Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : α × β → E

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf : Integrable f ((μ.restrict s).prod (ν.restrict t))

∫ (z : α × β), f z ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot

Context: s : Set α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ interior s

Context: this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ interior s

Context: this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s

Context: y : α

Context: hyx : y < x

Context: hys : y ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
p : ι → P

centroid k (map e s₂) p = centroid k s₂ (p ∘ ⇑e)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq γ
f : γ → β
g : α → γ

∏ a ∈ s, f (g a) = ∏ b ∈ image g s, f b ^ (filter (fun a => g a = b) s).card


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y
y : α
ys : y ∈ s
hy : IsMinOn (fun y => edist x y) s y


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

(cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 = 1


cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * ((cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * (cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹)))) = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0


((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a = (b⁻¹ * b⁻¹ * b) • D a


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : atTop.NeBot

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : atTop.NeBot

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: seq : ℕ → ι

Context: h_seq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R


Context:
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime


Context: l : List ℕ+

Context: h : ∀ p ∈ l, p.Prime

Context: this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = (↑l).prod


Context: l : List ℕ+

Context: h : ∀ p ∈ l, p.Prime

Context: this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = l.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m m₁ m₂ : OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: this : (⨆ i, bif i then m₁ else m₂) s = ⨆ i, (bif i then m₁ else m₂) s


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a * c ≤ b * c
hc : 0 < c


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
T : Ideal R
x : R
hST : S ≤ T
hxS : x ∉ S
hxT : x ∈ T


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
T : Ideal R
x : R
hST : S ≤ T
hxS : x ∉ S
hxT : x ∈ T
z : R
hz : generator S = generator T * z


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x✝ y✝ : L

((traceForm K L M) x✝) y✝ = ((∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x✝) y✝


∑ x ∈ Finset.univ.attach, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑↑x) • (↑x x✝ * ↑x y✝) = ((∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x✝) y✝


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M


(∃ x_1, ((powersHom M) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, x ^ n = y


Context:
a x z✝ z : ℂ
h₁ : 0 ≤ z.im
h₂ : z ≠ 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G

Context: inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → G

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: a : G


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: h : covolume G α ν ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: h : covolume G α ν ≠ ⊤

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: h : covolume G α ν ≠ ⊤

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν

IsFiniteMeasure (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕))


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: hasFun : HasFundamentalDomain G α ν

Context: h : covolume G α ν ≠ ⊤

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν

Context: this : Fact (ν 𝓕 < ⊤)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
s : Set X
inst✝ : BorelSpace X
this✝ : MeasurableSpace X := borel X


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

preNormEDS b c d (-n) = -preNormEDS b c d n


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ x✝¹ : { w // w.IsComplex }
x✝ : x✝¹ ∈ Set.univ

Convex ℝ (if x✝¹ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f ↑x✝¹) ^ 2} else ball 0 ↑(f ↑x✝¹))


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f

(map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β

(OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s


∀ (i : ℕ → Set α), f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (i n)


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)


∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => (range f)ᶜ ∪ f '' t n) n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: x : α

Context: hx : x ∈ mulSupport f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: x : α

Context: hx : x ∈ mulSupport f

Context: this : g x = 1


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
m₁ m₂ : M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β

Context: f : α → β

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0

Context: s : Finset α

Context: h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: hx : ¬f x ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β

Context: f : α → β

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0

Context: s : Finset α

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: hx : 0 < f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β

Context: f : α → β

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0

Context: s : Finset α

∏ x ∈ s, (if f x ≤ 0 then -1 else 1) * f x = ∏ x ∈ s, f x


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: n : ℕ

⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: n : ℕ

∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), #↑↑i ≤ ↑n


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

#↑↑⟨s, li⟩ ≤ ↑n


Context: E : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι✝

Context: F : ι✝ → ℂ → E

Context: f✝ g✝ : ℂ → E

Context: ι : Type u_3

Context: p : Filter ι

Context: f : ι → ℂ → ℂ

Context: g : ℂ → ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : IsOpen s

Context: x : ↑s

Context: hF : TendstoLocallyUniformlyOn f g p s

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in p, DifferentiableOn ℂ (f n) s

Context: hg : g ↑x ≠ 0

Tendsto (fun n => (deriv (f n) / f n) ↑x) p (𝓝 ((deriv g / g) ↑x))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : ContinuousOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : Continuous (s.restrict f)


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'

(b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2


(b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
this : I.radical ≤ I.radical


I.radical ≤ I.radical → ∃ n, I.radical ^ n ≤ I


∀ (x : R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (Submodule.span R {x})


∀ (M₁ M₂ : Submodule R R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₁ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₂ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (M₁ ⊔ M₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M

(single (Option.some a) m).some = single a m


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

(Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
t : ⨂[R] (i : ι), s i
x✝¹ : R
x✝ : (i : ι) → s i


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

N.FG ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N


(∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

dblU (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblU P)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂

F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map g₁.hom) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)


F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map (L.map φ.left ≫ g₂.hom)) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
hs : s.Nonempty
B : α
hB : B ∈ lowerBounds s
f' : αᵒᵈ → βᵒᵈ := f


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M


∀ (a : L), ∃ k, ((toEnd R L M) a ^ k) m = 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
s : Set Y


Context:
α : Type u_1
s : HeapNode α

Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR s = s.rank


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

o.oangle x ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y + θ


↑(↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ


θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this : update f i 1 ≤ update g i 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this✝ : update f i 1 ≤ update g i 1
this : 1 / f i * a₁ ≤ 1 / g i * a₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b c : α

Context: this : DistribLattice α := CommGroup.toDistribLattice α

mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) = mabs (a / b)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
a : G
b : k


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p

∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ range (sInf (setOf p)) → ¬p x


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V

Pairwise fun c c' => Disjoint c.supp c'.supp


Pairwise fun c c' => ∀ ⦃a : V⦄, a ∈ c.supp → a ∉ c'.supp


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : a ∈ i✝.supp
hsy : a ∈ j✝.supp


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : G.connectedComponentMk a = i✝
hsy : G.connectedComponentMk a = j✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R

(ihom.ev M).app N = (TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip


∀ (x : ↑M) (y : ↑((ihom M).obj N)), ((ihom.ev M).app N) (x ⊗ₜ[R] y) = ((TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
a b : R
h : b * a = 1


o.oangle ((o.rotation θ) x) y = o.oangle x y - θ


↑(↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ


-θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

f b * ∏ x ∈ Ico a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : β → α
x : Filter β
a : α

Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: a : α


Context:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0

rootMultiplicity a p = rootMultiplicity (f a) (map f p)


rootMultiplicity (f a) (map f p) ≤ rootMultiplicity a p


(X - C (f a)) ^ rootMultiplicity (f a) (map f p) ∣ map f p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s.Nonempty


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α

Set.MapsTo (fun x => g • x) x.orbit x.orbit


Set.MapsTo (fun x => g • x) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hq : q.degree < pb.minpolyGen.degree
hn0 : ¬q = 0
h0 : (aeval pb.gen) q = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

eval x ((interpolate s v) r) = eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i


∑ x_1 ∈ s, r x_1 * eval x (Lagrange.basis s v x_1) = ∑ i ∈ s, eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i✝ : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
i : ι
hi : i ∈ s

r i * eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

(ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : ν ≤ μ
s : Set α
h_s_meas : MeasurableSet s


Context:
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂

polarBilin (Q₁.tmul Q₂) = ⅟2 • (polarBilin Q₁).tmul (polarBilin Q₂)


2 • (associated Q₁).tmul (associated Q₂) = ⅟2 • 2 • 2 • (BilinMap.tensorDistrib R A) ((associatedHom A) Q₁ ⊗ₜ[R] (associatedHom R) Q₂)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b : B
h : b ≠ 1
x : A
hx : x = a


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y

(↥(X, X ⊔ Y).2 ⧸ Submodule.comap (X, X ⊔ Y).2.subtype (X, X ⊔ Y).1) ≃ₗ[R] ↥(X ⊓ Y, Y).2 ⧸ Submodule.comap (X ⊓ Y, Y).2.subtype (X ⊓ Y, Y).1


(↥(X, Y ⊔ X).2 ⧸ Submodule.comap (X, Y ⊔ X).2.subtype (X, Y ⊔ X).1) ≃ₗ[R] ↥(Y ⊓ X, Y).2 ⧸ Submodule.comap (Y ⊓ X, Y).2.subtype (Y ⊓ X, Y).1


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))


∀ (a : α), Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a)) → v.limRatio ρ a = AEMeasurable.mk (v.limRatio ρ) ⋯ a → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a))


Context: C : Type u

Context: motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop

Context: X Y : F C

Context: t : X ⟶ Y

Context: id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)

Context: α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom

Context: α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv

Context: l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom

Context: l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv

Context: ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom

Context: ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv

Context: comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)

Context: whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)

Context: whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)


Context: C : Type u

Context: motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop

Context: X Y : F C

Context: t : X ⟶ Y

Context: id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)

Context: l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom

Context: l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv

Context: ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom

Context: ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv


Context: C : Type u

Context: motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop

Context: X Y : F C

Context: t : X ⟶ Y

Context: id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)

Context: l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom

Context: l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv

Context: ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom

Context: ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv

Context: f : X ⟶ᵐ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
f : α → β
hf : Injective f
x z : α
y : M


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: J : Type u_1

Context: obj : J → Scheme

Context: map : (i : J) → obj i ⟶ X

Context: e₁ : J ≃ 𝒰.J

Context: e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)

Context: e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑(map ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: J : Type u_1

Context: obj : J → Scheme

Context: map : (i : J) → obj i ⟶ X

Context: e₁ : J ≃ 𝒰.J

Context: e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: J : Type u_1

Context: obj : J → Scheme

Context: map : (i : J) → obj i ⟶ X

Context: e₁ : J ≃ 𝒰.J

Context: e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(e₂✝ ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).hom.val.base


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: x✝ : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)

Context: j : ℕ

Context: hjn : j < n + 1

Context: hj : ⟨j, hjn⟩ < i

Context: hpj : p ⟨j, hjn⟩


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: x✝ : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : ℕ

Context: hjn : j < n + 1

Context: hj : ⟨j, hjn⟩ < i

Context: hpj : p ⟨j, hjn⟩

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: x✝ : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : ℕ

Context: hjn : j < n + 1

Context: hj : ⟨j, hjn⟩ < i

Context: hpj : p ⟨j, hjn⟩

Context: k : Fin n

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id

Context: t₁ : Set α

Context: ht₁ : t₁ ∈ s

Context: t₂ : Set α

Context: ht₂ : t₂ ∈ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t₁ ∩ t₂

∃ t₃ ∈ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: x : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
n : ℤ
hn : 0 ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜


(fderiv 𝕜 f x) y = (fderiv 𝕜 f x) (y • 1)


Context: m✝ n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
l : List α

filter (fun x => x = b) ⟦l⟧ = replicate (count b ⟦l⟧) b


↑(List.filter (fun b_1 => decide (b_1 = b)) l) = replicate (List.count b l) b


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source

(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x


(∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

s ⊆ a • t ↔ a⁻¹ • s ⊆ t


↑s ⊆ ↑(a • t) ↔ ↑(a⁻¹ • s) ⊆ ↑t


↑s ⊆ a • ↑t ↔ a⁻¹ • ↑s ⊆ ↑t


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

(pointReflection (midpoint R x y)) y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hAF : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
H : 𝓝 x ≤ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

(∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u


∀ a ∈ 𝓤 β, (∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ a) ↔ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

dist s.circumcenter (s.points i) = s.circumradius


dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j


Context:
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
hi : i < n


Context: m n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1)

Context: i✝ j : Fin n

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: e : Fin n ≃o Fin m

Context: i : ℕ

Context: h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1

Context: hi : i < n


Context: m n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1)

Context: i✝ j✝ : Fin n

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: e : Fin n ≃o Fin m

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < ↑(e ⟨i, hi⟩)


Context: m n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1)

Context: i✝ j✝ : Fin n

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: e : Fin n ≃o Fin m

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

↑((v.trim hle).restrict i) j = ↑((v.restrict i).trim hle) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁷ : AddMonoid M

Context: inst✝⁶ : HasShift C M

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : HasShift D M

Context: inst✝¹ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y

Context: f : X ⟶ Y

((L.commShiftIso 0).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (SmallHom.mk W (f ≫ (shiftFunctorZero' C 0 ⋯).inv.app Y))) = ShiftedHom.mk₀ 0 ⋯ (L.map f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁷ : AddMonoid M

Context: inst✝⁶ : HasShift C M

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : HasShift D M

Context: inst✝¹ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: f : X ⟶ Y

(L.map f ≫ L.map ((shiftFunctorZero' C 0 ⋯).inv.app Y)) ≫ ((L.commShiftIso 0).app Y).hom = ShiftedHom.mk₀ 0 ⋯ (L.map f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁷ : AddMonoid M

Context: inst✝⁶ : HasShift C M

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : HasShift D M

Context: inst✝¹ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: f : X ⟶ Y

(L.map f ≫ L.map ((shiftFunctorZero C M).inv.app Y ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C 0).obj Y))) ≫ (L.commShiftIso 0).hom.app Y = L.map f ≫ (shiftFunctorZero D M).inv.app (L.obj Y) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor D 0).obj (L.obj Y))


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : h ≠ 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : e = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : α

x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a / b = x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 (ZMod p)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0

map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (univ.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ (i : ι), n ∣ f i) (univ.piAntidiag (n * m))


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0

dist a p * dist b p = dist c p * dist d p


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ k₂ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = a -ᵥ p
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
hnot : k₁ = 1


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = c -ᵥ p
hnot : k₂ = 1


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
V : Set (Set X)
hV : IsTopologicalBasis V
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π


∀ (a : Y) (u : Set Y), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ image π '' V, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

IsFixedPt P.newtonMap x ↔ (aeval x) P = 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

s.pi t = ∅ ↔ ∃ i, IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅


(¬∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i) ↔ ∃ i, IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅


(∃ i, ∀ (x : α i), i ∈ s ∧ x ∉ t i) ↔ ∃ i, IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ i : ι

(∀ (x : α i), i ∈ s ∧ x ∉ t i) ↔ IsEmpty (α i) ∨ i ∈ s ∧ t i = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α

(s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f ↔ (s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')) ∧ t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
h : (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
i' : ι'
hi' : i' ∈ t
j' : ι'
hj' : j' ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : Frame α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
h : (s ×ˢ t).PairwiseDisjoint f
i : ι'
hi : i ∈ t
j : ι'
hj : j ∈ t
hij : i ≠ j
i' : ι
hi' : i' ∈ s
j' : ι
hj' : j' ∈ s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : SimplicialObject C
s✝ : Splitting X✝
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬A.EqId

(s.cofan (op [n])).inj A ≫ PInfty.f n = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : SimplicialObject C
s✝ : Splitting X✝
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬Mono A.e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3

W'.dblXYZ P = ![W'.dblU P ^ 2, W'.dblU P ^ 3, 0]


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w

(p.append q).length = p.length + q.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β × γ
hf₁ : Measurable fun a => (f a).1
hf₂ : Measurable fun a => (f a).2

MeasurableSpace.comap Prod.fst mβ ≤ MeasurableSpace.map f m


mβ ≤ MeasurableSpace.map (Prod.fst ∘ f) m


MeasurableSpace.comap Prod.snd mγ ≤ MeasurableSpace.map f m


mγ ≤ MeasurableSpace.map (Prod.snd ∘ f) m


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s S : Set G

(closure S).toSubmonoid = Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s S : Set G
x : G
hx : x ∈ (closure S).toSubmonoid


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
p✝ : α✝ → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
α : Type u_4
p : α → Prop
inst✝¹ : Fintype { a // p a }
inst✝ : DecidableEq α
x y : { a // p a }
hy : (fun a => ↑a = ↑x) y


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
p✝ : α✝ → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
α : Type u_4
p : α → Prop
inst✝¹ : Fintype { a // p a }
inst✝ : DecidableEq α
x : { a // p a }
h : optParam (∃! a, ↑a = ↑x) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β


↑(interedges r s t).card ≤ ↑s.card * ↑t.card


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
y : ↥I.primeCompl
h : optParam (LocalRing S) ⋯

mk' S x y ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
j : Fin n
h : i.castPred hi = j


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
j : Fin n
h : i = j.castSucc


Context:
D : GlueData
i : D.J
x y : ↑(D.U i)
h : (D.ι i) x = (D.ι i) y


Context:
D : GlueData
i : D.J
x : ↑(D.U i)
h : (D.ι i) x = (D.ι i) x


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: x y : ↑(D.U i)

Context: h : (D.ι i) x = (D.ι i) y

Context: w✝ : ↑(D.V (⟨i, x⟩.fst, ⟨i, y⟩.fst))

Context: e₁ : (D.f ⟨i, x⟩.fst ⟨i, y⟩.fst) w✝ = ⟨i, x⟩.snd

Context: e₂ : (D.f ⟨i, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst) ((D.t ⟨i, x⟩.fst ⟨i, y⟩.fst) w✝) = ⟨i, y⟩.snd


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x => (s n).comp (Prod.mk x) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: f' : ℕ → α → E := fun n => {x | Integrable (f x) ν}.indicator fun x => SimpleFunc.integral ν (s' n x)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hf' : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f' n)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h2f' : Tendsto f' atTop (𝓝 fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : μ ≪ ν
c : R
s : Set α
hνs : ν s = 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0

HasSum (fun i => f i / a₂) (a₁ / a₂) ↔ HasSum f a₁


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : Y ≅ X


Context: Y : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: left✝ : PathConnectedSpace Y

Context: right✝ : ∀ (x y : Y), Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient x y)


Context: Y : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: left✝ : PathConnectedSpace Y

Nonempty Y ∧ ∀ (x y : Y), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n

Context: N : ℕ

Context: hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε

Context: h'N : a < ↑N


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G


Context:
cs cs' : List Char
c : Char
i p : Nat
hp : i + (utf8Len cs + c.utf8Size) = p

utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = { byteIdx := i + utf8Len cs }


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D

R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj X))) ≫ R.map (h.counit.app X) = R.map (L.map (R.map (h.counit.app X))) ≫ R.map (h.counit.app X)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : D
f : X✝ ⟶ Y✝

R.map (L.map (R.map f)) ≫ R.map (h.counit.app Y✝) = R.map (h.counit.app X✝) ≫ R.map f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R✝ N
inst✝³ : IsSemisimpleModule R✝ M
R : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
inst✝ : HasImage f


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : UniformGroup α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f : β → α

Context: hf : UniformContinuous f

Context: this : UniformContinuous fun x => 1 / f x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S

⇑(algebraMap R S) '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple M s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s


⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target

ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (f ∘ ↑e) (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)


(∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔ ∀ ⦃x : Y⦄, x ∈ s → ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
x : Y
hx : x ∈ s

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)

∑ s : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1


∑ x : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x)).card / (↑({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card * ↑((card α).choose ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card)) + ∑ s ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } univ, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝ : α


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: c : Ordinal.{max u v}

Context: hc : ℵ₀ < c.cof

Context: hc' : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c, f i hi b < c

Context: a : Ordinal.{max u v}

Cardinal.lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c.cof


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

hausdorffEdist s (closure t) = hausdorffEdist s t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ span 𝕜 (range v)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
hn : 0 ∣ n
hm : 0 ∣ m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : d ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : ↑d ≠ 0


Context: n : ℕ

(n + 1 - 0) * (n + 1).descFactorial 0 = (n + 1) * n.descFactorial 0


Context: n k : ℕ

(n + 1 - (k + 1)) * (n + 1).descFactorial (k + 1) = (n + 1) * n.descFactorial (k + 1)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸

HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) s x


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: full_integral : ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this : MeasurableSet (Ioi 0)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)

Context: this : MeasurableSet (Ioi 0)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this : MeasurableSet (Ioi 0)

∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)

Context: this : ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in -c..0, cexp (-b * ↑x ^ 2)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)

Context: t1 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in 0 ..id i, cexp (-b * ↑x ^ 2)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)

Context: t2 : Tendsto (fun c => ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)))


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t

((sum μ).restrict s) t = (sum fun i => (μ i).restrict s) t


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m

HasProd (fun n => f ↑n * f (-↑n)) (m * f 0)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
u : Finset ℤ

∃ v, ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ (∏ x ∈ u', f x * if x = 0 then f 0 else 1) = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (-↑b)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1


(∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ p.roots = 0


(∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree = 1 → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
t : IsLimit c
x : ↑F.sections
j : J

c.π.app j ((isLimitEquivSections t).symm x) = ↑x j


c.π.app j ((isLimitEquivSections t).symm x) = ↑((isLimitEquivSections t).toFun ((isLimitEquivSections t).invFun x)) j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a✝ b✝ : R
a b : Rˣ


Context:
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y z : ZFSet

z ∈ pairSep p x y ↔ ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b


Context: p : ZFSet → ZFSet → Prop

Context: x y z : ZFSet

Context: e : ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b


Context:
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b


∀ ⦃z : ZFSet⦄, z = {a} ∨ z = {a, b} → ∀ ⦃z_1 : ZFSet⦄, z_1 ∈ z → z_1 ∈ x ∨ z_1 ∈ y


Context:
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
v : ZFSet


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂'' (z + 1) τ = jacobiTheta₂'' z τ


Context: z τ : ℂ

cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) / (2 * ↑π * I) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)


Context: z τ J J' : ℂ


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

v.reverse.toList.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

v.toList.reverse.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

v.toList[v.toList.length - 1 - ↑⟨↑0, ⋯⟩]? = v.toList[↑⟨↑(Fin.last n), ⋯⟩]?


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

update f i '' Icc (f i) b = Icc f (update f i b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s t : Interval α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M✝ : Matroid α

Context: N✝ : Matroid β

Context: X I : Set α

Context: M N : Matroid α

Context: hN : N.E = M.E

Context: h : M.restrictSubtype M.E = N.restrictSubtype M.E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝¹ s : Set α

Context: M✝ : Matroid α

Context: N✝ : Matroid β

Context: X I✝ : Set α

Context: M N : Matroid α

Context: hN : N.E = M.E

Context: I : Set α

Context: hI : I ⊆ M.E


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α


μ (tᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {a | a ∉ t ∧ a ∈ s} = 0


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (riemannZeta s)


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.11479, u_1} C

Context: Φ : C ⥤ C

Context: ε : 𝟭 C ⟶ Φ

Context: J : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder J

Context: inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderBot J

Context: j : J

Context: F : { i // i ≤ j } ⥤ C

Context: i : J

Context: hi : i ≤ j

Context: x✝² x✝¹ : { k // k < i }

Context: k₁ : J

Context: hk₁ : k₁ < i

Context: k₂ : J

Context: hk₂ : k₂ < i

Context: x✝ : ⟨k₁, hk₁⟩ ⟶ ⟨k₂, hk₂⟩

(restrictionLT F hi).map x✝ ≫ (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₂, hk₂⟩ = (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₁, hk₁⟩ ≫ ((const { k // k < i }).obj (F.obj ⟨i, hi⟩)).map x✝


Context:
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
x : ↑X


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Context: l : β

Context: k : α

Context: r : K →+* ℂ

a k l * (NumberField.house.newBasis K) r = ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u


Context:
a b k m n p : ℕ
hp : Prime p


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞

(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r


(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r


Context:
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u

(sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, u} #(β a)) = sum fun a => #(WType β) ^ #(β a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
mab : α → β
mba : β → α
f : Filter α
g : Filter β
h₁ : mab ∘ mba =ᶠ[g] id
h₂ : Tendsto mba g f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily

(𝓝 0).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

(Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 ((B 0) i))).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

(Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis B.toSeminormFamily.basisSets _root_.id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

∀ (i : Set F × (F → ℝ)), (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) → ∃ i', B.toSeminormFamily.basisSets i' ∧ _root_.id i' ⊆ (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

∀ (i' : Set E), B.toSeminormFamily.basisSets i' → ∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id i'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ p.basisSets

∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id U


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: hU : ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: s : Finset F

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id ((s.sup p).ball 0 r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: s : Finset F

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (fun x y => (B x) y) ⁻¹' (↑s, fun x => r).1.pi fun i => Metric.ball 0 ((↑s, fun x => r).2 i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: s : Finset F

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

Context: x : E

Context: hx : ∀ i ∈ s, ‖(B x) i‖ < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: U : Set E

Context: s : Finset F

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

Context: x : E

Context: hx : ∀ i ∈ s, ‖(B x) i‖ < r

Context: y : F

Context: hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → (a : α) → M a

(funMap f fun i => Quotient.mk' (x i)) = Quotient.mk' fun a => funMap f fun i => x i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝¹ : LinearOrder R

Context: inst✝ : LinearOrder S

Context: f : R → S

Context: f_incr : Monotone f

Context: l : R

Context: freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x

Context: ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, ¬(fun x' => f l ≤ x') x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, x < f l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, x < f l
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | x < f l}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, x < f l
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | x < f l}
con : ¬z < l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
as✝ : List α
b : β
bs✝ : List β
as : List α
bs : List β

zipWithLeft Prod.mk as bs = (zipWithLeft' Prod.mk as bs).1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y - c) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.19876, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c


Context:
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u v : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ

((A.compHahnSeries B (u + v)).coeff x✝¹).coeff x✝ = ((A.compHahnSeries B u + A.compHahnSeries B v).coeff x✝¹).coeff x✝


(A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹) + A (((of R).symm (B v)).coeff x✝¹)).coeff x✝ = (A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝ + (A (((of R).symm (B v)).coeff x✝¹)).coeff x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
x y x✝ : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: j : J

((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) = Pi.π (fun j => (T j).obj₃) j ≫ (T j).mor₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: j : J

(Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₁) j = Pi.π (fun j => (T j).obj₃) j ≫ (T j).mor₃


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.node' x r).dual = r.dual.node' x l.dual


Context: s : ℂ

Context: h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi 0) volume


Context: s : ℂ

Context: hs : s.re ≤ -1


Context: s : ℂ

Context: hs : -1 < s.re


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

ContDiffWithinAt 𝕜 n f t y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x i) t y


(∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t y) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x i) t y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

Context: inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

(pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ snd (f ≫ i) (g ≫ i) = snd f g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ snd (f ≫ i) (g ≫ i) = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ snd f g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝔸

HasStrictDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 0 g t
hf : ContDiffOn 𝕜 0 f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u} [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu}, ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s

Context: Eu : Type u

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: s : Set Eu

Context: t : Set Fu

Context: g : Fu → Gu

Context: f : Eu → Fu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: Itop : ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u} [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu}, ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s

Context: Eu : Type u

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu

Context: Fu : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu

Context: Gu : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu

Context: s : Set Eu

Context: t : Set Fu

Context: g : Fu → Gu

Context: f : Eu → Fu

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : μ s ≠ 0
p : α → Prop
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : ∃ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, a ∈ s
p : α → Prop
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
s1 s2 : S

(fun s => g (s • y)) (s1 + s2) = (fun s => g (s • y)) s1 + (fun s => g (s • y)) s2