Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: k : ℕ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ f^[k] ⁻¹' s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s

Context: hk : f^[k] x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: k : ℕ

Context: x : α

Context: hk : f^[k] x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: k : ℕ

Context: x : α

Context: hk : f^[k] x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : f^[n] x ∈ f^[k] ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
f : Filter α
g : Filter β


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.203992, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : HasCokernels C
inst✝¹ : HasKernels Cᵒᵖ
inst✝ : HasCokernels Cᵒᵖ

∀ {X Y : (ShortComplex C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (leftHomologyFunctor C).op.map f ≫ ((fun S => (Opposite.unop S).rightHomologyOpIso.symm) Y).hom = ((fun S => (Opposite.unop S).rightHomologyOpIso.symm) X).hom ≫ (opFunctor C ⋙ rightHomologyFunctor Cᵒᵖ).map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g

minimalPeriod (f ∘ g) x ∣ (minimalPeriod f x).lcm (minimalPeriod g x)


IsPeriodicPt (f ∘ g) ((minimalPeriod f x).lcm (minimalPeriod g x)) x


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι'✝ : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
ι' : Type u_2
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → M
hv : LinearIndependent R v


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: ι✝ : Type w

Context: ι'✝ : Type w'

Context: inst✝² : StrongRankCondition R

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R M

Context: ι' : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι'

Context: v : ι' → M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
this : n.MinSqFacProp (some d)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ C
adj : F ⊣ G
V₁ V₂ : Coalgebra G
f : V₁ ⟶ V₂

F.map f.f ≫ (adj.homEquiv V₂.V V₂.V).symm V₂.str = (adj.homEquiv V₁.V V₁.V).symm V₁.str ≫ f.f


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : α → δ → ε

Context: g : β → γ → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : β → δ' → ε

Context: h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)

image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) = image2 g' (↑t) (image2 f' ↑s ↑u)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
k : ℕ
f : LaurentSeries V
x✝ : ℤ
h_lt : x✝ < order f - ↑k

Ring.choose (x✝ + ↑k) k • f.coeff (x✝ + ↑k) = 0


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
k : ℕ
f g : LaurentSeries V
x✝ : ℤ

((fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) (f + g)).coeff x✝ = ((fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) f + (fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯) g).coeff x✝


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
k : ℕ
r : R
f : LaurentSeries V
x✝ : ℤ

({ toFun := fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • f)).coeff x✝ = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun f => ofSuppBddBelow (fun n => Ring.choose (n + ↑k) k • f.coeff (n + ↑k)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f).coeff x✝


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ

legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑p)


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n k : ℕ

multiplicity p (n + 1) ≤ multiplicity p ((n + 1).choose (k + 1)) + multiplicity p (k + 1)


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n k : ℕ

multiplicity p (n + 1) ≤ multiplicity p ((n + 1).choose (k + 1) * (k + 1))


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n k : ℕ


Context: i : ℤ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u

(μ.restrict (s ∩ t) + μ.restrict (s \ t)) u = (μ.restrict s) u


μ (u ∩ s ∩ t) + μ (u ∩ s ∩ tᶜ) = μ (u ∩ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddZeroClass α
f : α → β
x : α


Context:
x y : EReal
h : x < y
z : ℝ


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p) / (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t)


∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) ∅ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ ∅)


∀ t ∈ range Iic, ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t)


∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) t ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ t) → ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) tᶜ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ tᶜ)


∀ (f_1 : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (f_1 i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f_1 i)) → ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ i, f_1 i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ ⋃ i, f_1 i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hc : 0 < c

IsBigOWith c⁻¹ l f g ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : Preorder α


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : Inducing f
hg : Inducing g
x✝ : X × Z
x : X
z : Z

𝓝 (x, z) = comap (Prod.map f g) (𝓝 (Prod.map f g (x, z)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

a ∆ b \ c ⊔ c \ a ∆ b = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c) ⊔ (c \ (a ⊔ b) ⊔ c ⊓ a ⊓ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
p q r : α
h : DvdNotUnit p q
h' : q ~ᵤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
p r : α
u : αˣ
h : DvdNotUnit p (r * ↑u)
h' : r * ↑u ~ᵤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
p r : α
u : αˣ
h' : r * ↑u ~ᵤ r
hp : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x ∧ r * ↑u = p * x


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y

(singleObjApplyIso j X).inv ≫ (single j).map f j = f ≫ (singleObjApplyIso j Y).inv


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₁ ≠ p₂


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

(F.obj n).map (F.εIso.inv.app X) = (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X


(F.obj n).map (F.εIso.inv.app X ≫ F.ε.app X) = ((F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X) ≫ (F.obj n).map (F.ε.app X)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p = 0

∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
i : ι
his : i ∈ s


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ x ∈ s, f x ^ p = 0
i : ι
his : i ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P


Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 ((↑γ - Complex.log (4 * ↑π)) / 2))


Context: this : Tendsto (fun x => riemannZeta x - 1 / (x - 1) + (1 / (x - 1) - 1 / x.Gammaℝ / (x - 1))) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (↑γ + -(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))


Context: this : Tendsto (fun x => riemannZeta x - 1 / x.Gammaℝ / (x - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (↑γ + -(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))


Context: θ : ℝ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

Context: h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

Context: this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2))


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β

diam (f '' s) ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) ≤ d


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: inst✝¹ : CommGroup A

Context: inst✝ : CommGroup B

Context: f : A →* B

Context: h : (QuotientGroup.mk' f.range).ker = ker 1


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n

(map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)


eval₂ (Int.castRingHom K) (μ ^ m) (minpoly ℤ (μ ^ m)) = 0


Context:
F✝ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K L) p
hF : ∀ x ∈ p.rootSet L, x ∈ F


Context: F✝ : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: p : K[X]

Context: F : IntermediateField K L

Context: h : Splits (algebraMap K L) p

Context: hF : ∀ x ∈ p.aroots L, x ∈ F.val.fieldRange


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1
s : ℕ
hs : (-ζ) ^ s = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b : α
h✝ : Equivalence r
h : EqvGen r a b


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i

Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: k : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, f i - ∑ i ∈ range x, f i * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (b : ℕ), f b * z ^ b))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: k : Tendsto (fun x => (1 - z) * ∑ x_1 ∈ range x, (∑ i ∈ Ico (x_1 + 1) x, f i) * z ^ x_1) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Tendsto (fun n => (l - s n) * ∑ i ∈ range n, z ^ i) atTop (𝓝 0)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Tendsto (fun n => (l - s n) * ∑ i ∈ range n, z ^ i) atTop (𝓝 (0 * (-1 / (z - 1))))


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, z ^ i) atTop (𝓝 (-1 / (z - 1)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : L.ExactAt i


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : IsZero (L.sc i).homology

IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsZero (K.sc i).homology


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E

⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜


⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪v, ↑u⟫_𝕜


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
X✝ Y✝ : Karoubi C
f : X✝ ⟶ Y✝

(F.map f.f).f = ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ (F.map f.f).f ≫ ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) Y✝).p


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t✝ : Set A
s t : Set M
ht : IsSubmonoid t
h : s ⊆ t
a : M
ha : a ∈ Closure s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: b' : Pseudoelement S.X₂

Context: b : Over S.X₂

Context: hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

Context: hb' : b.hom ≫ S.g = 0

Context: c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt

Context: hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: b' : Pseudoelement S.X₂

Context: b : Over S.X₂

Context: hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

Context: hb' : b.hom ≫ S.g = 0

pseudoApply S.f (Quot.mk (PseudoEqual S.X₁) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))) = ⟦b⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: b' : Pseudoelement S.X₂

Context: b : Over S.X₂

Context: hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

Context: hb' : b.hom ≫ S.g = 0

(fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c)) ≈ b


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: b' : Pseudoelement S.X₂

Context: b : Over S.X₂

Context: hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

Context: hb' : b.hom ≫ S.g = 0

𝟙 (pullback (Abelian.factorThruImage S.f) c) ≫ ((fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))).hom = pullback.snd (Abelian.factorThruImage S.f) c ≫ b.hom


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c'') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

(∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)) ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

∀ (a : J), IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app a) ↔ IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) f (c'.ι.app a)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : J

IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : J

IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D

Context: F : J ⥤ C

Context: c c' : Cocone F

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: e : c ≅ c'

Context: F' : J ⥤ C

Context: c'' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c''.pt ⟶ c'.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this✝ : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

Context: j : J

Context: this : IsIso e.inv.hom


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0
μ : Rˣ
hμ₁ : μ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R
hμ₂ : ↑μ = χ a


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
a : F
ha : a ≠ 0
μ : Rˣ
hμ₁ : μ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R
hμ₂ : ↑μ = χ a
hχ' : ↑⟨orderOf χ, ⋯⟩ ∣ ↑⟨n, ⋯⟩


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R

eval r M.det = (eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M)).det


((eval₂RingHom (RingHom.id R) r).mapMatrix M).det = (eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M)).det


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
i✝ j✝ : n

eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M) i✝ j✝ = (eval₂RingHom (RingHom.id R) r).mapMatrix M i✝ j✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜

(toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) Aᴴ = adjoint ((toLin v₁.toBasis v₂.toBasis) A)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜
i : m
j : n

⟪((toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) Aᴴ) (v₂.toBasis i), v₁.toBasis j⟫_𝕜 = ⟪v₂.toBasis i, ((toLin v₁.toBasis v₂.toBasis) A) (v₁.toBasis j)⟫_𝕜


⟪∑ j : n, Aᴴ j i • v₁.toBasis j, v₁.toBasis j⟫_𝕜 = ⟪v₂.toBasis i, ∑ j_1 : m, A j_1 j • v₂.toBasis j_1⟫_𝕜


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W


∀ (w : W) (i : B), (∃ a, cs.wordProd a = w) → ∃ a, cs.wordProd a = cs.simple i * w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
t : Set β
x✝ : α × β

x✝ ∈ ↑(lowerClosure (s ×ˢ t)) ↔ x✝ ∈ ↑(lowerClosure s ×ˢ lowerClosure t)


Context:
F : Type u → Type v
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
G : Type u → Type w
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β : Type u
x : α → β
y : F α

((fun {α} => η.app α) ∘ Functor.map x) y = (Functor.map x ∘ fun {α} => η.app α) y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
J : FractionalIdeal S P
hIJ : I ≤ ↑J


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
J : FractionalIdeal S P
hIJ : I ≤ ↑J
a : R
a_mem : a ∈ S
ha : ∀ b ∈ ↑J, IsInteger R (a • b)


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommMonoid S

Context: p q : R[X]

Context: f : ℕ → R → S

Context: hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0

Context: h_add : ∀ (a : ℕ) (b₁ b₂ : R), f a (b₁ + b₂) = f a b₁ + f a b₂


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommMonoid S

Context: p q : R[X]

Context: f : ℕ → R → S

Context: hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0

{ toFinsupp := p.toFinsupp + q.toFinsupp }.sum f = p.sum f + q.sum f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atBot


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : OrderedRing α

Context: l : Filter β

Context: f g : β → α

Context: hf : Tendsto f l atBot

Context: hg : Tendsto g l atBot

Context: this : Tendsto (fun x => -f x * -g x) l atTop


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M

Context: hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: x : σ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M

Context: hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: x : σ


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)


Context:
α β : Type u
s : Set Cardinal.{u_1}
hs : BddAbove s

lift.{u, u_1} (sSup s) = sSup (lift.{u, u_1} '' s)


∀ c ∈ upperBounds (lift.{u, u_1} '' s), lift.{u, u_1} (sSup s) ≤ c


lift.{u, u_1} (sSup s) ∈ upperBounds (lift.{u, u_1} '' s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: μ' : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hμ : μ ≪ μ'

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

Context: f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')

Context: h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: μ' : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hμ : μ ≪ μ'

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

Context: f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')

Context: h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'

↑(toSimpleFunc f) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f')


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: μ' : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hμ : μ ≪ μ'

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

Context: f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')

Context: h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: μ' : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hμ : μ ≪ μ'

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

Context: f' : ↥(simpleFunc E 1 μ')

Context: h : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f'

Context: goal' : ↑↑↑f' =ᶠ[ae μ'] ↑(toSimpleFunc f')


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
ι : Type u_2
δ : ℝ
f : ι → Set α
I : Set ι

thickening δ (⋃ i ∈ I, f i) = ⋃ i ∈ I, thickening δ (f i)


Context:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E✝

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: m n : ℕ

Context: hneq : m ≠ n

Context: heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯

Context: hmn : m < n

Context: hm : ¬m = 0

Context: r s : F[X]

Context: h : α ^ m = (aeval (α ^ n)) r / (aeval (α ^ n)) s


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E✝

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: m n : ℕ

Context: hneq : m ≠ n

Context: heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯

Context: hmn : m < n

Context: hm : ¬m = 0

Context: r s : F[X]

Context: hzero : ¬(aeval (α ^ n)) s = 0


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E✝

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: m n : ℕ

Context: hneq : m ≠ n

Context: heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯

Context: hmn : m < n

Context: r s : F[X]

Context: hzero : ¬(aeval (α ^ n)) s = 0

Context: hm : 0 < m


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E✝

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: m n : ℕ

Context: hneq : m ≠ n

Context: heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯

Context: hmn : m < n

Context: r s : F[X]

Context: h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0

Context: hzero : ¬(aeval (α ^ n)) s = 0

Context: hm : 0 < m


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E✝

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: m n : ℕ

Context: hneq : m ≠ n

Context: heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯

Context: hmn : m < n

Context: r s : F[X]

Context: hm : 0 < m

Context: hzero : s ≠ 0


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z
B : ContDiffAt ℝ n e ↑z


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
n : ℕ∞
h : ContDiffAt ℂ n e ↑z
A : ContDiffAt ℝ n ofReal' z
B : ContDiffAt ℝ n e ↑z
C : ContDiffAt ℝ n re (e ↑z)


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasDerivAt e e' ↑z
A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasDerivAt e e' ↑z

Context: A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z

Context: B : HasFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasDerivAt e e' ↑z

Context: A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z

Context: C : HasFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasDerivAt e e' ↑z

Context: A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z

e'.re = (reCLM.comp ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')).comp ofRealCLM)) 1


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasDerivAt e e' ↑z

Context: A : HasFDerivAt ofReal' ofRealCLM z

e'.re = reCLM ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM 1))


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ

(φ.polyCharpoly b).coeff k = 0 ↔ (φ.polyCharpoly b').coeff k = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞

(fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b / a) r


(fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b * a⁻¹) r


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : (Fin n → G) →₀ k
r : k

(diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] f) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) f


(diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] 0) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) 0


∀ (a : Fin n → G) (b : k) (f : (Fin n → G) →₀ k), a ∉ f.support → b ≠ 0 → (diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] f) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) f → (diagonalSucc k G n).inv.hom (single g r ⊗ₜ[k] (single a b + f)) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k (Fin n → G)) fun f => single (g • partialProd f) r) (single a b + f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: s₁ : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C

Context: s₂ : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C

Context: hst : (univ.pi s₁ ∩ univ.pi s₂).Nonempty

univ.pi s₁ ∩ univ.pi s₂ ∈ univ.pi '' univ.pi C


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: s₁ : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C

Context: s₂ : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C

Context: hst : (univ.pi fun i => s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty

(univ.pi fun i => s₁ i ∩ s₂ i) ∈ univ.pi '' univ.pi C


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : ∀ (i : ι), (s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrderedSemiring α

Context: l : Filter β

Context: f : β → α

Context: n : ℕ

Context: h : Tendsto (fun x => x ^ n) atTop atTop

Context: hn : n = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝ : Mono f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0

∃ r', r = (algebraMap A K) r' ∧ r' ∣ p.coeff 0


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
inv : A
h_inv : 1 = ↑(den A r) * inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{v}

lift.{u, v} (succ a) = succ (lift.{u, v} a)


lift.{u, v} a + 1 = succ (lift.{u, v} a)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I : FractionalIdeal R₁⁰ K
x✝ : ∃ J, I * J = 1
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : I * J = 1


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α

Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded E)


Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop ↔ Tendsto (norm ∘ f) l atTop


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

↑(im z) = I * ((starRingEnd K) z - z) / 2


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g✝ : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: h : ∀ (x : X), ∃ g, ContinuousAt g (f x) ∧ g (f x) = x ∧ Function.RightInverse g f

Context: x : X

Context: g : Y → X

Context: hgc : ContinuousAt g (f x)

Context: hgx : g (f x) = x

Context: hgf : Function.RightInverse g f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp 0 (a - b) = p - toIcoMod hp 0 (b - a)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
mx : M
sx : ↥S
my : M
sy : ↥S
mz : M
sz : ↥S

mk mx sx + mk my sy + mk mz sz = mk mx sx + (mk my sy + mk mz sz)


mk (sz • sy • mx + sz • sx • my + (sx * sy) • mz) (sx * sy * sz) = mk ((sy * sz) • mx + (sx • sz • my + sx • sy • mz)) (sx * (sy * sz))


1 • (sx * (sy * sz)) • (sz • sy • mx + sz • sx • my + (sx * sy) • mz) = 1 • (sx * sy * sz) • ((sy * sz) • mx + (sx • sz • my + sx • sy • mz))


(sx * (sy * sz)) • (sz • sy • mx + sz • sx • my + (sx * sy) • mz) = (sx * sy * sz) • ((sy * sz) • mx + (sx • sz • my + sx • sy • mz))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : f ≫ g = 𝟙 Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f : β → β
hf : StrictMono f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f : β → β
hf : StrictMono f
h₁ : ∃ n, f n < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r r' : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : PartialOrder γ

Context: h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1

Context: f : β → β

Context: hf : StrictMono f

Context: h₁ : ∃ n, f n < n

Context: h₂ : h.min (fun x => Preorder.toLT.1 (f x) x) h₁ ∈ fun x => Preorder.toLT.1 (f x) x


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : 1 - y ≠ 0


Context: θ : ↑I


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α

a⋆ ∈ s⋆ ↔ a ∈ s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d x y : α

ReflGen (TransGen r) x y ↔ ReflTransGen r x y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (⇑g ∘ f) p u


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
M : Matrix V V α
v w : V

(adjMatrix α G * M) v w = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, M u w


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ℝ
ht : t ∈ Icc v.tMin v.tMax


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s t : Set α
hs : s ∈ 𝓝[t] x
t' : Set α


s ∩ t'ᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ 𝓟 t ⊓ 𝓟 t'ᶜ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r : R
a : A


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₂ - a₂ = m • p

(∃ b, b₁ - b₂ - (a₁ - a₂) = (Equiv.subRight m).symm.symm b • p) ↔ a₁ ≡ b₁ [PMOD p]


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: f : K ⟶ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L

Context: a a' : ℤ

Context: h : n + a = a'

(homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap ((quotient C (up ℤ)).map f ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).hom.app L) a a' h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app K ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap f a a' h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app L


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h₁ : IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : IndepSets s₂ s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₁ ∪ s₂
ht2 : t2 ∈ s'


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h₁ : IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : IndepSets s₂ s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₁ ∪ s₂
ht2 : t2 ∈ s'
ht1₁ : t1 ∈ s₁


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s₁ s₂ s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h₁ : IndepSets s₁ s' κ μ
h₂ : IndepSets s₂ s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₁ ∪ s₂
ht2 : t2 ∈ s'
ht1₂ : t1 ∈ s₂


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: x y : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: ih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n

Context: h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: x y : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: x y : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n + 1 → x m = y m

Context: m : ℕ

Context: hm : m < n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j
hj_eq_i : j = i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : PartialOrder γ
j i : γ
hj : IsLUB (Iio i) j
hj_lt_i : j < i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
s : Set X
hs : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α

s.toFinset = {a} ↔ card s ≠ 0 ∧ s = card s • {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α
H : s.toFinset = {a}
h : card s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α
H : s.toFinset = {a}
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Multiset α
a : α
H : card s ≠ 0 ∧ s = card s • {a}


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: x : G

Context: u : α → G

Context: A : Tendsto (fun x_1 => x) l (𝓝 x)

Context: h : Tendsto (fun x_1 => u x_1 / x) l (𝓝 1)


Context:
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
x : G
u : α → G
A : Tendsto (fun x_1 => x) l (𝓝 x)
h : Tendsto u l (𝓝 x)


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x y : FreeGroup α

(x * y).norm = (mk (x.toWord ++ y.toWord)).norm


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
h1' : ((σ ^ n) ^ ↑m).IsCycle


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
σ : Perm α
h0 : n.Coprime (orderOf σ)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
h2' : (σ ^ n).support = ⊤
h1' : (σ ^ n).IsCycle


σ ^ n ∈ ↑(closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)}) ∧ {swap x ((σ ^ n) x)} ⊆ ↑(closure {σ, swap x ((σ ^ n) x)})


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α

a ∈ sᶜˢ ↔ aᶜ ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
hs : s.Finite


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b✝ a b : k
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
f : α →ₛ ℝ
hf : Integrable (↑f) μ
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f

integral μ f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑f a) ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: f : α →ₛ ℝ

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f

Context: this : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑(map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: f : α →ₛ ℝ

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f

integral μ f = integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ ENNReal.ofReal) f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: f : α →ₛ ℝ

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), NoetherianSpace ↑(f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ t ⊆ f i, IsCompact t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
f : ι → Set α
inst✝ : Finite ι
hf : ∀ (i : ι), ∀ t ⊆ f i, IsCompact t
t : Set α
ht : t ⊆ ⋃ i, f i


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: h : m i = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk g ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hg'' : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: f' : ℕ → α → β := fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯

Context: hui' : UnifIntegrable f' p μ

Context: hut' : UnifTight f' p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hui' : UnifIntegrable f' p μ

Context: hut' : UnifTight f' p μ

Context: g' : α → β := AEStronglyMeasurable.mk g ⋯

Context: hg : StronglyMeasurable g'

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hg'' : Memℒp g' p μ

Context: haefg' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (g' x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hui' : UnifIntegrable f' p μ

Context: hut' : UnifTight f' p μ

Context: hg : StronglyMeasurable g'

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hg'' : Memℒp g' p μ

Context: haefg : ∀ (n : ℕ), f n - g =ᶠ[ae μ] f' n - g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hui' : UnifIntegrable f' p μ

Context: hut' : UnifTight f' p μ

Context: hg : StronglyMeasurable g'

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hg'' : Memℒp g' p μ

Context: hsnfg : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (f' n - g') p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hui' : UnifIntegrable f' p μ

Context: hut' : UnifTight f' p μ

Context: hg : StronglyMeasurable g'

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hg'' : Memℒp g' p μ

Tendsto (fun n => eLpNorm (f' n - g') p μ) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Encodable α
a : α


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
a : M
b : ?m.797
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : HasDistribNeg M
ha : a ∈ S.centralizer
c : M
hc : c ∈ S


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : DifferentiableOn ℝ f s
hs : μ s = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f s

Context: hs : μ s = 0

Context: this : ∀ (A : E →L[ℝ] E), ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t δ → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + 1) * μ t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f s

Context: hs : μ s = 0

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + 1) * μ t


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f s

Context: hs : μ s = 0

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: left✝¹ : Pairwise (Disjoint on t)

Context: left✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ✝ ψ : L.Formula α
v✝ : α → M
φ : L.Formula (Fin n)
v : Empty → M
x : Fin n → M

(BoundedFormula.relabel Sum.inr φ).Realize v x ↔ φ.Realize x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
m n : ℤ
h : m < n


Context:
α : Type u
u : Level
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : DivisionRing α
inv : Invertible ↑d


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i

(y ∈ univ.pi fun i => Ici (x i)) ↔ y ∈ Ici x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.77613, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

(↑(fst φ)).comp (inl φ) ⋯ + (snd φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ = Cochain.ofHom (𝟙 (mappingCone φ))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0


0 = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
vol_s : ν s = 0
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

0 U = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)) U


0 = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)) U


(Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)) U = ν (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β

(comap m f).NeBot ↔ ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t


(∀ (s : Set α), ∀ x ∈ f, m ⁻¹' x ⊆ s → s.Nonempty) ↔ ∀ t ∈ f, ∃ a, m a ∈ t


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: c : List ℕ

Context: hc : c.sum ≤ Fintype.card α

Context: klift : (n : ℕ) → n < Fintype.card α → Fin (Fintype.card α) := fun n hn => ⟨n, hn⟩

Context: klift' : (l : List ℕ) → (∀ a ∈ l, a < Fintype.card α) → List (Fin (Fintype.card α)) := fun l hl => pmap klift l hl

∃ o, map length o = c ∧ (∀ s ∈ o, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint o


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: c : List ℕ

Context: hc : c.sum ≤ Fintype.card α

Context: hc'_lt : ∀ l ∈ c.ranges, ∀ n ∈ l, n < Fintype.card α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: c : List ℕ

Context: hc : c.sum ≤ Fintype.card α

Context: l : List (List (Fin (Fintype.card α))) := pmap klift' c.ranges hc'_lt


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: c : List ℕ

Context: hc : c.sum ≤ Fintype.card α

Context: hl : ∀ (a : List ℕ) (ha : a ∈ c.ranges), map (⇑Fin.valEmbedding) (klift' a ⋯) = a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype α

Context: c : List ℕ

Context: hc : c.sum ≤ Fintype.card α

map length (map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l) = c ∧ (∀ s ∈ map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l, s.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint (map (map ⇑(Fintype.equivFin α).symm) l)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ

a ∈ s ^ n ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

(chartAt (ModelProd H E) p).source = (TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

({ toFun := fun p_1 => (p_1.proj, (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.coordChange ((tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.indexAt p_1.proj) (achart H p.proj) p_1.proj p_1.snd), invFun := fun p_1 => { proj := p_1.1, snd := (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.coordChange (achart H p.proj) ((tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.indexAt p_1.1) p_1.1 p_1.2 }, source := (tangentBundleCore I H).toFiberBundleCore.proj ⁻¹' (↑(achart H p.proj)).source, target := (↑(achart H p.proj)).source ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ (chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)).source = (TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.source


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q) ∣ p


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: 𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

instTopologicalSpace σ F 𝔖₁ ≤ instTopologicalSpace σ F 𝔖₂


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: 𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: 𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁

Context: this : UniformAddGroup F


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hf : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Algebra (ZMod p) K


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hK : K.ExactAt i


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hK : IsZero (K.sc i).homology

IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsZero (L.sc i).homology


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
f : X ⟶ Y

(prod.rightUnitor X).inv ≫ prod.map f (𝟙 (⊤_ C)) = f ≫ (prod.rightUnitor Y).inv


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R

x ∈ RingHom.ker (truncate n) ↔ ∀ i < n, x.coeff i = 0


(∀ (i : Fin n), TruncatedWittVector.coeff i ({ toFun := truncateFun n, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x) = 0) ↔ ∀ i < n, x.coeff i = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 1
a✝ : Nontrivial R


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N✝ : Subgroup G
nN✝ : N✝.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
N : Subgroup G
nN : N.Normal
x : G


Context: α : Sort u_1

Context: a : α

Context: h : ∃ a_1, (fun b => a_1 = b) = (mk a).fst := (mk a).snd


Context: α : Sort u_1

Context: a : α

Context: this : (fun b => Classical.choose h = b) = (mk a).fst


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.LE n ≤ t.LE (n + ↑a)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1

Context: H_add : ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : DecidableEq μ

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ

Context: inst✝ : HasAntidiagonal μ

Context: s : Finset ι

Context: f : ι →₀ μ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η

Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * lift.{u₁', v} (Module.rank R M)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

Context: B : D

Context: inst✝ : HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))

Context: f : F.obj A.A ⟶ B

F.map A.a ≫ f = adj.counit.app (F.obj A.A) ≫ f ↔ G.map (F.map ((adj.homEquiv A.A B) f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ (adj.homEquiv A.A B) f


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

Context: B : D

Context: f : F.obj A.A ⟶ B

A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔ G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

Context: B : D

Context: f : F.obj A.A ⟶ B

A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = adj.unit.app (G.obj (F.obj A.A)) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map f ↔ G.map (F.map (adj.unit.app A.A ≫ G.map f)) ≫ G.map (adj.counit.app B) = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: A : adj.toMonad.Algebra

Context: B : D

Context: f : F.obj A.A ⟶ B

A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f = G.map f ↔ G.map f = A.a ≫ adj.unit.app A.A ≫ G.map f


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: h : TotallyBounded s

Context: this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: h : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: h' : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.closedBall y ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: t : Set X

Context: left✝ : t ⊆ s

Context: htc : t.Countable

Context: hts : s ⊆ _root_.closure t


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)


∏ i ∈ s, f i = (∏ x : { x // x ∈ s }, ⋯.choose) ^ 2


∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i = ∏ x : { x // x ∈ s }, ⋯.choose * ⋯.choose


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset ι
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → α
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
i : { x // x ∈ s }


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (γ i)
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : (i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
hk : ∀ (i : ι), IsSMulRegular (β i) k
x : (i : ι) → β i
i : ι


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: r✝ : R → R → Prop

Context: inst✝ : Semiring T

Context: r : R → R → Prop

Context: f : { f // ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y }

Context: x✝ : R

↑((fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩) ((fun f => preLift ⋯) f)) x✝ = ↑f x✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
F : RingQuot r →+* T

(fun f => preLift ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩) F) = F


{ toFun := fun x => Quot.lift ⇑(F.comp (mkRingHom r)) ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } = F


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
F : RingQuot r →+* T
x✝ : R

({ toFun := fun x => Quot.lift ⇑(F.comp (mkRingHom r)) ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.comp (mkRingHom r)) x✝ = (F.comp (mkRingHom r)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size

∃ l₁ l₂, self.val.data = l₁ ++ self.val[i] :: l₂ ∧ l₁.length = i.toNat ∧ (self.update i d h).val.data = l₁ ++ d :: l₂


∃ l₁ l₂, self.val.data = l₁ ++ self.val.data[i.toNat] :: l₂ ∧ l₁.length = i.toNat ∧ (self.update i d h).val.data = l₁ ++ d :: l₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ h₁ h₂

(leftHomologyMap' φ h₁ h₂).op = rightHomologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op


Context:
X : TopCat
U : Opens ↑X


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(wittStructureInt p Φ n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: this : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaEven (-a) s = completedHurwitzZetaEven a s