Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OrderTopology γ

Context: inst✝ : ContinuousAdd γ

Context: f : ι → α → γ

Context: a : Finset ι

Context: ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousAt (f i) x

LowerSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OrderTopology γ

Context: inst✝ : ContinuousAdd γ

Context: f : ι → α → γ

Context: a : Finset ι

Context: ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x✝ : ℕ

x✝ ∈ {i | i ≠ 0 ∧ p ^ i ∣ n} ↔ x✝ ∈ Set.Icc 1 (n.factorization p)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g✝ : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : TopCat

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : TopCat.Presheaf C Y

Context: U : Opens ↑Y

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑Y).sieves U

Context: x : ↑X

Context: hx : x ∈ (Opens.map f).obj U

Context: V : Opens ↑Y

Context: i : V ⟶ U

Context: hi : S.arrows i

Context: hxV : f x ∈ V

∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward (Opens.map f) S).arrows f_1 ∧ x ∈ U_1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set α
hs : s.Finite


Context:
R : Type
inst✝ : Ring R
d : ℤ
f g : ℤ√d →+* R
h : f sqrtd = g sqrtd
x_re x_im : ℤ

f { re := x_re, im := x_im } = g { re := x_re, im := x_im }


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤

Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ ↔ Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: q_zero : q ≠ 0

Context: q_top : q ≠ ⊤

Context: h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: q_zero : q ≠ 0

Context: q_top : q ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: q_zero : q ≠ 0

Context: q_top : q ≠ ⊤

(fun x => ‖f x‖) = fun x => ‖‖f x‖ ^ q.toReal‖ ^ q⁻¹.toReal


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
y : Fin n
hi : y.succ ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j

(diagonal d).toBlock p q ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ = 0 ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j
this : i ≠ j


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s

a ∈ s ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y
hxy : x ∈ s ∨ y ∈ s


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0

x.arg = Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

a⁻¹ • b ∈ s ↔ b ∈ a • s


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α

∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : CountablySeparated α

Context: m' : MeasurableSpace α

Context: left✝¹ : CountablyGenerated α

Context: left✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α

Context: m'le : m' ≤ m


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : CountablySeparated α

Context: m' : MeasurableSpace α

Context: left✝³ : CountablyGenerated α

Context: left✝² : MeasurableSpace.SeparatesPoints α

Context: m'le : m' ≤ m

Context: τ : TopologicalSpace α

Context: left✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: left✝ : T4Space α

Context: τm' : BorelSpace α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : ¬p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → Part β
x : Part α
g : β → γ

map g (x.bind f) = x.bind fun y => map g (f y)


(x.bind fun x => (f x).bind (some ∘ g)) = x.bind fun y => map g (f y)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J f₁
inst✝ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∈ s


(if H : n ∈ s then f ⟨n, H⟩ else 0) = f ⟨n, hn⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints


∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure

Context: h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure

Context: h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure

Context: this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure.toSubalgebra


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure

Context: h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure

Context: this : I f_re + RCLike.I • I f_im ∈ A.topologicalClosure


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: h_f_re : I f_re ∈ A.topologicalClosure

Context: h_f_im : I f_im ∈ A.topologicalClosure

Context: a✝ : X


Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: F : SimpleGraph W

Context: inst✝ : Finite W

Context: h : (G' : G.Subgraph) → G'.verts.Finite → G'.coe →g F


Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: F : SimpleGraph W

Context: inst✝ : Finite W

Context: val✝ : Fintype W


Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: F : SimpleGraph W

Context: inst✝ : Finite W

Context: val✝ : Fintype W

Context: this : ∀ (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ), Nonempty ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')


Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: F : SimpleGraph W

Context: inst✝ : Finite W

Context: val✝ : Fintype W

Context: this✝ : ∀ (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ), Nonempty ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')

Context: this : (G' : G.Finsubgraphᵒᵖ) → Fintype ((G.finsubgraphHomFunctor F).obj G')


Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: F : SimpleGraph W

Context: inst✝ : Finite W

Context: val✝ : Fintype W

Context: u : (j : G.Finsubgraphᵒᵖ) → (G.finsubgraphHomFunctor F).obj j

Context: hu : u ∈ (G.finsubgraphHomFunctor F).sections


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
l : List α

powersetCardAux (n + 1) (a :: l) = powersetCardAux (n + 1) l ++ List.map (cons a) (powersetCardAux n l)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: cmpα : α → α → Ordering

Context: cmpβ : β → β → Ordering

Context: f : α → β

Context: inst✝ : IsMonotone cmpα cmpβ f

Context: c✝ : RBColor

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: b : RBNode α

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmpα x_1 x) a

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmpα x x_1) b

Context: ha : Ordered cmpα a

Context: hb : Ordered cmpα b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
q : β → Prop
h₂ : ComputablePred q
f : α → β
c : Computable f
hf : ∀ (a : α), p a ↔ q (f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: p : α → Prop

Context: f : α → β

Context: c : Computable f

Context: g : β → Bool

Context: hg : Computable g

Context: h₂ : ComputablePred fun a => g a = true

Context: hf : ∀ (a : α), p a ↔ (fun a => g a = true) (f a)

ComputablePred fun a => (fun a => g a = true) (f a)


Context:
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

(∑ i ∈ s, w i) / ∑ i ∈ s, w i / z i ≤ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹


Context: ι✝ : Type u

Context: s✝ : Finset ι✝

Context: ι : Type u_1

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: w z : ι → ℝ

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: this : (∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i


∀ i ∈ s, 0 < (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i


∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i = 1


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ

(PowerSeries.coeff A (n + 1)) ((PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (exp A - 1)) = (PowerSeries.coeff A (n + 1)) (PowerSeries.X * (rescale t) (exp A))


∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A (x, n + 1 - x).1) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (x, n + 1 - x).2) (exp A - 1) + (PowerSeries.coeff A (n + 1, n + 1 - (n + 1)).1) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1, n + 1 - (n + 1)).2) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!


(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * (t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !))


(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! * (1 / ↑n !))


(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (↑((n + 1) * n !) * (1 / ↑n !))


(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = (aeval t) ((monomial n) (↑n + 1))


∑ i ∈ range (n + 1), (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A i) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - i)) (exp A - 1)) = ∑ x ∈ range (n + 1), (aeval t) (↑((n + 1).choose x) • bernoulli x)


∀ x ∈ range (n + 1), (algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1)) = (aeval t) (↑((n + 1).choose x) • bernoulli x)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!
i : ℕ
hi : i ∈ range (n + 1)

(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ((PowerSeries.coeff A i) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - i)) (exp A - 1)) = (aeval t) (↑((n + 1).choose i) • bernoulli i)


(algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! * (↑i !)⁻¹ * (↑(n + 1 - i)!)⁻¹) * (aeval t) (bernoulli i) = (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! / (↑i ! * ↑(n + 1 - i)!)) * (aeval t) (bernoulli i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : f =ᶠ[𝓝 x] 0


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝ : ConcreteCategory A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: H : ∀ (U : Cᵒᵖ), Function.Surjective ⇑(f.app U)

Context: U : C

Context: t : (forget A).obj (F.obj (op U))

imageSieve f ((f.app (op U)) t) ∈ J.sieves U


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝ : ConcreteCategory A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: U : C

Context: t : (forget A).obj (F.obj (op U))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ < g (⨍ (x : α), f x ∂μ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
N : ℕ
x✝ : True


Context:
n : ℕ
x : ℝ

(aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x / Real.exp (-(x ^ 2 / 2))


Context:
n : ℕ
x : ℝ

(aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * ((-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2))) / Real.exp (-(x ^ 2 / 2))


Context:
n : ℕ
x : ℝ

(aeval x) (hermite n) * Real.exp (-x ^ 2 / 2) = (-1) ^ n * ((-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-x ^ 2 / 2))


Context:
n : ℕ
x : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α

⋃ n, Ico (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p


a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: this : lift.{max (u + 1) v, u + 1} (lift.{u + 1, u} c) < lift.{max (u + 1) v, u + 1} univ.{u, u + 1}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: this : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
a b : R

∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
S : Set β

UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S


(∀ (y : ι), ∀ x ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_2 : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), (F y x_2.1, F y x_2.2) ∈ x) ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: hg : IsNormal g

Context: x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)

Context: h₁ : f 0 = g 0

Context: h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: hg : IsNormal g

Context: h₁ : f 0 = g 0

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: a✝ : f o✝ = g o✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: hg : IsNormal g

Context: h₁ : f 0 = g 0

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: ho : o✝.IsLimit

Context: H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: hg : IsNormal g

Context: h₁ : f 0 = g 0

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: ho : o✝.IsLimit

Context: H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'

(o✝.bsup fun x x_1 => f x) = o✝.bsup fun x x_1 => g x


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: δ : Type u_10

Context: inst✝⁴ : SMul M α

Context: inst✝³ : SMul N α

Context: inst✝² : SMul M β

Context: inst✝¹ : SMul N β

Context: inst✝ : SMulCommClass M N α

Context: f : α → β

Context: hf : Surjective f

Context: h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x

Context: h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x

Context: c₁ : M

Context: c₂ : N

Context: x : α


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)


lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u v : UniformSpace α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : (𝓝 1).IsCountablyGenerated


(comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).IsCountablyGenerated


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : g⁻¹ • a = b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : a = g • b


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝ : M₀


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : Q ⊗[R] P


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono (f ≫ g)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E


Context:
y : ℝ
hy : 1 ≤ y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: fst✝⁴ : C

Context: snd✝⁴ : C ⥤ D

Context: fst✝³ : C

Context: snd✝³ : C ⥤ D

Context: fst✝² : (fst✝³, snd✝³).1 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).1

Context: snd✝² : (fst✝³, snd✝³).2 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).2

Context: fst✝¹ : C

Context: snd✝¹ : C ⥤ D

Context: fst✝ : (fst✝¹, snd✝¹).1 ⟶ (fst✝³, snd✝³).1

Context: snd✝ : (fst✝¹, snd✝¹).2 ⟶ (fst✝³, snd✝³).2

{ obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map ((fst✝, snd✝) ≫ (fst✝², snd✝²)) = { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝, snd✝) ≫ { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝², snd✝²)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: fst✝⁴ : C

Context: snd✝⁴ : C ⥤ D

Context: fst✝³ : C

Context: snd✝³ : C ⥤ D

Context: fst✝¹ : C

Context: snd✝¹ : C ⥤ D

snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝¹.map fst✝² ≫ snd✝.app fst✝⁴ ≫ snd✝².app fst✝⁴ = snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝.app fst✝³ ≫ snd✝³.map fst✝² ≫ snd✝².app fst✝⁴


Context:
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
h : a ≡ b [MOD m] ∧ a ≡ b [MOD n]


Context: m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ

Context: hmn : m.Coprime n

Context: h : m ∣ (↑b - ↑a).natAbs ∧ n ∣ (↑b - ↑a).natAbs


Context: m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ

Context: hmn : m.Coprime n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) y → recF u ((P F).wMk a f' f) = recF u y


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) y → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u y


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f) → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u ((P F).wMk a f' f)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : s ∈ 𝓝 x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J A

Context: c : Cone F.val

Context: hc : IsLimit c

Context: X : A

Context: f g : X ⟶ c.pt

Context: h : ∀ (i : I), f ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i)) = g ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J A

Context: c : Cone F.val

Context: hc : IsLimit c

Context: X : A

Context: f g : X ⟶ c.pt

Context: Z : Cᵒᵖ

∀ (I_1 : (hY.cover (Opposite.unop Z)).Arrow), (f ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map I_1.f.op = (g ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map I_1.f.op


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J A

Context: c : Cone F.val

Context: hc : IsLimit c

Context: X : A

Context: f g : X ⟶ c.pt

Context: Z : Cᵒᵖ

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Opposite.unop Z

Context: i : I

Context: b : W ⟶ Y i

(f ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map { Y := W, f := a, hf := ⋯ }.f.op = (g ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map { Y := W, f := a, hf := ⋯ }.f.op


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s

∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H ↑x).source


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
x : M
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β

limsup u (f ⊔ g) = limsup u f ⊔ limsup u g


limsup u (f ⊔ g) ≤ limsup u f ⊔ limsup u g


∀ (i : α), (∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ i) → ∀ (i_1 : α), (∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ i_1) → sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ i ⊔ i_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
a : α
ha : ∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ a
b : α
hb : ∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ b

sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ a ⊔ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]

(map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0


(map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
h4 : map f p ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : a ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : μ s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t ≤ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t = 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((μ.trim hm₂).trim hm₁₂) t = (μ.trim ⋯) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s

(∀ {i : ι}, p i → (s i).Nonempty) ↔ ¬∃ i, p i ∧ s i = ∅


Context: ι : Type uι

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: u v : E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

(mapL (update f i (u + v))) x = (mapL (update f i u) + mapL (update f i v)) x


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : l₁ <+ l₂
h₂ : l₂ <+ l₃


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hba : b ≤ a


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂ z (τ + 2) = jacobiTheta₂ z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

jacobiTheta₂_term n z (τ + 2) = jacobiTheta₂_term n z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * (τ + 2)) = cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : RankCondition R
J : Set M
v : Basis ι R M
hJ : span R J = ⊤


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : RankCondition R
J : Set M
v : Basis ι R M
hJ : span R J = ⊤
this : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : ?m.16439
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α

IsOpen s ↔ GenerateOpen {t | ∃ a, (Iic a)ᶜ = t} s


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₂ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
hq : 0 < q


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : T.invRotate.mor₁ = 0 ↔ Mono T.invRotate.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : -(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ↔ Mono T.mor₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

T.mor₃ = 0 ↔ (CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : CommRing β

(monomial { order := 2, coeffs := ![1, 1] }.order) 1 - ∑ i : Fin { order := 2, coeffs := ![1, 1] }.order, (monomial ↑i) ({ order := 2, coeffs := ![1, 1] }.coeffs i) = X ^ 2 - (X + 1)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d

(1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n) ↔ IsFundamental a


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h₀ : 0 < d


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: ha₁ : IsFundamental a₁


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: ha₁ : IsFundamental a₁

Context: b : Solution₁ d

Context: hb₂ : ∀ (y : Solution₁ d), (fun a₁ => 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n) y → y = b


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ

∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!

Context: hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: x : ℕ

Context: x✝ : x ∈ range (p + 1)

bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / (↑p + 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0

Context: x : ℕ

Context: x✝ : x ∈ range (p + 1)

bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ↑p ! * (↑p + 1) = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ((↑p + 1) * ↑p !)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a : Set α
as : List (Set α)

⇑f '' (a :: as).prod = (List.map (fun s => ⇑f '' s) (a :: as)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

Context: h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

levyProkhorovEDist μ ν ≤ ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), ENNReal.ofReal δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ν

Context: δ : ℝ

Context: δ_nn : 0 ≤ δ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: B : Set Ω

Context: ε_gt : ENNReal.ofReal δ < ε

Context: ε_lt_top : ε < ⊤

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: ε_gt' : δ < ε.toReal


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: inst✝ : FinitaryExtensive C

Context: h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f

IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: inst✝¹ : Preregular C

Context: inst✝ : FinitaryExtensive C

IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ

Context: hmf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hmf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: x : G

‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * ((mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) x)) ((fun x => ‖g x‖) (x₀ - x))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hmf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: x : G

‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * (fun x => ‖f x‖) x * (fun x => ‖g x‖) (x₀ - x)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: l : Type u_3

Context: m : Type u_4

Context: n : Type u_5

Context: p : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: m' : l → Type u_9

Context: n' : l → Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : DecidableEq l

Context: A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R

Context: hA : Continuous A

Context: x✝¹ : (i : l) × m' i

Context: x✝ : (i : l) × n' i

Context: i₁ : l

Context: i₂ : m' i₁

Context: j₁ : l

Context: j₂ : n' j₁

Continuous fun a => blockDiagonal' (A a) ⟨i₁, i₂⟩ ⟨j₁, j₂⟩


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: l : Type u_3

Context: m : Type u_4

Context: n : Type u_5

Context: p : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: m' : l → Type u_9

Context: n' : l → Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: inst✝ : DecidableEq l

Context: hA : Continuous A

Context: x✝¹ : (i : l) × m' i

Context: x✝ : (i : l) × n' i

Context: i₁ : l

Context: i₂ : m' i₁

Context: j₁ : l

Context: j₂ : n' j₁

Continuous fun a => if h : i₁ = j₁ then A a i₁ i₂ (cast ⋯ j₂) else 0


Context:
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : NeZero a


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

Context: w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯

G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.inv 0 ⋯ = α.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (F.δ₀.obj ⟨0, ⋯⟩) = F.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

F.map (homOfLE ⋯) ≫ 𝟙 (F.obj 1) = F.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯ = 𝟙 F


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

app' (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) 0 ⋯ = app' (𝟙 F) 0 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

δ₀Functor.map (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) = δ₀Functor.map (𝟙 F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w = 𝟙 G


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

app' (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) 0 ⋯ = app' (𝟙 G) 0 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C (n + 1)

Context: α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: β : F.δ₀ ≅ G.δ₀

δ₀Functor.map (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) = δ₀Functor.map (𝟙 G)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b⁻¹ * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b * a = c


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source


↑e ↑x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b

invFunOn f s b ∈ s ∧ f (invFunOn f s b) = b


Classical.choose h ∈ s ∧ f (Classical.choose h) = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: I : TwoSidedIdeal R

Context: carrier : Set R

Context: zero_mem : 0 ∈ carrier

Context: add_mem : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → y ∈ carrier → x + y ∈ carrier

Context: neg_mem : ∀ {x : R}, x ∈ carrier → -x ∈ carrier

Context: mul_mem_left : ∀ {x y : R}, y ∈ carrier → x * y ∈ carrier

Context: mul_mem_right : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → x * y ∈ carrier

Context: x : R

x ∈ mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↔ x ∈ carrier


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: I : TwoSidedIdeal R

Context: carrier : Set R

Context: zero_mem : 0 ∈ carrier

Context: x : R

(mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).ringCon x 0 ↔ x ∈ carrier


Context:
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op U' ⟶ op U

Y.presheaf.map i ≫ f.appLE U V e = f.appLE U' V ⋯


f.app U' ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map i.unop).op ≫ (homOfLE e).op) = f.appLE U' V ⋯


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι : Type u
R : ι → ι → Prop
x : F (α ::: ι)
f : ι → ι
hh : ∀ (x : ι), R (f x) x

LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: ι : Type u

Context: R : ι → ι → Prop

Context: x : F (α ::: ι)

Context: f : ι → ι

Context: hh : ∀ (x : ι), R (f x) x

Context: this : LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x)


Context:
c : Code
k k' : Cont
v : List ℕ

stepNormal c (k.then k') v = (stepNormal c k v).then k'


Context:
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ

x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Icc 1 b)


Context:
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
h1 : p ^ x ∣ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c✝ d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b c : α
hc₀ : 0 < c
hc : b * c < a


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ⨆ i, (μ.restrict (s i)) t


Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => t ∩ s i


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |(T ^ n • z).re| < 1 / 2


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |z.re + ↑n| < 1 / 2


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (n' → R) →ₗ[R] n → R

(toMatrix₂' R) (B ∘ₗ f) = (toMatrix' f)ᵀ * (toMatrix₂' R) B


(toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ f id) = (toMatrix' f)ᵀ * (toMatrix₂' R) B


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : QuotientMap (g ∘ f)


coinduced g (coinduced f inst✝²) ≤ coinduced g inst✝¹


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

((latticeBasis K).repr ((canonicalEmbedding K) x)) i = ↑(((integralBasis K).repr x) i)


((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(canonicalEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (canonicalEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f = ↑(integralBasis K).repr


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i✝ : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i✝ : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: this : f ((integralBasis K) i) = (Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)) i


Context:
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hfv : AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Context: this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hfv : Injective (⇑f ∘ ⇑(aeval x))


Context:
α : Type u_1
a : List α
l : List (List α)

(↑(List.map (fun l => ↑l) (a :: l))).Sections = ↑(List.map (fun l => ↑l) (a :: l).sections)


(↑(↑a :: List.map (fun l => ↑l) l)).Sections = ↑(List.map (fun l => ↑l) (l.sections.bind fun s => List.map (fun a => a :: s) a))


((↑(List.map (fun l => ↑l) l.sections)).bind fun b => map (fun a => a ::ₘ b) ↑a) = ↑(List.map (fun l => ↑l) (l.sections.bind fun s => List.map (fun a => a :: s) a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : MeasurableSpace α
I : Finset ι
μ : ι → Measure α
s : Set α


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P

-(y -ᵥ (pointReflection x) y) = -(2 • (y -ᵥ x))


Context:
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k

TendstoLocallyUniformly (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => eisensteinSeries a k x) Filter.atTop


Context:
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)


∀ (K : Set ℍ), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => ∑' (x_1 : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x_1) x) Filter.atTop K


Context:
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K

TendstoUniformlyOn (fun s x => ∑ x_1 ∈ s, eisSummand k (↑x_1) x) (fun x => ∑' (x_1 : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x_1) x) Filter.atTop K


Context:
z : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
A B : ℝ
hB : 0 < B
HABK : K ⊆ verticalStrip A B


Context:
z✝ : ℍ
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
hk' : 2 < ↑k
p_sum : Summable fun x => ‖↑x‖ ^ (-k)
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
A B : ℝ
hB : 0 < B
HABK : K ⊆ verticalStrip A B
p : ↑(gammaSet N a)
z : ℍ
hz : z ∈ verticalStrip A B

‖eisSummand k (↑p) z‖ ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-↑k) * ‖↑p‖ ^ (-k)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q

(Cochain.mk fun p q hpq => z.v p (p + n) ⋯ ≫ G.d (p + n) q + m.negOnePow • F.d p (p + m - n) ≫ z.v (p + m - n) q ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x✝ : ι

range (stdBasis R φ x✝) = ⨆ (_ : x✝ ∈ ?intro.convert_1), range (stdBasis R φ x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0

a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: w x y z : M

Context: v : E

Context: h : z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source

(tangentCoordChange I x y z) ((tangentCoordChange I w x z) v) = (tangentCoordChange I w y z) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: w x y z : M

Context: v : E

z ∈ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H w) ∩ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H x) ∩ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: w x y z : M

Context: v : E

z ∈ (extChartAt I w).source ∩ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
x : α


Context: x y : ZFSet


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝¹ : RatFunc K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰

{ toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 }.toFractionRing = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (RatFunc K) (FractionRing K[X])) { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 }


IsLocalization.mk' (Localization K[X]⁰) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r✝ : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
g' : Γ'
h : ¬g' = f g

(embDomain f ((single g) r)).coeff g' = ((single (f g)) r).coeff g'


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r✝ : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
g : Γ
r : R
g' : Γ'
h : ¬g' = f g
hr : ¬r = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X

T2Space X ↔ Pairwise fun x y => Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
x y : X
x✝ : x ≠ y

(fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v) x y ↔ (fun x y => Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)) x y


Context: X Y Z : SemiNormedGrp

Context: f : X ⟶ Y

Context: e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z

Context: h : explicitCokernelπ f ≫ e₁ = explicitCokernelπ f ≫ e₂

Context: g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂

Context: w : f ≫ g = 0


Context: X Y Z : SemiNormedGrp

Context: f : X ⟶ Y

Context: e₁ e₂ : explicitCokernel f ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z := explicitCokernelπ f ≫ e₂

Context: w : f ≫ g = 0

Context: this : e₂ = explicitCokernelDesc w


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

g.toLinearMap ∘ₗ ι R = f ↔ g = (lift R) f


g.toLinearMap ∘ₗ ι R = f ↔ (lift R).symm g = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β → γ
a : α
B : Filter β

map (Function.uncurry f) (pure a ×ˢ B) = map (f a) B


map (Function.uncurry f) (map (Prod.mk a) B) = map (f a) B


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : Fintype α


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a / c ≡ b / c [ZMOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m


Context:
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸

(expSeries 𝕂 𝔸).sum x = (expSeries 𝕂' 𝔸).sum x


Context:
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ

((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
P : Finpartition t

(interedges r s t).card = ∑ b ∈ P.parts, (interedges r s b).card


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι

generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) = ⨆ i ∈ S, m i


generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) ≤ ⨆ i ∈ S, m i


⨆ i ∈ S, m i ≤ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)


∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (s.indicator fun x => c)


∀ ⦃f g : X → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (f + g)


IsClosed {f | (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) ↑↑f}


∀ ⦃f g : X → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
i : S
x✝¹ : i ∈ ⇑f '' ↑I
r : R
hri : r ∈ ↑I
hfri : f r = i
j : S
x✝ : j ∈ ⇑f '' ↑J
s : R
hsj : s ∈ ↑J
hfsj : f s = j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
r : ℝ≥0
f : C(X, ℝ)₀


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
R : Type u_4
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
a : R

∑' (i : α), a • f i = a • ∑' (i : α), f i


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₃ ⟶ S₄
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
hφ : QuasiIso φ
α : S₃ ⟶ S₁ := e.inv.left
β : S₂ ⟶ S₄ := e.hom.right

φ' = α ≫ φ ≫ β


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T

EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, ∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ


EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap (↥(adjoin R ↑σ)) S) (IsUnit.submonoid S)) S


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite

∃ M', Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝ : Submodule R N

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' w✝))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝ : Submodule R N

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝ : Submodule R N

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') w✝.subtype))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : ∀ (a b : C), HasProductsOfShape (a ⟶ b) D

Context: c : C

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: f : F ⟶ (evaluationRightAdjoint D c).obj d

Context: x : C

Context: g : x ⟶ c

(Pi.lift fun g => F.map g ≫ f.app c ≫ Pi.π (fun x => d) (𝟙 c)) ≫ Pi.π (fun x => d) g = f.app x ≫ Pi.π (fun x => d) g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict s u ≤ VectorMeasure.restrict 0 u

Context: hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (w ∩ u) = ↑(-s) (w ∩ v)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: this : ↑s (u ∆ v) = 0 → ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)
x' : ↥(rootSpace H α) := ⟨x, hx⟩
m' : ↥(weightSpace M χ) := ⟨m, hm⟩

((toEnd R L M) x) m ∈ ↑(weightSpace M (α + χ))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : f = ⊥


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

i + j = n ∧ k ≤ i ↔ ∃ a, a + j = n - k ∧ a + k = i


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
hi : i + j = n ∧ k ≤ i


Context:
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

(∃ a, a + j = n - k ∧ a + k = i) → i + j = n ∧ k ≤ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: l✝ : Multiset (α → M)

Context: l : List (α → M)

Context: hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l)) μ


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝² : DivisionSemiring α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: h : a₂ ≠ 0

Context: H : HasSum (fun i => a₂ * f i) (a₂ * a₁)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P

((v +ᵥ b).coord i) p = ((b.coord i).comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P v).symm) p


(((b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i))).sum fun x => id) = ((b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)).sum fun x => id


(b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i)) = (b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s


Tendsto (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) (p ×ˢ p) (𝓤 β)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

u ∈ map (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) (p ×ˢ p)


(fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) ⁻¹' u ∈ p ×ˢ p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ

IntegrableOn f (Icc a b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < 1

(lineMap a b) r ≤ b ↔ (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) 1


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: a b : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : [[a, b]] ∈ l

Context: hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: a b : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : [[a, b]] ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i


∀ (i : ι) (y : A i), (mulHom A) ((of A i) y) = (mulHom A).flip ((of A i) y)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai

(mulHom A) ((of A ai) ax) = (mulHom A).flip ((of A ai) ax)


∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A i) y) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A i) y)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi

((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx)


(of A (ai + bi)) (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) = (of A (bi + ai)) (GradedMonoid.GMul.mul bx ax)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair K


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α


Context: a : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : Ring 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n


p.removeZero n.pred.succ = p n.pred.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

IsInitial X → False ↔ Nonempty ↑(F.obj X)


IsInitial X → False ↔ ¬IsEmpty ↑(F.obj X)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
he : IsEmpty ↑(F.obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ : Multiset α
a✝ a : α
s t : Multiset α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β

Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f (g i)) atTop = Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f i) atTop


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β
s : Finset β

∃ v, ∀ (v' : Finset γ), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f (g b)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β
s : Finset γ

∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f (g x) = ∏ b ∈ v', f b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
x : R
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
hx : 0 ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
u : R
hu : IsUnit u
hx : u ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: z p : R

Context: hz : z ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n

Context: hx : p * z ≠ 0

∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α

x ∈ l₁ ∩ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∧ x ∈ l₂


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)

Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R


(∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ι → 𝔸'

HasStrictFDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, x i) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, x j) • proj i) x


HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x u.val).prod) (Multiset.map (fun x_1 => (Multiset.map x (u.erase x_1).val).prod • proj x_1) u.val).sum x


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a


IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a : A

Context: h : IsNilpotent a

Context: hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a : A

Context: h : IsNilpotent a

Context: hr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a : A

Context: h : IsNilpotent a

Context: this : Commute (LinearMap.mulLeft R a) (LinearMap.mulRight R a)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : (center G).FiniteIndex
g : G
k : ℕ
x✝ : G
hk : x✝⁻¹ * g ^ k * x✝ ∈ center G


Context: k : Type u_1

Context: V₁ : Type u_2

Context: P₁ : Type u_3

Context: V₂ : Type u_4

Context: P₂ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Ring k

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁵ : Module k V₁

Context: inst✝⁴ : Module k V₂

Context: inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁

Context: inst✝² : AddTorsor V₂ P₂

Context: φ : P₁ →ᵃ[k] P₂

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: E : AffineSubspace k P₁

Context: F : AffineSubspace k P₂

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥E

Context: inst✝ : Nonempty ↥F

Context: hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F

Context: x y : ↥E

Context: h : (φ.restrict hEF) x = (φ.restrict hEF) y


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x y : ↥E
h : φ ↑x = φ ↑y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => c • f y) univ x


Context:
X✝ : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X✝
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X✝ → (i : ι) → π i
X : Type u_8
f : X → (i : ι) → π i

induced f Pi.topologicalSpace = ⨅ i, induced (fun x => f x i) inferInstance


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝³ : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)

Context: inst✝¹ : Fintype η

Context: inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)

Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) = Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝³ : H.Normal

Context: η : Type u_2

Context: Gs : η → Type u_3

Context: inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)

Context: inst✝¹ : Fintype η

∀ (c : ℕ), Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) ≤ c ↔ (Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)) ≤ c