(colimitEquivQuot F).symm ((colimitEquivQuot F) (colimit.ι F j x)) = (colimitEquivQuot F).symm (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0

HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : x ≤ -1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

x \ y ⊔ y \ x ⊔ x ⊓ y = (x \ y ⊔ y \ x ⊔ x) ⊓ (x \ y ⊔ y \ x ⊔ y)


(x \ y ⊔ x ⊔ y \ x) ⊓ (x \ y ⊔ (y \ x ⊔ y)) = (x ⊔ y \ x) ⊓ (x \ y ⊔ y)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S

(CoordinateRing.basis W) ⟨0, ⋯⟩ = ![1, (mk W) Y] ⟨0, ⋯⟩


(CoordinateRing.basis W) ⟨1, ⋯⟩ = ![1, (mk W) Y] ⟨1, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).fst x) s = ((κ.map f hf) x) s


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : Type u_3
γ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: f : B' → B


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: f : B' → B

induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ ≤ induced TotalSpace.proj inst✝¹


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

∑ j : PointsWithCircumcenterIndex n, pointWeightsWithCircumcenter i j = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ

pointWeightsWithCircumcenter i j = if j = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0


1 = if pointIndex i ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 (pointIndex i) else 0


Context:
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u}
ι : Type u
e : ↑s ≃ ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
x : α

∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, MeasurableSet a


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α

⋂ i, ⋂ (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l


⋂ x, s ↑x ⋯ ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ∈ l


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s : (i : ι) → i ∈ S → Set α
this : Encodable ↑S


Context: B X : TopCat

Context: π : X ⟶ B

Context: x✝ : EffectiveEpi π

Context: hπ : RegularEpi π

Context: F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat := parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right

Context: i : B ≅ colimit F := RegularEpi.isColimit.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (parallelPair RegularEpi.left RegularEpi.right))


Context: B X : TopCat

Context: π : X ⟶ B

Context: x✝ : EffectiveEpi π

Context: hπ : RegularEpi π


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure


Context:
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I

Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective c.toSections


Context:
x a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
hx : 0 < x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: h' : Epi f.base

Context: this : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: h' : Epi f.base

Context: this✝ : ∀ (U : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ), IsIso (f.c.app U)

Context: this : IsIso f.c


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: h' : Epi f.base

Context: this : IsIso f.c


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: h' : Epi f.base

Context: this : IsIso f.c

Context: t : ↑↑X ≃ₜ ↑↑Y := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑f.base ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible b


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x : R ⧸ Submodule.span R {a * b}

x ∈ torsionBy R (R ⧸ Submodule.span R {a * b}) a ↔ x ∈ Submodule.span R {(mk (Submodule.span R {a * b})) b}


a • x = 0 ↔ ∃ a_1, a_1 • (mk (Submodule.span R {a * b})) b = x


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x : R

a • (mk (Submodule.span R {a * b})) x = 0 ↔ ∃ a_1, a_1 • (mk (Submodule.span R {a * b})) b = (mk (Submodule.span R {a * b})) x


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

opcyclesMap φ = opcyclesMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁ ≫ γ.φQ ≫ opcyclesMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData


opcyclesMap φ = opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
r : k
φ : MvPowerSeries σ k

(r • φ)⁻¹ = r⁻¹ • φ⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α

∃ t, t.Finite ∧ range s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ a}


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a


range s ⊆ ⋃ y ∈ s '' {k | k ≤ n}, {x | (x, y) ∈ a}


∀ (y : ℕ), s y ∈ ⋃ y ∈ {k | k ≤ n}, {x | (x, s y) ∈ a}


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ

s m ∈ ⋃ y ∈ {k | k ≤ n}, {x | (x, s y) ∈ a}


∃ i, ∃ (_ : i ∈ {k | k ≤ n}), s m ∈ {x | (x, s i) ∈ a}


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
hm : m ≤ n


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ k ≥ n, ∀ l ≥ n, (s k, s l) ∈ a
m : ℕ
hm : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
H : IsSuccLimit o


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
H : IsSuccLimit 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
H : IsSuccLimit o
h : o ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : R →+* S
x✝ : MvPolynomial σ R

x✝ ∈ RingHom.ker (map f) ↔ x✝ ∈ Ideal.map C (RingHom.ker f)


(∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map f) x✝) = coeff m 0) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m x✝ ∈ RingHom.ker f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
sl : l.Sized
sr : r.Sized

l.size + r.size + 1 = r.dual.size + l.dual.size + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
x : R


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

Context: hn : (↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0

‖(↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n‖ = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: n : ι


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j✝ : J

(biproduct.lift fun j => X ◁ biproduct.π f j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ = (∑ j : J, X ◁ biproduct.π f j ≫ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝


X ◁ biproduct.π f j✝ = (∑ j : J, X ◁ biproduct.π f j ≫ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α) in ↑s, f x ∂μ = ∑ x ∈ s, f x * μ {x}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K

Function.Injective ⇑(algebraMap K[X] (RatFunc K))


Function.Injective (ofFractionRing ∘ ⇑(algebraMap K[X] (FractionRing K[X])))


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hbot : S ≠ ⊥
H : ¬∃ a, IsLeast {g | g ∈ S ∧ 0 < g} a


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hbot : S ≠ ⊥
H : ¬∃ a, IsLeast {g | g ∈ S ∧ 0 < g} a
ε : G
ε0 : ε > 0


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hbot : S ≠ ⊥
ε : G
ε0 : ε > 0
H : ∀ g ∈ S, g ∉ Ioo 0 ε


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x < 1
hz : 0 < z


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ l₂ : List α


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R

eval (-r) (ascPochhammer R 0) = (-1) ^ 0 * eval r (descPochhammer R 0)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ

eval (-r) (ascPochhammer R (k + 1)) = (-1) ^ (k + 1) * eval r (descPochhammer R (k + 1))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : FiniteType R R[M]
S : Finset M
hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤
m : M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddMonoid M

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h : FiniteType R R[M]

Context: S : Finset M

Context: hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤

Context: m : M

Context: hm : of' R M m ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑S))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddMonoid M

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h : FiniteType R R[M]

Context: S : Finset M

Context: hS : adjoin R (of' R M '' ↑S) = ⊤

Context: m : M

Context: hm : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' ↑S))


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
f : R[X]
hf : f.degree ≤ 0


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁷ : Module R✝ A✝
inst✝⁶ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁵ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
r : R
hr : ¬IsUnit r
h : r ∈ resolventSet R ↑a


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
inst✝ : Group.IsNilpotent G

Group.nilpotencyClass G = 0 ↔ Subsingleton G


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] - μ[f i|↑𝒢 i]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

x₁ ∈ B ∧ x₂ ∈ B


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: A C : Set E

Context: x₁ : E

Context: hx₁A : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂A : x₂ ∈ A

Context: x : E

Context: hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

Context: hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

x₁ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ x₂ ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: A C : Set E

Context: x₁ : E

Context: hx₁A : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂A : x₂ ∈ A

Context: x : E

Context: hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: A C : Set E

Context: x₁ : E

Context: hx₁A : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂A : x₂ ∈ A

Context: x : E

Context: hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l

Context: hlx₁ : l x₁ ≤ l x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: A C : Set E

Context: x₁ : E

Context: hx₁A : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂A : x₂ ∈ A

Context: x : E

Context: hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l

Context: hlx₁ : l x₁ ≤ l x

Context: hlx₂ : l x₂ ≤ l x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2467, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a b : α
m n : ℕ
h : a ≠ b

l ~ replicate m a ++ replicate n b ↔ count a l = m ∧ count b l = n ∧ l ⊆ [a, b]


(count a l = count a (replicate m a ++ replicate n b) ∧ (b ≠ a → count b l = count b (replicate m a ++ replicate n b)) ∧ ∀ (b_1 : α), b_1 ≠ b → b_1 ≠ a → count b_1 l = count b_1 (replicate m a ++ replicate n b)) ↔ count a l = m ∧ count b l = n ∧ l ⊆ [a, b]


l ⊆ [a, b] ↔ ∀ (c : α), c ≠ b → c ≠ a → c ∉ l


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ

coeff d (∑ i ∈ range (φ.totalDegree + 1), (homogeneousComponent i) φ) = coeff d φ


φ.totalDegree < d.support.sum ⇑d → 0 = coeff d φ


Context: k : ℤ


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β × γ → α

(s ×ˢ t).sup f = t.sup fun i' => s.sup fun i => f (i, i')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
f : β → α

∏' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∏ x ∈ s, f x


∏' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∏ x ∈ s.attach, f ↑x


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L L k = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x

(filter p s).card + (filter (fun a => ¬p a) s).card = s.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =o[l] g
h₂ : f₂ =o[l] g


Context:
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i

Summable fun i => min ((1 / 2) ^ encode i) (dist (x i) (y i))


Context:
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι

0 ≤ min ((1 / 2) ^ encode i) (dist (x i) (y i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0∞
a_mble : Measurable a
c : ℝ≥0∞
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
ε_ne_top : ε ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: a : α → ℝ≥0∞

Context: a_mble : Measurable a

Context: c : ℝ≥0∞

Context: tsum_le_c : ∫⁻ (a_1 : α), a a_1 ∂count ≤ c

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_ne_zero : ε ≠ 0

Context: ε_ne_top : ε ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: a : α → ℝ≥0∞

Context: a_mble : Measurable a

Context: c : ℝ≥0∞

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_ne_zero : ε ≠ 0

Context: ε_ne_top : ε ≠ ⊤

(∫⁻ (a_1 : α), a a_1 ∂count) / ε ≤ c / ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x✝ : ℕ

Tendsto (fun x => x.eraseIdx x✝) (𝓝 []) (𝓝 ([].eraseIdx x✝))


Tendsto (fun x => x.eraseIdx x✝) (pure []) (𝓝 ([].eraseIdx x✝))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α

Tendsto (fun x => x.eraseIdx 0) (𝓝 (a :: l)) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx 0))


Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).eraseIdx 0) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx 0))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
a : α
l : List α

Tendsto (fun x => x.eraseIdx (n + 1)) (𝓝 (a :: l)) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx (n + 1)))


Tendsto (fun p => (p.1 :: p.2).eraseIdx (n + 1)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 ((a :: l).eraseIdx (n + 1)))


Tendsto (fun p => p.1 :: p.2.eraseIdx n) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l.eraseIdx n))


Context: s : ℝ


Context:
m n : Nat
H : 0 < m.gcd n


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hmonic : q.Monic

Context: hdegree : q.degree ≤ p.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hmonic : q.Monic

Context: hdegree : q.degree ≤ p.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

(p /ₘ q).leadingCoeff = (p %ₘ q + q * (p /ₘ q)).leadingCoeff


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hmonic : q.Monic

Context: hdegree : q.degree ≤ p.degree

Context: a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

(C a * X ^ n).divX = if n = 0 then 0 else C a * X ^ (n - 1)


Context: a : ℤ


Context: m n : ℕ


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M

m ∈ ↑(weightSpace M (χ ∘ ⇑⊤.incl)) ↔ m ∈ ↑(weightSpace M χ)


(∀ (a : L) (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0


∀ (a : L), (∀ (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔ ∃ k, (((toEnd R L M) a - χ a • 1) ^ k) m = 0


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset


Context:
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset


(n.factorMultiset ⊓ m.factorMultiset).prod = n.gcd m


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a

n.choose k ≡ ∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p) [MOD p]


↑(n.choose k) ≡ ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hle : a ≤ b + c
hb : b = ⊤ → a = ⊤
hc : c = ⊤ → a = ⊤


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
a : Quotient A.toSetoid


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S A B : DiscreteQuotient X
h : A ≤ B
a : X

A.proj ⁻¹' {A.proj a} ⊆ B.proj ⁻¹' {ofLE h (A.proj a)}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Bijective fa
hf : Injective f


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
n : ℕ
x : Rˣ

(v.valuationOfNeZeroMod n) ↑((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Prime p
hn : 0 < n
hα : p ^ n = ‖α‖
this : Fact (Nat.Prime p)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: m p : Associates α

Context: h₁ : m ≠ 0

Context: h₂ : Irreducible p

Context: k : ℕ


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset (Ideal R)
P : Ideal R
hp : P.IsPrime


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
s✝ : Multiset (Ideal R)
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
I : Ideal R
s : Multiset (Ideal R)
ih : s.prod ≤ P ↔ ∃ I ∈ s, I ≤ P

(I ::ₘ s).prod ≤ P ↔ ∃ I_1 ∈ I ::ₘ s, I_1 ≤ P


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: f : B' → B

Pullback.TotalSpace.topologicalSpace F E f = induced (pullbackTotalSpaceEmbedding f) instTopologicalSpaceProd


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B'

Context: f : B' → B

induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ = induced (Prod.fst ∘ pullbackTotalSpaceEmbedding f) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ pullbackTotalSpaceEmbedding f) inst✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (regular Y) N, inv := AssociatorBimod.inv M (regular Y) N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = (whiskerRight (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom N).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π ((M.tensorBimod (regular Y)).actRight ▷ N.X) ((α_ (M.tensorBimod (regular Y)).X Y.X N.X).hom ≫ (M.tensorBimod (regular Y)).X ◁ N.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M (regular Y) N, inv := AssociatorBimod.inv M (regular Y) N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom).hom = coequalizer.π ((M.tensorBimod (regular Y)).actRight ▷ N.X) ((α_ (M.tensorBimod (regular Y)).X Y.X N.X).hom ≫ (M.tensorBimod (regular Y)).X ◁ N.actLeft) ≫ (whiskerRight (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom N).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M (regular Y) N) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

AssociatorBimod.homAux M (regular Y) N ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M (regular Y) ▷ N.X) ((α_ (TensorBimod.X M (regular Y)) Y.X N.X).hom ≫ TensorBimod.X M (regular Y) ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (RightUnitorBimod.hom M ▷ Y.X ▷ N.X) (RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = RightUnitorBimod.hom M ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(tensorRight N.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ (regular Y).X) ((α_ M.X Y.X (regular Y).X).hom ≫ M.X ◁ (regular Y).actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (regular Y) N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X (regular Y) N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (regular Y) N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = (tensorRight N.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ (regular Y).X) ((α_ M.X Y.X (regular Y).X).hom ≫ M.X ◁ (regular Y).actLeft)) ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc N.actLeft ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = M.actRight ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)


Context:
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Subsingleton


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
α : Type u_7
f : α → E
s : Set α

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g


Context: R✝ : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : IsDomain R✝

Context: p q : R✝[X]

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: inst✝ : DecidableEq S

Context: m : R →+* S

Context: d : ℕ

Context: U : Set R

Context: h : U.Finite

Context: π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i

Set.Finite fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U


Context: R✝ : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : IsDomain R✝

Context: p q : R✝[X]

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: inst✝ : DecidableEq S

Context: m : R →+* S

Context: d : ℕ

Context: U : Set R

Context: h : U.Finite

(π '' fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U) ⊆ Set.univ.pi fun x => U


Context: R✝ : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : IsDomain R✝

Context: p q : R✝[X]

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: inst✝ : DecidableEq S

Context: m : R →+* S

Context: d : ℕ

Context: U : Set R

Context: h : U.Finite

Set.InjOn π fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹⁰ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: g₁ : (i : ι) → G i →ₗ[R] G' i

Context: g₂ : (i : ι) → G' i →ₗ[R] G'' i

Context: hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i

Context: hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

(fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) j ∘ₗ f i j h = f'' i j h ∘ₗ (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) i


Context: z τ : ℂ

(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'' z τ) = jacobiTheta₂'' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W

HasFDerivAt (fun w' => 𝐞 (-(L v) w') • f v) (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: v : V

Context: w : W

Context: ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: v : V

Context: w : W

𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: v : V

Context: w : W

Context: w' : W

(𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w' = (((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)) w'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: v : V

Context: w : W

Context: w' : W

𝐞 (-(L v) w) • -(2 * ↑π * I) • (L v) w' • f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)) w' • f v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: v : V

Context: w : W

Context: w' : W


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw : (↑v).asIdeal = (↑w).asIdeal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
h : f.HasBasis p s

⨅ i, ⨅ (_ : p i), sSup (u '' s i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, u a


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : abs x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero


(Weight.toLinear K (↥H) L α) (coroot α) = 2


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α

∏ x ∈ Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Ico (a + c) (b + c), f x


∏ x ∈ Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Ico a b, f ((addRightEmbedding c) x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁pos : 0 < δ₁

Context: hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂pos : 0 < δ₂

Context: hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁pos : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂pos : 0 < δ₂

Context: i : Fin (n + 1)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : ↑0 ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑0 ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤


Context:
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
hb : b ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddBelow t
h : sInf (Subtype.val '' t) ∈ s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


(∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s₁ ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
r : S
x : P.Ring

(f.sub g) (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = r • Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x y : ↥I

I.toCotangent x = I.toCotangent y ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2


I.toCotangent x - I.toCotangent y = 0 ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y'✝ : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p'✝ : Y✝ ⟶ Y'✝
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk p ≅ Arrow.mk p'
hip : HasLiftingProperty i p


HasLiftingProperty i (e.inv.left ≫ p ≫ e.hom.right)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F

Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U) → s ∈ G.obj U


G = sheafify J G ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U) → s ∈ G.obj U


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : α → ℝ≥0∞
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤

∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl y z


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l = l.length ↔ ¬a ∈ l

indexOf a (b :: l) = (b :: l).length ↔ ¬a ∈ b :: l


(bif b == a then 0 else indexOf a l + 1) = l.length + 1 ↔ ¬(a = b ∨ a ∈ l)


(if (b == a) = true then 0 else indexOf a l + 1) = l.length + 1 ↔ ¬(a = b ∨ a ∈ l)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q

IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n y, minpoly F x = X ^ q ^ n - C y


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: exists_seq : ∃ w, ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: seq_is_cauchy : CauchySeq fun n => ↑(w n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: v : F

Context: hv : v ∈ K

Context: w_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(w n)) atTop (𝓝 v)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: v : F

Context: hv : v ∈ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: v : F

Context: hv : v ∈ K

Context: h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Set F

Context: ne : K.Nonempty

Context: h₁ : IsComplete K

Context: h₂ : Convex ℝ K

Context: u : F

Context: δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖

Context: this✝ : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne

Context: zero_le_δ : 0 ≤ δ

Context: δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖

Context: δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖

Context: w : ℕ → ↑K

Context: v : F

Context: hv : v ∈ K

Context: h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖

Context: this : Tendsto (fun n => ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α

x ∈ Ioc a b ∪ Ioc c d ↔ x ∈ Ioc (min a c) (max b d)


a < x ∧ x ≤ b ∨ c < x ∧ x ≤ d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x ≤ b ∨ x ≤ d)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
hJ : x ∈ J

x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) J)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
hJ : x ∈ J
r : R
s : ↥M
hx : mk' S r s = x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
r : R
s : ↥M
hJ : mk' S r s ∈ J
hx : mk' S r s = x

mk' S r s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.comap (algebraMap R S) J)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
inst✝⁹ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁷ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : Nontrivial 𝕜
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜


IsClosed ({a | a 1 = 1} ∩ {a | ∀ (x y : A), a (x * y) = a x * a y})


IsClosed {a | ∀ (x y : A), a (x * y) = a x * a y}


Context: S : Set ℍ

S ∈ atImInfty ↔ ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → z ∈ S


Context: S : Set ℍ

(∃ i, im ⁻¹' Set.Ici i ⊆ S) ↔ ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → z ∈ S


Context:
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'


Context:
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
h : Δ'.len < Δ.len


Context:
Δ' Δ : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
hi : Mono i
hi' : Δ ≠ Δ'
h : Δ'.len = Δ.len


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]
a : S

a ∈ p.aroots S ↔ map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α


((map g).comp (map f)) x = (map g) ((map f) x)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R

⨆ i ∈ s, basicOpen i = ⊤ ↔ Ideal.span s = ⊤


⨆ i ∈ s, basicOpen i = ⊤ ↔ ⨆ i, basicOpen ↑i = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

(ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ


(ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Iio a)

Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] a)


Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[<] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
c : ℝ
f : α →ₛ F

setToSimpleFunc (fun s => c • T s) f = c • setToSimpleFunc T f


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

HasDerivAt (circleMap c R) (circleMap 0 R θ * I) θ


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: s : Finset F

Context: hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun i => ↑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r s
has : a ∈ s
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → r b a → r a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r t
hat : a ∈ t
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → r b a → r a b
b : α
hbs : b ∈ s
hba : r b a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTrans α r
hts : t ⊆ s
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, r y x
a : α
x✝ : a ∈ minimals r t
hat : a ∈ t
hmin : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ t → r b a → r a b
b : α
hbs : b ∈ s
hba : r b a
b' : α
hb't : b' ∈ t
hb'b : r b' b


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f (s ∪ s') (t ∩ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'


image2 f s (t ∩ t') ∪ image2 f s' (t ∩ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hf_zero : f =ᶠ[ae μ] 0


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: B' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace B'

Context: e : Trivialization F proj

Context: s : Set B

Context: x : Z

Context: hx : x ∈ e.source

↑e.toPartialHomeomorph x ∈ s ×ˢ univ ↔ x ∈ proj ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

IsBigOWith c l f g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: z : ℤ


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
n : ℕ

nth p n = ↑((Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)) n)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'

HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L


Context: b x : Bool

Context: l : List Bool

Context: hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)

count (!b) (x :: l) ≤ count b (x :: l) + 1


Context: b : Bool

Context: l : List Bool

Context: hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (b :: l)

count (!b) (b :: l) ≤ count b (b :: l) + 1


Context: x : Bool

Context: l : List Bool

count (!!x) (x :: l) ≤ count (!x) (x :: l) + 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

(ρ_ ((free R).obj X)).hom = (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom


(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom)


∀ (a : X), (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x


((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


(((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1


∀ (a : X), ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) 1) a


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: X : Type u

Context: x x' : X

Context: q : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)

q x' = (Finsupp.mapDomain (ρ_ X).hom ((finsuppTensorFinsupp' R X (𝟙_ (Type u))) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single PUnit.unit 1))) x'


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
f : R →+* S

((MvPolynomial.map f) φ).IsHomogeneous n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m' : MeasurableSpace β
inst✝ : BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β

MeasurableSpace.comap (fun a => (f a)ᶜ) inferInstance = MeasurableSpace.comap f inferInstance


MeasurableSpace.comap f (MeasurableSpace.comap compl inferInstance) = MeasurableSpace.comap f inferInstance


MeasurableSpace.comap compl inferInstance = inferInstance


Context:
α β : Type u
s : Set α


Context:
α β : Type u
s : Set α

Nonempty (↑(ULift.down ⁻¹' s) ≃ ULift.{v, u} ↑s)


Context: α β : Type u

Context: s : Set α

Context: f : ↑(ULift.down ⁻¹' s) → ULift.{?u.6919, u} ↑s := fun x => { down := s.restrictPreimage ULift.down x }


Context: α β : Type u

Context: s : Set α

Context: f : ↑(ULift.down ⁻¹' s) → ULift.{?u.6966, u} ↑s := fun x => { down := s.restrictPreimage ULift.down x }

Context: this : Bijective f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → β → Prop

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: inst✝¹ : DecidablePred (r a)

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (r a b)

Context: m n : ℕ

Context: hs : ∀ a ∈ s, ∃ b ∈ t, r a b

Context: ht : ∀ b ∈ t, {a | a ∈ s ∧ r a b}.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
h : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α
s : Set α
hs : s ∈ memPartition f n
h : a ∈ s
h_ne : ¬memPartitionSet f n a = s


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ memPartition f n

Context: h : a ∈ s

Context: h_ne : ¬memPartitionSet f n a = s

Context: h_disj : Disjoint s (memPartitionSet f n a)


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ memPartition f n

Context: h : a ∈ s

Context: h_ne : ¬memPartitionSet f n a = s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : _root_.Embedding f
hg : _root_.Embedding g
x✝¹ x✝ : X × Z
x₁ : X
z₁ : Z
x₂ : X
z₂ : Z

Prod.map f g (x₁, z₁) = Prod.map f g (x₂, z₂) → (x₁, z₁) = (x₂, z₂)


Context:
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4
β : Type u_5


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

ReflTransGen r a b ↔ a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b


(a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b) → ReflTransGen r a b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw : w i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
n : ℕ
hn : n < x.length


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
b : Fin n
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G → A
hf : IsOneCocycle f
g : G


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
df : p.natDegree < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_directed : Directed LE.le (aeSeq hf p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ b, aeSeq hf p b a ∂?m.329415


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p b a ∂?m.329415


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p p' : R[X]
q : PolynomialModule R M

(comp p) (p' • q) = p'.comp p • (comp p) q


eval₂ (algebraMap R R[X]) p p' • (eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) q) = eval₂ C p p' • (eval p) ((map R[X] (lsingle R 0)) q)


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : SimpleFunc α ℝ

Context: g : α → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: this : ∀ (s : Set α) (c : ℝ) (f : α → ℝ), s.indicator (Function.const α c) * f = s.indicator (c • f)


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : SimpleFunc α ℝ

Context: g : α → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

μ[↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : SimpleFunc α ℝ

Context: g : α → ℝ

Context: hg : Integrable g μ

Context: g₁ g₂ : SimpleFunc α ℝ

Context: x✝ : Disjoint (Function.support ↑g₁) (Function.support ↑g₂)

Context: h_eq₁ : (fun f => μ[↑f * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑f * μ[g|m]) g₁

Context: h_eq₂ : (fun f => μ[↑f * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑f * μ[g|m]) g₂

μ[↑(g₁ + g₂) * g|m] =ᶠ[ae μ] ↑(g₁ + g₂) * μ[g|m]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: J K : ι → Prop

Context: x : ↑(obj C J)


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: J K : ι → Prop

Context: x : ↑(obj C J)

Context: y : (i : ι) → X i

Context: hy : y ∈ C ∧ (precomp Subtype.val) y = ↑x


Context:
d x y z w : ℕ
xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context: d x y z w : ℕ

Context: xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

Context: zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

Context: this : { re := subNatNat x z, im := subNatNat w y }.Nonneg


Context: d x y z w : ℕ

Context: xy : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

Context: zw : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

{ re := ↑x + -↑z, im := ↑w - ↑y }.Nonneg


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

Context: f : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₂) ℤ

f ∈ eval (π C fun x => ord I x < o₂) '' {m | m < l} ↔ f ∈ ⇑(πs' C h) '' (eval (π C fun x => ord I x < o₁) '' {m | m < l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

(∃ x < l, eval (π C fun x => ord I x < o₂) x = f) ↔ ∃ a < l, (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) a) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

∀ (a : Products I), a < l ∧ eval (π C fun x => ord I x < o₂) a = f ↔ a < l ∧ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) a) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

Context: m : Products I

m < l ∧ eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ m < l ∧ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

Context: m : Products I

m < l → (eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

Context: m : Products I

Context: hm : m < l

eval (π C fun x => ord I x < o₂) m = f ↔ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) m) = f


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁸ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁷ : Ring R'✝

Context: inst✝¹⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R✝ M

Context: inst✝¹² : Module R✝ M'

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁹ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S'✝ : Type v'

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : Ring S'✝

Context: inst✝³ : Algebra R' S'✝

Context: S' : Type v

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R →+* R'

Context: j : S →+* S'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalCommSemiring α
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
x : m → α
x✝ : n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g sᶜ μ

∫ (x : X), s.piecewise f g x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, g x ∂μ


Context:
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
hn : 0 < n
c : Composition n

c ≠ single n hn ↔ ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < n


¬c ≠ single n hn ↔ ¬∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: f : E → ℝ

Context: f' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ : Module.Dual ℝ ℝ

Context: Λ₀ : ℝ

Context: hΛ : (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: hfΛ : ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X

T2Space X ↔ ∀ {x y : X}, (𝓝 x ⊓ 𝓝 y).NeBot → x = y


Context:
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace

x ∈ ↑((Spec R).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)


IsUnit (((Spec R).presheaf.germ ⟨x, _root_.trivial⟩) ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f


IsUnit ((StructureSheaf.toStalk (↑R) x) f) ↔ f ∉ x.asIdeal


IsUnit ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f) ↔ f ∉ x.asIdeal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x : α
hx₁ : x ∈ s.ordT5Nhd t
hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx₁ : x ∈ s.ordT5Nhd t

Context: hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: ha : x ∈ (tᶜ ∩ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s

Context: a : α

Context: has : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx₂ : x ∈ t.ordT5Nhd s

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hb : x ∈ (sᶜ ∩ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ).ordConnectedComponent b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ ∧ [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ ∧ [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: ha' : [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hb' : [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hxa : x ≤ a


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ x


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ x

Context: hbx : b ≤ x


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ x

Context: hxb : x ≤ b


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ x

Context: hxb : x ≤ b

Context: h' : x ∈ s.ordSeparatingSet t