Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f

Context: n : ℕ

∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f✝

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: f : ∀ (n : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f✝ x‖ ≤ C n * (1 + ‖x‖) ^ k n

∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: C' : ℝ := max 0 ((Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: hC' : 0 ≤ C'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: hC' : 0 ≤ C'

∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: hC' : 0 ≤ C'

Context: N : ℕ

Context: hN : N ≤ n

Context: x : E

‖iteratedFDeriv ℝ N f✝ x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: hC' : 0 ≤ C'

Context: N : ℕ

Context: hN : N ∈ Finset.range n.succ

Context: x : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f✝ : E → F

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ → ℝ

Context: hC' : 0 ≤ C'

Context: N : ℕ

Context: hN : N ∈ Finset.range n.succ

Context: x : E

(1 + ‖x‖) ^ k N ≤ (1 + ‖x‖) ^ (Finset.range (n + 1)).sup k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfi : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤

Context: hgi : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≠ ⊤

Context: hfg : (fun x => (f x).toReal) =ᶠ[l] fun x => (g x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hfi : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ ⊤

Context: hgi : ∀ᶠ (x : α) in l, g x ≠ ⊤

Context: a✝¹ : α

Context: hfx : f a✝¹ ≠ ⊤

Context: hgx : g a✝¹ ≠ ⊤

Context: a✝ : (f a✝¹).toReal = (g a✝¹).toReal


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
g : L →+* M
f : K →+* L

Subfield.map g f.fieldRange = (g.comp f).fieldRange


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → Set α

(⋂ i, f i).Nonempty ↔ ∃ x, ∀ (i : ι), x ∈ f i


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀

Comp.mk (tsnd f' <$> tfst f x) = bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x


bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map f' ∘ pure) x = bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)

MeasurableSpace.pi ≤ (OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).caratheodory


∀ (i : ι), MeasurableSpace.comap (fun b => b i) (inst✝ i) ≤ (OuterMeasure.pi fun i => (μ i).toOuterMeasure).caratheodory


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s


∀ (t : Set ((a : ι) → α a)), piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s) + piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s) ≤ piPremeasure (fun i => (μ i).toOuterMeasure) t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
t : Set ((a : ι) → α a)

∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) + ∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ ∏ x : ι, (μ x).toOuterMeasure (eval x '' t)


(μ i).toOuterMeasure (eval i '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) + (μ i).toOuterMeasure (eval i '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ i).toOuterMeasure (eval i '' t)


∀ j ∈ Finset.univ, j ≠ i → (μ j).toOuterMeasure (eval j '' (t ∩ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ j).toOuterMeasure (eval j '' t)


∀ j ∈ Finset.univ, j ≠ i → (μ j).toOuterMeasure (eval j '' (t \ (fun b => b i) ⁻¹' s)) ≤ (μ j).toOuterMeasure (eval j '' t)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : Measure α

Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val μ) = μ.restrict s


Context:
c : Char
cs : List Char
b e : Pos

go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) = go₁ cs 0 b e


Context:
c : Char
cs : List Char
b e : Pos

go₁ cs (0 + c) (b + c) (e + c) = go₁ cs 0 b e


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
f g : Arrow C
F : MonoFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq

(inv sq.left ≫ F.e) ≫ F.m ≫ sq.right = g.hom


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ

{q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Finite


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: q : ℚ

Context: left✝ : q ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}

Context: hq : ∀ b ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}, |ξ - ↑q| ≤ |ξ - ↑b|


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: q : ℚ

Context: q' : ℚ

Context: hmem : |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2

Context: hbetter : |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : i ≠ j


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
hi : s i = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
hi : s i = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p

f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i

Context: h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: hv : 0 ≤ v

Context: hq : q ∈ s

Context: W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w

Context: P : Option ι → E := fun j => j.elim q p

Context: this : f (∑ j ∈ insertNone t, W j • P j) ≤ ∑ j ∈ insertNone t, W j • f (P j)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
h' : c < ℵ₀


Context:
α β : Type u
n : ℕ
h : (↑n).IsLimit
h' : ↑n < ℵ₀


Context:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X


∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)


Context:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U V : OpenNhds x

Context: fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y

Context: hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU

Context: fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y

Context: hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV

Context: e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

Context: U' : Opens ↑X

Context: mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'

Context: iU : U' ⟶ U.obj

Context: gU : F.obj (op U')

Context: wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U V : OpenNhds x

Context: fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y

Context: hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU

Context: fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y

Context: hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV

Context: e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

Context: U' : Opens ↑X

Context: mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'

Context: iU : U' ⟶ U.obj

Context: gU : F.obj (op U')

Context: V' : Opens ↑X

Context: mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'

Context: iV : V' ⟶ V.obj

Context: gV : F.obj (op V')

Context: wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U V : OpenNhds x

Context: fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y

Context: hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU

Context: fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y

Context: hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV

Context: U' : Opens ↑X

Context: mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'

Context: iU : U' ⟶ U.obj

Context: gU : F.obj (op U')

Context: V' : Opens ↑X

Context: mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'

Context: iV : V' ⟶ V.obj

Context: gV : F.obj (op V')

Context: e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U V : OpenNhds x

Context: fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y

Context: hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU

Context: fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y

Context: hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV

Context: U' : Opens ↑X

Context: mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'

Context: iU : U' ⟶ U.obj

Context: gU : F.obj (op U')

Context: V' : Opens ↑X

Context: mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'

Context: iV : V' ⟶ V.obj

Context: gV : F.obj (op V')

Context: W : Opens ↑X

Context: mW : x ∈ W

Context: iU' : W ⟶ U'

Context: iV' : W ⟶ V'

Context: e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U V : OpenNhds x

Context: fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y

Context: hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU

Context: fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y

Context: hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV

Context: U' : Opens ↑X

Context: mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'

Context: iU : U' ⟶ U.obj

Context: gU : F.obj (op U')

Context: V' : Opens ↑X

Context: mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'

Context: iV : V' ⟶ V.obj

Context: gV : F.obj (op V')

Context: W : Opens ↑X

Context: mW : x ∈ W

Context: iU' : W ⟶ U'

Context: iV' : W ⟶ V'

Context: e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV

∃ iU iV, ∀ (w : ↥{ obj := W ⊓ (U' ⊓ V'), property := ⋯ }.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
x : α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0

∑ i ∈ s, sqrt (f i) * sqrt (g i) ≤ sqrt (∑ i ∈ s, f i) * sqrt (∑ i ∈ s, g i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R

MapsTo ⇑g ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)


∀ ⦃x : M⦄, (∃ i, x ∈ (f.genEigenspace μ) i) → ∃ i, g x ∈ (f.genEigenspace μ) i


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
x : M
k : ℕ
hk : x ∈ (f.genEigenspace μ) k


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : LeftOrdContinuous g
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: l₁ l₂ : (i : ι) → G i

Context: s : Finset ι

⟪∑ i ∈ s, (V i) (l₁ i), ∑ j ∈ s, (V j) (l₂ j)⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪l₁ i, l₂ i⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q


MeasurableSet {a | (p a → q a) ∧ (q a → p a)}


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty
p : ↑unitInterval × ↑s


Continuous fun p => ⟨↑p.1 • x + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : s.Nonempty
x : ↑s

{ toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x) = (ContinuousMap.id ↑s) x


{ toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x) = (ContinuousMap.const ↑s ⟨x✝, ⋯⟩) x


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f + lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)


↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)


StronglyMeasurable (↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g))


↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)


↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)


↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x


↑↑↑f + ↑↑↑g =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥


finrank K ↥⊤ ≤ finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p)


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝³ : Module K V₁

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₁

Context: f : Dual K V₁

Context: hf : f ≠ 0

Context: p : Submodule K V₁

Context: hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p

Context: hp : p ≠ ⊥

Context: this : finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p) = finrank K ↥(LinearMap.ker f) + finrank K ↥p


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

(BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv = (ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j = ((ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
f'' : Z ≃ₜ Z'

(e.trans e').transHomeomorph f'' = e.trans (e'.transHomeomorph f'')


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V

w ∈ Gᶜ.neighborSet v ↔ w ∈ (G.neighborSet v)ᶜ \ {v}


Context:
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : n < l.length

(l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

(map (fun r => X + C r) s).prod.coeff k = s.esymm (card s - k)


s.esymm (card s - k) = (∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)).coeff k


s.esymm (card s - k) = ∑ x ∈ Finset.range (card s + 1), if k = card s - x then s.esymm x else 0


s.esymm (card s - k) = if k = card s - (card s - k) then s.esymm (card s - k) else 0


∀ b ∈ Finset.range (card s + 1), b ≠ card s - k → (if k = card s - b then s.esymm b else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
l : List α
inst✝ : DecidableEq α
a x✝¹ : { x // x ∈ l }
x✝ : x✝¹ ∈ l.attach


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i


Context: x : EReal

x + ⊤ = ⊤ ↔ x ≠ ⊥


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K✝ : Subgroup G
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
inst✝¹ : Group G₁
inst✝ : Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
k : ↥K

k ∈ f.range.subgroupOf K ↔ k ∈ (f.codRestrict K ⋯).range


∀ (a : G₁), f a = K.subtype k ↔ (f.codRestrict K ⋯) a = k


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Inf α
inst✝² : Inf β
inst✝¹ : Inf γ
inst✝ : Inf δ
g : InfHom β γ
f₁ f₂ : InfHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x : α
a✝ : List α
hs : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝

next (Quot.mk Setoid.r a✝) hs x hx ∈ Quot.mk Setoid.r a✝


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁✝ t₂✝ u : Set E
x y : E
s t₁ t₂ : Set E

convexJoin 𝕜 s (t₁ ∪ t₂) = convexJoin 𝕜 s t₁ ∪ convexJoin 𝕜 s t₂


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
x y : ↥S.leftInv

↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun y)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ici a)) (𝓟 (Iic a⁻¹))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Subsingleton ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
i : ι

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: hε_top : ¬↑ε = ⊤

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hfε : eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: hε_top : ¬↑ε = ⊤

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: j : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : AddCommGroup γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_sub : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ - b₂) = h i b₁ - h i b₂


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)

Context: inst✝ : AddCommGroup γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: this : (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) (f - g) = (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) f - (liftAddHom fun a => AddMonoidHom.ofMapSub (h a) ⋯) g


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddGroup (β i)

Context: inst✝ : AddCommGroup γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: this : ((f - g).sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)) = (f.sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)) - g.sum fun x => ⇑(AddMonoidHom.ofMapSub (h x) ⋯)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
s' : Set α
hsub : s ⊆ s'
hs'm : MeasurableSet s'
hs' : μ s' = μ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
s' : Set α
hsub : s ⊆ s'
hs' : μ s' = μ s
hs'm : NullMeasurableSet s' μ


Context:
α : Type u_1
l : List α

(toList ⟨l, ⋯⟩).Nodup ↔ Function.Injective (get ⟨l, ⋯⟩)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S B

Context: U V : Subalgebra S A

Context: H : restrictScalars R U = restrictScalars R V

Context: x : A


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t

Context: htmem : t ○ t ⊆ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

∀ᶠ (y : α × ι) in p' ×ˢ p, (f y.swap.2, F y.swap.1 y.swap.2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: this : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

∀ (x : α × ι), (∀ᶠ (y : ι) in p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) (x, y)).swap.2))) → (f x.swap.2, F x.swap.1 x.swap.2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

∀ (a : α) (b : ι), (∀ᶠ (x : ι) in p, (F b a, F x a) ∈ t) → Tendsto (fun n => F n a) p (𝓝 (f a)) → (f a, F b a) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: x : α

Context: n : ι

Context: hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t

Context: hm' : Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: x : α

Context: n : ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: x : α

Context: n : ι

Context: hm' : Tendsto (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) p (𝓤 β)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: this✝ : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))

Context: x : α

Context: n : ι

Context: this : ∀ᶠ (x_1 : ι) in p, (F n x, F x_1 x) ∈ t ∧ (fun x_2 => (f x, F x_2 x)) x_1 ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: x : α

Context: n : ι

Context: m : ι

Context: hm : (F n x, F m x) ∈ t ∧ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) m ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β

𝓟 s ×ˢ 𝓟 t = 𝓟 (s ×ˢ t)


Prod.fst ⁻¹' s ∩ Prod.snd ⁻¹' t = s.prod t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))) s = ((map f ν).withDensity ((map f μ).rnDeriv (map f ν))) s


∫⁻ (a : α) in f ⁻¹' s, μ.rnDeriv ν a ∂ν = ∫⁻ (x : α) in f ⁻¹' s, (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x) ∂ν


∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ f ⁻¹' s → μ.rnDeriv ν x = (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context: b : Basis (Fin 1) ℤ (𝓞 ℚ) := (Basis.singleton (Fin 1) ℤ).map ringOfIntegersEquiv.toAddEquiv.toIntLinearEquiv.symm


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
l : α →₀ R
s : Finset α
hs : l ∈ supported R R ↑s
x : α
x✝ : x ∈ s
hxg : x ∉ l.support


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ ∅, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
hne : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
r : R

(liftAlternating f) ((algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r) = r • (f 0) 0


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
k m n : ℕ+
x : M


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
y : L₂
hy : y ∈ f.range


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
y : L₂
hy✝ : y ∈ f.range
hy : ∃ y_1, f y_1 = y


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
x : L
hy : f x ∈ f.range


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη_pos : 0 < η

Context: hη : ∀ (f g : α → β), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη_pos : 0 < η

Context: hη_top : ¬η = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη_pos : 0 < η

Context: hη_top : ¬η = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : s ∈ μ.cofinite

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ η

Context: hgs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ η


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη_pos : 0 < η

Context: hη_top : ¬η = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : s ∈ μ.cofinite

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: i : ι

eLpNorm (sᶜᶜ.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη_pos : 0 < η

Context: hη_top : ¬η = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : s ∈ μ.cofinite

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: i : ι

Context: η_cast : ↑η.toNNReal = η


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M

ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(extChartAt I x).symm) (extChartAt I x).target


(extChartAt I x).target = ↑I '' (chartAt H x).target


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E

∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α


∀ (α : F), IsIntegral F ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)


∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F β → IsIntegral F (α + β)


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F (-α)


∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F β → IsIntegral F (α * β)


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsIntegral F α → IsIntegral F α⁻¹


∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → IsIntegral F (α ^ n) → IsIntegral F α


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
hij : (fun i j => A i j = 1) i j


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (f ⊓ map u atTop).NeBot

∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : f.IsCountablyGenerated
u : ℕ → α
hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : f.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → α

Context: hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : Tendsto φ atTop (comap u f ⊓ atTop)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : f.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → α

Context: hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f ∧ Tendsto φ atTop atTop


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : f.IsCountablyGenerated

Context: u : ℕ → α

Context: hx : (comap u f ⊓ atTop).NeBot

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: ψ : ℕ → ℕ

Context: hψ : StrictMono ψ

Context: hψφ : StrictMono (φ ∘ ψ)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α

𝓤 α = comap (fun x => x.1⁻¹ * x.2) (𝓝 1)


comap (unop ∘ (fun x => x.2 / x.1) ∘ fun p => (op p.1, op p.2)) (𝓝 1) = comap (fun x => x.1⁻¹ * x.2) (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((μ.withDensity f).restrict s) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : Cokleisli U
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝

U.δ.app X ≫ U.map (U.δ.app X ≫ U.map f ≫ g) = (U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y ≫ U.map g


((U.δ.app X ≫ U.map (U.δ.app X)) ≫ U.map (U.map f)) ≫ U.map g = ((U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y) ≫ U.map g


((U.δ.app X ≫ U.δ.app (U.obj X)) ≫ U.map (U.map f)) ≫ U.map g = ((U.δ.app X ≫ U.map f) ≫ U.δ.app Y) ≫ U.map g


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0

j ∈ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x} ∨ ∃ k, ↑k ≤ ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r < ↑k + 1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : ↑⌊(↑j + 1) / r⌋ * r ≤ ↑j


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
h : r > 0
h✝ : ↑⌊(↑j + 1) / r⌋ * r > ↑j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

0 ≤ a / b ↔ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Fintype ιM
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
x : L
i : ℕ

(MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly.coeff i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)


Context:
a b✝ c d m n b : ℤ
hb : 0 < b
a✝ : ℕ
h : (ofNat a✝).toNat < b.toNat


Context:
a b✝ c d m n b : ℤ
hb : 0 < b
a✝ : ℕ
h : -[a✝+1].toNat < b.toNat


Context:
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
hb : 0 < b
h : a < b


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α


Context:
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A


∀ (a : ↑(inducedMap A).fst), ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 a, dist ((inducedMap A).snd x) ((inducedMap A).snd a) < ε


Context:
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
hA : VanishingDiam A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0

∀ᶠ (x_1 : ↑(inducedMap A).fst) in 𝓝 ⟨x, hx⟩, dist ((inducedMap A).snd x_1) ((inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩) < ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: hA : VanishingDiam A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: hA : VanishingDiam A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: n : ℕ

∃ t, (∀ y ∈ t, dist ((inducedMap A).snd y) ((inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩) < ε) ∧ IsOpen t ∧ ⟨x, hx⟩ ∈ t


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: hA : VanishingDiam A

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: n : ℕ


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
n : ℕ
ha : a.Nonneg


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn✝ : n ∈ N ⊔ N'
hn : ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = n
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn✝⟩⁆ = m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
n₁ : M
hn₁ : n₁ ∈ N
n₂ : M
hn₂ : n₂ ∈ N'
hn' : n₁ + n₂ = n


⁅↑x, ↑⟨n₁, hn₁⟩⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, ⁅↑x, ↑⟨n₁, hn₁⟩⁆ + z = m


⁅↑x, ↑⟨n₂, hn₂⟩⁆ ∈ ⁅I, N'⁆ ∧ ⁅↑x, ↑⟨n₁, hn₁⟩⁆ + ⁅↑x, ↑⟨n₂, hn₂⟩⁆ = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : EqOn f 1 s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0

p.nextCoeffUp = p.coeff (p.natTrailingDegree + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : coeff 0 0 = 0

nextCoeffUp 0 = coeff 0 (natTrailingDegree 0 + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
hp₀ : p ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × X)
x : X
hx : s ∈ 𝓝 (x, x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α

s.infsep = 0 ↔ s.einfsep = 0 ∨ s.einfsep = ⊤


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

(∀ (x : M), x ∈ S ↔ x ∈ ⊥) ↔ ∀ x ∈ S, x = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) '' Icc b c = Icc (a - c) (a - b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
ι✝ : Sort u_1
f✝ g : ι✝ → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞
h : x ≠ ⊤


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, dist (f b) (a b) ≤ d b

dist (∏ b ∈ s, f b) (∏ b ∈ s, a b) ≤ ∑ b ∈ s, d b


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ b ∈ s, ‖f b / a b‖ ≤ d b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
this : (↑A).det = 1


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SL(2, R)

Context: this : ↑A 0 0 * ↑A 1 1 - ↑A 0 1 * ↑A 1 0 = 1


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
f g : ↑(Ω^ N X x)


⟦fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g))⟧ = ⟦fromLoop j (Path.trans (toLoop j f) (toLoop j g))⟧


Context: N : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: x : X

Context: inst✝ : DecidableEq N

Context: i j : N

Context: f g : ↑(Ω^ N X x)

Context: m : (G : Type ?u.630838) → Group G → G → G → G := fun G x x_1 x_2 => x_1 * x_2


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬0 < (s.sup p) v


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y

Context: hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: g : ι → M

Context: hs : ∀ i ∈ ∅, p (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: h_one : f 1 = 1

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

Context: hs_nonempty : s.Nonempty


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ : P

Context: x : P × P × P

Context: hx12 : x.1 ≠ x.2.1

Context: hx32 : x.2.2 ≠ x.2.1

Context: f : P × P × P → V × V := fun y => (y.1 -ᵥ y.2.1, y.2.2 -ᵥ y.2.1)

Context: hf1 : (f x).1 ≠ 0

Context: hf2 : (f x).2 ≠ 0

ContinuousAt (fun y => ∠ y.1 y.2.1 y.2.2) x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x y : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑y) r o₂

Context: s : ℕ

Context: ml : Ordnode α

Context: z : α

Context: mr : Ordnode α

Context: hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y

Context: Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size

Context: H : l.size = 0 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size = 1 ∧ r.size ≤ 1 ∨ 0 < l.size ∧ ratio * r.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size ∧ delta * l.size ≤ (Ordnode.node s ml z mr).size + r.size ∧ 3 * ((Ordnode.node s ml z mr).size + r.size) ≤ 16 * l.size + 9 ∧ (Ordnode.node s ml z mr).size ≤ delta * r.size

Valid' o₁ (l.node4L x (Ordnode.node s ml z mr) y r) o₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x y : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑y) r o₂

Context: s : ℕ

Context: ml : Ordnode α

Context: z : α

Context: mr : Ordnode α

Context: Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size

BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E

((convexHull 𝕜) s).Nonempty ↔ s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n : ℕ


(fun x => (n + 1).factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + 1)) = (fun x => (n + 1).factorial • x) 0


(n + 1).factorial • multichoose (-↑n) (n + 1) = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i

((filter pred s).weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid G

Context: x : G

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: hn : n ≠ 0

Context: x✝ : ℕ

Context: a✝² : x✝ ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)

Context: y✝ : ℕ

Context: a✝¹ : y✝ ∈ Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)

Context: a✝ : x✝ ≠ y✝

Disjoint (Finset.filter (fun x => orderOf x = x✝) Finset.univ) (Finset.filter (fun x => orderOf x = y✝) Finset.univ)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid G

Context: x : G

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: hn : n ≠ 0

Context: x✝ : ℕ

Context: y✝ : ℕ

Context: a✝ : x✝ ≠ y✝

∀ x ∈ Finset.univ, orderOf x = x✝ → ¬orderOf x = y✝


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Monoid G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
hn : n ≠ 0
x : G

(x ∈ (Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ)).biUnion fun m => Finset.filter (fun x => orderOf x = m) Finset.univ) ↔ x ∈ Finset.filter (fun x => x ^ n = 1) Finset.univ


orderOf x ≤ n ∧ orderOf x ∣ n ↔ x ^ n = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

(a :: l).sublists' ~ l.sublists ++ map (cons a) l.sublists


l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists' ~ l.sublists ++ map (cons a) l.sublists


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b

Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k b : ℕ
hab : Coprime 0 b

Finset.filter IsPrimePow (0 * b).divisors = Finset.filter IsPrimePow (divisors 0 ∪ b.divisors)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a : ℕ
ha : a ≠ 0
hab : a.Coprime 0

Finset.filter IsPrimePow (a * 0).divisors = Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ divisors 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
n : ℕ

n ∈ Finset.filter IsPrimePow (a * b).divisors ↔ n ∈ Finset.filter IsPrimePow (a.divisors ∪ b.divisors)


IsPrimePow n → (n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b)


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L₂ M
t : R
x : L₁
m : M


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
i : Arrow T
X Y : T
p : X ≅ Y
sq : i ⟶ mk p.hom


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Disjoint a (sSup s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint a b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
i : ℕ
a : R
a_in : a ∈ ↑(I ^ i • ⊤)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
i : ℕ
a : R
a_in : a ∈ I ^ i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖


‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ + ‖y‖ * ‖y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongEpi f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
a✝ : StrongEpi g


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z : E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: G₀ : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Monoid M

Context: x : Mˣ

Context: u : ↥(MulAction.stabilizer (ConjAct Mˣ) x)

↑x * ↑(ConjAct.ofConjAct ↑u) = ↑(ConjAct.ofConjAct ↑u) * ↑x


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: G₀ : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Monoid M

Context: x : Mˣ

Context: this : ↑u • x = x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Monoid M
x : Mˣ
u : (↥(Submonoid.centralizer {↑x}))ˣ

ConjAct.toConjAct ((Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u) • x = x


(Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u * x = x * (Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(x - y) * ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)


(x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k)) = x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

Context: this : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : V → W
inst✝ : Subsingleton V
v w : V

G.Adj v w → (SimpleGraph.comap f G').Adj v w


Context:
X : Scheme
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⋃ x ∈ ↑t, (fun a => f a x) '' ↑s = image2 f ↑s ↑t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

e ∈ ⋃ φ, ⋃ U, ⋃ (hU : IsOpen U), ⋃ (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U), ⋃ (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), {e | e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)} ↔ ∃ φ U, ∃ (hU : IsOpen U) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)


Context: C : Type u_5

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: X : C

(zero F s i).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)


Context: C : Type u_5

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: X : C

Context: h : whiskerLeft F (zero F s i).hom = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).hom


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ

∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
h₄ : x * (x ^ n)⁻¹ = (x ^ n)⁻¹ * x


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

W.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W.Nonsingular Q


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : ℕ → α
l : Filter α
k : ℕ

Tendsto (f ∘ fun n => n + k) atTop l ↔ Tendsto f atTop l


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

(∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, x ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * (x - 1) = x ^ n - 1 ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1


Context:
s : ℕ
h : s ≠ 0


Context:
s : ℕ
h : s.succ ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T1Space Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), r i n < n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : R.n₀ ≤ n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
P : Set X → Prop
hP : ∀ (s t : Set X), s ⊆ t → P s → P t

(∀ (i : Set X), x ∈ i ∧ IsOpen i → P i) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → P s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M

∏ k ∈ Ico a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ico a b, f k) * f b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
u v : Fin n

u ⋖ v ∨ v ⋖ u ↔ ↑u + 1 = ↑v ∨ ↑v + 1 = ↑u


Context: n : ℕ


Context:
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2


Context:
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
ha : a ≠ 1 := succ_succ_ne_one n


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Ideal.map (Ideal.Quotient.mk v.supp) v.supp = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤ ⊓ I ^ j • ⊤


∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k ≤ I ^ i ∧ I ^ k ≤ I ^ j


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
i j : ℕ


∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤


∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j ≤ I ^ i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ
x : R
hx : x ∈ ↑(I ^ n)

(DistribMulAction.toLinearMap R R r) x ∈ I ^ n


∀ (i : ℕ), ∃ j, ↑(I ^ j • ⊤) * ↑(I ^ j • ⊤) ⊆ ↑(I ^ i • ⊤)


∀ (i : ℕ), ∃ j, ↑(I ^ j) * ↑(I ^ j) ⊆ ↑(I ^ i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : R
_hx : x ∈ ↑(I ^ n)
b : R
hb : b ∈ ↑(I ^ n)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles


S.g ≫ Injective.factorThru (S.descOpcycles f hf) S.fromOpcycles = f


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

S ∈ rightTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q


(∀ (g : G), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = Quotient.mk'' g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q


Context:
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

Set.InvOn f g (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
r : ℝ
w : α
hw : 1 < ‖w‖
n : ℕ
hn : r < ‖w‖ ^ n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
ho : ∀ (i : ι), p i → IsOpen (s i)
i : ι
hi : p i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ x ∈ Finset.Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f x ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι✝

Context: m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit

MeasurePreserving (⇑e) (Measure.pi μ) (Measure.dirac ())


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι✝

Context: m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : IsEmpty ι

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = Measure.dirac ()


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f


∀ (i' : Set X), IsLindelof i' → ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: t' : Finset α

Context: s' : α → Finset γ

Context: h : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'

Context: f : γ → α → β

∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t x, f x y = ∏ y ∈ t', ∏ x ∈ s' y, f x y


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: x : E

Context: I : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace I

Context: h✝ : IsEvenlyCovered f (f x) I

Context: e : Trivialization I f := Classical.choose ⋯

Context: h : f x ∈ (Classical.choose ⋯).baseSet := Classical.choose_spec h✝.right

Context: he : (f x, (↑e x).2) = ↑e x := Trivialization.mk_proj_snd' e h


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

(p * q).nextCoeff = p.nextCoeff + q.nextCoeff


(p * q).reverse.coeff 1 = p.reverse.coeff 1 + q.reverse.coeff 1


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝² : Module 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝ : T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: hm : multiplicity a b < ↑m

Context: h : a ^ m ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: hm : ∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h < m

Context: h : a ^ m ∣ b


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β

image2 (fun a b => f (a, b)) s t = f '' s ×ˢ t


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p

multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
hm : multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤


multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1


Context: n p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hp' : _root_.Prime p

Context: h0 : 2 ≤ p

Context: h1 : 1 ≤ p * n + 1

Context: h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)

Context: h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1

Context: h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0


Context: n p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hp' : _root_.Prime p

Context: h0 : 2 ≤ p

Context: h1 : 1 ≤ p * n + 1

Context: h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)

Context: h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1

∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤ → ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)


Context: n p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hp' : _root_.Prime p

Context: h0 : 2 ≤ p

Context: h1 : 1 ≤ p * n + 1

Context: h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)

Context: h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1

Context: h : ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤

∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
q : ℚ
hq : a < ↑q


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M

Ideal.span {minpoly 𝕜 f} = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)


annIdeal 𝕜 f = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]

x✝ ∈ annIdeal 𝕜 f ↔ x✝ ∈ Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)


(∀ (x : M), ((aeval f) x✝) x = 0 x) ↔ ∀ (m : Module.AEval' f), x✝ • m = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ p✝ q✝ : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: H : p.leadingCoeff = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ p✝ q✝ : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: H : p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
h : Summable fun x => ↑(f x)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y

Context: hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs_nonempty : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs_nonempty : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs_nonempty : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

∀ a ∈ Multiset.map (fun i => g i) s.val, p a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs_nonempty : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

(Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid N

Context: f : M → N

Context: p : M → Prop

Context: g : ι → M

Context: s : Finset ι

Context: hs_nonempty : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

(Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
f : G ⟶ K
m : ℤ

δ n m (z₁.comp (Cochain.ofHom f) ⋯) = (δ n m z₁).comp (Cochain.ofHom f) ⋯


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : α

‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (x, 0)‖₊ = ‖x‖₊


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k

j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k < ↑j


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k = ↑j


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑j < ↑k


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y

map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x) = 𝓝 x.1


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: x : X × Y

Context: s : Set X

Context: hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: y : Y

Context: hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2}] (x, y))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: y : Y

Context: hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: y : Y

Context: u : Set X

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: v : Set Y

Context: hv : v ∈ 𝓝 y

Context: H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x ∈ u, ∀ y_1 ∈ v, y_1 = y → x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ‖x‖ = ‖y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: g : ℝ → E := fun x => f x - f a

∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: g : ℝ → E := fun x => f x - f a

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: g : ℝ → E := fun x => f x - f a

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: g : ℝ → E := fun x => f x - f a

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: g : ℝ → E := fun x => f x - f a

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)

Context: hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
w : ι → Rˣ

e.det ⇑(e.unitsSMul w) = ∏ i : ι, ↑(w i)


Context:
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V