Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)

∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: lim : Tendsto ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: lim : ∀ W ∈ 𝓝 0, ∃ U ∈ comap (⇑e) Nx, ∀ (x x' : β), x ∈ U → x' ∈ U → ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (x, x') ∈ W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ (a b : β), a ∈ U₂ → b ∈ U₂ → (φ (b - a)) y₁ ∈ W'


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y

(equiv W L) (mkInv f hf) = (isoOfHom L W f hf).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Add α
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c
d : α
hd : b = a * d
e : α
he : c = a * e


Context: a b c d k m : ℕ

Context: h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = k * m

Context: ha : 2 * a < m

Context: hb : 2 * b < m

Context: hc : 2 * c < m

Context: hd : 2 * d < m


Context: a b c d k m : ℕ

Context: ha : 2 * a < m

Context: hb : 2 * b < m

Context: hc : 2 * c < m

Context: hd : 2 * d < m


Context:
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : 𝓞 L

x ∣ (algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) ((norm K) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α) in insert a s, f x ∂μ = f a * μ {a} + ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ

(hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x)


(hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x - 0)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: φ ψ : R[X]

Context: this : ↑((monomial 0) 1) = (PowerSeries.monomial R 0) 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₘ

Context: i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: y : ↥M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: y : ↥M

IsUnit ((algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) ↑y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: h' : 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: h' : 0 < 1 → a • x + b • y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p

(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝ : HasEqualizer f g
W : C
h : W ⟶ X
w : (equalizerSubobject f g).Factors h


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω

lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω

lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
r s : R

Submodule.span R {r} * Submodule.span R {s} = Submodule.span R {r * s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
x✝ : R a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
h : R a b
a' : α
as : List α
b' : β
bs : List β
h₁ : R a' b'
h₂ : Forall₂ R as bs


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx✝ : x ∈ I ⊔ J
hx : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = x
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x


⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + z = m


⁅↑⟨x₂, hx₂⟩, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + ⁅↑⟨x₂, hx₂⟩, ↑n⁆ = m


Context: x : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t

⨆ i ∈ insert x t, update f x s i = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i


s ⊔ ⨆ x_1 ∈ t, update f x s x_1 = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
i : α
hi : i ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t✝ u : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α

t ∈ filter (fun t => t.erase a = s) 𝒜 ↔ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0

log x / x ^ (-r) = (fun x => log x * x ^ r) x


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : b < 1


Context:
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A


Context:
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A
hnA : ∃ x, ¬A x


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - X) (mk 1) ⋯)⁻¹ ^ (d + 1)


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - X) (mk 1) ⋯ ^ (d + 1))⁻¹


Context: m n a b c d : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s


(infEdist x s).toReal ≤ (edist x y).toReal


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝ : Preadditive D
F G : C ⥤ D
X : C
α : F ⟶ G
n : ℤˣ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥


⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ lowerCentralSeries R L M k


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p

(frobenius (ZMod p) p) a = (RingHom.id (ZMod p)) a


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

0 < (B (P.root i)) (P.root j) ↔ 0 < P.pairing i j


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : 0 < (B (P.root i)) (P.root j)

0 < P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : 0 < P.pairing i j


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y✝ : E
r✝ : ℝ
x : E
r : ℝ
y : E

y ∈ p.closedBall x r ↔ y ∈ ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ


Context: x : PartENat


Context:
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ

x /ₚ ux * (y /ₚ uy) = x * y /ₚ (ux * uy)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'

MultilinearMap.alternatization ↑a = (Fintype.card ι).factorial • a


⇑(MultilinearMap.alternatization ↑a) = ⇑((Fintype.card ι).factorial • a)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s

∏ x ∈ s, f (σ x) x = ∏ x ∈ s, f x ((Equiv.symm σ) x)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s : Set α
a : α

(insert a s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr' : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : TransGen r x y


Context:
δ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : δ → α → β → δ
init : δ
l : AssocList α β

foldl f init l = List.foldl (fun d x => match x with | (a, b) => f d a b) init l.toList


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent


∀ (v : V), map Hom.id (G.connectedComponentMk v) = G.connectedComponentMk v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
ε : ℝ≥0∞
h : μ s ≤ μ t + ε

μ tᶜ ≤ μ sᶜ + ε


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

(β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom


(α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom


((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom) ≫ (α_ Z X Y).inv = ((α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom) ≫ (α_ Z X Y).inv


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T'' f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T'' (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

∀ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f.range ∧ x ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hab : a < b

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-a)

Context: this : log =o[𝓝[>] 0] fun t => t ^ (a - b)

(fun t => log t • f t) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hab : a < b

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-a)

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioi 0


Context:
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

(((𝟙 (N₁.obj (Γ₀.obj K)) ≫ Split.toKaroubiNondegComplexFunctorIsoN₁.inv.app (Split.mk' (Γ₀.splitting K))) ≫ 𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj (Γ₀.splitting K).nondegComplex)) ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀'CompNondegComplexFunctor.hom.app K)) ≫ 𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj K) = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom


Split.toKaroubiNondegComplexFunctorIsoN₁.inv.app (Split.mk' (Γ₀.splitting K)) ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀'CompNondegComplexFunctor.hom.app K) = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : t ∈ 𝓝[s] x

HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ

(trace R M) (↑f * g * ↑f⁻¹) = (trace R M) g


(trace R M) (↑f⁻¹ * (↑f * g)) = (trace R M) g


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, Measurable f

Measurable fun x => (map (fun f => f x) l).prod


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

μ[fun a => f (X a, Y a)|MeasurableSpace.comap X mβ] =ᶠ[ae μ] fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int' : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s✝ : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: s : Set α

Context: x✝¹ : MeasurableSet s

Context: x✝ : μ s < ⊤

IntegrableOn (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) s μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ∫ (y : Ω), f (X x, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X x) ∂μ = ∫ (x : α) in s, f (X x, Y x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : AEMeasurable Y μ

AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ) (fun a => ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) μ


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Context: hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = 0

Polynomial.eval₂ f a (x * y).num / Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom = Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom * (Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom)


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Polynomial.eval₂ f a (x * y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) = Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.num * Polynomial.eval₂ f a (x * y).denom


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

Polynomial.eval₂ f a ((x * y).num * (x.denom * y.denom)) = Polynomial.eval₂ f a (x.num * y.num * (x * y).denom)


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: L : Type u

Context: inst✝ : Field L

Context: f : K →+* L

Context: a : L

Context: x y : RatFunc K

Context: hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0

Context: hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0

(x * y).num * (x.denom * y.denom) = x.num * y.num * (x * y).denom


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: s : Set Ω

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})

∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Context: this : s ∩ {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} = s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}

MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) (π ω) ≤ i} ∩ {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

MeasurableSet {ω | min (τ ω) i ≤ min (min (τ ω) (π ω)) i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: s : Set Ω

Context: i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Measurable fun a => min (min (τ a) (π a)) i


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
c : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set ↑M.E

(M.restrictSubtype M.E).Basis I X ↔ M.Basis ↑I ↑X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
h : a ∈ s - t
h' : a ∈ t


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: h_spec : spectrum R a ⊆ {1}

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : sᶜ ∉ f

∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : (f ⊓ 𝓟 s).NeBot


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

s ∈ coclosedCompact X ↔ IsCompact (closure sᶜ)


(∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ s) → IsCompact (closure sᶜ)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsCompact (closure sᶜ)

∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ s


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)

p.rev.predAbove i = (p.predAbove i.rev).rev


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : p.succ ≤ i.rev


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i.rev ≤ p.castSucc


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s t : Set X
h : s ⊆ t
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
S : Set (Set α)
f : Filter α


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaEven a s = (hurwitzZeta a s + hurwitzZeta (-a) s) / 2


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaEven a s = (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s + (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s)) / 2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ

dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ = dist p₁ p₂ ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ


⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + 0 = 0 ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: v : V

Context: p₁ p₂ : P

Context: hv : v ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hvi : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

Context: hd : discrim (⟪v, v⟫_ℝ) (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: v : V

Context: p₁ p₂ : P

Context: hv : v ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hvi : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
t : Set β
s : β → Set α
ht : t.Countable
hm : ∀ i ∈ t, NullMeasurableSet (s i) μ
hd : t.Pairwise (AEDisjoint μ on s)
f : α → ℝ≥0∞
this : Encodable ↑t

∫⁻ (a : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f a ∂μ = ∑' (i : ↑t), ∫⁻ (a : α) in s ↑i, f a ∂μ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Tendsto (fun n => eLpNorm ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)) atTop (𝓝 0)


Submartingale (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)


UniformIntegrable (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : ¬IsUnit x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : n ≠ 0 ∧ n ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n
this : x * x ∣ x ^ n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: e : Option.rec none some = id


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: e : Option.rec none some = id

Context: h : (fun x => x) = id


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
t : Finset α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp (a - p) b = toIcoDiv hp a b + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

card (Quot.mk Setoid.r l) = countP p (Quot.mk Setoid.r l) + countP (fun x => ¬p x) (Quot.mk Setoid.r l)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝ : S.HasHomology
this : Mono S.fromOpcycles


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0


∀ {R : C} (g : S.X₂ ⟶ R), S.f ≫ g = 0 → g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0
A : C
x₂ : S.X₂ ⟶ A
hx₂ : S.f ≫ x₂ = 0


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Fintype V

Context: inst✝⁴ : DecidableEq V

Context: G✝ : SimpleGraph V

Context: inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj

Context: inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent

Context: c : G.ConnectedComponent

(fun i => if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) ∈ LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G))


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Fintype V

Context: inst✝⁴ : DecidableEq V

Context: G✝ : SimpleGraph V

Context: inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: c : G.ConnectedComponent

∀ (i j : V), G.Reachable i j → (if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) = if G.connectedComponentMk j = c then 1 else 0


Context: s : ℝ

Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)


Context: s : ℝ

Context: this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹


Context: s : ℝ

Tendsto (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹ atTop (𝓝 0)


Context:
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < [n].len + 1

↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)


Context:
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1


↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩ then (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).pred ⋯ else (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯) = j


(if h : i < if j < i then j else j + 1 then (if j < i then j else j + 1) - 1 else ↑((if j < i then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯)) = j


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : TopologicalSpace R₁
f g : R₁ ≃L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
x : R₁


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'


PInfty.f (n + 1) ≫ (id X n).a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ (id X n).b i.rev = (P (n + 1)).f (n + 1) + (Q (n + 1)).f (n + 1)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

(liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n


Irreducible (minpoly ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n)))


IsIntegral ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : x ∈ image f s.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : ∃ a, ¬s a = 0 ∧ f a = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

cyclotomic' n K = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K


cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ n

0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ n

(∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ n

(∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree ≠ ⊥


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree = ⊥


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : 𝕜

projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) = ‖a‖ * projectiveSeminormAux p


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : 𝕜

(List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = ‖a‖ * (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : 𝕜

(List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : 𝕜

Context: x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)

((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x = ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

Context: a : 𝕜

Context: x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t


Context:
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hr : jacobiSymNat b a = r


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'' : ∀ x ∈ interior D, 0 < deriv^[2] f x

∀ x ∈ interior (interior D), 0 < deriv (deriv f) x


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Lattice α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toSemilatticeSup✝¹ : SemilatticeSup α

Context: toInf✝¹ : Inf α

Context: inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c

Context: toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α

Context: toInf✝ : Inf α

Context: inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Lattice α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α

Context: toInf✝¹ : Inf α

Context: inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: toInf✝ : Inf α

Context: inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Lattice α✝

Context: a b c d : α✝

Context: α : Type u_1

Context: toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α

Context: toInf✝ : Inf α

Context: inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a

Context: inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b

Context: H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M

⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0


-(⁅y, ⁅z, x⁆⁆ - ⁅z, ⁅y, x⁆⁆) + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + -⁅z, ⁅y, x⁆⁆ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: a b : (i : ι) → α i

(Ioo a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 2


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

Stream'.map (Option.map (mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) = IntFractPair.stream v


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n✝ n : ℕ

Stream'.map (Option.map (mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) n = IntFractPair.stream v n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : DecidableEq L := Classical.decEq L

∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L

Context: bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0

Function.LeftInverse (fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x) { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0

Function.RightInverse (fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x) { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0

∀ (x : { x // x ∈ s' }), IsIntegral A ((bs'.map (let __src := (lmul K L) ((algebraMap A L) y); { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet

↑(coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) = (↑(coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b)).prodMap ↑(coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

∀ (x : F₁ × F₂), ↑(coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) x = Prod.map (⇑↑(coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b)) (⇑↑(coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b)) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

Context: v₁ : F₁

Context: v₂ : F₂

(coordChangeL 𝕜 (e₁.prod e₂) (e₁'.prod e₂') b) (v₁, v₂) = ((coordChangeL 𝕜 e₁ e₁' b) v₁, (coordChangeL 𝕜 e₂ e₂' b) v₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

Context: v₁ : F₁

Context: v₂ : F₂

(↑(e₁'.prod e₂') (↑(e₁.prod e₂).symm (b, v₁, v₂))).2 = ((↑e₁' { proj := b, snd := e₁.symm b v₁ }).2, (↑e₂' { proj := b, snd := e₂.symm b v₂ }).2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

Context: v₁ : F₁

Context: v₂ : F₂

b ∈ (e₁.prod e₂).baseSet ∩ (e₁'.prod e₂').baseSet


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂'

Context: b : B

Context: v₁ : F₁

Context: v₂ : F₂


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ✝ ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
i j : ι
x✝ : i ≤ j


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
hp : (range ⇑b).Subsingleton


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
hp : (range ⇑b).Subsingleton
this : Subsingleton P


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
q : P
hp : (range ⇑b).Subsingleton
this : Subsingleton P
s : Finset ι := {i}
hi : i ∈ s
hw : s.sum (Function.const ι 1) = 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s✝ : Finset ι

Context: i✝ j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: q : P

Context: hp : (range ⇑b).Subsingleton

Context: this : Subsingleton P

Context: s : Finset ι := {i}

Context: hi : i ∈ s

Context: hw : s.sum (Function.const ι 1) = 1

Context: hq : q = (Finset.affineCombination k s ⇑b) (Function.const ι 1)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
x✝ : M


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s

∃ e ∈ G, EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑e.toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ e.source) ∧ ↑e' x ∈ e.source


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : PartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s
hxs : x ∈ s


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: he'x : x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s

Context: hxs : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)

Context: hex : x ∈ e.source


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: he'x : x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s

Context: hxs : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source

EqOn (f ∘ ↑e'.symm) (↑(e'.symm ≫ₕ e).toPartialEquiv) (↑e'.symm ⁻¹' s ∩ (e'.symm ≫ₕ e).source)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: he'x : x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s

Context: hxs : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e' : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g✝ g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f g : H → H

Context: hfgs : ∀ y ∈ s, f y = g y

Context: a✝ : f x = g x

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source

Context: y : H

Context: hy : y ∈ s ∩ e.source


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hfx : f x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source

∃ e ∈ G, EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hfx : f x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source

EqOn (↑e' ∘ f) (↑(e ≫ₕ e').toPartialEquiv) (s ∩ (e ≫ₕ e').source)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hfx : f x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hex : x ∈ e.source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hts : t ⊆ s
hus : u ⊆ s
hstu : s.card < t.card + u.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hts : t ⊆ s
hus : u ⊆ s
hstu : ¬(t ∩ u).Nonempty


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

weightSpace M ((↑(chainTopCoeff α β) + 1) • α + ⇑β) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))

Context: inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)

Context: I J : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

(Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors = Multiset.count J (normalizedFactors I)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0

Context: hJ' : Irreducible (Associates.mk J)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0

Context: hJ' : Irreducible (Associates.mk J)

I ≤ J ^ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0

Context: hJ' : Irreducible (Associates.mk J)

¬I ≤ J ^ ((Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors + 1)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0

Context: hJ' : Irreducible (Associates.mk J)

¬(Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors + 1 ≤ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ

Context: H : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ' : Measure α

Context: f : α → H

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf_meas_ae : AEStronglyMeasurable f (μ'.trim hm)

Context: hf : HasFiniteIntegral f (μ'.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ

Context: H : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ' : Measure α

Context: f : α → H

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : HasFiniteIntegral f (μ'.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ

Context: H : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ' : Measure α

Context: f : α → H

Context: hm : m ≤ m0

Context: hf : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ'.trim hm < ⊤

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ' < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ

Context: H : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ' : Measure α

Context: f : α → H

Context: hm : m ≤ m0

AEMeasurable (fun a => ↑‖f a‖₊) (μ'.trim hm)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : RightHomologyMapData φ' h₁ h₂

rightHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ + rightHomologyMap' φ' h₁ h₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hA : MeasurableSet A

∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in Aᶜ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

K.homologyπ j ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyπ


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α → Prop
inst✝ : DecidableEq α
a : α
p : α → Prop

(p a ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → p b) ↔ ∀ (b : α), p b


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist p₁ ((homothety p₁ c) p₂) = ‖c‖ * dist p₁ p₂


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
val✝ : Invertible A


Context:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T

(fourier n) (x + ↑(T / 2 / ↑n)) = -(fourier n) x


↑(n • x).toCircle * ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -(fourier n) x


Context:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this : ↑n ≠ 0


Context: T : ℝ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hT : 0 < T

Context: x : AddCircle T

Context: this✝ : ↑n ≠ 0

Context: this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A

IsNilpotent (mulLeft R a) ↔ IsNilpotent a


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
m : ↥M

C (IsLocalization.mk' S a m) = IsLocalization.mk' (MvPolynomial σ S) (C a) ⟨C ↑m, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
v : ι → M

Surjective ⇑((piEquiv ι R M) v) ↔ span R (range v) = ⊤


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
h₁ : f a = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: hind : CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range

Context: hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)

Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod ϕ hcomm)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s✝ : Set α
hf : Isometry f
s : Set α
d : ℝ≥0∞

EMetric.diam (f '' s) ≤ d ↔ EMetric.diam s ≤ d


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α


‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x‖ ≤ c


‖min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)‖ * ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : ‖↑(hf.approx n) x‖ ≤ c


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α
h0 : ¬‖↑(hf.approx n) x‖ = 0
h : c ≤ ‖↑(hf.approx n) x‖


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t✝ : Set α
x : α
δ : ℝ
s t : Set α

cthickening δ (s ∪ t) = cthickening δ s ∪ cthickening δ t


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℂ
hlt : x < 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℂ
hlt : x < 0
hne : ↑x ≠ 0


Context:
α : Sort u_1
r p✝ q✝ : α → Prop
P Q : (x : α) → p✝ x → Prop
b : Prop
inst✝ : Nonempty α
p : α → Prop
q : Prop

(∀ (x : α), p x ∧ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∧ q


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S


Function.Injective ⇑(N.subtype ∘ₗ ↑N.lTensorOne)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

μ.toFiniteAux s = ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) s


∑' (i : ℕ), ((2 ^ (i + 1) * (sFiniteSeq μ i) Set.univ)⁻¹ • sFiniteSeq μ i) s = ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

∀ (g : ↑↑t), (ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: g : ↑↑t

Context: f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g

(ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: g : ↑↑t

Context: this : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away ↑g)