Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : ProperSpace α
K s : Set α
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
hK : IsBounded K
hs : IsClosed s


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ C

Context: e : K ≌ J

Context: inst✝ : HasLimit (e.functor ⋙ F)

Context: this : HasLimit (e.inverse ⋙ e.functor ⋙ F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)

Context: hfa : Antitone f

Context: k : ℕ

l ≤ ∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: k : ℕ

Context: ha : Antitone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n + 1), (-1) ^ i * f i


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

xn a1 (2 * n + j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

xn a1 n * xn a1 (n + j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n + j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 (n + j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

Pell.d a1 * yn a1 n * (xn a1 n * yn a1 j) + (Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j) ≡ 0 + 0 [MOD xn a1 n]


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝¹ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
x✝ : ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖
hx : ‖x‖ < ε


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V

⊤.edgeFinset.card = (Fintype.card V).choose 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup

dropSlice n m xs ~ ys ∩ dropSlice n m xs


take n xs ++ drop (n + m) xs ~ ys ∩ (take n xs ++ drop (n + m) xs)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n m : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup
this : n ≤ n + m
h₂ : xs.Nodup


take n xs ++ drop (n + m) xs ~ ys ∩ take n xs ++ ys ∩ drop (n + m) xs


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞

eLpNorm (f + g) p μ ≤ LpAddConst p * (eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ

eLpNorm (f + g) 0 μ ≤ LpAddConst 0 * (eLpNorm f 0 μ + eLpNorm g 0 μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p < 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : 1 ≤ p


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj P ⋙ F)

(J.plusCompIso F P).inv = J.plusLift (whiskerRight (J.toPlus P) F) hP


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toPlus (P ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toPlus P) F


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)

∀ (a : α) (s : Multiset α), card (s.pi t) = (map (fun a => card (t a)) s).prod → card ((a ::ₘ s).pi t) = (map (fun a => card (t a)) (a ::ₘ s)).prod


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C


∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ B ∩ C → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B

x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxB : x ∈ B
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B
hx₁C : x₁ ∈ C
hx₂C : x₂ ∈ C

x₁ ∈ B ∩ C ∧ x₂ ∈ B ∩ C


Context: θ ψ : Angle


Context:
θ : Angle
x✝ : ℝ

θ.sin = (↑x✝).sin ↔ θ = ↑x✝ ∨ θ + ↑x✝ = ↑π


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G

image₂ (fun x x_1 => x * x_1) f.support {a} ⊆ image (fun x => x * a) f.support


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π


∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁶ : Countable ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝³ : BorelSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

Context: this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁶ : Countable ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝³ : BorelSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

MeasurableSet {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁶ : Countable ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝³ : BorelSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g k : MulRingNorm R
c : ℝ
hcPos : 0 < c
hfg : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
d : ℝ
hdPos : 0 < d
hgk : (fun x => g x ^ d) = ⇑k


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x✝ y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g k : MulRingNorm R
c : ℝ
hcPos : 0 < c
hfg : (fun x => f x ^ c) = ⇑g
d : ℝ
hdPos : 0 < d
hgk : (fun x => g x ^ d) = ⇑k
x : R


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p


Seminorm.IsBounded p (fun s => s.sup p) LinearMap.id


Seminorm.IsBounded (fun s => s.sup p) p LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α

(map g (map f s)).val = (map (f.trans g) s).val


Multiset.map (⇑g ∘ ⇑f) s.val = Multiset.map (⇑(f.trans g)) s.val


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α

Setoid.r x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝


(fun x y => y * x⁻¹ ∈ s) x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
S : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
d : Pairwise R l₁


Context:
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n


Context:
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C


Context:
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C
x : E'


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0


Context: k n m : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z = 0


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β

image2 f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t = ⋃ i, ⋃ j, image2 f (s i j) t


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle x (x - y)).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A : C
h : A ∈ i.essImage

IsIso ((reflectorAdjunction i).unit.app A)


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ↑s.card ≤ t.card • b

∃ y ∈ t, ↑(filter (fun x => f x = y) s).card ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ∑ a ∈ s, 1 ≤ t.card • b

∃ y ∈ t, ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1 ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a

(κ.withDensity fun a x => f a x - g a x) + κ.withDensity g = κ.withDensity f


κ.withDensity ((fun a x => f a x - g a x) + g) = κ.withDensity f


Measurable (Function.uncurry fun a x => f a x - g a x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α

((fun a x => f a x - g a x) + g) a =ᶠ[ae (κ a)] f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α
x : β
hx : g a x ≤ f a x

((fun a x => f a x - g a x) + g) a x = f a x


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.2896
L : Type ?u.2899
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S

map (algebraMap R S) (minpoly R x) /ₘ (X - C x) * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset


∀ (a : α), card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α

card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m : Multiset α

Context: s : Finset (α × ℕ)

Context: hsm : s ⊆ m.toEnumFinset

Context: a : α

Context: ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m : Multiset α

Context: s : Finset (α × ℕ)

Context: hsm : s ⊆ m.toEnumFinset

Context: a : α

Context: ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) > 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: m : Multiset α

Context: s : Finset (α × ℕ)

Context: hsm : s ⊆ m.toEnumFinset

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: han : n ≥ card (filter (fun x => a = x.1) s.val) - 1

Context: hn : (a, n) ∈ s


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n

(f.trans g).toMatrix i j = (f.toMatrix * g.toMatrix) i j


(f.trans g).toMatrix i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => g.toMatrix fi j


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
h : a < b
c : α
hc : b = a * c


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b
hc : b = a * 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: h : ¬Disjoint (doset a ↑H ↑K) (doset b ↑H ↑K)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: h : ∃ x ∈ doset a ↑H ↑K, x ∈ doset b ↑H ↑K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: h : ∃ x, (∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y) ∧ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * b * y


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → M

Context: l✝ : Multiset (α → M)

Context: l : List (α → M)

Context: hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, Measurable f


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)

Context: hωb : BddAbove (Set.range fun n => f n ω)

∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: i : ℕ

Context: hi : hωb.some < ↑i


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: i : ℕ

Context: hi : hωb.some < ↑i

Context: hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: ω : Ω

Context: i : ℕ

Context: hi : hωb.some < ↑i

Context: hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i

Context: heq : ∀ (n : ℕ), stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω = f n ω


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M

LinearMap.IsOrtho Q.polarBilin x y ↔ Q.IsOrtho x y


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: G✝ : SimpleGraph V

Context: a b c u v✝ w : V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: G : SimpleGraph V

Context: v : V

Context: inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v)

(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v).toFinset.card = Fintype.card V - 1


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a b : MvPolynomial σ R

∀ {a b : σ →₀ ℕ}, ((a + b).sum fun x e => e) ≤ (a.sum fun x e => e) + b.sum fun x e => e


Context:
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume


Context:
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p


Context:
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
v : Fin2 n → ℕ
x : ℕ

((x ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ (x :: v) ∈ S


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M

x ∈ (fun g => g ∘ Sum.inl) '' setOf φ.Realize ↔ x ∈ setOf (BoundedFormula.relabel id φ).exs.Realize


(∃ x_1, φ.Realize x_1 ∧ x_1 ∘ Sum.inl = x) ↔ ∃ xs, BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim x xs) (xs ∘ Fin.natAdd m)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hF_meas : AEMeasurable F μ

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤

Context: h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V


∀ ⦃x : ℙ K V⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ span Set.univ


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
_hx : x ∈ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

Context: h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (s.indicator fun x => c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (f + g)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

IsClosed {f | (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) ↑↑f}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ t ∈ 𝓤 β, ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ t → (x, y) ∈ s

comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) = 𝓤 α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜

HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 0) (↑0 * x ^ (0 - 1)) x


HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 1) (↑1 * x ^ (1 - 1)) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n✝ n : ℕ
x : 𝕜


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ

x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : MvPolynomial σ R

Context: s : Set σ

Context: this : x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' ((fun i => Finsupp.single i 1) '' s)) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : MvPolynomial σ R

Context: s : Set σ

Context: this : x ∈ Ideal.span ((fun x => (monomial (Finsupp.single x 1)) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : MvPolynomial σ R

Context: s : Set σ

(∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f

(comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
s : Set β

((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s ≤ m (f '' s)


(OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯) s ≤ ((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F


(starRingEnd 𝕜) (-1) * ⟪x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U

(𝓝 ⟨x, x_in⟩).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 ⟨x, x_in⟩ ∧ IsPathConnected s) id


(comap Subtype.val (𝓝 x)).HasBasis (fun s => s ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected s) id


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
V : Set ↑U

V ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ↔ ∃ i, (i ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ V


(∃ i, (i ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i ∧ i ⊆ U) ∧ Subtype.val ⁻¹' id i ⊆ V) ↔ ∃ i, (i ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
h : range f ∈ 𝓝 (f x)

ContinuousAt (g ∘ f) x ↔ ContinuousAt g (f x)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))


∀ (s : Finset ℕ) (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))

Context: b : ℝ

Context: cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : b ≤ a


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: this : b ∈ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: this : ∃ i, c i < b ∧ i ∈ s ∧ b < d i


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cv : Icc a b ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i (s.erase i)), Ioo (c i_1) (d i_1)

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ insert i (s.erase i), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i)) + ∑ x ∈ s.erase i, ofReal (↑f (d x) - ↑f (c x))


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i)) + ofReal (↑f (c i) - ↑f a)


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: c d : ℕ → ℝ

Context: s✝ s : Finset ℕ

Context: b : ℝ

Context: ab : a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: cb : c i < b

Context: is : i ∈ s

Context: bd : b < d i

Icc a (c i) ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c i_1) (d i_1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν

∃ p, Measurable p.2 ∧ p.1 ⟂ₘ ν ∧ μ = p.1 + ν.withDensity p.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h : ∃ u, Monotone u ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ))) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ measurableLEEval ν μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: g : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Monotone g

Context: hg₂ : Filter.Tendsto g Filter.atTop (nhds (sSup (measurableLEEval ν μ)))

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ

Context: hf₂ : ∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (x : α), f x ∂ν) (f n) = g n

Context: ξ : α → ℝ≥0∞ := ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξ₁ : sSup (measurableLEEval ν μ) = ∫⁻ (a : α), ξ a ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: g : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Monotone g

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ

Context: hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξm : Measurable ξ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: g : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Monotone g

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ

Context: hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξm : Measurable ξ

Context: μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ

Context: hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: g : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Monotone g

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ

Context: hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξm : Measurable ξ

Context: μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ

Context: hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ

Context: hle : ν.withDensity ξ ≤ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: g : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Monotone g

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ measurableLE ν μ

Context: hξ : ξ = ⨆ n, ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), f k

Context: hξm : Measurable ξ

Context: μ₁ : Measure α := μ - ν.withDensity ξ

Context: hμ₁ : μ₁ = μ - ν.withDensity ξ

Context: hle : ν.withDensity ξ ≤ μ

Context: this : IsFiniteMeasure (ν.withDensity ξ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : Tendsto f cofinite l


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∃ N₀, ∀ N ≥ N₀, ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∃ N₀, ∀ N ≥ N₀, ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable f

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: N₀ : ℕ

Context: N : ℕ

Context: hN : N ≥ N₀

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ N₀.primesBelow


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
has : a ∉ s

(insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P

(llcomp R M N M).compr₂ (trace R M) = (llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)


((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N) = ((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
g : Module.Dual R N
m : M
f : Module.Dual R M
n : N

((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N))) g) m)) f) n = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R N M) (dualTensorHom R M N))) g) m)) f) n


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
disj : b ∉ map f K

∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: K : ProperCone ℝ E

Context: f : E →L[ℝ] F

Context: b : F

Context: disj : ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K

(algebraMap A K) (num A x) / (algebraMap A K) ↑(den A x) = x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : WellFounded (rι on f)

Context: hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)

WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : WellFounded (rι on f)

Context: c c' : γ

Context: h : (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c c'

((PSigma.Lex (fun a b => rι ↑a ↑b) fun a a_1 b => (rπ ↑a on g ↑a) ↑a_1 ↑b) on fun c => ⟨⟨f c, ⋯⟩, ⟨c, ⋯⟩⟩) c c'


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : WellFounded (rι on f)

Context: c c' : γ

Context: h' : rι ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).fst ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : WellFounded (rι on f)

Context: c c' : γ

Context: h' : ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).fst = ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst

Context: h'' : rπ ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').fst (h' ▸ ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c).snd) ((fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c').snd


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar R R'


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: E_min : ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ univ → IsClosed E₀ → E.restrict π₁ '' E₀ ≠ univ


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁

Context: ρ_cont : Continuous ρ


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: ρ' : ↑E ≃ₜ A := ExtremallyDisconnected.homeoCompactToT2 ρ_cont ρ_surj E_min

Context: π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val

Context: π₂_cont : Continuous π₂


Context: X : Type u

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace X

Context: A D✝ E✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A

Context: inst✝⁷ : CompactSpace A

Context: inst✝⁶ : T2Space A

Context: B C : Type u

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace C

Context: inst✝³ : CompactSpace B

Context: inst✝² : T2Space B

Context: inst✝¹ : CompactSpace C

Context: inst✝ : T2Space C

Context: φ : A → C

Context: f : B → C

Context: φ_cont : Continuous φ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_surj : Surjective f

Context: D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}

Context: D_comp : CompactSpace ↑D

Context: π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: π₁_cont : Continuous π₁

Context: π₁_surj : Surjective π₁

Context: E : Set ↑D

Context: left✝ : CompactSpace ↑E

Context: E_onto : π₁ '' E = univ

Context: ρ : ↑E → A := E.restrict π₁

Context: ρ_cont : Continuous ρ

Context: ρ_surj : Surjective ρ

Context: π₂ : ↑D → B := Prod.snd ∘ Subtype.val

Context: π₂_cont : Continuous π₂

Context: x : ↑E


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n

rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }

Context: hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: H₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: this : rootSpace H (-((1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑(-α)) + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W)) ≠ ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : chainLength α β < n

Context: this : rootSpace H ((chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥


Context:
n : ℤ
z τ : ℂ

π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

Context: this : ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖ ≤ ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ ≤ ‖(jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (0, 1)‖


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ

‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (π * ↑|n| ^ 2) ≤ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (‖↑π‖ * ‖I‖ * ‖↑n ^ 2‖)


Context: n : ℤ

Context: z τ : ℂ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Discrete PUnit.{w + 1}
X : C


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
a b : ℕ


Context:
a b n : ℕ
hn : 0 < n.succ


Context:
a b n : ℕ
hn : 0 < n.succ

(a ^ n).Coprime b ∧ a.Coprime b ↔ a.Coprime b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α

s ∈ 𝓓 a (𝓓 a 𝒜) ↔ s ∈ 𝓓 a 𝒜


s ∈ 𝓓 a 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝓓 a 𝒜 ∨ s ∉ 𝓓 a 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝓓 a 𝒜 → s ∈ 𝓓 a 𝒜


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map φ f)

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ψ (Polynomial.map ι f))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)

Context: hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)

IsUnit (-(a.coeff f.natDegree * b.coeff 0))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)

Context: hc : f.leadingCoeff = (a * b).coeff f.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)

Context: hc : 1 - a.coeff f.natDegree * b.coeff 0 = ∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)

IsUnit (∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x) - 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

eval 0 ((⇑derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0


¬eval (↑(n - (ν - 1))) (ascPochhammer R ν) = 0


¬↑(eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)) = 0


¬eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν) = 0


0 < eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
h : 0 ≤ n

0 < eval (n - (0 - 1)) (ascPochhammer ℕ 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
h' : ν > 0


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0


Fact (Splits (algebraMap F ?q.SplittingField) (minpoly F α))


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A


(∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree < (X ^ pb.dim).degree


(∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree < ↑pb.dim


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b / c


a * c⁻¹⁻¹ ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s₁ s₂ : Finset β
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
f : β → α
a : α

(s₁ ∪ s₂).sup' ⋯ f ≤ a ↔ s₁.sup' h₁ f ⊔ s₂.sup' h₂ f ≤ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
m : MeasurableSpace α
f : α → β


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y


W.Equation ![X, Y, 1] ∧ (W.a₁ * Y * 1 ≠ 3 * X ^ 2 + 2 * W.a₂ * X * 1 + W.a₄ * 1 ^ 2 ∨ Y * 1 ≠ -Y * 1 - W.a₁ * X * 1 - W.a₃ * 1 ^ 2 ∨ Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y * 1 ≠ W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X * 1 + 3 * W.a₆ * 1 ^ 2) ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y


Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆ → W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄ → Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃ → Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y = W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X + 3 * W.a₆


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: X Y : R

Context: h : Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆

Context: hX : W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄

Context: hY : Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: B : FilterBasis α

Context: this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun s => 𝓟 ↑s

Context: U : Set α


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype m'

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'

Context: A : Matrix l m α

Context: B : Matrix m n α

Context: A' : Matrix l' m' β

Context: B' : Matrix m' n' β

Context: i : l

Context: i' : l'

Context: j : n

Context: j' : n'

((kroneckerMapBilinear f) (A * B)) (A' * B') (i, i') (j, j') = (((kroneckerMapBilinear f) A) A' * ((kroneckerMapBilinear f) B) B') (i, i') (j, j')


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: l : Type u_8

Context: m : Type u_9

Context: n : Type u_10

Context: p : Type u_11

Context: q : Type u_12

Context: r : Type u_13

Context: l' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: n' : Type u_16

Context: p' : Type u_17

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype m'

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : Module R β

Context: inst✝ : Module R γ

Context: f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ

Context: A : Matrix l m α

Context: B : Matrix m n α

Context: A' : Matrix l' m' β

Context: B' : Matrix m' n' β

Context: i : l

Context: i' : l'

Context: j : n

Context: j' : n'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
g : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hm : Monotone s

Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (μ (⋃ n, s n)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hm : Monotone s

Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (s i)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : range f ⊆ range g


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: T : Set ℝ

Context: hT : T ⊆ Ioi 0

Context: hT' : MeasurableSet T

Context: hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))

Context: s : ℂ

IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: T : Set ℝ

Context: hT : T ⊆ Ioi 0

Context: hT' : MeasurableSet T

Context: s : ℂ

Context: this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: T : Set ℝ

Context: hT : T ⊆ Ioi 0

Context: hT' : MeasurableSet T

Context: s : ℂ

IntegrableOn (fun a => ‖↑a ^ (s - 1) • f a‖) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: T : Set ℝ

Context: hT : T ⊆ Ioi 0

Context: hT' : MeasurableSet T

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ T

‖↑t ^ (s - 1) • f t‖ = t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : 𝟭 C ⟶ L
c : C

𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ α.app (R.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj (R.obj c))) ≫ adj.counit.app c) ≫ 𝟙 c = α.app (R.obj c) ≫ adj.counit.app c


Context:
x y : ℝ
h : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 7 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (last 6) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0

∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ι → E

Context: g : ι → ℝ

Context: hg : Summable g

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, g i‖ < ε


Context:
n : ℤ
d : ℕ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
p : l₁ ~ l₂
l : List (Sigma β)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring K
inst✝⁷ : CommSemiring L
inst✝⁶ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : PerfectRing M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₂
h : q₁ ∈ stmts₁ q₂
hs : SupportsStmt S q₂


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a : R
n : ℕ

RingQuot.npow r n { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a ^ n) }


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: w w₁✝ w₂✝ : ι → k

Context: p : ι → V

Context: s : Finset V

Context: hp : AffineIndependent k Subtype.val

Context: w₁ w₂ : V → k

Context: hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i

Context: hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • i = ∑ i ∈ s, w₂ i • i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
g : α → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
n : ℕ

(Nat.casesOn (encode (decode n)) 0 fun n => encode (Option.map f (decode (encode (Option.map g (decode n))).pred))) = encode (Option.map (fun a => f (g a)) (decode n))


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R

ker (Pi.ringHom fun i => Quotient.mk (I i)) = ⨅ i, I i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: inst✝¹ : Filter.atTop.IsCountablyGenerated

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: hin : i ≤ n

μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] f i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: hin : i ≤ n

μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|↑ℱ i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: hin : i ≤ n

Context: t : Set Ω

MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: a✝ b : ℚ

Context: nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a✝, b := b }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: a✝ b : ℚ


Context:
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b

Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a * b)


Context:
b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b

Principal (fun x x_1 => x + x_1) (0 * b)


Context:
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b
h✝ : 0 < a


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0

1 ≤ ‖id 𝕜 E‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id 𝕜 E) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id 𝕜 E‖

1 ≤ ‖id 𝕜 E‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: k : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: IH : ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n

Context: hle : ↑n.succ ≤ s.encard


(∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → ⊤ ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ⊤


(∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → s.Infinite → ∃ t ⊆ s, t.Infinite


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : InjectiveResolution Y
J : InjectiveResolution Z

J.cocomplex.d 0 1 ≫ descFOne f I J = descFZero f I J ≫ I.cocomplex.d 0 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
this : ¬∀ (i : ℕ), c i ≤ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
this : ∃ x_1, ¬c x_1 ≤ x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → H'

Context: s : Set E

Context: x : E

ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f) s x


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
J : Box ι
x✝ : ↑J ≤ ⊤
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition

∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => (μ ↑J).toReal) Ji = (fun J => (μ ↑J).toReal) J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f g : ι → α

∏ i ∈ s, (f i - g i) = ∏ i ∈ s, f i - ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j - g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j


∏ x ∈ s, (f x + -g x) = ∏ i ∈ s, f i + -∑ x ∈ s, (g x * ∏ x ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) s, (f x + -g x)) * ∏ i ∈ filter (fun j => x < j) s, f i


-∑ x ∈ s, (g x * ∏ x ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) s, (f x + -g x)) * ∏ i ∈ filter (fun j => x < j) s, f i = ∑ i ∈ s, (-g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + -g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 > 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : M → E'

Context: g : M → F'

Context: hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n f s x

Context: hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n g s x

ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : M → E'

Context: g : M → F'

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E') (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Context: hg : ContinuousWithinAt g s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F') (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E' × F') (f x, g x)) ∘ (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a b : A

Context: r : Rˣ

Context: h₁ : ∀ (x y : A), IsUnit (1 - x * y) → IsUnit (1 - y * x)

Context: this : IsUnit (1 - r⁻¹ • a * b) ↔ IsUnit (1 - b * r⁻¹ • a)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a b : A

Context: r : Rˣ

Context: this : IsUnit (1 - r⁻¹ • a * b) ↔ IsUnit (1 - r⁻¹ • (b * a))


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
hn : Odd n
hn₀ : n ≠ 0
a b : R
hab : a < b
ha : 0 ≤ a