Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
x✝ : C

(eqToHom ⋯).app x✝ ≫ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app x✝ = 𝟙 (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝) ≫ (shiftMonoidalFunctor C A).ε.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝)


eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app x✝ = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a } (𝟙_ (Discrete A))).inv.app x✝


Context: α : Type u_1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: h₁ : e.toBasis.orientation = o


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: h₁ : e.toBasis.orientation = o

Context: h₂ : e.toBasis.orientation ≠ -o


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1089083
N' : Type ?u.1089086
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type ?u.1091157
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type ?u.1093228
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S

((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝²³ : CommSemiring A

Context: inst✝²² : Algebra R A

Context: inst✝²¹ : Module A M'

Context: inst✝²⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝¹⁹ : Module R M

Context: inst✝¹⁸ : Module R M'

Context: inst✝¹⁷ : Module R M''

Context: inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝¹ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f

Context: N : Type ?u.1089083

Context: N' : Type ?u.1089086

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹² : Module R N

Context: inst✝¹¹ : Module R N'

Context: g✝ : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝

Context: M₀ : Type u_6

Context: M₀' : Type ?u.1091157

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'

Context: inst✝⁷ : Module R M₀

Context: inst✝⁶ : Module R M₀'

Context: f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₁' : Type ?u.1093228

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁'

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f₁

Context: g : M₀ →ₗ[R] M₁

Context: m : M₀

Context: s : ↥S

Context: this : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = (iso S (mkLinearMap S M₁)) (LocalizedModule.mk (g m) s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁷ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝²³ : CommSemiring A

Context: inst✝²² : Algebra R A

Context: inst✝²¹ : Module A M'

Context: inst✝²⁰ : IsLocalization S A

Context: inst✝¹⁹ : Module R M

Context: inst✝¹⁸ : Module R M'

Context: inst✝¹⁷ : Module R M''

Context: inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝¹ : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f

Context: N : Type ?u.1089083

Context: N' : Type ?u.1089086

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹² : Module R N

Context: inst✝¹¹ : Module R N'

Context: g✝ : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝

Context: M₀ : Type u_6

Context: M₀' : Type ?u.1091157

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'

Context: inst✝⁷ : Module R M₀

Context: inst✝⁶ : Module R M₀'

Context: f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₁' : Type ?u.1093228

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁'

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f₁

Context: g : M₀ →ₗ[R] M₁

Context: m : M₀

Context: s : ↥S

Context: this : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = LocalizedModule.mk (g m) s


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

(1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2


∀ (b : ℝ), 0 ≤ b → ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑|↑n + b| ^ s = 1 / (↑n + ↑b) ^ s


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb : 0 ≤ b

↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑|↑n + b| ^ s = 1 / (↑n + ↑b) ^ s


↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < ↑n + b


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 = ↑n + b


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂

(f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom = (X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)


∀ (x : ↑X₁) (y : ↑X₂), ((f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom) (x ⊗ₜ[R] y) = ((X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Functions x✝²
x✝ : Fin x✝² → V


Context:
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Relations x✝²
x✝ : Fin x✝² → V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

μ = map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)

Context: has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this : μ'.IsMulLeftInvariant


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'

μ = (μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)) • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'

(μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)) • μ = μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'

μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'

ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s) = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hn : IsNilpotent f
hs : f.IsSemisimple
n : ℕ
h0 : f ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hn : IsNilpotent f
hs : f.IsSemisimple
n : ℕ
h0 : (aeval f) (X ^ n) = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: hn : IsNilpotent f

Context: hs : f.IsSemisimple

Context: n : ℕ

Context: h0 : X ^ n ∈ annihilator R[X] (AEval R M f)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
b : Multiset β


(0 = 0 ∧ b = 0 ∨ ∃ a b_1 as bs, r a b_1 ∧ Rel r as bs ∧ 0 = a ::ₘ as ∧ b = b_1 ::ₘ bs) ↔ b = 0


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a * b ∣ c
ha✝ : ¬a = 0
ha : 0 < a
h1 : ∃ d, c = a * b * d
d : ℕ
hd : c = a * b * d


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: s : Set (Set X)

Context: t : Set (Set Y)

Context: hs : ⋃₀ s = univ

Context: ht : ⋃₀ t = univ

Context: G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)

Context: u : Set X

Context: hu : u ∈ s


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: s : Set (Set X)

Context: t : Set (Set Y)

Context: hs : ⋃₀ s = univ

Context: ht : ⋃₀ t = univ

Context: u : Set X

Context: hu : u ∈ s

Context: this : ⋃ v ∈ t, u ×ˢ v = Prod.fst ⁻¹' u

TopologicalSpace.IsOpen (⋃ v ∈ t, u ×ˢ v)


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: s : Set (Set X)

Context: t : Set (Set Y)

Context: hs : ⋃₀ s = univ

Context: ht : ⋃₀ t = univ

Context: v : Set Y

Context: hv : v ∈ t


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: s : Set (Set X)

Context: t : Set (Set Y)

Context: hs : ⋃₀ s = univ

Context: ht : ⋃₀ t = univ

Context: v : Set Y

Context: hv : v ∈ t

Context: this : ⋃ u ∈ s, u ×ˢ v = Prod.snd ⁻¹' v

TopologicalSpace.IsOpen (⋃ u ∈ s, u ×ˢ v)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

((x • γ).rightShift a n' hn').v p q hpq = x • (γ.rightShift a n' hn').v p q hpq


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
inst✝ : Infinite R


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
d : ℤ
α : F
hα : α ≠ 0


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace R F

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: 𝕜₁ : Type u_5

Context: 𝕜₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: B' : Type u_7

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: F' : Type u_8

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'

Context: E' : B' → Type u_9

Context: inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)

Context: inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E

Context: inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)

Context: inst✝¹ : FiberBundle F' E'

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'

Context: ι : Type u_10

Context: ι' : Type u_11

Context: Z : VectorBundleCore 𝕜₁ B F ι

Context: Z' : VectorBundleCore 𝕜₂ B' F' ι'

Context: x₀ x : B

Context: y₀ y : B'

Context: ϕ : F →SL[σ] F'

Context: hx : x ∈ Z.baseSet (Z.indexAt x₀)

Context: hy : y ∈ Z'.baseSet (Z'.indexAt y₀)

inCoordinates F Z.Fiber F' Z'.Fiber x₀ x y₀ y ϕ = (Z'.coordChange (Z'.indexAt y) (Z'.indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp (Z.coordChange (Z.indexAt x₀) (Z.indexAt x) x))


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b✝ c d b : G₀
h : a ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α

closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E


cthickening 0 E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E


(fun n => ↑n !) ~[atTop] fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n


∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, √(2 * ↑x * π) * (↑x / rexp 1) ^ x = 0 → ↑x ! = 0


Tendsto ((fun n => ↑n !) / fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n) atTop (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b = f' a b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

diag hS = lowerInv hS * S * (lowerInv hS)ᴴ


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: step1 : HasSum (fun n => (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0)) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: step1 : HasSum (fun x => jacobiTheta₂'_term x z τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: step3 : HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0)) z


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
𝕜 : ?m.59015
h : I * I = -1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖ = ‖iteratedDeriv n f x‖


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x - g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) - ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x


Context:
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X


Context:
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X

(toFinsupp a + toFinsupp b).support ⊆ (toFinsupp a).support ∪ (toFinsupp b).support


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.49293, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (F.shift n₁).map T.mor₁ = 0


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : IsQuasiregular x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: f : F

Context: x : R

Context: hx : ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0

∃ y, y + f x + f x * y = 0 ∧ f x + y + y * f x = 0


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0

inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)


Context: Fq F : Type

Context: inst✝² : Field Fq

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)

Context: p : Fq[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : (algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: v : ι → E

Context: e : ι' ≃ ι

Context: K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e

Context: this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1

(fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: v : ι → E

Context: e : ι' ≃ ι

Context: this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1

(fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: v : ι → E

Context: e : ι' ≃ ι

Context: this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1

Context: x : E

x ∈ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: v : ι → E

Context: e : ι' ≃ ι

Context: this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1

Context: x : E

Context: this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ i : ι, z (e.symm i) • v (e (e.symm i)) = ∑ i : ι', z i • v (e i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: v : ι → E

Context: e : ι' ≃ ι

Context: this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1

Context: x : E

Context: this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ x : ι, z (e.symm x) • v x = ∑ i : ι', z i • v (e i)


Context:
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat

Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x) ≫ Hom.stalkMap e.hom x = X.presheaf.stalkSpecializes ⋯


X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x = X.presheaf.stalkSpecializes ⋯


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1

finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hg : Multipliable g
hfg : Multipliable fun b => f b / g b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ¬ClusterPt y l


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : X → Y

Context: y : Y

Context: hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)

Context: hfc : Continuous f

Context: l : Filter Y

Context: hne : l.NeBot

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))

Context: hy : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ 𝓝 y), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ l), Disjoint x x_1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y✝ : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y✝)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y✝ (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y✝
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
y : Y
hy : y ∈ f '' K
hyl : ClusterPt y l

∃ x ∈ insert y✝ (range f), ClusterPt x l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f
y : α
ys : y ∈ s
fy : f ≤ 𝓝 y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β

MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ f.Integrable


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x


∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑x


∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑x


∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x)


∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑x)


Context:
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ExponentExists G

exponent G = sSup (Set.range fun g => orderOf g)


Context:
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ¬ExponentExists G


Context: L : Type u_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup L

Context: inst✝² : TopologicalSpace L

Context: inst✝¹ : ContinuousSup L

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : ℕ → X → L

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: hf : ∀ k ≤ n, ContinuousWithinAt (f k) s x

ContinuousWithinAt ((partialSups f) n) s x


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F

(x, y) ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' s) ∩ e.baseSet ×ˢ univ ↔ (x, y) ∈ (s ∩ e.baseSet) ×ˢ univ


x ∈ e.baseSet → (proj (↑e.symm (x, y)) ∈ s ↔ x ∈ s)


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
h : x ∈ e.baseSet


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f

LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ) = weightSpace M χ


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: hf : Injective ⇑f

Context: m : M

Context: hm : m ∈ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)


weightSpace M χ ≤ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
h : t ≤ s


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

‖a - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : T2Space M₂
inst✝² : Mul M₁
inst✝¹ : Mul M₂
inst✝ : ContinuousMul M₂

IsClosed {f | ∀ (x y : M₁), f (x * y) = f x * f y}


IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.blt 1 p = true

Context: h : Nat.ble 1 (sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true


Context: p : ℕ

Context: hp : 1 < p


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ

‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖


‖if a ≤ b then 1 else -1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y P Q : C

Context: t : BinaryFan P Q

Context: I : IsLimit t

Context: s : Cone (pair Q P)

Context: m : s.pt ⟶ t.swap.pt

Context: w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.swap.π.app j = s.π.app j

m = (fun s => I.lift (BinaryFan.swap s)) s


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y P Q : C

Context: t : BinaryFan P Q

Context: I : IsLimit t

Context: s : Cone (pair Q P)

Context: m : s.pt ⟶ t.swap.pt

Context: h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.π.app j = (BinaryFan.swap s).π.app j) → m = I.lift (BinaryFan.swap s)


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ


a = 0 ∧ n ≠ 0 ∨ a = 0 ↔ a = 0 ∧ n + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
p : α → Prop


(∀ (x : α), p x → ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, p x) ↔ ∀ x ∈ {x | p x}, {x | p x} ∈ 𝓝 x


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
j : J

arrows j ≫ (fun j => ι arrows j ≫ g) j = head arrows ≫ g


(arrows j ≫ ι arrows j) ≫ g = head arrows ≫ g


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X

g = desc (head arrows ≫ g) (fun j => ι arrows j ≫ g) ⋯


∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = ι arrows j ≫ g


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ

(fun f => ⇑f) (LatticeHom.id α).withTopWithBot = (fun f => ⇑f) (BoundedLatticeHom.id (WithTop (WithBot α)))


⇑(LatticeHom.id α).withBot.toSupHom = id


⇑(LatticeHom.id (WithBot α)).toSupHom = id


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
l : List (α × Bool)

Step (p :: l ++ L₁) (p :: l ++ L₂) ↔ Step L₁ L₂


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : γ), g c ∂(η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g c ∂η b ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ b : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ b : α

Context: a : α


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ c : G


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R

(algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯


(Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₁.map L₂ ⋯) = (Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₂.map L₂ ⋯)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
x : L


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y

∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑fourierSubalgebra.toSubalgebra, f x ≠ f y


(fun f => ⇑f) (fourier 1) x ≠ (fun f => ⇑f) (fourier 1) y


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : ↑x.toCircle = ↑y.toCircle


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x.toCircle = y.toCircle


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e

∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: a b : ℝ

Context: e : X → Y

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b

Context: hle : a ≤ b

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hgf : ‖g‖ = ‖f - const X ((a + b) / 2)‖

Context: hge : ⇑g ∘ e = ⇑(f - const X ((a + b) / 2))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

ContinuousWithinAt f s x ↔ LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x


LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x → ContinuousWithinAt f s x


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
h₁ : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
h₂ : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
v : Set γ
hv : v ∈ 𝓝 (f x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: H : Type u_8

Context: F : Type u_9

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: f : M → G

Context: map_mul : ∀ (a b : M), f (a * b) = f a * f b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree

Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))


Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))


Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑Q.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty

(convexHull 𝕜) (insert x s) = convexJoin 𝕜 {x} ((convexHull 𝕜) s)


Context: x y : ℝ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)

finrank K ↥(dualCoannihilator Φ) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)


finrank K ↥(comap (↑(Module.evalEquiv K V)) (dualAnnihilator Φ)) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y

F.inv.map (F.map f) = F.asEquivalence.unitInv.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.unit.app Y


F.inv.map (F.map f) = (F.asEquivalence.functor ⋙ F.asEquivalence.inverse).map f


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α

![a₀, a₁] ⬝ᵥ ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)

IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι


(∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s


(∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

(∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ u, (∀ (a_2 : ι), IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ univ.pi u ⊆ s


(∃ u, (∀ (a_1 : ι), IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ univ.pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries

(insert a b s₁).entries ~ (insert a b s₂).entries


⟨a, b⟩ :: kerase a s₁.entries ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₂.entries


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : f =O[l] g

∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: g : α → E'''

Context: h : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: As : ι → Set α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: As : ι → Set α

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)

∀ (i : Finset ι), ∑ a ∈ i, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: As : ι → Set α

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)

Context: s : Finset ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: As : ι → Set α

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)

Context: s : Finset ι

Context: i✝ : ι


Context: x : ℝ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ


2 ^ NrRealPlaces K * (NNReal.pi / 2) ^ NrComplexPlaces K ≠ 0


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a

IsPrimePow a ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ∃ n, a = ↑n ∧ IsPrimePow n


IsPrimePow a ↔ ∃ n, a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a

IsPrimePow ↑a ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


(∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


(∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) → ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a

∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ^ 1 ≤ ↑a


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ≤ ↑a


Context:
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
k : ℕ
hk : 0 < k
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hpk : ↑p ^ k = ↑a
key : ↑p ≤ ↑a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]

(pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Z ⊗ Y'
g : X' ⟶ Z'

(tensorRightHomEquiv (X' ⊗ X) Y Y' (Z' ⊗ Z)).symm ((g ⊗ f) ≫ (α_ Z' Z Y').inv) = (α_ X' X Y).hom ≫ (g ⊗ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm f)


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i : Fin n✝
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
b : Fin n → α

Set.range (cons x b) = insert x (Set.range b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β


⨅ x, comap Prod.fst (f x) ⊓ comap Prod.snd g = ⨅ i, (f i).prod g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: hg : Inducing g

Context: s : Set α

Context: x : α

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: hg : Inducing g

Context: s : Set α

Context: x : α

Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 (g (f x))) ↔ Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 ((g ∘ f) x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

Context: hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

minimalPeriod (f ∘ g) x = minimalPeriod f x * minimalPeriod g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

minimalPeriod f x * minimalPeriod g x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

∀ {f g : α → α}, Function.Commute f g → (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x) → minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g✝ : α → α

Context: h✝ : Function.Commute f✝ g✝

Context: hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)

Context: f g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g✝ : α → α

Context: h✝ : Function.Commute f✝ g✝

Context: f g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

IsPeriodicPt (f ∘ g) (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m n : ℕ

Context: g✝ : α → α

Context: h✝ : Function.Commute f✝ g✝

Context: f g : α → α

Context: h : Function.Commute f g

IsPeriodicPt g (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

(frontier s)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ


((interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E

‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
x : ℝ
h : x ≠ -1

HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x


Context: h : 1 ≠ -1

HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - 1 ^ 2)) (Ici 1) 1


Context:
x : ℝ
h : x ≠ -1
h' : x ≠ 1


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C

((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) α)).app x✝ = α.app x✝


L₂.map (G.map (adj₁.unit.app x✝)) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj x✝)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj x✝)) = α.app x✝


α.app x✝ ≫ 𝟙 (H.obj (L₁.obj x✝)) = α.app x✝


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D

((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) β)).app x✝ = β.app x✝


G.map (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝)) ≫ β.app (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app x✝)) = β.app x✝


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n k e : α
h2 : e ≠ 0
h3 : n * e = k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n

ContinuousAt (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (a, l)


Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (Vector.insertNth (a, l).1 i (a, l).2))


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ

((single b) r * x).coeff (a + b) = r * x.coeff a


((HahnModule.of R).symm ((single b) r • (HahnModule.of R) x)).coeff (b +ᵥ a) = r * x.coeff a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
x : X
h : (𝓝 x).HasBasis p s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: N : Type w₁

Context: P : Type w₂

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : LieRing L

Context: inst✝¹² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L N

Context: inst✝³ : LieRingModule L P

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L N

Context: inst✝ : LieModule R L P

Context: f_inv : N → M

Context: f : M → N

Context: map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y

Context: map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x

Context: map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆

Context: left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun

Context: right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun

Context: g_inv : N → M

Context: g : M → N

Context: map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y

Context: map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x

Context: map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆

Context: left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun

Context: right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun

Context: h : { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ }.toEquiv = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }.toEquiv

{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: N : Type w₁

Context: P : Type w₂

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : LieRing L

Context: inst✝¹² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Module R N

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L N

Context: inst✝³ : LieRingModule L P

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L N

Context: inst✝ : LieModule R L P

Context: f_inv : N → M

Context: f : M → N

Context: g_inv : N → M

Context: g : M → N

Context: h : f = g ∧ f_inv = g_inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α

((e.restr s).trans e').source = ((e.trans e').restr s).source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ

Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => g x * (f x).toReal) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

Context: g : α → ℝ

Context: this : (fun x => g x * (f x).toReal) = fun x => (f x).toReal • g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

Context: g : α → ℝ

Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : MulOneClass M

Context: inst✝¹ : MulOneClass N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: f : M →* P

Context: g : N →* P

Context: comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)


Context:
R A : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A


lift.{u, u} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ lift.{u, u} #R[X] * ℵ₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

Context: n : ℕ

((Algebra.norm ℤ) ↑(seq K w₁ hB n)).natAbs ≤ B


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y

Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) (𝓝 (f ∞)) ↔ ∀ s ∈ 𝓝 (f ∞), ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ MapsTo (f ∘ some) tᶜ s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: X : Cᵒᵖ

limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

∀ (j : J), limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j = ((ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

limMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j = ((ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).hom ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

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Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R X))).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (limit.π (F ⋙ evaluation R X) j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X : Cᵒᵖ

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj X) = limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F ⋙ evaluation R X).obj j)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (j : J), limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j = (limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

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Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j = (limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj Z) = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g))) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp' (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj Z) = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g))) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F ⋙ evaluation R Z).obj j)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g))) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Z) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) j) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Y) j ≫ (whiskerLeft F (restriction R g)).app j) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Y) j ≫ restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Y) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: i : ι

Context: x : ↥(p i)

Context: v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: i : ι

Context: x : ↥(p i)

Context: v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (single i x)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: i : ι

Context: x : ↥(p i)

Context: v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: this : (erase i v) i = (single i x) i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j

C.dFrom i = C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
r : c.Rel i (c.next i)

C.dFrom i = C.d i (c.next i) ≫ (C.xNextIso r).inv


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α

⋂ i, Iic (f i) = ∅ ↔ ¬BddBelow (range f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0

egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : 0 ≠ 0 ∨ x ≠ 0

egauge 𝕜 (ball 0 ↑0) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

x.1.card + (op e • x.1).card = 2 * x.1.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

limsup s cofinite = {x | {n | x ∈ s n}.Infinite}


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

(coeff A (n + 1)) (bernoulli'PowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) (X * exp A)


(coeff A (n + 1, 0).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (n + 1, 0).2) (exp A - 1) + ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff A (p.1, p.2 + 1).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (p.1, p.2 + 1).2) (exp A - 1) = (coeff A (n + 1)) (exp A * X)


∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹ = (↑n !)⁻¹


(∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹) * ↑n ! = 1


∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = 1


∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1


∀ x ∈ antidiagonal n, bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : range f = ⊤
p : Submodule R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j

↑((-w).restrict i) j ≤ ↑((-v).restrict i) j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
hf : ∀ (b : β), f a b = a
b : β
l : List β


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ a • closedBall b r ↔ x✝ ∈ closedBall (a • b) r


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
a : α
x y : (forget Profinite).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: hr : WellFounded (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1)

Context: x : Π₀ (i : ι), α i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

colimMap (J.diagramNatTrans (𝟙 P) (unop x✝)) = (𝟙 { obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

colimMap (𝟙 (J.diagram P (unop x✝))) = 𝟙 ({ obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤

(∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)


(∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0


↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n

Context: a : α

Context: b : ↥(zpowers a)


Context: α : Type u

Context: a✝ : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: a : α

Context: b : ↥(zpowers a)

Context: i : ℤ

Context: hi : (fun x => a ^ x) i = ↑b


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x r : S

eval (m • x) (m • C r) = m • eval x (C r)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : MulSemiringAction M R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : MulSemiringAction M S

Context: m : M

Context: f✝ : S[X]

Context: x : S

Context: f g : S[X]

Context: ihf : eval (m • x) (m • f) = m • eval x f

Context: ihg : eval (m • x) (m • g) = m • eval x g

eval (m • x) (m • (f + g)) = m • eval x (f + g)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : MulSemiringAction M R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : MulSemiringAction M S

Context: m : M

Context: f : S[X]

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: r : S

Context: x✝ : eval (m • x) (m • (C r * X ^ n)) = m • eval x (C r * X ^ n)

eval (m • x) (m • (C r * X ^ (n + 1))) = m • eval x (C r * X ^ (n + 1))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: B✝ B' I✝ J D X : Set α

Context: e f : α

Context: M : Matroid α

Context: I B : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hInotmax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}

Context: hB : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: B✝ B' I✝ J D X : Set α

Context: e f : α

Context: M : Matroid α

Context: I B : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y

Context: hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: B✝ B' I✝ J D X : Set α

Context: e f : α

Context: M : Matroid α

Context: I B : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIb : M.Base I


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: B✝ B' I✝ J D X : Set α

Context: e f : α

Context: M : Matroid α

Context: I B : Set α

Context: hI : M.Indep I


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

(map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) q


(map R' f) (p • 0) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) 0


∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (map R' f) (p • f_1) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) f_1 → (map R' f) (p • g) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) g → (map R' f) (p • (f_1 + g)) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) (f_1 + g)


∀ (a : ℕ) (b : M), (map R' f) (p • (single R a) b) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R a) b)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M

(map R' f) (p • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R i) m)