Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y

Context: w : ∀ (j : J), X ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y

(leftDistributor X f).inv ≫ g = (leftDistributor X f).inv ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y

Context: j✝ : J

biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ (leftDistributor X f).inv ≫ g = biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ (leftDistributor X f).inv ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: X Y : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⊗ ⨁ f ⟶ Y

Context: j✝ : J

X ◁ biproduct.ι f j✝ ≫ g = X ◁ biproduct.ι f j✝ ≫ h


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω

levyProkhorovEDist μ ν = levyProkhorovEDist ν μ


Context:
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ

(cos z + sin z * I) ^ n = cos (↑n * z) + sin (↑n * z) * I


Context:
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G

[].alternatingProd = ∏ i : Fin [].length, [].get i ^ (-1) ^ ↑i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g h : G
L : List G

g * h⁻¹ * ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i = ∏ i : Fin (L.length + 2), (g :: h :: L).get i ^ (-1) ^ ↑i


g * (h⁻¹ * ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i) = (g :: h :: L).get 0 ^ (-1) ^ ↑0 * ((g :: h :: L).get (Fin.succ 0) ^ (-1) ^ ↑(Fin.succ 0) * ∏ i : Fin L.length, (g :: h :: L).get i.succ.succ ^ (-1) ^ ↑i.succ.succ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: ι : Type u_3

Context: b : ι → Set E

Context: p : ι → Prop

Context: hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)

Context: x : E

(𝓝 x).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: ι : Type u_3

Context: b : ι → Set E

Context: p : ι → Prop

Context: hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: x : E

(map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 0)).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s✝ t : Interval α
a b : α
s : Interval α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n = remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)


↑p ^ (n + 1) * wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) = ↑p ^ (n + 1) * (X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * (X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)))


-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) = ↑p ^ (n + 1) * (X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * (X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field E

Context: inst✝⁸ : Algebra F E

Context: S✝ : Set E

Context: L : Type u_3

Context: L' : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field L'

Context: inst✝⁵ : Algebra F L

Context: inst✝⁴ : Algebra L E

Context: inst✝³ : Algebra F L'

Context: inst✝² : Algebra L' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i

Context: S : Set E

restrictScalars F (adjoin L S) = restrictScalars F (adjoin L' S)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field E

Context: inst✝⁸ : Algebra F E

Context: S✝ : Set E

Context: L : Type u_3

Context: L' : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field L'

Context: inst✝⁵ : Algebra F L

Context: inst✝⁴ : Algebra L E

Context: inst✝³ : Algebra F L'

Context: inst✝² : Algebra L' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: S : Set E

(restrictScalars F (adjoin L S)).toSubfield = (restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubfield


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field E

Context: inst✝⁸ : Algebra F E

Context: S✝ : Set E

Context: L : Type u_3

Context: L' : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field L'

Context: inst✝⁵ : Algebra F L

Context: inst✝⁴ : Algebra L E

Context: inst✝³ : Algebra F L'

Context: inst✝² : Algebra L' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F L E

Context: inst✝ : IsScalarTower F L' E

Context: i : L ≃ₐ[F] L'

Context: S : Set E

Context: x : E

x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L E) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L' E)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : ¬J = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: J' : Submodule R R

Context: hJJ' : J < J'

Context: hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: J' : Submodule R R

Context: hJJ' : J < J'

Context: hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'

Context: x : R

Context: hxJ' : x ∈ J'

Context: hxJ : x ∉ J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hxJ : x ∉ J

Context: hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hxJ : x ∉ J

Context: hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hxJ : x ∉ J

Context: hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this✝ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this : Jac * Ideal.span {x} ≤ J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hxJ : x ∉ J

Context: hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J

Context: this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: n : ℕ

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hxJ : x ∉ J

Context: hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}

Context: hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}

Context: this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J

Context: y : R

Context: hy : y ∈ Jac ^ n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n

(cyclotomic n R).roots = (primitiveRoots n R).val


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⌈a⌉₊ = 0 ↔ a ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β

a ∈ (s.biUnion f).erase b ↔ a ∈ s.biUnion fun x => (f x).erase b


(¬a = b ∧ ∃ a_1 ∈ s, a ∈ f a_1) ↔ ∃ a_1 ∈ s, ¬a = b ∧ a ∈ f a_1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L


∀ (x : LieDerivation R L L) (y : L), ∃ z, (ad R L) (x y) = (ad R L) z


Context: α : Type u_1

∀ (m n : Num), ↑(m.ldiff n) = (↑m).ldiff ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop


type (Sum.Lex EmptyRelation fun x x_1 => x < x_1) ≤ type fun x x_1 => x < x_1


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: xs : Vector α n

Context: σ₁ : Type

Context: β : Type u_1

Context: σ₂ : Type

Context: f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β

Context: f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β

Context: R : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2

Context: n✝ : ℕ

Context: xs✝ : Vector α n✝

Context: x✝ : α

Context: a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).1 (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).2

Context: s₁ : σ₁

Context: s₂ : σ₂

Context: h₀ : R s₁ s₂

R (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).1 (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).2 = (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: c : ι → R

Context: m : (i : ι) → M₁ i

(f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ

⌈↑z⌉ ≤ a ↔ z ≤ a


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∨ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} = ∅


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

∅ ∈ {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∧ ∅.card = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

update f i '' uIcc (f i) b = uIcc f (update f i b)


Context: K : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike K

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace K E

Context: inst✝ : FiniteDimensional K E

Context: this : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E


Context: K : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike K

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace K E

Context: inst✝ : FiniteDimensional K E

Context: this✝ : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E := trans ℝ K E


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G H : Cᵒᵖ ⥤ D
α : F.rightOp ⟶ G.rightOp
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y

(G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (unop X)).unop) X ≫ F.map f).op


Context: X : Scheme

Context: ι : Sort u_1

Context: S : ι → ↑X.affineOpens

Context: hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤

Context: hS' : ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))

Context: U : ↑X.affineOpens


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

IsIntegralClosure (CyclotomicRing p ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField p ℚ)


IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ 1) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ 1) ℚ)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M

(detAux (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det


(Trunc.lift (fun b => detMonoidHom.comp ↑(toMatrixAlgEquiv b)) ⋯ (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: a b : α

Context: s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α

Context: x : α

x ∈ t.ite (s₁ ∩ s₂) (s₁' ∩ s₂') ↔ x ∈ t.ite s₁ s₁' ∩ t.ite s₂ s₂'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: a b : α

Context: x : α

(x ∈ s₁ ∧ x ∈ s₂) ∧ x ∈ t ∨ (x ∈ s₁' ∧ x ∈ s₂') ∧ x ∉ t ↔ (x ∈ s₁ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₁' ∧ x ∉ t) ∧ (x ∈ s₂ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₂' ∧ x ∉ t)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

(Equiv.addLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.addLeft (n • a)) x✝


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ


LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M = 0


IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M)


IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ Fintype.card (ChooseBasisIndex R M))


IsNilpotent ((LinearMap.toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) φ)


Context: X : Scheme


Context: X : Scheme

∀ {U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace} {x : ↑↑X.toPresheafedSpace}, x ∈ U → ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U


Context:
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U


Context: X : Scheme

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hU : x ∈ ↑U

Context: S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}

Context: hxS : x ∈ S

Context: hSU : S ⊆ ↑U


Context: X : Scheme

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hU : x ∈ ↑U

Context: S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxS : x ∈ S

Context: hSU : S ⊆ ↑U

{ carrier := S, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens


Context: X : Scheme

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hU : x ∈ ↑U

Context: i : X.affineBasisCover.J

Context: hxS : x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base

Context: hSU : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base ⊆ ↑U

{ carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
x✝ : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x✝
n : ℕ
x : Fin n → 𝕜


(ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) ((p n) fun x => 1)) x = (0 n) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s.Nonempty


Context: I : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq I

Context: Z : I → Type u_2

Context: inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)

Context: inst✝¹ : Finite I

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: g h : ((i : I) → Z i) →* G

Context: H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)


Context: I : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq I

Context: Z : I → Type u_2

Context: inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)

Context: inst✝¹ : Finite I

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: g h : ((i : I) → Z i) →* G

Context: val✝ : Fintype I


Context: I : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq I

Context: Z : I → Type u_2

Context: inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)

Context: inst✝¹ : Finite I

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: g h : ((i : I) → Z i) →* G

Context: val✝ : Fintype I

Context: k : (i : I) → Z i


Context: I : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq I

Context: Z : I → Type u_2

Context: inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)

Context: inst✝¹ : Finite I

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: g h : ((i : I) → Z i) →* G

Context: val✝ : Fintype I

Context: k : (i : I) → Z i

∏ x : I, g (Pi.mulSingle x (k x)) = ∏ x : I, h (Pi.mulSingle x (k x))


Context: θ : ℝ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.61158, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.61162, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂

φ.τ₃.unop ≫ S₁.g.unop = S₂.g.unop ≫ φ.τ₂.unop


φ.τ₂.unop ≫ S₁.f.unop = S₂.f.unop ≫ φ.τ₁.unop


Context:
n : ℕ
hzero : ¬n = 0

map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic' n ℂ ∧ (cyclotomic n ℤ).degree = (cyclotomic' n ℂ).degree ∧ (cyclotomic n ℤ).Monic


Context:
n : ℕ
hzero : ¬n = 0

map (Int.castRingHom ℂ) ⋯.choose = cyclotomic' n ℂ ∧ ⋯.choose.degree = (cyclotomic' n ℂ).degree ∧ ⋯.choose.Monic


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Star R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : StarAddMonoid A
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
x : A
h : x ∈ skewAdjoint A


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

∏ m ∈ range n, ∏ k ∈ range (m + 1), f k (m - k) = ∏ m ∈ range n, ∏ k ∈ range (n - m), f m k


∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (m + 1), f x.snd (x.fst - x.snd) = ∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (n - m), f x.fst x.snd


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
r : R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F

(adj.homEquiv A X).symm u ≫ p = G.map i ≫ (adj.homEquiv B Y).symm v


G.map u ≫ adj.counit.app X ≫ p = G.map (u ≫ F.map p) ≫ adj.counit.app Y


Context:
n : ℕ
s : ℝ


Context:
n : ℕ
s : ℝ

0 ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc (↑n) (↑n + 1), (x - ↑n) / x ^ (s + 1) ∂volume


Context:
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : IsPiSystem C

Context: hD : IsPiSystem D

Context: s₁ : Set α

Context: hs₁ : s₁ ∈ C

Context: t₁ : Set β

Context: ht₁ : t₁ ∈ D

Context: s₂ : Set α

Context: hs₂ : s₂ ∈ C

Context: t₂ : Set β

Context: ht₂ : t₂ ∈ D

Context: hst : ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂).Nonempty

(fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂ ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : ((s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂)).Nonempty

(s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : IsPiSystem C

Context: hD : IsPiSystem D

Context: s₁ : Set α

Context: hs₁ : s₁ ∈ C

Context: t₁ : Set β

Context: ht₁ : t₁ ∈ D

Context: s₂ : Set α

Context: hs₂ : s₂ ∈ C

Context: t₂ : Set β

Context: ht₂ : t₂ ∈ D

Context: hst : (s₁ ∩ s₂).Nonempty ∧ (t₁ ∩ t₂).Nonempty


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

map₂ m f (g₁ ⊔ g₂) = map₂ m f g₁ ⊔ map₂ m f g₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
val✝ : Fintype α


Context: α : Type u_1


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ

closedBall x r = closedBall y r ∨ Disjoint (closedBall x r) (closedBall y r)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace X

Context: inst✝ : IsUltrametricDist X

Context: x y z : X

Context: r s : ℝ

Context: h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace X

Context: inst✝ : IsUltrametricDist X

Context: x y z : X

Context: r s : ℝ

Context: h₁ : closedBall x r = closedBall h.some r


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace X

Context: inst✝ : IsUltrametricDist X

Context: x y z : X

Context: r s : ℝ

Context: h₂ : closedBall y r = closedBall h.some r


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens


𝟙 X ⁻¹ᵁ U = U


Hom.app (inv f) U = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ inv (Hom.app f (inv f ⁻¹ᵁ U))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : Type u → Prop

Context: of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β

Context: h_empty : P PEmpty.{u + 1}

Context: h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)

Context: α : Type u

Context: inst✝ : Finite α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : Type u → Prop

Context: h_empty : P PEmpty.{u + 1}

Context: α : Type u

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : Type u → Prop

Context: h_empty : P PEmpty.{u + 1}

Context: α : Type u

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α

∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β], α ≃ β → P α → P β


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : Type u → Prop

Context: h_empty : P PEmpty.{u + 1}

Context: α : Type u

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α

∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], P α → P (Option α)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : iIndepFun m f μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝³ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝² : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝¹ : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this : BorelSpace F

Context: φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure

μ {x | g x ≤ r} = ν (Metric.closedBall 0 r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure


Context:
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
α : Type u_3
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Preorder α
f : ι → α
i j : ι
h₁ : i ≤ j
h₂ : f j < f i

(fun x x_1 x_2 => x_1 < x_2) i (toLex (f ∘ ⇑(Equiv.swap i j)) i) (toLex f i)


Context: k✝ p✝ n✝ : ℕ

Context: h✝ : 1 < p✝ ∧ 0 < n✝ ∧ n✝ % p✝ = 0

Context: ih1✝ : go (k✝ + 1 + 1) p✝ (n✝ / p✝) = go (k✝ + 1) p✝ (n✝ / p✝) + 1


Context:
k✝ p✝ n✝ : ℕ
h✝ : ¬(1 < p✝ ∧ 0 < n✝ ∧ n✝ % p✝ = 0)


Context: y : ℝ

WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iic ↑↑y = Iic y


Context: y : ℝ

WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iic ↑↑y) = Iic y


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f : Perm α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2

Summable fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)


Summable fun n => ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R

(if a0 : a = 0 then b else let_fun x := ⋯; gcd (b % a) a) = gcd (b % a) a


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : p x = true

rtakeWhile p (l ++ [x]) = rtakeWhile p l ++ [x]


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
e : σ ≃ τ
h : ((rename ⇑e) φ).IsSymmetric


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝³ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f : ι → E

Context: inst✝ : DecidableEq ι

(gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.det f = ∏ i : ι, ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f i⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f : ι → E

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) x✝, f x✝⟫_𝕜 = (gramSchmidtOrthonormalBasis h f).toBasis.toMatrix f x✝ x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedRing 𝕜
f✝ f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : Integrable g μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c


∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a * g a‖ ≤ (c • fun a => ‖g a‖) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : NormedRing 𝕜
f✝ f g : α → 𝕜
c : ℝ
hg : Integrable g μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
g : G
n : N

inl ((φ g)⁻¹ n) = inr g⁻¹ * inl n * inr g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l : List α
inst✝ : Fintype α
x : α
hx : x ∈ l.formPerm.support
hx' : x ∈ {x | l.formPerm x ≠ x}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : ProperCone 𝕜 E


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''

∃ S, ↑(map H.subtype H'') * S = ↑H ∧ Nat.card ↥(map H.subtype H'') * Nat.card ↑S = Nat.card ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ rightTransversals ↑H''


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0


(fun z => z ^ (p - 1) / log z ^ 2) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
𝔖₁ 𝔖₂ : Set (Set E)
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
h : 𝔖₂ ⊆ 𝔖₁

instUniformSpace σ F 𝔖₁ ≤ instUniformSpace σ F 𝔖₂


UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖₁) ≤ UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card

(fun x => x + t.dens) (s \ t).dens = (fun x => x + t.dens) (t \ s).dens


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v
xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v
this : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

Context: u : Set F

Context: u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x

Context: left✝ : u ⊆ insert (f x) t

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u

Context: v : Set E

Context: v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: vs : v ⊆ insert x s

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v

Context: xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v

Context: this : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: Z : ∃ u_1 ∈ 𝓝[insert x (f ⁻¹' u ∩ v)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

Context: u : Set F

Context: u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x

Context: left✝ : u ⊆ insert (f x) t

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u

Context: v : Set E

Context: v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: vs : v ⊆ insert x s

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v

Context: xmem : x ∈ f ⁻¹' u ∩ v

Context: this✝ : f ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: this : 𝓝[f ⁻¹' u ∩ v] x = 𝓝[insert x s] x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
h_ac : ν ≪ ν + ν'


(μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'

Context: h₁ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'

Context: h₂ : (μ.singularPart ν' + ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'

(μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν + (ν'.withDensity (μ.rnDeriv ν')).rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'

Context: h₃ : (μ.singularPart ν').rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν').rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
hR : IsJacobson R


∀ (P : Ideal R[X]), P.IsPrime → P.jacobson = P


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range

Context: i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: R'_jacob : IsJacobson ↥R'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: R'_jacob : IsJacobson ↥R'

Context: J : Ideal (↥R')[X] := map (mapRingHom i) I


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: R'_jacob : IsJacobson ↥R'

Context: h_surj : Function.Surjective ⇑(mapRingHom i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: R'_jacob : IsJacobson ↥R'

Context: this : J.IsPrime


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α

Context: a b c d x y z : α

Context: n : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f ≤ b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f < b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f = b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb✝ : limsup v f ≤ b
hb : limsup v f = b
hb' : ¬b = ⊤


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0∞


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
a : A


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
a : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

map f (tail ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).tail


↑(map f (tail ⟨s, al⟩)) = ↑(map f ⟨s, al⟩).tail


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubgroup N
h : Independent p

Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → AddSubgroup N

Context: h : Independent (⇑AddSubgroup.toIntSubmodule ∘ p)


Context:
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)
F : Filter ↑(range diracProba)

Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ)) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Context: key : Tendsto diracProba (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto id (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Context: key : Tendsto diracProba (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) (map (⇑diracProbaEquiv) (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F)) (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Context: key : Tendsto (diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Tendsto (fun μ => ↑μ) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

diracProba (diracProbaEquiv.symm μ) = ↑μ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.95146, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.95150, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive


F.map s.r ≫ F.map S.f + F.map S.g ≫ F.map s.s = 𝟙 (F.obj S.X₂)


Context:
f : ℍ → ℂ
z : ℍ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
a✝ : Nontrivial R


Context:
b x✝ y✝ : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y


Context:
α β γ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : CommApplicative F
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : Isometry Φ

hausdorffEdist (Φ '' s) (Φ '' t) = hausdorffEdist s t


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : S


∃ b, IsInteger R (a * (algebraMap R S) ↑b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range

∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e✝ : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: e : I → S

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range

Context: e' : Fin (Fintype.card I) → R

Context: h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = e ∘ ⇑(Fintype.equivFin I).symm


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set (Sym2 V)

G'.deleteEdges (G'.edgeSet ∩ s) = G'.deleteEdges s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ

f.SameCycle x ((f ^ n) y) ↔ f.SameCycle x y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Irreducible (absNorm I)
h : IsUnit I


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
a b : Ideal S
hI : Irreducible (absNorm (a * b))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r

∏ x ∈ s, f x = ∏ xbar ∈ image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
x : α
_hx : x ∈ s

∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = ∏ x ∈ filter (fun c' => Quotient.mk'' c' = Quotient.mk'' x) s, f x


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hs : s.Nonempty
hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

(∑ i ∈ s, w i / z i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: this : ∏ i ∈ s, (1 / z) i ^ w i ≤ ∑ i ∈ s, w i * (1 / z) i


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹

Context: this : ∏ x ∈ s, (z x)⁻¹ ^ w x ≤ ∑ x ∈ s, w x * (z x)⁻¹


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹

Context: this : (∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹)⁻¹ ≤ (∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹

(∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, z i ^ w i


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹

Context: p_pos₂ : 0 < (∏ i ∈ s, z i ^ w i)⁻¹


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ

Context: hs : s.Nonempty

Context: hw : ∀ i ∈ s, 0 < w i

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hz : ∀ i ∈ s, 0 < z i

Context: p_pos : 0 < ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i

Context: s_pos : 0 < ∑ i ∈ s, w i * (z i)⁻¹

Context: p_pos₂ : 0 < (∏ i ∈ s, z i ^ w i)⁻¹

∏ x ∈ s, (z x ^ w x)⁻¹ ≤ ∏ i ∈ s, (z i)⁻¹ ^ w i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a
ha : a < 1


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
a0 : 0 < a
ha : 1 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
v i₁ : α
vi₁ : v * i₁ = 1
iv₁ : i₁ * v = 1
i₂ : α
vi₂ : v * i₂ = 1
iv₂ : i₂ * v = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u✝ v : Set α

Context: inst✝ : PreconnectedSpace α

Context: P : α → α → Prop

Context: h : ∀ (x : α), ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, P x y ∧ P y x

Context: h' : Transitive P

Context: x y : α

Context: u : Set α := {z | P x z}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u✝ v : Set α

Context: inst✝ : PreconnectedSpace α

Context: P : α → α → Prop

Context: h' : Transitive P

Context: x y : α

Context: u : Set α := {z | P x z}

Context: A : IsClosed u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u✝ v : Set α

Context: inst✝ : PreconnectedSpace α

Context: P : α → α → Prop

Context: h' : Transitive P

Context: x y : α

Context: u : Set α := {z | P x z}

Context: A : IsClosed u

Context: B : IsOpen u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u✝ v : Set α

Context: inst✝ : PreconnectedSpace α

Context: P : α → α → Prop

Context: h' : Transitive P

Context: x y : α

Context: u : Set α := {z | P x z}

Context: A : IsClosed u

Context: B : IsOpen u

Context: C : u.Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u✝ v : Set α

Context: inst✝ : PreconnectedSpace α

Context: P : α → α → Prop

Context: h' : Transitive P

Context: x y : α

Context: u : Set α := {z | P x z}

Context: A : IsClosed u

Context: B : IsOpen u

Context: C : u.Nonempty

Context: D : u = univ


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0

riemannZeta (2 * ↑k) = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ (2 * k))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0

(succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree ≠ 0


Context: G : PGame

G.Impartial ↔ G ≈ -G ∧ (∀ (i : G.LeftMoves), (G.moveLeft i).Impartial) ∧ ∀ (j : G.RightMoves), (G.moveRight j).Impartial


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

Epi ((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
n : ℕ
hn : Associated x (ϖ ^ n)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
n : ℕ
u : Rˣ
hx : ϖ ^ n * ↑u ≠ 0
hn : Associated (ϖ ^ n * ↑u) (ϖ ^ n)


Context: z : ℂ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

HasMFDerivAt I I' f x (mfderiv I I' f x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderiv I I' f x) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableAt I I' f x

HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: H : longestPrefix x s < firstDiff x y

Context: xs : x ∉ s

Context: ys : y ∉ s

Context: l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s

cylinder x (longestPrefix x s) = cylinder y (longestPrefix y s)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: H : longestPrefix x s < firstDiff x y

Context: xs : x ∉ s

Context: ys : y ∉ s


Context:
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs


Context: p : ℕ

Context: p_prime : Nat.Prime p

Context: m n : ℤ

Context: k l : ℕ

Context: hpm : ↑(p ^ k) ∣ m

Context: hpn : ↑(p ^ l) ∣ n

Context: hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n

Context: hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs

Context: hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs

Context: hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs

Context: hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'

Context: hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs


Context: p : ℕ

Context: p_prime : Nat.Prime p

Context: m n : ℤ

Context: k l : ℕ

Context: hpm : ↑(p ^ k) ∣ m

Context: hpn : ↑(p ^ l) ∣ n

Context: hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n

Context: hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs

Context: hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs

Context: hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs


Context: p : ℕ

Context: p_prime : Nat.Prime p

Context: m n : ℤ

Context: k l : ℕ

Context: hpm : ↑(p ^ k) ∣ m

Context: hpn : ↑(p ^ l) ∣ n

Context: hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n

Context: hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs

Context: hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs

Context: hsd2 : p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.inv


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K

∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: n : ℕ

Context: a c : K

Context: p : ℕ

Context: pn : p > n

Context: pp : Nat.Prime p

Context: h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: n : ℕ

Context: a c : K

Context: p : ℕ

Context: pn : p > n

Context: pp : Nat.Prime p


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedRing K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: n : ℕ

Context: a c : K

Context: p : ℕ

Context: pn : p > n

Context: pp : Nat.Prime p

↑⌈|a|⌉ * ↑⌈|c|⌉ ^ p = ↑(⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : AddSubmonoid N


Context:
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b

isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b✝ : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)

Context: hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a

Context: b : α

Context: hb : ¬IsMax b

Context: hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)

Context: H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b✝ : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)

Context: hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a

Context: b : α

Context: hb : ¬IsMax b

Context: hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)

(if hb : IsSuccLimit (succ b) then hl (succ b) hb else let_fun H := ⋯; ⋯.mpr (hs (Classical.choose ⋯) ⋯)) = hs b hb


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b✝ : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)

Context: hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a

Context: b : α

Context: hb : ¬IsMax b

Context: hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)

HEq (hs (Classical.choose ⋯) ⋯) (hs b hb)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

((∃ i, x = (-y).moveRight i) ∨ ∃ i, x = (-y).moveLeft i) ↔ (∃ i, -x = y.moveLeft i) ∨ ∃ i, -x = y.moveRight i


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Involutive f
hne : f ≠ id
H : f^[n] = f
hn : Even n


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a✝ b c a : α


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α

s ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i


(∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i) → s ∈ ⨅ i, f i


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s t✝ : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
t : ι → Set α
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ f i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y

S ∈ (J.over X).sieves Y ↔ (Sieve.overEquiv Y) S ∈ J.sieves Y.left


Context: x y : ℂ

sin ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sin x)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q✝ q' : Submodule R₂ M₂
x : M
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p q : Submodule R M


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
η : Type u_6
Gs : η → Type u_7
inst✝ : (i : η) → Monoid (Gs i)
x : (i : η) → Gs i
h : IsOfFinOrder x
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : x ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α


Context:
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x
n : ¬∃ y_1, y_1 ∈ y


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

card (InfinitePlace K) = NrRealPlaces K + NrComplexPlaces K


card (InfinitePlace K) = card { x // x.IsReal ∨ x.IsComplex }


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c

DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c ↔ DifferentiableOn ℂ f s


DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c → DifferentiableOn ℂ f s


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
x : ℂ
hx : x ∈ s
hs : s ∈ 𝓝 x
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {x})
hc : ContinuousAt f x


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s
hne : x ≠ c


Context:
z : ℤ
hz : z ≠ 0


Context: α✝ β✝ α : Type u

Context: β : Type v

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c

Context: b : β

↑(⇑Equiv.ulift '' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})


Context: α✝ β✝ α : Type u

Context: β : Type v

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: f : α → β

Context: b : β

↑(⇑Equiv.ulift.symm ⁻¹' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})


Context: α✝ β✝ α : Type u

Context: β : Type v

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: this : ⇑Equiv.ulift.symm = ULift.up

↑(ULift.up ⁻¹' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})


Context: α✝ β✝ α : Type u

Context: β : Type v

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: this : ⇑Equiv.ulift.symm = ULift.up


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R


(0 ≤ x ∧ x ≤ 1) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ↔ 0 < x ∧ x < 1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

Small.{max v w, u} (FullSubcategory (FilteredClosure f))


∀ (b : FullSubcategory (FilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = b.obj


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : FilteredClosure f j

∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α


s ∪ t ⊆ ∅ ↔ s ⊆ ∅ ∧ t ⊆ ∅


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = v ⬝ᵥ (crossProduct w) u


Context:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
f : Set ((i : ι) → α i)

f ∈ squareCylinders C ↔ f ∈ ⋃ s, (fun t => (↑s).pi t) '' univ.pi C


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)

HasSum (fun i => ∫ (a : α), f a ∂μ i) (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)


Tendsto (fun s => ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε

∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hf : Integrable f (Measure.sum μ)

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hf : Integrable f (Measure.sum μ)

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: hmem : ∀ᶠ (y : ℝ≥0∞) in 𝓝 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ), ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < y + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hf : Integrable f (Measure.sum μ)

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ∑ b ∈ s, (fun i => ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i) b + ↑ε

∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν✝ : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hf : Integrable f (Measure.sum μ)

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: ν : Measure α

Context: hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν✝ : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hf : Integrable f (Measure.sum μ)

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: ν : Measure α

Context: hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ

↑(nndist (∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i) (∫ (a : α), f a ∂(∑ i ∈ s, μ i + ν))) < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν✝ : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: ν : Measure α

Context: hf : Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ∧ Integrable f ν

Context: hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν✝ : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: ν : Measure α

Context: hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ

∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν < ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν✝ : Measure α

Context: ι : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → G

Context: μ : ι → Measure α

Context: hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: s : Finset ι

Context: ν : Measure α

Context: hs : ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i + ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ∑ b ∈ s, (fun i => ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ i) b + ↑ε

Context: hν : ∑ i ∈ s, μ i + ν = Measure.sum μ

∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν < ↑ε


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ : Triangle Cᵒᵖ

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C

Context: T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: e : T₂ ≅ T₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: e : T₂ ≅ T₁

Context: hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = nil.append s ∧ s2 = s) (nil.append s).destruct s.destruct


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s : Seq α

match (corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s)).destruct, s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ ∃ s_1, s = corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s_1) ∧ s' = s_1 | x, x_1 => False


match omap (corec fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (match (nil, s).1.destruct with | none => match (nil, s).2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', (nil, s).2)), s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ ∃ s_1, s = corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s_1) ∧ s' = s_1 | x, x_1 => False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.dblY P / W.dblZ P ^ 3 = W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι' : Sort u_1
inst✝ : Inv G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : ContinuousInv G
h₂ : ContinuousInv G


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι' : Sort u_1
inst✝ : Inv G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : ContinuousInv G
h₂ : ContinuousInv G
b : Bool


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁴ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝³ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: a : ↥R⁰

Context: I₀ : Ideal R

Context: h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀

↑(Ideal.absNorm I.num) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁴ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝³ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: a : ↥R⁰

Context: I₀ : Ideal R

↑(Ideal.absNorm I.num) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a| = ↑(Ideal.absNorm I₀) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁴ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝³ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: a : ↥R⁰

Context: I₀ : Ideal R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.127177, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127181, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproduct S.X₁ S.X₃

biprod.lift h.r S.g ≫ biprod.desc S.f h.s = 𝟙 S.X₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ ⊕ α

Context: hf : Partrec f

Context: F : α → ℕ →. σ ⊕ α := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ ⊕ α

Context: hf : Partrec f

Context: hF : Partrec₂ F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α →. σ ⊕ α

Context: hf : Partrec f

Context: hF : Partrec₂ F

Context: p : α → ℕ → Part Bool := fun a n => Part.map (fun s => Sum.casesOn s (fun x => true) fun x => false) (F a n)