Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: t : G

Context: s : G

(fun x => ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖) s ≤ (fun a => ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖))) s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν

Context: hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ

Context: hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν

Context: h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)

Context: h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν

Context: h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν

Context: t : G

Context: ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ

Context: s : G

‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (s, t)‖ ≤ ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * ‖g s‖ * ‖k (x₀ - t - s)‖)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f

IsTotallyDisconnected (range f) ↔ TotallyDisconnectedSpace α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L
i : ℕ

(MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpoly b).coeff i) = (charpoly (φ x)).coeff i


Context: n : ℕ

Context: Δ : SimplexCategory

Context: θ : Δ ⟶ [n + 1]

Context: hθ : ¬Function.Surjective ⇑(Hom.toOrderHom θ)

∃ i θ', θ = θ' ≫ δ i


Context: n : ℕ

Context: Δ : SimplexCategory

Context: θ : Δ ⟶ [n + 1]

Context: i : Fin ([n + 1].len + 1)

Context: hi : ¬∃ a, (Hom.toOrderHom θ) a = i

∃ i θ', θ = θ' ≫ δ i


Context: n : ℕ

Context: Δ : SimplexCategory

Context: θ : Δ ⟶ [n + 1]

Context: i : Fin ([n + 1].len + 1)

Context: hi : ¬∃ a, (Hom.toOrderHom θ) a = i

∃ θ', θ = θ' ≫ δ i


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
x₁ : X₁
x₂ : X₂

inl f g x₁ = inr f g x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


Rel' f g (Sum.inl x₁) (Sum.inr x₂) ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


Context:
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ


Context:
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
i : Fin (n + 2)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = θ' ≫ δ i


Context:
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
i : Fin (n + 2)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = θ' ≫ δ i
this : Mono (θ' ≫ δ i)


Context:
n : ℕ
θ : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono θ
i : Fin (n + 2)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = θ' ≫ δ i
this✝ : Mono (θ' ≫ δ i)
this : Mono θ'


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hcb : z ≤ y


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d x y z : F
r R : ℝ
hx : x ≠ c

HasFDerivAt (inversion c R) ((R / dist x c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) x


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
a b c d y z : F
r R : ℝ
x : F
hx : (fun x => c + x) x ≠ c

HasFDerivAt (inversion c R) ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) ((fun x => c + x) x)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: a b c d y z : F

Context: r R : ℝ

Context: x : F

Context: hx : (fun x => c + x) x ≠ c

Context: this : HasFDerivAt (inversion c R) ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) (c + x)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: a b c d y z : F

Context: r R : ℝ

Context: x : F

Context: hx : (fun x => c + x) x ≠ c

EqOn ⇑((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) ⇑((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) {x}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: a b c d y✝ z : F

Context: r R : ℝ

Context: x : F

Context: hx : (fun x => c + x) x ≠ c

Context: y : F

Context: hy : y ∈ ↑(Submodule.span ℝ {x})ᗮ

((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) y = ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) y


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ : ℝ
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁


Context:
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M✝
a : M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s


Context:
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M✝
a : M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
x : M
hx : x ∈ closure s
l : List M
h1 : ∀ y ∈ l, y ∈ s
h2 : l.prod = x


Context:
x : ℂ
y : ℝ

(x ^ ↑y).re = abs x ^ y * Real.cos (x.arg * y)


Context:
x : ℂ
y : ℝ

(↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)).re = abs x ^ y * Real.cos (x.arg * y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α
ha : a ∈ {a | IsAtom a}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : sSup T ∈ {a | IsAtom a}


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
x : Rˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤

ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr_ne_top : r ≠ ⊤

Context: h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr_ne_top : r ≠ ⊤

Context: this : r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ = r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr_ne_top : r ≠ ⊤

Context: h : ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

∀ (f : { g // 0 ≤ g }), 0 ≤ (setToL1 hT) ↑f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

Context: g : { g // 0 ≤ g }

IsClosed {x | (fun g => 0 ≤ (setToL1 hT) ↑g) x}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

Context: g : { g // 0 ≤ g }

∀ (a : { g // 0 ≤ g }), (fun g => 0 ≤ (setToL1 hT) ↑g) (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)

Context: x : S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: x : S

(if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) ((lmul R S) x) = 1


Context:
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y

√x ≤ √y ↔ x ≤ y


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

inlX φ j i hij ≫ d φ i j = -F.d j k ≫ inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ inrX φ j


(inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ fstX φ j k hjk = (-F.d j k ≫ inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ fstX φ j k hjk


(inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (-F.d j k ≫ inlX φ k j hjk + φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α

(⨅ i, f i).sets = ⋃ t, (⨅ i ∈ t, f i.down).sets


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f f' g g' : ℕ → R
hf : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = f' n
hg : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → g n = g' n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ

IsMaxChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hmono : Monotone f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hmono : Monotone f

Context: t : Set α

Context: htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: hbt : range f ⊆ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hmono : Monotone f

Context: t : Set α

Context: htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: hbt : range f ⊆ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hmono : Monotone f

Context: t : Set α

Context: htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: hbt : range f ⊆ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x

Context: k : Fin (n + 1)


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝¹ : Group N
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℤ


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G


μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ ((fun x => c • x) ⁻¹' toMeasurable μ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
s : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t

ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s t then (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 else (G.nonuniformWitnesses ε t s).2) (if WellOrderingRel t s then (G.nonuniformWitnesses ε t s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s t).2) - G.edgeDensity s t|


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
lt : WellOrderingRel s t


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ s
h₂ : ¬G.IsUniform ε s s

ε ≤ ↑|G.edgeDensity (if WellOrderingRel s s then (G.nonuniformWitnesses ε s s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s s).2) (if WellOrderingRel s s then (G.nonuniformWitnesses ε s s).1 else (G.nonuniformWitnesses ε s s).2) - G.edgeDensity s s|


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h₁ : s ≠ t
h₂ : ¬G.IsUniform ε s t
gt : WellOrderingRel t s


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x

rexp (-2 * x) < rexp (2 - ↑⌈x⌉₊) / ↑⌈x⌉₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
h₁ : ↑⌈x⌉₊ < x + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
h₁ : ↑⌈x⌉₊ < x + 1
h₂ : 1 - x ≤ 2 - ↑⌈x⌉₊


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
σ τ : ↥(alternatingGroup α)
hσ : (↑σ).IsThreeCycle
hτ : (↑τ).IsThreeCycle


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
m : (i : ι) → s i

(congr f) ((tprod R) m) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: U : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace ↥U

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 ↥U

Context: x : E

HasSum (fun i => ⟪↑((fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i), x⟫_𝕜 • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) ((orthogonalProjection U) x)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α

|x - ↑(round x)| = min (fract x) (1 - fract x)


|x - ↑(if fract x < 1 - fract x then ⌊x⌋ else ⌈x⌉)| = if fract x < 1 - fract x then fract x else 1 - fract x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x < 1 - fract x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x ≥ 1 - fract x


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).hom.app X = (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

Context: r : ℝ

Context: hr : HD (GromovHausdorff.optimalGHDist X Y) < r

hausdorffDist (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ r


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

Context: r : ℝ

Context: A : ∀ x ∈ range (optimalGHInjl X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjr X Y), dist x y ≤ r


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

Context: r : ℝ


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: h : f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

Context: r : ℝ

∀ x ∈ range (optimalGHInjr X Y), ∃ y ∈ range (optimalGHInjl X Y), dist x y ≤ r


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β

(comap f) (⨅ i, m i) = ⨅ i, (comap f) (m i)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty

((comap f) (⨅ i, m i)) s = (⨅ i, (comap f) (m i)) s


(⨅ i, (comap f) (m i)) s ≤ ((comap f) (⨅ i, m i)) s


∀ (i : ℕ → Set β), s ⊆ ⋃ i_1, f ⁻¹' i i_1 → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i_2, (m i_2) (i n)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
t : ℕ → Set β
ht : s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
k : ℕ

⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' t k)) ≤ ⨅ i, (m i) (t k)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Over X
y : Over Y
v : x ⟶ (pullback f).obj y

(v.left ≫ pullback.fst y.hom f) ≫ y.hom = ((map f).obj x).hom


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
i : ι
s : Set α

s ∈ piiUnionInter π {i} ↔ s ∈ π i ∪ {univ}


s ∈ {s | ∃ t, ↑t ⊆ {i} ∧ ∃ f, (∀ x ∈ t, f x ∈ π x) ∧ s = ⋂ x ∈ t, f x} ↔ s ∈ π i ∨ s ∈ {univ}


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle

(n • θ).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle

(n • ↑θ.toReal).toReal = ↑n * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / ↑n) (π / ↑n)


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
θ : Angle
h' : 0 < ↑n


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

(structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h ≫ (stalkIso R x).hom = (stalkIso R y).hom ≫ let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h; this


(stalkIso R y).inv ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = (let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h; this) ≫ (stalkIso R x).inv


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : IsRelPrime x z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime y x
H2 : IsRelPrime z x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: h_lip : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀

Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ : ∀ x ∈ ball x₀ δ, AEStronglyMeasurable (F x) μ ∧ x ∈ ball x₀ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδ_meas : ∀ x ∈ ball x₀ δ, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hδε : ∀ x ∈ ball x₀ δ, x ∈ ball x₀ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδε : ∀ x ∈ ball x₀ δ, x ∈ ball x₀ ε

Context: h_lip : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ δ, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ |bound a| * ‖x - x₀‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : δ > 0

Context: hδε : ∀ x ∈ ball x₀ δ, x ∈ ball x₀ ε

Context: bound_integrable : Integrable (fun a => ‖bound a‖) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b

Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] a) l


Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u : αˣ


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, IsCompl (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsArtinian R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: hn : Disjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n)) ∧ Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

Context: s : (forget CommRingCat).obj ((structureSheaf R).presheaf.obj (op U))

((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ stalkToFiberRingHom R x ≫ localizationToStalk R x) s = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ 𝟙 ((structureSheaf R).presheaf.stalk x)) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩ ≫ stalkToFiberRingHom R x ≫ localizationToStalk R x) s = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

(localizationToStalk R x) (↑s ⟨x, hxU⟩) = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : x ∈ V

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: hs : const R f g V hg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : x ∈ V

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (const R f (↑⟨g, ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑⟨g, ⋯⟩) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, hxU⟩) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : x ∈ V

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

((structureSheaf R).presheaf.map (homOfLE hg).op) (const R f (↑⟨g, ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑⟨g, ⋯⟩) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.map iVU.op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : x ∈ V

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

((structureSheaf R).presheaf.map (homOfLE hg).op) (const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯) = ((structureSheaf R).presheaf.map iVU.op) s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R

((RingHom.comp (stalkToFiberRingHom R x) (localizationToStalk R x)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f = ((RingHom.id (Localization.AtPrime x.asIdeal)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f


(stalkToFiberRingHom R x) ((localizationToStalk R x) ((algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f)) = ((RingHom.id (Localization.AtPrime x.asIdeal)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f


(algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f = ((RingHom.id (Localization.AtPrime x.asIdeal)).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal))) f


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: a : Solution₁ d

Context: ha₁ : 1 < a.x

Context: ha₂ : 0 < a.y

Context: P : ∃ x', 1 < x' ∧ ∃ y', 0 < y' ∧ ↑x' ^ 2 - d * y' ^ 2 = 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

‖{ toFun := integral, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ 1 * ‖f‖


‖{ toFun := integral, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ ‖f‖


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

Summable fun n => ‖(riemannZetaSummandHom ⋯) n‖


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_3

Context: inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)

Context: c : Chain ((a : α) → (b : β a) → γ a b)

Context: x : α

Context: y : β x

ωSup ((c.map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y)) = ωSup ((c.map (monotoneUncurry α β γ)).map (evalOrderHom ⟨x, y⟩))


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_3

Context: c : Chain ((a : α) → (b : β a) → γ a b)

Context: x : α

Context: y : β x

ωSup (c.map ((evalOrderHom y).comp (evalOrderHom x))) = ωSup (c.map ((evalOrderHom ⟨x, y⟩).comp (monotoneUncurry α β γ)))


Context:
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r


Context:
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ

(deriv fun x => x ^ p * (1 - ε x)) =ᶠ[atTop] fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 1 < x

deriv (fun x => x ^ p * (1 - ε x)) x = deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x


(fun x => deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x) =ᶠ[atTop] fun x => p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: p x : ℝ

Context: hx : 1 < x

Context: hderiv : deriv (fun x => 1 - ε x) x = x⁻¹ / log x ^ 2

deriv (fun x => x ^ p) x * (1 - ε x) + x ^ p * deriv (fun x => 1 - ε x) x = p * x ^ (p - 1) * (1 - ε x) + x ^ p * (x⁻¹ / log x ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p x : ℝ
hx : 0 < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

o.bsup f = o.blsub f ∨ succ (o.bsup f) = o.blsub f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ∨ succ (sup (o.familyOfBFamily f)) = lsub (o.familyOfBFamily f)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
inst✝ : IsIso f


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a✝ b✝ : 𝒳

Context: φ : a✝ ⟶ b✝

Context: R S : 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)

φ ≫ φ' = 𝟙 a ∧ φ' ≫ φ = 𝟙 b


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)

Context: inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b

φ ≫ φ' = 𝟙 a ∧ φ' ≫ φ = 𝟙 b


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)

Context: inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b

φ ≫ φ' = 𝟙 a


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)

Context: inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b

Context: h₁ : p.IsHomLift (𝟙 (p.obj a)) (φ ≫ φ')

φ ≫ φ' = 𝟙 a


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: inst✝ : IsIso (p.map φ)

Context: φ' : b ⟶ a := map p (p.map φ) φ ⋯ (𝟙 b)

Context: inv_hom : φ' ≫ φ = 𝟙 b

Context: h₁ : p.IsHomLift (𝟙 (p.obj a)) (φ ≫ φ')

(φ ≫ φ') ≫ φ = 𝟙 a ≫ φ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧


∀ (i : ℕ), ↑i < min φ.order ψ.order → (coeff R i) (φ + ψ) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

‖(2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
this : ‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ = (2 * π)⁻¹


‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ 2 * π * R * C


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0

(r • s).singularPart μ = r • s.singularPart μ


((r • s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - ((r • s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (r • s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f g : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u v : β → α

Context: h : ∀ (x : β), p x → q x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → a ≤ u x}

∀ (x : β), (q x → a ≤ u x) → p x → a ≤ u x


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ


((split J i x).restrict I).boxes ⊆ (split I i x).boxes


∀ ⦃x_1 : Box ι⦄, (∃ J', (↑J' = ↑J ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J' = ↑J ∩ {y | x < y i}) ∧ ↑x_1 = ↑I ∩ ↑J') → ↑x_1 = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑x_1 = ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
this : ∀ (s : Set (ι → ℝ)), ↑I ∩ s ⊆ ↑J


Context:
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0


(List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b₁.primeFactorsList ⋯).prod * (List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b₂.primeFactorsList ⋯).prod = J(a | b₁) * J(a | b₂)


∀ a ∈ b₁.primeFactorsList ++ b₂.primeFactorsList, Nat.Prime a


Context: n : ℕ

Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2


Monoid.exponent (DihedralGroup 0) = lcm 0 2


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n

Monoid.exponent (DihedralGroup n) ∣ lcm n 2


Context:
n : ℕ
hn : NeZero n

lcm n 2 ∣ Monoid.exponent (DihedralGroup n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ∈ f.eraseLead.support


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ≠ f.natDegree ∧ a ∈ f.support


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α

thickenedIndicatorAux δ (closure E) = thickenedIndicatorAux δ E


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f

IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ s' ∩ range f = f '' s


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
y : R
hy : x * y = 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝ : S.HasHomology
this : Epi S.toCycles


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0


∀ {P : C} (g : P ⟶ S.X₂), g ≫ S.g = 0 → g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x

multiplicity 2 (x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + ↑n


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : IsInternal A


Surjective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (A i).subtype)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace ↔ (↑U).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Kᗮ = ⊥ ↔ K = ⊤


Kᗮ = ⊥ → K = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
h : Kᗮ = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
h : Kᗮ = ⊥
this : K ⊔ Kᗮ = ⊤


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
ab : a < b


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L

∃ k, ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)


↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)

m ∈ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace (χ x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas

e.source ∈ ⋃ e ∈ c.atlas, ⋃ s, ⋃ (_ : IsOpen s), {↑e ⁻¹' s ∩ e.source}


∃ i ∈ c.atlas, ∃ i_1, IsOpen i_1 ∧ e.source = ↑i ⁻¹' i_1 ∩ i.source


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ


centralMoment X 2 μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
u : Set α

((restrict s) m) u ≤ ((restrict t) m') u


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → F

(∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y) ↔ Function.Injective f


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

TendstoUniformlyOn F f p {x} ↔ Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))


(∀ s ∈ 𝓤 β, (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ⁻¹' s ∈ p ×ˢ 𝓟 {x}) ↔ ∀ s ∈ 𝓤 β, (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' s ∈ p


Context:
b n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : n ≤ b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsOpen (f i)ᶜ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

Context: X : Cᵒᵖ

Hom.app (limitConeπApp F i ≫ F.map f) X = Hom.app (limitConeπApp F j) X


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Ring α

NoZeroDivisors α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h : s ≤ t


Context:
α : Sort u_1
b c : α
h : b = c
a : α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Cotrident f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this : Mono S₁.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝ : Mono S₁.f
this : Mono S₂.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝¹ : Mono S₁.f
this✝ : Mono S₂.f
this : Epi S₁.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.f
this✝¹ : Mono S₂.f
this✝ : Epi S₁.g
this : Epi S₂.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.f
this✝² : Mono S₂.f
this✝¹ : Epi S₁.g
this✝ : Epi S₂.g
this : Mono φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝⁴ : Mono S₁.f
this✝³ : Mono S₂.f
this✝² : Epi S₁.g
this✝¹ : Epi S₂.g
this✝ : Mono φ.τ₂
this : Epi φ.τ₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
sb : Submodule R M
sc : Submodule R P
hsb : sb.FG
hsc : sc.FG
tb : Set M
htb : tb.Finite ∧ span R tb = sb
tc : Set P
htc : tc.Finite ∧ span R tc = sc

span R (⇑(LinearMap.inl R M P) '' tb ∪ ⇑(LinearMap.inr R M P) '' tc) = sb.prod sc


Context: d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

∃ c, ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ c


Context: d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d


Context: d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

Context: log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))

Context: n : ℕ

Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d


Context: d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

Context: n : ℕ

Context: h₁ : ∀ (k : ℕ), log_stirlingSeq' k - log_stirlingSeq' (k + 1) ≤ 1 / 4 * (1 / ↑(k + 1) ^ 2)


Context: d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

Context: n : ℕ

Context: h₂ : ∑ k ∈ range n, 1 / ↑(k + 1) ^ 2 ≤ d


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hpi : Function.Injective p

Context: t : Triangle ℝ P

Context: hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Context: hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hpi : Function.Injective p

Context: t : Triangle ℝ P

Context: c : P

Context: left✝ : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)

Context: hc : ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
r : R


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z

(opProductIsoCoproduct' hf hc).inv ≫ (hf.lift f').op = hc.desc f'.op


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α

((hf.lift f').op.unop ≫ f.π.app { as := j }).op = (((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc f'.op).unop ≫ f.π.app { as := j }).op


(f'.π.app { as := j }).op = (f.π.app { as := j }).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc (Cofan.mk (op f'.pt) fun a => (f'.proj a).op)


(f'.π.app { as := j }).op = (Cofan.mk (op f'.pt) fun a => (f'.proj a).op).ι.app { as := j }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D : Set β

(M.map f hf).Dep D ↔ ∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = f '' D₀


((∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬D = f '' x) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = D) ↔ ∃ D₀, (¬M.Indep D₀ ∧ D₀ ⊆ M.E) ∧ D = f '' D₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : f '' D₀ = f '' I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : D₀ = I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β


Context:
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
c d : (j : C) × F.obj j
h : EqvGen (Quot.Rel F) c d


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime (0 0) (0 1)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0
v : M₁


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v • x = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v = 0 ∨ x = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.50949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.50953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A

e.hom.hom n ≫ e.inv.hom n = 𝟙 (F.functor n)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : ℕ → Submodule R M

Context: h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))

∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → OrderDual.toDual f (m + 1) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : ℕ → Submodule R M

Context: n : ℕ

Context: w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n = (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : ℕ → Submodule R M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: p : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
K x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hab : b₁ < b₂
hcd : a < d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a d : β
hcd : a < d
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂

b₁ • d + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
d : β
hcd : a < a + d

b₁ • (a + d) + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • (a + d)


b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d < b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : 0 < b₂
d : β
hcd : 0 < d


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ

∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_meas_f : AEMeasurable f μ

Context: h_meas_g : AEMeasurable g μ

Context: h_indep_fun : IndepFun f g μ

Context: fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_meas_f : AEMeasurable f μ

Context: h_meas_g : AEMeasurable g μ

Context: h_indep_fun : IndepFun f g μ

∫⁻ (a : Ω), (AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g) a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), AEMeasurable.mk f h_meas_f a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), AEMeasurable.mk g h_meas_g a ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_meas_f : AEMeasurable f μ

Context: h_meas_g : AEMeasurable g μ

Context: h_indep_fun : IndepFun f g μ

IndepFun (AEMeasurable.mk f h_meas_f) (AEMeasurable.mk g h_meas_g) μ


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.153874

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: x : M₁'

Context: i : ι₂

Context: y : M₂ i

(directSumRight R M₁' M₂).symm ((lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞

(fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x


comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 0) ⊓ 𝓟 (Ioi 0) = 𝓝 0 ⊓ 𝓟 (Ioi 0)


𝓝 ((Homeomorph.mulLeft₀ x ⋯).symm 0) = 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : x ∈ ball 0 (1 + D)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D


Integrable (fun i => w D i * φ (x - i)) μ


0 < μ (support fun i => w D i * φ (x - i))


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F

AnalyticWithinOn 𝕜 f univ ↔ AnalyticOn 𝕜 f univ


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
c₁✝ c₂✝ r x y z : R
a✝ b c : ℍ[R,c₁✝,c₂✝]
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.846623) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc f a ≤ cfc g a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ g x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ g x


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A

toSubmodule S * toSubmodule T = toSubmodule (S ⊔ T)


toSubmodule (S ⊔ T) ≤ toSubmodule S * toSubmodule T


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x : A
hx : x ∈ ↑S ∪ ↑T


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
r : R

(algebraMap R A) r ∈ toSubmodule S * toSubmodule T


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x y : A
hx : x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
hy : y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁴ : Semiring A✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Subalgebra R A

Context: x✝ : A

Context: hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)

Context: x y : A

Context: hx : x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T

Context: hy : y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T

Context: this : x * y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T * (toSubmodule S * toSubmodule T)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).b₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SFinite μ
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E

(∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom = (λ_ X).hom


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕂

Context: htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasStrictDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (exp 𝕂 (t • x) * x) t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
inst✝ : P.IsFinite


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V

(Monoidal.fromTransported (functorCategoryEquivalence V G).symm).ε.app PUnit.unit = 𝟙 ((𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)


((functorCategoryEquivalence V G).symm.unitIso.hom.app (𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V))).app PUnit.unit = 𝟙 ((𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R

Ideal.span {gcd x y} = Ideal.span {x, y}


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : S
x✝ : IsAlgebraic R a
f : R[X]
hf₁ : f ≠ 0
hf₂ : (aeval a) f = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card


(A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α (n + 1)
con : (∀'φ).IsAtomic


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ

volume (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α

I ∈ {I | M.Basis I X} ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ({I | M.Indep I} ∩ Iic X)


Context:
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1

(if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = J(↑a | b)


Context:
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha1 : a % 4 = 1


Context:
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha3 : a % 4 = 3


Context:
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha3 : a % 4 = 3
hb1 : b % 4 = 1


Context:
a b : ℕ
ha2 : a % 2 = 1
hb2 : b % 2 = 1
ha3 : a % 4 = 3
hb3 : b % 4 = 3


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)

Context: G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)

Context: e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange

Context: this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e

Context: this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e

Context: f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)

‖(lift f.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f‖ * injectiveSeminorm x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

Context: heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

‖(lift f'.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f'‖ * injectiveSeminorm x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

Context: hle : (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G) ≤ injectiveSeminorm


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

‖(lift f'.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f'‖ * (fun f => ⇑f) ((normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)) x


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

‖((toDualContinuousMultilinearMap ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap))) x) f'‖ ≤ ‖f'‖ * ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

‖((toDualContinuousMultilinearMap ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap))) x) f'‖ ≤ ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ * ‖f'‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: σ : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: hf : MellinConvergent f ↑σ

Context: hFf : VerticalIntegrable (mellin f) σ volume

Context: hfx : ContinuousAt f x

Context: g : ℝ → E := fun u => rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: σ : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: hfx : ContinuousAt f x

Context: hf : Integrable g volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: σ : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: hfx : ContinuousAt f x

Context: hf : Integrable g volume

Context: hFf : Integrable (𝓕 g) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: σ : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: hf : Integrable g volume

Context: hFf : Integrable (𝓕 g) volume

Context: hfx : ContinuousAt g (-Real.log x)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0) f p u


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
u : Set E
hu : x ∈ u ∧ u ∈ 𝓝[s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0) f p u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ioc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0

¬Summable fun b => jacobiTheta₂_term_fderiv b z τ


Context:
α : Type u_1
a b : ℕ
h₁ : delta * a < b
h₂ : delta * b < a


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = B * C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤

(OuterMeasure.ofFunction m m_empty) (s ∪ t) = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

(OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: i : ℕ

Context: hs : (s ∩ f i).Nonempty

Context: ht : (t ∩ f i).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: hd : Disjoint (I s) (I t)


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: hd : Disjoint (I s) (I t)

Context: hI : ∀ u ⊆ s ∪ t, μ u ≤ ∑' (i : ↑(I u)), μ (f ↑i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ ⊗ₘ κ) s = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ


∫⁻ (b : α), (κ b) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: H : μ univ < ∑' (i : ι), μ (s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → β


pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩) l ⋯ = map f l


Context:
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'


Context:
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
i : Fin2 n

(prod.snd ⊚ (f ⊗' g)) i = (g ⊚ prod.snd) i


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n

log p n = padicValNat p n ↔ n < p ^ (padicValNat p n + 1)


n < p ^ (padicValNat p n + 1) → p ^ padicValNat p n ≤ n


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b

(volume (univ.pi fun i => Ioo (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

mulETransformRight e⁻¹ x = (mulETransformLeft e x.swap).swap


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁴ : StarRing A

Context: inst✝¹³ : Module R A

Context: inst✝¹² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁸ : StarRing B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝⁴ : StarModule R B

Context: inst✝³ : FunLike F A B

Context: inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: h : K i ≤ iSup K

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ((inclusion h) x) = (f i) x


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁴ : StarRing A

Context: inst✝¹³ : Module R A

Context: inst✝¹² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁸ : StarRing B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝⁴ : StarModule R B

Context: inst✝³ : FunLike F A B

Context: inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: h : K i ≤ iSup K


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a✝ : Rˣ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α

map f (l₁.diff l₂) = (map f l₁).diff (map f l₂)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ
χ : MulChar R R'

(equivToUnitHom χ) a ∈ rootsOfUnity ⟨Fintype.card Rˣ, ⋯⟩ R'


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

(s.sup p).closedBall x r = s.inf fun i => (p i).closedBall x r


(s.sup p).closedBall x r = ⨅ a ∈ s, (p a).closedBall x r


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: x : α

Context: adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: x : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: U : Set (α × α)

Context: U_mem : U ∈ 𝓤 α

Context: hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: x : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: U : Set (α × α)

Context: U_mem : U ∈ 𝓤 α

Context: hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}

Context: t : Set α

Context: t_mem : t ∈ f

Context: ht : t ×ˢ t ⊆ U

Context: y : α

Context: hxy : (x, y) ∈ U

Context: hy : y ∈ t


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'


map g ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ = ⟨↑(map g I) * ↑(map g J), ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context: s : ℝ

Gamma s * Gamma (1 - s) = π / sin (π * s)