Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: x ζ : (𝓞 K)ˣ

Context: f : Fin (rank K) → ℤ

Context: hζ : ζ ∈ torsion K

Additive.ofMul ↑x = ∑ i : Fin (rank K), f i • (basisModTorsion K) i


Context:
X₀ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X₀ → X
hf : QuotientMap f
g : Y × X → Z
hg : Continuous fun p => g (p.1, f p.2)


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : Y × X → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (p.1, f p.2)

Context: this : Continuous fun p => g (p.swap.1, f p.swap.2)


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : Y × X → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (p.1, f p.2)

Context: this✝ : Continuous fun p => g (p.swap.1, f p.swap.2)

Context: this : Continuous fun p => (g ∘ Prod.swap) (f p.1, p.2)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F G F' G' : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y

(F.map f ⊗ F'.map f) ≫ (α.app Y ⊗ β.app Y) = (α.app X ⊗ β.app X) ≫ (G.map f ⊗ G'.map f)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N

i (r * a ^ n * b ^ (N - n)) = i b ^ N * eval (i a * bi) (Polynomial.map i (C r * X ^ n))


i (r * a ^ n * b ^ (N - n)) = i b ^ N * (i r * eval (i a * bi) X ^ n)


i b ^ (N - n) * (i r * i a ^ n) = i b ^ N * (i r * (i a * bi) ^ n)


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: inst✝ : Inhabited Γ'

Context: a : Γ

Context: l : ListBlank Γ

Context: f : Γ → List Γ'

Context: hf : ∃ n, f default = List.replicate n default

(cons a l).bind f hf = append (f a) (l.bind f hf)


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: inst✝ : Inhabited Γ'

Context: a : Γ

Context: l✝ : ListBlank Γ

Context: f : Γ → List Γ'

Context: l : List Γ

(cons a ⟦l⟧).bind f hf = append (f a) (bind ⟦l⟧ f hf)


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: inst✝ : Inhabited Γ'

Context: a : Γ

Context: l✝ : ListBlank Γ

Context: f : Γ → List Γ'

Context: l : List Γ

(cons a (mk l)).bind f hf = append (f a) ((mk l).bind f hf)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β

s.ncard = 3 ↔ ∃ x y z, x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ s = {x, y, z}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P

lTensor M (f - g) = lTensor M f - lTensor M g


(lTensorHom M) (f - g) = (lTensorHom M) f - (lTensorHom M) g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜

Context: v f : E

Context: is_lax_milgram : ∀ (w : E), ⟪f, w⟫_𝕜 = (B v) w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜

Context: v f : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜

Context: v f : E

Context: w : E


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α

borel α = MeasurableSpace.generateFrom (range Iic)


MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi) = MeasurableSpace.generateFrom (range Iic)


MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Iic)


MeasurableSpace.generateFrom (range Iic) ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Ioi)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]

((taylor r) f).coeff 1 = eval r (derivative f)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s✝ t : Set E
x✝ y x : E
s : Set E


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c₁ * f x ≤ f u


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

∀ (a : ℝ), (∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f a) (c₂ * f a)) → ∀ u ∈ Set.Icc (b * a) a, c₁ * f a ≤ f u


Context: ι : Type v

Context: β : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: C : (⨁ (i : ι), β i) → Prop

Context: x : ⨁ (i : ι), β i

Context: H_zero : C 0

Context: H_basic : ∀ (i : ι) (x : β i), C ((of β i) x)

Context: H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), β i), C x → C y → C (x + y)


Context: ι : Type v

Context: β : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: C : (⨁ (i : ι), β i) → Prop

Context: x : ⨁ (i : ι), β i

Context: H_zero : C 0

∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → C f → C (DFinsupp.single i b + f)


Context: ι : Type v

Context: β : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: C : (⨁ (i : ι), β i) → Prop

Context: x : ⨁ (i : ι), β i

Context: H_zero : C 0

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: h1 : f i = 0

Context: h2 : b ≠ 0

Context: ih : C f


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂


(affineSpan k s₁).direction = (affineSpan k s₂).direction


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.432420, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: X : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)

contractibleTriangle { as := X } ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh (𝟙 X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.432420, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: h : IsZero ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj (CochainComplex.mappingCone (𝟙 X)))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
z : 𝕜


Context: x : ℂ


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x y : 𝕜

{ toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.re y) + (↑(RCLike.im x) + ↑(RCLike.im y)) * I = ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I + (↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.im y) * I)


{ toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => ↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I, invFun := fun x => ↑x.re + ↑x.im * RCLike.I, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) - ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y) + (↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) + ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.re y)) * I = (↑(RCLike.re x) + ↑(RCLike.im x) * I) * (↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.im y) * I)


↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + (↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I - ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y)) = ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + ↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I + ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y) * I ^ 2


↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + (↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I - ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y)) = ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.re y) + ↑(RCLike.re x) * ↑(RCLike.im y) * I + ↑(RCLike.re y) * ↑(RCLike.im x) * I + ↑(RCLike.im x) * ↑(RCLike.im y) * -1


Context: m n : Nat

∃ m' n', m'.Coprime n' ∧ m = m' * m.gcd n ∧ n = n' * m.gcd n


Context: n N : ℕ

(List.filter (fun x => decide (x < N)) n.primeFactorsList).prod ∈ N.smoothNumbers


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Fork f g


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x y z : P

Context: hy : y ∉ s

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

Context: hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ z)

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
h : p₂ -ᵥ y = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (z -ᵥ p₃)
h : p₂ = y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: hl : IsLimit (KernelFork.ofι (equalizer.ι u v) hw)

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f

Context: hwf : f ≫ w = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f

Context: hwf : f ≫ w = 0

Context: n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W

Context: hn : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯) ≫ n = w


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f

Context: hwf : f ≫ w = 0

Context: n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W

Context: hn : 0 = w


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f

Context: hwf : f ≫ w = 0

Context: n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W

Context: hn : 0 = w

Context: this : IsIso (equalizer.ι u v)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : HasKernels C

Context: inst✝ : NormalMonoCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Y ⟶ Z✝

Context: huv : f ≫ u = f ≫ v

Context: W : C

Context: w : Y ⟶ W

Context: hw : equalizer.ι u v ≫ w = 0

Context: m : X ⟶ equalizer u v

Context: hm : m ≫ equalizer.ι u v = f

Context: hwf : f ≫ w = 0

Context: n : (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯).pt ⟶ W

Context: hn : 0 = w

Context: this : IsIso (equalizer.ι u v)

equalizer.ι u v ≫ u = equalizer.ι u v ≫ v


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℤ
h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h_coprime : x.gcd y = 1
h_parity : x % 2 = 1
h_pos : 0 < z


Context: x✝ y✝ z✝ : ℤ

Context: h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝

Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: h_coprime : x.gcd y = 1

Context: h_parity : x % 2 = 1

Context: h_pos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : z = m ^ 2 + n ^ 2 ∨ z = -(m ^ 2 + n ^ 2)

Context: ht3 : m.gcd n = 1

Context: ht4 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0


Context: x✝ y✝ z✝ : ℤ

Context: h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝

Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: h_coprime : x.gcd y = 1

Context: h_parity : x % 2 = 1

Context: h_pos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: ht3 : m.gcd n = 1

Context: hm : 0 ≤ m


Context: x✝ y✝ z✝ : ℤ

Context: h✝ : PythagoreanTriple x✝ y✝ z✝

Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: h_coprime : x.gcd y = 1

Context: h_parity : x % 2 = 1

Context: h_pos : 0 < z

Context: m n : ℤ

Context: ht3 : m.gcd n = 1

Context: hm : m < 0


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : B × C ⥤ D
x✝² x✝¹ : B × C
x₁ : B
x₂ : C
y₁ : B
y₂ : C
x✝ : (x₁, x₂) ⟶ (y₁, y₂)
f₁ : (x₁, x₂).1 ⟶ (y₁, y₂).1
f₂ : (x₁, x₂).2 ⟶ (y₁, y₂).2

F.map (f₁, 𝟙 x₂) ≫ F.map (𝟙 y₁, f₂) = 𝟙 (F.obj (x₁, x₂)) ≫ F.map (f₁, f₂) ≫ 𝟙 (F.obj (y₁, y₂))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F

‖fr.extendTo𝕜' x‖ ^ 2 = re ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) * fr.extendTo𝕜' x)


re ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) * fr.extendTo𝕜' x) = fr ((starRingEnd 𝕜) (fr.extendTo𝕜' x) • x)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
x : G


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: r s : R''

Context: x : M ⊗[R] N

Context: this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: r s : R''

Context: x : M ⊗[R] N

Context: m : M

Context: n : N

(r + s) • m ⊗ₜ[R] n = r • m ⊗ₜ[R] n + s • m ⊗ₜ[R] n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: r s : R''

Context: x✝ : M ⊗[R] N

Context: x y : M ⊗[R] N

Context: ihx : (r + s) • x = r • x + s • x

Context: ihy : (r + s) • y = r • y + s • y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: r s : R''

Context: x✝ : M ⊗[R] N

Context: x y : M ⊗[R] N

Context: ihx : (r + s) • x = r • x + s • x

Context: ihy : (r + s) • y = r • y + s • y

(r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x y✝ : E × F
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤

HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f (x + y✝).1) (x + y✝).2 - ∑ i ∈ Finset.range 3, (f.fpowerSeriesBilinear x i) fun x => y✝)


HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f x.1) x.2 + (f.deriv₂ (x.1, x.2)) (y✝.1, y✝.2) + (f y✝.1) y✝.2 - ((((∑ x_1 ∈ Finset.range 0, (f.fpowerSeriesBilinear x x_1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 0) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 2) fun x => y✝))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α

(List.sym (n + 1) (x :: xs)).length = (x :: xs).length.multichoose (n + 1)


(List.sym n (x :: xs)).length + (List.sym (n + 1) xs).length = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)


(x :: xs).length.multichoose n + xs.length.multichoose (n + 1) = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)


Context: m k : ℕ+


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: inst✝² : MonadicRightAdjoint U

Context: R : A ⥤ B

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint

Context: R' : A ⥤ (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra := R ⋙ Monad.comparison (monadicAdjunction U)


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: inst✝² : MonadicRightAdjoint U

Context: R : A ⥤ B

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint

Context: this : (R' ⋙ (monadicAdjunction U).toMonad.forget).IsRightAdjoint := Adjunction.isRightAdjoint ((Adjunction.ofIsRightAdjoint (R ⋙ U)).ofNatIsoRight (isoWhiskerLeft R (Monad.comparisonForget (monadicAdjunction U)).symm))


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: C : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C

Context: U : B ⥤ C

Context: inst✝² : MonadicRightAdjoint U

Context: R : A ⥤ B

Context: inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A

Context: inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint

Context: this✝ : (R' ⋙ (monadicAdjunction U).toMonad.forget).IsRightAdjoint := Adjunction.isRightAdjoint ((Adjunction.ofIsRightAdjoint (R ⋙ U)).ofNatIsoRight (isoWhiskerLeft R (Monad.comparisonForget (monadicAdjunction U)).symm))

Context: this : (X : (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra) → RegularEpi ((monadicAdjunction U).toMonad.adj.counit.app X) := fun X => ⋯.mpr { W := (monadicAdjunction U).toMonad.free.obj ((monadicAdjunction U).toMonad.obj X.A), left := Monad.FreeCoequalizer.topMap X, right := Monad.FreeCoequalizer.bottomMap X, w := ⋯, isColimit := Monad.beckAlgebraCoequalizer X }


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ Continuous f


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n

Context: fs : ∀ x ∈ s, f x = x

Context: frange : range f = s

Context: hf : LipschitzWith 1 f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
hf : f.HasBasis p s
q : β → Prop

blimsup u f q = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, ⨆ (_ : q a), u a


Context: m n : ℕ

↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + -(↑n + 1) * -(↑m).natAbs.gcdB n.succ


Context: m n : ℕ

↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + (↑n + 1) * (↑m).natAbs.gcdB n.succ


Context: m n : ℕ

↑(-[m+1].gcd ↑n) = -(↑m + 1) * -m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n


Context: m n : ℕ

↑(-[m+1].gcd ↑n) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n


Context: m n : ℕ


Context: m n : ℕ

↑(-[m+1].gcd -[n+1]) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA -[n+1].natAbs + (↑n + 1) * -[m+1].natAbs.gcdB n.succ


Context:
r : ℝ≥0
p : ℝ
hr : 0 < r
hp : p < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι

∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε
ε' : ι → ℝ
hε' : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hc : HasSum ε' c
hcε : c ≤ (fun a => ↑a) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : α → β
hl : l.HasBasis p s
t : Set β

t ∈ Filter.map f l ↔ ∃ i, p i ∧ f '' s i ⊆ t


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α

a⁻¹ ≤ 0 ↔ a ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX : Prime X

Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX : Prime X

Context: this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = multiplicity X r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX : Prime X

Context: this : Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX : Prime X

Context: this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = ↑(Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX : Prime X


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C


Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)


Arrow.mk (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ≅ Arrow.mk (imageToKernel S.f S.g ⋯)


Context:
n : ℕ
c : Char
s : List Char

(leftpad n c { data := s }).length = max n { data := s }.length


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α


Context:
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d


Context:
q : ℚ
d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = 0 /. d


Context:
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0


Context:
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den


Context:
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den
hqdn : q.num ∣ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace D

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : T1Space A

Context: inst✝ : CompactSpace D

Context: π : D → A

Context: π_cont : Continuous π

Context: π_surj : Surjective π

Context: S : Set (Set D) := {E | IsClosed E ∧ π '' E = univ}

Context: C : Set (Set D)

Context: C_sub : C ⊆ S

Context: C_chain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A D E : Type u

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace D

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : T1Space A

Context: inst✝ : CompactSpace D

Context: π : D → A

Context: π_cont : Continuous π

Context: π_surj : Surjective π

Context: C : Set (Set D)

Context: C_sub : C ⊆ S


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℝ

Context: I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)

Context: HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)

Context: I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)

Context: I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)

Context: I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℝ

Context: C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℝ

Context: this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T

Tendsto I₁ atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℝ

Tendsto (fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T) atTop (𝓝 ((∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) + 0))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℝ

Tendsto I₂ atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)))


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1


Context:
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1


rexp (log (1 + s) * p) < rexp (log (1 + p * s))


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

↑(p.append p').support = {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x

(-Quotient.mk'' y).val = -val (Quotient.mk'' y)


Localization.mk ↑(-y).num ⟨↑(-y).den, ⋯⟩ = Localization.mk (-↑y.num) ⟨↑y.den, ⋯⟩


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, lift.{u, v} o = succ a
a : Ordinal.{max v u}
h : lift.{u, v} o = succ a
b : Ordinal.{v}
e : lift.{u, v} b = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{v}
h : o = succ a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

whiskerRight (J.toPlus P) F ≫ whiskerRight (J.plusMap (J.toPlus P)) F ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

whiskerRight (J.toPlus P) F ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight (J.toPlus P) F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toPlus (P ⋙ F) ≫ J.plusMap (J.toPlus (P ⋙ F)) = J.toSheafify (P ⋙ F)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G

(adjoint (A.comp B)) v = ((adjoint B).comp (adjoint A)) v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G
w : E

⟪w, (adjoint (A.comp B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, ((adjoint B).comp (adjoint A)) v⟫_𝕜


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : AEMeasurable f (Measure.map g μ)
hg : AEMeasurable g μ

Measure.map g μ = Measure.map (AEMeasurable.mk g hg) μ


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2

Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)


Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
g : S →+* T
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A B
I : Ideal S
hf : f.IsIntegral
x✝ : S ⧸ I
x : S
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hpx : eval₂ f x p = 0

(Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegralElem (Quot.mk Setoid.r x)


eval₂ (Ideal.quotientMap I f ⋯) (Quot.mk Setoid.r x) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)) p) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: h : a ∈ closure s

Context: b : R

Context: ih : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = b

Context: L1 : List (List R)

Context: h1 : ∀ l ∈ L1, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

Context: x✝ : AddGroup.InClosure (Monoid.Closure s) (List.map List.prod L1).sum

(List.map (fun x => -x.prod) L1).sum = -(List.map List.prod L1).sum


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: h : a ∈ closure s

Context: b : R

Context: ih✝ : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = b

Context: L1 : List (List R)

Context: h1 : ∀ l ∈ L1, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

Context: hd : List R

Context: tl : List (List R)

Context: ih : (List.map (fun x => -x.prod) tl).sum = -(List.map List.prod tl).sum

(List.map (fun x => -x.prod) (hd :: tl)).sum = -(List.map List.prod (hd :: tl)).sum


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: cR : Type u

Context: inst✝ : CommRing cR

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: h : a ∈ closure s

Context: r1 r2 : R

Context: ih1 : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = r1

Context: ih2 : ∃ L, (∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = r2

Context: L1 : List (List R)

Context: h1 : ∀ l ∈ L1, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

Context: L2 : List (List R)

Context: h2 : ∀ l ∈ L2, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

Context: x✝¹ : AddGroup.InClosure (Monoid.Closure s) (List.map List.prod L1).sum

Context: x✝ : AddGroup.InClosure (Monoid.Closure s) (List.map List.prod L2).sum

(List.map List.prod (L1 ++ L2)).sum = (List.map List.prod L1).sum + (List.map List.prod L2).sum


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
ht : t.Nonempty


Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n - fib n.greatestFib).greatestFib ≤ n.greatestFib - 2


Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
F₂ : BilinForm R M
ι : Type u_9
b : Basis ι R M
x y : M

((b.repr x).sum fun i xi => (b.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b i)) (b j)) = (B x) y


((b.repr x).sum fun i xi => (b.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b i)) (b j)) = (B ((Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr x))) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : CauchySeq f

Context: hf1 : (map f atTop).NeBot

Context: hf2 : ∀ s ∈ uniformity β, ∃ t ∈ map f atTop, t ×ˢ t ⊆ s


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : CauchySeq f

Context: hf1 : (map f atTop).NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : CauchySeq f

Context: hf1 : (map f atTop).NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ map f atTop

Context: htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : CauchySeq f

Context: hf1 : (map f atTop).NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: t : Set β

Context: htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}

Context: ht : ∃ a, ∀ b ≥ a, f b ∈ t


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : ℕ → β

Context: hf : CauchySeq f

Context: hf1 : (map f atTop).NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: t : Set β

Context: htsub : t ×ˢ t ⊆ {x | dist x.1 x.2 < ε}

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ b ≥ N, f b ∈ t

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ N


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
p : (i : η) → f i
hp : p ∈ pi univ fun i => ⊥


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
p : (i : η) → f i
hp : ∀ i ∈ univ, p i = 1


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
p : (i : η) → f i
hp : ∀ i ∈ univ, p i = 1
j : η


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f✝ : F
g✝ : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f : α →ᵈ β
x y : α
hα : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ

Context: inst✝³ : FunLike F α β

Context: inst✝² : DilationClass F α β

Context: inst✝¹ : FunLike G β γ

Context: inst✝ : DilationClass G β γ

Context: f✝ : F

Context: g✝ : G

Context: x✝ y✝ z : α

Context: s : Set α

Context: g : β →ᵈ γ

Context: f : α →ᵈ β

Context: x y : α

Context: hα : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤

Context: hgf : ↑(ratio (g.comp f)) * edist x y = edist ((g.comp f) x) ((g.comp f) y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ

Context: inst✝³ : FunLike F α β

Context: inst✝² : DilationClass F α β

Context: inst✝¹ : FunLike G β γ

Context: inst✝ : DilationClass G β γ

Context: f✝ : F

Context: g✝ : G

Context: x✝ y✝ z : α

Context: s : Set α

Context: g : β →ᵈ γ

Context: f : α →ᵈ β

Context: x y : α

Context: hα : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤

Context: hgf : ↑(ratio (g.comp f)) = ↑(ratio g) * ↑(ratio f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c

Context: ha : 0 = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c

Context: ha : 0 < ↑a


Context: m : ℕ∞


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K

finInsepDegree F ↥⊥ = finInsepDegree F E


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A

Context: inst✝ : HasAntidiagonal A

Context: n : A

Context: kl : A × A

Context: hlk : kl ∈ antidiagonal n


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : HasAntidiagonal A

Context: n : A

Context: kl : A × A

Context: hlk : kl ∈ antidiagonal n


Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, 1 / (↑i + 1)) atTop atTop


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }
h : mkPoint ⋯ ∈ l₁ ∧ mkPoint ⋯ ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M✝
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M✝
M : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
a b : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

∑ i ∈ Ico a b, ∑ j ∈ Ico i b, f i j = ∑ j ∈ Ico a b, ∑ i ∈ Ico a (j + 1), f i j


∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun i => Ico i b, f x.fst x.snd = ∑ x ∈ (Ico a b).sigma fun j => Ico a (j + 1), f x.snd x.fst


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ

μ[∑ i ∈ s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ s, μ[f i|m]


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ

μ[∑ i ∈ ∅, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ ∅, μ[f i|m]


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s✝ : Set α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → F'

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: his : i ∉ s

Context: heq : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → μ[∑ i ∈ s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ s, μ[f i|m]

Context: hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ

μ[∑ i ∈ insert i s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ insert i s, μ[f i|m]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
P₁ : AdjoinRoot (minpoly R x)
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) P₁ = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: P : R[X]

Context: hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) ((AdjoinRoot.mk (minpoly R x)) P) = 0


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞

x.toReal = y.toReal ↔ x = y ∨ x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x : α

dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x)) (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) = dist (g (f^[n] x)) (g x) / ↑n


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : w.IsReal


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: f : k →+* K

Context: w : InfinitePlace K

Context: hφ : ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context: o : Ordinal.{u_1}

(mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).RightMoves = (Quotient.out o).α


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R

IntegrableOn (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume


AEStronglyMeasurable (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (volume.restrict (Icc 0 fun x => 2 * π))


∀ᵐ (a : Fin n → ℝ) ∂volume.restrict (Icc 0 fun x => 2 * π), ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(a i) * I) * I) • f (torusMap c R a)‖ ≤ (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R a)‖


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
v : β → α

((blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∉ s) = (blimsup u f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup v f fun x => x ∉ s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Equation x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Equation 0 0


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2

¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Nontrivial R


(¬∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (2 / 2)) ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l l' : List α
h : l' ∈ sublistsLen (n + 1) (a :: l)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: l l' : List α

Context: h : l' ∈ sublistsLen (n + 1) l ∨ ∃ a_1 ∈ sublistsLen n l, a :: a_1 = l'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: inst✝ : StarRing α

Context: z : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)

Context: a : α

↑(star (centerToCentroidCenter z)) a = ↑(centerToCentroidCenter (star z)) a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0

Context: H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}

Context: this : SigmaFinite ν


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: this : SigmaFinite ν

Context: A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: this : SigmaFinite ν

Context: B : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: this : SigmaFinite ν

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ


Context:
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})


Context: R : Type u

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: i : ℕ

Context: hi : i < ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).natDegree

((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).coeff i ∈ Submodule.span ℤ {↑p}


((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).coeff 0 ∉ Submodule.span ℤ {↑p} ^ 2


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : Fin n → ℂ
R θ : Fin n → ℝ


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: b : ℝ

∃ p, 0 < p ∧ oddKernel ↑b =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖oddKernel (↑b) x‖ ≤ HurwitzKernelBounds.F_int 1 (↑b) x


Context: b p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

‖oddKernel (↑b) t‖ ≤ HurwitzKernelBounds.F_int 1 (↑b) t


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ
this : ↑z1 = ↑z2 ↔ z1 = z2


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x y : K

spanSingleton R₁⁰ x / spanSingleton R₁⁰ y = spanSingleton R₁⁰ (x / y)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h✝ : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t
h : IsIntegralCurveOn γ v s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P
Q : Ideal S
hQ : Q ≥ P'
hQ' : Q.IsPrime
hQ'' : comap (algebraMap R S) Q = P


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
n : ℕ

(map (natEmbedding α) (range n)).card = n


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
hba : b * a ∈ s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
μ : Measure β
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

((sum m).prod μ) s = (sum fun i => (m i).prod μ) s


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

(∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand a b σ) v = 0


∑ a_1 : Perm.ModSumCongr ιa ιb, (domCoprod.summand a b a_1) v = 0


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (a : α) in s, (μ.rnDeriv ν * f) a ∂ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g univ (f x) g'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ p : P

p -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖

∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖ = a * I + ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
hj : j ∈ Ico 2 (n + 1)

a ^ j * ‖p.rightInv i j‖ = a ^ j * ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖ ≤ I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖


‖↑i.symm‖ * ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤ I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖


‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖


∑ i_1 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i_1‖ ≤ ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset

‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i✝‖ ≤ C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖


‖p i✝.length‖ * ∏ i_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun i_1)‖ ≤ C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖


a * ‖↑i.symm‖ + ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * (I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖) = I * a + I * C * ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖


‖↑i.symm‖ * a + ‖↑i.symm‖ * (C * ∑ i_1 ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ i_1 * ∑ i_2 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ i_2.length * ∏ j : Fin i_2.length, ‖p.rightInv i (i_2.blocksFun j)‖) = I * a + C * (I * ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖)


∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ k


∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤ ∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ x * (∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: F' : 𝕜 → α → E

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x

Integrable (F' x₀) μ ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: F' : 𝕜 → α → E

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: F' : 𝕜 → α → E

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: diff_x₀ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasDerivAt (fun x => F x a) (F' x₀ a) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: F' : 𝕜 → α → E

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.124213, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.124217, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S✝ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.Splitting

(h.s.unop ≫ S.unop.f + S.unop.g ≫ h.r.unop).op = (𝟙 S.unop.X₂).op


S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.7315, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.7319, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J


Context:
n m : Nat
h : m < (range n).length


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α

(diagonal v)⁻¹ = diagonal (Ring.inverse v)


Ring.inverse (diagonal v) = diagonal (Ring.inverse v)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ σ x})] stoppedValue f τ


{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) =ᶠ[ae μ] {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)


μ[{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι

Context: inst✝⁸ : OrderBot ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : DiscreteTopology ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι

Context: inst✝⁸ : OrderBot ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : DiscreteTopology ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: h_meas : AEStronglyMeasurable' hσ.measurableSpace ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(o.oangle x y).cos = ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)


(o.oangle x y).cos = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos / (‖x‖ * ‖y‖)


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
d : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Sort u_5
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

∃ C, 0 < C ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m - 0‖ < ε → ‖f m - f 0‖ < 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hε : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖m‖ < ε → ‖f m‖ < 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι

∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε

‖f m‖ ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε

1 ≤ (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: this : 0 < (‖c‖ / ε) ^ Fintype.card ι

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hcm : ∀ (i : ι), ε / ‖c‖ ≤ ‖m i‖

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: inst✝² : SemilatticeSup α

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: ys : ℕ → α

Context: h : Tendsto ys atTop atTop

Context: xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: inst✝² : SemilatticeSup α

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: ys : ℕ → α

Context: h : Tendsto ys atTop atTop

Context: h_mono : Monotone xs


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: inst✝² : SemilatticeSup α

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: ys : ℕ → α

Context: h : Tendsto ys atTop atTop

Context: h_mono : Monotone xs

Context: n : ℕ


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
hn' : 0 < n


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
hn' : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: z : M₂

MultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset


(n.factorMultiset ⊔ m.factorMultiset).prod = n.lcm m


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M

∏ i : α, ∏ j ∈ Ioi i, f j i * f i j = ∏ i : α, ∏ j ∈ {i}ᶜ, f j i


(∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = (∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x


∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x


∏ x ∈ univ.sigma Ioi, f x.fst x.snd = ∏ x ∈ univ.sigma Iio, f x.snd x.fst


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n


Context:
x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}

o.bsup f = 0 ↔ ∀ (i : Ordinal.{u_4}) (hi : i < o), f i hi = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: h : o.bsup f = 0

Context: i : Ordinal.{u_4}

Context: hi : i < o


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this : IsIso g


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this✝ : IsIso g
this : IsIso h


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing A

Context: inst✝² : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: h : spectrum ℂ a = ∅

Context: H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ

Context: H₁ : Differentiable ℂ fun z => resolvent a z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing A

Context: inst✝² : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: h : spectrum ℂ a = ∅

Context: H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ

Context: H₃ : resolvent a 0 = 0


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.37143, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c

Context: inst✝² : K.HasTotal c

Context: inst✝¹ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝ : DecidableEq J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: j : J

Context: h : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : x' ∈ polar 𝕜 (ball 0 r)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖x' z‖ ≤ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1

‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
hcr : 0 < ‖c‖ / r

‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
hcr : 0 < ‖c‖ / r
x : E
h₁ : r / ‖c‖ ≤ ‖x‖
h₂ : ‖x‖ < r


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
n : ℕ
h : l.length = l'.length

(zipWith f l l').rotate n = zipWith f (l.rotate n) (l'.rotate n)


(drop (n % l'.length) l).length = (drop (n % l'.length) l').length


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval (-↑n) = 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α