Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsClosed S

Context: hne : S.Nonempty

Context: V : Set X

Context: Vsub : V ⊆ S

Context: Vne : V.Nonempty

Context: Vcls : IsClosed V

Context: hV : ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsClosed S

Context: hne : S.Nonempty

Context: x : X

Context: Vsub : {x} ⊆ S

Context: Vne : {x}.Nonempty

Context: Vcls : IsClosed {x}

Context: hV : ∀ V' ⊆ {x}, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = {x}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x


(fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = derivWithin f s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : l ≠ []
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop

(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x


(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun h => h * t) (ae μ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝¹ : ℕ
f : Fin (n✝¹ + 1) → α
a : α
n✝ n m : ℕ
h : n ≤ m

∀ {a b : Fin n}, { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : AddCommMonoid B
inst✝⁸ : Module R B
inst✝⁷ : AddCommMonoid C
inst✝⁶ : Module R C
inst✝⁵ : AddCommMonoid D
inst✝⁴ : Module R D
inst✝³ : CoalgebraStruct R A
inst✝² : CoalgebraStruct R B
inst✝¹ : CoalgebraStruct R C
inst✝ : CoalgebraStruct R D
φ₁ : B →ₗc[R] C
φ₂ : A →ₗc[R] B
x✝ : A

(map __src✝ __src✝ ∘ₗ comul) x✝ = (comul ∘ₗ __src✝) x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'


¬s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'
yt : y ∉ t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'
yt : y ∉ t
this : (s ∩ (tᶜ ∩ t'ᶜ)).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
h : IsPreconnected s
t t' : Set α
ht : IsClosed t
ht' : IsClosed t'
htt' : s ⊆ t ∪ t'
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
y : α
ys : y ∈ s
yt' : y ∈ t'
h' : s ⊆ tᶜ ∪ t'ᶜ
xt' : x ∉ t'
yt : y ∉ t
this : (s ∩ (t ∪ t')ᶜ).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

¬s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ

Context: xv : x ∉ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ

Context: xv : x ∉ v

Context: yu : y ∉ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ

Context: xv : x ∉ v

Context: yu : y ∉ u

Context: this : (s ∩ (uᶜ ∩ vᶜ)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v

Context: h' : s ⊆ uᶜ ∪ vᶜ

Context: xv : x ∉ v

Context: yu : y ∉ u

Context: this : (s ∩ (u ∪ v)ᶜ).Nonempty


Context:
α : Type u
i : Nat
a : Array α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β

Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E

‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : BooleanAlgebra β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α

{ ofColex := s \ t } ≤ { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivAt (f i) (f' i) x

HasDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑(f.extend I) x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
f : α → β
l₁ l₂ : List α

map f (l₁.reverseAux l₂) = (map f l₁).reverseAux (map f l₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'

smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

Context: m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀' : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀' = (A.val.map f.op) m'

(A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : Mono f

Context: Z : C

Context: g h : Z ⟶ G.obj X

Context: H : (adj.homEquiv Z Y).symm (g ≫ G.map f) = (adj.homEquiv Z Y).symm (h ≫ G.map f)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y

f.app (op [n]) ≫ (Q q).f n = (Q q).f n ≫ f.app (op [n])


f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (K[Y].X n) = 𝟙 (K[X].X n) ≫ f.app (op [n])


f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (Y _[n]) = 𝟙 (X _[n]) ≫ f.app (op [n])


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

s.ncard = t.ncard ↔ (s \ t).ncard = (t \ s).ncard


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

Context: e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)

eval 0 (derivative (1 + X • M.map ⇑C).det) = M.trace


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

eval 0 (derivative ((reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C)).det) = M.trace


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R

(reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C) = 1 + X • (e M).map ⇑C


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: M✝ M : Matrix n n R


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α

incMatrix R G a e * incMatrix R G b e = (G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b).indicator 1 e


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j : α
h : i + 1 ≠ j

(if h : i + 1 = j then d i ≫ eqToHom ⋯ else 0) = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ

∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : 0 < T


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
t s : ℝ
hf : Periodic f 0

∫ (x : ℝ) in t..t + 0, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + 0, f x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : T < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M

M ⊨ Language.order.denselyOrderedSentence ↔ DenselyOrdered M


(∀ (a a_1 : M), Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 → ∃ a_3, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 1) ↔ DenselyOrdered M


Context: L : Language

Context: α : Type w

Context: M : Type w'

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Preorder M

Context: h : DenselyOrdered M

Context: a b : M

Context: ab : Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 1

∃ a_1, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 1


Context:
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 (1 / 2)


Context:
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1)) volume 0 (1 / 2)


Context:
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ

ContinuousOn (fun x => (1 - ↑x) ^ (v - 1)) (uIcc 0 (1 / 2))


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ

Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι


generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}


{t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s} ⊆ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}


∀ s ∈ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}, IsOpen s


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
n d : ℕ
hnd : d ∣ n

φ (n / d) = (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card


Context:
n : ℕ
hnd : 0 ∣ n

φ (n / 0) = (filter (fun k => n.gcd k = 0) (range n)).card


Context:
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
hd0 : d > 0


Context:
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ

φ (d * x / d) = (filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))).card


Context:
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ

φ x = (filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))).card


Context:
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ

∀ a ∈ filter x.Coprime (range x), d * a ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))


Context:
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ

∀ a₁ ∈ filter x.Coprime (range x), ∀ a₂ ∈ filter x.Coprime (range x), d * a₁ = d * a₂ → a₁ = a₂


Context:
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ

∀ b ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x)), ∃ a, ∃ (_ : a ∈ filter x.Coprime (range x)), d * a = b


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ

(s.sup' H p).closedBall e r = s.inf' H fun i => (p i).closedBall e r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b

mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : b < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : b < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a < 1

Context: hb : 1 ≤ b

Context: this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a < 1

Context: hb : 1 ≤ b

Context: h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a < 1

Context: hb : 1 ≤ b

Context: h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b

Context: ab : a * b ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a < 1

Context: hb : 1 ≤ b

Context: h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b

Context: ab : 1 < a * b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred ⊥


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume

Context: eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u

∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a

Context: t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s

Context: hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s

Context: t : ℝ

Context: Ht : t ∈ Ioo 0 1

Context: hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s

Context: t : ℝ

Context: Ht : t ∈ Ioo 0 1

∃ x_1 ∈ Icc 0 1, f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) x_1)) (y - x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s

Context: t : ℝ

Context: Ht : t ∈ Ioo 0 1

f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) t)) (y - x)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsClosed s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), g x ⤳ f x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet

Context: x : F

e₂.coordChange e₃ b (e₁.coordChange e₂ b x) = e₁.coordChange e₃ b x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet

Context: x : F


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c

(shiftFunctorAdd (OppositeShift C A) a b).hom.app X = ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app (Opposite.unop X)).op


𝟙 ((shiftFunctor (OppositeShift C A) (a + b)).obj X) = 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C (a + b)).obj (Opposite.unop X)))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace Y

Context: inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated

Context: f : X → Y

Context: U : ℕ → Set (Y × Y)

Context: left✝ : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 Y ∧ IsOpen (U i) ∧ SymmetricRel (U i)

Context: hU : (𝓤 Y).HasAntitoneBasis fun i => id (U i)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace Y

Context: inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated

Context: f : X → Y

Context: U : ℕ → Set (Y × Y)

IsGδ {x | Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 Y)}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace Y

Context: inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated

Context: f : X → Y

Context: U : ℕ → Set (Y × Y)

IsGδ (⋂ i, {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U i})


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace Y

Context: inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated

Context: f : X → Y

Context: U : ℕ → Set (Y × Y)

Context: k : ℕ

Context: x : X

x ∈ {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} → {x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace Y

Context: inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated

Context: f : X → Y

Context: U : ℕ → Set (Y × Y)

Context: k : ℕ

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: hsU : ∀ x ∈ s ×ˢ s, (f x.1, f x.2) ∈ U k

Context: hsx : x ∈ s

Context: hso : IsOpen s

{x | ∃ ia, (x ∈ ia ∧ IsOpen ia) ∧ ∀ x ∈ ia ×ˢ ia, (f x.1, f x.2) ∈ U k} ∈ 𝓝 x


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: s : Set ℝ

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty

Context: hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: s : Set ℝ

Context: hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0

Context: δ : ℝ

Context: hδs : δ ∈ s

Context: δ_nonpos : δ ∉ Ioi 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: s : Set ℝ

Context: hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0

Context: δ : ℝ

Context: hδs : δ ∈ s

Context: δ_nonpos : δ ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Monovary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i


(∀ (i j : ι), f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i ≤ f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i


Context:
α : Type u
x y : ℕ


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∃ n, p n


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
n : ℕ

↑n ≤ Module.rank K V ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ↑s }) K Subtype.val


(∃ s, (∃ t, ↑t = s ∧ t.card = n) ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val) ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ↑s }) K Subtype.val


Context:
f : Code
k : Cont'

codeSupp f.fix k = trStmts₁ (trNormal f.fix k) ∪ codeSupp f (Cont'.fix f k)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x z : α
hz : z ∈ Ioi x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
hs : Dense s
x z : α
hz : z ∈ Ioi x
y : α
hys : y ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : NormalWord d


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
p : α → Bool

(if p x = true then 0 :: foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1 else foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1) = bif p x then 0 :: map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs) else map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)


(if p x = true then 0 :: foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1 else foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1) = if p x = true then 0 :: map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs) else map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
h : Red ((x, b) :: L) []


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x : α

Context: b : Bool

Context: h : Red ((x, b) :: L) []

Context: h₁ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x : α

Context: b : Bool

Context: h : Red ((x, b) :: L) []

Context: h₂ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x : α

Context: b : Bool

Context: h : Red ((x, b) :: L) []

Context: h₁✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) [(x, !b)]

Context: h₂✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L

Context: L' : List (α × Bool)

Context: h₁ : Red [(x, !b)] L'

Context: h₂ : Red L L'


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x : α

Context: b : Bool

Context: h : Red ((x, b) :: L) []

Context: h₂✝ : Red ((x, !b) :: (x, b) :: L) L

Context: L' : List (α × Bool)

Context: h₁ : L' = [(x, !b)]

Context: h₂ : Red L L'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
ι : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M

IsNilpotent ((toMatrix b b) f) ↔ IsNilpotent f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
ι : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

(eval P) W.polynomialY / P z ^ 3 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialY


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α

x ∈ fract '' s ↔ x ∈ ⋃ m, (fun x => x - ↑m) '' s ∩ Ico 0 1


(∃ x_1 ∈ s, fract x_1 = x) ↔ ∃ i, (∃ x_1 ∈ s, x_1 - ↑i = x) ∧ x ∈ Ico 0 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a

lintegral μ F = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


lintegral μ F ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ ⨆ n, f n x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x

(SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
a : ℝ≥0∞
ha : a < 1

a * (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < 1
ha : ↑r < 1

↑r * (SimpleFunc.map ofNNReal s).lintegral μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f
c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal
F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a
s : α →ₛ ℝ≥0
hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x
r : ℝ≥0
right✝ : ↑r < 1
ha✝ : ↑r < 1
ha : r < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: h_mono : Monotone f

Context: c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal

Context: F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a

Context: s : α →ₛ ℝ≥0

Context: hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x

Context: r : ℝ≥0

Context: right✝ : ↑r < 1

Context: ha✝ : ↑r < 1

Context: ha : r < 1

Context: rs : α →ₛ ℝ≥0 := SimpleFunc.map (fun a => r * a) s

Context: eq_rs : SimpleFunc.map c rs = const α ↑r * SimpleFunc.map c s

Context: eq : ∀ (p : ℝ≥0∞), ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} = ⋃ n, ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {p} ∩ {a | p ≤ f n a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: h_mono : Monotone f

Context: c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal

Context: F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a

Context: s : α →ₛ ℝ≥0

Context: hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x

Context: r : ℝ≥0

Context: right✝ : ↑r < 1

Context: ha✝ : ↑r < 1

Context: ha : r < 1

Context: mono : ∀ (r : ℝ≥0∞), Monotone fun n => ↑(SimpleFunc.map c rs) ⁻¹' {r} ∩ {a | r ≤ f n a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: h_mono : Monotone f

Context: c : ℝ≥0 → ℝ≥0∞ := ofNNReal

Context: F : α → ℝ≥0∞ := fun a => ⨆ n, f n a

Context: s : α →ₛ ℝ≥0

Context: hsf : ∀ (x : α), ↑(↑s x) ≤ ⨆ n, f n x

Context: r : ℝ≥0

Context: right✝ : ↑r < 1

Context: ha✝ : ↑r < 1

Context: ha : r < 1

Context: h_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet {a | ↑(SimpleFunc.map c rs) a ≤ f n a}


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

↑a ∈ MulAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ MulAction.orbit (↥H) c


c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a ↔ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b


MulAction.orbit ↥H ↑b = MulAction.orbit ↥H ↑a


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((r • μ).withDensity f) s = (r • μ.withDensity f) s


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)

∀ (i j : ℤ), ⟪fourierLp 2 i, fourierLp 2 j⟫_ℂ = if i = j then 1 else 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ

⟪fourierLp 2 i, fourierLp 2 j⟫_ℂ = if i = j then 1 else 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ

∫ (x : AddCircle T), (starRingEnd ℂ) ((fourier i) x) * (fourier j) x ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ

∫ (x : AddCircle T), (fourier (-i + j)) x ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
h : ¬i = j

∫ (x : AddCircle T), (fourier (-i + j)) x ∂haarAddCircle = 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
h : ¬i = j
hij : -i + j ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
t : Closeds α
ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s}
x : α
hx : x ∈ t


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
t : Closeds α
ht : t ∈ closure {t | ↑t ⊆ s}
x : α
hx : x ∈ t
this : x ∈ closure s


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
r : R
n p✝ p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℕ
h : NeZero ↑k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
f : β → α
l : Filter β

Tendsto (fun x => dist c (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ 𝓒 u v s

Context: hva : v ≤ a

Context: hvu : v = ⊥ → u = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: hva : v ≤ a

Context: hvu : v = ⊥ → u = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s✝ t : Set α
p q : α → Prop
is : Set β
s : β → Set α
his : is.Finite


Context:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
φ : L.Sentence

Formula.Realize φ default ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, Formula.Realize φ default


Formula.Realize φ default = Formula.Realize φ fun i => Quotient.mk' fun a => default i


Context:
m n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : n < m


Context: m n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h : n < m

Context: this : ∀ {n : ℕ}, 0 < n → n ! < (n + 1)!


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α

(f * g).cycleOf x = f.cycleOf x * g.cycleOf x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α
hfx : f x = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α
hgx : g x = x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
y : β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
N : Type u_5
O : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
P : Submodule R M
Q : Submodule R N
S : Submodule R O
e : M ≃ₗ[R] N
f : N ≃ₗ[R] O
he : map e P = Q
hf : map f Q = S
hef : map (e ≪≫ₗ f) P = S
x✝ : M ⧸ P

(equiv P S (e ≪≫ₗ f) hef) x✝ = (equiv P Q e he ≪≫ₗ equiv Q S f hf) x✝


(P.mapQ S (↑f ∘ₗ ↑e) ⋯) x✝ = (Q.mapQ S ↑f ⋯) ((P.mapQ Q ↑e ⋯) x✝)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(whiskerRight (𝟙 M) N).hom = (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (whiskerRight (𝟙 M) N).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (𝟙 M.X ▷ Y.X ▷ N.X) (𝟙 M.X ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ φ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ

((χ * φ).ringHomComp f) ↑a✝ = (χ.ringHomComp f * φ.ringHomComp f) ↑a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s


Context:
J : Type v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.IsRightAdjoint
A : C
B : D
h : A ⟶ G.obj B

(fun x => (Adjunction.ofIsRightAdjoint G).unit.app A) PUnit.unit ≫ G.map (((Adjunction.ofIsRightAdjoint G).homEquiv A B).symm h) = h


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : T.invRotate.mor₃ = 0 ↔ Epi T.invRotate.mor₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : T.mor₂ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app T.3 = 0 ↔ Epi T.mor₁


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

(α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv = (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i


((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i = ((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius

∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ↑r < p.radius

Context: this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ↑r < p.radius

∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ∃ i i_1, ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ i_1), ↑r < ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: t : ℝ≥0

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Context: rt : ↑r < ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: t : ℝ≥0

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Context: rt : r < t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n

Context: t : ℝ≥0

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Context: rt : ↑r < ↑t

Context: this : 0 < ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: t : ℝ≥0

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Context: rt : ↑r / ↑t < 1

Context: this : 0 < ↑t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: t : ℝ≥0

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Context: rt : ↑r / ↑t < 1

Context: this : 0 < ↑t

Context: n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))

Context: hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] volume

∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X


IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex))


((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex).ExactAt (n + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y

Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X ↔ S ∈ J.sieves Y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y
H : Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X


S = Sieve.pullback (inv i) (Sieve.pullback i S)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : IsOpen t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₂ < b₁

Ioo a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (max a₁ a₂) b₂


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k

¬(c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) ∧ ∀ (i : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))


c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) → ∃ x, c'.Rel (e.f x) (e.f k)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
a✝ : c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
inst✝³ : SecondCountableTopology G
μ ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsHaarMeasure
K : PositiveCompacts G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsHaarMeasure

Context: K : PositiveCompacts G

Context: h : haarMeasure K = ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν) • ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsHaarMeasure

Context: K : PositiveCompacts G

(μ ↑K * ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν)) • ν ≪ ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι✝

Context: inst✝⁵ : LocallyFiniteOrderBot ι✝

Context: inst✝⁴ : IsWellOrder ι✝ fun x x_1 => x < x_1

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: inst✝² : LocallyFiniteOrder ι

Context: inst✝¹ : OrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V

(∀ φ ∈ dualAnnihilator W, φ v = 0) ↔ v ∈ W


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E

⨍ (x : α), f x ∂μ = (μ univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.snd f g).op


(pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.snd f g).op.unop


(pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inr f.op g.op).unop = pullback.snd f g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K

(filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : NumberField k

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

{p | S ⊆ ↑p} = ∅ ↔ ¬((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable


((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable ↔ ∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}


(∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}) → ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
p : T.CompleteType α
hp : p ∈ {p | S ⊆ ↑p}

((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R

IsSMulRegular (M ⧸ N) r → r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
a✝ : IsSMulRegular (M ⧸ N) r

r • ⊤ ⊓ N = map (DistribMulAction.toLinearMap R M r) (comap ((LinearMap.lsmul R M) r) N)


Context: z : ℂ


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : B.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Group G
V W : FDRep k G
g : G

(of (linHom V.ρ W.ρ)).character g = V.character g⁻¹ * W.character g


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i✝ i : ι

Context: h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y

Context: ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)

∀ (a : α i), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i a)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i✝ i : ι

Context: a✝ a : α i

Context: ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y

(fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) a


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i✝ i : ι

Context: a✝ a : α i

Context: x : Π₀ (i : ι), α i

Context: k : ι

Context: hr : ∀ (j : ι), r j k → x j = (single i a) j

Context: hs : s k (x k) ((single i a) k)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i✝ i : ι

Context: a✝ a : α i

Context: x : Π₀ (i : ι), α i

Context: k : ι

Context: hs : s k (x k) (if h : i = k then Eq.recOn h a else 0)


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
hb : b ≠ 0
h : a * b = c


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure α


(mapₗ f) μ = (mapₗ (AEMeasurable.mk f ⋯)) μ


Context: m k n : ℕ+


Context: m k n : ℕ+

↑m ∣ ↑k → (↑k).Coprime ↑n → (↑m).Coprime ↑n


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
ha : a ∈ m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
t : Multiset α
ha : a ∈ a ::ₘ t


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

rayOfNeZero R x hx = e.orientation ∨ rayOfNeZero R x hx = -e.orientation


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx✝ : x ≠ 0
hx : x ⇑e ≠ 0

rayOfNeZero R x hx✝ = e.orientation ∨ rayOfNeZero R x hx✝ = -e.orientation


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure ↑S = ⊤

closure ↑(Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)) = ⊤


closure ((fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (↑R * ↑S)) = ⊤


Context:
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)


Context:
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
i : ι
x✝ : i ∈ univ


Context:
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
i : ι

(fun x => r • x) (fun i => Classical.choose ⋯) i = x i


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

Fintype.card (TruncatedWittVector p n (ZMod p)) = p ^ n


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q


(∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑((p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree / 2) → q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹ → IsUnit q) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = C * integral μ (map norm f)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C : ℝ

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • ‖x‖


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'

Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: m' : MeasurableSpace β

Context: μ' : Measure β

Context: s' : Set β

Context: g : α → β

Context: e : α ≃ᵐ β

Context: h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'

Context: this : MeasurePreserving (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' μ' ↔ MeasurePreserving f μ μ


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: m' : MeasurableSpace β

Context: μ' : Measure β

Context: s' : Set β

Context: g : α → β

Context: e : α ≃ᵐ β

Context: h : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y
hcon : ∀ e ∈ Y, e ∈ M.closure X


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E

Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((const α c).restrict s).lintegral μ = c * μ s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H


Context: x y : ℂ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : W.Nonsingular (u • P)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ u : Rˣ

Context: P : Fin 3 → R

Context: h✝ : W.Nonsingular (u • P)

Context: h : W.Equation (u • P)

Context: h' : W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ u : Rˣ

Context: P : Fin 3 → R

Context: h✝ : W.Nonsingular (u • P)

Context: h : W.Equation (u • P)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P✝ : Fin 3 → R

Context: u✝ u : Rˣ

Context: P : Fin 3 → R

Context: h✝ : W.Nonsingular (u • P)

Context: h : W.Equation (u • P)

Context: h' : W.a₁ * P 1 * P 2 = 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 * P 2 = -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 = W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Projective R

Context: P : Fin 3 → R

Context: u : Rˣ

Context: this : ∀ (u : Rˣ) {P : Fin 3 → R}, W.Nonsingular (u • P) → W.Nonsingular P

Context: h : W.Nonsingular P


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i n)


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < 1 - ε ↑(r i x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: h : Disjoint s t

Context: f : α → β

Context: comm : {x | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(s ∪ t).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t : Finset α

Context: f : α → β

Context: sl : List α

Context: sl' : sl.Nodup

Context: h : Disjoint sl.toFinset t

Context: comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(sl.toFinset ∪ t).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: sl : List α

Context: sl' : sl.Nodup

Context: tl : List α

Context: tl' : tl.Nodup

Context: h : Disjoint sl.toFinset tl.toFinset

Context: comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: sl : List α

Context: sl' : sl.Nodup

Context: tl : List α

Context: tl' : tl.Nodup

Context: h : sl.Disjoint tl


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G

∃ u, (𝓝 1).HasAntitoneBasis u ∧ ∀ (n : ℕ), u (n + 1) * u (n + 1) ⊆ u n


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
inst✝ : FirstCountableTopology G
u : ℕ → Set G
hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u
u_anti : Antitone u


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: N : Subgroup G

Context: n : N.Normal

Context: inst✝ : FirstCountableTopology G

Context: u : ℕ → Set G

Context: hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u

Context: u_anti : Antitone u

Context: this : ∀ (ib : ℕ), True → ∃ ia, (True ∧ True) ∧ ∀ x ∈ u ia.1 ×ˢ u ia.2, x.1 * x.2 ∈ u ib


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: N : Subgroup G

Context: n : N.Normal

Context: inst✝ : FirstCountableTopology G

Context: u : ℕ → Set G

Context: hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u

Context: u_anti : Antitone u

Context: this : ∀ (ib : ℕ), ∃ a b, True ∧ ∀ (a_1 b_1 : G), a_1 ∈ u a → b_1 ∈ u b → a_1 * b_1 ∈ u ib


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: N : Subgroup G

Context: n : N.Normal

Context: inst✝ : FirstCountableTopology G

Context: u : ℕ → Set G

Context: hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u

Context: u_anti : Antitone u

Context: event_mul : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, u m * u m ⊆ u n


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: N : Subgroup G

Context: n : N.Normal

Context: inst✝ : FirstCountableTopology G

Context: u : ℕ → Set G

Context: hu : (𝓝 1).HasBasis (fun x => True) u

Context: u_anti : Antitone u

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → u (φ n) * u (φ n) ⊆ u (φ m)

Context: φ_anti_basis : (𝓝 1).HasAntitoneBasis (u ∘ φ)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioi a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, deriv g x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, deriv g x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdf : ∀ x ∈ Ioi a, DifferentiableAt ℝ f x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, deriv g x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ x ∈ Ioi a, DifferentiableAt ℝ g x


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a✝ b c d : α

Context: inst✝⁴ : IsRightCancelAdd α

Context: inst✝³ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝² : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : PosMulMono α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
h_pos : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f)

integral f = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(toSimpleFunc f) a) ∂μ).toReal


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K


(∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj w.embedding σ → σ = 1) ↔ Stab (mk w.embedding) = ⊥


Context: x y : ℝ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

angle x (x - y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue ℤ S
x : ℤˣ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.4909, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.4913, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.4917, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.4921, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.4925, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.4929, u_6} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
X₁ Y₁ : C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : C₃

(G.map ((F₁₂.obj X₁).map ψ)).app X₃ ≫ (G.map ((F₁₂.map φ).app Y₂)).app X₃ = (G.map ((F₁₂.map φ).app X₂)).app X₃ ≫ (G.map ((F₁₂.obj Y₁).map ψ)).app X₃


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: x : X

Context: x✝ : x ∈ univ

∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, HolderOnWith C r f t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(pure a).toMeasure s = (Measure.dirac a) s


(if a ∈ s then 1 else 0) = s.indicator 1 a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ

∫ (x : X), ↑(re (f x)) ∂μ + (∫ (x : X), ↑(im (f x)) ∂μ) * I = ∫ (x : X), f x ∂μ


∫ (a : X), ↑(re (f a)) + I • ↑(im (f a)) ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : ¬IsEmpty (⊤ ↪g turanGraph n r)


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : Nonempty (⊤ ↪g turanGraph n r)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: H : SimpleGraph V

Context: hr : 0 < r

Context: f : Fin (r + 1) ↪ Fin n

Context: ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, (turanGraph n r).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: H : SimpleGraph V

Context: hr : 0 < r

Context: f : Fin (r + 1) ↪ Fin n

Context: ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: H : SimpleGraph V

Context: hr : 0 < r

Context: f : Fin (r + 1) ↪ Fin n

Context: x y : Fin (r + 1)

Context: d : x ≠ y

Context: c : ⟨↑(f x) % r, ⋯⟩ = ⟨↑(f y) % r, ⋯⟩


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: H : SimpleGraph V

Context: hr : 0 < r

Context: f : Fin (r + 1) ↪ Fin n

Context: x y : Fin (r + 1)

Context: d : x ≠ y

Context: c : ↑(f x) % r = ↑(f y) % r


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = -1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x


(x ≠ 0 ∧ ∃ x_1, 0 < -x_1 ∧ -y = -x_1 • x) ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
r : ℝ

0 < -r ∧ -y = -r • x ↔ r < 0 ∧ y = r • x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp (-a) b = -(toIocDiv hp a (-b) + 1)


Context: n : ℕ


Context: n k : ℕ

Context: hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)


Context: n k : ℕ

Context: hermite_explicit_recur : ∀ (n k : ℕ), hermite_explicit (n + 1) (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)


Context: n k : ℕ

(hermite (2 * (n + 1) + (k + 1))).coeff (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) (k + 1)


Context: n k : ℕ

(hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff k - (↑k + 2) * (hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff (k + 2) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : G.Adj s t


Context:
ι✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
ι : Type u_8
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R


∀ x ∈ Finset.univ, (col ι a * row ι b).diag x = a x * b x


Context:
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M


((Q.toBilin bm) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)


(∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, if x_1.1 = x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • Q (bm x_1.1) else if x_1.1 < x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • polar (⇑Q) (bm x_1.1) (bm x_1.2) else 0) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)


∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ a ∈ Finset.filter (fun x => x.1 < x.2) (bm.repr x).support.offDiag, (bm.repr x) a.1 • (bm.repr x) a.2 • polar (⇑Q) (bm a.1) (bm a.2) = ∑ i ∈ (bm.repr x).support, Q ((bm.repr x) i • bm i) + ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) (bm.repr x).support.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) ((bm.repr x) i • bm i) ((bm.repr x) j • bm j), ⋯⟩ ij


∀ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, ¬x_1.1 = x_1.2


Context:
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m

(cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m


Context:
m p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m

(cyclotomic (p ^ 0 * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m


Context:
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
hk : k > 0


Context:
x : ℝ
n : ℕ

sin (π / 2 ^ (n + 2)) = √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2


Context:
x : ℝ
n : ℕ

1 / 2 * 2 ^ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4 * 2 ^ 2 = 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]


(p.sum fun e a => a * 0 ^ e) = p.coeff 0 * 0 ^ 0


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)


⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ = Set.range ⇑hU.fromSpec.val.base


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
P : Finpartition ⊥
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑⊥.card ^ 2


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty


↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2


↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hε : 0 < ε

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: hA : A.Nonempty

Context: this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hε : 0 < ε

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: hA : A.Nonempty

↑A.card * (2 * ↑A.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hε : 0 < ε

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: hA : A.Nonempty


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]

((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0


↑((expand R p) f).natDegree = ↑(f.natDegree * p)


↑(f.natDegree * p) = ((expand R p) f).degree


((expand R p) f).degree = ↑(f.natDegree * p)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
n : ℕ
hn : ↑(f.natDegree * p) < ↑n


↑(f.natDegree * p) ≤ ((expand R p) f).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: ι : Type w

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h0 : p.comp q = 0

(p.comp q).natDegree ≤ p.natDegree * q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: ι : Type w

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h0 : p.comp q = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: ι : Type w

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h0 : ¬p.comp q = 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ p.support

↑(C (p.coeff n)).natDegree + n • ↑q.natDegree = ↑(n * q.natDegree)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: ι : Type w

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: h0 : ¬p.comp q = 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ p.support


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π' : Prepartition I

π' ≤ π.biUnion πi ↔ π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π' : Prepartition I

Context: H : π' ≤ π.biUnion πi

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π' : Prepartition I

(π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J) → π' ≤ π.biUnion πi


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasGenEigenvalue μ 0


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

Fintype.card G.ConnectedComponent = FiniteDimensional.finrank ℝ ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n

(c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) = j


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n

↑((c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j)) = ↑j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite


∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → s.encard < ⊤ → (insert a s).encard < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
h : s.Finite
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
a✝ : t.Finite
ht' : t.encard < ⊤


RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral


∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), e.toRingHom.IsIntegral


Context:
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
e : R ≃+* S
x : S


e.toRingHom.IsIntegralElem (e (e.symm x))


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: h : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s = 0

Context: i : 𝒰.J

(Hom.app (𝒰.map i) U) s = (Hom.app (𝒰.map i) U) 0


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: i : 𝒰.J


Context: m : ℕ

schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD m]} = (↑m)⁻¹


schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD 1]} = (↑1)⁻¹


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1

schnirelmannDensity {n | n ≡ 1 [MOD m]} = schnirelmannDensity {n | n % m = 1}


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
n : ℕ

n ∈ {n | n ≡ 1 [MOD m]} ↔ n ∈ {n | n % m = 1}