Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (N.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (N.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ ((M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫ M.X ◁ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫ (α_ M.X N.X P'.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ⊗ N.X) ◁ f.hom ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ uIcc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ uIcc a b → edist (f x) (f y) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ba : b ≤ a


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b

[].prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) []).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: f : R[A]

Context: fs : List R[A]

(f :: fs).prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) (f :: fs)).sum


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: f : R[A]

Context: fs : List R[A]

(f * fs.prod).support.sup degb ≤ f.support.sup degb + (List.map (fun f => f.support.sup degb) fs).sum


Context:
m n : ℕ
k : Fin (n + 1)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h : (i : ι) → M₁ i

∑ x_1 ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (x_1.piecewise h x) + ∑ x_1 ∈ filter (fun x => ¬2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (x_1.piecewise h x) = f x + (f.linearDeriv x) h + ∑ s ∈ filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, f (s.piecewise h x)


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

a ⊔ ⨅ i, ⨅ j, f i j = ⨅ i, ⨅ j, a ⊔ f i j


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
hu : ¬liminf u f = ⊥
hv : ¬liminf v f = ⊥

liminf u f + liminf v f ≤ liminf (u + v) f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: hu : ¬liminf u f = ⊥

Context: hv : ¬liminf v f = ⊥

Context: h' : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: hu : ¬liminf u f = ⊥

Context: hv : ¬liminf v f = ⊥

-liminf (u + v) f ≤ -liminf u f + -liminf v f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: hu : ¬-liminf u f = ⊤

Context: hv : ¬-liminf v f = ⊤


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: hu : ¬limsup (-u) f = ⊤

Context: hv : ¬limsup (-v) f = ⊤

limsup (-(u + v)) f ≤ limsup (-u) f + limsup (-v) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_meas : Measurable (Function.uncurry fun a b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s})


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝¹ : CompactSpace X
f : Filter X
inst✝ : f.NeBot


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D✝ D1 D2 : LieDerivation R L M
a✝ b✝ : L
D : LieDerivation R L L
a b : L


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (↑m * x) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β

s ×ˢ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ×ˢ t i j


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⌈a⌉ ≤ ⌊a⌋ + 1


a ≤ ↑⌊a⌋ + 1


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : β → Sort v
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
C : (a : α) → γ (f a)
a : α


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯

Context: mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x⁻¹ * y) ⋯

Context: x : G


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : G

Context: mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x * y) ⋯

Context: mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x⁻¹ * y) ⋯

∀ (h : x ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p x ⋯


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : G

Context: h : x ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
v w : V

G.Adj v w → (fun x => 0) v ≠ (fun x => 0) w


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Subsingleton V
v : V

G.Adj v v → (fun x => 0) v ≠ (fun x => 0) v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

Memℒp (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) 1 μ


Integrable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
hi'_eq_i : i' = i


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
h_Iio_eq_Iic : Set.Iio i = Set.Iic i'


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
h : P.parts.card = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
h : P.parts.card > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
s : Set β

(p.bind f).toOuterMeasure s = ∑' (b : β), if b ∈ s then ∑' (a : α), p a * (f a) b else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
s : Set β
a : α

(p a * ∑' (b : β), if b ∈ s then (f a) b else 0) = p a * (f a).toOuterMeasure s


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
x y : ℝ


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: x : Fin (n + 1) → ℝ

Context: hxI : x ∈ Box.Icc I

Context: a : E

Context: ε : ℝ

Context: h0 : 0 < ε

Context: hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖f y - a - f' (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : I.distortion ≤ c

Context: e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth

‖(∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)) • f' (Pi.single i 1) - (integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.upper i)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.lower i)) BoxAdditiveMap.volume)‖ ≤ 2 * ε * ↑c * ∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: x : Fin (n + 1) → ℝ

Context: hxI : x ∈ Box.Icc I

Context: a : E

Context: ε : ℝ

Context: h0 : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : I.distortion ≤ c

Context: Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: x : Fin (n + 1) → ℝ

Context: hxI : x ∈ Box.Icc I

Context: a : E

Context: ε : ℝ

Context: h0 : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : I.distortion ≤ c

Context: Hu : I.upper i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: x : Fin (n + 1) → ℝ

Context: hxI : x ∈ Box.Icc I

Context: a : E

Context: ε : ℝ

Context: h0 : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : I.distortion ≤ c

Context: Hi : ∀ x ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i), Integrable (I.face i) ⊥ (f ∘ e x) BoxAdditiveMap.volume


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
this : TopologicalAddGroup F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hι : Nonempty ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: this : TopologicalAddGroup F

Context: x✝ : TopologicalSpace E := TopologicalSpace.induced (⇑f) inferInstance


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hι : Nonempty ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: this✝ : TopologicalAddGroup F

Context: this : TopologicalAddGroup E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hι : Nonempty ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: this✝ : TopologicalAddGroup F

Context: this : TopologicalAddGroup E

⨅ i, comap (⇑f) (comap (⇑(q i)) (𝓝 0)) = ⨅ i, comap (⇑(q.comp f i)) (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hι : Nonempty ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: this✝ : TopologicalAddGroup F

Context: this : TopologicalAddGroup E

Context: i : ι

comap (⇑f) (comap (⇑(q i)) (𝓝 0)) = comap (⇑(q.comp f i)) (𝓝 0)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E

(CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε


(∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ∑ b ∈ t, f b ∈ ball 0 i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε


∀ ⦃s t : Set E⦄, s ⊆ t → (∃ s_1, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s_1 → ∑ b ∈ t, f b ∈ s) → ∃ s, ∀ (t_1 : Finset ι), Disjoint t_1 s → ∑ b ∈ t_1, f b ∈ t


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ


Context:
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c

a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }

(Sym.filterNe a ↑m).snd ∈ s.sym (n - ↑(Sym.filterNe a ↑m).fst)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: x✝ : (i : Fin (n + 1)) × { x // x ∈ s.sym (n - ↑i) }

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

(fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩) = ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

(a : Fin (n + 1)) → { x // x ∈ s.sym (n - ↑a) } → ?refine_1 (id a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i✝)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i✝)

Context: i : Fin (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

Sigma.map id ?refine_2 ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sigma.map id ?refine_2 ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

Sigma.map id (fun i a => ↑a) ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

Sigma.map id (fun i a => ↑a) ((fun m => ⟨(Sym.filterNe a ↑m).fst, ⟨(Sym.filterNe a ↑m).snd, ⋯⟩⟩) ((fun m => ⟨Sym.fill a m.fst ↑m.snd, ⋯⟩) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩)) = Sym.filterNe a (Sym.fill a (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).fst (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).snd)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: n : ℕ

Context: h : a ∉ s

Context: i : Fin (n + 1)

Context: m : Sym α (n - ↑i)

Context: hm : m ∈ s.sym (n - ↑i)

a ∉ (Sigma.map id (fun i a => ↑a) ⟨i, ⟨m, hm⟩⟩).snd


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι ⊕ ι'

(b.prod b') i = Sum.elim (⇑(LinearMap.inl R M M') ∘ ⇑b) (⇑(LinearMap.inr R M M') ∘ ⇑b') i


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E

‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map toReal (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m)).sum


‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (toReal ∘ fun x => ‖x‖₊) m).sum


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
s : S
h : s ∈ Set.range ⇑f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
r : R
h : f r ∈ Set.range ⇑f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m

(map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hmn : 0 ≤ n
hs : card s = 0
ht : card t = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
hm : m > 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
hm : ∃ a, a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ s


(map f (s + replicate (n - m) a)).prod = (map f (t + replicate (n - m) a)).prod ↔ (s + replicate (n - m) a).prod = (t + replicate (n - m) a).prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a : α
ha : a ∈ A


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ s + replicate (n - m) a✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ t + replicate (n - m) a✝


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: this : P.Λ₀ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ₀ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: this : P.Λ (↑P.k - s) + (1 / (↑P.k - s)) • P.f₀ + (P.ε / s) • P.g₀ = P.ε • (P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ


Context:
n : ℕ
hq : re 0 = 0


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0


Context:
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!


k⁻¹ • ((-↑(normSq q)) ^ n * q) = k⁻¹ • ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n)) • q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_3
m : Type u_4
R : Type u_5
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsSymm
hBC : Bᵀ = C
hD : D.IsSymm
hCB : Cᵀ = B

(Matrix.fromBlocks A B C D)ᵀ = Matrix.fromBlocks A B C D


Context: l m r : List Char

{ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.next { byteIdx := utf8Len m } = { byteIdx := utf8Len m }


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝² : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
A : Type u
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Nontrivial A
a b : ℕ
h : a.Coprime b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α

⋃ i, ⋃ (hi : p i), Ioc a (f i hi) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, ∃ (hi : p i), x ≤ f i hi


Context:
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: x : K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: x : K

Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 (↑K x))) (𝓝 (v x))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: x : K


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : 0 ≤ t

Context: h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

Context: ht_pos : 0 < t

(μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t u ≠ ⊤

hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist u t ≠ ⊤


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: fin : hausdorffEdist u t ≠ ⊤

Context: I : hausdorffDist u s ≤ hausdorffDist u t + hausdorffDist t s


Context: x y : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀

((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) x = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) x


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S

((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) (((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m s)) = ((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) ((↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s))


((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m 1) = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1)


f₁ (g m) = fromLocalizedModule' S f₁ (((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1))


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
f : R →+* S
e : Perm σ

(rename ⇑e) ((MvPolynomial.map f) φ) = (MvPolynomial.map f) φ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : at x

(stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x z) = z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl

(stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x (Quotient.mk'' z)) = Quotient.mk'' z


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive

φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
this : IsIso (F.map φ.s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β

(∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : β), f x


(∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = (∏' (x : ↑↑s), f ↑x) * ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x


∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
W : C
k l : t.pt ⟶ W
h₀ : t.inl ≫ k = t.inl ≫ l
h₁ : t.inr ≫ k = t.inr ≫ l


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative


∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → (f * g) (m * n) = (f * g) m * (f * g) n


∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2


∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = ∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2)


∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2) = ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2


∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal


Set.InjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal)


Set.SurjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal) ↑(m * n).divisorsAntidiagonal


∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f a.1.1 * g a.1.2 * (f a.2.1 * g a.2.2) = f (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).1 * g (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).2


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S

absNorm (span {r}) = ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs


absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Nontrivial S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝ : Module.Finite ℤ S

Context: r : S

Context: hr : ¬r = 0

Context: this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Nontrivial S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝ : Module.Finite ℤ S

Context: r : S

Context: hr : ¬r = 0

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Nontrivial S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝ : Module.Finite ℤ S

Context: r : S

Context: hr : ¬r = 0

(LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap)).natAbs = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Nontrivial S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝ : Module.Finite ℤ S

Context: r : S

Context: hr : ¬r = 0

↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap = (Algebra.lmul ℤ S) r


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Nontrivial S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝ : Module.Finite ℤ S

Context: r : S

Context: hr : ¬r = 0

Context: i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S

(↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap) (b i) = ((Algebra.lmul ℤ S) r) (b i)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ

edist x y < ENNReal.ofReal r ↔ dist x y < r


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: r : Finset (γ × α)

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1

Context: f : γ × α → β

∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (c, a)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: r : Finset (γ × α)

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: f : γ × α → β

∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.fst, x.snd)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
ha : a ≤ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
ha : 0 ≤ a


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S

(map f p).leadingCoeff = f p.leadingCoeff


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
i : ι := Classical.arbitrary ι


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃

(conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = (conjugateEquiv adj₁ adj₃).symm (α ≫ β)


(conjugateEquiv adj₁ adj₂) ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α) ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₃) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β) = α ≫ β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : ¬BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : ¬BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : BddAbove univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y


Context:
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hp : 0 < x
hy : y.InfiniteNeg


Context:
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : GroupWithZero α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: this : card ({ a // a = 0 } ⊕ { a // ¬a = 0 }) = card α


Context:
a x z : ℂ
θ : ℝ


Context:
a x z : ℂ
θ : ℝ

cexp (↑θ * I) = cos ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) + sin ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) * I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: μ : 𝕜

Context: p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: μ : 𝕜

Disjoint (eigenspace T μ) (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: μ : 𝕜

Context: H₂ : eigenspace T μ ⟂ p


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
x : V
hx : x ∈ ↑(affineSpan k s)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
S T : 𝒮
f : S ⟶ T
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift f ψ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
f : R ⟶ T
inst✝ : p.IsHomLift f ψ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
v : Fin 1 → E


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
w : p ≠ 0


eval x p = 0 ↔ eval x (map (algebraMap R R) p) = 0


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel (c.prev i) i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R


∀ᶠ (c_1 : ℕ) in atTop, seminormFromConst_seq c f x c_1 ≤ f x


∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x


∀ (b : ℕ), 1 ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: s s' t : Set α

Context: ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
b : n
M : Matrix n n α

(stdBasisMatrix i j c * M) i b = c * M j b


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
x✝ : MeasurableSet s


Context:
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
hp₁ : p.1 * p.2 = n
hp₂ : n ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: hs : P.k < s.re

Context: hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s

mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: hs : P.k < s.re

Context: hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: hs : P.k < s.re

Context: hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)

Context: hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: hs : P.k < s.re

Context: hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)

Context: this : mellin (fun t => P.f_modif t - (P.f t - P.f₀)) s = mellin P.f_modif s - mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: s : ℂ

Context: hs : P.k < s.re

Context: hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)

Context: this : mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = mellin P.f_modif s - (1 / s) • P.f₀ - (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
r' : ℝ
hrr' : ‖r‖ < r'
h : r' < 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
V : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr' : Reflexive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflGen r x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝ n : ℕ
xs✝ : List α
a : α
xs : List α
z : Sym α 0
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym 0 xs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝ n : ℕ
xs✝ : List α
a : α
xs : List α
ha : a ∈ Sym.nil
hz : Sym.nil ∈ List.sym 0 xs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
a : α
n : ℕ
x : α
xs : List α
z : Sym α (n + 1)
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym (n + 1) (x :: xs)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: xs✝¹ ys : List α

Context: n✝¹ n✝ : ℕ

Context: xs✝ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: z : Sym α (n + 1)

Context: ha : a ∈ z

Context: hz : (∃ a ∈ List.sym n (x :: xs), x ::ₛ a = z) ∨ z ∈ List.sym (n + 1) xs


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = k • 0


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
inst✝¹ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ : α✝
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset β
f : β → α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M✝
w✝ w₁ w₂ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
s : Set α
hs : s ⊆ u


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : Module.rank R (M ⧸ N) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: N : Submodule R M

Context: h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M

Context: this : ¬∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • Submodule.Quotient.mk x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: N : Submodule R M

Context: h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M

Context: this : ∃ x, ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • Submodule.Quotient.mk x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: N : Submodule R M

Context: h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M

Context: this : ∃ x, ∀ (a : R), ¬a = 0 → a • x ∉ N


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))


(fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) = fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
x✝ : ℕ

ENNReal.ofReal (‖a ^ x✝‖ ^ (1 / ↑x✝)) = ↑‖a ^ x✝‖₊ ^ (1 / ↑x✝)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

x ∈ ⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

(∃ a, (mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap ((algebraMap (𝓞 K) K) a) = x) ↔ ∃ x_1, ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)) x_1 = x


Context:
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂

∀ {x₁ x₂ : PGame}, x₁.Numeric → x₂.Numeric → x₁ < x₂ → P3 x₁ x₂ y₁ y₂


∀ (x : PGame × PGame), x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂


∀ (x : PGame × PGame), (∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y x → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂) → x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂


Context: x y y₁ y₂ : PGame

Context: hx✝ : x.Numeric

Context: hy✝ : y.Numeric

Context: hy₁ : y₁.Numeric

Context: hy₂ : y₂.Numeric

Context: hy : y₁ < y₂

Context: x₁ x₂ : PGame

Context: ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂

Context: hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric

Context: hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric

Context: hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2


Context: x y y₁ y₂ : PGame

Context: hx✝ : x.Numeric

Context: hy✝ : y.Numeric

Context: hy₁ : y₁.Numeric

Context: hy₂ : y₂.Numeric

Context: hy : y₁ < y₂

Context: x₁ x₂ : PGame

Context: hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric

Context: hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric

Context: hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2

Context: i : (x₁, x₂).2.LeftMoves

IH3 (x₁, x₂).1 ((x₁, x₂).2.moveLeft i) (x₁, x₂).2 y₁ y₂


Context: x y y₁ y₂ : PGame

Context: hx✝ : x.Numeric

Context: hy✝ : y.Numeric

Context: hy₁ : y₁.Numeric

Context: hy₂ : y₂.Numeric

Context: hy : y₁ < y₂

Context: x₁ x₂ : PGame

Context: hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric

Context: hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric

Context: hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2

Context: i : (-(x₁, x₂).1).LeftMoves


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • f x + b • f y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)


a • g x + b • g y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : Sieve X

Context: h : J.Covers S f

Context: k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : Sieve X

Context: h : J.Covers S f

∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.pullback f S).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Y_1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : Sieve X

Context: h : J.Covers S f

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Y

Context: hg : (Sieve.pullback f S).arrows g

Sieve.pullback g (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Z


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : Sieve X

Context: h : J.Covers S f

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Y

Context: hg : (Sieve.pullback f S).arrows g


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : 0 < r

a < (lineMap a b) r ↔ (lineMap a b) 0 < (lineMap a b) r


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → Field (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: p : Ring.DirectLimit G f

Context: hp : p ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'


Context:
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M

∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂


Context:
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG

∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂


Context:
R M : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
L : Type u
w✝¹ : AddCommGroup L
w✝ : Module R L
K : Submodule R L
ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K
left✝¹ : Free R L
left✝ : Finite R L
hK : K.FG
this : Finite R ↥K

∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Flat R M

Context: P : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : FinitePresentation R P

Context: h₁ : P →ₗ[R] M

Context: L : Type u

Context: w✝¹ : AddCommGroup L

Context: w✝ : Module R L

Context: K : Submodule R L

Context: ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K

Context: left✝¹ : Free R L

Context: left✝ : Finite R L

Context: hK : K.FG

Context: this✝ : Finite R ↥K

Context: this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0

∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Flat R M

Context: P : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : FinitePresentation R P

Context: h₁ : P →ₗ[R] M

Context: L : Type u

Context: w✝¹ : AddCommGroup L

Context: w✝ : Module R L

Context: K : Submodule R L

Context: ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K

Context: left✝¹ : Free R L

Context: left✝ : Finite R L

Context: hK : K.FG

Context: this✝ : Finite R ↥K

Context: κ : Type u

Context: hκ : Fintype κ

Context: a : L →ₗ[R] κ →₀ R

Context: y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M

Context: hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a

Context: ha : a ∘ₗ K.subtype = 0

∃ κ x h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Flat R M

Context: P : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : FinitePresentation R P

Context: h₁ : P →ₗ[R] M

Context: L : Type u

Context: w✝¹ : AddCommGroup L

Context: w✝ : Module R L

Context: K : Submodule R L

Context: ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K

Context: left✝¹ : Free R L

Context: left✝ : Finite R L

Context: hK : K.FG

Context: this✝ : Finite R ↥K

Context: κ : Type u

Context: hκ : Fintype κ

Context: a : L →ₗ[R] κ →₀ R

Context: y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M

Context: hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a

Context: ha : a ∘ₗ K.subtype = 0


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Flat R M

Context: P : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : FinitePresentation R P

Context: h₁ : P →ₗ[R] M

Context: L : Type u

Context: w✝¹ : AddCommGroup L

Context: w✝ : Module R L

Context: K : Submodule R L

Context: ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K

Context: left✝¹ : Free R L

Context: left✝ : Finite R L

Context: hK : K.FG

Context: this✝ : Finite R ↥K

Context: κ : Type u

Context: hκ : Fintype κ

Context: a : L →ₗ[R] κ →₀ R

Context: y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M

Context: hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a

Context: ha : a ∘ₗ K.subtype = 0

h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm = (y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ) ∘ₗ ↑ϕ.symm


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Flat R M

Context: P : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : FinitePresentation R P

Context: h₁ : P →ₗ[R] M

Context: L : Type u

Context: w✝¹ : AddCommGroup L

Context: w✝ : Module R L

Context: K : Submodule R L

Context: ϕ : P ≃ₗ[R] L ⧸ K

Context: left✝¹ : Free R L

Context: left✝ : Finite R L

Context: hK : K.FG

Context: this✝ : Finite R ↥K

Context: κ : Type u

Context: hκ : Fintype κ

Context: a : L →ₗ[R] κ →₀ R

Context: y : (κ →₀ R) →ₗ[R] M

Context: hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a

Context: ha : a ∘ₗ K.subtype = 0

(h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm) ∘ₗ K.mkQ = ((y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ) ∘ₗ ↑ϕ.symm) ∘ₗ K.mkQ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this : Nontrivial β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this✝ : Nontrivial β
this : NoZeroDivisors α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : Ring β
f : β →+* α
hf : Injective ⇑f
this✝¹ : Nontrivial β
this✝ : NoZeroDivisors α
this : NoZeroDivisors β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp a (b - m • p) = toIcoMod hp a b


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum


(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) 0).prod ≠ 0 → (prod 0).natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) 0).sum


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: ih : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0 → t.prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum

Context: ht : (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) (a ::ₘ t)).prod ≠ 0

(a ::ₘ t).prod.natDegree = (Multiset.map (fun f => f.natDegree) (a ::ₘ t)).sum


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: ht : a.leadingCoeff * (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0

(a * t.prod).natDegree = (a.natDegree ::ₘ Multiset.map (fun f => f.natDegree) t).sum


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β

κ = η ↔ ∀ (a : α) (s : Set β), MeasurableSet s → (κ a) s = (η a) s


Context: a b : Nat

range (a + b) = range a ++ map (fun x => a + x) (range b)


Context: a b : Nat


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : x ≤ z
hyz : z ≤ y
h : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z✝ z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α
s : Set α
hs : s ∈ atBot ⊔ atTop
h✝ : IsEmpty α


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : CompactIccSpace α
s : Set α
hs : s ∈ atBot ⊔ atTop
h✝ : Nonempty α


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : (α → R) →ₗ[R] β → R

Context: i : Injective ⇑f

Context: P : (Fin (Fintype.card α) → R) ≃ₗ[R] α → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin α)

Context: Q : (Fin (Fintype.card β) → R) ≃ₗ[R] β → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin β)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x : G

x ∈ conjugatesOfSet s ↔ ∃ a ∈ s, IsConj a x


(∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), x ∈ conjugatesOf i) ↔ ∃ a ∈ s, IsConj a x


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
m : M

m ∈ f.maxGenEigenspace μ ↔ ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

MeasurableSet {a | (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0}


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq V
A : Matrix V V α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
h : A.IsSymm
i✝ j✝ : V


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

{b}.preimage (fun x => x * a) ⋯ = {b * a⁻¹}


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

∑' (i : ℤ), ‖fourierCoeff (↑↑f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle


∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2 = ∫ (t : AddCircle T), ‖↑↑f t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

Context: H₁ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ∑' (i : ℤ), ‖↑(fourierBasis.repr f) i‖ ^ 2


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

Context: H₂ : ‖fourierBasis.repr f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ 2


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

Context: H₃ : RCLike.re ⟪f, f⟫_ℂ = RCLike.re (∫ (a : AddCircle T), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_ℂ ∂haarAddCircle)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

Context: H₃ : RCLike.re ⟪f, f⟫_ℂ = ∫ (x : AddCircle T), RCLike.re ⟪↑↑f x, ↑↑f x⟫_ℂ ∂haarAddCircle


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)

Integrable (fun a => ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_ℂ) haarAddCircle


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k


↑(Subgroup.zpowers ζ) = ↑(rootsOfUnity k R)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
F : Fintype ↥(Subgroup.zpowers ζ)


Fintype.card ↑↑(rootsOfUnity k R) ≤ Fintype.card ↑↑(Subgroup.zpowers ζ)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : Stmt₂
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
f : σ → Option (Γ k) → σ

TM2.stepAux (stRun (StAct.peek f) q) v S = TM2.stepAux q (stVar v (S k) (StAct.peek f)) (update S k (match StAct.peek f with | StAct.push f => f v :: S k | StAct.peek a => S k | StAct.pop a => (S k).tail))


TM2.stepAux (stRun (StAct.peek f) q) v S = TM2.stepAux q (stVar v (S k) (StAct.peek f)) S


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h✝ : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1
h : |x| < 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h✝ : |x| ≠ 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : |x| ^ n = 1
h : 1 < |x|


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)

j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩ + n = i + j + (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
m : ℕ
h : v p ⟨j + 1, ⋯⟩ = m


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n i j : ℕ
hi : i ≤ n
hj : j < p ^ (n - i)
m : ℕ
h : v p ⟨j + 1, ⋯⟩ = m
hle : p ^ m ≤ j + 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)

(kreplace a b l).NodupKeys ↔ l.NodupKeys


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s f g : Set (α → M)
φ : L[[↑A]].Formula α
hφ : f = setOf φ.Realize
θ : L[[↑A]].Formula α
hθ : g = setOf θ.Realize
x✝ : α → M


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Subsingleton R


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: H : ∃ m ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c✝ : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: c : Set α

Context: hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : f =O[l] g

∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: g : α → E'''

Context: h : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
p : Fin 0 → α
x : α
y : Fin (0 + 1)
this : Subsingleton (Fin (0 + 1))


Context:
a b : ℤ
h : a < b


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
hba : b ≤ a * ω


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology

S.toCycles ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a✝ : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i j : ι), p i → p j → i = j
a : α

(∏ i : ι, if p i then a else 1) = if ∃ i, p i then a else 1


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: a✝ : Chain r ↑l → ∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b

Context: hs : Chain r ↑(a :: l)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑(a :: l)

Context: c : α

Context: hc : c ∈ ↑(a :: l)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: hs : List.Pairwise r (a :: (l ++ [a]))

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑(a :: l)

Context: c : α

Context: hc : c ∈ ↑(a :: l)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑(a :: l)

Context: c : α

Context: hc : c ∈ ↑(a :: l)

Context: hs : (∀ (a' : α), a' ∈ l ∨ a' = a → r a a') ∧ List.Pairwise r l ∧ ∀ a_1 ∈ l, r a_1 a


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: b c : α

Context: hb : b = a ∨ b ∈ l

Context: hc : c = a ∨ c ∈ l


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
s : Set Z
x : Z
hx : f x ∈ e.source
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) s x


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: f : Z → X

Context: s : Set Z

Context: x : Z

Context: hx : f x ∈ e.source

Context: h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x

Context: fe_cont : ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) s x


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: f : Z → X

Context: s : Set Z

Context: x : Z

Context: hx : f x ∈ e.source

Context: h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x

Context: fe_cont : ContinuousWithinAt (↑e ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e.source) x

ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' e.source) x


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: f : Z → X

Context: s : Set Z

Context: x : Z

Context: hx : f x ∈ e.source

Context: h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[s] x

Context: this : ContinuousWithinAt (↑e.symm ∘ ↑e ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e.source) x


Context:
x✝¹ : Substring
h✝ : x✝¹.Valid
x✝ : Nat
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝¹

(x✝¹.drop x✝).toString.data = List.drop x✝ x✝¹.toString.data


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : D ⥤ E
τ : X✝ ⟶ Y✝
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y

X✝.map (F.map f) ≫ τ.app (F.obj Y) = τ.app (F.obj X) ≫ Y✝.map (F.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : D ⥤ E
τ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
x✝ : C

X✝.map (f.app x✝) ≫ τ.app (Y.obj x✝) = τ.app (X.obj x✝) ≫ Y✝.map (f.app x✝)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)

map e.flip p.dualCoannihilator = (map e.symm p).dualAnnihilator


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)
this : IsReflexive R N


map e.flip.symm (map e.symm p).dualAnnihilator = map e.flip.symm (map e.flip p.dualCoannihilator)


(map (↑e ∘ₗ ↑e.symm) p).dualCoannihilator = map (↑e.flip.symm ∘ₗ ↑e.flip) p.dualCoannihilator


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : IntegrableOn f (Ioi 0) ν
hg : IntegrableOn g (Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν ∂μ = (L (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, g x ∂μ)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F


∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) x ∂μ = (L (∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator f x ∂ν)) (∫ (x : ℝ), (Ioi 0).indicator g x ∂μ)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
x : ℝ

((Ioi 0).indicator fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν) = (Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c : E

ConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | ¬b < a}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | ¬b < a}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: x : PGame := mk PEmpty.{u + 1} ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).RightMoves) PEmpty.elim fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveRight x.snd


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: i : ι


Context: xl xr : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: f : ι → PGame

Context: i : ι

(∀ (i_1 : x.LeftMoves), x.moveLeft i_1 ⧏ f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))) ∧ ∀ (j : (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).RightMoves), x ⧏ (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveRight j


Context:
α β : Frm
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Frm).obj α

({ toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : Frm
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Frm).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β

ConvexOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α

(partialSups f) n ≤ x✝ ↔ (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ f ≤ x✝


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι


MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω = i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁴ : OrderTopology ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : BorelSpace ι

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MetrizableSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: m_prod : MeasurableSpace (↑(Set.Iic i) × Ω) := Subtype.instMeasurableSpace.prod (↑f i)

Context: m_set : (t : Set (↑(Set.Iic i) × Ω)) → MeasurableSpace ↑t := fun x => Subtype.instMeasurableSpace

Context: s : Set (↑(Set.Iic i) × Ω) := {p | τ p.2 ≤ i}

StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => min i (τ ω)) (↑p.1) p.2