Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball x r

(fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = fderiv 𝕜 f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball x r

(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1) = fderiv 𝕜 f z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball x r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃

2 • ∡ p₃ p₁ s.center + 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
S : Type u_4
inst✝¹ : DivisionSemiring S
inst✝ : Module S M
x✝³ : α → α
x✝² : α → M
x✝¹ : ℕ
x✝ : α

birkhoffAverage R x✝³ x✝² x✝¹ x✝ = birkhoffAverage S x✝³ x✝² x✝¹ x✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊

{x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}.Finite


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: this : (⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

Context: hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}

x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C), ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(map (algebraMap ℤ K) i).roots.toFinset


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

Context: h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

Context: i : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField A

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed A

Context: inst✝ : NormedAlgebra ℚ A

Context: B : ℝ

Context: x : K

Context: i : ℕ

↑|(minpoly ℤ x).coeff i| = ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
p : α → Prop

(∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] a, ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] y, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] a, p x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] a, ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[s] y, p x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, x ∈ s → ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, x ∈ s → p x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x' x : α
h✝ : r x' x
a : α
h : a ∈ {x'}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁ m₂ : M

(ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨2, ⋯⟩


(ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ ∈ LinearMap.range (ι Q) * LinearMap.range (ι Q)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
I : ↥(Ideal S)⁰

∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ ∀ c ∈ ↑I, abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b) → c = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: min : ∀ (z : ℤ), (∃ b ∈ ↑I, b ≠ 0 ∧ abv ((Algebra.norm R) b) = z) → abv ((Algebra.norm R) b) ≤ z


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: c : S

Context: hc : c ∈ ↑I

Context: lt : abv ((Algebra.norm R) c) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: I : ↥(Ideal S)⁰

Context: b : S

Context: b_mem : b ∈ ↑I

Context: b_ne_zero : b ≠ 0

Context: c : S

Context: hc : c ∈ ↑I

Context: c_ne_zero : c ≠ 0

abv ((Algebra.norm R) b) ≤ abv ((Algebra.norm R) c)


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ZMod n →+* R
a : ZMod n


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ZMod n →+* R
k : ℤ


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f g : ZMod n →+* R

Context: k : ℤ

Context: φ : ℤ →+* R := f.comp (Int.castRingHom (ZMod n))

Context: ψ : ℤ →+* R := g.comp (Int.castRingHom (ZMod n))


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s t : Set Ω

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t

Context: s1 t1 : Set Ω

Context: hs1 : s1 ∈ {s}

Context: ht1 : t1 ∈ {t}


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m

Context: hv : v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1) = 0


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m

v i * M.det = v ⬝ᵥ M *ᵥ M.cramer (Pi.single i 1)


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m

v i * M.det = ∑ x : m, v x * (M.det * Pi.single i 1 x)


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m

∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → v b * (M.det * Pi.single i 1 b) = 0


Context: m : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m m A

Context: hM : M.det ≠ 0

Context: v : m → A

Context: i : m

i ∉ Finset.univ → v i * (M.det * Pi.single i 1 i) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (π i)
a b c : (i : ι) → π i
inst✝ : Nonempty ι
h : a ≺ b
inhabited_h : Inhabited ι


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C

IsIdempotentComplete C ↔ ∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasKernel p


(∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasEqualizer (𝟙 X) p) ↔ ∀ (X : C) (p : X ⟶ X), p ≫ p = p → HasKernel p


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: ι' : Sort u_3

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: Ixx : α → α → Set α

Context: p : α → α → Prop

Context: Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b

Context: Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)

Context: f : ι → α

Context: g : ι' → α

IsPiSystem {S | ∃ i j, p (f i) (g j) ∧ Ixx (f i) (g j) = S}


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
g : M ≃[L] N
φ : L.Formula α
v : α → M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β

s ∈ kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = sᶜ


(∃ x, xᶜ ∈ f ∧ kernImage m xᶜ = s) ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = sᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β
x : Set α
x✝ : xᶜ ∈ f


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hg : Memℒp g 1 μ


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
z : E
hz : z ∈ closure U
w : E
hw : w ∈ frontier U


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f

CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f


{c : Opens ↑X} → {d : Opens ↑Y} → (d ⟶ ⋯.functor.obj c) → (c' : Opens ↑X) × (⋯.functor.obj c' ≅ d)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
U : Opens ↑X
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ ⋯.functor.obj U

(c' : Opens ↑X) × (⋯.functor.obj c' ≅ V)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
this : Mono f
U : Opens ↑X
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ ⋯.functor.obj U
x : ↑Y
h : x ∈ V.1


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s

(ofSet s hs).trans e = e.restr (e.source ∩ s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : Disjoint a c
hb : Disjoint b c


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α

(¬∀ ⦃s' : Finset α⦄, s' ⊆ s → ∀ ⦃t' : Finset α⦄, t' ⊆ t → ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card → ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card → |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε) ↔ ∃ s' ⊆ s, ∃ t' ⊆ t, ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card ∧ ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card ∧ ε ≤ ↑|G.edgeDensity s' t' - G.edgeDensity s t|


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7

(¬∃ i ∈ s, (t i).Nonempty) ↔ ∀ i ∈ s, t i = ∅


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
K : Type w'
f : J → C
c : Bicone f
g : K ≃ J
k k' : K

(fun k => c.ι (g k)) k ≫ (fun k => c.π (g k)) k' = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0


(if h : g k = g k' then eqToHom ⋯ else 0) = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α


Context: F : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: H₁ H₂ : FloorRing α

Context: this : FloorRing.floor = FloorRing.floor


Context: F : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrderedRing α

Context: H₁ H₂ : FloorRing α

Context: this✝ : FloorRing.floor = FloorRing.floor

Context: this : FloorRing.ceil = FloorRing.ceil


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)

⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t = s.pi fun i => t (f i)


∀ (x : (a : ι') → α (f a)), x ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ x ∈ s.pi fun i => t (f i)


∀ (a : (b : ι) → α b), (piCongrLeft α f).symm a ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ (piCongrLeft α f).symm a ∈ s.pi fun i => t (f i)


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L (fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv riemannZeta s / riemannZeta s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

∃ s_1 ∈ nhds s, Set.EqOn (L 1) riemannZeta s_1


Context: a b : Cardinal.{u_1}

a * b = a ↔ max ℵ₀ b ≤ a ∧ b ≠ 0 ∨ b = 1 ∨ a = 0


Context: a b : Cardinal.{u_1}

a * b = a ↔ (ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a) ∧ b ≠ 0 ∨ b = 1 ∨ a = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α

Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ E)) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δseq : ℕ → ℝ

Context: δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n

Context: δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)

Context: E : Set α

Context: key : Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δseq : ℕ → ℝ

Context: δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n

Context: δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)

Context: E : Set α

Context: key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))

∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δseq : ℕ → ℝ

Context: δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n

Context: δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)

Context: E : Set α

Context: x : α

Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δseq : ℕ → ℝ

Context: δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n

Context: δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)

Context: E : Set α

Context: x : α

Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x).toNNReal)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δseq : ℕ → ℝ

Context: δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n

Context: δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)

Context: E : Set α

Context: x : α

(closure E).indicator (fun x => 1) x ≠ ⊤


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x


P (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm =ᶠ[𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x] ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm


∀ᶠ (x_1 : H) in 𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' (↑(chartAt H x).symm x_1)) = ↑(chartAt H' (g x)) (g (↑(chartAt H x).symm x_1))


∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' x_1) = ↑(chartAt H' (g x)) (g x_1)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R

toOpen R ⊤ = CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1 ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R

toOpen R ⊤ = (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R

toOpen R ⊤ = (toBasicOpen R 1).comp (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
r : R
h : v ⟂ᵥ w
s : Set α
hmeas : MeasurableSet s
hs₁ : ∀ t ⊆ s, ↑v t = 0
hs₂ : ∀ t ⊆ sᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ sᶜ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G F₁ F₂ : C ⥤ Type w
τ₁ : F₁ ⟶ F
τ₂ : F₂ ⟶ F
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
x : (coprod F₁ F₂).obj x✝²

((coprod F₁ F₂).map x✝ ≫ (fun a x => Sum.casesOn (motive := fun t => x = t → F.obj a) x (fun x_1 h => τ₁.app a x_1) (fun x_1 h => τ₂.app a x_1) ⋯) x✝¹) x = ((fun a x => Sum.casesOn (motive := fun t => x = t → F.obj a) x (fun x_1 h => τ₁.app a x_1) (fun x_1 h => τ₂.app a x_1) ⋯) x✝² ≫ F.map x✝) x


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: inst✝ : IsCyclic H

Context: f : G →* H

Context: hf : f.ker ≤ center G

Context: a b : G

Context: x : H

Context: y : G

Context: hxy : f y = x

Context: hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩

Context: m : ℤ

Context: hm : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩

Context: n : ℤ

Context: hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: inst✝ : IsCyclic H

Context: f : G →* H

Context: hf : f.ker ≤ center G

Context: a b : G

Context: x : H

Context: y : G

Context: hxy : f y = x

Context: m : ℤ

Context: hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩

Context: n : ℤ

Context: hm : x ^ m = f a


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: inst✝ : IsCyclic H

Context: f : G →* H

Context: hf : f.ker ≤ center G

Context: a b : G

Context: x : H

Context: y : G

Context: hxy : f y = x

Context: m : ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩

Context: hm : x ^ m = f a

Context: hn : x ^ n = f b


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: inst✝ : IsCyclic H

Context: f : G →* H

Context: hf : f.ker ≤ center G

Context: a b : G

Context: x : H

Context: y : G

Context: hxy : f y = x

Context: m : ℤ

Context: n : ℤ

Context: hm : x ^ m = f a

Context: hn : x ^ n = f b

Context: ha : y ^ (-m) * a ∈ center G


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: inst✝ : IsCyclic H

Context: f : G →* H

Context: hf : f.ker ≤ center G

Context: a b : G

Context: x : H

Context: y : G

Context: hxy : f y = x

Context: m : ℤ

Context: n : ℤ

Context: hm : x ^ m = f a

Context: hn : x ^ n = f b

Context: ha : y ^ (-m) * a ∈ center G

Context: hb : y ^ (-n) * b ∈ center G


Context: a n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n

(map (fun i => 2 ^ i) (bit b n).bitIndices).sum = bit b n


Context: a n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: hrw : ((fun i => 2 ^ i) ∘ fun x => x + 1) = fun i => 2 * 2 ^ i


Context: a n✝ n : ℕ

(map (fun i => 2 ^ i) (bit true n).bitIndices).sum = bit true n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
x : S

quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux f p P a_mem (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk ⟨(Quotient.mk (P ^ e)) (a * x), ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite

∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃₀ t), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a


∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i ∈ t, i), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a


Context: m n : ℕ+


Context:
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n


Context: k : ℕ

bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0 + if k = 1 then 1 else 0


Context: k : ℕ

(algebraMap ℚ ℝ) (bernoulli' k) = ↑(bernoulli k) + if k = 1 then 1 else 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

Context: z : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)

¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) z) ↔ z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

Context: z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) (HomogeneousLocalization.mk z)) ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

↑{ deg := z.deg, num := ⟨(RingHom.id A) ↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨(RingHom.id A) ↑z.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ t : Set E

Context: ι' : Type u_4

Context: f : ι' ↪ ι

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: s : Set ι'

Context: x : ι'

Context: hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s✝ t : Set E

Context: ι' : Type u_4

Context: f : ι' ↪ ι

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: s : Set ι'

Context: x : ι'


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Nonempty V

Context: t : ℕ

Context: ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Nonempty V

Context: v : V

Context: left✝ : v ∈ univ

Context: ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑(G.degree v)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * g


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: g : G

Context: h : IsComplement S {g}

Context: x : G

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: y : ↑S × ↑{g}

Context: hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: g : G

Context: h : IsComplement S {g}

Context: x : G

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: y : ↑S × ↑{g}


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F'✝ : I.Filtration M

Context: h : F.Stable

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hF : F.submodule.FG

Context: F' : I.Filtration M

Context: hf : F' ≤ F

Context: this : IsNoetherian ↥(reesAlgebra I) ↥F.submodule


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : ∀ s ≤ F.submodule, s.FG


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: b : ℝ

Context: hb_neg : b < 0

Context: s : Set α := {x | f x ≤ b}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: b : ℝ

Context: hb_neg : b < 0

Context: s : Set α := {x | f x ≤ b}

Context: hs : NullMeasurableSet s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: b : ℝ

Context: hb_neg : b < 0

Context: s : Set α := {x | f x ≤ b}

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: mus : μ s < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: b : ℝ

Context: hb_neg : b < 0

Context: s : Set α := {x | f x ≤ b}

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: mus : μ s < ⊤

Context: h_int_gt : ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * (μ s).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: b : ℝ

Context: hb_neg : b < 0

Context: s : Set α := {x | f x ≤ b}

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: mus : μ s < ⊤

Context: H : μ {x | f x ≤ b} ≠ 0

b * (μ s).toReal < ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: inst✝ : ∀ (X₁ : GradedObject I₁ C₁) (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p

Context: X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: φ✝ : X₁ ⟶ Y₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: φ : X₃ ⟶ Y₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 Y₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) (𝟙 X₂) φ j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: φ : X₁ ⟶ Y₁

Context: X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: ψ : X₂ ⟶ Y₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 Y₂) (𝟙 X₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) ψ (𝟙 X₃) j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : Countable β

Context: x : β

Context: s : β → Set β

Context: hs : ∀ y ∉ measurableAtom x, x ∈ s y ∧ MeasurableSet (s y) ∧ y ∉ s y

Context: this : measurableAtom x = ⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y

MeasurableSet (⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y)


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G

exponent G = 0 ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G

(¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : G), g ^ n = 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G

(∀ (n : ℕ), 0 < n → ∃ g, g ^ n ≠ 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : R ⟶ 𝟭 C
c : C

𝟙 c ≫ (adj.unit.app c ≫ (𝟙 (R.obj (L.obj c)) ≫ α.app (L.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c) = adj.unit.app c ≫ α.app (L.obj c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X

(IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P R


(∀ (x : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation t₁ → x.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t)) ↔ IsSheafFor P R


∀ (a : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), a.IsAmalgamation t₁ → a.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (a.Compatible → ∃ t, a.IsAmalgamation t) ↔ a.Compatible → ∃! t, a.IsAmalgamation t


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

(x - y) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - y ^ n


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M


↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
a : α
aq : a ∈ q

∀ (h : ∀ a ∈ q, ∀ b ∈ q, f a = f b), q.liftOn f h = f a


∀ (h : ∀ a_1 ∈ mk aq, ∀ b ∈ mk aq, f a_1 = f b), (mk aq).liftOn f h = f a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α

f a * ∏ x ∈ Ioi a, f x = ∏ x ∈ Ici a, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Monotone fun r => preCDF ρ r a


∀ (i i_1 : ℚ), i ≤ i_1 → ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, preCDF ρ i a ≤ preCDF ρ i_1 a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r' x ∂ρ.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α

(x :: xs).formPerm ((x :: xs).get ⟨xs.length, ⋯⟩) = x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : ↑X ≅ ↑Y

Context: α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf

Context: U✝ : Opens ↑↑Y

(α.inv.app (op U✝) ≫ (Presheaf.toPushforwardOfIso H α.hom).app (op ((Opens.map H.hom).obj U✝))) ≫ Y.presheaf.map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : ↑X ≅ ↑Y

Context: U✝ : Opens ↑↑Y

α.inv.app (op U✝) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf).map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : ↑X ≅ ↑Y

Context: U✝ : Opens ↑↑Y

α.inv.app (op U✝) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0

Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = -Real.arccos (x.re / abs x) + π


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M

(funMap f fun i => realize v (![t₁, t₂] i)) = funMap f ![realize v t₁, realize v t₂]


realize v (![t₁, t₂] 0) = ![realize v t₁, realize v t₂] 0


∀ (i : Fin 1), realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize v t₁, realize v t₂] i.succ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : IsPurelyInseparable F E

Context: L : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsReduced L

Context: f g : E →+* L

Context: heq : (fun f => f.comp (algebraMap F E)) f = (fun f => f.comp (algebraMap F E)) g

Context: x : E

Context: q : ℕ := ringExpChar F


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : IsPurelyInseparable F E

Context: L : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsReduced L

Context: f g : E →+* L

Context: x : E

Context: q : ℕ := ringExpChar F

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : IsPurelyInseparable F E

Context: L : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsReduced L

Context: f g : E →+* L

Context: x : E

Context: q : ℕ := ringExpChar F

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n

Context: heq : ((fun f => f.comp (algebraMap F E)) f) y = ((fun f => f.comp (algebraMap F E)) g) y


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
a✝ : Nontrivial L


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
a✝ : Nontrivial L
this : ExpChar L q


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.45697, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan G

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G

Context: hc : IsUniversalColimit (G.mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: h : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)

Context: j : J

(whiskerRight α G ≫ (G.mapCocone c).ι).app j = ((G.mapCocone c').ι ≫ (Functor.const J).map (G.map f)).app j


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N

stoppedValue u π - stoppedValue u τ = fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (u (i + 1) - u i)) ω


(fun ω => (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω) = fun ω => (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (u (i + 1) - u i)) ω


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω

(∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω = (∑ i ∈ Finset.range (N + 1), {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}.indicator (u (i + 1) - u i)) ω


∑ c ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (c + 1) - u c) ω = ∑ c ∈ Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1)), (u (c + 1) - u c) ω


Finset.Ico (τ ω) (π ω) = Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1))


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N
ω : Ω
i : ℕ

i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω) ↔ i ∈ Finset.filter (fun i => ω ∈ {ω | τ ω ≤ i ∧ i < π ω}) (Finset.range (N + 1))


τ ω ≤ i ∧ i < π ω ↔ i < N + 1 ∧ τ ω ≤ i ∧ i < π ω


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : ‖x‖ = ‖y‖

Context: hn : ¬x = y

Context: hs : (2 • o.oangle (y - x) y).sign = (o.oangle (y - x) y).sign


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : ‖x‖ = ‖y‖

Context: hn : ¬x = y

Context: hs : o.oangle (y - x) y = ↑π ∨ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝³ : ConcreteCategory A

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective A

Context: X Y : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J f

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J f


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝³ : ConcreteCategory A

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective A

Context: X Y : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : X ⟶ Y

Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
hp : p ≠ 0


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀

Comp.mk (tfst f <$> tsnd f' x) = bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x


bitraverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x = bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

s.inits = [s.head] :: map (List.cons s.head) s.tail.inits


∀ (n : ℕ), s.inits.get n = ([s.head] :: map (List.cons s.head) s.tail.inits).get n


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
hf : Involutive f
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =o[l] g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, A i =o[l] g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: A : ι → α → E'

Context: C : ι → ℝ

Context: s✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: is : i ∉ s

Context: IH : (∀ i ∈ s, A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) =o[l] g'

Context: h : ∀ i_1 ∈ insert i s, A i_1 =o[l] g'

(fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) =o[l] g'


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : Sub A

Context: inst✝⁴ : OrderedSub A

Context: inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : HasAntidiagonal A

Context: n m : A

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m

Context: inst✝ : Decidable (m ≤ n)

Context: a b : A

(a, b) ∈ filter (fun x => x.1 = m) (antidiagonal n) ↔ (a, b) ∈ if m ≤ n then {(m, n - m)} else ∅


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Sub A

Context: inst✝⁴ : OrderedSub A

Context: inst✝² : HasAntidiagonal A

Context: n m : A

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m

Context: inst✝ : Decidable (m ≤ n)

Context: a b : A


Context: n p : ℕ

Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p


Context: n p : ℕ

Context: h : 2 ≤ p ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ p → m = 1 ∨ m = p


Context: n p : ℕ

Context: h1 : 1 < p


Context: n p : ℕ

Context: h1 : 1 < p

Context: a b : ℕ

Context: hab : p = a * b


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b

∃ q, 0 ≤ q ∧ a < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b


Context:
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q p : ℝ≥0
right✝ h : ↑p < b

∃ q, 0 ≤ q ∧ ↑p < ↑(↑q).toNNReal ∧ ↑(↑q).toNNReal < b


Context:
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p✝ q p : ℝ≥0
right✝ h : ↑p < b
c : ℝ≥0∞
pc : ↑p < c
cb : c < b


Context:
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r✝ p✝ q p : ℝ≥0
right✝¹ h : ↑p < b
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < b
pc : ↑p < ↑r
cb : ↑r < b


Context:
α : Type u_1
b c d : ℝ≥0∞
r✝ p✝ q✝ p : ℝ≥0
right✝¹ h : ↑p < b
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < b
pc : ↑p < ↑r
cb : ↑r < b
q : ℚ
hq0 : 0 ≤ q
pq : p < (↑q).toNNReal
qr : (↑q).toNNReal < r


Context:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q


((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R N ⊗ of R P)).comul = Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj)).comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op ((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat)).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul ((tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk N), Opposite.op (ModuleCat.mk P)) (Opposite.op (ModuleCat.mk N), Opposite.op (ModuleCat.mk P))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)


↑(tensorTensorTensorComm R M M ↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat ↑((ofComon R).obj (Comon_.Mon_OpOpToComon_obj' (ModuleCat R) (Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R N).toComonObj ⊗ Comon_.Comon_ToMon_OpOp_obj' (ModuleCat R) (of R P).toComonObj))).toModuleCat) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul) = ↑(tensorTensorTensorComm R M M (N ⊗[R] P) (N ⊗[R] P)) ∘ₗ map Coalgebra.comul (↑(tensorTensorTensorComm R N N P P) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul)


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
s : Set β

((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s ≤ m (f ⁻¹' s)


(OuterMeasure.ofFunction m m_empty) (f ⁻¹' s) ≤ m (f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S

(algebraMap T (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' T a s) = mk ((algebraMap R A) a) s


IsLocalization.mk' T a s • 1 = mk ((algebraMap R A) a) s


IsLocalization.mk' T a s • mk 1 1 = mk ((algebraMap R A) a) s


Context:
α : Type u_1
n : Num


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
n : ℕ
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
s : Set γ
x✝ : α

x✝ ∈ (f.comp g).preimage s ↔ x✝ ∈ g.preimage (f.preimage s)


(∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ g x✝ ∧ y ∈ f x) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝


(∃ b, ∃ a ∈ s, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ : List M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
l : List α

(map f (filter (fun b => decide (p b)) l)).prod * (map f (filter (fun x => decide ¬p x) l)).prod = (map f l).prod


(map (fun a => if p a then f a else f a) l).prod = (map f l).prod


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X

⨆ x, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X
x : X


dimH s ≤ ⨆ x, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : IsEmpty β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ i : ι'

(b'.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).2) i = (b'.repr (b' i✝)) i


(Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inr i) = (Finsupp.single i✝ 1) i


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p

((expand R p) f).leadingCoeff = f.leadingCoeff


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 2

AffineIndependent k p ↔ ¬finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
P Q : R[X]
hPQ : X ^ n * P = X ^ n * Q
i : ℕ


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : X.Opens), P f → P (U.ι ≫ f)

Context: of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → X.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)) → P f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : P f

Context: i : 𝒰.J


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)

Context: i : 𝒰.J

P ((Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i)).ι ≫ f)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℤ

(map (fun i => f i ^ n) m).prod = (map f m).prod ^ n


map (fun i => f i ^ n) m = map (⇑(zpowGroupHom n)) (map f m)


Context:
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0

ℵ₀ * ↑m = ℵ₀


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α' → β' → γ
g : α → α'
h : β → β'

image2 f (range g) (range h) = range fun x => f (g x.1) (h x.2)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x

Context: this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this : IsScalarTower R S A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this✝ : IsScalarTower R S A

Context: this : IsScalarTower S A A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: this✝ : IsScalarTower S A A

Context: this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: this✝ : IsScalarTower S A A


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: this✝ : IsScalarTower S A A

∀ (x y : S'), (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) (x * y) = (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) x * (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) y


Context: q✝ q : ℚ


Context:
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V

hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV


Context:
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
h₁ : U' ∈ X.affineOpens
h₂ : x ∈ U'
h₃ : U' ≤ U ⊓ V


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B

b ∈ ↑(MonoidHom.range f) → b ∈ {x | h x = g x}


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : h b = g b
r : b ∉ ↑(MonoidHom.range f)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: val✝ : Fintype 𝒰.J


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: val✝ : Fintype 𝒰.J

IsCompact (⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: val✝ : Fintype 𝒰.J

∀ (i : 𝒰.J), IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: val✝ : Fintype 𝒰.J

Context: i : 𝒰.J

IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: val✝ : Fintype 𝒰.J

Context: i : 𝒰.J

CompactSpace ↑(Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁶ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝² : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

prod.lift ((F ⋙ G).map prod.fst) ((F ⋙ G).map prod.snd) = G.map (prod.lift (F.map prod.fst) (F.map prod.snd)) ≫ prod.lift (G.map prod.fst) (G.map prod.snd)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : (f.cycleOf x).IsCycle


Context:
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ

List.range n = 0 :: List.map Nat.succ (List.range n')


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁


Context:
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
hf : LSeriesSummable f s


Context:
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
hf : Summable fun x => ‖term f s x‖


Context: H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3

Context: h1 : 3 ∣ a * b * c


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3

Context: h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: hF : a ^ 3 + b ^ 3 + (-c) ^ 3 = 0

Context: h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: κ : ι → Sort u_3

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: c : ClosureOperator α

Context: p✝ p : α → Prop

Context: hsinf : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sInf s)

Context: a : α


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0

Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)


∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : Associates α
hm : p ∈ factors 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a


p ∣ (Multiset.map Subtype.val (factors' a0)).prod


p ∈ Multiset.map Subtype.val (factors' a0)


Context: R : Type u


Context:
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂

toNat (Module.rank R M) = toNat (Module.rank R M₂)


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x✝ : α
C✝ : ℝ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
f g : α →ᵇ β
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β


Context: x y : ℂ

cosh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cosh x)


Context: x y : ℂ

(starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : MulOneClass α

Context: i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ha : MulLECancellable a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: A B : C

prod.map (𝟙 (F.obj A)) ((expComparison F A).app B) ≫ (exp.ev (F.obj A)).app (F.obj B) = inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) ≫ F.map ((exp.ev A).app B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A B : C

Context: e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))

Context: e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)

Context: e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)

inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A B : C

prodComparison F A (A ⟹ B) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B) = 𝟙 (F.obj (A ⨯ A ⟹ B))


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R

IsIdempotentElem (toSpanSingleton R R e) ↔ IsIdempotentElem e


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E


midpoint 𝕜 x y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ ↑f i


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.82998, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithTerminal C
f : X ⟶ Y

(map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ

x ∈ ⋂ i, ⋂ j, s i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), x ∈ s i j


Context:
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet


Context:
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet

∀ (x : ZFSet), (∀ y ∈ x, Hereditarily p y → p ∅) → Hereditarily p x → p ∅


Context: p : ZFSet → Prop

Context: x y✝ y : ZFSet

Context: IH : ∀ y_1 ∈ y, Hereditarily p y_1 → p ∅

Context: h : Hereditarily p y


Context:
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
IH : ∀ y ∈ ∅, Hereditarily p y → p ∅
h : Hereditarily p ∅


Context: p : ZFSet → Prop

Context: x y✝ y : ZFSet

Context: h : Hereditarily p y

Context: a : ZFSet

Context: ha : a ∈ y.toSet


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : i < j
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)

i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.pred ⋯))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E

↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v


↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ↑(‖v‖ ^ 2) • ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : s ∈ 𝓝 x

mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α


(P.nonUniforms G 1).card ≤ P.parts.card * (P.parts.card - 1)


P.parts.offDiag.card ≤ P.parts.card * (P.parts.card - 1)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R m) ((monomial R n) a * φ) = if n ≤ m then a * (coeff R (m - n)) φ else 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t

SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)


(1 - t) • (x -ᵥ (lineMap x z) t) = t • ((lineMap x z) t -ᵥ z)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Mul R
a : R
ca : ∀ (b : R), Commute a b
h : IsRightRegular a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Mul R
a : R
h : IsRightRegular a
ca : ∀ (b : R), Commute b a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : f x = 0
y : R
f_mul : f (x * y) ≤ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
t : Finset β


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝¹ : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: s✝ : Finset ι

Context: g : ι → α →₀ M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1

Context: h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h

∏ i ∈ Finset.cons a s has, (g i).prod h = (∑ i ∈ Finset.cons a s has, g i).prod h


Context:
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V


(∀ (φ : Dual K V), φ v = 0) ↔ ∀ (x : Dual K V), ((eval K V) v) x = 0 x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => a * f i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R


Context:
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
z : ℤ
hz1 : 0 ≤ z
hz2 : z < b
hz3 : z ≡ a [ZMOD b]


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid S
p : R[X]
f g : ℕ → R → S


Context:
n b : ℕ
h : 1 < b
x y : ℕ
hxb : x < b
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0


Context:
n x y : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2


Context:
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0

(b + 2).digitsAux ⋯ (x + (b + 2) * (n✝ + 1)) = x :: (b + 2).digitsAux ⋯ (n✝ + 1)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ r < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
m : ℕ

(coeff R m) ((monomial R n) a) = (coeff R m) (mk fun m => if m = n then a else 0)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f

LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y

Context: z₂ : W.LeftFraction Y Z

Context: z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f

Context: h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f

Context: z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'

Context: fac : (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).f ≫ z₄.s = (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).s ≫ z₄.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y

Context: z₂ : W.LeftFraction Y Z

Context: z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f

Context: h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f

Context: z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'

Context: fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f

Context: eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s