Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: g : R →+* S

Context: x : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: n : ℕ

(eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (x.coeff i)) (φ n) = (aeval ((WittVector.map g) x).coeff) (φ n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R

Context: g : R →+* S

Context: x : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)

Context: n : ℕ

(fun i => g (x.coeff i)) = ((WittVector.map g) x).coeff


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: g : R →+* S

Context: x : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ

Context: n x✝ : ℕ

g (x.coeff x✝) = ((WittVector.map g) x).coeff x✝


Context:
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
y : α
hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
a : α

(l.all fun a => decide (p a)) = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a


Context:
m n k : ℕ
h₁ : m ≤ k
h₂ : k < m + n


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
m : M
hm : m ∈ ⊥
n : N
hn : n ∈ q


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
m : M
hm : m = 0
n : N
hn : n ∈ q


Context:
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)


Context: α : Type u

Context: g : Ordinal.{u} → α

Context: h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)

Context: h : lift.{u, u + 1} #↑(Iio (succ #α).ord) ≤ lift.{u + 1, u} #α


Context: α : Type u

Context: g : Ordinal.{u} → α

Context: h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)

Context: mk_initialSeg_subtype : #↑(Iio (succ #α).ord) = lift.{u + 1, u} (succ #α)


Context: α : Type u

Context: g : Ordinal.{u} → α

Context: h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)

Context: h : succ #α ≤ #α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f

UniformContinuous (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖))


uniformSpace α γ 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : IsUnit x

Context: hfx : f x ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : IsUnit x

Context: hfx : f x ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: h1 : f 1 ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : IsUnit x

Context: hfx : f x ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: h1 : f 1 ≠ 0

Context: hxn : f (x ^ n) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : IsUnit x

Context: hfx : f x ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: h1 : f 1 ≠ 0

Context: hxn : f (x ^ n) = 0

Context: this : f 1 ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ e.source


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

(equivShrink α).symm (x / y) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y


(equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α

l₁ ++ drop l₁.length (l₁ ++ r) = l₁ ++ r


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0


I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ ↑I * ↑J' ≤ ↑J


Context:
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E


ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹


Context:
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)


o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x


∑ i ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x


∑ i ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x


∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x


∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Subsingleton F


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Nontrivial F


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.134154, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
inst✝ : (↑I).IsPrincipal


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l r : List α

Context: h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length

Context: x✝ : 0 < (a :: l).length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l r : List α

Context: x✝ : 0 < (a :: l).length

Context: aux : ∀ (h1 : 0 + l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨0 + l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l r : List α

Context: x✝ : 0 < (a :: l).length

Context: aux : ∀ (h1 : l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

WithSeminorms p ↔ u = ⨅ i, PseudoMetricSpace.toUniformSpace


𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
neZero : NeZero (f a)
h : a = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
this : (a :: const a).tail = const a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
a✝ a : R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot


Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atBot ×ˢ atBot)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i


∑' (i : { x // x ∈ s }), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑i = ∑' (x : ↑↑s), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑x


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

((bind₁ f) φ).vars ⊆ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars


(φ.support.biUnion fun d => (C (coeff d φ) * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i).vars) ≤ φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars


(φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars) ≤ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Subspace 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] 𝕜

Context: this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E

Context: this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

Context: fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)

∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Subspace 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] 𝕜

Context: g : E →L[ℝ] ℝ

Context: hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x

Context: hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Subspace 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] 𝕜

Context: g : E →L[ℝ] ℝ

Context: hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖

Context: h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x

(∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x) ∧ ‖g.extendTo𝕜‖ = ‖f‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Subspace 𝕜 E

Context: f : ↥p →L[𝕜] 𝕜

Context: g : E →L[ℝ] ℝ

Context: hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖

Context: h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hn : n ≠ 0


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

Context: IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

Context: IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!

Context: A : 0 < ↑m


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


(∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t) ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t ∧ a ∉ s


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H

((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: x : ↥H

Context: this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: x : ↥H

2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • ((traceForm K (↥H) L) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ

Context: f : X →ᵇ ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ

Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

Context: obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

Context: bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

Context: bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T

IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable


∀ (T0 : Finset L.Sentence), ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i → IsSatisfiable ↑T0


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i
i : ι
hi : ↑T0 ⊆ T i


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D

Context: inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)

Context: inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl

Context: inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl

Context: this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl

Context: X Y : D

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D

Context: inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: X Y : D

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D

Context: inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl

Context: X Y : D

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

Context: this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D

Context: inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: X Y : D

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)))


Context: J : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D

Context: inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: X Y : D

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

IsColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : CommRing 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: hB : B.IsRefl

Context: W : Submodule R M

Context: hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ W

Context: b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: hB : B.IsRefl

Context: W : Submodule R M

Context: hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ W


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: hB : B.IsRefl

Context: W : Submodule R M

Context: hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ W

Context: y : M

Context: hy : y ∈ W


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: hB : B.IsRefl

Context: W : Submodule R M

Context: hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ W

Context: y : M

Context: hy : y ∈ W

Context: b₁ : ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K

Context: H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K

Context: H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K

↑↑p ^ 1 ∣ ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U = 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U ≠ 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R

(A.updateColumn i fun k => A k i + c • A k j).det = A.det


(Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + c • A k j).det = Aᵀ.det


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)

(volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x


ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in 0 ..↑x, x ^ n) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))


0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 ↑x))] fun x => x ^ n


Context:
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hp : p ≠ 2
ha0 : ↑a ≠ 0

legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card


Context:
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p


Context: p : ℕ

Context: h : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℤ

Context: ha0 : ↑a ≠ 0

Context: hp : Odd p

Context: this : ↑(legendreSym p a) = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

e.unit.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counitInv.app Y)


𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj ((𝟭 D).obj Y))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
h4 : d₁ ^ k ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U

∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1


Context:
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
i : ι
hxi : x ∈ U i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R


Context:
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)


Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

Context: this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)


Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

ContinuousAt (toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)


Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (↑(x, y).1, (x, y).2)


Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

ContinuousAt (fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
n : ℕ
ha : 0 ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s ↔ s ⊂ t


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z

((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ≫ g = 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z


𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (g ⊗ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom


𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (g ▷ (Y ⊗ ᘁY) ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y) ⊗≫ 𝟙 Z = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f ≫ g ▷ Y) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: h : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1
hft : Fintype ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : s.toFinset = {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ s ↔ a_1 = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β

eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
x : γ


(ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)

((a, b) :: l).unzip = (map Prod.fst ((a, b) :: l), map Prod.snd ((a, b) :: l))


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L

(__spread✝⁻⁰.toFun ⁅x, y⁆) z = ⁅__spread✝⁻⁰.toFun x, __spread✝⁻⁰.toFun y⁆ z


-⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = -⁅-⁅z, y⁆, x⁆ - -⁅-⁅z, x⁆, y⁆


-(⁅⁅z, x⁆, y⁆ + -⁅⁅z, y⁆, x⁆) = - -⁅⁅z, y⁆, x⁆ - - -⁅⁅z, x⁆, y⁆


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

Context: x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype

Context: x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype

(trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

∑ i : { i // N i ≠ ⊥ }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯) = ∑ i : { x // x ∈ hN.toFinset }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

∀ (i : { i // N i ≠ ⊥ }), MapsTo ⇑f ↑(N ↑i) ↑(N ↑i)


Context: z : ℍ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
p : β → Prop

⨆ i, f i = (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬p i), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β


UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h : 1 < a
hm : 1 < m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E

Convex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s


(s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s) → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x✝ : E

Context: h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x✝ : E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hy : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x✝ : E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a


Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I


Context:
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t


Context:
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t

∀ (n : ℤ), ‖f_int k a t n‖ = ‖(fun t_1 => Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) t_1) n‖


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.7462, u_1} C

Context: Φ : C ⥤ C

Context: ε : 𝟭 C ⟶ Φ

Context: J : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder J

Context: inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderBot J

Context: j : J

Context: F : { i // i ≤ j } ⥤ C

Context: i : J

Context: hi : i ≤ j

Context: k₁ k₂ : { k // k < i }

Context: φ : k₁ ⟶ k₂


Context: n : ℕ


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a

update (update f a v) a w = update f a w


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a
b : α

update (update f a v) a w b = update f a w b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} A

Context: B : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: F✝ G H : A ⥤ B

Context: η : F✝ ⟶ G

Context: γ : G ⟶ H

Context: inst✝⁴ : J.HasSheafCompose F✝

Context: inst✝³ : J.HasSheafCompose G

Context: inst✝² : J.HasSheafCompose H

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory A

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)

Context: F : Sheaf J A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: x y : (forget A).obj (F.val.obj (Opposite.op X))

Context: h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → (F.val.map f.op) x = (F.val.map f.op) y


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r


Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball x r)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

μ (closedBall x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context: θ : Angle

θ = -θ ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}


Context:
a b c : ℕ
h : c ≤ a
x : ℕ

x ∈ image (fun x => x - c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico (a - c) (b - c)


Context:
a b c : ℕ
h : c ≤ a
x : ℕ

(∃ a_1, (a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ a_1 - c = x) ↔ a - c ≤ x ∧ x < b - c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

Context: A : f₁ x = f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

Context: A : f₁ x = f x

mfderivWithin I I' f₁ univ x = mfderivWithin I I' f univ x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hL : f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f

Context: A : f₁ x = f x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p q q' : ℤ
hpq : p + 0 = q

(ofHom φ).v p q hpq ≫ G.d q q' = φ.f p ≫ G.d p q'


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

Context: D : ℝ := max C 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D

Context: H : ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖ ≤ D * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D

Context: m : (i : ι) → E i


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D

Context: m m' : (i : ι) → E i

Context: h' : dist m' m < 1

dist (f m') (f m) ≤ D * ↑(Fintype.card ι) * (‖m‖ + 1) ^ (Fintype.card ι - 1) * dist m' m


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D

Context: m m' : (i : ι) → E i

Context: h' : dist m' m < 1

‖f m' - f m‖ ≤ D * ↑(Fintype.card ι) * (‖m‖ + 1) ^ (Fintype.card ι - 1) * ‖m' - m‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: C : ℝ

Context: D : ℝ := max C 1

Context: D_pos : 0 ≤ D

Context: m m' : (i : ι) → E i

Context: h' : dist m' m < 1

Context: this : max ‖m'‖ ‖m‖ ≤ ‖m‖ + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

∫ (b : β), ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ Iic x)).toReal


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η✝ : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε✝ : g ≫ f ≅ 𝟙 b
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b

leftZigzagIso η (adjointifyCounit η ε) = λ_ f ≪≫ (ρ_ f).symm


(leftZigzagIso η (adjointifyCounit η ε)).hom = (λ_ f ≪≫ (ρ_ f).symm).hom


η.hom ▷ f ≫ ((α_ f g f).hom ≫ 𝟙 f ▷ (g ≫ f)) ≫ f ◁ (g ◁ ((ρ_ f).inv ≫ (f ◁ ε.inv ≫ (𝟙 f ▷ (g ≫ f) ≫ (α_ f g f).inv) ≫ η.inv ▷ f) ≫ (λ_ f).hom) ≫ ε.hom) = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: F : ℕ → R := fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: H : ∀ (n : ℕ), ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F i = ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
a✝ : α
s✝ : Set β
hs : MeasurableSet s✝


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : T2Space β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: f : γ → α

Context: inst✝² : MeasurableSpace.CountablySeparated α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : StandardBorelSpace γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f_meas : Measurable f

Context: f_inj : InjOn f s

Context: this : UpgradedStandardBorel γ := upgradeStandardBorel γ

Context: tγ : TopologicalSpace γ := inferInstance


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : T2Space β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: f : γ → α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : StandardBorelSpace γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f_meas : Measurable f

Context: f_inj : InjOn f s

Context: τ : TopologicalSpace α

Context: left✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: left✝ : T4Space α

Context: right✝ : OpensMeasurableSpace α


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : T2Space β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: f : γ → α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : StandardBorelSpace γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f_meas : Measurable f

Context: f_inj : InjOn f s

Context: τ : TopologicalSpace α

Context: left✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: left✝ : T4Space α

Context: right✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: t' : TopologicalSpace γ

Context: t't : t' ≤ tγ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t'_polish : PolishSpace γ


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : T2Space β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: f : γ → α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : StandardBorelSpace γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f_meas : Measurable f

Context: f_inj : InjOn f s

Context: τ : TopologicalSpace α

Context: left✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: left✝ : T4Space α

Context: right✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: t' : TopologicalSpace γ

Context: t't : t' ≤ tγ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t'_polish : PolishSpace γ

Context: M : MeasurableSet s


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜


(⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ⁻¹' spectrum 𝕜 A).Finite


Context:
X : TopCat
U V : Opens ↑X

↑(⋯.functor.obj ((map U.inclusion).obj V)) = ↑(V ⊓ U)


Context:
X : TopCat
U V : Opens ↑X


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s

borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ

Context: e_1✝ : α = αᵒᵈ

{S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S} = {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x✝ : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: x y : αᵒᵈ

Context: hlt : x < y

Context: he : Ioo x y = ∅


Context:
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝² : Applicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α : Type u_1
β γ : Type u
g : α → G β
f : β → γ
x : σ ⊕ α

(fun x => f <$> x) <$> Sum.traverse g x = Sum.traverse (fun x => f <$> g x) x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R

(X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: a : R

Context: this : ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p).Monic


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: a : R

(X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = 0 + (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a✝ a₁ a₂ : α

Context: b b₁✝ b₂✝ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : PosSMulReflectLT α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: a : α

Context: ha : 0 ≤ a

Context: b₁ b₂ : β

Context: h : a • b₁ < a • b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a✝ a₁ a₂ : α

Context: b b₁✝ b₂✝ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : PosSMulReflectLT α γ

Context: a : α

Context: ha : 0 ≤ a

Context: b₁ b₂ : β

Context: smul : α → β → True

Context: h : a • f b₁ < a • f b₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
f₁₂ : M →ₗ[R] N
f₂₃ : N →ₗ[R] P
g₁₂ : M' →ₗ[R] N'
g₂₃ : N' →ₗ[R] P'
e₁ : M ≃ₗ[R] M'
e₂ : N ≃ₗ[R] N'
e₃ : P ≃ₗ[R] P'
h₁₂ : g₁₂ ∘ₗ ↑e₁ = ↑e₂ ∘ₗ f₁₂
h₂₃ : g₂₃ ∘ₗ ↑e₂ = ↑e₃ ∘ₗ f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : MulAction G₀ α
inst✝² : MeasurableSpace G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSMul G₀ α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : G₀
ha : a ≠ 0


MeasurableSet ((fun x => a⁻¹ • x) ⁻¹' s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β →CO γ
f₁ f₂ : α →CO β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w


⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t ≤ ⊤.induce (s ∪ t)


(⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t).verts = (⊤.induce (s ∪ t)).verts


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g


Nonempty sq.LiftStruct ↔ Nonempty ⋯.LiftStruct


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hf'i : Function.Injective f'


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hf'i : Function.Injective f'

Context: f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }

Context: hu : map f'e univ = s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hf'i : Function.Injective f'

Context: hu : map f'e univ = s

centroid k univ (p ∘ ⇑f'e) = centroid k univ fun x => ↑x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: ι₂ : Type u_5

Context: s₂ : Finset ι₂

Context: p : ι → P

Context: ps : Set P

Context: inst✝ : Fintype ↑ps

Context: hps : ps = p '' ↑s

Context: f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

Context: hf'i : Function.Injective f'

Context: hu : map f'e univ = s

Context: x : ↑ps


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
a : M₀
l : List M₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α

(𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b| < ε}


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f

∀ (g : Subobject X), (pullback f).obj ((map f).obj g) = g


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α

(∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → Archimedean α


(∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n

A ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
ha : ¬IsUnit a
n : ℕ
c : α
ndvd : ¬a ∣ c
hb : a ^ n * c ≠ 0


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T


∀ (X : Under Y), (map (𝟙 Y)).obj X = (𝟭 (Under Y)).obj X


autoParam (∀ (X Y_1 : Under Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Under Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)

(Spec R).basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)


Context:
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)

f = (Scheme.ΓSpecIso R).inv ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G

Context: g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)

Context: segm : MapsTo g (Icc 0 1) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)

Context: segm : MapsTo g (Icc 0 1) s

Context: hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: bound✝ : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)

Context: segm : MapsTo g (Icc 0 1) s

Context: bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖(f' (g t)) (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β


(l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = (foldl (fun acc a => foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂) #[] l₁).data


(l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G


∀ (acc : Array (α × β)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
acc✝ : Array (α × β)
a✝ : α

(foldl (fun acc b => acc.push (a✝, b)) acc✝ l₂).data = acc✝.data ++ map (Prod.mk a✝) l₂


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞


⨆ i, (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑i)⁻¹).trim = ⨆ n, mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ

(mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹).trim = mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
s : Set X


Context:
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C


∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j = 𝟙 (Biproducts.bicone F).pt


(∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f


∑ j_1 : Fin n, biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j_1 ≫ (F j_1).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j_1 = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j


biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) b ≫ (F b).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) b = 0


j ∉ Finset.univ → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Semiring α

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁶ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝⁵ : NoZeroDivisors α

Context: inst✝⁴ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y


Context: s : ℂ

completedRiemannZeta (1 - s) = completedRiemannZeta s


Context: X✝¹ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X✝¹

Context: X✝ : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)

Context: X : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)

(Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)) = cocompact ((d : ι) → X d)


Context: X✝¹ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X✝¹

Context: X✝ : ι → Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

cocompact ((d : ι) → X d) ≤ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)


Context: X✝¹ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝¹

Context: X✝ : ι → Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

Context: s : Set ((i : ι) → X i)

Context: H : sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)


Context: X✝¹ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝¹

Context: X✝ : ι → Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

Context: s : Set ((i : ι) → X i)

Context: H : ∀ (i : ι), ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ eval i ⁻¹' t


Context: X✝¹ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝¹

Context: X✝ : ι → Type u_2

Context: X : ι → Type u_3

Context: s : Set ((i : ι) → X i)

Context: K : (i : ι) → Set (X i)

Context: hKc : ∀ (i : ι), IsCompact (K i)

Context: htK : ∀ (i : ι), s ⊆ eval i ⁻¹' K i


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁


Context:
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

l.set n a = take n l ++ a :: drop (n + 1) l


Context:
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
h : m + 1 ≤ n + 1

foldr.loop (n + 1) f ⟨m + 1, h⟩ x = f 0 (foldr.loop n (fun i => f i.succ) ⟨m, ⋯⟩ x)


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x✝ : -[n+1] ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h : 0 ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsAtomistic α

Context: a b : α

Context: h : ∀ (c : α), IsAtom c → (c ≤ a ↔ c ≤ b)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : Subsingleton E
a : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y ++ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ++ b.get ⋯


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)

∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯ = x


(∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯).slice = x.slice


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d

(∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯).slice i hid = x.slice i hid


∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, (unitVec d ↑x_1 ⊗ x.slice ↑x_1 ⋯).slice i hid = x.slice i hid


(∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, if i = ↑x_1 then x.slice ↑x_1 ⋯ else 0) = x.slice i hid


(if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = x.slice i hid


∀ b ∈ (Finset.range d).attach, b ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (if i = ↑b then x.slice ↑b ⋯ else 0) = 0


⟨i, ⋯⟩ ∉ (Finset.range d).attach → (if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R

Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉₊ / x) atTop (𝓝 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: p : ι → E

Context: hc : ConvexIndependent 𝕜 p

Context: x✝ : { x // x ∈ Set.range p }


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
L : List (List α)

L.join.Nodup ↔ (∀ l ∈ L, l.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint L


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis


Context:
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen

Context: H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim

Context: j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim

IsIntegral ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim

minpoly ℚ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: i : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim

Context: j : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim

IsIntegral ℤ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: i : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim

minpoly ℚ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: ps : Set P

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: hd : finrank ℝ V = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : Sphere P

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = r


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ≠ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ∉ univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: p : α → ℕ → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)

Context: hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N

Context: hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: p : α → ℕ → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)

Context: hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N

Context: x : α

MeasurableSet ((fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {Nat.find ⋯})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: p : α → ℕ → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)

Context: hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N

Context: x : α

MeasurableSet (disjointed (fun k => {x | p x k}) (Nat.find ⋯))


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g : G
hg : g ≠ 1
x : G


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C U : Set α
hC : Preperfect C
hU : IsOpen U
x : α
xU : x ∈ U
xC : x ∈ C


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)

Context: h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃

Context: h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂

((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)

Context: e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)

Context: e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C

e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃) = e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)

Context: e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C

D.L₁.g (e.hom.app D.L₁.X₂ x₂) = D.v₀₁.τ₃ (e.hom.app D.L₀.X₃ x₃)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)

Context: x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)

Context: x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)

Context: e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C

D.L₂.f (e.hom.app D.L₂.X₁ x₁) = D.v₁₂.τ₂ (e.hom.app D.L₁.X₂ x₂)


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: heq : (↑P).normalizer = ⊤


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Finite G

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: K : Subgroup G

Context: hK : IsCoatom K

Context: hNK : (↑P).normalizer ≤ K


Context:
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

IsSheaf (toGrothendieck C (K ⊔ L)) P ↔ IsSheaf (toGrothendieck C K) P ∧ IsSheaf (toGrothendieck C L) P


Context: C : Type u_2

Context: D : Type ?u.77901

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C

Context: inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D

Context: K L : Coverage C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1

Context: h : IsSheaf (toGrothendieck C K) P ∧ IsSheaf (toGrothendieck C L) P