Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Context: dXY : (Disjoint on id) s Y

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Context: dXY : (Disjoint on id) s Y

Context: dXZ : (Disjoint on id) s Z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Context: dXY : (Disjoint on id) s Y

Context: dXZ : (Disjoint on id) s Z

Context: dYZ : (Disjoint on id) Y Z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Context: dXY : (Disjoint on id) s Y

Context: dXZ : (Disjoint on id) s Z

Context: dYZ : (Disjoint on id) Y Z

Context: that : 2 * (ε / 8) = ε / 4


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Context: dXY : (Disjoint on id) s Y

Context: dXZ : (Disjoint on id) s Z

Context: dYZ : (Disjoint on id) Y Z

Context: that : 2 * (ε / 8) = ε / 4

Context: this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
this : Invertible 1

(fromBlocks A B C 1).det = (A - B * C).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s


Context:
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p

∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹


Context:
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0

Context: H' : ¬((∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = ⊤)


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: this : ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: this : ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: this : ∑ x ∈ s, ↑(w x * f x).toNNReal ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹


Context: ι : Type u

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ g : ι → ℝ≥0∞

Context: p✝ q : ℝ

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: w f : ι → ℝ≥0∞

Context: hp : 1 < p

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p⁻¹ < 1

Context: this : ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ a ∈ s, ↑(w a).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
h : f x = 2


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : RCLike K
z✝ : K
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
z : K

re (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * re z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: b : β

Context: hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: b : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y

Context: b : β

Context: p1 : α

Context: p2 : β

Context: hp : (p1, p2) ∈ ↑f

Context: this : p1 ≠ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: b : β

Context: p1 : α

Context: p2 : β

Context: hp : (p1, p2) ∈ ↑f

Context: this : p1 ≠ a

Context: hl : p1 < a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: b : β

Context: p1 : α

Context: p2 : β

Context: hp : (p1, p2) ∈ ↑f

Context: this : p1 ≠ a

Context: hr : p1 > a


Context:
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E

b.parallelepiped = PositiveCompacts.map ⇑b.equivFun.symm ⋯ ⋯ (PositiveCompacts.piIcc01 ι)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : K


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : K

Context: this : Nonempty ↑S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i

update y i '' [x₁-[𝕜]x₂] = [update y i x₁-[𝕜]update y i x₂]


(fun x => update y i (x.1 • x₁ + x.2 • x₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • update y i x₁ + p.2 • update y i x₂) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: s : Set ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: x₁ x₂ : π i

Context: y : (i : ι) → π i

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}

update y i (a.1 • x₁ + a.2 • x₂) = a.1 • update y i x₁ + a.2 • update y i x₂


Context:
R✝ : Type u
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: W : Type u₂

Context: inst✝ : Quiver W

Context: F_obj : V → W

Context: map✝¹ map✝ : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)

Context: h_obj : ∀ (X : V), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X = { obj := F_obj, map := map✝ }.obj X

Context: h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := F_obj, map := map✝ }.map f))


Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: W : Type u₂

Context: inst✝ : Quiver W

Context: F_obj : V → W

Context: X Y : V

Context: f : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y

∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
v : ℕ → α
hv_mono : StrictMono v
hv_mem : ∀ (n : ℕ), v n ∈ Ioo (u 0) y
hvy : Tendsto v atTop (𝓝 y)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
M' : LieSubmodule R L M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
x✝ : E

‖x✝‖ ^ 2 = (⇑reCLM ∘ fun x => ⟪id x, id x⟫_𝕜) x✝


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J

Context: H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : Box ι

Context: hle : J ≤ I

Context: hs : ∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)

Context: J' : Box ι

Context: h' : J' ∈ splitCenter J


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: J : Box ι

Context: hle : J ≤ I

Context: s : Set ι

Context: h' : J.splitCenterBox s ∈ splitCenter J


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
r : G.Walk w x

(p.reverseAux q).append r = p.reverseAux (q.append r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v


HasSum (fun i => ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2)


IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s, insert a s = t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : T.obj₂ ⟶ X

Context: hf : T.mor₁ ≫ f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : T.obj₂ ⟶ X

Context: hf : T.mor₁ ≫ f = 0

Context: g : T.obj₃ ⟶ (mk 0 (𝟙 X) 0).obj₃

Context: hg₁ : T.mor₂ ≫ g = f ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₂

Context: right✝ : T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map 0 = g ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₃


Context:
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l

filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m


Context:
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hlm : l ≤ m


Context:
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hml : m ≤ l


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

(L ⋙ L.pointwiseRightKanExtension F).map f ≫ (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₂ = (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₁ ≫ F.map f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f ≫ 𝟙 (L.obj X₂))) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f)) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: φ : StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁)) ⟶ StructuredArrow.mk (L.map f) := StructuredArrow.homMk f ⋯


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : α
x✝ : NumDenSameDeg 𝒜 x

(n • Quotient.mk'' x✝).val = n • val (Quotient.mk'' x✝)


Localization.mk ↑(n • x✝).num ⟨↑(n • x✝).den, ⋯⟩ = Localization.mk (n • ↑x✝.num) ⟨↑x✝.den, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
m : MeasurableSpace α
c : G
h : StronglyMeasurable fun x => c • f x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Algebra R α
r : R

{ toFun := fun M => MulOpposite.op Mᵀ, invFun := __src✝¹.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix m m α)) r) = (algebraMap R (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a - b < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a - 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖


‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: x y : E

Context: this : InnerProductSpace.Core 𝕜 E := InnerProductSpace.toCore


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ

↑((restriction 1).coeff i) = ↑(coeff 1 i)


(if i = 0 then 1 else 0) = ↑(if i = 0 then 1 else 0)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K

IsUnit x ↔ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1


|↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1 ↔ IsUnit ((RingOfIntegers.norm ℚ) x)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)

Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) (traceDual A (FractionRing A) I) = (Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) I)ᵛ


comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) = (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

x ∈ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) ↔ x ∈ (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ


(FractionRing.algEquiv B L).symm x ∈ ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)).dualSubmodule (restrictScalars A I)).toAddSubmonoid ↔ x ∈ ((traceForm K L).dualSubmodule (restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I))).toAddSubmonoid


∀ (a : FractionRing B), a ∈ restrictScalars A I → ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x)) a ∈ 1 ↔ (FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a ∈ restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I) → ((traceForm K L) x) ((FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a) ∈ 1


∀ (a : FractionRing B), a ∈ I → (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * a) ∈ 1 ↔ a ∈ I → (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) a) ∈ 1


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I

(Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1


(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv.symm ((Algebra.trace K L) ((FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y))) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1


(algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

X ◁ (ρ_ Y).hom = (α_ X Y (𝟙_ C)).inv ≫ (ρ_ (X ⊗ Y)).hom


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n % 2 = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y

(D.map f).f ≫ c.ι.app Y = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt


Context:
m n✝ n a✝ p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
h : a ≠ 0


Context:
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0


Context:
x : PGame
h : x ≈ 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: A : C

Context: inst✝¹ : S₁.HasHomology

Context: inst✝ : S₂.HasHomology

Context: h : Mono (opcyclesMap φ)

Context: this : Mono (homologyMap φ ≫ S₂.homologyι)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Zero β

Context: inst✝¹² : One β

Context: inst✝¹¹ : Add β

Context: inst✝¹⁰ : Mul β

Context: inst✝⁹ : Neg β

Context: inst✝⁸ : Sub β

Context: inst✝⁷ : SMul ℕ β

Context: inst✝⁶ : SMul ℤ β

Context: inst✝⁵ : Pow β ℕ

Context: inst✝⁴ : NatCast β

Context: inst✝³ : IntCast β

Context: f : α → β

Context: hf : Surjective f

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : Add α

Context: inst✝ : LeftDistribClass α

Context: add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y

Context: mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y

Context: x y z : α

f x * (f y + f z) = f x * f y + f x * f z


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y


Context: a x z : ℂ


Context:
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
M : Matroid α
R : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsSeparable s

Context: this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsSeparable s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsSeparable s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R

M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ (toLin b₁' b₁) Mᵀ)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: s : Multiset L

Context: hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod

Context: this : DecidableEq K := Classical.decEq K

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Irreducible p

Context: hdp : p ∣ map i f


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: s : Multiset L

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Prime p

Context: hdp : p ∣ map i f


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: s : Multiset L

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Prime p

Context: hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: s : Multiset L

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Prime p

Context: hd : p ∣ C (i f.leadingCoeff)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: s : Multiset L

Context: hf0 : ¬f = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Prime p

Context: hd : p ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.94612

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type ?u.94618

Context: H : Type u_3

Context: H' : Type ?u.94624

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.94632, ?u.94612} C'

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.94640, ?u.94618} D'

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H

Context: inst✝² : Category.{?u.94648, ?u.94624} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.94612

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type ?u.94618

Context: H : Type u_3

Context: H' : Type ?u.94624

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W

Context: this : RF.IsLeftKanExtension α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H ≤ H


H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), comap ϕ.symm.toMonoidHom H ≤ H


Context:
x y : PartENat
h : x < y + 1


Context:
x : PartENat
h : x < ⊤ + 1


Context:
x : PartENat
n : ℕ
h : x < ↑n + 1


Context:
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ : List α

Context: p : α → Bool

Context: l : List α

Context: a : α

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: left✝¹ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ : List α

Context: p : α → Bool

Context: l : List α

Context: a : α

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂

l₁.length + l₂.length + 1 = l₁.length + (w✝ :: l₂).length


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool


l.length - 1 ≤ if Even l.length then l.length else if (some b == l.head?) = true then l.length + 1 else l.length - 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : J(a | p) = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2

↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

(M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (M.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ Q.X) (f.hom ▷ Q.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

(M.X ◁ g.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ Q.X) (f.hom ▷ Q.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

M.X ◁ g.hom ≫ f.hom ▷ Q.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

(f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

(f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ g.hom) (N.X ◁ g.hom) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: P Q : Bimod Y Z

Context: f : M ⟶ N

Context: g : P ⟶ Q

(f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom) ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ P.X ≫ N.X ◁ g.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ Q.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ

((expand R p) f).coeff (n * p) = f.coeff n


Context: x y : ℝ

cosh (3 * x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x


Context: x y : ℝ

↑(cosh (3 * x)) = ↑(4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝

Context: g : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hgtends : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) 1 μ) atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝

Context: g : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: n : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝

Context: g : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: n : ℕ

Context: ht : Tendsto (fun m => eLpNorm (μ[f m - g|↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝

Context: g : Ω → ℝ

Context: μ : Measure Ω

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: n : ℕ

Context: hev : ∀ m ≥ n, eLpNorm (μ[f m - g|↑ℱ n]) 1 μ = eLpNorm (f n - μ[g|↑ℱ n]) 1 μ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : { as := K } ⟶ { as := L }

quasiIso C c f ↔ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : K ⟶ L

quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) ((quotient C c).map f)


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
i j : ι
hij : j ≠ i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hlt : 1 < f j
hle : ∀ k ∈ s, k ≠ i → 1 ≤ f k


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
s : Set α
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f : ↥(Lp E 2 μ)

⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ⟪c, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫_𝕜


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x ≠ v y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x ≠ v y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: h : v x ≠ v y

Context: h' : v (x + y) < max (v x) (v y)

Context: vyx : v y < v x


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: h : v x ≠ v y

Context: h' : v (x + y) < v x

Context: vyx : v y < v x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f✝ f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^⊤⟮I, G; 𝕜⟯⟨g * h⟩

((evalAt (g * h)) X) f = ((𝒅ₕ ⋯) ((evalAt h) X)) f


((𝒅 (𝑳 I g) ((𝑳 I h) 1) ∘ₗ 𝒅 (𝑳 I h) 1) ((evalAt 1) X)) f = ((evalAt h) X) (ContMDiffMap.comp f (𝑳 I g))


((𝒅 (𝑳 I g) ((𝑳 I h) 1)) ((𝒅 (𝑳 I h) 1) ((evalAt 1) X))) f = ((evalAt h) X) (ContMDiffMap.comp f (𝑳 I g))


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β
hs : s.Nodup
ht : t.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x✝ : α ⊕ β
hs✝ : s.Nodup
ht✝ : t.Nodup
x : α ⊕ β
hs : x ∈ Multiset.map inl s
ht : x ∈ Multiset.map inr t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x✝ : α ⊕ β
hs✝ : s.Nodup
ht✝ : t.Nodup
x : α ⊕ β
hs : ∃ a ∈ s, inl a = x
ht : ∃ a ∈ t, inr a = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a✝ : α
b✝ : β
x : α ⊕ β
hs : s.Nodup
ht : t.Nodup
a : α
left✝¹ : a ∈ s
b : β
left✝ : b ∈ t
h : inr b = inl a


Context: n : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X

Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : Set X

Context: this : Fact (1 ≤ 1)

Context: h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : Set X

Context: this : Fact (1 ≤ 1)

Continuous (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: h'g : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, g i) atTop atTop

(fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

Context: B : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ range n, g i‖ = ∑ i ∈ range n, g i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range x, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range x, g i‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖∑ i ∈ range x, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range x, g i‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ‖f b‖ ≤ ε / 2 * g b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: this : (fun x => ∑ i ∈ range N, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, g i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: g : ℕ → ℝ

Context: h : f =o[atTop] g

Context: hg : 0 ≤ g

Context: A : ∀ (i : ℕ), ‖g i‖ = g i

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : ‖∑ i ∈ range N, f i‖ ≤ ε / 2 * ‖∑ i ∈ range n, g i‖

Context: Nn : n ∈ Set.Ici N

‖∑ i ∈ range n, f i‖ ≤ ε * ‖∑ i ∈ range n, g i‖


Context:
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size


((a ++ b).extract i j).size = (a.extract i j).size


∀ (i_1 : Nat) (hi₁ : i_1 < ((a ++ b).extract i j).size) (hi₂ : i_1 < (a.extract i j).size), ((a ++ b).extract i j)[i_1] = (a.extract i j)[i_1]


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : ↥(ideal R S)

(D R S).tensorProductTo ↑x = (ideal R S).toCotangent x


LinearMap.id ((ideal R S).toCotangent x) = (ideal R S).toCotangent x


Context:
x : ℝ
n : ℤ


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : 0 < a
h₂ : b ≤ c


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁✝ : 0 < a
h₂ : b ≤ c
h₁ : 1 < a


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁✝ : 0 < a
h₂ : b ≤ c
h₁ : 1 = a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n % 2 = 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderBot α
s✝¹ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupBotHomClass F α β
f : F
s✝ : Finset ι
g : ι → α
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
h : f (s.sup g) = s.sup (⇑f ∘ g)

f ((cons i s x✝).sup g) = (cons i s x✝).sup (⇑f ∘ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

ReflTransGen (TransGen r) = ReflTransGen r


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : AddZeroClass β
f g : Multiset α →+ β
h : ∀ (x : α), f {x} = g {x}
a : α
s : Multiset α
ih : f s = g s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


Option.rec nil Prod.snd (Option.map (fun a => (a, ↑s.tail)) s.head) = ↑s.tail


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group M

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: b : α

Context: b_in_orbit : b ∈ orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group M

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: b : α

Context: g : M

Context: g_fixing : g ∈ fixingSubgroup M sᶜ

Context: g_eq : ⟨g, g_fixing⟩ • a = b


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group M

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: b : α

Context: g : M

Context: g_fixing : g ∈ fixingSubgroup M sᶜ

Context: g_eq : g • a = b


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group M

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: b : α

Context: g : M

Context: g_fixing : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s

Context: g_eq : g • a = b


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: inst✝ : Small.{v, u} ↑s

Context: hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)

(fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).Initial


Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: s : Set J

Context: inst✝ : Small.{v, u} ↑s

Context: i : J

∃ c, Nonempty ((fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).obj c ⟶ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)


Measurable fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
η₁ η₂ : R
hη₁ : η₁ ∈ nthRootsFinset n R
hη₂ : η₂ ∈ nthRootsFinset n R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.91408, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
n₁ n₂ : ℤ

(inr φ).f n₁ ≫ (mappingCone φ).d n₁ n₂ = G.d n₁ n₂ ≫ (inr φ).f n₂


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
f : B ⟶ A
inst✝ : Exponentiable B
X : C

uncurry ((pre f).app X) = prod.map f (𝟙 (A ⟹ X)) ≫ (exp.ev A).app X


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s t : Set X


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : E → 𝕜'

Context: f' : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x : E

Context: hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x)

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : E → 𝕜'

Context: f' : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x

HSMul.hSMul h₂' = (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x✝² : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : E → 𝕜'

Context: f' : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x✝¹ : E

Context: hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x✝¹)

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' x✝¹

Context: x : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x✝ : E

(h₂' • x) x✝ = ((ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp x) x✝


Context:
x : ℝ
h : 0 < x


Context:
x : ℝ
h : 0 < x
h' : 1 < x


Context:
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1


Context:
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x


Context: x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x

Context: this : sin x - (x - x ^ 3 / 6) ≤ |x| ^ 4 * (5 / 96)


Context: x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x

Context: this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)


Context: x : ℝ

Context: h : 0 < x

Context: h' : x ≤ 1

Context: hx : |x| = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b ≤ a


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n


∑ j_1 : n, A i j_1 * A.adjugate j_1 j = if i = j then A.det else 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v)


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

derivFamily f = enumOrd (⋂ i, fixedPoints (f i))


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

StrictMono (derivFamily f) ∧ Set.range (derivFamily f) = ⋂ i, fixedPoints (f i)


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Set.range (derivFamily f) = ⋂ i, fixedPoints (f i)


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

(∀ (a : Ordinal.{max u v}), derivFamily f a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)) ∧ ∀ b ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i), ∃ a, derivFamily f a = b


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)


Context: ι : Type u

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: ha : ∀ (i : ι), a ∈ fixedPoints (f i)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : E → F
f'✝ : E →L[𝕜] F
s✝ t : Set E
c✝ c' : ℝ≥0
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0

ApproximatesLinearOn f f' s c ↔ LipschitzOnWith c (f - ⇑f') s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E →L[𝕜] F

Context: s✝ t : Set E

Context: c✝ c' : ℝ≥0

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: this : ∀ (x y : E), f x - f y - f' (x - y) = (f - ⇑f') x - (f - ⇑f') y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S p₁ p₂ : Submonoid M

Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x : M}, x ∈ p₁ → x ∈ p₂ → x = 1


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

Context: h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2


Context: n : ℕ

Context: g : HasSum (fun k => ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)) ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2))


Context: n : ℕ

Context: hab : ∀ (k : ℕ), 1 / (2 * ↑(k + 1) + 1) * ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1) ≤ ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x) ↔ ∀ (x : α), μ {x} ≠ 0 → p x


(∀ x ∈ {a | ¬p a}, μ {x} = 0) ↔ ∀ (x : α), μ {x} ≠ 0 → p x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ u)

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: t : Set E

Context: t_open : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t

Context: ht : DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ t)


Context: s : ℂ

s.GammaIntegral = mellin (fun x => ↑(rexp (-x))) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Reflexive r


Context:
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
h : m ≤ ↑n


Context:
m✝ n✝ : ℕ∞
n m : ℕ
h : ↑m ≤ ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0

∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ ⊤

Context: h : ¬r = 0

Context: rinv : r * r⁻¹ = 1

Context: rinv' : r⁻¹ * r = 1

Context: this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), r⁻¹ * (r * f a) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ ⊤

Context: h : ¬r = 0

Context: rinv : r * r⁻¹ = 1

Context: rinv' : r⁻¹ * r = 1

Context: this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
x : α
h : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ φ i

∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ ⋂ k ∈ Ici i, φ k


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
h : a - 1 = a


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ


↑z ≤ ↑a ↔ z ≤ ↑a


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder I

Context: inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J K : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)

Context: hJK : ∀ (i : I), J i → K i

⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J K : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)

Context: hJK : ∀ (i : I), J i → K i

Context: this : ⇑(eval (π C J) l) ∘ ⇑(Homeomorph.setCongr ⋯) = ⇑(eval (π (π C K) J) l)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1))


Context: x y : ℂ

sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A


map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A 1) ≤ 1


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

(↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x) ∈ 1


IsIntegral A ((↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x))


IsIntegral A ((Algebra.linearMap B L) x)


∃ y, (algebraMap B L) y = (Algebra.linearMap B L) x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
B : M →ₗ[R] M' →ₗ[R] R
x : M'

x ∈ (range B).dualCoannihilator ↔ x ∈ ker B.flip


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : numeratorHom r₁ = numeratorHom r₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Ring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup X

Context: inst✝ : Module R X

Context: hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R

Context: r₁ r₂ : R

Context: h : ∃ u v, u • r₂ = v • r₁ ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : u • r₂ = v • r₁
h₂ : ↑u * ↑1 = v * ↑1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * r₂ = v * r₁
h₂ : ↑u = v


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * (r₂ - r₁) = 0
h₂ : ↑u = v


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n

((toLin v₁ v₂) M) (v₁ i) = ∑ j : m, M j i • v₂ j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ

(M *ᵥ ⇑(v₁.repr (v₁ i))) j • v₂ j = M j i • v₂ j


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → M j b * (Finsupp.single i 1) b = 0


i ∉ Finset.univ → M j i * (Finsupp.single i 1) i = 0


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B


Context:
x y : Class
h : Set.Nonempty x

y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z


Context:
x y : Class
h : Set.Nonempty x
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z


∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z


Context:
x y : Class
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
z : ZFSet
hz : z ∈ x


Context:
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z

∃ x_1, ↑x_1 = ↑y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z


Context:
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z
w : ZFSet
hxw : x w


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ

‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
z : A

(∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g


(∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c

i.desc (Cofork.ofπ f ⋯) ≫ c.π = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj one)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: f✝ g : X✝ ⟶ Y

Context: X : C

Context: f : X ⟶ X

Context: hf : f ≫ f = f

Context: c : Cofork (𝟙 X) f

Context: i : IsColimit c

Context: this : Epi c.π := epi_of_isColimit_cofork i


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: f✝ g : X✝ ⟶ Y

Context: X : C

Context: f : X ⟶ X

Context: hf : f ≫ f = f

Context: c : Cofork (𝟙 X) f

Context: i : IsColimit c


Context:
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a


Context:
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Finite


Context:
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Infinite


Context:
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : IsOpen s


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

∀ x ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ x ∈ t


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: x : ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: hx : x ∈ s

∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) x ∈ t


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx' : x ∈ U i

Context: hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s

∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ t


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx' : x ∈ U i

⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∧ IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion) ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx' : x ∈ U i

IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion) ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
rlt : α → α → Prop
inst✝ : IsNonstrictStrictOrder α r rlt

x ∈ minimals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt y x → y ∉ s


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬(x = 0 ∧ y = 0)

Real.sin (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0


‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ≠ 0


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x✝ : (i : ι) → E i

((↑(mapL f)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((map fun i => ↑(f i)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ

minimalPeriod g x.2 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x


minimalPeriod g x.2 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α

generateFrom (range (natGeneratingSequence α)) = m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D

P.inverseImage E.functor = P.map E.inverse


P.inverseImage E.functor ≤ P.map E.inverse


P.map E.inverse ≤ P.inverseImage E.functor


Context:
α✝ : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
n✝ : ℕ
n : ℕ∞

n ≤ minOrder α ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)


(∀ ⦃a : α⦄, a ≠ 1 → IsOfFinOrder a → n ≤ ↑(orderOf a)) ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x

∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (f x)


(∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (f x)


Context:
x y b : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hb : ¬1 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ s : Set ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty


Context:
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0

arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: hJK : ∀ (i : I), J i → K i

Context: hKL : ∀ (i : I), K i → L i

Context: x : ↑(π C L)

Context: i : I

↑((ProjRestricts C hJK ∘ ProjRestricts C hKL) x) i = ↑(ProjRestricts C ⋯ x) i


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: hJK : ∀ (i : I), J i → K i

Context: hKL : ∀ (i : I), K i → L i

Context: x : ↑(π C L)

Context: i : I

(if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

support ↑f = ↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)


Context:
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re

Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1))) (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume)


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: hst : 0 < (s + t).re


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: hst : 0 < (s + t).re

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: hst : 0 < (s + t).re

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: hst : 0 < (s + t).re

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

Context: y : ℝ

cexp (-↑x) = cexp (-↑y) * cexp (-(↑x - ↑y))


Context: s t : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: ht : 0 < t.re

Context: hst : 0 < (s + t).re

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

Context: y : ℝ


Context:
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'

((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff x✝ = ((of R).symm (r • x)).coeff x✝


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'

blockDiagonal' (fun k => M k * N k) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩ = (blockDiagonal' M * blockDiagonal' N) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩


(if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : o, ∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0


(if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : n' k, (if h : k = k then M k i (cast ⋯ x) else 0) * if h : k = k' then N k x (cast ⋯ j) else 0


∀ (x : o), x ≠ k → (∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : μ univ < ∑ i ∈ s, μ (t i)

∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, ∃ (_ : i ≠ j), (t i ∩ t j).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set α

Context: h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ

Context: H : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → t i ∩ t j = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set α

Context: h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set α

Context: h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑s

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ ↑s

Context: hij : i ≠ j


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

Context: der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) * Complex.sin (2 * z * ↑x)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

IntervalIntegrable (fun x => ↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) volume 0 (π / 2)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

IntervalIntegrable (fun x => Complex.sin (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: Y₁ Y₂ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: g₁ g₂ : StructuredArrow Y₂ L

Context: φ : g₁ ⟶ g₂

((const (StructuredArrow Y₂ L)).obj (limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F))).map φ ≫ (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F).map φ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : StructuredArrow Y L

limit.lift (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j = 𝟙 (limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F)) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : StructuredArrow Y L

limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : StructuredArrow Y L


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : StructuredArrow Y₃ L

limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j = (limit.lift (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : StructuredArrow Y₃ L

limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : StructuredArrow Y₃ L

(StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j = (StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
x : E

f.normed μ x ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal


↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y : R✝
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R

sInf {J | ⊥ ≤ J ∧ J.IsPrime} = sInf {J | J.IsPrime}


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

(p.succAbove i).rev = p.rev.succAbove i.rev