Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s.erase a

Context: hab : a ≠ b


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ

(dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n) = (dickson 1 1 n).comp (dickson 1 1 m)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
s : Subgroup α
g z : α


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L

H.normalizer = H ↔ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule) = ⊥


H.normalizer = H ↔ ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
h : H.normalizer = H

∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: h : ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0


Context:
y z : ℝ
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
x✝ : ℝ≥0


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i ≤ p


max (lsub fun i => (star.moveLeft i).birthday) (lsub fun i => (star.moveRight i).birthday) = 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x₁ x₂ : E
y : F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x₁ x₂ : E

Context: y : F

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 1 = 1
x : E


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M

(↑(iso S f).symm ∘ₗ f) m = (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)

(iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.fst f g) = pullback.fst (G.map f) (G.map g)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V

(((linearization k G).obj X).ρ g) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (X.ρ g x) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι : Type u_8
μ ν : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(sum μ + sum ν) s = (sum fun n => μ n + ν n) s


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℕ
n : ℕ

s.sum % n = (map (fun x => x % n) s).sum % n


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R

Context: g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R

Context: x : υ → R

comap (g.comp f) x = comap f (comap g x)


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : υ → R

Context: i : σ

comap (g.comp f) x i = comap f (comap g x) i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Multiset α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
fst✝ : E
snd✝ : E'
hf : ContDiffAt 𝕜 n f (fst✝, snd✝).1
hg : ContDiffAt 𝕜 n g (fst✝, snd✝).2

ContDiffAt 𝕜 n (Prod.map f g) (fst✝, snd✝)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃


Context:
𝕜 : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Fintype ι₁
inst✝ : Fintype ι₂
v : OrthonormalBasis ι₁ 𝕜 E
w : OrthonormalBasis ι₂ 𝕜 F

∀ (i : ι₁ ⊕ ι₂), (v.prod w) i = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) i


(∀ (a : ι₁), (v.prod w) (Sum.inl a) = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b : ι₂), (v.prod w) (Sum.inr b) = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) ∘ ⇑v) (⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) ∘ ⇑w) (Sum.inr b)


Context: A B : TopCat

prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B) = 𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))


Context: A B : TopCat

∀ (X : ↑(π.obj A) × ↑(π.obj B)), (prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).obj X = (𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).obj X


Context: A B : TopCat

∀ (X Y : ↑(π.obj A) × ↑(π.obj B)) (f : X ⟶ Y), HEq ((prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).map f) ((𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).map f)


Context:
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
y₀ : ↑(π.obj A)
y₁ : ↑(π.obj B)
f₀ : (x₀, x₁).1 ⟶ (y₀, y₁).1
f₁ : (x₀, x₁).2 ⟶ (y₀, y₁).2

HEq ((prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).map (f₀, f₁)) ((𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).map (f₀, f₁))


Context: A B : TopCat

Context: x₀ : ↑(π.obj A)

Context: x₁ : ↑(π.obj B)

Context: y₀ : ↑(π.obj A)

Context: y₁ : ↑(π.obj B)

Context: f₀ : (x₀, x₁).1 ⟶ (y₀, y₁).1

Context: f₁ : (x₀, x₁).2 ⟶ (y₀, y₁).2

Context: this : Path.Homotopic.projLeft ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₀ ∧ Path.Homotopic.projRight ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₁


Context: A B : TopCat

(projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))


Context: A B : TopCat

∀ (X : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))), ((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).obj X = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).obj X


Context: A B : TopCat

∀ (X Y : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))) (f : X ⟶ Y), HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)


Context: A B : TopCat

Context: x₀ : ↑A

Context: x₁ : ↑B

Context: y₀ : ↑A

Context: y₁ : ↑B

Context: f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }

HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)


Context: A B : TopCat

Context: x₀ : ↑A

Context: x₁ : ↑B

Context: y₀ : ↑A

Context: y₁ : ↑B

Context: this : Path.Homotopic.prod (Path.Homotopic.projLeft f) (Path.Homotopic.projRight f) = f


Context: A B : TopCat

Context: x₀ : ↑A

Context: x₁ : ↑B

Context: y₀ : ↑A

Context: y₁ : ↑B

(prodToProdTop A B).map (Path.Homotopic.projLeft f, Path.Homotopic.projRight f) = f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s

iteratedDerivWithin n (f + g) s x = iteratedDerivWithin n f s x + iteratedDerivWithin n g s x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∈ l


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∉ l


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b x✝ : A

(mulLeft R (a * b)) x✝ = (mulLeft R a ∘ₗ mulLeft R b) x✝


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (f' i)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ ∅, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ ∅, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)
x : ι
hx : x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M


map (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 (a, b)) ≤ 𝓝 (a * b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

map reverse l.tails = l.reverse.inits.reverse


map reverse (map reverse l.reverse.inits).reverse = l.reverse.inits.reverse


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
h : IsRatStieltjesPoint f a
q : ℚ


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.1506, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.1510, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.2123, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: R R' : Φ.RightResolution X₂

Context: φ : R ⟶ R'

L.map (Φ.functor.map φ.f) ≫ (isoOfHom L W₂ R'.w ⋯).inv ≫ y = (isoOfHom L W₂ R.w ⋯).inv ≫ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

(W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)


↑(if Even n then n / 2 else n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: inst✝² : HasBinaryBiproduct X Y

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

F.biprodComparison' X Y ≫ F.biprodComparison X Y = 𝟙 (F.obj X ⊞ F.obj Y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.76698, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1
x : α
hx : x ∈ s


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q

(ENNReal.ofReal p)⁻¹ + (ENNReal.ofReal q)⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : α
n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: hA : UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)

Context: hu : Continuous u


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → β → α

Context: hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) univ

Context: hu : Continuous u


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
h : a.toNNReal < b.toNNReal


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
A : Matrix m n α

‖A‖ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ ≤ r


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ rightTransversals ↑H
g : G

(g * (↑(toFun hS g))⁻¹)⁻¹ = ↑(toFun hS g) * g⁻¹


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M

∏ p ∈ antidiagonal n, f p.swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p


∏ x ∈ antidiagonal n, f ({ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } x).swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

x ⊓ y ⊓ z ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z


x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z ⊔ y \ z)


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subsemiring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R

Context: U : Subsemiring R := Subsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subsemiring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}

Context: H : IsNormal f

Context: o : Ordinal.{u}

Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: x✝ : IsWellOrder α r

Context: g : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}

Context: h : type r ≠ 0

f ((type r).bsup g) = (type r).bsup fun a h => f (g a h)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: H : IsNormal f

Context: o : Ordinal.{u}

Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: x✝ : IsWellOrder α r

Context: h : type r ≠ 0

Context: this : Nonempty α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ {a, b}
y : α
hy : y ∈ {a, b}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b
x : α
hx : x = a ∨ x = b
y : α
hy : y = a ∨ y = b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S

f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: H : ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsPrime

Context: H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsPrime

Context: s : S

∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsPrime

Context: s : S

Context: M : Ideal S

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hIM : I ≤ M


Context: d x y : ℤ

IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = 1


Context: d x y : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => a • x) b = x


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ

C a * X ^ (n + 1) = (monomial (n + 1)) a


Context:
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context:
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1

Context: ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: hff : ∀ (a : α), ∃ j g, ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: j : α → J

Context: g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)

Context: h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)

Context: G : Finset J := Finset.image j Finset.univ


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: j : α → J

Context: j0 : J

Context: hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: j : α → J

Context: j0 : J

Context: hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: j : α → J

Context: j0 : J

Context: fs : (a : α) → j0 ⟶ j a := fun a => ⋯.some

Context: gg : α → LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (Fin 2) := fun a => LocallyConstant.comap (F.map (fs a)) (g a)

Context: ggg : LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (α → Fin 2) := LocallyConstant.unflip gg

Context: a : α

Context: x : ↑C.pt.toTop

(LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app j0 ≫ F.map (fs a)) x)


Context: J : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Finite α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: val✝ : Fintype α

Context: j : α → J

Context: j0 : J

Context: a : α

Context: x : ↑C.pt.toTop

(LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app (j a)) x)


Context: X Y B : CompHaus

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : CompHaus

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget CompHaus).obj Z

Context: hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z

Context: hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z


Context: X Y B : CompHaus

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : CompHaus

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget CompHaus).obj Z


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g


2 ≤ Fintype.card α ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ Fintype.card α → m = 1 ∨ m = Fintype.card α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α


Subgroup.zpowers (g ^ n) = ⊥ → n = Fintype.card α


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit

(hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv = desc b.ι


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
j : J
j' : Discrete J

(ι f j ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv) ≫ b.toCone.π.app j' = (ι f j ≫ desc b.ι) ≫ b.toCone.π.app j'


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h' : a ≠ 0
h : ℵ₀ ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 (0 * (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u))))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

(fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

∀ a ∈ Ioi 0, μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ (closedBall x a) * (μ (closedBall x a) / μ ({x} + a • u)) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
f : ↥p →ₗ[K] V'
g : V →ₗ[K] ↥p
hg : g ∘ₗ p.subtype = id


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S

eval₂ f x p = ∑ i ∈ range n, f (p.coeff i) * x ^ i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
i : ℕ


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : s₁ = s₂

(∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₂.prod f = s₂.prod g


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : f.toAddMonoidHom = g.toAddMonoidHom


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
g : C(Y, Z)
hg : Inducing ⇑g

compactOpen = induced g.comp compactOpen


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
p : P

((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 = (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: a_mem : a ∈ Ioo x y

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: a_mem : a ∈ Ioo x y

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: this : C < (f y - f x) / (y - x)


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
x y : (j : J) × F.obj j
x✝ : Quot.Rel F x y
f : x.fst ⟶ y.fst
h : y.snd = F.map f x.snd


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hg : (fun x x_1 => x * x_1) h k = g


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)


map (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁


S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + h₁₂.h₀ + (S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + h₂₃.h₀ + φ₃.τ₁) = S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁


φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) + (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) ≫ S₂.f + φ₃.τ₂


S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + (S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f + φ₃.τ₂) = S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + (h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f) + φ₃.τ₂


φ₁.τ₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) ≫ S₂.g + φ₃.τ₃


h₁₂.h₃ + h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + (h₂₃.h₃ + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g + φ₃.τ₃) = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g) + φ₃.τ₃


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
a b : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s

∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z
z' : α
mem5 : z' ∈ s
H3 : r z z'
H4 : r c z'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E


Kᗮᗮ = ⊤ ↔ Kᗮ = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1

HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
s : 𝕜 := ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
s : 𝕜 := ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n
this : Commute (1 - r) s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

(∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic


(∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.Monic


∀ (a : ι) (s : Multiset ι), ((∀ i ∈ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f s).prod.Monic) → (∀ i ∈ a ::ₘ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f (a ::ₘ s)).prod.Monic


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p : R[X]

Context: t✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: t : Multiset ι

Context: ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic

Context: ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p : R[X]

Context: t✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: t : Multiset ι

Context: ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Finset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card

(∏ i ∈ s, (X + C (r i))).coeff k = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i


∑ t ∈ Finset.powersetCard (card s.val - k) s, t.prod r = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: h'f : Measurable f

Measure.map f ((μ.restrict s).withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = μ.restrict (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: h'f : Measurable f

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

(Measure.map f ((μ.restrict s).withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) t = (μ.restrict (f '' s)) t


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: hs✝ : s.IsPWO

Context: ht✝ : t.IsPWO

Context: a✝ : P

Context: u : Set G

Context: hu : u.IsPWO

Context: v : Set P

Context: hv : v.IsPWO

Context: x : G × P

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}

Context: b : G × P

Context: hb : b ∈ SMulAntidiagonal hs ht a


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: hs✝ : s.IsPWO

Context: ht✝ : t.IsPWO

Context: a✝ : P

Context: u : Set G

Context: hu : u.IsPWO

Context: v : Set P

Context: hv : v.IsPWO

Context: x : G × P

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: b : G × P

Context: hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) pb.gen = y


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * -Real.log ↑x.2


Context: n : ℕ

∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i)


Context: n : ℕ

Context: this : ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i) = ∑ i ∈ n.divisors, (↑(μ i) * Real.log ↑i - ↑(μ i) * Real.log ↑n)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite
a✝ : α

a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter p Finset.univ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ι → α × α
p : Filter ι

Tendsto f p (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => dist (f x).1 (f x).2) p (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
t : Multiset α
a : α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
hMq : M.toQuadraticMap'.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: M : Matrix n n ℝ

Context: hM : M.IsSymm

Context: x : n → ℝ

Context: hx : x ≠ 0

Context: hMq : ∀ (x : n → ℝ), x ≠ 0 → 0 < x ⬝ᵥ M *ᵥ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α

t ∈ rcomap' r (rcomap' s l) ↔ t ∈ rcomap' (r.comp s) l


(∃ t_1, (∃ t ∈ l, s.preimage t ⊆ t_1) ∧ r.preimage t_1 ⊆ t) ↔ ∃ t_1 ∈ l, r.preimage (s.preimage t_1) ⊆ t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t✝ : Set α
t : Set γ
tsets : t ∈ l
ht : r.preimage (s.preimage t) ⊆ t✝

∃ t, (∃ t_1 ∈ l, s.preimage t_1 ⊆ t) ∧ r.preimage t ⊆ t✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup N


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : z = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : ¬z = 0

(if ↑z = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p ↑z)) ≤ 1


Context: α : Type u_1

⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)


Context: α : Type u_1

⨅ l, ⨅ (_ : l ≠ ⊥), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
H1 : f.Disjoint g
H2 : f.Disjoint h


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p

Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : IsEmpty ι


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : Nonempty ι


Fintype.card ι - 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Lp.boundedContinuousFunction E p μ = (toLpHom p μ).range


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Field R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: v : E

Context: hv : v ≠ 0

Context: φ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : φ v = 1

Context: g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Field R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: v : E

Context: hv : v ≠ 0

Context: φ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : φ v = 1

Context: this : CauchySeq g


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Field R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: v : E

Context: hv : v ≠ 0

Context: φ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : φ v = 1

Context: this : CauchySeq g

Context: a : E →L[𝕜] F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Field R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: v : E

Context: hv : v ≠ 0

Context: φ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : φ v = 1

Context: this✝ : CauchySeq g

Context: a : E →L[𝕜] F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)

Context: this : Tendsto (fun n => (g n) v) atTop (𝓝 (a v))


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g h : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set β
g : β → α

g '' s ∩ mulSupport f = g '' (s ∩ mulSupport (f ∘ g))


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a

RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: xb : All (cmpLT cmp x) b

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: parent : Path α

Context: x : α

Context: b a : RBNode α

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: bp : All (RootOrdered cmp parent) b

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balLeft x b) c✝)


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: c✝ : RBColor

Context: a : RBNode α

Context: x : α

Context: parent : Path α

Context: b : RBNode α

Context: hb : RBNode.Ordered cmp b

Context: hp : Ordered cmp parent

Context: ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a

Context: xp : RootOrdered cmp parent x

Context: ap : All (RootOrdered cmp parent) a

Context: ha : RBNode.Ordered cmp a

RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balRight x b) c✝)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Nat.card ↥H.normalizer ≡ Nat.card G [MOD p ^ (n + 1)]


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: this : ↥(H.subgroupOf H.normalizer) ≃ ↥H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) * p ^ n ≡ Nat.card (G ⧸ H) * p ^ n [MOD p * p ^ n]


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ C
adj : F ⊣ G
A₁ A₂ : Algebra F
f : A₁ ⟶ A₂

(adj.homEquiv A₁.a A₁.a) A₁.str ≫ G.map f.f = f.f ≫ (adj.homEquiv A₂.a A₂.a) A₂.str


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
ho : hf.order = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
ho : hf.order ≠ ⊤


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ 𝟙 (mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃) j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ Y₃ Z₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: φ : X₃ ⟶ Y₃

Context: ψ : Y₃ ⟶ Z₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) (φ ≫ ψ) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ψ) j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: φ : X₂ ⟶ Y₂

Context: X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: ψ : X₃ ⟶ Y₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ψ j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 Y₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 Y₂) ψ j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }.app X₃ j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (𝟙 { obj := fun X₃ => mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃, map := fun {X₃ Y₃} φ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app X₃ j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ Y₂ Z₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: φ : X₂ ⟶ Y₂

Context: ψ : Y₂ ⟶ Z₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h✝ : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (φ ≫ ψ) (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }.app X₃ j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ ({ app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }).app X₃ j


Context:
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

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ContinuousWithinAt f s x → (LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ↔ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x)


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LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ↔ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x


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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

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Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

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Context: x : M

Context: y : M'

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Context: hf : ContinuousWithinAt f s x

ContinuousWithinAt (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

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Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

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Context: y : M'

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Context: hf : ContinuousWithinAt f s x

True ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

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Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

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Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

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Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

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Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

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Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

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Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

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Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

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Context: N' : Type u_16

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Context: F₁ : Type u_17

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Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

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Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: y : M'

Context: hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: y : M'

Context: hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x

True ∧ ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ True ∧ ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hf : mulSupport f ⊆ s


Context:
S✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S✝
r n✝ : ℕ
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
n : ℕ


Context:
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι✝ → Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
ι : Type u_4
α : Type u_5
β : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (β i)
inst✝ : Preorder α
f : α → (i : ι) → β i

Monotone f ↔ ∀ (i : ι), Monotone fun x => f x i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

Context: h_deriv : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[[[a, b]] \ {c}] c, DifferentiableAt ℝ f x

Context: h_infty : Tendsto (fun x => ‖f x‖) (𝓝[[[a, b]] \ {c}] c) atTop

Context: hg : deriv f =O[𝓝[[[a, b]] \ {c}] c] g

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl' : l.NeBot

Context: hle : l ≤ 𝓝 c

Context: hmem : [[a, b]] \ {c} ∈ l


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

Context: hg : deriv f =O[𝓝[[[a, b]] \ {c}] c] g

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl' : l.NeBot

Context: hle : l ≤ 𝓝 c

Context: hmem : [[a, b]] \ {c} ∈ l

Context: this : l ≤ 𝓝[[[a, b]] \ {c}] c


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ ≠ 0


Context:
n m : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
g : Vector ℕ n → Vector ℕ m
hf : Partrec' ↑f
hg : Vec g
i✝ : Fin m.succ
i : Fin m

Partrec' fun v => ↑(some (((fun v => f v ::ᵥ g v) v).get i.succ))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R) = nthRootsFinset (↑n) R


((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R) ⊆ nthRootsFinset (↑n) R


(nthRootsFinset (↑n) R).card ≤ ((↑n).divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R).card


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α

μ₁ + μ₂ ⟂ₘ ν ↔ μ₁ ⟂ₘ ν ∧ μ₂ ⟂ₘ ν


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree = q.degree
hlc : p.leadingCoeff ≠ q.leadingCoeff

(p - q).leadingCoeff = p.leadingCoeff - q.leadingCoeff


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hlc : p.leadingCoeff ≠ q.leadingCoeff
h : p.degree = (-q).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: h : p.degree = (-q).degree

Context: hlc : p.leadingCoeff + (-q).leadingCoeff ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n

hA.eigenvalues i = RCLike.re (star ((WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i)) ⬝ᵥ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis i))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
a : α
ha : m a ∈ s
b : α
hb : m b ∈ t

(fun x x_1 => x / x_1) (m a) (m b) ∈ range ⇑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
a : β


∀ (x : β), (∀ y < x, f y = g y) → f x = g x


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : Add ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝ : GNonUnitalNonAssocSemiring A
i j : ι
a : A i
b : A j

((toAddMonoid fun x => (toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) ((of A i) a)) ((of A j) b) = (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul a b)


((compHom (of A (i + j))) ((gMulHom A) a)) b = (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul a b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
P : α → Prop
a : α
s : Set α

(∃ x ∈ insert a s, P x) ↔ P a ∨ ∃ x ∈ s, P x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

MonotoneOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ MonotoneOn f s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
e : X ≃ᵢ Y


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : CommRing α

Context: A B : Matrix n n α

Context: inst✝ : Invertible A

Context: this : Invertible A.det := A.detInvertibleOfInvertible


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : MonotoneOn f [[a, b]]


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b✝ b' : β
c : γ
f : γ → β → γ
b : β
h : ∀ (a : γ), f a b = a
s : Finset γ


Context:
c : Cardinal.{u}
n : ℕ


Context:
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
hc : ℵ₀ ≤ c


Context:
c : Cardinal.{u}
n : ℕ
hc : c < ℵ₀


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂

Presheaf.IsLocallyInjective J ((sheafToPresheaf J D).map φ) ↔ IsLocallyInjective φ


Context:
n✝ n b e : ℕ
h_b_pos : 0 < b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: x : α

Context: n k : ℕ

Context: hk' : n + k < l.length

Context: hk : optParam (n + k + 1 < (insertNth n x l).length) ⋯

(insertNth n x l).get ⟨n + k + 1, hk⟩ = l.get ⟨n + k, hk'⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: ne_zero : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ≠ 0

Context: mem : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: i : ℕ

Context: ne_zero : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ≠ 0

Context: mem : (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: i : ℕ

(Quotient.mk I) (f (p.coeff i)) ∈ map (Quotient.mk I) J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: i : ℕ

p.coeff i ∈ ↑(comap f I) → (Quotient.mk (comap f I)) (p.coeff i) = 0


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((μ + ν).trim hm) s = (μ.trim hm + ν.trim hm) s