Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R S : α → β → Prop

Context: P : γ → δ → Prop

Context: Rₐ : α → α → Prop

Context: l : List α

Context: l₁ l₂ : List β

Context: h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)

Context: h' : Forall₂ R (take l₁.length l) (take l₁.length (l₁ ++ l₂))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero M

Context: l : List M

Context: inst✝³ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : AddZeroClass R

Context: x : R

Context: xs : List R

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun i => (xs ++ [x]).getD i 0 ≠ 0

Context: inst✝ : DecidablePred fun i => xs.getD i 0 ≠ 0

(xs ++ [x]).toFinsupp = xs.toFinsupp + Finsupp.single xs.length x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J


∀ m ∈ I, ∀ n ∈ J, IsInteger R ((aI * aJ) • (m * n))


∀ (x y : P), IsInteger R ((aI * aJ) • x) → IsInteger R ((aI * aJ) • y) → IsInteger R ((aI * aJ) • (x + y))


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: hb' : b ≠ 0

Context: A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: hb' : b ≠ 0

Context: B : Tendsto (fun y => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑y ^ 2)) atTop (𝓝 (-(2 * b)⁻¹ * 0))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: hb' : b ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ

iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x = iteratedFDeriv 𝕜 n f x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1

Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0


(∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1) ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1
a b : R[X]
ha : a.Monic
hb : b.Monic

a * b = p → a = 1 ∨ b = 1 ↔ a * b = p → a.natDegree = 0 ∨ b.natDegree = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : Subsingleton M₂
x✝ : M


Context:
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
n : ℕ


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ
c : R
n✝ : ℕ

(reflect N (C c * X ^ n)).coeff n✝ = (C c * X ^ (revAt N) n).coeff n✝


c * (X ^ n).coeff ((revAt N) n✝) = c * if n✝ = (revAt N) n then 1 else 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : Norm E

Context: a : 𝕜

Context: f : 𝕜 → E

Context: h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : Norm E

Context: a : 𝕜

Context: f : 𝕜 → E

Tendsto (norm ∘ fun x => (x - a)⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : Norm E

Context: a : 𝕜

Context: f : 𝕜 → E

Tendsto (fun x => ‖x - a‖⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N

x ∈ Submodule.localized' S p f (ker g) ↔ x ∈ ker (extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g))


(∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, IsLocalizedModule.mk' f m s = x) ↔ ((IsLocalizedModule.map p f f') g) x = 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R


(¬∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d p = 0) ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0


(∃ d, coeff d p ≠ 0) ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: h : AffineIndependent k p

Context: w : ι → k

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: i₁ i₂ i₃ : ι

Context: h₁ : i₁ ∈ s

Context: h₂ : i₂ ∈ s

Context: h₃ : i₃ ∈ s

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: c : k

Context: hc0 : 0 < c

Context: hc1 : c < 1

Context: hs : (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {p i₁, (AffineMap.lineMap (p i₂) (p i₃)) c}

SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hc : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ c
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

‖integral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul‖ ≤ (μ ↑I).toReal * c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S T : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
f : (i : ι) → α i

f ∈ cylinder s S \ cylinder s T ↔ f ∈ cylinder s (S \ T)


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
P : α → Prop

(∀ i ∈ ofFn f, P i) ↔ ∀ (j : Fin n), P (f j)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: f' : C(X, ↑(Set.Icc (-‖↑f‖) ‖↑f‖)) := (↑f).attachBound

Context: abs : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ) := { toFun := fun x => |↑x|, continuous_toFun := ⋯ }


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y : α


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : swap x y = Equiv.refl α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace ℝ G
K : ProperCone ℝ E

↑(map (ContinuousLinearMap.id ℝ E) K) = ↑K


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
B : C

(initialIsInitial.uniqueUpToIso HasZeroObject.zeroIsInitial).hom ≫ 0 = initial.to B


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DecidableEq β

Context: inst✝³ : DecidableEq γ

Context: inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β

Context: inst✝¹ : SMul β γ

Context: inst✝ : SMul α γ

Context: a : α

Context: s : Finset β

Context: t : Finset γ

Context: h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c

Context: a✝ : γ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 3


↑(unitOfInvertible (-3 ^ 3))⁻¹ * 0 ^ 3 = 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
s : Set G

closure (⇑(closure s).subtype ⁻¹' s) = ⊤


map (closure s).subtype (closure (⇑(closure s).subtype ⁻¹' s)) = map (closure s).subtype ⊤


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)

↑(toSimpleFunc (-f)) =ᶠ[ae μ] -↑(toSimpleFunc f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑↑↑(-f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(-↑f) a✝ = (-↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = (-↑(toSimpleFunc f)) a✝


↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = ↑(-↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(-↑↑f) a✝ = -↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (-f)) a✝ = -↑(toSimpleFunc f) a✝


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
x✝ : n


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
a b : ℝ
N : ℕ

Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) ℱ μ


∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (1 - upcrossingStrat a b f N n) ω ≤ 1


∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ (1 - upcrossingStrat a b f N n) ω


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.44267, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)
p : ℤ

(mapOfHomotopy H ≫ (triangle φ₂).mor₃).f p = ((triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a).f p


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
H₁ : X ≅ Y
ℱ : Presheaf C Y
𝒢 : Presheaf C X
H₂ : ℱ ⟶ (pushforward C H₁.hom).obj 𝒢
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ

(Opens.map H₁.hom).op.obj (op ((Opens.map H₁.inv).obj (unop U))) = U


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0

(p * q).coeff (p * q).natDegree = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree


p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
s : Multiset α
a : α

∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ≤ s.inf ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b) → (a ≤ (a_1 ::ₘ s).inf ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ≤ b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: m n : ℕ

Context: h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n

Context: hmlen : m ≤ n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: m n : ℕ

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn : ¬m = n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: m n : ℕ

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn✝ : ¬m = n

Context: hmn : m < n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: m n : ℕ

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn✝ : ¬m = n

Context: hmn : m < n

Classical.choose ⋯ ∈ (Multiset.pmap (fun m x => Infinite.natEmbeddingAux α m) (Multiset.range n) ⋯).toFinset


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: m n : ℕ

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn✝ : ¬m = n

Context: hmn : m < n

Infinite.natEmbeddingAux α m = Classical.choose ⋯


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V

𝓕⁻ f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁

(map f) (mapRange g hg φ) = φ ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), f (g (coeff d φ)) = coeff d φ


(∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff m φ) ↔ ∀ (d : σ →₀ ℕ), f (g (coeff d φ)) = coeff d φ


∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff a φ ↔ f (g (coeff a φ)) = coeff a φ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ → R
hg : g 0 = 0
φ : MvPolynomial σ S₁
m : σ →₀ ℕ

coeff m ((map f) (mapRange g hg φ)) = coeff m φ ↔ f (g (coeff m φ)) = coeff m φ


f (coeff m (mapRange g hg φ)) = coeff m φ ↔ f (g (coeff m φ)) = coeff m φ


f (coeff m (mapRange g hg φ)) = f (g (coeff m φ))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
x✝ : n

(x ᵥ* (A + B)) x✝ = (x ᵥ* A + x ᵥ* B) x✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2 μ)

↑↑↑((condexpL2 E'' 𝕜' hm) (T.compLp f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))


∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 E'' 𝕜' hm) (T.compLp f)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) x ∂μ


AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 E'' 𝕜' hm) (T.compLp f))) μ


AEStronglyMeasurable' m (↑↑(T.compLp ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ


Context:
α : Sort u
β : Sort v
inst✝ : Nonempty α

Uncountable α ↔ ∀ (f : ℕ → α), ¬Surjective f


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: hx : (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R ↑s

∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

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Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: g : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯


Context: R S : Type u

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Context: N : Submonoid S

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Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y : ↥(Submonoid.map (algebraMap R S) M) := commonDenomOfFinset (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s


Context: R S : Type u

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Context: N : Submonoid S

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Context: inst✝³ : Algebra R S

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Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context: R S : Type u

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Context: N : Submonoid S

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

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Context: x : S

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Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y


Context: R S : Type u

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: this : (algebraMap R S) y' • ↑s = y' • ↑s


Context: R S : Type u

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

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Context: x : S

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Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: hx₁ : Submodule.span R (y' • ↑s) = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))


Context: R S : Type u

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Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: hx₁ : y' • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))


Context: R S : Type u

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

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Context: y' : R

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Context: hx : y' • (algebraMap S S') x ∈ y' • Submodule.span R ↑s


Context: R S : Type u

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

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Context: hx : y' • (algebraMap S S') x ∈ Submodule.span R (⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))


Context: R S : Type u

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Context: inst✝² : Algebra R S'

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Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: hx : g (y' • x) ∈ Submodule.map (↑g).toLinearMap (Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))


Context: R S : Type u

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Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: x' : S

Context: hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s))

Context: hx'' : (algebraMap S S') x' = g (y' • x)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

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Context: M : Submonoid R

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Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: x' : S

Context: a : R

Context: ha₁ : a ∈ ↑M

Context: ha₂ : ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * x' = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

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Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: x' : S

Context: a : R

Context: ha₁ : a ∈ ↑M

(⟨a, ha₁⟩ * ⟨y', hy'⟩) • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

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Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: x' : S

Context: a : R

Context: ha₁ : a ∈ ↑M


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: y' : R

Context: hy' : y' ∈ ↑M

Context: e : (algebraMap R S) y' = ↑y

Context: x' : S

Context: a : R

Context: ha₁ : a ∈ ↑M

(⟨a, ha₁⟩ * ⟨y', hy'⟩) • x = ↑⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ * y' • x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α × β →₀ M

Context: g : α → β → M → N

Context: hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0

Context: hg₁ : ∀ (a : α) (b : β) (c₀ c₁ : M), g a b (c₀ + c₁) = g a b c₀ + g a b c₁

(fun a b => (single a.1 (single a.2 b)).sum fun a f => f.sum (g a)) = fun p c => g p.1 p.2 c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α × β →₀ M

Context: g : α → β → M → N

Context: hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0

Context: p : α × β

Context: c : M

((single p.1 (single p.2 c)).sum fun a f => f.sum (g a)) = g p.1 p.2 c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α × β →₀ M

Context: g : α → β → M → N

Context: hg₀ : ∀ (a : α) (b : β), g a b 0 = 0

Context: p : α × β

Context: c : M

(single p.2 c).sum (g p.1) = g p.1 p.2 c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α

Context: h : (fun b => Ι b a) b = (fun b => Ι b a) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ (fun b => Ι b a) b ↔ x ∈ (fun b => Ι b a) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α

Context: ha : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ d x a b c : α

Context: ha : a < b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3


(fun m => m • Q) (Units.mk0 (P z) hPz / Units.mk0 (Q z) hQz) = P


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
hs : s = ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
hs : s.Nonempty


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α✝
inst✝¹ : Semiring β
a b : α✝
m n : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : Semiring α
x : α

(x ∈ Set.range fun x => 2 * x + 1) ↔ x ∈ {a | Odd a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

(f =O[l] fun _x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := haar


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := haar
A : μ' s = μ'.haarScalarFactor ν • ν s


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := haar
A : μ' s = μ'.haarScalarFactor ν • ν s
B : μ s = μ.haarScalarFactor ν • ν s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

(gramSchmidtOrthonormalBasis h f).repr (f i) j = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤


AEStronglyMeasurable (fun x => (f x).toReal) μ ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖(f x).toReal‖₊ ∂μ < ⊤


Context: x y : ℂ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
b : ℕ
x✝ : log p 0 < b

multiplicity p 0! = ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, 0 / p ^ i)


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n b : ℕ
hb : log p (n + 1) < b

multiplicity p (n + 1)! = multiplicity p n ! + multiplicity p (n + 1)


multiplicity p n ! + multiplicity p (n + 1) = ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i) + ↑(filter (fun i => p ^ i ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card


↑(∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i) + ↑(filter (fun i => p ^ i ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card = ↑(∑ i ∈ Ico 1 b, (n / p ^ i + if p ^ i ∣ n + 1 then 1 else 0))


↑(∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i) + ↑(filter (fun i => p ^ i ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card = ↑(∑ x ∈ Ico 1 b, n / p ^ x + ↑(filter (fun x => p ^ x ∣ n + 1) (Ico 1 b)).card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0

∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ↑s i < 0
hi₁ : MeasurableSet i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l

Context: hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l

Context: bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

Context: hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: hnn : ¬restrict s A ≤ restrict 0 A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: hnn : ¬∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ A → ↑s j ≤ ↑0 j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: E : Set α

Context: hE₁ : MeasurableSet E

Context: hE₂ : E ⊆ A

Context: hE₃ : ↑0 E < ↑s E

Context: k : ℕ

Context: hk₁ : 1 ≤ bdd k

Context: hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: E : Set α

Context: hE₁ : MeasurableSet E

Context: hE₂ : E ⊆ A

Context: hE₃ : ↑0 E < ↑s E

Context: k : ℕ

Context: hk₁ : 1 ≤ bdd k

Context: hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E

Context: hA' : A ⊆ i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: E : Set α

Context: hE₁ : MeasurableSet E

Context: hE₂ : E ⊆ A

Context: hE₃ : ↑0 E < ↑s E

Context: k : ℕ

Context: hk₁ : 1 ≤ bdd k

Context: hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E

1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) - 1) + 1) < ↑s E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: A_meas : MeasurableSet A

Context: E : Set α

Context: hE₁ : MeasurableSet E

Context: hE₂ : E ⊆ A

Context: hE₃ : ↑0 E < ↑s E

Context: k : ℕ

Context: hk₁ : 1 ≤ bdd k

Context: hk₂ : 1 / ↑(bdd k) < ↑s E

MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ k), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) - 1 + 1 = bdd k


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α

1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c d : α


Context:
X : Scheme
U : X.Opens

(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom = Scheme.Hom.app (Spec.map U.topIso.inv) ⊤ ≫ Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U) ⊤ ≫ U.topIso.hom


Context:
X : Scheme
U : X.Opens

(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom = Scheme.Hom.app (Spec.map U.topIso.inv) ⊤ ≫ (Scheme.ΓSpecIso Γ(↑U, ⊤)).hom ≫ U.topIso.hom


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0

IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Unique ι
f : ι → α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
h : IsEmpty ι
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]

(aeval x) f ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i)


∃ f_1, f_1.degree < ↑(minpoly R x).natDegree ∧ (aeval x) f = (aeval x) f_1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial R
x : S
hx : IsIntegral R x
f : R[X]
this : (minpoly R x).Monic


(aeval x) f = (aeval x) (f %ₘ minpoly R x)


(aeval x) (f %ₘ minpoly R x + minpoly R x * (f /ₘ minpoly R x)) = (aeval x) (f %ₘ minpoly R x)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s✝ : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s✝) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: s : Finset ι

Context: x y : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: H : mk s x = mk s y

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: h1 : (mk s x) ↑⟨i, hi⟩ = (mk s y) ↑⟨i, hi⟩


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s✝ : Finset ι

Context: x✝ : (i : ↑↑s✝) → β ↑i

Context: i✝ : ι

Context: s : Finset ι

Context: x y : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: H : mk s x = mk s y

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: h1 : (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) = if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: γ : Γ₀

Context: h : γ ≠ 0

Tendsto f l (𝓝 γ) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = γ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s

(convexHull R) (↑t₁ ∩ ↑t₂) = (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂


(convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)


∀ (x : E), ((∃ w, (∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁, w y • y = x) ∧ ∃ w, (∀ y ∈ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₂, w y • y = x) → ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁹ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : OrderedSMul R α

Context: s✝ : Set E

Context: i j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w✝ : ι → R

Context: z : ι → E

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → R

Context: s t t₁ t₂ : Finset E

Context: hs : AffineIndependent R Subtype.val

Context: ht₁ : t₁ ⊆ s

Context: ht₂ : t₂ ⊆ s

Context: x : E

Context: w₁ : E → R

Context: h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y

Context: h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1

Context: h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x

Context: w₂ : E → R

Context: h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1

Context: h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x

Context: w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0

∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁹ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : OrderedSMul R α

Context: s✝ : Set E

Context: i j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w✝ : ι → R

Context: z : ι → E

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → R

Context: s t t₁ t₂ : Finset E

Context: hs : AffineIndependent R Subtype.val

Context: ht₁ : t₁ ⊆ s

Context: ht₂ : t₂ ⊆ s

Context: x : E

Context: w₁ : E → R

Context: h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y

Context: h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1

Context: h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x

Context: w₂ : E → R

Context: h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1

Context: h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x

Context: h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁹ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : Module R α

Context: inst✝¹ : OrderedSMul R α

Context: s✝ : Set E

Context: i j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w✝ : ι → R

Context: z : ι → E

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → R

Context: s t t₁ t₂ : Finset E

Context: ht₁ : t₁ ⊆ s

Context: ht₂ : t₂ ⊆ s

Context: x : E

Context: w₁ : E → R

Context: h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y

Context: h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1

Context: h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x

Context: w₂ : E → R

Context: h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1

Context: h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x

Context: h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0

Context: hs : ∀ x ∈ s, w x = 0


Context: x✝ y✝ x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n : ℤ
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ


↑(Int.negSucc n) * (x✝¹ * x✝) = ↑(Int.negSucc n) * x✝¹ * x✝


x✝¹ * ↑(Int.negSucc n) * x✝ = x✝¹ * (↑(Int.negSucc n) * x✝)


x✝¹ * -1 * x✝ + x✝¹ * -↑n * x✝ = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * (-↑n * x✝)


-(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * ↑n * x✝) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)


-(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * (↑n * x✝)) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)


x✝¹ * x✝ * ↑(Int.negSucc n) = x✝¹ * (x✝ * ↑(Int.negSucc n))


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

⨆ i, ∑ a ∈ range (2 ^ i), f a ≤ f 0 + ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k) ≤ ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p
h : ∃ h, p ∘ₗ h = LinearMap.id


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x

eval₂ f x ({ toFinsupp := p } * { toFinsupp := q }) = eval₂ f x { toFinsupp := p } * eval₂ f x { toFinsupp := q }


(liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) (p * q) = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p * (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ interior s

Context: H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1⁻¹ • x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ interior s

Context: H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ interior s

Context: H₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, x ∈ r • s ∧ 0 < r ∧ r < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ interior s

Context: r : ℝ

Context: hxr : x ∈ r • s

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr₁ : r < 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ↔ x ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
x : (Quotient.out c.ord).α

(typein (fun x x_1 => x < x_1) x).card < c


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2
h : g.support.card ≤ card (Fin 5)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2

Context: h : g.support.card ≤ card (Fin 5)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: ha : (-1) ^ ((Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2).sum + Multiset.card (Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2)) = 1

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

Context: ha : (-1) ^ (Multiset.card g.cycleType * 2 + Multiset.card g.cycleType) = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

Context: ha : Even (Multiset.card g.cycleType)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

Context: ha : (-1) ^ Multiset.card g.cycleType = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: g : Perm (Fin 5)

Context: h1 : g ≠ 1

Context: h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

Context: ha : Even (Multiset.card g.cycleType)

(swap 0 4 * swap 1 3).cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2


Context: f g : CircleDeg1Lift

Tendsto (fun n => (⇑1)^[n] 0 / ↑n) atTop (𝓝 0)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.126215, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

HomologicalComplex.homologyMap S.f i ≫ HomologicalComplex.homologyMap S.g i = 0


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i✝ : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: i : δ

Context: hi : i ∉ s

∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i ∂μ


Context: x✝ y✝ x y : ℝ


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x ≤ 0


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j


c.Rel i (if h : ∃ j, c.Rel i j then h.choose else i)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ↪ α'
l : α →₀ R

(Finsupp.total α' M' R v') (embDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l


Context: α β : Type u

Context: A : α → PSet

Context: B : β → PSet

Context: αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)

Context: a : (PSet.mk α A).Type

Context: c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type

Context: b : β

Context: γ : Type u

Context: Γ : γ → PSet

Context: A_ih✝¹ : ∀ (a_1 : γ), A a = Γ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)

Context: ea : A a = PSet.mk γ Γ

Context: δ : Type u

Context: Δ : δ → PSet

Context: A_ih✝ : ∀ (a_1 : δ), B b = Δ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)

Context: eb : B b = PSet.mk δ Δ

Context: γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: c : (A a).Type := c✝

Context: d : δ

Context: hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)


Context: α β : Type u

Context: A : α → PSet

Context: B : β → PSet

Context: αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)

Context: a : (PSet.mk α A).Type

Context: c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type

Context: b : β

Context: γ : Type u

Context: Γ : γ → PSet

Context: ea : A a = PSet.mk γ Γ

Context: δ : Type u

Context: Δ : δ → PSet

Context: eb : B b = PSet.mk δ Δ

Context: γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: c : (A a).Type := c✝

Context: d : δ

Context: hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)

((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func ⟨b, ⋯ ▸ d⟩)


Context: α β : Type u

Context: A : α → PSet

Context: B : β → PSet

Context: αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)

Context: a : (PSet.mk α A).Type

Context: c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type

Context: b : β

Context: γ : Type u

Context: Γ : γ → PSet

Context: ea : A a = PSet.mk γ Γ

Context: δ : Type u

Context: Δ : δ → PSet

Context: eb : B b = PSet.mk δ Δ

Context: γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)

Context: c : (A a).Type := c✝

Context: d : δ

Context: hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)

((A a).Func c).Equiv ((B b).Func (⋯ ▸ d))


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.651, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
j : ℕ
hj : j + 1 = 0


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : K
i : K →+* ℂ

(canonicalEmbedding K) α i = ((basisMatrix K)ᵀ *ᵥ fun i => ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr α) i)) i


(∑ i : K →+* ℂ, ((latticeBasis K).repr ((canonicalEmbedding K) α)) ((equivReindex K) i) • (latticeBasis K) ((equivReindex K) i)) i = ((basisMatrix K)ᵀ *ᵥ fun i => ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr α) i)) i


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k

Continuous fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G

ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹
k'_comp : IsCompact k'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : G → E

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: k : Set G := tsupport g

Context: k_comp : IsCompact k

Context: x₀ : G

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := t • k⁻¹

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: A : ContinuousOn (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) t


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n

x ∈ Metric.sphere 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
this : 0 ≤ ∑ i : n, x i ^ 2


Context:
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p


Context:
α : Type u
n i : ℕ
h : i < (finRange n).length


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)


(∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ


∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a ∂μ


(fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a


(fun x => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊) x ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
h_zero : (fun x => x ^ p.toReal) 0 = 0


Context:
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f


Context:
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f
B : ℝ
hB : IsGLB (range f) B


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜

⟪r • f, g⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪f, g⟫_𝕜


∫ (a : α), ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
x : α
hx : ↑↑(r • f) x = (r • ↑↑f) x

(fun a => ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜) x


⟪↑↑(r • f) x, ↑↑g x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Group α

Context: g : GroupTopology α

Context: this✝ : TopologicalSpace α := g.toTopologicalSpace

Context: this : TopologicalGroup α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f✝ : α → β

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m : α

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: l hd : List α

Context: tl : α

Context: ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a

argmax f (a :: (hd ++ [tl])) = Option.casesOn (argmax f (hd ++ [tl])) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f✝ : α → β

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m : α

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: l hd : List α

Context: tl : α

(Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) = Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f✝ : α → β

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: l hd : List α

Context: tl : α

Context: m : α

Context: h : argmax f hd = some m

Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (if f a < f m then some m else some a) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (if f m < f tl then some tl else some m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f✝ : α → β

Context: l✝ : List α

Context: o : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: f : α → β

Context: a : α

Context: l hd : List α

Context: tl : α

Context: m : α

Context: h : argmax f hd = some m

Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (some (if f a < f m then m else a)) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (some (if f m < f tl then tl else m))


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul_left : ∀ (x : M) (hx : x ∈ s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: h : x ∈ closure s


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : M

Context: h✝ : x ∈ closure s

Context: h : x ∈ mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic

Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)


(p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)


(∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α


#(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : β' ↪ α

#(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: this : Disjoint ↑⊥ ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → μ.toFun (⊥ ⊔ ⊥) = μ.toFun ⊥ + μ.toFun ⊥


Context:
z : ℂ
hz : 1 - z ∈ slitPlane


Context:
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane


Context:
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane
x✝ : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

Context: i : ℕ

Context: a : α

Context: b : β a

Context: hh : b ∈ approx (⇑f) i a


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: i : ℕ

Context: a : α

Context: b : β a

Context: hh : b ∈ approx (⇑f) i a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
a : α
s : Set α


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat
X Y : Action V G

(inv ((F.mapAction G).μ X Y)).hom = inv (F.μ X.V Y.V)


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type v
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w

(cons h p).IsTrail ↔ p.IsTrail ∧ s(u, v) ∉ p.edges


Context: x : ℂ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V

(fromEdgeSet Set.univ).Adj v w ↔ ⊤.Adj v w


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hL : L ≤ 𝓝 x

Context: h : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: this : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hL : L ≤ 𝓝 x

Context: h : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (0 + f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hL : L ≤ 𝓝 x

Context: h : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α

TotallyBounded (s ∪ t) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t


(∀ (i : Bool), TotallyBounded (bif i then s else t)) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ

(SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β

(SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet 1 = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ
hn : n ≠ 1


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1


∀ (a : ℕ), List.count a n.primeFactorsList ≤ 1


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
a : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a✝ : α

Context: u : Set α

Context: hu : u.IsPWO

Context: x : α × α

Context: a : α

Context: x✝ : a ∈ {a | (mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}

Context: b : α × α

Context: hb : b ∈ mulAntidiagonal hs ht a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a✝ : α

Context: u : Set α

Context: hu : u.IsPWO

Context: x : α × α

Context: a : α

Context: b : α × α

Context: hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 * b.2 = a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ

f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
hv : G.maxDegree = G.degree v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)

Context: he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g

Context: X X' : C

Context: Y : D

Context: f : X ⟶ X'

Context: g : X' ⟶ (rightAdjointOfEquiv e he).obj Y

(e X Y).symm (f ≫ g) = F.map f ≫ (e X' Y).symm g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: X X' : C

Context: Y : D

Context: f : X ⟶ X'

f ≫ g = (e X Y) (F.map f ≫ (e X' Y).symm g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: G_obj : D → C

Context: X : C

Context: Y Y' : D

Context: g : F.obj X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Y'

(e X Y') (g ≫ h) = (e X Y) g ≫ (rightAdjointOfEquiv e he).map h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ

(fun a => ↑(condCDF ρ a) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal


(fun a => ↑(stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K

K.ε ≫ K.map F.ε ≫ K.map (α.app (𝟙_ C)) = K.ε ≫ K.map G.ε


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K
X Y : C

(β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (F.μ X Y) ≫ K.map (α.app (X ⊗ Y)) = (β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (α.app X ⊗ α.app Y) ≫ K.map (G.μ X Y)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

μ (closedBall x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
a : α

a ∈ upperBounds (Set.range ⇑(partialSups f)) ↔ a ∈ upperBounds (Set.range f)


(∀ (i k : ℕ), k ≤ i → f k ≤ a) ↔ ∀ (i : ℕ), f i ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s


({ toFun := fun a => Measure.ofMeasurable (fun s x => κ.compProdFun η a s) ⋯ ⋯, measurable' := ⋯ } a) s = κ.compProdFun η a s


(Measure.ofMeasurable (fun s x => κ.compProdFun η a s) ⋯ ⋯) s = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


κ.compProdFun η a s = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁷ : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝⁶ : NonAssocSemiring S
inst✝⁵ inst✝⁴ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring R
σR : Type u_1
σS : Type u_2
inst✝³ : SetLike σR R
inst✝² : SetLike σS S
inst✝¹ : SubsemiringClass σR R
inst✝ : SubsemiringClass σS S
f : R →+* S

↑f.rangeS = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: a b k m n p a✝ : ℕ


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
x✝ : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } * { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg


({ re := ↑z, im := ↑w } * { re := -↑x, im := ↑y }).Nonneg


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
x✝ : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg


({ re := ↑z, im := ↑w } * { re := ↑x, im := -↑y }).Nonneg


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } * { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


{ re := ↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w, im := -(↑x * ↑w + ↑y * ↑z) }.Nonneg


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } * { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg


{ re := -(↑x * ↑z + ↑d * ↑y * ↑w), im := ↑x * ↑w + ↑y * ↑z }.Nonneg


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
hb✝ : b.Nonneg
x y z w : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } * { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone S.arrows.diagram
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

(yoneda.obj s.pt).map g₁.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₁ hf₁) = (yoneda.obj s.pt).map g₂.op (S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₂ hf₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: s : Cocone S.arrows.diagram

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: hf₁ : S.arrows f₁

Context: hf₂ : S.arrows f₂

Context: hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: Hs : ∀ ⦃X_1 Y : S.arrows.category⦄ (f : X_1 ⟶ Y), S.arrows.diagram.map f ≫ s.ι.app Y = s.ι.app X_1 ≫ ((Functor.const S.arrows.category).obj s.pt).map f


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: s : Cocone S.arrows.diagram

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: hf₁ : S.arrows f₁

Context: hf₂ : S.arrows f₂

Context: hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

g₁ ≫ S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₁ hf₁ = g₂ ≫ S.arrows.yonedaFamilyOfElements_fromCocone s f₂ hf₂


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: s : Cocone S.arrows.diagram

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: hf₁ : S.arrows f₁

Context: hf₂ : S.arrows f₂

Context: hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

g₁ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₁, property := hf₁ } = g₂ ≫ s.ι.app { obj := Over.mk f₂, property := hf₂ }


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: s : Cocone S.arrows.diagram

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: hf₁ : S.arrows f₁

Context: hf₂ : S.arrows f₂

Context: hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: s : Cocone S.arrows.diagram

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: hf₁ : S.arrows f₁

Context: hf₂ : S.arrows f₂

Context: hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)

Context: hgf₂ : S.arrows (g₂ ≫ f₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set (γ × β)
hs : MeasurableSet s

(κ.swapRight a) s = (κ a) {p | p.swap ∈ s}


(κ a) (Prod.swap ⁻¹' s) = (κ a) {p | p.swap ∈ s}


Context:
k n m : Nat
H1 : k.Coprime n
H2 : k ∣ m * n


Context: k n m : Nat

Context: H1 : k.Coprime n

Context: H2 : k ∣ m * n

Context: t : k ∣ (m * k).gcd (m * n) := dvd_gcd (Nat.dvd_mul_left k m) H2


Context: x✝ y✝ x y : ℝ


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ x✝ : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
x : M
y : N

(lift (x✝¹ + x✝)) (x ⊗ₜ[R] y) = (lift x✝¹ + lift x✝) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : B
x✝ : M →ₗ[A] N →ₗ[R] P
x : M
y : N

({ toFun := lift, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝)) (x ⊗ₜ[R] y) = ((RingHom.id B) x✝¹ • { toFun := lift, map_add' := ⋯ }.toFun x✝) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
m n : ℤ
hne : m ≠ n


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : MetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (δ x) ⊆ U i


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M✝ : Type uM

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝

Context: inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝

Context: inst✝⁴ : T2Space M✝

Context: t : M✝ → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : MetricSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: K U : ι → Set M

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯

Context: hδ0 : ∀ (x : M), 0 < δ x

Context: hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M✝ : Type uM

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝

Context: inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝

Context: inst✝⁴ : T2Space M✝

Context: t : M✝ → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : MetricSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: K U : ι → Set M

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯

Context: hδ0 : ∀ (x : M), 0 < δ x

Context: i : ι

Context: x : M

Context: hx : x ∈ K i


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M✝ : Type uM

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝

Context: inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝

Context: inst✝⁴ : T2Space M✝

Context: t : M✝ → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : MetricSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: K U : ι → Set M

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: δ : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯

Context: hδ0 : ∀ (x : M), 0 < δ x

Context: i : ι

Context: x : M

Context: hx : x ∈ K i

EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Type u_2
l : Filter ι
f : ι → Set α
x : α

Tendsto f l (v.filterAt x) ↔ (∀ᶠ (i : ι) in l, f i ∈ v.setsAt x) ∧ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, f i ⊆ closedBall x ε


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
n : ℕ

(X ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1


Context:
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}


Context:
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c a' : Ordinal.{u_1}
ha : a' < a
d : Ordinal.{u_1}
hd : d < b ♯ c

a' ⨳ (b ♯ c) ♯ a ⨳ d < a ⨳ b ♯ a ⨳ c ♯ a' ⨳ d


Context:
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c d : Ordinal.{u_1}
hd : d < a ⨳ b


Context:
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c d : Ordinal.{u_1}
hd : d < a ⨳ c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≤ y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx hy : x ∈ s

Context: hxy : x ≤ x


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : Preorder β
K : Set α
h₁ : IsComplete K
u : β → α
h₂ : ∀ (n : β), u n ∈ K
h₃ : CauchySeq u


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α

(M ↾ R).Basis' I X ↔ M.Basis' I (X ∩ R) ∧ I ⊆ R


(((M.Indep I ∧ I ⊆ R) ∧ I ⊆ X) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ R → y ⊆ X → I ⊆ y → I = y) ↔ ((M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ I ⊆ R) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → y ⊆ X → y ⊆ R → I ⊆ y → I = y) ∧ I ⊆ R


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s