Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₁.inv.hom₁ = e₁.inv.hom₃ ≫ T₁.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: H : ∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: comm₁ : L.map T₁'.mor₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁

Context: comm₁' : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ L.map T₂'.mor₁

Context: comm₂ : T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ = e₁.hom.hom₂ ≫ L.map T₁'.mor₂

Context: comm₂' : T₂.mor₂ ≫ e₂.hom.hom₃ = e₂.hom.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂

Context: comm₃' : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map e₂.hom.hom₁ = e₂.hom.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁

Context: φ : L.mapTriangle.obj T₁' ⟶ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hφ₁ : φ.hom₁ = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁

Context: hφ₂ : φ.hom₂ = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₂ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₃ : (L.mapTriangle.obj T₁').mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ (L.mapTriangle.obj T₂').mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₂ : L.map T₁'.mor₂ ≫ φ.hom₃ = φ.hom₂ ≫ L.map T₂'.mor₂

Context: h₃ : (L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Pretriangulated C

Context: inst✝¹ : HasShift D ℤ

Context: inst✝ : L.CommShift ℤ

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: T₁' : Triangle C

Context: e₁ : T₁ ≅ L.mapTriangle.obj T₁'

Context: hT₁' : T₁' ∈ distinguishedTriangles

Context: T₂' : Triangle C

Context: e₂ : T₂ ≅ L.mapTriangle.obj T₂'

Context: hT₂' : T₂' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₃ : L.map T₁'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₁'.obj₁ ≫ (shiftFunctor D 1).map φ.hom₁ = φ.hom₃ ≫ L.map T₂'.mor₃ ≫ (L.commShiftIso 1).hom.app T₂'.obj₁


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝ : GrowsPolynomially g

Context: hf' : 0 ≤ᶠ[atTop] f

Context: hg' : 0 ≤ᶠ[atTop] g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: left✝ : c₄ > 0

Context: hg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (fun x => f x + g x) x) (max c₂ c₄ * (fun x => f x + g x) x)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝¹ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝¹ : GrowsPolynomially g

Context: hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f

Context: hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: left✝ : c₄ > 0

Context: hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)

Context: x : ℝ

Context: hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

Context: hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)

Context: hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y

Context: hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y

Context: hx_pos : 0 ≤ x

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝¹ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝¹ : GrowsPolynomially g

Context: hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f

Context: hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: left✝ : c₄ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 ≤ x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝¹ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝¹ : GrowsPolynomially g

Context: hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f

Context: hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: left✝ : c₄ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 ≤ x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

Context: hbx : b * x ≤ x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1 : Computation α

Context: s2 : Computation β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1 s2

Context: h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1 : Computation α

Context: s2 : Computation β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1 s2

LiftRel S (s1.bind (pure ∘ f1)) (s2.bind (pure ∘ f2))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1 : Computation α

Context: s2 : Computation β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1 s2

∀ {a : α} {b : β}, R a b → LiftRel S ((pure ∘ f1) a) ((pure ∘ f2) b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1 : Computation α

Context: s2 : Computation β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1 s2

∀ {a : α} {b : β}, R a b → ∃ a_2, a_2 ∈ pure (f1 a) ∧ S a_2 (f2 b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: R : α → β → Prop

Context: S : γ → δ → Prop

Context: s1 : Computation α

Context: s2 : Computation β

Context: f1 : α → γ

Context: f2 : β → δ

Context: h1 : LiftRel R s1 s2

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : R a b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : 1 < a


Context:
a✝ b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}


Context:
a✝ b c : Ordinal.{u}
h✝ : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
h : b < c


Context:
a✝ b a : Ordinal.{u}
h : b ≤ b


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c✝ : E
f✝ : ContDiffBump c✝
x : E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
hc : ContDiff ℝ n c
hr : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rIn
hR : ContDiff ℝ n fun x => (f x).rOut
hg : ContDiff ℝ n g


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ X

Context: inst✝ : HasContDiffBump E

Context: c✝ : E

Context: f✝ : ContDiffBump c✝

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: c g : X → E

Context: f : (x : X) → ContDiffBump (c x)

Context: hc : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ n c x

Context: hr : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) x

Context: hR : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) x

Context: hg : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ n g x

∀ (x : X), ContDiffAt ℝ n (fun x => ↑(f x) (g x)) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u

Context: hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: hwuv : ↑s ((w ∩ u) ∆ (w ∩ v)) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: hwuv : ↑s ((w ∩ u) ∆ (w ∩ v)) = 0

Context: huv : ↑s ((w ∩ u) \ (w ∩ v)) = 0

Context: hvu : ↑s ((w ∩ v) \ (w ∩ u)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : MetricSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝⁵ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SMul S R

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul S R

Context: inst✝² : SMulZeroClass S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower S R A

Context: inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)

Context: s : S

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => s • x) '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f (s • x)) a = cfc f (s • a)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝¹ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasHomology

S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasHomology

(∀ (x₂ : ↑(S.map (forget₂ C Ab)).X₂), (S.map (forget₂ C Ab)).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (S.map (forget₂ C Ab)).f x₁ = x₂) ↔ ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Type u
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

MeasurePreserving (⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow) (Measure.pi fun x => μ) (μ.prod μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
e : Y → X
he : ClosedEmbedding e

⋃ n, (fun n => e ⁻¹' compactCovering X n) n = univ


Context:
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
hx : 1 < x


Context:
T : ℝ
n : ℤ


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 0 < b


Context: n : ℕ

↑(bif (↑n).bodd then 1 else 0) + 2 * (↑n).div2 = ↑n


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

(bif -[n+1].bodd then 1 else 0) + 2 * -[n+1].div2 = -[(bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2+1]


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

Context: hl : l.bRiemann = false

HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

openSegment 𝕜 x y = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1

x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y


x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: htop : LinearMap.range (f'.prod φ') = ⊤

Context: fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: htop : LinearMap.range (f'.prod φ') = ⊤

Context: fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)

Context: A : map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x a : α
h_a : a ∈ fixedPoints ⇑f
h_le_init : x ≤ a
i : Ordinal.{u}


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : a ∈ I

(CharacterSpace.equivAlgHom.symm ((↑(NormedRing.algEquivComplexOfComplete ⋯).symm).comp (Quotient.mkₐ ℂ I))) a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s


∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (x : β), (η a) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂κ a


Context: w x✝ y✝ z✝ x : ℝ

Context: hx : x ≠ 0

Context: y z : ℝ≥0

Context: hyz : (fun y => y ^ x) y = (fun y => y ^ x) z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f


Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y


ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y


ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => hf.toContinuousLinearMap


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof K


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof (K ∩ range f)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s


∀ t₁ ∈ insert ∅ s, ∀ t₂ ∈ insert ∅ s, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ insert ∅ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E


IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: this : ∀ (v : ↥K), IsClosed ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: K : Submodule 𝕜 E

↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)) = ⋂ i, ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑i))


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f


Measurable fun b => if h : p then f b else sSup ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₂} D

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : CartesianClosed C

Context: h : ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage

Context: B✝ A : C

Context: B' : D

Context: iB' : i.obj B' ≅ B✝


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: m n : ℤ

Context: H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: m n : ℤ


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: m n : ℤ

Context: t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2

Context: co : m.gcd n = 1

Context: right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: m n : ℤ

Context: co : m.gcd n = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

(algebraMap R S) (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * (sec M (f i)).1) = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i


(↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2) • f i = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i


↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2)


↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2


∏ x ∈ s, ↑(sec M (f x)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)


Context:
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)

(n + 1) * 2 ∣ (n + 1) * (n + 1).centralBinom


Context:
n k : ℕ
hnk : n < k


Context:
n k : ℕ
hnk : n < n + k + 1


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂

alternatization ((↑a).domCoprod ↑b) = ((Fintype.card ιa).factorial * (Fintype.card ιb).factorial) • a.domCoprod b


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N

(finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n) = p.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


(finsuppLeft R M N ι) (0 ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum 0 fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


∀ (f g : ι →₀ M), ((finsuppLeft R M N ι) (f ⊗ₜ[R] n) = f.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppLeft R M N ι) (g ⊗ₜ[R] n) = g.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppLeft R M N ι) ((f + g) ⊗ₜ[R] n) = (f + g).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


∀ (a : ι) (b : M), (finsuppLeft R M N ι) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] n) = (Finsupp.single a b).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : Integrable f μ

ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsClosed s


Context: n : ℕ

HasDerivAt Gamma (↑n ! * (-↑γ + ↑(harmonic n))) (↑n + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))

Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}


Pi.topologicalSpace ≤ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}


generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} ≤ Pi.topologicalSpace


Context:
n : ℕ
e : Perm (Fin (n + 1))
p : Fin (n + 2)

(decomposeFin.symm (p, e)) 1 = (swap 0 p) (e 0).succ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ

padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max v2 (stationaryPoint hf))))


stationaryPoint hf ≤ max v1 (max v2 (stationaryPoint hf))


Context:
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'

((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff a = r • ((of R).symm x).coeff a


((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff (0 +ᵥ a) = r • ((of R).symm x).coeff a


Context:
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))


Context:
α : Type u_1
a : ZNum


Context:
α : Type u_1
b : ZNum


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E

y ∈ c • ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)


c⁻¹ • y ∈ ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)


c⁻¹ • y ∈ ball (c⁻¹ • c • x) r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1


((ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal)) ^ p.toReal ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal


(ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
q✝ q : ℚ
n : ℕ


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: U : Opens G

μ.innerContent ((Opens.comap f.toContinuousMap) U) = μ.innerContent U


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: U : Opens G

Context: K : Compacts G

↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U) → (fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: U : Opens G

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U)

(fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: f : G ≃ₜ G

Context: U : Opens G

Context: K : Compacts G

↑(μ.toFun (Compacts.map ⇑f ⋯ K)) = ↑(μ.toFun K)


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2

abs (cexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))).lim ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n

↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j


↑(cauSeqAbs (exp' x - const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
k : ℕ := j - n

abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k


abs (∑ k ∈ range k, x ^ (n + k) / ↑(n + k).factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / ↑(n + i).factorial ≤ ∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / (↑n.factorial * ↑n.succ ^ i)


∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / (↑n.factorial * ↑n.succ ^ i) = ∑ i ∈ range k, abs x ^ n / ↑n.factorial * (abs x ^ i / ↑n.succ ^ i)


∑ i ∈ range k, abs x ^ n / ↑n.factorial * (abs x ^ i / ↑n.succ ^ i) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
p : α × β → Prop

(∃ x ∈ s ×ˢ t, p x) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, p (x, y)


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C

((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = M.one


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.43767, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.43771, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.43775, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_11, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

(homEquiv W L₂ L₃) ((homEquiv W L₁ L₂) f) = (homEquiv W L₁ L₃) f


(LocalizerMorphism.id W).homMap L₂ L₃ ((LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₂ f) = (LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₃ f


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Ici (f i j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: h : IsComplete ↑K

Context: this✝ : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E

Context: this : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E

Context: K' : Submodule ℝ E := Submodule.restrictScalars ℝ K

∀ (u : E), ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R

x✝ ∈ M.subsemiringClosure ↔ x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ M.subsemiringClosure
H1 : Subsemiring R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M
s : R
sM : s ∈ ↑M
H1 : AddSubmonoid R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictDerivAt (fun x => -f x) (-f') x


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α

a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: a b c d : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s₁ : Set X
s₂ : Set Y
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

projectiveSeminorm ∈ upperBounds {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

∀ x ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, x ≤ projectiveSeminorm


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

∀ (x : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (x_1 : Type (max uι u𝕜 uE)) (x_2 : SeminormedAddCommGroup x_1) (x_3 : NormedSpace 𝕜 x_1), x = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E x_1 →L[𝕜] x_1)).comp (toDualContinuousMultilinearMap x_1) → x ≤ projectiveSeminorm


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)

Context: G : Type (max uι u𝕜 uE)

Context: x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: x✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

(fun f => ⇑f) ((normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)) x ≤ (fun f => ⇑f) projectiveSeminorm x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)

Context: G : Type (max uι u𝕜 uE)

Context: x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: x✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ ≤ projectiveSeminorm x


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
E' : Submodule ℝ F
hE' : IsCompl E E'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b


(algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0 = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hm : Monotone g


Context:
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y

↑((map f).obj (iSup U)) = ↑(iSup ((map f).obj ∘ U))


↑{ carrier := ⇑f ⁻¹' ⋃ i, ↑(U i), is_open' := ⋯ } = ↑{ carrier := ⋃ i, ↑(((map f).obj ∘ U) i), is_open' := ⋯ }


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hp : 0 ≠ 0
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree

Context: htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < ↑p.natDegree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Multiset.card (x ::ₘ t) = Add.add (↑(Multiset.card t)) 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

1 + ↑(Multiset.card t) ≤ 1 + (p /ₘ (X - C x)).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: a : R

count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: a : R

count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a ((X - C x) * (p /ₘ (X - C x)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

Context: t : Multiset R

Context: hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree

Context: hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: a : R

count a (x ::ₘ t) = (if a = x then 1 else 0) + count a t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ¬∃ x, p.IsRoot x
a : R


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0

Context: a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: p✝ : R[X]

Context: x✝¹ : p✝ ≠ 0

Context: a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

(p /ₘ (X - C x)).natDegree < p.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0

Context: p✝ : R[X]

Context: x✝¹ : p✝ ≠ 0

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0

Context: p✝ : R[X]

Context: x✝¹ : p✝ ≠ 0

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n) = (of v).s.get? n


Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩ (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩ (n + 1))


Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream v (n + 1))


Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.map (Option.map (IntFractPair.mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) (n + 1))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

ContinuousAt (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f' : α → β → γ

Context: g g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b

Context: ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f' : α → β → γ

Context: g g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b

s.card ∣ (image₂ (fun b a => f a b) t s).card


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K


Context:
μ : YoungDiagram
i : ℕ


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : j ∉ μ.cells.preimage (Prod.mk i) ⋯


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : (i, j) ∉ μ.cells


Context: x y : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ


μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (b : { x // x ∈ s }), μ (f ↑b)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι

((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)


↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i✝ i : ι

(↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ

s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ

Multiset.sum 0 ^ (Multiset.card 0 * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) 0).toFinset


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset

(a ::ₘ s).sum ^ (Multiset.card (a ::ₘ s) * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) (a ::ₘ s)).toFinset


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Multiset α

∑ m ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ m * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - m) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose m) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Multiset α

∀ c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: c : ℕ

Context: _hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)

a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: c : ℕ

∃ a_1, ∃ z ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset, a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) = a_1 * a ^ (n + 1) + z


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)

Context: hδ : 0 < δ

Context: hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hF : TendstoUniformlyOn F f ⊥ (cthickening δ K)

Context: hFn : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

TendstoUniformlyOn (cderiv δ ∘ F) (cderiv δ f) ⊥ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: h : ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε * δ

Context: h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K

dist (Complex.cderiv δ f z) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n z) < ε


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K

Context: h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ

‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K

Context: e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K

Context: e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hδ : 0 < δ

Context: hne : φ.NeBot

Context: e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: n : ι

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K

Context: e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z δ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : BijOn f ∅ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context:
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β

UniformEmbedding (g ∘ f) ↔ UniformEmbedding f


Context:
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n

∑ d ∈ (m * n).divisors, d = (∑ d ∈ m.divisors, d) * ∑ d ∈ n.divisors, d


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
x : ℕ
hx : x ≤ k


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: k m n : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: hkmn : m * k ≤ n

Context: s t : Multiset (Fin (n + 1))

Context: hsA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ s → x ∈ Iic ↑k

Context: htA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ t → x ∈ Iic ↑k

Context: hs : card s = m

Context: ht : card t = m

Context: this : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum

(map val s).sum = (map val t).sum ↔ (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val s).sum = (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val t).sum


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: k m n : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: hkmn : m * k ≤ n

Context: s t : Multiset (Fin (n + 1))

Context: hs : card s = m

Context: ht : card t = m

Context: this✝ : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum

Context: this : ∀ {u : Multiset (Fin (n + 1))}, (∀ x ∈ u, x ≤ ↑k) → card u = m → (map val u).sum < n + 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : 𝕜 → E

Context: a b : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD p]
hle : a ≤ b


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℕ
h : p ∣ b - a
hle : a ≤ b


Context:
x y : ℝ
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)


sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.705515
S' : Type ?u.705518
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.707949
S'' : Type ?u.707952
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : P.Ring
x : P.Cotangent


(P.σ ((algebraMap P.Ring S) r) - r) • x.val = 0


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt : x < y

∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt✝ : x < y
hle : ⇑x ≤ ⇑y
j : ι
hlt : x j < y j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : RightDistribClass α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ

σ.cycleType = Multiset.map (Finset.card ∘ support) s.val


Multiset.map (Finset.card ∘ support) σ.cycleFactorsFinset.val = Multiset.map (Finset.card ∘ support) s.val


(∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s

Context: L : ℂ

Context: h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: L : ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

Context: claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: L : ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

Context: claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: L : ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

Context: hs : s ≠ 0


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: L : ℂ

Context: hs' : 0 ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α


(∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : a₁ < b₁

Ioc a₁ b₁ ⊆ Ioc a₂ b₂ ↔ b₁ ≤ b₂ ∧ a₂ ≤ a₁


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g


Context:
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
inst✝ : LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : σ ⊕ α

(fun {α} => η.app α) (Sum.traverse f x) = Sum.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hG : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X : C
h : IsSimpleOrder (Subobject X)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ ball x V ⊆ s


(∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s) ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, IsOpen V ∧ ball x V ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I

Function.Injective ⇑(Ideal.Quotient.lift I f H)


∀ (x : R ⧸ I), (Ideal.Quotient.lift I f H) x = 0 → x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
u : R ⧸ I
hu : (Ideal.Quotient.lift I f H) u = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f✝ : R →+* S

Context: I : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: H : ∀ a ∈ I, f a = 0

Context: hI : ker f ≤ I

Context: v : R

Context: hu : (Ideal.Quotient.lift I f H) ((Ideal.Quotient.mk I) v) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hI : ker f ≤ I
v : R
hu : f v = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
x y : P

spanSingleton S x = spanSingleton S y ↔ ∃ z, z • x = y


⟨span R {x}, ⋯⟩ = ⟨span R {y}, ⋯⟩ ↔ span R {x} = span R {y}


Context: n k : ℕ

(n - k) * (n - k + 1).ascFactorial k = (n - k).ascFactorial (k + 1)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

((monomial n) a).coeff m = if n = m then a else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E

(∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)


(∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ ∅, f i) = ∑ i ∈ ∅, setToFun μ T hT (f i)


∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)) → (∀ i ∈ insert a s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ insert a s, f i) = ∑ i ∈ insert a s, setToFun μ T hT (f i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
f : F
hf : Injective ⇑f
s t : Finset α

map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊻ t) = map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊻ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h : ∀ (a : α), (filter (fun x => a ∈ x) B).card = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z


(∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)) ↔ ∀ (z : ℤ), f =O[l] fun a => k a ^ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: hs : s ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: this : s = univ ∩ s


Context:
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝


∀ (i : (x✝ + nim x✝.grundyValue).LeftMoves), (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft i ‖ 0


Context:
x✝ : PGame
inst✝ : x✝.Impartial
G : PGame := x✝
i : (x✝ + nim x✝.grundyValue).LeftMoves

(x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft i ‖ 0


∀ (i : x✝.LeftMoves), (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft (toLeftMovesAdd (Sum.inl i)) ‖ 0


∀ (i : (nim x✝.grundyValue).LeftMoves), (x✝ + nim x✝.grundyValue).moveLeft (toLeftMovesAdd (Sum.inr i)) ‖ 0


Context: G✝ : PGame

Context: inst✝ : G✝.Impartial

Context: a✝ : ∀ (y : (G : PGame) ×' G.Impartial), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 y ⟨G✝, inst✝⟩ → y.1 ≈ nim y.1.grundyValue

Context: G : PGame := G✝

Context: i₁ : G✝.LeftMoves

(invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 ⟨G.moveLeft i₁, ⋯⟩ ⟨G✝, inst✝⟩


Context: G✝ : PGame

Context: inst✝ : G✝.Impartial

Context: G : PGame := G✝

Context: i₂ : (mk (Quotient.out G✝.grundyValue).α (Quotient.out G✝.grundyValue).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).LeftMoves

Context: h' : ∃ i, (G.moveLeft i).grundyValue = typein (Quotient.out G.grundyValue).r i₂

Context: i : G.LeftMoves

Context: hi : (G.moveLeft i).grundyValue = typein (Quotient.out G.grundyValue).r i₂

Context: h✝ : h' = ⋯

(invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun G inst => G) instWellFoundedRelation).1 ⟨G.moveLeft i, ⋯⟩ ⟨G✝, inst✝⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: this : D.t' i j i ≫ D.t' j i i ≫ D.t' i i j = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: this : (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))) ≫ (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))) ≫ pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: this : pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: this : D.t i j ≫ D.t j i = (inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)


Context: xl xr : Type u


Context: xl xr : Type u

∃ j, ∀ (i : (star.moveRight j).LeftMoves), (star.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0


Context: xl xr : Type u

∀ (i : (star.moveRight default).LeftMoves), (star.moveRight default).moveLeft i ⧏ 0


Context: xl xr : Type u

∃ i, ∀ (j : (star.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (star.moveLeft i).moveRight j


Context: xl xr : Type u

∀ (j : (star.moveLeft default).RightMoves), 0 ⧏ (star.moveLeft default).moveRight j


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
x : A

x ∈ I ↔ ∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ I


Context: u : XgcdType

u.zp + u.wp + u.zp * u.wp = u.y * u.x ↔ u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesAt f pf x

Context: hg : HasFPowerSeriesAt g pg x

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r ∧ HasFPowerSeriesOnBall g pg x r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ

∫ (x : ℝ) in b..a, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'

(leftShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.leftUnshift n hn


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
emb : Fintype (α ↪ β)


Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype β

Context: α₁ α₂ : Type u_1

Context: h₂ : Fintype α₂

Context: e : α₁ ≃ α₂

Context: ih : (fun t [Fintype t] => ‖t ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖t‖) α₁


Context:
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β

‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖


Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype β

Context: γ : Type u_1

Context: h : Fintype γ

Context: ih : (fun t [Fintype t] => ‖t ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖t‖) γ

‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α

Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
h : Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α

Context: ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α

Context: b : α

Context: hb : a < b


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w✝ : K

Context: h_mem : w✝ ∈ ↑1

Context: h_nz : w✝ ≠ 0

Context: h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) w✝| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α

(match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).setBlack = (ins cmp v t).setBlack


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M


sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} = ⨆ i, ↑(p i)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x✝ : M

x✝ ∈ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} ↔ x✝ ∈ ⨆ i, ↑(p i)


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p ≤ i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology


IsZero h.left.H ↔ h.left.π ≫ h.iso.hom ≫ h.right.ι = 0


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: a x z✝ z : ℂ

0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hz : z = 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hz : z ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x✝ : μ (s ∩ t) < ⊤


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁

Context: W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: this : Φ.IsLocalizedEquivalence


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: this : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence

Context: iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: this : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: this : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)

Context: hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: E : Type u₄

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝² : Category.{v₄, u₄} E

Context: L₁ : C₁ ⥤ C₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ C₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₁

Context: hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)

Context: hW₁₃ : W₁ ≤ W₃

Context: hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁

Context: this✝ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)

Context: hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q

Context: this : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q).IsLocalization W₃


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom


𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom


((((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom) ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom


(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ ((ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X


(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : Disjoint s t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : s ×ˢ t ⊆ (diagonal X)ᶜ

∃ U V, IsOpen U ∧ IsOpen V ∧ s ⊆ U ∧ t ⊆ V ∧ U ×ˢ V ⊆ (diagonal X)ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝ : MeasurableSingletonClass β

∫⁻ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)