Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : Unit

Context: s : ℕ → ℚ

Context: x✝ : Antitone s

Context: hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

Context: h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : Unit

Context: s : ℕ → ℚ

Context: x✝ : Antitone s

Context: hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : Unit

Context: s : ℕ → ℚ

Context: x✝ : Antitone s

Context: hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

Context: h0 : Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

Tendsto (fun m => ∫ (c : α), (preCDF ρ (s m) (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a) atTop (𝓝 (((Kernel.const Unit ρ.fst) a) univ).toReal)


Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : Unit

Context: s : ℕ → ℚ

Context: x✝ : Monotone s

Context: hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

Context: h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atTop (𝓝 (ρ.fst univ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: a : Unit

Context: s : ℕ → ℚ

Context: x✝ : Monotone s

Context: hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

Context: h0 : Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 (ρ.fst univ)) (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : Set α
hs : MeasurableSet s
q : ℚ

∫ (c : α) in s, (preCDF ρ q (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a = (((Kernel.const Unit ρ) a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

(𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x : α
hx : x > 0
y : α
hy : y > 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
e : PartialEquiv M E := f.extend I

map (↑e) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑e '' (e.source ∩ s)] ↑e y


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: f : Γ → Γ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (L R : ListBlank Γ), write (f (R.nth n)) ((move Dir.right)^[n] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n] (mk' L (ListBlank.modifyNth f n R))

Context: L R : ListBlank Γ

write (f (R.nth (n + 1))) ((move Dir.right)^[n + 1] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n + 1] (mk' L (ListBlank.modifyNth f (n + 1) R))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : Set (NonUnitalStarSubalgebra R A)

Context: x : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n ≠ m

(Disjoint on MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i) n m


MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n > m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

s ∈ f ×ˢ 𝓟 t ↔ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s} ∈ f


(∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ s) ↔ ∃ t_1 ∈ f, t_1 ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
u : Set α

(∃ t₂ ∈ 𝓟 t, u ×ˢ t₂ ⊆ s) → u ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
u : Set α
h : u ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

Context: x : R

(rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm (x • γ) = x • γ.rightUnshift n hn


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: x✝ x y : FreeMagma α

Context: hx : (toFreeSemigroup x).length = x.length

Context: hy : (toFreeSemigroup y).length = y.length

(toFreeSemigroup (x * y)).length = (x * y).length


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: x✝ x y : FreeMagma α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
f' : S →ₗ[R] M

map f g ∘ₗ rTensor N f' = map (f ∘ₗ f') g


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: boxes : Finset (WithBot (Box ι))

Context: le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I

Context: pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint

⋃ J, ⋃ (_ : ↑J ∈ boxes), ↑J = ⋃ J ∈ boxes, ↑J


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
x : E

x ∈ cthickening (ε + δ) s → x ∈ cthickening ε (cthickening δ s)


infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ → infEdist x s - ENNReal.ofReal δ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝¹ : LinearOrder R

Context: inst✝ : LinearOrder S

Context: l : R

Context: freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x

Context: lbot : ¬IsBot l

Context: l' : R

Context: hl' : l' < l

Context: u : R

Context: hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝¹ : LinearOrder R

Context: inst✝ : LinearOrder S

Context: l : R

Context: freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x

Context: lbot : ¬IsBot l

Context: l' : R

Context: hl' : l' < l

Context: u : R

Context: key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝¹ : LinearOrder R

Context: inst✝ : LinearOrder S

Context: l : R

Context: freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x

Context: lbot : ¬IsBot l

Context: l' : R

Context: hl' : l' < l

Context: u : R

Context: key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u

Context: w : R

Context: l_le_w : l ≤ w

Context: w_le_u : w ≤ u


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f✝ f : R[X]


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

AEMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α

a ∈ exterior s ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → s ⊆ U → a ∈ U


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂


Context: a✝ b c n a : ℕ

image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = range a


Context: a b c n : ℕ

image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = range 0


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ

i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ range a


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a


Context:
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i


Context:
x : ℝ
h : 1 < x

2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + π


Context:
x : ℝ
h : 1 < x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

0 ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

∀ x ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p, 0 ≤ x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : ℝ

a ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p → 0 ≤ a


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : ℝ

∀ (x : 𝕜) (x_1 : (i : ι) → E i), (x, x_1) ∈ p → ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖x_1 x‖ = a → 0 ≤ a


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : ℝ

Context: x : 𝕜

Context: m : (i : ι) → E i

Context: a✝ : (x, m) ∈ p

Context: h : ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖ = a


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
β : Type u_6
γ : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
μ : Measure Ω

IndepFun f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c : E

StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#↑{f | Surjective f} = 0 ↔ #α < #β ∨ #α ≠ 0 ∧ #β = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

t.snd = ht.desc (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y))


∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.snd = (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y)).ι.app j


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f g : Arrow C
inst✝³ : HasImage f.hom
inst✝² : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
inst✝¹ : HasImageMap sq
inst✝ : HasImageMap (𝟙 f)

HasImageMap.imageMap (𝟙 f) = imageMapId f


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg : Subgroup H

Subgroup.comap (↑f.symm) (Subgroup.comap (↑f) sg) = sg


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sh : Subgroup G

Subgroup.comap (↑f) (Subgroup.comap (↑f.symm) sh) = sh


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: H : Type u_5

Context: inst✝ : Group H

Context: f : G ≃* H

Context: sg1 sg2 : Subgroup H

Context: h : { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg1 ≤ { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg2


Context:
n : ℕ
h0 : n ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G

T.map (α.f + β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f + β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n : ℕ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α : F ⟶ G


T.map (α.f - β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f - β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
r : ℤ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
a✝ b✝ : F ⟶ G


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
P✝ Q✝ R✝ : T.Algebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
P✝ Q✝ R✝ : T.Algebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context: x y : ℝ


Context:
y : ℝ
h : ContinuousAt log 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)

eLpNorm (↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ ≤ eLpNorm (↑↑f) 2 μ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R

p.totalDegree = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m✝ n m : ℕ
ha : a ^ n = 1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hs : s.Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: inst✝ : Fintype S

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

untrop (∑ i : S, f i) = ⨅ i, untrop (f i)


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: y : ↑X

Context: h : p₀ ⤳ y

Context: U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ

Context: inc : U ⟶ V

(if h : p₀ ∈ unop ((OpenNhds.inclusion y).op.obj V) then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((fun U => if p₀ ∈ unop U then A else ⊤_ C) ((OpenNhds.inclusion y).op.obj U))) ≫ (fun U => eqToHom ⋯) V = (fun U => eqToHom ⋯) U ≫ ((Functor.const (OpenNhds y)ᵒᵖ).obj A).map inc


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: y : ↑X

Context: h : p₀ ⤳ y

Context: U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ

Context: inc : U ⟶ V

eqToHom ⋯ ≫ (fun U => eqToHom ⋯) V = (fun U => eqToHom ⋯) U ≫ ((Functor.const (OpenNhds y)ᵒᵖ).obj A).map inc


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: y : ↑X

Context: h : p₀ ⤳ y

Context: U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ

Context: inc : U ⟶ V

p₀ ∈ unop ((OpenNhds.inclusion y).op.obj V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
h𝔖 : ∃ V ∈ 𝔖, V ∈ 𝓝 x
hc : ContinuousAt ((toFun 𝔖) f) x

ContinuousAt (fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) (f, x)


∀ s ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (a : (α →ᵤ[𝔖] β) × α) in 𝓝 (f, x), (Prod.mk ((toFun 𝔖) (f, x).1 (f, x).2) ∘ fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) a ∈ s ○ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ[𝔖] β
x : α
hc : ContinuousAt ((toFun 𝔖) f) x
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
V : Set α
hV : V ∈ 𝔖
hVx : V ∈ 𝓝 x

∀ᶠ (a : (α →ᵤ[𝔖] β) × α) in 𝓝 (f, x), (Prod.mk ((toFun 𝔖) (f, x).1 (f, x).2) ∘ fun fx => (toFun 𝔖) fx.1 fx.2) a ∈ U ○ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β × γ → α
s : Set β
t : Set γ

⨆ x ∈ s ×ˢ t, f x = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f (a, b)


⨆ i, ⨆ j, ⨆ (_ : i ∈ s), ⨆ (_ : j ∈ t), f (i, j) = ⨆ a ∈ s, ⨆ b ∈ t, f (a, b)


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
h_proper : ProperSMul G X
inst✝ : T2Space G
f : X → G × X := fun x => (1, x)
proper_f : IsProperMap f


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G X

Context: inst✝⁵ : MulAction G Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: h_proper : ProperSMul G X

Context: inst✝ : T2Space G

Context: f : X → G × X := fun x => (1, x)

Context: proper_f : IsProperMap f

Context: g : G × X → X × X := fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G X

Context: inst✝⁵ : MulAction G Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: h_proper : ProperSMul G X

Context: inst✝ : T2Space G

Context: f : X → G × X := fun x => (1, x)

Context: proper_f : IsProperMap f

Context: proper_g : IsProperMap g


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G X

Context: inst✝⁵ : MulAction G Y

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: h_proper : ProperSMul G X

Context: inst✝ : T2Space G

Context: f : X → G × X := fun x => (1, x)

Context: proper_f : IsProperMap f

Context: proper_g : IsProperMap g

Context: this : g ∘ f = fun x => (x, x)

Context: range_gf : range (g ∘ f) = diagonal X


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n✝ : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Ring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup X

Context: inst✝ : Module R X

Context: n : ℤ

Context: x : OreLocalization S X

Context: inst : Module ℤ (OreLocalization S X) := instModuleOfIsScalarTower


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inl g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯ = pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier

Context: s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: hs : (isLocallyFraction R).pred s

Context: p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hpV : p ∈ V

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W

Context: iWU : W ⟶ U

Context: a b : R

Context: q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hqW : q ∈ ↑((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) W)

Context: hqV : q ∈ ↑V

Context: h_frac : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩).asIdeal ∧ (fun x => s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩ * (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) b = (algebraMap R (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, hqW⟩)) a

f b ∉ (↑⟨q, ⋯⟩).asIdeal ∧ (fun x => comapFun f U V hUV s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨q, ⋯⟩ * (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f b) = (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f a)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: hs : (isLocallyFraction R).pred s

Context: p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hpV : p ∈ V

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W

Context: iWU : W ⟶ U

Context: a b : R

Context: q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hqV : q ∈ ↑V

(fun x => comapFun f U V hUV s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) ⟨q, ⋯⟩ * (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f b) = (algebraMap S (Localizations S ↑⟨q, ⋯⟩)) (f a)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: hs : (isLocallyFraction R).pred s

Context: p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hpV : p ∈ V

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W

Context: iWU : W ⟶ U

Context: a b : R

Context: q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hqV : q ∈ ↑V

(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) q).asIdeal q.asIdeal f ⋯) (s ⟨(PrimeSpectrum.comap f) q, ⋯⟩) * (algebraMap S (Localizations S q)) (f b) = (algebraMap S (Localizations S q)) (f a)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: s : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: hs : (isLocallyFraction R).pred s

Context: p : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hpV : p ∈ V

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: m : ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) p, ⋯⟩ ∈ W

Context: iWU : W ⟶ U

Context: a b : R

Context: q : ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: hqV : q ∈ ↑V

(algebraMap S (Localization.AtPrime q.asIdeal)) (f a) = (algebraMap S (Localizations S q)) (f a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : c ⊔ a ≤ c ⊔ b


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
F E✝ E'✝ : Subfield L
h : F ≤ E✝
h' : F ≤ E'✝
x : L
E E' : { E // F ≤ E }

{ toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨E.toSubfield, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E ≤ { toFun := fun E => extendScalars ⋯, invFun := fun E => ⟨E.toSubfield, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } E' ↔ E ≤ E'


extendScalars ⋯ ≤ extendScalars ⋯ ↔ E ≤ E'


Context:
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x


∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}

f b < nfpFamily (fun x => f) a ↔ b < nfpFamily (fun x => f) a


f b < nfpFamily (fun x => f) a ↔ Unit → f b < nfpFamily (fun x => f) a


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) = {↑((orthogonalProjection s) p)}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) = {orthogonalProjectionFn s p}


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
Z : C
π : Y ⟶ Z
q : IsSplitCoequalizer f g π
F : C ⥤ D


F.map q.rightSection ≫ F.map π = 𝟙 (F.obj Z)


F.map q.leftSection ≫ F.map g = 𝟙 (F.obj Y)


F.map q.leftSection ≫ F.map f = F.map π ≫ F.map q.rightSection


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

Context: i j : ℕ

Context: ih : i ≤ j → approx (⇑f) i ≤ approx (⇑f) j

Context: a✝ : i.le j


Context: θ : Angle

toIocMod two_pi_pos (-π) θ.toReal = θ.toReal


Context: x✝ : ℝ

toIocMod two_pi_pos (-π) (↑x✝).toReal = (↑x✝).toReal


Context: x✝ : ℝ

toIocMod two_pi_pos (-π) (toIocMod two_pi_pos (-π) x✝) = toIocMod two_pi_pos (-π) x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: i j _k : ι

Context: x✝ : i ≤ _k ∧ j ≤ _k

Context: hi : i ≤ _k

Context: hj : j ≤ _k


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)

Context: hs : s.Nonempty

Context: j : J


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: hs : s.Nonempty

Context: j : J


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: hs : s.Nonempty

Context: j : J

Context: h : IsEmpty (j ⟶ i)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: hs : s.Nonempty

Context: j : J

Context: ji : j ⟶ i


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)

Context: hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V

LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

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Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

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Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

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Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

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Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

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Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

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Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

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Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

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Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

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Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

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Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n

Context: hU4 : ∀ (f : X →* Y), Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0) → ∀ (n : ℕ), Set.MapsTo (⇑f) (U n) (V n)


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n

∀ (k : ℕ), True → ∀ᶠ (x : X) in nhds 1, ∀ (i : ↑{f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}), (↑i 1, ↑i x) ∈ {x | x.2 / x.1 ∈ V k}


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n

Context: n : ℕ

Context: x✝¹ : True

Context: x : X

Context: hx : x ∈ U n

Context: x✝ : ↑{f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}

Context: f : X →* Y

Context: hf : f ∈ {f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}

(↑⟨f, hf⟩ 1, ↑⟨f, hf⟩ x) ∈ {x | x.2 / x.1 ∈ V n}


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n

Context: n : ℕ

Context: x✝¹ : True

Context: x : X

Context: hx : x ∈ U n

Context: x✝ : ↑{f | Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0)}

Context: f : X →* Y


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ I : Ideal R
i : ℕ
r : R

(monomial i) r ∈ reesAlgebra I ↔ r ∈ I ^ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : _root_.Disjoint p q

_root_.Disjoint (filter p s) (filter q t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t✝ s t : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : _root_.Disjoint p q
a : α
left✝¹ : a ∈ s
hp : p a
left✝ : a ∈ t
hq : q a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ q✝ : α → Prop

Context: inst✝³ : DecidablePred p✝

Context: inst✝² : DecidablePred q✝

Context: s✝ t✝ s t : Finset α

Context: p q : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred q

Context: h : ∀ (i : α), _root_.Disjoint (p i) (q i)

Context: a : α

Context: left✝¹ : a ∈ s

Context: hp : p a

Context: left✝ : a ∈ t

Context: hq : q a


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
hg : g ∈ s.hsum.support


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder Γ

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: α : Type u_3

Context: s : SummableFamily Γ R α

Context: g : Γ

Context: hg : ∑ i ∈ ⋯.toFinset, (s i).coeff g ≠ 0


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder Γ

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: α : Type u_3

Context: s : SummableFamily Γ R α

Context: g : Γ

Context: a : α

Context: left✝ : a ∈ ⋯.toFinset

Context: h2 : (s a).coeff g ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'

(η.naturality (f ≫ g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map (f ≫ g)) h).hom ≫ η.app a ◁ G.mapComp f g ▷ h = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ (η.naturality g).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ (η.naturality f).hom ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom


Context:
α : Type u_1
b : ℂ
hb : b ≠ 0


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
μ : YoungDiagram
j a b : ℕ

(a, b) ∈ μ.col j ↔ (a, b) ∈ Finset.range (μ.colLen j) ×ˢ {j}


Context:
μ : YoungDiagram
j a b : ℕ

b = j → (a < μ.colLen b ↔ a < μ.colLen j)


Context:
μ : YoungDiagram
a b : ℕ


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ

x ∈ filter (fun x => r ∣ x) (Ioc a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } (Ioc ⌊↑a / ↑r⌋ ⌊↑b / ↑r⌋)


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ

((a < x ∧ x ≤ b) ∧ ∃ c, x = c * r) ↔ ∃ a_1, (a < a_1 * r ∧ a_1 * r ≤ b) ∧ { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } a_1 = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s

(∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: this : HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k + 1) * ((fourier ↑n) ↑x - (fourier (-↑n)) ↑x)) ((-1) ^ (k + 1) * I * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! * ↑(bernoulliFun (2 * k + 1) x))

Context: ofReal_two : ↑2 = 2

HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ (2 * k + 1) * Real.sin (2 * π * ↑n * x)) ((-1) ^ (k + 1) * (2 * π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval x (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))))


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: ofReal_two : ↑2 = 2

Context: x✝ : ℕ

1 / ↑x✝ ^ (2 * k + 1) * Real.sin (2 * π * ↑x✝ * x) = (1 / ↑x✝ ^ (2 * k + 1) * ((fourier ↑x✝) ↑x - (fourier (-↑x✝)) ↑x) / (2 * I)).re


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: ofReal_two : ↑2 = 2


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
Z : C
g : X ⟶ Z


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: t : List α

Context: IH : ∀ {s : List α}, s ∈ t.sublists' ↔ s <+ t

Context: s : List α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: t : List α

Context: s : List α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

derivWithin (fun x => eval x p) s x = eval x (derivative p)


deriv (fun x => eval x p) x = eval x (derivative p)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b : A

(shiftFunctorAdd' (OppositeShift C A) a b (a + b) ⋯).inv.app X = ((shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : F.Faithful
α : F ≅ F'
X✝ Y✝ : C
a₁✝ a₂✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : F'.map a₁✝ = F'.map a₂✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i n)


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑(r i x)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: s : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric


MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s} ≤ μ.caratheodory


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t

Context: hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t

Context: iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t

Context: iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t

Context: htop : ¬μ (s \ t) = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t

Context: iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t

Context: htop : ¬μ (s \ t) = ⊤

Context: this : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ S (n + 1)


Context:
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V

(((Basis.singleton Unit K).constr K) fun x => ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) 1 = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i


∑ i : Unit, (Basis.singleton Unit K).equivFun 1 i • ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
h : s.IsPWO


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i < (l.splitWrtComposition c).length

(l.splitWrtComposition c).get ⟨i, hi⟩ = drop (c.sizeUpTo i) (take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R✝ : Type u

Context: A✝ : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A✝

Context: inst✝¹⁴ : Module R✝ A✝

Context: inst✝¹³ : Star A✝

Context: inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ B

Context: inst✝¹⁰ : Star B

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring C

Context: inst✝⁸ : Module R✝ C

Context: inst✝⁷ : Star C

Context: inst✝⁶ : FunLike F A✝ B

Context: inst✝⁵ : NonUnitalAlgHomClass F R✝ A✝ B

Context: inst✝⁴ : NonUnitalStarAlgHomClass F R✝ A✝ B

Context: S✝ : NonUnitalStarSubalgebra R✝ A✝

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹ : Module R A

Context: inst✝ : Star A

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring

Context: x : A


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: c : CliffordAlgebra Q

toComplex (involute c) = (starRingEnd ℂ) (toComplex c)


Context: c : CliffordAlgebra Q

Context: this : toComplex (involute ((ι Q) 1)) = (starRingEnd ℂ) (toComplex ((ι Q) 1))


Context: c : CliffordAlgebra Q

toComplex.comp involute = (↑Complex.conjAe).comp toComplex


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R

eval₂ f x ((monomial n) r) = f r * x ^ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulZeroOneClass α
inst✝² : MulZeroOneClass β
inst✝¹ : MulZeroOneClass γ
inst✝ : MulZeroOneClass δ
f g✝ : α →*₀o β
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: β : Type u_5

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: g : β → E

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Memℒp g p (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) p μ


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
n : ℕ
h : n < l.cyclicPermutations.length


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β

image2 f (↑s ∩ ↑s') (↑t ∪ ↑t') ⊆ image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t'


Context:
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β₀ β₁ β₂ : Type u₁
g : β₀ → β₁
g' : β₁ → β₂
x : F α β₀


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y

F.map f.unop.left.op ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) X).snd = ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : C ⥤ Type w

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)

((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd = ((yoneda.obj (unop X).left).map f.unop.left.op ≫ (unop X).hom.app (op (unop Y).left)) (𝟙 (unop (op (unop X).left)))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : C ⥤ Type w

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

(unop Y).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : C ⥤ Type w

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : C ⥤ Type w

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

(yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom).app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : C ⥤ Type w

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

(unop X).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left ≫ f.unop.left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f


∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0) → ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0


Context: x : ℤ[i]


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hf : S.arrows f


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: iM : Infinite M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

∃ N, (Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∨ Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)) ∧ #↑N = κ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A

Completion.map (fun x => r • x) x = ↑A ((algebraMap R A) r) * x


IsClosed {a | Completion.map (fun x => r • x) a = ↑A ((algebraMap R A) r) * a}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A
a : A

Completion.map (fun x => r • x) (↑A a) = ↑A ((algebraMap R A) r) * ↑A a


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
hs : ∀ (x : ↥L), IsSeparable F x
x : E
h : x ∈ L


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K

x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥


(∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ range ⇑(algebraMap R K)


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
c : R₁ →L[R₁] M₂


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
hi : f i = mex g


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
j : β
hi : g j = mex g
hj : g j = f i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ

(p ^ k).factors.prod = FactorSet.prod ↑(replicate k ⟨p, hp⟩)


p ^ k = match ↑(replicate k ⟨p, hp⟩) with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod


p ^ k = (Multiset.map Subtype.val (replicate k ⟨p, hp⟩)).prod


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m

|abs (z ^ m.succ / ↑m.succ.factorial)| ≤ abs z / ↑n * |abs (z ^ m / ↑m.factorial)|


abs z / ↑m.succ * abs (z ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs z / ↑n * abs (z ^ m / ↑m.factorial)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs

Context: A : Set α

(inducedOuterMeasure m P0 m0) (⇑f ⁻¹' A) = (inducedOuterMeasure m P0 m0) A


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A : Set α

⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A : Set α

⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A s : Set α

⨅ (ht : P (⇑f ⁻¹' s)), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ht = ⨅ (ht : P s), ⨅ (_ : A ⊆ s), m s ht


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A s : Set α

∀ (x : P s), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s x


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A s : Set α

Context: hs : P s

⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s hs


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: A s : Set α

Context: hs : P s


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
c d : V
x✝ : c ∈ C
dnK : d ∉ K
cd : G.Adj c d
cnK : c ∉ K
h : G.componentComplMk cnK = C


(induce Kᶜ G).Reachable ⟨d, dnK⟩ ⟨c, cnK⟩


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i : ι

Context: a : α

Context: f✝ g : ι → α

Context: inst✝¹ inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → α

Context: b✝ : α

Context: h : ∀ i ∈ s, Commute b✝ (f i)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset ι

Context: i✝ : ι

Context: a : α

Context: f✝ g : ι → α

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → α

Context: b : α

Context: h : ∀ i ∈ s, Commute b (f i)

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s.val

Context: hb : f i ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: hna : IsNonarchimedean f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: hna : IsNonarchimedean f

Context: x y z : R

f ((x + y) * z) / f z ≤ max (seminormFromBounded' f x) (seminormFromBounded' f y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: hna : IsNonarchimedean f

Context: x y z : R

f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f x ∨ f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f y


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m : ℕ
hm : m < hf.toFinset.card
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
h : m < n


(⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨m, ⋯⟩ < (⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, ⋯⟩


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

∃ n, lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n ≤ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

(pi Set.univ fun i => lowerCentralSeries (Gs i) n) ≤ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

∀ (i : η), lowerCentralSeries (Gs i) n = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)

Context: n : ℕ

Context: i : η


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β

Context: f g : α →C₀ β

Context: h : f.toBCF = g.toBCF

Context: x : α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : X φ i ⟶ A
h : inrX φ i ≫ f = inrX φ i ≫ g


(XIso φ i hi).inv ≫ f = (XIso φ i hi).inv ≫ g


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2

(E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2

Context: this : (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2

Context: this : Subalgebra.restrictScalars K (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2

Context: this : (adjoin K (↑E1 ∪ ↑E2)).toSubalgebra = Algebra.adjoin K (↑E1.toSubalgebra ∪ ↑E2)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset β
t : Finset α


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V

Function.Injective (Submodule.map (eval K V))


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1


∑ m ∈ Finset.range (k + 1), a ^ m * b ^ (k - m) * ↑(k.choose m) ∈ I


∀ c ∈ Finset.range (k + 1), a ^ c * b ^ (k - c) * ↑(k.choose c) ∈ I


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
c : ℕ
a✝ : c ∈ Finset.range (k + 1)


Context: a₀ a₁ a₂ : Type u

(sum fun i => #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i)) = #a₀ + #a₁ + #a₂


Context: a₀ a₁ a₂ : Type u

#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ 0) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1)) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1 + 1)) + sum fun i => #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (i + 1 + 1 + 1)))) = #a₀ + #a₁ + #a₂


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
I : Ideal R
f : R ≃+* S


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
a : m → α
b : n → β
i₁ : m
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n

kroneckerMap f (diagonal a) (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = diagonal (fun mn => f (a mn.1) (b mn.2)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L

(span ℤ (Set.range ⇑(ofZlatticeBasis K L b))).toAddSubgroup = L


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R

zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ I.radical ∈ minimalPrimes R


zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R


closure (zeroLocus ↑I) ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum (fun i => -I / 2 * ((-1) ^ (i + 1) * (z * I) ^ i / ↑i + (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * (log (1 + z * I) + -log (1 - z * I)))


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum (fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum ((fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: k : ℕ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.835033) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f g : C(↑(spectrum R a), R)


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B

((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp α β)).app b = (rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : A ⥤ B

Context: R₂ : B ⥤ A

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H

Context: b : B

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) β) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : A ⥤ B

Context: R₂ : B ⥤ A

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H

Context: b : B

Context: vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)

((mateEquiv adj₁ adj₃) (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₁ adj₂)) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ (mateEquiv adj₂ adj₃) β).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : A ⥤ B

Context: R₂ : B ⥤ A

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H

Context: b : B

Context: vcompb : ((mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H)).app b = (whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : A ⥤ B

Context: R₂ : B ⥤ A

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H

Context: b : B

Context: vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))

({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ 𝟭 A) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (𝟭 B ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (𝟭 A ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ 𝟭 B) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ { toFun := fun α => whiskerLeft (R₂ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₂ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₂.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₂.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₂ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₂ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β).app b


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: D : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: G : A ⥤ C

Context: H : B ⥤ D

Context: L₁ : A ⥤ B

Context: R₁ : B ⥤ A

Context: L₂ : A ⥤ B

Context: R₂ : B ⥤ A

Context: L₃ : C ⥤ D

Context: R₃ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: adj₃ : L₃ ⊣ R₃

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H

Context: b : B

adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ

mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

mellin (fun t => f (t ^ 0)) s = |0|⁻¹ • mellin f (s / ↑0)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0


∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'


a • x' + b • y' < f.symm (a • f x' + b • f y')


f (a • x' + b • y') < a • f x' + b • f y'


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V

Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
h : Module.rank K V = 1

∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : Ring K

Context: inst✝³ : StrongRankCondition K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module.Free K V

Context: this : Nontrivial K

Context: x✝ : ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v

Context: v₀ : V

Context: h : v₀ ≠ 0

Context: hv : ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜

I ∈ (zeroLocus 𝒜 {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal


f ∉ ↑I.asHomogeneousIdeal ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f

(opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv


((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop


∀ (j : Discrete α), c'.ι.app j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

c'.inj j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app { as := j } ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop


c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop = c.ι.app { as := j }


(c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop).op = (c.ι.app { as := j }).op


(opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ f.proj j = (c.ι.app { as := j }).op


(opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv ≫ (c.inj j).op = (c.ι.app { as := j }).op


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

(if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0


padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint h)) = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: H0 : C ∅

Context: H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)

Context: s : Finset α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: H0 : C ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: H0 : C ∅

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: hs : C ↑s


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ

multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : y ≤ x


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : x ≤ y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℤ


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

(cauSeqConj f).lim.re = ((starRingEnd ℂ) f.lim).re


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

(cauSeqConj f).lim.im = ((starRingEnd ℂ) f.lim).im


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

CauSeq.lim ⟨fun n => -(↑f n).im, ⋯⟩ = (-⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩).lim


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

1 < s.encard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

(∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ ∀ (x : α), ¬∃ b, x ∈ s ∧ b ∈ s ∧ x ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝


↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑g a✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R

RingHom.ker (quotLeftToQuotSup I J) = map (Ideal.Quotient.mk I) J


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

opcyclesMap e.hom ≫ opcyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.opcycles


opcyclesMap e.inv ≫ opcyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.opcycles


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : Inducing f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))

∀ (x : ↑(f ⁻¹' s)), 𝓝 x = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑x)))