Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
toQuot✝¹ : Quot (Rel r)
x : R
toQuot✝ : Quot (Rel r)
y : R

(↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel r) x } + { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }) = (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) x } + (↑{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : R →+* T
h : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y

(fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot) 1 = 1


{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun ({ toQuot := Quot.mk (Rel r) x } * { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }) = { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) x } * { toFun := fun x => Quot.lift ⇑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯ }.toFun { toQuot := Quot.mk (Rel r) y }


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)

Context: hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 (0 + 1 • a))

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: A : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

(fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι

Context: hi : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ

Context: h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1

∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι

∫ (x : α) in s, φ i x • g x - t.indicator (fun a_1 => φ i a_1 • a) x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a = ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι

Integrable (t.indicator fun a_1 => φ i a_1 • a) (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι

IntegrableOn (fun a_1 => φ i a_1 • a) t (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι

Integrable (φ i) ((μ.restrict s).restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

Context: h : α → E := g - t.indicator fun x => a

Context: i : ι


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

IsClosed s ∧ IsNowhereDense s ↔ IsOpen sᶜ ∧ Dense sᶜ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a c : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : ValuationRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
b c : R


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)

Context: this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)


Context:
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F G : Presheaf C X
e : F ⟶ G
U V : Opens ↑X
h : U ≤ V
x : (forget C).obj (F.obj (op V))

(e.app (op U)) ((F.map (homOfLE h).op) x) = (G.map (homOfLE h).op) ((e.app (op V)) x)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

(AffineSubspace.map f s).WSameSide (f x) (f y)


SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (y -ᵥ p₂))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁ : x✝.Valid

Context: h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝

Context: ml mm mr : List Char

Context: h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝

Context: ml mm mr : List Char

Context: l' r' : List Char

Context: h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B


kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯ ≫ (cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯).unop = 𝟙 (Opposite.unop (cokernel f.op))


(cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op).unop = (𝟙 (cokernel f.op)).unop


coequalizer.π f.op 0 ≫ cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op = coequalizer.π f.op 0 ≫ 𝟙 (cokernel f.op)


((cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯).unop ≫ kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯) ≫ equalizer.ι f 0 = 𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
a : ι

DFinsupp.equivFunOnFintype ((lof R ι M i) m) a = Pi.single i m a


Context:
μ : YoungDiagram
j : ℕ


Context:
μ : YoungDiagram
j : ℕ

(fun i => (i, j) ∉ μ.cells) = fun j_1 => (j, j_1) ∉ μ.transpose


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
t : Finset (δ i)
hts : t ⊆ s i
f : (a : α) → δ a

f ∈ piFinset (update s i t) ↔ f ∈ filter (fun f => f i ∈ t) (piFinset s)


(∀ (a : α), f a ∈ update s i t a) ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s a) ∧ f i ∈ t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞

⨆ i, ⨆ j, ∫⁻ (a : α), f i j a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ j, f i j a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
a : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = ((isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom M, inv := LeftUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

coequalizer.π ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ M.X) ((α_ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X X.X M.X).hom ≫ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ M.actLeft) ≫ ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = coequalizer.π ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ M.X) ((α_ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X X.X M.X).hom ≫ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ M.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom M, inv := LeftUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ((X.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (X.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ coequalizer.desc M.actLeft ⋯ ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ LeftUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ (λ_ N.X).inv ≫ X.one ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((X.X ◁ f.hom ≫ N.actLeft) ≫ (λ_ N.X).inv) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (((λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ N.actLeft) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ ((α_ X.X X.X N.X).inv ≫ (α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ (α_ X.X X.X N.X).inv ≫ X.mul ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ X.one ▷ X.X ▷ N.X) ≫ X.mul ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

Context: this : (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X = 𝟙 (X.X ⊗ N.X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ 𝟙 (X.X ⊗ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R

(Function.Surjective fun v => v ᵥ* A) ↔ IsUnit A


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
Y : Cᵒᵖ
i : Y ⟶ op X
e : op X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p.op


e.unop ≫ i.unop = 𝟙 (unop Y) ∧ i.unop ≫ e.unop = p


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : Prop


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: h : UniqueMul A B a0 b0

Context: x1 y1 : G

Context: hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0

Context: x2 y2 : G

Context: hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: x1 y1 x2 y2 : G

Context: h : UniqueMul A B x1 y1

Context: hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1

Context: hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: x2 y2 : G

Context: h : UniqueMul A B x2 y2

Context: hx hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x2 * y2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: r : K[X]

Context: hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: r : K[X]

Context: d' : R[X]

Context: hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: r : K[X]

Context: d' : R[X]

Context: hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' = r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: r : K[X]

Context: d' : R[X]


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: x_ne0 : x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: this : ↑(chainLength α β) • x = ⁅coroot α, x⁆


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: this : ↑(chainLength α β) = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) * 2 + β (coroot α)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r

padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p (-r)) ≤ padicValRat p (q + r + -r)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: h3 : min (padicValRat p (r + q)) (padicValRat p (-q)) ≤ padicValRat p (r + q + -q)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q

Context: h3 : min (padicValRat p (r + q)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
h : LinearMap.ker f ≤ p


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

logDeriv (f ∘ g) x = logDeriv f (g x) * deriv g x


deriv f (g x) * deriv g x / f (g x) = deriv f (g x) / f (g x) * deriv g x


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

im (z / w) = im z * re w / normSq w - re z * im w / normSq w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → E'

ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f ↔ ContDiff 𝕜 n f


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
ι : Sort u_2
inst✝ : Finite ι
l : Filter α
p : ι → α → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p i x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p i x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ β
u : Filter (α →ᵤ β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}
huf : u ≤ 𝓝 f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: δ : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f : α →ᵤ β

Context: u : Filter (α →ᵤ β)

Context: x✝ : u.NeBot

Context: hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}

Context: huf : TendstoUniformly (⇑toFun ∘ id) (toFun f) u


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Nonempty F.M
bisim : IsBisimulation R
inhabited_h : Inhabited F.M
s₁ s₂ : F.M
Hr : R s₁ s₂


∀ (ps : Path F), iselect ps s₁ = iselect ps s₂


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

(imageUnopOp g).inv ≫ (factorThruImage g.unop).op = image.ι g


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

(d n A) f g = (diagonalHomEquiv (n + 1) A) ((resolution k G).d (n + 1) n ≫ (diagonalHomEquiv n A).symm f) g


(d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((resolution.d k G (n + 1)) (Finsupp.single (Fin.partialProd g) 1))


(d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (∑ p : Fin (n + 1 + 1), Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p))


(d n A) f g = ∑ x : Fin (n + 1 + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑x • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ x.succAbove) 1)


(A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) 0)) (f fun i => ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.succ) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)


(A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ (g 0)) (f fun i => (Fin.partialProd g i.castSucc.castSucc * g i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g i.succ.castSucc * g i.succ)) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

wrepr ((P F).wMk a f' f) = (P F).wMk' (repr (abs ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)))


((P F).wMk' ∘ repr) (abs ((TypeVec.id ::: recF ((P F).wMk' ∘ repr)) <$$> ⟨a, splitFun f' f⟩)) = (P F).wMk' (repr (abs ((TypeVec.id ::: recF ((P F).wMk' ∘ repr)) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E

x ∈ {x | gauge s x ≤ a} ↔ x ∈ ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), r • s


gauge s x ≤ a ↔ ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : gauge s x ≤ a
r : ℝ
hr : a < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp a b - b = -toIcoDiv hp a b • p


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: w : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball w (dist w w))

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball w (dist w w)) w


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: hne : w ≠ z


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: hne : dist w z ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.snd (decode n))


Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.snd ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
x : α

(fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: A✝ : Type w

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Semiring A✝

Context: inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R✝ B

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Semiring A

Context: P Q : Algebra R A

Context: h : ∀ (r : R), (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
A✝ : Type w
B : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R✝ B
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
P Q : Algebra R A
h : toRingHom = toRingHom


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x + y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - -y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n


multiplicity (↑p) (x ^ n - (-y) ^ n) = multiplicity (↑p) (x - -y) + multiplicity p n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
x✝ : E

x✝ ∈ parallelepiped v ↔ x✝ ∈ ∑ i : ι, segment ℝ 0 (v i)


(∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ Icc (0 i) (1 i)) ∧ x✝ = ∑ i : ι, t i • v i) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, g i ∈ (fun a => a • v i) '' Icc 0 1), ∑ i : ι, g i = x✝


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
S : Type u_9
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
v : ι' → S
i : ι'

(⇑b ᵥ* (b.toMatrix v).map ⇑(algebraMap R S)) i = v i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℕ


Context:
D : GlueData
i : D.J

D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ ((PresheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.isoPresheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.gluedIso (PresheafedSpace.forget CommRingCat)).inv = (D.ι i).val.base


Context:
D : GlueData
i : D.J

(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.ι i ≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace.inv ≫ (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace).inv).base = (D.ι i).val.base


Context:
D : GlueData
i : D.J

((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i).val ≫ (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace).inv).base = (D.ι i).val.base


Context:
D : GlueData
i : D.J

(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i ≫ D.isoLocallyRingedSpace.inv).val.base = (D.ι i).val.base


Context: a : UnitAddCircle


Context: a : ℝ


Context: a : ℝ

ContinuousOn (fun x => ↑(oddKernel (↑a) x)) (Ioi 0)


Context: a : ℝ

ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))) (Ioi 0)


Context:
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

Continuous fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x)


Context:
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M

B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: hₗ : F.compl₁₂ ↑e ↑e ∘ₗ e.symm.conj f = (F ∘ₗ f).compl₁₂ ↑e ↑e


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: hᵣ : (B.compl₁₂ ↑e ↑e).compl₂ (e.symm.conj f) = (B.compl₂ f).compl₁₂ ↑e ↑e


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: he : Function.Surjective ⇑↑e


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

a / b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
x : (a : ι) → π a
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, s a ∈ 𝓝 (x a)


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
s t : SetSemiring A

span R (SetSemiring.down (s * t)) = span R (SetSemiring.down s) * span R (SetSemiring.down t)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: a✝ : ι

a✝ ∈ (f ⊓ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∩ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: a✝ : ι

¬f a✝ ⊓ g a✝ = 0 ↔ ¬f a✝ = 0 ∧ ¬g a✝ = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x

⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩


⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable α
h : MeasurableSingletonClass α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: X' X : C

Context: Y Y' : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : F.obj X ⟶ Y'

Context: h : F.obj X' ⟶ Y

Context: k : Y ⟶ Y'

Context: w : f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → β
hf : Function.Surjective f
this✝ : Fintype α
this : Fintype β


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ

↑(gammaCDFReal a r) x = (∫⁻ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDF a r x).toReal


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

Context: this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

((gammaMeasure a r) (Iic x)).toReal = (∫⁻ (x : ℝ) in Iic x, ENNReal.ofReal (gammaPDFReal a r x)).toReal


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
inst✝ : Fintype R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
m : Multiset α
f : α → β

map (fun x => f x.fst) Finset.univ.val = map f m


Context:
α ι : Type u
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a


Context:
α ι : Type u
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
ha : a < ℵ₀


Context:
α ι : Type u
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
t : Set α
ht : ∀ x ∈ t, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
h : p < ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
h : p < ⊤
x : M
left✝ : x ∈ ⊤
not_mem_s : x ∉ p


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

‖↑(let_fun h1 := ⋯; let z1 := ⟨↑(Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) F) / ↑(Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) (Polynomial.derivative F)), h1⟩; let z' := ↑(newton_seq_aux hnorm n) - z1; ⟨z', ⋯⟩) - ↑(newton_seq_aux hnorm n)‖ = ‖Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) F‖ / ‖Polynomial.eval (↑(newton_seq_aux hnorm n)) (Polynomial.derivative F)‖


Context:
X✝ X : LocallyRingedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

IsLocalRingHom (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (𝟙 X.toSheafedSpace) x)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atBot, p x


∀ᶠ (n : ℚ) in Filter.comap Rat.cast atBot, p ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
𝕜' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: h : ∀ (x : 𝕜'), ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: y : E

Context: hy : y ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: y : E

Context: hy : y ≠ 0

Context: this : ‖((lsmul 𝕜 𝕜') 1) y‖ ≤ N * ‖1‖ * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: y : E

Context: hy : y ≠ 0

Context: this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

LinearIndependent R (u ∘ Sum.inl) ∧ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inr) ∧ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial

s.infsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ dist x y < d


¬s.infsep < d ↔ ¬∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ dist x y < d


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x : α
inst : OrientedCmp cmp
t : RBNode α

(ins cmp x t).reverse = ins (flip cmp) x t.reverse


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
hab : a < b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
hcon : ¬∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ sSup s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ∀ x ≤ sSup s, ¬a ⋖ x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ¬a ⋖ x ⊔ a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ¬a ⋖ x ⊔ a
hbot : x ⊓ a = ⊥


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsUpperModularLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a : α
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, IsAtom a
hab : a < sSup s
x : α
hx : x ∈ s
hcon : ¬a ⋖ x ⊔ a
h_inf : x ⊓ a = x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsNoetherian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

∀ (a : Submodule R N), Submodule.map ((LinearMap.ker f).liftQ f ⋯) (Submodule.comap ((LinearMap.ker f).liftQ f ⋯) a) = a ⊓ LinearMap.range f


∀ (a : Submodule R N), Submodule.comap g.rangeRestrict (Submodule.map g.rangeRestrict a) = a ⊔ LinearMap.range f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z✝ : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A Z : C

Context: f g : Z ⊗ tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A

Context: H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: hZ : HasLeftTensor₃ObjExt Z X₁ X₂ X₃ j

Context: h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ = j), Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = Z ◁ ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁸ : MonoidalCategory C

Context: Z✝ : C

Context: X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C

Context: inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂

Context: inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃

Context: inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃

Context: inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)

Context: j : I

Context: A Z : C

Context: H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: hZ : HasLeftTensor₃ObjExt Z X₁ X₂ X₃ j

∀ (j_1 : Discrete ↑(r₁₂₃ ⁻¹' {j})), (((curriedTensor C).obj Z).mapCocone (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).ι.app j_1 ≫ f = (((curriedTensor C).obj Z).mapCocone (cofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).ι.app j_1 ≫ g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

Context: hk : MeasurableSet k


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

Context: hk : MeasurableSet k

Context: h's : IntegrableOn f s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

Context: hk : MeasurableSet k

Context: h's : IntegrableOn f s μ

Context: A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

Context: hk : MeasurableSet k

Context: h's : IntegrableOn f s μ

∫ (x : X) in t \ k ∪ s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s \ k, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β


R.rightDual (R.leftDual (R.rightDual I)) ≤ R.rightDual I


R.rightDual I ≤ R.rightDual (R.leftDual (R.rightDual I))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
inhabited_h : Inhabited ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1

σ.supportᶜ.card ≡ Fintype.card α [MOD p]


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
p : MvPolynomial σ S₁


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
i : σ →₀ ℕ
fr : S₁


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
a b : MvPolynomial σ S₁
ha : ∃ a_1, (map f) a_1 = a
hb : ∃ a, (map f) a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

ν a[fun x => κ.densityProcess ν j a x s|↑(countableFiltration γ) i] =ᶠ[ae (ν a)] fun x => κ.densityProcess ν i a x s


Integrable (fun x => κ.densityProcess ν j a x s) (ν a)


∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) s_1 (ν a)


∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a = ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν j a x s ∂ν a


AEStronglyMeasurable' (↑(countableFiltration γ) i) (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) (ν a)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx : x ∈ ⊥


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
y : K
hx : (algebraMap K L) y ∈ ⊥

f • ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩ = ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
i : ι
a : α i
b : β i
x : γ i

⟨i, x⟩ ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ x ∈ f a b


(∃ a_1 ∈ f (⋯ ▸ ⟨i, a⟩.snd) ⟨i, b⟩.snd, (Embedding.sigmaMk ⟨i, b⟩.fst) a_1 = ⟨i, x⟩) ↔ x ∈ f a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: x : α

Context: y : Set α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ⊆ s

Context: hxy : x ∉ y

Context: this : Disjoint x (sSup (insert x y \ {x}))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
this : Disjoint x (sSup y)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v : G
p₁ p₂ : P


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ

derivative (C a * X ^ n) = C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable

∃! f', f.graph.topologicalClosure = f'.graph


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : f.IsClosable

Context: x✝¹ x✝ : E →ₗ.[R] F

Context: hy₁ : f.graph.topologicalClosure = x✝¹.graph

Context: hy₂ : f.graph.topologicalClosure = x✝.graph


Context:
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U

((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = genericPoint ↑↑(Spec Γ(X, U)).toPresheafedSpace


Context: X✝ : Scheme

Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: this : IsAffine ↑U

Context: e_1✝ : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) = ↑↑(Spec (X.presheaf.obj (op U))).toPresheafedSpace

⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace


Context: X✝ : Scheme

Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: this : IsAffine ↑U

↑⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = ↑(genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R

∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ
hzn : 0 ≤ n
hnp : n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑n‖ < 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
h : x ∈ L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : SurjOn f₁ s t
H : EqOn f₁ f₂ s


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this : Mono f


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this✝ : Mono f
this : Mono g


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0

∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
hu : IsUnit (χ a)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
a : F
ha : f a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : IsEmpty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: f u v : R⟦X⟧

Context: hu : u * v = 1

Context: hv : v * u = 1

Context: hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: f u v : R⟦X⟧

Context: hu : u * v = 1

Context: hv : v * u = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: f u v : R⟦X⟧

Context: hu : u * v = 1

Context: hv : v * u = 1

(↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv }).order + ?m.101103 ≤ (u * v).order


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₂ : List α


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.fst


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'


Context:
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trList [n]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trList [n.succ]) [] c d }


Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trNum ↑n ++ [Γ'.cons]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNum (↑n).succ ++ [Γ'.cons]) [] c d }


Context:
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'
a : PosNum

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trPosNum a ++ [Γ'.cons]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trPosNum a.succ ++ [Γ'.cons]) [] c d }


∀ (l₁ : List Γ'), ∃ l₁' l₂' s', l₁.reverseAux (trPosNum a.succ) = l₁'.reverseAux l₂' ∧ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trPosNum a ++ [Γ'.cons]) l₁ c d } { l := some (unrev q), var := s', stk := elim (l₂' ++ [Γ'.cons]) l₁' c d }


Context: m c : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α
g : γ → β
this : DecidableEq γ

∀ ⦃a : γ⦄ {s : Finset γ}, a ∉ s → (∏ x ∈ s, f x, ∏ x ∈ s, g x) = ∏ x ∈ s, (f x, g x) → (∏ x ∈ insert a s, f x, ∏ x ∈ insert a s, g x) = ∏ x ∈ insert a s, (f x, g x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤


eLpNorm' f p.toReal μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
u : List β

Forall₂ (fun a b => p a ∧ R a b) [] u ↔ (∀ (a : α), a ∈ [] → p a) ∧ Forall₂ R [] u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
a : α
l : List α
u : List β

Forall₂ (fun a b => p a ∧ R a b) (a :: l) u ↔ (∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → p a_1) ∧ Forall₂ R (a :: l) u


(p a ∧ ∃ x, R a x ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ x_1, Forall₂ R l x_1 ∧ u = x :: x_1) ↔ p a ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ b, R a b ∧ ∃ x, Forall₂ R l x ∧ u = b :: x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.shatterer = 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜.shatterer


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁶ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : Adhesive D

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: inst✝³ : HasPushouts C

Context: inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

Context: this✝ : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: this : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
h₀ : z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s

(μ - ν).restrict s = μ.restrict s - ν.restrict s


(sInf {d | μ ≤ d + ν}).restrict s = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty


sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν}) = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}


sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν}) ≤ sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}


sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s} ≤ sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν})


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
y z a b : α
ha : a ∣ y
hb : b ∣ z
H1 : IsRelPrime (a * b) z
H2 : a * b ∣ y * z
h : IsPrimal (a * b)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
f : ι → Sublattice α


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n

(M * f.toMatrix) i j = Option.casesOn (f.symm j) 0 fun fj => M i fj


(∑ j_1 : m, M i j_1 * if j ∈ f j_1 then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val => M i val) (f.symm j)


Context:
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset

(n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset


Context:
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
this : n = u.prod


(m • u).prod.factorMultiset = m • u.prod.factorMultiset


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

padicValNat p (p * n)! = padicValNat p n ! + n


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

↑(padicValNat p (p * n)!) = ↑(padicValNat p n ! + n)


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

multiplicity p (p * n)! = multiplicity p n ! + ↑n


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S

minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ map (algebraMap R K) (minpoly R s)


(Polynomial.aeval ((algebraMap S L) s)) (map (algebraMap R K) (minpoly R s)) = 0


(algebraMap K L).comp (algebraMap R K) = (algebraMap S L).comp (algebraMap R S)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : IsEmpty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β

Context: inhabited_h : Inhabited β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : ∀ (a : α), ⨆ b, f b a = ⨆ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : μ s_1 < ⊤), (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)


∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp g hg) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)


Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ


Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))


(∀ (y : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) (μs i).toWeakDualBCNN) y) F (𝓝 (((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) μ.toWeakDualBCNN) y))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * x) z


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S
i : P.rels


P.relation i ∈ Ideal.span (Set.range P.relation)


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

Tendsto arg (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))


Tendsto (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))


𝓝 (-π) = 𝓝 ((Real.arcsin ∘ (im ∘ Neg.neg / ⇑abs)) z - π)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
inst✝ : CharZero S
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b


Context:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N

((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B x) y


((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ M R ⇑b₁) (b₁.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ N S ⇑b₂) (b₂.repr y))


Context: k : Type u

Context: inst✝⁶ : Field k

Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field A

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F A

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: L : IntermediateField F A

Context: hL : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)

Context: f : K →ₐ[F] A

Context: x : K

Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F (f x))


Context: k : Type u

Context: inst✝⁶ : Field k

Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field A

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F A

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: L : IntermediateField F A

Context: f : K →ₐ[F] A

Context: x : K


Context:
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : SMulZeroClass S R
a : S
n : ℕ
b : R

a • Finsupp.single n b = Finsupp.single n (a • b)


Context:
n : ℤ
hn : n % 4 = 3


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R

↑(rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) = rTensorHomToHomRTensor R M P Q


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

(∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ∨ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ Formula.not φ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: con : (∃ M, ¬↑M ⊨ φ) ∧ ∃ M, ¬↑M ⊨ Formula.not φ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ¬↑MT ⊨ Formula.not φ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ

Context: this✝ : Infinite ↑MT

Context: this : Infinite ↑MF


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ

Context: this✝ : Infinite ↑MT

Context: this : Infinite ↑MF

Context: NT : Bundled L.Structure

Context: MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT

Context: hNT : #↑NT = κ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ

Context: this✝ : Infinite ↑MT

Context: this : Infinite ↑MF

Context: NT : Bundled L.Structure

Context: MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT

Context: hNT : #↑NT = κ

Context: NF : Bundled L.Structure

Context: MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF

Context: hNF : #↑NF = κ


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ

Context: this✝ : Infinite ↑MT

Context: this : Infinite ↑MF

Context: NT : Bundled L.Structure

Context: MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT

Context: hNT : #↑NT = κ

Context: NF : Bundled L.Structure

Context: MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF

Context: hNF : #↑NF = κ

Context: TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
a b : α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : NoMaxOrder α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y x : R


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
this : ‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k

‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
x : AdicCompletion I (Fin n → R)

(piEquivFin I n) x = (pi I fun x => R) x


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ


Context: x a' : ℝ

evenKernel (-↑a') x = evenKernel (↑a') x


Context:
n m : ℕ
α : Sort u_1
k : ℕ
f g : Fin k → α

HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k), f i = g ⟨↑i, ⋯⟩


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

(matrixToStdBasis K).det = ∏ _k : { w // w.IsComplex }, (2⁻¹ • !![1, 1; -I, I]).det


∏ _k : { w // w.IsComplex }, (2⁻¹ • !![1, 1; -I, I]).det = ∏ _k : { w // w.IsComplex }, 2⁻¹ * I


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x✝¹ : { w // w.IsComplex }
x✝ : x✝¹ ∈ univ


∏ _k : { w // w.IsComplex }, 2⁻¹ * I = (2⁻¹ * I) ^ Fintype.card { w // w.IsComplex }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f

↑((Finset.range n).sup fun k => (const α (i k)).restrict {a | i k ≤ f a}) a = (Finset.range n).sup fun k => if i k ≤ f a then i k else 0


((Finset.range n).sup fun c => ↑((const α (i c)).restrict {a | i c ≤ f a}) a) = (Finset.range n).sup fun k => if i k ≤ f a then i k else 0


(fun c => ↑((const α (i c)).restrict {a | i c ≤ f a}) a) = fun k => if i k ≤ f a then i k else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
k : ℕ

↑((const α (i k)).restrict {a | i k ≤ f a}) a = if i k ≤ f a then i k else 0


{a | i k ≤ f a}.indicator (↑(const α (i k))) a = if i k ≤ f a then i k else 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝ : Mono f
X Y : Subobject B
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ Y

ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLE Y h₂ = ofMkLE f Y ⋯


(underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : f ≤ f'
hg : g ≤ f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g f' : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑f'
hg : ↑g ≤ᶠ[ae μ] ↑f'