Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
hv : v ∈ ρ.invariants


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
hv : ∀ (g : G), (ρ g) v = v


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R

(finSuccEquiv R n) ((rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)) φ) = Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom ((optionEquivLeft R σ) φ)


(finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom = (mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)


∀ (r : R), ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom) (C r) = ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (C r)


∀ (i : Option σ), ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom) (X i) = ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (X i)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
i : ι
x : A


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A

(homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = (⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }).toIdeal


⨆ i, span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I) = ⨆ i, { toSubmodule := span (⇑(GradedRing.proj 𝒜 i) '' ↑I), is_homogeneous' := ⋯ }.toIdeal


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ

constantCoeff (wittStructureRat p Φ 0) = constantCoeff Φ


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
c : G₀
hc : c ≠ 0

t ⊆ c • s ↔ MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s


t ⊆ (fun x => c⁻¹ • x) ⁻¹' s ↔ MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hn : ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
n : ℤ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
hn : ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z


Context:
xl xr : Type u
x₁ y₁ x₂ y₂ : PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂

x₁ ⧏ y₁ ∧ y₁ ⧏ x₁ ↔ x₂ ⧏ y₂ ∧ y₂ ⧏ x₂


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c d : C
p : c ⟶ d

BijOn (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) (S.arrows c c) (S.arrows d d)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: Sn : S.IsNormal

Context: c d : C

Context: p : c ⟶ d

Context: γ₁ : c ⟶ c

Context: x✝¹ : γ₁ ∈ S.arrows c c

Context: γ₂ : c ⟶ c

Context: x✝ : γ₂ ∈ S.arrows c c

Context: h : (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) γ₁ = (fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) γ₂


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c d : C
p : c ⟶ d
δ : d ⟶ d
δS : δ ∈ S.arrows d d

(fun γ => Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p) (p ≫ δ ≫ Groupoid.inv p) = δ


Context: a✝ b c d m n a : ℤ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • closure s + b • interior s ⊆ interior s


b • interior s + a • closure s ⊆ interior s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
m n : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3

Context: hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun n => (fun g => g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0

Context: g0 : g 0 = 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: hg_dist : ∀ (n : ℕ), dist (g n) (g (n + 1)) ≤ 1 / 3 * ‖f‖ * (2 / 3) ^ n


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: hg_cau : CauchySeq g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: hg_cau : CauchySeq g

Context: this : Tendsto (fun n => (g n).compContinuous e) atTop (𝓝 ((limUnder atTop g).compContinuous e))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: F : (X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ

Context: g0 : g 0 = 0

Context: hg_cau : CauchySeq g

Context: hge : (limUnder atTop g).compContinuous e = f


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {1}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {1}


Context:
m n : ℕ
i : Fin n.succ
h : i ≠ Fin.last n


Context:
m n : ℕ
i : Fin n.succ
h : i ≠ Fin.last n
this : ↑i < n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

mapFun (⇑f) (x + y) = mapFun (⇑f) x + mapFun (⇑f) y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) (f + g).derivativeFun = (coeff R n✝) (f.derivativeFun + g.derivativeFun)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hv : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀ ∧ ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀

Context: hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: hf2 : ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f t)).2 t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hcont : ContinuousAt f t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hnhds : f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

IsIntegralCurveOn (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) v s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: h : HasDerivAt f ((fderivWithin ℝ (↑(extChartAt I x₀) ∘ ↑(extChartAt I xₜ).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I xₜ) xₜ)) (v xₜ)) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) I t (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f)) (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasDerivAt ((↑I ∘ ↑(chartAt H (↑(chartAt H x₀).symm (↑I.symm (f t))))) ∘ (↑(chartAt H x₀).symm ∘ ↑I.symm) ∘ f) (v (↑(chartAt H x₀).symm (↑I.symm (f t)))) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasDerivAt ((↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) ∘ f) (v xₜ) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasDerivAt ((↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) ∘ f) ((tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ))) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasFDerivAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (f t)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasFDerivWithinAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (range ↑I) (f t)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft2 : xₜ ∈ (extChartAt I xₜ).source

HasFDerivWithinAt (↑(extChartAt I xₜ) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (tangentCoordChange I x₀ xₜ xₜ) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) (↑(extChartAt I x₀).symm (f t)))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.21309, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.21316, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.21323, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
g : Y ⟶ Z


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.21316, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.21323, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
g : Y ⟶ Z

f.comp (mk₀ 0 ⋯ g) ⋯ = f ≫ (shiftFunctor C a).map g


Context:
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0

∃ d, d ≠ 0 ∧ num = (normalize num den nz).num * ↑d ∧ den = (normalize num den nz).den * d


Context:
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0

num = (normalize num den nz).num * ↑(num.natAbs.gcd den) ∧ den = (normalize num den nz).den * num.natAbs.gcd den


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b : α
hs : {a}.Nontrivial


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ closedBall x δ

Context: hf₁ : ∀ (δ : ℝ) (a : 0 < δ), closedBall (f δ a) (δ / 4) ⊆ interior s

Context: H : Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

0 < ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

ENNReal.ofReal (4⁻¹ ^ Fintype.card ι) ≤ ((fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) ∘ ε) n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: f : (δ : ℝ) → 0 < δ → ι → ℝ

Context: ε : ℕ → ℝ

Context: hε' : ∀ (n : ℕ), 0 < ε n

Context: hε₀ : Tendsto ε atTop (𝓝[>] 0)

Context: n : ℕ

Context: this : 0 < ε n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: κ : ι → Type u_10

Context: inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)

Context: p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)

Context: t : ι → TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E

Context: hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: κ : ι → Type u_10

Context: inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)

Context: p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)

Context: t : ι → TopologicalSpace E

Context: hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)

Context: this : TopologicalAddGroup E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: κ : ι → Type u_10

Context: inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)

Context: p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)

Context: t : ι → TopologicalSpace E

Context: this : TopologicalAddGroup E

Context: hp : ∀ (i : ι), t i = ⨅ i_1, UniformSpace.toTopologicalSpace

⨅ i, t i = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: κ : ι → Type u_10

Context: inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)

Context: p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)

Context: t : ι → TopologicalSpace E

Context: this : TopologicalAddGroup E

⨅ i, t i = ⨅ i, ⨅ j, UniformSpace.toTopologicalSpace


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V

Gᶜ.neighborFinset v = (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0


∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (f x)⁻¹) x


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α

∃! x, b - (Equiv.neg ℤ) x • a ∈ Ioc c (c + a)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v w : HeightOneSpectrum R
hw : w ≠ v


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_fact : ↑w.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑w.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0

Context: hw' : Irreducible (Associates.mk w.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0

¬⟨Associates.mk v.asIdeal, hv⟩ = ⟨Associates.mk w.asIdeal, hw'⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v w : HeightOneSpectrum R

Context: hw : w ≠ v

Context: hw_ne_zero : ↑w.asIdeal ≠ 0

¬Associates.mk v.asIdeal = Associates.mk w.asIdeal


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context:
X : TopCat
U : Opens ↑X
V : Opens ↥U

⋯.functor.obj ((map U.inclusion).obj (⋯.functor.obj V)) = ⋯.functor.obj V


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: f : ι →₀ α

(Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑N

((toEnd R L M) x ∘ₗ (↑N).subtype) ⟨m, hm⟩ ∈ ↑N


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Precoherent C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : IsSheaf (coherentTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf (coherentTopology C) (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_2} D

Context: e : C ≌ D

Context: inst✝¹ : Precoherent C

Context: A : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_3} A

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A


Context:
α : Type u
β : Type v
f✝ f : α → β
hf : Bijective f
s : Set β
t : Set α


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime k
h : MinFacHelper n k


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime k
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : ¬Nat.Prime n.minFac
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 1


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 1
h1 : Prime n


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 1
h1 : Prime n
this : Fact (Prime n)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian K V

Set.range ⇑(finsetBasis K V) = Basis.ofVectorSpaceIndex K V


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : 3 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 1 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hi : ∀ m < n, 1 < m → (cyclotomic m R).coeff 0 = 1

Context: hn : 1 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 < n

Context: hprod : ∏ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).coeff 0 = -1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 < n

Context: heq : (X ^ n - 1).coeff 0 = -(cyclotomic n R).coeff 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 < n

Context: hzero : (X ^ n - 1).coeff 0 = -1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hn : 1 < n

Context: heq : -1 = -(cyclotomic n R).coeff 0

Context: hzero : (X ^ n - 1).coeff 0 = -1


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : IsBlock G B


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
g : G
hB : IsBlock (↥⊤) B


IsBlock (↥(Subgroup.map (↑(MulAut.conj g)) (Subgroup.comap ↑(MulAut.conj g) ⊤))) (g • B)


IsBlock (↥(Subgroup.comap ↑(MulAut.conj g) ⊤)) B


Context:
A B : AddGrp
f : A ⟶ B


Context: A B : AddGrp

Context: f : A ⟶ B

Context: i1 : Epi f ↔ Epi (groupAddGroupEquivalence.inverse.map f)


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ


Context: x y : ℝ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
t : Finset L[[α]].Sentence

List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ t.toList ∈ p ↔ ↑t ⊆ ↑p


(∀ (M : ModelType ↑p), ∀ φ ∈ t, φ.Realize default default) ↔ ∀ x ∈ ↑t, ∀ (M : ModelType ↑p), BoundedFormula.Realize x default default


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f = partialSups g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α

↑s = ∅ ↔ s = ⊥


Context: x y : ℂ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: r' : ENNReal

Context: hzr' : edist c z < r'

Context: hr' : r' < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hzr' : edist c z < ↑r'

Context: hr' : ↑r' < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hr' : ↑r' < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hr' : ↑r' < r

DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c ↑r')


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: r' : NNReal

Context: hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'

Context: hr' : ↑r' < r

DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c ↑r')


Context:
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ

(trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support.card = 3


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ z ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜

Set.Sized r ↑(∂ 𝒜) ↔ Set.Sized (r + 1) ↑𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜
h𝒜 : Set.Sized r ↑(∂ 𝒜)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a✝ : α
k r : ℕ
h : ∅ ∉ 𝒜
h𝒜 : Set.Sized r ↑(∂ 𝒜)
s : Finset α
hs : s ∈ ↑𝒜
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
inst✝ : IsEmpty α
M : Matroid α


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

Context: inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))

G.map (F.map A.a) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) = G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))


Context: l r : List Char

{ s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.remainingBytes = utf8Len r


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

↑⌊τ f⌋ ≤ τ f


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
t₁ t₂ : TopologicalSpace E
h₁ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
h₂ : LocallyConvexSpace 𝕜 E


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
t₁ t₂ : TopologicalSpace E
h₁ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
h₂ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
b : Bool


Context: n : ℕ

Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = 2 * lcm n 2


Context: n : ℕ

Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = lcm (2 * n) (2 * 2)


Context: n : ℕ

Monoid.exponent (QuaternionGroup n) = lcm (2 * n) 4


Context:
n : ℕ
hn : n = 0


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n

Monoid.exponent (QuaternionGroup n) ∣ lcm (2 * n) 4


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n

lcm (2 * n) 4 ∣ Monoid.exponent (QuaternionGroup n)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0

count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P

IsNoetherian R M ↔ WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: this : (WellFounded fun x x_1 => x > x_1) ↔ ∀ (k : Submodule R M), CompleteLattice.IsCompactElement k


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

IsNoetherian R M ↔ ∀ (k : Submodule R M), CompleteLattice.IsCompactElement k


Context:
α : Type u_1
f : Char → α → α
s : String
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h : p * q = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q✝ r : R[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hpu : IsUnit p

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: q : R[X]

Context: h : p * q = 1

Context: this : (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q✝ r : R[X]

Context: hm : p.Monic

Context: hpu : IsUnit p

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: q : R[X]

Context: h : p * q = 1

Context: this : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = 0


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
hy : y ∈ Icc (-1) 1


Context:
q : ℝ
hq' : 1 < q


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
a : PosNum


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
c : R

derivative ((X + C c) ^ 2) = C 2 * (X + C c)


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ

ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ) (range Ψ)


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace X
inst✝⁵ : CompactSpace X
inst✝⁴ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace Y
inst✝² : CompactSpace Y
inst✝¹ : Nonempty Y
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
Φ : X → γ
Ψ : Y → γ
ha : Isometry Φ
hb : Isometry Ψ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ
Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩
Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩
IΦ' : Isometry Φ'
IΨ' : Isometry Ψ'
this : IsCompact s


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝ : IsCompact s

Context: this : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝¹ : IsCompact s

Context: this✝ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance

Context: this : CompactSpace (Subtype s)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝² : IsCompact s

Context: this✝¹ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance

Context: this✝ : CompactSpace (Subtype s)

Context: this : Nonempty (Subtype s)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝² : IsCompact s

Context: this✝ : CompactSpace (Subtype s)

Context: this : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝² : IsCompact s

Context: this✝ : CompactSpace (Subtype s)

Context: this : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝³ : IsCompact s

Context: this✝² : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance

Context: this✝¹ : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: this : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝³ : IsCompact s

Context: this✝¹ : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: F : Subtype s → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤) := kuratowskiEmbedding (Subtype s)

ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝³ : MetricSpace (Subtype s) := inferInstance

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: this✝ : hausdorffDist (range Φ) (range Ψ) = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')

Context: this : hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') = hausdorffDist (range Φ') (range Ψ')


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

ghDist X Y ≤ hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: A : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Φ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: B : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤) := { carrier := F '' range Ψ', isCompact' := ⋯, nonempty' := ⋯ }


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X

Context: BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X

Context: BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y

0 ∈ lowerBounds ((fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y})


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X

Context: BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y

hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ') ∈ (fun p => hausdorffDist ↑p.1 ↑p.2) '' {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y}


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : MetricSpace X

Context: inst✝⁵ : CompactSpace X

Context: inst✝⁴ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝³ : MetricSpace Y

Context: inst✝² : CompactSpace Y

Context: inst✝¹ : Nonempty Y

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : MetricSpace γ

Context: Φ : X → γ

Context: Ψ : Y → γ

Context: ha : Isometry Φ

Context: hb : Isometry Ψ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: s : Set γ := range Φ ∪ range Ψ

Context: Φ' : X → Subtype s := fun y => ⟨Φ y, ⋯⟩

Context: Ψ' : Y → Subtype s := fun y => ⟨Ψ y, ⋯⟩

Context: IΦ' : Isometry Φ'

Context: IΨ' : Isometry Ψ'

Context: this✝⁴ : IsCompact s

Context: this✝² : CompactSpace (Subtype s)

Context: this✝¹ : Nonempty (Subtype s)

Context: ΦΦ' : Φ = Subtype.val ∘ Φ'

Context: ΨΨ' : Ψ = Subtype.val ∘ Ψ'

Context: AX : ⟦A⟧ = toGHSpace X

Context: BY : ⟦B⟧ = toGHSpace Y

∃ x ∈ {a | ⟦a⟧ = toGHSpace X} ×ˢ {b | ⟦b⟧ = toGHSpace Y}, hausdorffDist ↑x.1 ↑x.2 = hausdorffDist (F '' range Φ') (F '' range Ψ')


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →L[R₁] M₁


Context:
s : ℂ
n : ℕ


Context: s : ℂ


Context:
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation α

(HOrElse.hOrElse c fun x => empty α) = c


IsBisimulation fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse c₂ fun x => empty α) = c₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: c s' s : Computation α

Context: h : (HOrElse.hOrElse s fun x => empty α) = s'

BisimO (fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse c₂ fun x => empty α) = c₁) (HOrElse.hOrElse s fun x => empty α).destruct s.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: c s' s✝ : Computation α

Context: h : (HOrElse.hOrElse s✝ fun x => empty α) = s'

Context: s : Computation α

(HOrElse.hOrElse s fun x => (empty α).think) = HOrElse.hOrElse s fun x => empty α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hx0 : ¬x = 0
hy0 : ¬y = 0
hxy0 : ¬x + y = 0

preVal K v O hv p (x + y) ≤ max (preVal K v O hv p x) (preVal K v O hv p y)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: y : ModP K v O hv p

Context: hy0 : ¬y = 0

Context: r : O

Context: hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0

Context: hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y = 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p y)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0

Context: hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s))


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

Context: hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s) = 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s)) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s))


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: s : O

v ((algebraMap O K) r + (algebraMap O K) s) ≤ max (v ((algebraMap O K) r)) (v ((algebraMap O K) s))


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι

(zipWith f hf (single i b₁) (single i b₂)) j = (single i (f i b₁ b₂)) j


f j ((single i b₁) j) ((single i b₂) j) = (single i (f i b₁ b₂)) j


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i

f i ((single i b₁) i) ((single i b₂) i) = (single i (f i b₁ b₂)) i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
hij : i ≠ j


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: h : Tendsto (fun i => ∫ (x : α), (φ i).indicator f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

Context: x✝ : ι

∫ (x : α) in φ x✝, f x ∂μ = ∫ (x : α), (φ x✝).indicator f x ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R × S

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ


Context:
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0

↑(chineseRemainderOfList a s l co) < (List.map s l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
b : Bool


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty β
f✝ : Filter α
hf : Cauchy f✝
y : β
a : α
b : β
hab : f✝ ×ˢ pure y ≤ 𝓝 (a, b)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

W.Equation (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))


eval (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (-((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))) = 0


-((W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₂) * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α

(exp 𝕜 f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a


(∑' (n : ℕ), (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f : C(α, 𝕜)

Context: a : α

Context: h_sum : Summable fun n => (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f : C(α, 𝕜)

Context: a : α

∑' (i : ℕ), ((↑i.factorial)⁻¹ • f ^ i) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α
n : ℕ

count a (replicate n b) = if a = b then n else 0


count a (replicate n b) = List.count a (List.replicate n b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β

UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j


Context:
S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: W : Clopens (X × Y)

Context: U : X × Y → Clopens X

Context: hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x

Context: V : X × Y → Clopens Y

Context: hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x

Context: hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W

Context: I : Finset (X × Y)

Context: hIW : ∀ x ∈ I, x ∈ W.carrier

Context: hWI : W.carrier ⊆ ⋃ x ∈ I, ↑(U x) ×ˢ ↑(V x)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)


F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β

Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto (Function.graph f) l₁ l₂


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree = ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₂ : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N

(((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) ⍟ fun n => χ ↑n) = (fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

abs (↑x + ↑y * I) = √(normSq (↑x + ↑y * I))


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := {a} } < { ofColex := {b} } ↔ a < b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.18276, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot

Context: x : ℝ

↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ (f a ∘ qs) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot

Context: x : ℝ

↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X

Context: h2 : IsConnected A

Context: h3 : Mono u


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h2 : IsConnected A

Context: h3 : Mono u

∃ a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h2 : IsConnected A

Context: h3 : Mono u

IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
b : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
s : Set α
hs : ∀ a ∈ s, IsAtom a

sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ sSup s} = sSup s


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : p ≠ 0
hsplit : Splits i p

p.degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
n : ℕ
x : α

s ∩ replicate n x = replicate (min (count x s) n) x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)

Context: Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x

Context: Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)

Context: Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y

Context: Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)

Context: Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y

Context: Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)

Context: Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)

Context: Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y

Context: Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: x : A

Context: hx : x ∈ s ∪ star s

Context: y : A

Context: hy : y ∈ s ∪ star s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: r : R

Context: x : A

Context: hx : x ∈ s ∪ star s


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ ball c f.rOut


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ↑a ≠ 0


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y

(fun x => ↑a * x) x < (fun x => ↑a * x) y


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : ↑a * y ≤ ↑a * x


Context: a b c d : Ordinal.{u}

a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')


Context: a b c d : Ordinal.{u}

¬a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
G : Filter δ

comap φ (comap ψ G) = comap θ (comap ρ G)


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp y x = cmp y' x'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x z d : α
h : IsRelPrime (x * d) z


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : Box ι

Context: π : Prepartition I

Context: h : π.IsPartition

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I✝ J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : Box ι

Context: π : Prepartition I

Context: h : π.IsPartition

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ ↑I


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a
h_ne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: g : α

Context: s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}

Context: k✝ : ℕ

Context: hk✝ : -g ≤ k✝ • a

Context: h_ne : s.Nonempty

Context: k : ℕ

Context: hk : g ≤ k • a

Context: h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k

Context: m : ℤ

Context: hm : m ∈ s

Context: hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m

Context: hm'' : g < (m + 1) • a

Context: n : ℤ

Context: hn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: g : α

Context: s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}

Context: k✝ : ℕ

Context: hk✝ : -g ≤ k✝ • a

Context: h_ne : s.Nonempty

Context: k : ℕ

Context: hk : g ≤ k • a

Context: h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k

Context: m : ℤ

Context: hm : m ∈ s

Context: hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m

Context: hm'' : g < (m + 1) • a

Context: n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥U
x : E

(orthogonalProjection U) x = ∑ i : ι, ⟪↑(b i), x⟫_𝕜 • b i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β


∀ (a : ι), (∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F a y) ∈ u) → a ∈ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h✝ : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
i : ι
h : ∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F i y) ∈ u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

(mulDysonETransform e x).1 * (mulDysonETransform e x).2 ⊆ x.1 * x.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : Denumerable ι

Context: κs : ι → Kernel α β

Context: hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)

Context: e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm

Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : Denumerable ι

Context: κs : ι → Kernel α β

Context: hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)

Context: hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : Denumerable ι

Context: κs : ι → Kernel α β

Context: hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq) a) s = ((Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2) a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : Denumerable ι

Context: κs : ι → Kernel α β

Context: hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
x : α
u : αˣ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N

(trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) (f, g) = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) (f, g)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = { toFun := _root_.id, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ((trace R M) f) + { toFun := _root_.id, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ((trace R N) g)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f

IsCoseparator (∏ᶜ f) ↔ IsCoseparating (Set.range f)