Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β

A ∈ orthogonalGroup n β ↔ star A * A = 1


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : star A * A = 1


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1


Context:
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - b * b * a.y ^ 2 = 1


Context: b : ℤ

Context: a : Solution₁ (b * b)

Context: ha : 1 < a.x

Context: hp : a.x + b * a.y = 1 ∧ a.x - b * a.y = 1 ∨ a.x + b * a.y = -1 ∧ a.x - b * a.y = -1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |0|


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
h0 : R ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N

x ∈ map f.toMonoidHom H.normalizer ↔ x ∈ (map f.toMonoidHom H).normalizer


(∀ (h : G), h ∈ H ↔ f.symm x * h * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ ∀ (h : N), f.symm h ∈ H ↔ f.symm (x * h * x⁻¹) ∈ H


∀ (a : G), (a ∈ H ↔ f.symm x * a * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a * x⁻¹) ∈ H)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G

(a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a✝) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)


(a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)


(a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * f.symm (f.toEquiv a✝) * (f.symm x)⁻¹ ∈ H)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Monotone f


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
r : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Primrec o
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
a : α

(Nat.casesOn (encode (o a)) (encode (f a)) fun b => (encode ((decode (encode (a, b).1)).bind fun a => Option.map (g a) (decode b))).pred) = encode (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: z : S

Context: x : R

Context: y : ↥M

Context: h : z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x

Context: hx : x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = 0
hx : x = 0


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : ∀ (j : ι), Nonempty (α j)
i : ι
f : Filter (α i)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, centroidWeightsWithCircumcenter fs i = 1


(∑ x : Fin (n + 1), if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) = ∑ i : Fin (n + 1), (↑fs).indicator (centroidWeights ℝ fs) i


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α

a ∈ g⁻¹ • s ↔ a ∈ s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∈ fixedBy α g


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∉ fixedBy α g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s
h_gauge_lt : gauge s (ε⁻¹ • x) < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p

p.factors.prod = FactorSet.prod ↑{⟨p, hp⟩}


p = match ↑{⟨p, hp⟩} with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F.op ⟶ G.op
X Y : C
f : X ⟶ Y

(G.map f ≫ (fun X => (α.app (op X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (op X)).unop) X ≫ F.map f).op


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)

x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})


(∃ y ∈ span 𝕜 {1}, ∃ z ∈ (adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}).toSubmodule, y + z = x) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: point✝ : PointClass F

Context: a✝ : Fin 3 → F

Context: hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)

(-mk hP).toAffineLift = -(mk hP).toAffineLift


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b

∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b


∃ l, Chain r b l ∧ (b :: l).getLast ⋯ = b


∀ {a c : α}, r a c → Relation.ReflTransGen r c b → (∃ l, Chain r c l ∧ (c :: l).getLast ⋯ = b) → ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
this : Nontrivial ↥H ↔ H ≠ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: y : α

Context: hya : y ∈ Iio a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Iic b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)


Context:
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

padicValRat p ↑z = ↑((multiplicity (↑p) z).get ⋯)


Context: ι✝ : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: M✝ N : Submodule R A

Context: m n : A

Context: ι : Type u_1

Context: s : Finset ι

Context: M : ι → Set A

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

∏ i ∈ s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ s, M i)


Context: ι✝ : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: M✝ N : Submodule R A

Context: m n : A

Context: ι : Type u_1

Context: s : Finset ι

Context: M : ι → Set A

∏ i ∈ ∅, span R (M i) = span R (∏ i ∈ ∅, M i)


Context: ι✝ : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: M✝ N : Submodule R A

Context: m n : A

Context: ι : Type u_1

Context: s : Finset ι

Context: M : ι → Set A

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ∏ i ∈ s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ s, M i) → ∏ i ∈ insert a s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ insert a s, M i)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop

Context: zero : p 0 ⋯

Context: add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ span R s


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop

Context: zero : p 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ span R s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f ≫ T.η.app Y }.map (f ≫ g) = (f ≫ T.η.app Y) ≫ T.map (g ≫ T.η.app Z) ≫ T.μ.app Z


Context:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
S : Submonoid M
a : α
g : ↥S


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμ : IsFiniteMeasure μ

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_indep : CondIndepSet m hm t t μ

Context: this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμ : IsFiniteMeasure μ

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_indep : CondIndepSet m hm t t μ

Context: h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμ : IsFiniteMeasure μ

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_indep : CondIndepSet m hm t t μ

Context: ω : Ω

Context: hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω

Context: hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1

(μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμ : IsFiniteMeasure μ

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h_indep : CondIndepSet m hm t t μ

Context: ω : Ω

(((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = ⊤) ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ

Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v 1 = 1


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: s : ℤ

Context: this : Valued.v ((single s) 1) = (Valued.v ((single (-s)) 1))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Field K

Context: s : ℤ

Context: this : Valued.v ((single s) 1) * Valued.v ((single (-s)) 1) = 1


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

‖F_nat 0 a t‖ ≤ rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (g_nat 0 a t) (rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

g_nat 0 a t = fun i => rexp (-π * a ^ 2 * t) * rexp (-π * t) ^ i


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R


sInf {s | ∀ (x y : R), c x y → s x y} ≤ c


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α

ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ a ∈ s, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ

(Injective fun n => x ^ n) ↔ ¬IsOfFinOrder x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x y a : G

Context: m✝ n✝ : ℕ

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: n m : ℕ

Context: hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α

(restrict s) (⨅ i, (restrict s) (m i)) = (restrict (range Subtype.val)) (⨅ i, (restrict s) (m i))


Context: a : ℤ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : IsEmpty ι


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : Nonempty ι


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

IsIso ((forget C).map (f.val.app (op U)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Function.Bijective ((forget C).map (f.val.app (op U)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: x : ↥U

Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget C)

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: x : ↥U


Context:
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝⁸ : Monoid R
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : DistribMulAction R A
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝² : DistribMulAction S B
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝ : DistribMulAction T C
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β
s : Set β
hs : s ⊆ range e

IntegrableOn f s μ ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (Measure.comap e μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: l✝ : Multiset (α → M)

Context: l : List (α → M)

Context: hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
l₁ : List α
l₃ : List β

(Forall₂ r ∘r Perm) l₁ l₃ = (Perm ∘r Forall₂ r) l₁ l₃


Context:
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame


0 = invVal (fun i => xL ↑i) xR (fun i => (xL ↑i).inv') (fun i => (xR i).inv') (mk xl xr xL xR) InvTy.zero


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ

(comapDomain' h hh' (f + g)) i✝ = (comapDomain' h hh' f + comapDomain' h hh' g) i✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: hg : _root_.Embedding g

Context: this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ

Context: this✝³ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝² : BorelSpace β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ

Context: this✝ : BorelSpace γ

(StronglyMeasurable fun x => g (f x)) ↔ StronglyMeasurable f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: hg : _root_.Embedding g

Context: this✝³ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝² : BorelSpace β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ

Context: this✝ : BorelSpace γ

Context: H : StronglyMeasurable fun x => g (f x)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R

(A.updateRow j (∑ k : n, c k • A k)).det = c j • A.det


∑ k : n, c k • A k = c j • A j + ∑ k ∈ univ.erase j, c k • A k


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
L : Matrix m n α
M N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o

(L * (M + N)) i✝ j✝ = (L * M + L * N) i✝ j✝


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : m ≃ m
M : Matrix m n α
i : m
j : n

(f.toPEquiv.toMatrix * M) i j = M.submatrix (⇑f) id i j


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: F : Presheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

Context: x : ↑X

Context: mU : x ∈ U

Context: mV : x ∈ V

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U))

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op V))

Context: h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t

∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

Context: x : ↑X

Context: mU : x ∈ U

Context: mV : x ∈ V

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U))

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op V))

Context: W : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: iU : op { obj := U, property := ⋯ } ⟶ W

Context: iV : op { obj := V, property := ⋯ } ⟶ W

Context: e : (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iU s = (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iV t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: n : ℕ

Context: f : PointsWithCircumcenterIndex n → α

Context: h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, f i = ∑ i : Fin (n + 1), f ((pointIndexEmbedding n) i) + f circumcenterIndex


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: n : ℕ

Context: f : PointsWithCircumcenterIndex n → α

circumcenterIndex ∉ Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: n : ℕ

Context: f : PointsWithCircumcenterIndex n → α

∀ (x : Fin (n + 1)), ¬(x ∈ univ ∧ (pointIndexEmbedding n) x = circumcenterIndex)


Context:
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ

l.rotate n = l' ↔ l = l'.rotate (l'.length - n % l'.length)


Context:
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ

l.rotate n = l' ↔ l.rotate n = l'.rotate (((l'.length - n % l'.length) % l'.length + n % l'.length) % l'.length)


Context:
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
hl : 0 = l'.length


Context:
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
hl : 0 < l'.length


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α

f (⨅ i, ⨅ j, g i j) = ⨅ i, ⨅ j, f (g i j)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝² : Algebra R S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
B : Type u_2
inst✝ : CommSemiring B
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* B
p : MvPolynomial σ R

φ ((aeval g) p) = (eval₂Hom (φ.comp (algebraMap R S₁)) fun i => φ (g i)) p


φ ((aeval g) p) = (φ.comp (eval₂Hom (algebraMap R S₁) g)) p


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C

F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ (ρ_ (F.obj X)).hom


F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom


F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ (𝟙 (F.obj X ⊗ F.obj (𝟙_ C)) ≫ F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.map (ρ_ X).hom


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℕ
hd : b / c = a * d


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: a₁ a₂ : A

Context: h : (Algebra.lmul R A) a₁ = (Algebra.lmul R A) a₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ

IsLieAbelian ↥↑(D k I) ↔ D (k + 1) I = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: h₀ : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h₁ : G.CliqueFree 3

Context: this : (fun H => H.CliqueFree 3) (G.deleteEdges ↑∅) → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑∅.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: h₀ : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h₁ : G.CliqueFree 3

Context: this : (fun H => H.CliqueFree 3) G → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ f ⁻¹' u ∩ s ∩ (f ⁻¹' v ∩ s)


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
b : ℝ≥0
ha : 0 ≤ a


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a b : α


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f : R[X]
s : R


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α
h : G

h ∈ stabilizer G (g • a) ↔ h ∈ Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) (stabilizer G a)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: L L' : List (List α)

Context: join_eq : L.join = L'.join

Context: length_eq : map length L = map length L'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: L L' : List (List α)

Context: join_eq : L.join = L'.join


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: L L' : List (List α)

Context: join_eq : L.join = L'.join

∀ (n : ℕ) (h₁ : n < L.length) (h₂ : n < L'.length), L[n] = L'[n]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Algebra R A
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : Module.Finite R L
inst✝¹⁰ : Module.Free R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ιₘ
inst✝ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιₘ R M
x : L

rank R L M = ((↑(toEnd R L M)).polyCharpoly b).natTrailingDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ

((hasseDeriv k) ((monomial n) r)).coeff i = ((monomial (n - k)) (↑(n.choose k) * r)).coeff i


(↑((i + k).choose k) * if n = i + k then r else 0) = if n - k = i then ↑(n.choose k) * r else 0


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X

(f.app (op X) ≫ F.map g.op) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)


((yoneda.obj X).map g.op ≫ f.app (op Y)) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : IsLocalization M S

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Context: x : S

Context: hx : x ≠ 0

Context: hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : IsLocalization M S

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Context: x : S

Context: hx : x ≠ 0

Context: hfst : (sec M x).1 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : IsLocalization M S

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors S

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Context: x : S

Context: hx : x ≠ 0

Context: hsec : x = 0 ∨ (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = 0

Context: hfst : (sec M x).1 = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x : G
n : ℕ
hxn : x ∈ lowerCentralSeries G n
g : G

x * g * x⁻¹ * g⁻¹ ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)


Context:
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList


Context:
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0


Context:
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 2 → β


Context:
x : EReal
h : x < 0


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ γ
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

(g ::: P.wMap g) <$$> P.objAppend1 a f' f = P.objAppend1 a (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)


⟨a, splitFun (g ⊚ f') (P.wMap g ∘ f)⟩ = ⟨a, splitFun (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A

Context: inst✝² : IsDenseSubsite J K G

Context: ht' : IsTerminal (G.obj t)

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: F : Sheaf K A

Context: e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A

IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsDenseSubsite J K G

Context: ht' : IsTerminal (G.obj t)

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: F : Sheaf K A

Context: this : (constantSheaf K A).Faithful


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsDenseSubsite J K G

Context: ht' : IsTerminal (G.obj t)

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: F : Sheaf K A

Context: this✝ : (constantSheaf K A).Faithful

Context: this : (constantSheaf K A).Full


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsDenseSubsite J K G

Context: ht' : IsTerminal (G.obj t)

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: F : Sheaf K A

Context: this✝ : (constantSheaf K A).Faithful

Context: this : (constantSheaf K A).Full

e.inverse.obj F ∈ (constantSheaf J A).essImage ↔ F ∈ (constantSheaf K A).essImage


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E

HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y

∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤

Context: a : ℝ≥0∞

Context: ha : a ∈ Set.Ioi ↑c


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : ↑a ∈ Set.Ioi ↑c


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : c < a

Context: hc : ∀ (x_1 : ℝ≥0), c < x_1 → x < x_1 ^ y


Context: y : ℝ

Context: hy : 0 < y

Context: x c : ℝ≥0

Context: left✝ : True

Context: hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤

Context: a : ℝ≥0

Context: ha : c < a


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
i : ℕ
h : i < q - 1
hi : ¬i = 0


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))


∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset α

(∀ r ∈ 0, Prime r) → p ∣ Multiset.prod 0 → ∃ q ∈ 0, p ~ᵤ q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q

Context: hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r

Context: hps : p ∣ (a ::ₘ s).prod


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r

Context: hps : p ∣ a * s.prod


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r

Context: hps : p ∣ a * s.prod

Context: h : p ∣ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: s✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r

Context: hps : p ∣ a * s.prod

Context: h : p ∣ s.prod


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup N
hH : H.Normal
f : G →* N
x✝ : G

x✝ ∈ Subgroup.comap f H → ∀ (g : G), g * x✝ * g⁻¹ ∈ Subgroup.comap f H


Context: a x : ℝ

↑(sinKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)


Context: a x : ℝ

(jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π) + jacobiTheta₂' ((starRingEnd ℂ) ↑a) (-(starRingEnd ℂ) (I * ↑x)) / (starRingEnd ℂ) (-2 * ↑π)) / 2 = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → j = i → α

(∏ j : ι, if h : j = i then f j h else 1) = f i ⋯


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
A : Bicone F
i j : J

G.map (A.ι i ≫ A.π j) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0


G.map (if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : Bicone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).π j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).π j


((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).ι j ≫ G.map f.hom = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).ι j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall z 0
hy : y ∈ closedBall z 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α


Context:
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s✝ : Set α
t s : Set β
h : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
l : List α
a : α

count a l = count a (filter (fun b => decide (P b)) l) + count a (filter (fun x => decide ¬P x) l)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
l : List α
a x✝ : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α

supported R R s = span R ((fun i => single i 1) '' s)


(fun i => single i 1) '' s ⊆ ↑(supported R R s)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α


Context: a b : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ

sphere x r = sphere x.1 r ×ˢ closedBall x.2 r ∪ closedBall x.1 r ×ˢ sphere x.2 r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β

sphere x 0 = sphere x.1 0 ×ˢ closedBall x.2 0 ∪ closedBall x.1 0 ×ˢ sphere x.2 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α × β
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ

⇑h '' Metric.ball x r = Metric.ball (h x) r


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M₂
x : ι → R

f x = ∑ i : ι, x i • f fun j => if i = j then 1 else 0


∑ x_1 : ι, f (x x_1 • fun j => if x_1 = j then 1 else 0) = ∑ i : ι, x i • f fun j => if i = j then 1 else 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M₂
x : ι → R
x✝¹ : ι
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

f (x x✝¹ • fun j => if x✝¹ = j then 1 else 0) = x x✝¹ • f fun j => if x✝¹ = j then 1 else 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R

rootMultiplicity r ((expand R p) f) = p * rootMultiplicity (r ^ p) f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
b : β
K : ℝ≥0
x y : α

edist ((fun x => b) x) ((fun x => b) y) ≤ ↑K * edist x y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s

integral μ f = ∑ x ∈ s, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

∀ x ∈ s, x ∉ filter (fun x => x ≠ 0) f.range → (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: x : F

Context: hx : x ∉ filter (fun x => x ≠ 0) f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: x : F

Context: hx : x ∉ f.range ∨ x = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: hx : 0 ∉ f.range ∨ 0 = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: x : F

Context: hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0

Context: hx : x ∉ f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: x : F

Context: hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0

Context: hx : x ∉ Set.range ↑f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: x : F

Context: hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0

Context: hx : ∀ (x_1 : α), ¬↑f x_1 = x


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ

Memℒp f 2 μ ↔ Integrable (fun x => f x ^ 2) μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
x✝ : α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: hx : IsIntegral A x

Context: I : FractionalIdeal A⁰ K := adjoinIntegral A⁰ x hx

Context: hI : IsUnit I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: hx : IsIntegral A x

Context: hI : IsUnit I

Context: mul_self : I * I = I


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
t : Set α
ht : t ∈ T
s : Set α
hs : s ∈ S


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
t : Set α
ht : t ∈ T
s : Set α
hs : s ∈ S
H : s ∩ t = ∅


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s
t : Set α
ht : t ∈ T
s : Set α
hs : s ∈ S
H : (s ∩ t).Nonempty


Context:
ι✝ : Sort u_1
f✝ g : ι✝ → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h0 : x ≠ 0
h : x ≠ ⊤


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R

MvPolynomial.coeff m ((trunc R n) φ) = if m < n then (coeff R m) φ else 0


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
f : Filter α

(∀ (i' : ι), p i' → ∃ i ∈ f, id i ×ˢ id i ⊆ s i') ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : H

x✝¹ ∈ Finset.image (⇑f) A → x✝ ∈ Finset.image (⇑f) B → x✝¹ * x✝ = f a0 * f b0 → x✝¹ = f a0 ∧ x✝ = f b0


(∃ a ∈ A, f a = x✝¹) → (∃ a ∈ B, f a = x✝) → x✝¹ * x✝ = f a0 * f b0 → x✝¹ = f a0 ∧ x✝ = f b0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
a : G
aA : a ∈ A
b : G
bB : b ∈ B
ab : f a * f b = f a0 * f b0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
h : UniqueMul A B a0 b0
a : G
aA : a ∈ A
b : G
bB : b ∈ B
ab : a * b = a0 * b0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L

(Algebra.trace K L) x = finrank (↥K⟮x⟯) L • (Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (AdjoinSimple.gen K x)


(Algebra.trace K L) ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)) = finrank (↥K⟮x⟯) L • (Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (AdjoinSimple.gen K x)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : EMetricSpace α
s : Set α
inst✝ : CompleteSpace α


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : EMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: this : range NonemptyCompacts.toCloseds = {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : EMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

IsClosed {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : EMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: s : Closeds α

Context: hs : s ∈ closure {s | (↑s).Nonempty ∧ IsCompact ↑s}


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : EMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: s : Closeds α


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
hf : Set.LeftInvOn ⇑g ⇑f ↑I


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
g : G
I : Ideal R
hf : Set.LeftInvOn ⇑g ⇑f ↑I
x : R
hx : x ∈ ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂

IsBigOWith c₁ l f₁ g₁ ↔ IsBigOWith c₂ l f₂ g₂


(∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂

(∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖


∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖ ↔ ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
a✝ : α
e₁ : f₁ a✝ = f₂ a✝
e₂ : g₁ a✝ = g₂ a✝

‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖ ↔ ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₂ a✝‖


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Mul N
inst✝² : Mul P
S : Subsemigroup M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : Nonempty N
s : Subsemigroup M
t : Subsemigroup N


Context:
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hb : 0 < b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharP R 1
r : R


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
x✝ : CochainComplex C ℤ
i✝ : ℤ

((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app x✝).f i✝ = ((shiftFunctorZero' C 0 ⋯).hom.app x✝).f i✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'
f : ℕ → α × β
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t

∃ m n, m < n ∧ (fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2) (f m) (f n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t✝ : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: t : Set β

Context: hs : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'

Context: f : ℕ → α × β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t

Context: g₁ : ℕ ↪o ℕ

Context: h₁ : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r ((Prod.fst ∘ f) (g₁ m)) ((Prod.fst ∘ f) (g₁ n))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t✝ : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: t : Set β

Context: hs : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'

Context: f : ℕ → α × β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ×ˢ t

Context: g₁ : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: hlt : m < n

Context: hle : r' ((Prod.snd ∘ f ∘ ⇑g₁) m) ((Prod.snd ∘ f ∘ ⇑g₁) n)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.60184, u_1} C
U✝ : TopCat
X : PresheafedSpace C
f✝ : U✝ ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f✝
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
f : U ⟶ V

X.presheaf.map f ≫ (fun V => X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (unop V)).op) V = (fun V => X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app (unop V)).op) U ≫ X.presheaf.map (⋯.functor.op.map ((Opens.map f✝).op.map f))


X.presheaf.map (f ≫ (⋯.adjunction.counit.app (unop V)).op) = X.presheaf.map ((⋯.adjunction.counit.app (unop U)).op ≫ ⋯.functor.op.map ((Opens.map f✝).op.map f))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
k : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : dist t 0 < 1


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0


x ^ m ∣ ∑ m ∈ Finset.antidiagonal p, p.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2)


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal p


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
hi : m ≤ i


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
hi : i + 1 ≤ m


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.63403, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.63407, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso mn a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X ≫ (F.shiftIso n a a' ha').inv.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk f'

(kernelSubobjectIso f).hom ≫ kernel.map f f' sq.left sq.right ⋯ = kernelSubobjectMap sq ≫ (kernelSubobjectIso f').hom


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Epi f ↔ Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Epi (skeletalEquivalence.functor.map f) ↔ Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

Epi (skeletalFunctor.map f) ↔ Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom f)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g

RingHom.ker (map f g) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

RingHom.ker ((map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

RingHom.ker ((↑(map f (AlgHom.id R D))).comp ↑(map (AlgHom.id R A) g)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker ↑f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker ↑g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker ↑(map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker ↑f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker ↑g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) ⊔ Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) ⊥


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)))


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)) = Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)))


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f) = Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.map (↑includeLeft) (RingHom.ker f) = Ideal.map ((↑(map (AlgHom.id R A) g)).comp ↑includeLeft) (RingHom.ker f)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Ideal.map (↑includeLeft) (RingHom.ker f) = Ideal.map (↑(includeLeft.comp (AlgHom.id R A))) (RingHom.ker f)


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
a : α

mapIdx f (a :: l) = f 0 a :: mapIdx (fun i => f (i + 1)) l


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : F
x : M
s : Set M
hf : Injective ⇑f


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ∣ a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: x : R

Context: hpq : eval x (p /ₘ (X - C x) ^ rootMultiplicity x p) * eval x (q /ₘ (X - C x) ^ rootMultiplicity x q) ≠ 0

rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: x : R

Context: hpq : (p.comp (X + C x)).trailingCoeff * (q.comp (X + C x)).trailingCoeff ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.752508

Context: Bₘ : Type ?u.752511

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : IsGalois (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

(algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ σ : B ≃ₐ[A] B, σ x


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.752508

Context: Bₘ : Type ?u.752511

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.752508

Context: Bₘ : Type ?u.752511

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.752508

Context: Bₘ : Type ?u.752511

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

(algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ i : FractionRing B ≃ₐ[FractionRing A] FractionRing B, ((galRestrict A (FractionRing A) (FractionRing B) B).toEquiv i) x


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.752508

Context: Bₘ : Type ?u.752511

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

(algebraMap A B) ((intNorm A B) x) = ∏ x_1 : FractionRing B ≃ₐ[FractionRing A] FractionRing B, ((galRestrict A (FractionRing A) (FractionRing B) B) x_1) x


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

lift.{u, v} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ lift.{v, u} #R[X] * ℵ₀


#(ULift.{u, v} { x // IsAlgebraic R x }) ≤ #(ULift.{v, u} R[X]) * ℵ₀


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

Context: g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]

Context: hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0

Context: hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

Context: g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]

Context: f : R[X]


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

Context: g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]

Context: f : R[X]

MapsTo Subtype.val (g ⁻¹' {f}) (f.rootSet A)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

Context: g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]

Context: x : ↑{x | IsAlgebraic R x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

p.removeZero.leftInv i = p.removeZero.rightInv i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
f g : α → δ

f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i))] g ↔ ∀ i ∈ t, f =ᶠ[ae (μ.restrict (s i))] g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
x : ↑f.Dom

x ∈ f.asSubtype ⁻¹' s ↔ x ∈ Subtype.val ⁻¹' f.preimage s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : IsClosed s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : IsClosed s

Context: t : ℕ → Set β := fun n => closure (compactCovering β n) ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : IsClosed s

Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : IsClosed s

Context: B : s = ⋃ n, t n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : IsClosed s

Context: B : s = ⋃ n, t n

Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in ⋃ n, t n, f x ∂μ))


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α α' β : Type u
f : α → α'
x : t α β


Context: α β : FinBddDistLat

Context: e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat

Context: x✝ : (forget FinBddDistLat).obj α

((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context: α β : FinBddDistLat

Context: x✝ : (forget FinBddDistLat).obj β

((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x - d) = ∫ (x : ℝ) in a - d..b - d, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)

∃ a ∈ decodeList v.succ, encodeList a = v.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (unpair v).2 ≤ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v
a : List α
h₁ : a ∈ decodeList v₂
h₂ : encodeList a = v₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
h : (v₁, v₂).2 ≤ v
a : List α
h₁ : decodeList v₂ = some a
h₂ : encodeList a = v₂


ofNat α v₁ :: a ∈ decodeList v.succ ∧ encodeList (ofNat α v₁ :: a) = v.succ


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: p : ι → Submodule R N

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)

Context: x : N

x ∈ iSup p ↔ ∃ f, (f.sum fun i xi => ↑xi) = x