Context: X✝ : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f✝ : X✝ → Y✝

Context: g : Y✝ → Z

Context: X : ι → Type u_6

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)

Context: f : (i : ι) → X i → Y i

Context: h : ∀ (i : ι), IsProperMap (f i)


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: f✝ : X✝ → Y✝

Context: g : Y✝ → Z

Context: X : ι → Type u_6

Context: Y : ι → Type u_7

Context: f : (i : ι) → X i → Y i

Context: h : ∀ (i : ι), Continuous (f i) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter (X i)⦄ ⦃y : Y i⦄, Tendsto (f i) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f i x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

(Continuous fun x i => f i (x i)) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter ((i : ι) → X i)⦄ ⦃y : (i : ι) → Y i⦄, Tendsto (fun x i => f i (x i)) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (fun i => f i (x i)) = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : r ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : C r = 0


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : C r = C 0


Context: q₁ q₂ : ℚ

(q₁ * q₂).num = q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
h : H.Normal
a : G
_ha : a ∈ ⊤
b : G
hb : a * b * a⁻¹ ∈ H


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hD : D ∈ 𝓝 x

oscillationWithin f D x = oscillation f x


Context:
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α

LiftP p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)


(∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a_1 i), p (f_1 i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α

thickening δ (closure s) = thickening δ s


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

count p (n + 1) = count p n + if p n then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A

↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) y)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A

↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
hd : p ∣ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
p✝ q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝² : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ι : Type u_1
s : Finset ι
p : ι → R[X]
x : R

(∏ j ∈ s, p j).IsRoot x ↔ ∃ i ∈ s, (p i).IsRoot x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : Preorder Y

Context: inst✝ : OrderClosedTopology Y

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

Context: a : X

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hc : ContinuousOn f (closure s)

Context: U : Set X

Context: Uo : IsOpen U

Context: aU : a ∈ U

Context: hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : Preorder Y

Context: inst✝ : OrderClosedTopology Y

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

Context: a : X

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hc : ContinuousOn f (closure s)

Context: U : Set X

Context: Uo : IsOpen U

Context: aU : a ∈ U

U ∩ closure s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : Preorder Y

Context: inst✝ : OrderClosedTopology Y

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

Context: a : X

Context: h : IsLocalMaxOn f s a

Context: hc : ContinuousOn f (closure s)

Context: U : Set X

Context: Uo : IsOpen U

Context: aU : a ∈ U

Context: x : X

Context: hxU : x ∈ U

Context: hxs : x ∈ closure s


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : f ≠ 0


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : f ≠ 0
h : ∀ (x : M₁), f x = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ ν : Measure α
s : Set α

∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s ∧ ν t = ν s


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

num (x * y) z / denom (x * y) z = (↑(↑↑x 0 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 0 1)) / denom x (smulAux y z)


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

num (x * y) z / (denom x (smulAux y z) * denom y z) = (↑(↑↑x 0 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 0 1)) / denom x (smulAux y z)


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

num (x * y) z * (denom y z * denom x (smulAux y z)) = (↑(↑↑x 0 0) * num y z + ↑(↑↑x 0 1) * denom y z) * (denom x (smulAux y z) * denom y z)


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E

‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u / v‖


‖u‖ ≤ ‖u / v‖ + ‖v‖


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝ : FormallyEtale R S


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallyEtale R S

Context: this : FormallyEtale S Sₘ


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallyEtale R S

Context: this✝ : FormallyEtale S Sₘ

Context: this : FormallyEtale R Sₘ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : x ≠ y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
hne : x ≠ y
r : R
h : Wbtw R x y ((lineMap x y) r)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
ha : ¬IsMin a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
ha : IsPredLimit (pred a)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
h : IsInvolutory R
x y : R


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ interedges r s t ↔ (x, y) ∈ s.biUnion fun x => map { toFun := fun x_1 => (x, x_1), inj' := ⋯ } (filter (r x) t)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m n : ℤ
z₂ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((ofHom (𝟙 F)).comp z₂ ⋯).v p q hpq = z₂.v p q hpq


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: s : Set (β × γ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a : α

Context: this : ∀ (b : β), Prod.mk b ⁻¹' s = {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: s : Set (β × γ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: a : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n₁ n₂ : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
x✝² x✝¹ : ℤ
x✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹

(XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (n₂.negOnePow • n₁.negOnePow • K.d (x✝² + n₂ + n₁) (x✝¹ + n₂ + n₁)) = ((n₁ + n₂).negOnePow • K.d (x✝² + (n₁ + n₂)) (x✝¹ + (n₁ + n₂))) ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖

Summable fun n => ‖∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)‖


Summable fun n => ‖∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
x : α


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f

map p.mkQ (comap f q) ≤ comap (p.liftQ f h) q


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s

nodal (insert i s) v = (X - C (v i)) * nodal s v


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
α : Type u
l₁ l₂ : List α
H : l₁.length ≤ l₂.length

Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂


Context:
o : ONote
f : ℕ → ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inr f

o.fastGrowing = fun i => (f i).fastGrowing i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : R[M]

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = (of R M) (Multiplicative.ofAdd m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f g : R[M]

Context: ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f

Context: ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = g

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f + g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: r : R

Context: f : R[M]

Context: ih : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f

∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = r • f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
f : β → α
S : Finset β


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: s : Set Γ₀

IsOpen s ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: s : Set Γ₀

((0 ∈ s → s ∈ 𝓝 0) ∧ ∀ (b : Γ₀), b ≠ 0 → b ∈ s → s ∈ 𝓝 b) ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
n : ℤ
x : R


Context: a b : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num ∣ a


Context:
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b


Context:
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
this : (a * ↑d).natAbs = (n * b).natAbs


Context: a b : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: e : a * ↑d = n * b

Context: this : a.natAbs * d = n.natAbs * b.natAbs


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓤 α


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: u₁ u₂ : UniformSpace α

Context: h : 𝓤 α = 𝓤 α

Context: this : toTopologicalSpace = toTopologicalSpace


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E

x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : M → F₁ →L[𝕜] F₂

Context: f : M → F₁

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x

Context: hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => x.1 x.2) ?m.116039 ((fun x => (g x, f x)) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : M → F₁ →L[𝕜] F₂

Context: f : M → F₁

Context: s : Set M

Context: x : M


Context:
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n


map (fun x => count x (map ⇑e ↑s)) (map ⇑e ↑s).dedup = map (fun x => count x ↑s) (↑s).dedup


map (fun x => count x (map ⇑e ↑s)) (map (⇑e) (↑s).dedup) = map (fun x => count x ↑s) (↑s).dedup


map (fun x => count (e x) (map ⇑e ↑s)) (↑s).dedup = map (fun x => count x ↑s) (↑s).dedup


(fun x => count (e x) (map ⇑e ↑s)) = fun x => count x ↑s


Context:
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
i : σ


Context:
X : Type u_1
x : X


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ℕ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
i j : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t

∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑m) f (insert x s ∩ u)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t
u : Set E
huo : IsOpen u
hxu : x ∈ u
hut : u ∩ insert x s ⊆ t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p t
u : Set E
huo : IsOpen u
hxu : x ∈ u
hut : insert x s ∩ u ⊆ t


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

angle x y = π ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
x : M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id) = LinearMap.range (r ^ m • LinearMap.id)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ∀ (x : M), x ∈ LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id) ↔ x ∈ LinearMap.range (r ^ m • LinearMap.id)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℤ
x : E

‖n • x‖ = ‖↑n‖ * ‖x‖


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b

(volume (univ.pi fun i => Ioc (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K

(∀ (i : PrimeSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: hF : F ∈ Compactum.basic (Compactum.cl A)

Context: fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))

Context: ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C0 : ssu := {Z | ∃ B ∈ F, X.str ⁻¹' B = Z}

Context: AA : Set (Ultrafilter X.A) := {G | A ∈ G}

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: C2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure C1


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty

Context: claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty

Context: claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty

∀ (T : fsu), ι T ⊆ C1 → (⋂₀ ι T).Nonempty


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty

Context: claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty

Context: claim4 : FiniteInter (finiteInterClosure C1)


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty

Context: claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty

Context: claim5 : FiniteInter C0


Context: X : Compactum

Context: A : Set X.A

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: C1 : ssu := insert AA C0

Context: claim1 : ∀ B ∈ C0, ∀ C ∈ C0, B ∩ C ∈ C0

Context: claim2 : ∀ B ∈ C0, B.Nonempty

Context: claim3 : ∀ B ∈ C0, (AA ∩ B).Nonempty

Context: claim5 : FiniteInter C0

Context: claim6 : ∀ P ∈ C2, P.Nonempty

Context: T : fsu

Context: hT : ι T ⊆ C1


Context:
m : ℕ+
v : PrimeMultiset


Context: m : ℕ+

Context: v : PrimeMultiset

Context: h : m.factorMultiset ≤ v.prod.factorMultiset ↔ m ∣ v.prod := factorMultiset_le_iff


Context:
m : ℕ+
v : PrimeMultiset
h : m.factorMultiset ≤ v ↔ m ∣ v.prod


Context: α : Type u

Context: L₁✝ L₂✝ L₃ L₄ L₁ L₂ : List (α × Bool)

Context: x✝ : α

Context: b✝ : Bool

Context: h' : [] = L₁ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hξ : ξ ^ k = 1
h0 : 0 < k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ξ : R
hξ : ξ ^ k = 1
h0 : 0 < k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
h0 : 0 < k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k
ξ : Rˣ
hξ : ↑ξ ^ k = 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ↑ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ ξ : Rˣ
k : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ↑ξ ^ ↑k = 1


Context:
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ


Context: f g : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hfg : f.measure = g.measure

Context: hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)

Context: hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)

Context: x : ℝ

Context: hf : f.measure (Iic x) = ofReal (↑f x - l)


Context:
f g : StieltjesFunction
l : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)
x : ℝ
hf : ↑f x - l = ↑g x - l


Context: f g : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hfg : f.measure = g.measure

Context: hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)

Context: hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)

Context: x : ℝ

Context: hf : ofReal (↑g x - l) = ofReal (↑f x - l)


Context: f g : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hfg : f.measure = g.measure

Context: hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)

Context: hgl : Tendsto (↑g) atBot (𝓝 l)

Context: x : ℝ


Context: a b : Ordinal.{u_1}

a.toPGame ≤ b.toPGame ∧ b.toPGame ≤ a.toPGame ↔ a = b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : CompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230577, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ

(lift (inr φ) (-(Cocycle.ofHom φ).leftShift 1 1 rotateHomotopyEquiv.proof_3) (-(inl φ).leftShift 1 0 rotateHomotopyEquiv.proof_4) ⋯).f p ≫ (triangle (inr φ)).mor₃.f p = -φ.f (p + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h : ∀ (i : m), p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0

M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

(M.toSquareBlockProp fun i => ¬¬p i).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

∀ (i : m), ¬¬p i → ∀ (j : m), ¬p j → M i j = 0


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n


Context: J : Type w

Context: f : J → AddCommGrp

Context: s : Cone (Discrete.functor f)

Context: m : s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt

Context: w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π.app j = s.π.app j

Context: x : ↑s.pt


Context: J : Type w

Context: f : J → AddCommGrp

Context: s : Cone (Discrete.functor f)

Context: x : ↑s.pt

Context: j : J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ

IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ
x : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
ho' : f =O[atTop] g'
hg' : IntegrableAtFilter g' atTop μ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
H : Function.Injective f
hs : s ⊆ range f


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
this : NeZero ↑↑n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r


(∀ i ∈ s, infEdist i t ≤ r) ∧ ∀ i ∈ t, infEdist i s ≤ r


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s s₁ s₂ : Finset β

Context: f✝ g : β → α

Context: a : α

Context: P : α → Prop

Context: Pbot : P ⊥

Context: Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)

Context: t : Finset β

Context: f : β → { x // P x }

Context: this✝ : SemilatticeSup { x // P x } := Subtype.semilatticeSup Psup

Context: this : OrderBot { x // P x } := Subtype.orderBot Pbot


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
c : R
m : ℕ

derivative ((X + C c) ^ m) = C ↑m * (X + C c) ^ (m - 1)


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
x y : α


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α

Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid M

Context: inst✝⁹ : HasShift C M

Context: inst✝⁸ : HasShift D M

Context: inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z

Context: a b c : M

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: g : SmallShiftedHom W Y Z b

Context: h : b + a = c

((L.commShiftIso c).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (SmallHom.comp f (g.shift a c h))) = ((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D a).map (((L.commShiftIso b).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) g)) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid M

Context: inst✝⁹ : HasShift C M

Context: inst✝⁸ : HasShift D M

Context: inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a b c : M

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: g : SmallShiftedHom W Y Z b

Context: h : b + a = c

((SmallHom.equiv W L) f ≫ (SmallHom.equiv W L) (g.shift a c h)) ≫ ((L.commShiftIso c).app Z).hom = ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g ≫ ((L.commShiftIso b).app Z).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹⁰ : AddMonoid M

Context: inst✝⁹ : HasShift C M

Context: inst✝⁸ : HasShift D M

Context: inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : HasShift D M

Context: inst✝⁴ : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a b c : M

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: g : SmallShiftedHom W Y Z b

Context: h : b + a = c

(SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z) = (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s


(∀ (x : G), x ∈ s ↔ x = 1) ↔ ∀ x ∈ s, x = 1


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G' →* G
K : Subgroup G'

(comap f H).relindex K = H.relindex (map f K)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x


(fun y => c y / d y) = fun y => c y * (Inv.inv ∘ d) y


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m₁ m₂ : ι

Context: h : m₁ ≤ m₂

Context: h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m₁ m₂ : ι

Context: h : m₁ ≤ m₂

Context: h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s

sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m₁ m₂ : ι

Context: h : m₁ ≤ m₂

Context: j : ι

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁

Context: hj₂ : u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m₁ m₂ : ι

Context: h : m₁ ≤ m₂

Context: j : ι

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁

Context: hj₂ : u j ω ∈ s

sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y

(M.restrictSubtype Y).Basis I X ↔ M.Basis' ↑I ↑X


M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E) ∧ ↑X ⊆ Y ↔ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α

(image f s).sym2 = image (Sym2.map f) s.sym2


(image f s).sym2.val = (image (Sym2.map f) s.sym2).val


(Multiset.map f s.val).dedup.sym2 = (Multiset.map (Sym2.map f) s.val.sym2).dedup


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum κ) a) s = ((∑ i : ι, κ i) a) s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

iIndepSet f μ ↔ ∀ (s : Finset ι), μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι) → s i

(((map fun i => f (e.symm i)) ∘ₗ ↑(reindex R s e)).compMultilinearMap (tprod R)) m = ((↑(reindex R t e) ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) m


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰

{ toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 } = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)) (Localization.mk x.1 x.2)


IsLocalization.mk' (RatFunc K) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (RatFunc K) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x L μ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : MulZeroClass β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
hg₀ : 0 ≤ᶠ[l] g₁
hf₀ : 0 ≤ᶠ[l] f₂


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.op.f
this✝¹ : Mono S₂.op.f
this✝ : Mono (opMap φ).τ₁
this : Mono (opMap φ).τ₃


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.op.f
this✝² : Mono S₂.op.f
this✝¹ : Mono (opMap φ).τ₁
this✝ : Mono (opMap φ).τ₃
this : Mono (opMap φ).τ₂


Context:
m n : ℤ
even : Even (n - m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


↑f a✝ ≤ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : K

Context: a : L

(a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ a ∈ (minpoly F x).rootSet L


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : K

Context: a : L

(a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ (aeval a) (minpoly F x) = 0


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: x : K

Context: a : L

Context: x✝ : a ∈ Set.range fun ψ => ψ x

Context: ψ : K →ₐ[F] L

Context: hψ : (fun ψ => ψ x) ψ = a


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)

(match (Seq.cons b s).destruct with | none => (a, S.join) | some s' => (a, (Seq.cons s' S).join)) = (a, (Seq.cons (b, s) S).join)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1


Context:
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ

(Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r


Context:
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
r : ℝ
l : List ι
hs : ∀ i ∈ ⟦l⟧, 0 ≤ f i

(Multiset.map (fun x => f x ^ r) ⟦l⟧).prod = (Multiset.map f ⟦l⟧).prod ^ r


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Subsingleton R


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation (WSeq α)


Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ c, c1 = (flatten c).destruct ∧ c2 = c.bind destruct


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n
this : a ^ n > -b ^ n


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
ho : Odd n


Context: n : ℕ

powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ≈ powHalf n


Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m


Context: n : ℕ

∀ (i : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).LeftMoves), (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveLeft i ⧏ powHalf n


Context: n : ℕ

∀ (j : (powHalf n).RightMoves), powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ⧏ (powHalf n).moveRight j


Context: n : ℕ

∀ (i : (powHalf n).LeftMoves), (powHalf n).moveLeft i ⧏ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)


Context: n : ℕ

∀ (j : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).RightMoves), powHalf n ⧏ (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveRight j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ [[a, b]] → f c ∈ [[f a, f b]]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
hn : n = 0


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a 1 ^ orderOf (a 1) = 1


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a ↑(orderOf (a 1)) = 1


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : ↑(orderOf (a 1)) = 0


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : orderOf (a 1) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B

Context: C : R

Context: hC : c = d * C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B

Context: C : R

Context: hC : c = d * C

Context: ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0

Context: hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0

Context: hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0

Context: habc : d ^ n * A ^ n + d ^ n * B ^ n = d ^ n * C ^ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B

Context: C : R

Context: hC : c = d * C

Context: ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0

Context: hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0

Context: hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0

Context: habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: a b c : R

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B

Context: C : R

Context: hC : c = d * C

Context: ha : d ≠ 0 ∧ A ≠ 0

Context: hb : d ≠ 0 ∧ B ≠ 0

Context: hc : d ≠ 0 ∧ C ≠ 0

Context: habc : A ^ n + B ^ n = C ^ n

Context: u : Rˣ

Context: hu : normalize d * ↑u = d


Context:
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Setoid (α i)
f : (i : ι) → α i

(Quotient.recOn Finset.univ.val (fun l => finChoiceAux l fun i x => ⟦f i⟧) ⋯).liftOn (fun f => ⟦fun i => f i ⋯⟧) ⋯ = ⟦f⟧


⟦fun i x => f i⟧.liftOn (fun f => ⟦fun i => f i ⋯⟧) ⋯ = ⟦f⟧


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜

Context: t : Finset α

t ∈ ∂ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(W.baseChange B).ψ₂ = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (W.baseChange A).ψ₂


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0

Context: β : ι → Type u_2 := fun i => Antisymmetrization (α i) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: e : (i : ι) → α i → β i := fun i => toAntisymmetrization fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x✝ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }

Context: this : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0

Context: x✝¹ : (i : ι) → Zero (β i) := fun i => { zero := e i 0 }

Context: x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: h : x✝ < y✝

InvImage (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2) (mapRange (fun i => e i) ⋯) x✝ y✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0

Context: this✝ : WellFounded (DFinsupp.Lex (Function.swap WellOrderingRel) fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2)

Context: x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: h : x✝ < y✝

Context: this : IsStrictOrder ι (Function.swap WellOrderingRel)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), WellFoundedLT (α i)

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬a < 0

Context: x✝ y✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: h : x✝ < y✝

Context: i : ι

Context: he : ∀ (j : ι), Function.swap WellOrderingRel j i → x✝ j ≤ y✝ j ∧ y✝ j ≤ x✝ j

Context: hl : x✝ i < y✝ i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Ring α

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalRing α

Context: inst✝ : UniformAddGroup α

Context: m : α →+ α →+ Completion α := AddMonoidHom.mul.compr₂ toCompl


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Ring α

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalRing α

Context: inst✝ : UniformAddGroup α

Context: this : Continuous fun p => (m p.1) p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Ring α

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalRing α

Context: inst✝ : UniformAddGroup α

Context: this : Continuous fun p => (m p.1) p.2

Context: di : DenseInducing ⇑toCompl


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

(f + g) i ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

∀ (a : Ω), f i a ≤ (μ[f j|↑ℱ i]) a → g i a ≤ (μ[g j|↑ℱ i]) a → (f + g) i a ≤ (μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Submartingale g ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: a✝² : Ω

Context: a✝¹ : f i a✝² ≤ (μ[f j|↑ℱ i]) a✝²

Context: a✝ : g i a✝² ≤ (μ[g j|↑ℱ i]) a✝²

(f + g) i a✝² ≤ (μ[f j|↑ℱ i] + μ[g j|↑ℱ i]) a✝²


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → Finset α
g : κ → Finset β

interedges r (s.biUnion f) (t.biUnion g) = (s ×ˢ t).biUnion fun ab => interedges r (f ab.1) (g ab.2)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

∫ (x : ℝ), g (a⁻¹ * x) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : β → γ
g : α → β
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kg : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t
Kf : ℝ≥0
u : Set β
hu : u ∈ 𝓝 (g x)
hfL : LipschitzOnWith Kf f u

∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K (f ∘ g) t


LipschitzOnWith (Kf * Kg) (f ∘ g) (t ∩ g ⁻¹' u)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Compacts α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Compacts α
a : ι
s : Finset ι
x✝ : a ∉ s
h : ↑(s.sup f) = s.sup fun i => ↑(f i)

↑((Finset.cons a s x✝).sup f) = (Finset.cons a s x✝).sup fun i => ↑(f i)


↑(f a) ∪ ↑(s.sup f) = ↑(f a) ∪ s.sup fun i => ↑(f i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: v : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Context: clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: v : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

{x_1 | (fun n => x + d n ∈ s) x_1} ⊆ {x_1 | (fun n => f x + (fun n => f (x + d n) - f x) n ∈ f '' s) x_1}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ

‖setToFun μ T hT f‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖


‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
w✝ : M
α : Type u_7
t : Finset α
B : α → BilinForm R M
v w : M

((∑ i ∈ t, B i) v) w = ∑ i ∈ t, ((B i) v) w


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p
inst✝ : Fintype { i // p i ≠ ⊥ }

Fintype.card { i // p i ≠ ⊥ } ≤ finrank R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Set β

Context: hg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t

Context: hg' : g univ = univ

Context: s t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: h h₁ h₂ : Set α → Set β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Set β

Context: hg' : g univ = univ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this : 0 ≤ ε₂


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝¹ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝³ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝² : 0 ≤ ε₂

Context: this✝¹ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝¹

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝⁴ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝³ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝² : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝¹ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝²

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this✝ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

Context: this : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝⁵ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝⁴ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝² : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝³

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this✝¹ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

Context: this✝ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)

Context: this : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝⁵ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁴

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

Context: this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)

Context: this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)

Context: this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝⁶ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁵

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

Context: this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)

Context: this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)

Context: this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁

Context: this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: s : Set X

Context: Φ : ↑s → Y

Context: ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ

Context: hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁

Context: hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: xX : X

Context: h✝ : xX ∈ univ

Context: xs : X

Context: hxs : xs ∈ s

Context: Dxs : dist xX xs ≤ ε₁

Context: sne : s.Nonempty

Context: this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

Context: this✝⁷ : 0 ≤ ε₂

Context: this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)

Context: this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁶

Context: Fl : X → X ⊕ Y := inl

Context: Fr : Y → X ⊕ Y := inr

Context: Il : Isometry Fl

Context: Ir : Isometry Fr

Context: this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

Context: this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)

Context: this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)

Context: this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁

Context: this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ

Context: this : hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.84737, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ

(shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K = (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P✝ : Ideal R[X]
hP✝ : P✝.IsMaximal
P : Ideal R[X]
hP this : P.IsMaximal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

frontier {b | f b < g b} ⊆ {b | f b = g b}


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

(∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g✝ : ι → α
g : ↑s → ι
hg : ∀ (i : ↑s), f (g i) ≤ f ↑i
ht : s.PairwiseDisjoint f
x y : ↑s
hxy : g x ≠ g y


Context:
l r : List Char
c : Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it

ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) (it.setCurr c)


Context: l r : List Char

Context: c : Char

Context: h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) ({ s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.setCurr c)


Context: l r : List Char

Context: c : Char

ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }


Context: l r : List Char

Context: c : Char

{ s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)


Context: l r : List Char

Context: c : Char

Context: this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l.reverse } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }


Context: l r : List Char

Context: c : Char

Context: this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T2Space γ

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: hf : ∀ (b : β), ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)

Context: a : α

Context: b : γ

Context: hb : Tendsto f (comap i (𝓝 (i a))) (𝓝 b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T2Space γ

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: a : α

Context: b : γ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α

Disjoint (a ⊔ b) c ↔ Disjoint a c ∧ Disjoint b c


Context: z w : ℂ

normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re


Context: z w : ℂ

normSq z + normSq (-w) + 2 * (z * (starRingEnd ℂ) (-w)).re = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re


Context: z w : ℂ

normSq z + normSq w + -(2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re) = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x


RingHom.comp (localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)) = RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))


RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (RingHom.comp (localizationToStalk R y) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))


RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (RingHom.comp (localizationToStalk R y) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = RingHom.comp (localizationToStalk R x) (RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h)) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)))


RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = (IsLocalization.lift ⋯).comp ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)))


RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (toStalk R y) = toStalk R x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
this : IsSplitEpi S.toCycles


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (Metric.ball c r)

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)

∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ℝ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Metric.ball c r

Context: f : ℂ → ℂ

Context: n : ℕ

(↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(r • μ).toSignedMeasure i = ↑(r • μ.toSignedMeasure) i


Context: i j : ℕ


Context:
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g

h.isoPullback.inv ≫ snd = pullback.snd f g


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]

RatFunc.mk p q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: h₂ : Tendsto ((fun a => a ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: h₂ : Tendsto (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f

(map f μ).InnerRegularWRT IsCompact fun s => MeasurableSet s ∧ (map f μ) s ≠ ⊤


∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet (f ⁻¹' U) ∧ μ (f ⁻¹' U) ≠ ⊤


∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet U


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g

(whiskerEquiv e w).inv = lift fun j => π g (e j) ≫ (w j).hom


(desc fun k => eqToHom ⋯ ≫ (w (e.symm k)).hom ≫ ι f (e.symm k)) = lift fun j => π g (e j) ≫ (w j).hom


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1

(finChoiceAux (i :: l) fun i_1 h => ⟦f i_1 h⟧) = ⟦f⟧


⟦fun j h => if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯⟧ = ⟦f⟧


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l

(if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯) ≈ f j h


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l
e : j = i


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
h : i ∈ i :: l


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ

(fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)

∀ (i : ι), (b.repr ↑(ceil b m)) i = (b.repr m) i


∀ (i : ι), ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i


↑⌈(algebraMap ℤ K) z⌉ = (algebraMap ℤ K) z


Context: s t : Set ℝ

closure (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ closure t


Context:
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid n I


(contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs)) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source ∧ (contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target


ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


Context:
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
this : ContDiffOn 𝕜 n id univ


Context:
G : Type u
inst✝² : LeftCancelMonoid G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : Nontrivial G


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M
l : e.symm ≫ₕ e'' ∈ G
r : e''.symm ≫ₕ e ∈ G


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N

Context: hi : i < p.lastStep


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < p.lastStep

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N