Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0✝ : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H✝ : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M → M'

Context: hf : f 0 = 0

Context: g : α →₀ M

Context: h : α → M' → N

Context: h0 : ∀ (a : α), h a 0 = 1

Context: x✝¹ : α

Context: x✝ : x✝¹ ∈ g.support

Context: H : x✝¹ ∉ (mapRange f hf g).support


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t✝ : Set V

Context: x y z : V

Context: t : Finset V

Context: hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x

Context: hst : s ⊆ ↑(span K ↑t)

∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = t.card


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) = ENNReal.ofReal ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * volume (fundamentalDomain (latticeBasis K))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: e : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := Fintype.equivOfCardEq ⋯


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

ENNReal.ofReal |?b₀.det ⇑((fractionalIdealLatticeBasis K I).reindex e)| * volume (fundamentalDomain ?b₀) = ENNReal.ofReal ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I) * volume (fundamentalDomain (latticeBasis K))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)) ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
a : α
m : M

(singleton a m).lookupFinsupp = Finsupp.single a m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α
a : α

(s ×ˢ t).sup' h f ≤ a ↔ (s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => f (i, i')) ≤ a


Context:
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b

Finset.card (moveRight b m) / 2 < Finset.card b / 2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j✝ : ι'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)


(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν).rnDeriv (ν.withDensity f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
hν_ac : ν ≪ ν.withDensity f


(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae (ν.withDensity f)] (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν).rnDeriv (ν.withDensity f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
hν_ac : ν ≪ ν.withDensity f
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p

volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j
hij : j ⊆ i


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H✝ : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G

G.deleteEdges (G.edgeSet \ H.edgeSet) = H


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b

b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ ((of v).contsAux (n + 2)).b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp_n : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b

gp_n.b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ ((of v).contsAux (n + 2)).b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : Inhabited α
l : List α
h : l ≠ []
h' : l.head! ∈ l.head! :: l.tail


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {2, q, r}
h4 : 0 < 4


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
h4 : 0 < 4
H : 4 ≤ q


(↑↑2)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
h4 : 0 < 4
H : 4 ≤ q
h4r : 4 ≤ r
hq : (↑↑q)⁻¹ ≤ 4⁻¹
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 4⁻¹

(↑↑2)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1


Context:
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: h : 0 < multiplicity a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: h : 0 < multiplicity a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : f₂ =o[l] g
hc : c₁ < c₂

IsBigOWith c₂ l (fun x => f₁ x - f₂ x) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : (α → ℕ) → ℤ


Context:
xl xr : Type u
y z : PGame
h : y ⧏ z
x : PGame


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t

(G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ha : G.Adj s t

Context: inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ha : G.Adj s t

G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card - G.degree t - {s(t, t)}.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t - 1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ha : G.Adj s t

G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card = G.edgeFinset.card + G.degree s


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ha : G.Adj s t


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I✝ : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
I : Ideal R
hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤

∃ M_1, (toEnd R b hb) M_1 = f ∧ ∀ (i j : ι), ↑M_1 i j ∈ I


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: I✝ : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : Module.End R M

Context: I : Ideal R

Context: hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤

Context: this : ∀ (x : M), f x ∈ LinearMap.range (Ideal.finsuppTotal ι M I b)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: I✝ : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : Module.End R M

Context: I : Ideal R

Context: hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤

Context: bM' : M → ι →₀ ↥I

Context: hbM' : ∀ (x : M), (Ideal.finsuppTotal ι M I b) (bM' x) = f x

Context: A : Matrix ι ι R := fun i j => ↑((bM' (b j)) i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: I✝ : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : Module.End R M

Context: I : Ideal R

Context: hI : LinearMap.range f ≤ I • ⊤

Context: bM' : M → ι →₀ ↥I

Context: this : Represents b A f


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: a d d' e e' : S

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)

Context: e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)

Context: h : a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: a d d' e e' : S

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)

Context: e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)

Context: h' : a * (d - d') ∈ P ^ (i + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜

Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ n = 0) ∧ c = d


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
c d : 𝕜

Tendsto (fun x => c * x ^ 0) atTop (𝓝 d) ↔ (c = 0 ∨ 0 = 0) ∧ c = d


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hn : n ≠ 0
hc : c < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
d : 𝕜
hn : n ≠ 0

Tendsto (fun x => 0 * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ (0 = 0 ∨ n = 0) ∧ 0 = d


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hn : n ≠ 0
hc : 0 < c


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ≃ τ
p : MvPolynomial σ R


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ≃ τ
p : MvPolynomial τ R


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s

(∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s


(∀ i ∈ ∅, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ ∅, w i → (∀ i ∈ ∅, z i ∈ s) → ∅.centerMass w z ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i✝ j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: hs : Convex R s

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hi : i ∉ t

Context: ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s

(∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1) → 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i → (∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s) → (insert i t).centerMass w z ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i✝ j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: hs : Convex R s

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hi : i ∉ t

Context: h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1

Context: hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i

Context: hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i✝ j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: hs : Convex R s

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hi : i ∉ t

Context: h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1

Context: hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i

Context: hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s

Context: zi : z i ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i✝ j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: hs : Convex R s

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hi : i ∉ t

Context: h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1

Context: hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i

Context: hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s

Context: zi : z i ∈ s

Context: hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s : Set E

Context: i✝ j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: hs : Convex R s

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hi : i ∉ t

Context: h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1

Context: hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x

Context: hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s

Context: zi : z i ∈ s

Context: hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

(∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, S.functorInclusion ≫ g = f


(∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily f)).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)


(∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (b : { x // x.Compatible }), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm b))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)


(∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (a : FamilyOfElements P S.arrows) (b : a.Compatible), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm ⟨a, b⟩))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω


Context: m n✝ n : ℕ

(bif n.succ.bodd then 1 else 0) + 2 * n.succ.div2 = n.succ


Context: m n✝ n : ℕ

(bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = n.succ


Context: m n✝ n : ℕ

(bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = ((bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2).succ


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: i : Fin r ⊕ Unit

Context: k : ℕ

Context: hk : k ≤ r

((List.drop k (listTransvecCol M)).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < 1


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v (-x) < v 1


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h : f.embeddingPiTangent x = f.embeddingPiTangent y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h₁ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y

Context: h₂ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h₁ : ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y

Context: h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : M

Context: a✝ : y ∈ s

Context: h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y

Context: this : y ∈ (extChartAt I (f.c (f.ind x hx))).source


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F

iteratedDerivWithin n (fun z => c - f z) s x = iteratedDerivWithin n (fun z => -f z) s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

iteratedDerivWithin n.succ (fun z => c - f z) s x = iteratedDerivWithin n.succ (fun z => -f z) s x


iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => c - f z) s) s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => -f z) s) s x


Set.EqOn (derivWithin (fun z => c - f z) s) (derivWithin (fun z => -f z) s) s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s

derivWithin (fun z => c - f z) s y = derivWithin (fun z => -f z) s y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y


derivWithin (fun z => c - f z) s y = -derivWithin f s y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M
h' : (M ↾ R).E = M.E


Context:
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
l : List α


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : t ≤ v.t₀


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : v.t₀ ≤ t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] 1, ENNReal.ofReal (c ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 1

r ∈ {x | (fun c => ENNReal.ofReal (c ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)) x}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 1

ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Ioo 0 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc

X.map (SimplexCategory.δ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ j).op


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : ¬(s ∩ ⋂ x, Iic ↑x).Nonempty


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅
x : ↑s
hx : s ∩ Iic ↑x = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E

(∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A


(∃ i, ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : β


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C


(imageSubobjectIso 0).hom ≫ image.ι 0 = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0


Context:
p n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
p n : ℕ
hn : n ≠ 0

¬(2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n ∧ n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1))


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n

Context: h2 : n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1)


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: h2 : n + 1 ≤ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 2


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → β → γ

Context: Kα Kβ : ℝ≥0

Context: hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b

Context: hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)

Context: a₁ : α

Context: b₁ : β

Context: a₂ : α

Context: b₂ : β

edist (uncurry f (a₁, b₁)) (uncurry f (a₂, b₂)) ≤ ↑(Kα + Kβ) * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → β → γ

Context: Kα Kβ : ℝ≥0

Context: hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)

Context: a₁ : α

Context: b₁ : β

Context: a₂ : α

Context: b₂ : β

edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : α → β → γ

Context: Kα Kβ : ℝ≥0

Context: hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)

Context: a₁ : α

Context: b₁ : β

Context: a₂ : α

Context: b₂ : β

edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ


∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∀ (a : ↑M), φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∀ (a : ↑M), ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

Context: hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

∃ u, (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> u = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> u = g <$$> x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

(prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

(f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

(f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (g ⊚ TypeVec.id) <$$> x = g <$$> x


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ

Context: h : Nat.Partrec fun n => (↑(decode₂ α n)).bind fun a => Part.map encode (f a)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set X
t : Set X

IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: x y : X

Context: ι : Type u_2

Context: I✝ : Set ι

Context: hI✝ : I✝.Finite

Context: s : ι → Set X

Context: t : Set X

Context: i : ι

Context: I : Set ι

Context: x✝¹ : i ∉ I

Context: x✝ : I.Finite

Context: hI : IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t

IsMetricSeparated (⋃ i_1 ∈ insert i I, s i_1) t ↔ ∀ i_1 ∈ insert i I, IsMetricSeparated (s i_1) t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : Nonempty ι


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

TendstoUniformly F f p ↔ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((γ.leftShift a n' hn').rightShift a n hn').v p q hpq = ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq


((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯) ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MonoidWithZero α
inst✝¹ : NoZeroDivisors α
inst✝ : Nontrivial α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
m : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ m
hm : ⊤ ^ m = ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
G : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R

FiniteType R (MonoidAlgebra R G) ↔ Group.FG G


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
H₁ : S₁.HomologyData
H₂ : S₂.HomologyData
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

homologyMap' (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) H₁ H₂ = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0

(fun x => x ^ b) =ᶠ[𝓝 a] fun x => cexp (Complex.log x * b)


Context:
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h : x ∈ pNilradical K p


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h✝ : x ∈ pNilradical K p
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommSemiring K

Context: inst✝⁵ : CommSemiring L

Context: inst✝⁴ : CommSemiring M

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: f : L →+* M

Context: p : ℕ

Context: inst✝³ : ExpChar K p

Context: inst✝² : ExpChar L p

Context: inst✝¹ : ExpChar M p

Context: inst✝ : PerfectRing L p

Context: x : K

Context: h✝ : x ∈ pNilradical K p

Context: n : ℕ

Context: h : (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i (x ^ p ^ n)) = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i 0)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : (openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).J

Context: Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)

Context: Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)

Context: W : Scheme := pullback (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))

((openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).obj i).OpenCover


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Z.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)

Context: Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)

Context: this : IsLimit (PullbackCone.mk (pullback.snd (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))) (pullback.fst (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst g (𝒰.map i)) ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X

Context: hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Monovary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0


(∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0


Context:
α✝ β✝ : Type u
inst✝ : (P : Prop) → Decidable P
α β γ : Type u
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : γ

a✝ ∈ image₂ f s t ↔ a✝ ∈ Seq.seq (f <$> s) fun x => t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (↑n * x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : α ≃ β

Context: hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ

Context: e : H ≃ G

Context: hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : α ≃ β

Context: e : H ≃ G


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : α ≃ β

Context: e : H ≃ G

Context: g : G

Context: x : β

f.symm ((fun x => e.symm g • x) x) = (fun x => g • x) (f.symm x)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : α ≃ β

Context: e : H ≃ G

Context: g : G

Context: x : α

f.symm ((fun x => e.symm g • x) (f x)) = (fun x => g • x) (f.symm (f x))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets

∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r


∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, Metric.ball 0 √r • W ⊆ U


Metric.ball 0 √r • (s.sup p).ball 0 √r ⊆ U


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β


x ∈ s.sup f ↔ x ∈ s.sup fun x => (f x).val.toFinset


Context:
α : Type u
n : ℕ

Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α

s₁ ∩ s₂ ⊆ s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
p q : R[X]
x : S


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
α✝ : Type u_1
q : α✝ → Prop
f : α → α✝
inst✝¹ : Functor m
inst✝ : LawfulFunctor m
x : m α
hx✝ : SatisfiesM p x
hf : ∀ {a : α}, p a → q (f a)
x' : m { a // p a }
hx : Subtype.val <$> x' = x

Subtype.val <$> (fun x => match x with | ⟨a, h⟩ => ⟨f a, ⋯⟩) <$> x' = f <$> Subtype.val <$> x'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b⁻¹ = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: X : C

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

(J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: X : C

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index Q).L

(J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = NatTrans.app 0 x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: X : C

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index Q).L

Multiequalizer.lift ((unop x✝).index Q) (multiequalizer ((unop x✝).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 0) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = 0 ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a✝ a : α
ha : a ∈ s

∀ (x : α), x ∈ (uniformOfFinset s ⋯).support ↔ x ∈ ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
b : β
f : β → α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₂ ⟶ X₃₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
s : IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) v₁₃ h₃₁
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁

h₁₁ ≫ v₁₃ = v₁₁ ≫ v₂₁ ≫ h₃₁


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)

MeasurableSet {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this : IsComplete univ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this : IsComplete univ
x✝ : α × E

DifferentiableAt 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ↔ DifferentiableAt 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ∧ fderiv 𝕜 (f x✝.1) x✝.2 ∈ univ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

edgeDensity r s t + edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s t = 1


↑(interedges r s t).card + ↑(interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = ↑s.card * ↑t.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
s t : Set α

AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ Z✝ : Pointed
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map f ≫ { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map g


∀ (a : { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.obj X✝) (b : { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.obj Z✝), b ∈ { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map (f ≫ g) a ↔ b ∈ ({ obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map f ≫ { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map g) a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ

⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ + ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
this : Fact (μ s < ⊤)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
this✝ : Fact (μ s < ⊤)
this : Fact (μ t < ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
z : R


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalCommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype o
A : Matrix m n α
B : Matrix o n α
x : o → α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∏ a ∈ s, f a).toNNRat = ∏ a ∈ s, (f a).toNNRat


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℚ
h : x < y
hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α

generateFrom (⋃ n, memPartition t n) = generateFrom (range t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
u : Set α
hu : u ∈ ⋃ n, memPartition t n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
u : Set α
hu : u ∈ range t


Context:
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x : Ring.Perfection R p
n : ℕ

(coeff R p n) (((frobenius (Ring.Perfection R p) p).comp (pthRoot R p)) x) = (coeff R p n) ((RingHom.id (Ring.Perfection R p)) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : SheafOfTypes (J.over Y)

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : Over Y

Context: f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂

Context: W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯

F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : SheafOfTypes (J.over Y)

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : Over Y

Context: f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯

Context: g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : SheafOfTypes (J.over Y)

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : Over Y

Context: f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯

Context: g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯

Context: e : (Over.map f).obj W' ≅ W := Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map f).obj W').left) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : SheafOfTypes (J.over Y)

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : Over Y

Context: f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯

Context: g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯

F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map e.inv.op (((Over.map f).op ⋙ F.val).map g₁'.op (x g₁ hg₁))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : SheafOfTypes (J.over Y)

Context: Z : Over X

Context: T : Presieve Z

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : Over X

Context: W : Over Y

Context: f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁

Context: f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯

Context: g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯

F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂) = F.val.map e.inv.op (((Over.map f).op ⋙ F.val).map g₂'.op (x g₂ hg₂))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι → α
s : Finset ι

∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∑ t ∈ s.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ s \ t, g i


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim

BddAbove (Set.range fun i => mk (g i) ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Small.{u, u_1} ι

Context: g : ι → PGame

Context: hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

Context: i : ι

(∀ (i_1 : (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)


(f * g).signAux = f.signAux * g⁻¹.signAux


(∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = (∏ x ∈ finPairsLT n, if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * ∏ x ∈ finPairsLT n, if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1


(∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = ∏ x ∈ finPairsLT n, (if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1


∀ a ∈ finPairsLT n, (if (f * g) a.fst ≤ (f * g) a.snd then -1 else 1) = (if f (g.signBijAux a).fst ≤ f (g.signBijAux a).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (g.signBijAux a).fst ≤ g⁻¹ (g.signBijAux a).snd then -1 else 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n

(if (f * g) a ≤ (f * g) b then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1


(if f (g a) ≤ f (g b) then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩.snd < ⟨a, b⟩.fst


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.131591

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: i : ι₁

Context: x : M₁ i

Context: y : M₂'

(directSumLeft R M₁ M₂').symm ((lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)) = (lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y


Context: a x z : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
g' : S →ₗ[R] N

map f g ∘ₗ lTensor M g' = map f (g ∘ₗ g')


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y

(y :: z :: l).prev x h = (z :: l).getLast ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfcₙ f a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 p5 : P
hapc : ∠ p1 p5 p3 = π
hbpd : ∠ p2 p5 p4 = π


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a b : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume a b ↔ a = b ∨ 0 ∉ [[a, b]]


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M


map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) ≤ map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M


map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M ≤ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N)


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

N.CG ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N


(∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: n : ℕ

Context: hn : f ^ n = ↑z.den


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: n : ℕ

Context: hn : f ^ n = ↑z.den

Context: this : f ^ n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: n : ℕ

Context: hn : f ^ n = ↑z.den

Context: this : f ^ n ≠ 0

HomogeneousLocalization.mk z = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0

Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0


Splits ((RingHom.id K).comp φ) P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N

↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N


↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1) ^ (n - 2) / ↑n


↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N * (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹


rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹


rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: hN : 4096 ≤ N

Context: n : ℕ := nValue N

Context: hn : 0 < ↑n

Context: hd : 0 < dValue N

Context: hN₀ : 0 < ↑N

Context: hn₂ : 2 < n

Context: this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

Context: this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: hN : 4096 ≤ N

Context: n : ℕ := nValue N

Context: hn : 0 < ↑n

Context: hd : 0 < dValue N

Context: hN₀ : 0 < ↑N

Context: hn₂ : 2 < n

Context: this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: hN : 4096 ≤ N

Context: n : ℕ := nValue N

Context: hn : 0 < ↑n

Context: hd : 0 < dValue N

Context: hN₀ : 0 < ↑N

Context: hn₂ : 2 < n

Context: this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: hN : 4096 ≤ N

Context: n : ℕ := nValue N

Context: hn : 0 < ↑n

Context: hd : 0 < dValue N

Context: hN₀ : 0 < ↑N

Context: hn₂ : 2 < n

Context: this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module.Free R M'

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module.Free R M₁

Context: cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module.Free R M'

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module.Free R M₁

Context: α : Type v

Context: B : Basis α R M


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module.Free R M'

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module.Free R M₁

Context: α : Type v

Context: B : Basis α R M

Context: β : Type v'

Context: B' : Basis β R M'


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module.Free R M'

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module.Free R M₁

Context: α : Type v

Context: B : Basis α R M

Context: β : Type v'

Context: B' : Basis β R M'

Context: this : lift.{v', v} #α = lift.{v, v'} #β


Context:
ι : Type u_1
x : ℕ
t : Finset ι
s : ι → ℕ

x.Coprime (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, x.Coprime (s i)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: m : (i : ι) → E i

(tprodL 𝕜).toMultilinearMap m = (tprod 𝕜) m


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

CompleteLattice.IsCompactElement (span R {x})


∀ (s : Set (Submodule R M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → span R {x} ≤ sSup s → ∃ x_1 ∈ s, span R {x} ≤ x_1


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: d : Set (Submodule R M)

Context: hemp : d.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d

Context: hsup : span R {x} ≤ sSup d


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: d : Set (Submodule R M)

Context: hemp : d.Nonempty

Context: hsup : span R {x} ≤ sSup d

Context: this : x ∈ sSup d


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: d : Set (Submodule R M)

Context: hemp : d.Nonempty

Context: hsup : span R {x} ≤ sSup d

Context: this : x ∈ sSup d

Context: y : Submodule R M

Context: hyd : y ∈ d

Context: hxy : x ∈ y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hi : i ∉ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1

(b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = 0


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
z : ∀ (j : J), r j₁ j


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X

∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


f.coeff ((revAt f.natDegree) 1) = if f.natDegree = 0 then 0 else f.coeff (f.natDegree - 1)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: hA : EquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S

Context: hu : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: x : X

Context: hx : x ∈ S


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u

∀ {a b : α × γ}, Prod.Lex s u ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Prod.Lex r t a b


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.toPrepartition ≤ π₀ ∧ π.iUnion = π₀.iUnion


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
x✝ : l.bDistortion = true


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

whiskerRightIso (F.mapId a) (F.map f) = (F.mapComp (𝟙 a) f).symm ≪≫ F.map₂Iso (λ_ f) ≪≫ (λ_ (F.map f)).symm


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

(Finset.map (Embedding.subtype s) t).card ≤ n


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v w : VectorMeasure α M


Context: k : ℕ

riemannZeta (-↑k) = -↑(bernoulli' (k + 1)) / (↑k + 1)


riemannZeta (-↑0) = -↑(bernoulli' (0 + 1)) / (↑0 + 1)


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: t : TopologicalSpace β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: this : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced f t

IsClosed s ↔ ∃ t_1, IsClosed t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: t : TopologicalSpace β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

(∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = sᶜ) ↔ ∃ t_1, IsOpen t_1ᶜ ∧ f ⁻¹' t_1 = s


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: w₀ : { w // w.IsComplex }

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ convexBodyLT' K f w₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: w₀ : { w // w.IsComplex }

Context: hx : (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)

(∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), -x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: g : γ → β

Context: hg : Injective g

Context: f : β → α

Context: hf : mulSupport f ⊆ Set.range g

Context: this : mulSupport f = g '' mulSupport (f ∘ g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: g : γ → β

Context: hg : Injective g

Context: f : β → α

Context: hf : mulSupport f ⊆ Set.range g


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S

(IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom = RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1})


((IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom).comp (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})) = (RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1})).comp (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1}))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

abs (invInterpStrip f z ε) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)


abs ((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1)) * abs ((↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)


abs (↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)) * abs (↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)


(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1).re * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z).re = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Tendsto (fun c => ∫⁻ (x : α) in φ c, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
x : E

↑‖x‖₊ / ↑r ≤ egauge 𝕜 (closedBall 0 ↑r) x


∀ (c : 𝕜), x ∈ c • closedBall 0 ↑r → ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 ↑r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r


↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊


↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * ↑r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel (α × β) γ
a : β × α
g : γ → ℝ≥0∞

∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.swapLeft a = ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ a.swap


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order


(coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0


∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0


∀ x ∈ antidiagonal n, (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x.1 + x.2 = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β

∏ a : α, dite (p a) (f a) (g a) = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯


(∏ x : { x // x ∈ filter p univ }, f ↑x ⋯) * ∏ x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) univ }, g ↑x ⋯ = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ

(s.erase x).min = ((map toDual.toEmbedding s).erase (toDual x)).max


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝¹ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
a✝ : α


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex x ≤ toLex (update x i a) ↔ x i ≤ a


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x✝ : R

x✝ ∈ a • S ↔ x✝ ∈ comap (RingEquiv.symm ((MulSemiringAction.toRingAut M R) a)) S


x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S ↔ x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingEquiv M R a) S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
ht : t.Nonempty
i : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
this : 𝓝[≠] x ≤ 𝓟 U


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }

Context: t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc' : c' ∈ atlas H ↥t

e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ maximalAtlas (↥s) G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc' : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this : Nonempty ↥t


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this : Nonempty ↥t

Context: x : ↥t

Context: hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this : Nonempty ↥t

Context: x : ↥t

e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ (PartialHomeomorph.refl H).subtypeRestr this ∈ maximalAtlas (↥s) G