Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: d : D

Context: vcompd : adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d) = adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj d)) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : L₃ ⟶ L₂

Context: d : D

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))

adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d) ≫ adj₃.unit.app (R₂.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj d)) ≫ R₃.map (adj₂.counit.app d) = adj₃.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (α.app (R₁.obj d)) ≫ R₃.map (adj₁.counit.app d)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

∃ u ∈ 𝓝[insert x t] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a = ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : ¬a = ⊤
hb : b = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
x y : α × β

IsCompl x y ↔ IsCompl x.1 y.1 ∧ IsCompl x.2 y.2


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p

(∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ


⌈a - ↑n⌉ = ⌈a - ↑↑n⌉


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: σ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable δ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → β → Option σ

Context: h : Primrec₂ fun a n => (decode n).bind (f a)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
A : C
X✝ Y✝ : Over A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : Over A

coprod.map k.left (𝟙 g.left) ≫ coprod.desc Y✝.hom g.hom = coprod.desc X✝.hom g.hom


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
h : Y ⟶ Y


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
x y : M

polar (⇑B.toQuadraticMap) x y = (B x) y + (B y) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
this : Preadditive D := preadditive L W

∀ {X Y : C} {f g : X ⟶ Y}, L.map (f + g) = L.map f + L.map g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurve γ v
dt : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v univ
dt : ℝ

IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v univ


Context:
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal


(comap ((Quotient.mk P).comp C) ⊥).IsMaximal


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
this : ⊥.IsMaximal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : β → α
hf : Surjective f
eq : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s t : Associates α
d : Associates α
eq : t = s * d


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
hr : r ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : ball 0 r ⊆ s
hr : 0 < r


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
p : R[X]
m : ℕ

((⇑derivative)^[k] p).coeff m = (m + k).descFactorial k • p.coeff (m + k)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: s : Set E

Context: hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: w : Set E

Context: hws : w ⊇ s

Context: hw_ortho : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: hw_max : ∀ u ⊇ w, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = w


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

(∀ (f g : R[X]), f = g) ↔ ∀ (a b : R), a = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s


{t | t.Finite ∧ t ⊆ s} ⊆ range fun t => Subtype.val '' ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
t : Set ↑s
ht : (Subtype.val '' t).Finite

Subtype.val '' t ∈ range fun t => Subtype.val '' ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
this : Countable ↑s
t : Finset ↑s
ht : (Subtype.val '' ↑t).Finite

Subtype.val '' ↑t ∈ range fun t => Subtype.val '' ↑t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: h : ∀ (U : Opens ↑X), Function.Injective ⇑(f.app (op U))

Context: x : ↑X

Context: s t : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F)

Context: hst : ((stalkFunctor C x).map f) s = ((stalkFunctor C x).map f) t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: t : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F)

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: hst : ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s) = ((stalkFunctor C x).map f) t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: hst : ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s) = ((stalkFunctor C x).map f) ((F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t)

(F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = (F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: hst : (G.germ ⟨x, hxU₁⟩) ((f.app (op U₁)) s) = (G.germ ⟨x, hxU₂⟩) ((f.app (op U₂)) t)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: W : Opens ↑X

Context: hxW : x ∈ W

Context: iWU₁ : W ⟶ U₁

Context: iWU₂ : W ⟶ U₂

Context: heq : (G.map iWU₁.op) ((f.app (op U₁)) s) = (G.map iWU₂.op) ((f.app (op U₂)) t)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: W : Opens ↑X

Context: hxW : x ∈ W

Context: iWU₁ : W ⟶ U₁

Context: iWU₂ : W ⟶ U₂

Context: heq : (f.app (op W)) ((F.map iWU₁.op) s) = (f.app (op W)) ((F.map iWU₂.op) t)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: W : Opens ↑X

Context: hxW : x ∈ W

Context: iWU₁ : W ⟶ U₁

Context: iWU₂ : W ⟶ U₂

Context: heq : (F.map iWU₁.op) s = (F.map iWU₂.op) t

Context: e_1✝ : (forget C).obj ((stalkFunctor C x).obj F) = (forget C).obj (F.stalk ↑⟨x, hxW⟩)

(F.germ ⟨x, hxU₁⟩) s = (F.germ ⟨x, hxW⟩) ((F.map iWU₁.op) s)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: F G : Presheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: x : ↑X

Context: U₁ : Opens ↑X

Context: hxU₁ : x ∈ U₁

Context: s : (forget C).obj (F.obj (op U₁))

Context: U₂ : Opens ↑X

Context: hxU₂ : x ∈ U₂

Context: t : (forget C).obj (F.obj (op U₂))

Context: W : Opens ↑X

Context: hxW : x ∈ W

Context: iWU₁ : W ⟶ U₁

Context: iWU₂ : W ⟶ U₂

(F.germ ⟨x, hxU₂⟩) t = (F.germ ⟨x, hxW⟩) ((F.map iWU₂.op) t)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
c : F

Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ fun x => c)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context: x y : EReal


Context:
x : ℂ
n : ℤ
y : ℂ


Context:
n : ℤ
y : ℂ


Context:
x : ℂ
n : ℤ
y : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : s.Nonempty


s.centerMass (centroidWeights R s) id ∈ (convexHull R) ↑s


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
M₀ : Type u_5
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : FunLike F ℚ M₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F ℚ M₀
f g : F
h : ∀ (m : ℤ), f ↑m = g ↑m
r : ℚ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)

(∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝 x) ↔ ∀ (a : X) (b : Y), (a, b) ∈ s → ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ a ∈ u ∧ b ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c

(ofIsLimitKernelFork S hf c hc).g' = S.g


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ

μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
x✝ : α


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i

LinearMap.range (map f) = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}


Submodule.span R (Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R))) = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}


Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) = {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x : ⨂[R] (i : ι), t i

x ∈ Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) ↔ x ∈ {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)

Context: g : A → Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: g : A → Y

IsClosed (Function.PullbackSelf.map_fst ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
h : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
z : ℝ≥0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: i j : n

Context: hij : i < j


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
f : ι → Set α

thickening δ (⋃ i, f i) = ⋃ i, thickening δ (f i)


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
hr : Irrational r

{x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq s k = x} = {n | 0 < n}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁷ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x x
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 < a
left✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁷ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
h : z = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁷ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
h : z = x
a : 𝕜
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : R[X]


(p.sum fun e a => (fun r => r • 1) a * x ^ e) = p.sum (smul_pow x)


(p.sum fun e a => a • x ^ e) = p.sum (smul_pow x)


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₂ : M₂

(toProd Q₁ Q₂) (1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂) = (ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (0, m₂)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X

(∀ {x y : X}, (𝓝 x ⊓ 𝓝 y).NeBot → x = y) ↔ ∀ {x y : X} (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓝 x → ↑f ≤ 𝓝 y → x = y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
n : ℕ

(r ^ (p.natDegree + q.natDegree - (p * q).natDegree) • (p * q).scaleRoots r).coeff n = (p.scaleRoots r * q.scaleRoots r).coeff n


r ^ (p.natDegree + q.natDegree - (p * q).natDegree) * ((p * q).coeff n * r ^ ((p * q).natDegree - n)) = (p.scaleRoots r * q.scaleRoots r).coeff n


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.length (cs.simple i * w) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (cs.simple i * w) + 1 = cs.length w


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: this : cs.length (w⁻¹ * cs.simple i) = cs.length w⁻¹ + 1 ∨ cs.length (w⁻¹ * cs.simple i) + 1 = cs.length w⁻¹


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M₁ i
i : ι
v : M₁ i

f (update x i v) = f x - f (update x i (x i - v))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I

↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors J


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥


∀ (l l' : { l // l ∣ I }), ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I

↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔ ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩


ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ doublingGamma)


ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2))


ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2 + 1 / 2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : g.NeBot
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν k : ℕ
w : k < n - ν

eval 1 ((⇑derivative)^[k] (bernsteinPolynomial R n ν)) = 0


eval 1 ((⇑derivative)^[k] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j ≫ (leftDistributor X f).inv = X ◁ biproduct.ι f j


Context: n i : ℕ

2 ^ i &&& n = 2 ^ i * (n.testBit i).toNat


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

dite P A B = c ↔ (∃ h, A h = c) ∨ ∃ h, B h = c


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν

(if funDom : HasFundamentalDomain G α ν then ν ⋯.choose else 0) = ν s


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u

Context: n : ℕ := addOrderOf u

Context: B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] B


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: n : ℕ := addOrderOf u

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] B

Context: hn : 1 ≤ ↑n


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: n : ℕ := addOrderOf u

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] B

Context: hn : 1 ≤ ↑n

∀ (g : ↥G), g ≠ 0 → AEDisjoint volume (g +ᵥ I) I


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: n : ℕ := addOrderOf u

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] B

Context: hn : 1 ≤ ↑n

∀ (g : ↥G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g +ᵥ x) volume volume


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: n : ℕ := addOrderOf u

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] B

Context: hn : 1 ≤ ↑n

volume univ ≤ ∑' (g : ↥G), volume (g +ᵥ I)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

cyclesMap φ ≫ h₂.cyclesIso.hom = h₁.cyclesIso.hom ≫ γ.φK


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ = (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖) / 2 - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖


‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpaceable E

Context: x y z : E

Context: h₀ : ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ + ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.127948, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.127952, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.127956, u_3} C₃

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.127960, u_4} C₄

Context: inst✝³ : Category.{?u.127964, u_5} C₁₂

Context: inst✝² : Category.{?u.127968, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

Context: i₁₂ : ρ₁₂.I₁₂

Context: h₁₂ : ρ₁₂.p (i₁, i₂) = i₁₂


Context:
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w

Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2


((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - μ) - 2


(((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
hne : v ≠ w


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w


(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w)ᶜ.card - (1 + 1) = n - (2 * k - μ) - 2


{w} ∪ {v} ⊆ (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

Context: ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)

(permutations'Aux a (c :: l)).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b (c :: l)).bind (permutations'Aux a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

(b :: a :: c :: l) :: (a :: b :: c :: l) :: (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b)) ~ (a :: b :: c :: l) :: (b :: a :: c :: l) :: (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

Context: this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ a b c : α

Context: l : List α

map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b)) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a))


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: s : Set (M × M')

Context: x : M × M'

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: s : Set (M × M')

Context: x : M × M'

mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x


c (w ^ Int.negSucc n) (x ^ Int.negSucc n)


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
has_least_elem : ⨅ i, f i ∈ range f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s


(∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ t₁, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
x✝ : Set α

(∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ x✝, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ g, t ⊆ {x | (fun y => ∀ x ∈ x✝, (x, y) ∈ s) x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝

(f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) < (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hf : ∀ (i : α), Continuous (f i)
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ

ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f

Context: inst✝ : ReflectsFiniteLimits s

Context: hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: B : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : Preregular C

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : ReflectsFiniteLimits s

Context: hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E


∀ e ∈ f '' X \ f '' I, (M.map f hf).Dep (insert e (f '' I))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I

(M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E


¬(M.map f hf).Indep (insert (f e) (f '' I))


∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬insert (f e) (f '' I) = f '' x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert (f e) (f '' I) = f '' J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert e I = J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
hJ : M.Indep (insert e I)


Context:
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R

J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I) ↔ J ∈ {I.radical}


J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I) ↔ J = I.radical


J = I.radical → J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)
a : Ideal R
ha : a ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : IsEmpty α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : Nonempty α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : IsEmpty β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : Nonempty β


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

p.natTrailingDegree = 0 ↔ p = 0 ∨ p.coeff 0 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ

(partialSups f) n = ⨆ i, ⨆ (_ : i ≤ n), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
h : range f ∈ 𝓝 (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A

Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((traceForm K L).dualBasis ⋯ b))


Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap (↥(integralClosure A L)) L))


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η✝ : Type u₁'

Context: φ : η✝ → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : (i : η✝) → AddCommGroup (φ i)

Context: inst✝⁶ : (i : η✝) → Module R (φ i)

Context: inst✝⁵ : ∀ (i : η✝), Module.Free R (φ i)

Context: inst✝⁴ : Fintype η✝

Context: M η : Type u

Context: inst✝³ : Fintype η

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β

#(α →₀ β) = max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)


#(α →₀ β) ≤ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)


max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β) ≤ #(α →₀ β)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β

sublistsLenAux n l f r = map f (sublistsLen n l) ++ r


sublistsLenAux n l f r = sublistsLenAux n l (f ∘ id) (map f [] ++ r)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A

Context: inst✝ : HasAntidiagonal A

Context: n : A

Context: kl : A × A

Context: hlk : kl ∈ antidiagonal n


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : HasAntidiagonal A

Context: n : A

Context: kl : A × A

Context: hlk : kl ∈ antidiagonal n


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : X → Y → E

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)

Context: hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0

ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), f x y ∂μ) s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)

(⇑(kernelSubobject f).arrow ∘ ⇑(kernelSubobjectIso f ≪≫ kernelIsoKer f).inv) x = ↑x


((kernelIsoKer f).inv ≫ (kernelSubobjectIso f).inv ≫ (kernelSubobject f).arrow) x = ↑x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E


sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : ‖x‖ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : 0 < ‖x‖


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ


volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) ≠ 0


2 ^ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: w : ↥(lp G 2)

hV.linearIsometryEquiv.symm w = ∑' (i : ι), (V i) (↑w i)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

count K v (∏ᶠ (w : HeightOneSpectrum R) (_ : w ≠ v), ↑w.asIdeal ^ exps w) = 0


∀ (x y : FractionalIdeal R⁰ K), count K v x = 0 → count K v y = 0 → count K v (x * y) = 0


∀ x ∈ fun i => i = v → False, count K v (↑x.asIdeal ^ exps x) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Ici a

projIci a ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: o : Ordinal.{u_1}

Principal (fun x x_1 => x + x_1) o ↔ o = 0 ∨ ∃ a, o = ω ^ a


Principal (fun x x_1 => x + x_1) 0 ↔ 0 = 0 ∨ ∃ a, 0 = ω ^ a


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0

Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.testAgainstNN f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0

Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize.toFiniteMeasure)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0

Context: lim_pair : Tendsto (fun i => ((μs i).mass, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f)) F (𝓝 (μ.mass, μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
l m r : List Char
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Multiset α

powersetCard n (map f s) = map (map f) (powersetCard n s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ

powersetCard n (map f 0) = map (map f) (powersetCard n 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: t : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : ∀ (n : ℕ), powersetCard n (map f s) = map (map f) (powersetCard n s)

Context: n : ℕ

powersetCard n (map f (t ::ₘ s)) = map (map f) (powersetCard n (t ::ₘ s))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
L : Locale
x : X
S : Set (Opens X)

{ toFun := fun x_1 => x ∈ x_1, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) = sSup ({ toFun := fun x_1 => x ∈ x_1, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

(algebraMap A K) ((intTrace A B) x) = (trace K L) ((algebraMap B L) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝² : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : IsFractionRing B L


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(FractionRing.algEquiv A K).symm ((algebraMap A K) ((intTrace A B) x)) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((trace K L) ((algebraMap B L) x))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x) = (FractionRing.algEquiv A K).symm ((trace K L) ((FractionRing.algEquiv B L) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

(algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.262054

Context: Bₘ : Type ?u.262057

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsFractionRing B L

((algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv).comp (algebraMap A (FractionRing A)) = ((↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))).comp (algebraMap A (FractionRing A))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsReduced R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: x y : R

Context: H : (iterateFrobenius R p n) x = (iterateFrobenius R p n) y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsReduced R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: x y : R

Context: H : (iterateFrobenius R p n) x - (iterateFrobenius R p n) y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x y : R
H : (x - y) ^ p ^ n = 0


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝¹ : IsIso f
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M N : Matrix m n R
i : m

(M + N).toMvPolynomial i = (M.toMvPolynomial + N.toMvPolynomial) i


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x : FreeAbelianGroup α


(AddMonoidHom.id (FreeAbelianGroup α)) x = x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : a ≤ b

∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
a x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (a + x)


Context:
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b


Context:
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
ha : a = ↑a.natAbs

J(↑a.natAbs | b) = J(↑a.natAbs | b % (4 * a.natAbs))


Context:
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b
ha : a = -↑a.natAbs

J(-↑a.natAbs | b) = J(-↑a.natAbs | b % (4 * a.natAbs))


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: h_anti : AntitoneOn (deriv f) (interior D)


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)

Context: hf''_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0

DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior (interior D))


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

∀ x ∈ interior (interior D), deriv (deriv f) x ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f : α → β

Context: h : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ν s = 0 → μ s = 0

Context: s : Set α

Context: hs : ν s = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : ν s = 0

Context: t : Set α

Context: h1t : s ⊆ t

Context: h2t : MeasurableSet t

Context: h3t : ν t = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t

∫⁻ (x : α × β) in s ×ˢ t, f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫⁻ (a : α) in s, ∫⁻ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ


∫⁻ (x : α) in s, ∫⁻ (y : β) in t, f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫⁻ (a : α) in s, ∫⁻ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

s ∈ coclosedLindelof X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsLindelof t ∧ sᶜ ⊆ t


Context:
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V


∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context:
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: fst✝¹ : Perm α

Context: snd✝¹ : Perm β

Context: fst✝ : Perm α

Context: snd✝ : Perm β

Context: h : (sumCongrHom α β) (fst✝¹, snd✝¹) = (sumCongrHom α β) (fst✝, snd✝)


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: fst✝¹ : Perm α

Context: snd✝¹ : Perm β

Context: fst✝ : Perm α

Context: snd✝ : Perm β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp a (b + m • p) = toIcoMod hp a b


b + m • p - (toIcoDiv hp a b • p + m • p) = b - toIcoDiv hp a b • p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -opcyclesMap' φ h₁ h₂


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R

toMatrix' (f ∘ₗ g) = toMatrix' f * toMatrix' g


f ∘ₗ g = toLin' (toMatrix' f * toMatrix' g)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing L p
inst✝² : IsPerfectClosure i p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPerfectClosure j p
x : M
n : ℕ
y : K
h : j y = x ^ p ^ n

(equiv i j p).symm x = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
ha : ↑a ≠ ⊤
h'a : ↑a ≠ ⊥


Tendsto (toReal ∘ Real.toEReal) (𝓝 a) (𝓝 (↑a).toReal)


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
I : Finset ι
hI : ρ.finsupport x₀ ⊆ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)

(x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n

Context: h_last : ∀ (n : ℕ), t n n.succ = 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Subsingleton M
a✝ : Nontrivial R


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : sheafify J P ⟶ Q

Context: h : (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ γ = η

Context: γ' : (presheafToSheaf J D).obj P ⟶ { val := Q, cond := hQ } := { val := γ }

γ'.val = (((sheafificationAdjunction J D).homEquiv P { val := Q, cond := hQ }).symm η).val


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : sheafify J P ⟶ Q

(sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ (sheafToPresheaf J D).map γ' = η


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s


Context:
n k : ℕ
h : 0 < n

(n - 1)! * n.ascFactorial k = (n + k - 1)!


Context:
n k : ℕ
h : 0 < n

n.pred ! * n.ascFactorial k = (n.pred + k)!


Context:
n k : ℕ
h : 0 < n

n.pred ! * (n - succ 0 + succ 0).ascFactorial k = (n.pred + k)!


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: n : ℕ

∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: N : ι

Context: hN : ∀ n_1 ≥ N, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n n_1) ∈ Icc (0 - ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)) (0 + ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: N : ι

Context: hN : ∀ n_1 ≥ N, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n n_1) ∈ Icc (0 - ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)) (ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ


q.sum (smul_pow (-↑n)) = ↑(q.sum (smul_pow (-↑n)))


∑ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ∑ x ∈ q.support, ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)


∀ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n k : ℕ
a✝ : k ∈ q.support

q.coeff k • (-↑n) ^ k = ↑(q.coeff k • (-↑n) ^ k)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : LeftInverse ⇑f ⇑g
X : MvPolynomial σ S₁


Context:
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup α


Context:
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup β


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
x✝ : Finset α
a✝ : γ

a✝ ∈ (e.finsetCongr.trans e'.finsetCongr) x✝ ↔ a✝ ∈ (e.trans e').finsetCongr x✝


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0

(f * g).natSepDegree = f.natSepDegree + g.natSepDegree ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g


(∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b) ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : F[X]

Context: h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0

Context: H : ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b

Context: u : F[X]

Context: hu : Irreducible u

Context: x✝¹ : u ∣ f

Context: x✝ : u ∣ g

Context: v : F[X]

Context: hf : f = u * v

Context: w : F[X]

Context: hg : g = u * w


f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g → ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
x : AlgebraicClosure F
hf : f ≠ 0 ∧ (aeval x) f = 0
hg : g ≠ 0 ∧ (aeval x) g = 0
u v : F[X]
hfg : u * f + v * g = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
inv✝¹ inv✝ : Invertible ↑denom✝


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
h0 : ¬c = 0
hinf : ¬c = ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
S : Multiset α

((range (card S + 1)).bind fun k => powersetCard k S) = S.powerset


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
a✝ : List α

((range (card ⟦a✝⟧ + 1)).bind fun k => powersetCard k ⟦a✝⟧) = powerset ⟦a✝⟧


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
a✝ : List α

↑(List.map ofList ((List.range (a✝.length + 1)).bind fun a => sublistsLen a a✝)) = ↑(List.map ofList a✝.sublists')


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α


Context:
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ


(map (fun p => p.1 * p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R

evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = 0 ↔ eval (W.addX x₁ x₂ L) (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: h : b ≠ 0

Context: j : ι

j ∈ (update i f b).support ↔ j ∈ insert i f.support


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: h : b ≠ 0

i ∈ (update i f b).support ↔ i ∈ insert i f.support


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: h : b ≠ 0

Context: j : ι

Context: hi : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℤ

f (x + (2 * k) • c) = ↑(2 * k).negOnePow • f x


f (x + (2 * k + 1) • c) = ↑(2 * k + 1).negOnePow • f x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C

(F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ▷ n)).app X


(F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X = (F.map (𝟙 n)).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R✝
r : R✝
p✝ : R✝[X]
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid S✝
inst✝³ : Pow S✝ ℕ
inst✝² : MulActionWithZero R✝ S✝
x✝ : S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_4
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
this : Module R S := f.toModule


(p.sum fun e a => f a * x ^ e) = p.sum (smul_pow x)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1

∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = X ^ q ^ n - C y


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
hf : f = X ^ q ^ n - C y


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

W.ψ₂ ^ 2 = C W.Ψ₂Sq + 4 * W.toAffine.polynomial


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S


UniformEquicontinuousOn (F ∘ rangeSplitting F) S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝

Context: inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DilationClass F α β

Context: f : F

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0

Context: hxy : nndist x y ≠ 0

Context: hr : nndist (f x) (f y) = r * nndist x y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝

Context: inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: F : Type u_8

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DilationClass F α β

Context: f : F

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0

Context: hxy : nndist x y ≠ 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
a : G
ha : a ∈ K
h'a : a ∈ g • L


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
b : G
bL : b ∈ L
ha : (fun x => g • x) b ∈ K


{x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) ∈ residual ℝ


∀ᶠ (x : ℝ) in residual ℝ, x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)


IsGδ {x | (fun x => x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)) x}


range Rat.cast ⊆ {x | (fun x => x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)) x}


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂

tensorHom ℬ (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) = tensorHom ℬ f₁ f₂ ≫ tensorHom ℬ g₁ g₂


∀ (j : Discrete WalkingPair), tensorHom ℬ (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) ≫ (ℬ Z₁ Z₂).cone.π.app j = (tensorHom ℬ f₁ f₂ ≫ tensorHom ℬ g₁ g₂) ≫ (ℬ Z₁ Z₂).cone.π.app j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: hb : ∀ᶠ (x : β) in map f cofinite, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b

Context: this : Nonempty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: this : Nonempty β

BddAbove (f '' {x | f x ≤ b}) ∧ BddAbove (f '' {x | f x ≤ b}ᶜ)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n

Context: g : GenContFract K := of v

Context: nextConts : Pair K := g.contsAux (n + 2)

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: pred_conts_eq : pred_conts = g.contsAux n

|v - g.convs n| ≤ 1 / (conts.b * nextConts.b)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: nextConts_b_eq : nextConts.b = pred_conts.b + gp.b * conts.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: den : K := conts.b * (pred_conts.b + gp.b * conts.b)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

Context: ifp_succ_n_b_eq_gp_b : ↑ifp_succ_n.b = gp.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: if_of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: den' : K := conts.b * (pred_conts.b + ifp_n.fr⁻¹ * conts.b)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: nextConts_b_ineq : ↑(fib (n + 2)) ≤ pred_conts.b + gp.b * conts.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: conts_b_ineq : ↑(fib (n + 1)) ≤ conts.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: conts_eq : conts = g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: gp : Pair K

Context: s_nth_eq : g.s.get? n = some gp

Context: gp_a_eq_one : gp.a = 1

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: conts_b_ineq : ↑(fib (n + 1)) ≤ conts.b

Context: zero_lt_conts_b : 0 < conts.b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2


Context: z : ℂ