Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
ih : p ^ (n + 1) = p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

dist f g = (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ).toReal


(if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (↑↑f - ↑↑g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ).toReal


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

∠ p1 p2 p3 + ∠ p2 p3 p1 + ∠ p3 p1 p2 = π


∠ p3 p1 p2 + ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p2 p3 = π


InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) + InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = π


InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) + InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1 - (p2 -ᵥ p1)) + InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1 - (p3 -ᵥ p1)) = π


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
this : ∃ a, #β ≤ #↑(f ⁻¹' {a})


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
x : α
h : #β ≤ #↑(f ⁻¹' {x})


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

Submodule.restrictScalars R (map includeRight I) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)


(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier


(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier


(LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier ≤ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β

(b₁ ∈ if a₁ = a₂ then some b₂ else none) ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂


Context:
m : ℕ∞
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ

f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i✝ : ι

Context: P Q : CochainComplex V ℕ

Context: f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

Context: i : ℕ

Context: this : (ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1) = i


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

((X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

(∑ i ∈ range (n % p + 1), ∑ j ∈ range (n / p + 1), X ^ i * ↑((n % p).choose i) * (X ^ (p * j) * ↑((n / p).choose j))).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

(∑ k ∈ range (n % p + 1), ∑ k' ∈ range (n / p + 1), X ^ (k + p * k') * ↑((n % p).choose k * (n / p).choose k')).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

(∑ x ∈ range (n % p + 1), ∑ x_1 ∈ range (n / p + 1), if k = x + p * x_1 then 1 * ↑((n % p).choose x * (n / p).choose x_1) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))


Context: n k p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

(if (k % p, k / p) ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1) then 1 * ↑((n % p).choose (k % p, k / p).1 * (n / p).choose (k % p, k / p).2) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))


Context:
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμν : μ univ = ν univ

Context: h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμν : μ univ = ν univ

∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥

Context: W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥

Context: hW : 2 • ⇑W = ⇑α


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
hx : G.edist u v = ⊤


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
hx : G.Walk u v → False


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

Context: A : C

Context: f g : X φ j ⟶ A

Context: h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g

Context: h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

Context: A : C

Context: f g : X φ j ⟶ A

Context: h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g

Context: this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

Context: A : C

Context: f g : X φ j ⟶ A

Context: h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g

(XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

Context: A : C

Context: f g : X φ j ⟶ A

Context: h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g

biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel j i

Context: A : C

Context: f g : X φ j ⟶ A

Context: h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g

biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G

𝟭 (W.Localization ⥤ D) = functor W D ⋙ inverse W D


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.Localization ⥤ D

(𝟭 (W.Localization ⥤ D)).obj G = (functor W D ⋙ inverse W D).obj G


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
τ : G₁ ⟶ G₂

(𝟭 (W.Localization ⥤ D)).map τ = eqToHom ⋯ ≫ (functor W D ⋙ inverse W D).map τ ≫ eqToHom ⋯


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w

(G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet w = {v}


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)

Context: inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)

Context: inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π

Context: a : α

Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₁ ≫ Sigma.desc e) = Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₂ ≫ Sigma.desc e)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a : α

pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₁ ≫ Sigma.desc e = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a : α

(pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ Sigma.ι X a) ≫ Sigma.desc e = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a : α

pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ x) (pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a) = Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ x) (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

(pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ e a = ((pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ g₂) ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

(pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ e a = (pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ Sigma.ι X b) ≫ Sigma.desc e


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ e b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

(pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ e a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ e b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₁ ≫ Sigma.desc π = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π

(pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ π b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : (pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ Sigma.ι X a) ≫ Sigma.desc π = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = Sigma.ι (fun a_1 => pullback (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) b ≫ (Sigma.desc fun a_1 => pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X a_1)) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ π a = pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = ((pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ g₂) ≫ Sigma.desc π


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: a b : α

Context: hg : (pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ π a = (pullback.snd (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ Sigma.ι X b) ≫ Sigma.desc π


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' (-z) τ = -jacobiTheta₂' z τ


Context: z τ : ℂ

∑' (c : ℤ), jacobiTheta₂'_term ((Equiv.neg ℤ) c) (-z) τ = ∑' (b : ℤ), -jacobiTheta₂'_term b z τ


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

2 * ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) * -z + ↑π * I * ↑((Equiv.neg ℤ) n) ^ 2 * τ) = -(2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ))


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
hx : x ≠ 0

HasFDerivAt Inv.inv (-((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
h : s.encard ≤ ↑k


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: z₁ z₂ : SecondObj P S

Context: h : ∀ (Y Z : C) (g : Z ⟶ Y) (f : Y ⟶ X) (hf : S.arrows f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.snd.fst)) ⟨Y, ⟨Z, ⟨g, ⟨f, hf⟩⟩⟩⟩ z₂


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: z₁ z₂ : SecondObj P S

∀ (j : Discrete ((Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' // S.arrows f' })), limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.snd.fst)) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.snd.fst)) j z₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : Unique α
s : Finset α
f : α → β
h : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ interior ↑s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ interior ↑s
x : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : ContinuousAdd M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot
s : Submodule R M
y : M
hy : ↑s ∈ 𝓝 y
x : M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : ContinuousAdd M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot

Context: s : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : ↑s ∈ 𝓝 y

Context: x : M

Context: this : Tendsto (fun c => y + c • x) (𝓝[{x | IsUnit x}] 0) (𝓝 (y + 0 • x))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : ContinuousAdd M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot

Context: s : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : ↑s ∈ 𝓝 y

Context: x : M

Context: this : Tendsto (fun c => y + c • x) (𝓝[{x | IsUnit x}] 0) (𝓝 y)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : ContinuousAdd M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot

Context: s : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : ↑s ∈ 𝓝 y

Context: x : M

Context: u : Rˣ

Context: hu : y + ↑u • x ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : ContinuousAdd M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : (𝓝[{x | IsUnit x}] 0).NeBot

Context: s : Submodule R M

Context: y : M

Context: hy : ↑s ∈ 𝓝 y

Context: x : M

Context: u : Rˣ

Context: hu : y + ↑u • x ∈ s

Context: hy' : y ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
x : α × β
a : α
b : β

IsOfFinOrder a → IsOfFinOrder b → IsOfFinOrder (a, b)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
h : 0 ∈ S
a b : LocalizedModule S M


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
h : 0 ∈ S
m✝ m'✝ : M
s✝ s'✝ : ↥S


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

term (f - g) s n = term f s n - term g s n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
x y : α
q : ℚ≥0
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f' g x L μ


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ConcreteCategory D
inst✝¹ : PreservesLimits (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
inst✝ : HasMultiequalizer (S.index P)
x : Meq P S
I : S.Arrow

(Multiequalizer.ι (S.index P) I) ((equiv P S).symm x) = ↑x I


↑((equiv P S) ((equiv P S).symm x)) I = ↑x I


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hp : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k

f (∑ i ∈ t, w i • p i) < ∑ i ∈ t, w i • f (p i)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
x : M
n : ℕ
hn : x ^ n = 1
m : ℕ
hm : x ^ (m + 1) = 1


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
n m : ℕ
y : Mˣ
hn : ↑y ^ n = 1
hm : ↑y ^ (m + 1) = 1


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
n m : ℕ
y : Mˣ
hn : y ^ ↑n = 1
hm : y ^ ↑(m + 1) = 1


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N✝
inst✝¹ : Mul P
S : Subsemigroup M
N : Type u_5
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N

↑f.srange = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
X✝ : Type u

{ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map (𝟙 X✝) = 𝟙 ({ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.obj X✝)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map (f✝ ≫ g✝) = { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map f✝ ≫ { obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map g✝


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable F ↥L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : ∀ (x : ↥L), ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle y (y - x)).sin = ‖x‖ / ‖y - x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E

closure (thickening δ s) = cthickening δ s


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
p : B × F

p ∈ (Z.trivChange i j).source ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j


p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∧ p.2 ∈ univ ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s

Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

(fun m => m • Q) u y * Q z ^ 3 = Q y * (fun m => m • Q) u z ^ 3


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: motive : List α → Sort u_2

Context: nil : motive []

Context: singleton : (a : α) → motive [a]

Context: cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))

Context: a : α

Context: l : List α

Context: b : α

(match a :: (l ++ [b]) with | [] => nil | [a] => singleton a | a :: b :: l => let l' := (b :: l).dropLast; let b' := (b :: l).getLast ⋯; cast ⋯ (cons_append a l' b' (bidirectionalRec nil singleton cons_append l'))) = cons_append a l b (bidirectionalRec nil singleton cons_append l)


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
i : ι

((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = m ⊗ₜ[R] p i


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E
B : #↑t = #↑s


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: inst✝ : IsConnected X

Context: x y : ↑X.V

Context: T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x

Context: this✝ : Fintype ↑T

Context: this : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))

Context: T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)

Context: i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: inst✝ : IsConnected X

Context: x y : ↑X.V

Context: T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x

Context: this✝¹ : Fintype ↑T

Context: this✝ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))

Context: this : Mono i


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: inst✝ : IsConnected X

Context: x y : ↑X.V

Context: T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x

Context: this✝² : Fintype ↑T

Context: this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))

Context: this✝ : Mono i

Context: this : IsIso i


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: inst✝ : IsConnected X

Context: x y : ↑X.V

Context: T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x

Context: this✝² : Fintype ↑T

Context: this✝ : Mono i

Context: this : IsIso i

Context: hb : Function.Bijective i.hom


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Action FintypeCat (MonCat.of G)

Context: inst✝ : IsConnected X

Context: x y : ↑X.V

Context: T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x

Context: this✝² : Fintype ↑T

Context: this✝ : Mono i

Context: this : IsIso i

Context: hb : Function.Bijective i.hom

Context: y' : ↑X.V

Context: g : G

Context: hg : g • x = y'

Context: hy' : y' = y


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E

fderiv 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x = (fderiv 𝕜 f (iso x)).comp ↑iso


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

(MonoidalCategory.leftUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerRight h.zero.inv (__src✝.obj { as := n }) ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) (𝟙_ (Discrete A)) { as := n } ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.leftUnitor { as := n }).hom).app X


(MonoidalCategory.rightUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerLeft (__src✝.obj { as := n }) h.zero.inv ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) { as := n } (𝟙_ (Discrete A)) ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.rightUnitor { as := n }).hom).app X


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Orthonormal 𝕜 fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

∀ (i j : ι), ⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: i j : ι

⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: i j : ι

⟪1, if h : i = j then ⋯ ▸ 1 else 0⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R

(fun t => inverse (1 - t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1


∃ c, ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → ‖inverse (1 - y)‖ ≤ c * ‖1‖


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : dist t 0 < 2⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: t : R

Context: ht : ‖t‖ < 2⁻¹

Context: ht' : ‖t‖ < 1

Context: this : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: t : R

Context: ht : ‖t‖ < 2⁻¹

Context: ht' : ‖t‖ < 1

Context: this✝ : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹

Context: this : (1 - ‖t‖)⁻¹ ≤ 2


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X : DifferentialObject S C

(F.map X.d ≫ η.app X.obj) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map X.d ≫ η.app X.obj) = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X : DifferentialObject S C

(F.map X.d ≫ η.app X.obj) ≫ (F ⋙ shiftFunctor D 1).map X.d ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X : DifferentialObject S C

F.map X.d ≫ ((shiftFunctor C 1 ⋙ F).map X.d ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X : DifferentialObject S C

F.map X.d ≫ (F.map ((shiftFunctor C 1).map X.d) ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X : DifferentialObject S C

(0 ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X✝ Y✝ : DifferentialObject S C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(F.map X✝.d ≫ η.app X✝.obj) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.f) = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X✝ Y✝ : DifferentialObject S C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

F.map X✝.d ≫ (shiftFunctor C 1 ⋙ F).map f.f ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasShift C S

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : HasShift D S

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0

Context: X✝ Y✝ : DifferentialObject S C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(F.map f.f ≫ F.map Y✝.d) ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M


sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker) ≤ ‖m‖


BddBelow ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker)


Context:
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys


lookupAll a l = (lookupAll a l).head?.toList


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
h1 : (lookupAll a l).length ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
π✝ : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π✝ i
inst✝ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
t : Set ι
t' : (i : ι) → Set (π i)
f g f' g' h : (i : ι) → π i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α

Context: hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α

Context: n : ℕ

Context: hn : card α = n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : card α = n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : card α = n

Context: hsing : Subsingleton α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : card α = n

Context: hnontriv : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α

Multiset.map Subtype.val (factors' a) = Multiset.map Associates.mk (factors a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : f ≤ᶠ[ae μ] 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] -f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] -f
this : 0 ≤ ∫ (a : α), -f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A ≠ ⊤


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: s : ι → M

Context: indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)

Context: X : Type u' := { I // indep I }

Context: r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J

Context: key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)

∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: s : ι → M

Context: X : Type u' := { I // indep I }

Context: r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J

Context: trans : Transitive r


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: s : ι → M

Context: X : Type u' := { I // indep I }

Context: r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J

Context: trans : Transitive r

Context: I : Set ι

Context: hli : indep I

Context: hmax : ∀ (a : X), r ⟨I, hli⟩ a → r a ⟨I, hli⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))


IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))


s.toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

s = (JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯).toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑(t + μ.withDensityᵥ f) i = ↑((t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f

Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : ¬IsIso f

Context: hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : ¬IsIso f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : ¬IsIso f

Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : ¬IsIso f

Context: hlt : Nat.card ↑(F.obj Y) ≤ Nat.card ↑(F.obj X)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

Small.{max v w, u} (FullSubcategory (CofilteredClosure f))


∀ (b : FullSubcategory (CofilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = b.obj


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : CofilteredClosure f j

∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hD : M.Dep D


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J X : Set α
e f : α
hD : M.Dep ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : Monoid P

Context: l l₁ l₂ : List M

Context: a✝ : M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: a : M

Context: h : ∀ (a' : M), a' ≠ a → a' ∈ l → a' = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: I✝ : MultispanIndex C

Context: K : Multicofork I✝

Context: I : MultispanIndex C

Context: P : C

Context: π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P

Context: w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)

∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y), I.multispan.map f ≫ (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) Y = (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) X ≫ ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: I✝ : MultispanIndex C

Context: K : Multicofork I✝

Context: I : MultispanIndex C

Context: P : C

Context: π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P

Context: a✝ : I.L

I.snd a✝ ≫ π (I.sndFrom a✝) = I.fst a✝ ≫ π (I.fstFrom a✝)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: x✝ : ∀ i ∈ [], Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))

Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) []).prod) x (𝓝 (List.map a []).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

Context: h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))

Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f✝ c b) (f :: l)).prod) x (𝓝 (List.map a (f :: l)).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

Tendsto (fun b => f✝ f b * (List.map (fun c => f✝ c b) l).prod) x (𝓝 (a f * (List.map a l).prod))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

t.fst = ht.desc (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0)


∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.fst = (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0).ι.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α


Context:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U

(Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)).IsPWO


(Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)) ⊆ Function.support ((of R).symm (B u)).coeff


∀ (x : Γ'), ¬A (((of R).symm (B u)).coeff x) = 0 → ¬((of R).symm (B u)).coeff x = 0


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝

Context: R✝ : Type u_2

Context: V✝ : Type u_3

Context: W✝ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V✝

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ V✝

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝

Context: inst✝⁹ : Module R✝ W✝

Context: Γ : Type u_5

Context: Γ' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'

Context: R : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: U : Type u_8

Context: V : Type u_9

Context: W : Type u_10

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup U

Context: inst✝⁴ : Module R U

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddCommGroup W

Context: inst✝ : Module R W

Context: A : HVertexOperator Γ R V W

Context: B : HVertexOperator Γ' R U V

Context: u : U

Context: g' : Γ'

Context: hg' : ¬A (((of R).symm (B u)).coeff g') = 0

Context: hAB : ((of R).symm (B u)).coeff g' = 0


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁

inl c₁ ∈ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ c₁ ∈ f₁ a₁ b₁) ∨ ∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ c₁ ∈ g₁ a₁ b₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
x : E


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: p : LocallyConstant ↑C ℤ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: p : LocallyConstant ↑C ℤ

(∃ a, ∃ (b : Products.isGood C a), eval C ⟨a, b⟩ = p) ↔ ∃ a, ∃ (h : a < o), ∃ x, (∃ a_1, ∃ (h_1 : Products.isGood (π C fun x => ord I x < a) a_1), eval (π C fun x => ord I x < a) ⟨a_1, ⋯⟩ = x) ∧ (πs C a) x = p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ℕ → Prop
u : ℕ → α

blimsup u atTop p = ⨅ i, ⨆ j, ⨆ (_ : p j ∧ i ≤ j), u j


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y

IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : s ×ˢ t = ∅


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : (s ×ˢ t).Nonempty


Context:
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =o[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

(fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (const α ‖f‖ - f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: hxz' : x ≠ z

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f (((z - y) / (z - x)) • x + ((y - x) / (z - x)) • z) < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: hxz' : x ≠ z

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f y < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: hxz' : x ≠ z

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : (z - x) * f y < (z - x) * (((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: hxz' : x ≠ z

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: hxz' : x ≠ z

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Unique δ

Context: inst✝ : (i : δ) → MeasurableSpace (π i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Unique δ

Context: inst✝ : (i : δ) → MeasurableSpace (π i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 6 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (last 5) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α

l.Nodup ↔ ∀ (i j : ℕ), i < j → j < l.length → l.get? i ≠ l.get? j


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: a b : Γ

Context: L R : ListBlank Γ

stepAux (write (enc a).toList q) v (trTape' enc0 L (ListBlank.cons b R)) = stepAux q v (trTape' enc0 (ListBlank.cons a L) R)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: a b : Γ

Context: L R : ListBlank Γ

stepAux (write (enc a).toList q) v (Tape.mk' (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯) (ListBlank.append (enc b).toList (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (enc a).toList.reverse (L.bind (fun x => (enc x).toList.reverse) ⋯)) (R.bind (fun x => (enc x).toList) ⋯))


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: a b : Γ

Context: L R : ListBlank Γ

∀ {L' R' : ListBlank Bool} (l₁ l₂ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L' R' : ListBlank Bool

Context: a : Bool

Context: l₂ : List Bool

Context: IH : ∀ (l₁ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')

Context: l₁ l₂' : List Bool

Context: e : l₂'.length = (a :: l₂).length

stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append ((a :: l₂).reverseAux l₁) L') R')


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L' R' : ListBlank Bool

Context: a : Bool

Context: l₂ : List Bool

Context: l₁ : List Bool

Context: b : Bool

Context: l₂' : List Bool

Context: e : l₂'.length = l₂.length

stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append (b :: l₂') R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append ((a :: l₂).reverseAux l₁) L') R')


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: L' R' : ListBlank Bool

Context: a : Bool

Context: l₂ : List Bool

Context: l₁ : List Bool

Context: b : Bool

Context: l₂' : List Bool

Context: e : l₂'.length = l₂.length

stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append (b :: l₂') R')) = stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append (a :: l₁) L') (ListBlank.append l₂' R'))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : s(b, c) = s(a, w✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : b = a ∧ c = w✝ ∨ b = w✝ ∧ c = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

opcyclesMap φ ≫ h₂.opcyclesIso.hom = h₁.opcyclesIso.hom ≫ γ.φQ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

(ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom = ((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j = (((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c

(parallelPair (Over.homMk c.fst ⋯).op (Over.homMk c.snd ⋯).op).Initial


∀ (Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ), Nonempty (op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z)


∀ ⦃Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ⦄ (i j : op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z), ∃ a, i = (Over.homMk c.fst ⋯).op ≫ a ∧ j = (Over.homMk c.snd ⋯).op ≫ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α


(if ¬y ≤ x then y else x) = if x < y then y else x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Iic b
y : α
hy : y ∈ Iic b
hxy : x < y


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'

Integrable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ


AEStronglyMeasurable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ


∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

∃ ω, ω.length = cs.length w ∧ w = cs.wordProd ω


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: this : ∃ ω, ω.length = Nat.find ⋯ ∧ cs.wordProd ω = w


Context:
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : SMul γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → X → E
hf : ∀ i ∈ s, LocallyIntegrable (f i) μ

LocallyIntegrable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ restrict 0 i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: hi : ¬∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑v j ≤ ↑0 j

Context: hi₁ : MeasurableSet i


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂

LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M) = posFittingComp R L M₂


posFittingComp R L M₂ ≤ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M)


posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (LieSubmodule.map e.symm.toLieModuleHom (posFittingComp R L M₂))


posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map (e.comp e.symm.toLieModuleHom) (posFittingComp R L M₂)


posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map LieModuleHom.id (LieSubmodule.map (e.comp e.symm.toLieModuleHom) (posFittingComp R L M₂))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Mul R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : RightDistribClass R
a b c d : R


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))

Context: A : adj.toMonad.Algebra

((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

(beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCofork A).π ≫ (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

(beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (unitCofork A).π


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

A.a ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P

dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 - 2 * dist p1 p2 * dist p3 p2 * Real.cos (∠ p1 p2 p3)


‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (∠ p1 p2 p3)


‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2))


Context:
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π

(2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2


Context:
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π

(2 • θ).sign = θ.sign ↔ |θ.toReal| < π / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: l : Filter α

Context: ι : Type w

Context: f : ι → Filter α

Context: m : α → β

Context: p : ι → Prop

Context: h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}

Context: ne : ∃ i, p i

map m (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), map m (f i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: l : Filter α

Context: ι : Type w

Context: f : ι → Filter α

Context: m : α → β

Context: p : ι → Prop

Context: ne : ∃ i, p i

Context: this : Nonempty (Subtype p)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1

Set.range (s.face h).points = s.points '' ↑fs


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ S : L.Substructure M
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s


∀ {a b : G}, a ∈ f ⁻¹' s → b ∈ f ⁻¹' s → a * b ∈ f ⁻¹' s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X : PartialFun

Context: a : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj X

(fun a => ⟨some a, ⋯⟩) ((fun a => Option.get ↑a ⋯) a) = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

Context: b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝

(b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (Part.some ⟨some a, ⋯⟩).bind (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

(b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val) ⟨some a, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

(∃ a_1 ∈ f a, b ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔ ↑b = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : X.X
ha : a ≠ X.point

((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun (some ⟨a, ha⟩) = (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun (some ⟨a, ha⟩)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y : P
h₂ : Sbtw R w x y
h₁ : Wbtw R w y x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet (a ⊔ b)) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet b)


Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∪ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
x y : OnePoint X

Inseparable x y ↔ x = ∞ ∧ y = ∞ ∨ ∃ x', x = ↑x' ∧ ∃ y', y = ↑y' ∧ Inseparable x' y'


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝

∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J


Context:
k : ℕ
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ evaln (k + 1) c n

∀ {o : Option ℕ}, (x ∈ do guard (n ≤ k) o) → n < k + 1


Context:
R M : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M

IsTrivialRelation f x ↔ VanishesTrivially R f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b

multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b

Context: hab : multiplicity p a < multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b

Context: hab : multiplicity p a = multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b

Context: hab : multiplicity p b < multiplicity p a


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
a : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f

TotallyBounded (f '' s) ↔ TotallyBounded s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)


∀ i ∈ 𝓤 β, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id i}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β

∃ t_1, t_1.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t_1, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformInducing f

Context: hs : TotallyBounded (f '' s)

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: u : Set α

Context: hfin : u.Finite

Context: h : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' u, {x | (x, y) ∈ t}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformInducing f

Context: hs : TotallyBounded (f '' s)

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: u : Set α

Context: hfin : u.Finite

s ⊆ ⋃ y ∈ u, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: α✝ : Type w

Context: inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C

Context: α : Type w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

(s ∩ t).card + (s ∪ t).card = s.card + t.card


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Div G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝³ : Sub β

Context: inst✝² : OrderedSub β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSub₂ β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f g : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Div G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : Sub β

Context: inst✝² : OrderedSub β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSub₂ β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f g : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: this : {a | f a = g a} = {a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0}


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Div G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : Sub β

Context: inst✝² : OrderedSub β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSub₂ β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f g : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

MeasurableSet ({a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m : α
hm : m ∈ argmax f (hd :: tl)
a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a

indexOf m (hd :: tl) ≤ indexOf a (hd :: tl)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: l : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: m a : α

Context: ha : a ∈ hd :: tl

Context: ham : f m ≤ f a

Context: hm : Option.rec (some hd) (fun val => if f hd < f val then some val else some hd) (argmax f tl) = some m

(bif hd == m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ bif hd == a then 0 else indexOf a tl + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: l : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: m a : α

Context: ha : a ∈ hd :: tl

Context: ham : f m ≤ f a

Context: val✝ : α

Context: hm : (if f hd < f val✝ then some val✝ else some hd) = some m

Context: h : argmax f tl = some val✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: l : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: m a : α

Context: ha : a ∈ hd :: tl

Context: ham : f m ≤ f a

Context: val✝ : α

Context: h : argmax f tl = some val✝

(if hd = m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ if hd = a then 0 else indexOf a tl + 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a d₁ : α

Context: t₁ : List α

Context: ih : a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = indexOf a t₁

Context: h : a ∈ d₁ :: t₁

indexOf a (d₁ :: t₁ ++ l₂) = indexOf a (d₁ :: t₁)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a d₁ : α

Context: t₁ : List α

Context: h : a ∈ d₁ :: t₁

indexOf a (d₁ :: (t₁ ++ l₂)) = indexOf a (d₁ :: t₁)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a d₁ : α

Context: t₁ : List α

Context: h : a ∈ d₁ :: t₁

Context: hh : ¬d₁ = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x✝ : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)

Context: hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n

Context: hg0 : Summable fun n => g n y₀

Context: x : 𝕜

deriv (fun y => ∑' (n : α), g n y) x = ∑' (n : α), deriv (g n) x