Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop

Context: x y : F α

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩

Context: h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop

Context: x y : F α

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩

(fun i t => (↑t).1) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop

Context: x y : F α

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩

(fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop

Context: x y : F α

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩

Context: yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩

abs ((fun i t => (↑t).2) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f₁⟩


Context: b : ℕ


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this : UniformSpace G := B.uniformSpace

Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: B : AddGroupFilterBasis G

Context: F : Filter G

Context: this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace

Context: this : UniformAddGroup G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: B : AddGroupFilterBasis G

Context: F : Filter G

Context: this : UniformAddGroup G

F ×ˢ F ≤ uniformity G ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: B : AddGroupFilterBasis G

Context: F : Filter G

Context: this : UniformAddGroup G

map (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) ≤ nhds 0 ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: B : AddGroupFilterBasis G

Context: F : Filter G

Context: this : UniformAddGroup G

Tendsto (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) (nhds 0) ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x z d : R
h : IsCoprime (x * d) z


Context:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
x : ↑Y

(explicitCokernelπ f ≫ explicitCokernelDesc cond) x = g x


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
this : Nontrivial α


Context: x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α

∀ (a : List α), (∀ x ∈ ⟦a⟧, 1 ≤ x) → prod ⟦a⟧ = 1 → ∀ x ∈ ⟦a⟧, x = 1


∀ (a : List α), (∀ x ∈ a, 1 ≤ x) → a.prod = 1 → ∀ x ∈ a, x = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty

(image₂ f s t).sup' h g = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)


(s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x y : HahnSeries Γ R

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1

(affineCombination k s fun x => p) w = p


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: sb : Bornology.IsBounded s

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)

Context: h's : MeasurableSet s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: sb : Bornology.IsBounded s

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: h's : MeasurableSet s

Context: h : ¬μ s = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)


{t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ⊆ ↑(range ((mk R S M) 1))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
y : M
x : R

(algebraMap R S) x ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(range ((mk R S M) 1))


1 ⊗ₜ[R] (x • y) ∈ ↑(range ((mk R S M) 1))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : ℝ≥0∞


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: X : J

Context: hX : IsTerminal X

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

𝟙 (F.obj X) ≫ inv (F.map (hX.from j)) = inv (F.map (hX.from i)) ≫ F.map f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: δ : Type u_4

Context: π : δ → Type u_5

Context: inst✝¹ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: l : List δ

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : δ) → Set (π i)

(Measure.tprod l μ) (Set.tprod l s) = (List.map (fun i => (μ i) (s i)) l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set β
h : Codisjoint s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set β
h : s ∪ t = ⊤


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → δ
g : β → γ

image2 f (↑s) (g '' ↑t) = image2 (fun a b => f a (g b)) ↑s ↑t


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR

(lsub fun i => (xL i).birthday) = lsub fun i => (yL i).birthday


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

(lsub fun i => (xR i).birthday) = lsub fun i => (yR i).birthday


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

(i ∈ Set.range fun i => (xL i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (yL i).birthday


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

(i ∈ Set.range fun i => (yL i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xL i).birthday


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

(i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday


Context: xl xr : Type u

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: yl yr : Type u

Context: yL : yl → PGame

Context: yR : yr → PGame

Context: i : Ordinal.{u}

(i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
f : ι → α
a : α

⋃ i, Ioc a (f i) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, x ≤ f i


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
K : Subgroup G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 < C

dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C


(∀ (x : α), dist ((mkOfCompact f) x) ((mkOfCompact g) x) < C) ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂

∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 m0' : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hm0 : m0 ≤ m0'
μ : Measure α
f g : α → β
hg_meas : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.trim hm0)] g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝² : One β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : MetrizableSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β


Context:
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.10991, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : IsZero S.X₂


IsZero (HomologyData.ofZeros S ⋯ ⋯).left.H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hK : μ A < μ K + ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝ : One β
s : Set α
c : β

EventuallyConst (s.mulIndicator fun x => c) l ↔ c = 1 ∨ EventuallyConst s l


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle y (y - x)).sin * ‖y - x‖ = ‖x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E

StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s


StarConvex 𝕜 x s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β

QuasilinearOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)


(Convex 𝕜 s ∧ (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)


((∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite

Context: this : ¬Injective fun n => x ^ n


Context:
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f
g : F[X]
hf : IsSeparableContraction q f g


Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring F

Context: q : ℕ

Context: g : F[X]

Context: m : ℕ

Context: hf✝ : HasSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g)

Context: hf : IsSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g) g

∃ m_1, g.natDegree * q ^ m_1 = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring F

Context: q : ℕ

Context: g : F[X]

Context: m : ℕ

g.natDegree * q ^ m = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
a✝¹ : α
h₁ : ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = ↑↑↑0 a✝¹
a✝ : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X

∃ I, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: I : Finset ι

Context: hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: I : Finset ι

Context: x : X

Context: hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I

Context: x_in : x ∈ s


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: I : Finset ι

Context: x : X

Context: hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I

Context: x_in : x ∈ s

Context: this : ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x = ∑ i ∈ I, (ρ i) x


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m

(toMatrix bM bN) ((dualTensorHom R M N) (bM.coord j ⊗ₜ[R] bN i)) i' j' = stdBasisMatrix i j 1 i' j'


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬(i = i' ∧ j = j')


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬i = i' ∨ ¬j = j'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f✝ : Filter α

Context: g✝ : Filter β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter γ

Context: p : α × γ × γ → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x

∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s✝ : Set α

Context: t✝ : Set β

Context: f✝ : Filter α

Context: g✝ : Filter β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter γ

Context: p : α × γ × γ → Prop

Context: t : α → Prop

Context: ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x

Context: s : γ × γ → Prop

Context: hs : ∀ᶠ (y : γ × γ) in g ×ˢ g, s y

Context: hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : γ × γ}, s y → p (x, y)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p m R


Context:
b x y : ℝ
k : ℕ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β

StronglyMeasurable f ↔ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)

Context: Hm : Measurable f

Context: Hsep : IsSeparable (range f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: Hm : Measurable f

Context: Hsep : IsSeparable (range f)

Context: this : SecondCountableTopology ↑(range f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: Hm : Measurable f

Context: Hsep : IsSeparable (range f)

Context: Hm' : StronglyMeasurable (rangeFactorization f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)

IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)


(∀ (j : WalkingParallelPair), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Unique α
b' : M


Context:
x y : ℝ
hxy : x ≤ y


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d


¬b • d ≤ a • d


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

sublistsLen 1 [] = map (fun x => [x]) [].reverse


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse

sublistsLen 1 (a :: s) = map (fun x => [x]) (a :: s).reverse


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l : List α

Context: a : α

Context: s : List α

map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (cons a) [[]] = map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (fun x => [x]) [a]


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : R ⊆ E


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K✝ L✝ K L : ConvexBody V


Context: n m l : ℕ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)

(G'.deleteEdges s).deleteEdges s' = G'.deleteEdges (s ∪ s')


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k, beattySeq' r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq s k = x}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: x : β

Context: h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

x ≤ limsup u f ↔ ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: x : β

Context: h : ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a


WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ


WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ⊥) = univ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
i : ℕ
x : α
l : List α


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#↑{f | Surjective f} = 0 ↔ lift.{v, u} #α < lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#↑{f | Surjective f} ≠ 0 ↔ (#α = 0 ∨ ¬#β' = 0) ∧ Nonempty (β' ↪ α)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α

CompleteSpace α ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ∃ x, ↑l ≤ 𝓝 x


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

hurwitzZeta (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0

hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k.succ) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α

s < t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex


(∀ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex) ∧ s ≠ t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝³ : HasImage f

Context: inst✝² : HasCokernel (image.ι f)

Context: inst✝¹ : HasCokernel f

Context: inst✝ : Epi (factorThruImage f)

Context: w : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : image.ι f ≫ cokernel.π f = 0


(factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α

(c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
this : Nonempty { t // s ⊆ ⋃ i, t i }


c * ⨅ x, ∑' (n : ℕ), m (↑x n) = ⨅ x, c * ∑' (i : ℕ), m (↑x i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c d : G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

{b}.preimage (fun x => a * x) ⋯ = {a⁻¹ * b}


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g * x) = -f x


Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k = (monomial n) (↑n + 1)


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1).choose (x + x_1)) • (monomial x) (_root_.bernoulli x_1 * ↑((x + x_1).choose x)) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (monomial x) (↑((n + 1).choose (x + x_1)) * ↑((x + x_1).choose x) * _root_.bernoulli x_1) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (↑((n + 1 - x).choose x_1) * _root_.bernoulli x_1) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range (n + 1), (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1


Context: n : ℕ

(∑ i ∈ range (n + 1 - n), ↑((n + 1 - n).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial n) ↑((n + 1).choose n) + ∑ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0


Context: n : ℕ

∀ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0


Context:
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1


Context:
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n

(∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0


(if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0


Context: n : ℕ

Context: f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1

Context: x : ℕ

Context: hx : x ∈ range n

Context: g : (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t

(t.biUnion fun a => filter (fun c => f c = a) s) = s


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a b : ℝ

Context: h : a < b

Context: h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a b : ℝ

Context: h : a < b


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a b : ℝ

Context: h : 0 < b - a


Context: c : ℝ

Context: f g : ℕ → Bool

Context: n : ℕ

Context: a b : ℝ

Context: h : 0 < b - a

Context: h2 : #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a)) ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ico a b) (Ico (a + d) (b + d))


BijOn (fun x => x + d) (Ici a ∩ Iio b) (Ici (a + d) ∩ Iio (b + d))


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this : LocallyCompactSpace H


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : LocallyCompactSpace M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝¹ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝ : LocallyCompactSpace M

Context: this : SecondCountableTopology H


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝² : LocallyCompactSpace H

Context: this✝¹ : LocallyCompactSpace M

Context: this✝ : SecondCountableTopology H

Context: this : SecondCountableTopology M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: v : ℕ → Set M := fun n => thickening (u n) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: K : Set M

Context: K_compact : IsCompact K

Context: vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝⁴ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace M

Context: this✝² : SecondCountableTopology H

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology M

Context: this✝ : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: K : Set M

Context: K_compact : IsCompact K

Context: vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, support g = v n ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g ∧ range g ⊆ Icc 0 1 ∧ ∀ x ∈ s, g x = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: K : Set M

Context: K_compact : IsCompact K

Context: vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K

Context: g : ℕ → M → ℝ

Context: g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n

Context: g_diff : ∀ (n : ℕ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g n)

Context: g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1

Context: L : Tendsto (fun n => ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: this✝⁴ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace M

Context: this✝² : SecondCountableTopology H

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology M

Context: this✝ : MetrizableSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: K : Set M

Context: K_compact : IsCompact K

Context: vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K

Context: g : ℕ → M → ℝ

Context: g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ = 0


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀

Context: inst✝ : Ring R

Context: v : AddValuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: hx : v x < v y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: inst✝ : Ring R

Context: v : AddValuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: hx : v x < v y


Context: x y : EReal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Set α
a : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0

∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

Context: der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

(fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = fun x => ↑(cos x) ^ n * Complex.cos (2 * z * ↑x)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

IntervalIntegrable (fun x => -↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) volume 0 (π / 2)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

IntervalIntegrable (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
this : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
ϕ : τ → α → α
s : Set α

IsInvariant ϕ s ↔ ∀ (t : τ), ϕ t '' s ⊆ s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M

GradedMonoid.GMul.mul ((tprod R) a) ((tprod R) b) = (tprod R) (Fin.append a b)


(reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tmulEquiv R M) ((tprod R) a ⊗ₜ[R] (tprod R) b)) = (tprod R) (Fin.append a b)


(reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tprod R) fun i => Sum.elim a b i) = (tprod R) (Fin.append a b)


((tprod R) fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = (tprod R) (Fin.append a b)


(fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = Fin.append a b


(fun i => Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr i)) = Fin.addCases a b


∀ (x : Fin (na + nb)), Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr x) = Fin.addCases a b x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C

(X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ ((X.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X.tensorObj Y₁).snd.β U).hom ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f


(X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ (α_ X.fst Y₂.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₂.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₂.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₂.fst ≫ (α_ U X.fst Y₂.fst).hom = ((α_ X.fst Y₁.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₁.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₁.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₁.fst ≫ (α_ U X.fst Y₁.fst).hom) ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0

∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : f = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure

Context: f g : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: g_nonneg : 0 ≤ g

Context: x₀ : G

Context: g_pos : g x₀ ≠ 0

Context: Hf : LocallyCompactSpace G

Context: D : G → ℝ := fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure

Context: f g : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: g_nonneg : 0 ≤ g

Context: x₀ : G

Context: g_pos : g x₀ ≠ 0

Context: Hf : LocallyCompactSpace G

Context: D_cont : Continuous D


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v w : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
h : μ ≤ ν
hf : AEMeasurable f ν
s : Set δ
hs : MeasurableSet s


Context:
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s


Context:
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s


Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : NormedRing β

Context: hn : IsAbsoluteValue norm

Context: f : CauSeq β norm

Context: inst✝ : IsComplete β norm

Context: s : Set β

Context: os : IsOpen s

Context: lfs : f.lim ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε


Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : NormedRing β

Context: hn : IsAbsoluteValue norm

Context: f : CauSeq β norm

Context: inst✝ : IsComplete β norm

Context: s : Set β

Context: os : IsOpen s

Context: lfs : f.lim ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: b : ℕ

Context: hb : b ≥ N


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Nat.card (G ⧸ H) * Nat.card ↥H = s * p * Nat.card ↥H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p

Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p = 0


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)

Context: x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer

Context: hx : orderOf x = p

Context: hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)

Nat.card ↑(Subtype.val '' ↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))) = p ^ (n + 1)


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hx : orderOf x = p

Nat.card ↑↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x)) = Nat.card (↥(H.subgroupOf H.normalizer) × ↥(zpowers x))


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hx : orderOf x = p

Context: y : G

Context: hy : y ∈ H

y ∈ Subgroup.map H.normalizer.subtype (comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hx : orderOf x = p

Context: y : G

Context: hy : y ∈ H


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)

Context: K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: hsub : K' ≤ K


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: hsub : K' ≤ K

Context: dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: hsub : K' ≤ K

Context: finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: hsub : K' ≤ K

(minpoly (↥K') α).natDegree ≤ (minpoly (↥K) α).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: α : E

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : Field K✝

Context: inst✝³ : Algebra F K✝

Context: L : Type u_3

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K✝ L

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: K : IntermediateField F E

Context: hsub : K' ≤ K

(minpoly (↥K) α).natDegree = (g.toSubring K'.toSubring ⋯).natDegree


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (na * ↑db + nb * ↑da) = (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (↑k * nc)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

Context: h₁ : ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑db * ⅟↑da

Context: h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Ring α

Context: na nb nc : ℤ

Context: da db dc k : ℕ

Context: inv✝¹ : Invertible ↑da

Context: inv✝ : Invertible ↑db

Context: h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc

Context: h₂✝ : da * db = k * dc

Context: this✝ : Invertible ↑(da * db)

Context: this : Invertible ↑dc

↑nc * ↑k * ⅟↑db * ⅟↑da = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p

↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f

∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g b c ∂η (a, b) ∂κ a


∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i : ι
inst✝ : Nontrivial M₀


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n

x ∈ Metric.ball 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 < r ^ 2}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
this : 0 ≤ ∑ i : n, x i ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ))) x = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: h₁ : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x = n + χ x • LinearMap.id


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: h₂ : (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ)) n = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: x : L

0 + (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ)) (χ x • LinearMap.id) = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → α

Context: g : α → γ → α

Context: hfg : (Set.range fun a c => f c a) ⊆ Set.range fun b c => g c b

Context: a : α

(Set.range fun l => foldl f a l) ⊆ Set.range fun l => foldl g a l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → α

Context: g : α → γ → α

Context: a : α

(Set.range fun l => foldr (fun z w => f w z) a l.reverse) ⊆ Set.range fun l => foldr (fun z w => g w z) a l.reverse


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → α

Context: g : α → γ → α

Context: a : α

Set.range (foldr (fun z w => f w z) a ∘ reverse) ⊆ Set.range (foldr (fun z w => g w z) a ∘ reverse)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → α

Context: g : α → γ → α

Context: a : α

Set.range (foldr (fun z w => f w z) a) ⊆ Set.range (foldr (fun z w => g w z) a)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ

gaussianPDFReal μ v (x + y) = gaussianPDFReal (μ - y) v x


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
i : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
h : x ≤ f x
a : Ordinal.{u}

lfpApprox f x (a + 1) = f (lfpApprox f x a)


lfpApprox f x (a + 1) ≤ f (lfpApprox f x a)


f (lfpApprox f x a) ≤ lfpApprox f x (a + 1)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : LE α
a b : α


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

Sym2.GameAdd.fix wf_isOption (fun x y le => (∀ (i : x.LeftMoves), ¬le y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬le (y.moveRight j) x ⋯) x y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x ⧏ y.moveRight j


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

((∀ (i : x.LeftMoves), ¬(fun a' b' x => Sym2.GameAdd.fix wf_isOption (fun x y le => (∀ (i : x.LeftMoves), ¬le y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬le (y.moveRight j) x ⋯) a' b') y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬(fun a' b' x => Sym2.GameAdd.fix wf_isOption (fun x y le => (∀ (i : x.LeftMoves), ¬le y (x.moveLeft i) ⋯) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), ¬le (y.moveRight j) x ⋯) a' b') (y.moveRight j) x ⋯) ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x ⧏ y.moveRight j


Context: x y : ℝ

MonotoneOn (fun x => log x * x) {x | 1 ≤ x}


Context: x y : ℝ

∀ ⦃a : ℝ⦄, 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, 1 ≤ b → a ≤ b → log a * a ≤ log b * b


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
y_pos : 0 < y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C

(adj1.unit ≫ whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = adj2.unit.app x


adj1.unit.app x ≫ (whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = (adj1.homEquiv x (F'.obj x)) ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
contra : ⊥ = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
contra : ∅ = univ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
S : Set (Set α)

upperClosure (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, upperClosure s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atTop (𝓝 1)


∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) ↑n) atTop (𝓝 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
ht : Balanced 𝕜 t
h : s ⊆ t
x : E
hx : x ∈ balancedHull 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: ht : Balanced 𝕜 t

Context: h : s ⊆ t

Context: r : 𝕜

Context: hr : ‖r‖ ≤ 1

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hx : (fun x => r • x) y ∈ balancedHull 𝕜 s


Context:
α : Type u
x : FreeCommRing α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype ↥(H i)

Context: hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card ↥(H i)).Coprime (Fintype.card ↥(H j))


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}

map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: h₁ : map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) = (𝓤 α).lift' f


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: h₂ : (𝓤 α).lift' f ≤ (𝓤 α).lift' gen


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W

((ρV ⊗ 1).asAlgebraHom r) (x ⊗ₜ[k] y) = (ρV.asAlgebraHom r) x ⊗ₜ[k] y


(Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x ⊗ₜ[k] y) = (Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x) ⊗ₜ[k] y


∑ x_1 ∈ r.support, r x_1 • (ρV x_1) x ⊗ₜ[k] y = ∑ a ∈ r.support, (r a • (ρV a) x) ⊗ₜ[k] y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest

Context: r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

∀ (x y : Cofix F α), r' x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> y.dest


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M

(∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y z, ↑y + ↑z = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: motive : M ⊗[R] N → Prop

Context: z : M ⊗[R] N

Context: zero : motive 0

Context: tmul : ∀ (x : M) (y : N), motive (x ⊗ₜ[R] y)

Context: add : ∀ (x y : M ⊗[R] N), motive x → motive y → motive (x + y)

Context: x : FreeAddMonoid (M × N)

Context: x✝ : M × N

Context: y : FreeAddMonoid (M × N)

Context: ih : motive ↑y

Context: m : M

Context: n : N


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: motive : M ⊗[R] N → Prop

Context: z : M ⊗[R] N

Context: zero : motive 0

Context: x : FreeAddMonoid (M × N)

Context: x✝ : M × N

Context: y : FreeAddMonoid (M × N)

Context: ih : motive ↑y

Context: m : M

Context: n : N

motive (↑(FreeAddMonoid.of (m, n)) + ↑y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

HigherFacesVanish (q + 1) ((P (q + 1)).f (n + 1))


HigherFacesVanish (q + 1) ((P q ≫ (𝟙 K[X] + Hσ q)).f (n + 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E


∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : x ≠ 0

∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context: m n✝ a b c d n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : SMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hxz : f x ≤ f (a • x + b • y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)

generateFrom (insert univ S) = generateFrom S


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
b : ↥(𝒜 j)

↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * ↑b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C 1

Context: left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯

Context: w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝

G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.inv = left.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C 1

Context: left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯

Context: right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯

G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (G.obj' 1 ⋯) = G.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)

rangeFactorization f (rangeSplitting f x) = x


↑(rangeFactorization f (rangeSplitting f x)) = ↑x


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0

Context: g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i

(zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r

(s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a) ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

∫ (ω : α), f ω ∂μ = (∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = (∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}).toReal


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S

Polynomial.map (eval₂Hom f M) (univ R n) = (of (Function.curry M)).charpoly


((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f M)).charpoly = ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f fun p => of (Function.curry M) p.1 p.2)).charpoly


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : ↥(lp E ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : ↥(lp E ⊤)

IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
g : G


Context: x : ℍ

‖(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x)‖ = ‖x‖


Context: x : ℍ

√(⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3⟫_ℝ) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)


Context: x : ℍ

√((WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3 ^ 2) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R

(algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ≠ 0


∀ (x : R), ¬(x ∈ finsetApprox bS adm ∧ x = 0)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
hx : 0 ∈ finsetApprox bS adm


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝² : AddMonoid M

Context: inst✝¹ : AddMonoid N

Context: inst✝ : LinearOrder N

Context: f : M → N

Context: h0 : f 0 ≤ 0

Context: hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: IH : f tl.sum ≤ foldr max 0 (map f tl)

f (hd :: tl).sum ≤ foldr max 0 (map f (hd :: tl))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝² : AddMonoid M

Context: inst✝¹ : AddMonoid N

Context: inst✝ : LinearOrder N

Context: f : M → N

Context: h0 : f 0 ≤ 0

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: IH : f tl.sum ≤ foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl

f (hd + tl.sum) ≤ max (f hd) (foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y


map (fun p => (p.2, p.1)) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x) = map Prod.swap (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι

∏ i ∈ s \ t, f i < ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ t, f i


Context:
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg (g / f)
hK : Kg < Kf⁻¹


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a ≤ b


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g ↔ IsBigOWith c l f' g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s

balancedCore 𝕜 s = ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • s


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
x : α

(M.corec g x).dest = P.map (M.corec g) (g x)


Context:
α : Type u_1
f g h σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
a : α


Context:
α : Type u_1
f g h✝ σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
a : α
h : (σ * τ) a = a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s

(fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
ha : ‖0‖ ≤ 1

(fun x => 0 • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
h : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0

∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → (fun x => a • x) y ∈ r • s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
h' : y ∈ (a⁻¹ • r) • s


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cocone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

(F ⋙ G).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.ι.app j)) Y✝ = (fun j => G.map (A.ι.app j)) X✝ ≫ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝


G.map (F.map f✝ ≫ A.ι.app Y✝) = (fun j => G.map (A.ι.app j)) X✝ ≫ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cocone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j✝ : J

((fun A => { pt := G.obj A.pt, ι := { app := fun j => G.map (A.ι.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).ι.app j✝ ≫ G.map f.hom = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, ι := { app := fun j => G.map (A.ι.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).ι.app j✝


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b