Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

Context: hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x => v') t) ((fun x => s) t)

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: v' : E → E := fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))

Context: hv' : v' = fun x => (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x)) (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))

Context: left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) (γ t₀)

Context: hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := γ t₀, snd := v (γ t₀) }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

Context: hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

Context: hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ}, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t → g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

Context: hdrv : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → γ t₀ = g t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((fun x => v') t ((↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t)) t ∧ (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) t ∈ (fun x => s) t

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

Context: heq : ∀ {g : ℝ → M}, IsIntegralCurveAt g v t₀ → g =ᶠ[𝓝 t₀] ↑(extChartAt I (g t₀)).symm ∘ ↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g

γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)

Context: hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀

Context: hγ' : IsIntegralCurveAt γ' v t₀

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: K : NNReal

Context: s : Set E

Context: hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s

↑(extChartAt I (γ t₀)) ∘ γ =ᶠ[𝓝 t₀] ↑(extChartAt I (γ' t₀)) ∘ γ'


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι

⟪∑ i ∈ s, l₁ i • v i, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i


∑ x ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ x) * ⟪v x, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s

(starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * ⟪v i, ∑ i ∈ s, l₂ i • v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * l₂ i


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) = succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)


succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - (succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)) = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

Context: this : (succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).IsRoot (succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: n : ℕ

Context: a₁ a₂ : 𝕎 k

Context: bs : Fin (n + 1) → k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

Context: this : succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ ^ p * a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - succNthVal p n a₁ a₂ bs ha₁ ha₂ * a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂)) = 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X

⨆ x ∈ s, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
x : X
x✝ : x ∈ s


dimH s ≤ ⨆ x ∈ s, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite R M


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite R M
n : ℕ
s : Fin n → M
hs : span R (range s) = ⊤


Surjective ⇑(((Pi.basisFun R (Fin n)).constr ℕ) s)


Context:
xl xr : Type u
x y z : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : y ⧏ z


Context:
xl xr : Type u
x y z : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : ¬z ≤ y


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E
inst✝ : Preregular C
W : C

IsSheaf (regularTopology C) (yoneda.obj W)


∀ {X : C}, ∀ R ∈ (regularCoverage C).covering X, IsSheafFor (yoneda.obj W) R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X : C

Context: S : Presieve X

Context: w✝ : C

Context: hS : ∃ f, (S = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f) ∧ EffectiveEpi f

Context: this : S.regular


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: hS : ∃ f_1, ((ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = ofArrows (fun x => w✝) fun x => f_1) ∧ EffectiveEpi f_1

Context: this : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular

IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: h_colim : IsColimit (Sieve.generateSingleton f).arrows.cocone


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: h_colim : IsColimit (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows.cocone


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)

Context: hx : x.Compatible

Context: x_ext : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)).arrows := x.sieveExtend


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible

Context: S : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun x => Y) fun x => match x with | PUnit.unit => f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.132220, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.132224, u_3} E

Context: inst✝ : Preregular C

Context: W X w✝ Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : EffectiveEpi f

Context: hx : x.Compatible

Context: hx_ext : x.sieveExtend.Compatible

Context: t : (yoneda.obj W).obj (op X)

Context: t_amalg : x_ext.IsAmalgamation t

Context: t_uniq : ∀ (y : (yoneda.obj W).obj (op X)), (fun t => x_ext.IsAmalgamation t) y → y = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
x : R

(constantCoeff.comp C) x = (RingHom.id R) x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E

‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

(colimitPresheafObjIsoComponentwiseLimit F U).hom ≫ limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j) = (colimit.ι F j).c.app (op U)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
j : σ
f : MvPolynomial σ R


Context:
A✝ : Type u_1
inst✝⁹ : AddCommGroup A✝
inst✝⁸ : Module ℂ A✝
inst✝⁷ : StarAddMonoid A✝
inst✝⁶ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℂ A
inst✝² : IsScalarTower ℂ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
a_eq : a = ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)

star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) + (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) = 2 • (↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + ↑(ℑ a) * ↑(ℑ a))


Context:
σ : Type u_1
τ✝ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
τ : Type u_6
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R

constantCoeff ((rename f) φ) = constantCoeff φ


∀ (a : R), constantCoeff ((rename f) (C a)) = constantCoeff (C a)


∀ (p q : MvPolynomial σ R), constantCoeff ((rename f) p) = constantCoeff p → constantCoeff ((rename f) q) = constantCoeff q → constantCoeff ((rename f) (p + q)) = constantCoeff (p + q)


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), constantCoeff ((rename f) p) = constantCoeff p → constantCoeff ((rename f) (p * X n)) = constantCoeff (p * X n)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: hprod : ReducedWord.prod φ w₁ = ReducedWord.prod φ w₂

Context: d : TransversalPair G A B

List.map Prod.fst w₁.toList = List.map Prod.fst w₂.toList ∧ ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: hw₁'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₁

Context: hw₁'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₁.toList

Context: hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₁.head ∈ toSubgroup A B (-u)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: w₂' : NormalWord d

Context: hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₂'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂

Context: hw₂'2 : List.map Prod.fst w₂'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList

Context: hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₂'.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: w₂' : NormalWord d

Context: this : w₁' = w₂'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: hw₂'1 : ReducedWord.prod φ w₁'.toReducedWord = ReducedWord.prod φ w₂

Context: hw₂'2 : List.map Prod.fst w₁'.toList = List.map Prod.fst w₂.toList

Context: hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₁'.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)

∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head⁻¹ * w₂.head ∈ toSubgroup A B (-u)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: hw₁'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₁.head • ↑(toSubgroup A B (-u))

Context: hw₂'3 : ∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₂.toList.head?, w₁'.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₂.head • ↑(toSubgroup A B (-u))

∀ u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?, w₁.head • ↑(toSubgroup A B (-u)) = w₂.head • ↑(toSubgroup A B (-u))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w₁ w₂ : ReducedWord G A B

Context: d : TransversalPair G A B

Context: w₁' : NormalWord d

Context: u : ℤˣ

Context: hu : u ∈ Option.map Prod.fst w₁.toList.head?


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop

blimsup u f p = limsup (u ∘ Subtype.val) (comap Subtype.val f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E

egauge 𝕜 (c • s) x = egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊


egauge 𝕜 (c • s) x ≤ egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊


egauge 𝕜 (c • s) x * ↑‖c‖₊ ≤ egauge 𝕜 s x


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n : ℤ


Context:
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
a_eq_0 : a⁻¹ = 0


Context:
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
a_eq_0 : a⁻¹ = 0
this : a * a⁻¹ = 1


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x
h₁ : 0 < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : IsPeriodicPt f n x
hy : IsPeriodicPt f n y
hn : 0 < n
h : f x = f y


Context:
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)


Context:
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)
h_prob : IsProbabilityMeasure f.measure


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι


LocallyFinite fun i => mulSupport fun x => 1 - (f i) x


Context:
K : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : LinearOrderedField K
c : ContFract K
n : ℕ

(↑↑c).convs.get n = Stream'.get (↑↑c).convs' n


∀ {gp : Pair K} {m : ℕ}, m < n → (↑↑c).s.get? m = some gp → 0 < gp.a ∧ 0 < gp.b


Context:
K : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : LinearOrderedField K
c : ContFract K
n : ℕ
gp : Pair K
m : ℕ
a✝ : m < n
s_nth_eq : (↑↑c).s.get? m = some gp


Context:
r s : ℤ
h2 : IsCoprime s r


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
R : Type u_1
m i : ℕ
hi : i ∈ range (m + 1)


Context: R : Type u_1

Context: m : ℕ

Context: this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i

2 * ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i)


Context: R : Type u_1

Context: m : ℕ

∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i + ∑ i ∈ Ico (m + 1) (2 * m + 2), (2 * m + 1).choose i


Context: R : Type u_1

Context: m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ : Setoid α
f✝ f : α → β
r : Setoid β
x y : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
M : Matrix n n R
v : M₁

v₁.equivFun.symm ((toLinAlgEquiv' M) ⇑(v₁.repr v)) = ∑ j : n, (M *ᵥ ⇑(v₁.repr v)) j • v₁ j


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂


(if h : x₁ = x₂ ∧ y₁ = W.negY x₂ y₂ then 0 else some ⋯) = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x


Context: b n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h : ¬Disjoint I (hC.diffFinset₀ hs hI)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h : ∃ a ∈ I, a ∈ hC.diffFinset₀ hs hI


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: I : Finset (Set α)

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: hI : ↑I ⊆ C

Context: u : Set α

Context: huI : u ∈ I

Context: hu_diffFinset₀ : u ∈ hC.diffFinset₀ hs hI


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: I : Finset (Set α)

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: hI : ↑I ⊆ C

Context: u : Set α

Context: huI : u ∈ I

Context: h_disj : u ≤ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: I : Finset (Set α)

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: hI : ↑I ⊆ C

Context: u : Set α

Context: huI : u ∈ I

Context: h_disj : u = ∅


Context: X : Type u

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : Nonempty X

Context: p : NonemptyCompacts ↥(lp (fun n => ℝ) ⊤)

⟦p⟧ = toGHSpace X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p


Context: X : Type u

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : Nonempty X

p ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ↔ ∃ Ψ, Isometry Ψ ∧ range Ψ = ↑p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
n : ℕ

SuperpolynomialDecay l k (f * k ^ n) ↔ SuperpolynomialDecay l k f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iInf g)

Context: Mf : Monotone f

Context: bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderClosedTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iInf g)

Context: Mf : Monotone f

sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0


Context:
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y

∫⁻ (x : ℝ) in Iic y, f x = (∫⁻ (x : ℝ) in Iio z, f x) + ∫⁻ (x : ℝ) in Icc z y, f x


Context:
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
Z : ModuleCat R

f ▷ Z ≫ (Y.braiding Z).hom = (X.braiding Z).hom ≫ Z ◁ f


f ▷ Z ≫ (Y.braiding Z).hom = (X.braiding Z).hom ≫ (𝟙 Z ⊗ f)


Context: n : ℕ

antidiagonal n = map { toFun := fun i => (n - i, i), inj' := ⋯ } (range (n + 1))


Context: n : ℕ

map ({ toFun := fun i => (i, n - i), inj' := ⋯ }.trans { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (range (n + 1)) = map { toFun := fun i => (n - i, i), inj' := ⋯ } (range (n + 1))


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Submodule R A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) ≤ t ↔ ↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
x : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range f


∑ a_1 ∈ x.support, (single (f a_1) (x a_1)) a = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o✝ : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: w z : ℂ

Context: o : Orientation ℝ ℂ (Fin 2) := Complex.orientation

(Complex.orientation.areaForm w) z = ((starRingEnd ℂ) w * z).im


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o✝ : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: w z : ℂ

w.re * z.im - z.re * w.im = w.re * z.im + -w.im * z.re


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

(polyOfInterest p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(↑p ^ (n + 1) * (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1) - X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) - X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)))).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

(Finsupp.total ι M R v) (∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i)) = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0

g i = (Finsupp.lapply i) (Finsupp.single i (g i))


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0

Context: j : ι

Context: _hjs : j ∈ s

Context: hji : j ≠ i

(Finsupp.lapply i) (Finsupp.single j (g j)) = 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : embDomain f x = embDomain f y
g : Γ


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder Γ

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: a b : Γ

Context: r : R

Context: Γ' : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder Γ'

Context: f : Γ ↪o Γ'

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: xy : ∀ (a : Γ'), (embDomain f x).coeff a = (embDomain f y).coeff a

Context: g : Γ


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder Γ

Context: inst✝¹ : Zero R

Context: a b : Γ

Context: r : R

Context: Γ' : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder Γ'

Context: f : Γ ↪o Γ'

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: g : Γ

Context: xyg : (embDomain f x).coeff (f g) = (embDomain f y).coeff (f g)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c + b
hb : b < ℵ₀


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : b + a = b + c
hb : b < ℵ₀


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
f : R[X]
g : PolynomialModule R M
n : ℕ

(f • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, f.coeff x.1 • g x.2


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra S R

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: g : PolynomialModule R M

Context: n : ℕ

Context: p q : R[X]

Context: hp : (p • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, p.coeff x.1 • g x.2

Context: hq : (q • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, q.coeff x.1 • g x.2

((p + q) • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, (p + q).coeff x.1 • g x.2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
g : PolynomialModule R M
n f_n : ℕ
f_a : R

((monomial f_n) f_a • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, ((monomial f_n) f_a).coeff x.1 • g x.2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α

m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t


m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : MeasurableSet t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t


Context:
m : ℤ
n : ℕ

dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m (Submonoid.pow 2 n)) = m • powHalf n


Context:
m : ℤ
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom


prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) = prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Z) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.map (𝟙 Y) (prod.lift prod.snd prod.fst)


(α_ X Y Z).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom ▷ Y


prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) = prod.map (𝟙 X) (prod.lift prod.snd prod.fst) ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_1

Context: m : Basis ι R ↥M

Context: H : Function.Injective ⇑(mulLeftMap N ⇑m)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g✝ : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
g : W ≅ Y
h : X ≅ Z
p : CommSq f g.hom h.hom i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

Context: this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 ((if a = 0 then -1 else 0) / 2)) s


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

Context: this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0)) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

∫⁻ (a : α), liminf (fun n => f n a) atTop ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : f x ∈ u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : f y ∈ v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: H : IsPreirreducible s

Context: f : X → Y

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: u v : Set Y

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: hxu : x ∈ f ⁻¹' u

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hyv : y ∈ f ⁻¹' v

Context: u' : Set X

Context: hu' : IsOpen u'

Context: u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

Context: v' : Set X

Context: hv' : IsOpen v'

Context: v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

Context: this : (s ∩ u').Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: H : IsPreirreducible s

Context: f : X → Y

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: u v : Set Y

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: hxu : x ∈ f ⁻¹' u

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hyv : y ∈ f ⁻¹' v

Context: u' : Set X

Context: hu' : IsOpen u'

Context: u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

Context: v' : Set X

Context: hv' : IsOpen v'

Context: v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

Context: this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: H : IsPreirreducible s

Context: f : X → Y

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: u v : Set Y

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: hxu : x ∈ f ⁻¹' u

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hyv : y ∈ f ⁻¹' v

Context: u' : Set X

Context: hu' : IsOpen u'

Context: u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

Context: v' : Set X

Context: hv' : IsOpen v'

Context: v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

Context: this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: H : IsPreirreducible s

Context: f : X → Y

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: u v : Set Y

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: x✝ : X

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hyv : y ∈ f ⁻¹' v

Context: u' : Set X

Context: hu' : IsOpen u'

Context: u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

Context: v' : Set X

Context: hv' : IsOpen v'

Context: v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxu' : x ∈ u'

Context: hxv' : x ∈ v'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)

(⇑(piCongrLeft α f).symm ⁻¹' univ.pi fun i' => t (f i')) = univ.pi t


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a₁ : α
b : β
a₂ : α

(G □ H).Adj (a₁, b) (a₂, b) ↔ G.Adj a₁ a₂


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E


(convexHull 𝕜) (Neg.neg '' s) = Neg.neg '' (convexHull 𝕜) s


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Integrable f μ

∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ - f x ∂μ = 0


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.CostructuredArrowDownwards g

R.map f.left.hom ≫ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk f.hom.right)).hom = (CostructuredArrow.mk g).hom


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = f₁.hom.right


L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = ((w.structuredArrowDownwards X₂).map φ.left ≫ f₂.hom).right


(((fun f => StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk f.left.hom ⋯)) f₁).hom ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (CostructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯)).left = ((fun f => StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk f.left.hom ⋯)) f₂).hom.left


Context:
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : WSeq (Computation α)

map f (parallel S) = parallel (WSeq.map (map f) S)


IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l S, c1 = map f (corec parallel.aux1 (l, S)) ∧ c2 = corec parallel.aux1 (List.map (map f) l, WSeq.map (map f) S)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: j2n : j ≤ 2 * n

Context: h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

Context: ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)

Context: npos : ¬n = 0

Context: ij' : i < j

Context: jn : j = n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: j2n : j ≤ 2 * n

Context: h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

Context: npos : ¬n = 0

Context: ij' : i < j

Context: jn : j = n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i j n : ℕ

Context: ij : i ≤ j

Context: j2n : j ≤ 2 * n

Context: h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

Context: npos : ¬n = 0

Context: ij' : i < j

Context: jn : j = n

Context: x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: j n : ℕ

Context: j2n : j ≤ 2 * n

Context: npos : ¬n = 0

Context: jn : j = n

Context: x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n

Context: i : ℕ

Context: ij : i + 1 ≤ j

Context: h : xn a1 (i + 1) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

Context: ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i + 1 = 0 ∧ j = 2)

Context: ij' : i + 1 < n


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: M : HomologicalComplex C c

Context: α : K ⟶ M

Context: β : L ⟶ M

Context: i : ι

biprod.inl.f i ≫ (biprod.desc α β).f i = α.f i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : ∀ k < n, ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p (n * a + k)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : ∀ k < n, ∃ a, ∀ b ≥ a, p (n * b + k)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)

Context: b : ℕ

Context: hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)

Context: b : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)

Context: b : ℕ

Context: hlt : b % n < n


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : b ∈ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : ∀ i ∈ J, b i = 0


∑ i ∈ I, (stdBasis R φ i) (b i) ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β

UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
h : UniformInducing (g ∘ f)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α

filter p s + filter (fun a => ¬p a) s = s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: F : α → β → γ

Context: hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ univ)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A


LipschitzWith 2.toNNReal ⇑(addEquiv 𝕜 A)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A


max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖ ≤ 2 * (‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖)


‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ≤ 2 * (‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖)


‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖ ≤ 2 * (‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖)


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0


sInf (Set.range (toReal ∘ fun i => s i)) = sInf (Set.range fun i => ↑(s i))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w' : InfinitePlace K
e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)

regulator K = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(fundSystem K (e i))))).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w' : InfinitePlace K

Context: e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)

Context: e' : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w' : InfinitePlace K

Context: e : { w // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)

|(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(Additive.toMul (fundSystem K (e' i)))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(fundSystem K (e i))))).det|


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α


Context:
m n✝ n : ℕ
hn : Odd n
a : ZMod n
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α

Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1


↑‖f x‖₊ < ↑n


↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ < ↑n


↑⌈↑‖f x‖₊⌉₊ + 1 ≤ ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i

Context: i : ι

Context: w : NeWord H i i


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i : ι

Context: w : NeWord H i i

Context: k : ι

Context: hk : k ≠ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s t r' s' t' : R


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
x : α
y : β
f : α ≃ β


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : ↑u * a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable fun x => κ.densityProcess ν n a x s


Measurable fun x => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne = M.lTensorOne


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M

↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) (r ⊗ₜ[R] m) = ↑M.lTensorOne (r ⊗ₜ[R] m)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R S) x = ↑r


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r


Context:
a : ℤ
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, z ≤ b
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddAbove s


↑((Classical.choose ⋯).greatestOfBdd ⋯ ⋯) = ↑(b.greatestOfBdd Hb Hinh)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x ~ᵤ y ↔ normalizedFactors x = normalizedFactors y


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : x ~ᵤ y

normalizedFactors x = normalizedFactors y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
f : Y → Path x y
g : Y → Path y z
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)

Context: tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)

Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this✝ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x

Context: this : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this✝¹ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x

Context: this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x

Context: this : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this✝² : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x

Context: this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x

Context: this✝ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d

Context: this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this✝³ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x

Context: this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x

Context: this✝¹ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d

Context: this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n

Context: this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 v)

Context: tendsto_arg : Tendsto (fun n => x + d n) l (𝓝[s] x)

Context: L1 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) l (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: L2 : Tendsto (fun n => f' (c n • d n)) l (𝓝 (f' v))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: L3 : Tendsto (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n)) + f' (c n • d n)) l (𝓝 (0 + f' v))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: α : Type u_6

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: v : E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: this✝⁴ : (fun y => f y - f x - f' (y - x)) =o[𝓝[s] x] fun y => y - x

Context: this✝³ : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (x + d n - x)) =o[l] fun n => x + d n - x

Context: this✝² : (fun n => f (x + d n) - f x - f' (d n)) =o[l] d

Context: this✝¹ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun n => c n • d n

Context: this✝ : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n))) =o[l] fun x => 1

Context: this : (fun n => c n • (f (x + d n) - f x - f' (d n)) + f' (c n • d n)) = fun n => c n • (f (x + d n) - f x)


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8704, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.8711, u_2} D
ι : Type u_3
F G : Discrete ι ⥤ C
α : F ⟶ G
i : ι

IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := i }) (α.app { as := i }) (G.map { down := { down := ⋯ } })


IsPullback (𝟙 (F.obj { as := i })) (α.app { as := i }) (α.app { as := i }) (𝟙 (G.obj { as := i }))


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R✝

Context: I✝ : Ideal R✝

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R✝ N

Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: ι : Type

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : (ι → R) →ₗ[R] M

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : IsIso (ModuleCat.ofHom (ofTensorProduct I M))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g : G
hg : g ∈ k


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : G
g₂ : g₁ ∈ closure k
hg₁ : G
hg₂ : hg₁ ∈ closure k

⟨g₁, g₂⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨hg₁, hg₂⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨g₁ * hg₁, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k✝ k : Set G
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure k) }
x : G
hx : x ∈ ↑(closure k)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g : G
hg : g ∈ closure k

⟨g, hg⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k) → ⟨g⁻¹, ⋯⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' k)


Context:
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
h : IsNilpotent (a - b)


IsNilpotent (eval a (map (algebraMap R S) P) - eval b (map (algebraMap R S) P))


Context: R✝ : Type u_1

Context: r : R✝

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: P : R[X]

Context: a b : S

Context: h : IsNilpotent (a - b)

Context: c : S

Context: hc : eval a (map (algebraMap R S) P) - eval b (map (algebraMap R S) P) = c * (a - b)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : α → G'

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f g : α → G'

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f g : α → G'

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: a : α

Context: ha : f a ≤ g a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : ¬MDifferentiableAt I I' f x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.42059, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.42066, u_3} E

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : HasShift E M

Context: X Y Z T : C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).Additive

Context: a b c : M

Context: α : ShiftedHom X Y a

Context: β : ShiftedHom Y Z b

Context: h : b + a = c


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
val✝ : Fintype σ


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: f' : MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R →+* S := f.comp (renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective (⇑f ∘ ⇑(renameEquiv R e))


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective ⇑f'


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective ⇑f'

Context: this : (f'.comp MvPolynomial.C).IsIntegral


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective ⇑f'

Context: this : (f.comp ((renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom.comp MvPolynomial.C)).IsIntegral


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective ⇑f'

MvPolynomial.C = (renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom.comp MvPolynomial.C


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsJacobson R

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : _root_.Finite σ

Context: S : Type u_3

Context: inst✝ : Field S

Context: f : MvPolynomial σ R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: val✝ : Fintype σ

Context: e : Fin (Fintype.card σ) ≃ σ

Context: hf' : Function.Surjective ⇑f'

Context: x : R

MvPolynomial.C x = ((renameEquiv R e).toRingEquiv.toRingHom.comp MvPolynomial.C) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
this : s.Terminates


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
this✝ this : s.Terminates


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
f : C(X, ℝ)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
L : Set C(X, ℝ)
nA : L.Nonempty
inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L
sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L
sep : L.SeparatesPointsStrongly
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: h : X → ↑L := fun x => ⟨(ys x).sup' ⋯ fun y => g x y, ⋯⟩


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W : X → Set X := fun x => {z | ↑(h x) z < f z + ε}

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x

Context: xs : Finset X := ⋯.choose


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x

Context: xs : Finset X := ⋯.choose

Context: xs_w : ⋃ x ∈ xs, W x = ⊤ := Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover W W_nhd)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x

Context: xs : Finset X := ⋯.choose

Context: xs_nonempty : xs.Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x

Context: xs : Finset X := ⋯.choose

Context: xs_nonempty : xs.Nonempty

Context: k : ↑L := ⟨xs.inf' xs_nonempty fun x => ↑(h x), ⋯⟩


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: lt_h : ∀ (x z : X), f z - ε < ↑(h x) z

Context: h_eq : ∀ (x : X), ↑(h x) x = f x

Context: W_nhd : ∀ (x : X), W x ∈ 𝓝 x

Context: xs : Finset X := ⋯.choose

Context: xs_nonempty : xs.Nonempty

Context: z : X


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 i f x)


iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f✝ : R →+* S
g : R →+* T
f : R →+* S × T
x : R

(((fst S T).comp f).prod ((snd S T).comp f)) x = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α


(EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y) = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsSplitEpi f
hf : R f


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


Context: x : ℝ

DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x ↔ x ≠ -1


Context: x : ℝ

DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x → x ≠ -1


Context: h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)


Context: this : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id


Context: this✝ : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id

Context: this : HasDerivWithinAt id (cos (arcsin (-1)) * derivWithin arcsin (Ici (-1)) (-1)) (Ici (-1)) (-1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α


(s.sup fun i => a ⊓ f i) = s.sup fun i => f i ⊓ a


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

(α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom = f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv


(f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (f ◁ (α_ g h i).inv ≫ f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ 𝓒 u v s

Context: ha : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: ha : a ∉ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x✝ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) ((rescale 1) x✝) = (coeff R n✝) ((RingHom.id R⟦X⟧) x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α

IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ioi a ⊆ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso' F).inv = (S₁.mapHomologyIso' F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂

toMatrix (Pi.basisFun R₂ n) = BilinForm.toMatrix'


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}


map i h = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))


C (i h.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {i x}).prod = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : ∃ S, S.Finite ∧ span R S = N
hin : N ≤ I • N


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite

(∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s : Set M

Context: hfs : s.Finite

Context: H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0

Context: H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: r : R

Context: hr1 : r - 1 ∈ I

Context: hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s))

Context: hs : insert i s ⊆ ↑N

∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: r : R

Context: hr1 : r - 1 ∈ I

Context: hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)

Context: hs : insert i s ⊆ ↑N


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: r : R

Context: hr1 : r - 1 ∈ I

Context: hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: r : R

Context: hr1 : r - 1 ∈ I

Context: hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N

Context: c : R

Context: hc1 : c - 1 ∈ I

Context: hci : c • i ∈ I • span R s


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝³ : Module R✝ M✝

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: s✝ : Set M

Context: hfs : s✝.Finite

Context: i : M

Context: s : Set M

Context: x✝¹ : i ∉ s

Context: x✝ : s.Finite

Context: r : R

Context: hr1 : r - 1 ∈ I

Context: hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N

Context: c : R

Context: hc1 : c - 1 ∈ I

Context: hci : c • i ∈ I • span R s

N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R

(b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩ = (b.repr x) i


∀ (x y : M), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (x + y) = (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) x + (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) y


∀ (c : R) (x : M), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (c • x) = c • (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) x


∀ (i : ι), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty

(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a