Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: s : Set α

Context: hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)


Context:
p q✝ : ℚ
q : ℚ≥0
hq : 0 < q
hp : p < 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: b n a' : ℤ

Context: ha' : a' + b = n + x

Context: h : a' - x + b = n

(K.ιTotal (up ℤ) a' b (n + x) ha' ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ K.totalDesc fun p q hpq => eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (p - x) q n ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (a' - x) b n h


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: hucard : u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a

(4 ^ P.parts.card - a) * m + a * (m + 1) = u.card


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)

Context: c c' c₀ : C

Context: f : IsFiltered.max (F.obj c) (F.obj c') ⟶ F.obj c₀


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: c c' : C

Context: f g : c ⟶ c'

Context: c₀ : C

Context: f₀ : IsFiltered.coeq (F.map f) (F.map g) ⟶ F.obj c₀


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: c c' : C

Context: f g : c ⟶ c'

Context: c₀ : C

F.map (f ≫ F.preimage (IsFiltered.coeqHom (F.map f) (F.map g) ≫ f₀)) = F.map (g ≫ F.preimage (IsFiltered.coeqHom (F.map f) (F.map g) ≫ f₀))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: h : ∀ (e e' : PartialHomeomorph M H), e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e') ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I)

∀ {e e' : PartialHomeomorph M H}, e ∈ atlas H M → e' ∈ atlas H M → e.symm ≫ₕ e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H M

Context: this : HasGroupoid M (contDiffGroupoid ⊤ I)


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map₂ (α_ f g h).inv


F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h = F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.map₂ ((α_ f g h).hom ≫ (α_ f g h).inv)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
t : 𝕜
ht : t ∈ Ioc 0 1


Context:
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T

(fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

(s.reindex e).circumsphere = s.circumsphere


(s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.reindex e).points)


Set.range (s.reindex e).points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p

mapBifunctorMapMap F p (𝟙 ((single₀ I).obj X)) φ ≫ (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').hom = (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).hom ≫ φ


Context:
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
b : B


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: β : Type u_3

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (i : β), p i → 0 < f i

Context: hf : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ i, p i ∧ f i ≤ ε

(𝓤 α).HasBasis p fun i => {p | dist p.1 p.2 < f i}


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: β : Type u_3

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ

Context: hf₀ : ∀ (i : β), p i → 0 < f i

Context: s : Set (α × α)

(∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | dist p.1 p.2 < f i} ⊆ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))

s ∈ 𝓤 (X ⊕ Y) ↔ ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s


((∃ ε > 0, ∀ {a b : X}, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧ ∃ ε > 0, ∀ {a b : Y}, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s) ↔ ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: f : MultilinearMap R (fun i => M i.castSucc) (M (last n) →ₗ[R] M₂)

Context: m : (i : Fin n) → M i.castSucc

Context: x : M (last n)

(f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: m : (i : Fin n) → M i.castSucc

Context: x : M (last n)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

volume (fundamentalDomain (stdBasis K)) = 1


NullMeasurableSet (Set.univ.pi fun x => Set.Ico 0 1) volume


Context:
z y✝ x✝ : ℝ
x y : ℂ

dist y x < 1 → dist (cexp y) (cexp x) ≤ 2 * ‖cexp x‖ * dist y x


Context:
z y✝ x✝ : ℝ
x y : ℂ
a✝ : ‖y - x‖ < 1

2 * ‖cexp x‖ * dist y x = (1 + 1) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ

evenKernel a x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel a (1 / x)


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ

evenKernel (↑a) x = 1 / x ^ (1 / 2) * cosKernel (↑a) (1 / x)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0
h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a


Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: a : ℝ

Context: h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)

Context: hx' : I * ↑x ≠ 0

Context: h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a

Context: h3 : 1 / (-I * (I * ↑x)) ^ (1 / 2) = 1 / ↑(x ^ (1 / 2))


Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: a : ℝ

Context: h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)

Context: hx' : I * ↑x ≠ 0

Context: h2 : ↑a * I * ↑x / (I * ↑x) = ↑a

Context: h4 : -↑π * I * (↑a * I * ↑x) ^ 2 / (I * ↑x) = -(-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x)


Context: z : ℂ

(z * (starRingEnd ℂ) z).re = (↑(normSq z)).re ∧ (z * (starRingEnd ℂ) z).im = (↑(normSq z)).im


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
h : x ◃ x ◃ y = (x ◃ 1) ◃ x ◃ y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t

(t \ t✝).card = k ↔ t.card = t✝.card + k


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Pow R ℕ
inst✝² : BinomialRing R
inst✝¹ : MulOneClass R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (map φ f)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h_irr : Irreducible (map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2

Submodule.comap involute.toLinearMap (evenOdd Q n) = evenOdd Q n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.9082, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i

snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ fst (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₁ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯)


snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ fst (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₁ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ 𝟙 X


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hab : a ≤ b

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S

Context: c_le : c ≤ b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S

Context: c_le : c ≤ b

Context: hc : c = b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S

Context: c_le : c ≤ b

Context: hc : c < b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S

Context: c_le : c ≤ b

Context: hc : c < b

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: cx : c < x

Context: xb : x ≤ b


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E


oscillationWithin f univ x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f univ x


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hr : ∀ (i : ι), 0 < r i

Context: hs : IsClosed s

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hr : ∀ (i : ι), 0 < r i

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hr : ∀ (i : ι), 0 < r i

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ r' ∈ Ioo 0 (r i), v i ⊆ ball (c i) r'


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: r : ι → ℝ

Context: hr : ∀ (i : ι), 0 < r i

Context: hs : IsClosed s

Context: us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: v : ι → Set α

Context: hsv : s ⊆ iUnion v

Context: hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)

Context: hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)

Context: r' : ι → ℝ

Context: hlt : ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)

Context: hsub : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r' i)


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∀ (i : LeftMoves 0), (∃ i', moveLeft 0 i ≤ x.moveLeft i') ∨ ∃ j, (moveLeft 0 i).moveRight j ≤ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), (∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', moveRight 0 j' ≤ x.moveRight j) ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ t


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : AddCommMonoid α
f : κ → α
s : Finset κ
i : ι

∑ g ∈ piFinset fun x => s, f (g i) = s.card ^ (card ι - 1) • ∑ b ∈ s, f b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
hq : Irreducible q
left✝ : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x
hx' : q = p * x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) = X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

(f.cycleOf x).support.Nonempty ↔ f x ≠ x


Nat.succ 0 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T

∀ x ∈ ↑(basicOpen f), ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ x ∈ t


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T

Context: J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: hJ : f ∉ J.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T

Context: J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: hJ : f ∉ J.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T

Context: J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: hJ : f ∉ J.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t

tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier ⊆ ↑(basicOpen f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: f : S ⊗[R] T

Context: J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: hJ : f ∉ J.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t

J ∈ tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R

(universalHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r


Context: b : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Finite β

Context: P : Perm β → Prop

Context: σ : Perm β

Context: base_one : P 1

Context: base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ

Context: induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Finite β

Context: P : Perm β → Prop

Context: σ : Perm β

Context: base_one : P 1

Context: val✝ : Fintype β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Finite β

Context: P : Perm β → Prop

Context: σ : Perm β

Context: base_one : P 1

Context: val✝ : Fintype β

∀ (l : List (Perm β)), (∀ τ ∈ l, τ.IsCycle) → List.Pairwise Disjoint l → P l.prod


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V
this : c * c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
f : R ≃+* S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (a :: b :: l).getLast?


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
w✝ : b :: l ≠ []
h₂ : x = (b :: l).getLast w✝


Context: a b c : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : U.Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: U : Set G

Context: hU : IsOpen U

Context: h'U : (interior U).Nonempty

Context: h : μ U ≠ ⊤

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: t : Finset G

Context: hKt : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' U


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

x ∈ r • Ioo a b ↔ x ∈ Ioo (r • a) (r • b)


(∃ y, (a < y ∧ y < b) ∧ r * y = x) ↔ r * a < x ∧ x < r * b


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p✝ p : ℝ≥0∞

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p✝ p : ℝ≥0∞

Context: f : α →ₛ E

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p✝ p : ℝ≥0∞

Context: f : α →ₛ E

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

(∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p.toReal) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p✝ p : ℝ≥0∞

Context: f : α →ₛ E

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: y : E

Context: x✝ : y ∈ f.range


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K

‖(starRingEnd K) x + x‖ ^ 2 = re ((starRingEnd K) x + x) ^ 2


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α

List.filter p l₁ <:+ List.filter p (xs ++ l₁)


List.filter p l₁ <:+ List.filter p xs ++ List.filter p l₁


Context:
b x : ℕ
hb : 1 < b
z : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
a : α
b₁ b₂ : β
h : (a, b₁) = (a, b₂)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

Context: halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L

Context: i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K

Context: E' : IntermediateField F K := i.fieldRange

Context: i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i

Context: hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'

(adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

Subalgebra.restrictScalars F (adjoin E ↑L).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin E ↑L)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: L : IntermediateField F K

(adjoin F (↑E' ∪ ↑L)).toSubalgebra = Algebra.adjoin F (↑E'.toSubalgebra ∪ ↑L)


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Multiset (ι →₀ M)

Context: hs : Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) s

s.sum.support = (map Finsupp.support s).sup


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: a : List (ι →₀ M)

Context: hs : Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) (Quot.mk Setoid.r a)

(sum (Quot.mk Setoid.r a)).support = (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r a)).sup


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: a l : List (ι →₀ M)

Context: hl : Quot.mk Setoid.r a = ↑l

Context: hd : List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) l

List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) a


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: a l : List (ι →₀ M)

Context: hl : a.Perm l


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

Context: h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : ↑I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : ↑I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Set (Set E)

Context: left✝ : ↑I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ F

Context: hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : ↑I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Set (Set E)

Context: left✝ : ↑I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ F

Context: hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1

Context: hJ_fin : Fintype ↑J


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : T2Space E

Context: F : Set (Set E)

Context: h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X

Context: I : Finset (Set E)

Context: hI_ss : ↑I ⊆ F

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Set (Set E)

Context: left✝ : ↑I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ F

Context: hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1

Context: hJ_fin : Fintype ↑J

Context: J' : Finset (Set E) := J.toFinset


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R

(iterateFrobenius R p (m + n)) x = (iterateFrobenius R p m) ((iterateFrobenius R p n) x)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : l
j✝ : m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
c : α
hcs : c ∈ s
h_bdd : BddBelow s
f' : αᵒᵈ → βᵒᵈ := f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
p q : Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι'✝ : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι' : Type u_10
inst✝ : Nonempty ι'
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

IsBounded p (fun x => q) f ↔ ∃ s C, q.comp f ≤ C • s.sup p


Context:
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑g


OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑g


Context: cf cg : Code

encode cf < encode (cf.prec cg) ∧ encode cg < encode (cf.prec cg)


Context: cf cg : Code

Context: this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.prec cg)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f g : P ⟶ Q
h : f.f = g.f


Context:
n : ℕ
h₁ : 1 < n
h₂ : ¬Prime n


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A B

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝ : IsIso (coprodComparison F A B)

F.map coprod.inl ≫ inv (coprodComparison F A B) = coprod.inl


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

M.det = (-1) ^ Fintype.card n * M.charpoly.coeff 0


M.det = (-1 • eval ((scalar n) 0) (X - C M)).det


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e✝ : Pretrivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z.proj ∈ e.baseSet


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}

Context: hs : s = {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: h : v.FineSubfamilyOn f s


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤

Context: N : LieSubmodule R L M

↑⁅⊤, N⁆ = Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑N ⊔ ↑⁅I, N⁆


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: N : LieSubmodule R L M

Submodule.span R {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m})


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: N : LieSubmodule R L M

{m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} ⊆ ↑(Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}))


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: z : M

Context: hz : z ∈ (fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}


Context:
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b


Context:
b : ℕ
d : ℕ := gcd 0 b


Context:
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a


Context:
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
hd0 : 0 < d


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context: x y : ℝ

(x * y).negMulLog = y * x.negMulLog + x * y.negMulLog


Context: x y : ℝ


Context:
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

-(x * y * (log x + log y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : ι → M'
x : M

((b.constr S) f) x = ∑ i : ι, b.equivFun x i • f i


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: ψ : AddChar B M

Context: hψ : Injective ⇑ψ

Context: f g : A →+ B

Context: h : (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f = (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: ψ : AddChar B M

Context: hψ : Injective ⇑ψ

Context: f g : A →+ B

Context: h : ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f) = ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s : Multiset R

Context: hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s : Multiset R

∀ (a : R) (t : Multiset R), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: t : Multiset R

Context: hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod.Separable


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: t : Multiset R

(X - C a) * (X - C a) ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s


Context: R✝ : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B✝ : Type u_5

Context: ι✝ : Type u_6

Context: inst✝¹² : Semiring R✝

Context: inst✝¹¹ : Ring R'

Context: inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝

Context: inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝

Context: inst✝⁸ : Add B✝

Context: inst✝⁷ : OrderBot B✝

Context: D✝ : A✝ → B✝

Context: p q : R✝[A✝]

Context: hadd✝ : ∀ (a1 a2 : A✝), D✝ (a1 + a2) = D✝ a1 + D✝ a2

Context: R : Type u_7

Context: A : Type u_8

Context: B : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : SemilatticeSup B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: D : A → B

Context: hzero : D 0 = 0

Context: hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2

Context: ι : Type u_10

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R[A]

supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, supDegree D (f i)


Context: R✝ : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B✝ : Type u_5

Context: ι✝ : Type u_6

Context: inst✝¹² : Semiring R✝

Context: inst✝¹¹ : Ring R'

Context: inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝

Context: inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝

Context: inst✝⁸ : Add B✝

Context: inst✝⁷ : OrderBot B✝

Context: D✝ : A✝ → B✝

Context: p q : R✝[A✝]

Context: R : Type u_7

Context: A : Type u_8

Context: B : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : SemilatticeSup B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: hzero : D 0 = 0

Context: ι : Type u_10

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R[A]

supDegree D (∏ i ∈ ∅, f i) ≤ ∑ i ∈ ∅, supDegree D (f i)


Context: R✝ : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B✝ : Type u_5

Context: ι✝ : Type u_6

Context: inst✝¹² : Semiring R✝

Context: inst✝¹¹ : Ring R'

Context: inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝

Context: inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝

Context: inst✝⁸ : Add B✝

Context: inst✝⁷ : OrderBot B✝

Context: D✝ : A✝ → B✝

Context: p q : R✝[A✝]

Context: R : Type u_7

Context: A : Type u_8

Context: B : Type u_9

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : SemilatticeSup B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: hzero : D 0 = 0

Context: ι : Type u_10

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R[A]

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, supDegree D (f i) → supDegree D (∏ i ∈ insert a s, f i) ≤ ∑ i ∈ insert a s, supDegree D (f i)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ

s.sum x ^ n = ∑ k ∈ s.sym n, ↑(↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑k).prod


s.sum x ^ n = ∑ i : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑i).multinomial * (Multiset.map x ↑↑i).prod


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
x✝ : { x // x ∈ s.sym n }
a✝ : x✝ ∈ univ

(Multiset.map x ↑↑x✝).prod = (Multiset.map x ↑↑x✝).noncommProd ⋯


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q

(γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ

decode n = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)


Option.map (⇑(Equiv.sigmaEquivProd α β)) ((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α' → β' → δ

Context: g₁ : α → α'

Context: g₂ : β → β'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)

g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' s) (g₂ '' t)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S


Context: l : Filter ℂ

Context: hre : Tendsto re l atTop

Context: him : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun z => |z.im|


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V

Hom.appLE U.ι V W e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X

interior (⋂ i, f i) = ⋂ i, interior (f i)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)

s.prod.totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree s).sum


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
l : List (MvPolynomial σ R)

(Multiset.prod ⟦l⟧).totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree ⟦l⟧).sum


l.prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree l).sum


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: i : ι

Context: bi : M

Context: hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

(b.reindexFinsetRange.repr (b i)) ⟨bi, hbi⟩ = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: i : ι

Context: bi : M

(Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) (((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨bi, hbi⟩) = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context: S : ShortComplex Ab

S.Exact ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g


Context: S : ShortComplex Ab

AddMonoidHom.ker S.g ≤ AddMonoidHom.range S.f ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀

Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ

Context: hF'_int : Integrable (⇑L ∘ F') μ

Context: key : HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), (⇑L ∘ F') a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∫ (a : α), F' a ∂μ)) x₀


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)

Context: x y : M'

((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (f fun x_1 => x) fun x => y


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: x y : M'

((f fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inl i))) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inr i))) = (f fun x_1 => x) fun x => y


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)

↑(c.invEmbedding ((c.embedding i) j)) = ↑j


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.542637

Context: Bₘ : Type ?u.542640

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.542637

Context: Bₘ : Type ?u.542640

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.542637

Context: Bₘ : Type ?u.542640

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝ : Lattice α
s t : Interval α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')
hx : ↑x ∈ p

Submodule.Quotient.mk x = (quotientInfEquivSupQuotient p p') (Submodule.Quotient.mk ⟨↑x, hx⟩)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
m : M

LocalizedModule.mk m s = mk' (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m s


Context:
x✝ y✝ : ℝ
x y : ℚ


Context: θ : Angle


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
r s t : Set (α × α)
a b : α

(a, b) ∈ r ○ s ○ t ↔ (a, b) ∈ r ○ (s ○ t)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.204908, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 2

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝⁴ : LinearOrderedField K
inst✝³ : FloorRing K
inst✝² : Archimedean K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : OrderTopology K

Filter.Tendsto (of v).convs Filter.atTop (𝓝 v)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α

BddBelow s → s.WellFoundedOn fun x x_1 => x < x_1


BddBelow s → ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: s : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ lowerBounds s

Context: f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: s : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ lowerBounds s

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hp : ∀ {g' : SL(2, ℤ)}, g' • z ∈ 𝒟ᵒ → ↑g' 1 0 ≠ 1


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hn : ↑g 1 0 ≠ -1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hn : ↑g 1 0 ≠ -1
hp : ↑g 1 0 ≠ 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)


Context:
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)


Context: x : ℝ

Context: x_pos : 0 < x

Context: hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)

Context: hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))


Context: x : ℝ

Context: x_pos : 0 < x

Context: hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)

Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))


Context: x : ℝ

Context: x_pos : 0 < x

Context: hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)

Tendsto (fun n => stirlingSeq (n + 1)) atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)

Context: x✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: i✝ : ℤ

F.map (x✝.f (i✝ + n)) ≫ 𝟙 (F.obj (Y✝.X (i✝ + n))) = 𝟙 (F.obj (X✝.X (i✝ + n))) ≫ F.map (x✝.f (i✝ + n))


Context: m n✝ n : ℕ


Context: m n✝ n : ℕ

Context: this : (n % 2 + 2 * (n / 2)).bodd = n.bodd


Context:
m n✝ n : ℕ
this : (n % 2).bodd = n.bodd


Context: m n✝ n : ℕ

Context: this : (n % 2).bodd = n.bodd

Context: x✝¹ : ∀ (b : Bool), (false && b) = false

Context: x✝ : ∀ (b : Bool), bxor b false = b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α

Disjoint (supported M R s) (supported M R t) ↔ Disjoint s t


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : Semiring S

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: s t : Set α

Context: h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)

Context: x : α

Context: hx1 : x ∈ s

Context: hx2 : x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : Semiring S

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx1 : x ∈ s

Context: hx2 : x ∈ t

Context: y : M

Context: hy : y ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : Semiring S

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx1 : x ∈ s

Context: hx2 : x ∈ t

Context: y : M

Context: hy : y ≠ 0

Context: this : single x y ∈ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : Semiring S

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hx1 : x ∈ s

Context: hx2 : x ∈ t

Context: y : M

Context: hy : y ≠ 0

Context: this : y = 0


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ n


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : T2Space β
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hc₂ : ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s c
n : Set β
hn₁ : IsOpen n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ n
t : τ
ht : t ∈ u
x : α
hx : x ∈ s


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hω : cs.IsReduced ω
j : ℕ

cs.IsReduced (take j ω) ∧ cs.IsReduced (drop j ω)


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hω : cs.IsReduced ω

Context: j : ℕ

Context: h₁ : cs.length (cs.wordProd (take j ω)) ≤ (take j ω).length


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hω : cs.IsReduced ω

Context: j : ℕ

Context: h₂ : cs.length (cs.wordProd (drop j ω)) ≤ (drop j ω).length


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hω : cs.IsReduced ω

Context: j : ℕ

Context: h₃ : (take j ω).length + (drop j ω).length ≤ cs.length (cs.wordProd (take j ω)) + cs.length (cs.wordProd (drop j ω))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x✝ y✝ z : α
h : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
x y : { x // p x }
n : ℤ

(f.subtypePerm h ^ n) x = y ↔ (f ^ n) ↑x = ↑y


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s


s = k • ∑ a ∈ s.toFinset, (count a s / k) • {a}


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: k : ℕ

Context: h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s

Context: h₂ : ∑ x ∈ s.toFinset, k • (count x s / k) • {x} = ∑ x ∈ s.toFinset, count x s • {x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x✝ : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f x✝)

Context: g' : TangentSpace I' (f x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x✝))

Context: n : ℕ∞

Context: x : M

Context: hf : MDifferentiableAt I I' f x

Context: hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)

mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f✝ : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
f : M ⊗[R] N →ₗ[R] P


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • (f • g) x + b • (f • g) y ≤ (f • g) (a • x + b • y)


a • f x • g x + b • f y • g y ≤ f (a * x + b * y) • g (a * x + b * y)


a • f x • g x + b • f y • g y ≤ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)


(a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x) = (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)


(a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) = (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

∀ (x : α), x ∈ Ico a b ∩ Iio c ↔ x ∈ Ico a (min b c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0

((Multiset.toFinsupp ↑n.primeFactorsList).prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → LightProfinite
B : LightProfinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget LightProfinite).obj (X a)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y z : R

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x : K

Context: h : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i < i0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n < q

(homotopyPToId X (q + 1)).hom n (n + 1) = (homotopyPToId X q).hom n (n + 1)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeInf δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty

a ≤ (image₂ f s t).inf' h g ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ g (f x y)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : DivisionRing 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
x : 𝔸
n : ℕ

((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = x ^ n / ↑n !


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
a : α
s t : Set α

doset a s t = Set.image2 (fun x x_1 => x * a * x_1) s t


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : ∀ (k : α), IsCompactElement k


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α

UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous (F i)


(∀ (y : ι), ∀ x ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_2 : β × β) in 𝓤 β, (F y x_2.1, F y x_2.2) ∈ x) ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous (F i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

(if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else false) = (c :: m).any p


(if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = (c :: m).any p


(p c || { data := l ++ c :: (m ++ r) }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }) = (p c || m.any p)


{ data := l ++ c :: (m ++ r) }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = m.any p


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree ≠ 0


rootOfSplits (algebraMap F f.SplittingField) ⋯ ⋯ ∈ (f.aroots f.SplittingField).toFinset


f ≠ 0 ∧ (aeval (rootOfSplits (algebraMap F f.SplittingField) ⋯ ⋯)) f = 0


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: a s : R

Context: h : s ∈ v.supp


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: a s : R

Context: h : s ∈ v.supp

Context: aux : ∀ (a s : R), v s = 0 → v (a + s) ≤ v a


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: a s : R

Context: h : s ∈ v.supp


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: z : ℤ_[p]

Context: hz : ih_gen n z

‖↑(Polynomial.eval z F)‖ / ‖↑(Polynomial.eval z (Polynomial.derivative F))‖ = ‖Polynomial.eval z F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: z : ℤ_[p]

Context: hz : ih_gen n z

‖Polynomial.eval z F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Semiring R₂
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₁
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
h : ∀ (c : M₂), f c ∈ p
p' : Submodule R₂ M₂
x✝ : ↥p
x : M
hx : x ∈ p

⟨x, hx⟩ ∈ map (codRestrict p f h) p' ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ comap p.subtype (map f p')


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

A ↓∩ ⋃₀ S = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ S, A ↓∩ B = x}


A ↓∩ ⋃₀ S = ⋃ x ∈ S, A ↓∩ x


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX : Orthonormal 𝕜 Subtype.val


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: v✝ : Set E

Context: A : ι✝ → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: v : ι → E

Context: s : Set ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)

Context: hsv : Injective (s.restrict v)

Context: hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: Y : Finset E

Context: b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E

Context: hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y

Context: hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: v✝ : Set E

Context: A : ι✝ → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: v : ι → E

Context: s : Set ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)

Context: hsv : Injective (s.restrict v)

Context: hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: Y : Finset E

Context: hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y

Context: hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val

Context: hιY : Fintype.card ι = Y.card


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: v✝ : Set E

Context: A : ι✝ → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: v : ι → E

Context: s : Set ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)

Context: hsv : Injective (s.restrict v)

Context: hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: Y : Finset E

Context: hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y

Context: hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val

Context: hιY : Fintype.card ι = Y.card

Context: hvsY : MapsTo v s ↑Y


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: v✝ : Set E

Context: A : ι✝ → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: v : ι → E

Context: s : Set ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)

Context: hsv : Injective (s.restrict v)

Context: hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: Y : Finset E

Context: hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y

Context: hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val

Context: hιY : Fintype.card ι = Y.card

Context: hvsY : MapsTo v s ↑Y

Context: hsv' : InjOn v s


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: v✝ : Set E

Context: A : ι✝ → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: v : ι → E

Context: s : Set ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)

Context: hsv : Injective (s.restrict v)

Context: hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: Y : Finset E

Context: hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y

Context: hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val

Context: hιY : Fintype.card ι = Y.card

Context: hvsY : MapsTo v s ↑Y

Context: hsv' : InjOn v s

Context: g : ι ≃ { x // x ∈ Y }

Context: hg : ∀ i ∈ s, ↑(g i) = v i


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: κ : ι → Sort u_1

Context: a a₁ a₂ : α

Context: b b₁ b₂ : β

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice β

Context: inst✝ : CompleteLattice γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: l u : α → β → γ

Context: l₁ u₁ : β → γ → α

Context: l₂ u₂ : α → γ → β

Context: h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)

Context: h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)

sSup (image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι

P.coxeterWeight i j = P.coxeterWeight j i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α ↪ β
b✝ : ↑(Set.range ⇑f)
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f

(Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩ = f.invOfMemRange ⟨b, h⟩


f ((Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩) = f (f.invOfMemRange ⟨b, h⟩)


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K

R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)


R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
z : Sym2 α

z ∈ (x :: xs).sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2


z = s(x, x) ∨ (∃ a ∈ xs, s(x, a) = z) ∨ z ∈ xs.sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: is l : List α

Context: H : l ~ [] ++ is → (∃ ts', ∃ (_ : ts' ~ []), l = ts' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ t


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : ¬q = 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom ∣ q


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)

𝓝 f = ⨅ s, ⨅ (_ : IsCompact s), comap (restrict s) (𝓝 (restrict s f))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Add α

Context: b c d : WithTop α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: h : b < c

Context: a : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Add α

Context: c d : WithTop α

Context: x y : α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: a b : α

Context: h' h : ↑b < c


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x

Context: h : LiftProp P g