : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: obj : C → D

Context: map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)

Context: F_obj : C → E

Context: map✝¹ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)

Context: map_id✝¹ : ∀ (X : C), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X)

Context: map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map g

Context: inst✝¹ : { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful

Context: G_obj : D → E

Context: map✝ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)

Context: map_id✝ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝ }.obj X)

Context: map_comp✝ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝ }.map g

Context: inst✝ : { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful

Context: h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj (obj X) = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj X

Context: h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map (map f)) ({ obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map f)

{ obj := fun X => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X), map := fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } = { obj := F_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: F F' : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: obj : C → D

Context: F_obj : C → E

Context: G_obj : D → E

Context: this : F_obj = G_obj ∘ obj


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: F F' : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: obj : C → D

Context: G_obj : D → E

Context: map✝¹ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)

Context: map_id✝¹ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝¹ }.obj X)

Context: map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map g

Context: inst✝¹ : { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful

Context: map✝ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → ((G_obj ∘ obj) X ⟶ (G_obj ∘ obj) Y)

Context: map_id✝ : ∀ (X : C), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.obj X)

Context: map_comp✝ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map g

Context: inst✝ : { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful

Context: h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj (obj X) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj X

Context: h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map (map f)) ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map f)

(fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f)) = map✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: F F' : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: obj : C → D

Context: map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)

Context: G_obj : D → E

Context: h_map✝ : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map (map f)) ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map f)

Context: h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, map✝¹ (map f) = map✝ f


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Bornology M
inst✝ : SMul M α
s t : Set α
hs : Absorbent M s
ht : t.Finite


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : (X - C a) * (p /ₘ (X - C a)) = p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
h : eval a p = 0


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) ℱ (𝓝 ((⋃₀ 𝔖).restrict f))


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

(∀ i ∈ 𝔖, Tendsto ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)))) ↔ ∀ i ∈ 𝔖, Tendsto (i.restrict ∘ F) ℱ (𝓝 (i.restrict f))


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Context: K : Set X

Context: hK : K ∈ 𝔖

Tendsto ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f))) ↔ Tendsto (K.restrict ∘ F) ℱ (𝓝 (K.restrict f))


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Context: K : Set X

Context: hK : K ∈ 𝔖

Context: this : CompactSpace ↑K


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Context: K : Set X

Context: hK : K ∈ 𝔖

Context: this : CompactSpace ↑K

Tendsto ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f))) ↔ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ K.restrict ∘ F) ℱ (𝓝 (UniformFun.ofFun (K.restrict f)))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K L

pb.equivAdjoinSimple.symm pb.gen = AdjoinSimple.gen K pb.gen


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ↥(Lp E 1 μ)

integralCLM (f - g) = integralCLM f - integralCLM g


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ


SemiconjBy a (x ^ Int.negSucc n) (y ^ Int.negSucc n)


SemiconjBy a (x ^ (n + 1)) (y ^ (n + 1))


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

β (coroot α) = ↑(↑(chainBotCoeff (⇑α) β) - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


↑(↑(chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) = ↑(↑(chainBotCoeff (⇑α) β) - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: k n : ℕ

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: k n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: z : G


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖


‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpaceable E

Context: y z : E

Context: h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context:
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ

HasDerivAt (fun z => term f z n) (-term (logMul f) s n) s


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ

HasDerivAt (fun z => term f z 0) (-term (logMul f) s 0) s


Context:
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
hn : n ≠ 0


Context:
f : ℕ → ℂ
n : ℕ
s : ℂ
hn : n ≠ 0

HasDerivAt (fun z => f n * ↑n ^ (-z)) (f n * (-log ↑n * ↑n ^ (-s))) s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: hf : (LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f - (LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: hf : ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₁ C hsC ho, continuous_toFun := ⋯ }) f) = ⇑((LocallyConstant.comapₗ ℤ { toFun := CC'₀ C ho, continuous_toFun := ⋯ }) f)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: C₀C : ↑(C0 C ho) → ↑C := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C

Context: C₁C : ↑(π (C1 C ho) fun x => ord I x < o) → ↑C := fun x => ⟨SwapTrue o ↑x, ⋯⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C

Context: h₁ : Continuous C₁C


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C

Context: h₁ : Continuous C₁C

(π C fun x => ord I x < o) ⊆ C0 C ho ∪ π (C1 C ho) fun x => ord I x < o


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C

Context: h₁ : Continuous C₁C

∀ (x : I → Bool) (hx : x ∈ C0 C ho ∩ π (C1 C ho) fun x => ord I x < o), (LocallyConstant.comap { toFun := C₀C, continuous_toFun := h₀ } f) ⟨x, ⋯⟩ = (LocallyConstant.comap { toFun := C₁C, continuous_toFun := h₁ } f) ⟨x, ⋯⟩


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: h₀ : Continuous C₀C

Context: h₁ : Continuous C₁C

(πs C o) (LocallyConstant.piecewise' ?refine_1 ⋯ ⋯ (LocallyConstant.comap { toFun := C₀C, continuous_toFun := h₀ } f) (LocallyConstant.comap { toFun := C₁C, continuous_toFun := h₁ } f) ?refine_2) = f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: c : M'

Context: x : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: c : M'

Context: x : M

ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' c) ∘ (fun x => c) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: c : M'

Context: x : M

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ↑I' (↑(chartAt H' c) c)) (↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v f g : ι → F

(fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) (f + g) = (fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) f + (fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i) g


∑ i ∈ s, C ((f + g) i) * Lagrange.basis s v i = ∑ x ∈ s, (C (f x) * Lagrange.basis s v x + C (g x) * Lagrange.basis s v x)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s✝ t : Finset ι

Context: i j : ι

Context: v✝ r r' : ι → F

Context: s : Finset ι

Context: v f g : ι → F

Context: h : (fun x => C (f x) * Lagrange.basis s v x + C (g x) * Lagrange.basis s v x) = fun x => C ((f + g) x) * Lagrange.basis s v x


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ t : Finset ι
i j : ι
v✝ r r' : ι → F
s : Finset ι
v : ι → F
c : F
f : ι → F

{ toFun := fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id F) c • { toFun := fun r => ∑ i ∈ s, C (r i) * Lagrange.basis s v i, map_add' := ⋯ }.toFun f


Context:
p q y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
h : LiouvilleWith p ↑0


Context:
p q y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r
h0 : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : ⇑κ =ᶠ[ae μ] ⇑η
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ ⊗ₘ κ) s = (μ ⊗ₘ η) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: κ η : Kernel α β

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: h : ⇑κ =ᶠ[ae μ] ⇑η

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : (fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] fun a => (η a) (Prod.mk a ⁻¹' s)

(μ ⊗ₘ κ) s = (μ ⊗ₘ η) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G M N : Comonad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: f_ε : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.ε.app X = M.ε.app X) _auto✝

Context: f_δ : autoParam (∀ (X : C), f.hom.app X ≫ N.δ.app X = M.δ.app X ≫ f.hom.app (M.obj X) ≫ N.map (f.hom.app X)) _auto✝

Context: X : C

f.inv.app X ≫ M.δ.app X = N.δ.app X ≫ f.inv.app (N.obj X) ≫ M.map (f.inv.app X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G M N : Comonad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: X : C

f.hom.app X ≫ f.inv.app X ≫ M.δ.app X = f.hom.app X ≫ N.δ.app X ≫ f.inv.app (N.obj X) ≫ M.map (f.inv.app X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G M N : Comonad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: X : C

M.δ.app X = M.δ.app X ≫ M.map (f.hom.app X) ≫ M.map (f.inv.app X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: G M N : Comonad C

Context: f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor

Context: X : C

M.δ.app X = M.δ.app X ≫ 𝟙 (M.obj (M.obj X))


Context: α : Type u_1

Context: c : RBColor

Context: n : Nat

Context: p : Prop

Context: l : RBNode α

Context: v : α

Context: r : RBNode α

Context: hl : l.Balanced c n

Context: hr : RedRed p r n

Context: x✝ : RBColor

Context: h : (r.reverse.balance1 v l.reverse).Balanced x✝ (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

LipschitzOnWith K f s ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

(∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y) ↔ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hunif : UniformIntegrable f 1 μ

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - limitProcess f ℱ μ) 1 μ) atTop (𝓝 0)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R✝ : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hunif : UniformIntegrable f 1 μ
R : ℝ≥0
hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) 1 μ ≤ ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R✝ : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : Ω → ℝ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hunif : UniformIntegrable f 1 μ

Context: R : ℝ≥0

Context: hR : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) 1 μ ≤ ↑R

Context: hmeas : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α

Context: h : some a ∈ Computation.map (fun x => Prod.fst <$> x) s.tail.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: a : α

Context: o : Option (α × WSeq α)

Context: md : o ∈ s.tail.destruct

Context: e : Prod.fst <$> o = some a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
o : α × WSeq α
md : some o ∈ s.tail.destruct


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a✝ : α
o : α × WSeq α
md : some o ∈ s.tail.destruct
a : α × WSeq α
am : some a ∈ s.destruct


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SubtractionMonoid α
a b c : α
h : a + -b = c


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝ : Fintype P


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p✝ q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n
p : P
h₂ : p ∈ l₂


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p✝ q : P
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₁₂ : p₁ ∉ l₂
h₁₃ : p₁ ∉ l₃
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
h : Fintype.card P = Fintype.card L
n : ℕ := lineCount L p₂
hp₂ : lineCount L p₂ = n
hl₁ : pointCount P l₁ = n
hp₃ : lineCount L p₃ = n
hl₃ : pointCount P l₃ = n
hp₁ : lineCount L p₁ = n
hl₂ : pointCount P l₂ = n
p : P
h₂ : p ∈ l₂
h₃ : p ∈ l₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.Integrable (↑(mk f hf)) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
t : Set α
a b : α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α

Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
x : α

f.cycleOf x ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ x ∈ f.support


((f.cycleOf x).IsCycle ∧ ∀ a ∈ (f.cycleOf x).support, (f.cycleOf x) a = f a) ↔ x ∈ f.support


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℕ

Context: hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z

Context: hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℕ

Context: hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ ↑m • g z

Context: hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ ↑n • g z


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix l m α
b : ℕ
x✝ : n
i✝ : l
j✝ : m

(MulOpposite.op ↑b • A) i✝ j✝ = (b • A) i✝ j✝


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: τpos : 0 < τ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: τpos : 0 < τ

Context: I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: τpos : 0 < τ

Context: I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Context: J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: τpos : 0 < τ

Context: I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Context: J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4

Context: K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: τpos : 0 < τ

Context: I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Context: J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4

Context: K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹

Context: hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

(M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.one ⊗ N.one) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ (M.X ◁ M.one ⊗ N.X ◁ N.one)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ N.X).hom) = (ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom


(ρ_ (M.X ⊗ N.X)).hom = (M.X ⊗ N.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (𝟙_ C, 𝟙_ C) ≫ ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ N.X).hom)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: ha : ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → p f → p (single a b + f)

Context: s : Finset α

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: s✝ : Finset α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: ih : ∀ (f : α →₀ M), f.support = s → p f

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = cons a s has


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddZeroClass M

Context: p : (α →₀ M) → Prop

Context: f✝ : α →₀ M

Context: h0 : p 0

Context: s✝ : Finset α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: f : α →₀ M

Context: hf : f.support = cons a s has


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
hl : l.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hl : ⊥.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
hl : (pure x).Subsingleton


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
H : IsRelPrime x y
hy : IsPrimal y
w : α
H2 : y ∣ x * w


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C✝ ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: I : Type v₁

Context: inst✝ : SmallCategory I

Context: F : I ⥤ C

Context: c : Cocone (F ⋙ yoneda)

Context: hc : IsColimit c

(c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt).Final


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C✝ ⥤ ℰ

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: I : Type v₁

Context: inst✝ : SmallCategory I

Context: F : I ⥤ C

Context: c : Cocone (F ⋙ yoneda)

Context: hc : IsColimit c

IsTerminal (colimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ yoneda))


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C✝ ⥤ ℰ

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: I : Type v₁

Context: inst✝ : SmallCategory I

Context: F : I ⥤ C

Context: c : Cocone (F ⋙ yoneda)

Context: hc : IsColimit c

Context: isc : IsColimit ((Over.forget c.pt).mapCocone (colimit.cocone ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))) := PreservesColimit.preserves (colimit.isColimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))

Over.mk (𝟙 c.pt) ≅ colimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

(adjMatrix α G *ᵥ vec) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
b' : β ⟨a, b⟩.fst
h' : dlookup ⟨a, b⟩.fst l = some b'


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : dlookup ⟨a, b⟩.fst l = some b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f ⊤ (μ.restrict s)
hg : Memℒp g ⊤ (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬⊤ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → E
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f p (μ.restrict s)
hg : Memℒp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : p ≠ ⊤


∫⁻ (x : α) in s, ↑‖s.piecewise f g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤ ∧ ∫⁻ (x : α) in sᶜ, ↑‖s.piecewise f g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ

Context: hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y

Context: hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ

∀ (x : ↥f.domain), (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) ↑x = ↑f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ

∀ x ∈ s, 0 ≤ (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
s : Set M
t : Set M₂

span R (⇑(inl R M M₂) '' s ∪ ⇑(inr R M M₂) '' t) = (span R s).prod (span R t)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s

inst✝³ = generateFrom (Ioi '' s ∪ Iio '' s)


generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a} = generateFrom (Ioi '' s ∪ Iio '' s)


Ioi '' s ∪ Iio '' s ⊆ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}


∀ s_1 ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}, IsOpen s_1


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j : n

(cramer 0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (0 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j


∀ (i_1 : n), updateColumn 0 j ((LinearMap.single i) 1) i_1 j' = 0


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
j'' : n

updateColumn 0 j ((LinearMap.single i) 1) j'' j' = 0


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R


r ∣ p.content ↔ ∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i


Context:
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
g : α
hx : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop

Context: mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯

Context: smul_vsub_vadd : ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s), p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯

Context: x : P

Context: h : x ∈ affineSpan k s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop

Context: mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯

Context: x : P

Context: h : x ∈ affineSpan k s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop

Context: mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯

Context: x : P

Context: h : x ∈ affineSpan k s

∀ x ∈ s, (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set P

Context: p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop

Context: mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯

Context: x : P

Context: h : x ∈ affineSpan k s

∀ (c : k) (u v w : P), (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) u → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) v → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) w → (fun y => ∃ (z : y ∈ affineSpan k s), p y z) (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


(κ a) {p | p.swap ∈ {p | p.2 ∈ s}} = (κ a) {p | p.1 ∈ s}


Context: α✝ β α : Type u


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
val✝ : Fintype (G ⧸ H)


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : Disjoint s₁ s₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g pg x r

HasFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x r


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x✝ y✝ z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → β
hs : s.Finite
this : Finite ↑s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
p : OverArrows η s


η.app (op (unop (op X))) p.val = yonedaEquiv s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
f : α → Filter β

Tendsto f l (𝓝 atTop) ↔ ∀ (y : β), ∀ᶠ (a : α) in l, Ici y ∈ f a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x✝ : ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
x : α
hx₀ : x ≠ 0
hxu : ¬IsUnit x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x✝ : ∃ x, x ≠ 0 ∧ ¬IsUnit x
x : α
hx₀ : x ≠ 0
hxu : ¬IsUnit x
f : α
hf : Irreducible f


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i

f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') = ∑ s ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : a * b = 1

Tendsto (fun x => x * a) (cocompact M) (cocompact M)


Tendsto ((fun b_1 => b_1 * b) ∘ fun x => x * a) (cocompact M) (cocompact M)


Tendsto (fun x => x) (cocompact M) (cocompact M)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: ys₁ ys₂ : List β

∃ xs', xs' <:+ xs ∧ levenshtein C xs' ys₂ ≤ levenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂)


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0

exp ℝ q = ↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0

(fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) q = ↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0

HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • q ^ n) (↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q)


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0

HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑(Real.cos ‖q‖) + (Real.sin ‖q‖ / ‖q‖) • q)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: x✝ : ↥(torsion G)

Context: x : G

Context: n : ℕ

Context: npos : n > 0

Context: hn : Function.IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: x✝ : ↥(torsion G)

Context: x : G

Context: n : ℕ

Context: npos : n > 0


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L

IsCyclotomicExtension {n} A B ↔ (∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ ∀ (x : B), x ∈ adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
hIJ : I \ J = {e}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : (M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
hIJ : I \ J = {e}


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute

(a ::ₘ s).noncommProd comm = s.noncommProd ⋯ * a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: a : α

Context: s : List α

Context: comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦s⟧}.Pairwise Commute

(a ::ₘ ⟦s⟧).noncommProd comm = noncommProd ⟦s⟧ ⋯ * a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: a : α

Context: s : List α


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α

#(α → α) ≤ #(α ≃ α)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

∀ᵐ (b : β) ∂Measure.map X μ, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((condDistrib Y X μ) b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

∀ᵐ (b : β) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel b)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R

(if a0 : a = 0 then 0 else let_fun x := ⋯; gcd (0 % a) a) = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β

find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (List.find? (fun x => x.fst == a) l.toList)


Context:
M : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝ : CommMonoid A
a b c : A

c ∈ closure {a, b} ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c


(∃ y ∈ closure {a}, ∃ z ∈ closure {b}, y * z = c) ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s \ {a}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s.erase a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α

s(fst✝¹, snd✝¹) = s(fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝) ∨ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝).swap


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n a : A


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ


Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm g) * f) μ


Context:
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t

ε ≤ ↑|G.edgeDensity (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 - G.edgeDensity s t|


ε ≤ ↑|G.edgeDensity (⋯.choose, ⋯.choose).1 (⋯.choose, ⋯.choose).2 - G.edgeDensity s t|


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f : A →ₑ+[φ] B
x : A

(f.comp (DistribMulActionHom.id M)) x = f x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams

HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E

Context: hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E

Context: this : IntegrableOn f (↑I) μ


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hv : LinearIndependent R (⇑f ∘ v)

Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hv : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

(if 0 = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else Summable fun i => ‖f i‖ ^ 0) ↔ {i | ¬f i = 0}.Finite


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0

‖Quotient.mk'' f‖ = ↑p ^ (-valuation (Quotient.mk'' f))


↑(PadicSeq.norm f) = ↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)


↑(↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)) = ↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b

Context: x y : R

seminormFromBounded' f (x + y) ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x y z : R

f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x y z : R

f ((x + y) * z) / f z ≤ f (x * z) / f z + f (y * z) / f z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: h : Summable fun n => dist (f n) (f n.succ)

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

dist (f 0) a ≤ ∑' (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ

‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal


(if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : ↑F ≤ 𝓝 x
hG : ↑G ≤ 𝓝 x

Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)
hG : map g ↑G ≤ 𝓝 (g x)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q


Context:
x y : ℝ
f : Cauchy abs

(Real.inv' { cauchy := f }).cauchy = { cauchy := f }.cauchy⁻¹


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x y : (i : ι) → Mᵢ i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X


((OuterMeasure.comap f) (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d)) s = (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d) s


Context: m n a b c d : ℤ

Context: h₁ : a ≡ b [ZMOD n]

Context: h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]

Context: this : d - c = b + d - (a + c) - (b - a)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
x y : X
h : x ≠ y

∃ u v, u ∈ 𝓝 x ∧ v ∈ 𝓝 y ∧ IsCompact u ∧ IsCompact v ∧ Disjoint u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: a s : ι → ℕ

Context: l : List ι

Context: nod : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

Context: hs : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, s i ≠ 0

Context: pp : {x | x ∈ Quot.mk Setoid.r l}.Pairwise (Coprime on s)

↑(Quotient.recOn (motive := fun x => x.Nodup → (∀ i ∈ x, s i ≠ 0) → {x_1 | x_1 ∈ x}.Pairwise (Coprime on s) → { k // ∀ i ∈ x, k ≡ a i [MOD s i] }) (Quot.mk Setoid.r l) (fun l nod x co => chineseRemainderOfList a s l ⋯) ⋯ nod hs pp) < (Multiset.map s (Quot.mk Setoid.r l)).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
l : List α
f : α → β

∏ i : Fin l.length, f l[↑i] = (List.map f l).prod


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'

(e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')


Context:
N✝ : ℕ
H K : Subgroup SL(2, ℤ)
h : H ≤ K
N : ℕ+
hN : Gamma ↑N ≤ H


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.5419, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCoverDense K
U : D