Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : CommSemiring A'

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: p✝ q : R[X]

Context: x : A

Context: p : R[X]

Context: _hp : p ∈ ⊤


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : CommSemiring A'

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: p✝ q : R[X]

Context: x : A

Context: p : R[X]

Context: _hp : p ∈ ⊤

Context: S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b a : α
s t : Set α

IsLeast (s ∪ t) a ↔ IsLeast s a ∧ a ∈ lowerBounds t ∨ a ∈ lowerBounds s ∧ IsLeast t a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
u : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
hn : IsUnit ↑0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0


∃ a b, a * (X ^ n - C ↑u) + b * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1


-C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1


-C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * (C ↑n * X ^ (n - 1)) = 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: n : ℕ

Context: σ : Fin n →₀ M

Context: i : M

Context: f : Fin (n + 1) → M → N

Context: h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

(cons i σ).sum f = f 0 i + σ.sum (Fin.tail f)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: n : ℕ

Context: σ : Fin n →₀ M

Context: i : M

Context: f : Fin (n + 1) → M → N

Context: h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

∑ i_1 : Fin (n + 1), f i_1 ((cons i σ) i_1) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: n : ℕ

Context: σ : Fin n →₀ M

Context: i : M

Context: f : Fin (n + 1) → M → N

Context: h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

f 0 i + ∑ x : Fin n, f x.succ (σ x) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.degree = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
n : ℤ
f0 : ¬f n = 0 n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
n : ℤ
f0 : ¬f n = 0 n
h : ∀ (s : ℤ), ¬f s = 0 → False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α

u ~[l] v ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v


(∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u - v =ᶠ[l] φ * v) ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)

Context: hg : Continuous (Function.uncurry g)

StronglyMeasurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module A M'
inst✝⁶ : IsLocalization S A
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M''
inst✝² : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R'
inst✝ : Algebra R R'

IsLocalizedModule S (Algebra.ofId R R').toLinearMap ↔ IsLocalization S R'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α

∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

Context: upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

Context: upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α

Context: h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε

Context: h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε

Context: hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

Context: upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: DP : List Bool → P := fun l => List.rec ⟨C, ⋯⟩ (fun a l ih => Bool.casesOn (motive := fun t => a = t → P) a (fun h => ⟨C0 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) (fun h => ⟨C1 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) ⋯) l

Context: D : List Bool → Set α := fun l => ↑(DP l)

Context: hanti : ClosureAntitone D

Context: hdiam : VanishingDiam D

Context: hdisj' : CantorScheme.Disjoint D


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

Context: upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hanti : ClosureAntitone D

Context: hdiam : VanishingDiam D

Context: hdisj' : CantorScheme.Disjoint D

Context: hdom : ∀ {x : ℕ → Bool}, x ∈ (inducedMap D).fst


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

Context: upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hanti : ClosureAntitone D

Context: hdiam : VanishingDiam D

Context: hdisj' : CantorScheme.Disjoint D

Context: x y : ℕ → Bool

Context: hxy : (fun x => (inducedMap D).snd ⟨x, ⋯⟩) x = (fun x => (inducedMap D).snd ⟨x, ⋯⟩) y


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : J

IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : J

IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: hc : IsUniversalColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this✝ : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

Context: j : J

Context: this : IsIso e.inv.hom


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
h : a ∈ t
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic

Indep (limsup s atTop) (limsup s atTop) κ μα


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: C : Set (ℕ →. ℕ)

Context: f g : ℕ →. ℕ

Context: hf : Nat.Partrec f

Context: hg : Nat.Partrec g

Context: fC : f ∈ C

Context: w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C

Context: h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: C : Set (ℕ →. ℕ)

Context: f g : ℕ →. ℕ

Context: hf : Nat.Partrec f

Context: hg : Nat.Partrec g

Context: fC : f ∈ C

Context: w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C

Context: c : Code

Context: e : c.eval = fun b => bif decide ((fun c => c.eval ∈ C) (c, b).1) then (fun a b => g (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2 else (fun a b => f (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: C : Set (ℕ →. ℕ)

Context: f g : ℕ →. ℕ

Context: hf : Nat.Partrec f

Context: hg : Nat.Partrec g

Context: fC : f ∈ C

Context: w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C

Context: c : Code

Context: e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t


Convex 𝕜 ((fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N


IsSimpleModule R ↥m ↔ IsSimpleOrder ↑(Set.Iic m)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

(map Subtype.val) ((restriction s) x) = x


(map Subtype.val) ((restriction s) 1) = 1


(map Subtype.val) ((restriction s) (-1)) = -1


∀ z ∈ of '' s, ∀ (n : FreeCommRing α), (map Subtype.val) ((restriction s) n) = n → (map Subtype.val) ((restriction s) (z * n)) = z * n


∀ {x y : FreeCommRing α}, (map Subtype.val) ((restriction s) x) = x → (map Subtype.val) ((restriction s) y) = y → (map Subtype.val) ((restriction s) (x + y)) = x + y


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0

padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ

Context: hn₁ : n₁ ≠ 0

Context: hn₂ : n₂ ≠ 0

Context: hd₁ : d₁ ≠ 0

Context: hd₂ : d₂ ≠ 0

Context: hf1 : multiplicity.Finite (↑p) (n₁ * d₂)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ

Context: hn₁ : n₁ ≠ 0

Context: hn₂ : n₂ ≠ 0

Context: hd₁ : d₁ ≠ 0

Context: hd₂ : d₂ ≠ 0

Context: hf2 : multiplicity.Finite (↑p) (n₂ * d₁)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x


∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 1


Context: a b : ℝ

Context: nb ne : ℕ

Context: pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)

Context: pe' : IsInt (a ^ Int.negOfNat nb) (Int.negOfNat ne)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
this : S.HasHomology


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ

↑(a.choose b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer K b) / ↑b !


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑n ≤ multiplicity J I
hI : ¬I = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: l₂ : List (Lists α)

Context: head✝ : Lists α

Context: tail✝ : List (Lists α)

Context: l₁_ih : tail✝ ⊆ l₂ → ofList tail✝ ⊆ ofList l₂

Context: h : head✝ :: tail✝ ⊆ l₂


Context: α : Type u_1

Context: l₂ : List (Lists α)

Context: head✝ : Lists α

Context: tail✝ : List (Lists α)

Context: h : head✝ :: tail✝ ⊆ l₂


Context: α : Type u_1

Context: l₂ : List (Lists α)

Context: head✝ : Lists α

Context: tail✝ : List (Lists α)

Context: h : head✝ ∈ l₂ ∧ tail✝ ⊆ l₂


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b c : R
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a b c : R

Context: hab : a ≤ b

Context: hc : c ∈ AddSubmonoid.closure (Set.range fun s => star s * s)


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_lt_m : n < m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
k : ℕ
hnk : n.succ ≤ k
hk : g.contsAux k = g.contsAux (n + 1)


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: n_lt_m : n < m

Context: terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

Context: k : ℕ

Context: hnk : n.succ ≤ n + k + 1

Context: hk : g.contsAux (n + k + 1) = g.contsAux (n + 1)

g.contsAux (n + k + 1 + 1) = g.contsAux (n + 1)


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: n_lt_m : n < m

Context: terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

Context: k : ℕ

Context: hnk : n.succ ≤ n + k + 1


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0

¬Summable fun b => jacobiTheta₂'_term b z τ


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ : Embedding ⇑i₁
H₂ : Embedding ⇑i₂
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂

Embedding ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)


Embedding (⇑(prod.lift (pullback.fst g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂)) ∘ ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂))


Embedding ⇑(prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂) ≫ prod.map i₁ i₂)


Embedding (⇑(prod.map i₁ i₂) ∘ ⇑(prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂)))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4719, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4719, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact
this : Epi S.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4719, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.ShortExact
this : Mono S.f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β

UniformInducing f ↔ UniformContinuous f ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α


𝓤 α ≤ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ∧ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α ↔ 𝓤 α ≤ comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer
g : M
hg : g ∈ S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T1Space R


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T1Space R
x y : V
hxy : x ≠ y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T1Space R
x y : V
hxy : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ f y


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : Integrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: I : Integrable (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Context: h'x : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

∀ (x_1 : Set α), (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ) / μ x_1 = (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

∫⁻ (y : α) in a, ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

(fun a => ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ a - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict a)] fun a => ↑‖f a - f x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, (fun a => ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ a - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊) x_1 = (fun a => ↑‖f a - f x‖₊) x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: y : α

Context: hy : f y = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y

↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ y - AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊ = ↑‖f y - f x‖₊


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α

s ⊆ exterior t ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → t ⊆ U → s ⊆ U


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : Preadditive D
F G : C ⥤ D
ι : Type u_3
s : Finset ι
X : C
α : ι → (F ⟶ G)

(∑ i ∈ s, α i).app X = ∑ i ∈ s, (α i).app X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b


Context: m n a b c d : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
σ : α → Type u_1
l₂ : (a : α) → List (σ a)
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup
a₁ a₂ : α
n : a₁ ≠ a₂
x : (a : α) × σ a
h₁ : x ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)
h₂ : x ∈ map (Sigma.mk a₂) (l₂ a₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂✝ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: σ : α → Type u_1

Context: l₂ : (a : α) → List (σ a)

Context: d₁ : l₁.Nodup

Context: d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup

Context: a₁ a₂ : α

Context: n : a₁ ≠ a₂

Context: b₁ : σ a₁

Context: left✝ : b₁ ∈ l₂ a₁

Context: h₁ : ⟨a₁, b₁⟩ ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)

Context: h₂ : ⟨a₁, b₁⟩ ∈ map (Sigma.mk a₂) (l₂ a₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂✝ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: σ : α → Type u_1

Context: l₂ : (a : α) → List (σ a)

Context: d₁ : l₁.Nodup

Context: d₂ : ∀ (a : α), (l₂ a).Nodup

Context: a₁ : α

Context: b₁ : σ a₁

Context: left✝ : b₁ ∈ l₂ a₁

Context: n : a₁ ≠ a₁

Context: h₂ : ⟨a₁, b₁⟩ ∈ map (Sigma.mk a₁) (l₂ a₁)

Context: mb₂ : b₁ ∈ l₂ a₁


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp a b = toIcoMod hp 0 (b - a) + a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s

(affineCombination k s p) (affineCombinationSingleWeights k i) = p i


∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → affineCombinationSingleWeights k i i2 = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
W X Y Z : C
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = 𝟙 W


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

Context: t : (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (biprod.map f g ≫ inv (biprod.map f g)) = (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (𝟙 (W ⊞ X))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

Context: t : f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = biprod.inl ≫ biprod.fst


(biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst) ≫ f = 𝟙 Y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

Context: t : (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (inv (biprod.map f g) ≫ biprod.map f g) = (fun p => biprod.inl ≫ p ≫ biprod.fst) (𝟙 (Y ⊞ Z))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

Context: t : biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst ≫ f = biprod.inl ≫ biprod.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst ≫ f = 𝟙 Y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Set β

Context: hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ∩ g t

Context: s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α × β → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ ⊗ₘ κ)

Integrable f (μ ⊗ₘ κ) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y)) (κ x)) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂κ x) μ


(∀ᵐ (x : α) ∂(Kernel.const Unit μ) (), Integrable (fun y => f (x, y)) ((Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x))) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x)) ((Kernel.const Unit μ) ()) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y)) (κ x)) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂κ x) μ


Context: x : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ici ↑x ∩ Iio ⊤) = Ici x


Context: n : ℤ


Context:
s : ℝ
hs : s ≠ 0

(s + 1).doublingGamma = s * s.doublingGamma


Context:
s : ℝ
hs : s ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re

HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i

Context: this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), (if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) = a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a' i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i

Context: i : ι

↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s = ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a' i / ↑(p i) ^ s


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsInitial X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: Y' : ?m.145927

mapBifunctorMapMap F p φ (𝟙 ((single₀ I).obj Y)) ≫ (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X').hom = (mapBifunctorRightUnitor F Y e p hp X).hom ≫ φ


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
g : ι → ι
hf : ∀ (a : ι), f (g a) ≤ f a

(↑(Finset.image g s)).PairwiseDisjoint f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a x : α
hx : x ∈ factors a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a x : α
hx : x ∈ factors a
ane0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a x : α
ane0 : a ≠ 0
hx : x ∈ Classical.choose ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
this : Iic ε ∈ 𝓝 0


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
h1 : m ≠ 1
h2 : w.fstIdx ≠ some i


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : z < 0


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : z = 0


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
H : 0 < z


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonAssocSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: x : ⨂[R] (i : ι), A i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTop α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂

⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, s.points i₁ -ᵥ s.points i₂⟫_ℝ = 0


⟪(univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂), (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂)⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

Context: hs : ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

-(∑ i : Fin (n + 2 + 1), ∑ i₂_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ (pointIndex i) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i₂_1 * (dist (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i)) (s.pointsWithCircumcenter i₂_1) * dist (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i)) (s.pointsWithCircumcenter i₂_1)) + ∑ i₂_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂ circumcenterIndex * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i₂_1 * (dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter i₂_1) * dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter i₂_1))) / 2 = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

-(∑ x : Fin (n + 2 + 1), ∑ x_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (if x = i₁ ∨ x = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x_1 * (dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1) * dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1)) + ∑ x : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), -2 / ↑(n + 1) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x * (dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x) * dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x))) / 2 = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

Context: fs : Finset (Fin (n + 3)) := {i₁, i₂}

Context: hfs : ∀ i ∉ fs, i ≠ i₁ ∧ i ≠ i₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

Context: fs : Finset (Fin (n + 3)) := {i₁, i₂}

Context: hfs : ∀ i ∉ fs, i ≠ i₁ ∧ i ≠ i₂

-(∑ x ∈ fs, ∑ x_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (if x = i₁ ∨ x = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x_1 * (dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1) * dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1)) + ∑ x : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), -2 / ↑(n + 1) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x * (dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x) * dist s.circumcenter (s.pointsWithCircumcenter x))) / 2 = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: h : ¬i₁ = i₂

Context: fs : Finset (Fin (n + 3)) := {i₁, i₂}

Context: hfs : ∀ i ∉ fs, i ≠ i₁ ∧ i ≠ i₂

∀ x ∈ univ, x ∉ fs → ∑ x_1 : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), (if x = i₁ ∨ x = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) * (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) x_1 * (dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1) * dist (s.points x) (s.pointsWithCircumcenter x_1)) = 0


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Finite n
c : R

updateRow 1 i (1 i + c • 1 j) = transvection i j c


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Finite n
c : R
val✝ : Fintype n


StrictConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => (fun x => x ^ (1 / 2)) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G'' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G''

Context: T : Set α → G'' →L[ℝ] G'

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G'' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G''

Context: T : Set α → G'' →L[ℝ] G'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

Context: f' : α →ₛ G''

Context: hf' : 0 ≤ f'

Context: hff' : ↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: K L : HomologicalComplex C₁ c

Context: φ : K ⟶ L

Context: F : C₁ ⥤ C₂

Context: inst✝⁶ : F.Additive

Context: inst✝⁵ : F.PreservesHomology

Context: i : ι

Context: inst✝⁴ : K.HasHomology i

Context: inst✝³ : L.HasHomology i

Context: inst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i

Context: inst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

QuasiIsoAt ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ i


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: K L : HomologicalComplex C₁ c

Context: φ : K ⟶ L

Context: F : C₁ ⥤ C₂

Context: inst✝⁶ : F.Additive

Context: inst✝⁵ : F.PreservesHomology

Context: i : ι

Context: inst✝⁴ : K.HasHomology i

Context: inst✝³ : L.HasHomology i

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₂ c i).map ((F.mapHomologicalComplex c).map φ)) ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₁ c i).map φ)


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J

(isoOfEquivalence e w).inv ≫ limit.π F j = limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j


((limit.isLimit F).conePointsIsoOfEquivalence (limit.isLimit G) e w).inv ≫ limit.π F j = limit.π G (e.functor.obj j) ≫ w.hom.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
a : α
d : δ


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X

pushforwardFamily α x f ⋯ = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)


ℱ'.val.map (Nonempty.some ⋯).lift.op (α.app (op (Nonempty.some ⋯).1) (ℱ.map (Nonempty.some ⋯).map.op x)) = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
l : CoverByImageStructure G f

ℱ'.val.map l.lift.op (α.app (op l.1) (ℱ.map l.map.op x)) = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y W : C
iYW : G.obj Y ⟶ G.obj W
iWX : G.obj W ⟶ X

ℱ'.val.map { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.lift.op (α.app (op { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.1) (ℱ.map { obj := W, lift := iYW, map := iWX, fac := ⋯ }.map.op x)) = α.app (op Y) (ℱ.map (iYW ≫ iWX).op x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α


∀ t' ∈ {F | M.Flat F ∧ X ∩ M.E ⊆ F}, X ∩ M.E ⊆ t'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
t : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : toTopologicalSpace = t
h' : toTopologicalSpace = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
t : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactSpace γ
u u' : UniformSpace γ
h : toTopologicalSpace = t
h' : toTopologicalSpace = t
this✝ : CompactSpace γ
this : CompactSpace γ


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x : ⨂[R] (x : ι), M

((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x) = x


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommMonoid F

Context: t : ι → Type u_11

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i₀ : ι

Context: x : ⨂[R] (x : ι), M

Context: this : ∀ (f : ι → M) (z : M), (fun x => z) = update f i₀ z


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommMonoid F

Context: t : ι → Type u_11

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i₀ : ι

Context: x : ⨂[R] (x : ι), M

∀ (r : R) (f : ι → M), ((tprod R) fun x => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) (r • (tprod R) f)) = r • (tprod R) f


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝³ : AddCommMonoid F

Context: t : ι → Type u_11

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i₀ : ι

Context: x : ⨂[R] (x : ι), M

∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), M), ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x) = x → ((tprod R) fun x => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) y) = y → ((tprod R) fun x_1 => (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) (x + y)) = x + y


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t✝ : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t✝ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t✝ i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
t : M

{ toFun := ⇑(lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun m => (tprod R) fun x => m) t) = t


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
r : R
x : ⨂[R] (x : ι), M

(lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) (r • x) = (RingHom.id R) r • (lift ((ofSubsingleton R M M i₀) LinearMap.id)) x


Context: α : Type u_1

Context: p q : α → Bool

Context: l : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true → q x = true


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜

fderiv 𝕜 (fun x => x⁻¹) x = smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)


Context: a b m n✝ p n k : ℕ

Context: ih : (n ^ k).factorization = k • n.factorization

(n ^ (k + 1)).factorization = (k + 1) • n.factorization


Context: a b m n p k : ℕ

Context: ih : (0 ^ k).factorization = k • factorization 0

(0 ^ (k + 1)).factorization = (k + 1) • factorization 0


Context: a b m n✝ p n k : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m✝ n✝ : ℕ
l : List α
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: J : Type u_1

Context: inst✝¹ : W.RespectsIso

Context: inst✝ : HasProductsOfShape J C

Context: hW : ∀ (X₁ X₂ : J → C) (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j), (∀ (j : J), W (f j)) → W (Pi.map f)

Context: X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C

Context: c₁ : Cone X₁

Context: c₂ : Cone X₂

Context: hc₁ : IsLimit c₁

Context: hc₂ : IsLimit c₂

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : W.functorCategory (Discrete J) f

Context: φ : (j : J) → X₁.obj { as := j } ⟶ X₂.obj { as := j } := fun j => f.app { as := j }

Context: hf' : W (Pi.map φ)

W (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: J : Type u_1

Context: inst✝¹ : W.RespectsIso

Context: inst✝ : HasProductsOfShape J C

Context: X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C

Context: c₁ : Cone X₁

Context: c₂ : Cone X₂

Context: hc₁ : IsLimit c₁

Context: hc₂ : IsLimit c₂

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : W.functorCategory (Discrete J) f

Context: hf' : W (Pi.map φ)

Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f }) ≅ Arrow.mk (Pi.map φ)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: J : Type u_1

Context: inst✝¹ : W.RespectsIso

Context: inst✝ : HasProductsOfShape J C

Context: X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C

Context: c₁ : Cone X₁

Context: c₂ : Cone X₂

Context: hc₁ : IsLimit c₁

Context: hc₂ : IsLimit c₂

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : W.functorCategory (Discrete J) f

Context: hf' : W (Pi.map φ)

(hc₁.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₁) ≪≫ (Pi.isoLimit X₁).symm).hom ≫ (Arrow.mk (Pi.map φ)).hom = (Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })).hom ≫ (hc₂.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₂) ≪≫ (Pi.isoLimit X₂).symm).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: J : Type u_1

Context: inst✝¹ : W.RespectsIso

Context: inst✝ : HasProductsOfShape J C

Context: X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C

Context: c₁ : Cone X₁

Context: c₂ : Cone X₂

Context: hc₁ : IsLimit c₁

Context: hc₂ : IsLimit c₂

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : W.functorCategory (Discrete J) f

Context: hf' : W (Pi.map φ)

∀ (j : Discrete J), ((hc₁.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₁) ≪≫ (Pi.isoLimit X₁).symm).hom ≫ (Arrow.mk (Pi.map φ)).hom) ≫ limit.π (Discrete.functor fun j => X₂.obj { as := j }) j = ((Arrow.mk (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })).hom ≫ (hc₂.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit X₂) ≪≫ (Pi.isoLimit X₂).symm).hom) ≫ limit.π (Discrete.functor fun j => X₂.obj { as := j }) j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

C.d k₀ (c.next k₀) ≫ hom (c.next k₀) k₀ + hom k₀ (c.prev k₀) ≫ D.d (c.prev k₀) k₀ = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: s : Set α := {x | ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)}

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: u : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ∩ o n

Context: w : ℕ → Set α := fun n => s ∩ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ∩ o n

Context: m n : ℕ

μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤

Context: J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤

Context: J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤

Context: A : ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ↑p * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤

Context: J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤

Context: B : ↑q * μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) ≤ ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤

Context: J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤

Context: h : ¬μ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p q : ℝ≥0

Context: hpq : p < q

Context: o : ℕ → Set α := spanningSets (ρ + μ)

Context: m n : ℕ

Context: I : (ρ + μ) (u m) ≠ ⊤

Context: J : (ρ + μ) (w n) ≠ ⊤

ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n)) < ρ (toMeasurable (ρ + μ) (u m) ∩ toMeasurable (ρ + μ) (w n))


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ S


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
r : R
hk : 0 < k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop

(∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔ ∀ᶠ (y : β × α) in g ×ˢ f, p y.swap


(∀ᶠ (x : α × β) in map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f), p x) ↔ ∀ᶠ (y : β × α) in g ×ˢ f, p y.swap


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F

f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =o[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)


Context:
ι : Type u_1
I✝ J I : Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t

Disjoint ↑(I.splitCenterBox s) ↑(I.splitCenterBox t)


↑(I.splitCenterBox s) ⊓ ↑(I.splitCenterBox t) ≤ ⊥


Context:
ι : Type u_1
I✝ J I : Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t
y : ι → ℝ
hs : y ∈ ↑(I.splitCenterBox s)
ht : y ∈ ↑(I.splitCenterBox t)
i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J I : Box ι

Context: s t : Set ι

Context: h : s ≠ t

Context: y : ι → ℝ

Context: hs : y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s

Context: ht : y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ t

Context: i : ι


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq V
c : G.ConnectedComponent
hM : M.IsPerfectMatching


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: m : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: b : Basis m R S

Context: x x' : S

Context: h : (leftMulMatrix b) x = (leftMulMatrix b) x'


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : ContinuousAdd M₂
ι : Type u_9
t : Finset ι
f : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
k : K

(isoOfEquivalence e w).hom ≫ limit.π G k = limit.π F (e.inverse.obj k) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj k) ≫ G.map (e.counit.app k)


(limit.isLimit G).lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm ((isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G)).functor.obj (limit.cone F)) ≫ limit.π G k = limit.π F (e.inverse.obj k) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj k) ≫ G.map (e.counit.app k)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
f✝ fa g : α✝ → α✝
x✝ y : α✝
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α✝
α : Type u_1
f : α → α
x : α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L

↑(corootSpace ⇑α) = span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)}


↑(corootSpace ⇑α) ≤ span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)}


span K {(cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)} ≤ ↑(corootSpace ⇑α)


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K

Context: h : ∀ (k : n), ∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖ < ‖A k k‖


Context:
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
h : A.det = 0

∃ k, ‖A k k‖ ≤ ∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖


∃ k, 0 ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)


Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ✝ : DirichletCharacter R n
χ : DirichletCharacter R 1
a✝ : (ZMod 1)ˣ

χ ↑a✝ = 1 ↑a✝


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x✝ : G

Context: hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: i : ι

Context: x : G

Context: hx : x ∈ S i

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x✝ : G

Context: hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: x y : G

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M


∀ x ∈ LinearMap.range (ι R), x ∈ 1 → x = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: x : M

Context: r : R

Context: hx : (ι R) x = (Algebra.linearMap R (TensorAlgebra R M)) r

(Algebra.linearMap R (TensorAlgebra R M)) r = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M
r : R
hx : x = 0 ∧ r = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t s : Set α

(⇑ofDual ⁻¹' s).OrdConnected ↔ s.OrdConnected


(∀ (x x_1 : { a // toDual a ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s }), ⇑ofDual ⁻¹' Icc ↑x_1 ↑x ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∀ (x x_1 : { a // a ∈ s }), Icc ↑x ↑x_1 ⊆ s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ⇑f ⁻¹' {0} = ⇑g ⁻¹' {0}


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ∀ (x : X), f x = 0 ↔ g x = 0


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : LocallyConstant X (Fin 2)
h : ∀ (x : X), f x = 0 ↔ g x = 0
x : X


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field L
ζ✝ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsDomain A
ζ : A
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K A
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

minpoly K (ζ - 1) = (cyclotomic (↑n) K).comp (X + 1)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field L
ζ✝ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsDomain A
ζ : A
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K A
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n


(minpoly K ζ).comp (X - Polynomial.C (-1)) = (minpoly K ζ).comp (X + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
r : 𝕜

Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ |r| < 1


Tendsto (abs ∘ fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ |r| < 1


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hba : b < a

Context: hdc : d < c


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: hba : b < a

Context: hdc : d < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
a : α
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t

Context: k'_comp : IsCompact k'


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)

Context: s' : Set (P × G) := s ×ˢ t


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: s' : Set (P × G) := s ×ˢ t

Context: A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: s' : Set (P × G) := s ×ˢ t

Context: B : ContinuousOn (fun a => ∫ (x : G), (L (f x)) (g' a x) ∂μ) s'


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0

Context: this : LocallyCompactSpace G

Context: q₀ : P

Context: x₀ : G

Context: hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := -k +ᵥ t

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: s' : Set (P × G) := s ×ˢ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β

MeasurableSet (Sum.inr '' s) ↔ MeasurableSet s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.snd = k ≫ t.snd


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α✝

Context: inst✝³ : UniformSpace β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace E

Context: f : α → β → E

Context: s : Set α

Context: k : Set β

Context: q : α

Context: u : Set (E × E)

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)

Context: hq : q ∈ s

Context: hu : u ∈ 𝓤 E

∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, (f p x, f q x) ∈ u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α✝

Context: inst✝³ : UniformSpace β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace E

Context: f : α → β → E

Context: s : Set α

Context: k : Set β

Context: q : α

Context: u : Set (E × E)

Context: hk : IsCompact k

Context: hq : q ∈ s

Context: hu : u ∈ 𝓤 E

∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ ∅, (f p x, f q x) ∈ u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α✝

Context: inst✝³ : UniformSpace β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace E

Context: f : α → β → E

Context: s : Set α

Context: k : Set β

Context: q : α

Context: u : Set (E × E)

Context: hk : IsCompact k

Context: hq : q ∈ s

Context: hu : u ∈ 𝓤 E

∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, s_1 ⊆ t → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α✝

Context: inst✝³ : UniformSpace β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace E

Context: f : α → β → E

Context: s : Set α

Context: k : Set β

Context: q : α

Context: u : Set (E × E)

Context: hk : IsCompact k

Context: hq : q ∈ s

Context: hu : u ∈ 𝓤 E

∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u) → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1 ∪ t, (f p x, f q x) ∈ u


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α✝

Context: inst✝³ : UniformSpace β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace E

Context: f : α → β → E

Context: s : Set α

Context: k : Set β

Context: q : α

Context: u : Set (E × E)

Context: hk : IsCompact k

Context: hq : q ∈ s

Context: hu : u ∈ 𝓤 E

∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ⊆ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

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Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

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Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

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Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

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Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

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Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

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Context: x : M

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Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

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Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

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Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

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Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

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Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

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Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

Continuous e ∧ ∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))