Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : Semigroup α

Context: inst✝² : IsCancelMul α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : Semigroup α

Context: inst✝² : IsCancelMul α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t) = {s.max' hs * t.min' ht}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : Semigroup α

Context: inst✝² : IsCancelMul α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

∀ x ∈ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t), x = s.max' hs * t.min' ht


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : Semigroup α

Context: inst✝² : IsCancelMul α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

∀ a ∈ s, ∀ x ∈ t, s.max' hs * x = a * t.min' ht → a = s.max' hs


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
i j : ℤ
hij : j + 1 = i


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ

(δ (-1) 0 z).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯


z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯


z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯).f p


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V


Context:
n m k : ℕ
i j : Fin k


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x

HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p 1)) x


(fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) =o[nhds (x, x)] fun x => ‖x.1 - x.2‖


Tendsto (fun y => ‖y - (x, x)‖) (nhds (x, x)) (nhds 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

bernsteinPolynomial R n ν = (bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X)


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
a : α
a' : α := enum r (succ (typein r a)) ⋯
b : α
h : b ∈ S
ab : ¬r b a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
s t : α → Set β
ht : Tendsto t la lb.smallSets
hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: l l' la : Filter α

Context: lb : Filter β

Context: s t : α → Set β

Context: ht : ∀ t_1 ∈ lb, ∀ᶠ (x : α) in la, t x ⊆ t_1

Context: hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0

Ideal.IsMaximal (ker (toSpanSingleton R M m))


IsSimpleModule R (R ⧸ ker (toSpanSingleton R M m))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: f : M → M'

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hd : DenseRange ⇑f'

Context: this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: f : M → M'

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hd : DenseRange ⇑f'

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: f : M → M'

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hd : DenseRange ⇑f'

writtenInExtChartAt I I' x f '' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I) ⊆ ↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' (f '' s) ∩ range ↑I'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: f : M → M'

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hd : DenseRange ⇑f'

writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x) = ↑(extChartAt I' (f x)) (f x)


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0

PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (z / ↑(x.gcd y))


Context: x y : ℤ

Context: h0 : ¬x.gcd y = 0

Context: z0 : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y (↑(x.gcd y) * z0)

PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (↑(x.gcd y) * z0 / ↑(x.gcd y))


Context: z0 : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: k0 : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

Context: h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0)

PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (y0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0 / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)))


Context: z0 : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: k0 : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

Context: hk : ↑k ≠ 0


Context: z0 : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: k0 : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

Context: h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑k * z0)

Context: hk : ↑k ≠ 0

PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑k) (y0 * ↑k / ↑k) (↑k * z0 / ↑k)


Context:
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple x0 y0 z0
hk : ↑k ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g

RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g) = Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)


Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeRight (RingHom.ker g))


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (LinearMap.ker g.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
b : β
hb : b ∈ B
s t : Multiset α
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝¹ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
x✝ : s.prod = t.prod

(map (fun x => b) s).prod = (map (fun x => b) t).prod


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β

{x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : β → α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: this : Nonempty α

Context: s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}

Context: z : β → α

Context: hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : β → α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: this : Nonempty α

Context: z : β → α

Context: I : InjOn f s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : β → α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: this : Nonempty α

Context: z : β → α

Context: I : InjOn f s

Context: fs_count : (f '' s).Countable


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)


α = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom


α.val = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom.val


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0


Context:
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖


Context:
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖
B : AEStronglyMeasurable f μ


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ' : IsIso (homologyMap φ')
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ' : S₂ ⟶ S₃

Context: hφ' : IsIso (homologyMap φ')

Context: hφφ' : IsIso (homologyMap φ ≫ homologyMap φ')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β

¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a < b ∧ b < c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : UniformSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : UniformGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: hf : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ F) 1

UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : UniformSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : UniformGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F))


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : UniformSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : UniformGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: hom : Type u_4

Context: inst✝⁷ : UniformSpace G

Context: inst✝⁶ : UniformSpace M

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group M

Context: inst✝³ : UniformGroup G

Context: inst✝² : UniformGroup M

Context: inst✝¹ : FunLike hom G M

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom G M

Context: F : ι → hom

Context: φ : G →* ι →ᵤ M := { toFun := swap (DFunLike.coe ∘ F), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
this : X ⁻¹' Set.univ = Set.univ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
a : S

(D.liftKaehlerDifferential.compDer (KaehlerDifferential.D R S)) a = D a


D.liftKaehlerDifferential ((KaehlerDifferential.ideal R S).toCotangent ⟨1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩) = D a


D.tensorProductTo ↑⟨1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1, ⋯⟩ = D a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : 0 < c


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1

(indicator s f).prod h = ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1

∏ x ∈ s.attach, h (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∏ x ∈ s.attach, h (↑x) (f ↑x ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1

Context: x✝¹ : { x // x ∈ s }

Context: x✝ : x✝¹ ∈ s.attach

h (↑x✝¹) ((indicator s f) ↑x✝¹) = h (↑x✝¹) (f ↑x✝¹ ⋯)


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
huv : G.Adj u v


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

truncateFun n (x + y) = truncateFun n x + truncateFun n y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
x : X


Context:
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
ω : Cardinal.{v}
hω : ¬ω.IsLimit
h : ⨆ i, f i = ω
e : ¬ω ≠ 0


Context:
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
hω : ¬IsLimit 0
h : ⨆ i, f i = 0
e : ¬0 ≠ 0


Context:
α β ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
hω : ¬IsLimit 0
h : ⨆ i, f i ≤ 0
e : ¬0 ≠ 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.16591, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : HasKernel S.g
inst✝ : HasCokernel S.f

S.Exact ↔ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.16591, u_2} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : HasKernel S.g

Context: inst✝ : HasCokernel S.f

Context: this : HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.16591, u_2} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : HasKernel S.g

Context: inst✝ : HasCokernel S.f

Context: this✝ : HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)

Context: this : HasKernel (cokernel.desc S.f S.g ⋯)


Context:
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
a : R
a0 : a ≠ 0
this : (C a * T n).support = {n}


Context:
Γ : Type u_1
inst✝³ : Inhabited Γ
Γ' : Type u_2
inst✝² : Inhabited Γ'
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
Λ' : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ'
M : Machine Γ Λ
f₁ : PointedMap Γ Γ'
f₂ : PointedMap Γ' Γ
g₁ : Λ → Λ'
g₂ : Λ' → Λ
S : Set Λ
f₂₁ : Function.RightInverse f₁.f f₂.f
g₂₁ : ∀ q ∈ S, g₂ (g₁ q) = q
q : Λ
T : Tape Γ
h : { q := q, Tape := T }.q ∈ S

Option.map (fun x => match x with | { q := q, Tape := T } => { q := g₁ q, Tape := Tape.map f₁ T }) (match { q := q, Tape := T } with | { q := q, Tape := T } => Option.map (fun x => match x with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) (M q T.head)) = match match { q := q, Tape := T } with | { q := q, Tape := T } => { q := g₁ q, Tape := Tape.map f₁ T } with | { q := q, Tape := T } => Option.map (fun x => match x with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) (match q, T.head with | q, l => Option.map (Prod.map g₁ (Stmt.map f₁)) (M (g₂ q) (f₂.f l)))


Option.map (fun x => { q := g₁ x.q, Tape := Tape.map f₁ x.Tape }) (Option.map (fun x => { q := x.1, Tape := match x.2 with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) (M q T.head)) = Option.map (fun x => { q := x.1, Tape := match x.2 with | Stmt.move d => Tape.move d (Tape.map f₁ T) | Stmt.write a => Tape.write a (Tape.map f₁ T) }) (Option.map (Prod.map g₁ (Stmt.map f₁)) (M q T.head))


Context: k : ℕ

derivative (bernoulli k) = ↑k * bernoulli (k - 1)


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
g : PushoutI φ
w : NormalWord d


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
s : Submodule R M
v₀ : M

s ≤ span R {v₀} ↔ ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: g : α → ι → ℝ

Context: K : ℝ≥0

Context: hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x => g x i

Context: a₀ a : α

Context: M : ℝ

Context: hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g a₀ i‖)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: g : α → ι → ℝ

Context: K : ℝ≥0

Context: a₀ a : α

Context: M : ℝ

↑K * dist a a₀ + M ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g a i‖)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G H : C ⥤ Dᵒᵖ
α : F.leftOp ⟶ G.leftOp
X Y : C
f : X ⟶ Y

(G.map f ≫ (fun X => (α.app (op X)).op) Y).unop = ((fun X => (α.app (op X)).op) X ≫ F.map f).unop


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 ℝ

Context: h : StrictConvex 𝕜 (closedBall 0 1)

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s

(interior s).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: R : Type u_12

Context: R' : Type u_13

Context: 𝕜 : Type u_14

Context: 𝕜' : Type u_15

Context: inst✝¹² : Norm E

Context: inst✝¹¹ : Norm F

Context: inst✝¹⁰ : Norm G

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : SeminormedRing R

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedField 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: l l' : Filter α

Context: h : (fun x => ‖f x‖) =ᶠ[l] fun x => ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: R : Type u_12

Context: R' : Type u_13

Context: 𝕜 : Type u_14

Context: 𝕜' : Type u_15

Context: inst✝¹² : Norm E

Context: inst✝¹¹ : Norm F

Context: inst✝¹⁰ : Norm G

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : SeminormedRing R

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedField 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: l l' : Filter α


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: h : IsLimit t

Context: W : C

Context: f f' : W ⟶ t.pt

Context: w : ∀ (j : J), f ≫ t.π.app j = f' ≫ t.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: h : IsLimit t

Context: W : C

Context: f f' : W ⟶ t.pt

h.lift { pt := W, π := { app := fun b => f ≫ t.π.app b, naturality := ⋯ } } = h.lift { pt := W, π := { app := fun b => f' ≫ t.π.app b, naturality := ⋯ } }


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: h : IsLimit t

Context: W : C

Context: f f' : W ⟶ t.pt

(fun b => f ≫ t.π.app b) = fun b => f' ≫ t.π.app b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex (update x i a) ≤ toLex x ↔ a ≤ x i


Context: m n r : ℤ


Context: m n r : ℤ

(∃ a, m + ↑a < n ∧ m + ↑a = r) ↔ m ≤ r ∧ r < n


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝² : (i : η) → Group (f i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h : ∀ (i : η), Pi.mulSingle i (x i) ∈ H


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
η : Type u_3
f : η → Type u_4
inst✝² : (i : η) → Group (f i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
H : Subgroup ((i : η) → f i)
x : (i : η) → f i
h : ∀ (i : η), Pi.mulSingle i (x i) ∈ H
val✝ : Fintype η


Context:
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α
x : α
s t : NonemptyCompacts α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F G : C ⥤ Type w

Context: a : C

Context: z w : (F ⨯ G).obj a

Context: h1 : Limits.prod.fst.app a z = Limits.prod.fst.app a w

Context: h2 : Limits.prod.snd.app a z = Limits.prod.snd.app a w


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F G : C ⥤ Type w

Context: a : C

Context: z w : (F ⨯ G).obj a

(binaryProductEquiv F G a) z = (binaryProductEquiv F G a) w


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X


Context:
ι : Sort u_1
c : ι → Set ↑I
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : univ ⊆ ⋃ i, c i

∃ t, t 0 = 0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, t m = 1) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i


∃ t, ↑(t 0) = ↑0 ∧ Monotone t ∧ (∃ n, ∀ m ≥ n, ↑(t m) = ↑1) ∧ ∀ (n : ℕ), ∃ i, Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ c i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α

x ∈ M.acceptsFrom s ↔ M.evalFrom s x ∈ M.accept


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
r : R
rs : List R

⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ ⊤ = Ideal.ofList rs • ⊤


Subsingleton (M ⧸ Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤) ↔ Subsingleton (QuotSMulTop r M ⧸ Ideal.ofList rs • ⊤)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow (const J) F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

f.left ≫ ((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) Y✝).π.app j = ((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) X✝).π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C

Context: D : Type u₄

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} D

Context: F : J ⥤ C

Context: X✝ Y✝ : CostructuredArrow (const J) F

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: j : J

Context: e_1✝ : (((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) X✝).pt ⟶ F.obj j) = (((const J).obj X✝.left).obj j ⟶ ((fromPUnit F).obj Y✝.right).obj j)

Context: e_6✝ : F = (fromPUnit F).obj Y✝.right

((fun c => { pt := c.left, π := c.hom }) X✝).π = X✝.hom ≫ (fromPUnit F).map f.right


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜

ContinuousAt (dslope f a) a ↔ DifferentiableAt 𝕜 f a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
x : M

x ∈ span R (v '' s) ↔ ∃ l ∈ supported R R s, (Finsupp.total α M R v) l = x


x ∈ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s) ↔ ∃ l ∈ supported R R s, (Finsupp.total α M R v) l = x


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
w : V

𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2)) w = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / b)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

IsSheafFor P (Presieve.ofArrows X π) ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P X π) ⋯))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

(∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (y : FirstObj P X), firstMap P X π y = secondMap P X π y → ∃! x, forkMap P X π x = y


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

(∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (a : (j : I) → P.obj (op (X j))), firstMap P X π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a) = secondMap P X π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a) → ∃! x, forkMap P X π x = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

(∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (a : (j : I) → P.obj (op (X j))), Arrows.Compatible P π a → ∃! x, forkMap P X π x = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

∀ (a : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π a → ((∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = a i) ↔ ∃! x, forkMap P X π x = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : (i : I) → P.obj (op (X i))

Context: b✝ : Arrows.Compatible P π x

(∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∃! x_1, forkMap P X π x_1 = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : (i : I) → P.obj (op (X i))

Context: b✝ : Arrows.Compatible P π x

∀ (a : P.obj (op B)), (∀ (i : I), P.map (π i).op a = x i) ↔ forkMap P X π a = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : (i : I) → P.obj (op (X i))

Context: b✝ : Arrows.Compatible P π x

Context: t : P.obj (op B)

(∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ forkMap P X π t = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : (i : I) → P.obj (op (X i))

Context: b✝ : Arrows.Compatible P π x

Context: t : P.obj (op B)

(∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv (forkMap P X π t) = x


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K

R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 + (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + 1, (frobenius K p) x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n + 1, (frobenius K p) x).2 + (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) x).1] y.2)


R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 + (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + y.1).succ, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x + (⇑(frobenius K p))^[n] y.2))


Context: θ : Angle

θ.sin ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid L
inst✝⁵ : TopologicalSpace L
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
v : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N
inst✝ : ContinuousAdd M
v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod


(prod 0).coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) 0).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: ht : t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod

(a ::ₘ t).prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) (a ::ₘ t)).prod


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k x : ℕ
kpos : 0 < k


{ toFun := fun x => f x ^ k, map_zero' := ⋯ } x = f x ^ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : β), AEMeasurable (f i) μ

∫⁻ (a : α), ∑' (i : β), f i a ∂μ = ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ


∫⁻ (a : α), ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i a ∂μ = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ


⨆ b, ∫⁻ (a : α), ∑ i ∈ b, f i a ∂μ = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ


∀ (b : Finset β), AEMeasurable (fun a => ∑ i ∈ b, f i a) μ


Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun s a => ∑ i ∈ s, f i a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
hn : 2 < n.natAbs
h : ↑n ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R

rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) f) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
r : R

rootMultiplicity r ((expand R (p ^ n)) 0) = p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
h0 : f ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: r : R

Context: h0 : f ≠ 0

Context: g : R[X]

Context: hg : f = (X - C (r ^ p ^ n)) ^ rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f * g

Context: ndvd : ¬X - C (r ^ p ^ n) ∣ g


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: r : R

Context: h0 : f ≠ 0

Context: g : R[X]

Context: ndvd : ¬((expand R (p ^ n)) g).IsRoot r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : 0 • x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ χ' : MulChar R R'
h : ∀ (a : Rˣ), χ ↑a = χ' ↑a


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

(fun x => ENNReal.ofReal (f x).toReal) =ᶠ[ae μ] f


∀ (a : α), f a < ⊤ → ENNReal.ofReal (f a).toReal = f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : ℕ), f i ≠ ⊤

Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∑' (i : ℕ), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤

Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), (fun i => ↑(f i)) (k + i)) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f


Tendsto (fun i => ↑(∑' (a : ℕ), f (a + i))) atTop (𝓝 ↑0)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α

IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → dist x y ≤ C


Context:
N✝ : ℕ
N : ℕ+


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
A B : C
h : A ⟶ ⊥.obj.left


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(range C)) => ↑p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

LinearIndependent ℤ (Subtype.val ∘ (equiv_range C).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(range C)) => ↑p


Context:
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
x✝ : α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle

LinearMap.det ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = 1


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
this : Nontrivial V


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0


LinearMap.det ((Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]) = 1


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3

¬Nonempty (α → β) ↔ ¬(IsEmpty α ∨ Nonempty β)


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hE : IsClosed E
hδ : 0 ≤ δ

cthickening δ E = ⋃ x ∈ E, closedBall x δ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j

X.map (SimplexCategory.σ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ i.castSucc).op = X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.succ).op


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
f : (i : ι) × α i → β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderBot β

(s.sigma t).sup f = s.sup fun i => (t i).sup fun b => f ⟨i, b⟩


(∀ (a : ι) (b : α a), a ∈ s → b ∈ t a → f ⟨a, b⟩ ≤ s.sup fun i => (t i).sup fun b => f ⟨i, b⟩) ∧ ∀ b ∈ s, ∀ b_1 ∈ t b, f ⟨b, b_1⟩ ≤ (s.sigma t).sup f


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
h : perpBisector p₁ p₂ = ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hI : autoParam (I ⊆ M.E) _auto✝

M✶.Indep I ↔ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).inv ≫ coyoneda.map (colimit.ι F i).op = limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p q : R[X]
H : q.IsRoot a


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable

Context: hsU : ⋃ i ∈ s, interior (f i) = ⋃ i, interior (f i)


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x

Context: s : Set α

Context: hsc : s.Countable


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k a : ℕ
h : a ≥ k


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Finite α
s : { s // SupIrred s }
inst✝ : Fintype ↥↑s

supIrredLowerSet.symm s = (↑↑s).toFinset.sup id


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227632}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ range f

lift.{u, v} #↑s ≤ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s)


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227632}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : f '' (f ⁻¹' s) = s


lift.{u, v} #↑(f '' (f ⁻¹' s)) ≤ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g.toLinearMap b' = b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj J.cocomplex) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj J.cocomplex) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n


Context: u : XgcdType

Context: hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y


Context: u : XgcdType

u.wp + (u.y * u.qp + u.zp) + u.wp * (u.y * u.qp + u.zp) = u.wp + u.zp + u.wp * u.zp + (u.wp + 1) * u.qp * u.y


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c T : ℝ

Context: hT : 0 ≤ T

Context: vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

‖verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c T : ℝ

Context: hT : 0 ≤ T


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b

(f a)! * (f b)! * multinomial {a, b} f = (f a + f b)!


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

StableUnderSpecialization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

Context: H : StableUnderSpecialization s

∀ s_1 ∈ (fun x => closure {x}) '' s, IsClosed s_1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: s : Set X

Context: H : StableUnderSpecialization s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a∗ = a


Context:
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : SMul M N
inst✝² : MulAction N α
inst✝¹ : SMul M α
inst✝ : IsScalarTower M N α
x : M
y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

Context: x✝ : ι

torsionBy R M (q x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q x✝})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: f : α → α

Context: g : α → E

Context: x : α

Context: h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))

Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: f : α → α

Context: g : α → E

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: f : α → α

Context: g : α → E

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: f : α → α

Context: g : α → E

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

‖birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x‖ ≤ C / ↑n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: f : α → α

Context: g : α → E

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F

ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 = p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 < p.radius


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U V : Y.Opens
e : U = V

Hom.app f U = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


f.val.c.app (op V) ≫ ((Presheaf.pushforward CommRingCat f.val.base).obj X.presheaf).map (inv (eqToHom ⋯).op) = Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α

∫ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β), f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A

‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖ = ‖x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioi a)

Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)


Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)


Context:
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ


(∀ k ∈ Ico m m, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m m, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a m, f x ∂μ


∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ) → (∀ k ∈ Ico m (n + 1), IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m (n + 1), ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a (n + 1), f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧


(∀ m < 1, (coeff R m) φ = 0) ↔ (coeff R 0) φ = 0


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x y : List α
s : σ
hx : M.evalFrom s x = s
hy : y ∈ {x}∗


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x y : List α
s : σ
hx : M.evalFrom s x = s
hy : ∃ L, y = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ {x}


Context: α : Type u


Context: α : Type u

Nonempty (Field α) ↔ ℵ₀ ≤ #α ∨ ∃ n, #α = ↑n ∧ IsPrimePow n


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α
x : α


Context:
α : Type u_1
s : Multiset (Multiset α)

∀ {a : Multiset α}, a ∈ s.Sections ↔ Rel (fun s a => a ∈ s) s a


Context: z : ℂ


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
x : ↥(LinearMap.ker f)


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) s x


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
D : DecidablePred p
f : α →₀ M

(subtypeDomain p f).support = Finset.subtype p f.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
k : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F

b ∈ map f K → ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ


∀ (x : ℕ → F), (∀ (n : ℕ), ∃ x_1 ∈ K, f x_1 = x n) → Tendsto x atTop (nhds b) → ∀ (y : F), (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ) → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: K : ProperCone ℝ E

Context: f : E →L[ℝ] F

Context: b : F

Context: seq : ℕ → F

Context: hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n

Context: htends : Tendsto seq atTop (nhds b)

Context: y : F

Context: hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: K : ProperCone ℝ E

Context: f : E →L[ℝ] F

Context: b : F

Context: seq : ℕ → F

Context: hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n

Context: htends : Tendsto seq atTop (nhds b)

Context: y : F


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: K : ProperCone ℝ E

Context: f : E →L[ℝ] F

Context: b : F

Context: seq : ℕ → F

Context: hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n

Context: htends : Tendsto seq atTop (nhds b)

Context: y : F

Context: n : ℕ

Context: w✝ : E

Context: h : w✝ ∈ K

Context: hseq : f w✝ = seq n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: K : ProperCone ℝ E

Context: f : E →L[ℝ] F

Context: b : F

Context: h : ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K

∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K


Context:
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S


∑ x ∈ p.support, Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ x ∈ p.support, (map f) ((monomial x) (coeff x p))


Context:
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ p.support

Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial n) (coeff n p)) = (map f) ((monomial n) (coeff n p))


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

Context: hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)


Context: x y : ℂ

CauSeq.lim ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ = (⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩).lim


Context: x y : ℂ

⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩


Context: x y : ℂ

⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ i ∈ range n, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial), ⋯⟩


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G


toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)

MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u✝ : Set α

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : Countable δ

Context: l : Filter δ

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: l' : Filter γ

Context: inst✝ : l'.IsCountablyGenerated

Context: hl' : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: f : δ → β → γ

Context: hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)

Context: u : ℕ → Set δ

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: v : ℕ → Set γ

Context: v_meas : ∀ (i : ℕ), v i ∈ l' ∧ MeasurableSet (v i)

Context: hv : l'.HasAntitoneBasis fun i => id (v i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u✝ : Set α

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : Countable δ

Context: l : Filter δ

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: l' : Filter γ

Context: inst✝ : l'.IsCountablyGenerated

Context: hl' : l'.IsMeasurablyGenerated

Context: f : δ → β → γ

Context: hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)

Context: u : ℕ → Set δ

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: v : ℕ → Set γ

MeasurableSet (⋂ i, ⋃ i_1, ⋂ i_2 ∈ u i_1, {x | f i_2 x ∈ id (v i)})


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
inst✝ : HasImage (f ≫ g)

lift (MonoFactorisation.mk (image g) (ι g) (f ≫ factorThruImage g) ⋯) ≫ ι g = ι (f ≫ g)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : ↥(ideal R S)

∃ a, (D R S).tensorProductTo a = (ideal R S).toCotangent x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b x y : α


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n✝ n : ℕ
ihn : id^[n] = id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
P : Sylow p G

P ∈ fixedPoints (↥H) (Sylow p G) ↔ H ≤ (↑P).normalizer


P ∈ fixedPoints (↥H) (Sylow p G) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ H → x • P = P


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter X


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
t : Submonoid N


Context:
x : ℝ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α

M.closure (⋃ i, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i, Xs i)


M.subtypeClosure ⟨⋃ i, ↑(M.subtypeClosure ⟨Xs i ∩ M.E, ⋯⟩) ∩ M.E, ⋯⟩ = M.subtypeClosure ⟨⋃ i, Xs i ∩ M.E, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) p μ


∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)


∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)


∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p μ ∧ IsBounded (range (f + g))


∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ

Context: f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ

Context: I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_mem : Memℒp f p μ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : ContinuousAdd M₂
ι : Type u_9
t : Finset ι
f : ι → M₁ →SL[σ₁₂] M₂
b : M₁


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
h : x.valMinAbs = ↑x.valMinAbs.natAbs


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
h : x.valMinAbs = -↑x.valMinAbs.natAbs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f'' =Θ[l] g''

Tendsto f'' l (𝓝 0) ↔ Tendsto g'' l (𝓝 0)


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x : Fin (n + 1)
y : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) univ = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x y : K

Context: h : num A y * ↑(den A x) = num A x * ↑(den A y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L

x ∈ rootSpace H 0 ↔ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0


Context:
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ

Rat.divInt (↑n * ↑a) (↑d * ↑a) = Rat.divInt ↑n ↑d


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f

map f (lowerCentralSeries R L L k) = lowerCentralSeries R L' L' k


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
h' : map f ⊤ = ⊤


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : Nontrivial S

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Free ℤ S

Context: inst✝¹ : Module.Finite ℤ S

Context: inst✝ : CharZero S

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : Nontrivial S

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Free ℤ S

Context: inst✝¹ : Module.Finite ℤ S

Context: inst✝ : CharZero S

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ


(aeval x.coeff) (frobeniusPoly p n) = x.coeff n ^ p


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : M₁

((toLin v₂ v₁) M') ({ toFun := ⇑((toLin v₁ v₂) M), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : M₂

((toLin v₁ v₂) M) (((toLin v₂ v₁) M') x) = x


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsIrrefl α r

Context: a✝ a : α

Context: h : ∀ (y : α), r y a → Acc r y

Context: ih : ∀ (y : α), r y a → Acc (CutExpand r) {y}

Context: s : Multiset α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤

HasSum (fun x => (f x).toReal) (∑' (x : α), (f x).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤

HasSum (fun x => ((fun i => ↑(f i)) x).toReal) (∑' (x : α), ((fun i => ↑(f i)) x).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
b : PosNum


Context:
α : Type u_1
a : PosNum


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + (↑b + ↑b + 1)


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b)


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

↑(a + b).succ + ↑(a + b).succ = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b + 1)


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum